Sinus R2 (LK20) utdrag

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus R2 MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK

Foto og grafikk: Bilda er fargemanipulerte.

Omslagsfoto: Unsplash / Joel Filipe Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: Unsplash / Ricardo Gomez Angel Kapittel 3: Unsplash / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / Sved Oliver Kapittel 5: AdobeStock / tiero Kapittel 6: AdobeStock / tawatchai1990 Oppgåvedel: araho / AdobeStock Side 154: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 341: GettyImages / piola666

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Sinus R2 følger læreplanen (LK20) i matematikk for realfag R2 frå 2020, for vg3 studieførebuande utdanningsprogram.

Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate i den utstrekninga det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk.

Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel.

Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Henning Vinjusveen Myhrehagen Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-74004-7 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus R2 er skriven for programfaget R2 i dei studieførebuande utdanningsprogramma. Boka legg vekt på den abstrakte matematikken, og elevane blir godt kjente med matematisk tankegang. Dei får god trening i å løyse oppgåver utan og med bruk av digitale hjelpemiddel. Elevane lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python.

I kapittel 1 lærer elevane om følger og rekker. Det bruker vi som grunnlag for integralrekninga, som kjem i kapittel 2 og 3. I kapittel 4 arbeider elevane med vektorar i rommet. I kapittel 5 lærer elevane å løyse trigonometriske likningar.

I kapittel 6 skal elevane kombinere mykje av det dei har lært i faget: integralrekning, vektorar og trigonometri.

Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane skal finne ut eigenskapar og reglar før det blir behandla i boka. Men teorien er skriven slik at det likevel er mogleg å lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men dei kan også gjerast enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevar får trening i å kommunisere matematikk.

Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet.

I boka er det i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. Nokre gonger står det i oppgåva om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver står eleven fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva for oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver».

Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei støyter på ukjente ord og uttrykk.

Til verket høyrer også ein nettstad: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Blant anna inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle.

I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen

3

s

Innhald 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

4

6 8 15 20 23 27 31 38 43 46 50 52 54

Integralrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integralet ³ 1x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integrasjon av eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bestemt integral som grense for ein sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fundamentalsetninga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal ved rekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal mellom to grafar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Integrasjon og derivasjon av rekker . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 61 67 69 75 84 87 94 96 98 100

3

Integrasjonsmetodar

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Samla resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tilnærmingsmetodar for integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trapesmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Delbrøkoppspalting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integrasjon og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Overflateareal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Gini-koeffisientar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 109 113 120 123 127 133 141 143 152 154 156

4

Vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorar i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Punktkoordinat og vektorkoordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekning med vektorkoordinatar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 159 163 171 176

4.1 4.2 4.3 4.4

s

Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Talfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometriske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometriske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uendelege rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometriske rekker med variable kvotientar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Induksjonsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Taylorrekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Vektorproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likningar for plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rette linjer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Avstand frå punkt til linje og til plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Vektoranimasjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Trigonometri

6

Funksjonar og kurver

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Sinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trigonometriske modellar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cosinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funksjonen f (x) = a sin(kx) + b cos(kx) + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tangensfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivasjon av dei trigonometriske funksjonane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kurver og vektorfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivasjon av vektorfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fartsvektor og akselerasjonsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Energi frå vindturbinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280 291 296 303 306 310 317 325 332 338 340 342

Oppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Integralrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Integrasjonsmetodar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Funksjonar og kurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344 345 372 388 411 436 455

184 194 201 205 215 219 222 224

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Vinkelmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Generelle trigonometriske definisjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sinuslikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cosinuslikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likningar med tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Einingsformelen og andregradslikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trigonometriske formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likninga a sin(kx) + b cos(kx) = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgåve: Sfærisk trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 235 242 247 253 259 265 268 272 274 276

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Fasit – oppgåvedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

5

s

FØLGER OG REKKER Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • utforske eigenskapar ved ulike rekker og gjere greie for praktisk bruk av eigenskapar ved rekker • utforske rekursive samanhengar ved å bruke programmering og presentere eigne framgangsmåtar • analysere og forstå matematiske bevis, forklare dei berande ideane i eit matematisk bevis og utvikle eigne bevis

UTFORSK FIGURTAL STEG 1

Når vi kvadrerer eit naturleg tal, får vi eit kvadrattal. Dei seks minste kvadrattala er 1, 4, 9, 16, 25 og 36. Kvadrattal nr. n kallar vi Kn. Det er gitt ved formelen Kn n2 Ein slik formel som gir tal nr. n direkte, kallar vi ein eksplisitt formel.

Kvadrattala kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

Vi ser for eksempel at kvadrattal nr. 4 dannar eit kvadrat med 4 kuler i kvar retning. Tal vi får ved å sette saman figurar etter eit system, kallar vi figurtal.

Kvadrattala ovanfor er dermed eit eksempel på figurtal. a) Bruk den eksplisitte formelen for Kn til å finne K5, K6 og K10. b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1. c) Forklar at Kn 1 Kn 2 n 1, når n t 1.

Formelen i oppgåve c kallar vi ein rekursiv formel for kvadrattala. Når vi kjenner eit kvadrattal, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke ein slik rekursiv formel, må vi kjenne eitt av tala. Her veit vi at K1 1. d) Bruk den rekursive formelen i oppgåve c til å finne K5, K6 og K10.

STEG 2

No skal vi sjå på nokre figurtal som vi kan kalle rektangeltal. Her er dei minste rektangeltala:

R1 = 2

a) b) c) d) e)

R2 = 6

R3 = 12

Finn rektangeltala R4 og R8.

Finn ein eksplisitt formel for rektangeltalet Rn. Talet 870 er eit rektangeltal. Kva for eit nummer har det?

Finn ein rekursiv formel for Rn uttrykt med Rn 1 for n ! 1.

Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8.

1.1 TALFØLGER

7

s

STEG 3

No skal vi sjå på tal som vi kallar trekanttal. Her er dei minste trekanttala:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

a) Finn trekanttala T5 og T6. b) Finn ein rekursiv formel for trekanttalet Tn uttrykt med Tn 1 for n ! 1. c) Samanlikn trekanttala og rektangeltala, og bruk formelen du fann i steg 2b, til å vise at trekanttal nr. n er gitt ved formelen Tn

n (n 1) 2

d) Finn nummeret til trekanttalet 820. e) Sjå på summen av to trekanttal som følger etter kvarandre.

Kva for regel ser ut til å gjelde?

Vis at regelen din er rett både ut frå kulene og ved rekning.

1.1 Talfølger Vi tar utgangspunkt i talet 2 og doblar det. Deretter doblar vi svaret. Slik held vi på og får desse tala: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …

Dette er eit eksempel på ei talfølge eller ei følge. Forskjellen på ei talfølge og ei talmengde er at i ei talfølge har rekkefølga av tala betydning. Tala er nummererte i rekkefølga dei står i. I ei talmengde er rekkefølga utan betydning.

Tala i ei talfølge kallar vi ledd. Ofte kallar vi det første leddet a1, det andre leddet a2 osv. I talfølga ovanfor er a1 2, a2 4, a3 8, a4 16, …

s

8

1 | FØLGER OG REKKER

Denne talfølga er bestemt ved at a1 2, og at an 2 an 1, når n ! 1. Dette er ein rekursiv formel for ledda i følga. I ein rekursiv formel er ledda bestemte av eitt eller fleire av ledda framfor. Nokre gonger kan i tillegg rekkenummeret inngå.

Vi legg merke til at i følga på førre side er a1 2, a2 22, a3 23, a4 24 osv.

Ledd nr. n er gitt ved an 2n Dette er ein eksplisitt formel for ledd nr. n. Med den kan vi finne ledd nr. 10 direkte: a10 210 1024. Når vi i denne boka skriv ‘ein formel for ledd nr. n’, meiner vi alltid ein eksplisitt formel.

DISKUTER

Vil dei bruke den rekursive eller den eksplisitte formelen for å finne a100 i følga ovanfor?

DØME

I ei talfølge er det første leddet a1 2. For alle naturlege tal n ! 1 er ledda gitt den rekursive formelen an 3 an 1 a) Finn dei fem første ledda i talfølga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n. c) Finn ledd nr. 15.

LØ Y S I N G

3 an 1 vel vi n 2 for å

a) Vi veit at det første leddet er a1 2. I formelen an finne det andre leddet. Det gir a2

3 a2 1 3 a1 3 2 6

For å finne det tredje leddet set vi n 3. a3

3 a3 1 3 a2

3 6 18

Det fjerde og det femte leddet finn vi slik: a4

3 a4 1 3 a3

3 18 54

a5

3 a5 1 3 a4

3 54 162

Dei fem første ledda i talfølga er 2, 6, 18, 54 og 162.

1.1 TALFØLGER

9

s

b) Eit ledd er lik det føregåande leddet multiplisert med 3. a1 a2 a3 a4

2 3 2 6 3 3 2 18 3 3 3 2 54

For å komme til ledd nr. n må vi multiplisere a1 med 3 i alt n 1 gonger.

Formelen for ledd nr. n er dermed an

n 1

3

n 1

a1 3

n 1

2 2 3

c) Ledd nr. 15 er a15 2 315 1 2 314 9 565 938

?

OPPGÅVE 1.10

I ei følge er ledd nr. n gitt ved an 5n 2 a) Finn dei fem første ledda og ledd nr. 120. b) Finn ein rekursiv formel for følga.

OPPGÅVE 1.11

I ei talfølge er det første leddet a1 3. Når n ! 1, har vi den rekursive formel an

an 1 4

a) Finn dei fem første ledda i følga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n.

OPPGÅVE 1.12

I ei talfølge er det første leddet a1 16. Når n ! 1, er 1 an an 1 2 a) Finn dei fem første ledda i følga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n.

OPPGÅVE 1.13

Her skal de sjå på dei berømte fibonaccitala. Dei er kalla opp etter den italienske matematikaren Leonardo Fibonacci. Han levde frå ca. 1170 til ca. 1250. Tala er følga som er bestemte ved at a1 1 og a2 1. Når n ! 2, er an

an 1 an 2

Finn dei 10 minste fibonaccitala.

s

10

1 | FØLGER OG REKKER

DISKUTER

Bruk internett og finn eksempel der fibonaccitala dukkar opp i naturen.

No skal vi lage eit program med Python som skriv ut ledd i ei følge.

Programmet nedanfor skriv ut dei første ledda i følga frå side 9 med den eksplisitte formelen an 2n.

1

antal_ledd = int(input("Antal ledd? "))

2 3 4 5

for n in range(1, antal_ledd + 1): ledd = 2**n print(f"Ledd nr. {n}:{ledd}")

6

Vi køyrer programmet og får dette resultatet: Antal ledd?

Ledd nr. 1: Ledd nr. 2: Ledd nr. 3: Ledd nr. 4: Ledd nr. 5:

5 2 4 8 16 32

Programmet nedanfor skriv ut dei første ledda i følga i eksempelet på side 9.

Ho var gitt ved den rekursive formelen a1 2 og an 3 an 1 når n ! 1.

1 2

antal_ledd = int(input("Antal ledd? ")) ledd = 2

3 4 5 6

for n in range(1, antal_ledd + 1): print(f"Ledd nr. {n}:{ledd}") ledd *= 3

7

Programmet gir denne utskrifta: Antal ledd?

Ledd nr. 1: Ledd nr. 2: Ledd nr. 3: Ledd nr. 4: Ledd nr. 5:

5 2 6 18 54 162

1.1 TALFØLGER

11

s

?

OPPGÅVE 1.14

Lag eit program som skriv ut dei 10 første ledda i oppgåve 1.10.

OPPGÅVE 1.15

a) Lag eit program som skriv ut dei 10 første ledda i oppgåve 1.11. b) Tilpass programmet slik at det skriv ut dei 15 første ledda i oppgåve 1.12.

OPPGÅVE 1.16

a) Lag eit program som skriv ut dei 20 minste fibonaccitala. Sjå oppgåve 1.13. a b) Endre programmet slik at det skriv ut forholdet n mellom fibonaccitala an 1 for n mellom 2 og 20.

1 5 .

2 Samanlikn forholda i oppgåve b med det gylne snittet.

Kva ser du?

c) Det gylne snittet er gitt ved talet M

DISKUTER

Bruk internett og finn ut kva det gylne snittet blir brukt til i kunst.

Følga 1 1 1 1, , , ...

2 3 4 har uendeleg mange ledd, og ho er da eit eksempel på ei uendeleg følge. Ledd nr. n er gitt ved an

1 n

Når n o f, vil an o 0. Vi skriv lim an

nof

0

Vi seier at følga konvergerer og har grenseverdien 0. Ei følge konvergerer når leddet an nærmar seg eit bestemt tal a, når n o f. Følga har da grenseverdien a.

Viss følga ikkje nærmar seg eit bestemt tal, seier vi at følga divergerer.

s

12

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

LØ Y S I N G

Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien.

2n 3 n 2 b) an

a) an 2 n n 1 1

1

3

a) Vi gongar med i teljaren og i nemnaren og utnyttar at og nærmar seg n n n 0, når n o f.

1 3 2n 3 2 2n 3 2 0 n n 2 lim an lim lim lim nof nof n 1 nof 1 nof 1 1 0 1

n 1 n n Følga konvergerer og har grenseverdien 2.

2 n

n 2

b) Når n o f, vil o f og o 0. Da vil an

n 2

2 n

o f. Følga nærmar seg

ikkje noko bestemt tal.

Følga divergerer.

?

OPPGÅVE 1.17

Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien.

2 3n 1 n2 3n a) an 3 b) an c) an n 2n 3 2n 4 OPPGÅVE 1.18

Frå R1 veit vi at lim 1 t t o0

1 t

3 n

n

§ 1· § 1· e . Finn lim ¨ 1 ¸ og lim ¨ 1 ¸ . nof nof © n¹ © n¹

UTFORSK SUMMEN AV HEILE TAL STEG 1

I Utforsk figurtal såg vi på trekanttala:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

Vi fann denne formelen for trekanttal nr. n: Tn

n (n 1) 2 1.1 TALFØLGER

13

s

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste naturlege tala. Samanlikn med trekanttala.

Kva for regel ser ut til å gjelde? b) Korleis kan du ved hjelp av figuren sjå at regelen i oppgåve a er rett? c) Bruk regelen til å finne summen av dei 100 minste naturlege tala.

STEG 2

I Utforsk figurtal såg vi på rektangeltala:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

Vi fann denne formelen: Rn

n n 1

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste positive partala. Samanlikn med rektangeltala.

Kva for regel ser ut til å gjelde?

Prøv ut regelen din ved å summere fleire partal. b) Forklar regelen i oppgåve a ut frå figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av dei 50 minste partala.

STEG 3

I Utforsk figurtal såg vi på kvadrattala Kn n 2 og framstilte dei som figurtal på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste positive oddetala. Kva for regel ser ut til å gjelde?

Prøv ut regelen din ved å summere fleire oddetall. b) Forklar regelen i oppgåve a ut frå figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av dei 50 minste positive oddetala. d) Kva for samanheng må det vere mellom svara i oppgåve c i stega 1, 2 og 3?

s

14

1 | FØLGER OG REKKER

1.2 Rekker Det reknestykket vi får når vi skal summere ledda i ei talfølge, kallar vi ei rekke. Talfølga 6, 12, 24, 48, 96 gir rekka 6 12 24 48 96 Tala 6, 12, 24, 48 og 96 er ledda i rekka. Rekka har fem ledd og er eit eksempel på ei endeleg rekke.

Den uendelege talfølga 1, 2, 4, 8, … gir den uendelege rekka 1 2 4 8 } Ei uendeleg rekke har uendeleg mange ledd.

På same måten som for talfølger bruker vi ofte symbolet a1 om det første leddet i ei rekke, a2 om det andre leddet osv. I rekka 6 12 24 48 96 er a1 6, a2 12, a3 24, a4 48 og a5 96 Det talet vi får når vi legg saman ledda i ei endeleg rekke, kallar vi summen av rekka. Vi bruker sn som symbol for summen av dei n første ledda. I rekka 6 12 24 48 96 er s3 6 12 24 42 s5 6 12 24 48 96 186 Generelt er sn a1 a2 a3 a4 ... an Med symbol kan vi skrive denne summen slik: n

sn

¦a i 1

i

Ofte er ledda i ei rekke gitt ved ein formel.

DØME

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved an 2n 1 a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka. b) Finn s3 og s5 ved rekning. c) Finn s10 og s100 i CAS.

1.2 REKKER

15

s

LØ Y S I N G

a) Først finn vi dei fem første ledda i rekka a1 2 1 1 a2 2 2 1 a3 2 3 1 a4 2 4 1 a5 2 5 1 b)

1 3 5 7 9

s3 a1 a2 a3 1 3 5 9 s5 1 3 5 7 9 25

c) I CAS finn vi summen av dei 10 første ledda ved å skrive sum(2n 1, n, 1, 10) Legg merke til at vi først skriv formelen, deretter namnet på variabelen og til slutt den minste og den største verdien av variabelen. Det gir dette resultatet:

Når vi skal finne summen av dei 100 første ledda, endrar vi berre 10 til 100.

s10 100 og s100 10 000

100

100

n 1

n 1

Legg merke til at CAS skriv ¦ 2n 1. Det betyr ¦ 2n 1 og ikkje § 100 · ¨ ¦ 2n ¸ 1. CAS burde hatt ein parentes her. ©n1 ¹

s

16

1 | FØLGER OG REKKER

DISKUTER 100 § 100 · Kva blir forskjellen på ¦ 2n 1 og ¨ ¦ 2n ¸ 1? n 1 ©n1 ¹

?

OPPGÅVE 1.20

Finn summane s5, s6, s7 og s8 i rekka 2 3 5 7 11 13 17 19 OPPGÅVE 1.21

Ledda i ei rekke er gitt ved an 3n 2 a) Finn summen s6 ved rekning. b) Finn summen s20 i CAS. OPPGÅVE 1.22

Ledda i ei rekke er gitt ved an 2 n 2 a) Finn summen s5 ved rekning. b) Finn summen s15 i CAS. c) Finn s101 s100 utan digitale hjelpemiddel.

Nokre gonger kan vi bruke CAS til å finne ein formel for summen av ei rekke.

DØME

LØ Y S I N G

Bruk CAS til å finne summen av dei n minste positive oddetala.

Oddetal nr. i er gitt ved formelen ai 2i 1 der i t 1. Dermed kan vi finne summen av dei n minste positive oddetala ved å skrive Sum(2i 1, i, 1, n)

Summen av dei n minste positive oddetala er lik kvadrattalet n2.

Det stemmer med det vi fann i Utforsk summen av heile tal.

1.2 REKKER

17

s

?

OPPGÅVE 1.23

a) Bruk CAS til å finne summen av dei n minste naturlege tala. b) Bruk CAS til å finne summen av dei n minste positive partala.

Samanlikn svara med det vi fann i Utforsk summen av heile tal.

OPPGÅVE 1.24

Finn digitalt ein formel for summen av rekka n

¦100 1, 05

i 1

i 1

Vi kan bruke Python til å summere rekker. Programmet nedanfor finn summen av ei rekke der ledda er gitt ved an 2n 1.

1

antal_ledd = int(input("Antal ledd? "))

2 3

sum = 0

4 5 6

for n in range(1, antal_ledd + 1): sum += 2*n - 1

7 8

print(f"Summen av {antal_ledd} ledd er {sum}.")

9

Programmet gir summen av 50 ledd på denne måten: Antal ledd? 50 Summen av 50 ledd er 2500.

?

OPPGÅVE 1.25

Bruk Python til å finne summen s20 i ei rekke der ledda er gitt ved an 3n 2 OPPGÅVE 1.26

Bruk Python til å finne summen s15 i ei rekke der ledda er gitt ved an 2 n 2

s

18

1 | FØLGER OG REKKER

UTFORSK ARITMETISKE FØLGER STEG 1

I ei aritmetisk følge er det ein fast differanse d mellom eit ledd og leddet framfor. Følga 2, 5, 8, 11, … er aritmetisk med differanse d 3, for differansen mellom eit ledd og leddet framfor er 3 for dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi også finne eit nytt ledd ved å legge 3 til det førre leddet. a) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til a4 11 i følga ovanfor? b) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til a10?

Bruk dette til å forklare at a10 29. c) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til an?

Bruk dette til å forklare at an 3n 1.

STEG 2

I ei aritmetisk følge med differanse d er a1 2. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a7? d) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til an?

Bruk dette til å forklare at an 2 n 1 d.

STEG 3

La a1 vere det første leddet i ei aritmetisk følge med differanse d. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a8? d) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til an?

Bruk dette til å forklare at an a1 n 1 d.

1.3 ARITME TISKE FØLGER

19

s

1.3 Aritmetiske følger I ei aritmetisk følge er det er ein fast differanse d mellom to ledd som følger etter kvarandre. Følga 1, 5, 9, 13, … er aritmetisk med differanse d 4, for differansen mellom eit ledd og leddet framfor er 4 for alle dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi finne eit nytt ledd ved å legge til 4 til det førre.

Dermed er an an 1 4 når n ! 1. Vi har ein tilsvarande rekursiv formel for alle aritmetiske følger.

Ei talfølge er aritmetisk dersom det finst eit tal d slik at an an 1 d for alle n ! 1.

DØME

LØ Y S I N G

I ei aritmetisk følge er a1 9 og d 2.

Finn dei fem første ledda. a1 9 a2 a1 d 9 a3 a2 d 7 a4 a3 d 5 a5 a4 d 3

2 2 2 2

7 5 3 1

For å komme fram til ledd nr. n i ei aritmetisk følge må vi legge differansen d til a1 i alt n 1 gonger. Det gir denne eksplisitte formelen for leddet an i ei aritmetisk følge.

La a1 vere det første leddet i ei aritmetisk følge med differanse d. Ledd nr. n er da gitt ved formelen an a1 n 1 d DØME

s

20

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 3, og differansen d 2. a) Finn ein formel for ledd nr. n. b) Finn ledd nr. 37. c) Finn nummeret til leddet 69.

1 | FØLGER OG REKKER

LØ Y S I N G

a) Ledd nr. n er gitt ved formelen an an

a1 n 1 d 3 n 1 2 3 2n 2 2n 1

b) Ledd nr. 37 er a37

2 37 1 75

c) La n vere nummeret til leddet 69. Da må an 69 2n 1 69 2n 68 n 34

?

OPPGÅVE 1.30

Skriv opp dei fem første ledda i ei aritmetisk følge der a) a1 12 og d 5 b) a1 24 og d 2 OPPGÅVE 1.31

Finn differansen og ein formel for leddet an i dei aritmetiske følgene. a) 5, 11, 17, 23, … b) 81, 64, 47, 30, …

OPPGÅVE 1.32

Kari får 100 kr i vekepengar i veke nr. 1. Beløpet skal aukast med 2 kr kvar veke. a) Finn ein formel for beløpet i veke nr. n. b) Omtrent kor mykje får ho i vekepengar om 2 år?

OPPGÅVE 1.33

I ei aritmetisk følge er det femte leddet a5 13 og differansen d 4. a) Finn det første leddet a1. b) Finn ein formel for ledd nr. n. c) Finn nummeret til leddet 105.

OPPGÅVE 1.34

I ei aritmetisk følge er a3 11 og a5 8. a) Finn det første leddet a1 og differansen d. b) Finn ein formel for ledd nr. n.

1.3 ARITME TISKE FØLGER

21

s

DISKUTER

Kva er likt og ulikt med følga gitt ved an 4n 1 og funksjonen f gitt ved f(x) 4x 1?

UTFORSK ARITMETISKE REKKER I ei aritmetisk rekke dannar ledda ei aritmetisk følge. Da veit vi at når n ! 1, er an a1 n 1 d der d er differansen i følga.

STEG 1

No skal vi utleie ein formel for summen s5 av dei 5 første ledda i ei aritmetisk rekke med differanse d. a) Forklar at s5

a1 a1 d a1 2d a1 3d a1 4d

b) Forklar at s5

a5 a5 d a5 2d a5 3d a5 4d

c) Summer dei to uttrykka for s5 og vis at s5 s5

5 a1 a5

d) Vis at s5

a1 a5 5 2

STEG 2

Gå fram som i steg 1 og vis at sn

a1 an n 2

også for andre verdiar for n.

s

22

1 | FØLGER OG REKKER

1.4 Aritmetiske rekker Når vi skal summere ledda i ei aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke. I ei aritmetisk rekke har vi dermed ein fast differanse d mellom to ledd som følger etter kvarandre. Rekka 2 5 8 11 14 } er aritmetisk med differanse d 3.

Frå kapittel 1.3 veit vi at ledd nr. n i ei aritmetisk rekke er gitt ved an

a1 n 1 d

I Utforsk aritmetiske rekker beviste de sikkert denne formelen for summen av dei n første ledda i ei slik aritmetisk rekke: Summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke er gitt ved sn

a1 an n 2

Legg merke til at summen av ledda i ei aritmetisk rekke er ‘gjennomsnittsleddet’ gonga med antalet ledd.

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut summen 1 2 3 } 100.

Uttrykket er ei aritmetisk rekke der a1 1 og differansen d 1. Rekka har 100 ledd, slik at n 100, og det siste leddet er a100 100. Summen blir s100

DØME

LØ Y S I N G

a1 a100 1 + 100 101 100 100 100 2 2 2

5050

Heidi får 100 kr i vekepengar. Beløpet skal aukast med 2 kr kvar veke. a) Kor mykje får Heidi i vekepengar i kvar av dei fire første vekene? b) Kor mykje får Heidi i vekepengar i veke nr. 104 (om to år)? c) Kor mykje får Heidi samla i vekepengar dei to første åra? a) Dei fire første vekene får ho a1 100 kr a2 100 kr 2 kr 102 kr a3 102 kr 2 kr 104 kr a4 104 kr 2 kr 106 kr 1.4 ARITME TISKE REKKER

23

s

b) Vekepengane dannar ei aritmetisk følge der det første leddet a1 100 kr og differansen d 2 kr. I veke nr. 104 (om 2 år) får ho a104

a1 104 1 d 100 kr 104 1 2 kr 100 kr 103 2 kr 306 kr

c) Summen av alle kronebeløpa dei to første åra blir s104

a1 a104 100 kr + 306 kr 104 104 2 2

21 112 kr

Samla får Heidi 21 112 kr i vekepengar dei to første åra.

?

OPPGÅVE 1.40

Finn summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 1, d 5 og n 10 b) a1 100, d 3 og n 30 c) a1 15, a2 20 og n 12 d) a1 50, a10 32 og n 50 OPPGÅVE 1.41

Finn summen av dei aritmetiske rekkene. a) 1 2 3 4 } 1000 b) 1 4 7 } 28 c) 100 98 96 } 50 OPPGÅVE 1.42

a) Finn summen av alle naturlege tal som er mindre enn 10 000. b) Finn summen av alle positive oddetal som er mindre enn 10 000. c) Finn summen av alle positive partal som er mindre enn 10 000.

OPPGÅVE 1.43

Vis at summen av dei n minste positive oddetala er lik n2.

DØME

LØ Y S I N G

I ei aritmetisk rekke er a1 5 og differansen d 2. Summen av rekka er 192. a) Skriv opp dei første ledda i rekka. b) Finn eit uttrykk for ledd nr. n. c) Finn ved rekning og digitalt antalet ledd i rekka. a) Det første leddet er 5. Dei neste ledda får vi fram ved å legge til 2. Rekka er 5 7 9 11 …

s

24

1 | FØLGER OG REKKER

b) Ledd nr. n i ei aritmetisk rekke er gitt ved an

a1 n 1 d 5 n 1 2 5 2n 2 2n 3

c) Ved rekning: Her er antalet ledd n uukjent. Formelen for summen av n ledd gir sn

a1 an 5 (2n 3) 2n 8 n n n 2 2 2

2 n 4 2

n n2 4n

Dette gir ei likning som vi kan løyse. sn 192 n2 4n 192 n2 4n 192 0 n 12 n 16 Ettersom n må vere eit positivt heiltal, får vi løysinga n 12.

Rekka består av 12 ledd.

Digitalt: Vi kan løyse oppgåva i CAS. Da bruker vi at an 2n 3 og lèt x vere antalet ledd i rekka. Vi skriv Sum(2n 3, n, 1, x) = 192 og trykker på

.

Rekka består av 12 ledd.

Vi kan også løyse oppgåva med Python: 1 2

sum = 0 n = 0

3 4 5 6

while sum < 192: n += 1 sum += 2*n + 3

7 8

print(f"Antal ledd er {n}.")

9

Programmet gir denne utskrifta: Antal ledd er 12.

1.4 ARITME TISKE REKKER

25

s

DISKUTER

a) Forklar korleis programmet i eksempelet fungerer. b) Kva skjer i programmet viss vi erstattar 192 med eit positivt tal som ikkje er ein mogleg sum for rekka?

?

OPPGÅVE 1.44

I ei aritmetisk rekke med a1 1 og d 7 er summen 1350.

Kor mange ledd er det i rekka?

Løys oppgåva ved rekning og digitalt.

OPPGÅVE 1.45

Ei bedrift omset for 200 millionar kr i 2020 og reknar med å auke omsetninga med 15 millionar kr per år.

Finn den samla omsetninga i perioden frå og med 2020 til og med 2029.

UTFORSK GEOMETRISKE FØLGER STEG 1

I ei geometrisk følge er det eit fast forhold k mellom eit ledd og leddet framfor.

Talet k kallar vi kvotienten i følga. Følga 2, 6, 18, 54, … er geometrisk med kvotient k 3, for forholdet mellom eit ledd og leddet framfor er 3 for dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi finne eit nytt ledd ved å gonge det førre leddet med 3. a) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme frå a1 2 til a4 54 i følga ovanfor? b) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme frå a1 2 til a10?

Bruk dette til å forklare at a10 39 366. c) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme frå a1 2 til an?

Bruk dette til å forklare at an 2 3n 1.

STEG 2

La a1 vere det første leddet i ei geometrisk følge med kvotient k. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten k for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi gonge med k for å komme frå a1 til a10? d) Kor mange gonger må vi gonge med k for å komme frå a1 til an?

Bruk dette til å forklare at an a1 kn 1.

s

26

1 | FØLGER OG REKKER

1.5 Geometriske følger I ei geometrisk følge er det eit fast forhold k mellom eit ledd og leddet framfor.

Talet k kallar vi kvotienten i rekka. Dermed kan vi alltid finne eit nytt ledd ved å gonge leddet framfor med kvotienten k. I følga 3, 6, 12, 24, 48, … er forholdet mellom eit ledd og leddet foran lik 2 for alle leddene vi har oppgitt. Dette er dermed ei geometrisk følge der kvotienten k 2.

Dersom n ! 1, er an 2 an 1 Ein tilsvarande rekursiv formel gjeld for alle geometriske følger.

I geometrisk talfølge med kvotient k er an k an 1 for alle n ! 1.

DØME

LØ Y S I N G

1

I ei geometrisk følge er det første leddet a1 8, og kvotienten k .

2 Finn dei fem første ledda.

Dei fem første ledda er a1 8 a2

k a1

a3

k a2

a4

k a3

a5

k a4

1 8 4 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

1.5 GEOME TRISKE FØLGER

27

s

DØME

Undersøk om følga er geometrisk, og finn eventuelt kvotienten.

8 9, 6, 4, , ...

3

LØ Y S I N G

Vi undersøker om det er eit fast forhold mellom eit ledd og leddet framfor for dei ledda som er oppgitt. a2 a1 a3 a2 a4 a3

6 6 2

9 9 3 4 4 2

6 3 6 8 8

3 8 3 3

4 4 3 12

2 3

Alle forholda er like.

2 3

Følga er geometrisk med kvotient k .

?

OPPGÅVE 1.50

Skriv opp dei fem første ledda i ei geometrisk følge der a) a1 5 og k 2 1 b) a1 16 og k 2 2 c) a1 81 og k 3 OPPGÅVE 1.51

Finn kvotienten k i de geometriske følgene. a) 1, 3, 9, 27, ... b) 625, 125, 25, 5, ...

2 3 9 27 c) , 1, , , , ...

3 2 4 8 I Utforsk geometriske følger kom de sikkert fram til denne eksplisitte formelen for ledda i ei geometrisk følge.

I ei geometrisk følge med kvotienten k er ledd nr. n gitt ved an a1 k n 1 der a1 er det første leddet.

s

28

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

Finn det 10. leddet i den geometriske følga 3, 6, 12, 24, }

LØ Y S I N G

I denne følga er det første leddet a1 3, og kvotienten k 2. Det gir a10

DØME

LØ Y S I N G

a1 k

10 1

3 29 1536

På ei øy blir det sett ut 100 kaninar. Vi reknar med at kaninbestanden aukar med 4 % per veke.

Kor mange kaninar er det på øya på slutten av året?

Vekstfaktoren ved 4 % auke er 1,04. Ettersom kaninbestanden aukar med 4 % per veke, er kaninbestanden i veke nr. n an 1, 04 an 1 Talet på kaninar er dermed ei geometrisk følge med kvotient k 1,04. Talet på kaninar i veke nr. 52 er a52

a1 k

52 1

100 1, 0451 739

Om eitt år er det 739 kaninar på øya.

DISKUTER

Forklar kvifor den rekursive formelen i eksempelet ovanfor ikkje kan vere heilt rett for alle verdiar for n.

?

OPPGÅVE 1.52

Finn først ein formel for leddet an , og finn deretter a10 for kvar av følgene i oppgåve 1.51.

OPPGÅVE 1.53

Tenk deg at Judas sette ein sølvmynt i banken i året 30 e.Kr. a) Kor mange sølvmyntar ville det ha stått på den kontoen i 2022 viss vi reknar med 1 % rente per år? b) Kva blir beløpet med 2 % rente per år?

1.5 GEOME TRISKE FØLGER

29

s

UTFORSK GEOMETRISKE REKKER I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. I ei geometrisk rekke er dermed kvart ledd lik det føregåande leddet multiplisert med eit fast tal k (kvotienten). Rekka 3 6 12 24 48 } er geometrisk med kvotient k 2.

Vi skal no fram til ein formel for summen av ei geometrisk rekke.

STEG 1

Vi ser på den geometriske rekka 1 k k 2 k 3 … a) b) c) d)

Sett opp eit uttrykk for summen s5 av dei fem første ledda.

Sett opp eit uttrykk for k s5. Gong ut uttrykket!

Rekn ut k s5 s5.

Bruk oppgåve c til å vise at når k z 1, er s5

k5 1 k 1

Kvifor må vi her føresette at k z 1?

STEG 2

Korleis kan du no bruke tankegangen i steg 1 til å bevise at når k z 1, er summen av dei n første ledda i rekka 1 k k2 k3 … gitt ved kn 1 k 1

sn STEG 3

Vi ser på den geometriske rekka a1 a1 k a1 k 2 a1 k 3 ... a) Forklar at sn

a1 1 k k 2 ... k n 1

b) Bruk steg 2 til å bevise at når k z 1, er sn

a1

kn 1 k 1

STEG 4

Vi ser på rekka a1 a1 k a1 k 2 a1 k 3 ....

Forklar at når k 1, er sn n a1.

s

30

1 | FØLGER OG REKKER

1.6 Geometriske rekker I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. I ei geometrisk rekke er dermed alle ledd unntatt det første lik det føregåande leddet multiplisert med eit fast tal k (kvotienten). Frå kapittel 1.5 veit vi at ledd nr. n er gitt ved formelen an

a1 k

n 1

I Utforsk geometriske rekker kom de sikkert fram til dette: La sn vvere summen av dei n første ledda i ei geometrisk rekke med kvotient k.

Viss k z 1, er sn

a1

kn 1 k 1

Viss k 1, er sn

DØME

n a1

Finn summen av den geometriske rekka 3 6 12 24 48 96 ved å bruke formelen for summen.

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke med seks ledd der kvotienten k 2. Summen er s6

a1

k6 1 26 1 64 1 3 3 3 63 189 k 1 2 1 1

Når rekka har så få ledd, er det enklare å summere ledda direkte.

DØME

Finn summen av den geometriske rekka 1 2 4 ... 128

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke der kvotienten k 2. Antalet ledd n er bestemt ved at 2n 1 128 n 1 7 n 8 28 1 256 1 k8 1 1 1 255 s8 a1 2 1 1 k 1 1.6 GEOME TRISKE REKKER

31

s

DØME

Vi ser på rekka 3 6 12 24 …

Finn digitalt summen av dei 20 første ledda utan og med bruk av formelen for summen.

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke der a1 3 og kvotienten k 2. Ledd nr. n er da gitt ved an

3 2

n 1

Vi løyser oppgåva i CAS og med Python.

CAS: Når vi skal finne summen utan å bruke formelen, skriv vi Sum(3 2n–1, n, 1, 20).

Ved hjelp av formelen finn vi summen slik:

Python: Dette programmet finn summen utan å bruke formelen: 1

sum = 0

2 3 4

for n in range(1, 21): sum += 3 * 2**(n - 1)

5 6

print(f"Utan sumformel blir summen {sum}.")

7

Programmet gir denne utskrifta: Utan sumformel blir summen 3145725.

s

32

1 | FØLGER OG REKKER

Dette programmet finn summen ved hjelp av formelen: 1 2 3

a1 = 3 k = 2 n = 20

4 5

sum = a1*(k**n - 1)/(k - 1)

6 7

print(f"Med sumformel blir summen {sum}.")

8

Det gir dette resultatet: Med sumformel blir summen 3145725.

Summen er 3 145 725.

DØME

LØ Y S I N G

Ei gammal legende fortel at sjahen av Persia blei svært begeistra da han fekk lære å spele sjakk. Læremeisteren kunne derfor ønske seg kva han ville som takk for innsatsen. Sjahen blei forundra over at læremeisteren berre ønskte seg litt ris. Han ville ha eitt riskorn i den første ruta på sjakkbrettet, to riskorn i den andre, fire i den tredje osv. Sjahen godtok dette enkle ønsket. a) Kor mange riskorn blir det i den siste ruta når sjakkbrettet har 64 ruter? b) Kor mange riskorn skulle læremeisteren ha til saman? c) Kor mykje veg alle riskorna til saman viss eitt riskorn veg 0,02 g? a) Talet på riskorn blir 1 2 4 8 } 263 Dette er ei geometrisk rekke med det første leddet a1 1 og kvotienten k 2. Talet på riskorn i rute nr. n blir an

a1 k

n 1

1 2

n 1

2

n 1

Talet på riskorn i rute nr. 64 blir a64

263 | 9, 22 1018

b) For å finne ut kor mange riskorn det blir på brettet, må vi summere den geometriske rekka som har 64 ledd: s64

a1

264 1 64 k 64 1 1 2 1 | 1, 84 1019 2 1 k 1

1.6 GEOME TRISKE REKKER

33

s

c) Samla veg riskorna omtrent onn 1, 84 1019 0, 02 g 1, 84 1019 2 10 5 kg 3, 7 1014 kg 3, 7 1011 to Riskorna veg ca. 370 000 000 000 tonn.

Dette blir omtrent 50 tonn ris til kvar person som bur på jorda i dag.

Sjahen av Persia fekk sannsynlegvis visse problem med å oppfylle dette ønsket.

?

OPPGÅVE 1.60

Finn summen av ei geometrisk rekke med n ledd når a) a1 1, k 2 og n 10 1 b) a1 3, k og n 10 2 c) a1 10, a2 12 og n 15 OPPGÅVE 1.61

Finn digitalt summen av dei geometriske rekkene utan og med bruk av sumformelen. a) 1 3 9 27 … 19 683 b) 384 192 96 48 … 6 3 c) 5 10 20 … 5120 d) 50 50 1,05 … 50 1,0519 OPPGÅVE 1.62

Ei bedrift har ei omsetning på 200 millionar kr og har som mål å auke omsetninga med 7 % per år. a) Kor stor blir da omsetninga om ti år? b) Finn den samla omsetninga i denne tiårsperioden.

OPPGÅVE 1.63

Ei bedrift slepper ut 36 tonn CO2 per veke. Bedrifta får pålegg om å redusere utsleppet med 5 % per veke. a) Kor stort blir da utsleppet per veke om 52 veker? b) Finn det samla utsleppet i perioden.

s

34

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

LØ Y S I N G

Mari set 10 000 kr i banken kvart år i 12 år. Ho får 3 % rente per år. a) Finn ved rekning kor mykje Mari har i banken like etter det tolvte innskotet.

Kor mykje har Mari fått i rente? b) Kontroller digitalt kor mykje Mari har i banken etter det tolvte innskotet utan å bruke formelen for summen av ei geometrisk rekke. c) Kor mange år går det før Mari har 200 000 kr i banken? a) Like etter at det tolvte beløpet er betalt inn, har Mari ikkje fått noko rente på det beløpet, slik at det framleis er 10 000 kr. Det nest siste beløpet har stått i banken i eitt år og har vakse til 10 000 kr 1,03. Det tredje siste beløpet har stått i banken i to år og er blitt til 10 000 kr 1,032. Slik kan vi fortsette. Det første beløpet har stått i banken i 11 år og har vakse til 10 000 kr 1,0311. Til saman blir dette 10 000 kr 10 000 kr 1, 03 10 000 kr 1, 032 } 10 000 kr 1, 0311 Dette er ei geometrisk rekke med 12 ledd og kvotient k 1,03. Det første leddet er a1 10 000 kr. Summen er s12

a1

1, 0312 1 k12 1 10 000 kr 1, 03 1 k 1

141 920 kr

Mari har sett inn 10 000 kr i tolv år. Til saman blir det 120 000 kr. Resten av beløpet er rente. Renta er 141 920 kr 120 000 kr 21 920 kr b) I CAS kan vi kontrollere beløpet ved å skrive Sum(10000*1.03^(n – 1), n, 1, 12).

Mari har 141 920 kr i banken etter 12 år.

Med Python kan vi gjere det slik: 1

sum = 0

2 3 4

for n in range(1, 13): sum += 10000 * 1.03**(n - 1)

5 6

print(f"Etter 12 år har Mari {sum :.2f} kr.")

7

Det gir denne utskrifta: Etter 12 år har Mari 141920.30 kr.

1.6 GEOME TRISKE REKKER

35

s

c) I CAS skriv vi sum(10000*1.03^(n 1), n, 1, x) 200 000 der x er antalet år til beløpet er 200 000 kr. Vi løyser likninga og får dette:

Beløpet har passert 200 000 kr etter 16 år.

Med Python kan vi finne antalet år slik: 1 2

sum = 0 n = 0

3 4 5 6

while sum < 200000: n += 1 sum += 10000*1.03**(n - 1)

7 8

print(f"Det går {n} år til summen har passert 200 000 kr.")

9

Programmet gir dette svaret: Det går 16 år til summen har passert 200 000 kr.

DISKUTER

Forklar korleis programma i eksempelet fungerer.

?

OPPGÅVE 1.64

Jo set inn 30 000 kr på ein sparekonto i byrjinga av kvart år. Renta er 3 % per år. a) Finn ved rekning kor mykje pengar Jo har på kontoen like etter at han sette inn det sjette beløpet. b) Finn digitalt kor mykje pengar Jo har på kontoen like etter at han sette inn det tiande beløpet. c) Når har Jo 500 000 kr på kontoen?

OPPGÅVE 1.65

Kari begynte å spare 1. januar 2020. Ho set 500 kr i banken den første dagen i kvar månad. Ho får 0,2 % rente per månad. a) Rekn ut kor mykje ho hadde i banken like etter innskotet den 1. januar 2021. b) Finn digitalt kor mykje ho har i banken på nyttårsaftan 2024. c) Finn digitalt kor lang tid det går før ho har 100 000 kr i banken.

s

36

1 | FØLGER OG REKKER

UTFORSK UENDELEGE REKKER STEG 1

Finn digitalt summen av dei 10 første, dei 20 første og dei 100 første ledda i rekka 1 1 1 1 ...

2 4 8 16 Kva ser du?

STEG 2

I kvadratet nedanfor har sidekanten lengda 1.

1

1 4

1 2

1 1 16 1 64

1 8 1 32

1 2

Del kvadratet i to like store delar som vist ovanfor. Kvar del får arealet .

Del den eine av dei to delane i to like delar. Kvar av dei to nye delane får da 1 4

arealet . Fortsett slik, og bruk figuren til å seie noko om den uendelege rekka 1 2

1 4

1 8

1 16

....

STEG 3

a) Bruk formelen for summen av ei geometrisk rekke til å vise at summen av dei n første ledda i rekka 1 1 1 1 ...

2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

b) Finn lim sn . nof

1 2

1 4

1 8

c) Kva vil du no seie om summen av den uendelege rekka

1.7 UENDELIGE REKKER

1 16

...?

37

s

1.7 Uendelege rekker I Utforsk uendelege rekker viste de sikkert at summen av dei n første ledda i rekka 1 1 1 1 ...

2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

Viss vi lèt talet n på ledd gå mot uendeleg, går sn 1

1 o 1 når n o f 2n

1 2n

mot null. Da vil

Altså er lim sn 1. Da seier vi at rekka konvergerer og har summen s 1. nof

Ei uendeleg rekke konvergerer og har summen s viss summen sn av dei n første ledda nærmar seg talet s når n o f, altså viss lim sn s. nof

Viss summen sn av dei n første ledda ikkje nærmar seg noko bestemt tal når n o f, seier vi at rekka divergerer.

?

OPPGÅVE 1.70

Finn eit uttrykk for summen sn av dei n første ledda i kvar rekke. Avgjer om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av dei uendelege rekkene. a) 625 125 25 5 } b) 2 5 8 11 } c) 100 100 1,1 100 1,12 } d) 100 100 0,9 100 0,92 } No skal vi studere den uendelege geometriske rekka a1 a1 k a1 k 2 a1 k 3 ...

Vi ønsker å finne ut når rekka konvergerer.

Viss a1 0, er alle ledda i rekka lik null. Rekka konvergerer og har summen 0.

Vi føreset heretter at a1 z 0.

Viss k 1, er sn n a1, og da vil absoluttverdien av sn vvekse over alle grenser når n o f. Rekka divergerer.

Viss k 1, blir rekka a1 a1 a1 a1 …

s

38

1 | FØLGER OG REKKER

Summen sn vekslar mellom tala 0 og a1 alt etter om n er eit partal eller eit oddetal. Summen nærmar seg ikkje noko fast tal, og rekka divergerer.

Viss k z 1, er summen av n ledd gitt ved a1

sn

kn 1 k 1

Viss k ! 1 eller k 1, vil absoluttverdien av kn vekse over alle grenser når n o f. Dermed vil absoluttverdien av sn vekse over alle grenser. Rekka divergerer.

Dersom 1 k 1, vil k n o 0 når n o f. Dermed er lim sn

nof

lim a1

nof

kn 1 1 0 1 1 a1 a1 a1 k 1 k 1 k 1 1 k

Rekka konvergerer og har summen s

a1 1 k

a1 .

1 k

Ei uendeleg geometrisk rekke der a1 z 0 er konvergent viss og berre viss kvotienten k ¢ 1, 1². Rekka har da summen s

DØME

a1 1 k

Den greske filosofen Zenon, som levde rundt 500 f.Kr., la fram eit problem som seinare er blitt kjent som Zenons paradoks.

Zenon fortalde om Akilles, den raskaste mannen i Hellas på den tida, som skulle springe om kapp med ei skjelpadde. Akilles kunne springe 100 m like fort som skjelpadda sprang 10 m. Skjelpadda fekk eit forsprang på 100 m. Da Akilles kom til punktet skjelpadda starta frå, var skjelpadda 10 m framfor han. Da Akilles kom dit, var skjelpadda på eit punkt 1 m framfor han. Akilles sprang vidare, men skjelpadda var enda 0,1 m framfor han da han nådde dette punktet. Slik kunne Zenon fortsette resonnementet i det uendelege, og Zenon konkluderte med at Akilles aldri ville ta igjen skjelpadda.

For grekarane var dette eit stort problem. Erfaringa viste jo at Akilles tok igjen skjelpadda. Men tanken kom til motsett konklusjon. Skulle ein tru på tanken eller på erfaringa? På den tida meinte nemleg grekarane at det var tanken som formidla sanninga. Erfaringa bestod av illusjonar.

Kva er gale med resonnementet til Zenon?

1.7 UENDELEGE REKKER

39

s

LØ Y S I N G

Viss vi summerer dei avstandane som Akilles sprang, får vi 100 m 10 m 1 m 0,1 m } Dette er ei uendeleg geometrisk rekke med 1 100 m og kvotient k 0,1.

Rekka konvergerer, for k ¢ 1, 1². Summen av rekka er s

a1 1 k

100 m 1 0,1

100 1000 m= m | 111,11 m 0, 9 9

Akilles tar igjen skjelpadda etter 111,11... m. Summen av uendeleg mange lengder blir her ei endeleg lengde. Det var utenkeleg for grekarane. Dei trudde at det eksisterte ei minste og udeleleg lengde (atomteorien). Med ei slik minste lengde kan ikkje summen av uendeleg mange lengder bli endeleg.

Det som nok forvirrar hjernen vår i dette paradokset, er at vi kan gjenta resonnementet uendeleg mange gonger, men det betyr ikkje at det går uendeleg lang tid, eller at avstanden blir uendeleg lang.

DØME

LØ Y S I N G

a) Undersøk om dei uendelege geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen.

27 9 3 1 ...

1) 54 18 6 2 ...

2) 64 16 4 b) Bruk CAS til å løyse oppgåve a. a) Rekke 1 er geometrisk med kvotient k

a2 a1

18 54

1 3

Rekke 1 konvergerer fordi k 1, 1 .

Summen av rekke 1 er s

54 § 1· 1 ¨ ¸ © 3¹

a1 1 k

54 4 3

54 3 4 3 3

162 4

81 2

Rekke 2 er geometrisk med kvotient k

a4 a3

1 3 4

4 3

Rekke 2 divergerer (konvergerer ikkje) fordi k ikkje er mellom 1 og 1.

s

40

1 | FØLGER OG REKKER

b) Ledd nr. n i rekke 1 er gitt ved an

a1 k

n 1

§ 1· 54 ¨ ¸ © 3¹

n 1

I CAS finn vi summen av den uendelege rekka ved å skrive Sum(54*(–1/3)^(n – 1), n, 1, f) Symbolet f finn vi ved å klikke på tastaturet

Summen er

og velje fanen

#&¬

.

81 .

2

I rekke 2 er ledd nr. n gitt ved an

a1 k

n 1

27 § 4 ·

64 ¨© 3 ¸¹

n 1

Vi prøver å finne summen av den uendelege rekka i CAS.

Rekka divergerer.

?

OPPGÅVE 1.71

Lag eit program med Python som skriv ut delsummane sn for n 1, 2, …, 100 for rekkene i eksempelet ovanfor. Bruk dette til å kontrollere om rekkene konvergerer eller divergerer.

OPPGÅVE 1.72

Avgjer ved rekning om dei geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av rekkene. a) 100 50 25 … b) 1 1,5 2,25 … c) 10 9 8,1 7,29 … d) 10 11 12,1 13,31 …

1.7 UENDELEGE REKKER

41

s

OPPGÅVE 1.73

Da Heidi blei fødd, blei det avtalt at ho skulle få eit fast pengebeløp kvar månad heile livet. Den første månaden skulle ho få 1000 kr. Deretter skulle beløpet minke med 1 % per månad. a) Kor stort er det 12. beløpet? b) Kor mykje pengar får Heidi det første året? c) Kor mykje pengar får Heidi til saman? d) Kva ville du ha svart på oppgåve c viss beløpet hadde auka med 1 % per månad i staden?

OPPGÅVE 1.74

a) Finn summen av rekka digitalt og ved rekning.

1 1 1 1

...

4 16 64 256 b) Korleis kan du finne summen ut frå denne figuren?

1

1

OPPGÅVE 1.75

a) Finn summen av den uendelege geometriske rekka 1 1 1 1 1 ...

2 4 8 16 b) Lag ein figur som i oppgåve 1.74 og bruk han til å finne summen i oppgåve a.

s

42

1 | FØLGER OG REKKER

1.8 Geometriske rekker med variable kvotientar Den uendelege rekka 1 x x 2 x 3 … er geometrisk med kvotient k x. Rekka konvergerer når k 1, 1 , altså når x 1, 1 . Dette intervallet kallar vi konvergensområdet for denne rekka.

Summen av rekka er avhengig av x. Han er 1 1 x

a1 1 k

s( x )

Denne funksjonen er summen av rekka berre når x er i konvergensområdet.

Definisjonsmengda for funksjonen er dermed Ds 1, 1 .

La funksjonen f vere gitt ved 1 , Df 1 x

f (x )

\ ^1`

Funksjonsuttrykket er som for funksjonen s, men definisjonsmengda er større. Grafen til f er stipla på figuren nedanfor. y 3 2 1 –3 –2 –1

–1

x 1

2

3

–2 –3

Funksjonen s har definisjonsmengda Ds 1, 1 . Grafen til s fell saman med grafen til f i dette intervallet. Grafen til s er heiltrekt på figuren ovanfor.

DØME

Vi har gitt den uendelege rekka 2

3

1 ln x ln x ln x ... a) b) c) d)

Finn konvergensområdet for rekka.

Finn summen s(x) av rekka.

Teikn grafen til s.

1 Finn ved rekning når summen er 2, og når han er .

2

1.8 GEOME TRISKE REKKER MED VARIABLE KVOTIENTAR

43

s

LØ Y S I N G

a) Dette er ei geometrisk rekke med kvotient k ln x. Rekka konvergerer dermed når 1 ln x 1 e 1 e ln x e1 1 x e e Konvergensområdet er

1 ,e e

.

b) Summen av rekka er a1 1 k

s( x )

1 1 , x ,e 1 ln x e

c) Her er grafen til s: y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 1 e

1

e 2

e

4

5

d) Summen er 2 når s( x ) 2 1 2 1 ln x 1 2 2 ln x 2 ln x 1 1 ln x 2 1

x e2 x

e

Dette er ei gyldig løysing fordi e

s

44

1 | FØLGER OG REKKER

1 ,e . e

1 2

Viss summen skal bli , må 1 2

s( x )

1 1 1 ln x 2 1 ln x 2 ln x 1 x e 1 1 x e 1 e

Ettersom ikkje ligg i konvergensområdet

1 ,e e

, konvergerer ikkje rekka

for denne verdien for x. Det finst ikkje nokon sum for denne x-verdien.

1 2

Summen kan ikkje bli .

?

OPPGÅVE 1.80

a) Finn konvergensområdet for den uendelege rekka x x 3 x 5 x 7 ... b) Finn summen s(x) av rekka. c) Teikn grafen til s. d) Bruke oppgåve b til å finne summen av rekka 2 8 32

...

3 27 243 OPPGÅVE 1.81

a) Finn konvergensområdet for den uendelege rekka 1

1 1 1 ... x x2 x3

b) Finn summen s(x) av rekka. c) Teikn grafen til s. d) For kva for verdiar av x er summen lik 1 1) 2 2) 3

1.8 GEOME TRISKE REKKER MED VARIABLE KVOTIENTAR

45

s

OPPGÅVE 1.82

a) Finn konvergensområdet for rekka 1 2x 4x 2 8x 3 } b) Finn summen s(x) av rekka. c) For kva for verdiar av x er summen lik 1 1) 2 2) 3 d) Bruk oppgåve b til å finne summen av rekka 2 4 8 1 …

3 9 27 OPPGÅVE 1.83

a) Finn konvergensområdet for den uendelege rekka 2

3

x 2 x 2 x 2 … b) Finn summen s(x) av rekka.

1.9 Induksjonsbevis I delkapitla over har vi utleidd mange formlar som gjeld for alle n ≥ 1. Vi har funne formelen for ledd nr. n i ei geometrisk følge og formelen for summen av dei n minste positive oddetala.

Vi skal no sjå på ein framgangsmåte som vi kan bruke når vi skal bevise slike formlar og andre påstandar som skal gjelde for alle naturlege tal n. Vi bruker induksjonsprinsippet: Ein formel eller påstand der dei naturlege tala inngår, er rett for alle naturlege tal n dersom den oppfyller dei to krava: Krav 1: Krav 2:

Han er rett for n 1.

Viss han er rett for n k, er han også rett for n k 1.

Formelen eller påstanden er da rett for alle naturlege tal n.

Grunnen til at formelen no er rett for alle verdiar av n, er denne:

s

46

1 | FØLGER OG REKKER

Når formelen oppfyller krav 1, veit vi at formelen er rett for n 1. Men når vi veit at formelen er rett for n 1, sikrar krav 2 at han er rett for n 2. Men når vi veit at formelen er rett for n 2, sikrar krav 2 at han er rett for n 3. Og når han er rett for n 3, er han ifølge krav 2 også rett for n 4. Slik kan vi halde på i det uendelege. Formelen er dermed rett for alle verdiar av n.

DØME

Vis ved induksjon at 1 3 5 … 2n 1 n2

LØ Y S I N G

Krav 1 Vi må vise at formelen er rett for n 1. Da har summen på venstre side av likskapsteiknet berre eitt ledd. Det gir Venstre side 1 Høgre side 12 1 Formelen stemmer for n 1.

Krav 2 Vi skal no gå ut frå at formelen er rett for n k og bruke det til å vise at formelen er rett for n k 1. Vi skal altså gå ut frå at 1 3 5 ... 2k 1 k 2 Det er det same som at summen av dei k minste positive oddetala er k 2.

Vi må vise at formelen er rett for n k 1. Da må vi vise at summen av dei 2 k 1 minste oddetala er lik k 1 . Summen av dei k 1 minste positive oddetala er 1 3 5 ... 2k 1 2 k 1 1 1 3 5 ... 2k 1 2k 1 Men vi skulle gå ut frå at 1 3 5 ... 2k 1 k 2. Dermed blir summen 1 3 5 ... 2k 1 2k 1

k2

2

k 2k 1

k 2 2k 1

k 1

2

Dermed har vi vist at summen av dei n k 1 minste positive oddetala er lik 2 k 1 . Formelen er dermed rett for n k 1.

Ifølge induksjonsprinsippet er formelen rett for alle naturlege tal n.

1.9 INDUKSJONSBEVIS

47

s

DØME

Vis ved induksjon at n 1

1 3 32 ... 3

LØ Y S I N G

1 n 3 1 2

Krav 1 Vi må vise at formelen er rett for n 1. Da har summen på venstre side av likskapsteiknet berre eitt ledd. Det gir Venstre side 1 Høgre side

1 1 3 1 2

1 2 1 2

Formelen stemmer for n 1.

Krav 2 Her skal vi anta at formelen er rett for n k. Det er det same som at 1 3 32 ... 3

k 1

1 k 3 1 2

Vi må vise at formelen er rett for n k 1. Summen på venstre side av likskapsteiknet ovanfor får da eitt ledd til og blir 1 3 32 ... 3

k 1

3k

Men vi skulle anta at 1 3 32 ... 3 k 1

1

3 32

... 3 3k 1 k 3 1 2

k 1

1 k 3 1 3k 2 1 3 3k 1 2

1 k 3 1 . Da blir summen 2 1 k 1 2 k 3 3 2 2 2

1 k 3 1 2 3k 2

1 k 1 3 1 2

Dermed har vi vist at formelen også er rett for n k 1.

Ifølge induksjonsprinsippet er formelen rett for alle naturlege tal n.

?

OPPGÅVE 1.90

Vis ved induksjon at 1 2 3 ... n

s

48

n n 1 2

1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 1.91

Vis ved induksjon at 1 2 2 ... 2

n 1

2n 1

OPPGÅVE 1.92

Bruk produktregelen for derivasjon og induksjonsprinsippet til å bevise at for alle naturlege tal n er n 1 xn c n x

OPPGÅVE 1.93

Vis ved induksjon at 12 22 32 ... n2

n n 1 2n 1 6

OPPGÅVE 1.94

Vis ved induksjon at summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke er gitt ved sn

n a1

n n 1 2

d

der a1 er det første leddet og d er differansen.

OPPGÅVE 1.95

På eit kvadratisk brett med 2n ruter i begge retningar er alle rutene kvite bortsett frå éi, som er fargelagd. På figuren nedanfor har vi teikna eit slikt brett for n 2. Det er da 22 4 ruter i kvar retning.

Vi har ei mengde brikker av den typen som er vist til høgre ovanfor. Denne brikka dekker nøyaktig tre ruter på brettet.

Vis ved induksjon at vi kan dekke dei kvite rutene på brettet med slike brikker uansett kor stort brettet er.

1.9 INDUKSJONSBEVIS

49

s

SAMANDRAG Talfølge (følge) Ei talfølge er ein serie av tal i ei bestemt rekkefølge. a1 , a2 , a3 ,...

Rekke Vi får ei rekke når vi summerer ledda i ei talfølge. Ei rekke er dermed eit uttrykk av typen a1 a2 a3 ...

Tala i rekka kallar vi ledd. I ei uendeleg rekke er det uendeleg mange ledd.

Summen av ei endeleg rekke Det talet vi får når vi summerer ledda i ei endeleg rekke, kallar vi summen sn av rekka. sn

a1 a2 a3 ... an

Aritmetisk følge I ei aritmetisk følge er det ein fast differanse d mellom eit ledd og leddet framfor. For n ! 1 er an

an 1 d

Ledd nr. n finner vi med formelen an

a1 n 1 d

Aritmetisk rekke I ei aritmetisk rekke dannar ledda ei aritmetisk følge. Summen sn av dei n første ledda er gitt ved formelen sn

s

50

a1 an n 2

1 | FØLGER OG REKKER

Geometrisk følge I ei geometrisk følge finst det eit tal k slik at kvart ledd er lik det føregåande leddet multiplisert med kvotienten k. For n ! 1 er an

k an 1

Ledd nr. n finn vi med formelen an

a1 k

n 1

Geometrisk rekke I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. Dersom kvotienten k z 1, er summen sn av dei n første ledda gitt ved formelen sn

a1

kn 1 k 1

Dersom k 1, er summen sn n a1.

Konvergent rekke Ei rekke konvergerer og har summen s dersom summen sn av dei n første ledda nærmar seg talet s når n går mot uendeleg.

Divergent rekke Ei rekke divergerer viss ho ikkje konvergerer.

Uendeleg geometrisk rekke Ei uendeleg geometrisk rekke med a1 z 0 konvergerer viss og berre viss kvotienten k 1, 1 . Summen s av rekka blir da s

a1 1 k

Induksjonsprinsippet Vi har ein formel eller ein annan påstand der dei naturlege tala inngår.

Formelen eller påstanden oppfyller desse krava: 1 Han er rett for n 1.

2 Viss han er rett for n k, er han også rett for n k 1.

Formelen eller påstanden er da rett for alle naturlege tal n.

SAMANDRAG

51

s

TAYLORREKKER I matematikk er det som oftast enklare å arbeide med polynomfunksjonar enn med andre funksjonar. Nokre gonger kan det derfor vere nødvendig å erstatte eit funksjonsuttrykk f(x) med eit polynom Pn(x) av grad n som gir omtrent dei same funksjonsverdiane, og har dei same eigenskapane som f(x) når x [a, b]. Eit slikt polynom kallar vi eit taylorpolynom.

Taylorpolynom No skal vi sjå på korleis vi finn eit polynom som passar godt til ein funksjon f nær x 0.

Vi finn først det tredjegradspolynomet P3(x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 som passar best.

Viss P3(x) skal passe med f(x) nær x 0, bør funksjonsverdiane vere like når x 0. Altså må P3(0) f(0).

Vekstfarten bør også vere den same for x 0.

Dermed må P3c (0) f c(0) .

Funksjonane bør også ha same krumming når x 0. Da må P3cc (0) f cc(0).

Her kan vi bruke skrivemåten 2! (‘2 fakultet’) om 2 1 og 3! (‘3 fakultet’) om 3 2 1. Det tredjegradsuttrykket som passar best til f nær x 0, er dermed P3 ( x ) f (0)

f c(0) f cc(0) 2 f ccc(0) 3 x x x 1!

2!

3!

På tilsvarande måte finn vi det polynomet av grad n som passar best. Det er Pn ( x ) f (0)

f c(0) f cc(0) 2 f ( n) (0) n x x ... x 1!

2! n!

Dette er taylorpolynomet til f om x 0. Namnet kjem frå den engelske matematikaren Brook Taylor (1685–1731).

Vidare bør P3ccc (0) f ccc(0).

No kan vi bestemme koeffisientane i polynomet: P3 ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 P3 (0) a0 P3 (0) f (0) a0

f (0)

P3c ( x ) a1 2 a2 x 3 a3 x 2 P3c (0) a1 f c(0) P3c (0) f c(0) a1 P3c (0) 1 P3cc ( x ) 2 a2 3 2 a3 x P3cc (0) 2 a2 P3cc (0) f cc(0) P3cc (0) f cc(0) a2 2 2 1 P3ccc ( x ) 3 2 a3 P3ccc (0) 3 2 a3 P3ccc (0) f ccc(0) P3ccc (0) f ccc(0) a3 3 2 3 2 1

s

52

1 | FØLGER OG REKKER

Taylorrekke Tilpassinga av Pn(x) til f(x) blir betre desto høgre graden n er. Når vi lèt n o ∞, får vi taylorrekka til f. f (0)

f c(0) f cc(0) 2 f ccc(0) 3 x x x ...

1!

2!

3!

For nokre funksjonar vil denne rekka konvergere og ha summen f(x) for alle x . For andre funksjoner konvergerer ho når x ¢ a, a² for eit eller anna tal a. Det finst også funksjonar der rekka berre konvergerer når x 0. Korleis ser rekka ut da?

y 16 14 12 10 8 6 4 2 –4

–3

–2

–1

–2 –4 –6

f (x) = e x P3(x)

x 1

2

3

Ovanfor har vi funne ein tredjegradsfunksjon P3(x) som passar godt til f(x) ex når x [ 1, 1].

PROSJEKTOPPGÅVE 1 La f(x) ex. a) Finn taylorpolynoma til f opp til og med grad 5. b) Teikn grafane til taylorpolynoma i oppgåve a saman med grafen til f og vurder tilpassinga. c) Skriv opp taylorrekka til f. d) Bruk taylorpolynomet av grad 5 til å bestemme ein tilnærma verdi for eulertalet e.

PROSJEKTOPPGÅVE 2 La f(x) e2x. a) Finn dei fem første ledda i taylorrekka til f. b) Korleis kunne de ha funne desse ledda ved hjelp av rekka i prosjektoppgåve 1?

PROSJEKTOPPGÅVE 3 1 .

1 x a) Finn dei fem første ledda i taylorrekka til f. b) Kva for rekke er dette, trur de? c) For kva for nokre x konvergerer taylorrekka?

La f ( x )

TAYLORREKKER

53

s

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 4

I ei talfølge er det første talet 6 og det tredje talet 216.

Kva er det andre talet om talfølga er aritmetisk, og kva er det andre talet dersom talfølga er geometrisk?

Ei uendeleg geometrisk rekke a1 a2 a3 a4 … konvergerer mot 12.

320

Summen av dei fire første ledda er .

27 Bestem a3 OPPGÅVE 5

OPPGÅVE 2

Ein veterinær skal behandle ein sjuk hund. Første dagen får hunden 5 g av ein viss medisin. Dosen blir halvert for kvar dag. Behandlinga varer ei veke.

Kor mykje medisin bør veterinæren skrive ut resept på?

OPPGÅVE 3

Ei ny bedrift produserer radioar. Den første månaden, januar 2021, er månadsproduksjonen 580 radioar. Bedrifta reknar med å auke produksjonen med 30 radioar for kvar månad. a) Lag eit program med Python som skriv ut kor mange radioar det blei produsert kvar månad i 2021. b) Utvid programmet i oppgåve a slik at det også reknar ut kor mange radioar det blei selt i alt i 2021. c) Rekn ut kor mange radioar dei produserer i desember 2026. d) Kor mange radioar reknar bedrifta med å produsere i heile 2026? e) Finn ein formel for den totale produksjonen sn etter n månader. f) Når har bedrifta i alt produsert 10 000 radioar?

s

54

1 | FØLGER OG REKKER

Eit reinsdyr beitar i eit område der graset inneheld det radioaktive stoffet cesium-137. Eit reinsdyr som beitar i området, får i seg 2,50 10 13 g av det radioaktive stoffet per kilogram kvar dag. Gjennom biologiske prosessar kvittar reinsdyret seg dagleg med 3,5 % av det radioaktive stoffet. a) Kor mykje radioaktivt stoff er det i kvart kilogram av reinsdyret etter 14 dagar med beiting i området? b) Kva er den største mengda radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i kroppen etter lang tid med beiting i området? c) For at reinsdyrkjøttet skal kunne etast, må ikkje den radioaktive cesiummengda per kilogram overstige 5,0 10 12 g.

Kva er den største mengda radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i seg kvar dag for at kjøttet skal kunne etast? d) Eit reinsdyr har i seg 7,14 10 12 g cesium-137 per kilogram. Vi tenker oss at reinsdyret blir flytta til eit beiteområde som er fritt for radioaktivt stoff.

Kor lang tid går det før kjøttet til dette reinsdyret kan etast?

OPPGÅVE 6

OPPGÅVE 9

a) I ei geometrisk rekke er det andre 4 8 leddet og det tredje leddet .

Utsleppet av klimagassar i Noreg var i 2020 på 49,3 millionar tonn CO2-ekvivalentar.

På www.regjeringa.no fann vi dette:

3

9

1) Finn kvotienten k til rekka.

256 2) Kva for eit nummer har leddet 2187 i rekka?

3) Forklar at rekka konvergerer, og finn summen. b) Ein funksjon f er gitt ved f (x ) 1

x x2 x3 ...

3 9 27

1) Finn definisjonsmengda D f til f.

2) Finn eit enklare uttrykk for f.

3) Teikn digitalt grafen til f.

Oppgåve 7 Da Sofia blei fødd, blei det oppretta ein spareavtale. Kvar månad blei det sett inn 500 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,10 %. a) Kor mykje var det på kontoen da Sofia fylte 5 år? Gå ut frå at det også blei sett inn 500 kr på 5-årsdagen. b) Kor mykje har Sofia fått i rente? c) Kor stor måtte den månadlege rentefoten vere for at Sofia skulle hatt 35 000 kr på kontoen på 5-årsdagen?

Gå framleis ut frå at det blei sett inn 500 kr på 5-årsdagen. d) Kor stort beløp måtte settast inn kvar månad for at skulle vere 35 000 kr på kontoen da Sofia fylte 5 år?

Gå framleis ut frå at det blei sett inn eit beløp på 5-årsdagen.

OPPGÅVE 8

Bevis formelen ved induksjon.

1 4 7 … (3n 2)

n(3n 1) 2

Noreg har som mål å redusere utsleppet av klimagassar med 50 til 55 prosent innan 2030.

Kjelde: Klimaendringar og norsk klimapolitikk – regjeringen.no (19.10.2021)

Gå ut frå at målsettinga er å redusere utsleppet med 50 % samanlikna med utsleppet i 2020. Vi skal vurdere to modellar for korleis dette kan gjennomførast: Modell 1: Forbruket blir redusert med eit fast antal tonn CO2-ekvivalentar kvart år. Det betyr at vi det første året slepper ut 49,3 millionar, mens vi det tiande året slepper ut halvparten så mykje.

Modell 2: Vi reduserer forbruket med ein fast årleg prosent, slik at vi det første året slepper ut 49,3 millionar tonn CO2-ekvivalentar, mens vi det tiande året slepper ut halvparten så mykje. a) Kor stort er det samla utsleppet av klimagassar i Noreg i løpet av desse 10 åra dersom vi legg modell 1 til grunn? b) Kor stort er det samla utsleppet av klimagassar i Noreg i løpet av desse 10 åra dersom vi legg modell 2 til grunn? c) Anta at styresmaktene har som målsetting at det samla utsleppet ikkje skal overstige 350 millionar tonn CO2-ekvivalentar. Utsleppet skal kvart år i tiårsperioden reduserast med ein fast prosent.

Bestem den lågaste prosenten som gjer at styresmaktene når målsettinga.

REPE TISJONSOPPGÅVER

55

s

INTEGRALREKNING Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • gjere greie for integral som ein grenseverdi av ei følge av summar, og tolke betydninga av denne grenseverdien i ulike situasjonar • gjere greie for analysen sitt fundamentalteorem og gjere greie for konsekvensar av teoremet • utvikle algoritmar for å berekne integral numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmane • analysere og forstå matematiske bevis, forklare dei berande ideane i eit matematisk bevis og utvikle eigne bevis

2.1 Derivasjon No skal vi repetere noko av det vi lærte om derivasjon i 1T og R1. Den deriverte til ein funksjon f er gitt ved f c(a)

lim

'x o0

f (a 'x ) f (a) 'x

Ein funksjon er deriverbar for x a viss denne grenseverdien eksisterer.

Viss grenseverdien skal eksistere, må teljaren nærme seg 0 ettersom nemnaren nærmar seg 0 når 'x o 0. Altså må f (a 'x ) f (a) o 0 og f (a 'x ) o f (a) når 'x o 0. Det betyr at f må vere kontinuerleg for x a.

Ein funksjon som er deriverbar i eit punkt, må vere kontinuerleg i punktet. f c(x ) gir vekstfarten til f i punktet x , f (x ) og samtidig stigningstalet for tangenten til grafen i punktet.

Når vi deriverer polynomfunksjonar, bruker vi desse reglane: x r c r x r 1 u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ) k u(x ) c

k uc(x )

Dermed kan vi derivere funksjonar ledd for ledd som i dette eksempelet: DØME

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 3x 2 4 x 12 a) Finn f c(x ). b) Finn vekstfarten for x 1.

LØ Y S I N G

a)

f c(x ) 3x 2 3 2 x 4 1 0 3x 2 6 x 4

b) Vekstfarten for x 1 er f c(1) 3 12 6 1 4 3 6 4 7

2.1 DERIVASJON

57

s

?

OPPGÅVE 2.10

Deriver uttrykka. a) x 2 4x 2 b) 2x 3 4x 2 3x 1 c) x 4 2x 3 5x 2 2x 1 OPPGÅVE 2.11

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 4 x 2 x 2 a) Finn f c(x ). b) Finn vekstfarten for x 2. c) Finn likninga til tangenten i punktet 2, f (2) .

I R1 lærte vi desse formlane: 1 xa

1

x a

n

m n

xn

x

xm

xn

Ved hjelp desse formlane og formelen (x r )c r x r 1 kan vi derivere rotfunksjonar og funksjonar med ein potens av x i nemnaren. I R1 lærte vi i tillegg desse derivasjonsreglane: ln x c

DØME

1 x

ex c ex

Deriver funksjonane. a) f (x ) 3e x 5 ln x

LØ Y S I N G

a x c a x ln a

a) b)

b) g (x )

2 4

x x2

1 f c(x ) 3 e x c 5 ln x c 3 e x 5 x 2 4 g (x ) 2 x 1 4 x 2

x x2 g c(x ) 2 1 x 2 4 ( 2) x 3 ( 2)

c)

h(x ) hc(x )

s

58

1

x

x2

1 12 1 x 2

1 12 x 2

2 | INTEGRALREKNING

1 1

2 12 x

1 2 x

c) h(x )

3e x

x

5 x

1 1 8 3 2 x x

2 8

x2 x3

Når vi skal derivere samansette funksjonar, bruker vi kjerneregelen: f (x ) g u(x ) f c(x ) g c u(x ) uc(x )

DØME

LØ Y S I N G

?

Deriver funksjonane.

2 a) f (x ) 3e x 2 b) g (x ) 2

c

2x 3

c) h(x ) ln 2 x 2 4

2 2 2 3 e x 2 x 2 2 c 3 e x 2 2 x 6 x e x 2

a)

f c(x ) 3 e x 2

b)

3 g c(x ) 4 2 x 3 2 x 3 c

c)

hc(x )

1 2x 2 4 c 2x 4 2

4

3

3

4 2x 3 2 8 2x 3

1 4x 2x 4 2

4x 2 x2 2

2x x 2 2

OPPGÅVE 2.12

Deriver funksjonane. a) f (x ) 5e x 3x 2 2 x 3 b) g (x ) 5 ln x x c) h(x ) 2000 1, 05x OPPGÅVE 2.13

Deriver funksjonane. a) f (x ) 5e 2 x 4 b) g (x ) ln 2 x 1 c) h(x )

4

x2 1

Når vi skal derivere eit produkt av funksjonar eller ein rasjonal funksjon, bruker vi desse reglane for funksjonane u og v: u v c uc v u vc § u ·c ¨v¸ © ¹

uc v u vc v2

2.1 DERIVASJON

59

s

DØME

LØ Y S I N G

Deriver funksjonane. a) f (x ) 3x e x ln x b) g (x ) x2 a)

b)

f c(x )

g c(x )

3x c e x 3x e x c 3 e x 3x e x

x

2

x 1 2 ln x x

?

1 2 x ln x 2 x x x4

ln x c x 2 ln x x 2 c 2

3 3x e x

3 x 1 ex

x 2 x ln x x4

1 2 ln x x3

4

OPPGÅVE 2.14

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 ln x

b) g (x )

ex x3

2

c) h(x )

ex x2

UTFORSK ANTIDERIVERT Vi ser på to funksjonar F og f. Hvis F c(x ) ein antiderivert til f.

f (x ), seier vi at funksjonen F er

STEG 1

Ein funksjon f er gitt ved at f (x) 3x 2 4x 5 a) Vis at funksjonen F1 gitt ved F1(x) x 3 2x 2 5x er ein antiderivert til f. b) Finn andre funksjonar som er antiderivert til f.

Kor mange slike funksjonar finst det, trur du? c) La C vere ein konstant. Vis at F(x) x 3 2x 2 5x C er ein antiderivert til f.

s

60

2 | INTEGRALREKNING

STEG 2

La H vere ein funksjon som er slik at H c(x) 0 for alle reelle tal x. a) Forklar at grafen til H må vere kontinuerleg og ha ein horisontal tangent i alle punkt. b) Forklar at da er H(x) C der C er ein konstant.

STEG 3

I steg 1 viste de at F1(x) x 3 2x 2 5x var ein antiderivert til f (x) 3x 2 4x 5.

La no F vere ein fritt vald antiderivert til f, og la H(x) F(x) F1(x). a) Vis at H c(x) 0. b) Bruk steg 2 til å vise at F(x) F1(x) C der C er ein konstant. c) Forklar at de no har vist at F(x) x 3 2x 2 5x C er ein antiderivert til f(x) 3x 2 4x 5 for alle verdiar for konstanten C, og at alle antideriverte kan skrivast slik.

STEG 4

La no f vere ein fritt vald funksjon som har ein antiderivert F1.

Bruk tankegangen ovanfor til å vise at alle dei antideriverte til f da kan skrivast som F(x) F1(x) C

2.2 Ubestemt integral La funksjonane f og F1 vere gitt ved f (x) 4x 3 og F1(x) 2x 2 3x 5. Da er F1c (x ) f (x ), og vi seier at F1 er ein antiderivert til f. Å finne ein antiderivert funksjon F når vi kjenner ein funksjon f, kallar vi antiderivasjon.

I Utforsk antiderivert viste de sikkert dette: La F1 vere ein antiderivert til ein funksjon f. Alle antideriverte til f kan da skrivast som F(x) F1(x) C der C er ein konstant.

Viss vi klarer å finne éin funksjon som har f som derivert, kan vi finne alle.

2.2 UBESTEMT INTEGRAL

61

s

DØME

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) 6x 2 4 x 3 a) Finn funksjonsuttrykket F(x) for alle dei antideriverte til f. b) Finn den antideriverte F til f som er slik at F(1) 0.

LØ Y S I N G

a) Funksjonen F1 gitt ved F1 (x ) 2 x 3 2 x 2 3x er ein antiderivert til f fordi F1c (x ) 2 3x 2 2 2 x 3 6 x 2 4 x 3

f (x )

Alle dei antideriverte til f har da funksjonsuttrykk av typen F ( x ) 2 x 3 2 x 2 3x C der C er ein konstant. b) Kravet F(1) 0 gir ei likning som vi kan bruke til å finne C. F (1) 0 2 13 2 12 3 1 C 0 2 2 3 C 0 1 C 0 C 1 Den antideriverte som oppfyller kravet, er F ( x ) 2 x 3 2 x 2 3x 1

?

OPPGÅVE 2.20

Finn funksjonsuttrykket for alle dei antideriverte til funksjonen f når b) f (x ) x 2 4 x a) f (x ) 4 x 2 3 d) f (x ) 4 x 3 6 x 1 c) f (x ) 2 x x OPPGÅVE 2.21

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 8 x 3 12 x 2 10 x 3 Finn den antideriverte F til f som er slik at F( 1) 2.

s

62

2 | INTEGRALREKNING

Vi bruker symbolet ³ f (x )dx for funksjonsuttrykket til alle dei antideriverte til ein funksjon f. Vi skriv for eksempel at

³

2 x 1 dx

x2 x C

fordi vi kan skrive alle dei antideriverte til 2x 1 som x2 x C. Symbolet ³ er eit integralteikn. Uttrykket ³ f (x )dx kallar vi eit ubestemt integral, og funksjonsuttrykket f(x) kallar vi integranden. Vi seier at integralet er ubestemt fordi det inneheld ein ubestemt konstant C. Å integrere f vil seie å finne dei antideriverte til f.

Symbolet dx i ³ f (x )dx viser kva for variabel vi skal bruke når vi integrerer.

Det er viktig når vi for eksempel skal rekne ut ³ x 2 y 2 dx . Da skal vi sjå på x som ein variabel og y som ein konstant.

DØME

Finn dei ubestemte integrala ved rekning og i CAS. a)

LØ Y S I N G

³

4 x 6 dx

b)

³

6t 2 4t 1 dt

a) Ved rekning: Her skal vi finne alle funksjonane som har 4x 6 som derivert. Ettersom 2 x 2 6 x c 4 x 6, er

³ (4 x 6)dx

2x 2 6x C

CAS: Vi skriv Integral(4x + 6) og får dette:

b) Ved rekning: No skal vi finne dei antideriverte til 6t 2 4t 1. Ettersom 2t 3 2t 2 t c 6t 2 4t 1, er

³ (6t

2

4t 1)dt

2t 3 2t 2 t C

CAS: No skriv vi Integral(6t 2 4t 1). Det gir dette resultatet:

2.2 UBESTEMT INTEGRAL

63

s

?

OPPGÅVE 2.22

Rekn ut dei ubestemte integrala ved rekning og i CAS. a) ³ 2 x 1 dx b) ³ 4dx

³ d) ³ c)

3x 2 4 x 1 dx x 2 5x 6 dx

No bruker vi formelen (x r )c r x r z 1, er § 1 r +1 ·c ¨ r 1 x ¸ ¹ ©

1 r 1 c x r 1

r 1

til å finne ein antiderivert til x r. Dersom

1 r 1 1 (r 1) x r 1

xr

Dermed har vi vist denne integrasjonsregelen: Dersom r z 1, er

³ x dx r

1 r +1 x C r 1

Dersom r 1, blir integralet

³ x dx ³ x r

1

dx

1

³ x dx

Dette integralet bestemmer vi i kapittel 2.3.

Formelen ovanfor gir blant anna desse integrasjonsreglane: 1 2 x C 2 1 3 2 ³ x dx 3 x C 1 4 3 ³ x dx 4 x C

³ x dx

DØME

s

64

Finn dei ubestemte integrala.

1 b) ³ 3 dx a) ³ x 5dx x

2 | INTEGRALREKNING

c)

³

3

x dx

LØ Y S I N G

a)

³ x dx

b)

³x

3

c)

³

x dx

5

1

3

dx

1 x5 + 1 C 5 1

³x

3

1 6 x C 6

1 x 3 + 1 C 3 1

dx

1

1

³ x 3 dx

1 1 3

1

x3

+1

C

1 x 2 C 2 1 13 1 x x C 4 3

1 C 2x 2

3 3 x x C 4

Ein sum av funksjonar deriverer vi ledd for ledd, og derfor kan vi også integrere ein sum av funksjonar ledd for ledd, slik denne regelen viser: Dersom F c(x )

³

f (x ) og Gc(x ) g (x ), er

a f (x ) b g (x ) dx a F (x ) b G(x ) C

der a, b og C er konstantar.

Når vi no skal bevise denne regelen, er det nok å derivere a F(x) b G(x) og sjå om vi får integranden: a F (x ) b G(x ) c a F c(x ) b Gc(x ) a f (x ) b g (x ) Regelen er altså rett. Den gjeld også for ein sum med meir enn to ledd.

DØME

Finn dei ubestemte integrala. a) ³ 6 x 2dx

LØ Y S I N G

b)

³

x 3 3x 2 5x dx

c)

§

3 · dx 2 ¸ ¹

³ ¨© 2x 1 x

1 a) ³ 6 x 2dx 6 x 3 C 2 x 3 C 3 b)

³

c)

³ ¨© 2x 1 x

1 1 1 4 x 3 x3 5 x2 C 2 3 4 1 4 5 x x3 x2 C 4 2

x 3 3x 2 5x dx

§

3 · dx 2 ¸ ¹

1 1 2 x 1 3x 2 dx 2 x 2 x 3 x 1 C 2 1 3 x2 x C x

³

2.2 UBESTEMT INTEGRAL

65

s

DØME

Ein bil køyrer på ein rett vegstrekning. Etter t sekund har han akselerasjonen a(t ) 0, 2t 1, t [0, 5] målt i meter per sekund i andre (m/s2).

Finn fartsauken i meter per sekund i denne perioden.

LØ Y S I N G

Frå R1 veit vi at akselerasjonen er den deriverte av farten. Dermed er farten ein antiderivert til akselerasjonen. Farten i meter per sekund er da gitt ved v(t )

³ a(t )dt ³

0, 2t 1 dt

0,1t 2 t C

Vi har ikkje opplysningar nok til å finne konstanten C, men vi kan likevel finne fartsauken. Han er v(5) v(0)

0,1 52 5 C 0 0 C

2, 5 5 C C 2, 5

Farten aukar med 2,5 m/s.

Dette kan vi også gjere i CAS. Da begynner vi ved å skrive v(t) := integral(–0.2t + 1).

Farten aukar med 2,5 m/s.

?

OPPGÅVE 2.23

Rekn ut dei ubestemte integrala.

1· § § 1 2 · a) ³ ¨ t 2 ¸ dt b) ³ ¨ 2 3 ¸ dx © t ¹ ©x x ¹ OPPGÅVE 2.24

Etter t sekund har ein bil farten v(t ) 20 0, 8t , t ª¬0, 10 º¼ målt i meter per sekund.

Kor langt køyrer bilen på dei ti sekunda?

s

66

2 | INTEGRALREKNING

c)

³

2t 5 3 t 2 dt

d)

³2

5 x

dx

OPPGÅVE 2.25

a) Finn f (x ) ved rekning og i CAS når f c(x ) 4 x 2 og f (1) 2. b) Finn f (x ) når f c(x ) 6 x 2 5 og grafen til f skjer andreaksen i punktet 2. c) Finn f (x ) når f cc(x ) 12 x 6 og grafen har eit botnpunkt i (1, 0).

2.3 Integralet ³

1 x

dx

I dette kapittelet skal vi integrere funksjonen f (x )

1 x

Funksjonen har denne grafen: y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

f 1

2

3

4

x

5

–2 –3 –4 –5

Frå R1 veit vi at ln x er definert når x ! 0, og at ln x c

1 x

For positive verdiar av x er derfor 1

³ x dx

ln x C

For negative verdiar av x er talet x positivt, og da er ln x definert.

Vi deriverer ln x ved hjelp av kjerneregelen. ln x c

1 x c x

1 ( 1) x

1 x

2.3 INTEGRALE T

1

∫ x dx

67

s

For negative verdier av x er dermed 1

³ x dx

ln x C

1 Vi kan kombinere dei to uttrykka for ³ dx til eitt uttrykk ved hjelp av x absoluttverditeiknet fordi x

x når x t 0

x

x når x 0 1

³ x dx DØME

ln x C , x z 0

Finn dei ubestemte integrala.

4· § a) ³ ¨ 6 x ¸ dx x¹ ©

LØ Y S I N G

4· § a) ³ ¨ 6 x ¸ dx x © ¹

3 2 · § b) ³ ¨ 2 x 1 2 ¸ dx x x ¹ © 1·

§

³ ¨© 6x 4 x ¸¹ dx

3x 2 4 ln x C

3 2 · § b) ³ ¨ 2 x 1 2 ¸ dx x x ¹ ©

§

1

³ ¨© 2x 1 3 x 2x x 2 x 3 ln x 2 x 2 x 3 ln x

?

Finn dei ubestemte integrala.

3 2· § a) ³ dx b) ³ ¨ 2 x 1 ¸ dx x¹ x © Finn dei ubestemte integrala. x 1 2x 2 x 2 a) ³ dx b) ³ dx x x

68

· ¸ dx ¹

1 1 x C 1

2 C x

OPPGÅVE 2.30

OPPGÅVE 2.31

s

2

2 | INTEGRALREKNING

c)

§

³ ¨© 6x

2

2x 1

1 1 ·

dx x x 2 ¸¹

OPPGÅVE 2.32

Finn dei ubestemte integrala.

1 1 dx b) ³ dx a) ³ x 1 2x 1 OPPGÅVE 2.33

La x vere eit positivt tal. a) Deriver uttrykket x ln x x b) Finn det ubestemte integralet

³ ln x dx 2.4 Integrasjon av eksponentialfunksjonar Frå før kjenner vi derivasjonsformelen e x c e x . Det gir denne integrasjonsformelen:

³ e dx x

DØME

LØ Y S I N G

ex C

Rekn ut det ubestemte integralet

³

4 x 2e x dx

³

4 x 2e x dx 2 x 2 2e x C

Viss vi bruker kjerneregelen for å derivere e kx, får vi e kx c e kx (kx )c e kx k k e kx Viss k z 0, blir dermed § 1 kx ·c ¨ke ¸ ¹ ©

1 kx c e k

1 k e kx k

e kx

2.4 INTEGRASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONAR

69

s

Vi har funne ein antiderivert til e kx, og dermed kan vi integrere e kx.

³e DØME

kx

dx

1 kx e C, k

Rekn ut integrala. a) ³ e 3 x dx

LØ Y S I N G

a) ³ e 3 x dx

b) ³ 20e 0,05 x dx

c)

³

c)

³ (2e

2x

2e 2 x ) dx

1 3x e C 3

b) ³ 20e 0,05 x dx 20

?

kz0

1 e 0,05 x C 0, 05

400e 0,05 x C

1 1 2e 2 x 2e 2 x dx 2 e 2 x 2 e 2 x C e 2 x e 2 x C 2 2

OPPGÅVE 2.40

Rekn ut dei ubestemte integrala. a) ³ 2e x dx c)

³

³ d) ³

b)

4e 2 x 9e 3 x dx

6 x 3e x dx e x e x dx

La a vere eit positivt tal. Da er a x c a x ln a ln a a x Viss a z 1, er konstanten lna z 0. Da er c § 1 x · ¨ ln a a ¸ ¹ © Uttrykket

³ a dx x

s

70

1 ax c ln a

1 ln a a x ln a

ax

1 a x er dermed ein antiderivert til ax. Det gir denne regelen: lna

1 ax C, a ! 0 a z 1 ln a

2 | INTEGRALREKNING

DISKUTER

Finn ut kva formelen på førre side uttrykker når vi set a e (eulertalet).

Kva blir integralet når a 1?

DØME

Rekn ut integrala. b) ³ 5000 1, 05x dx

a) ³ 3x dx LØ Y S I N G

c) ³ 2 x 2 x dx

1 x 3 C ln 3

a) ³ 3x dx

b) ³ 5000 1, 05x dx 5000

1 1, 05x C ln1, 05

5000 1, 05x C ln1, 05 c)

?

³

2 x 2 x dx

x2

1 x 2 C ln 2

OPPGÅVE 2.41

Rekn ut dei ubestemte integrala. a) ³ 3 2 x dx b) c)

³ ³

2 3x dx ln 2 2 x ln 3 3x dx

OPPGÅVE 2.42

Finn integrala. a) ³ 5400 e 0,08 x dx

b) ³ 12 800 1, 05x dx OPPGÅVE 2.43

2

a) Deriver uttrykket e x . b) Finn integralet

³ xe

x2

dx

2.4 INTEGRASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONAR

71

s

UTFORSK AREALET UNDER EIN GRAF STEG 1

La funksjonen f vere gitt ved f (x ) 0, 4 x 2, 6 Funksjonen har denne grafen: y 6

f

5 4 3 2

F

1 –1

x 1

–1

2

3

4

5

6

7

På figuren har vi skravert eit flatestykke F som er avgrensa av grafen, x-aksen, linja x 1 og linja x 6.

Forklar at flatestykket er eit trapes, og finn arealet av flatestykket.

STEG 2

No skal vi finne tilnærmingsverdiar for arealet av F ved hjelp av rektangel.

Først fyller vi omtrent heile flatestykket F med 5 rektangel som vist her: y 6

f

5 4 3 2 1 –1

–1

x 1

2

3

4

5

6

7

a) Forklar at samla areal av dei 5 rektangla er gitt ved S5

f (1) 1 f (2) 1 f (3) 1 f (4) 1 f (5) 1

b) Rekn ut samla areal av dei 5 rektangla.

Samanlikn med svaret i steg 1.

s

72

2 | INTEGRALREKNING

STEG 3

No fyller vi omtrent heile flatestykket F med 25 rektangel som vist her: y 6

f

5 4 3 2 1 –1

x 1

–1

2 3

4

5

6

7

a) Finn breidda av kvart rektangel. b) Forklar at samla areal av rektangla er gitt ved S25

f (1) 0, 2 f (1, 2) 0, 2 f (1, 4) 0, 2 ... f (5, 8) 0, 2

c) Forklar at vi også kan skrive summen slik: 25

S25

¦ f (x ) 0, 2 i

i 1

der xi 1 i 1 0,2. d) Kva for type følge dannar xi-verdiane?

Sjå kapittel 1. e) Bruk Python eller CAS til å finne summen S25.

Samanlikn med svaret i steg 1.

STEG 4

No skal vi bestemme ein tilnærmingsverdi for arealet av F ved hjelp av n rektangel på same måte som i steg 2 og 3. a) Vis at breidda av kvart rektangel er gitt ved 'x

6 1 n

5 n

b) Forklar at arealet av rektangla no blir n

Sn

¦ f (x ) 'x i 1

i

der xi 1 i 1 'x . c) Finn S100 og S1000 ved hjelp av Python eller CAS. Samanlikn med svaret i steg 1.

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

73

s

d) Bruk CAS til å vise at 20n 5 n

Sn

e) Finn lim Sn . nof

Samanlikn med svaret i steg 1. Kva ser du?

STEG 5

I steg 4 fann vi arealet av eit flatestykke ved hjelp av ein grenseverdi. Det same arealet fann vi mykje enklare i steg 1. Men viss grafen ikkje er ei rett linje, kan vi ikkje bruke metoden i steg 1. Metoden i steg 4 fungerer for alle kontinuerlege funksjonar som ligg over x-aksen. No ser vi på funksjonen f (x ) x 2 4 x 5 Vi skal finne arealet av flatestykket F, som er avgrensa av grafen til f, x-aksen, linja x 2 og linja x 5. Sjå figuren til venstre nedanfor. y

y

12

12

f

10

10

8

8

6

6

4

4

2 –1

–2

F 1

2 3

2

x 4

5

6

f

–1

–2

x 1

2 3

4

5

6

Vi skal finne ein tilnærmingsverdi for arealet av F ved hjelp av n rektangel som vist til høgre ovanfor. a) Vis at breidda av kvart rektangel er gitt ved 'x

5 2 n

3 n

b) Forklar at arealet av rektangla no blir n

Sn

¦ f (x ) 'x i 1

i

der xi 2 i 1 'x . c) Finn S100 og S1000 ved hjelp av Python eller CAS. Kva trur du arealet er? d) Bruk CAS til å finne eit uttrykk for Sn. e) Finn lim Sn . nof

f) Kva blir etter dette arealet av flatestykket F?

s

74

2 | INTEGRALREKNING

2.5 Bestemt integral som grense for ein sum Vi ser no på ein funksjon f som er positiv i intervallet ª¬a, b º¼ . Vi skal finne arealet av flatestykket F som er avgrensa av x-aksen, linja x a, linja x b og grafen til f. Sjå figuren til venstre nedanfor. y

y

f

f

F x a

b

6x 6x 6x

x1 x2 x3 a

x

6x

xn

b

Som i Utforsk arealet under ein graf tilnærmar vi flatestykket F ved hjelp av n rektangel med same breidde som vist til høgre ovanfor. Breidda av kvart rektangel blir da 'x

b a n

Den venstre sida av kvart rektangel når akkurat opp til grafen.

Vi nummerer no rektangla frå venstre og lèt xi vere den minste x-verdien i rektangel nr. i. Da er x1 a, x2

a 'x , x3

a 2 'x , ...

Generelt er xi a i 1 'x . Høgda av det første rektangelet er da f (x1 ), høgda av det andre rektangelet er f (x2 ) osv. Samla areal Sn av dei n rektangla blir da Sn

f (x1 ) 'x f ( x2 ) 'x f ( x3 ) 'x … f ( xn ) 'x

n

¦ f (x ) 'x i 1

i

Vi kan vise at viss f er kontinuerleg i ª¬a, b º¼ , så eksisterer grenseverdien lim Sn nof

og blir lik arealet av F. Vi kallar grenseverdien for det bestemte integralet av f og skriver b

³ f (x)dx a

lim Sn nof

For at dette skal bli eit areal, må vi føresette at grafen ligg over x-aksen, og at b t a. Vi definerer det bestemte integralet for alle kontinuerlege funksjonar f og alle tal a og b slik:

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

75

s

La 'x

b a og xi n

a i 1 'x for i 1, 2, ... , n.

n

La vidare Sn

¦ f (x ) 'x . Da er det bestemte integralet i 1

i

b

³ f (x)dx a

lim Sn nof

Tala a og b kallar vi integrasjonsgrensene. Viss f er positiv i intervallet ª¬a, b º¼ , beviste vi ovanfor at det bestemte integralet er arealet av flatestykket som er avgrensa av x-aksen, linja x a, linja x b og grafen til f.

No teiknar vi grafen til ein funksjon som er negativ i intervallet ª¬a, b º¼ , og vi skal finne arealet av flatestykket F på figuren til venstre nedanfor. y a

x

b

y a

x

b

F

f

f

Vi fyller flatestykket med rektangel som rekk ned til grafen i venstre kant, som vist til høgre ovanfor. Høgda i eit rektangel er alltid eit positivt tal.

Funksjonsverdien er her eit negativt tal som i talverdi blir lik høgda. Når vi reknar ut summen Sn som ovanfor, får vi arealet av rektangla med negativt forteikn. Dermed blir også grenseverdien lim Sn arealet mellom x-aksen og nof grafen med negativt forteikn. Men denne grenseverdien er det bestemte b

integralet ³ f (x )dx. a

La A vere arealet av flatestykket som er avgrensa av grafen til ein kontinuerleg funksjon f, x-aksen, linja x a og linja x b der b t a. b

Dersom flatestykket ligg over x-aksen, er A

³ f (x)dx. a

b

Dersom flatestykket ligg under x-aksen, er A ³ f (x )dx . a

s

76

2 | INTEGRALREKNING

DØME

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 3 x , x t 0 La F vere flatestykket som er avgrensa av grafen, x-aksen, linja x 1 og linja x 4. y

f

6 4 F

2

x 1

3 4

2

5

a) Finn ved rekning ein tilnærmingsverdi for arealet A av flatestykket F ved hjelp av 6 rektangel. b) Bruk Python til å finne ein tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 100 rektangel. c) Bruk CAS til å finne ein tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 100 rektangel. d) Bruk CAS til å finne ein eksakt verdi for arealet A. LØ Y S I N G

a) Vi deler intervallet ª¬1, 4 º¼ i seks like delar og teiknar rektangel der den venstre kanten går opp til grafen. I GeoGebra får vi teikna rektangla ved å skrive VenstreSum( f, 1, 4, 6). Det gir dette resultatet: 6

y

4

f 2

x 0

1

2

3

4

5

I algebrafeltet finn vi no arealet av rektangla.

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

77

s

Kvart rektangel har breidda Δx, der 'x

4 1 6

3 6

1 2

0, 5

Høgda av rektangla blir høvesvis f (1), f (1,5), f (2), f (2,5), f (3) og f(3,5).

Samla areal av dei 6 rektangla blir S6

f (1) 'x f (1, 5) 'x f (2) 'x f (2, 5) 'x f (3) 'x f (3, 5) 'x f (1) f (1, 5) f (2) f (2, 5) f (3) f (3, 5) 'x 3 1 3 1, 5 3 2 3 2, 5 3 3 3 3, 5 0, 5 13, 2

Med 6 rektangel får vi tilnærmingsverdien 13,2. b) Vi lagar eit program der vi finn tilnærmingsverdien ved hjelp av n rektangel. Da er 'x xi

4 1 3 n n 1 i 1 'x

Programmet kan sjå slik ut: 1

from math import sqrt

2 3 4

def f(x): return 3*sqrt(x)

5 6 7 8

a = float(input("Nedre grense?")) b = float(input("Øvre grense?")) n = int(input("Antal rektangel?"))

9 10 11

delta_x = (b-a)/n sum = 0

12 13 14

for i in range(1, n+1): sum += f(1+(i-1)*delta_x)*delta_x

15 16

print(f"{n} rektangel gir tilnærmingsverdien {sum:.3f}")

17

Programmet gir denne tilnærmingsverdien når vi vel 100 rektangel: Nedre grense? 1 Øvre grense? 4 Antal rektangel? 100 100 rektangel gir tilnærmingsverdien 13.955

Arealet er omtrent 13,955.

s

78

2 | INTEGRALREKNING

c) I CAS kan vi gå fram på denne måten:

Arealet er omtrent 13,955. d) I CAS kan vi finne det bestemte integralet ved å skrive Integral( f, 1, 4).

Ettersom grafen ligg over x-aksen, er det bestemte integralet lik arealet.

Flatestykket F har arealet 14.

Viss vi klikkar på sirkelen framfor integralet i CAS, eller viss vi skriv Integral( f, 1, 4) i algebrafeltet, får vi skravert det aktuelle området i grafikkfeltet.

DISKUTER

Forklar korleis programmet i eksempelet ovanfor fungerer.

DØME

La funksjonen f vere gitt ved f (x) x 2 4x 3 Eit flatestykke F er avgrensa av grafen og x-aksen. a) Teikn grafen til f i GeoGebra. b) Finn det eksakte arealet A av flatestykket ved hjelp av CAS.

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

79

s

LØ Y S I N G

a) I GeoGebra skriv vi inn funksjonsuttrykket og får denne grafen: f

4

y

3 2 1

x 0

1

2

3

4

–1

b) Flatestykket ligg under x-aksen mellom x 1 og x 3. No skriv vi Integral( f, 1, 3) i CAS som vist nedanfor. Viss vi klikkar på den vesle sirkelen framfor integralet i CAS, får vi skravert området som vist ovanfor.

3

Dermed er ³ f (x )dx 1

4 . Men flatestykket ligg under x-aksen, og 3

arealet er dermed 3

A ³ f (x )dx 1

?

4 3

OPPGÅVE 2.50

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 2 Eit flatestykke er avgrensa av x-aksen, linja x 1, linja x 5 og grafen til f. a) Finn ved rekning ein tilnærmingsverdi for arealet A av flatestykket ved hjelp av 8 rektangel. b) Finn ved hjelp av Python ein tilnærmingsverdi for A ved hjelp av 200 rektangel. c) Finn ved hjelp av CAS ein tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 100 rektangel. d) Bruk CAS til å finne den eksakte verdien for arealet A.

s

80

2 | INTEGRALREKNING

OPPGÅVE 2.51

Funksjonen f er gitt ved f (x ) ln x Eit flatestykke F er avgrensa av x-aksen, grafen til f, linja x 1 og linja x 2. a) Finn ein tilnærmingsverdi for arealet av flatestykket F ved hjelp av 1) 10 rektangel 2) 100 rektangel 3) 500 rektangel 2

b) Kva blir etter dette ³ ln x dx tilnærma lik?

1

2

c) Finn den eksakte verdien av ³ ln x dx i CAS. 1

OPPGÅVE 2.52

Funksjonen f er gitt ved 1 2 x 1 4 a) Teikn grafen til f. b) Skraver flatestykket F som er avgrensa av x-aksen og grafen til f. c) Finn ein tilnærmingsverdi for integralet f (x )

2

§1

³ ¨© 4 x

2

2

· 1 ¸ dx ¹

ved hjelp av 100 rektangel. d) Finn ein tilnærmingsverdi for arealet av flatestykket F. e) Finn den eksakte verdien for arealet av flatestykket F ved hjelp av CAS. OPPGÅVE 2.53

Eit flatestykke F er avgrensa av den positive x-aksen, linja x 3 og grafen til funksjonen f ( x ) 3x 2 3 a) Teikn grafen til f i GeoGebra. b) Finn arealet av F utan bruk av CAS. c) Finn arealet av F ved hjelp av CAS. OPPGÅVE 2.54

Finn digitalt arealet av området som er avgrensa av x-aksen og grafen til funksjonen f (x ) x 2 2x 3

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

81

s

UTFORSK FUNDAMENTALSETNINGA STEG 1

La f vere ein funksjon som er kontinuerleg, positiv og veksande i ª¬a, b º¼ .

Vi ser på arealet A(t) av flatestykket som ligg mellom grafen, x-aksen, linja x a og linja x t der t ª¬a, b º¼. y f

A(t) x a

b

a) Forklar at t

³ f (x)dx

A(t )

a

Vi skal finne Ac(t ) ved hjelp av definisjonen av den deriverte.

Ac(t ) lim

't o0

A(t 't ) A(t ) 't

Her føreset vi at Δt ! 0. Vi kan gjere eit tilsvarande resonnement viss Δt 0. b) Finn eit område med arealet A(t Δt) på denne figuren: y f(t + 6t) f(t) f A(t) x a

6t b t t + 6t

Forklar at differansen A(t Δt) A(t) i definisjonen av den deriverte er arealet av flatestykket som er farga rosa på figuren ovanfor.

s

82

2 | INTEGRALREKNING

c) Forklar at det rosa flatestykket er større enn eit rektangel med breidde Δt og høgde f (t ), og mindre enn eit rektangel med breidde Δt og høgde f (t 't ). Bruk det til å forklare at f (t ) 't A(t 't ) A(t ) f (t 't ) 't d) Forklar at dette gir at f (t )

A(t 't ) A(t ) f (t 't ) 't

e) Forklar kvifor f (t 't ) o f (t ) når Δt o 0. f) Forklar at lim

't o0

A(t 't ) A(t ) 't

og at Ac(t )

f (t )

f (t ). t

De har no bevist dette: Viss A(t )

³ f (x)dx, er Ac(t )

f (t ). I dette beviset

a

måtte vi føresette at f var positiv og veksande. Vi kan gjennomføre eit tilsvarande bevis for alle andre kontinuerlege funksjonar.

STEG 2

I steg 1 viste de at A(t) er ein antiderivert til f (t ). La F(t) vere ein fritt vald antiderivert til f (t ). a) Forklar at det finst ein konstant C slik at A(t) F(t) C b) Forklar at A(a) 0 og at C F(a). c) Forklar at A(t) F(t) F(a) og spesielt at A(b) F(b) F(a) d) Forklar at b

³ f (x)dx

F (b) F (a).

a

2.6 FUNDAMENTALSE TNINGA

83

s

2.6 Fundamentalsetninga I Utforsk fundamentalsetninga steg 1 beviste de dette: La f vere kontinuerleg i intervallet ª¬a, b º¼ . t

F (t )

³ f (x)dx

F c(t )

f (t )

a

Denne regelen kallar vi fundamentalsetninga eller analysen sitt fundamentalteorem. Isaac Newton (1643−1727) og Gottfried Leibniz (1646−1716) kom fram til dette omtrent samtidig. Resultatet blei ei rivande utvikling i matematikk, fysikk og astronomi som gav mykje av grunnlaget for den tekniske utviklinga i dei neste hundreåra.

Viss f er ein kontinuerleg funksjon, fortel fundamentalsetninga at f har ein t

antiderivert F gitt ved F (t )

³ f (x)dx. Alle kontinuerlege funksjonar har a

dermed ein antiderivert. Men det finst funksjonar der det ikkje er mogleg å skrive den antideriverte på vanleg måte utan bruk av integrasjon. Funksjonen 2 f (x ) e x er eit eksempel på ein slik funksjon.

I steg 2 i Utforsk fundamentalsetninga beviste de dette: La F vere ein antiderivert til ein kontinuerleg funksjon f. Da er b

³ f (x)dx

F (b) F (a)

a

Når vi reknar bestemte integral, treng vi ikkje tenke på om grafen ligg over eller under x-aksen. Vi treng berre å tenke på det berre når vi skal finne eit areal.

Når vi bruker fundamentalsetninga til å rekne ut eit bestemt integral, får vi bruk for å rekne ut differansen F(b) F(a). Det finst ein skrivemåte for dette.

Vi skriv b

ª¬F ( x )º¼a F (b) F (a) Legg merke til at vi først set inn det øvre talet, og så trekker frå det vi får når vi set inn det nedre talet.

s

84

2 | INTEGRALREKNING

Med denne skrivemåten er b

³ f (x)dx

b

ª¬F (x )º¼a F (b) F (a)

a

der F er ein fritt vald antiderivert til f.

DØME

Rekn ut uttrykket 3

ª¬ x 2 2 x º¼ 1

3

ª¬ x 2 2 x º¼ 1

LØ Y S I N G

DØME

32 2 3 12 2 1

3 1 4

Finn dei bestemte integrala.

1

a)

³

x 2 1 dx

3

b)

0

LØ Y S I N G

3 1

³

x 2 4 x 3 dx

1

1 3

a) Som antiderivert til x 2 1 vel vi x 3 x. Vi treng ikkje ha med nokon konstant C, for vi skal berre ha éin antiderivert til f. Dermed er 1

³ 0

1

x 2 1 dx

ª1 3 º «3 x x» ¼0

§1 3 · §1 3 · ¨ 3 1 1 ¸ ¨ 3 0 0 ¸ ¹ © ¹ ©

4 0 3

4 3

1 3

b) Ein antiderivert til x 2 4x 3 er x 3 2 x 2 3x . Da er 3

³ 1

3

x 2 4 x 3 dx

ª1 3 º 2 « 3 x 2 x 3x » ¼1 §1 3 · §1 3 · 2 2 ¨ 3 3 2 3 3 3 ¸ ¨ 3 1 2 1 3 1 ¸ © ¹ © ¹ 4 4 §1 · 9 18 9 ¨ 2 3 ¸ 0

3 3 ©3 ¹

Dette stemmer med det vi fann i eksempelet på side 79–80.

Legg merke til symbolbruken. Mellom integralteiknet ∫ og dx står funksjonsuttrykket f(x) som vi skal integrere. Mellom hakeparentesene [ og ] står ein antiderivert til f(x). Når vi deretter set inn integrasjonsgrensene, bruker vi vanlege parentesar og ikkje hakeparentesar. Vi set alltid inn øvre integrasjonsgrense først. Deretter trekker vi frå det uttrykket vi får når vi set inn nedre integrasjonsgrense.

2.6 FUNDAMENTALSE TNINGA

85

s

?

OPPGÅVE 2.60

Rekn ut uttrykka.

2 a) ª¬2 x 2 x º¼

4

b) ª¬ x 3 x º¼ 1

0

1

c) ª¬2 x 3 2 x 2 x º¼ 1

OPPGÅVE 2.61

Finn dei bestemte integrala ved rekning.

2

a)

³

2

2 x 3 dx

b)

³

3x 2 2 x dx

1

c)

1

2

³

x 3 6 x 2 3x 1 dx

0

OPPGÅVE 2.62

Finn dei bestemte integrala ved rekning.

1

5

e

b) ³ 2 x dx

a) ³ e x dx 0

c)

0

1

OPPGÅVE 2.63

a) Vis at x ln x x c

ln x

b) Bestem ved rekning e

³ ln x dx 1

OPPGÅVE 2.64

a) Vis at ex

2

c

2 xe x

2

b) Finn det bestemte integralet 1

³ xe

x2

dx

0

ved rekning og digitalt.

OPPGÅVE 2.65 b

a) Bevis at ³ f (x )dx a

a

³ f (x )dx . b

b

c

a

b

b) Bevis at ³ f (x )dx ³ f (x )dx

s

86

2 | INTEGRALREKNING

c

³ f (x)dx. a

1

³ x dx

2.7 Å finne areal ved rekning I kapittel 2.5 såg vi på arealet A av eit flatestykke som er avgrensa av grafen til ein funksjon f, x-aksen, linja x a og linja x b der b t a.

Dersom flatestykket ligg over x-aksen, er b

³ f (x)dx

A

a

Dersom flatestykket ligg under x-aksen, er b

A ³ f (x )dx a

DØME

Finn arealet av flatestykket som er avgrensa av x-aksen, y-aksen, linja x 1 og grafen til funksjonen f (x) 2x e x

LØ Y S I N G

Først teiknar vi grafen for å sjå om flatestykket ligg over eller under x-aksen. y 1 0

1

x

–1

Flatestykket ligg under x-aksen.

Så finn vi det bestemte integralet.

1

³

2 x e x dx

0

1

ª¬ x 2 e x º¼ 0 12 e1 02 e 0 1 e 0 1

1 e 1 e 2

Ettersom flatestykket ligg under x-aksen, er arealet 1

A ³ 2 x e x dx

e 2

e 2

0

2.7 Å FINNE AREAL VED REKNING

87

s

DØME

Finn arealet av eit flatestykke F som er avgrensa av x-aksen, linja x 1, linja x 4 og grafen til funksjonen f (x ) 3 x

LØ Y S I N G

Først teiknar vi grafen og skraverer flatestykket. y

f

6 4 F

2

x 1

2

3 4

5

Vi treng ein antiderivert til x og finn derfor det ubestemte integralet.

³ 3 x dx

1

³ 3x 2 dx

3

1 1 2

1

x2

1

C

1 3 2 6 x 2 x1 C x x C 1 2 §1 · ¨ 2 1¸ 2 ¹ ©

2x x C Ettersom flatestykket ligg over x-aksen, er arealet 4

A

³3

x dx

1

4

ª2 x x º ¼1

2 4 4 2 1 1

8 2 2 14

Det stemmer med det vi fann på side 79.

?

OPPGÅVE 2.70

Rekn ut arealet av området som er avgrensa av x-aksen og grafen til funksjonen gitt ved f (x ) 3x 2 12 x OPPGÅVE 2.71

Rekn ut arealet av området som er avgrensa av x-aksen, linja x 4 og grafen til funksjonen gitt ved f (x ) 1

1 x

OPPGÅVE 2.72

Rekn ut arealet av området som er avgrensa av x-aksen, linja x 2, linja x 1 og grafen til funksjonen gitt ved f (x )

s

88

2 x

2 | INTEGRALREKNING

No har vi lært å rekne ut arealet av eit område mellom ein graf og x-aksen når flatestykket ligg enten over eller under x-aksen. Når området ligg delvis over og delvis under x-aksen, kan vi dele det opp i fleire delar og rekne ut arealet av kvar del for seg.

DØME

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 6 x 2 8 x 4

a) Finn ³ f (x ) dx.

0

b) Finn arealet av området som er avgrensa av x-aksen og grafen til f. c) Forklar svaret i oppgåve a ved hjelp av utrekningane i oppgåve b.

LØ Y S I N G

4

³ f (x) dx

a)

0

4

ª1 4 3 2º « 4 x 2x 4 x » ¼0 1 § 4 3 2· ¨ 4 4 2 4 4 4 ¸ 0 64 1128 64 0 © ¹

b) Vi teiknar grafen for å sjå om området ligg under eller over x-aksen: y 5

f

4 3 2 1 –1

–1

–2

F1 1

x 2

3

4

5

F2

–3 –4

Vi ser at området ligg delvis over og delvis under x-aksen, og vi må da rekne ut arealet av kvar del for seg. Vi treng nullpunkta til funksjonen. f(x) 0 x3 6x2 8x 0 x x2 6x 8 0 x 0 x2 6x 8 0 x 0 x 2 x 4 0 x 0 x 2 x 4

2 4

8 og 2 4

6

2.7 Å FINNE AREAL VED REKNING

89

s

Arealet av flatestykket som ligg over x-aksen, er 2

A1

2

³ f (x)dx

³

0

2

x 3 6 x 2 8 x dx

0

ª1 4 3 2º « 4 x 2x 4 x » ¼0

§1 4 3 2· ¨ 4 2 2 2 4 2 ¸ 0 4 0 4 © ¹

4

Arealet A2 av flatestykket som ligg under x-aksen, er lik ³ f (x )dx .

2 Vi reknar ut integralet.

4

4

4

ª1 4 3 2º ³2 f (x)dx ³2 x 6x 8x dx «¬ 4 x 2x 4 x »¼ 2 §1 4 3 2· §1 4 3 2· ¨ 4 4 2 4 4 4 ¸ ¨ 4 2 2 2 4 2 ¸ 0 4 4 ¹ © ¹ © 3

2

Dermed er 4

A2

³ f (x ) dx

4

4

2

Samla areal blir A A1 A2

4 4 8

4

c) Integralet ³ f (x )dx 0, fordi arealet av flatestykka over og under x-aksen er 0

nøyaktig like store. Integralet blir da 0, fordi 4

³ f (x)dx 0

?

2

4

0

2

³ f (x)dx ³ f (x)dx

4 4

0

OPPGÅVE 2.73

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) x 2 5x 6 a) Finn nullpunkta til f. b) Teikn grafen til f. c) Finn arealet av området som er avgrensa av x-aksen, y-aksen og grafen til f.

s

90

2 | INTEGRALREKNING

OPPGÅVE 2.74

Teikn grafen og rekn ut arealet av området mellom x-aksen, linja x 1, linja x 1 og grafen til funksjonen gitt ved f (x ) e x 1 OPPGÅVE 2.75

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 4 x 2

a) Finn

³ f (x)dx.

2

b) Rekn ut arealet av området som er avgrensa av x-aksen og grafen til f. c) Forklar samanhengen mellom svara i oppgåve a og b.

OPPGÅVE 2.76

Rekn ut arealet av området som er avgrensa av x-aksen og grafen til funksjonen gitt ved f ( x ) x 4 5x 2 4

UTFORSK AREALET MELLOM TO GRAFAR STEG 1

Nedanfor har vi teikna grafane til funksjonane f og g gitt ved f (x ) x 2 4 x 1 g (x ) x 2 4 x 5 y 3 2

g

1

f 1

2

3

4

x 5

a) Finn arealet som er avgrensa av grafen til f, x-aksen, linja x 1 og linja x 3. b) Finn arealet som er avgrensa av grafen til g, x-aksen, linja x 1 og linja x 3. c) Finn arealet av flatestykket som er avgrensa av dei to grafane.

2.8 Å FINNE AREAL MELLOM TO GRAFAR

91

s

STEG 2

Nedanfor har vi teikna grafane til to funksjonar f og g der f (x ) t 0, g (x ) t 0 og f (x ) t g (x ) når x ª¬a, b º¼ . y g f

F

x a

b

a) Forklar at flatestykket F har arealet A

b

b

a

a

³ f (x)dx ³ g (x)dx

b) Forklar at vi kan rekne ut arealet slik: b

A

³

f (x ) g (x ) dx

a

c) Kva er fordelen ved å bruke den andre formelen i staden for den første?

STEG 3

a) Teikn grafane til funksjonane gitt ved f (x ) x 2 6x 7 g (x ) x 2 4 x 1 Skraver flatestykket F, som er avgrensa av dei to grafane. b) Kvifor kan du ikkje bruke tankegangen frå steg 2 til å finne arealet av F? c) Teikn grafane til funksjonane gitt ved f1 ( x )

f (x ) 4 x 2 6x 3

g 1 (x ) g (x ) 4 x 2 4 x 5 Skraver flatestykket F1, som er avgrensa av grafane til f1 og g1. d) Kva kan du seie om flatestykka F og F1? e) Bruk steg 2 til å finne arealet av F1.

Kva blir no arealet A av F? f) Forklar at f1 (x ) g 1 (x ) f (x ) g (x ) og bruk dette til å vise at 4

A

³

f (x ) g (x ) dx

1

s

92

2 | INTEGRALREKNING

STEG 4

Vi har gitt to funksjonar f og g der f (x ) t g (x ) når x ª¬a, b º¼ . Vi skal finne arealet av flatestykket F, som er avgrensa av linja x a, linja x b og dei to grafane. Vi har teikna to slike grafar her: y g a

b

x

F f

a) Forklar at vi ikkje kan bruke tankegangen frå steg 2 til å finne arealet A av F. La k vere eit tal slik at g (x ) k t 0 når x ª¬a, b º¼ . Vi definerer to funksjonar f1 og g1 ved at f1 ( x ) f ( x ) k g 1 (x ) g (x ) k Her har vi teikna grafane til f1 og g1 saman med grafane til f og g: y g1 g F1

x a

b F

f1 f

b) La F1 vere flatestykket avgrensa av grafane til f1 og g1, linja x a og linja x b.

Forklar at F1 og F har same areal A. b

c) Forklar at A

³

f1 (x ) g 1 (x ) dx .

a

d) Bruk dette til å vise at b

A

³

f (x ) g (x ) dx

a

2.8 Å FINNE AREAL MELLOM TO GRAFAR

93

s

2.8 Å finne areal mellom to grafar I Utforsk arealet mellom to grafar beviste de dette: Eit flatestykke F er avgrensa av grafane til to funksjonar f og g, linja x a og linja x b der b t a. Dersom f (x ) t g (x ) når x ª¬a, b º¼ , er arealet av F gitt ved b

³

A

f (x ) g (x ) dx

a

Legg merke til at det vi skal integrere, er funksjonsuttrykket til den øvste grafen − funksjonsuttrykket til den nedste DØME

Funksjonane f og g er gitt ved f (x ) x 2 4 x 1 g (x ) x 2 6x 7 Finn arealet av flatestykket som er avgrensa av grafane til f og g.

LØ Y S I N G

Først teiknar vi grafane til f og g. y 5 4 3 g

2 F

1

x

4 –1

–1

1

2 3

–2

5 f

Vi må finne skjeringspunkta mellom grafane ved rekning: f (x ) g (x ) x 2 4 x 1 x 2 6x 7 1 2 x 2 10 x 8 0 | 2 x 2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x 1 x 4

s

94

2 | INTEGRALREKNING

1 4

4 og 1 4

5

Grafen til f ligg over grafen til g i det aktuelle området, og arealet av F er dermed 4

A

³

4

³

f (x ) g (x ) dx

1

4

x 2 4 x 1 x 2 6 x 7 dx

1

4

ª 2 3 º 2 ³1 « 3 x 5x 8 x » ¼1 · § 2 3 · § 2 3 2 2 ¨ 3 4 5 4 8 4 ¸ ¨ 3 1 5 1 8 1 ¸ ¹ © ¹ © 2 x 2 10 x 8 dx

16 § 11 · 16 11

3 ¨© 3 ¸¹ 3 3

?

27 3

9

OPPGÅVE 2.80

Rekn ut arealet av flatestykket som er avgrensa av grafen til f og grafen til g når f (x ) x 2 8x 7 g (x ) x 2 1 OPPGÅVE 2.81

Rekn ut arealet av flatestykket som er avgrensa av grafen til f og grafen til g når f (x ) x 3 x 2 2x 4 g (x ) x 3 1 OPPGÅVE 2.82

a) Løys likninga x 3 3x 2 3x x ved rekning. b) Finn arealet av området som er avgrensa av linja y x og grafen til funksjonen f gitt ved f ( x ) x 3 3x 2 3x OPPGÅVE 2.83

a) Løys likninga x 4 10x 2 12 3 ved rekning.

Hint: Det er ei andregradslikning med x 2 som ukjent. b) Finn arealet av området som er avgrensa av linja y 3 og grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) x 4 10 x 2 12

2.8 Å FINNE AREAL MELLOM TO GRAFAR

95

s

SAMANDRAG Antiderivert F er ein antiderivert til funksjonen f viss F c(x ) f (x ). Alle antideriverte til f har da funksjonsuttrykket F(x) C, der C er ein konstant.

Ubestemt integral Dersom F c(x ) f (x ), er

³ f (x )

F (x ) C

der C er ein konstant.

Ein integrasjonsregel Dersom F c(x ) f (x ) og Gc(x ) g (x ), er

³

a f (x ) b g (x ) dx a F (x ) b G(x ) C

der a, b og C er konstantar.

Integrasjonsformlar 1 r +1 x C når r z 1 r 1

³ x dx r

1

³ x dx

ln x C

³ e dx

ex C

x

³e

kx

dx

³ a dx x

1 kx e C, k z 0 k 1 a x C, a ! 0 a z 1 ln a

Bestemt integral som grense for sum La a og b vere to tal, la 'x Sn

b a n

og xi

a i 1 'x for i 1, 2, ..., n. La

f (x1 ) 'x f (x2 ) 'x f (x3 ) 'x … f (xn ) 'x

Viss f er kontinuerleg i det aktuelle området, så eksisterer lim Sn. Det nof bestemte integralet til f er da b

³ f (x)dx a

s

96

lim Sn nof

2 | INTEGRALREKNING

Fundamentalsetninga La F vere ein antiderivert til ein kontinuerleg funksjon f. Da er b

³ f (x)dx

F (b) F (a)

a

Arealet mellom ein graf og x-aksen La A vvere arealet av flatestykket som er avgrensa av grafen til ein funksjon f, x-aksen, linja x a og linja x b der b t a. b

Dersom flatestykket ligg over x-aksen, er A

³ f (x)dx. a

b

Dersom flatestykket ligg under x-aksen, er A ³ f (x )dx . a

Arealet mellom to grafar La F vere flatestykket som er avgrensa av grafane til to funksjonar f og g, linja x a og linja x b der b t a. Dersom f (x ) t g (x ) når x ª¬a, b º¼ , er b

A

³

f (x ) g (x ) dx

a

SAMANDRAG

97

s

INTEGRASJON OG DERIVASJON AV REKKER Når vi skal løyse eit spesielt problem i matematikk, kan det nokre gonger vere enklare å løyse eit større og meir generelt problem og så gå tilbake og løyse det spesielle problemet. Vi skal no sjå på ein slik situasjon. Da får vi bruk for denne regelen: Vi har gitt ei potensrekke a0 a1 x a2 x 2 … som konvergerer når x ¢ R, R² og har summen s(x). Viss vi deriverer rekka ledd for ledd, får vi ei ny rekke som konvergerer når x ¢ R, R². Summen er s′(x).

Vi har gitt rekka

Når vi no set inn x

2 3 4 5 1 !

2 4 8 16

(1)

1 x x 2 x 3 x 4 …

Frå kapittel 1 veit vi at denne rekka konvergerer når x ¢ 1, 1², og at summen da er gitt ved s( x )

1 .

1 x

Når vi deriverer rekka ovanfor

ledd for ledd, får vi denne rekka: 1 2x 3x 2 4x 3 …

(2)

Ifølge regelen ovanfor konvergerer denne rekka når x ¢ 1, 1². Summen er § 1 ·c sc( x ) ¨ ¸ © 1 x ¹ 1 1 x 1 1 x

1 x 2

1

c

1 x c

2

i rekke (2), får vi rekke

(1). Vi veit at rekke (2) konvergerer når x for

Vi skal undersøke om rekka konvergerer og eventuelt finne summen. Da ser vi først på den geometriske rekka

1 2

1

2

1 , 2

1, 1 . Summen av rekke (1) blir dermed

§ 1· sc ¨ ¸ ©2¹

1

1 2

§ 1· ¨1 2 ¸ © ¹ 1 4 4 1 4 4

§ 1· ¨2¸ © ¹

2

Her fann vi altså summen av den spesielle rekka (1) ved å først finne summen av den generelle rekka (2).

Vi kan også integrere potensrekker ledd for ledd: Vi har gitt ei potensrekke a0 a1 x a2 x 2 … som konvergerer når x ¢ R, R² og har summen s(x). Hvis vi integrerer rekka ledd for ledd, får vi ei ny rekke som konvergerer når x ¢ R, R² der summen er ein antiderivert til s(x).

Summen er altså ³ s( x )dx, som gir ein ukjent konstant C. Den bestemmer vi vanlegvis ved å sjå på rekka og summen når x 0.

s

98

2 | INTEGRALREKNING

PROSJEKTOPPGÅVE 1 a) Vi ser på rekka 1 + x + x2 + x3 + …

Integrer rekka ledd for ledd, og bruk resultatet til å undersøke rekka 1 1 1 1 1 1 1 1 1

!

2 2 4 3 8 4 16 5 32 Finn ut om ho konvergerer, og finn eventuelt summen.

b) Undersøk rekka 1 1 1 1 1 1 1 1 1

!

3 2 9 3 27 4 81 5 243 Finn ut om ho konvergerer, og finn eventuelt summen.

PROSJEKTOPPGÅVE 2 Bruk blant annet rekka (2) på førre side til å finne summen av rekka 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2 5 4 3 !

2 2 2

PROSJEKTOPPGÅVE 3 No ser vi på dei to rekkene x3 x5 x7

…

3! 5! 7! x2 x4 x6 …

1 2! 4! 6! x

Vi kan vise at begge rekkene konvergerer for alle x . La s(x) vere summen av den første rekka, og la c(x) vere summen av den andre rekka. a) Finn s′(x) uttrykt med c(x) og c′(x) uttrykt med s(x). b) Finn s″(x) uttrykt med s(x) og c″(x) uttrykt med c(x).

Vi kan vise at s(x) = sin x og at c(x) = cos x når x er i eit vinkelmål som vi lærer om i kapittel 5.

INTEGRASJON OG DERIVASJON AV REKKER

99

s

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) Deriver uttrykka.

1) 2 x 2 e x C 2) 2 x 2 2 x 1 e 2 x C b) Finn dei ubestemte integrala.

2) ³ 4 x 2e 2 x dx 1) ³ 2xe x dx Oppgåve 2 Finn dei ubestemte integrala ved rekning og i CAS. a) ³ (8 x 3 6 x 2 5)dx §3 6 · b) ³ ¨ 3 ¸ dx ©x x ¹

Oppgåve 3 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) x 2 5x a) Teikn grafen til f digitalt. b) Bruk CAS og finn ein tilnærmingsverdi for arealet av området som er avgrensa av grafen til f og x-aksen, ved å bruke 100 rektangel og ved å bruke 1000 rektangel. c) Løys oppgåve b med Python. d) Finn ein eksakt verdi for arealet ved rekning. e) Finn ein eksakt verdi for arealet i oppgåve d ved å bruke CAS.

Oppgåve 5 Finn arealet av området som er avgrensa av grafane til f og g når f (x ) x 2 6x 2 g (x ) x 2 2 Løys oppgåva ved rekning og digitalt.

Oppgåve 6 Ein funksjon f er gitt ved f ( x ) e 2 x 4e x a) Finn arealet av området som er avgrensa av den positive x-aksen, y-aksen og grafen til f. Løys oppgåva ved rekning og digitalt. b) Linja x a, x-aksen og grafen til f avgrensar eit område over x-aksen som har like stort areal som området i oppgåve a.

Bestem a. Ta med 4 desimalar i svaret.

Oppgåve 7 Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 c 2 y O

C

x

Oppgåve 4 Finn dei bestemte integrala ved rekning og digitalt.

2

a) ³ (3x 2 2 x 2 )dx 0

4

b) ³x x dx 0

s

100

2 | INTEGRALREKNING

A

B

Vis at arealet av det fargelagde området 1 under grafen til f utgjer av arealet til 3 rektangelet OABC.

Oppgåve 8 Funksjonen f er gitt ved f (x ) e x e x , x ª¬ 3, 3º¼ a) Teikn grafen til f digitalt. b) Finn ved rekning ein tilnærmings1

verdi for ³ f (x )dx ved å dele

Oppgåve 9 Kjøpmann Per Abel har kjøpt ei tomt der han skal sette opp eit forretningsbygg som skal heite Parabelen. I eit koordinatsystem med meter som eining på aksane er tomta avgrensa av funksjonane f og g der

0

intervallet ª¬0, 1º¼ i 5 like delar og rekne ut arealet av 5 rektangel. c) Vi deler så intervallet ª¬0, 1º¼ på x-aksen i n like deler, lagar rektangel over delane slik at dei når opp til grafen til f, og summerer areala av rektangla.

Kva for eit tal vil denne summen nærme seg når n o f?

1

d) Forklar kvifor ³ f (x )dx 0 utan å 1

rekne ut integralet. e) Finn arealet av flatestykket F som ligg mellom x-aksen og grafen til f frå x 1 til x 1.

f (x ) 20

1 (x 20)2 , x ª¬0, 40º¼ 20

og g (x ) 20

1 ( x 20)2 , x ª¬0, 40º¼ 20

a) Teikn grafane til f og g digitalt. b) Finn arealet av tomta ved rekning og digitalt. c) På tomta skal Per sette opp eit bygg med rektangulær grunnflate.

Finn det største moglege arealet av grunnflata.

REPE TISJONSOPPGÅVER

101

s

OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.

ØV MEIR

gir meir trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart

BLANDA OPPGÅVER og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva for oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver.

• Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du blant anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. Desse oppgåvene legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar, og det er meininga at du skal bruke litt meir tid på dei. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

1

Følger og rekker ØV MEIR

1.1 TALFØLGER

Oppgåve 1.110

I ei følge er ledd nr. n gitt. Finn dei fem første ledda i følga. a) an n2 2 b) an n2 n n 1 c) an = n Oppgåve 1.111

I ei talfølge er det første leddet a1 4.

Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen an

3 an 1 2

a) Bruk formelen og finn ved rekning dei åtte første ledda i følga. b) Lag eit program som skriv ut dei åtte første ledda i følga. c) Utvid programmet slik at det også reknar ut summen av dei åtte første ledda.

Oppgåve 1.114

I ei talfølge er dei to første ledda a1 2 og a2 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen an 2 an 1 3 an 2 Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga.

Oppgåve 1.115

Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien lim an . n of n 3 a) an 1 n b) an c) an

n3 n n2 1 n2 ln 2 n 1

Oppgåve 1.116

Tala i talfølga 1, 3, 6, 10, 15, … kallar vi trekanttala.

Oppgåve 1.112

Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n i talfølga. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, …

Oppgåve 1.113

inn ein eksplisitt formel for det generelle leddet i talfølga.

1 1 1 1 1 1 1 a) 1, , , , … b) , , , , …

4 9 16 2 4 6 8 3 4 5 c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, , , , …

2 3 4

Trekanttallene T4 og T3

a) Finn det sjette talet i følga.

Kall trekanttalet i ledd nr. n for Tn. b) Finn uttrykk for Tn Tn 1 og Tn Tn 1 når n > 1. c) Bruk svara i oppgåve b til å finne ein formel for Tn uttrykt ved n.

1 | FØLGER OG REKKER

345

s

Oppgåve 1.117

Oppgåve 1.122

Studer dei tre figurane nedanfor. Dei er laga etter eit fast mønster.

Ledda i ei rekke er gitt ved an

F1

F2

F3

a) Kor mange kuler kjem det til å vere på dei to neste figurane? Forklar samanhengen mellom figurane. b) Finn ein formel som fortel kor mange kuler Fn det er på figur nr. n. c) Finn nummeret til figuren som har 631 kuler.

1.2 REKKER

Oppgåve 1.120

Ledda i ei rekke er gitt ved an n2 4

der n 1, 2, 3, … a) Rekn ut s6. b) Vis at summen av dei n første ledda er gitt ved sn 1

1 (n 1)2

c) Finn s99.

Oppgåve 1.123

Finn summen.

1 · § 1· §1 1· §1 1· § 1 ¨ 1 5 ¸ ¨ 2 6 ¸ ¨ 3 7 ¸ ¨ 996 1000 ¸ ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © Oppgåve 1.124

Finn digitalt summen av rekka.

200 200 1, 08 200 1, 082 ... 200 1, 0824

der n 1, 2, 3, … a) Finn summen av dei fem første ledda ved rekning. b) Bruk CAS til å finne summen av dei ti første ledda.

Oppgåve 1.125

Oppgåve 1.121

Oppgåve 1.130

Vi har gitt rekka

I ei aritmetisk talfølge er

1 4 9 16 25 36 49 64 } a) Finn summane s3, s5 og s8 i CAS.. b) Bruk CAS til å finne summen av dei n første ledda i denne rekka. c) Kontroller formelen for n 3, n 5 og n 8. d) Finn s25.

s

1 1

2 n (n 1)2

346

1 | FØLGER OG REKKER

Finn digitalt summen av rekka.

1 0,85 0,852 … 0,8599 1.3 ARITMETISKE FØLGER

a1 5, a2 9 a) Finn a7 og a11. b) Finn ein formel for ledd nr. n.

Oppgåve 1.131

Vi har gitt talfølga 9, 14, 19, 24, … a) Forklar at følga er aritmetisk. b) Finn a10 og a20. c) Lag ein formel for det n-te leddet.

Oppgåve 1.132

Oppgåve 1.137

Undersøk om følga er aritmetisk, og finn i så fall differansen d. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16 b) 15, 11, 7, 3, 1, 5 c) 2, 4, 10, 18, 22 3 5 7 d) 1, , 2, , 3, 2 2 2

I ei aritmetisk følge er det andre leddet a2 3, og det fjerde leddet er a4 4.

Finn ein formel for ledd nr. n.

Oppgåve 1.133

Ledda i ei følge er gitt ved an 5n 7 a) Vis at an an 1 5. b) Kva kan du da seie om følga?

Oppgåve 1.138

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 1, og det tredje leddet er a3 9.

I ei annan aritmetisk følge er det andre leddet b2 19 og det tiande leddet b10 23.

Løys ulikskapen an ! bn.

1.4 ARITMETISKE REKKER

Oppgåve 1.140 Oppgåve 1.134

Finn a1 og d i ei aritmetisk følge når a) a2 25 og a3 20 3 7 b) a3 og a5 4 4 c) an an 1 2 og a3 8

Finn summen av dei 20 første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 2 og d 3 b) a1 36 og d 2 c) a1 3 og a2 7 Oppgåve 1.141

Oppgåve 1.135

Karianne vil trene armmusklane. Den første veka tar ho seks armhevingar kvar dag. Den neste veka tar ho kvar dag to armhevingar meir enn veka før. Ho vil så på tilsvarande måte auke antalet med to for kvar veke. a) Kor mange armhevingar tar ho den sjette veka? b) Ho ønsker til slutt å klare tretti armhevingar kvar dag på denne måten.

Kor lenge må ho halde på?

Finn a10 og summen av dei ti første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 1 og d 4 1 3 b) a1 og d 2 2 c) a1 32 og d 4 Oppgåve 1.142

Finn kor mange ledd det er i rekka, og finn summen av rekkene. a) 2 9 16 · · · 72 b) 84 79 74 · · · 24 c) 3 6 9 12 · · · 120 Oppgåve 1.143

Oppgåve 1.136

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 12, og differansen d 3.

Finn ein formel for ledd nr. n.

I ei aritmetisk rekke med 25 ledd og differanse d 6 er summen 1875.

Finn det første leddet a1.

1 | FØLGER OG REKKER

347

s

Oppgåve 1.144

Oppgåve 1.148

I ei aritmetisk rekke er a6 38 og a10 78.

Finn a1, d og s15.

Kari har i lekse å lese ei bok på fjorten dagar. Ho bestemmer seg for å begynne med fire sider og deretter auke med to sider for kvar dag. a) Kor mange sider les ho den tiande dagen? b) Kor mange sider var boka på da ho var ferdig med å lese henne etter nøyaktig fjorten dagar?

Oppgåve 1.145

Vi har den aritmetiske rekka 13 9 5 1 3 … a) Finn a15. b) Finn ein formel for an. c) Vis at sn 2n2 15n d) Finn summen av dei 100 første ledda.

Oppgåve 1.146

Kva er summen av dei naturlege tala mindre enn 1000 som er delelege med 11?

Oppgåve 1.147

Eit bakeri vil bake eit nytt brød.

Den første veka skal dei etter planen produsere 800 brød. Deretter reknar bakeriet med å auke produksjonen med 15 brød kvar veke. a) Kor mange brød reknar bakeriet med å produsere per veke etter 1) 10 veker 2) 26 veker b) Finn kor mange slike brød bakeriet vil lage til saman 1) de første 26 vekene 2) det første året

s

348

1 | FØLGER OG REKKER

1.5 GEOMETRISKE FØLGER

Oppgåve 1.150

Skriv opp dei fem første ledda a1, …, a5 i ei geometrisk følge der a) a1 2 og k 3 b) a2 8 og k 2 1 3 c) a1 og a2 2 2 3 27 d) a2 og a4 2 8 Oppgåve 1.151

Undersøk om følga er geometrisk, og finn i så fall kvotienten. a) 1, 5, 25, 125 b) 2, 14, 96 3 3 3 c) 3, , , 4 16 64 2 4 8 d) 1, , , 5 25 120 Oppgåve 1.152

Ei bedrift slepper ut 12 tonn svoveldioksid (SO2) per år. Bedrifta får pålegg om å redusere utsleppet med 4 % per år.

Kor stort blir utsleppet om a) 7 år b) 10 år

Oppgåve 1.153

a) Bestem x og y slik at 1 8, x, y, , …

8 blir ei geometrisk følge. b) Finn kvotienten i følga.

Oppgåve 1.154

I ei geometrisk følge er det første leddet a1 2 og kvotienten k 3.

Kva for eit nummer i denne følga har leddet 354 294?

Oppgåve 1.155

Ei bedrift sel eit år 12 500 einingar av ei vare. Bedrifta har som mål å auke salet med 5 % per år dei neste åra. a) Forklar at salstala vil danne ei geometrisk talfølge. b) Finn ein formel for salstalet om n år. c) Kor mange prosent aukar salstalet i alt med på fire år?

1.6 GEOMETRISKE REKKER

Oppgåve 1.160

Finn summen av ei geometrisk rekke med n ledd når a) a1 2, k 3 og n 8 b) a1 1, k 0,5 og n 12 c) a1 10, k 2 og n 10 Oppgåve 1.161

Anne låner pengar av ein venn. Dei avtaler at ho skal betale tilbake desse pengane utan renter i løpet av eitt år.

Etter tre månader betaler ho det første avdraget på 582 kr. Resten skal ho betale med tre nye avdrag, eitt kvar tredje månad. Avdraga blir 10 % mindre for kvar gong.

Kor mykje lånte Anne av vennen?

Oppgåve 1.162

a) Vis at rekka er geometrisk.

1 1 1 1 1 + + +…

81 54 36 24 16 b) Finn kvotienten og det sjuande leddet. c) Finn ein formel for sn. d) Bestem n når sn

58 025 41 472

Oppgåve 1.156

Oppgåve 1.163

Bestem x dersom følga a1, a2, a3, } er geometrisk. a) a1 2 x 1, a2 2 x , a3 2 x 2 b) a1 x , a2 3x 1, a3 3x 1 3 5 c) a1 3x , a2 3x , a3 3x

Henriette set 2000 kr i banken ved byrjinga av kvart år i 6 år. Ho får 4 % rente per år av banken.

Kor stort beløp står da på kontoen til Henriette etter at ho har sett inn 2000 kr for 6. gong?

1 | FØLGER OG REKKER

349

s

Oppgåve 1.164

Oppgåve 1.167

I ei geometrisk rekke er det første leddet 7 . a1 4 og kvotienten k

Ei bedrift produserer eit år a1 25 000 par slalåmski. Bedrifta reknar med ein årleg produksjonsauke på 5 % dei neste 10 åra. Kall produksjonstalet det n-te året for an. a) Finn a2 og a5. b) Kva blir totalproduksjonen av slalåmski dei første 10 åra? c) Finn den gjennomsnittlege årsproduksjonen av slalåmski i denne tiårsperioden.

5

a) Vis at summen av dei n første ledda er § § 7 ·n · sn 10 ¨ ¨ ¸ 1 ¸ ¨© 5 ¹ ¸ © ¹ b) Kor mange ledd må vi minst ha med i rekka viss summen skal vere større enn 1100?

Oppgåve 1.165

a) Kor mange av tala i talfølga 2

3

4

1,05, 1,05 , 1,05 , 1,05 … er mindre enn 50? b) Kor mange ledd må det minst vere i rekka 1,05 1,052 1,053 1,054 … for at summen skal bli minst 50?

Oppgåve 1.166

Tore skriv bok. Den første veka skriv han 12 sider. Dette talet aukar han med 10 % for kvar veke som går. Boka blir til slutt på 336 sider. a) Kor mange sider skriv han den åttande veka? b) Kor lang tid bruker han på heile boka?

s

350

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.168

Kvart år i 18 år set foreldra til Stine 8000 kr av barnetrygda på ein konto heilt i byrjinga av året. Vi reknar med ei fast årsrente på 3,0 %. a) Kor mykje kjem det til å stå på kontoen rett etter at det 18. beløpet er sett inn? b) Rett etter at det 15. beløpet er sett inn, tar dei ut 40 000 kr til konfirmasjonen.

Kor mykje står det no på kontoen rett etter at det 18. beløpet er sett inn?

Oppgåve 1.169

Ola planlegg å kjøpe ny bil til 450 000 kr om fem år. Da reknar han med å få 150 000 kr for den gamle bilen sin.

Han bestemmer seg for å legge til side 55 000 kr i byrjinga av kvart år. Det første sparebeløpet set han i banken om eitt år.

Han får 3,0 % rente p.a. a) Finn ut om Ola har råd til å kjøpe denne nye bilen rett etter at han har sett inn det femte beløpet. b) Kor mykje må han sette inn på kontoen i byrjinga av kvart år dersom han skal få råd til å kjøpe denne bilen rett etter at han har sett inn det femte beløpet?

1.7 UENDELEGE REKKER

Oppgåve 1.170

Finn summen av den uendelege geometriske rekka.

1 1 1 a) 1 4 16 64 2 3 9 27 b) 5 10 40 160 1

c) 3 3 1 3 d) 1 0,80 0,64 Oppgåve 1.171

Undersøk om den geometriske rekka konvergerer, og finn eventuelt summen av denne rekka. a) 100 50 25 b) 2 2 1,05 2 1,052 c) 10 11 12,1 … d) 4 2 2 2 …

Oppgåve 1.174

Sebastian skal sette opp eit gjerde. Han må da slå ned nokre pålar med slegge.

Med det første slaget får han ein påle 5,00 cm ned i jorda. For kvart nytt slag blir lengda redusert med 8 %. a) Kor langt ned i jorda går ein påle på det 10. slaget? b) Kor langt ned i jorda har ein påle komme etter 9 slag? c) Sebastian har som mål at pålen skal 70 cm ned i jorda.

Kan han nå målet sitt?

Oppgåve 1.175

a) Finn summen av dei 20 første ledda i rekka.

1) 100 80 64 51,2 …

2) 1 1,8 2,6 3,4 … b) Undersøk om dei uendelege rekkene i oppgåve a konvergerer.

Finn eventuelt summen.

I ein tablett av eit legemiddel er det 1,2 mg av eit giftstoff. Kari tar ein slik tablett kvar dag. Kvar dag bryt kroppen ned 15 % av giftmengda. Dersom den samla giftmengda kjem over 8 mg, er det helseskadeleg. a) Kor mykje giftstoff har Kari i kroppen rett før ho skal ta sin 3. tablett? b) Kor mykje giftstoff har Kari i kroppen rett etter at ho har tatt sin 10. tablett? c) Finn ut om denne doseringa er helseskadeleg over tid.

Oppgåve 1.173

Oppgåve 1.176

Oppgåve 1.172

Sirklane på figuren fortset i det uendelege.

Dei har diametrane 16, 8, 4 osv.

Diameteren i kvar sirkel er halvparten av diameteren i den føregåande.

Finn summen av areala av alle sirklane.

Ein tablett inneheld ei viss mengde av eit verksamt stoff. Kvar dag bryt kroppen ned 40 % av denne stoffmengda. Gunnar tar éin slik tablett kvar dag.

Kroppen hans skal ikkje ha meir enn 8 mg av det verksame stoffet.

Kva er da den maksimale mengda kvar tablett kan innehalde?

1 | FØLGER OG REKKER

351

s

Oppgåve 1.177

Oppgåve 1.179

Frå eit kjernekraftverk får vi ein bestemt radioaktiv isotop som avfall. Denne isotopen blir broten ned med 5 % kvart år. Ein masse m av isotopen blir da på x år redusert til m 0,95x. a) Kor mykje er det igjen av isotopen etter 15 år viss m 4,0 kg?

a) Figuren til venstre nedanfor viser ein sirkel med radius 4 som er delt i fire delar (tre ringar og ei sirkelflate).

Kvar ring har breidda 1.

Finn arealet av kvar av ringane og bruk det til å vise at

Vi reknar med at kjernekraftverket ved slutten av kvart år har produsert 4,0 kg nytt radioaktivt avfall av denne isotopen. b) Forklar at den totale mengda avfall i kilogram etter 20 år er s20 4,0 1 0,95 0,952 · · · 0,9519 c) Rekn ut s20. d) Korleis går det med den totale massen av denne isotopen etter kvart som tida går? Grunngi svaret.

Oppgåve 1.178

Nokre elevar har hengt eit lodd i ei fjør i taket. Dei trekker i loddet og slepper det. Dei vil finne ut kor langt loddet da beveger seg før det fell til ro. Dei finn at samla lengde i centimeter er tilnærma gitt ved rekka 50 50 0,905 50 0,9052 a) b) c) d)

Kva for type rekke er dette? Forklar!

Finn summen av dei 10 første ledda.

Undersøk om rekka konvergerer.

Kor langt beveger loddet seg til saman før det fell til ro?

1 3 5 7 42

1

1 1 11

n

b) Figuren til høgre ovanfor viser ein sirkel med radius n. Inne i sirkelen er det teikna ein ring med breidde 1.

Finn eit uttrykk for arealet av ringen. c) Forklar korleis du kan bruke sirkelen til høgre ovanfor til å vise at summen av dei n første oddetala er lik n2. d) Vis ved rekning at summen av dei n første oddetala er lik n2. e) Figuren nedanfor er sett saman av mange sirklar med same sentrum.

Den største sirkelen har radius 1, den 1 1 andre radius , den tredje osv.

2

1 2

4

1

Bruk denne figuren til å finne summen av den uendelege rekka 3 3 3 …

4 16 64 f) Finn summen av rekka i oppgåve e ved rekning.

s

352

1 | FØLGER OG REKKER

1.8 GEOMETRISKE REKKER MED VARIABLE KVOTIENTAR

Oppgåve 1.180

Ei uendeleg geometrisk rekke er gitt ved 1 3x 9x2 27x3 … a) Finn kvotienten k til rekka. b) Vis at rekka konvergerer når 1 1 x 3 3 c) Finn summen s(x) av rekka når ho konvergerer. d) Bruk oppgåve c til å finne summen av den geometriske rekka

Oppgåve 1.182

Finn konvergensområdet og summen til den geometriske rekka når dei to første ledda er a) a1 1 og a2 x 2 x og a2 x b) a1 c) a1 x og a2 x 1 Oppgåve 1.183

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) 1 x x 2 x 3 …

e) For kva for verdi av x er summen 2?

når den uendelege rekka konvergerer. a) Finn definisjonsmengda til f. b) Finn eit enklare uttrykk for f. c) For kva for verdi av x er uttrykket lik 3? d) Undersøk om uttrykket kan vere 3. e) Teikn grafen til f.

Oppgåve 1.181

Oppgåve 1.184

Ei uendeleg geometrisk rekke er gitt ved

Vi har gitt den uendelege geometriske rekka

3 9 27 1 …

4 16 64

1

x x2 x3 …

2 4 8

a) Finn kvotienten k for rekka. b) Vis at rekka konvergerer når 2 x 2 c) Finn summen s(x) av rekka når ho konvergerer. d) Finn summen av rekka når 1 1 2) x 1) x 2 2 e) For kva for verdi av x er summen 2?

1 2x 22x … a) Finn konvergensområdet for rekka. b) Finn summen s(x) av rekka når ho konvergerer. c) Finn x slik at s(x) 2 d) Teikn grafen til s.

Oppgåve 1.185

To ulike talfølger inneheld tala a og b.

Aritmetisk talfølge: …, 1, a, b, x …

Geometrisk talfølge: …, y , a, b,

81 …

4

Bestem tala x og y. Oppgåva har to løysingar.

1 | FØLGER OG REKKER

353

s

Oppgåve 1.186

Oppgåve 1.191

Vi har gitt den uendelege geometriske rekka (x 1)2 x (x 1) ... x

a) Faktoriser 2n2 3n 1. b) Vis ved induksjon at for alle naturlege tal n er

a) Vis at kvotienten i rekka er 1 x x

k b) c) d) e)

n 2n 1

Oppgåve 1.192

1 Vis at rekka konvergerer når x ! .

2 Finn summen s(x) av rekka når ho konvergerer.

Finn x slik at s(x) 1,8.

Teikn grafen til funksjonen x2 2x 1

f (x )

1 1 1 1

...

(2n 1)(2n 1) 1 3 3 5 5 7 Vis ved induksjon at n3 4n 6 er deleleg med 3 for alle naturlege tal.

Oppgåve 1.193

Bruk induksjon til å vise sumformelen for den endelege geometriske rekka 1 k k 2 ... k n

f) Teikn grafen til s i det same koordinatsystemet som grafen til f.

1 k n 1 1 k

Oppgåve 1.194

Vis at viss x ! 1, så er 1.9 INDUKSJONSBEVIS

Oppgåve 1.190

Figuren viser ein femkant ABCDE. Femkanten er sett saman av ein firkant ABCD og ein trekant ADE. E

D

1 x

n

t 1 nx

for alle heile tal n t 1.

Oppgåve 1.195

I ei følge er a1 1 og an 1 an2 1 for n 1, 2, 3, } Finn ein eksplisitt formel for an, og bevis ved induksjon at formelen er rett.

A C B

La S(n) vere summen av vinklane i ein mangekant med n sider. Du skal no bruke induksjon til å vise at S(n) n 2 · 180q, n t 3 a) Vis at formelen er rett for n 3. b) Anta at formelen er rett for n k.

Vis at formelen er rett for n k 1.

s

354

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.196

Viss f (x ) x e x vis at f (n) (x ) (x n) e x Hugs at f (n) (x ) betyr den n-te-deriverte av f (x ).

BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 1.200

I ei talfølge er dei to første ledda a1 3 og a2 5. Resten av ledda er gitt ved

c) Skriv av og sett inn verdiar i tabellen nedanfor, der n er talet på lag frå toppen og nedover og Sn er summen av talet på kuler i desse lagane.

an – 1 2 an – 2

an

Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga.

Oppgåve 1.201

Den engelske matematikaren John Wallis gav i 1656 ut ei bok der han kom med denne formelen: S

4 16 36 64

3 15 35 63

a) Finn den neste faktoren i formelen. b) Finn ein eksplisitt formel for den n-te 4 . faktoren an der a 1 3 Oppgåve 1.202

Figuren nedanfor viser eit mønster som representerer figurtalae f1, f2, f3 og f4.

Talet på lag, n

1

2

3

Summen av kuler, Sn

1

4

10

4

5

d) Sjå etter mønster og gjett på ein formel for Sn. Skriv svaret på brøkform.

Bruk regresjon viss du ikkje finn fram til ein formel på ein annan måte.

Oppgåve 1.203

I talfølga 1, 4, 11, 31, } er det n-te leddet det minste heiltalet m som er slik at m 1 t n. ¦ i 1 i a) Skriv eit program du kan bruke til å finne dei neste ledda i følga. b) Bruk regresjon for å finne ein tilnærma formel for an.

Oppgåve 1.204

f1

f2

f3

a) Drøft monotonieigenskapane og finn eventuelle asymptotar til funksjonen f gitt ved

f4

f (x )

a) Skriv av og sett inn verdiar i tabellen nedanfor.

Figurnummer, n

1

2

3

Antal prikkar, fn

1

9 17

4

b) Finn ein eksplisitt formel for fn.

Figuren øvst i neste spalte viser nokre kuler som er lagde oppå kvarandre slik at kvart lag frå toppen og nedover dannar trekanttala 1, 3, 6 osv.

5

x 2 5x 1 , Df 5x 2 5

»0 , o

I ei talfølge er ledda gitt ved an

n2 5n 1 for n 1, 2, 3, } 5n2 5

b) Kva er det største leddet i følga? c) Bestem grenseverdien lim an . n of

d) Vis at følga er minkande.

1 e) Forklar at an ! for alle n.

5 1 | FØLGER OG REKKER

355

s

Oppgåve 1.205

Oppgåve 1.210

I ei aritmetisk rekke er summen av dei n første ledda sn 3n2 2n.

Finn ein eksplisitt formel for det n-te leddet i rekka.

Figuren viser tre rekker med fyrstikkhus.

▲ 1.2

Oppgåve 1.206

I ei aritmetisk talfølge er dei tre første ledda x 5, 15 og 6x 4.

Finn x.

Oppgåve 1.207

Finn summen av dei 200 første ledda i rekka 2 5 8 11 14 …

Oppgåve 1.208

Vi har gitt talfølga 1 1 1 1 1, , , , ,...

2 4 8 16 a) Finn ein eksplisitt formel for det n-te leddet i talfølga. b) Finn summen av dei fem første ledda ved rekning og i CAS. c) Lag eit program med Python og finn summen av dei fem første ledda. d) Bruk CAS til å finne summen av dei n første ledda i denne rekka.

Oppgåve 1.209

Denne oppgåva er henta frå skriftene til den indiske matematikaren Bhaskara, som levde på 1100-talet.

På ein ekspedisjon for å fange elefantane til fienden marsjerte ein konge 2 mil den første dagen. Sei meg, kloke reknemeister, kor mykje auka han marsjlengda med dagleg når han på 1 veke nådde byen til fienden, som låg 80 mil borte?

s

356

1 | FØLGER OG REKKER

a) Kor mange fyrstikker er det i ei rekke med 10 slike hus? b) Kor mange fyrstikker er det i ei rekke med n slike hus?

Oppgåve 1.211

Monika har begynt å trene med ergometersykkel kvar dag. Den første veka syklar ho til saman 20 km.

Deretter syklar ho 0,8 km lenger for kvar ny veke. a) Kor langt syklar Monika den 21. uka? b) Kor mange veker går det før Monika har eit gjennomsnitt på 4,8 km per dag? c) Monika held på med dette treningsprogrammet eit halvt år.

Kor langt syklar ho til saman dette halve året?

Oppgåve 1.212

Oppgåve 1.216

Ei aritmetisk rekke a1 a2 … an har summen

Finn ein formel for summen av dei n første ledda i rekka

sn

1 n 9n 7 2

2 6 18 54 …

Oppgåve 1.217

Bestem a5 Oppgåve 1.213

Vis at a) 1) 1 3 5 · · · 2n 1 n2 2) 2 4 6 · · · 2n n2 n b) Forklar at vi kan sannsynleggjere formlane i oppgåvene ovanfor ved hjelp av desse mønstera:

Dagros er sjuk og treng behandling.

Første dagen får kua 8 g av ein bestemt medisin, og deretter blir dosen halvert for kvar dag.

Sett opp eit uttrykk som viser kor mange gram medisin Dagros har fått i alt på ei veke.

Oppgåve 1.218

I ei geometrisk talfølge er det første leddet x, det tredje leddet x 2 og det femte leddet x 5. Alle ledda er positive tal.

Finn x og dei fem første ledda i talfølga.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

2 + 4 + 6 + 8 = 42 + 4

c) Finn summen av dei 500 første positive oddetala. Løys oppgåva ved rekning, i CAS og ved programmering. d) Finn summen av dei 500 første positive partala. Løys oppgåva ved rekning, i CAS og ved programmering.

Oppgåve 1.214

I ei aritmetisk rekke er a1 a2 a3 126.

Bestem a2.

▲ 1.6

Oppgåve 1.219

Finn summen av talrekka.

5 4

16 64 ...

5 25

Oppgåve 1.220

Undersøk om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen. a) 540 360 240 160 … b) 512 576 648 729 … c) 512 512,1 512,2 512,3 …

Oppgåve 1.215

I ei aritmetisk rekke er det tiande leddet 19. Summen av dei 100 første ledda er 7975.

Kva er ledd nummer 1000 i rekka? ▲ 1.4

Oppgåve 1.221

a) Finn summen av dei 10 første ledda i rekka 16 24 32 40 … b) Vis at den uendelege rekka 54 36 24 16 … konvergerer, og finn summen.

1 | FØLGER OG REKKER

357

s

Oppgåve 1.222

Oppgåve 1.225

Ei rekke er gitt ved

Figuren viser dei fem første av uendeleg mange kvadrat. Det første kvadratet er det ytste. Det har eit areal på 16 cm2.

Du får det neste kvadratet ved å trekke sambandslinjer mellom midtpunkta på dei fire sidene.

1 5 9 13 … a) Finn ledd nr. 20 i rekka. b) Finn summen av dei 20 første ledda. c) Kor mange ledd må vi ta med for at summen skal bli 703?

Vi ser no på rekka 1 1 2 4 …

2 3 9 27 d) Finn ein formel for summen av dei n første ledda i rekka. e) Bruk formelen i oppgåve d til å vise at rekka konvergerer. f) Finn summen av den uendelege rekka.

Oppgåve 1.223

Vi har gitt rekka 4 2 2 2 2 … a) Vis at rekka er geometrisk. b) Forklar kvifor rekka konvergerer. c) Vis at summen av den uendelege rekka er 8 4 2 .

Oppgåve 1.224

Vi skal betale tilbake eit lån. Avdraget det første året skal vere a1 8000 kr.

Deretter skal dei årlege avdraga auke med 800 kr heilt til lånet er nedbetalt.

Vi betaler inga rente. a) Kor stort avdrag betaler vi på lånet det tiande året? b) Kor mykje betaler vi ned på lånet dei første ti åra? c) Lånet var på 250 000 kr.

Kor mange år vil det ta før hele lånet er nedbetalt?

s

358

1 | FØLGER OG REKKER

Finn summen av areala av alle kvadrata ved rekning og ved hjelp av figuren.

Oppgåve 1.226

Mari treng dagleg tilførsel av eit bestemt legemiddel. Kroppen hennar skal ikkje ha meir enn 10 mg av eit stoff som finst i dette legemiddelet. Legemiddelet er i tablettform, og ho tar éin tablett per dag. Kvar tablett inneheld 0,6 mg av dette stoffet.

Kor mange prosent av stoffet bør kroppen hennar bryte ned kvar dag for at éin tablett om dagen skal vere forsvarleg?

Oppgåve 1.227

Ein tablett av eit legemiddel inneheld 0,8 mg av eit giftstoff. Ein pasient tar éin slik tablett kvar dag. Kvar dag bryt kroppen ned 12 % av giftmengda.

Dersom den totale giftmengda i kroppen kjem over 7 mg, vil det vere skadeleg for pasienten.

Undersøk om doseringa er akseptabel.

Oppgåve 1.228

Oppgåve 1.231

Ei bedrift har fått løyve til å sleppe ut 500 kg gift per døgn i ein innsjø. Av forskjellige årsaker forsvinn 7 % av gifta i innsjøen per døgn. a) Kor mykje er det igjen av den første giftmengda på 500 kg etter 3 døgn? b) Forklar at rett etter det femte utsleppet er den totale giftmengda i innsjøen gitt ved

Vi har gitt den uendelege rekka

500 500 0,93 500 0,932 500 0,933 500 0,934

c) Finn summen av rekka i oppgåve b. d) Kor mykje gift vil det maksimalt vere i innsjøen etter lang tid med daglege utslepp? e) Testar tatt etter akkurat 10 utslepp viser at bedrifta slepper ut meir enn det som er tillate. Måleresultat viser at det var ca. 5,9 tonn med gift i innsjøen på det tidspunktet.

Kva for eit dagleg utslepp med konstant giftmengde svarer dette til?

Oppgåve 1.229

Vi har gitt den uendelege rekka 1

1 1 1

1! 2 ! 3!

der 1! 1, 2! 2 1, 3! 3 2 1, osv. a) Skriv opp eit uttrykk for ledd nummer n, an, i denne rekka. b) Bruk CAS og finn summen S av den uendelege rekka. Kommenter svaret.

Oppgåve 1.230

Skriv vi e med seks desimalar, får vi 2,718282.

Kor mange ledd må vi ta med i rekka i oppgåve 1.229 for at vi skal få dei seks første desimalane i e rett?

4 3

4 5

4 7

4 a) Skriv opp eit uttrykk for ledd nummer n, an, i denne rekka. b) Bruk CAS og finn summen S av den uendelege rekka. Kommenter svaret.

Oppgåve 1.232

Skriv vi S med fem desimalar, får vi 3,14159. a) Kor mange av desimalane i S er rette dersom vi tar med 1000 ledd i rekka frå oppgåve 1.231? b) Samanlikn svaret i oppgåve a med svaret i oppgåve 1.230.

Kommenter forskjellane.

Oppgåve 1.233

Da Olav blei fødd, blei det oppretta ein spareavtale. Foreldra kunne velje mellom desse to alternativa: Alternativ 1: Kvar månad blir det sett inn 300 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,10 %. Frå og med innskot nr. 21 blir den månadlege rentefoten auka til 0,15 %.

Alternativ 2: Kvar månad blir det sett inn 300 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,15 %. Frå og med innskot nr. 21 blir den månadlege rentefoten redusert til 0,10 %. a) Kva for eit alternativ bør foreldra velje for at sparesummen skal vere høgast mogleg like etter innskot nr. 40? b) Kva for eit alternativ bør foreldra velje for at sparesummen skal vere høgast mogleg like etter innskot nr. 30?

1 | FØLGER OG REKKER

359

s

Oppgåve 1.234

Oppgåve 1.236

a) Det aritmetiske gjennomsnittet av to a b tal a og b er .

2 Vis at alle ledd (bortsett frå det første) i ei uendeleg aritmetisk følge er det aritmetiske gjennomsnittet av leddet framfor og leddet etter. b) Det geometriske gjennomsnittet av to positive tal a og b er a b .

Vis at alle ledd (bortsett frå det første) i ei uendeleg geometrisk følge med berre positive ledd er det geometriske gjennomsnittet av leddet framfor og leddet etter.

Ei uendeleg geometrisk rekke er gitt ved 1 k k 2 } Ei anna uendeleg geometrisk rekke er gitt ved 2 2m 2m2 } a) Vis at dersom dei to rekkene har same sum, er m 2k 1. b) Vis med eit eksempel at rekkene ikkje nødvendigvis har same sum sjølv om m 2k 1.

Oppgåve 1.235

Ein snigel beveger seg med konstant fart på 2 m/s i eit koordinatsystem med meter på aksane og legg igjen eit grønt slimspor etter seg. Han startar i punktet A0 0, 0 og går rett fram til A1 1, 0 . Der vender den 90q mot venstre og går 0,9 m til A2 1, 0,9 . Dette mønsteret gjentar seg: Snigelen vender 90q mot venstre og går 90 % av den førre rette strekningen han gjekk, og slik fortset han.

Kor lang tid kan snigelen fortsette å bevege seg etter denne regelen, og kva er koordinatane til punktet snigelen endar i? y 1

A3 = (0,19, 0,9)

A2 = (1, 0,9)

0,8

b) Vis at summen av den uendelege 3 geometriske rekka er , og at derfor 11 3 . er d 11

c) Bruk eit tilsvarande argument til å skrive dei uendelege desimaltala 1,23454545… og 0,999… som rasjonale tal.

Oppgåve 1.238

I ei uendeleg geometrisk følge a1, a2, a3, } er både a1 og kvotienten k positiv.

Vi dannar ei ny følge ved å la bn ln an. a) Vis at følga b1, b2, b3, } er aritmetisk.

Kva er differansen til følga? b) Gjeld det same dersom a1 eller k ikkje er positive? f

n 1

A4 = (0,19, 0,171)

A = (0, 0) 0 0 0,2 0,4

360

27 27 27

} 102 104 106

som er slik at ¦ an 1.

0,4

s

a) Forklar at vi kan skrive desimaltalet d 0,272727} som den uendelege geometriske rekka

Vi ser no berre på dei følgene a1, a2, a3, }

0,6

0,2

Oppgåve 1.237

0,6

A1 = (1, 0) x 0,8

1

1 | FØLGER OG REKKER

c) Bestem k uttrykt ved n når summen b1 b2 } bn skal vere størst mogleg.

Oppgåve 1.239

Oppgåve 1.243

Vi har gitt to tal a og b som er slik at a ! b ! 0. a) Forklar kvifor det finst nøyaktig to konvergente uendelege geometriske rekker med første ledd a og tredje ledd b.

I ei uendeleg geometrisk rekke er dei to første ledda a1 3 og a2 3 6x2. a) Sett opp eit uttrykk for kvotienten k(x) i rekka. b) Finn konvergensområdet for rekka. c) Finn eit uttrykk for summen s(x) av rekka når ho konvergerer.

Vi lager ei ny uendeleg geometrisk rekke med første ledd 2a og andre ledd 2b. b) Forklar at den nye rekka er konvergent.

Vi kallar summen av dei to rekkene i oppgåve a for S og T, og summen av rekka i oppgåve b for U. c) Vis at S T U. Oppgåve 1.240

Finn eit uttrykk for summen av dei n første ledda i rekka 3 4 5 ln 2 ln ln ln } 2 3 4 og vis at rekka divergerer.

Oppgåve 1.241

I eit koordinatsystem har vi gitt punktet O 0, 0 og ei følge av punkt ved Pn n 1 , n 1, 2, 3, } Vi definerer ei følge av vinklar ved vn Pn , O, Pn 1 .

Teikn dei første punkta og vinklane i følgene, og bruk eit geometrisk argument for å bestemme N

lim ¦ vn

N of

n 1

Oppgåve 1.244

Vi har gitt rekka 1 x x 2 x 3 … a) Finn konvergensområdet for rekka. b) Finn summen s(x) av rekka når ho konvergerer. c) Undersøk om summen av rekka kan vere 1 2 2) 1) 3 3 Oppgåve 1.245

a) Kva meiner vi med at den uendelege rekka a1 a2 a3 … er konvergent? b) Vi har gitt den uendelege rekka 2x 22 x 23 x 2n x

…

(x 2)n x 2 (x 2)2 (x 2)3 Bestem konvergensområdet. c) Bestem summen av rekka når ho konvergerer.

Oppgåve 1.246

Vi har gitt rekka 1 e x e 2 x e 3 x ...

S 2

Oppgåve 1.242

For kva for nokre x ,

Skriv det uendelege produktett

konvergerer rekka?

1 4

1 16

S 2

1 64

8 8 8 } så enkelt som mogleg. ▲ 1.7

1 | FØLGER OG REKKER

361

s

Oppgåve 1.247

Oppgåve 1.251

a) Finn konvergensområdet for rekka

a) Skriv opp funksjonsuttrykk for summen av dei uendelege geometriske rekkene 1 x x 2 } og 1 x 3 x 6 } der | x | 1. b) Forklar at den uendelege rekka x x 2 x 4 x 5 x 7 x 8 } ikkje er geometrisk, men finn likevel summen av rekka for | x | 1. c) Finn summen av den uendelege rekka 1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 8 } for | x | 1.

3 3x 2 3x 4 3x 6 b) Finn summen s(x) av rekka.

27 c) Finn x slik at summen av rekka blir . d) Teikn grafen til funksjonen f der 3 , Df x 1

f (x )

2

13

e) Grafen til s fell saman med grafen til f i eit bestemt område.

Marker dette området på grafen til f.

▲ 1.8

Oppgåve 1.248

a) Finn konvergensområdet for rekka x 4x 2 16x 3 64x 4 b) Finn summen s(x) av rekka. c) Finn x slik at summen av rekka blir 1 s( x ) .

4

Oppgåve 1.252

a) Vis at n 1

1 3 9 } 3

3n 1 2

ved å bruke det du veit om rekker. b) Bevis formelen i oppgåve a ved induksjon.

Oppgåve 1.249

Dei tre første ledda i ei uendeleg aritmetisk talfølge er høvesvis x, y og 2. Samtidig er x, 2 og y dei tre første ledda i ei uendeleg geometrisk rekke.

Vi føreset at x z y a) Bestem x og y. b) Finn differansen i følga og kvotienten i rekka. c) Undersøk om rekka konvergerer, og finn eventuelt summen.

Oppgåve 1.250

Bevis formelen ved induksjon.

4 8 12 … 4n 2n n 1 Oppgåve 1.254

Bevis ved induksjon at n3 4n er deleleg med 3 for alle heiltal når n t 3.

Oppgåve 1.255

Bevis formelen ved induksjon.

1 4 7 … 3n 2

Løys likninga x 2 x 3 x 4 }

Oppgåve 1.253

9 10

utan hjelpemiddel.

n(3n 1) 2

Oppgåve 1.256

Vis ved induksjon at for alle heile tal n t 1 gjeld 1 20 2 21 3 22 … n 2n 1

s

362

1 | FØLGER OG REKKER

n 1 2n 1

Oppgåve 1.257

Oppgåve 1.260

Vi har gitt rekka

Vis at

2 6 10 14 … a) Finn ledd nr. 12 og ein formel for ledd nr. n. b) Finn summen av dei 12 første ledda og ein formel for summen av dei n første ledda. c) Bevis formelen for summen av dei n første ledda ved induksjon.

Oppgåve 1.258

a) Vis ved induksjon at 4n 1 er deleleg med 3 for alle heile tal n t 1. b) Vis ved induksjon at 32n 1 2 ( 1)n er deleleg med 5 for alle heile tal n t 0.

Oppgåve 1.259

Vi kan lage figurtal for eksempel ved å legge kuler oppå kvarandre. Summen av talet på kuler i pyramiden kallar vi pyramidetala. Figuren nedanfor viser dei tre første pyramidetala P1 1, P2 5 og P3 14.

2 4 6 2n n2 n ved a) å utnytte at rekka er aritmetiskk b) induksjon c) å bruke figuren nedanfor

Oppgåve 1.261

Ledda i ei endeleg rekke er gitt ved at a1 2 og an an 1 2n for n 2, 3, 4, … a) Finn ledd nr. 4. b) Vis ved induksjon at an n n 1 .

Summen av dei n første ledda i rekka er gitt ved sn 1 2 2 3 3 4 n n 1 c) Vis ved induksjon at sn

1 n 3

n 1 n 2

for alle naturlege tal n. d) Finn a37 a38 } a97.

Oppgåve 1.262

a) Studer figuren. Kva for eit tal skal erstatte spørsmålsteiknet?

9

a) Finn pyramidetala P4 og P5. b) Vis ved induksjon at Pn

n (n 1) (2n 1) 6

13

22

38

?

b) Finn ein rekursiv formel for tal nr. n der n > 1. c) Bruk regresjon og finn den eksplisitte formelen for tal nr. n der n > 1. d) Bevis den eksplisitte formelen ved induksjon ut frå rekursjonsformelen. ▲ 1.9 1 | FØLGER OG REKKER

363

s

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 1.300

Tenk deg at du har planta ein plante. Vi tenker oss at greinene veks horisontalt eller vertikalt, slik figuren nedanfor viser. Det første året veks han 100 cm.

Det andre året veks det i toppen ut tre greiner som kvar er 30 cm lange.

Det tredje året veks det i spissen av kvar grein ut tre nye greiner, som kvar 2 5

er 30 cm 12 cm. Slik fortset det vidare kvart år, slik at lengda av kvar ny 2 5

grein er lengda av den føregåande greina.

År 1

År 2

År 3

År 4

a) Finn ut mest mogleg om korleis høgda og breidda av planten utviklar seg. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse om følger og rekker. b) Finn ut mest mogleg om korleis den samanlagde lengda av planten og alle greinene utviklar seg.

Oppgåve 1.301

Vi ser på den uendelege rekka 1 1 1 ...

3 9 27 Forklar korleis vi kan finne summen ved hjelp av figuren nedanfor.

1 9

1 27

1 3

1

1

s

364

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.302

Figurane nedanfor viser eit mønster med stadig fleire prikkar. Talet på prikkar i kvar figur kallar vi p1, p2, p3 og p4.

p1

p2

p3

p4

Finn ein formel for pn.

Oppgåve 1.303

Figurane nedanfor viser eit mønster med stadig fleire prikkar. Talet på prikkar i kvar figur kallar vi q1, q2, q3 og q4.

q1

q2

q3

q4

Finn ein formel for qn.

Oppgåve 1.304

Mellom hjørna i ein firkant kan vi trekke seks forskjellige rette linjestykke som vist på denne figuren: 3 5 4

2

6 1

Finn ein formel som viser samanhengen mellom antalet linjestykke y i ein n-kant og antalet hjørne n-kanten har.

Oppgåve 1.305

I 2020 blei det født 52 979 barn i Noreg. I 2010 blei det født 61 442 barn.

Gå ut frå at fødselstalet har minka med den same prosenten per år i denne perioden, og at utviklinga fortset slik også etter 2020.

Finn ut mest mogleg om korleis fødselstalet utviklar seg etter 2020. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse om følger og rekker.

1 | FØLGER OG REKKER

365

s

Oppgåve 1.306

På figuren nedanfor har vi tatt utgangspunkt i ein rettvinkla trekant der begge katetane har lengda 2. Gjennom midtpunktet på kvar av katetane har vi trekt linjestykke til midtpunktet på hypotenusen. Trekanten blir da delt i eit kvadrat og to nye rettvinkla trekantar. Den øvste trekanten har vi så delt på tilsvarande måte i eit kvadrat og to rettvinkla trekantar. Slik fortset vi i det uendelege.

2

2

Finn ut korleis vi kan bruke figuren til å vise at rekka 1 1 1 1 ...

2 4 8 konvergerer og har summen 2.

Oppgåve 1.307

a) Bruk figuren til å forklare at 13 23 33 43 53

n

b) Generaliser til å vise at ¦ i 3 i 1

s

366

1 | FØLGER OG REKKER

2

· §1 ¨ 2 n(n 1) ¸ . © ¹

2

1 2 3 4 5 .

Oppgåve 1.308

Sierpiński-trekanten, som har namnet sitt etter den polske matematikaren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), blir laga slik: 1. Vi begynner med ein likesida rosa trekant som har areal A. Sjå figur 1.

2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida rosa trekantar. Sjå figur 2.

3. Vi gjentar denne prosessen med kvar av dei rosa trekantane. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpiński-trekanten.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Figur 5

a) Forklar at summen av areala som blir fjerna, er gitt ved rekka · § 1 3 9 27 A ¨ ¸ © 4 16 64 256 ¹ b) Bestem summen av rekka. Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpińskitrekanten? c) Lengda av sidene i trekanten på figur 1 er lik a.

Finn uttrykk for omkretsen av dei rosa trekantane på figurane 2–5. d) Kva blir omkretsen av Sierpiński-trekanten?

Oppgåve 1.309

På 1300-talet viste franskmannen Nicole Oresme at rekka 1 1 1 1 1 } divergerer med desse utrekningane: 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 } } 2 3 4 5 6 7 8 9 16 1· 1 §1 1· §1 1 1 1· §1 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ } ¸ } 16 ¹ 2 ©3 4¹ ©5 6 7 8¹ ©9 1 §1 1· §1 1 1 1· § 1 1· t 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ } ¸ } 2 © 4 4 ¹ © 8 8 8 8 ¹ © 16 16 ¹ 1 1 1 1 1 } 2 2 2 2 Studer utrekningane, fyll inn forklaringane som manglar, og lag ein munnleg presentasjon av beviset.

1 | FØLGER OG REKKER

367

s

Oppgåve 1.310

Dei naturlege tala frå og med 1 til og med n er skrivne på kvar sin lapp.

For kva for nokre n er det mogleg å fordele lappane i to bunkar slik at det er like mange lappar i kvar bunke og summen av tala på lappane i kvar bunke er den same?

Oppgåve 1.311

Beskriv likskapar og forskjellar mellom dei tre talfølgene gitt ved • an 2n for n t 1 • bn 2 bn 1 for n t 2 og b2 4 • cn 1 cn 2n for n t 1 og c1 2 Oppgåve 1.312

I denne oppgåva skal du finne ein formel for summen sn av dei n minste kvadrattala ved blant anna å bruke at summen av dei n minste naturlege tala 1 er n n 1 .

2

Som eit eksempel finn vi summen s5 12 22 32 42 52 av dei fem minste kvadrattala. a) Forklar at s5 er lik summen av tala i trekanten nedanfor.

1 2 3 4 5

2 3

4 5

3 4

5

4 5

5

b) Studer figuren nedanfor og bruk han til å forklare at 3 s5 15 11.

1 2 3 4 5

3 4

5

5 2

4 3

4 5

3

+ 4

5

2 5

1

4 3

2

5 5

5 5

4 3

5

+ 5

4

5 5

5

c) Bruk eit tilsvarande argument til å vise at 3 s8

· §1 ¨ 2 8 9¸ 2 8 1 © ¹

d) Finn ein formel for sn.

s

368

1 | FØLGER OG REKKER

4 4

4

11 4

11 3

3 3

= 2

2

1

11

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

Oppgåve 1.313

Spel dette spelet med nokre andre elevar i klassen: Alle spelarane skriv talet 5 på kvart sitt ark. Ein spelar får a b poeng ved å stryke ut eit tal på arket og erstatte det med to naturlege tal a og b som har same sum som talet som blei stroke ut. Spelaren som samlar flest poeng totalt, vinn.

Eksempel:

5 3 2 · 1 = 2 poeng

2

3 · 2 = 6 poeng

2 1 11

11

1 · 1 = 1 poeng

1 · 1 = 1 poeng 6 + 1 + 2 + 1 = 10 poeng =

No er det berre 1-tal på arket, og det er derfor ikkje mogleg å erstatte fleire tal. Spelaren får 3 2 1 1 2 1 1 1 10 poeng.

Finst det nokon strategiar som er betre enn andre? Kva viss spelet startar med eit anna naturleg tal enn 5?

Oppgåve 1.314

Bruk beskrivinga av følgene til å beskrive dei på fire andre måtar.

Listeform

Eksplisitt Rekursiv Beskriving formel formel med ord

Grafisk beskriving

an 1, 3, 5, 7, } bn cn

dn

bn 2n cn 1 cn for n t 1 og c1 1 dn er det n-te kvadrattalet

en

en 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

n 1 2 3 4 5 6 7

1 | FØLGER OG REKKER

369

s

Oppgåve 1.315

Viss vi skal forkorte brøken

16 , kan det vere freistande å stryke 6 i teljaren og 64

nemnaren på denne måten:

16 64

16 64

1 . Det merkverdige er at sjølv om 4

metoden er heilt på jordet, blir svaret rett. Og ikkje berre det! Desse horrible forkortingane gir også rett svar: 166 664

1 66 66 4

1 1666 og 4 6664

1 666 666 4

n 6 -tal

16}6 Meir generelt gjeld det at 6 }64

1 4

1 6}6 6}6 4

1 . Det skal vi vise i denne 4

n 6 -tal

oppgåva.

n

a) Forklar at 6}6 kan skrivast som den geometriske rekka n 1

6 60 600 } 60}0. n

10n 1 . b) Vis at 16}6 10n 2 3 n

c) Skriv om nemnaren 6}64 på liknande måte. n

16}6 1 d) Vis at for alle naturlege tal n.

6 }64 4 n

e) Kan du finne andre brøkar enn siffer som også er slik at

a c

ab bc

16 64

på forma

ab bc

der a, b og c er forskjellige

abb }? bbc

Oppgåve 1.316

Matematikaren Joel Cohen viste ved induksjon at alle hestar har same farge.

Viss vi har n 1 hest, er påstanden openbert sann. Vi antar no at viss vi har n k hestar, har alle same farge. Viss vi har n k 1 hestar, kan vi velje bort éin av hestane og stå igjen med k hestar. Vi antok at ei slik samling av k hestar har same farge. Men viss vi i staden hadde tatt bort éin av dei andre hestane, hadde vi hatt ei anna samling av k hestar som alle har same farge. Altså har vi to samlingar med k hestar der alle hestane har same farge. Sidan dei to samlingane er overlappande, må alle dei totalt k 1 hestane ha same farge.

Held beviset mål?

s

370

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.317

Biologar bruker nokre gonger ein populasjonsmodell gitt av formelen x n 1

r xn M xn M

Her står xn for kor stor populasjonen er i år n, M for ei øvre populasjonsgrense, og r ¢0, 4² er ein parameter. M og r avheng av biologiske faktorar som vi ikkje kjem nærmare inn på her. Nedanfor står eit program som kan brukast til å utforske korleis populasjonen utviklar seg.

1

import matplotlib.pyplot as plt

2 3 4 5 6

x0 = 2 M = 300 r = 1.2 N = 50

# # # #

Populasjon i år 0 Maksimal populasjon Parameter Antal år

7 8 9

populasjon = [x0] # Liste til populasjonen x_gml = x0

10 11 12 13 14 15

for i in range(N): x_ny = r*x_gml*(M-x_gml)/M # Rekner ut ny populasjon populasjon.append(x_ny) # Legg til i lista print(f"I år {i} er populasjonen {x_ny}") x_gml = x_ny # Oppdaterer kva som er i fjor

16 17 18 19 20 21

# Plottar modellen plt.plot(populasjon) plt.xlabel("År") plt.ylabel("Populasjon") plt.show()

22

Drøft modellen for ulike verdiar av x0, M og r.

Beskriv spesielt kva r har å seie for modellen.

1 | FØLGER OG REKKER

371

s

2

Integralrekning ØV MEIR

2.2 UBESTEMT INTEGRAL

Oppgåve 2.120 2.1 DERIVASJON

Oppgåve 2.110

Deriver funksjonane. a) f (x ) 2 x 4 x 3 3x 2 4 x 2 2 b) f (x ) 3x 2 1 c) f (x )

1 x x2

5

Finn funksjonsuttrykka til alle dei antideriverte til funksjonen f når a) f (x ) 2 x 3 b) f (x ) 3x 2 4 x c) f (x ) 0, 02 x 4 0, 9 x 2 0, 4 x 1 d) f (x ) (x 1)2 Oppgåve 2.121

Oppgåve 2.111

Deriver funksjonane.

3x 2 1 a) f (x ) x 2 b) f (x ) 2 x 2 ln x ln x x c) f (x ) ln x x Oppgåve 2.112

Deriver funksjonane. x2 4 x a) f (x ) 3e b) f (x ) 2 x 3 e 2 x c) f (x )

4 x

3

Oppgåve 2.113

Deriver funksjonane. a) f (x ) 4e 2 x ln 2 x 2 b) f (x ) 2 e 2 x 1 c) f (x ) 2000 1, 02 x Oppgåve 2.114

La funksjonen f vere gitt ved f (x ) 2 3 x a) Finn f c(x). b) Finn vekstfarten når x 1.

s

372

2 | INTEGRALREKNING

Finn dei ubestemte integrala ved rekning og i CAS. a) ³ 3dx 2 1· § b) ³ ¨ x 2 x ¸ dx 3 3¹ © 2

³ d) ³ (x 3)(x 3)dx c)

x 1 dx

Oppgåve 2.122

Finn integrala.

2 1 b) ³ 3 dx a) ³ 2 dx x x 1 d) ³ 7 4 t 3 dt c) ³ 2 dx x3 Oppgåve 2.123

Ein motorsykkel passerer eit målepunkt på ein rett vegstrekning ved tidspunktet t 0. Sykkelen har da farten 14 m/s.

Etter t sekund har han akselerasjonen a(t ) 0, 06t 1, 0, t ª¬0, 8º¼ målt i m/s2. a) Finn farten etter 8 s. b) Finn avstanden frå målepunktet etter 8 s.

Oppgåve 2.124

Ein bil bremsar opp framfor eit lyskryss.

Grafen viser korleis farten minkar frå bilen begynner å bremse til han stoppar. m/s

y

20 18

2.3 INTEGRALET

1

³ x dx

Oppgåve 2.130

Rekn ut dei ubestemte integrala.

4 6 b) ³ dt a) ³ dx x t c)

16

1·

§

³ ¨©1 x ¸¹ dx

§1 1 · d) ³ ¨ 2 ¸ ds ©s s ¹

14

Oppgåve 2.131

12

Finn dei ubestemte integrala. x2 x 2 a) ³ 2 dx b) ³ dx x x 2 1 · § 1

c) ³ ¨ ¸ dx © x 1 x 1 ¹

10 8 6 4 2

t 2 4

6

8 10 12 14 16

s

Oppgåve 2.132

a) Finn akselerasjonen til bilen. b) Finn bremselengda.

Finn dei ubestemte integrala. x 1 4x2 5 a) ³ dx b) ³ dx x x

Oppgåve 2.125

c)

Figuren viser grafen til den deriverte til funksjonen f.

³

3

dx

x 2 2

d)

x 1 dx 2 1

³x

Oppgåve 2.133 y 5

f’

4 3 2 1 –2 –1

–1

x 1

2 3

4

a) Finn dei ubestemte integrala.

1 1 dx 2) ³ dx 1) ³ x 1 x 3 b) Vis at 2 3 5x 3

2 x 1 x 3 x 2x 3 c) Bestem integralet.

–2 –3 –4

Finn f(x) når grafen til f går gjennom punktet 1, 4 .

³x

2

5x 3 dx 2x 3

Oppgåve 2.134

a) Deriver uttrykket ln(x 2 1) b) Finn det ubestemte integralet.

³x

2x dx 2 1 2 | INTEGRALREKNING

373

s

2.4 INTEGRASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONAR

2.5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EIN SUM

Oppgåve 2.140

Oppgåve 2.150

Finn alle dei antideriverte til b) f (x ) e 4 x a) f (x ) e x

Grafen til funksjonen f er gitt ved

c) f (x ) e

2 x

d) f (x ) e

Oppgåve 2.141

Finn integrala. a) ³ e 2 x dx

f (x ) x 2 1, x ª¬0, 6 º¼

0 ,5 x

b) ³ (e x e x )dx

Grafen er teikna saman med rektangel som gir ein tilnærmingsverdi for arealet av området mellom grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x 4.

Oppgåve 2.142

Finn integrala. · §1 a) ³ ¨ e x ¸ dx x © ¹

y

b) ³ (e x )dx 5x

5

Oppgåve 2.143

Finn dei ubestemte integrala. b) ³ (e x 1)2 dx

a) ³ e 2 x dx c)

1 ³ e x dx

d)

ex 4 ³ e x dx

Oppgåve 2.144

Finn dei ubestemte integrala. b) ³ 3ex dx a) ³ 22x dx Oppgåve 2.145

a) Deriver uttrykket ex e x 1 b) Finn det ubestemte integralet.

³ (e

x

x

e dx 1)2

Oppgåve 2.146

Finn integrala. a) ³ 8000 1,07 x dx

b) ³ 20 000 0,88 x dx

s

374

2 | INTEGRALREKNING

18 16 14 12 10 8 6 4 2

f

x 1

2

3

4

a) Finn summen av areala til rektangla. b) Bruk CAS til å finne ein tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 100 rektangel. c) Auk antalet rektangel og finn ein best mogleg verdi for 4

³ (x

2

1) dx

0

Ta med to desimalar i svaret. d) Bruk CAS til å finne ein eksakt verdi for arealet. e) Bruk Python til å finne ein tilnærmingsverdi for arealet ved hjelp av 1000 rektangel.

Oppgåve 2.151

Oppgåve 2.153

Funksjonen f er gitt ved

Vi har teikna grafen til funksjonen f gitt ved

f (x ) x 2 x 12, x ª¬ 6, 6 º¼

f (x ) e

a) Teikn grafen til f digitalt.

Eit område er avgrensa av x-aksen og grafen til f. b) Finn i CAS og med Python ein tilnærmingsverdi for arealet av området ved hjelp av 1) 100 rektangel 2) 1000 rektangel 3) 10 000 rektangel c) Kva blir etter dette ein tilnærma verdi for 3

³ ( x

2

d) Finn ein eksakt verdi for integralet i oppgåve c ved å bruke CAS. Oppgåve 2.152

Figuren viser grafen til funksjonen f (x ) 4 x x 2 y 4 3

f –3

–2

–1

0

1

x

2

3

Finn digitalt ein tilnærmingsverdi for arealet av det fargelagde området.

Oppgåve 2.154

Funksjonen f er gitt ved

a) Teikn grafen til f.

To område A og B er avgrensa av x-aksen og grafen til f. A er området over x-aksen, og B er området under x-aksen. b) Finn ein tilnærmingsverdi for arealet av kvart av områda ved hjelp av 10 000 rektangel. c) Bruk CAS og rekn ut integralet

³ (x

3

4 x 2 15x 18)dx

3

1

–2

0,5

6

2

–1

y 1,0

f ( x ) x 3 4 x 2 15x 18, x ª¬ 5, 7 º¼

x 12)dx

4

–2 –1

x2

x 1

2 3

4

5 f

d) Kvifor gir ikkje svaret i oppgåve c summen av areala av dei to områda?

Finn både ved rekning og digitalt ein eksakt verdi for arealet av det fargelagde området.

2 | INTEGRALREKNING

375

s

2.6 FUNDAMENTALSETNINGA

2.7 Å FINNE AREAL VED REKNING

Oppgåve 2.160

Oppgåve 2.170

Rekn ut dei bestemte integrala.

1

a) ³2 x dx 0 2

c)

³ (x 4)dx 1

2

b) ³ 2 x 3dx

Figuren viser grafen til funksjonen g (x ) 4 x x 3

0

y

3

d) ³(2 x ) dx

4 3

1

2

Oppgåve 2.161

1

Rekn ut dei bestemte integrala.

2

a) ³ (4 x 9 x 2 )dx

0

b)

1

³ x dx 2

2

–1

x 1

2 3

–2 –3

Oppgåve 2.162

–4

g

Finn dei bestemte integrala ved rekning.

2 4 1 a) ³ dx b) ³ e x dx x 0 2

Rekn ut arealet av området som er avgrensa av grafen til g og x-aksen.

Oppgåve 2.163

Oppgåve 2.171

Rekn ut dei bestemte integrala.

3

a) ³ (x 2 2 x )dx 0

3

b) ³ 4 dx 1

4

1· §1 c) ³ ¨ x ¸ dx 2 3¹ 0©

5

d)

³ 1

3 dx x

Oppgåve 2.164

Finn dei bestemte integrala ved rekning og digitalt.

2

a)

x ³ 2 dx

2

ln 3

b) ³ e 3 x dx 0

Oppgåve 2.165

Finn dei bestemte integrala.

3 3 2 x 1 a) ³ dx b) ³ 2 x 1 dx x 0 1 4

c)

³ 1

s

–2 –1

376

x 1 dx 2 x

1

d) ³ 23 x dx 0

2 | INTEGRALREKNING

a) Teikn grafen til f (x ) x 1, D f

b) Finn arealet av området som er avgrensa av grafen, førsteaksen, andreaksen og linja x 3, ved å bruke formelen for arealet av eit trapes. c) Finn arealet av området i oppgåve b ved integralrekning.

Oppgåve 2.172

Rekn ut arealet avgrensa av førsteaksen og grafen til f når a) f (x ) x 2 5x b) f (x ) x 2 5x 4 c) f (x ) x 2 9 d) f (x ) x 2 x

Oppgåve 2.173

Oppgåve 2.178

Ein funksjon f er gitt ved

På figuren nedanfor ser du grafen til ein funksjon f og eit fargelagt område.

f (x ) x 3 4 x 2

y

Rekn ut arealet av området mellom x-aksen og grafen til f.

5 4

f

3

Oppgåve 2.174

2

Ein funksjon f er gitt ved

1 0

3

2

f ( x ) x 5x 6 x Rekn ut arealet av området mellom x-aksen og grafen til f.

x 1

–1

2

3

–2

Vi har gitt 6 uttrykk A–F: 3

A

Oppgåve 2.175

a) Teikn grafen til f (x ) e , D f x

b) Finn ein eksakt verdi for arealet av området avgrensa av grafen til f, førsteaksen og linjene x 1 og x 1.

Oppgåve 2.176

a) Teikn grafen til f (x ) x 2 4 x , x t 0 x

2

4t )dt

C

0

0

c) Bruk resultatet i oppgåve b og skraver to område som har same areal.

1 2

3

1 2

2 3

³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx 1

3

2

D ³ f (x ) dx 1 2

3

1 2

2 3

1

2

E ³ f (x ) dx ³ f (x ) dx F

b) Løys likninga

³ (t

B

³ f (x)dx

³ f (x ) dx ³ f (x ) dx

a) Kva for eit eller kva for nokre av uttrykka er lik arealet av det skraverte området? b) Sorter uttrykka frå minst til størst verdi.

2.8 Å FINNE AREAL MELLOM TO GRAFAR

Oppgåve 2.177

Oppgåve 2.180

Ein funksjon f er gitt ved

Teikn grafane til funksjonane f og g, der 1 f (x ) ( x 2 6 x 16) 3 2 4 g (x ) x 3 3 i det same koordinatsystemet.

Finn arealet av området som er avgrensa av grafane til f og g.

3

f (x ) x 2 x 2

Bestem ³ f (x )dx.

0

Gi ein geometrisk tolking av svaret.

2 | INTEGRALREKNING

377

s

Oppgåve 2.181

Oppgåve 2.184

Finn arealet av området som er avgrensa av grafane til f og g når

I Utopia blir dei kriminelle plasserte på ei øyden øy. Anna Bol og Mari Nasket blir begge sende til Ransøy. Denne øya er heilt flat og delt i to med eit rett gjerde som går frå aust mot vest.

Anna bur på nordøya, og Mari bur på sørøya. Vi legg eit koordinatsystem med x-aksen langs gjerdet. Den positive y-aksen peiker mot nord. Eininga på begge aksane er kilometer. Kystlinja på nordøya er bestemt ved

f (x ) x 2 4 g (x ) x 2 2x Oppgåve 2.182

Ei flat tomt er avgrensa av grafane til funksjonane f og g, der f (x ) 0,1x 2 10 x 160 og g (x ) 0,1x 2 12 x 200 Tomta utgjer da det området som ligg mellom grafane til f og g. Einingane på aksane er meter. a) Finn ved rekning og digitalt arealet av heile tomta uttrykt i mål. Eit mål er 1000 m2. b) Nord ligg i den retninga y-aksen peiker. Vi definerer breidda d av tomta i nord-sør-retninga ved d(x ) g (x ) f (x ) Finn ved rekning den største breidda på tomta i nord–sør-retning.

Oppgåve 2.183

Funksjonane f og g er gitt ved f (x ) x 2 , x ¬ª 3, 0 g (x ) x , x ª¬0, 9º¼ a) Finn digitalt og ved rekning arealet som er avgrensa av grafane, førsteaksen, linja x 3 og linja x 9. b) Bestem a slik at arealet som er avgrensa av grafen til g, førsteaksen og linja x a, blir 4.

s

378

2 | INTEGRALREKNING

n(x ) (10 2 x ) ln x , x ª¬1, 5º¼ Kystlinja på sørøya er bestemt ved s(x ) x 2 6 x 5, x ª¬1, 5º¼ a) Bestem det samla arealet av nordøya og sørøya. b) Anna Bol er valdeleg. Mari er engsteleg og tør derfor ikkje gå langt heimanfrå. Ho går aldri utanfor eit område som er avgrensa av grafen til 1 3 13 g (x ) x 2 x 4 2 4 Bestem arealet av området som Mari kan gå på.

BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 2.200

Deriver funksjonane. a) f (x ) 4 x 3 3x 2 2 x ln 2 b) f (x ) 2e x 4 x 2 2 ln x 2 c) f (x ) x 2 (ln x )2 x d) f (x ) x2 4x Oppgåve 2.201

Oppgåve 2.205

Finn dei ubestemte integrala ved rekning og i CAS. 2 2 a) ³ 2 dx b) ³ 3 dx x x Oppgåve 2.206

Figuren viser grafen til den deriverte av funksjonen f (x ) ax 3 bx 2 cx d y

Deriver funksjonane. a) f (x ) 8 1, 03x

5 4

b) f (x ) x 3 ln x x3 1 c) f (x ) x 1 e Oppgåve 2.202

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 6x 2 2x 1 Finn den antideriverte F til f som er slik at F(2) 6.

Oppgåve 2.203

Ein funksjon g er slik at g c(x ) 4 x 3 a) Bestem vekstfarten for x 1. b) Bestem g når grafen går gjennom punktet 1, 1 .

Oppgåve 2.204

Vis digitalt at f er ein antiderivert til g når a) f (x ) x e x e x og g (x ) x e x 1 b) f (x ) x 2 ln x og x 2 § x 1 · g (x ) ¨ ¸ © x ¹

f’

3 2 1 –4 –3 –2 –1

–1

x 1

2 3

–2 –3 –4

a) Finn f c(x ) ved regresjon. b) Finn f (x ) ved integrasjon når grafen til f går gjennom origo. c) Bruk grafen ovanfor og finn vendepunktet til f.

Oppgåve 2.207

Temperaturstigninga T c(t) i ein omn er T c(t ) 30 2t , t [0, 15] der temperaturen T(t) er gitt i celsiusgradar og tida t i minutt. Ved t 0 er temperaturen i omnen 20 qC. a) Kor lang tid tar det før omnen når 220 qC? b) Teikn grafen til T.

2 | INTEGRALREKNING

379

s

Oppgåve 2.208

Oppgåve 2.212

Finn dei ubestemte integrala. §2 4 · §3 4 · a) ³ ¨ 3 ¸ dx b) ³ ¨ ¸ dx x¹ ©x x ¹ ©x c) ³ 3e x 4 e 2 x dx

Figuren viser grafen til funksjonen f (x ) 2x y 8 6

Viss f er ein funksjon med ein antiderivert F og ein omvend funksjon g, gjeld denne formelen:

³ g (x) dx

f

7

Oppgåve 2.209

5 4 3

x g (x ) F ( g (x )) C

a) Bruk derivasjon til å vise at formelen stemmer. b) Forklar at f (x ) e x og g (x ) ln x er omvende funksjoner, og bruk deretter formelen til å bestemme ³ lnx dx.

2 1 –4 –3 –2 –1

–1

x k 2 3

–2

På figuren har vi fargelagt to område.

Skriv ei likning med k, og finn k slik at områda får same areal.

▲ 2.4

Oppgåve 2.213 Oppgåve 2.210

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

2 1

, xz0 x x2

a) Teikn grafen til f. b) Finn ein eksakt verdi for arealet av området avgrensa av grafen til f, x-aksen og linja x e.

Eit segl har ei form som er avgrensa av grafane til tre funksjonar i 1. kvadrant. f (x ) ln(x 1) g (x ) xe x h(x ) x 10 Bestem arealet av eit slikt segl når einingane langs aksane er meter. y

Oppgåve 2.211

Funksjonen f er gitt ved f (x ) e x x 3 a) Teikn grafen til f digitalt. b) Finn ein tilnærma verdi for nullpunkta til f. c) Finn ein tilnærma verdi for arealet av det området som ligg under x-aksen, og er avgrensa av x-aksen og grafen til f.

s

380

2 | INTEGRALREKNING

x

Oppgåve 2.214

Oppgåve 2.216

Funksjonen f definert ved

To gutar køyrer ein gammal bil der speedometeret verkar, men ikkje kilometerteljaren. Dei ønsker å finne lengda av ein bestemt strekning med dårleg grusveg.

Dei bruker 2 minutt på vegstrekningen, og undervegs les dei av farten på speedometeret med 10 sekunds mellomrom.

Tabellen nedanfor viser dei verdiane gutane har lese av.

Anslå lengda av vegstrekningen.

f (x ) e

x2

har ingen enkel antiderivert.

For x-verdiar nær 0 kan vi bruke tilnærminga x2 f (x ) | f (0) x f c(0) f cc(0) 2 a) Vis at g (x ) 1 x 2 er ei tilnærming til f nær x 0. b) Teikn grafane til f og g i same koordinatsystem. c) Nytt tilnærming i oppgåve a og finn ein tilnærma verdi for 0 ,1

³e

x2

Tid (s)

Fart (km/h)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

0 38 15 32 28 35 46 37 18 23 27 39 31

dx

0 ,1

d) Finn også integralet digitalt.

Oppgåve 2.215

I ein kommune har dei funne ut at talet på skattytarar, A(x), med ei skattepliktig inntekt på x tusen kroner, er gitt ved 5 109 A(x) , x3

Oppgåve 2.217

Figuren viser grafane til funksjonane

x [300, 600]

Her er for eksempel A(300) talet på skattytarar med inntekt mellom 300 000 kr og 301 000 kr. a) Finn ut kor mange skattytarar kommunen har med ei inntekt mellom 400 000 kr og 401 000 kr. b) Teikn grafen til A. c) Finn kor mange skattytarar som har mellom 300 000 kr og 400 000 kr i skattepliktig inntekt. d) Finn ut kor mange skattytarar som har inntekt mellom 400 000 kr og 500 000 kr.

f (x ) x 2 4 x

og g (x ) x y g

4 3 2 1 –2 –1

–1

–2

x 1

2 3

4

5 f

Finn arealet av det fargelagde området.

2 | INTEGRALREKNING

381

s

Oppgåve 2.218

Oppgåve 2.222

Eit område er avgrensa av grafane til funksjonane

Ein funksjon f er gitt ved

f (x ) x 2 4 x 5 g (x ) 10 Finn arealet av området.

Oppgåve 2.219

Finn arealet av området som er avgrensa av grafane til f og g når f (x ) x 2 2x g (x ) x 2

f ( x ) 3x 2 4 x 8 a) Finn arealet av området som er avgrensa av grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x 2. b) Finn a

³ f (x)dx 0

c) Finn dei verdiane av a som er slik at a

³ f (x)dx

0

0

Oppgåve 2.220

a) Eit område er avgrensa av den positive x-aksen, linja x a og grafen til funksjonen f (x ) x 2 Bestem a slik at arealet av området blir 9. b) Eit område er avgrensa av x-aksen, linja x 2 og grafen til funksjonen f (x ) x a Bestem a slik at arealet av området 32 blir .

5

Oppgåve 2.221

Funksjonane f og g er gitt ved f (x ) x 2 x

g ( x ) 3x a) Bestem skjeringspunkta mellom grafane til f og g. b) Eit område er avgrensa av grafane til f og g.

Bestem arealet av dette området.

382

Oppgåve 2.223

Funksjonane f og g er gitt ved f (x ) 4 x 2 og g (x ) x 3 x 2 cx 4 Når c 0, vil grafen til f og grafen til g avgrense to område.

Vis ved rekning at areala av desse områda er like store.

Oppgåve 2.224

a) Vis at linja y x 2 tangerer grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) 2 2 x i punktet 2, f (2) . b) Bestem arealet av området avgrensa av linja, grafen til f og x-aksen.

Oppgåve 2.225

og

s

og forklar løysingane ut frå grafen.

2 | INTEGRALREKNING

Funksjonane f og g er definerte for x ! 0 ved 1 2 f (x ) og g (x ) x x Tangenten til g i punktet x a og grafen til f avgrensar eit område.

Finn arealet av området.

Oppgåve 2.226

Oppgåve 2.229 2

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x . To forskjellige punkt A a, a2 og B b, b2 , der a b, ligg på grafen til f. Vi har også gitt to område i planet: • Området F er avgrensa av linja gjennom A og B og grafen til f.

• Trekanten T har hjørne i A, B og a b M m, m2 , der m .

2 Vis at forholdet mellom areala av dei to områda ikkje avheng av a og b.

Oppgåve 2.227

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 . To forskjellige punkt A a, a2 og B b, b2 , der a b, ligg på grafen til f. Tangentane til f i A og B skjer i eit punkt M xM, yM .

Vi har også to område i planet: • Området F er avgrensa av tangenten til f i A, grafen til f og linja x xM. • Området G er avgrensa av tangenten til f i B, grafen til f og linja x xM. Uttrykk arealet av dei to områda ved a og b. Kommenter svaret.

Oppgåve 2.228

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x.

Tangenten til f i eit punkt A a, f (a) , grafen til f og koordinataksane avgrensar to område i planet (bortsett frå når a 0).

Vis at det trekantforma området er tre gonger så stort som det andre området for alle a. y

x

Ein partikkel beveger seg med konstant akselerasjon a. Ved tidspunktet t 0 har han farten v(0) v0 og er i posisjonen s(0) 0.

Vis at farten og posisjonen etter tida t er gitt 1 ved v(t) v0 a t og s(t ) v0 t a t 2 .

2 Oppgåve 2.230

1 a) Vis at 1 x x 2 x 3 } når 1 x x ¢ 1,1².

Vi kan vise at vi kan integrere begge sider av likninga i oppgåve a ved å integrere ledd for ledd på venstre side. b) Vis at 1 1 1 x x 2 x 3 x 4 } ln(1 x ) C 2 3 4 når x ¢ 1,1² for ein konstant C. c) Bestem konstanten C ved å sette inn ein passande verdi for x i likninga.

Sjølv om likninga i oppgåve a ikkje gjeld for x 1 , kan vi vise at likninga i oppgåve b gjer det. d) Finn eit enklare uttrykk for den 1 1 1 uendelege summen 1 } 2 3 4 Oppgåve 2.231

Vi har gitt funksjonen f ved funksjons§ 2k 2 k 2 · uttrykket f ( x ) x ¨ x ¸ der k2 1 ¹ © k , og funksjonen g ved g (x ) x f (x ) Grafane til f og g avgrensar to område.

Bestem det minste moglege og største moglege arealet av området som ligg lengst til venstre.

a

▲ 2.8

2 | INTEGRALREKNING

383

s

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 2.300

Ein funksjon f er gitt ved f ( x ) x 2 5x Grafen til f og x-aksen avgrensar eit område.

Finn likninga for ei rett linje som deler dette området i to like store areal.

Linja skal ikkje vere parallell med y-aksen.

Oppgåve 2.301

Vi har gitt ein polynomfunksjon av andre grad og ein polynomfunksjon av tredje grad. Grafane til dei to funksjonane avgrensar to område som har like store areal. Sjå figuren nedanfor. y

x

Sett opp to funksjonsuttrykk der dette stemmer..

Oppgåve 2.302

Frå vektorrekninga i R1 kjenner vi skalarproduktet mellom to vektorar. For funksjonar har vi også eit skalarprodukt: Når f og g er to funksjoner som er kontinuerlege i intervallet [0, 1], er skalarproduktet definert ved f g

1

³ f (x) g (x) dx 0

4 når f (x ) 4 x 1 og g(x) 2x 2.

3 Som for vektorar seier vi at to funksjonar er ortogonale viss skalarproduktet mellom dei er 0. x og g(x) 3x 2. b) Vis at f og g er ortogonale viss f (x ) 2 c) Finn to lineære funksjonar som er ortogonale og som har grafar som står vinkelrett på kvarandre. (Vink: To rette linjer står vinkelrett på kvarandre viss produktet av stigningstala til linjene er 1.) a) Vis at f g

s

384

2 | INTEGRALREKNING

Oppgåve 2.303

På figuren nedanfor ser du grafen til funksjonen f. y 3

f(x)

2 1 –2

–1

–1

A=4 1

x 2

3

4

5

6

7

8

9

–2 –3 x

Funksjonen g er definert ved g (x )

³ f (t ) dt for t ¢0, 8² .

0

Bestem eventuelle topp-, botn- og nullpunkt for g, og skisser grafen.

Oppgåve 2.304

Alderssamansetninga av Noregs befolkning i 2022 kan modellerast med funksjonsuttrykket F(x) 0,0063x4 1,26x 3 62x 2 500x 60 000 Her er F(x) ein tettleiksfunksjon for alderen x i år. Det vil seie at det bur b

³ F (x) dx menneske med ein alder mellom a år og b år i Noreg. I denne a

modellen er DF [0, 100], så vi antar at det ikkje bur nokon menneske eldre enn 100 år i Noreg. a) Kor mange menneske bur det i Noreg etter modellen? b) Kor stor andel av befolkninga er ikkje myndige (under 18 år)? c) Kor gammal er medianinnbyggaren?

1 Gjennomsnittsalderen er gitt ved formelen B totale befolkninga. d) Kva er gjennomsnittsalderen i Noreg?

100

³ x F (x) dx, der B er den 0

Samlivsekspertar bruker nokre gonger ein modell som seier at partnaren din ikkje bør vere yngre enn halvparten av alderen din pluss 7 år. Vi ser i resten av oppgåva bort frå andre kriterium enn alder for val av partnar. e) Harald er 28 år og vil følge modellen til samlivsekspertane.

42

Forklar at han har ³ F (x ) dx potensielle partnarar i Noreg.

21

f) Forklar at ein person som er t år gammal, bør ha ein partnar der alderen t i år ligg i intervallet ª 7, 2t 14 º . «¬ 2 »¼ g) Kor gamle er dei som har flest potensielle partnarar?

2 | INTEGRALREKNING

385

s

Oppgåve 2.305

Coopertesten går ut på å springe så langt vi klarer på 12 minutt. Da Therese sprang Coopertesten, var farten hennar tilnærma gitt ved funksjonen v(t ) 2, 2 4, 7e t 2, 5e 0,0002t Her er t [0, 720] antal sekund etter at ho har starta, og v(t) farten etter t sekund målt i meter per sekund. a) Kor stor fart hadde Therese da ho kom i mål? b) Kor langt sprang ho på Coopertesten? c) Kor lang tid brukte ho på den første kilometeren? d) Forklar at gjennomsnittsfarten dei første t sekunda er gitt ved t 1 v(x ) dx. funksjonsuttrykket v (t ) t ³0 La t0 vere maksimalpunktet til v . e) Rekn ut v(t 0 ) og v (t 0 ). Kvifor blir svara like?

Oppgåve 2.306

f

a) Finn ein tilnærma verdi for den uendelege summen ¦ n n . n 1

b) Bruk ein tilnærmingsmetode for å finne ein tilnærmingsverdi for 1

integralet ³ x x dx .

0

Oppgåve 2.307

a) Teikn grafane til funksjonane f og g der f (x ) x 5 og g (x ) 1

5

x.

1

b) Bruk grafane til å lage ein hypotese om kva ³ f ( x ) dx ³ g (x ) dx er, utan å 0 0 rekne. c) Undersøk hypotesen ved rekning. d) Lag ein meir generell hypotese, og undersøk ved rekning om han stemmer.

Oppgåve 2.308

Ein sykkel rullar bortover ein flat veg. Luftmotstanden som verkar på sykkelen, er proporsjonal med farten. Frå Newtons andre lov kan vi da sette opp likninga m vc(t ) k v(t ). Her er m 80 (kg) massen til sykkelen med ryttar, v(t) er farten i m/s etter t sekund og k 4 (kg/s) ein proporsjonalitetskonstant. a) Vis at vi kan skrive likninga på forma vc(t ) v(t )

s

386

0, 05

2 | INTEGRALREKNING

b) Forklar at ln |v(t)| er ein antiderivert til

vc(t ) , og vis at v(t )

ln |v(t)| 0,05t C for ein konstant C. c) Kor langt kan sykkelen rulle viss han har ein startfart på v0 5 m/s?

Oppgåve 2.309

Finn ein polynomfunksjon P av grad n ! 1 som er slik at 1

³ P(x) dx 1, 0

2

³ P(x) dx 2 og 0

3

³ P(x) dx

3

0

Klarer du å finne ein polynomfunksjon med heiltalige koeffisientar?

Oppgåve 2.310

a) Ei følge er definert for n 1, 2, 3, } ved at an er arealet avgrensa av x-aksen, linjene x n 1 og x n og grafen til f, der f er ein lineær funksjon.

Vis at følga er aritmetisk, og forklar samanhengen mellom stigningstalet til grafen til funksjonen og differansen til følga. b) Kva kan du seie om følga viss f er ein eksponentialfunksjon?

Oppgåve 2.311

f

Dersom F er ein antiderivert til f, definerer vi integralet ³ f (x ) dx ved a

f

b

³ f (x) dx

lim ³ f (x ) dx

b of

a

a

b

lim ª¬F (x )º¼a lim F (b) F (a)

b of

b of

føresett at grenseverdien lim F (b) eksisterer. b of a) Rekn ut integralet f

1

³x 1

2

dx

b) Kva er arealet av området i første kvadrant som ligg under grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) e x ? c) For kva for eksponentar n avgrensar x-aksen, linja x 1 og grafen til funksjonen g gitt ved g(x) x n eit område med endeleg areal? d) Bruk ein tilnærmingsmetode for å finne f

2

³1 x 0

2

dx

2 | INTEGRALREKNING

387

s

FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) 3, 8, 13, 18, 23 a120 598 b) a1 3 og an an 1 5 når n ! 1 1.11 a) 3, 7, 11, 15, 19 b) an 4n 1

1.13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 1.16 c) an nærmar seg det gylne an 1

1 5 2

når n o f.

1.17 a) Følga konvergerer og har grenseverdien 3. b) Følga konvergerer og har grenseverdien 3 .

2

c) Følga divergerer.

1.18

n

§ 1· lim 1 ¸ e nof¨ © n¹ 3 n § 1· lim ¨ 1 ¸ e3 nof © n¹

1.51 a) k 3 1 b) k

1.26 s15 2480

1.31 a) d 6 og an 6n 1 b) d 17 og an 98 17n 1.32 a) an 98 2n b) 306 kr

1.21 a) s6 51 b) s20 590

1.34 3 a) a1 14 og d 2 31 3 n b) an 2 2 b) 1695 d) 50

1.41 a) 500 500 b) 145 c) 1950

1.44 Det er 20 ledd i rekka.

2

b) n n

3 2

5

1.52 a) an 3n 1 og a10 19 683 b) an a10

625 1

3125 2 3

3 2

1 5

n 1

og

n 1

og a10

6561 256

1.53 a) 406 millionar b) ca. 1017 sølvmyntar

1.42 a) 49 995 000 b) 25 000 000 c) 24 995 000

1.22 a) s5 110 b) s15 2480 c) s101 s100 20 402

c) k

c) an

1.33 a) 3 b) an 4n 7 c) Ledd nr. 28

1.40 a) 235 c) 510

1.20 s5 28, s6 41, s7 58, s8 77

1.23 n2 n a) 2

1.25 s20 590

1.30 a) 12, 7, 2, 3 og 8 b) 24, 22, 20, 18, 16

1.12 a) 16, 8, 4, 2, 1 b) an 25 n

snittet M

1.50 a) 5, 10, 20, 40, 80 b) 16, 8, 4, 2, 1 c) 81, 54, 36, 24, 16

1.24 2000 1,05n 1

1.45 2675 millionar kr

1.60 a) 1023 b) 1,998 c) 720,4 1.61 a) 29 524 c) 10 235

b) 255 d) 1653,30

1.62 a) 393,4 millionar kr b) 2763 millionar kr 1.63 a) 2,5 tonn b) 670 tonn 1.64 a) 194 052 kr b) 343 916 kr c) Etter 14 år 1.65 a) 6579 kr b) 31 904 kr c) 14 år

487

1.70

· a) sn ¸ © ¹ Rekka konvergerer og har 3124 . summen b) sn

3125 § 1 1 4 ¨ 5

n

4 n 3n 1 2

Rekka divergerer. c) sn 1000 1,1n 1 Rekka divergerer. d) sn 1000 1 0,9n Rekka konvergerer og har summen 1000.

1.72 a) Rekka konvergerer og har summen 200. b) Rekka divergerer. c) Rekka konvergerer og har summen

100 .

19

d) Rekka divergerer.

1.73 a) 895 kr b) 11 362 kr c) Nesten 100 000 kr avhengig av levealder.

1.74 1 a)

3

1.75 2 a)

3

1.80 a) x ¢ 1, 1² x b) s(x ) 1 x2 6 d) 5

1.81 a) x ¢m, 1² ¢1, o² x b) s(x ) x 1 d) 1) x 2 2) Ingen x passar.

Oppgåve 7 a) 31 433,26 kr b) 933,26 kr c) 0,45 % c) 556,74 kr

1.82 1 1 a) x , 2 2

1 1 2x

b) s(x ) c) 1) x

1 4

2) Ingen x passar. d) 3 1.83 a) x ¢1, 3² x 2 b) s(x ) 3 x REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 Aritmetisk: 111 Geometrisk: 36 eller 36 Oppgåve 2 10 g 9,92 g Oppgåve 3 a) Utskrifta blir: 580, 610, 640, 670, 700, 730, 760, 790, 820, 850, 880, 910 b) Det blei selt i alt 8940 radioar c) 2710 72 md. d) 30 540 radioar e) sn 15n2 565n f) Etter ca. 13 md.

Oppgåve 4 To løysingar: 8 a3 viss k a3

9 16 9

1 .

3 1 3

viss k .

Oppgåve 5 a) 2,81 10 12 g b) 7,14 10 12 g c) 1,75 10 13 g d) 10 dagar

2 2.10 a) 2x 4 b) 6x 2 8x 3 c) 4x 3 6x 2 10x 2 2.11 a) f c(x ) 3x 2 8 x 1 b) f c(2) 5 c) y 5x 2 2.12 a) f c(x ) 5e x 6 x 2 b) g c(x )

3

2) nr. 8 3) 1 k 1 Summen er 6. b) 1) Df ¢ 3, 3² 3 x 3

5 3

x x2

c) hc(x ) 2000 ln1, 05 1, 05x 2.13 a) f c(x ) 10e 2 x 4 8 b) g c(x ) 2x 1 x c) hc(x ) x2 1 2.14 a) f c(x ) 2 x ln x x b) g c(x )

x 3 ex x4 2 2 x 1 ex 2

c) hc(x )

Oppgåve 6 2 a) 1) k

2) f (x )

Oppgåve 9 a) 369,75 millionar tonn CO2-ekvivalentar. b) 357,20 millionar tonn CO2-ekvivalentar. c) Den lågaste faste prosenten er 7,9 %.

x3

2.20 a) 2x2 2x C 1 b) x 3 2 x 2 C 3 1 4 1 2 c) x x C 2 2 d) x4 3x2 x C

488

2.21 F(x) 2x4 4x3 5x2 3x 2 2.22 a) x2 x C b) 4x C c) x3 2x2 x C 1 5 d) x 3 x 2 6 x C 3 2

c) 2x 3x C 2.42 a) 67 500 e0,08x C b) 262 348 1,05x C

2.23 1 1 a) t 2 C t 2 1 1 b) 2 C x x

2.43 2 a) 2 xe x 1 2 b) e x C 2

c) t 2 3 3 t 5 C

2.50 71 a) A | 35, 5 2 b) A | 41,1 c) A | 40,9 124 d) A 3

d) 5 x C 2.24 240 m 2.25 a) f(x) 2x2 2x 2 b) f(x) 2x3 5x 2 c) f(x) 2x3 3x2 1 2.30 a) 3ln x C b) x 2 x 2 ln x C c) 2 x 3 x 2 x ln x 2.31 a) x ln x C b) x 2 x 2 ln x C

2.41 3 x a) 2 C ln 2 1 x 3 C b) 2 x ln 3

1 C x

2.51 a) 1) 0,35 2) 0,383 3) 0,386 b) 0,386 c) 2 ln 2 1 2.52 c) 2,7 d) 2,7 e)

8 3

2.62 a) e 1 31 b) ln 2 c) 1 2.63 b) 1 2.64 e 1 b) 2 2.70 32 2.71 3 ln 4 2.72 2 ln 2 2.73 a) x 2 og x 29 c) 6

3

2.74 1 e 2 e 2.75 a) 0 b) 8 2.76 8

2.32 a) ln x 1 C 1 b) ln 2 x 1 C 2

2.53 b) 20 c) 20

2.80 8 3

2.33 a) ln x b) x ln x x C

2.54 32 3

2.81 32 3

2.60 a) 10 b) 60 c) 6

2.82 a) x 0, x 1 eller x 2 1 b) Arealet er .

2.40 a) 2ex C b) 3x2 3ex C c) 2e2x 3e3x C d) ex e x C

2.61 a) 12 b) 12 7 c) 4

2

2.83 a) x 3, x 1, x 1 eller x 3 784 b) 15

489

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 1) 2xe x 2) 4x2e 2x b) 1) 2x 2 e x C 2) 2x2 2x 1 e 2x C Oppgåve 2 a) 2x4 2x3 5x C 3 b) 3 ln | x | 2 C x Oppgåve 3 b) 20,83, 20,83 c) 20,83, 20,83 125 d) 6 125 e) 6 Oppgåve 4 a) 4 2 2 64 b) 5 Oppgåve 5 9 Oppgåve 6 9 a) 2 b) a 1,9459 Oppgåve 8 b) 0,855 1 c) e 2 | 1, 086 e 2 e) 2e 4 | 2,172 e

3.12 a) 2990 kWh b) Ja, bilen kan køyre 1495 mil.

Avstanden Oslo – Cape Town ca. 1400 mil.

3.32 a) 14,5 b) 14,5 c) Dei gir same svar ettersom f(1) f(5).

3.13 a) 393 millionar kr per år b) 2763 millionar kr c) 2859 millionar kr d) Bedrifta har auka omsetninga jamt gjennom året.

3.33 a) 4,51 b) 4,81 c) 4,66

3.14 a) 12,9 tonn per år b) 462 tonn c) 450 tonn d) Bedrifta har redusert utsleppet ved kvart årsskifte.

3.20 a) 6,191 c) 6,230 7,045 7,243 7,177 7,178

2) 7,045

3.22 a) 1) 3) b) 1) 3)

25 16,25 16,29 16,67

2) 25

5

c)

³ 0

3

490

2) 17,04 50 3

Midtmetoden gir best tilnærming.

3.31 a) 17,5 b) 16,669

3.11 a) 71 500 barn per år b) 1,8 millionar barn c) 60 100 barn per år

2) 7,177

x 2 2 x dx

3.30 a) 7,05 b) 7,177

5

c)

³ 0

t (s)

a (m/s2)

1

2,5

2

4,5

3

5,5

4

6,5

5

6,0

6

3,5

b) Like under 20 m/s

3.21 a) 1) 3) b) 1) 3)

Oppgåve 9 b) 533 m2 c) 308 m2

3.10 a) 421 tonn per veke b) 17 051 tonn c) 328 tonn per veke

b) 6,269

3.34 a) Bremselengda er 112 m

x 2 2 x dx

50 3

Fleire trapes gir betre tilnærming.

3.35 a) 64,0 kWh b) Litt over 15 min.

3.40 a) 2x 3 4 C b) 2e2x 1 C c) 3 cos 2Sx C 1 d) ln 3x 1 C 3 3.41 a) 2 ln 2x2 5 C b) 2 ln x 3 1 C 1 1 C c) 2 2 (x 3)2 3 1 d) x 2 1 C 6 3.42 a) 10 b) 2 ln 7 2 ln 5 8 c) 5 3.43 2 a) 2e e

b) 0 8176 c) ln 2

3.44 5 timar x

3.50 a) 2x 1 ex C b) 2 x 1 ex 1 C c) 2 3x 1 e3x C 1 4 x 1 8x 3 C d) 20

3.74 1 a) 4

b) x 2 x

1 2

2

4

1

b) x 2 x ln x x 2 x C 2

2

1

3

2

c) 2 x 3 x 2 ln x x 3 x 2 C 3.60 a) 2 ln x ln x 2 C b) ln x 1 2 ln x 2 C c) ln x 2 ln x 2 3 ln x 3 C 8 3

3 ln 2 ln 3

3 4

ln 3 2 ln 2

3.62 a) 2 x ln x 2 ln x 1 C 2 3

c)

4S 15

3.90 a) x 0 § 8· c) ¨ 2, 2 ¸ © e ¹ 20S f) 4 S 2 e

Oppgåve 1 a) 2 e4 e3 b) 3 ln 3 c) ln x 3 ln x 1 C ln x 1 C x 3

§ 4· b) ¨ 1, ¸ © e¹ 8 e) 4 e g) 16S

40S e

Oppgåve 3 2 a) e x C b) ln x 2 ln x 5 C

c) Vendepunkt: 3 , 3

Oppgåve 4 a) ln x 2 9 C b) ln x 2 9 C

3, 3

3.92 a) Vertikale asymptotar: x 3 og x 2.

Horisontal asymptote: y 0.

35 15 b) y x 16 16

3.71 a) 1 1 b) S e 2 1 4

d) 1, b)

38S 15

Oppgåve 2 1 a) x 5 2 x 2 C 5 1 b) e 2 1 4 1 3 c) ln 3 3

3.91 a) x 0 b) Botnpunkt: 1, 2 Toppunkt: 1, 2

e) 2 ln 5

D

1 a1 n n 1 b) lim A(a) eksisterer når n ! 1. aof 1 Da er lim A(a) aof n 1 1 a 2n 1 c) V S 2n 1 1 d) limV (a) eksisterer når n t . aof 2 S Da er limV (a) aof 2n 1 a) A(a)

REPETISJONSOPPGÅVER

3.83 a) 1,56 dL b) 138 g c) 279,4 cm2

og

3.70 26S 3

3.72 26S a) 5

4S 21

3.82 a) Ein halvsirkel b) Ei kule

e2x C

3.53 1 1 a) x 2 ln x x 2 C

b) 6 ln

3.94

3.81 56S 3

3.52 a) x 2 2 x 2 e x C

b) ln

b)

1

c) V (a) S 1 a d) S

3.80 16S 5

3.51 a) 2 e 388 b) 5

3.61 a) ln

3.93 a) A(a) ln a

3.73 a) e e 1 S e 2 2 b) e 1 2 c) 2Se2

4,98

5 4

og

18 105 , 7 16

e) 4 ln 3 5 ln 2 2125 4 ln 2 3 ln 3 5 ln 7 f) 224

Oppgåve 5 S

1 4 e 2

2e 2

7 2

| 50, 33

Oppgåve 6 27 S 4 Oppgåve 7 a) 13,91934 b) 13,9359 c) 9,9327

491

Oppgåve 8 1 b) x e § 1 e· , ¸ c) ¨ © e 2¹ 6 ln x 1 d) f cc(x ) x4 § 1 5 1 · e) ¨¨ e 6 , e 3 ¸¸ | 0, 85, 1,16 6 ¹ © 1 f) e 2 ln 3 | 1, 685 3 Oppgåve 9 b) 20 000 kr per dag i dag og 10 000 kr per dag om 1 år c) 10x 150e 0,2x 100e 0,4x d) 3 600 000 kr. Det er ein tilnærmingsverdi for årsomsetninga.

Oppgåve 10 28 c) 3 208S d) 5 Oppgåve 11 16 a) 3 256 b) S 15 8S c 2 c c) V 15 a d) a 0,28 og c 3,98 Oppgåve 12 Arealet er 4.

4 4.10

a) 4u 5 7 b) u v 6 6

c) 0 4.11 a) Parallelle b) Parallelle c) Ikkje parallelle

492

4.13 Punkta ligg på linje.

4.36 a) C 5, 5, 3 , F 4, 3, 3 , G 5, 6, 5 og H 2, 5, 4

4.20 c) 3 d) 4 e) 4

b) d) e) f)

4.21 b) Volumet er 4.

Arealet er 4. c) Avstanden er 3.

4.40 a) 5 b) 5 c) 0

4.22 a) >4, 1, 4@ b) > 2, 3, 2@ c) >11, 1, 9@ d) > 9, 10, 5@

4.41 a) x 5 b) x 2 4.42 b) t

4.23 a) Parallelle b) Ikkje parallelle

4.31 1, 1, 2 4.32 a) D 10, 2, 2 b) Ja 4.33 s 2 4.34 a) 14 b) 14 4.35 a) 3 3 b) 21

1 3

§ 4 7 11 · c) D ¨ , , ¸ ©3 3 3 ¹

4.24

a) u c når t 2.

b) u || a når t 2.

4.30

a) OA >2, 1, 0@, OB og AB >1, 2, 1@ b) C 1, 2, 1

11, 14 og 5 11 1,16 2,40

4.43 a) 64,2q b) 123,1q c) 90q

>3, 3, 1@

4.44 b) AB 30, AC 29 og BC 3 c) DA 18,3q, DB 77,8q og DC 83,9q § 8 13 11 · d) N ¨ , , ¸ ©3 3 3 ¹ 1 86 e) 2 f)

1 15

645

4.45

a) a b 0, a c 9 2 , b c 12 b) 44 9 2

c) u 5, v 148 og

(u, v ) 21,2q 4.50 a) 1 b) 8 c) 22 d) x

4.51 a) 83 b) 45 c) 0

4.71 a) B ligg i planet. b) A ligg i planet.

4.52 a) >9, 5, 1@ b) >3, 1, 7@ c) > 22, 4, 14@ d) >0, 0, 0@ 4.53 a) C 5, 5, 5 c) 6 6 d) 29 4.54 b) 65 65 c) 3 4.55 b)

11 2

6

4.72 a) 3x y z 7 0 b) 3y 4z 16 0 4.73

a) n ª¬7, 1, 6 º¼ b) 7x y 6z 1 0 c) 7x y 6z 1 0 d) D ligg i planet.

4.74 a) 2x 6y 7z 1 0 b) 3x 3y z 10 0 c) Planet er ikkje eintydig bestemt.

Dei tre punkta ligg på linje.

4.80 a) ­ x 2 2t ° l : ®y 3 t °z 1 3t ¯

4.56 b) Vektorane er parallelle.

b) 0, 2, 2 c) 0, 2, 2

4.60 a) 11 11 b) 90

4.81 ­x 2 t ° a) ® y 2t °z 3 2t ¯

4.61 a) C 3, 5, 4 230 49 d) 3 e) 33,6q c)

4.62 b) 13 39 c) 149 d) 3,4 4.63 b) Punkta ligg ikkje i same plan.

4.70

a) n

b) n

ª¬2, 3, 3º¼ ª¬1, 1, 1º¼

b) c) d) e)

1, 2, 5 1, 2, 5 3 3

4.82 5, 3, 1 og 9, 6, 4 4.83 82,2q 4.84 42,9q 4.85 a) D 4x 5y 7z 9 0 b) ­ x 1 2t ° ®y 1 °z 5t ¯

4.90 2 1, 41 4.91 5 2, 24 4.92 41 2,13 3 4.93 12 a) 17 5 c) 6

b)

3 6

d) 2

4.94 a) 4x y 5z 2 0 b) d)

42 22

42 22 e) 3 4.95 4 b) 14 REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 3, 3 og 10 b) 4 c) 63,6q Oppgåve 2 b) M 4, 2, 0 c) 30 Oppgåve 3

a) a a 4, b b 16 og c c 36

b) a b 4 3, a c 6 2,

b c 12 c) 4 3 6 2 28

d) u 32 8 3 12 2 | 5, 37,

v 2 7 e) 21,6q Oppgåve 4 16 3

c) 31,9q

493

Oppgåve 5 a) A 27,0q b) > 4, 1, 3@ 1 26 | 2, 55 c) 2 13 | 1, 36 7 f) > 4, 1, 3@ Dei to vektorprodukta er like. Forklaring: Ettersom linja l er parallell med AB, vil ikkje arealet av trekanten ABP endre seg når vi flyttar punktet P langs linja.

Dermed må

absoluttverdien av AB u AP vere uendra og dermed ha same verdi som

absoluttverdien av AB u AC .

Ettersom A, B, C og P ligg i same plan, har vektorane også same retning.

d)

Oppgåve 6 a) 2x y 2z 1 d) 7 21 e) 2 ­ x 0 2t ° f) ® y 6 t ° z 8 2t ¯

0

§ 14 11 10 · g) ¨ , , ¸ © 3 3 3¹ Oppgåve 7 b) 82,4q c) 2 14 d) 2x 3y z 4 0 e) 8x y 7z 6 0 f) 72,5q g) 56,3q 44 h) 3 Oppgåve 8 a) 2) 79,7q d) 7x 8y 3z 16 0

Oppgåve 9 a) 40 b) 35,3q c) > 6, 6, 27@ 3 d) 89 2 3 89 e) 7 1 f) t 32 2 g) T 6, 14, 10 eller T 66, 202, 62 h) T 30, 94, 26

sin v

2 2 tan v 1

d) 2S 5.13 a) 30q c) 150q 5.14 3S a) 4 4S c) 3 e) 1,95

S 4 2S e) 3

3 2 3

tan v

3 2 1 sin v 2 1 tan v 3

d) cos v

c)

S 2

e) cos v b) 135q d) 270q

b)

5S 6

d) 4S f) 4,15

5.15 a) 120q b) 315q c) 330q d) 57,3q e) 140,4q f) 435,4q

2 2

1 c) cos v 2

120q, v 200q og 150q 390q, v 660q og 750q

b)

3

sin v

sin v

5.12 S a) 6

1

b) cos v

5

2

1 2

tan v

c) Volumet er 1.

5.11 a) u w b) u w

3 2

a) cos v

5 2

b) k 1 eller k

0,35 og sin v 0,95 0,95 og sin v 0,35 0,7 og sin v 0,7 0,95 og sin v 0,25

5.21

Oppgåve 10

a) AB AC 4 2k , k 2

5.16 1 T v r2

494

5.20 a) cos v b) cos v c) cos v d) cos v

sin v tan v

1 2 1

3

f) cos v sin v tan v 5.22 a) cos v b) cos v c) cos v d) cos v e) cos v

3 2

1 2

3 2 3

0, 5 og sin v 0, 866 0, 707 og sin v 0, 707 0, 5 og sin v 0, 866 0, 801 og sin v 0, 598 0, 540 og sin v 0, 841

5.33 S a) v v 3 S v b) v 4 7S v c) v 6

5.23 a) cos v 1 sin v 0 tan v 0 b) cos v 1 sin v 0 tan v 0

5.34 a) v 0,41 n 2S v 2,73 n 2S b) v 3,82 n 2S v 5,61 n 2S

c) cos v 0 sin v 1 tan v ikkje definert d) cos v 2 2 tan v 1

2S 3 3S 4 11S 6

c) v

2 2

3S 2

n 2S

5.35 1 a) x x 3 4 x b) x 3 3 c) x x 4

sin v

1 2 3 sin v 2 tan v 3

e) cos v

5.40 a) v b) x c) x d) x

3 2 1 sin v 2 1 tan v 3

f) cos v

5 3 8 3

9

4

3

5.30 a) v 23,6q v 156,4q b) v 53,1q v 126,9q c) v 203,6q v 336,4q 5.31 a) v 0q n 360q eller v 180q n 360q b) v 90q n 360q c) v 270q n 360q d) Inga løysing 5.32 a) v 53,1q v 126,9q b) v 197,5q v 342,5q

5.42 a) x S 3

60q v 300q 150q x 210q 180q 90q x 270q

2S 3

x

4S 3

b) x 1,91 x 4,37 c) x

5.51 a) v b) v c) v d) v

45q v 225q 116,6q v 296,6q 1,16 v 4,30 56,3q v 123,7q

5.52 a) x b) x c) x d) x

2,68 x 0,93 x 2,16 x 0,59 x

S 2

x

3S 2

d) x 0 5.43 S 5S a) x x 6 6 1 1 b) x x 3 3 1 3 x c) x 4 4 d) x 6,02 x 8,98

0,46 2,21 0,98 2,55

5.60 3 4 a) cos v og tan v 5

15

b) cos v

5.41 a) v 53,1q v 306,9q b) v 36,9q v 323,1q c) v 143,1q v 216,9q d) Inga løysing

5.25 a) For eksempel v 60q og v 420q b) For eksempel v S og v

5.50 a) 2,7 b) 1 c) 1,73 d) 1,89

5.61 cos v 5.62 a) x x b) x c) x x

4 1 5

3

og sin v

15

2 5

0,20 x 0,30 x 2,84 2,94 1,91 x 4,37 1,11 x 1,25 x 4,25 4,39

5.63 S a) x x 6 S x b) x 4

5S x 6 7S 4

3S 2

5.64 3S x x 2, 03 x 4 5.65 a) x 1,11 x x

1

og tan v

7S 4

b) x 0 x

S x 1,11 4

3S x 4, 25 4 3S x S 4

7S x 2S 4 5S 2S c) x x x 6 3 x

S x 6

495

S 3

5.70 a) c)

REPETISJONSOPPGÅVER 1

b)

3

1

g)

8

h)

3

5.71 sin15q cos15q tan15q

8 3 8

f)

3 8

Oppgåve 1 a) sin 36,9q 0,6, cos 36,9q 0,8, tan 36,9q 0,75 b) 1) x 36,9q, x 143,1q 2) x 53,1q, x 306,9q 3) x 36,9q, x 216,9q

3

d)

3

e)

1

3

1

Oppgåve 2 a) 150q 5S b) 12

8

6 2 4 6 2 4 6 2 6 2

5.72 cos 3x sin 3x 5.73 a) 2 2 sin x b) 2 2 sin x 5.75 b) cos 3v

3 1

5.80 S 3S a) x x 4 4 1 2 x b) x 6 3 c) x 0,63 x 1,37 5.81 a) x 0 x

S x 2S 2 5S 11S x b) x 24 24 c) x 1,28 x 0,46 d) Inga løysing 5.82 a) x 0 x

S x 2S 2 5S 11S x b) x 24 24 c) x 1,28 x 0,46 d) Inga løysing

496

7S 11S ,x 6 6

Oppgåve 12 1

Oppgåve 3 24 7 cos v , tan v 25 24

Oppgåve 5 3S 7S eller x a) x 4 4 S , x S, x b) x 0, x 2 x 2S Oppgåve 6 S 3S x ,x ,x 8 8

Oppgåve 10 S 5S x ,x ,x 6 6

Oppgåve 11 x 15q , x 45q, x 135q, x 165q

Oppgåve 14 2 2 cos v , sin 2v 3

2 3 Oppgåve 4 3 1 S 5S a) x eller x 6 6 5 7 eller x b) x 2 2

4 cos 3 v 3 cos v

Oppgåve 9 5S 7S 17 S 19S ,x ,x ,x a) x 12 12 12 12 b) x 1,07, x 2,45, x 4,21, x 5,59

7 , tan 2v 9

cos 2v

3S eller 2

4 2 7

Oppgåve 15 a) 2(sin x cos x ) 1 b) 1 3 sin x cos x 2

6

9S 11S ,x 8 8

Oppgåve 7 a) x 0, x 2,42, x π, x 3,86 S 2S 7S 5S b) x ,x ,x ,x 6 3 6 3 c) x 0, x 1,85 S S ,x , x S, d) x 0, x 4 2 3S 5S ,x x 4 2 Oppgåve 8 a) x 0, x S, x

3S 2 S 5S 2S ,x ,x ,x b) x 6 6 3 S 2S 3S ,x ,x ,x c) x 3 3 4 S 3S , x S, x d) x 0, x 4 4

4 2 , 9

4S 3 7S 4

6.10 a) Ingen nullpunkt b) Maksimumsverdien er 5 for x c) Minimumsverdien er 1 for x 6.11 a) x

7 6

og x

11 6

b) Maksimumsverdien er 3 for x c) Minimumsverdien er 1 for x 6.12 a) f (x ) 3 sin

S S x 2 2

b) f (x ) 4 sin

S 3S x 4 4

2 1

c) f (x ) 4 sin 2 x S 1 eller f (x ) 4 sin 2 x 1

3S .

2 S .

2

1 .

2 3 .

2

6.13 a) Amplitude 3, periode S og likevektslinje y 5 b) Amplitude 2, periode 4 og likevektslinje y 3 c) Amplitude 3 , periode 6 og likevektslinje y 1 6.14 a) Amplitude 6, periode 2 og likevektslinje y 3 b) Største verdi f(0,5) 9 og f(2,5) 9 c) Minste verdi f(1,5) 3 og f(3,5) 3 d) x

7 ,x 6

11 ,x 6

19 6

og x

6.32 a) x 2 og x 10 b) Største verdi f(0) 1 og f(12) 1 c) Minste verdi f(6) 3 e) x 4 x 8 6.33 a) 23q, 40,3q, 5,7q b) kl. 12.00, 43q c) kl. 00.00 og kl. 24.00, 3q e) kl. 7.22 og kl. 16.38 6.40 S a) 2 sin x

f) x 1,3, x 1,7, x 3,3 og x 3,7 6.20 a) Amplitude 6, periode 365 og likevektslinje y 12 b) 1. januar: 6 timar og 5 min 1. juli: 17 timar og 55 min c) 6 timar og 18 timar d) Lysaste dag nr. 173 (21. juni) Mørkaste dag nr. 356 (22. des.) f) 9 timar lys dag nr. 52 (20. feb.) og dag nr. 295 (21. okt.)

b) 2 sin x

S 3

c) 2 sin 2 x

5S 6

3

6.41 S a) f (x ) 4 sin Sx 6

b) Amplitude 4 og periode 2 2 ,4 3

Botnpunkt: e) x

1 x 3

5 , 4 3

1

6.21 a) h(x) 44,3 sin 0,503x 2,72 173 c) h 17 153 Modellen passar bra.

6.50 a) Nullpunkt: x S, x 0 og x S S Brotpunkt: x r

6.22 a) T(x) 9,2 sin 0,56x 2,4 7,9

b) Nullpunkt: S x r , x 0 og x r S

6.23 a) g(x) 20 sin 0,26x 1,6 23 d) 23 gradar 6.30 a) f (x ) 3 cos

S x S 2

2

3S 2

1

b) f (x ) 4 cos 2 x

6.31 2S a) Amplitude 2, periode og 3 likevektslinje y 1 b) Amplitude 1, periode 6 og likevektslinje y 3 c) Amplitude 3, periode 12 og likevektslinje y 5

2

2

Brotpunkt: x r x

S r 4

3S 4

og

c) Nullpunkt: x 0 Brotpunkt: x rS 6.51 a) x

1 2

og x

5 2

b) x 1, x 1 og x 3 1 2

d) x x

S x 3

6.61 a) 2 cos 2 x

6.62 a) 5sin x C b) cos x 3 sin x C c) 2 d) 3

d) 5 sin Sx 0, 93 5

c) Toppunkt:

f) 3S cos

b) 2 x cos x 2 c) 2sin x cos x

4

23 6

6.60 a) 2 cos x 3 b) 2 cos 2 t c) cos x x sin x 2 cos t d) 2 sin t e) 2S sin(Sx )

3 2

6.63 a) 2 sin 3x 1 C b) 2 sin x 2 C c) 0 3 3 d) S 6.64 a) sin x x cos x C b) cos 2 x 2 x sin x C c) 2 x 2 sin 2 x 2 x cos 2 x sin 2 x C 6.65 S S 3 a) Toppunkt: §¨ , ·¸ og 12 12 2 © ¹ § 13S , 13S 3 · ¨ 12 12 2 ¸¹ © 5S 5S 3 Botnpunkt: §¨ , ·¸ og © 12 12 2 ¹ § 17 S , 17 S 3 · ¨ 12 12 2 ¸¹ © S2 c) 2 6.66 b) Arealet er 2 S2 c) 2 6.67 b) Summen er 0 når x 1 ellers

S n S, 2

497

6.70 c) Skjering med x-akse: 1, 0 og 2, 0 Skjering med y-akse: 0, 2

6.82 b) Ellipse 3 d) y x 2 3 5

6.71 b) Skjering med x-akse: 1, 0 og 4, 0 Skjering med y-akse: 0, 2 og 0, 2

6.90

21 a) v(3) ª«12, 9, º» 2¼ ¬

6.72 a) ­ x t 2 ° ® y t 1 °z t 2 5t 6 ¯ c) Skjering med xy-planet: 5, 2, 0 og 4, 1, 0 Skjering med xz-planet: 3, 0, 2 Skjering med yz-planet: 0, 3, 20 6.73 b) 60 m c) 21 m

ª¬2t , 2, 2t º¼ ª3t 2 1, 2 , 2 º t t 2 ¼» ¬«

c) r c(t ) ª¬2t , 2e t , cos t º¼ 6.81 c) ­ x 3 4t ° ® y 3 2t °z 5 4t ¯

d) 3, 3, 5 og 1, 1, 1

498

Oppgåve 1 a) Amplitude: 3, periode: 8, likevektslinje: y 2 b) x 2,93 og x 5,07 c) 5, x 0 eller x 8 d) 1, x 4 f) x 2 eller x 6

Farten er 18,3 m/s.

b) a(3) ª¬0, 0, 10 º¼ Akselerasjonen er 10 m/s2.

41 c) v(4) ª«12, 9, º» 2¼ Farten er 25,4 m/s. d) 60 m 6.91 a) r (t ) ª3 cos

S t 4

«¬

b) v (t ) ª 3S sin ¬« 4

2, 3 sin S t 4

,

Farten er 2,36 m/s

S t 4

Oppgåve 2 b) tan x Oppgåve 3 a) 2 sin 2Sx C b) 3 cos x 2 C 1º ¼»

3S S cos t 4 4

3S 4

º ¼»

m/s

2 2 c) a (t ) ª 3S cos S t , 3S sin S t º «¬ 16 4 16 4 »¼

6.74 a) Skjering med xy-planet: 2, 1, 0 Skjering med xz-planet: 6, 0, 1 Skjering med yz-planet: 0, 2, 1 og 0, 3, 2 c) Skjering med D: 2, 4, 3 og 6, 0, 1 d) Skjering med l: 6, 5, 4 6.80

a) r c(t )

b) r c(t )

REPETISJONSOPPGÅVER

Akselerasjonen er 1,85 m/s2 § 3S2 2· ¨ 16 m/s ¸ © ¹

Oppgåve 4 a) ­ x 7 5 cos t K :® , t ª¬0, 2S º¼ ¯ y 1 5 sin t c) ­ x 10 4t ® y 3 3t ¯ Oppgåve 5 b) Toppunkt: 0, 1,6 og 2,5, 1,6 Botnpunkt: 1,25, 0,8 c) 0,29 s, 2,21 s og 2,79 s 4S t 0, 93 5

6.92

a) r (2) ª¬10 10e 2 , 20e 2 º¼ | ª¬8,65, 2,71º¼

e) g (t ) 0, 5 sin

Posisjonen er 8,65, 2,71 .

b) v (2) ª¬10e 2 , 10e 2 º¼ . | ¬ª1,35, 1,35º¼

Oppgåve 6

2t t b) v (t ) ª«15, 20 , 2 º» 5 50 ¼

401 2 402 v (t ) t t 629

Farten er 1,91 m/s.

c) a(2) ª¬ 10e 2 , 0 º¼ | ª¬ 1,35, 0 º¼ Akselerasjonen er 1,35 m/s2. d) Etter 1 sekund. e) Farten er 3,68 m/s, akselerasjonen er 5,20 m/s2.

1, 2

f) 1,0 m

2500

2 1 c) a(t ) ª«0, , º» 5 50 ¼ ¬

401 a(t )

25

50

d) Etter 50,1 s, 15,0 m/s. e) 1871 m, 18,7 m/s Oppgåve 7 a) x 0, x S, x 2S c) Toppunkt: 2,03, 1,82 og 2S, 0 Botnpunkt: 0, 0 og 4,91, 4,81 d) Maksimumsverdi: 1,82, minimumsverdi: 4,81 e) S

FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) 1, 2, 7, 14, 23 b) 0, 2, 6, 12, 20 3 4 5 6 2 3 4 5

c) 2, , , ,

1.111 a) 4, 10, 28, 82, 244, 730, 2188, 6562 c) Summen er 9848.

1.137

1.121 a) s3 14, s5 55, s8 204 1 b) n n 1 2n 1 6 d) 5525

an

1 2 n 2

1.138 n ! 6

1.122 48 a) 49 c) 0,9999

1.140 a) 610 b) 340 c) 820

1.112 a) an 2n b) an n2

1.123 1 1 1 1

1.113

1.124 14 621,19

c) a10

1.125 6,67

1.142 a) n 11, s11 407 b) n 13, s13 702 c) n 40, s40 2460

a) an b) an

1 n2 1 2n

c) an 2n 1 n 1 d) an n 1.114 2, 4, 14, 40, 122 1.115 a) Konvergerer, 1 b) Konvergerer ikkje c) Konvergerer, 0 1.116 a) 21 b) Tn Tn 1 n, Tn Tn 1 n2 1 c) Tn n n 1 2 1.117 a) Figur 4: 37 kuler Figur 5: 61 kuler b) Fn 3n2 3n 1 c) Figur 15 1.120 a) 35 b) 345

2

3

| 2, 0793

4

1 997

1 998

1.130 a) a7 29, a11 45 b) an 1 4n 1.131 a) a10 54, a20 104 b) an 4 5n 1.132 a) Aritmetisk, d 3 b) Aritmetisk, d 4 c) Ikkje aritmetisk 1 d) Aritmetisk, d 2 1.133 b) Følga er aritmetisk.

1.134 a) a1 30, d 5 1 1 b) a1 , d 4 2 c) a1 4, d 2 1.135 a) 112 b) 13 veker

1 999

1 1000

1.141 a) a10

37, s10 190 145 14, s10 2 4, s10 140

b) a10

1.143 a1 3 1.144 a1 12, d 10 og s15 870 1.145 a) a15 43 b) an 4n 17 d) s100 18 500 1.146 45 045 1.147 a) 1) 2) b) 1) 2)

935 1175 25 675 61 490

1.148 a) 22 sider b) 238 sider

1.136 an 15 3n

499

1.150 a) 2, 6, 18, 54, 162 b) 4, 8, 16, 32, 64 1 3 9 27 81 c) , , , , 2 2 2 2 2 3 9 27 81 d) 1, , , , eller 2 4 8 16 3 9 27 81 1, , , , 16 2 4 8 1.151 a) Ja, k 5 b) Nei 1 c) Ja, k 4 d) Nei

1 2

1.156 a) x 1 1 b) x x 1 6 c) x 1 x 0 x 1 1.160 a) 6560 b) 1,9995 c) 3410 1.161 2000 kr (2001,50 kr)

b) k c) s n d) 10

500

1.166 a) 23 sider (23,4) b) 14 veker

1.169 a) Ola har ikkje råd. b) 56 506 kr (56 506,38 kr)

1.155 b) an 12 500 1,05n c) 21,6 %

a3 a2

1.165 a) 80 b) 25

a4 a3

a5 a4

3 9 ,a 2 7 64 n · 2 §§ 3 · ¨ ¨ ¸ 1¸ ¨ ¸ 81 © © 2 ¹ ¹

3 2

1.170 4 a) 3 8 b) 5 3 3 c) 3 1 5 d) 9

1.173 256S | 268,1 3 1.174 a) 2,36 cm b) 33,0 cm c) Nei. Pålen kjem 62,5 cm ned i jorda.

1.168 a) 187 315,48 kr b) 143 606,40 kr

1.154 12

1.162 a a) 2 a1

1.164 b) 14

1.167 a) a2 26 250, a5 30 388 b) 314 447 par ski c) 31 445 par ski

1.152 a) 9 tonn b) 8 tonn 1.153 a) x 2, y 1 b) 4

1.163 13 265,95 kr

3 3 3 2

1.171 a) Konvergerer, s 200 b) Divergerer, k 1,05 c) Divergerer, k 1,1 2 8 d) k ,s 4 2 2 2 2 2

1.175 a) 1,89 mg b) 6,43 mg c) I det lange løp vil giftmengda nærme seg 8 mg. Giftmengda i kroppen nærmar seg derfor grensa for det helseskadelege.

1.176 3,2 mg 1.177 a) 1,85 kg c) s20 51,3 kg d) Den totale massen nærmar seg 80 kg.

1.178 a) Geometrisk rekke b) 332,3 cm c) Rekka konvergerer. d) 526,3 cm 1.179 b) S 2n 1 e) 1 f) 1 1.180 a) k 3x c) s(x ) d) 4 1 e) 6

1 1 3x

1.172 1.181 a) 1) 494,2 2 x a) k c) s(x ) 2) 172 2 2 x b) Rekke 1 konvergerer. Summen 4 4 er 500. d) 1) 2) 3 5 Rekke 2 divergerer. e) x 1

1.182 1 a) x 1, 3 , 3 x x b) x ª¬0, 1 , 1 x c) x 1.183 a) D f

1.202 a) FigurSummen av prikkar, fn

1 , o , x2 2

b) fn 8n 7 c) Talet på lag, n

1, 1

Summen av kuler, Sn

1 b) f (x ) 1 x 2 c) x 3 d) Nei

d) Sn

2

1.184 a) x 0, o

4 5 6 7 8

2

3

4

5

1

4 10 20 35 1 3

x2 2x 1 d) x 0,6 eller x 3

b) a1

1.191 a) 2n 1 n 1 1.195 Eksplisitt formel: an

while sum < 10: if int(sum) < int(sum+1/i): print("Ledd nr.", int(sum)+1, "er", i) sum += 1/i i += 1

1.204 a) Veksande for x >0, 1@ og minkande for x >1,o².

Horisontal asymptote y når x o f.

c) s(x )

c)

n

1 5

1.206 x 3

1.201 100 a) 99

1.207 60 100 2

2n 1

7 10

1.208 a) an 31 c) 16

1.214 42 1.215 1504 1.216 3n 1 1.217 16 1 0,57

1 5

1.218 x 4, a1 a4

4, a2

3 6 , a5

2 6 , a3

6,

9

1.219 25

1.205 6n 1

1.200 3, 5, 11, 21, 43

1.211 a) 36 km b) 18 veker c) 78 mil

1.213 c) 250 000 d) 250 500

sum = 0 i = 1

9

1.186

1.210 a) 41 fyrstikker b) 4n 1

1.212 a5 44

n2 n

b) Ein eksponentialfunksjon ser ut til å passe. Vi kan vise at når n blir stor, er an | e n J , der γ | 0,577 er ein matematisk konstant som blir kalla EulerMascheroni-konstanten.

1.185 16 x 14 og y eller 9 35 1 x og y 16 288

2

1 2

1

3

1 b) s(x ) 1 2x c) x 1

2n

1 3 n 6

1 9 17 25 33

1.203 a) Forslag til Pythonkode: 1

b) an

1 2 3 4 5

nummer, n

1.209 22 mil 7

1.220 a) Rekka konvergerer fordi ho er geometrisk med ¨k ¨ .

Summen er 1620. b) Rekka divergerer fordi ho er geometrisk med ¨k ¨! . c) Rekka divergerer fordi ho er aritmetisk.

1 2

n 1

b)

31 16

d) 2

1 2n

1.221 a) 520 b) Summen er 162.

501

1.222 a) a20 77 b) s20 780 c) n 19 n 3 § §2· · d) sn ¨1 ¨ ¸ ¸ 2 ¨© © 3 ¹ ¸¹ 3 f) s 2 1.224 a) 15 200 kr b) 116 000 kr c) ca. 17 år (17,2 år) 1.225 32 cm2 1.226 6% 1.227 Akseptabel. S 6,7 mg 1.228 a) 402 kg c) 2174 kg d) 7143 kg e) 800 kg 1.229 a) an

1.235 Etter 5 timar er snigelen i § 100 90 · ¨ 181 , 181 ¸ . © ¹ 1.236 b) Dette gjeld ikkje dersom k ¢ 1,0@.

1.237 679 og 1 c) 550 1.238 a) Differansen er ln k. b) Nei n 1 c) k n 1 1.240 ln n 1 1.241 45q

1 (n 1)!

b) S e 1.230 10 ledd 1.231

1.233 a) Alternativ 1. b) Alternativ 2.

n 1

( 1) 4 2n 1 b) S S a) an

1.232 a) Berre dei to første desimalane er rette.

1 1 1 b) Rekka 1 ...

1! 2! 3! konvergerer mykje raskare mot 4 4 4 e enn rekka 4 ...

3 5 7 konvergerer mot S.

1.242 2 1.243 a) k(x) 1 2x2 b) x 1, 0 0, 1 3 c) s(x ) 2x 2 1.244 a) x 1, 1 1 b) s(x ) 1 x c) 1) Nei 1 2) Ja, x 2 1.245 b) x m, 4 ª¬0, o c) 2 1.246 S x , 0 2

1.247 a) 1 x 1 3 b) s(x ) 1 x2 2 c) x eller x 3 1.248

1 1 a) x , 4 4 x b) s(x ) 1 4x 1 c) x 8 1.249 a) x 4, y 1 b) Differansen i følgene er 3.

1 Kvotienten i rekka er .

2 c) Rekka konvergerer. Summen 8 er .

3

1.250 3 x 5 1.251 1 1 og a) 1 x 1 x3 x x 1 b) 1 x3 x 1 c) 2 x x 1 1.257 a) a12 46 og an 4n 2 b) s12 288 og sn 2n2 1.259 a) P4 30 og P5 55 1.261 a) a4 20 d) 296 826 1.262 a) 63 b) an an 1 n2 c) an

1 3 n 3

1.302 pn 4n 3

502

2 3

1 2

1 6

n2 n 8

2

1.303 qn 5n 4 1.304 y 0,5n2 0,5n 1.308 b) Summen av rekka er A. Arealet er 0.

9 c) Figur 2: a Figur 3: Figur 4: Figur 5:

2 27 a 4 81 a 8 243 a 16

d) Omkretsen er uendeleg.

1.310 For alle n som er delelege med 4.

1.311 For alle n t 1 er an bn cn.

Følgene er altså berre beskrivne på ulike måtar.

1.312 n(n 1)(2n 1) d) sn 6 1.313 Alle strategiar gir 10 poeng.

Med starttall n gir alle strategiar n n 1 2

poeng.

1.315 19 26 49 , og e) 95 65 98 1.316 Beviset blir ikkje rett. Problemet er at argumentet for k 1 hestar ikkje held dersom gruppa berre hadde to hestar.

2.110 a) f c(x ) 8 x 3 3x 2 6 x 4 b) f c(x ) 12 x(3x 2 1) c) f c(x ) 5(1 x x 2 )4 (1 2 x ) 2.111 a) f c(x )

3x 2 12 x 1 (x 2)2

b)

c) 3 3 x C

d) 4t 4 C

1 C 2x 2 7

2.123 a) 23,9 m/s b) 149 m 2.124 4 a) m/s 2

b) f c(x ) 4 x ln x 2 x 2 2 ln x c) f c(x ) (ln x x )2

3

b) 150 m 2.125 f (x ) x 2 2x 3

2.112 2 a) f c(x ) 6e x 4 x x 2

2.130 a) 4 ln x C b) 6ln t C c) x ln x C

b) f c(x ) 2 x 2 e 2 x 3 2 x c) f c(x )

2.122 2 a) C x

3(4 x )2 2 x

1

d) ln s C

2.113 a) f c(x ) 8e 2 x ln 2 x

4e x

b) f c(x ) 8e 2 x e 2 x 1 c) f c( x ) 2000 ln1, 02 1, 02 x 2.114 a) f c(x ) 2 b) 3

3 3 x2

1 3

2.131 a) x ln x C b) 2 ln x 2 C c) ln x 2 1 C 2.132 a) x ln x C b) 2 x 2 5 ln x C c) 6 ln 4 x C d) ln x 1 C

2

2.120 a) F (x ) x 2 3x C b) F (x ) x 3 2 x 2 C c) F (x ) 0, 004 x 5 0, 3x 3 0, 2 x 2 x C d) F (x )

s

2x

3

x 1 C

2.121 a) 3x C

2.133 a) 1) ln x 1 C 2) ln x 3 C c) 2 ln x 1 3 ln x 3 C 2.134 2x a) 2 x 1 b) ln(x 2 1) C

b) x 3 x 2 x C

2.140 a) F (x ) e x C

c)

b) F (x )

d)

1 1 1 3 3 3 1 2 4 x x x x C 2 3 1 3 x 9x C 3

1 4

4x e C

1

c) F (x ) e 2 x C 2

d) F (x ) 2e 0 ,5 x C

503

2.153 0,75

2.141 a)

1 2

2x

e +C

2.154 b) Areal A 74,66 Areal B 135,44 c) 60,75 d) Fordi det eine området ligg under x-aksen.

b) ex e x C 2.142 a) ln x e x C 1

1

5

6

b) e 5 x x 6 C 2.143 a)

1 2

e2x C

1

b) e 2e x C 2x

x

2

b)

2.144 1 a) 22 x C 1

e x

e ln 3

2.145

3

C

x

e (e x 1)2 ex b) x C e 1 a)

2.146 a) 118 241 1,07x C b) 156 454 0,88x C 2.150 a) 18 c) 25,33 e) 25,30 2.151 b) 1) 56,30 2) 57,08 3) 57,16 c) 57,16 343 d) | 57,17 6 2.152 32 3

b) 25,01 d)

76 3

b)

c)

1 2

2

2.172 125 a) 6

x 3 2 x dx 0

0

Dei to areala avgrensa av grafen til f, og linjene x 0 og x 2 er like store (høvesvis under og over x-aksen). b) 8 d) 6

5 1

2.178 a) E b) C D F A B E 2.180 96 2.181 9

14 ln 2 7 d) ln 8

b)

2.182 a) 11,4 mål b) 245 m 2.183 a) 27

2

b) a 6 3 | 3, 30 2.184 a) 22,9 km2 b) 6,2 km2

2.170 8 2.171 15 b) 2

1 e

2.176 b) x 0 eller x 6

³

26 3

2.165 a) 4 ln 3

e

2.177

2.164 15 a) 4 ln 2

c) 36

504

d) 0

8 3

2.163 a) 0 8 c) 3

2.175

b) 8

2.162 a) ln 2 b) e2 1

2 ln 2

2.174 37 12

b)

2.161 a) 15

c) e x C d) x 4e x C

b)

2.160 a) 1 11 c) 2

2.173 64 3

c)

15 2

2.200 a) f c(x ) 12 x 2 6 x 2 b) f c(x ) 2e x 8 x

9 b) 2 8 d) 3

c) f c(x ) d) f c(x )

2 x

2

2 x

2 x ln x 2 x(ln x )2

x 2

x2 4x

2.201 a) f c(x ) 8 ln1, 03 1, 03x b) f c(x ) 3x 2 ln x x 2 3x 2 x 3 1 c) f c(x ) x 1 e 2.202 F (x ) 2x 3 x 2 x 8 2.203 a) 1 b) g (x ) 2 x 2 3x 6 2.205 2 a) C x 1 b) 2 C x 2.206 a) f c(x ) x 2 2 x 3 b) f (x ) c) 1,

1 3

x 3 x 2 3x

11 3

2 x

2

C

b) 2 ln x 8 x C c) 3e x 2e 2 x C 2.209 b) ³ lnx dx

x ln x x C

2.210 1 b) 2 ln 2 e 2.211 b) x 1,86 og x 4,54 c) 15,95 2.212 k

ln 5 ln 2

1 1,32

2.213 ca. 25,5 m2

2.230 c) C 0 d) ln 2

2.215 a) 78 c) 12 153 d) 5625

2.231 1 Minste areal er (for k 1), og

2.216 ca. 982 m

2.300 y x

2.217 9 2 2.218 36

2.303 Toppunkt: 2, 4 og 6, 4 Botnpunkt og nullpunkt: 4, 0

største areal er

2.219 9 2 2.220 a) a 3 b) a 4

2.222 a) 16 b) a3 2a2 8a c) a 2, a 0 eller a 4

1).

2.305 a) 4,36 m/s b) 3256 m c) 3 min 36 s e) v(t 0 ) v (t 0 ) | 4, 63 m/s.

Farten til Therese minkar utover i løpet (bortsett frå dei første få sekunda). Når farten og gjennomsnittsfarten er like, vil derfor gjennomsnittfarten minke når ho spring vidare, fordi farten minkar.

2.306 Både summen og integralet er omtrent 1,29129.

2.224 8 b) 3

2.308 c) 100 meter

2.225 2 2 2 ln

6 1 (for k 3

2.304 a) 5,27 millionar b) 20,7 % c) 39,8 år d) 40,5 år g) 50,1 år

2.221 a) (0, 0) og (4, 12) 32 b) 3

2.207 a) 10 min 2.208 a) 3 ln x

2.214 c) 0,199333 d) 0,199335

2 1 | 1, 07

2.226 Forholdet mellom arealet av F 4 og arealet av T er .

3 2.227 (a b)3

24

2.310 b) Følga er geometrisk.

2.311 a) 1 b) 1 c) Alle n 1 d) Integralet er lik S!

505

3

3.123

3.110 a) 6,4 millionar kroner b) 29,08 millionar kroner.

Dette er den totale lønnsutbetalinga som bedrifta hadde i perioden.

a)

3.111 a) 7,66 millionar kroner b) 3,0 % c) 50,4 millionar kroner. Dette er den samla omsetninga som bedrifta hadde i perioden.

2

³

22 x 2 dx

2

b) 6,277 c) 2S d) 5,591

3.142 2 x 3 C a) 2e b) 2 ln x 2 x C c) ln 3x 2 3x 5 C d)

1

3

3

2x 1 2 C

3.143 a) ln x 2 3x C b) ln ln x C

3.130 0,744 3.131 a) 10,24 32 b) 3

3.144 3 a) e x C 1

b) (ln x )3 C 3

3.112 a) 893 einingar b) 28 974. Dette er talet på selde kaffimaskinar det første året. c) 557 kaffimaskinar 3.113 a) 550 einingar c) 33 397 einingar 3.114 a) 3683 kr b) 2578 kr 3.115 b) 221 sofaer c) Sc(x ) 40e 0 ,1x 5xe 0 ,1x d) Sc(10) 3, 68. Salet er i ferd med å minke med 3,68 einingar per veke. e) ca. 5800 sofaer (5823 sofaer) 3.120 a) 0,11861 b) 0,09361 c) 0,10498 3.121 a) 2,1288 b) 5,05588 c) 3,34246 1 7 d) e 8 4e 4 | 3, 42691 2 2 3.122 a) Midtmetoden b) Midtmetoden gir best tilnærming.

3.132 2,7350

c)

3.133 b) 4 3 2 ln 2 3 c) 4,17

3.145 2 a) e x C c) 1) 1,72 2) e 1

3.134 786 km 3.135 a) f (x ) x 2 8 x 7 92 b) 3 c) 30,5 3.136 a) 126 m2 b) 127 m2 (eit avvik på 1 m2 samanlikna med oppgåve a) c) x 5,70 m 5,6964 m 3.140 a)

2

e

2x 1

1

b) e

C

1 2x

2

C

c) ln x 3 C 2

d) ln 4 3x C 3

3.146 a) 3 (ln 2)2 b) | 0,24 2 7 c) ln 3 3.147 a) 2 2 b) 4 2 3.148 1 a) e 5 e 3 4

1 b) 2 3.149 1 a) 10 b) ln(e 1) ln 2 ln c)

3.141 1 a) (x 1)3 C 3 1

4

b) (2 x 3) C 8

c) d)

506

1

1 x 2 2

2 x

C

C

x2 1 C

7 3

3.150 a) xe x C b) 2 x ln x 2 x C

e 1 2

3.151 1 1 a) e 2 x (x ) C 2

2

1

4

b) (3e 1)

3.166 2 ln x ln x 1 4 ln x 1 C

4

3.152 1 1 a) x 3 ln x x 3 C 3

9

b) (x 2 x 1)e x C 3.153 1 1 a) x 5 (ln x ) C 5

5

b) e x (x 1) C 3.154 a) 2 ln 2 b) 4(2 ln 2 1)

3

1

3.167 1 a) x 2 ln x 1 3 ln x 1 C 2 1

b) x 2 3x ln x 1 C 2

3.182 a) Diameter 31 cm, tjukkleik 1 cm b) Volum 15,6 L, areal 30,2 dm2 c) 2,83 L d) 3,02 L e) Masse 7,08 kg 3.183 89 b) S 4 3.190 a) x 0 c) Toppunkt: (1, 1) og

3.170 a) Ei kjegle 500S b) 3

2,

4 5

Botnpunkt: ( 1, 1) og

3.155 2 2 a) x x (ln x ) C 3

3.165 a) A 1, B 2, C 3 b) ln x 1 2 ln x 2 3 ln x 3 C

b) (ln x 1) C

3.171 40 a) 3 752S b) 15

e) Maksimumsverdi 1 og minimumsverdi 1 h) ln 5

3.172 7· §1 b) S ¨ e 4 2e 2 ¸ | 50, 33 2¹ ©2

3.191 a) x 0 1 c) Toppunkt: 1, .

6,

12 37

x

5

c) 5x e 2 x e 2 x C 2

d) (x 2 4 x 5)e x C 3.156 1 x2 2 e (x 1) C 2

3.160 a) A 2, B 2 x b) 2 ln C x 1 3.161 a) ln b)

x 2 C x

1 x ln C 6 x 6

3.162 a) A 1, B 3 b) 3 ln x 2 ln x 1 C 3.163 a) ln x 1 ln x 2 C b) ln x 2 3x 2 C 3.164 a) ln x 2 2 ln x 3 C b) ln x 2 ln 2 x C

3.173 27 S b) 4

4,

3.176 a) 4 ln2 2 b) S 8 ln 2 3 | 7,9959 c) 8S 1 ln 2 2 | 2,3665 4 e 5S e) S 2 e

b) 2

3.180 53,2 3.181 29S 10 3

4 e4

1

d) Maksimumsverdi og e minimumsverdi e f) xe x e x C 3 g) 1 2 e

3.174 16S a) 15 b) 1) 1 − ln x 2) S e 2

3.177

e

Botnpunkt: 1, e og

4 e 5S g) S 2 e

d) 2

3.192 a) 18 d) Det er flest sjuke etter 5 dagar. Da er det 18 sjuke. e) Etter 10 dagar. 1,35 elevar blir da friske per dag. f) 8,2 3.193 a) x 0 b) Horisontal asymptote: y 0 c) Botnpunkt: 3 , 3 Toppunkt:

3, 3

3 2

e) 3, , 0,0 og 3, g) 3 ln12 ln 3

3 2

3 ln 4

507

3.194 a) x 8 b) Horisontal asymptote: y 0 Vertikale asymptotar: x 1, x 2 5 c) y x 4 2

e) 0, 4 og

13 5 , 5 2

f) 5 ln 2

3.218 a) ln x 2 x C

3.205 1

2

ln(x 5) C

b)

2 15

3.206 ln x ln ln x C

c)

1 2 ln x C 2

3.207

3.219

2

1 2

ln 7 ln 3

1 7 ln 2 3

3

3x 2 x 1 2 C

a) x 2 2 e

1 x2 2

C

2

3.195 a) Ingen topp- eller botnpunkt b) y 0, y 1 3 d) ln 2 3.196 a) x 1

§1 1· b) Botnpunkt: ¨ , ¸ ©e e¹ e2 1 d) 4 5e 3 2 e) S 27 3.197 Maksimumsverdi: 2 Minimumsverdi: 2 4e2 3.200 45 592 kr 3.201 27 a) 4 b) 7,88 c) 89 rektangel 3.202 a) 73,127 b) 73,0008 3.203 210 km 3.204 a)

2 9

3 2

3x 5 C

b) 2ln x x C c)

2 x 3

x 4 x C

3.208 b) 7 3 3.209 c) Konstantane (C) er forskjellige.

3.212 a) 2 x 2 3x C 2 b) 4e x C c) ln x 1 ln x 2 C 3.213 a) 2 ln x 2 4 C b) ln x 2 ln x 2 C c) 2 ln(x 2 4) C 1

d) e 2 x (4 x 2 4 x 2) C 8

3.214 a) 1) 2 x 3 2 x 2 x C 1 2 2) e x C 2 3) (x 2 2 x 2)e x C b) 1) 2 ln 2 2 2) ln3

b) 3 ln x 1 2 ln x 2 1 C c) 2 ln x 1 ln x C d) 2

x 1 e

e) ln

ex 3 C ex 3

c) d)

3 2

ln 2

5S 6

3.221 a) 2 b) S ln 4 3.222 4 b) Sr3 3 3.223 a) 8S 32S b) 5 3.224 124 5

3.216 e 2

3.225 a) 2 ln 2 1 b) k e

b) 5 ln | x 2 | 3 ln | x 1 | C

C

3.220 b) x 1 og x 1

3.215 a) 2e 2 2 b) ln3

3.217 5 3

a) x 2 x 1

x

c)

S

2

3e 4 1

3.226 b) 1,32 ved bruk av SumOver 1

c) e 2 e | 1,09 2

e) 2e 4 e | 2,17 1 · § f) S ¨ e12 12e 6 6 ¸ | 1230 e ¹ ©

508

3.227 b) 0, 0 , 1, 0 og 3, 0 37 c) 6 162S d) 35 3.228 7· §1 b) S¨ e 4 2e 2 ¸ | 50,33 2¹ ©2 3.229

1 a) 1 e S§ 1· b) ¨ 1 2 ¸ 2© e ¹ § 2· c) 2S ¨ 1 ¸ © e¹ 3.230 b) An

1 n 1 1 d) m 2n 2

3.231 1 a) 2 b) Forholdet må vere større fordi det blå området ligg nærmare omdreiingsaksen.

Voluma er like store, så forholdet er 1.

3.232 a) Topp: x 9 Indre botn: x 4 Botn: x 3 1 5 b) l : y x 6 2 50 c) 3 83S d) 2 3.233 8 a) 3 64 S b) 5 c) a 1 og b 3

3.234 37 a) 12 b) Høgde 5 dm, djupne 4 dm c) 100 liter d) 7,1 dm2 e) 13 dm2 f) 1,8 dm g) 40 kg i) 8SV 3.235 80 2 m a) 3 b) 6400 m3 3.236 a) x 0, x

3 2 16 , 3 27

3.238 a) > b) < c) < d) > e) 3.301 a) 55 b) 30 3.302 b) 44e 120

3.304 1 a) e 3 1 2 b) 0

3.307 a) Dei tre skivene vil ha like mykje raudmåling. b) Alle skivene vil ha like mykje måling.

3.309 ln2 6 b) 4 c) 1,5479

4

3.237 a) x 1 §1 1· c) ¨ , ¸ ©e e¹ d) Ingen vendepunkt e2 1 f) 4

3.303 8 g) 3

8 .

15

3.310 b) Volum: 2S2 R r2 Overflateareal: 4S2 R r

b) Toppunkt: 1, 1 c) 0, 0 og

3.306 b) Forholdet er

4 4.110

a) 2a 8 b

b) 9 s 3t

c) 4u 7v 4.112 a) Ikkje parallelle b) Parallelle c) Ikkje parallelle 4.113 2 AB BC , punkta ligg på linje.

3

4.114 Punkta ligg på linje.

4.115

a) 6u 1

b) u 4v 5

4.116

a) u

b) u

c) u

v

v

v

4.120 1 b) 2 c) 2 d)

2 3

509

4.148 5,9q

4.121 a) xy-planet b) 6 c) 10

4.136 a) 5 b) 22 c) 65

4.122 b) A 3, 3, 0 , B 3, 5, 0 c) 5

4.137

a) | AB | | AC | | BC | 2

4.123 a) B 4, 0, 0 , H 0, 5, 6 , G 4, 5, 6 b) S 2,

5 ,3 2

4.139 b) 4,24 m, 3,61 m og 3,46 m

4.124 128 c) 2 3

4.125

a) p q > 3, 4, 1@

p q >5, 0, 5@ b) >14, 2, 12@ c) >5, 5, 10@ 4.126

a) c

b) d

c) f

ª¬3, 2, 2 º¼ ª¬8, 3, 10 º¼ ª¬0, 2, 4 º¼

4.127

x

4.138

b) Ikkje rombe, | OA | z | OC |

3 2

4.153 a) >2, 2, 1@ b) >1, 5, 2@ c) >2t, 2, 1 t 2@

4.141

PQ QR 4, PR RQ 87

4.154 a) >0, 1, 0@ b) >0, 0, 1@

4.143 a) 96,3q b) 57,2q

4.131 b) Ikkje på ei rett linje

4.144 a) t 2 b) t 3 eller t 1 c) Ingen t-verdiar passar.

2 2

b) C 7, 18, 2 4.133 a) Punkta ligg på linje.

2 11 b) x ,y 3 3 4.134 a) M 2, 1, 1 b) N 3, 2, 2 c) S 3, 1,

510

2 3

b) a2 b2 d) 13

4.140 a) 1 b) 5 c) 0

4.130 a) xy-planet b) 9, 1, 0

2

4.150 a) 8 c) 0

4.152 5 2

b) x 2

4.132 1 1 1 a) M , ,

D

3 2 , 13 og 2 3 §1 · c) 18,1 m2 ¨ 134 2 38 ¸ ©2 ¹ 16 § · d) 2,61 m ¨ 6¸ © 15 ¹ § 91 187 28 · e) D ¨ , , ¸ © 75 75 15 ¹

4.142 a) x 1 b) x 3 eller x 2

a)

4.149

a) a a 9, b b 16 og c c 4

b) a b 6, a c 0 og b c 4 c) 2

d) u 13 og v 4 e) 98,0q

b) 14 d)

14 17

4.155 a) 3 10 b) 8 2 2 4.156 a) D 2, 1, 4

4.145 a) 109,1q b) 24,1q c) 24,0q

c) 3 3 d)

3 2

6, 3

3 14

4.157 b) > 10, 3, 11@ c) > 20, 6, 22@ 4.160 a) 6 b) 6

4.146 D 1, 8, 2 4.147 a) t 10 eller t b) t 2 c) t 10

4.151 a) D 3, 4 14 c) 13

10

4.161 1 a) 17 2 7 d) 17

c)

7 6

4.162 31 b) 6 31 c) 46 4.163 a) A 1, 2, 1 c) 8 40 d) 3 e) 79,3q 4.164

a) AB

AC

AD c)

ª¬ 3, 1, 2 º¼ , ¬ª 1, 3, 4 ¼º , ª¬2, 1, 1º¼

17 3 2

4.165 25 d) 3 4.166

a) AB ª¬ 4, 1, 1º¼ , BC ª¬ 1, 1, 1º¼ b) D 3, 1, 1

c) AB 3, BC 3, ABC 74,2q d) 5 2 e) T 0, 0, 2 10 f) V 3 g) E 0, 1, 2 eller E 0, 2, 1 4.167

b) AB ª¬2,1,1º¼ , AC ¬ª 1, 2, 2º¼ c) 74,2q 10 d) 3 5 2 e) 2

4.170

a) n ª¬2, 1, 2 º¼ b) A ligg ikkje i planet.

B ligg ikkje i planet.

1 c) t 2 4.171 a) 3x 2y z 4 0 b) 0, 2, 0 c) Ja, ho er parallell.

b)

c) 4.173 a) x − 1 0, planet er parallelt med yz-planet og skjer x-aksen i punktet 1. b) x 1 0

­ x 1 2t ° m: ®y 1 °z 3 2t ¯ ­ x 1 t ° n : ®y 1 t °z 5 t ¯

4.174 a) 2x y 3z 6 0 c) x y z 2 0

4.184 a) ­x 2 t ° l : ® y 1 2t °z t ¯

4.175 a) x y 0 b) z 3 0

c) D: x y z 3 0 e) Linja ligg ikkje i planet D.

4.176 a) 2x 2y z 11 0 1 d) t 2 4.177 19 d) 3 19 e) 42 4.180 a) ­ x 1 2t ° l : ® y 1 t °z 1 t ¯ c) Punktet ligg på linja. d) 3, 3, 3

4.168 b) 6,16 m ( 38 ) og 5,83 m ( 34 ) c) 60,9q og 59,0q d) 13 m2 e) 13 m3

4.181 a) ­ x t ° l : ® y 2 t °z 2t ¯

g)

4.183 a) ­x 1 ° l : ® y 1 2t °z 3 2t ¯

4.172 a) > 1, 7, 5@ b) x 7y 5z 10 0

f) 2 2

40 16 33 , , 19 19 19

4.182 a) >1, 1, 2@ c) 3, 2, 3

c) Punktet ligg på l. d) a 5 og b 10

4.185 78,7q 4.186 3,7q 4.187 a) 70,9q b) 19,1q c) 90q 1 7 d) 1) 3 , 3 , 0 2)

5 5 7 , , 6 3 6

4.188 a) 11,2q b) 0q c) 2,5q 4.189 a) 35,3q b) 15,8q 4.190 a)

5 3

2

511

4.206 § 5 11 · § 5 11 · ¨¨ 0, , ¸ ¸¸ eller ¨¨ 0, , 2 ¸¹ © 2 2 ¹ © 2

4.191 1 a) 30 15

b) c)

5

14

14 3

4.207 4 3 2 5

2

2

4.208

a) AD 3 5, AE b) B 5, 0, 1

4.192 2 6 4.193 6 210 | 2,48

4.209 a) 5 c) AT

35

4.194 4 x 11 y 7 z 24 0

CT 5 d) 3

4 x 11 y 7 z 6 0 4.195 49 a) 6 b) y 2z 2 0 c) e)

7

6

b) 96,7q

f) 37,5 m3

4.221 a) Begge vektorane har lengde 1. b) cos u cos v sin u sin v 29,

4.222 b) 60 m c) AT er lengst. d) Bardunen CT dannar minst vinkel med masta. Vinkelen er 47,0q. e) 67,22 m f) 99,91 m

41

4.223 a) 11 m c) 121t 55, t

5 11 d) 2 10 m (6,3 m)

4.201 x 1

4.214 a) t 6 b) t 1

4.202 b) Parallellogram 4.203 a) B 7, 3, 0 , C 4, 7, 0 , T b) 50 4.204 b) Arealet: 25 c) Volumet: 100 d) z 15 eller z 15 4.205 c) C 2, 4, 0 , T 2, 2, 4 32 d) 3

4.224 b) Firkanten er ikkje eit parallellogram. c) A 48,2q 13 d) 5 | 14, 5 2 13 f) 2 3 5 | 1, 34 g) 5

4.212 t 0 eller t 2 4.213 3 a) t 10 b) t 3

4.200 Parallelle

512

11

4.211 a) t 4 1 b) t 2

7 11t

4.196 a) C 5, 3, 3 e) 2,13 m

4.220 a) 12 b) 6, 6, 6 eller 2, 10, 14

4.210 a) 3 b) 72 6 2 c) S 2

5

5 7

43, BT

3 , 2, 6 2

4.219

a) a a 1, b b 4 og c c 16

b) a b 1, a c 0 og b c 4 3 c) 2 3

d) | u | 7

4.225

b) AB ª¬ 4, 0, 4 º¼ og

AC ª¬3, 4, 1º¼

c) AB 4 2 og AC d) 12 e) 24 f) z 2 eller z 14

4.215 BAC 45q 4.216 a) BD 7, AC b) 48,0º

19

4.217

c ª¬5, 5, 5º¼ 4.218

a) AB ª¬6, 3, 2 º¼ og AB 8 b) D 3, 2, 3

7

4.226

b) AB ª¬ 4, 4, 2 º¼ og AB c) 83,6q d) 4 5 e) z 1 eller z 7

26

6

4.227 b) a b c 2 3 2 3 c) T1 , T1 2 4 3 d) T22 T32 T42 4 e) T22 T32 T42 T12 f) DE EF g) S1 S12

4.236 b) 29

d 2 e 2 , DF

d2 f 2 ,

e2 f 2 2 2

2

2

2

2

d e d f e f , 2 d 2e 2 d 2 f 2 e 2 f 2 4

h) S22 S32 S42 i) S2 2 S32 S42

d 2e 2 d 2 f 2 e 2 f 2 4

S12

4.228 1 b) cos D , D | 109, 5q 3 4.229 a) 60q b) > 1, 1, 1@ 1 3 c) 2 4.230 a) >1, 2, 3@ b) >5, 2, 1@ 4.231 t r8 4.232 b) >15, 15, 15@ 4.233 a) > 3, 4, 3@ 1 34 b) 2 34 c) h 19 4.234 a) 2 viss punkta ikkje ligg på linje, uendeleg mange viss punkta ligg på linje.

2 2 1 b) r ª , , º ¬« 3 3 3 ¼»

4.245 a) >1, 0, 1@ b) x z 2 0 c) D ligg i planet. E ligg ikkje i planet.

4.235 a) t 4 b) t 3 c) Ingen t-verdiar

4.239 a) k r2 b) k 1 c) k 1 eller k 2 22 4 eller k d) k 5 5 4.240 a) 4, cos A

AB u AC 1 b) 65 2

4 , 9 ª¬2, 6, 5 º¼

c) k 8 eller k

32 5

4.241 c) 2 4.242 1 77 a) 2 77 d) 18 77

c)

3 4

4.243

b) AB ª¬5, 1, 2 º¼ og AB 30 c) BAC 32,5q

d) AB u AC ª¬ 3, 9, 12 º¼ 3 e) 26 2 f) 12 9 h) 26 2 j) 36 4.244 a) 1) >2, 4, 0@ 2) 1 3) >4, 2, 10@ 1 b) c) 30 11 20 2 30 e) d) 3 3

4.246 a) 2 14 , 62 og 62 b) 61,6q c) 4 42 d) 4 3 e) x 5y 4z 2 0 4.247 a) 42 ­ x 2 4t ° c) l : ® y 3 t °z 1 5t ¯ d) 1, 1, 1 e) 60q f) 4, 0, 1 og 2, 2, 3 4.248 a) t 7 b) t 0 eller t 4 c) Ingen t-verdiar d) 9 3 e) 0, 0, r1 g) 60q 4.249 a) 2x 5y 6z 6 0 1 b) 65 2 c) ­ x 1 2t ° l : ® y 2 5t °z 1 6t ¯ d) D 3, 8, 13 eller D 5, 12, 11 4.250 5 Volumet er .

3

4.251 a) V (t )

40 t 1 3

b) t 1 c) t

1 ,t 5

11 5

513

4.252 a) 2 b) 30,5q 4 6 12 7 7 7

c) , ,

11 25 1 , 7 21 21

d) , 4.253 b) 6 c) 6 d) 2

4.254 a) 1) 0 2) Plana står normalt på kvarandre.

b) 1) nD u nE 0 2) Plana er parallelle.

4.255 5 6 b) 6 4.256 a) ­ x 2 6t ° l : ® y 3 4t °z 1 t ¯ c) 3 d) x 2y 2z 6 e) 3 4.257 b) 64,3q c) 5x 4y 7z 7 0 e) 1) 0q 2) 26,0q 3) 26,6q 4.258 b) ­x 2 t ° l : ®y 2 °z 2t ¯ c) 1) 0, 2, 4 2) 26,6q d) 2x 3y z 2 0 e) 74,5q f) 1

514

4.259 b) ­x 2 t ° m : ® y 5 2t °z 7 3t ¯ c) 150q d) Ingen skjeringspunkt e) 1, 3, 5 og 2, 5, 8 4.260 b) 37, 13, 50 c) 5,1q d) 2x 2y z 4 0 e) Planene D og E er parallelle.

4.261 b) 90q c) Ingen skjeringspunkt d) ­x t ° ®y 0 °z t ¯ e) 3, 1, 5 og 5, 3, 3 4.300

v ª¬1, 2, 4 º¼ 4.301 a) 35,3q b) 54,7q 4.302 a) 6 c) 30

4.312 c) Den minste avstanden er mellom 1, 6 , 2 l og 7 20 4 , , 3 3 3

m, og da er

avstanden

2 3

51.

5 5.111 a) u 150q, v 45q og w 405q b) u 240q, v 210q og w 495q 5.112 12 5.113 a) S d)

11S 6

5.114 a) 540q c) 15q e) 57,3q

S 5 11S e) 4 b)

b) 90q d) 105q f) 229,2q

5.115 a) 540q b) 45q c) 45q b) 30 4 d) S 3

4.305 15, 20, 60 4.307 5 2 Areal: 2 25 Volum: 6 4.310 2 51 b) 3 4.311 Den minste avstanden er mellom 7 20 4 , , m, 3 3 3 2 og da er avstanden 51.

3

1, 7, 2 l og

5.116 a) 0,75 b) 1,6 c) 2,5 5.117 a) 0,44 c) 1,31 5.118 50S a) 9 3S c) 8 5.119 a) 2,8 b) 6,4 cm c) 3,2 cm

b) 0,87 d) 1,75

b) 6π d) 3π

c) f)

S 8

S 4

5.120 b) 1) sin 60q | 0,87 cos 60q 0,5 tan 60q | 1,7 2) sin 135q | 0,71 cos 135q | 0,71 tan 135q 1 3) sin 210q 0,5 cos 210q | 0,87 tan 210q | 0,58 5.121 b) 120q, 420q og 480q c) 300q, 420q og 660q 5.122

5S 5S 0,5, cos | 0,9, 6 6 5S tan | 0, 6 6 b) sin 5,0 | 1, cos 5,0 | 0,3, tan 5,0 | 3,4

a) sin

5.126 1 a) sin210q , 2 1 2

cos210q tan210q 5S 3 5S cos 3 5S tan 3

1 3

3

b) 1) sin

2)

1 2

3)

3,

1 2

3

3

5.127 a e d b c 5.128 9 2 a 4 5.129 a) AE

a a 3, BC 2, 2 2 a AB 1 3 2 a b) CD 3 1 4 c)

a 1 3 4 2 3

a

3 1

5.130 a) v 40,5q, v 139,5q b) v 19,3q, v 160,7q c) v 220,5q, v 319,5q d) v 199,3q, v 340,7q

5.141 a) v b) v c) v d) v

53,1q, v 306,9q 66,4q, v 293,6q 180q 109,5q, v 250,5q

5.131 a) v b) v c) v d) v

48,6q, v 131,4q 12,7q, v 167,3q 216,9q, v 323,1q 90q

5.132 a) v v b) v v c) v v d) v v

30q n 360q eller 150q n 360q 60q n 360q eller 120q n 360q 210q n 360q eller 330q n 360q 240q n 360qeller 300q n 360q

5.142 a) v v b) v v c) v v d) v v

79,6q n 360q eller 280,4q n 360q 30q n 360q eller 330q n 360q 78,5q n 360q eller 281,5q n 360q 150q n 360q eller 210q n 360q

5.133 a) v 0q, v 180q, v 199,5q eller v 340,5q b) v 0q, v 90q eller v 180q c) v 48,6q, v 90q eller v 131,4q 5.134 a) v 0,20 eller v 2,94 b) v 0,37 eller v 2,77 c) Inga løysing d) v 3,48 eller v 5,94 5.135 a) v b) v c) v d) v

0 eller v S 0,68 eller v 2,46 0,64 eller v 2,50 3,39 eller v 6,03

5.136 a) x b) x c) x x

46,1q, x 133,9q 3,43, x 6,00 315q, x 225q, x 45q, 135q

5.140 a) v 63,3q, v 296,7q b) v 68,3q, v 291,7q c) v 116,7q, v 243,3q d) v 111,7q, v 248,3q

5.143 a) v 90q, v 180q, v 270q b) v 45,6q, v 90q, v 270q, v 314,4q c) v 48,2q, v 113,6q, v 246,4q, v 311,8q 5.144 a) v 0,99, v 5,29 b) v 1,31, v 4,98 c) Inga løysing d) v 2,37, v 3,92 5.145 S 3S a) v ,v 2 2 b) Inga løysing c) v 0,72, v 5,56 d) v 1,88, v 4,41 5.146 a) x x b) x x c) x x d) x x

0,89 n 2π eller 5,39 n 2π 3,96 n 2π eller 5,46 n 2π 1,98 n 2π eller 4,30 n 2π 0,73 n 2π eller 2,41 n 2π

5.147 a) x b) x c) x d) x

285,7q 3,82 45q, x 45q 1,74, x 1,74

2

515

5.148 2 10 a) x ,x 3 3 3 3 b) x , x 4 4 5 15 ,x ,x c) x 4 4

25 4

5.149 8 10 ,x a) x 3 3 b) x 4, x 5

5.157 a) x 0,90, x 4,04 b) x 1,89, x 5,03 S c) x | 1, 57 2 5.158 11 5 a) x , x , x 6 6 b) x 0, x π 5.160 b) cosv

5.150 a) 1,2 b) 1,2 c) 1,7 d) 0,6 51,3q, v 231,3q 68,2q, v 248,2q 76,0q, v 256,0q 135q, v 315q

5.152 a) v b) v c) v d) v

1,04, v 1,19, v 1,36, v 1,82, v

4,18 4,33 4,50 4,96

5.162 4 a) 5

17 9

5.169 a) x 1,11, x 4,25, x

b)

5 5 , tanv 13 12 12 12 , tanv b) sinv 37 35 5.164 3 a) cosv , tanv 5

5.154 a) v 31,0q n 180q b) v 1,83 n π

5.165 a) sinv

5.156 a) v 135q, v 315q b) v 146,3q, v 326,3q c) v 135q, v 315q

516

6 , tanv 3

4 3 2 2

5 5 , tanv 13 12 4 4 b) sinv , tanv 5 3 5.166 7S ,x a) x 6 x 2,80 b) x 1,32, x c) x 1,11, x x 5,03

7S 4

S 5S ,x , x 1,77, x 4,91 4 4 c) x 1,11, x 1,89, x 4,25, x 5,03 S 3S d) x ,x , x 0, 90 , x 4, 04 2 2

3 4

5.153 a) v 1,46, v 4,60 b) v 1,39, v 4,53 c) v 0, v 1,77, v π, v 4,91 S 5S d) v , v 1,82, v , v 4,96 4 4

20,3q 129,6q 95,7q, x 84,3q, 264,3q

3S ,x 4

b) x

5.163 a) sinv

b) cosv

7 6

7S 4

5.168 1 5 x ,x 12 12

5.161 12 a) sinv 13 12 b) tanv 5

5.151 a) v b) v c) v d) v

5.155 a) x b) x c) x x

1 ,x 6

5.167 a) x 1,98, x 4,30 b) x 0, 25, x 2, 89, 7S 11S x ,x 6 6 S 3S 5S c) x ,x ,x ,x 4 4 4 d) x π

11S , x 0,34, 6 4,97 1,89, x 4,25,

5.170 1 a) 5

b)

1 5

5.171 a) cos x b) tan x 5.174 S u v 4 5.175 a) tan v b) tan v c) cos v 5.176

6 2 4 2 6 6 2 cos105q 4 4 3 1 tan105q 2 3 3 1

sin105q

5.177 S 5S a) x ,x 3 3 1 n, n b) x 4

5.180 b) x 0,52 eller x 1,80 5.181 b) x 0,79 eller x 1,25 5.182 a) x 1,06 eller x 3,37 b) x 1,69 eller x 5,88 c) x 0,69 eller x 1,91 5.183 a) x 0, x

S , x 2S 2 b) x 0,79, x 1,25, x 3,93, x 4,39 c) x 1,57, x 2,21 5.184 a) x 0, x b) x 0, x

1 ,x 2 3 8 ,x 4 3

5.185 a) x 2,21 b) Inga løysing 5.186 a) x 0 eller x b) x c) x

2S 3

2S eller x π 3 S eller x π 3

5.200 c) 120q

d)

5.201 a) 0,6

b) 1,7

7S 12

1 3 , cos150q , 2 2 1 3 tan150q

3 3

b) sin150q

3 1 b) sin120q , cos120q , 2 2 tan120q 3 5.205

4S 3

3 2 4S 1 cos

3 2 4S tan 3 3 7S 1 sin

6 2 7S 3 cos

6 2 7S 1 3 tan 6 3 3

a) sin b) c) d) e) f)

5.216 5S 7S a) x ,x 4 4 b) x 4, x 8

5.209 1

5.211 a) x x b) x x c) x x d) x x

5 6

5.215 7S 11S ,x a) x 6 6 9 15 ,x b) x 2 2

5.208 f

S 2 8

2 ,x 3

5.214 S 5S eller x a) x 3 3 8 10 eller x b) x 3 3

5.207 e d b a c

5.210 a) a cos u, b sin u, v

5.212 S a) x n 2S eller 4 5S x n 2S 4 2S n 4 S eller b) x 3 4S x n 4S 3 5.213 a) x 0, x 4, x 8 1 1 b) x , x , x 3 6

5.206 5 a) 13 12 b) 5 c) 1

c)

5.202 b) 1) 1 2) 1,7 3) 0,6 5.203

5.204

S u 2

60q n 360q eller 120q n 360q 75q n 360q eller 105q n 360q 5q n 120q eller 55q n 120q 7,9q n 120q eller 67,9q n 120q

5.217 S a) x n 4 S eller 3 S x n 4S 3 S n 2S eller b) x 4 5S x n 2S 12 5.218 a) x 45q n 120q eller x 45q n 120q b) x 90q n 1080q eller x 90q n 1080q

517

5.219 a) 1) x 2) x b) 1) x 2) x c) x

5 2

S 2S eller x 3 3 2S 4S eller x 3 3 10 14 eller x 3 3 8 16 eller x 3 3 23 eller x 2

5.227 12 b) 1) cosv 13 5.229 a) sinv b) sinv 5.230 x 0, x

2) tanv

5 12

4 3 , cosv 5 5 1 3 , cosv 10 10 S , x S, x 2

3S eller 2

x 2S 5.220 a) 1) x

7S 11S eller x 6 6 S 7S eller x 2) x 4 4 b) 1) x 4 eller x 5 2) x 2

5.231 a) sin x 1 1 c b) 0 løysingar: c < 3 eller c > 1 1 løysing: c 3 eller c 1 2 løysingar: 3 c

5.238 x 0q, x 45q, x 135q, x 180q, x 225q, x 315q 5.239 S Alle v z k , k heilt tal 2 5.240 x 90q, x 135q, x 270q, x 315q 5.242 1 2 5.243 b) BD sin D E c) AB cos D, BC sin D, CD sin E, AD cos E

5.232 S 5S a) x 2Sk , x 2Sk , k 5.244 BF 3 3 7S a) tanv FC b) x 20q, x 40q, x 60q, x 80q 4 d) v 0q, 90q c) x S d) x 5.222 5.246 5S 11S 17 S ,x eller x a) x 1 5.233 b) x k S x k S S, k 6 6 6 4 b) x 5,13, x 1,15, x 7,43 eller Eleven har gløymt løysinga 5.248 x 150q x 13,71 c) 45q Dessutan skal løysinga bli gitt i radianar.

5.223 S 5S 5.250 a) Dcot ^k S : k `, Vcot Svara blir da x ,x og 5 1 6 6 c) sin18q 3S S 7S x .

4 c) x x 2 6 6 5.251 b) 2 1 5.234 5.224 0,30, x 2,84, x 3,34 eller a) x b) S 5.252 x 6,08 c) S Den såkalla «sinjugatsetninga» S 5S b) x , x 1,11, x eller gjeld, men ikkje «cosjugat4 4 5.225 setninga». x 4,25 x 60q, x 60q 5.221 3S x eller x 4

5.226 a) x b) x c) x

518

S eller x 6 5 eller x 2 3S eller x 4

5S 6 7 2 7S 4

5.253 5.236 S 2S ,x a) sin v sin v, cos v cos v a) x 3 3 b) cos v S cos v b) x ^42q, 132q, 222q, 312q` sin v S sin v 2S 4S c) cos S v cos v c) x ,x sin S v sin v 3 3 1· § d) x ¨ k ¸ S, k 5.237 2¹ © S 5S x , x S, x e) x 90q k 360q, k 3 3

5.254

6

sin 2 x

b) cos x

2 sin x

§ x · sin x c) cos ¨ ¸ © 2 ¹ 2 sin x

2

x § x · sin 2 cos ¨ ¸ © 4 ¹ 2 cos x

4

x § x · sin 4 cos ¨ ¸ © 8 ¹ 2 sin x

6.110 a) x 0, x x 2S b)

S ,2 4

c)

3S , 4

e)

x 8

8 sin

2 sin

x 2n

5.300 c) 1) x

S 2S ,x 2 3 2) x | 0,306, x | 2,430, x | 3,448, x | 5,572

5.301 b) 1) x | 0,52, x | 4,48 2) x | 5,64 5.302 c) 1) x 0, 64 eller x

S 2 2) x 1, 30 eller x 5, 91 3S 3) x 0, 93 eller x 2

5.303 c) 1) x

5S 2Sk , k 6 11S 2Sk , k 2) x 6

5.305 a) a1 0, a2 a3 a4 f) 1 g) 2

1 2 2

1 2 2 2 1 2 2 2 2

7S , 4

2 og

6.111 a) x

S og x 3

S 2

c) 2 3 , x

sin x n

3S 2

og

5S ,2 4

og

b) 2 3, x

sin x

S, x

2

d) h(x ) 2 sin 2 x

8

d)

S ,x 2

6.123 a) y 14,0 sin 0,53x 2,26 1,98 c) Passar veldig bra d) Gjennomsnittstemperaturen for året

2S 3 3S 2

6.112 a) 4, x 3 b) 2, x 1 c) x 0,22 og x 1,78 6.113 a) a b) a c) a d) a

2, y 3, y 4, y 5, y

5, p 2S 2, p 2S 3, p S 1, p 2

6.115 g (x ) 2 sin x 6.116 f (x ) 5 sin Sx S 2 S 3S x 2 2

6.124 a) y 108 sin 0,55x 1,85 144 c) Passer veldig bra d) Gjennomsnittleg antal soltimar i Oslo per månad 6.130 a 3 og b 1 6.131 f (x ) 5 cos 2 x 3 6.132

§S · f (x ) 2 cos ¨ x 0, 72 ¸ ©8 ¹

6.114 f (x ) 4 sin x 3

6.117 f (x ) 3 sin

6.122 a) f(x) 15,9sin 0,49x 1,90 75,7 b) 15,9 cm, 12,8 timar, 75,7 cm d) Størst verdi etter 12 h 10 min.

Minst verdi etter 5 h 45 min og 18 h 35 min e) Etter 1 h 58 min, etter 9 h 31 min, etter 14 h 49 min, etter 22 h 21 min

1

6.118 a) 1) Amplitude: 5, periode: 30, likevektslinje: y 20 b) 1) 9. juni, 25 qC 2) 24. juni, 15 qC 3) 4. juni og 14. juni 6.121 a) f(x) 81,1 sin 0,51x 1,68 129 b) 81,1 cm, 12,3 timar, 129 cm d) Størst høgde etter 12 h 4 min.

Minst høgde etter 5 h 55 min og 18 h 12 min

6.133 a) 4, S og y 1 b) 5 og 3 c) 0,66 og 2,48 6.134 a) 2, S og y 3 b) 1 og 5 c) Ingen nullpunkt 6.135 a) a 3, b 3 6.136 a) S S S b) Nullpunkt: x , x , 6 2 7S 3S x , x 6 2 5S 11S c) 6, x og x 6 6 4S S og x d) 2, x 3 3

519

6.137 a) Amplitude: 5 3 , periode: 5 §5 · b) Toppunkt: ¨ , 5 3 ¸ ©4 ¹ § 15 · Botnpunkt: ¨ , 5 3 ¸ ©4 ¹ § 2S · c) g (x ) 5 cos ¨ x ¸ © 5 ¹ 5 e) x 3 6.138 a) Periode: 16 veker, likevektslinje: y 300, amplitude: 200 b) Etter ca. 5 veker og etter ca. 11 veker c) 4800 e) Etter 12 veker, 500 gutar g) Etter ca. 6 veker og etter ca. 13 veker 6.140 b) a 1, b

3

6.141 a) 2 3 sin 2 x 2 cos 2 x 3 3 3 cos x b) sin x 2 2 §S · §S · c) 2 sin ¨ x ¸ 2 cos ¨ x ¸ 2 © ¹ ©2 ¹ 6.142 a) 1) x 9 eller x 21 3) Toppunkt: 0, 4 , 15, 5,66 Botnpunkt: 3, 5,66 , 24, 4 b) 1) Litt etter kl. 11.00 og litt før kl. 19.00 2) Høgaste temperatur er 25,7 qC kl. 15.00.

Lågaste temperatur er 14,3 qC kl. 03.00.

6.143 a 2, k 2, c

520

S 4

6.144 a) b) c)

S· § 2 sin ¨ 2 x ¸ 3 4¹ © S· § 2 sin ¨ x ¸ 3 4¹ © S· § 2 sin ¨ Sx ¸ 1 4¹ ©

d) 5 sin 2 x 0, 93 2 e) sin 0, 8 x 0, 93 0, 8 6.145 b) x 0,79 eller x 1,25 6.146 a) Likevektslinje: y 4, amplitude: 6, periode: 40 10 50 c) x | 3, 3 og x | , 7 3 3 f) Prestasjonane er best når ho er 27 år.

6.147 a) 4 år b) Etter 3 år, 150 harar d) Etter 2,3 år og etter 3,7 år g) Etter 1,3 år, 462 harer og revar h) Etter 0 år, etter 2,6 år og etter 4 år 6.150 S 3S a) x og x 4 4 S 5S og x b) x 8 8 d) x 0,55 eller x 2,12 6.151 S 3S og x a) x 4 4 S 3S og x b) x 4 4 c) x 0,23 og x 1,80 S e) x 0, x og x S 2 6.152 5 11 a) x ,x 3 3 b) x 1, x 3 1 7 ,x d) x 3 3

6.153 S 3S a) x og x 2 2 S 3S ,x c) x ,x 4 4

5S ,x 4

7S 4

6.160 a) f c(x ) S cos Sx b) f c(x ) sin2 x 1 x c) f c(x ) cos x sin 2 2 x cos x sin x d) f c(x ) x2 6.161 a) f c(x ) sin x x cos x b) f c(x ) 2 x cos x x 2 sin x c) f c(x ) cos 2 x sin2 x 2 d) f c(x ) cos 2 x 6.162 a) f c(x ) 2 cos 2 x 2 sin 2 x b) f c(x ) c) f c(x )

S cos 2 Sx cos x

sin x cos x x sin x d) f c(x ) cos 2 x

6.163 a) 3x 2 cos x 3 b) 3x 2 cos x x 3 sin x 2 sin x c) cos 3 x d) sin x cos(cos x ) 6.164 a) f c(x ) cos x e sin x cos x b) f c(x ) sin x c) f c(x ) e x cos(e x ) 1 cos ln x d) f c(x ) x

6.165

6.173 a) 1,5 meter b) ­ x 5t ° ® y 6t ° z 5t 2 3, 5t 1, 5 ¯ c) 2,11 meter e) 2,59 f) 1,09 meter

§S · a) Toppunkt: ¨ , 1,13 ¸ 6 © ¹ § 5S · Botnpunkt: ¨ , 0, 44 ¸ 6 © ¹ 6.166 a) x 0 og x S § 3S · b) ¨ , 7, 46 ¸ 4 © ¹

6.174 a) xy-planet i 0, 4, 0 , 4· § 32 xz-planet i ¨ , 0, ¸ og 9 3¹ © yz-planet i 0, 8, 4 og 0, 4, 0 b) Ja, y-aksen

6.167 a) x 2 sin x C b) x 2cos x C c) 1 d) S 1 1 e) e 2 x cos 2 x C 2 2 1 2 1 f) ln x x 2 sin x C 2 2

6.175 a) 2 meter b) ­ x 12t ° ® y 5t °z 5t 2 9t 2 ¯ d) 2 sekund e) 24, 10, 0 og 26 meter

6.168 a) 2 x cos(2 x ) sin(2 x ) C 1 b) cos x 2 C 2 c) S 2 1 d) x sin x cos x C 2

x

8

3

1

4

0 1 0

3

8

2

3

d) 1, 0 , 0, 1 , 0, 1 6.171 a) Ei rett linje c) 5, 4, 0 6.172 b) 3, 0 , 3, 0 , 0, 1 , 0, 3 c) 2) 3, 0 , 0, 3

ª¬3, 0, 1º¼ og ª¬3, 0, 1º¼

ª¬ 4, 8, 4 º¼ 4 ª¬1, 2, 1º¼ og ª¬ 4, 8, 4 º¼ 4 ª¬ 1, 2, 1º¼

­x 3 t ­x 3 t ° ° c) ® y 2t og ® y 2t °z 1 t °z 1 t ¯ ¯ 6.184 b) For eksempel: ­ °x °° ® °y ° °¯z

2

2 6

2 2

2 t 2 6 t 2 2t

­ 2 2 t

°x 2 2 °° 6 6 ® °y 2 2 t ° °¯z 2 2t

­ x 2t ° ® y 2t °z 1 t ¯

3

1

6.183

a) r (2)

r ( 2)

b) r c(2)

r c 2

c) For eksempel:

2

y 3 2 1 0

­ x 1 2t ° ®y 2 t °z 5 t ¯

6.176 c) For eksempel:

6.169 b) x 3,44, x 6,12 c) 1,37 6.170 a) t 2 1 0

6.182 c) For eksempel:

d) 2, 2, 0

d) 2

6.177 a) 4, 12, 3

6.185 c) t 1

6.180

a) r c(t )

b) r c(t )

6.190 a) 44,7 m/s

b) Etter 4 s, r (4) ª¬160, 0 º¼

c) v(2) ª¬ 40, 0 º¼ , v 40 m/s

v(4) ª¬ 40, 20 º¼ , v 44,7 m/s d) 10 m/s2, retning rett nedover

ª¬2t , 8t 4, 0 º¼ ª¬2, 2e 2t , 0 º¼

1 3º

ª c) r c(t ) «2t 2, , » t t¼ ¬

ª 2 º d) r c(t ) « 3 , 2t , sin t » ¬ t ¼ 6.181 a) ­ x 1 5 cos t ® y 3 5 sin t , t ª¬0, 2S º¼ ¯

6.191 a) 24,7 m/s, 18,1 m/s2

b) r (1) ª¬ 2, 8 º¼ , r ( 1) ª¬2, 8 º¼

c) r (0) ª¬0, 9 º¼

c) ­ x 2 4t ® y 1 3t ¯

521

6.192 a) 20 m b) 5 m

c) v (t ) ª¬10, 10 10t º¼

a(t ) ª¬0, 10 º¼ d) 1) Etter 0,5 s:

| v (t )| 11, 2 m/s, retning 26,6q opp frå horisontalplanet.

| a(t )| 10 m/s 2 , retning rett nedover.

2) Etter 1,0 s:

| v (t )| 10 m/s, horisontal retning.

| a(t )| 10 m/s 2 , retning rett nedover.

3) Etter 1,5 s:

| v (t )| 11, 2 m/s, retning 26,6q under horisontalplanet.

| a(t )| 10 m/s 2 , retning rett nedover.

6.193 a) 0,6, 1,05 b) 1,25 m c) 0,5 s d) 1,5 m e) >3, 5@, 5,8 m/s f) >0, 10@, 10 m/s2 6.194 a) 10 m b) 10 s c) 5 s, 2 omdreiingar d)

ª 4 S § 2S · 4 S º § 2S · v(t ) « sin ¨ t ¸ , cos ¨ t ¸ , 0, 2t » © 5 ¹ 5 © 5 ¹ ¬ 5 ¼

ª 8 S2 º § 2 S · 8 S2 § 2 S · a(t ) « cos ¨ t ¸ , sin ¨ t ¸ , 0, 2 » 25 © 5 ¹ © 5 ¹ ¬ 25 ¼

e) 3,2 m/s 6.195 b) R gir radiusen i den tenkte sylinderen, b styrer kor fort kurva beveger seg i positiv z-retning, og Z styrer rotasjonshastigheita rundt sylinderen.

c) v (t ) ª¬ RZ sin Zt , RZ cos Zt , b º¼

a(t ) ª¬ RZ 2 cos Zt , RZ 2 sin Zt , 0 º¼

d) Farten er konstant lik R 2Z2 b2 og akselerasjonen konstant lik RZ2 . e) 3,0 meter (2,9775)

522

6.200 S a) x og x 6 S b) 1, x 2 3S c) 3, x 2

5S 6

6.201 b)

S , 4

2 S 4

c) x 0 og x 1,39 6.202 a) f (x ) 5 sin x 3 eller f (x ) 5 sin x 3 6.203 2 sin x 1 6.204 3 sin x 2 6.205 a) Lågast kl. 06.00, 10 qC. Høgast kl. 18.00, 22 qC b) kl. 14. og kl. 22 6.206 a) Amplitude: 8, periode: 5 og likevektslinje: y 3 §5 · c) Toppunkt: ¨ , 11 ¸, ©4 ¹ § 15 · botnpunkt: ¨ , 5 ¸ 4 © ¹ 5 25 eller x d) x 12 12 6.207 a) 1) Amplitude: 3 2) Periode: 8 3) Likevektslinje: y 2 S· §S 4) f (x ) 3 sin ¨ x ¸ 2 4¹ ©4 §S · b) 1) Toppunkt: ¨ , 6 ¸, ©6 ¹ § 2S · botnpunkt: ¨ , 2 ¸ 3 © ¹ S 5S 2) x og x 2 6

6.208 b) Høgaste temperatur: 2. juli, 21 qC Lågaste temperatur: 10. juli, 17 qC c) 6. juli og 14. juli S S d) a 3, c , d 17 og k 2 12 6.209 a) Amplitude: 3, periode: 24, likevektslinje: y 9 2S · §S b) f (x ) 3 sin ¨ x ¸ 9 12 3 ¹ © 6.210 a) f (x ) 73, 82 sin 0,51x 2,68 116, 57 b) ca. kl. 4 6.211

S· §S g (x ) 4 cos ¨ x ¸ 2 3¹ ©3

6.212

3S · §S f (x ) 3 cos ¨ x ¸ 2 4 4 ¹ ©

6.213 a) 2 cos 2 x 1 6.214 a) Amplitude: 2, periode: 8, likevektslinje: y 1 S· §S b) f (x ) 2 cos ¨ x ¸ 1 2¹ ©4 6.215 a) Likevektslinje: y 2, amplitude: 3 og periode: 8 S· §S b) f (x ) 3 sin ¨ x ¸ 2 4 4¹ © 3S · §S c) f (x ) 3 cos ¨ x ¸ 2 4 ¹ ©4 6.216 a) Amplitude: 2, periode: 2S, likevektslinje: y 3 b) f (x ) 2 sin x 1 3

6.217

6.226 a) V c(t )

§S · 5 sin ¨ x 0, 46 ¸ 3 ©2 ¹

S §S · cos ¨ t ¸ 3 ©6 ¹

V cc(t )

6.218 S a) x 12 S b) x 6 S c) x 4

S2 § S · sin t 18 ¨© 6 ¸¹

b) Vasstanden er høgast kl. 03.00 og kl. 15.00.

Vasstanden er lågast kl. 09.00 og kl. 21.00. c) Vasstanden stig raskast kl. 00.00 og kl. 12.00.

6.220 a) x 2,5 og x 4,5 S· §S b) f (x ) 2 sin ¨ x ¸ 1 3 3¹ © c) x 2,5 og x 4,5 §1 · d) Toppunkt: ¨ , 3 ¸ , ©2 ¹ §7 · botnpunkt: ¨ , 1 ¸ ©2 ¹

© 365

6.228 a) 2 cos(2 x ) C b) 2cos Sx C

¹

6.229 a) 1 S b) 9 c) x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C

c) Høgast middeltemperatur på dag nr. 207 x 207,29 Den er da 19,1 qC.

6.230 152,8 mL

6.223 a) f c(x ) 2 cos x 2 x sin x 5 b) hc(x ) cos 2 5x 1

b) ln

6.224 a) f c(x ) 4 cos x b) g c(x ) 4 cos 4 x c) hc(x ) 4 cos x 4 x sin x x cos x d) i c(x) 2 x cos x 6.225 a) 2 x cos x x 2 sin x b) 2 sin(3x ) 6 x cos(3x ) c) 4sin x cos x d) x cos 2x cos x 2x sin 2x sin x cos 2x sin x cos 2 2 x

6.231

6.236 a) Alle x ª¬0, 2S º¼ unntatt x og x b) x

3S 2

S og x 6

S 2

5S 6

6.237 S S x , 4 4

6.227 1

6.222 a) 3,7 qC § 2S · x 1,144 ¸ 7 b) f (x ) 146 sin ¨

6.235 b) tan x

sin x 1 C cos x

1 c) ln tan x C 2 6.232 1 b) e x sin x cos x C 2 c k c) A 2 2 og B 2 2 c k c k 6.233 a) a0 S, a1 2 3 16 c) S og 8 105 6.234 Grenseverdien er d fordi «gjennomsnittverdien» til integranden er d.

6.238

( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! b) S(x ) sin x a) an

6.239 a) 0 x S S x 2S 1 b) s(x ) 1 cos x S 3S c) 1) x eller x 2 2 S 5S eller x 2) x 3 3 6.240 Konvergerer mot S S i , 4 4

cos 2 x cos x sin x

6.241 b) x-aksen: 8, 0 y-aksen: 0, 4 ­ x 0, 5 t c) T : ® ¯y 5 t 6.242 b) x-aksen: 0, 0 , 2, 0 og 6, 0 y-aksen: 0, 0 og 0, 3 ­ x 2 3t c) T : ® ¯y 3 t

523

6.243

a) r (t ) ª¬3 cos t , 3 sin t º¼ , t ¬ª0, 2S ¼º

b) r (t ) ª¬2 4 cos t , 5 4 sin t º¼ , t ª¬0, 2S º¼

c) r (t ) ª¬ x 0 R cos t , y 0 R sin t º¼ , t ª¬0, 2S º¼

d) r (t ) ª¬cos 2St , sin 2St º¼ , t ª¬0, 1º¼

e) r (t ) ª¬sin t , cos t º¼ , t ª¬0, 2S º¼ ª x R sin 2St , º

f) r (t ) « 0 », «¬ y 0 R cos 2St »¼ t ª¬0, 1º¼ 6.244 a) 0, 0 , 0, 2

b) r c(t ) ª¬2t 2, 1º¼ ­ x 3 4t c) T : ® ¯ y 1 t 6.245 a) 1, 0 , 0, 1

ª1 º c) r c (t ) « , ln t » ¬t ¼

­ x 3 2t c) ® ¯ y 3 t 1 d) t 2

524

c) x t d) t

2

y t

2

z t

2

t2

2 5

6.248 b) ­x 3 t ° ® y 8 3t °z 1 t ¯ c)

­x 3 t ° ® y 8 3t °z 1 t ¯

6.252 a) 0,77 s, 7,9 m b) 2,03 s c) 26 m d) 18 m/s e) 45,9q f) 39,8q g) 27,5 m 6.301 a) Intellektuell biorytme: § 2S · sin ¨ x ¸ © 33 ¹ Kjenslemessig biorytme: §S · sin ¨ x ¸ © 14 ¹ § 2S · Fysisk biorytme: sin ¨ x ¸ © 23 ¹ 6.304

6.249

a) r1, r2 og r3

§S · h(t ) 24 22 cos ¨ t ¸ © 12 ¹

6.250

r (1) ª¬10, 13, 5º¼

r (3) ª¬30, 7, 5º¼

v(1) ª¬10, 7 º¼

v(3) ª¬10, 13º¼

a(t ) ¬ª0, 10 ¼º, 10 m/s2

6.305 c) k b d) i 2S, o 2Sk k e) g (x ) kx sin(dx ) gir d 2S 2Sk og opptrinn inntrinn d d 6.307 2 2 §x· §y· a) ¨ ¸ ¨ ¸ 1, kurvene er ©3¹ ©4¹

6.251

b) v (t )

a(t )

1 ­ °x 2 2 t d) ® e °̄ y e 2 2t 6.246 a) Skjering med x-aksen: 0, 0 og 8, 0 .

Skjering med y-aksen: 0, 0 og 0, 4 .

6.247 10 a) 3 b) 20x 5y 4z 20

ª¬r 1 cos t , r sin t º¼, ª¬r sin t , r cos t º¼

d) Parallell med x-aksen når t k S, k , da er P nedst eller øvst på sirkelen.

Parallell med y-aksen når t 2k S, k , da er P nedst på sirkelen. e) Farten er størst når t 2k 1 S, k , da er P øvst av sirkelen.

Farten er minst når t 2k S, k , da er P nedst på sirkelen. g) 3r

like. b) y2 x3, kurvene er like. c) y2 x2 x 1 , kurvene er like. d) x 2 y 2 er like.

6.311 a) 0 c)

2

x 2 y 2 , kurvene

a 2

a b2 d) I 0, 0, 0 er krumminga 2.

STIKKORD

A absolutt vinkelmål 229 ff, 265, 272, 273, 338, 339 absoluttverditeikn 68 akselerasjon 66, 334 ff, 339 – akselerasjonsvektor 334, 339 amplitude 283 ff, 296 ff, 338 andre vinkelbein 228 antiderivasjon 60 ff antiderivert 60 ff, 70, 84 ff, 96, 97 areal – integral 72 ff, 87, 97, 105, 108 ff, 112 ff, 132 ff, 139 ff, 153 – mellom graf og x-akse 75 ff, 84, 87 ff, 97, 109 – mellom to grafar 94 ff, 97, 105, 117 – overflate 141 ff, 153 – parallellogram 184, 186 ff, 189, 192, 220 – snittflate 133 ff, 153 – trapes 113 ff – trekant 189 ff, 220 aritmetisk følge 20 ff, 50 – ledd nr. n 20, 50 aritmetisk rekke 23 ff, 50 – sum 23, 50 asymptote 147 ff avstand – frå punkt til linje 207, 215 ff, 221 – frå punkt til plan 217 ff, 221 – mellom punkt 173 ff B basisvektorar 166 ff, 187 bestemt integral 75 ff, 84 ff, 96, 114, 122, 129, 133 bestemt integral og antiderivasjon 75, 84 ff, 96 bestemt integral som grense for ein sum 75 ff, 96, 105 bevis – antiderivert 64 – avstand frå punkt til plan 216, 217 – avstanden mellom punkt 173

– delvis integrasjon 123 – derivasjon av tangensfunksjonen 311 – derivasjon av vektorfunksjonar 325, 326 – induksjon 46 ff, 51 – integralformlar 64 ff, 67 ff, 69 ff – omrekningsformel mellom gradar og radianar 231, 232 – sumformel for uendeleg geometrisk rekke 38, 39 – vektor mellom to punkt 171 – volum av omdreiingsgjenstandar 134 – volumformel for parallellepiped 194 ff bogelengde 227, 229 ff, 232, 272 botnpunkt 143 ff, 281, 283, 285, 296, 338 C cosinus 235 ff – eksakte verdiar 235, 237 ff, 259, 260 – sum og differanse cosinusfunksjonen – amplitude 110 ff, 142 – derivasjon 310 – graf 110 ff, 142 – likevektslinje 110 ff, 142 – periode 110 ff, 142 cosinuslikning 247 ff D delbrøkoppspalting 127 ff, 153 delvis integrasjon 123 ff, 152 derivasjon 57 ff – cosinus 310 ff, 338 – rekke 98 – sinus 310 ff, 338 – tangens 311 ff, 338 deriverbar 57 derivert – anti- 60 ff, 70, 84 ff, 96, 97 – eksponentialfunksjon 69 – ln x 58, 67 – logaritmefunksjon 58

– polynomfunksjon 57 ff – rasjonal funksjon 59 – rotfunksjon 58 – samansett funksjon 59, 123 – vektorfunksjonar 325 ff, 339 determinant 182 ff, 192 ff, 220, 221 differanse 20 ff, 23, 50 differanse av vektorar 159, 168 divergent rekke 38 ff, 51 divergerande følge 12 ff, 38 ff E eksakte trigonometriske verdiar 235 ff eksponentialfunksjon – derivert 69 ff – integrasjon 69 ff eksplisitt formel 7, 9, 20, 28, 50, 51 endeleg rekke 15, 50 – sum 15, 23 ff, 31 ff, 38, 50, 51 einingsformelen 257 ff, 273 einingssirkelen 235 ff, 273 einingsvektor 166 ff F fart 66, 117, 332 – vekst- 57 fartsvektor 332 ff, 339 fibonaccitala 10 ff figurtal 7 ff, 13 fundamentalsetninga 82 ff, 92 funksjonen f(x) a sin(kx) bcos(kx) 303 ff, 338 funksjonsdrøfting 143 ff følge 8 ff, 50 – aritmetisk 20 ff, 50 – geometrisk 27 ff, 51 – uendeleg 12 første omløp 240 ff første vinkelbein 228 G geometrisk følge 27 ff, 51 – ledd nr. n 28 ff, 51

525

geometrisk rekke 31 ff, 38, 39, 43 ff, 51 – sum 30 ff, 38 ff, 51 – variable kvotientar 43 ff grunnstilling 228, 272 H høgrehandsregelen 186 høgrehandssystem 164, 186 høgremetoden 109 ff I induksjonsbevis 46 ff induksjonsprinsippet 46 ff, 51 integral og samla resultat 103 ff, 152 1 integralet ³ dx 67 ff x

integralteikn 63 integrand 63 integrasjon – areal 72 ff, 87, 97, 105, 108 ff, 112 ff, 132 ff, 139 ff , 153 – bevis integrasjon og volum 134 – delbrøkoppspalting 127 ff, 153 – delvis 123 ff, 152 – eksponentialfunksjonar 69 ff, 96 – tilnærmingsmetodar 109 ff, 152 – variabelskifte 120 ff, 152 – volum 132 ff, 153 integrasjonsformlar 64 ff, 96 integrasjonsgrense 76, 85 integrere 63 K kjegle – overflateareal 141 ff – volum 136 kjerneregelen 59, 69, 120 kontinuerleg vekst 105 ff konvergensområde 43 ff, konvergent rekke 38 ff, 43, 51, 98 konvergerande følge 12 koordinatform for vektorar 167 ff, 171, 219 koordinatformel skalarprodukt 177, 219 koordinatformel vektorproduktet 187 ff

526

koordinatplan 164 koordinatsystem 163 ff, 201 kule – -flate 274, 324, 326, 339 – volum 133 ff kvadrattala 7, 14, 17 kvotient 26 ff, 39 ff, 43, 51 kvotientregelen 61 L ledd 8 ff, 12, 15, 50, 51 lengde av vektor 170, 173 ff, 219 likevektslinje 283, 285, 296 ff, 338 likning – cosinus- 247 ff – plan 201 ff, 221 – sinus- 242 ff – tangens- 255 ff – tangent 149 – vektor- 168 ff likninga a sin kx b cos kx c 268 ff lineær kombinasjon av vektorar 161 lineært avhengige vektorar 161 lineært uavhengige vektorar 161, 166 linjer – parameterframstilling 205 ff, 221 – vinkel mellom linje og plan 211 ff – vinkel mellom linjer 209 ff M midtmetoden 110 motsette vektorar 159 N negativ vinkel 228, 272 normalvektor 201 ff, 221 nullvektor 159 O omdreiingsgjenstandar 134 ff, 153 omløp 240 ff – første 240 ff omrekning mellom gradar og radianar 232, 272

P parallelle vektorar 159, 219 parallellepiped 161, 194 ff, 220 – volum 195 ff, 220 parallellogram – areal 184, 186 ff, 189, 192, 220 parameterframstilling 280 ff – kurver 317 ff, 327 – linje 205 ff, 221 periode 281, 284 ff, 296 ff, 307, 338 plan – likning 201 ff, 221 – vinkel mellom linje og plan 211 ff polynomfunksjon – derivert 57 ff posisjonsvektor 222, 319 ff, 325 ff, 332, 339 positiv vinkel 228, 272 potensrekke 98 produkt – av tal og vektor 159 ff – regelen 59 – skalar- 176 ff, 181, 219 – vektor- 184 ff, 194 ff, 220 projeksjon 164, 211, 222 pyramide – volum 197 ff, 220 R radianar 229 ff, 272 – omrekning til gradar 232, 272 radiantal 229 ff, 272 reknereglar – skalarproduktet 177, 219 – vektorar 160, 168, 171, 173, 181, 219, 220 – vektorproduktet 188, 220 rekke 15 ff, 50 – aritmetisk 23 ff, 50 – divergent 38 ff, 51 – endeleg 15 – geometrisk 31 ff, 38, 39, 43 ff, 51 ff – konvergent 38 ff, 43, 51, 98 – potens 98 – sum 15, 23 ff, 31 ff, 38, 50, 51 – uendeleg 15, 38 ff, 51 rektangeltal 7 ff, 14 rekursiv formel 7, 9, 20, 27 retningsvektor for linje 205 ff rette linjer i rommet 205 ff, 221 romkoordinatar 163 ff romkoordinatsystem 163

S sinus 233 ff, 272, 273 – eksakte verdiar 233 ff sinusfunksjonen – amplitude 283 ff, 338 – derivasjon 310 ff, 338 – graf 280 ff, 238 – likevektslinje 283 ff, 338 – periode 281 ff, 338 sinuslikning 242 ff – generell løysing 242 skalarproduktet 176 ff, 181, 219 substitusjon 120 sum – aritmetisk rekke 23, 50 – geometrisk rekke 30 ff, 38 ff, 51 – rekke 15, 23 ff, 31 ff, 38, 50, 51 – uendeleg geometrisk rekke 38 ff, 51 sum av vektorar 159 ff sum og differanse av vinklar 266 ff, 273 T talfølge 8 ff, 50 talmengde 8 tangens – eksakte verdiar 234 ff tangensfunksjonen – asymptotar 307 – brotpunkt 306 ff – derivasjon 311 ff, 338 – graf 307 – nullpunkt 306 – periode 307 tangenslikning 253 ff, 273 tetraeder 197 ff, 221 tilnærmingsmetodar – integrasjon 109 ff, 152 trapesmetoden 113 ff, 152 trekant – areal 189 ff, 220 trekanttal 8, 13 ff trigonometriske definisjonar 233 ff, 272 trigonometriske formlar 125, 127, 129, 143 trigonometriske likningar 59 ff, 83 ff – -radianar 61 ff, 65, 67 ff trigonometriske modellar 106 ff

V variabelskifte 120 ff, 152 vekstfart 57 vektorar 159 ff, 219 ff, 317 ff, 339 – differanse 159, 168 – einings- 166 ff – koordinatform 167 ff, 171, 219 – koordinatformlane 137 ff – lengde 170, 173 ff, 219 – likning 168 ff – mellom to punkt 171 ff, 219 – motsett 159 – null- 159 – parallell 159 ff, 219 – posisjons- 222, 319 ff, 325 ff, 332, 339 – produkt av tal og - 159 ff – reknereglar 160 ff, 219 ff – reknereglar for skalarproduktet 177, 219 – skalarproduktet 176 ff, 181, 219 – sum 159 ff – vinkelrette 177 ff, 219 vektorfunksjonar 319 ff – derivert 325 ff, 339 – graf 319 ff venstremetoden 109 ff vinkel – mellom linje og plan 211 ff – mellom to linjer 209 ff – mellom to vektorar 176 ff – negativ 228, 272 – positiv 228, 272 vinkelbein 228 – andre 228 – første 288 vinkelmål 227 ff, 272 – absolutt - 229 ff, 265, 272, 273, 338, 339 vinkelrette vektorar 177 ff, 219 volum 194 ff – integrasjon 132 ff, 153 – kjegle 136 – kule 133 ff – omdreiingsgjenstandar 134 ff, 153 – parallellepiped 195 ff, 220 – pyramide 197 ff, 220 – tetraeder 197 ff, 221

527