Oldervoll | Svorstøl | Gustafsson | Jacobsen
Sinus R MATEMATIKK
STUDIESPESIALISERANDE PROGRAMFAG VG2 NYNORSK
Foto og grafikk: Bilda er fargemanipulerte. 2PVODJVIRWR L6WRFN *HWW\ ,PDJHV 3OXV SOHMռյ .DSLWWHO ؍$GREH 6WRFN PDJDQQ .DSLWWHO յ $GREH 6WRFN %LWV DQG 6SOLWV .DSLWWHO ն $GREH 6WRFN VDODMHDQ .DSLWWHO շ 8QVSODVK HURO DKPHG .DSLWWHO ո 8QVSODVK ZLOOLDP .DSLWWHO չ L6WRFN *HWW\ ,PDJHV 3OXV VFKXO]LH 2SSJ§YHGHO $GREH 6WRFN DUDKR 6LGH ؍մո 9RJQ S§ VNLQQH 5RELQ %MºUQHWXQ -DFREVHQ 6LGH յմջ 5DGLRVRQGH 7KRPDV 2OVHQ 6LGH նմն 8QVSODVK 9ODG %XVXLRF
k &DSSHOHQ 'DPP $6 2VOR յմյ؍ Sinus R1 IºOJHU O¨UHSODQHQ /.յմ L PDWHPDWLNN IRU UHDOIDJ 5 ؍IU§ յմյմ IRU YJյ SURJUDPIDJ L XWGDQQLQJV program for studiespesialisering. 0DWHULDOHW L GHQQH SXEOLNDVMRQHQ HU RPIDWWD DY IºUHVHJQHQH L §QGVYHUNORYHQ 8WDQ V¨UVNLOG DYWDOH PHG &DSSHOHQ 'DPP $6 HU DOO IUDPVWLOOLQJ DY HNVHPSODU RJ WLOJMHQJHOHJJMHULQJ EHUUH WLOODWH L GHQ XWVWUHNQLQJD GHW HU KHLPOD L ORY HOOHU WLOODWH JMHQQRP DYWDOH PHG .RSLQRU LQWHUHVVHRUJDQ IRU UHWWVKDYDUDU WLO §QGVYHUN 8WQ\WWLQJ L VWULG PHG ORY HOOHU DYWDOH NDQ PHGIºUH HUVWDWQLQJVDQVYDU RJ LQQGUDJLQJ RJ NDQ VWUDIIDVW PHG EºWHU HOOHU IHQJVHO *UDILVN IRUPJLYDU % . &DSSHOHQ 'DPP $6 Omslagsdesign: Kristin Gjestrum )ULKDQGVWHLNQLQJDU 3HU 5DJQDU 0ºNOHE\ 7HNQLVNH WHLNQLQJDU 7HUMH 6XQGE\ .HRSV Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Henning Vinjusveen Myhrehagen Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Sats: HAVE A BOOK, Polen 2021 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2021 8WJ§YH QU շ 2SSODJ QU ؍ ,6%1 ռպջ ջյ մյ չռչյն ջ ZZZ FGX QR sinus.cdu.no
Forord Sinus HU HLW PDWHPDWLNNYHUN IRU GHQ YLGDUHJ§DQGH VNXOHQ XWYLNOD HWWHU O¨UH SODQDQH IU§ յմյմ /¨UHERND Sinus R1 HU VNULYHQ IRU SURJUDPIDJHW 5 ؍L GHL VWXGLH IºUHEXDQGH XWGDQQLQJVSURJUDPPD %RND OHJJ YHNW S§ GHQ DEVWUDNWH PDWHPDWLNNHQ RJ HOHYDQH EOLU JRGW NMHQWH PHG PDWHPDWLVN WDQNHJDQJ 'HL I§U JRG WUHQLQJ L § Oº\VH RSSJ§YHU XWDQ RJ PHG EUXN DY GLJLWDOH KMHOSHPLGGHO (OH YDQH O¨UHU § EUXNH E§GH &$6 GHOHQ RJ GHQ JUDILVNH GHOHQ DY SURJUDPPHW *HR *HEUD 'HL I§U RJV§ RSSO¨ULQJ L § EUXNH SURJUDPPHULQJVVSU§NHW 3\WKRQ Boka legg spesielt vekt på utforskande matematikk. Når elevane skal i gang med HLW Q\WW WHPD LQQHKHOG ERND RIWH XWIRUVNDQGH RSSOHJJ GHU HOHYDQH VNDO ILQQH XW HLJHQVNDSDU RJ UHJODU LQQDQIRU WHPDHW S§ HLJD KDQG IºU GHW HU EHKDQGOD L ERND 0HQ WHRULHQ HU VNULYHQ VOLN DW GHW OLNHYHO HU PRJOHJ § OHVH KDQ XWDQ § KD JMRUW GHL XWIRUVNDQGH RSSOHJJD 8WIRUVNRSSOHJJD HU EHVW HLJQD VRP JUXSSHDUEHLG PHQ HLQ kan også gjere dei enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevar får trening i å kommunisere matematikk. 7LO VOXWW L NYDUW NDSLWWHO ILQQ HOHYDQH HLW VDPDQGUDJ DY YLNWLJH UHJODU RJ PHWRGDU L NDSLWWHOHW 'HU ILQQ YL RJV§ HL VWºUUH SURVMHNWRSSJ§YH , QRNUH DY GHVVH SURVMHNW RSSJ§YHQH I§U HOHYDQH EUXNH VWRIIHW L NDSLWWHOHW LQQDQIRU DQGUH IDJIHOW , DQGUH RSSJ§YHU I§U HOHYDQH O¨UH Q\ RJ VSHQQDQGH PDWHPDWLNN $OOH NDSLWOD EOLU DYVOXWWD med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet. , ERND HU GHW L WLOOHJJ HLQ RSSJ§YHGHO 2SSJ§YHVWRIIHW HU GHOW L WUH GHODU 'HQ IºU VWH GHOHQ KHLWHU m Y PHLU} +HU HU RSSJ§YHQH RUGQD HWWHU GHONDSLWOD L WHRULGHOHQ 'HQ DQGUH GHOHQ KHLWHU m%ODQGD RSSJ§YHU} +HU HU GHW RSSJ§YHU VRP HOHYDQH VNDO Oº\VH E§GH XWDQ RJ PHG GLJLWDOH KMHOSHPLGGHO 1RNUH JRQJHU VW§U GHW L RSS J§YD RP HOHYDQH VNDO EUXNH KMHOSHPLGGHO HOOHU LNNMH , DQGUH RSSJ§YHU VW§U HOHYHQ fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva oppgå YHU HOHYHQ NDQ Oº\VH Q§U HOHYHQ HU IHUGLJ PHG HLW GHONDSLWWHO 1§U GHW IRU HNVHP SHO VW§U շ ո HWWHU HL RSSJ§YH V§ NDQ HOHYHQ UHNQH DOOH RSSJ§YHQH IUDPIRU GHWWH PHUNHW Q§U HOHYHQ HU IHUGLJ PHG GHONDSLWWHO շ ո 'HQ WUHGMH GHOHQ KHLWHU m2SQH RSSJ§YHU} +HU HU GHW RSQH RJ XWIRUVNDQGH RSSJ§YHU VRP NDQ YHUH PHLU NUHY MDQGH HQQ GHL L m%ODQGD RSSJ§YHU} +HLOW WLO VOXWW L ERND NMHP IDVLW RJ VWLNNRUGUHJLVWHU 'HW HU YLNWLJ DW HOHYDQH O¨UHU VHJ § EUXNH GHWWH VWLNNRUGUHJLVWHUHW Q§U GHL VWº\WHU S§ XNMHQWH RUG RJ XWWU\NN 7LO YHUNHW Kº\UHU RJV§ HLQ QHWWVWDG ZZZ VLQXV FDSSHOHQGDPP QR +HU HU GHW P\NMH WLOOHJJVVWRII %ODQW DQQD LQQHKHOG QHWWVWDGHQ PDQJH LQWHUDNWLYH RSSJ§YHU VRP HU RUGQD HWWHU GHONDSLWOD L ERND 1HWWVWDGHQ HU IULWW WLOJMHQJHOHJ IRU DOOH , DUEHLGHW PHG § I§ IUDP EHVW PRJOHJH EºNHU HU GHW YLNWLJ § KD JRG NRQWDNW PHG EUXNDUDQH DY EºNHQH 'HUIRU YLO YL JMHUQH KD WLOEDNHPHOGLQJDU RP IHLO HOOHU ºQVNH RP IRUDQGULQJDU )RUIDWWDUDQH YLO WDNNH NROOHJDHU RJ DQGUH IRU JRGH U§G L DUEHL GHW PHG ERND 9L ºQVNHU DOOH O\NNH WLO L DUEHLGHW PHG IDJHW Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Einar Gustafsson – Robin Bjørnetun Jacobsen
3
s
Innhald
s
4
1
Potensar og logaritmar
1.2 1.3 1.7
0DWHPDWLVNH V\PERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briggske logaritmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (NVSRQHQWLDOOLNQLQJDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3UDNWLVN EUXN DY HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /RJDULWPHOLNQLQJDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturlege logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (NVSRQHQWLDOOLNQLQJDU RJ QDWXUOHJH ORJDULWPDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /RJDULWPHOLNQLQJDU RJ QDWXUOHJH ORJDULWPDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3URVMHNWRSSJ§YH /RJDULWPLVNH VNDODHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Grenseverdiar og derivasjon
2.1 2.2 2.3 2.5 2.8 2.9
Grenseverdiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlege funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonar med delt funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *UHQVHYHUGLDU GHU WHOMDU RJ QHPQDU EOLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnittleg og momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9HNVWIDUW VRP JUHQVHYHUGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9HNVWIDUW PHG QXPHULVNH PHWRGDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av polynomfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fart og akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3URVMHNWRSSJ§YH +RRNHV ORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Funksjonsdrøfting
3.2 3.5 3.6 3.7 3.8
)XQNVMRQVGUºIWLQJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krumming og vendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 'UºIWLQJ DY IXQNVMRQDU PHG GHOW XWWU\NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6WºUVW RJ PLQVW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjonar og rotfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjerneregelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omvende funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Meir om omvende funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3URVMHNWRSSJ§YH /LQH¨U UHJUHVMRQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Eksponential- og logaritmefunksjonar
4.1 4.2
Funksjonen f x = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Derivasjon av eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
..................................................
...........................................
6 7 14 19 22 26 29 35 38 42 45 46 48 50 52 54 61 69 74 87 93 98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
118 126 131 138 145 159 164 166
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 4.4
Derivasjon av eit produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av rasjonale funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 'UºIWLQJ DY ORJDULWPH RJ HNVSRQHQWLDOIXQNVMRQDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /RJLVWLVN YHNVW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9HNVWIDUWHQ YHG ORJLVWLVN YHNVW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3URVMHNWRSSJ§YH /XIWWU\NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5 5.6 5.7 5.8
9HNWRUDU L NRRUGLQDWV\VWHPHW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /HQJGD DY HLQ YHNWRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9HNWRUHQ PHOORP WR SXQNW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6XP GLIIHUDQVH RJ SURGXNW DY WDO RJ YHNWRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digital vektorrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelle vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dekomponering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HNQHUHJODU IRU YHNWRUDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Determinantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Skalarprodukt og parameterframstilling
6.1 6.2 6.3 6.5
Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformelen for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonale vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HNQHUHJODU IRU VNDODUSURGXNWHW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterframstillingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HNQLQJ PHG SDUDPHWHUIUDPVWLOOLQJDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HWWOLQMD EHYHJHOVH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Parameterkurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5HSHWLVMRQVRSSJ§YHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259 263 268 276 287 293 299
Oppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Potensar og logaritmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Grenseverdiar og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Eksponential- og logaritmefunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vektorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Skalarprodukt og parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304 305 331 352 376 397 415
183 187 191 197
214 225 229 236 239 242 245 249 252 254 256
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Fasit – oppgåvedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
5
s
POTENSAR OG LOGARITMAR Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • utforske og forstå reknereglar for potensar og logaritmar, og bruke ulike strategiar for å løyse eksponentiallikningar og logaritmelikningar
s
6
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
1.1 Matematiske symbol )RU FD յոմմ §U VLGDQ IDQQ JUHNDUDQH XW DW GHL P§WWH EHYLVH DOO PDWHPDWLVN NXQQVNDS YHG KMHOS DY ORJLNN 'HQQH WDQNHJDQJHQ KDU HWWHU GHW YRUH JUXQQODJHW IRU IDJHW PDWHPDWLNN 9L VNDO QR JMHUH RVV NMHQW PHG QRNUH DY V\PEROD IU§ ORJLNNHQ 9L YHLW DW YLVV յx ؍շ V§ HU յx ն 0HG EUXN DY V\PERO IU§ ORJLNNHQ VNULY YL յx ؍շ յx ն 6\PEROHW OHV YL ͡IºUHU WLO DW͢ ͡PHGIºUHU DW͢ HOOHU ͡LPSOLVHUHU DW͢ 9L EUXNHU GHQQH SLOD PHOORP WR OLNQLQJDU S§VWDQGDU HOOHU XWVHJQHU 6NULYHP§WHQ A B EHW\U DW YLVV S§VWDQGHQ A HU UHWW V§ HU RJV§ S§VWDQGHQ B UHWW 9LVV x յ IºUHU GHW WLO DW x յ շ 0HG V\PERO VNULY YL x յ x յ շ 0HQ YLVV x յ շ EHKºYHU LNNMH GHW EHW\ DW x յ 'HW UHWWH NDQ YHUH DW x յ 'HUIRU NDQ YL LNNMH VNULYH DW xյ շ x յ 'HW UHWWH HU x յ շ x յ HOOHU x յ 0DQJH EUXNHU HLW HLJH ORJLVN V\PERO IRU ͡HOOHU͢ RJ VNULY x յ շ x յ x յ 7HLNQHW OHV YL DOWV§ ͡HOOHU͢ /LNQLQJDQH յx յ ջ RJ x յ շ KDU Qº\DNWLJ GHL VDPH Oº\VLQJDQH QHPOHJ x յ RJ x յ 9L VHLHU DW GHL WR OLNQLQJDQH HU ekvivalente OLNHYHUGLJH RJ VNULY յx յ ջ x յ շ 7HLNQHW NDOODU YL HLW ekvivalensteikn 9L OHV ͡HU HNYLYDOHQW PHG͢ ͡KDU VDPH Oº\VLQJ VRP͢ HOOHU ͡YLVV RJ EHUUH YLVV͢ 9L NDQ RJV§ VNULYH x յ շ x յ x յ 7R S§VWDQGDU A RJ B HU HNYLYDOHQWH GHUVRP S§VWDQG A HU UHWW YLVV RJ EHUUH YLVV S§VWDQG B HU UHWW 9L VNULY A B 7R OLNQLQJDU HU HNYLYDOHQWH YLVV GHL KDU Qº\DNWLJ GHL VDPH Oº\VLQJDQH
1.1 MATEMATISKE SYMBOL
7
s
1§U YL Oº\VHU HL OLNQLQJ JMHU YL OLNQLQJD RP S§ HLQ VOLN P§WH DW YL I§U HL Q\ OLNQLQJ PHG Qº\DNWLJ GHQ VDPH Oº\VLQJD 9L NDQ IRU HNVHPSHO IO\WWH OHGG RYHU S§ GHQ DQGUH VLGD DY OLNVNDSVWHLNQHW Q§U YL VDPWLGLJ VNLIWDU IRUWHLNQ S§ OHGGHW 9L NDQ RJV§ PXOWLSOLVHUH RJ GLYLGHUH S§ EHJJH VLGHQH DY OLNVNDSVWHLNQHW PHG WDO VRP LNNMH HU QXOO 1§U YL RPIRUPDU HL OLNQLQJ S§ GHQQH P§WHQ I§U YL HL HNYLYDOHQW OLNQLQJ VRP KDU Qº\DNWLJ GHQ VDPH Oº\VLQJD VRP GHQ OLNQLQJD YL EHJ\QWH PHG 'D NDQ YL EUXNH HNYLYDOHQVWHLNQHW PHOORP OLNQLQJDQH EKSEMPEL
/º\V OLNQLQJD նx յ յx ն շx ն 3x 2 2 x 3 4 x 3 :
LØ Y S I N G
3x 2 2 x 3 4 x 3 0 : 3x 2 6 x 0 : 3x x 2 0 : 3x 0 x 2 0 : x 0 x 2
, GHQQH ERND NMHP YL QRUPDOW LNNMH WLO § VNULYH HNYLYDOHQVWHLNQHW Q§U YL Oº\VHU OLNQLQJDU 9L IºUHVHW YDQOHJYLV DW OLNQLQJDQH HU HNYLYDOHQWH Q§U GHW LNNMH VW§U QRNR V\PERO PHOORP GHL
?
OPPGÅVE 1.10
6HWW LQQ HLWW DY V\PEROD HOOHU L UXWHQH GHU GHW HU PRJOHJ a) 2 x 1 5 b) 3x
2
x
2
d) x 9 e) 2 x
s
8
2
x2
12 4
c) x
2x 4
50
2
4
16
x 3 x 3 x
5
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
, WLOOHJJ WLO WHLNQHW ͡HOOHU͢ KDU YL WHLNQHW IRU ͡RJ͢ 7HLNQHW EºU YL OHVH ͡RJ VDPWLGLJ͢ 9L NDQ IRU HNVHPSHO EUXNH GHW Q§U YL Oº\VHU WR OLNQLQJDU PHG WR XNMHQWH /LNQLQJVVHWWHW 2x y 1 x y 2 EHW\U DW GHL WR OLNQLQJDQH VNDO YHUH RSSI\OWH VDPWLGLJ 9L NDQ GHUIRU VNULYH յx y ؍b x y յ 7HLNQHW NDQ YL LNNMH DOOWLG HUVWDWWH PHG RUGHW ͡RJ͢ IRU WHLNQHW EHW\U ͡RJ VDPWLGLJ͢ 9L NDQ JMHUQH VHLH DW HL OLNQLQJ KDU Oº\VLQJDQH x յ RJ x ն 'HW HU LNNMH GHW VDPH VRP § VHLH DW OLNQLQJD KDU Oº\VLQJDQH x յb x ն IRU x NDQ LNNMH VDPWLGLJ YHUH E§GH յ RJ ն 9L P§ VHLH DW OLNQLQJD KDU Oº\VLQJD x յb x ն
?
OPPGÅVE 1.11
, GHQQH RSSJ§YD VHLHU YL GHW HU մ ո PLOOLRQDU WUºQGHUDU ո PLOOLRQDU QRUGPHQQ ؍մ PLOOLRQDU VYHQVNDU RJ ջ PLOOLDUGDU IRON L YHUGD 2PWUHQW NRU PDQJH QROHYDQGH SHUVRQDU SDVVDU PHG EHVNULYLQJD" a) (J HU QRUVN (J HU NYLQQH b) (J HU QRUVN (J HU NYLQQH c) (J HU WUºQGHU (J HU VYHQVN d) (J HU WUºQGHU (J HU VYHQVN OPPGÅVE 1.12
)LQQ Oº\VLQJDQH a) x յ ռb x ! մ d) x յ x յ մb x ! մ
b) x յ ռb յx շ e) x y նb յx նy ؍
c) x յ ռb յx շ
7DOD GHOHU YL RIWH RSS L QDWXUOHJH WDO KHLOH WDO UDVMRQDOH WDO LUUDVMRQDOH WDO RJ UHHOOH WDO Dei naturlege tala HU WDOD ؍յ ն շ ͬ 9L EUXNHU V\PEROHW RP GHL Dei heile tala RPIDWWDU DOOH GHL QDWXUOHJH WDOD WDOHW մ RJ DOOH GHL KHLOH QHJDWLYH WDOD ' HU V\PEROHW IRU GHL KHLOH WDOD Dei rasjonale tala EHVW§U DY DOOH WDO VRP NDQ VNULYDVW VRP EUºNDU PHG KHLOH WDO L WHOMDUHQ RJ QHPQDUHQ 'HW YDQOHJH V\PEROHW IRU GHL UDVMRQDOH WDOD HU $OOH KHLOH WDO NDQ VNULYDVW VRP EUºNDU RJ HU GHUPHG UDVMRQDOH WDO 'HW ILQVW PDQJH WDO VRP YHUNHQ HU KHLOH WDO HOOHU EUºNDU 'HW HU GHL irrasjonale WDOD 7DOD S RJ 2 HU HNVHPSHO S§ LUUDVMRQDOH WDO
1.1 MATEMATISKE SYMBOL
9
s
Dei reelle tala HU VHWWH VDPDQ DY GHL UDVMRQDOH WDOD RJ GHL LUUDVMRQDOH WDOD 'HL UHHOOH WDOD RPIDWWDU GHUPHG DOOH KHLOH WDO DOOH EUºNDU RJ DOOH WDO VRP LNNMH NDQ VNULYDVW VRP HLQ EUºN 'HW EOLU DOOH WDOD L GHW YDQOHJH WDOV\VWHPHW Y§UW HU GHW YDQOHJH V\PEROHW IRU GHL UHHOOH WDOD 9L KDU QR VHWW S§ QRNUH talmengder 'HW HU PHQJGHU VRP LQQHKHOG WDO PHQ PHQJGHU NDQ RJV§ EHVW§ DY DQGUH W\SDU HOHPHQW 9L NDQ VQDNNH RP PHQJGD DY DOOH IºUVWHJUDGVXWWU\NN HOOHU PHQJGD DY DOOH E\DU L 1RUHJ 1§U YL VNULY x EHW\U GHW DW WDOHW x WLOKº\UHU GHL QDWXUOHJH WDOD 'HW HU GHW VDPH VRP § VHLH DW x HU HLW QDWXUOHJ WDO 6\PEROHW OHV YL ͡WLOKº\UHU͢ HOOHU ͡HU HOHPHQW L͢ 1§U YL VNULY DW x EHW\U GHW DW x HU HLW NYD VRP KHOVW UHHOW WDO 9L NDQ RJV§ VNULYH յ ' Q§U YL YLO VHLH DW WDOHW յ HU HLW KHLOW WDO 9L VNULY յ Q§U YL YLO VHLH DW յ LNNMH HU HLW QDWXUOHJ WDO 6\PEROHW OHV YL ͡WLOKº\UHU LNNMH͢ $OOH WDOPHQJGHQH RYDQIRU LQQHKHOG XHQGHOHJ PDQJH WDO 7DOPHQJGHU PHG HLW HQGHOHJ DQWDO HOHPHQW NDQ YL VNULYH S§ listeform 7DOPHQJGD ^յ շ չ` EHVW§U DY WDOD յ շ RJ չ 1§U YL VNULY x ^յ շ չ` V§ VHLHU YL DW x HU HLW DY WDOD յ շ HOOHU չ , VWDGHQ IRU § VNULYH DW OLNQLQJD x յ ոx չ մ KDU Oº\VLQJD x յ HOOHU x ն NDQ YL VNULYH DW x յ ոx չ մ x ^յ ն` 9L VHLHU RJV§ DW OLNQLQJD x յ ոx չ մ KDU løysingsmengda L ^յ ն`. )XQNVMRQHQ f JLWW YHG f (x )
x 2 x 1
HU LNNMH GHILQHUW IRU x ؍IRU QHPQDUHQ HU GD QXOO )XQNVMRQHQ HU GHILQHUW IRU DOOH UHHOOH WDO XQQWDWW x ؍0HG V\PERO VNULY YL DW IXQNVMRQHQ HU GHILQHUW Q§U x \ ^' `؍HWWH HU HL mengdedifferanse 1§U YL VNULY \ ^ `؍IMHUQDU YL WDOHW ؍ IU§ GHL UHHOOH WDOD 'HILQLVMRQVPHQJGD WLO IXQNVMRQHQ f HU Df \ ^`؍ )XQNVMRQHQ g JLWW YHG g (x )
x2 1 x 2 5x 6
KDU GHILQLVMRQVPHQJGH Dg \ ^յ ն`
s
10
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
?
OPPGÅVE 1.13
6HWW LQQ V\PEROHW HOOHU L GHL WRPPH UXWHQH 2 b) 5 b c) _ a 5 _ 3 2 a e) 5 ^ f) 5 a d) 3 OPPGÅVE 1.14
)LQQ Oº\VLQJVPHQJGD WLO OLNQLQJDQH b) x յ նx մ a) յx շ չ c) x յ x յ մ d) x ն շx մ OPPGÅVE 1.15
6NULY GHILQLVMRQVPHQJGHQH WLO IXQNVMRQDQH PHG PHQJGHV\PERO 2x 1 2x 1 2x 5 a) f ( x ) b) f ( x ) 2 c) f ( x ) 2 x 3 x 9 x 2x 8 ,QWHUYDOOHW >յ bո@ EHVW§U DY DOOH WDO IU§ RJ PHG յ WLO RJ PHG ո 9L NDOODU GHW HLW lukka LQWHUYDOO 9L NDQ VNULYH x >յ bո@ յ d x d ո 3§ WDOOLQMD NDQ YL LOOXVWUHUH LQWHUYDOOHW VOLN 0
1
2
3
4
5
6
7
,QWHUYDOOHW ¢յ bո² HU HLW ope LQWHUYDOO 'HW EHVW§U DY DOOH WDO VRP HU VWºUUH HQQ յ RJ VDPWLGLJ PLQGUH HQQ ո x 2, 5 2 x 5 'HWWH RSQH LQWHUYDOOHW VHU VOLN XW S§ WDOOLQMD 0
1
2
3
4
5
6
7
9L EUXNHU RJV§ GHVVH VNULYHP§WDQH x [ o² x t յ x ¢յ o² x ! յ
?
x ¢m յ] x d յ x ¢m յ² x յ
OPPGÅVE 1.16
6HWW LQQ V\PEROHW HOOHU L GHL WRPPH UXWHQH b) 2 2, 6 c) 2 0, 2 a) 2 1, 5 d) 2
1,
e) 2
m, 2
f) 2
2 ,
1.1 MATEMATISKE SYMBOL
11
s
UTFORSK POTENSAR 8WWU\NNHW յշ NDOODU YL HLQ potens. Eksponenten շ IRUWHO NRU PDQJH JRQJHU YL VNDO PXOWLSOLVHUH grunntalet յ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅2 4 gonger
n
a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a n gonger
)U§ IºU KDU YL O¨UW PDQJH UHNQHUHJODU IRU SRWHQVDU 1R VNDO YL Oº\VH QRNUH RSSJ§YHU XWDQ § EUXNH UHNQHUHJODQH VOLN YL JMHU KHU 23 22 2 2 2 2 2 25 'HWWH JMHU YL IRU § DXNH IRUVW§LQJD DY VWRIIHW STEG 1
5HNQ XW XWDQ § EUXNH UHNQHUHJODU IRU SRWHQVDU 6NULY VYDUHW VRP HLQ SRWHQV b) 24 23 c) x 3 x 2 d) an a 2 e) an a m a) 3 32 STEG 2
5HNQ XW XWDQ § EUXNH UHNQHUHJODU IRU SRWHQVDU 6NULY VYDUHW VRP HLQ SRWHQV 34 25 x4 an an a) b) 3 c) 2 d) 3 , n ! 3 e) m , n ! m 3 2 x a a STEG 3
)RUNRUW EUºNDQH PHVW PRJOHJ RJ VNULY VYDUHW PHG HLQ SRWHQV L QHPQDUHQ 5 23 x13 a3 am a) 3 b) 5 c) 15 d) n , n ! 3 e) n , n ! m 5 2 x a a STEG 4
5HNQ XW XWDQ § EUXNH UHNQHUHJODU IRU SRWHQVDU 6NULY VYDUHW VRP HLQ SRWHQV
a) 23
2
b) 22
3
c) 5n
2
d) an
3
e) an
m
1§U n HU HLW QDWXUOHJ WDO IRUWHO HNVSRQHQWHQ n L SRWHQVHQ an NRU PDQJH JRQJHU YL VNDO JRQJH JUXQQWDOHW a 9LVV n HU մ HLW QHJDWLYW KHLOW WDO HOOHU HLQ EUºN P§ YL GHILQHUH an S§ HLQ DQQDQ P§WH 9L JMHU GHW VOLN DW UHNQHUHJODQH EOLU GHL VDPH VRP Q§U n HU HLW QDWXUOHJ WDO STEG 5
am m n 5HNQ XW E§GH XWDQ UHNQHUHJODU RJ YHG KMHOS DY UHNQHUHJHOHQ n a . a .YD EOLU NRQNOXVMRQHQ" 23 52 a2 b) 2 c) 2 , a z 0 a) 3 2 5 a
s
12
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
STEG 6
am 5HNQ XW E§GH XWDQ UHNQHUHJODU RJ YHG KMHOS DY UHNQHUHJHOHQ n a m n. a .YD EOLU NRQNOXVMRQHQ" 0 3 2 2 2 5 a a a) 5 b) 4 c) 5 , a z 0 d) n , a z 0 2 5 a a STEG 7
x 2 Q§U x ! մ
a) )RUNODU DW x
1
b) %UXN IRUPHOHQ IU§ RSSJ§YH D WLO § ILQQH 4 2 .
1
1
c) %UXN IRUPHOHQ IU§ RSSJ§YH D WLO § ILQQH HLW DQQD XWWU\NN IRU 5 2 RJ IRU a 2 GHU a ! մ STEG 8
a) )RUNODU DW x
n
x n Q§U x ! մ
1
1
b) %UXN IRUPHOHQ IU§ RSSJ§YH D WLO § ILQQH 27 3 RJ 16 4 .
1
1
c) %UXN IRUPHOHQ IU§ RSSJ§YH D WLO § ILQQH HLW XWWU\NN IRU 3 4 RJ a n GHU a ! մ STEG 9
a) )RUNODU DW a
1 p n
p n
a .
a RJ DW a
1 n
p
p n
p
b) %UXN IRUPODQH IU§ RSSJ§YH D WLO § ILQQH WR IRUPODU IRU a n . 2
3
c) 5HNQ XW 8 3 RJ 16 4 YHG KMHOS DY GHL WR IRUPODQH IU§ RSSJ§YH E .YD PHWRGH V\QHVW GX HU HQNODVW" STEG 10
p
1R VNDO YL EUXNH IRUPODQH IRU a n . 1
2
a) 1) .YLIRU P§ 8 3 RJ 8 6 YHUH GHW VDPH WDOHW" 1
2) 5HNQ XW 8 3 . 2
3) 5HNQ XW 8 6 PHG EHJJH IRUPODQH GX IDQQ L VWHJ ռE 1
2
b) 5HNQ XW 16 2 RJ GHUHWWHU 16 4 S§ WR P§WDU p
c) .YD NDQ GX VHLH RP IRUPODQH IRU a n Q§U a մ" STEG 11
a) .YD HU մx Q§U x z մ" b) .YD HU aմ Q§U a z մ" c) .YD PHLQHU GX մմ EºU YHUH"
1.1 MATEMATISKE SYMBOL
13
s
1.2 Potensrekning DISKUTER
I Utforsk potensar EHYLVWH GH PDQJH UHJODU .ODUHU GH § EHYLVH GHVVH" n
n a a n b b
a b a n bn n
9L KDU GHVVH GHILQLVMRQDQH RJ UHNQHUHJODQH IRU SRWHQVDU )RU DOOH WDO a RJ b z մ JMHOG GHVVH UHNQHUHJODQH n
a b
n
a b n
n a a n b b
n
a
m n
a m an a m n
am n
1§U a z մ HU GHWWH UHWW an 1 an m a0 1 a n n m a a 1§U a ! մ KDU YL RJV§ GHVVH UHNQHUHJODQH 1
m n
an
an
a
a n
m
n am 1
a. /HJJ PHUNH WLO DW 2 a HU GHW VDPH VRP a 'HUPHG HU a 2 1R VNDO YL EUXNH GHILQLVMRQDQH RJ UHJODQH L UHNQHRSSJ§YHU EKSEMPEL
5HNQ XW մ
a) պ f) 5 LØ Y S I N G
յ
b) ո
1 4
g) 8
c) ն ؍մ
4 3
h) 32
ն
2 5
a) 70 1
1
4 3
g) 8
i) 7
e) 27
3 2
b) 5 2 =
c) 3 10 3 = 3 e) 27 3
d) 16
1 2
3
27
8 3
4
1 10
3
=
3 0, 003 1000
1 5
2
=
1 3
1 25
1 2
d) 16 = 2 16
16
4
1
3
f) 5 4 = 4 5 | 1, 50 4
2 16
h) 32
2 5
5
32
2
2 2
1 1 22 4
3
i) 7 2 2 73 343 18, 52
s
14
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 14
06/08/21 8:23 AM
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
%UXN SRWHQVUHJODQH RJ UHNQ XW 7 45 1 a) a 4 a 2 b) 7 c) 3 3 3 6 4 3 3
d) x 4 x 2
1 a2 5 1 1 b) 47 4 5 7 4 2 2 4 16 4 7 1 7 ( 1) 6 c) 3 3 3 6 3 3 6 33 36 3 33 27 3 3 3 3 a) a 4 a 2 a 4 2 a 2
d) x 4 x 2 x 4 x 2 3 x 4 x 6 x 4 6 x 2 3
?
3
1 x2
OPPGÅVE 1.20
5HNQ XW RJ VNULY VYDUHW VRP HLQ EUºN HOOHU HLW KHLOW WDO մ b) ո
c) յ ؍ d) ն շ a) ؍մմ
e) ؍մ ն
OPPGÅVE 1.21
5HNQ XW XWDQ § EUXNH KMHOSHPLGGHO a) 9
1 2
b) 16
1 4
c) 1000
1 3
d) 2
1 5 5
e) 2 1 5
10
OPPGÅVE 1.22
5HNQ XW XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO 2
3
a) 4 2
d) 128
b) 27 3
3 7
c) 100
1 12 4
e) 5
f) 9
3 8
3 2 4
OPPGÅVE 1.23
5HNQ XW a) 23 2 4
2
b) 3 3 3
3 5 c) 2 3 2 1 2 2
4 3 d) a 2 a a a
e) a 6 a 2
3
1§U YL UHNQDU PHG SURVHQWYLV YHNVW L IOHLUH SHULRGDU EUXNHU YL SRWHQVDU ,b؍7bO¨UWH YL GHWWH 1§U HLW WDO DXNDU PHG p SURVHQW L HLQ SHULRGH HU YHNVWIDNWRUHQ v 1 1§U HLW WDO PLQNDU PHG p SURVHQW L SHULRGHQ HU YHNVWIDNWRUHQ v 1 1.2 POTENSREKNING
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 15
p . 100
p . 100 15
s
06/08/21 8:24 AM
1§U HLW WDO Bմ EOLU HQGUD PHG HLQ IDVW SURVHQW p L t SHULRGDU HU UHVXOWDWHW JLWW YHG B(t Bմ v t GHU v HU YHNVWIDNWRUHQ 9L EUXNHU SRVLWLYH YHUGLDU IRU t Q§U YL UHNQDU IUDPRYHU L WLG RJ QHJDWLYH YHUGLDU Q§U YL UHNQDU EDNRYHU L WLG
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
)RONHWDOHW L HLW ODQG KDU DXND PHG յ SHU §U L ODQJ WLG , յմ؍ո YDU IRONHWDOHW ո յմ PLOOLRQDU )LQQ IRONHWDOHW L յմյմ RJ յմ؍մ 2 100
+HU HU YHNVWIDNWRUHQ ؍
؍մյ 0HG XWJDQJVSXQNW L յմ؍ո HU յմյմ IHP §U
IUDP L WLG 'D HU IRONHWDOHW L յմյմ JLWW YHG B ո ո յմ ؍մյո ո պշ յմ؍մ HU IHP §U EDNRYHU L WLG IU§ յմ؍ո 'D HU IRONHWDOHW L յմ؍մ JLWW YHG B( ո ո յմ ؍մյ ո շ պ؍ )RONHWDOHW YDU ո պշ PLOOLRQDU L յմյմ RJ շ պ ؍PLOOLRQDU L յմ؍մ
?
OPPGÅVE 1.24
, §UHW յմմմ YDU VDPOD XWVOHSS DY &2յ L YHUGD յշ JLJDWRQQ յշbմմմbմմմbմմմ WRQQ , SHULRGHQ IU§ յմմմ WLO յմ؍ջ DXND GHW §UOHJH XWVOHSSHW PHG L JMHQQRPVQLWW յ շb SHU §U a) )LQQ XWVOHSSHW L յմ؍ջ b) )LQQ XWVOHSSHW L յմնմ YLVV GHQQH DXNHQ IRUWVHW /D RVV WHQNH RVV DW DXNHQ IRUWVHW WLO յմնմ DW XWVOHSSHW V§ HU NRQVWDQW IUDP WLO յմշմ RJ DW YL GHUHWWHU UHGXVHUHU XWVOHSSHW PHG յ SHU §U HWWHU յմշմ c) .YD EOLU GD XWVOHSSHW L յմոմ" d) )LQQ XW Q§U XWVOHSSHW NMHP WLOEDNH WLO QLY§HW IRU §UHW յմմմ OPPGÅVE 1.25
s
0DUL NMºSHU DNVMDU VRP KR VNDO KD L ؍մ §U a) .YD NDQ GX VHLH RP YHUGLHQ DY DNVMDQH HWWHU ؍մ §U YLVV YHUGLHQ DXNDU PHG ؍մb NYDUW DY GHL IºUVWH ո §UD IRU GHUHWWHU § PLQNH PHG ؍մb NYDUW DY GHL QHVWH ո §UD" b) .YD NDQ GX VHLH RP YHUGLHQ DY DNVMDQH HWWHU ؍մ §U YLVV YHUGLHQ PLQNDU PHG ؍մb NYDUW DY GHL IºUVWH ո §UD IRU GHUHWWHU § DXNH PHG ؍؍b NYDUW DY GHL QHVWH ո §UD" c) .YD NDQ GX VHLH RP YHUGLHQ DY DNVMDQH YLVV YHUGLHQ DXNDU PHG ؍մb L ո DY §UD RJ PLQNDU PHG ռb GHL DQGUH §UD" 16
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 16
06/08/21 8:24 AM
UTFORSK LOGARITMAR 9L YHLW DW ؍մն ؍մմմ 7DOHW ն NDOODU YL logaritmen WLO ؍մմմ RJ YL VNULY OJ ؍մմմ ն 1 1 9LGDUH HU OJ մ մ ؍յ IRUGL մ մ ؍2 ؍մΞյ. 100
10
1§U YL VNDO ILQQH ORJDULWPHQ WLO HLW WDO a P§ YL ILQQH GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ a. STEG 1
6NULY DY RJ I\OO XW GHQQH WDEHOOHQ x OJ x
3
2
STEG 2
a) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ ؍մ OJ ؍մմմ RJ OJ ؍մ ؍մմմ . b) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ մ մմ ؍OJ մ ؍RJ OJ մ մմ ؍մ ؍. c) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ մ մ ؍OJ ؍մ մմմ RJ OJ մ մ؍ ؍մ մմմ . d) )LQQ GX HLW V\VWHP L VYDUD" .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH" e) 3UºY IRUPHOHQ GLQ PHG DQGUH WDOSDU IU§ WDEHOOHQ STEG 3
10 . 1000
a) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ ؍մ OJ ؍մմմ RJ OJ
0,1 . 0 , 001
b) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ մ ؍OJ մ մմ ؍RJ OJ
100 . 0, 01
c) %UXN WDEHOOHQ RJ VDPDQOLNQ OJ ؍մմ OJ մ մ ؍RJ OJ
d) )LQQ GX HLW V\VWHP L VYDUD" .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH" e) 3UºY IRUPHOHQ GLQ PHG DQGUH WDOSDU IU§ WDEHOOHQ STEG 4
a) )LQQ OJ ؍մմ OJ ؍մմյ RJ OJ ؍մմն. b) )LQQ OJ ؍մմմ OJ ؍մմմյ RJ OJ ؍մմմն. c) )LQQ OJ մ ؍OJ մ ؍յ RJ OJ մ ؍շ. d) .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH"
1.2 POTENSREKNING
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 17
17
s
06/08/21 8:24 AM
.YD HU OJ պ" 'HW HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ պ (WWHUVRP ؍մմ ؍RJ ؍մ؍ ؍մ P§ OJ պ YHUH HLW WDO PHOORP մ RJ ؍1§U YL VNDO ILQQH OJ պ L &$6 NDQ YL VNULYH OJ պ RJ WU\NNH S§ .
9L NDQ RJV§ EHJ\QQH § VNULYH ORJ RJ V§ KHQWH IUDP YDOHW log 10(< x >) 'HW JLU GHW VDPH UHVXOWDWHW
$W OJ պ | մ ջշոմռջմշ NDQ YL NRQWUROOHUH VOLN
1§U YL VNDO ILQQH OJ պ NDQ YL LNNMH VNULYH ORJ պ L &$6 IRU GHW JLU HLQ ORJDULWPH PHG HLW DQQD JUXQQWDO HQQ ؍մ 'HW VNDO YL O¨UH RP L NDSLWWHO ؍պ STEG 5
a) )LQQ OJ յ OJ ն RJ OJ ո GLJLWDOW b) )LQQ OJ չ OJ ؍մ RJ OJ ؍ո GLJLWDOW )LQQ VDPDQKHQJHQ PHOORP VYDUD RJ VYDUD L RSSJ§YH D .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH" 3 5 3 c) )LQQ OJ OJ RJ OJ GLJLWDOW 2
2
5
)LQQ VDPDQKHQJHQ PHOORP VYDUD RJ VYDUD L RSSJ§YH D .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH" d) )LQQ OJ յ OJ յյ OJ յն RJ OJ յշ GLJLWDOW .YD UHJHO VHU XW WLO § JMHOGH" STEG 6
8QGHUVºN GLJLWDOW RP YL NDQ ILQQH ORJDULWPHQ WLO մ RJ WLO QHJDWLYH WDO )RUNODU UHVXOWDWHW
s
18
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 18
06/08/21 8:24 AM
1.3 Briggske logaritmar I Utforsk logaritmar O¨UWH YL RP ORJDULWPHQ WLO HLW WDO 9L VD DW OJ ؍մմմ ն IRUGL ؍մն ؍մմմ $OWV§ HU OJ ؍մմմ GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ ؍մմմ )RU HLW SRVLWLYW WDO a HU ORJDULWPHQ WLO a OJ a GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRUb§bI§ a. ؍մOJ a a 'HQQH ORJDULWPHQ KDU ؍մ VRP grunntal RJ EOLU NDOOD GHQ briggske logaritmen HWWHU PDWHPDWLNDUHQ +HQU\ %ULJJV ؍ոչ؍Ξ؍չնմ +DQ ODJD GHQ IºUVWH ORJDULWPHWDEHOOHQ PHG JUXQQWDO ؍մ 'HW ILQVW RJV§ ORJDULWPDU PHG DQGUH JUXQQWDO 'HW NMHP YL VQDUW WLO 'HW HU LNNMH PRJOHJ § UHNQH XW OJ յ IRU GHW ILQVW LNNMH QRNR WDO YL NDQ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ յ *UXQQHQ HU DW ؍մt ! մ IRU DOOH YHUGLDU DY t. /RJDULWPHQ OJ x HU EHUUH GHILQHUW Q§U x HU HLW SRVLWLYW WDO I Utforsk logaritmar IDQQ YL ORJDULWPHQ WLO QRNUH WDO GHU ORJDULWPHQ YDUW KHLOH WDO OJ ؍մմ յ IRUGL ؍մյ ؍մմ OJ ؍մ ؍IRUGL ؍մ؍ ؍մ OJ ؍մ IRUGL ؍մմ ؍ 1
lg 0,1 1 fordi 10
1 0,1 101
8WDQ KMHOSHPLGGHO NDQ YL RJV§ ILQQH ORJDULWPHQ WLO QRNUH WDO GHU ORJDULWPHQ HU EUºNDU EKSEMPEL
LØ Y S I N G
)LQQ lg 5 100 . )U§ NDSLWWHO ؍յ YHLW YL DW 5
100
5
102
2
10 5
'HUPHG HU lg 5 100
2 5
1.3 BRIGGSKE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 19
19
s
06/08/21 8:24 AM
?
OPPGÅVE 1.30
%UXN GHILQLVMRQHQ DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ RJ UHNQ XW b) OJ ؍մմ մմմ c) OJ ؍մջ a) OJ ؍մ մմմ d) OJ մ մմ؍ e) OJ մ մմմմմ؍ f) OJ ؍մ ռ OPPGÅVE 1.31
%UXN GHILQLVMRQHQ DY ORJDULWPHQ WLO § ILQQH b) lg 1000 a) lg 10 c) lg 109
d) lg 3 10 000
I Utforsk logaritmar NRP GX VLNNHUW IUDP WLO GHVVH UHJODQH )RU DOOH SRVLWLYH WDO a RJ b HU lg a x x lg a
lg a b lg a lg b a lg lg a lg b b
1R VNDO YL EHYLVH UHJODQH )RU § EHYLVH DW OJ ax x OJ a P§ YL YLVH DW x OJ a HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ ax. 10
x lg a
10
lg a x
+HU EUXNWH YL DW 10
10lg a m n
x
ax
n
10m RJ DW ؍մOJ a a.
1§U YL VNDO EHYLVH DW OJ a b OJ a OJ b P§ YL YLVH DW OJ a OJ b HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ a b 'D EUXNHU YL DW ؍մm n ؍մm ؍մn RJ I§U DW ؍մOJ a OJ b ؍մOJ a ؍մOJ b a b DISKUTER
%HYLV DW a lg lg a lg b b
s
20
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 20
06/08/21 8:25 AM
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
)LQQ OJ յպ Q§U GX I§U YLWH DW OJ ն | մ շպպ 6DPDQOLNQ VYDUHW PHG GHW GX I§U GLJLWDOW OJ յպ OJ նն ն OJ ն | ն մ շպպ ؍շն؍ 1§U YL VNDO ILQQH OJ յպ L &$6 VNULY YL OJ յպ RJ WU\NNHU S§
.
6YDUD HU OLNH
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
)LQQ OJ ؍յ OJ ն RJ OJ ؍ո Q§U GX I§U YLWH DW OJ յ | մ նմ ؍RJ OJ չ | մ պպջ lg 12 lg 2 6 lg 2 lg 6 0, 301 0, 778 1, 079 6 lg 3 lg lg 6 lg 2 0, 778 0, 301 0, 477 2 3 lg 1, 5 lg lg 3 lg 2 0, 477 0, 301 0,176 2
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
)LQQ OJ ؍չ OJ ո RJ OJ մ ո XWWU\NW YHG OJ յ (WWHUVRP ؍չ յշ I§U YL lg 16 lg 24 4 lg 2 10 lg 10 lg 2 1 lg 2 2 1 lg 0, 5 lg lg 1 lg 2 0 lg 2 lg 2 2 lg 5 lg
?
OPPGÅVE 1.32
'X I§U RSSJLWW DW ؍մմ չռռ | ո RJ DW ؍մմ պպջ | չ %UXN EODQW DQQD GHWWH WLO § ILQQH GHVVH ORJDULWPDQH e) OJ նմ a) OJ ո b) OJ չ c) OJ յո d) OJ նչ 5 f) OJ յ g) OJ ոմ h) OJ մ յ i) OJ ؍յ j) lg 6
1.3 BRIGGSKE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 21
21
s
06/08/21 8:25 AM
?
OPPGÅVE 1.33
)LQQ OJ ո OJ յմ OJ յմմ RJ OJ յ ؍մպ Q§U GX I§U YLWH DW OJ յ | մ նմ ؍ OPPGÅVE 1.34
8WWU\NN ORJDULWPDQH YHG KMHOS DY OJ ո a) OJ յո b) OJ ؍յո c) OJ ոմ d) OJ ոմմմ e) OJ յ f) OJ մ յ OPPGÅVE 1.35
6NULY HQNODVW PRJOHJ a) lg 4 lg 8 b) lg 50 lg 2 d)
lg 8 lg 2
e)
lg 81 lg 9
c) lg x 2 lg x 3 f)
lg x 3 lg x 5 lg x 2
OPPGÅVE 1.36
6NULY HQNODVW PRJOHJ x a) lg 2 x lg 2
c) lg xy 2 lg x 2 y
8 x3 lg 2 4 x x3 y y d) lg 2 lg lg 2 y x x
b) lg
1.4 Eksponentiallikningar (L HNVSRQHQWLDOOLNQLQJ HU HL OLNQLQJ GHU GHQ XNMHQWH HU HLQ HNVSRQHQW /LNQLQJDQH ؍մx ո նx պ RJ պ յx յջ HU HNVHPSHO S§ HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDU 1§U YL Oº\VHU GHVVH OLNQLQJDQH EUXNHU YL GHVVH WR HNYLYDOHQVDQH VRP JMHOG IRU DOOH SRVLWLYH WDO a RJ b: ؍մx a x OJ a a b OJ a OJ b 'HQ IºUVWH HNYLYDOHQVHQ IRUNODUHU YL XW IU§ GHILQLVMRQHQ DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ 9LVV ؍մx a HU x GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ a $OWV§ HU x OJ a. 9LVV x OJ a HU x GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ a $OWV§ HU ؍մx a. 'HQ DQGUH HNYLYDOHQVHQ XWWU\NNHU DW WR WDO HU OLNH YLVV RJ EHUUH YLVV ORJDULWPHQ DY WDOD HU OLNH
s
22
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 22
06/08/21 8:25 AM
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) ؍մx ո b) նx պ c) պ յx յջ d) յ նx ؍յ a) + HU EUXNHU YL GHILQLVMRQHQ DY ORJDULWPDU 'HW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ ո HU OJ ո 'HUPHG Oº\VHU YL OLNQLQJD VOLN 10 x 5 x lg 5 b)
3x 7 lg 3x lg 7 x lg 3 lg 7 lg 7 x lg 3
OJ նx
x OJ ն
c) )ºUVW RPIRUPDU YL OLNQLQJD RJ I§U յx շ 'D P§ x յ պ յx յջ յ x շ x=յ d)
2 3x 12 3x 6 lg 3x lg 6 x lg 3 lg 6 lg 6 x lg 3
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) ո յx պ b) ն ոյx նչ a) Utan hjelpemiddel: 5 2x 7 7 2x 5
7 5 x lg 2 lg 7 lg 5 lg 7 lg 5 x lg 2
lg 2 x lg
1.4 EKSPONENTIALLIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 23
23
s
06/08/21 8:25 AM
Med hjelpemiddel: &$6 VNULY GHL HNVDNWH VYDUD PHG HLQ ORJDULWPHW\SH YL LNNMH KDU O¨UW RP HQQR 9L ILQQ GHUIRU HL WLOQ¨UPD UHWW Oº\VLQJ YHG § VNULYH OLNQLQJD RJ WU\NNH S§ .
9L NDQ NRQWUROOHUH DW GHL WR VYDUD HU OLNH S§ GHQQH P§WHQ
b) Utan hjelpemiddel: 3 52 x 36 52 x 12 lg 52 x lg 12 2 x lg 5 lg 12 2 x lg 5 lg 12 2 lg 5 2 lg 5 lg 12 x 2 lg 5 Med hjelpemiddel:
?
.RQWUROO
OPPGÅVE 1.40
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) պx ؍ն b) յx ջ c) նx ؍մ
d) ؍մx ؍պ
OPPGÅVE 1.41
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) յ նx ջ b) ն յx ո c) ո նx ؍նո OPPGÅVE 1.42
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO b) ո յնx ؍նմ c) ն յյx ؍ռ a) ն ոյx պ
s
24
2
d) 3 2 x 1 24
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 24
06/08/21 8:25 AM
1RNUH JRQJHU HU GHW IOHLUH SRWHQVDU L HL HNVSRQHQWLDOOLNQLQJ 9HG KMHOS DY UHNQHUHJODQH IRU ORJDULWPDU NDQ YL Oº\VH RJV§ VOLNH OLNQLQJDU EKSEMPEL
/º\V OLNQLQJD XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO ոx շ նx
LØ Y S I N G
Utan hjelpemiddel: 9L Oº\VHU OLNQLQJD S§ WR P§WDU Metode 1 5x 4 3x
lg 5x lg 4 3x
lg 5x lg 4 lg 3x x lg 5 lg 4 x lg 3 x lg 5 x lg 3 lg 4 x lg 5 lg 3 lg 4 lg 4 x lg 5 lg 3
OJ a b OJ a OJ b OJ ax = x OJ a
Metode 2 5x 4 3x 5x 4 3x x 5 3 4 x
5 lg lg 4 3 5 x lg lg 4 3 x lgg 5 lg 3 lg 4 lg 4 x lg 5 lg 3
a b
OJ
OJ a OJ b
1.4 EKSPONENTIALLIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 25
25
s
06/08/21 8:25 AM
Med hjelpemiddel:
.RQWUROO
?
OPPGÅVE 1.43
/º\V OLNQLQJDQH E§GH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO b) ؍մx ؍չ ոx c) ո յx շ նx a) նx ո յx
1.5 Praktisk bruk av eksponentiallikningar 9L I§U EUXN IRU ORJDULWPDU Q§U YL UHNQDU PHG SURVHQWYLV YHNVW EKSEMPEL
)RONHWDOHW L 1RUHJ ؍MDQXDU յմյմ YDU ո նպ PLOOLRQDU 'HW KDGGH GD DXND PHG մ պշ IU§ §UHW IºU 1§U SDVVHUHU IRONHWDOHW չ PLOOLRQDU YLVV XWYLNOLQJD IRUWVHW"
LØ Y S I N G
9HNVWIDNWRUHQ WLO մ պշ HU ؍ ؍մմպշ )RONHWDOHW x §U HWWHU յմյմ HU GD 100 JLWW YHG
0, 74
F(x ո նպ ؍մմպշx )RONHWDOHW HU չ PLOOLRQDU Q§U F (x ) 6 5, 37 1, 0074 x 6 6 1, 0074 x 5, 37 1, 0074 x 1,1173 lg 1, 0074 x lg 1,1173 x lg 1, 0074 lg 1,1173 lg 1,1173 x lg 1, 0074 x 15, 0
s
26
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 26
06/08/21 8:25 AM
'HWWH NXQQH YL RJV§ KD IXQQH L &$6 VOLN
)RONHWDOHW SDVVHUHU չ PLOOLRQDU L OºSHW DY յմնո YLVV XWYLNOLQJD IRUWVHW
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
, յմ؍ռ YDU GHW QRUVNH &2յ XWVOHSSHW ոմ ն PLOOLRQDU WRQQ DOWV§ QHVWHQ ؍մ WRQQ SHU SHUVRQ 9L WHQNHU RVV QR DW YL NODUHU § UHGXVHUH GHWWH XWVOHSSHW PHG շ SHU §U 1§U YLO XWVOHSSHW IºUVW YHUH XQGHU նմ PLOOLRQDU WRQQ PHG HLQ VOLN PRGHOO" 9HNVWIDNWRUHQ WLO շ QHGJDQJ HU ؍մ մշ մ ռչ 8WVOHSSHW L PLOOLRQDU WRQQ x §U HWWHU յմ؍ռ HU GD U(x ոմ ն մ ռչx 8WVOHSSHW HU նմ PLOOLRQDU WRQQ Q§U U (x ) 30 50, 3 0, 96 x 30 30 0, 96 x 50, 3 0, 96 x 0, 5964 lg 0, 96 x lg 0, 59664 x lg 0, 96 lg 0, 5964 lg 0, 5964 x lg 0, 96 x 12, 67 8WVOHSSHW SHU §U YLO IºUVW YHUH XQGHU նմ PLOOLRQDU WRQQ L յմնյ
?
OPPGÅVE 1.50
9L VHW ؍մ մմմ NU L EDQNHQ RJ I§U յ UHQWH SHU §U a) )LQQ HLW XWWU\NN IRU GHW EHOºSHW B(x YL KDU L EDQNHQ RP x §U b) 1§U KDU EHOºSHW YDNVH WLO ؍յ մմմ NU" c) 1§U KDU EHOºSHW YDNVH WLO յմ մմմ NU"
1.5 PRAK TISK BRUK AV EKSPONENTIALLIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 27
27
s
06/08/21 8:25 AM
OPPGÅVE 1.51
)RONHWDOHW L YHUGD L PLOOLRQDU x §U HWWHU ؍ռոմ HU JLWW RPWUHQWOHJ YHG HNVSRQHQWLDOIXQNVMRQHQ F(x յոշչ ؍մ؍ջx a) .RU PDQJH SURVHQW DXND IRONHWDOHW PHG SHU §U" b) )LQQ YHG KMHOS DY ORJDULWPDU Q§U IRONHWDOHW SDVVHUWH ո PLOOLDUGDU c) 1§U NMHP IRONHWDOHW WLO § SDVVHUH ջ PLOOLDUGDU HWWHU GHQQH PRGHOOHQ" d) .RUOHLV SDVVDU PRGHOOHQ PHG IRONHWDOHW L GDJ" 'X ILQQ IRONHWDOHW S§ LQWHUQHWW EKSEMPEL
LØ Y S I N G
$QQH VHW ؍մbմմմ NU L EDQNHQ RJ I§U յ UHQWH SHU §U %MºUQ VHW VDPWLGLJ LQQ ؍յbմմմ NU L HLQ DQQDQ EDQN PHQ KDQ I§U EHUUH ؍UHQWH 1§U KDU GHL OLNH P\NMH SHQJDU L EDQNHQ" .RU P\NMH SHQJDU KDU NYDU DY GHL S§ NRQWR GD" %HOºSHW $QQH KDU HWWHU x §U HU JLWW YHG A(x ؍մ մմմ ؍մյx %HOºSHW %MºUQ KDU HU JLWW YHG B(x ؍յ մմմ ؍մ؍x 'HL KDU OLNH P\NMH SHQJDU L EDQNHQ Q§U ؍մ մմմ ؍մյx ؍յ մմմ ؍մ؍x ؍մյx ؍յ ؍մ؍x OJ ؍մյx OJ ؍յ ؍մ؍x
OJ ؍մյx OJ ؍յ OJ ؍մ؍x x lg 1, 02 lg 1, 2 x lg 1, 01 x lg 1, 02 x lg 1, 01 lg 1, 2 x (lg 1, 02 lg 1, 01) lg 1, 2 lg 1, 2 x lg 1, 02 lg 1, 01 x 18, 5 'HL KDU OLNH P\NMH SHQJDU HWWHU ؍ջ ո §U 9L UHNQDU XW NRU P\NMH SHQJDU $QQH KDU HWWHU ؍ջ ո §U A ؍ջ ո ؍մbմմմ ؍մյ؍ջ ո ؍շbշյո 'HL KDU EHJJH ؍շbշյո NU L EDQNHQ HWWHU ؍ջ ո §U
s
28
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 28
06/08/21 8:26 AM
?
OPPGÅVE 1.52
+DQQH VNDO NMºSH Q\ ELO 9DOHW VW§U PHOORP HLQ G\U ELO VRP NRVWDU ջմմ մմմ NU RJ HLQ ELOOLJ ELO VRP NRVWDU նմմ մմմ NU +R YHO GHQ G\UH ELOHQ +R EHVWHPPHU VHJ VDPWLGLJ IRU § VNLIWH WLO GHQ ELOOLJH ELOHQ GHQ GDJHQ YHUGLHQ DY GHQ G\UH ELOHQ HU OLN SULVHQ S§ GHQ ELOOLJH +R UHNQDU PHG DW YHUGLHQ DY GHQ G\UH ELOHQ IHOO PHG ؍ո SHU §U RJ DW SULVHQ S§ GHQ ELOOLJH PLQNDU PHG ո SHU §U .RU ODQJ WLG J§U GHW IºU KR VNLIWDU ELO" OPPGÅVE 1.53
a) +DLE VHW ؍մbմմմ NU L EDQNHQ RJ I§U յ UHQWH SHU §U .RU ODQJ WLG J§U GHW IºU EHOºSHW HU IRUGREOD" b) )RONHWDOHW L HLW ODQG HU ؍յ PLOOLRQDU RJ DXNDU PHG ն SHU §U .RU ODQJ WLG J§U GHW IºU IRONHWDOHW HU IRUGREOD" c) 'HQ WLGD GHW J§U IºU HL PHQJGH HU IRUGREOD NDOODU YL IRUGREOLQJVWLGD 6LJEMºUQ S§VW§U DW IRUGREOLQJVWLGD d YHG p SURVHQW DXNH HU RPWUHQW JLWW YHG d
70 p
.RUOHLV SDVVHU GHW PHG WDOD L RSSJ§YH D RJ E" d) 3UºY PHG DQGUH SURVHQWDU 3DVVDU IRUPHOHQ JRGW YHG DOOH YHUGLDU IRU p" e) 9HG SURVHQWYLV QHGJDQJ HU KDOYHULQJVWLGD GHQ WLGD GHW WDU IºU HL PHQJGH HU KDOYHUW 8QGHUVºN RP IRUPHOHQ WLO 6LJEMºUQ RJV§ JMHOG IRU KDOYHULQJVWLG
1.6 Logaritmelikningar (L ORJDULWPHOLNQLQJ LQQHKHOG ORJDULWPHQ WLO GHQ XNMHQWH 1§U YL Oº\VHU VOLNH OLNQLQJDU EUXNHU YL EODQW DQQD GHILQLVMRQHQ DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ +DQ NDQ YL XWWU\NNH VOLN OJ x a x ؍մa 9L XWQ\WWDU RJV§ DW WR WDO HU OLNH YLVV RJ EHUUH YLVV ORJDULWPHQ DY WDOD HU OLNH a b OJ a OJ b
1.6 LOGARITMELIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 29
29
s
06/08/21 8:26 AM
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V ORJDULWPHOLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) ն OJ x ؍պ b) OJ յx շ ն OJ յ c) յ OJ x ؍OJ շ a)
ն OJ x ؍պ ն OJ x չ OJ x յ x ؍մյ ؍մմ
b) )ºUVW XWQ\WWDU YL DW ն OJ յ OJ յն. OJ յx շ ն OJ յ OJ յx շ OJ յն OJ յx շ OJ ջ յx շ ջ յx շ x յ c)
OJ a OJ b a b
յ OJ x ؍OJ շ յ OJ x ؍OJ շ x ؍յ շ x ؍յb bx ؍յ x ؍b bx ն
9L NRQWUROOHUHU Oº\VLQJDQH 1§U x ؍EOLU YHQVWUH VLGH L OLNQLQJD յ OJ ؍ ؍յ OJ յ OJ յյ OJ շ 'HUPHG HU x ؍HL Oº\VLQJ 1§U x ն EOLU YHQVWUH VLGH յ OJ յ . 0HQ OJ յ ILQVW LNNMH 'D HU LNNMH x ն QRND Oº\VLQJ /º\VLQJD HU x=؍ 9L NXQQH RJV§ KD Oº\VW OLNQLQJD VOLN յ OJ x ؍OJ շ յ OJ x ؍OJ յյ յ OJ x ؍յ OJ յ OJ x ؍OJ յ x ؍յ x ؍
s
30
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 30
06/08/21 8:26 AM
OJ aյ յ OJ a HU EHUUH J\OGLJ Q§U a ! մ *UXQQHQ HU DW OJ a EHUUH HU GHILQHUW IRU a ! մ 9LVV YL EUXNHU GHQQH IRUPHOHQ Q§U YL LNNMH YHLW RP a HU HLW SRVLWLYW HOOHU HLW QHJDWLYW WDO P§ YL NRQWUROOHUH VYDUHW
?
OPPGÅVE 1.60
/º\V OLNQLQJDQH a) յ OJ x շ չ
b) ո OJ x յ ն OJ x ջ
c) յ OJ x ն ն OJ x պ
OPPGÅVE 1.61
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) OJ յx ؍յ OJ ն b) OJ x յ յ OJ x EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO յ a) OJ x յ ն OJ x յ մ b) OJ x ն OJ x յ մ a) 1§U x ! մ HU OJ x յ յ OJ x 'HUPHG NDQ YL Oº\VH OLNQLQJD VOLN OJ x յ ն OJ x յ մ յ OJ x ն OJ x յ մ OJ x յ OJ x յ x ؍մյ x ؍մմ յ
b) 8WWU\NNHW OJ x NDQ YL LNNMH IRUHQNOH 'HWWH HU HL DQGUHJUDGVOLNQLQJ PHG OJ x VRP XNMHQW 'D NDQ YL IºUVW VHWWH u OJ x 'HW JLU HL DQGUHJUDGVOLNQLQJ PHG u VRP XNMHQW 9L EHVWHPPHU u RJ GHUHWWHU x.
OJ x յ ն OJ x յ մ uյ նu յ մ u ؍u յ մ u ؍մb bu յ մ u ؍b bu յ OJ x ؍b bOJ x յ x ؍մ x ؍մմ
؍յ
ն RJ ؍յ յ
, &$6 NXQQH YL Oº\VW OLNQLQJDQH L HNVHPSHOHW VOLN
1.6 LOGARITMELIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 31
31
s
06/08/21 8:26 AM
/HJJ PHUNH WLO DW OJ x յ յ OJ x
OJ x յ OJ x OJ x
?
OPPGÅVE 1.62
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) OJ x ն չ b) OJ x յ շ OJ x չ մ c) OJ x ն յ OJ x ؍մ մ OPPGÅVE 1.63
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO յ a) OJ x յ ո OJ x չ մ b) OJ x ո OJ x չ մ ն յ c) OJ x OJ x յ OJ x մ
UTFORSK ANDRE LOGARITMAR 9L YHLW DW OJ ؍մմմ ն IRUGL ؍մն ؍մմմ 7DOHW ؍մ HU JUXQQWDOHW WLO GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ 9L NDQ ODJH ORJDULWPDU PHG DQGUH JUXQQWDO HQQ ؍մ 1R VNDO YL VM§ S§ ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO յ (WWHUVRP յշ ؍չ VHLHU YL DW ORJյ ؍չ շ 1 2
1 8
1 8
(WWHUVRP յ ն 3 HU ORJյ ն *HQHUHOW HU ORJյ a GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH յ L IRU § I§ a. ORJյ a b a յb STEG 1
6NULY DY RJ I\OO XW GHQQH WDEHOOHQ x ORJ2 x
1 16
1 8
1 4
1 2
2
4
8
4
3
STEG 2
a) 9HO WR WDO a RJ b frå WDEHOOHQ RJ XQGHUVºN RP ORJյ a b ORJյ a ORJյ b. a b) 9HO WR WDO a RJ b frå WDEHOOHQ RJ XQGHUVºN RP ORJյ ORJյ a ORJյ b. b
c) 9HO HLW WDO a IU§ WDEHOOHQ RJ XQGHUVºN RP ORJյ an n ORJյ a IRU QRNUH KHLOWDOVYHUGLDU IRU n.
s
32
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 32
06/08/21 8:26 AM
STEG 3
%HYLV GHL WUH UHJODQH IRU ORJյ x IU§ VWHJ յ S§ VDPH P§WHQ VRP YL EHYLVWH WLOVYDUDQGH UHJODU IRU GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ S§ VLGH յմ STEG 4
%UXN ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO յ WLO § Oº\VH HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDQH a) յx նյ b) ո յx ջմ c) ն յx ռ d) ո նx յո STEG 5
a) /º\V OLNQLQJD յx a IºUVW YHG KMHOS DY ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO յ RJ GHUHWWHU YHG KMHOS DY EULJJVNH ORJDULWPDU b) .YD VDPDQKHQJ P§ GHW HWWHU GHWWH YHUH PHOORP ORJյ a RJ OJ a" STEG 6
9L NDQ ILQQH ORJDULWPDU PHG JUXQQWDO յ L &$6 1§U YL VNDO ILQQH ORJյ պ VNULY YL ORJ KHQWDU YDOHW log 2(< x >) RJ VNULY պ a) %UXN &$6 WLO § ILQQH ORJյ ؍մ RJ ORJյ ؍չ b) %UXN &$6 WLO § NRQWUROOHUH GHQ VDPDQKHQJHQ GX IDQQ L VWHJ ո IRU QRNUH YHUGLDU DY a. STEG 7
1R VNDO YL DUEHLGH PHG ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO ն 9L EUXNHU VNULYHP§WHQ ORJն a RP KDQ a) )RUNODU PHG RUG RJ HNVHPSHO NYD ORJն a HU b) 8QGHUVºN RP UHNQHUHJODQH IRU ORJDULWPDU RJV§ JMHOG IRU ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO ն c) /º\V HNVSRQHQWLDOOLNQLQJD YHG KMHOS DY ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO ն 1) նx ջ ؍2) յ նx ոշ 3) ո նx նմ d) /º\V HNVSRQHQWLDOOLNQLQJD նx a YHG KMHOS DY ORJDULWPHQ PHG JUXQQWDO ն RJ YHG KMHOS DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ e) %UXN VYDUD L RSSJ§YH G WLO § ILQQH HLQ IRUPHO IRU ORJն a XWWU\NW YHG OJ a. f) %UXN IRUPHOHQ IU§ RSSJ§YH H WLO § ILQQH ORJն ؍մ RJ ORJն յպ YHG KMHOS DY &$6 STEG 8
a) )LQQ HLQ VDPDQKHQJ PHOORP ORJ؍մմ a RJ OJ a. b) )LQQ HLQ VDPDQKHQJ PHOORP ORJռ a RJ ORJն a. c) )LQQ HLQ VDPDQKHQJ PHOORP log 1 a RJ ORJյ a. 2
1.6 LOGARITMELIKNINGAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 33
33
s
06/08/21 8:26 AM
UTFORSK EULERTALET e 1R VNDO YL VM§ S§ XWWU\NNHW 1
1 t t
1§U t Q¨UPDU VHJ մ YLO ؍t Q¨UPH մ 0HQ VDPWLGLJ YLO WDOYHUGLHQ DY 1t YHNVH RYHU DOOH JUHQVHU .YD VNMHU GD PHG XWWU\NNHW" 'HW NDQ YL XQGHUVºNH YHG KMHOS DY GHWWH SURJUDPPHW L 3\WKRQ 1
t = 1.0
2 3 4 5 6
while t > 0.00000001: e = (1 + t)**(1/t) print("t =", t,"gir e =", round(e,7)) t = t/10
7
STEG 1
a) 6WXGHU SURJUDPPHW RYDQIRU RJ IRUNODU NRUOHLV GHW YHUNDU
1
b) .º\U SURJUDPPHW RJ ILQQ XW NYD IRU HLW WDO e XWWU\NNHW 1 t t Q¨UPDU VHJ Q§Ubt Q¨UPDU VHJ մ STEG 2
1
STEG 3
1
a) /DJ HLW SURJUDP VRP ILQQ XW NYD IRU HLW WDO a XWWU\NNHW 1 2t t Q¨UPDU VHJ Q§U t Q¨UPDU VHJ մ b) .ODUHU GX § ILQQH HLQ VDPDQKHQJ PHOORP WDOHW a RJ WDOHW H IU§ VWHJ "؍ a) /DJ HLW SURJUDP VRP ILQQ XW NYD IRU HLW WDO b XWWU\NNHW 1 3t t Q¨UPDU VHJ Q§U t Q¨UPDU VHJ մ b) .ODUHU GX § ILQQH HLQ VDPDQKHQJ PHOORP WDOHW b RJ WDOHW e" STEG 4
1
a) /DJ HLW SURJUDP VRP ILQQ XW NYD IRU HLW WDO c XWWU\NNHW 1 t t Q¨UPDU VHJ Q§U t Q¨UPDU VHJ մ b) .ODUHU GX § ILQQH HLQ VDPDQKHQJ PHOORP WDOHW c RJ WDOHW e" STEG 5
1
a) /DJ HLW SURJUDP VRP ILQQ XW NYD IRU HLW WDO d XWWU\NNHW 1 2t t Q¨UPDU VHJ Q§U t Q¨UPDU VHJ մ b) .ODUHU GX § ILQQH HLQ VDPDQKHQJ PHOORP WDOHW d RJ WDOHW H" STEG 6
1
6WXGHU VYDUD L VWHJD RYDQIRU .YD WUXU GX XWWU\NNHW 1 x t t Q¨UPDU VHJ Q§U t Q¨UPDU VHJ մ"
s
34
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 34
06/08/21 8:29 AM
1.7 Den naturlege logaritmen 1
1§U t Q¨UPDU VHJ մ IDQQ YL L Utforsk eulertalet e DW (1 t ) t Q¨UPDU VHJ WDOHW e | յ պ؍ջյջ؍ջ 9L NDOODU GHWWH WDOHW eulertalet HWWHU GHQ VWRUH PDWHPDWLNDUHQ /HRQKDUG (XOHU ؍պմպ ؍պջն 9HG KMHOS DY JUHQVHWHLNQHW OLP NDQ YL VNULYH GHILQLVMRQHQ DY e VOLN 1
e lim 1 t t t 0
'HILQLVMRQHQ DY WDOHW e NDQ YHUNH YDQVNHOHJ PHQ e HU HLW KHLOW YDQOHJ WDO S§ OLN OLQMH PHG DOOH DQGUH WDO 9L ILQQ GHW KHU S§ WDOOLQMD 1
2
e
3
, &$6 NDQ YL ILQQH HXOHUWDOHW PHG IOHLUH GHVLPDODU 'D WU\NNHU YL Alt + e RJ GHUHWWHU S§ .
1§U YL VNDO EUXNH HXOHUWDOHW e L &$6 P§ YL WDVWH Alt + e. , OLNVNDS PHG S HU e HLW LUUDVMRQDOW WDO 'HW HU LNNMH PRJOHJ § VNULYH GHW Qº\DNWLJ VRP HLQ EUºN HOOHU HLW GHVLPDOWDO 0DWHPDWLNDUDU EUXNHU WDOHW e PHLU HQQ WDOHWbS. I Utforsk andre logaritmar O¨UWH YL RP ORJDULWPDU PHG DQGUH JUXQQWDO HQQ ؍մ 1§U YL EUXNHU WDOHW e VRP JUXQQWDO IRU HLQ ORJDULWPH I§U YL den naturlege logaritmen 9L NXQQH KD EUXNW V\PEROHW ORJe x RP KDQ PHQ GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ EUXNHU YL V§ RIWH DW KDQ KDU I§WW HLQ HLJHQ VNULYHP§WH 9L VNULY OQ x RP KDQ 'HQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ WLO HLW SRVLWLYW WDO x OQ x HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ x. eOQ x x 8W IU§ GHILQLVMRQHQ ILQQ YL DW OQ ؍մbIRUGLbeմ ؍ OQ e ؍bIRUGLbe ؍e OQ e x x IRUGL x HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ e x
1.7 DEN NATURLEGE LOGARITMEN
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 35
35
s
06/08/21 8:29 AM
,IºOJH GHILQLVMRQHQ DY GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ KDU OLNQLQJD ex շ Oº\VLQJD x OQ շ VLGDQ OQ շ HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ շ /RPPHUHNQDUDU KDU HLQ HLJHQ WDVW IRU GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ OQ 9L EUXNHU KDQ RJ ILQQ DW OQ շ | ؍նջչ , &$6 ILQQ YL GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ VOLN
9L NDQ RJV§ VNULYH ORJ շ L &$6 Q§U YL VNDO ILQQH OQ շ PHQ YL NMHP LNNMH WLO § EUXNH GHQ VNULYHP§WHQ L GHQQH ERND 9LVV YL YHLW DW OQ x ն HU ն GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § x $OWV§ HU x eն.
?
OPPGÅVE 1.70
)LQQ XWDQ KMHOSHPLGGHO 1 b) ln 2 a) OQ eն e
c) ln 3 e 2
d) e OQ ո
e) e OQ յ
OPPGÅVE 1.71
%UXN GHILQLVMRQHQ DY GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ WLO § Oº\VH OLNQLQJDQH a) e x ո b) նe x չ c) OQ x ո d) յ OQ x շ մ 5HNQHUHJODQH IRU GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ HU VRP IRU GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ ln a x x ln a ln a b ln a ln b a ln ln a ln b b %HYLVHW IRU GHVVH UHJODQH HU VRP IRU GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ 1§U YL VNDO EHYLVH UHJHOHQ OQ ax x OQ a P§ YL YLVH DW x OQ a HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ ax. e
x ln a
e
ln a x
a e RJ DW e x
e ln a
+HU EUXNWH YL DW e m n
m
x
n
OQ a
a.
1§U YL VNDO EHYLVH DW OQ a b OQ a OQ b P§ YL YLVH DW OQ a OQ b HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ a b 'D EUXNHU YL DW em n em en RJ I§U DW e OQ a OQ b e OQ a e OQ b a b
s
36
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 36
06/08/21 8:30 AM
a 1§U YL VNDO EHYLVH DW ln ln a ln b P§ YL YLVH DW OQ a OQ b HU GHW WDOHW YL b a em m n n RJ I§U P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ 'D EUXNHU YL DW e b e ln a a e ln a ln b ln b e b e 0HG GHVVH UHNQHUHJODQH NDQ YL WUHNNH VDPDQ XWWU\NN PHG OQ x S§ VDPH P§WHQ VRP XWWU\NN PHG OJ x. EKSEMPEL
7UHNN VDPDQ a 1 2 ln ln a b2 ln 3 a b
LØ Y S I N G
?
a 1 2 ln ln a b2 ln 3 2 ln a ln b ln a ln b2 ln1 ln a 3 b a 2 ln a 2 ln b ln a 2 ln b 0 3 ln a 0
OPPGÅVE 1.72
7UHNN VDPDQ XWWU\NND XWDQ KMHOSHPLGGHO 1 1 b) ln a b2 ln a 2 b ln 3 a) ln a b ln b b 2 2 d) ln 8 x 2 ln 2 x c) ln x ln x
OPPGÅVE 1.73
a) /º\V OLNQLQJD e x a YHG KMHOS DY GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ RJ YHG KMHOS DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ b) )LQQ HLQ IRUPHO IRU OQ a XWWU\NW YHG EULJJVNH ORJDULWPDU OPPGÅVE 1.74
a) /º\V OLNQLQJD ؍մx a YHG KMHOS DY GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ RJ YHG KMHOS DY GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ b) )LQQ HLQ IRUPHO IRU OJ a XWWU\NW YHG QDWXUOHJH ORJDULWPDU
DISKUTER
.YD IRU QRNUH DY GHVVH IRUPODQH HU UHWWH" a) OQ ؍յ OQ շ OJ ؍յ OJ շ b) OQ ؍յ OQ շ OJ ؍յ OJ շ c) OQ ؍յ OQ շ OJ ؍յ OJ շ ln12 lg 12 d) ln 4 lg 4 1.7 DEN NATURLEGE LOGARITMEN
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 37
37
s
06/08/21 8:30 AM
1.8 Eksponentiallikningar og naturlege logaritmar 'HQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ NDQ YL EUXNH WLO § Oº\VH HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDU )UDPJDQJVP§WHQ EOLU VRP Q§U YL EUXNHU EULJJVNH ORJDULWPDU EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V OLNQLQJD XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) eյx ն b) ն յx ؍ո a) Utan hjelpemiddel: 9L XWQ\WWDU DW OQ ն HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH e L IRU § I§ ն e2x 3 2 x ln 3 ln 3 x 2 Med hjelpemiddel: +XJV DW GX WU\NNHU Alt + e IRU § I§ HXOHUWDOHW e.
b) Utan hjelpemiddel: 3 2 x 15 2x 5 ln 2 x ln 5 x ln 2 ln 5 ln 5 x ln 2 , GHQQH RSSJ§YD NXQQH YL RJV§ KD EUXNW GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ Med hjelpemiddel:
s
38
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 38
06/08/21 8:30 AM
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V OLNQLQJD XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) eյx ոe x չ մ b) e x յe x ն մ a) Utan hjelpemiddel: 2 x 2 , GHQQH OLNQLQJD XWQ\WWDU YL DW e 2 x e e x .
2x
e 5e 6 0
e x
x
2
5e x 6 0
'HWWH HU HL DQGUHJUDGVOLNQLQJ PHG u e x VRP XNMHQW u2 5u 6 0 u 2 u 3 0 u 2 0 u 3 0 u 2 u 3
յ ն
ո RJ յ ն չ
ex 2 ex 3 x ln22 x ln 3 0HG OLWW WUHQLQJ Oº\VHU YL VOLNH OLNQLQJDU XWDQ § VHWWH LQQ u. e 2 x 5e x 6 0
e 5e e 2 e x x
2
x
6 0
x
3 0
յ ն
ո RJ յ ն չ
e 2 0 e 3 0 x
x
ex 2 ex 3 x ln 2 x ln 3 Med hjelpemiddel:
b) Utan hjelpemiddel: +HU XWQ\WWDU YL DW e x e x 2e x 3 0 2 ex x 3 0 e
1 . ex | e x
1.8 EKSPONENTIALLIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 39
39
s
06/08/21 8:31 AM
ex ex
2
ex 3 ex 0 ex
ex
e 3e 2 0 e 1 e 2 0 x x
2
x
x
؍յ
ն RJ ؍յ յ
ex 1 ex 2 x 0 x ln 2 Med hjelpemiddel:
?
OPPGÅVE 1.80
%UXN GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ RJ Oº\V OLNQLQJDQH a) ոe x ؍ո b) յe նx ոշ c) յe x e x d) ն յ x ؍ո e) յ նx ؍չյ f) ոյx յ ո x OPPGÅVE 1.81
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) e 2 x 4e x 3 0 b) e x 12e x 7 2e x 3 e x c) x e 1 2 9L NDQ RJV§ EUXNH GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ Q§U YL Oº\VHU SUDNWLVNH HNVSRQHQWLDOOLNQLQJDU EKSEMPEL
, յմմմ YDU IRONHWDOHW L YHUGD չ ؍PLOOLDUGDU RJ KDU HWWHU GHW DXND PHG ؍յշ SHU §U )RONHWDOHW L PLOOLDUGDU x §U HWWHU յմմմ HU GHUPHG JLWW YHG F(x չ ؍ ؍մ؍յշx a) )LQQ IRONHWDOHW L յմյմ XW IU§ GHQQH PRGHOOHQ b) %UXN GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ WLO § ILQQH Q§U IRONHWDOHW SDVVHUHU ؍մbPLOOLDUGDU RP XWYLNOLQJD IRUWVHW c) 1§U YLO IRONHWDOHW SDVVHUH ؍մմ PLOOLDUGDU XW IU§ HLQ VOLN PRGHOO"
s
40
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 40
06/08/21 8:31 AM
LØ Y S I N G
a) )RONHWDOHW L յմյմ HU JLWW YHG F յմ չ ؍ ؍մ؍յշյմ պ ջ )RONHWDOHW L յմյմ YDU պ ջ PLOOLDUGDU b) )RONHWDOHW HU ؍մ PLOOLDUGDU Q§U F (x ) 10 6,1 1, 0124 x 10 10 1, 0124 x 6,1 x 1, 0124 1, 6393 ln1, 0124 x ln1, 6393 x ln1, 0124 ln1, 6393 ln1, 6393 x ln1, 0124 x 40,1 )RONHWDOHW SDVVHUHU ؍մ PLOOLDUGDU L յմշմ c) )RONHWDOHW HU ؍մմ PLOOLDUGDU Q§U F (x ) 100 6,1 1, 0124 x 100 100 1, 0124 x 6,1 x 1, 0124 16, 393 ln1, 01244 x ln16, 393 x ln1, 0124 ln16, 393 ln16, 393 x ln1, 0124 x 226, 95 )RONHWDOHW SDVVHUHU ؍մմ PLOOLDUGDU S§ VOXWWHQ DY §UHW յյյչ LIºOJH GHQQH PRGHOOHQ
?
OPPGÅVE 1.82
)RONHWDOHW L 1RUHJ L ؍ռմմ YDU յ յշ PLOOLRQDU (WWHU GHQ WLG KDU IRONHWDOHW DXND PHG մ պշ SHU §U a) )LQQ IRONHWDOHW L 1RUHJ L յմյմ XW IU§ GHQQH PRGHOOHQ b) %UXN GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ WLO § ILQQH Q§U IRONHWDOHW SDVVHUHU չbPLOOLRQDU RP XWYLNOLQJD IRUWVHW c) 1§U YLO IRONHWDOHW SDVVHUH ؍մ PLOOLRQDU XW IU§ HLQ VOLN PRGHOO" 1.8 EKSPONENTIALLIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 41
41
s
06/08/21 8:31 AM
1.9 Logaritmelikningar og naturlege logaritmar 9HG KMHOS DY UHNQHUHJODQH NDQ YL Oº\VH OLNQLQJDU PHG GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ )UDPJDQJVP§WHQ HU VRP Q§U YL EUXNHU GHQ EULJJVNH ORJDULWPHQ ,IºOJH GHILQLVMRQHQ DY GHQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ HU OQ x a x e a EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) յ OQ x շ b) OQ x ն յ OQ ն յ c) OQ x յ OQ x ն մ d) OQ x OQ x յ մ a)
2 ln x 4 ln x 2 x e2
b)
ln x 3 2 ln 3 ln x 3 ln 32 x 3 9 x 12
c)
OQ a OQ b a b
ln x 2 ln x 3 0 2 ln x ln x 3 0 3 ln x 3 ln x 1 x e
d) 'HWWH HU HL DQGUHJUDGVOLNQLQJ PHG OQ x VRP XNMHQW
ln x ln x 2 0 ln x 1 ln x 2 0 2
؍յ
؍RJ ؍յ յ
ln x 1 0 ln x 2 0 ln x 1 ln x 2 x e1 x e 2 1 x e x 2 e
s
42
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 42
06/08/21 8:31 AM
$OOH OLNQLQJDQH L HNVHPSHOHW NDQ YL RJV§ Oº\VH L &$6 +HU HU Oº\VLQJDQH DY RSSJ§YH F RJ G
յ
/HJJ PHUNH WLO IRUVNMHOOHQ S§ OQ x յ RJ OQ x , XWWU\NNHW OQ x յ VNDO YL IºUVW UHNQH յ XW x յ RJ GHUHWWHU ILQQH ORJDULWPHQ , OQ x VNDO YL IºUVW ILQQH ORJDULWPHQ WLO x RJ V§ NYDGUHUH KDQ
?
OPPGÅVE 1.90
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ RJ PHG KMHOSHPLGGHO a) ն OQ x ռ մ b) OQ xն յ OQ x յ յ OQ x ո c) OQ յx ؍ն OQ ն d) OQ յ OQ x ؍OQ ո OPPGÅVE 1.91
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO յ a) OQ x յ չ OQ x ջ մ b) OQ x չ OQ x ջ մ ն յ c) OQ x ն ո OQ x յ չ OQ x մ d) OQ x ո OQ x չ OQ x մ 1§U YL VNDO Oº\VH OLNQLQJD յ OQ x յ EºU YL JMHUH GHW VOLN 2 ln x 2 ln x 1 x e 0HQ HWWHUVRP յ OQ x OQ x յ NXQQH YL KD Oº\VW KHQQH VOLN 2 ln x 2 ln x 2 2 x 2 e2 x e x e 0HQ x e HU LNNMH HL UHWW Oº\VLQJ 9LVV YL VHW LQQ x e L OLNQLQJD EOLU YHQVWUH VLGH յ OQ e 0HQ OQ e ILQVW LNNMH V§ GHW J§U LNNMH DQ )RUPHOHQ յ OQ x OQ x յ HU EHUUH J\OGLJ Q§U x ! մ *UXQQHQ HU DW OQ x EHUUH HU GHILQHUW IRU x ! մ 8WWU\NNHW OQ xյ HU GHULPRW GHILQHUW IRU DOOH x z մ
1.9 LOGARITMELIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 43
43
s
06/08/21 8:31 AM
1§U YL L HL OLNQLQJ EUXNHU UHJHOHQ յ OQ a OQ aյ S§ XWWU\NN VRP LQQHKHOG YDULDEHOHQ NDQ YL I§ IUDP Oº\VLQJDU VRP LNNMH SDVVDU L OLNQLQJD IDOVNH Oº\VLQJDU 'D P§ YL VHWWH SUºYH S§ VYDUHW 1RNUH JRQJHU NDQ YL RJV§ PLVWH Oº\VLQJDU Q§U YL EUXNHU UHJHOHQ 7LOVYDUDQGH JMHOG IRU UHNQHUHJODQH a OQ a b OQ a OQ b RJ OQ OQ a OQ b. b
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) ո OQ x յ ؍մ OQ յ b) OQ x ؍OQ x ؍մ 5 ln x 2 10 ln 2
a)
ln x 2 2 ln 2 ln x 2 ln 22 x2 4 x 2 x 2 9LVV YL KHU KDGGH EUXNW DW OQ x յ յ OQ x KDGGH YL EHUUH I§WW GHQ HLQH Oº\VLQJD x յ ln x 1 ln x 1 0
b)
ln x 1 x 1 0
2
OQ a OQ b
OQ a b
ln x 1 0 2
x 1 1
OQ ؍
մ
2
x 2 x 2 x 2 , OLNQLQJD OQ x ؍OQ x ؍մ NDQ YL EHUUH VHWWH LQQ WDO x VRP HU VOLN DW x ! ؍մ RJ x ! ؍մ 'D P§ x ! ؍RJ x ! ؍$OWV§ NDQ YL EHUUH VHWWH LQQ x 2 RJ LNNMH x 2 /º\VLQJD HU YLVV x ! ' ؍HUPHG NDQ YL VHWWH LQQ x x
?
s
44
2
OPPGÅVE 1.92
/º\V OLNQLQJDQH XWDQ KMHOSHPLGGHO a) ն OQ x յ ؍յ b) OQ xշ OQ x յ յ մ շ յ c) OQ x ն OQ x շ մ d) OQ x OQ x յ OQ ն e) OQ x ո OQ x յ OQ յ 1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 44
06/08/21 8:31 AM
SAMANDRAG Reknereglar for potensar )RU DOOH WDO a RJ b z մ JMHOG GHVVH UHNQHUHJODQH
a b a n bn n
n
a an b bn
a m an a
m n
a m
n
am n
1§U a z մ HU GHWWH UHWW an an m am
aմ ؍
a n
1 an
1§U a ! մ KDU YL RJV§ GHVVH UHNQHUHJODQH 1
an
m n
an
a
a n
m
n am
Prosentvis vekst i fleire periodar 9LVV HLW WDO Bմ EOLU HQGUD PHG HLQ IDVW SURVHQW p L x SHULRGDU HU UHVXOWDWHW JLWW YHG B(x Bմ v x GHU v HU YHNVWIDNWRUHQ 9L EUXNHU SRVLWLYH YHUGLDU IRU x Q§U YL UHNQDU IUDPRYHU L WLG RJ QHJDWLYH YHUGLDU Q§U YL UHNQDU EDNRYHU L WLG Briggske logaritmar 'HQ EULJJVNH ORJDULWPHQ WLO HLW SRVLWLYW WDO a OJ a HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH ؍մ L IRU § I§ a. ؍մOJ a a Reknereglar for briggske logaritmar lg a b lg a lg b
lg a x x lg a
a lg lg a lg b b
Eulertalet e og naturlege logaritmar 1
e lim 1 t t 2, 71828... t 0
'HQ QDWXUOHJH ORJDULWPHQ WLO HLW SRVLWLYW WDO a OQ a HU GHW WDOHW YL P§ RSSKºJMH HXOHUWDOHW e L IRU § I§ a. eOQ a a Reknereglar for naturlege logaritmar ln a x x ln a
ln a b ln a ln b
a ln ln a ln b b
1.9 LOGARITMELIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 45
45
s
06/08/21 8:32 AM
LOGARITMISKE SKALAER Det er fleire grunnar til at det kan vere nyttig å bruke logaritmiske skalaer i naturvitskap. For det første har vi ofte bruk for å samanlikne storleikar som varierer over eit stort spekter. For det andre svarer multiplikasjon til addisjon når vi bruker logaritmar.
Sola
Avstand frå sola i kilometer (lineær skala) Merkur Venus Jorda Uranus Mars Jupiter Saturn 1 · 109
0
2 · 109
3 · 109
Neptun 4 · 109
5 · 109
Avstand frå sola i kilometer (logaritmisk skala)
Merkur 1 · 107
1 · 108
Stort spekter av talverdiar Den eine hovudgrunnen til å bruke logaritmisk skala er for å ta omsyn til skeivheit mot datapunkt som er mykje større enn andre. Logaritmiske skalaer lèt deg vise talverdiar som varierer mykje i eitt og same diagram. Dei to diagramma ovanfor viser nøyaktig det same – avstanden frå sola til planetane i solsystemet vårt. Diagrammet øvst har lineær skala, det rett under har logaritmisk skala. Diagrammet øvst viser tydelegare at dei planetane som ligg nært sola, ligg mykje tettare enn dei som er langt unna. Men det er lettare å lese av omtrentlege avstandar frå diagrammet med logaritmisk skala. Nokre samanhengar blir opplevde lineært sjølv om dei i verkelegheita er eksponentielle. Normal lydstyrke ved tale (60 dB) har ein lydintensitet som er omtrent ein million gonger høgare enn lågaste høyrbare lyd (0 dB). Viss to personar snakkar samtidig, svarer det til ei dobling av lydintensiteten, men du opplever det neppe som ein dobling av styr-
s
46
Jupiter Saturn
Uranus Neptun
1 · 109
1 · 1010
ken, for det svarer berre til ein auke på omtrent 3 dB. For lydintensiteten passar altså ein logaritmisk skala for lydintensiteten best (desibelskalaen).
Lydintensitet (W/m2)
Sola
Venus Jorda Mars
Trommehinna sprekk 1 · 104 1 · 102 Vondt i øyra 1 · 100 1 · 10–2 Rockekonsert 1 · 10–4 Støvsugar 1 · 10–6 Tale –8 1 · 10 Kviskring 1 · 10–10 Høyrleg lyd 1 · 10–12 20 60 100 140 180 Lydstyrke (dB)
Multiplikasjon blir addisjon Den andre hovudgrunnen til å nytte logaritmisk skala, har med rekneregelen ln ax = x ∙ ln a å gjere. Med logaritmar blir multiplikasjon til addisjon. Og dermed blir ein eksponentiell samanheng lineær.
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 46
07/08/21 9:02 AM
y
ln(y)
140 120 100 80 60 40 20
x
y
7 6 5 4 3 2 1
35 30 25 20 15 10 x 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Når forskarar skal undersøke samanhengar som dei mistenker er eksponentielle, kan dei plotte ln(y) på andreaksen i staden for y verdien direkte. Viss målepunkta da ligg på ei rett linje, tyder det på at samanhengen er eksponentiell, og stigningstalet til den rette linja hjelper
ln(y) 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 ln(x) 1 2 3 4 5
0,5
1,0
ln(x) 1,5
oss å bestemme den prosentvise veksten. Dersom vi bruker ln(x) og ln(y) på høvesvis førsteaksen og andreaksen, vil samanhengar som i verkelegheita er beskrivne med potensfunksjonar, stå fram som lineære.
PROSJEKTOPPGÅVE 1 I eit forsøk måler vi effekten og temperaturen til ei lyspære. Resultata ser du i tabellen nedanfor. P (Watt)
0,11
0,35
0,63
1,20
2,41
3,47
4,83
6,55
T (Kelvin)
720
950
1100
1300
1550
1700
1850
2000
a) Marker punkta (T, P) i eit koordinatsystem, og beskriv samanhengen mellom T og P.
b) Lag to nye rader i tabellen der du reknar ut ln T og ln P. Marker deretter punkta (ln T, ln P) i eit nytt koordinatsystem, og beskriv samanhengen mellom ln T og ln P. c) Teikn ei rett linje som går omtrent gjennom alle datapunkta frå oppgåve b, og bestem stigningstalet a og konstantleddet b slik at ln P = a ln T + b. d) Uttrykk effekten P som ein funksjon av temperaturen T. Søk opp Stefan-Boltzmanns lov på internett, og samanlikn.
PROSJEKTOPPGÅVE 2 Kva slags funksjon kan passe til å beskrive samanhengen mellom x og y dersom 1) punkta (x, y) ligg omtrent på ei linje? 2) punkta (x, ln y)ligg omtrent på ei linje? 3) punkta (ln x, y) ligg omtrent på ei linje? 4) punkta (ln x, ln y) ligg omtrent på ei linje? Kva betydning har stigningstalet til linja i dei 4 tilfella?
LOGARITMISKE SKAL AER
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 47
47
s
06/08/21 8:33 AM
REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1
OPPGÅVE 5
$YJMHU RP LPSOLNDVMRQDQH HU UHWWH a) x ջ y ո x y ն b) x շ x յ ؍մ x շ
%UXN UHNQHUHJODU IRU ORJDULWPDU WLO § IRUHQNOH XWWU\NNHW 6NULY VYDUHW V§ HQNHOW VRP PRJOHJ x2 1 2 lg x y lg lg 2 x y y
OPPGÅVE 2
7DQWH 2OJD KDU NMºSW VHJ Q\ HOV\NNHO WLO նմbմմմ NU +R WUXU DW HWWHU x §U YLO YHUGLHQ DY HOV\NNHOHQ L NURQHU YHUH JLWW YHG E(x նմ մմմ մ ջչx a) .RU PDQJH SURVHQW EOLU YHUGLHQ DY HOV\NNHOHQ UHGXVHUW PHG NYDUW §U" b) .YD HU YHUGLHQ DY HOV\NNHOHQ RP յb§U" c) .RU PDQJH §U J§U GHW IºU HOV\NNHOHQ HU YHUG ؍մbմմմ NU" 6NULY V§ HQNHOW VRP PRJOHJ 1
1
y
x2 y
2
3 4
1 2
OPPGÅVE 4
, HLQ LQQVMº YLVHU GHW VHJ DW HLW RPU§GH S§ ؍շմմ Pյ HU GHNW PHG YDVVSODQWDU 2PU§GHW DXNDU VWDGLJ RJ XQGHUVºNLQJDU YLVHU DW YHNVWHQ KDU YRUH չ NYDUW §U GHL VLVWH §UD .YD IRU HLW DY GHVVH XWWU\NND NDQ YL EUXNH IRU § UHNQH XW NRU P\NMH DY LQQVMºHQ VRP YDU GHNW IRU յ §U VLGDQ" *UXQQJL VYDUHW 1) ؍շմմ ؍մչ յ 2) ؍շմմ ؍մչյ 3) ؍շմմ մ ռշյ 4) ؍շմմ մ ռշ յ
s
48
a) 9LV DW lg
x2 2 lg x 1 10
b) /º\V OLNQLQJD YHG UHNQLQJ lg
x2 10
3
OPPGÅVE 7
(LQ HOHY KDU Oº\VW OLNQLQJD
OPPGÅVE 3
x3 x3 y
OPPGÅVE 6
ռx ؍ջ S§ GHQQH P§WHQ lg 9 x lg 18 x lg 9 lg 18 lg 18 2 x lg 9 9XUGHU VYDUHW WLO HOHYHQ OPPGÅVE 8
/º\V OLNQLQJDQH YHG UHNQLQJ x 1 a) 16 b) OJ x ն OJ x յ ؍մ 2 OPPGÅVE 9
/º\V OLNQLQJDQH YHG UHNQLQJ a) OQ x յ OQ x մ b) OQ x յ նx յ OQ յ
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 48
06/08/21 8:33 AM
OPPGÅVE 10
/º\V OLNQLQJDQH YHG UHNQLQJ a) յ OQ x յ մ b) OQ x յ OQ x յ մ յ c) OQ x OQ x յ OPPGÅVE 11
/º\V OLNQLQJDQH YHG UHNQLQJ a) չ OJ x ؍յ ؍յ b) OJ շx ռ OJ յ؍ c) OJ յx յ յ OJ ն յ d) OQ x OQ x ؍յ մ e) ջոx ռ չշ؍յ
GDJDU IºU YL KDU LJMHQ x SURVHQW DY LVRWRSHQ NDQ YL ILQQH DY IXQNVMRQHQ T(x յչ չ յ OJ x x ¢մ ؍մմ] a) .RU ODQJ WLG J§U GHW IºU GHW HU LJMHQ ؍մb DY LVRWRSHQ" b) 'HQ WLGD GHW J§U WLO YL KDU LJMHQ KDOYSDUWHQ DY LVRWRSHQ NDOODU YL KDOYHULQJVWLGD )LQQ KDOYHULQJVWLGD WLO , ؍ն ؍ c) )LQQ YHG UHNQLQJ NRU PDQJH SURVHQW DY LVRWRSHQ VRP HU LJMHQ HWWHU ؍մ GDJDU OPPGÅVE 15
OPPGÅVE 12
/º\V OLNQLQJD S§ WUH IRUVNMHOOLJH P§WDU շ չx ն յx OPPGÅVE 13
(LW IDW PHG GHVVHUWJHO« EOLU VHWW WLO DYNMºOLQJ L HLW URP PHG WHPSHUDWXUHQ Tմ P§OW L FHOVLXVJUDGDU *HOHHQ VWLYQDU YHG յոbq& 7HPSHUDWXUHQ WLO JHOHHQ HU ռո q& IºU KDQ EOLU VHWW WLO DYNMºOLQJ RJ HWWHU t PLQXWW HU WHPSHUDWXUHQ T(t Tմ ռո Tմ ؍մ؍ո t P§OW L FHOVLXVJUDGDU a) .RU ODQJ WLG WDU GHW IºU JHOHHQ VWLYQDU L HLW URP PHG WHPSHUDWXU յմbq&" b) )RU DW NMºOLQJD VNDO J§ IRUWDUH SODVVHUHU YL JHOHHQ L NMºOHVNDSHW GHU WHPSHUDWXUHQ HU ո q& .RU ODQJ WLG WDU GHW QR IºU JHOHHQ VWLYQDU" OPPGÅVE 14
-RGLVRWRSHQ , ؍ն ؍NDQ EUXNDVW WLO EHKDQGOLQJ DY NUHIW L VNMROGEUXVN NMHUWHOHQ +DQ HU UDGLRDNWLY RJ VHQGHU GHUIRU XW VWU§OLQJ .RU ODQJ WLG T GHW J§U P§OW L
)\VLNDUDU EUXNHU QRNUH JRQJHU ORJDULWPLVN VNDOD S§ GHQ HLQH HOOHU EHJJH DNVDQH L HLW NRRUGLQDWV\VWHP Q§U GHL VNDO VWXGHUH VDPDQ KHQJHQ PHOORP WR YDULDEOH VWRUOHLNDU EUXNH ORJDULWPLVN VNDOD YLO VHLH § DYVHWWH ORJDULWPHQ WLO HLW WDO L VWDGHQ IRU WDOHW VMºOY S§ DNVHQ , GHQQH RSSJ§YD VNDO GX EUXNH ORJDULWPLVN VNDOD S§ DQGUHDNVHQ 7DEHOOHQ YLVHU DNWLYLWHWHQ WLO HLW UDGLRDNWLYW VWRII S§ IRUVNMHOOLJH WLGVSXQNW t.
90
y EHFTXHUHO 4400 3500
540
t WLPDU
0
OQ y
a) 6NULY DY RJ I\OO XW WDEHOOHQ RYDQIRU b) 3ODVVHU GHL IHP SXQNWD t bOQ y L HLW NRRUGLQDWV\VWHP c) .RQWUROOHU DW SXQNWD OLJJ RPWUHQW S§ GHQ UHWWH OLQMD PHG OLNQLQJD OQ y ջ նռ մ մյնt d) %UXN OLNQLQJD L RSSJ§YH F WLO § XWOHLH DW y շշմն e մ մյնt e) %HVWHP KDOYHULQJVWLGD WLO VWRIIHW
REPE TISJONSOPPGÅVER
01_Sinus R1-2021_kap1_teori.indd 49
40
49
s
06/08/21 8:33 AM
OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.
ØV MEIR
gir meir trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart
BLANDA OPPGÅVER og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.
• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver. • Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du blant anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger sjølv lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. I desse oppgåvene er det meininga at du skal bruke litt meir tid, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 304
06/08/21 9:57 AM
1
Potensar og logaritmar ØV MEIR
Oppgåve 1.112
1.1 MATEMATISKE SYMBOL
Sett inn rett teikn ( , eller ) i rutene. x յ շ a) x յ
Oppgåve 1.110
b) x յ ռ մ
Undersøk om vi kan bruke nokon av teikna , og i rutene nedanfor, og sett inn rett teikn. a) x յ x er eit partal b) 6LGHQH L HLQ WUHNDQW HU ն FP շ FP RJ Trekanten er rettvinkla ո FP c) $OOH YLQNODQH L HLQ WUHNDQW HU չմq Trekanten er likesida d) 7R YLQNODU L HLQ WUHNDQW HU շոq Trekanten er rettvinkla e) To sider i ein trekant er like lange Trekanten er likebeint
Oppgåve 1.111
3§ HLQ YLGDUHJ§DQGH VNXOH HU GHW ոմմ HOHYDU 3§ GHQQH VNXOHQ HU ջ DY DOOH HOHYDQH YHQVWUHKHQGWH ؍ո JXWDU HU YHQVWUHKHQGWH յպմ DY HOHYDQH S§ VNXOHQ er jenter. Kor mange av elevane passar til denne beskrivinga? a) Eleven er ein gut Eleven er høgrehendt b) Eleven er ei gut Eleven er høgrehendt c) Eleven er ei jente Eleven er ikkje høgrehendt d) Eleven er høgrehendt Eleven er ei jente
x ն
Oppgåve 1.113
Finn løysingane. a) x յ ؍չ մ նx չ b) x յ ؍չ շx ؍չ c) x յ յո յx ؍ ؍ն d) x յ շx ն մ x ! մ e) նx y պ x յy մ Oppgåve 1.114
Finn løysingsmengda til likningane. a) յx յ ոx ն մ b) յ x յ ؍x շ մ c) x x յ շ մ d) յx շ շx ջ Oppgåve 1.115
Sett inn symbolet eller i dei tomme rutene. a) 9
b) S c) ն ' 2
Oppgåve 1.116
For kva verdiar av x er utrykka definerte? x2 3 4 a) b) 2 x 1 x 4x 2 c) 2 x 2x 8
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 305
305
s
06/08/21 9:57 AM
1.2 POTENSREKNING
Oppgåve 1.124
Oppgåve 1.120
Vi har denne regelen: Når a ! մ HU
Rekn ut utan hjelpemiddel. a) շմ շյ շ շ ؍ b) նշ ն ؍շն շ յ յ
am m n a n a Bruk regelen til å vise at aմ ؍
Oppgåve 1.121
Rekn ut utan hjelpemiddel. 1 3
1 6
a) 8 8 8 1 3 3 3 c) 7 36 1 2
1 2
1 8 1 3 2 2 1 4 3 4 2 d) 6 4
b) 23
2
2
1 a
Bruk regelen til å vise at a n n .
1
Oppgåve 1.125
Ein familie hadde høge straumutgifter, men har klart å redusere straumforbruket PHG պ NYDUW §U GHL VLVWH WUH §UD , GDJ HU GHW §UOHJH VWUDXPIRUEUXNHW S§ յմbմմմbN:K Kva for eit av desse uttrykka kan vi bruke for å rekne ut kor stort straumforbruket var for tre år sidan? Grunngi svaret. 1) յմ մմմ մ ռն ն 2) յմ մմմ ؍մպ ն 3) յմ մմմ ؍մպն 4) յմ մմմ մ ռնն
Oppgåve 1.122
Skriv så enkelt som mogleg. 7 16a 8 a 2 b2 a 3 a 4 3a a) b) 3 2 a 2 a 2a b
3
Oppgåve 1.123
På ein prøve gav læraren denne oppgåva: Skriv så enkelt som mogleg.
a b 2
2a 3 2ab 4 b 3 2
2
Oppgåve 1.126
%HDWH VHW ؍ջ մմմ NU L EDQNHQ +R OªW pengane stå urørt i banken i to år. Det IºUVWH §UHW I§U KR յ ջ UHQWH PHQV KR I§U ն յ UHQWH GHW DQGUH §UHW a) Sett opp eit uttrykk som viser kor mykje Beate har i banken etter to år.
2
3
Ein elev løyste oppgåva som vist nedanfor. 2a 2ab 3
a 2a
2
b b 4 2
2 3
3 2 2 6 5 5
b
3 2
3
2
6
2a 2a b b a 2 b 5
2a 3b 4
5
2a 3 b4
%MDUQH VHW ؍ջ մմմ NU L HLQ DQQDQ EDQN 2JV§ KDQ OªW SHQJDQH VW§ XUºUW L EDQNHQ L WR §U %DQNHQ JLU ն յ UHQWH GHW IºUVWH §UHW RJ յ ջ UHQWH GHW DQGUH §UHW b) Kven har mest pengar i banken etter to år?
Undersøk om eleven har rekna rett. Finn eventuelle feil, og løys oppgåva slik du meiner ho skal løysast. Kva for nokre råd ville du gitt eleven om du skulle hjelpe han?
s
306
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 306
06/08/21 9:58 AM
Oppgåve 1.127
Oppgåve 1.132
Firmaet «Kreditt» tilbyr kredittkort med HL UHQWH S§ ؍պո SHU P§QDG 5HQWD blir lagd til gjelda ved utløpet av kvar månad. Dorthe kjøper nye stolar for յմbմմմ NU PHG NUHGLWWNRUWHW PHQ KR klarer ikkje å betale ned noko av gjelda det første året. a) Kor stor er gjelda til Dorthe etter ؍b§U" b) 'RUWKH EHWDOHU շմմմ NU HWWHU § ؍U .RU P\NMH VN\OGHU KR HWWHU յ §U YLVV ho ikkje betaler ned meir på gjelda? c) Didrik har same type kredittkort VRP 'RUWKH RJ EHWDOHU RJV§ ؍պո SHU P§QDG L UHQWH +DQ NMºSHU Q\WW VSLVHERUG RJ VRID IRU L DOW յմ մմմ NU Kor lang tid tar det før gjelda hans SDVVHUHU շմ մմմ NU YLVV KDQ LNNMH betaler ned noko på gjelda?
Skriv så enkelt som mogleg.
Oppgåve 1.128
, HLQ EDNWHULHNXOWXU KDU YL շմմ EDNWHULDU (WWHU շ WLPDU KDU DQWDOHW EDNWHULDU DXND HNVSRQHQWLHOW WLO պմմ Kor mange prosent har antalet bakteriar vakse med per time? 1.3 BRIGGSKE LOGARITMAR
b) 10
a) ؍մOJ յ
lg
1 2
c) ؍մlg a
Oppgåve 1.133
'X I§U RSSJLWW DW ؍մմ շպպ | ն RJ DW ؍մ ؍մպռ | ؍յ Bruk dette til å finne tilnærmingsverdiar for desse logaritmane: a) OJ նչ b) OJ ռ c) OJ ؍շշ 1 f) OJ ؍յ d) OJ շ e) lg 4
g) OJ նմ
h) OJ ؍յմ
i) lg
j) OJ ؍յ ؍ Oppgåve 1.134
Trekk saman uttrykka og skriv dei ved hjelp av lg a og lg b. a a) lg ab lg b b b) lg a 2 lg b3 lg a Oppgåve 1.135
Trekk saman uttrykka. a) lg 3x lg 9 x 2
4 lg 8 x 4 2 x c) lg 5x lg 20 x
b) lg 2 x 3 lg
d) lg x lg 3 x lg 6 x
Oppgåve 1.130
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen og bestem a) OJ ؍մմմ b) OJ ؍մ ո c) OJ մ մ ؍d) OJ ؍մմմ մմմ e) OJ ؍f) lg ( ؍մ
Oppgåve 1.136
Oppgåve 1.131
Oppgåve 1.137
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen og rekn ut.
Skriv så enkelt som mogleg.
a) lg 3 10
b)
1 lg 1000
c) lg10
1 3
Trekk saman uttrykka. a) lg xy lg x 2 y lg xy 2
b) lg x 5 y lg
2 5
lg10 2 lg10 1 2
3
2
x y lg 4 y x
3
2
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 307
307
s
06/08/21 9:58 AM
Oppgåve 1.138
Oppgåve 1.144
Lydnivået L målt i desibel (dB) frå ein høgtalar med fast styrkeinnstilling minkar med avstanden x målt i meter. Samanhengen mellom L og x er gitt ved
Løys likningane både utan og med CAS. a) շ յx յ նx b) յ ոx ո յx c) նո նո յ նո նո նո յ նx
L a յմ lg x der a er ein konstant. a) , DYVWDQGHQ ո մ P IU§ KºJWDODUHQ HU O\GQLY§HW ոո G% Bestem konstanten a. b) Finn ved rekning avstanden frå KºJWDODUHQ Q§U O\GQLY§HW HU շռ G% c) , HLQ EHVWHPW DYVWDQG x ؍er lydnivået L؍. Når avstanden er dobbelt så stor, er lydnivået Lյ. Bestem differansen L ؍Lյ. 1.4 EKSPONENTIALLIKNINGAR
Oppgåve 1.140
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) յx ո b) ոx ؍մ c) ؍մնx յ d) մ ռոx մ ջ Oppgåve 1.141
Finn dei eksakte løysingane av likningane utan hjelpemiddel. b) յ շx ؍ջ a) ո նx յո c) ն պx ոx d) յ նյx ؍յ Oppgåve 1.142
Løys likningane både utan og med CAS. a) յ y ոյx ؍մ b) չ y ննx յշ c) ն y նշx ؍ո d) շ y ննx ؍նչ e) ջ y ոյx յ նյ Oppgåve 1.143
Løys likningane utan hjelpemiddel. x 1 3 x x b) a) ջ յ ն 2 4
s
308
Oppgåve 1.145
a) Ein funksjon f er gitt ved f (x) a x b Vi veit at f ؍չ ؍յմ ո RJ f չյո շջ յ Bruk CAS og vis at a յշ ؍RJ b մ յո b) Eit pattedyr som veg x kg, har kvilepulsen f (x) målt i hjarteslag per minutt, der f er den funksjonen som er gitt i oppgåve a. 1) Ein hund har ein kvilepuls på ؍շնbKMDUWHVODJ SHU PLQXWW Finn ved rekning kor mykje hunden veg. 2) Ein elefant har ein kvilepuls på ննbKMDUWHVODJ SHU PLQXWW Finn ved rekning kor mykje elefanten veg. Oppgåve 1.146
Ein elev har løyst ei likning som vist nedanfor. Undersøk om eleven har løyst likninga rett, og finn eventuelle feil. 7 x 5 2x
lg 7 x lg 5 2 x
lg 7 lg 5 lg 2 x x lg 7 lg 5 x lg 2 x lg 7 x lg 2 lg 5 x lg 7 lg 2 lg 5 x lg 5 lg 5 lg 5 x 1 lg 5 x
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 308
06/08/21 9:58 AM
Oppgåve 1.147
Oppgåve 1.152
Løys likningane utan bruk av hjelpemiddel. a) 32x 12 3x 27 0 18 5x b) 5x 2 5x 5 2x 7 c) 2x 1 2x 1
9L KHOOHU YDUP NDIIL L HLQ NRSS (WWHU xbPLQXWW HU NDIILWHPSHUDWXUHQ y i celsiusgradar y ؍ռ չչ · մ ռպ x
1.5 PRAKTISK BRUK AV EKSPONENTIALLIKNINGAR
Oppgåve 1.150
%LO $ HU L GDJ YHUG յյմ մմմ NU %LO % HU YHUG ؍պջ մմմ NU 9L UHNQDU PHG DW YHUGLHQ DY ELO $ PLQNDU PHG ؍ո §UOHJ RJ DW YHUGLHQ DY ELO % PLQNDU PHG ؍յ §UOHJ a) )LQQ YHG UHNQLQJ Q§U ELO $ HU YHUG ؍նո մմմ NU b) )LQQ YHG UHNQLQJ Q§U ELO % HU YHUG չշbմմմ NU c) 1§U KDU ELODQH VDPH YHUGL" /º\V RSSJ§YD E§GH YHG UHNQLQJ RJ digitalt. Oppgåve 1.151
Ein god modell for vekta V(t P§OW L kilogram av ein kvalkalv t P§QDGHU HWWHU fødselen er V(t) k ؍յ ؍t >մ ؍յ@ t
a) (LQ NYDONDOY YRJ ն WRQQ HWWHU ռbP§QDGHU Finn fødselsvekta til kvalkalven. /º\V RSSJ§YD L &$6 b) %UXN &$6 RJ ILQQ XW Q§U IºGVHOVYHNWD vil vere tidobla. c) Teikn grafen til V og finn grafisk og YHG UHNQLQJ Q§U IºGVHOVYHNWD YLO YHUH tidobla.
a) .YD HU WHPSHUDWXUHQ L NDIILHQ WLO § EHJ\QQH PHG" b) .YD HU WHPSHUDWXUHQ HWWHU ؍մ PLQXWW" c) )LQQ E§GH XWDQ RJ PHG &$6 Q§U WHPSHUDWXUHQ L NRSSHQ HU ոչ q& d) .DIILNRSSHQ EOLU VW§DQGH L IOHLUH timar. .YD EOLU WHPSHUDWXUHQ L NDIILHQ GD" Oppgåve 1.153
9L WDU PHG RVV HL IODVNH EUXV L HLQ NMºOHEDJ S§ VWUDQGD HLQ YDUP VRPPDUGDJ 9L WDU flaska ut av kjølebagen og lèt henne ligge i skuggen. Temperaturen T(x) i brusen etter x minutt er gitt ved T(x) նմ յն մ ռպնx a) Kva var temperaturen i brusen idet YL WRN KDQ XW DY NMºOHEDJHQ" b) )LQQ E§GH YHG UHNQLQJ RJ L &$6 Q§U temperaturen i brusen er meir enn յմbq& c) .YD YLO GX DQVO§ WHPSHUDWXUHQ L VNXJJHQ S§ VWUDQGD WLO § YHUH GHQQH GDJHQ"
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 309
309
s
07/08/21 9:06 AM
Oppgåve 1.154
Oppgåve 1.156
Gunnar har fått ein infeksjon og skal ta tablettar med eit verkestoff mot infeksjonen. Når han har tatt ein tablett, er mengda verkestoff M(t) i milligram etter t timar gitt ved
Sondre investerer i aksjar. Grafen viser korleis verdien av aksjane veks dei første månadene. Vi går ut frå at den prosentvise auken er den same kvar månad.
M (t ) 120 0, 97t , 0 # t 12 a) Kor mange milligram verkestoff er det i ein tablett? b) Kor mange milligram av verkestoffet HU LJMHQ L NURSSHQ HWWHU ո WLPDU" c) Kor mange prosent blir verkestoffet i kroppen redusert med kvar time? d) Kor lang tid går det før Gunnar har ռմ PJ YHUNHVWRII L NURSSHQ" /º\V oppgåva både ved rekning og i CAS. Oppgåve 1.155
Firmaet «Pizzapensjonistane» baker pizza i ein gammal steinomn. Omnen HU YHGI\UW +DQ EOLU I\UW RSS Q§U arbeidsdagen begynner, og så steiker dei på restvarmen i omnen. Dei OHYHUHU SL]]D IU§ NO ؍ո մմ WLO NO յն մմ Temperaturutviklingen i omnen i FHOVLXVJUDGDU HU JLWW YHG IXQNVMRQHQ T(t) A մ ռչt յո der t HU DQWDO WLPDU HWWHU NO ؍ո մմ RJ A er ein konstant. a) Kva må starttemperaturen i omnen etter oppfyring vere for at temperaturen ikkje skal komme XQGHU յմմbqC ved dagens slutt? , UHVWHQ DY RSSJ§YD VHW YL VWDUW temperaturen ved t մ WLO յպմ qC. Det betyr at A յշո b) 1§U HU WHPSHUDWXUHQ յ؍ոbqC? c) Teikn grafen til T. d) Finn temperaturen i omnen etter ոbWLPDU
s
310
kr y 20 000 18 000 16 000 14 258 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0
2
x 4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24 md.
a) Kor mykje investerer Sondre i aksjar? b) Kor mange prosent aukar verdien av aksjane det første året? c) Vis at den prosentvise verdiauken NYDU P§QDG HU ն մ d) Sett opp eit matematisk uttrykk som kan vere ein modell for kor mykje aksjane er verde etter x månader. e) Når kjem aksjane – ut frå modellen – WLO § KD HLQ YHUGL S§ նմ մմմ NU" /º\V oppgåva både utan og med CAS. Oppgåve 1.157
)RONHWDOHW L HLQ E\ YDU ջմմմ L E\UMLQJD DY յմ؍շ , յմ؍շ յմ؍ո RJ յմ؍չ DXND IRONHWDOHW PHG ؍SHU §U , յմ؍պ RJ յմ؍ջ PLQND IRONHWDOHW PHG յ SHU §U RJ L յմ؍ռ RJ յմյմ DXND IRONHWDOHW PHG ն SHU §U a) .YD YDU IRONHWDOHW GD §UHW յմյ ؍ begynte? )ºU յմ؍շ DXND IRONHWDOHW PHG յ SHU §U b) Kva var folketalet i denne byen da §UHW յմմջ EHJ\QWH"
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 310
06/08/21 9:58 AM
Oppgåve 1.158
1.6 LOGARITMELIKNINGAR
Lufttrykket y i millibar minkar med høgda x km over havet gitt ved
Oppgåve 1.160
x
L(x) ؍մ؍ն մ ջջպ
a) Kor stort er lufttrykket ved havnivået? b) Kor mange prosent minkar lufttrykket med når høgda aukar med ؍bNP" c) Rekn ut lufttrykket når høgda er նմմմ P d) Finn både ved rekning og i CAS ved kva høgde lufttrykket er շմմbPLOOL EDU Oppgåve 1.159
,QWHQVLWHWHQ L(x) til lys x m under havflata er gitt ved L(x) Lմ ax
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) lg x ؍մ b) ն OJ x չ c) չ յ OJ x յ d) ն OJ x յ ռ Oppgåve 1.161
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) OJ յx յ lg(x ո
b) OJ նx չ lg(x շ մ c) lg(x ջ ؍ d) շ lg(x ն ջ Oppgåve 1.162
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) lg x յ յ OJ x շ մ b) յ OJ x շ ն OJ x յ յ c) lg x ն շ OJ x յ ؍؍ d) յ OJ x շ շ OJ x ؍յ e) lg x ն lg x յ յ մ Oppgåve 1.163
der Lմ L մ HU O\VLQWHQVLWHWHQ L KDY IODWD Ein dykkar har funne ut at intensiteten HU UHGXVHUW WLO KDOYSDUWHQ չ P XQGHU havflata. Dykkaren kan ikkje arbeide utan kunstig lys når intensiteten er 1 under av intensiteten i havflata.
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) lg(x յ շx) OJ ո b) lg(x յ x) OJ չ c) lg(x յ յ lg x շ 3 d) 4 lg x 2 lg 2 lg 3 x
Rekn ut kor djupt dykkaren kan gå utan å trenge kunstig lys til arbeidet.
Oppgåve 1.164
10
Løys likningane utan hjelpemiddel. Kontroller svara i CAS. a) lg x յ lg x չ մ b) (lg x)յ lg x չ մ Oppgåve 1.165
Løys likningane utan hjelpemiddel og digitalt. a) (lg x)յ յ lg x ؍ո մ b) յ OJ x)յ lg x մ c) OJ ջ յx) յ lg x d) OJ յx յ յ շ OJ ؍x)
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 311
311
s
06/08/21 9:58 AM
Oppgåve 1.166
Oppgåve 1.168
Løys likningane utan hjelpemiddel. Kontroller svara i CAS. a) (lg x )2 2 lg x 8 0 1 b) 3 lg x lg 4 x 2 2 c) 3 lg x lg 3 lg 2 x 10 d) 4 lg x lg 9 x 2 e) (lg x ) lg x 0
Frida fekk eit fast månadsbeløp av IRUHOGUD VLQH L KHLOH յմ؍ռ )U§ RJ PHG MDQXDU յմյմ KDGGH KR HLQ DYWDOH PHG foreldra om at beløpet skulle aukast for kvar månad. y månader seinare får ho x kroner, der
Oppgåve 1.167
, RPU§GHW RPNULQJ HLQ VWHUNW WUDILNNHUW veg minkar støynivået med avstanden frå vegen. Støynivået S(x) målt i desibel (dB) i avstanden x er S(x) ؍؍մ յյ lg x, x Χ ؍ når x er målt i meter frå midten av vegen. a) .YD HU VWº\QLY§HW L YHJEDQHQ ؍P IU§ midten av vegen)? b) Kor langt frå midten av vegen er vi Q§U VWº\QLY§HW HU ոո G%"
y պպ ռ lg x յ؍չ շ a) 1§U I§U )ULGD պչմ NU L P§QDGV pengar? b) 9L OªW YHUGLHQ DY x når y մ VYDUH WLO P§QDGVEHOºSHW )ULGD IHNN L յմ؍ռ Finn ved rekning kor mykje Frida IHNN L P§QDGVSHQJDU L յմ؍ռ Oppgåve 1.169
Onkel Ole set pengar i banken. +DQ OXUHU S§ NRU ODQJ WLG GHW J§U IºU KDQ KDU յմ մմմ NU S§ NRQWRHQ VLQ , banken snakkar han med ein dyktig PDWHPDWLNDU +R JLU RQNHO 2OH GHWWH funksjonsuttrykket: y ոջ պ lg x յնշ ջ m+HU HU y antalet år til du har x kroner på kontoen din», seier matematikaren i banken. «No kan du sjølv rekne ut kor ODQJ WLG GHW J§U IºU GX KDU յմ մմմ NU S§ kontoen.» a) Kor lang tid går det før onkel Ole har յմ մմմ NU S§ NRQWRHQ VLQ" b) Kor mykje pengar har onkel Ole i EDQNHQ HWWHU ո §U" c) Kor mykje pengar sette onkel Ole i banken? d) Kva for ei årleg rente fekk Ole?
s
312
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 312
06/08/21 9:58 AM
1.7 DEN NATURLEGE LOGARITMEN
Oppgåve 1.170
1.8 EKSPONENTIALLIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR 2
a) Teikn digitalt grafen til f (x ) 3e x . b) Kva skjer med grafen når x er positiv og veks over alle grenser? c) Kva skjer med grafen når x er negativ og talverdien veks over alle grenser? d) Løys grafisk likninga f (x) ؍ e) Finn utan hjelpemiddel dei eksakte løysingane av likninga f (x) ؍
Oppgåve 1.180
Oppgåve 1.171
Eleven synest at svaret ser «rart» ut. +DU HOHYHQ Oº\VW OLNQLQJD IHLO" )RUNODU
Trekk saman uttrykka. a) ln x 3 2 ln x 2 1 b) 2 ln x 2 ln x c) ln 2 ln 4 ln 8
Ein elev har løyst likninga e x ո i CAS på denne måten:
Oppgåve 1.181
Bruk den naturlege logaritmen og løys likningane utan hjelpemiddel. a) յe x չ b) ն յx ؍ջ 2 c) ն ոx ؍ջ d) e x 81
Oppgåve 1.172
Trekk saman uttrykka. 1 a) ln x 5 ln 3 2 ln x 4 x y x2 b) ln x 2 y ln 2 ln x y 3 c) ln ln 9 y 3 ln 27 y
Oppgåve 1.182
Løys likningane både med og utan hjelpemiddel. a) eյx շe x ն մ b) eյx յe x ն c) e x պ ؍մe x մ d) e x չe x ո
Oppgåve 1.173 Oppgåve 1.183
Trekk saman uttrykka. a a) lg 10ab2 lg 100b 5 b) ln 10e 3a ln 2a e
Oppgåve 1.174
Finn utan bruk av hjelpemiddel. e3 b) ln 7 a) ln(e 4 e 2 ) e c) ln 3 e 2
d) ln
e 3 e 6 e
Løys likningane både utan hjelpemiddel og digitalt. a) ն մ չx ռ b) ն յx չ ոx c) eյx շex ո մ ex 1 1 d) x 2e 3 13e x 48 x e) e ex 1
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 313
313
s
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.184
(L NXOH EOLU DYI\UW IU§ HL ULIOH , DYVWDQGHQ x målt i meter frå avfyringsstaden er farten y til kula målt i meter per sekund (m/s) gitt ved y ռպո e մ մմյ؍ոx a) Finn farten til kula når avstanden frå DYI\ULQJVVWDGHQ HU ؍մմ P b) Finn ved rekning avstanden når IDUWHQ WLO NXOD HU ոպմ P V Energien som blir frigjort når kula treffer ein gjenstand, blir kalla anslagsenergien. Samanhengen mellom anslagsenergien z målt i joule (J) og farten y til kula er gitt ved z մ մմ؍չ y յ c) Finn anslagsenergien i avstanden ؍մմbP IU§ DYI\ULQJVVWDGHQ d) Finn z uttrykt ved x.
Samtidig som kaffien vart helt over i termokanna, vart tevatn helt opp i ei anna kanne. Temperaturen T(x) målt L FHOVLXVJUDGDU L WHYDWQHW HU x timar seinare gitt ved T(x) յյ պմ e մ մջոx d) Bruk CAS og finn når temperaturen er den same i kaffien og i tevatnet. Oppgåve 1.186
Vi set ei termokanne med vatn i eit rom med romtemperatur T L FHOVLXVJUDGDU Etter x timar er temperaturen til vatnet P§OW L FHOVLXVJUDGDU JLWW YHG f (x) T ռմ T e մ ؍x, x >մ յշ@ a) Finn temperaturen til vatnet idet kanna blir sett inn i rommet. b) Teikn grafen til f når romWHPSHUDWXUHQ HU յմ qC. c) Finn temperaturen til varnet etter ոbWLPDU Q§U URPWHPSHUDWXUHQ HU յմbqC. d) Kor lang tid går det før temperaWXUHQ WLO YDWQHW HU ոմ qC når romWHPSHUDWXUHQ HU յմ qC? +HOHQH NMHP IUDP WLO K\WWD VL RJ fyrer i omnen. Romtemperaturen i FHOVLXVJUDGDU HWWHU x timar er gitt ved
Oppgåve 1.185
Vi heller varm kaffi på ei termokanne. Temperaturen K(x) i kaffien målt i FHOVLXVJUDGDU HU x timar seinare gitt ved
H(x) յյ ؍պe մ ոx, x >մ յշ@ e) Finn temperaturen i hytta idet ho fyrer opp og etter lang tid.
K(x) յյ չջ e մ մչնx a) Kva er temperaturen i kaffien idet vi heller han over i kanna? b) Teikn grafen til K for x >մ ؍մ@. c) Finn grafisk og ved rekning når WHPSHUDWXUHQ HU IDOOH WLO պո qC.
s
314
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 314
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.187
Oppgåve 1.188
Robinson bur aleine på ei øy, men ein dag oppdagar han at sjørøvaren Pelle Pirat har ankra opp ved øya. Pelle er ikkje velkommen, og Robinson skyt eit varselskot. Pelle blir så forskrekka at han dett rett ned i det kalde havvatnet. Kroppstemperaturen T(t L FHOVLXVJUDGDU etter t minutt i sjøen er gitt ved
, KDYYDWQ PLQNDU O\VLQWHQVLWHWHQ I(x) eksponentielt med djupna x. Viss vi angir lysintensiteten i prosent av lysintensiteten ved havoverflata og djupna x i meter, kan vi skrive
T(t) H նպ H) e մ մ؍յt der H er temperaturen i havet. a) Finn kroppstemperaturen til Pelle idet han ramlar uti. b) Teikn nokre grafar digitalt som viser korleis kroppstemperaturen til Pelle Pirat minkar ved forskjellige havtemperaturar. c) Finn kroppstemperaturen til Pelle 3LUDW HWWHU ؍մ PLQXWW Q§U KDYWHPSHUDWXUHQ HU ؍ո qC. d) Finn ved rekning kor lang tid det går før kroppstemperaturen til Pelle 3LUDW HU նմ qC når havtemperaturen HU ؍ո qC. e) Kva måtte temperaturen i havet YHUH IRU DW GHW VNXOOH J§ ؍WLPH IºU kroppstemperaturen til Pelle vart նմbqC? Løys oppgåva både ved rekning og i CAS.
I(x) ؍մմ e kx der k er ein konstant som blir kalla absorpsjonskoeffisienten. Eit av verdas klaraste havvatn finn vi i Sargassohavet L GHW YHVWOHJH $WODQWHUKDYHW +HU KDU LQWHQVLWHWHQ IDOOH WLO ؍YHG GMXSQD ؍չմ P a) Finn ved rekning absorpsjonskoeffisienten til vatnet i Sargassohavet. b) Teikn grafen til I for x >մ յմմ@. c) Finn halveringsdjupna for lysintensiteten i Sargassohavet grafisk, ved rekning og i CAS. Oppgåve 1.189
På ein stor skule breier ein influensasmitte seg raskt. x dagar ut i november er det registrert f (x) elevar som er smitta, der f (x )
200 1 10 e 0,12 x
er ein god modell for utviklinga. a) Kor mange elevar er blitt smitta LQQDQ ؍մ QRYHPEHU" b) )LQQ YHG UHNQLQJ Q§U ؍մմ HOHYDU HU registrerte med smitten. c) Teikn grafen til f når x >մ նմ@. d) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn kor mange elevar som høgst vil kunne få influensaen med denne modellen.
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 315
315
s
06/08/21 9:59 AM
1.9 LOGARITMELIKNINGAR OG NATURLEGE LOGARITMAR
Oppgåve 1.190
Løys likningane både utan hjelpemiddel og digitalt. a) ln x ؍ln x ؍OQ ն b) ln x ln յ x մ c) ln ؍x ln x մ
Oppgåve 1.195
Ei bedrift set i gang produksjon av ein ny gjenstand. Etter x veker reknar bedrifta med at dei får selt y einingar per veke, der y ؍մմ ln(x ؍x >մ ոյ@
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) ln յx ؍յ OQ ն յ b) ln x չ ո ln x c) ln x յ պ շ OQ յ
a) Kor mange einingar får bedrifta selt SHU YHNH HWWHU յշ YHNHU" b) Kor lang tid tar det før bedrifta får VHOW նոմ HLQLQJDU SHU YHNH" c) Finn x uttrykt ved y. d) %UXN XWWU\NNHW L RSSJ§YH F WLO § kontrollere svaret i oppgåve b.
Oppgåve 1.192
Oppgåve 1.196
Løys likningane både utan hjelpemiddel og digitalt. a) ln x ln ռ x OQ ջ ln x 2 0 b) ln x 1
Ein funksjon f er gitt ved
Oppgåve 1.191
f (x ) ln x ln x 2
a) Finn nullpunkta til f ved rekning. b) Løys likninga f (x) յ YHG UHNQLQJ c) Teikn digitalt grafen til f .
Oppgåve 1.193
Løys likningane utan hjelpemiddel. a) ln x OQ ؍յ OQ չ b) ln x OQ ؍յ OQ չ Oppgåve 1.194
Løys likningane utan hjelpemiddel. 2 a) ln x ln x 2 0 b) 7 ln x 2 ln x 3 ln x 1 c) 0 ln x 2 2
d)
s
316
ln x
2
2 ln x
1 ln x
0
Oppgåve 1.197
Vi tenner opp i ein spesiell forbrenningsomn. Etter t minutt er omnstemperaturen T P§OW L FHOVLXVJUDGDU JLWW ved T յմ ؍ոմ ln ջt ؍ a) Kva var temperaturen i omnen rett før vi tente opp? b) Kva er temperaturen etter ein halv time? c) Finn både ved rekning og i CAS kor lang tid det går før temperaturen i RPQHQ HU չմմbqC. d) Finn ein formel for t uttrykt ved T. e) 1§U HU WHPSHUDWXUHQ պոջ qC?
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 316
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.198
Den radioaktive strålinga frå ei kjernevåpensprenging er i store dosar dødeleg. For at ein person skal kunne overleve, bør intensiteten i strålinga som WUHIIHU SHUVRQHQ YHUH UHGXVHUW WLO յ ո av den opphavlege strålingsintensiteten. a) Strålinga trenger ikkje så lett gjennom betong. Viss tjukkleiken på betongen er x FP YLO LQWHQVLWHWHQ L strålinga bli redusert til B(x) prosent av den opphavlege intensiteten, der B(x) ؍մմ e մ ؍յx Finn både ved rekning og i CAS kor tjukk ein betongvegg må vere for at ein person bak veggen skal overleve. b) Den radioaktive strålinga frå ei kjernevåpensprenging trenger lettare gjennom jord enn betong. Tjukkleiken på eit jordlag må vere KHLOH շոbFP IRU DW LQWHQVLWHWHQ L VWU§OLQJD VNDO EOL UHGXVHUW WLO յ ոb Viss tjukkleiken på jordlaget er x FP blir intensiteten i strålinga redusert til J(x) prosent av den opphavlege intensiteten, der J(x) ؍մմ ekx Finn k ved rekning. c) , YDWQ HU VWU§OLQJVLQWHQVLWHWHQ V på djupna x FP JLWW YHG x ջպ յ ؍ջ ջ lnV V er målt i prosent av den opphavlege intensiteten i strålinga. Rekn ut strålingsintensiteten på GMXSQD պմ FP
BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 1.200
Sett inn rett teikn ( , eller ) i ruta. Forklar korleis du har tenkt. xյ ؍չ մ
x շ
Oppgåve 1.201
3§ HLQ VNXOH HU GHW նշյ MHQWHU RJ նմջ JXWDU 3§ HLQ VNLGDJ YDU չ DY elevane fråverande. Av dei som deltok S§ VNLGDJHQ YDU GHW յռջ JXWDU Kor mange av elevane passar til denne beskrivinga? a) Eleven er jente Eleven deltok på skidagen b) Eleven er gut Eleven deltok ikkje på skidagen c) Eleven er gut Eleven deltok ikkje på skidagen d) Eleven er jente Eleven deltok på skidagen Oppgåve 1.202
Kva for ein av desse påstandane er rett? Alternativ 1) 2 1 2 1 2 2 2 Alternativ 2) 2 1 2 1 1 2 1 1 Alternativ 3) 2 2 1 Alternativ 4) 6XPPHQ յ ؍յ ؍er dobbelt så stor som SURGXNWHW յ ؍յ ؍ Oppgåve 1.203
Skriv uttrykket så enkelt som mogleg.
a
an a 1 a 3n
n
2n 2
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 317
317
s
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.204
Oppgåve 1.208
Skriv uttrykket så enkelt som mogleg. Kva for eit svaralternativ er rett?
Kva for påstand er sann? 1 ! lg 4 10 1) lg 10 000 1 2) lg lg 4 10 10 000
x x y 3
Alternativ 1)
2
x y
1 y
Alternativ 3) y
1
Alternativ 2) ؍ Alternativ 4)
1 y3
3) lg 4 10 lg 10 4 1 4) lg 4 10 4
Oppgåve 1.205
Oppgåve 1.209
Ein familie hadde eit vassforbruk i յմ؍չ S§ ؍նմ Pն (WWHU յմ؍չ KDU IDPLOLHQ UHGXVHUW IRUEUXNHW §UOHJ PHG ն Kva for eit av desse uttrykka kan vi bruke for å rekne ut kor stort vassbruket YDU L յմյմ" 1) ؍նմ մ ռպ շ 2) ؍նմ մ ռպ շ 3) ؍նմ ؍մն շ 4) ؍նմ ؍մնշ
Bruk logaritmereglane til å forenkle uttrykket. b lg a 3 lg a 2b 4 2 lg a
▲ 1.2
Oppgåve 1.206
Kva for eit svaralternativ er rett? 2) յ lg b 1) lg a 4) յ lg b 3) lg a յ lg b Oppgåve 1.210
Trekk saman uttrykka. Vis utrekningar. 2 x2 y a) lg lg xy lg y x 16 8 b) lg 4 xy lg 2 lg y x
Skriv to tal A og B slik at Oppgåve 1.211
lg A lg B մ Oppgåve 1.207
Kva for ein eller kva for nokre påstandar er sanne? 1) lgബջ ؍HU GHW GREOH DY OJബռ 2) lgബջ ؍HU ռ JRQJHU V§ VWRUW VRP OJബռ lg 81 lg 9 3) lg 9 lg 81 4) 9 lg 9
Skriv så enkelt som mogleg. Vis utrekningar. a2 b2 b a) 3 lg 2 2 lg lg a b a a 1 b) lg a 2 b2 lg 3 lg a b
Oppgåve 1.212
Undersøk om forenklinga stemmer. Vis utrekning. lg
s
318
100 5 lg x lg 10 x 2 1 lg x x 2
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 318
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.213
Oppgåve 1.218
a) 6NULY OJոմ XWWU\NW YHG OJ ո 1 b) Skriv lg XWWU\NW YHG OJ յ
Ein storleik minkar eksponentielt med i DOW յյ ն S§ յ §U Finn eit uttrykk g(x) for storleiken etter x år når vi veit at g մ յն շ
200
▲ 1.3
Oppgåve 1.214
Ein elev har løyst ei likning som vist nedanfor. Kva er feil med løysinga? Lag ei rett løysing av likninga. 3
2x 1
1
3
2x 1
20
2 2 2 2
23(2 x 1) 20 3(2 x 1) 0 6x 3 0 1 x 2
Oppgåve 1.219
Ein elev skal løyse likninga 5 7 1 lg x 2 2 og har løyst henne slik i CAS:
Er dette ei fullgod løysing på oppgåva? Løys likninga, og skriv svaret så enkelt som mogleg. Oppgåve 1.220
Oppgåve 1.215
Bestemor og bestefar snakkar om gamle dagar. Bestemor seier: «Eg meiner å KXJVH DW L ؍ռչչ GD HJ YDU ؍մ §U JDPPDO NRVWD HLW EODXWNDNHVW\NNH շ NU 1R L §UHW յմյ ؍WUXU HJ DW HLW VOLNW NDNHVW\NNH KDGGH NRVWD շմ NU } m'X OHYHU QRN WLO NDNHVW\NNHW NRVWDU պո NU} VYDUHU EHVWHIDU Kor gammal vil bestemor minst bli ut frå det bestefar seier? Gå ut frå at den §UOHJH SULVVWLJQLQJD HU շ ո Oppgåve 1.216
Løys likninga.
Ein person har inntatt det narkotiske stoffet amfetamin. Når personen har y milligram av stoffet i kroppen, er tida t LbWLPDU HWWHU LQQWDNHW JLWW YHG t ؍ո ոո ؍ն յյ lg y Kor mange milligram av stoffet inntok personen? Oppgåve 1.221
Ein elev skal løyse likninga ؍մx ո og har løyst henne slik i CAS:
շո շո շո շո շո շո շո շո յ շx Oppgåve 1.217
Ein storleik aukar eksponentielt med i DOW յյ ն S§ յ §U Finn eit uttrykk f (x) for storleiken etter x år når vi veit at f մ նշ յ
Løys likninga ved rekning, og skriv svaret så enkelt som mogleg.
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 319
319
s
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.222
Oppgåve 1.228
Løys likninga. Vis utrekning.
Vi skal løyse likninga
5x
1 2x
OJ շx ռ OJ ն a) Ein elev har løyst likninga slik:
Oppgåve 1.223
lg(4 x 9) lg 3 lg 4 x lg 9 lg 3 lg 4 x lg 12 4 4 lg x lg 3 x 3
Ein elev har løyst likninga ؍յոx պ ؍մ på denne måten: 1, 25x 7 10 lg 1, 25x lg 7 lg 10 x lg 1, 25 lg 10 lg 7 x lg 1, 25 1 lg 7 1 lg 7 x lg 1, 25
Forklar kva for nokre feil eleven har gjort. b) Ein annan elev har løyst likninga slik: lg(4 x 9) lg 3 lg (4 x 9) lg 3 4x 9 3 4 x 12 x 3
Kva for ein feil har eleven gjort? Oppgåve 1.224
Løys likningane. Vis utrekning. a) lg x յ յ մ b) (lg x)յ ؍մ
Kva kommentarar har du til denne løysinga? c) Løys likninga rett.
Oppgåve 1.225
Løys likningane. Vis utrekning. a) lg x ոմ յ b) lg x ն ؍մ lg x յ
Oppgåve 1.229
Oppgåve 1.226
Oppgåve 1.230
Løys likningane. Vis utrekning. յ a) lg x lg x ؍յ մ b) lg x յ lg x ؍յ մ c) lg x lg x ն ؍
Sett inn rett teikn ( , eller ) i ruta. Forklar korleis du har tenkt.
Oppgåve 1.227
Løys likningane. Vis utrekning. x a) lg x 2 lg lg 10 x 3 100 1 b) lg x 5 lg 12 0 x
s
320
Lag ei logaritmelikning der svaret blir x չ
x ؍մմ
lg x յ շ ▲ 1.6
Oppgåve 1.231
Skriv så enkelt som mogleg. Vis utrekning. b2 a 2 ln ln a b 3 ln a b
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 320
06/08/21 9:59 AM
Oppgåve 1.232
Oppgåve 1.237
Bruk logaritmereglane til å forenkle uttrykka. a a) lg lg 100a 2 10 2 b) ln 4e 2 2 ln ln e e
'D .HWLO YDUW IºGG IHNN KDQ ոմմմ NU av ei tante. Pengane vart sette inn på konto. Etter x år hadde beløpet vakse til ոմմմ eմ մշx a) Kor lang tid tok det før beløpet KDGGH YDNVH PHG ؍؍մմ NU" b) Kva årleg rente har Ketil fått?
Oppgåve 1.233
Vel eller framfor kvart ledd slik at reknestykket stemmer. r ln յ r ln ն r ln շ r ln ո r ln չ r ln ջ r ln ռ r ln ؍մ մ Kor mange løysingar finn du? Oppgåve 1.234
Vis at vi har desse samanhengane mellom briggske og naturlege logaritmar: ln x OQ ؍մ lg x og lg x lg e ln x
Oppgåve 1.238
(LQ SDVLHQW I§U ؍մ մ PJ DY HLW OHJHPLGGHO Mengda i kroppen minkar eksponentielt PHG WLGD RJ HWWHU յշ WLPDU HU PHQJGD DY legemiddelet halvert. a) Finn den eksponentialfunksjonen som beskriv denne utviklinga. b) Kor lang tid tar det før mengda av OHJHPLGGHOHW HU UHGXVHUW WLO ն ո PJ" c) Kor mange prosent av legemiddelet blir omdanna kvar time?
Oppgåve 1.235
Oppgåve 1.239
Generelt er ikkje ln a b ln a ln b men dette kan likevel stemme for nokre verdiar av a og b. a) Vis at ln a b lnബa lnബb når a b յ b) Vis at viss ln a b lnബa lnബb, så b . er a
+DQV 3HWWHU KDU HL IULPHUNHVDPOLQJ VRP i dag aukar i verdi, mens Therese har ein fritidsbåt som minkar i verdi. Om t §U HU IULPHUNH VDPOLQJD WLO +DQV 3HWWHU verd F(t) kroner, mens båten til Therese er verd B(t) kroner, der
Oppgåve 1.236
og
F(t) ؍մմbմմմ eմ մջt
b 1
a) Vis at
B(t) յյնbմմմ e մ մջt
OQ ؍մ lg e ؍
b) Vis at ln(ln x )
x
ln( x )
ln x
når x ! ؍
a) Når har frimerkesamlinga same verdi som fritidsbåten? Løys oppgåva både ved rekning og digitalt. b) Kor mange prosent stig verdien av frimerkesamlinga kvart år, og kor mange prosent minkar verdien av fritidsbåten kvart år?
▲ 1.7
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 321
321
s
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.240
Oppgåve 1.243
Likninga
Løys likningane. Vis utrekning. a) ն չx ؍յ յx b) յ OQ x յ ln x
k ex 1
1 4
har løysinga x OQ շ Bestem konstanten k. Oppgåve 1.241
(LW EDUQ EOLU ODJW LQQ S§ VMXNHKXV ոbWLPDU etter at det har ete ein blomster som inneheld eit giftstoff. Da blir konsentrasjonen av giftstoffet i blodet målt til § YHUH նյջ PJ SHU OLWHU ؍յ WLPDU VHLQDUH HU NRQVHQWUDVMRQHQ QHGH L ؍շջ PJ SHU OLWHU Finn ut kor mykje giftstoff barnet fekk i VHJ YLVV YL DQWDU DW EDUQHW KDU յ ո / EORG i kroppen, og at all gifta vart tatt opp i blodet med det same og deretter minka eksponentielt. Oppgåve 1.242
På ein matematikkprøve hadde ein elev løyst likninga
ln x
2
ln x 12
på denne måten:
ln x
2
ln x 12 2 ln x ln x 12 3 ln x 12 12 ln x 4 3 e ln x e 4 x e4 Eleven sette prøve på svaret og fekk: յ
VS: ln eշ ln eշ յ շ շ ؍յ +6 ؍յ Vurder løysinga.
s
Oppgåve 1.244
Løys likningane ved rekning. a) eյx չ նeյx b) eյx ex ؍յ մ c) յո ؍մx ո ؍մմx Oppgåve 1.245
, NMHPL P§OHU YL VXUOHLNHQ L HL Y¨VNH PHG S+ +DQ HU GHILQHUW VOLN S+ lg
n V
der n HU DQWDO PRO ++-ion, og V er n volumet av væska i liter. Forholdet V NDOODU YL NRQVHQWUDVMRQHQ DY ++-ion. 9L KDU WR Y¨VNHU , Y¨VNH $ HU GHW ؍մ͟շbPRO ++ LRQ SHU OLWHU , Y¨VNH % HU GHW ؍մ͟չ PRO ++-ion per liter. a) .YD HU S+ HQ L GHL WR Y¨VNHQH" b) 9L EODQGDU ؍/ DY Y¨VNH $ PHG ؍/ DY væske B. .YLIRU EOLU LNNMH S+ HQ L EODQGLQJD JMHQQRPVQLWWHW DY S+ HQ L GHL WR væskene? )LQQ S+ HQ L EODQGLQJD når vi reknar med at det ikkje skjer nokon kjemiske reaksjonar som gjer at WRWDOW DQWDO ++-ion blir endra. c) 9LVV YL KDU ؍/ DY Y¨VNH $ NRU P\NMH må vi tilsette av væske B for at blandingD VNDO I§ S+ OLN ո" d) 9L EODQGDU ؍/ DY HL Y¨VNH PHG S+ en pH ؍PHG ؍/ DY HL Y¨VNH PHG S+ en pHյ 9L NDOODU S+ HQ L EODQGLQJD for pH. Vis at
10 pH1 10 pH2 2
؍մ–pH
▲ 1.9
322
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 322
06/08/21 10:00 AM
OPNE OPPGÅVER Oppgåve 1.300
,GD VHW HLQ VXP SHQJDU L EDQNHQ RJ I§U շb UHQWH SHU §U +R YLO ILQQH XW NRU ODQJ WLG GHW WDU IºU SHQJHVXPPHQ HU IRUGREOD +R UHNQDU GD PHG DW UHQWHIRWHQ HU GHQ VDPH RJ DW KR OªW SHQJDQH VW§ XUºUW lg 2 på lommereknaren. Svaret blir at ,GD ILQQ VYDUHW YHG § UHNQH XW lg 1,04
SHQJHVXPPHQ HU IRUGREOD HWWHU FD ؍պ §U RJ ջbP§QDGHU a) Vis at både framgangsmåten og svaret er rett. 0DUWH VHU S§ XWUHNQLQJDQH WLO ,GD RJ VHLHU DW GHW HU P\NMH HQNODUH § ILQQH 72 IRUGREOLQJVWLGD YHG § GLYLGHUH պյ PHG UHQWHIRWHQ VOLN DW ؍ջ Det blir 4 ikkje heilt nøyaktig, men greitt nok til eit overslag, meiner Marte. ,GD MREEDU HL VWXQG WLO RJ EOLU VWDGLJ PHLU RYHUUDVND RYHU DW EHJJH hurtigmetodane fungerer så godt, blant anna teiknar ho grafar som IUDPVWLOOHU GHL WR XOLNH PHWRGDQH +R XQGUDU VHJ RP GHVVH KXUWLJPHWRGDQH alltid fungerer så godt. b) Samanlikn og vurder reknereglane som blir foreslått med nøyaktig utrekning. Bruk hensiktsmessige hjelpemiddel. Oppgåve 1.301
a) Kva er størst av eƚ S og Se e? b) Talet e er summen 1 1 1 1 1 ... 0 ! 1! 2 ! 3! 4 ! når antalet ledd går mot uendeleg.
շ շ y ն y յ y ؍RJ մ ؍
Kor mange ledd må vi ta med for at skrivemåten ovanfor skal gi ein meir nøyaktig verdi for e enn tilnærmingsverdien 8
S9 ? 10
Oppgåve 1.302
Funksjonen A gitt ved A(t) շշմմ մ ռպպ t YLVHU DNWLYLWHWHQ L EHFTXHUHO WLO HLW UDGLRDNWLYW VWRII t timar etter at vi begynte å måle. Lag tre forskjellige spørsmål med utgangspunkt i funksjonsuttrykket. 'XbVNDO RJV§ ODJH Oº\VLQJ S§ NYDUW DY VSºUVP§OD
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 323
323
s
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.303
Truls har laga ein metode for å finne ei tilnærming til den briggske ORJDULWPHQ DY HLW WDO +DQ IRUNODUHU PHWRGHQ VOLN «Når eg skal finne logaritmen av talet X, begynner eg med å finne ut kor mange gonger eg må dele X PHG ؍մ IRU § I§ HLW WDO VRP OLJJ PHOORP ؍RJ ؍մ 9LVV DQWDOHW JRQJHU HJ GHOWH S§ ؍մ YDU N, veit eg at lgബX er større enn N og mindre enn N } ؍ 7UXOV YLVHU DOJRULWPHQ YHG § ILQQH OJbնշbյմմ VOLN նշbյմմ : ؍մ նշյմ նշյմ : ؍մ նշյ նշյ : ؍մ նշ յ նշ յ : ؍մ ն շյ
؍JRQJ
յ JRQJ
ն JRQJ
շ JRQJ
«No veit eg at lgരX HU VWºUUH HQQ շ RJ PLQGUH HQQ ո (J YHLW DW KDQ LNNMH HU OLN ո IRU GD YLOOH HJ I§WW ؍VRP VYDU GHQ IHPWH JRQJHQ HJ GHOWH S§ ؍մ } a) 6HWW DOJRULWPHQ WLO 7UXOV S§ SUºYH Fungerer han for å bestemme ein tilnærma verdi for logaritmen av alle tal? b) 7UXOV OLNHU § SURJUDPPHUH +DQ ODJDU GHWWH SURJUDPPHW 1 2 3
svar = input("Talet:") X = float(svar) N = 0
4 5 6 7
while X > 10: N += 1 X = X/10
8 9 10 11 12
for i in range(1, 1001): if 10**(i/1000) >= X: log = i/1000 + N break
13 14
print(round(log-0.001, 3), "< log(", svar, ") =<", round(log, 3))
15
Forklar korleis programmet reknar ut lgരX med to desimalar når X ! մ
s
324
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 324
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.304
Vi tar eit egg ut frå kjøleskapet og legg det i kokande vatn. Dersom massen til egget er M målt i gram og temperaturen i eggeplomma er T målt i FHOVLXVJUDGDU HU NRNHWLGD t i sekund gitt ved 2
100 T t 16 M 3 ln 192 Koketider på egg: %ODXWNRNW HJJ ն͟չ PLQXWW 6PLODQGH HJJ չ͟ջ PLQXWW +DUGNRNWH HJJ ջ͟؍մ PLQXWW (LW HJJ HU EODXWNRNW Q§U WHPSHUDWXUHQ L SORPPD HU շո qC. Viss du har bruk for å vite kor mykje eit egg veg, kan du i denne oppgåva gå XW IU§ DW GHW YHJ PHOORP ոմ RJ պո J Lag tre forskjellige spørsmål med utgangspunkt i opplysningar ovanfor. 'XbVNDO RJV§ ODJH Oº\VLQJ S§ NYDUW DY VSºUVP§OD Oppgåve 1.305
Alle naturlege tal kan vi skrive som eit produkt av primtal (tal som berre HU GHOHOHJH PHG VHJ VMºOY RJ ؍S§ HLQ HLQW\GLJ P§WH )RU HNVHPSHO HU շյ յ ն պ ջջ յն ؍؍og ؍պո ոյ պ Ein funksjon p er definert ved at p(n) HNVSRQHQWHQ WLO յ Q§U n er skriven på faktorisert form der n er dei naturlege tala. For eksempel er p շյ ؍p ջջ ն RJ p ؍պո մ Når vi reknar med logaritmar, har vi rekneregelen ln(ab) ln a ln b a) Forklar at for funksjonen p gjeld ein tilsvarande regel: p(ab) p(a) p(b) Vi har også to andre rekneregler for logaritmar: a ln ln a ln b og ln am m ln a b b) Undersøk om dei tilsvarande reknereglane a p p(a) p(b) b
og
p(am) m p(a) gjeld for funksjonen p når a, b og m er naturlege tal.
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 325
325
s
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.306
Talet e kan vi skrive som den uendelege summen
1 1 1 1 1 ... 0! 1! 2! 3! 4 !
+HU EOLU n EUXNW RP IDNXOWHWVIXQNVMRQHQ Q§U n er eit heilt tal som er større HOOHU OLN մ +DQ HU GHILQHUW YHG n n n ؍n յ ... ն յ ؍ )RU HNVHPSHO HU շ շ ն յ ؍յշ RJ YL VHLHU DW մ ؍RJ DW ؍ ؍ Programmet nedanfor kan vi bruke til å finne ein tilnærmingsverdi for e ved å ta med dei første ledda i summen ovanfor. 1
from math import exp # Hentar funksjonen exp(x) = e^x frå math
2 3 4
svar = input("Antal ledd: ") antal_ledd = int(svar) # Antal ledd
5 6 7
ledd = 1 sum = 0
8 9 10 11 12 13
def fakultet(n): # Fakultetsfunksjonen produkt = 1 for i in range(1, n + 1): produkt = i*produkt return produkt
14 15 16 17
for i in range(antal_ledd): sum = sum + 1/fakultet(i) print("Tilnærming med", i + 1, "ledd", sum)
18 19
print("Med 15 desimalar:", exp(1)) # Talet e = exp(1)
20
a) Kor mange ledd må vi ta med for å få ein tilnærmingsverdi for e med åtte rette desimalar? Vi kan også skrive e som tre andre uendelege summar: 1 1 2 3 4 5 e ... 2 0 ! 1! 2 ! 3! 4 ! 02 12 22 32 42 ... 0 ! 1! 2 ! 3! 4 ! 12 32 52 72 92 e ... 0! 2! 4 ! 6! 8! e
b) Undersøk dei tre uendelege summane, og drøft kva for ein eller kva for nokre av dei fire summane som er best til raskt å finne ei god tilnærming for e.
s
326
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 326
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.307
, XWIRUVN S§ VLGH նյ V§J YL S§ ORJDULWPDU PHG JUXQQWDO յ )RU HNVHPSHO HU logյ ջ ն IRUGL յն ջ 9L NDQ RJV§ EUXNH ORJDULWPDU PHG DQGUH JUXQQWDO HQQbյ 3§ ILJXUHQ QHGDQIRU HU JUDIHQ WLO ORJDULWPHIXQNVMRQHQ PHG JUXQQWDO յ 1 og logaritmefunksjonen med grunntal teikna i same koordinatsystem. 2
a) Bruk grafen til å finne log 1 4, og vis ved rekning kvifor svaret er rett. 2
y 3
f(x) = log2(x)
2,5 2 1,5 1 0,5 –1
x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1,5 5 5,5 6
–0,5 –1 –1,5 –2 –2,5
g(x) = log 1 (x)
–3
2
b) Bestem også log 1 8 og log 1 0,125. 2
2
c) Finn ein samanheng mellom logരյരa og log 1 a. 2
d) På figuren nedanfor er grafen til logaritmen med grunntal b teikna. Bestem grunntalet b, og finn ein samanheng mellom log 2 a og log b a. y 3 2,5
f(x) = log2(x)
2 1,5 1 0,5 –1
–0,5
x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1,5 5 5,5 6
–1 –1,5 –2
h(x) = logb(x)
–2,5 –3
e) For kva for nokre reelle tal b gir det meining å snakke om logaritmen med grunntal b? 1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 327
327
s
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.308
Det aritmetiske gjennomsnittet A av to tal u og v er gitt ved u v 2
A
Det geometriske gjennomsnittet G av to positive tal u og v er gitt ved G u v Utforsk samanhengen mellom logaritmen til det geometriske gjennomsnittet av to positive tal u og v og det aritmetiske gjennomsnittet av ln u og ln v. Oppgåve 1.309
(LQ WHPSHUHUW NURPDWLVN VNDOD KDU ؍յ WRQDU LQ VOLN VNDOD EHJ\QQHU PHG tonen C' ؍HQQH WRQHQ KDU HLQ IUHNYHQV S§ յչմ պ +] 'HQ QHVWH VNDODHQ EHJ\QQHU ؍յ WRQDU KºJDUH PHG WRQHQ &յ, som har dobbelt så høg frekvens som C؍. Forholdet mellom frekvensen til to påfølgande tonar i ein temperert kromatisk skala er konstant. /DJ HLW SURJUDP VRP VNULY XW IUHNYHQVHQ WLO GHL ؍յ WRQDQH L VNDODHQ VRP begynner med tonen C؍.
s
328
C1
C2
f 1 = 260,7 Hz
f2 = 2 · f1
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 328
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.310
9L WHLNQDU HLQ ILJXU YHG § EHJ\QQH PHG WR NYDGUDW PHG VLGHOHQJGH ؍YHG VLGD av kvarandre. Deretter utvidar vi figuren med fleire kvadrat, som vist på figuren nedanfor.
3 5 1 1
2
13
8
a) Forklar regelen for korleis figuren blir teikna, og utvid han med fire kvadrat. b) Utforsk kva samanheng det er mellom sidelengda av eit kvadrat og sidelengdene i dei føregåande kvadrata. c) Leonardo har laga eit program for å rekne ut sidelengdene i dei neste kvadrata. Forklar korleis programmet fungerer, og kommenter programkoden. 1 2
k_nest førre = 1 k_førre = 1
3 4 5
print(1, k_nest førre) print(2, k_førre)
6 7 8 9 10 11
for n in range(20): k_neste = k_førre + k_nest førre print(n + 3, k_neste) k_nest førre = k_førre k_førre = k_neste
12
d) Utforsk forholdet mellom sidelengdene i to påfølgande kvadrat.
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 329
329
s
06/08/21 10:00 AM
Oppgåve 1.311
.MHPLNDUHQ :LOEXU 6FRYLOOH XWYLNOD L ؍ռ؍յ VFRYLOOHVNDODHQ +DQ EOLU EUXNW WLO § EHVNULYH VW\UNHQ S§ XOLNH SHSDUIUXNWHU IRU HNVHPSHO FKLOL $QWDOHW VFRYLOOHJUDGDU EOLU EHVWHPW DY NRU PDQJH JRQJHU HLW HNVWUDNW DY IUXNWD P§ fortynnast før det ikkje lenger er mogleg å kjenne smaken av verkestoffet FDSVDLFLQ , WDEHOOHQ QHGDQIRU VHU GX DQWDOHW VFRYLOOHJUDGDU IRU HLQ GHO XOLNH W\SDU FKLOLSHSDU Scovillegradar 15 000 000 – 16 000 000 9 1 00 000 2 000 000 – 5 300 000 1 500 000 – 2 000 000 855 000 – 1 04 1 427 577 000 350 000 – 350 000 1 00 000 – 200 000 100 000 – 100 000 50 000 – 50 000 30 000 – 23 000 10 000 – 8 000 7 000 – 1 0 000 5 000 – 8 000 2 500 – 5 000 2 500 – 2 500 1 500 – 1 500 1 000 – 800 600 – 1 000 500 – 500 100 – 0
Type av chili Rein capsaicin Nordihydrocapsaicin Vanleg peparspray Carolina reaper Naga Jolokia Red Savina Habanero Habanero Rocotopepar Thaipepar, MaIagueta, Chiltepin Kajenne, Cayennepepar, Tabasco (chilifrukt) Aji, Serrano (chilifrukt) Tabascosaus (habanero) Hungarian Wax Pepar Jalapeño Chipotle, Tabascosaus (vanleg) Rocotillo Poblano, Texas Pete Tabascosaus (grønn) Anaheim Allehånde, Pimento, Feferoni Ingen styrke, Paprika Kjelde: wikipedia
(L XOHPSH PHG VFRYLOOHVNDODHQ HU DW DQWDOHW VFRYLOOHJUDGDU HU VY¨UW VWRUH WDO /DJ HLQ Q\ VNDOD IRU § EHVNULYH VW\UNHQ DY SHSDUIUXNWHU 5HLQ FDSVDLFLQ VNDO VYDUH WLO HLQ VW\UNH S§ ؍մմ /DJ RJV§ HLW SURJUDP GHU EUXNDUHQ RSSJLU VW\UNHQ L VFRYLOOHJUDGDU RJ I§U oppgitt styrken i den nye skalaen.
s
330
1 | POTENSAR OG LOGARITMAR
11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 330
06/08/21 10:00 AM
FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) c) e)
1.12 a) x 3 b) x 3 x 3 x 2 c) Inga løysing d) x 1 e) x 2 y 1 b) e)
1.14 a) x ^5` c) x ^ 2, 1` d) x ^ 2, 0, 2`
c) f) b) x ^0, 3`
1.16 a) d)
b) e)
c) f)
1.20 a) 1
b) 1
c)
1 81
e)
1 2
1 1000
1.21 a) 3 d) 2
b) 2 e) 4
c) 10
1.22 a) 8
b) 9
c)
e) 125
f) 27
d)
1 8
d) a2
e) 1
1 1000
1.36 a) 2 lg x b) lg 2 lg x c) 3 lg x 3 lg y d) 0
c) 1
1.24 a) 36,78 gigatonn b) 48,89 gigatonn c) 39,95 gigatonn d) etter år 2075
1.40 a) x
lg 13 lg 7
b) x 3 1 lg 3
1.25 a) Verdien av aksjane til Mari er omtrent 5 % lågare etter b§U b) Verdien av aksjane til Mari er RPWUHQW XHQGUD HWWHU §U c) Verdien av aksjane til Mari har auka med omtrent 1 % HWWHU §U
c) x
1.30 a) 4 d) –3
1.42 lg 7 lg 3 a) x 0, 26
b) 5 e) –6
1.31 a) 1
b)
c)
d)
2 9 2
1.32 a) 0,699 c) 1,398 e) 1,477 g) 1,699 i) 0,079
1.15 a) Df \^3` b) Df \^ 3, 3` c) Df \^ 2, 4`
d)
b) 3
2
b) d)
1.11 a) PLOOLRQDU QRUVNH NYLQQHU b) Omtrent 3,75 milliardar kvinner og norske menn i YHUGD c) 0 svenske trøndarar d) 10,5 millionar svenskar og WUºQGDUDU
1.13 a) d)
1.23 a) 1
b) d) f) h) j)
3 2 4 3
0,788 1,556 0,301 –0,699 –0,079
1.33 lg 5 | 0,699, lg 20 | 1,301, lg 200 | 2,301 og lg 20 107 | 7,301
1.41 lg 4 a) x 1, 26 lg 3
b) x
lg 5 lg 3
0, 74
lg 2
c) x 3
2 lg 5
b) x
lg 12 lg 8
c) x
lg 6 lg 4
1,19
1, 29
d) x 2 x 2 1.43 a) x
lg 5 lg 3 lg 2
3, 97
b) x 4 c) x
lg 5 lg 4 lg 3 lg 2
0, 55
1.50 a) B(x) 10 000 1,02x b) etter 9,21 år c) etter 35 år 1.51 a) Folketalet aukar med 1,8 % SHU §U b) i løpet av 1987 c) i løpet av 2014
1.34 a) 2 lg 5 b) 3 lg 5 c) lg 5 1 d) lg 5 3 e) 1 lg 5 f) lg 5 1.35 a) 5 lg 2 c) 5 lgx e) 2
c) 8 f) –9
d) x lg 17
1.52 +DQQH VNLѕDU ELO HWWHU RPWUHQW §U b) 2 d) 3 f) 4
435 20_Sinus R1-2021_Fasit_teori.indd 435
06/08/21 11:20 AM
1.53 a) 35 år b) 23 år c) )RUPHOHQ SDVVDU EUD d) Formelen passar ikkje så godt for høge verdiar av prosenten p
1.74 a) x lg a
1.60 a) x 10 b) x 1000 c) x 1000
1.80 a) x ln 3
1.61 a) x 5 b) x 2
b) x c) x
1.70 a) 3 b) –2 c) 2 3
d) 5 e) –2
f) x
ln 5 ln 2 e5 e 2
1.72 a) ln a b) 3 ln a c) ln x d) ln 2 1.73 a) x ln a lg a lg e
lg a lg e
ln 2 3 ln 5
OPPGÅVE 3 y OPPGÅVE 4 Uttrykk 1 OPPGÅVE 5 lg x 5 lg y OPPGÅVE 6 b) x 100 OPPGÅVE 8 a) x 4 b) x 100
1.81 a) x 0 x ln3 b) x ln3 x ln4 c) x ln2 x ln3
OPPGÅVE 9 a) x 1 b) x 1, x 4
1.82 a) 5,84 millionar b) i løpet av 2023 c) i løpet av 2102
OPPGÅVE 10 a) x e b) x e2 c) x e 1, x e2
1.90 a) x e3 b) x e c) x 13
OPPGÅVE 11 a) x 88 b) x 3 c) x 149 d) x e 3, x e4 e) x 3
d) x
b) ln a
ln28 3 ln2 2 ln 5 ln 2
e) x 4
1.63 a) x 100 b) x 100 x 1000 c) x 0,01 x 1 x 100
x
ln a ln 10
b) lg a
d) x
1.62 a) x 100 b) x 10 c) x 100
1.71 a) x b) x c) x d) x
ln a ln 10
x
OPPGÅVE 2 a) 14 % b) b bNU c) 7,3 år
1.91 a) x b) x c) x d) x
3 2
e2 e2 x e4 1 1 x e2 x e3
1.92 a) x e2 b) x e c) x e 2 x e2 d) x 1 e) Inga løysing REPETISJONSOPPGÅVER 1 OPPGÅVE 1 a) 5HWW b) )HLO
OPPGÅVE 12 x
ln 3 ln 4 ln 3
0, 26
OPPGÅVE 13 a) Etter 3 timar (182 min) b) Etter 1 time og 41 min bPLQ
OPPGÅVE 14 a) 26,6 dagar b) 8 dagar c) 42,1 % OPPGÅVE 15 t (timar)
0
10
40
60
90
y EHFTXHUHO 4400 3500 1700 1100 540 ln y
8,39 8,16 7,44 7,00 6,29
e) 30 timar
436 20_Sinus R1-2021_Fasit_teori.indd 436
06/08/21 11:20 AM
FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) d)
b) e)
c)
1.127 a) b NU b) b NU c) 40 md. (3 år og 4 md.)
1.111 a) 215 elevar b) 475 elevar c) 25 elevar d) 485 elevar
1.128 15 %
1.112 a) b)
1.130 a) 3 c) 2 e) 0
1.113 a) x r4 x 2 b) x 4 c) x r5 x 6 d) Inga løysing e) x 2 y 1
1.131 a) 1 3
1.132 a) 2
1.114 1 a) L , 3
/ 0 2
b)
c)
1.116 a) \ ^0` b) \ ^ b ` c) \ ^ b ` 1.120 a) 18 1.121 a) 8 c) 1 1.122 10
a) 3a
b) 5 d) 6 f) Inga løysing b) 3
b)
1 2
b) 11 1 d)
1.136 a) 2 lg x b) 10 lg x 2 lg y
1.123 8a3 b20 1.125 Uttrykk 1
c)
2 5
c) a b) d) f) h) j)
1.134 a) 2 lg a b) lg a 4 lg b
b) 19
2b3 b) a
b) x =
1 lg5
lg2 lg1,03
d) x =
lg0,8 lg0,95
lg 5 lg 3
b) x
lg 3 lg 2
lg 3 lg 5 lg 7
d) x
lg 6 2 lg 3
lg2
c) x 1.141 a) x c) x
1 2
b) x 0,42 c) x 0,37 d) x
1 3
e) x 0,57
1.135 a) 3 lg 3 3 lg x b) lg x 4 lg 2 c) lg (10x) d) lg x
2
1.140 lg5 a) x =
1.142 a) x
1.133 a) 1,556 c) 2,158 e) 0,602 g) 1,477 i) 0,477
b) L ^4` c) L ^ 2, 0,2` d) L ^ 2` 1.115 a)
1.126 a) 18 000 1,028 1,032 b) Dei har like mykje.
1.137 4 1.138 a) a 69 b) 10 m c) L1 L2 20 lg 2
0,954 0,602 0,079 2,079 1,079
1.143 a) x
lg 2 lg 8 lg 3
lg 2 3 lg 2 lg 3
lg 2
lg 2
lg 2
b) x lg 3 lg 4 lg 3 2 lg 2 2 lg 2 lg 3 1.144 a) x 1,71 b) x 1 c) x 6 1.145 b) 1) 8,0 kg
2) 2845 kg
1.146 x
lg 5 lg 7 lg 2
1.147 a) x 1 eller x 2 b) x
lg 3 lg 5
c) x 1 eller x
lg 3 lg 2
1.150 a) Etter 3 år b) Etter 8 år c) Etter dryge 6 år 1.151 a) 540 kg b) Etter ca. 12 månader
446 21_Sinus_R1-2021_Fasit_oppgaver.indd 446
06/08/21 2:38 PM
1.152 a) 85 qC c) Etter 19 minutt
b) 68 qC d) 19 qC
1.153 a) 7 qC b) Etter dryge 30 minutt c) ca. 30 qC 1.154 a) 120 mg b) 103 mg c) 3 % d) 9,4 timar 1.155 a) Starttemperaturen er bqC, da er A 242,6. b) Etter 6,2 timar, dvs. litt etter kl. 21. d) 224,8 qC 1.156 a) 10 000 kr b) 42,6 % d) 10 000 1,03x e) Etter ca. 3 år og 1 md. 1.157 a) 8000 1,013 0,982 1,032, FD b bSHUVRQDU b) 8000 1,02 6 FD bSHUVRQDU 1.158 a) 1013 millibar b) 11,3 % c) 706,9 millibar d) 7,7 km 1.159 ca. 20 m 1.160 a) x b) x c) x d) x
10 0,01 100 998
1.161 a) x b) x c) x d) x
7 5 2 103
1.162 a) x b) x c) x d) x e) x
10 10 x 10 10 1000 0,01
1.163 a) x b) x c) x d) x
1 x 5 3 x 2 1 x 2 1 x 1
1.164 a) x 106 b) x 103 eller x 10 2 1.165 a) x = b HOOHU x = 0,001 b) x = 1 eller x 10 c) x = 2 d) x 1 1.166 a) x b) x c) x d) x e) x
100 x 10 4 0,0001 10 1 100 1 x 10
1.167 a) 110 dB
b) 316 m
1.168 a) Etter 8 månader b) 600 kr 1.169 a) 17,7 år b) 12 167 kr c) 10 000 kr d) 4,0 %
1.173 a) 3 3 lg b b) 5a ln 2 1.174 a) 6 b) 4 c)
2 3
d) 1 1.180 Nei, men svaret kan skrivast som x ln 5. 1.181 a) x ln 3 ln 6 ln 2 ln 6 ln 5
b) x c) x
d) x (2 ln 3 1.182 a) x b) x c) x d) x
0 eller x ln 3 0 ln 2 eller x ln 5 ln 2 eller x ln 3
1.183 a) x b) x
ln 3 ln 0,6 ln 2 ln 2 ln 5
c) x 0 d) x ln 4 e) x ln 6 eller x ln 8
1.170 b) Grafen vil nærme seg x-aksen meir og meir. c) Grafen vil nærme seg x-aksen meir og meir. d) x 1,0 eller x 1,0 e) x ( ln3 1.171 a) 7 ln x c) 6 ln 2
1.172 a) 0 b) 3 ln y 2 ln x c) 2 ln y
b) 5 ln x
1.184 a) 786 m/s b) 250 m c) 989 J d) z 1521 e 0,00430x 1.185 a) 90 qC c) Etter 4 timar d) Etter 1,3 timar
447 21_Sinus_R1-2021_Fasit_oppgaver.indd 447
07/08/21 9:41 AM
1.186 a) 90 qC c) 62,5 qC d) 8 h 28 min e) 5 qC, 22 qC 1.187 a) 37 qC c) 34,5 qC d) 32 min e) 23,4 qC 1.188 a) k 0,029 c) 24 m 1.189 a) 50 elevar b) 19. november d) 200 1.190 a) x = 2 b) x = 1 c) x
1.191 a) x 4 b) x e2, x e3 c) x r3 1.192 a) x 1, x 8 b) x e2 1.193 a) x 72 b) x 2 1.194 a) x e, x e 2 b) x e , x e3 c) x 1 d) x 1, x e2 1.195 a) 322 einingar b) 32 veker c) x e
1.198 a) 31 cm b) k 0,08 c) 2,5 % 1.200 1.201 a) 313 elevar b) 10 elevar c) 337 elevar d) 640 elevar 1.202 Alternativ 3
1 2
y 100
1.197 a) 20 qC b) 843 qC c) 5 min 51 s 1 T 20 d) t e 150 1 8 e) Etter 17 min
1
1.196 a) x 1, x e 1 b) x eller x e 2 e
1.212 Forenklinga stemmer. 1.213 a) 1 lg 5 b) 2 lg 2 1.214 x 2 1.215 79 år 1.216 x 6 1.217 f (x) 34,2 1,106x 1.218 f (x) 23,4 0,881x 1.219 1 x
10
1.203 1
1.220 15,0 mg
1.204 Alternativ 1
1.221 x lg 5
1.205 Alternativ 2
1.222 x 0
1.206 Eksempel: OJ b lg 0,0001 4 4 0
1.224 a) x 10, x 10
1.207 Påstand 1
1.225 a) x 50 b) x 100
1.208 Påstand 4 1.209 Alternativ 3 1.210 a) 5 lg x b) lg 2 3 lg y 1.211 a) 3 lg a lg b b) 5 lg b
b) x
1 , 10
x 10
1.226 a) x 10 3, x 104 b) x 1012 c) x 2 1.227 a) x 10 1 b) x
100
1.228 c) x 3 Begge elevane har rett svar, men har løyst oppgåva feil.
448 21_Sinus_R1-2021_Fasit_oppgaver.indd 448
07/08/21 9:42 AM
1.230 1.231 0 1.232 a) 1 lg a
b)
9 2
1.301 a) eS S | 19,999 og Se e | 19,741 b) Vi må ta med ni ledd. e | 2,718282 19 8 2,718276 og 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ! 1! 2! 3! 4 ! 5! 6! 7 ! 8!
1.233 'HW ڀQVW Oº\VLQJDU 1.237 a) 5 år
b) 4,1 %
1.238 a) y 10 e 0,0289x b) 36,3 timar c) 2,8 % 1.239 a) Etter 5 år b) Verdien på frimerkesamlinga stig 8,3 % kvart år. Verdien på fritidsbåten minkar 7,7 % kvart år 1.240 5 k 16
1.241 bPJ = 1,1 g 1.242 x e 4, x e3 1.243 a) x
ln 4 ln 3
b) x 4 1.244 a) x
ln3 2
b) x ln 4 c) x lg 5 1.245 a) Væske A: pH = 4, væske B: pH = 6 b) pH = 4,3 c) 10 liter
| 2,718279
2 2.110 a) 4
b) 5
2.111 a) 10 c) 0
b) 15 d) 1
2.112 a) 1
b)
c) 12
d) 5
2.113 a) 0 c) 5
5 3
b) 0 d) 1
2.120 1) 2 2) 2 3) Kontinuerleg for x 1 2.121 a) 1) 2) 3) b) 1) 2) 3) c) 1) 2)
2 4 Ikkje kontinuerleg for x 1 2 2 Kontinuerleg for x 1 2 Grenseverdien eksisterer ikkje. 3) Ikkje kontinuerleg for x 1
2.125 b) For 20 g, 50 g, 100 g, 350 g, bNJ RJ NJ 2.126 a) bNU
c) Nei
2.127 1 a) Alle unntatt x k for 2 heltallige k b) Alle unntatt x 3k for heiltalige k c) Alle unntatt heiltalige x d) Alle unntatt heiltalige x 2.130 a) Ikkje kontinuerleg b) Kontinuerleg c) Kontinuerleg 2.131 a) Kontinuerleg b) Ikkje kontinuerleg 2.132 a) a 5 b) a 2 eller a 4 2.133 a 2 2.134 3 a og b 104
1 6
2.135
x 2 9, x # 3 ! a) f (x ) 9 x 2 , 3 # x # 3 ! x 2 9, x 3 " c) Funksjonen er kontinuerleg for x 3 og for x 3. 2.136 c) lim f (x ) 1 og lim f (x ) 1 x 5
x 5
2.122 b) x 2, x 2
2.140 a) 2
b) 1
2.123 c 6
c)
d)
2.124 1 b , c 3
1 4
3 2
2.141 b) 2
2
449 _Sinus R1-2021_BOOK.indb 449
06/08/21 1:20 PM