Issuu

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

FORKURS

M ATEMAT IKK GRUNNBOK

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 1

25.05.2017 12:53:32

Kapittelstart: Fotografier:

Fotografier:

Kapittel 1: Image 100 / NTB scanpix. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 2: Andrew Douglas / Masterfile / NTB scanpix. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 3: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 4: Colourbox.com Kapittel 5: Jørn Areklett Omre / NTB scanpix / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 6: Jørn Areklett Omre / NTB scanpix / Samfoto Kapittel 7: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 8: George B. Diebold / Corbis / NTB scanpix. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 9: Pixtal / NTB scanpix. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 10: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 11: Bjørn Rørslett / NTB scanpix / Samfoto Kapittel 12: David Trood / NTB scanpix / Samfoto Kapittel 13: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 14: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 15: Colourbox.com Kapittel 16: Jens Sølvberg / NTB scanpix / Samfoto Kapittel 17: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 18: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 19: Bjørn Rørslett / NTB scanpix / NN / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Getty Images / Arnulf Husmo s. 446 John Petter Reinertsen / NTB scanpix / Samfoto s. 698 Norsk Tipping s. 735

© Cappelen Damm AS, Oslo 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Kristine Steen Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Forlagsredaktører: Terje Idland og Grete Maus Sats: HAVE A BOOK, Polen 2016 Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2018 Utgave nr. 3 Opplag nr. 3 ISBN 978-82-02-50905-7 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 2

17.01.2018 11:07:15

Forord

Sinus Forkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for treårig ingeniørutdanning og integrert masterstudium i teknologiske fag og tilhørende halvårig realfagskurs utviklet etter de reviderte planene fra desember 2014. Om grunnboka Sinus Forkurs Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. Grunnboka Sinus Forkurs inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra fysikk og andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder samtidig med at de lærer å bruke de grafiske lommeregnerne fra Casio og Texas. For Casio passer oppskriftene stort sett for alle lommeregnerne i seriene 9750, 9850 og 9860. For Texas passer stoffet for lommeregneren TI-84. Kapitlene er ordnet slik at det vanskeligste stoffet ofte kommer til slutt. Stort sett alle delkapitlene er også ordnet på den måten. Studenter som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av boka. Oppgavestoffet er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel er det et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Helt til slutt i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av. I grunnboka er det brukt en del symboler i margen. Symbolet viser til viktige regler. Symbolet ! viser til nyttige tips. Lommeregnerstoffet begynner med symbolet ON og avslutter med OFF . Oppgavestoffet er markert med symbolet ? . Sammensatte bevis er markert med symbolet .



00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 3

25.05.2017 12:53:32

Om oppgavesamlingen coSinus Forkurs Oppgavesamlingen coSinus Forkurs inneholder både enkle repetisjons oppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel og inneholder spesielt mange oppgaver fra faget fysikk. Oppgavestoffet er delt i to deler. Oppgavene i del 1 er ordnet etter delkapitler som i grunnboka. Del 2 inneholder blandede oppgaver. Disse er ikke ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egenhånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. Del 2 inneholder også tidligere eksamensoppgaver i faget. Nettstedet Sinus Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i teoriboka. På nettstedet legger vi beskjed om eventuelle feil i fasit eller i andre deler av boka. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

Sinus Forkurs

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 4

25.05.2017 12:53:32

Innhold 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Tall og variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Tall og tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Brøkregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Bokstavregning og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Flere potensregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Potenser med en brøk som eksponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kvadratsetningene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Forkorting av rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Fullstendige kvadrater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Andregradslikninger med to ledd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Andregradsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Faktorisering av andregradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Likningssett og ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Lineære likningssett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tallinjer, intervall og doble ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Andregradsulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Rasjonale ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 5

25.05.2017 12:53:32

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

Rette linjer og grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Graftegning på lommeregner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Grafisk avlesing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Grafisk løsning av lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Å finne likningen for ei linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Funksjonsbegrepet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Andregradsfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Polynomer og rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Resten ved en polynomdivisjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Faktorisering av polynomer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Forkorting av rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Doble andregradsulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Likninger og ulikheter av tredje grad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Irrasjonale likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Grenseverdier og derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Grenseverdier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Kontinuerlige funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Vertikale asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Horisontale asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Skrå asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Tangenter og normaler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Fart og akselerasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Krumning og vendepunkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Optimering i geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Sammensatte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Omvendte funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Derivasjon av et produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Derivasjon av en kvotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Sinus Forkurs

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 6

25.05.2017 12:53:32

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

Logaritmer og eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Logaritmelikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Tallet e og den naturlige logaritmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Bruk av den naturlige logaritmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Logaritmefunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Drøfting av logaritmefunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Drøfting av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Trigonometri og geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Pytagorassetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Sinus og cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Å finne vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Tangens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Prismer og sylindere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Pyramider, kjegler og kuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Arealsetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Sinussetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Cosinussetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Vinkelmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Sinus og cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Sinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Cosinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Tangens og tangenslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Eksakte trigonometriske verdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Eksakte løsninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Flere typer trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Enhetsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Sum og differanse av vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 Doble vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Sinusfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Amplitude, periode, fase og likevektslinje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Cosinusfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Tangensfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 Trigonometriske ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 Derivasjon av de trigonometriske funksjonene. . . . . . . . . . . . . . . . . 453 Drøfting av trigonometriske funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 7

25.05.2017 12:53:32

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 14

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 15

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9

Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Vektor og skalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Sum og differanse av vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Vektorer på koordinatform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Regning med vektorkoordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Vektoren mellom to punkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Lengde og avstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Parallelle vektorer i koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Parallelle vektorer uten koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

Parameterframstillinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Skalarproduktet i koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 Bruk av skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 Regneregler for skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Mer om lengder og vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 Determinanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 Romkoordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 Vektorer i rommet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Vektorkoordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Lengden av en vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Vektorproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 Trevektorproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Likningen for et plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 Rette linjer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Parameterframstilling for et plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Integralregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

Ubestemt integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Integralet ∫ 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 x Integrasjon av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 Flere integrasjonsformler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Bestemt integral som grense for en sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 Bestemt integral og antiderivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Mer om integrasjon og areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 Integral og samlet resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 Numerisk integrasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

Sinus Forkurs

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 8

25.05.2017 12:53:32

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 17

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 18

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 19

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8

Integrasjon og differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

Integrasjon og volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Ubestemt integral og variabelskifte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Bestemt integral og variabelskifte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Delvis integrasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 Integrasjon ved delbrøkoppspalting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 Differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 Praktisk bruk av differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Følger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 Aritmetiske rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 Geometriske følger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 Geometriske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 Uendelige rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Geometriske rekker med variable kvotienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 Mengdelære og kombinatorikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

Mengdelære. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 Venndiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Multiplikasjonsprinsippet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 Ordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 Uordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

Sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 Hendinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 Sum av sannsynligheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 Betinget sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 Produktsetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 Total sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 Uavhengige hendinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 Binomiske forsøk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

00 Sinus Forkurs Titelsider.indd 9

25.05.2017 12:53:32

1 1 10

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 10

25.05.2017 12:55:22

Tall og variabler Studenten skal kunne • gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall • deﬁnere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller • skrive mengder på listeform • regne med sum, diﬀeranse, produkt og kvotient av brøker og brudne brøker • regne med potenser med rasjonale eksponenter • anvende regneregler for potenser, kvadratrøtter, n-te røtter og røtter skrevet som potenser

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 11

25.05.2017 12:55:22

1.1 Tall og tallregning Tallene 1, 2, 3, … kaller vi de naturlige tallene. Vi bruker symbolet N om dem og sier at N er mengden av alle naturlige tall. Når vi skal si at x er et naturlig tall, kan vi skrive x ∈  Symbolet ∈ leser vi ‘tilhører’, ‘er element i’ eller ‘ligger i’. Det er riktig å si at 2∈  ettersom 2 er et naturlig tall. Men –2 er ikke noe naturlig tall. Det kan vi uttrykke slik: −2 ∉  Symbolet ∉ leser vi ‘tilhører ikke’ eller ‘ligger ikke i’. En strek over et mate matisk symbol betyr alltid ikke. De hele tallene består av alle de negative hele tallene, tallet 0 og de positive hele tallene. Vi bruker symbolet Z om dem. Vi kan skrive −2 ∈  Noen ganger skriver vi tallmengder på listeform. Da skriver vi opp alle tallene i mengden. Vi kan for eksempel skrive A = {1, 2, 3, 4} Da består A bare av disse fire tallene. Vi ser at 3 ∈ A og at 5 ∉ A. Når vi skriver tall på listeform, spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi skriver tallene i. Det spiller heller ingen rolle om vi tar med et tall flere ganger. Dermed er {2, 4, 1, 3} = {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 2} = {1, 2, 3, 4} Et partall er et helt tall som er delelig med 2. Mengden av alle de positive partallene kan vi skrive på denne måten {2, 4, 6, 8, …} Et oddetall er et helt tall som ikke er delelig med to. De positive oddetallene er {1, 3, 5, 7, …} Et primtall er et helt tall som er større enn 1, og som bare er delelig med 1 og seg selv. Primtallene er {2, 3, 5, 7, 11, …} Noen ganger har vi bruk for å fjerne ett eller flere tall fra en mengde. Det kaller vi en mengdedifferanse, og vi bruker symbolet \ om det.

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 12

25.05.2017 12:55:23

Med mengdesymboler kan vi skrive

{2, 4, 6, 8} \ {4} = {2, 6, 8} {2, 4, 6, 8} \ {4, 8} = {2, 6}

Mengdedifferansen fjerner altså tall fra en mengde. Legg merke til at {1, 2, 3, 4} \ {3, 5} = {1, 2, 4} Hvis vi prøver å fjerne noe som ikke er med i mengden, har det ikke noe å si for resultatet. En brøk består av en teller og en nevner.

2 ← teller 5 ← nevner

Brøker og hele tall kaller vi rasjonale tall. Vi bruker symbolet  om dem. Alle desimaltallene er rasjonale tall, for vi kan skrive alle desimaltall som brøker. Tallet 13,46 kan vi skrive som en brøk på denne måten: 13, 46 =

1346 100

Dermed er 13,46 et rasjonalt tall. Dette er nå riktig: 2 ∈ , 13, 46 ∈ og 13, 46 ∉ 5 En potens er sammensatt av et grunntall og en eksponent. Potenser skriver vi slik: Grunntall →

← Eksponent

Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal gange grunntallet. 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 4 ganger

Dermed er 32 = 3 ⋅ 3 = 9 Tallet 3 kaller vi kvadratrota av 9, for 3 er det tallet vi må gange med seg selv for å få 9. Vi skriver 9 = 3 Videre er 25 = 5 fordi 52 = 25.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 13

25.05.2017 12:55:25

Det fins ikke noe helt tall a slik at a 2 = 2. Dermed er ikke 2 noe helt tall. Lommeregneren gir 2 ≈ 1,4142136, men det er bare en tilnærmingsverdi. Vi får ikke noen helt rett verdi for 2 uansett hvor mange desimaler vi tar med. Det fins heller ingen brøk som er lik 2. Et tall som ikke kan skrives som en brøk, kaller vi et irrasjonalt tall. For over 2400 år siden beviste grekerne at 2 er et irrasjonalt tall. Det var en stor sensasjon den gangen. Før det hadde grekerne vært overbevist om at alle tall enten var hele tall eller brøker. Det fortelles at de første som påstod offentlig at 2 ikke var noen brøk, ble druknet i Egeerhavet. Vi kan vise at dersom x er et helt tall, så er x enten et helt tall eller et irrasjo nalt tall. Hvis x ikke er et helt tall, så er det heller ikke en brøk. Dermed vet vi at 3 er et irrasjonalt tall. Ut fra dette kan vi se at det fins uendelig mange irrasjonale tall. Tallet π ≈ 3,1415926536 er også et irrasjonalt tall. Det ble bevist i 1767. Matematikere har i flere tusen år arbeidet med å finne gode tilnærmingsverdier for tallet π. Brøken 22/7 ≈ 3,1429 for π ble brukt både av grekerne og av inderne som en tilnærmingsverdi. I år 1600 var π kjent med 15 korrekte desimaler. I år 1701 ble det funnet 100 korrekte desimaler for π, og i 1873 ble det funnet 707 riktige desimaler. Etter 1945 brukte en datamaskiner til å regne ut desimaler i π. I 1989 regnet en maskin ut π med 1 milliard desimaler. Hvis vi skulle lage bøker med denne verdien for π, ville bøkene fylle ei bokhylle som var ca. 20 m lang. De reelle tallene er sammensatt av de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene. De reelle tallene omfatter dermed alle hele tall, alle brøker og alle tall som ikke kan skrives som en brøk. Det blir alle tallene i det vanlige tallsystemet vårt.  er det vanlige symbolet for de reelle tallene. Når vi skal fortelle at x ikke er lik 1, kan vi skrive x ≠ 1. Vi kan også skrive x ∈  \ {1}. OPPGAVE 1.10

Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) −5 d)

2 3

 

b) −5





2 3

 5



OPPGAVE 1.11

Sett inn enten ∈ eller ∉ i de tomme rutene. b) 3 {0, 1, 2, 4} a) 2 {1, 2, 3, 4} c) 1, 5

{1, 2, 3, 4}

d) −1

{−2, 1, 0, 1}

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 14

25.05.2017 12:55:30

OPPGAVE 1.12

a) Skriv partallene opp til 20 på listeform. b) Skriv oddetallene mellom 20 og 36 på listeform. c) Skriv alle primtallene opp til 30 på listeform. OPPGAVE 1.13

Finn mengdene. a) {1, 2, 3, 4} \ {4} b) {1, 2, 3, 4} \ {2, 4} c) {1, 2, 3, 4} \ {1, 5} d) Z \ N

Tidligere har vi lært mange regler for regning med tall. Nå repeterer vi noen av dem. Når du skal regne ut et uttrykk, må det alltid gjøres i denne rekkefølgen:

1. Regn først ut parentesene. 2. Regn deretter ut potensene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram.

EKSEMPEL Regn ut −2 ⋅ ( 3 + 1) − ( 6 + 2 ) : 4 + 4 ⋅ 23 Løsning:

−2 ⋅ ( 3 + 1) − ( 6 + 2 ) : 4 + 4 ⋅ 23

1. Regn først ut parentesene.

= −2 ⋅ 4 − 8 : 4 + 4 ⋅ 23

2. Regn ut potensene.

= −2 ⋅ 4 − 8 : 4 + 4 ⋅ 8

3. Gjør multiplikasjonene og divisjonene.

= −8 − 2 + 32 = 22

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ⋅ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ⋅ 23, er det bare 2tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 15

25.05.2017 12:55:30

Hvis vi vil at 4tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en paren tes og skrive

( 4 ⋅ 2)

= 83 = 512

Når vi skriver –32, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet –3. Dermed er −32 = −9 Hvis vi vil opphøye tallet –3 i andre potens, må vi skrive ( −3) . 2

( −3)

Uttrykket −2 ⋅ ( 3 + 1) − ( 6 + 2 ) : 4 + 4 ⋅ 23 kan du regne ut på lommeregneren.

CASIO

TEXAS

For å få fram potensen 23 taster vi 2  3. Vi får svaret 22 når vi trykker på EXE . Hvis du ikke får svaret 22, har du tastet feil. Da trykker du på piltasten . Du kan nå flytte markøren framover og bakover i uttrykket ditt og rette opp den feilen du gjorde. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker. Trykk på EXE for å få fram svaret igjen.

Det første minustegnet er et fortegn, og det andre minustegnet er et differansetegn. Du må bruke fortegnstasten (‒) når du skal taste −2. Bruk differansetasten ‒ mellom parentesene. For å få fram potensen 23 taster vi 2  3. Vi får svaret 22 når vi trykker på ENTER . Hvis du har tastet feil, trykker du på ENTRY ( 2nd og ENTER ). Flytt mar køren framover og bakover i uttrykket ditt og rett opp feilen. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker.

Trykk på tasten ON og velg deretter RUN på ikonmenyen. Legg så inn uttrykket på denne måten:

OFF OPPGAVE 1.14

Trykk først på tasten ON og legg inn uttrykket på denne måten:

Regn ut både med og uten lommeregner. 2 b) 4 ⋅ ( −2 ) a) 4 ⋅ 22 2 d) ( 5 − 3) e) −22 + 32 − 2 ⋅ ( −2 ) 2 g) ( −3) + 5 ⋅ ( −3) + 6

c) 5 − 32 2 2 f) − ( −2 ) + ( −3) − 22

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 16

25.05.2017 12:55:35

OPPGAVE 1.1

Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ ( 7 − 5 ) + 2 b) −3 ⋅ ( 4 − 12 ) + 2 ⋅ 32 c) − ( 8 − 4 ) − ( −3) d) −24 + 3 ⋅ 17 − 32 + 3 ⋅ 42 − 2 ⋅ 52 2

(

) (

)

OPPGAVE 1.16

Regn ut uten lommeregner. 2 a) 2 ⋅ ( 2 ⋅ 2 − 2 )

b) −26 + ( −2 )

c) 4 ⋅ ( 3 − 2 ) − 3 ⋅ ( 2 − 3)

d) 4 ⋅ 22 − 3 − 3 ⋅ 23 − 32

(

)

(

)

1.2 Brøkregning Vi kan forkorte og utvide brøker på denne måten:

Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren.

EKSEMPEL a) Utvid brøken 5 slik at nevneren blir 56. 8

b) Forkort brøken 18 . 30

Løsning:

a) Ettersom 8 ⋅ 7 = 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7. 5 5 ⋅ 7 35 = = 8 8 ⋅ 7 56 b) 6 er det største tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. 18 18 : 6 3 = = 30 30 : 6 5

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 17

25.05.2017 12:55:35

Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker.

CASIO

TEXAS

Velg RUN på ikonmenyen og tast først 18. Trykk deretter på tasten ab⁄c og skriv så 30 og trykk på tasten 3 EXE . Da får du svaret som vist på 5 denne figuren:

Tast først 18/30. Tegnet / får du fram ved å trykke på tasten ÷ . Trykk så på tasten MATH og velg 1: Frac. Trykk nå på ENTER . Da får du svaret 3 som vist på denne figuren: 5

OFF

OPPGAVE 1.20

Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 4 9 18 42 b) c) d) a) 15 54 6 21 OPPGAVE 1.21

Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 72 126 132 153 b) c) d) a) 120 294 198 51

117 78

308 231

Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt sum merer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telle ren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken.

1 18

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 18

25.05.2017 12:55:37

EKSEMPEL Regn ut. 7 3 a) + 12 8 d)

b) 3 +

5 4 17 + c) 3 ⋅ 18 6 9

14 6 35 28 : ⋅ e) 12 27 15 49

Løsning:

a) Fellesnevneren er 24. 7 3 7 ⋅ 2 3 ⋅ 3 14 9 23 + = + = + = 12 8 12 ⋅ 2 8 ⋅ 3 24 24 24 b) Fellesnevneren for de to brøkene er 18. 3 + =

5 4 3 5 4 3 ⋅ 18 5 ⋅ 3 4 ⋅ 2 + = + + = + + 6 9 1 6 9 1 ⋅ 18 6 ⋅ 3 9 ⋅ 2

54 15 8 54 + 15 + 8 77 + + = = 18 18 18 18 18

Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 i oppgave b til en brøk ved å skrive tallet som 3 .

17 3 ⋅17 17 c) 3 ⋅ = = 18 6 18 6 2

14 6 14 ⋅ 6 2⋅2 4 ⋅ = = = 15 49 15 ⋅ 49 5 ⋅ 7 35 7 5

35 28 35 27 35 ⋅ 27 5 ⋅ 9 45 : = ⋅ = = = 12 27 12 28 12 ⋅ 28 4 ⋅ 4 16

Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

Svarene ovenfor kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om 45 til 2 13 . I denne boka bruker vi ikke slike blandede tall. Grunnen 16

er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet 2 13 kan vi derfor lett oppfatte som 2 ⋅ 13 i stedet for 2 + 13 , som er det rette. 16

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 19

25.05.2017 12:55:40

Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar.

TEXAS

CASIO

Når vi skal regne ut 3 + + , velger 6 9 vi først RUN på ikonmenyen. Tast inn dette uttrykket. Husk å trykke på tasten ab⁄c når du er ferdig med en teller. Trykk på piltasten → når du er ferdig med en nevner. Når du til slutt trykker på EXE , får du svaret 77 .

Når vi skal regne ut 3 + + , 6 9 taster vi inn uttrykket og bruker det vanlige delingstegnet som brøkstrek. Trykk deretter på MATH og velg 1: Frac. Når du trykker på ENTER , får du svaret 77 .

Hvis vi skal regne ut 35 : 28 , går vi 12 27 fram som vist på denne figuren:

Hvis vi skal regne ut 35 : 28 , setter vi 12 27 parentes om hver brøk slik som her:

Alle de andre oppgavene i eksem pelet på forrige side kan vi regne på tilsvarende måte.

Grunnen er at lommeregneren ikke skiller mellom brøkstrek og delingstegn. Alle de andre oppgavene i eksempelet på forrige side kan vi regne på tilsvarende måte.

OFF

En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 4 15

Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det 6 og 4 som er små 5

brøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken.

2 20

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 20

25.05.2017 12:55:41

Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 15. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken. 6 3 6 3 ⋅ 15 6 ⋅3 3⋅3 9 5 = 15 = = = 4 4 1 2 2 4 ⋅ 15 2 15 15 1

EKSEMPEL Trekk sammen den brudne brøken 2 5 + 3 9 7 1+ 6 Løsning:

Fellesnevneren for småbrøkene er 18. 2 5  2 + 5  ⋅18 2 5 ⋅18 + ⋅18 + 3 9 2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 12 + 10 22  3 9 = 9 = 3 = = = 7 7 18 + 7 ⋅ 3 18 + 21 39  7 1+ 1 ⋅ 18 + ⋅ 18 1 + 6  ⋅18 6 6  

Lommeregneren kan også brukes til å forenkle brudne brøker. Vi regner ut den brudne brøken i eksempelet. Figurene viser framgangsmåten.

CASIO

TEXAS

Her trykker vi først på tasten

ab⁄c

Deretter skriver vi uttrykket 2 + 5 i 3

telleren, trykker på piltasten ↓ og taster så nevneren som vist her:

På denne lommeregneren må vi sette parentes om telleren og om nevneren og skrive uttrykket som vist her:

OFF

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 21

25.05.2017 12:55:42

OPPGAVE 1.22

Regn ut både med og uten lommeregner. 1 4 1 4 1 4 5 + b) ⋅ c) : d) 3 + a) 12 9 12 9 12 9 12

e) 3 ⋅

5 12

f) 3:

5 12

OPPGAVE 1.23

Trekk sammen. 5 2 3 3 1 a) 2 ⋅  +  b)  −  ⋅ 6 9 5 8 4

1  2  5 c)  +  :  36 12  9

 7 2  1 1  d)  −   +   6 9  5 4 

OPPGAVE 1.24

Regn ut både uten og med lommeregner. a)

2 3 5 6

21 36 14 45

3 5 + 2 8 1 25 + 4 2

3+ 5 12

4 3

1.3 Bokstavregning og parenteser I uttrykket 2x + 4x står x for en variabel som er et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: 2x + 4x = 6x I uttrykket 4a 2 + 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 er det seks ledd. Leddene 4a2 og –a2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a 2 + 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 = 4a 2 − a 2 + 2a + 3a + 1 − 1 = 3a 2 + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Å løse opp en parentes, vil si å fjerne parentesen. Hvis vi skal regne ut 14 + ( 7 + 3), skal vi ifølge reglene for regnerekkefølge regne ut utrykket i parentesen først.

22 22

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 22

25.05.2017 12:55:48

14 + ( 7 + 3) = 14 + 10 = 24 Men her kan vi ta bort parentesen og få det samme svaret. 14 + ( 7 + 3) = 14 + 7 + 3 = 21 + 3 = 24 Hvis vi skal regne ut 14 − ( 7 + 3) får vi riktig svar hvis vi regner slik: 14 − ( 7 + 3) = 14 − 10 = 4 Riktig svar er altså 4. Hvis vi her bare tar bort parentesen, får vi dette: 14 − ( 7 + 3) = 14 − 7 + 3 = 7 + 3 = 10

FEIL!

Det stemmer ikke. Hvis vi derimot skifter fortegn på tallene i parentesen, får vi 14 − ( 7 + 3) = 14 − 7 − 3 = 7 − 3 = 4 Vi har disse reglene:

Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

EKSEMPEL Trekk sammen. a) a 2 + 3a + b + 2a 2 − 3a + 3b b) 2 x − x 2 + 2 x − 2 y + 2 x 2 − 3 y

(

) (

)

Løsning:

a 2 + 3a + b + 2a 2 − 3a + 3b = a 2 + 2a 2 + 3a − 3a + b + 3b = 3a 2 + 4b

2 x − x2 + 2 x − 2 y + 2 x2 − 3 y = 2 x − x2 − 2 x + 2 y + 2 x2 − 3 y

(

) (

)

= − x2 + 2 x2 + 2 x − 2 x + 2 y − 3 y = x2 − y

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 23

25.05.2017 12:55:48

OPPGAVE 1.30

Trekk sammen. a) 2 x − 5 y + 3x + 7 y + 1 c) 2 x 2 + x + y 2 − 2 x − 2 y 2

b) a 2 + 2a + 3 + a 2 − 3a − 1 d) 2 xy + xy 2 − x 2 y − 2 xy 2 − yx

OPPGAVE 1.31

Løs opp parentesene og trekk sammen. a) ( 5 x + y ) + ( 2 x − y ) b) a + 2b − ( −a + b ) 2 2 c) x + 2 x + 1 − x − 2 x + 1 d) 2a 2 − a − 3 + −a 2 + a + 3

(

) (

)

(

)

Hvordan går vi fram når vi multipliserer et tall med et parentesuttrykk? Når vi skal regne ut 3 ⋅ ( 5 + 7 ), gjør vi det slik: 3 ⋅ ( 5 + 7 ) = 3 ⋅12 = 36 Men vi får også riktig svar når vi regner slik: 3 ⋅ ( 5 + 7 ) = 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 = 15 + 21 = 36 Vi ganger tallet 3 med hvert ledd i parentesen. Vi har en tilsvarende regel når vi ganger to parentesuttrykk. Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multipli sere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL Regn ut. a) 2 ( 3x − 4 ) b) 3 ( x − 4 ) − 2 ( 2 x − 5 ) c) ( x + 1) ( 2 x − 1) − ( 2 x + 1) ( x − 1) Løsning:

2 ( 3x − 4 ) = 2 ⋅ 3x − 2 ⋅ 4 = 6 x − 8

b) Denne oppgaven kan vi løse på to måter. En måte er først å gange tallene uten fortegn inn parentesene og beholde parentesene: 3 ( x − 4 ) − 2 ( 2 x − 5 ) = ( 3x − 12 ) − ( 4 x − 10 ) = 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 24

25.05.2017 12:55:52

Vi kan også gange tallene med fortegn med tallene i parentesen slik: 3 ( x − 4 ) − 2 ( 2 x − 5 ) = 3 ( x − 4 ) + ( −2 ) ( 2 x − 5 ) = 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2 Når vi bruker denne metoden, tar vi vanligvis ikke med den første mellomregningen. Vi fører utregningen slik: 3 ( x − 4 ) − 2 ( 2 x − 5 ) = 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2 c) Her multipliserer vi først parentesene og beholder parentesene om produktet:

( = ( 2x

) (

)

( x + 1) ( 2 x − 1) − ( 2 x + 1) ( x − 1) = 2 x 2 − x + 2 x − 1 − 2 x 2 − 2 x + x − 1 2

) (

)

+ x −1 − 2x − x −1 2

= 2x + x −1 − 2x + x + 1 = 2x 2

Når vi multipliserer tre tall, for eksempel 6 ⋅ 7 ⋅ 1 , kan vi gjøre det i den rekke 2

følgen vi vil. Vi kan begynne med å gange de to første tallene: 6 ⋅ 7 ⋅

1 1 1 = ( 6 ⋅ 7 ) ⋅ = 42 ⋅ = 21 2 2 2

Vi kan også begynne med de to siste tallene: 6 ⋅ 7 ⋅

1 7 42  1 = 6⋅7⋅  = 6⋅ = = 21 2 2 2  2

Et tredje alternativ er å gange det første og det siste tallet først: 6 ⋅ 7 ⋅

1  1 = 7 ⋅  6 ⋅  = 7 ⋅ 3 = 21 2  2

Men vi må ikke multiplisere 6 med begge tallene, for da får vi 42 ⋅ 3 = 126. x 2 Slik er det også når vi skal multiplisere 6 ⋅ ( 2 x + 1) ⋅  + . Vi kan begynne 2 3  med å gange 6 med den første parentesen, eller vi kan gange de to parente sene først. Det enkleste er kanskje å gange 6 med den andre parentesen først, for da blir det minst brøkregning:

3 x 2 2  x 2 6 ⋅ ( 2 x + 1) ⋅  +  = ( 2 x + 1) ⋅  6 ⋅ + 6 ⋅  = ( 2 x + 1) ⋅ ( 3x + 4 ) 2 3 2 3  1 1 = 6 x 2 + 8 x + 3x + 4 = 6 x 2 + 11x + 4

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 25

25.05.2017 12:55:54

x 2 Når vi skal regne ut 6 ⋅ ( 2 x + 1) ⋅  + , må vi ikke multiplisere begge paren 2 3  tesene med 6.

OPPGAVE 1.32

Regn ut. a) 2 ( x + 4) b) −2 ( t − 3) c) 3 ( 2x + 1) − 2 ( 3x + 1) d) 5 ( x 2 + 3x + 2) − 5 ( x 2 + 1) OPPGAVE 1.33

Trekk sammen. a) 2 ( 2a − b) + 3 ( −2a + 3b) b) 2a ( ab − b 2) − 2b(a 2 − ab) c) ( x + 1)(2x − 3) d) (3t − 2)(2t + 1) OPPGAVE 1.34

Trekk sammen. a) ( 2x − 1)( x + 3) + ( x − 1)( x − 4) c) ( x + 3)( 4x − 1) − ( 2x + 1)( 2x − 3)

b) 2( x − 1)( 2x + 3) 3 d) ( t + 3)( 8t − 4) 4

1.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk.

EKSEMPEL Regn ut. 5 7 1 a 4 + b) ⋅ a) − 2 ab x 2x 4

x x : 4 12

Løsning:

a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 5 7 1 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 1⋅ x − + = − + x 2x 4 4 ⋅ x 2 ⋅ 2x 4 ⋅ x 20 14 x 20 − 14 + x 6 + x = − + = = 4x 4x 4x 4x 4x

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 26

25.05.2017 12:55:56

b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. 2

a⋅4 a⋅4 2 a 4 ⋅ = = = 2 ab 2 ⋅ ab 2 ⋅ a ⋅ b b 1

c) Når vi deler med en brøk, ganger vi med den omvendte brøken. 3

x x x 12 x ⋅12 12 ⋅ x 3 : = ⋅ = = = =3 4 12 4 x 4⋅ x 1 4⋅ x 1

OPPGAVE 1.40

Trekk sammen. a a a a) + + 2 3 6

1 1 1 2 3 4 + + c) + − x 2 x 3x 2a 3a 6a

OPPGAVE 1.41

Regn ut. 2a 6 2 x2 5 y 2 8a 4a 6a ⋅ b) ⋅ c) : d) : 2a a) 5 3 a 3y 4x 5 15 OPPGAVE 1.42

Trekk sammen. 2 5 1 7 a) ⋅ + ⋅ 3 a 2 3a

 x2 5x  x 2  5x 7 x  ⋅  −  c)  +  : x  3 6  12 6   3

Hvis tellerne inneholder flere ledd, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek.

EKSEMPEL Regn ut. 2x + 3 x + 1 − a) 6 3

8 x +1 ⋅ 3 4

Løsning:

2 x + 3 x + 1 2 ⋅ ( 2 x + 3) x + 1 4 x + 6 x + 1 − − = = − 3 6 2⋅3 6 6 6 ( 4 x + 6 ) − ( x + 1) = 4 x + 6 − x − 1 = 3x + 5 = 6 6 6 2

8 x + 1 8 ⋅ ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 x + 2 = ⋅ = = 3 3 4 3 3⋅ 4 1

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 27

25.05.2017 12:56:00

Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for små nevnerne.

EKSEMPEL Regn ut 1 +2 2x 3 1 + 4x 2

Løsning:

Fellesnevneren for småbrøkene er 4x. Vi multipliserer derfor med 4x over og under hovedbrøkstreken. 2 1 ⋅ 4x + 2 ⋅ 4x  1  1 + 2  ⋅ 4x +2  2x 2 + 8x 8x + 2 2x   2x = 1 = = = 2 3 1  3 1 1 3 3 + 2x 2x + 3 + ⋅ + x 4 ⋅ 4 x + ⋅ 4 x 4 x 2  4 x 2  2 4x 1

OPPGAVE 1.43

Regn ut. 2x + 3 x + 1 − a) 4 4

a + 2 2a − 1 − 6 2

x + 2 2x −1 − 3x 2x

2 a−2 a+3 + − a 2a 3a

OPPGAVE 1.44

2 28

Regn ut. 2x 1 + a) 5 2 x 1 − 2 10

1 1 + b) x 2 2 1+ x

1 2 − c) a b 2 1 − a b

1 1 + d) x 6 1 1 − 2 x 3x

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 28

25.05.2017 12:56:05

1.5 Potenser Med vårt tallsystem må vi bruke potenser når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tall. Hvis vi for eksempel skal regne med massen av hele jorda i kilogram, må vi skrive et tall med 24 siffer. Massen til et hydrogenatom i kilogram får på tilsvarende måte 26 nuller etter kommaet. Dette tallet klarer vi ikke å regne med hvis vi ikke bruker en potens med en negativ eksponent. Det skal vi lære om nå. Men først ser vi på noen potensregler. Vi skal også finne ut hvorfor reglene er riktige. Hvis vi skal regne ut 24 ⋅ 23 , får vi 4 + 3 faktorer 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 4 + 3 = 27 4

4 faktorer

3 faktorer

Hvis vi skal regne ut a m ⋅ a n der m og n er naturlige tall, får vi m + n fak torer k a ⋅ a = a ⋅ a ⋅… ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅… ⋅ a = am + n m

m faktorer

n faktorer

Denne regelen gjelder: am ⋅ an = am + n

EKSEMPEL Regn ut a 4 ⋅ a 2. Løsning:

a4 ⋅ a2 = a4 + 2 = a6

Hvis vi skal regne ut 33 , får vi 3 5 3 = 3⋅3⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3⋅3 = 2 = 9 3 3 1 3⋅3⋅3 3

Vi ser at 5

3 = 5−3 = 2 = 9 3 3 3 3

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 29

25.05.2017 12:56:05

Vi bruker den samme tankegangen når vi skal regne ut am : a n faktorer n − m faktorer a n a ⋅ a ⋅… ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a a ⋅ a ⋅… ⋅ a = = an − m = 1 am … a ⋅ a ⋅ ⋅ a m faktorer

Dermed gjelder denne regelen: an = an − m m a Her må vi foreløpig forutsette at n er større enn m. Siden skal vi utvide potensbegrepet slik at formelen gjelder for alle n og m.

EKSEMPEL Regn ut. 7 a) 45 4

2 4 5 ⋅5 3 5

Løsning:

a) b)

4 = 7 − 5 = 2 = 16 4 4 5 4 2 4 2+ 4 6 5 ⋅ 5 = 5 = 5 = 6 − 3 = 3 = 125 5 5 3 3 3 5 5 5

OPPGAVE 1.0

Regn ut. a) 32

b) ( −3)

d) ( −3)

c) 33

OPPGAVE 1.1

Trekk sammen og skriv svaret som en potens. b) 24 ⋅ 26 a) 32 ⋅ 33 2 3 5 d) 10 ⋅10 ⋅10 e) 2 ⋅104 ⋅ 5 ⋅103

(

)(

c) 53 ⋅ 5

)

OPPGAVE 1.2

Regn ut. 5 4 b) 103 a) 2 3 10 2

3 30

3 ⋅ 2 c) 4 44 4

8 ⋅ 6 d) 35 37 3 ⋅3

2 ⋅105 ⋅ 6 ⋅102 4 ⋅104

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 30

25.05.2017 12:56:11

Hittil har vi arbeidet med potensen a n der n er et naturlig tall. Vi skal nå inn føre potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva skal vi mene med 20? Det gir ingen mening å multiplisere 2 null ganger. Vi ønsker at regnereglene for potenser skal gjelde for alle heltallseksponenter. 3

Vi regner ut 23 på to måter: 2 3 2 = 8 =1 3 2 8 3 2 = 3−3 = 0 2 2 3 2

Vi forutsatte at potensregelen for brøker gjelder her. For at de to utregningsmåtene skal gi samme svar, må vi ha at 20 = 1 . Vi kan gjennomføre det samme resonnementet for potensen a0 der a er et positivt tall. For å få regnereglene til å passe må vi ha at a 0 = 1. a0 = 1

Hva skal vi mene med uttrykket 2–4? Vi kan jo ikke forestille oss at vi multi pliserer et tall –4 ganger. Vi definerer 2–4 på en slik måte at regnereglene for potenser gjelder for negative eksponenter: 0 1 1 2 −4 0−4 2 =2 = 4 = 4 = 2 2 16

For potensen a–n må vi ha 0 1 a −n 0−n a =a = n = n a a

Vi velger derfor å definere a − n slik: a−n =

1 an

Vi har ikke bevist formlene for a 0 og a − n . Det lar seg ikke gjøre. Men vi har deﬁnert potensene på en slik måte at vi får regnereglene til å bli riktige for alle potenser der eksponenten er et helt tall. Vi kan vise at regnereglene for potenser også gjelder for eksponenter som ikke er positive. Reglene gjelder altså også når eksponentene er negative eller null.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 31

25.05.2017 12:56:11

EKSEMPEL Regn ut. a) 30 b) 3−2

c) 7 ⋅10−3

Løsning:

30 = 1

−2 3 =

7 ⋅10−3 = 7 ⋅

1 3

1 9 1 10

7 1000

EKSEMPEL Skriv tallet 1, 7 ⋅10−4 som et desimaltall. Løsning:

1, 7 ⋅10−4 = 1, 7 ⋅

1 10

1, 7 = 0, 00017 10 000

EKSEMPEL Regn ut. b)

a) 24 ⋅ 2−3

7 −1 3 ⋅3 3−3 ⋅ 36

Løsning:

24 ⋅ 2−3 = 24 + ( −3) = 21 = 2

7 −1 7 + ( −1) 6 3 ⋅3 = 3 3 = 6 −3 = 33 = 27 = 3 −3 −3 + 6 6 3 3 3 3 ⋅3

OPPGAVE 1.3

Regn ut og skriv svaret som en brøk eller et helt tall. 0 b) ( −2 ) c) 5−1 d) 2−4 e) 10−2 f) 100 a) 50

g) 10−4

OPPGAVE 1.4

Regn ut. a) 23 ⋅ 2−4

b) 3−4 ⋅ 35

−2

c) 3−3 3

−3 ⋅ 5 d) 2 3 2−1 2 ⋅2

4 ⋅ −3 e) a −2 a a ⋅a

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 32

25.05.2017 12:56:18

1.6 Flere potensregler 3

2 Hvis vi skal regne ut   , kan vi gjøre det slik: 3 3

 2  2 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 23 8  3  = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 = 27 3   n

a På samme måten kan vi regne ut   : b n faktorer n a a ⋅ a ⋅…⋅ a a n a a a  b  = b ⋅ b ⋅…⋅ b = b ⋅ b ⋅…⋅ b = n   b n faktorer

n faktorer

Denne regelen gjelder: n

 a  an b = n   b

EKSEMPEL Regn ut. 3 2 a)   5

3 b)   2

x 3  

Løsning: 3

8  2  23  5  = 3 = 125   5

3 2  

3  x  34 x 3 3 4 ⋅ x 3 3 4 − 3 ⋅ x 3 3 x = ⋅ = = = 3 3 3 4 4 4 16   2 3 2 ⋅3 2 3

Uttrykk som (2x) kan vi regne ut uten å kjenne noen potensregel:

( 2 x ) = 2 x ⋅ 2 x ⋅ 2 x = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 23 x 3 = 8 x 3 3 Vi ser at ( 2 x ) = 23 x3 . Tilsvarende gjelder for alle produkter a ⋅ b og alle 3

eksponenter n:

(a ⋅ b)

= a n ⋅ bn

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 33

25.05.2017 12:56:19

EKSEMPEL Regn ut. a) ( 3x )

b) ( 2 x ) ⋅ 4 x −1

( 2 x ) ⋅ x −2 −4 ( 2x) 3

Løsning:

( 3x )

( 2x)

( 2x) ⋅ x −4 ( 2x)

= 32 ⋅ x 2 = 9 x 2

−1

1 1 4x ⋅ 4x = 2 ⋅ x ⋅ 4x = ⋅ ⋅ 4x = =2 2 x 2 x −1

−1

1 3

−2

2 x1 xx x = 2 −4 −4 = 2 −4 −4 = −4 ⋅ −4 2 x 2 x 2 x 3 3 −2

3 3 + ( −2 )

= 23 − ( −4) ⋅ x1 − ( −4) = 27 ⋅ x5 = 128 x5

I eksempelet ovenfor så vi at ( 3x ) = 9 x 2. Det er dermed stor forskjell på 2 2 ( 3x ) og 3x 2. I 3x 2 skal vi bare kvadrere x og ikke 3tallet. I ( 3x ) kvadrerer vi 3tallet også. 2

OPPGAVE 1.60

Regn ut. 3 1 a)   2

2 b)   3

 1  c)    10 

 2 d)  −   3

OPPGAVE 1.61

Regn ut. 3 2 3 a)   ⋅ 3 3

5 5 b) 22 ⋅   5 2

x c)   2

x d) 3 ⋅   3

Vi skal nå finne en regel vi kan bruke når vi skal regne ut en potens der grunntallet er en potens. Uttrykket (a3)4 er av den typen.

(a ) 3

= a 3 ⋅ a 3 ⋅ a 3 ⋅ a 3 = a 3 + 3 + 3 + 3 = a 3 ⋅ 4 = a12

For to vilkårlige eksponenter m og n får vi:

(a ) m

= am ⋅ n

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 34

25.05.2017 12:56:24

EKSEMPEL Regn ut.

( )

a) x

b) ( 2 x

−2

)

−1

23 ( 2 a )

( )

2a −4 a −1

Løsning:

(x )

( 2x )

−2

−1

( )

= 2−1 x −2 −2

( )

2a −4 a −1

−1

1 ( −2)( −1) 1 2 x = x 2 2

3 −2 −2 3 + ( −2 ) −2 1 −2 2 a −2 = 2 2 −4a1 = 2 −4 +a1 = 2 a−3 = = a −2 − ( −3) = a −3 2a a 2a 2a 2a

−1

( )

Du må ikke blande sammen a 2

( )

a 2

−1

= x2 ⋅ 3 = x6

23 ( 2 a )

−2

= a 2 ⋅ 4 = a8

og a 2 ⋅ a 4.

a2 ⋅ a4 = a2 + 4 = a6

OPPGAVE 1.62

Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. 3 −1 a) 5 ⋅103 b) 2 ⋅102 c)

( ) (3 ⋅10 ) ⋅ (3 ⋅10 ) 2

−3

−2

(

−1

)

−2

5 ⋅10 ⋅ 9 ⋅104 3 ⋅103

OPPGAVE 1.63

Skriv enklest mulig. 3 a) x 7 ⋅ x −2 b) 2 x −2

( ) ( 2a ) ⋅ ( 2a ) ( 2 a ) ⋅ ( 2a ) 2

−2

−1

−3

−4

( ) ⋅ 2x (x y ) (x ) d) ( xy ) 2

−1

−2

−3

−1

−3

OPPGAVE 1.64

a) Skriv tallparene som brøker. 2 1)   3

−2

3 og   2

3 2)   5

−3

b) Hvilken potensregel tror du gjelder?

5 og   3

6 3)   7

−1

7 og   6

−n

a c) Vis at regelen fra oppgave b er riktig for potensen   . b

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 35

25.05.2017 12:56:29

1.7 Tall på standardform Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Ofte gjør vi regnefeil når vi skal regne med slike tall, for det er lett å glemme et siffer. Hvis vi i stedet skriver tallet ved hjelp av tierpotenser, får vi bedre styring med utregningene.

EKSEMPEL Skriv tallet 8 700 000 ved hjelp av tierpotenser. Løsning:

8 700 000 = 8, 7 ⋅1000 000 = 8, 7 ⋅106

Til vanlig skriver vi direkte 8700 000 = 8, 7 ⋅106 . Eksponenten 6 forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot venstre. Når vi skal regne med svært små desimaltall, er det lett å gjøre kommafeil. Vi regner mye sikrere hvis vi skriver tallene ved hjelp av tierpotenser med negative eksponenter. Nå skal vi regne ut noen tierpotenser med negativ eksponent så vi ser hvordan systemet er. 1 1 = = 0,1 1 10 10 1 1 −3 = 0,001 10 = 3 = 1000 10 −1 10 =

1 = 0 ,01 10 100 1 1 −4 = 0,0001 10 = 4 = 10 000 10 −2 10 =

EKSEMPEL Skriv tallene ved hjelp av tierpotenser og regn ut 0, 00012 ⋅ 0, 000037. Løsning:

0, 00012 = 1, 2 ⋅ 0, 0001 = 1, 2 ⋅10−4 Den negative eksponenten −4 forteller hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot høyre. 0, 000037 = 3, 7 ⋅10−5 Nå finner vi produktet. 0, 00012 ⋅ 0, 000037 = 1, 2 ⋅10−4 ⋅ 3, 7 ⋅10−5 = 1, 2 ⋅ 3, 7 ⋅10−4 + ( −5) = 4, 44 ⋅10−9 = 0, 00000000444

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 36

25.05.2017 12:56:31

Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ± a ⋅10n der 1 ≤ a < 10 og n er et helt tall.

EKSEMPEL Skriv tallene 230 000 og 0,0000000167 på standardform. Løsning:

230 000 = 2, 3 ⋅105 0, 0000000167 = 1, 67 ⋅10−8

TEXAS

CASIO

Når vi skal legge inn tallet 2,3 ⋅ 10 , taster vi først 2.3, trykker så på EXP og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på EXE , får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist på figuren nedenfor.

Når vi skal legge inn tallet 2,3 ⋅ 105, taster vi først 2.3, trykker så på EE ( nd og , ) og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på ENTER , får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist på figuren nedenfor.

Noen ganger skriver lommeregneren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut 2 300 000 ⋅ 320 000 og 2 : 2500 på lommeregneren.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 37

25.05.2017 12:56:31

Vi ser at svarene blir 7.36E+11 og 8E–04. Disse tallene er skrevet på standardform.

OFF

Vi ser at svarene blir 7.36E11 og 8E–4. Disse tallene er skrevet på standardform.

7.36E + 11 = 7, 36 ⋅1011 = 736 000 000 000

7.36E11 = 7, 36 ⋅1011 = 736 000 000 000

8E − 04 = 8 ⋅10−4 = 0, 0008

8E − 4 = 8 ⋅10−4 = 0, 0008

OPPGAVE 1.0

Skriv som hele tall eller som desimaltall. a) 2, 3 ⋅103 b) 7,1 ⋅10−2 c) 8, 44 ⋅106

d) 2, 92 ⋅10−5

OPPGAVE 1.1

Skriv på standardform. a) 0,000153 b) 14 300

c) 937 000 000

d) 0,00000275

Når vi har en oppgave der tallene er skrevet på standardform, er det ofte lurt å regne slik vi gjør i dette eksempelet:

EKSEMPEL Regn ut. a) 2, 3 ⋅108 ⋅1, 6 ⋅10−6 b)

8 ⋅106 ⋅ 6 ⋅10−3 4 ⋅103 ⋅ 3 ⋅10−2

Løsning:

a) Vi samler tallene og tierpotensene hver for seg. 2, 3 ⋅108 ⋅1, 6 ⋅10−6 = 2, 3 ⋅1, 6 ⋅108 ⋅10−6 = 3, 68 ⋅108 + ( −6) = 3, 68 ⋅102 = 368

OPPGAVE 1.2

Regn ut og skriv svaret som desimaltall. a) 5 ⋅103 ⋅ 3 ⋅10−6 b) 2 ⋅10−1 ⋅ 5 ⋅10−1 c)

3 38

8 ⋅106 ⋅ 6 ⋅10−3 8 ⋅ 6 ⋅106 + ( −3) 4 ⋅103 = 4 ⋅103 − 1 = 4 ⋅102 = 400 = = 3 −2 1 3 + ( −2 ) 4 ⋅10 ⋅ 3 ⋅10 10 4 ⋅ 3 ⋅10

8, 4 ⋅10−2 2,1 ⋅10−3

5 ⋅10−2 ⋅ 9 ⋅104 3 ⋅103

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 38

25.05.2017 12:56:38

OPPGAVE 1.3

Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret på standardform. a) 4 ⋅10−4 ⋅ 2 ⋅102 b) 8 ⋅106 ⋅ 3 ⋅10−2 c)

3, 2 ⋅105 ⋅ 4 ⋅10−2 1, 6 ⋅10−3

2 ⋅107 ⋅ 4 ⋅105

( 4 ⋅10 ) −2

OPPGAVE 1.4

Gjør om til standardform og regn ut. b) 0, 00075 ⋅ 0, 000000017 a) 12 000 000 ⋅ 0, 0000023 c)

4 600 000 000 0,000002

0,00045 ⋅ 0,0012 27 000 000

OPPGAVE 1.

Jordradien er 6 400 000 m. Bruk formelen V = 4 πr 3 og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter. 3

1. Kvadratrøtter og røtter av høyere orden Kvadratrota av et positivt tall x definerer vi på denne måten: Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. x = a dersom a ≥ 0 og a 2 = x

Etter dette må 9 = 3, da 3 > 0 og 32 = 9. 9 er ikke –3, selv om ( −3) = 9. 2

Kvadratrota av et tall er alltid positiv. Det fins ikke noe tall a slik at a 2 = −4, fordi a 2 ≥ 0 for alle verdier av a. Der med kan vi ikke finne kvadratrota av −4. x er bare definert når x ≥ 0. Etter definisjonen av kvadratrot må 2

2 4 2 2 4 2 = fordi ≥ 0 og   = 22 = 9 3 3 3 9   3

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 39

25.05.2017 12:56:38

Vi får rett svar om vi regner slik: 4 = 9

4 2 = 9 3

Kvadratrota av en brøk finner vi ved å ta kvadratrota av telleren og nevneren hver for seg. Vi har disse regnereglene for kvadratrøtter: La a og b være to positive tall. Da er a ⋅b = a ⋅ b

a a = b b

Det fins ingen liknende regel for en sum. Legg for eksempel merke til at 9 + 4 ikke er lik 3 + 2. For 9 + 4 = 13 ≈ 3, 6, og 3 + 2 = 5.

EKSEMPEL Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at 50 = 5 2 . Løsning:

Vi utnytter at 50 = 25 ⋅ 2 Dermed er 50 = 25 ⋅ 2 = 25 ⋅ 2 = 5 2

OPPGAVE 1.0

Regn ut uten å bruke lommeregner. 16 49 b) a) 25 64 c)

4 40

1 121

18 98

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 40

25.05.2017 12:56:44

OPPGAVE 1.1

Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at a) 18 = 3 2 b) 12 = 2 3 c) 48 = 4 3 OPPGAVE 1.2

Skriv kvadratrøttene ved hjelp av kvadratrota av et mindre tall. a) 27 b) 75 c) 162

Vi regner ut 23 og får 23 = 8 Tallet 2 kaller vi tredjerota eller kubikkrota av 8. Vi skriver 3

8 =2

Tredjerota definerer vi på denne måten: 3

x er det tallet som opphøy opphøydd i tredje potens er lik lik xx.. 3

x = a dersom a 3 = x

Legg merke til at vi kan finne tredjerota av negative tall: 3

−8 = −2 fordi ( −2 ) = −8 3

EKSEMPEL Finn tredjerøttene. b) 3 −125 a) 3 64 Løsning:

64 = 4

−125 = −5 fordi ( −5 ) = −125

fordi 43 = 64 3

Hvis vi regner ut 34, får vi 34 = 81 Tallet 3 kaller vi derfor for fjerderota av 81 og skriver 4

81 = 3

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 41

25.05.2017 12:56:44

Nå er også ( −3) = 81. Likevel sier vi ikke at –3 er fjerderota av 81. Fjerderota skal alltid være et positivt tall. Fjerderota definerer vi på denne måten: 4

x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x. 4

x = a dersom a ≥ 0 og a 4 = x

Fjerderota av et negativt tall fins ikke, fordi a 4 ≥ 0 for alle tall a.

EKSEMPEL Finn fjerderøttene. a) 4 256 b) 4 −32 Løsning:

256 = 4

−32 fins ikke.

fordi 44 = 256

Femterota, sjetterota osv. definerer vi på den samme måten som tredjerota og fjerderota. Vi definerer nte rot for et positivt tall n på denne måten: n

x = a dersom an = x

Dersom n er et partall, velger vi n x som det positive tallet a som er slik at an = x.

EKSEMPEL Finn røttene. b) a) 5 32

Løsning:

32 = 2

2 12 10 = 100 fordi (100 ) = 10

fordi 25 = 32 6

( )

= 102 ⋅ 6 = 1012

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 42

25.05.2017 12:56:48

Vi kan finne tredje- og fjerderøtter på lommeregneren.

OFF

CASIO

TEXAS

Vi velger RUN på ikonmenyen. For å finne 3 64 trykker vi på 3 ( SHIFT og ( ). Vi taster så 64 og trykker på EXE . Svaret blir 4.

Vi trykker på MATH og velger 4: 3 (. Vi fullfører uttrykket nedenfor og trykker på ENTER . Svaret blir 4.

For å finne 4 256 trykker vi først på  og deretter på x . Vi taster så 256 og trykker på EXE . Svaret blir 4.

For å finne 4 256 trykker vi først på  og deretter på MATH . Vi velger 5: x ( og taster 256. Vi trykker så på ENTER og får svaret 4.

OPPGAVE 1.3

Bestem uten lommeregner. a) 3 27 b) 3 1000 c)

−64

−8000

−52

OPPGAVE 1.4

Bruk lommeregneren til å finne røttene. a) 4 13 b) 5 20, 5 c) 3 15 d)

−27 000

−12

OPPGAVE 1.

Bestem uten bruk av lommeregner. a)

10−6

OPPGAVE 1.6

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen 4 V = πr 3 3 Regn ut radien når volumet er 6,5 cm3.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 43

25.05.2017 12:56:51

1.9 Potenser med en brøk som eksponent I kapittel 1.5 innførte vi potenser med negative eksponenter. Nå skal vi inn føre potenser der eksponenten er en brøk. Det gjør vi slik at regnereglene for potenser blir riktige også når n og m er brøker. 1

Hva skal vi mene med 8 3 ? Hvis regnereglene for potenser skal gjelde, må

(8 ) = 8 1 3 3

1 ⋅3 3

= 81 = 8

Fra kapittel 1.8 vet vi at 3 8 er det eneste tallet som gir 8 når vi opphøyer det i tredje potens. Ettersom ( 8 ) = 8, må derfor 8 1 3 3

1 3

være lik 3 8 .

1 3 8=

= 8 2

Hvis a er et positivt tall og n er et naturlig tall, er 1

an = n a

EKSEMPEL Regn ut. 1

a) 16 2

b) 27 3

c) 5 4

Løsning: 1

2 16 =

3 27 =

= 16

= 16 4

= 27 3

1 4

5 = 4 5 ≈ 1,5

I oppgave c måtte vi bruke lommeregneren. Legg merke til at 2 16 = 16 . 2 a er det samme som a.

OPPGAVE 1.90

Regn ut uten å bruke hjelpemiddel. a) 4

1 2

1 4

b) 81

c) 1000

1 3

d) 36

1 2

1 4 4

e) ( 3

)

(3 )

1 5 5

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 44

25.05.2017 12:56:56

Hva skal vi så mene med 8 3 ? Vi kan tenke oss to måter å regne ut denne potensen på hvis regnereglene skal gjelde: 2 3

1 ⋅2 3

2⋅

8 =8 83 = 8

= (8 ) = ( 8 ) = 2 = 4 1 2 3

1 3

= ( 82 ) 3 = 3 82 = 3 64 = 4

Vi ser at begge metodene gir samme svar. Grunnen er at ( 3 8 ) og 3 82 gir samme m m svar. Hvis a ikke er et negativt tall, kan vi vise at uttrykkene ( n a ) og n a er like. 2

Hvis a er et positivt tall og m er et helt tall og n er et naturlig tall, er m

a n =

( a) n

eller a n = n a m m

Med denne definisjonen av a n kan vi vise at alle regnereglene for potenser gjelder.

EKSEMPEL Regn ut uten hjelpemiddel. 1 4 3

2 5

−

3 2

a) 8 b) 32 c) 7 d)

Løsning: 4

83 =

c) d)

−

1 2

( 8 ) = 2 = 16 1 1 = ( 32 ) = 2 = = 2 4 4

−2

3 2

53 ⋅ 56

= 7

2 5

53 ⋅ 56

−

= 73

1 2

343 = 18, 52

−

1 6

1 2

56 5

−

1 6

1 2

−

1 2

−

1 2

1  1 − −   2

= 52

= 51 = 5

Når n a er et helt tall eller en brøk, får vi enklest tallregning ved å bruke for m m m

melen a n = ( n a ) (se eksemplene a og b ovenfor). Formelen a n = n a m passer best når n a er et irrasjonalt tall (se eksempel c ovenfor). Hvis vi skal forenkle sammensatte rotuttrykk, kan det lønne seg å skrive rotuttrykkene som potenser og deretter bruke regnereglene for potenser.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 45

25.05.2017 12:56:59

EKSEMPEL Regn ut 3 7 ⋅ 6 7 uten å bruke noe hjelpemiddel. Løsning: 1

3 7 ⋅ 6 7 = 7 3 ⋅ 7 6 = 7 3

1 6

= 76

1 6

= 7 6 = 7 2 = 2 71 = 7

Vi har nå definert potensen 4x når x er en brøk. Potensen er dermed også definert når x er et desimaltall, for det kan skrives som en brøk. 3

41,5 = 4 2 =

( 4) 2

= 23 = 8

Skrivemåten a n kan vi ikke bruke når a er et negativt tall. Det kan se fornuf tig ut å si at 1

( −8 ) 3 = 3 −8 = −2 1

Men fordi 1 = 2 , bør ( −8 ) 3 og ( −8 ) 6 gi det samme svaret. Vi regner ut ( −8 ) 6 på 3 6 to måter: 2

( −8) 6 = 6 ( −8)

( −8) 6 = ( 6 −8 ) 2

= 6 64 = 2

Det siste rotuttrykket eksisterer ikke. Uttrykkene ( −8 ) 3 og ( −8 ) 6 gir ikke det 1

samme svaret, og skrivemåten ( −8 ) 3 er dermed ikke brukbar. På lommeregnere kan vi regne ut a x og x a også når x er en brøk eller et desimaltall.

EKSEMPEL Volumet V av ei kule med overflateareal O er gitt ved V =

1 6 π

O1,5

a) Finn volumet av ei kule der arealet av overflaten er 4 cm2. b) Finn overflatearealet av en femmerball. Den har volumet 5 dm3. Løsning:

1 6 π

O1,5 =

1 6 π

(

⋅ 4 cm 2

)

1,5

1 6 π

⋅ 41,5 cm3 = 0, 75 cm3

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 46

25.05.2017 12:57:02

6 π

O1,5 = V | ⋅ 6 π

O1,5 = 6 π ⋅ V = 6 π ⋅ 5 dm3 = 53,17 dm3 O = 1,5 53,17 dm3 = 14,1 dm 2

OPPGAVE 1.91

Regn ut uten å bruke lommeregner. 2

a) 4 2 b) 27 3 c) 100 −

f) ( 9 )

3 2

3 4 8

( )

3 7

−

1 12 4

d) 128 e) 5 OPPGAVE 1.92

Bruk lommeregner og regn ut. 2

−

a) 5 3 b) 12 5 c) 100 6 d) 24,5

6 5 f)

OPPGAVE 1.93

Skriv så enkelt som mulig. 1 2

1 3 6

( )

a) 2 ⋅ 2

(3 ) ⋅ (3 ) (3 ) 1 2 3

1 2

1 3

3 4

2 ⋅ 2 ⋅ 6 2 d)

3⋅6 3 6 9

OPPGAVE 1.94

Sidekantene i en terning har lengden s. a) Vis at overflatearealet O av terningen er gitt ved formelen O = 6s 2. 2

b) Forklar hvorfor O = 6 ⋅ V 3 , der V er volumet av terningen. c) Hvor stort er overflatearealet av en terning som rommer 0,5 liter?

Nå har vi definert a x for alle reelle positive tall a og for alle rasjonale tall x. Men hva mener vi med a x når x er et irrasjonalt tall? Hva skal vi mene med 4 2 ? Vi kan finne desimaltall som er så nær 2 som vi bare vil. Vi bruker desimal tallet som eksponent i stedet for 2 og får en god tilnærmingsverdi for 4 2 . 2 ≈ 1,4142 4

≈ 41,4142 ≈ 7,103

Uansett hvor mange desimaler vi tar med, får vi bare en tilnærmet verdi for 4 2 . 4

er det tallet vi nærmer oss når tallet på desimaler i 2 øker mot uendelig.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 47

25.05.2017 12:57:07

SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1. Regn først ut parentesene. 2. Regn deretter ut potensene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle led dene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

4 48

Sinus Forkurs > Tall og variabler

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 48

25.05.2017 12:57:07

Kvadratrøtter Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. x = a dersom a ≥ 0 og a 2 = x La a og b være to positive tall. Da er a a = b b

a ⋅ b = a ⋅ b Røtter av høyere orden 3

x er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik x.

3 x = a dersom a 3 = x 4

x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x.

4 x = a dersom a ≥ 0 og a 4 = x Potenser a 0 = 1 a −n = ( a ⋅ b ) = a n ⋅ b n n

a n = n a

1 a

a m ⋅ a n = a m + n n n

 a  an m  b  = n a   b m

an =

( )

( ) n

an = an − m am

= am ⋅ n

eller a n = n a m

Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ± a ⋅10n der 1 ≤ a < 10 og n er et helt tall.

01 Sinus Forkurs kap1 teoridel.indd 49

25.05.2017 12:57:12

2 50

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 50

25.05.2017 13:10:42

Algebra Studenten skal kunne • løse førstegradslikninger med en eller to ukjente • beregne produkt av polynomer, anvende kvadratsetningene og beherske faktorisering • løse andregradslikninger med en eller to ukjente

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 51

25.05.2017 13:10:42

2.1 Likninger Å løse likningen 3x = 12 er det samme som å ﬁnne den verdien for variabelen x som er slik at 3x blir 12. Vi ser at løsningen er x = 4 fordi 3 ⋅ 4 = 112 . Vi kan føre løsningen slik: 3x = 12 x=4 7 At likningen 2 x + 1 = 7 har løsningen x = 3, ser vi umiddelbart, for 2 ⋅ 3 + 1 = 7. Vi kan gjerne løse likningen slik: 2x + 1 = 7 x=3 Når vi skal løse kompliserte likninger, trenger vi disse regnereglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan ﬂytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi.

EKSEMPEL Løs likningen og sett prøve på svaret. 7 x − 2 = 3x + 110 Løsning:

7 x − 2 = 3x + 110 7 x − 3x = 10 + 2 4 x = 112 x=3

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 52

25.05.2017 13:10:45

På slutten av løsningen kunne vi også delt med 4 på begge sidene av likhetstegnet, men vi regner ofte sikrere og fortere når vi ser løsningen direkte slik som her. Vi setter prøve på svaret ved å sette inn x = 3 på begge sidene i likningen i oppgaven. Venstre side: 7 x − 2 = 7 ⋅ 3 − 2 = 119 Høyre side: 3x + 10 = 3 ⋅ 3 + 10 = 19 Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.

OPPGAVE 2.10

Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2 x + 1 = 5 b) 3x − 1 = x + 2 c) −2 x + 2 = 2 x − 2 d) 2 x + 2 = −3x + 7 OPPGAVE 2.11

Løs likningene. a) 122 x − 13 = 9 x − 7 b) −7 x + 11 = 2 x − 3 c) 0, 02 02 x + 0, 7 = −0, 03x + 0, 2

Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. 2 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det ﬁns brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 6 Finn løsningen ved å dividere med tallet som står foran den ukjente.

EKSEMPEL Løs likningen. 1 2x 1 x ( x − 4 ) −  − 1 = ( x − 1) + 2 3 3 6  

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 53

25.05.2017 13:10:47

Løsning:

1 2x 1 x ( x − 4 ) −  − 1 = ( x − 1) + 2 3 3 6   x 2x x 1 x Fellesnevneren er 6. −2− +1 = − + | ⋅ 6 2 3 3 3 6 x 3 2x 2 x 2 1 2 x 1 ⋅ 6 − 2⋅6 − ⋅ 6 + 1⋅ 6 = ⋅ 6 − ⋅ 6 + ⋅ 6 2 3 3 3 6 1

3x − 12 − 4 x + 6 = 2 x − 2 + x − x − 6 = 3x − 2 − x − 3x = −2 + 6 −4 x = 4 x = −1

OPPGAVE 2.12

Løs likningene. a) 3x − ( x − 2 ) = ( 2x 2 x − 1) − ( 3x + 9 ) b)

x  x 1 x  −  +  = x − 2  − 1 2 3 2 4 

1  1 1 1  x 1 ⋅  3x −  −  2 x +  = 2 ⋅  −  2  3 3 2 3 6

I noen likninger ﬁnner vi den ukjente i nevneren. En slik likning kaller vi en rasjonal likning. I slike likninger bruker vi regnereglene slik vi har gjort ovenfor. Men vi kan ikke gange eller dele med 0 på begge sidene i en likning. Hvis vi for eksempel ganger med x på begge sidene i en likning og etterpå får løsningen x = 0, må vi kontrollere om den løsningen passer i likningen i oppgaven. Hvis løsningen x = 0 gir 0 i en nevner, kan vi ikke bruke løsningen. Hvis vi ganger med andre uttrykk som kan være lik 0, må vi kontrollere løsningen på tilsvarende måte.

EKSEMPEL Løs likningene. 6 3x + 2 a) + 5 = x x

2x −1 1 4x −1 + = 2x 3x 6x

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 54

25.05.2017 13:10:50

Løsning:

a) Her må vi forutsette at x ≠ 0 (x ikke er lik 0), for x = 0 gir 0 i to nevnere. Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 6 3x + 2 +5= |⋅ x x x 3x + 2 6  ⋅x  x + 5 ⋅ x = x   6 ⋅ x + 5 x = 3x 3x + 2 x 6 + 5x 5 x = 3x + 2 5 x − 3x = 2 − 6 2 x = −4 x = −2 x = −2 gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning på oppgaven. b) Også her må vi forutsette at x ≠ 0, for x = 0 gir 0 i nevnerne. Fellesnevneren for 2x, 3x og 6x er 6x. Vi multipliserer derfor med 6x på begge sidene av likhetstegnet. 2x −1 1 4x −1 + = | ⋅ 6x 2x 3x 6x 4x −1  2x −1 1  6x = ⋅ 6x  2 x + 3x  ⋅ 6x 6x   2x −1 3 1 2 ⋅6 x+ ⋅ 6 x = 4x −1 2 x 3 x 1

( 2 x − 1) ⋅ 3 + 2 = 4 x − 1 6x − 3 + 2 = 4x −1 6x −1 = 4x −1 6 x − 4 x = −1 + 1 2x = 0 x=0 x = 0 gir null i nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 55

25.05.2017 13:10:52

OPPGAVE 2.13

Løs likningene og sett prøve på svaret. 1 1 1 1 a) x + 2 = x − b) 2 ( x − 1) = ( x − 3) 3 2 3 3 x−2 2− x 1 − 2x 3 4 + 2x c) = d) − = 3 2 3 5 5 OPPGAVE 2.14

Løs likningene. 2 a) + 3 = 0 x x −1 1 c) +2=− x x

5 8 −3= x x 1 3 d) +2= x−2 x−2 b)

OPPGAVE 2.15

a) I DABC er ∠B dobbelt så stor som ∠A. ∠C er 10° større enn ∠B. Finn vinklene i trekanten. b) I ﬁrkanten ABCD er ∠B 20° mindre enn ∠A. ∠C er dobbelt så stor som ∠B. ∠D er 2 av summen av ∠B og ∠C. 7 Finn vinklene i ﬁrkanten.

2.2 Formler En formel gir oss verdien av en variabel ved hjelp av verdien av en eller ﬂere andre variabler. Volumet V av ei kule er gitt ved 4 3 πr 3 I denne formelen ﬁnner vi verdien for V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kaller vi den uavhengige variabelen, og V kaller vi den avhengige variabelen. Det er den avhengige variabelen vi regner ut. V=

Noen ganger trenger vi verdier for to variabler for å kunne regne ut den tredje. Volumet V av en sylinder er gitt ved V = πr 2 h Her må vi kjenne både radien r og høyden h for å kunne ﬁnne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variabler og én avhengig. Fart måler vi i meter per sekund (m/s) eller i kilometer per time (km/h). Vi vet at 1 time (1 h) er det samme som 60 min = 60 ⋅ 60 s = 3600 s

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 56

25.05.2017 13:10:56

Hvis vi kjører med farten 10 m/s, kjører vi 10 m på 1 sekund. På 1 time kjører vi da 3600 ⋅ 10 m = 36 000 m = 36 km Farten 10 m/s svarer dermed til 36 km/h. La v være farten i meter per sekund. Da kjører vi v meter på 1 sekund. Antallet meter vi kjører på 1 time er da gitt ved 3600 ⋅ v. Målt i kilometer blir det 3600 ⋅ v = 3, 6 ⋅ v 1000 Farten målt i kilometer per time er dermed 3, 6 ⋅ v. Vi har nå utledet en formel som knytter sammen farten målt i meter per sekund og farten målt i kilometer per time. La v være farten målt i meter per sekund. Da er farten målt i kilometer per time gitt ved f = 3, 6 ⋅ v

EKSEMPEL a) En syklist har farten 8 m/s. Finn farten i kilometer per time. b) En bil kjører med farten 90 km/h. Finn farten i meter per sekund. Løsning:

a) Når farten v er 8 m/s, er farten i kilometer per time f = 3, 6 ⋅8 ⋅ 8 = 28 28, 8 Farten er 29 km/h. b) Når farten er 90 km/h, setter vi f = 90. Det gir denne likningen: 900 = 3, 6 ⋅ v 3, 6 ⋅ v 90 = 3, 6 3, 6 v = 25 Farten er 25 m/s.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 57

25.05.2017 13:10:56

OPPGAVE 2.20

Regn om til kilometer per time. a) 6 m/s b) 12 m/s c) 30 m/s OPPGAVE 2.21

Regn om til meter per sekund. a) 18 km/h b) 72 km/h

c) 100 km/h

En gjenstand beveger seg langs ei rett linje. Gjenstanden har konstant akselerasjon a målt i meter per sekund2 og har til å begynne med farten v0 målt i meter per sekund. Farten i meter per sekund etter t sekunder er gitt ved formelen v = v0 + aat Den tilbakelagte strekningen i meter etter t sekunder er da gitt ved formelen 1 s = v0t + at 2 2

EKSEMPEL En bil kjører med farten 20 m/s på en rett veistrekning og øker så farten med en konstant akselerasjon på 0,5 m/s2. a) Finn farten i kilometer per time etter 10 s. b) Hvor lang tid tar det før farten er 30 m/s? c) Hvor langt har bilen kjørt etter 10 s? Løsning:

a) Farten i meter per sekund er v = v0 + aat = 20 + 0, 5 ⋅10 = 25 Farten er 25 m/s. Farten i kilometer per time er f = 3, 6 ⋅ v = 3, 6 ⋅ 25 = 90 Farten etter 10 s er 90 km/h.

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 58

25.05.2017 13:10:57

b) Vi vet at v0 + at = v 20 + 0, 5 ⋅ t = 30 0, 5t = 10 | ⋅ 2 t = 20 Farten er 30 m/s etter 20 s. c) Strekningen er 1 1 s = v0t + at 2 = 20 ⋅10 + ⋅ 0, 5 ⋅102 = 225 2 2 Bilen har kjørt 225 m på 10 s.

OPPGAVE 2.22

En bil kjører med farten 36 km/h på en rett veistrekning. a) Finn farten i meter per sekund. Ved t = 0 får bilen en konstant akselerasjon a = 1,2 m/s2. b) Finn farten i kilometer per time etter 10 s. c) Hvor lang tid går det før farten er 90 km/h? d) Hvor langt har bilen kjørt etter 10 s? OPPGAVE 2.23

En bil står i ro og får så en konstant akselerasjon a = 1, 5 m/s2 langs en rett veistrekning. a) Finn farten i kilometer per time etter 10 s. b) Hvor lang tid tar det før farten er 90 km/h? c) Hvor langt kjører bilen på 10 s? d) Hvor lang tid tar det før bilen har kjørt 300 m?

Ved hjelp av en formel kan vi lage nye formler. Da bruker vi regnereglene for likninger.

EKSEMPEL En bil har farten 15 m/s langs en rett veistrekning og får en konstant akselerasjon a = 1,2 m/s2. Farten i meter per sekund etter t sekunder er da gitt ved formelen v = 15 +1 + 1, 2t a) Finn en formel for tida t uttrykt med farten v. b) Bruk formelen i a og ﬁnn hvor lang tid det tar før farten er 24 m/s.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 59

25.05.2017 13:10:59

Løsning:

+ 1, 2t , er 155 + 1, 2t = v. Det er praktisk å ha formelen a) Når v = 15 +1 snudd slik at t står på venstre side av likhetstegnet når vi skal ﬁnne en formel for t. 155 + 1, 2t = v 1, 2t = v − 115 1, 2t v − 15 = 1, 2 1, 2 v − 15 t= 1, 2 b) Vi skal ﬁnne tida t når farten v er 24 m/s. t=

24 − 15 9 = = 7, 5 1, 2 1, 2

Farten er 24 m/s etter 7,5 s.

EKSEMPEL En bil står i ro på en rett veistrekning og får konstant akselerasjon a ved t = 0. a) Finn en formel for akselerasjonen a uttrykt med strekningen s og tida t. b) Finn akselerasjonen når bilen har kjørt 256 m etter 16 s. Løsning:

a) Her er startfarten v0 = 0 . Dermed er 1 1 2 1 2 s = v0t + at 2 = 0 ⋅ t + at at = aat 2 2 2 Altså er 1 2 at = s | ⋅2 2 at 2 2s = 2 t2 t 2s a= 2 t

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 60

25.05.2017 13:11:01

b) Når bilen har kjørt 256 m på 16 s, er akselerasjonen 2 ⋅ 256 =2 162 Akselerasjonen er 2 m/s2. a=

OPPGAVE 2.24

En bil kjører med farten 10 m/s på en rett veistrekning og får en konstant akselerasjon på 1,5 m/s2 ved t = 0. a) Finn en formel for tida t i sekunder uttrykt med farten v målt i meter per sekund. b) Bruk formelen i oppgave a og ﬁnn hvor lang tid det går før farten er 28 m/s. OPPGAVE 2.25

a) Bruk formelen v = v0 + aat og ﬁnn en formel for akselerasjonen a uttrykt med v, v0 og t. b) En bil øker farten fra 10 m/s til 22 m/s på 4,5 s. Finn akselerasjonen. OPPGAVE 2.26

a) Bruk formelen v = v0 + aat til å vise at farten f målt i kilometer per time er gitt ved f = f 0 + 3, 6aat der f 0 er startfarten i kilometer per time, tida t er målt i sekunder, og a er akselerasjonen målt i meter per sekund2. b) Finn farten til en bil målt i kilometer per time etter 8 s når startfarten er 50 km/h og akselerasjonen er 1,2 m/s2. c) Finn en formel for akselerasjonen a uttrykt med f , f 0 og t. d) Finn akselerasjonen til en bil som øker farten fra 50 km/h til 100 km/t på 20 s. OPPGAVE 2.27

a) En bil står i ro og får en konstant akselerasjon a ved t = 0. Finn en formel for tida t uttrykt med strekningen s og akselerasjonen a. b) Hvor lang tid bruker en bil på 400 m når akselerasjonen er 2,5 m/s2?

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 61

25.05.2017 13:11:03

2.3 Kvadratsetningene I kapittel 1.3 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Nå skal vi multiplisere noen spesielle uttrykk:

a b

a b a b a a a b b a b b a 2 ab ab ab ab b 2 a 2 2aabb b 2

a b

a b a b a a a b b a b b b a 2 ab ab ab ab b 2 a 2 2ab ab b 2

Ovenfor beviste vi nå første og andre kvadratsetning. Det ﬁns en setning til av samme slaget:

a b a b a a a b b a b b a 2 aabb ab ab b 2 a 2 b2 Denne setningen kaller vi konjugatsetningen. Vi kaller den også tredje kvadratsetning, enda vi ikke regner ut noe kvadrat. Men ofte bruker vi denne setningen den andre veien. Da får vi at a 2 b 2 a b a b . Det gir oss et uttrykk for en diﬀeranse mellom to kvadrater. Derfor kaller vi også denne setningen en kvadratsetning.

Andre kvadratsetning:

a b a 2 2aabb b2 2 a b a 2 2aabb b2

Konjugatsetningen eller tredje kvadratsetning:

a b a b

Første kvadratsetning:

a 2 b2

EKSEMPEL Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) y 5 c) x 2 x 2 a) x 3 2 d) 2 x 3 2 x 3 e) 2t 1 2t 1 2t 1

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 62

17.01.2018 11:12:24

Løsning:

( x + 3) = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 2 ( y − 5) = y 2 − 2 ⋅ y ⋅ 5 + 52 = y 2 − 10 y + 25 ( x + 2 ) ( x − 2 ) = x 2 − 22 = x 2 − 4

( 2 x − 3) ⋅ ( 2 x + 3) = ( 2 x )

( 2t + 1) − ( 2t + 1) ( 2t − 1) = ( 2t )

a) b)

− 3 = 4x − 9 2

Legg merke til at (2x)2 = 2x · 2x = 4x2

(

+ 2 ⋅ 2t ⋅1 + 12 − ( 2t ) − 12 2

)

= 4t 2 + 4t + 1 − 4t 4t 2 + 1 = 4t + 2

OPPGAVE 2.30

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) ( x + 4 ) a) ( x − 1) d) ( t + 3)( t − 3) e) ( y − 4 )( y + 4 )

c) ( t + 5 )

OPPGAVE 2.31

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 1  1  1  a)  t −  ⋅  t +  b)  x +  2  2  2  2 2 d) ( 3x − 2 ) e) ( 5 x + 1)

c) ( 2 x − 5 )( 2 x + 5 )

OPPGAVE 2.32

Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. 2 a) ( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) 2 2 b) ( x + 3) − ( x − 3) 2 c) ( 2 x − 3) − 4 ( x + 2 )( x − 3) d) 2 ( t − 4 ) ( t + 4 ) + 3 ( t + 4 )

Du kan regne eksemplene ovenfor uten å bruke kvadratsetningene, men du bør likevel bruke kvadratsetningene, for vi skal snart bruke dem baklengs. Skal vi få til det, må vi ha god trening i å bruke setningene slik som vist ovenfor. Kvadratsetningene kan vi også bruke til vanlig tallregning. Metoden egner seg til hoderegning.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 63

25.05.2017 13:11:12

EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 ⋅ 21 b) 25 ⋅ 35 c) 39 ⋅ 39 d) 2 − 3 2 + 3

(

)((

)

Løsning:

19 ⋅ 21 = (20 − 1) ⋅ (20 + 1) = 202 − 12 = 400 − 1 = 399

25 ⋅ 35 = (30 − 5) ⋅ (30 + 5) = 302 − 52 = 900 − 25 = 875

39 ⋅ 39 = 392 = (40 − 1) = 402 − 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 12 = 1600 − 80 + 1 = 1521 2

( 2 − 3 )(( 2 + 3 ) = 2 − ( 3 )

= 4 − 3 =1

Husk at 3 er det tallet som ganget med seg selv gir 3. Altså er

( 3)

= 3⋅ 3 =3

OPPGAVE 2.33

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 29 ⋅ 31 b) 192 c) 212 d) 28 ⋅ 32 e) 35 ⋅ 45 f) 103 ⋅ 97 OPPGAVE 2.34

Regn ut uten å bruke lommeregner. 2 +1 2 −1 b) 5 − 2 ⋅ a)

(

)((

)

(

)(

5+2

)

(

7 +3

)((

7 −3

)

2.4 Faktorisering Et uttrykk består av ﬂere ledd når det er sammensatt av ﬂere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket 2 x2 + 5x + 6 har tre ledd: 2x2, 5x og 6. Uttrykket 5 xy + 3 ( x + y ) + y 2 består av de tre leddene 5xy, 3 ( x + y ) og y 2. Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det har bare ett ledd. Uttrykket 3 ( x + 5)( x − 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, ( x + 5) og ( x − 3).

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 64

25.05.2017 13:11:15

Uttrykket 3( x + 5) y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3( x + 5) y og 7. Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av ﬂere faktorer. Vi skal lære ﬂere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4x + 12 = 4 ⋅ x + 4 ⋅ 3 = 4( x + 3) x2 − 4x = x ⋅ x − 4 ⋅ x = ( x − 4) ⋅ x = ( x − 4) x 3x3 − 9x = 3x ⋅ x2 − 3x ⋅ 3 = 3x ( x2 − 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd.

Hvis vi skriver 3x3 − 9 x = 3⋅ 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ x − 3 ⋅ 3⋅ 3 x har vi ikke faktorisert uttrykket. Da har vi bare faktorisert leddene i uttrykket. Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere faktoriseringen: 3x ( x2 − 3) = 3x ⋅ x2 − 3x ⋅ 3 = 3x3 − 9x Vi må være forsiktige når vi setter et negativt tall utenfor en parentes: −6x2 + 4x − 10 = −2(3x2 − 2x + 5) −3x2 − 6x = −3x ( x + 2) Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: −3x ( x + 2) = −3x ⋅ x + (−3x) ⋅ 2 = −3x2 − 6x

OPPGAVE 2.40

Hvor mange ledd består uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? b) x2 − 4x + 4 a) 2x ( x − 2) + 4x c) ( x − 4y)(2x − y) d) ( x − 2)2 OPPGAVE 2.41

Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x + 6 b) 2x2 − 3x 3 2 c) 2y − 4y d) 2x3 − 4x2 + 6x OPPGAVE 2.42

Trekk mest mulig utenfor en parentes. a) 2xy2 + 4x b) 5xy2 − 10xy 2 2 2 c) a b + 3a b + ab d) 3x2 + 6xy − 9x

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 65

25.05.2017 13:11:15

Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en diﬀeranse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a 2 − b2 = ( a + b ) ( a − b )

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene om mulig ved hjelp av konjugatsetningen. a) x2 − 4 b) x2 − 5 c) 4t2 − 9 d) 9 x 2 + 4 Løsning:

x2 − 4 = x2 − 22 = ( x + 2)( x − 2)

x2 − 5 = x2 − ( 5 ) = ( x + 5 ))(( x − 5 )

4t2 − 9 = ( 2t ) − 32 = (2t + 3)(2t − 3)

9 x 2 + 4 = ( 3 x ) + 22

Her står det + mellom de to kvadratene. Da kan vi ikke bruke konjugatsetningen. Vi kan vise at det ikke går an å faktorisere uttrykket på noen annen måte heller.

Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning (konjugatsetningen).

EKSEMPEL Faktoriser 3x3 − 48x. Løsning:

(

)

(

)

3x3 − 48 x = 3x x 2 − 16 16 = 3x x 2 − 42 = 3x ( x + 4 ) ( x − 4 )

OPPGAVE 2.43

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 9

b) t 2 − 16

c) x 2 −

1 4

d) 2 x 2 − 8

OPPGAVE 2.44

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) x 2 + 4 c) 9 x 2 − 1 a) 4 x 2 − 9

d) 122 x3 − 7755 x

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 66

25.05.2017 13:11:19

2.5 Forkorting av rasjonale uttrykk Når vi skal forkorte rasjonale uttrykk, og når vi skal ﬁnne fellesnevneren, får vi bruk for det vi nå har lært om faktorisering.

EKSEMPEL Regn ut. x 2 + 2 x 27 ⋅ a) 3 3x + 6

9x 4 + 2 x + 6 3x + 9

Løsning:

a) Først faktoriserer vi og setter alt på én brøkstrek. Deretter forkorter vi brøken. 1

x ⋅ ( x + 2 ) ⋅ 227

x + 2 x 27 27 x 3x ⋅ = = = = 3x 3 3x + 6 3 ⋅ 3 ⋅ ( x + 2 ) 1 9 2

b) Først faktoriserer vi nevnerne for å ﬁnne fellesnevneren. 2 x + 6 = 2 ⋅ ( x + 3)

3 x + 9 = 3 ⋅ ( x + 3)

Fellesnevneren er 2 ⋅ 3 ⋅ ( x + 3) = 6 ( x + 3) Nå utvider vi brøkene slik at de får samme nevner. Deretter trekker vi sammen. 9x 4 9x 4 + = + 2 x + 6 3 x + 9 2 ( x + 3) 3 ( x + 3) =

3 ⋅ 9x 2⋅4 27 x 8 + = + 3 ⋅ 2 ( x + 3) 2 ⋅ 3 ( x + 3) 6 ( x + 3) 6 ( x + 3)

27 x + 8 27 x + 8 = 6 ( x + 3) 6 x + 118

Vi må alltid se etter om vi kan forkorte svaret før vi ganger sammen uttrykkene i nevneren.

OPPGAVE 2.50

Regn ut. 2 6x − 9 a) ⋅ 3 4x

b) 2 ⋅

x −1 2x − 4

1 2 ⋅ 2 x+3

x 2x + 4 ⋅ 2 3x

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 67

25.05.2017 13:11:22

OPPGAVE 2.51

Regn ut. x + 2 3x + 9 ⋅ a) 3 2x + 4

2 x − 4 3x + 3 ⋅ x + 1 7 x − 114

x 2 − 3x 2 x − 1 ⋅ x + 1 2x − 6

OPPGAVE 2.52

Trekk sammen. x x + 2 5x − a) + 3 2 6 1 3x − 4 2 c) + + 2 2x x

x +1 x + +2 2 4 2− x x−2 1 d) − + x2 2x 2 b)

Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi skal trekke sammen rasjonale uttrykk.

EKSEMPEL Regn ut. 2 x + 4 x2 − 1 ⋅ x −1 6x Løsning:

Først faktoriserer vi telleren og nevneren mest mulig. For å faktorisere x2 − 1 må vi bruke konjugatsetningen. x 2 − 1 = x 2 − 12 = ( x − 1) ( x + 1) Deretter forkorter vi før vi multipliserer. 2 x + 4 x 2 − 1 2 ( x + 2 ) ⋅ ( x − 1) ( x + 1) ⋅ = x −1 6x ( x − 1) ⋅ 6 x 1

2 ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 1) ( x +1 + 1)

( x − 1) ⋅ 6 ⋅ x 1

( x + 2 ) ( x + 1) = x 2 + 3x + 2 3x

OPPGAVE 2.53

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig. x2 − 4 4 x2 − 9 a) b) 2x − 4 4x − 6 1 x+3 1 3 2 + 2 + d) 2 − 2 c) 3x − 3 x − 1 x + 1 x − 2x x − 4 Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 68

25.05.2017 13:11:28

2.6 Fullstendige kvadrater Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x2 + 6x + 9 er et fullstendig kvadrat fordi x2 + 6x + 9 = ( x + 3)

Vi kontrollerer om dette er riktig ved å regne ut ( x + 3) ved hjelp av den første kvadratsetningen: 2

( x + 3)

= x 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = x 2 + 6 x + 9

Hvordan kan vi ﬁnne ut om x2 + bx + c er et fullstendig kvadrat? Da må x2 + bx + c = ( x + k)

der k er et eller annet tall. Vi bruker nå første kvadratsetning og regner ut uttrykket på høyre side. Det gir x2 + bx + c = x2 + 2kx + k2 Disse uttrykkene skal være like for alle verdier av x. Da må tallene foran x være like. Vi får 2k = b k=

b 2

Leddene uten x (konstantleddene) må også være like. Det gir b c=k =  2

b Uttrykket x + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom   = c . Da er 2 2 b  2 x + bx + c =  x +  2  2

EKSEMPEL Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater. Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig, og kontroller faktoriseringen. a) x 2 + 8 x + 16 b) x 2 − 4 x + 2

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 69

25.05.2017 13:11:28

Løsning:

a) I uttrykket x 2 + 8 x + 16 er b = 8 og c = 16. Det gir b 8 2  2  =  2  = 4 = 16     2

Både  b  og c er dermed lik 16. Vi har et fullstendig kvadrat som 2

vi kan faktorisere på denne måten: b  8 2  x 2 + 8 x + 16 =  x +  =  x +  = ( x + 4 ) 2 2     2

Denne faktoriseringen kontrollerer vi ved hjelp av første kvadratsetning:

( x + 4)

= x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 42 = x 2 + 8 x + 16

Faktoriseringen stemmer. b) For uttrykket x 2 − 4 x + 2 er 2  b   −4  −2 ) = 4  2  =  2  = ( −2     2

Men ettersom c = 2, er ikke  b  lik c. 2

Uttrykket er ikke noe fullstendig kvadrat.

OPPGAVE 2.60

Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater, og faktoriser de fullstendige kvadratene. 9 b) x 2 + 3x + a) x 2 − 10 x + 25 4 c) x 2 + 6 x + 8 d) t 2 − 5t + 6 OPPGAVE 2.61

Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x 2 + 4 x + c b) x 2 − 4 x + c 2 c) x − 6 x + c d) x 2 + 5 x + c

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 70

25.05.2017 13:11:33

I kapittel 2.4 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk med to ledd. x2 − 4 x = x ( x − 4) x2 − 4 = ( x + 2) ( x − 2) Andregradsuttrykket x 2 + bx + c faktoriserer vi ved å lage et fullstendig 2

kvadrat ut fra x 2 + bx. Vi legger til og trekker fra  b  . Nå skal vi se hvordan 2 vi faktoriserer x 2 + 4 x + 3. x2 + 4 x + 3 = x2 + 4 x + 22 − 22 + 3 Fullstendig kvadrat

= ( x + 2) − 1 2

Første kvadratsetning

= ( x + 2 ) − 12 2

= ( ( x + 2 ) + 1))(( ( x + 2 ) − 1)

Konjugatsetningen

= ( x + 3)( ) ( x + 1)

Faktoriseringer kan vi alltid kontrollere ved multiplikasjon.

( x + 3)( x + 1) = x 2 + x + 3x + 3 = x 2 + 4 x + 3 Faktoriseringen er riktig. Når vi skal faktorisere x 2 + bx + c, kan vi gjøre det på denne måten: 2

Først legger vi til og trekker fra  b  og får 2

b b x + bx + c = x + bx +   −   + c 2  2   2

Fullstendig kvadrat

De tre første leddene på høyre side av likhetstegnet faktoriserer vi nå ved hjelp av første eller andre kvadratsetning. De to siste leddene trekker vi sammen og får tallet d. Det gir 2

b  x 2 + bx + c =  x +  + d 2  Hvis tallet d er et negativt tall, kan vi faktorisere uttrykket ovenfor ved hjelp av konjugatsetningen. Hvis tallet d er positivt, er det ikke mulig å faktorisere x 2 + bx + c.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 71

25.05.2017 13:11:36

EKSEMPEL a) Faktoriser uttrykket. x 2 − 7 x + 12 b) Forkort uttrykket. x 2 − 7 x + 12 2x − 6 Løsning:

a) Vi følger framgangsmåten på forrige side. 2

7 7 x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 7 x +   −   + 12  2  2 A e kvadratsetning Andr 2

7  49 48  =x−  − + 2 4 4  2

7 1  =x−  − 2 4  2

7 1  =x−  −  2 2  Konjuga etningen Konjugats

 7  1   7 1 =  x −  −  ⋅ x −  +  2 2 2 2     7 1  7 1  =  x − − ⋅ x − +  2 2  2 2  8  6  =  x − ⋅ x −  2 2    = ( x − 4 ) ⋅ ( x − 3) b) I telleren bruker vi faktoriseringen fra oppgave a. I tillegg faktoriserer vi nevneren og får x 2 − 7 x + 12 ( x − 4 ) ( x − 3 ) x − 4 = = 2x − 6 2 2 ⋅ ( x − 3)

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 72

25.05.2017 13:11:38

EKSEMPEL Faktoriser uttrykket om det er mulig. x2 − 4 x + 5 Løsning:

Først danner vi et fullstendig kvadrat av de to første leddene. x2 − 4 x + 5 2

4 4 = x2 − 4 x +   −   + 5 2 2 2 = x − 4 x + 22 − 22 + 5 A e kvadratset Andr etning

= ( x − 2) − 4 + 5 2

= ( x − 2) + 1 2

Uttrykket ( x − 2 ) + 1 kan vi ikke faktorisere ved hjelp av konjugatsetningen fordi det står et plusstegn mellom de to leddene. Vi kan dermed heller ikke faktorisere x 2 − 4 x + 5. 2

Uttry Uttrykket x 2 − 4 x + 5 kan vi ikke faktorisere.

Det er bare andregradsuttrykk med tre ledd vi faktoriserer ved å lage fullstendige kvadrater. Uttrykket ax 2 + bx faktoriserer vi ved å sette x utenfor en parentes. Uttrykket ax 2 + c faktoriserer vi med konjugatsetningen hvis det lar seg gjøre. Tallene a og c må da ha motsatt fortegn.

OPPGAVE 2.62

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 8 x + 12 b) x 2 + 3x + 2 2 c) x − 2 x − 15 d) x 2 + 5 x + 6 OPPGAVE 2.63

a) Faktoriser uttrykket x2 − 4 x + 3 b) Trekk sammen x2 − 4 x + 3 2 ⋅ 6 x −1

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 73

25.05.2017 13:11:41

Når vi skal faktorisere ax 2 + bx + c, må vi først sette tallet a utenfor en parentes. Deretter faktoriserer vi uttrykket i parentesen slik vi lærte foran.

EKSEMPEL Faktoriser uttrykket 2 x 2 + 12 12 x + 110 Løsning:

2 x 2 + 12 12 x + 110

(

= 2 x2 + 6 x + 5

)

2 2   6 6 = 2  x2 + 6 x +   −   + 5    2 2  

= 2( x2 + 6 x + 32 −32 + 5

)

Første kvadratsetning

( ) = 2 ( ( x + 3) − 4 ) = 2 ( ( x + 3) − 2 ) = 2 ( x + 3) − 9 + 5 2

Konjuga etningen Konjugats

= 2 ( ( x + 3) + 2 ) ( ( x + 3) − 2 ) = 2 ( x + 3 + 2)( x + 3 − 2) = 2 ( x + 5 ) ( x + 1)

OPPGAVE 2.64

Faktoriser uttrykkene. 10 x + 8 a) 2 x 2 + 10 b) −3x 2 − 3x + 6 30 x + 225 c) 5 x 2 − 30

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 74

25.05.2017 13:11:47

2.7 Andregradslikninger med to ledd Likningene x 2 − 4 = 0, 0 x 2 − 3x = 0 og x 2 − 5 x + 6 = 0 er eksempler på andregradslikninger. Nå skal vi lære å løse andregradslikninger ved regning. I dette delkapittelet lærer vi å løse andregradslikninger med bare to ledd. I det neste delkapittelet lærer vi å løse slike likninger der alle de tre leddene er med. Andregradslikningen x2 − 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x2 − 4 = 0 x2 = 4 x = 2 eller x = −2 Ofte skriver vi bare x = ±2 i stedet for x = 2 eller x = −2. x = ± a betyr x = a eller x = −a Vi ser på noen ﬂere eksempler.

EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 2 x 2 − 8 = 0 b) x 2 + 3 = 0 Løsning:

2 x2 − 8 = 0 2 x2 = 8 2 x2 8 = 2 2 x2 = 4 x = −22 eller x = 2

Likningen har to løsninger.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 75

25.05.2017 13:11:47

x2 + 3 = 0 x 2 = −3 Det ﬁns ingen tall x som er slik at x2 blir mindre enn null. Tallet x2 kan derfor ikke bli lik −3, og likningen x 2 = −3 har dermed ingen løsning. Likningen har ingen løsning.

OPPGAVE 2.70

Løs likningene. a) x 2 = 9 4 c) x 2 = 20 5

b) 2 x 2 = 110 d) x 2 = −3

OPPGAVE 2.71

Løs likningene. a) 3x 2 + 1 = 1 b) 2 x 2 + 1 = 10

(

)

c) 3x + 2 = x 2 − 4 2 d) ( x − 1) = 4 2 e) ( x + 2 ) = 1 2

OPPGAVE 2.72

a) Et kvadrat har arealet 18 cm2. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 12,56 m2. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen.

Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså et av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r ⋅ s = 0,, så er r = 0 eller s = 0..

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 76

25.05.2017 13:11:51

Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd.

EKSEMPEL Løs likningen x 2 − 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning:

Vi setter x utenfor en parentes. x 2 − 3x = 0 ( x − 3) ⋅ x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x − 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x2 − 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 2 − 3x = 32 − 3 ⋅ 3 = 9 − 9 = 0 x = 0 gir x 2 − 3x = 02 − 3 ⋅ 0 = 0 − 0 = 0 Begge x-verdiene passer.

I eksempelet ovenfor var løsningen x = 3 eller x = 0 Noen ganger bruker vi det matematiske symbolet ∨ i stedet for ordet ‘eller’. Da skriver vi at løsningen er x = 3∨ x = 0 Symbolet ∨ betyr altså ‘eller’.

OPPGAVE 2.73

Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x ( x − 2 ) = 0 b) x 2 + 3x = 0 2 c) 2 x − 4 x = 0 d) 5 x 2 + 3x = 0 OPPGAVE 2.74

Løs likningene. a) x 2 + 2 x + 3 = 2 x + 7

b) x 2 + 2 x + 3 = 4 x + 3

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 77

25.05.2017 13:11:55

2.8 Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen ﬁnner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax 2 + bx + c = 0 har løsningene −b ± b 2 − 4ac 2a når b 2 − 4ac ≥ 0. x=

Nullpunktene til et uttrykk er de verdiene for variabelen som gjør at uttrykket blir lik 0. Nullpunktene til uttrykket ax2 + bx + c er dermed det samme som løsningene av likningen ax2 + bx + c = 0.

EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 2 − 4 x + 3 = 0 b) −t 2 + 4t − 4 = 0 c) 2u 2 − 4u + 3 = 0 Løsning:

a) Når vi sammenlikner likningen x2 − 4 x + 3 = 0 med likningen ax 2 + bx + c = 0 ser vi at a = 1, b = −4 og c = 3. Vi setter inn i formelen. x= x=

−b ± b 2 − 4ac 2a − ( −4 ) ±

( −4 )

− 4 ⋅1 ⋅ 3

2 ⋅1 4 ± 16 − 12 x= 2

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 78

25.05.2017 13:11:59

4± 4 2 4±2 x= 2 4−2 4+2 x= eller x = 2 2 x = 1 eller x = 3 x=

b) I likningen −t 2 + 4t − 4 = 0 er a = −1, b = 4 og c = −4. Det gir t= t=

−b ± b 2 − 4ac 2a −4 ± 42 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ ( −4 ) 2 ⋅ ( −1)

−4 ± 16 − 16 −2 −4 ± 0 t= −2 −4 ± 0 t= −2 −4 t= −2 t=2 t=

Denne likningen har bare én løsning. c) I likningen 2u 2 − 4u + 3 = 0 er a = 2, b = −4 og c = 3 . Det gir u=

− ( −4 ) ±

( −4 )

− 4⋅2⋅3

2⋅2 4 ± 16 − 24 u= 4

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 79

25.05.2017 13:12:02

4 ± −8 4 −8 ﬁns ikke, og vi kan dermed ikke regne ut noen verdi for x. u=

Likningen har ingen løsning.

Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 2.7.

OPPGAVE 2.80

Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 2 − 5 x + 6 = 0 b) 2t 2 + 2t − 12 = 0 c) 2s 2 − 4s + 2 = 0 d) u 2 − 2u + 2 = 0 17v + 12 12 = 0 e) 6v 2 − 17

Når vi løser andregradslikninger ved hjelp av andregradsformelen, må vi alltid ordne likningen først. Hvis vi skal løse likningen x2 − 2 x + 2 = 2 x − 1 må vi først ﬂytte alle leddene over på venstre side av likhetstegnet slik at vi får 0 på høyre side. Det gir x2 − 4 x + 3 = 0 Den likningen løser vi deretter slik vi gjorde i eksempelet foran. Andre ganger må vi ordne rasjonale uttrykk før vi kommer fram til andregradslikningen.

EKSEMPEL Løs likningen x x2 2 + =4+ 2 2 ( x − 2) x−2

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 80

25.05.2017 13:12:04

Løsning:

Her må vi forutsette at x ≠ 2, for x = 2 gir 0 i nevnere. Vi multipliserer med fellesnevneren 2 ( x − 2 ) på begge sider av likhetstegnet. x x2 2 + =4+ | ⋅ 2 ( x − 2) 2 2 ( x − 2) x−2 1 x 1 x2 2 ⋅ 2 ( x − 2) + ⋅ 2 ( x − 2) = 4 ⋅ 2 ( x − 2) + ⋅ 2 ( x − 2) 2 2 ( x − 2) ( x − 2) 1

x − 2 x + x = 8x 8 x − 16 + 4 2

2 x 2 − 2 x − 8 x + 1166 − 4 = 0 2 x 2 − 10 x + 12 = 0 | : 2 x2 − 5x + 6 = 0 x=

− ( −5 −5 ) ±

( −5)

− 4 ⋅ 1⋅ 1 6

5 ±1 x= 2 x=2 ∨x=3

Vi kan ikke sette inn x = 2 i likningen i denne oppgaven, for det gir 0 i nevneren. Løsningen er x=3

OPPGAVE 2.81

Løs likningene. a) x 2 − 4 x = 2 b) 2 x 2 − 2 x = 2 x − 2 c) x 2 − 2 x + 1 = − x + 1 2 d) x − 2 = 1 − x 1 x 3 x−3 e) + = − x−2 4 4 x−2

Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare en av løsningene som kan brukes.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 81

25.05.2017 13:12:07

EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Arealet av rektangelet er 108 cm2. Hvor lange er sidene? Løsning:

Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x − 3) cm.

108 cm2

(x – 3) cm

x cm

Arealet i kvadratcentimeter blir A = x ⋅ ( x − 3) = x 2 − 3 x Ettersom arealet er 108 cm2, får vi likningen x 2 − 3x = 108 x 2 − 3x − 108 = 0 x=

− ( −3 −3) ±

( −3)

− 4 ⋅ 1⋅ 1 ⋅ ( −108 )

2 ⋅1

3 ± 9 + 432 2 3 ± 441 x= 2 3 ± 21 x= 2 24 −18 x= eller eelle llerr x = 2 2 x = 12 elle eller x = −9 x=

En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 12. Den lengste siden er 12 cm, og den korteste er 12 cm − 3 cm = 9 cm.

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 82

25.05.2017 13:12:08

OPPGAVE 2.82

Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved formelen h = −5t 2 + 10t a) b) c) d)

Når er steinen 2 m over bakken? Når er steinen 5 m over bakken? Når er steinen 7 m over bakken? Bruk utregningene ovenfor til å ﬁnne ut hvor høyt kastet var.

OPPGAVE 2.83

Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m. Arealet av jordstykket er 8800 m2. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 − x) meter. b) Forklar hvorfor arealet A er gitt ved formelen A = x ⋅ (190 − x ) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 2 − 190 x + 8800 = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. OPPGAVE 2.84

Summen av to tall er 102, og produktet av tallene er 2565. Finn tallene.

BEVIS FOR ANDREGRADSFORMELEN

Nå skal vi bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax 2 + bx + c = 0 er a, b og c tre tall der a ≠ 0. Først ﬂytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax 2 + bx = −c Deretter deler vi alle leddene med tallet a som står foran x2. x2 +

b c x=− a a

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 83

25.05.2017 13:12:10

Nå danner vi et fullstendig kvadrat ved å legge til  b  på begge  2a  sidene av likhetstegnet. b  b   b  c x+  =  − a  2a   2a  a 2

x2 +

b  b2 c  x + = −   2 2a  4a a  2

b  b2 4a ⋅ c   x + 2a  = 4a 2 − 4a ⋅ a   2

b  b 2 − 4 ac  x + =  2a  4a 2  2

b  d   x + 2a  = 4a 2   2

der d = b 2 − 4ac. Tallet d kaller vi diskriminanten til likningen. Det er d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d . Da får vi x+

b d =± 2a 4a 2

b d =± 2a 2a b d x=− ± 2a 2a −b ± d x= 2a x+

Vi setter inn for diskriminanten d og får −b ± b 2 − 4ac 2a Vi har bevist andregradsformelen. x=

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 84

25.05.2017 13:12:16

2.9 Faktorisering av andregradsuttrykk Vi multipliserer 2 ( x − 1) ( x − 5 ) og får

(

2 ( x − 1) ( x − 5 ) = 2 x 2 − 5 x − x + 5

(

)

= 2 x 2 − 6 x + 5 = 2x 2 x 2 − 12 x + 10 Dermed er 2 x 2 − 12 12 x + 1100 = 2 ( x − 1) ( x − 5 ) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi ﬁnner først nullpunktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Da sier vi at uttrykket har et dobbelt nullpunkt. Uttrykket x 2 − 2 x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1, og det er da et dobbelt nullpunkt. Andre kvadratsetning gir

( x − 1)

= x2 − 2 x + 1

Dermed kan vi bruke det doble nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi derfor ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har nullpunktene x = x1 og x = x2 , er ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) Dersom andregradsuttrykket bare har nullpunktet x = x1, er ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )

Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 85

25.05.2017 13:12:16

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) 2 x 2 − 4 x − 6 b) x 2 − 5 x + 7 c) 2t 2 − 12 12t + 118 Løsning:

a) Først bruker vi andregradsformelen og ﬁnner nullpunktene. 2 x2 − 4 x − 6 = 0 x=

− ( −4 −4 ) ±

( −4 )

− 4 ⋅ 2 ⋅ ( −6 )

2⋅2 4 ± 16 16 + 448 x= 4 4 ± 664 x= 4 4±8 x= 4 x = −11 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2 x 2 − 4 x − 6 = 2 ( x − ( −1) ) ( x − 3) 2 x 2 − 4 x − 6 = 2 ( x + 1) ( x − 3) Husk å ta med tallet foran x2 i faktoriseringen.

b) Vi bruker andregradsformelen og ﬁnner nullpunktene. x2 − 5x + 7 = 0 x=

− ( −5 −5 ) ±

( −5)

− 4 ⋅ 1⋅ 1 7

2 5 ± 25 25 − 228 x= 2 5 ± −3 x= 2 Kvadratrota av −3 ﬁns ikke, og uttrykket har derfor ikke noe nullpunkt. Det kan da ikke være et produkt av to førstegradsfaktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket.

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 86

25.05.2017 13:12:18

c) Vi bruker andregradsformelen og ﬁnner nullpunktene til uttrykket 2t 2 − 12 12t + 118. 2t 2 − 12 12t + 18 18 = 0 | : 2 t 2 − 6t + 9 = 0 t=

− ( −6 −6 ) ±

( −6 )

− 4 ⋅ 1⋅ 1 9

6±0 t= 2 t =3 Uttrykket har bare det ene nullpunktet t = 3. Det gir faktoriseringen 2t 2 − 12 12t + 1188 = 2 ( t − 3)

OPPGAVE 2.90

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 8 x + 12 b) x 2 − 3x + 2

c) 2t 2 − 4t − 30

d) 6u 2 − 5u + 1

OPPGAVE 2.91

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) x 2 − 6 x + 9 c) s 2 − 6s + 10 a) x 2 − 6 x + 8

d) v 2 − 6v

Andregradslikningen x 2 + 7 x + 12 = 0 har løsningene x = −4 og x = −3. Dermed er x 2 + 7 x + 12 = ( x − ( −4 ) ) ( x − ( −3) ) = ( x + 4 ) ( x + 3) Her legger vi merke til at 4 + 3 = 7 og 4 ⋅ 3 = 12. Summen av tallene er lik tallet 7 foran x, og produktet er lik konstantleddet 12. Vi undersøker om det stemmer for alle slike andregradsuttrykk. Vi tenker oss at vi har faktorisert uttrykket x 2 + bx + c og har fått x 2 + bx + c = ( x + d ) ( x + e ) x 2 + bx + c = x 2 + ex + dx + de x 2 + bx + c = x 2 + ( e + d ) x + dde Disse to uttrykkene er like hvis e + d = b og d ⋅ e = c. Det stemmer med det vi så ovenfor.

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 87

25.05.2017 13:12:23

Hvis vi ﬁnner to tall d og e slik at d + e = b og d ⋅ e = c, så er x 2 + bx + c = ( x + d ) ( x + e ) Denne egenskapen kan vi utnytte til å faktorisere noen andregradsuttrykk i hodet.

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene i hodet. a) x 2 + 5 x + 6 b) x 2 − x − 2 Løsning:

a) Her må vi ﬁnne to tall som er slik at produktet blir 6 og summen blir 5. Tallene er 2 og 3. Dermed er x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3) b) Her må produktet av tallene være −2 og summen −1. Tallene er da −2 og 1. Det gir x 2 − x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 1)

Denne metoden fungerer bare når tallet a foran x2 er lik 1. I praksis får vi bare til å bruke denne metoden når alle tallene b, c, d og e er hele tall.

OPPGAVE 2.92

Faktoriser uttrykkene i hodet. a) x 2 + 6 x + 8 b) x 2 − 4 x + 3

c) x 2 − 2 x − 3

d) x 2 + 6 x + 9

Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi skal trekke sammen rasjonale uttrykk.

EKSEMPEL Trekk sammen. x −8 1 + 2 x − 14 x + 20 2 x − 10 2

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 88

25.05.2017 13:12:26

Løsning:

Først må vi faktorisere nevnerne.

(

2 x 2 − 14 14 x + 2200 = 2 ⋅ x 2 − 7 x + 1100

)

Uttrykket x − 7 x + 10 kan vi faktorisere i hodet. Da må vi ﬁnne to tall slik at summen er −7 og produktet er 10. Tallene er −2 og −5. Det gir 2

2 x 2 − 14 14 x + 2200 = 2 ( x − 2 ) ( x − 5 ) Dermed er x −8 1 + 2 x − 14 x + 20 2 x − 10 x −8 1 = + 2 ( x − 2 ) ( x − 5) 2 ( x − 5) 2

1⋅ ( x − 2) x −8 + 2 ( x − 2 ) ( x − 5) 2 ( x − 5) ⋅ ( x − 2 )

( x − 8) + ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ))(( x − 5 )

x −8+ x − 2 2 ( x − 2 ) ( x − 5)

2 x − 10 2 ( x − 2 ) ( x − 5) 1

Fellesnevneren er 2(x − 5)(x − 2). Vi utvider brøkene slik at de får samme nevner.

2 ( x − 5) 2 ( x − 2 ) ( x − 5) 1

1 = x−2

OPPGAVE 2.93

Faktoriser og forkort. x2 − 4 4 x2 − 9 a) b) 2x − 4 4x − 6

x2 − 4 x + 3 2 ⋅ 6 x −1

OPPGAVE 2.94

Finn fellesnevneren og trekk sammen. 1 2x + 2 2 x +1 a) + b) − 3x − 3 x 2 − 1 x − 3 x2 − 4 x + 3 3 2 x +1 3 4 c) 2 − 2 d) 2 + − x − 2x x − 4 x − 5x + 6 x − 2 x − 3

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 89

25.05.2017 13:12:30

SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan ﬂytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Fart og akselerasjon La v være farten målt i meter per sekund. Da er farten målt i kilometer per time gitt ved f = 3, 6 ⋅ v En gjenstand beveger seg langs ei rett linje. Gjenstanden har konstant akselerasjon a målt i meter per sekund2 og har til å begynne med farten v0 målt i meter per sekund. Farten i meter per sekund etter t sekunder er gitt ved formelen v = v0 + aat Den tilbakelagte strekningen i meter etter t sekunder er da gitt ved formelen 1 s = v0t + at 2 2 Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning):

( a + b ) = a 2 + 2aabb + b2 2 ( a − b ) = a 2 − 2aabb + b2 ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2 2

Fullstendig kvadrat Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. 2

Uttrykket x2 + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom  b  = c. Da er b  x + bx + c =  x +  2 

2

Sinus Forkurs > Algebra

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 90

25.05.2017 13:12:32

Metoden med fullstendige kvadrater Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, kan vi gå fram på denne måten: 1. Trekk tallet foran x2 utenfor en parentes.

 tallet foran x  2. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra  . 2   2

3. Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene. 4. Faktoriser uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen hvis det lar seg gjøre. Produktregelen Dersom a ⋅ b = 0, så er a = 0 eller b = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax 2 + bx + c = 0 har løsningene −b ± b 2 − 4ac 2a når b 2 − 4ac ≥ 0. x=

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktene Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har nullpunktene x = x1 og x = x2 , er ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) Dersom andregradsuttrykket bare har nullpunktet x = x1, er ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )

Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. Faktorisering av andregradsuttrykk ved hoderegning Hvis vi ﬁnner to tall d og e slik at d + e = b og d ⋅ e = c, så er x 2 + bx + c = ( x + d ) ( x + e )

02 Sinus Forkurs kap2 teoridel.indd 91

25.05.2017 13:12:37

3 92

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 92

2016-05-25 13:19:32

Likningssett og ulikheter Studenten skal kunne • løse førstegradslikninger med en eller to ukjente • løse enkle og doble ulikheter • løse andregradslikninger med en eller to ukjente • sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 93

2016-05-25 13:19:34

3.1 Lineære likningssett En likning av typen ax + by = c der a, b og c er tall, kaller vi en lineær likning. Likningen 5 x − 2 y = 4 er et eksempel på en lineær likning. Likningen 5 x 2 − 2 y = 4 er derimot ikke lineær, for her forekommer x2. Nå skal vi lære å løse to lineære likninger med to ukjente. Her er et eksempel på et slikt likningssett: 5x − 2 y = 4 x+ y =5 Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig.

Likningssettet ovenfor kan vi også skrive på denne måten: 5 x − 2 y = 4 ∧ x + y = 5 Symbolet ∧ leser vi ‘og samtidig’ eller bare ‘og’. Men symbolet ∧ kan likevel ikke erstatte ordet ‘og’ i vanlig tale. Vi kan gjerne si at likningen x 2 = 4 har løsningene x = 2 og x = −2. Men vi kan ikke skrive at likningen har løsningene x = 2 ∧ x = −2, for x kan ikke samtidig være både 2 og −2. Nå skal vi løse likningssettet ovenfor ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den nederste likningen.

x+ y =5 x =5− y

Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den øverste likningen: 5x − 2 y = 4 5 ⋅ ( 5 − y ) − 2 y = 4 25 − 5 y − 2 y = 4 −7 y = −21 y=3 Til slutt finner vi x ved å sette inn y = 3 i uttrykket x = 5 − y . x = 5 − y = 5 − 3 = 2 Løsningen er = 2= og y 3 x

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 94

2016-05-25 13:19:36

EKSEMPEL Løs likningssettet 2x − y = 8 3x + 4 y = 1 Løsning:

Vi velger å finne et uttrykk for y fra likning nr. 1. 2x − y = 8 − y = −2 x + 8 y = 2x − 8

Multipliser alle leddene med –1.

Dette uttrykket for y setter vi inn i likning nr. 2. 3x + 4 y = 1 3x + 4 ( 2 x − 8 ) = 1 3x + 8 x − 32 = 1 11x = 33 x=3 Vi finner y ved å sette x = 3 inn i uttrykket for y. y = 2 x − 8 = 2 ⋅ 3 − 8 = 6 − 8 = −2 Løsningen er x = 3 og y = −2

OPPGAVE 3.10

Løs likningssettet. − x + 2 y = 4 ∧ 2 x + y = −3 OPPGAVE 3.11

Løs likningssettene. a) x + 2 y = 5 b) 3x + 4 y = 1 − x + y = −2 −6 x + y = 7 c) x − 2 y = −4 d) x + 2 y = −2 3x − y = 3 1 − x + y =1 2

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 95

2016-05-25 13:19:38

Vi viser her hvordan vi løser likningssettet i eksempelet på forrige side.

OFF

CASIO

TEXAS

Vi velger EQUA på ikonmenyen og trykker på F1 (Simultaneous). Så velger vi to ukjente ved å trykke på F1 . Tallene i likningssettet legger vi inn på denne måten:

På denne lommeregneren må vi legge inn et program som du kan finne på nettsidene til boka. Du kan også få det overført via kabel fra en som allerede har lagt det inn. Med programmet på plass trykker du på PRGM og velger LIKNSETT. Så legger du inn tallene på denne måten:

Til slutt trykker vi på F1 (SOLV). Det gir dette skjermbildet:

Vi får så fram løsningen slik:

Løsningen er x = 3 og y = −2.

OPPGAVE 3.12

Løs likningssettene ved hjelp av lommeregneren. a) 2 x + y = 1 b) x + 2 y = −2 3 1 − x + y = −2 x− y= 2 2 c) x + 2 y = 7 5 2x − y = 2

d) −0,1x + y = 2, 4 0, 4 x + y = 3, 4

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 96

2016-05-25 13:19:39

3.2 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.1 lærte vi å løse lineære likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden. Den metoden kan vi også bruke når vi for eksempel skal løse to likninger med to ukjente der den ene likningen er av andre grad. Da finner vi et uttrykk for en av de ukjente fra den ene likningen. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen.

EKSEMPEL Løs likningssettet 2x − y = 3 2 x − 2x + y = 1 Løsning:

Vi finner et uttrykk for y i en av likningene. Vi velger å finne y i den andre av disse to likningene.

x2 − 2 x + y = 1 y = − x2 + 2x + 1

Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. 2x − y = 3

(

)

2 x − − x2 + 2 x + 1 = 3 2 x + x 2 − 2 x − 1 = 3 x2 = 4 x = 2 eller x = −2 Nå finner vi verdiene av y ved å sette inn i uttrykket for y.

x = 2 gir y = − x 2 + 2 x + 1 = −22 + 2 ⋅ 2 + 1 = −4 + 4 + 1 = 1 x = −2 gir y = − x 2 + 2 x + 1 = − ( −2 ) + 2 ⋅ ( −2 ) + 1 = −4 − 4 + 1 = −7 2

Løsningen er x = 2 og y = 1 eller x = −2 og y = −7

Vi legger merke til at vi i eksempelet ovenfor har to løsninger. x = 2 og y = 1 hører sammen og er én løsning. x = −2 og y = −7 er den andre løsningen. Vi kunne også ha skrevet løsningen slik: ( x = 2 ∧ y = 1) ∨ ( x = −2 ∧ y = −7 )

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 97

2016-05-25 13:19:41

OPPGAVE 3.20

Løs likningssettene. a) x − y = 1 b) x − y = 1

c) − x 2 + 5 x + y = 6 4x + 2 y = 5 x 2 − 3x + y = 2

− x2 + 4 x + y = 3

I de likningene vi har løst til nå, har vi hatt x2, men ikke y2. Vi kan også løse likninger der både x2 og y2 er med i minst én av likningene.

EKSEMPEL Løs likningssettet 3x + y = 3 2 3x − y 2 = −9 Løsning:

Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 − 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x 2 − ( 3 − 3x ) = −9 2

(

)

3x 2 − 9 − 18 x + 9 x 2 = −9 3x − 9 + 18 x − 9 x = −9 −6 x 2 + 18 x = −9 + 9 −6 x ( x − 3) = 0 −6 x = 0 eller x − 3 = 0 2

x = 0 eller x = 3 Det fins altså to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi.

x = 0 gir y = 3 − 3x = 3 − 3 ⋅ 0 = 3 x = 3 gir y = 3 − 3x = 3 − 3 ⋅ 3 = −6

Løsningen blir x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = −6

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 98

2016-05-25 13:19:43

OPPGAVE 3.21

Løs likningssettene. a) 2 x + y = 10 b) x + y = 2 x 2 + y 2 = 25

x 2 − 4 x + y 2 − 6 y = −4

OPPGAVE 3.22

Løs likningssettet. −2 x 2 − 3x + y = 2 ∧ x 2 + 4 x − y = −4

3.3 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), ≤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og ≥ (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x ≥ 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent på samme måten som likninger. Vi kan legge til det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. 5>3 5 + 2 > 3 + 2 7>5 Vi kan trekke fra det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. 5>3 5 − 2 > 3 − 2 3 >1 Da kan vi gjøre slik: x+2< y x + 2 − 2 < y − 2 x< y−2 Vi ser at vi kan flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet.

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 99

2016-05-25 13:19:44

Vi kan gange med det samme positive tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. 5>3 2⋅5 > 2⋅3 10 > 6 Når vi ganger med −2, får vi tallene −10 og −6, og vi vet at −10 < −6. Dermed må vi snu ulikhetstegnet når vi ganger med negative tall. 5>3 −2 ⋅ 5 < −2 ⋅ 3 −10 < −6 Her er regnereglene for ulikheter:

Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8

b) x − 2 ( 4 − x ) ≥ 5 x + 2

Løsning:

a) Vi bruker reglene ovenfor. 3x + 4 < x + 8 3x − x < 8 − 4 2x < 4 2x 4 < 2 2 x<2

100

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 100

2016-05-25 13:19:45

x − 2 ( 4 − x ) ≥ 5x + 2 x − 8 + 2 x ≥ 5x + 2 x + 2 x − 5x ≥ 2 + 8 −2 x ≥ 10 Nå dividerer vi med –2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet.

−2 x 10 ≤ −2 −2 x ≤ −5

OPPGAVE 3.30

Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 b) −2 x + 5 > x − 1 c) x − 3 < −3x − 1 d) −2 ( x − 1) ≥ 3 ( x − 6 ) OPPGAVE 3.31

Løs ulikhetene. a) 2 x − 5 > 4 x + 1 b) 2 ( 3 − x ) < 2 + 3 ( x − 1) 2 5 1  x c) 2 + 3x − 6 1 −  > 0 d) − x < − x 2 3 2 3   5 1 7 9 e) x − > − + x 2 6 6 2

Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv.

EKSEMPEL Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo. Vi tenker oss at han holder jevn fart. Etter t timer er avstanden fra Oslo målt i kilometer gitt ved y = 500 − 80t Petter starter fra Oppdal samtidig med at Fredrik starter fra Trondheim. Etter t timer er avstanden mellom Petter og Oslo gitt ved y = 380 − 60t Når er Fredrik den av de to som er nærmest Oslo?

101

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 101

2016-05-25 13:19:47

Løsning:

Fredrik er nærmest Oslo når han har mindre avstand til Oslo enn det Petter har. Det gir 500 − 80t < 380 − 60t 60t − 80t < 380 − 500 −20t < −120 −20t −120 > −20 −20 t >6 Når det har gått mer enn 6 timer, er Fredrik nærmest Oslo.

OPPGAVE 3.32

La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 20 a) Hvor langt kan vi kjøre med drosjen hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt må vi kjøre med drosjen hvis prisen skal være større enn 302 kr? OPPGAVE 3.33

Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 °C og synker med 2,5 °C per time. a) Når er temperaturen over 61 °C? b) Når er temperaturen under 71 °C? OPPGAVE 3.34

Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? OPPGAVE 3.35

Løs ulikhetene. 1 2 a   a) 8 − 2  a −  < a − 3  2 −  3 2 3   b) 6 − 4 ( t − 8 ) + 2t > 34 − 6t c)

102

2s + 1 − 4 ( 2s − 1) < 1 2

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 102

2016-05-25 13:19:48

3.4 Tallinjer, intervall og doble ulikheter De reelle tallene kan vi framstille på ei tallinje: Origo –5 –4 –3 –2 –1 0 1

2 3

4 5

Det skal være en fast avstand mellom hvert av de hele tallene. Denne avstanden kaller vi skalaen på tallinja. Punktet der 0 er plassert, kaller vi origo. Ethvert reelt tall har sin egen plass på tallinja. Og hvert punkt på tallinja svarer til ett reelt tall. Hvis det er en variabel med et navn vi framstiller på ei tallinje, skriver vi navnet på variabelen ved siden av pilspissen på tallinja. Variabelen på figuren ovenfor heter x. Tallene mellom 0 og 3 er et eksempel på et intervall. Dette intervallet omfatter ikke bare de hele tallene, men også alle brøker og irrasjonale tall mellom 0 og 3. Intervallet er bestemt ved den doble ulikheten 0 < x < 3 I slike doble ulikheter står det minste tallet helt til venstre og det største helt til høyre. Vi bruker dermed bare tegnene < og ≤ i slike doble ulikheter. På tallinja avmerker vi intervallet på denne måten: –5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

Åpent intervall

Legg merke til at endepunktene 0 og 3 ikke er med i dette intervallet. Slike intervaller kaller vi åpne intervaller og bruker skrivemåten 0, 3 om intervallet. Dersom vi vil uttrykke at x ligger mellom 0 og 3, kan vi skrive enten 0 < x < 3 eller x ∈ 0, 3 Hvis vi vil uttrykke at x ikke ligger i dette intervallet, skriver vi x ∉ 0, 3 . Vi kan skrive 2 ∈ 0, 3 og 4 ∉ 0, 3 . Det intervallet som er bestemt ved den doble ulikheten 0 ≤ x ≤ 3, markerer vi slik på tallinja: –5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

Lukket intervall

Her er endepunktene med i intervallet. Et slikt intervall kaller vi et lukket intervall. Vi bruker skrivemåten [ 0, 3] om dette intervallet. I stedet for å skrive at 0 ≤ x ≤ 3, kan vi skrive x ∈ [ 0, 3].

103

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 103

2016-05-25 13:19:49

Det fins også halvåpne intervaller. Hvis 0 ≤ x < 3, skriver vi at x ∈ [ 0 , 3 . På tallinja markerer vi dette slik: –5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

Halvåpent intervall

Hvis 0 < x ≤ 3, skriver vi at x ∈ 〈0, 3]. På tallinja ser det slik ut: –5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

Halvåpent intervall

Noen intervaller er uten grense i den ene enden. Ulikheten x > 2 gir et eksempel på et slikt uendelig intervall: –5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

Uendelig intervall

I matematikken skriver vi x ∈ 2, → når vi vil uttrykke at x > 2. På tilsvarende måte betyr x ∈ ← , −1] at x ≤ −1. OPPGAVE 3.40

Skriv de avmerkede intervallene med matematiske symboler. a) b) c) d) e)

–5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0

2 3

4 5

OPPGAVE 3.41

Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle x større enn 3 og mindre enn 5. b) Alle x større enn eller lik 2 og mindre enn 3. c) Alle x mindre enn eller lik 3. d) Alle x større enn −2.

104

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 104

2016-05-25 13:19:50

OPPGAVE 3.42

Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ −3 , 6 b) [ 0, 4] c) [−1, →〉 d) 〈←, 3] OPPGAVE 3.43

Sett inn enten ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) 3 〈0, 6〉 b) 3 〈0, 2] c) 6 e) 0

〈0, 6〉 d) 〈←, 1〉 f)

6 −1

〈0, 6] 〈0, →〉

Den doble ulikheten 1 < x < 3 forteller at x er et tall mellom 1 og 3. Det er det samme som å si at x ∈ 1, 3 Noen ganger må vi løse doble ulikheter. Hvis x forekommer bare mellom de to ulikhetstegnene, kan vi løse den doble ulikheten direkte ved å trekke fra tall over alt og ved å dele eller gange med tall over alt.

EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 11 < 2 x + 1 < 17 b) −7 ≤ 2 − 3x ≤ 8 Løsning:

a) Her forekommer den ukjente bare mellom ulikhetstegnene, og vi kan løse ulikheten direkte. 11 < 2 x + 1 < 17 11 − 1 < 2 x + 1 − 1 < 17 − 1 10 < 2 x < 16 10 2 x 16 < < 2 2 2 5< x<8

105

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 105

2016-05-25 13:19:52

b) Vi bruker de vanlige regnereglene for ulikheter: −7 ≤ 2 − 3x ≤ 8 −7 − 2 ≤ −3x ≤ 8 − 2 −9 ≤ −3x ≤ 6 Nå dividerer vi med −3. Da må vi snu ulikhetstegnene. −9 −3x 6 ≥ ≥ −3 −3 −3 3 ≥ x ≥ −2 Vi skriver svaret slik: −2 ≤ x ≤ 3

I doble ulikheter begynner vi alltid med det minste tallet. Vi skriver −2 ≤ x ≤ 3 og ikke 3 ≥ x ≥ −2.

OPPGAVE 3.44

Løs de doble ulikhetene. a) 8 < 3x + 2 < 14 b) 19 < 5 x + 4 < 34 c) −2 < 6 − 2 x < 4 OPPGAVE 3.45

Løs ulikhetene. 3 1 7 a) 2 ≤ x + < 4 2 2 2 5 b) −1 < 1 − x < 3 3 c) x + 3 ≤ 3x + 1 ≤ x + 7

Hvis x ikke bare forekommer mellom de to ulikhetstegnene, må vi vanligvis dele den doble ulikheten i to enkle ulikheter.

106

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 106

2016-05-25 13:19:53

EKSEMPEL Løs ulikheten. x − 2 < 3x + 4 < 2 x + 6 Her forekommer x flere steder, og vi må dele ulikheten i to. x − 2 < 3x + 4 < 2 x + 6 x − 2 < 3x + 4 ∧ 3x + 4 < 2 x + 6 x − 3x < 4 + 2 ∧ 3x − 2 x < 6 − 4 −2 x < 6 ∧ x < 2 −2 x 6 > ∧x<2 −2 −2 x > −3 ∧ x < 2 −3 < x < 2

Husk at  betyr 'og samtidig'.

OPPGAVE 3.46

Løs ulikhetene. a) x + 5 < 3x + 1 < x + 11 b) x < 2 x + 1 < 7 c) 2 x + 1 ≤ 5 x + 10 ≤ 3x + 8

3.5 Andregradsulikheter I kapittel 3.3 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Fortegnet til uttrykket bestemmer vi ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi skal undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. x + 3 < 0 når x < −3 Negativt område for x + 3: Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = −3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > −3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 x x+3

107

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 107

2016-05-25 13:19:56

På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket - - - - - markerer at uttrykket er negativt ---------- markerer at uttrykket er positivt

EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket −2 x + 6. Løsning:

Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. −2 x + 6 = 0 −2 x = −6 x=3 Når x > 3, blir −2 x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir −2 x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: –2 –1 0

6 x

–2x + 6

OPPGAVE 3.50

Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x − 3 b) 2 x + 4 c) − x + 2 d) −3x + 9

Ulikheten 2 x 2 − 4 x − 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket 2 x 2 − 4 x − 6.

(

2 x 2 − 4 x − 6 = 2 x 2 − 2 x − 3

)

Når vi skal faktorisere x 2 − 2 x − 3, må vi finne to tall som er slik at produktet blir −3 og summen blir −2. Tallene 1 og −3 passer. Det gir 2 x 2 − 4 x − 6 = 2 ( x + 1) ( x − 3)

108

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 108

2016-05-25 13:19:58

Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene 2, ( x + 1) og ( x − 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet. –3 –2 –1 0 2 x+1

x–3 2(x + 1)(x – 3)

2 3

4 5 x

0 0

Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom –1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < −1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = −1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. Dermed har vi funnet fortegnslinja til 2 ( x + 1) ( x − 3). Ettersom 2 x 2 − 4 x − 6 er lik 2 ( x + 1) ( x − 3) for alle verdier av x, er dette også fortegnslinja for 2 x 2 − 4 x − 6. Vi skulle løse ulikheten 2 x 2 − 4 x − 6 < 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje ovenfor. Det er mellom –1 og 3. Løsningen er 2 x 2 − 4 x − 6 < 0 når −1 < x < 3

EKSEMPEL Løs ulikheten x 2 + x − 3 > 3x + 5 Løsning:

Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x 2 + x − 3 > 3x + 5 x 2 + x − 3 − 3x − 5 > 0 x2 − 2 x − 8 > 0 Når vi skal faktorisere x 2 − 2 x − 8, må vi finne to tall som er slik at produktet er −8 og summen er −2. Tallene er −4 og 2. Dermed er x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4 ) ( x + 2 ). Ulikheten blir ( x − 4 ) ( x + 2 ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x − 4 og x + 2 og lager deretter ei fortegnslinje for ( x − 4 ) ( x + 2 ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar.

109

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 109

2016-05-25 13:20:01

–4 –3 –2 –1 0 1 2

3 4

x–4

5 6

x+2

(x – 4)(x + 2)

Vi skulle finne de verdiene av x der ( x − 4 ) ( x + 2 ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. ( x − 4 ) ( x + 2 ) > 0 når x < −2 ∨ x > 4 Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x 2 + x − 3 > 3x + 5 når x < −2 ∨ x > 4

EKSEMPEL Løs ulikheten x 2 − 4 x + 6 > 0 Løsning:

Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x2 − 4 x + 6 = 0 4 ± 16 − 24 2 4 ± −8 x= 2

x =

Kvadratrota av –8 fins ikke. Dermed har ikke x 2 − 4 x + 6 noen null punkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 2 − 4 x + 6 = 02 − 4 ⋅ 0 + 6 = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 2 − 4 x + 6 > 0 for alle x

110

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 110

2016-05-25 13:20:03

OPPGAVE 3.51

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 − 5 x + 6 > 0 b) x 2 + x − 2 < 0 c) 2 x 2 + x − 1 ≥ 0 d) −2 x 2 − x + 6 ≤ 0 OPPGAVE 3.52

Løs ulikhetene. a) 6 x 2 − 5 x + 1 < 0 b) t 2 − 4t + 4 > 0 c) −u 2 + 6u − 9 ≥ 0 d) 2s 2 − 8s + 9 < 0 OPPGAVE 3.53

Finn antallet løsninger av likningen x 2 + bx + 4 = 0 for ulike verdier for b.

3.6 Rasjonale ulikheter Ulikheten

x+3 >0 4 − 2x

kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 − 2 x på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Uttrykket er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Da vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor må vi lage ei fortegnslinje.

Gang aldri en ulikhet med et uttrykk som er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg. –4 x+3 4 – 2x x+3 4 – 2x

–2

0 0 0

Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null når telleren er null ( x = −3). Brøken er ikke definert når nevneren er null ( x = 2 ). Det punktet markerer vi med et kryss. Kryssene står alltid under nullpunktene til nevneren.

111

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 111

2016-05-25 13:20:05

Vi skal finne ut når uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket.

x+3 > 0 når −3 < x < 2 4 − 2x

Fortegnslinjemetoden fungerer bare når vi har null på høyre side av ulikhetstegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk på høyre side, må vi ordne uttrykket vårt slik at vi får null på høyre side.

EKSEMPEL Løs ulikheten

x ≤ 2. x−2

Løsning:

x ≤2 x−2 x −2≤0 x−2 2 ( x − 2) x ≤0 − x−2 x−2 x − ( 2x − 4) ≤0 x−2 x − 2x + 4 ≤0 x−2 −x + 4 ≤0 x−2

Vi kan ikke multiplisere med x - 2 på begge sidene av ulikhetstegnet! Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x - 2 som nevner.

Nå kan vi lage fortegnsskjema. 1

–x + 4 x–2 –x + 4 x–2

0 0

Her skal vi finne ut når uttrykket er negativt eller 0. Svaret finner vi der vi har stiplet linje eller 0.

112

−x + 4 ≤ 0 når x < 2 ∨ x ≥ 4 x−2

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 112

2016-05-25 13:20:06

OPPGAVE 3.60

Løs ulikhetene. x−3 −2 x + 4 2 4+ x > 0 b) < 0 c) > 0 d) ≥0 a) x +1 x −1 x+3 3 − 2x OPPGAVE 3.61

Løs ulikhetene. x −1 2x − 4 2 > 1 b) ≤ 3 c) < −2 a) x +1 x −1 x −1

2x − 4 >3 x−2

Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi løser rasjonale ulikheter.

EKSEMPEL Løs ulikheten x + 1 >

5x − 1 x +1

Løsning:

Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og setter alt på felles brøkstrek. 5x − 1 x +1 ( x + 1) ( x + 1) − 5 x − 1 > 0 x +1 x +1

x +1 >

)

+ 2 x + 1 − ( 5 x − 1)

x +1 2 x + 2 x + 1 − 5x + 1 >0 x +1 x 2 − 3x + 2 >0 x +1

Pass på parentesen om (5x - 1).

Telleren x 2 − 3x + 2 har nullpunktene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 − 3x + 2 = ( x − 1)( x − 2 ) Innsatt i ulikheten gir det

( x − 1) ( x − 2 ) > 0 x +1

113

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 113

2016-05-25 13:20:08

Nå lager vi fortegnslinjer: –3

–2

–1

x–1 x–2 x+1 (x – 1)(x – 2) x+1

0 0 0

Løsningen er −1 < x < 1 ∨ x > 2

OPPGAVE 3.62

Løs ulikheten.

8 − 6x > x+2 1− x

OPPGAVE 3.63

Løs ulikhetene. x ( x − 2) >0 a) x +1

114

x−3 > −x −1 x

3x > −x x−2

−3x + 1 > 2x − 3 x +1

Sinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 114

2016-05-25 13:20:09

SAMMENDRAG Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett med to ukjente x og y ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss en likning med én ukjent, som vi da løser. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Andregradsulikheter Når vi skal løse en andregradsulikhet, må vi først ordne den slik at vi får 0 på høyre side. Deretter faktoriserer vi andregradsuttrykket og lager fortegnslinjer for hver faktor. Til slutt bruker vi fortegnslinjene for faktorene til å lage fortegnslinje for andregradsuttrykket. Rasjonale uttrykk Når vi skal løse en rasjonal ulikhet, flytter vi først alle ledd over på venstre side av ulikhetstegnet slik at det står 0 på høyre side. Deretter setter vi uttrykket på venstre side på felles brøkstrek og faktoriserer telleren og nevneren. Til slutt lager vi fortegnslinjer for hver faktor og bruker disse fortegnslinjene til å lage fortegnslinje for det rasjonale uttrykket.

115

03 Sinus Forkurs kap3 teoridel.indd 115

2016-05-25 13:20:10

4 116

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 116

2016-05-27 08:50:12

Rette linjer og grafer Studenten skal kunne • benytte begrepet funksjon og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner • tegne grafer til funksjoner i kartesiske koordinatsystemer i to dimensjoner • regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme nullpunktene til disse • løse likninger, likningssystemer og ulikheter grafisk

117

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 117

2016-05-27 08:50:14

4.1 Rette linjer Vi ser på likningen y = 2x + 1 Hvis x = 1, blir y = 2 ⋅1 + 1 = 3 Hvis x = −1, er y = 2 ⋅ ( −1) + 1 = −1 Vi regner ut ﬂere slike samsvarende verdier for x og y og samler resultatet i en tabell. x y

−2 −1 −3 −1

0 1

1 3

2 5

3 7

De samsvarende verdiene x = 1 og y = 3 kan vi oppfatte som punktet (1, 3) i et koordinatsystem. Legg merke til at det tallet vi velger, her x, står først. Det tallet vi regner ut, her y, står sist. Punktet (1, 3) plasserer vi i koordinatsystemet som vist på ﬁguren nedenfor. Der har vi også gjort om de andre samsvarende verdiene i tabellen til punkter og plassert dem i koordinatsystemet. y 7

(3, 7)

6 5

(2, 5)

4 3

(1, 3)

2 1 (0, 1) –4 –3 –2 –1 (–1, 1) –1 –2 (–2, –3)

2 3

x 4 5

–3

Legg merke til at punktene ligger på ei rett linje. Hvis vi regner ut ﬂere samsvarende verdier for x og y, vil også de gi punkter på denne linja. Og omvendt vil alle punkter på denne linja ha koordinater som er samsvarende verdier i likningen y = 2 x + 1. Vi sier at linja har likningen y = 2 x + 1. I matematikk er det vanlig å skrive ‘linja y = 2 x + 1’ når vi mener ‘linja med likningen y = 2 x + 1’. Det skal vi gjøre i denne boka også.

! 118

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 118

2016-05-27 08:50:16

Hvis a og b er to tall (to konstanter), er y = a ⋅ x + b likningen for ei rett linje. Tallet b kaller vi konstantleddet. I likningen y = 2x + 1 er dermed konstantleddet lik 1. Når x = 0, blir y = 2 ⋅ 0 +1 =1 Når x = 0, er altså y lik konstantleddet 1. Linja går da gjennom punktet 1 på y-aksen. Det stemmer med ﬁguren på forrige side. Hva betyr tallet 2 foran x i likningen y = 2 x + 1? Av tabellen ser vi at når x øker fra 2 til 3, øker y fra 5 til 7. Altså øker y med 2. Hvis x øker fra 1 til 2, øker y fra 3 til 5. Økningen er 2. Dette gjelder for alle verdiene i tabellen. Når x øker med 1, øker y med 2. Dette kan vi også se om vi tegner linja på nytt. y 8 2

6 1

4 2

2 1

x 2

Hvis vi tar utgangspunkt i et punkt på linja og går 1 enhet mot høyre, må vi 2 enheter opp for å komme til linja. Det spiller ingen rolle hvilket punkt vi tar utgangspunkt i. Vi ser at y øker med 2 enheter når x øker med 1 enhet. Tallet 2 kaller vi stigningstallet til linja. Stigningstallet 2 ﬁnner vi igjen foran x i likningen y = 2 x + 1. For alle tall a og b er y = a ⋅ x + b likningen for ei rett linje. Da trenger vi bare 2 punkter for å trekke linja. Dermed er det nok med 2 par samsvarende verdier i tabellen. Nå ser vi på linja y = −22 x + 3. Vi velger x = 0 og x = 2 og regner ut de samsvarende y-verdiene. Det gir denne tabellen: x y

0 3

2 –1

119

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 119

2016-05-27 08:50:17

Nå markerer vi punktene ( 0, 3) og ( 2, −1) og trekker linja gjennom punktene. y

4 2

1 –2 x

–2

4 –2

–2

Hvis vi begynner i et punkt på denne linja og ﬂytter oss 1 enhet mot høyre parallelt med x-aksen, må vi 2 enheter ned for å møte linja. y minker med to enheter når x øker med én enhet. Vi sier også at y øker med –2 enheter. Tallet –2 er stigningstallet til linja y = −22 x + 3. Også her står stigningstallet foran x i likningen. Tankegangen ovenfor kan vi gjennomføre for ei vilkårlig linje y = a ⋅ x + b. Den rette linja y = a⋅x+b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når x øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet.

y b

a 1 x

Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Hvis stigningstallet a = 0, blir linja horisontal. Linja y = 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som y = 0 ⋅ x + 3. Vi har tegnet linja til venstre på neste side. Ei horisontal linje har likningen y = k . Linja går gjennom tallet k på andreaksen.

120 120

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 120

2016-05-27 08:50:22

y y 4

y=3

x=2

2 x

–4

–2

x –2

–2

Likningen x = 2 kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik 2. Det blir ei linje som er parallell med y-aksen slik som vist til høyre ovenfor. Ei vertikal linje har likningen x = k . Linja går gjennom tallet k på x-aksen.

OPPGAVE 4.10

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = 2 x + 2 b) y = x + 2 c) y = − x + 2 d) y = −22 x + 2 Hvilket punkt går alle linjene gjennom? OPPGAVE 4.11

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = 2 x + 3 b) y = 2 x + 1 c) y = 2 x − 1 d) y = 2 x − 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? OPPGAVE 4.12

Avgjør hvilke linjer som er parallelle, uten å tegne linjene. b) y = −22 x + 1 c) y = x + 3 a) y = 3x + 1 d) y = 3x − 3 e) y = 2 x − 1 f) y = −22 x − 3 OPPGAVE 4.13

Tegn linjene. a) y = − x c) y = 1

b) y = 3 + 2 x d) x = −1�

121

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 121

2016-05-27 08:50:22

I stedet for å bruke tabell når vi skal tegne ei rett linje, kan vi utnytte konstantleddet og stigningstallet.

EKSEMPEL Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. 3 a) y = x + 2 b) y = −33x + 4 2 Løsning: 3

a) I likningen y = x + 2 er konstantleddet 2. Linja går derfor gjen2 3 nom punktet y = 2 på y-aksen. Linja har stigningstallet = 1,5. 2 Hver gang x øker med én enhet, øker y med 3 enheter. Når vi skal 2 tegne linja, markerer vi først punktet y = 2 på y-aksen. Deretter går 3 vi 1 enhet mot høyre og = 1,5 enheter oppover for å ﬁnne det 2 neste punktet på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist til venstre nedenfor. y

4 1,5

1 –3 x

x –2

b) Linja y = −33x + 4 går gjennom punktet y = 4 på andreaksen. Når vi går en enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå tre enheter nedover for å ﬁnne et nytt punkt på grafen. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor.

OPPGAVE 4.14

122 122

Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. b) y = −22 x + 2 a) y = 2 x − 1 1 3 c) y = − x + d) y = x + 1 2 2

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 122

2016-05-27 08:50:25

4.2 Graftegning på lommeregner Vi kan tegne rette linjer på lommeregneren. Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2 x − 3.

CASIO

TEXAS

Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn uttrykket for y som vist nedenfor.

Vi trykker på Y= og legger inn uttrykket for y som vist nedenfor.

Nå må vi velge vindu. Det er å bestemme hvor stort koordinatsystem vi skal ha. Da trykker vi på V-Window og velger for eksempel verdier slik som på denne ﬁguren:

Nå må vi velge vindu. Det er å bestemme hvor stort koordinatsystem vi skal ha. Da trykker vi på WINDOW og velger for eksempel verdier slik som på denne ﬁguren:

Scale bestemmer hvor langt det skal være mellom strekene på koordinataksene. Nå trykker vi på EXIT etterfulgt av F6 (DRAW). Det gir dette resultatet:

Xscl og Yscl bestemmer hvor langt det skal være mellom strekene på koordinataksene. Nå trykker vi på GRAPH og får fram dette resultatet:

OFF

OPPGAVE 4.20

Tegn linjene på lommeregneren når x er et tall mellom –5 og 5. a) y = 3x − 2 b) y = −44 x + 6 c) y = 7, 2 x − 8, 4 d) y = −12, 5 x + 25

123

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 123

2016-05-27 08:50:26

Det er ikke alltid like enkelt å velge et godt vindu når vi skal tegne linjer på lommeregneren. Hvilke verdier vi skal velge for x, går ofte fram av oppgaveteksten. Vi kan da regne ut hvilke verdier vi trenger for y. Men vi kan også bruke lommeregneren til å ﬁnne verdiene for y.

EKSEMPEL Fredrik Ford er fra Oslo og studerer i Trondheim. En dag kjører han hjem til Oslo fra Trondheim med jevn fart. Etter x timer er avstanden y fra Oslo målt i kilometer gitt ved y = −70 x + 515 Tegn den rette linja på lommeregneren. Løsning:

124 124

CASIO

TEXAS

Etter at vi har lagt inn likningen for linja, trykker vi på V-Window og legger inn verdier for x som vist nedenfor. Det spiller ingen rolle hvilke verdier som er valgt for y.

Etter at vi har lagt inn likningen for linja, trykker vi på WINDOW og legger inn verdier for x som vist nedenfor. Det spiller ingen rolle hvilke verdier som er valgt for y.

Så trykker vi på EXIT og deretter på F6 (DRAW). Vi ser kanskje ikke noen graf. Da trykker vi på ZOOM og får dette skjermbildet:

Så trykker vi på ZOOM og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten  noen ganger til markøren dekker tallet 0.

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 124

2016-05-27 08:50:26

Nå trykker vi F5 (AUTO) og får fram dette resultatet:

Vi får nå fram dette resultatet:

Grafen er ikke perfekt. For eksempel er y-aksen i praksis uten inndeling. Vi trykker på V-Window og ser at lommeregneren har valgt dette vinduet:

Grafen er ikke perfekt. For eksempel er y-aksen i praksis uten inndeling. Vi trykker på WINDOW og ser at lommeregneren har valgt dette vinduet:

Vi retter Ymin til 0, scale til 100 og gjerne max til 600. Vi kan også rette den største x-verdien til 8. Da får vi dette resultatet når vi trykker på EXIT og på F6 (DRAW):

Vi retter Ymin til 0, Yscl til 100 og gjerne Ymax til 600. Vi kan også rette Xmax til 8. Da får vi dette resultatet når vi trykker på GRAPH :

OFF

OPPGAVE 4.21

Peder er på vei fra Trondheim til Oslo. Han stopper på Oppdal. Avstanden y i kilometer fra Trondheim er gitt ved formelen y = 80 x +120 + der x er antallet timer etter at han kjørte fra Oppdal. Tegn linja på lommeregneren.

125

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 125

2016-05-27 08:50:26

OPPGAVE 4.22

For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,85x + 2500 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja på lommeregneren når x er mellom 0 og 30 000. OPPGAVE 4.23

Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 °C på ei termosﬂaske. Temperaturen i ﬂaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn ei linje på lommeregneren som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10. OPPGAVE 4.24

a) Tegn linja på lommeregneren når y = 2x + 10 og x er mellom −10 og 10. b) Tegn linja på lommeregneren når y = −0,05x + 10 og x er mellom 0 og 20.

4.3 Grafisk avlesing Fredrik Ford studerer i Trondheim og skal hjem til Oslo. Han kjører i gjennomsnitt 70 km/h. Etter x timer er avstanden y til Oslo i kilometer gitt ved y = −70x + 515 Vi skal ﬁnne ut hvor langt Fredrik har igjen etter 3 timer, og hvor lenge det går før han passerer Hamar. Det er da 130 km igjen. Først tegner vi linja y = −70x + 515: km y 600 500 400 300 200 130 100

x 1

126 126

4 5 6 5,5

7 8 h

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 126

2016-05-27 08:50:27

Når vi skal finne ut hvor langt Fredrik Ford har igjen etter 3 timer, tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen, går rett opp til grafen og så inn på y-aksen. Vi ser at Fredrik har 300 km igjen etter 3 timer. For å finne ut når Fredrik passerer Hamar, må vi løse likningen −70x + 515 = 130 Da tar vi utgangspunkt i tallet 130 på y-aksen, går horisontalt bort til linja og så ned på x-aksen. Da finner vi ut at Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer. Vi kan også finne ut når Fredrik har mer enn 130 km igjen til Oslo. Det er det samme som å løse ulikheten −70x + 515 > 130 Da må vi finne ut når linja y = −70 x + 515 ligger over linja y = 130. På figuren på forrige side har vi markert løsningen med fiolett. Løsningen er x < 5,5 Fredrik har mer enn 130 km igjen når han har kjørt i mindre enn 5,5 timer. Vi har nå løst oppgaven grafisk. Slike grafiske løsninger gir vanligvis ikke eksakt riktige svar, men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med unøyaktige modeller, trenger vi ikke eksakte svar. Vi kan også løse likninger grafisk på lommeregneren.

CASIO

TEXAS

Når vi skal løse likningen −70x + 515 = 130, velger vi GRAPH på ikonmenyen og legger inn disse to uttrykkene:

Når vi skal løse likningen −70x + 515 = 130, trykker vi på Y= og legger inn disse to uttrykkene:

Vi trykker nå på dette vinduet:

V-Window

og velger

Vi trykker nå på dette vinduet:

WINDOW

og velger

127

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 127

2016-05-27 08:50:27

Så trykker vi på EXIT og velger DRAW. Vi får tegnet linjene. Til slutt trykker vi på G-Solv og velger ISCT (intersection). Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen.

Så trykker vi på GRAPH og får tegnet linjene. Vi trykker på CALC og velger 5:intersect. Markøren stiller seg på den ene linja og spør om det er første kurve. Vi godtar det med å trykke på ENTER . Vi godtar forslaget til andre kurve også, og hopper over spørsmålet ‘Guess?’ ved å trykke på ENTER . Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen.

OFF

EKSEMPEL a) Løs likningen graﬁsk og ved regning. 3 1 x+ =5 2 2 b) Løs ulikheten graﬁsk og ved regning. 2<

3 1 x+ <5 2 2

Løsning:

a) Graﬁsk: Først tegner vi linja y=

3 1 x+ 2 2

y 6 5 4 3 2 1

x 1

128 128

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 128

2016-05-27 08:50:27

Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på x-aksen som vist ovenfor. Vi ser at når y = 5, er x = 3. Løsningen er x=3 Ved regning: 3 1 x + = 5 | ⋅2 2 2 3 1 2 ⋅ x + 2 ⋅ = 2⋅5 2 2 3x + 1 = 110 3x = 9 x=3 b) Graﬁsk: Når vi skal løse den doble ulikheten 2<

3 1 x+ <5 2 2 3 2

1 2

3 2

1 2

graﬁsk, må vi først ﬁnne ut når x + = 2 og når x + = 5. For å 3 2

1 2

ﬁnne ut når x + = 2 tar vi utgangspunkt i tallet 2 på y-aksen og 3 2

1 2

ﬁnner at da er x = 1. I oppgave a fant vi at x + = 5 når x = 3. Fra ﬁguren ser vi at 2 < y < 5 når 1 < x < 3 . Løsningen er 1< x < 3 Ved regning: 3 1 x + < 5 | ⋅2 2 2 4 < 3x + 1 < 110 3 < 3x < 9 3 3x 9 < < 3 3 3 1< x < 3 2<

OPPGAVE 4.30

Løs likningene graﬁsk og ved regning. a) 2 x + 1 = 5 b) −2 x + 3 = 1 c)

1 x −1 = 2 2

2 3 3 d) − x + = − 3 2 2

129

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 129

2016-05-27 08:50:30

OPPGAVE 4.31

Løs ulikhetene graﬁsk og ved regning. a) 3 < 2 x + 1 < 7 b) −1 < −2 x + 3 < 5 c)

1 x −1 ≤ 1 2

2 3 3 d) − x + ≥ − 3 2 2

OPPGAVE 4.32

Løs likningene på lommeregneren. a) 3x + 1 = 110 b) 2 x + 3 = 9 c) −3x + 15 = 3

3 1 7 x− = 4 6 2

OPPGAVE 4.33

En bil kjører med farten 10 m/s på en rett veistrekning. Ved t = 0 begynner bilen å akselerere med konstant akselerasjon a = 0, 5 m m/s /s 2 . a) Finn en formel for farten v i meter per sekund etter t sekunder. b) Finn grafisk farten etter 6 sekunder. c) Finn grafisk hvor lang tid det går før farten er 20 m/s. d) Finn grafisk når farten er 90 km/h. OPPGAVE 4.34

Vi kjører en bil i 90 km/h på en rett veistrekning. Ved t = 0 begynner bilen å bremse hardt med konstant akselerasjon a = −33 m m/s 2. a) Regn om 90 km/h til meter per sekund. b) Finn en formel for farten v i meter per sekund etter t sekunder. c) Finn grafisk farten etter 3 sekunder. d) Finn grafisk hvor lang tid det går før farten er 36 km/h. e) Finn grafisk hvor lang tid det går før bilen stopper.

4.4 Grafisk løsning av lineære likningssett Fredrik Ford kjører fra Trondheim til Oslo med bilen sin. Etter x timer er avstanden y til Oslo i kilometer gitt ved y = −70 x + 515 Vanja Vespa er på Oppdal og skal kjøre til Oslo med skuteren sin. Hun begynner på turen samtidig med at Fredrik Ford kjører fra Trondheim, og hun kjører samme veien som Fredrik. Vanja kjører med farten 40 km/h. Etter x timer er avstanden hennes fra Oslo målt i kilometer gitt ved y = −40 x + 395 Når tar Fredrik igjen Vanja, og hvor langt fra Oslo er de da?

130

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 130

2016-05-27 08:50:33

For å ﬁnne ut det tegner vi begge linjene y 70 x 515 og y 40 x 395 i det samme koordinatsystemet og ﬁnner skjæringspunktet på denne måten: km y 600 500

Fredrik

400 300 230 200 Vanja

100 1

4 5 6

7 8

9 10 h

Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 230 km fra Oslo. Legg merke til hvordan vi markerer slike skjæringspunkter. Vi har nå løst likningssettet y 70 x 515 y 40 x 395 graﬁsk. Vi kan også løse dette likningssettet graﬁsk på lommeregneren.

TEXAS

CASIO

Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn disse to uttrykkene:

Vi trykker på Y= og legger inn disse to uttrykkene:

Vi trykker nå på dette vinduet:

V-Window

og velger

Så trykker vi på EXIT og velger DRAW. Vi får tegnet linjene. Til slutt trykker vi på G-Solv og velger ISCT (intersection).

WINDOW

og velger

131

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 131

02.07.2019 09:07:18

OFF

Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen.

Vi godtar forslaget til andre kurve også, og hopper over spørsmålet ‘Guess?’ ved å trykke på ENTER . Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen

Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 235 km fra Oslo.

OPPGAVE 4.40

Knut skal kjøre en strekning på 400 km. Han kjører jevnt med farten 60 km/h. Når han har kjørt 90 km, starter Anne. Hun kjører den samme strekningen som Knut med farten 80 km/h. Når Anne har kjørt i t timer, har hun kjørt strekningen s = 80 ⋅ t Knut har da totalt kjørt strekningen s = 60 ⋅ t + 90 a) Finn graﬁsk hvor lenge det går før Anne har nådd igjen Knut. Hvor langt har de kjørt da? b) Løs oppgave a på lommeregneren. OPPGAVE 4.41

Ved lønnsforhandlingene i et dataﬁrma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast månedslønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin hun selger. 2) En fast månedslønn på 16 500 kr pluss 250 kr for hver datamaskin hun selger. a) Sett opp to formler for samlet lønn per måned når hun selger x datamaskiner per måned. b) Finn graﬁsk hvor mange maskiner hun må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva blir samlet månedslønn i dette tilfellet? c) Løs oppgave b på lommeregneren.

132 132

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 132

2016-05-27 08:50:34

I kapittel 3.1 løste vi likningssettet 5x − 2 y = 4 x+ y =5 ved regning. Nå skal vi løse likningssettet graﬁsk. Da begynner vi med å ﬁnne et uttrykk for y fra den første likningen: 5x − 2 y = 4 −2 y = −5 x + 4 −2 y −5 x 4 = + −2 −2 −2 5 y = x−2 2 Den andre likningen gir x+ y =5 y = −x + 5 Vi har nå omformet hver av de to likningene til en likning av typen y = ax + b, som vi gjenkjenner som likningen for rette linjer. Her har vi tegnet de to linjene i et koordinatsystem. y y=

5 2

x–2

4 2

y = –x + 5 x

–2

Vi skal ﬁnne de punktene som ligger på begge linjene. Skjæringspunktet gir løsningen. Løsningen er x = 2 og y = 3 Når vi skal løse likningssettet ovenfor på lommeregneren, må vi først ﬁnne to uttrykk for y slik vi gjorde ovenfor, og deretter går vi fram som på side 131.

OPPGAVE 4.42

Løs likningssettet graﬁsk. −x + 2 y = 4 2 x + y = −3

133

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 133

2016-05-27 08:50:35

OPPGAVE 4.43

Løs likningssettene både graﬁsk og ved hjelp av en lommeregner. a) x + 2 y = 5 b) 3x + 4 y = 1 − x + y = −2

−6 x + y = 7

c) x − 2 y = −4 3x − y = 3

d) x + 2 y = −2 1 − x + y =1 2

4.5 Å finne likningen for ei linje Vi kan ﬁnne stigningstallet og likningen for ei linje graﬁsk. Da tegner vi linja i et koordinatsystem og leser av stigningstallet og skjæringspunktet med andreaksen.

EKSEMPEL Ei linje går gjennom punktene ( −1, 2) og ( 3, 10). Finn likningen for linja graﬁsk. Løsning:

Vi markerer de to punktene i et koordinatsystem og trekker linja gjennom punktene. Skjæringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b = 4. y (3, 10)

10 9 8 7 6 4 3 (–1, 2)

–3 –2 –1

2 1

Stigningstall

5 1

Konstantledd x 1

For å ﬁnne stigningstallet a begynner vi i et punkt på linja og øker x med 1 enhet. Da må vi gå 2 enheter opp for å komme opp til linja. Det gir stigningstallet a = 2. Likningen for linja blir y = 2x + 4

134

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 134

2016-05-27 08:50:37

OPPGAVE 4.50

I dette koordinatsystemet har vi tegnet ﬁre rette linjer. Finn likningene for linjene ved graﬁsk avlesing. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–2 –3 –4 –5 OPPGAVE 4.51

Finn graﬁsk likningen for ei rett linje som går gjennom punktene (1, –1) og (3, 3). Nå skal vi ﬁnne stigningstallet til ei linje ved regning. Ei linje går gjennom punktene ( 2, 1) og ( 5, 7) som vist her: y 8 (5, 7)

7 6 5 4 3

∆y

a 1 (2, 1) 1 ∆x 2

–1 –1

1 2

3 4 5

x 6

Når vi går fra punktet ( 2, 1) til punktet ( 5, 7), er økningen i x-verdi da ∆ =5−2 =3 ∆x Symbolet ∆ er en gresk bokstav som vi uttaler ‘delta’. Vi bruker symbolet om en økning. ∆x uttaler vi ‘delta x’, og det betyr økningen i x-verdi. Økningen i y-verdi er ∆ = 7 −1 = 6 ∆y Stigningstallet a forteller hvor langt det er opp til linja når x øker med 1 enhet.

135

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 135

2016-05-27 08:50:37

På ﬁguren på forrige side er det to formlike trekanter. Det gir a ∆y = 1 ∆xx ∆yy 6 a= = =2 ∆xx 3 Stigningstallet er 2. Denne tankegangen kan vi gjennomføre for alle rette linjer som går gjennom to punkter, ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ). y (x2, y2)

∆y a

(x1, y1) 1

∆x

Formlike trekanter gir a ∆y = 1 ∆xx ∆yy y2 − y1 a= = ∆xx x2 − x1 Ei rett linje som går gjennom to punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ), har stigningstallet a=

∆yy y2 − y1 = ∆xx x2 − x1

EKSEMPEL Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene (1, 3) og (5, 9). Løsning:

Stigningstallet er a=

136

∆yy y2 − y1 9 − 3 6 3 = = = = ∆xx x2 − x1 5 − 1 4 2

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 136

2016-05-27 08:50:40

OPPGAVE 4.52

Finn stigningstallet til linja som går gjennom punktene (1, 1) og (4, 7). OPPGAVE 4.53

Finn stigningstallet til linja gjennom disse punktene: a) (2, 7) og (4, 1) b) (−1, 2) og (3, 4) c) (−3, 2) og (6, 5) d) (4, 1) og (−2, 10)

Tankegangen som vi brukte for å finne stigningstallet til ei rett linje, kan vi også bruke til å finne likningen for ei linje når vi kjenner stigningstallet a og et punkt ( x1 , y1 ) på linja. Vi skal da finne en sammenheng mellom x og y for et punkt ( x, y ) på linja. y (x, y)

∆y

(x1, y1) 1

a ∆x

Formlike trekanter gir: ∆yy a ∆ = ∆x 1 ∆x y − y1 = a | ⋅ ( x − x1 ) x − x1

y − y1 = a ⋅ ( x − x1 )

Nå har vi bevist ettpunktsformelen: Ei rett linje som har stigningstallet a og går gjennom punktet ( x1 , y1 ), har en likning gitt ved y − y1 = a ⋅ ( x − x1 )

137

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 137

2016-05-27 08:50:40

EKSEMPEL Finn likningen for ei rett linje som går gjennom punktet (2, 1) og har stigningstallet −2. Løsning:

Ettpunktsformelen gir: y − y1 = a ⋅ ( x − x1 ) y − 1 = −2 ⋅ ( x − 2 ) y − 1 = −2 x + 4 y = −2 x + 5

EKSEMPEL Ei linje går gjennom punktene ( −1, 2) og ( 3, 10). a) Finn stigningstallet til linja. b) Finn likningen for linja ved regning. Løsning:

a) Stigningstallet er a=

∆yy y2 − y1 10 − 2 8 = = = =2 ∆xx x2 − x1 3 − ( −1) 4

b) Ettpunktsformelen gir: y − y1 = a ⋅ ( x − x1 ) y − 2 = 2 ⋅ ( x − ( −1) ) y − 2 = 2x + 2 y = 2x + 4

OPPGAVE 4.54

a) Finn likningen for ei linje som går gjennom ( 2, 1) og har stigningstallet 3. b) Finn likningen for ei linje som går gjennom ( −1, 5) og har stigningstallet −3. OPPGAVE 4.55

Finn likningen for linjene gjennom de to punktene. a) ( 1, 5) og ( 4, 2) b) ( −2, −1) og ( 2, 11) c) ( 0, 5) og ( 4, −7) d) ( 2, 4) og ( 2, 1)

138

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 138

2016-05-27 08:50:41

OPPGAVE 4.56

Ei linje l går gjennom punktene ( 2, 5) og ( 4, 3). a) Finn likningen for linja l. b) Ei linje m er parallell med linja l og går gjennom punktet ( 3, 1). Finn likningen for linja m.

4.6 Funksjonsbegrepet Hvis vi kaster en stein opp i lufta, vil tyngdekraften trekke den ned igjen. Tyngdekraften gir steinen en akselerasjon på 9,8 m/s2. Hvis vi regner positiv retning oppover, blir akselerasjonen negativ, for den virker nedover. Akselerasjonen er dermed a 99, 8 m/s 2 Ifølge formelen i kapittel 2.2 er da høyden y i meter over bakken etter t sekunder gitt ved 1 1 y v0t at 2 v0t 9, 8 t 2 v0t 4, 9t 2 2 2 der v0 er utgangsfarten til steinen. Her kommer vi til å runde av 4,9 til 5. Vi bytter også rekkefølge på leddene og skriver y 5t 2 v0t Når vi kaster en stein opp i lufta med utgangsfarten 20 m/s, er høyden y over bakken etter t sekunder gitt ved formelen y 55t 2 20t Etter 3 s er høyden y 5 32 20 3 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. Vi har denne deﬁnisjonen: y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger – på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y.

139

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 139

17.01.2018 14:52:23

Uttrykket −5t 2 + 20t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket for h ( t ) og skriver h ( t ) = −55t 2 + 20t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h ( t ) = −55t 2 + 20t Når vi skal ﬁnne høyden etter 1 s, skriver vi h (1) = −5 ⋅12 + 2200 ⋅1 = 15 Høyden etter 2 s er h ( 2 ) = −5 ⋅ 22 + 2200 ⋅ 2 = 20 Tallene 15 og 20 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut ﬂere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t

h(t)

Så tegner vi grafen til funksjonen h. Da merker vi av punktene i tabellen og trekker en glatt kurve gjennom dem. m y 25 20 15 10

5 t 1

Langs førsteaksen ﬁnner vi den uavhengige variabelen t. Det er den variabelen vi velger verdier for. Langs andreaksen ﬁnner vi funksjonsverdiene. Det er de verdiene vi regner ut. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 ≤ t ≤ 4. Det skriver vi ofte som et intervall på denne måten: t ∈ [ 0, 4]

140

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 140

2016-05-27 08:50:43

Vi sier at funksjonen h har deﬁnisjonsmengden [0, 4], og skriver Dh = [ 0, 4] D er den første bokstaven i deﬁnisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 20 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 20 m. Funksjonsverdiene kan dermed være alle tall i intervallet [ 0, 2200]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver Vh = [ 0, 20] Ovenfor brukte vi h som navn på funksjonen fordi den gir høyden over bakken. Vi brukte t som navn på variabelen, for det var tida. Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel og f som navn på funksjonen. Funksjonsuttrykket kaller vi da f ( x ). Bokstaven f er den første bokstaven i ordet funksjon. En funksjon f er gitt ved f ( x ) = − x2 + 2 x Da er f ( 2 ) = −22 + 2 ⋅ 2 = −4 + 4 = 0

f (− −22 ) = − ( −2 ) + 2 ⋅ ( −2 ) = −4 − 4 = −8 2

OPPGAVE 4.60

Regn ut f (–2), f ( 0 ) og f ( 2 ) når funksjonen f er gitt ved a) f ( x ) = −3x + 2 b) f ( x ) = − x 2 + 2 x + 3 OPPGAVE 4.61

Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h ( t ) = −55t 2 + 50t a) b) c) d) e) f)

Finn høyden etter 2 s, 5 s og 7 s. Tegn grafen til h. Når er kula tilbake på bakken? Finn deﬁnisjonsmengden til funksjonen. Finn verdimengden. Når er kula 50 m over bakken?

Når vi skal tegne grafer, trenger vi ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Vi kan lage tabellen på lommeregneren som vist på neste side. Vi kan også bruke lommeregneren til å få fram hvordan grafen ser ut. Vi tar for oss funksjonen f gitt ved f ( x ) = x2 − 4 x + 3

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 141

141

2016-05-27 08:50:44

142 142

TEXAS

CASIO

Vi velger på ikonmenyen. Først sletter vi eventuelle uttrykk som er der fra før. Det gjør vi ved å trykke på F2 (DEL) etterfulgt av F1 (YES). Så legger vi inn formelen som vist nedenfor. Vi får fram X2 ved å trykke på x, q, T etterfulgt av x2 .

Vi trykker på Y= og sletter eventuelle uttrykk som er der fra før, ved å trykke på CLEAR . Så legger vi inn formelen som vist nedenfor. Vi får fram X2 ved å trykke på x, T, q, n etterfulgt av x2 .

Vi trykker nå på EXE for å lagre uttrykket. Deretter trykker vi på F5 (SET) og velger verdier i samsvar med ﬁguren nedenfor.

Vi trykker nå på TBLSET ( 2nd og WINDOW ) og stiller inn lommeregneren som vist nedenfor. Husk å bruke tasten (–) når du skal legge inn tallet –1.

Tallet Step bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Husk å trykke på EXE etter hvert tall. Vi trykker nå på EXIT og deretter på F6 (TABL). Vi får fram denne tabellen:

Tallet ∆Tbl bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Nå trykker vi på TABLE ( 2nd og GRAPH ) og får fram denne tabellen:

Vi bruker piltastene for å få se resten av tabellen.

Vi får fram ﬂere verdier i tabellen ved å bruke piltastene.

Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på V-Window og velger verdier slik som vist på ﬁguren på neste side.

Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på WINDOW og velger verdier slik som vist på ﬁguren på neste side

TABLE

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 142

2016-05-27 08:50:45

Nå trykker vi på MENY og velger GRAPH . Et trykk på F6 (DRAW) gir denne grafen:

Nå trykker vi på denne grafen:

GRAPH

og får fram

OFF

OPPGAVE 4.62

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = − x2 + 4 x − 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Løs likningene på lommeregneren. 1) − x 2 + 4 x − 3 = 0 2) − x 2 + 4 x − 3 = x − 7 OPPGAVE 4.63

En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved formelen C ( v ) = 0, 045v 2 − 6, 75v + 393 a) Tegn grafen til C på lommeregneren når farten er mellom 0 km/h og 120 km/h. Kall variabelen v for X når du taster inn dette uttrykket. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 200 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 L bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin?

143

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 143

2016-05-27 08:50:45

4.7 Andregradsfunksjoner Funksjonen f gitt ved f ( x ) = x2 − 4 x + 3 er et eksempel på en andregradsfunksjon. Når vi skal tegne grafen til f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene. Det gir denne tabellen: x

–1

f (x)

–1

Deretter merker vi av de samsvarende verdiene som punkter i koordinatsystemet og trekker en glatt kurve gjennom punktene. y 10

Nullpunkt

x –2

Bunnpunkt (2, –1)

Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f ( x) = 0 Funksjonen ovenfor har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Disse nullpunktene kan vi også ﬁnne ved regning. Da må vi løse en andregradslikning slik vi lærte i kapittel 2. f ( x) = 0 x2 − 4 x + 3 = 0 x=

144

− ( −4 ) ±

( −4 )

− 4 ⋅1 ⋅ 3

2 ⋅1

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 144

2016-05-27 08:50:46

4 ± 16 − 12 2 4± 4 x= 2 4±2 x= 2 x =1∨ x = 3 x=

Dette stemmer med den graﬁske løsningen. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = 2 og y = −1. Bunnpunktet har koordinatene ( 2, − 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Men i kapittel 5 skal vi se at ikke alle funksjoner trenger å ha den minste funksjonsverdien i bunnpunktet. Den minste funksjonsverdien til denne funksjonen er –1. Det er når x = 2. Med deﬁnisjonsmengde D f =  vil verdimengden bestå av alle tall som er større enn eller lik –1. Dermed er V f = [−1, →〉 Funksjonen g gitt ved g ( x ) = − x2 + 6 x − 5 har denne grafen: y 5 4

Toppunkt (3, 4)

3 2

1 –1 –1

x 2 3

Nullpunkter

Denne funksjonen har to nullpunkter, x = 1 og x = 5. Den har et toppunkt med koordinatene ( 3, 4 ). Et toppunkt er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Men funksjoner trenger likevel ikke ha den største funksjonsverdien i toppunktet. Med deﬁnisjonsmengde Dg =  blir verdimengden Vg = 〈←, 4] Verdimengden består av alle tall y som er slik at y ≤ 4.

145

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 145

2016-05-27 08:50:48

OPPGAVE 4.70

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x2 − 6 x + 8 a) b) c) d) e)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene til f graﬁsk. Finn nullpunktene til f ved regning. Finn bunnpunktet til f. Finn verdimengden til f.

OPPGAVE 4.71

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = − x2 + 2 x + 8 a) b) c) d) e)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene graﬁsk. Finn nullpunktene ved regning. Finn toppunktet til f. Finn verdimengden til f.

Nullpunkter, toppunkter og bunnpunkter kan vi også ﬁnne ved hjelp av lommeregneren.

CASIO

TEXAS

Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket

Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket

Y1 = –X2 + 2X + 3

146

Y1 = –X2 + 2X + 3

Deretter trykker vi på V-Window og velger et vindu bestemt av at x ∈ [ −3, 6] og y ∈ [ −3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren.

Deretter trykker vi på WINDOW og velger et vindu bestemt av at x ∈ [ −3, 6] og y ∈ [ −3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren.

For å ﬁnne nullpunktene trykker vi så på G-Solv ( SHIFT og F5 ) og deretter på F1 (ROOT). Etter noen sekunder står markøren i nullpunktet lengst til venstre, og vi kan lese av nullpunktet x = −1.

For å finne nullpunktene trykker vi så på CALC ( 2nd og TRACE ) og velger 2:zero. Deretter bruker vi piltastene og flytter markøren like til venstre for nullpunktet og trykker på ENTER . Deretter flytter vi markøren til høyre for nullpunktet og trykker på ENTER . Spørsmålet ‘Guess?’ kan vi hoppe over ved å trykke på ENTER .

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 146

2016-05-27 08:50:49

Vi trykker så på piltasten ▶ , og markøren ﬂytter seg til det andre nullpunktet x = 3. Funksjonen f har nullpunktene x = −1 og x = 3.

Vi ﬁnner det andre nullpunktet på tilsvarende måte. I stedet for å bruke piltastene kan vi taste 2 etterfulgt av ENTER når maskinen ber om Left Bound. Vi taster 4 og ENTER når maskinen ber om Right Bound. Funksjonen f har nullpunktene x = −1 og x = 3.

For å ﬁnne toppunktet trykker vi på G-Solv og trykker F2 (MAX). Etter noen sekunder står markøren i toppunktet.

For å finne toppunktet trykker vi nå på ENTER og velger 4:maximum. Vi flytter markøren til venstre for toppunktet ved å taste 0 etterfulgt av ENTER . Deretter flytter vi markøren til høyre for toppunktet ved å taste 3 og trykker deretter to ganger på ENTER .

I toppunktet er x = 1 og y = 4. Topppunktet har koordinatene (1, 4 ). Toppunktet har koordinatene (1, 4 ).

OFF

OPPGAVE 4.72

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x2 − 2 x − 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet til f.

147

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 147

2016-05-27 08:50:51

OPPGAVE 4.73

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = − x2 + 4 x − 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet. OPPGAVE 4.74

En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved 3 21 135 T ( x ) = − x2 + x − , x ∈ [8, 20] 8 2 2 a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 °C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?

148

Sinus Forkurs > Rette linjer og grafer

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 148

2016-05-27 08:50:51

SAMMENDRAG Rette linjer Den rette linja y = ax + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når x øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet.

y b

a 1 x

Stigningstallet til ei linje Ei rett linje som går gjennom to punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ), har stigningstallet a=

∆yy y2 − y1 = ∆xx x2 − x1

Ettpunktsformelen Ei rett linje som har stigningstallet a og går gjennom punktet ( x1 , y1 ), har en likning gitt ved y − y1 = a ⋅ ( x − x1 ) Grafisk løsning av lineære likningssett Når vi skal løse et likningssett grafisk, finner vi y uttrykt med x i begge likningene. Dette gir likningene for to rette linjer. Vi tegner linjene i ett koordinatsystem. Løsningen finner vi ved å lese av koordinatene til skjæringspunktet. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden Df Definisjonsmengden Df til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden Vf Verdimengden Vf til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f ( x ) vi får når x ∈ D f . Nullpunkt x = a er et nullpunkt for f dersom f ( a ) = 0. Toppunkt I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Bunnpunkt I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene.

149

04 Sinus Forkurs kap4 teoridel.indd 149

2016-05-27 08:50:52