Issuu

Marte Oldervoll Totland og Einar Gustafsson

SINUS BA Lærebok i matematikk 1P-Y for bygg- og anleggsteknikk, vg1 yrkesfag Bokmål

Sinus_BA_897024.indb 1

12.08.2026 09:05:11

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2026 ISBN 978-82-02-89702-4 1. utgave, 1. opplag 2026 Illustratør: Maciej Sidorowicz Grafisk formgiving og omslag: Anders Bergersen | Superultraplus Tekniske tegninger: Cappelen Damm AS Redaktører: Bjørn-Terje Smestad, Sigurd Torp Nordby og Asbjørn Hageli Sats: HAVE A BOOK, Polen 2026 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2026 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne. Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel. Cappelen Damm arbeider aktivt for å redusere miljøbelastningen fra våre utgivelser. Les mer om Cappelen Damms miljøarbeid ved å scanne QR-koden:

www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Sinus_BA_897024.indb 2

12.08.2026 09:05:11

Forord Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2020. Boka Sinus BA er skrevet for faget matematikk 1P-Y for bygg- og anleggsteknikk i den videre gående skolen. Boka legger vekt på den grunnleggende matematikken. Målet når vi har skrevet denne boka, har vært at fagstoffet skal oppleves relevant ved å vise fram realistiske problemstillinger fra yrkesliv og dagligliv. I teoridelen blir fagstoffet presentert, og du finner innlæringsoppgaver i stigende vanskegrad. Teorien oppsummeres i et sammendrag med viktige regler og metoder. Etter hvert kapittel følger en oppgavedel som er delt i tre deler: «Øv mer», «Uten hjelpemidler» og «Med hjelpemidler». «Øv mer» inneholder enkle oppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. De to andre delene inneholder eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for alle elever. Mot slutten av hvert kapittel finner du en prosjektoppgave der elevene får bruke matematikk i en mer sammensatt og yrkesrettet situasjon enn i de vanlige oppgavene. Til slutt finner du et oppgavesett som egner seg til repetisjon. Boka viser hvordan vi kan bruke kalkulator og GeoGebra CAS for å løse ulike oppgaver. Elevene får dessuten grundig opplæring i relevant bruk av regneark. Læreplanene fra 2020 inneholder krav om at elevene skal kunne kommunisere ideer og drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger med andre. Boka inneholder derfor diskusjonsoppgaver der elevene skal øve på dette. Helt til slutt i boka finner du fasit og stikkordregisteret. Til verket hører også et eget nettsted: sinus.cdu.no. Her finner du tilleggsstoff med blant annet løsninger av oppgavene i teoridelen, videoer og interaktive oppgaver. Lærere finner også forslag til årsplaner, prøver og annet støttemateriell for en variert undervisning. I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer. Marte Oldervoll Totland og Einar Gustafsson

Sinus_BA_897024.indb 3

12.08.2026 09:05:11

Innhold 1

Tallregning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Hoderegning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser og røtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regnerekkefølge .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 12 14 18 20 23

Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjekt: «Ekadhikena Purvena» – med én mer enn den forrige . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 29 36 42 44

Brøk og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne prosenten .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis endring .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 52 56 58 62 65

Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjekt: Virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 72 80 88 90

Formler og likninger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Formler for areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Formler for volum .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Formel for massetetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Å løse likninger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Omforming av formler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Prosjekt: Massetetthet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Sinus_BA_897024.indb 4

12.08.2026 09:05:11

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Geometri .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Formlike trekanter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Rettvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Sinus til en vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Cosinus og tangens .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Å finne vinkelen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Arealsetningen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Målestokk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Prosjekt: Tretten bru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Personlig økonomi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Skatt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Sparing .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Serielån .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Annuitetslån .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Kredittkort .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Prosjekt: Mike Tyson tjente nesten sju milliarder kroner .. . . . . . . . . . . . . . . . 268 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Statistikk og yrkesøkonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Sentralmål .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Søylediagram og sektordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Pristilbud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Anbud og priskalkulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Budsjett .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Prosjekt: Innhenting og presentasjon av data .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Fasit �� 320 Stikkord �� 338

Innhold

Sinus_BA_00_Tittelsider.indd 5

12.08.2026 09:12:06

Sinus_BA_897024.indb 6

12.08.2026 09:05:13

1. Tallregning Vi møter tall i mange situasjoner i dagliglivet og i arbeidslivet. I dag har vi ofte tilgang til kalkulator, men det er også viktig å kunne regne uten. I dette kapittelet skal vi øve på å regne i hodet, med blyant og papir og med digitale hjelpemidler. Vi skal lære om potenser, kvadratrot og noen måleenheter for lengde og vekt. Du som går på bygg- og anleggsteknikk, kan blant annet bli tømrer, stillasbygger eller snekker. Da må du ha orden på måleenhetene og kunne beregne riktig mengde materialer og kostnader. Når du skal lage et pristilbud til en kunde, er det viktig at du kan vise utregningene dine. Hvorfor tror du en bygg- og anleggsarbeider må være god til å gjøre raske og forenklede utregninger i hodet, såkalt overslagsregning? Hva slags regning og hvilke måleenheter kan du møte? KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse

Sinus_BA_897024.indb 7

12.08.2026 09:05:13

1.1 Hoderegning Det er enkelt å gange og dele med 10, 100 og 1000 i hodet. Vi flytter kommaet like mange plasser som antall nuller. Når vi ganger, flytter vi kommaet mot høyre. Når vi deler, flytter vi kommaet mot venstre.

13,4 · 10 = 134

EKSEMPEL

LØSNING

79,2 : 100 = 0,792

Regn ut i hodet. a) 24,5 ⋅ 10 b) 0,567 ⋅ 1000 c) −13 ⋅ 100 a) 24,5 ⋅ 10 = 245 b) 0,567 ⋅ 1000 = 567 c) −13 ⋅ 100 = −1300

EKSEMPEL

Regn ut i hodet. a) 245: 10 b) −439: 100 c) 13: 1000

LØSNING

a) 245: 10 = 24,5 b) −439: 100 = −4,39 c) 13: 1000 = 0,013 Dette kan vi også dra nytte av når vi ganger med andre tall, slik som i eksempelet nedenfor. Vi vet at 8 ⋅ 7 = 56, og kan bruke dette til å regne ut stykket i hodet. 8 ⋅ 7000 = 8 ⋅ 7 ⋅ 1000 = 56 ⋅ 1000 = 56 000

OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 8

1.10

Regn ut i hodet. a) 9 ⋅ 10 b) 14 ⋅ 100 c) −17,5 ⋅ 100 d) 34 : 10 e) −8 : 1000 f) 23,4 : 100

1.11

Regn ut i hodet. a) 4 ⋅ 800 b) 9 ⋅ 8000 c) 700 ⋅ 4000

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:14

En annen nyttig teknikk i hoderegning er å bryte opp tallet vi ganger med. Et eksempel er tallet 6, som vi kan bryte opp slik: 6= 2 ⋅ 3. Dette kan vi bruke når vi skal gange med 6. Først ganger vi med 2 og deretter med 3. Hvis vi skal regne ut 6 ⋅ 1,25, kan vi gjøre det slik: 2 ⋅ 1,25 = 2,50 3 ⋅ 2,50 = 7,50 Derfor er 6 ⋅ 1,25 = 7,50. Tallet 8 kan vi bryte opp slik: 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2. Derfor er det å gange med 8 det samme som å doble tre ganger. Dette kan vi bruke hvis vi skal regne ut 8 ⋅ 6,1. Vi dobler tallet tre ganger: 2 ⋅ 6,1 = 12,2 2 ⋅ 12,2 = 24,4 2 ⋅ 24,4 = 48,8 Derfor er 8 ⋅ 6,1 = 48,8. EKSEMPEL

En flislegger skal flislegge et gulv på 12,5 m2. Gulvflisene koster 400 kr per m2. a) Hvor mye koster gulvflisene som trengs til dette gulvet? Flisleggeren skal også flislegge veggene i rommet. Arealet av veggene er 25 m2. Veggflisene koster 800 kr per m2. b) Hvor mye koster veggflisene?

LØSNING

a) Vi skal regne ut 400 ⋅ 12,5. Å gange med 4 er det samme som å doble to ganger. Vi har at 2 ⋅ 12,5 = 25 og 2 ⋅ 25 = 50, så 4 ⋅ 12,5 = 50. Da er 400 ⋅ 12,5 = 5000. Gulvflisene koster 5000 kr. b) Vi skal regne ut 800 ⋅ 25. Å gange med 8 er det samme som å doble tre ganger. Vi har at 2 ⋅ 25 = 50, 2 ⋅ 50 = 100, og 2 ⋅ 100 = 200, så 8 ⋅ 25 = 200. Da er 800 ⋅ 25 = 20 000. Veggflisene koster 20 000 kr.

OPPGAVER 1.12

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 6 ⋅ 1,50 b) 14 ⋅ 2,5 c) 8 ⋅ 3,1

1.13

En snekker har 16 lengder med gulvlister. Hver av gulvlistene har en lengde på 4,1 meter. Bruk hoderegning til finne ut hvor mange meter med lister han har.

1.1

Sinus_BA_897024.indb 9

Hoderegning

12.08.2026 09:05:14

Av og til kan det være nyttig å gå veien om et regnestykke som er lettere å regne ut. Det er blant annet lett å gange med 10. Det utnytter vi i eksempelet nedenfor. EKSEMPEL

LØSNING

Bruk hoderegning og regn ut. a) 12 ⋅ 0,3 b) 7 ⋅ 1,3 a) Vi bruker at 12 = 10 + 2. 10 ⋅ 0,3 = 3 2 ⋅ 0,3 = 0,6 12 ⋅ 0,3 = 3 + 0,6 = 3,6 b) Vi bruker at= 7 10 − 3. 10 ⋅ 1,3 = 13 3 ⋅ 1,3 = 3,9 7 ⋅ 1,3 =13 − 3,9 =9,1

EKSEMPEL

Én sekk tørrbetong gir 14 liter ferdig betong. En betongarbeider har 30 sekker tørrbetong. Hvor mange liter ferdig betong kan han lage? Regn ut oppgaven i hodet.

LØSNING

Vi skal regne ut 30 ⋅ 14. Vi regner først ut 3 ⋅ 14 ved å bruke at 14 = 10 + 4. 3 ⋅ 10 = 30 3⋅ 4 = 12 3 ⋅ 14 = 30 + 12 = 42 Siden 3 ⋅ 14 = 42, er 30 ⋅ 14 = 420. Han kan lage 420 liter ferdig betong.

OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 10

1.14

Regn ut. a) 8 ⋅ 2,12 b) 15 ⋅ 1,2 c) 12 ⋅ 3,5 d) 16 ⋅ 3,1

1.15

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 11 ⋅ 23 b) 12 ⋅ 0,4 c) 8 ⋅ 0,45 d) 9 ⋅ 0,12

1.16

Du får tilbud om en deltidsjobb med ei timelønn på 180 kr. a) Bruk en hoderegningsstrategi til å regne ut hvor mye du vil tjene på en 8 timers arbeidsdag. b) Hva blir lønna for ei 40 timers arbeidsuke i denne jobben? Bruk hoderegning. 1

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:14

1.1

Sinus_BA_897024.indb 11

Hoderegning

12.08.2026 09:05:16

1.2 Overslagsregning I noen tilfeller trenger vi ikke det nøyaktige svaret på en utregning. Det holder med et overslag. Da bruker vi hoderegning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. Vi runder av tallene, slik at vi får et regnestykke vi greier å regne ut med hoderegning. Det er lurt å runde av tallene slik at vi kommer nærmest mulig det nøyaktige svaret. Hvis vi for eksempel skal bruke overslagsregning til å regne ut 73 + 39, er det lurt å runde det ene tallet ned og det andre opp. Vi får at 73 + 39 ≈ 70 + 40 = 110 Hvis vi runder begge tallene opp, får vi et for høyt overslag. Runder vi begge ned, får vi et for lavt overslag. Å regne ut 73 − 39 er det samme som å finne differansen, eller forskjellen, mellom de to tallene. Hvis vi skal bruke overslagsregning, bør vi runde begge tallene opp eller begge tallene ned for at differansen skal bli nærmest mulig det nøyaktige svaret. Vi får at 73 − 39 ≈ 75 − 40 = 35 Det er lurt å bruke reglene nedenfor når vi skal gjøre overslag. HUSK

Når vi skal legge sammen eller gange to tall med hverandre, runder vi det ene tallet opp og det andre ned. Når vi skal finne differansen mellom to tall eller dele to tall med hverandre, runder vi begge tallene opp eller begge ned.

EKSEMPEL

LØSNING

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 96,4 + 23,5 b) 96,4 − 23,5 c) 96,4 ⋅ 23,5 d) 96,4 : 23,5 a) Vi runder ett tall opp og ett tall ned. 96,4 + 23,5 ≈ 100 + 20 = 120 b) Vi runder begge tallene opp. 96,4 − 23,5 ≈ 100 − 25 = 75 c) Vi runder ett tall opp og ett tall ned. 96,4 ⋅ 23,5 ≈ 100 ⋅ 23 = 2300 d) Vi runder begge tallene opp. 96,4 : 23,5 ≈ 100 : 25 = 4

Sinus_BA_897024.indb 12

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:16

OPPGAVER 1.20

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 52 + 29 b) 52 − 29 c) 14,90 + 21,20 d) 64,70 − 29,90

1.21

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 9,5 ⋅ 2,4 b) 9,5: 2,4 c) 13,2 ⋅ 1,9 d) 13,2: 1,9

1.22

En tømrer vet at han trenger 100 m materiale, og det kommer i ferdige lengder på 4,2 m. For å finne ut hvor mange lengder han må ta med seg, må han regne ut 100 : 4,2 a) Bør han runde divisoren (4,2) opp eller ned hvis han ønsker å gjøre et overslag? Forklar hvorfor. b) Gjør et overslag og finn ut hvor mange lengder han bør ta med seg.

Tuva går i butikken og har lite penger igjen. Hvorfor bør hun da runde alle prisene opp når hun gjør et overslag over hva varene koster til sammen?

1.2

Sinus_BA_897024.indb 13

Overslagsregning

12.08.2026 09:05:18

1.3 Potenser og røtter Tallet 34 kalles en potens. Tallet 3 er grunntallet i potensen, og tallet 4 er eksponenten. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal gjentas når vi ganger det med seg selv. Vi har at 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 REGEL

an er en potens. Eksponenten n forteller hvor mange faktorer vi skal ha av grunntallet a. an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a  n ganger

Vi kan regne ut potenser på kalkulatoren ved å bruke tasten vist nedenfor

x , som

I CAS regner vi ut 34 ved å skrive inn «3 ^ 4».

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut potensene uten å bruke digitale hjelpemidler. a) 25 b) 34 c) ( −2)3 a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 b) 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 c) ( −2)3 =( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( −2) =4 ⋅ ( −2) =−8 4

OPPGAVER 1.30

Regn ut uten digitale hjelpemidler. a) 26 b) 43 c) ( −1)5 d) ( −2)4

1.31

Bruk digitale hjelpemidler og regn ut. a) 75 b) 57 c) ( −2)8 d) ( −2)9 Henrikke påstår at 37 og 73 er det samme. Ludvig er uenig. Hvem er du enig med, og hvorfor?

Sinus_BA_897024.indb 14

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:18

Når vi ganger to negative tall med hverandre, får vi et positivt tall. Det betyr at (et negativt tall)2 = et positivt tall For eksempel er ( −6)2 = ( −6) ⋅ ( −6) = 36 La oss nå regne ut potensen ( −6)3. ( −6)3 = ( −6) ⋅ ( −6) ⋅ ( −6) = 36 ⋅ ( −6) = −216 Når vi regner ut et negativt tall opphøyd i 3, blir svaret altså negativt. Generelt har vi regelen nedenfor. REGEL

En potens an med negativt grunntall a er • positiv dersom n er et partall • negativ dersom n er et oddetall Det er forskjell på −52 og ( −5)2. Når vi regner ut −52 , er det bare 5-tallet som skal opphøyes i andre. Vi får altså −52 =−5 ⋅ 5 =−25. Når vi regner ut (-5)2, får vi derimot at ( −5)2 = ( −5) ⋅ ( −5) = 25. Hvorfor er ikke 23 og 2 ⋅ 3 det samme?

OPPGAVER 1.32

Bruk digitale hjelpemidler og regn ut. a) ( −3)2 b) ( −3)3 c) ( −3)4 d) ( −5)2 e) ( −5)3 f) ( −5)4

1.33

Finn ut hvilke av tallene som er like store. (-2)4

(-4)2

(-5)2

(-2)5

-42

1.3

Sinus_BA_897024.indb 15

Potenser og røtter

12.08.2026 09:05:18

Vi sier at kvadratroten av 9 er 3 fordi 32 = 9. Vi skriver det slik: 9 =3 REGEL

EKSEMPEL

Kvadratroten av et tall a, a, er det positive tallet som opphøyd i andre er lik a.

Regn ut. a)

b) 36

LØSNING

16 = 4 fordi 42 = 16

b) 36 = 6 fordi 62 = 36 c)

1 = 1 fordi 12 = 1

OPPGAVER 1.34

Regn ut. a)

b) 100 c) 1.35

Finn lengden av sidekantene i kvadratene. a) b)

A = 49 cm²

A = 144 cm²

Sinus_BA_897024.indb 16

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:19

En type terrassebord er merket med 28 × 120 × 4200. Hva betyr tallene? Hvilken enhet har tallene?

1.3

Sinus_BA_897024.indb 17

Potenser og røtter

12.08.2026 09:05:21

1.4 Regnerekkefølge Vi har et sett regler for hvordan vi regner. Vi er avhengige av at alle forholder seg til de samme reglene, slik at vi kommer fram til samme svar når vi regner ut det samme regnestykket. Se for eksempel på regnestykket nedenfor. 3 + 4 ⋅2 Regnestykket inneholder to regneoperasjoner: Vi skal legge sammen, og vi skal gange. Vi får to svar, 14 og 11, alt etter hvilken regneoperasjon vi velger å utføre først. Men begge svarene kan ikke være riktige. Det riktige er å gange først, så svaret er 11. Et regnestykke kan også inneholde både parenteser, potenser og kvadratrøtter. Nedenfor oppsummerer vi reglene for regnerekkefølge. REGEL

Når vi regner et regnestykke som inneholder flere regneoperasjoner, gjør vi regneoperasjonene i følgende rekkefølge: 1. Regn først ut parentesuttrykkene. 2. Regn deretter ut potensene og kvadratrøttene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut. a) 5 + 2 ⋅ 4 b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 c) ( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 a)

5 + 2⋅4 = 5+8 = 13

Vi ganger før vi legger sammen.

3⋅5 − 4 ⋅ 3 = 15 − 12 =3

Vi ganger før vi trekker fra.

( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 =−6 + 10 =4

Vi ganger før vi legger sammen.

Truls og Trym skal regne ut 10 + 3 ⋅ 20. Truls mener at svaret blir 260, mens Trym mener at svaret blir 70. Hvordan har Truls tenkt for å komme fram til sitt svar? Hvordan har Trym tenkt? Vet du hvem av dem som har funnet riktig svar?

Sinus_BA_897024.indb 18

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:21

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut. a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23 b) (2 − 5)3 − 2 ⋅ (5 − 3) a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23

1. Regn ut uttrykket i parentes.

= −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 23

2. Regn ut potensen.

= −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8

3. Gjør multiplikasjonene.

= −8 + 32 = 24

4. Gjør til slutt addisjonen.

b) (2 − 5)3 − 2 ⋅ (5 − 3) = ( −3)3 − 2 ⋅ 2 = ( −3)3 − 4 = −27 − 2 = −29 Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ⋅ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ⋅ 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får da 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ⋅ 2)3 = 83 = 512 OPPGAVER 1.40

Regn ut uten hjelpemidler. a) 6 + 2 ⋅ 3 b) 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ ( −4) c) ( −6) ⋅ 3 + ( −4) ⋅ ( −5) d) 6 − ( −5) ⋅ 2 + ( −3) ⋅ 5

1.41

Regn ut uten hjelpemidler. a) 4 ⋅ 22 b) 4 ⋅ ( −2)2 c) 5 − 32 d) (5 − 3)2 e) 2 ⋅ 4 ⋅ (6 − 2) + 1 f) 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 42 − 23

1.42

Regn ut først uten og så med digitale hjelpemidler. a) 2 ⋅ (2 + 3) − 3 ⋅ 23 b) −3 ⋅ (2 − 5) − 2 ⋅ 32 c) −24 + (1 − 2)2

1.43

Regn ut først uten og så med digitale hjelpemidler. a) 2 ⋅ (7 − 5) + 2 b) −3 ⋅ (4 − 12) + 2 ⋅ 32 c) −(8 − 4) − ( −3)2 d) −24 + 3 ⋅ (17 − 32 ) + (3 ⋅ 42 − 2 ⋅ 52 )

1.4

Sinus_BA_897024.indb 19

Regnerekkefølge

12.08.2026 09:05:21

1.5 Regning med enheter Når vi skal måle en lengde, kan vi oppgi lengden i meter (m), desimeter (dm) eller centimeter (cm). Når det er snakk om presisjonsarbeid i bygninger og konstruksjoner, bruker vi ofte millimeter (mm). Vi har disse sammenhengene mellom de ulike enhetene: 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 100 cm 1 dm = 100 mm 1 m = 1000 mm Fordi 1 cm er 10 mm, regner vi om mellom centimeter og millimeter ved å dele eller gange med 10. Vi regner om mellom meter og millimeter ved å gange eller dele med 1000. Lengre avstander kan vi måle i kilometer (km) eller mil. Da kan vi bruke disse sammenhengene: 1 mil = 10 km 1 km = 1000 m EKSEMPEL

LØSNING

a) Hvor mange meter er 4200 mm? b) Hvor mange centimeter er 120 mm? c) Hvor mange millimeter er 3,4 cm? d) Hvor mange meter er 2,4 mil? a) Vi vet at 1000 mm er 1 m, så vi deler med 1000. = 4200 mm 4200 = : 1000 m 4,2 m b) Vi vet at 10 mm er 1 cm, så vi deler med 10. = 120 mm 120 = : 10 cm 12 cm c) Vi har at 1 cm er 10 mm. Det betyr at vi må gange med 10. 3,4 cm =⋅ 3,4 10 mm = 34 mm d) Vi har at 1 mil er 10 km, så vi regner først om til kilometer ved å gange med 10. 2,4 mil = 2,4 ⋅ 10 km = 24 km Videre bruker vi at 1 km er 1000 m, og ganger med 1000. 24 km = 24 ⋅ 1000 m = 24 000 m

Sinus_BA_897024.indb 20

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:21

Hvis vi skal legge sammen størrelser med ulik enhet, må vi først gjøre om slik at alle størrelsene har samme enhet. EKSEMPEL

LØSNING

Legg sammen. a) 12 mm + 10,3 cm + 2,1 dm b) 0,7 m + 2,4 dm + 13 cm a) Vi velger å gjøre om alle størrelsene til cm før vi legger sammen. 12 mm + 10,3 cm + 2,1 dm =1,2 cm + 10,3 cm + 21 cm = 32,5 cm b) Vi velger å gjøre om alle størrelsene til dm før vi legger sammen. 0,7 m + 2,4 dm + 13 cm = 7 dm + 2,4 dm + 1,3 dm = 10,7 dm

OPPGAVER 1.50

Gjør om til centimeter. a) 12 mm b) 240 mm c) 4,1 m d) 10,2 m

1.51

Gjør om til meter. a) 130 cm b) 130 mm c) 130 km

1.52

Legg sammen. a) 4,2 mil + 5,3 km + 300 m b) 15 mm + 2,3 cm + 0,4 dm

1.5

Sinus_BA_897024.indb 21

Regning med enheter

12.08.2026 09:05:22

Når vi skal måle hvor mye noe veier, kan vi for eksempel oppgi vekta i gram (g), kilogram (kg) eller tonn. Vi har at 1 kg = 1000 g 1 tonn = 1000 kg Vi bruker dette når vi regner om mellom ulike enheter for vekt. EKSEMPEL

LØSNING

a) Hvor mange kilogram er 17,1 tonn? b) Hvor mange tonn er 780 kg? a) Vi vet at 1 tonn er 1000 kg, så vi ganger med 1000. 17,1 tonn = 17,1 ⋅ 1000 kg = 17 100 kg b) Fordi 1 tonn er 1000 kg, må vi dele med 1000. = 780 kg 780 = : 1000 tonn 0,78 tonn

OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 22

1.53

a) Hvor mange gram er 0,67 kg? b) Hvor mange kilogram er 3700 g? c) Hvor mange kilogram er 250 g? d) Hvor mange tonn er 4500 kg?

1.54

Gjør om til gram. a) 2,5 kg b) 0,14 kg c) 0,14 tonn

1.55

Gjør om til kilogram. a) 45 g b) 450 g c) 45 tonn d) 450 tonn

1.56

I en boks med spiker er det 800 spiker. Hver spiker veier 16 gram. Hvor mye veier spikerne i boksen til sammen? Oppgi svaret i kilogram.

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:22

Sammendrag Ganging og deling med 10, 100 og 1000 Når vi ganger et helt tall med 10, 100 eller 1000, setter vi én, to eller tre nuller bak tallet. Når vi ganger et desimaltall med 10, 100 eller 1000, flytter vi kommaet én, to eller tre plasser mot høyre. Når vi deler et desimaltall med 10, 100 eller 1000, flytter vi kommaet én, to eller tre plasser mot venstre. Huskeregler for overslagsregning Når vi skal legge sammen eller gange to tall, runder vi det ene tallet opp og det andre ned. Når vi skal finne differansen mellom to tall eller dele to tall, runder vi begge tallene opp eller begge ned. Potenser Uttrykket an er en potens. Eksponenten n forteller hvor mange faktorer vi skal ha av grunntallet a. an = a ⋅ a ⋅…⋅ a  n ganger

En potens an med negativt grunntall a er positiv dersom n er et partall, og negativ dersom n er et oddetall. Kvadratrot Kvadratroten av et tall a, a, er det positive tallet som opphøyd i andre er lik a. Regnerekkefølgen Når et regnestykke inneholder flere regneoperasjoner, gjør vi regneoperasjonene i denne rekkefølgen: 1. Regn først ut parentesuttrykkene. 2. Regn deretter ut potensene og kvadratrøttene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Enheter for lengde og vekt 1 cm = 10 mm 1 tonn = 1000 kg 1 m = 100 cm 1 kg = 1000 g 1 km = 1000 m 1 mil = 10 km

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 23

12.08.2026 09:05:22

Øv mer

ØV MER – 1.1 Hoderegning OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 24

1.110

Regn ut i hodet. a) 12,4 ⋅ 100 b) 12,4 : 100 c) −312,2: 100 d) 15 ⋅ 10 000

1.111

Regn ut i hodet. a) 0,035 ⋅ 100 b) 3,6: 1000 c) −12 ⋅1 000 000

1.112

Regn ut i hodet. a) 5 ⋅ 5000 b) 9 ⋅ 80 c) 12 ⋅ 400 d) 500 ⋅ 500

1.113

Regn ut i hodet. a) 8 ⋅ 75 b) 6 ⋅ 2,25 c) 8 ⋅ 125 d) 12 ⋅ 25 e) 480 : 6

1.114

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 12 ⋅ 31 b) 120 ⋅ 31 c) 9 ⋅ 67 d) 11 ⋅ 45

1.115

En murer tar betalt 850 kr per time. I tillegg tar han 600 kr for oppmøte. På et oppdrag bruker han 8 timer, og for materialene skal han ha 4700 kr. Hvor mye må kunden betale for denne jobben?

1.116

En anleggsgartner skal dekke et bed med dekorstein. Bedet har et areal på 12 m2, og det trengs 70 kg dekorstein per m2. a) Hvor mye dekorstein er det behov for? b) Gartneren kjøper stein i sekker på 25 kg. Hvor mange sekker må gartneren kjøpe? c) Hver sekk koster 50 kr. Hva blir kostnaden for å kjøpe inn stein til dette bedet?

1.117

Ada skal legge gulvplater i et rom med en lengde på 9,0 m og en bredde på 4,5 m. Hver gulvplate er 0,60 m lang og 0,30 m bred. a) Hvor mange gulvplater trenger Ada i lengden av rommet? Regn ut i hodet. b) Hvor mange gulvplater trenger Ada i bredden av rommet? Regn ut i hodet. c) Hvor mange gulvplater trenger Ada totalt?

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:22

ØV MER – 1.2 Overslagsregning OPPGAVER 1.120

Gjør et overslag og regn ut. a) 73 + 48 b) 73 − 48 c) 47 + 33 d) 47 − 33

1.121

Gjør et overslag og regn ut. a) 35,80 + 52,30 b) 85,60 − 39,80 c) 28,40 + 39,70 d) 78,90 − 49,80

1.122

Gjør et overslag og regn ut. a) 8,2: 3,9 b) 14,7: 2,8 c) 25,3: 4,6 d) 36,1 : 7,2

1.123

Gjør et overslag og regn ut. a) 18,6: 3,9 b) 19,4 : 4,9 c) 49,2: 6,4 d) 42,5: 6,2

1.124

Gjør et overslag og regn ut. a) 347 + 589 b) 732 − 287 c) 15,7 ⋅ 5,7 d) 84,6: 8,2

1.125

En rørlegger skal kjøpe inn 8 rørkoblinger. Hver rørkobling koster 47,50 kr. a) Omtrent hvor mye må rørleggeren betale for disse rørkoblingene? Et avløpsrør skal falle 16,7 mm per meter. b) Omtrent hvor mange millimeter må fallet være på et 4,2 m langt avløpsrør?

1.126

En maler bruker 0,2 liter maling per m2. Arealet av veggene i en leilighet er totalt 58 m2. a) Omtrent hvor mye maling trenger maleren for å male veggene i denne leiligheten med to strøk? b) Når veggene er forberedt og dekket til, kan maleren male 18 m2 per time. Omtrent hvor lang tid trenger maleren for å male veggene i leiligheten med to strøk?

1.127

Yard er et amerikansk lengdemål. 1 yard = 0,914 m. Johanna er på ferie i USA og har lagd seg en enkel omregningsregel, slik at hun kan regne om fra yard til meter i hodet: Del med 10, trekk svaret fra lengden i yard og få lengden i meter. a) Forklar hvorfor vi kan bruke denne metoden til å gjøre et overslag når vi vil gjøre om fra yard til meter. Vil metoden gi en lengre eller kortere lengde enn om vi regner nøyaktig? b) Omtrent hvor mange meter er 150 yard?

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 25

12.08.2026 09:05:22

ØV MER – 1.3 Potenser og røtter OPPGAVER 1.130

Regn ut uten hjelpemidler. a) 104 b) ( −2)4 c) ( −5)3 d) 92

1.131

Regn ut uten hjelpemidler. a) ( −1)7 b) ( −1)10 c) 43 d) 82 e) 26

1.132

Regn ut med hjelpemidler. a) 55 b) 88 c) ( −3)7 d) 115 e) ( −11)5

1.133

Regn ut med hjelpemidler. a) ( −4)1 b) ( −4)2 c) ( −4)3 d) ( −4)4 e) ( −4)5

1.134

Hvilken potens er størst? a) 25 eller 52 b) 34 eller 43 c) 102 eller 210 d) 53 eller 35

1.135

Ranger potensene fra minst til størst. 35 , 44 , 29 , 53 , 62

1.136

Hvilke av tallene er like store? a) 42 , 23 , 24 , 32 b) 34 , 81, 92 , 33 c) 103 , 10 000 , 1002 , 102

1.137

Sinus_BA_897024.indb 26

En type juletrebelysning har tre ulike lysinnstillinger: farge, blinking og lysstyrke. Vi kan velge mellom fire ulike farger, fire ulike typer blinking og fire ulike lysstyrker. a) Hvilken potens beskriver hvor mange kombinasjoner av lysinnstillinger juletre belysningen har til sammen? b) Skriv denne potensen som et vanlig tall.

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:23

ØV MER – 1.4 Regnerekkefølge OPPGAVER 1.140

Regn ut uten hjelpemidler. a) 3 + 4 ⋅ 2 b) −5 + 3 ⋅ 4 c) 9 + 3 ⋅ ( −3) d) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −2)

1.141

Regn ut uten hjelpemidler. a) −10 + 10 ⋅ 10 − 10 ⋅ ( −10) b) 6: 2 + 3 ⋅ ( −3) − 9: 3 c) −3 − 3 − 3 ⋅ 2

1.142

Regn ut uten hjelpemidler. a) 5 ⋅ 22 b) 3 + 2 ⋅ 32 c) 6 − 52 d) 3 − 3 ⋅ 32 + 32 ⋅ 3 − 3

1.143

Regn ut uten hjelpemidler. a) (2 − 3)3 b) (10 − 5)3 c) 3 − (3 − 1)4 d) (3 − 1)2 − (12 − 10)2 e) (5 − 3)2 ⋅ (6 − 4)2 + (7 − 5)2 ⋅ (8 − 6)2 + (9 − 7)2 ⋅ (10 − 8)2

1.144

Regn ut uten hjelpemidler. a) 2 ⋅ 23 − (3 − 5)2 b) 52 − (4 − 3)2 − 22 : 4 c) 5 ⋅ (20 − 17)2 + 4 − 3 ⋅ 32 d) 33 − (2 − 32 )2 + (40 − 62 )2 e) 105 + 104 + 103 + 102 + 101

1.145

På en prøve skal Andrine løse oppgaven nedenfor. 5 − 2⋅3+ 4 Andrine bruker en enkel kalkulator og får svaret 13. Læreren sier at svaret er feil. a) Hva er riktig svar? b) Hvordan regner kalkulatoren når den får svaret 13?

1.146

Sorter verdien av uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge fra minst til størst. A. (5 − 1)2 B. (10 − 7)2 C. (13 − 15)3 D. (13 − 15)2 E. (7 − 10)2

1.147

Regn ut uten hjelpemidler. a) 5 − 3 ⋅ 22 − 3 b) (5 − 3) ⋅ 22 − 3 c) 5 − 3 ⋅ (22 − 3) d) (5 − 3) ⋅ (22 − 3) e) 3 ⋅ 52 − 32 − 3 ⋅ ( −2)3

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 27

12.08.2026 09:05:23

ØV MER – 1.5 Regning med enheter OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 28

1.150

Gjør om til gram. a) 300 mg b) 72 kg c) 3,2 hg d) 0,72 kg

1.151

Gjør om til kilogram. a) 78 000 g b) 130 hg c) 43,2 g d) 0,5 tonn

1.152

Gjør om til tonn. a) 500 kg b) 12 000 kg c) 6,7 kg d) 680 g

1.153

Gjør om til meter. a) 13 km b) 0,5 mil c) 45 dm d) 550 mm

1.154

a) Hvor mange kilometer er 100 mil? b) Hvor mange meter er 1000 km? c) Hvor mange millimeter er 3 km? d) Hvor mange meter er 20 mm?

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:23

OPPGAVER – Uten hjelpemidler 1.200

En rektangulær plate er 130 cm lang. Den skal kappes i tre like store lengder. Sagbladet tar 0,5 cm for hvert kutt. Regn ut lengden av hver av de tre platene i hodet.

1.201

Hanne skal bygge ei trapp. Etasjehøyden er 2,40 m. Trinnene skal være 0,16 m høye. Hvor mange trinn må denne trappa ha? Regn i hodet. ▲ 1.1

1.202

Aisha skal bygge en terrasse med et areal på 25 m2. For hver kvadratmeter trenger hun i gjennomsnitt 50 skruer. Skruene selges i esker med 250 skruer i hver. a) Hvor mange esker må Aisha kjøpe? b) Hver eske med skruer koster 189 kr. Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye Aisha må betale.

1.203

Det er dugnad, og muren rundt skolen skal males. På malingspannene står det at de kan male 8 kvadratmeter per liter maling (8 m2/L). Et malingsspann rommer 9 liter maling. a) Hvor mange kvadratmeter kan de male med ett malingsspann? Muren er 1,8 meter høy og 120 meter lang. Den skal males med to strøk. b) Omtrent hvor mange liter maling trenger de for å male muren? c) Hvor mange malingsspann må de kjøpe?

1.204

Den høyeste temperaturen som noen gang er målt på jorda, ble målt i Death Valley i USA i 1973. Den ble målt til 56,7 °C. Den laveste temperaturen som noen gang er målt, ble målt på den russiske forskningsstasjonen Vostok på Antarktis i 1983. Den ble målt til −89,2 °C. Omtrent hvor stor er temperaturforskjellen mellom den høyeste og den laveste temperaturen som er målt på jorda?

1.205

a) Den danske fysikeren Hans Christian Ørsted ble født 14. august 1777 og døde 9. mars 1851. Omtrent hvor gammel var Hans Christian Ørsted da han døde? b) Bilmerket Tesla er oppkalt etter den serbisk-amerikanske vitenskapsmannen og oppfinneren Nikola Tesla. Han ble født 10. juli 1856 og døde 7. januar 1943. Omtrent hvor gammel var Nikola Tesla da han døde?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 29

12.08.2026 09:05:23

1.206

En helsekostbutikk tjener gode penger på å selge såkalt supermat. De selger blant annet en pose açaipulver på 113 gram for 259 kroner. Hva er omtrentlig pris i kroner per kilogram açaipulver? ▲ 1.2

1.207

Regn ut. a) ( −1) ⋅ ( −1) b) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) c) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) d) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) e) Forklar hva som er sammenhengen mellom antall minustegn vi ganger sammen, og hvilket fortegn vi får i svaret.

1.208

En trebjelke er 3 m lang, 0,15 m bred og 0,20 m høy. Vi finner volumet av bjelken i kubikkmeter ved å gange lengden, bredden og høyden. a) Hvor mange ganger større blir volumet dersom alle mål dobles? b) Hvilken potens kan vi gange det gamle volumet med for å få volumet etter at alle målene dobles? c) Hvor mange ganger større blir volumet dersom alle målene tredobles? d) Hvilken potens kan vi gange det gamle volumet med for å få volumet etter at alle målene tredobles?

1.209

Nedenfor ser vi grafene til funksjonene f ( x ) = 2x i grønt og g ( x ) = x 2 i rødt. Skjæringspunktene A og B mellom grafene er markert. Er påstandene nedenfor sanne? Bruk grafene til å begrunne svaret ditt. y 45

f(x)= 2

40 35

g(x)= x2

30 25 20

15 10 A

x 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

A. 24 = 42 B. 12 = 21 C. 23 er større enn 32 D. 25 er større enn 52 ▲ 1.3 30

Sinus_BA_897024.indb 30

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:23

1.210

Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge fra minst til størst. A. 34 B. 43 C. (102 − 100)5 D. 50 − (2 − 5)3

1.211

Michelle har tre bensinkanner. De rommer 6 liter, 9 liter og 13 liter. Hun ønsker å måle opp nøyaktig 1 liter bensin. Hvordan kan hun gjøre det ved å bruke bare to av bensinkannene?

1.212

Aurora liker å tenne telys om kveldene. Hun pleier å tenne 5 telys som brenner 2 timer hver kveld. Hun vil kjøpe inn telys for et helt år. Det er 150 telys i hver pakke, og hvert telys brenner i 5 timer. Hvor mange pakker må hun kjøpe? ▲ 1.4

1.213

Oliver skal mure en vegg med teglstein og mørtel. Hver teglstein med mørtel er 25 cm bred og 10 cm høy. Veggen er 5,5 m lang og 3,0 m høy. Hvor mange teglsteiner trenger han?

1.214

Lettmelk har følgende næringsdeklarasjon: Næringsinnhold

Energi

Per 100 g

173 kJ/41 kcal

Fett – hvorav mettede fettsyrer

1,0 g 0,6 g

Karbohydrater – hvorav sukkerarter

4,5 g 4,5 g

Proteiner

3,5 g

Salt

0,1 g

Kiran drikker et stort glass med 3 dL (tilsvarende 300 g) melk. Hvor mange gram karbohydrater får Kiran i seg?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 31

12.08.2026 09:05:24

1.215

I Sverige bygde de et stort atomkraftverk på kysten av Skåne som ble satt i drift i 1975. Kraftverket het Barsebäck atomkraftverk og hadde en årlig energiproduksjon på omtrent 10 TWh. 1 TWh = 109 kWh = 1 000 000 000 kWh. Etter at kraftverket ble stengt i 2005, har de blant annet tatt i bruk solenergi for å erstatte den tapte energiproduksjonen. Solceller produserer omtrent 250 kWh i året per kvadratmeter. a) Hvor mange kvadratmeter må dekkes av solceller for at det skal produseres like mye energi som Barsebäck atomkraftverk produserte da det var i drift? b) En fotballbane har en størrelse på omtrent 8000 m2. Hvor mange fotballbaner måtte man ha fylt med solceller for å produsere like mye energi som Barsebäck atomkraftverk produserte da det var i drift?

1.216

Effektfaktoren til ei varmepumpe angis gjerne som COP (coefficient of performance). COP-verdien forteller oss hvor mye mer energi varmepumpa gir i form av varme, i forhold til hvor mye elektrisk energi den forbruker. Hvis COP er 2, vil varmepumpa gi 2 kWh (kilowattimer) med varmeenergi for hver kWh elektrisk energi fra strømnettet. Ei varmepumpe med COP-verdi på 4 gir i løpet av en vinterdag 16 kWh med varme. a) Hvor mye elektrisk energi har denne varmepumpa forbrukt for å produsere 16 kWh varmeenergi? b) En husstand har et årlig energibehov på 14 000 kWh til oppvarming. Hvor mye elektrisk energi kreves dersom oppvarmingen kommer fra denne varmepumpa?

Sinus_BA_897024.indb 32

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:24

1.217

Guro er taktekker og skal legge takstein på et nytt hus. Hun finner nødvendig informasjon i tabellen nedenfor. Normale forhold opp til 35 m/s

Værharde strøk over 35 m/s

Største lekteavstand

Omlegg

Antall steiner per m2

Største lekteavstand

Omlegg

Antall steiner per m2

≥ 28°

370 mm

50 mm

9,00

350 mm

70 mm

9,55

27°

365 mm

55 mm

9,15

345 mm

75 mm

9,70

25°

360 mm

60 mm

9,30

340 mm

80 mm

9,80

23°

355 mm

65 mm

9,40

335 mm

85 mm

10,00

Takvinkel

22° *

350 mm

70 mm

9,55

330 mm

90 mm

10,10

20° *

340 mm

80 mm

9,80

320 mm

100 mm

10,40

18° *

330 mm

90 mm

10,10

315 mm

105 mm

10,75

15° *

315 mm

105 mm

10,75

315 mm

105 mm

10,75

*Det er viktig å ta spesielle forholdsregler for å få et tettest mulig tak. Ved lave takvinkler anbefaler vi bærende undertak. Ved bruk av gavlstein er minste lekteavstand 315 mm. Ta hensyn til kyststrøk og husets beliggenhet. Se NS 3479/A1. Tabell 1 – Lekteavstander

Takvinkelen på huset er 25°. Det totalet arealet av hustaket er 82 m2. Huset står på Sunnmørskysten, hvor vinden kan bli kraftigere enn 35 m/s. a) Bruk tabellen og finn den maksimale lekteavstanden for dette huset. b) Hvor mange taksteiner trenger Guro per kvadratmeter? c) Bruk overslagsregning og regn ut omtrent hvor mange taksteiner Guro trenger. ▲ 1.5

1.218 Eksamen V22

Bildet viser en høydemåling med en nivelleringskikkert. S er siktelinja. Avlesningen på målepunkt A er 110 cm. Avlesningen på målepunkt B er 35 cm.

S b B

Hva er høydeforskjellen (h) mellom punkt A og punkt B? 1.219 Eksamen H22

Emma er på fjelltur og blir overrasket av et tordenvær. Hun observerer at det går 5 sekunder fra hun ser et lyn, til hun hører tordenskrallet. Lyd farten i luft er cirka 340 meter i sekundet. Omtrent hvor mange kilometer unna er tordenværet?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 33

12.08.2026 09:05:24

1.220 Eksamen H23

Kari har 1,5 L brus. Hun skal fylle brusen i glass. I hvert glass skal det være 2,5 dL. a) Hvor mange glass kan Kari fylle? Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag. Han finner ulike svar på ulike nettsider. På én nettside finner han teksten nedenfor. Voksne har hvert døgn behov for ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt. Husk at vann er den beste tørstedrikken. Tobias veier 70 kg. b) Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn, ifølge nettsiden?

1.221 Eksamen V24

En butikk selger poser med 5 kilogram reker for 400 kroner per pose.

a) Hva er prisen per kilogram for rekene? Posene med reker merkes ut fra hvor store rekene er. Størrelse 50/70

Størrelse 70/90

Størrelse 90/120

Du får mellom 50 og Du får mellom 70 og Du får mellom 90 70 reker per kilogram. 90 reker per kilogram. og 120 reker per kilogram. b) I hvilken pose bør ei reke som veier 20 gram, være? Husk å begrunne svaret ditt.

Sinus_BA_897024.indb 34

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:24

1.222 Eksamen V24

1 kubikkmeter (m3) B35 betongblanding består av følgende: Sement

325 kg

Sand

1 tonn

Stein av ulik størrelse

900 kg

Vann

165 liter

a) Regn ut hvor mye 1 m3 B35 betong veier. Oppgi svaret i kg. Du skal blande 0,2 m3 B35 betong til en liten konstruksjon. b) Hvor mye vann trenger du til denne blandingen? 1.223 Eksamen V25

Sara skal handle ris i butikken. Hun kan velge mellom to ulike typer. Kartong med boil-in-bag-ris

Sekk med ris

Vekt: 1 kg Pris: 32 kroner

Vekt: 4 kg Pris: 80 kr

I en kartong med boil-in-bag-ris er 1 kg ris fordelt på 8 poser. a) Hvor mange gram ris er det i hver pose? I familien til Sara er de to voksne og to barn. Hver person spiser 5 kg ris hvert år. b) Hvor mange kroner sparer familien i løpet av ett år dersom de kjøper sekker med ris i stedet for kartonger med boil-in-bag-ris? 1.224 Eksamen H25

Jens løper på ei tredemølle med en fart på 12 km/h. a) Hvor langt løper Jens på 15 minutter? En maraton er 42 195 meter lang. I 2023 løp Kelvin Kiptum fra Kenya en maraton på tiden 2:00:35 (2 timer og 35 sekunder). b) Omtrent hvor mange minutter brukte han på hver kilometer han løp?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 35

12.08.2026 09:05:25

OPPGAVER – Med hjelpemidler 1.300

Når vi ganger to tall nært 100 med hverandre, kan vi bruke et eget hoderegningstriks. For å forklare trikset lager vi en oppskrift med gange stykket 96 ⋅ 97 som eksempel. 1. Skriv hvert av tallene som 100 minus et tall. Tallene vi trekker fra, kaller vi differansene. 96 ⋅ 97 = (100 − 4) ⋅ (100 − 3) 2. 100 minus begge differansene fra steg 1 er nå de første sifrene i svaret. 100 − 4 − 3 = 93 3. Gang de to differansene for å få de to siste sifrene i svaret. 4⋅3 = 12 Vi har nå regnet ut at 96 ⋅ 97 = 9312. Bruk dette hoderegningstrikset og regn ut. a) 97 ⋅ 95 b) 94 ⋅ 96 c) 98 ⋅ 94 d) 99 ⋅ 98

1.301

Når vi ganger et tall som slutter på 5, med seg selv, kan vi bruke et eget hoderegningstriks. For å forklare trikset lager vi en oppskrift med tallet 35 som eksempel. 1. Ta ut det første sifferet (eller alle sifrene før 5 i større tall). Vi tar ut tallet 3. 2. Gang tallet med seg selv pluss én. 3 ⋅ (3 + 1) = 3 ⋅ 4 = 12 3. Sett tallet 25 bak tallet fra steg 2. Svaret er 1225. Vi har nå regnet ut at 352 = 35 ⋅ 35 = 1225 Bruk dette hoderegningstrikset og regn ut. a) 252 b) 552 c) 852 d) 1052

Sinus_BA_897024.indb 36

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:25

1.302

Regn ut 952 ved å bruke hoderegningstriksene fra oppgave 1.300 og 1.301. ▲ 1.3

1.303

En rørleggerlærling kjører sin egen bil til de ulike jobbene han er med på. Firmaet han jobber for, betaler kjøregodtgjørelse på 4,20 kr per kilometer. I løpet av ei uke kjører han følgende distanser til og fra forskjellige jobber: • • • • •

mandag: 42 km tirsdag: 15 km onsdag: 66 km torsdag: 30 km fredag: 51 km

a) Hvor mye kjøregodtgjørelse får lærlingen denne uka? b) Bensinprisen er 19 kr per liter, og bilen kjører 12 km per liter. Hvor mye av kjøregodtgjørelsen sitter lærlingen igjen med etter at bensinen er betalt? 1.304

Linnea trenger et spesialverktøy til et prosjekt som varer i tre uker. Å leie verktøyet koster 350 kr per dag, mens det koster 12 500 kr å kjøpe det. a) Hvor mye koster det å leie verktøyet i 3 uker hvis vi regner 5 arbeidsdager per uke? b) Linnea planlegger å bruke verktøyet på totalt tre prosjekter i løpet av det kommende året. Hva blir leiekostnaden da? c) Lønner det seg å kjøpe verktøyet dersom hun skal utføre disse tre prosjektene? ▲ 1.4

1.305

Snekker Andersen skal utbedre skader i en gipsvegg. Han vil bruke gipspuss som han skal blande ut, og på pakningen kan han lese at det trengs 14 liter vann til 20 kilogram gips. a) Hvor mange liter vann trengs det per kilogram gips? b) Hvor mange kilogram gips trengs det per liter vann? c) Hvor mye vann trenger han for å blande ut 4 kilogram gips?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 37

12.08.2026 09:05:25

1.306

Vilmer pusser opp et kjøkken og skal legge nye fliser. Han har kjøpt flislim i pulverform som han må blande ut med vann. På pakningen står det at 1 kg flislim skal blandes ut med 0,3 liter vann. a) Vilmer vil i første omgang bruke 4 kg flislim. Hvor mye vann trenger han for å blande ut flislimet? Vilmer har ikke noen vekt til å måle opp flislimet, men han har et litermål. På pakningen står det at flislimet har en massetetthet på 1450 kg/m3 (1 m3 veier 1450 kg). Merk at 1 m3 tilsvarer 1000 liter. b) Hvor mye veier 1 liter av flislimet? c) Hvor mange liter av flislimet trenger han for at det skal bli 4 kg? Det står på pakningen at forbruket av flislim er på 2,5 kg/m2. Vilmer skal flislegge en vegg som er 4 meter lang og 0,6 meter høy. Husk at vi finner arealet ved å gange lengden med høyden. d) Har Vilmer blandet ut nok flislim til å dekke hele veggen? Dersom han ikke har nok, hvor mye mer må han lage?

Sinus_BA_897024.indb 38

1.307

Hans Fredrik skal blande betong. Betongen lages ved å blande sement, singel, sand og vann. I byggevarebutikken får han oppgitt at betongen skal blandes etter følgende blandingsforhold: «Til 20 kg sement trenger du 66 kg sand, 54 kg singel og 13 liter vann.» a) Hans Fredrik skal starte med å blande en liten mengde betong av 10 kg sement. Hvor mye trenger han av sand, singel og vann? b) Senere skal han blande betong av 150 kg sand. Hvor mye må han da tilsette av sement, singel og vann? c) Når Hans Fredrik blander betong etter blandingsforholdet ovenfor, får han 65 liter ferdig mørtel av 20 kg sement. Hvor mange liter ferdig mørtel får han fra blandingen med 150 kg sand?

1.308

Et bad har et gulvareal på 7,5 m2. Noah skal legge varmekabler med en effekt på 120 watt per m2. a) Hvor stor total effekt vil varmekablene gi på dette badet? b) Noah kjøper inn varmekabler med en effekt på 18 watt per meter kabel. Hvor mange meter med varmekabel trenger han for å oppnå den totale effekten fra oppgave a?

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:25

1.309

Et digitalt fotografi består av et stort antall bittesmå kvadrater som vi kaller piksler. Hver piksel har hver sin farge. Når antallet piksler er stort nok, vil ikke det menneskelige øyet oppdage pikslene, men bare se fotografiet som en sammenhengende, naturlig gjengivelse av virkeligheten.

Den opprinnelige versjonen av bildet ovenfor består av 6000 × 4000 piksler, som betyr at det er 6000 piksler vannrett og 4000 piksler loddrett. a) Hvor mange piksler er det til sammen i dette bildet? Hvis vi forstørrer et slikt bilde for mye, vil vi til slutt se pikslene, og bildet vil oppleves kornete. For at utskriften skal bli pen, bør oppløsningen være på minst 300 ppi. Forkortelsen ppi står for «pixels per inch», som på norsk betyr «piksler per tomme». 1 tomme = 2,54 cm. b) Vi ønsker å lage en plakat av dette bildet. Hvor stor kan plakaten være for at bildet fortsatt skal ha en oppløsning på minst 300 ppi? 1.310

Esther skal laste ned ei videofil på 1500 MB. Internettforbindelsen har en hastighet på 50 Mbps (megabit per sekund). 1 B (byte) er det samme som 8 bit, og 1 MB (megabyte) er det samme som 8 Mbit. a) Regn om filstørrelsen på videofila til megabit. b) Hvor lang tid trenger Esther for å laste ned videofila? Yasmin skal overføre ei videofil på 2500 MB fra datamaskinen sin til en ekstern harddisk med en hastighet på 13 MB/s (megabyte per sekund). c) Hvor lang tid tar det for Yasmin å overføre denne videofila? d) Hvor stor er overføringshastigheten fra Yasmins datamaskin til den eksterne harddisken målt i megabit per sekund?

1.311

Johanne har fått installert solcellepaneler på taket til huset sitt. I løpet av en måned produserer solcellepanelene 472 kWh med energi, mens Johanne og familien forbruker 1139 kWh. Johanne må betale for den energien hun ikke får tilført fra solcellepanelene. Prisen er 1,50 kr per kWh. a) Hvor mye må Johanne betale denne måneden? b) Hvor mye mer måtte Johanne betalt om hun ikke hadde hatt solcellepaneler?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 39

12.08.2026 09:05:25

1.312

Marius skal flislegge veggene på badet sitt. Han skal kjøpe inn fliser og fugemasse. Fugemassen selges i sekker på 5 kg, og det står på sekkene at 5 kg fugemasse er nok til å flislegge 10 m2. Hver sekk koster 120 kr. Flisene er 25 cm brede og 40 cm lange. De selges i esker med 16 fliser, og hver eske koster 140 kr. Badet han skal flislegge, er 3 meter bredt, 4 meter langt og 2,5 meter høyt. Vi antar at alle vegger på badet skal flislegges og ser bort fra eventuelle dører og vinduer. Regn ut hvor mye Marius må kjøpe inn av fliser og fugemasse. Hvor mye må han betale til sammen?

1.313

Du skal legge laminatgulv som selges i pakker med flere gulvplater. I byggevarebutikken får du oppgitt følgende om gulvet du ønsker å kjøpe: Pris per kvadratmeter (m2) Antall gulvplater i hver pakke

199 kr 6

Vekt per pakke

16,41 kg

Lengde gulvplate

1,292 m

Bredde gulvplate

0,193 m

Areal per gulvplate (antall kvadratmeter)

0,25 m2

Forklar hvordan du tenker og vis hvilke utregninger du må gjøre når du skal planlegge innkjøpet av gulvet. Du må finne ut i hvor mange rom skal du legge gulv, og hvor stort hvert rom er hvor mange pakker du må kjøpe inn hva hver pakke koster, og hva den totale prisen blir hvor mye alle pakkene veier til sammen

• • • •

▲ 1.5

Sinus_BA_897024.indb 40

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:26

1.314 Eksamen H25

Det største bassenget i Pirbadet i Trondheim har vært tømt for vann i forbindelse med vedlikehold. Hvis de ansatte bruker to brannslanger, tar det 48 timer å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann. a) Hvor mange liter vann fyller hver brannslange i bassenget per sekund? Trond er teknisk leder og har ansvar for å fylle bassenget. Tenk deg at • Trond bruker ei vannkanne til å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann • vannkanna rommer 5 liter • Trond arbeider 7 timer hver dag • Trond fyller vannkanna med vann når den er tom, og han bruker 3 minutter på hver runde b) Gjør beregninger og vurder hvor mange arbeidsdager Trond ville brukt på å fylle bassenget på denne måten.

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 41

12.08.2026 09:05:27

«Ekadhikena Purvena» – med én mer enn den forrige Det har blitt hevdet at vitenskapsfolkene som levde i India for flere tusen år siden, lenge før kalkulatorens tid, klarte å gjøre komplekse beregninger i hodet. Gangestykker som 65 ⋅ 65 løste de på null komma niks. Hvordan klarte de det? Det sies at de hadde fått en guddommelig gave, som de hadde oppdaget i de hellige skriftene. I dag kjenner vi til hoderegningsteknikker som fungerer på bestemte regnestykker. Noen slike metoder ble samlet av den indiske matematikeren Bharati Krishna Tirthaji i ei bok som kalles Vedisk matematikk. Det historiske opphavet er omdiskutert, men boka består av 16 sutraer, eller vers, som beskriver metoder for å løse ulike matematiske problemer. Den første sutraen er «Ekadhikena Purvena», som betyr «med én mer enn den forrige». Denne sutraen beskriver en metode for å gange sammen to like tosifrede tall der det siste sifferet er 5.

Vi viser metoden for gangestykket 65 ⋅ 65 Det første sifferet i begge tallene er 6. Derfor ganger vi 6 «med én mer enn det forrige», altså med 7. 6⋅7 = 42 Det andre sifferet i begge tallene er 5. Vi ganger disse to sammen. 5 ⋅5 = 25 Deretter setter vi svarene på de to regnestykkene etter hverandre og får svaret: 65 ⋅ 65 =25 42 Metoden kan utvides til å gjelde flere tall. Vi kan bruke metoden så lenge det første sifferet i begge tallene er likt og summen av de to bakerste sifrene er ti. 48 ⋅ 42 Det første sifferet i begge tallene er 4, og 10. summen av de to bakerste er 8 + 2 = Da fungerer metoden. Vi regner ut 4 ⋅5 = 20

KILDER: Williams, K. R. (2009). Vedisk matematikk (R. B. Heffermehl, Overs.). Inspiration Books. (Opprinnelig utgitt 2002)

8 ⋅2 = 16 Da blir 48 ⋅ 42 =16 20

Bal, H. S. (2010, 12. august). The Fraud of Vedic Maths. OPEN.

Sinus_BA_897024.indb 42

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:27

Sanchi Stupa er et tempel som ble bygd i stein omkring 200 år f.Kr., under den vediske epoken. Arkitekturen fra denne tiden ble ofte basert på geometriske figurer som ble ansett som hellige.

Oppgaver 1. Bruk metoden til å regne ut a) 45 ⋅ 45 b) 75 ⋅ 75 c) 95 ⋅ 95 2. Bruk metoden til å regne ut a) 23 ⋅ 27 b) 47 ⋅ 43 c) 66 ⋅ 64 d) 81 ⋅ 89 e) 92 ⋅ 98 3. Lag noen egne regnestykker som du kan løse med denne metoden. 4. Vedisk matematikk er kontroversielt. Det er delvis fordi det historiske opphavet til sutraene ikke er godt dokumentert, og delvis fordi metodene, eller regnetriksene, bare fungerer i noen tilfeller. Hvilke tall fungerer metoden på, og hvilke tall fungerer den ikke på? Synes du det er nyttig å lære slike regnetriks?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 43

12.08.2026 09:05:28

Repetisjonsoppgaver

REPETISJONSOPPGAVER – Uten hjelpemidler OPPGAVE 1

OPPGAVE 5

Regn ut. a) 5 − (3 − 1) b) −3 − ( −14) c) ( −4) ⋅ ( −11) d) 2 − 5 ⋅ 32 + (1 − 3)3

a) Gjør om til meter og legg sammen.

OPPGAVE 2

OPPGAVE 6

Bestem hvilket tall som er størst, eller om de er like store. a) ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) eller 32 b) 24 eller 42 c) 102 eller 210

Nedenfor har vi samlet noen viktige hendelser i byggekunstens historie.

OPPGAVE 3

500 mm + 6,8 m + 0,012 km b) Gjør om til tonn og legg sammen. 5500 kg + 72,3 tonn

a) Hvor mange meter er 6700 cm? b) Hvor mange gram er 0,53 kg? c) Hvor mange kilometer er 300 m? d) Hvor mange meter er 3,8 km? e) Hvor mange desimeter er 150 m? OPPGAVE 4

Lektor Smestad retter prøver og finner tre ulike løsninger på den samme oppgaven. Oppgaven er å regne ut 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 Løsningene fra elevene ser slik ut: Sigurd: 2 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 2= 2 ⋅ ( −1)2 + 2 ⋅ 4 = 2 + 8 = 10

Asbjørn: 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 = 5 − 3 ⋅ ( −1)2 + 2 ⋅ 4 = 5 − 3+ 8 = 10 Anne Gry: 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 =− 5 3 ⋅ (32 − 42 ) + 42 = 5 − 3 ⋅ (9 − 16) + 16 = 5 − 3 ⋅ ( −7) + 16 =5 + 21 + 16 = 42

Hendelse

Årstall

Keramiske veggfliser blir oppfunnet i Egypt

1200 f.Kr.

Romerne bygger sine første akvedukter

312 f.Kr.

Romerne utvikler romerbetong lagd på vulkansk aske

100 f.Kr.

Portlandsementen blir oppfunnet

1845

a) Hvor mange år gikk det fra keramiske fliser ble oppfunnet, til portlandsementen ble oppfunnet? b) Hvor mange år gikk det fra romerne fant opp de første akveduktene, til de utviklet romerbetong? c) Hvor mange år gikk det fra romerbetongen ble oppfunnet, til portlandsementen ble oppfunnet? OPPGAVE 7

Omar skal male det lokale kommunehuset med to strøk maling. Han regner ut at veggene til sammen har et areal på 220 m2. Malingen selges i spann på 10 liter, og på spannet står det at du trenger 1 liter maling til 9 m2. Hvor mange malingsspann må Omar kjøpe?

a) Hvilken av løsningene er korrekt? Forklar hvorfor. b) Hva er galt med de to andre løsningene? 44

Sinus_BA_897024.indb 44

TALLREGNING

12.08.2026 09:05:28

REPETISJONSOPPGAVER – Med hjelpemidler OPPGAVE 8

OPPGAVE 10

På fjellet regner man at temperaturen avtar med 6,5 °C når høyden øker med 1000 meter. Noen klatrere befinner seg på Mount Everests sørlige basecamp som ligger 5360 meter over havet, og på en bestemt dag er temperaturen –12 °C. Klatrerne skal tilbringe noen dager på basecampen for at kroppen skal vende seg til den ekstreme høyden før de bestiger det høyeste punktet 8849 meter over havet. Hva kan klatrerne forvente at temperaturen på toppen av Mount Everest vil være?

Energien som kreves for å varme opp 1 kg vann med 1 °C, er 4,2 kJ. Kari liker å ta seg et varmt bad og fyller badekaret med godt og varmt vann. Badekaret rommer 120 liter, som tilsvarer 120 kg. Vannet til badekaret må varmes fra ca. 10 °C til 40 °C. a) Hvor mye energi krever det å varme opp vannet i et fullt badekar til ønsket temperatur? b) 1 kWh (kilowattime) er det samme som 3600 kJ. Hvor mye energi krever det å varme opp vannet i badekaret målt i kilowattimer (kWh)? c) Hvis vi antar at prisen per kilowattime er 1,40 kr, hvor mye må Kari da betale for å bade tre ganger i uka i ett år? OPPGAVE 11

OPPGAVE 9

En orgelbygger skal bygge et lite husorgel som har to rader med piper. Rad 1 har åtte piper, og det er disse vi skal se på i denne oppgaven. Den lengste pipa har lengden 120 cm. Vi får lengden av neste pipe ved å gange lengden av den foregående pipa med tallet 0,94. Den andre pipa får da lengden 120 cm ⋅ 0,94 = 113 cm. Slik regner vi også ut lengden av de øvrige pipene. a) Regn ut lengden av de øvrige seks pipene. b) Hva er den totale lengden av de åtte pipene i meter? c) Regn ut 120 cm ⋅ 0,947 . d) Forklar hvorfor svaret på oppgave c gir deg lengden av den korteste pipen.

Shazia er på oppdrag i Sverige og skal kjøre 720 km før hun får levert varene hun frakter til kunden. Drivstofflampa blinker, så hun må stoppe ved en bensinstasjon for å fylle diesel. Drivstoffprisene står oppgitt på skiltet nedenfor.

E85 D 95

17,27 20,18 18,11

Varebilen hun kjører, bruker 0,45 L/mil (0,45 liter diesel per mil). Siden hun er i Sverige, sjekker hun valutakursen og finner ut at 1 SEK = 1,05NOK (SEK står for svenske kroner og NOK står for norske kroner). a) Hvor mye diesel må Shazia fylle hvis hun skal kjøre helt fram uten å stoppe ved flere bensinstasjoner? b) Hvor mye må hun betale i norske kroner for å kunne kjøre disse 720 kilometerne? Repetisjonsoppgaver

Sinus_BA_897024.indb 45

12.08.2026 09:05:28

Sinus_BA_897024.indb 46

12.08.2026 09:05:30

2. Brøk og prosent I dette kapittelet skal vi jobbe med brøk- og prosentregning. I dagliglivet må vi ofte forholde oss til brøk og prosent, for eksempel når vi skal handle varer på salg, eller når vi skal forstå statistikk i nyheter eller fagstoff. Nesten uansett hvilket yrke du velger, vil du få bruk for prosentregning. I bygg- og anleggsbransjen oppgis blant annet fallet på veier, gulv og avløpsrør i prosent. Og som bygg- og anleggsarbeider kan du få bruk for brøkregning når du jobber med blandingsforhold, rørdeler eller andre materialer. KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse

Sinus_BA_897024.indb 47

12.08.2026 09:05:31

2.1 Brøk Vi leser

1 som «én firedel», og tallet kalles en brøk. En brøk består av en 4

teller, en brøkstrek og en nevner. teller brøkstrek

1 4

nevner

Brøken

1 er det samme som 1 : 4. 4

Fire lærlinger får i oppdrag å montere nye dører i ei boligblokk som pusses opp. Til sammen er det 60 dører som skal skiftes. Hvis de 1 fordeler arbeidet likt mellom seg, skal hver av dem montere av dørene. 4 Det blir 15 dører på hver. 60 1 4

1 4

Dette kan vi regne ut slik: 1 1 av 60 = ⋅ 60 =15 4 4 1 1 ⋅ 60 60 = = 15. Denne måten å regne på får vi Legg merke til at ⋅ 60 = 4 4 4 bruk for hvis vi skal regne ut brøkdeler uten kalkulator. REGEL

Vi finner brøkdelen av et tall ved å gange brøken med tallet. Når vi ganger et tall med en brøk, ganger vi tallet med telleren.

EKSEMPEL

LØSNING

Sinus_BA_897024.indb 48

Regn ut. 1 a) av 315 kr 7

2 av 225 kr 5

3 av 120 kr 8

1 1 ⋅ 315 kr 315 kr ⋅ 315 kr = = = 45 kr 7 7 7 2 2 ⋅ 225 kr 450 kr = = 90 kr b) ⋅ 225 kr = 5 5 5

3 3 ⋅ 120 kr 360 kr ⋅ 120 kr = = = 45 kr 8 8 8

BRØK OG PROSENT

12.08.2026 09:05:31

Når vi skal finne

3 av 60, kan vi også bruke at en firedel av 60 er 15. 4

Da må tre firedeler være tre ganger så mye. 3 1 av 60 = 3 ⋅ av 60 = 3 ⋅ 15 = 45 4 4 60 1 4

1 4

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut uten kalkulator. 2 3 a) av 100 kg b) av 120 kg 5 4 a) Vi kan finne

1 av 100 kg ved å dele 100 på 5. 5

1 ⋅ 100 kg = 20 kg 5

2 1 er dobbelt så mye som . 5 5 2 ⋅ 20 kg = 40 kg b)

1 120 kg av 120 = kg = 30 kg . Tre firedeler må være tre ganger så mye 4 4 som én firedel. Altså blir 3 av 120 kg = 3 ⋅ 30 kg = 90 kg 4

OPPGAVER 2.10

Regn ut med kalkulator. 5 3 a) av 120 kg b) av 70 kg 6 5

2.11

Regn ut uten kalkulator. 3 5 a) av 217 kr b) av 153 kr 7 9

1 av 969 kr 6

2.1

Sinus_BA_897024.indb 49

Brøk

12.08.2026 09:05:31

Sinus_BA_897024.indb 92

12.08.2026 09:05:48

3. Formler og likninger I dette kapittelet skal vi lære om matematiske formler og likninger. En formel er en matematisk sammenheng mellom to eller flere størrelser. Vi kan for eksempel finne ut hvor mye en gjenstand veier, ut fra volumet og massetettheten til materialet den er lagd av. I bygg- og anleggsbransjen er det viktig å kunne gjøre nøyaktige beregninger. Å bruke formler kan være en del av arbeidet når du skal regne ut hvor mye betong som trengs til en støp, hvor lange materialer må være eller hvor stort areal som skal kles eller isoleres. Du som går på bygg- og anleggsfag, kan for eksempel utdanne deg til å bli taktekker. I hvilke situasjoner tror du at du kan få bruk for matematiske formler eller likninger når du planlegger tekking eller isolering av et tak? KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet

Sinus_BA_897024.indb 93

12.08.2026 09:05:48

3.1 Formler for areal og omkrets En formel gir sammenhengen mellom to eller flere størrelser. Arealet og omkretsen av et rektangel er avhengig av lengden av sidekantene. REGEL

Arealet av et rektangel med lengdene x og y er gitt ved A= x ⋅ y

Omkretsen av rektangelet er gitt ved = O 2x + 2y

Når vi bruker formlene ovenfor, må vi passe på at lengdene av begge sidekantene har samme måleenhet. Hvis lengdene av sidekantene er målt i meter, får arealet enheten kvadratmeter (m2). Er de målt i centimeter, får arealet enheten kvadratcentimeter (cm2). EKSEMPEL

En snekker skal bygge en platting. Plattingen har mål som vist på figuren. a) Hva er arealet av plattingen?

Bredden på et terrassebord er 120 mm. 12 m b) Hva er arealet av én løpemeter terrassebord? c) Hvor mange løpemeter terrassebord trenger snekkeren for å bygge plattingen? d) Anta at 10 % av materialene forsvinner i kapp. Hvor mange løpemeter terrassebord bør snekkeren bestille? LØSNING

a) Arealet finner vi med formelen A= x ⋅ y = 12 m ⋅ 7 m = 84 m2 Arealet av plattingen er 84 m2. b) Terrassebordet er et rektangel med en lengde på 1 m og en bredde på 120 mm. Vi må gjøre om begge enhetene til meter før vi regner ut arealet. 120 mm =

120 m 0,120 m = 1000

Arealet av én løpemeter terrassebord blir = A 0,120 m ⋅ 1 m = 0,120 m2 

Sinus_BA_897024.indb 94

FORMLER OG LIKNINGER

12.08.2026 09:05:48

c) Vi må dele det totale arealet på arealet per meter for å finne ut hvor mange løpemeter terrassebord vi trenger.



84 m2 = 700 0,120 m2 Snekkeren trenger 700 løpemeter terrassebord for å bygge plattingen. d) Snekkeren bør bestille 10 % ekstra. Vekstfaktoren blir 1,10. Vi får at 700 ⋅ 1,10 = 770 Snekkeren bør bestille 770 løpemeter terrassebord til plattingen.

OPPGAVER 3.10

Finn arealet og omkretsen av et rektangel med sidekanter på a) 30 m og 24 m b) 3,1 m og 5,2 m c) 10 cm og 12 cm d) 74 cm og 1,2 m

3.11

Det skal støpes et rektangulært betongfundament. Målene vises på figuren.

3,2 m 4,7 m a) Hva blir arealet av betongfundamentet? b) Betongfundamentet skal kles med flis. Flisene er kvadratiske med sidekanter på 60 cm. Hva er arealet av én flis? c) Hvor mange fliser trengs det for å kle fundamentet, dersom vi ikke tar hensyn til kapp? d) Det anbefales å beregne 20 % kapp ved bruk av den aktuelle flisa. Hvor mange fliser bør da bestilles? e) Hele betongfundamentet skal rammes inn med kantstein. Hvor mange meter med kantstein trengs det?

3.1

Sinus_BA_897024.indb 95

Formler for areal og omkrets

12.08.2026 09:05:49

Arealet og omkretsen av en sirkel er avhengig av radiusen til sirkelen. REGEL

Arealet av sirkelen med radius r gitt ved A = π⋅ r 2

Omkretsen av sirkelen er gitt ved O= 2 ⋅ π⋅ r På de fleste kalkulatorer fins det en egen tast for π. Finn ut hvor du finner den på kalkulatoren din. Hvis du bruker den når du skal regne med formler som inneholder π slipper du å få avrundingsfeil. EKSEMPEL

LØSNING

En rund bordplate har radius r = 1,2 m. a) Hva er arealet av bordplaten? b) Hva er omkretsen av bordplaten? a) Arealet av bordplaten er A = π⋅ r 2 = π⋅ (1,2 m)2 = 4,5 m2 b) Omkretsen av bordplaten er O= 2 ⋅ π⋅ r = 2 ⋅ π⋅ 1,2 m = 7,5 m

OPPGAVER

Sinus_BA_897024.indb 96

3.12

Finn arealet og omkretsen av en sirkel med radius a) r = 20 cm b) r = 2,4 m c) r = 24 mm

3.13

En anleggsgartner skal beplante en stor rundkjøring. Beplantningen skal bestå av et rundt blomsterbed i midten. Bedet skal ha en diameter på 10 m. Rundt bedet skal det legges gress. Diameteren til hele området er 24 m. Husk at radiusen er halvparten av diameteren i en sirkel. a) Hva blir arealet av blomsterbedet i midten? b) Hvor stort blir arealet av området med gress? c) Anleggsgartneren skal bestille ferdigplen. En pall med ferdigplen dekker 60 m2. Hvor mange paller må hun bestille? d) Det skal legges kantstein mellom bedet og gresset og mellom gresset og veibanen. Hvor mange meter med kantstein trengs det? 3

FORMLER OG LIKNINGER

12.08.2026 09:05:51

10 m 24 m

3.1

Sinus_BA_897024.indb 97

Formler for areal og omkrets

12.08.2026 09:05:52

Øv mer

ØV MER – 3.1 Formler for areal og omkrets OPPGAVER 3.110

En vegg er 8,0 meter bred og 2,5 meter høy. a) Hva er arealet av denne veggen? b) Hva er omkretsen av denne veggen?

3.111

Et boblebad er sirkelformet med radiusen 1,5 m. a) Hva er arealet av boblebadet? b) Hva er omkretsen av boblebadet?

3.112

Regn ut areal og omkrets av rektanglene med sidekanter som angitt nedenfor. a) 4,3 m og 1,6 m b) 12 km og 105 km c) 150 m og 1,8 km

3.113

Regn ut areal og omkrets av sirklene med radius eller diameter som angitt nedenfor. a) Radius er 5,0 m. b) Radius er 2,6 dm. c) Diameter er 70 cm.

3.114

Et hus er 12,0 meter langt og 6,5 meter bredt. a) Hva er arealet av hele huset? b) Høyden av ytterveggene er 3,2 meter. Hva er det totale arealet av alle ytterveggene? En maler skal male alle ytterveggene med to strøk. Én liter maling dekker 9 kvadratmeter, og han kjøper malingen i spann på 15 liter. Vi ser bort fra vinduer og dører. c) Hvor mange liter maling trenger han? d) Hvor mange malingsspann må han kjøpe?

112

Sinus_BA_897024.indb 112

3.115

En flislegger skal legge flis på et uteområde som er 14,0 m langt og 5,5 m bredt. Flisene er 0,80 m lange og 0,25 m brede og legges med langsiden langs lengden av uteområdet. a) Hva er arealet av uteområdet? b) Hva er arealet av én flis? c) Hvor mange fliser trengs det dersom vi ser bort fra fuger og svinn ved kutting?

3.116

a) Hva har størst areal av et kvadrat der sidekantene har lengden 3, og en sirkel med radiusen 3? Begrunn svaret ditt. b) Hva har størst areal av et kvadrat der sidekantene har lengden R, og en sirkel med radiusen R? Begrunn svaret ditt.

FORMLER OG LIKNINGER

12.08.2026 09:05:55

ØV MER – 3.2 Formler for volum OPPGAVER 3.120

a) Hva er volumet av et prisme med grunnflate G = 3,0 m2 og høyde h = 2,0 m? b) Hva er volumet av et prisme med grunnflate G = 12,0 cm2 og høyde h = 3,2 dm? c) Hva er volumet av en sylinder med grunnflate G = 3,0 m2 og høyde h = 2,0 m?

3.121

a) Hva er volumet av et prisme med høyde 3,2 cm og en rektangulær grunnflate med lengde 12,3 cm og bredde 6,7 cm? b) Hva er volumet av en sylinder med høyde 6,6 m og en grunnflate med radius 1,2 m? c) Hvor mange liter rommer en sylinder med høyde 5,0 dm og en grunnflate med radius 1,6 dm?

3.122

Et svømmebasseng fylt med vann er 9,0 m langt, 4,0 m bredt og 1,5 m dypt. a) Hva er arealet av grunnflaten til svømmebassenget? b) Hva er volumet av vannet i bassenget i kubikkmeter? c) Hva er volumet av vannet i bassenget i liter? Husk at 1 L = 1 dm3.

3.123

En sylinderformet betongsøyle har en diameter på 40 cm og en høyde på 3,5 m. Hva er volumet av betongen i søylen målt i kubikkmeter?

3.124

En bilmotor består av flere sylindre hvor drivstoff og luft brennes for å skape bevegelsesenergi som får bilen til å kjøre. Vi ser på en motor med 4 sylindre. Hver sylinder har en såkalt boring (innvendig diameter) på 82 mm og en slaglengde (avstanden et stempel beveger seg inne i sylinderen) på 85 mm. Motorvolumet, som også kalles slagvolumet, er det volumet som totalt fortrenges av de fire stemplene. a) Hvor mange liter er volumet av én sylinder? b) Hva er slagvolumet til denne motoren målt i liter? c) Motoren til en lettmotorsykkel har bare én sylinder. Denne sylinderen har en boring på 52 mm og slaglengde på 58,6 mm. Hva er slagvolumet til denne lettmotorsykkelen målt i kubikk centimeter?

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 113

113

12.08.2026 09:05:56

140

Sinus_BA_897024.indb 140

12.08.2026 09:06:05

4. Geometri I dette kapittelet skal vi jobbe med å finne ukjente vinkler og sider i trekanter. Dette er noe du vil få bruk for i alle yrkene du som elev på bygg- og anleggsteknikk kan utdanne deg til. En snekker må for eksempel beregne takvinkler og høyden under taket i en bygning, mens en rørlegger må beregne riktig fall på rørledninger. I begge disse eksemplene må du gjøre trekantberegninger. Målestokk er sentralt når du skal lese og bruke arbeidstegninger. Tømrere må forholde seg til arbeidstegninger når de skal bygge reisverket til et bygg. Da må de kunne bruke målestokken til å regne om mellom avstander på tegningen og i virkeligheten. KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • utforske og bruke egenskapene ved geometriske figurer, målestokk og trigonometri til å beregne lengder, vinkler og arealer i problemløsing innenfor bygg- og anleggsfag

Sinus_BA_897024.indb 141

141

12.08.2026 09:06:05

206

Sinus_BA_897024.indb 206

12.08.2026 09:06:29

5. Personlig økonomi Økonomi handler om penger. Når vi jobber, får vi lønn. Pengene må vi bruke til nødvendige utgifter, for eksempel mat, bolig og skatt, og hvis det blir noe igjen, kan vi bruke det på noe vi har lyst til, eller vi kan spare til seinere. Du trenger ikke være veldig rik for å leve et godt liv, så lenge du sørger for å balansere inntektene og utgiftene dine, og ikke bruker mer enn du har råd til. I dette kapittelet skal vi lære hvordan vi regner på skatt, lån og sparing, og vi skal lære oss verktøy som kan hjelpe oss med å holde orden på privatøkonomien vår. Når du begynner som lærling, får du kollegaer som sannsynligvis tjener mer enn deg. Som lærling vil du i starten tjene 30 % av begynnerlønna i yrket. Hva gjør du hvis kollegaene dine kjøper dyr lunsj i kiosken, mens du egentlig ikke har så god råd? KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • vurdere valg knyttet til personlig økonomi og reflektere over konsekvenser av å ta opp lån og å bruke kredittkort • tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv

Sinus_BA_897024.indb 207

207

12.08.2026 09:06:29

272

Sinus_BA_897024.indb 272

12.08.2026 09:06:54

6. Statistikk og yrkesøkonomi Statistikk handler om å samle inn, sortere og tolke data. Det er blant annet viktig for å forstå samfunnet vi lever i, og ta gode beslutninger. Hvis du en dag leder en bedrift, kan du bruke statistikk til å beregne bedriftens framtidige utgifter. Å lede en bedrift krever god kunnskap om økonomi. En bedrift må ta hensyn til inntekter og utgifter for å sikre at driften er lønnsom. Til det bruker vi budsjetter og kostnadsberegninger. Når en kunde ønsker å få utført en jobb, legges jobben ofte ut på anbud. Da kan flere bedrifter konkurrere om oppdraget. Det er viktig at bedriften som sender inn et anbud, beregner utgiftene mest mulig nøyaktig, slik at jobben blir lønnsom for dem. Bedriften må også tenke på å ikke legge prisen for høyt, for da kan det godt hende at kunden velger en billigere konkurrent. KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse • lese, bruke og lage regneark i arbeidet med budsjett, anbud og kostnadsberegning knyttet til bygg- og anleggsteknikk, og vurdere hvordan ulike faktorer påvirker resultatet

Sinus_BA_897024.indb 273

273

12.08.2026 09:06:55

Fasit

Fasit Kapittel 1 1.10 a) 90 c) -1750 e) -0,008

1.33 ( −2)4 = ( −4)2 = 24 = 42 b) 1400 d) 3,4 f) 0,234

1.11 a) 3200 b) 72 000 c) 2 800 000 1.12 a) 9 c) 24,8

b) 35

1.13 65,6 meter 1.14 a) 16,96 c) 42

b) 18 d) 49,6

1.15 a) 253 b) 4,8 c) 3,6 d) 1,08 1.16 a) 1440 kr 1.20 a) Ca. 80 c) Ca. 36 1.21 a) Ca. 20 c) Ca. 26

b) 7200 kr b) 23 (ca. 25) d) Ca. 35 b) Ca. 4 d) Ca. 7

52 = ( −5)2 1.34 a) 5 c) 8

b) 10

1.35 a) 7 cm

b) 12 cm

1.40 a) 12 c) 2

b) 1 d) 1

1.41 a) 16 c) -4 e) 9

b) 16 d) 4 f) 10

1.42 a) -14 c) -15

b) -9

b) 42 d) 6

1.50 a) 1,2 cm c) 410 cm

b) 24 cm d) 1020 cm b) 0,13 m

1.22 a) Ned, for å være sikker på at han tar med seg nok. b) 25 lengder

1.52 a) 47,6 km

b) 7,8 cm

1.53 a) 670 g c) 0,25 kg

b) 3,7 kg d) 4,5 tonn

1.30 a) 64 c) -1

b) 64 d) 16

1.54 a) 2500 g c) 140 000 g

1.31 a) 16 807 c) 256

b) 78 125 d) -512

1.55 a) 0,045 kg b) 0,45 kg c) 45 000 kg d) 450 000 kg

1.32 a) 9 c) 81 e) -125

b) -27 d) 25 f) 625

320

Sinus_BA_897024.indb 320

1.56 12,8 kg

1.110 a) 1240 b) 0,124 c) -3,122 d) 150 000 1.111 a) 3,5 b) 0,0036 c) -12 000 000 1.112 a) 25 000 b) 720 c) 4800 d) 250 000 1.113 a) 600 b) 13,5 c) 1000 d) 300 e) 80 1.114 a) 372 b) 3720 c) 603 d) 495 1.115 12 100 kr

1.43 a) 6 c) -13

1.51 a) 1,3 m c) 130 000 m

Øv mer

b) 140 g

1.116 a) 840 kg b) 34 sekker c) 1700 kr 1.117 a) 15 plater c) 225 plater

b) 15 plater

1.120 a) Omtrent 120 b) Omtrent 25 c) Omtrent 80 d) Omtrent 15 1.121 a) Omtrent 88 b) Omtrent 46 c) Omtrent 68 d) Omtrent 29 1.122 a) Omtrent 2 b) Omtrent 5 c) Omtrent 5 d) Omtrent 5 1.123 a) Omtrent 5 b) Omtrent 4 c) Omtrent 8 d) Omtrent 7

Fasit

12.08.2026 09:07:03

1.124 a) Omtrent 950 b) Omtrent 450 c) Omtrent 90 d) Omtrent 10 1.125 a) Omtrent 400 kr b) Omtrent 68 mm 1.126 a) 24 liter b) 6 timer 1.127 a) Overslaget blir litt kortere enn nøyaktig utregning. b) Omtrent 135 meter. 1.130 a) 10 000 b) 16 c) -125 d) 81 1.131 a) -1 b) 1 c) 64 d) 64 e) 64 1.132 a) 3125 b) 16 777 216 c) -2187 d) 161 051 e) -161 051 1.133 a) -4 b) 16 c) -64 d) 256 e) -1024 1.134 a) 25 b) 34 c) 210 d) 35 1.135 62, 53, 35, 44, 29 1.136 a) 42 og 24 b) 34 og 92 c)

10 000 og 102

1.137 a) 43 b) 64 1.140 a) 11 b) 7 c) 0 d) -12

1.141 a) 190 b) -9 c) -12

Uten hjelpemidler

1.142 a) 20 b) 21 c) -19 d) 0

1.201 15 trinn

1.143 a) -1 b) 125 c) -13 d) 0 e) 48 1.144 a) 12 b) 23 c) 22 d) -6 e) 111 110 1.145 a) 3 b) Kalkulatoren regner operasjon for operasjon fra venstre mot høyre, altså: (5 − 2) ⋅ 3 + 4 1.146 C. (13 − 15)3 = −8 D. (13 − 15)2 = 4 B. og E. (10 − 7)2 =(7 − 10)2 =9 A. (5 − 1)2 = 16 1.147 a) -10 b) 5 c) 2 d) 2 e) 36 1.150 a) 0,300 g c) 320 g

b) 72 000 g d) 720 g

1.200 43 cm

1.202 a) 5 esker b) ca. 950 kr 1.203 a) 72 m2 b) 54 liter c) 6 spann 1.204 150 °C 1.205 a) Omtrent 70 år b) Omtrent 90 år 1.206 Omtrent 2500 kr 1.207 a) 1 b) -1 c) 1 d) -1 e) Partall antall minustegn gir positivt svar, mens et oddetall antall minustegn gir negativt svar. 1.208 a) 8 b) 23 c) 27 d) 33

1.151 a) 78 kg b) 13 kg c) 0,0432 kg d) 500 kg

1.209 Påstand A og D er sanne.

1.152 a) 0,5 tonn b) 12 tonn c) 0,0067 tonn d) 0,00068 tonn

1.210 C, B, D og A. C. (102 − 100)5 = 32 B. 43 = 64 D. 50 − (2 − 5)3 = 77 A. 34 = 81

1.153 a) 13 000 m c) 4,5 m

b) 5000 m d) 0,55 m

1.154 a) 1000 km b) 1 000 000 m c) 3 000 000 mm d) 0,020 m

1.211 Hun kan fylle opp kanna med 13 liter, og deretter helle fra denne kanna og over i 6 literskanna to ganger. Da er det 1 liter igjen i 13 liters-kanna. 1.212 5 pakker (hun trenger 730 telys)

Fasit

Sinus_BA_897024.indb 321

321

12.08.2026 09:07:03

1.213 660 teglsteiner

1.303 a) 856,80 kr

1.214 13,5 gram 1.215 a) 40 000 000 m2 b) 5000 fotballbaner

1.304 a) 5250 kr b) 15 750 kr c) Ja, i løpet av dette første året sparer hun 3250 kr på å kjøpe verktøyet.

1.216 a) 4 kWh b) 3500 kWh

1.305 a) 0,7 L/kg c) 2,8 L

1.217 a) 340 mm b) 9,80 takstein c) Omtrent 800 takstein

1.306 a) 1,2 L b) 1,45 kg c) 2,8 L d) Nei, han må bruke enda 2 kg.

1.218 75 cm

1.220 a) 6 glass b) 2,1 L 1.221 a) 80 kr/kg b) Størrelse 50/70. Det går 50 slike reker på 1 kg. 1.222 a) 2390 kg b) 33 L

1.308 a) 900 Watt

b) 50 m

1.309 a) 24 millioner (24 000 000) b) 50,80 cm ⋅ 33,87 cm (bredde ⋅ høyde) 1.310 a) 12 000 Mbit b) 4 minutter c) 3 minutter og 12 sekunder d) 104 Mbps

1.223 a) 125 g b) 240 kr 1.224 a) 3 km b) nesten 3 minutter per kilometer Med hjelpemidler 1.300 a) 9215 b) 9024 c) 9212 d) 9702 1.301 a) 625 b) 3025 c) 7225 d) 11 025 1.302 9025

Sinus_BA_897024.indb 322

b) 1,4 kg/L

1.307 a) 33 kg sand, 27 kg singel og 6,5 liter vann b) 45 kg sement, 123 kg singel og 30 liter vann c) 148 liter

1.219 Omtrent 1,5 km

322

b) 533,80 kr

1.311 a) 1001 kr

b) 708 kr

1.312 Veggene utgjør totalt 35 kvadratmeter. Han trenger dermed 4 sekker med fugemasse. Hver eske med fliser dekker 1,6 kvadratmeter. Trenger inntil 22 esker med fliser. Til sammen må han betale 3560 kr. 1.314 a) 8,7 L/s b) 4286 arbeidsdager

Repetisjonsoppgaver 1 Oppgave 1 a) 3 b) 11 c) 44 d) -51 Oppgave 2 a) 32 b) De er like store c) 210 Oppgave 3 a) 67 m b) 530 g c) 0,3 km d) 3800 m e) 1500 dm Oppgave 4 a) Asbjørn sin er korrekt. Alle operasjoner utføres i korrekt rekkefølge. b) Sigurd utfører subtraksjon før multiplikasjon. Han får rett svar, men det er bare flaks. Anne Gry regner helt feil med begge potensuttrykkene. Oppgave 5 a) 19,3 m b) 77,8 tonn Oppgave 6 a) 3045 år b) 212 år c) 1945 år Oppgave 7 5 malingsspann Oppgave 8 −35 °C Oppgave 9 a) 106 cm, 100 cm, 94 cm, 88 cm, 83 cm, 78 cm b) 7,82 m c) 78 cm d) 120 cm ⋅ 0,947 er det samme som å gange med 0,94 sju ganger, slik vi gjør i oppgave a. Oppgave 10 a) 15 120 kJ = 15,12 MJ b) 4,2 kWh c) 917 kr Oppgave 11 a) 32,4 L b) 687 NOK

Fasit

12.08.2026 09:07:03

Kapittel 2 2.10 a) 100 kg

b) 42 kg

2.11 a) 93 kr b) 85 kr c) 161,50 kr 2.12 2 3 a) b) 3 5 6 7 c) d) 7 9 2.13 3 3 a) b) 5 7 2 c) d) 3 3 3 4 e) f) 2 3 2.20 a) 14,4 kg b) 2100 kr 2.21 a) 3120 kr c) 7080 kr

b) 1800 kr

2.22 a) 12 kr b) 7,2 kg c) 35 m

2.40 a) 1,014 b) 1,14 c) 2,40 d) 1,23 2.41 a) 0,88 b) 0,875 c) 0,93 d) 0,536 2.42 a) 0,96 b) 0,94 c) 0,92 d) 0,90 2.43 a) 30 % økning b) 5 % nedgang c) 2 % økning d) 12,5 % nedgang e) 0,5 % økning f) 32,5 % nedgang g) 115 % økning h) 92 % nedgang 2.44 a) 15 % ekstra b) 30 % rabatt 2.45 Renta er satt ned med 6,25 %. 2.50 a) 2 timer b) 40,5 milliarder kroner 2.51 12 672 kr 2.52 480 L per minutt

2.24 a) 220 kr c) 320 kr e) 100 kr

2.53 a) 29,2 % b) 18 417 kr

2.30 a) 20 % b) 62,5 % c) 22,1 %

Øv mer 2.110 a) 60 b) 40 c) 9 d) 1500

2.31 a) 35 % b) 210 000 kr

2.111 a) 27 kr b) 16 kr c) 9 kg d) 18 000 g

2.32 a) 25 kg b) 6000 kr c) 1100 tonn

2.112 a) 287 kr c) 473 km

2.33 1200 kg

2.113 1 1 a) b) 3 2 1 3 c) d) 7 2

2.34 600 000 kr

2.115 a) " b) c) " 2.120 a) 2 b) 4 c) 10 d) 34 2.121 a) 180 kr c) 5,46 m

b) 54,25 kg d) 720 kr

2.122 a) 48 kWh c) 180 000 kr

b) 45 kr d) 161 g

2.123 a) 1500 kg b) 100 kr c) 1 600 000 mm d) 15" 2.124 a) 90 kr b) 300 kr c) 300 kr d) 600 kr e) 2000 kr

b) 4,19 m d) 58 kr

2.126 9W 2.130 a) 5 % b) 20 % c) 71 % 2.131 a) 24 % b) 25 % c) 14,3 % d) 6,5 % 2.132 a) 16,7 % c) 208 %

b) 8,7 % d) 300 %

2.133 a) 20 % b) 80 % 2.134 a) 500 kr b) 200 L c) 30 000 kg d) 500 kr e) 1 000 000 kr

Fasit

Sinus_BA_897024.indb 323

2.125 a) 10,26 m2 b) 7 esker c) 1 m2

2.23 3271,20 kr b) 95 kr d) 50 kr f) 270 kr

2.114 1 4 a) b) 5 8 7 8 c) d) 28 64

323

12.08.2026 09:07:03

Stikkord

STIKKORD A

acosd 163 akkordlønn 212 aksje 224 anbud 288 annuitetslån 228, 232 ff – regneark 233 areal 94 – rektangel 94 – sirkel 96 arealsetningen 165 ff asind 162 atand 163 avdrag 228 – annuitetslån 232 – formel i regneark 233 – serielån 228 avkastning 226

betalingskort 238 boligsparing for ungdom (BSU) 220 bremselengde 122 brøk 48 ff – del av tall 48, 49 – forkorte 50 – gange med tall 48 – til desimaltall 50 – til prosent 52 – utvide 50 brøkstrek 48 BSU 220 budsjett 292

CAS – acosd 163 – asind 162 – atand 163 – cosinus 159 – cosinus invers 163 – likning 108 – sinus 154 – sinus invers 162 – tangens 159 – tangens invers 163 celle (regneark) 208 centimeter (cm) 20 COP-verdi 32, 129 cosinus 158 ff cosinus invers 163

338

Sinus_BA_897024.indb 338

datamateriale 274 debetkort 238 dekkprofil 82 deling – med ti, hundre og tusen 8 diagram – digitalt 278, 279, 280, 285 – linjediagram 282 – sektordiagram 279 – søylediagram 276 direkte kostnad 288 driftsresultat 292

effektfaktor (varmepumpe) 32, 129 eksponent 14 Excel (se regneark)

fahrenheitgrader 119 fagforening 220 fart 116 fast lønn 212 feriepenger 212 ff fond 226 forkorte brøk 50 – med kalkulator 51 formel 94 – areal 94 ff, 165 – arealsetningen 165 ff – bremselengde 122 – celsius og fahrenheit 119 – effekt 116, 139 – energi 116 – fart 116, 131 – massetetthet 102 ff – omforming av 109 ff – omkrets 94 ff – overflateareal sylinder 124 – prisme 98 – pytagorassetningen 150 – i regneark 210 ff – skjærehastighet 139 – sirkel 96 – snu 109 ff – strekning, fart, tid 116, 131 – sylinder 99 – trekant 164 – vannkokerformel 131 – varmetapseffekt 129 – vekstfaktor 58, 59

forminske 142 formlike trekanter 142 ff formue 220 forskuddsskatt 216 forstørre 142 fortjeneste 288 fradrag 220 frikort 216

ganging 10 – brøk 48 ff – med ti, hundre og tusen 8 gjeld (lån) 228 gjennomsnitt 274 ff grunnlinje (trekant) 165 grunntall (i potens) 14

hoderegning 8 ff hosliggende 142 – katet 158 – side 142 hypotenus 150 høyde (trekant) 165

indirekte kostnad 288 inntekt (lønn) 216 ff invers cosinus 163 invers sinus 162 invers tangens 163

kalkulator – brøk 51 – cosinus 159 – cosinus invers 163 – potens 14 – prosent 52 – sinus 154 – sinus invers 162 – tangens 159 – tangens invers 163 kalkyle 288 katet 150 – hosliggende 158 – motstående 154 kredittkort 238 ff kvadratrot 16

Stikkord

12.08.2026 09:07:06

likning 104 ff – løse i CAS 142 – regler 104, 106 – sette prøve 105 lommeregner (se kalkulator) lønn 212 ff – akkord- 212 – fast 212 – provisjons- 212 – time- 212 lån – annuitets- 232 ff – kredittkort- 238 ff – serie- 228 ff

massetetthet 102 ff, 136 median 274 merverdiavgift 285 motstående side 142 moms 274 mva. 274 månedslønn 212

nevner 48

omforming av formler 109 ff overtidsarbeid 212

personlig økonomi 207 ff potens 14 ff priskalkyle 288 prisme 98 pristilbud 284 prosent 52 ff – finne prosentandelen 52 ff – finne prosenten 56 ff – kalkulator 52 – veien om én prosent 57 – vekstfaktor 58 ff prosentkort 216 prosentpoeng 306 prosentvis endring 62 ff provisjonslønn 212 prøve (likning) 105 pytagorassetningen 150 ff

regneark 208 ff – annuitetslån 236 – budsjett 292, 293 – formelvisning 209 – priskalkyle 289 – linjediagram 285 – sektordiagram 279, 280 – serielån 230 – sparing 225 – summer 209 – søylediagram 278 regnerekkefølge 18 ff regnskap 294 rentesrente 259 restlån 228 ff restskatt 220 rettvinklet trekant 150 ff rot (kvadratrot) 16

samsvarende – sider 115 – vinkler 142 sentralmål 274 serielån 228 ff – regneark 232 sette prøve (likning) 105 selvkost 288 sinus 154 ff – invers 162 sirkelareal 96 skatt 216 ff skattekort 216 skattemelding 220 skattetrekk 216 skjærehastighet 139 snu formel 109 ff sparekonto 222, 223 sparing 222 ff – i regneark 227 – rentesrente 259, 269 stolpediagram 276 strekning, fart, tid 116, 131 summer (regneark) 209 sylindervolum 99 søylediagram 276 ff

tabellkort 216 tangens 158 ff tangens invers 163 teller 48 termin 228 terminbeløp 228 ff – annuitetslån 232 – serielån 228 timelønn 214 trekant 142 ff – areal 165 ff – formlik 142 ff – rettvinklet 150 ff trigonometri 154 ff typetall 274

utvide brøk 50

vannkokerformel 131 varmetapseffekt 129 veien om én prosent 53 vekstfaktor 58 ff vinkelsum 143

økonomi 209 ff, 284 ff

Stikkord

Sinus_BA_897024.indb 339

339

12.08.2026 09:07:06

BILDELISTE Omslag: imantsu / Getty Images Getty Images: s. 11 Liudmila Chernetska s. 13 Imgorthand s. 17 AscentXmedia s. 41 onurdongel s. 43 Roop_Dey s. 45 leolintang s. 55 sturti s. 60 Lefteris_ s. 63 i-Stockr s. 69 brizmaker s. 77 sprengt fjell: 1001slide lastebil: aapsky s. 81 hadynyah s. 83 SimonSkafer s. 87 mikespics s. 89 phbcz s. 97 CHUNYIP WONG s. 101 mansum008 s. 117 Tea Nagode s. 122 Marjan s. 128 onurdongel

s. 137 Pat_Hastings s. 142 AMLBox s. 157 Ridofranz s. 163 Valiantsin Suprunovich s. 167 vuk8691 s. 191 ILIA BLIZNIUK s. 193 Kinek00 s. 205 Nawi Films s. 210 RFStock s. 214 EmirMemedovski s. 219 sturti s. 221 Anchiy s. 222 C59824d2_19 s. 231 Azgek s. 249 Farknot_Architect s. 254 ArtistGNDphotography s. 287 mishelvs s. 305 Westersoe s. 313 brebca s. 317 elenaleonova

Unsplash s. 39 Lachlan Dempsey s. 147 Victor s. 158 Tiitus Saaristo s. 235 Severin demchuk s. 262 Aleksandra B s. 317 James Sullivan Andre s. 66 Hultafors s. 172 Statens kartverk. Nordeca AS, tillatelsesnummer 555819-2021 s. 202 Stian Lysberg Solum / NTB s. 203 Norconsult / Innlandet fylkeskommune s. 269 Shutterstock editorial\REX

Sinus_BA_897024.indb 340

12.08.2026 09:07:06