Sinus_BA_2026_bla_i_bok

Marte Oldervoll Totland og Einar Gustafsson

SINUS BA Lærebok i matematikk 1P-Y for bygg- og anleggsfag, vg1 yrkesfag Bokmål

Sinus_BA_897024.indb 1

20.07.2026 13:33:50

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2026 ISBN 978-82-02-89702-4 1. utgave, 1. opplag 2026 Illustratør: Maciej Sidorowicz Grafisk formgiving og omslag: Anders Bergersen | Superultraplus Tekniske tegninger: Cappelen Damm AS Redaktører: Bjørn-Terje Smestad, Sigurd Torp Nordby og Asbjørn Hageli Sats: HAVE A BOOK, Polen 2026 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2026 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.

Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.

Cappelen Damm arbeider aktivt for å redusere miljøbelastningen fra våre utgivelser.

Les mer om Cappelen Damms miljøarbeid ved å scanne QR-koden:

www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Sinus_BA_897024.indb 2

20.07.2026 13:33:50

Forord Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2020. Boka Sinus BA er skrevet for faget matematikk 1P-Y for bygg- og anleggsfag i den videre­ gående skolen. Boka legger vekt på den grunnleggende matematikken. Målet når vi har skrevet denne boka, har vært at fagstoffet skal oppleves relevant ved å vise fram realistiske problemstillinger fra yrkesliv og dagligliv.

I teoridelen blir fagstoffet presentert, og du finner innlæringsoppgaver i stigende vanskegrad. Teorien oppsummeres i et sammendrag med viktige regler og metoder.

Etter hvert kapittel følger en oppgavedel som er delt i tre deler: «Øv mer», «Uten hjelpemidler» og «Med hjelpemidler». «Øv mer» inneholder enkle oppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. De to andre delene inneholder eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for alle elever.

Mot slutten av hvert kapittel finner du en prosjektoppgave der elevene får bruke matematikk i en mer sammensatt og yrkesrettet situasjon enn i de vanlige oppgavene. Til slutt finner du et oppgavesett som egner seg til repetisjon.

Boka gir opplæring i bruk av enkel kalkulator, GeoGebra og CAS. Elevene får også grundig opplæring i bruk av regneark.

Læreplanene fra 2020 inneholder krav om at elevene skal kunne kommunisere ideer, drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger med andre. Boka inneholder derfor diskusjonsoppgaver der elevene skal øve på dette.

Helt til slutt i boka finner du fasit og stikkordregisteret.

Til verket hører også et eget nettsted: sinus.cdu.no. Her finner du tilleggsstoff med blant annet løsninger av oppgavene i teoridelen, videoer og interaktive oppgaver. Lærere finner også forslag til årsplaner, prøver og annet støttemateriell for en variert undervisning.

I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer.

Marte Oldervoll Totland og Einar Gustafsson

Sinus_BA_897024.indb 3

20.07.2026 13:33:50

Innhold 1

Tallregning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Hoderegning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potenser og røtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regnerekkefølge .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regning med enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 12 14 18 20 23

Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjekt: «Ekadhikena Purvena» – med én mer enn den forrige . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 29 36 42 44

2

Brøk og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne prosenten .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentvis endring .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 52 56 58 62 65

Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjekt: ...........................................................

Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 72 80 88 90

3

Formler og likninger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Formler for areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Formler for volum .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Formel for massetetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Å løse likninger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Omforming av formler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Prosjekt: Massetetthet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 4.1 4.2 4.3

Geometri .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Formlike trekanter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Rettvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Sinus til en vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4

Sinus_BA_897024.indb 4

20.07.2026 13:33:50

4.4 4.5 4.6 4.7

Cosinus og tangens .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Å finne vinkelen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Arealsetningen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Målestokk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Prosjekt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Personlig økonomi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Skatt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Sparing .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Serielån .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Annuitetslån .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Kredittkort .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Prosjekt: Mike Tyson tjente nesten sju milliarder kroner – så gikk han konkurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Statistikk og yrkesøkonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Sentralmål .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Søylediagram og sektordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Pristilbud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Anbud og priskalkulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Budsjett .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Øv mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Uten hjelpemidler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Prosjekt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Repetisjonsoppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Innhold

Sinus_BA_897024.indb 5

5

20.07.2026 13:33:50

6

Sinus_BA_897024.indb 6

 

20.07.2026 13:33:52

1. Tallregning Vi møter tall i mange situasjoner i dagliglivet og i arbeidslivet. I dag har vi ofte tilgang til kalkulator, men det er også viktig å kunne regne uten.

I dette kapittelet skal vi øve på å regne i hodet, med blyant og papir og med digitale hjelpemidler. Vi skal lære om potenser, kvadratrot og noen måleenheter for lengde og vekt.

Du som går på bygg- og anleggsteknikk, kan blant annet bli tømrer, stillasbygger eller snekker. Da må du ha orden på måleenhetene og kunne beregne riktig mengde materialer og kostnader. Når du skal lage et pristilbud til en kunde, er det viktig at du kan vise utregningene dine.

Hvorfor tror du en bygg- og anleggsarbeider må være god til å gjøre raske og forenklede utregninger i hodet, såkalt overslagsregning? Hva slags regning og hvilke måleenheter kan du møte?

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse

 

Sinus_BA_897024.indb 7

7

20.07.2026 13:33:52

1.1 Hoderegning Selv om vi ofte bruker kalkulator til tallregning, er det viktig å kunne regne i hodet, både i dagliglivet og i yrkeslivet.

Det er fort gjort å gange og dele med 10, 100 og 1000 i hodet. Vi flytter kommaet like mange plasser som antall nuller. Når vi ganger, flytter vi kommaet mot høyre. Når vi deler, flytter vi kommaet mot venstre.

13,4 · 10 = 134

EKSEMPEL

LØSNING

79,2 : 100 = 0,792

Regn ut i hodet. a) 24,5 ⋅ 10 b) 0,567 ⋅ 1000 c) −13 ⋅ 100 a) 24,5 ⋅ 10 = 245 b) 0,567 ⋅ 1000 = 567 c) −13 ⋅ 100 = −1300

EKSEMPEL

Regn ut i hodet. a) 245: 10 b) −439: 100 c) 13: 1000

LØSNING

a) 245: 10 = 24,5 b) −439: 100 = −4,39 c) 13: 1000 = 0,013 Dette kan vi også dra nytte av når vi ganger med andre tall, slik som i eksempelet nedenfor. Vi vet at 8 ⋅ 7 = 56, og kan bruke dette til å regne ut stykket i hodet.

8 ⋅ 7000 = 8 ⋅ 7 ⋅ 1000 = 56 ⋅ 1000 = 56 000

OPPGAVER

8

Sinus_BA_897024.indb 8

1.10

Regn ut i hodet. a) 9 ⋅ 10 b) 14 ⋅ 100 c) −17,5 ⋅ 100 d) 34 : 10 e) −8 : 1000 f) 23,4 : 100

1.11

Regn ut i hodet. a) 4 ⋅ 800 b) 9 ⋅ 8000 c) 700 ⋅ 4000

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:33:53

En annen nyttig teknikk i hoderegning er å bryte opp tallet vi ganger med.

Et eksempel er tallet 6, som vi kan bryte opp slik: 6= 2 ⋅ 3. Dette kan vi bruke når vi skal gange med 6. Først ganger vi med 2 og deretter med 3.

Hvis vi skal regne ut 6 ⋅ 1,25, kan vi gjøre det slik: 2 ⋅ 1,25 = 2,50 3 ⋅ 2,50 = 7,50 Derfor er 6 ⋅ 1,25 = 7,50.

Tallet 8 kan vi bryte opp slik: 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2. Derfor er det å gange med 8 det samme som å doble tre ganger. Dette kan vi bruke hvis vi skal regne ut 8 ⋅ 6,1. Vi dobler tallet tre ganger: 2 ⋅ 6,1 = 12,2 2 ⋅ 12,2 = 24,4 2 ⋅ 24,4 = 48,8 Derfor er 8 ⋅ 6,1 = 48,8.

EKSEMPEL

En flislegger skal flislegge et gulv på 12,5 m2. Gulvflisene koster 400 kr per m2. a) Hvor mye koster gulvflisene?

Flisleggeren skal også flislegge veggene i rommet. Arealet av veggene er 25 m2. Veggflisene koster 800 kr per m2. b) Hvor mye koster veggflisene?

LØSNING

a) Vi skal regne ut 400 ⋅ 12,5. Å gange med 4 er det samme som å doble to ganger. Vi har at 2 ⋅ 12,5 = 25 og 2 ⋅ 25 = 50, så 4 ⋅ 12,5 = 50. Da er 400 ⋅ 12,5 = 5000.

Gulvflisene koster 5000 kr. b) Vi skal regne ut 800 ⋅ 25. Å gange med 8 er det samme som å doble tre ganger. Vi har at 2 ⋅ 25 = 50, 2 ⋅ 50 = 100, og 2 ⋅ 100 = 200, så 8 ⋅ 25 = 200. Da er 800 ⋅ 25 = 20 000.

Veggflisene koster 20 000 kr.

OPPGAVER 1.12

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 6 ⋅ 1,50 b) 14 ⋅ 2,5 c) 8 ⋅ 3,1

1.13

En snekker har 16 lengder med gulvlister. Hver av gulvlistene har en lengde på 4,1 meter.

Bruk hoderegning til finne ut hvor mange meter med lister han har.

1.1

Sinus_BA_897024.indb 9

Hoderegning

9

20.07.2026 13:33:53

Av og til kan det være nyttig å gå veien om et regnestykke som er lettere å regne ut. Det er blant annet lett å gange med 10. Det utnytter vi i eksempelet nedenfor.

EKSEMPEL

LØSNING

Bruk hoderegning og regn ut. a) 12 ⋅ 0,3 b) 7 ⋅ 1,3 a) Vi bruker at 12 = 10 + 2.

10 ⋅ 0,3 = 3 2 ⋅ 0,3 = 0,6 12 ⋅ 0,3 = 3 + 0,6 = 3,6 b) Vi bruker at= 7 10 − 3.

10 ⋅ 1,3 = 13 3 ⋅ 1,3 = 3,9 7 ⋅ 1,3 =13 − 3,9 =9,1

EKSEMPEL

Én sekk tørrbetong gir 14 L ferdig betong. En betongarbeider har 30 sekker tørrbetong.

Hvor mange liter ferdig betong kan han lage? Regn ut oppgaven i hodet.

LØSNING

Vi skal regne ut 30 ⋅ 14. Vi regner først ut 3 ⋅ 14 ved å bruke at 14 = 10 + 4.

3 ⋅ 10 = 30 3⋅ 4 = 12 3 ⋅ 14 = 30 + 12 = 42 Siden 3 ⋅ 14 = 42, er 30 ⋅ 14 = 420.

Han kan lage 420 L ferdig betong.

OPPGAVER

10

Sinus_BA_897024.indb 10

1.14

Regn ut. a) 8 ⋅ 2,12 b) 15 ⋅ 1,2 c) 14 ⋅ 2,5 d) 16 ⋅ 3,1

1.15

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 11 ⋅ 23 b) 12 ⋅ 0,4 c) 8 ⋅ 0,45 d) 9 ⋅ 0,12

1.16

Du får tilbud om en deltidsjobb med ei timelønn på 180 kr. a) Bruk en hoderegningsstrategi til å regne ut hvor mye du vil tjene på en 8 timers arbeidsdag. b) Hva blir lønna for ei 40 timers arbeidsuke i denne jobben?

Bruk hoderegning.

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:33:54

1.1

Sinus_BA_897024.indb 11

Hoderegning

11

20.07.2026 13:33:55

1.2 Overslagsregning I noen tilfeller trenger vi ikke det nøyaktige svaret på en utregning. Det holder med et overslag. Da bruker vi hoderegning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. Vi runder av tallene, slik at vi får et regnestykke vi greier å regne ut med hoderegning. Det er lurt å runde av tallene slik at vi kommer nærmest mulig det nøyaktige svaret. Hvis vi for eksempel skal bruke overslagsregning til å regne ut 73 + 39, er det lurt å runde det ene tallet opp og det andre ned. Vi får at 73 + 39 ≈ 70 + 40 = 110 Hvis vi runder begge tallene opp, får vi et for høyt overslag. Runder vi begge ned, får vi et for lavt overslag. Å regne ut 73 − 39 er det samme som å finne differansen, eller forskjellen, mellom de to tallene. Hvis vi skal bruke overslagsregning, bør vi runde begge tallene opp eller begge tallene ned for at differansen skal bli nærmest mulig det nøyaktige svaret. Vi får at 73 − 39 ≈ 75 − 40 = 35 Det er lurt å bruke reglene nedenfor når vi skal gjøre overslag.

HUSK

Når vi skal legge sammen eller gange to tall, runder vi det ene tallet opp og det andre ned.

Når vi skal finne differansen mellom to tall eller dele to tall, runder vi begge tallene opp eller begge ned.

EKSEMPEL

LØSNING

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 96,4 + 23,5 b) 96,4 − 23,5 c) 96,4 ⋅ 23,5 d) 96,4 : 23,5 a) Vi runder ett tall opp og ett tall ned.

96,4 + 23,5 ≈ 100 + 20 = 120 b) Vi runder begge tallene opp.

96,4 − 23,5 ≈ 100 − 25 = 75 c) Vi runder ett tall opp og ett tall ned.

96,4 ⋅ 23,5 ≈ 100 ⋅ 23 = 2300 d) Vi runder begge tallene opp.

96,4 : 23,5 ≈ 100 : 25 = 4

12

Sinus_BA_897024.indb 12

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:33:56

OPPGAVER 1.20

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 52 + 29 b) 52 − 29 c) 14,90 + 21,20 d) 64,70 − 29,90

1.21

Bruk overslagsregning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. a) 9,5 ⋅ 2,4 b) 9,5: 2,4 c) 13,2 ⋅ 1,9 d) 13,2: 1,9

1.22

En tømrer vet at han trenger 100 m materiale, og det kommer i ferdige lengder på 4,2 m.

For å finne ut hvor mange lengder han må ta med seg, må han regne ut 100 : 4,2 a) Bør han runde nevneren (4,2) opp eller ned hvis han ønsker å gjøre et overslag? Forklar hvorfor. b) Gjør et overslag og finn ut hvor mange lengder han bør ta med seg.

Tuva går i butikken og har lite penger igjen. Hvorfor bør hun da runde alle prisene opp når hun gjør overslaget?

1.2

Sinus_BA_897024.indb 13

Overslagsregning

13

20.07.2026 13:33:57

1.3 Potenser og røtter Tallet 34 kalles en potens. Tallet 3 er grunntallet i potensen, og tallet 4 er eksponenten. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger vi skal gange grunntallet med seg selv. Vi har at 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 REGEL

an er en potens. Eksponenten n forteller hvor mange faktorer vi skal ha av grunntallet a. an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a  n ganger

Vi kan regne ut potenser på kalkulatoren ved å bruke tasten vist nedenfor

x , som

I CAS regner vi ut 34 ved å skrive inn «3 ^ 4».

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut potensene uten å bruke digitale hjelpemidler. a) 25 b) 34 c) ( −2)3 a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 b) 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 c) ( −2)3 =( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( −2) =4 ⋅ ( −2) =−8 4

OPPGAVER 1.30

Regn ut uten digitale hjelpemidler. a) 26 b) 43 c) ( −1)5 d) ( −2)4

1.31

Bruk digitale hjelpemidler og regn ut. a) 75 b) 57 c) ( −2)8 d) ( −2)9 Henrikke påstår at 37 og 73 er det samme. Ludvig er uenig.

Hvem er du enig med, og hvorfor?

14

Sinus_BA_897024.indb 14

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:33:57

Når vi ganger to negative tall med hverandre, får vi et positivt tall.

Det betyr at (et negativt tall)2 = et positivt tall For eksempel er ( −6)2 = ( −6) ⋅ ( −6) = 36 La oss nå regne ut potensen ( −6)3. ( −6)3 = ( −6) ⋅ ( −6) ⋅ ( −6) = 36 ⋅ ( −6) = −216 Når vi regner ut et negativt tall opphøyd i 3, blir svaret altså negativt.

Generelt har vi regelen nedenfor.

REGEL

En potens an med negativt grunntall a er • positiv dersom n er et partall • negativ dersom n er et oddetall Det er forskjell på −52 og ( −5)2. Når vi regner ut −52 , er det bare 5-tallet som skal opphøyes i andre. Vi får altså −52 =−5 ⋅ 5 =−25. Når vi regner ut (-5)2, får vi derimot at ( −5)2 = ( −5) ⋅ ( −5) = 25.

Hvorfor er ikke 23 og 2 ⋅ 3 det samme?

OPPGAVER 1.32

Bruk digitale hjelpemidler og regn ut. a) ( −3)2 b) ( −3)3 c) ( −3)4 d) ( −5)2 e) ( −5)3 f) ( −5)4

1.33

Finn ut hvilke av tallene som er like store.

(-2)4

52

(-4)2

(-5)2

24

(-2)5

25

42

-42

1.3

Sinus_BA_897024.indb 15

Potenser og røtter

15

20.07.2026 13:33:58

Vi sier at kvadratroten av 9 er 3 fordi 32 = 9. Vi skriver det slik: 9 =3 REGEL

EKSEMPEL

Kvadratroten av et tall a, a, er det positive tallet som opphøyd i andre er lik a.

Regn ut. a)

16

b) 36

LØSNING

c)

1

a)

16 = 4 fordi 42 = 16

b) 36 = 6 fordi 62 = 36 c)

1 = 1 fordi 12 = 1

OPPGAVER 1.34

Regn ut. a)

25

b) 100 c) 1.35

64

Finn lengden av sidekantene i kvadratene. a) b)

A = 49 cm²

A = 144 cm²

16

Sinus_BA_897024.indb 16

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:33:58

En type terrassebord er merket med 28 × 120 × 4200.

Hva betyr tallene? Hvilken enhet har tallene?

1.3

Sinus_BA_897024.indb 17

Potenser og røtter

17

20.07.2026 13:34:00

1.4 Regnerekkefølge Vi har et sett regler for hvordan vi regner. Vi er avhengige av at alle forholder seg til de samme reglene, slik at vi kommer fram til samme svar når vi regner ut det samme regnestykket. Se for eksempel på regnestykket nedenfor.

3 + 4 ⋅2 Regnestykket inneholder to regneoperasjoner: Vi skal legge sammen, og vi skal gange. Vi får to svar, 14 og 11, alt etter hvilken regneoperasjon vi velger å utføre først. Men begge svarene kan ikke være riktige. Det riktige er å gange først, så svaret er 11.

Et regnestykke kan også inneholde både parenteser, potenser og kvadratrøtter. Nedenfor oppsummerer vi reglene for regnerekkefølge.

REGEL

Når vi regner et regnestykke som inneholder flere regneoperasjoner, gjør vi regneoperasjonene i følgende rekkefølge: 1. Regn først ut parentesuttrykkene.

2. Regn deretter ut potensene og kvadratrøttene.

3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut. a) 5 + 2 ⋅ 4 b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 c) ( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 a)

b)

c)

5 + 2⋅4 = 5+8 = 13

Vi ganger før vi legger sammen.

3⋅5 − 4 ⋅ 3 = 15 − 12 =3

Vi ganger før vi trekker fra.

( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 =−6 + 10 =4

Vi ganger før vi legger sammen.

Truls og Trym skal regne ut 10 + 3 ⋅ 20. Truls mener at svaret blir 260, mens Trym mener at svaret blir 70. Hvordan har Truls tenkt for å komme fram til sitt svar? Hvordan har Trym tenkt? Vet du hvem av dem som har funnet riktig svar?

18

Sinus_BA_897024.indb 18

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:00

EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut. a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23 b) (2 − 5)3 − 2 ⋅ (5 − 3) a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23

1. Regn ut uttrykket i parentes.

= −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 23

2. Regn ut potensen.

= −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8

3. Gjør multiplikasjonene.

= −8 + 32 = 24

4. Gjør til slutt addisjonen.

b) (2 − 5)3 − 2 ⋅ (5 − 3) = ( −3)3 − 2 ⋅ 2 = ( −3)3 − 4 = −27 − 2 = −29 Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ⋅ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ⋅ 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får da 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ⋅ 2)3 = 83 = 512 OPPGAVER 1.40

Regn ut først uten og så med digitale hjelpemidler. a) 6 + 2 ⋅ 3 b) 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ ( −4) c) ( −6) ⋅ 3 + ( −4) ⋅ ( −5) d) 6 − ( −5) ⋅ 2 + ( −3) ⋅ 5

1.41

Regn ut først uten og så med digitale hjelpemidler. a) 4 ⋅ 22 b) 4 ⋅ ( −2)2 c) 5 − 32 d) (5 − 3)2 e) 2 ⋅ 4 ⋅ (6 − 2) + 1 e) 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 42 − 23

1.42

Regn ut først uten og så med digitale hjelpemidler. a) 2 ⋅ (2 + 3) − 3 ⋅ 23 b) −3 ⋅ (2 − 5) − 2 ⋅ 32 c) −24 + (1 − 2)2

1.43

Regn ut både med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 2 ⋅ (7 − 5) + 2 b) −3 ⋅ (4 − 12) + 2 ⋅ 32 c) −(8 − 4) − ( −3)2 d) −24 + 3 ⋅ (17 − 32 ) + (3 ⋅ 42 − 2 ⋅ 52 )

1.4

Sinus_BA_897024.indb 19

Regnerekkefølge

19

20.07.2026 13:34:00

1.5 Regning med enheter Når vi skal måle en lengde, kan vi oppgi lengden i meter (m), desimeter (dm) eller centimeter (cm). Når det er snakk om presisjonsarbeid i bygninger og konstruksjoner, bruker vi ofte millimeter (mm). Vi har disse sammenhengene mellom de ulike enhetene: 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 100 cm 1 dm = 100 mm 1 m = 1000 mm Fordi 1 cm er 10 mm, regner vi om mellom centimeter og millimeter ved å dele eller gange med 10. Vi regner om mellom meter og millimeter ved å gange eller dele med 1000.

Lengre avstander kan vi måle i kilometer (km) eller mil. Da kan vi bruke disse sammenhengene: 1 mil = 10 km 1 km = 1000 m EKSEMPEL

LØSNING

a) Hvor mange meter er 4200 mm? b) Hvor mange centimeter er 120 mm? c) Hvor mange millimeter er 3,4 cm? d) Hvor mange meter er 2,4 mil? a) Vi vet at 1000 mm er 1 m, så vi deler med 1000. = 4200 mm 4200 = : 1000 m 4,2 m b) Vi vet at 10 mm er 1 cm, så vi deler med 10. = 120 mm 120 = : 10 cm 12 cm c) Vi har at 1 cm er 10 mm. Det betyr at vi må gange med 10.

3,4 cm =⋅ 3,4 10 mm = 34 mm d) Vi har at 1 mil er 10 km, så vi regner først om til kilometer ved å gange med 10.

2,4 mil = 2,4 ⋅ 10 km = 24 km Videre bruker vi at 1 km er 1000 m, og ganger med 1000.

24 km = 24 ⋅ 1000 m = 24 000 m

20

Sinus_BA_897024.indb 20

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:00

Hvis vi skal legge sammen størrelser med ulik enhet, må vi først gjøre om slik at alle størrelsene har samme enhet.

EKSEMPEL

LØSNING

Legg sammen. a) 12 mm + 10,3 cm + 2,1 dm b) 0,7 m + 2,4 dm + 13 cm a) Vi velger å gjøre om alle størrelsene til cm før vi legger sammen.

12 mm + 10,3 cm + 2,1 dm =1,2 cm + 10,3 cm + 21 cm = 32,5 cm b) Vi velger å gjøre om alle størrelsene til dm før vi legger sammen.

0,7 m + 2,4 dm + 13 cm = 7 dm + 2,4 dm + 1,3 dm = 10,7 dm

OPPGAVER 1.50

Gjør om til centimeter. a) 12 mm b) 240 mm c) 4,1 m d) 10,2 m

1.51

Gjør om til meter. a) 130 cm b) 130 mm c) 130 km

1.52

Legg sammen. a) 4,2 mil + 5,3 km + 300 m b) 15 mm + 2,3 cm + 0,4 dm

1.5

Sinus_BA_897024.indb 21

Regning med enheter

21

20.07.2026 13:34:01

Når vi skal måle hvor mye noe veier, kan vi for eksempel oppgi vekta i gram (g), kilogram (kg) eller tonn. Vi har at 1 kg = 1000 g 1 tonn = 1000 kg Vi bruker dette når vi regner om mellom ulike enheter for vekt.

EKSEMPEL

LØSNING

a) Hvor mange kilogram er 17,1 tonn? b) Hvor mange tonn er 780 kg? a) Vi vet at 1 tonn er 1000 kg, så vi ganger med 1000.

17,1 tonn = 17,1 ⋅ 1000 kg = 17 100 kg b) Fordi 1 tonn er 1000 kg, må vi dele med 1000. = 780 kg 780 = : 1000 tonn 0,78 tonn

OPPGAVER

22

Sinus_BA_897024.indb 22

1.53

a) Hvor mange gram er 0,67 kg? b) Hvor mange kilogram er 3700 g? c) Hvor mange kilogram er 250 g? d) Hvor mange tonn er 4500 kg?

1.54

Gjør om til gram. a) 2,5 kg b) 0,14 kg c) 0,14 tonn

1.55

Gjør om til kilogram. a) 45 g b) 450 g c) 45 tonn d) 450 tonn

1.56

I en boks med spiker er det 800 spiker. Hver spiker veier 16 gram.

Hvor mye veier spikerne i boksen til sammen? Oppgi svaret i kilogram.

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:01

Sammendrag Ganging og deling med 10, 100 og 1000 Når vi ganger et helt tall med 10, 100 eller 1000, setter vi én, to eller tre nuller bak tallet.

Når vi ganger et desimaltall med 10, 100 eller 1000, flytter vi kommaet én, to eller tre plasser mot høyre.

Når vi deler et desimaltall med 10, 100 eller 1000, flytter vi kommaet én, to eller tre plasser mot venstre.

Huskeregler for overslagsregning Når vi skal legge sammen eller gange to tall, runder vi det ene tallet opp og det andre ned.

Når vi skal finne differansen mellom to tall eller dele to tall, runder vi begge tallene opp eller begge ned.

Potenser Uttrykket an er en potens. Eksponenten n forteller hvor mange faktorer vi skal ha av grunntallet a. an = a ⋅ a ⋅…⋅ a  n ganger

En potens an med negativt grunntall a er positiv dersom n er et partall, og negativ dersom n er et oddetall.

Kvadratrot Kvadratroten av et tall a, a, er det positive tallet som opphøyd i andre er lik a.

Regnerekkefølgen Når et regnestykke inneholder flere regneoperasjoner, gjør vi regneoperasjonene i denne rekkefølgen: 1. Regn først ut parentesuttrykkene.

2. Regn deretter ut potensene og kvadratrøttene.

3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Enheter for lengde og vekt 1 cm = 10 mm 1 tonn = 1000 kg 1 m = 100 cm

1 kg = 1000 g 1 km = 1000 m 1 mil = 10 km

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 23

23

20.07.2026 13:34:01

Øv mer

ØV MER – 1.1 Hoderegning OPPGAVER

24

Sinus_BA_897024.indb 24

1.110

Regn ut i hodet. a) 12,4 ⋅ 100 b) 12,4 : 100 c) −312,2: 100 d) 15 ⋅ 10 000

1.111

Regn ut i hodet. a) 0,035 ⋅ 100 b) 3,6: 1000 c) −12 ⋅1 000 000

1.112

Regn ut i hodet. a) 5 ⋅ 5000 b) 9 ⋅ 80 c) 12 ⋅ 400 d) 500 ⋅ 500

1.113

Regn ut i hodet. a) 8 ⋅ 75 b) 6 ⋅ 2,25 c) 8 ⋅ 125 d) 12 ⋅ 25 e) 480 : 6

1.114

Bruk en hoderegningsstrategi og regn ut. a) 12 ⋅ 31 b) 120 ⋅ 31 c) 9 ⋅ 67 d) 11 ⋅ 45

1.115

En murer tar betalt 850 kr per time. I tillegg tar han 600 kr for oppmøte.

På et oppdrag bruker han 8 timer, og for materialene skal han ha 4700 kr.

Hvor mye må kunden betale for denne jobben?

1.116

En anleggsgartner skal dekke et bed med dekorstein. Bedet har et areal på 12 m2, og det trengs 70 kg dekorstein per m2. a) Hvor mye dekorstein er det behov for? b) Gartneren kjøper stein i sekker på 25 kg. Hvor mange sekker må gartneren kjøpe? c) Hver sekk koster 50 kr. Hva blir kostnaden for å kjøpe inn stein til dette bedet?

1.117

Ada skal legge gulvplater i et rom med en lengde på 9,0 m og en bredde på 4,5 m. Hver gulvplate er 0,60 m lang og 0,30 m bred. a) Hvor mange gulvplater trenger Ada i lengden av rommet?

Regn ut i hodet. b) Hvor mange gulvplater trengs det i bredden av rommet?

Regn ut i hodet. c) Hvor mange gulvplater trenger Ada totalt?

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:01

ØV MER – 1.2 Overslagsregning OPPGAVER 1.120

Gjør et overslag og regn ut. a) 73 + 48 b) 73 − 48 c) 47 + 33 d) 47 − 33

1.121

Gjør et overslag og regn ut. a) 35,80 + 52,30 b) 85,60 − 39,80 c) 28,40 + 39,70 d) 78,90 − 49,80

1.122

Gjør et overslag og regn ut. a) 8,2: 3,9 b) 14,7: 2,8 c) 25,3: 4,6 d) 36,1 : 7,2

1.123

Gjør et overslag og regn ut. a) 18,6: 3,9 b) 19,4 : 4,9 c) 49,2: 6,4 d) 41,5: 6,2

1.124

Gjør et overslag og regn ut. a) 347 + 589 b) 732 − 287 c) 14,7 ⋅ 5,7 d) 84,6: 8,2

1.125

En rørlegger skal kjøpe inn 8 rørkoblinger. Hver rørkobling koster 47,50 kr. a) Omtrent hvor mye må rørleggeren betale for disse rørkoblingene?

Et avløpsrør skal falle 16,7 mm per meter. b) Omtrent hvor mange millimeter må fallet være på et 4,2 m langt avløpsrør?

1.126

En maler bruker 0,2 liter maling per m2. Arealet av veggene i en leilighet er totalt 58 m2. a) Omtrent hvor mye maling trenger maleren for å male veggene i denne leiligheten med to strøk? b) Når veggene er forberedt og dekket til, kan maleren male 18 m2 per time.

Omtrent hvor lang tid trenger maleren for å male veggene i leiligheten med to strøk?

1.127

Yard er et amerikansk lengdemål. 1 yard = 0,914 m.

Johanna er på ferie i USA og har lagd seg en enkel omregningsregel, slik at hun kan regne om fra yard til meter i hodet: Del med 10, trekk svaret fra lengden i yard og få lengden i meter. a) Forklar hvorfor vi kan bruke denne metoden til å gjøre et overslag når vi vil gjøre om fra yard til meter. Vil metoden gi en lengre eller kortere lengde enn om vi regner nøyaktig. b) Omtrent hvor mange meter er 150 yard?

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 25

25

20.07.2026 13:34:01

ØV MER – 1.3 Potenser og røtter OPPGAVER 1.130

Regn ut uten hjelpemidler. a) 104 b) ( −2)4 c) ( −5)3 d) 92

1.131

Regn ut uten hjelpemidler. a) ( −1)7 b) ( −1)10 c) 43 d) 82 e) 26

1.132

Regn ut med hjelpemidler. a) 55 b) 88 c) ( −3)7 d) 115 e) ( −11)5

1.133

Regn ut med hjelpemidler. a) ( −4)1 b) ( −4)2 c) ( −4)3 d) ( −4)4 e) ( −4)5

1.134

Hvilken potens er størst? a) 25 eller 52 b) 34 eller 43 c) 102 eller 210 d) 53 eller 35

1.135

Ranger potensene fra minst til størst.

35 , 44 , 29 , 53 , 62

1.136

Hvilke av tallene er like store? a) 42 , 23 , 24 , 32 b) 34 , 81, 92 , 33 c) 103 , 10 000 , 1002 , 102

1.137

26

Sinus_BA_897024.indb 26

En type juletrebelysning har tre ulike lysinnstillinger: farge, blinking og lysstyrke.

Vi kan velge mellom fire ulike farger, fire ulike typer blinking og fire ulike lysstyrker. a) Hvilken potens beskriver hvor mange kombinasjoner av lysinnstillinger juletre­ belysningen har til sammen? b) Skriv denne potensen som et vanlig tall.

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:01

ØV MER – 1.4 Regnerekkefølge OPPGAVER 1.140

Regn ut uten hjelpemidler. a) 3 + 4 ⋅ 2 b) −5 + 3 ⋅ 4 c) 9 + 3 ⋅ ( −3) d) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −2)

1.141

Regn ut uten hjelpemidler. a) −10 + 10 ⋅ 10 − 10 ⋅ ( −10) b) 6: 2 + 3 ⋅ ( −3) − 9: 3 c) −3 − 3 − 3 ⋅ 2

1.142

Regn ut uten hjelpemidler. a) 5 ⋅ 22 b) 3 + 2 ⋅ 32 c) 6 − 52 d) 3 − 3 ⋅ 32 + 32 ⋅ 3 − 3

1.143

Regn ut uten hjelpemidler. a) (2 − 3)3 b) (10 − 5)3 c) 3 − (3 − 1)4 d) (3 − 1)2 − (12 − 10)2 e) (5 − 3)2 ⋅ (6 − 4)2 + (7 − 5)2 ⋅ (8 − 6)2 + (9 − 7)2 ⋅ (10 − 8)2

1.144

Regn ut uten hjelpemidler. a) 2 ⋅ 23 − (3 − 5)2 b) 52 − (4 − 3)2 − 22 : 4 c) 5 ⋅ (20 − 17)2 + 4 − 3 ⋅ 32 d) 33 − (2 − 32 )2 + (40 − 62 )2 e) 105 + 104 + 103 + 102 + 101

1.145

På en prøve skal Andrine løse oppgaven nedenfor.

5 − 2⋅3+ 4 Andrine bruker en enkel kalkulator og får svaret 13. Læreren sier at svaret er feil. a) Hva er riktig svar? b) Hvordan regner kalkulatoren når den får svaret 13?

1.146

Sorter verdien av uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge fra minst til størst.

A. (5 − 1)2 B. (10 − 7)2 C. (13 − 15)3 D. (13 − 15)2 E. (7 − 10)2

1.147

Regn ut uten hjelpemidler. a) 5 − 3 ⋅ 22 − 3 b) (5 − 3) ⋅ 22 − 3 c) 5 − 3 ⋅ (22 − 3) d) (5 − 3) ⋅ (22 − 3) e) 3 ⋅ 52 − 32 − 3 ⋅ ( −2)3

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 27

27

20.07.2026 13:34:02

ØV MER – 1.5 Regning med enheter OPPGAVER

28

Sinus_BA_897024.indb 28

1.150

Gjør om til gram. a) 300 mg b) 72 kg c) 3,2 hg d) 0,72 kg

1.151

Gjør om til kilogram. a) 78 000 g b) 130 hg c) 43,2 g d) 0,5 tonn

1.152

Gjør om til tonn. a) 500 kg b) 12 000 kg c) 6,7 kg d) 680 g

1.153

Gjør om til meter. a) 13 km b) 0,5 mil c) 45 dm d) 550 mm

1.154

a) Hvor mange kilometer er 100 mil? b) Hvor mange meter er 1000 km? c) Hvor mange millimeter er 3 km? d) Hvor mange meter er 20 mm?

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:02

OPPGAVER – Uten hjelpemidler 1.200

En rektangulær plate er 130 cm lang. Den skal kappes i tre like store lengder. Sagbladet tar 0,5 cm for hvert kutt.

Regn ut lengden av hver av de tre platene i hodet.

1.201

Hanne skal bygge ei trapp. Etasjehøyden er 2,40 m. Trinnene skal være 0,16 m høye.

Regn ut hvor mange trinn denne trappa må ha, i hodet. ▲ 1.1

1.202

Aisha skal bygge en terrasse med et areal på 25 m2. For hver kvadratmeter trenger hun i gjennomsnitt 50 skruer. Skruene selges i esker med 250 skruer i hver. a) Hvor mange esker må Aisha kjøpe? b) Hver eske med skruer koster 189 kr.

Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye Aisha må betale.

1.203

Det er dugnad, og muren rundt skolen skal males. Muren er 1,8 meter høy, og den skal males med to strøk. På malingsspannet står det at de kan male 8 kvadratmeter per liter maling (8 m2/L).

Et malingsspann rommer 9 liter maling. a) Hvor mange kvadratmeter kan de male med ett malingsspann? b) Hele muren er 120 meter lang.

Omtrent hvor mange liter maling trenger de for å male muren? c) Hvor mange malingsspann må de kjøpe?

1.204

Den høyeste temperaturen som noen gang er målt på jorda, ble målt i Death Valley i USA i 1973. Den ble målt til 56,7 °C. Den laveste temperaturen som noen gang er målt, ble målt på den russiske forskningsstasjonen Vostok på Antarktis i 1983. Den ble målt til −89,2 °C. Omtrent hvor stor er temperaturforskjellen mellom den høyeste og den laveste temperaturen som er målt på jorda?

1.205

a) Den danske fysikeren Hans Christian Ørsted ble født 14. august 1777 og døde 9. mars 1851.

Omtrent hvor gammel var Hans Christian Ørsted da han døde? b) Bilmerket Tesla er oppkalt etter den serbisk-amerikanske vitenskapsmannen og oppfinneren Nikola Tesla. Han ble født 10. juli 1856 og døde 7. januar 1943.

Omtrent hvor gammel var Nikola Tesla da han døde?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 29

29

20.07.2026 13:34:02

1.206

En helsekostbutikk tjener gode penger på å selge såkalt supermat.

De selger blant annet en pose açaipulver på 113 gram for 259 kroner.

Hva er omtrentlig pris i kroner per kilogram açaipulver? ▲ 1.2

1.207

Regn ut. a) ( −1) ⋅ ( −1) b) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) c) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) d) ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) e) Forklar hva som er sammenhengen mellom antall minustegn vi ganger sammen, og hvilket fortegn vi får i svaret.

1.208

En trebjelke er 3 m lang, 0,15 m bred og 0,20 m høy. Vi finner volumet av bjelken i kubikkmeter ved å gange lengden, bredden og høyden. a) Hvor mange ganger større blir volumet dersom alle mål dobles? b) Hvilken potens kan vi gange det gamle volumet med for å få volumet etter at alle målene dobles? c) Hvor mange ganger større blir volumet dersom alle målene tredobles? d) Hvilken potens kan vi gange det gamle volumet med for å få volumet etter at alle målene tredobles?

1.209

Nedenfor ser vi grafene til funksjonene f ( x ) = 2x i grønt og g ( x ) = x 2 i rødt.

Skjæringspunktene A og B mellom grafene er markert.

Er påstandene nedenfor sanne? Bruk grafene til å begrunne svaret ditt. y 45

x

f(x)= 2

40 35

g(x)= x2

30 25 20

B

15 10 A

5

x 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

A. 24 = 42 B. 12 = 21 C. 23 er større enn 32 D. 25 er større enn 52 ▲ 1.3 30

Sinus_BA_897024.indb 30

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:02

1.210

Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge fra minst til størst.

A. 34 B. 43 C. (102 − 100)5 D. 50 − (2 − 5)3

1.211

Michelle har tre bensinkanner. De rommer 6 liter, 9 liter og 13 liter.

Hun ønsker å måle opp nøyaktig 1 liter bensin.

Hvordan kan hun gjøre det ved å bruke bare to av bensinkannene?

1.212

Aurora liker å tenne telys om kveldene. Hun pleier å tenne 5 telys som brenner 2 timer hver kveld. Hun vil kjøpe inn telys for et helt år. Det er 150 telys i hver pakke, og hvert telys brenner i 5 timer.

Hvor mange pakker må hun kjøpe? ▲ 1.4

1.213

Oliver skal mure en vegg med teglstein og mørtel. Hver teglstein med mørtel er 25 cm bred og 10 cm høy. Veggen er 5,5 m lang og 3,0 m høy.

Hvor mange teglsteiner trenger han?

1.214

Lettmelk har følgende næringsdeklarasjon: Næringsinnhold

Energi

Per 100 g

173 kJ/41 kcal

Fett – hvorav mettede fettsyrer

1,0 g 0,6 g

Karbohydrater – hvorav sukkerarter

4,5 g 4,5 g

Proteiner

3,5 g

Salt

0,1 g

Kiran drikker et stort glass med 3 dL (tilsvarende 300 g) melk.

Hvor mange gram karbohydrater får Kiran i seg?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 31

31

20.07.2026 13:34:02

1.215

I Sverige bygde de et stort atomkraftverk på kysten av Skåne som ble satt i drift i 1975. Kraftverket het Barsebäck atomkraftverk og hadde en årlig energiproduksjon på omtrent 10 TWh. Etter at kraftverket ble stengt i 2005, har de blant annet tatt i bruk solenergi for å erstatte den tapte energiproduksjonen. Solceller produserer omtrent 250 kWh i året per kvadratmeter. a) Hvor mange kvadratmeter må dekkes av solceller for at det skal produseres like mye energi som Barsebäck atomkraftverk produserte da det var i drift? b) En fotballbane har en størrelse på omtrent 8000 m2.

Hvor mange fotballbaner måtte man ha fylt med solceller for å produsere like mye energi som Barsebäck atomkraftverk produserte da det var i drift?

1.216

Effektfaktoren til ei varmepumpe angis gjerne som COP (coefficient of performance). COP-verdien forteller oss hvor mye mer energi varmepumpa gir i form av varme, i forhold til hvor mye elektrisk energi den forbruker.

Hvis COP er 2, vil varmepumpa gi 2 kWh (kilowattimer) med varmeenergi for hver 1 kWh elektrisk energi fra strømnettet.

Ei varmepumpe med COP-verdi på 4 gir i løpet av en vinterdag 16 kWh med varme. a) Hvor mye elektrisk energi har denne varmepumpa forbrukt for å produsere 16 kWh varmeenergi? b) Hvor mye energi har varmepumpa forbrukt målt i joule? c) En husstand har et årlig energibehov på 14 000 kWh til oppvarming.

Hvor mye elektrisk energi kreves dersom oppvarmingen kommer fra denne varmepumpa?

32

Sinus_BA_897024.indb 32

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:03

1.217

Guro er taktekker og skal legge takstein på et nytt hus. Hun finner nødvendig informasjon i tabellen nedenfor.

Normale forhold opp til 35 m/s

Værharde strøk over 35 m/s

Største lekteavstand

Omlegg

Antall steiner per m2

Største lekteavstand

Omlegg

Antall steiner per m2

≥ 28°

370 mm

50 mm

9,00

350 mm

70 mm

9,55

27°

365 mm

55 mm

9,15

345 mm

75 mm

9,70

25°

360 mm

60 mm

9,30

340 mm

80 mm

9,80

23°

355 mm

65 mm

9,40

335 mm

85 mm

10,00

Takvinkel

22° *

350 mm

70 mm

9,55

330 mm

90 mm

10,10

20° *

340 mm

80 mm

9,80

320 mm

100 mm

10,40

18° *

330 mm

90 mm

10,10

315 mm

105 mm

10,75

15° *

315 mm

105 mm

10,75

315 mm

105 mm

10,75

*Det er viktig å ta spesielle forholdsregler for å få et tettest mulig tak. Ved lave takvinkler anbefaler vi bærende undertak.

Ved bruk av gavlstein er minste lekteavstand 315 mm. Ta hensyn til kyststrøk og husets beliggenhet. Se NS 3479/A1.

Tabell 1 – Lekteavstander

Takvinkelen på huset er 25°. Det totalet arealet av hustaket er 82 m2.

Huset står på Sunnmørskysten, hvor vinden kan bli kraftigere enn 35 m/s. a) Bruk tabellen og finn den maksimale lekteavstanden for dette huset. b) Hvor mange taksteiner trenger Guro per kvadratmeter? c) Bruk overslagsregning og regn ut omtrent hvor mange taksteiner Guro trenger. ▲ 1.5

1.218 Eksamen V22

Bildet viser en høydemåling med en nivelleringskikkert. S er siktelinja.

Avlesningen på målepunkt A er 110 cm.

Avlesningen på målepunkt B er 35 cm.

S

J

S b B

a

h

A

Hva er høydeforskjellen (h) mellom punkt A og punkt B? 1.219 Eksamen H22

Emma er på fjelltur og blir overrasket av et tordenvær. Hun observerer at det går 5 sekunder fra hun ser et lyn, til hun hører tordenskrallet. Lydens hastighet i luft er cirka 340 meter i sekundet.

Omtrent hvor mange kilometer unna er tordenværet?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 33

33

20.07.2026 13:34:03

1.220 Eksamen V24

En butikk selger poser med 5 kilogram reker for 400 kroner per pose.

a) Hva er prisen per kilogram for rekene?

Posene med reker merkes ut fra hvor store rekene er.

Størrelse 50/70

Størrelse 70/90

Størrelse 90/120

Du får mellom 50 og Du får mellom 70 og Du får mellom 90 70 reker per kilogram. 90 reker per kilogram. og 120 reker per kilogram. b) I hvilken pose bør ei reke som veier 20 gram, være? Husk å begrunne svaret ditt.

1.221 Eksamen H23

Kari har 1,5 L brus. Hun skal fylle brusen i glass. I hvert glass skal det være 2,5 dL. a) Hvor mange glass kan Kari fylle?

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag.

Han finner ulike svar på ulike nettsider.

På én nettside finner han teksten nedenfor.

Voksne har hvert døgn behov for ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt.

Husk at vann er den beste tørstedrikken.

Tobias veier 70 kg. b) Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn, ifølge nettsiden?

34

Sinus_BA_897024.indb 34

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:03

1.222 Eksamen V25

Sara skal handle ris i butikken. Hun kan velge mellom to ulike typer.

Kartong med boil-in-bag-ris

Sekk med ris

Vekt: 1 kg Pris: 32 kroner

Vekt: 4 kg Pris: 80 kr

I en kartong med boil-in-bag-ris er 1 kg ris fordelt på 8 poser. a) Hvor mange gram ris er det i hver pose?

I familien til Sara er de to voksne og to barn. Hver person spiser 5 kg ris hvert år. b) Hvor mange kroner sparer familien i løpet av ett år dersom de kjøper sekker med ris i stedet for kartonger med boil-in-bag-ris?

1.223 Eksamen V24

1 kubikkmeter (m3) B35 betongblanding består av følgende: Sement

325 kg

Sand

1 tonn

Stein av ulik størrelse

900 kg

Vann

165 liter

a) Regn ut hvor mye 1 m3 B35 betong veier. Oppgi svaret i kg.

Du skal blande 0,2 m3 B35 betong til en liten konstruksjon. b) Hvor mye vann trenger du til denne blandingen?

1.224 Eksamen H25

Jens løper på ei tredemølle med en fart på 12 km/h. a) Hvor langt løper Jens på 15 minutter?

En maraton er 42 195 meter lang.

I 2023 løp Kelvin Kiptum fra Kenya en maraton på tiden 2:00:35 (2 timer og 35 sekunder). b) Omtrent hvor mange minutter brukte han på hver kilometer han løp?

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 35

35

20.07.2026 13:34:03

OPPGAVER – Med hjelpemidler 1.300

Når vi ganger to tall nært 100 med hverandre, kan vi bruke et eget hoderegningstriks. For å forklare trikset lager vi en oppskrift med gange­ stykket 96 ⋅ 97 som eksempel.

1. Skriv hvert av tallene som 100 minus et tall. Tallene vi trekker fra, kaller vi differansene.

96 ⋅ 97 = (100 − 4) ⋅ (100 − 3) 2. 100 minus begge differansene fra steg 1 er nå de første sifrene i svaret.

100 − 4 − 3 = 93 3. Gang de to differansene for å få de to siste sifrene i svaret.

4⋅3 = 12 Vi har nå regnet ut at 96 ⋅ 97 = 9312.

Bruk dette hoderegningstrikset og regn ut. a) 97 ⋅ 95 b) 94 ⋅ 96 c) 98 ⋅ 94 d) 99 ⋅ 98

1.301

Når vi ganger et tall som slutter på 5, med seg selv, kan vi bruke et eget hoderegningstriks. For å forklare trikset lager vi en oppskrift med tallet 35 som eksempel.

1. Ta ut det første sifferet (eller alle sifrene før 5 i større tall).

Vi tar ut tallet 3.

2. Gang tallet med seg selv pluss én.

3 ⋅ (3 + 1) = 3 ⋅ 4 = 12 3. Sett tallet 25 bak tallet fra steg 2.

Svaret er 1225.

Vi har nå regnet ut at 352 = 35 ⋅ 35 = 1225 Bruk dette hoderegningstrikset og regn ut. a) 252 b) 552 c) 852 d) 1052

36

Sinus_BA_897024.indb 36

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:03

1.302

Regn ut 952 ved å bruke hoderegningstriksene fra oppgave 1.300 og 1.301. ▲ 1.3

1.303

En rørleggerlærling kjører sin egen bil til de ulike jobbene han er med på. Firmaet han jobber for, betaler kjøregodtgjørelse på 4,20 kr per kilometer. I løpet av ei uke kjører han følgende distanser til og fra forskjellige jobber: • • • • •

mandag: 42 km tirsdag: 15 km onsdag: 66 km torsdag: 30 km fredag: 51 km

a) Hvor mye kjøregodtgjørelse får lærlingen denne uka? b) Bensinprisen er 19 kr per liter, og bilen kjører 12 km per liter.

Hvor mye av kjøregodtgjørelsen sitter lærlingen igjen med etter at bensinen er betalt?

1.304

Linnea trenger et spesialverktøy til et prosjekt som varer i tre uker. Å leie verktøyet koster 350 kr per dag, mens det koster 12 500 kr å kjøpe det. a) Hvor mye koster det å leie verktøyet i 3 uker hvis vi regner 5 arbeidsdager per uke? b) Linnea planlegger å bruke verktøyet på totalt tre prosjekter i løpet av det kommende året. Hva blir leiekostnaden da? c) Lønner det seg å kjøpe verktøyet dersom hun skal utføre disse tre prosjektene? ▲ 1.4

1.305

Snekker Andersen skal utbedre skader i en gipsvegg. Han vil bruke gipspuss som han skal blande ut, og på pakningen kan han lese at det trengs 14 liter vann til 20 kilogram gips. a) Hvor mange liter vann trengs det per kilogram gips? b) Hvor mange kilogram gips trengs det per liter vann? c) Hvor mye vann trenger han for å blande ut 4 kilogram gips?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 37

37

20.07.2026 13:34:03

1.306

Vilmer pusser opp et kjøkken og skal legge nye fliser. Han har kjøpt flislim i pulverform som han må blande ut med vann. På pakningen står det at 1 kg flislim skal blandes ut med 0,3 liter vann. a) Vilmer vil i første omgang bruke 4 kg flislim.

Hvor mye vann trenger han for å blande ut flislimet?

Vilmer har ikke noen vekt til å måle opp flislimet, men han har et litermål. På pakningen står det at flislimet har en massetetthet på 1450 kg/m3 (1 m3 veier 1450 kg). Merk at 1 m3 tilsvarer 1000 liter. b) Hvor mye veier 1 liter av flislimet? c) Hvor mange liter av flislimet trenger han for at det skal bli 4 kg?

Det står på pakningen at forbruket av flislim er på 2,5 kg/m2. Vilmer skal flislegge en vegg som er 4 meter lang og 0,6 meter høy. Husk at vi finner arealet ved å gange lengden med høyden. d) Har Vilmer blandet ut nok flislim til å dekke hele veggen? Dersom han ikke har nok, hvor mye mer må han lage?

38

Sinus_BA_897024.indb 38

1.307

Hans Fredrik skal blande betong. Betongen lages ved å blande sement, singel, sand og vann. I byggevarebutikken får han oppgitt at betongen skal blandes etter følgende blandingsforhold: «Til 20 kg sement trenger du 66 kg sand, 54 kg singel og 13 liter vann.» a) Hans Fredrik skal starte med å blande en liten mengde betong av 10 kg sement.

Hvor mye trenger han av sand, singel og vann? b) Senere skal han blande betong av 150 kg sand.

Hvor mye må han da tilsette av sement, singel og vann? c) Når Hans Fredrik blander betong etter blandingsforholdet ovenfor, får han 65 liter ferdig mørtel av 20 kg sement.

Hvor mange liter ferdig mørtel får han fra blandingen med 150 kg sand?

1.308

Et bad har et gulvareal på 7,5 m2. Noah skal legge varmekabler med en effekt på 120 watt per m2. a) Hvor stor total effekt vil varmekablene gi på dette badet? b) Noah kjøper inn varmekabler med en effekt på 18 watt per meter kabel.

Hvor mange meter med varmekabel trenger han for å oppnå den totale effekten fra oppgave a?

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:03

1.309

Et digitalt fotografi består av stort antall bittesmå kvadrater som vi kaller piksler. Hver piksel har hver sin farge.

Når antallet piksler er stort nok, vil ikke det menneskelige øyet oppdage pikslene, men bare se fotografiet som en sammenhengende, naturlig gjengivelse av virkeligheten.

Den opprinnelige versjonen av bildet til høyre består av 4000 × 6000 piksler, som betyr at det er 4000 piksler vannrett og 6000 piksler loddrett. a) Hvor mange piksler er det til sammen i dette bildet?

Hvis vi forstørrer et slikt bilde for mye, vil vi til slutt se pikslene, og bildet vil oppleves kornete. For at utskriften skal bli pen, bør oppløsningen være på minst 300 ppi. Forkortelsen ppi står for «pixels per inch», som på norsk betyr «piksler per tomme».

1 tomme = 2,54 cm. b) Vi ønsker å lage en plakat av dette bildet.

Hvor stor kan plakaten være for at bildet fortsatt skal ha en oppløsning på minst 300 ppi?

1.310

Esther skal laste ned ei videofil på 1500 MB. Internettforbindelsen har en hastighet på 50 Mbps (megabit per sekund). 1 B (byte) er det samme som 8 bit, og 1 MB (megabyte) er det samme som 8 Mbit. a) Regn om filstørrelsen på videofila til megabit. b) Hvor lang tid trenger Esther for å laste ned videofila?

Yasmin skal overføre ei videofil på 2500 MB fra datamaskinen sin til en ekstern harddisk med en hastighet på 13 MB/s (megabyte per sekund). c) Hvor lang tid tar det for Yasmin å overføre denne videofila? d) Hvor stor er overføringshastigheten fra Yasmins datamaskin til den eksterne harddisken målt i megabit per sekund?

1.311

Johanne har fått installert solcellepaneler på taket til huset sitt. I løpet av en måned produserer solcellepanelene 472 kWh med energi, mens Johanne og familien forbruker 1139 kWh. Johanne må betale for den energien hun ikke får tilført fra solcellepanelene. Prisen er 1,50 kr per kWh. a) Hvor mye må Johanne betale denne måneden? b) Hvor mye mer måtte Johanne betalt om hun ikke hadde hatt solcellepaneler?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 39

39

20.07.2026 13:34:04

1.312

Marius skal flislegge veggene på badet sitt. Han skal kjøpe inn fliser og fugemasse.

Fugemassen selges i sekker på 5 kg, og det står på sekkene at 5 kg fugemasse er nok til å flislegge 10 m2. Hver sekk koster 120 kr.

Flisene er 25 cm brede og 40 cm lange. De selges i esker med 16 fliser, og hver eske koster 140 kr.

Badet han skal flislegge, er 3 meter bredt, 4 meter langt og 2,5 meter høyt.

Vi antar at alle vegger på badet skal flislegges og ser bort fra eventuelle dører og vinduer.

Regn ut hvor mye Marius må kjøpe inn av fliser og fugemasse. Hvor mye må han betale til sammen?

1.313

Du skal legge laminatgulv som selges i pakker med flere gulvplater.

I byggevarebutikken får du oppgitt følgende om gulvet du ønsker å kjøpe: Pris per kvadratmeter (m2) Antall gulvplater i hver pakke

199 kr 6

Vekt per pakke

16,41 kg

Lengde gulvplate

1,292 m

Bredde gulvplate

0,193 m

Areal per gulvplate (antall kvadratmeter)

0,25 m2

Forklar hvordan du tenker og vis hvilke utregninger du må gjøre når du skal planlegge innkjøpet av gulvet.

Du må finne ut i hvor mange rom skal du legge gulv, og hvor stort hvert rom er hvor mange pakker du må kjøpe inn hva hver pakke koster, og hva den totale prisen blir hvor mye alle pakkene veier til sammen

• • • •

▲ 1.5

40

Sinus_BA_897024.indb 40

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:04

1.314 Eksamen H25

Det største bassenget i Pirbadet i Trondheim har vært tømt for vann i forbindelse med vedlikehold.

Hvis de ansatte bruker to brannslanger, tar det 48 timer å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann. a) Hvor mange liter vann fyller hver brannslange i bassenget per sekund?

Trond er teknisk leder og har ansvar for å fylle bassenget.

To brannslanger fyller vann i bassenget.

Tenk deg at • Trond bruker ei vannkanne til å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann • vannkanna rommer 5 liter • Trond arbeider 7 timer hver dag • Trond fyller vannkanna med vann når den er tom, og han bruker 3 minutter på hver runde b) Gjør beregninger og vurder hvor mange arbeidsdager Trond ville brukt på å fylle bassenget på denne måten.

Trond fyller i vann med vannkanne.

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 41

41

20.07.2026 13:34:04

«Ekadhikena Purvena» – med én mer enn den forrige Det har blitt hevdet at vitenskapsfolkene som levde i India for flere tusen år siden, lenge før kalkulatorens tid, klarte å gjøre komplekse beregninger i hodet. Gangestykker som 65 ⋅ 65 løste de på null komma niks. Hvordan klarte de det? Sagaen sier at de hadde fått en guddommelig gave, som de hadde oppdaget i de hellige skriftene.

I dag vet vi om hoderegningsteknikker som fungerer på bestemte regnestykker.

Noen slike metoder ble samlet av den indiske matematikeren Bharati Krishna Tirthaji i en bok som kalles «Vedisk matematikk». Det historiske opphavet er omdiskutert, men boka består av 16 sutraer, eller vers, som beskriver metoder for å løse ulike matematiske problemer.

Den første sutraen er «Ekadhikena Purvena», som betyr «med én mer enn den forrige». Denne sutraen beskriver en metode for å gange sammen to like tosifrede tall der siste siffer er 5.

Vi viser metoden for gangestykket 65 ⋅ 65 Det første sifferet i begge tallene er 6.

Derfor ganger vi «med én mer enn det forrige», altså 6 med 7.

6⋅7 = 42 Det andre sifferet i begge tallene er 5.

Vi ganger disse to sammen.

5 ⋅5 = 25 Deretter setter vi svaret på de to regnestykkene etter hverandre og får svaret: 65 ⋅ 65 =25 42 Metoden kan utvides til å gjelde flere tall.

Vi kan bruke metoden så lenge første siffer i tallene er like og summen av de bakerste sifrene er ti.

48 ⋅ 42 Første siffer i begge tallene er 4, og 10. summen av de bakerste er 8 + 2 = Da fungerer metoden. Vi regner ut 4 ⋅5 = 20

KILDER: Williams, K. R. (2009). Vedisk matematikk (R. B. Heffermehl, Overs.).

Inspiration Books. (Opprinnelig utgitt 2002)

8 ⋅2 = 16 Da blir 48 ⋅ 42 =16 20

Bal, H. S. (2010, 12. august). The Fraud of Vedic Maths. OPEN.

42

Sinus_BA_897024.indb 42

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:04

Sanchi Stupa, bygget omkring 200 år før vår tid, er et tempel bygget i stein under den vediske epoken. Arkitekturen fra denne tiden ble ofte basert på geometriske figurer ansett som hellige.

Oppgaver 1. Bruk metoden til å regne ut a) 45 ⋅ 45 b) 75 ⋅ 75 c) 95 ⋅ 95 2. Bruk metoden til å regne ut a) 23 ⋅ 27 b) 47 ⋅ 43 c) 66 ⋅ 64 d) 81 ⋅ 89 e) 92 ⋅ 98 3. Lag noen egne regnestykker som du kan løse med denne metoden.

4. Vedisk matematikk er kontroversielt. Det er delvis fordi det historiske opphavet til sutraene ikke er godt dokumentert, men også fordi metodene bare gir regnetriks som fungerer i noen tilfeller og ikke alle.

Hvilke tall fungerer metoden på, og hvilke tall fungerer den ikke på? Synes du det er nyttig å lære seg slike regnetriks?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 43

43

20.07.2026 13:34:04

Repetisjonsoppgaver

REPETISJONSOPPGAVER – Uten hjelpemidler OPPGAVE 1

OPPGAVE 5

Regn ut. a) 5 − (3 − 1) b) −3 − ( −14) c) ( −4) ⋅ ( −11) d) 2 − 5 ⋅ 32 + (1 − 3)3

a) Gjør om til meter og legg sammen.

OPPGAVE 2

OPPGAVE 6

Bestem hvilket tall som er størst, eller om de er like store. a) ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) eller 32 b) 24 eller 42 c) 102 eller 210

Nedenfor har vi samlet noen viktige steg i byggekunstens historie.

OPPGAVE 3

500 mm + 6,8 m + 0,012 km b) Gjør om til kilogram og legg sammen.

5500 kg + 72,3 tonn

a) Hvor mange meter er 6700 cm? b) Hvor mange gram er 0,53 kg? c) Hvor mange kilometer er 300 m? d) Hvor mange meter er 3,8 km? e) Hvor mange desimeter er 150 m?

OPPGAVE 4

Lektor Smestad retter prøver og finner tre ulike løsninger på den samme oppgaven.

Oppgaven er å regne ut 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 Løsningene fra elevene ser slik ut: Sigurd: 2 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 2= 2 ⋅ ( −1)2 + 2 ⋅ 4 = 2 + 8 = 10

Asbjørn: 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 = 5 − 3 ⋅ ( −1)2 + 2 ⋅ 4 = 5 − 3+ 8 = 10 Anne Gry: 5 − 3 ⋅ (3 − 4)2 + 2 ⋅ 22 =− 5 3 ⋅ (32 − 42 ) + 42 = 5 − 3 ⋅ (9 − 16) + 16 = 5 − 3 ⋅ ( −7) + 16 =5 + 21 + 16 = 42

Hendelse

Årstall

Keramiske veggfliser blir oppfunnet i Egypt

1200 f.Kr.

Romerne bygger sine første akvedukter

312 f.Kr.

Romerne utvikler romerbetong lagd på vulkansk aske

100 f.Kr.

Portland-sementen blir oppfunnet

1845

a) Hvor mange år gikk det fra keramiske fliser ble oppfunnet, til portlandsementen ble oppfunnet? b) Hvor mange år gikk det fra romerne fant opp de første akveduktene, til de utviklet romerbetong? c) Hvor mange år gikk det fra romerbetongen ble oppfunnet, til portlandsementen ble oppfunnet?

OPPGAVE 7

Omar skal male det lokale kommunehuset med to strøk maling. Han regner ut at veggene til sammen har et areal på 220 m2. Malingen selges i spann på 10 liter, og på spannet står det at du trenger 1 liter maling til 9 m2.

Hvor mange malingsspann må Omar kjøpe?

a) Hvilken av løsningene er korrekt?

Forklar hvorfor. b) Hva er galt med de to andre løsningene?

44

Sinus_BA_897024.indb 44

1

TALLREGNING

20.07.2026 13:34:05

REPETISJONSOPPGAVER – Med hjelpemidler OPPGAVE 8

OPPGAVE 10

På fjellet regner man at temperaturen avtar med 6,5 °C når høyden øker med 1000 meter.

Noen klatrere befinner seg på Mount Everests sørlige basecamp som ligger 5360 meter over havet, og på en bestemt dag er temperaturen –12 °C. Klatrerne skal tilbringe noen dager på basecampen for at kroppen skal vende seg til den ekstreme høyden før de bestiger det høyeste punktet 8849 meter over havet.

Hva kan klatrerne forvente at temperaturen på toppen av Mount Everest vil være?

Energien som kreves for å varme opp 1 kg vann med 1 °C, er 4,2 kJ. Kari liker å ta seg et varmt bad, og fyller badekaret med godt og varmt vann.

Badekaret rommer 120 liter, som tilsvarer 120 kg. Vannet til badekaret må varmes fra ca. 10 °C til 40 °C. a) Hvor mye energi krever det å varme opp vannet i et fullt badekar til ønsket temperatur? b) 1 kWh (kilowattime) er det samme som 3600 kJ. Hvor mye energi krever det å varme opp vannet i badekaret målt i kilowattimer (kWh)? c) Hvis vi antar at prisen per kilowattime er 1,40 kr, hvor mye må Kari da betale for å bade tre ganger i uka i ett år?

OPPGAVE 9

En orgelbygger skal bygge et lite husorgel som har to rader med piper. Rad 1 har åtte piper, og det er disse vi skal se på i denne oppgaven.

Den lengste pipa har lengden 120 cm.

Vi får lengden av neste pipe ved å gange lengden av den foregående pipa med tallet 0,94. Den andre pipa får da lengden 120 cm ⋅ 0,94 = 113 cm. Slik regner vi også ut lengden av de øvrige pipene. a) Regn ut lengden av de øvrige seks pipene. b) Hva er den totale lengden av de åtte pipene i meter? c) Regn ut 120 cm ⋅ 0,947 . d) Forklar hvorfor svaret på oppgave c gir deg lengden av den korteste pipen.

OPPGAVE 11

Shazia er på oppdrag i Sverige og skal kjøre 720 km før hun får levert varene hun frakter til kunden. Drivstofflampa blinker, så hun må stoppe ved en bensinstasjon for å fylle diesel. Drivstoffprisene står oppgitt på skiltet nedenfor.

E85 D 95

17,27 20,18 18,11

Varebilen hun kjører, bruker 0,45 L/mil (0,45 liter diesel per mil). Siden hun er i Sverige, sjekker hun valutakursen og finner ut at 1 SEK = 1,05NOK (SEK står for svenske kroner og NOK står for norske kroner). a) Hvor mye diesel må Shazia fylle hvis hun skal kjøre helt fram uten å stoppe ved flere bensinstasjoner? b) Hvor mye må hun betale i norske kroner for å kunne kjøre disse 720 kilometerne?

Repetisjonsoppgaver

Sinus_BA_897024.indb 45

45

20.07.2026 13:34:05

46

Sinus_BA_897024.indb 46

 

20.07.2026 13:34:07

2. Brøk og prosent I dette kapittelet skal vi jobbe med brøk- og prosentregning. I dagliglivet må vi ofte forholde oss til brøk og prosent, for eksempel når vi skal handle varer på salg, eller når vi skal forstå statistikk i nyheter eller fagstoff.

Nesten uansett hvilket yrke du velger, vil du få bruk for prosentregning.

I bygg- og anleggsbransjen oppgis blant annet fallet på veier, gulv og avløpsrør i prosent. Og som bygg- og anleggsarbeider kan du få bruk for brøkregning når du jobber med blandingsforhold, rørdeler eller andre materialer.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse

 

Sinus_BA_897024.indb 47

47

20.07.2026 13:34:08

2.1 Brøk Vi leser

1 som «én firedel», og tallet kalles en brøk. En brøk består av en 4

teller, en brøkstrek og en nevner. teller brøkstrek

1 4

nevner

Brøken

1 er det samme som 1 : 4.

4

Fire lærlinger får i oppdrag å montere nye dører i ei boligblokk som pusses opp. Til sammen er det 60 dører som skal skiftes. Hvis de 1 fordeler arbeidet likt mellom seg, skal hver av dem montere av dørene.

4 Det blir 15 dører på hver.

60 1 4

1 4

1 4

1 4

15

Dette kan vi regne ut slik: 1 1 av 60 = ⋅ 60 =15 4 4 1 1 ⋅ 60 60 = = 15. Denne måten å regne på får vi Legg merke til at ⋅ 60 = 4 4 4 bruk for hvis vi skal regne ut brøkdeler uten kalkulator.

REGEL

Vi finner brøkdelen av et tall ved å gange brøken med tallet.

Når vi ganger et tall med en brøk, ganger vi tallet med telleren.

EKSEMPEL

LØSNING

48

Sinus_BA_897024.indb 48

Regn ut.

2 a) av 225 kr 5

b)

3 av 120 kr 8

a)

2 2 ⋅ 225 kr 450 kr ⋅ 225 kr = = = 90 kr 5 5 5

b)

3 3 ⋅ 120 kr 360 kr ⋅ 120 kr = = = 45 kr 8 8 8

c)

1 1 ⋅ 315 kr 315 kr ⋅ 315 kr = = = 45 kr 7 7 7

2

BRØK OG PROSENT

c)

1 av 315 kr 7

20.07.2026 13:34:08

Når vi skal finne

3 av 60, kan vi bruke at en firedel er 15.

4

60 1 4

1 4

1 4

1 4

45

Da må tre firedeler være tre ganger så mye.

3 av 60 = 3 ⋅ 15 = 45 4 EKSEMPEL

LØSNING

Regn ut uten kalkulator.

2 3 a) av 100 kg b) av 120 kg 5 4 a) Vi kan finne

1 av 100 kg ved å dele 100 på 5.

5

1 ⋅ 100 kg = 20 kg 5

2 1 er dobbelt så mye som .

5 5 2 ⋅ 20 kg = 40 kg b)

1 120 kg av 120 = kg = 30 kg . Tre firedeler må være tre ganger så mye 4 4 som én firedel. Altså blir 3 av 120 kg = 3 ⋅ 30 kg = 90 kg 4

OPPGAVER 2.10

2.11

Regn ut med kalkulator.

3 5 a) av 217 kr b) av 153 kr 7 9

c)

1 av 969 kr 6

Regn ut uten kalkulator.

5 3 a) av 120 kg b) av 70 kg 6 5

2.1

Sinus_BA_897024.indb 49

Brøk

49

20.07.2026 13:34:08

Brøkene

1 2 og kan vi skrive som desimaltall, som vist nedenfor.

4 8

1 2 : 4 0,25 og= 2: 8 0,25 = 1= = 4 8 Begge tallene er lik 0,25. Brøkene figuren nedenfor viser at

1 2 og har derfor lik verdi. Også 4 8

1 2 og har lik verdi.

4 8

Vi kan vise det samme med regning ved å utvide brøken.

1 1 ⋅2 2 = = 4 4 ⋅2 8 Her har vi utvidet brøken ved å gange med 2 i både telleren og nevneren.

Hvis du deler en sjokoladeplate i 10 biter og spiser 2 av dem, har du 2 2 av sjokoladeplaten. Figuren nedenfor viser at har samme spist 10 10 1 verdi som .

5

Vi kan vise at dette stemmer ved å dele telleren og nevneren med 2.

2 2:2 1 = = 10 10 : 2 5 Vi har forkortet brøken.

REGEL

Når vi forkorter en brøk, deler vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi forkorter en brøk, endrer den ikke verdi.

Når vi utvider en brøk, ganger vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi utvider en brøk, endrer den ikke verdi.

50

Sinus_BA_897024.indb 50

2

BRØK OG PROSENT

20.07.2026 13:34:08

EKSEMPEL

LØSNING

Forkort brøkene.

6 27 a) b) 8 21 a) Vi kan dele telleren og nevneren med 2.

6 6: 2 3 = = 8 8:2 4 b) Vi kan dele telleren og nevneren med 3.

27 27: 3 9 = = 21 21 : 3 7 6 Noen kalkulatorer kan forkorte brøker. Når vi skal forkorte , skriver vi 8 bare inn brøken og trykker på tasten

, slik vi har gjort her:

3 Svaret blir .

4 Når du regner med brøk, bør du som regel forkorte alle svar.

OPPGAVER 2.12

Forkort brøkene uten å bruke kalkulator. a)

2.13

4 9 18 42 b) c) d) 6 15 21 54

Bruk kalkulatoren til å forkorte brøkene. a)

72

120

b)

126

294

d)

153

51

e)

117 308 f) 78 231

c)

132 198

2.1

Sinus_BA_897024.indb 51

Brøk

51

20.07.2026 13:34:09

Vi kan gjøre formelen for den nye verdien om til to nye formler ved å dele med vekstfaktoren og med den gamle verdien på begge sider av likhetstegnet. Vi får da formlene nedenfor. gammel verdi = REGEL

EKSEMPEL

LØSNING

ny verdi

vekstfaktor

vekstfaktor =

ny verdi gammel verdi

a) Bedrift A har økt omsetningen sin med 32 % det siste året. I år omsatte de for 18 millioner kroner.

Hvor mye omsatte bedrift A for i fjor? b) Bedrift B omsatte for 7 millioner i år. I fjor omsatte de for 9,2 millioner.

Hvor mange prosent har omsetningen i bedrift B endret seg det siste året? a) Vekstfaktoren ved 32 % økning er 1+

32 = 1 + 0,32 = 1,32 100

Vi bruker formelen for å finne den gamle verdien, som her vil si fjorårets omsetning. gammel verdi =

ny verdi 18 000 000 kr = = 13636 363kr vekstfaktor 1,32

De omsatte for i overkant av 13,6 millioner kroner i fjor. b) Vi finner først vekstfaktoren. vekstfaktor =

ny verdi 7 000 000 kr = = 0,76 gammel verdi 9 200 000 kr

Når vekstfaktoren er 0,76, er prosenten (1 − 0,76) ⋅ 100 % = 0,24 ⋅ 100 % = 24 % Omsetningen til bedrift B er redusert med 24 % det siste året.

OPPGAVER

64

Sinus_BA_897024.indb 64

2.52

En rørlegger har byttet rør i et bygg. Rørsystemet kan nå levere 600 L per minutt. Det er 25 % mer enn før.

Hva var den opprinnelige kapasiteten?

2.53

a) Én måned var strømprisen 2,40 kr per kWh. Neste måned gikk prisen ned til 1,70 kr per kWh. Hvor mange prosent gikk strømprisen ned? b) I den første av de to månedene fikk en bedrift en strømregning på 26 000 kr. Bedriftens strømforbruk var like stort neste måned.

Hvor stor ble strømregningen neste måned?

2

BRØK OG PROSENT

20.07.2026 13:34:16

Sammendrag Å finne brøkdelen Vi finner brøkdelen av et tall ved å gange brøken med tallet.

Når vi ganger et tall med en brøk, ganger vi tallet med telleren.

Prosent p % av et tall er

p av tallet.

100

Å finne prosenten Vi finner prosenten ved å regne ut delen ⋅ 100 % hele Vekstfaktor Ved p % økning er vekstfaktoren 1+

p 100

Ved p % nedgang er vekstfaktoren 1−

p 100

Ved prosentvis økning er = prosenten (vekstfaktoren − 1) ⋅ 100 % Ved prosentvis nedgang er prosenten = (1 − vekstfaktoren) ⋅ 100 % Prosentvis vekst ny verdi = vekstfaktor ⋅ gammel verdi gammel verdi = vekstfaktor =

ny verdi vekstfaktor

ny verdi gammel verdi

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 65

65

20.07.2026 13:34:16

Øv mer

ØV MER – 2.1 Brøk OPPGAVER 2.110

Regn ut.

2 1 a) av 120 b) av 60 3 2 3 5 c) av 21 d) av 900 7 3

2.111

Regn ut.

3 2 a) av 99 kr b) av 40 kr 11 5 1 3 c) av 54 kg d) av 24 000 g 6 4

2.112

Regn ut med kalkulator.

21 2 a) av 1367 kr b) av 14,68 m 100 7 c)

5 av 1,23 km 13

d)

4 av 131 kr 9

2.113

Forkort brøkene.

2 5 a) b) 6 10 3 6 c) d) 21 4

2.114

Forkort om mulig brøkene og finn ut hvilken brøk som er størst.

1 1 4 2 a) eller b) eller 5 6 8 5 c)

5 7 eller

25 28

d)

8 11 eller 64 99

2.115

En tommestokk kan brukes til å måle lengder både i centimeter og i tommer ("). Hver tomme på tommestokken er delt inn i 16 like deler, så når vi bruker tommedelen av tommestokken, er det 16-deler av en tomme vi leser av. a) En skrue skal festes 3/8" fra kanten.

Hvor mange 16-deler er det? b) Lengden til en spiker er 1 ½" (en og en halv tomme).

Hvor mange 16-deler tilsvarer dette? c) Du skal sage av en lengde på 2 5/8" (to og fem åttedelers tomme).

Hvor mange 16-deler er dette?

66

Sinus_BA_897024.indb 66

2

BRØK OG PROSENT

20.07.2026 13:34:16

ØV MER – 2.2 Prosent OPPGAVER 2.120

Regn ut. a) 1 % av 200 b) 2 % av 200 c) 5 % av 200 d) 17 % av 200

2.121

Regn ut. a) 15 % av 1200 kr b) 35 % av 155 kg c) 7 % av 78 m d) 90 % av 800 kr

2.122

Regn ut i hodet ved å gå veien om 1 %. a) 12 % av 400 kWh b) 3 % av 1500 kr c) 4 % av 4 500 000 kr d) 23 % av 700 g

2.123

Regn ut i hodet. a) 50 % av 3000 kg b) 25 % av 400 kr c) 50 % av 3 200 000 mm d) 25 % av 60”

2.124

Regn ut i hodet. a) 10 % av 900 kr c) 20 % av 1500 kr e) 25 % av 8000 kr

2.125

En flislegger skal legge fliser på et baderomsgulv. Arealet av gulvet er 9,5 m2, men han regner med å trenge 8 % ekstra til svinn (kutt og ødelagte fliser). Flisene kommer i esker på 1,5 m2 per eske. a) Hvor mange kvadratmeter fliser trenger han totalt med svinn? b) Hvor mange hele esker må han kjøpe? c) Hvor mange kvadratmeter fliser ville blitt til overs om han ikke hadde noe svinn?

2.126

Henrik har et verksted som blir opplyst av ei gammeldags glødepære med en effekt på 60 W. Han skal nå erstatte den med ei ny LED-pære.

LED-pæra lyser like sterkt, men trekker bare 15 % av effekten til den gamle glødepæra.

Hva er effekten til den nye LED-pæra?

b) 25 % av 1200 kr d) 40 % av 1500 kr

Øv mer

Sinus_BA_897024.indb 67

67

20.07.2026 13:34:16

92

Sinus_BA_897024.indb 92

 

20.07.2026 13:34:23

3. Formler og likninger I dette kapittelet skal vi lære om matematiske formler og likninger.

En formel er en matematisk sammenheng mellom to eller flere størrelser. Vi kan for eksempel finne ut hvor mye en gjenstand veier, ut fra volumet og massetettheten til materialet den er lagd av.

I bygg- og anleggsbransjen er det viktig å kunne gjøre nøyaktige beregninger. Å bruke formler kan være en del av arbeidet når du skal regne ut hvor mye betong som trengs til en støp, hvor lange materialer må være eller hvor stort areal som skal kles eller isoleres.

Du som går på bygg- og anleggsfag, kan for eksempel utdanne deg til å bli taktekker. I hvilke situasjoner tror du at du kan få bruk for matematiske formler eller likninger når du planlegger tekking eller isolering av et tak?

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet

 

Sinus_BA_897024.indb 93

93

20.07.2026 13:34:23

3.1 Formler for areal og omkrets En formel gir sammenhengen mellom to eller flere størrelser. Arealet og omkretsen av et rektangel er avhengig av lengden av sidekantene.

REGEL

Arealet av et rektangel med lengdene x og y er gitt ved A= x ⋅ y

y

Omkretsen av rektangelet er gitt ved = O 2x + 2y

x

Når vi bruker formlene ovenfor, må vi passe på at lengdene av begge sidekantene har samme måleenhet. Hvis lengdene av sidekantene er målt i meter, får arealet enheten kvadratmeter (m2). Er de målt i centimeter, får arealet enheten kvadratcentimeter (cm2).

EKSEMPEL

En snekker skal bygge en platting på ei rektangulær tomt. Tomta har mål som vist på figuren. a) Hva er arealet av plattingen?

7m

12 m Bredden på et terrassebord er 120 mm. b) Hva er arealet av én løpemeter terrassebord? c) Hvor mange løpemeter terrassebord trenger snekkeren for å bygge plattingen? d) Anta at 10 % av materialene forsvinner i kapp.

Hvor mange løpemeter terrassebord bør snekkeren bestille?

LØSNING

a) Arealet finner vi med formelen A= x ⋅ y = 12 m ⋅ 7 m = 84 m2 Arealet av plattingen er 84 m2. b) Terrassebordet er et rektangel med en lengde på 1 m og en bredde på 120 mm. Vi må gjøre om begge enhetene til meter før vi regner ut arealet.

120 mm =

120 m 0,120 m = 1000

Arealet av én løpemeter terrassebord blir = A 0,120 m ⋅ 1 m = 0,120 m2  94

Sinus_BA_897024.indb 94

3

FORMLER OG LIKNINGER

20.07.2026 13:34:23

c) Vi må dele det totale arealet på arealet per meter for å finne ut hvor mange meter terrassebord vi trenger.



84 m2 = 700 0,120 m2 Snekkeren trenger 700 løpemeter terrassebord for å bygge plattingen. d) Snekkeren bør bestille 10 % ekstra. Vekstfaktoren blir 1,10. Vi får at 700 ⋅ 1,10 = 770 Snekkeren bør bestille 770 løpemeter terrassebord til plattingen.

OPPGAVER 3.10

Finn arealet og omkretsen av et rektangel med sidekanter på a) 30 m og 24 m b) 3,1 m og 5,2 m c) 10 cm og 12 cm d) 74 cm og 1,2 m

3.11

Det skal støpes et rektangulært betongfundament. Målene vises på figuren.

3,2 m 4,7 m a) Hva blir arealet av betongfundamentet? b) Betongfundamentet skal kles med flis. Flisene er kvadratiske med sidekanter på 60 cm.

Hva er arealet av én flis? c) Hvor mange fliser trengs det for å kle fundamentet, dersom vi ikke tar hensyn til kapp? d) Det anbefales å beregne 20 % kapp ved bruk av den aktuelle flisa.

Hvor mange fliser bør da bestilles? e) Hele betongfundamentet skal rammes inn med kantstein.

Hvor mange meter med kantstein trengs det?

3.1

Sinus_BA_897024.indb 95

Formler for areal og omkrets

95

20.07.2026 13:34:23

Av og til må vi bruke kvadratrot for å snu om på formler.

EKSEMPEL

LØSNING

En sylinderformet varmtvannstank har volum 0,250 m3.

Varmtvannstanken er 160 cm høy.

Hva er radiusen til tanken?

Vi bruker formelen for volum av en sylinder: V =π ⋅ r 2 ⋅ h Vi ønsker å finne r, så vi snur om på formelen slik at vi får r 2 alene.

V π ⋅ r2 ⋅ h = π ⋅h π ⋅h r2 =

V

π ⋅h

Vi setter inn verdiene for volum og høyde. Husk å gjøre om måleenheten for høyden til meter. r2 =

0,250 = 0,0497 π ⋅ 1,60

Vi tar kvadratroten av 0,0497 for å finne r. = r

= 0,0497 0,223

Radiusen til varmtvannstanken er 0,22 m, eller 22 cm.

OPPGAVER

110

Sinus_BA_897024.indb 110

3.52

Hva er radiusen til en sylinder med volumet 1 m3 når høyden er a) 1 m b) 70 cm

3.53

Du skal fylle et oppblåsbart basseng med vann ved å bære bøtter.

Du greier å bære 8 L vann per tur. a) Hvor mange turer må du gå hvis du skal fylle 280 L vann i bassenget? b) Bassenget er rundt og dekker et område på 1,8 m2.

Hvor dypt vann er det i bassenget når det er ferdig fylt?

3.54

En bordplate er lagd av eik og veier 30 kg. Massetettheten til tørr eik er 650 kg/m3. a) Finn volumet av bordplaten. b) Bordplaten er kvadratisk og 3 cm tykk.

Hvor lange er sidene til bordplaten?

3

FORMLER OG LIKNINGER

20.07.2026 13:34:29

Sammendrag Areal og omkrets av rektangel Et rektangel har sidekanter med lengdene x og y.

Arealet av rektangelet er gitt ved A= x ⋅ y Omkretsen av rektangelet er gitt ved = O 2x + 2y Areal og omkrets av sirkel En sirkel har radiusen r.

Arealet av sirkelen er gitt ved A= π ⋅ r 2 Omkretsen av sirkelen er gitt ved O = 2 ⋅π ⋅ r Volum av prisme Et prisme har en grunnflate med arealet G og høyden h. Volumet av prismet er gitt ved V= G ⋅ h Volum av sylinder En sylinder med radiusen r og høyden h har volumet gitt ved V =π ⋅ r 2 ⋅ h Massetetthet Massen m (kg) til en gjenstand med massetettheten ρ (kg/m3) og volumet V (m3) er gitt ved formelen m= ρ ⋅V Å løse likninger Når vi løser en likning, kan vi flytte et ledd over på motsatt side av likhetstegnet hvis vi samtidig bytter fortegn på leddet.

Når vi løser en likning, kan vi gange eller dele med det samme tallet på begge sider av likhetstegnet, så lenge tallet ikke er null.

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 111

111

20.07.2026 13:34:29

ØV MER – 3.5 Omforming av formler OPPGAVER 3.150

Massen i kg til en gjenstand med massetettheten ρ målt i kg/m3 og med volum V målt i m3 er gitt ved formelen m = ρ ⋅V a) En betongsøyle har massen 1,3 tonn (1300 kg) og volumet 0,55 m3.

Hva er massetettheten til betongen i søylaen? b) En sylindrisk trepåle har massen 115 kg og massetettheten 520 kg/m3.

Hva er volumet av trepålen?

3.151

Formelen for volumet V av en sylinder er gitt ved V = π ⋅ r2 ⋅ h Her er r radiusen, mens h er høyden. a) Regn ut høyden h når volumet er 12 m3 og radiusen er 2,0 m. b) Regn ut høyden h når volumet er 250 cm3 og radiusen er 4,0 cm. c) Regn ut radiusen r når volumet er 25 m3 og høyden er 3,0 m. d) Regn ut radiusen r når volumet er 1,6 L og høyden er 85 mm.

3.152

Formelen s = v ⋅t uttrykker den matematiske sammenhengen mellom strekningen s, farten v og tiden t. a) Finn en formel for farten v uttrykt ved strekningen s og tiden t. b) Finn en formel for tiden t uttrykt ved strekningen s og farten v. c) En bil kjører 160 km på 2 timer.

Bestem farten til bilen. d) En maratonløper tilbakelegger strekningen 42,195 km med farten 12 km/h.

Bestem tiden maratonløperen bruker.

3.153

Sammenhengen mellom energien E målt i kilowattimer (kWh), tiden t målt i timer (h) og effekten P målt i watt (W) er gitt ved denne formelen: E = P ⋅t a) En varmeovn er står på i 8,5 timer og forbruker en energimengde på 17 kWh. Snu om på formelen og bestemt effekten til varmeovnen. b) En kaffetrakter yter en effekt på 2,4 kW og bruker 0,16 kWh for å trakte ei kanne kaffe.

Snu om på formelen og finn ut hvor lenge kaffetrakteren sto på.

116

Sinus_BA_897024.indb 116

3

FORMLER OG LIKNINGER

20.07.2026 13:34:30

OPPGAVER – Uten hjelpemidler 3.200

En maler skal male en vegg i et rom som er 6,0 m langt og 2,5 m høyt.

På veggen er det et vindu som er 2,0 m bredt og 1,0 m høyt. a) Hvor mange kvadratmeter vegg må males? b) Det trengs 1 liter maling for hver 9 kvadratmeter som skal males.

Hvor mange liter maling trengs det for å male denne veggen med to strøk?

3.201

Bordplaten til et sirkelformet bord har en diameter på 2,0 m, mens bordplaten til et kvadratformet bord har sidekanter på 2,0 m. a) Hva har størst areal, den sirkelformede eller den kvadratiske bordplaten? b) Hva har størst omkrets, den sirkelformede eller den kvadratiske bordplaten? ▲ 3.1

3.202

Et gulv skal støpes med betong. Gulvet er 5,0 m langt, 4,0 m bredt og 0,1 m tykt. a) Hvor mange kubikkmeter betong trengs det? b) Hvor mange liter betong trengs det?

3.203

Den 12. juni 2024 sto det i avisa at det hadde regnet så mye som 50 liter per kvadratmeter i den spanske byen Alicante. I Norge måler vi vanligvis nedbørsmengden i høyde, også kalt nedbørshøyde.

Hva tilsvarer nedbørsmengden på 50 liter per kvadratmeter hvis vi måler nedbørshøyden i millimeter?

Hint: Husk at 1 liter er det samme som 1 kubikk­ desimeter (se figur).

3.204

1 liter

1 dm 1 dm

1 dm

Fatima har et svømmebasseng som er 10,0 m langt, 4,0 m bredt og 1,5 m høyt. Vannet i bassenget er møkkete, så Fatima undersøker pH-verdien og finner ut at den er 6,6. Hun ønsker å øke pH-verdien til 7,2 og tilsetter et pH-regulerende middel.

Ifølge pakningsvedlegget må hun tilsette 150 g per 30 m3 vann for å øke pH-verdien med 0,1. a) Hva er volumet av vannet i svømmebassenget? b) Hvor mye av det pH-regulerende middelet må Fatima tilsette? ▲ 3.2

OPPGAVER – Uten hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 117

117

20.07.2026 13:34:30

Massetetthet Del 2: Massetettheten til trevirke

Nå skal vi undersøke massetettheten til noen ulike stoffer og materialer. Massen m til en gjenstand med massetetthet ρ og volum V, er gitt ved formelen m= ρ ⋅V Vi kan snu om på formelen for å få en formel for massetetthet

ρ=

m V

Enheten til massetettheten er avhengig av enheten vi bruker for masse og volum. For væsker er det vanlig å bruke enheten kg/L eller kg/dm3. For faste stoffer er det vanlig å bruke enten kg/m3 eller g/cm3.

1. Finn en bit trevirke.

2. Gjør nødvendige målinger, og beregn volumet av biten i cm3.

3. Mål vekten av biten i gram.

4. Bruk formelen for massetetthet til å finne massetettheten til trevirket. Oppgi massetettheten i g/cm3.

5. Hvilken type trevirke har du brukt?

Sammenlign med tabellen nedenfor.

Treslag

kg/m3

g/cm3

Furu

540

0,54

Gran

470

0,47

Eik

690

0,69

Bjørk

610

0,61

Du trenger: • desilitermål, vekt og målebånd • vann • ulike typer trevirke og andre ting du kan måle massetettheten til

6. Hvilke faktorer tror du kan påvirke massetettheten til trevirke?

Del 1: Massetettheten til vann

Del 3: Massetetthet til ulike materialer

1. Mål opp 1 L vann i et desilitermål.

2. Bruk vekta, og finn ut hvor mye 1 L vann veier.

Husk at du kun skal veie vannet, ikke desilitermålet.

3. Bruk formelen for massetetthet til å finne massetettheten til vann.

Gjør nødvendige målinger for å finne volumet av gjenstanden, mål vekta og beregn massetettheten.

Nå skal du finne massetettheten til noen ulike materialer. Det kan for eksempel være ulike treslag, murstein, jern, stål, glass, tørrmørtel, betong, asfalt, gips, skifer, mineralull, osv.

Du kan kanskje få bruk for noen av formlene nedenfor når du skal beregne volumet.

h

Prisme

Sylinder

Kule

V =l ⋅ b ⋅ h

= V π r2 ⋅ h

4 V = π r3 3

h

h G

r

h G

G

G

r

r

r

r

r

Kjegle

r

r h

V =

1 2 πr ⋅h 3

h

h

h r

r

r

r

Kilder: Norsk treteknisk institutt (2016). Egenskaper av ulike treslag. www.treteknisk.no 138

Sinus_BA_897024.indb 138

3

FORMLER OG LIKNINGER

20.07.2026 13:34:34

Vi kan måle volumet av noe også ved å senke objektet i vann og måle hvor mye vann som fortrenges. I praksis måler vi da hvor mye vannet stiger i karet og regner ut hvor stort volum det tilsvarer.

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 139

139

20.07.2026 13:34:36

142

Sinus_BA_897024.indb 142

 

20.07.2026 13:34:38

4. Geometri I dette kapittelet skal vi jobbe med å finne ukjente vinkler og sider i trekanter. Dette er noe du vil få bruk for i alle yrkene du som elev på bygg- og anleggsfag kan utdanne deg til. En snekker må for eksempel beregne takvinkler og høyden under taket i en bygning, mens en rørlegger må beregne riktig fall på rørledninger. I begge disse eksemplene må du gjøre trekantberegninger.

Målestokk er sentralt når du skal lese og bruke arbeidstegninger.

Tømrere må for eksempel forholde seg til arbeidstegninger når de skal bygge reisverket til et bygg. Da må de kunne bruke målestokken til å regne om mellom avstander på tegningen og i virkeligheten.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • utforske og bruke egenskapene ved geometriske figurer, målestokk og trigonometri til å beregne lengder, vinkler og arealer i problemløsing innenfor bygg- og anleggsfag

 

Sinus_BA_897024.indb 143

143

20.07.2026 13:34:38

4.1 Formlike trekanter Trekanten nedenfor har hjørner i punktene A, B og C. Når vi viser til hele trekanten, skriver vi ABC. Når vi viser til vinkelen i hjørne A, skriver vi ∠A. C

a = BC

b = AC

A

c = AB

B

I ABC er AB og AC vinkelbeina til ∠A. Vi kaller AB og AC de hosliggende sidene til ∠A, mens vi kaller BC den motstående siden til ∠A. Det er vanlig å bruke a om den motstående siden til ∠A, b om den motstående siden til ∠B og c om den motstående siden til ∠C. I trekanten ovenfor er a = BC, b = AC og c = AB. Når vi forstørrer, forminsker, speilvender eller roterer en figur, forblir vinklene uendret. Trekanten til høyre nedenfor er en forminskning av trekanten til venstre. Vi sier at de to trekantene er formlike.

u

w

To formlike figurer har like store vinkler. På figuren ovenfor ligger vinklene u og w på samme sted i hver sin trekant, og vi kaller dem samsvarende vinkler. De er like store, så u = w.

REGEL

144

Sinus_BA_897024.indb 144

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store.

4

GEOMETRI

20.07.2026 13:34:39

Når vi skal finne ukjente vinkler i trekanter, får vi ofte bruk for regelen nedenfor.

REGEL

EKSEMPEL

I en trekant er summen av vinklene alltid 180°.

De to trekantene ABC og DEF er formlike.

C

F 87° 34°

A

B

D

E

Finn de ukjente vinklene i trekantene.

LØSNING

I ABC og DEF er ∠C og ∠F samsvarende vinkler. Derfor er ∠C =∠F =87° Summen av vinklene i enhver trekant er 180°, og derfor er ∠= B 180° − ∠A − ∠C = 180° − 34° − 87° = 59° Vi ser også at ∠B og ∠E er samsvarende vinkler, og derfor er ∠E =∠B =59° I ABC er ∠B = 59° og ∠C = 87°.

I DEF er ∠D = 34° og ∠E = 59°.

OPPGAVER 4.10

Hvilken side eller hvilke sider i ABC er a) motstående side til ∠A b) hosliggende sider til ∠B c) hosliggende sider til ∠C

4.11

To trekanter ABC og DEF er formlike. a) Tegn en skisse av trekantene når du får vite at ∠A= 105° og ∠E = 50° . b) Hvor store er vinklene i de to trekantene?

A

4.1

Sinus_BA_897024.indb 145

C

Formlike trekanter

B

145

20.07.2026 13:34:39

Målestokk er egentlig et forholdstall. Dersom målestokken er 1 : 50, betyr det at virkeligheten er 50 ganger større enn modellen eller tegningen, og vi sier da at forholdet er 50. Slike forholdstall kan vi også møte i andre situasjoner.

EKSEMPEL

LØSNING

Hovedledningen i et rørsystemet skal ha et fall på 1 : 100. Det vil si at det må være 1 cm fall per 100 cm.

Hvor stort fall må vi beregne på en hovedledning som er 15 m lang?

Hovedledningen er 15 m = 1500 cm. Fallet må da være på 1500 cm = 15 cm 100

OPPGAVER 4.74

176

Sinus_BA_897024.indb 176

Ei takrenne bør ha et fall på 1 : 200 for å sikre at vannet renner effektivt.

Hvor mye fall må vi beregne på ei 7 m lang takrenne?

4

GEOMETRI

20.07.2026 13:34:50

Sammendrag Formlike trekanter To trekanter er formlike hvis to av vinklene i den ene trekanten er like store som to av vinklene i den andre trekanten.

Forholdet mellom to samsvarende sider i to formlike trekanter er likt forholdet mellom to andre samsvarende sider i de to trekantene.

Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er 2 c= a2 + b2

a

b c

Sinus, cosinus og tangens I en rettvinklet trekant med en vinkel v er sin(v ) =

motstående katet til v hypotenus

cos(v ) =

hosliggende katet til v hypotenus

tan(v ) =

motstående katet til v hosliggende katet til v

Arealsetningen I en trekant der to av sidene har lengdene a og b og vinkelen mellom de to sidene er v, er arealet gitt ved 1 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(v ) 2 Målestokk Hvis målestokken til en modell er 1 : 50, betyr det at 1 cm på modellen tilsvarer 50 cm i virkeligheten.

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 177

177

20.07.2026 13:34:50

OPPGAVER – Med hjelpemidler 4.300

Gartner Geir skal lage et rektangulært bed. For å være sikker på at bedet har rette hjørner, måler han diagonalen og sidene: • lengde: 2,4 m • bredde: 1,8 m • diagonal: 3,0 m Er hjørnet rettvinklet? Begrunn svaret ditt.

4.301

Ei flaggstang skal reises vertikalt fra et plant underlag. For å sjekke at den står rett, måler vi lengden av et tau fra toppen av flaggstanga til et bestemt sted på bakken. Denne lengden er 26,0 m. Avstanden fra dette punktet fram til flaggstanga er 12,0 m målt langs bakken. Flaggstanga er 24,0 m høy.

Står flaggstanga vinkelrett opp fra bakken?

26 m

24 m

12 m 4.302

Et A4-ark har bredden 210 mm og høyden 297 mm.

Hva er lengden av diagonalen til et A4-ark? ▲ 4.2

4.303

a) Beregn følgende verdier av tangens: 1) tan(45°) 2) tan(80°) 3) tan(89°) 4) tan(89,9°) 5) tan(89,99°) b) Beregningene i oppgave a viser at verdiene av tangens endrer seg på en bestemt måte når vinkelen kommer nærmere og nærmere 90°. Kan du forklare hvorfor det er slik?

196

Sinus_BA_897024.indb 196

4

GEOMETRI

20.07.2026 13:34:53

4.304

Et solcellepanel må ha en helningsvinkel på 48° for å ha maksimal effekt om vinteren. Om sommeren må helningsvinkelen være 20°. Panelet er 2,0 m langt.

2m

2m

48°

20°

a) Hvor høyt over bakken må den øverste kanten av solcellepanelet være om vinteren? b) Hvor høyt over bakken må den øverste kanten av solcellepanelet være om sommeren?

4.305

På skolen til Rosalita og Natasja er det satt opp et nytt, flott bygg. De vil finne ut hvor høyt bygget er, og diskuterer framgangsmåten mens de gjør målinger.

Rosalita: Vi stiller oss her i god avstand fra bygget, men slik at det ikke er noen høydeforskjell mellom oss og det laveste punktet på bygget. Vi markerer dette punktet.

Natasja finner fram mobilen sin og bruker en måleapp for å finne vinkelen fra der de står, og opp til toppen av bygget.

Natasja:

Vinkelen er 55°.

Rosalita: Nå har jeg målt avstanden fra det punktet vi markerte, og bort til bygget. Den er 7,5 m.

Natasja: Så bra! Da kan vi bruke tangens til å finne høyden av bygget. a) Lag en tegning av en trekant som beskriver situasjonen. Skriv inn målene Rosalita og Natasja har funnet. b) Hvordan kan Natasja finne høyden ved hjelp av tangens?

Hva er høyden av bygget? ▲ 4.4 OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 197

197

20.07.2026 13:34:53

210

Sinus_BA_897024.indb 210

 

20.07.2026 13:34:56

5. Personlig økonomi Økonomi handler om penger. Når vi jobber, får vi lønn. Pengene må vi bruke til nødvendige utgifter, for eksempel mat, bolig og skatt, og hvis det blir noe igjen, kan vi bruke det på noe vi har lyst til, eller vi kan spare til seinere. Du trenger ikke være veldig rik for å leve et godt liv, så lenger du sørger for å balansere inntektene og utgiftene dine, og ikke bruker mer enn du har råd til.

I dette kapittelet skal vi lære hvordan vi regner på skatt, lån og sparing, og vi skal lære oss verktøy som kan hjelpe oss med å holde orden på privatøkonomien vår.

Når du begynner som lærling, får du kollegaer som sannsynligvis tjener mer enn deg. Som lærling vil du i starten tjene 30 % av begynnerlønna i yrket. Hva gjør du hvis kollegaene dine kjøper dyr lunsj i kiosken, mens du egentlig ikke har så god råd?

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • vurdere valg knyttet til personlig økonomi og reflektere over konsekvenser av å ta opp lån og å bruke kredittkort • tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv

 

Sinus_BA_897024.indb 211

211

20.07.2026 13:34:57

5.1 Regneark Når vi skal gjøre store beregninger der vi må holde styr på mange tall, er det nyttig å bruke et digitalt regneark. Det gjelder for eksempel når vi skal lage budsjett eller føre regnskap.

Regnearket har kolonner med navn A, B, C, … og rader med navn 1, 2, 3, …

Hver celle i regnearket har navn som er bestemt av hvilken rad og kolonne cellen ligger i. Celle B5 ligger i kolonne B og rad 5. I cellene kan vi legge inn for eksempel tekst, tall eller formler.

Når vi skal skrive inn formler, må vi sette inn likhetstegnet = først i cellen for at regnearket skal forstå at noe skal regnes ut (se figuren til høyre).

I celle A1 ganger vi tallet 4 med tallet 2. I celle A2 ganger vi innholdet i celle B4 med innholdet i celle C3. I celle A3 summerer vi innholdet i cellene fra og med celle C1 til og med celle C5.

EKSEMPEL

En stor bedrift skal arrangere sommerfest, og de ansatte får velge mellom tre ulike middagsretter. Vegetar koster 290 kr, fisk koster 240 kr, og kjøtt koster 350 kr.

Tabellen viser hvor mange som bestilte de ulike alternativene.

Lag et regneark for å finne ut hvor mye bedriften må betale for maten til sommerfesten.

LØSNING

Middag

Antall

Vegetar

157

Fisk

48

Kjøtt

55

Vi lager et regneark og legger inn informasjon om antall og pris for hver av rettene.



212

Sinus_BA_897024.indb 212

5

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:34:57

I regnearket skriver vi inn hvor mange som har bestilt vegetar, i celle B2, og prisen i celle C2. Den totale prisen finner vi ved å gange B2 med C2.

Vi skriver inn =B2*C2 i celle D2.



Vi gjør det samme for fisk og kjøtt.

Når vi til slutt skal finne de totale matutgiftene, må vi summere tallene i celle D2, D3 og D4. Det kan vi gjøre ved å skrive inn =SUMMER(D2:D4).

Vi ser at bedriften må betale 76 300 kr for maten til sommerfesten.

Når vi skal bruke regneark til å besvare oppgaver på prøver eller eksamen, er det viktig at den som skal vurdere besvarelsen, ser hvordan vi har gått fram for å lage regnearket. Det kan vi enkelt gjøre ved å trykke på fanen Formler og velge Vis formler. Hvis vi gjør det med regnearket fra forrige eksempel, ser det ut som på bildet nedenfor. Vi tar skjermbilde av regnearket med formlene og legger det ved besvarelsen.

TIPS

Hvis vi skal gjenta den samme operasjonen mange ganger, har regnearket en snarvei for dette. Marker cellen med operasjonen du ønsker å kopiere, og trekk den lille grønne firkanten nederst til høyre nedover langs kolonnen eller bortover langs raden. I oppgave a ovenfor kunne vi ha brukt denne snarveien etter at vi hadde skrevet inn formelen i celle D2.

5.1

Sinus_BA_897024.indb 213

Regneark

213

20.07.2026 13:34:57

OPPGAVER 5.72

Fredrik kjøpte en bruktbil som kostet 49 000 kr. Han betalte med et kredittkort med 26,8 % rente per år. Det tilsvarer ei månedlig rente på 2 %. Men utgiftene til bilen ble så store at han ikke klarte å betale ned lånet på kredittkortet. a) Hvor mye skylder Fredrik etter 3 år hvis han ikke betaler noe? b) Hvor mye rente er det blitt i løpet av disse tre årene? c) Etter 3 år tilbyr banken ham et annuitetslån på 100 000 kr slik at han kan betale kredittkortlånet sitt. Annuitetslånet har ei rente på 6 % per år. Det har 12 terminer per år og skal betales ned på 3 år.

Terminbeløpet er 3035 kr.

Hvor mye betalte Fredrik til sammen for denne bilen?

5.73

Marco er student og prøver å skaffe seg oversikt over sin egen økonomi.

Han setter opp et enkelt budsjett som viser utgiftene og inntektene han har hver måned. Resultatet ser du i tabellene nedenfor.

Inntekter

Utgifter

Studielån

15 169 kr

Hybel

8000 kr

Deltidsjobb

2000 kr

Mobil

250 kr

Mat

3000 kr

Klær

1000 kr

Trening

500 kr

Buss

600 kr

Diverse

500 kr

Marco håper å kunne spare 50 000 kr i løpet av det neste året. Tror du Marco kan greie det? Baser svaret ditt på budsjettet ovenfor. Hva vil du råde ham til å gjøre med sparepengene sine?

Hvilke tanker gjør du deg om situasjonene nedenfor?

Situasjon 1: Mira bestiller sommerferie i mars. Hun vet at hun får 60 000 kr i feriepenger i juni. Ferieturen koster 25 000 kr. Hun velger å betale ferien med et kredittkort med 2 % månedlig rente og regner med å betale ned hele beløpet når hun får feriepengene. Er dette fornuftig bruk av kredittkort? Hvilke valg kan Mira eventuelt gjøre for at det skal være mer økonomisk forsvarlig?

Situasjon 2: Sjur er heldig og vinner 270 000 kr i en lottotrekning.

Han vurderer hva han skal gjøre med pengene. Sjur har 2 700 000 kr i boliglån og betaler 5 % rente på lånet. Han har sparepengene sine i et aksjefond som de siste årene har gitt 5 % avkastning. Hva ville du ha rådet Sjur til å gjøre? Bør han bruke gevinsten til å betale ned boliglånet, eller bør han investere pengene i aksjefondet? Hvilke forutsetninger bør ligge til grunn dersom han skal velge å betale ned lånet? Hvilke forutsetninger bør ligge til grunn dersom han i stedet skal velge å investere pengene?

244

Sinus_BA_897024.indb 244

5

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:35:13

Sammendrag Lønn Når vi arbeider, får vi utbetalt lønn. Vi kan enten få en fast månedslønn, timelønn, provisjonslønn eller akkordlønn. Provisjonslønn betyr at vi får en viss prosent av et salg. Akkordlønn er en fast sum for en bestemt arbeidsoppgave.

Skatt De fleste som jobber i Norge, betaler en del av inntekten som skatt til staten.

På lønns­slippen kan vi se hvor mye som er blitt trukket i forskuddsskatt. Først når året er over, blir det klart om vi har betalt for mye eller for lite forskuddsskatt. Hvis vi har betalt for mye gjennom året, får vi penger igjen. Hvis vi har betalt for lite, må vi betale restskatt.

Sparing Et beløp B har etter n år vokst til B ⋅ kn k er vekstfaktoren til den årlige renta.

Serielån I et serielån er alle avdragene like store. Da er avdrag =

lånesummen antall terminer

Med et serielån blir terminbeløpet høyest i starten av nedbetalingsperioden.

Terminbeløp

Renter Avdrag

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tierminer

Annuitetslån I et annuitetslån er alle terminbeløpene like store. Avdragene er minst i starten av nedbetalingsperioden.

Terminbeløp Renter Avdrag

Terminer 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 245

245

20.07.2026 13:35:13

Øv mer

ØV MER – 5.1 Regneark OPPGAVER 5.110

På en videregående skole arrangerer elevrådet et veldedighetsløp for å samle inn penger til forebygging av malaria.

Elevene skal løpe så mange runder de klarer på en 400 m lang løpebane.

Alle elevene har skaffet seg hver sin sponsor. Sponsorene har forpliktet seg til å betale 100 kr for 0–3 runder, 150 kr Antall runder Antall elever for 4–5 runder, 200 kr for 6–7 runder, 250 kr 0–3 43 for 8 runder og 400 kr for 9 runder eller mer.

Tabellen viser hvor mange runder hver elev fullførte.

Lag et regneark og finn ut hvor mye penger elevrådet fikk samlet inn.

5.111

5.112

4–5

160

6–7

170

8

48

9 eller flere

17

En rørlegger skal kjøpe inn forbruksmateriell til sin rørleggerbedrift. Hun har hentet inn priser fra tre ulike leverandører på det hun må kjøpe inn.

Hvem er billigst? Hvor mye må hun betale til den leverandøren med lavest pris?

Vare

Antall

Enhetspris (Rørgrossisten AS)

Enhetspris (RØR AS)

Enhetspris (Rørosrør AS)

kobberrør

80 meter

45 kr/m

42 kr/m.

48 kr/m

pressfittings

50 stk.

38 kr/stk.

42 kr/stk.

36 kr/stk.

kuleventil ½"

25 stk.

120 kr/stk.

115 kr/stk.

125 kr/stk.

Thomas spiller pc-spill. Han har begynt å fylle ut regnearket nedenfor.

Det viser hvilke utgifter han har til pc-spillingen.

Energiforbruk i kWh er effekten i kW ganget med antall timer. a) Fylle inn formlene som mangler i de grønne cellene. b) Hva blir de totale energiutgiftene per år?

Thomas vil ta høyde for at energiprisen øker til 1,8 kr/kWh, og bestemmer seg også for å redusere spillingen til 3 timer per dag. c) Hva blir de årlige energiutgiftene Thomas har til spilling, nå?

246

Sinus_BA_897024.indb 246

5

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:35:13

ØV MER – 5.2 Lønn og feriepenger OPPGAVER 5.120

Olaus jobber som betongfagarbeider og tjener 320 kr per time. Han jobber fast 37,5 timer i uka. Ei uke jobber han i tillegg 12 timer overtid på kveldstid og 7 timer overtid i helga. Når han jobber overtid, får han 50 % tillegg på kvelder og 100 % tillegg i helger.

Lag et regneark og finn ut hvor mye Olaus tjener totalt denne uka.

5.121

En faglært asfaltør har ei timelønn på 430 kr. En lærling som er inne i sitt fjerde halvår av lærlingetiden, får 55 % av lønna til en fagarbeider. Dersom lærlingen jobber overtid, utbetales også overtidstillegg etter følgende satser: 50 % tillegg for overtid kveld og 100 % tillegg for overtid helg.

Ara er inne i sitt fjerde halvår som heismontørlærling, og en måned jobber hun 165 timer ordinær arbeidstid, 35 timer overtid kveld og 19 timer overtid helg. a) Hvor mye tjener Ara i ordinær lønn denne måneden? b) Hvor mye tjener Ara totalt denne måneden?

5.122

Andrine jobber som anleggsrørlegger og har ei timelønn på 330 kr. I tillegg deltar hun i en vaktordning éi uke per måned. Når hun har vakt, får hun • 500 kr per dag i vakttillegg • 50 % tillegg for overtid på kveld • 100 % tillegg for overtid på natt (etter klokka 22.00) og i helger • ordinær timelønn innenfor ordinær arbeidstid, som er 08.00–15.30 på hverdager Ei uke når hun har vaktordning, jobber hun følgende timer: Dag

Tidspunkt

mandag

08.00–15.30 18.00–20.00

tirsdag

08.00–15.30

onsdag

08.00–15.30

torsdag

08.00–15.30 20.00–23.00

fredag

08.00–15.30 21.00–00.00

lørdag

12.00–17.00

søndag

06.00–09.00

Lag et regneark og finn ut hvor mye Andrine tjener totalt denne uka.

5.123

Astrid er renholdsoperatør og har regnet ut at hun kommer til å få utbetalt 62 400 kr i feriepenger i 2026.

Hvor mye tjente Astrid i 2025 utenom feriepenger?

5.124

Ola er stillasbygger, og i 2025 tjente han 720 000 kr medregnet 80 000 kr i feriepenger. a) Hvor mye feriepenger vil Ola få i 2026? b) Hvor mye tjente Ola i 2024 utenom feriepengene? ØV MER

Sinus_BA_897024.indb 247

247

20.07.2026 13:35:13

5.319 Eksamen H24

Ida og Alex vil bestille en flyreise til Gran Canaria. Se bildet nedenfor.

Utreise: lørdag 21. desember 2024 n D8 5707 Norwegian lø. 09:45 Oslo lufthavn Gardermoen (OSL), Oslo lø. 14:30 Las Palmas (LPA), Gran Canaria

5t 45m

Retur: lørdag 28. desember 2024 sas

lø. 16:10 lø. 22:45

SK 4696 SAS Las Palmas (LPA), Gran Canaria Oslo lufthavn Gardermoen (OSL), Oslo

5t 35m

Prisen er totalt 14 812 kroner tur-retur for to personer.

De vil bo på hotell på Gran Canaria. Prisen for ett rom til to personer er 84 euro per natt.

Utenom dette regner de med følgende utgifter per person per døgn når de er på Gran Canaria: • • • •

mat og drikke: 35 euro transport: 6 euro aktiviteter: 15 euro diverse: 12 euro

Ida og Alex gjør seg noen tanker og stiller noen spørsmål.

Alex Vi må lage et budsjett for ferieturen!

Hvor mange euro kommer vi til å bruke?

1 euro koster nå 11,88 kroner. Hvor mange kroner vil ferien koste oss, inkludert flyreisen?

Ida Neste år vil jeg til Japan. 1 euro koster nå 160 japanske yen.

Hvor mange japanske yen får vi for 100 kroner hvis 1 euro koster 11,88 kroner?

Alex Det gebyrfrie kredittkortet mitt har ei rente på 1,83 % per måned. Vi bruker kredittkortet til å betale flyreisen. Hvis vi bare betaler renter hver måned og ikke avdrag, hvor mye må vi da betale i renter til sammen i løpet av ett år?

Ida Banken oppgir at renta på kredittkortet er 24,3 % per år, men når jeg regner selv, får jeg 21,96 %.

Hva er riktig, og hvorfor blir det sånn?

Ta utgangspunkt i spørsmålene til Ida og Alex. Gjør beregninger og vurderinger, og finn ut mest mulig om det Ida og Alex lurer på.

270

Sinus_BA_897024.indb 270

5

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:35:17

5.320 Eksamen V25

Ali eier en bedrift. Han tar opp et serielån på 800 000 kroner i starten av et år.

Lånet skal betales ned i løpet av 5 år med én termin per år. Renta er 6,2 % per år. Lånet er gebyrfritt.

a) Lag et regneark som vist ovenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

For å regne ut summen S av renter du må betale for et serielån, kan du bruke formelen S=

L⋅n + L r ⋅ 2 100

S er summen av renter. L er lånebeløpet, n er antall terminer og r er renta.

(Eksempel: Hvis renta er 4 %, blir r = 4 .) b) Bruk formelen til å finne summen av rentene som Ali må betale for serielånet.

5.321 Eksamen H25

Ella sparer til bolig på en BSU-konto.

• 31. desember 2024 hadde hun 165 520 kroner på kontoen.

• Hun setter inn 27 500 kroner på kontoen i starten av hvert år.

• Renta er 6,25 % per år. a) Lag et regneark som vist nedenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at de blir riktige. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

Ella er gift med Sverre. Paret ønsker å kjøpe en leilighet som koster 5 600 000 kroner.

• De har totalt 620 000 kroner i sparepenger og må låne resten av pengene.

• De kan maksimalt låne 5 ganger parets samlede årslønn.

• Sverre har 512 000 kroner i årslønn. b) Hvor mye må Ella minst ha i årslønn for at paret skal ha råd til å kjøpe leiligheten?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 271

271

20.07.2026 13:35:17

Mike Tyson tjente nesten sju milliarder kroner – så gikk han konkurs Skrevet av Marie Olaussen Instagram: @hvordan_bli_rik Forfatter av «Hjelp, jeg flytter hjemmefra!»

Mike Tyson er en av verdens best betalte idrettsutøvere gjennom tidene. Bokseren fra New York kunne tjene 30 millioner dollar per kamp. Det er ca. 300 millioner norske korner.

På et tidspunkt hadde han en formue på opp mot fire milliarder norske kroner. Likevel mistet han alle verdiene og satt igjen med stor gjeld.

Ikke engang fire milliarder kroner varer evig, for Mike Tysons elleville forbruk ble høyere enn inntektene hans. Dette er noe av det han brukte penger på: • biler, klokker og andre dyre gaver til venner, familie og ansatte • en bolig med 21 soverom • egen nattklubb og et kasino • et hus til – med 38 bad!

• tre hvite tigre Tigrene fikk navnene Storm, Boris og Kenya, og de flyttet inn hos ham. Men hva er egentlig prisen for en tiger? 700 000 kroner for hver.

Maten og alt det andre tigrene trengte, skal ha kostet to millioner kroner i året. Storm og Boris flyttet senere til et dyrereservat, men tigeren Kenya ble hos Tyson i 16 år.

En dag snek en fremmed kvinne seg inn på eiendommen for å leke med tigeren.

Kenya satte tennene i armen hennes, og hun ble alvorlig skadd. Mike Tyson ga kvinnen 2,5 millioner kroner i erstatning, selv om hun tapte rettssaken mot ham fordi hun hadde tatt seg inn på eiendommen uten tillatelse.

Stjernebokseren hadde et par millioner kroner tilgjengelig som lommepenger hver måned – han kalte det selv «walking around money».

Han brukte alle pengene han tjente (og mer enn det), på restaurantbesøk, smykker, klær, reiser og narkotika. For ikke å glemme gullbadekaret han kjøpte til kona for mer enn to millioner kroner.

272

Sinus_BA_897024.indb 272

5

Før han gikk konkurs, eide han seks luksus­ boliger og 110 dyre biler som måtte selges for å dekke gjeld. Fortsatt hadde han 200 millioner kroner i skattegjeld, og mange millioner i gjeld til advokater, leger, regnskapsførere og andre. Han skyldte også millioner av kroner i skilsmissegjeld. I et intervju forteller han: – Da jeg vokste opp, hadde vi aldri penger.

Jeg lærte ikke å håndtere penger hjemme.

Da jeg etter hvert fikk så mye penger, var jeg bare ung og dum. Jeg hadde ikke noe støtteapparat rundt meg som kunne veilede meg, og det forstod jeg ikke da. Nå drømmer jeg ikke om å ha så mye penger, det livet har jeg lagt bak meg.

Mike Tyson slo seg bokstavelig talt ut av gjelden ved å delta i boksekamper som betalte godt. I dag har han en solid formue på rundt 300 millioner kroner.

Inntekter og utgifter Vi trenger ikke å ha millionlønn for å få nok penger til å leve det livet vi ønsker oss.

Personlig økonomi handler mest om hvilke vaner vi har i hverdagen. Bruker vi mindre enn vi tjener hver måned, blir det penger igjen.

Og setter vi noe av det som blir igjen, på en sparekonto eller i et fond, kommer pengene til å vokse. Jo tidligere du begynner å spare litt hver måned, desto mindre trenger du å spare. Det er nesten magisk hvordan pengene vokser raskere og raskere etter hvert som tiden går.

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:35:17

Rentesrente – en økonomisk superkraft Hvis du sparer 10 000 kroner og får 5 % renter hvert år, vil pengene utvikle seg til over 16 000 kroner uten at du setter inn mer penger. Beløpet vokser fortere og fortere fordi du også får renter på rentene. Tenk hva som skjer hvis du sparer litt hver måned fra den dagen du får lønn! År

Beløp (kr)

Renter (kr)

1

10 500

500

2

11 025

525

3

11 576

551

4

12 155

579

5

12 763

608

6

13 401

638

7

14 071

670

8

14 775

704

9

15 513

739

10

16 289

776

Oppgaver 1. Tenk deg at du får én million kroner i lommepenger hver måned, slik som Mike Tyson. Hva ville du brukt pengene på? Sett opp et budsjett med alle utgiftene.

2. Gjennomsnittslønna for en elektriker er ca. 50 000 kr per måned før skatt. Sett opp en oversikt over alle de nødvendige utgiftene du kommer til å ha hver måned. Hvor mye kan du klare å sette av til sparing hver måned?

3. Som lærling vil du tjene 30 % av startlønna til en ferdig utdannet. Hvilke dilemmaer kan du som nyansatt lærling møte på, når det kommer til å bruke mer penger enn du har?

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 273

273

20.07.2026 13:35:18

Repetisjonsoppgaver

REPETISJONSOPPGAVER – Uten hjelpemidler OPPGAVE 1

OPPGAVE 4

Sanna jobber som flislegger og har 46 300 kr i fast månedslønn. Hun har tabellkort, og skatten trekkes ut fra tabell 8050, som vi ser et utdrag av nedenfor.

Nedenfor ser vi nedbetalingsplanen for to ulike billån med samme lånesum og lik rente presentert som søylediagrammer.

Begge lånene har en nedbetalingstid på fem år med én termin per år.

45 800 45 900 46 000 46 100 46 200 46 300 46 400 46 500 46 600

11 507 11 546 11 585 11 624 11 662 11 701 11 740 11 779 11 817

30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

a) Hvor mye skatt skal Sanna betale i måneder uten overtidsjobbing? b) Hvor mye får Sanna utbetalt etter skatt?

Øyvind er anleggsrørlegger og tjente 750 000 kr i årslønn uten feriepenger i 2025.

Feriepenger utgjør 12 % av lønna (uten feriepenger) året i forveien. a) Hvor mye kommer han til å få i feriepenger i 2026? b) I 2025 fikk Øyvind 84 000 kr i feriepenger.

Hvor mye tjente han i 2024?

OPPGAVE 3

I 2025 hadde Ingeborg en årsinntekt på 500 000 kr. Gjennom året betalte hun 25 % i forskuddsskatt. a) Hvor mye har Ingeborg betalt i forskuddsskatt? b) Når skattemeldingen skal sendes inn, viser det seg at Ingeborg skulle betalt 136 000 kr i skatt.

Hvor mye må Ingeborg betale i restskatt?

Sinus_BA_897024.indb 274

1

30 000

2

3 4 5 Termin Avdrag Renter

Lån type 2

kr

25 000

OPPGAVE 2

274

Lån type 1

kr

5

20 000 15 000 10 000 5 000 1

2

3 4 5 Termin Avdrag Renter

a) Hva slags lån er «Lån type 1» og «Lån type 2»? Begrunn svaret. b) Hva er renta på dette lånet? c) Hvor stor er lånesummen? d) Hvordan kan du enklest bestemme størrelsen på lånet basert på søylediagrammet for «Lån type 2»?

PERSONLIG ØKONOMI

20.07.2026 13:35:18

REPETISJONSOPPGAVER – Med hjelpemidler OPPGAVE 5

OPPGAVE 7

Hedda skal kjøpe seg ny bil, og valget står mellom en elbil og en bensinbil. Etter å ha undersøkt ulike kostnader lager hun regnearket nedenfor.

Aleksander jobber som tømrer og tjente 580 000 kr i 2025. Han må betale 31 % inntektsskatt. Han har boliglån, og i 2025 hadde han 54 800 kr i renteutgifter på lånet. Det er 22 % skattefradrag på renteutgifter. a) Hvor stort skattefradrag fikk Aleksander i 2025? b) Hvor mye skatt måtte Aleksander betale i 2025? c) Hva var lønna til Aleksander etter skatt i 2025?

a) Hjelp Hedda med å fylle ut de grønne cellene med formler. Husk å vise formlene i svaret ditt. b) Hva blir de totale utgiftene til energiforbruk og trafikkforsikrings­ avgift for elbilen og bensinbilen?

Feriepenger utgjør 12 % av lønna året i forveien (ikke medregnet feriepengene dette året). d) Hvor mye kan Aleksander forvente å få i feriepenger i 2026? e) I 2025 fikk Aleksander 67 500 kr i feriepenger.

Hva var lønna til Aleksander i 2024?

Elbilen Hedda vurderer å kjøpe, koster 120 000 kr mer enn bensinbilen hun ser på. c) Hvor mange år må Hedda ha bilen for at det skal lønne seg å kjøpe elbilen framfor bensinbilen?

OPPGAVE 6

Den 1. januar 2018 satte Anja 50 000 kr på en sparekonto. Hun fikk 3,5 % rente. a) Hvor mange kroner fikk Anja i renter det første året? b) Hvor mange kroner hadde Anja på sparekontoen 1. januar 2022? c) Hvor mange kroner hadde Anja på sparekontoen 1. januar 2026? d) Hvor mange kroner har Anja fått i renter i løpet av de første 8 årene?

OPPGAVE 8

Vaskemaskinen til Ailu går i stykker, så han må kjøpe ny. Han har ikke satt av penger til et slikt kjøp og velger å bruke kredittkort. Vaskemaskinen koster 9500 kr. Hvis han ikke betaler det som er utestående på kredittkortet, innen forfall, må han betale 1,75 % rente per måned.

Vi antar at Ailu ikke betaler ned noe på kredittkortlånet. a) Hva skylder han etter tre måneder? b) Hva skylder han etter ett år? c) Bruk svaret i oppgave b til å bestemme den årlige renta på dette kredittkortlånet. d) Hvorfor er ikke den årlige renta 1,75 % ⋅ 12 = 21 %?

Repetisjonsoppgaver

Sinus_BA_897024.indb 275

275

20.07.2026 13:35:18

276

Sinus_BA_897024.indb 276

 

20.07.2026 13:35:20

6. Statistikk og yrkesøkonomi Statistikk handler om å samle inn, sortere og tolke data. Det er blant annet viktig for å forstå samfunnet vi lever i, og ta gode beslutninger.

Hvis du en dag lede en bedrift, kan du bruke statistikk til å beregne bedriftens framtidige utgifter. Å lede en bedrift krever god kunnskap om økonomi. En bedrift må ta hensyn til inntekter og utgifter for å sikre at driften er lønnsom. Til det bruker vi budsjetter og kostnadsberegninger.

Når en kunde ønsker å få utført en jobb, legges jobben ofte ut på anbud.

Da kan flere bedrifter sende inn et anbud, og konkurrere om å få gjøre jobben. Det viktig at bedriften som sender inn et anbud, beregner utgiftene mest mulig nøyaktig, slik at jobben blir lønnsom for dem.

Bedriften må også tenke på å ikke legge prisen for høyt, for da kan det godt hende at kunden velger en billigere konkurrent.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse • lese, bruke og lage regneark i arbeidet med budsjett, anbud og kostnadsberegning knyttet til bygg- og anleggsteknikk, og vurdere hvordan ulike faktorer påvirker resultatet

 

Sinus_BA_897024.indb 277

277

20.07.2026 13:35:21

6.1 Sentralmål Et datamateriale er en samling av informasjon.

En byggmester fører statistikk over antall prosjekter bedriften er involvert i per uke. Etter 12 uker har han følgende registreringer: 3, 5, 4, 2, 3, 3, 4, 6, 5, 3, 3, 4 Disse tallene er et datamateriale. Dersom han skal presentere ett tall som beskriver kapasiteten til bedriften, kan han enten bruke typetallet, gjennomsnittet eller medianen. Dette er eksempler på sentralmål.

REGEL

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et datamateriale.

Typetallet her er 3.

I stedet for typetallet kunne han ha brukt gjennomsnittet. Da må han legge sammen alle verdiene og dele på antall verdier. Det blir 3+5 + 4 + 2 + 3+ 3+ 4 + 6 +5 + 3+ 3+ 4 = 3,75 12 Bedriften var i gjennomsnitt involvert i 3,75 prosjekter per uke.

REGEL

Gjennomsnittet i et datamateriale er summen av verdiene delt på antall verdier.

For å finne medianen må vi sortere tallene i datamaterialet i stigende rekkefølge. Verdien som ligger i midten, er medianen.

2,3,3,3,3,3,4,4,4,5,5,6     6 uker

6 uker

Her er det ingen verdi som ligger i midten. Medianen blir da gjennomsnittet av de to verdiene som ligger i midten. De to midterste 3+ 4 tallene er 3 og 4. Medianen blir da = 3,5.

2 REGEL

278

Sinus_BA_897024.indb 278

Når vi skal finne medianen i et datamateriale, sorterer vi verdiene i stigende rekkefølge. Hvis antall verdier er et oddetall, er medianen verdien i midten. Hvis antall verdier er et partall, er medianen gjennomsnittet av de to verdiene i midten.

6

STATISTIKK OG YRKESØKONOMI

20.07.2026 13:35:21

EKSEMPEL

En bygningsarbeider måler tykkelsen 7 steder i ett betongdekke.

Målingene (i mm) er: 118, 115, 121, 124, 110, 122, 130 Finn gjennomsnittet og medianen til målingene.

LØSNING

Gjennomsnitt: 118 + 115 + 121 + 124 + 110 + 122 + 130 840 = = 120 7 7 Gjennomsnittet av målingene er 120 mm.

Median: Vi sorterer målingene i stigende rekkefølge og finner den midterste verdien.

110, 115, 118, 121, 122, 124, 130 Medianen er 121 mm.

OPPGAVER 6.10

En håndballspiller spilte 12 kamper. Antall mål hun skåret, var 5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2 a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittet. c) Finn medianen.

6.11

En skiskytter skjøt 9 ståendeserier. Tallene på treff var 5, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3 a) Finn typetallet, gjennomsnittet og medianen. b) Hun skjøt så en serie til og fikk 5 treff.

Hva er typetallet, gjennomsnittet og medianen nå? c) Hvilket sentralmål synes du beskriver seriene best?

6.12

På en prøve fikk elevene disse karakterene: 3

5

4

1

3

4

2

3

1

4

3

6

3

3

2

4

5

2

4

3

4

3

2

5

2

4

5

Finn typetallet, gjennomsnittet og medianen.

6.1

Sinus_BA_897024.indb 279

Sentralmål

279

20.07.2026 13:35:21

6.61

Elevbedriften Fuglekassa lager og selger fuglekasser. Bedriften har tre ansatte som jobber 24 timer i måneden hver. Timelønna er 230 kr. De regner med at de direkte kostnadene til materialer og utstyr vil utgjøre 19 000 kr per måned, og at de indirekte kostnadene vil være på 2000 kr. a) Hva er de samlede utgiftene til bedriften per måned?

Bedriften regner med å selge 100 fuglekasser per måned. Prisen for ei fuglekasse er 300 kr. b) Lag et budsjett for Fuglekassa. Hva blir driftsresultatet? c) Etter en måned finner de ut at de har gått med 2520 kr i underskudd.

Hvor mange fuglekasser solgte de denne måneden? d) Hvor mange fuglekasser må de minst selge for å gå med overskudd?

302

Sinus_BA_897024.indb 302

6

STATISTIKK OG YRKESØKONOMI

20.07.2026 13:35:22

Sammendrag Typetall Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et datamateriale.

Gjennomsnitt Gjennomsnittet i et datamateriale er summen av verdiene delt på antall verdier.

Median Når vi skal finne medianen i et datamateriale, sorterer vi verdiene i stigende rekkefølge.

Hvis antall verdier er et oddetall, er medianen verdien i midten. Hvis antall verdier er et partall, er medianen gjennomsnittet av de to verdiene i midten.

Søylediagram Et søylediagram viser hvordan et datamateriale fordeler seg på ulike verdier. Høyden på hver søyle viser hvor mange ganger verdien forekommer. Et søylediagram kan brukes til å sammenlikne fordelingen i to ulike datasett.

Sektordiagram I et sektordiagram er det arealet av hver sektor som viser hvor mange ganger hver verdi forekommer. Et sektordiagram er ikke egnet til å sammenlikne fordelingen i to ulike datasett.

Linjediagram Et linjediagram viser utvikling over tid.

Anbud Et anbud er et bindende pristilbud om utførelse av et oppdrag eller levering av en vare eller tjeneste.

Selvkost Selvkost er summen av alle direkte og indirekte kostnader en bedrift har i forbindelse med et oppdrag.

Priskalkyle Priskalkyle er en metode for å beregne prisen på et anbud eller utsalgsprisen på en vare eller tjeneste.

Regnskap Et regnskap er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi har hatt over en tidsperiode eller i forbindelse med en aktivitet. Regnskapet føres i etterkant.

Budsjett Et budsjett er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi tror vi kommer til å få i en tidsperiode eller i forbindelse med en aktivitet. Budsjettet settes opp i forkant.

Driftsresultat Driftsresultatet er differansen mellom inntekter og utgifter. Positivt driftsresultat betyr at bedriften har gått med overskudd, mens negativt driftsresultat betyr at bedriften har gått med underskudd.

Sammendrag

Sinus_BA_897024.indb 303

303

20.07.2026 13:35:22

Øv mer

ØV MER – 6.1 Tabeller og diagrammer 6.110

En byggeplass har mottatt leveranser av trelast hver dag i 14 dager. Her har vi en oversikt over antall paller levert per dag: 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 1, 2 a) Fyll ut tabellen Antall paller

1

2

3

4

Antall dager b) Hvor mange paller er levert til sammen? c) Hvor mange paller er levert i gjennomsnitt per dag? d) Lag et søylediagram som viser fordelingen av antall paller.

6.111

En byggeleder registrerer hvor mange sykedager hver ansatt har hatt siste måned: 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 3, 0, 1, 2 a) Hvor mange ansatte er det? b) Fyll ut tabellen Antall sykedager

1

2

3

4

Antall ansatte c) Hvor mange sykedager hadde de ansatte til sammen? d) Hvor mange sykedager er det i gjennomsnitt per ansatt? e) Lag et søylediagram som viser fordelingen av antall sykedager.

6.112

Ved et elevrådsvalg har elevene i klasse 1BAA stemt på hvem de ønsker som elevrådsrepresentant. Resultatet av valget ser vi nedenfor.

Kandidat

Antall stemmer

Torbjørn

8

Ahmed

5

Sofie

4

Antti

3

a) Hvor mange elever stemte ved valget? b) Hvor mange prosent av stemmene fikk Torbjørn? c) Torbjørn ønsker å bli elevrådsleder og vil i elevrådet presentere resultatene fra klassevalget for å styrke sitt kandidatur.

Hjelp Torbjørn med å presentere resultatene med både et søylediagram og et sektordiagram.

304

Sinus_BA_897024.indb 304

6

STATISTIKK OG YRKESØKONOMI

20.07.2026 13:35:22

6.305

Nedenfor har vi et ufullstendig budsjett for en flisleggerbedrift for årene 2026 og 2027.

a) Lag ditt eget regneark hvor du skriver av budsjettet ovenfor. b) Skriv inn en formel i celle C11 og regn ut bedriftens totale utgifter i 2027. c) Hvor mye brukte bedriften på posten «Annet utstyr» i 2027? d) Hvor mye brukte bedriften på posten «Leie av lokale/lager» i 2026? e) Hva ble driftsresultatet i 2026?

6.306

En trevarebedrift regner med inntekter fra salg av varer en måned på 450 000 kr.

Kostnadene samme måned er listet opp i tabellen nedenfor: Kostnader

Trevarer

150 000 kr

Leie av lokaler

45 000 kr

Strøm

18 500 kr

Lønn

195 000 kr

a) Bruk regneark til å lage et budsjett for trevarebedriften denne måneden. b) Bedriften har som mål at driftsresultatet (overskuddet) skal være 10 % av inntektene. Gjør endringer på budsjettet slik at bedriften oppfyller dette.

OPPGAVER – Med hjelpemidler

Sinus_BA_897024.indb 321

321

20.07.2026 13:35:23