Sinus 1P Basis (LK20) utdrag

Oldervoll | Svorstøl

Foto og grafikk: Bildene er fargemanipulert.

Omslagsfoto: Unsplash/Warren Wong Kapittel 1: Unsplash/Emilie Christensen Kapittel 2: Adobe Stock/Zoran Kapittel 3: Adobe Stock/Ewan Arnolda Kapittel 4: Adobe Stock/Andrey_A Kapittel 5: Adobe Stock/Olena Kapittel 6: Unsplash/Autumn Studio Oppgavedel: Adobe Stock/araho Side 65: SNA Europe (Norway) bacho pipesett Side 114: GettyImages Side 121: BMW Group © Cappelen Damm AS, Oslo 2021 Sinus 1P BASIS følger læreplan (LK20) i praktisk matematikk fellesfag 1P fra 2020, for vg1 studieforberedende utdanningsprogram.

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Kilde for alle eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet.

Alle disse oppgavene er merket med årstall. De er gjengitt med tillatelse.

Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen og Cappelen Damm AS 2021 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2021 Utgave nr. 1 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-67197-6 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2020. Boka Sinus 1P BASIS er en engangsbok for elever som trenger et enklere opplegg enn andre elever.

Kapittelinndelingen er den samme som i Sinus 1P. Boka legger vekt på å gi elevene grunnleggende forståelse av matematikken. Teoridelen er kortfattet og lett å forstå. Framstillingen er visuell, og det er fokusert på konkrete løsningsmetoder med enkle eksempler. Etter eksempler kommer det enkle oppgaver slik at elevene kan øve på det de har lært. Disse oppgavene løser elevene direkte i boka. Elevene får mye hjelp med løsningene til å begynne med, og lærer gradvis å arbeide mer selvstendig. Et sammendrag av regler og metoder samt en kapitteltest står bakerst i hvert kapittel.

Oppgavedelen av boka er satt inn etter hver kapittel. Her finner elevene oppgaver i tre kategorier: «Øv mer», «Uten hjelpemidler» og «Med hjelpemidler». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. De to andre delene inneholder både eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for elevgruppen.

Helt til slutt i boka finner vi fasit. coSinus 1P er et heldigitalt læremiddel som er et godt supplement til Sinus 1P. Teoridelen er utvidet med blant annet animasjoner og videoer til omvendt undervisning.

Når elevene løser oppgaver der, får de nyttige tilbakemeldinger hvis de gjør feil. Det kan være en nyttig ressurs for elever som trenger ekstra støtte. I coSinus finner læreren dessuten verktøy for å følge med framdriften til elevene.

I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer.

Tore Oldervoll – Otto Svorstøl

3

s

Innhold

1 2 3 s

4

1

TALL OG TALLREGNING ................................................... 6

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Hoderegning .......................................................................................................

Multiplikasjon og divisjon .............................................................................

Overslagsregning .............................................................................................

Regnerekkefølge ...............................................................................................

Brøk .........................................................................................................................

Forkorting og utviding av brøker ..............................................................

Regning med brøk ............................................................................................

Brøkdelen av et tall ..........................................................................................

Sammendrag og kapitteltest ......................................................................

Oppgaver...............................................................................................................

2

PROSENTREGNING ........................................................... 32

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Forhold og andeler ..........................................................................................

Prosenten av et tall ..........................................................................................

Finne prosenten ................................................................................................

Finne hele tallet .................................................................................................

Vekstfaktorer .......................................................................................................

Merverdiavgift ....................................................................................................

Valuta ......................................................................................................................

Prosentpoeng .....................................................................................................

Promille ..................................................................................................................

Sammendrag og kapitteltest ......................................................................

Oppgaver...............................................................................................................

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

34 36 40 42 44 48 50 52 54 56 58

3

PROPORSJONALITET, POTENSER OG RØTTER ....... 66

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Proporsjonale størrelser ................................................................................

Omvendt proporsjonale størrelser ...........................................................

Potenser ................................................................................................................

Noen spesielle potenser ...............................................................................

Noen regneregler for potenser ..................................................................

Tall på standardform .......................................................................................

Prosentvis endring i flere perioder ..........................................................

Kvadratrøtter .......................................................................................................

Tredjerøtter ..........................................................................................................

Sammendrag og kapitteltest ......................................................................

Oppgaver...............................................................................................................

68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88

4 5 6

4

LIKNINGER OG FORMLER ............................................... 96

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Variabler ................................................................................................................ 98 Førstegradslikninger .......................................................................................100 Potenslikninger ..................................................................................................102 Omregning av enheter ...................................................................................104 Arealformler .........................................................................................................108 Volumformler ...................................................................................................... 110 Fart ........................................................................................................................... 112 Effekt og energi ................................................................................................. 114 Sammendrag og kapitteltest ...................................................................... 116 Oppgaver............................................................................................................... 118

5

FUNKSJONER OG GRAFER ............................................. 126

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Rette linjer ............................................................................................................ 128 Å finne likningen for ei rett linje ................................................................ 132 Digital graftegning ...........................................................................................136 Grafisk avlesning ..............................................................................................138 Funksjoner ........................................................................................................... 142 Andregradsfunksjoner ...................................................................................144 Polynomfunksjoner ..........................................................................................146 Digital løsning av likninger ..........................................................................148 Eksponentialfunksjoner .................................................................................150 Sammendrag og kapitteltest ...................................................................... 152 Oppgaver...............................................................................................................154

6

MATEMATISKE MODELLER ............................................. 166

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Matematiske modeller ....................................................................................168 Lineære modeller ............................................................................................. 170 Lineær regresjon .............................................................................................. 172 Polynomfunksjoner .......................................................................................... 174 Eksponentialregresjon ................................................................................... 176 Potensfunksjoner .............................................................................................. 178 Potensregresjon ................................................................................................180 Kjennetegn ved funksjoner ......................................................................... 182 Sammendrag og kapitteltest ......................................................................184 Oppgaver............................................................................................................... 187

FASIT ....................................................................................... 198

5

s

1 TALL OG TALLREGNING Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • lese, hente ut og vurdere matematikk i tekster om situasjoner fra lokalmiljøet, gjøre beregninger knyttet til dette og presentere og argumentere for resultatene.

1.1 Hoderegning I hverdagen har vi ofte bruk for å kunne regne ut noe i hodet. Det skal vi lære mer om nå.

7 tiere og 5 tiere er til sammen 12 tiere.

Altså er 70 kr 50 kr 120 kr

Hvis vi har 12 hundre og skal betale 5 hundre, har vi igjen 7 hundre. Dermed er 1200 kr 500 kr 700 kr Det er også nyttig å kunne doble tall i hodet.

EKSEMPEL LØ S N I N G

Hva er det dobbelte av 47?

40 2 80

Det dobbelte av 40 er 80.

7 2 14

Det dobbelte av 7 er 14.

80 14 94

Det dobbelte av 47 blir da 80 14.

Når vi har lært å doble, kan vi gjøre dette flere ganger i en utregning.

EKSEMPEL LØ S N I N G

EKSEMPEL LØ S N I N G

Hvor mye er 3,50 kr 4 ? Å gange med fire er det samme som å doble to ganger.

3,50 kr 2 7 kr

Det dobbelte av 3,50 er 7.

7 kr 2 14 kr

Det dobbelte av 7 er 14.

Hvor mye er 8 70 ? Å gange med 8 er det samme som å doble tallet tre ganger, for 2 2 2 8 .

2 70 140

Det dobbelte av 70 er 140.

2 140 280

Det dobbelte av 140 er 280.

Det dobbelte av 280 er 560.

2 280 560 Vi kan også gjøre det slik:

s

8

1 | TALL OG TALLREGNING

8 70 8 7 10 56 10 560

OPPGAVE 1.10 Regn ut i hodet. a) 30 kr + 60 kr =

OPPGAVE 1.11 Regn ut i hodet.

kr kr

b) 800 kr + 500 kr = c) 90 kr – 40 kr = d) 1300 kr – 700 kr =

a) 70 + 50 =

kr

b) 900 + 800 = c) 3000 + 12 000 =

kr

d) 900 – 400 =

OPPGAVE 1.12 Regn ut i hodet.

OPPGAVE 1.13 Regn ut i hodet.

a) 2 ∙ 80 =

a) 2 ∙ 15 =

b) 4 ∙ 80 =

b) 4 ∙ 15 =

c) 8 ∙ 80 =

c) 8 ∙ 15 =

d) 8 ∙ 800 =

d) 80 ∙ 15 =

OPPGAVE 1.14 Prøv å lage alle de hele tallene fra og med 1 til og med 10 ved hjelp av tegnene + og – og ett, to eller tre av tallene 1, 4 og 6. Hvert tall skal bare brukes én gang. a) Er det noen av tallene du ikke kan lage?

1 = 1

6 =

2 = 6 - 4

7 =

3 = 6 - 4 + 1

8 =

4 =

9 =

5 =

10 =

b) Kan du finne tre tall som er slik at du kan lage alle de hele tallene fra og med 1 til og med 10? Fins det flere løsninger? Bruk kladdeboka di!

SINUS 1P BASIS

9

s

1.2 Multiplikasjon og divisjon EKSEMPEL

Regn ut 53 24 uten hjelpemiddel.

LØ S N I N G 1

3 4 12 5 4 20

53 · 2 4 212 1 2 +1 0 6 =1272

3 2 6 5 2 10

Til slutt summerer vi linje 햲 og 햳 og får 1272.

53 24 1272

EKSEMPEL

Vi begynner med de to bakerste sifrene: Dette gir 2 under 3-tallet og 1 i mente.

Vi legger sammen 20 og mentetallet 1 og skriver 21 foran 2-tallet i linje 햲.

Vi setter 6 under 1-tallet i linje 햲.

Vi skriver 10 foran 6-tallet i linje 햳.

Regn ut 744 : 6 uten hjelpemiddel.

LØ S N I N G

1 4 7 2 3 5 6 8 9

744 : 6=1 2 4 – 6 14 – 12 24 – 24 0

744 : 6 124

햲 6 går opp i 7 én gang. Vi skriver 1 først i svaret. 햳 6 1 6 og vi skriver derfor 6 under 7-tallet i 744. 햴 Vi trekker 6 fra 7 og får 1. Så flytter vi ned det første 4-tallet i 744 og får 14. 햵 6 går opp i 14 to ganger. Vi legger derfor til tallet 2 i svaret. 햶 6 2 12 og vi skriver derfor 12 under 14. 햷 Vi trekker 12 fra 14 og får 2. Så flytter vi ned det siste 4-tallet i 744 og får 24. 햸 6 går opp i 24 fire ganger. Vi skriver derfor tallet 4 bakerst i svaret. 햹 6 4 24 og skriver derfor 24 under 24. 햺 Vi trekker 24 fra 24 og får 0 i rest.

Da er svaret 124.

Ovenfor fikk vi resten 0. Divisjonen går da opp, og svaret blir et heltall. Hvis resten ikke er 0, blir svaret et desimaltall. Da går vi fram som vist her:

EKSEMPEL

LØ S N I N G

s

10

Regn ut 1950 : 12 uten hjelpemiddel.

1 9 5 0 : 1 2= 1 6 2 , 5 – 12 75 – 72 30 – 24 60 – 60 0

1 | TALL OG TALLREGNING

Her fikk vi resten 6. Da setter vi en 0 bak resten og setter samtidig et komma i svaret.

Ettersom 12 5 60, blir den første desimalen 5.

Nå får vi resten 0, og det blir ikke flere desimaler.

Hvis resten fortsatt ikke er 0, setter vi 0 bak den nye resten og finner flere desimaler.

OPPGAVE 1.20 Regn ut uten hjelpemiddel.

D o 1 2 +36

E o

=

=

F o

+

OPPGAVE 1.21 Regn ut med penn og papir.

a)

7 2 : 4 =

E : 7 =

F : 7 =

OPPGAVE 1.22 Regn ut med blyant og papir.

a)

1 3 5 : 6 =

F : 8 =

E : 5 =

d) 3 7 1 7 : 1 5 =

SINUS 1P BASIS

11

s

2.8 Prosentpoeng Når oppslutningen om et politisk parti øker fra 8 % til 10 %, sier vi at oppslutningen har økt med 2 prosentpoeng. Økningen i prosentpoeng er 10 – 8 2 .

REGEL

Når vi regner ut forskjellen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.

Når oppslutningen øker fra 8 % til 10 %, er ikke økningen er på 2 %. Økningen er en firedel, for 2 % er en firedel av 8 %. Men en firedel er det samme som 25 %. Økningen er på 25 %.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Oppslutningen om Arbeiderpartiet økte en måned fra 22,2 % til 23,4 %.

Hvor mange prosentpoeng var økningen på?

Endringen i prosentpoeng var 23,4 22,2 1,2 Oppslutningen økte med 1,2 prosentpoeng.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Oppslutningen om Høyre var på 18,8 % og gikk ned med 1,5 prosentpoeng.

Finn den nye oppslutningen.

Det nye prosenttallet var 18,8 1,5 17,3 Oppslutningen var på 17,3 %.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Oppslutningen om Senterpartiet var på 12,5 % og gikk ned med 0,8 prosentpoeng.

Hvor mange prosent nedgang var det?

Nedgangen i prosent var 0,8 endringen 100 % 100 % 6,4 % 12,5 gammel verdi

EKSEMPEL

LØ S N I N G

52

6.4

Oppslutningen om Fremskrittspartiet var på 12,0 % og økte til 12,6 %.

Hvor mange prosent økning var det? Økningen i prosentpoeng var 12,6 12,0 0,6 . Økningen i prosent var endringen 0,6 100 % 100 % 5,0 % gammel verdi 12,0

s

0.8 + 12.5 100

2 | PROSENTREGNING

0.6 + 12.0 100

5

OPPGAVE 2.80 a) Et år øker fraværet på en arbeidsplass fra 7,4 % til 8,7 %.

Hvor mange prosentpoeng er økningen på? b) Året etter var fraværet 0,8 prosentpoeng lavere.

Hvor mange prosent var fraværet da?

-

a) Økningen i prosentpoeng var Økningen var

=

.

prosentpoeng.

b) Det nye fraværet i prosent var

=

-

.

OPPGAVE 2.81 På en skole er det 400 elever. Mandag var 6,5 % av elevene borte, og tirsdag var fraværet 5,25 %. a) Hvor mange prosentpoeng gikk fraværet ned? b) Hvor mange elever var borte mandag? c) Hvor mange prosent gikk fraværet ned fra mandag til tirsdag?

-

a) Nedgangen i prosentpoeng var Nedgangen var på

=

.

prosentpoeng.

b) Antallet elever som var borte mandag, var 6,5 % av 400 =

100 o

c) Nedgangen var på

elever

prosentpoeng.

Nedgangen i prosent var endringen o gammel verdi

o

OPPGAVE 2.82 Oppslutningen om MDG økte fra 6 % til 7,5 %.

Hvor mange prosent økning var det?

SINUS 1P BASIS

53

s

2.9 Promille 0

Ordet promille kommer fra latin og betyr tusendel. Vi bruker symbolet Ettersom

00

om promille.

1 10

, er 1 % 10 0 00. Dermed finner vi promilletallet ved å gange 100 1000

prosenttallet med 10. Prosenttallet finner ved å dele promilletallet med 10.

EKSEMPEL LØ S N I N G

Gjør 2,5 % om til promille og 17 0 00 om til prosent.

2,5 % 2,5 10 0 00 25 0 00 17 0 00 17 : 10 % 1,7 %

EKSEMPEL

Finn 3 0 00 av 500 g.

LØ S N I N G

3 0 00 av 500 g =

3 500 g = 1,5 g 1000

3 + 1000 500

1.5

Det er vanlig å regne i promille når vi skal angi alkoholmengden i blodet. Når en person drikker alkohol, er det ikke all alkoholen som går i blodet. Alkoholen fordeler seg i nesten hele kroppen. For menn regner vi at alkoholen fordeler seg på 68 % av kroppsvekten.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Per drikker 0,4 L vin. Vinen inneholder 15 % alkohol. Per veier 70 kg.

1 L alkohol har tettheten 0,80 kg.

Hva blir promillen til Per? Alkoholinnholdet i 0,4 L vin er 15 % av 0,4 L =

15 0,4 L 0,06 L 100

15 + 100 0.4

0.06

Når 1 L alkohol veier 0,80 kg, veier 0,06 L alkohol 0,80 kg 0,06 0,048 kg

0.80+ 0.06 0.048

For Per fordeler alkoholen seg på 68 % av 70 kg: 68 % av 70 kg =

68 70 kg 47,6 kg 100

Promillen blir 0,048 kg 1000 0 00 1,0 0 00 47,6 kg Promillen til Per blir 1,0.

s

54

2 | PROSENTREGNING

68 + 100 70

47.6

0.048+ 47.6 1000

1.008403361

OPPGAVE 2.90 Regn om til promille. a) 4 %

4 % = 4 10

b) 7,8 %

7,8 % =

c) 0,35 %

0, 35 % =

= =

=

OPPGAVE 2.91 a) 75 ‰

75

b) 240 ‰

240

c) 1,3 ‰

1, 3

=

=

: 10 % =

%

%=

:

%

%=

=

%

OPPGAVE 2.92 a) Hvor mye er 3 ‰ av 24 000 kr?

3

av 24 000 kr =

kr =

1000

kr

b) Hvor mye er 0,8 ‰ av 5000 g?

0,8

av 5000 g =

g =

g

OPPGAVE 2.93 Hos kvinner fordeler alkoholen seg på 55 % av kroppsvekten.

Kari drikker 0,4 L vin. Vinen inneholder 15 % alkohol. Kari veier 65 kg.

1 L alkohol har tettheten 0,80 kg. Hva blir promillen til Kari?

Alkoholinnholdet i 0,4 L vin er = 0, 06 L vin veier 0,80 kg

=

For Kari fordeler alkoholen seg på Promillen blir

1000

L = 0, 06 L

100 kg.

100

kg =

kg.

=

SINUS 1P BASIS

55

s

SAMMENDRAG Forhold og andel Vi finner forholdet mellom to tall ved å sette opp en brøk med det første tallet i telleren og det andre i nevneren. Deretter forkorter vi brøken.

Vi finner andel av en mengde ved å dividere mengden med samlet mengde.

Prosent Vi finner 1 % av et tall ved å dele tallet med 100. p Vi finner p % av et tall ved å regne ut ∙ tallet.

100

Vi finner hvor mange prosent et tall er av det hele ved å regne ut Hvis et tall er p % av det hele, er det hele =

tallet ∙ p

tallet det hele

∙ 100 %.

100.

Prosentvis økning eller nedgang Vekstfaktoren ved p % økning er 1 + Vekstfaktoren ved p % nedgang er

p .

100 p 1 – .

100

den nye verdien den gamle verdien vekstfaktoren vekstfaktoren

den nye verdien den gamle verdien

den gamle verdien

den nye verdien vekstfaktoren

Merverdiavgift Merverdiavgift (mva. eller moms) er en avgift til staten ved kjøp av varer og tjenester.

Merverdiavgiftssatsene i 2020 er 12 % for persontransport, kinobilletter og overnatting, 15 % for matvarer og 25 % for andre varer og tjenester.

Valuta For en valuta der kursen er verdien av 100 enheter, er enhetskursen

kursen 100

For alle valutaer er beløpet i norske kroner enhetskursen beløpet i utenlandsk valuta beløpet i utenlandsk valuta

beløpet i norske kroner enhetskursen

Prosentpoeng Når vi regner ut forskjellen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.

Promille 1 ‰ (promille) er 1 tusendel.

s

56

2 | PROSENTREGNING

KAPITTELTEST KAPITTEL 2 – PROSENTREGNING

UTEN HJELPEMIDLER

MED HJELPEMIDLER

OPPGAVE 1

OPPGAVE 9

Yngve kjøper en drone som koster 5000 kr.

Han får 1000 kr i avslag.

Hvor mange prosent avslag får han?

Marie er assistent i en barnehage. Barnehagen har to avdelinger: Kaos og Kosen. Kaos har 24 barn og Kosen 18 barn. a) Hvor mange prosent av barna går på Kaos? b) Finn forholdet mellom antallet barn på Kaos og antallet barn på Kosen.

OPPGAVE 2

Et par sko koster 1000 kr i butikken «Vi skor oss».

De samme skoa er på tilbud i butikken «Sure tær» og koster der 800 kr.

Hvor mange prosent billigere er skoa hos «Sure tær» enn hos «Vi skor oss»?

OPPGAVE 3

Ei bukse koster nå 560 kr. Prisen er da satt ned med 30 %.

Hva kostet buksa før prisen ble satt ned?

OPPGAVE 10

a) Prisen på en sofa ble satt opp fra 649 kr til 699 kr.

Hvor mange prosent ble prisen satt opp? b) Prisen på en stol ble satt ned fra 699 kr til 649 kr.

Hvor mange prosent ble prisen satt ned?

OPPGAVE 11

Jørn har en bil som i dag er verdt 360 000 kr.

Verdien har avtatt med 10 % det siste året. Han tror at verdien av bilen avtar med 10 % hvert år også neste år. a) Hvor mye er bilen verdt om 1 år? b) Sett opp et uttrykk som viser hvor mye bilen var verdt for 1 år siden.

Sølvi Storbakke eier en sportsbutikk og har vårsalg. På alle typer ski gir hun 30 % rabatt. a) Daniel kjøper et par langrennsski som opprinnelig kostet 4500 kr.

Hvor mange kroner får han i rabatt? b) Danhild kjøper fjellski på salg til 5950 kr.

Hva kostet fjellskiene før prisen ble satt ned? c) I en kurv med rester finner David et par votter.

De er satt ned fra 299 kr til 59,8 kr.

Hvor mange prosent er prisen satt ned?

OPPGAVE 5

OPPGAVE 12

En fjellkikkert koster 1600 kr uten merverdiavgift.

Merverdiavgiften er 25 %. a) Regn ut merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift.

Anna er på studietur i Polen. Hun ønsker å ta ut 500 polske zloty (PLN) fra en minibank.

Hvor mye tilsvarer det i norsk valuta når PLN 100 = NOK 240

På de fleste varer betaler vi 25 % merverdiavgift. a) En familie kjøper ny bil til 320 000 kr uten merverdiavgift.

Hva koster bilen med merverdiavgift? b) Ketil betaler 3800 kr med merverdiavgift for et reparasjonsarbeid i huset sitt.

Finn merverdiavgiften. c) Ellen kjøper ny parkett. Hun betaler 12 000 kr med merverdiavgift.

Finn prisen uten merverdiavgift.

OPPGAVE 7

OPPGAVE 13

Fraværet ved en bedrift øker fra 10 % til 14 %.

Hvor mange prosentpoeng er økningen på?

Sabine kjøper 460 euro og 160 engelske pund. Kursene er EUR 1 = NOK 10,19 og GBP 1 = NOK 12,09. Hun slipper gebyr. a) Hvor mye betaler Sabine til sammen i norske kroner? b) På et senere tidspunkt kjøper Sabine 2500 danske kroner (DKK). Hun betaler 3425 kr.

Hva var kursen på danske kroner?

OPPGAVE 4

OPPGAVE 6

OPPGAVE 8

På en quiz svarte Fia riktig på 8 oppgaver. Hun hadde svart riktig på 40 % av oppgavene.

Hvor mange spørsmål var det på denne quizen?

SINUS 1P BASIS

57

s

2

Prosentregning ØV MER

2.1 FORHOLD OG ANDEL 2.110 Til en saus bruker du 3 dL vann og 2 dL melk.

Hva er forholdet mellom vann og melk i sausen?

2.116

I en hønsegård er det til sammen 33 høner og haner. Forholdet mellom høner og haner i gården er 9 : 2. a) Hvor mange deler med høner og haner er det til sammen i denne hønsegården? b) Finn antallet høner og antallet haner i hønsegården.

2.111

I en klasse er det 18 jenter og 12 gutter.

Finn forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter i klassen.

2.112

2.117

I en betongblanding skal forholdet mellom sement og vann være 3 1. a) Hvor mye vann må vi bruke til 12 L sement? b) Hvor mye sement trenger vi til 2,5 L vann?

Du sover 8 timer et bestemt døgn.

Hva er da forholdet mellom antallet timer du sover, og antallet timer du er våken?

2.113

I en klasse er det 16 gutter og 12 jenter. a) Hva er forholdet mellom tallet på gutter og tallet på jenter i klassen? b) Litt ut i året slutter 2 gutter, og 4 nye jenter begynner i klassen.

Hva er nå forholdet mellom tallet på gutter og tallet på jenter?

2.2 PROSENT AV ET TALL 2.114

Vi har en blanding på 2,4 L av hvit og gul maling.

Forholdet mellom hvit maling og gul maling i blandingen er 7 : 1. a) Hvor mange deler med hvit maling og gul maling er det til sammen i blandingen? b) Hvor mye hvit maling og hvor mye gul maling er det i blandingen?

2.115

I et fjøs er det til sammen 27 kuer og griser.

Forholdet mellom antallet kuer og antallet griser i fjøset er 4 : 5. a) Hvor mange deler med kuer og griser er det til sammen i fjøset? b) Hvor mange kuer og hvor mange griser er det i fjøset?

s

58

2 | PROSENTREGNING

2.120

Hvor mange ruter må være fargelagt for at a) 25 % b) 40 % c) 80 % d) 100 % av figuren skal være fargelagt?

2.121

2.132

Regn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpene. a) 50 kr b) 120 kr c) 1200 kr

En feriereise koster 4250 kr. Prisen på denne reisen blir så satt opp med 510 kr.

Hvor mange prosent går prisen opp?

2.122

Hvor mange ruter må være fargelagt for at a) 25 % b) 40 % c) 80 % d) 10 % av figuren skal være fargelagt?

2.133

En flybillett koster 1850 kr. Prisen blir så satt ned med 185 kr.

Hvor mange prosent går prisen ned?

2.134

På en skole er det 44 lærere, og 29 av dem er kvinner.

Hvor mange prosent av lærerne er kvinner?

2.123

Finn a) 15 % av 240 c) 40 % av 500

b) 23 % av 400 d) 8 % av 175

2.124

Ei jakke koster 450 kr. Så blir prisen satt opp 20 %.

Hvor mange kroner blir prisen på jakka satt opp med?

2.125

En kjole koster 400 kr og blir satt ned 15 %.

Hvor mange kroner blir prisen på kjolen satt ned med?

2.126

a) En flyreise koster 800 kr. Så blir prisen satt opp med 15 %.

Hvor mange kroner blir prisen på denne flyreisen satt opp? b) En togreise koster 425 kr og blir prisen satt ned med 8 %.

Hvor mange kroner blir togreisen satt ned?

2.4 FINNE HELE TALLET 2.140

Tove har fått 25 % avslag i prisen på en kjole.

Det svarer til 500 kr.

Hvor mye kostet kjolen før den ble satt ned?

2.141

Prisen på ei populær jakke er satt opp med 10 %.

Det svarer til 300 kr.

Hvor mye kostet jakka før prisoppgangen?

2.142

Ei skjorte koster 210 kr på salg. Da er den opprinnelige prisen redusert med 30 %.

Hva var prisen på skjorta før prisen ble satt ned?

2.143

Fredrik fikk 30 % rabatt på ei ny klokke.

Det svarte til 870 kr.

Hva kostet klokka før den ble nedsatt?

2.144

2.3 FINNE PROSENTEN 2.130

a) Hvor stor brøkdel av figuren er fargelagt?

En kveld i skiløypa gikk 24 % av løperne på felleski. Det svarte til 18 skiløpere. a) Hvor mange personer var ute i skiløypa denne kvelden? b) Hvor mange personer gikk ikke på felleski?

2.5 VEKSTFAKTORER

b) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt?

2.131

Yngve kjøper sportsutstyr som egentlig koster 5200 kr. Han får 780 kr i avslag.

Hvor mange prosent avslag får han?

2.150

Finn vekstfaktoren når a) en størrelse øker med 6 % b) en størrelse øker med 15 % c) en størrelse minker med 2 % d) en størrelse minker med 99 %

SINUS 1P BASIS

59

s

4

LIKNINGER OG FORMLER Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • lese, hente ut og vurdere matematikk i tekster om situasjoner fra lokalmiljøet, gjøre beregninger knyttet til dette og presentere og argumentere for resultatene • utforske hvordan ulike premisser vil kunne påvirke hvordan matematiske problemer fra samfunnsliv og arbeidsliv blir løst • modellere situasjoner knyttet til tema fra samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultatene og for når modellene er gyldige • identifisere variable størrelser i ulike situasjoner og bruke dem til utforsking og generalisering • tolke og bruke formler som gjelder samfunnsliv og arbeidsliv • tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnede måleenheter

4.1 Variabler I et rektangel er arealet g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. Her er g og h r 2, der r er radien. Her er r variabler. Det er tall med valgfri verdi. For en sirkel er arealet en variabel. er derimot en konstant som er omtrent lik 3,14.

REGEL

En variabel er et tall med valgfri verdi.

Vi bruker oftest en bokstav som navn på en variabel. Ovenfor het de g, h og r. Hvis ikke variabelen har noen spesiell betydning, kaller vi den ofte x eller y. Nå skal vi se på noen regneregler for tall som da også gjelder for variabler.

Parentesen først

Kan også regne slik

7 3 2 7 5 12

7 3 2 7 3 2 10 2 12

7

3 2 7

5 2

7

4 3 2 4 5 20

REGEL

EKSEMPEL LØ S N I N G EKSEMPEL LØ S N I N G

LØ S N I N G

En parentes med foran kan vi ta bort uten å endre fortegn på leddene inne i parentesen.

Hvis vi tar bort en parentes med – foran, må vi bytte fortegn på leddene inne i parentesen.

Når vi ganger et tall med en parentes, må vi gange tallet med alle leddene i parentesen.

Trekk sammen 3x 4 x .

3x 4 x 7 x

Regn ut 5 5x

Vi vet at 2 4 7 . Da er 3x 4 x 7 x .

2 x 1 .

Det står – foran parentesen. Da må vi skifte fortegn inne

2 x 1

i parentesen når vi tar den bort.

Til slutt trekker vi sammen ledd av samme type.

Regn ut 8 3 2 x 5 .

8 3 2 x 5 8 6 x 15

Først ganger vi 3 med leddene i parentesen.

8 6 x 15 6x 7

Til slutt trekker vi sammen ledd.

Det står + foran parentesen. Da kan vi ta den bort.

EKSEMPEL

Regn ut 3x 2 y

LØ S N I N G

3x 2 y x y 3x 2 y x 3x x 2 y 2x y

s

98

3 2 4 2 2

4 3 2 4 3 4 2 12 8 20

5x 2 x 1 3x 1

EKSEMPEL

3 2 7

y y

x y Først løser vi opp parentesene. Da tar vi bort parentesene og skifter fortegn på ledd der det står minus foran parentesen.

Vi samler ledd av samme type og trekker dem sammen.

4 | LIKNINGER OG FORMLER

OPPGAVE 4.10 a) 2 x 5x c) 2 y 4 y

b) 2a 5a y

d) 2a 4a a

OPPGAVE 4.11 Regn ut. a) 7 x 5y 3x 2 y

c) 7 x 5y (3x 2 y)

b) 7a 5b 3a 2b

OPPGAVE 4.12 a) 4 5x 3

x+

b) 4 5a 3

a-

c) 3 2 x 1 5x

=

d) 3 2b 1 5b

=

OPPGAVE 4.13 1. Tenk på et tall.

2. Legg til 3.

3. Doble svaret du får.

4. Trekk fra 4.

5. Halver dette svaret.

6. Trekk fra tallet du tenkte på.

a) Hvilket svar får du? b) Prøv om igjen med andre tall. c) Vis ved regning at du alltid vil få dette svaret uansett hvilket tall du tenker på.

c) Tallet jeg tenker på er x.

Legger til 3:

x +3

Dobler svaret:

2 x +3 =

Trekker fra 4: Halverer svaret:

-4= 1 2

=

Trekker fra tallet x : Svaret blir derfor alltid

-x = .

SINUS 1P BASIS

99

s

4.2 Førstegradslikninger 3x 2 x 6 er et eksempel på en likning. Variabelen, som her er x, kaller vi den ukjente.

Når vi løser en likning, finner vi verdien for den ukjente slik at begge sidene av likhetstegnet blir det samme tallet. Hvis vi her setter x 2 , blir 3x 2 3 2 2 8 og x 6 6 2 8 .

Begge sidene blir det samme tallet (8). Da er x 2 en løsning av likningen. Helt enkle likninger kan vi løse uten å kjenne noen regneregler for likninger.

EKSEMPEL LØ S N I N G

EKSEMPEL LØ S N I N G

Løs likningen x 6 10 . x 6 10

Å løse likningen x 6 10 er det samme som finne ut hva

6 10 x 4

som må stå i den tomme ruta.

Det må stå 4, for 4 6 10 . Løsningen er x 4

Løs likningen 3x 15 .

3x 15 x 5

Vi må finne ut hva som må stå her: 3

15

Det er 5, for 3 5 15 . Løsningen er da x 5 .

For mer sammensatte likninger må vi bruke disse regnereglene:

REGEL

EKSEMPEL LØ S N I N G

EKSEMPEL

LØ S N I N G

s

100

I en likning kan vi gange eller dele med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet.

Vi kan flytte et ledd over på den andre sida av likhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet.

Løs likningen 3x 2 x 6 3x 2 x 6

Først flytter vi leddet +2 til den andra sida. Det blir da –2.

3x x 6 2 3x x 4 2x 4 x 2

Deretter regner vi ut 6 2 4 .

Så flytter vi x over til venstre side. Det blir Vi regner ut 3x

x.

x 2x .

Når 2 x 4 , må x 2 , for 2 2 4 .

Tore og Nora arbeider i en kiosk. De får betalt et fast beløp per time. Mandag tjente Tore 300 kr og Nora 600 kr. Tirsdag arbeidet Tore 5 timer og Tora 3 timer.

Da hadde begge tjent like mye disse to dagene. Finn timelønna.

5x 300 3x 600 La x være timelønna i kroner. På tirsdag tjente da Tore 5 x og Nora 5x 3x 600 300 3 x . Tore hadde da tjent til sammen 5 x 300 .

Nora hadde tjent 3 x 600 . Da de hadde tjent lik mye, må 5x 3x 300 5x 300 3x 600 .

2 x 300 x 150 Timelønna var 150 kr.

4 | LIKNINGER OG FORMLER

OPPGAVE 4.20 Løs likningene uten å bruke regneregler. a) x 5 12

+ 5 = 12 x=

b) 2 x 10

2

= 10

x=

c) 2 x 4 10

d) 3x 5 10

2x =

3x =

2

=

x=

3

=

x=

OPPGAVE 4.21 Løs likningene som i oppgave 4.20 uten å bruke regneregler. a) x 4 8 b) 3x 18 c) 3x 1 20

OPPGAVE 4.22 Løs likningene ved hjelp av regnereglene. a) 6 x 7 x 3 b) 6 x 700 x 300

c) 6 x 700 x 300

OPPGAVE 4.23 Gry vil kjøpe en sportsklokke som koster 2070 kr. Hun har 720 kr og sparer 225 kr per uke.

Hvor mange uker må hun spare før hun kan kjøpe klokka?

SINUS 1P BASIS

101

s

4.3 Potenslikninger Likningene x 2 4 og x 3 8 er eksempler på potenslikninger. Likningen x 2 4 har to løsninger, x 2 og x 2 , for 22 4 og ( 2)2 4 . Likningen x 2 5 har også to løsninger, x 5 og x 5 .

REGEL

EKSEMPEL LØ S N I N G

Hvis a er et positivt tall, har likningen x 2 a to løsninger, x a og x

Løs likningen x 2 9 . x2 9

2

x 3 og x 3 er løsninger fordi 32 9 og 3 9 .

x 3 eller x 3

EKSEMPEL LØ S N I N G

a.

Løs likningen 2 x 2 12 .

2 x 2 12

Når 2 x 2 er 12, må x 2 være 6, for 2 6 12 .

2

x 6 x 6 eller x

6

6

x 2,45 eller x 2,45

EKSEMPEL LØ S N I N G

2.449489743

Finn lengden av sidekantene i et kvadrat som har arealet 36 cm2 . x 2 36

La x være lengden av sidekantene.

x 6 eller x 6

Arealet er da x x x 2 .

Sidekantene er 6 cm lange.

Lengden må være et positivt tall.

36 cm2

x

x

Potenslikningen x 3 8 har løsningen x 2 , for 23 8 . Ingen andre tall passer.

Likningen x 3 5 har løsningen x 3 5 .

REGEL EKSEMPEL LØ S N I N G EKSEMPEL LØ S N I N G

Likningen x 3 a har løsningen x 3 a .

Løs likningen x3 = 27 .

Når x3 = 27, er x = 3, for 33 = 3 3 3 = 27 Finn lengden av sidekantene i en terning som har volumet 50 cm3 . x 3 50 3

x 50 3,68

La x være lengden av sidekantene.

Volumet er da x x x x 3 .

Sidekantene er 3,68 cm lange.

x 50 cm3

3 50 3.684031499

x x

s

102

4 | LIKNINGER OG FORMLER

OPPGAVE 4.30 Løs potenslikningene uten hjelpemiddel.

b) x 2 = 49

a) x 2 = 4 x=

x=

eller x =

eller x =

OPPGAVE 4.31 Løs likningene ved hjelp av en lommeregner.

a) x2 = 23

b) x2 = 150 eller x = -

x= x=

x=

eller x=

x=

eller x = eller x=

OPPGAVE 4.32 Løs likningene.

b) 4x 2 = 100

a) 2x 2 = 14

x2 =

x2 = x=

eller x = -

x=

eller x = -

x=

eller x=

x=

eller x=

OPPGAVE 4.33 Løs likningene.

a) x3 = 64 x= x=

3

b) 2x3 = 54 x3 = x= x=

c) 10x3 = 80 x3 =

3

x=

3

x=

OPPGAVE 4.34 Fire like terninger har til sammen volumet 32 cm3 . Hvor lange er sidekantene?

Volumet er 32 cm3

SINUS 1P BASIS

103

s

5.8 Digital løsning av likninger Likningen x2 – 4x 3 0 er et eksempel på en andregradslikning. Når vi skal løse denne likningen grafisk, tegner vi grafen til funksjonen f (x) x2 – 4x 3 og finner nullpunktene til funksjonen, slik vi lærte i kapittel 5.6.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Løs likningene grafisk. a) x2 – 4x 3 0 b) x2 – 4x 3 x – 1 f

a) Til høyre har vi tegnet grafen til funksjonen f (x)

x2 – 4x 3

Vi ser at den skjærer x-aksen når x Svaret er da: x

1 og x

y 4

3

1 og når x

3.

2

3

1

x 0

1

2

3

4

–1

b) Nå tegner vi linja y x – 1 sammen med grafen ovenfor.

Da skriver y x – 1 i algebrafeltet og får fram den blå linja til høyre. Så åpner vi rullegardinmenyen under A , velger Skjæring mellom to objekt og klikker på de to linjene. Da får vi fram skjæringspunktene. Vi klikker på punktet, åpner menyen , klikker på AA og velger Verdi. Da får vi fram koordinatene 1, 0 og 4, 3 . Vi skal ha x-verdiene til punktene. Svaret er: x

1 og x

4

f

y 4

(4, 3)

3

2

1

x

(1, 0) 0

1

2

3

4

–1

I GeoGebra kan vi løse likninger uten å tegne grafer. Da bruker vi CAS. Vi får fram ved å CAS . Da får vi fram CAS-feltet. trykke på , klikke på Vis og merke av for CAS slik: Det kan være vanskelig å se forskjell på CAS-feltet og algebrafeltet. Legg merke til at det står et tall først i CAS-feltet.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

s

148

Løs likningene i CAS. a) x2 – 4x 3 0 b) x2 – 4x 3 x – 1 a) Vi skriver inn likningen i CAS og trykker på Svaret er x 1 og x 3.

.

b) Vi skriver inn likningen i CAS og trykker på Svaret er x 1 og x 4.

.

5 | FUNKSJONER

OPPGAVE 5.80 Løs likningene grafisk i GeoGebra og forklar hva du gjorde. a) x2 – 5x 6 0 b) x2 – 5x 6 x 1

a) Likningen har løsningene x =

og x =

.

og x =

.

Jeg gjorde slik:

b) Likningen har løsningene x = Jeg gjorde slik:

OPPGAVE 5.81 Løs likningene i CAS og forklar hva du gjorde. a) x2 – 5x 6 0 b) x2 – 5x 6

a) Likningen har løsningene x =

x 1

og x =

.

og x =

.

Jeg gjorde slik:

b) Likningen har løsningene x = Jeg gjorde slik:

OPPGAVE 5.82 Løs likningene i CAS. a) x2 – 7x 12 0 b) –x2 6x – 8 0 c) 2x2 8x 8 0

OPPGAVE 5.83 Løs likningene grafisk og i CAS. a) –x2 8x – 2 2x 6 b) 2x2 – 8x 10 4x 8 c) x2 – 2x 1 2x – 2

a) x =

og x =

.

a) x =

og x =

b) x =

og x =

.

b) x =

.

c) x =

.

c) x =

og x =

SINUS 1P BASIS

.

.

149

s

5.9 Eksponentialfunksjoner I kapittel 3.5 lærte vi om prosentvis vekst i flere perioder.

Vi setter 1000 kr i banken med 2 % rente. Da er vekstfaktoren 2 1,02 1 100 Etter x år har beløpet gitt ved B (x) 1000 1,02x.

En slik funksjon kaller vi en eksponentialfunksjon. Når en størrelse vokser på den måten også når x ikke er hele tall, har vi eksponentiell vekst. Den prosentvise veksten er da den samme i alle perioder som er like lange.

REGEL

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Hvis en størrelse a øker eller minker eksponentielt, øker eller minker den med den samme prosenten i alle perioder som er like lange. Hvis k er vekstfaktoren, er verdien etter x perioder gitt ved f (x) a k x.

Vi har på et tidspunkt 53 060 kr på en konto i banken.

Pengene har stått der noen år, og renten er 2 % per år. a) Finn et uttrykk B (x) for beløpet om x år. b) Tegn grafen til B i GeoGebra når x er mellom –5 og 10. c) Hvor mye har vi i banken om 5 år hvis renten er 2 % framover? d) Hvor mye hadde vi banken for 3 år siden? e) Bruk CAS til å bestemme når vi har 70 000 kr i banken. a) Med 2 % rente blir vekstfaktoren 1,02.

Beløpet om x år er da gitt ved B (x)

53 060 kr 1,02x

b) Vi skriver inn uttrykket i algebrafeltet. Vi taster 1.02^x for å få fram 1.02x.

Husk punktum og ikke komma! Det gir grafen til høyre. c) For å finne beløpet om 5 år, skriver vi B(5) i CAS. Så trykker vi på for å svaret som et desimaltall.

Vi har 58 583 kr i banken om 5 år. d) B ( 3)gir beløpet for 3 år siden.

Vi hadde 50 000 kr i banken for 3 år siden. e) Vi må løse likningen B (x) 70 000. Vi skriver likningen i CAS og trykker på .

Beløpet er 70 000 kr om 14 år.

s

150

5 | FUNKSJONER

80000

y (kr)

70000 60000

B

50000 50 5 0000 0000 0 40000 30000 20000 10000

–5 –4 –3 –2 –1

x (år) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

OPPGAVE 5.90 Otto satte inn penger på en konto i banken for 6 år siden. Det er nå 28 992 kr på kontoen.

Renten er 2,5 % per år. Beløpet om x år er da gitt ved B (x) 28 992 1,025x. a) Tegn grafen til B i GeoGebra. b) Bruk CAS til å finne beløpet om 4 år. c) Bruk CAS til å finne ut hvor mye penger Otto satte inn på kontoen for 6 år siden. d) Bruk CAS til å finne ut hvor mange år det er til Otto har 40 000 kr i banken.

b) Beløpet om 4 år er c) Otto satte inn d) Det går

kr. kr.

år.

OPPGAVE 5.91 1. januar 2000 var folketallet i verden 6,1 milliarder. Folketallet har etter det økt med 1,24 % hvert år. a) Forklar at folketallet x år etter 2000 er gitt ved f (x) 6,1 1,0124x. b) Tegn grafen til f i GeoGebra. c) Finn folketallet i 2020. d) Finn folketallet i 2030 hvis utviklingen fortsetter. e) Bruk CAS til å finne ut når folketallet passerer 15 milliarder.

a) Vekstfaktoren til 1,24 % økning er 1 +

= 1 +

=

100 Folketallet er derfor gitt ved f(x) = o x .

c) Folketallet i 2020 var

milliarder.

d) Folketallet i 2030 var

milliarder.

e) Folketallet vil passere 15 milliarder i året

.

.

OPPGAVE 5.92 Vi har et veldig stort papirark som er 0,2 mm tykt. Vi bretter så arket om midten gang på gang. Når vi har brettet én gang, er det 0,4 mm tykt. Når vi bretter to ganger, er det 0,8 mm tykt osv. Når vi har brettet arket x ganger, er tykkelsen i millimeter gitt ved t (x) 0,1 2x. a) Hvor tykk er bunken når vi har brettet 10 ganger? b) Hvor mange meter tykk er bunken hvis vi hadde klart å brette 20 ganger?

a) Når vi har brettet arket 10 ganger, er tykkelsen t(10) = o 10 =

mm.

b)

SINUS 1P BASIS

151

s

6.8 Kjennetegn ved funksjoner Når vi skal finne hvilken funksjon som passer til et datasett, må vi noen ganger selv finne ut hvilken type funksjon vi skal bruke. Da skriver vi tallene i tabellen inn i regnearket i GeoGebra og markerer dem ved hjelp av musa. Så trykker vi på knappen , velger regresjonsanalyse og ser hvordan punktene ligger. Når vi så skal velge modell, kan vi bruke disse reglene:

REGEL

ax b.

Hvis punktene ligger omtrent på linje, bruker vi en lineær funksjon f (x)

Hvis punktene har én topp eller én bunn, bruker vi en andregradsfunksjon.

Hvis punktene har både en topp og en bunn, bruker vi en tredjegradsfunksjon.

Hvis det er flere topper eller bunner, bruker vi et polynom av høyere grad.

Hvis punktene ikke ligger på linje og ikke har topper eller bunner, bruker vi enten en potensfunksjon eller en eksponentialfunksjon.

Vi bruker en potensfunksjon hvis kurven ser ut til å gå gjennom origo og en eksponentialfunksjon ellers.

EKSEMPEL

a)

b)

y 30

y 30

25

25

25

20

20

20

15

15

15

10

10

10

5

5

x 2

LØ S N I N G

c)

y 30

4

6

8

5

x

x 2

4

6

8

2

4

6

8

a) Punktene ligger ikke på ei rett linje. De danner ikke noen topp eller bunn og ser ut til å ligge på en kurve som går gjennom origo.

En potensfunksjon passer best. b) Disse punktene ser ut til å ligge på en kurve som ser ut til å ha et toppunkt og ingen bunnpunkter. Da er det andregradsfunksjonen som passer best.

En andregradsfunksjon passer best. c) Punktene ligger ikke på ei rett linje. Kurven ser ikke ut til å ha toppunkter eller bunnpunkter. Den går ikke gjennom origo, og da er det en eksponentialfunksjon som passer best.

En eksponentialfunksjon passer best.

s

182

6 | MATEMATISKE MODELLER

OPPGAVE 6.80 Hvilken type funksjon tror du passer best til punktene i disse koordinatsystemene? a) b) c) y

y

y

10

10

10

8

8

8

6

6

6

4

4

4

2

2 x

x 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

2 x 1

2

3

4

5

OPPGAVE 6.81 x

1

2

3

4

5

6

y

1,7

3,3

4,2

4,9

5,1

4,8

a) Plasser punktene digitalt i et koordinatsystem. b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket du syns passer best.

OPPGAVE 6.82 x

0

1

2

3

4

5

6

y

2,5

3

3,5

4,3

5,2

6,4

7,5

a) Plasser punktene digitalt i et koordinatsystem. b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket du syns passer best.

SINUS 1P BASIS

183

s

SAMMENDRAG Matematisk modell En matematisk modell er en regnemetode som gir en sammenheng mellom to størrelser. Modellen kan være en formel eller en eller flere likninger som knytter de to størrelsene sammen. Matematiske modeller kan også være en beskrivelse av en framgangsmåte som gjør oss i stand til å regne om mellom to størrelser ved hjelp av hoderegning.

Regresjon Regresjon er en matematisk metode som gir oss den funksjonen som passer best til et datasett.

Lineær vekst Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi en lineær matematisk modell. Vi sier også at vi har lineær vekst. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b.

Potensfunksjon For en potensfunksjon er funksjonsuttrykket på formen f(x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall.

Eksponentialfunksjon For en eksponentialfunksjon er funksjonsuttrykket av typen f(x) = a k x der k er et positivt tall og a er et vilkårlig tall.

Valg av modell Hvis punktene ligger omtrent på linje, bruker vi en lineær funksjon f(x) = ax + b.

Hvis punktene har én topp eller én bunn, bruker vi en andregradsfunksjon.

Hvis punktene har både en topp og en bunn, bruker vi en tredjegradsfunksjon.

Hvis det er flere topper eller bunner, bruker vi et polynom av høyere grad.

Hvis punktene ikke ligger på linje og ikke har topper eller bunner, bruker vi en potensfunksjon hvis kurven ser ut til å gå gjennom origo og en eksponentialfunksjon ellers.

s

184

6 | MODELLER OG FUNKSJONER

KAPITTELTEST 6 MODELLER OG FUNKSJONER

UTEN HJELPEMIDLER OPPGAVE 1

OPPGAVE 3

Uttrykket

Det er gjort undersøkelser som viser en sammenheng mellom alderen til barn og hvor mange ord barnet i gjennomsnitt kan. Tabellen viser noen data fra en slik undersøkelse.

T(x) = –0,5x + 6 er en er en matematisk modell som forteller hva temperaturen T var x timer etter midnatt en høstdag. a) Bestem temperaturen kl. 08. b) Når var temperaturen 0 °C? c) Gi en praktisk tolkning av tallet –0,5 i uttrykket ovenfor. d) Framstill modellen grafisk. e) Neste døgn begynte temperaturen å stige. Den steg med 1 grad per time.

Lag en matematisk modell som beskriver temperaturutviklingen.

OPPGAVE 2

Jesper har aksjer som i dag har en verdi på 300 000 kr. Aksjene faller i verdi, og Jesper antar at verdien vil synke med 7 % per år i tiden framover. a) Sett opp en modell f(x) som Jesper kan bruke for å regne ut verdien av båten om x år. b) Hvilken av grafene nedenfor er grafen til f?

Begrunn svaret ditt. y

Alder (md.)

20

50

Antall ord

300

2100

a) Lag en lineær matematisk modell for sammenhengen mellom alderen x til et barn og hvor mange ord f(x) barnet i gjennomsnitt kan. b) Bruk modellen til å anslå hvor mange ord et 30 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan. c) Hvor gammelt er et barn når det lærer sitt første ord i følge modellen? d) Gi en tolkning av hva stigningstallet forteller i denne oppgaven.

OPPGAVE 4

NRK publiserte 3. juni 2019 en artikkel med overskriften «Klimagassutslippene øker i Norge».

Illustrasjonen nedenfor er hentet fra artikkelen og viser CO2-utslippet for Sverige og Norge for perioden 1990–2017.

Bruk matematiske ord og uttrykk og noter hva du kan hente ut av informasjon fra illustrasjonen.

y A

B y

CO2-utslipp per år i 1000 tonn CO2-ekvivalenter

80k 70k x 0

5 10 15 20

x 0

y

5 10 15 20

60k 50k

C

40k

x 1990

1995 Norge

x 0

2000

2005 Sverige

2010

2015 Kilde: SSB/SCB

5 10 15 20

SINUS 1P BASIS

185

s

MED HJELPEMIDLER OPPGAVE 5

OPPGAVE 7

Tidligere brukte nordmenn mer tid daglig på å lese aviser. Tabellen nedenfor viser utviklingen i perioden 2000 til 2018. T(x) er gjennomsnittstida i minutter brukt til slik lesing x år etter 2000.

En pasient på et sykehus får en injeksjon av et preparat i blodet. Tabellen viser konsentrasjonen K i blodet, målt i mg/mL, ved noen tidspunkter etter at injeksjonen ble gitt.

Årstall 2000 2004 2008 2012 2014 2016 2018

t (minutter)

0

5

12

25

35

50

x (år)

0

4

8

12

14

16

18

K (mg/mL)

3,00

2,71

2,35

1,81

1,48

1,09

T (x) (min)

34

30

27

21

19

14

11

a) Bruk regresjon og lag en lineær matematisk modell for utviklingen av den gjennomsnittlige tida brukt til avislesing per dag. b) Hvordan passer tallene fra 2000 og 2012 med modellen? c) I 1994 brukte hver nordmann i gjennomsnitt 39 minutter på å lese aviser.

Hvilken verdi gir modellen fra oppgave a?

Sammenlikn verdiene og kommenter svaret. d) Hvor mye tid vil vi bruke til avislesing i 2027 ut fra modellen? e) Ei avis skrev: Nordmenn vil fra 2028 ikke lenger lese aviser.

Bruk modellen og kommenter hva som kan ligge bak påstanden.

a) Finn ved regresjon funksjonsuttrykket K(t) til den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. b) Tegn grafen til K når t har verdier mellom 0 og 90. c) Hvor mange prosent avtar konsentrasjonen i blodet per minutt? d) Preparatet er virksomt så lenge konsentrasjonen er høyere enn 0,80 mg/mL. Hvor lenge er preparatet virksomt?

Løs oppgaven både grafisk og i CAS.

OPPGAVE 6

Prosentdelen av 14C som er igjen t år etter at en organisme er død, er gitt ved P(t ) = 100 2

t 5730

Det er gjort funn av dyreknokler der det var igjen 77,6 % 14C. Hvor lenge er det siden dette dyret døde?

Løs oppgaven i CAS.

OPPGAVE 8

Amanda skal ha bursdag, og familien blåser opp mange ballonger. Hun har hørt at x sekunder etter at blåsingen begynner, er den gjennomsnittlige bredden B i centimeter gitt ved B(x) = 13,5 x 0,4,

0 < x < 10

a) Tegn grafen til potensfunksjonen digitalt. b) Hvor bred er i gjennomsnitt en ballong 6 s etter at blåsingen begynner? c) Hvor lang tid tar det fra en begynner å blåse til ballongen er 34 cm bred. Løs oppgaven digitalt på to måter. d) Hvor mye øker i gjennomsnitt bredden av en ballong fra det 4. til det 5. sekundet?

s

186

6 | MODELLER OG FUNKSJONER

6

Matematiske modeller ØV MER

6.121

Vi kjøper ei solsikke som er 20 cm høy. Tabellen viser høyden h til solsikka x dager etter at vi kjøpte den.

6.1 MATEMATISKE MODELLER 6.110

Arild er 40 år og trener hardt og mye. Han lurer på hva som er anbefalt makspuls for hans alder.

Legen til Arild sier at en god tommelfingerregel er å ta 220 pulsslag og trekke fra alderen. a) Hva bør makspulsen til Arild være? b) Lag en matematisk modell som du kan bruke til å anslå makspulsen til en person ut fra alderen.

6.111

En mye brukt enhet for lengde i engelskspråklige land er fot. En fot er omtrent lik 0,3 m. a) Finn omtrent disse lengdene i meter.

1) 5 fot 2) 12 fot b) Lag en matematisk modell som raskt regner om fra fot til meter.

x (dager)

0

4

12

16

30

45

60

h (cm)

20

32

56

68

112 152 200

a) Bruk tallene fra dag 0 og dag 60 til å lage en lineær matematisk modell for høyden til solsikka. b) Hvor godt passer tallene for 30 og 45 dager med modellen? c) Kan modellen passe med høyden på solsikka etter 3 måneder?

6.122

4. januar 2020 opplyste NRK at det var færre barn som gikk langrenn enn tidligere. Figuren viser utviklingen fra 2011 til 2018.

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 60.000

6.112

Stian kan lese av på en måler i bilen sin hvor mange liter drivstoff det er på tanken. Bilen bruker 0,5 L drivstoff per mil. Uttrykket y = 2x er en matematisk modell som forteller hvor mange mil y Stian kan kjøre på x liter drivstoff. a) Hvor langt kan Stian kjøre på 30 L drivstoff? b) Forklar hvorfor modellen er riktig.

6.2 LINEÆRE MODELLER

56.955 50.000 40.000 39.678 30.000

a) Bruk tallene for 2011 og 2018 til å lage en lineær modell for hvor mange som går langrenn. La x = 0 svare til 2011 og x = 7 til 2018. b) Hvor godt passer modellen for 2014? c) Bruk modellen til å finne ut når ingen barn vil gå langrenn.

6.120

Trine kaster spyd. Tabellen nedenfor viser utviklingen hennes i noen år etter 2012. La y være kastlengden målt i meter x år etter 2012. Årstall

2012

2014

2016

2018

2020

x (år)

0

2

4

6

8

y (m)

40,00

45,20

50,80

54,75

60,00

a) Ta utgangspunkt i årene 2012 og 2020, og lag en lineær matematisk modell for utviklingen av kastlengden. b) Hvordan passer modellen for årene 2014 og 2018? c) Hvor langt kaster Trine i 2024 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten?

6.123

Jens vil undersøke bensinforbruket til bilen sin.

Bensintanken rommer 60 liter, og Jens fyller tanken full. Han kan hele tida lese av elektronisk hvor mye det er igjen på bensintanken. Etter x mil er det igjen y liter. Tabellen viser utviklingen de første 20 milene. x (mil)

0

6

10

15

20

y (liter)

60

55

51,5

48,5

44

a) Hvor mange liter bensin bruker bilen i gjennomsnitt per mil på de første 20 milene? b) Bruk svaret i oppgave a til å lage en lineær matematisk modell som gir sammenhengen mellom x og y.

SINUS 1P BASIS

187

s

6.6 POTENSFUNKSJONER

6.7 POTENSREGRESJON

6.160

6.170

Funksjonen f er gitt ved

Tabellen viser samsvarende verdier av to variable størrelser x og y.

f(x) = 2,5x 2,7 når x er mellom 0 og 5. a) Tegn digitalt grafen til f. b) Løs likningen digitalt.

2,5x 2,7 = 21

x

2

5

8

12

20

y

2,8

4,5

5,7

6,9

8,9

Finn ved regresjon den potensfunksjonen som passer best med tabellverdiene for x og y.

6.171

6.161

Når vi slipper en stein fra høyden x målt i meter, er farten v(x) målt i meter per sekund (m/s) når steinen treffer bakken, gitt ved v(x) = 4,4x 0,5

x (timer)

1

4

7

9

f(x) (mm)

2

16

37

54

a) Tegn digitalt grafen til v når x er mellom 0 og 70. b) Finn farten ved bakken når 2) x = 30 1) x = 20 c) Finn grafisk hvilken høyde vi slipper steinen fra når farten er 35 m/s nede ved bakken.

a) Finn funksjonsuttrykket f(x) til den potensfunksjonen som passer best med tabellverdiene. b) Tegn grafen til f digitalt. c) Hvor mye nedbør hadde det kommet kl. 05.00? d) Når hadde det kommet 45 mm nedbør?

6.162

6.172

Forskere har funnet en sammenheng mellom vekten til en dinosaur og omkretsen av lårbeinsknokkelen. Dersom vekten er D(x) målt i kilogram når lårbeinsknokkelen har en omkrets på x millimeter, er

Tabellen viser vekten målt i kilogram for gjedder med ulike lengder målt i centimeter i en bestemt innsjø.

D(x) = 0,00016 x 2,73 a) Finn vekten til en dinosaur når omkretsen av lårbeinsknokkelen er 1) 535 mm 2) 680 mm b) Tegn grafen til D når x er mellom 0 og 600. c) Finn grafisk omkretsen av lårbeinsknokkelen til en dinosaur som veier 5400 kg.

s

Et døgn kom det 54 mm nedbør i de ni første timene etter midnatt. Den totale nedbørsmengden i millimeter ble målt ved noen tidspunkter etter midnatt. Tabellen viser resultatene.

190

6 | MODELLER OG FUNKSJONER

x, lengde i cm

51

56

61

66

76

81

91

96 106

V(x), vekt i kg

1,1 1,5 2,0 2,5 3,8 4,6 6,6 7,7 10,5

a) Sett inn punktene i et koordinatsystem. b) Finn digitalt den potensfunksjonen som passer best med tabellverdiene. c) Finn vekten av ei gjedde som er 85 cm lang. d) Hvor lang er ei gjedde på 12,0 kg hvis lengden følger denne modellen?

6.173

6.181

Noen amerikanske trær kan bli svært høye.

Tabellen nedenfor viser noen samsvarende verdier for diameteren x målt 1,5 m over bakken og høyden h(x) for slike trær.

Vi har gitt denne tabellen:

x, diameter i m

0,5

1,0

1,5

2,0

h(x), høyde i m

13,8

21,4

27,6

33,1

a) Finn den potensfunksjonen som passer best med tabellverdiene. b) Tegn grafen til potensfunksjonen når x er mindre enn 3,0 m. c) Hvor høyt er et slikt tre som har diameteren 1,8 m? d) Finn diameteren til et tre som har høyden 40 m.

6.174

En hund skal ha en daglig fôrmengde som er tilpasset vekten. På en pose med hundefôr finner vi denne sammenhengen mellom vekten x og den daglige fôrmengden f(x).

Vekt (kg)

5

10

15

30

40

60

Fôrmengde (g)

85

140

190

320

395

545

x

0,5

1

1,5

2,5

3

3,5

f(x)

0,02

0,10

0,25

0,82

1,25

1,78

a) Plasser punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. d) Tegn grafen til f sammen med punktene.

6.182

Vi har gitt denne tabellen: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

f(x)

8

6

5

4

3

2,5

2

1,5

a) Plasser punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. d) Tegn grafen til f sammen med punktene.

UTEN HJELPEMIDLER

a) Finn ved regresjon den potensfunksjonen som passer best med tabellverdiene.

6.200

I resten av oppgaven setter vi f(x) = 25 x 0,75 b) Finn den daglige fôrmengden til en hund som veier 20 kg. c) Tegn grafen til f når x er mellom 0 og 80 kg. d) Finn grafisk vekten til en hund som trenger 470 g av dette fôret.

En mye brukt fartsenhet på havet er knop.

En knop er omtrent lik 0,5 m/s. a) Finn omtrent disse hastighetene i m/s.

1) 16 knop 2) 80 knop b) Lag en matematisk modell som raskt regner om fra knop til m/s.

6.201

0,25 kg smågodt koster 40 kr.

Lag en matematisk modell som raskt regner om fra vekten i hektogram til prisen.

6.8 KJENNETEGN VED FUNKSJONER 6.180

6.202

Vi har gitt denne tabellen: x

–1

0

2

4

6

8

f(x)

–1

0,4

3,6

6,5

9,3

12,6

a) Plasser punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. d) Tegn grafen til f sammen med punktene.

Markus sitter ofte barnevakt for barna til en familie. Han får 90 kr/time, men han har bussutgifter på 40 kr.

Lag en lineær modell for inntekten y når Markus ei uke har vært barnevakt i x timer og vært der 3 ganger.

SINUS 1P BASIS

191

s

MED HJELPEMIDLER 6.300

6.303

Line har vært med i et mosjonsløp over 15 kilometer. Hun løp med jevn fart og brukte akkurat en time på distansen. a) Hvor mange minutter brukte per kilometer? b) Hvor mange meter løp hun på ett minutt? c) Forklar at etter x minutter hadde Line igjen å løpe y kilometer, der y = 15 – 0,25x. d) Tegn den rette linja i oppgave c i et koordinatsystem for x mellom 0 og 60. e) Finn grafisk hvor mange minutter Line hadde løpt når det var igjen 5 km. f) Hvor langt hadde hun løpt etter 20 minutter?

En kvinne har drukket alkohol og har 2,0 promille alkohol i blodet. Vi antar at alkoholinnholdet i blodet hennes minker med 0,15 promille per time. a) Forklar at A(t) = 2 0,15t er et uttrykk for alkoholinnholdet i promille i blodet til kvinnen etter t timer. b) Tegn en graf som illustrerer denne sammenhengen. Velg t mellom 0 og 12. c) Hvor mye alkohol har hun i blodet etter 8 timer? d) Hvor lang tid tar det før alkoholen er helt ute av kroppen?

6.301

Elisabeth har begynt å trene med ergometersykkel. Hun sykler en fast distanse hver dag. Grafen nedenfor viser kilometerstanden på ergometersykkelen de første 30 dagene.

6.304

Tabellen nedenfor viser bompengeinntektene til staten hvert år i perioden fra 2010 til 2017.

Bompengeinntektene er gitt i milliarder kroner.

km y

År

180

x

140

Bompengeinntekter

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 0

1

2

3

4

5

6

7

6,24 6,57 7,34 8,03 8,47 9,33 9,82 10,42

100 60 20

x 4

8

12

16 20 24 28 dager

a) Hva stod kilometertelleren på da hun begynte å trene? b) Hvor langt har Elisabeth syklet etter 20 dager? c) Finn en formel som viser kilometerstanden etter x dager.

6.302

Forskere har funnet en sammenheng mellom vekta x av et pattedyr og vekta S(x) av skjelettet til dyret. Tabellen nedenfor viser noen samsvarende verdier av disse størrelsene.

Kroppsvekt (kg), x

20

40

60

100

200

Skjelettvekt (kg), S(x)

1,5

3,2

5,0

8,7

18,7

a) Finn ved regresjon den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen. a) Tegn grafen til funksjonen fra oppgave a når x er mellom 0 og 300. b) Finn vekta til en løve med et skjelett som veier 20 kg. Løs oppgaven på to forskjellige måter.

s

194

6 | MODELLER OG FUNKSJONER

a) Finn ved lineær regresjon det funksjonsuttrykket B(x) som passer best til tallene. La x være tallet på år etter 2010. Ta med to desimaler i svaret. b) Tegn grafen til funksjonen B når x er mellom 0 og 15 år. c) Bruk modellen og finn når bompengeinntektene passerer 14 milliarder kroner per år. d) Bompengeinntektene var 4,72 milliarder kroner i 2008.

Hvordan stemmer dette med den verdien modellen gir?

6.305

6.306

Per Erling er en ivrig fisker og har sett en illustrasjon som viser sammenhengen mellom diameteren x i millimeter på fiskesnøret og bruddstyrken f i kilogram. Han spør deg om han kan stole på formelen.

Tabellen viser folketallet i en by for noen år fra 2007 til 2019. Her er x tallet på år etter 2007. Årstall

x

Folketall

2007

0

21 308

2008

1

21 540

På fisketur med riktig snøre

2009

2

21 536

2011

4

21 594

2013

6

21 874

2015

8

22 700

Tabell fiskesnøre/-sene

2017

10

23 267

2018

11

23 580

2019

12

24 177

Diameter mm

0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,45

Bruddstyrke Formelen kg y = 70(x + 0,01)2 1,8 kan brukes til å 3,1 beregne hvor mye et fiskesnøre tåler 4,7 (bruddstyrken).

6,7 11,8 y står for bruddstyrken i kilogram.

14,8

x står for snørets diameter (tykkelse) i millimeter.

a) Finn den andregradsfunksjonen som passer best med dataene. b) Tegn grafen til andregradsfunksjonen når x er mellom 0 og 30. c) Bruk modellen og finn ut hvor mange innbyggere byen har i 2027. d) I hvilket år vil folketallet passere 27 000?

6.307

Tabellen nedenfor viser det samlede antallet registrerte elbiler i Norge ved utgangen av hvert år i perioden fra 2012 til 2018.

a) Finn ved polynomregresjon den andregradsfunksjonen f som passer best med tallene i illustrasjonen. Velg x mellom 0 og 0,50 og tegn grafen til denne funksjonen. b) Tegn grafen til funksjonen som er gitt i illustrasjonen. Velg mellom 0 og 0,50. Sammenlikn de to grafene. c) Regn ut bruddstyrken for et snøre med diameter 0,35 mm. Gjør utregninger ved å bruke begge modellene. Sammenlikn svarene. d) Hva vil du si til Per Erling?

Årstall

x

Elbiler

2012

0

8031

2013

1

17 770

2014

2

38 600

2015

3

69 100

2016

4

97 500

2017

5

142 490

2018

6

195 351

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen S(x) som passer best til tallene. La x være tallet på år etter 2012. b) Tegn digitalt grafen til funksjonen S når x er mellom 0 og 7 år. c) Hvor mange prosent øker antallet registrerte elbiler per år ut fra denne modellen? d) Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon P(x) som passer bedre med dataene enn det funksjonen i oppgave a gjør. e) Tegn grafen til funksjonen P når x er mellom 0 og 12 år. f) Hvor mange registrerte elbiler vil det være i Norge ved utgangen av 2022 hvis du bruker den siste modellen? Rund av svaret til nærmeste hundre.

SINUS 1P BASIS

195

s

Fasit 1 TALL OG TALLREGNING 1.10 a) 90 kr c) 50 kr

b) 1300 kr d) 600 kr

1.11 a) 120 c) 15 000

b) 1700 d) 500

1.12 a) 160 c) 640

b) 320 d) 6400

1.13 a) 30 c) 120

1.43 a) –11

b) 448

c) 2684

1.21 a) 18

b) 13

c) 345

b) 300 d) 6

1.31 a) 1200 c) 600

b) 210 d) 7

1.32 a) 210

s

b) 40

b) 0,25 d) 0,375 f) 0,1875

1.51 a) 0,333 c) 0,667 e) 0,182

b) 0,167 d) 0,222 f) 0,412

1.53 4 a) er størst 5 23 er størst c) 11

12 er størst 5 19 d) er størst 30

1.60 1 2 3 a) 4 8 12 4 2 1 c) 12 6 3 1.61 1 a) 2 1.62 2 a) 3

2 b) 3

b)

b)

2 3

c)

2 3

4 6

8 12

b)

3 7

c) 3

3 4

1.40 a) 14 c) 17

b) 17 d) 9

1.64 5 1 pizza og brus 6 3

1.41 a) 20 c) 28

b) 28 d) 6

1.42 a) 29

b) 29

1.70 3 a) 4 c) 11

1.71 1 a) 2

b)

5 6

b)

1 3

FASIT – 1 TALL OG TALLREGNING

c)

2 3

5 8

c)

4 5

d)

1 14

6 7 2 d) 3 b)

4 27 36 e) 5 b)

3 4 5 f) 4

c)

1.82 5 av 56 = 35 8 1.83 5 av 120 kr = 100 6

1.85 1800 kr

c) 9 1.63 3 a) 5

2 5

1.81 Fjerdeparten av 160 kr er 40 kr 3 av 160 kr = 120 kr.

4

1.84 a) 45 9 c) 12

b)

1.80 Halvparten av 120 kr er 60 kr.

Fjerdeparten av 120 kr er 30 kr.

3 av 120 kr = 90 kr.

4

b)

1.33 a) 1800 cm = 18 m b) 90 kr

198

1.74 7 a) 9 5 d) 4

1.52 Rekkefølgen blir: 5,179, 5,23, 5,3

1.20 a) 372

1.30 a) 700 c) 800

1.50 a) 0,5 c) 0,4 e) 0,15

1.72 2 a) 5 1.73 2 a) 7 6 c) 5

1.45 En av flere løsninger er: 9/9 – 9/9 = 0 9 + 9/9 – 9 = 1 9/9 + 9/9 = 2

1.14 a) 4 = 4 5=4+1 6=6 7=6+1 8 = umulig med 1, 4 og 6.

9=6+4–1 10 = 6 + 4 b) For eksempel 1, 2 og 7 1, 3 og 6 2, 3 og 7

b) 121,4 d) 247,8

c) 11

1.44 En av i alt 12 løsninger er: 9–8+7–6–5+4+3–2–1=1

b) 60 d) 1200

1.22 a) 22,5 c) 88,25

b) 21

d)

1 9

b) 140

c) 140

KAPITTELTEST Oppgave 1 a) 484 b) 728 c) 11 d) 46

1.115 12 meter

1.145 a) 19

b) –3

1.116 78 euro

1.146 a) 2

b) 13

1.147 a) 24 c) 9

b) 25 d) 56

Oppgave 2 a) omtrent 16 L (15,9 L) b) omtrent 28 mil

1.120 a) 385 d) 2448

b) 736 e) 1056

c) 528 f) 1232

Oppgave 3 11 1 b) a) 13 2 2 1 e) d) 3 2

1.121 a) 22 d) 23

b) 12 e) 52

c) 63 f) 11

1.122 a) 21,5 d) 212,4

b) 85,5 e) 18,2

c) 37,5 f) 143,2

1.123 a) 25 kr c) 30 m

b) 250 kr d) 300 m

Oppgave 5 3 av sirkelen er borte 8

1.124 a) 100 kr c) 75 m

b) 250 kr d) 75 m

Oppgave 6 9 5 7 3 4 , , , , 20 8 10 4 5

1.125 a) 1000 kr b) 200 m

11 c) 12 f) 18

Oppgave 4 2 av figuren er blå.

9

Oppgave 9 a) 26 elever 9 er jenter c) 13

1.130 7500 kr b)

4 er gutter 13

Oppgave 10 a) I eske A: 32 norske frimerker I eske B: 26 norske frimerker b) 58 norske frimerker c) 112 norske frimerker Oppgave 11 3 8

1.110 a) 90 kr c) 50 kr

1.131 Nei, de kan ikke ta heisen samtidig.

1.132 Nei, 100 kr er ikke nok.

1.133 a) omtrent 32 kr b) omtrent 60 kr

b) 900 kr d) 500 kr

1.111 a) 160 b) 1600 c) 16 000 d) 20 e) 200 f) 2000 1.112 a) 31

b) 73

c) 66

1.113 a) 20 m

b) 40 m

c) 320 m

1.114 a) 5 cm b) 10 cm c) 50 cm = 0,5 m

MÅ MÅL –1

4

–1

2

–6 6

3

4

–3

2

–5

4

– –5

1.134 omtrent 3000 kr

1.140 a) 56 d) 63

b) 54 e) –32

1.141 a) 1 c) 2

b) 2 d) 14

1.142 a) –10 c) 38

b) 0 d) –38

1.143 a) 12 c) 9

b) –4 d) 0

1.144 a) 16 d) –64

b) 64 e) –16

1.150 a) 0,1 d) 0,75

b) 0,01 e) 0,2

c) 0,001 f) 0,6

1.151 a) 0,05

b) 0,04

c) 0,02

1.152 0,5 L lettmelk 0,5 L kefir 0,4 dL vann 1 kg rugmel 0,25 kg sammalt hvetemel 0,75 kg hvetemel 2 ts salt 0,5 hg gjær 1.153 a) 3,042, 3,2039, 3,204, 3,240, 3,420 b) 2,4057, 2,457, 2,475, 2,547, 2,754 c) 0,09, 0,10, 0,15, 0,8, 0,9

1.135 a) 4,5 kr per egg b) 10-pakningen er billigst.

OPPGAVEDEL

5 6 7

START

1.127 45 høner

Oppgave 8 1,5 L vann

b) 77

1.149

1.126 30 kr per tur.

Oppgave 7 a) 14 b) 2

1.148 a) 37 5 6 7 c) 12 7 5 6

c) –30 f) –9

1.154 2 a) er størst 5 8 c) er størst 5

4 er størst 5 19 d) er størst 10 b)

1.155 1 1 1 1 1 a) , , , , 11 9 7 5 4 b)

1 1 1 2 3 , , , , 8 3 2 3 2

c)

1 2 3 4 , , , 1, 4 7 4 3

1.156 3 tomme er tykkest 4 c) 16 f) 0

SINUS 1P BASIS

199

s