Radius 6A Lærerens bok (kap. 1-2)

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

6A

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

GRUNNBOK

6A

LÆRERENS BOK

BOKMÅL

© Cappelen Damm AS 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Radius dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens barnetrinn.

Illustratør: Magnus Værness Prinsippdesign: AIT Oslo AS Sats/ombrekking: PrePress Arnvid Moholt Omslagsdesign: Tank Omslagsillustrasjon: Magnus Værness Forlagsredaktør: Marianne Haanæs Trykk og innbinding: AIT Bjerch AS Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40527-4 www.radius.cdu.no

Forord Til Læreren Lærerens bok har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Radius bygger på, og hvordan verket er bygd opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromssamtaler.

Videre følger Lærerens bok grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromssamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene.

Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse.

Til slutt i hvert kapittel er det en test, «Dette har jeg lært i kapittel ...». Denne testen er rask å kopiere og dele ut til elevene og gir et godt bilde av hva elevene har fått med seg i kapitlet.

Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har som hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier.

Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene og kopieringsoriginaler på nynorsk til «Dette har jeg lært i kapittel ...». De resterende kopieringsoriginalene er på radius.cdu.no.

Vi som er forfattere av Radius 5–7, ønsker at Lærerens bok skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine.

Lykke til!

Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

Forord

3

Innhold Om Radius Matematikkdidaktiske prinsipper. . . . . I Oppbygningen av Radius. . . . . . . . . . . II Grunnleggende ferdigheter. . . . . . . . . V Utvikling av regnestrategier . . . . . . . VII Visuelle modeller. . . . . . . . . . . . . . . . VIII Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker. . . . X Mål for 6. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

Kapittel 1 Hoderegningsstrategier 6 Repetere hoderegning. . . . . . . . . . . . . 8 Hoderegning – dobling og halvering. . 10 Dobling og halvering i multiplikasjon og divisjon. . . . . . . . . 12 Hoderegning – bruke tiervennene. . . . 14 Hoderegning – tenke via hel tier. . . . . 15 Overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Hoderegning – multiplikasjon ved å dele opp tallene. . . . . . . . . . . . . . . 17 Partall, oddetall og primtall . . . . . . . . 18 Finn ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kapittel 2 Tall og regning

22

Titallsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Oppstilling – addisjon. . . . . . . . . . . . . . 30 Oppstilling – subtraksjon. . . . . . . . . . . 33 Veksling over null. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Negative tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Regne med negative tall . . . . . . . . . . . 38 Tekstoppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tekstoppgaver med modell. . . . . . . . . 42 Summere med regneark. . . . . . . . . . . 44 Lage formler i regneark. . . . . . . . . . . . 45

4 Innhold

Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kapittel 3 Multiplikasjon og divisjon

48

Repetere multiplikasjon. . . . . . . . . . . . 50 Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Multiplikasjon – flersifrede tall. . . . . . 56 Repetere divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Divisjon med flersifrede tall. . . . . . . . . 62 Multiplikasjon og divisjon med modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Formler i Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Kapittel 4 Måling

72

Lengdemål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Omkrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Areal av rektangler. . . . . . . . . . . . . . . . 80 Areal av trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Målestokk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Regning med tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Aktivitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Finn ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Kapittel 5 Desimaltall

92

Repetisjon av desimaltall. . . . . . . . . . . 94 Tideler og hundredeler. . . . . . . . . . . . . 95 Addisjon og subtraksjon. . . . . . . . . . . . 99 Tusendeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Oppstilt addisjon. . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Oppstilt subtraksjon. . . . . . . . . . . . . . 107 Veksle over null. . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Multiplikasjon som gjentatt addisjon.110 Excel – formater. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Finn ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Kapittel 6 Geometri

116

Linje, linjestykke og stråle. . . . . . . . . 118 Vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Måle vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Firkanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Geogebra – måle vinkler og sider. . . 127 Geogebra – tegne trekant . . . . . . . . . 128 Sirkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Konstruere sirkel med passer. . . . . . 130 Tesselering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Rutenett og kart. . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Punkter i koordinatsystem. . . . . . . . 134 Finn ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Dette har jeg lært i kapittel 6 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Dette har jeg lært i kapittel 1 til og med 6 (nynorsk). . . . . . . . . . . 138

Fasiter Fasit Grunnbok 6A . . . . . . . . . . . . . . . 146 Fasit Oppgavebok 6 (kapittel 1 til 6). 155 Fasit til elevoppgavene i Lærerens bok 6A. . . . . . . . . . . . . . . 163

Kopieringsoriginal 1–12

radius.cdu.no

Kopieringsoriginaler Dette har jeg lært i kapittel 1 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Dette har jeg lært i kapittel 2 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Dette har jeg lært i kapittel 3 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Dette har jeg lært i kapittel 4 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Dette har jeg lært i kapittel 5 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Innhold

5

Matematikkdidaktiske prinsipper Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk.

Radius legger vekt på at elevene: •• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene •• oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger •• løser utforskende og sammensatte oppgaver •• samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Radius skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å •• rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang •• dele opp tall på ulike måter •• utvikle forståelse for plassverdisystemet •• automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 •• automatisere multiplikasjonstabellen •• utforske egenskaper ved tall

Regnestrategier I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre seg erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Sammenhenger i matematikk Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk.

Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1 = 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120, osv.

I

Matematikkdidaktiske prinsipper

Utforskende og sammensatte oppgaver Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Radius legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Konkret – Visuelt – Abstrakt I Radius legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå.

Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger.

Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene.

Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og thinking blocks.

Med abstrakter mener vi tallsymbolene.

Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Radius legger hele veien opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger.

Refleksjon og kommunikasjon Radius tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Oppbygningen av Radius Komponentene i Radius 5, 6 og 7 Grunnbok A og B Oppgavebok Lærerens bok A og B Radius digital med tavlebok

Ulike oppgaver Radius har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver.

Radius Grunnbok Radius gir i praksis •• tydelige mål for hvert kapittel •• oppgaver for refleksjon og klassesamtale •• differensierte oppgaver til hvert tema •• problemløsningsoppgaver •• visuell støtte til oppgaver Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. På den siste siden i hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. I tillegg er det kapittelprøver i Radius Digital.

Refleksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde og tilhørende spørsmål. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, de får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker.

Alle kapitlene har samtaleruter med blått raster.

På disse rastrene presenteres nye emner som samtalestoff med forslag til spørsmål som læreren kan bruke for å få engasjement rundt det nye temaet klassen skal i gang med.

På gult raster presenterer Radius varierte sammenoppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller i små grupper.

Elevene skal samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og begrunne sine løsninger.

Differensierte oppgaver Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som likner på dem de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins oppgaver på ulikt nivå. Mange av emnene har også oppgaver med visuell støtte, en modell som de elevene som trenger det, kan bruke videre på flere av oppgavene. Noen oppgaver er merket med smilefjes.

Dette er ekstra utfordrende oppgaver som det ikke er meningen at alle elevene skal løse.

Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene.

Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan enten være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med, å anvende den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet.

Sant eller usant Alle kapitlene har også en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til temaet.

 Oppbygningen av Radius

II

Radius Oppgavebok Radius Oppgavebok følger de samme temaene som i Radius Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver, mer utfordrende smilefjesoppgaver og egne sider som heter «Veien videre». Der finner du oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har også gode eksempler til alle temaet og egner seg derfor også godt til hjemmebok.

Radius Lærerens bok Radius Lærerens bok følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til alle oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerens bok har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter.

Den har dessuten elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall.

Til slutt i hvert kapittel er det en kapitteltest. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5A, Oppgavebok 5 (kapittel 1 til 6) og elevoppgavene i Lærerens bok. Øvrige kopieringsoriginaler er på radius.cdu.no.

Radius Digital 5–7 Øvingsoppgaver Nettstedet inneholder interaktive oppgavesett til alle delemner i hvert kapittel. Når elevene arbeider med oppgavene, får de umiddelbar respons på om de har løst oppgavene riktig.

Kan du dette?

Kan du dette? er en digital kapittelkartlegger som viser elevenes ferdigheter med hensyn til delmålene i kapitlet. Når elevene leverer testen, får de en rapport med forslag til videre arbeid. Rapporten kan skrives ut, og testen kan gjennomføres så mange ganger eleven selv ønsker.

III

Oppbygningen av Radius 

Halvårs- og helårskartlegging med Vokal Prøvene ligger klare i Vokal og åpnes for elevene av læreren. Resultatene er knyttet til delmålene i bøkene og dekker hele lærestoffet for hvert halvår og helår. Prøvene gir læreren god oversikt over elevenes grunnleggende ferdigheter, og verktøyet egner seg godt for samtaler med de foresatte og planlegging av elevenes videre arbeid.

Elevene får tilgang til prøvene ved å logge seg inn fra nettstedet til Radius. Resultatene sendes direkte til Vokal når elevene leverer prøven. Resultatene lagres, og læreren får oversikt over ferdighetene til den enkelte elev og klassen samlet. For å få tilgang til prøvene må skolen være tilknyttet Vokal.

Radius Regnemester Med Radius Regnemester øver elevene først og fremst på ulike regnestrategier. Men her finner de også øvingsoppgaver til alle grunnleggende emner i læreplanen. Radius Regnemester egner seg for øving på grunnleggende ferdigheter, til stasjonsundervisning og til differensiering.

Radius Pokal Radius Pokal er utviklet med støtte fra Utdanningsdirektoratet for grunnleggende ferdighetstrening i matematikk. Her trener elevene på alle sentrale emner og samler pokaler i sin egen premiehylle. Progresjonen er rolig og systematisk. Resultatene blir lagret. Radius Pokal har også verksteder for bruk på interaktiv tavle og motiverende spill. Via lærerlisensen får læreren oversikt over resultatene til alle sine elever.

Leksehjelp og omvendt undervisning Nettstedet inneholder videoer til alle eksemplene i Radius 5–7. Videoene egner seg for leksehjelp og repetisjon. Elevene trenger ikke å registrere seg for å se videoene. Hvis videoene skal brukes til omvendt undervisning, må læreren først registrere seg på Campus Inkrement (via snarvei fra Radius Digital) og opprette en klasse. Nå kan læreren følge progresjonen til elevene ved at de svarer på kontrollspørsmål underveis i videoene.

Tavlebøker Alle grunnbøkene er tilgjengelige som digitale versjoner for visning på interaktiv tavle og inneholder verktøy som stillbar klokke og tallinje. Læreren kan legge til egne kommentarer og lenker selv.

Tavlebøkene egner seg for å samle klassen om sidene i bøkene, for dialog og for gjennomgang av lærestoffet.

Ressurser for interaktiv tavle Ressursene er utviklet for bruk på interaktiv tavle og egner seg blant annet for arbeid med regnefortellinger, trening på klokka og visualisering av regneoperasjoner langs tallinja.

Prøver og kopieringsoriginaler Nettstedet inneholder skriftlige halvårs- og helårsprøver og kopieringsoriginaler for utskrift.

 Oppbygningen av Radius

IV

Grunnleggende ferdigheter Radius ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk fra revidert læreplan – 2013.

«Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.»

I Radius innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave.

Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk.

Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket.

Hvert kapittel inneholder sammen-oppgaver på farget bakgrunn. Disse oppgavene er ofte åpne problemløsningsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller i små grupper.

Radius oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsningsoppgavene på sine egne måter og forklare og presentere det de er kommet fram til. «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen.

Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer

V

Grunnleggende ferdigheter 

til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.»

Radius legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok.

I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på.

I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elevene øve seg på presise problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene. «Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.»

Radius har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Radius legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet.

Gjennom sant-eller-usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står, har gyldighet eller ikke. «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep,

framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.»

I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Radius legger til rette for at elevene skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

Radius vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning.

Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske, dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer.

«Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.»

Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

 Grunnleggende ferdigheter

VI

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier.

Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Radius jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis.

Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi.

I Radius jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttegjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Radius vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

VII

Utvikling av regnestrategier

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57.

Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51.

Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25.

Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Radius kaller regning via tiere.

Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon.

Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Radius vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne bruke gode visualiseringsmodeller. I Radius viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinja kommer fra Freudenthalinstituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling.

En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt.

Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen.

Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner.

Eksempel:

10 7

3

Eksempel:

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

450 – 302 = 148

Eksempel 1

+8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4.

Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

54

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend.

–8

– 40

50

– 100

4

Eksempel 2 302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend.

– 50

– 100

+2 300 302

350

54 : 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24.

Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

450

Visuelle modeller

54 30

24

VIII

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

Når vi bruker thinking blocks i Radius, er det som eksempler på hvordan metoden kan brukes.

Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut.

Thinking blocks har et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner.

Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen.

17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

7

10

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger?

Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

}

250 kr

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon.

Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen.

Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24.

Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a.

6

4

2

Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall.

Samme eksempel som over kan se slik ut i et tomt rutenett: 10 7

10

100

70

2

20

14

Ved å erstatte rutenettet med et tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse.

Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet.

Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

IX

Visuelle modeller

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Radius legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klasseromssamtalen og samtale elevene imellom står sentralt gjennom hele verket.

I klasseromssamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne elever de andre elevene ser på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite NO answer».

Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men allikevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om.

Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning.

Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i kasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem.

Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses.

Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler.

•• Del ut en lapp til hver elev.

•• Be elevene skrive navnet sitt på lappen.

•• Skriv det du vil ha elevenes tanker om, på tavla.

•• Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten.

•• Samle inn lappene.

•• Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer.

•• Ta tak i et svar eller løsningsforslag som innholder en feil eller misoppfatning du har lyst til å få oppklart.

•• Skriv løsningsforslaget på tavla.

•• Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig.

•• Spør så klassen hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene.

For å venne elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men oppgaven illustrerer at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker, ikke nødvendigvis er feil.

Eksempel: Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken?

Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det fins tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke.

Begynn med det svaret det er flest av, og skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.»

Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?»

Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul.

Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram.

I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis én eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen.

Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage, på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og antakeligvis én eller flere med 90 000 og kanskje 99 000.

Lappemetoden

X

Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret. Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er

det største sifferet som kan stå på titusenerplassen.

Bekreft svaret.

Spill som metode / pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp.

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier.

Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine.

Spill og lek i matematikkundervisningen bidrar til at •• tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevenes egen arena •• elevene utvikler strategisk tenking, og at de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse •• elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng.

Variasjon i metoder skaper engasjement i faget.

Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

XI

Lappemetoden

Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Eksempel fra dette spillet: Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang.

Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større.

Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage.

På den måten utvikles også tallforståelsen.

Kapittel 2

Kapittel 1

Grunnbok 6A Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Kunne velge hensiktsmessige strategier for hoderegning i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon.

– Regning via tiere – Dobling og halvering addisjon og subtraksjon – Dobling og halvering multiplikasjon – Multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

•• Repetere hoderegning •• Hoderegning – dobling og halvering •• Dobling og halvering i multiplikasjon og divisjon •• Hoderegning – bruke tiervennene •• Hoderegning – tenke via hel tier •• Overslag •• Hoderegning – multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Partall, oddetall og primtall

•• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

•• Hoderegning – dobling og halvering •• Dobling og halvering i multiplikasjon og divisjon •• Hoderegning – bruke tiervennene •• Hoderegning – tenke via hel tier •• Overslag •• Hoderegning – multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Partall, oddetall og primtall •• Veien videre: hoderegning – divisjon ved å dele opp tallene

•• Kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for hele tall opp til 1 000 000 •• Kunne bruke avrundingsreglene for hele tall •• Kunne bruke positive og negative hele tall i addisjon og subtraksjon •• Kunne plassere negative tall og positive tall opp til 1 000 000 på tallinja •• Kunne bruke regneark til å utføre beregninger

•• •• •• ••

•• Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallinja •• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Beskrive referanse­ systemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske saman­ hengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

•• •• •• ••

•• •• •• •• •• •• ••

Titallsystemet Avrunding Oppstilling – addisjon Oppstilling – subtraksjon Veksling over null Negative tall Regne med negative tall Tekstoppgaver Tekstoppgaver med modell Summere med regneark Lage formler i regneark

Mål for 6. trinn

•• •• •• •• •• •• ••

Titallsystemet Avrunding Oppstilling – addisjon Oppstilling – subtraksjon Veksling over null Negative tall Regne med negative tall Tekstoppgaver med modell Summere med regneark Lage formler i regneark Veien videre: regne med tid

XII

Kapittel 3 Kapittel 4 XIII

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Kunne se sammen­ hengen mellom multiplikasjon og divisjon •• Kunne regne multi­ plikasjon og divisjon med flersifrede tall •• Kunne trekke ut informasjon av tekst og løse oppgaven •• Kunne gjøre overslag i multiplikasjon •• Kunne summere og bruke formlene for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon i regneark

•• Repetere multiplikasjon •• Kombinatorikk •• Multiplikasjon – flersifrede tall •• Repetere divisjon •• Divisjon med flersifrede tall •• Multiplikasjon og divisjon med modeller •• Formler i Excel

•• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga •• Beskrive referanse­ systemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar

•• Repetere multiplikasjon •• Kombinatorikk •• Multiplikasjon – flersifrede tall •• Divisjon •• Divisjon med flersifrede tall

•• Kunne velge riktig måleinstrument i forhold til hva som skal måles •• Kunne regne om mellom måleenhetene m, dm, cm, mm •• Kunne regne ut omkretsen av todimensjonale figurer •• Kunne regne ut areal av figurene trekant, rektangel og sammensatte figurer •• Kunne diskutere måleresultater og vurdere hvor rimelige resultatene er

•• •• •• •• •• ••

•• Velje høvelege måle­ reiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi og vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit •• Gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tids­punkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er •• Velje høvelege måleiningar og rekne om mellom ulike måleiningar •• Forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum av to- og tre­ dimensjonale figurar •• Bruke målestokk til å berekne avstandar og lage og samtale om kart og arbeidsteikningar, med og utan digitale verktøy •• Bruke forhold i praktiske samanhengar, rekne med fart og rekne om mellom valutaer

•• •• •• •• •• ••

Mål for 6. trinn 

Lengdemål Omkrets Areal av rektangler Areal av trekanter Målestokk Regning med tid

Lengdemål Omkrets Areal av rektangler Areal av trekanter Målestokk Regning med tid

Kapittel 5 Kapittel 6

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Vite verdien til desimaltall •• Skrive tall med tideler, hundredeler og tusendeler •• Kunne regne med desimaltall i addisjon og subtraksjon •• Kunne regne med desimaltall i multiplikasjon, som gjentatt addisjon •• Kunne lage formler og formatere celler i regneark

•• Repetisjon av desimaltall •• Tideler og hundredeler •• Addisjon og subtraksjon •• Tusendeler •• Avrunding •• Oppstilt addisjon •• Oppstilt subtraksjon •• Veksle over null •• Multiplikasjon som gjentatt addisjon •• Excel-tallformater

•• Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallinja •• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

•• Repetisjon av desimaltall •• Tideler og hundredeler •• Addisjon og subtraksjon •• Tusendeler •• Avrunding •• Oppstilt addisjon og subtraksjon •• Veksle over null •• Multiplikasjon som gjentatt addisjon

•• Kunne begrepene linje, linjestykke, stråle, parallelle linjer, radius, diameter, sentrum og sirkelperiferi.

•• Kunne måle og tegne ulike vinkler med gradskive.

•• Kunne beskrive egenskaper ved ulike geometriske figurer.

•• Kunne konstruere en sirkel ved hjelp av en passer.

•• Vite hva koordinater og koordinat­ system er.

•• Kunne beskrive plassering i rutenett, kart og koordinatsystem.

•• Linje, linjestykke og stråle •• Vinkler •• Måle vinkler •• Trekanter •• Firkanter •• Geogebra – finne vinkler, sider og areal •• Geogebra – tegne trekant •• Sirkel •• Konstruere sirkel med passer •• Tesselering •• Rutenett og kart •• Punkter i koordinat­ system

•• Analysere eigenskapar ved toog tredimensjonale figurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep •• Beskrive plassering og flytting i rute­ nett, på kart og i koordinatsystem, med og utan digitale hjelpemiddel, og bruke koordinatar til å berekne avstandar parallelt med aksane i eit koordinatsystem •• Gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er

•• Linje, linjestykke og stråle •• Vinkler •• Måle vinkler •• Trekanter •• Firkanter •• Sirkel •• Konstruere sirkel med passer •• Rutenett og kart •• Punkter i koordinatsystem •• Veien videre: koordinater

Mål for 6. trinn 

XIV

Mål •• Kunne velge hensiktsmessige strategier for hoderegning i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon –– regning via tiere 17 + 9 + 3 = (17 + 3) + 9 = 29 –– Dobling og halvering i addisjon og subtraksjon 75 + 76 = 75 + 75 + 1 = 151 –– Dobling og halvering i multiplikasjon 12 · 0,5 = 6 · 1 = 6 –– Multiplikasjon ved å dele opp tallene 12 · 4 = (10 · 4) + (2 · 4) = 40 + 8 = 48 •• Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

Introduksjon til kapittel 1 Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev.

I dette kapitlet tar vi for oss noen av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på dette for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Begreper •• •• •• •• •• ••

Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Sum Differanse Produkt

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne.

Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57.

I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg.

Forklaring Snakk med elevene om at det er hodet som er det viktigste verktøyet når vi skal regne, og at vi kan lære oss mange teknikker som gjør det lettere å regne.

Snakk sammen om de ulike regnestrategiene som står i målet for kapitlet, og la elevene komme med egne eksempler på oppgaver hvor det kan være lurt å bruke de ulike strategiene. Vær åpen for at det er flere måter å tenke på, og at det ikke er noe «rett svar». La elevene fortelle om hvilke regnestrategier de liker, og hvilke de vet at de bruker når de regner.

1

Hoderegningsstrategier

8 · 5 = 40 80 · 5 = 400 800 · 5 = 4000

2 + 8 = 10 12 + 8 = 20 12 + 9 = 21

4 : 2 = 2 40 : 2 = 20 400 : 2 = 200

Plakatene på veggen er eksempler på hvordan elevene kan bruke det de kan om små tall, til å regne med større tall. La elevene lage slike rekker med oppgaver til hverandre. Etterpå kan de forklare hverandre hvordan de tenkte når de løste oppgavene.

Se på spørsmålene i boka. Hvordan kan de raskt finne ut om jenta har rett i det hun sier? La elevene komme med forslag til hvordan de tenker.

Jenta mener hun vant dette stikket.

Har hun rett?

Hvilke hoderegningsstrategier jobbet vi med i fjor?

Velg en strategi du liker godt, og forklar den for klassen din / sidemannen din.

Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 6

6

Kapittel 1 Hoderegningsstrategier

01.09.15 15.53

Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57.

Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18; 20 – 10 og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Andre nyttige strategier Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan elevene bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1 = 50 + 1 = 51.

Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser den strategien som vi her i kapitlet har kalt regning via tiere.

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi vektlagt at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi, for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Det kan også være rasjonelt å tenke dobling/ halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25.

Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24.

Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 Når man jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen vil hjelpe elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar på. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak i hvordan elevene tenker» på side VII.

Forklaring Samtale Skriv oppgavene som står på rasteret på lapper, og del ut en oppgave til hver elev. Det gjør ingen ting om flere elever får samme oppgave. La elevene få litt tid til å se på oppgaven de har fått utdelt, og tenke over hvilke regnestrategier de vil ta i bruk for å løse oppgaven.

Mål for kapitlet

•

16 - 8 = 8

160 - 80 = 80

1600 - 800 = 800

•

Kunne velge hensiktsmessige strategier for hoderegning i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon – Regning via tiere 17 + 6 = 17 + 3 + 3 – Dobling og halvering i addisjon og subtraksjon 75 + 76 = 75 + 75 + 1 = 151 150 - 75 = 75 – Dobling og halvering i multiplikasjon 12 ∙ 0,5 = 6 ∙ 1 = 6 – Multiplikasjon ved å dele opp tallene 12 ∙ 4 = (10 ∙ 4) + (2 ∙ 4) = 40 + 8 = 48 Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

Skriv så en av oppgavene på tavla, og la den/de elevene som har denne oppgaven, forklare hvilke regnestrategier de vil bruke for å løse den.

Jeg har høyest produkt, så jeg vinner dette stikket.

Snakk sammen om at det er ulike måter å tenke på, at hodene våre er forskjellige. Se på oppgaven 21 + 4 + 9 = Noen vil tenke 21 + 4 = 25 og at 25 + 9 er én mindre enn 25 + 10, derfor blir svaret 34.

Noen vil tenke 21 + 4 = 25, og fordi 5 + 9 = 14 og 20 + 14 = 34, blir svaret 34. Noen vil tenke 21 + 9 = 30, og 30 + 4 = 34 Det er enda flere måter å tenke på. Utfordre elevene på denne og liknende oppgaver.

Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 7

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 7

Automatisering av tallvenner Elever som har automatisert alle oppdelingene av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert, går det mye raskere å regne i hodet.

Når de for eksempel vet at 5 + 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 – 3 = 5 og 8 – 5 = 3. De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80 osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon.

De elevene som i tillegg klarer å automatisere tallvennene opp til 20, vil får det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger.

Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Metoder for automatisering av tallvenner Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til 20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord.

For eksempel 1 + 10 = 11, 2 + 9 =11, 3 + 8 = 11 osv.

Spill som metode I arbeid med automatisering av tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt en regning på papir. Det fins mange terning og kortspill som er gode å bruke til dette. I Lærerens bok 5A ga vi eksempel på et kortspill som er fint å bruke til automatisering av tallvenner. Eksemplet vi ga, viste spillet brukt på tiervenner. Bruk det samme spillet nå, men spill med hele kortstokken, og spill om 13-venner.

Bruk alle kortene i en vanlig kortstokk. Ess teller 1, tallkortene teller egen verdi, knekt teller 11, dame teller 12, og konge teller 13.

Forklaring

Oppgave 1.1 og 1.2 Når elevene løser disse oppgavene, kan de tenke over hvilke strategier de tar i bruk. Det er ikke meningen at de skal skrive hvilke strategier de bruker, bare at de skal tenke over det.

1 • Hoderegningsstrategier

Samtale – se side 7

Samtale Hvordan vil du løse oppgavene nedenfor ved hoderegning?

2 + 9 =

75 + 75 + 25 =

Differensiering Hvis elevene syns det er vanskelig å se løsningen på denne oppgaven fordi det er for vanskelige tall, kan dere først løse den med å tegne modellen på tavla og se hvordan det hadde blitt hvis de hadde hatt 25 kroner til sammen og Ida hadde hatt 5 kr mer enn Emil.

Hoderegningsstrategier

26 + 25 = 43 + 36 =

69 + 31 =

1.1

Regn ut. Hvordan tenker du? a) 6 + 7 = b) 9 + 4 = 16 + 7 = 19 + 4 = 26 + 7 = 29 + 4 =

c ) 8 + 3 = 28 + 3 = 58 + 3 =

1.2

Regn ut. Hvordan tenker du? b) 12 - 7 = a) 10 - 5 = 22 - 7 = 50 -5 = 82 - 7 = 90 - 5 =

c ) 43 - 6 = 73 - 6 = 93 - 6 =

1.3

Ida og Emil har 23 kr til sammen.

Ida har 5 kr mer enn Emil.

Hvor mange kroner har Emil?

1.4

5

Ida Emil

?

23 kr

Omer og Stine samler 36 flasker til sammen. Stine samler to flasker mer enn Omer. Hvor mange flasker samler Omer?

8 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 8

8

11 - 9 =

11 + 3 + 9 =

21 + 4 + 9 =

Oppgave 1.3 Denne oppgaven viser at det kan være lurt å tegne modeller når man møter på vanskelige oppgaver.

La elevene tegne modellen i boka når de løser denne oppgaven. Samtal etterpå om hvordan de tenkte.

Oppgave 1.4 I denne oppgaven kan elevene bruke samme type modell som i oppgave 1.3.

Repetere hoderegning

01.09.15 15.53

?

To elever spiller sammen.

•• Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like store deler. Kortbunken legges på bordet foran spilleren.

•• Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne.

•• Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 13, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 13, blir kortene liggende.

•• Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller B sitt kort og spiller A sitt nye kort. Hvis disse kortene danner 13, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem.

Hvis ikke går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 13 og en av spillerne «snapper» disse.

•• Hvis en spiller ute i spillet legger opp en konge, kan den som er raskest, slå på denne. Da vinner han hele den bunken som kongen ligger på, mens den andre bunken blir liggende.

•• Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Automatisering og stress Ifølge en undersøkelse gjort av Steve Chinn med 2000 elever fra 11 til 17 år skåret «utføre matematikkoppgaver raskt» veldig høyt på hva som framkalte angst. Dette er det viktig å ta hensyn til ved gjennomføring av regnekonkurranser som krever hurtighet.

Hvis du oppdager at elever faller ut av dette spillet fordi de ikke takler stress, er det mulig å endre reglene for disse elevene: •• Elevene legger ut hvert sitt kort etter tur, som i spillereglene over, men den spilleren som legger ut det kortet som gjør at summen av de to kortene som vises blir 13, vinner begge bunkene og legger kortene underst i sin bunke.

Andre kortspill Spillet «Kasino» øver ulike tallkombinasjoner opp til 16 og er et veldig godt spill å bruke. Det kan være tungt å lære bort et spill med litt kompliserte regler til en hel klasse, derfor kan det være lurt først å lære bort spillet til for eksempel fire elever, som igjen lærer spillet bort til fire medelever. Spillereglene står på side 14.

Forklaring 1.5

1.6

Regn disse oppgavene i hodet minimum tre ganger.

Ta tiden hvis du har lyst, og se hvor mye du forbedrer deg per runde. a) 8 + 7 = b) 10 + 5 = c ) 18 - 9 = 5 + 9 = 6 + 7 = 20 - 8 = 4 + 7 = 8 + 5 = 16 - 7 = 13 + 2 = 13 + 6 = 12 - 3 = 9 + 9 = 7 + 5 = 13 - 8 = 6 + 8 = 3 + 4 = 15 - 7 =

Sett inn tallene som mangler. Skriv regnestykkene. a) 100 = d) 81 - 9 =

1.7

+ 25

b)

+ 57 = 77

e) 14 =

Skriv tallene som mangler. a) b) 100 49

5

Oppgave 1.5 Les det som står øverst på siden om automatisering og stress. La bare de elevene som har glede av det, ta tiden på seg selv og se om de blir raskere for hver øving.

- 15

c ) 28 + f)

Differensiering For noen elever er det mer enn nok å regne disse oppgavene en gang.

= 30

- 35 = 35

c) 500 250

Oppgave 1.6 Mange elever syns at slike oppgaver hvor ikke alltid svaret står til slutt, er vanskelige. De fleste av disse oppgavene er ikke så vankelige hvis de tar seg tid til å se på tallene. Les om likhetstegnet på neste side.

1000 400

Sammen • Lag 10 hoderegningsoppgaver hver, og løs hverandres oppgaver.

• Forklar hverandre hvordan dere tenkte da dere løste oppgavene.

23 kr

Oppgave 1.7 Elevene er nå godt kjent med number bonds, du kan lese om det på neste side. Elevene tegner modellene i boka si og fyller inn det tallet som mangler.

9 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 9

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 9

Likhetstegnet Mange elever strever med oppgaver både av typen = 100 og 91 = 100 – . Noen ganger ser vi 62 + at elever regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen.

Ofte bunner problemet i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret». Det er viktig at elevene får forståelsen av likhetstegnet som «har samme verdi som». Det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, må alltid ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene seinere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

Hensikten med oppgave 1.6 på side 9 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Dette er for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av likhetstegnet, har samme verdi.

Number bonds Vi bruker number bonds for å visualisere tallvenner (oppdeling av tall). Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. På dette oppslaget bruker vi number bonds for å visualisere tall som til sammen blir hele hundrere. Number bonds består av tre ruter, hvor for eksempel 100 står i den øverste ruten, og hvor de to tilhørende tallene skal stå under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

100 62

38

Dobling/halvering Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskap om doble verdier av mange tall. Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde flere tall vil de lettere kunne regne raskt i hodet.

Poenget er at hvis du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170.

Forklaring 1 • Hoderegningsstrategier

Samtale Elevene skal lære å bruke strategien dobling og halvering. Med utgangspunkt i de doblingene som elevene kan, skal de kunne regne i hodet med tall som har høyere og lavere verdi. La elevene få komme med de doblingene de kan. Skriv på tavla.

Hvor mange kan dere til sammen? Ta tak i noen av doblingene som elevene har kommet med, og bruk dem som i eksemplet. Snakk om sammenhengen mellom doblinger og halveringer. Kan du doblingene, så kan du også halveringene.

Samtale Hvordan kan det jenta vet om dobling, hjelpe henne til å løse denne oppgaven?

75 + 76 = Regn oppgavene.

Ser dere en sammenheng?

75 + 75 = 75 + 76 =

1.8

Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les «Viktige doblinger» over.

1.9

Eksempel Når du vet at 75 + 75 = 150, blir det lettere å regne ut at 75 + 76 = 151 eller 75 + 74 = 149.

Når du vet at 400 – 200 = 200, blir det lettere å regne ut at 400 – 199 = 201 eller 400 – 201 = 199.

Hoderegning – dobling og halvering

1.10

Hoderegningsstrategier

400 - 200 = 400 - 199 =

Regn ut. a) 8 + 8 = 8 + 9 = 8 + 7 =

b) 25 + 25 = 25 + 26 = 25 + 24 =

c ) 12 + 12 = 12 + 13 = 12 + 11 =

Regn ut. a) 48 - 24 = 48 - 23 = 48 - 25 =

b) 50 - 25 = 50 - 24 = 50 - 26 =

c ) 60 - 30 = 60 - 29 = 60 - 31 =

Her skal du doble og halvere hvert tall. a) 4 b) 30 c) 8 40 100 50 44 130 58

d) 50 500 550

10 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 10

10

Jeg vet at det dobbelte av 75 er 150.

Da må 75 + 76 være 1 mer.

01.09.15 15.53

30 = 29 = 31 =

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å ha automatisert en del viktige doblinger. De doblingene som vi viser her, kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Se neste side.

vil doble eller halvere. Velger han et partall, skal det halveres, velger han et oddetall, skal det dobles.

Den som har høyest sum etter for eksempel fem kast/trekk, har vunnet.

Dette er et meget strategisk spill, alt etter hvilke tall terningene/kortene viser, må elevene for eksempel finne ut hva som vil gi mest poeng av å halvere et stort tall eller doble et lite tall.

Dobling av alle tallene fra 0–10.

Hele tiere som 10 + 10 = 20, 20 + 20 = 40 osv.

Femmere som 15 + 15 = 30, 25 + 25 = 50, 75 + 75 = 150 osv.

Spill om dobling, halvering Passer for 2–4 elever.

Bruk en terning, helst en 0–9-terning eller en kortstokk.

Oppgave 1.12 En oppgave i kontekst hvor elevene bruker det de har lært om halvering og halvering.

Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur.

Hvis de får et partall, noterer de halvparten av verdien, hvis de får et oddetall, noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/trekk, har vunnet.

Et mer utfordrende spill om dobling/halvering To elever spiller sammen. Bruk to terninger, helst 0–9-terninger eller kort. Elev A kaster to terninger eller trekker to kort og velger hvilket tosifret tall han

Oppgave 1.13 En oppgave i kontekst hvor elevene bruker det de har lært om halvering og nær halvering.

Oppgave 1.14 En smilefjesoppgave om dobling og halvering.

Modellen kan hjelpe elevene når de løser oppgaven.

Differensiering Bytt ut 270 kr med 300 kr, og la flere elever prøve seg på denne oppgaven.

Forklaring 1.11

Mo baker muffins til klassen sin. Det er 24 elever i klassen.

Oppskriften er beregnet til 12 muffins.

Oppgave 1.8 Elevene løser et oppgavesett der første oppgave er å finne det dobbelte av et tall. De neste oppgavene er å finne det dobbelte av tallet + 1 eller – 1.

ør 3 0 0 g sm er 3 dL su kk 3 st k eg g

6 dL me l pu lve r 1,5 ts ba ke

Oppgave 1.9 Elevene løser et oppgavesett der første oppgave er å finne halvparten av et tall. De neste oppgavene er å finne halvparten av tallet + 1 eller – 1.

a) Gjør om oppskriften slik at alle i klassen får en muffins hver. b) Mo lager fire muffins når hun kommer hjem.

Gjør om oppskriften slik at den passer til fire muffins.

1.12

1.13

1.14

Herman har 50 kr i lomma. Når han kommer til butikken, har han bare 24 kr i lomma.

Hvor mange kroner har han mistet på vei til butikken?

Oppgave 1.10 Elevene skal trene på dobling og halvering av tall og å se sammenhengen mellom tallene.

Emil kjøper to is. Den ene isen koster 14 kr.

Han betaler 30 kr til sammen.

Hvor mye koster den andre isen?

Oppgave 1.11 En oppgave i kontekst hvor elevene i a) skal doble en oppskrift. Oppgave b) er merket . Det betyr at det er en litt mer utfordrende oppgave. Det er ikke meningen at alle elevene skal løse disse oppgavene.

Heidi og Amina tjener 270 kr til sammen.

Heidi tjener dobbelt så mye som Amina. a) Hvor mye tjener Heidi? b) Hvor mye tjener Amina?

Heidi Amina

270 kr

11 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 11

Differensiering Gjør om oppgave b) til at oppskriften skal halveres.

Bytt ut 1,5 ts bakepulver med 1 ts bakepulver.

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 11

Dobling og halvering som regnestrategi i multiplikasjon En strategi som kan være svært nyttig å kunne, er at svaret blir det samme når den ene faktoren i et multiplikasjonstrykke halveres og den andre dobles.

Eksempel: 18 ∙ 3 = 54, ved å halvere 18 og doble 3 blir den nye multiplikasjonen 9 ∙ 6 = 54.

Det kan være spesielt viktig å kunne denne strategien når elevene møter multiplikasjoner hvor en av faktorene er for eksempel 0,5 eller 2,5. Ved å doble denne faktoren og halvere den andre kan de operere med bare hele tall.

Eksempel: 4 ∙ 2,5 = 2 ∙ 5 = 10 Ved å la elevene eksperimentere med slike strategier kan de hente den fram og bruke den når de møter multiplikasjoner som kan se vanskelige ut ved første øyekast.

Doblinger som er nyttige å kunne 10 + 10 = 20 + 20 = 30 + 30 = 40 + 40 = 50 + 50 = 60 + 60 = 70 + 70 = 80 + 80 = 90 + 90 = 100 + 100 =

Forklaring 1 • Hoderegningsstrategier

Samtale Illustrasjonen til denne samtalen viser hva som skjer når den ene faktoren i en multiplikasjon dobles og den andre halveres.

Samtale Det kan være lurt å bruke dobling og halvering når vi løser oppgaver med multiplikasjon av hele tall og desimaltall.

Hva skjer når vi dobler den ene faktoren og halverer den andre?

Se på illustrasjonen og snakk med elevene. Stemmer det at fire halvlitere og to énlitere er like mye?

Hvorfor er det slik? Under tegningen er det samme vist med tall. Se på faktorene, hva er det som skjer?

Det er fint hvis elevene selv klarer å sette ord på at den ene faktoren er doblet og den andre er halvert.

Det er helt greit om de sier det ene tallet og det andre tallet, hvis de ikke husker ordet faktor. Men det er viktig at du som lærer bruker disse begrepene i samtale med elevene, slik at de lærer dem.

4 ∙ 0,5 = 2 ∙ 1

1.15

Mina har fire fat med tre boller på hvert fat.

Hun samler bollene i poser, med seks boller i hver pose.

Lag to regnestykker som passer til tegningene.

=

Oppsummer samtalen med at produktet blir det samme når den ene faktoren dobles og den andre faktoren halveres.

Oppgave 1.15 En oppgave i kontekst som illustrerer og viser at oppsummeringen av samtalen stemmer.

Dobling og halvering i multiplikasjon

1.16

Regn ut. a) 2 ∙ 100 = 4 ∙ 50 = 8 ∙ 25 =

Hoderegningsstrategier

c ) 3 ∙ 16 = 6 ∙ 8 = 12 ∙ 4 =

12 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 12

12

b) 15 ∙ 4 = 30 ∙ 2 = 60 ∙ 1 =

01.09.15 15.53

15 + 15 =

0,5 + 0,5 =

25 + 25 =

1,5 + 1,5 =

35 + 35 =

2,5 + 2,5 =

45 + 45 =

3,5 + 3,5 =

55 + 55 =

4,5 + 4,5 =

65 + 65 =

5,5 + 5,5 =

75 + 75 =

6,5 + 6,5 =

85 + 85 =

7,5 + 7,5 =

95 + 95 =

8,5 + 8,5 =

125 + 125 =

9,5 + 9,5 =

Forklaring 1.17

1.18

1.19

Regn ut. a) 16 ∙ 2 = 32 ∙ 1 = 64 ∙ 0,5 =

b) 9 ∙ 2 = 18 ∙ 1 = 36 ∙ 0,5 =

c ) 6 ∙ 2 = 12 ∙ 1 = 24 ∙ 0,5 =

Regn ut. a) 28 ∙ 0,5 = 14 ∙ 1 =

b) 16 ∙ 0,5 = 8 ∙ 1 =

c ) 4 ∙ 2,5 = 2 ∙ 5 =

Oppgave 1.16–1.18 Øvingsoppgaver hvor elevene bruker kunnskaper fra samtalen.

Oppgave 1.19 Elevene skal sortere de fargede multiplikasjons­ oppgavene i par, slik at det viser at produktet er det samme når den ene faktoren dobles og den andre halveres.

Sorter oppgavene nedenfor slik at de viser lik verdi.

3 ∙ 18

=

6 ∙ 9

4 ∙ 2

=

8 ∙ 1

25 · 4 50 · 2

20 · 0,5

16 · 4

3 · 30 7·8

1 · 10

14 · 4

Sammen I denne sammenoppgaven skal elevene selv eksperimentere med multiplikasjonsoppgaver hvor den ene faktoren skal dobles og den andre skal halveres. De kan for eksempel lage et gitt antall oppgaver til hverandre, bytte og lage nye oppgaver med halvering og dobling.

8·8 6 · 15

Sammen Lag minst tre multiplikasjonsoppgaver.

Svarene på oppgavene skal være blant disse tallene:

14

25

100

6

Snakk med elevene om det alltid kan bli en lettere multiplikasjon hvis den ene faktoren dobles og den andre halveres. Prøv for eksempel med to oddetall.

12

Hva blir svarene på oppgavene hvis dere dobler den ene faktoren og halverer den andre?

13 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 13

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 13

Alle tallkort på hånden har samme verdi som det står på kortet med unntak av ruter 10 og spar 2. Knekter teller 11, damer teller 12, konger teller 13.

Kortspillet Kasino Spillet passer for 2–4 spillere. Hver gruppe trenger en vanlig kortstokk.

Spillet trener automatisering av tallkombinasjoner opp til 16. I tillegg blir elevene kjent med variabler, da noen spesielle kort har ulik verdi på hånden og på bordet.

Kort som har spesiell verdi: Alle ess teller 14 på hånden og 1 når de ligger på bordet. Ruter 10 teller 16 på hånden og 10 når den ligger på bordet.

Spar 2 teller 15 på hånden og 2 når den ligger på bordet.

En del spesielle regler/variasjoner er ikke tatt med her. Vær også klar over at det fins mange lokale varianter angående poengberegning og hvilke bygg som er lovlige. Det kan derfor være nyttig å bli enige i hver enkelt klasse om hvilke regler som brukes.

Ved innlæring av et spill med så mange regler kan det være lurt å spille med et par av elevene (kanskje noen kan spillet allerede) og samle resten omkring som tilskuere. Etter hvert som elevene forstår spillet, danner de grupper som spiller selv. Alle elever som klarer tierovergang, kan lære seg spillet.

Spilleregler Hver spiller får 4 kort, og det legges 4 kort med bildesiden opp på bordet.

Spillerne bruker så ett kort etter tur.

Kortet kan brukes til å ta inn kort med lik verdi eller tallkombinasjoner som ligger på bordet, eller til å bygge til noe de selv har på hånden. Klarer ikke spilleren å finne en slik kombinasjon, må han legge et kort ut på bordet med bildesiden opp. Det er lov å kombinere flere kort, for eksempel kan en firer, en treer og en toer tas inn med en nier.

Forklaring 1 • Hoderegningsstrategier

Samtale Repeter tiervennene, gjerne ved å bruke for eksempel spillet «Snapp tieren», se spill side 8.

Samtal om hvordan vi kan bruke det vi kan om tiervenner, når vi skal regne med større tall.

Eksempel: Vi vet at 8 + 2 = 10 Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 28 + 2?

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 58 + 32?

La elevene komme med flere eksempler.

Skriv eksemplene på tavla.

Oppgave 1.20 I disse oppgavene får elevene direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

Oppgave 1.21 I denne oppgaven bruker elevene strategien med tiervenner og nær venner og overfører dette til addisjon større tall.

Hoderegning – bruke tiervennene Samtale

Hvordan kan jeg bruke det jeg kan om tiervenner til å regne oppgaver med tall som har større verdi?

Hoderegningsstrategier

5 + 5 45 + 5

8 + 2

7 + 3

6 + 4

28 + 2

77 + 3

116 + 4

1.20

Regn ut. a) 14 + 6 = 14 + 16 = 114 + 16 =

b) 53 + 7 = 53 + 27 = 353 + 27 =

c ) 126 + 4 = 126 + 34 = 426 + 34 =

1.21

Regn ut. a) 25 + 5 = 25 + 6 = 225 + 6 =

b) 44 + 6 = 44 + 8 = 644 + 8 =

c ) 138 + 2 = 138 + 5 = 238 + 5 =

1.22

Regn ut. a) 18 + 2 + 5 = c ) 25 + 4 + 25 = e) 16 + 28 + 4 =

Jeg finner tiervennen først. b) 21 + 7 + 9 = d) 37 + 13 + 6 = f ) 45 + 7 + 15 =

14 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 14

14

9 + 1 19 + 1

01.09.15 15.53

NB! Bare ett kort fra hånden kan brukes hver gang det er spillerens tur. Dersom det brukes til et bygg, må dette bygget ligge på bordet til neste gang det er denne spillerens tur, men andre spillere kan ta dette bygget når det er deres tur, dersom de har riktig kort.

Kortene som spilleren tar inn fra bordet, legges i egen bunke som hver enkelt teller opp til slutt.

Poengberegning Slik vi beregner, blir det totalt I0 poeng pluss eventuelle ekstrapoeng: – hvert ess teller 1 poeng.

– ruter 10 teller 2 poeng.

– spar 2 teller 1 poeng.

– den spilleren som har flest spar, får 1 poeng.

– den spilleren som har flest kort, får 1 poeng.

– den spilleren som tar inn de siste kortene fra bordet, får 1 poeng

Når alle 4 håndkortene er spilt, deles det på ny ut 4 kort til hver spiller. Kortene gis av samme person til alle kortene er delt ut.

Når de siste fire kortene til hver spiller deles ut, annonserer utdeler at dette er «slutten».

Dersom en spiller klarer å ta alle kortene som ligger på bordet, er det en «tabbe» som gir et ekstrapoeng.

For å holde styr på tabbene er det vanlig at den som får tabbe, snur et kort i sin bunke.

Den spilleren som sist tok kort fra bordet i siste runde, får de kortene som ligger igjen på bordet.

Forklaring Hoderegning – tenke via hel tier Samtale 1. Petter har 58 kr, og Åge har 29 kr.

Hvor mange kroner har de til sammen? + 30 - 1 58

Oppgave 1.22 I disse oppgavene kan elevene først finne tiervennene før de adderer det tredje tallet.

Jeg regner slik.

Forstår du hva jeg har gjort?

Samtale Elevene skal bruke hoderegningsstrategien å tenke via hel tier. Strategien er her visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker hvor det er rasjonelt på tenke via hel tier.

87 88

2. Maria har 67 kr i lomma. Hun kjøper en penn til 19 kr.

Hvor mange kroner har Maria igjen?

- 20 + 1 47 48

1.23

Regn ut. a) 14 + 9 = 14 + 19 = 14 + 18 =

67

b) 67 + 9 = 67 + 29 = 67 + 28 =

Oppgave 1.23 Elevene skal regne i hodet. Elevene kan bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse de neste. De elevene som trenger det kan bruke tom tallinje.

c ) 154 + 9 = 154 + 39 = 154 + 38 =

1.24

Erik har 348 kr. Han kjøper en is som koster 29 kr.

Hvor mange kroner har han igjen?

1.25

Bruk eksemplet og regn ut. a) 37 + 19 = 56 370 + 190 = 37 + 29 = 36 + 29 = 37 + 28 =

Oppgave 1.24 Oppgave i kontekst hvor elevene kan tenke via hel tier og bruke tom tallinje hvis de ønsker det.

29 k

r

b)

56 - 9 = 47 560 - 90 = 56 - 19 = 57 - 29 = 56 - 47 =

15 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 15

Oppgave 1.25 Elevene skal bruke det som er regnet ut først i hver oppgave, til å finne svar på de andre oppgavene.

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 15

Overslagsregning Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag, og hvilken regneart vi skal bruke.

Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok.

Eksakt sum er 254,56. Vi kom altså ganske nær ved å runde av annethvert ledd opp og ned.

For å gjøre et raskt overslag i hodet kunne vi runde av alle leddene til nærmeste tier ved å bruke avrundingsreglene.

10 + 20 + 10 + 0 + 210 = 250 Dette er også et godt overslag.

I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig.

Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Addisjon Det kan være lurt å runde annethvert ledd opp og ned.

12,42 + 17,10 + 7,90 + 3,50 + 213,64 ≈ 13 + 16 + 8 + 3 + 214 = 254

Subtraksjon Det kan være lurt å runde av alle ledd opp eller alle ledd ned.

Eksempel: 542,75 – 26,23 = For å gjøre utregningen lett i hodet kan vi, i dette eksemplet, runde av til nærmeste femmer.

542,75 – 26,23 ≈ 540 – 25 = 515 eller 545 – 30 = 515.

Nøyaktig svar er 516,52.

Dette overslaget ga et svar som ligger nær nøyaktig utregning.

Forklaring 1 • Hoderegningsstrategier

Samtale Utfordre elevene til å skrive i kladdeboka si hvordan de vil gjøre overslag over disse prisene. La elevene gjøre rede for sine overslag og begrunne dem.

Overslag

Samtale Ole har 200 kr. Har han nok penger til å kjøpe matvarene nedenfor?

Jeg tenker 40 + 90 + 30 + 30 = 190.

Ole kan gjøre et overslag. Da finner han omtrent riktig pris.

89 kr

Snakk sammen om hensiktsmessige måter å gjøre overslag på.

36 kr

27

kr

24 kr

Hvorfor runder Ole alle prisene opp?

Oppgave 1.26 La elevene gjøre denne oppgaven, og snakk sammen etterpå om hvordan de løste den. Den kan også brukes som sammenoppgave, slik at elevene kan diskutere hvordan de vil runde av, og hvorfor.

1.26

Oda, Omer og Silje er i butikken.

27 kr

89 kr

14 kr 18

kr

31 kr

Samtale Eksemplet viser to ulike måter å dele opp samme multiplikasjonsoppgave på. Snakk sammen om at når vi skal multiplisere med tosifret tall, kan det være lurt å dele opp i to multiplikasjoner og addere svarene. Dette kjenner elevene godt fra multiplikasjon i tomt rutenett.

a) Silje kjøper en kurv med jordbær og en pakke med druer.

Omtrent hvor mye betaler hun til sammen? b) Omer kjøper to kurver med jordbær, en pakke med druer og en klase med bananer. Omtrent hvor mye betaler han til sammen? c) Oda kjøper en pose med epler, en pakke med druer og en flaske med vann. Hun gjør et overslag og regner ut at hun skal betale omtrent 150 kr. Er du enig med Oda i utregningen?

Hvordan tror du Oda har tenkt?

16 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 16

16

Hoderegningsstrategier

01.09.15 15.53

Multiplikasjon Det kan være lurt å runde en faktor opp og en ned.

Her har vi også rundet av til nærmeste femmer for å gjøre utregningen lett i hodet.

Gjør først overslag etter reglene.

Regn nøyaktig ut, og se om du er fornøyd med overslaget ditt.

89 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600.

Nøyaktig svar er 1691.

29 + 72 + 64 + 37 =

Divisjon Det kan være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned til tall som gjør at divisjonen går opp.

77 – 18 =

148 + 13 + 38 + 52 =

231 – 43 = 48 · 12 =

Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4 = 3 eller 15 : 5 = 3.

Nøyaktig utregning gir 3,16279…

62 · 57 =

Begge overslagene ligger nær nøyaktig svar.

Hvis dere vil, kan dere repetere alle overslagsreglene og la elevene regne oppgavene til høyre.

176 : 8 = 119 : 17 =

Forklaring Hoderegning – multiplikasjon ved å dele opp tallene

Se på de to eksemplene, og snakk sammen om hvorfor de ulike oppdelingene kan være valgt.

Samtale

1. 12 ∙ 5 = 10 ∙ 5 + 2 ∙ 5

= 50 + 10

= 60

r 30 + 30 = 190.

2. 12 ∙ 5 = 11 ∙ 5 + 1 ∙ 5

= 55 + 5

= 60

1.27

1.28

Hvilken måte vil du dele opp tallet på?

Oppgave 1.27 I denne oppgaven er tallene ferdig oppdelt. Elevene kan enten bruke de oppdelingene eller velge sin egen måte å dele tallene på.

12 10

2

egn ut.

R a) 14 ∙ 5 = 10 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 50 + 20

b) 16 ∙ 3 = 10 ∙ 3 + 6 ∙ 3 = 30 + 18

c ) 23 ∙ 7 = 20 ∙ 7 + 3 ∙ 7 e) 12 ∙ 8 = 11 ∙ 8 + 1 ∙ 8

d) 31 ∙ 8 = 30 ∙ 8 + 1 ∙ 8 f ) 26 ∙ 4 = 25 ∙ 4 + 1 ∙ 4

Oppgave 1.28 Elevene skal selv finne ut hvordan de vil dele opp tallene før utregning.

Sammen Etter at elevene har samarbeidet om denne oppgaven, kan dere høre på løsningene. Skriv de ulike oppdelingene på tavla, og se om det er valgt mange ulike måter å dele opp tallene på.

Regn ut. Vis hvordan du deler opp tallene ved utregning. a) 22 ∙ 6 = b) 25 ∙ 5 = c ) 16 ∙ 9 =

Sammen Del opp tallene nedenfor på minst to ulike måter og regn ut.

51 ∙ 7 48 ∙ 2 14 ∙ 3 22 ∙ 8

17 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 17

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 17

Naturlige tall De naturlige tallene er de positive hele tallene. De kalles også telletallene, siden de er tallene som brukes til opptelling: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Verken 0 eller de negative tallene regnes som naturlige tall.

Vi bruker stor N som symbol for mengden av de naturlige tallene. Vi skriver: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} Det er uendelig mange naturlige tall. Samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større tall ved å addere 1. Til dette nye tallet kan vi også addere 1, og slik kan vi fortsette i det uendelige.

Hele tall Hvis vi i tillegg til de naturlige tallene tar med null og de negative tallene, får vi tallmengden som vi kaller hele tall.

Vi bruker stor Z som symbol for mengden av de hele tallene. Vi skriver: Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Partall og oddetall De hele tallene kan vi dele inn etter egenskaper i to grupper, partall og oddetall.

Partall er tall som kan deles på 2. … –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, …

Alle hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8, er partall.

Oddetall er tall som ikke kan deles på 2. … –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, …

Alle hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9, er oddetall.

Primtall Alle naturlige tall som bare er delelige med seg selv og 1, kaller vi primtall.

De minste primtallene er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Legg merke til at tallet 1 ikke regnes som primtall.

Alle naturlige tall som er større enn 1 og ikke er primtall, kaller vi et sammensatt tall. Alle sammensatte tall kan faktoriseres.

Forklaring

La elevene sitte i læringspar eller små grupper.

Kopier og del ut et hundrekart til hver gruppe, (kopieringsoriginal 1). Klargjør først at 1 ikke er et primtall, og sett et kryss over 1 på hundrekartet.

Snakk sammen om at alle partall er delelige både med 1 og 2, det eneste partallet som bare er delelig med 1 og seg selv, er derfor tallet 2. Elevene kan krysse over alle de andre partallene på brettet.

Nå gjelder det å finne ut hvilke oddetall som er primtall. Begynn med de ensifrede tallene. Fins noen av disse i en annen multiplikasjonstabell enn sin egen? I så fall er de ikke et primtall og må krysses over. Elevene vil finne ut at tallene 3, 5 og 7 bare fins i sin egen tabell. Tallet 9 fins også i tregangen, altså er 9 delelig både med seg selv, 1 og med 3

1 • Hoderegningsstrategier

Samtale Elevene har arbeidet mye med partall og oddetall tidligere år, primtall er de kanskje ikke like godt kjent med. Egenskapene til primtall er heller ikke like lette å forstå som egenskapene til partall og oddetall. På side 20 er det en finn ut-oppgave om primtall, denne er fin å bruke i samtalen.

Partall, oddetall og primtall Samtale

Jeg vet at partall er tall som slutter på sifrene 0, 2, 4, 6 og 8. Tall som slutter på 1, 3, 5, 7 og 9 er oddetall.

Men hva er primtall?

Primtall er alle hele tall større enn 1 som bare kan deles med seg selv og 1.

Hvilke av tallene nedenfor er partall, oddetall og/eller primtall?

1, 45, 19, 18, 36, 150, 2

1.29

Plasser tallene i riktig boks. Noen tall passer i flere bokser.

1

Partall

Hoderegningsstrategier

2

14

11 Oddetall

1.30

Skriv tre partall som har summen 48.

1.31

Skriv tre oddetall som har summen 27.

3

5

13

6

Primtall

Sammen Blir svaret alltid et partall når dere legger sammen to oddetall?

Blir svaret alltid et partall når dere legger sammen to partall?

Begrunn svarene ved å vise tre eksempler.

18 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 18

18

21

01.09.15 15.53

Spill: Lag primtall Gjennom dette spillet blir elevene godt kjent med primtallrekka opp til 100.

Hvis dere bruker vanlige 1–6-terninger, kan elevene lage alle primtallene opp til 71. Hvis dere bruker 0–9-terninger, kan de lage alle primtallene opp til 97.

Spillet egner seg for 2–4 elever. Hver gruppe har tre terninger, og hver spiller har ett brett med primtall.

Kopieringsoriginal 10 eller 11 Spiller A slår tre terninger og prøver å kombinere disse på ulike måter, slik at han får et primtall. Han kan lage tosifrede tall av to terninger og addere, subtrahere eller dividere det tredje tallet. Han kan addere alle tre tallene, addere to og subtrahere det tredje eller multiplisere to av tallene og addere eller subtrahere det tredje tallet.

Eksempler: Spiller A slår 3, 2 og 1 kan lage 32 – 1 = 31, 13 – 2 = 11, 23 · 1 = 23, 3 · 2 + 1 = 7, 3 · 2 – 1 = 5 eller (3 + 1) : 2 = 2 osv. Spilleren kan bare velge ett tall hver gang.

Spiller A krysser over det primtallet han velger.

Neste spiller slår terningene og lager et primtall som han krysser over.

Den spilleren som først kommer i den situasjonen at han ikke klarer å lage et ledig primtall, har tapt.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

Forklaring 1.32

1.33

Se etter mønster. Hvilke tall mangler i tallfølgen?

8 10 a) 2 4 b)

16

c)

2

4

d)

1

22

e)

1

f )

1

1

12

36

46

76

8

16

128

333

9

2

og er ikke et primtall og må krysses ut. La elevene arbeide seg gjennom oddetallene på hundrekartet og krysse ut alle tallene som de vet fins i den lille multiplikasjonstabellen. Til slutt sitter de igjen med bare primtallene under hundre på sitt hundrekart.

55555 666666 25

4

36

8

Se etter mønster. Skriv svarene som mangler.

Oppgave 1.29 Hvis elevene har gjort aktiviteten i samtalen, finner de lett ut hvilke av tallene som er primtall.

1 ∙ 1 = 1

6

11 ∙ 11 = 121

111 ∙ 111 =

1111 ∙ 1111 = 1 234 321

11111 ∙ 11111 = 123 454 321

Oppgave 1.30 og 1.31 Disse oppgavene har mange svar.

111111 ∙ 111111 =

1.34

4 2

1.35

Sammen La elevene komme med forslagene sine, og skriv dem på tavla. Da får dere mange nok eksempler til å anta at regelen dere finner, er sann. Hva skjer når dere legger sammen et partall og et oddetall?

Hvilke av tallene nedenfor er primtall?

13

5 22

14

10 99

25

11 71

21

S kriv to primtall som har differansen 4.

Kan du finne flere løsninger?

19 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 19

Oppgave 1.32 Tallfølger. Det er fint om elevene skriver hele tallfølgen, ikke bare de tallene som mangler. Da er det lettere å se mønsteret.

01.09.15 15.53

Hoderegningsstrategier 19

Forklaring Finn ut

Oppgave 1.33 Elevene skal se på mønsteret i tabellen og finne ut hvilke to tall som mangler. De kan bruke kalkulator for å sjekke om det stemmer.

Oppgave 1.34 Elevene kan bruke hundrekartet som de lagde i samtalen, når de løser denne oppgaven.

Oppgave 1.35 Hør opp hvor mange ulike løsninger elevene har funnet på denne oppgaven. Sjekk at de stemmer.

Finn ut Hvis dere ikke brukte denne finn ut-oppgaven under samtalen, kan elevene gjøre den nå. Bruk veiledningen fra samtalen, eller la elevene finne sin egen måte.

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. Hør setningene, og la elevene argumentere for hvorfor utsagnene er sanne.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

KOPI

Finn alle primtallene som er mindre enn 100.

Bruk rutenettet.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Sant eller usant

Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka.

• Det dobbelte av 75 er 150.

• Halvparten av 52 er 36.

• Primtall er hele tall større enn 1 som kun kan deles med seg selv og 1.

• 1 er et primtall.

• Alle oddetall er primtall.

• 2 er det eneste partallet som er et primtall.

• Alle partall kan deles på 2.

20 20 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 20

01.09.15 15.53

Oppsummering Dobling og halvering Halvering og halvering - 1

Dobling og dobling + 1

75 + 75 = 150

50 - 25 = 25

75 + 76 = 75 + 75 + 1 = 151

50 - 26 = 50 - 25 – 1 = 24

Via hel tier Eksempel: 40 + 19

+ 20

- 20 + 1

- 1 40

59

40 - 19

60

Vi tenker 40 + 20 - 1 = 59

20

21

40

Vi tenker 40 - 20 + 1 = 21

Tiervenn 8 + 2 = 10 18 + 2 = 20 19 + 2 = 18 + 2 + 1 = 21 Det vi vet om tiervenner, kan vi bruke på andre tall.

Primtall Primtall er alle hele tall større enn 1 som bare kan deles med seg selv og 1.

21 Radius 6A _BM_Kap 1_til trykk.indd 21

20

Hoderegningsstrategier

01.09.15 15.53

Dette har jeg lært i kapittel 1

Navn:

1 Skriv det dobbelte og halvparten av hvert av tallene.

6 Sett ring rundt primtallene.

11

12

13

14

21

22

23

24

5

31

32

33

34

50

41

42

43

44

Halvparten

2

Det dobbelte

4

8

32 110 7 Skriv to partall som har summen 62.

2 Nær dobling og nær halvering.

25 + 25 =

62 – 31 =

25 + 26 =

62 – 30 =

25 + 24 =

62 – 32 =

3 Bruk tiervenner, og regn ut.

7 + 3 = 10

27 + 3 = 30

37 + 13 = 50

8+2=

38 + 2 =

58 + 22 =

6+4=

66 + 14 =

106 + 94 =

8 Skriv tre oddetall som har summen 23.

4 Doble den ene faktoren, halver den andre, og regn ut.

14 · 5 =

8 · 0,5 =

4 · 3,5 =

5 Del opp tallene, og multipliser.

15 · 6 =

24 · 8 =

18 · 9 =

Kapittel 1 Hoderegningsstrategier

© Cappelen Damm AS

21

Mål •• Kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for hele tall opp til 1 000 000 •• Kunne bruke avrundingsreglene for hele tall •• Kunne bruke positive og negative hele tall i addisjon og subtraksjon •• Kunne plassere negative tall og positive tall på tallinja •• Kunne bruke regneark til å utføre beregninger

Begreper •• •• •• •• •• •• •• ••

Titallsystemet Plassverdisystemet Siffer Avrunding Addisjon Subtraksjon Negative tall Utvidet form

Kapittel 2 Tall og regning Siffer og tall Elevene bør lære å ta i bruk begrepet siffer.

Titallsystemet har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Når disse står alene, er de også tall. Alle flersifrede tall består av en kombinasjon av disse sifrene.

Det er da sifrene og deres plassering som utgjør tallet. Når vi snakker om flersifrede tall, bør vi være konsekvente og si: «Sifferet på hundrerplassen er…», og unngå formuleringen «tallet på hundrerplassen er…». Hvis en elev sier: «Tallet på hundrerplassen er...», så gjenta gjerne: «Ja, sifferet på hundrerplassen er…»

Titallsystemet er et plassverdisystem Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk.

Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene.

Forklaring Bildet viser en travel dag på et gatehjørne i London.

Spør elevene om hva de ser på bildet som viser at dette er i London. (Bilene kjører på venstre side og har rattet på høyre side, toetasjes buss, London-taxi, barna har skoleuniform …). Snakk om at London er en stor by. Les sammen tallet for antall innbyggere i 2012. I det som kalles tettstedet Oslo, bor det ca.

1 000 000, hvor mange ganger Oslos befolkning bor det i London? I Norge bor det ca. 5 000 000, hvor mange ganger Norges befolkning bor det i London?

Finn ca. innbyggertall i andre store byer, la elevene komme med eksempler, og sammenlikn med London, Oslo og Norge. Ranger de store byene dere har sett på, etter folketall.

2

Tall og regning

Snakk videre sammen om i hvilke andre sammenhenger vi har bruk for store tall, la elevene komme med eksempler.

I London by er det 8 600 000 innbyggere.

Hva blir innbyggertallet dersom du legger til 1 million?

Hva er det største tallet du vet om?

I hvilke sammenhenger bruker vi tall med høy verdi?

Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 22

22

Kapittel 2 Tall og regning

01.09.15 15.55

Titallsystemet har fire karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler en forståelse for: •• Plassen et siffer står på, avgjør verdien.

•• Vi har en gruppering av tiere.

•• Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.)

•• Vi kan finne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene.

Hjelpemidler som illustrerer enere, tiere, hundrere, er for eksempel: •• base 10-materiale •• pinner som er buntet i tiere •• hundrerark som kan klippes i tiere og enere •• kort med tallnavn for hele hundrere, tiere og enere som kan legges oppå hverandre •• centikuber •• abakus

Det er utviklet ulike typer konkretiseringsmateriell som kan være til hjelp for å utvikle forståelsen av plassverdisystemet. Slikt materiell kan brukes både til å illustrere tall og som hjelpemiddel ved løsning av oppgaver. Disse hjelpemidlene vil oftest være lettest å bruke for de elevene som allerede har en idé om plassverdisystemet.

For mange elever vil det å arbeide med penger være et godt konkretiseringsmateriell. Å veksle énkroner i tikroner, tikroner i hundrekroner og omvendt er situasjoner som de kjenner fra dagliglivet.

Forklaring Dvel litt ved store tall. Fins verdens største tall?

Elevene syns det er fascinerende at uansett hvor stort tall vi lager, så kan vi alltid lage et tall som er en større.

Mål for kapitlet

• Kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for hele tall opptil 1 000 000 • Kunne bruke avrundingsreglene for hele tall • Kunne bruke positive og negative hele tall i addisjon og subtraksjon • Kunne plassere negative tall og positive tall på tallinja • Kunne bruke regneark til å utføre beregninger

Oversikt over store tall tusen million milliard billion billiard trillion trilliard kvadrillion

Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 23

1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 000

01.09.15 15.55

Tall og regning 23

Spill: Trapp Dette spillet kan spilles i hel klasse. Læreren styrer spillet. Hver elev får utdelt eller tegner et spillebrett.

Størrelsen på trappa avgjøres etter hvor store tall elevene skal regne med.

Spillet bør spilles flere ganger slik at elevene får mulighet til å lage seg strategier for plassering av siffer.

1. Det spilles først om rad 1. Lærer slår terning, og elevene fører resultatet inn i ruten i rad 1.

2. Det spilles så om rad 2. Lærer slår terning, elevene fører resultatet inn i en av rutene i rad 2, de velger selv hvilken. Lærer slår terning igjen, og elevene fører dette resultatet inn i den andre ruten i rad 2.

3. Det er ikke lov til å bruke viskelær, når et siffer er plassert, er det ikke lov til å la det bytte plass.

4. Videre spilles det om én og én rad nedover spillebrettet.

5. Den siste raden brukes til å summere.

6. Den som har høyest sum, har vunnet spillet.

Første gangen dere spiller dette spillet, kan det være lurt å bruke en mindre trapp.

Eksempel Rad 1: Første kast er 3. Begge spillere må føre tallet inn i ruten i rad 1.

Rad 2: Første kast er 4. Spiller 1 velger enerplass.

Spiller 2 velger tierplass. Neste slag er 5. Spiller 1 må bruke tierplass, og spiller 2 må bruke enerplass.

Rad 3: Første kast er 2. Spiller 1 velger enerplass.

Spiller 2 velger tierplass. Neste kast er 5. Spiller 1 velger tierplass, og spiller 2 velger hundrerplass.

Siste kast er 4, spiller 1 må velge hundrerplass, og spiller 2 må velge enerplass.

3 Rad 1

3

5 4 Rad 2 4 5 2 Rad 3 = 5 0 9 SUM

4 5 5 2 4 = 5 7 2

Tips til etterarbeid La elevene lese opp resultatene sine, det er god trening i å lese store tall. Skriv resultatene på tavla.

La elevene sortere resultatene etter størrelse, de får se sitt resultat i forhold til de andres.

Når elevene har spilt spillet noen ganger, kan du gi i oppgave at hver spiller får bytte om to siffer som gjør

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Se teori side 22 om siffer og tall. Det er ofte vanskelig for elever å skille siffer og tall, sifrene er også tall når de står alene og representerer et ensifret tall. Snakk med elevene om dette. Alle flersifrede tall består av to eller flere siffer i ulike kombinasjoner, og det er hvilken plass sifferet står på, som avgjør hvilken verdi det har. Dette er illustrert på rasteret for samtalen. Spør elevene hvilke verdier de ulike sifrene i tallet har.

Samtale Hvor mange ulike siffer har vi?

Hvor mange ulike tall har vi?

Hva er forskjellen på siffer og tall?

Hva heter tallet?

9 0 0 4 0 3

Hvor mange siffer har tallet?

2.1

Skriv tallene. a) Fire tusen, fem hundre og sekstiåtte b) Ti tusen, ni hundre og seks c ) To hundre og trettifire tusen, fem hundre og sekstien

2.2

Skriv tallet med ord. a) 4579 b) 24 531

c ) 87 349

2.3

Skriv alle hele tall mellom a) 97 og 104 b) 998 og 1010

c ) 9987 og 10 003

2.4

Skriv tallene i stigende rekkefølge.

23 876

19 001

4578 32 041

8899

24 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 24

Tall og regning

6 0 0 0 0 7 0 0 0

Oppgave 2.3 I denne oppgaven vil elevene møte tieroverganger når de skriver tallene i stigende rekkefølge.

24

1 0 0 0 0 0

167 943

Oppgave 2.1 og 2.2 Elevene skal først lese tallene og skrive dem med sifre, i neste oppgave skal de skrive tallene med ord.

Oppgave 2.4 Elevene skal sortere tallene og skrive dem i stigende rekkefølge.

Titallsystemet

01.09.15 15.55

resultatet større. Noen elever vil etter hvert begynne å regne på hva som var høyest mulig sum.

Rad 1

=

Rad 2

Rad 1

Rad 3

Rad 2

Rad 4

Rad 3

SUM

Rad 4 Rad 5 Rad 6 Rad 7

=

SUM

Forklaring Eksempel 4 394 16 8

2.5

2.6 2.7 2.8

Utvid oppgaven Utfordre elevene til å skrive flere tall med verdier som ligger mellom tallene i oppgaven.

enere Sifrene får verdi etter tiere hvilken plass de står på. hundrere tusenere titusenere hundretusenere millioner

Eksempel Eksemplet er en støtte for elevene i å huske navnene på sifferplassene i store tall.

Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a) 45 973 b) 139 874 c ) 63 841 d) 1 028 453 e) 7 493 547 f ) 6 598 124

Oppgave 2.5, 2.6 og 2.7 Alle disse oppgavene handler om sifrenes plassering og verdi.

Hvilken verdi har sifferet 7 i hvert av disse tallene? a) 70 423 b) 179 324 c ) 7 941 003

Oppgave 2.8 Dette er en mer utfordrende oppgave. Elevene vil oppleve at det er stor forskjell på hvor mye et tall øker i verdi etter hvilken plassering sifferet som skiftes ut har.

Hvilket siffer står på hundretusenerplassen? a) 789 324 b) 7 831 614 c ) 3 549 726

Hvor mye øker tallets verdi når sifferet 4 forandres til 9? a) 14 873 b) 41 365 c ) 142 698 d) 9 436 781 e) 4 876 231 f ) 4 367 821

Sammen Bruk alle sifrene.

Lag det største og det minste tallet det går an å lage med sifrene.

Hva er differansen mellom tallene?

3 4 1

7 8

5 9

25 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 25

Sammen Etter at elevene har gjort denne oppgaven, kan de utfordres til å lage det nest største og det nest minste tallet som er mulig når de bruker alle sifrene.

01.09.15 15.55

Tall og regning 25

Øv mer Skriv tallene 10 mindre

1000 mindre

10 000 mer

100 mer

84 531 7 215 32 972 154 916 63 504 296 478 30 231 96 945 10 206

Forklaring 2 • Tall og regning

Oppgave 2.9 og 2.10 Elevene må finne ut hvordan tallinjene er delt opp, og hvilke tall som skal stå der pilene peker.

2.9

Hvilket tall skal stå der pila peker? b)

a) 9800

2.10

Oppgaven 2.11 og 2.12 Oppgavene gir elevene trening i tieroverganger.

9900

c) 10 100 10 200

b)

c)

d)

100 101

2.11

Utvid oppgaven Etter at elevene har gjort denne oppgaven, kan de utfordres til å lage det nest største og det nest minste tallet som er mulig når de bruker alle sifrene.

Oppgave 2.14 Øvingsoppgave i å avgjøre størrelsesforholdet mellom to tall.

2.14

9 999849 ?

?

b) 100 349

?

c) 999 999

?

Hvilket tall er én mindre enn a)

2.13

100 103 100 104 100 105

Hvilket tall er én mer enn a)

2.12

10 400

Hvilket tall skal stå der pila peker? a)

Oppgave 2.13 Oppgaven gir elevene erfaring i hvordan tall som inneholder de samme sifrene, endrer verdi etter sifrenes plassering.

d)

? 849 ? 1000

b)

?

5000

c)

Bruk alle sifrene ved siden av. a) Lag fem ulike tall med alle sifrene.

4 b) Skriv tallet med høyest verdi. c ) Skriv tallet med lavest verdi. d) Regn ut differansen mellom tallene i b) og c).

?

10 100

9 8 7 2 5

Sett inn riktig tegn (<, > eller =).

104 599 b) 890 397 1 067 001 a) 401 500 1 100 024 d) 11 000 000 9 999 999 c ) 1 000 998

26 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 26

26

Tall og regning

01.09.15 15.55

Telle forlengs/baklengs med store tall I forståelsen av addisjon og subtraksjon er det viktig å kunne telle forlengs og baklengs. Et viktig ledd i utviklingen av forståelsen for plassverdisystemer er å kunne telle forlengs og baklengs med 10 av gangen, 100 av gangen, 1000 av gangen osv. Å ha utviklet en slik tellestrategi vil gjøre det lettere for elevene å addere og subtrahere flersifrede tall, gjøre raske overslag og kunne vurdere om svaret på et regnestykke er sannsynlig.

Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi ser man tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av sifre og plassverdier. Eksempel: 6 723 = 6 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1

Tell sammen med elevene med ulike intervaller.

Utvid også til å telle med for eksempel 20 av gangen.

200 av gangen, 2000 av gangen osv. Når dere teller på denne måten, er det viktig at dere ikke bare teller med hele tiere eller hundrer. Begynn for eksempel på 12 og tell 12, 32, 52, …

Oppgave 2.19 Vær oppmerksom dersom noen elever for eksempel skriver 7 i stedet for 700 000 i den første tomme ruten i oppgave a). Sannsynligvis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

Å skrive tall på utvidet form Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet sier vi gjerne at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusener, hele hundrere, hele tiere og enere.

Eksempel: 6 723 = 6 000 + 700 + 20 + 3.

I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene.

Eksempel: 6 723 = 6 · 103 + 7 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100

Oppgave 2.20 I denne oppgaven skal elevene regne med årstall.

Hvis ikke alle elevene er kjent med datonotasjon, så kan dere snakke sammen om dette.

Sammen Elevene er godt kjent med slike tallgåter hvis dere også brukte Radius på 5. trinn. Etter at elevene har løst oppgaven, vil det være interessant å høre hvordan de ulike gruppene har kommet fram til svaret.

Forklaring 2.15

Hvilket tall er 100 større enn a) 10 265 b) 45 879

c)

167 457

d) 19 900

2.16

Hvilket tall er 1000 mindre enn a) 4378 b) 65 478

c)

141 718

d) 150 612

2.17

2.18

2.19

9 8 7 2 5

2.20

Skriv tallene på utvidet form. a) 687 341 b) 1 941 324 c ) 6 124 438 d) 4 050 397

Oppgave 2.15 og 2.16 Øvingsoppgave i å finne tallet som er henholdsvis 100 større og 1000 mindre enn det oppgitte tallet.

Utvid oppgaven Over streken er det en oppgave i tabellform. Denne kan kopieres og deles ut til elevene.

Tall på utvidet form: 32 537 = 30 000 + 2000 + 500 + 30 + 7

Regn ut. a) 4 000 000 + 800 000 + 30 000 + 9000 + 100 + 80 + 5 = b) 6 000 000 + 500 000 + 40 000 + 3000 + 900 + 70 + 3 = c ) 1 000 000 + 80 000 + 9000 + 200 + 1 =

Differensiering De elevene som trenger ekstra utfordring, kan gjøre oppgavene i tabellen med for eksempel 20, 200, 2000 og 20 000 eller 30, 300, 3000, 30 000 osv.

Før disse oppgavene kan det være lurt å telle med elevene slik vi anbefaler i teksten øverst på siden.

Skriv tallene som mangler. Uttrykkene skal stå på utvidet form. + 50 000 + 7000 + + 20 + 1 = 4 757 321 a) 4 000 000 + = 300 000 + 60 000 + 9000 + 500 + 30 + 7 b) + 900 000 + + 3000 + 900 + 70 + = 8 923 976 c)

Eva er født 28.05.2009. Det er på 100-årsdagen til tippoldemoren hennes. Når er tippoldemoren født?

Oppgave 2.17 Øvingsoppgave i å dele tall opp og skrive dem på utvidet form.

Sammen Nina er født før år 2000. Hun er yngre enn 70 år, men eldre enn 45 år. Året hun er født, har et oddetall på enerplassen og et partall på tierplassen. Sifferet på hundrerplassen er summen av sifferet på enerplassen og sifferet på tierplassen.

Hvilket år ble Nina født?

27 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 27

Oppgave 2.18 Øvingsoppgave i å finne hvilket tall som står skrevet på utvidet form.

01.09.15 15.55

Tall og regning 27

Avrundingsregler Avrunding er en metode vi bruker for å finne et tall som er enkelt å regne med, og som har tilnærmet verdi som det opprinnelige tallet. Forskjellen på det avrundede tallet og det opprinnelige tallet kalles avrundingsfeilen.

Er sifferet på enerplassen 5, 6, 7, 8 eller 9, sier vi at vi runder av oppover, tallet får høyere verdi. Det vil si at vi erstatter sifferet på enerplassen med 0 og erstatter sifferet på tierplassen med sifferet som har 1 mer i verdi.

Eksempel: 267 ≈ 270

Avrunding av typen «avrund til nærmeste» er vanlig i skolen.

Når vi runder av til nærmeste hundrer, ser vi på sifferet på tierplassen. Er sifferet 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover.

Eksempel: 235 ≈ 200

Når man skal runde av et tall til en plass i posisjonssystemet, bestemmer nærmeste plass til høyre om man runder opp eller ned.

Avrundingsregel 1: Dersom sifferet til høyre er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes sifferet på plassen slik det er.

Avrundingsregel 2: Dersom sifferet til høyre er 5, 6, 7, 8 eller 9, forhøyes sifferet på plassen med 1.

Når vi skal runde av til nærmeste tier, ser vi på sifferet på enerplassen. Er sifferet 1, 2, 3 eller 4, sier vi at vi runder av nedover, tallet får lavere verdi. Det vil si at vi erstatter sifferet på enerplassen med 0 og beholder sifferet på tierplassen.

Eksempel: 142 ≈ 140

Er sifferet på tierplassen 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.

Eksempel: 2483 ≈ 2500 Noen ganger kan vi se at elevene blir i tvil når de for eksempel skal runde av 2499 til nærmeste tusen.

Men regelen gjelder også her. Det er sifferet 4 som bestemmer at sifferet tusenerplassen beholdes, selv om sifferet på hundrerplassen ville blitt 5 om man rundet av til nærmeste hundrer først.

2499 ≈ 2000

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Snakk med elevene om hva avrunding er, og når det er naturlig å bruke avrunding. Se teori øverst på siden. La elevene komme med eksempler på når det er naturlig eller lurt å bruke avrunding.

Avrunding

Samtale Hva er avrunding?

Mellom hvilke hele tusenere ligger 3743?

Mellom hvilke hele hundrere ligger 3743?

3743 3400

Tallinja viser mellom hvilke hele hundrere tallet i eksemplet ligger, snakk også om mellom hvilke hele tusener tallet ligger, og mellom hvilke hele tiere tallet ligger.

Tall og regning

4000 Jeg runder av til nærmeste tusen: 3743 ≈ 4000.

Hvorfor runder gutten av oppover?

Hvorfor runder jenta av nedover?

2.21

Rund av til nærmeste tusen.

1000 a) 1500 c ) 4723 e) 5199

2.22

2000

3000

b) 2378 d) 6504 f ) 9943

Rund av tallene i oppgaven over til nærmeste hundrer.

4000

5000

6000

Vi ser på hundrerplassen når vi runder av til nærmeste tusen.

Er sifferet 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover. Er sifferet 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.

28 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 28

28

3800

Jeg runder av til nærmeste hundre: 3743 ≈ 3700.

La elevene repetere avrundingsreglene med sine egne ord.

Vær oppmerksom på at det kan være en misoppfatning hos enkelte elever at det å runde av nedover betyr at sifferet på plassen det rundes av til, reduseres med 1. Eksempelvis vil disse elevene tro at når vi runder av 143 til nærmeste tier, så blir det 130. Presiser derfor overfor elevene at når vi runder av nedover, beholder vi sifferet som står på plassen vi runder av til. Når vi runder oppover, forhøyer vi sifferet med 1.

3600

01.09.15 15.55

Overslagsregning i addisjon og subtraksjon Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag, og hvilken regneart vi skal bruke.

Noen ganger er begge tallene i addisjonen slik at de skulle rundes samme vei hvis vi bruker avrundingsreglene. I addisjon vil det allikevel lønne seg å bruke overslagsregelen for regnearten og runde det ene tallet opp og det andre tallet ned.

Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok.

3745 + 2532 = 6277 Avrundingsregelen gir: 4000 + 3000 = 7000 Overslagsregelen gir: 4000 + 2000 = 6000

I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig.

I dette eksemplet ser vi tydelig at det lønner seg å runde det ene tallet opp og det andre tallet ned ved addisjon.

Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Addisjon Ved addisjon av to flersifrede tall kan det være lurt å runde det ene tallet opp og det andre tallet ned.

Subtraksjon Ved subtraksjon av to flersifrede tall kan det være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned.

Eksempel 9641 – 7435 = 2206 Avrundingsreglen gir: 10 000 – 7000 = 3000 Overslagsregelen gir: 10 000 – 8000 = 2000 eller 9000 – 7000 = 2000

7168 + 8554 = 15 722 Overslag: 7000 + 9000 = 16 000 Vi kom altså ganske nær ved å runde av annethvert ledd opp og ned.

I dette eksemplet ser vi tydelig at det lønner seg å runde begge tallene opp og begge tallene ned.

Forklaring 2.23

Vegard kjøper varene nedenfor. Rund av til nærmeste hundrer, og regn ut hva han må betale.

Oppgave 2.21 og 2.22 I oppgave 2.21 har elevene støtte i tallinja når de runder av. Legg spesielt merke til om noen runder av feil når de runder nedover.

r

329 k

42

79

kr

750 kr

2.24

Rund av til nærmeste tusener, og regn ut. a) 3287 + 4501 = b) 5670 + 2836 = c ) 1178 + 8071 = d) 9928 + 3091 = e) 7445 + 8501 = f ) 12 457 + 7824 =

2.25

Rund av til nærmeste tusener, og regn ut. a) 1950 - 1087 = b) 4934 - 2076 = c ) 2067 - 1245 = d) 9523 - 2279 = e) 10264 - 3747 = f ) 14 634 - 7095 =

2.26

Hvilken plass må jeg se på dersom jeg skal runde av til nærmeste titusener?

2.27

Rund av til nærmeste titusener. a) 45 129 b) 54 129

c)

Oppgave 2.23 Denne oppgaven er fin å drøfte med elevene, hvor de kan lære begrepet avrundingsfeil. Se teori øverst på siden. Drøft om avrundingen her er fornuftig.

Oppgave 2.24 og 2.25 I disse oppgavene er det ikke meningen at elevene skal regne ut det nøyaktige svaret. De skal bare regne med de avrundede tallene.

45 478

87 213

d) 243 958

Sammen ≈ 300.

Jeg runder av til nærmeste hundrer, • Skriv fem eksempler på tall som kan stå i den blå ruta.

• Hvilke av tallene har høyest og lavest verdi? ≈ 5000.

Jeg runder av til nærmeste tusener, Svar på de samme spørsmålene som over.

29 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 29

Sammen Etter at elevene har gjort denne samarbeids­ oppgaven, kan dere høre hvor mange forskjellige tall alle gruppene samlet kom fram til, som kan stå foran ≈ 300. Fins det enda flere tall som kunne stått der? Klarer dere å oppsummere hvilke hele tall som kunne stått der? (Alle tall mellom 250 og 349).

01.09.15 15.55

Tall og regning 29

Ulike metoder for addisjon av flersifrede tall Vi har tidligere skrevet litt om ulike metoder for addisjon i forbindelse med hoderegningsstrategier (kapittel 1 side 6).

Når elevene nå skal addere flersifrede tall, kan det være nødvendig å ta i bruk andre strategier, det blir mye å holde styr på.

Algoritmer som bygger på hoderegning og sifrenes verdi, som for eksempel N10 og 1010, bygger på forståelsen av plassverdisystemet, men kan bli tungvinte å bruke når tallene får mange sifre.

De regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, bygger på samme prinsipper, men kan være litt vanskeligere å forstå. Disse er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene foregikk med papir og blyant.

Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best.

Barns forståelse av flersifrede tall bygger mer på forståelse av mengde enn av kolonneverdi. Dette syns spesielt godt i muntlig matematikk, og det har blitt avslørt i diverse tester (Thompson). For mange elever vil det derfor være lettere å forstå hva som foregår i for eksempel 1010-metoden, hvor tallene deles i hundrermengder, tiermengder osv. og adderes fra venstre mot høyre, enn i en standardalgoritme hvor tallene stilles opp under hverandre og kolonnene adderes fra venstre mot høyre.

Det kan være lurt at du som lærer skiller mellom situasjoner når elevene skal øve på en bestemt algoritme for å lære denne, og når elevene kan få velge den metoden som de syns fungerer best for seg.

Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev.

Forklaring 2 • Tall og regning

Talleksemplene i oppgaven på dette oppslaget er slik at reglene for avrunding og reglene for overslag i addisjon gir samme resultat. Se teori på fore­ gående side.

Oppstilling – addisjon

Samtale Noen ganger er det lettere å stille opp tallene for å regne ut svaret, men det er lurt å gjøre overslag først.

7168 + 8554 = 1

1

Jeg gjør overslag: 7000 + 9000 = 16 000 Svaret skal bli omtrent 16 000.

7 1 6 8 + 8 5 5 4 = 1 5 7 2 2

Det er viktig å lære elevene å vurdere hva svaret kan bli, og om svaret de kommer fram til, er sannsynlig.

Ofte regner de i vei uten å tenke på om svaret kan stemme. Denne samtalen og de følgende oppgavene minner elevene på at det fins en enkel måte for å se om svaret kan være riktig. Bruk derfor litt tid på samtale og refleksjon med elevene om dette temaet.

Hva kaller vi sifferet 1 over tierplassen og hundrerplassen?

Hvilken verdi har sifferet 1 over tierplassen?

Er svaret langt unna overslaget til jenta?

2.28

Oppgave 2.28 Presiser for elevene at de først skal gjøre et overslag, og be dem om å vurdere svaret de får, ved utregning i forhold til overslaget.

2.29

Oppgave 2.29 I denne oppgaven skal elevene bruke overslag for å vurdere hvilke av oppgavene de tror gir et svar som er større enn 20 000, før de regner ut nøyaktig.

Gjør overslag før du regner ut nøyaktig svar. a)

7 8 9 1 b) + 6 4 7 7 =

d)

4 0 6 9 e) + 1 2 8 6 5 =

+ =

1 1 2 7 4 8 9 6 3

c)

9 4 7 5 4 f) + 7 1 8 3 2 =

+ =

7 2 9 4 6 8 7 3 5

4 5 9 7 8 + 5 8 3 4 1 =

Hvilke av addisjonsstykkene nedenfor tror du blir mer enn 20 000?

Regn ut nøyaktig svar, og sjekk om du har rett. a) 7 598 + 10 429 = b) 12 497 + 13 102 = c ) 8 471 + 12 973 = d) 9 871 + 8037 = 9 kr 284

2.30

Hamza handler klærne som du ser til høyre.

Hvor mye handler han for?

r

1537k

30 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 30

30

Tall og regning

01.09.15 15.55

Tom tallinje Elevene velger de sprangene på tallinja som er naturlige for dem ut fra de hoderegningsstrategiene som de behersker. For eksempel fylle opp tier, dobling, telle med hundre osv.

Eksempel: + 100

+ 30

358

458

+ 2 + 2

488 490 492

N10 Først adderer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne.

Eksempel: 358 + 134; 358 + 100 = 458; 458 + 30 = 488; 488 + 4 = 492

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere adderes hver for seg med minnetall.

358 + 134 = 1 358 + 134 = 492 Når vi, som i dette kapitlet, skal regne med opp til femsifrede og sekssifrede tall, er det de to siste metodene som er naturlige å vektlegge. Men fortsatt kan den tomme tallinja være god å bruke for en del elever.

1010 Addere hundrere, tiere og enere hver for seg.

Eksempel: 358 + 134; 300 + 100 = 400; 50 + 30 = 80; 8 + 4 = 12; 400 + 80 + 12 = 492.

Forklaring 2.31

Kim sparer på russekort. Han har 127 russekort fra i fjor og får 247 nye i år. a) Hvor mange russekort har Kim?

Oppgave 2.30 og 2.31 Også i disse oppgavene bør elevene gjøre overslag før de regner ut.

b) Mie har 469 russekort. Hvor mange russekort har Mie og Kim til sammen?

2.32

Nedenfor ser du antall innbyggere i bykommunene i Østfold fylke per 1. januar 2013: Bykommune

2 9 4 6 8 7 3 5 5 9 7 8 8 3 4 1

Oppgave 2.32 I oppgave c) møter elevene addisjon med mer enn to ledd. I denne oppgaven er det spesielt hensiktsmessig å gjøre et overslag før de regner ut.

Folkemengde

Halden

29 880

Moss

30 988

Sarpsborg

53 696

Fredrikstad

76 807

Askim

15 315

a) Ordne byene i rekkefølge fra færrest til flest innbyggere. b) Hvor mange innbyggere er det i Sarpsborg og Fredrikstad til sammen? c)

Hvor mange innbyggere er det i alle byene i Østfold til sammen?

Sammen Fyll ut tallene som mangler i regnepyramidene.

r enn 20 000?

= 1029 45

138

247

93

68

487

31 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 31

Differensiering La de elevene som syns det er for vanskelig å addere mer enn to ledd, først addere de to første byene, så de to neste byene, så addere disse to summene og til slutt addere denne summen med den siste byen.

Sammen Tallpyramiden til venstre er av den typen som elevene bør være godt kjent med. Tallpyramiden til høyre er mer krevende, den har også flere løsninger avhengig av hvordan elevene splitter 1019 før de adderer oppover. Men tallet på toppen blir det samme. La elevene få forklare hvordan de splittet tallet, og begrunne sitt valg.

01.09.15 15.55

Tall og regning 31

Ulike metoder for subtraksjon av flersifrede tall Det er viktig at elevene får forståelsen av at subtraksjon er motsatt regneart av addisjon.

(Addisjon og subtraksjon er inverse regnearter).

Addisjonen 5 + 9 = 14 gir følgende subtraksjoner: 14 – 9 = 5 og 14 – 5 = 9. Disse sammenhengene bør presiseres ofte. De har også overføringsverdi til algebra og annen logisk tenking. Mange elever fortsetter å bruke addisjon i sin tenkemåte selv om det er subtraksjon det handler om. Disse elevene vil sannsynligvis få problemer med å forstå hva som foregår når vi regner med standardalgoritmen for subtraksjon, hvor vi stiller tallene opp under hverandre og subtraherer kolonnevis fra høyre mot venstre.

De regnemetodene som vi kjenner som standard­ algoritmer, er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall.

Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene foregikk med papir og blyant.

Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best.

Tom tallinje Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningsstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eksempel 450 – 302 = 148 +8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend.

Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev.

Forklaring 2 • Tall og regning

Oppgave 2.33 Fortsett å oppfordre elevene til å gjøre overslag før de regner ut.

2.33 2.34

Oppgave 2.34 Addisjonsoppgaver med store tall i kontekst.

I oppgave c) må elevene hente en opplysning fra a) for å løse oppgaven.

I oppgave d) skal de addere tre tall. De som syns det er vanskelig, kan først addere to av tallene, så addere det tredje tallet med summen av de to første.

Familien Hansen og familien Lie drar på ferie sammen.

a) Familien Hansen betaler 8758 kr for flyreisen, og familien Lie betaler 9567 kr. Hvor mye betaler de til sammen? b) Familien Hansen skal være på hotellet i to uker. De betaler 12 486 kr per uke. Hvor mye betaler de for begge ukene?

Oppgave 3.35 Mange elever vil oppleve slike oppgaver som veldig krevende. Spesielt der det er minnetall.

c)

2.35

Hvilke sifre mangler? a)

1 2 b) + 2 4 = 3 5 6

d)

3 4 7 e) 6 8 + 2 = 0 6 5

Tall og regning

3 4 3 8 + = 7 5 2

c)

6 2 + 1 3 = 5 5

2 8 9 f) 3 8 + = 1 1 4 0

4 5 7 + 3 7 7 = 6 1 2 5

32 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 32

32

Familien Lie betaler 15 059 kr for hotell i en uke.

Hvor mye betaler de for fly og hotell i en uke?

d) Bestemor Lie kommer et par dager etter de andre.

Hun betaler 3789 kr for fly, 6745 kr for hotell og bruker 5435 kr i lommepenger. Hvor mye koster ferien for bestemor Lie?

Differensiering Oppgave a) og c) har ikke minnetall. Lag flere slike oppgaver uten minnetall for de elevene som strever.

Samtale Du kan lese om avrunding i subtraksjon øverst på side 29. I eksemplet i denne samtalen har gutten

Regn ut. a) 4575 + 8793 = b) 9478 + 10 879 = c ) 22 457 + 8793 = d) 104 754 + 9879 = e) 45 876 + 78 054 = f ) 45 785 + 98 167 =

01.09.15 15.55

–8

– 40

– 100

302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend.

– 50

– 100

Som vi ser, blir det her negativt fortegn foran enerne. I slike tilfeller har elevene på dette stadiet lett for å snu subtraksjonen og få 2.

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere subtraheres hver for seg.

+2 300 302

1010 Subtrahere hundrere, tiere og enere hver for seg.

Eksempel: 450 – 302; 400 – 300 = 100; 50 – 0 = 50; 0 – 2 = -2; 100 + 50 – 2 = 148

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

N10 Først subtraherer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. I dette eksemplet er det ingen tiere å subtrahere.

Eksempel: 450 – 302; 450 – 300 = 150; 150 – 2 = 148.

Det har vært vanlig å si at vi låner for eksempel en tier. Dette er et diffust begrep for elevene. Det er bedre å si at vi tar en tier og veksler i enere. Dette er kjent for elevene både fra jobbing med konkreter og med veksling av penger. Du kan lese mer om subtraksjon og veksling på side 34.

450 – 302 = 10

450 – 302 = 148

Forklaring Oppstilling – subtraksjon

rundet av det største tallet til nærmeste hundrer og det minste tallet til nærmeste tusener. Tallene blir allikevel lette å gjøre overslag med, og svaret kommer nær det nøyaktige svaret. Bruk tallene i oppgaven og prøv å runde av på ulike måter. Her vil elevene se at hvis de bruker avrundingsregelen for subtraksjon og runder av begge tallene oppover, det største til 9600 og det minste til 8000, så kommer de enda nærmere det nøyaktige svaret. Hva vil skje hvis begge tallene rundes av oppover til nærmeste tusener? Drøft svarene dere får og samtal om hvor stor avrundingsfeilen kan være.

Inkluder noen av oppgavene i 2.36, og la elevene, i grupper, få prøve ut ulike måter å runde av på. Ofte vil elevene runde av minst mulig for å komme så nær svaret som mulig. Dette er ikke poenget, poenget er at tallene skal være lette og raske å regne med i hodet, og allikevel gi en indikasjon på i hvilken størrelsesorden svaret på nøyaktig utregning bør ligge.

Samtale Noen ganger trenger vi oppstilling i subtraksjon.

9541 - 7823 = 10

10

Jeg regner overslag: 9500 - 8000 = 1500 Svaret skal bli omtrent 1500.

9 5 4 1 - 7 8 2 3 = 1 7 1 8

Hva betyr tallet som står over 1 på enerplassen og over 5 på hundrerplassen?

Hvordan stemte overslaget?

2.36

2.37

Gjør overslag før du regner ut nøyaktig svar. a)

4 5 6 7 b) - 3 8 8 3 =

9 8 7 1 - 8 6 3 9 =

d)

5 9 5 3 e) - 3 8 1 9 =

8 4 5 2 f) 1 4 9 5 7 8 - 6 6 7 8 - 8 5 6 9 3 = =

4 5 7 7 7 2 5

1

1 7 1 4 2 - 1 2 7 5 7 =

Gjør overslag, og plasser regnstykkene i riktig boks.

Mindre enn 9000

6 2 + 1 3 = 5 5

c)

10 000 – 15 000

20 000 – 25 000

a) 15 349 - 6873 = b) 53 869 - 30 567 = c) 32 679 - 27 888 = d) 18 687 - 5673 = e) 19 483 - 12 878 = f) 102 471 - 72 873 =

2.38

Regn ut oppgavene i 2.37.

33 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 33

Oppgave 2.37 og 2.38 I oppgave 2.37 skal elevene bare gjøre overslag og sortere overslaget i eskene. I 2.38 regner de oppgavene fra 2.37.

01.09.15 15.55

Tall og regning 33

Subtraksjon med veksling over null Når vi bruker det som vi kaller standardalgoritmen i subtraksjon, stilles tallene opp under hverandre kolonnevis etter plassverdi, enere under enere, tiere under tiere osv. Elevene subtraherer tallene kolonnevis og reflekterer ikke alltid over hva som foregår. Så lenge det øverste sifferet i kolonnen er større enn det nederste, går det greit for de fleste.

Problemet oppstår når det øverste sifferet er mindre enn det nederste. Noen elever «løser problemet» med å snu regneretningen og subtraherer konsekvent det minste sifferet fra det største, en strategi som viser at eleven ikke forstår algoritmen.

Eksempel:

For å kunne utføre kolonnevis subtraksjon når det øverste sifferet i kolonnene er mindre enn det nederste, må eleven ha full forståelse for plassverdisystemer og være innforstått med veksling eller omgruppering. Tallets verdi forandrer seg altså ikke om vi for eksempel veksler en tier i ti enere og flytter disse til enerkolonnen.

Eksempel: 450 – 302 = 10

450 – 302 = 148

Streken over femtallet forteller oss at vi har flyttet en tier fra tierkolonnen, det er altså fire igjen, denne tieren er vekslet til ti enere og flyttet til enerkolonnen. Vi har foretatt en veksling eller omgruppering. Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 4 tiere og 10 enere, 400 + 40 + 10 = 450. Tallets verdi har ikke endret seg.

Forklaring 2 • Tall og regning

Før elevene regner oppgavene på denne siden, kan dere gjerne gjennomføre samtalen på neste side om veksling over null.

Mie er på ferie med familien. Torsdag bestiger de Bjørnskardtinden, som er 1358 moh.

Fredag skal de bestige Hamperokken, som er 1404 moh.

2.40

I butikken El-Eksperten selger de elektriske artikler.

Nedenfor ser du noen av produktene de selger.

7657 k

r

382 kr

kr

a) Stian kjøper mobiltelefonen og betaler med 5000 kr.

Hvor mye får han tilbake? b) Marie og Karoline kjøper et nettbrett sammen.

Marie betaler 4279 kr. Hvor mye betaler Karoline? c)

Familien Andersen kjøper TV og PC. De får 2376 kr i innbytte for den gamle TV-en de hadde. Hvor mye betaler de i tillegg?

d) Ulrik kjøper mobiltelefon og nettbrett. Han får 500 kr i avslag.

Hvor mye betaler han?

Sammen La elevene komme med sine løsningsforslag og forklare hvordan de tenkte.

Sammen Hvilke sifre mangler? a)

=

1 0 3 2 9 2 5

b)

=

1 4 3 8 7 6 4 8 5

c)

2 1 0 8 6 - 5 = 1 7 0 9

34 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 34

Tall og regning

r

87 k

14 9

11

4687

Oppgave 2.40 I denne oppgaven møter elevene sammensatte problem­ stillinger, de må utføre både addisjon og subtraksjon for å komme fram til det oppgavene spør etter.

34

moh. be tyr meter o ver havet.

Hvor mange flere høydemeter går de på fredag enn på torsdag?

Oppgave 2.39 I denne oppgaven møter elevene veksling over null hvis de velger å stille opp under hverandre. Legg merke til hva slags løsningsstrategi elevene bruker på denne oppgaven.

Samtale På rasteret for denne samtalen er ikke regne­ eksemplet fullført. Det er fordi det er meningen at dere skal gjøre dette sammen i løpet av samtalen.

2.39

01.09.15 15.55

Etter denne vekslingen/omgrupperingen kan subtraksjonen utføres kolonnevis.

Enerkolonnen: 10 – 2 = 8 Tierkolonnen: 4 – 0 = 4 Hundrerkolonnen: 4 – 3 = 1 Det neste problemet oppstår når sifferet i kolonnen hvor det skal veksles, er 0. Hvis sifferet for eksempel i tierkolonnen er 0, er det ingen tier som kan veksles.

Eksempel: 502 – 274 = 1010

502 – 274 = 228

Da må vi gå til neste kolonne, hundrerkolonnen, flytte en hundrer, veksle den til 10 tiere og flytte den til tierkolonnen. Nå er det altså 10 tiere i tierkolonnen, og vi kan flytte en av disse tierne, veksle den i ti enere og flytte den til enerkolonnen.

Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 9 tiere og 12 enere, 400 + 90 + 12 = 502.

Tallets verdi har ikke endret seg.

Etter denne vekslingen/omgrupperingen kan subtraksjonen utføres kolonnevis.

Enerkolonnen: 12 – 4 = 8 Tierkolonnen: 9 – 7 = 2 Hundrerkolonnen: 4 – 2 = 2

Forklaring moh. be tyr meter o ver havet.

Veksling over null

Vi har skrevet om veksling over null øverst på siden.

Les dette før du gjennomfører samtalen med elevene.

Eksemplet på rasteret ferdig utregnet:

Samtale Sofie har 2057 kr og kjøper en kjole til 1090 kr.

Hvor mye har hun igjen etter at hun har kjøpt kjolen?

5 – 9 på tierplassen. Jeg må veksle en hundrer, men det er 0 på hundrerplassen. Hva gjør jeg?

2 0 5 7 - 1 0 9 0 = 7

1010

2057 – 1090 = 967

Kan hun veksle en tusener?

2.41

a)

2.42

3 0 2 4 b) - 2 2 8 7 =

4054 -2349 =

e) 10 150 - 873 =

c)

=

10

Oppgave 2.43 I denne oppgaven ligger svarene så nær hverandre at elevene neppe vil få noe hjelp av overslag. De fleste må regne ut nøyaktige svar. Spør elevene hvordan de kom til løsningen, kanskje noen har sluttet seg til svaret uten å regne ut.

10

2 5 0 2 - 1 2 7 4 = 1 2 2 8

d) 6031 - 4782 = f)

1 0 4 6 2 9 6 1 9

140 143 - 16 978 =

Svaret er 2674. Hvilken oppgave hører til?

2 1 0 8 6 - 5 = 1 7 0 9

6028 - 3454

2.44

5 6 0 3 - 2 4 4 9 =

Gjør overslag før du regner ut nøyaktig svar. b) 2540 - 937 = a) 2506 - 1237 = c)

2.43

Oppgave 2.41 og 2.42 Minn elevene på at det er lurt å gjøre et overslag før de regner oppgavene.

Gjør overslag før du regner ut nøyaktig svar.

5028 - 2254

7028 - 4354

Lag en tekstoppgave som passer til en av oppgavene over.

35 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 35

Oppgave 2.44 Det å lage sine egne tekstoppgaver gjør elevene bedre i stand til å løse andres tekstoppgaver.

01.09.15 15.55

Tall og regning 35

Negative tall At et tall kan ha mindre verdi enn null, kan være vanskelig å forstå for en del elever. Null er jo det samme som ingenting, hva kan være mindre enn ingenting? Når man skal angi verdier som er mindre enn null, er det vanlig å vise til det å ha gjeld eller overtrekke bankkonto. De færreste sjettetrinnselever har noe forhold til dette. Å vise til å låne penger blir også abstrakt og virker forvirrende for en del elever.

Har man lånt penger, har man jo penger, og når disse betales tilbake, er man tilbake på null.

Elevene vil oppleve at når de subtraherer et tall med større verdi enn utgangspunktet (subtrahenden er større enn minuenden), får de bruk for å oppgi svaret som en negativ verdi.

Den mest nærliggende praktiske sammenheng hvor man bruker negative verdier, handler om temperatur. På Celsius’ temperaturskala, som vi bruker, definerer vi temperaturen ved vannets frysepunkt som 0 grader. Er det varmere, angir vi temperaturen med tall som har positiv verdi, og er det kaldere, angir vi temperaturen med tall som har negativ verdi. Dette kan vi direkte overføre til tallinja og er lett å forholde seg til for elevene.

Elevene spiller på hvert sitt termometer.

1. Spillerne starter med å sette hver sin brikke på 0 °C. 2. Spillerne kaster begge terningene, eventuelt kaster terning og trekker et kort etter tur.

3. Spillerne beveger seg i positiv eller negativ retning på termometeret, og flytter antall plasser som de slår.

4. Hvis spilleren slår/trekker minus og står på –10, eller pluss og står på 10, kommer han ingen vei, men blir stående der til neste kast.

5. Spillerne har 5 snøballer hver. Hver gang en spiller passerer 0 °C, kan han/hun krysse ut en snøball.

6. Den som først har krysset ut alle sine 5 snøballer, har tapt.

Hittil på sjette trinn har elevene bare jobbet med den positive delen av tallinja. Tegn opp en tom tallinje på tavla, start for eksempel på 5. Hva skjer hvis vi subtraherer 1?

Fortsett med 5 – 2, 5 – 3, 5 – 4, 5 – 5, 5 – 6, …

Spill: Snøballkamp To elever spiller sammen. De trenger en vanlig terning og en med + på tre sider og – på tre sider, eller en vanlig terning og to kort eller lapper, en med pluss og en med minus. De trenger hver sin spillebrikke.

Forklaring 2 • Tall og regning

Oppgave 2.45 Oppgave i kontekst hvor elevene møter veksling over null hvis de velger å stille opp under hverandre og regne kolonnevis.

2.45

Bendik handler for 673 kr og betaler med en tusenkroneseddel.

Hvor mye får han tilbake?

2.46

Nedenfor ser du en tabell over verdens høyeste skyskrapere.

Bygning

Oppgave 2.46 I denne kontekstoppgaven møter elevene varierte problemstillinger, ikke bare subtraksjon. La elevene få forklare hvordan de tenkte når de løste oppgave c).

Sammen La elevene få begrunne forslagene sine. Oppfyller de alle kravene som oppgaven stiller?

509 m

Abraj Al Bait

601 m

One World Trade Center

541 m

Burj Khalifa (tidligere Burj Dubai)

828 m

Shanghai World Financial Center

492 m

a) Ranger høyden på bygningene fra høyest til lavest. b) Hvor mye høyere er Abraj Al Bait enn Shanghai World Financial Center? c)

Tall og regning

Hvor mange meter må USA bygge på One World Trade Center for at den skal bli verdens høyeste bygning?

Sammen Ved siden av ser dere tegning av en firkantet tomt.

Omkretsen på tomta er 400 m.

Ingen sider er like lange. En side er lengre enn 100 m, men kortere enn 120 m.

Ingen av de andre sidene er kortere enn 70 m.

Hvor lange kan de ulike sidene være? Lag et forslag.

36 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 36

36

Høyde

Taipei 101

Samtale Se på denne tallinja sammen. Til høyre for 0 har den tall med positiv verdi, men vi skriver vanligvis ikke pluss foran disse tallene. Til venstre for 0 har den tall med negativ verdi. Vi skriver alltid – foran disse for å markere at disse tallene har negativ verdi.

De har lavere verdi enn 0.

Er det noen som vet om noe som er mindre enn 0?

Land

01.09.15 15.55

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Forklaring Negative tall

Snakk med elevene om tall med negativ verdi.

I hvilke sammenhenger bruker vi negative tall?

(Temperatur og meter under havet brukes i oppgavene, elevene har sikkert flere forslag).

Samtale Tall som har lavere verdi enn 0, kaller vi negative tall.

Vi skriver minustegn foran negative tall.

Negative tall er til venstre for 0 på tallinja.

Negative tall -5

-4

-3

-2

Positive tall -1

1

0

2

3

4

5

Oppgave 2.47 Legg merke til om elevene har forståelsen at –46 °C er den laveste temperaturen.

Når bruker vi negative tall?

2.47

2.48

Nedenfor ser du temperaturen målt en dag i januar i ni ulike land.

Lag en oversikt over temperaturen i de ulike landene fra varmest til kaldest.

England

0 °C

Tyskland

1 °C

Norge

-3 °C

Estland

-1 °C

Russland

-46 °C

Australia

36 °C

Sverige

-2 °C

Danmark

2 °C

Oppgave 2.48 Også denne oppgaven avslører om noen elever ikke har forståelsen av negative tall. Bruk i så fall tallinja og se hvordan tallene er plassert i forhold til 0.

Sett inn riktig tegn (<, > eller =). a) -2 e) -32

2

b) -3

-23 f ) -25

-4

c)

5

-26 g) -1

-4

d) -2

0

h) 101

0 102

37 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 37

01.09.15 15.55

Tall og regning 37

Minus som fortegn og minus som regnetegn Elevene er godt kjent med tegnet minus (–) som regnetegn. Når vi kommer til negative tall, bruker vi minustegnet på en annen måte, vi angir tallets verdi med å sette minus foran tallet. Da kaller vi det et fortegn.

Eksempel: I regnestykket –7 – 5 = ser vi minustegnet brukt på begge måter. Minustegnet foran 7 er fortegn, som angir at tallet har negativ verdi.

Minustegnet mellom –7 og 5 er et regnetegn. I dette regnestykket er –7 et negativt tall og 5 et positivt tall, men vi skriver ikke fortegnet + foran positive tall. Det som egentlig står i dette regnestykket, er altså: (–7) – (+5) = En del av en tallinje med positive og negative tall kan se slik ut:

motsatte tallet til 5. Summen av de motsatte tallene blir alltid 0.

Eksempel: –5 + 5 = 0 Det at vi ser på –5 og 5 som motsatte tall, gjør også at det blir mening i å skrive –(–5).

Tallet –5 er både et negativt tall, og det er det motsatte tallet til 5. Ettersom –(–5) det motsatte tallet til –5, er –(–5) = 5, altså et positivt tall.

Å regne med negative tall på tom tallinje Mange elever syns det er vanskelig å forholde seg til subtraksjonsstykker der subtrahend er større enn minuend. Eksempel: 3 – 7 = De syns også det er vanskelig når minuend er et negativt tall. Eksempel: –7 – 5 =

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Her bruker vi minustegnet som fortegn for å angi de negative tallene. Vi kan også si at tegnet skal angi det motsatte tallet til et tall: det tallet som ligger like langt fra 0, men på motsatt side på tallinja. Vi kan si at –5 både er et negativt tall, og at det er det

Også addisjonstykker oppleves som vanskelige når det første leddet er negativt.

Eksempel: –3 + 8 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Mange elever syns det er vanskelig å forholde seg til subtraksjonsstykker der subtrahenden er større enn minuenden. Mange subtraherer konsekvent det minste tallet fra det største og forstår ikke at svaret må bli et negativt tall.

Regne med negative tall

Samtale Knut bor på Tynset. Han noterer temperaturen ute hver dag hele året. Et år var det 30 °C den varmeste dagen. Den kaldeste dagen var temperaturen 57 grader lavere. Hvor mange grader var det denne dagen?

Jeg har regnet 30 - 57.

Hvordan vil du regne det ut?

-7

Når vi viser en slik subtraksjon på tom tallinje, er det mye lettere både å se og forstå hva som foregår.

-27 -20

Lag flere liknende oppgaver, tegn tom tallinje, og bli enige om bevegelsene på tallinja sammen med elevene.

Lag også noen addisjonsoppgaver som beveger seg over null, som for eksempel –4 + 9 = Gi elevene i oppgave å lage en addisjonsoppgave og en subtraksjonsoppgave hvor svaret blir for eksempel –2. Oppgavene som elevene lager, vil gi deg mye informasjon om de har forståelse for addisjon og subtraksjon med negative tall, eller med verdier som beveger seg over null.

Tall og regning

- 30 0

2.49

Regn ut. Bruk tom tallinje. b) 9 - 11 = a) 3 - 4 = e) -14 + 9 = d) -13 - 7 =

2.50

Mona sjekker temperaturen tre ganger i løpet av en dag i november. a) Hva er temperaturen kl. 07.00?

30

c ) 99 - 100 = f ) -10 + 12 =

b) Kl. 14.00 har temperaturen steget med 7 °C. Hva er temperaturen kl. 14.00?

Hvilket av regnestykkene nedenfor passer til denne oppgaven? Regn ut. c)

Hvilket av regnestykkene nedenfor passer til oppgave b)?

A: -2 - 7 =

B: 2 - 7 =

C: -2 + 7 =

d) Kl. 22.00 har temperaturen sunket med 10 °C siden kl. 14.00.

Hva er temperaturen kl. 22.00?

38 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 38

38

- 20

01.09.15 15.55

Å bruke tom tallinje i regning med negative tall kan være til god hjelp for elevene. De har god trening i at en addisjon eller subtraksjon begynner ved det første tallet, og at de beveger seg til høyre på tallinja når de adderer og til venstre når de subtraherer.

Ved å bruke denne strategien når de regner med negative tall, er det lettere både å se og forstå hva som skjer i regneoperasjonen.

Eksempel 1: 3 – 5 = –2 –2

Eksempel 3: –3 – 8 = 5 + 3

+5

–3 0 5

Oppgave 2.53 Hittil har elevene bare regnet med temperatur og ubenevnte tall. I denne oppgaven bruker vi høydemeter under havets overflate som negative tall.

Snakk med elevene om at havets overflate er 0, og at høydemeter regnes som positive og negative verdier over og under havets overflate.

–3

–2 0 3 Eksempel 2: –7 – 5 = –12

Oppgave 2.54 For de fleste elevene vil det være tryggest å regne ut verdiene på begge sider før de setter inn riktig tegn.

–5

Oppgave 2.55 og Sammen Dette er en krevende oppgave. Bruk den gjerne sammen med sammenoppgaven.

–12 –7 0

Forklaring 2.51

Regn ut. a) 5 - 23 = d) -20 + 37 =

b) -52 + 34 = e) -150 + 205 =

c ) 38 - 52 = f ) 42 - 87 =

2.52

En natt i november er temperaturen i Oslo -6 °C, mens den på Sydpolen er 46 grader kaldere. Hva er temperaturen på Sydpolen?

2.53

1026 m Roar har hytte på Hitra. For å komme til hytta kjører han E6 over Dovrefjell. Det høyeste 0m punktet han passerer, er 1026 meter over havet.

-264 m Det laveste punktet han passerer, er -264 m i bunnen av Hitratunnelen. Hvor stor er høydeforskjellen mellom det høyeste og det laveste punktet han passerer på turen?

2.54

a) -3 + 4

2.55

b) -7 + 2 - 3

-1+1

-4 + 5 - 6

- 5 + 10

d) -3 + 1 - 5

e) -7 + 2 + 3

7-2-3

f ) 10 - 13

6 - 12 4-8 13 - 10

Sett inn + eller - mellom tallene, slik at svaret blir riktig.

2 3 4 6 11 3 = -1

Oppgave 2.51 Denne oppgaven har større tall enn 2.49, men regneuttrykkene er tilsvarende. Elevene har god hjelp av å bruke tom tallinje.

Sammen Lag flere oppgaver med negative tall til hvert svar nedenfor.

Klarer dere å lage oppgaver med flere regneoperasjoner?

28

-45

-9

Oppgave 2.49 Øvingsoppgaver i regning med negative tall på tom tallinje.

Oppgave 2.50 Denne oppgaven har litt ulike problemstillinger. a) er en rein avlesingsoppgave, b) her kan elevene tenke praktisk, c) de skal identifisere riktig regneuttrykk.

Dette er ikke lett, men de kan ha hjelp av å tenke via tom tallinje.

Sett inn riktig tegn (<, > eller =). c)

Det er en fordel om elevene får spille spillet på side 37 før de begynner å regne med negative tall. Der får de mange erfaringer med hvordan de beveger seg fram og tilbake på tallinja på begge sider av 0.

-14

39 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 39

01.09.15 15.55

Tall og regning 39

Strategier for å løse tekstoppgaver Mange elever sliter med å løse tekstoppgaver. Selv om oppgavene kan løses med enkle regneoperasjoner, ser det ut til at mange elever mangler strategier for hvordan de skal angripe en tekstoppgave. Mange har også problemer med å analysere selve teksten og forstå hva den egentlig spør etter.

Det kan være lurt å øve på dette sammen med elevene.

1. Be elevene lese oppgaven nøye og gjenta med egne ord hva oppgaven går ut på.

2. Lag en tegning eller en modell av hva oppgaven går ut på.

3. Spør elevene hva omtrent de tror svaret blir (overslag).

4. Regn ut.

5. Sjekk om svaret blir omtrent det du trodde.

6. Skriv svarsetning.

Til punkt 1. Når elevene blir bedt om å gjenta hva oppgaven går ut på, med egne ord, blir de nødt til å tenke over hva teksten egentlig handler om. Klarer de dette, er det ikke avkodingen av teksten de strever med.

Til punkt 2. Mange elever ser hvordan oppgaven skal løses, når de prøver å tegne eller lage modell av problemstillingen. Dette er en svært nyttig strategi da den bringer problemstillingen over i det

halvkonkrete eller halvabstrakte nivået. De elevene som ikke klarer å omsette problemstillingen til tegning eller modell, kan få prøve med konkreter dersom oppgaven egner seg til det.

Til punkt 3. Etter å ha lagd tegning eller modell skal det være mulig for elevene å gjøre et overslag som fører til omtrentlig forventet svar på oppgaven.

Dette er en viktig del av prosessen som ofte blir hoppet over. Den hjelper også elevene til å tenke på nytt hvis de velger feil regneart eller har gjort feil i utregningen og får et svar som er langt fra det de trodde det skulle bli. Dette er spesielt nyttig når de får vanskeligere oppgaver, som for eksempel multiplikasjon med desimaltall. Et overslag vil hjelpe elevene til å se hvor komma skal plasseres.

Til punkt 4. Nå kan elevene foreta utregningen.

Til punkt 5. Hvis svaret ikke er i nærheten av overslaget, må elevene gå tilbake og se hvorfor det er slik. Stemmer overslaget? Stemmer regnearten i utregningen overens med den elevene benyttet seg av i overslaget? Er utregningen korrekt utført?

Til punkt 6. Elevene skal skrive en svarsetning med egne ord. Setningen skal gi svar på hva det spørres etter i oppgaven, og den skal inneholde benevning.

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Denne samtalen skal minne elevene om hva de bør tenke på når de skal løse en tekstoppgave. Vi har skrevet mer om dette øverst på siden.

Tekstoppgaver

Samtale Marianne bruker skritteller.

Hun går 9785 skritt mandag og 11 043 skritt tirsdag.

Hvor mange skritt går Marianne i løpet av de to dagene?

mandag

Hvilke opplysninger får vi i teksten?

Hvilken regneoperasjon skal vi bruke for å finne svaret?

Følg disse stegene sammen med elevene: La elevene forklare med egne ord hva oppgaven går ut på.

Lag tegning eller modell.

Velg regneart, og gjør overslag.

Regn ut, og sjekk svaret mot overslaget.

Skriv svarsetning.

2.56

Elena kjøper sykkelhansker og sykkelhjelm. a) Hvor mye må hun betale? b) Elena betaler med 1500 kr.

Hvor mye får hun tilbake? c)

Svarer setningen på det oppgaven spør om?

2.57

Oppgave 2.56 og 2.57 I disse tekstoppgavene møter elevene ulike problemstillinger. Oppfordre elevene til å følge stegene over når de løser oppgavene.

tirsdag

r

449 k

728 kr

Elena sparer til ny sykkel. Den koster 4879 kr.

Hun har spart 2341 kr. Hvor mye mangler hun?

Skogen skole kjøper nye bøker til matematikk og engelsk for 6. trinn.

Ved siden av ser du fakturaen. a) Hvor mye betaler de for alle Omkrets-bøkene til sammen?

Faktura Bok og Data Skogen skole Skogbrynet 16 5000 Granhei

b) Hvor mye betaler de for alle London now-bøkene til sammen?

24 stk. London now textbook 6. tr.

24 stk. Omkrets grunnbok 6. tr.

4872 kr

c)

24 stk. Omkrets oppgavebok 6. tr.

4032 kr

Hvor mye betaler de for alle bøkene til sammen?

7584 kr

24 stk. London now workbook 6. tr. 3168 kr

d) Skogen skole har bestemt at 6. trinn skal få kjøpe bøker for 25 000 kr. Hvor mye mer kan de handle for?

40 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 40

40

Tall og regning

01.09.15 15.55

Vi gir et eksempel på en divisjonsoppgave da det ofte er divisjon elevene strever mest med å forstå.

Strategien blir den samme, poenget er at elevene skal finne ut av problemer og velge riktig regneart.

Eller elevene tegner en modell.

18 ?

Liv, Tor og Asma skal dele 18 plommer likt.

Hvor mange plommer får hver av dem?

1. Elevene sier for eksempel: Jeg skal finne ut hvor mange plommer hvert av barna får.

2. Elevene tegner de tre barna og de 18 plommene eller symboler for dette.

– 3

– 3

– 3

?

?

3. Hvis elevene ikke allerede har kommet fram til svaret, kan de for eksempel si at det blir mer enn 5 og mindre enn 10.

4. Regnestykke: 18 : 3 = 6 – eller elevene bruker tallinje: Elevene tegner en tallinje fra 0 til 18 og hopper med minus tre fra 18 til 0 eller med pluss tre fra 0 til 18. Det blir seks hopp.

– 3

– 3

–3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Forklaring 2.58

På skiltet ser du ulike trimrunder.

Lillestuarunden 4789 m

Oppgave 2.58 I denne oppgaven kan elevene også ta i bruk regnearten multiplikasjon. Legge merke til om elevene velger dette, eller om de bruker gjentatt addisjon.

Kjærlighetsrunden 5597 m Blåvannrunden 7821 m Bekkenrunden 1471 m

a) Bjørg løper Kjærlighetsrunden to ganger.

Hvor langt løper hun?

I e) og f) møter elevene omgjøring mellom kilometer og mil. Disse er merket med smilefjes.

b) Svetlana løper Lillestuarunden én gang, Bekkenrunden to ganger og Kjærlighetsrunden én gang i løpet av én uke.

Hvor langt løper hun denne uka? c)

Sammen Dette er en oppgave som blir enklere å løse når man tegner modell. La elevene få gjøre rede for hvordan de tenkte, og hva slags modell de tegnet da de løste denne oppgaven.

Svetlana har som mål å løpe 10 000 m hver uke.

Har hun klart målet denne uka?

d) Erik løper alle rundene én gang hver i løpet av én uke.

Hvor langt løper han? e) Målet til Erik er å løpe 2 mil i løpet av én uke.

Hvor mange kilometer mangler han denne uka? f)

Du har som mål å løpe 1,5 mil.

Hvilke runder vil du velge?

Sammen Frank og Julie handler bøker.

Frank handler for 467 kr, og Julie handler for 246 kr mer enn Frank.

Hvor mye handler de for til sammen?

Husk!

1 mil = 10 km 1000 m = 1 km

467

kr

41 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 41

01.09.15 15.55

Tall og regning 41

– eller de bruker fordeling, for eksempel tre ringer for de tre barna og fordeler plommene som kryss, én og én til alle er fordelt.

5. Svaret er sannsynlig.

6. Svarsetning: Det blir 6 plommer til hver.

Thinking blocks / modeller Thinking blocks, eller modeller som vi kaller det i Radius, er et visualiseringsverktøy som opprinnelig ble utviklet som et hjelpemiddel for elever som har problemer med å forstå tekstoppgaver. Blokkene eller boksene hjelper elevene med å visualisere problemstillingen. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

Når vi bruker thinking blocks i grunnbøkene, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres.

I grunnboka bruker vi konsekvent at like store bokser i samme oppgave representerer samme verdi. Størrelsen på boksene indikerer derimot ikke nødvendigvis riktig forhold mellom verdiene.

Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på boksene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de hjelper oss til å få en oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut.

Etter hvert har thinking blocks får et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Snakk sammen om oppgaveteksten. Den kan være vanskelig å forstå for en del elever. Tegn opp boksene, og bli enige om hva som skal stå, og hvor opplysningene fins i oppgaveteksten.

Finn ut sammen hvor mange kroner hun fikk til bursdagen sin.

Tekstoppgaver med modell

Samtale Marte sparer til nettbrett. På bursdagen sin får hun 650 kr av familien sin. Av vennene sine får hun 230 kr mer enn av familien.

Hvor mye får hun til bursdagen sin?

Av familien

650 kr

Av familien og vennene

650 kr

?

230 kr

Jeg liker å tegne en modell med opplysningene jeg finner i teksten.

Hvilke opplysninger har vi tegnet i modellen?

Hva betyr spørsmålstegnet i modellen?

I første utgaven av boka er det dessverre en feil i teksten ved modellen. Riktig tekst skal være: Av familien Av vennene

650 kr 650 kr

230 kr

}

2.59

?

Pennalet Boka

2.60

Oppgave 2.59 og 2.60 Begge disse oppgavene har samme type problemstilling som oppgaven i samtalen.

I oppgave 2.59 har vi tegnet en modell og satt inn to spørsmålstegn der elevene selv skal finne

Julie kjøper en bok og et pennal. Boka er 150 kr dyrere enn pennalet.

Pennalet koster 230 kr. Hvor mye betaler hun til sammen?

Tall og regning

?

?

150 kr

Hanne kjøper klær for 1026 kr. Erik kjøper klær for 236 kr mer enn Hanne. Hvor mye handler de for til sammen?

Tegn resten av modellen, og regn ut.

Hanne

1026 kr

42 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 42

42

230 kr

01.09.15 15.55

Øv mer A) Lina sykler 12 km, Alex sykler 5 km mer enn Lina. Hvor mange km sykler de til sammen? Tegn modell, og regn ut.

Lina

12 km

Alex

?

5 km

}

B) Hamza leser 216 sider i en bok.

Emma leser 45 sider mer enn Hamza. Hvor mange sider leser de til sammen?

Hamza

216 sider

?

Emma

?

45 sider

}

?

Forklaring 2.61 2.62

Karoline får 275 kr av bestefar. Hun får 35 kr mer av moren sin.

Hvor mye får hun til sammen? Tegn modell, og regn ut.

Karim Jesper

2.63

?

209

Oppgave 2.61 Denne oppgaven har også samme type problem­ stilling som de foregående oppgavene. Her har vi ikke tegnet noen modell. Elevene skal prøve seg på egen hånd.

487 sider ?

Lasse og Live spiller. Til sammen har de 8262 poeng.

Lasse har 4709 poeng. Hvor mange flere poeng har Lasse enn Live?

Lasse Live

2.64

opplysningene og utregningen. I oppgave 2.60 har vi bare tegnet modellen og skrevet inn en opplysning.

Elevene skal gjøre resten selv.

Jesper og Karim har til sammen lest 487 sider på én uke. Jesper har lest 209 sider. Hvor mange flere sider har Karim lest enn Jesper?

4709 ?

8262 poeng

Oppgave 2.62, 2.63 og 2.64 I disse oppgavene møter elevene en helt annen problemstilling, det kan være lurt å samtale med elevene om oppgavene og modellene.

?

Ethan fisker en torsk og en sei på til sammen 4205 g.

Seien veier 1875 g. Hvor mye mer veier torsken?

Tegn modell, og regn ut.

Dette er krevende problemstillinger som det ikke kan forventes at alle elevene klarer, selv med modell.

Men de flinkeste elevene kan hjelpes av modellen.

43 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 43

Differensisering La de elevene som ikke forstår disse oppgavene, få løse oppgavene over streken og hjelpe seg med modellen i oppgave 2.59.

01.09.15 15.55

Tall og regning 43

Bruk av regneark I læreplanen står det at eleven skal «kunne bruke digitale verktøy i berekningar». Etter hvert som elevene får sammensatte oppgaver som kan inneholde både multiplikasjoner og addisjoner, er det naturlig å la elevene bruke regneark i oppgaver som egner seg til det.

Elevene kan ha ulik erfaring med regneark. Hvis dette er første gangen de skal sette inn formler i regnearket, må dere bruke en del tid på dette. Vis også hvordan verdien i en celle med formel endrer seg automatisk hvis vi endrer verdien i en av cellene som inngår i formelen.

Endre antall poser potetgull til 4 eller 6. Da endrer summen i D4 seg automatisk.

Du kan også endre prisen for å vise det samme.

Hvis elevene har liten erfaring med regneark, må du først legge vekt på at de lærer å orientere seg i regnearket. Dette kan dere for eksempel gjøre ved at du lager en «hemmelig» figur ved å farge A4 blå, B4 rød osv. Les én og én av disse instruksjonene høyt, og la elevene finne fram og fylle riktig celle med riktig farge på sine regneark. Til slutt kan du avsløre den riktige figuren via prosjektøren.

Du kan for eksempel bruke Rad 4 i eksemplet i samtalen for å illustrere dette.

Når elevene skal skrive inn for eksempel formelen =B4*C4 i celle D4 i regnearket i samtalen, kan de gjøre slik: Taste =

Klikke i B4

Klikke i C4

Taste *

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Det er første gang elevene bruker regneark på 6. trinn. I denne samtalen repeterer dere sammen begrepene celle, rad og kolonne og bruk av autosummer-funksjonen.

Summere med regneark

Samtale Nedenfor ser du utsnitt av et regneark.

Jeg har skrevet det jeg har handlet inn i et regneark.

Oppgave 2.65 I a) og b) møter elevene en oppgave hvor de tar i bruk det dere har repetert i samtalen. Se øverst på siden om valutering. Elevene har en tendens til å ville skrive kr etter beløpet i cellene, dette fungerer ikke alltid så bra. Hvis du viser dem valuteringsfunksjonen, får de inn kr uten at det forstyrrer videre bruk av cellens innhold.

Hva er celle, rad og kolonne?

Hvilket tall står i celle B5?

Hvilken funksjon har denne knappen?

2.65

Nedenfor ser du noen varer du kan handle i COOLTEX.

34 587 kr

Du finner også forklaring over om hvordan elevene kan løse oppgave c).

777kr

365 kr

9k

678 k

r

r

349 kr

a) Tom kjøper genseren, T-skjorta og capsen. Skriv varene og prisene inn i et regneark, og finn ut hvor mye han handler for. b) Lise handler alle varene på bildet. Skriv varene og prisene inn i et regneark, og finn ut hvor mye hun handler for. c)

Du kan handle for 1000 kr. Bruk et regneark til å finne ut hva du kan handle.

44 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 44

44

Tall og regning

01.09.15 15.55

Da endrer regnearket seg slik at det blir to desimaler i prisene og kr i benevning.

Valutaformatering av celler For å få inn benevningen kr i regnearket slik at prisene framkommer med to desimaler, kan du gjøre som følger:

En annen måte å få enheten kr inn i regnearket på er å skrive kr i kolonneoverskriften, merke de aktuelle cellene og trykke på knappen Øk desimaler

Merk cellene du ønsker å formatere til valuta(kr), og trykk på knappen for Regnskapsnummerformat Denne knappen gir deg mulighet til å velge ulike valutaer. Her velger vi «kr Norsk».

Regnearket kan vise om du holder deg innenfor budsjettet Rad 9 i regnearket i samtalen vil vise om differansen mellom inntekter og utgifter er positiv.

I D9 kan man skrive inn formelen =B1–D8

Forklaring Lage formler i regneark

Samtale Elevene i klasse 6A skal ha fest. Marie lager et budsjett i et regneark for å se hva hun kan handle. I celle D4 skriver hun formelen = B4*C4.

Formelen multipliserer antallet i celle B4 med prisen i celle C4.

For å få den samme formelen for de andre varene, klikker hun i det nederste høyre hjørnet i celle D4 og trekker ned til og med celle D7:

Samtale I denne samtalen repeterer dere å lage formler i cellene. Elevene får gjennom samtalen et regneark som de skal bruke videre i oppgave 2.66.

Oppgave 2.66 I denne oppgaven skal elevene bruke prisene fra eksemplet i samtalen og variere antallet de kjøper av de ulike varene.

-

• Marie ønsker å summere alle utgiftene i celle D8.

Hvordan kan hun gjøre det?

• Hvilken formel kan hun skrive i celle D9 for å vise differansen mellom inntektene og utgiftene?

• Hvorfor tror du Marie ønsker å ha en celle som viser denne differansen?

• Hva bør Marie gjøre hvis hun får et negativt tall i celle D9?

2.66

Bruk regnearket i eksemplet til å regne ut hvor mye klasse 6A kan handle av de ulike varene, når de skal holde seg til budsjettet.

45 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 45

01.09.15 15.55

Tall og regning 45

Forklaring Spill

Spill I dette spillet får elevene repetert regneuttrykk med flere regneoperasjoner. Minn elevene på at de alltid må multiplisere før de adderer eller subtraherer.

Utstyr: Tre terninger og én tabell til hver spiller Antall spillere: Spillet passer best for 2–3 elever.

Kast 1 2 3 4

Regnestykke Svar 4·5-2 18 6·3+3 21

10 Sum

Hva spillet går ut på: Spiller 1 kaster alle de tre terningene. Spilleren lager et regnestykke med alle tallene som terningene viser, og med regneartene multiplikasjon og addisjon eller subtraksjon.

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. Hør setningene, og la elevene argumentere for hvorfor utsagnene er sanne.

Eksempel: Terningene viser: 2, 4 og 5.

Mulige regnestykker: 4 · 5 + 2 = 22 eller 4 · 5 - 2 = 18 eller 4 · 2 + 5 = 13 eller 4 · 2 - 5 = 3 eller 5 · 2 + 4 = 14 eller 5 · 2 - 4 = 6.

Oppsummering Dette er en oppsummering av det dere har jobbet med i dette kapitlet. Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Spiller 1 fører regnestykket og svaret inn i sin tabell. Spiller 2 kaster terningene, lager et regnestykke og fører det inn i sin tabell.

Spillerne kaster etter tur ti ganger hver.

Vinner: Den som kommer nærmest 200 etter ti kast, vinner spillet.

Sant eller usant Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka.

• 1024 har lavere verdi enn 1204.

• 72 341 er et femsifret tall.

• 222 er et tosifret tall.

• I tallet 20 141 står sifferet 1 på tusenerplassen.

• Alle negative tall er mindre enn 0.

46 46 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 46

01.09.15 15.55

Oppsummering Titallsystemet I titallsystemet er det ti sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0.

Sifrene får verdi etter plassen de står på.

3 419 078 er et sjusifret tall.

Avrunding Vi runder av nedover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 0, 1, 2, 3 eller 4. Vi runder av oppover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 5, 6, 7, 8 eller 9.

Eksempel: 4784 ≈ 4780 og 4785 ≈ 4790 Negative tall Negative tall er tall mindre enn 0.

Når vi skal regne med negative tall, kan det være lurt å bruke tom tallinje.

Eksempel: 5 - 7 = -2 -2

-5 0

-2

5

Oppstilt addisjon og subtraksjon 1

1

1

3 6 7 9 + 8 7 5 3 = 1 2 4 3 2

10

10

10

8 4 2 5 - 4 8 4 7 = 3 5 7 8

10

10

6 0 3 5 - 4 7 6 2 = 1 2 7 3

47 Radius 6A _BM_Kap 2_til trykk.indd 47

46

Tall og regning

01.09.15 15.55

Dette har jeg lært i kapittel 2

Navn:

1 Skriv tallene.

10 mindre

1000 mindre

10 000 mer

100 mer

58 374 7913 40 202 2 Rund av til nærmeste tusener. a) 3719 ≈

b) 3278 ≈

c) 19 511 ≈

3 Regn ut. a) 7 – 12 =

b) –73 – 16 =

c) –276 + 314 =

4 Still opp, og regn ut.

4647 + 8564 =

8205 – 3428 =

5 Tegn modell, og regn ut. a) Jamil kjøper en lue som koster 89 kr, og en genser som koster 240 kr mer enn lua. Hvor mye koster lua og genseren til sammen? b) Asma og Even leser hver sin bok. Til sammen leser de 412 sider.

Asma leser 309 sider. Hvor mange flere sider leser Asma enn Even?

Kapittel 2 Tall og regning

© Cappelen Damm AS

47