PRAKTISK MATEMATIKK 6 fra CAPPELEN DAMM Undervisningsopplegg Problemløsing på vertikale tavler
Lone Anesen Nina Winther Illustratør: Fredrik Rättzén
Lone Anesen og Nina Winther Praktisk matematikk 6 fra Cappelen Damm Undervisningsopplegg Lærerhefte | Problemløsing på vertikale tavler © CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2026 ISBN 978-82-02-89974-5 1. utgave, 1. opplag 2026 Denne boken ble først utgitt i 2025 av Lindhardt og Ringhof: Klar, Parat, Tænk 5 © 2025, Alinea, København Praktisk matematikk 6 fra Cappelen Damm Undervisningsopplegg følger læreplanene for LK20 i faget matematikk og er laget til bruk på grunnskolens barnetrinn. Hovedillustratør: Fredrik Rättzén Illustratør: Andreas Fyrileiv Omslagsdesign: Cappelen Damm AS Grafisk formgiving: Trude W. Gabrielsen, LOS Digital AS Sats: LOS Digital AS Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia Oversatt og bearbeidet: Cappelen Damm Forlagets redaktør: Katrine Berggren Birkeland Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne. Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel. Cappelen Damm arbeider aktivt for å redusere miljøbelastningen fra våre utgivelser. Les mer om vårt miljøarbeid ved å skanne QR-koden:
www.cdu.no
Forord I 2014 presenterte jeg resultatene fra et forskningsprosjekt som jeg hadde jobbet med de siste ti årene, kalt Building Thinking Classrooms (BTC). Premisset var enkelt: For få elever tok seg tid til å tenke i matematikktimene. Arbeidet mitt viste at det kun er små endringer i klasserommet som skal til for at man drastisk kan forandre hvordan elevene engasjerer seg i matematikk. Det å få elever til å samarbeide om engasjerende oppgaver i synlig tilfeldig valgte grupper og på vertikale tavler, endret klasserommet umiddelbart fra et sted hvor færre enn 20 % av elevene tenkte mindre enn 20 % av tiden, til et klasserom hvor mer enn 80 % av elevene tenkte mer enn 80 % av tiden. Elevene tenkte – og med det – lærte de. Lærere fra hele verden begynte å bruke anbefalingene fra forskningen, og de opplevde de samme resultatene. Forskningen kulminerte i boka Å bygge tenkende klasserom i matematikk: 14 praksiser for bedre læring. Å implementere disse praksisene vil endre måten elevene tenker og gjennomfører oppgaver på. Hver praksis er basert på en forståelse av at elevene skal jobbe aktivt med en oppgave – en tenkeoppgave. Boka inneholder mange slike oppgaver å bryne seg på, men lærerne jeg møter, uttrykker at de ønsker seg flere. Og de ønsker seg oppgaver som de kan stole på at er effektive, som utfordrer elevenes tenking, og som følger pensumet. Jeg er glad for å meddele at lærere i Norge nå har fått en ressurs som tilbyr nettopp dette. Bokserien Praktisk matematikk tilbyr tenkeoppgaver og undervisningsopplegg som kan brukes til å undervise etter metoden Tenkende klasserom. Hvis du leser dette, står du ved starten av en fenomenal arbeidsmetode som kan gjøre klasserommet til et sted for mer engasjement, tenking og læring. Nyt reisen!
Peter Liljedahl 12. januar 2026
Forord
3
Innhold Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Oppgaveoversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Om praktisk matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tenkende klasserom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Oppgavetyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Tilfeldige grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Vertikale tavler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Muntlig presentasjon av oppgavene . . .
8
Respons på elevspørsmål . . . . . . . . . . . . . .
8
Utvidelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Evaluering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Slik bruker du Praktisk matematikk . . . . . . . 11 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Kopioriginaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Oppgaveoversikt Opplegg side
Kopiark side
regning med desimaltall, avrunding
12
72
tallforståelse
rektangel, kvadrat, systematisk opptelling
14
73
Sokkesalg
regnestrategier
multiplikasjon, divisjon
16
74
Kantina
regnestrategier
kombinatorikk
18
75
Pant
regnestrategier
addisjon, multiplikasjon, desimaltall
20
76
Vektløfting
regnestrategier
dobling, halvering, vekt, desimaltall
22
77
Frisøren
regnestrategier
addisjon desimaltall
24
78
Pyramider
regnestrategier
addisjon, subtraksjon, desimaltall & brøk
26
79
Strømprosenter
regnestrategier
enkel prosentregning, tid
28
80
Grønnsaksbed
geometri
kvadrater, kvadrattall
30
81
Klassebildet
geometri
areal av kvadrat og rektangel
32
82
Maling
geometri
areal, desimaltall
34
83
Arealplanlegging
geometri
areal, omkrets, multiplikasjon, desimaltall
36
84
Landmåling
geometri
mangekanter, diagonaler
38
85
Vinkelsumsum
geometri
vinkelsum i mangekanter
40
86
Sirkeloppdagelser
geometri
omkrets i sirkel, pi
42
87
Dørlåsen
symmetri og kongruensavbildning
speiling, rotasjon (kombinatorikk)
44
88
Terningsymmetri
symmetri og kongruensavbildning
symmetri, symmetriakser
46
89
Flismønstre
symmetri og kongruensavbildning
areal, tesselering, speiling, forskyvning
48
90
Fisk på tur
symmetri og kongruensavbildning
parallellforskyvning, koordinatsystem
50
91
Pingvinflukten
symmetri og kongruensavbildning
speiling i koordinatsystem
52
92
Lysestaker
algebra
sammensatte regneuttrykk
54
93
Bilderammer
algebra
tallfølger
56
94
Lakriskuler
algebra
tallfølger, figurtall
58
95
Perleøredobber
algebra
likninger, brøk, desimaltall
60
96
Emballasje
tredimensjonale figurer
pyramide, prisme
62
97
Gavepapir
tredimensjonale figurer
side, kant, hjørne i tredimensjonale figurer
64
98
Fyrstikker
tredimensjonale figurer
prisme, multiplikasjon, volum
66
99
Rubiks kube
tredimensjonale figurer
overflate og volum av kube
68
100
Ny svømmehall
tredimensjonale figurer
volum av rett prisme, modellering
70
101
Oppgave
Tema
Undertema
Dansk tyveri
tallforståelse
Servietter
Oppgaveoversikt
5
Om praktisk matematikk Praktisk matematikk – problemløsing på vertikale tavler er en serie undervisningsopplegg utviklet for å skape en mer engasjerende matematikk undervisning. I undervisningsoppleggene er det eleven sin prosess og tankegang som står i sentrum. Oppgavene er derfor utformet slik at det ikke finnes én korrekt metode. Elevene oppfordres i stedet til å være nysgjerrige, tenke høyt og bidra med egne strategier. Det dreier seg ikke om å løse mange oppgaver eller finne den riktige løsningen raskest mulig. Elevene får derimot trening i å være tålmodige og stå i oppgavene over tid. Ved å jobbe på denne måten får elevene en dypere forståelse for de faglige konseptene. Hvert oppslag i heftet gir deg alt du trenger for å gjennomføre en undervisningsøkt. Vi har foreslått hvordan du kan introdusere oppgavene, hvilke spørsmål du kan stille underveis for at elevene skal reflektere, og hvordan du kan oppsummere timen. Alle oppgavene er differensiert i minst tre nivåer og har tilhørende løsningsforslag. For å gjennomføre en økt i Praktisk matematikk kreves det lite forberedelse.
6
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Du kan bruke oppleggene på ulike måter i under visningen din. Noen ganger ønsker du kanskje å jobbe annerledes med et fagområde dere allerede er i gang med. Andre ganger vil du kanskje at elevene skal øve mer målrettet på å samarbeide, utforske, kommunisere og resonnere rundt matematikken.
Lærer- og elevrollen For å kunne undervise etter metoden i heftet stilles det bestemte krav til lærerrollen. Læreren skal sette rammer, stille støttende spørsmål og veilede læringsprosessen slik at det er elevene som tenker, finner svar og skaper ny kunnskap i et læringsfellesskap. Det kan ofte bety en endring i forventningene fra elevene og foreldrene, da læreren tradisjonelt har blitt sett på som eksperten som har (og gir) svar til elevene. I starten må både lærer og elev kanskje øve seg på og venne seg til en slik endring. Orienter gjerne foreldrene om denne undervisningsformen, slik at de bedre forstår hva elevene forteller om hjemme, og hvorfor du har valgt bruke denne metoden.
Tenkende klasserom
Tilfeldige grupper
Oppleggene i dette heftet er inspirert av metoden «tenkende klasserom», utviklet av Peter Liljedahl som er professor i matematikkdidaktikk ved Simon Fraser University i Vancouver i Canada. Metoden «tenkende klasserom» er basert på problemløsing og metodefrihet. Elevene skal være muntlig aktive og samarbeide om åpne oppgaver, mens lærerens rolle innebærer å stille spørsmål for å videreutvikle elevenes tankeprosesser underveis.
Elevene bør jobbe i tilfeldige grupper. Det er avgjørende at elevene opplever at gruppene er tilfeldig satt sammen.
Metoden til Liljedahl består av 14 konkrete praksiser for bedre læring og er presentert i boka Å bygge tenkende klasserom – 14 praksiser for bedre læring (Liljedahl, P. 2023). I Praktisk matematikk har vi brukt et utvalg av disse praksisene til å lage en oppskrift som er enkel å bruke i klasserommet. Fra du starter opp timen, til differensiering underveis, og i oppsummeringen til slutt. Vi skal nå ta for oss de utvalgte praksisene fra Liljedahls metode, og hvordan vi har brukt dem til å danne grunnlaget for denne boka.
Oppgavetyper I «tenkende klasserom» bruker man problem løsingsoppgaver som kjennetegnes ved at elevene ikke umiddelbart kan se løsningen. De må være tålmodige og jobbe sammen for å få en felles forståelse og finne svarene.
Liljedahls forskning viser nemlig at når elevene blir delt inn i grupper som er strategisk bestemt av læreren, er det kun de elevene som vanligvis tar styringen, som faktisk tenker (10–20 %). Flertallet av elevene går da inn i gruppearbeidet med en innstilling om at de ikke kan, og ikke trenger å tenke. Det samme gjaldt dersom elevene valgte grupper selv. Forskningen på «tenkende klasserom» viser også at elevene ikke tror på at gruppene er tilfeldig satt sammen med mindre det blir synlig for dem. Dersom de mistenker at de tilfeldige gruppene i realiteten er strategisk valgt av læreren, faller de lett inn i etablerte roller der de ikke tenker og bare «henger på». Bruk derfor ispinner eller kortstokk for å dele inn i tilfeldige grupper. Liljedahl anbefaler at det er tre elever på gruppa fra og med 3. klasse. Dette gir den perfekte balansen mellom hva elevene har til felles (resonans), og hvilke ulikheter de kan bidra med i gruppa (mangfold). I 1. og 2. klasse er det bedre med to elever per gruppe fordi barna har nok med å øve seg på å vente på tur og å samarbeide.
Oppgavene har ikke én spesifikk løsningsmetode, men er åpne og engasjerende. Dette gjør at elever med ulike forutsetninger enkelt kan sette i gang på egne måter ut fra sitt nivå. Oppgavene er også enkle å differensiere til ulike nivåer (se mer under Utvidelser). Oppgaver som dette krever en kultur for at elevene skal tenke i stedet for bare å imitere en vist metode. Dette kan være uvant for elevene, og det kan ta litt tid før de blir trygge nok og venner seg til det. Derfor kan det være lurt å begynne med oppgaver på et faglig lavt nivå i starten. Da kan dere fokusere på å skape en god kultur for arbeidsmåten.
Innledning
7
Vertikale tavler Når elevene arbeider, bør de stå oppreist og jobbe i grupper på vertikale tavler. Dette kan være whiteboards på hjul eller selvheftende plakater som har en overflate der tusj kan viskes ut. Gruppene skal ha én tusj som de bytter på å bruke. Den som har tusjen, skal skrive hva de andre sier. Om de skriver feil, bør de sette en strek over i stedet for å viske det ut. På den måten blir det markert at de lærer av sine feil. Bruk av vertikale tavler på denne måten vil kunne føre til en rekke positive effekter (Liljedahl, P. 2023):
I selve presentasjonen av oppgaven skal man helst unngå å gi hint om framgangsmåter. Gjennom arbeidet med Praktisk matematikk har vi nemlig erfart at når læreren viser, tegner eller skriver en strategi på tavla, kan elevene fort kopiere den viste metoden. Dermed mister du muligheten til å se variasjoner av strategier elevene selv kunne ha funnet på – noe som kunne gitt anledning til verdifulle læringssamtaler. Vi har også erfart i arbeidet med Praktisk matematikk at elevene har behov for litt visuell støtte for å holde seg til oppgaven, og derfor følger det en illustrasjon til hver oppgave.
• Elevene kommer fortere i gang. • De engasjerer seg mer. • De tør mer når de kan viske ut feilene sine. • De kommuniserer bedre. • De har bedre utholdenhet, tålmodighet og selvstendighet.
Muntlig presentasjon av oppgavene Du bør alltid presentere oppgaven muntlig mens elevene står. Da vil elevene følge bedre med og stille færre spørsmål før de starter (Liljedahl, P. 2023). I hvert undervisningsopplegg finner du et forslag til hvordan en slik muntlig igangsetting og samtale kan foregå (se Oppstart). Introduksjonen bør ikke vare mer enn tre–fem minutter.
8
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Respons på elevspørsmål Når elevene tenker sammen, er det gjerne to typer spørsmål som det er verdt å forberede seg på at elevene stiller (Liljedahl, P. 2023): • «Tett-på-spørsmål» som kommer fra elever som søker bekreftelse. For eksempel «Er det meningen at vi skal …?». • «Stopp-med-å-tenke-spørsmål» som kommer fra elever som vil unngå anstrengelser med å tenke, og få læreren til å ta over. For eksempel «Er dette riktig?». Liljedahl anbefaler generelt å ikke besvare slike spørsmål, men heller smile til elevene. Dette vil kunne ha en oppdragende og forebyggende effekt som til slutt vil føre til at denne typen spørsmål forsvinner fra klasserommet.
Spørsmål som derimot vitner om at elevene er motiverte, kalles «fortsett-å-tenke-spørsmål». Disse vil elevene gjerne stille for å komme seg videre i oppgaven, for eksempel «Kan vi få neste spørsmål nå?» eller «Kan vi prøve med desimaltall også?». Slike spørsmål vil det antakelig være mange av i starten, men de vil også kunne avta etter hvert som elevene blir mer selvgående og tryggere på egne resonnementer (Liljedahl, P. 2023).
Utvidelser LIST (lav inngangsterskel – stor takhøyde) beskriver åpne oppgavetyper hvor det er enkelt å komme i gang samtidig som oppgavene kan utvides i kompleksitet. I Praktisk matematikk er det derfor alltid to eller tre utvidelser til oppgavene. Dette gjør det enkelt for deg å differensiere undervisningen. Som hjelp til å opprettholde elevenes motivasjon og fokus har vi i Underveis listet opp gode spørsmål som du kan stille for å hinte elevene i riktig retning.
Oppsummering For å øke læringsutbyttet ytterligere er det viktig at elevene får mulighet til å se hverandres tavler. Da kan de diskutere de ulike løsningsmetodene som gruppene har jobbet med. Liljedahl kaller dette konsolidering og beskriver det som en strukturert gallerivandring på slutten av timen der læreren har rammet inn noen løsningsmetoder på for eksempel tre utvalgte tavler. Et viktig prinsipp er da at elevene ikke skal forklare sitt eget arbeid, men at de andre elevene skal se etter «spor» på hva som er tenkt, og forsøke å forklare det med egne ord (Liljedahl, P. 2023). Oppsummeringen skal ta utgangspunkt i det nivået alle har nådd. I Praktisk matematikk har vi hjulpet deg i gang med noen eksempelspørsmål som du kan bruke i oppsummeringen. Du vil også finne eksempler på hvordan elevene kan ha tegnet på tavla.
Evaluering Liljedahls forskning har funnet tre kompetanser som er verdifulle for at elevene skal klare seg godt i «tenkende klasserom»: utholdenhet, risikovilje og samarbeidsevner (Liljedahl, P. 2023). Du kan evaluere disse på ulike måter, men konsentrer deg gjerne om én av kompetansene om gangen. Dersom du ønsker å evaluere hvor utholdende elevene dine er, kan du snakke med dem om hva som kjennetegner det å være utholdende – og det motsatte. Gjennom dette kan dere finne et kort kjennetegn som dere skriver i hver ende av en pil. Se eksempler under.
UTHOLDENHET Gir opp
Holder fokus
RISIKOVILJE Prøver bare det sikre
Prøver noe nytt
SAMARBEIDSEVNER Jobber alene
Jobber sammen
Underveis i økta kan du gjerne be gruppa om å tenke seg om, og be hver elev om å plassere en pekefinger på skalaen når du teller ned fra tre. Videre kan gruppa kort snakke sammen om hvordan de kan forbedre seg på dette området til neste evaluering. Senere i økta kan du gjenta denne rutinen. En annen variant er at du i samarbeid med elevene utarbeider et skjema som du skriver ut. Se mer om dette på neste side.
Innledning
9
Evalueringen kan også gjøres gjennom et skjema som du utarbeider sammen med elevene og skriver ut. Elevene skal da vurdere sin egen eller gruppas innsats på ett av de tre områdene ved å fargelegge / sette strek basert på hvordan de har gjennomført økta.
Du som lærer vurderer også det samme området for eleven/gruppa, og til slutt sammenlikner dere resultatene og snakker om dem. Hele prosessen med å utarbeide et skjema sammen med elevene, og å gjennomgå dem med noen av gruppene, kan være gjort på 15 minutter.
Skjemaet kan bestå av to eller tre kolonner og se slik ut:
UTHOLDENHET • Gir opp når jeg sitter fast.
• Fortsetter selv om det er vanskelig.
• Fortsetter å prøve på samme måte.
• Prøver andre strategier.
• Går bort / blir sur.
• Oppmuntrer gruppa til å fortsette.
• Gjør andre ting enn å løse oppgaven.
• Hjelper til med å holde fokus.
• Går rundt.
SAMARBEID
• Jobber alene.
• Lytter til de andre.
• Tar tusjen selv.
• Deler tusjen med de andre.
• Snur ryggen til de andre.
• Oppmuntrer de andre på gruppa.
• Går bort fra gruppa.
• Inviterer til samarbeid.
• Lytter ikke til de andre på gruppa.
• Roser de andre sine ideer. • Kommer med egne innspill og ideer.
RISIKOVILJE • Går kun i gang med det jeg er sikker på.
• Gjetter og prøver selv om jeg ikke er sikker.
• Velger bare enkle oppgaver.
• Stiller spørsmålet «Hva hvis …?».
• Gidder ikke hvis jeg gjør feil.
• Prøver andre måter.
• Visker ut mye.
• Velger vanskelige utfordringer også.
• Har ikke lyst til å forklare.
• Gir ikke opp ved feil. • Forklarer tanker.
10
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Slik bruker du Praktisk matematikk Bildet som hører til hver oppgave, kan du skrive ut og henge opp på tavlene, eller dele ut idet du formidler oppgavene til elevene. Du finner bildene på kopiark bakerst i heftet. Om oppgaven gir deg et overblikk over hvilke matematiske konsepter oppgaven tar for seg, relevante strategier elevene kan bruke, osv. Oppstart gir deg inspirasjon til hvordan du kan introdusere oppgaven.
Underveis For å sørge for at elevene holder faglig fokus og får støtte mens de jobber, kan du følge tipsene og stille spørsmålene som står her. Viktige ord Utfordre elevene til å bruke disse ordene underveis, og vær oppmerksom på om de bruker dem. Utstyr Her lister vi opp materiell som kan være nyttig for å gjennomføre opplegget.
Underveis
VIKTIGE ORd
Følg med på om elevene … • forstår at alle felt skal være kvadratiske
kvadrattall
kvadratisk
UTSTYR
• forstår at det ikke må være «hull» i bedet
rutenett
• er systematiske underveis
kopieringsark i A3 elevtavler og tusjer e.l.
Spørsmål og hint for å komme videre: • Hva menes med kvadratisk? • Finnes det flere løsninger? • Hvilke antall kan dere få når dere deler opp et enkelt kvadrat i like store kvadrater? Kjenner dere igjen disse tallene? • Kan dere beskrive tegningen deres med ord eller et regneuttrykk?
Kopioriginal side 81
Grønnsaksbed
Løsninger 7 kvadrater
6 kvadrater
8 kvadrater
Mellom 1 og 15? Alle unntatt 2, 3, 5.
Om oppgaven
Oppstart
Faginnhold: kvadrater, kvadrattall
Lærer: Hva ser dere på bildet?
med utg. punkt i 7, 8 og 9:
Oppgaven legger opp til at elevene undersøker hvordan de kan dele opp et kvadrat i et antall mindre kvadrater. Ethvert kvadrat kan deles opp i et antall mindre kvadrater tilsvarende et kvadrattall (4, 9, 16, 25, 36 …). Hvis elevene ikke selv oppdager det, kan du snakke med dem om å dele kvadratets sider i 2, 3, 4, eller 5 like store deler, og dermed oppstår kvadrat tallene.
Elev:
7 – 1 + 4 = 10 →
Oppfordre gjerne elevene til å finne regneuttrykk som passer til tegningen deres, og omvendt.
F.eks.
Det er en dame som skal plante noe.
Elev:
Utvidelser
Kan dere dele bedet opp i 7 kvadratiske felt? Hvordan skal dere gjøre det?
Den ene frøposen er tom, så farmor vil i stedet dele bedet opp i 6 kvadratiske felt. Hvordan skal hun gjøre det?
30
8 – 1 + 4 = 11 → 11 – 1 + 4 = 14 9 – 1 + 4 = 12 → 12 – 1 + 4 = 15
Hun kan dele bedet på midten på begge sider. Da har hun 4 kvadratiske felt.
Lærer: Ja, men farmor oppdager at hun har flere frøposer, så hun vil gjerne dele bedet opp i 7 kvadratiske felt. Er det mulig?
Oppgaven byr på problemløsing gjennom at det ikke er noen gitt fremgangsmåte og elevene derfor må prøve seg frem. En viktig oppdagelse er at elevene kan bytte ut et kvadrat og erstatte det med et antall tilsvarende et kvadrattall (se f.eks. første løsning).
Oppgave
10 – 1 + 4 = 13
Lærer: Ja, farmor vil gjerne dyrke fire sorter grønnsaker. Hun vil ha delt bedet opp i kvadratiske felt. Hvordan kan hun gjøre det?
Oppsummering • Hvilke forskjellige løsninger fant dere? • Hvilke antall bed er mulig? • Hvilke antall bed er ikke mulig? Hvorfor? • Prøvde dere også å regne dere fram? • Fant dere et system? • Hvordan henger kvadrattallene sammen med oppdeling av grønnsaksbedet? • Er det mulig med alle antall bed over 5?
Neste år vil farmor ha 8 forskjellige grønnsaker. Kan hun dele bedet inn i 8 kvadratiske felt?
Kan farmor få plass til alle antall grønnsaker mellom 1 og 15 ved å dele bedet inn i kvadratiske felt?
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Oppgaven gis muntlig i fellesskap. Utvidelsene kan du gi til gruppene muntlig på ulike tidspunkt etter når du vurderer at det er hensikts messig å gi dem en ny utfordring. Det kan være når du ser at elevene har funnet alle løsningene. Det er ikke avgjørende at alle elevene får jobbet med alle utvidelsene. Det viktigste er at gruppene hele tiden blir utfordret med en oppgave som passer deres nivå.
• Hva tar dere med dere om å dele opp i kvadrater, beskrive og finne systemer?
GRønnSAKSbEd
31
Løsninger Tabellen viser en oversikt over løsningene til oppgaven og utvidelsene. Oppsummering Disse spørsmålene kan være gode for å få frem ulike strategier og få elevene til å reflektere videre. Tavla viser et eksempel på løsningsmetoder hentet fra elever. Du kan gjerne diskutere disse ved å se på metodene på gruppenes egne tavler (ref konsolidering s. 9). Innledning
11
Kopioriginal side 72
Dansk tyveri Om oppgaven
Oppstart
Faginnhold: regning med desimaltall, avrunding
Lærer: Hva tror dere dette handler om?
I denne oppgaven skal elevene finne vekten til ulike pengesekker. De må først runde av desimal tall som de skal multiplisere med store runde tall. De må også gjøre om mellom gram og kilogram.
Elev:
Hvis dere vil jobbe mer med regning med desimal tall, kan du utfordre elevene til å regne ut vekten på pengesekkene helt nøyaktig. Det er flere måter å løse oppgaven på, og spesielt i utvidelsene vil mange elever først gjette et antall før de justerer utregningen sin mer nøyaktig. Det er en god strategi for problemløsing.
Det ser ut som et tyveri der raneren har stjålet 1000 kroner i mynter.
Lærer: Hva om det bare var 1-kronemynter som var stjålet? Hva kan sekken da veie omtrent? Elev:
3,6 gram er nesten det samme som 4 gram, så tusen 1-kronemynter må veie ca. 4 gram ganger 1000, altså 4000 gram.
Lærer: Det stemmer, nesten 4 kilogram. Nå skal dere finne ut hva de 1000 kronene ville veid dersom sekken var fylt med en annen type like mynter.
Oppgave
Utvidelser
Hva kan 1000 kroner veie hvis sekken er fylt med én type mynt? Finn vekten av de 1000 kronene for hver type mynt.
En sekk veier 2 kg og inneholder ulike typer mynter. Hvilke mynter kan det være i sekken?
12
PRAKTISK MATEMATIKK 6 FRA CAPPELEN DAMM
Hva om tyven stjeler en million kroner i sedler fra banken – kan han da bære pengene selv?
Underveis
VIKTIGE ORD
Følg med på om elevene … • klarer å gjøre om mellom gram og kilogram • estimerer fornuftig • bruker resonnementer når de velger mynter og justerer antall/vekt
ca.
omgjøring
Spørsmål og hint for å komme videre: • Kan svaret deres stemme? Hvorfor / hvorfor ikke? • Hvordan kan dere komme enda nærmere? • Hva vil være en lettere/tyngre løsning? • Hvor mye kunne dere selv klart å bære? • Hva om svarene skulle være nøyaktige (ikke avrundede)?
overslag gram kilogram million
UTSTYR elevtavler og tusjer e.l.
Løsninger 1000 kr (like mynter) 1-kronemynt: 3,6 g ≈ 4 g 4 g · 1000 = 4000 g = 4 kg (3,6 kg) 2-kronemynt: 5,9 g ≈ 6 g 6 g · 500 = 3000 g = 3 kg (2,95 kg) 5-kronemynt: 9,2 g ≈ 9 g 9 g · 200 = 1800 g = 1,8 kg (1,84 kg) 10-kronemynt: 7 g 7 g · 100 = 700 g = 0,7 kg 20-kronemynt: 9,3 g ≈ 9 g 9 g · 50 = 450 g = 0,45 kg (0,465 kg) Vekt: 450 g (465 g) til 4 kg (3,6 kg)
2 kg (ulike mynter) F.eks. 1000 kr (200 kr av hver): 200 stk. 1-kronemynter: 200 · 4 g = 800 g (720 g) 100 stk. 2-kronemynter: 100 · 6 g = 600 g (590 g) 40 stk. 5-kronemynter: 40 · 9 g = 360 g (368 g) 20 stk. 10-kronemynter: 20 · 7 g = 140 g (140 g) 10 stk. 20-kronemynter: 10 · 9 g = 90 g (93 g) Til sammen: ca. 1990 g (nøyaktig: 1911 g)
1 million Lettest: 2000 stk. 500-kronesedler 2000 · 1 g = 2000 g = 2 kg (2,150 kg) Tyngst: 20 000 stk. 50-kronesedler 20 000 · 0,9 g = 18 000 g = 18 kg (17,4 kg) Ja, han kan bære sekken.
Oppsummering • Hvilke løsninger fant dere? • Hvordan kom dere fram til dem? • Hvilke strategier brukte dere? • Hvilke fungerte godt, og hvilke fungerte ikke så godt? • Hva har dere lært om vekt (kg og g)? • Hvilken enhet regnet dere mest med (kg eller g)? Hvorfor? Vil det alltid være slik? • Prøvde dere flere ganger for å komme nærmere? • Hvor tålmodige var dere? • Hva har dere lært om å gange med runde tall (eventuelt desimaltall)?
Dansk tyveri
13