Matematikkundervisning 1–7
Matematikkundervisning.indb 1
130607.. 09.16
Matematikkundervisning.indb 2
130607.. 09.16
Matematikkundervisning 1–7 Barbro Grevholm (red) Camilla Björklund, Barbro Grevholm, Johan Häggström, Katarina Kjellström, Stefan Löfwall, Eva Norén, Gunilla Olofsson, Elisabeth Persson, Lars-Erik Persson, Per-Eskil Persson, Eva Riesbeck och Eva Taflin
I den norske utgaven har Bodil Kleve, Marianne Maugesten og Helga Kufaas Tellefsen bidratt med to kapitler.
Oversatt til norsk av Hilde Strømsnes
Matematikkundervisning.indb 3
130607.. 09.16
CAPPELEN DAMM AS, 2013 Denne boken er en oversettelse av Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till åk 6. Verket er først utgitt av Norstedts; Stockholm, 2012. Published by agreement with Norstedt Agency. ISBN 978-82-02-40545-8 1. utgave, 1. opplag 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Omslagsdesign: Marianne Thrap Omslagsbilde: Morten Nilsson/NTB Scanpix Fotografier: © Anna Andrén, s. XX © Maria Bjerneby Häll, s. XX © Michael Åström, s. XX Tekst: © Barbro Grevholm © Camilla Björklund © Johan Häggström © Katarina Kjellström © Stefan Löfwall © Eva Norén © Gunilla Olofsson © Elisabeth Persson © Lars-Erik Persson © Per-Eskil Persson © Eva Riesbeck © Eva Taflin Oversatt til norsk av Hilde Strømsnes Der ikke annet er nevnt, er sitater oversatt av oversetteren. Sats: Brødr. Fossum AS Repro: <Firma> Trykk og innbinding: {Leverandør – Trykk materie}, {Trykkeår}, <by/land> www.cda.no akademisk@cappelendamm.no
Matematikkundervisning.indb 4
130607.. 09.16
• Forord
5
Forord
Pensumlitteratur for lærerutdanningen i matematikk har alltid vært et omdiskutert tema. Ofte har litteraturen hatt et lokalt preg ved at de som har arbeidet ved et bestemt utdanningssted, har utviklet studiemateriale som er tilpasset deres egne kurs. Pensumbøker er blitt hyppig utskiftet, og studentene har ofte klaget og uttrykt misnøye. Det er derfor en utfordring å gi seg i kast med oppgaven å skrive en bok for lærerutdanningen i matematikk som skal fungere ved alle læresteder. Da Carola Stuart fra Norstedts forlag tok opp spørsmålet i samtale med meg i mai 2008, var jeg usikker på om oppgaven lot seg gjennomføre. At det var et behov for pensumlitteratur på svensk, skrevet med svenske studenter som målgruppe, var helt åpenbart. Vi begynte med å undersøke interessen for å medvirke som forfattere blant en del kjente forelesere i matematikk. Samtidig skisserte vi et mulig innhold og hva som skulle være målsettingen med boken. Etter hvert vokste planene, og en lang rekke forfattere kom med i gruppen. Gledelig nok representerer forfatterne minst ni læresteder med lærerutdanning. Da vi fikk samlet oss om målsetting og innhold, startet skrivingen. Resultatet ble denne læreboken, som presenterer både matematikken og matematikkdidak-
Matematikkundervisning.indb 5
tikken som framtidige lærere for 1.–7. trinn trenger ifølge den nasjonale fagplanen. Takk til Marie Skedinger Jakobsson ved lærerutdanningen i Malmö, Lisa BjörklundBoistrup og Lena Alm ved lærerutdanningen i Stockholm samt Maria Bjerneby-Häll ved Högskolan Dalarna, som har lest noen av tekstene og kommet med konstruktive tilbakemeldinger. Takk til studenter og andre kolleger som har lest og gitt verdifulle kommentarer til ulike deler av innholdet. Alle feil og svakheter i boken er det fortsatt vi som bærer ansvaret for. Vi ser fram til å bli kontaktet av dere lesere og høre deres synspunkter. Takk til alle medforfatterne av boken, som har delt sine erfaringer og kunnskaper. Skriveprosessen var en spennende reise for oss alle. Takk også for det smidige samarbeidet med Norstedts dyktige medarbeidere, forlegger Carola Stuart og redaktør Ola Karlsson.
Lund, 10 mai 2012 Barbro Grevholm
130607.. 09.16
Inneh책ll
Matematikkundervisning.indb 6
130607.. 09.16
• Innhold
7
Innhold
Bokens formål 11 Den gode matematikklæreren? 12 Noen leseanvisninger 12 Lag din egen matematikklærerbok i studietiden 13 Om innholdet i denne boken 13 Avgrensninger i boken 16 Ressurser og videre kontakt 16
1. Å bli en kompetent matematikklærer 17 Teoretiske beskrivelser av lærerkompetanse i matematikk 17 Beskrivelse av komponentene i PI-modellen 20 Stimulerende og spennende å være lærer 28
2. Hva er matematikk? 31 Svar fra ulike hold 32 Matematisk forskning – løsning av framtidens problemer? 37 Matematikkens anvendelser 37 Matematikk som vakker kunst og intellektuelt eventyr 40 Å forberede for undervisning i matematikk 42 Hva er matematikkdidaktikk? 45 Sammendrag 50
3. Læreplanen 53 Styringsdokumenter for skolen 53 Kunnskapsløftet 56 Formålet med matematikkfaget 56 Hovedområder i faget 57 Grunnleggende ferdigheter 57 Kompetansemål 61
Matematikkundervisning.indb 7
130607.. 09.16
8 Matematikkundervisning 1–7
Læreplan og lærebøker 62 Oppsummering 63
4. De minste barnas matematikk 65 Lærerens mentale kollbøtte 66 Tiltro til barns læreevne 66 Å snakke matematikk 67 Grunnleggende kognitive evner 68 Å oppdage det matematiske rommet 70 Begynnende aritmetiske ferdigheter 73 Matematiske mønstre og m ønstre i matematikken 73 Å forstå begrepene 74 Utfordringen med å generalisere en abstrakt betydning 76 Støtte til å resonnere om matematiske prinsipper 78 Fakta i barnehagen? 79 Ferdigheter 80 Viktige telleprinsipper i førskolealder 81 Rammeplanen for barnehagen 85 Sammendrag 86
5. Talloppfatning, aritmetikk og algebra 87 Kompetansemålene for tall og algebra 1.–7. trinn 87 Å jobbe med tall og talloppfatning 88 Historisk utvikling 94 Matematisk grunnlag for undervisningen 101 Algebra 122 Sammendrag 137
6. Rommet vi er i, og formene rundt oss 147 Hvorfor underviser vi i geometri i skolen? 148 Geometri gjennom tidene 149 Innholdet i skolegeometrien 150 Hva slags geometriske kompetanse trenger du som lærer? 151 Hva sier forskningen i matematikkdidaktikk? 166
Matematikkundervisning.indb 8
130607.. 09.16
• Innhold
9
Flere forslag til konkrete undervisningsinnslag 171 Vedlegg 1 – plane polyedermodeller 180
7. Statistikk og sannsynlighet 183 Hvorfor underviser vi om beskrivende statistikk på skolen? 183 Formålene med kapitlet 184 Kort historikk om beskrivende statistikk og sannsynlighetsteori 185 Hva inneholder undervisningen i statistikk og sannsynlighetsteori i dagens skole? 185 Hva sier den matematikkdidaktiske forskningen om beskrivende statistikk og sannsynlighet? 199 En gruppeoppgave med didaktiske innslag 200 Forslag til konkrete undervisningsinnslag 201 Sammendrag 202
8. Å lære matematikk gjennom problemløsning 207 Hva er et problem? 207 Problemløsningens rolle i matematikken 209 Hva er problemløsning? 210 Noen dimensjoner av problemløsning 219 Problemløsning og matematisk modellering 221 Problemløsning ved hjelp av ulike representasjonsformer 223 Å angripe et problem og løse det 225 Problemløsningsevne 231 Problemløsning som vurdering for læring 232 Hvorfor undervise i matematikk gjennom problemløsning? 233 Sammendrag 234
9. Kommunikasjon og læring i matematikk 239 Kommunikasjonens betydning for læring 239 Profesjonelt språk, terminologi og evne til å lytte 241 Metakognisjon og læring i matematikk 243 Samtalen i klasserommet 246 Flerspråklige klasserom og undervisning i matematikk 248 Læring av matematikk og læring mer generelt 256 Sammendrag 259
Matematikkundervisning.indb 9
130607.. 09.16
10 Matematikkundervisning 1–7
10. Vurdering i matematikk 261 Innledning 261 Prinsipper for god vurdering 262 Diagnostisk undervisning 263 Tester 266 Vurdering for læring 269 Undervisningskunnskap i matematikk 270 Sammendrag 274
11. Noen generelle spørsmål 275 Er læreren en kunstner eller en fagarbeider? 275 Et helhetlig bilde av undervisningen og den røde tråden 275 Brøkregning – et eksempel 276 Må vi være abstrakte i matematikken? 278 Elever med spesielle evner eller særskilte behov 281 Kjønnsaspekter i matematikkundervisningen 283 Bruk av tekniske hjelpemidler i matematikken 283 Begreper og motenykker 284 Framtiden og lærerens arbeid? 285
Anbefalt litteratur 303 Nyttige lenker 304 Bokens forfattere 305 Forfatternes hovedsakelige bidrag i kapitlene 308 Register 309
Matematikkundervisning.indb 10
130607.. 09.16
11
Bokens formål
Denne boken er skrevet av en gruppe erfarne matematikkforelesere med ambisjon om å lage en bok som vi selv kunne tenke oss å bruke i undervisningen av framtidige lærere i matematikk på de laveste klassetrinnene. Vi vil ha en tekst som vever sammen matematikk og matematikkdidaktikk, det vil si selve faget det skal undervises i, og spørsmål om hvordan dette faget kan læres og undervises. Det betyr at det er store mengder stoff som kunne vært tatt med i boken. Det har imidlertid ingen hensikt å gjøre den for omfattende, siden det bare er satt av svært begrenset med tid til matematikk og matematikkdidaktikk i lærerutdanningen. Boken gjør altså ikke noe forsøk på å være uttømmende, vi kan heller si at den inneholder det vi vurderer som absolutt viktigst å få med seg i den grunnleggende utdanningen. Deretter mener vi at den enkelte lærer aktivt må bygge videre på sin egen utdanning ved å reflektere over egne erfaringer fra undervisning, kurs og kompetanseutvikling (Grevholm 2006). Alle som velger å bli lærere, velger samtidig å jobbe med livslang læring også for sin egen del. I boken bygger vi både på utprøvd erfaring – egen så vel som andres – og på aktuell, relevant forskning i matematikkdidaktikk. Lærerprofesjonen har gått fra å være et yrke der mye kunnskap overføres muntlig og arbeidet baseres på praktisk erfaring, til en profesjon der det skrevne ord har fått stadig større plass og man har tilgang til forskningsresul-
Matematikkundervisning.indb 11
tater som kan praktiseres i klasserommet. De fleste som jobber aktivt som lærere, har imidlertid verken tid eller opplæring til å kunne dra nytte av forskningsresultatene. Det er heller ingen enkel sak. Vi ser det derfor som vår oppgave å prøve å veve forskningsresultater om læring og undervisning i matematikk inn i framstillingen. Vi gir rikelig med forslag til litteratur og andre kilder der interesserte kan finne mer materiale å fordype seg i eller inspirasjon til aktiviteter med elevene. Den engasjerte, spørrende, nysgjerrige læreren er den som er best rustet til å hjelpe elevene sine til varig læring i matematikk. Vi skriver derfor for lærerstudenter som ønsker å bli engasjerte, nysgjerrige, vitebegjærlige, spørrende, lyttende og resonnerende lærere i matematikk. Vi henvender oss også til aktive lærere som ønsker å fornye undervisningen sin og dra nytte av nye forskningsresultater i arbeidet sitt. Boken egner seg godt som grunnlag for diskusjoner og videre læring for en gruppe matematikklærerkolleger på en skole. Fordi vi skriver for både de som en gang skal bli, og de som allerede er lærere, veksler vi på å omtale leserne som «lærere», «lærerstudenter» og «studenter». På samme måte bytter vi på betegnelsene «elev» og «barn» når vi snakker om dem som får undervisning i skolen, men «barn» bruker vi som regel for å markere at vi snakker om elevene på de lavere trinnene.
130607.. 09.16
12 Matematikkundervisning 1–7
Den gode matematikklæreren? Hvordan ser den gode matematikklæreren ut? Dette er et spørsmål det er forsket på. Vi vet at gode matematikklærere må ha solide kunnskaper og ferdigheter i matematikk. I tillegg trenger de kunnskap om læring og undervisning i matematikk, og denne kunnskapen må være godt integrert med fagkunnskapene. De må vite mye om elevenes utvikling i mate matikk, om hvordan virksomheten i klasse rommet kan organiseres på en god måte, om skolens regelverk, om vurdering, karakterer og karaktersetting, om foreldrekontakt og om tverrfaglig samarbeid. Noe av dette behandles innenfor flere andre fag som inngår i lærer utdanningen, men enkelte aspekter er mer spesifikke for matematikken. Elever mener at en god lærer er en som kan forklare slik at de forstår og kan løse oppgavene, som selv er engasjert i matematikken, som er positiv og støttende og viser forståelse når elevene ikke får til leksene eller oppgavene, som har humor og godt humør og stor tålmodighet med elevene. En slik oppramsing av hva elever forventer av lærerne sine, kan få hvem som helst til å tvile på om de har valgt riktig yrke. Men læreryrket er stimulerende – det er noe vi som har skrevet denne boken, selv har opplevd – og det er givende å få følge den samme gruppen elever over flere år og se hvordan de utvikler seg, og hva de lærer. Siden matematikk er det faget som ser ut til å by på de største vanskelighetene i skolen, er det en ekstra utfordring å være den som skal veilede elever inn i matematikkens verden. Vi gir mange eksempler på aktiviteter og undersøkelser, spørsmål og diskusjoner i boken. Disse er ment å fungere som en erfaringsbase for framtidige lærere. Hensikten er at leseren skal forstå at lignende aktiviteter, undersøkelser, spørsmål og diskusjoner fin-
Matematikkundervisning.indb 12
nes for alle områder innenfor matematikkundervisningen, og at det er lærerens oppgave å bygge videre på egen hånd og sammen med kolleger ut fra de eksemplene vi presenterer. I mange tilfeller egner lignende aktiviteter seg for arbeid med elevene i klasserommet. Opplevelsen av at noe er en interessant, spennende og lærerik øvelse, skal få lærerstudentene til å forstå at de kan jobbe videre på egen hånd, innenfor andre områder, på tilsvarende måte. Når vi foreslår for leseren å gjennomføre øvelser selv eller i gruppe, er det fordi vi vet at en slik erfaring er utviklende for framtidige lærere. Vi foreslår at du leser boken aktivt og noterer, kritiserer, fører dine egne bevis og gjør dine egne utregninger og undersøkelser.
Noen leseanvisninger Vi ser for oss at når boken brukes av lærerstudenter, skjer det under ledelse av én eller flere forelesere som knytter bokens innhold til forelesninger, seminarer, praktiske oppgaver, øvelser og presentasjoner, til forskjellige typer skolebesøk og til praksisperioden. Foreleseren kan også framheve enkelte deler av boken som viktigere enn andre, og angi hvilken rekkefølge de bør leses i for å være et supplement til det studentene tilbys gjennom den lokale lærerutdanningen. Studentene kan bruke boken individuelt, men minst like ofte gjennom gruppearbeid med tekstene, oppgavene og aktivitetene som presenteres. Ved å snakke sammen om innholdet og utføre aktiviteter sammen kan de oppdage mer når det gjelder variasjon og fleksibel tankegang. I tillegg til å få oversikt over matematikken og knytte de didaktiske aspektene an til de respektive områdene trenger lærerstudenter ferdighetstrening i den grad tidligere kompetanse ikke strekker til. En lærer må kunne regne både raskt og riktig for å kunne stimulere
130607.. 09.16
• Bokens formål
elevenes framskritt på best mulig måte og avgjøre om en tenkemåte kan utvikles videre. En god måte å teste hverandre på i en kollokviegruppe er å lage såkalte sikkerhetstester til hverandre. En slik test kan bestå av noen enkle oppgaver fra elevenes lærebok som skal løses på begrenset tid og i prinsippet uten feil. For å skape stimulerende studiefellesskap med mål om å øke læringseffekten kan det lønne seg å danne såkalte naturlige kollokviegrupper. Fem eller seks studenter danner frittstående grupper som møtes utenfor undervisningstiden og diskuterer og jobber med kursmaterialet. Spørsmål som gruppen ikke klarer å løse internt, tas med til senere lærerstyrte timer og presenteres for hele studentgruppen. Forskning har vist at slike naturlige kollokviegrupper virker svært læringsfremmende. Enkelte lærerutdanningsprogrammer arrangerer også matematikktreff eller spørretimer der studentene kan ta opp ting de ønsker hjelp til utover det de har fått gjennom tidligere undervisning. Boken inneholder ingen fasit, svar eller løsninger på oppgaver, øvelser og aktiviteter. Det er et bevisst valg fra vår side, for vi ønsker å markere at det er arbeidet med å prøve å løse eller gjennomføre oppgavene som er det vesentlige. I tillegg ønsker vi at framtidige lærere skal utvikle evnen til selv å avgjøre om en løsning er tilfredsstillende, og om det finnes flere løsninger på et problem. Alle referanser er samlet bakerst i boken. Der finner du også en liste med nyttige lenker til forskjellige matematikkressurser og en egen liste med forslag til utfyllende lesing.
per. Det som er nytt for én student, kan være velkjent for en annen. Derfor gjør du lurt i å skrive din egen matematikklærerbok i studietiden. Der kan du notere ting som du enkelt vil kunne gå tilbake til når du jobber i skolen, ting du nettopp har forstått og gjerne vil huske, refleksjoner over hva du må huske når du står foran en klasse, eller hvordan du vil at elevene dine skal oppfatte matematikken. Videre kan du notere termer og begreper som du mener er sentrale, og erfaringer du gjør når du jobber med oppgaver eller aktiviteter. Du kan selvsagt også skrive av sider fra de vanlige lærebøkene dine som du finner spesielt nyttige, og du kan notere fra diskusjoner du og medstudentene dine har om innholdet i denne boken. Henvisninger til nettsteder og egnet litteratur som du kan ha nytte av som lærer, er også fine å samle i en slik bok.
Lag din egen matematikklærerbok i studietiden
I kapittel 1 spør vi hva det innebærer å bli en kompetent matematikklærer. Vi presenterer den såkalte PI-modellen for hvordan lærerutdanningen i matematikk kan oppfattes, og analyserer de sentrale kompetansefeltene for
Lærerstudenter kommer til utdanningen med ulike erfaringer, ferdigheter og kunnska-
Matematikkundervisning.indb 13
13
Om innholdet i denne boken Boken består av disse elleve kapitlene: 1. Å bli en kompetent matematikklærer 2. Hva er matematikk? 3. Læreplanen 4. De minste barnas matematikk 5. Talloppfatning, aritmetikk og algebra 6. Rommet vi er i, og formene rundt oss 7. Statistikk og sannsynlighet 8. Å lære matematikk gjennom problemløsning 9. Kommunikasjon og læring i matematikk 10. Vurdering i matematikk 11. Noen generelle spørsmål
130607.. 09.16
14 Matematikkundervisning 1–7
en matematikklærer ifølge denne modellen. I tillegg belyser vi hva som menes med undervisningsrelatert matematikkunnskap, med historiske tilbakeblikk på tidligere forelesere som Anna Kruse og Frits Wigforss. Kompetanse i å vurdere og diagnostisere elevers læring i matematikk settes inn i en større sammenheng i samfunnets utdanningsstruktur. Kunnskap om klasserommet og om ledelse og valg av metoder behandles også, først og fremst relatert til hva tid betyr for læring, planlegging av tid for læring, ulike former for arbeid og vurdering samt lærebøker, hjelpemiddelkompetanse og tekniske hjelpemidler. Vi går også inn på ulike syn på og oppfatninger av kunnskap og læring i matematikk og ser da på de affektive faktorenes betydning for læringen, på det å bytte fra elevens til lærerens perspektiv og på bildet av matematikk og matematikklæreren. Til slutt diskuteres det profesjonelle språkets betydning for læreryrket og yrkets iboende muligheter for stimulans og personlig utvikling. I kapittel 2 diskuterer vi hva matematikk og matematikkdidaktikk er. Det er mange måter å se matematikk på. Det kan oppfattes som en vitenskap, et håndverk og en kunst, et språk og et kommunikasjonsmiddel, et hjelpemiddel i menneskelig virksomhet og en del av våre kulturer. Vi gir eksempler på disse ulike måtene å se matematikk på, og argumenterer for at skoleelever bør få mulighet til å møte et åpent og mangfoldig syn på matematikken. Forskning om læring og undervisning i matematikk handler om alle slags fenomener og prosesser som inngår i dette. Området er tverrfaglig, men det som står i sentrum for forskningen, er matematikken samt undervisningen og læringen av den. Eksempler på hva matematikkdidaktisk forskning kan være, er studier om læreplaner, lærebøker, læreres oppfat-
Matematikkundervisning.indb 14
ninger, engasjement og undervisning, lærerutdanningen, elevers prestasjoner og læring, begrepsutvikling og meningsfylt læring samt den sosiale og kulturelle læringssituasjonen. I kapittel 3 fokuserer vi mest på matema tikkplanen i gjeldende læreplan, Kunnskapsløftet (LK06), hvordan den er bygd opp, og hensikten med matematikkfaget. Begrepene kompetanse, kompetansemål og grunnleggende ferdigheter presenteres, eksemplifiseres og diskuteres. Samtidig kaster vi noen korte historiske blikk gjennom matematikklærerens briller på norske læreplaner og norsk skole de siste 50–60 årene. Med dette håper vi å bidra til at du lettere kan forstå dagens læreplan. Kapitlet er skrevet av Marianne Maugesten og finnes ikke i den svenske utgaven. I kapittel 4 går vi inn på den aller første lærin gen i matematikk. Dagens matematikkundervisning går ut fra at barn har en grunnleggende matematisk forståelse og noen grunnleggende ferdigheter i matematikk før de møter den obligatoriske undervisningen i skolen. Matematikken skal være med som et tydelig kunnskapsområde som det jobbes med allerede i barnehagen. Derfor trenger også lærere som jobber med større barn, kunnskap om hvordan matematisk tenkning generelt utvikles, og hvordan matematikkunnskap kan komme til uttrykk blant barn i alle aldre, også blant de aller minste. Da blir det lettere å tolke og forstå hvorfor misforståelser eller vanskeligheter oppstår, og hvordan undervisningen kan legges opp for å hjelpe den enkelte elev til å utvikle sin matematikkforståelse. Det femte kapitlet i boken handler om tallopp fatning, aritmetikk og algebra. Vi ser på hvordan dette er blitt vektlagt i læreplanene for grunnskolen opp gjennom årene, men også på
130607.. 09.16
den historiske utviklingen av matematikken innenfor området. Vi belyser det matematiske symbolspråket, grunnleggende matematiske begreper og ideer som elever må utvikle forståelse for, og kunnskaper som du som lærer må beherske for å kunne hjelpe elevene dine. Vi gir eksempler på hvordan du kan jobbe med elevene, og hva du bør være spesielt oppmerksom på når det gjelder talloppfatning. Videre gjør vi rede for noen kjente hindre og vanskeligheter på området. Blant annet behandles strategier for hoderegning, egenskaper ved tallmengdene, aritmetikkens lover og regler, vanlige algoritmer samt hvordan undervisningen i aritmetikk kan hjelpe elevene å forstå algebra. Til kapitlet hører det også diskusjonsspørsmål og «utfordringer» som du kan jobbe videre med og fordype deg i. I kapittel 6 diskuterer vi hva slags matematisk og matematikkdidaktisk kunnskap og kompetanse lærere trenger for å undervise i geometri på de lavere klassetrinnene. Vi går også inn på motivene for og målene med geometriundervisningen. Deretter følger noen refleksjoner omkring geometriens historiske utvikling og skolegeometriens utvikling og hva en aksiomatisk-deduktiv beskrivelse av en matematisk teori er. Vi ser nærmere på de geometriske begrepene og objektene som er sentrale for undervisningen på de lavere klassetrinnene, og setter dem inn i en sammenheng. Vi behandler begrepene aksiom, definisjon, postulat, teorem, setning, bevis, avledning, konstruksjon og andre som er aktuelle. Videre presenterer vi hva den matematikkdidaktiske forskningen har å si om undervisning og læring i geometri, og vi gir eksempler på nyttige aktiviteter, eksperimenter og undersøkelser. I tillegg foreslår vi oppgaver og diskusjonsspørsmål med relevans for den framtidige lærergjerningen.
Matematikkundervisning.indb 15
• Bokens formål
15
I kapittel 7 tar vi opp områdene statistikk og sannsynlighetsteori. Vi behandler sentralmålene gjennomsnitt, median og typetall. Spredningsmålene variasjonsbredde, kvartilbredde og standardavvik belyses med flere eksempler. Videre diskuterer vi egenskaper og bruksområder for diagramtypene søylediagram, stolpediagram, sirkeldiagram, histogram, stamme-blad-diagram og boksdiagram og gir eksempler på disse. Et begrepskart over området deskriptiv statistikk gir en oversikt over hvordan de enkelte delbegrepene henger sammen. Enkel kombinatorikk handler blant annet om hvor mange måter det er mulig å velge ut et bestemt antall elementer fra en mengde på. Slike situasjoner illustreres med eksempler på kombinasjoner og permutasjoner av elementer. Videre presenteres multiplikasjonsprinsippet som gjelder ved gjentatte valg, og Dirichlets skuffeprinsipp. Vi diskuterer også enkle tilfeldige eksperimenter og gir eksempler på slike. Kapittel 8 handler om hvordan matematikk kan læres gjennom problemløsning. Vi diskuterer problemløsningens betydning og grunnene til at vi underviser om det. Videre forklarer vi og gir eksempler på noen problemløsningsmodeller. Hvordan kan vi angripe og løse et problem? Vi tar opp problemløsningsevne og vurdering for læring, og til slutt spør vi hvorfor vi skal undervise i matematikk gjennom problemløsning. Temaet for kapittel 9 er kommunikasjon og læring i matematikk. Hva kommunikasjon betyr for læring, utviklingen av et profesjonelt språk, mangfoldet av kommunikasjonsmåter, metakognisjon og samtaler i klasserommet diskuteres og illustreres med eksempler. Flerspråklige klasserom og kommunikasjon i matematikk belyses utførlig ved hjelp av aktuell
130607.. 09.16
16 Matematikkundervisning 1–7
forskning og reelle klasseromssituasjoner. Vi diskuterer også hvor viktig det er at lærere er bevisste på hvordan de selv ser på læring i matematikk, og hvordan dette synet kan påvirke samtalen i klasserommet. Kapittel 10 handler om vurdering. Her diskuteres ulike formål med vurdering, for eksempel analyse og dokumentasjon, som henger sammen med vurderingen. På slutten av kapitlet behandler vi også individuelle utviklingsplaner og karaktersetting. Dette kapitlet er ikke oversatt fra svensk, men skrevet av Bodil Kleve og Helga Kufaas Tellefsen med vekt på norske forhold. I kapittel 11 tar vi opp noen generelle spørs mål. Vi understreker hvor viktig det er med et helhetlig perspektiv og en tydelig rød tråd gjennom skolens matematikkundervisning. Ambisjonen er at det skal være mulig å oppfatte den røde tråden også i denne boken. Med konkrete eksempler fra undervisningen illustrerer vi hvordan det er mulig å synliggjøre den røde tråden for elevenes begrepsutvikling. Vi spør også om vi må være abstrakte og generelle i skolematematikken. Eksempler på hvordan barn oppfatter steget fra det konkrete til det abstrakte, belyser dette spørsmålet. Elever med spesielle evner, differensiering og individualisering, kjønnsaspekter på matematikkundervisningen og synet på digitale verktøy tas også opp til diskusjon.
berører bare kort samarbeidet mellom matematikk og andre fag, noe som kan være en viktig ressurs. Foreldrene som en ressurs i skolens arbeid er også noe vi bare så vidt kommer inn på. Teorier om læring og undervisning generelt er noe vi forutsetter at leseren har møtt gjennom sine pedagogikkstudier, og de nev nes bare kort i forbindelse med kommunikasjon og læring i matematikk. Spesialundervisning i matematikk går vi heller ikke inn på, ettersom skolen bør tilby en ressurs med denne kompetansen for de elevene som har behov for spesiell tilrettelegging.
Ressurser og videre kontakt Det svenske forlaget har også opprettet en egen nettside for boken med utfyllende materiale tilknyttet de enkelte kapitlene. Se www. norstedts.se/grevholm. Vi som har skrevet boken, vil også gjerne at du som leser den, kontakter oss dersom du har synspunkter, kritikk eller forslag til forbedringer.
Sende en e-post til grevholm@norstedts.se. Velkommen!
Avgrensninger i boken Et viktig aspekt som vi ikke kan gå inn på av plasshensyn, er et mer overgripende syn på matematikkens historie og hvordan den kan brukes i undervisningen. De mer generelle didaktiske spørsmålene behandler vi ikke, og heller ikke generelle pedagogiske spørsmål. Vi
Matematikkundervisning.indb 16
130607.. 09.16