Matematikk 6 fra Cappelen Damm Lærerveiledning (kap. 1) by Cappelen Damm

MATEMATIKK 6 fra CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen Kristin Måleng Vibeke Saltnes Olsen

Bokmål/Nynorsk

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2021 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov og tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan medføre erstatningsansvar og inndraging og kan straffes med bøter eller fengsel. Matematikk 1 fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens barnetrinn. Forfatterne, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen, har fått støtte fra Det faglitterære fond. Hovedillustratør: Henning Skogstad Øvrige illustrasjoner: Line Mathisen Grafisk design, sats og tekniske illustrasjoner: AiT Bjerch AS Omslagsdesign: Tank Design AS Omslagsillustrasjon: Henning Skogstad Forlagsredaktør: Ingar Ebbestad Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-64444-4 www.cdu.no

Forord Til læreren Lærerveiledningen har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Matematikk 5–7 bygger på, og hvordan verket er bygget opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromsamtaler. Videre følger Lærerveiledningen grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromsamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har til hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene. Vi som er forfattere av Matematikk 5–7, ønsker at Lærerveiledningen skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

FORORD

III

Digital lærerressurs til bøkene Til læreboka følger rike digitale ressurser. Alle grunnbøkene finnes som interaktive tavlebøker for visning med projektor på skjerm eller på interaktiv tavle. Tavlebøkene inneholder innleste rammefortellinger. Her finner du også blant annet arbeidsark, oppgaver og fasit til bøkene.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1. til 10. trinn. Her ligger aktuelle læringsstier, nivådifferensierte øveoppgaver og problemløsingsoppgaver. På tavla kan du som lærer skape gode samtaler i klassen hvor elevene kan utforske og snakke matematikk. Arbeid med bøkene Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm, i kombinasjon med vår digitale tjeneste Skolen fra Cappelen Damm, vil gi svært gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

DIGITAL LÆRERRESSURS

Innhold Til læreren Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer . . . . . . . . . . . . . . Oppbyggingen Matematikk 5–7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utvikling av regnestrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visuelle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker . . . . Velkommen til Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Tall

VI VII IX X XI XIII XV

...............................................................

2 Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Multiplikasjon og divisjon 5 Algebra

................................

124

........................................................

166

6 Tredimensjonale ﬁgurer

..................................

208

..............................................

244

Kapittelprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

Arbeidsark, kopieringsoriginaler

.........................

272

................................................

332

Historier nynorsk

Fasit Grunnbok

Fasit Oppgavebok

............................................

346

INNHOLD

Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer Med Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Matematikk 5–7 legger vekt på at elevene: • utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Matematikk 5–7 skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å • utforske egenskaper ved tall • rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang • dele opp tall på ulike måter • utvikle forståelse for plassverdisystemet

Regnestrategier I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger også til rette for at elevene skal kunne automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 og multiplikasjonstabellen.

Sammenhenger i matematikk Med Matematikk 5–7 ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1= 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120 osv.

Utforsking og problemløsning Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Representasjon og kommunikasjon – Abstraksjon og generalisering I Matematikk 5–7 legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og bar models. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger.

Resonering og argumentasjon Matematikk 5–7 tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Tverrfaglige tema Matematikk 5–7 legger til rette for at elevene skal tilegne seg kompetanse i de matematiske verktøy som er nødvendig for å kunne gjøre ansvarlige livsvalg innen folkehelse og livsmestring (5. og 6. trinn) og demokrati og medborgerskap (7. trinn).

MATEMATIKKDIDAKTISKE PRINSIPPER – KJERNEELEMENTER

Oppbyggingen Matematikk 5–7 Matematikk 5–7 består av

Samtaleruter

Grunnbok Oppgavebok Lærerveiledning Digital lærerressurs Digitale utgaver på cdu.no

Multiplikasjon – oppstilling Samtale Leo skal legge heller i gartneriet. Han regner ut at han trenger 24 pakker med heller. Hvor mye må han betale for hellene når de koster 67 kr per pakke?

Matematikk 5 Grunnbok har • tydelige mål for hvert kapittel • oppgaver for refleksjon og klassesamtale • varierte oppgaver til hvert tema • problemløsningsoppgaver • visuell støtte til oppgaver

Metode 1 67 · 24 =

Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. I slutten av hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. Det er også en oppsummerende oppgave for kapitlet.

1200

140

240

1 2 0 0 1 4 0 2 4 0 2 8 = 1 6 0 8

Svar: Bio må betale 1608 kr for hellene. Metode 2 1 2

6 2 6 + 1 3 4 = 1 6 0 1

Reﬂeksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I Lærerveiledningen er det en liten historie til hvert bilde med en tilhørende matematisk problemstilling. Historien er også lydsatt og publisert i tilknytning til bildet i tavleboka. I denne veiledningen det også forslag til andre spørsmål og problemstillinger som kan stilles til bildene. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å reflektere med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer og argumentere for disse. De får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker.

7 · 2 4 8 0 8

Svar: Bio må betale 1608 kr for hellene.

134

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Alle kapitlene har samtaleruter i ramme. Ruten er delt med en strek. Over streken presenteres et problem som skal løses gjennom samtale med elevene. Elevene skal få reflektere og argumentere for sine løsninger. Under streken presenteres ulike løsningsforslag eller metoder som kan drøftes sammen med elevene i lys av deres egne forslag.

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

VII

Utforsk sammen Utforsk sammen Hvor mange marihøner med 2 prikker, og hvor mange marihøner med 7 prikker kan det være hvis de har 100 prikker til sammen? Kan dere finne flere løsninger? Hvor mange kan det være av hver hvis marihønene har 3 prikker og 6 prikker, og de har 100 prikker til sammen?

Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med å ta i bruk, den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet.

Sant eller usant Gjennom hele boka presenterer Matematikk 5–7 varierte utforsk sammen oppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller små grupper. Elevene skal reflektere, samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og argumentere for sine løsninger.

Alle kapitlene har en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og argumentere for om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til tema.

Ulike oppgaver Matematikk 5–7 har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver. Hvert kapittel har et oppslag med temaoppgaver. I disse oppgavene får elevene anvende kunnskaper fra flere områder enn det kapitlet omhandler.

Matematikk 5–7 Oppgavebok følger de samme temaene som i Matematikk 5–7 Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver og mer utfordrende oppgaver, merket med en eller to prikker, og egne sider som heter andre utfordringer. I andre utfordringer er det oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har gode eksempler til alle tema og egner seg derfor også godt som hjemmebok.

Differensierte oppgaver

Lærerveiledning

Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som ligner på oppgavene de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins varierte oppgaver av ulik vanskegrad. Mange av emnene har oppgaver med visuell støtte, en modell som elevene kan bruke videre på flere av oppgavene. I Lærerveiledningen er det forslag til forenkling og utviding av flere av oppgavene. Oppgaveboka har oppgaver på to nivå. I tillegg har hvert kapittel «Andre utfordringer» med mer utfordrende oppgaver.

Matematikk 5–7 Lærerveiledning følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerveiledningen har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har også elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5, Oppgavebok 5 og elevoppgavene i Lærerveiledningen.

Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. I opplæringen av Excel legges det til rette for at dette kan brukes som verktøy for å løse problemer innen de tverrfaglige tema.

VIII

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

Oppgavebok

Digital lærerressurs til bøkene Innhold til lærer ligger samlet i Skolen fra Cappelen Damm. Der finner du tavlebøker, arbeidsark, lydfiler osv.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1–10. trinn. Der presenteres aktuelle læringsstier, filmer, podcaster m.m. Du som lærer kan skape gode fellesopplevelser gjennom det dette. Arbeid med bøkene i Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm i kombinasjon med Skolen fra Cappelen Damm, vil gi gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

Grunnleggende ferdigheter Matematikk 5–7 ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk etter læreplanen LK20.

problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene.

Munnlege ferdigheiter

Å kunne lese

«Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å samtale i og om matematikk. Det vil seie å kommunisere idear og drøfte matematiske problem, strategiar og løysingar med andre. Utviklinga av munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.»

«Å kunne lese i matematikk inneber å skape meining både i tekstar frå dagleg- og samfunnslivet og i matematikkfaglege tekstar. Å kunne lese i matematikk vil seie å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon i samansette tekstar. Utviklinga av leseferdigheiter i matematikk handlar om å finne og bruke informasjon i stadig meir komplekse tekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.»

I Matematikk 5–7 innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder utforsk sammen-oppgaver. Disse oppgavene er åpne problemløsingsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller små grupper. Matematikk 5–7 oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsingsoppgavene på sine egne måter og argumentere for det de er kommet fram til.

Å kunne skrive «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare samanhengar, oppdagingar og idear ved hjelp av formålstenlege representasjonar. Å kunne skrive i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Det inneber å kunne løyse problem og presentere løysingar som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Utviklinga av skriveferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.» Matematikk 5–7 legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elvene øve seg på presise

Matematikk 5–7 har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Matematikk 5–7 legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant eller usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står har gyldighet eller ikke.

Å kunne rekne «Å kunne rekne i matematikk vil seie å bruke matematiske representasjonar, omgrep og framgangsmåtar til å gjere utrekningar og vurdere om løysingar er gyldige. Det inneber å kjenne att konkrete problem som kan løysast ved rekning, og formulere spørsmål om desse. Matematikk har eit særleg ansvar for opplæringa i å kunne rekne. Utviklinga av rekneferdigheiter i matematikk handlar om å analysere og løyse eit spekter av stadig meir komplekse problem med effektive og formålstenlege omgrep, symbol, metodar og strategiar.» I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger til rette for at eleven skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

GRUNNLEGGENDE FERDIGHETER

Matematikk 5–7 vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer.

Digitale ferdigheiter «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å kunne bruke grafteiknar, rekneark, CAS, dynamisk geometriprogram og programmering til å utforske og løyse

matematiske problem. Vidare inneber det å finne, analysere, behandle og presentere informasjon ved hjelp av digitale verktøy. Utviklinga av digitale ferdigheiter inneber i aukande grad å bruke og velje formålstenlege digitale verktøy som hjelpemiddel for å utforske, løyse og presentere matematiske problem.» Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Matematikk 5–7 jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi. I Matematikk 5–7 jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttiggjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Matematikk 5–7 vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

UTVIKLING AV REGNESTRATEGIER

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men dersom elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan eleven bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Matematikk 5-7 kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Matematikk 5-7 vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten er den lett å finne i hodet. Dette kan du lese mer om på side 16.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne nyttiggjøre seg gode visualiseringsmodeller. I Matematikk 5-7 viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Å regne med tid har vist seg å være vanskelig for mange elever. Ved regning med tid er tom tallinje et godt hjelpemiddel. Hvor lang tid er det fra kl. 18.50 til kl. 20.30? +1h

+ 30 min

+ 10 min

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinjen kommer fra Freudenthal-instituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

18.50 19.00

20.00

20.30

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Matematikk 5-7 bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Matematikk 5-7 bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

Eksempel: 450 – 302 = 148 +8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

302 310

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av å se hensiktsmessige oppdelinger av tall på en rask måte, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

– 100

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

Eksempel 1 54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

54 50

– 100

+2 300 302

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Eksempel 2 5:3= Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

54 30

VISUELLE MODELLER

Bar models Bar models er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker bar models i Matematikk 5-7, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Bar models har et større bruksområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger?

Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

250 kr

Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

2 Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i tomt rutenett: 10

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner.

XII

VISUELLE MODELLER

2 Ved å erstatte rutenettet med tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Matematikk 5-7 legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klassesamtalen og samtale elevene i mellom står sentralt gjennom hele verket. I klassesamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne de som av de andre elevene blir sett på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite no answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men likevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning.

Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i klasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. • Del ut en lapp til hver elev. • Be eleven skrive navnet sitt på lappen. • Skriv det du vil ha elevens tanker om på tavla. • Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. • Samle inn lappene. • Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. • Ta tak i et svar eller løsningsforslag som inneholder en feil eller misoppfatning som du har lyst til å få oppklart. • Skriv løsningsforslaget på tavla. • Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. • Spør så hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å vende elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men det illustrerer godt for elevene at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker ikke nødvendigvis er feil.

Eksempel Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det finnes tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis en eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og trolig én eller flere med 90 000, og kanskje 99 000. Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret.

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

XIII

Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret. Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Spill som metode og pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp. Spill og lek i matematikkundervisningen, bidrar til • at tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevens egen arena • at elevene utvikler strategisk tenking, og de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse • at elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/ utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine. Eksempel I et spill har spillerne to treninger og to kast hver i hver runde. Av hvert kast lager de et tosifret tall. Differansen mellom tallene i de to kastene tar de med seg videre. Den som kommer først til hundre vinner. Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

XIV

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

Velkommen til Fermat Samtalebildene på kapitteloppslagene er hentet fra en fiktiv verden, Fermat. Gjennomgangsfigurene i denne verdenen vil elevene også møte i samtaleruter og oppgaver gjennom hele boka.

(bokmål) Byen Fermat er ikke som andre byer. I Fermat eksisterer fortid, nåtid og framtid samtidig. Det viktigste framkomstmidlet i byen er kabelbanen, men du finner også fortidens luftskip og framtidens passasjerdroner.

(nynorsk) Byen Fermat er ikkje som andre byar. I Fermat eksisterer fortid, notid og framtid på same tid. Det viktigaste framkomstmiddelet i byen er kabelbana, men du finn også fortidas luftskip og framtidas passasjerdronar.

Kabelbanen styres av Kabelbanemester Rut, en dame som nesten aldri sover. Hun har stålkontroll over både kabelbanen og alle andre fartøy i Fermat. Hun er alltid utstyrt med masse verktøy og fikser alt.

Kabelbana styrast av Kabelbanemester Rut, ei dame som nesten aldri søv. Ho har stålkontroll over både kabelbana og alle andre fartøy i Fermat. Ho er alltid utstyrt med masse verktøy og fiksar alt.

Byen styres av Borgermester Baye, en blid og rettferdig mann. Han er opptatt av at Fermat skal ha en god og bærekraftig utvikling, og at alle som bor der skal ha det bra.

Byen styrast av Borgermeister Baye, ein blid og rettferdig mann. Han er oppteken av at Fermat skal ha ei god og bærekraftig utvikling, og at alle som bur der skal ha det bra.

I et av de merkeligste husene i Fermat bor oppfinneren Plex, en fargerik og travel dame med et stort hjerte for andre. Akkurat nå driver hun og bygger på huset, så hun har det ekstra travelt.

I eit av dei merkelegaste husa i Fermat bur oppfinnaren Plex, ei fargerik og travel dame med eit stort hjarte for andre. Akkurat no driv ho og byggjer på huset, så ho har det ekstra travelt.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldreløse barn som bor hos Plex.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldrelause barn som bur hjå Plex.

Henrik er eldst og var den første som flyttet inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funnet opp et par magiske briller til han. Med dem kan han se mange spennende, matematiske løsninger.

Henrik er eldst og var den fyrste som flytta inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funne opp eit par magiske briller til han. Med dei kan han sjå mange spennande, matematiske løysingar.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løsninger. Hun er fast bestemt på at ingenting skal kastes, alt kan brukes. Plex har funnet opp en helt spesiell sekk til henne som hun kan ta med seg overalt. Der finner hun alltid det hun trenger for å løse et problem.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løysingar. Ho er fast bestemt på at ingenting må kastast, alt kan brukast. Plex har funne opp ein heilt spesiell sekk til ho som ho kan ta med seg overalt. Der finn ho alltid det ho treng for å løyse eit problem.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er bevegelseshemmet, og da hun kom til Plex, kunne hun ikke gå. Men nå har Plex funnet opp et mekanisk skjelett til henne. Med det kan Maxi både gå, løpe og hoppe.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er rørslehemma, og då ho kom til Plex, kunne ho ikkje gå. Men no har Plex funne opp eit mekanisk skjelett til ho. Med det kan Maxi både gå, springe og hoppe.

Plex har også to roboter, Bio og Leo, og katten Radius som slett ikke er som andre katter.

Plex har også to robotar, Bio og Leo, samt katten Radius, som slett ikkje er som andre kattar.

VELKOMMEN TIL FERMAT

KAPITTEL 1

Tall MÅL • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i addisjon og subtraksjon • utforske, bruke og beskrive plassverdisystemet • utvikle og bruke skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon • vurdere og gjøre hensiktsmessige overslag

BEGREPER siffer, differanse, plassverdi, utvidet form, overslag, partall, oddetall, primtall, avrunding

Hoderegningsstrategier Forskning viser at 85 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. Vi anbefaler derfor å jobbe med, og utvikle, noen ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem, og at de lærer seg å se på tallene for å finne den strategien som er mest hensiktsmessig. I dette kapitlet tar vi for oss av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på det, dette for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20= 52; 52 + 5 = 57.

1 6

Tall

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

mål

begreper

• utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i addisjon og subtraksjon • utforske, bruke og beskrive plassverdisystemet • utvikle og bruke skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon • vurdere og gjøre hensiktsmessige overslag

ƐŝīĞƌ͕ ĚŝīĞƌĂŶƐĞ͕ plassverdi, utvidet form, overslag, partall, oddetall, primtall, avrunding

I USA bruker de i større grad 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18; 20 – 10 og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Andre nyttige strategier Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den.

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi vektlagt at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi, dette for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 Når man jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får muligheten til å forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen vil hjelpe elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak ihvordan elevene tenker» på side XIII.

Begge eksemplene viser strategien som vi i dette kapitlet har kalt regning via tiere.

Tivoli i Fermat Det er tivoli i Fermat, og barna gleder seg over alt det morsomme de kan være med på. Henrik har fått jobb i boden med hestespill, Leo er sjefen for pilspillet mens Bio passer boden hvor man kan kaste ball på bokser. Ada prøver seg på hestespillet hos Henrik. «Du får kaste fem baller», sier Henrik, «og hver gang du klarer å kaste en ball inn i et av hullene, flytter hesten seg dobbelt så mange skritt som tallet ved hullet viser». Ada konsentrerer seg, sikter og kaster. Hun treffer med den første ballen, hesten beveger seg og Ada jubler. Men med de to neste ballene bommer hun. «Skjerp deg!» sier Ada til seg selv, og det hjelper, for hun treffer med de to siste ballene. «Bra, Ada», sier Henrik, «hesten din flyttet seg 32 skritt i alt». «Oi, jeg glemte helt å se hvilke hull jeg traff,» sier Ada. «Det kan du jo prøve å finne ut», sier Henrik. Hvilke hull tror du Ada traff med de tre ballene? Henrik regnet ut poengene etter hvert som Ada traff. Han doblet poengene og adderte til slutt. Først traff hun 10 og fikk 20 poeng, så 4 som ga 8 poeng og deretter 2 som ga 4 poeng. 20 + 8 + 4 = 32

Ada syns det er vanskelig, men hun er god til å finne løsninger. Nå tenker hun at dersom hun halverer poengsummen, blir det lettere å finne ut hvilke hull hun kan ha truffet. «Halvparten av 32 er 16», tenker Ada, «da kan jeg ha truffet 2 ganger i 6-hullet og en gang i 4-hullet, 6 + 6 + 4 = 16 og det dobbelte av 16 er 32». «Mye å holde styr på», sier Maxi, og går for å kaste piler hos Leo.

Videre samtale om oppslaget Det er flere situasjoner på bildet som dere kan ta tak og samtale om i forhold til hoderegning. Dere kan for eksempel la elevene komme med forslag til sum tre kast som treffer på boksene hos Leo. Boksene står fast og ramler ikke, men de lyser opp ved treff. Summen lyser opp på skjermen til Bio og dobles dersom det blir treff med alle tre ballene. Hos Leo skal ikke summen dobles, men det kan være flere mulige måter å får ulike poengsummer på. Jenta har kastet 4 piler og fått 100 poeng, pila i panna på Leo regnes som bom og gir ikke poeng. Hvor mange andre muligheter klarer dere å finne som gir hundre poeng? Det er lov til å bomme.

TALL

Metoder for automatisering av tallvenner Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til 20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord. For eksempel 1 + 10 = 11, 2 + 9 =11, 3 + 8 = 11, osv.

Automatisering av tallvenner Elever som har automatisert alle oppdelingene av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert går det mye raskere å regne i hodet. Når elevene for eksempel vet at 5 + 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 – 3 = 5 og 8 – 5 = 3. De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80, osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon.

Spill som metode I arbeid med automatisering av tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt enn regning på papir. Det fins mange terning- og kortspill som er gode å bruke til dette. Vi gir her eksempel på et kortspill som kan brukes til automatisering av alle tallvennene opp til 13. Eksempelet viser spillet, Snapp tieren, for å automatisere tiervenner.

Elevene som i tillegg klarer å automatisere tallvennene opp til 20, vil få det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger. Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Samtale Skriv oppgavene i rammen på lapper og del ut en oppgave til hver elev. Det gjør ingenting om flere elever får samme oppgave. La elevene få litt tid til å se på oppgaven de har fått og tenke over hvilke regnestrategier de vil bruke for å løse oppgaven.

Hoderegning Samtale Hvordan vil du løse oppgavene nedenfor ved hoderegning?

Skriv en av oppgavene på tavla og la elevene som har denne oppgaven forklare hvilke regnestrategier de vil bruke for å løse den.

21 + 4 + 9

75 + 75 +

Snakk sammen om at det er ulike måter å tenke på. Se på oppgaven 21 + 4 + 9 = Noen vil tenke 21 + 4 = 25 og at 25 + 9 er én mindre enn 25 + 10, derfor blir svaret 34.

1.1

Noen vil tenke 21 + 4 = 25, og fordi 5 + 9 = 14 og 20 + 14 = 34, blir svaret 34. Noen vil tenke 21 + 9 = 30, og 30 + 4 = 34 Det er enda flere måter å tenke på. Utfordre elevene med denne og liknende oppgaver.

Oppgave 1.1 og 1.2 Når elevene løser disse oppgavene kan de tenke over hvilke strategier de tar i bruk. Her kan bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

1.2

1.3

11 –

11 + 3 + 9 =

2+9=

26 + 25 =

25 =

43 + 36

69 + 31 =

Regn ut. Hvordan tenker du? b) 9 + 4 = a) 6 + 7 = 19 + 4 = 16 + 7 = 29 + 4 = 26 + 7 =

c) 8 + 3 = 28 + 3 = 58 + 3 =

Regn ut. Hvordan tenker du? b) ϭϮ о ϳ с a) ϭϬ о ϱ с ϮϮ о ϳ с ϱϬ о ϱ с ϴϮ о ϳ с ϵϬ о ϱ с

c) ϭϯ о ϲ с ϯϯ о ϲ с ϵϯ о ϲ с

Ida og Emil har 23 kr til sammen. Ida har 5 kr mer enn Emil. Hvor mange kroner har Emil?

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Ida Emil

23 kr

• Dersom en spiller ute i spillet legger opp en tier, kan den som er raskest, slå på denne. Da vinner han hele den bunken som tieren ligger på, mens den andre bunken blir liggende. • Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Bruk alle kortene fra 1 (ess) til 10 i en vanlig kortstokk. To elever spiller sammen. • Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like store deler. En kortbunke legges på bordet foran hver spiller. • Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne. • Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 10, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 10, blir kortene liggende. • Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller B sitt kort og spiller A sitt nye kort. Hvis disse kortene danner 10, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem. Hvis ikke, går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 10 og en av spillerne «snapper» disse.

Andre kortspill Spillet «Kasino» øver ulike tallkombinasjoner opp til 16 og er et veldig godt spill å bruke. Det kan være tungt å lære bort et spill med litt kompliserte regler til en hel klasse. Derfor kan det være lurt først å lære bort spillet til for eksempel fire elever, som igjen lærer spillet bort til fire medelever.

1.4

Leon og Omer samler flasker på tivoli. De samler 36 flasker til sammen. Leon samler to flasker mer enn Omer. Hvor mange flasker samler Omer?

de neste. Det er ikke meningen at de skal skrive hvilke strategier de bruker.

1.5

Regn oppgavene nedenfor i hodet. b) 10 + 5 = a) 8 + 7 = 6+7= 5+9= 8+5= 4+7= 13 + 6 = 13 + 2 = 7+5= 9+9= 3+4= 6+8=

Oppgave 1.3 Denne oppgaven viser at det kan være lurt å tegne modeller til vanskelige oppgaver. La elevene tegne modellen fra boka. Samtal om hvordan de tenkte.

c) 18 – 9 = 20 – 8 = 16 – 7 = 12 – 3 = 13 – 8 = 15 – 7 =

1.6

Sett inn tallene som mangler. Skriv regnestykkene. a) 100 = + 25 b) + 57 = 77 c) 28 + = 30 ĚͿ ϴϭ о ϵ с e) 14 = о ϭϱ ĨͿ о ϯϱ с ϯϱ

1.7

Skriv tallene som mangler. a)

100 49

500 250

Differensiering Hvis elevene syns det er vanskelig å se løsningen på denne oppgaven fordi det er vanskelige tall, kan vise dere modellen på tavla og se hvordan det hadde blitt hvis de hadde hatt 25 kroner til sammen og Ida hadde hatt 5 kroner mer enn Emil.

1000 400

Oppgave 1.6 Les om likhetstegnet på neste side.

Utforsk sammen Lag 10 hoderegningsoppgaver hver, og løs hverandres oppgaver oppgaver. Forklar hverandre hvordan dere tenkte da dere løste oppgavene oppgavene.

1 TALL T

TALL

Subtraksjon som å ﬁnne differanse/forskjell Ofte blir subtraksjon forklart for elevene som å trekke fra eller å ta bort. For mange elever er det vanskelig når de etter hvert skal løse tekstoppgaver der det spørres etter forskjellen eller differansen. Strategien «ta bort» holder ikke når vi skal sammenlikne to mengder. Når en elev for eksempel skal finne ut hvor mye eldre Jens er enn Lina, er det fortsatt regnearten subtraksjon som skal brukes, men det er ikke noe som skal tas bort. Tvert imot assosierer begrepet «eldre enn» til en økning. Det er derfor viktig å vektlegge subtraksjon som det å finne forskjellen eller differansen framfor det å ta bort eller trekke fra.

Likhetstegnet Mange elever strever med oppgaver både av typen 62 + __ = 100 og 91 = 100 – __. Noen ganger ser vi at elever regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen. Ofte bunner problemet i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret». Det er viktig at elevene får forståelsen av likhetstegnet som «har samme verdi som». Det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, må alltid ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene senere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

Eksempel Jens er 24 år, Lina er 17 år. Hvor mye eldre er Jens enn Lina?

Hensikten med oppgave 1.6 på side 9 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Dette er for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av likhetstegnet har samme verdi.

Samtale Repetere tiervennene, gjerne ved å bruke for eksempel spillet «Snapp tieren», se spill side 8.

Ved bruk av tom tallinje spiller det ingen rolle om du teller oppover fra 17 til 24 eller nedover fra 24 til 17. Noen elever foretrekker å telle oppover fordi de er -tryggere på å telle forlengs enn baklengs.

Bruke tiervenner Samtale Hvordan kan dere bruke det dere kan om tiervenner, til å regne oppgaver med tall som har større verdi?

Samtal om hvordan vi kan bruke det vi kan om tiervenner, når vi skal regne med større tall. Eksempel: Vi vet at 8 + 2 = 10

മϵ н ϭ

മϱ н ϱ

19 + 1

45 + 5

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 28 + 2?

മϴ н Ϯ

മമϲ н ϰ

28 + 2

116 + 4 മϳ н ϯ 77 + 3

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 58 + 32? 1.8

La elevene komme med flere eksempler. Skriv eksemplene på tavla.

b) 53 + 7 = 53 + 27 = 353 + 27 =

c) 126 + 4 = 126 + 34 = 426 + 34 =

Regn ut. a) 25 + 5 = 25 + 6 = 225 + 6 =

b) 44 + 6 = 44 + 8 = 644 + 8 =

c) 138 + 2 = 138 + 5 = 238 + 5 =

Oppgave 1.8 I disse oppgavene får elevene direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

1.9

Oppgave 1.9 I denne oppgaven bruker elevene strategien med tiervenner og nær venner og overfører dette til addisjon større tall.

1.10 Regn ut. a) 18 + 2 + 5 = c) 25 + 4 + 25 = e) 16 + 28 + 4 =

Regn ut. a) 14 + 6 = 14 + 16 = 114 + 16 =

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

b) 21 + 7 + 9 = d) 37 + 13 + 6 = f) 45 + 7 + 15 =

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel Vi er 19 elever som skal ha en blyant hver. Vi har 13 blyanter. Hvor mange blyanter mangler vi?

–3

I hodet bruker vi subtraksjon for å finne differansen mellom det vi skal ha og det vi har. Problemstillingen i oppgaven kan det imidlertid være naturlig å sette opp som et addisjonsstykke: 13 + __ = 19

Dette er i praksis en likning hvor den ukjente mengden illustreres med firkant i stedet for x.

–4

At elevene har en ensidig forståelse av subtraksjon som å ta bort eller trekke fra, kan være årsaken til at elevene spør om det er pluss eller minus når de møter tekstoppgaver som spør etter en forskjell. Regnearten subtraksjon brukes også når vi skal finne ut hvor mye vi mangler. Da er det heller ikke noe som skal tas bort, vi må tvert imot ha mer. Det vi skal finne ut er differansen mellom det vi skal ha og det vi faktisk har.

Oppgave 1.10 I disse oppgavene kan elevene først finne tiervennene før de adderer det tredje tallet.

Regne via hel tier Samtale Henrik har 58 kr, og Ada har 29 kr. Hvor mange kroner har de til sammen?

Maxi har 67 kr. Hun kjøper en penn til 19 kr. Hvor mange kroner har Maxi igjen?

Metode 1

+ 30 58

–1 87

– 20

+1 47

Samtale Elevene skal bruke hoderegningsstrategien «Regne via hel tier». La elevene komme med eksempler på hvordan de kan løse oppgavene. I Metode 1 er strategien visualisert med en tom tallinje. Tegn en tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker hvor det er rasjonelt på tenke via hel tier. Metode 2 viser samme tenkemåte satt opp som regnestykke.

Svar: De har 87 kr til sammen.

Svar: Maxi har igjen 48 kr.

Metode 2 58 + 29 = 58 + 30 – 1 = 87

Metode 2 ϲϳ о ϭϵ с 67 – 20 + 1 = 48

Svar: De har 87 kr til sammen.

Svar: Maxi har igjen 48 kr.

Oppgave 1.11 Elevene skal regne i hodet. Elevene kan bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse de neste. Elevene som trenger det kan bruke en tom tallinje.

1.11 Regn ut. a) 14 + 9 = 14 + 19 = 14 + 18 =

c) 54 – 9 = 54 – 39 = 54 – 38 =

b) 67 + 9 = 67 + 29 = 67 + 28 =

1.12 Bruk det som står i rutene og regn ut. 37 + 19 = 56

56 – 9 = 47

a) 370 + 190 = 37 + 29 = 36 + 29 = 37 + 28=

b) 560 – 90 = 56 – 19 = 57 – 29 = 56 – 47 = 1 TALL

TALL

Dobling/halvering

Spill om dobling og halvering

Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskap om doble verdier av mange tall. Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde flere tall vil de lettere kunne regne raskt i hodet. Poenget er at dersom du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170.

Passer for 2–4 elever. Bruk en terning, helst en 0–9-terning eller en kortstokk. Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur. Dersom de får et partall noterer de halvparten av verdien, dersom de får et oddetall noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/trekk, har vunnet.

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å ha automatisert en del viktige doblinger. Doblingene som vi viser her kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Se neste oppslag. Dobling av alle tallene fra 0–10. Hele tiere som 10 + 10 = 20, 20 + 20 = 40 osv. Femmere som 15 + 15 = 30, 25 + 25 = 50, 75 + 75 = 150 osv.

Samtale Elevene skal lære å bruke strategien dobling og halvering. Med utgangspunkt i doblingene som elevene kan, skal de kunne regne i hodet med tall som har høyere og lavere verdi. La elevene få komme med doblingene de kan. Skriv på tavla. Hvor mange kan dere til sammen? Snakk om sammenhengen mellom doblinger og halveringer. Kan du doblingene, så kan du også halveringene. Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les «Viktige doblinger» over.

Dobling og halvering Samtale Hvordan kan det dere vet om dobling og halvering, hjelpe dere til å løse disse oppgavene? 75 + 76 =

400 – 201 =

Løsning

75 + 76 =

400 – 201 =

75 + 75 + 1 = 151

400 – 200 – 1 = 199

1.13 Regn ut. a) 8 + 8 = 8+9= 8+7=

I rammen har vi gitt to eksempler på bruk av nær dobling og nær halvering. Når du vet at 75 + 75 = 150, blir det lettere å regne ut at 75 + 76 = 151 eller 75 + 74 = 149. Når du vet at 400 – 200 = 200, blir det lettere å regne ut at 400 – 199 = 201 eller 400 – 201 = 199.

a) 48 – 24 = 48 – 25 = 48 – 23 =

b) 50 – 25 = 50 – 26 = 50 – 24 =

c) 60 – 30 = 60 – 31 = 60 – 29 =

1.15 Doble og halvere tallene. a) 4 40 44

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

c) 12 + 12 = 12 + 13 = 12 + 11 =

1.14 Regn ut.

Oppgave 1.13 og 1.14 Øvingsoppgaver der elevene bruker strategien fra samtalen.

b) 25 + 25 = 25 + 26 = 25 + 24 =

b) 30 100 130

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 8 50 58

d) 50 500 550

Et mer utfordrende spill om dobling og halvering To elever spiller sammen. Bruk to terninger, helst 0–9-terninger eller kort. Elev A kaster to terninger eller trekker to kort og velger hvilket tosifret tall han vil doble eller halvere. Velger han et partall, skal det halveres, velger han et oddetall, skal det dobles. Den som har høyest sum etter for eksempel fem kast/trekk, har vunnet. Dette er et meget strategisk spill. Alt etter hvilke tall terningene/kortene viser må elevene for eksempel finne ut hva som vil gi mest poeng av å halvere et stort tall eller doble et lite tall.

Oppgave 1.16 En oppgave i kontekst hvor elevene i a) skal doble en oppskrift. Oppgave b) er en litt mer utfordrende oppgave som kan differensieres.

1.16 Marianne baker muffins til klassen sin. Det er 24 elever i klassen. Oppskriften er beregnet til 12 muffins.

300 g smør 3 dL sukker 3 stk egg 6 dL mel r 1,5 ts bakepulve

Differensiering Gjør om oppgave b) til at oppskriften skal halveres. Bytt ut 1,5 ts bakepulver med 1 ts bakepulver.

a) Gjør oppskriften slik at alle i klassen får en muffins hver. b) Marianne lager seks muffins når hun kommer hjem. Gjør om oppskriften slik at den passer til seks muffins.

Oppgave 1.19 En litt vanskeligere oppgave hvor modellen kan hjelpe elevene når de løser oppgaven.

1.17 Herman er på tivoli. Da han går på karusellen har han 50 kr i lomma. Da han går av karusellen har han bare 24 kr i lomma. Hvor mange kroner har Herman mistet i karusellen?

Differensiering Bytt ut 270 kr med 300 kr, og la flere elever prøve seg på denne oppgaven. 1.18 Emil kjøper to is. Den ene isen koster 14 kr. Han betaler 30 kr til sammen. Hvor mye koster den andre isen?

1.19 Heidi og Amina tjener 270 kr til sammen. Heidi tjener dobbelt så mye som Amina. a) Hvor mye tjener Heidi? b) Hvor mye tjener Amina?

Heidi Amina

270 kr

1 TALL

TALL

Dobling og halvering som regnestrategi i multiplikasjon

Doblinger som er nyttig å kunne

En strategi som kan være svært nyttig å kunne, er at svaret blir det samme når den ene faktoren i et multiplikasjonstykke halveres og den andre dobles. Eksempel: 18 · 3 = 54, ved å halvere 18 og doble 3 blir den nye multiplikasjonen 9 · 6 = 54.

മϭϬ н മϭϬ с

Det kan være spesielt viktig å kunne denne strategien når elevene møter multiplikasjoner hvor en av faktorene er for eksempel 0,5 eller 2,5. Ved å doble denne faktoren og halvere den andre kan de operere med bare hele tall.

മϰϬ н മϰϬ с

Eksempel: 4 · 2,5 = 2 · 5 = 10 Ved å la elevene eksperimentere med slike strategier kan de hente den fram og bruke den når de møter multiplikasjoner som kan se vanskelige ut ved første øyekast.

മϳϬ н മϳϬ с

മϮϬ н മϮϬ с മϯϬ н മϯϬ с

മϱϬ н മϱϬ с മϲϬ н മϲϬ с

മϴϬ н മϴϬ с മϵϬ н മϵϬ с ϭϬϬ н ϭϬϬ с

Samtale Illustrasjonen til denne samtalen viser hva som skjer når den ene faktoren i en multiplikasjon dobles og den andre halveres.

Dobling og halvering – multiplikasjon Samtale Hva skjer når vi dobler den ene faktoren og halverer den andre?

Se på illustrasjonen og snakk med elevene. Stemmer det at fire halvlitere og to énlitere er like mye? Hvorfor er det slik? I løsningen er det samme vist med tall. Se på faktorene, hva er det som skjer? Det er fint dersom elevene selv klarer å sette ord på at den ene faktoren er doblet og den andre er halvert. Det er helt greit om de sier det ene tallet og det andre tallet, hvis de ikke husker ordet faktor. Men det er viktig at du som lærer bruker disse begrepene i samtale med elevene, slik at de lærer dem.

4 · 0,5

Løsning 4 · 0,5 = 2 · 1 = 2

Når du dobler den ene faktoren og halverer den andre i multiplikasjon, får du samme produkt.

1.20 Plex har fire fat med tre boller på hvert fat. Hun samler bollene i poser, med seks boller i hver pose. Lag to regnestykker som passer til tegningene.

Oppsummer samtalen med at produktet blir det samme når den ene faktoren dobles og den andre faktoren halveres.

Oppgave 1.20 Bruk gjerne denne oppgaven som en utvidelse av samtalen.

1.21 Regn ut. a) 2 · 100 = 4 · 50 = 8 · 25 = 14

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

b) 15 · 4 = 30 · 2 = 60 · 1 =

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 3 · 16 = 6·8= 12 · 4 =

മϭϱ н മϭϱ с

Ϭ͕ϱ н Ϭ͕ϱ с

മϮϱ н മϮϱ с

ϭ͕ϱ н ϭ͕ϱ с

മϯϱ н മϯϱ с

Ϯ͕ϱ н Ϯ͕ϱ с

മϰϱ н മϰϱ с

ϯ͕ϱ н ϯ͕ϱ с

മϱϱ н മϱϱ с

ϰ͕ϱ н ϰ͕ϱ с

മϲϱ н മϲϱ с

ϱ͕ϱ н ϱ͕ϱ с

മϳϱ н മϳϱ с

ϲ͕ϱ н ϲ͕ϱ с

മϴϱ н മϴϱ с

ϳ͕ϱ н ϳ͕ϱ с

മϵϱ н മϵϱ с

ϴ͕ϱ н ϴ͕ϱ с

ϭϮϱ н ϭϮϱ с

ϵ͕ϱ н ϵ͕ϱ с

Oppgave 1.21–1.23 Øvingsoppgaver der elevene bruker kunnskaper fra samtalen.

1.22 Regn ut. a) 16 · 2 = 32 · 1 = 64 · 0,5 =

b) 9 · 2 = 18 · 1 = 36 · 0,5 =

c) 6 · 2 = 12 · 1 = 24 · 0,5 =

b) 16 · 0,5 = 8·1=

c) 4 · 2,5 = 2·5=

Oppgave 1.24 Elevene skal sortere de fargede multiplikasjonsoppgavene i par, slik at det viser at produktet er det samme når den ene faktoren dobles og den andre halveres.

1.23 Regn ut. a) 28 · 0,5 = 14 · 1 =

1.24 Sorter oppgavene nedenfor slik at de viser lik verdi. 3 · 18

6·9

4·2

8·1

...

6 · 10

25 · 4

7 · 10 9·6

12 · 5

50 · 2 14 · 4

20 · 0,5

3 · 30

150 · 4

7·8

1 · 10 14 · 5

16 · 4 8·8

6 · 15 300 · 2

18 · 3

Utforsk sammen Det er 28 elever i klassen. Alle får en kartong med 0,25 L melk. Hvor mange liter melk får elevene til sammen?

1 TALL T

TALL

Overslagsregning

Eksakt sum er 254,56.

Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag og hvilken regneart vi skal bruke.

Vi kom altså ganske nær ved å runde av annethvert ledd opp og ned.

Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok. I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig. Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Addisjon Det kan være lurt å runde annethvert ledd opp og ned. Eksempel: 12,42 + 17,10 + 7,90 + 3,50 + 213,64 ≈ 13 + 16 + 8 + 3 + 214 = 254

Samtale Før samtalen kan du lese om overslag øverst på siden.

For å gjøre et raskt overslag i hodet kunne vi runde av alle leddene til nærmeste tier ved å bruke avrundingsreglene. 10 + 20 + 10 + 0 + 210 = 250 Dette er også et godt overslag.

Subtraksjon Det kan være lurt å runde av alle ledd opp eller alle ledd ned. Eksempel: 542,75 – 26,23 = For å gjøre utregningen lett i hodet kan vi, i dette eksempelet, runde av til nærmeste femmer. 542,75 – 26,23 ≈ 540 – 25 = 515 eller 545 – 30 = 515. Nøyaktig svar er 516,52.

Overslag Samtale Baye har 200 kr. Gjør overslag og sjekk om han har nok penger til å kjøpe varene nedenfor.

Utfordre elevene til å skrive hvordan de vil gjøre overslag over disse prisene. La elevene gjøre rede for sine overslag og begrunne dem.

89 kr 36 k

Snakk sammen om hensiktsmessige måter å gjøre overslag på.

27 k r

Løsning 40 + 90 + 30 + 30 = 190

Oppgave 1.25 La elevene gjøre denne oppgaven, og snakk sammen etterpå om hvordan de løste den. Den kan også brukes som sammenoppgave, slik at elevene kan diskutere hvordan de vil runde av, og hvorfor.

Baye runder alle prisene oppover for å være sikker på at 200 kr er nok til å betale alle varene.

1.25 Oda, Omer og Silje er i butikken.

18 kr

a) Silje kjøper en kurv med jordbær og en pakke med druer. Omtrent hvor mye betaler hun til sammen? b) Omer kjøper to kurver med jordbær, en pakke med druer og en klase med bananer. Omtrent hvor mye r 14 k betaler han til sammen?

1.26 Gjør overslag. a) 48 + 37 = d) 205 + 67 + 99 = 16

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

b) 95 + 33 = e) 87 – 48 =

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 122 + 33 + 49 = f) 104 – 48 =

Dette overslaget ga et svar som ligger nær nøyaktig utregning.

Overslag 'ũƆƌ ĨƆƌƐƚ ŽǀĞƌƐůĂŐ ĞƩĞƌ ƌĞŐůĞŶĞ͘ ZĞŐŶ ŶƆǇĂŬƟŐ Ƶƚ ŽŐ ƐĞ Žŵ ĚƵ Ğƌ ĨŽƌŶƆǇĚ ŵĞĚ ŽǀĞƌƐůĂŐĞƚ ĚŝƩ͘

Multiplikasjon Det kan være lurt å runde en faktor opp og en ned. Her har vi også rundet av til nærmeste femmer for å gjøre utregningen lett i hodet. Eksempel: 89 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600.

Ϯϵ н ϳϮ н ϲϰ н ϯϳ с

Nøyaktig svar er 1691.

ϭϰϴ н ϭϯ н ϯϴ н ϱϮ с

Divisjon

ϳϳ ʹ ϭϴ с

Det kan være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned til tall som gjør at divisjonen går opp. Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4 = 3 eller 15 : 5 = 3.

Ϯϯϭ ʹ ϰϯ с ϰϴ ͼ ϭϮ с

Nøyaktig utregning gir 3,16279... Begge overslagene ligger nær nøyaktig svar.

ϲϮ ͼ ϱϳ с Hvis dere vil, kan dere repetere alle overslagsreglene og la elevene regne oppgavene til høyre.

ϭϳϲ ͗ ϴ с ϭϭϵ ͗ ϭϳ с

Samtale Snakk sammen om at når vi skal multiplisere med tosifret tall, kan det være lurt å dele opp i to multiplikasjoner og addere svarene. Dette kjenner elevene godt fra multiplikasjon i tomt rutenett. La elevene komme med forslag om hvordan de vil dele opp multiplikasjonen. Se på de to løsningene, og snakk sammen om hvorfor de ulike oppdelingene kan være valgt.

Multiplikasjon ved å dele opp tallene Samtale Hvordan kan dere løse denne oppgaven ved å bruke kjente multiplikasjoner? 12 · 5 = Løsning 1 12 · 5 = 10 · 5 = 50 മϮ ͼ ϱ с ϭϬ = 60

12 10

Løsning 2 12 · 5 = മϲ ͼ ϱ с ϯϬ മϲ ͼ ϱ с ϯϬ = 60

12 6

Oppgave 1.27 I denne oppgaven blir summen av produktene i de to første multiplikasjonene lik produktet i den siste.

1.27 Regn ut. a) 4 · 5 = 10 · 5 = 14 · 5 =

b) 6 · 3 = 10 · 3 = 16 · 3 =

c) 8 · 3 = 6·3= 14 · 3 =

b) 26 · 4 = e) 42 · 7 =

c) 23 · 7 = f) 16 · 8 =

1.28 Regn ut. a) 12 · 8 = d) 15 · 6 =

Oppgave 1.28 Elevene skal selv finne ut hvordan de vil dele opp tallene før utregning.

Utforsk sammen

Sammen Etter at elevene har samarbeidet om denne oppgaven, kan dere høre på løsningene. Skriv de ulike oppdelingene på tavla, og se om det er valgt mange ulike måter å dele opp tallene på.

Del opp tallene på minst to ulike måter og regn ut. Forklar hvordan dere tenker. 14 · 3

51 · 7

48 · 2 22 · 8

1 TALL T

TALL

Vi bruker stor Z som symbol for mengden av de hele tallene. Vi skriver: Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Naturlige tall De naturlige tallene er de positive hele tallene. De kalles også telletallene, siden de er tallene som brukes til opptelling: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Partall og oddetall De hele tallene kan vi dele inn etter egenskaper i to grupper, partall og oddetall.

Verken 0 eller de negative tallene regnes som naturlige tall.

Partall er tall som kan deles på 2. ... –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

Vi bruker stor N som symbol for mengden av de naturlige tallene. Vi skriver: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Alle hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8, er partall. Oddetall er tall som ikke kan deles på 2. ... –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...

Det er uendelig mange naturlige tall. Samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større tall ved å addere 1. Til dette nye tallet kan vi også addere 1, og slik kan vi fortsette i det uendelige.

Alle hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9, er oddetall.

Hele tall Hvis vi i tillegg til de naturlige tallene tar med null og de negative tallene, får vi tallmengden som vi kaller hele tall.

Samtale Elevene bør være godt kjent med partall og oddetall. Primtall er de kanskje ikke like godt kjent med. Egenskapene til primtall er heller ikke like lette å forstå som egenskapene til partall og oddetall. På side 41 i grunnboka er det en Finn ut-oppgave om primtall. Denne er fin å bruke i forbindelse med samtalen om primtall. Forklaringen finner du på side 40–41 her i lærerveiledningen.

Partall, oddetall og primtall Samtale

Hvilke av tallene er partall, oddetall eller primtall?

Løsning Partall er tall som slutter på sifrene 0, 2, 4, 6, 8. Svar: Tallene 4, 8 og 100 er partall.

Bruk også spillet Lag primtall, se over.

Oddetall er tall som slutter på sifrene 1, 3, 5, 7, 9. Svar: Tallene 13, 15 og 21 er oddetall. Primtall er alle hele tall større enn 1 som bare kan deles med seg selv og 1. Svar: Tallet 13 er primtall.

1.29 Plasser tallene i riktig boks. Noen tall skal i flere bokser.

2 21 Partall

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

11 14

5 3

Oddetall

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

6 13 Primtall

Primtall

Alle naturlige tall som bare er delelige med seg selv og 1, kaller vi primtall. De minste primtallene er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Legg merke til at tallet 1 ikke regnes som primtall. Alle naturlige tall som er større enn 1 og ikke er primtall, kaller vi et sammensatt tall. Alle sammensatte tall kan faktoriseres.

Spill: Lag primtall Gjennom dette spillet blir elevene godt kjent med primtallrekka opp til 100. Hvis dere bruker vanlige 1–6-terninger, kan elevene lage alle primtallene opp til 71. Hvis dere bruker 0–9-terninger, kan de lage alle primtallene opp til 97. Spillet egner seg for 2–4 elever. Hver gruppe har tre terninger, og hver spiller har ett brett med primtall. han ikke klarer å lage et ledig primtall, har tapt.

Oppgave 1.30 Denne oppgaven har mange svar.

1.30 Skriv tre oddetall som har summen 27. 1.31 Se etter mønster. Hvilke tall mangler i tallfølgen? a) b) c) d) e) f)

2 16 2 1 1 1

8 46 16

36 8 333 9 2

4 22 1

Oppgave 1.31 Tallfølger. Det er fint om elevene skriver hele tallfølgen, ikke kun tallene som mangler. Da er det lettere å se mønsteret.

76 128 55555 25 8

666666 36

Oppgave 1.32 Elevene skal se på mønsteret i tabellen og finne ut hvilke to tall som mangler. De kan bruke kalkulator for å sjekke om det stemmer.

1.32 Se etter mønster. Skriv svarene som mangler. 1·1 11 · 11 111 · 111 1111 · 1111 11111 · 11111 111111 · 111111

= = = = = =

1 121 1 234 321 123 454 321

Utforsk sammen Hør opp hvor mange ulike svar elevene har funnet.

1.33 Hvilke av tallene nedenfor er primtall?

5 13

10 14

11 25

21 71

Utforsk sammen Skriv to primtall som har differansen 4. Kan dere finne andre løsninger?

1 TALL T

TALL

Siffer og tall Elevene bør lære å ta i bruk begrepet siffer. Titallsystemet har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Når disse står alene, er de også tall. Alle flersifrede tall består av en kombinasjon av disse sifrene. Det er sifrene og deres plassering som utgjør tallet. Når vi snakker om flersifrede tall, bør vi være konsekvente og si: «Sifferet på hundrerplassen er...», og unngå formuleringen «tallet på hundrerplassen er...». Hvis en elev sier: «Tallet på hundrerplassen er...», så gjenta gjerne: «Ja, sifferet på hundrerplassen er...»

Titallsystemet er et plassverdisystem Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk. Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene.

Samtale For å oversikt over hvilke elever som har forståelse for plassverdisystemet kan du ta i bruk lappemetoden, se side XIII. Del ut en lapp til hver elev, be elevene om å skrive navnet sitt på lappen. Vis sifrene som er oppgitt her og be elevene om å skrive det største tallet og det minste tallet som er mulig å lage ved å bruke alle de oppgitte sifrene en gang i hvert av tallene. Samle inn lappene og følg prosedyren for lappemetoden. Du vil nå ha et godt utgangspunkt for en videre samtale om plassverdisystemet.

Titallsystemet har fire karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler en forståelse for: • Plassen et siffer står på, avgjør verdien. • Vi har en gruppering av tiere. • Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.) • Vi kan finne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene. Det har blitt utviklet ulike typer konkretiseringsmateriell som kan være til hjelp for å utvikle forståelsen av plassverdisystemet. Slikt materiell kan brukes både til å illustrere tall og som hjelpemiddel ved løsning av oppgaver. Disse hjelpemidlene vil oftest være lettest å bruke for de elevene som allerede har en idé om plassverdisystemet. For mange elever vil det å arbeide med penger være et godt konkretiseringsmateriell. Å veksle énkroner i tikroner, tikroner i hundrekroner og omvendt er situasjoner som de kjenner fra dagliglivet.

Plassverdisystemet Samtale Du skal bruke alle sifrene ved siden av. Du kan bare bruke sifrene én gang til hver oppgave. Hva er det største tallet du kan lage? Hva er det minste tallet du kan lage?

3 4

7 5

8 9

Hvor mange siffer har tallet 167 973?

Løsning Det største tallet som kan lages med sifrene er 9 875 431. Det minste tallet som kan lages med sifrene er 1 345 789.

Tallet 167 974 har seks siffer.

Oppgave 1.34 og 1.35 Disse to oppgavene kan også brukes som en utvidet del av samtalen.

1.34 Skriv tallene.

Oppgave 1.36 I denne oppgaven vil elevene møte tieroverganger når de skriver tallene i stigende rekkefølge.

1.35 Skriv tallet med ord.

a) Fire tusen, fem hundre og sekstiåtte b) Ti tusen, ni hundre og seks c) To hundre og trettifire tusen, fem hundre og sekstien

a) 4579

b) 34 531

c) 87 349

b) 998 og 1005

c) 9997 og 10 003

1.36 Skriv alle hele tall mellom a) 97 og 104

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hjelpemidler som illustrerer enere, tiere, hundrere, er for eksempel: • base 10-materiale • pinner som er buntet i tiere • hundrerark som kan klippes i tiere og enere • kort med tallnavn for hele hundrere, tiere og enere som kan legges oppå hverandre • centikuber • abakus

måten, er det viktig at dere ikke bare teller med hele tiere eller hundrer. Begynn for eksempel på 12 og tell 12, 32, 52, ...

Å skrive tall på utvidet form Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet sier vi gjerne at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusener, hele hundrere, hele tiere og enere. Eksempel: 6723 = 6000 + 700 + 20 + 3.

Telle forlengs/baklengs med store tall I forståelsen av addisjon og subtraksjon er det viktig å kunne telle forlengs og baklengs. Et viktig ledd i utviklingen av forståelsen for plassverdisystemer er å kunne telle forlengs og baklengs med 10 av gangen, 100 av gangen, 1000 av gangen, osv. Å ha utviklet en slik tellestrategi vil gjøre det lettere for elevene å addere og subtrahere flersifrede tall, gjøre raske overslag og kunne vurdere om svaret på et regnestykke er sannsynlig.

Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi ser man tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av sifre og plassverdier. Eksempel: 6723 = 6 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene. Eksempel: 6723 = 6 · 103 + 7 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100

Tell sammen med elevene med ulike intervaller. Utvid også til å telle med for eksempel 20 av gangen. 200 av gangen, 2000 av gangen, osv. Når dere teller på denne

Samtale Formålet med denne samtalen er å gjøre elevene fortrolig med begrepet utvidet form, og skape forståelse for hva det vil si å skrive et tall på utvidet form. Se artikkelen over.

Samtale Tallet 167 943 består av seks siffer. Hvilken verdi har hvert av sifrene i tallet?

Metode 1

167 943 100 000

60 000

7 000

900

Bakgrunnen for å kunne skrive et flersifret tall på utvidet form er å ha forståelsen for sifferverdiene i det flersifrede tallet.

Metode 2 Tallet skrives på utvidet form. 167 943 = 100 000 + 60 000 + 7000 + 900 + 40 + 3

Oppgave 1.37 og 1. 38 Begge disse oppgavene handler om sifrenes plassering og verdi.

1.37 Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a) 45 973 d) 1 028 453

b) 139 974 e) 7 493 547

c) 63 841 f) 6 598 124

Utforsk sammen Denne oppgaven kan forstås på flere måter. Det står ikke at alle sifrene skal brukes i hvert av tallene. Få fram ulike måter å forstå oppgaven på. Løsningen 87 531 – 13 578 = 73 953 er løsningen som gir størst differanse hvis man bruke alle sifrene i begge tallene. Løsningen 8753 – 1 = 8752 gir den største differansen hvis sifrene bare brukes en gang hver. Drøft ulike forståelser og resultatene i klassen.

1.38 Hvilken verdi har sifferet 7 i hvert av tisse tallene? a) 70 423

b) 179 324

c) 7 941 003

Utforsk sammen Hvordan kan dere sette sammen sifrene til høyre til tall som gjør at dere får en størst mulig differanse når dere subtraherer tallene?

3 1

5 1 TALL T

TALL

Eksempel Rad 1: Første kast er 3. Begge spillere må føre tallet inn i ruten i rad 1.

Spill: Trapp Dette spillet kan spilles i hel klasse. Læreren styrer spillet. Hver elev får utdelt eller tegner et spillebrett. Størrelsen på trappa avgjøres etter hvor store tall elevene skal regne med.

Rad 2: Første kast er 4. Spiller A velger enerplass. Spiller B velger tierplass. Neste slag er 5. Spiller A må bruke tierplass, og spiller B må bruke enerplass.

Spillet bør spilles flere ganger slik at elevene får mulighet til å lage seg strategier for plassering av siffer. 1. Det spilles først om rad 1. Lærer slår terning, og elevene fører resultatet inn i ruten i rad 1. 2. Det spilles så om rad 2. Lærer slår terning, elevene fører resultatet inn i en av rutene i rad 2, de velger selv hvilken. Lærer slår terning igjen, og elevene fører dette resultatet inn i den andre ruten i rad 2. 3. Det er ikke lov til å bruke viskelær, når et siffer er plassert, er det ikke lov til å la det bytte plass. 4. Videre spilles det om én og én rad nedover spillebrettet. 5. Den siste raden brukes til å summere. 6. Den som har høyest sum, har vunnet spillet.

Rad 3: Første kast er 2. Spiller A velger enerplass. Spiller B velger tierplass. Neste kast er 5. Spiller A velger tierplass, og spiller B velger hundrerplass. Siste kast er 4, spiller A må velge hundrerplass, og spiller B må velge enerplass.

ϯ ϱ ϰ ϰ ϱ Ϯ с ϱ Ϭ ϵ

ϯ ϰ ϱ ϱ Ϯ ϰ с ϱ ϳ Ϯ

ZĂĚ ϭ ZĂĚ Ϯ ZĂĚ ϯ ^Ƶŵ

Første gangen dere spiller dette spillet, kan det være lurt å bruke en mindre trapp.

Oppgave 1.39 og 1.40 Elevene må finne ut hvordan tallinjene er delt opp, samt hvilke tall som skal stå der pilene peker.

1.39 Hvilket tall skal stå der pila peker? a) 9800

Oppgave 1.43 Utvid oppgaven Etter at elevene har gjort denne oppgaven, kan de utfordres til å lage det nest største og det nest minste tallet som er mulig når de bruker alle sifrene.

9900

10 100 10 200

10 400

c) 100 101

100 103 100 104 100 105

1.41 Hvilket tall er én mer enn a)

9 999

100 349

999 999

5 000

10 100

1.42 Hvilket tall er én mindre enn a)

1 000

Utvid oppgaven Øverst på side 24 er det en oppgave i tabellform. Denne kan kopieres og deles ut til elevene.

1.43 Bruk sifrene ved siden av.

Differensiering De elevene som trenger ekstra utfordring, kan gjøre oppgavene i tabellen med for eksempel 20, 20 000, 2000 og 200 eller 30, 30 000, 3000, 300 osv.

1.44 Sett inn riktig tegn <, > eller =.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

1.40 Hvilket tall skal stå der pila peker?

Oppgave 1.45 og 1.46 Øvingsoppgave i å finne tallet som er henholdsvis 100 større og 1000 mindre enn det oppgitte tallet.

a) b) c) d)

Lag fem ulike tall med alle sifrene. Skriv tallet med høyest verdi. Skriv tallet med lavest verdi. Regn ut differansen mellom tallene i b) og c).

a) 401 500 104 599 c) 1 000 998 1 100 024

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

4പഩ9ഩ 8 7പഩ5

b) 890 397 1 067 001 d) 11 000 000 9 999 999

Tips til etterarbeid

Når elevene har spilt spillet noen ganger, kan du gi i oppgave at hver spiller får bytte om to siffer som gjør resultatet større. Enkelte elever vil etter hvert begynne å regne på hva som var høyest mulig sum.

La elevene lese opp resultatene sine, det er god trening i å lese store tall. Skriv resultatene på tavla. La elevene sortere resultatene etter størrelse, de får se sitt resultat i forhold til de andres.

ZĂĚ ϭ

ZĂĚ Ϯ

ZĂĚ ϯ

ZĂĚ ϰ

^Ƶŵ

ZĂĚ ϱ ZĂĚ ϲ ZĂĚ ϳ с

Før disse oppgavene kan det være lurt å telle med elevene slik vi anbefaler i teksten øverst på side 21.

1.45 Hvilket tall er 100 større enn a) 10 265

b) 45 879

c) 167 457

d) 19 900

c) 141 718

d) 150 612

^Ƶŵ

1.46 Hvilket tall er 1000 mindre enn a) 4378

b) 65 478

1.47 Skriv tallene på utvidet form. a) 687 341 c) 6 124 438

b) 1 941 324 d) 4 050 397

Oppgave 1.49 Vær oppmerksom dersom noen elever for eksempel skriver 7 i stedet for 700 000 i den første tomme ruten i oppgave a). Sannsynligvis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

32 537 = 30 000 + 20000 + 50000 + 30 +7

1.48 Regn ut. a) 4 000 000 + 800 000 + 30 000 + 9000 + 100 + 80 + 5 = b) 6 000 000 + 500 000 + 40 000 + 3000 + 900 + 70 + 3 = c) 1 000 000 + 80 000 + 9000 + 200 + 1 =

Oppgave 1.50 I denne oppgaven skal elevene regne med årstall. Hvis ikke alle elevene er kjent med datonotasjon, så kan dere snakke sammen om dette.

1.49 Skriv tallene som mangler. Uttrykkene skal stå på utvidet form. a) 4 000 000 + + 50 000 + 7000 + + 20 + 1 = 4 757 57 321 b) = 300 000 + 60 000 + 9000 + 900 + 70 + 7 c) + 900 000 + + 3000 + 900 + 70 = 8 923 976

Utforsk sammen Elevene er godt kjent med slike tallgåter hvis dere også brukte Matematikk 5. Etter at elevene har løst oppgaven, vil det være interessant å høre hvordan de ulike gruppene har kommet fram til svaret

1.50 Eva er født 28.05.2009. Det er på 100-årsdagen til tippoldemoren hennes. Når ble tippoldemoren hennes født?

Utforsk sammen Nina er født før år 2000. Hun er yngre enn 70 år, men eldre enn 45 år. Året hun er født, har et oddetall på enerplassen og et partall på tierplassen. Sifferet på hundrerplassen er summen av sifferet på enerplassen og sifferet på tierplassen. Hvilket år ble Nina født?

1 TALL T

TALL

Skriv tallene

ϭϬ ŵŝŶĚƌĞ

ϭϬϬϬ ŵŝŶĚƌĞ

ϭϬ ϬϬϬϬ ŵĞƌ

ϭϬϬ ŵĞƌ

മϴϰ ϱϯϭ മമϳ Ϯϭϱ മϯϮ ϵϳϮ ϭϱϰ ϵϭϲ മϲϯ ϱϬϰ Ϯϵϲ ϰϳϴ മϯϬ Ϯϯϭ മϵϲ ϵϰϱ മϭϬ ϮϬϲ

Samtale Snakk med elevene om hva avrunding er, og når det er naturlig å bruke avrunding. Se teori øverst på siden. La elevene komme med eksempler på når det er naturlig eller lurt å bruke avrunding.

Avrunding Samtale Ada og Henrik er på handletur. Ada handler for 3743 kr. Henrik handler for 3682 kr. Når Plex spør dem hvor mye de har handlet for, svarer begge to at de har handlet for omtrent 3700 kr. Hvordan kan de ha tenkt?

Tallinjene viser mellom hvilke hele hundrere tallet i oppgaven ligger, snakk også om mellom hvilke hele tusener tallet ligger, og mellom hvilke hele tiere tallet ligger.

Løsning Ada

La elevene repetere avrundingsreglene med sine egne ord.

Løsning Henrik

3743 3500

3800

3900

3682 3500

3600

3700

3800

3900

Svar: Henrik runder av til nærmeste 100, som er 3700.

3682 | 3 700 3682 er nærmere 37700 eennnn 360 6000

1.51 Vegard kjøper varene nedenfor. Rund av til nærmeste hundrer, og regn ut omtrent hva han må betale. etale. 42799 kr 750 k r

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

3700

Svar: Ada runder av til nærmeste 100, som er 3700.

Vær oppmerksom på at det kan være en misoppfatning hos enkelte elever at det å runde av nedover betyr at sifferet på plassen det rundes av til, reduseres med 1. Eksempelvis vil disse elevene tro at når vi runder av 143 til nærmeste tier, så blir det 130. Presiser derfor overfor elevene at når vi runder av nedover, beholder vi sifferet som står på plassen vi runder av til. Når vi runder oppover, forhøyer vi sifferet med 1.

3600

3743 | 3 700 374 43 er nærmere 37700 eennnn 380 8000

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

329 kr

Eksempel: 142 ≈ 140 Er sifferet på enerplassen 5, 6, 7, 8 eller 9, sier vi at vi runder av oppover, tallet får høyere verdi. Det vil si at vi erstatter sifferet på enerplassen med 0 og erstatter sifferet på tierplassen med sifferet som har 1 mer i verdi. Eksempel: 267 ≈ 270

Avrundingsregler Avrunding er en metode vi bruker for å finne et tall som er enkelt å regne med, og som har tilnærmet verdi som det opprinnelige tallet. Forskjellen på det avrundede tallet og det opprinnelige tallet kalles avrundingsfeilen. Avrunding av typen «avrund til nærmeste» er vanlig i skolen.

Når vi runder av til nærmeste hundrer, ser vi på sifferet på tierplassen. Er sifferet 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover. Eksempel: 235 ≈ 200

Når man skal runde av et tall til en plass i plassverdisystemet, bestemmer nærmeste plass til høyre om man runder opp eller ned.

Er sifferet på tierplassen 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover. Eksempel: 2483 ≈ 2500

Avrundingsregel 1: Dersom sifferet til høyre er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes sifferet på plassen slik det er. Avrundingsregel 2: Dersom sifferet til høyre er 5, 6, 7, 8 eller 9, forhøyes sifferet på plassen med 1.

Noen ganger kan vi se at elevene blir i tvil når de for eksempel skal runde av 2499 til nærmeste tusen. Men regelen gjelder også her. Det er sifferet 4 som bestemmer at sifferet på tusenerplassen beholdes, selv om sifferet på hundrerplassen ville blitt 5 om man rundet av til nærmeste hundrer først. 2499 ≈ 2000

Når vi skal runde av til nærmeste tier, ser vi på sifferet på enerplassen. Er sifferet 1, 2, 3 eller 4, sier vi at vi runder av nedover, tallet får lavere verdi. Det vil si at vi erstatter sifferet på enerplassen med 0 og beholder sifferet på tierplassen.

Oppgave 1.51 Denne oppgaven er fin å drøfte med elevene, hvor de kan lære begrepet avrundingsfeil. Se teori øverst på siden. Drøft om avrundingen her er fornuftig.

1.52 Rund av til nærmeste tier. a) 67

b) 234

c) 596

1.53 Rund av til nærmeste tusener, og regn ut. a) 3287 + 4501 = d) 9928 + 3091 =

b) 5670 + 2836 = e) 7445 + 8501 =

c) 1178 + 8071 = f) 12 457 + 7824 =

Oppgave 1.53–1.55 I disse oppgavene er det ikke meningen at elevene skal regne ut det nøyaktige svaret. De skal bare regne med de avrundede tallene.

1.54 Rund av til nærmeste tusener, og regn ut. ĂͿ ϭϵϱϬ о ϭϬϴϳ с ĚͿ ϵϱϮϯ о ϮϮϳϵ с

ďͿ ϰϵϯϰ о Ϯϵϳϲ с ĞͿ ϭϬ Ϯϲϰ о ϯϳϰϳ с

ĐͿ ϮϬϲϳ о ϭϮϰϱ с ĨͿ ϭϰ ϲϯϰ о ϳϬϵϱ с ϭϰ ϲϯϰ ϳϬϵϱ

1.55 Bio har opptelling på verkstedet.

48 8 stk stk. tk

299 stk stk.

311 stk stk. tk

a) Rund av til nærmeste tier, og regn ut omtrent hvor mange skruer k Bio Bi har. h

98 stk stk. tk

125 st stk tk .

268 st stk tk .

b) Rund av til nærmeste hundrer, og regn ut omtrent hvor mange spiker Bio har.

1898 189 8 sstk tk. tk

43200 sstk 432 tk. tk k.

7 0 sstk 775 tk. tk

c) Rund av til nærmeste tusener, og regn ut omtrent hvor mange stifter Bio har. 1 TALL T

TALL

men, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best.

Ulike metoder for addisjon av ﬂersifrede tall Vi har tidligere skrevet litt om ulike metoder for addisjon i forbindelse med hoderegningsstrategier (side 6). Når elevene nå skal addere flersifrede tall, kan det være nødvendig å ta i bruk andre strategier, da det blir mye å holde styr på.

Barns forståelse av flersifrede tall bygger mer på forståelse av mengde enn av kolonneverdi. Dette syns spesielt godt i muntlig matematikk, og det har blitt avslørt i diverse tester (Thompson). For mange elever vil det derfor være lettere å forstå hva som foregår i for eksempel 1010-metoden, der tallene deles i hundrermengder, tiermengder osv. og adderes fra venstre mot høyre, enn i en standardalgoritme hvor tallene stilles opp under hverandre og kolonnene adderes fra venstre mot høyre.

Algoritmer som bygger på hoderegning og sifrenes verdi, som for eksempel N10 og 1010, bygger på forståelsen av plassverdisystemet, men kan bli tungvinte å bruke når tallene får mange sifre. Regnemetodene vi kjenner som standardalgoritmer bygger på de samme prinsippene, men kan være noe vanskeligere å forstå. Disse er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Før i tiden ar dette nødvendig, da det meste av regneoperasjonene fant sted med papir og blyant. Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere ullike algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Hva som passer hver enkelt elev vil også variere. Selv om vi her vektlegger standardalgorit-

Før dere ser på metoder for å regne ut oppgaven i samtalen. Kan dere se på prisene og hvordan det kan være fornuftig å runde av for å se omtrent hva svaret skal bli.

Samtale Tarek kjøper genseren og buksa ved siden av. Hvor mye betaler han?

Det er viktig å lære elevene å vurdere hva svaret kan bli, og om svaret de kommer fram til, er sannsynlig. Ofte regner de i vei uten å tenke på om svaret kan stemme. Denne samtalen og de følgende oppgavene minner elevene på at det fins en enkel måte for å se om svaret kan være riktig. Bruk derfor litt tid på samtale og refleksjon med elevene om dette temaet.

Metode 1 459 + 285 = 400 + 200 = 600 മϱϬ н മϴϬ с ϭϯϬ മമϵ н മമϱ с മϭϰ മമമമമമമ = 744

285 kr

459 kr

Svar: Tarek betaler 744 kr.

Metode 2 1

4 5 9 + 2 8 5 = 7 4 4

Les om ulike metoder for addisjon av flersifrede tall over. De metodene som vi har brukt under streken er Metode 1, 1010 og Metode 2, standardalgoritme. Presiser for elevene at metodene er likeverdige og at de fritt kan velge metoden de syns fungerer best.

Svar: Tarek betaler 744 kr.

1.56 Regn ut. a) 149 + 116 = d) 105 + 248 =

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Vi skal se på ulike metoder for å løse addisjonsoppgaven: 158 + 134 =

Addisjon – oppstilling

Et kjapt overslag her kan være 450 + 300 = 750.

Det kan være lurt at du som lærer skiller mellom situasjoner når elevene skal øve på en bestemt algoritme for å lære denne, og når elevene kan få velge den metoden som de syns fungerer best for seg.

b) 245 + 327 = e) 678 + 433 =

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 654 + 249 = f) 415 + 1507 =

Tom tallinje Elevene velger de sprangene på tallinja som er naturlige for dem ut fra de hoderegningsstrategiene som de behersker. For eksempel fylle opp tier, dobling, telle med hundre osv.

1010 Addere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 358 + 134 = 300 + 100 = 400 50 + 30 = 80 8 + 4 = 12 = 492

Eksempel + 100

358

+ 30

458

488

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere adderes hver for seg med minnetall.

490 492

358 + 134 = 492

N10 Først adderer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 358 + 134 = 358 + 100 = 458 458 + 30 = 488 488 + 4 = 492

1.57 Hamza handler klærne du ser

Når vi, som i dette kapitlet, skal regne med opp til femsifrede og sekssifrede tall, er det de to siste metodene som er naturlige å vektlegge. Den tomme tallinja kan fremdeles være god å bruke for en del elever.

Oppgave 1.56–1.59 Minn elevene på at det kan være lurt først å gjøre et overslag, og at de vurdere om svaret de får ved utregning er sannsynlig.

1537 kr

til høyre. Hvor mye handler han for?

2849 kr

Oppgave 1.60 Mange elever vil oppleve slike oppgaver som veldig krevende. Spesielt der det er minnetall.

1.58 Regn ut. a) 7891 + 6477 = d) 4060 + 12 865 =

b) 11 274 + 8963 = e) 94 754 + 71 832 =

c) 72 946 + 8735 = f) 45 978 + 58 341 =

1.59 Familien Olsen er ute og jogger. De lager en oversikt over hvor langt hvert familiemedlem løper denne dagen. a) Hvor langt løper mamma og pappa til sammen? b) Hvor langt løper barna til sammen?

Mamma

5644 m

Pappa

3879 m

DĂƌƟŶ

2516 m

Line

4897 m

Differensiering Oppgave a) og c) har ikke minnetall. Lag flere slike oppgaver uten minnetall for de elevene som strever.

1.60 Hvilke sifre mangler? a)

1 2 + 2 5 = 3 5 6

3 4 7 + 2 6 8 = 0 6 5

3 4 + 3 8 = 7 5 2

6 2 + 1 3 = 5 5

2 8

4 5 7 + 3 7 7 = 6 1 2 5

+ = 1

9 3 8 1 4 0

1 TALL T

TALL

det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev. Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best.

Ulike metoder for subtraksjon av ﬂersifrede tall Det er viktig at elevene får forståelsen av at subtraksjon er motsatt regneart av addisjon. (Addisjon og subtraksjon er inverse regnearter). Addisjonen 5 + 9 = 14 gir følgende subtraksjoner: 14 – 9 = 5 og 14 – 5 = 9. Disse sammenhengene bør presiseres ofte. De har også overføringsverdi til algebra og annen logisk tenking. Mange elever fortsetter å bruke addisjon i sin tenkemåte selv om det er subtraksjon det handler om. Disse elevene vil sannsynligvis få problemer med å forstå hva som foregår når vi regner med standardalgoritmen for subtraksjon, hvor vi stiller tallene opp under hverandre og subtraherer kolonnevis fra høyre mot venstre. Regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden, da det meste av regneoperasjonene foregikk med papir og blyant.

Vi skal se på ulike metoder for å løse subtraksjonsoppgaven: 450 – 302 =

Tom tallinje Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningsstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler. Eksempel Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. +8

Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge

302

Samtale Før dere ser på metoder for å regne ut oppgaven i samtalen kan dere se på tallene og hvordan det kan være fornuftig å runde av for å se omtrent hva svaret skal bli.

350

450

Samtale Rut har 2000 kr. Hun kjøper solbriller til 449 kr. Hvor mange kroner har hun igjen?

44 9

Metode 1

ϮϬϬϬ о ϰϰϵ с ϮϬϬϬ о ϰϬϬ о ϰϬ о ϵ с ϭϲϬϬ о ϰϬ о ϵ с ϭϱϲϬ о ϵ с 1551

Det er viktig å lære elevene å vurdere hva svaret kan bli, og om svaret de kommer fram til er sannsynlig. Ofte regner de i vei uten å tenke på om svaret kan stemme. Denne samtalen og de følgende oppgavene minner elevene på at det fins en enkel måte for å se om svaret kan være riktig. Bruk derfor litt tid på samtale og refleksjon med elevene om dette temaet.

449 400

Svar: Rut har igjen 1551 kr. Metode 2 10

2 0 0 0 – 4 4 9 = 1 5 5 1 Svar: Rut har igjen 1551 kr.

Les om ulike metoder for subtraksjon av flersifrede tall over. De metodene som vi har brukt under streken er Metode 1, N10 og Metode 2, standardalgoritme. Presiser for elevene at metodene er likeverdige og at de fritt kan velge den metoden de syns fungerer best.

1.61 Regn ut. a) ϯϰϱ о ϭϭϲ с

b) Ϯϱϭ о ϭϮϲ с

c) ϳϭϵ о ϰϮϲ с

b) ϵϴϳϭ о ϴϲϯϵ с

c) ϭϳ ϭϰϮ о ϭϮ ϳϱϳ с

1.62 Regn ut. a) ϰϱϲϳ о ϯϴϴϯ с

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

310

+ 100

Subtraksjon – oppstilling

Et kjapt overslag her kan være 2000 – 450 = 1550

+ 40

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. –8

302

– 40

310

1010 Subtrahere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 450 – 302; 400 – 300 = 100; 50 – 0 = 50; 0 – 2 = -2; 100 + 50 – 2 = 148 Som vi ser, blir det her negativt fortegn foran enerne. I slike tilfeller har elevene på dette stadiet lett for å snu subtraksjonen og få 2.

– 100

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt. – 50

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere subtraheres hver for seg.

– 100

N10 Først subtraherer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. I dette eksemplet er det ingen tiere å subtrahere.

Det har vært vanlig å si at vi låner for eksempel en tier. Dette er et diffust begrep for elevene. Det er bedre å si at vi tar en tier og veksler i enere. Dette er kjent for elevene både fra jobbing med konkreter og med veksling av penger. Du kan lese mer om subtraksjon og veksling på side 34. 450 – 302 =

Eksempel: 450 – 302 = 450 – 300 = 150 150 – 2 = 148

450 – 302 = 148

300

302

350

450

Oppgave 1.61 og 1.62 Minn elevene på at det kan være lurt først å gjøre et overslag, og at de vurdere om svaret de får ved utregning er sannsynlig.

1.63 Gjør overslag, og plasser regnestykkene i riktig boks. 1 000–9 000

20 000–25 000

10 000–15 000

ĂͿ ϭϱ ϯϰϵ о ϲϴϳϯ с ďͿ ϱϯ ϴϲϵ ʹ ϯϬ ϱϲϳ с ĐͿ ϯϮ ϲϳϵ ʹ Ϯϳ ϴϴϴ с ĚͿ ϭϴ ϲϴϳ о ϱϲϳϯ с ĞͿ ϭϵ ϰϴϯ ʹ ϭϮ ϴϳϴ с ĨͿ ϭϬϮ ϰϳϭ ʹ ϳϵ ϴϳϯ с g) Regn ut oppgavene ovenfor nøyaktig, og se om de er i riktig boks.

Oppgave 1.63 I oppgave a) – f) skal elevene bare gjøre overslag og sortere overslaget i eskene. I g) skal de regne ut og se om overslagene er fornuftige.

1.64 I butikken El-eksperten selger de elektriske artikler. 14 98 7 kr

76657 65 krr

11 38 2

46 87

Oppgave 1.64 I oppgave c) møter elevene en sammensatt problemstilling, de må utføre både addisjon og subtraksjon for å komme fram til det oppgaven spør etter.

a) Stian kjøper mobiltelefon og betaler kontant med ed 5000 kr. Hvor mye får han tilbake? b) Marie og Karoline kjøper et nettbrett sammen. Marie betaler 4279 kr. Hvor mye betaler Karoline? c) Familien Hussain kjøper TV og PC. De får 2376 kr i avslag. Hvor mye må de betale?

Utforsk sammen La elevene komme med sine løsningsforslag og forklare hvordan de tenkte.

Utforsk sammen Hvilke sifre mangler? ĂͿ – =

1 0 3 2 9 2 5

ďͿ – =

1 4 3 8 7 6 4 8 5

ĐͿഩ

2 1 0 – 5 8 6 = 1 7 0 9

1 TALL T

TALL

Subtraksjon med veksling over null Når vi bruker det som vi kaller standardalgoritmen i subtraksjon, stilles tallene opp under hverandre kolonnevis etter plassverdi, enere under enere, tiere under tiere osv. Elevene subtraherer tallene kolonnevis og reflekterer ikke alltid over hva som foregår. Så lenge det øverste sifferet i kolonnen er større enn det nederste, går det greit for de fleste. Problemet oppstår når det øverste sifferet er mindre enn det nederste. Noen elever «løser problemet» med å snu regneretningen og subtraherer konsekvent det minste sifferet fra det største, en strategi som viser at eleven ikke forstår algoritmen.

For å kunne utføre kolonnevis subtraksjon når det øverste sifferet i kolonnene er mindre enn det nederste, må eleven ha full forståelse for plassverdisystemet og være innforstått med veksling eller omgruppering. Tallets verdi forandrer seg ikke om vi for eksempel veksler en tier i ti enere og flytter disse til enerkolonnen. Streken over femtallet i eksempel 1 forteller oss at vi har flyttet en tier fra tierkolonnen, det er fire igjen, denne tieren er vekslet til ti enere og flyttet til enerkolonnen. Vi har foretatt en veksling eller omgruppering. Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 4 tiere og 10 enere, 400 + 40 + 10 = 450. Tallets verdi har ikke endret seg. Det neste problemet oppstår når sifferet i kolonnen hvor det skal veksles, er 0, se eksempel 2. Hvis sifferet for eksempel i tierkolonnen er 0, er det ingen tier som kan veksles. Da må vi gå til neste kolonne, hundrerkolonnen, veksle en hundrer til 10 tiere og flytte den til tierkolonnen. Nå er det 10 tiere i tierkolonnen, og vi kan veksle en av tierne i ti enere og flytte den til

Samtale Denne samtalen skal minne elevene om hva de bør tenke på når de skal løse en tekstoppgave. Vi har skrevet mer om dette øverst på neste oppslag.

Tekstoppgaver Samtale Marianne bruker skritteller. Hun går 9785 skritt mandag og 11 043 skritt tirsdag. Hvor mange skritt går Marianne i løpet av de to dagene? Hvilke opplysninger får vi i teksten? Hva skal vi finne ut?

Følg disse stegene sammen med elevene: 1. La elevene forklare med egne ord hva oppgaven går ut på. 2. Lag tegning eller modell. 3. Velg regneart, og gjør overslag. 4. Regn ut. 5. Sjekk svaret mot overslaget. 6. Skriv svarsetning. Svarer setningen på det oppgaven spør om?

1.65 Alina kjøper sykkelhansker og sykkelhjelm. a) Hvor mye må hun betale? b) Alina betaler med 1500 kr. Hvor mye får hun tilbake? c) Alina sparer til ny sykkel. Den koster 4879 kr. Hun har spart 2341 kr. Hvor mye mangler hun?

Oppgave 1.65 og 1.66 I disse tekstoppgavene møter elevene ulike problemstillinger. Oppfordre elevene til å følge stegene over når de løser oppgavene.

1.66 Fermat skole kjøper nye bøker til matematikk og engelsk for 6. trinn. Ved siden av ser du fakturaen.

9 44

728 kr

Faktura Bo

k og brett AS

Fermat skole 1198 Granhe ia

a) Hvor mye betaler de for alle 24 stk. Engli matematikkbøkene til sammen? sh Now 6 Te xtbook 24 stk. Engli sh Now 6 Wo b) Hvor mye betaler de for alle rkbook 24 stk. Matem ati 24 stk. Matem kk 6 Grunnbok engelskbøkene til sammen? atikk 6 Oppg avebok c) Hvor mye betaler de for alle bøkene til sammen? d) Skolen har bestemt at 6. trinn skal få kjøpe bøker for 25 000 kr. Hvor mye mer kan de handle for? 30

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

7584 kr 3168 kr 4872 kr 4032 kr

enerkolonnen. Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 9 tiere og 12 enere, 400 + 90 + 12 = 502. Tallets verdi har ikke endret seg. Eksempel 1:

Eksempel 2

450 – 302 =

502 – 274 =

10 10

450 – 302 = 148

502 – 274 = 228

Oppgave 1.67 I denne oppgaven kan elevene også ta i bruk regnearten multiplikasjon. Legge merke til om elevene velger dette, eller om de bruker gjentatt addisjon.

1.67 På skiltet ser du ulike trimrunder.

I e) og f) møter elevene omgjøring mellom måleenhetene meter, kilometer og mil. a) Bjørg løper Kjærlighetsrunden to ganger. Hvor langt løper hun? b) Alina løper Lillestuerunden én gang, Bekkerunden to ganger og Kjærlighetsrunden én gang i løpet av én uke. Hvor langt løper hun denne uka? c) Alina har som mål å løpe 10 000 m hver uke. Har hun klart målet denne uka? d) Erik løper alle rundene én gang hver i løpet av Husk! k én uke. Hvor langt løper han? 1 mili = 10 km e) Målet til Erik er å løpe 2 mil i løpet av én uke. 1000 m = 1 km k Hvor mange kilometer mangler han f)

Utforsk sammen Denne oppgaven har mange svar, samle opp alle svarene i som gruppene har kommet fram til og se om dere kan systematisere dem.

denne uka? Du har som mål å løpe omtrent 1,5 mil. Hvilke runder vil du velge?

Utforsk sammen Maxi kaster tre terninger og får 9 til sammen. Hva kan terningene ha vist?

1 TALL T

TALL

Til punkt 2. Mange elever ser hvordan oppgaven skal løses, når de prøver å tegne eller lage modell av problemstillingen. Dette er en svært nyttig strategi da den bringer problemstillingen over i det halvkonkrete eller halvabstrakte nivået. De elevene som ikke klarer å omsette problemstillingen til tegning eller modell, kan få prøve med konkreter dersom oppgaven egner seg til det.

Strategier for å løse tekstoppgaver Mange elever sliter med å løse tekstoppgaver. Selv om oppgavene kan løses med enkle regneoperasjoner, ser det ut til at mange elever mangler strategier for hvordan de skal angripe en tekstoppgave. Mange har også problemer med å analysere selve teksten og forstå hva den egentlig spør etter. Det kan være lurt å øve på dette sammen med elevene. 1. Be elevene lese oppgaven nøye og gjenta med egne ord hva oppgaven går ut på. 2. Lag en tegning eller en modell av hva oppgaven går ut på. 3. Spør elevene hva omtrent de tror svaret blir (overslag). 4. Regn ut. 5. Sjekk om svaret blir omtrent det du trodde. 6. Skriv svarsetning.

Til punkt 3. Etter å ha lagd tegning eller modell skal det være mulig for elevene å gjøre et overslag som fører til omtrentlig forventet svar på oppgaven. Dette er en viktig del av prosessen som ofte blir hoppet over. Den hjelper også elevene til å tenke på nytt hvis de velger feil regneart eller har gjort feil i utregningen og får et svar som er langt fra det de trodde det skulle bli. Dette er spesielt nyttig når de får vanskeligere oppgaver, som for eksempel multiplikasjon med desimaltall. Et overslag vil hjelpe elevene til å se hvor komma skal plasseres.

Til punkt 1. Når elevene blir bedt om å gjenta hva oppgaven går ut på, med egne ord, blir de nødt til å tenke over hva teksten egentlig handler om. Klarer de dette, er det ikke avkodingen av teksten de strever med.

Samtale Snakk sammen om oppgaveteksten. Den kan være vanskelig å forstå for en del elever. Tegn opp boksene, og bli enige om hva som skal stå, og hvor opplysningene fins i oppgaveteksten. Finn ut i fellesskap hvor mange kroner hun fikk til bursdagen sin.

Til punkt 4. Nå kan elevene foreta utregningen. Til punkt 5. Dersom svaret ikke er i nærheten av overslaget, må elevene gå tilbake og se hvorfor det er slik.

Tekstoppgaver med modell Samtale A Ada sparer til sykkel. På bursdagen sin får hun 650 kr av familien. Av vennene sine får hun 230 kr mer enn av familien. Hvor mange kroner får Ada til sammen på bursdagen sin? B Henrik fikk 1420 kr til bursdagen sin. Han fikk 650 kr av familien. Resten fikk han av venner. Hvor mange kroner fikk Henrik av venner?

Oppgave 1.68 og 1.67 Alle disse oppgavene har samme type problemstilling som i oppgave A i samtalen. Modellene til disse oppgaven er delvis utfylt. Resten skal elevene gjøre selv for å lære seg å bruke modeller. Til oppgave 1.70 lager elevene modellen selv.

Løsning A

Av familien

650

Av familien og venner

650

230

Svar: Ada fikk 1530 kr til bursdagen sin. Løsning B

1420

Henrik fikk i alt Av familien

650

Svar: Henrik fikk 770 kr av venner.

1.68 Julie kjøper en bok og et pennal. Boka er 150 kr dyrere enn pennalet. Pennalet koster 230 kr. Hvor mye betaler hun til sammen? Pennalet Boka

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

230 150

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eller elevene tegner en modell.

Stemmer overslaget? Stemmer regnearten i utregningen overens med den elevene benyttet seg av i overslaget? Er utregningen korrekt utført?

ϭϴ ?

Til punkt 6. Elevene skal skrive en svarsetning med egne ord. Setningen skal gi svar på hva det spørres etter i oppgaven, og den skal inneholde benevning.

3. Dersom elevene ikke allerede har kommet fram til svaret, kan de for eksempel si at det blir mer enn 5 og mindre enn 10. 4. Regnestykke: 18 : 3 = 6, eller elevene bruker tallinje:

Vi gir et eksempel på en divisjonsoppgave da det ofte er divisjon elevene strever mest med å forstå. Strategien blir den samme. Poenget er at elevene skal finne ut av problemet og velge riktig regneart.

–3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 1314 15 161718

Liv, Tor og Asma skal dele 18 plommer likt. Hvor mange plommer får de hver? 1. Elevene sier for eksempel: Jeg skal finne ut hvor mange plommer hvert av barna får. 2. Elevene tegner de tre barna og de 18 plommene eller symboler for dette.

Elevene tegner en tallinje fra 0 til 18 og hopper med minus tre fra 18 til 0 eller med pluss tre fra 0 til 18. Det blir seks hopp.

Oppgave 1.71–1.73 I disse oppgavene møter elevene en helt annen problemstilling. Det kan være lurt å samtale med elevene om oppgavene og modellene. Dette er krevende problemstillinger som det ikke kan forventes at alle elevene klarer, selv med modell. Men de flinkeste elevene kan hjelpes av modellen.

1.69 Hanne kjøper klær for 1026 kr. Erik kjøper klær for 236 kr mer enn Hanne. Hvor mye handler de for til sammen? Tegn resten av modellen, og regn ut. Hanne

1026

1.70 Karoline får 275 kr av bestefar. Hun får 35 kr mer av moren sin. Hvor mye får hun til sammen? Tegn modell, og regn ut.

1.71 Jesper og Karim har til sammen lest 487 sider på én uke. Jesper har lest 209 sider. Hvor mange flere sider har Karim lest enn Jesper? Karim Jesper

209

Differensisering La elevene som ikke forstår disse oppgavene få løse oppgavene over streken på neste oppslag og hjelpe seg med modellene.

487 sider ?

1.72 Lasse og Live spiller. Til sammen har de 8262 poeng. Lasse har 4709 poeng. Hvor mange flere poeng har Lasse enn Live? Lasse Live

4709

8262 poeng ?

1.73 Nathan fisker en torsk og en sei på til sammen 4205 g. Seien veier 1875 g. Hvor mye mer veier torsken enn seien? Tegn modell, og regn ut.

1 TALL T

TALL

Eller de bruker fordeling, for eksempel tre ringer for de tre barna og fordeler plommene som kryss, én og én til alle er fordelt. 叩叩叩叩叩叩

叩叩叩叩叩叩

Bar models/modeller Bar models eller modeller, er et visualiseringsverktøy som opprinnelig ble utviklet som et hjelpemiddel for elever som har problemer med å forstå tekstoppgaver. Blokkene eller boksene hjelper elevene med å visualisere problemstillingen. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

5. Svaret er sannsynlig. 6. Svarsetning: Det blir 6 plommer til hver.

Når vi bruker bar models i grunnbøkene, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres.

Strategiskjema for løsning av tekstoppgaver, se Kopieringsoriginal side 32–33.

I grunnboka bruker vi konsekvent at like store bokser i samme oppgave representerer samme verdi. Størrelsen på boksene indikerer derimot ikke nødvendigvis riktig forhold mellom verdiene. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på boksene. Det kan hindre dem i å tegne modellene. Se artikkel side XII.

Samtale I Matematikk 5–7 har vi undervisningsopplegg og oppgaver med regneark i de fleste kapitler gjennom alle tre trinnene. Elevene kan ha ulik erfaring med regneark. Selv om dere arbeidet med regneark på 5. trinn kan det være lurt å repetere hva vi mener med celle, cellenavn, merket celle, innholdet i merket celle og verktøylinje. Dersom elevene har dette på plass, er det lettere å kommunisere med dem om de spørsmålene de har når de arbeider med regneark. Når dere har klassesamtale om regneark må du ha pc-en koblet til storskjerm, slik at alle ser det dere snakker om.

Regneark – summere Samtale Nedenfor ser du utsnitt av et regneark.

Genser 654 kr Bukse 475 kr Sokker 75 kr Belte 164 kr

Hva er celle, rad og kolonne? Hvilket tall står i celle B5? Hvilken funksjon har denne knappen?

1.74 Nedenfor ser du varer du kan handle i bruktbutikken Chill Tex. 777 kr

Valutaformatering av celler For å få inn benevningen kr i regnearket slik at prisene framkommer med to desimaler, kan du gjøre som følger:

349 kr 678 kr

587 kr

349

r 5k 36

a) Tom kjøper genseren, T-skjorta og capsen. Skriv Sk varene og prisene inn i regneark, og finn ut hvor mye han handler for. b) Lise handler alle varene på bildet. Skriv varene og prisene inn i et regneark, og finn ut hvor mye hun handler for. c) Du kan handle for 1000 kr. Bruk et regneark til å finne ut hva du kan handle.

Merk cellene du ønsker å formatere til valuta(kr), og trykk på knappen for Regn-

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Øv mer

Ϳ >ŝŶĂ ƐǇŬůĞƌ ϭϮ Ŭŵ͕ ůĞǆ ƐǇŬůĞƌ ϱ Ŭŵ ŵĞƌ ĞŶŶ >ŝŶĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ Ŭŵ ƐǇŬůĞƌ ĚĞ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍ dĞŐŶ ŵŽĚĞůů͕ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘

Ϳ ,ĂŵǌĂ ůĞƐĞƌ Ϯϭϲ ƐŝĚĞƌ ŝ ĞŶ ďŽŬ͘ ŵŵĂ ůĞƐĞƌ ϰϱ ƐŝĚĞƌ ŵĞƌ ĞŶŶ ,ĂŵǌĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƐŝĚĞƌ ůĞƐĞƌ ĚĞ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍

>ŝŶĂ

,ĂŵǌĂ

ϭϮ

Ϯϭϲ ?

? ůĞǆ

ŵŵĂ

ϰϱ

skapsnummerformat. Denne knappen gir deg mulighet til å velge ulike valutaer. Her velger vi «kr Norsk».

Formler i regneark Samtale Elevene i klasse 6A skal ha fest. Marie lager et budsjett i et regneark for å se hva hun kan handle. I celle D4 skriver hun formelen = B4*C4. Formelen multipliserer antallet i celle B4 med prisen i celle C4. For å få den samme formelen for de andre varene, klikker hun i det nederste høyre hjørnet i celle D4 og trekker ned til og med celle D7.

Da endrer regnearket seg slik at det blir to desimaler i prisene og kr i benevning. • Hva viser tallet i D4? • Marie ønsker å summere alle utgiftene i celle D8. Hvordan kan hun gjøre det? • Hvilken formel kan hun skrive i celle D9 for å vise differansen mellom inntektene og utgiftene? • Hvorfor tror du Marie ønsker å ha en celle som viser denne differansen? • Hva bør Marie gjøre hvis hun får et negativt tall i celle D9?

1.75 Bruk regnearket til samtalen ovenfor. Regn ut hvor mye klasse 6A kan handle av de ulike varene, når de skal holde seg til budsjettet.

1 TALL T

TALL

Loppemarked

Temaopgaver Loppemarked Mot slutten av hvert kapittel har vi en samling oppgaver i kontekst. Formålet med dette oppslaget er at elevene skal få prøve seg på litt ulike oppgavetyper som ikke nødvendigvis er knyttet til det kapitlet handler om. Dette gir mulighet for aktivring og bruk av innlærte kunnskaper i ulike tenkte, praktiske situasjoner. Noen av oppgavene har sammensatt problemstilling, der elevene må bruke flere regneoperasjoner for å komme fram til svaret.

Det er loppemarked i Fermat, og vennene våre er på utkikk etter noen godbiter.

1.76 Plex kjøper tre tekopper. De koster 11 kr, 7 kr og 9 kr. Hvor mye må hun betale til sammen for tekoppene?

1.77 Bio ser etter brukte tannhjul. Han finner 12 tannhjul til 1,50 kr per stykk. Hvor mye må han betale?

1.78 Maxi har med seg 240 kr på loppemarkedet. Ada har med seg 75 kr mer enn Maxi. Hvor mye kan de handle for til sammen?

1.79 Henrik vil kjøpe en trompet. Den koster 485 kr, men Henrik pruter og får 90 kr i avslag. Han betaler med en 500-kroneseddel. Hvor mange kroner får han tilbake?

1.80 Henrik setter seg ned og tar en pause. I pausen morer han seg med å lage regnestykker. Lag et addisjonstykke og et subtraksjonsstykke til hvert av svarene. a) 13 b) 165 c) 412 36

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.81 Ada kjøper julegaver. Hun kjøper en grammofonplate til 59 kr og en tekanne til 122 kr. Hun gjør et overslag over hva hun må betale. Hvilket overslag bør hun velge? പϭϲϬ Ŭƌ

പϭϳϬ Ŭƌ

പϭϴϬ Ŭƌ

പϭϵϬ Ŭƌ

1.82 Maxi vil kaste baller på boks. Hun kan kaste tre baller. Hvis hun treffer bare primtall, får hun en premie.

a) Hvilke bokser bør hun prøve å treffe? Henrik kaster også tre baller. Han får poengsummen 65. b) Hvilke tre bokser kan han ha truffet?

1.83 Henrik samler på frimerker. På loppemarkedet kjøper han fire frimerker som har lik pris. Han betaler 30 kr. Hvor mye koster hvert frimerke?

1.84 Henrik og Ada skal ta kabelbanen tilbake fra loppemarkedet. De må rekke banen som går kl. 18.12. De bruker 20 minutter på å gå til holdeplassen. Når må de senest gå fra loppemarkedet?

1.85 Plex skal selge kjøttkaker på loppemarkedet. Hun har programmert Leo og Bio til å steke kjøttkaker. Leo steker 63 kjøttkaker og Bio steker 17 færre enn Leo. Plex skal selge kjøttkakene og teller opp hvor mange det er. Hun teller 104 kjøttkaker. Radius sitter ved siden av bordet og slikker seg om munnen. Hvor mange kjøttkaker har Radius spist?

1 TALL

36–37 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 36 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Sant eller usant

Sant eller usant Elevene skal ta stilling til hvilke utsagn som er sanne og hvilke som er usanne. Snakk sammen om utsagnene og la elevene begrunne og argumentere for hvorfor utsagnene er sanne eller usanne.

Begrunn svarene

• • • • • • • •

Det dobbelte av 75 er 150. Halvparten av 52 er 36. Primtall er hele tall større enn 1 som kun kan deles med seg selv og 1. Alle oddetall er primtall. Alle partall kan deles på 2. 72 341 er et femsifret tall. 222 er et tosifret tall. Tiervennen til 10 er 20.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på eksemplene i oppsummeringen og samtal om hva dere har lært.

Oppsummering Tiervenner

8 + 2 = 10 18 + 2 = 20 19 + 2 = 18 + 2 + 1 = 21 Det vi vet om tiervenner, kan vi bruke på andre tall. Regne via hel tier

Eksempel: 40 + 19 + 20 40

ϰϬ о ϭϵ –1 59

– 20

sŝ ƚĞŶŬĞƌ ϰϬ н ϮϬ о ϭ с ϱϵ

sŝ ƚĞŶŬĞƌ ϰϬ о ϮϬ н ϭ с Ϯϭ

Dobling og halvering

Nær dobling

Nær halvering

75 + 75 = 150

ϱϬ о Ϯϱ с Ϯϱ

75 + 76 = 75 + 75 + 1 = 151

ϱϬ о Ϯϲ с ϱϬ о Ϯϱ о ϭ с Ϯϰ

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

8 · 2 = 16 16 · 1 = 16

Dersom vi dobler den ene faktoren og halverer den andre, blir produktet det samme.

Partall, oddetall og primtall

Partall er tall som slutter på sifrene 0, 2, 4, 6, 8. Oddetall er tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9. Primtall er hele tall større enn 1 som kun kan deles med seg selv og 1. Avrunding

Vi runder av nedover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 0, 1, 2, 3 eller 4. Vi runder av oppover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 5, 6, 7, 8 eller 9. Eksempel: 4784 у ϰϳϴϬ ŽŐ ϰϳϴ5 у ϰϳϵϬ

Plassverdisystemet

4 2 3 5 6 7

I titallsystemet er det ti sifre. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, og 0 Sifrene får verdi etter plassen de står på. 423 567 er et sekssifret tall hvor sifferet 2 står på titusen plassen.

enere ƟĞƌĞ hundrere tusenere ƟƚƵƐĞŶĞƌĞ hundretusenere

Oppstilt addisjon og subtraksjon 1

3 6 7 9 + 8 7 5 3 = 1 2 4 3 2

8 4 2 5 – 4 8 4 7 = 3 5 7 8

1 TALL

TALL TALL

38–39 37

Oppsummerende oppgave

Oppsummerende oppgave Helt til slutt i hvert kapittel er det en oppsummerende oppgave. Denne oppgaven kan brukes som en repetisjon på det de har arbeidet med i kapitlet, eller den kan brukes som en sjekk på måloppnåelse for kapitlet.

ILL: hestespillet fra tivoliet eller lage nytt, sett av plass

Finn ut La elevene sitte i læringspar eller små grupper. Kopier og del ut et hundrekart til hver gruppe, (kopieringsoriginal side 41). Klargjør først at 1 ikke er et primtall, og sett et kryss over 1 på hundrekartet. Snakk sammen om at alle partall er delelige både med 1 og 2, det eneste partallet som kun er delelig med 1 og seg selv, er derfor tallet 2. Elevene kan krysse over alle de andre partallene på brettet. Nå gjelder det å finne ut hvilke oddetall som er primtall. Begynn med de ensifrede tallene. Fins noen av disse i en annen multiplikasjonstabell enn sin egen? I så fall er de ikke et primtall og må krysses over. Elevene vil finne ut at tallene 3, 5 og 7 bare fins i sin egen tabell. Tallet 9 fins også i tregangen, altså er 9 delelig både med seg selv, 1 og med 3 og er ikke et primtall og må krysses ut. La elevene arbeide seg gjennom oddetallene på hundrekartet og krysse ut alle tallene som de vet fins i den lille multiplikasjonstabellen. Til slutt sitter de igjen med bare primtallene under hundre på sitt hundrekart.

Ada er på tivoli og spiller på hest. Når ballen treffer hullet, vil hesten flytte seg dobbelt så mange skritt som tallet ved siden av hullet viser. a) Ada treffer med tre kast. Hun treffer 2, 6 og 10. Hvor mange skritt flytter hesten seg til sammen? b) Ada ligger 20 skritt bak den ledende hesten. Hun har to kast igjen. Hvilke hull må hun treffe for å komme likt som den ledende hesten? c) Ada vil spille mer. Hun legger pengene sine på en disk og teller. Hvor mange kroner har hun igjen?

d) Henrik er også på tivoli. Han hadde 350 kr da han kom til tivoliet. Han har brukt 189 kr. Hvor mange kroner har han igjen? e) En billett med ett spill koster 49 kr. En billett med tre spill koster 120 kr. Hvor mye sparer Ada på å kjøpe en billett med tre spill, framfor å kjøpe tre enkeltbilletter?

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Finn ut Finn alle primtallene som er mindre enn 100. Bruk rutenettet. 1

100

1 TALL T

40–41 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 38 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Først til hundre og tilbake til null

Spill Først til hundre og tilbake til null Dette spillet øver addisjon og subtraksjon av små tall og tieroverganger.

Utstyr

Terning, blyant og papir. Antall spillere

2–4

Spillet har et spenningsmoment fordi elevene må sjanse på hvor mange ganger de tør å kaste før terningen viser 1.

Hva spillet går ut på

Spillet kan spilles i tre varianter. Enten fra 0 til 100 og tilbake til 0, bare fra 0 til 100 eller bare fra 100 til 0. Fra 0 til 100. Spiller 1 slår terningen så mange ganger han eller hun ønsker. Resultatene adderes fortløpende, men hvis spilleren slår en ener, mister spilleren poengene fra denne runden og det er neste spillers tur.

Stige med 8 trinn Dette spillet trener plassverdisystemet, samt hvordan tosifrede tall er plassert i forhold til hverandre. Spillet er strategisk og kan spilles flere ganger.

Hvis spilleren stopper før han eller hun slår en ener, noterer spilleren poengene fra denne runden, og begynner neste runde med å addere fra denne summen og oppover. Vinner

Den som først kommer til 100, har vunnet spillet. (Spilleren vinner og får 100 selv om siste kast fører til at summen blir større enn hundre.)

I dette spillet får elevene trening i plassverdisystemet. De får også øvelse i å lese store tall. Tallet vokser med en plassverdi for hvert kast.

Variant

Fra 100 til 0. Det spilles etter samme regler som ovenfor, men spilleren starter med 100 poeng og subtraherer ned til 0. Spillerne avgjør før spillet begynner om de spiller fra 0 til 100, fra 100 til 0 eller fra 0 til 100 og tilbake til 0.

Kapittelprøve, se kopieringsoriginal side 248 og på digital lærerressurs.

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Stige med 8 trinn Utstyr

2 terninger, papir og blyant. Antall spillere

2 spillere. Hva spillet går ut på

Spillet går ut på å lage og plassere tosifrede tall i stigende rekkefølge. Spillerne tegner hver sin stige med 8 trinn på et ark. Spiller 1 slår to terninger og velger hvilken terning som representerer tierverdi, og hvilken som representerer enerverdi. Hvis spilleren for eksempel slår 2 og 5, velger han om slaget skal telle 25 eller 52. Det tallet som spilleren velger, skrives inn på ett av trinnene i stigen. Spilleren velger selv hvor tallet plasseres. Spiller B gjør det samme. Spillerne skifter tur, slår terning, velger tall og skriver tallet inn i stigen. Hvis en spiller ikke får dannet et tall som det er plass til i stigen, er det den andre spillerens tur. Vinner

Den som først får fylt sin stige med tall i stigende rekkefølge, har vunnet.

1 TALL T

TALL TALL

42–43 39