Målrettet samtale: Utdrag

Hån tk2a

Målrettet samtale

Sjek figu

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 1

12/04/2019 09:15

Elham Kazemi og Allison Hintz

MĂĽlrettet samtale

Hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner Oversatt av Katrine Berggren Birkeland Forord av Linda G. Opheim

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 3

12/04/2019 09:15

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2019 © 2014, Stenhouse publisers, 282 Corporate Drive, Suite 1, Portsmouth, NH 03801-8009. U.S.A. Stenhouse Publishers har gitt tillatlese til norsk oversettelse av denne boken. Stenhouse Publishers er ikke ansvarlig for kvaliteten på oversettelsen. ISBN 978-82-02-62367-8 1. utgave, 1. opplag 2019 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Illustrasjoner: Katrine Berggren Birkeland Foto: Torstein Jørgenssen Omslagsdesign: Roy Søbstad Omslagsfoto: GettyImages Sats: Bøk Oslo AS Trykk og innbinding: Livonia Print, 2019, Latvia En stor takk til lærere og elever ved Bolteløkka skole i Oslo, for deres bidrag som modeller i boken! www.cda.no akademisk@cappelendamm.no

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 4

12/04/2019 09:15

Takk Arbeidet med denne boken har pågått i mer enn ti år. Vi ønsker å takke den fantastiske redaktøren vår Toby Gordon for ideen om en bok om klasse­romsdiskusjoner som hun kom med for år og dag siden, og for at hun har fulgt oss helt frem til den ble fullført. Hennes oppmuntringer og veiledninger har hjulpet oss til å stå på helt til målstreken. Vi har også fått hjelp av ideene til to anonyme konsulenter som var svært grundige og ga oss tilbakemeldinger som styrket utkastene våre. Adrian Cunard, Becca Lewis og Teresa Lind har også vært så snille og lest igjennom og gitt oss hjelpsomme kommentarer på tidlige utkast. Vi ønsker å gi en spesiell takk til personalet og elevene på Lakeridge Elementary School i Renton, Washington, for at de fyller sidene i boka med enestående ideer. Samarbeidet med dere har hatt svært stor betydning for oss. Takk for at dere åpnet klasserommene deres for oss og for at dere var villige til å ta sjanser og prøve nye ting. Dere har lært oss hvordan man dyrker læringsmiljøer som kan gi gode vekstmuligheter for både elevenes tanker og deres utvikling. En spesiell takk går til fotograf Matt Hagen for å tatt de vakre bildene av lærerne og elevene fra Lakeridge og til Lynsey Gibbons og Kendra Lomax for å organisere bildene. Vi har lært så mye fra prosjektet og praksisen til mange andre innen matematikkfeltet og lærerutdanningen. Det er vanskelig å formidle hvor takknemlige vi er til teamet av forskere og lærere som har bidratt til utviklingen av Cognitively Guided Instruction (CGI): forskerne Tom Carpenter, Elizabeth Fennema, Megan Franke, Linda Levi, Susan Empson, Randy Philipp og Vicki Jacobs; og CGI-aktørene fra Madison, Wisconsin, spesielt Annie Keith og Mazie Jenkins. Vi tror at barns matematiske tekning er selve kjernen i inspirerende undervisning. Megan Franke – takk for alt. Vi beundrer deg. Prinsippene som har ledet arbeidet vårt, var utledet fra 5

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 5

12/04/2019 09:15

takk

samarbeidet vårt med Megan og andre medlemmer av «Learning in, from, and for Teaching Practice (LTP) group»: Magdalene Lampert, Hala Ghousseini, Heather Beasley, Kate Crowe, Adrian Cunard, og Angela Turrou. Vi er takknemlige for måten LTP-gruppen utfordret oss til å belyse det viktige arbeidet lærere gjør når de leder matematiske samtaler. Vi har hatt stort utbytte av samarbeidet med våre kollegaer i Mathematics Education Project (MEP) ved Universitetet i Washington og the Expanding the Community of Mathematics Learners (ECML) project, der vi, Allison og Elham møttes. Så mange av tankene våre om å designe profesjonelle læringserfaringer og jobbe med lærere har sprunget ut fra de energiske og gjennomtenkte ideene fra kollegaene våre i MEP og ECML; Julia Aguirre, Ruth Balf, Filiberto Barajas-López, Sunshine Campbell, Lisa Jilk, Megan Kelley-Petersen, Anita Lenges, Laura Mah, Leslie Nielsen, Katy Pence, Rosemary Sheffield, Gini Stimpson og Bryan Street. Dette er bare et par av de flere hundre lærerne og lærerutdannerne vi har jobbet sammen med som har dedikert seg til å forbedre praksisen sin, fordype seg i feltet og i å forandre elevers læringsopplevelser i matematikk. Vår kunnskap om undervisning og samtaler har vært inspirert av arbeidet til mange andre forskeres undervisning og forskning: Deborah Ball, Virginia Bastable, Jo Boaler, Courtney Cazden, Suzanne Chapin, Marta Civil, Paul Cobb, Maarten Dolk, Cathy Fosnot, Karen Fuson, Kim HufferdAckles, Cathy Humphries, Magdalene Lampert, Kay McClain, Sarah Michaels, Judit Mosckovic, Catherine O´Connor, Mike Rose, Susan Jo Russel, Deborah Schifter, Peg Smith, Mary Kay Stein, Terry Wood og Erna Yackel. Familiene våre har gitt oss støtte, tålmodighet, kjærlighet og latter. Abolghassem og Nahid – takk for deres oppofrelser, kjærlighet og visdom. Mark, Roshann og Neeku: dere er alltid en kilde til lys, glede og eventyr. Mrs. P – takk for trofast kjærlighet, godhet og generøsitet. Becky og Ken, eller «Mimi og Papa», takk for deres generøse gave, deres tid og varme støtte. Shawn, Grace og William – dere er enestående og en vedvarende kilde til inspirasjon.

6

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 6

12/04/2019 09:15

Innhold Takk............................................................................................................................. 5 Forord til norsk utgave............................................................................................. 9 Linda G. Opheim

Kapittel 1  Innledning ......................................................................................... 11 Kapittel 2  Åpen strategideling ........................................................................ 29 Kapittel 3  Målrettet samtale: Sammenligne og knytte sammen .............. 53 Kapittel 4  Målrettet samtale: Hvorfor? La oss begrunne ........................... 71 Kapittel 5  Målrettet samtale: Hva er best og hvorfor? ............................... 95 Kapittel 6  Målrettet samtale: Definere og oppklare ................................... 113 Kapittel 7  Målrettet samtale: Utforske feil og endre .................................. 133 Kapittel 8  Konklusjon: Refleksjon og læring ................................................. 151

VEDLEGG Vedlegg A: Planleggingsmal for Åpen strategideling ................................................... 158 Vedlegg B: Planleggingsmal for Sammenligne og knytte sammen .............................. 159 Vedlegg C: Planleggingsmal for Hvorfor? La oss begrunne .......................................... 160 Vedlegg D: Planleggingsmal for Hva er best og hvorfor? ............................................. 161 Vedlegg E: Planleggingsmal for Definere og oppklare ................................................. 162 Vedlegg F: Planleggingsmal for Utforske feil og endre ................................................ 163 Vedlegg G: Tellesamlinger ........................................................................................... 164 Vedlegg H: Samtaler om tall: Oppgavestrenger (å gi et sett eller en remse med lignende oppgaver) ...................................................................................................... 168 Vedlegg I: Kvikkbilder .................................................................................................. 170 Vedlegg J: Ulike ressurser ............................................................................................ 172

Litteratur ................................................................................................................... 175 Stikkordregister ........................................................................................................ 177

7

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 7

12/04/2019 09:15

Forord til norsk utgave Linda G. Opheim I denne boken beskriver Elham Kazemi og Allison Hintz matematiske samtaler i klasserommet, men viktigst av alt, de forklarer detaljert hvordan du kan gå fram for å gjennomføre dette med dine elever. Dette er en bok du ikke bare leser for å oppdatere deg om temaet, men som du stadig kan ta fram og slå opp i for å få konkrete tips du kan bruke i din hverdag. Selv om boken i utgangspunktet er skrevet for amerikanske klasserom, så er den høyst aktuell for lærere og lærerstudenter her i Norge. Det å kunne argumentere, begrunne og kommunisere matematikk, er en viktig del av den matematiske kompetansen som elever skal utvikle gjennom skolegangen. Dette kommer tydelig fram i kjerneelementene i matematikk som ligger til grunn for læreplanen som implementeres høsten 2020 i norsk skole. Kjerneelementer defineres av Utdanningsdirektoratet som det viktigste innholdet, og det elevene må lære for å kunne mestre og bruke faget. I matematikk er kjerneelementene utforsking og problemløysing, modellering og bruk, resonnering og argumentasjon, representasjon og kommunikasjon, abstraksjon og generalisering og matematiske kunnskapsområder. Med disse kjerneelementene, så er det tydelig at det ikke er nok at norske skoleelever lærer å regne seg fram til riktig svar. De skal utforske og drive problemløsning, modellere dagligdagse fenomener ved hjelp av matematikk, resonnere og argumentere over svar og løsningsstrategier, bruke hensiktsmessige representasjoner og kunne kommunisere matematisk i tillegg til å kunne abstrahere og generalisere. Når elevene gjennom sin skolegang skal utvikle en såpass kompleks kompetanse, så krever det mye av læreren og det er derfor viktig at de har tilgjengelig litteratur som kan støtte dem i dette arbeidet, slik som denne boken.

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 9

12/04/2019 09:15

Det å kunne lede produktive samtaler i matematikk, handler ikke bare om hvordan man ordlegger seg og hvilke spørsmål man stiller. Det handler også om at man må etablere et klasseromsmiljø med fokus på utforsking i matematikk og der det er rom for et mangfold av strategier. Ofte så ønsker lærere at elevene skal bruke ulike strategier når de regner, men de kan være usikre på hvordan de skal hjelpe elevene til å utvikle et strategimangfold. Derfor er denne boka et viktig bidrag og hjelpemiddel for lærere i grunnskolen og for kommende lærere. Hovedtematikken er hele tiden hvordan man som lærer kan lede målrettede, faglige samtaler i matematikk, og dette konkretiseres med delkapitler der det er fokus på spesifikke strategier. På denne måten får ikke læreren bare hjelp med hvordan en kan lede samtaler, men også hva samtalene kan inneholde. For å kunne lede samtaler i matematikk, er det en forutsetning at man først får elevene til å dele sine tanker og strategier. Det er derfor et eget kapittel med fokus på hvordan man som lærer kan tilrettelegge for åpen strategideling i klasserommet. Når så elevene har delt sine strategier, så er neste utfordring hvordan man som lærer kan følge opp strategiene med klare, faglige mål. De neste kapitlene er tilegnet dette, og presenterer strate­ gier som: Sammenligne og knytte sammen, Hvorfor? La oss begrunne, Hva er best og hvorfor?, Definere og oppklare og Utforske feil og endre. Boken avrundes med noen overordnede refleksjoner rundt målrettede samtaler i matematikk. Boken er rettet mot lærere som underviser på barneskolen, da det er her de konkrete eksemplene fra klasserommet er hentet fra. Målrettet samtale vil også gi studenter i grunnskolelærerutdanningen en god innføring i hvordan man legger opp til matematiske samtaler. Samtidig er den strukturerte presentasjonen av hvordan man kan lede målrettede samtaler i matematikk på, noe som kan være verdifullt for lærere på alle nivåer. Linda G. Opheim Universitetslektor ved Universitetet i Agder

10

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 10

12/04/2019 09:15

Kapittel 1

Innledning

Å lede matematiske diskusjoner kan være både forfriskende og utfor­ drende. Det er enkelt å starte en diskusjon med å be barn forklare hva de tenker. Og ingenting slår de øyeblikkene der elevene stolt forteller om noe de har funnet ut av. Men hva skjer etter det? Matematiske diskusjo­ ner handler ikke bare om å vise og fortelle: Stå opp, sitt ned, klapp, klapp, klapp. Det kan være mye mer skremmende å vite hva man skal gjøre med elevenes forslag, og å lære dem hvordan de kan delta på en meningsfull måte i samtalen.

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 11

12/04/2019 09:15

kapittel 1

I samtaler i klasserommet bekymrer vi oss ofte over at elever faller av når de prøver å henge med på hva alle andre sier, eller at de melder seg ut når mange ideer blir presentert. Og ingen lærere liker følelsen av å henge ut en elev foran klassen. Når lærere planlegger og leder produktive diskusjoner, kan elevene likevel erfare at det er lurt å lytte til hverandre, og at det er greit å bli presset til å si mer. Ikke alle matematiske samtaler har det samme formålet eller bør bli ledet i den samme retningen. I denne boken beskriver vi hvordan du lettere kan planlegge og utforme diskusjonene for å oppnå de faglige målene du setter for timen, og for å få elevene til å delta på en meningsfull måte. Vårt arbeid med klasseromssamtaler styres av følgende fire prinsipper: 1. Samtalene skal bidra til å oppnå matematiske mål, og ulike typer mål krever ulik planlegging og ulik ledelse av diskusjonen. 2. Elevene må få vite hva de kan ta opp og hvordan de kan dele ideene sine, slik at ideene blir hørt og at det kan være nyttig for andre. 3. Læreren må orientere elevene mot hverandre og mot de matematiske begrepene, slik at alle i klassen er involvert i å nå det matematiske målet. 4. Læreren må fortelle og vise at alle elevene er med på å skape forståelse, og at deres innspill er verdifulle. Disse prinsippene er helt grunnleggende for å skape klasserom der elever kan delta på lik linje. Sarah Michaels, Mary Catherine O'Connor og Megan Williams Hall (2010) kaller klasseromsmiljø som drives av disse prinsippene, for «ansvarlige samtaler» eller «samtaler som tar elevenes innspill på alvor, og som spiller videre på hva andre i gruppen har sagt» (1). Utfordringen ligger selvfølgelig i å omdanne disse prinsippene til handling, noe vi ønsker å hjelpe deg med. Klasseromsfortellingene i denne boken viser til innsikt vi har tilegnet oss gjennom å lede matematiske samtaler og ved å jobbe nært med lærere som er opptatt av like muligheter for måloppnåelse og læring. Lærernes praksis utfordrer etablerte skolestrukturer som setter merkelapper på elever ut fra hvilke evner de har, og dette har vært inspirerende for oss. Vi håper at hverdagsbriljansen til lærerne og elevene på de følgende sidene vil hjelpe oss i vår streben etter å skape klasserom som bryter med etablerte 12

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 12

12/04/2019 09:15

innledning

oppfatninger om hvem som kan og ikke kan utmerke seg i matematikk (Depit, 2012). Vi vil nå si litt mer om hva vi mener med hvert av de fire prinsippene, gjennom å gi et innblikk i måter utvalgte matematiske mål kan hjelpe deg med å lede en diskusjon, og deretter skissere hva som kommer videre i resten av denne boken.

Prinsipp 1: Diskusjonene bør oppnå et matematisk mål Det matematiske målet fungerer som et kompass som du navigerer klasseromssamtalen etter. Målet hjelper deg å avgjøre hva du skal lytte etter, hvilke ideer du skal følge opp, og hvilke du skal gi ekstra oppmerksomhet. I boken 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions (2011) beskriver Margaret Smith og Mary Kay Stein betydningen av at lærere tydeliggjør det matematiske målet før de planlegger en diskusjon. De matematiske ideene som er tema i undervisningen, vil hjelpe deg å skille mellom ulike typer klasseromssamtaler du kan ha med elevene dine. Noen ganger er målet å få elevene til å dele så mange ulike ideer som mulig slik at de kan se det store spekteret av løsninger. Vi kaller dette «åpen strategideling», fordi vi jobber med å bygge opp elevKonsepter Prosedyrer enes repertoar av strategier. Klassen kommer med mange ideer, og samtalen beveger seg i et bredt Matematiske terreng av matematiske begreper, diskusjoner prosedyrer, representasjoner og forklaringer (se figur 1.1). Elevene lytter og bidrar med forskjellige måter å løse oppgaven på. Andre ganger ønsker du kanForklaringer Representasjoner skje å fokusere på diskusjonen av en bestemt idé. Vi kaller dette Figur 1.1 Terrenget man beveger seg gjennom i en matematisk «målrettet samtale». Gjennom diskusjon. 13

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 13

12/04/2019 09:15

Figur

rfor

kapittel 1

målrettet deling fokuserer samtalen på én bestemt idé. Denne mer fokuserte delingen involverer bestemte mål, som å definere og bruke sentrale begreper korrekt, å endre en strategi som ikke er korrekt, eller å forstå en bestemt representasjon. Elevene bidrar med sine ideer slik at de kan bli enige. Tabellen under lister opp strukturen i den målrettede diskusjonen som det vil bli fokusert på i kapittel 3 til 7. Målrettet samtalestruktur

Mål

Sammenligne og knytte sammen

Å sammenligne likheter og ulikheter mellom strategiene

Hvorfor? La oss begrunne

Å gi begrunnelser for hvorfor en bestemt ­matematisk strategi fungerer

Hva er best og hvorfor?

Å bestemme den beste (mest effektive) løsnings­ strategien i en bestemt kontekst

Definere og oppklare

Å definere og diskutere passende måter å bruke mate­ matiske modeller, verktøy, språk eller notasjoner på

Utforske feil og endre

Å resonnere seg frem til hvilken strategi som gir en korrekt løsning, og finne ut hvor en strategi kom skeivt ut

Prinsipp 2: Elevene må få vite hva og hvordan de skal dele For å få i gang aktive klasseromssamtaler trenger elevene hjelp til å finne ut hvordan de skal bidra. Når elevene får muligheten til å uttrykke ideene sine, får lærerne mer informasjon om hva elevene forstår og hva de strever med. I tillegg kan læreren få et innblikk i hvor elevene står fast eller blir forvirret. Elevene lærer hva de skal dele gjennom klasseromssamtalen. I denne boken gir vi en veiledning i hvordan man kan strukturere de ulike typene samtaler. Vi har også fokus på hvordan elevene skal lære å delta i diskusjonene på en meningsfylt måte. Vi trenger klare rammer for hva en forklaring skal inneholde. Basert på elevenes læringsmål må vi også til enhver tid vurdere hvilke matematiske ideer som må forklares underveis. Elevene lærer hva de skal dele ved at vi oppmuntrer dem til å formidle viktige deler av forklaringene sine. Vi kan bruke og tilby setningsstartere som gir elevene et hint om hvordan de kan begynne. For eksempel «Forklar 14

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 14

12/04/2019 09:15

innledning

meg hva du mente med …», eller «Hva ville du gjort hvis tallene var …? Og «Hvordan er din måte å tenke på annerledes enn …?». Vi hjelper også elevene til å lære hva de skal lytte etter for å delta i samtalen: «Legg merke til hvordan hun delte opp tallene.» «Tenk etter om du forsto måten hun brukte tallinja på for å vise hvordan hun tenkte.» På samme måte lærer elevene hvordan de kan dele gjennom lærernes hjelp og i et støttende læringsmiljø. For eksempel vil det kanskje være behov for å tydeliggjøre hvor man skal plassere seg når man presenterer noe («stå her så vi kan se arbeidet ditt»), hvor høyt man snakker («snakk høyt så alle kan høre ideen din»), og hvilke hjelpemidler man kan bruke («bruk tegningen i skriveboken din som hjelp»). Vi ønsker å hjelpe elevene med å knekke koden for å lære matematikk på en meningsfull måte, samtidig som vi tar tak i og utnytter elevressursene i klasserommet (Aguirre, Mayfield-Ingram og Martin, 2013).

Prinsipp 3: Lærerne må orientere elevene mot hverandre og mot de matematiske ideene En av utfordringene med å lede en samtale er å involvere hele klassen. De fleste klasserom har flere elever som er ivrige etter å delta, som alltid rekker opp hånden og forteller hva de tenker. Hvis vi alltid lar disse elevene slippe til først, er det lett for de andre elevene å forbli passive eller føle at de ikke blir med i samtalen. Men det er ikke den eneste utfordringen. Hvis elevene rekker opp hånden bare for å si noe, vil vi ende opp med en rekke ideer som ikke bygger på hverandre eller som driver diskusjonen fremover. Læreren må derfor bruke strategier som hjelper elevene med å forstå hvordan de skal engasjere seg i de andre elevenes ideer og hvordan de skal engasjere seg i matematikken generelt. Vi kaller dette å orientere elevene mot hverandre og mot matematikken. Læreren kan fokusere på meningsfulle bidrag fra alle elevene og oppmuntre elevene til å ta sjanser ved å vise at de kan, og trekke frem elevenes spesifikke bidrag (Featherstone mfl., 2011). Klasse­ romsfortellingene i denne boken illustrerer mange ulike måter lærerne kan lede den matematiske samtalen videre gjennom å strategisk velge ut én elevs bidrag, for eksempel for å hjelpe en elev som føler seg usikker på sin posisjon i klassen. 15

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 15

12/04/2019 09:15

kapittel 1

Prinsipp 4: Læreren må få frem at alle elevene er med på å skape forståelse, og at alle deres innspill er verdifulle Vårt siste prinsipp er også det viktigste prinsippet å praktisere, fordi elevene må være villige til å ta sjanser og dele ideene sine. I en samtalesituasjon er det naturligvis en mulighet for at elever kommer med ufullstendige og ukorrekte løsninger. Hvordan vi responderer på feil og spiller videre på elevenes ideer, sender viktige signaler til elevene når det gjelder å ta sjanser. Det er ikke enkelt for elever å uttrykke ideene sine hvis de opplever at det eneste som teller, er om de har riktig svar eller om de forstår alt med en gang. Vi må huske at det alltid er en logikk bak måten elevene tenker på, uansett om det er matematisk riktig eller ikke. Vi må også kunne anerkjenne alle elevers bidrag, og passe på at det ikke kun blir noen få elever som får stempelet «matematisk smart». Det er mange måter å være smart på i matematikk, som for eksempel: • • • • • • • • •

det å se sammenhenger mellom ulike matematiske begreper å forklare innholdet i en oppgave å arbeide med modeller å finne en feil løsning å finne mønstre å anta å være utholdende når man løser utfordrende oppgaver å jobbe seg igjennom feil å lete etter effektive løsninger (Featherstone mfl., 2011)

Å være flink i matematikk handler ikke bare om tempo og nøyaktighet. Vivian Paley hevder at det å være nysgjerrig i møte med elevenes ideer og tanker signaliserer at læreren har respekt for elevene: «Hvilke ideer er det jeg har som er så interessante for læreren? Jeg må være en slik som kommer med gode ideer» (1986, s. 127). Vi ønsker at alle elevene i klassen skal se på seg selv som matematiske tenkere som kan utvikle seg og lykkes i faget.

16

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 16

12/04/2019 09:15

innledning

Så hvordan fungerer disse prinsippene sammen i en lærerstyrt klasseromssamtale? La oss se tre eksempler på bruken av prinsippene i praksis; en åpen strategideling og to typer målrettede diskusjoner.

Åpen strategideling: Episoden med hoderegning Du har kanskje allerede erfaring med å lede diskusjoner som faller innenfor kategorien åpen strategideling. Å diskutere hoderegningsstrategier er et godt eksempel på dette. Det er en naturlig del av barneskolematematikken og er utformet for å bygge barns evne til fleksibilitet, effektivitet og nøyaktig beregning. Læreren starter med å presentere et regnestykke, som for eksempel 5 + 2, 12 – 7, 21 ∙ 4 eller 96 : 6, og inviterer barna til å foreslå ulike måter å komme frem til svaret på. Ms. Lind velger en multiplikasjonsoppgave for femteklassingene sine som en oppvarming til undervisningen. Hun forventer at elevene bruker rundt ti minutter på å dele ulike løsningsmetoder på oppgaven. Etter å ha skrevet 25 ∙ 18 på tavla, gir hun elevene tid til å løse oppgaven med hoderegning. Etter hvert som hun ser at elevene har kommet frem til ulike løsninger, hvisker hun til dem at de skal skrive løsningsmetodene sine i skrivebøkene (hun håper at dette vil hjelpe elevene med å huske stegene i strategiene de har brukt). Hun beveger seg rundt i rommet mens hun legger merke til de ulike måtene elevene løser oppgaven på. Når det ser ut som om alle har kommet frem til minst én løsning, spør hun elevene om å rope ut i kor hva de kom frem til. Hun skriver opp forslagene deres på tavla for å unngå å sette fokus på om den enkelte eleven har gjort feil eller riktig, og samtidig får hun selv en sjanse til å se om det er ulike metoder i klasserommet. Hun hører to forskjellige svar, 498 og 450. Når alle forslagene har blitt presentert, begynner hun med å henvende seg til en elev hun kan se har brukt en strategi som er nokså vanlig i klassen. Ms. Lind vet at hvis hun ber Faduma om å bruke skriveboken sin, så vil hun føle seg mer komfortabel med å dele sin løsningsmetode.

17

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 17

12/04/2019 09:15

kapittel 1

Figur 1.2 Elever fra 2. trinn viser tegnet som betyr «jeg også»

Ms. Lind: Ok, Faduma, fortell oss hva du skrev mens du løste oppgaven. Jeg vil at alle dere andre skal tenke på om dere har forstått hva Faduma gjorde, og om dere brukte en slik strategi selv. Ms. Linds åpningsreplikk hjelper elevene med å vite hva de kan dele og inviterer de andre elevene inn i diskusjonen. Hun prøver å hjelpe dem med å finne ut hva de skal lytte etter. Faduma: Siden jeg kan multiplisere tallene med 10, delte jeg opp 18 til en tier og en åtter. Jeg multipliserte 25 ganger 10 og 25 ganger 8. Da fikk jeg 250 pluss 200, som er 450. Ms. Lind: Takk. Samtidig som Ms. Lind skriver opp Fadumas løsning på tavla, legger hun merke til at mange elever signaliserer at de bruker den samme strategien med tegnet for «jeg også», inspirert av tegnet fra det amerikanske tegnspråket. Elevene

som

viser tegnet ved å føre en hånd nær brystet (eller til og med nær hodet), mens de samler de tre midterste fingrene og vifter frem og tilbake med hånden (Parrish, 2010; se figur 1.2). Ms. Lind: På tavla har jeg skrevet det Faduma sa. Og mange av dere viser meg at dere gjorde det på samme måte. Hvem kan legge til noe som kan hjelpe oss med å forklare hvorfor vi kunne dele opp 18 på den måten som Faduma gjorde det?

18

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 18

12/04/2019 09:15

innledning

Dette spørsmålet er en gjentakelse av det Ms. Lind ba elevene om å gjøre helt i starten av samtalen, for å se om de forsto Fadumas forslag. Jordan: Det er som Faduma sier: Å multiplisere med 10 kan være lettere. Så siden en måte å tenke 25 ganger 18 på er at du har 25 atten ganger, kan du først ta 25 ti ganger, og så har du 8 flere tjuefemmere. Elevene viser at de er enige med Jordan, og Ms. Lind sier litt mer om hva hun har skre-

Figur 1.3 Fadumas strategi.

vet for å visualisere forklaringen for klassen

Figur

(se figur 1.3). Ms. Lind: Er det noen som har spørsmål til Faduma? Marcus: Jeg har. Jeg løste det nesten på samme måte. Atten er nære 20, så jeg tok 20 og ganget med 25 for å få 500, og så trakk jeg fra 2 og fikk 498. Jeg er ikke sikker på hvorfor svarene våre er forskjellige. Ms. Lind noterer Marcus´ strategi på tavla (figur 1.4) for å vise de andre elevene det han forklarer. Hun vurderer allerede nå om hun skal følge opp spørsmålet hans med en

Figur 1.4 Marcus sin strategi og spørsmål.

gang eller om hun skal vente til en senere

Figur

diskusjon. Marcus: Hvorfor er svaret mitt annerledes enn Faduma sitt svar? Ms. Lind: Du prøver virkelig å forstå Fadumas strategi på din egen måte. Jeg skriver opp spørsmålet ditt her, men før vi tar opp spørsmålet ditt, skal vi se om vi kan få enda en strategi opp her som kanskje kan hjelpe oss med å finne ut av dette. Ms. Lind gjør dette for å få frem ulike måter å løse oppgaven på. Hun vet også at Marcus´ strategi med å runde opp og kompensere for forskjellen ennå ikke er så utbredt i klassen og kanskje trenger mer forklaring.

19

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 19

12/04/2019 09:15

kapittel 1

Celia: (rekker opp hånden for å delta i diskusjonen). Siden jeg vet at det er fire 25-ere i 100, så blir det 16 i 400. Og så to til blir 450. Ms. Lind: (får elevene til å fokusere på Celia). Celia, du ga oss mye å tenke på her. Hva tror dere Celia mener når hun sier at tjuefem ganger fire hjalp henne med å løse oppgaven? Og hvis du ikke er sikker, så kan du spørre henne om å gjenta det hun sa. Figur 1.5 Celias strategi.

Ms. Lind inviterer andre elever til å prøve å forstå Celias idé. Hun gjentar at det er i orden å spørre Celia om å forklare ideen sin flere ganger. Å opp-

muntre til å repetere får flere elever til å forklare at Celia tenker på problemet som 18 tjuefemmere, fordi fire tjuefemmere er 100. Ms. Lind gir Celia i oppgave å bekrefte eller oppklare hva klassekameratene sier, helt til de forstår hva hun gjorde. Ms. Lind skriver Celias strategi på tavla (figur 1.5) Ms. Lind: (minner elevene om å tenke på strategiene som har blitt presentert så langt). Vi ser ut til å ha tre ulike strategier og to ulike svar. Kan dere snu og snakke med læringspartneren din og diskuter hvilke strategier som har overbevist deg, og hvilke spørsmål du sitter igjen med. Denne læringspartnerpraten gir elevene mulighet til å bearbeide det de har hørt, og gir Ms. Lind sjansen til å høre på parene og muligens velge ut noen ideer som kan avslutte dagens samtale. Ms. Lind: Når jeg lytter til dere så legger jeg merke til at dere tenker på hvordan klassekameraten deres delte opp tallene for å multiplisere. Noen av dere ser nøye på Marcus´ strategi og tenker at han forandret tallene. Marcus, kan vi gå tilbake til din strategi og bruke litt tid på den? Vi kan hjelpe deg med å tenke igjennom den en gang til og se om det er noe vi må endre på. Ms. Lind avslutter denne oppvarmingen med å lytte til elevenes ideer og spørsmål, samtidig som hun forteller dem at de skal bruke de neste par dagene på å svare på spørsmålene som dukket opp i dag. Hun har ikke mer tid til å hjelpe elevene med å finne ut hva som gikk galt i Marcus´ strategi, så hun forsikrer

20

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 20

12/04/2019 09:15

innledning

dem om at de skal komme tilbake til denne strategien senere. Denne ene oppgaven, 25 ∙ 18, fikk frem mange matematiske ideer (noe som var Ms. Linds mål for samtalen). Som dette korte utdraget viser, tok denne oppgaven klassen med inn i et bredt matematisk terreng av sammenflettede begreper, prose­ dyrer, representasjoner og forklaringer. Å bruke åpen strategideling tillot klassen å uttrykke og bygge videre på ideene sine, men ikke gå veldig langt med hver idé. For å kunne bruke mer tid på individuelle ideer må Ms. Lind planlegge en målrettet samtale.

Målrettet deling: To måter å følge opp hoderegning på Den åpne strategidelingen gir Ms. Lind mulighet til å undersøke hvilke ideer hun trenger å jobbe videre med sammen med elevene. Det gir henne også føringer i planleggingen av den målrettede samtalen, og avgjørelsene hun tar, gjør hun i samsvar med kompetansemålene. For eksempel vil det være nyttig for elevene hennes å se nærmere på hvordan de kan bruke kompensasjon som strategi (det vil si å runde opp et av tallene og å justere produktet slik som Marcus prøvde på) eller å utvikle ferdighetene deres i å bruke rutenett til å vise hvorfor Fadumas eller Celias strategier fungerte. Ms. Lind vil at elevene skal begrunne både bruken av regnestrategier gjennom rutenett og bruken av grupperingsmodeller. Hun ønsker også å lære dem å knytte strategiene til kontekster i tekstoppgaver. Dette er to ideer som er fremhevet i Common Core State Standards for Mathematical Practice (Common Core, 2012). Hun vet at hun ikke kan nå alle målene hun har satt i én samtale, og at elevene hennes kan ha nytte av en diskusjon som fokuserer på bruken av modeller og det å lage tekstoppgaver. Disse refleksjonene la grunnlaget for Ms. Linds planlegging av målrettede samtaler, samtaler som fremhevet begreper, fremgangsmåter, representasjoner og forklaringer. For å illustrere mer tydelig hva vi mener med målrettet samtale, vil vi vise to korte eksempler. Ms. Lind kan bruke strukturen i de målrettede samtalene Hvorfor? La oss begrunne og Utforske feil og endre til å fremheve viktig matematikk som utledes av åpen strategideling. Legg merke til at i det første eksempelet brukes åpent rutenett til multiplikasjon, og i det andre eksempelet bytter vi til den mer hensiktsmessige grupperings­modellen for 21

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 21

12/04/2019 09:15

kapittel 1

å vise hvilke muligheter Ms. Lind har. Du kan lese mer om Hvorfor? La oss begrunne og Utforske feil og endre i kapittel 4 og kapittel 7.

Eksempel 1: Hvorfor? La oss begrunne Å knytte numeriske strategier til en visuell modell er én måte å forstå hvorfor en strategi fungerer. Modellen fungerer som et hjelpemiddel der elever kan få bekreftet forsøkene sine på å dele opp oppgaven i mindre deler. Målet til Hvorfor? La oss begrunne-samtalen er å finne ut hvorfor en bestemt matematisk strategi fungerer. La oss se nærmere på Ms. Linds klasse der hun leder en samtale for å gå videre med klassen i å forklare stegene Faduma tok. Ms. Lind: I går da vi lyttet til noen som løste regnestykket 25 multiplisert med 18, innså jeg at det var en stund siden vi hadde jobbet med åpent rutenett. Jeg tenkte at et rutenett ville være nyttig for å forklare hva som skjedde da vi delte opp tallene til et enklere regnestykke og til å vise hvordan vi kunne være sikre på at vi hadde regnet 18 grupper av 25. Ms. Lind tegner et åpent rutenett på tavla med Fadumas løsning under (se figur 1.6). Hun ber så elevene om å tegne, dele opp og ordne tall i rutenettet i bøkene sine slik at det samsvarer med regneuttrykket. Ved å bevege seg rundt i rommet mens elevene jobber med rutenettet i bøkene sine, kan Ms. Lind gjøre en vurdering av hvilke elever hun vil be om å dele ideene sine. Hun ser over skulderen til Celeste som deler opp 18 i tiere og enere, og tenker at denne ideen vil være et godt utgangspunkt for enighet og muligens uenighet om hvordan rutenettet samsvarer med Fadumas løsning. Hun vil gjerne at Celeste skal dele, ikke bare fordi hun har interessante ideer, men også fordi Celeste ofte er stille under klassesamtaler, og Ms. Lind jobber for å få henne til å forstå at også hun har gode ideer. Hun bøyer seg ned ved siden av Celeste og spør henne om hun er villig til å vise tegningen Figur 1.6 Læreren tegner et åpent rutenett for å vise Fadumas strategi.

av rutenettet sitt til de andre i klassen. Celeste nikker, og Ms. Lind samler klassen igjen.

22

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 22

12/04/2019 09:15

innledning

Ms. Lind: Celeste har en idé om rutenettet som hun vil vise oss. Se på tegningen av rutenettet med 25 multi­plisert med 18 på tavla. Jeg vil at dere skal se om

Figur

dere kan forstå hvordan hun delte opp rutenettet. Celeste viser tegningen sin og forklarer hvordan hun tenkte da hun delte opp 18 i 10 og 8. Etter hvert som elevene engasjerer seg i rutenettet, både i plenum og med læringspartneren sin, fortsetter samtalen, og elevene bygger videre på tidligere innspill, helt til de har et ferdig utfylt rutenett på tavla og det samsvarer med regneuttrykket til Fadumas strategi (se figur 1.7). Ms. Linds mål er å komme til det punktet hvor

Figur 1.7 Slik så Fadumas strategi ut på slutten av samtalen.

elevene kan se at Fadumas tilnærming begynte med å finne 10 grupper av 25 og deretter legge til 8 flere grupper av 25 for å ende opp med 18 grupper av 25 til sammen. Denne målrettede delingen får klassen til å fokusere på en løsning og eksplisitt kartlegge sammenhengene mellom den symbolske og visuelle representasjonen. I kapittel 4 går vi nærmere inn på hvordan læreren styrer disse diskusjonene for å støtte elevinnspill og orienterer elevene mot hverandre og mot matematikken.

Eksempel 2: Utforske feil og endre Det kan være styrkende for et klasseromsmiljø når elever deler løsninger som ikke er helt riktige ennå og søker hjelp fra klassekameratene sine. En elev som ønsker tilbakemelding fra en medelev, har trolig en god grunnidé som trenger å bli utviklet, og de andre elevene kan dermed bli motivert til å finne ut av problemet. Ms. Lind kunne bruke Utforske feil og endrestrukturen for å hjelpe Marcus og klassekameratene hans å forstå hvor Marcus´ strategi slo feil, og hvordan de kunne justere den for å få den til å fungere. Denne timen kunne vært gjennomført samme dag eller den påfølgende dagen. Etter å ha blitt spurt om det var greit for han å diskutere spørsmålet sitt med klassekameratene for å finne et svar, gjentar Marcus villig strategien sin høyt i klasserommet. 23

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 23

12/04/2019 09:15

kapittel 1

Marcus: Jeg tok 20 ganger med 25 for å få 500, og så trakk jeg fra 2 for å få 498. Jeg synes på en måte det burde fungere fordi 20 er bare to mer enn 18, men jeg er ikke sikker på hvorfor jeg ikke får det samme svaret som Faduma. Jeg synes det burde bli det samme. Ms. Lind kunne spurt elevene om å bruke et rutenett for å hjelpe med å utforske feil og endre Marcus´ strategi. Hvis denne samtalen hadde fulgt hakk i hæl med den første klasseromsfortellingen i dette kapitlet, ville det passet for Ms. Lind å bruke den samme modellen. Men for å utvide representasjonene vi bruker, og for å gi et eksempel på hvordan det å sette tallene og utregningen i en kontekst også kan være til hjelp i endringsprosessen, vil vi bruke en grupperingsmodell i den neste klasseromsfortellingen. Ms. Lind: Marcus hadde en flott måte å angripe oppgaven på. Ved å endre 18 til 20 startet han med å gjøre oppgaven enklere. Det kan hjelpe å lage en historie med tallene. La oss se for oss at Marcus hadde 25 pakker med fargeblyanter, med 18 blyanter i hver pakke. Mens hun sier dette, vurderer hun Marcus´ idé som han trengte å gjøre en justering på da han rundet en av faktorene til 20. Det er ofte at elevene ikke har helt feil, og da kan vi fokusere på den gode tenkningen deres. Hun velger med vilje en kjent oppgavekontekst for at endringen på tallene skal være forståelig for elevene. André: Å, jeg skjønner. Da Marcus forandret tallene til 20 ganget med 25, ble det gjort om til 25 pakker med blyanter der det var 20 blyanter i hver pakke. Men, vi skulle ha 18 blyanter i hver pakke, ikke 20. Ms. Lind: Ok, da tegner vi 25 pakker med blyanter med 20 blyanter i hver pakke. Å tegne de nye blyantpakkene kan hjelpe klassen med å huske hva som skjedde da Marcus sine tall endret seg fra 18 til 20. Ms. Lind: Så hva må tas bort fra hver pakke for å gå tilbake til å ha 18 blyanter i en pakke i stedet for 20? Hun bruker læringspartnerprat aktivt for å engasjere alle elevene i å vurdere hvordan man kan ta to blyanter ut av hver pakke, og hvordan man kan endre

24

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 24

12/04/2019 09:15

innledning

Figur 1.8 Disse notatene på tavla støttet Marcus når han ville endre sin strategi.

tegningen til å passe med 25 ∙ 18 (se figur 1.8). Ms. Lind beveger seg rundt mens klassen diskuterer oppgaven og hun finner ut hvem hun kan velge til å endre

Figur cus n

tegningen som er på tavla. Tegningen kan brukes for å vise at det til sammen er 50 blyanter som må tas bort fra produktet. Dette vil forklare hva som skjedde da Marcus kun trakk 2 fra den ene pakken i stedet for fra alle pakkene. Ms. Lind avslutter diskusjonen med å spørre klassen om hvordan de kan endre Marcus´ strategi. Ms. Lind: Ok, vi har jobbet sammen for å finne ut hvorfor Marcus sitt svar var annerledes. Hvem kan nå si hvorfor hans svar var annerledes? Sammen konkluderer klassen med at da Marcus forandret oppgaven til å bli 25 ∙ 20, måtte han trekke fra to fra alle 25 gruppene, for å sørge for at alle pakkene kun inneholdt 18 blyanter. Ms. Lind: (Oppsummerer det klassen tenker etter hvert som hun skriver på tavla.) Det ser ut som om vi er enige i at ligningen viser Marcus sin strategi, som går ut på at 25 ∙ 18 er det samme som 25 ∙ 20 minus 50.

25

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 25

12/04/2019 09:15

kapittel 1

Hun deler ut en utsjekksbillett med en ny oppgave: «Hvordan kunne 15 ∙ 20 blitt justert for å løse oppgaven 15 multiplisert med 19?» Utsjekksbilletten er en underveisvurdering som gir henne et innblikk i hvordan samtalen hjalp elevene i å bruke kompensasjon som strategi. Elevene fyller ut disse i slutten av timen. Ms. Lind vil vurdere dem for å finne ut hva elevene lærer, og hva de fortsatt sliter med å forstå. Det hun får vite gjennom utsjekksbilletten, vil hjelpe henne med å planlegge neste time. (Du kan lese mer om utforske feil og endre i kapittel 7.)

Se fremover Vi tror at måten lærere og elever prater med hverandre på i klasserommet, er avgjørende for hva elevene lærer i matematikk, og hvordan de ser på seg selv som matematiske tenkere. I våre klasserom skal elevene føle at de hører til, og at de kan lykkes i matematikk. Samtaler er en viktig måte å bygge en følelse av fellesskap på og å hjelpe elever med å forstå viktige matematiske ideer. Gruppesamtaler kan gi elevene energi hvis vi lærer dem å lytte, respondere og engasjere seg i hverandres ideer. Tiden vi investerer i å hjelpe elevene våre til å delta på en produktiv måte i diskusjoner, kan resultere i stort læringsutbytte. Vi håper de små klasseromsfortellingene i dette kapitlet kan hjelpe deg med å se hvordan prinsippene våre fungerer og at du ser forskjellen mellom åpen strategideling og målrettet samtale. I åpen strategideling, kom Ms. Lind og elevene hennes frem til mange måter å løse 25 ∙ 18 på. Den målrettede samtalen hjalp Ms. Lind til å se nærmere på et par sentrale ideer som kom opp gjennom strategidelingen. I resten av denne boken vil vi gå dypere inn i disse strukturene. Kapittel 2 går mer i dybden på åpen strategideling. Vi diskuterer situasjoner der lærere kan velge åpen strategideling, og hvordan lærere kan lede samtalen for å hjelpe elevene til å lytte og bidra i samtalen uten å kjede seg eller falle ut. Vi starter beskrivelsen av målrettet samtale i kapittel 3 med en struktur som følger naturlig etter åpen strategideling, nemlig Sammenligne og knytte sammen. Den viktigste forskjellen mellom åpen strategideling og Sammenligne og knytte sammen er at i sammenligne og knytte sammen 26

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 26

12/04/2019 09:15

innledning

er ikke læreren kun ute etter strategiene elevene bruker, men hun ber også elevene om å finne matematiske likheter eller forskjeller mellom dem. Vi vil at elevene skal utvikle et repertoar av strategier, men vi vil også at de skal kunne forklare hvorfor strategiene fungerer. Kapittel 4 tar oss tilbake til Hvorfor? La oss begrunne-strukturen. Målet er å få frem argumenter og bevis for hvorfor en matematisk strategi fungerer. Denne typen samtale fokuserer på kun én type strategi eller prosedyre. Elevene har alle blitt ledet mot en gyldig forklaring. Dette kapitlet vil hjelpe deg til å forstå forskjellen mellom å beskrive stegene i en strategi og forsvare dem. Noen oppgaver eller problemer er mulige å løse på mange ulike måter, og elevene trenger å få muligheten til å bli mer selektive når de skal bruke de ulike strategiene. Kapittel 5 tar for seg det å være selektiv ved å beskrive en struktur vi kaller Hva er best og hvorfor?. Denne samtalestrukturen begynner ikke med at læreren ber elevene om å finne ulike strategier. I stedet starter læreren med (1) å presentere en bestemt strategi og så spørre elevene om å utvikle en effektiv bruk av den strategien eller (2) å vise ulike måter å løse oppgaven på og be elevene om å finne ut hvilken av strategiene som er mest effektiv for denne oppgaven. Lærere introduserer ofte nye matematiske modeller (for eksempel tallinje eller åpent rutenett), verktøy (for eksempel telleramme, hundrekart), vokabular eller notasjoner i matematiske samtaler. Modeller, verktøy, vokabular og notasjoner er alle ansett som matematiske objekter. Kapittel 6 vil gå nærmere inn på hvordan disse objektene kan være fokus for samtalestrukturen som vi kaller Definere og oppklare. Vi beskriver når slike samtaler kan oppstå (f.eks. når modeller, verktøy, faguttrykk og notasjoner først blir introdusert, eller når elever har hatt muligheten til å bruke en bestemt modell, men at læreren ønsker å finpusse bruken av den først.) Læreren leder disse samtalene ved å vise hvordan den nye modellen, verktøyet eller begrepet kan brukes i tillegg til å hjelpe elevene med å bestemme hva som er korrekt og ukorrekt bruk av det matematiske objektet. Kapittel 7 tar for seg hvordan lærere kan bruke feil som muligheter for å utvikle matematisk tenkning gjennom Utforske feil og endre, en samtalestruktur som du allerede har sett et glimt av. Dette kapitlet viser lærere som oppmuntrer elevene til å se at ulike strategier kan brukes for å finne ut hvorfor én bestemt løsning er korrekt, og det viser hvordan de kan enga27

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 27

12/04/2019 09:15

kapittel 1

sjere seg i en samtale med klassekamerater for å finne ut hvor feilen oppsto i et løsningsforslag, og hva slags korreksjoner som må gjøres. Vi avslutter boken med kapittel 8, der vi oppsummerer hovedtrekkene i det vi har delt. Her gir vi også råd om hvordan man kan velge mål for de ulike samtalene, og hvordan samtalene kan brukes på en produktiv måte med din læreplan. For å støtte undervisningen din har vi inkludert et sett med maler som kan brukes i planleggingen av de ulike samtalestrukturene (vedlegg A-F). Vi tilbyr også lærerveiledning fra de undervisningsaktivitetene som beskrives gjennom boken (vedlegg G-I). Og til slutt vil du finne en liste over bøker og andre ressurser som er tilgjengelige på nettet og som kan hjelpe deg med å forstå noen av øvelsene og handlingene som er beskrevet i klasse­ romsfortellingene (vedlegg J).

28

100797 GRMAT Maalrettet samtale 190101.indd 28

12/04/2019 09:15