Issuu

1 2 FONTER: Brødtekstfont: Concorde Roman 9,5/13,5 – Tittelfont: DIN

MARIT SANDSTAD // JANNE-CHRISTINE FOSSUM //

HENNING VINJUSVEEN MYHREHAGEN // på HEGE REILING DELLNES // ELISE BERGLI Logo beholdes i National og kapittelnummer kapittelstarter

LÆREBOK I FYSIKK 2 KAPITTELFARGER:

STUDIESPESIALISERENDE PROGRAM BOKMÅL

0+10+90+0

FYSIKK 1: 50+100+0+0

0+30+90+10

FYSIKK 2: 80+100+20+0

0+60+ 80+0

ELEMENTFARGE: 15 SORT

0+75+55+0 0+75+0+0 55+60+0+0 80+40+0+0 60+0+0+10 90+0+30+0 50+0+100+0

Kristine Steen 07 Med

© CAPPELEN DAMM AS 2019 ISBN 978-82-02-59443-5 1. utgave, 1. opplag 2019 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestem melser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengelig gjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

FOTOGRAFIER Introduksjon: Getty Images / Harith Samarawickrama 8, Privat 10, Janne-Christine Fossum / Privat 16. Kapittel 1: Getty Images / ayagiz 18, Henning Vinjusveen Myhrehagen / Privat 19, PHOTOS.com / Getty Images Plus» 19. Kapittel 2: Getty Images / gremlin 42, Getty Images / stock_colors 43 v., Getty Images / TommasoT 43 h. Kapittel 3: Getty Images / Wicki58 66, Fundamental photographs / Richard Megna 76. Kapittel 4: Helge Ravik / Privat 94, Getty Images / KatarinaGondova 102, Getty Images / bizoo_n 103, Getty Images / Dkart 107, Henning Vinjusveen Myhrehagen / Privat 117. Kapittel 5: Getty Images / H Smadi / EyeEm 130, Janne-Christine Fossum / Privat 131.

Hovedillustratør: Maria Hammerstrøm Eksamensfigurer: Terje Sundby Omslagsdesign: Kristine Steen, 07 Media – 07.no, 2018 Omslagsfoto: Jan Harald Tomassen / NRK Sats: Bøk Oslo AS Repro: Narayana Press, Danmark Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2019 Forlagsredaktør: Harald Øyen Kittang www.cdu.no kraft.cdu.no kraft-larer.cdu.no

Kapittel 6: Science Photo Library / NTB Scanpix 158, Janne-Christine Fossum / Privat 159, 160, 169, 174, 178, «Deflection Tube D – 1000651 [U19155]» © 3B Scientific GmbH, Germany, 2018, www.3bscientific. com 161, © 2002 Richard Megna – Fundamental Photographs 164. Kapittel 7: Getty Images / serkansenturk 186, iStock / Getty Images Plus / GeorgiosArt 187, Tore Wuttudal / Samfoto / NTB Scanpix 211. Kapittel 8: Getty Images / alexaldo 214, Foto: Tusenfryd 215, Getty Images / Bulgac 217, Getty Images / CHIARI_VFX 230, NASA/ESA/ STScI/UCLA 233 v., ESA/Hubble & NASA; Acknowledgment: Judy Schmidt 233 h., X-ray: NASA/ UMass/D.Wang et al., IR: NASA/ STScI 234, LIGO/T. Pyle»236 ø., The Virgo collaboration/CCO 1.0 236 n.

Kapittel 9: MARK GARLICK / SCIENCE PHOTO LIBRARY 250, 268, Getty Images / Jill Flynn 252, Foto: Wilhelm Röntgen 259, Getty Images / utah778 260 v., Science Photo Library / NTB Scanpix 260 h., Edward kinsman / Photo Researcheers / GV-press 261, Getty Images / Photoprofi30 266, Getty Images / nattrass 267, ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv / Fotograf: Couprie, Benjamin / Portr_14423-FL 267, IQOQI/Vienna 281. Kapittel 10: CERN / CMS 282, CERN 296, CERN / ATLAS 297. Kapittel 11: Getty Images / JodiJacobson 306 og 308 (utsnitt), Getty Images / malerapaso 307, Morten Rasmussen / Ritzau Scanpix 309, For audacity skjermbilder: Copyright © 2019 Audacity Team \ Creative Commons Attribution License, version 3.0 (https:// creativecommons.org/licenses/ by/3.0/) 316, 317.

Forord I fysikk 1 fikk du et første innblikk i hva fysikk som fagfelt dreier seg om: Gjennom observasjoner, eksperimenter og bruk av matematiske modeller prøver vi å beskrive alt i naturen og universet rundt oss. I dag gir fysikken svar på mange spørsmål om verden vi lever i, men vi regner likevel ikke universet som ferdig beskrevet. Derfor stiller vi kritiske spørsmål til dagens forståelse av universet, og gjennom undring søker vi nye svar. I fysikk 2 skal du bli enda bedre på å beskrive bevegelsen til små og store legemer med blant annet sentrale begreper som krefter og energi. Du lærer også om elektriske og magnetiske felt og får innsikt i teknologiske anvendelser av disse, for eksempel induksjon. Videre får du et innblikk i de medisinske avbildningsmetodene røntgen, ultralyd og MR. Disse metodene er eksempler på hvordan fysikere kan bidra til å redde liv. Den moderne fysikken har blitt til i løpet av de siste 120 årene og omhandler relativitetsteori, kvantefysikk og partikkelfysikk. Disse spennende teoriene og fagområdene viser at fysikk er et levende fagfelt hvor nye oppdagelser stadig bringer oss nærmere svarene på universets store mysterier. I fysikk 2 får du en introduksjon til moderne fysikk, og vi håper at dette vil inspirere deg til videre studier i fysikk. Kraft 2 er en alt-i-ett-bok med teori, eksempler, øvinger og oppgaver. Hvert kapittel i boka starter med en aktivitet eller en tenkepause. Her inviterer vi deg til å undre deg over fysikkstoff som du kommer til å lære mer om senere i kapittelet. Teoridelen inneholder illustrerende eksempler, og også her har vi lagt inn aktiviteter og tenkepauser. Dette gjør vi for å bygge forklaringene våre rundt noe du har observert eller tenkt gjennom, og det understreker at kunnskap i fysikk blir til gjennom observasjon og undring. Definisjoner og lover er tydelig markert for å gi deg god oversikt, både når du leser stoffet for første gang, og når du går tilbake for å repetere. Bakerst i hvert kapittel finner du ett eller flere sentrale eksperimenter hvor du får testet og undersøkt flere sider ved hvert emne. Hvert kapittel runder av med en oppsummering av de viktigste begrepene og sammenhengene i kapittelet. Kapitlenes oppgavedel er firedelt. Her finner du kapitteloppgaver, muntlige oppgaver, blandede oppgaver og eksamensoppgaver. Oppgavene skal hjelpe deg med å lære, repetere og bli trygg på fagstoffet. De muntlige oppgavene egner seg til framføring i klassen, til gruppediskusjoner og som forberedelse til en eventuell muntlig eksamen. Eksamensoppgavene er et lite utvalg av oppgaver som har blitt gitt på skriftlig eksamen i fysikk 2. Med litt trening jevnt utover skoleåret vil du bli trygg på eksamensformen.

// 3

Boka har et eget nettsted for elevene. På nettstedet har vi lagt ut enda flere oppgaver til hvert kapittel i boka. Der finner du interaktive test-deg-selv-oppgaver og repetisjonsoppgaver med løsningsforslag. Du finner også flervalgsoppgaver fra tidligere eksamener og et større utvalg eksamensoppgaver med løsningsforslag. Vi har også lagt ut eksempelfiler som viser hvordan du bruker videoanalyseprogrammet Tracker, og simuleringer, videoer og diverse annet ekstrastoff som vi tror kan motivere deg og gi deg økt forståelse for stoffet. Vi har også et eget nettsted for lærerne. For å sikre at innholdet bare er tilgjengelig for lærere, må brukerne av nettstedet betale en lisens for å få tilgang. På lærernettstedet er det blant annet lærerveiledninger, forslag til kapittel- og terminprøver med fasit og løsningsforslag, forslag til årsplan og flere laboratorieøvinger. En stor takk går til konsulenter, tegnere og andre som har bidratt til boka. Vi ønsker å rette en spesiell takk til Jarl Holmen for konstruktive tilbakemeldinger underveis og til Maria Hammerstrøm for illustrasjoner som får boka til å skinne. Tusen takk også til familiene våre som har holdt ut med oss og gitt oss tid og ro til å skrive. Vår største takk går til redaktøren vår, Harald Øyen Kittang. Hans uvurderlige innsats gjennom alle fasene av prosessen har vært helt essensiell for boka du nå har foran deg. Lykke til med fysikk 2! Mars 2019 Marit Sandstad, Janne-Christine Fossum, Henning Vinjusveen Myhrehagen, Hege Reiling Dellnes og Elise Bergli

Innhold Forord.............................................................................................. Introduksjon..................................................................................... Måleusikkerhet og systematiske feil. . ................................................... Usikkerhet i målinger.. ....................................................................... Usikkerhet i beregnede resultater........................................................ Forsøk: Å Bestemme tyngdeakselerasjonen ved hjelp av en pendel..........

3 8 9 10 12 15

1 Bevegelsesmengde........................................................................ Bevegelsesmengde............................................................................. Bevaringsloven for bevegelsesmengde. . ................................................ Forsøk: Støt mellom to vogner........................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

18 19 23 32 33 34

2 Spesiell relativitetsteori.. ................................................................ Treghetssystemer............................................................................... Klokker tikker saktere i systemer med høy fart – tidsdilatasjon............... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

42 43 50 59 60

3 Bevegelse..................................................................................... Bevegelse i én dimensjon.. .................................................................. Bevegelse i to dimensjoner................................................................. Sirkelbevegelse................................................................................. Forsøk: Skrått kast.. .......................................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

66 70 74 82 86 87 88

4 Energi og krefter............................................................................ Fjærkraft og potensiell energi.. ............................................................ Krefter i to dimensjoner..................................................................... Sirkelbevegelse................................................................................. Forsøk: Fjærstivheten til en stålfjær.................................................... Forsøk: Friksjon på skråplan.............................................................

94 96 102 107 115 116

Innhold

// 5

Innhold

Forsøk: Loop................................................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

117 118 119

5 Elektriske felt og krefter................................................................. Elektrisk ladning, felt og energi........................................................... Homogent elektrisk felt. . .................................................................... Potensiell energi i elektriske sentralfelt................................................ Forsøk: Elektriske krefter.................................................................. Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

130 131 138 143 146 147 148

6 Magnetiske felt og krefter............................................................... Magnetiske felt. . ................................................................................ Magnetiske krefter på elektriske ladninger........................................... Magnetiske krefter på strømledere. . ..................................................... Elektromagnet.................................................................................. Forsøk: β-spektrometer..................................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

158 159 161 169 172 174 175 176

7 Induksjon...................................................................................... Faradays induksjonslov. . .................................................................... Generatorer og transformatorer.......................................................... Forsøk: Indusert spenning................................................................. Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

186 187 197 203 204 205

8 Gravitasjon.................................................................................... Newtons gravitasjonsteori.................................................................. Einsteins generelle relativitetsteori...................................................... Forsøk: Universell gravitasjon............................................................ Forsøk: Gravitasjonell lysavbøyning................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

214 215 226 238 239 240 241

9 Kvantefysikk. . ................................................................................ Fotoner – lys som partikler................................................................. Partikler som bølger.. ......................................................................... Uskarphetsrelasjonene. . ..................................................................... Spinn og magnetisk resonans. . ............................................................ Sammenfiltring................................................................................. Forsøk: Fotoelektrisk effekt............................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

250 252 260 262 265 267 271 273 274

10 Partikkelfysikk. . ........................................................................... Materiepartiklene – fermionene i standardmodellen.............................. Den elektromagnetiske kraften og fotonet............................................ Den svake kjernekraften – Z og W±.....................................................

282 284 288 290

Den sterke kjernekraften – kvarker og gluoner.. .................................... Higgs-bosonet................................................................................... Veien videre. . .................................................................................... Aktivitet: Partikkelfysikk................................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Oppgaver.........................................................................................

292 295 297 298 300 301

11 Lyd. . ............................................................................................ Ultralydavbildning. . ........................................................................... Digital lydbehandling.. ....................................................................... Sammendrag. . ................................................................................... Forsøk: Digital lydredigering. . ............................................................ Oppgaver.........................................................................................

306 308 309 315 316 318

Fasit.. ............................................................................................... Stikkord...........................................................................................

323 347

Innhold

// 7

Introduksjon LÆREPLANMÅL • gjennomføre relevante forsøk innen de forskjellige hovedområdene, med og uten digitale verktøy • anslå usikkerhet i innsamlede måledata og regne ut usikkerheten i det endelige resultatet • vurdere begrensninger i valgt metode og utstyr og foreslå forbedringer og videreutvikling av forsøk

Introduksjon

Finn fram en linjal og et skyvelære. Mål bredden på pulten din med linjalen og diameteren til blyanten din med skyvelæret. Hvor nøyaktig kan du foreta målingene? Hva er utfordringene med å bytte måleverktøy, altså at du måler pulten med skyvelæret og blyanten med linjalen? Det følger måleusikkerhet med alle målinger vi gjør, og det finnes ulike metoder for å anslå måleusikkerhet. Når vi måler lengder, slik som i aktiviteten, er det vanlig å anslå hvor nøyaktig det er mulig å lese av måleverktøyet. Du erfarte sikkert at du kan ha større presisjon med et skyvelære enn med en linjal. Likevel velger vi å bruke linjalen til å måle bredden på pulten. Skulle vi ha brukt skyvelæret til å måle bredden på pulten, måtte vi ha gjort mange målinger, og for hver måling ville vi ha fått en ny usikkerhet. Fysikk handler ikke bare om eksperimenter og teorier. Fysikk gir oss kunnskap som vi kan bruke til å få fly opp i lufta og datamaskiner til å virke. Når vi skal bruke det vi har funnet ut, er det viktig å ha kontroll over usikkerheten i teori og målinger. Dersom vi har en modell for hvordan en strikk forlenges i et strikkhopp, må vi ta med usikkerheten når vi skal bestemme hvor lang strikken skal være. Ellers kan hopperen risikere å treffe bakken før strikken drar ham eller henne opp igjen. Dersom vi er på leting etter en ny partikkel, må vi kjenne usikkerheten i detektorene våre. Hvilke resultater kan skyldes tilfeldigheter, og hvilke skyldes at vi har oppdaget en ny partikkel? Det er viktig at vi ikke underdriver usikkerheten og for eksempel tror at noe som egentlig skyldes støy, er en ny partikkel. Men det er også viktig at vi ikke overdriver usikkerheten, for da kan vi risikere å gå glipp av virkelige oppdagelser.

MÅLEUSIKKERHET OG SYSTEMATISKE FEIL

Gjeldende siffer

Måleusikkerhet er et mål på hvor nøyaktig du kan tallfeste en målt størrelse. Du kan for eksempel si at pulten er 68,2 cm bred, men du kan ikke si at den er 68,2023 cm bred. Da påstår du nemlig at du kan måle bredden på pulten med en nøyaktighet på mikrometernivå. Så nøyaktig klarer vi ikke å lese av linjalen. Hvor nøyaktig vi kan si noe om en målt størrelse, kan vi angi ved valg av antall gjeldende siffer. Når vi oppgir bredden på pulten til å være 68,2 cm, sier vi egentlig at den kan være mellom 68,15 cm og 68,24 cm. I fysikk 1 lagde vi noen tommelfingerregler for antall gjeldende siffer når vi regner: 1. Når vi multipliserer eller dividerer størrelser, skal svaret ha like mange gjeldende siffer som størrelsen med færrest gjeldende siffer. 2. Når vi subtraherer eller adderer størrelser, skal svaret ha like mange desimaler som størrelsen med færrest desimaler. 3. Antall, som i 2 elever, og andre tall, som π og ½, som du vet nøyaktig hvor store er, teller ikke med i usikkerhetsvurderingen. Når vi skal regne med målte verdier med måleusikkerhet, er det lurt å oppgi måleusikkerheten som en egen størrelse. Vi anslår at vi kan lese av linjalen med en nøyaktighet på 1 mm og skriver lengden av pulten slik: l = (68,2 ± 0,1) cm. Introduksjon

// 9

Systematiske feil

Figur 00-01 Figuren illustrerer forskjellen på måleusikkerhet og syste matiske feil. Her symboliserer midten av blinken den reelle verdien til størrelsen vi skal måle. I blinken til venstre har vi stor måleusikkerhet, og i blinken i midten har vi liten måleusikkerhet, men gjennomsnittet av målingene treffer midt i blinken på begge. I blinken til høyre har vi derimot liten måleusikkerhet, men vi bommer på blinken og har en systematisk feil.

Systematiske feil er feil i målingene som ikke har noe med måleusikkerheten å gjøre. Vi har for eksempel en systematisk feil dersom vi måler bredden på pulten med en meterstokk som egentlig bare er 95 cm. Da vil det fortsatt være en måleusikkerhet i målingene, men i tillegg blir målingene feil i forhold til virkeligheten. Derfor er det viktig å kalibrere måleinstrumenter slik at de gir riktige opplysninger.

USIKKERHET I MÅLINGER Å anslå måleusikkerhet i målinger er et eget fag vi ikke skal gå så mye inn på her. Vi skal bare se på et par enkle metoder, slik at vi kan vurdere resultatene i forsøkene vi skal gjøre underveis i fysikk 2. Lengdemålinger har vi allerede snakket om. Da anslår vi hvor nøyaktig vi kan lese av en linjal eller liknende. Denne metoden kan vi også bruke ved avlesning av vinkler på en gradskive. Ofte kan vi ikke lese av målinger på øyemål. Da kan vi isteden gjøre samme måling flere ganger og regne ut gjennomsnittet og avviket måleverdiene har fra gjennomsnittet. gjennomsnitt =

sum av måleverdiene antallet målinger

avvik = (høyeste verdi – laveste verdi)/2 størrelse = gjennomsnitt ± avvik For å oppgi en størrelse a med usikkerhet skriver vi a = a ± Δa Dette gjorde vi i introduksjonskapittelet til fysikk 1-boka. Kanskje du har loggboka med resultatene fremdeles?

Introduksjon

Standardavvik

Standardavvik er et statistisk mål for å beregne tilfeldig usikkerhet i målinger. Standardavviket er et mål for spredningen i datamaterialet. Dersom målingene bare er påvirket av vanlig støy og vi ikke gjør systematiske feil, skal 68 % av verdiene ligge mindre enn ett standardavvik unna gjennomsnittet og den reelle verdien. Tracker gir oss en størrelse kalt «rms dev» (engelsk «root mean square deviation»). Dersom målingene ikke inneholder systematiske feil og vi har med en god del målinger, er «rms dev» lik standardavviket. Vi kan bruke «rms dev» som måleusikkerhet dersom vi har gjort mange målinger. Når du gjør målinger, kan du, dersom du har et valg, vurdere om det er best å bruke det største avviket i måleresultatene eller standardavviket. En tommelfingerregel er: Har du mer enn 10 målinger, kan du bruke standardavviket istedenfor det største avviket.

Figur 00-02 Figuren viser en normal fordelingskurve der verdiene som ligger mindre enn ett standardavvik unna gjennom snittet er avmerket.

68 %

–σ

x–

Figur 00-03 Figuren viser et skjermbilde av en analyse av et fritt fall i Tracker. Nederst i venstre hjørne kan du se «rms dev»verdien.

Introduksjon

// 11

Absolutt og relativ usikkerhet Hittil har vi oppgitt måleusikkerheten som absolutt usikkerhet, Δa. Relativ Δa usikkerhet er gitt som avviket delt på den målte verdien og oppgis ofte i proa sent. Bredden på pulten, l = (68,2 ± 0,1) cm, har absolutt usikkerhet lik 0,1 cm og relativ usikkerhet lik 0,1 cm/68,2 cm = 0,00147, altså 0,15 %. Beregn den relative usikkerheten i bredden på blyanten og bredden på pulten som du målte i den innledende aktiviteten.

USIKKERHET I BEREGNEDE RESULTATER Ofte bruker vi verdier vi har målt, i videre beregninger. Da må vi ta hensyn til hvordan måleusikkerheten forplanter seg til det beregnede resultatet.

Addisjon og subtraksjon Dersom vi skal måle bredden på pulten med skyvelæret, må vi gjøre mange målinger og legge dem sammen. La oss si at skyvelæret kan måle maksimalt 3,00 cm. Da må vi gjøre totalt 23 målinger. For hver av disse målingene må vi legge til den absolutte usikkerheten. Vi anslår usikkerheten i hver måling til å være 0,01 cm. Bredden på pulten blir da målt til 22 ⋅ 3,00 cm + 2,20 cm = 68,20 cm Den absolutte usikkerheten i dette beregnede resultatet blir da 23 ⋅ 0,01 cm = 0,23 cm. Dermed blir resultatet vårt at b = (68,2 ± 0,2) cm. Legg merke til at vi har rundet av usikkerheten til ett gjeldende siffer. Feilforplanting ved addisjon og subtraksjon av målte størrelser Ved addisjon og subtraksjon av målte størrelser finner vi usikkerheten i det beregnede resultatet ved å legge sammen de absolutte usikkerhetene til enkeltmålingene.

Multiplikasjon og divisjon Vi ønsker å finne arealet av pulten med måleusikkerhet. Bredden målte vi til (68,2 ± 0,1) cm. Vi måler lengden til (84,0 ± 0,1) cm. For å finne usikkerheten i det beregnede resultatet kan vi regne ut størst mulige areal og minst mulig areal og finne avviket. Amaks = 68, 3 cm ⋅ 84,1 cm = 5744,03 cm 2 Amin = 68,1 cm ⋅ 83, 9 cm = 5713, 59 cm 2 ΔA =

Introduksjon

Amaks − Amin = 15, 2 cm2 2

A = A ± ΔA = ((68, 2 ⋅ 84,0) ± 15, 2) cm2 = (5728,8 ± 15, 2) cm 2 = (0, 57 ± 0,02) m2 Dette er en tungvint måte å gjøre det på som vi stort sett kan unngå ved å bruke regelen for feilforplanting ved multiplikasjon og divisjon. Det kan likevel være nyttig å huske denne metoden. Vi kan for eksempel komme borti forsøk der vi må beregne usikkerheten i størrelser som regnes ut med andre regler enn vi har lært her. Regelen for feilforplanting ved multiplikasjon og divisjon Dersom c = a ⋅ b, der a og b er to målte størrelser med absolutt usikkerhet Δa og Δb, finner vi den relative usikkerheten i c ved å summere de relative usikkerhetene til a og b. Δc Δa Δb = + c a b

Vi kan altså finne usikkerheten i det beregnede arealet ved å bruke denne regelen. ⎛ Δb Δl ⎞ ΔA = ⎜ + ⎟A ⎝ b l ⎠ ⎛ 0,1 cm 0,1 cm ⎞ =⎜ + ⋅ 5728,8 cm2 ⎝ 68, 2 cm 84,0 cm ⎟⎠ = (0,001466 + 0,00119) ⋅ 5728,8 cm 2 = 15, 2 cm2 = 0,152 m2 Også denne gangen får vi A = (0, 57 ± 0,02) m2. Legg merke til at det er den absolutte usikkerheten som bestemmer hvor mange gjeldende siffer vi har med i det beregnede resultatet. Vi oppgir resultatet med like mange desimaler som det er i usikkerheten.

Grafisk utjevning I enkelte tilfeller kan det være lurt å anslå usikkerheten i et resultat ved hjelp av grafisk utjevning. Det vil si at vi anslår avviket i stigningstallet til en graf og finner måleusikkerheten til stigningstallet ut fra dette avviket.

Introduksjon

// 13

EKSEMPEL 0-1

Sammenhengen mellom friksjonskraften R og normalkraften N er gitt som R = µ N, der µ er friksjonstallet. Vi trekker en kloss bortover et underlag og måler friksjonskraften. Vi gjentar forsøket fem ganger og legger på et ekstra lodd på klossen for hvert forsøk. Vi får følgende resultater: N/N

12,5

17,5

R/N

3,05

4,02

4,42

5,30

5,65

Bestem friksjonstallet µ med usikkerhet.

Friksjonstallet er stigningstallet til regresjonslinja, og med fire siffer har vi

µ = 0, 2971 Som forventet ligger ikke målepunktene helt på regresjonslinja. Det er en usikkerhet i verdien for friksjonstallet. Vi illustrerer denne usikkerheten ved å trekke en rett linje gjennom origo og målepunktet med størst stigningstall µmaks og en rett linje gjennom origo og målepunktet med minst stigningstall µmin . Figuren viser resultatet.

Løsning Vi skal bruke regresjonsverktøyet i GeoGebra. Begynn med å legge måleresultatene inn i regnearket i GeoGebra. Marker så cellene med måle resultatene, høyreklikk i markeringen og velg «Liste med punkt» under menypunktet «Lag». Lista og punktene vises både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, se figuren nedenfor. GeoGebra gir lista navnet «l1». I modellen R = µ N for friksjonen vet vi at origo er et sikkert punkt: Når normalkraften er lik null, er det heller ingen friksjon. Vi ønsker derfor å gjøre en lineær regresjon med konstantleddet lik null. I GeoGebra bruker vi kommandoen R=Reg(l1, {x}) Her er «l1» navnet på lista med målepunktene, og «{x}» er en liste med de funksjonene vi vil utføre regresjonen med hensyn på. I vårt tilfelle består funksjonslista av bare én funksjon, og GeoGebra regner ut en funksjon på formen R(x) = a ⋅ x

Stigningstallet til den røde linja er den maksimale verdien for friksjonstallet, mens stigningstallet til den grønne linja er den minimale verdien for friksjonstallet. Nå kan vi regne ut usikkerheten i friksjonstallet. Vi oppgir alltid usikkerheten med ett gjeldende siffer. 1 ( µ − µmin ) 2 maks 1 = ( 0, 3216 − 0, 2825) 2 = 0,0195 = 0,02

Δµ =

Nå kan vi oppgi friksjonstallet med usikkerhet.

µ = µ ± Δµ = 0, 2971 ± 0,0195 = 0, 30 ± 0,02

Introduksjon

Å BESTEMME TYNGDEAKSELERASJONEN VED HJELP AV EN PENDEL Når du gjennomfører eksperimenter i fysikk, er det lurt å ha en egen loggbok hvor du noterer observasjoner, tanker, vurderinger og resultater underveis. I loggboka, som du skriver for deg selv, dokumenterer du resultatene dine. Venn deg til å skrive logg hver gang du gjør et forsøk. Når du skal skrive en rapport, tar du utgangspunkt i det du har skrevet i loggboka, men i rapporten skal du presentere resultatene dine for andre. Da er det viktig å tenke på hvordan du best mulig kan få fram det du har tenkt og gjort, slik at det blir tydelig for leseren. Forsøket nedenfor viser hvilke deler en rapport skal inneholde, og du kan bruke oppsettet som en mal eller et utgangspunkt når du skal skrive rapporter senere. Her skal vi ta for oss et enkelt eksperiment som vi skal bruke som en øvelse i å anslå måleusikkerheten i målinger og beregnede resultater. Husk at alt du trenger for å skrive en rapport, må med i loggboka. I tillegg er det lurt å skrive ned bemerkninger til ulike målinger og ting ved utstyret og gjennomføringen som kan påvirke resultatene. Før du gjør dette forsøket, kan det være lurt å ta en titt på det første forsøket vi gjorde i fysikk 1. Der kan du finne en del tips som kan være nyttige når du skal gjennomføre forsøket. UTSTYRSLISTE • en kule • tråd • krok til å henge pendelen i • linjal • stoppeklokke

Hensikt Hensikten med denne øvingen er • å bestemme tyngdens akselerasjon ved hjelp av en pendel • anslå usikkerhet i innsamlede måledata og regne ut usikkerheten i det endelige resultatet Forhåndsoppgave/teori Tyngdens akselerasjon g kan bestemmes ved hjelp av en pendel. Uttrykket for g er gitt som g=

4π 2 l T2

der l er lengden fra sentrum av kula til opphengspunktet og T er perioden, altså svingetiden, til pendelen. For å kunne beregne g må du måle l og T. a) Hvordan kan du anslå måleusikkerheten i målingene? b) Hvordan bør du sette opp forsøket for å få minst mulig måleusikkerhet? c) Sett opp uttrykket for den absolutte usikkerheten i g.

Introduksjon

// 15

Framgangsmåte 1. Fest tråden i kula og heng den opp slik at kula får svinge fritt. 2. Gjennomfør nødvendige målinger og før opp resultatene på en ryddig og oversiktlig måte i loggboka. 3. Anslå usikkerheten i de målte verdiene. 4. Bruk de målte verdiene med usikkerhet til å beregne tyngdens akselerasjon med usikkerhet.

Resultater og beregninger Når du skriver en rapport, skal du presentere resultater og beregninger ryddig og oversiktlig. Tenk nøye gjennom hvordan du velger å presentere resultatene dine, slik at det blir lett for en annen leser å forstå hva du har gjort for å komme fram til dem. Du trenger ikke ta med lange utregninger, men vis til formelen du har brukt, og fortell hvilke verdier du har satt inn for å få svarene dine. I loggboka på bildet kan du se et eksempel på hvordan du kan føre resultatene.

Diskusjon I rapporten skal du ha med en diskusjonsdel. I denne delen skal du vurdere hvor gode resultatene dine er med hensyn på teori og gjennomføring. Du skal også si noe om feilkilder og hva du eventuelt kunne ha forbedret i eksperimentet. Konklusjon I konklusjonen skal du kort presentere hovedresultatet i eksperimentet, og du skal vise at du har oppnådd hensikten med øvelsen. I denne øvelsen vil det si at du skal oppgi resultatet for tyngdeakselerasjon med usikkerhet og gi en kort vurdering av holdbarheten til resultatet.

Introduksjon

OPPGAVER 0.01 Vi måler farten til en vogn som triller på et flatt underlag. Vi gjentar forsøket seks ganger og får følgende verdier: Måling nr.

Fart/(m/s)

1,43 1,39 1,40 1,41 1,40 1,41

a) Hva blir gjennomsnittsfarten til vogna? b) Hva blir den absolutte måleusikkerheten i forsøket? c) Hva blir den relative usikkerheten i forsøket? 0.02 Du måler bredden på klasserommet med en meterstav og anslår usikkerheten i hver måling til å være 0,01 m. Du måler klasserommet til å være 7,60 m bredt. a) Hva blir den absolutte usikkerheten i bredden på klasserommet? Du måler lengden av klasserommet til l = (9, 20 ± 0,08) m b) Beregn arealet av klasserommet med usikkerhet.

0.05 Massen til vogna i oppgave 0.01 blir målt til m = (0, 20 ± 0,01) kg a) Hva er den kinetiske energien til vogna? b) Bruk feilforplantingsregelen for multiplikasjon og beregn den relative usikkerheten i den kinetiske energien til vogna. 0.06 Tabellen viser målinger av farten til et legeme som slippes fra en høyde h over bakken. t/s

0,033 0,066 0,099 0,132 0,165 0,198 0,231 0,264 0,297

v/(m/s)

0,34

0,78 1,06

1,51

1,84

2,07

2,35

2,85 3,13

a) Legg dataene inn i GeoGebra og finn en verdi for akselerasjonen med usikkerhet. Høyden måles til h = (0, 49 ± 0,01) m. Massen til legemet måles til m = (0,033 ± 0,002) kg. b) Bruk verdien for g fra oppgave a og beregn relativ og absolutt usikkerhet for verdien av den potensielle energien. c) Hva blir den potensielle energien med usikkerhet?

0.03 Forklar forskjellen på måleusikkerhet og systematiske feil. Gi eksempel. 0.04 Fire fysikkelever har gjort et forsøk og funnet en verdi for tyngdeakselerasjonen. Se på resultatene de har rapportert, og vurder resultatene opp mot hverandre. a) g = (9,8 ± 0, 9) m/s2 b) g = (9,7 ± 0, 2) m/s 2 c) g = (9,72 ± 0,03) m/s 2 d) g = (10 ± 2) m/s2

Introduksjon

// 17

Bevegelsesmengde LÆREPLANMÅL • gjøre beregninger med loven om bevaring av bevegelsesmengde for sentrale støt

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

Figur 01-01 To like klinkekuler kolliderer med hverandre.

I denne aktiviteten trenger du to klinkekuler med like stor masse og en bane som gir kulene en rettlinjet bevegelse. Banen kan du lage ved å legge to bøker ved siden av hverandre i cirka 1 cm avstand. Plasser de to klinkekulene omtrent 20 cm fra hverandre i banen. Send den ene kula rett mot den andre slik at de to kulene kolliderer. Gjenta og varier startfarten til kula. Observer hva som skjer. Bruk begreper fra fysikken til å beskrive bevegelsen til kulene før, under og etter kollisjonen.

Figur 01-02 I verket Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica fra 1687 formulerte Newton bevegelses lovene som bærer hans navn. I dagligtalen refererer vi til verket som Principia.

I startaktiviteten observerte du en kollisjon mellom to klinkekuler, der den ene opprinnelig stod i ro. Etter kollisjonen er det flere mulige utfall. Du observerte kanskje at kula du sendte bortover, ble stående i ro etter kollisjonen? Eller kanskje trillet begge kulene i samme retning, men med forskjellig fart? Det som er helt sikkert, er at begge kulene endret fart i kollisjonen. Ifølge Newtons 2. lov må det en kraft til for å endre farten til et legeme. Kraften som endrer farten til klinkekulene, oppstår når de to kulene berører hverandre. I kollisjons øyeblikket virker det altså en kraft på hver av kulene på grunn av fysisk kontakt. Disse kreftene er et kraft–motkraft-par og er ifølge Newtons 3. lov like store og motsatt rettede. Kraften på kula som opprinnelig lå i ro, setter kula i bevegelse, mens kraften på den andre kula bremser kulas bevegelse. Kollisjonsøyeblikket er såpass kort at det er vanskelig å måle hvor store disse kreftene er. Dermed er det også vanskelig å beregne den eksakte farten til hver av kulene etter kollisjonen. Det er altså vanskelig å beskrive en slik kollisjon med de fysiske størrelsene vi kjenner til fra før.

BEVEGELSESMENGDE Fram til nå har vi brukt begreper som akselerasjon, fart og energi for å beskrive bevegelsene til legemer. I dette kapittelet skal vi utvide repertoaret med et nytt begrep, bevegelsesmengde. Bevegelsesmengde er den norske oversettelsen av Newtons begrep «quantity of motion», og det var et av de aller første begrepene som ble definert i Principia. Dette sier litt om hvor sentral størrelsen bevegelses mengde er i fysikken.

m Bevegelsesmengde

Figur 01-03 Et legeme med massen m og ! farten v har bevegelses ! ! mengden p = mv .

! ! Bevegelsesmengden p til et legeme med massen m og farten v er gitt ved ! ! p = mv Enheten for bevegelsesmengde er kg m/s.

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 19

Du la kanskje merke til vektortegnet over symbolet for bevegelsesmengde. Siden fart er en vektorstørrelse, må også bevegelsesmengden være det. Fra definisjonen ! kan vi lese at bevegelsesmengden p er en vektor som har samme retning som far! ten v , men at disse kan ha ulike lengder. Vektorene er med andre ord parallelle. I fysikk 2 skal vi bare ta for oss bevegelsesmengde i tilfeller hvor legemer beveger seg langs en rett linje. Ofte kan vektortegnet derfor utelates, men vi må være nøye med å velge positiv retning og angi fartsretningen med positivt eller negativt fortegn. EKSEMPEL 1-1

Vi ser for oss to klinkekuler. Den ene har massen 5,5 g, og den andre har massen 21 g. a) Den tyngste kula har farten 0,15 m/s. Hvor stor bevegelsesmengde har den? b) Hva må farten til den letteste klinkekula være for at den skal ha like stor bevegelsesmengde som den du regnet ut for den tyngste kula i a?

Løsning a) Den tyngste kula har bevegelsesmengden p = Mv1 = 0,021kg ⋅ 0,15 m/s = 3,150 ⋅10 −3 kg m/s = 3, 2 ⋅10−3 kg m/s b) Vi bruker definisjonen av bevegelsesmengde. p = mv p v= m 3,150 ⋅10−3 kg m/s = 0,0055 kg = 0, 5727 m/s = 0, 57 m/s

Et nødvendig steg på veien mot å forstå hva som skjer i kollisjoner, er å studere kreftene som virker. Dersom massen eller farten til et legeme endres, kan lengden eller retningen til bevegelsesmengden endres. I kollisjonene vi ser på i fysikk 2, er massen til legemene som inngår i kollisjonene, konstant, så vi antar her at en endring i bevegelsesmengden skyldes en endring i legemets fart. Fra Newtons 2. lov har vi tidligere sett at en endring i farten forårsakes av én eller flere krefter som virker på legemet. Denne endringen i farten kan vi beskrive med gjennomsnittsakselera! ! Δv sjon, som er gitt av a = . Vi kan bruke dette til å omformulere Newtons 2. lov: Δt ! ! ΣF = ma ! Δv = m⋅ Δt ! ! mv2 − mv1 = Δt ! ! ! p2 − p1 Δp = = Δt Δt Denne omformuleringen viser at det er en sammenheng mellom den gjennomsnittlige kraften som virker på et legeme innenfor et tidsintervall Δt, og endringen i bevegelsesmengde. Newton selv formulerte sin 2. lov slik: Forandringen av bevegelsesmengde er proporsjonal med kraften som påføres, og forandringen av bevegelsesmengde skjer i samme retning som kraften virker.

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

Newtons 2. lov og bevegelsesmengde ! Sammenhengen mellom den gjennomsnittlige kraftsummen ΣF som virker på et legeme med en konstant masse i et tidsintervall Δt, og endringen i ! bevegelsesmengde Δp er gitt av ! Δp! ΣF = Δt

Figur 01-04 Et legeme med ! bevegelsesmengden p1 blir påvirket av krefter med ! kraftsummen ΣF . Etter tiden Δt er bevegelsesmengden ! blitt p2.

p2 ΣF

Omformuleringen av Newtons 2. lov viser at vi også kan bruke enheten Ns (leses newton-sekunder) for bevegelsesmengde. I utledningen ovenfor antok vi at en endring i bevegelsesmengden førte til en endring i farten til legemet. Det viser seg at loven ovenfor også gjelder dersom legemet endrer masse. ! Δp! Hva skjer med uttrykket ΣF = dersom vi lar tidsendringen Δt bli forΔt svinnende liten, altså at vi lar Δt → 0?

Generelt kan vi beskrive bevegelsesmengden som en funksjon av tiden, p(t). Når tidsendringen blir forsvinnende liten, eller infinitesimal, kjenner vi igjen brøken som definisjonen av den deriverte. Da kan vi skrive Newtons 2. lov som ΣF = p′(t). Vi kan ta utgangspunkt i denne formelen og komme tilbake til den formuleringen av Newtons 2. lov som vi hadde som utgangspunkt. Fra definisjonen av bevegelsesmengde vet vi at bevegelsesmengde er lik produktet av massen og farten til legemet. Dette gir oss ΣF = p′(t) = m ⋅ v′(t) = m ⋅ a(t) Det var altså ikke mange steg som skulle til for å komme tilbake til Newtons 2. lov på formen ΣF = ma. Legg merke til at vi i andre linje i utregningen gikk ut fra at massen er konstant. Det vil altså si at denne formuleringen av Newtons 2. lov bare gjelder for legemer med konstant masse og dermed er et spesialtilfelle av den mer generelle formen ΣF = p′(t).

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 21

EKSEMPEL 1-2

En klinkekule med massen 21 g slippes fra ro og faller i 2,0 s før den treffer bakken. a) Hvor stor bevegelsesmengde har klinkekula idet den treffer bakken? b) Hvor lenge må en klinkekule med massen 5,5 g falle for å oppnå den samme bevegelsesmengden?

Løsning a) Vi ser bort fra luftmotstanden, slik at ΣF = G. Med den omformulerte varianten av Newtons 2. lov får vi Δp Δt Δp = G ⋅ Δt p2 − p1 = mg ⋅ Δt

der p1 = 0

p2 = mg ⋅ Δt = 0,021 kg ⋅ 9,81 m/s 2 ⋅ 2,0 s = 0, 4120 kg m/s = 0, 41 kg m/s

t = 2,0 s + '

b) Vi løser den omformulerte varianten av Newtons 2. lov med hensyn på tiden: Δp G p2 − p1 = der p1 = 0 mg p = 2 mg 0, 4120 kg m/s = 0,0055 kg ⋅ 9,81m/s 2

Δt =

= 7,635s = 7,6 s

EKSEMPEL 1-3

FØR + '

UNDER + '

ETTER + ' v1

m = 0,0027 kg v0 = –20 m/s F = 108 N ∆t = 1,00 · 10–3 s

En bordtennisball med massen 2,70 g er på kollisjonskurs mot en vegg med farten 20 m/s. Gjennomsnittskraften som virker på ballen fra veggen under kollisjonen, er 108 N. Kollisjonen varer i 1,00 ms.

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

a) Finn farten til ballen etter kollisjonen. b) Regn ut forholdet mellom kraften fra veggen og tyngdekraften. Kommenter svaret.

Løsning a) Vi antar at vi kan se bort fra tyngdekraften G i kollisjonsøyeblikket. Da er det bare kraften fra veggen som virker på ballen. Newtons 2. lov gir da ! Δp! ΣF = Δt mv1 − m(−v0 ) F= Δt F ⋅ Δt = mv1 + mv0

b) Vi regnet ut forholdet mellom F og G = mg. F F = G mg =

mv1 = F ⋅ Δt − mv0 F ⋅ Δt − v0 m 108 N ⋅1,00 ⋅10−3 s = − 20 m/s 0,0027 kg

v1 =

108 N = 4077 = 4,1 ⋅103 0,0027 kg ⋅ 9,81 m/s 2

Dette svaret betyr at den gjennomsnittlige kraften fra veggen er omtrent 4000 ganger større enn tyngdekraften. Arbeidet som tyngdekraften gjør på ballen i kollisjonsøyeblikket, er da lite i forhold til arbeidet som kraften fra veggen gjør på ballen. At tyngdekraften er såpass liten i forhold til kraften fra veggen, viser at det var en rimelig antagelse å se bort fra tyngdekraften i denne oppgaven.

= 20 m/s

BEVARINGSLOVEN FOR BEVEGELSESMENGDE Vi fysikere er store tilhengere av bevaringslover. En bevaringslov for en gitt størrelse eller et gitt system forteller oss at størrelsen eller egenskapen er konstant over tid. Når vi slipper å gjøre beregninger med tid, trenger vi ikke å ta stilling til alle detaljer ved en prosess, men kan heller fokusere på systemets start- og sluttilstand. I figuren nedenfor har vi en vogn som beveger seg friksjonsfritt langs et underlag som stadig endrer seg. Her ville det ha vært tidkrevende og vanskelig å lage en funksjon som beskriver farten til enhver tid. Siden vogna beveger seg friksjonsfritt, er det ingen andre krefter enn tyngdekraften som gjør arbeid på vogna. Da vet vi at den mekaniske energien er konstant, og at den dermed er den samme uansett hvor i banen vogna befinner seg. Da kan vi selv velge på hvilke punkter vi ønsker å hente fram informasjon om farten.

Figur 01-05 En vogn beveger seg friksjons fritt langs et underlag som stadig endrer seg. Ingen andre krefter enn tyngdekraften gjør et arbeid på vogna, og den mekaniske energien til vogna er konstant.

C B

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 23

Utledning av bevaringsloven for bevegelsesmengde

Støt Eksplosjon

Ytre krefter Figur 01-06 To legemer beveger seg mot hverandre med konstant fart før de støter sammen. Etter støtet har legemene konstant fart bort fra hverandre.

I fysikken har vi så langt i hovedsak undersøkt systemer som bare består av ett legeme. Vi har sett at farten eller formen til legemer kan endres av krefter fra omgivelsene. I dette avsnittet, derimot, skal vi studere systemer som består av to eller flere legemer. Vi skal til og med la disse støte sammen. Et støt kan være en kollisjon, der to legemer kommer i fysisk kontakt med hverandre, slik som klinkekulene i startaktiviteten i kapittelet. En eksplosjon er også en form for støtprosess. I en eksplosjon deler et legeme seg i to eller flere deler. Et eksempel på dette kan være en fisjonsreaksjon, der en atomkjerne spaltes til to atomkjerner med lavere masse. Resultatet er da to legemer med forskjellige hastigheter og motsatte fartsretninger. Mange prosesser som vi observerer i hverdagen og naturen, kan beskrives som støtprosesser. Det er nok ikke slik at den mekaniske energien bevares i alle typer støt. Men det finnes én størrelse som alltid er bevart i støt, nemlig bevegelsesmengden. Vi skal nå vise at bevegelsesmengden i et rettlinjet støt er konstant. Vi betrakter et system som består av to legemer. Det ene legemet har massen mA, og det andre har massen mB. Vi antar at massene ikke endres i støtet. Legemene beveger seg rett mot hverandre med hver sin fart, vA og vB, langs et horisontalt underlag. I denne utledningen antar vi at farten til hvert av legemene er konstant. Disse to legemene vil etter hvert kollidere, og etter kollisjonen har de endret fart til uA og uB. Figuren nedenfor viser denne prosessen fra start til slutt. Vår jobb blir nå å vise at systemets totale bevegelsesmengde er lik før og etter kollisjonen. Det at hvert av legemene har konstant fart på vei mot hverandre, betyr ifølge Newtons 1. lov at kraftsummen i horisontal retning på hvert av dem er null. Hvis det er friksjon mellom legemene og underlaget, må det være en like stor kraft i motsatt retning for at legemene skal kunne holde konstant fart. For enkelhets skyld ser vi bort fra krefter i horisontal retning. Det er to krefter som vi derimot ikke kan se bort fra på samme måte. Vi regner med at legemene befinner seg på jorda, så det må være en tyngdekraft G som virker nedover på begge to. Legemene beveger seg på et underlag, så det må virke en normalkraft N rettet oppover fra underlaget. Disse to kreftene er de eneste som virker i vertikal retning, og de må være like store ifølge Newtons 1. lov. Den samme argumentasjonen gjelder også etter kollisjonen. Alle de kreftene som ble nevnt ovenfor, er eksempler på ytre krefter. Det vil si krefter fra omgivelsene som virker på legemene. Både før og etter kollisjonen er altså summen av alle ytre krefter på systemet lik null.

FØR FØR FØR + + + ' ' '

vA vA vA

vB vB vB

A A A

B B B

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

UNDER UNDER UNDER + + + ' ' '

FA FA FA

ETTER ETTER ETTER + + + ' ' '

FB FB FB

uA uA uA

uB uB uB

A A A

B B B

Figur 01-07 De ytre kreftene som virker på legemene før støtet, er tyngdekraften nedover og normalkraften oppover. Vi ser bort fra friksjonen og luft motstanden. Etter støtet virker de samme kreftene. I løpet av støtet er legemene i kontakt med hverandre, og det virker krefter mellom legemene. Disse kreftene kaller vi indre krefter. De indre kreftene er kraft– motkraft-par, og de er der med like store og motsatt rettede.

Indre krefter

Ytre krefter NA

FB A

Under kollisjonen har de to legemene fysisk kontakt. I fysikk 1 lærte du at det vil virke kontaktkrefter mellom to legemer når de har kontakt. Kraften på legeme ! ! A fra legeme B kaller vi FA , og kraften på legeme B fra legeme A kaller vi FB. Det er disse kreftene som sørger for at bevegelsesmengden til hvert av legemene endres. Vi kaller kontaktkreftene for indre krefter fordi de virker mellom delene av systemet og ikke fra omgivelsene. Ofte er disse indre kreftene mye større enn eventuell friksjon eller andre krefter, noe som betyr at vi med god tilnærming kan se bort fra friksjonen. ! ! Kreftene FA og FB er et kraft–motkraft-par. ! ! FA = − FB (1) Siden vi har antatt at det ikke virker noen andre krefter i horisontal retning på ! legemene under støtet, er FA den eneste kraften som virker på legeme A. Med ! ! ! andre ord er ΣF = FA . La ΔpA være endringen i bevegelsesmengde til legeme A. Den omformulerte varianten av Newtons 2. lov gir da ! ! ΔpA FA = Δt ! På tilsvarende måte kan vi skrive opp et uttrykk for kraften FB: ! ! ΔpB FB = Δt I uttrykkene ovenfor er Δt tiden som legemene er i kontakt med hverandre, altså varigheten av kollisjonen. Varigheten av kollisjonen må nødvendigvis være lik for begge legemene. Derfor har ikke Δt blitt navngitt med bokstavene A og B. Vi ! ! setter uttrykkene for FA og FB inn i likning 1: ! ! ΔpA Δp =− B Δt Δt Vi multipliserer med Δt på begge sider og får ! ! ΔpA = −ΔpB ! ! ΔpA + ΔpB = 0 ! ! ! ! mA uA − mA vA + mBuB − mB vB = 0 ! ! ! ! mA uA + mBuB = mA vA + mB vB ! ! p2 = p1

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 25

Vi har nå vist at den totale bevegelsesmengden før kollisjonen er lik den totale bevegelsesmengden etter kollisjonen. Det vil si at systemets bevegelsesmengde ikke har forandret seg i støtet – den er bevart. Bevaring av bevegelsesmengde Dersom summen av de ytre kreftene under et støt er null, er systemets samlede bevegelsesmengde bevart. ! ! p2 = p1 Denne sammenhengen gjelder for alle støt der summen av ytre krefter på systemet er null. I praksis kan dette være friksjonsfrie situasjoner, eller situasjoner hvor vi kan se bort fra friksjonen under selve støtet. EKSEMPEL 1-4

Klinkekule A med massen 0,0055 kg beveger seg med farten 30 m/s mot klinkekule B som har massen 0,021 kg og ligger i ro. Etter kollisjonen får kule B farten 10 m/s. Finn farten til kule A etter kollisjonen. Løsning

+ '

FØR

vB = 0

Vi ser bort fra friksjonen slik at summen av de ytre kreftene er null. Da er bevegelsesmengden til syste met bevart. Vi velger positiv retning mot høyre. p2 = p1 mA uA + mBuB = mA vA mA uA = mA vA − mBuB

ETTER

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

mA vA − mBuB mA 0,0055 kg ⋅ 30 m/s − 0,021 kg ⋅10 m/s = 0,0055 kg = −8,181 m/s = −8,2 m/s

uA =

Kule A beveger seg altså i negativ retning – mot venstre – med farten 8,2 m/s.

Energien i støt I mange tilfeller kjenner vi til massen og farten før et støt, og vi prøver å forutsi noe om hva som skjer med systemet etter støtet, ved å bruke bevaringsloven for bevegelsesmengde. Vi har allerede nevnt to kategorier av støt: kollisjon og eksplosjon. En annen kategorisering av støt tar utgangspunkt i hva som skjer med energien.

Elastiske og uelastiske støt Et støt sies å være elastisk dersom systemets totale kinetiske energi er bevart. Dersom systemets kinetiske energi blir omgjort til andre energiformer, er støtet uelastisk. I et uelastisk støt er den samlede kinetiske energien ikke bevart. Noe av den opprinnelige kinetiske energien blir omgjort til andre energiformer under støtet. Du har kanskje sett dramatiske bilkollisjoner på film. Hva skjer med bilene i kollisjonen? Jo, de blir mer eller mindre deformert. I tillegg vil man høre lyden av sammenstøtet. Den kinetiske energien har dermed blitt overført til former som økt indre energi, lyd og varme. Som du observerte i kapittelets startaktivitet, er ikke støtet mellom de to klinkekulene like voldsomt som bilkollisjonen nevnt ovenfor. Klinkekulene ble heller ikke deformert slik som biler blir. Vi kunne likevel høre lyden fra klinkekulekollisjonen. I slike tilfeller er strengt tatt ikke den kinetiske energien bevart, men mengden energi som har blitt omgjort, er såpass liten at vi likevel kan påstå at kulenes kinetiske energi er den samme før og etter støtet. Fra tidligere er vi vant til å se bort fra luftmotstanden. Det er det samme som å anta at bevegelsen foregår i et lufttomt rom. Da går det også fint å se bort fra energien som blir omdannet til lyd, siden lyd ikke forekommer i lufttomme rom. EKSEMPEL 1-5

Var kollisjonen i eksempel 1-4 elastisk eller uelastisk?

Systemets totale kinetiske energi etter kollisjonen:

Løsning Systemets totale kinetiske energi før kollisjonen:

EK ,2 =

1 mA vA2 2 1 2 = 0,0055 kg ⋅ ( 0, 30 m/s ) 2 = 2, 475 ⋅10−4 J = 2, 5 ⋅10−4 J

EK ,1 =

1 1 mA uA2 + mBuB2 2 2 1 1 2 2 = 0,0055 kg ⋅ ( −0,0818 m/s ) + 0,021 kg ⋅ ( 0,10 m/s ) 2 2 = 1, 234 ⋅10−4 J = 1,2 ⋅10–4 J

EK ,2 < EK ,1

Systemets totale kinetiske energi minket i kollisjonen. Støtet var uelastisk.

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 27

Tenk deg at du svever i ro ute i verdensrommet med en ball i hendene. Du og ballen utgjør et system, som så blir delt i to deler idet du kaster ballen bort fra deg. Hva kan du si om den kinetiske energien før og etter denne «eksplosjonen»?

Fullstendig uelastisk

Situasjonen i tenkepausen ovenfor er altså en form for eksplosjon, hvor systemet, som består av deg og ballen, blir delt i to deler. Ved start befinner hele systemet seg i ro og har dermed ingen kinetisk energi. Etter eksplosjonen har både du og ballen en fart i motsatte retninger, og systemet som helhet har kinetisk energi. Denne energien var det musklene dine som tilførte systemet. I eksplosjoner blir systemets indre energi omdannet til kinetisk energi. Eksempel 1-6 nedenfor tar for seg noen av de typiske problemstillingene med støt: en eksplosjonsartet prosess og en kollisjon som er elastisk. Vi ser også på et spesielt tilfelle hvor to legemer kolliderer og blir hengende sammen. Slike støt kaller vi fullstendig uelastiske.

EKSEMPEL 1-6

I dette eksempelet gjør vi et tankeeksperiment som omfatter to astronauter som kaster basketballer i verdensrommet. Astronautene har massen 140 kg, og ballene har massen 0,63 kg. Vi tenker oss at de svever fritt, og at de ikke blir påvirket av ytre krefter. Vi ser for oss at de to astronautene befinner seg i ro i forhold til hverandre når de kaster hver sin basketball mot hverandre. Ballene kolliderer og spretter tilbake, og astronautene tar imot ballene. Vi tar utgangspunkt i den ene astronauten. Når han kaster ballen fra seg, får han farten 0,025 m/s. a) Finn farten til ballen. b) Støtet mellom de to ballene er elastisk. Vis at sammenhengen v1 + u1 = v2 + u2 gjelder for elastiske støt. Farten v1 og v2 er farten til ballene før støtet, mens u1 og u2 er farten til ballene etter støtet. c) Ballen fra a, som nå har farten v1, kolliderer med den andre basketballen, som før kollisjonen har farten v2 = 12 m/s, og som etterpå har farten u2 = 5,55 m/s i motsatt retning. Finn farten u1 til ballen fra a rett etter støtet, gitt at støtet er elastisk. d) Astronauten fra oppgave a tar imot ballen med farten u1. Finn farten v til felleslegemet, altså astronaut med ball.

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

Løsning + '

FØR v0 = 0

ETTER vA

a) Vi velger positiv retning mot venstre. Dette tilfellet kan betraktes som en eksplosjon, og vi bruker bevaringsloven for bevegelsesmengde til å finne farten v1 til ballen: p2 = p1 MvA + mv1 = 0 mv1 = −MvA MvA m 140 kg ⋅ 0,025 m/s =− 0,63 kg = −5, 55 m/s = −5,6 m/s

v1 = −

+ '

FØR v1

c) Vi bruker sammenhengen v1 + u1 = v2 + u2 fra b og løser med hensyn på u1.

ETTER u1

b) I elastiske støt er både bevegelsesmengden og systemets kinetiske energi bevart. Dette gir to likninger. Selv om ballene har den samme massen i eksemplet vårt, regner vi som om massene er ulike for å vise at sammenhengen også gjelder for legemer med ulike masser. Fra bevarings loven for bevegelsesmengde får vi

u1 = v2 + u2 − v1 = 12 m/s + ( − 5,55 m/s) − (−5, 55 m/s) = 12 m/s + '

FØR

ETTER v

p2 = p1 m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2 v2 m1u1 − m1v1 = m2 v2 − m2u2 m1(u1 − v1 ) = m2 (v2 − u2 ) Bevaring av kinetisk energi gir: EK ,2 = EK ,1. 1 1 1 1 m1u12 + m2u22 = m1v12 + m2 v22 2 2 2 2 m1u12 − m1v12 = m2 v22 − m2u22 m1(u12 − v12 ) = m2 (v22 − u22 ) m1(u1 + v1 )(u1 − v1 ) = m2 (v2 + u2 )(v2 − u2 ) Vi dividerer venstre side med m1(u1 − v1 ) og høyre side med m2 (v2 − u2 ). De to uttrykkene er like, så vi endrer ikke likningen. m1(u1 + v1 )(u1 − v1 ) m2 (v2 + u2 )(v2 − u2 ) = m1(u1 − v1 ) m2 (v2 − u2 ) v1 + u1 = v2 + u2

d) Også dette tilfellet betrakter vi som en kollisjon hvor bevegelsesmengden er bevart. p2 = p1 (M + m)v = mu1 + MvA Vi løser likningen med hensyn på v. v= =

mu1 + MvA M+m 140 kg ⋅ 0,025 m/s + 0,63 kg ⋅12 m/s 140 kg + 0,63 kg

= 0,0786 m/s = 0,079 m/s

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 29

EKSEMPEL 1-7

En trekule med massen 3,00 kg henger i en lang snor. Ved å skyte et prosjektil med massen 15,0 g inn i trekula og måle hvor høyt kula med prosjektilet kommer, kan vi beregne farten til prosjektilet. Finn farten til prosjektilet, gitt at kula med prosjektil kommer maksimalt 69,0 cm høyere enn kulas utgangspunkt. Løsning

Farten v til felleslegemet etter støtet finner vi uttrykt ved høyden h ved å bruke bevaringsloven for mekanisk energi i tyngdefeltet: E1 = E2 EK ,0 + EP,0 = EK ,1 + EP,1 Vi legger nullnivået for den potensielle energien ved pendelens bunnpunkt. I det høyeste punktet i pendelen er farten til kula med prosjektilet null, så EK ,1 = 0. Da får vi 1 (m + M)v 2 = (m + M)gh 2 Vi løser likningen med hensyn på farten.

m+M

v 2 = 2gh v = 2gh

m M

Vi deler hendelsesforløpet inn i to faser: I fase 1 inngår kula og prosjektilet i et fullstendig uelastisk støt. I fase 2 svinger kula og prosjektilet som en pendel opp til det høyeste punktet. Vi ser bort fra luftmotstanden og friksjonen i opphenget. For fase 1 bruker vi bevaringsloven for bevegelsesmengde: p2 = p1 mv0 = (m + M)v (m + M) v m M⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ v ⎝ m⎠

v0 =

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

Vi setter denne farten inn i uttrykket for v0 for å regne ut prosjektilets startfart. M⎞ ⎛ v0 = ⎜ 1 + ⎟ ⋅ 2gh ⎝ m⎠ ⎛ 3,00 kg ⎞ = ⎜1 + ⋅ 2 ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 0,680 m 15,0 ⋅10−3 kg ⎟⎠ ⎝ = 739, 55 m/s = 740 m/s

EKSEMPEL 1-8

Et uranatom befinner seg i ro og sender ut alfastråling etter denne reaksjonslikningen: 238 92

U → 42 He +

234 90

Dette er et likningssett med to likninger der de ukjente størrelsene er farten til de to nuklidene. Vi bruker CAS i GeoGebra til å løse likningssettet. Vi definerer de kjente størrelsene med sine tallverdier i radene 1–4.

Vi antar at hele reaksjonsenergien på 6,8499 ⋅ 10–13 J blir omdannet til kinetisk energi. Finn farten til Heatomet og Th-atomet etter spaltingen. FØR

ETTER u1 4 2

v= 0

238 92

U u2 234 90

Vi skriver inn likningssettet i rad 5 og 6. I rad 7 løser vi likningssettet. x står for farten til heliumatomet og y står for farten til thoriumatomet.

Løsning Massen til nuklidene i denne reaksjonen er gitt i tabellen. Nuklide 234 90 4 2

Masse / u 234,043601

4,002602

Vi skal finne farten til begge nuklidene etter eksplosjonen. Vi vet at bevegelsesmengden skal være bevart, samt at reaksjonsenergien E omdannes til kinetisk energi.

Heliumatomet får farten –1,4 ⋅ 107 m/s. Thoriumatomet får farten 2,4 ⋅ 105 m/s. Farten til de to nuklidene har ulikt fortegn, og partiklene går i hver sin retning.

Bevegelsesmengde: 0 = mHeu1 + mThu2 Energi: E =

1 1 mHeu12 + mThu12 2 2

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 31

STØT MELLOM TO VOGNER UTSTYRSLISTE • to vogner • skinne • vekt • videokamera • Tracker • regneark på data maskin

Hensikten med denne øvingen er • å undersøke om bevegelsesmengden er bevart i forskjellige typer støt mellom to vogner • å undersøke hvordan den kinetiske energien påvirkes i støt mellom to vogner • å planlegge, gjennomføre og vurdere et forsøk med digitale verktøy Forhåndsoppgaver 1. Hva kjennetegner et elastisk støt, et uelastisk støt, et fullstendig uelastisk støt og en eksplosjon? 2. To vogner med ulik masse beveger seg mot hverandre på en skinne. Tegn en figur som viser kreftene som virker på vognene før, under og etter støtet. Tegn også inn kreftene som virker. Avgjør om bevegelsesmengden er bevart. 3. La p0 være systemets totale bevegelsesmengde før støtet, og la p1 være systemets p totale bevegelsesmengde etter støtet. Hva slags informasjon kan forholdet 1 p0 og differansen p1 − p2 gi om støtet? 4. La EK0 være systemets totale kinetiske energi før støtet, og la EK1 være systemets E1 totale kinetiske energi etter støtet. Hva slags informasjon kan forholdet K0 og EK differansen EK1 − EK0 gi om støtet? 5. Ta utgangspunkt i framgangsmåten nedenfor og planlegg hvilke størrelser du skal måle, og hvordan du skal behandle verdiene i etterkant. Husk å notere valgene du gjør underveis i forsøket. Framgangsmåte • Mål massen til de to vognene og anslå usikkerheten i målingene dine. • Velg ett eller flere typer støt, og velg en metode for å måle farten til vognene. • Mål farten til vognene rett før og rett etter støtet. Anslå usikkerheten i målingene dine. • Undersøk om systemets totale bevegelsesmengde var bevart i støtet. • Undersøk hvordan systemets totale kinetiske energi utviklet seg i løpet av støtet. Hvis støtet ikke var elastisk, bør du gjøre rede for systemets tapte energi. • Vurder til slutt begrensningene i metoden du valgte for å måle farten. Kunne en annen målemetode gitt mer presise målinger?

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

SAMMENDRAG Bevegelsesmengde ! For et legeme med massen m og farten v er bevegel! sesmengden p gitt av produktet av massen og farten: ! ! p = mv Newtons 2. lov uttrykt med bevegelsesmengde Sammenhengen mellom den gjennomsnittlige kraftsummen ΣF som virker på et legeme i et tidsintervall Δt, og endringen i bevegelsesmengde Δp er gitt av ! Δp! ΣF = Δt Når Δt går mot 0, får vi ΣF = p′(t) for en rettlinjet bevegelse.

Støt Et støt kan være en kollisjon eller en eksplosjon. I kollisjoner får to legemer kontakt i et lite øyeblikk. I eksplosjoner deler et legeme seg i to eller flere deler. I en eksplosjon blir systemets indre energi omdannet til kinetisk energi. Elastiske støt I elastiske støt er den kinetiske energien bevart. EKfør = EKetter Uelastiske støt I uelastiske støt minker den kinetiske energien. EKfør < EKetter

Bevaringsloven for bevegelsesmengde Dersom summen av de ytre kreftene under et støt er null, er systemets samlede bevegelsesmengde bevart: ! ! p1 = p2 For en rettlinjet kollisjon mellom to legemer kan vi skrive

Deler av den opprinnelige kinetiske energien blir her omdannet til andre energiformer som for eksempel lyd, varme og rotasjon. Fullstendig uelastiske støt Et spesialtilfelle av uelastiske støt hvor legemene henger sammen etter støtet og beveger seg med en felles fart.

m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2u2

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 33

OPPGAVER BEVEGELSESMENGDE 1.01 a) Definer begrepet bevegelsesmengde. b) Hva er enheten for bevegelsesmengde ut fra definisjonen? 1.02 a) Trine har massen 60,0 kg og løper med farten 5,80 m/s. Regn ut bevegelsesmengden hennes. b) Monika har massen 55 kg. Hvor fort må hun løpe for å ha den samme bevegelsesmengden som Trine? 1.03 En gepard løper med farten 107 km/h. Gepardens bevegelsesmengde er 1,34 ⋅ 103 kgm/s2. Hva er massen til geparden? 1.04 To biler passerer hverandre på en motorvei. Bilene har nøyaktig samme masse og kjører nøyaktig like fort. Hvordan kan det ha seg at de ikke har lik bevegelsesmengde? 1.05 a) Utled den omformede Newtons 2. lov. b) Hvilken annen enhet enn kgm/s kan bevegelsesmengde oppgis i? 1.06 En bil med massen m beveger seg rettlinjet med farten v0. I løpet av tiden t blir bilen påvirket av en kraftsum ΣF i fartsretningen, og farten øker. a) Sett opp et uttrykk for farten etter kraftpåvirkningen. Bilen har massen 2750 kg og kjører med farten 60 km/h. I 3,2 s virker en gjennomsnittlig kraft på 4,77 kN i fartsretningen på bilen. b) Hvor stor er farten etter 3,2 s? c) Hvor stor måtte kraften ha vært dersom den samme fartsendringen skulle skje på halvparten av tiden? d) Bilen kjører med farten 80 km/h. Hvor stor må bremsekraften på bilen være for at bilen skal klare å bremse på 4,0 s?

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

1.07 En tennisball med massen 58 g har farten 20 m/s idet den blir truffet av en rekkert. Kontakten mellom ballen og rekkerten varer i 0,020 s. Idet ballen mister kontakten med rekkerten, har den farten 30 m/s i motsatt retning. a) Hvor stor er den gjennomsnittlige kraften fra rekkerten på ballen? Hvorfor bruker vi ordet gjennomsnittlig? b) Regn ut forholdet mellom den gjennomsnittlige kraften fra rekkerten og gravitasjonskraften på ballen. Kommenter svaret. 1.08 En bil frontkolliderer i 50 km/h. Kraften på sikker hetsbeltet fra føreren virker i 0,13 s før bilen stopper. Føreren har massen 75 kg. a) Hvor stor kraft må sikkerhetsbeltet tåle? b) Forklar hvorfor det lønner seg å ha airbag ved en kollisjon. 1.09 a) Vis at formelen for kinetisk energi kan skrives om til EK =

p2 2m

En vogn med massen 250 g triller nedover et skråplan fra høyden 10 cm. b) Hvor stor bevegelsesmengde har vogna i bunnen av skråplanet? I bunnen av skråplanet flater underlaget ut, og vogna bremser på grunn av friksjon. Oppbremsingen tar 3,5 s. c) Hvor stor er friksjonskraften? d) Hvor stor er friksjonstallet mellom vogna og underlaget?

BEVARINGSLOVEN FOR BEVEGELSESMENGDE 1.10 Hva skal til for at den totale bevegelsesmengden i et system skal være bevart? 1.11 En rød lekebil med massen 32 g står i ro på en rett horisontal bane. En blå lekebil med massen 45 g triller mot denne bilen med farten 0,75 m/s. Bilene kolliderer. Etter sammenstøtet fortsetter den blå lekebilen i den samme retningen med farten 0,30 m/s. Se bort fra ytre horisontale krefter. a) Hvor stor fart har den røde lekebilen etter kolli sjonen? b) Hvor stor fart ville den røde lekebilen ha fått etter kollisjonen dersom den blå bilen hadde stanset etter sammenstøtet? c) Hvor stor fart ville den røde lekebilen ha fått etter kollisjonen dersom den blå bilen hadde sprettet tilbake i motsatt retning med farten 0,10 m/s? 1.12 I en elevøvelse skyter Benedikte med luftgevær fra nært hold mot en vogn med en klump plastelina festet på toppen. Vogna starter i ro, og kula blir sittende fast i plastelinaklumpen. Hun logger bevegelsen til vogna, og finner at den får farten 0,39 m/s rett etter støtet. Vogna har massen 356 g, og luftgeværkula har massen 0,46 g. Hvor stor fart har luftgeværkula før den treffer plastelinaen? 1.13 Karsten og Petra står i ro på skøyter med hendene mot hverandre. Karstens masse er 82 kg, og Petras masse er 60 kg. På et tidspunkt dytter de til hverandre slik at de beveger seg i hver sin retning. Karsten får farten 1,6 m/s. a) Tegn kreftene som virker på Karsten og Petra mens de står i ro, under dytten og mens de glir i hver sin retning etter støtet. Vi ser bort fra luftmotstand og friksjon. b) Forklar hvorfor bevegelsesmengden er bevart. c) Hvor stor fart får Petra? 1.14 a) Hva kjennetegner et elastisk støt? b) Hva kjennetegner et uelastisk støt? c) Hva kjennetegner et fullstendig uelastisk støt?

1.15 Gå tilbake til lekebilene i oppgave 1.11. a) Er støtet mellom lekebilene elastisk eller uelastisk dersom den røde bilen fortsetter med farten 0,63 m/s etter kollisjonen? b) Hvor mye energi går over til omgivelsene? c) Hvor stor fart måtte den røde bilen ha hatt etter støtet for at det skulle ha vært elastisk? 1.16 En kloss beveger seg på et friksjonsfritt bord med farten 2,7 m/s rett mot en kule som henger i ro i en snor. Klossen og kula har den samme massen. Klossen blir liggende i ro etter kollisjonen med kula. Støtet mellom klossen og kula er et elastisk støt. Hvor høyt over bordkanten kommer kula før den snur? 1.17 Ved en alfautsendelse omdannes uran til thorium. Urankjernen ligger i ro, og thoriumkjernen har den kinetiske energien 1,15 ⋅10−14 J etter utsendelsen. mα = 4,0026 u mTh = 234,04 u Hvor stor fart får alfapartikkelen etter utsendelsen når vi antar at hele reaksjonsenergien 6,8499 ⋅ 10–13 J blir omdannet til kinetisk energi? 1.18 En tennisball med massen 58,5 g slippes fra høyden 2,1 m over bakken. Ballen spretter opp igjen til 0,70 m over bakken. Ballen har kontakt med bakken i 0,15 s. Se bort fra luftmotstanden. a) Hvor stor er endringen i ballens bevegelsesmengde i støtet? b) Hvor stor var den gjennomsnittlige kraften fra bakken på ballen? 1.19 En ball med massen 30 g blir sluppet fra ro. Bevegelsesmengden til ballen rett før den treffer gulvet, er 0,179 kgm/s. a) I hvilken høyde ble ballen sluppet fra? Vi slipper nå to baller, som vi holder over hverandre, fra samme høyde over bakken som i a. Den nederste ballen blir liggende i ro på bakken, og den øverste beveger seg oppover. Anta at støtet er elastisk. b) Hvor høyt over bakken kommer den øverste ballen? Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 35

1.20 To stålkuler henger i hver sin snor med lengden 70 cm. Den tyngste kula har dobbelt så stor masse som den letteste. Snorene er festet i den samme kroken i taket. Vi trekker den letteste kula ut til siden slik at snoras utslagsvinkel er 42° fra vertikallinja gjennom snorenes festepunkt.

42°

70 cm

1,4 g, og kula har massen 150 g. Prosjektilet blir sittende fast i kula etter støtet. a) Hva slags støt er dette? Hva vet vi om systemets kinetiske energi i et slikt støt? b) Hva er farten til kula med prosjektilet rett etter støtet? c) Hvor høyt kommer kula med prosjektilet før den snur? d) Finn høyden h uttrykt ved blant annet prosjektilets masse m, kulas masse M og farten v0 til prosjektilet. e) Hva skjer med uttrykket for høyden hvis massen til kula er veldig mye større enn prosjektilets masse? 1.22

a) Finn høydeforskjellen mellom de to kulene før den letteste kula slippes. b) Hvor stor fart har den letteste kula rett før kollisjonen? Kulene svinger til hver sin side etter kollisjonen. Vi antar at støtet mellom kulene er elastisk. c) Hvor stor fart får hver av kulene etter kolli sjonen? d) Hvor store blir vinkelutslagene til kulene?

1.21

210 m/s

16,5 m

6,58 m 5,23 m

7,41 m

Fredrik og Kristine bor i en jungel og bruker lianer som transportmiddel. Hver morgen drar de innover i jungelen for å sanke mat. Fredrik pleier å plukke opp Kristine, som venter på bakken. Da klatrer han opp i et tre, og stiller seg på en grein som er 16,5 m over bakken. Han griper tak i en lian og slipper seg utfor. Når Fredrik har plukket opp Kristine, er massefellespunktet deres 1,5 m over bakken. Fredrik har massen 81 kg, og Kristine har massen 56 kg. a) Hvor stor fart har Fredrik rett før han plukker opp Kristine? b) Hvor stor fart har de når Fredrik har plukket opp Kristine?

1,4 g 150 g Et prosjektil blir skutt ut fra et luftgevær og beveger seg med konstant fart 210 m/s rett mot en kule som henger i ro i en lang snor. Prosjektilet har massen

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

Fredrik og Kristine er nå på vei mot et tre som har tre greiner i høyden 7,6 m, 6,6 m og 5,2 m over bakken. Treet er 18,4 m fra stedet der Kristine ventet. c) Hvor høyt over bakken kommer de? Hvilken grein bør de lande på?

1.23 En blå vogn med massen 200 g beveger seg med farten 2,6 m/s rett mot en rød vogn i ro med massen 300 g. Etter kollisjonen får den blå vogna farten 0,52 m/s i motsatt retning. a) Hvor stor fart får den røde vogna etter kollisjonen? b) Var støtet elastisk eller uelastisk? Vi fester en masseløs stålfjær som er presset sammen, på den blå vogna. Den potensielle energien som er lagret i fjæra, er 0,90 J, og vi regner med at all potensiell energi blir overført til kinetisk energi når fjæra utløses. Vognene står inntil hverandre og når fjæra utløses, beveger den blå vogna seg mot venstre, og den røde beveger seg mot høyre. c) Hvor stor fart får hver av vognene etter kollisjonen nå? Vi sender nå den blå vogna rett mot den røde vogna, som står i ro, med farten 2,3 m/s. Fjæra utløses når vognene kommer i kontakt og tilfører systemet den samme energimengden som i c. d) Hvor stor fart får vognene etter kollisjonen? 1.24 En vogn sendes mot en vogn som står i ro. Begge vognene har massen 300 g. Grafen nedenfor viser farten til den ene vogna.

1,4 1,2

v / (m/s) (0,80, 1,1)

0,8 0,6 0,4 0

v / (m/s) 1,5

(1,0, 1,3)

1 0,5 t/s

0 0,5

1,5

2,5

(1,0, –0,46)

–0,5

b) Tegn av grafen. Tegn inn farten til felleslegemet etter kollisjonen.

Muntlige oppgaver 1.25 Forklar hvorfor det lønner seg å bøye knærne dersom du skal hoppe ned fra en stor høyde. 1.26 I en elevøvelse setter du en vogn i bevegelse mot en annen vogn med like stor masse. Den andre vogna står i ro på en friksjonsfri bane og har en bevegelsessensor i hver ende. a) Du får følgende fartsgrafer. Les av farten før og etter støtet, og beskriv hva slags støt dette er.

1,0

0,2

Grafen nedenfor viser farten til to vogner før et fullstendig uelastisk støt. Støtet varer i 0,1 s.

(1,1, 0)

t/s

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 a) Tegn av grafen. Tegn inn fartsgrafen til den andre vogna. Anta at støtet er elastisk.

1,5

v / (m/s)

1 0,5 0

t/s

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 37

Blandede oppgaver

b) Du gjør øvelsen en gang til. Denne gangen får du fartsgrafene nedenfor. Beskriv hva slags støt dette er.

0,8

1.30 En vogn med massen 0,35 kg skyves fra ro med den gjennomsnittlige kraften 0,28 N i 0,80 s på et vannrett og friksjonsfritt underlag. a) Regn ut bevegelsesmengden idet skyvekraften opphører. b) Regn ut vognas kinetiske energi.

v / (m/s)

0,4 0

t/s

Vogna triller deretter oppover et skråplan. c) Hvor høyt over det vannrette underlaget snur vogna?

1.27

Hvilken bil er tryggest å frontkollidere med? 1.28 Forsidebildet til kapittelet på side 18 viser en Newtons vugge. Forklar hvordan en Newtons vugge virker. 1.29 Når et skytevåpen avfyres, vil det begynne å bevege seg bakover. Dette fenomenet omtales ofte som en rekyl. a) Forklar hvorfor rekyl oppstår ved avfyring. b) Hvordan kan utgangshastigheten til et prosjektil måles?

1.31 Du kaster en ball med massen 0,50 kg rett oppover. Ballen forlater hendene dine i høyden 1,4 m over bakken. Det tar deg 0,40 s å akselerere ballen. a) Hvor stor må den gjennomsnittlige kraften som du påfører ballen, være for at ballen skal få farten 9,8 m/s når den forlater hendene dine? b) Hvor høyt kommer ballen før den snur? Du kaster ballen på nytt. Du bruker like lang tid på å akselerere den, og den forlater hendene dine i samme høyde som i a. c) Hvor stor må den gjennomsnittlige kraften som du påfører ballen, være for at den skal komme 8,0 m over bakken? 1.32 Elisabeth og Merete spiller shuffleboard på et bord som er 7,0 m langt, se figuren nederst på siden. Puckene som brukes, har massen 300 g. Friksjonstallet for puckene på bordet er 0,020. En spiller får poeng hvis pucken hennes blir stående i en av poengsonene ved den motsatte enden av bordet, se figuren nedenfor. I denne oppgaven ser vi for oss at puckene beveger seg rettlinjet og parallelt med bordlengdene. Vi tenker oss at puckene akselereres fra bordenden og 35 cm bortover bordet.

30 cm

40 cm 1p

3p 40 cm

7,0 m

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

a) Elisabeth akselererer sin puck med en gjennomsnittlig kraftsum på 0,51 N i 0,90 s. Hvor stor bevegelsesmengde og fart får pucken idet skyvekraften opphører? b) Hvor langt unna bordkanten på motsatt side stopper den? Merete sender sin puck rett mot den Elisabeths puck i b. Merete gir pucken en gjennomsnittlig akselerasjon på 4,6 m/s2. Diameteren til pucken er 6,0 cm. c) Hvor stor er farten til Meretes puck rett før den treffer Elisabeths? Etter kollisjonen beveger puckene seg i samme retning. Elisabeths puck får farten 0,52 m/s etter kollisjonen. d) Finn farten til Meretes puck etter støtet. e) Vis at støtet var uelastisk. Hva ble den kinetiske energien omdannet til? f) Hva er stillingen mellom lagene etter denne første runden? 1.33 En kule med massen 3,5 g blir skutt mot en kasse med massen 1,4 kg som står i ro. Kula går gjennom kassa og kommer ut på den andre siden med farten 610 m/s. Kassa får farten 0,58 m/s. a) Hva slags støt er dette? b) Hva var farten til kula rett før støtet? c) Hvor mye energi har blitt omdannet til andre former for energi i støtet? Bak den første kassa står en annen kasse med massen 1,4 kg. Etter støtet sitter kula fast i kassa. d) Hvor stor fart får felleslegemet?

Vi erstatter klossen med en ny kloss med massen 7,0 kg, og vi bytter ut snora med en snor som er 30 cm lang. Klossen begynner å bevege seg hvis den blir påvirket av en kraft som er minst 5,5 N. Vi slipper kula på samme måte som tidligere og antar at kollisjonen tar 1 ms. Kula spretter tilbake med en fart som er 45% av farten den hadde før kollisjonen. d) Vil klossen flytte på seg etter kollisjonen? e) Hvor lang må snora være for at klossen skal flytte på seg etter kollisjonen? 1.35 En rød og en blå vogn sendes mot hverandre. Den blå vogna har massen 0,20 kg, og den røde vogna har massen 0,40 kg. Farten til vognene vises i grafen nedenfor.

2 1

v / (m/s) (1,00, 1,40) (0, 1,50)

(1,10, 0,540) (2,00, 0,430) t/s

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 –1 (0, –1,30) (1,00, –1,18) –2

(2,00, –1,95)

(1,10, –2,04)

a) Hvor stor er den gjennomsnittlige kraftsummen som virker på vognene i kollisjonen? b) Hva slags støt er dette? c) Bruk grafen før støtet til å finne friksjonstallet mellom underlaget og hver av vognene.

1.34 En kule med massen 0,15 kg er festet til en 60 cm lang snor som er festet i taket. En kloss med massen 0,90 kg står i ro på et bord. Friksjonstallet mellom bordet og klossen er 0,55. Kula trekkes ut mot siden slik at snora er parallell med bordet før den slippes. a) Hvor stor fart har kula rett før den treffer klossen? I kollisjonen spretter kula tilbake og snur i høyden 12 cm. b) Hvor stor fart får klossen rett etter støtet? c) Hvor langt beveger klossen seg før den stopper?

Kapittel 1 Bevegelsesmengde

// 39