– med løsningsforslag
Faktor Fordypningshefte Espen Hjardar • Jan-Erik Pedersen Matematikk for ungdomstrinnet
Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Cappelen Damms matematikkverk for ungdomstrinnet
Faktor Fordypningshefte
# CAPPELEN DAMM AS, 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstillng og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness / Cappelen Damm Sats og repro: AIT Oslo AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2013 Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-34395-8 www.cdu.no http://faktor.cdu.no Fotografier: Corbis / NTB scanpix: © William Radcliffe / Science Faction s. 4, © Claudius s. 6, © Bettmann s. 7, © Sashkin s. 7, © Corbis s. 8, © Bettmann s. 12, © Bettmann s. 14, © Richard T. Nowitz s. 17, © Denis Scott s. 18, © Blue Lantern Studio s. 22, © Visuals Unlimited s. 30, © Stefano Bianchetti s. 31, © Ove Bergersen / NN / Samfoto s. 33, © Mike Agliolo s. 34, © Thorfinn Bekkelund / Samfoto s. 37, © Bettmann s. 39, © Gianni Dagli Orti s. 41, © Galen Rowell s. 43, © Images.com s. 46, © Blue Sky Studios / Twentieth Century Fox / Bureau L. A. s. 50, © Images. com s. 56, © NASA – digital version copyright / Science Faction s. 62, © Boris Lyubner / Illustration Works s. 66, © Steinar Myhr / NN / Samfoto s. 68, © Bettmann s. 69, © Bård Løken / NN / Samfoto s. 70, © Tom Schandy / NN / Samfoto s. 78 Norsk romsenter © FFI/NASA/Nyhetsgrafikk.no s. 13 Thinkstock © Brand X Pictures s. 49, © iStockphoto s. 49, © iStockphoto s. 73, © iStockphoto s. 77
Faktor fordypning Faktor fordypning inneholder oppgaver knyttet til emnene i Kunnskapsløftet som gir høy eller svært høy grad av måloppnåelse (kompetanse) på ungdomstrinnet. Oppgaver knyttet til digital kompetanse i de ulike emnene i Kunnskapsløftet er samlet i et eget kapittel (6). Oppgavene som er merket med en
, har løsningsforslag bak i boka.
Innhold Kapittel 1 Tall og algebra ..........................................................................6 Kapittel 2 Geometri .................................................................................22 Kapittel 3 Måling .....................................................................................34 Kapittel 4 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk............................46 Kapittel 5 Funksjoner...............................................................................56 Kapittel 6 Oppgaver som løses med digitale verktøy............................66 Fasit og løsningsforlag...........................................................................80
Faktor fordypning
3
1 Tall og algebra Kapittel 1 handler om små og store tallmengder, uttrykt på forskjellige måter. Noen av disse måtene å uttrykke mengder på bruker vi når vi for eksempel snakker om Melkeveien, som ble dannet for over 13 milliarder år siden. Melkeveien inneholder minst 2 milliarder stjerner, men vi ser kun ca. 2500 av dem med det blotte øye på nattehimmelen. Vårt stjernesystem, Melkeveien, er en spiralgalakse med en diameter på omtrent 150 000 lysår. Et lysår er den avstanden lyset tilbakelegger på ett år. Lyset har en hastighet på ca. 300 000 kilometer i sekundet, og et lysår blir da 9,46 1012 kilometer, som tilsvarer 23 600 ganger rundt ekvator. Jorda ligger 28 000 lysår fra galaksens sentrum og vår nærmeste nabostjerne, Alpha Centauri, som faktisk består av tre stjerner, er hele 4,2 lysår unna. Sola ligger ca. 26 000 lysår fra sentrum av galaksen. Den nærmeste planeten som vi til nå har funnet som likner på Jorda, er 95 000 000 000 000 km unna, og det vil ta oss ca. 180 000 år å reise dit med et romskip som beveger seg med for eksempel 60 000 km/t. Nikoleaus Copernikus (1473–1543) var den første astronom som formulerte Sola som universets sentrum. Han la dermed grunnlaget for den moderne astronomi. I dette kapitlet vil du gjennom teoretiske og praktiske oppgaver se spennende sammenhenger og oppdage hvordan matematikk kan brukes for å beskrive og forstå universet.
Du finner teori knyttet til emnet Tall og algebra i: · Faktor 1 grunnbok kapittel 1, 2, 3 og 6 · Faktor 2 grunnbok kapittel 1, 2 og 7 · Faktor 3 grunnbok kapittel 1, 4 og 7
1 Tall og algebra
Sollyset trenger inn mellom greinene på trærne og treffer jordoverflaten.
6
1.1
Lyset bruker 8 minutter og 20 sekunder fra Sola til Jorda. Lysets hastighet er ca. 300 000 km/s. Hvor mange meter er det fra Sola til Jorda? Oppgi svaret på standardform.
1.2
På huden din fins ca. 6 milliarder bakterier. Hver bakterie har en lengde på ca. 1 mikrometer (1 μm). En mikrometer er en tusendels millimeter. Hvor lang blir raden med bakterier hvis du legger alle hudbakteriene dine etter hverandre? Når vi vasker hendene med såpe, fjerner vi bakterier fra hudoverflaten.
Amedeo Avogadro (1776–1856) var en italiensk vitenskapsmann. Antallet molekyler i en mol kalles «Avogadros tall» og er oppkalt etter ham.
1.3
I kjemifaget brukes måleenheten mol. 1 mol inneholder 6,022 1023 partikler. Tallet kalles Avogadros tall etter den italienske forskeren Amedeo Avogadro. I 100 g vann (H2O) utgjør oksygen 88,8 g og hydrogen resten. a) Hvor mange gram hydrogen er det i denne vannmengden? Grunnstoffet hydrogen (H) har massetallet 1,008 g/mol, og oksygen har massetallet 15,999 g/mol. Vi finner antall mol av et grunnstoff ved å dividere massen (vekten) på grunnstoffets massetall. b) Hvor mange mol er det til sammen i vannmengden? c) Hvor mange partikler er det til sammen i vannmengden? Vannmolekylet består av ett oksygenatom og to hydrogenatomer.
1 Tall og algebra
7
1.4
Nanometer er en måleenhet som blir brukt i forbindelse med bygging av ekstremt små deler. 1 nanometer (nm) er 10--9 m. Gjør om. a) 1 nm = & cm b) 1 nm = & mm c) 10 nm = & mm d) 1000 nm = & cm
1.5
Regn ut. a) 80 -- ð23 -- 14Þ + 32 : 4 -- 12 45 3 b) 13 + 45 : 5 15 -- 22 : 2 + 6 4 3 c) ð42 : 7 -- 3Þð11 9Þ -- ð54 -- 65Þ 6 1 d) --0,5ð12 -- 24Þ -- ð64 : 8Þ -- 24 6
1 Tall og algebra
1.6
8
Det kraftigste vulkanutbruddet vi kjenner til, er Krakatoas utbrudd i 1883. Da ble asken fra vulkanen kastet 80 km opp i atmosfæren. Etter 3 timer og 57 minutter hørtes vulkanutbruddet i en by langt borte. Hvor langt borte var denne byen når lydens hastighet er ca. 340 m/s?
Forsiden på The Illustrated London News fra 8. september 1883, som viser illustrasjoner av utbruddet på vulkanen Karakatoa mellom Sumatra og Java i Indonesia.
1.7
Løs opp parentesene og trekk sammen. a) 4a2 + 10a -- ð2a -- 7a2 Þ -- ð3a2 + aÞ + ð4a -- 2a2 Þ b) 8 -- ð1 -- 12a -- 8abÞ -- 3a -- ð2ab + 4a -- 9Þ c) 9a2 b -- ð3a2 b -- 7ab2 Þ + 4a2 b2 -- ð2ab2 + 5a2 bÞ -- ð3abÞ2 d) 8x 2 y + ð6xy 2 -- 2x 2 yÞ -- ðx 2 y + 3xy 2 -- 5x 2 yÞ + 2xy 2
1.8
Løs opp parentesene og trekk sammen. a) 10 -- ð4x + ð3x -- 8Þ -- xÞ -- ð8x -- 5Þ
Begynn innerst!
b) --ð5a -- ð3a + 7Þ -- 6 + 4aÞ + ð3 -- ð4a + 3Þ -- 3aÞ c) --ð4x + ð4 + ð3x -- 5Þ -- 2xÞ + 7Þ d) 3ab + ðab -- ð2ab + 4ab + ðab -- 2abÞ -- 5abÞÞ 1.9
Regn ut. a) 2xð8x 2 + 2x + 7Þ + ð6 + 3x -- 4x 2 Þ3x b) ð4x + 5Þð4x + 5Þ + ð3x -- 4Þð3x -- 4Þ c) 4abða + 3b + 1Þ -- ð2ab -- b2 + bÞ3a d) 3x 3 ðx + 4Þ -- 2xðx 2 -- 5xÞðx -- 5Þ
1.10 Bruk første kvadratsetning og regn ut. a) ða + bÞ2 b) ð3x + yÞ2 c) ð4x + 2yÞ2 d) ð5a + 3bÞ2 e) ð6x + 2Þ2 f) ð4x 2 + 4Þ2
Her ser du første kvadratsetning!
Kvadratet av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av begge tallene pluss kvadratet av det andre tallet.
1 Tall og algebra
9
1.11 Bruk andre kvadratsetning og regn ut. a) ða -- bÞ2 b) ð3x -- yÞ2 c) ð4x -- 2yÞ2
Kvadratet av differensen mellom to tall er lik kvadratet av det første tallet minus to ganger produktet av begge tallene pluss kvadratet av det andre tallet".
d) ð5a -- 3bÞ2 e) ð6x -- 2Þ
Her ser du andre kvadratsetning!
2
f) ð4x 2 -- 4Þ2
1 Tall og algebra
Her ser du konjugatsetningen!
10
Produktet av summen av to tall og differensen mellom de samme to tallene er lik kvadratet av det første tallet minus kvadratet av det andre tallet.
1.12 Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) ða + bÞða -- bÞ b) ð3x + yÞð3x -- yÞ c) ð4x + 2yÞð4x -- 2yÞ d) ð5a + 3bÞð5a -- 3bÞ e) ð6x + 2Þð6x -- 2Þ f) ð4x 2 + 4Þð4x 2 -- 4Þ
1.13 Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig. 2a 3 + a) 2 a -- 9 a -- 3 1 y 1 b) --- 2 2 2x -- 2y x -- y 2x + 2y c)
25x 2 -- 36y 2 9x + 21y 3x + 7y 10x -- 12y
d)
12b2 + 4ab 6ða + bÞ2 3ða2 b -- b3 Þ a2 -- 9b2
3xy + x 2 y 2 3 + xy : 4x 2 -- 1 2x -- 1 2 a + b a + b2 f) : a -- b a2 -- b2
e)
1.14 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) ðx + 3Þ2 -- ðx -- 4Þ2 + 14 = 0 b) ð2x + 9Þ2 -- 2ðx -- 3Þ2 -- 11x 2 = 5x -- ð3x -- 1Þð3x + 1Þ -- 24 c) ð5x -- 1Þ2 -- ð3x + 5Þ2 -- ð4x + 7Þð4x -- 7Þ -- 15 = 0 1.15 Løs likningene og sett prøve på svaret. 3x x 2ðx + 10Þ + 9 = -4 2 5 97 7x 11x 1 5x = -+ 1 -b) x -12 18 12 2 3 1 30 4x 2x 2 c) = + 2 -- 2 2x -- 8 2x -- 32 2x + 8 x -- 16 a)
2 av veien til bestemoren sin. Når hun har syklet 5 520 m til, har hun syklet halve veien. Hvor lang vei har Hanna til bestemoren sin? Løs oppgaven ved hjelp av en likning.
1.16 Hanna har syklet
1 Tall og algebra
11
1 Tall og algebra
En modell av den russiske satellitten Sputnik 1 ble vist på en utstilling i Roma, 1957.
12
1.17 Sovjetunionens og verdens første satellitt, Sputnik I, ble sendt ut i rommet 4. oktober 1957 og beveget seg i en sirkelformet bane 900 km over jordoverflaten. a) Hvor lang var satellittens bane rundt Jorda når Jordas omkrets er omtrent 40 000 km? Satellitten beveget seg med en fart på 8,0 km/s. b) Hvor lang tid brukte satellitten på én runde rundt Jorda? c) Hvor mange ganger beveget den seg rundt Jorda i løpet av et døgn? Norges første satellitt, AISSat-1, ble sendt ut i rommet 12. juli 2010. Satellitten skal brukes i kampen mot miljøkriminalitet og ulovlig fiske. Satellitten beveger seg i en sirkelformet bane, 635 km over jordoverflaten. Den runder Jorda omtrent 1700 ganger i løpet av et år. d) Hva blir da satellittens fart, målt i m/s (meter per sekund)?
Norges første satellitt, AISSat-1, beveger seg omtrent 1700 ganger rundt jorden i løpet av et år.
1.18 Onkel Kim er lovet 6 % lønnsøkning. Den nye lønnen blir da 371 000 kr. Hva er lønnen før økningen? Løs oppgaven ved hjelp av en likning. 1.19 Løs likningssettene ved hjelp av regning. a) 4y + 2x = 38 2x -- 4y = 14 b) 5x + 2y = 19 2x + 3y = 12 c) 3ðy -- 2xÞ -- ð4 -- yÞ = --2ð4x + 1Þ --3ðy -- xÞ þ 2ðx + 3Þ = 25 -- 5ðy -- 2Þ 5x -- y = 3 d) 2 4x -- y = 0
1 Tall og algebra
13
1.20 Sara handler for skolekjøkkenet en gang i uken. En uke kjøpte hun 3 kg smør og 5 kg sukker. Hun betalte 129,50 kr. Den neste uken kjøpte hun 2 kg sukker og 4 kg smør. Da betalte hun 119,00 kr. Hva var prisen på 1 kg smør og 1 kg sukker?
1 Tall og algebra
1.21 En sverdfisk veier 80 kg pluss halvparten av sin egen vekt. Hvor mange kilogram veier fisken?
14
Sverdfisk (Xiphias gladius) er en piggfinnefisk i sverdfiskfamilien. Den kan bli opptil 5 m lang og veie 450 kg.
1.22 I en rettvinklet trekant er differansen mellom de to spisse vinklene 40 . Hvor mange grader er de spisse vinklene?
1.23 På en parkeringsplass står det parkert 30 kjøretøyer (biler og motorsykler). Til sammen er det 108 hjul på kjøretøyene. Hvor mange biler og hvor mange motorsykler er det på parkeringsplassen? 1.24 Herman har en kasse med epler. Hvis fire personer deler eplene likt, blir det tre epler til overs. Hvis fem personer deler eplene likt, blir det fire epler til overs. Hvor mange epler er det i kassen? 1.25 Løs likningene grafisk. Begrunn svarene. 3 a) 1,5x + 2 = x + 2 2 3 1 3 b) + 0,5x = x -2 2 2 1.26 1000 kr skal deles i forholdet 2 : 3 : 5. a) Hvor store blir delene? En planke som er 1,12 m, skal deles i forholdet 2 : 5 : 7. b) Hvor lang blir hver del?
1 Tall og algebra
15
Bensin og olje skal blandes i forholdet 100 : 1
1.27 På båtmotoren til Martin står det at bensin og olje skal blandes i forholdet 100 : 1. Tanken på båtmotoren rommer 2,8 liter. Hvor mye bensin og olje skal han ha i tanken?
1 Tall og algebra
1.28 Simen satte et beløp i banken til 3 % rente. Etter 120 dager fikk han 100 kr i rente. Det er 365 rentedager i et år. Hvor mange kroner satte han i banken?
16
1.29 Farfaren til Herman satte inn et beløp i banken den 1. januar 2000. Han tok ut pengene igjen den 30. januar 2001. Han fikk 3,5 % rente på pengene. Hvor stort beløp satte han inn i banken når han totalt fikk 1140 kr i renter? 1.30 Lotte har 4000 kr på bankkontoen sin. Innskuddet og renteinntektene blir stående urørt til 4 % rente. Hvor mye har hun i banken etter a) 1 år b) 2 år c) 5 år
Golden Gate Bridge i San Francisco ble bygd mellom 1933 og 1937, og er med sitt 1280 meter lange hovedspenn en av verdens lengste hengebroer. Den har stått imot utallige jordskjelv, inkludert det ødeleggende jordskjelvet med en styrke på 7,1 på Richters skala i 1989. Broen har bare vært stengt tre ganger på grunn av sterk vind i hele sin historie.
1.31 Herman var på tur til USA og Mexico. Der besøkte han blant annet San Francisco. Under oppholdet brukte han 680 USD (amerikanske dollar) og 4200 MXN (mexicanske pesos). Omregnet i norske kroner brukte han til sammen 5868 kr. Hva var kursen på USD og MXN når kursen på USD var 13 ganger høyere enn på MXN? 1.32 Tante Karin betalte 5600 kr i formueskatt. Det utgjorde 4 ‰ av formuen hennes. Hvor stor var formuen hennes?
1 Tall og algebra
17
Spermhvalen kan veie opptil 60 tonn og lever i alle verdenshav unntatt Arktis.
1.33 Spermhvalen kan dykke ned til 3000 meters dyp. Hvor mange meter per sekund i gjennomsnitt (m/s) må den svømme for å nå ned og opp igjen på én time? 1 av alle sidene i boka. 10 Neste dag leser hun dobbelt så mange sider som den første dagen, og den tredje dagen 26 sider. Hvor mange sider har boka totalt når hun har 100 sider igjen etter den tredje dagen?
1 Tall og algebra
1.34 Lotte leser en bok. Første dagen leser hun
18
1.35 Stjernen Alfa Centauri befinner seg ca. 4,3 lysår fra jorden. Det vil si at lyset bruker ca. 4,3 år fra Alfa Centauri til Jorda. Lysets hastighet er ca. 300 000 km/s. a) Hvor mange kilometer er det fra Jorda til Alfa Centauri? Skriv svaret både på vanlig måte og med tierpotens. Planeten Gliese 581 g ligger 20,4 lysår unna Jorda. b) Hvor mange år vil et romskip bruke dit fra Jorda hvis det har en hastighet på 40 000 km/t?
1.36 Kurt kjørte bil til Lillehammer. Han brukte 4 timer på de 24 milene dit. Han skulle videre til Trondheim, og da måtte han kjøre 36 mil til. Kurt holdt samme gjennomsnittsfart hele veien. Hvor langt fra Trondheim var Kurt da han hadde kjørt i 3,5 timer på den siste etappen?
1.37 Hanna og Sara løp rundt en sirkelrund bane som var 110 m lang. De startet samtidig fra samme punkt, men løp hver sin vei. Hanna løp 8 7 i farten m/s, og Sara i farten m/s. 3 3 Hvor mange ganger møttes de i løpet av de første 15 minuttene? 1.38 Verdien av en dansk krone er 7 % større enn verdien av en norsk krone. En dansk turist på besøk i Norge kjøper en suvenir som koster 180 kr. Han betaler 200 danske kroner. Hvor mye skal turisten ha igjen i norske kroner?
1 Tall og algebra
19
1.39 En danske og en sveitser bestiller mat og drikke på en norsk restaurant. Regningen er på 1845 kr, og de skal betale like mye hver. Begge betaler i sitt eget lands valuta. Kursene er: Sveitsiske franc 607,33 Danske kroner 106,88 Hvor mye betaler hver av dem? 1.40 Tallet 23 er skrevet i et annet tallsystem slik: 43 Hvilket tallsystem er tallet skrevet i? 1.41 Totallsystemet (bin) har kun to siffer: 0 og 1 mens det heksadesimale tallsystemet (hex) har 16 siffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F a) Skriv tallene 15, 6 og 12 i totallsystemet og i sekstentallsystemet. b) Skriv tallet 111101101100bin i det heksadesimale tallsystemet (hex) ved å gruppere i 4-er grupper. Hva oppdager du? 1.42 Finn de tre neste tallene i tallrekkene. a) –1 2 7 14 23
34 & & &
b) 35 28 14 –14 & & &
& & & d) 5 –5 0 –10 –5 & & &
1 Tall og algebra
c) –4 –3 –5 -4 –6 –5 –7
20
1.43 Skriv de tallene som mangler i tallrekkene.
& & & 28 b) 2 5 10 & & & 50 c) & & 6 12 20 30 42 a) 1
3 6
1.44 En elektrisk varmeovn har en effekt på 1200 W. a) Hvor mange kilowattimer (kWh) bruker ovnen i løpet av et døgn? b) Hvor mange kroner koster elektrisitetsmengden når prisen er 58,42 øre per kWh? 1.45 Se på regnestykkene nedenfor. Hvilket tall skal stå i stedet for x i det siste regnestykket? 6 + 7 = 91 8 + 5 = 65 7 + 5 = 60 8+8=x
1 Tall og algebra
21