Issuu

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

FORKURS

M ATEMAT IKK OPPGAVESAMLING

coSinus Forkurs.indb 1

28.06.2017 09:51:55

© Cappelen Damm AS, Oslo 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle oppgaver merket med Eksamen og årstall er gitt til eksamen i forkurset. De er gjengitt med tillatelse fra Nasjonalt råd for teknologisk utdanning (NRT). Grafisk formgiver: Omslagsdesign: Tekniske tegninger: Frihåndstegninger: Fotografier: Forlagsredaktører:

Kristine Steen Kristine Steen Terje Sundby, Keops Per Ragnar Møkleby s. 116 Lars Rudebjer s. 169 Tysse Mekaniske verksted s. 101 Sigbjørn Hals s. 114, s. 177, s. 239 Getty Images / Arnulf Husmo s. 140 Terje Idland, Bjørn-Terje Smestad og Grete Maus

Sats: HAVE A BOOK, Polen 2016 Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2019 Utgave nr. 3 Opplag nr. 3 ISBN 978-82-02-50907-1 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

coSinus Forkurs F00.indd 2

coSinus Forkurs

05.06.2019 12:48:30

Forord Sinus Forkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for treårig ingeniørutdanning og integrert masterstudium i teknologiske fag og tilhørende halvårig realfagskurs utviklet etter de reviderte planene fra desember 2014. Om grunnboka Sinus Forkurs Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. Grunnboka Sinus Forkurs inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra fysikk og andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder samtidig med at de lærer å bruke de grafiske lommeregnerne fra Casio og Texas. For Casio passer oppskriftene stort sett for alle lommeregnerne i seriene 9750, 9850 og 9860. For Texas passer stoffet for lommeregneren TI-84. Kapitlene er ordnet slik at det vanskeligste stoffet ofte kommer til slutt. Stort sett alle delkapitlene er også ordnet på den måten. Studenter som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av boka. Oppgavestoffet er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel er det et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Helt til slutt i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av. I grunnboka er det brukt en del symboler i margen. Symbolet viser til viktige regler. Symbolet ! viser til nyttige tips. Lommeregnerstoffet begynner med symbolet ON og avslutter med OFF . Oppgavestoffet er markert med symbolet ? . Sammensatte bevis er markert med symbolet .

coSinus Forkurs.indb 3

28.06.2017 09:51:55

Om oppgavesamlingen coSinus Forkurs Oppgavesamlingen coSinus Forkurs inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel og inneholder spesielt mange oppgaver fra faget fysikk. Oppgavestoffet er delt i to deler. Oppgavene i del 1 er ordnet etter delkapitler som i grunnboka. Del 2 inneholder blandede oppgaver. Disse er ikke ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egenhånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. Del 2 inneholder også tidligere eksamensoppgaver i faget. Nettstedet Sinus Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i grunnboka. På nettstedet legger vi beskjed om eventuelle feil i fasit eller i andre deler av boka. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

coSinus Forkurs.indb 4

coSinus Forkurs

28.06.2017 09:51:56

Innhold 1

Tall og variabler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Likningssett og ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Rette linjer og grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Polynomer og rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6

Grenseverdier og derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Logaritmer og eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9

Trigonometri og geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10 Trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11 Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 12

Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Vektorregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Vektorer i rommet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Integralregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

16 Integrasjon og differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 17

Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

18 Mengdelære og kombinatorikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 19

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

coSinus Forkurs.indb 5

28.06.2017 09:51:56

1 Tall og variabler 1.1 TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.110 Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) 9 N b) π c) –3

Q R

Oppgave 1.111 Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) −1 b) 3, 5

{−2, − 1, 0, 1, 2} {−3, π, 3, 5}

Oppgave 1.112 Skriv disse mengdene på listeform. a) Mengden av de hele tallene som er større enn –3 og mindre enn 4. b) Mengden av de positive partallene som er større enn 4 og mindre enn 10. c) Mengden av de positive hele tallene som går opp i 18. Oppgave 1.113 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 c) 4 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4

( d) 4 ( 2

) − 9)

b) 5 7 + 32 3

Oppgave 1.114 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 3 ⋅ 4 + 5 b) 5 + 3 ⋅ 4 c) 6 ⋅ 5 − 4 + 3 ⋅ 2 d) 4 + (12 : 6 ) ⋅ 2 − 3

coSinus Forkurs.indb 6

Oppgave 1.115 Regn ut uten lommeregner. a) 2 ( 3 − 2 ) − 3 ( 4 + 2 ) + ( −2 ) ( −3) b) −3 ( 2 − 5 ) + 5 ( 2 − 1) − 2 ( 4 − 5 ) c) 2 ( −3) − 4 ( 6 − 2 ) + ( −1) d) 4 ( 3 − 1) + 7 ( −2 ) − 3 ( 2 − 4 ) Oppgave 1.116 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 6 ⋅ 22 b) −32 + 2 ⋅ 32 c) 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 52 d) 32 + 3 ⋅ 23 Oppgave 1.117 Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11 1.2 BRØKREGNING

Oppgave 1.120 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 8 19 42 28 a) b) c) d) 64 63 77 38 Oppgave 1.121 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 112 116 150 a) b) c) 224 348 600

coSinus Forkurs > Tall og variabler

28.06.2017 09:52:07

Oppgave 1.122 Skriv brøkene med 18 som nevner. 1 5 2 a) b) c) 9 6 3 Oppgave 1.123 Regn ut uten lommeregner. 3 4 2 2 3 1 a) + − b) − + 5 5 5 5 5 10 2 2 5 1 c) 3 d) + − 3 3 3 6 Oppgave 1.124 Regn ut uten lommeregner. 25 32 3 15 a) ⋅ b) : 16 50 7 28 4 5 4 c) ⋅ d) : 6 15 16 9 Oppgave 1.125 Regn ut både uten og med lommeregner. 2 1 4 5  b)  4 +  ⋅ a) 2 + − 3 7 7 21  7  2 1 c) + 3 −  5 2 30   Oppgave 1.126 Regn ut både uten og med lommeregner. 1 2 2 2 5 a) b) c) 2 3 1 3 10 2 Oppgave 1.127 Regn ut uten lommeregner. 1 2 1 + 1+ 2 a) b) 4 3 1 1 2− 3 12 1 2 1 5 − 3 6 d) 5 25 c) 2 5 1 3 + 3 12 10 5

1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

Oppgave 1.130 Trekk sammen. a) 2 x − 3x + 5 y − 3 y + 4 x b) 2a − 3b + ( 3a − 2b + a ) c) 5 x − 2 y − ( 3x + 4 y ) d) 6a + 2b − ( 5a − 3b ) Oppgave 1.131 Trekk sammen. a) 3 (1 − x ) − 2 ( x − 1) b) 4 ( 2 x − 3) + ( 3x − 2 ) c) a ( 2 − b ) − b ( a − 3) d) ab (1 + 2b ) − 2a b 2 − b

(

)

Oppgave 1.132 Trekk sammen. a) ( 5 x − 3 y ) + ( 2 x − 4 y ) − 2 x b) ( 4a + 2b − 3c ) − ( 2a − 2b + 2c ) c) 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 2 x − 3 y ) + 4 y d) 4 ( 2a − b ) − 2 ( 3a − 3b ) Oppgave 1.133 Regn ut.

(

)

a) 3 a 2 − a + 1 − a ( a − 3)

(

)

b) x + 5 ( x − 1) − 2 x + x 2 − x ( 3 − x ) 2

Oppgave 1.134 Trekk sammen. a) 2 ( a + b ) − 3a + 4b − 3 ( b − a ) b) a ( 2a − 3) − 3a + 2a ( 3 − a ) c) b ( a − 3b ) + ( a + b ) ( a − b ) − ab Oppgave 1.135 Multipliser ut og trekk sammen. a) ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) − ( 2 x + 1) ( 2 x − 1) b) 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) c) 3 ( x − 2 ) ( x − 3) − 5 ( x − 1) ( x − 2 ) d) 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 )

coSinus Forkurs.indb 7

28.06.2017 09:52:42

Oppgave 1.136 Multipliser ut og trekk sammen. 2 a) ( a + 3b ) ( a − 3) 3 1 b) ( a + 2b ) ( 5a − 10b ) 5 31  4  c)  a − b   a + b  43 3  

Oppgave 1.142 Trekk sammen. a 5 a 2 + 25 a) − + 5 a 5a b − 2 2b + 1 1 2 b) + − + b 3b 3 b 2 z z − 4 z − 21 + − c) 7z 7 z

Oppgave 1.137 I denne oppgaven er bare tallene 2, 3 og 4 brukt. Finn x, y og z når

Oppgave 1.143 Regn ut. 4 x2 6 y3 5a 15a a) ⋅ b) : 2 y 2x 2b 6b 2 2b − 3 1 1 + − c) 3a 2b 6ab 2 2  3x x d)  +  x 4 6

x ( x + y ) − z ( x − z ) = 21 1.4 RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 1.140 Skriv så enkelt som mulig. 2a − 1 12a − 3 a) a − + 4 2 2a 2a + 1 3a − 5 + − b) 35 5 7 x 2x + 3 x − + c) 24 12 8 7x − 1 2x − 2 + d) 3x − 3 2 Oppgave 1.141 Trekk sammen. 1 2 3 a) + − 2 x 4x 2 x 3 b) − + x 2 2x 4 2 1 c) x 3x 6 3 4 1 + d) − 5 5x x y y −1 y + 2 + e) − 4 3 6

coSinus Forkurs.indb 8

Oppgave 1.144 Regn ut. 3a 2 b 12 a) ⋅ 9ab 2 4

2 x3 8 x 2 y : 5y 10

x- 2 1 4 2 x x 2x 5  y  10 15 d)  2 − +  5 y 2y  y c)

Oppgave 1.145 Regn ut. 1 2 + a) 2 x 3x 3 3 − x 2x

2 1 b) 5 x x 3 1 10 x 2 x

Oppgave 1.146 Regn ut de brudne brøkene. 3 1 9 1 − + x x + x + 4 5 2 2 a) b) 1 4 3 − x+2 4 2x

coSinus Forkurs > Tall og variabler

28.06.2017 09:53:08

1.5 POTENSER

1.6 FLERE POTENSREGLER

Oppgave 1.150 Regn ut. 4 a) 24 b) ( −2 )

Oppgave 1.160 Regn ut og skriv svarene enklest mulig. c) -24

(3 y )

c) 25 23 33 d) 4 3

Oppgave 1.152 Regn ut. 32 ⋅ 34 30 ⋅ 34

a) 24 ⋅ 25 ⋅ 2−7

42 c) 2 ⋅ 2 ⋅ 3 4

26 ⋅ 2−3 d) −1 2 2 ⋅2

−4

Oppgave 1.153 Regn ut. 23 ⋅ 33 ⋅ 25 a) 32 ⋅ 28 Oppgave 1.154 Regn ut. 33 ⋅ 2−2 ⋅ 3−4 a) 2−1 ⋅ 3−2

−2

(

d) 2 ⋅ 32

(6 y )

) ⋅ (2 −2

−2

⋅ 33

)

Oppgave 1.161 Regn ut og skriv svaret som en brøk. 2 a)   5

 2x  c)    3 

52 ⋅ 2 6 ⋅ 54 2 2 ⋅ 54 ⋅ 2 4

−1

−2

 4  d)    5x 

−1

2 5  

−2

2 5  

 2 − 5   

−2

2 ⋅   3

5 2  

−3

 y2   x  b)  2  ⋅   y   x 

−4

1 1 1 c) 22 +   +   +   2 2 4 b) a 2 n ⋅ a1 − n ⋅ a −2

Oppgave 1.163 Regn ut og skriv svaret som en brøk. 2 a)   5

40 ⋅ 23 ⋅ 4−1 b) 4−2 ⋅ 24

3 b)   5

Oppgave 1.162 Sorter tallene i stigende rekkefølge med det minste tallet først. 2 2 5  5 

Oppgave 1.156 Hvilke to forskjellige positive hele tall x og y er slik at x =y

−2

Oppgave 1.155 Regn ut. a 3 ⋅ a −5 a) −3 2 a ⋅a

( )

b) ( xy ) ⋅ xy 2

−3

c) 50 ⋅ 5

Oppgave 1.151 Regn ut. a) 23 ⋅ 24

a) ( 2 x ) ⋅ ( 3x )

Oppgave 1.164 Regn ut.

( )

a) 7 ⋅ 7 3

( 2a )

−1

(

⋅ 23 a 2

−2

(3b ) (b ) 2

−2

)

−2

−1

−3

−2

coSinus Forkurs.indb 9

28.06.2017 09:53:36

Oppgave 1.165 Skriv så enkelt som mulig.

(a ) 3

−2

( 2x)

⋅ a0

a −5 ⋅ a −1 3−3 ⋅ 22 ⋅ 3−2 c) 3−4 ⋅ 9−1

( )

⋅ x2

Oppgave 1.171 Regn ut uten hjelpemiddel. Skriv svaret på standardform.

−2

( ) ( ) b) ( 8, 5 ⋅ 10 ) ⋅ ( 4 ⋅ 10 ) c) ( 3, 2 ⋅ 10 ) ⋅ ( 4 ⋅ 10 ) a) 2, 5 ⋅ 104 ⋅ 3 ⋅ 1012

Oppgave 1.166 Skriv så enkelt som mulig. a)

(

a2 ⋅ a2 ⋅ b

(b ) 3

)

⋅a

3−1 ⋅ a −1 ⋅ b −1

(

−2

6 ⋅ a ⋅b

)

Oppgave 1.167 Skriv så enkelt som mulig.

) ( 3

⋅ y ⋅ x −1 ⋅ y 2

(2x ⋅ y ) 3

)

−1

Oppgave 1.168 Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall.

( ) ( ) b) ( 3 ⋅ 10 ) ⋅ ( 2 ⋅ 10 ) ( 4 ⋅10 ) ⋅ ( 2 ) c) (2 ) (3 ⋅10 ) ⋅ (3 ) ⋅10 d) 3

a) 2 ⋅ 10− 2 ⋅ 3 ⋅104 2

−1

−2

−3

−2

−1

( 2 ⋅10 )

1.7 TALL PÅ STANDARDFORM

Oppgave 1.170 Hvilke tall er like store av 3, 4 ⋅ 106 34 000 000 0, 34 ⋅ 108 34 ⋅ 105

coSinus Forkurs.indb 10

−2

−6

8, 4 ⋅ 10−9 2,1 ⋅ 10−3

Oppgave 1.172 Skriv på standardform. a) Lysfarten: 300 000 000 m/s b) Elektronmassen: 0 ,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg c) Lengden av et lysår: 9 460 000 000 000 000 m d) Elementærladningen: 0,000 000 000 000 000 000 160 C (C = coulomb) Oppgave 1.173 a) Skriv størrelsene på standardform med SI-enheter (m, kg, s). 1) 0,0000076 mm 2) 3589 tonn 3) 8 timer 45 min 26 s b) Regn ut og skriv svaret på standardform med SI-enheter. 1) 450 tonn ⋅ 275 km 2) 25 mg ⋅ 58 940 km/s 3) 95 ⋅ 10−12 g ⋅ 15 mm/s 2 Oppgave 1.174 Regn ut med lommeregner. Skriv svaret på standardform. 1, 234 ⋅ 0, 003456 a) 0, 000003421 123489, 7 ⋅ 345698, 8 b) 0, 8 ⋅ 6941, 9 c) 2, 3 ⋅ 105 ⋅ 6, 9 ⋅ 107 ⋅ 5, 9 ⋅ 109 d) 1, 7 ⋅ 10−4 ⋅ 4, 4 ⋅ 10−8 ⋅ 6, 0 ⋅ 103

coSinus Forkurs > Tall og variabler

28.06.2017 09:53:54

Oppgave 1.175 I et glass vann (180 g) er det 6 ⋅ 1024 molekyler. Hvor stor er massen til et vannmolekyl? Skriv svaret på standardform. Oppgave 1.176 En bakterie har lengden 2 10 5 mm. Hvor mange bakterier er det plass til langs en fingernegl med bredden 1 cm? Skriv svaret på standardform. Oppgave 1.177 a) Et atom har radien 10−7 mm. Hvor mange slike atomer går det ved siden av hverandre på 1 m? Skriv svaret på standardform. b) Kjernen i atomet har radien 10−11 mm. Finn forholdet mellom radien i atomet og radien i kjernen. Oppgave 1.178 a) Regn ut hvor mange timer det er i 1 århundre. Vi ser bort fra skuddår. Skriv svaret på standardform. b) 1 mikroårhundre er 1 10 6 århundre. Regn ut om én undervisningstime på 60 minutter er mer eller mindre enn ett mikroårhundre.

1.8 K VADRATRØTTER OG RØTTER AV HØYERE ORDEN

Oppgave 1.180 Regn ut uten hjelpemiddel. 1 9 a) b) 4 25 81 75 d) c) 169 3 Oppgave 1.181 Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at a) 8 = 2 2 b)

72 = 6 2

27 = 3 3

200 = 10 2

Oppgave 1.182 Regn ut uten lommeregner. b) 3 125 a) 4 16 c) 5 32 d) 3 −1 e) 5 −32 f) 6 1012 Oppgave 1.183 Bruk lommeregner og regn ut. a) 4 2, 36 b) 5 12, 6 c)

Oppgave 1.179 Solradien er r = 698 000 000 m, og solmassen er M = 2 ⋅ 1030 kg. a) Bruk formelen for volumet av ei kule V

4 3 r 3

til å regne ut volumet av sola i kubikkmeter. b) Bruk formelen M T V

32, 9

coSinus Forkurs Tit01.indd 11

−345

Oppgave 1.184 Regn ut uten lommeregner. a)

8 ⋅ 103

0, 0001

0, 64 ⋅ 108

Oppgave 1.185 Regn ut uten lommeregner. a)

27 + 2 ⋅

5 16 c) 2 2 3

b) 3 3

til å finne gjennomsnittstettheten T av sola.

05.06.2019 12:50:23

Oppgave 1.186 Forenkle uttrykket så mye som mulig.  a2     b 

−2

b a ⋅  −3  a 

  

1.9 P OTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT

Oppgave 1.190 a) Regn ut uten lommeregner. 1

1) 27 3 Oppgave 1.187 Overflatearealet O av ei kule med radius r er O = 4πr 2. Ei kule har overflatearealet 50,24 cm2. Regn ut radien r. Oppgave 1.188 Utstrålingstettheten M fra et himmellegeme er et mål for hvor mye energi som stråler ut fra 1 m2 av himmellegemet per sekund. Dersom vi måler overflatetemperaturen T i kelvin (K), har vi M = k ⋅ T4 der k = 5, 67 ⋅ 10 W/ ( m K ). Sammenhengen mellom temperaturen T i kelvin og temperaturen t i celsiusgrader er gitt ved −8

T = 273 + t a) For sola er M = 6, 42 ⋅ 107 W/m 2 . Finn overflatetemperaturen på sola målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader b) For jorda uten atmosfære er M = 235 W/m 2 . Finn overflatetemperaturen på jorda uten atmosfære målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader c) Drøft svaret i punkt b2. Hva kan grunnen være til at overflatetemperaturen på jorda er høyere enn dette svaret?

coSinus Forkurs.indb 12

2) 2

3) 125 3

( 4)

b) Kontroller utregningene ved å bruke lommeregner. Oppgave 1.191 Regn ut uten lommeregner. 3

 1 2 a) 16 6 

 6 3 b)  32 5 

1 c)   8

−

1    16  2   d)     81    

1 3

−

1 2

Oppgave 1.192 Bruk lommeregner og regn ut. 1

 1 2 b)   2

d) 10

3 5

(7 ) 2 3

2, 5 5

Oppgave 1.193 Regn ut uten lommeregner. 2

a) 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 6 1

( ) 1

52 ⋅ 52 5

2 3

1 3

3⋅33⋅63 1

23 ⋅ 2

−

1 4

(2 )

1 −5 12

Oppgave 1.194 Skriv så enkelt som mulig når a > 0. 3 a ⋅ 4 a ⋅ 6 a ⋅ 12 a a) a 4 3 6 a ⋅ a ⋅ a ⋅ 12 a b) a3

coSinus Forkurs > Tall og variabler

28.06.2017 09:54:37

Oppgave 1.195 Skriv så enkelt som mulig uten å bruke lommeregner. a) 12 − 27 + 48 b) 18 − 32 + 2 c) 6 + 54 − 24 Oppgave 1.196 Løs oppgaven uten bruk av lommeregner. a) Regn ut og skriv svaret som en brøk. 52 ⋅ 5−3 1) 5 2) 20 − 2−1 + 2−2 − 2−3 b) Regn ut. 2⋅4 2 1) 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 2 2) 2 c) Vis at 5 + 20 + 45 + 80 = 10 5 d) Regn ut. 2 3

( ) ⋅ (7 )

1) 7 ⋅ 7 1

1 2

1 3

1 7 3

2) 3 2 + 9 4 + (12 ) 2

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 1.200 Regn ut uten lommeregner. a) 4 ⋅ 5 + 7 − 3 ⋅ 4 b) 3 + 4 ⋅ 22 + 6 − 2 ⋅ 4 Oppgave 1.201 Vi har en liten kopperfilspon og finner ut at den veier 0,016 mg. Et kopperatom veier 1, 06 ⋅ 10−22 g. Hvor mange kopperatomer er det i den lille sponen? Oppgave 1.202 a) Regn ut. −2

1) 3 ⋅ 3 4

T = 276 ⋅ x

−

1 2

a) Finn temperaturen på en meteoritt når avstanden til sola er 4 AE. b) Finn avstanden fra sola til en meteoritt når temperaturen er 92 K.

⋅ 2−2

b) Skriv på standardform. 1) 0, 0000056 ⋅ 0, 0007 2, 78 ⋅ 1012 ⋅ 7, 72 ⋅ 105 39 000 c) Skriv så enkelt som mulig. 2)

2 1 3

1) x ⋅ x Oppgave 1.197 Meteoritter er små legemer som kretser rundt sola. Temperaturen på meteorittene er avhengig av avstanden til sola. Temperaturen T på disse meteorittene blir målt i enheten kelvin (K). Avstanden x til sola er målt med avstanden mellom jorda og sola som enhet (astronomisk enhet, AE). Sammenhengen mellom T og x er gitt ved formelen

( 2a )

2 3

y5 ⋅ y

Oppgave 1.203 a) Regn ut. 30 1) 33 ⋅ 3−2 ⋅ 2 3

3 5

4a8 ⋅ 2a −1

( 2a ) 2

b) Regn ut. 2

16 ⋅ 4

1 2

23 ⋅2 6

−

1 2

Oppgave 1.204 Regn ut. 3 4  a)  2 −  ⋅ 8  13  1 11  1 b)  − 1 +  2 −  3 2 5  2

coSinus Forkurs.indb 13

28.06.2017 09:54:55

Oppgave 1.205 a) Regn ut. −2

25 ⋅ 2−3 3  2 2) ( 2 x ) ⋅   22 x b) Skriv på standardform og regn ut. 1)

25 000 000 ⋅ 0, 000036 0, 0000003 c) Regn ut. 1

(3 ) 1 2

⋅ 3 3

22 ⋅ 3 2 2

−

1 6

Oppgave 1.207 Multipliser ut og trekk sammen. a) ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) − ( 2 x + 1) ( 2 x − 1) b) 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) c) 3 ( x − 2 ) ( x − 3) − 5 ( x − 1) ( x − 2 ) d) 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 )

(

) (

b) 3 a 2 − b + 1 − 2 a 2 − 2b + 3

)

Oppgave 1.209 Skriv så enkelt som mulig. a 1  11a  a) a − −  − 2a  2 3 4  b b + 2 2b − 3 b) − + 2 4 3

coSinus Forkurs.indb 14

1 11  1 − 1 −  2 −   23 3  5 2a 5 1− + 2a 3 9 d) c) 1 − 2a 2 1 + −a 3 6 9 b)

Oppgave 1.211 Regn ut.

Oppgave 1.206 Lysfarten er 3, 00 ⋅ 108 m/s. Avstanden fra månen til jorda er 384 400 km. a) Hvor lang tid bruker lys på å komme fra månen til jorda? b) Avstanden fra sola til jorda er 149 600 000 km. Hvor lang tid bruker lyset på å komme fra sola til jorda? Oppgi svaret i minutter og sekunder.

Oppgave 1.208 Regn ut. a) 3 ⋅ (14 − 8 ) + 32 ⋅ ( 5 − 6 )

Oppgave 1.210 Regn ut. 7 4  a)  2 −  ⋅ 8 9 

(

) (

)

a) 6 23 − 22 − 3 32 − 1

1 1 1 b) 2 −  + +  2 3 4 2 c) x + 5 ( x − 1) − 2 x + x 2 − x ( 3 − x )

(

)

Oppgave 1.212 Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 2 x −4 ⋅ y ⋅ 3 y 3 6y

−

3 2

⋅ 3 x3

Oppgave 1.213 Forenkle uttrykket så mye som mulig.  2 x2     y 

−2

 x ⋅  −2  y 

Oppgave 1.214 Regn ut. a) 2 ( 5 − 2 ) ⋅ 23 − 52 ⋅ (8 − 6 ) 11 1   b) 2  − 1 + 3 −  + 2  2 x x   a +1 c) 2 1 2a − 6 3

coSinus Forkurs > Tall og variabler

28.06.2017 09:55:16

Oppgave 1.215 Skriv så enkelt som mulig. x − 1 3x − 4 3x − 2 a) − + 3 9 6 y-2 1 2- y b) - y 3 2y

Oppgave 1.220 (Eksamen 2009) Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 2a −2 ⋅ b ⋅ 3 a 6a −3 ⋅ 3 b 2 Oppgave 1.221 (Eksamen 2010) Regn ut og gi svaret i eksakt verdi.

Oppgave 1.216 Regn ut.  x a) ( 2 x ) ⋅   3

−1

( 2a ) ⋅ a −5 −3 2 4 ⋅ ( 2a )

Oppgave 1.217 Regn ut uten lommeregner.

1 32 ⋅ 4a ⋅   a

( ) (3b ) (b ) ( 2a ) ⋅ ( 2 a ) (2 a ) 2

−1

1 3 3 2 a  a  3 6a  27  ⋅ a 2 ⋅ 2  

−3

−2

Oppgave 1.224 (Eksamen 2015) Forenkle uttrykket så mye som mulig.

−2

b) Regn ut og skriv på standardform.

( ) 2) ( 5,1 ⋅ 10 + 2,0 ⋅ 10 ) 1) 2, 5 ⋅ 103

−3

Oppgave 1.223 (Eksamen 2014) Gjør uttrykket så enkelt som mulig.

−2

−1

27 ⋅ 3−1

2 5

Oppgave 1.218 a) Regn ut. 1) 7 ⋅ 7

3 ⋅ 32

Oppgave 1.222 (Eksamen 2012) Skriv så enkelt som mulig.

3 ⋅ 16 2 ⋅ 8 3

−4

 a2   a a   ⋅  3 b   b

  

Oppgave 1.219 Tre studenter har gjort et arbeid sammen. De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye hver enkelt har gjort. Den ene studenten har gjort 52 av arbeidet, mens student nr. 2 har gjort 13 av jobben. Hvor stor del av inntekten skal den tredje studenten ha?

coSinus Forkurs.indb 15

28.06.2017 09:55:25

2 Algebra 2.1 LIKNINGER

Oppgave 2.110 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 0, 3x + 1, 7 x = 3, 6 + 0, 2 x b) 1, 5 x − 0, 2 = 1, 3x + 0, 6 c) 0, 6 − 2 ( 0, 2 x + 0, 3) = 0,1x + 2, 5 Oppgave 2.111 Løs likningene. 2 1 a) t − ( 7 − t ) = 0 3 2 1 1  b) 2  − t  − 2t = 2 3   4  7  c) 2 1 − s  + s = 5 5   Oppgave 2.112 Løs likningene. a) 2 x + 2 − 3 (1 − x ) = 5 − x 1 3 1 b) t + = ( t − 3) 2 2 6 1 3 c) ( s − 1) − (1 − s ) = 0 5 10 2 1 1  1 1  d) s −  s −  = −  s −  − 3 3 2  2 3  Oppgave 2.113 Løs likningene. 1 1 1 a) ( x − 1) − (1 − x ) = x + ( x − 1) 2 3 6 x 1 1 x 7  1 b) 1 − −  − 3x  = 1 −  + 2 3 2 2 2    12 1 1 c) 2 x 2 − 2 ( 2 − 3x ) + x = x (1 + 2 x ) − 3 2

coSinus Forkurs.indb 16

Oppgave 2.114 Løs om mulig likningene. x +1 3 1 a) + = 2 x x 1 1 b) 1 − = ( 2 + 3x ) ⋅ x x 1 2 3 c) − = x + 2 x +1 x + 2 1 1 2x − 1 d) + = 1 − x x x (1 − x ) 2x 5 6 x 8x e) − +1 = − 15 3 x 5 Oppgave 2.115 Løs likningene. 1 11  a)  + 3  = 1 − 2 x x  3 2 5 b) ( x − 1) − (1 − x ) = x 3 2 2 1 1 2 2  − = 4 − c)  x x +1  x x + 1 x 1 d) + =1 x −1 x Oppgave 2.116 I et studium kunne studentene velge mellom tre prosjektoppgaver: oppgave A, oppgave B og oppgave C. Halvparten av studentene valgte oppgave A, en femtedel valgte oppgave B, og resten av studentene valgte oppgave C. Det var 9 studenter som valgte prosjektoppgave C. Hvor mange studenter var det på dette studiet?

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:55:37

2.2 FORMLER

Oppgave 2.120 Tenk deg at du kjører bil med farten 20 m/s. Mobiltelefonen ringer, og du er ukonsentrert i 1 s. a) Finn farten i kilometer per time. b) Hvor langt ruller bilen mens du er ukonsentrert? Oppgave 2.121 Lydfarten i luft er 340 m/s. Du ser et lyn, og 7,0 sekunder seinere hører du tordenskrallet. a) Finn lydfarten i kilometer per time. b) Hvor langt unna er lynnedslaget? Oppgave 2.122 Ferja MF Tjøtta kan holde en fart på 13 knop. Sett 1 knop = 1 nautisk mil/time = 1,9 km/h. a) Finn farten på ferja i kilometer per time. b) Finn farten på ferja i meter per sekund. Ta med én desimal i svaret. Oppgave 2.123 Den kinetiske energien E til et legeme med massen m og farten v er gitt ved

Oppgave 2.125 En bil starter fra ro og kjører rett fram med konstant akselerasjon. Farten er 10 m/s etter 4,0 s. a) Hvor stor er akselerasjonen? b) Hvor langt kjører bilen på de første 4,0 s? c) Hvor langt kjører bilen på de neste 4,0 s? Gå ut fra at akselerasjonen er konstant. d) Hvor stor fart har bilen 8,0 s etter at den startet? Gi svaret i kilometer per time. Oppgave 2.126 Når vi kjenner brystmålet og kroppslengden til en hest, kan vi med god tilnærming regne ut hvor tung hesten er. Dersom kroppslengden er k centimeter og brystmålet er b centimeter, finner vi vekta v i kilogram ved hjelp av formelen v=

b2 ⋅ k 11 880 Brystmål lengde

Kropps

formelen E = mv 2 . 2

Finn v uttrykt ved E og m. Oppgave 2.124 Ola kjører på en motorvei i 78 km/h. Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet? 2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Hvor lang tid går det før Kari tar igjen Ola? Hvor langt fra målepunktet er de da?

a) En hest har brystmålet 180 cm og kroppslengden 160 cm. Finn vekta. b) 1) Finn en formel for k uttrykt ved v og b. 2) En hest veier 475 kg og har brystmålet 185 cm. Finn kroppslengden. c) 1) Finn en formel for b uttrykt ved v og k. 2) En hest veier 452 kg og har kroppslengden 162 cm. Finn brystmålet.

coSinus Forkurs.indb 17

28.06.2017 09:55:38

Oppgave 2.127 En av bevegelseslikningene i fysikk er v 2 − v0 2 = 2as. a) Bruk formelen til å finne en formel for akselerasjonen a uttrykt med v, v0 og s. b) En bil øker farten jevnt fra 18 m/s til 25 m/s på en strekning på 50 m. Finn akselerasjonen. Oppgave 2.128 Vi har gitt disse to formlene for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon: v = v0 + at 1 s = v0 t + at 2 2

( x + 2y) − ( x − 2y) 2

Oppgave 2.135 Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den andre kvadratsetningen. b a

2.3 KVADRATSETNINGENE

Oppgave 2.130 Bruk kvadratsetningene og regn ut. c) ( x − 8 )

a) ( x + 5 ) − ( x + 5 ) ( x − 5 ) 2

b) ( x − 3) − ( x + 3) 2

c) ( t + 1) + ( t − 1) + ( t + 1) ( t − 1) 2

d) 2 ( t + 2 ) ( t − 2 ) − 3 ( t − 3)

Oppgave 2.132 Bruk kvadratsetningene og regn ut. b) ( 3 y + 2 ) a) ( 2 x − 1) c) ( 3a + 2 ) ( 2 + 3a ) d) ( t + 1) (1 − t ) 2

coSinus Forkurs.indb 18

d) ( 2 x − 1) ( 2 x + 1)

Oppgave 2.131 Bruk kvadratsetningene og regn ut.

b) ( x − 7 ) ( x + 7 )

− 4 x ( 2 y − 1)

Oppgave 2.134 Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den første kvadratsetningen.

v0 + v t 2

a) ( x + 10 )

Bruk de to formlene ovenfor og vis at den tilbakelagte strekningen er gitt ved formelen s=

Oppgave 2.133 Trekk sammen.

Oppgave 2.136 Regn ut uten å bruke lommeregner.

( b) ( c) ( d) ( a)

)(

3 +1

)

3 −1

)( 5 − 2 ) 7 ) ( 13 + 7 ) 4 ) ( 25 + 1 )

5+ 2 13 − 16 +

Oppgave 2.137 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. c) 38 ⋅ 42 a) 21 ⋅ 19 b) 17 ⋅ 23 d) 16 ⋅ 34 e) 182 f) 232

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:55:52

2.4 FAKTORISERING

Oppgave 2.140 Faktoriser uttrykkene. a) 4 x 2 + 2 x b) xy 2 - yx 2 c) 3t 2 - 6t 3 d) 2a 2 − 8ab + 10ab 2 3 2 2 3 e) 27a b - 81a b Oppgave 2.141 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) -4 x 2 - 8 b) −3xyz + 12 xz 2 b) 6a - 35b d) 2 x 4 z 2 + 3x 2 z 3 Oppgave 2.142 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av konjugatsetningen hvis det lar seg gjøre. a) x 2 - y 2 b) 4 x 2 - 16 2 2 c) 25a + 36b d) 100 - 81a 2b 4 Oppgave 2.143 Faktoriser uttrykkene. a) 5 xy + 25 y 2 b) 2ab 2 - 4a 2 b c) 10 x + 25 d) 14a 2 - 28ab

Oppgave 2.151 Faktoriser og forkort. 2 x2 - 2 x3 − 4 x a) b) 2x + 4 x2 - x Oppgave 2.152 Forkort om mulig brøkene. 2 x2 + 2 2x + 2 a) b) 2 4x − 4 ( x + 1) c)

x3 + 4 x 2 + 4 x x2 + 2 x

x2 − 4 x2 + 4 x

Oppgave 2.153 a) 1) Regn ut ( x + 3) . 2) Forkort brøken 2

x2 + 6 x + 9 x+3 b) 1) Regn ut ( x − 5 ) . 2) Forkort brøken 2

x 2 − 25 x − 10 x + 25 2

Oppgave 2.144 Faktoriser uttrykkene. a) ( x + 2 ) − 4 2

b) ( y − 1) − 9 2

c) ( a + 3) − ( a − 2 ) 2

d) ( 3x − y ) − ( 2 x + y ) 2

2.5 F ORKORTING AV RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 2.150 Regn ut. x − 1 3x + 9 30 y 2 x 2 + 2 x a) ⋅ b) ⋅ 3 2x − 2 x 5y 2 3 3 2 14 ab −ab c) ⋅ 21 b−a 2 d) ( 3x − 3) ⋅ 4 − 4x

Oppgave 2.154 Finn fellesnevneren og trekk sammen. 2 1 3 1 a) + b) + x −1 2 x x +1 3 1 1 1 c) d) + x−2 x+2 a - 3 2a Oppgave 2.155 Regn ut. x −1 4 a) ⋅ 2 2 x −1 2 3 3 + b) + x x + 1 x ( x + 1) x2 − 4 9x c) ⋅ 2 3 x + 2x 2 2 x d) − − 2 x −1 x +1 x −1

coSinus Forkurs.indb 19

28.06.2017 09:56:17

2.6 FULLSTENDIGE KVADRATER

Oppgave 2.160 Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater, og faktoriser de fullstendige kvadratene. a) x 2 + 4 x + 4 b) x 2 + 9 2 c) x − 6 x + 9 d) x 2 + 8 x − 16 Oppgave 2.161 Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x 2 + 22 x + c b) x 2 − 26 x + c 2 c) 9 y + 30 y + c d) 4a 2 − 28a + c Oppgave 2.162 Finn tallet b slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x 2 + bx + 25 b) 4 y 2 + 2by + 9 Oppgave 2.163 Faktoriser uttrykkene. a) x 2 + 12 x + 36 b) y 2 − 14 y + 49 c) 4 x 2 − 16 x + 16 d) 9a 2 − 30ab + 25b 2 Oppgave 2.164 a) Faktoriser uttrykket.

Oppgave 2.166 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) 2 x 2 - 2 x - 12 b) 3x 2 + 6 x + 6 2 c) 5t - 20 d) 2 x 2 + 3x − 2 Oppgave 2.167 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) x 2 − 6 x + 8 b) 2 x 2 + 3x + 5 2 c) x + 10 x + 24 d) x 2 − 3x + 8 Oppgave 2.168 a) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere x2 − 5x + 4 b) Finn fellesnevneren og trekk sammen. 2x 6x x + − x − 1 x − 4 x2 − 5x + 4 Oppgave 2.169 a) Faktoriser uttrykket. x2 + 2 x − 8 b) Trekk sammen. 2x 6x x + − 2 x − 2 x + 4 x + 2x − 8

x 2 − 12 x + 36 b) Forkort brøken. 2 x − 12 1) 2 x − 12 x + 36 x 2 − 36 2) 2 x − 12 x + 36 Oppgave 2.165 Faktoriser uttrykkene. Kontroller utregningene ved multiplikasjon. a) x 2 + x − 2 b) x 2 − 5 x + 6 2 c) a - 3a - 4 d) y 2 + 7 y + 10

coSinus Forkurs.indb 20

2.7 ANDREGRADSLIKNINGER MED TO LEDD

Oppgave 2.170 Løs likningene. a) x 2 = 25 c) 2 x 2 = 72

b) x 2 − 100 = 0 d) x 2 + 4 = 0

Oppgave 2.171 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x ( x − 3) = 0 b) x ( x + 4 ) = 0

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:56:38

Oppgave 2.172 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) ( x − 9 ) ( x + 9 ) = 0 b) x ( 5 x − 10 ) = 0 c) x ( 7 x + 21) = 0 d) x ( 2 x − 5 ) = 0 Oppgave 2.173 Løs likningene. a) 2 x 2 = 50 b) 3x 2 − 12 x = 0 2 10 c) x 2 − =0 5 9 d) −2 x 2 + 3x = 0

2.8 ANDREGRADSFORMELEN

Oppgave 2.180 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 2 + 2 x − 8 = 0 b) x 2 − 7 x + 12 = 0 c) x 2 − 5 x − 150 = 0 d) x 2 + 26 x + 25 = 0 e) x 2 − 7 x + 10 = 0 f) x 2 + 4 x − 21 = 0 Oppgave 2.181 Løs likningene. a) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 b) x 2 + 10 x + 25 = 0 c) −6 x 2 + x = −1 d) 9 x 2 − 12 x = −4

Oppgave 2.174 Løs likningene. a) x 2 + 1 = 2 x 2 − 3 b) x 2 = 9 x c) x 2 = 16 d) ( x − 5 ) ( x + 1) = 0

Oppgave 2.182 Løs likningene. a) 5k 2 + 3k = 0 b) y 2 − 4 y + 5 = 0 c) 3z 2 + 12 = 0

Oppgave 2.175 Løs likningene. a) t 2 + 2t − 8 = 2t − 4 b) 2 z 2 + 3z + 7 = z 2 + z + 7 c) −r 2 + 4r = 0

Oppgave 2.183 Bestem c slik at likningen x 2 + 5 x + c = 0 bare har én løsning.

Oppgave 2.176 I en trekant er høyden tre enheter lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er lik arealet av et kvadrat med like lange sider som grunnlinja i trekanten. Finn arealet av kvadratet. Oppgave 2.177 Et jordstykke har form som et rektangel. Den lengste siden er tre ganger så lang som den korte. Arealet er 147 m2. Hvor lange er sidene?

d) ( t − 1) + 4 ( t − 1) + 4 = 0 2

Oppgave 2.184 a) I et rektangel er den ene siden 3 cm lengre enn den andre siden. Arealet av rektangelet er 70 cm2. Finn sidene i rektangelet. b) I en trekant er høyden 5 cm kortere enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 42 cm2. Finn høyden og grunnlinja i trekanten. c) I en rettvinklet trekant er den ene kateten 2 cm kortere enn den andre kateten. Hypotenusen er 10 cm. Finn lengden av katetene.

coSinus Forkurs.indb 21

28.06.2017 09:56:54

Oppgave 2.185 En park har form som et rektangel med bredde 30 m og lengde 40 m. Det skal lages to gangstier i parken med samme bredde x slik figuren viser. Gangstiene krysser hverandre og har et samlet areal på 325 m2. Finn bredden x av gangstiene. x

30 m x

x 40 m

Oppgave 2.186 Vi har 0,1 g av et radioaktivt stoff. Stoffet brytes ned, og massen av stoffet målt i gram etter t timer er gitt ved formelen m = 0,1 − 0, 012t + 0, 0005t 2 Formelen gjelder bare for de 8 første timene av nedbrytingen. Hvor lang tid går det før massen er halvert? 2.9 F AKTORISERING AV ANDREGRADSUTTRYKK

Oppgave 2.190 Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 3x + 2 b) x 2 − 6 x + 8 b) x 2 + 2 x − 3 d) x 2 + 7 x + 10 Oppgave 2.191 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) 2 x 2 - 2 x - 12 b) 2 x 2 + 3x − 2 x 1 c) −3x 2 − 9 x + 12 d) − x 2 − + 4 8

22 22

coSinus Forkurs.indb 22

Oppgave 2.192 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) −2 x 2 + 2 x + 12 b) 3x 2 + 6 x + 6 c) 5t 2 - 20 d) 2 x 2 + 3x − 2 Oppgave 2.193 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 9 x 2 - 3x - 2 b) x 2 + 4 x + 5 4 4 c) t 2 − t + d) s 3 + 6 s 2 − 7 s 3 9 Oppgave 2.194 Finn et andregradsuttrykk som har nullpunktene a) x 2= = og x 9 b) x = −4 og x = 5 Oppgave 2.195 Faktoriser uttrykkene i hodet. a) x 2 + 3x + 2 b) x 2 - 2 x - 3 2 c) x + 2 x − 8 d) x 2 − 6 x + 5 Oppgave 2.196 a) Vis at

( x − 1) ( x − 9 ) = x 2 − 10 x + 9 b) Løs likningen x 2 − 10 x + 9 = 0. Oppgave 2.197 Regn ut. x2 − 9 a) 2 ( x + 3) x −1 4 b) ⋅ 2 2 x −1 2 3 3 c) + + x x + 1 x ( x + 1) x2 − 4 9x ⋅ 2 d) 3 x + 2x 2 2 x − − e) x − 1 x + 1 x2 − 1

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:57:10

Oppgave 2.198 Finn fellesnevneren og trekk sammen. x x+2 x−2 a) 2 + − x −1 x −1 x + 1 x+2 2 + b) x − 1 x 2 − 2 x +1 2 x2 x c) − 2 2x + 4 x + 4x + 4 Oppgave 2.199 a) Faktoriser uttrykket x 2 − 5 x + 4 . b) Finn fellesnevneren og trekk sammen. 2x 6x x + − 2 x − 1 x − 4 x − 5x + 4

Oppgave 2.204 a) Vis at x 2 + 10 x + 25 er et fullstendig kvadrat. b) Faktoriser og forkort brøken. x 2 + 10 x + 25 x2 + 5x Oppgave 2.205 a) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere. 2 x2 − 9 x + 9 b) Faktoriser og forkort brøken. 4x − 6 2x − 9x + 9 2

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 2.200 Faktoriser uttrykkene. a) 2 x 2 - 8 y 2 b) 3ab 2 - 27 a 3 2 2 c) −5 x + 20 z d) 4 x3 y 2 - 16 xy 4 Oppgave 2.201 Regn ut ved å bruke kvadratsetningene. a) ( x − 9 )

b) ( 2 x − y ) ( 2 x + y )

1  c)  x + 2  2 

d) ( 3a + b ) ( b − 3a )

Oppgave 2.202 Regn ut.

( x − y) −( x − 2y) 2

− 2 x ( y − 1)

Oppgave 2.203 Skriv uttrykket så enkelt som mulig. xy - 3 y x2 y - 9 y

Oppgave 2.206 Hvilke faktorer må stå i de åpne rutene for at ⋅ ( y + x) −

⋅ ( y − x ) = x2 + y 2

Oppgave 2.207 En bil øker farten jevnt fra v0 til v i løpet av tida t. Bilen tilbakelegger da strekningen s. a) Finn en formel for akselerasjonen a uttrykt ved v0 , s og t. b) Finn akselerasjonen når bilen starter fra ro og kjører 150 m på 10 s. Oppgave 2.208 a) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere. x2 + 2 x − 3 b) Finn fellesnevneren og trekk sammen. 2x 4x x + − x − 1 x + 3 x2 + 2 x − 3

coSinus Forkurs.indb 23

28.06.2017 09:57:24

Oppgave 2.209 a) Faktoriser uttrykket x 2 - 4 x - 12

Oppgave 2.214 Jorda går i bane rundt Sola med farten v. Vi kan regne ut denne farten ved å bruke formelen

b) Faktoriser og forkort brøken v=

2x + 4 2 x − 4 x − 12 Oppgave 2.210 Skriv uttrykkene så enkelt som mulig.

( x − y) − ( x + y) 2

Oppgave 2.211 a) Faktoriser uttrykket x2 + 7 x − 8 b) Faktoriser og forkort brøken x2 + 7 x − 8 x2 + 8x Oppgave 2.212 Multipliser ut og trekk sammen. a) ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) − ( 2 x + 1) ( 2 x − 1) b) 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) c) 3 ( x − 2 ) ( x − 3) − 5 ( x − 1) ( x − 2 ) d) 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 ) Oppgave 2.213 a) Løs andregradslikningene. 1) 2 x 2 + 3x − 2 = 0 2) 3x 2 − x − 2 = 0 b) 1) Vis at ( x − 2 ) ( x + 5 ) = x 2 + 3x − 10. 2) Løs likningen x 2 + 3x − 10 = 0 uten å bruke andregradsformelen.

coSinus Forkurs.indb 24

der γ er en konstant, M er solmassen og R er avstanden mellom sola og jorda. Finn et uttrykk for M.

4 xy 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 b) 4( x − y) xy + 4 y c) 2 x y − 16 y

γ⋅M R

Oppgave 2.215 Vi kan regne ut omløpstida T rundt jorda for en satellitt som går rundt jorda i en sirkel med radius R. Formelen vi bruker, er gitt ved T = 2πR ⋅

R γ⋅M

der γ er en konstant og M er jordmassen. Finn et uttrykk for R. Oppgave 2.216 En bil kjører i 80 km/h på en rett veistrekning. Så gir føreren mer gass og kjører videre med konstant akselerasjon a = 3 m/s 2 . a) Hvor lang tid går det før farten er oppe i 110 km/h? b) Hvor lang tid går det før bilen har kjørt en strekning på 100 m? Hvor stor er farten da? Oppgave 2.217 a) Faktoriser uttrykket x2 + 2 x − 8 = 0 b) Finn fellesnevneren og trekk sammen 2x 6x x + − 2 x − 2 x + 4 x + 2x − 8

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:57:35

Oppgave 2.218 a) Forklar ved hjelp av figuren nedenfor at

Oppgave 2.221 To av likningene for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon er:

a ( b + c ) = ab + ac

v = v0 + at og s =

( v0 + v ) t 2

a) Finn et uttrykk for t fra den første likningen. b) Sett uttrykket i oppgave a inn i den andre likningen og bruk så tredje kvadratsetning til å utlede bevegelseslikningen v 2 − v0 2 = 2as

b) Forklar at a ( b − c ) = ab − ac ved å lage en figur som svarer til figuren i oppgave a. Oppgave 2.219 Forklar ved hjelp av figuren nedenfor at

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd a

Oppgave 2.222 Sammenhengen mellom radien r i en satellittbane og omløpstida T for satellitten er gitt ved r3 k = 2 2 4π T der k er en konstant. For jorda er k = 3, 98 ⋅ 1014 m3/s2.

Oppgave 2.220 To av likningene for bevegelse med konstant akselerasjon er: v = v0 + at s=

( v0 + v ) t 2

Sett uttrykket for v fra den første likningen inn i den andre likningen og utled bevegelseslikningen s = v0 t +

1 2 at 2

a) 1) Finn r uttrykt ved T. 2) En satellitt bruker akkurat 86 400 s (24 h) på én runde rundt jorda over ekvator (synkronbanen). Hvor høyt over ekvator ligger denne banen når jordradien er 6, 37 ⋅ 106 m? b) 1) Finn T uttrykt ved r. 2) En satellitt går i en sirkelbane rundt jorda. Radien i sirkelbanen er 3, 82 ⋅ 108 m. Finn omløpstida. Hvilken satellitt kan det være?

coSinus Forkurs.indb 25

28.06.2017 09:57:42

Oppgave 2.223 Vis at summen av løsningene av likningen x − 2 x = 15 2

er 2, og at produktet av løsningene er –15. Oppgave 2.224 Omform brøken slik at det ikke blir rottegn i nevneren.

Oppgave 2.226 Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 2a 2 − 8 a 2 − 6a + 9 ⋅ 3a − 9 2a − 4 Oppgave 2.227 (Eksamen 2009) Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 3a 2 − 12 6a + 12 : 2a + 2 a +1

6 5+ 3 Oppgave 2.225 Faktoriser andregradsuttrykkene. a) x 2 − 10 x + 9 b) x 2 + 2 x − 24 c) x 2 - 8 x - 20 d) x 2 − 10 x + 21

coSinus Forkurs.indb 26

Oppgave 2.228 (Eksamen 2014) Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 2 x 2 − 8 3x + 6 : 2x + 8 x+4

coSinus Forkurs > Algebra

28.06.2017 09:57:47

3 Likningssett og ulikheter 3.1 LINEÆRE LIKNINGSSETT

Oppgave 3.110 Løs likningssettene ved regning. b) 4 x − y = −2 a) 2 x + 5 y = −1 − x + 4 y = −7 − x + 2 y = −4 1 3 1 c) y = x − d) y = − x + 2 2 2 2 y = −2 x + 1 3 y= x+4 2 Oppgave 3.111 Løs likningssettene ved regning. b) 3x − y = −4 a) 3x − 2 y = −2 2x + y = 8 5 x − y = −2 c) x − 2 y = 3 2x + y = 1

d) x + 2 y = 4 3x − 2 y = −8

Oppgave 3.112 Løs likningssettene ved regning. b) 2 x − 3 y = 21 a) x − y = −5 3x + 2 y = −1 2x + 3y = 5 c) 6 x − 2 y = 11 d) 6 x − 3 y = 8 x−2=0 2 x + 3 y = −4 e) x − 5 y = 23 f) 3x − y = 8 x + y = −1 2 x − 8 y = −2 Oppgave 3.113 Løs likningssettene ved regning. a) 2 x + 3 y = 5 b) 3s + 4t = 2 3x − y = 2 2s − 3t = 7 c)

1 1 11 x− y=− 3 5 15 1 2 13 x+ y= 3 12 4

Oppgave 3.114 Løs likningssettet både ved regning og ved hjelp av lommeregneren. 5 x − 4 y = 31 2 x − y = 10 Oppgave 3.115 Løs likningssettet både ved regning og ved hjelp av lommeregneren. 4 x + y = 13 −2 x + 6 y = 0 Oppgave 3.116 Kari og Ola er til sammen 62 år. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammel som Kari. Hvor gamle er de i dag? Oppgave 3.117 2 kg epler og 3 kg appelsiner koster til sammen 68 kr. 3 kg epler og 1 kg appelsiner koster til sammen 60 kr. Hvor mye koster 1 kg epler, og hvor mye koster 1 kg appelsiner? Oppgave 3.118 Vibeke og Viktor bor 150 km fra hverandre. De ønsker å møtes et sted i området mellom der de bor. Vibeke regner med at hun kan kjøre hele strekningen på 3 timer med skuteren sin. Hun kjører hjemmefra kl. 12.00. Viktor stoler ikke helt på mopeden sin, så han tror han trenger 5 timer på 150 km. Han kjører hjemmefra kl. 13.00. Hvor langt ligger møtestedet fra der Vibeke bor?

coSinus Forkurs.indb 27

28.06.2017 09:58:02

Oppgave 3.119 a) En kjemiker har to syreoppløsninger. I den ene er 80 % av volumet syre, og i den andre er 50 % av volumet syre. Hun trenger 50 L oppløsning med 74 % syre. Hvor mye av hver oppløsning må hun da bruke? b) I en messinglegering er 70 % av vekta kopper og 30 % av vekta sink. I en annen messinglegering er det 40 % kopper og 60 % sink. En mekaniker trenger 300 g av en legering med 60 % kopper og 40 % sink. Hvor mange gram av hver legering må han da få smeltet og blandet? 3.2 IKKE-LINEÆRE LIKNINGSSETT

Oppgave 3.120 Løs likningssettene ved regning. b) x 2 − y 2 = 1 a) x 2 + y = 4 y = 2x + 1 y = x −1 d) x 2 − y = 3x c) x + y = 1 3x − y = 8 x2 + y = 3 Oppgave 3.121 Løs likningssettene ved regning. b) x 2 + y = 1 a) x ⋅ y = 12 y y =2 =1 x −1 x +1 Oppgave 3.122 Løs likningssettet. x − y =1 2 x2 − 3 y 2 = 5 Oppgave 3.123 Løs likningssettet. x⋅ y=4 x − y = −3

coSinus Forkurs.indb 28

Oppgave 3.124 Geir og Atle er tvillinger, og de har en bror som heter Oddvar. Til sammen er de tre brødrene 120 år. Multipliser alderen til tvillingene med hverandre. Tallet du da får, er 1400 større enn alderen til Oddvar. Finn alderen til de tre brødrene. Oppgave 3.125 To kvadrater har til sammen arealet 410. Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104. Finn sidene i de to kvadratene. Oppgave 3.126 a) Løs likningssettet ved regning. x ⋅ y = 12 x+ y =8 b) Sidene i rektangelet nedenfor har lengdene x og y. y x

Arealet av rektangelet er 12 cm2, og omkretsen er 16 cm. Finn lengden av sidene. 3.3 ULIKHETER

Oppgave 3.130 Løs ulikhetene. a) 5 x + 4 > 2 x − 2 b) 3 ( 2 − x ) < 3 − x c) x + 3 − 2 ( 3 + 2 x ) < 5 ( 2 − x ) Oppgave 3.131 Løs ulikhetene. a) 2 ( x − 1) − 3 (1 − x ) < x + 3 b) 3 ( 2 x + 1) − ( 5 − x ) > 1 − ( x + 3)

coSinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

28.06.2017 09:58:12

Oppgave 3.132 Løs ulikhetene. a) 2 − 2 x ≤ 2 ( x − 5 ) b) 3x − 8 ≥ 4 + 2 ( x − 3) c) x + 2 (1 − x ) ≤ x + 4 Oppgave 3.133 Løs ulikhetene. a) 2 ( x + 1) − 3 ( x − 1) > 3x + 5 5 x + 3 1 − 3x b) + >x 4 2 Oppgave 3.134 Løs ulikhetene. z + 4 2 z +1 a) > +1 3 3 7x + 4 x − 3 3x b) ≤2− + 4 2 8 y - 4 7 5 - 2y c) + > 3 6 2 3 - 5t 1 + t d) > -2 5 3 Oppgave 3.135 Per har 28 600 kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har 13 240 kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter. Når har Anne mer penger enn Per på kontoen?

3.4 TALLINJER, INTERVALL OG DOBLE ULIKHETER

Oppgave 3.140 Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle tall større enn eller lik 0 og mindre enn 5 b) Alle tall større enn –1 c) Alle tall mindre enn eller lik 2 d) Alle tall større enn –3 og mindre enn 2 Oppgave 3.141 Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle tall x mindre enn 0 b) Alle tall x større enn –3 og mindre enn eller lik 3 c) Alle tall x større enn eller lik –1 d) Alle tall x større enn 2 og mindre enn 3 Oppgave 3.142 Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ 2, 5〉 b) 〈-3, 4] c) 〈-2, 2〉 d) 〈0, 1〉 Oppgave 3.143 Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ 2, →〉 b) 〈-3, 0] c) 〈←, 2]

Oppgave 3.136 Det renner vann fra to kraner ned i hver sin beholder. I den første beholderen er det 20 liter vann, og det kommer 8 liter vann per minutt fra kranen. I den andre beholderen er det 50 liter vann, og det kommer 5 liter vann per minutt fra denne kranen. Når er det mest vann i den første beholderen?

d) 〈0, 1]

Oppgave 3.144 Sett inn enten ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) 2 〈1, 2〉 b) 2 〈1, 2〉 c) − 3 1 1000 e) 3,14

〈←, −3〉 1 10

〈π, 5〉

f) π

〈3,14, →〉

coSinus Forkurs.indb 29

28.06.2017 09:58:25

Oppgave 3.145 Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. 1 3 b) 2

{−3, −3 , 0, 3 , 3} {−2, 2 , 2 , 2 } −1

−1

Oppgave 3.146 Løs de doble ulikhetene. a) 19 < x + 4 < 32 b) −8 < 2 x − 4 < −2 c) −5 < 1 − x < 6 d) 5 ≤ 8 − 3x ≤ 11 Oppgave 3.147 Løs ulikhetene. a) x < 2 x + 2 < x + 3 b) 2 x − 1 < 2 − x < x + 4 c) y < 3 y + 6 < 2 y + 8 d) 2 x + 1 < 5 x + 3 < 3x + 4 3.5 ANDREGRADSULIKHETER

Oppgave 3.150 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) 2 x 2 − 4 x < 0 b) ( x − 1) ( 2 − x ) > 0 c) x 2 − 7 x + 6 < 0 d) 4 x 2 + 4 x − 3 > 0 e) 10 − x 2 > 1 Oppgave 3.151 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 + 2 x > 15 b) − x 2 + 11x − 10 < 0 c) −2 x 2 + 3x > 1 d) 6 x 2 + 7 x − 3 < 0 e) x 2 − 5 x − 15 > 2 x + 3

Oppgave 3.152 Løs ulikhetene med lommeregner. a) x 2 − 4 x − 12 ≥ 0 b) x 2 + x ≤ 6 c) 2 x 2 + 4 x − 30 > 0 d) −5 x 2 + 4 x − 1 < x 2 − 3x − 4 Oppgave 3.153 a) Vis at ( 2 x + 1) ⋅ ( x − 2 ) = 2 x 2 − 3x − 2. b) Løs likningen 2 x 2 − 3x − 2 = 0. c) Løs ulikheten 2 x 2 − 3x − 2 ≤ 0. Oppgave 3.154 Kristin vokser, og høyden hennes i centimeter er gitt ved h = 0,15 x 2 + 6 x + 50, x ∈ [0, 16] der x er alderen regnet i år. Hvor gammel var Kristin da høyden var mellom 100 cm og 135 cm? 3.6 RASJONALE ULIKHETER

Oppgave 3.160 Løs ulikhetene. x+3 a) >0 x−5 x −1 c) <0 1+ x

x >0 2− x x−5 >0 d) x

Oppgave 3.161 a) Vis ved regning at 2x <1 x +1 kan omformes til x −1 <0 x +1 b) Løs ulikheten 2x <1 x +1

coSinus Forkurs.indb 30

coSinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

28.06.2017 09:58:44

Oppgave 3.162 Løs ulikhetene. x a) +1≥ 0 x−2 2x − 3 c) ≤ −3 x +1

x +1 <1 x−2

Oppgave 3.163 Løs ulikhetene. x+2 a) x > x y+7 b) > y −1 y+2 z −1 z c) < z +2 z −3 1− t t + 2 d) < t +7 2−t Oppgave 3.164 Løs ulikhetene. − x2 + x + 2 a) <0 2 x − 10 2x − 1 b) 2 >0 x −9 4 c) x < x−3

Oppgave 3.202 3 barn og 2 voksne betaler til sammen 56 kr for bussbilletter. En voksenbillett koster dobbelt så mye som en barnebillett. Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett? Oppgave 3.203 Løs likningssettet ved regning. x⋅ y + y = x y−4= x Oppgave 3.204 Løs ulikheten 3x −

5 5 ( 4 − x ) > 3 2 x −  2 3 

Oppgave 3.205 Trapeset nedenfor har en omkrets på 40. x 13

x x+y

a) Vis at det fører fram til likningssettet

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 3.200 Løs likningssettet ved regning. x − 2y = 2 x + 4y = 8 Oppgave 3.201 Løs ulikhetene. 2 1 1 1 a) x − > ( x − 2 ) − 3 5 2 30 b) 3x − 5 < 2 x − 1 < 4 x + 3

x 2 + y 2 = 169 3x + y = 27 b) Løs likningssettet. Oppgave 3.206 Løs ulikhetene. a) x + 2 < 2 x + 1 < x b) 2 − 2 x < x − 1 < 3x + 1 Oppgave 3.207 Løs likningssettet ved regning. 2 x2 − 8x = y + 7 y = −2 x + 13

coSinus Forkurs.indb 31

28.06.2017 09:58:55

Oppgave 3.211 Løs ulikhetene. a) x 2 + x − 2 ≤ 0 b) 6 x 2 ≥ x + 2

Oppgave 3.208 a) Vi har gitt ulikheten x+3 >1 2 x −1 Vis at denne ulikheten kan omformes slik at den kan skrives

Oppgave 3.212 Løs likningssettet ved regning. x − 3y − 1 = 0 2x + y + 5 = 0

x−4 <0 2x − 1 b) Løs ulikheten x+3 >1 2 x −1 Oppgave 3.209 Figuren viser en trekantet tomt ABC der vinkelen C er 90°. AB er 70 m, og omkretsen av tomta er 168 m. C x 70 m

a) Vis at x og y passer i likningssettet x 2 + y 2 = 4900 x + y = 98 og løs likningssettet. b) Finn arealet av tomta. Oppgave 3.210 En studentkantine har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 6 kr, og en kopp kaffe koster 8 kr. En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 400 kr på automaten. Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen?

coSinus Forkurs.indb 32

Oppgave 3.214 Løs ulikheten. 1 1   4 x − 5  x −  ≥ −2  x +  6 3  

Oppgave 3.213 Ei hyttetomt er rektangelformet med arealet 1000 m2. Den halve omkretsen av tomta er 65 m. Hvor lange sider har tomta?

Oppgave 3.215 Løs ulikheten. 3 ( x − 1) x +1

−5> −

2x x −1

Oppgave 3.216 a) Løs likningssettet ved regning. y = 2x − 4 y = −x + 5 b) Hans kjøper 3,0 kg pærer og 1,0 kg bananer og betaler 57 kr. I den samme forretningen kjøper Grete 2,0 kg pærer og 3,5 kg bananer. For dette betaler hun 72 kr. Finn prisen på ett kilogram pærer og prisen på ett kilogram bananer i denne forretningen.

coSinus Forkurs > Likningssett og ulikheter

28.06.2017 09:59:02

Oppgave 3.217 Et tog passerer en stasjon med farten v0 målt i m/s. Toget øker farten og kjører med konstant akselerasjon 2 m/s 2 . Etter en tid t målt i sekunder har toget kjørt 75 m, og farten er 20 m/s. a) Forklar at v0 og t må passe i likningene v0 + 2t = 20 v0 t + t 2 = 75 b) Bestem v0 og t. Oppgave 3.218 Løs ulikheten x+6 >x x+2 Oppgave 3.219 Løs ulikhetene. 1 11 1  a) ( x + 2 ) − ( x − 1) <  + 4 x  2 3 3 2  1 1 1 1 b) x − 1 ≤ x + 1 < x + 2 6 3 2

Oppgave 3.221 Vi har gitt andregradslikningen 3x 2 + bx + 3 = 0 For hvilke verdier av b har likningen ingen løsninger, én løsning og to løsninger? Oppgave 3.222 (Eksamen 2011) Løs likningssettet ved regning. x + 3y = 1 3x = 2 − 2 y Oppgave 3.223 (Eksamen 2012) Løs likningssettet grafisk eller ved regning. I: 4 x − y = 2 II: x + y = 3 Oppgave 3.224 (Eksamen 2013) Løs ulikheten. x2 − 6 x + 7 ≤ −1 x −1

Oppgave 3.220 Løs ulikheten 9x ≥

1 x

coSinus Forkurs.indb 33

28.06.2017 09:59:09

4 Rette linjer og grafer 4.1 RETTE LINJER

Oppgave 4.110 Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = 3x b) y = 3x − 4 c) y = 3x + 1 d) y = 3x + 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 4.111 Lag tabell og tegn de tre rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = x + 2 b) y = −2 x + 5 c) y = − x + 4 Hvilket punkt går alle linjene gjennom? Oppgave 4.112 Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene. 1 a) y = x − 1 b) y = −3x + 6 2 3 5 1 c) y = − x + d) y = x − 4 2 2 4

Oppgave 4.114 Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene. y 5 4 3 a)

2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

coSinus Forkurs.indb 34

3 4

–2 –3

b) –4 –5

Oppgave 4.115 Finn likningen til linjene som er tegnet nedenfor. y 5 4 3

Oppgave 4.113 Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) y = 2 x − 6 b) y = −2 x + 4 1 c) y = x − 1 4 5 7 d) y = − x + 2 2

1 –3 –2 –1 –1 b)

x 1

–2 –3 –4

–5

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 09:59:20

Oppgave 4.116 Finn likningen til linjene som er tegnet nedenfor. 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1–1 –2 –3 –4 –5

y a) b) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Oppgave 4.117 I fysikkfaget bruker vi ofte formelen v = v0 + a ⋅ t. Her står v0 for startfarten, a er akselerasjonen, t er tida, og v er sluttfarten. a) Tegn grafen til v når v0 = 20 m/s, a = −10 m/s 2 og t har verdier fra og med 0 til og med 2 sekunder. b) Hva er konstantleddet og hva er stigningstallet i oppgave a? Oppgave 4.118 a) Hvilke av disse linjene går gjennom punktet ( −1, 4 )? 1) y = 2 x + 6 2) y = x + 6 3) y = −3x + 1 4) y = 4 5) x = −1 b) Tegn ei linje med konstantledd –2 som går gjennom punktet ( −1, 4 ). Hva blir likningen for denne linja? Oppgave 4.119 Hvor mange forskjellige rette linjer kan vi tegne gjennom punktet ( 2, 3) når både stigningstallet og konstantleddet skal være hele tall fra og med –5 til og med 5? Hva blir likningene for disse linjene?

4.2 GRAFTEGNING PÅ LOMMEREGNER

Oppgave 4.120 Tegn linjene i oppgave 4.115 på den grafiske lommeregneren. Husk å bruke riktig minustegn når du skriver inn likningene for linjene. Oppgave 4.121 Tegn linjene på den grafiske lommeregneren når x er mellom -10 og 10. a) y = 1, 5 x − 2 b) y = −3x + 2, 5 c) y = 1, 8 x + 0, 6 3 7 d) y = − x + 2 2 Oppgave 4.122 Hanne skal ta sertifikat for bil. Hun har fått opplyst at utgiftene til de obligatoriske kursene og kjøringene kommer på 18 400 kr. En kjøretime koster 600 kr. a) Finn en formel for utgiftene y i kroner når hun bruker x kjøretimer. b) Tegn ei linje på lommeregneren, som viser sammenhengen mellom x og y når x er mellom 0 og 40. Oppgave 4.123 På en komfyr står det en kjele med vann. Temperaturen i vannet er 16 °C. Vannet i kjelen får en jevn tilførsel av varme, og etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i vannet T = 16 + 4, 2t a) Hva er temperaturen etter 7,5 minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom T og t. Velg t mellom 0 og 20.

coSinus Forkurs.indb 35

28.06.2017 09:59:30

4.3 GRAFISK AVLESING

Oppgave 4.130 Løs likningene grafisk på lommeregneren. 1 a) x + 4 = x + 5 2 1 3 b) x + 5 = − x + 1 2 2 14 4 x 8 c) 6 x − = + 3 3 3 Oppgave 4.131 Vi kan også la lommeregneren løse likninger ved regning. Hvis du har en TI-84, må du først ordne likningene slik at du får 0 på høyre side. Bruk likningsløseren på lommeregneren til å løse likningene nedenfor. x a) − 3 = x − 5 2 2x x b) + 7 = − 14 5 3 3x 1 2 x 1 c) + = − 4 3 3 5 Oppgave 4.132 Løs ulikhetene grafisk. a) 2 − 2 x ≤ 2 ( x − 5 ) b) 3x − 8 ≥ 2 ( x − 3) c) x + 2 (1 − x ) ≤ x + 4 d) 4 ( x − 1) − 6 (1 − x ) ≤ 2 x + 6 Oppgave 4.133 Løs ulikhetene både ved regning og grafisk på lommeregneren. 1 1 a) ( x − 3) < 1 − x 2 3 1 2 1 1 b) x − > ( x − 2 ) − 3 5 2 30 5 x + 3 1 − 3x c) + >x 4 2

coSinus Forkurs.indb 36

Oppgave 4.134 I en kopp kaffe er temperaturen 68 °C. Etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i koppen T = 68 − 3,6t a) Når er temperaturen i koppen mer enn 50 °C? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 32 °C? Oppgave 4.135 Tone har en mobiltelefon med kontantkort. Prisen P i kroner for en samtale på x minutter er gitt ved formelen P = 0, 39 x + 0, 89 a) Hva koster en samtale som varer i 15 minutter? b) Hvor lenge har hun snakket i mobilen når prisen på samtalen er 8,69 kr? Oppgave 4.136 En familie skal på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 − 0, 8 x a) Hvor mange liter bensin rommer bensintanken? b) Tegn ei linje på lommeregneren som gir sammenhengen mellom x og B når x er mellom 0 og 75. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 20 mil. d) Finn grafisk og ved regning hvor langt familien har kjørt når tanken er halvfull. e) Finn en formel for x uttrykt ved B. f) Hvor mange mil kan de kjøre før de seinest må fylle tanken?

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 09:59:39

4.4 G RAFISK LØSNING AV LINEÆRE LIKNINGSSETT

Oppgave 4.140 Et lineært likningssett består av likninger for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordinatsystemet nedenfor. Finn løsningen av likningssettet. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

–2 –3 –4

Oppgave 4.143 Berit fyller varm te med temperaturen 92 °C på ei tekanne, mens Lars samtidig fyller varm kaffe med temperaturen 86 °C på ei kaffekanne. Temperaturen i tekanna synker med 1,2 grader per minutt, mens temperaturen i kaffekanna synker med 0,8 grader per minutt. a) Hva er temperaturen T i tekanna etter x minutter? b) Hva er temperaturen K i kaffekanna etter x minutter? c) 1) Tegn ei rett linje som viser sammenhengen mellom T og x når x er mellom 0 og 30. 2) Tegn i det samme koordinatsystemet ei rett linje som viser sammenhengen mellom K og x. d) Finn grafisk og ved regning når temperaturen er den samme i tekanna og i kaffekanna.

–5

Oppgave 4.141 Løs likningssettene grafisk uten hjelpemidler og ved hjelp av lommeregneren. a) y = x + 1 b) y = 2 x − 1 y = − x + 3 y = −x + 5 d) y = x c) y = 2 x − 3 y = −2 x + 5 y = −x + 4 Oppgave 4.142 Løs likningssettene grafisk uten hjelpemidler og ved hjelp av lommeregneren. 1 3 a) y = x − 2 2 y = −2 x + 1 1 b) y = − x + 2 2 3 y= x+4 2

Oppgave 4.144 Petter selger abonnementer til mobiltelefoner. Han kan nå velge mellom to ulike lønnstilbud: 1) En fast månedslønn på 16 000 kr pluss 25 kr for hvert nytt abonnement han selger. 2) En fast månedslønn på 14 000 kr pluss 50 kr for hvert nytt abonnement han selger. a) Sett opp formler for månedslønna y i kroner når Petter selger x abonnementer. b) Finn grafisk hvor mange abonnementer han må selge for at lønnstilbudene skal være like gode. Hva er lønna da?

coSinus Forkurs.indb 37

28.06.2017 09:59:47

Oppgave 4.145 Hans har 24 000 kr og bruker 1200 kr av disse pengene hver måned. Grete har 8000 kr og sparer 800 kr hver måned. a) Hvor mye har Hans igjen av pengene sine etter x måneder? Hvor mye har Grete etter x måneder? b) Finn grafisk på lommeregneren når Hans og Grete har like mye penger. Hvor mye har de da? Oppgave 4.146 Vi har gitt likningssettet 2x + 3y = 6 − x + 4 y = −14 a) Løs likningssettet ved regning. b) Løs likningssettet grafisk uten hjelpemiddel. c) Løs likningssettet grafisk på lommeregneren. d) Løs likningssettet med likningsløseren på lommeregneren. (På TI-84 må du ha lastet inn et eget program for dette.) Oppgave 4.147 Harry har en stor bil som bruker 1,2 liter bensin på mila. Bensintanken til denne bilen tar 60 liter. Ronny har en mindre bil som bruker 0,7 liter per mil. Denne bilen har en bensintank som rommer 48 liter. Harry og Ronny fyller opp tanken på samme bensinstasjon og kjører etter hverandre på langtur. a) Hvor mye bensin har Harry og Ronny igjen etter 15 mil? b) Finn grafisk når Harry og Ronny har like mye bensin igjen. c) Bruk lommeregneren til å gjøre oppgave b. d) Bruk likningsløseren på lommeregneren til å kontrollere svaret fra oppgave c.

coSinus Forkurs.indb 38

Oppgave 4.148 Ola kjører på en motorvei i 78 km/h. Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet? 2) H vor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Forklar at t minutter etter at Kari har passert målepunktet, har de kjørt s km, der Kari: s = 1, 5t Ola: s = 12 + 1, 3t c) Finn grafisk når Kari tar igjen Ola. Hvor langt fra målepunktet er de da? 4.5 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

Oppgave 4.150 1 Ei rett linje har stigningstallet a = − og 2 går gjennom punktet ( 0, 2 ). a) Finn likningen for linja grafisk. b) Finn likningen for linja ved regning. Oppgave 4.151 Ei rett linje går gjennom punktene ( 0, −2 ) og ( 2,1). a) Tegn linja. b) Finn stigningstallet til linja. c) Finn likningen for linja ved regning. Oppgave 4.152 Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel. Tegn deretter linjene på lommeregner og kontroller at likningen stemmer. a) (1, 1) og ( 3, 5 ) b) ( −3, 2 ) og ( 0, 1) c) ( 3, − 4 ) og ( −3, 5 ) 1 1 1  d)  , −  og  −2, −  3  2 3 

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 09:59:54

Oppgave 4.153 Løs oppgaven uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje går gjennom punktene (1, 4 ) og ( −3, 0 ) . Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet ( 2,1) og har stigningstallet 4. Finn likningen for linja. c) Ei rett linje skjærer x-aksen i punktet ( 2, 0 ) og y-aksen i punktet ( 0, 2 ). Finn likningen for linja. Oppgave 4.154 Likningen for ei linje er gitt ved y = −2 x − 4. Finn likningen for ei linje som har konstantledd 4 og er parallell med den første linja. Oppgave 4.155 a) Hvilke to av punktene på figuren nedenfor må du velge for at den rette linja gjennom punktene du velger, skal få størst mulig konstantledd? Punktene skal ikke ha samme x-koordinat. b) Hva blir stigningstallet til denne linja? c) Hva blir konstantleddet til linja? d) Hvilke to punkter må du velge for at linja gjennom de to punktene skal få minst mulig konstantledd? e) Hva blir stigningstallet til linja? f) Hva blir konstantleddet til linja? y 5 4 3 2 1

U V

W Æ Ø

Q R

G H I B

Oppgave 4.162 Finn konstanten b når f ( 2 ) = g ( 3) . a) f ( x ) = −2 x + b g ( x ) = −3x + 5 b) f ( x ) = − x 2 + bx g ( x ) = bx 2 + x Oppgave 4.163 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. D f = [ −5, 3]. 12

y f

10 8 6 4

x 1

–4

C D E 3

Oppgave 4.161 Regn ut f ( 2 ) , f ( 0 ) og f ( −2 ) når a) f ( x ) = x3 – x2 1 b) f ( x ) = x2 – x + 1 2 x c) f ( x ) = x +1 d) f ( x ) = x + 2

–5 –4 –3 –2 –1 –2

x 1

Oppgave 4.160 Regn ut g ( −1), g (1)og g ( 3) når a) g ( x ) = 2 − 2 x b) g ( x ) = x 2 c) g ( x ) = 2 x 2 − x

M N O

4.6 FUNKSJONSBEGREPET

a) Bruk grafen til å finne 2) f ( 2 ) 1) f ( 0 ) b) Løs likningen f ( x ) = 0. c) Finn verdimengden til f.

coSinus Forkurs.indb 39

28.06.2017 10:00:05

Oppgave 4.167 En funksjon h er gitt ved

Oppgave 4.164 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x 2 + 2 x + 1. x f ( x)

–4 –3 –2 –1

1 h ( x ) = − x2 − x + 4 2

a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fyll ut tabellen. c) Tegn grafen til f. Oppgave 4.165 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. D f = [ −1, 5].

a) Tegn grafen til h. b) Løs likningen h ( x ) = 4 grafisk. c) Finn verdimengden til h. Oppgave 4.168 Hvilke av kurvene nedenfor er grafer til funksjoner av x? a) y 3 2

–3 –2 –1 –1

3 2

–2

–1 –1

–2

–3

–4

–6

–5

a) Bruk grafen til å finne 2) f ( −1) 1) f ( 0 ) b) Løs grafisk likningen

–4

–2

y 6 4 2

c) Finn verdimengden til f. –6 –4 –2 –2

Oppgave 4.166 En funksjon g er gitt ved

a) Tegn grafen til g. b) Løs grafisk likningen g ( x) = 5 c) Finn verdimengden til g.

coSinus Forkurs.indb 40

–1

f ( x) = 3

g ( x ) = x2 − 4 x

–4

y 6 4 2 –6 –4 –2 –2

x 2

–4

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 10:00:11

Oppgave 4.169 Lorena er en kreativ lærer som har laget en funksjonsmaskin. Maskinen fungerer slik at hun kan justere funksjonsuttrykket f ( x ) slik hun ønsker. Deretter velger elevene noen x-verdier som maskinen setter inn i funksjonsuttrykket og regner ut funksjonsverdien til.

f(x)

4.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

Oppgave 4.170 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x 2 − 6 x + 8, x ∈ [ 0, 6] a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f 2) bunnpunktet på grafen til f c) Finn verdimengden V f . Oppgave 4.171 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = − x 2 − 2 x + 8, D f = [ −5, 4]

Dersom Lorena stiller inn maskinen slik at f ( x ) = 3x − 1 og en elev velger x-verdien 5, regner maskinen ut at f ( 5 ) = 3 ⋅ 5 − 1 = 14. Nedenfor er det vist noen tabeller med valgte x-verdier og de tilsvarende funksjonsverdiene som maskinen har regnet ut. Finn i hvert av tilfellene det funksjonsuttrykket som maskinen er innstilt på. Fins det flere løsninger av oppgavene? a) x 0 1 3 7

f ( x)

a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f 2) toppunktet på grafen til f c) Finn verdimengden V f . Oppgave 4.172 En funksjon f er gitt ved f ( x ) = x3 − 4 x 2 a) b) c) d)

Tegn grafen til f på lommeregneren. Finn nullpunktene til f. Finn toppunktet på grafen til f. Finn bunnpunktet på grafen til f.

Oppgave 4.173 En funksjon f er gitt ved f ( x ) = − x3 + 4 x a) b) c) d)

Tegn grafen til f på lommeregneren. Finn nullpunktene til f. Finn toppunktet på grafen til f. Finn bunnpunktet på grafen til f.

coSinus Forkurs.indb 41

28.06.2017 10:00:18

Oppgave 4.174 En funksjon f er gitt ved

Oppgave 4.178 Funksjonen f er gitt ved

f ( x ) = a ( x 2 − 5 x)

f ( x ) = 2 x4 − 4 x2

a) Finn nullpunktene til f. b) 1) Tegn grafen til f når a = 1. 2) Finn koordinatene til bunnpunktet. c) 1) Tegn grafen til f når a = −1. 2) Finn koordinatene til toppunktet. Oppgave 4.175 Minimumstemperaturen T i vinterhalvåret følger ofte modellen T ( x) =

4 2 16 x − x + 4, x ∈ [ 0, 22] 25 5

T ( x ) er temperaturen målt i celsiusgrader i uke nr. x der x = 0 tilsvarer uka midt i november. a) Tegn grafen til T. b) Når har vi lavest minimumstemperatur? Hva er temperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 30 (midten av juni)? Oppgave 4.176 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x3 + 6 x 2 , D f = −7, 2 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet og bunnpunktet på grafen til f. d) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.177 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = x − x3 a) b) c) d)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene til f. Finn koordinatene til toppunktet. Finn koordinatene til bunnpunktet.

coSinus Forkurs.indb 42

a) b) c) d)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene til f. Finn koordinatene til toppunktet. Finn koordinatene til bunnpunktene.

Oppgave 4.179 I en vannrakett benytter vi oss av Newtons tredje lov, som sier at kraft og motkraft er like store, men motsatt rettet. En enkel utgave av en slik rakett er ei tom plastflaske på 1,5 L som vi fyller ca. halvfull med vann. Så setter vi i en gummipropp som vi kan pumpe luft gjennom. Når lufttrykket over vannet er høyt nok, presser lufta ut proppen og skyver vannet ut av flaska. Kraften som skyver ut vannet, har retning nedover, og motkraften får flaska til å fare oppover med stor fart. I et forsøk med en mer avansert vannrakett ble høyden som raketten nådde, målt til 534 m over bakken. I denne oppgaven ser vi bort fra luftmotstand og velger positiv retning oppover. Vi bruker formelen v 2 − v0 2 = 2 ⋅ a ⋅ s, der v er farten til raketten i høyden s over bakken, v0 er startfarten og a er tyngdeakselerasjonen, som er -9, 8 m/s 2. a) Hva er v idet raketten når sitt høyeste punkt? b) Bruk formelen ovenfor til å regne ut startfarten v0 målt i m/s. Rund av til nærmeste hele tall. c) Hva blir startfarten målt i km/h? d) Forklar at den maksimale høyden over bakken er en funksjon av startfarten v0. e) Finn en formel for den maksimale høyden s, uttrykt ved v0.

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 10:00:24

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 4.200 To tog, A og B, kjører i den samme retningen på en dobbeltsporet jernbanestrekning. Vi står i et punkt ved jernbanelinja og ser at tog A kjører forbi med konstant fart 108 km/h. Etter 10 sekunder kjører tog B forbi punktet med konstant fart 144 km/h. La sA være avstanden fra observasjonspunktet til tog A og sB avstanden fra punktet til tog B, begge målt i meter. sA og sB er funksjoner av tida t målt i sekunder fra tidspunktet da tog A passerer observasjonspunktet. a) Regn om 108 km/h og 144 km/h til fart i meter per sekund. b) Tegn grafene (posisjonsgrafene) til sA og sB som funksjoner av t for t ≥ 0. c) Finn grafisk når tog B tar igjen tog A. d) Finn formler for sA og sB uttrykt ved t. e) Løs oppgave c ved regning. Oppgave 4.201 En gjenstand beveger seg fram og tilbake langs en rettlinjet bane. Vi legger ei tallinje langs banen slik at vi kan måle posisjonen til gjenstanden. Startposisjonen er s = 0 ved tida t = 0. Etter t minutter er posisjonen til gjenstanden gitt ved s = 80t − 10t 2 der s er målt i meter. a) Tegn ei tallinje og merk av på tallinja hvor gjenstanden befinner seg hvert minutt i perioden t ∈ [ 0, 9]. Beskriv bevegelsen med ord. b) Bruk resultatet i oppgave a til å tegne posisjonsgrafen til s for t ∈ [ 0, 9].

Oppgave 4.202 De fleste biler slipper ut klimagassen CO2. Mengden av gass som slippes ut, er blant annet avhengig av den farten bilen har. For en bestemt bil med farten v km/h er utslippet av CO2 U ( v ), målt i gram per kilometer (g/km), gitt ved U ( v ) = 0, 05v 2 − 7, 5v + 420 Finn når utslippet er mindre enn 170 g/km, ved å løse en ulikhet. Ulikheten skal løses ved regning. Oppgave 4.203 Funksjonen f er gitt ved f ( x ) = ax 2 + 4 x − 5 der a er en konstant. a) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn toppunktet på grafen til f. 3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt 2) et toppunkt Oppgave 4.204 a) Produktet av to partall som følger etter hverandre, er 728. Finn tallene. b) Mellom to oddetall x og y er det nøyaktig ett oddetall. Produktet av x og y er 621. Finn x og y.

coSinus Forkurs.indb 43

28.06.2017 10:00:30

Oppgave 4.205 Funksjonen f ( x ) = x 2 + ax + b har nullpunktene x = −5 og x = 3. Bestem konstantene a og b. Oppgave 4.206 a) Gitt andregradslikningen x 2 − 2ax + b = 0 Vis at eventuelle løsninger kan skrives x = a ± a2 − b Når har likningen løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs likningene 1) x 2 − 2 x − 3 = 0 2) x 2 + 6 x − 16 = 0 Oppgave 4.207 Lasse har normalt en kroppstemperatur på 37 °C. En dag pådro han seg en kraftig influensa. Etter t timer var kroppstemperaturen y ( t ) målt i celsiusgrader y (t ) = −

1 2 1 t + t + 37 1200 10

a) Tegn grafen for de fem første dagene av sykdomsperioden. Bruk fornuftige enheter på aksene. b) Finn grafisk når feberen var på det høyeste. Hva var kroppstemperaturen da? c) Finn ved regning hvor lenge kroppstemperaturen var over det normale. d) Finn ved regning når kroppstemperaturen var 38,9 °C. Oppgave 4.208 Løs om mulig andregradslikningene. a) −2 x 2 + 162 = 0 b) 2 y 2 − 4 y + 5 = 0 c) −3x 2 − x = 0 2 d) ( x − 2 ) − 25 = 0

coSinus Forkurs.indb 44

Oppgave 4.209 På Blåfjell var snødybden 150 cm den 31. mars. x dager ut i april var snødybden y centimeter, der y = 0, 4 x 2 − 12 x + 150 a) Finn ved regning snødybden på Blåfjell 5. april. b) Tegn grafen. c) Finn grafisk når i april snødybden var på det laveste. Hva var snødybden da? d) Finn grafisk og ved regning når snødybden var 70 cm. Oppgave 4.210 Funksjonen f er gitt ved 3 f ( x ) = x3 + x 2 2 a) b) c) d)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene til f. Finn toppunktet på grafen til f. Finn bunnpunktet på grafen til f.

Oppgave 4.211 Bestem a slik at brøken kan forkortes. x2 − 2 x − 3 x2 − 4 x + a Oppgave 4.212 Summen av nullpunktene til en andregradsfunksjon er 11, og produktet av nullpunktene er 30. a) Finn nullpunktene. b) Finn en andregradsfunksjon f som har disse nullpunktene. Oppgave 4.213 Ei rett linje går gjennom punktene (1, 0 ) og ( 3, −1). a) Finn stigningstallet til linja. b) Finn likningen for linja ved regning.

coSinus Forkurs > Rette linjer og grafer

28.06.2017 10:00:40

Oppgave 4.214 En funksjon f er gitt ved

Oppgave 4.215 Grafen til funksjonen

f ( x ) = x 2 + ax − 8 der a er en konstant. a) Sett a = 2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f. Finn ut hvordan bunnpunktet forskyver seg med ulike verdier av a.

f ( x ) = ax 2 + bx + c skjærer andreaksen i verdien 6. Funksjonsuttrykket til f har dessuten tre lineære faktorer med disse fortegnslinjene: –3 –2 –1 0

0 0

a) b) c) d)

Løs ulikheten f ( x ) < 0. Bestem konstantene a, b og c. Løs om mulig ulikheten f ( x ) > 8. Tegn grafen til f på lommeregneren.

coSinus Forkurs.indb 45

28.06.2017 10:00:43