Curso "Fortalecimiento del pensamiento matemático en alumnos de 3°" SECUNDARIA

Curso: Fortalecimiento del pensamiento matemรกtico en los alumnos de tercer grado de secundaria

GUร A DEL PARTICIPANTE

El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de tercer grado de secundaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública

Dr. José Narro Robles Rector

Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica

Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional

Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico

Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias Coordinación General

Lic. Leticia Gutiérrez Corona

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez

Coordinación Académica Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera Ing. Alma Lucia Hernández Pérez

Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza

Autores Dr. Fernando Brambila Paz Lic. Gabriel Gutiérrez García Dr. Carlos Hernández Garciadiego M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Lic. Rosario Santillán Baltazar Revisión Lic. Víctor Núñez Pérez

Dr. Fernando Brambila Paz M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Diseño de Portada LDG Ricardo Muciño Mendoza

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.

D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite

Unidad I. Sentido num茅rico y pensamiento algebraico.

Problemas que se pueden resolver con ecuaciones o sistemas de ecuaciones. An谩lisis y manipulaci贸n de expresiones algebraicas.

Modelaci贸n de situaciones. Problemas que se pueden resolver con ecuaciones de segundo grado. Distintas formas de solucionar ecuaciones de segundo grado.

1

Algunas observaciones importantes de la ecuación de segundo grado 1) Un polinomio de 2° grado en una variable

es llamado mónico

si el coeficiente del término de mayor grado es 1, es decir si

1.

0,

Es claro que toda ecuación 2° grado en una variable 0, ya que si

cumple que

0 no sería de 2° grado, luego si toda la

ecuación la multiplicamos por inverso multiplicativo de , tenemos: 1

1

0⇒

∙

1

0⇒

0.

Por lo anterior, podemos decir que todo polinomio de 2° grado, lo podemos escribir como un polinomio mónico.

2) Siempre podemos dar una ecuación de 2° grado, de tal manera que tenga las dos soluciones que nosotros queramos.

Por ejemplo,

si queremos una ecuación de 2° grado que tenga como

soluciones los números 3 y

Por lo que

3

5

↑

↑

2

15

cuyas soluciones son 3 y

5, simplemente multiplicamos:

3

5

2

15.

0 es una ecuación de 2° grado en una variable, 5.

Nota: Si consideramos la misma solución dos veces, la ecuación que obtenemos es un trinomio cuadrado perfecto.

2

3) Podemos ver la relación que hay entre los coeficientes de la ecuación de 2° grado y sus soluciones, cuando está en el formato mónico: 0 es la ecuación de 2° grado en una variable y

Si

,

son

sus soluciones, tenemos que y

.

∙ Para encontrar la ecuación que tenga dicha soluciones, basta multiplicar: ∙ pero ésta tiene que ser la misma que y

, por lo que y

⇒ ∙

∙ 2

En nuestro ejemplo

,

15

0, donde las soluciones son 3 y

5

tenemos: 3 3∙

5 y 5

2 .

15

Es decir, la suma de las soluciones tiene signo contrario al del coeficiente de

de la ecuación

2

15

0, siempre que sea mónico.

Y el producto de las soluciones es el término independiente de la ecuación 2

15

0, siempre que sea mónico.

0 y su mónico

4) La ecuación de 2° grado en una variable correspondiente

0

son equivalentes, es decir ambas

ecuaciones tienen las mismas soluciones.

Si

y

0, tenemos que

son soluciones de la ecuación .

Multiplicando por

en ambos lados de la igualdad tenemos

3

0⇔

Por lo que

o

0⇔

.

Resolución de una ecuación de 2° grado usando de regla y compás Resolver la ecuación 3

6

45

0 usando regla y compás.

a) Como el polinomio no es mónico, multiplicamos toda la ecuación por el recíproco del coeficiente de 1 3 Así la ecuación

3

,

6

2

1 0⇒ 3

45

15

2

15

0 es equivalente a 3

0.

6

45

0, ya

que tienen las mismas soluciones.

2

Ahora nos dedicaremos a resolver la ecuación

15

0 usando

regla y compás b) Construimos los segmentos dirigidos de

,

(el coeficiente de

,

y

de la ecuación ) y

cuyas longitudes sean (el término independiente

de la ecuación) respectivamente.

O

U

O

B

C

O

c) Sobreponemos el extremo izquierdo del segmento derecho del segmento

en el punto

queden perpendiculares entre sí, siendo Colocamos el segmento unitario

, de tal forma que los segmentos el horizontal y

sobre el segmento

ambos segmentos coincidan en el punto

con el extremo

el vertical.

, de manera que

, pero en sentido contrario ya

que ambos tienen dirección contraria (como segmentos dirigidos).

4

U

1

B O

2

-15

C

en dirección contraria y con la misma

d) Prolongamos el segmento magnitud a partir de

, llamando

prolongado obteniendo el segmento

al otro extremo de este segmento .

Trazamos una recta paralela al segmento paralela al segmento

que pase por

que pase por , llamándole

y otra recta al punto de

intersección de estas rectas.

Unimos

con

y marcamos con

Trazamos la circunferencia con centro llamamos

y

el punto medio del segmento y diámetro el segmento

. , y

a las intersecciones de la circunferencia con la línea que

contiene al segmento

.

5

Así, las medidas de los segmentos dirigidos de la ecuación 3

6

45

,

son las soluciones

0.

U R2

1

R1

B1 O

B

-5 3 2 PM

-15

P

Justificación: Como se cortan en

y

C

son dos cuerdas de la circunferencia que

, tenemos que ∙

∙

de donde podemos concluir que ∙

∙

,

además al sumar estos segmentos tenemos .

Podemos generalizar esta idea.

6

Si tenemos la ecuación Construimos los segmentos la ecuación) y O

•

,

y

, con la condición de que

0.

de longitudes ,

de

(el coeficiente de

(el término independiente de la ecuación) respectivamente.

U

O

B

O

C

Sobreponemos los extremos izquierdos de los segmentos de longitudes y

, de tal forma que el segmento de longitud

en el punto

horizontal

y

el

segmento

de

longitud

quede

vertical

quede (quedan

perpendiculares entre sí).

•

Colocamos el segmento de longitud

sobre el segmento de longitud

coincidiendo el extremo inferior de ambos segmentos en •

Prolongamos el segmento magnitud a partir de

•

•

,

.

en dirección contraria y con la misma

.

Llamamos

al otro extremo de este segmento prolongado, obteniendo el

segmento

. que pase por

Trazamos una recta paralela al segmento paralela al segmento

que pase por

•

Llamamos

•

Unimos

•

Trazamos la circunferencia con centro

•

Llamamos

.

al punto de intersección de estas rectas. con

y marcamos con

y

el punto medio del segmento y diámetro el segmento

. .

a las intersecciones de la circunferencia con la línea

que contiene al segmento

.

Entonces las medidas de los segmentos dirigidos la ecuación

y otra recta

,

son las soluciones de

.

7

P

C PM c

U 1 B1

R1

R2

B

O

b

Justificación: Como cortan en

y

son dos cuerdas de la circunferencia que se

, tenemos que ∙

∙

de donde podemos concluir que el producto de estos segmentos dirigidos es ∙

∙

,

además al sumar estos segmentos dirigidos tenemos que , por lo que son soluciones de la ecuación.

Problema Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y el área del triángulo es de 6 cm2 ¿Cuánto miden los dos catetos?

8

En este caso consideremos que uno de los catetos es la base del triángulo, por lo que el otro cateto es la altura del triángulo, ya que ambos catetos son perpendiculares, si llamamos

la medida del cateto menor, tenemos que

será la medida del otro cateto

n

n+1

Luego el área del triángulo será 1 2

6⇒

1

12 ⇒

12.

12

De este modo tenemos que resolver Una manera es buscar dos números

y

0.

tal que

∙

12 y

, 1

así los números buscados son 4 y

3 ya que

4 ∙

3 y 3

4 Entonces

12

12 .

1

0 , se puede factorizar de la siguiente manera ∙ ú

0. ú

Como un producto es cero si por lo menos uno de los factores es cero, es decir, 4 o 3

0

4 ⇒

0

.

o 3

9

Pero

4

no

puede

ser

ya que las magnitudes de los segmentos son

positivas, por lo que las medidas de los catetos son: 3 cm y

1

4 cm.

Problema Si en una sala de cine hay 768 asientos, distribuidos de manera que en cada fila hay 8 asientos más que el total de filas. Hallar cuántos asientos hay en cada fila. n- ésima fila

Te rce ra fila

Se gunda fila Prime ra fila

Si suponemos que hay un total

filas, como cada fila tiene 8 asientos más que 8 asientos, por lo que el número

el total de filas, tenemos que cada fila tiene de asientos que tiene la sala de cine es: 8 ∙

8

768 ⇒

768.

La ecuación que tenemos que resolver es 8

768

0.

Usando la solución de la fórmula general de 2° grado para una variable √ 2

4

.

En este caso se tiene que 1 8 .

768 10

Así 8

8

8

4 1 2 1

768

64 4 768 2

8

√64 2

8

√3136 2 56

8 2 8

3072

56 2 o

8

56 2

De manera que 48 2 o ⇒ 64 2

24 o .

32

Así, el número de filas es 24 y de aquí podemos decir que el número de asientos de cada fila es 24

8

32.

Podemos verificar que el número de asientos de la sala del cine es el número total de filas por el número de asientos de cada fila, esto es 24

32

768.

Distintas formas de solucionar ecuaciones de 2° grado.

1) Usando la técnica de completar cuadrados.

Resolver la siguiente ecuación de 2° grado 3

6

45

0.

11

a) Como el polinomio no es mónico, factorizamos los términos que tienen la variable: 45

3

0.

b) Completamos cuadrados, en la parte que está dentro del corchete:

1

2

1

1

















1

2

 +2  =  ( +2 ) 

-

1



1 1



2

=  ( +1 ) - 1



2

3

1

45

0.

45

0

c) Quitamos los corchetes: 3

1

3 1

d) Despejamos la : 3

1

3 1

45

12

3

1

48

1

48 3

1

16

1

4

|

1|

|4|

|

1| |

|4| |4|.

1|

De donde 1 o 1

4

3 ⇒

.

o

4

5

2) Usando la fórmula general.

Resolver la siguiente ecuación de 2° grado, 3

6

45

0.

a) La fórmula general es 4

√ 2

.

0, por lo que en nuestro ejemplo tenemos:

para la ecuación

3 6 45. b) Luego haciendo la sustitución en la fórmula tenemos:

6

6 4 3 2 3

45

6

√36 2 3

540

6

√576 6

6

24 6

.

De donde

13

6 o 6

⇒

24 6 24

o

⇒

18 6

6

3 ⇒

30 6

.

o 5

3) Usando la técnica de factorización Resolver la siguiente ecuación de 2° grado, 3

6

45

0.

a) Como el polinomio no es mónico, multiplicamos por el coeficiente de

,a

toda la ecuación y a su vez la dividimos por el mismo número: 33

6 3

45

0.

b) Quitamos los corchetes realizando la multiplicación del numerador: 3

3 6 3

3 45

0.

c) Acomodamos el numerador de la siguiente forma 6 3 3

3

135

0.

3 , tenemos que lo anterior lo podemos escribir:

d) Si hacemos

6

135

0.

3

e) Como el numerador ya es mónico, buscamos dos números ∙ Así los números son 15 y

6

tal que

135 6

9 ya que 15 ∙ 15

Luego

y

9 9

135 .

6

135 se factorizado como

15

9 .

f) Una división es cero si el numerador es cero: 15 3

9

0⇒

15

9

0.

14

g) Un producto es cero si por lo menos uno de los factores es cero: 15 o 9

⇒

0

15

3

o

⇒

15

⇒

0

⇒

o

9

3

5

9

.

o 3

5) Una interpretación geométrica de la solución de la ecuación de 2° grado 3

6

45

0.

a) En vez de igualar el miembro izquierdo de la ecuación a cero lo igualamos a la variable , obteniendo la ecuación: 6

3

45

La cual es una ecuación de 2° grado en dos variables. Las soluciones de ,

dicha ecuación son parejas de números 3

6

45

, al sustituir

por

y

por

que satisfacen la ecuación .

b) Para encontrar algunas soluciones, basta tabular algunos valores arbitrarios de . , 6

27

6, 27

5

0

5,0

3

36

3, 36

1

48

1, 48

1

36

1, 36

3

0

3,0

4

27

4,27

Donde cada renglón de la segunda columna se obtiene al sustituir el valor de la

del mismo renglón en la ecuación 3

valor de , es decir el valor el valor de la

6

45

para obtener el

está en función del valor de . Por ejemplo si

es 1 tenemos que 15

.

1, 36

Así la pareja de números 3

6

números

45

es una solución de la ecuación

, de la misma manera obtenemos las otras parejas de 6,27 ,

5,0 ,

3, 36 ,

1, 48 ,

3,0 y

4,27 .

Si localizamos estas parejas de puntos en el plano cartesiano, tendremos que los puntos están sobre una parábola, de este modo tenemos que la ecuación 3

6

45

representa esta parábola.

A

. .

Y

G

20

10

. .

B -10

F 10

X

-10

-20

-30

C

.. .

E

-40

D

-50

Así la interpretación geométrica de las soluciones de la ecuación: 3 son los puntos donde la parábola 3

6

45 6

45

0, corta al eje .

Si también lo hacemos con el mónico correspondiente

2

15

tenemos

16

, 6

9

6, 9

5

0

5,0

3

12

3, 12

1

16

1, 16

1

36

1, 12

3

0

3,0

4

27

4,9

Podemos ver grรกficamente que las dos parรกbolas 3 Cortan al eje cuando

6

45

2

y

15

.

, en los mismos puntos, ya que las ecuaciones, que se obtienen son equivalentes: 3

6

45

0

2

y

15

0.

Y 10

B -10

. .

F 10

X

-10

-20

-30

-40

-50

17

Hay seis posibilidades para la gráfica de , dependiendo de los valores de

Corta al eje

.

y de

en dos puntos (Dos raíces reales)

Eje Y

Eje Y

r1

0

r2

Eje X

0

y Corta al eje

r1

r2

0 y

Eje X

0

en un punto (Una raíz real doble)

18

Eje Y

Eje Y

r

0

r

Eje X

Eje X

0 y

y No corta al eje

(Ninguna raĂ­z real)

Eje Y

Eje Y

Eje X

0 y

0

Eje X

0 y

0

19

Modelación de situaciones Problema de un manzanar (La calidad de la manzana bajo la mercadotecnia) Se desea comprar un terreno de forma rectangular para un manzanar (terreno dedicado a la plantación de manzanos), pero solo se puede cercar a lo más 160 m del terreno (presupuesto destinado para la cerca). a) ¿Qué dimensiones deberá tener el terreno, para que quede completamente cercado y tengamos la mayor área posible? (pues a mayor área, mayor cantidad de árboles o manzanos plantados) Una vez que se compro el terreno, se recomienda que los árboles o manzanos deben de plantarse cada 5m, para que cada árbol produzca mayor número de manzanas, pues es necesario que

todos los

árboles

tengan

las mejores

condiciones para su crecimiento.

Si los árboles los plantamos, en un arreglo rectangular como el siguiente:

5m 5m

b) ¿Cuántos árboles deberán de plantarse, para que cumplan las condiciones anteriores?

20

Al granjero, le estiman la producción media por cada árbol plantado con las condiciones anteriores, de 550 manzanas anuales.

Con el fin de aumentar la producción, estima que por cada árbol adicional plantado en el manzanar, la producción disminuirá en 5 manzanas anuales por cada uno de los árboles plantados en el manzanar, pues cambian las condiciones óptimas para los árboles. c) ¿Cuántos árboles deberá plantar en el manzanar, para tener máxima producción?

Solución: Para contestar la primera pregunta, observemos que hay muchos terrenos rectangulares con el mismo perímetro y diferente área.

10 m 70 m área = 700 m 2 perímetro = 160 m

20 m 60 m perímetro = 160 m área = 1200 m 2 Haciendo un modelo de los posibles rectángulos tenemos:

21

y metros x metros área = ( x metros ) ( y metros ) = x y metros2 perímetro = 2x metros + 2y metros = 160 metros La ecuación del perímetro del rectángulo está dada por 2

2

160.

Simplificamos y obtenemos una ecuación equivalente 80, donde despejamos la variable 80 De este modo tenemos a la altura “

.

“ del rectángulo en función de la base “ “.

Observamos que esta relación es lineal, pues la ecuación obtenida es una ecuación de primer grado en dos variables y gráficamente es una recta.

Por otro lado, observamos que la ecuación del área, depende de

y

, la base

y la altura, respectivamente área Si sustituimos la variable

.

(obtenida de la ecuación del perímetro) en la ecuación

del área área

80

80

,

obtenemos una ecuación en la que el área del rectángulo sólo depende del valor de

(la base).

De este modo denotamos el área del rectángulo por

, pues solo depende de

la base, y queda escrita como: A

80

.

22

La cual es una ecuación de 2° grado en dos variables, y esto gráficamente es una parábola.

Hacemos una tabla para diferentes valores de

(la base), para ambas ecuaciones

la lineal y la cuadrática, es decir veremos cómo cambia la altura

del rectángulo

(para el caso lineal) conforme cambia la base .

También veremos cómo cambia el área del rectángulo (para el caso cuadrático) conforme cambia la base :

10

70

700

20

60

1200

30

50

1500

40

40

1600

50

30

1500

60

20

1200

70

10

700

80

0

0

Hacemos una gráfica de ambas funciones:

23

1600

A (x )

y altura

80

40

x la base

x la base 0

40

80

0

40

80

La línea dice cómo cambia la altura conforme cambia la base y la parábola dice cómo cambia el área conforme cambia la base.

Así que el terreno que más le conviene, es el que tiene como medidas 40 m por 40 m, es decir, el rectángulo de mayor área con perímetro 160 m es un cuadrado que mide 40 m. de lado.

Para contestar la segunda pregunta: ¿Cuántos árboles deberán de plantarse, para que cumplan las condiciones anteriores?, Observemos que en el arreglo rectangular que nos presentan, en realidad es en un cuadrado de 40 m. de lado.

Luego el terreno tendría un área de 1600 m .

Como cada árbol hay que plantarlo cada 5 m, tendríamos 8 filas de 8 árboles, ya que, de éste modo tendríamos

24

8

cada 5 metros

40 metros

cada 5 metros

40 metros

á

8

Conservando la forma cuadrada del terreno, por lo que tendríamos 8

8

64

árboles plantados en el terreno.

Para contestar la tercera pregunta, ¿Cuántos árboles deberá plantar en el manzanar, para tener la máxima producción?

Sabemos que cada árbol produce 550 manzanas anuales, en estas condiciones, por lo que la producción total de manzanas al año del manzanero será: 550

64

ú

35200 manzanas.

ú á

á

Pero, por cada árbol extra que plantemos en el terreno, todos los árboles en promedio dejan de producir 5 manzanas anuales, esto lo podemos escribir en forma algebraica de la siguiente manera: 64

550

ú

ú

5

á á

donde

es el número de árboles extras que se van a plantar.

Este producto lo denotamos por

, ya que es la producción de manzanas, que

depende del número de árboles extras que plantemos.

Luego 25

64

550

5

35200

230

5

5

46

7040

Otra vez, esto es una ecuación de 2° grado con dos variables, por lo que su representación gráfica es una parábola.

Una manera de dibujarla, es buscar dónde corta la parábola al eje

, para esto

igualamos a cero y resolvemos la ecuación: 5

46

7040

46

0⇔ 46 4 2 1

46

√2116 2

46

√30276 2 174

46

46

7040

0

1 7040

28160

2 23 ∓ 87 23

87

o 23 87 64 o .

110 Así la parábola corta al eje

en

64 y en 110.

Después tomamos el punto medio entre el

64 y el 110.

Esto lo calculamos como sigue: 64

110 2

23.

Nos fijamos en valores de , que se localicen de manera simétrica con respecto al 23, pues la parábola es simétrica a la línea vertical que pasa por el 23.

Para hacer la tabulación tenemos:

26

0

-64

23

12

Hay 11 unidades

Hay 46 unidades

34

110

46

Hay 11 unidades

Hay 46 unidades

Hay 87 unidades

Hay 87 unidades

Es el número de árboles

La producción de manzanas

Algunas observaciones viendo la tabla: •

En el valor de

23 estará el vértice de la parábola, es decir, el punto 23 , 37845 .

•

Además la parábola abre hacia abajo, ya que el coeficiente de la variable que está al cuadrado es negativo, lo cual nos indicará, que el mayor valor que alcanza la parábola es en el vértice, es decir la máxima producción de manzanas posible será de 37845.

•

Como el número de árboles que evaluamos fueron simétricos al número 23, (es donde evaluamos para el vértice), resulta que también los valores que 27

tiene la parábola son simétricos, pues la parábola es simétrica a esta línea vertical

23 .

Usando la tabla, hacemos un bosquejo de la gráfica de la parábola.

37845

P(a ) es la producción de manzanas 35200

a es el número de árboles 23

0

- 64

110

Por lo tanto, deberán plantarse 64

23

87

árboles que producirán 37845 manzanas al año.

Ejercicio: (Modelar la situación del siguiente problema) Un transportista puede fletar en un barco, 100 toneladas de mercancía ganando $ 600 por cada tonelada, pero estima que si retrasa el embarque puede añadir 20 28

toneladas semanales al cargamento, aunque en este caso la ganancia disminuye $ 30 por tonelada que trasporte y por semana. ÂżCuĂĄnto tiempo le conviene retrasar el embarque?

93750

G(s ) es la ganancia por tonelada 60000

s es el nĂşmero de semanas de espera -5

0

7.5

20

29

Problemas que se pueden resolver con ecuaciones o sistemas de ecuaciones 1. José hizo un recorrido de 320 kilómetros en 6 horas en su camión de redilas.

Las primeras 4 horas viajó en una autopista a velocidad constante. Las siguientes 2 horas bajó la velocidad en 20 kilómetros por hora para transitar en un camino rural. ¿Qué velocidad llevaba en cada carretera?

Solución: Llamamos la velocidad en kilómetros por hora en la autopista.

Como bajó la velocidad en 20 kilómetros por hora en el camino rural, entonces la velocidad ahí fue 20.

Analizamos los datos en una tabla: Velocidad (kilómetros por hora) Autopista Camino rural Distancia total

20

Tiempo (horas) 4 2 6

Distancia (kilómetros) 4 2 20 320

Planteamos la ecuación: Distancia autopista

Distancia camino rural

Distancia total

De donde, 4

2

20

320.

Despejamos : 4

2

20 40 6

320 4 2 320 320 40 360 6 60.

La velocidad en la autopista: 60 kilómetros por hora.

La velocidad en el camino rural: 20 60 20 40, Es decir, en el camino rural al velocidad fue de 40 kilómetros por hora.

Comprobación: 4v 2 v 20 4 60 2 40 240 80 320.

30

2.

3.

4.

5.

Ejercicio En una tienda de productos naturistas, quieren vender una mezcla de pasitas con nueces. Las pasitas cuestan $35 el kilogramo y las nueces $110 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente tienen que mezclar para obtener 15 kilogramos a un precio de $65 por kilogramo?

Juan tiene 47 años y Rosa tiene 12 años. ¿Al cabo de cuántos años será la edad de Juan 6 veces la de Rosa?

Solución: Llamamos a los años que deben transcurrir.

La edad de Juan después de años será 47.

La edad de Rosa después de años será 12.

Como queremos que la edad de Juan sea 6 veces la de Rosa, entonces 47 6 12 .

Simplificando y despejando, tenemos 47 6 12 47 6 72 47 72 6 25 5 25 5 5 .

Ahora debemos interpretar el resultado. Como el resultado es negativo, entonces significa que hace 5 años la edad de Juan era 6 veces la edad de Rosa. Es decir, esto sucedió cuando Juan tenía 42 años y Rosa 7.

Lupe tiene 25 años y su hijo Pedro tiene 3 años. ¿Al cabo de cuántos años será la edad de Lupe será el doble de la de Pedro?

Un avicultor recolectó en 2 jornadas de trabajo 113 litros de miel. Para vender la miel tiene 332 envases, unos de

litro y otros de

de litro.

¿Cuántos envases de cada clase usará?

Solución: Llamamos

al número de envases de litro.

Llamamos

al número de envases de litro.

Como tiene 332 envases, entonces 332.

31

Además sabemos que tiene que envasar 113 litros de miel, en

envases

de litro y

envases de litro, así 1 1 113.

2 4 Como tenemos dos ecuaciones, entonces formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 332 1 1 113.

2 4 Para resolver el sistema, despejamos de la primera ecuación 332 Y lo sustituimos en la segunda ecuación 1 332 4

1 2

113.

Despejamos :

1 2

1 2

1 332 4

1 332 4 1 2

2

113 1 4 1 4

113 113

83

30

4 4

30 120.

Ahora obtenemos el valor de 332 332 120 212.

Comprobación: Primera ecuación: 120

212

332.

32

Segunda ecuación: 1 2

1 4

1 120 2

1 212 4

60

53

113.

El avicultor debe llenar 120 envases de litro y 212 de litro.

En este problema podemos plantearnos las siguientes preguntas: ¿Cuántos litros de miel utilizó para llenar los envases de

litro?

¿Cuántos litros de miel utilizó para llenar los envases de litro?

6. En un corral hay gallinas y conejos. Hay 37 cabezas y 98 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?

7. Leonor tiene $164.80 en 80 monedas. Unas de 20 centavos y otras de 5 pesos. ¿Cuánto dinero tiene en monedas de cinco pesos?

Solución: Como hay monedas de 20 centavos y de 5 pesos, escribimos los 20 centavos como 0.20 pesos.

Llamamos al número de monedas de 0.20 pesos.

Llamamos al número de monedas de 5 pesos.

Leonor tiene en total 80 monedas, entonces 80 y $164.80 en monedas de 20 centavos y de 5 pesos, es decir 0.20

5

164.80

Como tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, establecemos el sistema 80 164.80

0.20 5 Despejamos de la primera ecuación: 80 Sustituimos este valor en la segunda ecuación y despejamos 0.20 5 80 164.80 0.20 400 5 164.80 4.80 164.80 400 4.80 235.20 235.20 4.80 33

49.

Ahora encontramos el valor de : 80

49

31.

Comprobación: Primera ecuación: 49

31

80.

Segunda ecuación: 0.20

5

0.20 49

5 31

9.80

155

164.80.

Por tanto, Leonor tiene 49 monedas de 20 centavos y 31 monedas de 5 pesos.

Para responder a la pregunta planteada en el problema de ¿cuánto dinero tiene en monedas de cinco pesos?, utilizamos el dato obtenido: Leonor tiene 31 monedas de 5 pesos, entonces 5 31

155.

Leonor tiene $155 en monedas de 5 pesos.

8. Eva invierte cierta cantidad de dinero al 3% anual y el resto al 5%. En total invierte 750 pesos. La ganancia total de su inversión fue de 28.50 pesos. ¿Cuánto dinero invirtió al 3% y cuánto al 5%?

Solución: Llamamos a la cantidad que invirtió al 3% y a la cantidad al 5%.

Como en total invirtió 750 pesos, entonces 750.

La ganancia de la inversión fue de 28.50 pesos, entonces 0.03 0.05 28.50.

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, entonces establecemos el sistema 750 0.03 0.05 28.50.

Para resolverlo, despejamos de la primera ecuación 750 , y lo sustituimos en la segunda y resolvemos la ecuación: 28.50 0.03 0.05 750 34

0.03

Sustituimos este valor de

0.05 0.02

28.50 37.50 9 9 0.02 450.

en 750

450

300.

Por lo tanto, Eva invirti贸 450 pesos al 3% y 300 pesos al 5%.

35

Unidad II. Forma, espacio y medida

Problemas que involucren el uso de los criterios de congruencia y semejanza. Construcción y aplicación de los criterios de congruencia de triángulos. Justificación y aplicaciones del teorema de Thales.

Demostración y aplicaciones del teorema de Pitágoras. Problemas que involucren el uso del teorema de Pitágoras y de Thales. Problemas que involucren las propiedades de las rectas y ángulos de la circunferencia. Rectas secantes, tangentes, y exteriores a una circunferencia. Ángulo central, inscrito, semi-inscrito y exterior a una circunferencia. Problemas que involucren transformaciones en el plano. Problemas que involucren el cálculo de volúmenes.

36

Ver video sobre el teorema de Thales http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY

Teorema de Thales: Si en un triángulo ∆

, se eligen los puntos

respectivamente, de tal manera que el segmento

y

en los lados

y

resulte paralelo al segmento

.

A D

E

C

B

Entonces .

Justificación: Si nos fijamos en los triángulos ∆ respecto a las bases

y

y ∆

tienen la misma altura con

respectivamente

A D

B

E

C

Entonces la proporción entre sus bases es igual a la proporción entre sus áreas, es decir,

37

área ∆ área ∆

.

De la misma manera, si nos fijamos en los triángulos ∆ y

misma altura con respecto a las bases

y ∆

tienen la

respectivamente.

A D

E

B

C

Entonces la proporción entre sus bases es igual a la proporción entre sus áreas, es decir, área ∆ área ∆ Así los triángulos ∆

y ∆

.

, tienen como base común a

son paralelas los triángulos ∆

y ∆

y, como

y

tienen la misma altura.

A

D

La misma base E

La misma altura B

C

Por lo que área ∆

área ∆

,

De esta manera tenemos: área ∆

área ∆

área ∆

área ∆

área ∆

área ∆ Es decir, área ∆

área ∆ área ∆ área ∆

.

y como también teníamos las relaciones: y

área ∆ área ∆

, 38

por lo tanto, .

Ejercicio 1. Justificar que el recíproco del teorema de Thales también es cierto, es decir: Si en un triángulo ∆

, se eligen los puntos

y

en los lados

y

respectivamente, de tal manera que .

Entonces resulta que los segmentos

y

son paralelos.

Una consecuencia importante del teorema de Thales: Si tenemos dos rectas paralelas, la proporción que hay entre las rectas transversales que las cortan se conserva, sin importar quienes son estas rectas trasversales Justificación: Por el teorema de Thales tenemos que: ⟺

∥

A D

E

C

B

Como y

.

39

Entonces ⟺

⟺1

1

⟺

.

Se tiene ∥

⟺

⟺

.

Es decir: La proporción que hay entre las rectas transversales se conserva ⟺

∥

.

Otra manera de enunciar el Teorema de Thales: ,

y

en

y

Consideremos tres rectas cortan a

en

y

, a

y dos rectas transversales y a

y

en

y

que

como lo muestra el

dibujo siguiente

T1 L1 L2 L3

T2

A

A1

B

B1 C1

C

Tenemos que ,

y

son paralelas ⟺

.

Justificación: Tracemos la trasversal que pase por los puntos

y

como se muestra en el

dibujo siguiente:

40

T2

T1 L1 L2 L3

Siendo

A1

A

B

D

C1

C

el punto de intersección de

con la trasversal

teorema de Thales a los triángulos ∆

∥

B1

⟺

y ∆

y aplicando el

tenemos que

aplicado el teorema de Thales al triángulo ∆ y

∥

⟺

.

aplicado el teorema de Thales al triángulo ∆

Entonces las tres rectas son paralelas si y sólo si 1

1

⟺

y como

.

Por lo tanto, .

Ejercicio 2. Consideremos tres rectas que cortan a

en

y

, , a

y en

, y dos rectas transversales y

y a

en

y

y

como lo

muestra el dibujo siguiente

41

T2

T1 L1 L2 L3

Si

y

A1

A

B

B1 C1

C

son paralelas y la recta

cumple que .

Entonces

también es paralela a

.

La principal aplicación del teorema de Thales, es que a partir de éste, se pueden deducir los criterios de semejanza de triángulos: Decimos que dos triángulos ∆

y ∆

son semejantes: C1 γ1

α1 β 1

A1

C

B1

γ α

β

A

B

Si sus ángulos respectivos son iguales , y sus lados homólogos son proporcionales, es decir, 42

.

De hecho si se cumple una condición se cumple la otra, esto nos lo dice el primer criterios de semejanza, junto con el tercer criterio de semejanza.

Primer criterio de semejanza ∢, ∢, ∢ Si dos triángulos ∆

y ∆

, tienen ángulos respectivos iguales, entonces

los triángulos son semejantes: Justificación: sobre el segmento

Si elegimos

sobre el segmento

, de tal manera que

, de tal manera que

y elegimos

.

C1 γ1

α1 β 1

A1

C

B1

γ C2

α A

Luego como ∆

y ∆

ángulo ∢ ∢

B2

B

, aplicamos el criterio de congruencia L, ∢, L , a los triángulos resultan ser congruentes, de aquí podemos decir que el , pero como

, así

β

es paralelo a

teorema de Thales a los triángulos ∆

(por hipótesis), luego por transitividad , de manera que podemos aplicar el y ∆

para tener

.

Pero como

43

y

.

Por lo tanto, .

Si elegimos

sobre el segmento

sobre el segmento

, de tal manera que

, de tal manera que

y elegimos

.

C1 γ1 A1

C

B1

A2

γ

β

α A

B

B2

, aplicamos el criterio de congruencia L, ∢, L , a los triángulos

Como ∆

α1 β 1

y ∆

ángulo ∢ ∢

resultan ser congruentes, de aquí podemos decir que el , pero como

, así

es paralelo a

teorema de Thales a los triángulos ∆

(por hipótesis), luego por transitividad , de manera que podemos aplicar el y ∆

para tener

.

Pero como

44

y

.

Por lo tanto .

Luego .

Nota: De hecho basta, que dos ángulos respectivos que sean iguales, pues forzosamente el tercero tiene que ser igual, ya que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Ejercicio 3. Segundo criterio de semejanza L, ∢, L Si dos triángulos ∆

y

∆

, tienen dos lados correspondientes

proporcionales y el ángulo comprendido entre éstos es igual, entonces son semejantes.

4. Ejercicio Tercer criterio de semejanza L, L, L Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

45

Aplicaciones de los Teoremas de Pitágoras y de Thales.

En diversas culturas y épocas aparece el Teorema de Pitágoras con distintas demostraciones Desde los Babilonios, la antigua China, Egipcios, Griegos, etcétera. A continuación daremos una de las tantas demostraciones para luego pasar a generalizaciones y aplicaciones.

Como todos sabemos, en un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se conoce como la hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les llaman catetos.

hipotenusa cateto

cateto

El Teorema de Pitágoras nos dice que, si rectángulo y

y

son los catetos de un triángulo

la hipotenusa, entonces se cumple la relación

.

Geométricamente esta relación nos dice: Si en cada lado del triángulo rectángulo trazamos un cuadrado con la misma medida del lado correspondiente, tenemos que la suma de las áreas de los cuadrados que están sobre los catetos es igual al área del cuadrado que esta sobre la hipotenusa.

46

c2 a2

b2

Como una aplicación del uso de los criterios de semejanza tenemos, una demostración sencilla atribuida a Joseph Louis Lagrange el cual nació en Turín 1736, trabajo en Berlín y murió en Paris 1813: Demostración del teorema de Pitágoras: Si consideramos la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, tenemos que se forman dos triángulos rectángulos, mutuamente semejantes al triángulo rectángulo original

C

C

D



β γ

β A

B

El triángulo rectángulo ⊿ el ángulo

pie de la altura sobre la hipotenusa

γ

γ

en

A

β B

es semejante al triángulo rectángulo ⊿

, ya que

es común y ambos son rectángulos, por lo que podemos

concluir que el ángulo ∢

.

47

También el triángulo rectángulo ⊿ ángulo

en

es semejante al triángulo ⊿

, ya que el

es común y ambos son rectángulos, por lo que también podemos

concluir que el ángulo ∢ Luego

también

⊿

⊿

. ∢, ∢, ∢

por

podemos

concluir

que

los

triángulos

son semejantes

Luego de ⊿

~⊿

⇒

⇒

∙

⇒

∙

y ⊿

~⊿

⇒

∙

∙

Por lo tanto

∙

∙

.

.

Una generalización clásica del teorema de Pitágoras 1.-Si en vez de trazar un cuadrado, en cada lado del triángulo rectángulo, trazamos un triángulo equilátero en cada lado del triángulo rectángulo con la misma medida del lado correspondiente, entonces la suma de las áreas de los triángulos equiláteros que están sobre los catetos es igual al área del triángulo equilátero que esta sobre la hipotenusa.

A1

C

Tc B1

Ta

a

c b

A

Tb

B

C1

Justificación: Encontramos el área de cada triángulo equilátero 48

C a 2

a B1

ha A

Ta Encontramos el área del triángulo para encontrar la altura

, para esto usamos el teorema de Pitágoras,

del triángulo 2 2 3 4 √3 .

2

Por lo que el √3 2

∙ área

√3 4

2

.

Análogamente √3 4

área

√3 4

y área

.

Luego área

área

√3 4

√3 4

√3 4

√3 4

área

.

Por lo tanto área

2.-Si en vez de trazar

área

área

.

un triángulo equilátero en cada lado del triángulo

rectángulo, trazamos una semicircunferencia en cada lado del triángulo rectángulo con diámetro el lado del triángulo correspondiente, entonces la suma de las 49

áreas de los semicírculos que están sobre los catetos es igual al área del semicírculo que esta sobre la hipotenusa.

C

Ca

c

a

Cc

b A

Cb

B

Justificación: Encontramos el área de cada uno de los semicírculos, lo haremos para el semicírculo

, como

es el diámetro tenemos que el 2 2

área

8

.

Análogamente tendríamos área

y área

8

.

8

Luego área

área

8

8

8

8

área

.

Por lo tanto área

área

área

.

Este hecho se cumple aunque no sea un polígono regular, basta con que los polígonos que se apoyan sobre los lados del triángulo rectángulo

sean

semejantes y el apoyo sea en un lado homólogo de los polígonos semejantes.

3.- Lo hacemos para una terna de triángulos semejantes Para facilitar las cosas nos fijamos en la siguiente terna pitagórica 3,4,5

50

A1

C 3

5 B

4 A

C1

B1

Como el triángulo ∆

~∆

y

y un par de lados homólogos son

Así que la razón de semejanza de estos dos triángulos es 5 .

3 Por lo que la razón entre sus áreas es 5 3

área ∆ área ∆

Análogamente, el triángulo ∆ y

25 ⇒ área ∆ 9 ~∆

9 área ∆ 25

.

y un par de lados homólogos son

, Así que la razón de semejanza de estos dos triángulos es 5 .

4

Por lo que la razón entre sus áreas es área ∆ área ∆

5 4

25 ⇒ área ∆ 16

16 área ∆ 25

.

Luego sumando las áreas de los triángulos que están sobre los catetos tenemos: área ∆

área ∆

9 área ∆ 25

16 área ∆ 25

área ∆

.

Por lo tanto área ∆

área ∆

área ∆

.

Lo único que hay que justificar, es que la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es el cuadrado de la razón que hay entre sus lados homólogos, pero para justificarlo necesitamos el siguiente ejercicio.

51

Ejercicio Si

dos triángulos ∆

y ∆

tienen un ángulo en común, entonces la

razón entre las áreas de los triángulos, es igual al la razón entre los productos de sus lados que forman el ángulo en común.

C C1

α

A

B1

A1

área ∆ área ∆

B

∙

.

∙

Solución: Trazamos el segmento C C1

A

α

Tenemos que los triángulos ∆

B

B1

A1

y ∆

tienen la misma altura, luego por un

ejercicio anterior tenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases área ∆ área ∆

.

Análogamente tenemos

52

C C1

α

A

B1

A1

Los triángulos ∆

y ∆

B

tienen la misma altura, luego por un ejercicio

anterior tenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases área ∆ área ∆

.

Luego multiplicando ambas igualdades se tiene área ∆ área ∆

área ∆ área ∆

.

Por lo tanto área ∆ área ∆

∙

.

∙

.

Ya que Ejemplo.

Si dos triángulos ∆ áreas

y ∆

de los triángulos, es igual

son semejantes entonces la razón entre las al cuadrado

de la razón de sus lados

proporcionales.

Solución: Por un lado como los triángulos son semejantes, tienen sus ángulos respectivos iguales, si usamos el ángulo ∡

∡

, y usando el ejercicio anterior

tenemos área ∆ área ∆

∙

.

∙

Pero como son semejantes se tiene que .

53

Haciendo la sustitución tenemos que

área ∆ área ∆

Esto se cumple también

.

para polígonos semejantes en general, pues si

recordamos que el área de un polígono, se puede calcular si lo triangulamos.

Otro hecho curioso con el teorema de Pitágoras.

3.-Dada la siguiente figura (caracol pitagórico) 1

1

1

1 6

1

5

1

4

7 3

8

1

2

9

1

1

10

1

1

1

11 12

1 13 14

1

15

1 1 1

Podemos dar la sucesión de hipotenusas obtenidas en cada triángulo rectángulo trazado √2, √3, √4 , ⋯ , √16.

Así que la última hipotenusa de este caracol es 4.

Ejercicios.

1.- Si en vez de trazar un cuadrado, en cada lado del triángulo rectángulo, trazamos un hexágono regular en cada lado del triángulo rectángulo con la misma medida del lado correspondiente, entonces la suma de las áreas de 54

los hexágonos que están sobre los catetos es igual al área del hexágono que esta sobre la hipotenusa.

C Ec Eα

a

c b B

A Eb

2.- Si nos fijamos en la siguiente terna pitagórica 5,12,13 A1

C

B1

5 13 12 A

B

C1

Justificar área ∆

área ∆

área ∆

.

55

Rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia.

Consideremos una circunferencia con centro en

y radio , donde

0.

Puntos del plano con respecto a una circunferencia.

• •

Un punto

está en la circunferencia si el segmento

segmento

, es llamado un radio de la circunferencia.

Si

es un punto dentro de la circunferencia, tenemos que el segmento , en este caso el punto

•

Si

se llama punto interior.

es un punto fuera de la circunferencia, tenemos que el segmento , en este caso el punto

•

, y al

se llama punto exterior.

El conjunto de todos los puntos de la circunferencia, junto con todos los puntos interiores se llama círculo.

Punto sobre la circunferencia Punto exterior de la circunferencia

A radio

E

O O I Circunferencia Punto interior de la circunferencia

O

círculo

Posiciones de una recta con respecto a una circunferencia.

56

•

Si

es cualquier punto de la circunferencia y si

al segmento

, a la recta

circunferencia que pasa por

es la recta perpendicular

se le llama la recta tangente a la . (esta recta corta, en un punto a la

circunferencia) •

Cualquier segmento que una dos puntos de la circunferencia se le llama se le llama cuerda.

•

Si la cuerda pasa por el centro se le llama diámetro.(y un diámetro mide dos veces el radio).

•

Una recta que corta a la circunferencia en dos puntos es llamada secante.

•

Una recta que no corta a la circunferencia se llama recta exterior.

•

Se le llama segmento de un círculo la parte del círculo comprendida entre un arco y su cuerda, si la cuerda es un diámetro se le llama semicírculo.

•

Se le llama sector de un círculo la parte comprendida entre un arco y los radios que van a los extremos del arco.

B radio

Punto de tangencia

cuerda diámetro

segmento circular

sector circular

recta tangente

recta secante

recta exterior

57

Ejercicio: (Usando el teorema de Pitágoras) Sea

una circunferencia con centro en

circunferencia

, si desde un punto

exterior a la

, se trazan dos rectas tangentes a la circunferencia, siendo

y

los puntos de tangencia respectivamente de las dos rectas tangentes, entonces y

está en la bisectriz del ∡

.

A

P

O

B

Solución: Trazamos los radios

y

, como estos radios son perpendiculares a las

tangentes, se forman dos triángulos rectángulos ⊿

y⊿

A

P

O

B

Si aplicamos Pitágoras al triángulo ⊿

, tenemos que

análogamente se lo aplicamos al triángulo ⊿ Como

, obteniendo

, .

(ya que son radios), entonces 58

⇒ Como los triángulos ⊿

≅⊿

resultan ser congruentes, tenemos ∡

es decir,

.

∡

es la bisectriz del ángulo ∡

, .

Ángulo central, inscrito, semi-inscrito y exterior a una circunferencia.

Observación: a) Un ángulo es la apertura entre dos semi-rectas o rayos que concurren, a los rayos se les llama lados del ángulo y el punto de intersección de los rayos se le llama vértice del ángulo.

Lado de l ángulo

Vértice de l ángulo

V Lado de l ángulo

b) Dos puntos sobre una

circunferencia determinan dos arcos en la

circunferencia:

59

A

A

BA

B

B

AB Los arcos

y el arco

se recorren en contra de las manecillas del reloj.

Ángulos respecto a una circunferencia •

Un ángulo inscrito en una circunferencia es el ángulo formado por dos cuerdas que tienen un extremo común sobre la circunferencia, y los dos extremos no comunes de las cuerdas definen un arco, al que se le llama arco que subtiende el ángulo inscrito.

Extremos no comunes de las cuerdas B A

V

Extremo común de las cuerdas

•

O

arco AB que subtiende el ángulo inscrito

Un ángulo central en una circunferencia es el ángulo formado por dos radios, y los extremos que no son el centro de los radios definen un arco, al que se llama el arco que subtiende el ángulo central.

60

Extremos no comunes de los radios B A O

arco AB que subtiende el ángulo central

•

Un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es el ángulo que su vértice está en la circunferencia y uno de los lados del ángulo es tangente a la circunferencia en el vértice, mientras que el otro lado del ángulo es una cuerda de la circunferencia, los extremos de esta cuerda, siendo uno de ellos el vértice, nos indican el arco que abarca el ángulo semi-inscrito.

V

Vértice del ángulo

O La cuerda como lado

A

La tangente como lado

61

•

Un ángulo ex –incrito en una circunferencia es el ángulo adyacente a un ángulo inscrito.

ángulo inscrito

B ángulo ex-inscrito

A O V

A1 •

Un ángulo interior en una circunferencia es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia, es claro que si el punto interior es el centro el ángulo es central.

B A V

C

D

•

Un ángulo exterior en una circunferencia es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia.

62

D C V

A

B

La siguiente tablita nos índica la forma de medir un ángulo respecto a una círcunferencia

Ángulos respecto a una circunferencia

Medida del ángulo

B A

Ángulo inscrito

∢

O

V

B A

Ángulo central

∢

O

63

V

Ángulo O

semi-inscrito

∢

∢

A1

A

B A

Ángulo

∢

ex-inscrito

A1

O

V

Ángulo

B

interior

A V

C

∢

O

D D C

Ángulo exterior

V

A

O

B

∢

64

Problema que involucra propiedades de las rectas y ángulos de la circunferencia.

Consideremos

una circunferencia y

un punto en el plano donde está la

circunferencia. Puede suceder que el punto

esté dentro, sobre o fuera de la

circunferencia como se representa en el dibujo siguiente: C

C

P

P

El punto P esta dentro de la circunferencia

El punto P esta sobre la circunferencia

C

P

El punto P esta fuera de la circunferencia Problema: Si tenemos dos cuerdas por

se tiene que

∙

∙

y

de la circunferencia

que pasan

(considerando los segmentos dirigidos), y

además es independientemente como se encuentre

con respecto a la

circunferencia.

Si consideramos que el punto

se encuentra fuera de la circunferencia

65

C

P

El punto P esta fuera de la circunferencia B

B A

A

C

C

P

P

E

E

F

Uniendo el punto triángulos ∆ ∢

F

con el punto y ∆

y el punto

con el punto , tenemos que los

son semejantes, ya que los ángulos inscritos ∢

y

cumplen ∢

∢

180°.

por estar en arcos diferentes y ambos arcos forman la circunferencia.

La suma de los ángulos ∢

y∢

es

∢

∢

180°

por ser suplementarios. De donde ∢

∢

∢

∢

∢

∢

,

por lo tanto

Análogamente los ángulos inscritos ∢

y∢

. cumplen 66

∢

∢

180°

∢

∢

180°,

y también

por lo que ∢

∢

∢

∢

.

Los ángulos

por ser comunes a ambos triángulos y ser opuestos por el vértice, luego por el criterio de ∢, ∢, ∢ tenemos ∆

~∆

.

Por lo tanto, ⇒

∙

∙

.

Ejercicios a) Sean dos puntos fijos

y

cualesquiera dos puntos

y

también sobre la circunferencia se tiene que

∢

∢ A

sobre una circunferencia, tenemos que para

o ∢

∢

180°.

A

B

Q2

Q2

Q1

Q1

B

67

b) Si tenemos dos cuerdas se tiene que

∙

y ∙

de la circunferencia

que pasan por

(considerando los segmentos dirigidos),

justificarlo cuando , se encuentre dentro y sobre la circunferencia.

68

Problemas que involucren transformaciones en el plano La geometría no es sólo el estudio de las figuras y de sus propiedades, sino también los movimientos de estas figuras. A estas herramientas de matemáticas que nos permiten, cambiar de posición o bien modificar el tamaño de una figura en el plano, son lo que le llamamos transformaciones en el plano, tales como la: traslación, rotación, reflexión, homotecias e inversión.

En esta parte, trataremos solo las que son de movimiento rígido, es decir las que en geometría les llaman isométricas, ya que estas trasformaciones no cambian la forma ni el tamaño de la figura, en otras palabras estas trasforman figuras a figuras congruentes, en nuestro caso son: La traslación, rotación y reflexión.

Una traslación de una figura , es una trasformación que mueve a todos los puntos de

, la misma distancia y en la misma dirección, la figura trasladada

es llamada la imagen de caso la figura original

bajo la traslación y la denotaremos como

este

resultan ser congruentes.

y la trasladada

C'

C

F'

A'

B'

F A B

Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando uno usa una escalera eléctrica.

69

Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos la traslación (no trivial), ningún punto del plano, quedaría fijo, así que una de las características que tienen las traslaciones es que no tienen ningún punto fijo.

Una rotación de una figura , es una trasformación que gira en un ángulo a todos los puntos de

, alrededor de un punto fijo. El ángulo en que gira la

figura , es llamado ángulo de rotación, y el punto fijo es llamado centro de rotación.

La figura rotada es llamada la imagen de como

bajo la rotación y la denotaremos

, en este caso también la figura original

y la rotada

resultan ser

congruentes.

70

B'

ángulo de rotación C

C

F' F C'

A

A'

A

B

centro de rotación

F B

centro de rotación

A'

C' ángulo de rotación

B' Figura 1

Figura 2

Una rotación es positiva, si el giro es en contra del movimiento de las de las manecillas del reloj. También se le dice a este movimiento levógiro (Del latín laevus, izquierdo, y gyrare, giro), como esta en la figura 1.

Por otro lado, se dice rotación negativa si el giro es a favor del movimiento de las manecillas del reloj. En este caso es dextrógiro (Del latín dexter, que está a la derecha y de girar), como está en la figura 2.

Nota: Las palabras levógiro y dextrógiro también son utilizadas en navegación marítima. En química

se le dice al cuerpo o sustancia que desvía hacia la

izquierda o derecha la luz polarizada.

Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando uno se sube a un juego mecánico llamado, rueda de la fortuna, que se encuentran en algunos parques recreativos.

Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos la rotación (no trivial), nada más un punto del plano, quedaría fijo, así que una de las características que tienen las rotaciones es que tienen un punto fijo.

71

Una reflexión de una figura , es una trasformación que refleja a todos los puntos de

, con respecto a una recta, la recta es llamada la recta de reflexión

y la figura reflejada es llamada la imagen de como

. en este caso la figura original

bajo la reflexión y la denotaremos

y la reflejada

resultan ser también

congruentes.

C

A

F B B'

C'

F' A'

Eje de reflexión

Observamos que el eje de reflexión es la mediatriz del segmento ′, donde ′ es el correspondiente reflejado de , con respecto al eje de reflexión, (ver la figura anterior), y esto sucede con todos los puntos reflejados.

Si se doblara la figura sobre el eje de reflexión trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando vemos nuestro reflejo por medio de un espejo plano.

72

Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos una reflexión, con respecto a una recta del plano, los únicos puntos del plano que quedan fijos, son los del eje de reflexión, que

es una de las características que tienen las

reflexiones.

Eje de reflexión

Con las trasformaciones de reflexión y de rotación se pueden definir la simetría axial y rotacional, que puede presentar una figura.

Simetríasa) Se dice que una figura presenta una simetría axial, si podemos proponer una línea, con la cual, podemos partir en dos secciones a la figura, que resulten ser simétricas respecto a la línea propuesta, y en este caso dicha línea se llama eje de simetría.

A

Eje de simetría

B

A' B'

73

En este caso del dibujo anterior, la simetría axial se puede dar también con respecto a más ejes de simetría. b) Se dice que una figura presenta una simetría rotacional, si podemos proponer una rotación con su respectivo ángulo y centro de rotación, de tal manera que al aplicarla a la figura, ésta no se altera, es decir queda la misma figura.

O

Si hacemos una rotación de 90° alrededor del punto , obtenemos que la figura queda como si estuviera en la posición original, por lo que la figura tiene una simetría rotacional.

En el caso del dibujo anterior, la simetría rotacional se puede dar también con respecto a más ángulos de rotación, por ejemplo con los ángulos de 180° y 270°, claro considerando el mismo centro de rotación.

Si las simetrías se utilizan, repetidamente de una misma figura o varias figuras, se obtienen diseños geométricos, los cuales se pueden usar, como motivos de una decoración llamada mosaico o teselación, que se usan mucho en el arte.

Desde la época clásica de los griegos ya le daban una interpretación de translaciones rígidas a sus observaciones.

1. Ejercicio:

74

Si vemos la posición de la constelación de la Lira en una posición respecto al polo norte, a las 8:00 pm, ¿Cuál será el ángulo de rotación de la posición de la constelación de la Lira a las 4:00 am de la mañana?

Polo norte 2. Ejercicio: Dada la siguiente estrella, determine todas las simetrías axiales y todas las simetrías rotacionales

75

Problemas que involucran el cálculo de volúmenes Un resultado importante en el cálculo de volúmenes, es la relación que hay entre los

volúmenes

de

figuras

tridimensionales

que

son

semejantes.

Este

comportamiento es análogo al que hay entre el área de figuras bidimensionales semejantes. Recordemos que dicha relación nos decía, que si una figura

se

dilata un factor , entones el área de la figura dilatada ′ cumple: área

′

área

,

es decir, área área

′

,

donde , es la razón de semejanza entre las figuras bidimensionales

y ′.

A' B' F' A B

F

C' C

O

′ ′

′ ′

′ ′

⇒

área área

′

.

Así, el resultado para figuras tridimensionales es: 76

Si una figura tridimensional

se dilata un factor

, entonces el volumen de la

figura dilatada ′ cumple: volumen

′

volumen

,

es decir, volumen volumen

′

donde , es la razón de semejanza entre las figuras tridimensionales

y ′.

Con la información anterior resolvamos los siguientes ejemplos.

1. Consideremos dos latas cilíndricas rectas. La primera lata altura y 5 cm de diámetro y la segunda lata

con 5 cm de

de 12 cm de altura y 12 de

diámetro. ¿Cuántas latas de la primera se necesitan para llenar la segunda?

Solución: Como la proporción entre el primer cilindro y el segundo es de decir que el primer cilindro se dilata un factor de

podemos

y entonces la relación

entre los dos volúmenes cumple:

77

12 5

volumen

volumen

,

es decir, 12 5

volumen volumen

de donde la razón entre sus volúmenes es 12 5

1728 125

13.8,

por lo que se necesitan casi 14 latas pequeñas, para llenar la lata grande.

En el siguiente ejemplo vemos cómo se puede demostrar que dos cilindros son semejantes.

2. Si tenemos un primer cilindro recto de radio 3 cm y altura de 7 cm, y otro de 7 cm de altura, con perímetro de su base de 18

cm, entonces los cilindros

son semejantes.

Solución: Como el perímetro de un cilindro es 2

y el segundo cilindro tiene como

base un círculo cuyo perímetro es de 18

cm, obtenemos que

2

18 18 2

9.

Así, que el segundo cilindro recto tiene radio 9 cm y sabíamos que tenía altura 7 cm.

Así, la razón entre sus radios es 78

3 9

1 , 3

y la razón entre las alturas es 7 21

1 .

3

Por lo tanto, los radios y las alturas son proporcionales, de manera que los cilindros son semejantes.

3. Tenemos dos prismas triangulares semejanza es

semejantes, cuya factor (o razón) de

. Si el volumen del prisma pequeño es de 48 cm . ¿Cuál es

el volumen del prisma grande?

Solución: Como la proporción entre los volúmenes es

cubo de la proporción de

semejanza tenemos 6 11 11 6

1331 48 216

295.8 cm .

Se proponen los siguientes ejercicios.

4. Ejercicio: a) Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular, cuyo lado de la base hexagonal mide 5 cm, su apotema mide 4.3 cm, y la altura del prisma es 8 cm. b) Hallar directamente el volumen del prisma semejante de lado 15 cm.

5. Ejercicio:

79

Si una bola de boliche tiene radio de 8 cm y la de billar de 5 cm de di谩metro, hallar el volumen de ambas. Y determinar la raz贸n de semejanza.

80

Unidad III. Manejo de la información

Problemas que involucren modelar la razón de cambio de un proceso o fenómeno. Gráficas (construcción, interpretación y uso). Problemas que impliquen la determinación de términos de sucesiones numéricas.

Medidas de tendencia central. Medidas de dispersión. Probabilidad.

81

Introducción Esta unidad empieza con el estudio de sucesiones en las cuales es necesario encontrar algebraicamente el término generador de ellas, lo cual requiere un grado de madurez matemática mayor que la de encontrar el siguiente término.

En los años anteriores se ha estudiado el concepto de medida de tendencia central, ahora se retoma el tema y se ve también una medida de dispersión: la varianza, que nos permite ver qué tan dispersos o no están una serie de datos.

Para este tema, se sugiere utilizar una computadora y una hoja de cálculo para hacer los cálculos más fácilmente, con lo cual, podemos ver ejemplos interesantes que sería muy tedioso hacer a mano. Finalmente, se utiliza la hoja de cálculo para hacer simulaciones del tipo Montecarlo de un problema de probabilidad sencillo y se ve el potencial de este método para atacar problemas en diversas áreas de las ciencias sociales, económicas, médicas, etc.

Sucesión La familia Ortiz de 5 integrantes quiere ahorrar para la fiesta de fin de año del 2010, donde cada integrante se comprometió a aportar $50 pesos semanales. Si en la primera semana de enero comienzan el ahorro, cuánto tendrán para la última semana de diciembre.

Solución: Sucesión

250 , 500 , 750 , … ,

Término Fórmula

1

2

3

1 250 , 2 250 , 3 250 ,

Fórmula general:

250 , donde

48 48 250

es la semana de ahorro.

82

Sucesión Con figuras

,

,

Para el fin de año se tendrá un ahorro de 48

250 = $12,000.

Ejemplo: La familia Ortiz como cada año decide ahorra para la fiesta de fin de año, pero como cuidan mucho su dinero, han decido tener un colchoncito para el ahorro del próximo año, es decir en diciembre del 2010 no se van a gastar todo, por lo que al inicio del 2011 tienen $2000 y además como todo ha subido de precio han decidido que para el 2011 el ahorro semanal será de $60 por cada integrante. ¿Cuánto tendrán para el fin del año 2011?

Solución: La sucesión que representa el ahorro del 2011 es: 2000

, 2300 , 2600 , … , 2000

48 300

Así la fórmula que representa el ahorro familiar de cada semana es 2000 donde

160 ,

representa el número de semana de ahorro.

Así para el final del 2011 tendrán de ahorro $16,400.00.

Sucesiones de figuras Si se tiene la siguiente sucesión de figuras

83

Encontrar la fórmula que determine el número de cuadros en cada uno de los términos de la sucesión.

Sucesión

Términos

1

,

2

,

3

Número de figuras

4

,

4

,

4

4 Fórmula general: 4

, donde

,

4

,

4

es el número de término en la sucesión.

Ejemplo 1: ¿Cuántas figuras tiene el 7º término de la sucesión?

Solución: Basta con sustituir el valor de 7 en la variable , como sigue 4

4

4096.

En el 7º término de la sucesión, hay 4096 figuras.

Ejemplo 2: Si se tiene una bacteria inicialmente y la población de bacterias se duplica cada hora. ¿Cuántas bacterias se tendrán en 24 horas?

84

Modelo

Bacterias por periodo

1 2

Términos

1°, 2°, 3°,

Horas transcurridas

4

0, 1, 2,

8 4° 3

Fórmula de núm. de bacterias 2 , 2 , 2 , Fórmula: 2 , donde

2

es el número de horas.

Ejemplo con figuras: Si se tiene la siguiente sucesión de figuras, encontrar la fórmula para obtener el número de cuadros en cada término.

85

Solución:

Sucesión Número de cuadrados

1

4

9

16

Término

1

2

3

4

Número de cuadrados

1

2

3

4

Formula general es

, donde

es el número de término de la sucesión.

Problema: Se quiere saber cuántos cuadros tiene el 9º término de la sucesión.

Solución: Basta con dar el valor de 9 elevado al cuadrado. Por lo que el 9º término es: 9

81 cuadrados.

Ejemplo: Si se tiene la sucesión 2 , 4 , 6 , … , 2

, dar una representación geométrica de

esta sucesión y encontrar el 7º termino.

86

Solución: 4,

2

Número de figuras

2 1

Sustitución de fórmula

4 ,

16

2 2

,

6

,

2 3

36

Término

Sucesión

Para encontrar el 7º término, basta hacer la variable de bolas que tendrá el 7º término es: ,

Una sucesión ° é

, ° é

14

2 7 ,

° é

7, por lo que el número 196 bolas.

, ⋯ es una lista de números u ° é

objetos, donde a cada elemento de la lista se le llama término. Diremos que una sucesión es aritmética cuando la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

Ejemplos: 1. En el ahorro de dinero semanal de $250 pesos, la sucesión que nos da es aritmética pues si observamos la sucesión $250 , $500 , $750 , …

al

restar

87

$500

$250

$250

$750

$500

$250.

Por lo que esta sucesión es aritmética.

2. De números 25 , 19 , 13 , 7 , …, también observemos que si °

°

°

°

7

13

°

°

13

19

°

°

19

25

°

°

6 6 6

Por lo que esta sucesión es aritmética.

Diremos que una sucesión es geométrica cuando el cociente entre dos términos consecutivos es constante.

1. Roberto mete al banco $2500 a un interés mensual del 5% en un plan en el que cada mes puede reinvertir los intereses.

Al final del primer mes tendrá 2500

2500 0.05

2625.

Al reinvertir esta cantidad el siguiente mes, al final del segundo mes, tendrá 2625

2625 0.05

2756. 25

y en un mes más tendrá 2756. 25

2756. 25 0.05

2894. 06.

Analizamos los cocientes de dos términos consecutivos de la sucesión $2500 , $2625 , $2756.25, : 2756.25 2625 2625 2500

1.05 1.05

Entonces la sucesión es geométrica.

88

**¿Cuánto se tendrá al final del 12° mes?: 2500 1.05

4489. 64

Por lo tanto, al final del 12° mes tendrá $4489. 64.

2. De los números 10 , 50 , 250 , 1250, …, también observemos que si °

°

°

°

1250 250 250 50 50 10

5 5 5.

Por lo que esta sucesión es geométrica.

Además, esta sucesión se puede ver como: 2

5, 2

25 , 2

°

°

125 , 2

625, …

°

°

Es decir, 2

5, 2 °

5 , °

2

5 , °

2

5 , °

De esta sucesión el 10° término es: 2 5

19 531 250.

Veamos la siguiente tabla donde se muestran las energías relativas de los diferentes subniveles electrónicos, para la configuración electrónica de elementos químicos. Los subniveles son: " ", " ", " " y " ". Por ejemplo para obtener :1 ,2 ,2

,3 ,3

89

NIVELES DE ENERGÍA

SUBNIVELES

ORVITALES

""

" "

ELECTRONES MÁXIMO EN EL NIVEL

1 2

0 0

1 1 3 1

1, 0, 1 0

6

3

1 0 1

3

1, 0, 1

6

2

5

2, 1, 0, 1, 2

10

0 0

2 2

2

18

Actividad: En las siguientes tablas se muestran hidrocarburos: 1. Llenar la siguiente tabla Alcanos: saturados que se forman de enlaces simples de cadena abierta.

90

ALCANOS

ENLACES SIMPLES

Metano C

Etano C

C

Propano C

C

C

Butano ______

______

Pentano ______ ______

F贸rmula general para cuando hay

carbonos en los alcanos es: ______

______

91

2. Llenar la siguiente tabla Alquenos: insaturados

que se forman de uno o más dobles enlaces entre

carbonos.

ALQUENOS

ENLACES INSATURADOS ∖

Eteno

C

C ∖

∖

Propeno

C

C

∖

Buteno

C ______

C

C

C

C

______

Penteno ______ ______

Fórmula general para cuando hay

carbonos en los alquenos es: ______

______

92

3. Llenar la siguiente tabla Alquinos: insaturados que se forman uno o m谩s triples enlaces entre carbonos.

ALQUINOS

ENLACES INSATURADOS

Etino C

C

Propino C

C

C

Butino C ______

C

C

C

______

Pentino ______ ______

F贸rmula general para cuando hay

carbonos en los alquinos es: ______

______

93

Medidas de tendencia central.

Seguramente la medida de tendencia central más conocida es el promedio o media, que se obtiene al sumar todos los valores de una variable aleatoria y dividir el resultado entre el número de valores.

Los alumnos entienden bien este concepto cuando hablan del promedio de calificaciones. Veamos unos ejemplos: La siguiente tabla muestra las calificaciones que obtuvieron cinco alumnos en cuatro exámenes. ex 1 9 6 5 8 10

Roberto Cristina Felipe Ana Raúl

ex 2 8 7 10 8 10

ex 3 6 8 9 9 7

ex 4 7 9 9 8 6

Para cada uno de los alumnos, podemos calcular su calificación promedio, por ejemplo, para Roberto: 9

30 7.5.

4 4 Podemos completar la tabla añadiendo una columna que contenga los promedios de calificaciones de los alumnos.

Roberto Cristina Felipe Ana Raúl

ex 1 9 6 5 8 10

8

6

ex 2 8 7 10 8 10

7

ex 3 6 8 9 9 7

ex 4 7 9 9 8 6

Prom 7.5 7.5 8.25 8.25 8.25

Observamos que dos de ellos tienen 7.5 y los otros tres tienen 8.25.

Para seguir analizando la información de las calificaciones, podemos hacer gráficas lineales de las calificaciones.

94

10 9 Roberto

8

Cristina

7

Felipe

6

Ana

5

Raúl

4 ex 1

ex 2

ex 3

ex 4

Aquí es conveniente usar gráficas lineales, pues, una sola gráfica nos permite ver el comportamiento de los 5 alumnos, y además podemos ver la evolución de sus calificaciones en el tiempo.

Por ejemplo, aunque Roberto y Cristina tienen la misma calificación promedio, 7.5, Roberto empezó bien el año, pero ha ido bajando sus calificaciones, en cambio Cristina, que empezó mal, ha hecho un esfuerzo mes a mes para mejorar. ¿Qué se puede decir de Felipe, Ana y Raúl en este sentido?

Medidas de dispersión.

Otro análisis estadístico que se puede hacer es ver qué tan dispersos están los datos.

Veamos el caso de Felipe, Ana y Raúl. Los tres tienen 8.25 de promedio.

La siguiente tabla muestra las gráficas de las calificaciones de los tres, y hay una línea punteada a la altura del promedio.

Comparando las tres gráficas de las calificaciones vemos que las calificaciones de Ana se mantienen más cerca de la línea del promedio que las otras dos.

Decimos entonces que las calificaciones de Felipe y Raúl están más dispersas que las de Ana.

95

10 9 8

Felipe

7

Ana Raúl

6

Promedio

5 4 ex 1

ex 2

ex 3

ex 4

Para poder decir qué tan dispersa es una serie de datos, se utilizan la varianza y la desviación estándar.

Veamos como calcular cada una.

Para calcular la varianza: 1. Se calcula la diferencia entre cada uno de los valores de la serie y el promedio de ella.

2. Se elevan al cuadrado cada uno de estos números. De esta manera, todos estos resultados serán positivos.

3. Se calcula el promedio de estos últimos.

Veamos con calma el caso de Felipe.

Sus calificaciones son 5, 10, 9 y 9 y su promedio es 8.25.

Calif 5 10 9 9

Diferencia 5 8.25 3.25 10 8.25 1.75 9 8.25 0.75 9 8.25 0.75

En la tabla se muestran las diferencias de cada una de las calificaciones y el promedio.

Elevamos al cuadrado cada uno de estos resultados.

96

Calif 5 10 9 9

Diferencia Cuadrado 3.25 10.5625 1.75 3.0625 0.75 0.5625 0.75 0.5625

Y finalmente, calculamos el promedio de estos cuadrados, para ello, los sumamos y el resultado lo dividimos entre 4.

10.5625

3.0625

0.5625

14.75 4

0.5625

14.75

3.6875

Este número no nos dice mucho, pero si calculamos la varianza de las calificaciones de Ana y Raúl.

Ejercicio Completar las siguientes tablas para encontrar la varianza de las calificaciones de Ana y Raúl.

Ana Calif 8 8 9 8

8.25 Promedio Diferencia Cuadrado

Suma Varianza

Raúl Calif 10 10 7 6

8.25 Promedio Diferencia Cuadrado

Suma Varianza

La varianza de cada serie de calificaciones es: Nombre Felipe Ana Raúl

Varianza 3.6875 0.1875 3.1875

97

Esta tabla indica claramente que la varianza de las calificaciones de Ana es mucho menor que las de Felipe y Raúl, y estas dos últimas son bastante parecidas, siendo ligeramente mayor la de Felipe.

Vea nuevamente la gráfica donde aparecen estas tres series de calificaciones para tratar de interpretar los tamaños de estos números con el concepto de estar disperso o no.

Control de calidad Una aplicación de la Varianza Una empresa de pastelitos guarda un pastelito de cada lote que produce para ver cuántos días permanece fresco.

Como obtiene la siguiente tabla:

Esto es, sus pastelitos duran en promedio, poco más de 5 días, pero su varianza es bastante grande. Observamos que hay pastelitos que duran únicamente 3 días, mientras que otros duran hasta 9 días.

Lote

Duración

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 6 4 7 6 3 9 4 5 3

0.04 0.64 1.44 3.24 0.64 4.84 14.44 1.44 0.04 4.84

Promedio ̅ 5.2 Varianza

La empresa de la competencia hace el mismo estudio de control de calidad y obtiene los siguientes resultados

Observamos que aunque el promedio de duración es ligeramente menor, ya que es de poco menos de 5 días, la varianza es bastante menor. Es decir, su producto es más homogéneo.

3.16

Lote

Duración

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 4 6 7 6 4 4 4 5 4

0.04 1.44 0.64 3.24 0.64 1.44 1.44 1.44 0.04 1.44

Promedio ̅ 4.9 Varianza

1.18 98

Lo más importante para el control de calidad de un producto es su homogeneidad, y ésta se mide usando la varianza.

Podemos observar en la siguiente gráfica, cómo la curva roja, que corresponde a la segunda empresa, es mucho más suave que la azul de la primera empresa.

10

Duración

8 6 Empresa 1

4

Empresa 2

2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Lote

En el caso de los pastelitos, buscamos que todos sepan igual, que tengan la misma proporción de crema que de chocolate, que sean del mismo tamaño y el decorado sea igual, etc.

En el caso de la ropa, buscamos, por ejemplo, que las tallas sean correctas, así si nos medimos una camisa de cuello 14 y nos queda bien, esperamos que todas las camisas de esa marca, aunque sean de diferente modelo, nos queden igual de bien.

Un fabricante de teléfonos celulares le pide al fabricante de pilas que éstas duren dos años, con una varianza muy pequeña, ya que no quiere soportar reclamos de los clientes porque sus pilas únicamente duraron un año.

Probabilidad Simulación.

Ya hemos visto en cursos anteriores que la probabilidad de sacar águila en un volado es

99

1 2

á

y aunque suene un poco extraño, si han salido varias águilas seguidas, por ejemplo, 3 águilas, la probabilidad de que la siguiente tirada sea águila sigue siendo 1⁄2.

Sin embargo, el hecho de que la probabilidad de sacar águila es 1⁄2, significa que a la larga, si lanzamos muchos volados, más o menos la mitad van a ser águilas y el resto van a ser soles.

Podemos hacer una simulación en clase.

Todos los alumnos lanzan 10 volados y registran cuántas águilas y soles obtuvieron, y luego, en el pizarrón se anotan los resultados de cada uno de ellos y se suman todas las águilas y soles que se obtuvieron Por ejemplo Alumno Pepe Lucía Andrés Adriana Carlos Cecilia Suma

Águilas 4 3 5 6 4 6

Soles 6 7 5 4 6 4

Se lanzaron en total 60 volados, de los cuales 28 fueron águilas. El cociente 28 60

á

0.466

es bastante cercano a á

1 2

0.5

Claramente, cada vez que hagamos el experimento, saldrán valores distintos, pero si se hace un número grande de veces, el resultado será cercano a 0.5.

Hagamos ahora estas simulaciones en una computadora. Para ello, utilizaremos una hoja electrónica, por ejemplo, Excel u OpenOffice.

100

Daré las explicaciones usando Excel, pero en OpenOffice los pasos son muy similares.

1. Escribir 1 en la celda A1, y 2 en la celda A2.

2. Marcar las celdas A1 y A2, y poner el cursor en la esquina inferior derecha de A2, hasta que tome la forma de una cruz +. Arrastrar el cursor hacia abajo, hasta el renglón 10, manteniendo oprimido el botón izquierdo del ratón. El resultado de esta operación es que en las celdas A3 hasta A10 deben aparecer los números 3 al 10.

3. Las hojas electrónicas tienen un generador de números al azar o aleatorios.

En la celda B1 escribimos =ALEATORIO.ENTRE(0,1) para indicar que queremos generar un número aleatorio entre 0 y 1. No olvide empezar con el signo =.

4. Copiamos la celda B1 a las celdas B2 a B10. Con esto aparecerán en estas celdas ceros y unos. Observe que cada vez que escribe algo en cualquier otra celda, u oprime la tecla F9, estos números cambian, ya que la computadora vuelve a generar los números aleatorios.

5. La computadora está echando volados, pero en lugar de que el resultado sea águila o sol, el resultado es 0 o 1. Podemos identificar los unos con águila y los soles con 0.

101

6. En la celda A1 escribe la palabra “Aguilas” y en la celda B1 la fórmula =SUMA(B1:B10) para indicar que queremos que ahí ponga la suma de estas celdas. Note que como hay unos y ceros, en realidad estamos contando los unos.

Cada vez que oprimimos F9, cambian los unos y ceros, y cambia el valor de esta suma.

El procedimiento que acabamos de hacer se llama “Simulación de Montecarlo” en referencia al casino más famoso del mundo, que se encuentra en el principado de Mónaco, en su capital Montecarlo.

Las simulaciones de Montecarlo se utilizan en muchas ramas del quehacer humano, como las Finanzas, Medicina, Ingeniería, Demografía, etc. Ya que nos permiten simular procesos una infinidad de veces y predecir cómo va a ser el comportamiento de una variable, por ejemplo, precio de una acción, respuesta de los enfermos a un medicamento, resistencia de un puente, crecimiento de la población de una ciudad como resultado de un beneficio social, etc. En la práctica, las simulaciones de Montecarlo se hacen decenas de miles de veces. Si la hoja de cálculo no es suficientemente poderosa para realizarlas, hay que hacer un programa en algún lenguaje de programación adecuado.

Hagamos ahora nuestra simulación más interesante.

7. Marcamos las celdas B1 a B11 y oprimimos el ícono de “Copiar” (Ctrl-C) 8. Marcamos las celdas C1 hasta K11 y oprimimos el ícono “Pegar” (Ctrl-V).

De esta manera se copiaron las celdas de la columna B a las columnas C a 102

K. En todas ellas deben aparecer unos y ceros en los dos primeros renglones y la suma en el renglón 11.

9. Observa nuevamente que al oprimir F9 cambian todos los resultados.

Podemos pensar en que cada columna representa a un alumno de la clase y su renglón 11 el número de águilas que obtuvo al lanzar 10 volados.

10. Recuerde que en el pizarrón los alumnos escribieron el total de águilas que obtuvo cada uno y encontraron el cociente del número de águilas entre el número de volados. Nosotros podemos hacer esto en la computadora.

11. En la celda A12 escribimos la palabra “Promedio” y en la celda B12 la fórmula =PROMEDIO(B10:K10)

12. El resultado será el promedio del número de águilas que hay en cada columna.

Que debe ser un número cercano a 5.

13. Finalmente, vamos a hacer ahora una gráfica de barras con el renglón de las sumas (renglón 11). Marcamos el renglón 11, desde la celda A1 hasta la celda K11 y seleccionamos “Insertar” “Gráficos”. Elegimos el estilo “Columna” más sencillo y oprimimos la tecla INTRO. Como resultado debe aparecer una gráfica similar a la siguiente, en la cual, cada barra representa a un alumno y la altura de cada barra es el número de águilas que obtuvo en la simulación. Observe que al oprimir F9 cambian todos los datos y la gráfica.

Águilas 8 6 4 Águilas

2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

103