El interĂŠs compuesto y las rentas constantes Unidad 6
Interés Porcentaje que se cobra sobre el capital que se presta.
Leer pág. 115
Interés de referencia o de mercado Es el tipo de interés al que podemos invertir nuestro dinero de manera alternativa en el mercado. Interés simple Se aplica cuando sólo se cobran intereses sobre el capital inicial, a pesar de que los intereses intermedios se acumulen y no se paguen.
Interés compuesto Se aplica cuando se cobran intereses sobre el capital y sobre los intereses no pagados. Reinversión de los intereses devengados para obtener más intereses. - Por ejemplo: supongamos que nos prestan 1.000 € al 10% a pagar con sus intereses correspondientes, dentro de 3 años.
OJO! En operciones financieras todos los decimales, sólo redondeamos con dos el resultado final
1. El interés compuesto La característica fundamental de la Ley Financiera de Capitalización Compuesta es que los intereses son productivos, es decir, se acumulan al capital para producir nuevos intereses.
Variables que intervienen
C0: capital inicial. n: tiempo que dura la operación i: tipo de interés anual Cn: capital final o montante
A. Cálculo de Cn (capital inicial o montante) El capital final o montante (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que se suman al mismo, para producir nuevos intereses durante el tiempo que dure la operación.
Ver caso práctico 1, pág. 117
B. Cálculo de C0 (capital inicial) A partir de la fórmula general de capitalización compuesta, podemos determinar el capital inicial, que también se conoce como descuento, ya que implica descontar los intereses del capital final.
Caso prácticos 2 pág. 117
Conocidos el capital final, el capital inicial se puede determinar: C. Cálculo del interés (i)
D. Cálculo del tiempo (n)
Caso práctico 4, y actividades 1 y2
1.1. Capitalización no anual o fraccionada. Tantos equivalentes Operaciones con una duración distinta al año: mensual, trimestral, semestral, etc. Si partimos de un interés anual y queremos calcular el interés equivalente fraccionado:
i k =(1 + i )1/k – 1 Si partimos de un interés fraccionado y queremos calcular el interés equivalente anual:
i =(1 + i k)k – 1
K es la frecuencia de capitalización, es decir, el número de partes en que se divide el año: meses, trimestres, semestres, etc.
Se tiene que cumplir, en cualquier operación financiera, que el tanto por ciento de interés (i) y el tiempo (n) siempre estén expresados en la misma unidad. Si el tiempo va en meses, el interés será mensual; y si es en trimentres será trimestral y viceversa. Ej.: un i= 6% anual y un tiempo de 15 meses ¿qué hacemos? Pasar los meses a años por una regla de tres: 1 año…………..12 meses X años…………15 meses
x=1,25 años
Ver cuadro! pág. 119 y casos prácticos 119 y 120. También actividades 3 y 4
1.2. Tanto nominal Por la dificultad de calcular los tantos equivalente fraccionados utilizando el tanto anual efectivo (TAE), las entidades financieras han creado el tanto de interés nominal (TIN), denominado Jk, siendo k el número de veces que se fracciona el año. Se le conoce como tanto nominal o capitalizable Partiendo de un interés conocido Jk (nominal) , se puede calcular el interés fraccionado equivalente iK (efectivo) con la siguiente expresión:
Jk=ik·k ik = Jk/k
Ver caso práctico 8 pág. 121 y actividades 5, 6 y 7
1.3. Equivalencia de capitales en capitalización compuesta
(leer enunciado caso práctico 9)
Dos capitales son equivalentes en capitalización compuesta cuando, valorados en el mismo intervalo del tiempo, proporcionan idéntico resultado. Si no lo son, hay preferencias por uno de ellos.
Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos.
Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. La diferencia fundamental viene dada porque, en régimen de compuesta, la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.
Surgen al comparar entre sí dos procesos de capitalización distintos. La sustitución de uno o varios capitales por otro u otros, con vencimientos y cuantías diferentes, sólo podrá llevarse a cabo si financieramente son equivalentes. Se tienen que valorar en el mismo momento del tiempo y, si son iguales, serán equivalentes. Para que se produzca el principio de equivalencia financiera se tiene que cumplir:
C0= C 1 x (1+i)-1 + C 2 x (1+i)-2 Caso práctico 9, 10 y actividades 8 y 9
La utilidad del TIN no es otra que la de poder conocer el interés periódico que me va a cobrar la entidad financiera, y que será el que determine la cuota que tendremos que pagar. Así, por ejemplo, si el TIN de una operación con cuotas mensuales es del 6%, el interés mensual aplicado será de: 6% / 12 = 0,5% mensual. Es decir, el TIN (para cuotas mensuales) será igual al interés mensual x 12. Pero entonces, ¿qué tipo de interés tenemos que utilizar para comparar distintas ofertas financieras?: el TAE (tanto anual equivalente). Este tipo de interés anual refleja el verdadero coste financiero anual de la operación. Ej. Tin Tae Solución con hoja de cálculo excell
2. Rentas constantes En la vida cotidiana nos encontramos con multitud de situaciones en que se cobran o se pagan cantidades con vencimientos sucesivos en el tiempo: El alquiler de una vivienda, el salario de un empleado, los plazos por la compra del coche, etc., este tipo de operaciones, que son las que vamos a analizar en le presente capĂtulo, se denominan rentas. Se define la renta constante como el conjunto de capitales de igual cuantĂa y con vencimientos con la misma periodicidad en el tiempo.
A la renta habrá que ponerle unas condiciones que ha de cumplir para poder operar, lo que además será coincidente con lo que en la vida cotidiana se produce: 1.- Los capitales que integran la operación han de ser iguales, y si son variables la variación ha de ser conocida. 2.- Que los periodos de vencimiento de los capitales han de ser equidistantes, es decir que tengan el mismo vencimiento, mensual, anual, etc. Ej.: Un préstamo a devolver en cinco años con pagos mensuales, supone una contraprestación de 60 capitales, etc.), por lo que vamos a analizar y estudiar es la búsqueda de una forma de cálculo lo más abreviada posible que permita de una forma muy sencilla trabajar con multitud de capitales a la vez y conocer su suma en un punto determinado.
Elementos de una renta financiera: Origen: Momento en el que situamos el primer capital de renta. Final: Momento en el que situamos el último capital de renta. Duración: tiempo que transcurre entre el origen y el final de una renta. Término: Cada uno de los capitales que componen la renta. Periodo: Intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: interés aplicado para mover los capitales de la renta. Graficamente su puede representar así:
El valor financiero de la renta es el resultado de actualizar o capitalizar todos los capitales de la renta a un momento del tiempo determinado (n). Casos particulares: CĂĄlculo de la renta en el momento 0 (origen de la renta). Encontramos el valor actual resultado de actualizar todos los tĂŠrminos de la renta en el momento 0.
CĂĄlculo de la renta en el momento n (final de la renta). Encontramos el valor final resultado de actualizar todos los tĂŠrminos de la renta en el momento n.
2.1. Clasificación de las rentas (en función de los capitales/término: cuantía, vencimiento y duración)
Activdad 10
A. Valor actual de una renta anual constante inmediata pospagable de n términos Caso práctico 11 El valor actual de una renta es la actualización de todos los capitales de la renta para determinar su valor financiero en el momento 0. Con esta expresión conoceremos el valor actualizado de todos los capitales de la renta en el momento 0 (actual). Gráficamente se representaría así:
V0 = valor actual a = término, valor de los capitales de la renta. i = tanto por uno de interés. n = número de términos de la renta
B. Valor final de una renta anual constante inmediata pospagable de n términos
Caso práctico 12
El valor final de una renta es la capitalización de todos los capitales de la renta para determinar su valor financiero en el momento n. Con esta expresión conoceremos el valor capitalizado de todos los capitales de la renta en el momento n. Gráficamente se representaría así:
Vn = final a = término, valor de los capitales de la renta. i = tanto por uno de interés. n = número de términos de la renta
C. Cálculo de los términos de una renta
Partiendo del valor actual
Partiendo del final Casos prácticos 13 y 14
D. Valor actual de una renta anual constante inmediata prepagable de n tĂŠrminos Caso prĂĄctico 15
El primer vencimiento es al principio del periodo.
E. Valor final de una renta anual constante inmediata prepagable de n términos El último término se sitúa en un momento anterior al final de la renta, es decir, el último término se sitúa en el momento n – 1, por lo que para valorar la renta en el momento n la capitalizamos multiplicando por (1 + i). (1+i)n - 1 Vn = a (1+i) i
F. Valor actual de una renta anual constante diferida pospagable Caso práctico 16 de n términos Una renta diferida es aquella cuyo primer vencimiento no se produce en el origen de la renta, sino en un momento posterior.
Se tendrá que descontar hasta el momento 0 usando la expresión (i + i)–d, siendo d los periodos de diferimiento.
2.2. Rentas fraccionadas En las rentas ocurre lo mismo que en el interés compuesto, lo único que hay que tener en cuenta es que el tanto de interés y el tiempo estén en la misma unidad de tiempo. P. ej.: Si el interés es anual y los términos vienen en meses, se tendrá que calcualr primero el interés equivalente mensual y después resolveremos la operación financiera. En las rentas, el interés aplicado en las operaciones siempre está en función de la periodicidad de los términos de la renta. Caso práctico 17 y actividades 11, 12, 13 y 14, 15
2.3. Renta perpetua Una renta perpetua es aquella que tiene infinitos términos. En este tipo de rentas solo se puede calcular el valor actual. Ej.: cuando nos jubilamos y queremos percibir cada mes una cantidad de dinero, tendremos que conocer cuánto hay que ahorrar hasta la jubilación para recibir el importe deseado. V0 = cantidad que debemos tener ahorrada en la jubilación para después percibir las cuotas a. (ver libro)
Casos práctico 18 y 19
Actividad 1: Javier ha recibido una herencia de 10.000€ y quiere invertirlos, para ello acude a una entidad financiera que le propone lo siguiente: Invertir en letras del tesoro con vencimiento dos años y con una rentabilidad del 4% compuesto anual. Al finalizar le devuelven el capital más los intereses. Abrir una cuenta a plazo fijo durante dos años que le produce los siguientes rendimientos. Los primeros seis meses el 2,5% anual, del mes seis al mes dieciocho el 3,5% nominal capitalizable semestralmente y los últimos seis meses el 5,5% anual. Abrir una cuenta a plazo fijo con vencimiento 3 años, con una rentabilidad del 5% anual. Y una comisión de penalización del 5%0 sobre el capital retirado antes del vencimiento. Javier necesita el dinero a los dos años para pagarse sus estudios universitarios. ¿Qué propuesta le interesa más a Javier? Calcula el valor de los montantes a los dos años, de cada una de las propuestas.
Actividad 2: Tres amigos quieren montar una empresa y necesitan conocer el valor actualizados de los gastos y los ingresos que van a tener para saber si puede ser rentable. Después de un estudio realizado tenemos los siguientes datos: Gastos de alquiler mensual del local, pagadero al principio de cada mes, 1.200€ Gastos de personal al final de cada mes 4.500€ Compra de mercaderías que se pagan al final de cada trimestre, 5.000€ Suministros de agua, luz, teléfono que se pagan a mes vencido, 560€ Ingresos de ventas mensuales previstos al final de cada mes 9.000€ Si el interés de mercado es el 6% compuesto anual calcula el beneficio o pérdida actualizado (momento cero) de la empresa de los próximos 5 años.
Actividad 3: El Sr. Rodríguez tiene dos alternativas de inversión y necesita decidir cuál es más rentable. Después de solicitar un estudio, la información que obtiene es la siguiente: a) Una finca que le supone los siguientes gastos e ingresos: Compra de los terrenos 35.000€. Beneficio que va a obtener cada 3 meses de manera perpetua 4.300€. El interés del mercado para este tipo de operaciones es del 9% compuesto anual. b) Contratar un fondo a plazo fijo en el Banco de Fuerteventura con un capital inicial de 35.000€, con imposiciones semestrales constantes por importe de 1.200€, durante 15 años. El banco le ofrece un tanto de interés nominal convertible semestralmente del 4%. Sin tener en cuenta otras consideraciones determina que inversión le interesa más al Sr. Rodríguez.