Secções no Cubo

Um plano que intersecte um cubo em mais do que um ponto produz nele uma

SECÇÃO que é uma figura plana limitada por segmentos de reta. Estes

segmentos resultam da interseção das faces do cubo com o plano secante ou plano de corte.

Para determinar as secções produzidas por cada plano deve ter-se em conta, entre outras propriedades já estudadas, que: Dois pontos definem uma reta. Dois planos concorrentes intersectam-se segundo uma reta.

Um plano intersecta dois planos paralelos segundo duas retas paralelas.

(A)

(B)

(C) Z

Z

Z

X

(D)

Y

X

Y

X

Z

Y

X

Y

Cabri 3D v2.lnk

Que polígonos é possível obter por corte de um cubo?

Para cada um desses polígonos indica a posição do plano de corte relativamente a algum(s) elemento(s) do cubo.

SE O PLANO INTERSETAR APENAS TRÊS FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM TRIÂNGULO.

SE O PLANO INTERSETAR QUATRO FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM QUADRILÁTERO.

SE O PLANO INTERSETAR CINCO FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM PENTÁGONO.

SE O PLANO INTERSETAR SEIS FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM HEXÁGONO. Poder-se-á obter um heptágono, um octógono, …?

Tentando imaginar (visualizar) o corte e, tendo em atenção as propriedades estudadas, em particular, um plano corta planos paralelos segundo retas paralelas, desenha a secção obtida segundo um plano passando em P, Q e R. Identifica, para cada um dos cubos qual a figura plana obtida e, atendendo aos dados das figuras, classifica-as quanto aos lados.

1.

Q

Q P

P

R

R

Triângulo escaleno

2.

B

B

Q A

Q A

P

P

R

R

AP = BQ

AP = BQ

Triângulo isósceles O plano é paralelo a uma diagonal facial do cubo.

Recorda Um plano é paralelo a uma reta, se nele existir uma reta paralela à reta dada.

3.

B

B Q

Q A

A

P

P

R

R

C AP = BQ = CR

AP = BQ = CR

C

Triângulo equilátero O plano é paralelo a duas diagonais faciais do cubo, concorrentes no mesmo vértice.

Recorda Dois planos são paralelos se num deles existirem duas retas concorrentes e paralelas ao outro.

4.

Q

Q P

P

R

R

TrapÊzio O plano interseta duas faces paralelas do cubo. θ

Recorda Um plano interseta planos paralelos segundo retas paralelas.

5.

Q

P

R

Q

P

R

Trapézio isósceles Obtém-se um trapézio isósceles, quando…?

O plano interseta quatro faces do cubo, das

quais duas são paralelas e é paralelo a uma diagonal facial.

6.

R

R Q

P

Q

P

Paralelogramo

7.

Q P

R

Q P

R

Ret창ngulo

MOSTRAR QUE: SE O PLANO INTERSETAR QUATRO FACES E FOR PARALELO A UMA ARESTA DO CUBO, A SECÇÃO É UM RETÂNGULO POR TER OS ÂNGULOS TODOS RETOS Seja RPQ o plano secante paralelo à aresta [AB] Q

P

 Como [AB] é perpendicular aos planos suporte das faces de cima e de baixo do

A

cubo, os lados [PR] e [QS] da secção também o são; logo, são perpendiculares a S

todas as retas desses planos, em particular, são perpendiculares a [PQ] e [RS].

R

B

 Do exposto podemos concluir que a secção é um retângulo, por ter os ângulos todos retos.

Nota: Há uma posição em que o retângulo tem os lados iguais e, portanto, é um quadrado.

8.

Q

Q P

P

R

R

Quadrado

9.

Q P

Q P

R

R

Losango

10.

Q

Q

P

R

P

R

Pentรกgono

Poderá a secção ser um

Pentágono Regular?

Justifica.

Ao intersetar cinco faces, o plano de corte interseta sempre duas faces (pelo menos); portanto, a secção é um pentágono irregular, pois dois dos seus lados (pelo menos) são paralelos.

11.

Q

Q P

P

R

R

Hexรกgono

Recorda Uma reta é perpendicular a um plano, se for perpendicular a duas retas concorrentes desse plano. e…

Se uma reta é perpendicular a um plano, é perpendicular a todas as retas desse plano.

Poder-se-á obter um Hexágono Regular?

Em que situação?

A secção produzida num cubo pelo plano que passa no seu centro e é perpendicular a uma diagonal espacial é um hexágono regular.

O Jogo do “X” Determina as secções produzidas no cubo por um plano que, em cada caso, contenha o ponto X e seja paralelo à secção produzida no cubo pelo plano ABC (o triângulo [ABC] é equilátero). Identifica a figura plana obtida em cada um dos casos.

C

X A

B

X

C

Experimenta colocar o “X” noutras posições!

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Na figura está representado um cubo e a secção nele produzida pelo plano IJG  o cubo tem 4 cm de aresta  I é o ponto médio de [CD]  J é o ponto médio de [BC] Calcula: a)a área da secção.

Corte em perspetiva

Representações em verdadeira grandeza G

I I 4 cm

M

J G

C

J

4 cm

I

C

b) o volume da pir창mide [CIJG] Pir창mide noutra perspetiva

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a

B

Q

3. Então, a área do hexágono é igual a …... × área do triângulo [ABC]

D

P

P

d S

S

a

A

A

1. Justifica que D = 2 x d 2. Qual a razão de semelhança das áreas dos triângulos equiláteros [ABC] e [PQR]? Justifica.

R

C

R

C

4. Determina em função de a, medida do comprimento da aresta do cubo, as áreas do hexágono e do triângulo [ABC]

Q P

Qual a amplitude do ângulo QPR? Justifica.

R H

E D

Determina a amplitude do menor ângulo determinado por duas diagonais espaciais do cubo.

Îą F A

G B

Bibliografia  Tudo o que há num cubo ...

Eduardo Veloso Revista “Educação e Matemática” nº 26, 1993  Geometria Temas Atuais Eduardo Veloso  Brochura: Geometria – 10º ANO Cristina Loureiro, Franco de Oliveira, Elfrida Ralha, Rita Bastos Ministério da Educação, 1997  Matemática A – 10º ANO Ana Jorge | Conceição Alves | Cristina Cruchinho | Graziela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões  XEQMAT – Matemática A - 10º ano Cristina Viegas, Francelino Gomes, Yolanda Lima Maria José Vaz da Costa