Progressões aritméticas

AS PROGRESSÕES

AS PROGRESSÕES As progressões constituem o exemplo mais simples do conceito de sucessão. As suas propriedades estudam-se desde os primórdios da história da matemática, e foram aplicadas, sobretudo, no cálculo comercial.

O estudo das

progressões aritméticas é paralelo ao das

geométricas devido às propriedades destas últimas emanarem das primeiras sem mais do que converter as somas em produtos, diferenças em quocientes, e o produto por um número natural num potência de exponente natural.

A origem das progressões, tal como para tantos outros ramos da matemática, é incerta. Não obstante, conservam-se alguns documentos que atestam a presença das progressões vários séculos antes da nossa era, pelo que não se pode atribuir a sua paternidade a nenhum matemático concreto.

AS PROGRESSÕES É conhecido o problema de calcular em quanto tempo se dobraria uma quantidade de dinheiro com um determinado juro composto, proposto pelos babilónios (2000 a.C. - 600 a.C.), o que faz pensar que conheciam de alguma maneira a fórmula do juro composto e, portanto, as progressões geométricas.

No livro IX dos Elementos de Euclides aparece escrita uma fórmula, semelhante à actual, da soma dos n termos consecutivos de uma progressão geométrica. Bhaskara, matemático hindu do século XII, apresenta na sua obra mais conhecida, o Lilavati, diversos problemas sobre progressões aritméticas e geométricas.

AS PROGRESSÕES Exemplos: Considera as seguintes sequências de números: a)-3, 0,

1 5

,

,2 7,

π , 13, …

Para cada uma destas sequências, b) -1, 3, 7, 11, 15, ..., 4n-5 p.a. c) 3, 6, 12, 24, 48, ..., 3 x 2 n-1 p.g. qual é o termo seguinte?

No primeiro caso não é possível averiguar que número se seguiria a 13 (não se encontra uma regra que indique a relação entre os termos).

No segundo, a 15 seguir-se-iam 19, 23, 27... (cada termo é quatro unidades maior que o anterior).

No terceiro, ao quinto termo, que é 48, seguir-se-ia 96 (cada termo é o dobro do anterior).

A obtenção do termo geral de uma sucessão pode ser de uma enorme dificuldade. Não obstante, vamos a seguir estudar um tipo de sucessões em que determinar o seu termo geral é bastante simples.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r.



Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.



Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus termos iguais.



Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Assim, se (an) é una progressão aritmética, verifica-se que: an +1 = an + r

(r constante),

c an +1 − an = r

∀n ∈ ¥

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Termo geral de uma progressão aritmética Para se obter a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (an) basta observar que: a2= a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r Note-se que em todos os casos o termo corresponde à soma de duas quantidades: • A primeira é sempre a1 • A segunda é o produto (n - 1).r Logo, an= a1 +(n-1). r Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: a = a +(n-k). r

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que: 1)

un 7

5

3

1 n

O

2) 3)

u1 = -5 u10 = 8

e e

r = 1/2 u3 = -6

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Soma de n termos consecutivos de uma p.a. É muito conhecida a estória segundo a qual propuseram na escola primária a Carl Frederich Gauss (1777-1855), quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: 5 050.

O que este insigne matemático observou foi que a soma 1+100 era igual a 2+99, igual a 3+98, ... etc. quer dizer, só teve que dar-se conta de que contava com 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar: 50 x 101 = 5 050.

Gauss (1777-1855)

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Consideremos a p.a. de termo geral un = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão: Por exemplo: 28 7

9

11

13

15

17

19

28 28 28 Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo: S8 = 28 x 4

ou seja

S8 = (7+21) x 8/2

21

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Esta propriedade continua ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos.

Por exemplo: 9

11

30 13

15

17

19

30 30 S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105 o que equivale a fazer: S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105

21

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por

Sn = ( a1 + an ) ×

n 2

ou

Sn =

a1 + an ×n 2

Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.

Exercício de aplicação: Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 (excluídos estes) da p.a. n a 3n + 2