Progressões geométricas

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Aceite para publicação em 22 de julho de 2013.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r (r ≠ 0 ).

Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se

an +1 = an × r

⇔

an +1 = r , ∀n ∈ IN an

Aplicação: 1)A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão geométrica?

2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?

Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Termo geral de uma progressão geométrica A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2 a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3 a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4 Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1 A segunda é uma potência de base r e expoente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice. an = a1 × r n −1, ∀n ∈ IN A expressão do termo geral é: an = ak × r n −k , ∀n, k ∈ IN , n ≥ k Pode-se também facilmente provar que:

PROGRESSÕES

GEOMÉTRICAS Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que: 4) v 1) u1 = 10 e un+1 = 4un 2) u1 = 36 e u3 = 4 n

16

3)

4 O

-2 -8

-32

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Comportamento de uma progressão geométrica  Se a razão de uma progressão geométrica é

maior que 1 e an

 u1 > 0, a progressão é:  estritamente crescente e…

 não limitada.

O

n

bn O

 E se u1 < 0?

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS  Se a razão de uma progressão geométrica está

cn

compreendida entre 0 e 1 e  u1 > 0, a progressão é: 

estritamente decrescente e…

 limitada.

O

n

dn

 E se u1 < 0?

O

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS  Se a

razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a

progressão é: 

constante



limitada

fn

O

 Se a

n

razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a

progressão é: 

não monótona



limitada

gn

O

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS  Se a razão de uma progressão geométrica é maior que -1 e menor que 0, a progressão é:

hn

O

n

 não monótona e…  limitada. ln

 Se a razão de uma progressão geométrica é menor que -1, a progressão é:  não monótona e…  não limitada.

O

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Em resumo:

comportamento de uma progressão geométrica

• Progressão geométrica (un) • Razão: r • 1º termo: u1

Não monótona Não limitada

-∝

-1

Limitada 0

progressão constante

u1 > 0 - Decrescente Limitada

u1 > 0 - Crescente Não limitada

u1 < 0 - Crescente Limitada

u1 < 0 - Decrescente Não limitada

1

+∝ razão - r

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Aplicações: 1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a condição: a)tenha primeiro termo positivo e seja decrescente; b)tenha primeiro termo positivo e seja não monótona; c)seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que 1; d)tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente decrescente.

2. Considera a sucessão (vn) de termo geral: vn = 5 x 21-n a)Mostra que é uma progressão geométrica. b)(vn ) é monótona? Justifica. c)(vn ) é limitada? Justifica.

Soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica

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A LENDA DO JOGO DE XADREZ

Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse.

O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.

Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!

Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...

Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Resolução: 1 2

4

8 16 32 64 128

S64 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263

= 1 + 2 ( 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 )

Ora,

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 261 + 262 = S 64 − 263

Donde:

S64 = 1 + 2 ( S64 − 263 ) ⇔ S64 = 1 + 2S64 − 264 ⇔ S 64 = 264 − 1 18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A soma dos n primeiros termos progressão geométrica é dada por

consecutivos de uma

1− rn Sn = u1 × com r ≠ 1 1− r

Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.

Aplicação:

n −1

 1 u = Se uma progressão geométrica tem o termo geral n  ÷ , calcula a 2 soma dos seus primeiros 21 termos .

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Aplicações

1. A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados.

A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da sucessão (an) a) Justifica que (an) é uma progressão geométrica. b) Mostra que

an =

1

2n − 4

, ∀n ∈ IN

c) Calcula a soma das áreas das partes coloridas do 3º ao 10º termos da sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

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2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.

Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento: a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explica como procedeste.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 3. As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de 1980 eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas. a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas? b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980. b1)

Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de petróleo,

em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980. b2)

Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica.

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SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de

instantes e o deslocamentos.

movimento

uma

soma

de

Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado

“Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”. (*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Paradoxo de Aquiles e da tartaruga Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente…

Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.

Math in a Minute: How a tortoise can win a race http://www.youtube.com/watch?v=Y1syYSPN57E

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Analisemos com auxílio de um

EXEMPLO o paradoxo de Zenão.

Suponhamos que no início da corrida, Aquiles deu uma vantagem de 100 m à tartaruga e, que as respetivas velocidades são

10m/s e 1m/s.

Então, em 10 segundos Aquiles atinge o ponto de onde a tartaruga partiu mas, durante esse tempo a tartaruga afastou-se 10 m. Para atingir esse segundo ponto, Aquiles demora 1 segundo mas, nesse segundo a tartaruga afasta-se mais 1 m. Para atingir este último ponto, Aquiles precisa de 0,1 segundos e, a tartaruga avançará mais 0,1 m e, assim sucessivamente...

Em cada etapa percorrida, a distância entre eles vai diminuindo de acordo com o fator 0,1. Este processo continua até ao infinito.

Pode a tartaruga ser alcançada?

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A resposta a esta questão reside na soma dos incrementos de tempo que Aquiles leva para percorrer as sucessivas distâncias que existem entre ele e a tartaruga: ( 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...) segundos.

Tartaruga

…

0,01

10

10 Aquiles

1

1 0,1

0,1 0,01

…

Apesar de existirem infinitos incrementos de tempo a ter em

100 consideração, a sua soma é 11, 1111... = 9 (finita). O que explica o paradoxo é o facto de ser finita a soma de um número infinito de parcelas. (O infinito pode estar na palma da nossa mão! )

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar um número infinito de quantidades finitas e o resultado ser finito.

Ficamos, assim, a saber o momento exato (com um número infinito de casas decimais) em que Aquiles apanha a tartaruga. Após esse momento, Aquiles ultrapassa a tartaruga. y

Percurso de Aquiles Percurso da tartaruga

Aquiles passa por um número infinito de lugares…

O …num número infinito de instantes para apanhar a tartaruga

t

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Designando, então, por (un), a sucessão de termos: Progressão geométrica u1 = 10 e r = 0,1

10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; ...

A soma de todos os termos desta progressão, 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001+ 0,0001 + ... = uma vez que a sucessão (Sn) é convergente, pois r < 1 e r ≠ 0 , será dada por: n  1 − ( 0,1)  = lim  10 × ÷  ÷ 1 − 0,1   1− 0 = 10 × 1 − 0,1

10 = 1 − 0,1 100 9 = 11,(1) =

Recorda que a soma Sn dos n primeiros termos consecutivos da progressão geométrica (un) é dada por

1− rn Sn = u1 × com r ≠ 1 1− r

Demonstra-se que a soma de todos os

termos de uma progressão geométrica de r <1

é dada por:

u1 S= , 1− r

r ≠1

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Só o

cálculo de limites

e a teoria de conjuntos permitiu

esclarecer (24 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja solução exige, como acabamos de ver, o cálculo da

SOMA DE TODOS OS

TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o primeiro termo é u1 e a razão é r é, caso exista: ⇔

S = lim Sn

 1− rn  S = lim  u1 × ÷ 1− r  

Se

r <1 e r ≠ 0

u1 S = , (Sn) converge para 1 − r . S é, pois, a soma de todos os

termos deste tipo de progressões geométricas.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Curva de Von Koch (ou curva floco de neve)

Proposta de trabalho: trabalho

Depois de estudares a curva de Von Koch, comenta a afirmação: “Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”

Anexo Traduzido de “Paradoja de la dicotomía” de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos, uma página que recomendo vivamente, em http://www.epsilones.com/

Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo.

Vamos primeiro ver o que faz com o espaço Suposição: o espaço é infinitamente divisível

Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito.

Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão.

Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a 1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.

Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ...

Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade: A

1/16

1/2

1/4

1/8

B

1/32

De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos: S=

1 2

1 1− 2

=1

A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte: L ∞ L L L L + + + ... = ∑ n = 2 = L 1 2 4 8 n =1 2 1− 2 Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.

E o tempo?

Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se: L ∞ L L L L L + + + ... = ∑ n = 2v = 1 v 2v 4v 8v n =1 2 v 1− 2 que é uma quantidade tempo finita.

Conclusão A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.

Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.

O mundo físico Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.

Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de Zenão desvanecer-se-ia automaticamente uma vez que, como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível.

Uma variante Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número infinito de outros pontos.

In Epsilones

Auguries of Innocence To see a world in a grain of sand, And a heaven in a wild flower, Hold infinity in the palm of your hand, And eternity in an hour. [...]

William Blake, Auguries of Innocence.

Bibliografia: 

Novo Espaço Matemática A -11º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues



Infinito 11 Matemática A -11º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina Cruchinho Gabriela Fonseca | Judite Barbedo| Manuela Simões

 Sebastião e Silva, Compêndio de Álgebra, 1º tomo – 6º ano  http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm45/restartaruga.htm (página consultada em 22/3/2013)

 Epsilones - autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/ (página consultada em 31/12/2012) Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências Maria José Guimarães Vaz da Costa