Ondas em duas e trĂŞs dimensĂľes Michael Fowler Introdução AtĂŠ agora, estivemos a ver ondas a uma dimensĂŁo, viajando ao longo de uma corda ou ondas sonoras propagando-se num tubo. Mas ondas em dimensĂľes superiores a um sĂŁo muito familiares – ondas de ĂĄgua na superfĂcie de um lago, ou ondas sonoras emitidas a trĂŞs dimensĂľes por uma fonte. É agradĂĄvel descobrir que estas ondas em dimensĂľes superiores satisfazem equaçþes de ondas que sĂŁo a extensĂŁo natural da que encontrĂĄmos para a corda, e – muito importante – tambĂŠm satisfazem o PrincĂpio da Sobreposição, por outras palavras, se as ondas se encontrarem, tu apenas de somar as contribuiçþes de cada uma. Nos prĂłximos dois parĂĄgrafos, entraremos em maior detalhe, mas este PrincĂpio da Sobreposição ĂŠ a lição crucial. A equação de onda e a sobreposição a uma dimensĂŁo Para ondas numa corda, vimos que a aplicação das leis de Newton a um pequeno segmento de corda dava a equação diferencial da onda, đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś = đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2
e vimos tambĂŠm que ondas sonoras num tubo satisfazem a mesma equação. Antes de entrarmos em dimensĂľes superiores, quero apenas focar um ponto crucial desta equação de onda: ĂŠ linear, o que significa que se tiveres duas soluçþes diferentes đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) e đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) entĂŁo đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) + đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) tambĂŠm ĂŠ solução, como provĂĄmos anteriormente. Esta importante propriedade ĂŠ fĂĄcil de interpretar visualmente: se puderes desenhar duas soluçþes da onda, entĂŁo em cada ponto da corda simplesmente soma o deslocamento đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) de uma das ondas como o đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) da outra – soma as duas ondas – e obtens uma outra solução. Portanto, por exemplo, assim que duas ondas que viajam em sentidos contrĂĄrios numa corda se encontram, o deslocamento da corda em qualquer ponto e em qualquer instante ĂŠ simplesmente a soma dos deslocamentos devidos a cada uma das ondas isoladas. Esta simples adição dos deslocamentos ĂŠ chamada “interferĂŞnciaâ€?, sem dĂşvida porque se as ondas tiveres deslocamentos em sentidos opostos, a corda terĂĄ um deslocamento resultante inferior ao de cada uma das ondas isolada. TambĂŠm ĂŠ chamado o PrincĂpio da Sobreposição. A equação de onda e a sobreposição em mais dimensĂľes O que acontece em dimensĂľes superiores? Consideremos duas dimensĂľes, por exemplo ondas numa membrana elĂĄstica de um tambor. A posição de repouso da membrana elĂĄstica ĂŠ o plano (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś), portanto quando estĂĄ a vibrar move-se para cima e para baixo na direcção đ?‘§đ?‘§, sendo a sua configuração em cada instante dada por uma função đ?‘§đ?‘§(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś, đ?‘Ąđ?‘Ą). De facto, poderĂamos fazer o mesmo que fizemos para a corda, analisando a força resultante num bocadinho da membrana e aplicando a segunda lei de Newton. Neste caso em vez de a corda esticar
devido Ă tensĂŁo aplicada em ambos os lados, terĂamos um pequeno quadrado da membrana elĂĄstica, com tensĂŁo aplicada em todo o bordo. Recorda que a força resultante no segmento da corda era nĂŁo nula porque a corda estava curvada, de modo que as tensĂľes em lados opostos tinham direcçþes ligeiramente diferentes e nĂŁo se cancelavam. O termo đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś/đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 media essa curvatura, a taxa de variação do declive. A duas dimensĂľes, pensando em termos desse pequeno quadrado da membrana elĂĄstica, as coisas sĂŁo mais complicadas. Visualiza esse bocadinho como se fosse momentaneamente a superfĂcie de um balĂŁo, e verĂĄs que se curva em dois sentidos, pelo que as forças de tensĂŁo se distribuem em todas as arestas. A força resultante surge porque as forças de tensĂŁo em arestas opostas nĂŁo estĂŁo alinhadas se a superfĂcie for curva, e temos agora que adicionar dois conjuntos de forças quase-opostas dos dois pares de lados. NĂŁo vou trabalhar toda essa matemĂĄtica aqui, mas espero ter tornado plausĂvel que a equação de onda ĂŠ: đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘§đ?‘§ đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘§đ?‘§ 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘§đ?‘§ + = . đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Śđ?‘Ś 2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2
A fĂsica desta equação ĂŠ que a aceleração do bocadinho da membrana resulta do nĂŁo cancelamento das forças de tensĂŁo, que por sua vez se deve Ă curvatura da membrana em ambas as direcçþes đ?‘Ľđ?‘Ľ e đ?‘Śđ?‘Ś - ĂŠ por isso que hĂĄ dois termos no lado esquerdo da equação. Espantosamente, esta mesma equação surge para as ondas de ĂĄgua (pelo menos para pequenas amplitudes), ondas sonoras, e mesmo ondas electromagnĂŠticas como as ondas rĂĄdio, microondas, luz, raios X: por isso se chama a Equação de Onda. Ir para trĂŞs dimensĂľes ĂŠ fĂĄcil: adiciona mais um termo para dar đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘“đ?‘“ đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘“đ?‘“ đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘“đ?‘“ 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘“đ?‘“ + + = . đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Śđ?‘Ś 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘§đ?‘§ 2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2
Esta soma de derivadas parciais ĂŠ tĂŁo comum em fĂsica que hĂĄ uma notação especial: 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘“đ?‘“ ∇ đ?‘“đ?‘“ = 2 2 . đ?‘Łđ?‘Ł đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2
Assim como encontrĂĄmos a uma dimensĂŁo ondas harmĂłnicas đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł) = đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) , com đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, podes verificar que a equação tridimensional tem soluçþes harmĂłnicas onde agora
đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś, đ?‘§đ?‘§, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘˜đ?‘˜đ?‘Śđ?‘Ś đ?‘Śđ?‘Ś + đ?‘˜đ?‘˜đ?‘§đ?‘§ đ?‘§đ?‘§ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Ł|đ?‘˜đ?‘˜|, |đ?‘˜đ?‘˜| = ďż˝đ?‘˜đ?‘˜đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + đ?‘˜đ?‘˜đ?‘Śđ?‘Ś2 + đ?‘˜đ?‘˜đ?‘§đ?‘§2 .
ďż˝âƒ— ĂŠ um vector na direcção em que a onda se estĂĄ a mover. Os campos elĂŠctrico e magnĂŠtico De facto, đ?‘˜đ?‘˜ numa onda rĂĄdio ou onde de luz tĂŞm precisamente esta forme (ou, mais perto da fonte, uma forma similar equivalente para ondas esfĂŠricas, em vez de ondas planas).
É importante notar que esta equação mais complicada é ainda uma equação linear – o princípio da sobreposição ainda se aplica. Se duas ondas numa membrana elástica, ou na superfície de um lago, se encontrarem, o resultado em qualquer ponto é dado pela simples soma dos deslocamentos individuais de cada onda. (Assumindo como sempre pequenas amplitudes, para que as ondas de água não se desfaçam em espuma.) Começaremos por pensar em ondas propagando-se livremente em duas e três dimensões, e mais tarde consideraremos ondas em domínios restritos, como um tambor. Como é que uma onda se propaga em duas e três dimensões? Uma onda unidimensional não tem escolha: move-se simplesmente em linha recta (bom, poderia ser parcialmente reflectida por uma perturbação na corda e parte dela voltar para trás). Mas quando vamos para dimensões mais altas, o modo como uma perturbação localizada se propaga está longe de ser óbvio. Mas podemos começar por recordar alguns casos simples: se atirarmos uma pedra para uma superfície de água parada formam-se ondas circulares concêntricas que se propagam radialmente. Um raio de luz muda de direcção quando passa do ar para o vidro. Claro que não é imediatamente evidente que a luz é uma onda: falaremos disso mais tarde. Propagação de ondas segundo Huygens Se uma fonte pontual de luz for ligada, a frente de onda é uma esfera em expansão centrada na fonte. Huygens sugeriu que isto poderia ser compreendido se em qualquer instante cada ponto da frente de onda fosse visto como uma fonte secondária, e que a frente de onda num instante posterior seria o resultado da sobreposição de todas essas ondas secundárias. Para uma luz a brilhar continuamente, este processo repete-se uma e outra vez.
Qual ĂŠ a utilidade desta ideia? Por um lado, explica a refracção – a mudança de direcção da frente de onda na fronteira entre diferentes meios, como um raio de luz do ar para o vidro. Se a luz viaja mais lentamente no vidro, com velocidade đ?‘Łđ?‘Ł em vez de đ?‘?đ?‘? (đ?‘Łđ?‘Ł < đ?‘?đ?‘?), entĂŁo o modelo de Huygens explica a Lei de Snell, que a razĂŁo dos senos dos ângulos com a normal dos raios incidente e transmitido ĂŠ uma constante, de facto essa razĂŁo ĂŠ đ?‘?đ?‘?/đ?‘Łđ?‘Ł.
Lei de Snell: um raio de luz passando do ar para o vidro ĂŠ curvado em direcção Ă normal, e sin đ?œƒđ?œƒ1 / sin đ?œƒđ?œƒ2 ĂŠ o mesmo para qualquer ângulo de entrada.
Isto ĂŠ evidente a partir do diagrama abaixo: no tempo em que a onda centrada em A se propaga atĂŠ C, a onda centrada em B atinge D, sendo a razĂŁo dos comprimentos AC/BD igual a đ?‘?đ?‘?/đ?‘Łđ?‘Ł. Mas os ângulos da Lei de Snell sĂŁo de facto os ângulos ABC, BCD, e esses triângulos rectângulos tĂŞm uma hipotenusa comum BC, e daĂ decorre a lei.
Explicação de Huygens da refracção: duas ondas secundĂĄrias da frente de onda đ??´đ??´đ??´đ??´; đ?‘Šđ?‘Šđ??ľđ??ľ ĂŠ mais lenta que đ?‘Šđ?‘Šđ??´đ??´ , porque se estĂĄ a propagar no vidro. Isto faz com que a onda mude de ângulo.
O modelo de Huygens tambÊm fornece uma explicação råpida do que acontece quando uma frente de onda plana encontra uma barreira com uma abertura estreita: e por estreita, quero dizer pequena quando comparada com o comprimento de onda da onda. É fåcil adaptar esta interpretação a ondas de ågua: do outro lado da barreira, as ondas espalham-se circularmente a partir do buraco.
Interferência da dupla fenda: como Young mediu o comprimento de onda da luz Se a fenda for maior ou igual ao comprimento de onda, o padrão torna-se mais complicado, como seria de esperar à luz das ideias de Huygens, porque agora as ondas do outro lado surgem a partir de uma linha de fontes, e não do equivalente a um ponto. Para investigarmos mais, considera o caso mais simples seguinte: uma barreira com dois pequenos buracos, de modo que do outro lado vemos a radiação equivalente a duas fontes pontuais.
Ondas espalhando-se a partir de duas pequenas fendas na barreira: os cĂrculas azuis representam cristas de onda, onde duas se cruzam a onda tem um valor mĂĄximo positivo, por exemplo ao longo da linha central. Para duas fontes sincronizadas gerando ondas harmĂłnicas, em qualquer ponto do tanque equidistante das duas fontes (a linha central na figura acima), as ondas somar-se-ĂŁo, e a ĂĄgua serĂĄ maximamente deslocada. Para ondas luminosas, haverĂĄ um mĂĄximo do brilho no centro do ecrĂŁ, como se mostra no diagrama seguinte:
Para ondas de luz passando atravĂŠs de duas fendas estreitas e incidindo num ecrĂŁ (do lado direito) haverĂĄ um outro ponto brilhante num ponto đ?‘ƒđ?‘ƒ longe do centro đ??śđ??ś2 do ecrĂŁ, desde que as distâncias de P a ambas as fendas difiram por um nĂşmero inteiro de comprimentos de onda:
Por outro lado, num ponto aproximadamente a meio entre o centro do ecrĂŁ e o ponto đ?‘ƒđ?‘ƒ as ondas de ambas as fendas chegam ao ecrĂŁ exactamente fora de fase: a crista de uma soma-se ao vale da outra, cancelando-se, e nĂŁo havendo luz. É evidente, entĂŁo, que veremos no ecrĂŁ uma sĂŠrie de ĂĄreas brilhantes e escuras, sendo os pontos brilhantes os pontos onde as ondas das duas fendas chegam exactamente em fase. HĂĄ uma animação Flash da formação deste padrĂŁo aqui. Este padrĂŁo, gerado pelo que se chama interferĂŞncia das ondas, tambĂŠm ĂŠ chamado padrĂŁo de difracção e ĂŠ historicamente importante, porque foi usado para estabelecer o carĂĄcter ondulatĂłrio da luz, por Thomas Young em 1807. (Recorda que Newton acreditava que a luz era uma corrente de partĂculas, e essa era a opiniĂŁo generalizada na ĂŠpoca.) Young usou o padrĂŁo para calcular os comprimentos de onda da luz vermelha e violeta. O seu mĂŠtodo pode ser compreendido com o diagrama acima. Fizemos a experiĂŞncia na aula com uma separação de cerca de 0.2 mm entre as fendas, dado pontos brilhantes no ecrĂŁ separados por cerca de 3 cm, estando o ecrĂŁ a 10 m das fendas. Isto ĂŠ o mesmo que dizer que no diagrama acima temos đ?‘†đ?‘†1 đ?‘†đ?‘†2 = 0.2 Ă— 10−3 m, đ??śđ??ś1 đ??śđ??ś2 = 9.5 m, e encontrĂĄmos que đ??śđ??ś2 đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘Ľđ?‘Ľ = 3 cm (mais ou menos um porcento). Olhando para o diagrama, ĂŠ claro que o ângulo entre đ?‘ƒđ?‘ƒ e as fendas ĂŠ muito pequeno, de facto ĂŠ đ?‘Ľđ?‘Ľ/đ??żđ??ż = 3.15 Ă— 10−3 radianos. Portanto o
desenho estĂĄ muito exagerado! Agora, a recta đ?‘†đ?‘†1 đ?‘„đ?‘„ ĂŠ perpendicular aos raios de luz que vĂŁo para đ?‘ƒđ?‘ƒ (estĂŁo extremamente perto de serem paralelos). O ângulo entre đ?‘†đ?‘†1 đ?‘„đ?‘„ e đ?‘†đ?‘†1 đ?‘†đ?‘†2 ĂŠ o mesmo que o ângulo entre đ??śđ??ś1 đ?‘ƒđ?‘ƒ e đ??śđ??ś1 đ??śđ??ś2 , isto ĂŠ, 3.15 Ă— 10−3 radianos. Isto significa que os comprimentos đ?‘†đ?‘†1 đ?‘„đ?‘„ e đ?‘†đ?‘†1 đ?‘†đ?‘†2 sĂŁo efectivamente iguais, e portanto đ?‘†đ?‘†2 đ?‘„đ?‘„ đ?œ†đ?œ† đ?‘Ľđ?‘Ľ = = = 3.15 Ă— 10−3 . đ?‘†đ?‘†1 đ?‘†đ?‘†2 đ?‘‘đ?‘‘ đ??żđ??ż
Isto ĂŠ muito rigoroso para um ângulo tĂŁo pequeno, e destes dados concluĂmos que o comprimento de onda da luz ĂŠ đ?œ†đ?œ† = 3.15 Ă— 10−3 đ?‘‘đ?‘‘ = 6.3 Ă— 10−7 m = 630 nm. Um outro ponto brilhante Cerca de dez anos apĂłs o resultado de Young, um engenheiro francĂŞs, Augustin Fresnel, desenvolveu uma teoria ondulatĂłria da luz, e providenciou uma anĂĄlise matemĂĄtica mais completa. Esta foi tambĂŠm disputada pelo famoso matemĂĄtico francĂŞs Simeon Poisson, que salientou que se a teoria ondulatĂłria fosse verdadeira, era possĂvel provar matematicamente que na sombra de um pequeno objecto redondo, haveria um ponto brilhante no centro, porque ondas vindas de toda a circunferĂŞncia se adicionariam ali. Isto parecia ridĂculo – mas fĂsico francĂŞs François Arago fez a experiĂŞncia, e encontrou o ponto! Tinha chegado a teoria ondulatĂłria da luz.
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009