Ondas Sonoras

Ondas Sonoras Michael Fowler Ondas sonoras “unidimensionaisâ€? Começaremos por considerar a propagação do som num tubo oco, para evitar complicaçþes matemĂĄticas desnecessĂĄrias. O som ĂŠ uma onda longitudinal – Ă medida que a onda passa, o ar move-se para a frente e para trĂĄs no tubo, sendo este movimento oscilatĂłrio na mesma direcção em que a onda viaja. Para visualizarmos o que estĂĄ a acontecer, imagina mentalmente que divides o ar no tubo, que estĂĄ em repouso se nĂŁo houver som, em finas fatias. Concentra-te numa dessas fatias. Em equilĂ­brio, ela sente pressĂľes iguais e opostas de ambos os lados. (Analogamente ao pequeno segmente de corda em repouso que sente tensĂľes opostas nos dois lados, mas claro que a pressĂŁo do gĂĄs ĂŠ para dentro). Assim que a onda sonora atravessa essa fatia, a onda de pressĂŁo gera pequenas diferenças de pressĂŁo entre os dois lados, surgindo uma força que acelera a fatia de ar. Para analisarmos isto quantitativamente – aplicar đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š Ă fina fatia de ar – temos de começar por definir o deslocamento, a quantidade correspondente ao movimento transversal da corda đ?‘Śđ?‘Ś(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) . Usaremos đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) para denotar o deslocamento horizontal (ao longo do tubo) da fina camada de ar cuja posição de equilĂ­brio ĂŠ đ?‘Ľđ?‘Ľ quando nĂŁo hĂĄ som.

Se o tubo tiver raio đ?‘Žđ?‘Ž, e consequentemente ĂĄrea đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž2 , uma fatia de ar de espessura Δđ?‘Ľđ?‘Ľ tem volume đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž2 Δđ?‘Ľđ?‘Ľ, logo escrevendo a densidade do ar đ?œŒđ?œŒ (1.29 km/m3), a massa da fatia de ar ĂŠ đ?‘šđ?‘š = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?‘Žđ?‘Ž2 Δđ?‘Ľđ?‘Ľ. Claramente, a aceleração ĂŠ đ?‘Žđ?‘Ž = đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą)/đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2 , portanto jĂĄ temos o lado direito de đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š . Para encontrarmos o lado esquerdo – a força exercida na fina fatia de ar – temos de encontrar a diferença de pressĂŁo entre os dois lados. Relação entre diferenças de pressĂŁo e deslocamento A variação da pressĂŁo Ă medida que a onda sonora se propaga ao longo do tubo estĂĄ intrinsecamente relacionada com a compressĂŁo ou expansĂŁo local do gĂĄs. É como uma mola: Ă medida que o gĂĄs ĂŠ comprimido para um volume menor, a pressĂŁo aumenta, e assim que se expande diminui. E, exactamente como numa mola, as variaçþes de pressĂŁo e volume estĂŁo linearmente relacionadas. O coeficiente de proporcionalidade ĂŠ chamado mĂłdulo de compressibilidade, usualmente escrito đ??ľđ??ľ, e definido pela equação: Δđ?‘?đ?‘? = −

đ??ľđ??ľÎ”đ?‘‰đ?‘‰ đ?‘‰đ?‘‰

Repara no sinal! Se o volume diminui, a pressĂŁo aumenta. Uma vez que a razĂŁo entre volumes ĂŠ adimensional, as unidades do mĂłdulo de compressibilidade sĂŁo as mesmas que a da pressĂŁo: Pascal. Para o ar Ă pressĂŁo e temperatura normais, o seu valor ĂŠ đ??ľđ??ľ = 105 Pa.

Agora, estamos a monitorizar o movimento do gĂĄs Ă medida que a onda passa analisando o parâmetro đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) , o deslocamento ao longo do tubo no instante đ?‘Ąđ?‘Ą do gĂĄs cuja posição de equilĂ­brio ĂŠ đ?‘Ľđ?‘Ľ . Obviamente, se đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) nĂŁo depender de đ?‘Ľđ?‘Ľ, todo o gĂĄs ĂŠ transladado pelo mesma quantidade, e nĂŁo ocorre compressĂŁo nem expansĂŁo. Variaçþes locais de volume ocorrem apenas se houver variaçþes locais de đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą).

Para tornar isto quantitativo, considera uma fatia de gĂĄs com espessura Δđ?‘Ľđ?‘Ľ (em repouso): se, nalgum instante em que a onda passa atravĂŠs dela, o lado direito sofrer um deslocamento đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ + Δđ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą), e o lado esquerdo um deslocamento maior đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą), digamos,

a espessura da fatia passou evidentemente de �� para

Δđ?‘Ľđ?‘Ľ − ďż˝đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) − đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ + Δđ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą)ďż˝.

Uma vez que o volume de ar na fatia Ê directamente proporcional à sua espessura, a onda sonora variou neste instante o volume do ar inicialmente no segmento Δ�� junto ao ponto �� por uma fracção

Δđ?‘‰đ?‘‰ đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ + Δđ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) − đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = = đ?‘‰đ?‘‰ Δđ?‘Ľđ?‘Ľ đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•

sendo a derivada exacta no limite de uma fatia muito fina.

Portanto, a pressĂŁo extra local ĂŠ directamente proporcional a menos o gradiente de đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą): Δđ?‘?đ?‘? = −đ??ľđ??ľ

Δđ?‘‰đ?‘‰ đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = −đ??ľđ??ľ . đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?‘‰đ?‘‰

De đ?‘­đ?‘­ = đ?’Žđ?’Žđ?’Žđ?’Ž Ă equação de onda Tendo encontrado como ĂŠ que a variação local de pressĂŁo se relaciona com đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą), estamos prontos a deduzir a equação de onda a partir de đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š para uma fatia de gĂĄs. Recorda que para uma destas fatias đ?‘šđ?‘š = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?‘Žđ?‘Ž2 Δđ?‘Ľđ?‘Ľ, e obviamente đ?‘Žđ?‘Ž = đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą)/đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2 . A força resultante đ??šđ??š na fatia ĂŠ a diferença entre a pressĂŁo em đ?‘Ľđ?‘Ľ e em đ?‘Ľđ?‘Ľ + Δđ?‘Ľđ?‘Ľ:

Inserindo em đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š:

đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) đ??ľđ??ľ ďż˝ = , onde đ?‘Łđ?‘Ł = đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2 đ?œŒđ?œŒ

Esta ĂŠ exactamente a equação de onda que encontrĂĄmos para um corda, agora com o deslocamento longitudinal đ?‘ đ?‘ no lugar do deslocamente transversal đ?‘Śđ?‘Ś, e o mĂłdulo de compressibilidade a desempenhar o papel de tensĂŁo, ambos medidas da energia potencial armazenada com origem nas variaçþes locais do deslocamento. As densidades, claro, desempenham o mesmo papel nos dois casos, medido a energia cinĂŠtica armazenada para dadas velocidades de deslocamento. Condiçþes fronteira para ondas sonoras em tubos Uma vez que a nova equação de onda ĂŠ idĂŞntica em forma Ă equação de ondas numa corda, a nossa discussĂŁo de ondas a viajar, ondas estacionĂĄrias, etc, para um corda pode ser aplicada aqui com as mudanças de notação apropriadas. Por exemplo, uma onda estacionĂĄria num tubo tem a forma đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ??´đ??´ sin đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ sin đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”, para um tubo fechado em đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0, de modo que o ar nĂŁo se move em đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0. A condição fronteira para um tubo com uma extremidade fechada ĂŠ:

đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = 0 na extremidade fechada.

đ??šđ??š = đ?‘?đ?‘?(đ?‘Ľđ?‘Ľ

E numa extremidade aberta? Nesse caso, o ar ĂŠ livre de se mover – a condição fronteira nĂŁo serĂĄ đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą). Contudo, a pressĂŁo nĂŁo pode variar livremente: ĂŠ sempre a pressĂŁo atmosfĂŠrica. Portanto numa extremidade aberta Δđ?‘?đ?‘? = 0. Recordando que Δđ?‘?đ?‘? = −đ??ľđ??ľ đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą)/đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•, a condição fronteira escreve-se: đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = 0 numa extremidade aberta. đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•

Ondas estacionĂĄrias harmĂłnicas em tubos Considera agora uma onda harmĂłnica estacionĂĄria num tubo de comprimento đ??żđ??ż, fechado em đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0 mas aberto em đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ??żđ??ż. Da condição fronteira đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0, a onda tem de ser da forma đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ??´đ??´ sin đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ sin đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”.

A condição fronteira da extremidade aberta em đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ??żđ??ż requer que o declive đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ??żđ??ż, đ?‘Ąđ?‘Ą)/đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• = 0. Isto ĂŠ, cos đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ = 0.

ExercĂ­cio: prova que o maior comprimento de onda possĂ­vel de uma onda estacionĂĄria no tubo ĂŠ 4đ??żđ??ż, e esboça a onda. ExercĂ­cio: qual ĂŠ o maior comprimento de onda seguinte? Faz um desenho. PotĂŞncia e Intensidade Uma outra solução da equação de onda ĂŠ: đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”)

onde đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, tal como na corda. Esta ĂŠ uma onda que viaja ao longo do tubo. Pode ser gerada por um prato oscilante na extremidade fechada: por outras palavras, um altifalante. Qual ĂŠ a potĂŞncia emitida pelo altifalante? EstĂĄ-se a mover e a empurrar contra a pressĂŁo: PotĂŞncia = đ?‘ˇđ?‘ˇ = taxa de trabalho = força x velocidade = pressĂŁo x ĂĄrea x velocidade

QuĂŁo rĂĄpido se estĂĄ a mover? No instante đ?‘Ąđ?‘Ą, o prato estĂĄ em portanto move-se com velocidade

đ?‘ đ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0, đ?‘Ąđ?‘Ą) = −đ??´đ??´ sin đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”

đ?‘Łđ?‘Łđ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? (đ?‘Ąđ?‘Ą) =

đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0, đ?‘Ąđ?‘Ą) = −đ??´đ??´đ??´đ??´ cos đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”. đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•

A pressĂŁo no prato ĂŠ Δđ?‘?đ?‘? onde Em đ?‘Ľđ?‘Ľ = 0.

Δđ?‘?đ?‘? = −đ??ľđ??ľ

đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) đ?œ•đ?œ• = −đ??ľđ??ľ đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) = −đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ cos đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ” đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•

Portanto a taxa a que o trabalho ĂŠ realizado no instante đ?‘Ąđ?‘Ą, a potĂŞncia đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘Ąđ?‘Ą) = velocidade Ă— força: đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? (đ?‘Ąđ?‘Ą)Δđ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ž2 = đ??´đ??´2 đ??ľđ??ľđ??ľđ??ľđ?‘Žđ?‘Ž2 đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ” cos 2 đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”

A definição habitual de potência para qualquer tipo de gerador de onda Ê a potência mÊdia ao longo de um ciclo completo. Uma vez que o valor mÊdio de cos 2 �� = 1/2,

1 potĂŞncia đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ??´đ??´2 đ??ľđ??ľđ??ľđ??ľđ?‘Žđ?‘Ž2 đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”. 2

Usando đ??ľđ??ľ = đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œŒđ?œŒ e đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, podemos escrever đ?‘ƒđ?‘ƒ =

1 2 2 2 đ??´đ??´ đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž đ?œ”đ?œ” đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ. 2

Isto diz-nos tambĂŠm quanta energia hĂĄ na onda:

1 2 2 2 đ??´đ??´ đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž đ?œ”đ?œ” đ?œŒđ?œŒ por metro. 2

A intensidade da onde ĂŠ a potĂŞncia mĂŠdia por metro quadrado da secção recta, portanto aqui 1 Intensidade đ??źđ??ź = đ??´đ??´2 đ?œ”đ?œ”2 đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ 2

e đ??źđ??ź mede-se em watts por metro quadrado.

O factor ��, a velocidade, na expressão anterior surge porque num segundo, a energia transmitida pela onda a um metro quadrado de årea perpendicular à direcção de propagação da onda Ê a energia em �� metros cúbicos de onda: tomando a velocidade do som como 330 metros por segundo, 330 metros cúbicos de energia sonora atravessarão um metro quadrado de årea em cada segundo.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009