Números complexos 2014

Como é que a Matemática que é, antes de tudo, um produto do pensamento humano, independente da experiência, se pode adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade?

Albert Einstein (1879-1955)

No princípio era o:





 2-3

2:3

?!

?!

Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias Descartes





?!

1

1

x 2 = −1

c x = ± −1

Como sabemos −1 não é um número real, pois não há nenhum número real que, elevado ao quadrado, seja igual a -1 A expressão −1 foi aceite, por razões que veremos adiante, como um número (século XVI), e, mais tarde, passou a escrever-se i = −1 Este novo número i, a que se dá o nome de unidade imaginária, imaginária verifica a igualdade i2 = -1

??!!

c x = ±i −1 = i , em que i2 = -1

i - unidade imaginária e − A = −1 × A = i A

( A > 0)

1 E então, temos:

2 3

0 2

0,007

π

e −5

3

−1 −

5 7

−2 −i −2 + 3i 3 2− i 2



 

 

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

O conceito de número, tal como hoje se apresenta, é apenas uma fase de uma evolução que tem durado milénios.

Naturais  Fracionários (positivos) Racionais (positivos)  Irracionais (positivos) Reais (positivos)  Zero  Negativos

a primeira generalização veio tornar sempre possível a divisão.

 a segunda veio tornar sempre possível a radiciação, bem como outras operações.

a terceira veio tornar sempre possível a

subtração (os números negativos, aceites com

desconfiança, eram chamados de absurdos, falsos fingidos, etc.) .

Reais  Imaginários

Complexos

 a quarta veio, de novo, tornar sempre possível a

radiciação, que tinha ficado impossível, em certos casos, no conjunto dos números reais.

 no conjunto dos números complexos, as propriedades operatórias fundamentais mantêm-se válidas, com exceção da relação de ordem.

...

Historicamente os números imaginários surgiram a propósito da resolução de problemas, que na época, eram conhecidos como do cubo e da coisa igual a um 3 número, ou seja, que envolviam a resolução de equações cúbicas do tipo x + px + q = 0 É já sobejamente conhecida a fórmula resolvente da equação do segundo grau.

Também sabemos que em ¡ , se, na resolução de uma equação do segundo grau, por meio da forma resolvente, nos aparecer uma raiz quadrada de um número negativo, a equação é impossível.

Embora pouco conhecida, também existe uma fórmula resolvente, descoberta por matemáticos italianos do século XVI, para as equações do terceiro grau do tipo x 3 + px + q = 0 (prova-se facilmente que, através de uma mudança de variável, qualquer equação do terceiro grau se pode reduzir a uma deste tipo). A fórmula resolvente para estas equações é: 2

3

2

3

q q q  p q  p x= 3 − +  ÷ + ÷ + 3 − −  ÷ + ÷ 2 2 2  3 2  3 

Vejamos um exemplo de aplicação desta fórmula Um problema:

2

3

2

3

q q q  p q  p x 3 + px + q = 0 ⇔ x = 3 − +  ÷ +  ÷ + 3 − −  ÷ +  ÷ 2 2 2  3 2  3

Seja: V o volume de um cubo de aresta x; V ’ o volume de um paralelepípedo rectângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo; Pretende-se determinar x de tal modo que V = V ’ + 1.

x 3 u.a. x

Para resolver este problema torna-se necessário encontrar as soluções da equação

x3 = 3x + 1 1

3

1

3

Aplicando a definição atrás referida obtemos x = 3 2 + − 4 + 3 2 − − 4 A resolução do problema depende pois do cálculo de

−

3 4

Mas “esta raiz não existe”, o que significava que o problema era impossível.

Só que o problema não é impossível!

Podemos ver isto atualmente, por exemplo, com auxílio da calculadora gráfica ou modelando o problema proposto, com auxílio do Sketchpad.

Calculadora: Queremos resolver a equação x3 = 3x + 1, só nos interessando, se existirem, as soluções positivas. Averiguemos, então, se existem zeros (positivos) da função f ( x ) = x 3 − 3x − 1

Geometer’s Sketchpad:

x ; 1,88

Como se pode visualizar, através do gráfico da função f, esta equação tem mesmo três raízes reais, apesar de ser uma equação irredutível (i.e., ao aplicarmos a fórmula resolvente aparece a raiz quadrada de um número real negativo).

O cubo.gsp

E então, o problema é possível!

Observa-se pois, no caso irredutível, este facto deveras notável: partindo de números reais (coeficientes da equação), obtêm-se resultados reais (as soluções), depois de ter trabalhado com números imaginários.

Como acaba de se ver, foi o estudo das equações do 3º grau, e não das equações do 2º grau, que obrigou a introduzir estes números.

As personagens desta aventura são o professor de matemática da mais antiga universidade do mundo (Bolonha) Scipione del Ferro, o guarda-livros, matemático e topógrafo Niccolò Fontana

Tartaglia,

o matemático, médico e escritor

célebre Gerolamo Cardano, Cardano o jovem prodígio Lodovico

Rafael

Ferrari e o engenheiro

Bombelli e envolvem acusações de traição e roubo de ideias, casos de

duelos, guerras de influências, assassínios e suicídios.

Niccolò Fontana (Tartaglia) (ca. 1499 - 1557)

Gerolamo Cardano (1501 - 1576)

Conta-se que Scipione del Ferro, professor em Bolonha desde 1496 a 1526, descobriu a fórmula resolvente para as equações cúbicas e não a divulgou (hábito da época: ficaria para ser utilizada nos desafios que, matemáticos e outros pensadores, se faziam mutuamente).

Scipione del Ferro morre e deixa a fórmula em testamento ao seu genro Annibale della Nave e ao seu aluno Antonio Maria Del Fiore.

A fórmula da discórdia 2

3

2

3

q q q  p q  p x= 3 − +  ÷ +  ÷ + 3 − −  ÷ + ÷ 2 2 2  3 2  3 

Del Fiore desafia Tartaglia, um matemático considerado, a resolver uma série de problemas, cuja resolução dependia do conhecimento da fórmula resolvente.

Tartaglia depois de estar dias a fio à volta destes problemas acabou por chegar, também ele, à fórmula resolvente das equações algébricas do 3º grau.

No dia aprazado para a resolução em praça pública dos problemas, Tartaglia resolve-os sem errar um sequer. O mesmo não aconteceu com os problemas que Del Fiore tinha, em contrapartida, que resolver.

A fórmula da discórdia 2

3

2

3

q q q  p q  p x= − +  ÷ +  ÷ + 3 − −  ÷ +  ÷ 2 2 2  3 2  3 3

Tem em conta também que é possível fazer certas concessões ao engenho, como é frequente nos livros de história.

Cardano. De propria vita. 1576

Cardano, um matemático também muito conceituado, mas de caracter duvidoso, teve conhecimento deste feito e pediu insistentemente a Tartaglia que lhe revelasse a fórmula.

Tartaglia, após toda esta insistência, e tendo Cardano jurado solenemente não tornar pública a fórmula, acaba por lha revelar, o que fez em verso (rimas que escreveu para facilitar a sua memorização).

Cardano dá conhecimento da fórmula ao seu aluno: Ludovico Ferrari. Cardano e Ferrari vasculham nos papéis de Del Ferro encontram a fórmula e, assim, Cardano tem uma desculpa para a tornar pública, o que faz no seu livro Ars Magna.

Ferrari deduz, então, uma fórmula para resolver as equações algébricas do quarto grau.

Ferrari encarrega-se de desacreditar Tartaglia, propõe-lhe um desafio e derrota-o em praça pública.

Tartaglia retira-se em ignomínia para a sua cidade natal, Brescia.

−A

−1

A sensacional descoberta dos quinhentistas italianos incitou vivamente os estudiosos a procurarem fórmulas análogas para as equações de grau superior ao 4º e até, se possível fosse, uma fórmula geral que se aplicasse a todos os graus.

Durante cerca de três séculos fizeram-se esforços ingentes para encontrar essa fórmula mágica, que seria o “abre-te Sésamo” do mundo algébrico.

Finalmente, o grande e infeliz matemático norueguês N. H. Abel (1802 – 1829), precedido em parte por Ruffini (1765 –1822), conseguiu demonstrar rigorosamente que a equação geral do 5º grau, e portanto a de 6º, a do 7º, etc., não é resolúvel algebricamente, isto é, mediante uma expressão algébrica sobre os coeficientes.

E… depois veio Galois (1811 – 1822), mas este é um outro episódio da aventura Matemática!!!

Este novo conceito é tão importante que hoje é usado em inúmeras áreas fora

da matemática, como o processamento de sinal, sinal a teoria de controle, controle o eletromagnetismo, eletromagnetismo a dinâmica de fluidos, a aerodinâmica e a mecânica quântica.

Modelação de fenómenos aparentemente imprevisíveis (FRACTAIS - teoria do caos): de natureza meteorológica, astronómica, económica, biológica, biológica etc. , …

£ Forma algébrica do número complexo

z = a + bi

com

a,b ∈ ¡

e

i 2 = −1

Parte Parte real imaginária

i - unidade imaginária

−1 = i

e −A = i A

No número complexo z podemos considerar duas partes: a é a parte real de z e representa-se por Re(z) = a bi é a parte imaginária de z, sendo b o coeficiente da parte imaginária, imaginária representandose por Im(z) = b •Se Im(z) = 0, o número a + bi é um número real. (

¡ ⊂ ) £

•Se Re(z) = 0, o número complexo a + bi é do tipo bi, sendo os números complexos desta forma designados por imaginários puros.

£ A cada número complexo x + yi corresponde um e um só par ordenado (x , y) de

números reais e … inversamente, a cada par ordenado de números reais corresponde um e um só

número complexo x + yi.

Exemplos:

z = x + yi ↔ P(x , y) Consideremos no plano r r um referencial cartesiano ortonormado O , i , j

(

Im (z)

2 + 3i ↔ (2 , 3) 1 - 2i ↔ (1 , -2) 4i

↔ (0 , 4)

2/3 – i ↔ (2/3 , -1) 5

)

Eixo imaginário

P(x , y) ← afixo ou imagem geométrica de z

y uuur OP imagem vetorial de z r j r i

O

↔ (5 , 0)

x

Eixo real

Módulo de z:

z = x2 + y 2 { ρ

Re (z)

(

uuur z = OP

)

Complexos_09.gsp

Bibliografia Compêndio de Matemática – 7º ano (J. Sebastião e Silva | J. D. da Silva Paulo) Matemática A - Questões de exames nacionais e de testes intermédios (1997-2012) - Gave Espaço 12 (Belmiro Costa, Lurdes Resende, Ermelinda Rodrigues) Infinito 12 (Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões ) “A prodigiosa aventura do nascimento dos números imaginários” - Jaime Carvalho e Silva, Departamento de Matemática da FCTUC La aventura de la ecuación cúbica – Francisco Martín Casalderrey Poesía, álgebra y espionaje , por Lolita Brain BEAUTY OF MATHEMATICS Direction: Yann Pineill & Nicolas Lefaucheux | Production: Parachutes / 2013 14 Beautiful Images That Math Nerds Will Geek Out Over http://www.policymic.com/articles/85281/14-beautiful-images-that-math-nerds-will-geek-out-over

O número que você marcou é imaginário. Por favor multiplique-o por i e tente novamente.

(Na mudança do telefone do MIT) Anónimo

“...a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são” Leibniz

Maria José Vaz da Costa