Ficha de apoio distribuições bidimensionais

ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA Matemática

ESTATÍSTICA

– PARTE IV

Maio 2012

Distribuições bidimensionais Até agora temos estudado apenas distribuições unidimensionais, ou seja, distribuições em que estudamos cada variável isoladamente. No entanto, há situações em que é importante investigar se uma variável tem ou não influência sobre outra, e de que forma.

Nas distribuições bidimensionais ou bivariadas, bivariadas estudamos as relações entre dois atributos quantitativos, obtendo assim um conjunto de dados sobre a dispersão de pares ordenados. Em cada par ordenado, o primeiro elemento mede um atributo de uma das unidades estatísticas observadas e o segundo elemento mede o outro atributo da mesma unidade estatística observada.

Por exemplo, o peso e a altura de uma pessoa. Genericamente, consideraremos duas variáveis X,Y, com realizações (x1,y1), (x2, y2), …, (xn, yn).

Normalmente, o que se pretende neste caso é estudar a relação entre as duas variáveis, que se supõe estarem relacionadas.

Indica, justificando, se existirá uma relação forte ou fraca entre as variáveis referidas nas seguintes situações:

1.

2.

3.

4.

5.

Altura e peso dos alunos de uma turma.

A altura de um grupo de crianças até 10 anos de idade a respectiva idade.

A altura dos adultos portugueses e a sua idade.

O número do Bilhete de Identidade e o número do calçado das pessoas de uma aldeia.

O número de cães abandonados nas capitais europeias e o rendimento médio per capita dos seus habitantes.

Diagrama de dispersão Exemplo:

Nº de estudantes (xi) 1500 800 2600 1000 600 2800 1200 900 400 1300 1200 2000

Orçamento corrente u.m. (yi) 3100 1900 4200 2300 1200 4900 2800 2100 1400 2400 2400 3800

Numa universidade efetuou-se um estudo para averiguar se existe relação entre o orçamento que cada departamento de ensino recebe e o número de alunos que frequentam os seus cursos.

Considera as variáveis X e Y que representam, respectivamente, o número de alunos e o orçamento corrente referente a cada departamento, em unidades monetárias (u.m.). Os dados (x , y) encontram-se na tabela ao lado.

A observação da nuvem de pontos permite, de uma forma mais simples, intuir se existe ou não uma relação entre as variáveis. Neste exemplo é possível observar que à medida que o número de alunos do departamento aumenta, também aumenta o orçamento atribuído a estes departamentos.

Designa-se por diagrama de dispersão ou nuvem de pontos o gráfico em que se representam os pares (xi, yi) como pontos num referencial cartesiano.

Neste caso, diz-se que as variáveis são positivamente correlacionadas ou que existe correlação positiva entre as variáveis.

Quando se verifica que uma variável tem tendência a influenciar a outra diz-se que existe uma correlação entre as duas variáveis.

Correlação positiva: positiva Correlação negativa: negativa Servindo-nos do exemplo anterior, podemos determinar com auxílio da calculadora gráfica o seu centro de gravidade: gravidade Se traçarmos duas rectas paralelas aos eixos coordenados que passam pelo centro de gravidade, definindo um novo referencial ortogonal, verifica-se que a maioria dos pontos se situam no 1º e 3º quadrantes , o que nos sugere a existência de uma correlação positiva. positiva Se os pontos se situarem na sua maioria no 2º e 4ºquadrantes, diz-se que a correlação entre as variáveis é negativa ou que as variáveis estão negativamente correlacionadas.

Quando os pontos se distribuem pelos quatro quadrantes de uma forma equilibrada, pode-se concluir que não existe dependência entre as duas variáveis e, nesse caso, dizemos que estamos perante uma correlação nula, isto é, não há correlação entre as variáveis. Uma correlação amostral muito próxima do zero transmite-nos a ideia de que a correlação populacional é nula, ou seja, que as variáveis são «não correlacionadas».

Coeficiente de correlação Uma das medidas estatísticas que permite estabelecer o grau de correlação entre duas variáveis é o denominado coeficiente de correlação. correlação O coeficiente de correlação, correlação que se designa por r, toma valores no intervalo [-1 , 1].

Reta de regressão Quando a disposição dos pontos do diagrama de dispersão se faz «ao longo» de uma recta, a correlação diz-se linear.

A reta de regressão de y em x pode ser representada por uma equação do tipo y = ax + b, e permite descrever como se reflectem em y – variável resposta -, as modificações produzidas na variável x – variável explicativa.

Escola Secundária Francisco de Holanda Olívia Canedo