Momentun angular de spin

Teoría del Enlace Químico II

Pagina 1

Momentun Angular de Spin

La acción de un campo magnético externo (efecto Zeeman) llevó a la idea de que el electrón posee un campo magnético intríseco, por su comportamiento empírico, análogo al de una partícula cargada que gira en torno a su propio eje. Así, además del momentum angular orbital de spin, consecuencia del movimiento del electrón en torno al núlceo, existe también un momentum angular debido a la rotación del electrón en torno a su propio eje.

Esto es una ficción, ya que de acuerdo al Principio de Incertidumbre, nada se puede precisar respecto del tipo de movimiento que efectúa el electrón. Menos aún podríamos garantizar que presenta una rotación análoga a la de un trompo. Sin embargo, dado la evidencia experimental, se puede establecer una analogía con el spin de un corspusculo eléctrico clásico.

La propuesta de una variable adicional del electrón, asociada a su spin, fur propuesto por Uhlenbeck y Goudsmit en 1925.

Los operadores y funciones propias del momentum angular de spin, así como el álgebra y las reglas de commutación, son las mismas que las del momentum angular orbital.

sb2 = sb2x + sb2y + sb2z 2 2 2 sb , sbx = sb , sby = sb , sbz = 0

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II [b sx , sby ] = i~b sz

[b sy , sbz ] = i~b sx

Pagina 2

[b sz , sbx ] = i~b sy

sb2 Υls ,ms = ls (ls + 1)Υls ,ms

sbz Υls ,ms = ms ~ Υls ,ms

Se ha obviado ~2 y ~ respectivamente.

La diferencia con el caso orbital es que, en el caso del spin, desconocemos la forma explícita de los operadores puesto que el electrón constituye el origen del sistema de coordenadas y, por lo tanto, no se puede construir las funciones de spin. Se ha demostrado que ls tiene el valor de

1 2

=⇒ ms = ± 12 .

sb2 Υl 1 ,m 1 = 12 ( 12 + 1)Υls ,ms =⇒ 34 Υ 12 ,± 12 2

2

1 sbz Υ 21 ,± 12 = ± Υ 21 ,± 12 2

sb+ Υls ,ms

p = (ls − ms ) (ls + ms + 1) Υls ,ms+1

sb− Υls ,ms =

p (ls + ms ) (ls − ms + 1) Υls ,ms−1

ms+1 y ms−1 su efecto es que cambia de β a α y de α a β respectivamente. Dado los valores de ls y ms las raíces serán 1 o 0.

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 2 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II

Se acostumbra representar la función de spin con ms =

1 2

Pagina 3

como α y a la función de spin

con ms = − 21 como β.

Omitiendo ~ y ~2 se tiene:

sb2 α = 34 α

sb2 β = 43 α

sbz α = 12 α

sbz β = − 12 α

sb+ α = 0

sb+ β = α

sb− α = β

sb− β = 0

Como s bx = 21 (b s+ + sb− ) y sby = − 2i (b s− − sb+ ) .Las funciones propias de sbx y sby en la base de las funciones propias de s bz se construyen de la siguiente manera:

1.- Funciones propias de sbx en la base de las funciones propias de s bz (a) Para ms =

1 2

sbx (a α + b β) = 1 2

1 2

(a α + b β) =⇒

1 2

(b s+ + sb− ) (a α + b β) =

1 2

(a β + b α) =

(a α + b β) . Si a = b entonces:

x 12 =

√1 2

(α + β)es función propia de sbx en la base de las funciones propias de sbz con

valor propio 21

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 3 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II

Pagina 4

(b) Para ms = − 21

sbx (a α + b β) = − 21 (a α + b β) =⇒= − 12 (a β + b α)

1 2

(b s+ + sb− ) (a α + b β) = −a α − b β

1 2

(b α + a β) = (−a α + b β)

(b α + a β) = (a α + b β)

a (α + β) = −b (α + β) =⇒ a = −b x− 12 =

√1 2

(α − β)es función propia de sbx en la base de las funciones propias de sbz con

valor propio − 12

2.- Funciones propias de sby en la base de las funciones propias de s bz

(a) Para ms = 12

sby (a α + b β) = 1 2

1 2

(a α + b β) =⇒

i 2

(b s+ − sb− ) (a α + b β) =

i 2

(a β − b α) =

(a α + b β) . Entonces:

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 4 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II i 2a β

Pagina 5

− 2i b α = 12 (a α + b β)

ia β − ib α = a α + b β

a (i β − α) = b (i α + β)

(1)

Si i a = b=⇒ i a (i α + β) =⇒ i2 a α + i a β =⇒ −a α + i a β⇐⇒Si a = 1 entonces b = i

En consecuencia:

y 12 =

√1 2

(α + iβ)es función propia de sby en la base de las funciones propias de sbz con

valor propio 21

(b) Para ms = − 12

sbx (a α + b β) = − 21 (a α + b β) =⇒ 2i (b s+ − sb− ) (a α + b β) = 2i (a β − b α) = − 21 (a α + b β) . Entonces:

i 2a β

− 2i b α = − 12 (a α + b β)

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 5 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II

Pagina 6

ia β − ib α = −a α − b β

a (i β − α) = b (i α + β)

(2)

Si −i a = b=⇒ −i a (i α + β) =⇒ −i2 a α − i a β =⇒ a α − i a β⇐⇒Si

a = 1 entonces b = −i

En consecuencia:

y 12 =

√1 2

(α − iβ)es función propia de sby en la base de las funciones propias de sbz con

valor propio − 21

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 6 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación