Funciones propias de Lx y Ly en la base de las funciones propias de Lz

Teoría del Enlace Químico II

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bx y L by Funciones propias de L b2 y L bz , no lo es L bx ni de L by . Es posible construir funLa base Ψa,m es función propia de L bx y de L by en la base Ψa,m . Considere que L b+ = L bx + iL by y L b− = L bx − iL by ciones propias de L b b b+ + L b − = 2L bx =⇒ L bx = (L+ +L− ) . sumando ambas se tiene como resultado L 2

p p b+ + L b− Ψa,m L (l − m) (l + m + 1) (l + m) (l − m + 1) bx Ψa,m = L = Ψa,m+1 + Ψa,m−1 2 2 2

1

para l = 0 ⇒ m = 0

bx Ψ0,0 = 0 Ψ0,0 =⇒ Ψ0,0 es función propia de m sólo puede ser igual a cero cuando l = 0 L bx con valor propio 0 L

2

2.1

Si l = 1 ⇒ m = 1, 0, −1 l = 1 y m = −1

b x Ψ1,−1 = L

2.2

p

(1 − (−1)) (1 + (−1) + 1) Ψ1,0 2

para l = 1 y m = 0

bx Ψ1,0 L

bx Ψ1,0 L

bx Ψ1,−1 L

√ √ 2 2 bx Ψ1,−1 = √1 Ψ1,0 = Ψ1,0 √ =⇒ L 2 2 2

p p (1 − 0) (1 + 0 + 1) (1 + 0) (1 − 0 + 1) = Ψ1,1 + Ψ1,−1 2 2

√

√ √ 2 2 2 = Ψ1,1 + Ψ1,1 √ =⇒ √12 Ψ1,1 + 2 2 2

√1 2

Ψ1,−1

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II 2.3

Pagina 2

para l = 1 y m = 1

bx Ψ1,1 = L

p

√ √ (1 + 1) (1 − 1 + 1) 2 b bx Ψ1,1 = Ψ1,0 Lx Ψ1,1 = Ψ1,0 √22 =⇒ L 2 2

√1 2

Ψ1,0

bx tiene tres funciones propias en la base de las funciones propias de L bz . La combinación L bx (postulado V) con valor propio k. lineal de ellas también es función propia del operador L bx (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) =k (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) Entonces: L bx a Ψ1,1 = √a Ψ1,0 L 2 bx b Ψ1,0 = √b Ψ1,1 + √b Ψ1,−1 L 2 2 bx c Ψ1,−1 = √c Ψ1,0 L 2

a b b c Luego √ Ψ1,0 + √ Ψ1,1 + √ Ψ1,−1 + √ Ψ1,0 =k (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) 2 2 2 2 b b c a √ Ψ1,0 + √ Ψ1,1 + √ Ψ1,−1 + √ Ψ1,0 −k a Ψ1,1 − k b Ψ1,0 − k c Ψ1,−1 = 0 2 2 2 2 Agrupando: c a (i) √ Ψ1,0 − k b Ψ1,0 + √ Ψ1,0 = 0 2 2 √ √ a c √ Ψ1,0 − k b Ψ1,0 + √ Ψ1,0 = 0 Ψ1,02 ⇒ a − k b 2 + c = 0 2 2 √ b (ii) −k a Ψ1,1 √ Ψ1,1 + 0 c Ψ1,1 = 0 Ψ1,12 2 √ −k a 2 +b + 0 = 0 √ b (iii) 0 a Ψ1,−1 + √ Ψ1,−1 − k c Ψ1,−1 = 0 Ψ1,12 2

0+b−kc = 0 Reordenando Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 2 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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√ a −kb 2+c = 0 √ −k a 2 +b + 0 = 0 0+b − k c = 0

   

√

1 −k 2 1   a −k 2 1

0  1

 √    

−k 2  b  = 0 ⇐⇒ −k √2

= 0 ⇐⇒ −2k √2 + 2k 3 √2 = 1 0 1 0     

   √   √

b 0 0 1 −k 2 1 −k 2

0 

√

√ 2k 2 (k 2 − 1) = 0 ⇐⇒ tres soluciones k1 = 0, k2 = 1, k3 = 1 . En consecuencia hay tres combinaciones lineales diferentes con valores propios k1 , k2 , y k3 .

Se conocen los tres valores propios pero no explícitamente las funciones combinanciones lineales correspondientes.

Combinación lineal para valor propio k1 = 0

a −0+c =0 0−b + 0 = 0 ⇐⇒ b = 0 y a = −c sea a = 1 0+b − 0 = 0

Por lo que f1,0 =

√1 2

bx con valor propio k = 0 (y1,1 − y1,−1 ) es función propia de L

Combinación lineal para valor propio k2 = 1

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 3 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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√ a −b 2+c =0 √ −a 2+b + 0 = 0 √ 0+b − c 2 = 0 √ √ Resolviendo: b = a 2, b = c 2, ∴ a = c sea a = 1 Por lo quef1,1

√ 1 bx con valor propio k = 1 = y1,1 + 2 y1,0 + y1,−1 es función propia de L 2

Combinación lineal para valor propio k3 = −1

√ a +b 2+c =0 √ a 2+b + 0 = 0 √ 0+b + c 2 = 0 √ √ Resolviendo: b = −a 2, b = −c 2, ∴ a = c sea a = 1 Por lo que f1,1 =

√ 1 bx con valor propio y1,1 − 2 y1,0 + y1,−1 es función propia de L 2

k = −1 f1,0 , f1,0 , f1,−1 son funciones propias de

bx con valores propios k = 1}, k = 0, k = L

−1} respectivamente. by en la base Ψa,m Funciones propias de L b+ = L bx + iL by y L b− = L b x − iL by restando ambas se tiene como resultado Considere que L b b b+ − L b− = 2 i L by =⇒ L by = i (L− −L+ ) .

L 2

p p b+ − L b− Ψa,m L i i (l + m) (l − m + 1) (l − m) (l + m + 1) by Ψa,m = = Ψa,m−1 − Ψa,m+1 L 2 2 2

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 4 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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para l = 0 ⇒ m = 0

3

by Ψ0,0 = 0 Ψ0,0 =⇒ Ψ0,0 es función propia de m sólo puede ser igual a cero cuando l = 0 L by con valor propio 0 L

Si l = 1 ⇒ m = 1, 0, −1

4

4.1

l = 1 y m = −1

b y Ψ1,−1 = −i L

4.2

by Ψ1,0 = i para l = 1 y m = 0 L

by Ψ1,0 = L

4.3

p (1 − (−1)) (1 + (−1) + 1) Ψ1,0 2

i

√

√

√ √ −i 2 2 −i b by Ψ1,−1 = √ Ψ1,0 Ly Ψ1,−1 = Ψ1,0 √ =⇒ L 2 2 2

p p i (1 − 0) (1 + 0 + 1) (1 + 0) (1 − 0 + 1) Ψ1,−1 − Ψ1,1 2 2

√ 2 Ψ1,−1 − Ψ1,1 √ =⇒ √i2 Ψ1,−1 − 2 2 2 2

i

2

√i 2

Ψ1,1

para l = 1 y m = 1

p (1 + 1) (1 − 1 + 1) by Ψ1,1 = L Ψ1,0 2 √ √ i 2 b by Ψ1,1 = Ly Ψ1,1 = Ψ1,0 √22 =⇒ L 2 i

√i 2

Ψ1,0

by tiene tres funciones propias en la base de las funciones propias de L bz . La combinación L by (postulado V) con valor propio k. lineal de ellas también es función propia del operador L by (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) =k (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) Entonces: L ia by a Ψ1,1 = √ L Ψ1,0 2 Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 5 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II ib ib by b Ψ1,0 = √ L Ψ1,−1 − √ Ψ1,1 2 2 c by c Ψ1,−1 = −i √ Ψ1,0 L 2

ia ib ib ic Luego √ Ψ1,0 + √ Ψ1,−1 − √ Ψ1,1 − √ Ψ1,0 =k (a Ψ1,1 + b Ψ1,0 + c Ψ1,−1 ) 2 2 2 2 ia ib ib ic √ Ψ1,0 + √ Ψ1,−1 − √ Ψ1,1 − √ Ψ1,0 −k a Ψ1,1 − k b Ψ1,0 − k c Ψ1,−1 = 0 2 2 2 2 Agrupando: ic ia (i) √ Ψ1,0 − k b Ψ1,0 − √ Ψ1,0 = 0 2 2 √ √ ia ic √ Ψ1,0 − k b Ψ1,0 − √ Ψ1,0 = 0 Ψ1,02 ⇒ i a − k b 2 − i c = 0 2 2 √ ib (ii) −k a Ψ1,1 − √ Ψ1,1 + 0 c Ψ1,1 = 0 Ψ1,12 2 √ −k a 2 −i b + 0 = 0 √ ib (iii) 0 a Ψ1,−1 + √ Ψ1,−1 − k c Ψ1,−1 = 0 Ψ1,12 2 √ 0 + ib − kc 2 = 0

Reordenando:

√ a −kb 2+c = 0 √ −k a 2 +b + 0 = 0 0+b − k c = 0

   

√

−k 2

−k 2 −i 0 a −i 0 0

    

     

√ √

= 0  i     

⇐⇒ 2 −i 2 −i −k b i −k = 0

    

   √   √

0 +i −k 2 i −k 2

b 0

0 

√

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 6 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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√ 2k 2 (i − k 2 ) = 0 ⇐⇒ tres soluciones k1 = 0, k2 = i, k3 = −i . En consecuencia hay tres combinaciones lineales diferentes con valores propios k1 , k2 , y k3 .

Se conocen los tres valores propios pero no explícitamente las funciones combinanciones lineales correspondientes.

Combinación lineal para valor propio k1 = 0

0a − ib + c0 = 0 √ i a−i 2 b − i c = 0 ⇐⇒ b = 0 y a = c sea a = 1 √ 0 a+i b − 0 2 = 0

Por lo que g1,0 =

√1 2

by con valor propio k = 0 (y1,1 − y1,−1 ) es función propia de L

Combinación lineal para valor propio k2 = i

−i a − i b + c 0 = 0 √ i a−i 2 b − i c = 0 √ 0 a+i b − i 2 = 0 √ √ Resolviendo: b = −a 2, b = c 2, ∴ a = −c sea a = 1 Por lo que g1,1 =

√ 1 by con valor propio y1,1 + i 2 y1,0 − y1,−1 es función propia de L 2

k=i Combinación lineal para valor propio k3 = −i

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 7 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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√

2 − ib + c0 = 0 √ i a + ib 2 − ic = 0 √ 0+i b + i c 2 = 0

ia

√ √ Resolviendo: b = a 2, b = −c 2, ∴ a = c sea a = 1 Por lo que g1,−1

√ 1 by con valor propio y1,1 − i 2 y1,0 − y1,−1 es función propia de L = 2

k = −1 bx con valores propios k = 1 }, k = 0, k = f1,0 , f1,0 , f1,−1 son funciones propias de L −1 } respectivamente

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 8 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación