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«™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ» ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ ∞ÓÙÒÓÈÔ˜ ™. ªÔÌ¤ÙÛ˘ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ∞Ó·ÏËÚˆÙ¤˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ› À‡ı˘ÓÔÈ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫. ¶·ÏËfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ πÁÓ¿ÙÈÔ˜ ∂. ÷Ù˙Ë¢ÛÙÚ·Ù›Ô˘ ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

ŒÚÁÔ Û˘Á¯ÚËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡ÌÂÓÔ 75% ·fi ÙÔ ∂˘Úˆ·˚Îfi ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi ∆·ÌÂ›Ô Î·È 25% ·fi ÂıÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.


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Σ

το ∆ηµοτικό σχολείο ολοκληρώθηκε ο πρώτος κύκλος της βασικής εκπαίδευσης. Στο Γυµνάσιο, θα στηριχτούµε στις γνώσεις που αποκτήσαµε µέχρι τώρα, θα τις αξιοποιήσουµε και θα προσπαθήσουµε να τις αναπτύξουµε και να τις διευρύνουµε.

Στην πορεία αυτή, ίσως διαπιστώσουµε ότι οι γνώσεις που διαθέτουµε δεν επαρκούν πάντα. Πρέπει, λοιπόν, να συµπληρωθούν κατάλληλα και µετά να προχωρήσουµε στο επόµενο βήµα, στο νέο προβληµατισµό και τέλος στην καινούρια γνώση. Έτσι, µε τη δική µας προσπάθεια και παράλληλα µε τη βοήθεια και την καθοδήγηση του καθηγητή µας, θα καταφέρουµε, όλοι µαζί µέσα στην τάξη, να αναπτύξουµε τις δυνατότητές µας, προσθέτοντας, όχι µόνο γνώσεις αλλά και νέους τρόπους να τις αποκτούµε.

¶ƒ√§√°√™

Τα Μαθηµατικά τα γνωρίζουµε ως ένα σχολικό µάθηµα. ∆εν πρέπει όµως να µείνουµε µόνο σ’ αυτό. Όσα περισσότερα Μαθηµατικά ξέρουµε και χρησιµοποιούµε, τόσο καλύτερα ερµηνεύουµε τον κόσµο µας και τελικά τον κατανοούµε. Είναι ένας κώδικας απαραίτητος για την κατανόηση του κόσµου µας, που λειτουργεί όπως η “γλώσσα” προγραµµατισµού στους υπολογιστές. Όσες περισσότερες “λέξεις” ξέρει κανείς από αυτή τη “γλώσσα”, δηλαδή τα Μαθηµατικά, τόσο καλύτερα αξιοποιεί τις δυνατότητες του µυαλού του. Επίσης, τα Μαθηµατικά δεν είναι απλά ένα εργαλείο για τη βελτίωση των ατοµικών επιδόσεων, αλλά ένας βασικός µοχλός που βοηθάει την κοινωνική ανάπτυξη. Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα βήµα προς τις κατευθύνσεις αυτές. Είναι γραµµένο σύµφωνα µε το ∆ιαθεµατικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραµµάτων Σπουδών (∆ΕΠΠΣ) και το νέο Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών (ΑΠΣ) για τα Μαθηµατικά του Γυµνασίου, καθώς και τις συγκεκριµένες προδιαγραφές και οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. Σηµαντικό χαρακτηριστικό του βιβλίου αυτού είναι ότι η παρουσίαση της θεωρίας περιορίζεται συχνά, για να αφήσει στους µαθητές τη δυνατότητα να αναπτύξουν, µε τη βοήθεια των καθηγητών τους, τη διαίσθηση, τη δοκιµή, την έρευνα και τέλος την αναγκαία σύνθεση.


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Οι δραστηριότητες που προτείνονται και προηγούνται της θεωρίας, έχουν στόχο να υπάρξει ο προβληµατισµός και η αναζήτηση που θα µας οδηγήσει στην ανάγκη να αναπτύξουµε την κατάλληλη θεωρία. Έτσι, γίνεται φανερό ότι η θεωρία είναι αποτέλεσµα µιας συγκεκριµένης αναζήτησης και όχι αυτοσκοπός. Οδηγός σ’ αυτό το βηµατισµό θα είναι και πάλι ο συνάδελφος καθηγητής του Γυµνασίου, που χωρίς τη δική του ουσιαστική συµβολή τίποτα δεν ολοκληρώνεται. Πιστεύουµε ότι οι γονείς των µαθητών της Α Γυµνασίου γνωρίζουν καλά, ότι σ’ αυτή την ηλικία το σηµαντικότερο δεν είναι η συνεχής συσσώρευση γνώσεων – που φαίνονται ατελείωτες και συχνά µένουν στείρες – αλλά ο τρόπος που αποκτάται σε κάθε περίπτωση η απαραίτητη γνώση. Αν στον τρόπο αυτό προστεθεί και η µέθοδος εµπέδωσης και αξιοποίησής της, τότε αυτή η γνώση παίρνει διαστάσεις του πολύτιµου αγαθού και της κοινωνικής αξίας, που παραµένει ο τελικός στόχος κάθε εκπαιδευτικής διαδικασίας. Στην εποχή µας, που όλα µεταβάλλονται ταχύτατα – και µαζί τους οι θεωρίες, οι απόψεις και οι θέσεις – κανείς δεν ισχυρίζεται ότι ένα σχολικό βιβλίο µπορεί να συνθέσει όλες τις απόψεις και να περιλάβει, στο σύνολό της, την εκπαιδευτική εµπειρία τόσων αιώνων. Ως συγγραφείς του βιβλίου, θα είµαστε ευτυχείς αν οι συνάδελφοι καθηγητές, αλλά και όλοι οι ενδιαφερόµενοι, στείλουν στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο τις κρίσεις και τις παρατηρήσεις τους, ώστε να γίνει κατά το δυνατόν καλύτερο τούτο το βιβλίο. Το ποσοστό της “αλήθειας” που αυτό περιέχει θα διευρυνθεί όταν η προσπάθεια γίνει πιο συλλογική. Γι’ αυτή την “αλήθεια” που, όπως λέει ο Ελύτης:

“Αιώνες τώρα µε ρωτούν οι µάγοι µα οι αστέρες αποκρίνονται κατά προσέγγιση”.

Οι συγγραφείς


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¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ ª∂ƒ√™ ∞ ∞ƒπ£ª∏∆π∫∏ - ∞§°∂µƒ∞ K∂º∞§∞π√ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË º˘ÛÈÎÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¶ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ 27 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 K∂º∞§∞π√ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. ™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 K∂º∞§∞π√ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1. ¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . 56 3.2. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3. ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5. ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 K∂º∞§∞π√ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ - √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚. . . . . . . 72 4.2. ∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 K∂º∞§∞π√ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1. ¶ÔÛÔÛÙ¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 K∂º∞§∞π√ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1. ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2. §fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.3. ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.4. °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.6. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 K∂º∞§∞π√ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1. £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› (ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›) - ∏ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ∆ÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ . . . . 114 7.2. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡ - ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› - ™‡ÁÎÚÈÛË ÚËÙÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3. ¶ÚfiÛıÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.4. ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.6. ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.7. ¢Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.8. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.9. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.10. ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


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15:37

™ÂÏ›‰·8

ª∂ƒ√™ µ °∂øª∂∆ƒπ∞ ∫∂º∞§∞π√ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1.1. ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· - ∂˘ı›· - ∏ÌÈ¢ı›· - ∂›Â‰Ô - ∏ÌÈÂ›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . 148 1.2. °ˆÓ›· - °Ú·ÌÌ‹ - ∂›‰· Û¯‹Ì·Ù· - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . 153 1.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ - ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 1.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 1.5. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ - ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.6. ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ - ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1.7. ∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1.8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· - ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.11. ∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 1.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· - ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ . . . . 190 1.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

∫∂º∞§∞π√ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

∫∂º∞§∞π√ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒfiÌ‚Ô˜ - ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ∆Ú·¤˙ÈÔ - πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ . . . . 225 π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒfiÌ‚Ô˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ∆Ú·Â˙›Ô˘ IÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

ª ∂ ƒ √ ™ °  ¶∞ƒ∞ƒ∆∏ª∞ Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ·Û΋ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ∞.1. ∞.2. ∞.3. ∞.4. ∞.5. ∞.6. ∞.7. µ.1. µ.2. µ.3.

√È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 ™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 ∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248


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™ÂÏ›‰·9

ª∂ƒ√™ ∞ 

º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› 1.1

º˘ÛÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË ñ ñ ñ ñ

1.2.

∫·Ù·ÓÔÒ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ∞ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ˆ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ™˘ÁÎÚ›Óˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈÒ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

¶ÚfiÛıÂÛË - ∞Ê·›ÚÂÛË Î·È ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ¶ÚÔÛı¤Ùˆ, ·Ê·ÈÚÒ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ñ ∂ÎÙÂÏÒ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÏÂfiÌÂÓË ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ·

1.3.

¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ·Ó Î·È ‰È·‚¿˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÌÈÎÚfi ÂÎı¤ÙË Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10 ÂÊ·ÚÌfi˙ˆ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: 10Ó = 10 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο), 2 10Ó = 20 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο) Î.Ï. ñ ∂Ê·ÚÌfi˙ˆ ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ Î·È ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ

1.4.

∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ‰‡Ô ·ÎÂÚ·›ˆÓ Î·È Áڿʈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹˜ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ fiÙÈ ÔÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: “√ ¢ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ‰”, “√ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ¢” Î·È “√ ¢ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ‰” Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ Ì ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË: “∏ ¢ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ¢ Ì ÙÔÓ ‰ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·”

1.5.

÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª.∫.¢. - ∂.∫.¶. - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ Î·È ÔÈÔÈ Û‡ÓıÂÙÔÈ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 2, ÙÔ 4, ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 10 ηıÒ˜ Î·È Ì ÙÔ 3 Î·È ÙÔ 9 ñ ∞ӷχˆ ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È ‚Ú›ÛΈ Ì’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ª.∫.¢. Î·È ÙÔ ∂.∫.¶. ·˘ÙÒÓ

¶À£∞°√ƒ∞™ √ ™∞ªπ√™ (580 - 500 .X.)

1o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


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- 10 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

– £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ ‹ Ó· ͤÚÂȘ; ÚÒÙËÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔÓ ·ÓË„Èfi ÙÔ˘ Ï›ÁÔ ÚÈÓ ÙÔÓ ·Ô¯·ÈÚÂÙ‹ÛÂÈ ÛÙÔ ·ÂÚÔ‰ÚfiÌÈÔ. To ·ÁfiÚÈ ÎÔ›Ù·Í ÙÔ ıÂ›Ô ÙÔ˘ Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÔÚ›· ÚÔÛ·ıÒÓÙ·˜ Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ÙÈ ÂÓÓÔÔ‡Û Ì ÙËÓ ÂÚÒÙËÛ‹ ÙÔ˘. – £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ Ú¿ÁÌ·Ù· ‹ Ó· ͤÚÂȘ ÁÈ’ ·˘Ù¿; Û˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔ˘. ¶ÚÈÓ ·ÎfiÌ· ÚÔÏ¿‚ÂÈ ÙÔ ·È‰› Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ, Ô ı›Ԙ ÙÔ˘ Û˘Ó¤¯ÈÛÂ: – ¶ÂÚ¿Û·Ì fiÌÔÚÊ· ÛÙȘ ‰È·ÎÔ¤˜. ∆ÒÚ· Â›Ó·È ™Â٤̂ÚÈÔ˜, ÂÁÒ Á˘Ú›˙ˆ ÛÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÌÔ˘ ÎÈ ÂÛ‡ ·Ú¯›˙ÂȘ ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ. £· Û ͷӷ‰Ò ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ Î·ÏÔη›ÚÈ Î·È ı· Â›Û·È ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ Î·È Ì›· Ù¿ÍË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜. ŒÈ·Û ÙÔ ·ÁfiÚÈ ·fi ÙÔ˘˜ ÒÌÔ˘˜ Î·È ÎÔÈÙÒÓÙ·˜ ÙÔ ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÚfiÛıÂÛÂ: – ¢Â ı¤Ïˆ Ó· ÌÔ˘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙÒÚ·. £· Û ͷӷڈًۈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. Œ¯ÂȘ, ÏÔÈfiÓ, ηÈÚfi Ó· ÙÔ „¿ÍÂȘ, Ó· οÓÂȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ, Ó· ÊÙÈ¿ÍÂȘ ÈÛÙÔڛ˜ Î·È Èı·Ó¿ ÛÂÓ¿ÚÈ·, Ó· ÛÎÂÊÙ›˜. ∫˘Ú›ˆ˜ ·˘Ùfi: Ó· ÛÎÂÊÙ›˜, ›Â, ÛÊ›ÁÁÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘ Ù· ¯¤ÚÈ·. “¶·Ú·Î·ÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÈ‚¿Ù˜ Ù˘ Ù‹Û˘ ÁÈ· ¶·Ú›ÛÈ Ó· ÚÔÛ¤ÏıÔ˘Ó ÛÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô ÙˆÓ ÂÈÛÈÙËÚ›ˆÓ”, ·ÎÔ‡ÛÙËÎÂ Ë ·Ó·ÁÁÂÏ›· ·fi Ù· ÌÂÁ¿ÊˆÓ·. – ∫·È ÎÔ›Ù·, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯ÂȘ Û›ÁÔ˘ÚË ·¿ÓÙËÛË, ‰ÂÓ ÂÈÚ¿˙ÂÈ. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ·Í›˙ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ∆Ô Ì˘·Ïfi ÌÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ¤Ó·Ó ÔÏfiÎÏËÚÔ ÎfiÛÌÔ. “∫·Ï‹ ÔÚ›·, ·ÁfiÚÈ ÌÔ˘” – ∫·Ïfi Ù·Í›‰È, ı›Â...

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆∏¡ ∆∞•∏ ∏ Ù ¿ Í Ë Â › Ó · È Ë › ‰ È · ¤ Ó · Ù · Í › ‰ È . ∂›Ó·È ÌÈ· ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·fi ÛΤ„Ë Û ÛΤ„Ë, ·fi Ì›· ÁÓÒÌË Û ÌÈ· ¿ÏÏË, ·fi ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Û ¤Ó· Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi. ∞fi„ÂȘ Ô˘ Û˘ÌʈÓÔ‡Ó, ÁÓÒ̘ Ô˘ ÂÈÓ·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜, ȉ¤Â˜ Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÔÓÙ·È, Û˘Óı¤ÙÔ˘Ó Ó¤Â˜ ÁÓÒÛÂȘ Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ÂÌÂÈڛ˜. ∏ ıˆڛ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÌÂÙ¿ ·fi ÙÔ Û¯ÂÙÈÎfi ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi Î·È ÙÔ ‰È¿ÏÔÁÔ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙËÓ Ù¿ÍË. ∂›Ó·È Ë ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ ‰ÔÎÈÌ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È Â·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ÙË ÛΤ„Ë Ì·˜. ∞ÎÚÈ‚Ò˜ ÁÈ ·˘Ùfi ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜. ª¤Û· ·’ ·˘Ù¤˜ ı· ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙÔ‡ÌÂ Î·È ı· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜. ¢Â ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û fiÏ· ı· ¤¯Ô˘Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È fiÙÈ fiÏ· ı· Ù· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔÈ Ì·˜. °È’ ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·È ÔÈ ¿ÏÏÔÈ. ∞ÚΛ Ó· Ì¿ıÔ˘Ì Ӓ ·Îԇ̠ÙË ÁÓÒÌË ÙÔ˘˜. ∏ ÛΤ„Ë ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ı· ¿ÂÈ ÙË ‰È΋ Ì·˜ ¤Ó· ‚‹Ì· ·Ú·¤Ú·. ™’ ·˘Ùfi Ì·˜ Û˘ÓÙÔÓ›˙ÂÈ Î·È Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Ì·˜. ŸÏÔÈ Ì·˙› Î·È ÔÌ·‰Èο ı· ηٷʤÚÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ·. ∞˜ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ.


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ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 11 -

∞.1.1. º ˘ Û È Î Ô › · Ú È ı Ì Ô › - ¢ È ¿ Ù · Í Ë º ˘ Û È Î Ò Ó - ™ Ù Ú Ô Á Á ˘ Ï Ô  Ô › Ë Û Ë Afi ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Û¯ÔÏÂ›Ô Ì¿ı·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È Â·Ó¿ÏË„Ë Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Î·È Ù˘ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ª¤Û· ·fi ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó, ı· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷ Í·Ó·ı˘ÌËıԇ̠·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ Î·È Ó· Ù· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì Ì ÈÔ ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ÛΤ„Ë.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ¢È¿ÏÂÍ ¤Ó· ÙÚÈ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. µÚ˜ ÙÔ˘˜ ¤ÍÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚÈ„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÂȘ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ‰È¿ÏÂ͘ Î·È ÁÚ¿„ ·˘ÙÔ‡˜ Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. ➣ ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜; ➣ °Ú¿„ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‚ڋΘ Ì ÛÂÈÚ¿ ·‡ÍÔ˘Û·, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. ➣ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ÁÚ¿„ ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë

100Æ

°È· Ó· ‚·ıÌÔÏÔÁ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ì¤ıÔ‰Ô: ∆Ô ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ¿ÁÔ ·ÚÎÂÙ‹ ÒÚ· Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ı› Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜ ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó (0Æ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ̤۷ Û ÓÂÚfi Ô˘ ‚Ú¿˙ÂÈ Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ı› Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜ ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÂηÙfi (100Æ). ➣ ™Î¤„Ô˘ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛ ¤Ó· ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ÌÔÚÔ‡Û˜ Ó· 0Æ ÛËÌÂÈÒÛÂȘ Î·È fiϘ ÙȘ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÂӉ›ÍÂȘ.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

√È ·ÚÈıÌÔ› 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 98, 99, 100, ..., 1999, 2000, 2001, ... ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›.

 







∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ÂfiÌÂÓÔ Î·È ¤Ó· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ 0 Ô˘ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÂfiÌÂÓÔ, ÙÔ 1.

√È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û ‰‡Ô ηÙËÁÔڛ˜: ÙÔ˘˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ ‹ ˙˘ÁÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ‹ ÌÔÓÔ‡˜. ÕÚÙÈÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2 Î·È ÂÚÈÙÙÔ› ÂΛÓÔÈ Ô˘ ‰ÂÓ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2. ∆Ô ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ·ÂÚÈfiÚÈÛÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔ Ù· ‰¤Î· ÁÓˆÛÙ¿ „ËÊ›·: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .  H ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ·Ù› Ë ·Í›· ÂÓfi˜ „ËÊ›Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ·fi ÙË ı¤ÛË Ô˘ η٤¯ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹ ÙË ‰Âη‰È΋ Ù¿ÍË ÙÔ˘ (ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ...). ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ۇ̂ÔÏ·: ÙÔ = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “›ÛÔ˜ Ì”, ÙÔ < Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi” Î·È ÙÔ > Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi”.  ªÔÚԇ̠¿ÓÙ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ‰È·Ù¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ‰ËÏ·‰‹ Ì ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ...


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™ÂÏ›‰·12

- 12 -



ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∏ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ 0 1 Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚfiÔ: ¢È·Ï¤ÁÔ˘Ì ·˘ı·›ÚÂÙ· ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô O A B ° ¢ ∂ √ Ù˘ ¢ı›·˜, Ô˘ ÙÔ Ï¤Ì ·Ú¯‹, ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 0. 0 4 9 7 3 8 6 1 2 5 ªÂÙ¿ ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ¢ ∂ ‰È·Ï¤ÁÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, O A B ° Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1. ∆fiÙÂ, Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ √∞, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 2, 3, 4, 5, ...

?

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ™ÙȘ 13 πÔ˘Ó›Ô˘ 2004, ·ÎÔ‡ÛÙËΠÛÙȘ Âȉ‹ÛÂȘ fiÙÈ ·fi Ù· 450 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂˘Úˆ·˚΋˜ ŒÓˆÛ˘, „ËÊ›˙Ô˘Ó Ù· 338 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÁÈ· Ó· ÂÎϤÍÔ˘Ó 732 ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜ ÙÔ˘ ∂˘ÚˆÎÔÈÓÔ‚Ô˘Ï›Ô˘. ➣ °È·Ù› ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚıËΠÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ 454.018.512 ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂., ηıÒ˜ Î·È Ô ·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ 337.922.145 Ô˘ ›¯·Ó ‰Èη›ˆÌ· „‹ÊÔ˘; ➣ °È·Ù›, ·ÓÙ›ıÂÙ·, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ 732 Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ Ô ·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜; ➣ ¶fiÙ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·˘Ù‹ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ∏ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Ì·˜ Ô‰ËÁ› Ó· ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙԇ̠ÁÈ·Ù› Û ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂., ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·Ó·ÊÂÚıԇ̠̠·ÎÚ›‚ÂÈ·, ÂÓÒ Û ¿ÏÏÔ˘˜, fiˆ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ¶fiÙÂ, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ‰È·Ù‡ˆÛË ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ·Ó·Áη›·; ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ ‹ ÙˆÓ „ËÊÔÊfiÚˆÓ Ù˘ ∂.∂., ·˘Ùfi Ô˘ ΢ڛˆ˜ ÂӉȷʤÚÂÈ Â›Ó·È Ë “Ù¿ÍË ÌÂÁ¤ıÔ˘˜”, .¯. Ù· ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·. ∂ÓÒ ÁÈ· ÙÔ˘˜ Â˘Úˆ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜ Ô ·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ˜, .¯. ÛÙȘ „ËÊÔÊÔڛ˜. ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘ÌÂ, Ì ÙÚfiÔ ÎÔÈÓ¿ ·Ô‰ÂÎÙfi, ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ‚Ô˘ÓÔ‡ Ô˘ Â›Ó·È 1987 m., ϤÌÂ, Û˘Ó‹ıˆ˜, 2000 m. ∂ÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÂÓfi˜ ÙËÏÂÊÒÓÔ˘, ÙÔ ∞ºª ‹ Ô Ù·¯˘‰ÚÔÌÈÎfi˜ Έ‰ÈÎfi˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ¿ÓÙ· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ ÙÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ οÔÈÔ ¿ÏÏÔ Ï›ÁÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ Ï›ÁÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚfi ÙÔ˘. ∆Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË. °È· Ó· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi: — ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Ù¿ÍË ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· Á›ÓÂÈ Ë ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË. — ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ Ù¿Í˘. — ∞Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 0, 1, 2, 3 ‹ 4), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ· Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È. — AÓ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 5, 6, 7, 8 ‹ 9), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ· Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 1.


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™ÂÏ›‰·13

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 13 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈËı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 9.573.842 ÛÙȘ (·) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, (‚) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ (Á) ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·.

§‡ÛË (·)

(‚)

(Á)

∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜. ¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 4 < 5 . ŸÏ· Ù· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È. ∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 8 > 5 . ŸÏ· Ù· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È: 3 + 1 = 4 ∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 5 = 5 . ŸÏ· Ù· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È 9 + 1 = 10

9.573.842 ➜ 9.573.800

9.573.842 ➜ 9.574.000

9.573.842 ➜ 10.000.00

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

°Ú¿„ Ì „ËÊ›· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ·: (·) ‰È·ÎfiÛÈ· ¤ÓÙÂ, (‚) ÂÙ·ÎfiÛÈ· ÙÚÈ¿ÓÙ· ‰‡Ô (Á) ›ÎÔÛÈ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ÔÎÙ·ÎfiÛÈ· ‰¤Î· ÙÚ›·.

2. 3. 4. 5.

°Ú¿„ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 38.951, (‚) 5.000.812, (Á) 120.003. ¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ 289 Î·È ÔÈÔÈ ÔÈ ‰‡Ô ÂfiÌÂÓÔÈ; ∆ÔÔı¤ÙËÛ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ: <, =, >, ÛÙÔ ÎÂÓfi ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 45...45 (‚) 38...36, (Á) 456...465, (‰) 8.765...8.970, (Â) 90.876...86.945, (ÛÙ) 345...5.690

6.

∫·Ù·Û··Û ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Î·È ÌÔÓ¿‰· √∞ ›ÛÔ Ì 2 cm. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ÛËÌ›· µ, °, ¢, ∂ Û ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ 6 cm, 10 cm, 12 cm Î·È 14 cm ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¶ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· ·˘Ù¿;

7.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™ (·) ŒÓ·˜ ÂÓÙ·„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ 6 „ËÊ›· Î·È Ì ÚÒÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ 0 (‚) ™ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5780901 ÙÔ Ìˉ¤Ó ‰ËÏÒÓÂÈ ·Ô˘Û›· ‰Âο‰ˆÓ Î·È ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ (Á) ¢¤Î· ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ Â›Ó·È Ì›· ‰Âο‰· ¯ÈÏÈ¿‰· (‰) ™Â ÌÈ· ÂÓÙ·‹ÌÂÚË ÂΉÚÔÌ‹ ı· Á›ÓÔ˘Ó ¤ÓÙ ‰È·Ó˘¯ÙÂÚ‡ÛÂȘ (Â) ∞fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 32 ˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 122 ˘¿Ú¯Ô˘Ó 90 ·ÚÈıÌÔ› (ÛÙ) ™Â ÔÎÙÒ Ë̤Ú˜ ·fi Û‹ÌÂÚ·, Ô˘ Â›Ó·È ¶¤ÌÙË,ı· Â›Ó·È ¶·Ú·Û΢‹ (˙) ∞fi ÙËÓ 12Ë ÛÂÏ›‰· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ̤¯ÚÈ Î·È ÙËÓ 35Ë Â›Ó·È 24 ÛÂÏ›‰Â˜ (Ë) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2 Î·È 3 K § ª ¡ √È ÂfiÌÂÓ˜ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ 150 0 ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· (ı) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 370 (È) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô § ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1050 (È·) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1200 (È‚) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1875

8.

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÛÙËÓ ÏËÛȤÛÙÂÚË ÂηÙÔÓÙ¿‰· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 345, 761, 659, 2.567, 9.532, 123.564, 34.564, 31.549 Î·È 8.765.

9.

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 7.568.349 ÛÙȘ ÏËÛȤÛÙÂÚ˜: (·) ‰Âο‰Â˜, (‚) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, (Á) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (‰) ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (Â) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜.


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- 14 -

™ÂÏ›‰·14

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞.1.2. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë , · Ê · › Ú Â Û Ë Î · È  Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì fi ˜ Ê ˘ Û È Î Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó ¶·Ú·Î¿Ùˆ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙȘ “Ú¿ÍÂȘ” ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆Ô Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi “Ú¿ÍË” ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ú‹Ì· “Ú¿ÙÙˆ” Î·È ‰ËÏÒÓÂÈ ÌÈ· ‰Ú¿ÛË ‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. √È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÁÓˆÚ›ÛÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ˘ÏÔÔÈÔ‡Ó ·Ó¿ÁΘ ̤ÙÚËÛ˘. ™‡ÓıÂÙ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ·Ϥ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙË ‰È‰Èηۛ· ÙˆÓ ڿ͈Ó, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë

➣ ➣ ➣ ➣ ➣ ➣

√ ‰ÈÏ·Ófi˜ ›Ó·Î·˜ ‰›ÓÂÈ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ Ù· + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ ÙˆÓ ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ì ÙÔ 0; 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ¶fiÛÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó Î¿ı ÊÔÚ¿; 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12 Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ 2. 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜; ™‡ÁÎÚÈÓ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· 3 + 6 Î·È 6 + 3 Î·È ÌÂÙ¿ Ù· 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· (5+4) + 2 Î·È 5 + (4+2) 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ¢È·Ù‡ˆÛ ٷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ ÛÔ˘. 11 12 13 14 15 16 17 18 ºÙÈ¿Í ¤Ó· ·ÚfiÌÔÈÔ ›Ó·Î· ÁÈ· ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, 9 9 10 ‰È·Ù‡ˆÛ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÒÛÂȘ ÙȘ ηٿÏÏËϘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Û˘ÓÂÒ˜ ·fi Ù· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12, ‰ËÏ·‰‹ 9+3, 8+4, 7+5, 6+6 , ÂΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÊÔÚ¿ 2 Â›Ó·È ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 7 Î·È 5. ∂›Û˘, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: 0+1=1+0=1, 0+2=2+0=2, 0+3=3+0=3 , Î.Ô.Î. ∏ Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ 3+6=9 Î·È 6+3=9 , fiˆ˜ Î·È ¿ÏÏˆÓ Ù¤ÙÔÈˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ .¯. 7+1=8 Î·È 1+7=8 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜. ∂›Û˘, Ë Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ: (5+4)+2=11 Î·È 5+(4+2)=11 , ·ÏÏ¿ Î·È ¿ÏÏˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ .¯. (9+1)+3=13 Î·È 9+(1+3)=13 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ™Â fiÏÔ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂıÓÈÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ ∞ı‹Ó·˜ - ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¯ÈÏÈÔÌÂÙÚÈΤ˜ ÂӉ›ÍÂȘ. √È ÂӉ›ÍÂȘ ·˘Ù¤˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó: ÛÙË §·Ì›· 214, ÛÙË §¿ÚÈÛ· 362, ÛÙËÓ ∫·ÙÂÚ›ÓË 445, ÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 514, ÛÙËÓ ∫·‚¿Ï· 677, ÛÙËÓ •¿ÓıË 732, ÛÙËÓ ∫ÔÌÔÙËÓ‹ 788 Î·È ÛÙËÓ ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË 854. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ;

62

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë √ ™‡ÚÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ Ì ÙÔ Ì˘·Ïfi ÙÔ˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ ‚ڋΠ1600 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ¯ÈÏÈÔÛÙ¿.

16

38 ÀÔÏfiÁÈÛÂ Î·È Û˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ‰ÒÛ ÌÈ· ÂÍ‹ÁËÛË ÁÈ· ÙÔ ÙÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Î·Ó˜ ÁÈ· Ó· ÙÔ ‚ÚÂȘ.

16


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™ÂÏ›‰·15

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 15 -

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

¶ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ , ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: · + ‚ = Á

13 + 5 = 18 ¶ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ

ÕıÚÔÈÛÌ·

π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘:





∆Ô 0 fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› Û ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ.

·+0=0+·=·



ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔÛıÂÙ¤ˆÓ ÂÓfi˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

·+‚=‚+·



ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ÚÔÛıÂÙ¤Ô Û ¿ıÚÔÈÛÌ· (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·).

. ∞Ê·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›·, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ›, ª (ÌÂȈ٤Ԙ) Î·È ∞ (·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ¢ (‰È·ÊÔÚ¿), Ô ÔÔ›Ô˜ fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› ÛÙÔ ∞ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ª.



™ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ∞ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÈˆÙ¤Ô˘ ª. ™Â ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË Ë Ú¿ÍË Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÎÙÂÏÂÛÙ›.



¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜: ·  ‚ = Á.

·+(‚+Á)=(·+‚)+Á

ª=∞+¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ¢ = ª - ∞

7  6 = 42 ¶·Ú¿ÁÔÓÙ˜

°ÈÓfiÌÂÓÔ

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡: 

∆Ô 1 fiÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙ› Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ.

·1=1·=·



ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÂÓfi˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

·‚=‚·



ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ·Ú¿ÁÔÓÙ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)



∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË :

·(‚+Á)=·‚+·Á

∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË:

·(‚-Á)=·‚-·Á



· ( ‚ Á ) = ( · ‚ ) Á


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™ÂÏ›‰·16

- 16 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∏ ÚÒÙË ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ + Î·È — ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi Ù· Ù¤ÏË ÙÔ˘ 15Ô˘ ·ÈÒÓ·, ·ÏÏ¿ Ë ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÙÔÓ 19Ô ·ÈÒÓ·. ∞Ú¯Èο ÁÈ· ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ « : ». §¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Î·Ù·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÂÌfiÚÔ˘˜ Ô˘ Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ó fiÙÈ ¤Ó· ‚¿ÚÔ˜ ‚Ú¤ıËΠÈÔ Ôχ ‹ ÈÔ Ï›ÁÔ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·fi ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi. ∆· ۇ̂ÔÏ· x Î·È = ηıÈÂÚÒıËÎ·Ó ·fi ÕÁÁÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÔ 1632 Î·È ÙÔ 1557 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 35  10, (‚) 421  100, (Á) 5  1.000, (‰) 27  10.000

§‡ÛË 35  10 = 350 (·) (‚) 421  100 = 42 .100 (Á) 5  1 .000 = 5.000 (‰) 27  10.000 = 270.000 ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÚÈıÌfi Â› 10, 100, 1.000, ... ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙfiÛ· ÌˉÂÓÈο fiÛ· ¤¯ÂÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ Ô ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ 10, 100, 1.000 ....

2.

¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ú¿ÍÂȘ: (·) 89  7 + 89  3, (‚) 23  49 + 77  49, (Á) 76  13 – 76  3, (‰) 284  99

§‡ÛË (·) (‚) (Á) (‰)

3.

89  7 + 89  3 = 89  (7 + 3) = 89  10 = 890 23  49 + 77  49 = (23 + 77)  49 = 100  49 = 490 76  13 – 76  3 = 76  (13–3) = 76  10 = 760 284  99 = 284  (100 – 1) = 284  100 – 284  1 = 28.400 – 284 = 28.116

¡· ÂÚÌËÓ¢ÙÔ‡Ó Ì ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ ÔÈ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (· + ‚)  Á = ·  Á + ‚  Á Î·È (· – ‚)  Á = ·  Á – ‚  Á

§‡ÛË

·

B ∂

¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· (ÌϤ Î·È Î›ÙÚÈÓÔ) ¤¯Ô˘Ó Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Á Ì‹ÎÔ˜ Á. °È· ·˘Ùfi ÙÔ ÏfiÁÔ ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ·Ó Ù· “ÎÔÏÏ‹∏ £ ° ∂Ì‚·‰fiÓ ∂∑∏£=‚Á ÛÔ˘Ì”, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ¢ ∂Ì‚·‰fiÓ ∞µ°¢ = ·  Á Û¯‹Ì·, Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ, ÙÔ ∞∑∏¢, Ì ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ¿Óˆ ÛÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, ı· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ, ÙÔ ∞∂£¢, Ô˘ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú¯ÈÎÒÓ. ·+‚

B∂

Á

·–‚

B∑

Á

¢

°£ ∂Ì‚. ∞ZH¢ √fiÙÂ: (·+‚)  Á

= ∂Ì‚. ∞µ°¢ + ∂Ì‚. ∂∑∏£ = ·Á + ‚Á

¢

£

°∏

∂Ì‚. ∞∂£¢ = ∂Ì‚. ∞µ°¢ – ∂Ì‚. ∂∑∏£ ·Á – ‚Á √fiÙÂ: (·–‚)  Á =


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™ÂÏ›‰·17

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 17 -

π™∆√ƒπ∫O ™∏ª∂πøª∞ MÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤Ó·˜ ·Ïfi˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi˜ οÔÈÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ·Í›˙ÂÈ ÈÔ Ôχ ·’ fiÏÔ ÙÔ ¯Ú˘Û¿ÊÈ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘. M οÔȘ ¤Í˘Ó˜ ȉ¤Â˜ ÎÂÚ‰›˙ÔÓÙ·È Ì¿¯Â˜, Á›ÓÔÓÙ·È ÌÓËÌÂÈÒ‰Ë ¤ÚÁ· Î·È ‰ÔÍ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÓıÚˆÔÈ, ÂÓÒ ·Ú¿ÏÏËÏ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ÂÈÛÙ‹ÌË, ÂÍÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ë Ù¯ÓÔÏÔÁ›·, ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÙ·È Ë ÈÛÙÔÚ›· Î·È ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ˙ˆ‹. ŒÓ· ÌÈÎÚfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È Ë “¤Í˘ÓË ÚfiÛıÂÛË” Ô˘ ÛΤÊÙËΠӷ οÓÂÈ Ô °Î¿Ô˘˜ (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1850), fiÙ·Ó Û ¤Ó· ¯ˆÚÈfi Ù˘ °ÂÚÌ·Ó›·˜ Á‡Úˆ ÛÙ· 1789, ÛÙËÓ ÚÒÙË Ù¿ÍË ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, ¿Ú¯ÈÛ ӷ Ì·ı·›ÓÂÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ŸÙ·Ó Ô ‰¿ÛηÏÔ˜ ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·: 1+2+3+....+98+99+100, ÚÈÓ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ·Ú¯›ÛÔ˘Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ, Ô ÌÈÎÚfi˜ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ Â›¯Â ‹‰Ë ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ. √ ‰¿ÛηÏÔ˜ ¤ÎÏËÎÙÔ˜ ÙÔÓ ÚÒÙËÛ Ò˜ ÙÔ ‚Ú‹ÎÂ. ∆fiÙ ÂΛÓÔ˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (48 + 53) + ( 50 + 51) = = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 = 101  50 = 5.050 50 ÊÔÚ¤˜ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ˘ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 1+2+3+...+ 998 + 999 + 1000 Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΘ. ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ¤Î·Ó˜ ¿Ú·Á ӷ ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Ì ηÓÔÓÈ΋ ÚfiÛıÂÛË;

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) H ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ = ‚ + · ϤÁÂÙ·È ........................................................................ (‚) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ + Á = · + (‚ + Á) = (· + ‚) + Á ϤÁÂÙ·È ............................... (Á) √ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔÛÙ›ıÂÙ·È Û ·ÚÈıÌfi Î·È ‰›ÓÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔÓ · Â›Ó·È ................ (‰) ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ϤÁÂÙ·È ................................................................ (Â) ™Â ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ª, ∞ Î·È ¢ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ............................ (ÛÙ) ∏ ȉÈfiÙËÙ· ·  ‚ = ‚  · ϤÁÂÙ·È ............................................................................ (˙) ∏ ȉÈfiÙËÙ· ·  (‚  Á) = (·  ‚)  Á ϤÁÂÙ·È ............................................................. (Ë) ∏ ȉÈfiÙËÙ· ·  (‚ + Á) = ·  ‚ + ·  Á ϤÁÂÙ·È ......................................................

2. 3.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 52 =5.200, (‚) 37 =370, (Á) 490=4.900.000 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔ˘˜ ηٿÏÏËÏÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÛˆÛÙ¿ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·)

4.

582 + 7 51 17 3

(‚)

45 + 5 2  1 0

(Á)

+

AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î· Ì ¤Ó· ·fi Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î·.

 55 5 2 493 1+2+3+4

14

1+2+34

24

12+34

10

1234

15


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16:40

™ÂÏ›‰·18

- 18 -

5.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·)

157 + 33 =

190

200

180

(‚)

122 + 25 + 78 =

200

250

225

(Á)

785 – 323 =

462

458

562

(‰)

7.321 – 4.595 =

2.724

2.627

2.726

(Â)

60 – (18 – 2) =

60+18–2

(60–18)–2

60–18+2

(ÛÙ)

52 – 11 – 9 =

52–(11+9)

(52–11)–9

52–20

(˙)

23  10 =

230

240

2.300

(Ë)

97  100 =

970

9.700

9.800

(ı)

879  1000 =

87900

879000

880000

6.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁÈÓfiÌÂÓ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·: (·) 313, (‚) 711, (Á) 4512, (‰) 12101, (Â) 5110, (ÛÙ) 4111, (˙) 3499, (Ë) 5898.

7.

YÔÏfiÁÈÛ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·.

14 2 2

3 2

2

3 2

8.

AÁÔÚ¿Û·Ì ‰È¿ÊÔÚ· Û¯ÔÏÈο ›‰Ë Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙·Ó: 156 Q, 30 Q, 38 Q, 369 Q Î·È 432 Q. (·) ÀÔÏfiÁÈÛ Úfi¯ÂÈÚ· ·Ó ·ÚÎÔ‡Ó 1.000 Q ÁÈ· Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ٷ ›‰Ë Ô˘ ·ÁÔÚ¿Û·ÌÂ. (‚) µÚ˜ fiÛ· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ.

9.

√ ¡›ÎÔ˜ η٤‚ËΠÁÈ· „ÒÓÈ· Ì 160 Q. ™Â ¤Ó· Ì·Á·˙› ‚ڋΠ¤Ó· Ô˘Î¿ÌÈÛÔ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 35 Q, ¤Ó· ·ÓÙ·ÏfiÓÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 48 Q Î·È ¤Ó· ۷οÎÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 77 Q. ∆Ô˘ ÊÙ¿ÓÔ˘Ó Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· Ù· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ fiÏ·;

10.

™Â ¤Ó· ·ÚÙÔÔÈÂ›Ô ¤ÊÙÈ·Í·Ó Ì›· ̤ڷ 120 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ „ˆÌ›, 135 ÎÈÏ¿ ¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 25 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 38 ÎÈÏ¿ ÔχÛÔÚÔ. ¶Ô˘Ï‹ıËÎ·Ó 107 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ „ˆÌ›, 112 ÎÈÏ¿ ¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 19 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 23 ÎÈÏ¿ ÔχÛÔÚÔ. ¶fiÛ· ÎÈÏ¿ „ˆÌ› ¤ÌÂÈÓ·Ó ·Ô‡ÏËÙ·;

11.

√ ÕÚ˘ ÁÂÓÓ‹ıËΠÙÔ 1983 Î·È Â›Ó·È 25 ¯ÚfiÓÈ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘. (·) ¶fiÛˆÓ ¯ÚÔÓÒÓ Â›Ó·È Ô ÕÚ˘ Û‹ÌÂÚ·; (‚) ¶fiÙ ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘;

12.

‘∂Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô ¤¯ÂÈ 12 ·›ıÔ˘Û˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜. √È 7 ¯ˆÚ¿Ó ·fi 20 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›· Î·È ÔÈ ˘fiÏÔÈ˜ ·fi 12 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›·. ™ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÂÁÁÚ¿ÊËηÓ: ÛÙËÓ ∞’ Ù¿ÍË 80 ·È‰È¿, ÛÙËÓ µ’ Ù¿ÍË 58 ·È‰È¿ Î·È ÛÙËÓ °’ Ù¿ÍË 61 ·È‰È¿. ∂·ÚÎÔ‡Ó ÔÈ ·›ıÔ˘Û˜ ÁÈ· Ù· ·È‰È¿ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘;


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™ÂÏ›‰·19

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 19 -

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ ∞Ú¯Èο Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤Î·Ó ÌfiÓÔ ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi: ¤Ó·, ‰‡Ô, ÔÏÏ¿. ªÂ ÙËÓ ÚfiÔ‰Ô ÙÔ˘ ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡, ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ Ù¯ÓÒÓ Î·È ÙÔ˘ ÂÌÔÚ›Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÈ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ™’ ·˘Ùfi ‚Ô‹ıËÛ·Ó Î·È Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘· ·Ú›ıÌËÛ˘, fiˆ˜ .¯. Ù· ‰¿ÎÙ˘Ï· ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¯ÂÚÈÔ‡ (·Ú›ıÌËÛË ‚¿ÛË ÙÔ 5) ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ÂÚÈÒÓ (‚¿ÛË ÙÔ 10). ªÂÙ¿, Ù· ÚÒÙ· ·˘Ù¿ ·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·È Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘. ∆· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ·Ú›ıÌËÛ˘ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ¯·Ú·ÁÒÓ ¿Óˆ Û ͇Ϸ ‹ ÎfiηϷ ‹ Ì ÎfiÌÔ˘˜ Û ۯÔÈÓÈ¿. ∆Ô ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Â‡ÚËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÚÔ˚ÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜ Î·È Â›Ó·È ÙÔ ÎfiηÏÔ Ô‰ÈÔ‡ ÂÓfi˜ ÌÈÎÚÔ‡ χÎÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 18 ÂηÙÔÛÙÒÓ Ô˘ ‚Ú¤ıËÎÂ, ÙÔ 1937, ÛÙËÓ fiÏË µÂÛÙfiÓÈÙÛ Ù˘ ªÔÚ·‚›·˜ (ÂÈÎfiÓ·). ∏ ·Ó¿ÁÎË ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÌÂÁÂıÒÓ ··ÈÙ› Û‡ÁÎÚÈÛË Ì ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ˘fi‰ÂÈÁÌ·, ÙË ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. √È ÚÒÙ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ¿ÏÈ Û ̤ÏË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiˆ˜ ·Ï¿Ì˜, ‰¿¯Ù˘ÏÔ˘˜, fi‰È·, ÔÚÁÈ¿, ‹¯Ë. ∞fi Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘·, ÙȘ ¯·Ú·Á¤˜, ÙÔ˘˜ ÎfiÌÔ˘˜, Ù· ‚fiÙÛ·Ï· ÂÚ¿Û·Ì ̤۷ Û ÂÚ›Ô‰Ô ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ÂÙÒÓ ÛÙ· ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó·Ó ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆· ۇ̂ÔÏ· ·˘Ù¿ ‹Ù·Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ÔÏÈÛÙÈÛÌÔ‡˜. ∏ ÂÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Û‹ÌÂÚ· ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΠ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ. ∏ ÈÛÙÔÚ›· ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÚ›·. ∫È ·˘Ùfi ÁÈ·Ù› Ë ·Ó¿ÁÎË ‡·Ú͢ ͯˆÚÈÛÙÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ÁÈ· ÙÔ “ Ù›ÔÙ·” ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠÔχ ·ÚÁfiÙÂÚ·. √È ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Î·È ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ¿ÊËÓ·Ó ¤Ó· ÎÂÓfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ·Ô˘Û›· ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡ „ËÊ›Ô˘ Û οÔÈ· ı¤ÛË. √È ·Ú·ÓÔ‹ÛÂȘ Î·È Ù· Ï¿ıË Ô˘ ÚԤ΢Ù·Ó ÙÔ˘˜ Ô‰‹ÁËÛ·Ó ÛÙËÓ ˘ÈÔı¤ÙËÛË ÙÔ˘ ÂȉÈÎÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘

ηٿ ÙËÓ ¶ÂÚÛÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô.

∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ ·˘Ùfi ÙÔ ÙÔÔıÂÙÔ‡Û·Ó ÌfiÓÔ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô „ËÊ›ˆÓ Î·È fi¯È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ∞fi ÙÔÓ 3Ô - 12Ô ·ÈÒÓ· Ì.Ã. ÙÔ Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ÌÈ· ÎԢΛ‰·. √ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜ µÚ·¯Ì·ÁÎÔ‡Ù·, ÙÔ 628 Ì.Ã. ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó ˆ˜ “ÙÔ Ù›ÔÙ·”. ∆ÔÓ 9Ô ·ÈÒÓ· Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÂÈÁÚ·Ê‹ Ì ۷ʋ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó. √È πÓ‰Ô› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È ˆ˜ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ·ÚÈıÌÔ‡. ŒÙÛÈ Â›¯·Ó 10 ÈÛfiÙÈÌ· „ËÊ›· Ù·: ñ ‹ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Î·È 9. √ ÕÚ·‚·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∞Ï-ÃÔ˘·Ú›˙ÌÈ (787 - 850 Ì.Ã.), ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ “∞ÏÁfiÚÈıÌÔÈ ÙˆÓ πÓ‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ” ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ 820 Ì.Ã. ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó: “ŸÙ·Ó ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ‰ÂÓ ·Ê‹ÓÂÈ Ù›ÔÙ·, ÙfiÙÂ, ÁÈ· Ó· ÌË Ì›ÓÂÈ ¿‰ÂÈ· Ë ı¤ÛË Ú¤ÂÈ Ó· Ì·›ÓÂÈ ¤Ó·˜ ÌÈÎÚfi˜ ·ÎÏÔ˜, ÁÈ·Ù› ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÈ ı¤ÛÂȘ ı· ÏÈÁÔÛÙ¤„Ô˘Ó Î·È ÌÔÚ› .¯. Ë ‰Â‡ÙÂÚË Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÚÒÙË” . √ ŒÏÏËÓ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∫Ï·‡‰ÈÔ˜ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜ (100 - 178 Ì.Ã.) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ 0 ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó, ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ “ªÂÁ¿ÏË ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ™‡ÓÙ·ÍË” ‹ “∞ÏÌ·Á¤ÛÙË” (150 Ì.Ã.). ∆Ô ÂÈÓfiËÛ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ Ϥ͢ “Ô˘‰¤Ó” Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ Î·Ó¤Ó· („ËÊ›Ô).


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- 20 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

A.1.3. ¢ ˘ Ó ¿ Ì Â È ˜ Ê ˘ Û È Î Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ∞fi fiÛ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ·‚Ô˘˜

·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ÚÒÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ·fi fiÛÔ˘˜

Ù· ÂfiÌÂÓ· ÙÚ›·;

(1) (2) (3) (4)

(5)

(7)

(6)

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) 4=22=2 2 , (2) 9=33=3 2 , (3) 16=44=4 2 , (4) 25=55=5 2 K·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: (5) 8=222=2 3 , (6) 27=333=3 3 , (7) 64=444=4 3 √È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (1) ¤ˆ˜ Î·È (4) ·ÊÔÚÔ‡Ó Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3, 4 Î·È 5. √È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (5) ¤ˆ˜ Î·È (7) ·ÊÔÚÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3 Î·È 4.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ fiÏÔÈ ÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÔÓÔ̷ۛ˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ. ·· · ...  ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·· ›ÛÔ˘˜ Ì ÙÔ ·, ϤÁÂÙ·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · ÛÙË Ó ‹ ÓÈÔÛÙ‹ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ·Ó.



H ·Ó=· · · . . . · Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜



√ ·ÚÈıÌfi˜ · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ Î·È Ô Ó Ï¤ÁÂÙ·È ÂÎı¤Ù˘.



∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙË ‰Â˘Ù¤Ú·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·2, ϤÁÂÙ·È Î·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·.



∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙËÓ ÙÚ›ÙË, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·3, ϤÁÂÙ·È Î·È Î‡‚Ô˜ ÙÔ˘ ·.

 

·2 ·3

∆Ô ·1, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÚÒÙË ‰‡Ó·ÌË ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·.

· =· H

√È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 1, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ 1Ó, Â›Ó·È fiϘ ›Û˜ Ì 1.

1 =1 H

1

Ó


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™ÂÏ›‰·21

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 21 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë O KˆÛÙ¿Î˘, Ë ƒ¤Ó· Î·È Ô ¢ËÌ‹ÙÚ˘ ¤Î·Ó·Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: 8  (2  3 + 4  6) + 5  (7 + 7  9) + 10 Î·È ‚Ú‹Î·Ó Ô Î·ı¤Ó·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. √ ∫ˆÛÙ¿Î˘ ‚ڋΠ1.312, Ë ƒ¤Ó· 600 Î·È Ô ¢ËÌ‹ÙÚ˘ 180. ➣ µÚ˜ ÔÈÔ ·fi Ù· ÙÚ›· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÙÔ ÛˆÛÙfi. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· Ì·ÓÙ¤„ÂȘ Ì ÔÈ· ÛÂÈÚ¿ ¤Î·ÓÂ Ô Î·ı¤Ó·˜ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ; ➣ ¢È·Ù‡ˆÛ ¤Ó·Ó ηÓfiÓ· ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙ·Ó Î¿ÓÔ˘Ì Ú¿ÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ï¤ÁÂÙ·È Î¿ı ÛÂÈÚ¿ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Ì ٷ ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ ڿ͈Ó.  ∏ ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· Ú¤ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ̛· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ڿ͈Ó) Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË: 1. ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ‰˘Ó¿ÌˆÓ. 2. ∂ÎÙ¤ÏÂÛË ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÒÓ Î·È ‰È·ÈÚ¤ÛÂˆÓ 3. ∂ÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛˆÓ. ∞Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ, ÂÎÙÂÏԇ̠ÚÒÙ· ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿. ∏ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÂÓı¤ÛÂˆÓ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙÔÓ 17Ô ·ÈÒÓ· Ì ÛÙfi¯Ô Ó· ˘ԉ›ÍÂÈ ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ڿ͈Ó.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Ô Î‡‚Ô˜, Ë Ù¤Ù·ÚÙË, Ë ¤ÌÙË Î·È Ë ¤ÎÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 10. ∆È ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

§‡ÛË 102 103 104 105 106

= = = = =

10 10 10 10 10

    

10 10 10 10 10

   

10 10  10 10  10  10 10  10  10  10

= = = =

100 1.000 10.000 100.000

   

10 10 10 10

= = = = =

100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10, Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙËηÓ, ¤¯ÂÈ ÙfiÛ· ÌˉÂÓÈο fiÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È Ô ÂÎı¤Ù˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: 106 = 1 .000.000 (¤ÍÈ ÌˉÂÓÈο).

2.

¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: (·) (2  5)4 + 4  (3 + 2)2

(‚) (2 + 3)3 – 8  32

§‡ÛË (·) (‚)

3.

(25)4 + 4 (3+2)2 = 104 + 452 = 10.000 + 425 = 10.000 + 100 = 10.100 (2+3)3 – 832 = 53 – 89 = 125 – 72 = 53

¡· ÁÚ·Ê› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 7.604 Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ 10.

§‡ÛË ∂›Ó·È: 7.604

= 7 ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ + 6 ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ + 0 ‰Âο‰Â˜ +4 ÌÔÓ¿‰Â˜. = 71000 + 6100 + 010 + 41 = = 7103 + 6102 + 0101 + 4 H ÌÔÚÊ‹ ·˘Ù‹ 7103 + 6102 + 0101 + 4 ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 7.604 Â›Ó·È ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Û ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10 .


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™ÂÏ›‰·22

- 22 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Î·È ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: · 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 ·2 ·3

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

°Ú¿„ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 555555 (‚) 888888666 (Á) 111111 (‰) ···· (Â) xxx (ÛÙ) 2222··· ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210. µÚ˜ Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 Î·È 90. µÚ˜ ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 20, 30, 40, 50. ∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 352, (‚) 352 + 2, (Á) 352 + 22, (‰) 35 +22, (Â) 3(5 + 2)2. ∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 32+33+23+24 , (‚) (13–2)4 + 532. µÚ˜ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (·) (6+5)2Î·È 62+52, (‚) (3+6)2 Î·È 32+62. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; °Ú¿„ ÈÔ Û‡ÓÙÔÌ· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) ·+·+·, (‚) ···, (Á) x+x+x+x (‰) xxxx

10.

°Ú¿„ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 34.720, (‚) 123.654, (Á) 890.650 Û ·Ó·Ù˘Á̤ÓË ÌÔÚÊ‹ Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ 10. 20 (1+2)  (3+4)

11.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î· Ì ÙÔ ÂÍ·ÁfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î¿ı ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î·.

12.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î· Ì ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Î¿ı ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î·.

1  (2+34)

21

(12+3) 4

9

1 + (2+3)  4

14

2 + 2 2

150

3 + 3 3

68

4 + 4 4 4

16

5+5 5+5 5

6

5  5+5  5 5

12

4 + 4 4 – 4

55

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

2.

ÃÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÌfiÓÔ Ù· ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ ڿ͈Ó: + Î·È ñ Î·È ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ “(” Î·È “)” ÁÈ· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÛˆÛÙ¤˜ ÈÛfiÙËÙ˜.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ Ì·ÁÈο ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·.

20

18

26 27 25 23

17 14

1

3

1

2

3

4 = 13

1

2

3

4 = 14

1

2

3

4 = 15

1

2

3

4 = 36

9

18 36 72

18

24


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™ÂÏ›‰·23

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 23 -

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √È ÈÔ ·ÏÈÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁÚ¿ÊÙËÎ·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Û ‹ÏÈÓ· ÈӷΛ‰È· Ù˘ 3˘ - 2˘ ¯ÈÏÈÂÙËÚ›‰·˜ .Ã. √È ·ÚÈıÌÔ› ÁÚ¿ÊÔÓÙ·Ó ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿. ¶ÚÒÙ· ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜, ÌÂÙ¿ ÔÈ ‰Âο‰Â˜ Î.Ï. ∆Ô 1854 ·Ó·Î·Ï‡ÊıËÎ·Ó ÎÔÓÙ¿ ÛÙȘ fi¯ı˜ ÙÔ˘ ∂˘ÊÚ¿ÙË, ‹ÏÈÓ· ÈӷΛ‰È· ÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô 2300 - 1600 .Ã. ·fi ÙÔ˘˜ µ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Î·È ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·. √È ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ ·fi ÙÔ 3000 - 2500 .Ã. ›¯·Ó ÂȉÈο ÈÂÚoÁÏ˘ÊÈο ÁÈ· ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆· ÂȉÈο ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ›¯·Ó ÁÈ· Ó· ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ οı ‰Âη‰È΋˜ Ù¿Í˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ›Ó·Î·:

1

10

100

1.000

10.000 100.000 1 . 0 0 0 . 0 0 0

ToÓ 5Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ÛÙËÓ πˆÓ›· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËΠÙÔ ·ÏÊ·‚ËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, Ô˘ ‹Ù·Ó ÙÔ ÙÂÏÂÈfiÙÂÚÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ÌÂÙ¿ ÙÔ ·Ú·‚ÈÎfi Î·È ¤ÌÂÈÓ Û ¯Ú‹ÛË Ì¤¯ÚÈ Î·È ÙËÓ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË, ·Ú¿ÏÏËÏ· Ì ÙÔ ÚˆÌ·˚Îfi. ™’ ·˘Ùfi οı ·ÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔ 1 ˆ˜ ÙÔ 9, οı ‰Âο‰· 10, 20, 30,..., 90, οı ÂηÙÔÓÙ¿‰· 100, 200, ..., 900, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·Ó ·fi ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· ÙÔ˘ ÂÏÏËÓÈÎÔ‡ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Ì ÌÈ· ÔÍ›· ¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÁÈ· Ó· Ù· ͯˆÚ›˙Ô˘Ó ·fi Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙˆÓ Ï¤ÍˆÓ. ∂Âȉ‹ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·Ó 27 ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÁÈ· ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙÔ ·ÏÊ¿‚ËÙÔ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ 24, ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó ·ÎfiÌË ÙÚ›· ۇ̂ÔÏ· ÙÔ ÛÙ›ÁÌ· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 6, ÙÔ Îfi·

Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 90 Î·È ÙÔ Û·Ì›

Ô˘ ·Ú›ÛÙ·ÓÂ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 900.

ŒÙÛÈ Â›¯·Ó: °È· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ›¯·Ó ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ οو ·ÚÈÛÙÂÚ¿, Ô˘ ‰‹ÏˆÓ fiÙÈ Ë ·Í›· ÙÔ˘ ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·˙fiÙ·Ó Â› 1.000. ¢ËÏ·‰‹: ‰=4x1.000=4.000 Î·È Ë=8 x 1.000 = 8.000.   ªÂ ÙÔ ·ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ‚‰ ÁÈ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2004 Î·È ˆÏ· ÁÈ· ÙÔÓ 831.  √È ƒˆÌ·›ÔÈ ÂÈÛ‹Á·Á·Ó ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ̠ͯˆÚÈÛÙ¿ ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 5, 10, 50, 100, 500 Î·È 1000. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ۇ̂ÔÏ·:

π

V

X

L

C

D

M

L

 C

1

5

10

50

100

500

1.000

50x1.000=50.000

100x100x1.000=10.000.000

™ÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙÔ˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ·Ú¯‹ ·fi Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ·ÏÏ¿ Î·È ÙËÓ ·Ê·ÈÚÂÙÈ΋ ·Ú¯‹. ∆Ô 2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ππ, ÙÔ 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È πππ, Î.Ï. ∆Ô 4 ÁÚ¿ÊÂÙ·È πV (5–1), ÙÔ 9 ÁÚ¿ÊÂÙ·È IX (10–1), ÙÔ 40 ÁÚ¿ÊÂÙ·È XL (50–10), ÙÔ 900 ÁÚ¿ÊÂÙ·È CM (1.000–100), Î.Ï. °È· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜ ΢ÚÈ¿Ú¯ËÛ ÙÔ ÂÏÏËÓÈÎfi Î·È ÙÔ ÚˆÌ·˚Îfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘. ∆Ô 1299 ÔÈ ∫·ÓÔÓÈÛÌÔ› Ù˘ “∆¤¯Ó˘ Ù˘ ™˘Ó·ÏÏ·Á‹˜” (Arte del Cambio) ··ÁfiÚ¢·Ó ÛÙÔ˘˜ ÙÚ·Â˙›Ù˜ Ù˘ ºÏˆÚÂÓÙ›·˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· πÓ‰Ô·Ú·‚Èο ·ÚÈıÌËÙÈο „ËÊ›· Î·È Â¤‚·Ï·Ó Ù· ڈ̷˚ο. ∆· ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ۋÌÂÚ· ÙÔ˘ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¤ÊÙ·Û·Ó Î·È ‰È·‰fiıËÎ·Ó ÛÙËÓ ∂˘ÚÒË Ì¤Ûˆ ÙˆÓ ∞Ú¿‚ˆÓ, ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿ÛÙËÎ·Ó ∞Ú·‚Èο, ·ÏÏ¿ Â›Ó·È πÓ‰Ô·Ú·‚Èο, ‰ÈfiÙÈ ·fi Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ú›ıÌËÛ˘ Ô˘ ˘‹Ú¯·Ó ÛÙÔ˘˜ ÕÚ·‚˜, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ‹Úı ·’ ÙÔ˘˜ πÓ‰Ô‡˜. ∞˘Ùfi ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ∞Ï-ÃÔ˘·Ú›˙ÌÈ (787 - 850 Ì.Ã.) “∞ÏÁfiÚÈıÌÔÈ ÙˆÓ πÓ‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ”. ◊Úı ÛÙË ª¤ÛË ∞Ó·ÙÔÏ‹ Ì ٷ ηڷ‚¿ÓÈ· ·fi ÙËÓ ¶ÂÚÛ›· Î·È ÙËÓ ∞›Á˘ÙÔ ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô 224 - 641 Ì.Ã. √È Ù‡ÔÈ πÓ‰ÈÎÒÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Â›Ó·È Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· “ÁÎÔÌ¿Ú” Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÔÈ ÕÚ·‚˜ ÛÙËÓ πÛ·Ó›· Ô˘ ÙËÓ Â›¯·Ó ηٷϿ‚ÂÈ ·fi ÙÔ 711 Ì.Ã.


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ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

√È ·ÚÈıÌÔ› ›¯·Ó ·Ó·¯ı› ·fi ÙË Û¯ÔÏ‹ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ· Û ıÂ̤ÏÈÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ. √È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ ›ÛÙ¢·Ó fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ Û‡Ì·ÓÙÔ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙÔ‡Ó Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙˆÓ ÏfiÁˆÓ ÙÔ˘˜. ∞˘Ù‹ Ë ÙÔÏÌËÚ‹ ˘fiıÂÛË ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÛÙ·ÙÈο ÛÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ı¤ÛË ÙÔ˘˜ “Ù· ¿ÓÙ· Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜”. √È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ Â›¯·Ó ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ¤Ó· ȉÈfiÙ˘Ô ÙÚfiÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· “„‹ÊˆÓ” ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ηÓÔÓÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ŒÙÛÈ Û¯ËÌ¿ÙÈ˙·Ó ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ “ÙÚ›ÁˆÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ”, Ô˘ ‹Ù·Ó ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ Û ۯ‹Ì· ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ô˘ ‹Ù·Ó ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ Û ۯ‹Ì· ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ:

1ñ 3



...1 ñ 4

10

ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ

16

ñ ñ ñ ñ

ñ ñ ñ

6ñ ñ ñ



ñ ñ ñ ñ ñ ñ 9ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ

E›‰·Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi „ËÊ›ˆÓ, fiˆ˜ .¯. Â›Ó·È ÙÔ ‰˘·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÌfiÓÔ Ù· „ËÊ›· 0 Î·È 1. ™ÙÔ ‰˘·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÓÙ› ÁÈ· ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ Î.Ï. ¤¯Ô˘ÌÂ: ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰˘¿‰Â˜, ÙÂÙÚ¿‰Â˜, ÔÎÙ¿‰Â˜, ‰ÂηÂÍ¿‰Â˜ Î.Ï. ŒÙÛÈ ÛÙÔ ÙÚÈ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÌfiÓÔ ÙÚ›· „ËÊ›·: 0, 1, 2, ı· ¤¯Ô˘Ì ÌÔÓ¿‰Â˜, ÙÚÈ¿‰Â˜, ÂÓÓÈ¿‰Â˜ Î.Ï. ¢Âη‰ÈÎfi 0 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

¢ ˘ · ‰ È Î fi 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 ... ∆ Ú È · ‰ È Î fi 0 1 2 10 11 12 20 21

22 100 101 102 110 111 112 120 121

...

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ 

ªÂ ‚¿ÛË ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÈÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ οÓ ¤Ó· ÓÔÂÚfi Ù·Í›‰È ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ ÚÔ˜ ÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ Î·È Ê·ÓÙ¿ÛÔ˘ fiÙÈ ˙ÂȘ ÛÙË ¯ÒÚ· ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ÙÔ 3000 .Ã., ÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ ·fi ÙÔ 2500 .Ã., ÙˆÓ πÒÓˆÓ ÙÔ 500 .Ã., ÙˆÓ ƒˆÌ·›ˆÓ ÙÔ 1200 Ì.Ã., ÙˆÓ πÛ·ÓÒÓ ÙÔ 1300 Ì.Ã., ̤¯ÚÈ ÙËÓ ÂÔ¯‹ Ì·˜ ÙÔ˘ 21Ô˘ ·ÈÒÓ· Î·È ÁÚ¿„ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‰È΋˜ ÛÔ˘ ÂÈÏÔÁ‹˜, fiˆ˜ ÙÔ˘˜ ¤ÁÚ·Ê·Ó ÂΛÓÔÈ ÙfiÙÂ.


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ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 25 -

A.1.4. E ˘ Î Ï Â › ‰ Â È · ‰ È · › Ú Â Û Ë - ¢ È · È Ú Â Ù fi Ù Ë Ù ·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ O ηıËÁËÙ‹˜ Ê˘ÛÈ΋˜ ·ÁˆÁ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÊ·Û›ÛÂÈ Ì ÔÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú¤Ï·ÛË. ➣ ªÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ Ï‹ÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜, ÙÂÙÚ¿‰Â˜, ÂÓÙ¿‰Â˜, ÂÍ¿‰Â˜ ‹ ÂÙ¿‰Â˜; ➣ ¶fiÛ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó Û οı ÂÚ›ÙˆÛË;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ °È· Ó· ·ÔÊ·Û›ÛÂÈ Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Ì ÔÈÔ ÙÚfiÔ ı· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú¤Ï·ÛË, Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÈ ÙÔ 168 Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, 4, 5, 6 Î·È 7. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ 168 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì ÙÔ 3 Î·È ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 56, ÔfiÙ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ Û 56 ÙÚÈ¿‰Â˜. ¶·ÚfiÌÔÈ·, Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 168 Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 6, Î·È 7 ‰›ÓÂÈ Ù· Ëϛη: 42, 28 Î·È 24 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·Ù·¯ıÔ‡Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Û 42 ÙÂÙÚ¿‰Â˜ ‹ 28 ÂÍ¿‰Â˜ ‹ Û 24 ÂÙ¿‰Â˜. ∆¤ÏÔ˜, Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ 168 Ì ÙÔ 5 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 33 Î·È ·Ê‹ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 3. ÕÚ·, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Ó· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û Ï‹ÚÂȘ ÂÓÙ¿‰Â˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



ŸÙ·Ó ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¢ Î·È ‰, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ¿ÏÏÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›  Î·È ˘, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢ = ‰   + ˘ √ ·ÚÈıÌfi˜ ¢ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ , Ô ‰ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘, Ô ·ÚÈıÌfi˜  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘.



∆Ô ˘fiÏÔÈÔ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È ¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË: 0  ˘ < ‰



∏ ‰È·›ÚÂÛË Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚÊ‹˜ ϤÁÂÙ·È ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË.



∞Ó ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ˘ Â›Ó·È 0, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ̛· ∆¤ÏÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË : ¢ = ‰  



™ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ë Ù¤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ú¿ÍË ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡, fiˆ˜ Â›Ó·È Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË Ú¿ÍË ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.

‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘

43

7

-42

1

6 7 = 4 2

6

˘fiÏÔÈÔ ¢ÔÎÈÌ‹ 7 x6 42 +1 43

ËÏ›ÎÔ ←¢È·ÈÚ¤Ù˘ ←¶ËÏ›ÎÔ ←ÀfiÏÔÈÔ ←¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜

15 Ì¿Ï˜

5 Ì¿Ï˜

5 Ì¿Ï˜



√ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‰ ÌÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È 0.

‰≠0



ŸÙ·Ó ¢ = ‰, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ  = 1

·:·



ŸÙ·Ó Ô ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‰ = 1, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ  = ¢

·:1=·



ŸÙ·Ó Ô ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ¢ = 0, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ  = 0

0:·=0

5 Ì¿Ï˜


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™ÂÏ›‰·26

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË” ÙË ‰È·›ÚÂÛË ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ, ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ŒÏÏËÓ· ª·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤˙ËÛ ÂÚ›Ô˘ ·fi ÙÔ 330 ¤ˆ˜ ÙÔ 275 .Ã. ªÂÙ¿ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ∞ı‹Ó· ‹Á ÛÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘, fiÏË Ô˘ ·Ó·‰Â›¯ıËΠ۠ÌÂÁ¿ÏÔ ÔÏÈÙÈÛÙÈÎfi ΤÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘ ÂΛӢ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ Ì ÙË ÊÚÔÓÙ›‰· ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘ ÙÔ˘ ∞’. ∆Ô ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë Â›Ó·È “∆· ™ÙÔȯ›·” Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi 13 ‚È‚Ï›· Î·È ·ÔÎÚ˘ÛÙ·ÏÏÒÓÔ˘Ó ÙËÓ ÂÈÙ˘¯Ë̤ÓË ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë Ó· ·ÍÈÔÔÈ‹ÛÂÈ Î·È Ó· Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÁÓÒÛÂȘ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË”; (·) 120 = 28  4 + 8 (‚) 1.345 = 59  21 + 106 (Á) 374 = 8  46 + 6

§‡ÛË (·) (‚) (Á)

2.

Œ¯Ô˘Ì ˘ = 8, Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 28 Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 4. ÕÚ·, Â›Ó·È ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË ÌfiÓÔ ÙÔ 28 Î·È fi¯È ÙÔ 4. Œ¯Ô˘Ì ˘ = 106, Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 59 Î·È ·fi ÙÔ 21. ÕÚ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ˘fiÏÔÈÔ ÌÈ·˜ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË ÙÔ 59 ‹ ÙÔ 21. Œ¯Ô˘Ì ˘ = 6, Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 8 Î·È ·fi ÙÔ 48. ÕÚ· Â›Ó·È ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË Â›Ù ÙÔ 46 ›Ù ÙÔ 8.

™Â ÌÈ· ‰ÈÛΤٷ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó 11 ʈÙÔÁڷʛ˜. (·) ¶fiÛ˜ ‰ÈÛΤÙ˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó 5 ÊÈÏÌ ÙˆÓ 36 ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ Î·ı¤Ó·; (‚) °È· fiÛ˜ ʈÙÔÁڷʛ˜ ı· Ì›ÓÂÈ ¯ÒÚÔ˜ ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰ÈÛΤٷ;

§‡ÛË (·)

(‚)

∆· 5 ÊÈÏÌ ÙˆÓ 36 ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 5  36 = 180 ʈÙÔÁڷʛ˜. ∏ ‰È·›ÚÂÛË ÙˆÓ 180 ʈÙÔÁÚ·ÊÈÒÓ Ì ÙȘ 11 Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó Û ÌÈ· ‰ÈÛΤٷ, ¤¯ÂÈ ËÏ›ÎÔ 16 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 4, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì 180 = 11  16 + 4. ŒÙÛÈ, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ 16 ‰ÈÛΤÙ˜, ÂÚÈÛÛÂ‡Ô˘Ó fï˜ 4 ʈÙÔÁڷʛ˜ ·ÎfiÌË, ÂÔ̤ӈ˜, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ Ì›· ‰ÈÛΤٷ, ¿Ú· ı· ¯ÚÂÈ·ÛıÔ‡Ó 16 + 1 = 17 ‰ÈÛΤÙ˜. ∞ÊÔ‡ ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰ÈÛΤٷ ı· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó ÔÈ 4 ʈÙÔÁڷʛ˜, Ô˘ ÂÚ›ÛÛ„·Ó, ı· Ì›ÓÂÈ ¯ÒÚÔ˜ ÁÈ· 11 – 4 = 7 ʈÙÔÁڷʛ˜.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ‰ÔÎÈ̤˜ ÙÔ˘˜: (·) 4002:69 (‚) 1445:17, (Á) 925:37 (‰) 3621:213, (Â) 35280:2940, (ÛÙ) 5082:77.

2.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ: (·) ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ ÙÔ 1 ̤ÙÚÔ ˘Ê¿ÛÌ·ÙÔ˜ ·Ó Ù· 5 ̤ÙÚ· ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 65 Q; (‚) ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ ÙÔ 1 ÎÈÏfi ÎÚ¤·˜ ·Ó ÁÈ· Ù· 3 ÎÈÏ¿ ÏËÚÒÛ·Ì 30 Q; (Á) ¶fiÛ· ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ 52 Ï›ÙÚˆÓ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÔ‡Ó ÁÈ· 46.592 Ï›ÙÚ· ÎÚ·ÛÈÔ‡;

3.

N· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ∂˘ÎÏ›‰ÂȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 125=35 3+20, (‚) 762=38 19+40, (Á) 1500=42 35+30, (‰) 300=18 16+12

4. 5. 6.

∞Ó Ô Ó Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔÈ· ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ù· ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó:8; ∞Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂı› ‰È· 9 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 73 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 4. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜; ∞Ó Û‹ÌÂÚ· Â›Ó·È ∆Ú›ÙË, ÙÈ Ì¤Ú· ı· Â›Ó·È ÌÂÙ¿ ·fi 247 Ë̤Ú˜;


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16:41

™ÂÏ›‰·27

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 27 -

A.1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∆Ô ÙÔÈÎfi ÁÚ·ÊÂ›Ô Ù˘ UNISEF ı· ÌÔÈÚ¿ÛÂÈ 150 ÙÂÙÚ¿‰È·, 90 ÛÙ˘Ïfi Î·È 60 Áfi̘ Û ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ, ÒÛÙ ٷ ·Î¤Ù· Ó· Â›Ó·È Ù· ›‰È· Î·È Ó· ÂÚȤ¯Ô˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ›‰Ë. ➣ ªÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó 10 ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ; ∞Ó Ó·È, fiÛ· ·fi οı ›‰Ô˜ ı· ¤¯ÂÈ Î¿ı ·Î¤ÙÔ; ➣ ¶fiÛ· ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì fiÏ· Ù· ‰È·ı¤ÛÈÌ· ›‰Ë; ➣ ¶fiÛ· ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì ٷ ÏÈÁfiÙÂÚ· ‰˘Ó·Ù¿ ·fi οı ›‰Ô˜;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

  

0, ·, 2·, 3·, 4·, ...

∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚ› Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘. ∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈfi ÙÔ˘. ∞Ó ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ‰È·ÈÚ› ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔÓ ı· ‰È·ÈÚ› Î·È Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘.



∆Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ∂Ï¿¯ÈÛÙÔ ∫ÔÈÓfi ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ (∂∫¶) ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ.



¢È·ÈÚ¤Ù˜ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · ϤÁÔÓÙ·È fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙÔÓ ‰È·ÈÚÔ‡Ó.



∫¿ı ·ÚÈıÌfi˜ · ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È ·.



ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÌfiÓÔ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘ Î·È ÙÔ 1 ϤÁÂÙ·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÁÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ˜.



¢‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜. √ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ª¤ÁÈÛÙÔ˜ ∫ÔÈÓfi˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ (ª∫¢) ÙˆÓ · Î·È ‚ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ª∫¢(·, ‚).



¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ó Â›Ó·È ª∫¢(·, ‚) = 1.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¢‡Ô ÏÔ›· ÂÈÛΤÙÔÓÙ·È ¤Ó· ÓËÛ¿ÎÈ. ∆Ô ÚÒÙÔ ·Ó¿ 3 Ë̤Ú˜, ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·Ó¿ 4 Ë̤Ú˜. ∞Ó ÍÂΛÓËÛ·Ó ·fi ÙÔ ÓËÛ¿ÎÈ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, Û fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· Í·Ó·‚ÚÂıÔ‡Ó ÛÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ ÙÔ˘ ÓËÛÈÔ‡;

§‡ÛË µÚ›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 3 Î·È 4. ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 3

0

3

6

9

¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 4

0

4

8

12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ...

12 15 18 21 24 27 30 33 36 ...

OÈ ·ÚÈıÌÔ› 12, 24, 36, ... Â›Ó·È ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 3 Î·È 4. ∂Âȉ‹, ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· Â›Ó·È ÙÔ 12, ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∂∫¶(3, 4) = 12. ¢ËÏ·‰‹, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÌÂÙ¿ ·fi 12 Ë̤Ú˜ ı· Í·Ó·‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ‰‡Ô ÏÔ›· ÛÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ ÙÔ˘ ÓËÛÈÔ‡ Î·È ·˘Ùfi ı· Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Î¿ı 12 Ë̤Ú˜.


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16:09

™ÂÏ›‰·28

- 28 -

2.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 2520, 2940, 3780 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘ Ó· ‚ÚÂı› Ô ª∫¢ Î·È ÙÔ ∂∫¶ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

§‡ÛË ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓ· ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÌfiÓÔ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË ÁÈ· ÙÔ ª∫¢ Î·È ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ Î·È ÌË ÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË ÁÈ· ÙÔ ∂∫¶.

2520 1260 630 315 105 35 7 1

2 2 2 3 3 5 7

‰È·ÈÚÒ » » ‰È·ÈÚÒ » ‰È·ÈÚÒ ‰È·ÈÚÒ

ÌÂ ÙÔ 2

ÌÂ ÙÔ 3 ÌÂ ÙÔ 5 ÌÂ ÙÔ 7

2940 1470 735 245 49 7 1

2520 = 2 3  3 2  5  7

2 2 3 5 7 7

‰È·ÈÚÒ Ì » ‰È·ÈÚÒ Ì ‰È·ÈÚÒ Ì ‰È·ÈÚÒ Ì »

ÙÔ 2 ÙÔ 3 ÙÔ 5 ÙÔ 7

2940 = 2 2  3  5  7 2

3780 1890 945 315 105 35 7 1

2 2 3 3 3 5 7

‰È·ÈÚÒ » ‰È·ÈÚÒ » » ‰È·ÈÚÒ ‰È·ÈÚÒ

ÌÂ ÙÔ 2 ÌÂ ÙÔ 3

ÌÂ ÙÔ 5 ÌÂ ÙÔ 7

3780 = 2 2  3 3  5  7

M∫¢(2520, 2940, 3780) = 22357 = 420 Î·È ∂∫¶(2520, 2940, 3780) = 2333572 = 52920

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ 

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ ϤÁÔÓÙ·È ÔÈ Î·ÓfiÓ˜ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ Ó· οÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË, ·Ó ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì 2, 3, 4, 5, 9, 10 ‹ 25.

    

3.

ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì 10, 100, 1000 ..., ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û ¤Ó·, ‰‡Ô, ÙÚ›·, ... ÌˉÂÓÈο ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 2, ·Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô Â›Ó·È 0, 2, 4, 6, 8. ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 5, ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 0 ‹ 5. ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9, ·Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ ÙÔ 25, ·Ó Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· „ËÊ›· ÙÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ ÙÔ 25 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

¡· ‚ÚÂı› ·Ó ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 12510, 772, 225, 13600 Ì 2, 3, 4, 5, 8, 9. 10. 25. 100.

§‡ÛË 2

3

4

5

8

9

10

25

100

12.510 ✔ 772 ✔ 225 – 13.600 ✔

– – –

✔ ✔

– –

– –

✔ ✔


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™ÂÏ›‰·29

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

4.

- 29 -

¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó fiÏÔÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ 1 Î·È ÙÔ˘ 100. 1

31

13 7 43 3 16 37 89 55 66 40 9 35 100 24

7 2 3 5 11 17 19 23 41 61 1 3 29 71 47 53 83 73 37 89 79 31 97 43

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

§‡ÛË √È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ÁÓÒÚÈ˙·Ó fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔÈ ÛÙÔ Ï‹ıÔ˜. °ÓÒÚÈ˙·Ó ·ÎfiÌË fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·Ïfi˜ ηÓfiÓ·˜ Ô˘ Ó· ‰›ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ªÂ ÙËÓ ·Ï‹ ̤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË, ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ “∫fiÛÎÈÓÔ ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË”, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ì¤¯ÚÈ Î·È Û‹ÌÂÚ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ‰ÔṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi. ™ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1 Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ÚÒÙÔ˜ Ô‡Ù ۇÓıÂÙÔ˜. ªÂÙ¿ ÛËÌ·‰Â‡Ô˘Ì ÙÔ 2 Î·È ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì fiÏ· Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘. ∆Ô ›‰ÈÔ Î¿ÓÔ˘ÌÂ Î·È Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, 5 Î.Ï. ª’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ‰È·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È fiÏÔÈ ÔÈ Û‡ÓıÂÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ì¤ÓÔ˘Ó ÌfiÓÔ ÔÈ ÚÒÙÔÈ, ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 Î·È 97.

O EÚ·ÙÔÛı¤Ó˘ (∫˘Ú‹ÓÂÈ· §È‚‡Ë˜ 276 .Ã. - ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· 197 .Ã.) ‰È·ÎÚ›ıËΠˆ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, º˘ÛÈÎfi˜, °ÂˆÁÚ¿ÊÔ˜, ∞ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜, πÛÙÔÚÈÎfi˜ Î·È ºÈÏfiÏÔÁÔ˜. ∞fi ÙÔ 235 .Ã. Î·È Â› 40 ¯ÚfiÓÈ·, ‰ÈÂÙ¤ÏÂÛ ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ Ù˘ ÂÚ›ÊËÌ˘ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘ Ù˘ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·˜ Î·È ‰›‰·Í ÛÙÔ ªÔ˘ÛÂ›Ô Ù˘. ™Ù· ÂÚ›ÊËÌ· “°ÂˆÁÚ·ÊÈο” Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÙËÓ ÚÒÙË ·ÎÚÈ‚‹ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ̤ÙÚËÛË Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ (ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓÔ‡) Ù˘ °Ë˜, ˆ˜ 250.000 ÛÙ¿‰È· (=39.400 - 41.000 km, ¤Ó·ÓÙÈ Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ 40.000 km) (∫ÏÂÔÌ‹‰Ë˜, ™ÙÚ¿‚ˆÓ). ∂›Û˘, ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÂÏ‹Ó˘ 780.000 ÛÙ¿‰È· Î·È ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ 804.000.000 ÛÙ¿‰È·. ª¤ÙÚËÛ ÙËÓ ÎÏ›ÛË ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· Ù˘ Á˘ Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ¤ÊÙÈ·Í ¤Ó· ηٿÏÔÁÔ Ô˘ ÂÚÈÂÏ¿Ì‚·Ó 675 ·ÛÙ¤Ú˜. §¿ÙÚ˘ Ù˘ Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ Ù˘ ·ÓıÚÒÈÓ˘ ÁÓÒÛ˘, Ô ∂Ú·ÙÔÛı¤Ó˘ ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ·ÓÙ¤ÍÂÈ ÙË ÛÙ¤ÚËÛË Ù˘ ÌÂϤÙ˘, Ô˘ ÙÔ˘ Â¤‚·ÏÂ Ë ÁÂÚÔÓÙÈ΋ Ù‡ÊψÛË Î·È ÙÂÏÈο ÙÂÚÌ¿ÙÈÛ ÙË ˙ˆ‹ ÙÔ˘, Û ËÏÈΛ· 82 ÂÙÒÓ, Ì ·ÂÚÁ›· ›ӷ˜.


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16:42

™ÂÏ›‰·30

- 30 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ŒÓ· ÎÔÈÓfi ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 5 Î·È 8 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ .... Î·È ÙÔ ∂∫¶(5, 8) = .... (‚) ∞Ó ÙÔ ∂∫¶(·, ‚) = ‚, Ô ‚ Â›Ó·È ................................................... ÙÔ˘ ·. (Á) ¶ÚÒÙÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ........................................................................... Î·È Û‡ÓıÂÙÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ................................................................... (‰) ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÙ·Ó.............................................

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔ ÎÂÓfi Ì ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ „ËÊ›Ô ÒÛÙÂ, Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› Ó· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 9: (·) 6  4, (‚) 95  4, (Á) 601  .

3.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·) EK¶ (3, 5) = 8 (‚) EK¶ (11, 6) = 17 (Á) EK¶ (5, 10) = 10 (‰) EK¶ (3, 2, 5) = 15 (Â) EK¶ (3, 6, 9) = 9 (ÛÙ) EK¶ (8, 12, 15) = 15

4.

∏ ÂÙ·ÈÚ›· ∞ ‚Á¿˙ÂÈ Ó¤Ô ÌÔÓÙ¤ÏÔ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ οı 2 ¯ÚfiÓÈ· ÂÓÒ Ë ÂÙ·ÈÚ›· µ οı 3 ¯ÚfiÓÈ· Î·È Ë ÂÙ·ÈÚ›· ° οı 5 ¯ÚfiÓÈ·. ∞Ó ÙÔ 2001 ¤‚Á·Ï·Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÂÙ·ÈÚ›˜ Ó¤· ÌÔÓ٤Ϸ, fiÙ ı· Í·Ó·‚Á¿ÏÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ì·˙› Ó¤Ô ÌÔÓÙ¤ÏÔ;

5.

ŒÓ·˜ Á˘ÌÓ·ÛÙ‹˜ ·Ú·Ù‹ÚËÛ fiÙÈ fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙ› ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ·’ Á˘ÌÓ·Û›Ô˘ ·Ó¿ 3, ·Ó¿ 5 Î·È ·Ó¿ 7 ‰ÂÓ ÂÚÈÛÛ‡ÂÈ Î·Ó¤Ó·˜. ¶fiÛÔÈ ‹Ù·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ·’ Á˘ÌÓ·Û›Ô˘ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ·˘Ùfi, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ 100 Î·È 200;

6.

√ °È¿ÓÓ˘ ËÁ·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ Î¿ı 10 Ë̤Ú˜ Î·È Ô ¡›ÎÔ˜ οı 12 Ë̤Ú˜. ∞Ó Û˘Ó·ÓÙ‹ıËÎ·Ó ÛÙȘ 10 ª·ÚÙ›Ô˘ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ, fiÙ ı· Í·Ó·Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó; ™ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÒÓ ÙÔ˘˜ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤¯ÂÈ ¿ÂÈ Ô Î·ı¤Ó·˜ ÙÔ˘˜ ¯ˆÚÈÛÙ¿ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ;

7.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·) ª∫¢ (5, 8) = 1 (‚) ª∫¢ (16, 24) = 4 (Á) ª∫¢ (30, 15) = 3 (‰) ª∫¢ (10, 30, 60) = 5 (Â) ª∫¢ (22, 32, 50) = 2

8.

¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ª∫¢ ÙÔ 24. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÏÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰·.

9. 10. 11. 12.

BÚ˜ ÙÔ˘˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. ¶ÔÈÔÈ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ; ¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È Û‡ÓıÂÙÔÈ;

9 36 15 20 18 30

5 8 5 10 11

15 66 45 30 36 60

8 16 15 30 72

30 132 50 60 27 120

40 24 30 60 82

To ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ÚÒÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Û‡ÓıÂÙÔ˜ Î·È ÁÈ·Ù›; ¡· ‚ÚÂȘ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜: (·) 28, (‚) 82, (Á) 95, (‰) 105, (Â) 124, (ÛÙ) 345, (˙) 1.232, (Ë) 3.999. ¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ıÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ: (·) 78, (‚) 348, (Á) 1.210, (‰) 2.344.


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16:42

™ÂÏ›‰·31

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 31 -

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË ºÀ™π∫√π ∞ƒπ£ª√π: 0, 1, 2, 3, 4,... ÕÚÙÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2 ¶ÂÚÈÙÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› Ô˘ ‰ÂÓ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2

¶Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¶ÚfiÛıÂÛË: · + ‚ = Á ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜: ·  ‚ = Á · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ Î·È · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Î·È ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ · Î·È ‚. ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ · Î·È ‚. π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘: π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡: ñ ·+‚ = ‚+· (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋) ñ · ‚ = ‚  · (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋) ñ ·+(‚+Á)=(·+‚)+Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋) ñ ·  (‚  Á ) = ( ·  ‚)  Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋) ñ ·+0=0+·=· (ÙÔ 0 ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ) ñ ·  1 = 1  · =· (ÙÔ 1 ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ) ∞Ê·›ÚÂÛË: · – ‚ = Á, ·>‚ ∆Ô · ϤÁÂÙ·È ÌÂȈ٤Ԙ, ÙÔ ‚ ϤÁÂÙ·È ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ Î·È ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ¿. ∞Ó · – ‚=Á ÙfiÙ ·=‚+Á ‹ · – Á=‚ ñ ·—0=·

∆¤ÏÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË · : ‚ = Á, ‚ 0 0 ∆Ô · ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜, ÙÔ ‚ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ Î·È ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ËÏ›ÎÔ. ∞Ó · : ‚=Á ÙfiÙ ·=‚  Á ‹ · : Á=‚ ñ · : 1=· Î·È · : ·=1 Î·È 0 : ·=0

∂¶πª∂ƒπ™∆π∫∏ π¢π√∆∏∆∞ ∆Ô˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË: ∆Ô˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË:

¢ ‡ Ó · Ì Ë : · Ó = ·  ·  ·  ...  · ( Ó Ê Ô Ú ¤ ˜ )

·(‚+Á)=· ‚+· Á ·(‚–Á)=· ‚–· Á ∆Ô · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Î·È ÙÔ Ó ÂÎı¤Ù˘

∂ ˘ Î Ï Â › ‰ Â È · ¢ È · › Ú Â Û Ë : ¢= ‰   + ˘ ,

0  ˘ <‰

∆Ô ¢ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜, ÙÔ ‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘, ÙÔ  ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘ ˘fiÏÔÈÔ

¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ¶Ú¿ÍÂˆÓ ➊ ¢˘Ó¿ÌÂȘ ➜ ➋ ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì Ô › Î · È ¢ È · È Ú ¤ Û Â È ˜ ➜ ➌ ¶ Ú Ô Û ı ¤ Û Â È ˜ Î · È ∞ Ê · È Ú ¤ Û Â È ˜ √È Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È Î·È Á›ÓÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿

√ƒπ™ª√π  ∆Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÂÙ·È ∂∫¶ ·˘ÙÒÓ.  √ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÂÙ·È ª∫¢ ·˘ÙÒÓ.  ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ · Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÌfiÓÔ ÙÔÓ · Î·È ÙÔ 1 ϤÁÂÙ·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·ÏÏÈÒ˜ ϤÁÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ˜.  ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÙ·Ó ª∫¢(·, ‚) = 1

    

K Ú È Ù ‹ Ú È · ¢ È · È Ú Â Ù fi Ù Ë Ù · ˜ : ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚ›ٷÈ: Ì ÙÔ 10, 100, 1000, ... ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 1, 2, 3,... ÌˉÂÓÈο Ì ÙÔ 2, ·Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ÙÔ˘ Â›Ó·È 0, 2, 4, 6, 8. Ì ÙÔ 5, ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 0 ‹ 5 Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9, ·Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9 Ì ÙÔ 4 ‹ 25, ·Ó Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· „ËÊ›· ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ 25.


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16:42

™ÂÏ›‰·32

- 32 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË 1.

πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: (100 – 30) – 10 = 100 – (30 – 10)

2.

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ì ÙÔ 11 ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì Ì ÙÔ 10 Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì 1.

3.

To ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3  3  3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 33.

4.

∆Ô 25 ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ 10.

5.

· + · + · + · = 4  ·.

6.

·  ·  ·  ·  ·  · = ·5.

7.

23 + 3 = 11.

8.

3  102 + 2  101 + 2  100 = 322.

9.

20 – 12 : 4 = 2.

10.

9  3 – 2 + 5 = 30.

11.

(3  1 – 3) : 3 = 0.

12.

™ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ڿ͈Ó: 7 + (6 5) + 4, ÔÈ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ‰ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È.

13.

∏ ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÂÚÈÙÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÂÚÈÙÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

14.

∞Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ · Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ‚, ÙfiÙÂ Ô · ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ ‚.

15.

∆Ô 38 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 2 Î·È ÙÔ˘ 3.

16.

√ ·ÚÈıÌfi˜ 450 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 Î·È ÙÔ 9.

17.

√ 35 Î·È Ô 210 ¤¯Ô˘Ó ̤ÁÈÛÙÔ ÎÔÈÓfi ‰È·ÈÚ¤ÙË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5.

18.

∆Ô ∂∫¶ ÙˆÓ 2 Î·È 24 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 48.

19.

∏ ‰È·›ÚÂÛË 420 : 15 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 18.

20.

∏ Û¯¤ÛË 177 = 5  35 + 2 Â›Ó·È ÌÈ· ¢ÎÏ›‰È· ‰È·›ÚÂÛË.

21.

√ ·ÚÈıÌfi˜ 3  · + 9 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3.

22.

√ ·ÚÈıÌfi˜ 300 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ 3  102.

23.

√ ·ÚÈıÌfi˜ 224 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 Î·È ÙÔ 8.

™ø™∆√ §∞£√™


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

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19:31

™ÂÏ›‰·33

ª∂ƒ√™ ∞ 

∫Ï¿ÛÌ·Ù· 2.1

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ̤۷ ·fi ‰È·‰Èηۛ˜ ¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ “fiÏÔ˘” Û ̤ÚË ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ̤۷ ·fi ‰È·‰Èηۛ· ·Ó·˙‹ÙËÛ˘ Û¯¤Û˘ ÌÂٷ͇ ÔÌÔÂȉÒÓ ÔÛÔًوÓ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·Ó·ÁˆÁ‹˜ ÛÙË ÌÔÓ¿‰· ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ̤ÚÔ˘˜ ·fi ÙÔ fiÏÔ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘.

2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ñ ñ ñ ñ

∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ∞ÏÔÔÈÒ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ªÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙË “¯È·ÛÙ› ȉÈfiÙËÙ·” ÁÈ· ÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô Ù˘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ: « ∞Ó · = Á ÙfiÙ · ‰ = ‚ Á». ‚ ‰

2.3. ™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ §‡Óˆ Û¯ÂÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

2.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ñ ¶ÚÔÛı¤Ùˆ Î·È ·Ê·ÈÚÒ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ §‡Óˆ Û¯ÂÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

2.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ µÚ›ÛΈ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ڿ͈Ó, ÙȘ ‰È·Ù˘ÒÓˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ñ ∫¿Óˆ ‰È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

∞ƒÃπª∏¢∏™ √ ™Àƒ∞∫√À™π√™ (287 - 212 .Ã.)

2o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

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19:31

™ÂÏ›‰·34

- 34 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.1. ∏ ¤ Ó Ó Ô È · Ù Ô ˘ Î Ï ¿ Û Ì · Ù Ô ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ŒÓ· ‚Ú¿‰˘ ÙÚÂȘ Ê›ÏÔÈ ·ÁÔÚ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ›ÙÛ· Î·È ÙËÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ÔÎÙÒ ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. √ ¤Ó·˜ ¤Ê·Á ÙÔ ¤Ó·, Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Ù· ÙÚ›· Î·È Ô ÙÚ›ÙÔ˜ ‰‡Ô ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ÂÚ›ÛÛ„·Ó. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ›ÙÛ·˜ Ô˘ ¤Ê·ÁÂ Ô Î·ı¤Ó·˜; ➣ ∆È Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ›ÙÛ·˜ ÂÚ›ÛÛ„Â;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ∞ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ .¯. Ô ÚÒÙÔ˜ ¤Ê·Á ÙÔ ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ ·fi Ù· ÔÎÙÒ Ù˘ ›ÙÛ·˜, ϤÌ fiÙÈ ¤Ê·Á ÙÔ 1 Ù˘ ›ÙÛ·˜. ∆fiÙÂ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 8

¤Ê·Á ٷ 3 Î·È Ô ÙÚ›ÙÔ˜ Ù· 2 ·˘Ù‹˜, ∂Ô̤ӈ˜, Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ì·˙› ¤Ê·Á·Ó 1+3+2=6 ·fi 8

8

Ù· ÔÎÙÒ ÎÔÌÌ¿ÙÈ·, ‰ËÏ·‰‹ Ù· 6 Ù˘ ›ÙÛ·˜. ÕÚ·, ÂÚ›ÛÛ„·Ó Ù· ˘fiÏÔÈ· ‰‡Ô ÎÔÌÌ¿ÙÈ· 8

·fi Ù· ÔÎÙÒ, ‰ËÏ·‰‹ Ù· 2 Ù˘ ›ÙÛ·˜. 8

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∫; ➣ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞∫, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È 32 cm;

N· ‚ÚÂȘ ˙‡ÁË ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Ó· ›ӷÈ: ∞

1 1 2 3 4 3 , , , , , ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. 3 2 3 2 3 4 µ

∫ °

¢

£

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ (·)

∆Ô ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ÓÔ Û 8 ›Û· ̤ÚË, Û˘ÓÂÒ˜ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÙÔ ÙÔ˘ ∞µ Î·È ÙÔ ∞∫ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ٷ

3 8 ÙÔ˘ ∞µ.

1 8

1 1 32 8 ·˘ÙÔ‡ ı· ›ӷÈ: 8  32 cm = 8 cm = 4 cm. ÕÚ· ÙÔ ∞∫ ı· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜: 3  4 cm = 12 cm.

(‚)

∂Âȉ‹ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È 32 cm, ÙÔ

(Á)

∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞° Â›Ó·È ÙÔ Î·È ÙÔ ∞∫ Ù·

1 3 ÙÔ˘ ∞∫ Î·È ÙÔ

1 2 2 ÙÔ˘ ∞¢. ∆Ô ∞¢ Â›Ó·È Ù· 3 ÙÔ˘ ∞∫

3 4 3 2 ÙÔ˘ ∞¢. ∆Ô ∞∂ Â›Ó·È Ù· 3 ÙÔ˘ ∞∫ Î·È ÙÔ ∞∫ Ù· 4 ÙÔ˘ ∞∂.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ¯ˆÚÈÛÙ›, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ¯ÚÒÌ·, Û ÙÚÈÒÓ ÂȉÒÓ Ì¤ÚË. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÈ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Î·ı¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘;


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

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19:31

™ÂÏ›‰·35

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 35 -

∏ ϤÍË “ÎÏ¿ÛÌ·” ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈ΋ ϤÍË “ÎÏ·›ˆ” ‹ “Îψ” Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ Îfi‚ˆ, ÙÂÌ·¯›˙ˆ οÙÈ. ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ÏÔÈfiÓ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ οÔÈÔ˘ Ú¿ÁÌ·ÙÔ˜. ™Ù· ª·ıËÌ·ÙÈο ıˆÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ ÌÔÈÚ¿˙ÂÙ·È, ÌÔÚ› Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û ›Û· ̤ÚË. ŒÙÛÈ, ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ “ÎÏ¿ÛÌ·” Ú¤ÂÈ Ó· ‰ËÏÒÓÂÈ Û fiÛ· ›Û· ̤ÚË ¯ˆÚ›Û·Ì ÙÔ ÔÏfiÎÏËÚÔ (ÙÔÓ “fiÏÔÓ”) Î·È fiÛ· ·fi ·˘Ù¿ ‹Ú·ÌÂ. fiÛ· ̤ÚË ‹Ú·Ì ·ÚÈıÌËÙ‹˜ : ∫Ï¿ÛÌ·: Û fiÛ· ›Û· ̤ÚË ¯ˆÚ›Û·Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ı˘ÌËıԇ̠fiÛ· ‹‰Ë ¤¯Ô˘Ì ̿ı ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Ì·˜ ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 







ŸÙ·Ó ¤Ó· ̤ÁÂıÔ˜ ‹ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÔÌÔÂȉÒÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ¯ˆÚÈÛı› ÛÂ Ó ›Û· ̤ÚË, ÙÔ Î¿ı ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÓÈÔÛÙfi Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ 1 . Ó

∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ 1.

2 ➚ fiÚÔÈ ÙÔ˘ 3 ➘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜

‰È·‚¿˙ÂÙ·È “ ‰ ‡ Ô Ù Ú › Ù · ”

1 5 = 5  7 7

∫¿ı ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ‹ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Î Ù¤ÙÔÈ· ›Û· ̤ÚË, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Î Î·È Ó ‰È·‚¿˙ÂÙ·È «Î¿· ÓÈÔÛÙ¿».

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. ∆fiÙ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ 1.

·ÚÈıÌËÙ‹˜ ➞ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ➞ ÁÚ·ÌÌ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ➞

1

1

Î

Î Ó = Ó Î= Ó E›Ó·È

8 3 >1

Ó≠0

‰ÈfiÙÈ 8 > 3

15 6 21 6= 1 , 15= 1 , 21= 1

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

ªÈ· ÛÔÎÔÏ¿Ù· ˙˘Á›˙ÂÈ 120 gr Î·È ¤¯ÂÈ 6 ›Û· ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. (·) ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÛÔÎÔÏ¿Ù·˜ Â›Ó·È ÙÔ Î¿ı ÎÔÌÌ¿ÙÈ; (‚) ¶fiÛ· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ú¤ÂÈ Ó· Îfi„Ô˘Ì ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì 40 gr;

§‡ÛË (‚)

1 6 Ù˘ ÛÔÎÔÏ¿Ù·˜. 1 ∆Ô ‚¿ÚÔ˜ οı ÎÔÌÌ·ÙÈÔ‡ ı· Â›Ó·È ÙÔ 6 ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ ÛÔÎÔÏ¿Ù·˜, ‰ËÏ·‰‹ 1 120 2 6  120 gr = 6 gr = 20 gr. ÕÚ· Ù· 40 gr Â›Ó·È Ù· 6 Ù˘ ÛÔÎÔÏ¿Ù·˜.

(·)

∆Ô Î¿ı ÎÔÌÌ¿ÙÈ Â›Ó·È ÙÔ

¢ËÏ·‰‹, Ú¤ÂÈ Ó· Îfi„Ô˘Ì 2 ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì 40 gr.

2.

∆Ô Î·Ì·Ó·ÚÈfi ÌÈ·˜ ÂÎÎÏËÛ›·˜ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 20 m, ÂÓÒ Ë ÂÎÎÏËÛ›· ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ Ù· 3 ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ηÌ·Ó·ÚÈÔ‡. 5 ¶ÔÈÔ Â›Ó·È Ùo ‡„Ô˜ Ù˘ ÂÎÎÏËÛ›·˜;

§ ‡ Û Ë ∆Ô 5 ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ηÌ·Ó·ÚÈÔ‡ Â›Ó·È 20m, ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ 5 1 1 20 3 ·˘ÙÔ‡ ı· Â›Ó·È  20 cm = m = 4m . ∆fiÙ ٷ 5 5 5 5 ı·

Â›Ó·È 3  4 m = 12 m. ÕÚ· ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÂÎÎÏËÛ›·˜ ı· Â›Ó·È 12 m.

20 m

;m


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:31

™ÂÏ›‰·36

- 36 -

3.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

ªÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÂÙÚÂÏ·›Ô˘ Û ÌÈ· ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·, ¯ˆÚ¿ÂÈ 2000 lt. √ ‰È·¯ÂÈÚÈÛÙ‹˜ Û ÌÈ· ̤ÙÚËÛË ‚ڋΠfiÙÈ ‹Ù·Ó ÁÂÌ¿ÙË Î·Ù¿ Ù· 3 . ¶fiÛ· Ï›ÙÚ· ÂÙڤϷÈÔ Â›¯Â Ë ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹; 4

§‡ÛË ∏ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÔÏfiÎÏËÚË Â›Ó·È Ù· ∆Ô

4 4 Î·È ¯ˆÚ¿ÂÈ 2000 lt.

1 4 Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ ı· ¯ˆÚ¿ÂÈ

1 2000 4 2000 lt = 4 lt = 500 lt. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· 

4.

3

:4 4 4

3 4

1 4

3 4 ı· ÂÚȤ¯Ô˘Ó 3  500 lt = 1.500 lt.

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ ÍÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ Ô˘ Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. 3 8 ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡ Ù˘Ú› ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 27 Q. ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó Ù· ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡; 5 9

§‡ÛË 3 1 5 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 27 Q. ÕÚ· ÙÔ 5 ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 27 Q : 3 = 9 Q. 5 ∆· 5 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 5  9 Q = 45 Q. ∆·



∆·

5

:3 3 5

5 =1 5

1 5

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ (·Ó·ÁˆÁ‹ ÛÙË ÌÔÓ¿‰·).

9 1 45 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 45C. ÕÚ· ÙÔ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 9 9 9 C = 5 C.

ŒÙÛÈ Ù·

8 9 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 8  5 Q = 40 Q.

¢ÈfiÙÈ Â›Ó·È: 1 =

8

:9 9 9

1 9

8 9

5 9 5 = 9 =…

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: Î (·) ™ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Î Î·È Ï ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È .................................................... Ï · · 0 = ........ (‚) = ........ (Á) = ........ 1 · · Î (Á) ∏ ÊÚ¿ÛË “ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ∞” ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔÓ ¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ï ∞ Û ........................................................................................................................ 3 2 7 10 18 ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· , , , , Â›Ó·È fiÏ· ÌÈÎÚfiÙÂÚ· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜; 4 3 9 9 20 ∆È ÎÏ¿ÛÌ· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ Ù¿Í˘ 28 Ì·ıËÙÒÓ Â›Ó·È ÔÈ 4 ·fiÓÙ˜; (‚)

2. 3. 4.

∞Ó ÙÔ

πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: (·)

1 5

ÂÓfi˜ ÎÈÏÔ‡ ηڇ‰È· Â›Ó·È 14 ηڇ‰È·, ÙÔ ÎÈÏfi ÂÚȤ¯ÂÈ 70 ηڇ‰È·;


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:31

™ÂÏ›‰·37

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 37 -

5.

∆· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ¯ˆÚÈÛÙ› Û ›Û· ̤ÚË. °Ú¿„ ÁÈ· ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘.

6.

∞fi Ì›· ÙÔ‡ÚÙ· ÂÚ›ÛÛ„·Ó Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ô˘ ‚ϤÂȘ 2 ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· Ù˘ ÙÔ‡ÚÙ·˜. 7 ¶fiÛ· ‹Ù·Ó ·Ú¯Èο fiÏ· Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ù˘ ÙÔ‡ÚÙ·˜;

7.

µÚ˜ ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡ Â›Ó·È Ù·: (·) 100, (‚) 250, (Á) 500, (‰) 600 ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ·.

8.

¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜: (·) ÙÔ˘ Ì‹Ó·, (‚) ÙÔ˘ ÂÍ·Ì‹ÓÔ˘, (Á) ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÔÈ 15 Ë̤Ú˜;

9.

ŒÓ· ηٿÛÙËÌ· οÓÂÈ ¤ÎÙˆÛË ÛÙ· ›‰Ë ÙÔ˘ ›ÛË Ì ٷ

10.

™Â ÌÈ· Ù¿ÍË Ù·

11.

™Â ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ë ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È 33 ÂηÙÔÛÙ¿ Î·È Ë ¿ÏÏË 3 Ù· Ù˘ ÚÒÙ˘. ¡· ‚ÚÂȘ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘. 11

12.

ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 5 ÂηÙÔÛÙ¿. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ: (·) ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ 8 6 ÙÌ‹Ì· °¢ Ì ̋ÎÔ˜ Ù· ÙÔ˘ ∞µ Î·È (‚) ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∂∑ Ì ̋ÎÔ˜ Ù· ÙÔ˘ ∞µ. 10 5

2 Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘˜. ŒÓ· 5 ÊfiÚÂÌ· ÎfiÛÙÈ˙ 90 Q ÚÈÓ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË. ÀÔÏfiÁÈÛ fiÛ· ¢ÚÒ ¤ÎÙˆÛË ¤ÁÈÓ ÛÙÔ ÊfiÚÂÌ· Î·È fiÛÔ ı· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ÙÔ ·ÁÔÚ¿ÛÔ˘ÌÂ. 3 ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì·ı·›ÓÔ˘Ó ·ÁÁÏÈο. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ¤¯ÂÈ 8 Ë Ù¿ÍË, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ ·˘ÙÔ› Ô˘ Ì·ı·›ÓÔ˘Ó ·ÁÁÏÈο Â›Ó·È 12 Ì·ıËÙ¤˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

Ãڈ̿ÙÈÛ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Ù· ̤ÚË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ӷ οو ·fi οı ۯ‹Ì·. 2 6

2.

1 4

10 16

N· ‚ÚÂȘ ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î¿ı ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

3 5


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

10-11-06

14:46

™ÂÏ›‰·38

- 38 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

A.2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∆· ·Ú·Î¿Ùˆ ¤ÓÙ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ӷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Û ›Û· ̤ÚË. ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÁÈ· ηıÂÌ›· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘; ➣ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û‡ÁÎÚÈÓ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ı· ‚ÚÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ➣ ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ‚ڋΘ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

· Á Î·È Ï¤ÁÔÓÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· fiÙ·Ó ‚ ‰ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ‹ ›ÛˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ. ∂Âȉ‹ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Â›Ó·È Î·È ›Û· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: Á · = ‚ ‰ ¢‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

2 3

10 15

ηÈ

ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·

2 10 3 = 15

‰ËÏ·‰‹:

 ∞Ó ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·‚ Î·È ‰Á Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙfiÙ ٷ “ ¯ È · Û Ù › Á È Ó fi Ì Â Ó · ” ·  ‰ Î·È ‚  Á Â›Ó·È ›Û·. ¢ËÏ·‰‹:

Á · ·Ó ‚ = ‰ ÙfiÙÂ: ·  ‰ = ‚  Á

2 10 3 = 15 ÙfiÙÂ:

2  15 = 3  10

°È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ‹ ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ηÓfiÓ˜:

 ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÔ‡Ó ÔÈ fiÚÔÈ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔÓ

2 2 4 8 = = 3 3  4 12

 ŸÙ·Ó ÔÈ fiÚÔÈ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ‰È·ÈÚÂıÔ‡Ó Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê˘ÛÈÎfi

10 1 0 : 5 2 15 = 1 5 : 5 = 3

›‰ÈÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi (  0) ÚÔ·ÙÂÈ ÎÏ¿ÛÌ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ.

·ÚÈıÌfi (  0 )  Ú Ô Î ‡  Ù Â È Î Ï ¿ Û Ì · È Û Ô ‰ ‡ Ó · Ì Ô .



∏ ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ·ÏÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ì ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜.



∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ÂΛÓÔ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·ÏÔÔÈËı› (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹) ϤÁÂÙ·È ·Ó¿ÁˆÁÔ.



ŸÙ·Ó ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ϤÁÔÓÙ·È ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÙÂÚÒÓ˘Ì·.

7 12

·Ó¿ÁˆÁÔ

·ÊÔ‡ ª∫¢(7, 12)=1

2 7

,

5 7

ÔÌÒÓ˘Ì·

2 7

,

5 3

ÂÙÂÚÒÓ˘Ì·


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:31

™ÂÏ›‰·39

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 39 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙÂ ·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

3 10 3 18 Î·È , (‚) Î·È Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. 5 14 8 48

§‡ÛË (·)

ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ٷ “¯È·ÛÙ› ÁÈÓfiÌÂÓ·”, ‰ËÏ·‰‹: 3  14 = 42 Î·È 5  10 = 50 ∆· ÁÈÓfiÌÂÓ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· Î·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·.

(‚)

ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ٷ “¯È·ÛÙ› ÁÈÓfiÌÂÓ·”: 3  48 = 144 Î·È 8  18 = 144 18 3 ∆· ÁÈÓfiÌÂÓ· Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· Î·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, ‰ËÏ·‰‹: ηÈ

8

2.

¡· ·ÏÔÔÈËı› ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

48

30 . 66

§‡ÛË √ ª∫¢ ÙˆÓ fiÚˆÓ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 30 Î·È 66 ›ӷÈ: ª∫¢(30, 66) = 6

30 30 : 6 5 60 = 60 : 6 = 11

¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ 6 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ:

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ·Ô‡Ó Û ÔÌÒÓ˘Ì· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

3 2 5 , Î·È 5 3 20

§‡ÛË 

ª∫¢(5, 20) = 5

¶ÚÈÓ ·fi οı ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÂÙÂÚÒÓ˘ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û ÔÌÒÓ˘Ì· ÂϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È.

¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ 5 ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ 5 Î·È 20 ¤¯Ô˘ÌÂ:

5 = 20

5:5 20:5

=

1 4



µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂∫¶ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ ÙˆÓ ·Ó¿ÁˆÁˆÓ ÂÙÂÚˆÓ‡ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

3 2 1 , , ∂∫¶(5, 3, 4) = 60 5 3 4



¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ ∂∫¶ Ì ηı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

60 : 5 = 12 60 : 3 = 20 60 : 4 = 15 12 ¬ 3 1 2 36 3 = = , 5 1 2 60 5



¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ οı ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Â› ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‚ڋηÌÂ.

∂Ô̤ӈ˜ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¿ËÎ·Ó ÛÙ· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÔÌÒÓ˘Ì·:

20 ¬ 220 40 2 = 320 = , 60 3 15 ¬ 115 15 1 = 415 = 60 4

36 40 15 60 , 60 Î·È 60


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·40

- 40 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ϤÁÔÓÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, fiÙ·Ó .......................................................................... Á · (‚) ∞Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = , ÙfiÙ ÔÈ fiÚÔÈ ·, ‚, Á Î·È ‰ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ............................ ‰ ‚ (Á) ∞Ó¿ÁˆÁÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ............................................................................... (‰) OÌÒÓ˘Ì· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ..................................................................... (Â)

∂ÙÂÚÒÓ˘Ì· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ...................................................................

(ÛÙ)

∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔÓ ª∫¢ ÙÔ˘˜, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Á›ÓÂÙ·È .............................................................................................................................

2.

¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÔÈ· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: 13 26 3 1 2 18 7 30 (·) , , (‚) , , (Á) , , (‰) , . 14 28 4 2 3 27 8 40

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ 3 8 4 5 60 ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 100: (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 2 75 4 5 20 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3: 10 50 18 (·) , (‚) , (Á) . 6 30 27

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2 Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹:(·) 6, Î·È (‚) 15. 3 ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ Ù· ÎÂÓ¿, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 22 ... 9 14 ... 48 ... 2 (·) = , (‚) = , (Á) = , (‰) = . ... 5 15 4 20 36 24 3 ¡· ÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

25 12 32 , (‚) , (Á) . 30 9 56

¡· ‚ÚÂȘ ÔÈ· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁ·:(·) N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÌÒÓ˘Ì· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. 10 (·) ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È Ì ÙÔ 5. 25 3 5

(‚)

∆Ô ÎÏ¿ÛÌ·

(Á)

∞Ó ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

32 15 51 26 , (‚) , (Á) ,(‰) . 30 14 16 50

3 7 7 3 11 7 Î·È , (‚) Î·È , (Á) Î·È . 5 9 8 10 3 12 ™ø™∆√ §∞£√™

Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. x 8

ÙÚ·› Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ·ÚoÓÔÌ·ÛÙ‹ 24,

o ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ˜ ÙÔ˘ x. (‰) (Â) (ÛÙ) (˙)

∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ÙÔÓ ·ÚoÓÔÌ·ÛÙ‹ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Â› 4, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ı· Á›ÓÂÈ 4 ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. 18 ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È Ì ÙÔ 6. 522 ŒÓ· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1. 0 0 = . 4 10

(Ë)

23 20 + 3 3 = = . 30 20 + 10 10

(ı)

3 60 = . 11 220

(È)

5 41 = . 5 41

(È·)

∆Ô ÎÏ¿ÛÌ·

·+‚ 1

Â›Ó·È ¿ÓÙ· ›ÛÔ Ì · + ‚.


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·41

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 41 -

∞.2.3. ™ ‡ Á Î Ú È Û Ë Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ Î¿ı ¯ÚÒÌ·, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·; ∏ ª·Ú›· › ˆ˜ ÙÔ ÚÔ˙ ¯ÚÒÌ· 9 10 7 ηٷϷ̂¿ÓÂÈ Ù· , ÙÔ Á·Ï¿˙ÈÔ Ù· Î·È ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ù· . 48 48 48 3 5 ∂ÓÒ Ô °È¿ÓÓ˘ › fiÙÈ ÙÔ ÚÔ˙ Â›Ó·È Ù· , ÙÔ Á·Ï¿˙ÈÔ Ù· Î·È 16 24 1 ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ ÙÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 8 ➣ ¶ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ Î·È ÔÈÔ˜ fi¯È; ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÁÚ¿„ÂȘ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ̤ÚË ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë

™¯ÔÏ›Ô

¢È¿‚·ÛÌ· ™ÙÔ Î˘ÎÏÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ê·›ÓÂÙ·È Ò˜ ηٷӤÌÔÓÙ·È ÔÈ ÒÚ˜ ÂÓfi˜ ⁄ÓÔ˜ ∞ı 24ÒÚÔ˘ ·fi ¤Ó· Ì·ıËÙ‹, Ù˘ ∞’ °˘ÌÓ·Û›Ô˘. ÏË ÙÈÛ Ìfi ➣ ∆È Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·; ˜ ¶ · È ¯ Ó › ‰ È ➣ ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ‰È·ÚΛ οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·; ➣ ™Â ÔÈ· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ‰··Ó¿ ÙÔÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ¯ÚfiÓÔ; ➣ °Ú¿„ Û ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û οı ̛· ·fi ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ¯ÚfiÓÔ.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ 24ˆÚÔ Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ÓÔ Û 12 ÎÔÌÌ¿ÙÈ·, ·fi Ù· ÔÔ›· Ù· 4 ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔÓ ‡ÓÔ, Ù· 3 ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ˆÚ¿ÚÈÔ, Ù· 2 ÛÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ·, ÙÔ 1 ÛÙÔÓ ·ıÏËÙÈÛÌfi Î·È Ù· 2 ÛÙÔ

4 12 ÙÔ˘ Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘, ÁÈ· 3 2 1 2 ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô Ù· 12 , ÁÈ· ÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ· Ù· 12 , ÁÈ· ÙÔÓ ·ıÏËÙÈÛÌfi ÙÔ 12 Î·È ÁÈ· ÙÔ ·È¯Ó›‰È Ù· 12 ·È¯Ó›‰È. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ô˘ ·ÊÈÂÚÒÓÂÙ·È ÁÈ· ‡ÓÔ Â›Ó·È Ù·

∂Âȉ‹ οı ÎÔÌÌ¿ÙÈ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ‰‡Ô ÒÚ˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ fi ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ·ÊÈÂÚÒÓÂÙ·È ÁÈ· οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ›ӷÈ: 8 ÒÚ˜ ÁÈ· ‡ÓÔ, 6 ÒÚ˜ ÁÈ· ÙÔ Û¯ÔÏ›Ô, 4 ÒÚ˜ ÁÈ· ‰È¿‚·ÛÌ·, 2 ÒÚ˜ ÁÈ· ·ıÏËÙÈÛÌfi Î·È 4 ÒÚ˜ ÁÈ· ·È¯Ó›‰È. ÕÚ·, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÙ‹ÙˆÓ Â›Ó·È: 8 ÒÚ˜(⁄ÓÔ˜) > 6 ÒÚ˜(™¯ÔÏ›Ô) > 4 ÒÚ˜ (¢È¿‚·ÛÌ·) = 4 ÒÚ˜ (¶·È¯Ó›‰È) > 2 ÒÚ˜ (∞ıÏËÙÈÛÌfi˜).

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °ÂÓÈο, ÁÈ· ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂÍ‹˜:

 



∞fi ‰‡Ô ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÂΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì Û ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜.

5 9 > 13 13 7 °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›Óˆ Ù· 12

ηÈ

5 16

Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤ˆ Û ÔÌÒÓ˘Ì·:

7 28 12 = 48

ηÈ

5 15 16 = 48

∞fi ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÂΛÓÔ Ì ÙÔÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

ÕÚ·:

7 5 12 > 16

13 13 9 < 5


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·42

- 42 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

§‡ÛË

7 7 Î·È . 10 15

7 10

∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ “Û fiÛ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ̤ÚË ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ì¤ÁÂıÔ˜, ÙfiÛÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚ· Â›Ó·È Ù· ̤ÚË ·˘Ù¿”.

2.

1 1 7 < < ¢ËÏ·‰‹: Î·È 15 10 15

7 . 10

N· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:

5 4 Î·È . 8 9

7 15

§‡ÛË ªÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ∂∫¶(8, 9)=72, ÂÔ̤ӈ˜

72 : 8 = 9 Î·È 72 : 9 = 8

3.

9 ¬ 5 ÔfiÙÂ 8

=

45 72

8 ¬ 4 Î·È 9

=

32 5 4 > . ÕÚ· . 72 8 9

¡· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

2 8 Î·È (‚) . 3 5

§‡ÛË (·)

°È· ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

2 2 3 ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ: 0 < < = 1. ¢ËÏ·‰‹ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ 3 3 3

ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 0 Î·È 1. ∂Âȉ‹ Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 3, Ë 2 3

·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ 0 Î·È 1 Ú¤ÂÈ Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û 3 ›Û· ̤ÚË. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô µ ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË

0

}

2 2 Ì ٷ ÙÔ˘ √∞. ŒÙÛÈ, ÙÔ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ. O 3 3 2 8 5 8 10 < < = 2. °È· ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ: 1 = 5 5 5 5

(‚)

ÙÔ˘ √∞

1

B

A

∫·ı¤Ó·, ·fi Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· √∞ Î·È ∞µ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË ÌÔÓ¿‰·.

1 Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. 5 1 ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· √° ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 8 ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· Ì ÙÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ 5 8 8 ÙÔ Î·ı¤Ó·. ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ √° Â›Ó·È ÙÔ˘ 5 10 5 5 1 = 2= 0 5 5 ↓ 8 O √∞. ÕÚ· ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È 5 A ° B 4 ÙÔ˘ √∞ ∆· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ì Û 5 ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÒÛÙ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ

}

ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.

4.

¡· ‚ÚÂı› ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ

§‡ÛË ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

2 3 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· . 5 5

2 3 Î·È Â›Ó·È ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘ 2 Î·È 3 ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ 5 5

¿ÏÏÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ªÔÚÔ‡ÌÂ, fï˜, Ó· ‚Úԇ̠ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·˘Ù¿

4 6 Î·È , ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÒÓ ÙÔ˘˜ 4 Î·È 6 ˘¿Ú¯ÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5. 10 10 5 4 6 2 5 3 < < ∂Ô̤ӈ˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Î·È , ı· Â›Ó·È Î·È 10 10 10 5 10 5

.¯. Ù·


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·43

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 43 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ú¤ÂÈ ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È .........................................

(‚)

ŒÓ· ÎÏ¿ÛÌ· ›ӷÈ: (i) ›ÛÔ Ì 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ..........................................ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. (ii) ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ......................... ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. (iii) ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ..................... ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. · ‚ ∞Ó > ÙfiÙ ......................................... Á Á

(Á)

2.

™‡ÁÎÚÈÓ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:(·)

3.

°Ú¿„Â Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

4.

™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ 1 Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

5.

µ¿Ï Û ÛÂÈÚ¿ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:

3 5 3 3 4 8 Î·È , (‚) Î·È , (Á) Î·È . 7 7 5 9 5 12

31 31 31 31 31 , , , , ÛÂ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. 10 14 11 13 12 5 9 12 16 109 , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 8 10 11 16 120

3 8 5 20 7 , , , , . 5 15 10 15 5

6.

µÚ˜ ÌÂٷ͇ ÔÈˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ 5 7 8 63 125 ÎÏ¿ÛÌ·Ù· (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 3 2 9 5 10

7.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 1 3 5 1 3 4 9 (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) , (ÛÙ) , (˙) . 2 2 2 4 4 5 10

8.

¶ÔÈÔÈ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜: (·)

9.

1

0 O ↑ A

B

2 ↑

°

(‚)

¢

1

0 ↑

O

B

A

2 ↑

°

¢

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙȘ ÎÂÓ¤˜ ı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ›Ó·Î· Ì ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÁÚ¿ÌÌ· Î·È ÌÂÙ¿ ‚¿Ï ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ‚ڋΘ Û Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. A

B

°

¢

B

°

™∆

¢

∂ ™∆ ∑


∫∂º.2-A§°.(33-54)-(20,5 à 28)

3-12-06

14:27

™ÂÏ›‰·44

- 44 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.4. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë Î · È ∞ Ê · › Ú Â Û Ë Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë 4 ÌÈ·˜ Ï·Ù›·˜ 12 Ï·Ù›·˜ Ì ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·. ∆ËÓ ÂfiÌÂÓË Ë̤ڷ Ô˘ Ô Î·ÈÚfi˜ ‰ÂÓ 3 ‹Ù·Ó ηÏfi˜ ʇÙ„ ÌfiÓÔ Ù· Ù˘ Ï·Ù›·˜. 12 ➣ ¶ÔÈÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ Ï·Ù›·˜ ›¯Â Ê˘Ù¤„ÂÈ, Û˘ÓÔÏÈο, ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜; ∆Ô Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô ÙÔ˘ ¢‹ÌÔ˘ ʇÙ„ Û ÌÈ· ̤ڷ Ù·

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

1Ë Ë̤ڷ

∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜ ¤¯Ô˘Ó Ê˘Ù¢Ù›, Û˘ÓÔÏÈο, Ù· ¶Ú¿ÁÌ· Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·

7 12 Ù˘ Ï·Ù›·˜.

4 7 3 12 + 12 οÓÂÈ 12

4 12 3 12

2Ë Ë̤ڷ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë 2 Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ¶¿ÙÚ· - ∆Ú›ÔÏË. 5 ¶∞∆ƒ∞ ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ̤ÓÂÈ Ó· ηχ„ÂÈ ·ÎfiÌË;

ŒÓ· ÊÔÚÙËÁfi Î¿Ï˘„ Û ̛· ÒÚ· Ù·

2 5

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ Ÿˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Î·Ï˘Êı› Ù·

3 5 Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜.

5 5

5 2 3 ∂Ô̤ӈ˜, Ë ‰È·ÊÔÚ¿ 5 – 5 οÓÂÈ Ù· 5 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜.

3 5

∆ƒπ¶√§∏

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ªÈ· ‚Ú‡ÛË ÁÂÌ›˙ÂÈ, Û 1 ÒÚ·, Ù·

2 Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜. ªÈ· ¿ÏÏË 5

1 Ù˘ ›‰È·˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜, Â›Û˘ Û 1 ÒÚ·. 3 ∞Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ‚Ú‡Û˜ ÙÚ¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ̤۷ ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹, ÙÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Û 1 ÒÚ·; ‚Ú‡ÛË ÁÂÌ›˙ÂÈ ÙÔ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ AÓ ÔÈ ‚Ú‡Û˜ “ÙÚ¤¯Ô˘Ó” Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÁÈ· 1 ÒÚ· ı· ¤¯Ô˘Ó ÁÂÌ›ÛÂÈ ¤Ó· ÙÌ‹Ì· Ù˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ·˘Ù‹˜ Ô˘ Ë Î¿ı ̛· ÁÂÌ›˙ÂÈ Í¯ˆÚÈÛÙ¿. ¢ËÏ·‰‹ ÙÔ ...

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °ÂÓÈο, ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂÍ‹˜:  ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· 7 + 2 7+2 9 ·+‚ ‚ · ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ + = 5= 5 =5 5 Á Á Á ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜.


∫∂º.2-A§°.(33-54)-(20,5 à 28)

13-12-06

13:04

™ÂÏ›‰·45

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 45 -



¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÊÔ‡ ÚÒÙ· Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì Û ÔÌÒÓ˘Ì·.



∞Ê·ÈÚԇ̠‰‡Ô ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·Ê·ÈÚÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜.



∞Ê·ÈÚԇ̠‰‡Ô ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÊÔ‡ Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ÚÒÙ· Û ÔÌÒÓ˘Ì·.



ªÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙ› Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì 1 + 5 , ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÈÔ ·Ï¿ 1 5 . √ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜, Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÓfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘ Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÈÎÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

7 + 2 21 + 8 29 3 = 12 5 = 12 4 4 – 2 = 4–2 = 2 5 5 5 5

· ‚ ·–‚ – = Á Á Á

7 – 2 = 21 – 8 = 13 4 3 12 5 12

4



4

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

1 2 + + 3. 4 4

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·

§‡ÛË ªÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Û ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ 4. ∂›Ó·È:

2.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: (·)

§‡ÛË (·)

3.

1 2 1 2 3  4 = 1 + 2 + 12 = 15 . 4 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4 4 4 4 4 ·+‚ · ·–‚ · = + 1 Î·È (‚) = – 1. ‚ ‚ ‚ ‚

·+‚ · ‚ · = + = ‚ ‚ ‚ ‚

+ 1

(‚)

·–‚ · ‚ · = – = – 1 ‚ ‚ ‚ ‚

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

§‡ÛË

3 7 Î·È . 12 20

∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· Î·È Ú¤ÂÈ ÚÒÙ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚÚ·Ô‡Ó Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÔÌÒÓ˘Ì·. Œ¯Ô˘ÌÂ: ∂∫¶(12, 20) = 60 ÔfiÙÂ: 60 : 12 = 5 Î·È 60 : 20 = 3 5 3 ÕÚ·: 12

¬

3

7  3 21 7 3  5 15 21 15 = = Î·È 20 = 20  3 = . ∂Âȉ‹ > ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› 60 60 60 12  5 60

¬

7

3

21

15

21 – 15 6 = 60 = 60 7 3 21 15 21 + 15 36 + = + = = 20 12 60 60 60 60 =

Ë ‰È·ÊÔÚ¿: 20 – 12 = 60 – 60 = ηÈ

4.

¡· ‚ÚÂı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿:

6:6 1 60 : 6 = 10 36 : 12 3 = 60 : 12 5

15 – 1 Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Á›ÓÂÈ ÌÂÈÎÙfi˜. 4

§‡ÛË 15 15 4 15 – 4 11 = 4 . °È· Ó· ÙÚ¤„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û ÌÂÈÎÙfi 4 – 1 = 4 – 4 = 4 ·ÚÈıÌfi ÂÎÙÂÏԇ̠ÙËÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË: 11 = 4  2 + 3 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: 2 4 + 3 2 4 11 3 3 3 = 4 + 4 = 2 + 4 = 2 4 . 4 4 =


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·46

- 46 -

5.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·: 2 + 12.

§‡ÛË 1 1 2 1 1 2 3 1 3 1 6 3 1 6+3+1 10 2+1 3 =2+1+ 3 = 1 + 1 + 3 = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 + 3 = 3 = 3 .

6.

TËÓ ÚÒÙË Ë̤ڷ ¤Ó·˜ ÎËÔ˘Úfi˜ ÎÔ‡Ú„ ÙÔ Áη˙fiÓ ÛÙÔ 1 ÌÈ·˜ ÛÙÚÔÁÁ˘Ï‹˜ Ï·Ù›·˜. ∆ËÓ ‰Â‡ÙÂÚË Ë̤ڷ, ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÌÈ·˜ ‰˘Ó·Ù‹˜ ‚ÚÔ¯‹˜, ηٿÊÂÚ ӷ ÎÔ˘Ú¤„ÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ 2.

2Ë Ë̤ڷ

§‡ÛË

1 3

2

=6

1Ë Ë̤ڷ 1 3 2=6

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Ï·Ù›·˜ Ô˘ ÎÔ˘Ú‡ÙËÎÂ, ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜, ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ·Ú¿ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ

1 1 2 Î·È ÙÔ 3 . AÏÏ¿,

ÁÈ· Ó· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ú¤ÂÈ Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ٷ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ÕÚ·, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

1 1 3 2 5 2 + 3 = 6 + 6 = 6 . °È· Ó· ‚Úԇ̠ÔÈÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ù˘

Ï·Ù›·˜ ¤¯ÂÈ ·ÔÌ›ÓÂÈ ÁÈ· ÎÔ‡ÚÂÌ·, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ·fi ÙÔ fiÏÔ Ì¤ÚÔ˜, ‰ËÏ·‰‹:

6 5 1 6 – 6 = 6

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·)

5 2 + , (‚) 3 3

11 2 + , (Á) 13 13

4 2 8 2 + (‰) + , 9 3 12 3

17 3 15 5 + , (ÛÙ) + , Î·È ·ÏÔÔ›ËÛ ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ·. 20 15 12 4 ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜ Î·È Ó· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, fiÔ˘ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ 3 1 8 3 10 3 4 2 7 5 3 3 ÎÏ¿ÛÌ·: (·) – , (‚) – , (Á) – ,(‰) – , (Â) – , (ÛÙ) – . 2 2 9 9 8 4 9 27 3 8 7 11 (Â)

2.

5 , (‚) 4 1 , (Á) 2 1 8 10 9

3. 4.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ˘˜ ÌÂÈÎÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 3

5.

12 16 3 3 YÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) 8 +2, (‚) +1, (Á) + +5. 15 20 10

6.

¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜: (·) 3 – 2

∫¿Ó ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÂÈÎÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·)

15 5 38 , (‚) , (Á) . 4 2 12

1 1 1 2 4 , (‚) 4 – 2 , (Á) 1 – . 5 3 2 3 5

7.

2 1 ÙÔ˘ ÔÛÔ‡, Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 8 5 ÏÈÁfiÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ÚÒÙÔ Î·È Ô ÙÚ›ÙÔ˜ Ù· ˘fiÏÔÈ·. ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÛÔ‡ ‹ÚÂ Ô Î·ı¤Ó·˜ Î·È fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÛÔ‡ ÁÈ· οı ·‰ÂÏÊfi;

8.

5 ¶ÔÈÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 3 ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠¿ıÚÔÈÛÌ· ; 9 8

9.

2 1 ŒÓ·˜ ·ÁÚfiÙ˘ Ô‡ÏËÛ Û ٤ÛÛÂÚȘ ÂÌfiÚÔ˘˜ Ù· 2 , , Î·È 1 Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ 5 15 3 10 ÙÔ˘. ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ¤ÌÂÈÓ ·Ô‡ÏËÙÔ;

∆Ú›· ·‰¤ÏÊÈ· ÌÔ›Ú·Û·Ó 20.000 Q. √ ÚÒÙÔ˜ ‹Ú ٷ


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:32

™ÂÏ›‰·47

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

10.

- 47 -

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™ 4 5

(·)

+

(‚)

1 3

+ 4 = 20

(ÛÙ)

(Á)

1 5

+ 1 = 13 6

(˙)

(‰)

8 5

3 5

=

3

=1+

7 5

=1

2 5

™ø™∆√ §∞£√™

3 5

(Â)

12

1 5

2 3

+

3+5 5 8–3 8

=

3 8

= 3 +1 5

=1 – 3 8

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ Û οı ÚfiÛıÂÛË ÙÔ ÛˆÛÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·:

8+4 10 10 5+4 9 9 45 + 19 90 90 16 + 8 12 12

2 3

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

2 6 5 5 5

+

5 7

3 2 1

3 5

5 7 3 2 1 3 5

¡√∆∂™ ∫∞π ∫§∞™ª∞∆∞ ∞Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÓıÚˆ›ÓˆÓ ÔÏÈÙÈÛÌÒÓ Â›Ó·È Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Î·È ÌÔ˘ÛÈ΋˜ ¤ÎÊÚ·Û˘. ñ √ ¿ÓıÚˆÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÔ˘ÛÈ΋, ‹‰Ë, ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔ˚ÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Û¯ÂÙÈÎfi ‡ÚËÌ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ ËÏÈΛ· 35.000 ¯ÚfiÓˆÓ, Â›Ó·È ÔÛÙ¿ ·fi Ì·ÌÔ‡ı Ù· ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÁˆÁ‹ Ú˘ıÌÈÎÒÓ ‹¯ˆÓ. ñ √È ÌÂϤÙ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰Â›ÍÂÈ, fiÙÈ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ ·fi Ù· ÚÒÙ· ÙÔ˘ ‚‹Ì·Ù·. ¢È·ÈÛÙÒıËΠfiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ÚÒÈÌË ÈηÓfiÙËÙ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· Ù˘ ηٿÙÌËÛ˘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› Ë ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ Î·È ¯ÚÔÓÈÎÒÓ ÛÙÈÁÌÒÓ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ¯ˆÚ›˜, ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡. ∂Í¿ÏÏÔ˘ Ë ·Ú›ıÌËÛË Â›Ó·È ÌÈ· ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ·, ¤Ó· ηıÔÏÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡. ∏ Û˘Ó¿ÓÙËÛË Ù˘ ªÔ˘ÛÈ΋˜ Ì ٷ ª·ıËÌ·ÙÈο Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Ì¤Û· ·fi ÙËÓ ·›ÛıËÛË, Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ Î·È ÂÓÙÔ›˙ÂÙ·È Û ‰‡Ô ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ¿ÍÔÓ˜ οı ÌÔ˘ÛÈ΋˜ ¤ÎÊÚ·Û˘, ÙÔ ƒ˘ıÌfi Î·È ÙËÓ ∞ÚÌÔÓ›·. √ ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· Ó· ÂÓÙÔ›˙ÂÈ Î·È Ó· ·ÔÌÔÓÒÓÂÈ ÙȘ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜. ∆Ô ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÌÂÛÔÏ·‚› ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÛÙÈÁÌÒÓ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙËÓ ·›ÛıËÛË Ù˘ ‰È¿ÚÎÂÈ·˜. √ ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ·fi Ù· ÁÂÁÔÓfiÙ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ¤Ó· ˘ÎÓfi Û‡ÓÔÏÔ ·fi ÛÙÈÁ̤˜. ŒÙÛÈ, Ô Ú˘ıÌfi˜ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ηٷÁˆÁ‹, ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Û ÛÙÈÁ̤˜ Î·È ÙËÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛË ÙˆÓ ¯ÚÔÓÈÎÒÓ ÛÙÈÁÌÒÓ Ì ÁÂÁÔÓfiÙ·. √ Ú˘ıÌfi˜ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÚÒÙ˜ ÌÔ˘ÛÈΤ˜ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ηٷÎÙ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÚÒÙ˜ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ÂÈÓÔ‹ÛÂȘ. √ Ú˘ıÌfi˜, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È ÙÔ ÚÒÙÔ Â›‰Ô˜ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛÂ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜. ∆Ô ÌÔ˘ÛÈÎfi ̤ÙÚÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÂÓfi˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡ ı¤Ì·ÙÔ˜, ‰ËÏÒÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi. ™‹ÌÂÚ· ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ¤ÓÓÔȘ, ÙÔ˘ Ú˘ıÌÔ‡ Î·È ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ - ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Û˘Ó˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ¢˘ÙÈ΋ ªÔ˘ÛÈ΋. ∞˜ ‰Ô‡Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ™ÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡ ÎÔÌÌ·ÙÈÔ‡. ∏ ¯ÚÔÓÈ΋ ·Í›· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Î·È ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘Â›Ó·È 3 Î·È 1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÓÒ Î¿ı ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· (ÓfiÙ˜), Ô˘ Â›Ó·È Âӈ̤ӷ ¤¯Ô˘Ó ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ·Í›· 7. ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· 4 4 ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ηıÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ οı ̤ÙÚÔ, οı ‰È¿ÛÙËÌ· ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ÌÔ˘ÛÈ΋ ÊÚ¿ÛË, Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ Û‡Ì‚ÔÏ· (ÓfiÙ˜) Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ·Í›·˜ 4 . ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ 3 + 1 + 7 +7 = 4 . ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 4

4

- ÎÏ¿ÛÌ· ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi Î·È ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È ¤Ó· ÌÔ˘ÛÈÎfi ÎÔÌÌ¿ÙÈ Û˘Á¯ÚÔÓÈṲ̂ӷ ·fi ÙÔ˘˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡˜.

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ 

µÚ˜ ·ÚÙÈÙÔ‡Ú˜ ·fi ÙÚ·ÁÔ‡‰È· Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ Î·È ÁÚ¿„ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·,Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÙÚ·ÁÔ˘‰ÈÒÓ ·˘ÙÒÓ.



∞Ó·˙‹ÙËÛÂ Î·È ‚Ú˜ ÔÚÈṲ̂ӷ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙÚ·ÁÔ‡‰È· Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ Û˘Û¯ÂÙ›ÛÂȘ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜, Ì ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ÂοÛÙÔÙÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ Ú˘ıÌÔ‡.


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

24-11-06

11:57

™ÂÏ›‰·48

- 48 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

A.2.5. ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì fi ˜ Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ŒÓ·˜ Â˙fi‰ÚÔÌÔ˜ ÛÙÚÒıËΠ̠ϿΘ. ∆· 5 ·fi ÙȘ ϿΘ 7

Â›Ó·È ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¤˜. ∞fi ·˘Ù¤˜ Ù· 2 Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓ˜.

5 7

3

5 7

¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ fiÏÔ˘ ÙÔ˘ Â˙fi‰ÚÔÌÔ˘ Ô˘ ηٷϷ̂¿ÓÔ˘Ó ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ ϿΘ; 2 3

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ O Â˙fi‰ÚÔÌÔ˜ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο 21 ϿΘ, ÂÔ̤ӈ˜ Ù· Ù·

5 7 ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È 15 ϿΘ. ∞fi ·˘Ù¤˜

2 10 3 , ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ 10 Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓ˜. ÕÚ· ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ Â›Ó·È Ù· 21 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ,

fï˜, fiÙÈ ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ ϿΘ Â›Ó·È Ù· ™˘ÓÂÒ˜, ı· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ

2 5 3 ÙˆÓ 7 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘.

2 5 10 3  7 Â›Ó·È 21 , ‰ËÏ·‰‹:

2 5 10 2  5 3  7 = 21 = 3  7 .

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Î·ÓfiÓ·:

 To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÙÔ

·Á Á · Á = ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚‰ ‰ ‚ ‰ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÒÓ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.  To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â› Ï · · Ï ·Ï = ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ Ï ‚ = ‚ Ï ‚ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ Â› ÙÔÓ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. 

∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ 1 ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. Á ‰ ∂Âȉ‹  =1 Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Á Î·È ‰ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ‰ Á ‰ Á



7

73 21 3 = 5 = 5 5

75 35 7 5  = 1 57 = 35 = 5 7

IÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÛÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·.



∆Ô 1 ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ



∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋



¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋

∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋

1 · = · 1 1= · ‚ ‚ ‚

1

·  ‚

 ‰Á  Â˙  = ·‚  ‰Á  Â˙

2 2 2 1 3 = 3 = 3

2 5 5 2   3 7 = 7 3

Á · ·  Á =  ‚ ‰ ‰ ‚

·  ‚ 

15 3 5 35  = = 28 7 4 74

2 5 11   3  7 13

2

 = 3



5 11  7  13

 ‰Á + Â˙  = ·‚  ‰Á + ·‚  Â˙

2 5 11 2 5 2 11    3  7 + 13  = 3 7 + 3 13

 ‰Á – Â˙  = ·‚  ‰Á – ·‚  Â˙

2 5 11 2 5 2 11    3  7 – 13  = 3 7 – 3 13

·  ‚


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·49

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 49 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ:

3  70  8 7 6 5

§‡ÛË 3560 3708 3 70 8 1680   = = = = 8 730 210 765 7 6 5

2.

™Â ¤Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô Ì 252 Ì·ıËÙ¤˜, Ù· 5 Â›Ó·È ·ÁfiÚÈ·. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛ· ·ÁfiÚÈ· Î·È fiÛ· 9 ÎÔÚ›ÙÛÈ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯ÔÏ›Ô.

§‡ÛË 5 1260 ∞ÊÔ‡ Ù· ·ÁfiÚÈ· Â›Ó·È Ù· 5 ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, ı· ›ӷÈ:  252 = 5  252 = =140. 9 9 9 9 ∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÎÔÚ›ÙÛÈ· ı· ›ӷÈ: 252 – 140 = 112.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ............................................................ ...............................................................................................................................

(‚) (Á) (‰)

2. 3. 4.

¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ, fiÙ·Ó .............................................................. 1 Î √ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Î Â›Ó·È Ô ....., ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ..... Î·È ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ..... Î Ï ªfiÓÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ..... ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi ÙÔ˘.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 3  3 , (‚) 7  10 , (Á) 4  2, (‰) 5  10. 4 14 2 100 µÚ˜ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 2  7 , (‚) 8  100 , (Á) 4  5 , (‰) 3  2 . 5 8 10 5 9 9 2 15 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

ñ

5 7

3 2

1

3 4

7 5 2 3

1 4 3

5. 6. 7.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 2 1  3 , (‚) 4 1  2 1 , (Á) 3 1  10, (‰) 1 2  3 . 3 21 5 2 8 3 2 ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 4 , (‚) 72, (Á) 5 , (‰) 1 , (Â) 739 , (ÛÙ) 1. 7 8 3 8 √ ∫ÒÛÙ·˜ ‹È ٷ 2 ·fi ¤Ó· ÌÔ˘Î¿ÏÈ, Ô˘ ÂÚÈ›¯Â ·Ó·„˘ÎÙÈÎfi fiÁÎÔ˘ 1 1 ÙÔ˘ 3 2 Ï›ÙÚÔ˘. ¶fiÛ· Ï›ÙÚ· ·Ó·„˘ÎÙÈÎÔ‡ ‹ÈÂ;









8.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ÂÍ·ÁfiÌÂÓ· ÙˆÓ ڿ͈Ó: (·) 6 + 3  1 , (‚) 6 + 3  1 , (Á) 6 – 3  1 5 5 4 5 5 4 5 5 4

9.

ŸÌÔÈ·: (·) 7 + 2  3 , (‚) 7 – 2  3 , 3 15 8 3 15 8









(‰) 7 – 2  3 . 3 15 8


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·50

- 50 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 8 m2. 15 ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂÂÎÙ›ÓÂȘ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÒÛÙ ÙÔ 15 2 Û˘ÓÔÏÈÎfi ¤Ì‚·‰Ô Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ Ó· Â›Ó·È m , 15 ‰ËÏ·‰‹ 1m2. ➣ µÚ˜ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ · ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ∞µ°¢.

Km

∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ∞µ°¢ ›ӷÈ

µ

· ¢

°

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË.

 °È·

Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË.



·:‚=· 

1 5 5 : 4 =5  4 = 4

1 · = ‚ ‚

· Á · ‰ : =  ‚ ‰ ‚ Á

7 5 7  4 74 28 : = = = 3 4 3 5 35 15

MÂÙ·ÙÚÔ‹ Û‡ÓıÂÙÔ˘ ÛÂ ·Ïfi

ŒÓ· ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤Ó·˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·.

· ‚ ·‰ = Á ‚Á  ‰ 

7  3 5  4

=

7 5 7 4 28 : =  = 3 4 3 5 15

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

2 7  4 3 10 ¡· Á›ÓÔ˘Ó ·Ï¿ Ù· Û‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) , (‚) , (Á) . 9 10 5   8 9 

§‡ÛË

2 

29 3 (·) = = 10 310  9

2.

4

8

8

3 1  + 10 2 ¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: 4 4 – 3 6

§‡ÛË 3 10 4 –  3

3 5 1 8 +  2 10 10 10 = 8 = 4 = 4 4  –   6 6 6 6

+

7

7

  4  48 32 233 3 71 5 7 1 10 10 = 5 , (‚) 9 = = 19 = =3 , (Á) = 5 = = 9 5 9 50 325 105 9   

86 48 6 1 410 = 40 = 5 = 1 5

1


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·51

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 51 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ......................................................................... ............................................................................................................................... (‚) ™‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ϤÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ .................................................. ...............................................................................................................................

2. 3.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 3 : 1 , (‚) 1 : 1 , (Á) 10 : 1 , (‰) 7 : 21 . 4 2 3 3 100 5 3 27 ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ëϛη: (·) 2 : 1 , (‚) 5 : 1, (Á) 2 1 : 4, (‰) 4 1 : 3 1 . 3 8 2 10 3

4.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 1 : 1 2 3 ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

(‚) 1 : 1 , 3 2

5. 6.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 1 :  1 : 1  Î·È (‚)  1 : 1  : 1 . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; 8 3 2 8 3 2 4 1 5 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·: 1

:

7

(Á) 20 : 10 6

(‰) 10 : 20 . 6

3

2

5 7 1 2

1 4 3

7.

8. 9.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ Û οı ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ ÛˆÛÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·:

3 8 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Ù· Û‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ·Ï¿: (·) 4 ,  5 

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ·ÏÔÔ›ËÛ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 3 5 (·) 2 + 3

3 : 4 10 10

5 4

5 : 4 9 9

6

45 : 15 90 9

3 4

16 : 8 3 9

3 10

15  3 (‚) , 4

(Á) 20 . 5 4

4 2 2 4 1  : 5 7 8 3 3 , (‚) , (Á) 4 2 3 1    : 2 8 6 5 11

+

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ™ÙÔÓ ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ ƒÈÓÙ, ‚ڋηÌ ˆ˜ ÔÈ ∞Ú¯·›ÔÈ ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ ˘ÔÏfiÁÈ˙·Ó Ù· 23 ÂÓfi˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ 1 Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ¤Ó·Ó ÂÚÈÙÙfi ·ÚÈıÌfi. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· 23 ÙÔ˘ 17

➣ ➣

1 1 1 1 ı· ›ӷÈ: 23  17 = + = 14 + 42 2 7 6 7

ªÔÚ›˜ Ó· ‚Ú›˜ ÔÈfi ηÓfiÓ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ; 1 ∂Ê¿ÚÌÔÛ ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ·˘Ùfi Î·È ‚Ú˜ Ù· 23 ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ 15 , 19 , 13 Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Â·Ï‹ı¢Û ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ‚ڋΘ.


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·52

- 52 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

π™∆√ƒπ∫√ ™∏ª∂πøª∞ ™Â ·Ú¯·›· ‚·‚˘ÏˆÓȷο Ì·ıËÌ·ÙÈο ΛÌÂÓ· Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔ 2100 .Ã. ÂÚ›Ô˘, Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÂÍËÎÔÓÙ·‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 60, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ˘‹Ú¯·Ó ÂȉÈο ÛÊËÓÔÂȉ‹ ۇ̂ÔÏ·. √È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ Â›¯·Ó Â›Û˘ ÂȉÈο ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

√È ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ, Â›Û˘, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ‹ ·ÈÁ˘Ùȷο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙË ÌÔÓ¿‰· (ÎÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÛÙË ‰È΋ Ì·˜ ÔÚÔÏÔÁ›·). ŒÓ· ıÂÌÂÏÈ҉˜ ÎÏ¿ÛÌ· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔÓ ·Ú·ÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ˘, ¿Óˆ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ‰È·ÎÚÈÙÈÎfi ÛËÌ›Ô, .¯. ÙÔ 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ 5 5

ŸÌˆ˜ ›¯·Ó ÂȉÈÎfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

∞˘Ù‹ Ë È‰ÈÔÌÔÚÊ›· ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÚԤϢÛË ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ. ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·˘Ù¿ ¤ÏÎÔ˘Ó ÙËÓ Î·Ù·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘˜ ·fi ¿ÌÂÛ· Ú·ÎÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·, ÂÓÒ Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ú¤ÂÈ Ó· ‹Ù·Ó ÚÔ˚fiÓ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÂÂÍÂÚÁ·Û›·˜. ŸÏ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ·Ó¿ÁÔÓÙ·È Û ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ıÂÌÂÏȈ‰ÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ∏ ·Ó·ÁˆÁ‹ ·˘Ù‹ ÁÈÓfiÙ·Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂȉÈÎÒÓ ÈӿΈÓ. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ›Ó·Î·˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔÓ ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ ƒÈÓÙ (Rhind), Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÙÔ 1650 .Ã.

O ›Ó·Î·˜ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË fiÏˆÓ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2 Ì “Ó” ÂÚÈÙÙfi ·ÚÈıÌfi ·fi Ó 5 ¤ˆ˜ 101. Ó=5

2 = 1 + 1 =3  + 15  5 3 15

Ó=7

2 = 1 + 1 = 4 + 28  7 4 28

Ó=9

2 = 1 + 1 = 6 + 18  9 6 18

Ó=59

2 = 1 + 1 + 1 = 36  + 236  + 531  59 36 236 531

Ó=97

2 = 1 + 1 + 1 = 5 6 + 679  + 776  97 56 679 776


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·53

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 53 -

∞ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔÓ ¿˘ÚÔ Ù˘ ªfiÛ¯·˜, Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙ· 1850 .Ã., ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È Ú¿ÍÂȘ Ì ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· “ÙÔ 1 ÙÔ˘ 6 Â›Ó·È 2”, Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ‰Â‰Ô̤Ó˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. 3

√È ŒÏÏËÓ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ‰ÂÓ ·Ó¤Ù˘Í·Ó Î¿ÔÈÔ Ó¤Ô Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ Î·È Ù· ÂÍËÎÔÓÙ·‰Èο ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ, Û ˘ÔÏÔÁÈÛÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›·. ™ÙÔ˘˜ “¿‚·Î˜” ÙˆÓ ƒˆÌ·›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ (Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ·ÚÈıÌËÙ¿ÚÈ· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ ÙÔ˘ ‰ËÌÔÙÈÎÔ‡), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÂȉÈ΋ ÛÙ‹ÏË ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 1 . 2

3

4

OÈ πÓ‰Ô› Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›, Â›Û˘, ÁÓÒÚÈ˙·Ó Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘˜ ·fi Ôχ ·ÏÈ¿. ™Ù· ¤ÚÁ· “™Ô˘Ï‚·ÛÔ‡ÙÚ·”, ÌÂÚÈο ·fi Ù· ÔÔ›· ·Ó¿ÁÔÓÙ·È ÛÙÔ 500 .Ã. ‹ Î·È ·Ï·ÈfiÙÂÚ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÛÙÔÓ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi fiÁÎˆÓ ‹ ÂÌ‚·‰ÒÓ. ∞ÏÏ¿ , fiÙ·Ó ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ·Ó ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi πÓ‰Ô-∞Ú·‚ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Î·È ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÌÔÚÊ‹ Ôχ ÎÔÓÙÈÓ‹ ÛÙË ‰È΋ Ì·˜. ŒÁÚ·Ê·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙ‹ ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ·ÏÏ¿, ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 ·ÓÙ› 5 . ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ͯÒÚÈ˙·Ó ÙÔ ¤Ó· ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙȘ Î·È Î¿ıÂÙ˜ ÁÚ·Ì̤˜. 6

6

ŒÙÛÈ, .¯. ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 3 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó 5

 35 .

H ÚfiÛıÂÛË Û˘Ì‚ÔÏÈ˙fiÙ·Ó Ì ÙËÓ ·Ú¿ıÂÛË ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ ¤Ó· ‰›Ï· ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. °È· ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ì›· ÙÂÏ›· ‹ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “+” ÛÙ· ‰ÂÍÈ¿, 2  9 .¯. Ë ¤ÎÊÚ·ÛË 9 – 2 – 1 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó: 12 15 1+5 . 12 15 5

   

3 1 ™Ù· ÌÂÈÎÙ¿ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· .¯. 3 , ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÁÚ·ÊfiÙ·Ó ¿Óˆ ·fi ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·: 14 . 4

  

T· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÛÙÔ˘˜ ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜ ÂÌÊ·Ó›ÛÙËÎ·Ó Û¯Â‰fiÓ Ì·˙› Ì ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆· ÚÒÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó, ‹Ù·Ó ÙÔ 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

™ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÛÙÔ˘˜ ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜, Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ Ï·Ô‡˜, ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â Ù›ÔÙ· ÙÔ ·Û˘Ó‹ıÈÛÙÔ. ◊‰Ë ÙÔÓ 2Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ÔÈ ∫ÈÓ¤˙ÔÈ Â›¯·Ó ÂÂÍÂÚÁ·ÛÙ›, Â·ÚÎÒ˜, fiϘ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ì ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ∆ÔÓ 3Ô ·ÈÒÓ· Ì.Ã. ÔÈ ∫ÈÓ¤˙ÔÈ, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó, ‹‰Ë, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·, ¿Ú¯ÈÛ·Ó ÛÙËÓ Ô˘Û›·, Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÌÂÙÚÔÏÔÁÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ∆· ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ¶¤ÚÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ∞Ï-∫·Û›, Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÁ·˙fiÙ·Ó ÛÙÔ ∞ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô Ù˘ ™·Ì·ÚοӉ˘. ∞Ó Î·È ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ, ˘‹ÚÍ·Ó ÚÔÛ¿ıÂȘ ÛÙÔÓ ∞Ú·‚ÈÎfi ÎfiÛÌÔ Ó· ÂÈÛ·¯ıÔ‡Ó Ù· ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÚÒÙÔ˜ Ô ∞Ï-∫·Û› ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ηÓfiÓ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ‹˜ ÙˆÓ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û ‰Âη‰Èο Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ∏ ›ÛÔ‰Ô˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ∂˘Úˆ·˚ο Ì·ıËÌ·ÙÈο ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔÓ §ÂÔÓ¿Ú‰Ô Ù˘ ¶›˙·˜ (1202), ÂÓÒ ÔÈ fiÚÔÈ “·ÚÈıÌËÙ‹˜” Î·È “·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜” ··ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔÓ ¶Ï·ÓÔ‡‰Ë (Ù¤ÏË 13Ô˘ ·ÈÒÓ·).


∂ ∫ º.2-A§°.(33-54)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

19:33

™ÂÏ›‰·54

- 54 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË Î ∫§∞™ª∞∆∞ Ó , fiÔ˘ Î Î·È Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ó≠0 ·

2 10 = 3 15 ÙfiÙÂ: 2  15 = 3  10

Á

ÿÛ· ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: ·Ó ‚ = ‰ ÙfiÙ ·‰=‚Á IÛ¯‡ÂÈ:

·:‰ · · ·Á ‚ = ‚Á Î·È ‚ = ‚:‰

10 : 5 2 10 10 2 25 = 15 : 5 = = = Î·È 3 15 15 3 35 7 12 ·Ó¿ÁˆÁÔ ·ÊÔ‡ ª∫¢(7, 12) = 1

· ‚ ·Ó¿ÁˆÁÔ fiÙ·Ó ª∫¢(·,‚)=1 · Á · Á ÔÌÒÓ˘Ì· ‚ , ‚ ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ‚ , ‰

2 5

ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· 3 , 8

9 5 13 > 13 ·ÊÔ‡ 9 > 5

· Á ‚ > ‚ fiÙ·Ó · > Á

ηÈ

2 5

ÔÌÒÓ˘Ì· 7 , 7

7 28 5 15 7 5 28 15 = = . ∂Âȉ‹ > , ¿Ú· > Î·È 12 48 16 48 12 16 48 48 13 13 < ·ÊÔ‡ 9 > 5 9 5

‚ ‚ · < Á fiÙ·Ó · > Á

4 4 5 4 9 1 5 = 1+ 5 = 5 + 5 = 5

√ ªÂÈÎÙfi˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ Î·È ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜.

· Á · Á ‚ , ‰ Â›Ó·È · Ó Ù › Û Ù Ú Ô Ê · fiÙ·Ó ‚  ‰ =1 ¶Ú¿ÍÂȘ

ÌÂٷ͇

7 10 5  14 =

710 514

70 = 70 =1

ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

¶ƒ√™£∂™∏

· ‚ ·+‚ Á+Á= Á

7 2 7+2 9 5 + 5 = 5 = 5

ηÈ

7 2 21 8 29 4 + 3 = 12 + 12 = 12

6 2 6–2 4 5 – 5 = 5 = 5

ηÈ

7 2 21 8 13 4 – 3 = 12 – 12 = 12

∞º∞πƒ∂™∏

· ‚ ·–‚ Á–Á= Á ¶√§§∞¶§∞™π∞™ª√™

·Á · Á =  ‚ ‰ ‚‰

ηÈ

Ï· · Ï ‚ = ‚

35 21 73 3 5 15 3 7  4 = 74 = 28 Î·È 7 5 = 5 = 5

¢π∞πƒ∂™∏

· : ‚=·

· 1 = ‚ Î·È ‚

· Á · ‰ ·‰ ‚:‰= ‚ Á = ‚ Á

1 5 5 : 4 = 5 4 = 4 ηÈ

74 28 7 5 7 4 3 : 4 = 3  5 = 35 = 15

ª∂∆∞∆ƒ√¶∏ ™À¡£∂∆√À ™∂ ∞¶§√

· ‚ ·‰ Á = ‚Á ‰

7 3 74 28 5 = 35 = 15 4


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:16

™ÂÏ›‰·55

ª∂ƒ√™ ∞ 

¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› 3.1

¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË ñ ªÂÙ·ÙÚ¤ˆ ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· Û ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Û ÎÏ¿ÛÌ· ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ñ ∞Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ·Í›· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÂÓfi˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ ñ ∞ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ˆ ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÛËÌ›· Ù˘ ¢ı›·˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ñ ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈÒ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ËÏ›ÎÔ˘ Î·È Áڿʈ ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ˆ˜ ÔÛÔÛÙfi

3.2

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ñ ∂ÎÙÂÏÒ Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ñ ∂ÎÙÂÏÒ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÏÂfiÌÂÓË ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ·

3.3

ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘ ñ ∂ÎÙÂÏÒ Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘

3.4

∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ °Ú¿Êˆ Ôχ “ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜” ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹

3.5

ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÌÂÁÂıÒÓ Î·È ÙË ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÙÔ˘˜ ·fi ÙË Ì›· ÛÙËÓ ¿ÏÏË

Eƒ∞∆√™£∂¡∏™ √ ∫Àƒ∏¡∞π√™ (276 - 194 .Ã.)

3o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:16

™ÂÏ›‰·56

- 56 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞.3.1. ¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË ∞Ó ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÌÔÓ¿‰· Û 10 ›Û· ̤ÚË, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ¿ÚÔ˘Ì ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ fiˆ˜: 1 , 5 , 7 Î.Ï. ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÔÌÒÓ˘Ì·, Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·È Â‡ÎÔÏ· Î·È 10 10 10 Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ÛÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ. ∞˜ Ù· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì Ì ÌÂÚÈΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ÛÙË ˙˘Á·ÚÈ¿ 2 ÛÙ·ıÌ¿, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Ì¿Ï· Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚË Î·È ·Ó ‚¿ÏÔ˘Ì 3 ·fi Ù· ›‰È·, fiÙÈ Â›Ó·È ÂÏ·ÊÚfiÙÂÚË. ➣ ∆È Â›‰Ô˘˜ ÛÙ·ıÌ¿ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙÂ, ÂÎÙfi˜ ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ‰È·ı¤ÙÔ˘ÌÂ, ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ÎÚ›‚ÂÈ· ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÛÙË Ì¤ÙÚËÛ‹ Ì·˜; ➣ ∆È ÌÔÚÊ‹ ı· ¤¯ÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜, Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ Ì¿Ï·˜;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ıÚ·Ó›Ô˘ ÛÔ˘ Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘: (·) ÙÔ ÌÔχ‚È ÛÔ˘, (‚) ¤Ó· Û¯ÔÈÓ› Ì‹ÎÔ˘˜ ÂÓfi˜ ̤ÙÚÔ˘ Î·È (Á) Ì ¤Ó· ̤ÙÚÔ. ➣ ™ÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÛÔ˘, ÛÙȘ ÙÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÂȘ ¤Ó· ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· fiÛÔ Á›ÓÂÙ·È ÈÔ ·ÎÚÈ‚¤˜, ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂȘ;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ∞Ó ÛÔ˘ ˙ËÙËı› Ó· ¯ˆÚ›ÛÂȘ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 5 ÂηÙÔÛÙ¿ Û ÔÎÙÒ ›Û· ̤ÚË, fiÛÔ ı· Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ οı ̤ÚÔ˘˜ ·fi ·˘Ù¿;

µ 5 ÂηÙÔÛÙ¿

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi, fiÙÈ Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ‰ÂÓ Â·ÚÎÔ‡Ó Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·. °È’ ·˘Ùfi ÙÔ ÏfiÁÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 3 , 825 , 53 Î·È 1004 ¤¯Ô˘Ó 10 100 1000 10000  ¢Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· ϤÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÔÓÔ- ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 10, 100, 1.000 Î·È 10.000, Ô˘ Â›Ó·È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10: 101, 102, 103 Î·È 104 Ì·ÛÙ‹ ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10. √ ºÏ·Ì·Ó‰fi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ™ÈÌfiÓ ™Ù¤‚ÈÓ (Simon Stevin, 1548 - 1620) ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ٷ ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆Ô ¤ÚÁÔ “Ë ‰ÂοÙË” (La disme) ‹Ù·Ó ÌÈ· ·fi ÙȘ ÌÂÁ¿Ï˜ Û˘ÓÂÈÛÊÔÚ¤˜ ÛÙËÓ ‚ÂÏÙ›ˆÛË Ù˘ Ù¯ÓÈ΋˜ ÙˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ Î·È ÛÙËÓ Î·ıȤڈÛË ÙÔ˘ πÓ‰Ô·Ú·‚ÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ú›ıÌËÛ˘. ∆ËÓ ›‰È· ¯ÚÔÓÈ¿ ‰ËÌÔÛȇÂÈ ÙËÓ “∞ÚÈıÌËÙÈ΋” ÙÔ˘, fiÔ˘ ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ 0, ÁÈ· Ó· ˘Ô‰ËÏÒÛÂÈ ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡, ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ①, ÁÈ· Ù· ‰¤Î·Ù·, ÙÔ ➁, ÁÈ· Ù· ÂηÙÔÛÙ¿, Î.Ï. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ Ô ‰Âη‰ÈÎfi˜ 34,25 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó 3402①5➁, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0,167 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó 001①6➁7➂ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 32 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó 320. √ ÁÓˆÛÙfi˜ Û‹ÌÂÚ· Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÚÔÙ¿ıËΠ·fi ÙÔÓ John Napier ÛÙ· 1620 ÂÚ›Ô˘. ∞˘Ùfi˜ ÚÒÙÔ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÙÔ ÎfiÌÌ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ·Î¤Ú·ÈÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ̤ÚÔ˘˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ∆Ô Ó¤Ô Û‡ÛÙËÌ· Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÂÈÎÚ¿ÙËÛÂ, ÏfiÁˆ Ù˘ Û˘ÓÙÔÌ›·˜ ÛÙËÓ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙËÓ Â˘ÎÔÏ›· ÛÙËÓ ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË Î·È ÂÎÙ¤ÏÂÛË ‰È·ÊfiÚˆÓ ڿ͈Ó.


(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:17

™ÂÏ›‰·57

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 57 -

™ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰È¿ÊÔÚÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙÔ˘˜ ‰È·‚¿ÛÂȘ Î·È Ó· ÙÔ˘˜ ÁÚ¿„ÂȘ ÔÏÔÁڿʈ˜.

¶ÔÈÔ˜ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜;

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿.

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (·) ÛÙË ÌÔÓ¿‰· Î·È (‚) ÛÙÔ ÂηÙÔÛÙfi.

¿‰Â Eη ˜ ÙÔÓ ¢ÂÎ Ù ¿ ‰  ˜ ¿‰Â ªÔ ˜ Ó¿‰ À  Ô Â˜ ‰È· ¢¤Î Û Ù Ô Ï ‹ ·Ù· ∂η ÙÔÛ ÃÈÏÈ Ù¿ ÔÛÙ ¢ÂÎ ¿ ¿Î. ∂η ¯ÈÏÈÔÛ Ù¿ ÙÔÓ Ù.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 4 Ë

¯ÈÏ ∂η ÙÔÌ ÈÔÛÙ. Ì˘Ú ÈÔÛÙ ¿

°Ú·Ê‹, ·Ó¿ÁÓˆÛË Î·È ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

ÃÈÏÈ

∂ ∫ º.3-∞ §°.

1 5 1 3 , 2 7 , 0 , 9 5 0 , 8 5 0 0 , 1 5 4 5 , 9 5 2 8 , 9 8 0 1 , 4 6 3 7 , 1 5 1 3 , 1 5 1 3 ,

0 1 4 4 7 8 9 5 2 0 1

0 8 0 2

3 0 6 5 9 0 8 0

6 4 5 2 1 3 3 5 2 0 4

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 5 Ë ™ÙÔÓ ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi 0, 9 Ï›Ô˘Ó ‰‡Ô „ËÊ›· ÙÔ˘. ➣ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ηӤӷ „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ›‰ÈÔ Ì ¿ÏÏÔ. ➣ µÚ˜ ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‹ Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ Ô˘ ÌÔÚ›˜ Ó· ÁÚ¿„ÂȘ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

™ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÔÈ Ù¿ÍÂȘ Â›Ó·È Ù· ‰¤Î·Ù·, Ù· ÂηÙÔÛÙ¿, Ù· ¯ÈÏÈÔÛÙ¿, Ù· ‰ÂοÎȘ ¯ÈÏÈÔÛÙ¿, Ù· ÂηÙÔÓÙ¿ÎȘ ¯ÈÏÈÔÛÙ¿, Ù· ÂηÙÔÌÌ˘ÚÈÔÛÙ¿ Î.Ï.



™ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÔÈ Ù¿ÍÂȘ Â›Ó·È Û ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜ Î.Ï.



¢¤Î· ÌÔÓ¿‰Â˜ Ì›·˜ Ù¿Í˘ Â›Ó·È ÌÈ· ÌÔÓ¿‰· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ Ù¿Í˘.



™Â οı ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Î·È ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘. ∞˘Ù¿ ‰È·¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹.



∞Ó ‰‡Ô ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú¯›˙Ô˘Ó ·fi „ËÊ›Ô Ù˘ ›‰È·˜ Ù¿Í˘, ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ „ËÊ›Ô ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ Ù¿ÍË.



∞Ó ‰‡Ô ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú¯›˙Ô˘Ó ·fi „ËÊ›Ô Ù˘ ›‰È·˜ Ù¿Í˘, ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ·Ì¤Ûˆ˜ ÂfiÌÂÓÔ „ËÊ›Ô 105,3842 > 105,37896 ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.



°È· Ó· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi: – ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË ‰Âη‰È΋ Ù¿ÍË ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· Á›ÓÂÈ Ë ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË. – ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ Ù¿Í˘. – ∞Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 5, ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ· Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È. – ∞Ó Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 5, ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ· Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 1.

8,97453 < 9,432

957,3842 ➨ 957,384 957,3842 ➨ 957,38 957,3842 ➨ 957,4 957,3842 ➨ 957 957,3842 ➨ 960 957,3842 ➨ 1.000


∫∂º.3-∞§°. (55-70)

21-12-06

21:36

™ÂÏ›‰·58

- 58 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞TA - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó, ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ì ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË 50,00 8 ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ‰È·ÈÚ¤ÛˆÓ: (·) 20 , (‚) 50 , (Á) 520 . 4 8 67 20 0,625

§‡ÛË

(·)

40 0

20 4 = 20 : 4 = 5

520,000000 67 510 7,76119. . . (‚) 410 80 (Á) 130 630 ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚¤˜ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ 29 ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ‰¤Î·ÙÔ˘ 7,8 ‹ ÂηÙÔÛÙÔ‡ 7,77 ‹ ¯ÈÏÈÔÛÙÔ‡ ... 7,761 Î.Ï. 50 8 = 50 : 8 = 0,625 520 67 = 520 : 67 = 7,76119...

2.

¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó, ˆ˜ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›: (·) 2,35 Î·È (‚) 0,348.

§‡ÛË 235

348

(·) 2,35 = 235 : 100 = 100

3.

(‚) 0,348 = 348 : 1000 = 1000

¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó, ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 314 Î·È (‚) 769 . 100 1000

§‡ÛË

314

(·) 100 = 314 : 100 = 3,14

4.

769

(‚) 1000 = 769 : 1000 = 0,769

10 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ·› ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 8 Û ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ·.

§‡ÛË 10

∞Ú¯Èο, ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 8 Û ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÂÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÙË ‰È·›ÚÂÛË

10 8 = 10 : 8 = 1,25. √ ‰Âη‰ÈÎfi˜ 1,25 ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ‰Âη‰ÈÎfi 125 10 125 ÎÏ¿ÛÌ· 1,25 = 125 : 100= 100 . ÕÚ· 8 = 100 . Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ:

5.

¡· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›: (·) 0,8 Î·È (‚) 1,35.

§‡ÛË (·)

(‚)

0,8

πÛ¯‡ÂÈ, fiÙÈ: 0 < 0,8 < 1. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 0 1 0 Î·È 1 Ú¤ÂÈ Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û 10 ›Û· ̤ÚË (‰¤Î·Ù·).

2

3

4

5

6

∂›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ: 1 < 1,35 < 2. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 1 Î·È 2 Ú¤ÂÈ Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û 100 ›Û· ̤ÚË (ÂηÙÔÛÙ¿). 1 ,35

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2


∫∂º.3-∞§°. (55-70)

21-12-06

21:37

™ÂÏ›‰·59

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 59 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2.

°Ú¿„ ˆ˜ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù· Ëϛη ÙˆÓ ‰È·ÈÚ¤ÛˆÓ: (·) 4:5, (‚) 9:16, (Á) 25:79. ¶ÔÈ· ‰È·›ÚÂÛË ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 2 , (‚) 19 , (Á) 77 . 21 3 105

3.

°Ú¿„ ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi: (i) Ì ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÂηÙÔÛÙÔ‡ Î·È (ii) Ì ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ¯ÈÏÈÔÛÙÔ‡: (·) 7 , (‚) 21 , (Á) 20 . 16 17 95

4.

°Ú¿„ ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 58 , (‚) 3 , (Á) 5025 , (‰) 1024 . 10 100 100 1000

5.

°Ú¿„ ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ·, ηı¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó: (·) 3,5, (‚) 45,25, (Á) 3,004.

6.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ „ËÊ›Ô ÙˆÓ ¯ÈÏÈÔÛÙÒÓ Î·È ÙˆÓ ‰ÂοÎȘ ¯ÈÏÈÔÛÙÒÓ ÛÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 5,8909, (‚) 98,0005, (Á) 456,8756.

7.

ToÔı¤ÙËÛ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ <, = ‹ >, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 45,345 ... 45,413, (‚) 980,19 ... 899,01, (Á) 7,534 ... 7,5340.

8.

¡· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ ‰¤Î·ÙÔ, ÂηÙÔÛÙfi Î·È ¯ÈÏÈÔÛÙfi: (·) 9876,008, (‚) 67,8956, (Á) 0,001, (‰) 8,239, (Â) 23,7048.

9.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 3,4, (‚) 4,5, (Á) 2,3, (‰) 2,8, (Â) 4,7, (ÛÙ) 4,3, (˙) 2,5, (Ë) 1,9, (ı) 5,1.

10.

™ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 34, Ï›Ô˘Ó Ù· ÙÚ›· ‰Âη‰Èο „ËÊ›· ÙÔ˘. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ì ٷ „ËÊ›· 9, 5 Î·È 2, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ οı „ËÊ›Ô Ó· ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ ÊÔÚ¿. ¡· ÁÚ¿„ÂȘ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ Ô˘ ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· ÙÔ˘˜ ‰È·Ù¿ÍÂȘ Û Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿.

11.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔ „ËÊ›Ô Ô˘ Ï›ÂÈ ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 25,7, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ, fiÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙÔ ÏËÛȤÛÙÂÚÔ ‰¤Î·ÙÔ, Á›ÓÂÙ·È ›ÛÔ˜ Ì 25,5.

12.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔÓ ÚÒÙÔ ›Ó·Î· Ì ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ, ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î·:

345 10 345 1000 345 100 345 10000

0,345 3,45 0,0345 34,5

13.

AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ÎÏ¿ÛÌ· Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ Ì ÙÔ ÈÛÔ‰‡Ó·Ìfi ÙÔ˘ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ÛÙ‹Ï˘ Î·È ·˘Ùfi Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‰Âη‰ÈÎfi Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÛÙ‹Ï˘.

2 5 6 20 45 50 15 5 10 4 19 1

3 10 190 10 25 10 4 10 9 10 30 10

0,9 0,4 0,3 3,0 2,5 19,0


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

29-11-06

15:38

™ÂÏ›‰·60

- 60 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞.3.2. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ™ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó Î·ÌÌÈ¿ ȉȷ›ÙÂÚË ‰˘ÛÎÔÏ›·. ∞ÚΛ, Ó· ÚÔÛ¤¯Ô˘Ì ÙË ı¤ÛË Ù˘ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹˜. ∞˜ ÙȘ ‰Ô‡ÌÂ, fï˜, ÈÔ ·Ó·Ï˘ÙÈο.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



∏ ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ∞Ê·›ÚÂÛË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È ÛÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚԇ̠ٷ „ËÊ›· Ù˘ ›‰È·˜ Ù¿Í˘, ÙÔÔıÂÙÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔÓ ¤Ó· οو ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÔÈ ˘ԉȷÛÙÔϤ˜ Ó· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ÛÙ‹ÏË.

√ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Ú¿Í˘ ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿, fiÛ· Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈο Ù· „ËÊ›· ÛÙ· ‰Âη‰Èο ̤ÚË Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.



∏ ¢È·›ÚÂÛË ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È Ë Â˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·È ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10 ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ô ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ Ó· Á›ÓÂÈ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ŸÙ·Ó ÂÍ·ÓÙÏËı› ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘, “ηÙ‚¿˙Ô˘Ì” ÙÔ Ìˉ¤Ó, ˆ˜ ÚÒÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi „ËÊ›Ô ·fi ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ ËÏ›ÎÔ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹.





86,907 32 + 132,76 + 14,085 2 1 9,667 46,085 54,452 – 15,905 3 8, 5 4 7 15,82 X 2,30 47 46 3 164 3 6,3 8 6

2 ‰Âη‰Èο „ËÊ›· 1 ‰Âη‰ÈÎfi „ËÊ›Ô

3 ‰Âη‰Èο „ËÊ›·

H ‰È·›ÚÂÛË 534,28 Á›ÓÂÙ·È:

: 3,178 534280 : 3178

(ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿Û·Ì ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Î·È ‰È·ÈÚ¤ÙË Ì ÙÔ 1000 ÁÈ· Ó· ··Ï›„Ô˘Ì ٷ ‰Âη‰Èο „ËÊ›· Î·È ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô)

534280,0 21648 25800 3760 582

2580,1 ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì Ì 0,1, 0,01, 0,001... ‹ fiÙ·Ó ‰È·ÈÚԇ̠¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì 10, 8,450,01 100, 1000,... ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ 12,45 0,001 ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Ì›·, ‰‡Ô, ÙÚÂȘ,... ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ı¤ÛÂȘ. ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì 10 , 100 , 1000 ... ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ Ì›·, ‰‡Ô, ÙÚÂȘ, ... ı¤ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

18,31 – 7 ,952 1 0, 3 5 8

3178 168,1

= 258:10

= 25,8

= 8,45:100

= 0,0845

= 12,45:1000 = = 0,01245

28,34  10 = 283,4 38,0945  100 = 3809,45 1,3245  1000 = 1324,5 0,009  1000 = 9


(55-70)-(20,5 Ã 28)

24-11-06

12:05

™ÂÏ›‰·61

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›



- 61 2

2

√È ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¤¯Ô˘Ó (2,5) =2,5 =6,25 ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ 2 2 (1,25) =1,25 =1,5625 ·ÚÈıÌÒÓ. 2

1x2=2 2x2=4

2

(0,115) =0,115 =0,13225

3x2=6

3 3 ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ, Ô˘ ¤¯ÂÈ (1,5) =1,5 =3,375 ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ï‹ıÔ˜ 3 3 ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘ Â› ÙÔÓ (0,15) =0,15 =0,003375 4 4 ÂÎı¤ÙË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘. (0,5) =0,5 =0,0625 4

1x3=3 2x3=6 1x4=4

4

(0,15) =0,15 =0,00050625

2x4=8

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

80,19 m

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜: (·) 15,833 – 4,791 (‚) 13,902 – 12,5025 (Á) 20,0005 – 12,501.

B

A

57,89 m

47,73 m

3.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ ηıÂÓfi˜ ·fi Ù· ÔÈÎfi‰· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

m 38, 13 13 m 29,

° 47,1 9m

48,9 m

23,24 m

2.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) 48,18 + 3,256 + 7,129 (‚) 3,59 + 7,13 + 8,195. 26,14 m

1.

39,93 m

∂ ∫ º.3-∞ §°.

44,75 m

4. 5. 6. 7. 8.

N· οÓÂȘ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 579 : 48 (‚) 314 : 25 (Á) 520 : 5,14 (‰) 49,35 : 7

9.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (·) 24  5 – 2 + 3  5 (‚) 3 11 – 2 + 54,1 : 2.

10. 11.

¡· οÓÂȘ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 520  0,1 + 0,32 100

(‚) 4,91  0,01 + 0,819  10.

¡· οÓÂȘ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 4,7 : 0,1 – 45 : 10

(‚) 0,98 : 0,0001 – 6785 : 1000

H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 20,2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 48,52. ∞Ó Ë ‚¿ÛË ÙÔ˘ Â›Ó·È 10,7, fiÛÔ Â›Ó·È Ë Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘;

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ: (·) 3,12 (‚) 7,012 (Á) 4,52 (‰) 0,52 (Â) 0,22 (ÛÙ) 0,33. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·)

2,75 + 0,05 + 1,40 + 16,80 = 21

(‚)

420,510 + 72,490 + 45,19 + 11,81 = 500

(Á)

4 – 3,852 = 1,148

(‰)

32,01 – 4,001 = 28,01

(Â)

41900  0,0001 – 0,0419  1000 = 0

(ÛÙ) 56,89  0,01 + 4311 : 10000 = 1 (˙)

(3,2 + 7,2  2 + 24  0,1) : 100 = 0,2

™ø™∆√ §∞£√™


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:17

™ÂÏ›‰·62

- 62 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

A.3.3. ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘ √ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ÙÛ¤˘ Â›Ó·È ¤Ó· ¯Ú‹ÛÈÌÔ ÂÚÁ·ÏÂ›Ô ÁÈ· ÙË ÁÚ‹ÁÔÚË ÂÎÙ¤ÏÂÛË ڿ͈Ó. ∆· ÎÔÌÈÔ˘ÙÂÚ¿ÎÈ· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ÂÌfiÚÈÔ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Û‹ÌÂÚ· Â›Ó·È ÔÏÏÒÓ ÂȉÒÓ. ŸÏ· fï˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÎÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜. √È ‚·ÛÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ï‹ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Û ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ Ù˘ Ú¿Í˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤¯ÂÈ ÔÏÏ¿ „ËÊ›·, Ë ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. ∆· ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ú¿ÍÂȘ Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜: ∆Ô ¿ÙËÌ· ÙÔ˘ Ï‹ÎÙÚÔ˘

,

,

ηÈ

.

Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Ú¿Í˘.

128 ,35 752 1520,39 859

59,003 38,498 3,759 10,19

187,353 713,502 5715,14601 84,29833

AÓ Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ÙÛ¤˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ‚ÔËıËÙÈ΋ ÌÓ‹ÌË ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û’ ·˘ÙfiÓ Ù· Ï‹ÎÙÚ·: : ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÙÔÔıÂÙË̤ÓÔ˜ ÛÙË ÌÓ‹ÌË, : Û‚‹ÓÂÈ ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÌÓ‹Ì˘ Î·È : ÚÔÛı¤ÙÂÈ ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙË ÌÓ‹ÌË ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÔıfiÓ˘ : ·Ê·ÈÚ› ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙË ÌÓ‹ÌË ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÔıfiÓ˘

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘: (1,5:3+0,4  7)  5 - 31,2 : (0,9  2+3,3:1,1) Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘.

§‡ÛË ¶ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ.

1,5 0,9 3,3

3 2 5

0,5 1,8 16,5

0,4 3,3 31,2

7 1,1 4,8

2,8 3 6,5

3,3 4,8 10

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞ ¶ÔÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È, Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Á›ÓÂÈ ÛÙÔ ÎÔÌÈÔ˘ÙÂÚ¿ÎÈ Î·È ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·;

7,28 2,4 2, 03

5,2 7, 1 0,47

0,4

?

5, 8

?

5 3, 2

?

?

?

4,2 0, 1

? ? ?

?


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:17

™ÂÏ›‰·63

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 63 -

∞.3.4. T˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A ➣

¶Ò˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÔ› ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ‰È·‚¿˙ÔÓÙ·È ÌÂ Û˘ÓÔÙÈÎfi Î·È Î·Ù·ÓÔËÙfi ÙÚfiÔ; – ∏ Ì¿˙· ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ ›ӷÈ: 1983000000000000000000000000000 ÎÈÏ¿. – ∏ Ì¿˙· Ù˘ °Ë˜ ›ӷÈ: 5976000000000000000000000 ÎÈÏ¿.

∞fi ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÎÂÙ‹ ‰˘ÛÎÔÏ›· ÛÙË ÁÚ·Ê‹ Ôχ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∏ ‰˘ÛÎÔÏ›· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ÍÂÂÚ·ÛÙ› ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ ÁÚ·Ê‹˜ Ô˘ ϤÁÂÙ·È “Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹”.

ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

ŒÓ·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ · 10 Ó, ‰ËÏ·‰‹ ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â› ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10. ∆Ë ÌÔÚÊ‹ ·˘Ù‹ ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË. √ ·ÚÈıÌfi˜ · Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ „ËÊ›Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 1 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 10.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ 3.140.000.000.000.000.000 = 3,14  1.000.000.000.000.000.000 = 3,14  10 18 2.34.000.000.000.000.000 = 2,34  100.000.000.000.000.000 = 2,34  10 17 E›Û˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5,21 105 Â›Ó·È Ë Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 521.000 Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2  103 Â›Ó·È Ë Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 2.000 .

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙËÓ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹: (·) 583.000 (‚) 4.300.000 (Á) 7.960.000 (‰) 3.420.000.000 (Â) 4.800 (ÛÙ) 7.310 (˙) 281.900 (Ë) 518.000.000 (ı) 131.000 (È) 675.000.

2.

N· ÁÚ¿„ÂȘ ÙË ‰Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 3,1  106 (‚) 4,820  105 (Á) 3,25  104 (‰) 7,4  103 (Â) 9,2  102.

3.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ú¿ÍÂȘ: (·) 1.000.000.000  1.000.000.000 (‚) 987654321  123456789 (Á) 1.000.0003. ∞Ó·˙‹ÙËÛ ηٿÏÏËϘ ËÁ¤˜ ÁÈ· Ó· ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ:

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π – – – –

¶fiÛ· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· Â›Ó·È ¤Ó· ¤ÙÔ˜ ʈÙfi˜; ¶fiÛ· ÂÚ˘ıÚ¿ ·ÈÌÔÛÊ·›ÚÈ· ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û’ ¤Ó·Ó ˘ÁÈ‹ ¿ÓıÚˆÔ; ¶fiÛ· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· ·¤¯ÂÈ ·fi ÙË °Ë Ë ™ÂÏ‹ÓË; ¶fiÛË Â›Ó·È Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ °Ë˜;


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:17

™ÂÏ›‰·64

- 64 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞.3.5. ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ∏ ÊÈÏÔ‰ÔÍ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÌÂÙÚËı›. √‡ÙÂ Ô Êfi‚Ô˜. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Ú¿ÁÌ·Ù· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙÚËıÔ‡Ó, fiˆ˜ .¯. ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, ÙÔ ‚¿ÚÔ˜, Ô ¯ÚfiÓÔ˜. °È· Ó· Ù· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÁÈ· ÙÔ Î·ı¤Ó· ÌÈ· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. ∞ÏÏ¿ ÎÈ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ÊÙ¿ÓÂÈ, ‰ÈfiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÏ· Ù· ÌÂÁ¤ıË ·Î¤Ú·È· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. £· Ú¤ÂÈ, ÏÔÈfiÓ, Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. ŒÙÛÈ ı· ›̷ÛÙ ÈÔ ·ÎÚȂ›˜ ÛÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì·˜. ∞˜ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· Ì ÌÈ· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· Ô˘ ÌÂÙÚ¿ÂÈ ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ °È¿ÓÓË Ô˘ ‰ÂÓ ¤Ú·Û ηıfiÏÔ˘ ¿ÛÎËÌ· ÙÔ Úˆ› Ù˘ ∫˘Úȷ΋˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë √ °È¿ÓÓ˘ ͇ÓËÛ ÙËÓ ∫˘Úȷ΋ ÙÔ Úˆ›, ÛÙȘ ÔÎÙÒ Î·È Ù¤Ù·ÚÙÔ Î·È ˆ˜ ÙȘ ¤ÓÙÂη Î·È ÌÈÛ‹ ¤·È˙Â. ∞fi ÙȘ ¤ÓÙÂη Î·È ÌÈÛ‹, ˆ˜ ÙȘ ‰Ò‰Âη, ›‰Â ÙËÏÂfiÚ·ÛË. ➣ ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ¤Ú·Û Û οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ¿ ÙÔ˘; ·) ªÂ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙËÓ ÒÚ·; ‚) ªÂ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ; Á) ªÂ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ ÂÓÙ¿ÏÂÙÔ; ‰) ªÂ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ ÏÂÙfi; Â) ªÂ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ; ➣ TÈ ·Ú·ÙËÚ›˜; ¶Ò˜ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÔÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈÎÔ‡ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ∏ Ì¿˙· ÙÔ˘ ·ÂÏÏÔ˘ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ÌÂÙÚËı› Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ Ù· 50g, Ù· 100g, Ù· 500g Î·È ÙÔ 1Kg.

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

1 kg

500 g

100 g

50g

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë

1.

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ù· ∞, µ Î·È °, Ì ‚¿ÛË, ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ·, ‚, Á Î·È ‰. ∞fi ÙË Ì¤ÙÚËÛË ı· ¤¯Ô˘Ì ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·:

A = 16 ·,

∞ = 8 ‚,

∞ = 4 Á,

µ = 18 ·,

µ = 9 ‚,

µ = 4,5 Á,

° =

° = 2 ‚,

° = 1 Á,

4 ·,

8 ∞ = ‰ 3 µ = 3 ‰ 2 ° = ‰ 3

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÈ·˜ Â›‰˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ.

2.

µÚ˜ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜ ·, ‚ Î·È Á. √ fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: 56·, 28‚, 8Á.

Á

· ‚

‰ µ

°

·

‚ Á

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ.


∫∂º.3-∞§°. (55-70)

3-12-06

14:34

™ÂÏ›‰·65

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 65 -

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 

∏ ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚo (Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì m). YԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘: 1

1 dm = 10 m = 0,1 m

– 1 ‰ÂηÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ·Ï¿ÌË (dm)

1 1 cm = 100 m = 0,01 m

– 1 ÂηÙÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ fiÓÙÔ˜ (cm)

1 1 mm = 1.000 m = 0,001 m

– 1 ¯ÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ¯ÈÏÈÔÛÙfi (mm) . ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘:

1 Km = 1.000 m

– 1 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚÔ (Km) 

™ÙË Ó·˘ÛÈÏÔ˝·, ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ Ì‹ÎÔ˘˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ.

1 Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ = 1.852 m

MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ 

∏ ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ̤ÙÚÔ (Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì m2) Ô˘ Â›Ó·È Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÏÂ˘Ú¿ ¤Ó· ̤ÙÚÔ. YԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘:

1 1 dm 2 = 100 m2 = 0,01 m 2

– 1 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ‰ÂηÙfiÌÂÙÚÔ (dm 2)



– 1 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ÂηÙÔÛÙfiÌÂÙÚÔ (cm 2)

1 1 cm 2 = 10.000 m2 = 0,0001 m 2

– 1 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ¯ÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚÔ (mm 2)

1 1 mm 2 = 1.000.000 m2 = 0,000001 m 2

™ÙËÓ ∂ÏÏ¿‰·, ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ÛÙÚ¤ÌÌ·.

1 Km 2 = 1 . 0 0 0 . 0 0 0 m 2 = 10 6 m 2 1 ÛÙÚ¤ÌÌ· = 1.000 m 2

MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ fiÁÎÔ˘ 

∏ ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ fiÁÎÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Î˘‚ÈÎfi ̤ÙÚÔ (Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì m3) Ô˘ Â›Ó·È Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘, ·ÎÌ‹˜ ÂÓfi˜ ̤ÙÚÔ˘. ÀԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ΢‚ÈÎÔ‡ ̤ÙÚÔ˘:

– 1 ΢‚ÈÎfi ‰ÂηÙfiÌÂÙÚÔ (dm 3)

1 1 dm 3 = 1.000 m3 = 0,001 m 3

– 1 ΢‚ÈÎfi ÂηÙÔÛÙfiÌÂÙÚÔ (cm 3)

1 1 cm 3 = 1.000.000 m3 = 0,000001 m 3

– 1 ΢‚ÈÎfi ¯ÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚÔ (mm 3)

1 1 mm 3 = 1.000.000.000 m3 =0,000000001 m 3



°È· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ dm 3 Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È Ï›ÙÚÔ (lt).

1 lt = 1 dm 3 = 0,001 m 3



To cm 3 ϤÁÂÙ·È Î·È ¯ÈÏÈÔÛÙfiÏÈÙÚÔ (ml).

1 ml=0,001 lt =1 cm3=0,000001 m 3


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:18

™ÂÏ›‰·66

- 66 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ 

∏ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ (Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì s) ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ·:

– 1 ÏÂÙfi (min) – 1 ÒÚ· (h) – 1 Ë̤ڷ

=

= =

24h

60 min 1.440 min

= = =

60 s 3.600 s 86.400 s

MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ Ì¿˙·˜ 

∏ ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ Ì¿˙·˜ Â›Ó·È ÙÔ ¯ÈÏÈfiÁÚ·ÌÌÔ ‹ ÎÈÏfi (Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ∫g) ÀԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡:

– 1 ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈÔ (g) – 1 ¯ÈÏÈÔÛÙfiÁÚ·ÌÌÔ(mg)

1mg

=

1g 0,001 g

= 0,001 Kg = 0,000001 Kg

¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡:

– 1 ÙfiÓÔ˜ (t)

1t

=

1.000 Kg

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ 2.754,389 m, Û fiϘ ÙȘ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÙÔ˘ m.

§‡ÛË °È· ÙȘ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤˜ ·fi Ì›· ÌÔÓ¿‰· Û ¿ÏÏË, ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÌÈ· “ÛοϷ”, Ô˘ ÁÈ· Ó· ÙËÓ “·Ó¤‚Ô˘Ì”, Ú¤ÂÈ ·fi οı ÛηÏÔ¿ÙÈ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ, Ó· ‰È·ÈÚԇ̠̠ÙÔ 10, ÂÓÒ ÁÈ· Ó· ÙËÓ “η٤‚Ô˘Ì”, Ú¤ÂÈ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì Ì ÙÔ 10.

2754,389 m ⇑ : 10

⇑ : 10

10⇓

27543,89 dm ⇑ : 10

275438,9 cm ⇑ : 10

2754389 mm

2.

2754,389 m

m

27543,89 dm

dm ⇑ : 10

 10⇓

10⇓ cm

⇑ : 10 10⇓ mm

 10⇓

275438,9 cm  10⇓

2754389 mm

H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 96cm2. ¡· ‚ÚÂı› Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘.

§‡ÛË ∂Âȉ‹ Ô Î‡‚Ô˜ ¤¯ÂÈ 6 ¤‰Ú˜, Ë Î¿ı ¤‰Ú· ÙÔ˘ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 96 cm2 : 6 = 16 cm2. AÏÏ¿ Â›Ó·È 16 cm2 = 4 cm  4 cm = (4 cm)2, ¿Ú·, Ë ·ÎÌ‹ ÙÔ˘ ·‚Ô˘ Â›Ó·È 4 cm. EÔ̤ӈ˜, Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘ ›ӷÈ: (4 cm)3 = 4 cm  4 cm  4 cm = 64 cm3

3.

MÈ· ·Ì·ÍÔÛÙÔȯ›· ‰È·Ó‡ÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞ı‹Ó·˜ ¶‡ÚÁÔ˘ Û 4 ÒÚ˜ Î·È 57 ÏÂÙ¿. ∞Ó Ë ·Ì·ÍÔÛÙÔȯ›· ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ ∞ı‹Ó· ÛÙȘ 9:10 .Ì. ÙÔ Úˆ›, ÔÈ· ÒÚ· ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔÓ ¶‡ÚÁÔ;

§‡ÛË ∏ ·Ì·ÍÔÛÙÔȯ›· ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙȘ 9h 10min + 4h 57min = 13h 67min = 14h 7min, ‰ËÏ·‰‹, ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔÓ ¶‡ÚÁÔ ÛÙȘ 2:07 Ì.Ì., ÌÂÙ¿ ÙÔ ÌÂÛË̤ÚÈ.


(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:18

™ÂÏ›‰·67

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

4.

- 67 -

¡· ‚ÚÂı› Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜: (·) Û ̤ÙÚ·, (‚) Û ÂηÙÔÛÙ¿ Î·È (Á) Û ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ·. (·)

(‚) (Á)

5.

∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Û ̤ÙÚ· Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, ‰ËÏ·‰‹:

m ,17 22

§‡ÛË

27,6 m

23,5 m

∂ ∫ º.3-∞ §°.

38,53 m

26,6 m + 23,5 m + 22,17 m + 38,53 m = 111,8 m. ∂›Ó·È: 111,8 m = 111,8 m  0,001 = 0,1118 Km ∂›Û˘, ›ӷÈ: 111,8 m  100 = 11.180 cm

ªÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÓÂÚÔ‡ ÙÚ‡ËÛÂ Î·È ¯‡ÓÔÓÙ·È 2 ÛÙ·ÁfiÓ˜ οı ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ. ∞Ó ÔÈ 25 ÛÙ·ÁfiÓ˜ ¤¯Ô˘Ó Ì¿˙· 1,5 g, Ó· ‚ÚÂı› Ë Ì¿˙· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ¯¿ÓÂÙ·È Î¿ı ÒÚ·, Û ÎÈÏ¿.

§‡ÛË ∫¿ı ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ ¯‡ÓÔÓÙ·È 2 ÛÙ·ÁfiÓ˜ ÓÂÚÔ‡, ¿Ú· Û 1h = 3.600s ı· ¯˘ıÔ‡Ó: 3.600  2 = 7.200 ÛÙ·ÁfiÓ˜ ÓÂÚÔ‡. ∞˘Ù¤˜ ı· ¤¯Ô˘Ó Ì¿˙·: (7.200 : 25)  1,5 g = 288  1,5 g = 432 g = 0,432 Kg.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ Ù· ÎÂÓ¿: (·) 23 dm = .......cm, (Á) 45,83 cm = .......m, (‰) 67,2 Km = .......mm,

2.

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô ¤¯ÂÈ ·Î̤˜ Ì‹ÎÔ˘˜ ·=3,1 m, ‚=4,2 m Î·È Á=2,3 m. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ ÙÔ˘ Û mm Î·È Ó· ÙÔ ÁÚ¿„ÂȘ ÛÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹.

3. 4.

°Ú¿„ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ Ì‹ÎË Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿: 986 m, 0,023 Km, 456 cm, 678 dm.

5.

™˘Ì‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿: (·) 56 Km2=.......m2, (‚) 0,987 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·=.......m2, (Á) 350 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·=.......m2.

6.

ŒÓ· ÔÈÎfiÂ‰Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÏÂ˘Ú¿ 210 m. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û m2 Î·È Û ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·.

7.

ªÈ· ·˘Ï‹, Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ¤¯ÂÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 5 m Î·È 7,2 m. £¤ÏÔ˘Ì ӷ ÙË ÛÙÚÒÛÔ˘ÌÂ, Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ˜ ϿΘ, ÏÂ˘Ú¿˜ 40 cm.¶fiÛ˜ ϿΘ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÔ‡ÌÂ;

8. 9.

√ fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ Â›Ó·È 15 dm3 29 cm3. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Û cm3, m3 Î·È mm3.

10. 11.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ, ·fi ÙȘ 8h 10min ÙÔ Úˆ›, ˆ˜ ÙȘ 5h 20min ÙÔ ·fiÁÂ˘Ì·.

12.

(‚) 3,1 m = .......∫m, (Â) 95,5 mm = .......cm.

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ï¢ÚÒÓ ·=23 cm Î·È ‚=45 cm. N· ‚ÚÂȘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘, Û cm2 Î·È Û mm2.

ŒÓ·˜ ÔÈÓÔ·Ú·ÁˆÁfi˜ ¤¯ÂÈ ·ÔıË·ÛÂÈ ÙÔ ÎÚ·Û› ÙÔ˘ Û 3 ›Û˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ¤˜, Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘, Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 3 m, 2 m Î·È 5 m. AÓ Ô˘Ï‹ÛÂÈ ÙÔ ÎÚ·Û› ÙÔ˘ ÚÔ˜ 4 Q ÙÔ Ï›ÙÚÔ, fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ÂÈÛÚ¿ÍÂÈ;

™˘Ì‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿: (·) 4h 52min=.......min=.......s, (‚) 3h 12min.......min=.......s, (Á) 5h 20min 30s=.......min=.......s, (‰) 56min 45s=.......min=.......s. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ: (·) ÙÔ

1 1 1 Ù˘ ÒÚ·˜, (‚) ÙÔ Ù˘ ÒÚ·˜, (Á) ÙÔ Ù˘ ÒÚ·˜. 10 5 6


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:18

™ÂÏ›‰·68

- 68 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

13.

¢È·ı¤ÙÔ˘Ì ÛÙ·ıÌ¿ ÙˆÓ 50 g, 500 g Î·È ‰‡Ô ÛÙ·ıÌ¿ ÙÔ˘ 1 ∫g. ¶Ò˜ ı· ˙˘Á›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ‚¿ÚÔ˜ (·) 3 ∫g Î·È 600 g Î·È (‚) 2 ∫g Î·È 450 g.

14.

¶Ò˜ ı· ˙˘Á›ÛÔ˘Ì (·) ¤Ó· ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ 5 Kg, Ì ÛÙ·ıÌ¿ ÙˆÓ 9 Kg, 3 Kg Î·È 1 Kg (‚) ¤Ó· ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ 3 Kg, Ì ÛÙ·ıÌ¿ 10 ∫g, 5 Kg Î·È 1 Kg.

15.

¢È·ı¤ÙÔ˘Ì ÙÚ›· ‰Ô¯Â›· Ô˘ ¯ˆÚ¿Ó 2 lt, 0,5 lt Î·È 0,1 lt. ¶Ò˜ ı· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ˘ÁÚfi, fiÁÎÔ˘ (·) 5 lt, (‚) 2,8 lt, (Á) 2,4 lt.

16.

™Â ÌÈ· ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ· ı¤ÏÔ˘Ó Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ó ÌÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ Ô˘ Ó· ¯ˆÚ¿ÂÈ 3 t ÂÙڤϷÈÔ Î·È Ó· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2,5 m Î·È Ï¿ÙÔ˜ 1 m. ∞Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ Ô 1 t ÂÙÚÂÏ·›Ô˘ ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ 1200 lt, ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ Î·È fiÛ· lt ÂÙÚÂÏ·›Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û οı cm ‡„Ô˘˜;

17.

ªÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘ Ì ‡„Ô˜ 1,2 m Î·È ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ 80 cm. ªÈ· ·ÓÙÏ›· ·‰ÂÈ¿˙ÂÈ ·fi ÙËÓ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ 8 lt ÙÔ ÏÂÙfi. ¡· ‚ÚÂı›: (·) Û fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ Ë ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ı· η٤‚ÂÈ Î·Ù¿ 10 cm, (‚) Û fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ·‰ÂÈ¿ÛÂÈ Ë ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ Î·È (Á) fiÛÔ ı· η٤‚ÂÈ Ë ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Û ÌÈÛ‹ ÒÚ·.

18.

ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ‰È‹Ó˘Û ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË Û ¯ÚfiÓÔ 1h 15 min, ÂÓÒ ¤Ó·˜ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË Û ¯ÚfiÓÔ 1h 45min. (·) ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ Â›Ó·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Ô‰ËÏ¿ÙË; (‚) ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ Ô‰ËÏ¿ÙË; ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ™Â ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Â›Ó·È Ôχ ÌÂÁ¿Ï˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÂȉÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ fiˆ˜: ñ ∆ËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌÈ΋ ÌÔÓ¿‰· (U.A.), Ô˘ Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË °Ë˜ ◊ÏÈÔ˘ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì 149.600.000 Km. ñ To ¤ÙÔ˜ ʈÙfi˜ (Â.Ê.) Ô˘ Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË Ô˘ ‰È·Ó‡ÂÈ ÙÔ Êˆ˜, Û ¤Ó· ¤ÙÔ˜ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì 9.461.000.000.000 Km. ™Â ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Â›Ó·È Ôχ ÌÈÎÚ¤˜ (‚·ÎÙËÚ›‰È·, ÌÈÎÚfi‚È·, ÌfiÚÈ·, ¿ÙÔÌ· Î.Ï.) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÂȉÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜, fiˆ˜: ñ ∆Ô ÌÈÎÚfiÌÂÙÚÔ (Ìm) Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0,001 mm ñ To Ó·ÓfiÌÂÙÚÔ (nm) Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0,000 001 mm Æ ) Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 0,000 000 1 mm ñ ∆Ô Angström (∞

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ √ ¿ÓıÚˆÔ˜ ·fi Ù· ÚÒÙ· ÙÔ˘ ‚‹Ì·Ù·, Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ·Ó·˙‹ÙËÛ ÙÚfiÔ˘˜ Û‡ÁÎÚÔ˘Û˘ ÌÂÁÂıÒÓ fiˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, Ô fiÁÎÔ˜, Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ‹ Ë Ì¿˙· ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÛÂ, ·ÓÙ¿ÏÏ·ÛÛÂ, ÂÌÔÚ¢fiÙ·Ó Î.Ï. √È ·ÓıÚÒÈÓ˜ ÂÈÏÔÁ¤˜ ÁÈ· ÙÔÓ Î·ıÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ “̤ÙÚˆÓ Î·È ÛÙ·ıÌÒÓ” ›¯·Ó ·Ó¤Î·ıÂÓ Î·È ÎÔÈÓˆÓÈÎfi, ÔÏÈÙÈÛÙÈÎfi, ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÈÛÙÔÚÈÎfi, ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ·ÏÏ¿ Î·È ÔÏÈÙÈÎfi ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·.  ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ Î·È Ó· ηٷÁÚ¿„ÂȘ (Û ¤Ó· Û¯ÂÙÈÎfi ›Ó·Î·) Ù· “̤ÙÚ· Î·È ÛÙ·ıÌ¿” ÁÈ· Ù· ‚·ÛÈο ÌÂÁ¤ıË (Ì‹ÎÔ˜, ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, fiÁÎÔ˜, ¯ÚfiÓÔ˜ Î·È ‚¿ÚÔ˜) Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ·fi ÙÔ 3000 .Ã. ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·, ·fi ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ Ï·Ô‡˜ (∞ÈÁ‡ÙÈÔ˘˜, µ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜, πÓ‰Ô‡˜, ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜, ∞Ú¯·›Ô˘˜ ŒÏÏËÓ˜, ƒˆÌ·›Ô˘˜, ÕÁÁÏÔ˘˜, °¿ÏÏÔ˘˜, √ÏÏ·Ó‰Ô‡˜, ∞ÌÂÚÈοÓÔ˘˜, ∂˘Úˆ·›Ô˘˜ Î·È ¡ÂÔ¤ÏÏËÓ˜), Ù· ÔÔ›· ‰È·ÙËÚ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· ÌÂÁ¿ÏÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ¿ÍÈ· ÏfiÁÔ˘ ÁÈ· Ó· ·Ó·ÊÂÚıÔ‡Ó.  ¶fiÙÂ, Ì ÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÁÈ· ÔÈÔ ÏfiÁÔ Î·È ·fi ÔÈÔ‡˜ ¤ÁÈÓ·Ó ÚÔÛ¿ıÂȘ Ó· ÂÈÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ¤Ó· ‰ÈÂıÓ¤˜ Û‡ÛÙËÌ· ̤ÙÚËÛ˘ ÌÂÁÂıÒÓ; °È·Ù› ·¤Ù˘¯·Ó ÌÂÚÈΤ˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·fi ·˘Ù¤˜;  ¶fiÛÔ ÚfiÏÔ ¤·ÈÍ ÛÙȘ ÙÂÏÈΤ˜ ÂÈÏÔÁ¤˜ ÁÈ· Ù· “̤ÙÚ· Î·È ÛÙ·ıÌ¿” ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ, Ô ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜;  ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Î·Ù¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÂÈÎÚ·Ù› Û‹ÌÂÚ· ‰ÈÂıÓÒ˜, ÁÈ· Ù· “̤ÙÚ· Î·È ÛÙ·ıÌ¿” ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ;


∂ ∫ º.3-∞ §°.

(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:18

™ÂÏ›‰·69

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

- 69 -

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË ¢Âη‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› √ÚÈÛÌÔ› ¢Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· ϤÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ·Ú·ÓÔÌ·ÛÙ‹ ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10. ∫¿ı ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ·È Û ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Î·È ‰Âη‰ÈÎfi ̤ÚÔ˜, Ô˘ ‰È·¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹. ŒÓ·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ·  10 Ó, ‰ËÏ·‰‹, ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â› Ì›· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10. √ ·ÚÈıÌfi˜ · Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ „ËÊ›Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 1 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 10. ∆Ë ÌÔÚÊ‹ ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË.

¶Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ H ¶ÚfiÛıÂÛË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È ÛÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔÓ ¤Ó· οو ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÔÈ ˘ԉȷÛÙÔϤ˜ Ó· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ÛÙ‹ÏË Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ٷ „ËÊ›· Ù˘ ›‰È·˜ Ù¿Í˘.

√ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È fiˆ˜ Î·È ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Ú¿Í˘ ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿, fiÛ· Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈο Ù· „ËÊ›· ÛÙ· ‰Âη‰Èο ̤ÚË Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

H AÊ·›ÚÂÛË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È ÛÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔÓ ¤Ó· οو ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÔÈ ˘ԉȷÛÙÔϤ˜ Ó· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ÛÙ‹ÏË Î·È ·Ê·ÈÚԇ̠ٷ „ËÊ›· Ù˘ ›‰È·˜ ÛÙ‹Ï˘.

∏ ¢È·›ÚÂÛË Á›ÓÂÙ·È fiˆ˜ Î·È Ë Â˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·È ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10 ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Á›ÓÔ˘Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ŸÙ·Ó ÂÍ·ÓÙÏËı› ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘, “ηÙ‚¿˙Ô˘Ì” ÙÔ Ìˉ¤Ó ˆ˜ ÚÒÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi „ËÊ›Ô ·fi ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ ËÏ›ÎÔ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹.

ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì Ì 0,1 , 0,01 , 0,001 , ... ‹ fiÙ·Ó ‰È·ÈÚԇ̠̠10 , 100, 1000, ..., ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Ì›·, ‰‡Ô, ÙÚÂȘ ......... ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ı¤ÛÂȘ. ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì 10, 100, 1000, ... ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ Ì›·, ‰‡Ô, ÙÚÂȘ, ... ı¤ÛÂȘ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. √È ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘, Â› ÙÔÓ ÂÎı¤ÙË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘.

¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ¶Ú¿ÍÂˆÓ ➊ ¢˘Ó¿ÌÂȘ ➩ ➋ ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì Ô › Î · È ¢ È · È Ú ¤ Û Â È ˜ ➩ ➌ ¶ Ú Ô Û ı ¤ Û Â È ˜ Î · È ∞ Ê · È Ú ¤ Û Â È ˜ √È Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È Î·È Á›ÓÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿.

ªÔÓ¿‰Â˜ ª¤ÙÚËÛ˘ ª‹ÎÔ˘˜: ÙÔ Ì¤ÙÚÔ (1m) EÈÊ¿ÓÂÈ·˜: ÙÔ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ̤ÙÚÔ (1m 2 ) ŸÁÎÔ˘: ÙÔ Î˘‚ÈÎfi ̤ÙÚÔ (1m 3) ÃÚfiÓÔ˘: ÙÔ ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ (1s) M¿˙·˜: ÙÔ ¯ÈÏÈfiÁÚ·ÌÌÔ (1∫g)

ÀԉȷÈÚ¤ÛÂȘ =10dm=102cm=103mm =102dm=104cm=106mm2 =103dm3=106cm3=109mm3 =103gr=106mg

¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· 1km=103m 1ÛÙڤ̷=103m2 1lt=0,01m3 1min=60s, 1h=3.600s 1t=103Kg


(55-70)-(20,5 Ã 28)

1-11-06

20:18

™ÂÏ›‰·70

- 70 -

M∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË 1. AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ 4, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Á›ÓÂÙ·È 4 ÊÔÚ¤˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ. 2. ∞Ó · = Á ‚

™ø™∆√ §∞£√™

ÙfiÙÂ · = Á

3. 1 : · = · ‚

2

4. ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È 3

1

1

∂ ∫ º.3-∞ §°.

3

4

5. ŸÙ·Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ˘ 5 Ì ÙÔ 2 ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÂÙ·È 8

6. ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ 7 Ì ÙÔ 3 ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È ÙÚÂȘ 9

ÊÔÚ¤˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡. 5 5 7. ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· 1 /8 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 40

3

8. ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ 2 Î·È 3 ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 3

9. ∞Ó ·<‚ ÙfiÙÂ 10.

4

2

· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1 ‚+1

5 = 625 = 35 = 1250 = 0,625 8 56 1000 2000

11. 2+ 1 + 10

3 + 45 = 2,175 100 1000

12. √È ·ÚÈıÌÔ› 7,2 Î·È 5 Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ. 36

13. √ ·ÚÈıÌfi˜ 5,2 Â›Ó·È ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· 7

14.

149 > 267 231 452

15.

1050 > 2593 3100 4650

16.

3,4 = 0,4659 7,3

17. 1,028 = 0,856666... 1,2

18.

34,5 = 5,7 5,7

19.

1,25 = 0,675675675... 1,85

20.

0,69 = 0,15 4,6

21. ∞Ó x =7 ÙÔ x Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 23 3


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:26

™ÂÏ›‰·71

ª∂ƒ√™ ∞ 

EÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· 4.1

∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ - √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ñ ∂ϤÁ¯ˆ ·Ó οÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ï‡ÛË Â͛ۈÛ˘ ñ §‡Óˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚

4.2

∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ñ §‡Óˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ڿ͈Ó

4.3

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ñ §‡Óˆ ·Ï¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚÊÒÓ

∞ƒÃÀ∆∞™ √ ∆∞ƒ∞¡∆π¡√™ (428 - 365 .Ã.)

4o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:26

™ÂÏ›‰·72

- 72 -

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

A.4.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 1Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÌÂÙ·ÊÚ¿ÛÂȘ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ. – Ô ÂfiÌÂÓÔ˜ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ – Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ – ¤Ó·˜ ¿ÚÙÈÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ – ¤Ó·˜ ÂÚÈÙÙfi˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ – Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 3 – ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ – ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 8 – ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÏ·Ùو̤ÓÔ˜ ηٿ 4 – ÙÔ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 2, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ 22 – ·Ó Û ¤Ó· ·ÚÈıÌfi ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì 5, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Á›ÓÂÙ·È 8

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 2Ë °Ú¿„Â Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ· ÙȘ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: (·) x+x+x+x, (‚) ·+·+·+‚+‚, (Á) 3  ·+5  ·, (‰) 18  x+7  x+4  x, (Â) 15  ‚–9  ‚.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 3Ë ªÈ· ˙˘Á·ÚÈ¿ ÈÛÔÚÚÔ›, fiÙ·Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ·fi ÙÔ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÌÈ· ÛÔÎÔÏ¿Ù·, Ù˘ ÔÔ›·˜ ‰ÂÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ Î·È ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì¤ÚÔ˜ 100 g Î·È ÌÈÛ‹ ÛÔÎÔÏ¿Ù·.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÌÈ· ÈÛfiÙËÙ· Ô˘ Ó· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ·˘Ù‹ ÙËÓ ÈÛÔÚÚÔ›·;

100

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 4Ë ¡· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂȘ ÙÔ x, Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 3, 4, 5, 6 Î·È 11, Û οı ÈÛfiÙËÙ· Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘, ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. µÚ˜ ÔÈÔ˜ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÔÈÔ˜ fi¯È.

➣ ➣

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙȘ ‰‡Ô ¿ÏϘ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Û‡Ìʈӷ Ì ٷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ ÛÔ˘. ªÔÚ›˜, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ڿ͈Ó, Ó· Êı¿ÛÂȘ ÛÙ· ›‰È· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·; E͛ۈÛË x – 4 = 1 5 – ¯ = 4 2x = 8 6 = 2 ¯ x = 3 2 x +7 = 30

∞ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ԢÓ

∞ÚÈıÌÔ› Ô˘ ‰ÂÓ ÙËÓ Â·ÏËı‡ԢÓ


∫∂º∞§∞π√-4 71-78)-(20,5 à 28)

3-12-06

14:39

™ÂÏ›‰·73

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

- 73 -

™ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 2  6 = 1 2 ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ οÓÔ˘ÌÂ Â›Ó·È Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹. ∏ ÈÛfiÙËÙ· fï˜ 2  x = 1 2 ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ›‰È·. ∞˘Ùfi ÙÔ x Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ “ÎÚ‡‚ÂÈ” ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ô˘ ·Ó ÙÔÓ ‚¿ÏÔ˘Ì ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘, “Â·ÏËı‡ÂÈ” ·˘Ù‹ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË ÙÈÌ‹ ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ x, Ë ÈÛfiÙËÙ· 2  x = 1 2 ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ. °È’ ·˘Ùfi ÙË Û¯¤ÛË ‰ÂÓ ÙË Ï¤Ì ÈÛfiÙËÙ·, ·ÏÏ¿ Â͛ۈÛË. ∫·È Ô x Â›Ó·È Ô ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ Û¯¤Û˘. ŸÙ·Ó ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ·˘Ùfi˜ Ô ÂÚ›ÊËÌÔ˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ x, ·ÎÔÏÔ˘ı› ÎÈ ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ · . ∆ÒÚ·, Ë Û¯¤ÛË Ë ‰È΋ Ì·˜ Ì ٤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ “Û¯¤ÛÂȘ” ‰ÂÓ ı· Â›Ó·È Î·ıfiÏÔ˘ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈΤ˜ ·Ó ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ì ηϿ fiÛ· ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó.

ª·ı·›ÓÔ˘Ì ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ, ÂÓÒ ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÈÛfiÙËÙ· Ì ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Î·È ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆¤ÙÔȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ÙȘ ϤÌ ÂÍÈÛÒÛÂȘ. 

∂͛ۈÛË Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È Ì›· ÈÛfiÙËÙ·, Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· (¿ÁÓˆÛÙÔ˜).



§‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘, fiÙ·Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ, Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·.



∏ ‰È·‰Èηۛ·, ̤ۈ Ù˘ ÔÔ›·˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘, ϤÁÂÙ·È Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘.



ªÈ· Â͛ۈÛË Ï¤ÁÂÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË,fiÙ·Ó fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘.



ªÈ· Â͛ۈÛË Ï¤ÁÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË, fiÙ·Ó Î·Ó¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰ÂÓ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ.

√È ÈÛfiÙËÙ˜: x + 5 = 12, y – 2 = 3, 10 – z = 1 ˆ : 5 = 4, 7  Ê = 14, 24 : „ = 6 Â›Ó·È ÂÍÈÛÒÛÂȘ §‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x – 7 = 5 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 12 ‰ÈfiÙÈ 12 – 7 = 5 ∆Ë Ï‡ÛË ÙË ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: x=12 ∆ÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· .¯. x, y, z, ˆ, Ê, „ Î.Ï. √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x = x ‹ 0 z = 0 Â›Ó·È ·fiÚÈÛÙ˜ ‹ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜. √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x + 2 = x + 6 ‹ 0 ˆ = 5 Â›Ó·È ·‰‡Ó·Ù˜

√ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ (̤۷ ÙÔ˘ 3Ô˘ ·ÈÒÓ· Ì.Ã.), ÛÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ “∞ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ” ÙÔ˘, ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ˜”. ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ Ì ÙË Ï¤ÍË “·ÚÈıÌfi˜” Î·È ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “˜ ∞ÚÁfiÙÂÚ· Ô µÈÂÙ (1540 - 1603) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ʈӋÂÓÙ· ∞, ∂, π, √, U, À ÁÈ· Ó· ˘Ô‰ËÏÒÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ Î·È Ù· Û‡Ìʈӷ B, D, G Î.Ï. ÁÈ· Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ÌÂÁ¤ıË.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ªÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·˜ 6m3 Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 1,5m Î·È Ï¿ÙÔ˜ 2m, ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ (·) 1,5m ‹ (‚) 3m ‹ (Á) 2m;

§‡ÛË ∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì Ì x ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ı· ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ: V=1,52 2xx. ŸÌˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ Â›Ó·È 6m3, ¿Ú· 3x=6. (¢ÂÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÛÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ·ÏÏ¿ Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÔȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ). ∂Ô̤ӈ˜, x=6 : 3, ‰ËÏ·‰‹ x=2 m. ™˘ÓÂÒ˜ ÙÔ ÛˆÛÙfi ‡„Ô˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ Â›Ó·È Ù· 2 m.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

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20:27

™ÂÏ›‰·74

- 74 -

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÒÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÙÔ ‰ÂηÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ›Ó·Î· Ì ÙȘ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 12 ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È Î·Ù¿ 5 ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÒÓ ÛÙÔ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÔ˘ 20 ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î·.

x–y > 20 x y=32 3 x

ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 32

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

x+12 10 x x–5

¢È·Ù‡ˆÛ Ì ÏfiÁÈ· ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: (·) 3 x + 25, (‚) (1) x – 7 = 2, (Á) · – 2  ‚, (‰) 4 Î + 7 Î = 88 ∏ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·. ¶fiÛË Â›Ó·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚfi˜ ÙÔ˘ Î·È fiÛÔ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘; °Ú¿„ Ì ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ ÙÚfiÔ ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: (·) x+x, (‚) ·+·+·, (Á) 3  ·+52  ·, (‰) 2  ‚+‚+3  ·+2  ·, (Â) 4  x+8  x–3  x, (ÛÙ) 7  ˆ+4  ˆ–10  ˆ 2 3 ∞Ó x y = Î·È z = , Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ x (y z). 9 5 ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2 + · = x, ÙÔ · Î·È ÙÔ x Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ÙÈ̤˜ 0, 3, 1 ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ÙÔ x ; ¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ, ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ 12 Â›Ó·È Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘: x + 13 = 25 ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “Ô ÛÙËÓ ı¤ÛË ÂΛÓË Ô˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â͛ۈÛË: 1 2 3 4 5 6 7 8 x–2=4 1+y=4 18 – ˆ = 10 9–·=1 93 – ‚ = 86 ¶ÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â·ÏËı‡ÂÈ Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ; (·) x + 4,9 = 15,83 (‚) 40,4 + x = 93,19 (Á) 53,404 – x = 4,19 (‰) 38 – x = 7,1 3 12 5 15 35 x 49 4 = , (‚) = , (Á) = ,(‰) =x+ . x 20 7 x 40 8 5 5 x+3 1 7 5 x 3 3 x+2 µÚ˜ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ x: (·) + = , (‚) + = , (Á) + =1 4 2 4 8 16 4 5 10 ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ÁÈ· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ; (·)

§‡Û ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: (·) Ó+3=4, (‚) x–2=8, (Á) t+4+1=3+19, (‰) 6–x=5. 5 ; 21 ™Â ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì 5 Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 313. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜; ¶ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÂȘ ÛÙÔÓ 4, ÁÈ· Ó· ÚÔ·„ÂÈ Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi˜ ÙÔ˘

∆· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ˘˜ “‰ÔÌÈÎÔ‡˜ Ï›ıÔ˘˜” Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·, ¤¯Ô˘Ó ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Ì 1 cm. (·) BÚ˜ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ¤ÌÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÂÍ‹ÁËÛ Ò˜ ¤ÊÙ·Û˜ ÛÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. (‚) °Ú¿„ ¤Ó· Ù‡Ô Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ı· ÌÔÚ›˜ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î¿ı ۯ‹Ì·ÙÔ˜. (Á) ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È 128 cm;

... (1)

(2)

(3)

(4)


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™ÂÏ›‰·75

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

∞.4.2.

- 75 -

E›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ

A˜ ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·: ➣ ¶fiÙÂ, ÛÙË ˙ˆ‹ Ì·˜, ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì “Úfi‚ÏËÌ·”; ➣ ∆È ÂȉÈÒÎÔ˘Ì ӷ ÂÙ‡¯Ô˘Ì fiÙ·Ó Ï¤Ì fiÙÈ: “χÓÔ˘Ì ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ·”; ➣ ∆È ÂÓÓÔԇ̠fiÙ·Ó Ï¤Ì fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ‚Úԇ̛̠· “χÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜”; ➣ ŸÏ· Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· χÓÔÓÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ; ➣ ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ·Ó·Áη›Â˜ ÂÓ¤ÚÁÂȘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ηٷʤÚÔ˘Ì ӷ ·ÓÙÈÌÂÙˆ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ·;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™Â ÂÈه̂ȷ ÛÙ‹ÏË Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ÓÔ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ·, Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ·Ú¯·›Ô˘ ¤ÏÏËÓ· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘: “∆√ ∂¡∞ ∂∫∆√ ∆∏™ ∑ø∏™ ∆√À ∏∆∞¡ ¶∞π¢π, ∆√ ∂¡∞ ¢ø¢∂∫∞∆√ ª∂∆∞ ∆√À∆√ µ°∞∑∂π ∆ƒπÃ∂™ ™∆∞ ª∞°√À§∞, ª∂∆∞ ∆√ ∂¶√ª∂¡√ ∂¡∞ ∂µ¢√ª√ ¶∞¡∆ƒ∂ À∆∏∫∂, ¶∂¡∆∂ ∂∆∏ ª∂∆∞ ∆√ °∞ª√ ∆√À °∂¡¡∏™∂ ∂¡∞¡ Àπ√, ¶√À ∞§πª√¡√, ∆√ ∞∆ÀÃ∂™ ¶∞π¢π, √∆∞¡ ∂º∆∞™∂ ™∆√ ∂¡∞ ¢∂À∆∂ƒ√ ∆∏™ ∏§π∫π∞™ ∆√À ¶∞∆∂ƒ∞ ∆√À, ¶∂£∞¡∂, ∫∞π ∞¶√ ∆√∆∂ ∂¶π ∆∂™™∂ƒ∞ ∂∆∏ ¶∞ƒ∏°√ƒ√À™∂ ∆√ ¶∂¡£√™ ∆√À ª∂ ∆∏¡ ™√ºπ∞ ∆ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ ∫∞π ∂∆™π ∆∂ƒª∞∆π™∂ ∆∏ ∑ø∏ ∆√À”

∞˜ ·ÎÔÏÔ˘ıËÛÔ˘Ì ÙÒÚ·, ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ ‰È·‰Èηۛ·, ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë Ï‡ÛË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÌÈ·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ Â͛ۈÛ˘.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ÂÚÈÁÚ¿„ÂȘ οÔÈÔ Úfi‚ÏËÌ·, Ô˘ Ó· χÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘: 2x+800=1000

§‡ÛË °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù· ‰‡Ô ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹. ñ ªÂ ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ 1000 m Î·È ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È 400 m; ñ ¶fiÛÔ ˙˘Á›˙ÂÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÎÈ‚ÒÙÈ·, Ì ٷ ÔÔ›· Â›Ó·È ÊÔÚو̤ÓÔ ¤Ó· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ‚¿ÚÔ˜ 800 kg, fiÙ·Ó Ë Ï¿ÛÙÈÁÁ· Ô˘ ·Ó¤‚ËΠ‰Â›¯ÓÂÈ 1000 kg; ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ Î·È ¿ÏÏ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ χÓÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Â͛ۈÛË.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  ¶Úfi‚ÏËÌ· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË, Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›ٷÈ, fiÙ·Ó ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙Ô˘Ì ÂÌfi‰È· Î·È ‰˘ÛÎÔϛ˜ ÛÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ Ì·˜ Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì Û ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛÙfi¯Ô.  §‡ÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë Â›Ù¢ÍË ÙÔ˘ ÛÙfi¯Ô˘.  ∂›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ‰È·‰Èηۛ·, Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÂÈÙ˘Á¯¿ÓÂÙ·È Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘. °È· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ٷ ÂÍ‹˜ ‚‹Ì·Ù·: ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì Ì ¤Ó·  ÁÚ¿ÌÌ· (xx ‹ y ‹ z ‹ ˆ Î.Ù.Ï.), Ô˘ Â›Ó·È Ô “¿ÁÓˆÛÙÔ˜” ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ∂ÎÊÚ¿˙Ô˘Ì ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘.  ¶ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ì Ì ̛· Â͛ۈÛË ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·.  ∂ÈÏ‡Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜.  ∂·ÏËı‡ԢÌ ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ‚ڋηÌÂ.  ŸÌˆ˜, Ú¤ÂÈ Ó· Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë fiÙÈ:  ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ Ï‡ÓÔÓÙ·È Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ Î·È  ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ¿Ï˘Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ‹ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÙË Ï‡ÛË.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

- 76 -

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20:27

™ÂÏ›‰·76

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

∞.4.3.

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

∏ ÃÚÈÛÙ›Ó· Ífi‰Â„ ٷ ÌÈÛ¿ Ù˘ ¯Ú‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 2 ÙÂÙÚ¿‰È· Î·È Ì·Úη‰fiÚÔ˘˜. ∞Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi, fiÙÈ Î¿ı ÙÂÙÚ¿‰ÈÔ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 1 Q Î·È ÔÈ Ì·Úη‰fiÚÔÈ 3 Q, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛfi ÙˆÓ ¯ÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ›¯Â Ë ÃÚÈÛÙ›Ó· ÚÈÓ ·fi ÙȘ ·ÁÔÚ¤˜ ·˘Ù¤˜;

§‡ÛË ∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛfi ÙˆÓ ¯ÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ›¯Â Ë ÃÚÈÛÙ›Ó·, ‰ËÏ·‰‹ Ô ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ x ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ∆Ô Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË: “Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Íԉ‡ÙËηӔ = “Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÎfiÛÙÈÛ·Ó ÔÈ ·ÁÔÚ¤˜” . ‹ “Ù· ÌÈÛ¿ ¯Ú‹Ì·Ù· Ù˘ ÃÚÈÛÙ›Ó·˜”=“ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ ÙÂÙÚ·‰›ˆÓ”+“ÎfiÛÙÔ˜ Ì·Úη‰fiÚˆÓ” . x : 2 = 2  1 + 3 ‹ ‹ x : 2 = 2 + 3 ‹ x : 2 = 5 ‹ x = 5  2 ‹ x = 10 ∂·Ï‹ı¢ÛË: ∆· ÌÈÛ¿ ÙˆÓ 10 Q Â›Ó·È 5 Q Î·È Ù· ¤ÍÔ‰· Â›Ó·È 2  1 Q + 3 Q = 5 Q

2.

∏ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ Ù˘ ÎÔÈÓfiÙËÙ·˜ ¯ˆÚ¿ÂÈ 3.000 m3 ÓÂÚfi. ∫¿ı ̤ڷ Íԉ‡ÔÓÙ·È 300 m3 ·fi Ù· ÓÔÈÎÔ΢ÚÈ¿ Î·È ¿ÏÏ· 200 m3 ·fi ÙȘ ‚ÈÔÙ¯ӛ˜. °È· ÙË Û˘ÓÙ‹ÚËÛË ÙÔ˘ ‰ÈÎÙ‡Ô˘, ÛÙ·Ì¿ÙËÛÂ Ë ·ÚÔ¯‹ ÓÂÚÔ‡ ÚÔ˜ ÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹. ∆¤ÛÛÂÚȘ Ë̤Ú˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤Ó·ÚÍË ÙˆÓ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ ·ÔÊ·Û›˙ÂÙ·È Ó· Íԉ‡ÔÓÙ·È ÌfiÓÔ 400 m3 Û˘ÓÔÏÈο οı Ë̤ڷ. ¶fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ·ÎfiÌË Ú¤ÂÈ Ó· ÎÚ·Ù‹ÛÔ˘Ó Ù· ¤ÚÁ· Û˘ÓÙ‹ÚËÛ˘, ÒÛÙ ӷ ÌË Ì›ÓÔ˘Ó ¯ˆÚ›˜ ÓÂÚfi ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ Ù˘ ÎÔÈÓfiÙËÙ·˜;

§‡ÛË ∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ÂÈϤÔÓ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ËÌÂÚÒÓ Û˘ÓÙ‹ÚËÛ˘ ÙÔ˘ ‰ÈÎÙ‡Ô˘, ‰ËÏ·‰‹ Ô ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ x ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ∆Ô Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË: “ÔÛfi ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È” = “ÔÛfi ÓÂÚÔ‡ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜” ‹ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙÂÚ·: “ÔÛfi ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ÛÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ë̤Ú˜ Ù˘ Û˘ÓÙ‹ÚËÛ˘” + “ÔÛfi ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ÛÙȘ ÂÈϤÔÓ Ë̤Ú˜ Û˘ÓÙ‹ÚËÛ˘” = “ÔÛfi ÓÂÚÔ‡ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜” ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹

(300+200)  4 + 400  500  4 + 400  2.000 + 400  400  400 

x x x x x x x

= = = = = = =

3.000 3.000 3.000 3.000–2.000 1.000 1.000 :400 2,5 Ë̤Ú˜

∂·Ï‹ı¢ÛË: 2,5400+4(200+300) =3.000 ‹ 1.000+2.000=3.000 ‹ 3.000=3.000


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:27

™ÂÏ›‰·77

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

3.

- 77 -

∆· ÔÈÎfi‰· Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó· ÌÂÛÈÙÈÎfi ÁÚ·Ê›Ô, ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÙÈÌ‹ Î·È Â›Ó·È fiÏ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ 160 m. ¶ÔÈÔ ·fi ·˘Ù¿ Û˘ÌʤÚÂÈ Ó· ÂÈϤÍÔ˘Ì ÁÈ· ·ÁÔÚ¿;

§‡ÛË ∞

ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ · Î·È ‚. ∆fiÙÂ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ı· ›ӷÈ: · + · + ‚ + ‚ ‹ 2· + 2‚ ‹ 2(· + ‚) °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, fï˜ fiÙÈ: 2(· + ‚) = 160 ÕÚ· ı· ›ӷÈ: ·+‚ = 160 : 2 ‹ · + ‚ = 80

µ

¢

°

·

∆Ô ÈÔ Û˘ÌʤÚÔÓ ÁÈ· ·ÁÔÚ¿ Â›Ó·È ÙÔ ÔÈÎfiÂ‰Ô Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùfi ÂÌ‚·‰fiÓ. ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ›ӷÈ:

∂=·‚

ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ›Ó·Î· Î·È ‰›ÓÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÛÙ· · Î·È ‚:

· ‚ ·‚

10 70 700

20 30 60 50 1.200 1.500

40 40 1.600

50 60 30 20 1.500 1.200

70 10 700

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ›Û˜ · = ‚ = 40 m.

4.

MÂÙ¿ ÙË Û˘Ó‰ڛ·ÛË Î·È Ù· 10 ̤ÏË ÙÔ˘ ‰ÈÔÈÎËÙÈÎÔ‡ Û˘Ì‚Ô˘Ï›Ô˘ ÌÈ·˜ ÂÙ·ÈÚ›·˜ ·ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ¯ÂÈÚ·„›Â˜. ¶fiÛ˜ ¯ÂÈÚ·„›Â˜ Á›ÓÔÓÙ·È Û˘ÓÔÏÈο;

§‡ÛË 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ∞Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ê‡ÁÂÈ ¤Ó·˜ - ¤Ó·˜ Î·È ¯·ÈÚÂÙ¿ÂÈ ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ı· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ: √ ÚÒÙÔ˜ ı· ·ÓÙ·ÏÏ¿ÍÂÈ, Û˘ÓÔÏÈο, 9 ¯ÂÈÚ·„›Â˜. √ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 8 , o ÙÚ›ÙÔ˜ 7 , Ô Ù¤Ù·ÚÙÔ˜ 6 , Ô ¤ÌÙÔ˜ 5 , Ô ¤ÎÙÔ˜ 4 , Ô ¤‚‰ÔÌÔ˜ 3 , o fiÁ‰ÔÔ˜ 2 , Ô ¤Ó·ÙÔ˜ 1 Î·È ‰¤Î·ÙÔ˜ η̛·. ∂Ô̤ӈ˜, Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ı· ›ӷÈ:

1+2+3+4+5+6+7+8+9

= =

(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= = 45

ÕÚ·, Ë Ï‡ÛË Â›Ó·È fiÙÈ ı· Á›ÓÔ˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 45 ¯ÂÈÚ·„›Â˜. 2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô Î·ı¤Ó·˜ οÓÂÈ ¯ÂÈÚ·„›· Ì ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜. ∂Ô̤ӈ˜, ·ÊÔ‡ fiÏÔÈ Â›Ó·È 10, Ô Î·ı¤Ó·˜ ı· οÓÂÈ 10 – 1 = 9 ¯ÂÈÚ·„›Â˜ ÕÚ· Û˘ÓÔÏÈο ı· Á›ÓÔ˘Ó 10 ÊÔÚ¤˜ Â› 9, ‰ËÏ·‰‹ 10  9 = 90 ¯ÂÈÚ·„›Â˜. ŸÌˆ˜, ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·ÓıÚÒˆÓ Ë ¯ÂÈÚ·„›· Â›Ó·È Ì›· Î·È ÂÌ›˜ ÙË ÌÂÙÚ‹Û·Ì ‰ÈÏ‹ (Ì›· ÁÈ· ηı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô). ∂Ô̤ӈ˜, ·˘Ù¤˜ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó Û˘ÓÔÏÈο ı· Â›Ó·È ÔÈ ÌÈÛ¤˜, ‰ËÏ·‰‹ 90 : 2 = 45.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -4 71-78)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:27

- 78 -

™ÂÏ›‰·78

ª∂ƒ√™ ∞- ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3. 4. 5.

¡· ‚ÚÂȘ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚ· ›‰È· „ËÊ›· Î·È ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 9. 7 2 ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÂÓfi˜ Û¯ÔÏ›Ԣ, ·Ó Ù· ÙˆÓ 10 8 Ì·ıËÙÒÓ, ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, Â›Ó·È 60 Ì·ıËÙ¤˜; ¶fiÛÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È Ù·

¡· ‚ÚÂȘ ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 1533. µÚ˜ ÙÔ „ËÊ›Ô Ô˘ Ï›ÂÈ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 753, ÒÛÙ ·˘Ùfi˜ Ó· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 9. ™Â ¤Ó· ‰È·ÁÒÓÈÛÌ·, οı ̷ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ Û 100 ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ. £· ¿ÚÂÈ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜, ÁÈ· οı ۈÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË Î·È ÌfiÓÔ 1 ÌÔÓ¿‰·, ÁÈ· οı ϷÓı·Ṳ̂ÓË. ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ‹ÚÂ Û˘ÓÔÏÈο 220 ÌÔÓ¿‰Â˜. ™Â fiÛ˜ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ·¿ÓÙËÛ ۈÛÙ¿;

6.

∏ ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ËÏÈΛ·˜ Ù˘ ÎfiÚ˘ ·fi ÙË ÌËÙ¤Ú· Ù˘ Â›Ó·È 25 ¯ÚfiÓÈ·. ∞Ó Ë ÎfiÚË Â›Ó·È 18 ÂÙÒÓ, fiÛˆÓ ÂÙÒÓ Â›Ó·È Ë ÌËÙ¤Ú·;

7.

∆Ú›· ·‰¤ÏÊÈ· ÌÔÈÚ¿˙ÔÓÙ·È, ÂÍ›ÛÔ˘, ÌÈ· ÎÏËÚÔÓÔÌÈ¿, Ô˘ Â›Ó·È ¤Ó· ¯ˆÚ¿ÊÈ Î·È ¤Ó· ‰È·Ì¤ÚÈÛÌ·. √ ÚÒÙÔ˜ ·›ÚÓÂÈ ÙÔ ¯ˆÚ¿ÊÈ. √ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·›ÚÓÂÈ ÙÔ ‰È·Ì¤ÚÈÛÌ·, ·ÏÏ¿ ‰›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÚÒÙÔ 600 Q Î·È ÛÙÔÓ ÙÚ›ÙÔ 15.000 Q. ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ·Í›· ÙÔ˘ ¯ˆÚ·ÊÈÔ‡ Î·È ÔÈ· ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜; (·) AB (‚) °¢ ™Â οı ̛· ·fi ÙȘ Ú¿ÍÂȘ (·) Î·È (‚) Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó + 47 –8 Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ „ËÊ›·. ∞ÓÙÈη٤ÛÙËÛ ٷ 73 ¢5 ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ∞, µ, ° Î·È ¢ Ì ٷ ηٿÏÏËÏ· „ËÊ›·.

8. 9.

∞Ó ·fi Ì›· ÔÛfiÙËÙ· ÎÚ·ÛÈÔ‡, ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì 18 lt ¯ˆÚ¿ÂÈ Û ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ 7 lt. ∞Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ Ë ÔÛfiÙËÙ· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi 100 lt Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi 90 lt, fiÛ· lt Â›Ó·È Ë ·Ú¯È΋ ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÚ·ÛÈÔ‡; ¶fiÛ· ‰Ô¯Â›· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ;

10.

ŒÓ·˜ ·Ú·ÁˆÁfi˜ ¤ÊÙÈ·Í 100 lt ͇‰È Î·È ı¤ÏÂÈ Ó· ÙÔ Û˘Û΢¿ÛÂÈ Û ÌÔ˘Î¿ÏÈ· Ô˘ ¯ˆÚ¿Ó 0,75 lt. ¡· ‚ÚÂȘ: (·) ¶fiÛ· ÌÔ˘Î¿ÏÈ· ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙ›. (‚) ¶fiÛ· lt ı· ÙÔ˘ ÂÚÈÛÛ¤„Ô˘Ó.

11.

¢‡Ô Û˘ÓÂÚÁ›· ηı·ÚÈÛÌÔ‡ ·ÎÙÒÓ Î·ı·Ú›˙Ô˘Ó Ì›· ÌÂÁ¿ÏË ·Ú·Ï›· Ì‹ÎÔ˘˜ 18H ∫m. To ÚÒÙÔ Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô Î·ı·Ú›˙ÂÈ 31 Km Î·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô 2H Km, οı ̤ڷ. ∆· ‰‡Ô Û˘ÓÂÚÁ›· ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È, ÛÙ· ‰‡Ô ¿ÎÚ· Ù˘ ·Ú·Ï›·˜, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó. ™Â fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· ¤¯Ô˘Ó ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÈ ÙÔÓ Î·ı·ÚÈÛÌfi Ù˘ ·Ú·Ï›·˜; 1 ŒÓ·˜ ˘¿ÏÏËÏÔ˜ ·ÔÙ·ÌȇÂÈ Î¿ı ̋ӷ ÙÔ ÙÔ˘ ÌÈÛıÔ‡ ÙÔ˘. ∞Ó ·˘ÍËı› ηٿ ÙÔ 15 1 Ô ÌÈÛıfi˜ ÙÔ˘, ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÔ˘ ÌÈÛıÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÙ·ÌȇÂÈ, ÒÛÙ ӷ 5 ÌËÓ ·˘ÍËı› ÙÔ ÔÛfi Ô˘ ·ÔÙ·ÌȇÂÈ Î¿ı ̋ӷ;

12. 13.

∞˘Ù‹ ÙË ¯ÚÔÓÈ¿ Ë ËÏÈΛ· ÂÓfi˜ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 7 Î·È ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ¯ÚÔÓÈ¿ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 9. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ËÏÈΛ· ÙÔ˘;

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË ∂͛ۈÛË Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ÌÈ· ÈÛfiÙËÙ· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ·. §‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘, fiÙ·Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ, Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·. ∏ ‰È·‰Èηۛ· ̤ۈ Ù˘ ÔÔ›·˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘, ϤÁÂÙ·È Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘. ªÈ· Â͛ۈÛË Ï¤ÁÂÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË, fiÙ·Ó fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘. ªÈ· Â͛ۈÛË Ï¤ÁÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË, fiÙ·Ó Î·Ó¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰ÂÓ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ ‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘.

E͛ۈÛË

§‡ÛË

x+·=‚

x=‚–·

x–·=‚

x=·+‚

·–x=‚

x=·–‚

·  x=‚

x=‚:·

x : ·=‚

x = · ‚‚

· : x=‚

x=· : ‚


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:32

™ÂÏ›‰·79

ª∂ƒ√™ ∞ 

¶ÔÛÔÛÙ¿ 5.1

¶ÔÛÔÛÙ¿ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ÔÛÔÛÙÒÓ Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓˆ ÙË ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ ÛÙȘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ñ °Ú¿Êˆ ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· ˆ˜ ÔÛÔÛÙfi Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜

5.2

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÔÛÔÛÙ¿ ñ §‡Óˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÔÛÔÛÙ¿ ñ ¶·ÚÈÛÙ¿Óˆ ÔÛÔÛÙ¿ Ì ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·Ù·

A¶√§§ø¡π√™ √ ¶∂ƒ°∞π√™ (265 - 170 .Ã.)

5o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:32

™ÂÏ›‰·80

- 80 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿

∞.5.1.

¶ÔÛÔÛÙ¿

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 1 Ë ™Â ÔÏϤ˜ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ

ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜ ·Îԇ̠ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜: ¶‹Ú ·‡ÍËÛË 14%. √È ÁÂÓÓ‹ÛÂȘ ÌÂÈÒÓÔÓÙ·È, ηٿ 12%, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. ªÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ÚÔfiÓËÛË, ¤Ó·˜ ‰ÚÔ̤·˜ ·‡ÍËÛ ÙËÓ ·fi‰ÔÛ‹ ÙÔ˘ ηٿ 20%. ŒÓ· Ì·Á·˙› ¤Î·Ó ÂÎÙÒÛÂȘ 60%. ∏ ¢ڇÙÂÚË ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ∞ı‹Ó·˜ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ ÙÔ 3% Ù˘ ¤ÎÙ·Û˘ Ù˘ ∂ÏÏ¿‰·˜ Î·È ÂΛ ηÙÔÈΛ ÙÔ 45% ÙÔ˘ ÏËı˘ÛÌÔ‡ Ù˘ ∂ÏÏ¿‰·˜. ∆Ô 40% ÙˆÓ ˘Ô„ËÊ›ˆÓ ¤ÁÚ·„·Ó Ôχ ηϿ Î·È ÙÔ 35% οو ·fi ÙË ‚¿ÛË. ºfiÚÔ˜ ¶ÚÔÛÙÈı¤ÌÂÓ˘ ∞Í›·˜ (º¶∞) 19%. ∂ȉÈÎfi˜ ºfiÚÔ˜ ∫·Ù·Ó¿ÏˆÛ˘ 5%. ¶·Ú·ÎÚ¿ÙËÛË ÊfiÚÔ˘ 22%. ∂ÈÙfiÎÈÔ ∫·Ù·ı¤ÛÂˆÓ ∆·ÌÈ¢ÙËÚ›Ô˘ 9,5%. ∆Ô 25% ÙÔ˘ ÏËı˘ÛÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ¿Óˆ ·fi 2 ·˘ÙÔΛÓËÙ·. ªfiÓÔ ÙÔ 4% ÙˆÓ ÔÈÎÔÁÂÓÂÈÒÓ ¤¯ÂÈ ¿Óˆ ·fi 4 ·È‰È¿. ∂›Ó·È 100% Û›ÁÔ˘ÚÔ, fiÙÈ ı· ‚Ú¤ÍÂÈ. ∏ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Û˘Ì‚Â› (¤Ó· ÁÂÁÔÓfi˜) Â›Ó·È 1%.

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂȘ ÙÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÂÓÓԇ̠οı ÊÔÚ¿ Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 2 Ë ™ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ Ô˘ „‹ÊÈÛ·Ó ÛÙ· ¯ˆÚÈ¿ ∞, µ, ° Î·È ¢ Î·È ÔÈ „‹ÊÔÈ Ô˘ ‹Ú·Ó ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯÔÈ Úfi‰ÚÔÈ Ô˘ ÂÎϤ¯ÙËηÓ.

µÚ˜, ÔÈÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔ¤‰ÚÔ˘˜ Ô˘ ÂÎϤ¯ÙËηÓ, Â›Ó·È Ô ÈÔ ‰ËÌÔÊÈÏ‹˜.

Úfi‰ÚÔ˜ ∫ÔÈÓfiÙËÙ· æËʛ۷ÓÙ˜ „√ ËÊ›ÛÙËΠ·fi A B ° ¢

585 3.460 456 1.295

354 1.802 312 823

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ µÚ›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÔÛÔÛÙ¿, Ì ٷ ÔÔ›· ÂÎϤ¯ÙËÎ·Ó ÔÈ Úfi‰ÚÔÈ Î¿ı ÎÔÈÓfiÙËÙ·˜ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô ÈÔ ‰ËÌÔÊÈÏ‹˜ Úfi‰ÚÔ˜ Â›Ó·È Ù˘ ÎÔÈÓfiÙËÙ·˜ ° Î·È ÌÂÙ¿ ¤Ú¯ÔÓÙ·È ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÔÈ Úfi‰ÚÔÈ ÙˆÓ ÎÔÈÓÔÙ‹ÙˆÓ ¢, ∞ Î·È µ.

A 354 : 585 = 60,51% µ 1802 : 3.460 = 52,08% ° 312 : 456 = 68,42% ¢ 823 : 1.295 = 63,55%

™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ›

ª·ı·›ÓÔ˘Ì    

∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ ·% ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÛÔÛÙfi Â› ÙÔȘ ÂηÙfi ‹ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ÔÛÔÛÙfi Î·È Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ · . 100 ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·ÎfiÌË ÙÔ ÔÛÔÛÙfi · ò Ô˘ ‰È·‚¿˙ÂÙ·È · . ÔÛÔÛÙfi Â› ÙÔȘ ¯ÈÏ›ÔȘ Î·È Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ 1000 ∆Ô ÔÛÔÛÙfi ·% ÙÔ˘ ‚ Â›Ó·È ·  ‚ 100 ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ÔÛÔÛÙ¿.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:32

™ÂÏ›‰·81

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿

- 81 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó, ˆ˜ ÔÛÔÛÙ¿ Â› ÙÔȘ ÂηÙfi, Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 4 , (‚) 3 , (Á) 84 . 5 8 91

§‡ÛË

4

420

80

3

312,5

37,5

84

92

(·) 5 = 520 = 100 =80%, (‚) 8 = 812,5 = 100 =37,5%, (Á) 91 =0,92= 100 =92%.

2.

¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó, ˆ˜ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ÔÛÔÛÙ¿: (·) 12%, (‚) 73%, (Á) 32,5%.

§‡ÛË 12

12 : 4

3

(·) 12% = 100 = 100 : 4 = 25 ,

3.

73

(‚) 73% = 100 ,

32,5

325

13

(Á) 32,5% = 100 = 1000 = 40

¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÂÓfi˜ Ô˘Ïfi‚ÂÚ, ·Í›·˜ 150Q, Ì ÂÈ‚¿Ú˘ÓÛË º¶∞ 19%;

§‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, fiÙÈ: ∆ÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ = ∞Í›· + º¶∞ √ ÊfiÚÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ı· ›ӷÈ:

15019 19 ºfiÚÔ˜ = ∞Í›·  19% = 150  19% = 150  100 = 100 = 28,5 Q. ÕÚ·, Ë ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ı· ›ӷÈ: 150 Q + 28,5 Q = 178,5 Q.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2.

°Ú¿„ ˆ˜ ÔÛÔÛÙ¿ Â› ÙÔȘ ÂηÙfi, Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 1 , (‚) 3 , (Á) 1 , (‰) 3 , (Â) 3 . 5 2 4 4 5 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Û ÔÛÔÛÙ¿ Â› ÙÔȘ ÂηÙfi, ÙÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 0,52 (‚) 3,41 (Á) 0,19 (‰) 0,03 (Â) 0,07.

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Û ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù· ÔÛÔÛÙ¿: (·) 15%, (‚)7%, (Á)48%, (‰) 50%. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·ÏÔÔ›ËÛ ٷ ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ ÊÙ¿ÛÂȘ Û ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ·.

4.

ÀÔÏfiÁÈÛÂ: (·) ÙÔ 10% ÙˆÓ 3000 Q, (‚) ÙÔ 45% Ù˘ 1 ÒÚ·˜, (Á) ÙÔ 20% ÙÔ˘ Ï›ÙÚÔ˘, (‰) ÙÔ 50% ÙˆÓ 500 ÁÚ·ÌÌ·Ú›ˆÓ, (Â) ÙÔ 25% ÙÔ˘ 1 ÎÈÏÔ‡.

5.

µÚ˜ ÙÈ ÔÛÔÛÙfi ›ӷÈ: (·) Ù· 50 Q ÁÈ· Ù· 1.000 Q, (‚) ÔÈ 30 Ë̤Ú˜ ÁÈ· 1 ¤ÙÔ˜, (Á) Ù· 50 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù· ÁÈ· Ù· 2.500 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·, (‰) ÔÈ 3 ·Ï¿Ì˜ ÁÈ· Ù· 10 ̤ÙÚ·.

6.

ŒÓ· ÌÔ˘Î¿ÏÈ Ì ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· ·Ú¤ÌÂÈÓ ·ÓÔÈÎÙfi Î·È ÂÍ·ÙÌ›ÛÙËΠÙÔ 22% ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÙÔ˘. ∆Ô ÌÔ˘Î¿ÏÈ ÂÚÈ›¯Â ·Ú¯Èο 0,610 lt. ¶fiÛ· lt ÔÈÓÔÓ‡̷ÙÔ˜ ÂÍ·ÙÌ›ÛÙËηÓ;

7.

™Â ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Á‹ÈÓ˘ ÛÊ·›Ú·˜, Ô ÊÏÔÈfi˜ ¤¯ÂÈ ¿¯Ô˜ 50 Km, Ô Ì·Ó‰‡·˜ 2.900 Km Î·È Ô ˘Ú‹Ó·˜ 3.450 Km. (·) ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘ °Ë˜ Û Km. (‚) ¡· ‚ÚÂȘ ÔÈÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘ °Ë˜ η٤¯ÂÈ Ô ÊÏÔÈfi˜, Ô Ì·Ó‰‡·˜ Î·È Ô ˘Ú‹Ó·˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

Ì·Ó‰‡·˜ 2.900 Km ˘Ú‹Ó·˜ 3.450 Km

7%

Ë % ·Û 10 ¤‰ Î ·Û ‰È

8.

ÊÏÔÈfi˜ 50 Km

‚È‚ Ï›

3% ·˘Ù/ÙÔ·

30% ÂÓÔ›ÎÈÔ

18% 32% ÛÔ˘‰¤˜ ‰È·ÙÚÔÊ‹

ªÈ· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ¤¯ÂÈ ÌËÓÈ·›· ¤ÛÔ‰· 1.200 Q. ∆Ô 10% ÙˆÓ ÂÛfi‰ˆÓ ·ÔÙ·ÌȇÔÓÙ·È Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· Íԉ‡ÔÓÙ·È fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ΢ÎÏÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·. (·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· Íԉ‡ÂÈ Ë ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· Û οı ηÙËÁÔÚ›· ‰··ÓÒÓ. (‚) ∆È ÔÛÔÛÙfi ÌËÓÈ·›ˆÓ ÂÛfi‰ˆÓ Ù˘ ·ÔÙÂÏ› οı ̛· ηÙËÁÔÚ›· ‰··ÓÒÓ;


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:32

™ÂÏ›‰·82

- 82 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿

∞.5.2.

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÌÂ ÔÛÔÛÙ¿

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

ŒÓ·˜ ËÏÂÎÙÚÔÏfiÁÔ˜ ›¯Â ¤ÛÔ‰· 2.856 Q ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÙÚ›ÌËÓÔ ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜. ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰ÒÛÂÈ ÛÙÔ ÎÚ¿ÙÔ˜, ·Ó Ô º¶∞ Ô˘ ·Ú·ÎÚ·Ù¿ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÏ¿Ù˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 19%;

§‡ÛË ∆Ô ÔÛfi º.¶.∞. ¤¯ÂÈ ·Ú·ÎÚ·ÙËı› ·fi ÙÔÓ ËÏÂÎÙÚÔÏfiÁÔ, ·ÊÔ‡ οı ÂÏ¿Ù˘ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ÂÈ‚·Ú˘Óı› Ì 19%, Â› Ù˘ ·Í›·˜ Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔÏfiÁÔ˘. ŒÙÛÈ ÁÈ· ÂÚÁ·Û›· 100 Q Ô ÂÏ¿Ù˘ ¤¯ÂÈ ÏËÚÒÛÂÈ 119 Q, ‰ËÏ·‰‹ Ô ËÏÂÎÙÚÔÏfiÁÔ˜ Û ¤ÛÔ‰· 119 Q ÔÊ›ÏÂÈ ÛÙÔ ÎÚ¿ÙÔ˜ 19 Q, ‰ËÏ·‰‹ Ù· 19 ÙˆÓ ÂÛfi‰ˆÓ. 119

19 19 √ÊÂÈÏfiÌÂÓÔ˜ º¶∞ = ŒÛÔ‰·  119 = 2.856  119 = 456 Q

2.

™ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ÙˆÓ ÂÎÙÒÛˆÓ, ¤Ó· ηٿÛÙËÌ· ¤Î·Ó ¤ÎÙˆÛË 35% ÛÙ· ›‰Ë ÚÔ˘¯ÈÛÌÔ‡ Î·È 15% ÛÙ· ·Ô‡ÙÛÈ·. ¶fiÛÔ ı· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ÁÈ· ¤Ó· Ô˘Î¿ÌÈÛÔ Î·È ¤Ó· ˙¢Á¿ÚÈ ·Ô‡ÙÛÈ· Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙·Ó 58 Q Î·È 170 Q, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÚÈÓ ÙȘ ÂÎÙÒÛÂȘ.

§‡ÛË ∏ ÙÈÌ‹ οı ›‰Ô˘˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË:

∆ÈÌ‹ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË = ∆ÈÌ‹ ÚÈÓ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË – ¶ÔÛfi ¤ÎÙˆÛ˘. 35 °È· ÙÔ Ô˘Î¿ÌÈÛÔ ¤¯Ô˘Ì ÔÛfi ¤ÎÙˆÛ˘: 35%  58 Q = 100  58 Q = 20,30 Q. ∏ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ô˘Î¿ÌÈÛÔ˘ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË Â›Ó·È: 58 Q – 20,30 Q = 37,70 Q.

15

°È· Ù· ·Ô‡ÙÛÈ· ¤¯Ô˘Ì ÔÛfi ¤ÎÙˆÛ˘: 15%  170 Q = 100  170 Q = 25,50 Q. ∏ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ô˘ÙÛÈÒÓ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË Â›Ó·È: 170 Q – 25,50 Q = 144,50 Q. ∫·È ÁÈ· Ù· ‰‡Ô Ì·˙› ı· ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ: 37,70 Q + 144,50 Q = 182,20 Q.

3.

¶ÔÛfi 1.000 Q ηٷ٤ıËΠ۠ÏÔÁ·ÚÈ·ÛÌfi Ù·ÌÈ¢ÙËÚ›Ô˘, Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 5%. ¶fiÛÔ˜ Â›Ó·È Ô ÙfiÎÔ˜ Ô˘ ı· ·Ô‰ÒÛÂÈ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi, ÌÂÙ¿ ·fi 18 Ì‹Ó˜, ·Ó ÔÈ ÙfiÎÔÈ ÚÔÛÙ›ıÂÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î¿ı ¯ÚfiÓÔ;

§‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ: ∆fiÎÔ˜ = ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ  ∂ÈÙfiÎÈÔ

5

ÕÚ·: ∆fiÎÔ˜ ·’ ¤ÙÔ˘˜ ›ӷÈ: 1.000 Q  5% = 1.000 Q 100 = 50 Q ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙˆÓ 12 ÌËÓÒÓ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· Á›ÓÂÈ: 1.000 Q + 50 Q = 1050 Q √ ÙfiÎÔ˜ ÛÙÔ˘˜ ÂfiÌÂÓÔ˘˜ 6 Ì‹Ó˜ ı· Â›Ó·È Ù· 6 ÙÔ˘ ÂÙ‹ÛÈÔ˘ ÙfiÎÔ˘, ‰ËÏ·‰‹: 12

5 6 6 1.050 Q  5%  12 = 1.050 Q  100  12 = 26,25 Q √ Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ ÙfiÎÔ˜ Ô˘ ·¤‰ˆÛ·Ó Ù· 1.000 Q ÁÈ· 18 Ì‹Ó˜ ›ӷÈ: 50Q+26,25Q=76,25Q.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:33

™ÂÏ›‰·83

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿

- 83 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

4.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

∂ȯÂÈÚËÌ·Ù›·˜ ·ÁfiÚ·Û 400 ÌÂÙÔ¯¤˜ ÌÈ·˜ ÂÙ·ÈÚ›·˜, ÚÔ˜ 50 Q ÙËÓ Î¿ı ÌÂÙÔ¯‹. ™Â ¤Ó· Ì‹Ó· Ë ÌÂÙÔ¯‹ ¤ÂÛ ηٿ 8% Î·È ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ‰›ÌËÓÔ ·Ó¤‚ËΠηٿ 5% ÙÔ Ì‹Ó·. (·) ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ÌÂÙÔ¯‹˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚ›ÙÔ˘ Ì‹Ó·; (‚) ∏ Â¤Ó‰˘ÛË ÙÔ˘ ÂȯÂÈÚËÌ·Ù›· ‹Ù·Ó ÎÂÚ‰ÔÊfiÚ· ‹ fi¯È; (Á) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ ‹ ˙ËÌ›·˜ ÙÔ˘, Â› ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘; ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 80.000 Q ηٷ٤ıËÎÂ, Û ÏÔÁ·ÚÈ·ÛÌfi Ù·ÌÈ¢ÙËÚ›Ô˘, Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 4,5% ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. (·) ¶ÔÈÔ˜ ı· Â›Ó·È Ô ÙfiÎÔ˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜; (‚) ¶ÔÈÔ˜ ı· Â›Ó·È Ô ÙfiÎÔ˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ¤ÙÔ˘˜, ·Ó Ô ÙfiÎÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ ÎÂÊ·ÏÔÔÈËı›; ŒÓ· ηÈÓÔ‡ÚÈÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÎfiÛÙÈ˙ 20.000 Q. ∆Ô ·ÁfiÚ·Û οÔÈÔ˜ Î·È ÌÂÙ¿ ·fi 1 ¯ÚfiÓÔ ‹ıÂÏ ӷ ÙÔ Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ηٿ 30% ÏÈÁfiÙÂÚÔ, ·fi fiÛÔ ÙÔ ·ÁfiÚ·ÛÂ. √ ˘Ô„‹ÊÈÔ˜ ·ÁÔÚ·ÛÙ‹˜ ¤Ì·ıÂ, fiÙÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÌÔÓÙ¤ÏÔ, ηÈÓÔ‡ÚÈÔ, ÎfiÛÙÈ˙ 25.000 Q. (·) ™Â ÔÈ· ÙÈÌ‹ ı· ·ÁfiÚ·˙ ÙÔ ÌÂÙ·¯ÂÈÚÈṲ̂ÓÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ; (‚) ∆È ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘ ηÈÓÔ‡ÚÈÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÌÂÙ·¯ÂÈÚÈṲ̂ÓÔ˘; (Á) ∞Ó ¤Ó· Ì·Á·˙› Ô˘ Ô˘Ï¿ÂÈ ÌÂÙ·¯ÂÈÚÈṲ̂ӷ ·˘ÙÔΛÓËÙ· ‰›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÌÔÓÙ¤ÏÔ Û ÙÈÌ‹ 40% ÊÙËÓfiÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ÙÚ¤¯Ô˘Û· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ηÈÓÔ‡ÚÈÔ˘, ·fi ÔÈÔÓ Û˘ÌʤÚÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ ÌÂÙ·¯ÂÈÚÈṲ̂ÓÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Ô ˘Ô„‹ÊÈÔ˜ ·ÁÔÚ·ÛÙ‹˜; ™Â ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ, ¤ÁÈÓÂ Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÈӷΛ‰·. ™ÙË Û˘Û΢·Û›· ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ˘‹Ú¯Â ÛËÌÂȈ̤ÓË Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË, ÁÈ· ÙÔ ¶∂ƒπ™™√∆∂ƒ√ ¶ƒ√´√¡ 50% ›‰Ô˜ ÚÔÛÊÔÚ¿, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· οı 300 Î.ÂÎ., ÚfiÛıÂÙ· ¿ÏÏ· 100 Î.ÂÎ. (·) ¢øƒ∂∞¡ ™‡Ìʈӷ, Ì fiÛ· ‰È·‚¿˙ÂȘ, ıˆÚ›˜ fiÙÈ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó fiÛ· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÚÔÛÊÔÚ¿; (‚) ™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÂÙ·ÈÚ›· ı· ÚfiÛÊÂÚÂ, Ú¿ÁÌ·ÙÈ, 100 300 ΢.ÂøÎ.+ ƒ∂∞¡ ÙÔ 50% ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ¢øƒ∂∞¡; . Î.ÂÎ ∆È ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ú¤ÂÈ Ó· ηٷı¤ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÙÚ¿Â˙·, ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÂÓfi˜ ¤ÙÔ˘˜ 1.000 Q, ·Ó ÙÔ ÂÈÙfiÎÈÔ Â›Ó·È 2%; ∆· ‚·ÛÈο Ù¤ÏË ‰ÈÌ‹ÓÔ˘ ÁÈ· ÏÔÁ·ÚÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ √∆∂ Â›Ó·È 22 Q Î·È Ë ¯Ú¤ˆÛË ÁÈ· οı ÌÔÓ¿‰· 0,07 Q. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛÔ ı· ÏËÚÒÛÂÈ ¤Ó·˜ Û˘Ó‰ÚÔÌËÙ‹˜, ·Ó ¤¯ÂÈ Î¿ÓÂÈ 1.500 ÌÔÓ¿‰Â˜ Û˘Ó‰È·Ï¤ÍÂˆÓ Î·È Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È º¶∞ 19%. ŒÓ·˜ ¤ÌÔÚÔ˜ ·ÁfiÚ·Û ‰È¿ÊÔÚ· ÂÌÔÚ‡̷ٷ Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ·Í›·˜ 30.000 Q. ¶Ï‹ÚˆÛ ÙÔȘ ÌÂÙÚËÙÔ›˜ ÙÔ 40% Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ÌÂ Û˘Ó·ÏÏ·ÁÌ·ÙÈΤ˜, Û 4 ÌËÓÈ·›Â˜ ‰fiÛÂȘ Ì ÙfiÎÔ 1% ÙÔÓ Ì‹Ó·. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ: (·) ∆Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi ÔÛfi Ù˘ ÂÈ‚¿Ú˘ÓÛ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ÙfiÎÔ˘˜ Ô˘ ı· ÏËÚÒÛÂÈ. (‚) ∆Ô ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ÂÈ‚¿Ú˘ÓÛ˘ ·˘Ù‹˜, Â› Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ·Í›·˜ ÙˆÓ ÂÌÔÚÂ˘Ì¿ÙˆÓ. ŒÓ·˜ Ù¯ÓÈÎfi˜ ›¯Â ¤ÛÔ‰· Û ¤Ó· ÙÚ›ÌËÓÔ 8.330 Q. ¶fiÛÔ º¶∞ (19%) Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰ÒÛÂÈ ÛÙËÓ ÂÊÔÚ›·; ŒÓ· „˘ÁÂ›Ô ÎÔÛÙ›˙ÂÈ, ÙÔȘ ÌÂÙÚËÙÔ›˜, 1.200 Q ¯ˆÚ›˜ ÙÔ º¶∞ 19%. ∫¿ÔÈÔ˜ ÙÔ ·ÁfiÚ·Û Ì 50% ÚÔηٷ‚ÔÏ‹ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ, Û 6 ÌËÓÈ·›Â˜ ‰fiÛÂȘ Ì ÙfiÎÔ 3% ÙÔ Ì‹Ó·. (·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¤‰ˆÛÂ, ˆ˜ ÚÔηٷ‚ÔÏ‹, ·Ó Ì·˙› Ì ·˘Ù‹Ó η٤‚·ÏÂ Î·È ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ÔÛfi ÙÔ˘ º¶∞. (‚) ¶ÔÈÔ ‹Ù·Ó ÙÔ ÔÛfi Ù˘ οı ‰fiÛ˘; (Á) ¶fiÛÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ›¯ÈÛÂ Û˘ÓÔÏÈο ÙÔ „˘Á›Ô; °È· ÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ‰È·Ê‹ÌÈÛË: (·) ¶fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ º¶∞ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ∏∆√π™ M∂∆ƒ ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ; (‚) ¶fiÛÔ ı· ÛÙÔȯ›ÛÂÈ ÙÔ Ú·‰ÈÔηÛÂÙfiʈÓÔ, ·Ó ÙÔ ‹ 350 Q ·ÁÔÚ¿ÛÔ˘Ì Ì ‰fiÛÂȘ; (Á) ∞Ó ÙÔ ÙÚ·Â˙ÈÎfi ÂÈÙfiÎÈÔ Â›Ó·È 10%, ¯ˆÚ›˜ º¶∞ 16 ÌËÓÈ·›Â˜ ‰fiÛÂȘ Ì ÔÈ· ÂÈÏÔÁ‹ ·ÁÔÚ¿˜ Ì·˜ Û˘ÌʤÚÂÈ, Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË, fiÙÈ 30 Q ¤¯Ô˘Ì fiÏÔ ÙÔ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓÔ ÔÛfi Û ÏÔÁ·ÚÈ·ÛÌfi Ù·ÌÈ¢ÙËÚ›Ô˘;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ¡· ÌÂÏÂÙ‹ÛÂȘ Ù· ÂÎÏÔÁÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÛÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ÂÎÏÔÁ¤˜ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜ Î·È ˘ÔÏfiÁÈÛ ÁÈ· οı ÌÈ· ·fi ·˘Ù¤˜: (·) Ù· ÔÛÔÛÙ¿ ÙˆÓ „ËÊÈÛ¿ÓÙˆÓ, (‚) Ù· ÔÛÔÛÙ¿ ÙˆÓ ¤ÁÎ˘ÚˆÓ „ËÊÔ‰ÂÏÙ›ˆÓ, ÙˆÓ ¿Î˘ÚˆÓ Î·È ÙˆÓ Ï¢ÎÒÓ, (Á) ÙˆÓ ÔÛÔÛÙÒÓ Ô˘ ¤Ï·‚ οı ÎfiÌÌ· Î·È (‰) ÙˆÓ ÔÛÔÛÙÒÓ Ô˘ ¤Ï·‚ οı ÎfiÌÌ· ÁÈ· οı ʇÏÔ ¯ˆÚÈÛÙ¿.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -5 (79-84)-(20,5 à 28)

1-11-06

20:33

™ÂÏ›‰·84

- 84 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞.

∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË

™ø™∆√ §∞£√™

1. ∆Ô 30% ÙÔ˘ x ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ 90% ÙÔ˘ x 3 2. ™Â ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô ¤ÁÈÓ ·‡ÍËÛË ÙÈÌ‹˜ ηٿ 5% Î·È ‰Â‡ÙÂÚË ·‡ÍËÛË Î·Ù¿ 10% Â› Ù˘ Ó¤·˜ ÙÈÌ‹˜. ∏ Û˘ÓÔÏÈ΋ ·‡ÍËÛË ‹Ù·Ó 15,5%. 3. ŸÙ·Ó Û’ ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ ·Í›·˜ 700 Q Ë ¤ÎÙˆÛË Â›Ó·È 200 Q, ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ¤ÎÙˆÛ˘ Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 28,5%. 4. ∆Ô 20% ÙÔ˘ 50 Â›Ó·È 10. 5. 1 Q ¤ÎÙˆÛË Û’ ¤Ó· ÛÙ˘Ïfi Ô˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 4 Q ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÔÛÔÛÙfi ¤ÎÙˆÛ˘ 25%. 6. ŒÓ· ›‰Ô˜ ÌÂÙ¿ ·fi ¤ÎÙˆÛË 200 Q, ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 100 Q. ™ÙÔ Â›‰Ô˜ ¤ÁÈÓ ¤ÎÙˆÛË 25%. 7. √ ÏËı˘ÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ΈÌfiÔÏ˘ ‹Ù·Ó 3.000 οÙÔÈÎÔÈ Î·È ·˘Í‹ıËΠ۠6.000 ηÙÔ›ÎÔ˘˜. §¤Ì fiÙÈ Ô ÏËı˘ÛÌfi˜ ·˘Í‹ıËΠηٿ 100%. 2 8. ∆Ô ÎfiÎÎÈÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ 15%

1

9. ªÈ· Ù¿ÍË ¤¯ÂÈ 28 Ì·ıËÙ¤˜ Î·È ÌÈ· ̤ڷ ·Ô˘Û›·˙·Ó ÔÈ 4, ‰ËÏ·‰‹ ·Ô˘Û›·˙ ÙÔ 15% Ù˘ Ù¿Í˘. 10. ∆Ô 30% Ù˘ ÒÚ·˜ Â›Ó·È 25 ÏÂÙ¿. 11. ªÈ· ·‡ÍËÛË ÏËı˘ÛÌÔ‡ ·fi 5.000 ÛÙȘ 10.000 Â›Ó·È ÌÈ· ·‡ÍËÛË 100% 12. ªÈ· ·‡ÍËÛË 100 Q Û ¤Ó· ›‰Ô˜ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 400 Q Â›Ó·È ÌÈ· ·‡ÍËÛË 15%

µ. ∞ Û Î ‹ Û Â È ˜ ∞ Ó Ù È Û Ù Ô › ¯ È Û Ë ˜ ™Â οı ̛· ·fi ÙȘ Ӥ˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ ‰È·Ê‹ÌÈÛË, Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂȘ ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ¤ÎÙˆÛ˘.

¶ ƒ √ ™ º √ ƒ ∂ ™

¶·ÓÙÂÏfiÓÈ 120Q

84Q

10%

ºÔ‡ÛÙ˜

48Q

15%

ºÔڤ̷ٷ 180Q 153 Q

20%

80Q

ªÏÔ‡˙˜ 40Q

32Q

30%

ºfiÚ̘

45Q

40%

50Q


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

21:26

™ÂÏ›‰·85

AÓ¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ & ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ 6.1

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ñ ™¯Â‰È¿˙ˆ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ ñ µÚ›ÛΈ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ñ µÚ›ÛΈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘

6.2

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Î·È ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ∂Èχˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x = ‚, ̤ۈ ·Ó·˙‹ÙËÛ˘ Ù˘ ٤ٷÚÙ˘ · 1 · +Á · ·Ó·ÏfiÁÔ˘ Ù˘ Û¯¤Û˘ = . °ÓˆÚ›˙ˆ, fiÙÈ ÁÂÓÈο ›ӷÈ:  ‚ x ‚+Á ‚

6.3

AÓ¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ñ ñ ñ ñ

6.4

∞Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ‰‡Ô ÌÂÁÂıÒÓ ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ›Ó·Î˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ fiÙ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ›Ó·Î¤˜ ÙÔ˘˜ ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ˆ˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ∞Ó··ÚÈÛÙ¿Óˆ ÁÚ·ÊÈο Ì›· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· Ì ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ

6.5

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ñ √ÚÁ·ÓÒÓˆ Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Û ›Ó·Î· Î·È Î·Ù·Û΢¿˙ˆ Ì ‚¿ÛË ÙÔÓ ›Ó·Î· ·˘ÙfiÓ, fiÔ˘ ÎÚ›ÓÂÙ·È ··Ú·›ÙËÙÔ, Î·È ÙËÓ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ñ §‡Óˆ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜, fiÔ˘ ÎÚ›ÓÂÙ·È ··Ú·›ÙËÙÔ, ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Û ‰‡Ô Ï·›ÛÈ·: ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Î·È ÁÚ·ÊÈÎfi

6.6

ª∂ƒ√™ ∞ 

∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ¢È·ÎÚ›Óˆ Â¿Ó ‰‡Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ›Ó·Î˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ¶·ÚÈÛÙ¿Óˆ Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Î·È ¯·Ú¿˙ˆ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ·˘Ù¿ ñ §‡Óˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ñ ñ ñ ñ

¢∏ª√∫ƒπ∆√™ √ ∞µ¢∏ƒπ∆∏™ (460 - 370 .Ã.)

6o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


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- 86 -

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™ÂÏ›‰·86

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∏ «ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹»

– ∆È Â›Ó·È ÙÔ‡Ù· Ù· ÂÚ›ÂÚÁ· ÛÙËÓ ÔıfiÓË Û·˜ ·ÚÈ ¶¤ÙÚÔ; ÚÒÙËÛ·Ó ÙÔ ÌÂÛfiÎÔÔ ¿ÓÙÚ· Ô˘ ‰Ô‡Ï¢ ·ÔÚÚÔÊË̤ÓÔ˜ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÔ˘. ∂ΛÓÔ˜ ۋΈÛ ٷ Ì¿ÙÈ· Î·È ÎÔ›Ù·Í ¿Óˆ ·’ Ù· Á˘·ÏÈ¿ Ù· ·È‰È¿ Ô˘ Ì‹Î·Ó ¯·ÚÔ‡ÌÂÓ· ÛÙÔ ÁÚ·ÊÂ›Ô ÙÔ˘. – √ Ì·Ì¿˜ Ì·˜ › ӷ ÙÔÓ ÂÚÈ̤ÓÔ˘Ì ‰Ò, ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ·Ó ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›· ÙÔ˘˜ ÎÔÈÙÒÓÙ·˜ Ì ÂÚȤÚÁÂÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹. – £· ͤÚÂÙ ·È‰È¿, ›Â Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜, fiÙÈ Ô ·Ù¤Ú·˜ Û·˜ ۯ‰ȿ˙ÂÈ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Ù· ÎÙ›ÚÈ· Ô˘ ηٷÛ΢¿˙Ô˘ÌÂ. ∂ÁÒ ¤¯ˆ ÙËÓ Ù¯ÓÈ΋ ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ. ∞˘Ù¿ Ô˘ ‚ϤÂÙ fï˜ ÛÙËÓ ÔıfiÓË Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ÌÂϤÙË ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹. ∞Ó Â›¯·Ù ̿ıÂÈ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ‡ÎÔÏ· ı· ηٷϷ‚·›Ó·Ù fiÏ· ÙÔ‡Ù·». – •¤Úˆ ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜, ›Â Ô π¿ÛÔÓ·˜. ∂›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ·Î¤Ú·È˜ ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÚËÙÔ› ÙÈ Â›Ó·È; °È·Ù› ÙÔ˘˜ ϤÌ ¤ÙÛÈ; – ¶ÚÈÓ ÚÔÛ·ı‹Ûˆ Ó· Û·˜ ÂÍËÁ‹Ûˆ, ·˜ ‰Ô‡Ì ÙÈ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Î·È ÙÔ ÏÂÍÈÎfi, ›Â Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜. ™˘Ì‚Ô˘Ï‡ÙËΠ¤Ó· ¯ÔÓÙÚfi ‚È‚Ï›Ô ·fi ÙË ‚È‚ÏÈÔı‹ÎË Î·È Û˘Ó¤¯ÈÛÂ: «ƒËÙfi˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔÓ Ô‡ÌÂ. ∏ ϤÍË ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ·Ú¯·›Ô “›ÚËη” ‰ËÏ·‰‹ ¤¯ˆ ÂÈ’ Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·Î›ÌÂÓÔ˜ ÙÔ˘ “ϤÁˆ”. ÕÚ· ÚËÙfi˜ Â›Ó·È Ô ÂÈˆÌ¤ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆· ÁÂÌ¿Ù· ·ÔÚ›· Ì¿ÙÈ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔÓ ¤Î·Ó·Ó Ó· Û˘Ó¯›ÛÂÈ: «∂ÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ Î·È Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ·ÚÈıÌÔ› Ì ¿ÂÈÚ· ‰Âη‰Èο „ËÊ›·, Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ›˜ Ó· ÙÔ˘˜ ÂȘ ÔÏfiÎÏËÚÔ˘˜ ·ÊÔ‡ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ÙÂÏÂÈÒÓÔ˘Ó ÔÙ¤ Î·È Ô‡ÙÂ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿. ∞˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¿ÚÚËÙÔ˘˜ Î·È ı· ÙÔ˘˜ Ì¿ıÂÙ ·ÚÁfiÙÂÚ· ÛÙÔ Û¯ÔÏ›Ի. ∫Ô›Ù·Í ¿ÏÈ ÙÔ ÏÂÍÈÎfi Î·È Û˘Ó¤¯ÈÛ οˆ˜ ÛÎÂÙÈÎfi˜. “√ÌÔÏÔÁÒ fiÙÈ ‰ÂÓ ‹ÍÂÚ· ·fi Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È Ë Ï¤ÍË ÚËÙfi˜, ÂÓÒ ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙÔ “Ú‹ÙÔÚ·˜” ‹ ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË “ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹”. ∫·È Ó· ÛÎÂÊÙ› ηÓ›˜ fiÙÈ ÙfiÛ· ¯ÚfiÓÈ· ÙËÓ ·Ó·Ê¤Úˆ ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο...» – ™˘ÁÓÒÌË, Ì˯·ÓÈÎfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ ‰ÂÓ Â›ÛÙÂ; ÚÒÙËÛ Ì ·ÊÔÏÈÛÙÈ΋ ·Ê¤ÏÂÈ· Ô π¿ÛÔÓ·˜. – ¡·È, Ì Âȉ›Î¢ÛË ÛÙÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi, Ô˘ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ fï˜ ηϋ ÁÓÒÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È Î¿ÙÈ ÂÚ›ÂÚÁÔ; ·fiÚËÛÂ Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜. – Ÿ¯È ‚¤‚·È·, ‚È¿ÛÙËΠӷ ‰ÈÔÚıÒÛÂÈ Ô π¿ÛÔÓ·˜, ·ÏÏ¿ ÂÚ›ÌÂÓ· fiÙÈ ı· „¿¯Ó·Ù ÙË Ï¤ÍË ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ÏÂÍÈÎfi. √ ·ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜ ¯·ÌÔÁ¤Ï·Û Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ π¿ÛÔÓ· ÎÈ ‡ÛÙÂÚ· Ì ÈÔ ÛÔ‚·Úfi ‡ÊÔ˜ ›Â, ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹: – ∞ÎÔ‡ÛÙ ·È‰È¿. °›ÓÂÙ·È Û˘¯Ó¿ ÌÈ· ·ÚÂÍ‹ÁËÛË Ì ÙÔ‡ÙÔ ÙÔ Ì˯¿ÓËÌ·. ÕÏÏÔÈ ÙÔ ·ÔʇÁÔ˘Ó ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Í¤ÚÔ˘Ó Ó· ÙÔ ¯ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È ¿ÏÏÔÈ ÙÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÂÚ›Ô˘ Û·Ó ÙËÏÂfiÚ·ÛË. ∫·È Ù· ‰‡Ô Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜. ™ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ¤¯ˆ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ÏÂÍÈÎfi, ·˘Ùfi fï˜ ‰Â ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ı· ¿„ˆ Ó· Û˘Ì‚Ô˘Ï‡ÔÌ·È ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. ¶ÚÔÙÈÌÒ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Û ÈÔ Û‡ÓıÂÙ˜ Î·È ÈÔ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ı· ‹Ù·Ó ÛˆÛÙfi Ó· ÙÔÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÛÙ¿‰ÈÔ, ·ÏÏ¿ ıˆÚÒ fiÙÈ Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜ Ó· ·›˙ÂȘ Ô‰fiÛÊ·ÈÚÔ ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹. ∆Ô Ì˯¿ÓËÌ· ·˘Ùfi ‰Â ÊÙÈ¿¯ÙËΠÁÈ· Ó· ηٷÚÁ‹ÛÂÈ ÙȘ ‰ÈΤ˜ Ì·˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›Â˜, ·ÏÏ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÂÏÙÈÒÛÂÈ ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈ΋ Ì·˜ ÛΤ„Ë». ∆Ë Û˘˙‹ÙËÛË ‰È¤ÎÔ„Â Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ Ô˘ Ì‹Î ‚È·ÛÙÈο Î·È ¤‰ˆÛ ¤Ó· Û¯¤‰ÈÔ ÛÙÔÓ Î‡ÚÈÔ ¶¤ÙÚÔ Ï¤ÁÔÓÙ·˜: «™ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ı· ۯ‰ȿÛÂȘ Ó· Ê·›ÓÂÙ·È Î·ı·Ú¿ fiÙÈ ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ». – ∆È ÛËÌ·›ÓÂÈ “·Ó¿ÏÔÁÔ” ·ÚÈ ¶¤ÙÚÔ;, ÚÒÙËÛ ·ÔÚË̤ӷ Ë ∞ıËÓ¿. ∂ΛÓÔ˜ ¯ˆÚ›˜ Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ ·¢ı‡ÓıËΠÌÂȉÈÒÓÙ·˜ ÛÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘˜. – ™Ô˘ ‰›Óˆ “ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹”, Ó· ʤÚÓÂȘ ÈÔ Û˘¯Ó¿ Ù· ·È‰È¿ ÛÙÔ ÁÚ·Ê›Ô. ¶¿ÓÙ· οÙÈ ı· Ì·ı·›ÓÔ˘Ì ·fi ÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜.


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™ÂÏ›‰·87

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 87 -

∞.6.1. ¶ · Ú ¿ Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › ˆ Ó Û Ù Ô Â  ›   ‰ Ô ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÙÔÔıÂÙ‹Û·Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·. ∆ÒÚ·, ı· ·ÓÔ›ÍÔ˘Ì ϛÁÔ ÙÔÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ¿ Ì·˜ Î·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ¿Ì ÛÙÔ Â›‰Ô. ∂›Ó·È ‡ÎÔÏÔ. ∞ÚΛ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Î·È ¤¯Ô˘Ì ÌÚÔÛÙ¿ Ì·˜ ¤Ó· Â›Â‰Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÏÏ¿ Ó· Ì·˜ ‰Â›ÍÂÈ. ∞˜ Ù· ‰Ô‡Ì ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ Ì ÌÈ· ·ÚÙ›‰· ÛοÎÈ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™Â ÌÈ· ÂÊËÌÂÚ›‰· ‰ËÌÔÛȇÙËΠÌÈ· ·ÚÙ›‰· ÛοÎÈ, fiˆ˜ Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙË ·Ú·Î¿Ùˆ ÛηÎȤڷ.

¢ÒÛ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁÈ· ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÈÔÓÈÒÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÛηÎȤڷ Î·È ÊÙÈ¿Í ¤Ó· ›Ó·Î· Ì ·˘Ù¤˜.

8 7 6 5 4 3 2 1 ·

Á

Â

˙

Ë

ı

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ∏ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÂÓfi˜ ·ÛıÂÓÔ‡˜ ηٿ ÙËÓ ÙÚ›ÙË Ë̤ڷ ÓÔÛËÏ›·˜ ÙÔ˘, Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·.

➣ ➣

7:30

9:00 10:00 11:00 12:30 13:30 14:30 16:00 18:00 20:00 21:30 23:00

37,2

37,7

37,9

38,6

39,2

38,2

37,2

37

36,6

37,8

38,2

37,1

ªÔÚ›˜ Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂȘ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ; ¶Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÂÎÙ›ÌËÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÙÔ˘ ·ÛıÂÓÔ‡˜ ÙȘ ÒÚ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÂÙÚÈ¤Ù·È ·˘Ù‹;


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™ÂÏ›‰·88

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

ª·ı·›ÓÔ˘Ì ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÛÙÔ Â›‰Ô: ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È Oy. ¶¿Óˆ Û οı ÌÈ· ·’ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. ∞˘Ù¤˜ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ. 

√ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ √x ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ ÙÂÙÌËÌ¤ÓˆÓ ‹ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ x.



√ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ √y ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ‹ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ y.



∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¯‹ ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ.

y M(2,4)

4 3 2

A(3,1)

1

 To 3 Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞

1

2

3

x

 To 1 Â›Ó·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞



∏ ÙÂÙÌË̤ÓË Î·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ∞ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ fiÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ó·ÊÂÚıԇ̠ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞(3,1).



∆Ô ˙‡ÁÔ˜ (3,1) ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ô ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 1 Â›Ó·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, ϤÁÂÙ·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜, ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· Ë ‰È¿Ù·ÍË, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÛÂÈÚ¿, Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙÔ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó.



ªÂ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ·ÓÙÈÛÙÔȯԇÌ Û οı ÛËÌÂ›Ô ∞ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (3,1), ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ .



∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, οı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ .¯. ÙÔ (2,4) ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘.



∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ϤÁÂÙ·È ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi, ÁÈ·Ù› ÔÈ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· (ÔÚıÔ-) Î·È ¤¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ ¿Óˆ ÙÔ˘˜ ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ (-ηÓÔÓÈÎfi) .


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ª¤ÚÔ˜ ∞’ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 89 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ, Ì ÌÔÓ¿‰· ÙÔ 1 cm Î·È Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ Ù· ÛËÌ›· ∞(2,3), µ(3,2), °(4,5), ¢(5,5), ∂(1,4), ∑(7,3), ∏(7,2), £(6,2), π(6,0), ∫(0,5). ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· π Î·È ∫; ¶Ô‡ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·˘Ù¿; ªÔÚ›˜ Ó· ÁÂÓÈ·ÛÂȘ ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÛÔ˘ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË ‹ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ Ìˉ¤Ó;

2.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ Ù· ÛËÌ›· ∞(2,1), µ(1,2), °(2,3) Î·È ¢(3,2). ∆È Û¯‹Ì· Â›Ó·È ÙÔ ∞µ°¢; ∞Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫, ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ∫;

3.

°Ú¿„ ¤ÓÙ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ӷ ˙‡ÁË ÛËÌ›ˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘˜. ªÔÚ›˜ Ó· Ù· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ, Û ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ; ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

4.

™ÙÔ Û¯‹Ì· ‚ϤÔ˘Ì ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ›Ó·Î· ·Ô˘ÛÈÒÓ ·Ó¿ ÙÚ›ÌËÓÔ, ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ∞’ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ ÂÓfi˜ Û¯ÔÏ›Ԣ. ∫¿ı ı¤ÛË ÙÔ˘ ›Ó·Î· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (ÁÚ¿ÌÌ· ÛÙ‹Ï˘, ·ÚÈıÌfi˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜). (·) ™Â ÔÈ· ı¤ÛË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹ °ÂˆÚÁ›Ô˘; (‚) ∆È ·ÓÙÈÚÔÛˆ‡ÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË C8; (Á) ¶ÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ı¤ÛË D12 Î·È ÔÈÔ˜ ÛÙË ı¤ÛË ∂13;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ™Â οı ‚È‚ÏÈ¿ÚÈÔ ˘Á›·˜ ·È‰ÈÔ‡, Ô˘ ·Ú¤¯ÂÈ ÙÔ ÀÔ˘ÚÁÂ›Ô ÀÁ›·˜ Î·È ¶ÚfiÓÔÈ·˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË ·‡ÍËÛ˘ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙˆÓ ‚ÚÂÊÒÓ ·fi 0 ¤ˆ˜ 3 ÂÙÒÓ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛ¤ ÙÔ ÚÔÛÂÎÙÈο Î·È ·¿ÓÙËÛ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·: (·) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î·È ÔÈÔ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ‚Ú¤ÊÔ˘˜ ËÏÈΛ·˜ 15 ÌËÓÒÓ; (‚) ¶¿Óˆ ·fi ÔÈÔ ‚¿ÚÔ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ˘¤Ú‚·ÚÔ, ¤Ó· ‚Ú¤ÊÔ˜ ËÏÈΛ·˜ 18 ÌËÓÒÓ Î·È Î¿Ùˆ ·fi ÔÈÔ ‚¿ÚÔ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ÏÈÔ‚·Ú¤˜; (Á) ∂›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙˆÓ 7,5 ÎÈÏÒÓ ÁÈ· ¤Ó· ‚Ú¤ÊÔ˜ 9 ÌËÓÒÓ;


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- 90 -

1-11-06

21:26

™ÂÏ›‰·90

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.2. § fi Á Ô ˜ ‰ ‡ Ô · Ú È ı Ì Ò Ó - ∞ Ó · Ï Ô Á › ·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë Œ¯Ô˘Ì ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·:

4

1,5

4,5

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ¶ÏÂ˘Ú¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

1,5 cm

4 cm

4,5 cm

¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

➣ ➣ ➣

∂Í‹ÁËÛ Ò˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ÛÂÈÚ¿˜. µÚ˜ ÁÈ· οı ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÏÂ˘Ú¿ ÚÔ˜ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ‚Á¿˙ÂȘ;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË ÊˆÙÔÁÚ·ÊÈ΋ Ì˯·Ó‹ ÁÈ· Ó· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÔ˘Ì ÂÈÎfiÓ˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. √È ÂÈÎfiÓ˜ ·˘Ù¤˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË. ™ÙË ÊˆÙÔÁÚ·Ê›· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ·È‰ÈÔ‡ Â›Ó·È 2 cm ÂÓÒ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘ ‡„Ô˜ Â›Ó·È 1,65 m = 165 cm.

¶fiÛË ı· Â›Ó·È ÙfiÙÂ Ë ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛ‹ ÙÔ˘ ÛÙË ÊˆÙÔÁÚ·Ê›·;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ™¯Â‰›·Û ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÌÂÙ¿ ۯ‰›·Û¤ ÙÔ ÌÂÁÂı˘Ṳ̂ÓÔ, ÒÛÙÂ Ë 6 ÏÂ˘Ú¿ Ì‹ÎÔ˘˜ 8 cm Ó· ¤¯ÂÈ Ó¤Ô Ì‹ÎÔ˜ 12 cm.

10

8

12


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™ÂÏ›‰·91

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 91 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 4 Ë ™‡ÁÎÚÈÓ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

∞µ µ° Î·È . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ∫§ §ª

µ

∂ ∑

∆È Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‚Á¿˙ÂȘ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ∞µ°¢ Î·È ∫§ª¡.

ªÂÙ¿ Û‡ÁÎÚÈÓ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

∞µ µ° Î·È . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ∂∑ ∑∏

£ ∏ ∫ §

∆È Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‚Á¿˙ÂȘ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ∞µ°¢ Î·È ∂∑∏£. ¢

°

¡ ª

ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ÔÌÔÂȉÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ, Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘, Â›Ó·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.



∏ ÈÛfiÙËÙ· ÏfiÁˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›·.



¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È fiÌÔÈ· fiÙ·Ó ÙÔ ¤Ó· ·ÔÙÂÏ› ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ‹ ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.



√ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ÂÓfi˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ  Ú · Á Ì · Ù È Î ‹ ·  fi Û Ù · Û Ë ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Îϛ̷η.

 ∞Ó ÔÈ ÏfiÁÔÈ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ÙfiÙ ·˘ÙÔ› ı· Â›Ó·È ›ÛÔÈ Î·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.  ∫¿ı ۯ¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ·‚ = ‰Á Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙË Û¯¤ÛË ·  ‰ =‚  Á

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ªÂÙÚԇ̠ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË, Û ¯¿ÚÙË, Ì Îϛ̷η 1:10.000.000 Î·È ÙË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ›ÛË Ì 2,4 cm. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ;

§‡ÛË ∞ÊÔ‡ ‰›ÓÂÙ·È Ë Îϛ̷η 1:10.000.000, ÛÙÔ 1 cm ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó 10.000.000 cm ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·. ™˘ÓÂÒ˜, ·Ó Ù· 2,4 cm ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û x cm ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

2,4 x

1 = 10.00.000 . ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

1  x = 2,4  10.000.000 ‹

x = 24.000.000 cm = 240.000 m = 240 Km.


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™ÂÏ›‰·92

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

2.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÛÙÔ Û¯¤‰ÈÔ. (·)

∞µ , ∂∑ , ∫§ , ∞µ , ∏£ , °¢ . °¢ ∏£ ∞µ ∫§ ∂∑ ∞µ

(‚)

°¢ , ∏£ , ∞µ , ∂∑ , ∫§ , °¢ . ∂∑ ∫§ ∞µ °¢ ∏£ °¢

µ 4,5 m 2,5 m

°

¢

∑ §

∏ ° £ ∞

¢

µ

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·˘ÙÔ‡, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ Ó· ›ӷÈ: 2:1.

3.

™Â ÌÈ· ʈÙÔÁÚ·Ê›· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È 4 cm, ÂÓÒ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ ‡„Ô˜ Â›Ó·È 1,76 m. ¶fiÛÔ ¤¯Ô˘Ó ÛÌÈÎÚ˘Óı› fiÏ· Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ù˘ ʈÙÔÁÚ·Ê›·˜;

4.

ŒÓ·˜ ÚÔ‚ÔϤ·˜ ‰È·Ê·ÓÂÈÒÓ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ‰È·Ê¿ÓÂÈ·˜ ÛÙÔÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÙÔ›¯Ô. ∞Ó ¤Ó· “∞” ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 7 mm ÛÙË ‰È·Ê¿ÓÂÈ· Î·È 4,2 cm ÛÙÔÓ ÙÔ›¯Ô, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË Ô˘ ‰›ÓÂÈ Ô ÚÔ‚ÔϤ·˜;

5.

∏ Û‡ÓıÂÛË ÌÈ·˜ ÌÏÔ‡˙·˜ Â›Ó·È 80% ‚·Ì‚¿ÎÈ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÔÏ˘ÂÛÙ¤Ú·˜. AÓ Ë ÌÏÔ‡˙· ˙˘Á›˙ÂÈ 820 gr, fiÛ· ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ· ˙˘Á›˙Ô˘Ó Ù· Ó‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÂÛÙ¤Ú· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ;

6.

¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜:

7.

√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È x+2 Î·È x. (·) ¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ¶ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÙÔ x. (‚) ¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ·Ó Ù· ÔÛ¿ x Î·È ¶ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. (Á) ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ›Ó·Î·: x 0 2 4 ¶ 8 16

∫ϛ̷η 1: 5 3: 8 1: 30 1: 100 M‹ÎÔ˜ Û ۯ¤‰ÈÔ 4 c m 12 cm 2 cm 3,5 cm ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ 24 m 10 m

\

8.

AÓ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘, Û ¤Ó· Û¯¤‰ÈÔ Ì Îϛ̷η 1:250, Â›Ó·È 3x5, ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ ı· Â›Ó·È .....x..... .

9.

∞Ó ·Ó·Î·Ù¤„Ô˘Ì 2 ÎÈÏ¿ ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ· Î·È 3 ÎÈÏ¿ ΛÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·fi¯ÚˆÛË ÙÔ˘ ÔÚÙÔηϛ. ∞Ó ·Ó·Î·Ù¤„ÂȘ 5 ÎÈÏ¿ ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ· Î·È 6 ÎÈÏ¿ ΛÙÚÈÓÔ, ı· ¿ÚÂȘ ÙËÓ ›‰È· ·fi¯ÚˆÛË; ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.


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21:27

™ÂÏ›‰·93

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 93 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

™¯Â‰›·Û ٷ Û¯‹Ì·Ù· Û ÌÈÏÈÌÂÙÚ¤ ¯·ÚÙ›: (·) ∆Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞ Ì Îϛ̷η 1:9 (‚) ∆Ô ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ µ Ì Îϛ̷η 1:12 (Á) ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ° Ì Îϛ̷η 2:7.

µ

°

2.

ŸÙ·Ó Ô ∫ÒÛÙ·˜ ¤ÎÏÂÈÛ ٷ ‰Ò‰Âη ¯ÚfiÓÈ· ›¯Â ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ù˘ ËÏÈΛ·˜ Ù˘ ÌËÙ¤Ú·˜ ÙÔ˘. ŸÙ·Ó ı· Á›ÓÂÈ Â›ÎÔÛÈ ¯ÚfiÓˆÓ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ËÏÈÎÈÒÓ ÙÔ˘˜ ı· ·Ú·Ì›ÓÂÈ Ô ›‰ÈÔ˜;

3.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ·’ ¢ı›·˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ·ÂÚÔÔÚÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, ¤¯ÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë fiÙÈ Ë Îϛ̷η ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ ¯¿ÚÙË Â›Ó·È 1:60.000.000 Î·È Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂȘ ¤Ó· ›Ó·Î· ¯ÈÏÈÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÁÈ· ÙȘ fiÏÂȘ ·˘Ù¤˜.


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- 94 -

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™ÂÏ›‰·94

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √È Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ‰È·ÌÔÚÊÒıËÎ·Ó Î·È ÂÍÂÏ›¯ÙËÎ·Ó ·Ú¿ÏÏËÏ· Ì ÙËÓ ·ÓıÚÒÈÓË ÛΤ„Ë. º˘ÛÈο ÌÂÁ¤ıË, fiˆ˜ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î·È Ô fiÁÎÔ˜, ¤‰ÈÓ·Ó ·ÊÔṲ́˜ ÁÈ· ̤ÙÚËÛË Î·È ÁÈ· Û‡ÁÎÚÈÛË, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ Î·È ·Ó·ÏÔÁ›Â˜. ∏ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋, fï˜, ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ·˘ÙÒÓ ¿Ú¯ÈÛ ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ∂ÏÏ¿‰· ÙÔÓ 6Ô .Ã. ·ÈÒÓ·. √ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜, Ô˘ ¤˙ËÛ ·fi ÙÔ 580 .Ã. ̤¯ÚÈ Èı·ÓfiÓ ÙÔ 490 .Ã., ‹Ù·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. À¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·Ú¿‰ÔÛË Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô‰ËÁ‹ıËΠ۠·˘Ù‹Ó ÙËÓ ¤Ú¢ӷ. ™ÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·, fiÔ˘ ¤˙ËÛ ·ÚÎÂÙ¿ ¯ÚfiÓÈ·, ‚Ú¤ıËΠÌÈ· ̤ڷ ÎÔÓÙ¿ Û οÔÈÔ ÛȉËÚÔ˘ÚÁÂ›Ô fiÔ˘ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ù¯ӛÙ˜ ÎÙ˘Ô‡Û·Ó Ì ٷ ÛÊ˘ÚÈ¿ ÙÔ˘˜ ¤Ó· ˘Ú·Îو̤ÓÔ Ì¤Ù·ÏÏÔ. √ ‹¯Ô˜ ·fi Ù· ÎÙ˘‹Ì·Ù· ‹Ù·Ó ·Ú¿ÍÂÓ· ÌÂψ‰ÈÎfi˜. ∞˘Ùfi ΤÓÙÚÈÛ ÙËÓ ÂÚȤÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·, Ô˘ ·Ó·˙‹ÙËÛ ÙÔ ÏfiÁÔ Ù˘ ·ÚÔÛ‰fiÎËÙ˘ ÌÂψ‰›·˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ‹¯ˆÓ. ∑‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ù¯ӛÙ˜ Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÈ Ù· ÛÊ˘ÚÈ¿ ÙÔ˘˜. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛ fiÙÈ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ. ™˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ÈÔ ‚·Ú‡ Ì ٷ ˘fiÏÔÈ·, ‚ڋΠÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ H, B Î·È 1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ™Î¤ÊÙËΠfiÙÈ ÔÈ ÏfiÁÔÈ ·˘ÙÔ›, Èı·ÓfiÓ, Ó· ›¯·Ó οÔÈ· Û¯¤ÛË Ì ÙÔ˘˜ ‹¯Ô˘˜ Ô˘ ¿ÎÔ˘ÛÂ. ¶‹Ú ÙfiÙ ٤ÛÛÂÚȘ ÌÂÙ·ÏÏÈΤ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ Î·È ÙȘ Ù¤ÓÙˆÛ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ٷ Ì‹ÎË ÙÔ˘˜ Ó· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ÏfiÁÔ˘˜. ¢ËÏ·‰‹, Ë ‰Â‡ÙÂÚË Â›¯Â Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ٷ H ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ÚÒÙ˘. ∏ ÙÚ›ÙË B Î·È Ë Ù¤Ù·ÚÙË Â›¯Â Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ÙÔ 1 Ù˘ ÚÒÙ˘. ŒÎÚÔ˘Û ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ Î·È ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ ÔÈ ‹¯ÔÈ Â›¯·Ó ÙËÓ ›‰È· ÌÂψ‰È΋ Û¯¤ÛË Ì ·˘Ù‹Ó Ô˘ ¿ÎÔ˘Û ÛÙÔ ÛȉËÚÔ˘ÚÁ›Ô. ◊Ù·Ó ÌÈ· “·ÚÌÔÓ›·” ‹¯ˆÓ (Û˘Á¯ÔÚ‰›·). ªÂ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi, Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ·Ó·Î¿Ï˘„ ·ÚÌÔÓÈÎÔ‡˜ ÙfiÓÔ˘˜ Ù˘ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Îϛ̷η˜. ŒÙÛÈ, ÔÈ ÏfiÁÔÈ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÚÌ‹Ó¢·Ó Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Ô˘ ηÓ›˜ ̤¯ÚÈ ÙfiÙ ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ Û˘Û¯ÂÙ›ÛÂÈ Î·È Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÈ. √ ‰ÚfiÌÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó·˙‹ÙËÛË Ù˘ ÁÓÒÛ˘ ›¯Â ·ÓÔ›ÍÂÈ. ∏ ¤Ú¢ӷ Î·È Ë ÂÚÌËÓ›· ÙˆÓ Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ù˘ ʇÛ˘ ›¯Â ‹‰Ë ‰È·ÌÔÚÊÒÛÂÈ ÛÙÔ ÓÔ˘ ÙˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ ¤Ó· Ó¤Ô ÎÒ‰Èη, ÌÈ· Ó¤· “·ÁÎfiÛÌÈ·” ÁÏÒÛÛ·: Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο.


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21:27

™ÂÏ›‰·95

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 95 -

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ ™ÙÔ Û¯‹Ì· ‚ϤÂȘ ÙÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ¯ˆÚ›˙ÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜, ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ̤ÚË ÙÔ˘.

M

M

M

∞M AB

Mµ Aª

µ

4

4

µ

1

1

µ

0,618 0,618

√È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ›¯·Ó ÂÈϤÍÂÈ ÙÔÓ ÙÚ›ÙÔ ÙÚfiÔ ˆ˜ ηχÙÂÚÔ ·ÈÛıËÙÈο Î·È Î·Ù·Û··˙·Ó fiÏ· Ù· ÌÓËÌ›· ÙÔ˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·˘Ù‹ ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜, fiˆ˜ .¯. ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Ó·Ô‡ ÙÔ˘ ¶·ÚıÂÓÒÓ· Ù˘ ∞ÎÚfiÔÏ˘ ÙˆÓ ∞ıËÓÒÓ. ∏ ·Ó·ÏÔÁ›· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿ÛÙËΠ¯Ú˘Û‹ ÙÔÌ‹”. “¯

∞ÏÏ¿ Î·È Ë Ê‡ÛË Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ·ÚfiÌÔȘ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂȘ!

∆ËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÔÏÏÒÓ Ê˘ÙÒÓ Î·È ˙ÒˆÓ.



Y¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙ· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ô˘ ·Ú·ÙËÚԇ̠Á‡Úˆ Ì·˜.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ÛÂ: (·) ÌÓËÌ›·, (‚) ˙ˆÁÚ·ÊÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜, (Á) ·ÓıÚÒÈÓ˜ ηٷÛ΢¤˜, (‰) Û¯‹Ì·Ù· ˙ÒˆÓ Î·È Ê˘ÙÒÓ, (Â) ·ÓıÚÒÈÓÔ ÛÒÌ· Î·È ¿ÏÏ·.



™˘Ó‰¤ÂÙ·È Ë ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÔ¯‹ Ì ÂÈÛÙËÌÔÓÈο, ·ÈÛıËÙÈο, ÎÔÈÓˆÓÈο, ıÚËÛ΢ÙÈο, ÔÈÎÔÓÔÌÈο, ÔÏÈÙÈÛÙÈο Î.Ï. ·›ÙÈ·; ∂¿Ó Ó·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ·ÔÙ˘ÒÛÂȘ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ›Ûˆ˜ Î·È ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹, Û¯¤‰È· ÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ ‹ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜”.


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

- 96 -

21:27

™ÂÏ›‰·96

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.3. A Ó ¿ Ï Ô Á ·  Ô Û ¿ - π ‰ È fi Ù Ë Ù Â ˜ · Ó · Ï fi Á ˆ Ó  Ô Û Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ™Â ÌÈ· ·Ú¤· οÔÈÔ˜ ˘ÔÛÙ‹ÚÈ˙ fiÙÈ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘. ªÂÙÚ‹ıËηÓ, ÏÔÈfiÓ, fiÏÔÈ Î·È ¤‚·Ï·Ó ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.

ªÔÚ›˜ Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÂȘ ‹ Ó· ·ÔÚÚ›„ÂȘ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ·˘Ùfi;

¶Ò˜ ‰ÈηÈÔÏÔÁ›˜ ÙÔ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ ÛÔ˘; µ¿ÚÔ˜ Û ∫g ⁄„Ô˜ Û m

58 1,60

71 1,65

56 1,62

68 1,72

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë O Ì·Ó¿‚˘ Ô˘Ï¿ÂÈ Ù· ηÚÔ‡˙È· ÚÔ˜ 0,4 Q ÙÔ ÎÈÏfi. ª¤Û· Û ÌÈ· Ë̤ڷ Ô‡ÏËÛ 11 ηÚÔ‡˙È· Ô˘ ˙‡ÁÈ˙·Ó 100 ÎÈÏ¿ Û˘ÓÔÏÈο. √ Ì·Ó¿‚˘ ¤ÁÚ·ÊÂ, Û’ ¤Ó· ¯·ÚÙ›, Ù· ÏÂÊÙ¿ Ô˘ ÂÈÛ¤Ú·ÙÙ οı ÊÔÚ¿. •¤¯·ÛÂ, fï˜, Ì›· ÊÔÚ¿ Ó· ÙÔ ÛËÌÂÈÒÛÂÈ.

ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔÓ ‚ÔËı‹ÛÂȘ Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ÎÂÓ¿ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: TÈÌ‹

6 Q 2,8 Q 5,2 Q 3,2 Q

3,6 Q 4,8 Q 2,4 Q 1,6 Q 4,4 Q 2 Q

∫ÈÏ¿

¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Ô˘ ¤Î·Ó˜ Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi ηÓfiÓ·.

ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ





¢‡Ô ÔÛ¿ ϤÁÔÓÙ·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Â¿Ó ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, Ô˘ fiÙ·Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.



¢‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, fiÙ·Ó ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ‰›ÓÔ˘Ó ¿ÓÙ· ›‰ÈÔ ËÏ›ÎÔ: y = · . ∆Ô ËÏ›ÎÔ · ϤÁÂÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ . x



∆· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ x Î·È y Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: y = ·  x fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜.



ŸÙ·Ó ÙÔ ÔÛfi y Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ ÔÛÔ‡ x, Ù· ‰‡Ô ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË · Û¯¤ÛË: y= · x Î·È Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ ‹ ·%. 100 100

∏ Û¯¤ÛË y = ·  x ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÌÈ· ·ÏÏËÏÂ›‰Ú·ÛË ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ô ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜, ÙÚÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î.Ô.Î. ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÛÔ‡ ÂÈʤÚÂÈ ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi, ÙÚÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi Î.Ô.Î. ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡.


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21:27

™ÂÏ›‰·97

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 97 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Ì 2 Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = . 3

§‡ÛË x

0

1

0,3 5 3

y

y = ·  x

3

2

T· ÔÛ¿ x Î·È y Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: y = 3  x

2

ÕÚ· ÁÈ· x = 0 , Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y ı· ›ӷÈ: y = 3  0 = 0,

2

2

ÁÈ· x = 1 Â›Ó·È y = 3  1 = 3

2

2

3

6

3

15 6 = 2,5

Î·È ÁÈ· x = 0 ,3 Â›Ó·È y = 3  0,3 = 3  10 = 30 = 0,2

y x= a

5

5

2

5

°È· y = 3 , ı· ›ӷÈ: x = 3 : 3 = 3  2 =

2

3

9

°È· y = 3 , ı· ¤¯Ô˘ÌÂ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: x = 3 : 3 = 3  2 = 2 = 4,5

2.

™Â ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· ˙¿¯·Ú˘ Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ˙¿¯·ÚË Â›Ó·È 23%. ¶fiÛ· ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ· ˙¿¯·Ú˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û 300 gr ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜;

§‡ÛË ¶ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· 23% Û ˙¿¯·ÚË ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û 100 gr ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 23 gr ˙¿¯·ÚË. ÕÚ·, Ù·

23 οı ÔÛfiÙËÙ·˜, ·fi ÙÔ ‰È¿Ï˘Ì·, Â›Ó·È ˙¿¯·ÚË. 100

23

¢ËÏ·‰‹, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: ¶ÔÛfiÙËÙ· ˙¿¯·Ú˘ = 100  ¶ÔÛfiÙËÙ· ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜.

23

∂Ô̤ӈ˜: y = 100  x. H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ οÓÂÈ Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ y Î·È x Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·.

23

ŒÙÛÈ, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: y = 100  300 gr = 69 gr.

3.

ŒÓ· ÏÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Î·Ï‡ÙÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 80 Km Û 2 ÒÚ˜. ™Â fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ηχ„ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 2.000 Km;

§‡ÛË ÃÚfiÓÔ˜ (ÒÚ˜)

2

x

AfiÛÙ·ÛË (km)

80

2.000

2

x

∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ: 80 = 2000

ÕÚ·: 80  x = 2  2.000

∂Ô̤ӈ˜: 80  x = 4.000. √fiÙÂ: x =

4.000 = 50 ÒÚ˜. 80


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

- 98 -

21:27

™ÂÏ›‰·98

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÛ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·; (∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË)

™ø™∆√ §∞£√™

(·) (‚)

√ ·ÚÈıÌfi˜ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÒÓ Î·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÙÒÌ·ÙÔ˜ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Ï·ÎÒÓ Ô˘ Â›Ó·È ÛÙڈ̤ÓÔ (Á) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÂÚÁ·ÙÒÓ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ó ¤Ó· ¤ÚÁÔ. (‰) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ (Â) ∏ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Î¿Ï˘„Ë ÌÈ·˜ ·fiÛÙ·Û˘. (ÛÙ) ∏ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘. (˙) ∏ ËÏÈΛ· ÂÓfi˜ ·ÓıÚÒÔ˘ Î·È Ë ÂÚÈÔ˘Û›· ÙÔ˘. (Ë) ∆Ô ÔÛfi Ô˘ Íԉ‡ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜, ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Ï·¯Â›· Î·È ÙÔ ÔÛfi Ô˘ ÎÂÚ‰›˙ÂÈ.

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ‰›ÓÔ˘Ó ¿ÓÙ· ÙÔ ›‰ÈÔ ËÏ›ÎÔ Ï¤ÁÔÓÙ·È .................................................................................................................................... .

(‚)

∞Ó ÙÂÙÚ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·fi ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡ ........................................................................................................... .

(Á)

∆· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ................................................................... .

3.

∂ͤٷÛ ·Ó Ù· ÔÛ¿ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·: (·) (‚) x 3 5 7 x 3 4 6 11 y 8 10 12 y 0 , 9 1,2 1,8 3,3

4.

™ÙÔÓ ›Ó·Î· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, Ù· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ÀÔÏfiÁÈÛ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹

5.

·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘˜ Î·È Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·. x

5

y

10,05

0

1

3,7 2

0,61

0,125

0,55

MÈ· Û˘ÓÙ·Á‹ ÁÈ· ΤÈÎ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ: “4 ·˘Á¿, 1 ·Î¤ÙÔ Ê·Ú›Ó·, ÙÔ˘ ÌÈÛÔ‡ ÎÈÏÔ‡, 250 gr ‚Ô˘Ù‡ÚÔ˘, 2 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ· ˙¿¯·ÚË, 1 ‚·Ó›ÏÈ·, 1 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ Á¿Ï·”. µÚ˜ Ò˜ ı· Á›ÓÂÈ Ë Û˘ÓÙ·Á‹ ·Ó ı¤ÏÂȘ Ó· ÊÙÈ¿ÍÂȘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰fiÛË Î·È ¤¯ÂȘ 7 ·˘Á¿;

6.

¢›ÓÂÙ·È Ë ·Ó·ÏÔÁ›·

7.

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 150.000 Q ηٷ٤ıËΠÛÙËÓ ÙÚ¿Â˙· Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 9,5%. ¶fiÛÔ ı· ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, ÌÂÙ¿ ·fi 1 ¯ÚfiÓÔ;

x 2 x+2 = . ÀÔÏfiÁÈÛ ÙÔ x Î·È ÙÔ ÏfiÁÔ . ∆› ·Ú·ÙËÚ›˜; 3 6 3+6


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21:27

™ÂÏ›‰·99

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 99 -

∞.6.4. ° Ú · Ê È Î ‹  · Ú ¿ Û Ù · Û Ë Û ¯ ¤ Û Ë · Ó · Ï Ô Á › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∏ Û¯¤ÛË, ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = 3, ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: y = 3  x O ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ›ӷÈ:

x

0

0,5

1,5

y

0

1,5

4,5

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÙÔ˘ ›Ó·Î· Î·È Ì ¿ÏϘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y y

µÚ˜ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ·Ú·¿Óˆ ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ.

5 4

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ, Â¿Ó Ù· ÛËÌ›· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ̛· ËÌÈ¢ı›· ‹ fi¯È.

3 2 1

∏ ËÌÈ¢ı›· ·˘Ù‹ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0,0) ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ;

O

1

2

3

4

x

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ˙‡ÁË ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ:



∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ (x, y) ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ̛· ËÌÈ¢ı›· Ì ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ √(0,0) ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

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- 100 -

21:27

™ÂÏ›‰·100

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ›Ó·Î˜ ∞, µ, ° Î·È ¢. (·) ¡· Á›ÓÂÈ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ (x, y) ÙˆÓ ÈÓ¿ÎˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Î·È (‚) Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù¿ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·.

x y

0 0

1 2

2 1

3 1,5

B

x y

0 1

1 1,5

2 2

3 2,5

°

x y

0 0

1 1

2 2

3 3

¢

x y

0 0

1 0,5

2 1

3 1,5

§‡ÛË √ ›Ó·Î·˜ ∞ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ x Î·È y Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È

1

2

3

·Ó¿ÏÔÁ·, ·ÊÔ‡ 2 ≠ 1 ≠ 1,5 .

O ›Ó·Î·˜ µ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ x Î·È y Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È

1

2

3

·Ó¿ÏÔÁ·, ·ÊÔ‡ 1,5 ≠ 2 ≠ 2,5 .

O ›Ó·Î·˜ ° Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ · = 1



H ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÙËÓ ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È Â›Ó·È Ë ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xO y ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ

O ›Ó·Î·˜ ¢ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ · = 0,5


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

21:27

™ÂÏ›‰·101

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 101 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¢‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = 1,5. (·) ¢ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ¤Ó·Ó ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÛÒÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ. (‚) µÚ˜ Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î¿ ÛÔ˘. (Á) ™¯Â‰›·Û ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y, Û ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ.

2.

™Â ηٿÏÏËÏÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· οı ̛· ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û¯¤ÛÂȘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜: 1 (·) y = ( )  x, (‚) y = 3  x, (Á) y = 5,5  x, (‰) y = 10  x, (Â) y = 0,01  x. 2

3.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ›Ó·Î· Ì ¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜:

4.

(∞)

x y

4 10

7 17,5

12 30

(1)

y = 2x + 3

(B)

x y

5 11

7,5 16

9 19

(2)

y = 3x

(°)

x y

2 7

3 9

10 23

(3)

y = 12:x

(¢)

x y

2 6

4 3

6 2

(4)

y = 2,5x

(∂)

x y

2 1

5 2,5

0,5 0,25

(5)

y = 2x + 2

(Z)

x y

0,2 2,4

6 14

10 22

(6)

y = 2x + 1

(H)

x y

1 3

1,2 3,6

2,5 7,5

(7)

y = 4x – 1

(£)

x y

0,8 2,2

1 3

1,5 5

(8)

y = 0,5x

ŒÓ·˜ ηٷÛÙË̷ٿگ˘ ·ıÏËÙÈÎÒÓ ÂȉÒÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ 12.000 Q ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÊfiÚ̘ Á˘ÌÓ·ÛÙÈ΋˜, Ì·ÁÈfi Î·È ·ıÏËÙÈο ·Ô‡ÙÛÈ·. ∫¿ı ÊfiÚÌ· ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 40 Q, οı ̷ÁÈfi 20 Q Î·È Î¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ·Ô‡ÙÛÈ· 50 Q. (·) ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ “¯Ú‹Ì·Ù· - ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi οı ›‰Ô˜” Î·È Ó· ÙȘ ·Ú·ÛÙ‹ÛÂȘ ÁÚ·ÊÈο ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. (‚) √ ηٷÛÙË̷ٿگ˘ ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ‰È·ı¤ÛÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi, ÁÈ· οı ›‰Ô˜. µÚ˜ fiÛ· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi οı ›‰Ô˜ ı· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Ô˘ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ˜ ÛÙÔ ÚÒÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘.


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

- 102 -

21:27

™ÂÏ›‰·102

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.5. ¶ Ú Ô ‚ Ï ‹ Ì · Ù · · Ó · Ï Ô Á È Ò Ó °È· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ, Â¿Ó ‰˘Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ:

1. ∆ÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x

y

5

7

∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Ù· ÔÛ¿ Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ: fiÙ·Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÛÔ‡

3 1/2

15

21

2,5

3,5

3 1/2

ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È, Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ∞Ó 15 = 5  3 Ú¤ÂÈ 21 = 7  3 ηÈ

1

1

·Ó 2,5 = 5  2 Ú¤ÂÈ 3,5 = 7  2 .

2. ∆Ë Û¯¤ÛË y = ·  x EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Ù· ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÌÈ· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·:

0,5 Q ÙÔ ¤Ó· ÙÚÈ·ÓÙ¿Ê˘ÏÏÔ

x

y

y =2 x

3

6

6 3 =2

5,5

11

11 5,5 =2

....

....

....

∫fiÛÙÔ˜ ·ÓıÔ‰¤ÛÌ˘ = 0,5  ·ÚÈıÌfi˜ ÙÚÈ·ÓÙ¿Ê˘ÏψÓ.

3. ∆Ë Û¯¤ÛË

y x =·

EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó fiϘ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÛÒÓ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÏfiÁÔ.


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

21:27

™ÂÏ›‰·103

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 103 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

°È· Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ÁÏ˘Îfi ‚‡ÛÛÈÓÔ Ú¤ÂÈ Ó· ηı·Ú›ÛÔ˘Ì ٷ ‚‡ÛÛÈÓ· ·fi Ù· ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·. ∞Ó Î·ı·Ú›ÛÔ˘Ì 2,5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ, ·›ÚÓÔ˘Ì 2 Kg ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ. ∞Ó Î·ı·Ú›ÛÔ˘Ì 5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ, ÙÈ ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ ı· ¿ÚÔ˘ÌÂ;

§‡ÛË ∆· ÔÛ¿ ·Î·ı¿ÚÈÛÙÔ ‚‡ÛÛÈÓÔ Î·È Î·ı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì y ÙËÓ ¿ÁÓˆÛÙË ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔÓ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜.

∞ÚÈıÌËÙÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜

µ‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ 2 , 5 Kg K·ı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ 2 Kg £· ¤¯Ô˘ÌÂ:

5 Kg y

2,5 5 2 = y ‰ËÏ·‰‹:

2,5  y = 2  5, ÂÔ̤ӈ˜ 2,5  y = 10 Û˘ÓÂÒ˜, 10 y = 2,5

¿Ú·, y = 4 Kg

To Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ, ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ (ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ µ), ·fi ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ÙˆÓ 5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ· (ÙÂÙÌË̤ÓË).

°Ú·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜

ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ

H ËÌÈ¢ı›·, Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙË Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· √ ( 0 , 0 ) Î·È ∞ ( 2 , 5 , 2 ) B 4 3 2 1

A

O

1 2 3 4 5 6 ‚‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·

™ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x (ÎÈÏ¿ ‚‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·) Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5 ʤÚÔ˘Ì οıÂÙË. ∞˘Ù‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜, Û ÛËÌÂ›Ô µ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô µ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË 5. ∏ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì οıÂÙË ·fi ÙÔ µ ÚÔ˜ ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √y (ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ) Î·È Â›Ó·È 4 Kg.


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

- 104 -

2.

1-11-06

21:27

™ÂÏ›‰·104

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

ŒÓ·˜ ÌÂÛ›Ù˘ ·ÁÔÚ¿˙ÂÈ ¤Ó· Û›ÙÈ 360.000 Q Î·È ÛÎÔ‡ÂÈ Ó· ÙÔ Ô˘Ï‹ÛÂÈ Ì ΤډԘ 28%. ™Â ¤Ó· ÂÏ¿ÙË ¤Î·Ó ¤ÎÙˆÛË 15%, Â› Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÒÏËÛ˘. (·) ¶fiÛÔ Ô˘Ï‹ıËΠÙÔ Û›ÙÈ ÛÙÔÓ ÂÏ¿ÙË ·˘ÙfiÓ; (‚) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ ÙÔ˘ ÌÂÛ›ÙË, ÁÈ· ÙÔ Û›ÙÈ ·˘Ùfi;

§‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ: ¢‡Ô ÔÛ¿ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÔÛÔÛÙÈ·›· Û¯¤ÛË, Â›Ó·È ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·. (·)

°È· Ó· ‚ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó’ ·Ê·ÈÚÂı› Ë ¤ÎÙˆÛË Ô˘ ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘. ¢ËÏ·‰‹: ñ £· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡. ™ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÎfiÛÙÔ˘˜ ı· ¤¯Ô˘Ì ΤډԘ 28%, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ Ì ÙÈÌ‹ ÎfiÛÙÔ˘˜ 100 Q ˆÏÂ›Ù·È 128 Q. ∆fiÙÂ, Ô ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ı· ›ӷÈ: ∆ÈÌ‹ ·ÁÔÚ¿˜ ∆ÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ¢ËÏ·‰‹:

100 128

=

100 128

360.000 y

360.000 y

∂Ô̤ӈ˜, 100  y = 360.000  128 Û˘ÓÂÒ˜, y =

360.000128 . ÕÚ·, y = 460.800 Q 100

ñ £· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË Ô˘ ¤ÁÈÓÂ. ™ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ¤ÁÈÓ ¤ÎÙˆÛË 15%, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ Ì ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ 100 Q ˆÏÂ›Ù·È 85 Q. ∞˜ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔÓ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜: ∞Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ∆ÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ Ì ¤ÎÙˆÛË 15% ¢ËÏ·‰‹:

100 85

=

100 85

460.800 y

460.800 y

EÔ̤ӈ˜, 100  y = 85  460.800

Û˘ÓÂÒ˜, y =

85460.800 100

ÕÚ·, y = 391..680 Q. O ÂÏ¿Ù˘ ·ÁfiÚ·Û ÙÔ Û›ÙÈ 391.680 Q. (‚)

°È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ Â› Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ·ÁÔÚ¿˜, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó¿ÁÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ ÛÙ· 100 Q. ∆Ô Î¤Ú‰Ô˜ ÙÔ˘ ÂÌfiÚÔ˘ ›ӷÈ:

391.680 Q – 360.000 Q = 31.680 Q Œ¯Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜: ∆ÈÌ‹ ·ÁÔÚ¿˜ ∫¤Ú‰Ô˜ ¢ËÏ·‰‹:

360.000 31.680

100 x

360.000 100 31.680 = x

EÔ̤ӈ˜, 360.000  x = 31.680  100 Û˘ÓÂÒ˜, x =

31.680100 360.000 .

ÕÚ·, x = 8,8. To ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ ÙÔ˘ ÂÌfiÚÔ˘ Â›Ó·È 8,8% .


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

21:27

™ÂÏ›‰·105

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 105 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

ŒÓ·˜ ¿ÛÛ·ÏÔ˜ ‡„Ô˘˜ 1,2 m Ú›¯ÓÂÈ ÛÎÈ¿ 3 m. ∆ËÓ ›‰È· ÛÙÈÁÌ‹ ¤Ó· ‰¤ÓÙÚÔ Ú›¯ÓÂÈ ÛÎÈ¿ 14 m. ∞Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ ‡„Ô˜ - ÛÎÈ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘.

2.

∆Ô ‚¿ÚÔ˜ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÁË Â›Ó·È ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·. ŒÓ·˜ ·ÛÙÚÔÓ·‡Ù˘ ˙‡ÁÈ˙ÂÈ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ 13 Kg Î·È ÛÙË ÁË 78 Kg. ¶fiÛÔ ı· ˙˘Á›˙ÂÈ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ¤Ó· ·È‰›, Ô˘ ÛÙË ÁË ¤¯ÂÈ ‚¿ÚÔ˜ 52 Kg;

3.

Afi 100 Kg ÛٷʇÏÈ· ‚Á·›ÓÔ˘Ó 80 Kg ÌÔ‡ÛÙÔ˜. ŒÓ·˜ ·ÌÂÏÔ˘ÚÁfi˜ ı¤ÏÂÈ Ó· ÁÂÌ›ÛÂÈ Ì ÌÔ‡ÛÙÔ 6 ‚·Ú¤ÏÈ·, ÙˆÓ 350 Kg ÙÔ Î·ı¤Ó·. ¶fiÛ· Kg ÛٷʇÏÈ·, Ù˘ ›‰È·˜ ÔÈfiÙËÙ·˜, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ù‹ÛÂÈ;

4.

¢‡Ô ÂÚÁ¿Ù˜ ‰Ô‡Ï„·Ó Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ‹Ú·Ó Ì·˙› 270 Q. O ÚÒÙÔ˜ ‰Ô‡Ï„ 4 Ë̤Ú˜ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 5 Ë̤Ú˜. ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔÓ Î·ı¤Ó·.

5.

∆Ô ı·Ï·ÛÛÈÓfi ÓÂÚfi ÂÚȤ¯ÂÈ ·Ï¿ÙÈ Û ÔÛÔÛÙfi 3%. ¶fiÛ· ÎÈÏ¿ ı·Ï·ÛÛÈÓfi ÓÂÚfi Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍ·ÙÌÈÛÙÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì 60 Kg ·Ï¿ÙÈ;

6.

ŒÓ·˜ ÁˆÚÁfi˜ ›¯Â ¤Ó· ¯ˆÚ¿ÊÈ 7 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù· Î·È ‹ÚÂ Î·È ÙÔ ÁÂÈÙÔÓÈÎfi ¯ˆÚ¿ÊÈ ÂÌ‚·‰Ô‡ 8 ÛÙÚÂÌÌ¿ÙˆÓ, ÁÈ· Ó· Ê˘Ù¤„ÂÈ Î·Ï·ÌfiÎÈ. ∏ Û˘Ìʈӛ· Ì ÙÔ Á›ÙÔÓ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó Ó· ÙÔ˘ ‰ÒÛÂÈ ÙÔ 15% Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ¯ˆÚ·ÊÈÔ‡ ÙÔ˘. ∏ Û˘ÓÔÏÈ΋ ·Ú·ÁˆÁ‹ ‹Ù·Ó 14 ÙfiÓÔÈ Î·Ï·ÌfiÎÈ. ¶fiÛÔ˘˜ ÙfiÓÔ˘˜ ı· ¿ÚÂÈ Ô ÁˆÚÁfi˜ Î·È fiÛÔ˘˜ Ô Á›ÙÔÓ¿˜ ÙÔ˘;

7.

∞Ó „‹ÛÔ˘Ì 2,5 ∫g ˆÌfi ÎÚ¿˜ ı· Ì›ÓÂÈ 1,9 Kg „Ë̤ÓÔ ÎÚ¤·˜. (·) ¶fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ·ÒÏÂÈ·˜ Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ; (‚) ¶fiÛÔ ÎÚ¤·˜ Ú¤ÂÈ Ó· „‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ì 2,3 Kg „Ë̤ÓÔ ÎÚ¤·˜;

8.

∏ ÌËÓÈ·›· οÚÙ· ·ÂÚÈÔÚ›ÛÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 12 Q Î·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ı· ·˘ÍËı›, ηٿ 75%. ∆Ô ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ ÛÙÔ ·ÛÙÈÎfi ψÊÔÚÂ›Ô Â›Ó·È 0,7 Q Î·È ı· ·˘ÍËı›, ηٿ 50%. ŒÓ·˜ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔ˜ ·›ÚÓÂÈ ÏˆÊÔÚ›Ô, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ Î·È Ó· Á˘Ú›ÛÂÈ ·fi ÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÙÔ˘ οı Ë̤ڷ, ÁÈ· ›ÎÔÛÈ ÊÔÚ¤˜ ÙÔ Ì‹Ó·. ∆ÔÓ Û˘ÌʤÚÂÈ Ë ¯Ú‹ÛË Ù˘ οÚÙ·˜ ‹ fi¯È;

9.

ŒÓ· ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰›ÓÂÈ ÙfiÎÔ 1.000 Q ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 10%. ∞Ó ÙÔ ÂÈÙfiÎÈÔ ÌÂȈı› ηٿ 20%, fiÛÔ ÙfiÎÔ ı· ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÁÈ· ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ; ¶fiÛÔ ÙÔȘ ÂηÙfi Ú¤ÂÈ Ó’ ·˘Í‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·Èfi Ì·˜ ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙfiÎÔ, ·Ú¿ ÙËÓ Ì›ˆÛË ÙÔ˘ ÂÈÙÔΛԢ;

10.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Î·È Û¯Â‰›·Û ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙ· ‰Â‰Ô̤ӷ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ™À¡√§√ √ÈÎÔÁ¤ÓÂȘ

200

¶ÔÛÔÛÙ¿

100%

ªÂ 0 ªÂ 1 ªÂ 2 ªÂ 3 ªÂ 4 ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ 10

40

80

50

15

¶¿Óˆ ·fi 4 ·È‰È¿ 5


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

- 106 -

1-11-06

21:27

™ÂÏ›‰·106

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.6. ∞ Ó Ù È Û Ù Ú fi Ê ˆ ˜ · Ó ¿ Ï Ô Á ·  Ô Û ¿

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë •ÂÎÈÓÔ‡Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·fi ÙËÓ ∞ı‹Ó·: (·) ¤Ó· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Ô˘ ÙÚ¤¯ÂÈ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 120 km/h (‚) ¤Ó· ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ Ì 600 Km/h (Á) Ì›· ÌÔÙÔÛÈÎϤٷ Ì 75 Km/h (‰) ¤Ó· ψÊÔÚÂ›Ô Ô˘ ÙÚ¤¯ÂÈ Ì 80 Km/h (Â) ¤Ó· ÂÏÈÎfiÙÂÚÔ Ì 300 Km/h (ÛÙ) ¤Ó· Ù·Í› Ì 100 Km/h (˙) Ì›· ‚¤Û· Ì 60 Km/h Î·È (Ë) ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó Ì 90 Km/h To Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Â›Ó·È Ë fiÏË Ù˘ ÃÚ˘ÛÔ‡ÔÏ˘ ∫·‚¿Ï·˜, Ô˘ ·¤¯ÂÈ 600 Km.

µÚ˜ Û fiÛ˜ ÒÚ˜, ı· Êı¿ÛÂÈ ÙÔ Î·ı¤Ó· ÛÙÔÓ ÚÔÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Î·È Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ∆·¯‡ÙËÙ· Û Km/h XÚfiÓÔ˜ Û ÒÚ˜

¶ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÌÂÁ¤ıË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘;

ToÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ô˘ ‚ڋΘ, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ŒÓ· Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 8 ÂÚÁ¿Ù˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È 30 Ë̤Ú˜ ÁÈ· Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÈ ¤Ó· ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎfi ¤ÚÁÔ. ➣ ¶fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÓÂÚÁ›Ô, Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 2, 4, 6, 10, 12, 24 ‹ 48 ÂÚÁ¿Ù˜ ÁÈ· Ó· ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÚÁÔ;

ªÔÚ›˜ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·;

∂ÚÁ¿Ù˜ Û˘ÓÂÚÁ›Ԣ ∏̤Ú˜ ÂÚÁ·Û›·˜

2

4

6

8

10

12

24

48

30

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ “ÂÚÁ¿Ù˜”  “Ë̤Ú˜”;

∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;


KEº∞ § √ π∞ -6 (85-112)-(20,5 à 28)

1-11-06

21:28

™ÂÏ›‰·107

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 107 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ x Î·È y. AÓ ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È 144 m2, ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ‰Âη٤ÛÛÂÚȘ ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ‰È·ÛÙ¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·; x y

¶ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘;

∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

¶ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ·’ ·˘Ù¿ Ô˘ ‚ڋΘ, ¤¯ÂÈ ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÂÚ›ÌÂÙÚÔ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ: fiÙ·Ó ÙÔ ¤Ó· ̤ÁÂıÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â› ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙÔ ¿ÏÏÔ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

ŸÙ·Ó ‰‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· , ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi: y  x = · , ·0

3

x

y

5

6

15

2

2,5

12

:3

1/2

:1/2

x

y

y  x = 30

5

6

5  6 = 30

15

2

15  2 = 30

...

...

...



™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ · = 1, Ù· x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ›.



∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË (x, y) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ̛· ηÌ‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹. ∏ ηÌ‡ÏË ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.



H ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ √x Î·È √y, ‰ÈfiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÔÙ¤ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0.


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- 108 -

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™ÂÏ›‰·108

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ŒÓ·˜ ÂÏ·ÈÔ·Ú·ÁˆÁfi˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ 20 lt, 15 lt, 10 lt Î·È 5 lt, ÁÈ· Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙÔ Ï¿‰È Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ. ∏ ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È 3.600 lt. £¤ÏÂÈ Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙËÓ ›‰È· ÔÛfiÙËÙ· Ï·‰ÈÔ‡ Û οı ̛· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Û˘Û΢·Û›Â˜. (·) ¶fiÛ· ‰Ô¯Â›· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·fi οı ›‰Ô˜; (‚) ¶fiÛÔ ı· ÎÔÛÙ›ÛÂÈ Ë Û˘Û΢·Û›· Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ·Ó ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 0,4 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 20 lt, 0,3 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 15 lt, 0,2 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 10 lt Î·È 0,1 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 5 lt;

§‡ÛË (·)

√ ·Ú·ÁˆÁfi˜ ı¤ÏÂÈ Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙËÓ ›‰È· ÔÛfiÙËÙ· Ï·‰ÈÔ‡ Û 4 ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰Ë 1 ‰Ô¯Â›ˆÓ, ¿Ú· Û οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›Ô˘ ı· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙÔ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘, 4

1

3.600 = 900 lt, ÁÈ· οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ. 4 ™˘ÓÂÒ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: x (∞ÚÈıÌfi˜ ¢Ô¯Â›ˆÓ)  y (ÈÚËÙÈÎfiÙËÙ·) = 900 lt . TfiÙÂ, ı· ›ӷÈ: 900 900 ÁÈ· x = 20 lt , ›ӷÈ: y = x = 20 = 45

‰ËÏ·‰‹ 4  3.600 =

ÁÈ· x = 15 lt , ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 15 = 60

ÁÈ· x = 10 lt , ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 10 = 90

ÁÈ· x = 5 lt, ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 5 = 180 1000

ŒÙÛÈ, ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·.

900 800 700

(‚)

x (¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·)

20

15

10

5

y (·ÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ)

45

60

90 180

∆· ÔÛ¿ ∞ÚÈıÌÒÓ ‰Ô¯Â›ˆÓ Î·È ∫fiÛÙÔ˜ Û˘Û΢·Û›·˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·.

600 500 400 300 200 100 0

ŒÙÛÈ, Û οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›Ô˘, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ¢Ô¯Â›· 20 lt

¢Ô¯Â›· 15 lt ¢Ô¯Â›· 10 lt ¢Ô¯Â›· 5 lt

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

45

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,4

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

60

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,3

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

90

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,2

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

180

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,1

ˆ

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 45  0,4

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 60  0,3

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 90  0,2

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 180  0,1 ¿Ú· ˆ = 18 Q

ŒÙÛÈ, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ˜ Ù˘ Û˘Î¢·Û›·˜ ı· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ÎfiÛÙÔ˘˜ ÙˆÓ ‰Ô¯Â›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÂȉÒÓ. ™˘ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ˜ = 18 Q + 18 Q + 18 Q + 18 Q = 72 Q


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™ÂÏ›‰·109

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 109 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·; (∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË) (·)

™ø™∆√ §∞£√™

∏ ‚¿ÛË Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ì ÛÙ·ıÂÚfi ‡„Ô˜.

(‚)

∏ ·ÚÔ¯‹ ÌÈ·˜ ‚Ú‡Û˘ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÁÈ· Ó· ÁÂÌ›ÛÂÈ ÌÈ· Ì·ÓȤڷ. (Á) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÚˆÁÌ‹˜ ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙ›ٷÈ, ÁÈ· Ó· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Ù· ·Ì¿ÚÈ· ÙÔ˘ Ì ÓÂÚfi. (‰) √ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÁˆÙÔ‡ Ô˘ ı· Ê¿ÓÂ, ·fi ¤Ó· ÔÈÎÔÁÂÓÂÈ·Îfi ·ÁˆÙfi 2 Kg. (Â) ∏ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ÌԢηÏÈÒÓ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÌԢηÏÈÒÓ Ô˘ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙÂ, ÁÈ· Ó· ÂÌÊÈ·ÏÒÛÔ˘Ì 100 lt ÎÚ·ÛÈÔ‡. (ÛÙ) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÔÈ ÛÎËÓ¤˜ ÙˆÓ 2 ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È, ÁÈ· Ó· ηٷÛÎËÓÒÛÔ˘Ó.

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Î·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÂÙ·È, ÙfiÙÂ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ...................................................................................................... . (‚) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ Â›Ó·È .................... ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ........................................................................................................... .

3.

∂ͤٷÛ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜: (·)

(Á)

x

1

2

3

4

y

2

1

B

1

x

1 100

2 58

7 10

4

y

100

29

10 7

1

(‚)

(‰)

x

0,25 0,4

0,5

y

10 6,25

5

x

3

6

9

y

9

5

3

¶ÔÈÔÈ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È ›Ó·Î˜ ÙÈÌÒÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ;

4.

∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·. (·) ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·: x y

(‚)

0,2 0,5 0,7

1 3,5 2,5 1,75

2,3

3

10

12

0,875

µÚ˜ Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó Î¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y), Û ηٿÏÏËÏÔ Û‡ÛÙËÌ· ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È Û¯Â‰›·Û ÙËÓ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.

5.

°È· ÙËÓ ·Ó·‰¿ÛˆÛË ÌÈ·˜ Ï·ÁÈ¿˜, ÂÚÁ¿ÛÙËÎ·Ó 20 ÂÚÁ¿Ù˜ ÁÈ· 10 Ë̤Ú˜. ¶fiÛÔÈ ÂÚÁ¿Ù˜, ›‰È·˜ ·fi‰ÔÛ˘, ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·Ó·‰·ÛÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË ·˘Ù‹, Û 8 Ë̤Ú˜;

6.

™Â ¤Ó· ·ÁÚfiÎÙËÌ·, ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó ÓÙÔÌ¿Ù˜ Û 50 ηʿÛÈ·, ÙˆÓ 12 Kg ÙÔ Î·ı¤Ó·. ¶fiÛ· ηʿÛÈ· ÙˆÓ 20 kg ı· ¯ÚÂÈ·˙fiÓÙÔ˘Û·Ó ÁÈ· Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ó ÙȘ ÓÙÔÌ¿Ù˜. ∞Ó Î¿ı ηʿÛÈ ÙˆÓ 12 kg ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 0,28 Q Î·È Î¿ı ηʿÛÈ ÙˆÓ 20 kg 0,46 Q, ÔÈ· Û˘Û΢·Û›· ÙÔ˘˜ Û˘ÌʤÚÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÔÈËı› ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ Û˘Û΢·Û›·˜ ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ÙÔ˘˜;

7.

∆Ô ÂÙڤϷÈÔ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜, Â·ÚΛ ÁÈ· 30 Ë̤Ú˜, fiÙ·Ó Î·Ù·Ó·ÏÒÓÔÓÙ·È 80 lt ÙËÓ Ë̤ڷ. ŸÙ·Ó ÙÔ ÎÚ‡Ô ‰˘Ó·ÌÒÓÂÈ, Ë ËÌÂÚ‹ÛÈ· ηٷӿψÛË ·˘Í¿ÓÂÙ·È, ηٿ 20%. °È· fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÙÔ ÂÙڤϷÈÔ;


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- 110 -

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™ÂÏ›‰·110

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË AÓ·ÏÔÁ›· Â›Ó·È Ë ÈÛfiÙËÙ· ‰‡Ô ÏfiÁˆÓ

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ:

· =Á ‚ ‰

· =Î ‚

ÙfiÙÂ ·  ‰ = ‚  Á

ηÈ

· = Á = ·+Á ‚ ‰ ‚+‰

¶ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ· ∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔ ÙfiÙÂ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË:

y =· x

y=· x

fiÔ˘, · Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜

¶›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ:

15  0,3

y x

0 0

0,3 1

0,9 3

1,5 5

15

20 y = 0,3 x 3 10

3,6 12

4,5 15

5,4 18

6 20

‹ ηÈ

y = 30% x To y Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ x

20

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 7

∫¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y) ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y)

6 5 4

∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ÌÈ· ËÌÈ¢ı›·, Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0,0)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ Ë ÔÔ›· ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÌÈ· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜, ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ y = 0, 3 x


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21:28

™ÂÏ›‰·111

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 111 -

¶ÔÛ¿ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔ ÙfiÙÂ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË:

y x=· ‹ y= a x

fiÔ˘ x, y 0

¶›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ:

: 15 : 10 x y

15 1

5 3

3 5

10

2,5 6

1,5 10

1,25 12

1 15

¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË Ï¤ÁÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, fiÙ·Ó ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ̤ÁÂıÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â› ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi fiÙ·Ó ÙÔ ¿ÏÏÔ, Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

15

¢‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ x Î·È y, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ ›Û˜ Ì Ìˉ¤Ó .

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË (x, y) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È, Û ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹. ∏ ηÌ‡ÏË ·˘Ù‹, Ô˘ ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Û¯‹Ì· Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.

∏ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ √x Î·È √y, ‰ÈfiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÔÙ¤ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0.


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- 112 -

21:28

™ÂÏ›‰·112

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞.

∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™ 1. ™Ù· ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2. ∏ ·ÚÔ¯‹ Ù˘ ‚Ú‡Û˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ô˘ ÁÂÌ›˙ÂÈ Ë Ì·ÓȤڷ 3. ™Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ËÏ›ÎÔ 4. ∆Ô ÔÛfi · Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ ‚, ÙfiÙ ٷ ÔÛ¿ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· 5. ªÈ· Îϛ̷η 2:1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÛÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. 6. ŒÓ·˜ ¯¿ÚÙ˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì Îϛ̷η 1:1.000 Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ¯¿ÚÙË Ù˘ ›‰È·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì Îϛ̷η 1:2.000 7. ∞Ó ‰‡Ô ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó 6.000 Q Ì ÏfiÁÔ 2:1 ÙfiÙÂ Ô ¤Ó·˜ ı· ¿ÚÂÈ 3.000 Q

B. ∞ Û Î ‹ Û Â È ˜ ™ ˘ Ì  Ï ‹ Ú ˆ Û Ë ˜ Î Â Ó Ô ‡ 1. ∆Ô ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ‰‡Ô ÔÌÔÂȉÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÌÂÙÚËı› Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰·, ϤÁÂÙ·È ......................................................................... . 2. √ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................. . 3. ∞Ó ÂÓÙ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·fi ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡ ......................................................................... . 4. ∆Ô ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ................................ . 5. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ Â›Ó·È ......................... ÁÚ·ÌÌ‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ............................................. . 2 4 15 16 6. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x y 15 30 7. ¢‡Ô ÔÛ¿ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ϤÁÔÓÙ·È ............................................. . x 2 4 8 8. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ÙˆÓ y

·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ

8

16

32

9. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙˆÓ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛËÌÂȈı› ¤ÓÙÔÓ·, ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ù‡Ô Î·È Ó· ÂÎÙÈÌ‹ÛÂȘ ·Ó ·˘Ùfi˜ y ·ÊÔÚ¿ Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜. x

4 3

y

2 1

y = .......... 1

2

3

4

x

y 4 3

x y

2 1

y = .......... 1

2

3

4

x


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

24-11-06

12:17

™ÂÏ›‰·113

ª∂ƒ√™ ∞ 

£ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› 7.1

£ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› (ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›) - ∏ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ∆ÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ÂÈÛ·ÁˆÁ‹˜ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ∂ÎÊÚ¿˙ˆ ÌÂÁ¤ıË ‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÌÂÁÂıÒÓ, Ì ıÂÙÈÎÔ‡˜ ‹ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ñ ¶·ÚÈÛÙ¿Óˆ ¤Ó· ÚËÙfi Ì ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·

7.2

∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡ - ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› - ™‡ÁÎÚÈÛË ÚËÙÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÂÓfi˜ ÚËÙÔ‡ Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·˘Ù‹˜ Î·È ÙÔ˘ ÚÔÛ‹ÌÔ˘ ÙÔ˘ ÚËÙÔ‡, ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ˆ ÙÔÓ ÚËÙfi Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ñ µÚ›ÛΈ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ‹ Ì ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔÓ ÚËÙfi Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔÈ ÚËÙÔ› Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ Î·È ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ı¤ÛË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ‰‡Ô ÚËÙÔ‡˜ Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ı¤ÛË ÙÔ˘˜ ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ñ ¢È·Ù¿ÛÛˆ ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜

7.3

¶ÚfiÛıÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÔÏÏÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙË ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘˜ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ ÔÏÏÒÓ ÚÔÛıÂÙ¤ˆÓ

7.4

∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·–‚, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ÌÔÓ·‰È΋ χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ‚+x=·, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·: ‚+x=· ⇔ x=·–‚ ñ µÚ›ÛΈ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ñ ∫¿Óˆ ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÂÓı¤ÛˆÓ

7.5

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ñ ñ ñ

7.6

µÚ›ÛΈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ∂Ê·ÚÌfi˙ˆ ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·

¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ · : ‚, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ÌÔÓ·‰È΋ χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ‚  x=·, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›· ‚  x=· ⇔ x=·:‚ ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ Î·È ˆ˜ ÏfiÁÔ

7.7

¢Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ñ ¢È·ÎÚ›Óˆ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ˆ˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ñ ªÂÙ·ÙÚ¤ˆ ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Û ‰Âη‰ÈÎfi ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ‰Âη‰ÈÎfi Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜

7.8

¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi ñ ñ

ñ

ñ

7.9

°ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ·Ó, Ì · ÚËÙfi Î·È Ó Ê˘ÛÈÎfi Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ù¤ÙÔȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ. °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi Î·È ÙȘ ÂÊ·ÚÌfi˙ˆ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ·–Ó, Ì ÙÔÓ ÚËÙfi ·0 Î·È Ó, Ê˘ÛÈÎfi Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ù¤ÙÔȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ∂ÎÙÂÏÒ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÏÂfiÌÂÓË ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ڿ͈Ó

¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ ñ

°ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ

ñ

°ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ:

·

Ó

–Ó

 ‚  = · 

Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ·

Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ·˘Ù‹˜, ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ÂÎı¤ÙË ·ÚÓËÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ

À¶∞∆π∞ (370 - 415

ª .X.)

7.10 ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ñ

°Ú¿Êˆ Ôχ “ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜” Î·È “ÌÈÎÚÔ‡˜” ·ÚÈıÌfi˘˜ ÛÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹

7o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

- 114 -

™ÂÏ›‰·114

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞.7.1. £ Â Ù È Î Ô › Î · È ∞ Ú Ó Ë Ù È Î Ô › ∞ Ú È ı Ì Ô › ( ƒ Ë Ù Ô › · Ú È ı Ì Ô › ) H ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ∆ÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ OÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÁÓˆÚ›Û·ÌÂ, ̤¯ÚÈ ÙÒÚ·, ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ›, ÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› Î·È ÔÈ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ›, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó Ù· Ê˘ÛÈο ÌÂÁ¤ıË, fi¯È fï˜ Î·È fiϘ ÙȘ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Î·È Î·Ù·ÛÙ¿ÛÂȘ. ÕÏψÛÙÂ, fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙ‹Û·Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·, ‹Ú·Ì ·˘ı·›ÚÂÙ· ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ˆ˜ ·Ú¯‹ Î·È Û˘Ó¯›Û·Ì “‰ÂÍÈ¿”, Û ›Û˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ, Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÁÓˆÛÙÔ‡˜ Ì·˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∫¿ı “‰ÂÍÈ¿” fï˜ ÌÈ·˜ ·Ú¯‹˜, ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ Î·È ÙÔ “·ÚÈÛÙÂÚ¿”. Ÿˆ˜ ÙÔ ‰ÂÍ› ¯¤ÚÈ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ÙÔ˘. ∫·È ·ÎfiÌ·, ‰ÂÓ ı· ˘‹Ú¯Â ÙÔ “¿Óˆ” ¯ˆÚ›˜ ÙÔ “οو”, ÙÔ “˙ÂÛÙfi” ¯ˆÚ›˜ ÙÔ “ÎÚ‡Ô” Î.Ï. ŒÙÛÈ, ·Ó ÙÔ ÚÒÙÔ ÙÔ ԇ̠“ıÂÙÈÎfi” ı· Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙfi ÙÔ˘ Î·È Ó· ÙÔ ԇ̠“·ÚÓËÙÈÎfi”. ∂›Û˘, Û οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ‹ÛÔ˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Î·È Ó· ‚Úԇ̠ÙÚfiÔ Ó· ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘ÌÂ. ¢Â ı· Â›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏÔ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·Ù· Ô˘ Ù· ‚ÈÒÓÔ˘Ì ηıËÌÂÚÈÓ¿. Ÿˆ˜ .¯. Ë Úfi‚ÏÂ„Ë ÙÔ˘ ηÈÚÔ‡ ÛÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë H ÌÂÙˆÚÔÏÔÁÈ΋ ˘ËÚÂÛ›· ÚÔ¤‚Ï„ fiÙÈ ÔÈ ıÂÚÌÔÎڷۛ˜ ÛÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ fiÏÂȘ ı· Â›Ó·È ·˘Ù¤˜ Ô˘ ·Ó·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ∞ı‹Ó· £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË πˆ¿ÓÓÈÓ· ¶¿ÙÚ· ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË ºÏÒÚÈÓ· ∆Ú›ÔÏË Ã·ÓÈ¿

7Æ 3Æ 5Æ 2Æ 8Æ 10Æ 6Æ 11Æ

¿Óˆ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó οو ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó οو ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó ¿Óˆ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó οو ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó οو ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó οو ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó ¿Óˆ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ÛÙÔ ¯¿ÚÙË ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ó· ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ıÂÚÌÔÎڷۛ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë

3 2

™ÙÔÓ ·ÓÂÏ΢ÛÙ‹Ú· ÂÓfi˜ Áηڿ˙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· ÎÔ˘ÌÈ¿ Ô˘ ‚ϤÂȘ ‰›Ï·.

1

0

∆È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ÓÔÈ ÛÙ· ÎÔ˘ÌÈ¿;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ ÂÙ¿ÂÈ ÛÙ· 200 m Î·È Ô Î·Ú¯·Ú›·˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‚¿ıÔ˜ 200 m οو ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ı¿Ï·ÛÛ·˜;

-1 -2

➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ì ηٿÏÏËÏÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙȘ 0m

ı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ηگ·Ú›· Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ı¿Ï·ÛÛ·˜;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ AÓ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË ı¤ÛË Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ù˘ ı¿Ï·ÛÛ·˜, ÙfiÙ ÙÔ ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ ÂÙ¿ÂÈ ÛÙ· +200 m Î·È Ô Î·Ú¯·Ú›·˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙ· –200 m.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·115

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 115 -

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ªÂÙ¿ ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌʈÓԇ̠fiÙÈ: 



∆· ۇ̂ÔÏ· «+» Î·È « – » ϤÁÔÓÙ·È ÚfiÛËÌ·. °Ú¿ÊÔÓÙ·È ÚÈÓ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙Ô˘Ó, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ˆ˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ‹ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ .

+3, +

3 , +15,7 Î·È +0,352 4 ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

–2, –10, –28,95 Î·È –0,098 ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

√È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Û˘Ó·ÓÙ‹Û·Ì ̤¯ÚÈ ÙÒÚ· ‹Ù·Ó ™Â ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÌfiÓÔ ıÂÙÈÎÔ› Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â ·Ó¿ÁÎË ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÌfiÓÔ Û ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÚfiÛËÌÔ. ∏ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÌÔÚԇ̠·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ù˘ Ó· ·Ú·Ï›„Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ + .¯. ·ÓÙ› Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì +7 ÙÔÔı¤ÙËÛ˘ ÚfiÛËÌÔ˘ ÌÚÔÛÙ¿ ·fi fiÏÔ˘˜ ·Ú·Ï›Ô˘Ì ÙÔ + Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ŒÙÛÈ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi ÔÈÔÈ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì 7 . ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ ıÂÙÈÎÔ› Î·È ÔÈÔÈ ÔÈ ·ÚÓËÙÈÎÔ›.



∆Ô Ìˉ¤Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ıÂÙÈÎfi˜ Ô‡Ù ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.



√ÌfiÛËÌÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÚfiÛËÌÔ .

.¯. ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –7, –0,58 Î·È – ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› +1,25, +

3 Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ Î·È 4

10 Î·È +5 Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ. 7



∂ÙÂÚfiÛËÌÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ .



∞ΤڷÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì·˙› Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.



ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È fiÏÔÈ ÔÈ ÁÓˆÛÙÔ› Ì·˜ ¤ˆ˜ ÙÒÚ· ·ÚÈıÌÔ›: Ê˘ÛÈÎÔ›, ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ‰Âη‰ÈÎÔ› Ì·˙› Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

√È ·ÚÈıÌÔ› –7 Î·È +0,58 Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ ·ÏÏ¿ Î·È 10 ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –1,25 Î·È + Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ. 7 ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

√È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ Û ¤Ó· ∫ÈÓ¤˙ÈÎÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô, Ì ٛÙÏÔ “ª·ıËÌ·ÙÈο Û ÂÓÓ¤· µÈ‚Ï›·” (“∆ÛÈÔ˘-ÙÛ·ÓÁÎ-ÛÔ˘¿Ó ÛÔ˘”), Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ¯ÚÔÓÈο ÛÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ ‰˘Ó·ÛÙ›·˜ ÙˆÓ Ã·Ó (206 .Ã. - 220 Ì.Ã.). ™ÙËÓ E˘Úˆ·˚΋ ·Ú¿‰ÔÛË Ô ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ŒÏÏËÓ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ (200 - 284 Ì.Ã.), Ô˘ ¿ÎÌ·Û ÛÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· Á‡Úˆ ÛÙ· 250 Ì.Ã. Î·È ¤ÁÚ·„ ÙÔ ÔÁÎ҉˜ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ (13 ‚È‚Ï›·) Ù· “∞ÚÈıÌËÙÈο”, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÚÒÙÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ÂӉȿÌÂÛÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘, ÂÓÒ ˆ˜ χÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·˙ËÙ› ¿ÓÙ· ıÂÙÈÎfi ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·116

- 116 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ 

∞Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Ù˘ ·Ú¯‹˜ √ ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔÓ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ·˘ÙÔ‡ ËÌÈ¿ÍÔÓ· Ox , ı· ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ·, Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

x

-1,5

-3

 

-2

O -1

0,5

2,5

0

1

2

x 3

4

5

√ ¿ÍÔÓ·˜ xO Ox ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜, ıÂÙÈÎÔ‡˜ Î·È ÙÔ Ìˉ¤Ó).

∏ ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ∞ Â¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ . x

B -3

-2

O -1

0

A 1

2

3

4

x 5

∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË 4 Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –2.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ÂÎÊÚ·ÛÙÔ‡Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ Î·È ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 13,75 m οو ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ı¿Ï·ÛÛ·˜, (‚) 20Æ ∫ÂÏÛ›Ô˘ ¿Óˆ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó, (Á) ΤډԘ 3.368,97 Q, (‰) ·‡ÍËÛË Î·Ù¿ 2.527,15 Q, (Â) Ì›ˆÛË Î·Ù¿ 50 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È (ÛÙ) ¤ÎÙˆÛË 15% Â› Ù˘ ÙÈÌ‹˜.

§‡ÛË (·) –13,75 m, (‚) +20Æ, (Á) +3.368,97 Q, (‰) +2.527,15 Q, (Â) –50, (ÛÙ) –15%.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ, fiÙÈ Ë ÛÙÈÁÌ‹ Ù˘ Á¤ÓÓËÛ‹˜ ÛÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Ìˉ¤Ó, ‰ËÏ·‰‹ Ë ·Ú¯‹ Ù˘ ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. µÚ˜ ̤¯ÚÈ ‰¤Î· ¯ÚÔÓÔÏÔÁ›Â˜, Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó Ù· ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈο, ÁÈ· Û¤Ó·, ÚÔÛˆÈο Î·È ÔÈÎÔÁÂÓÂȷο ÁÂÁÔÓfiÙ· Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ¤ Ù· ÛÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ¢ı›·. -30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

∏ Á¤ÓÓËÛ‹ ÛÔ˘

10

15

20

25

30


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·117

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 117 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) √È ÚËÙÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÚfiÛËÌÔ “+” ϤÁÔÓÙ·È .......................................... ÂÓÒ ·˘ÙÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÚfiÛËÌÔ “–” ϤÁÔÓÙ·È .......................................... . (‚) √È ·ÚÈıÌÔ› Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ÚfiÛËÌÔ Ï¤ÁÔÓÙ·È ................................................ ÂÓÒ ·˘ÙÔ› Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ Ï¤ÁÔÓÙ·È .......................................... . (Á) ™ÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ‰ÂÍÈ¿ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ........................... ÚËÙÔ› Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ ÔÈ .......................................... ÚËÙÔ›.

2.

¡· ηٷٿÍÂȘ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ‰‡Ô ÔÌ¿‰Â˜, ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜: –3,1, +5, +8, –20, 7, –3, 18.

3.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·) √È ·ÎfiÏÔ˘ıÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È fiÏÔÈ ıÂÙÈÎÔ›: +1, +5, +216, +3701 (‚) √È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Â›Ó·È fiÏÔÈ ·ÚÓËÙÈÎÔ›: –3, –8, 7, –22

™ø™∆√ §∞£√™

√È ÂfiÌÂÓ˜ ÙÚÂȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›. x

§ -4

(Á) (‰) (Â)

ª -3

-2

O -1

0

+1

x

+2

+3

+4

∏ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∫ Â›Ó·È +2 ∏ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ § Â›Ó·È –4 ∆· ÛËÌ›· ∫ Î·È ª ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÙÂÙÌË̤ÓË

4.

™Ù· ˙‡ÁË ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Ó· ‚ÚÂȘ ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ Î·È ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ: (·) 3 Î·È +3, (‚) 0 Î·È 5, (Á) –2 Î·È –4, (‰) 7 Î·È +9, (Â) –2 Î·È 1, (ÛÙ) 17 Î·È –20, (˙) –9 Î·È –3,2, (Ë) –10,5 Î·È 11, (ı) 0 Î·È –100, (È) +6,7 Î·È +12,3.

5.

¡· ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: (·) ∫·Ù¿ıÂÛË 50.000 Q (‚) ∞Ó¿ÏË„Ë 78.000 Q, (Á) ∞‡ÍËÛË ÌÈÛıÔ‡ ηٿ 500 Q, (‰) ªÂ›ˆÛË ÂÈÙÔΛԢ ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰·, (Â) 30 ̤ÙÚ· ·ÚÈÛÙÂÚ¿.

6.

µÚ˜ ÙË Ï¤ÍË Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ì ÙÂÙÌË̤Ó˜ –6, 10, 9, –9, 5, –5, 0 ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÁÚ¿„ ̒ ·˘Ùfi ÙÔÓ ÙÚfiÔ ¤Ó· fiÓÔÌ· Ô˘ ÛÔ˘ ·Ú¤ÛÂÈ. æ º ∆ ƒ • ª ∫ £ ∑ ¢ µ √ ∞ ° ∂ ∏ π x -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

7.

0

1

2

3

4

5

§ ¡ ¶ ™ À Ã ø 6

7

8 9 10 11 12

x

∆· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤Ó˜ · Î·È ‚, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ª ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ fiÙ·Ó: (·) · = +5 Î·È ‚ = +8, (‚) · = –4 Î·È ‚ = –13.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·118

- 118 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞.7.2. ∞  fi Ï ˘ Ù Ë Ù È Ì ‹ Ú Ë Ù Ô ‡ - ∞ Ó Ù › ı Â Ù Ô È Ú Ë Ù Ô › - ™ ‡ Á Î Ú È Û Ë Ú Ë Ù Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë µÚ˜ fiÛ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢.

°

B

-5

-4

-3

-2

-1

O

A

0

1

¢ 2

3

4

5

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ™ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ¢ı›· ‚Ú˜ ÙȘ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Î·È ª. M -9

-8

➣ ➣

M

O -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙȘ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Î·È ª; ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È ∞ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· 3,5 ÌÔÓ¿‰Â˜. ∫¿Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· µ Î·È µ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· 6 ÌÔÓ¿‰Â˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ





∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ÚËÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Ì ÙÂÙÌË̤ÓË · ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì  ·.



∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹.

-2

√ ·ÓÙ›ıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ x Â›Ó·È Ô –x.

 

2

 –2  =  +2  = 2 Ô ·ÓÙ›ıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ +5,1 Â›Ó·È Ô –5,1. Ô ·ÓÙ›ıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ –2,7 Â›Ó·È Ô –(–2,7)=+2,7

H ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜. H ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È Ô ·ÓÙ›ıÂÙfi˜ ÙÔ˘. H ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Â›Ó·È ÙÔ Ìˉ¤Ó.

.¯. +9,63  = 9,63 .¯. –8,4  = 8,4 = –(–8,4) .¯. 0  = 0 afiÛÙ·ÛË 3 afiÛÙ·ÛË 3 2 2

}



2

+2

}



0

¢‡Ô ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË, ‰ÂÍÈ¿ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ, ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤Ó˜, ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

-3 2

0

3 2


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·119

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 119 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ªÈ· ÎÚ‡· ̤ڷ ÙÔ˘ ¯ÂÈÌÒÓ· Ô ∫ÒÛÙ·˜ ÎÔÈÙÔ‡Û ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· οı ‰‡Ô ÒÚ˜. √È ÂӉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ ıÂÚÌÔ̤ÙÚÔ˘, Ô˘ ¤‚ÏÂÂ, Ê·›ÓÔÓÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ:

8:00

10:00

12:00

14:00

16:00

18:00

20:00

+5 +3 0

+1

0

0

0

0

0 –1

0 –2

-3

ªÔÚ›˜ Ó· ηٷÁÚ¿„ÂȘ fiϘ ÙȘ ÂӉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ ıÂÚÌÔ̤ÙÚÔ˘ Ì ·‡ÍÔ˘Û· ‹ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

√ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ‰‡Ô ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ·.

-4,75

-3,5

-3 2

-0,6

0 0,6

3 2

3,5

4,75

∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı ·ÚÓËÙÈÎfi ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi.

–4,75 < –3,5 < –

3 3 < –0,6 < 0 < 0,6 < + < +3,5 < +4,75 2 2



∆Ô Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi οı ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi οı ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi.

.¯. 0 < 2,9 Î·È –3,8 < 0



√ Ì Á·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ‰‡Ô ıÂÙÈÎÔ‡˜ ÚËÙÔ‡˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹, ‰ËÏ·‰‹ ·˘Ùfi˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ·.

+2,67 < +5,89 ‰ÈfiÙÈ 2,67  < 5,89 



√ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ÚËÙÔ‡˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹, ‰ËÏ·‰‹ ·˘Ùfi˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ·.

–6,8 < –3,7 ‰ÈfiÙÈ –6,8 = 6,8 > 3,7 = –3,7


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·120

- 120 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

™ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›: 9 (·) –2,25, (‚) –3,33, (Á) –1,75, (‰) + , (Â) +4,75 Î·È (ÛÙ) +3,66. 4

§‡ÛË

9 4

-1,75 -3,33

0

-1

-2,25

3,66

4,75

1

9 –3,33 < –2,25 < –1,75 < + 4 < +3,66 < +4,75

2.

∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∫ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –7. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÛËÌÂ›Ô § Ì ·ÓÙ›ıÂÙË ÙÂÙÌË̤ÓË.

§‡ÛË K

§ √

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

3

4

¶¿Óˆ Û ¿ÍÔÓ· xOx ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô K Ì ÙÂÙÌË̤ÓË –7. ∆fiÙ ÙÔ § ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi +7.

3.

∂¿Ó Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È 2, Ó· ‚ÚÂı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·.

§‡ÛË ∂ÊfiÛÔÓ ·=2 ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ · ı· ›ӷÈ, ›Ù ÙÔ +2 ›Ù ÙÔ –2, ‰ÈfiÙÈ +2 = 2 Î·È –2 = 2 .

·  = 2 ·=–2 -4

-3

-2

·=+2 -1

0

1

2

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È +2, ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ·ÏÏ¿ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚfiÛËÌÔ.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∏ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ, Ì ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó··ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ϤÁÂÙ·È .................... ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Î·È Â›Ó·È ¿ÓÙ· ................... ·ÚÈıÌfi˜. (‚) ¢‡Ô ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È .......................................... . (Á) ∞Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ Ô ·ÓÙ›ıÂÙfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ................................................ . ∞Ó Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ›ÛË Ì 6 ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ô ...... ‹ Ô ..... . (‰) ∞fi ‰‡Ô ıÂÙÈÎÔ‡˜ ÚËÙÔ‡˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ............................... ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹. (Â) ∞fi ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ÚËÙÔ‡˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ....................... ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·121

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

2.

- 121 -

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›: ∞ÚÈıÌfi˜

–2,73 +7,66 –1,05

0

+8,07

–8

AfiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ·

3.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·) (‚) (Á) (‰) (Â)

4. 5. 6.

™ø™∆√ §∞£√™

IÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ·: –5,7 < 5,7. πÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ·: –7,6 > –6,7. ™ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· 2,3 < x < 4,7 Ô x ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ 2 ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜. À¿Ú¯Ô˘Ó 5 ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·Î¤Ú·ÈÔÈ Ô˘ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙË Û¯¤ÛË: –2 x +2 ¢‡Ô ·Î¤Ú·ÈÔÈ Ì ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚfiÛËÌÔ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ.

µÚ˜ ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ: (·) +7,25, (‚) –2,5, (Á) +16, (‰) –20,05, (Â) –58. µÚ˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹: (·) 100, (‚) 21,7, (Á) 0, (‰) 7,03, (Â) 5,2. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

∞ÚÈıÌfi˜

1

–19

∞ÓÙ›ıÂÙÔ˜ ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹

7.

–8 2

12 7

∆ÔÔı¤ÙËÛ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xOx Ù· ÛËÌ›· Ì ÙÂÙÌË̤Ó˜: –9, –5,5, +8, –3, –7,25, +1, +12, +3, +9. ¶ÔÈ· ·fi ·˘Ù¿ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ·;

8.

™¯Â‰›·Û ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· xOx, Ì ηٿÏÏËÏË ÌÔÓ¿‰· ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂȘ Ù· ÛËÌ›· Ì ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: –20,5, +15, –39,75, –68,25, +70, +52,25,+43, –69.

9.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) +41 Î·È +38, (‚) 9 Î·È 11, (Á) –3 Î·È –2, (‰) –9 ηÈ

10.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 11, –11 Î·È 11, (‚) –3, +3 Î·È 3. ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂȘ;

11. 12. 13.

–16, (Â) 7 Î·È –8, (ÛÙ) 0 Î·È –3, (˙) 0 Î·È +4.

¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: –2, +7, +15, –3, 0, –4, +5, –8 Î·È –10 Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ Ì ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ: <, > ‹ = Ù· ÎÂÓ¿, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ·ÏËı›˜ Û¯¤ÛÂȘ: (·) –3 ... –8, (‚) –4 ... 10, (Á) 0 ... –1, (‰) +3 ... 0, (Â) –5 ... ––5, (ÛÙ) –5 ... –(+5), (˙) +7 ... –7, (Ë) –(–8) ... –8, (ı) +3 ... –(+4), (È) 0 ... ––4. ∆Ô x ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi. °È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: (·) –13 < x < –8, (‚) –4 > x > –5, (Á) –2 < x < 5.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

- 122 -

™ÂÏ›‰·122

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞.7.3. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™Â οı ̛· ·fi ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ÚÒÙÔ ›Ó·Î·, Ó· ‚ÚÂȘ ÛÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ô˘ Ù˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Î·È Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÛÙÔÓ ÙÚ›ÙÔ ›Ó·Î·.

1

2

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ·˘Í‹ıËÎÂ Û˘Ó¯fiÌÂÓ· ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜: ∏ ÚÒÙË ·‡ÍËÛË ‹Ù·Ó 8,5 Q Î·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË 6,2 Q

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ÌÂÈÒıËÎÂ Û˘Ó¯fiÌÂÓ· ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜: ∏ ÚÒÙË Ì›ˆÛË ‹Ù·Ó 8,5 Q Î·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË 6,2 Q

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ·˘Í‹ıËΠηٿ 8,5 Q Î·È ÌÂÙ¿ ÌÂÈÒıËΠηٿ 6,2 Q

·

–14,7 ªÂÈÒıËΠηٿ 14,7 Q

(+8,5) + (–6,2)

I

+2,3 ∞˘Í‹ıËΠηٿ 2,3 Q

(–8,5) + (+6,2)

Á (+8,5) + (+6,2)

–2,3 MÂÈÒıËΠηٿ 2,3 Q

Iππ

3

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ÌÂÈÒıËΠηٿ 8,5 Q Î·È ÌÂÙ¿ ·˘Í‹ıËΠηٿ 6,2 Q

‰ (–8,5) + (–6,2)

4

+14,7 ∞˘Í‹ıËΠηٿ 14,7 Q

IV

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‚¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌfi ÙÔ˘˜.  °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ‚¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ÚËÙÔ‡ Ì ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹.

+8,5 + +6,2 = +14,7 –8,5 + –6,2 = –14,7 +8,5 + –6,2 = +2,3 –8,5 + +6,2 = –2,3


∫∂º∞§∞π√-7(113-146)-(20,5 à 28)

3-12-06

14:48

™ÂÏ›‰·123

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 123 -

π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ:

( +1,5 ) + ( –2,3 ) = –0,8



( –2,3 ) + ( +1,5 ) = –0,8

°ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔÛıÂÙ¤ˆÓ ÂÓfi˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜. (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

·+‚=‚+· –1,4 +( +2,7 + –3,1 )= –1,4 + –0,4 = –1,8



( –1,4 + +2,7 )+ –3,1 = +1,3 + –3,1 = –1,9

ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ÚÔÛıÂÙ¤Ô Û ¿ıÚÔÈÛÌ·. (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) .

· + (‚+Á) = (·+‚) + Á

( +1,5 ) + 0 = +1,5



0 + ( –2,3 ) = –2,3

∆Ô 0 fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› Û ¤Ó· ÚËÙfi ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÂÈ.

·+0=0+·=· (+

9 9 ) + (– ) = 0 4 4

(–

9 9 ) + (+ ) = 0 4 4



∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ·ÓÙ›ıÂÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó.

· + (–·) = (–·) + · = 0

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

™Â ÌÈ· fiÏË ·Ú·ÙËÚ‹ıËÎ·Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ·˘ÍÔÌÂÈÒÛÂȘ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜: ∞Ú¯ÈΤ˜ ıÂÚÌÔÎڷۛ˜ ∞˘ÍÔÌÂÈÒÛÂȘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ (·) µÚ¿‰˘ +1ÆC ÙËÓ ÂfiÌÂÓË Ì¤Ú· ·˘Í‹ıËΠηٿ 4ÆC (‚) ªÂÛË̤ÚÈ –1ÆC ÙÔ ‚Ú¿‰˘ ÌÂÈÒıËΠηٿ 2ÆC (Á) µÚ¿‰˘ –2ÆC ÙËÓ ÂfiÌÂÓË Ì¤Ú· ·˘Í‹ıËΠηٿ 5ÆC (‰) ªÂÛË̤ÚÈ +5ÆC ÙÔ ‚Ú¿‰˘ ÌÂÈÒıËΠηٿ 7ÆC (Â) ªÂÛË̤ÚÈ –3ÆC ÙÔ ‚Ú¿‰˘ ÌÂÈÒıËΠηٿ 3ÆC ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ÙÂÏÈ΋ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Û οı ÂÚ›ÙˆÛË;

§‡ÛË (·)

+5

∆ËÓ ÂÔ̤ÓË Ë̤ڷ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ¤¯ÂÈ ·˘ÍËı› ηٿ 4ÆC, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ÌÂÙ·‚ÏËı› ηٿ +4ÆC. H ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ı· Â›Ó·È 5ÆC ¿Óˆ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó, ‰ÈfiÙÈ:

+4

+1

0

0

0

0

(+1) + (+4) = +5

(‚)

∞fi –1ÆC Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÌÂÈÒıËΠηٿ 2ÆC, ¿Ú· ÌÂÙ·‚Ï‹ıËΠηٿ –2ÆC. H Ó¤· ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Â›Ó·È –3ÆC, ‰ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂ:

(–1) + (–2) = –3

–1

–3

–2


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

24-11-06

- 124 -

(Á)

12:23

™ÂÏ›‰·124

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ·fi –2ÆC, ·˘Í‹ıËΠηٿ 5ÆC, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ +5ÆC. ∏ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ¤ÊÙ·Û ÛÙÔ˘˜ +3ÆC, ‰ÈfiÙÈ:

(–2) + (+5) = +3

+3

0

0

+5

–2

+5

(‰)

∏ ·Ú¯È΋ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ‹Ù·Ó +5ÆC Î·È ÌÂÈÒıËΠηٿ 7ÆC, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ηٿ –7ÆC. H ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ¤ÁÈÓÂ, ÙÂÏÈο –2ÆC, ‰ÈfiÙÈ:

–7 0

0 –2

(+5) + (–7) = –2

+3

(Â)

∞fi 3ÆC Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÌÂÈÒıËΠηٿ 3ÆC, ‰ËÏ·‰‹ ÌÂÙ·‚Ï‹ıËΠηٿ –3ÆC. ∏ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ¤ÁÈÓ ÙÂÏÈο 0ÆC, ‰ÈfiÙÈ:

0

(+3) + (–3) = 0

2.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) (+5,6) + (+8,7) + (–3,2) + (–6,9) + (+3,2) + (–7,4) Î·È (‚) (–1,8) + (+4,8) + (+9,7) + (–4,8) + (–3,4) + (+1,5)

§‡ÛË (·)

( +5,6 ) + ( +8,7 ) + ( –3,2 ) + ( –6,9 ) + ( +3,2 ) + ( –7,4 ) = = ( +5,6 ) + ( +8,7 ) + ( +3,2 ) + ( –3,2 ) + ( –6,9 ) + ( –7,4 ) = (¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·fi ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜)

= ( +17,5 )

+ ( –17,5 ) = 0

(ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ¯ˆÚÈÛÙ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜)

(‚)

( –1,8 ) + ( +4,8 ) + ( +9,7 ) + ( –4,8 ) + ( –3,4 ) + ( +1,5 ) = = ( –1,8 ) + ( –4,8 ) + ( –3,4 ) + ( +4,8 ) + ( +9,7 ) + ( +1,5 ) = = ( –10 )

+ ( +16 ) = +6

–3 0


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·125

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 125 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË (·) (‚) (Á) (‰) (Â)

™ø™∆√ §∞£√™

™ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ë ÚfiÛıÂÛË ÛËÌ·›ÓÂÈ ¿ÓÙ· ·‡ÍËÛË ∞Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚËÙÔ› Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ∞Ó · + ‚ = 0, ÙfiÙ ÔÈ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› ∞Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚËÙÔ› Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÓfi˜ ÚËÙÔ‡ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È ¿ÓÙ· Ìˉ¤Ó.

2.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) (+4,05) + (+6,15), (‚) (+5,03) + (+4,07), (Á) (+2,7) + (+97,3), (‰) (+2,6) + (+11,4), (Â) (+7,25) + (+8,75), (ÛÙ) (–3,5) + (–2,5), (˙) (–1,3) + (–5,2), (Ë) (–7,15) + (–4,85), (ı) (–5,25) + (–9,75), (È) (–13,7) + (–6,3)

3.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) (+4,05) + (–6,15), (‚) (+5,03) + (–4,07), (Á) (–2,7) + (+97,3), (‰) (–2,6) + (+11,4), (Â) (+7,25) + (–8,75), (ÛÙ) (+3,5) + (–2,5), (˙) (–1,3) + (+5,2), (Ë) (+7,15) + (–4,85), (ı) (–5,25) + (+9,75), (È) (+13,7) + (–6,3)

4.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

+ –5

+4

–8

–11 +17

+9 –4 –21

5.

ToÔı¤ÙËÛ ÛÙ· ÎÂÓ¿ Ù· ηٿÏÏËÏ· ÚfiÛËÌ·, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ·ÏËı›˜ ÈÛfiÙËÙ˜: (·) (....6) + (–8) = –2, (‚) (+5) + (....5) = 0, (Á) (+7) +(....9) = +16, (‰) (....9) + (....8) = –17, (Â) (....6) + (....5) = +11

6.

∂ͤٷÛ ·Ó Â›Ó·È Ì·ÁÈο Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·: (ª·ÁÈο ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È ·˘Ù¿ ÛÙ· ÔÔ›· Ë ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î¿ı ÛÙ‹Ï˘ ‹ ÁÚ·ÌÌ‹˜, ηıÒ˜ Î·È ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘˜, ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¿ıÚÔÈÛÌ·).

-1

+4

-3

+1,1 +2,4 -2,5

-2

0

+2

-0,1 +3,5 -2,4

+3

-4

+1

7.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) (–3,8) + (+2,8) + (–5,4) + (+8,2) Î·È (‚) (–3,5) + (–9,99) + (+2,5) + (–15,75) + (+20,75) + (+9,99)

8.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: 9 5 2 5 7 20 (·) (+ ) + (– ) + (+ ) + (– ) + (+ ) + (– ) Î·È 4 4 3 3 13 13 (‚) (+

1 5 3 1 ) + (– ) + (+ ) + (– ) 7 7 5 35

0

-4,9 +5,9


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:26

™ÂÏ›‰·126

- 126 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞.7.4. ∞ Ê · › Ú Â Û Ë Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™ÙÔ Û¯‹Ì· ‚ϤÔ˘Ì ÙË Ì¤ÛË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÌÈ·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ ÁÈ· ÙÔ˘˜ 12 Ì‹Ó˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÒÚ· Ù˘ Ë̤ڷ˜. £ÂÚÌÔÎÚ·Û›·

+40 +30 +20 +20 ª‹Ó˜

0 -10

➣ ➣ ➣

M·Ú. ∞Ú. ª¿ÈÔ˜ πÔ˘Ó. πÔ˘Ï. ∞˘Á. ™ÂÙ. √ÎÙ. I·Ó.

ºÂ‚.

¡ÔÂÌ. ¢ÂÎ.

¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÈÔ ˙ÂÛÙfi˜ Ì‹Ó·˜ ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÈÔ ÎÚ‡Ô˜; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÌÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÌËÓÒÓ; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÌÂٷ͇ οı ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÌËÓÒÓ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

°È· Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ( +8,5 ) – ( +6,2 ) = ( +8,5 ) + ( –6,2 ) = · ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ‚, ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔÓ = 8,5 - 6,2 = 2,3 · ÙÔÓ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÙÔ˘ ‚. ( +8,5 ) – ( –6,2 ) = ( +8,5 ) + ( +6,2 ) =

· – ‚ = · + (–‚)



= 8,5 + 6,2 = 14,7 ™ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ë ·Ê·›ÚÂÛË ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÚfiÛıÂÛË Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ‰˘Ó·Ù‹ (‰ËÏ·‰‹, ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È Ó· Â›Ó·È Ô ÌÂȈ٤Ԙ ¿ÓÙ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô, fiˆ˜ ›Û¯˘Â ̤¯ÚÈ ÙÒÚ·).

∞·ÏÔÈÊ‹ ·ÚÂÓı¤ÛÂˆÓ ™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ› Ì ٷ ÚfiÛËÌ¿ ÙÔ˘˜ ̤۷ Û ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ, ÌÚÔÛÙ¿ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÌÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· ÚfiÛËÌ· + ‹ – . °È· Ó· ··Ï›„Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 

ŸÙ·Ó ÌÈ· ·Ú¤ÓıÂÛË ¤¯ÂÈ ÌÚÔÛÙ¿ Ù˘ ÙÔ + (+5) + (-7) = +5 - 7 = -2 (‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÚfiÛËÌÔ), ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓ (9,1–6,2+3,4) + (–7,5+10–8,3) = ··Ï›„Ô˘Ì ̷˙› Ì ÙÔ + (·Ó ¤¯ÂÈ) Î·È Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ì ٷ = 9,1–6,2 + 3,4–7,5 + 10–8,3 ÚfiÛËÌ¿ ÙÔ˘˜.



(-5) - (-7) = -5 + 7 = +2 ŸÙ·Ó ÌÈ· ·Ú¤ÓıÂÛË ¤¯ÂÈ ÌÚÔÛÙ¿ Ù˘ ÙÔ –, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓ ··Ï›„Ô˘Ì ̷˙› Ì ÙÔ – Î·È –(9,1–6,2+3,4)–(–7,5+10–8,3) = Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ì = –9,1+6,2–3,4+7,5–10+8,3 ·ÓÙ›ıÂÙ· ÚfiÛËÌ·.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·127

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 127 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

ŒÓ· ‚Ú¿‰˘ ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ÛÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ ÂÓfi˜ ÛÈÙÈÔ‡ ¤‰ÂȯÓ –3Æ C Î·È Ì¤Û· ÛÙÔ Û›ÙÈ 18ÆC. ¶fiÛË ‹Ù·Ó Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜;

§‡ÛË To Úfi‚ÏËÌ· ˙ËÙ¿ÂÈ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ıÂÚÌÔÎÚ·ÛÈÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ (+18) – (–3) . ∞Ó ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· ı· ‰Ô‡Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡ Î·È ÙÔ˘ Â͈ÙÂÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó +21ÆC. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ÚËÙÒÓ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

(+18) – (–3) = (+18) + (+3) = (+21)

2.

+20

+20 +18

+10

+10

+21 0

0

–3

–3

–10

–10

ŒÓ·˜ ¤ÌÔÚÔ˜ ¯ÚˆÛÙ¿ÂÈ ÛÙÔÓ ÚÔÌËıÂ˘Ù‹ ÙÔ˘ 897,56 Q Î·È ÙÔ˘ ÔÊ›ÏÂÈ ¤Ó·˜ ÂÏ¿Ù˘ 527,42 Q. ¶fiÛ· Q Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÛÙÔ Ù·ÌÂ›Ô ÁÈ· Ó· ͯÚÂÒÛÂÈ;

§‡ÛË ∞Ó x Â›Ó·È ÙÔ ÔÛfi ÙˆÓ ¯ÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È, ı· ›ӷÈ:

x + (+527,42) = +897,56 . °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ: x = (+897,56) – (+527,42) . ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ÚËÙÒÓ, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ:

x = (+897,56) + (–527,42) . ÕÚ·, x = +(897,56 – 527,42) ‹ x = +370,14 Q

3.

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: (·) x + (+3) = (–9), (‚) (–8) – x = +7

§‡ÛË (·)

∞Ó Â›Ó·È: x + (+3) = (–9) ÙfiÙ x = (–9) – (+3) ‹ x = (–9) + (–3) ‹ x = (–12). ¢ËÏ·‰‹,

(‚)

x = –12.

∂Ê’ fiÛÔÓ (–8) – x = +7 ı· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: (–8) = (+7) + x Î·È Â›Û˘:

x = (–8) – (+7) ‹ x = (–8) + (–7) ‰ËÏ·‰‹ x = –15.

4.

N· ‚ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘: –13 – (0,38 – 11 – 13) + (0,38 – 11).

§‡ÛË Œ¯Ô˘ÌÂ:

–13 – (0,38 – 11 – 13) + (0,38 – 11) = = –13 – 0,38 + 11 + 13 + 0,38 – 11 = = –13 + 13 – 0,38 + 0,38 – 11 + 11 = =0+0+0=0


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·128

- 128 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™ (·) ™ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ë ·Ê·›ÚÂÛË ÛËÌ·›ÓÂÈ ¿ÓÙ· ÂÏ¿ÙÙˆÛË (‚) ∞Ó Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚËÙÔ› Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. (Á) πÛ¯‡ÂÈ ÛÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Ë ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·: · – ‚ = ‚ – · (‰) πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: 6 – (+8) + (+5) + (–3) + (2) + (–1) = 0 (Â) §‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x + (–3) = –2 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ +1 (ÛÙ) √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ x+(–2)=+5 Î·È x–(+7)=–10+(+5) ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· χÛË. (˙) §‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x – (–2) = –8 + (+7) – (–4) Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ +1

2.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜: 2 2 (·) 5 – (–7), (‚) –8 – (+8), (Á) –2 – (–15,2), (‰) 14,55 – 18,45, (Â) – – (– ). 7 7

3.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) +3 + –2 + –9, (‚) –20 + –10 – +10, (Á) –3 – –2 + –5 – +6.

4.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) (+5) – (+3) + (+8), (‚) (–25) + (–4) – (–10), (Á) (+12) + (+2) – (–8).

5.

· +3

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙÔ˘˜ ηٿÏÏËÏÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜:

‚ –8 –5

–2 –9

6. 7. 8.

9.

·+‚ –5 +10

·–‚

+6

5 7 ¡· χÛÂȘ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: (·) x + (–8) = –18, (‚) x + 12 = –14, (Á) x+ = , 4 8 5 (‰) x– =2. 4 · ‚ ·–‚ ‚–· 7 3 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙȘ ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·: ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂȘ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ÛÙËÏÒÓ;

2H 33 –5,55 –2,45 3 –2,1

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜: (·) 11–(12–2)+(10–5)–(8+5), (‚) –(13,7–2,6)+14,8–(–8,7+5), (Á) 1 –( 3 – 5 )–( 7 + 5 ) 6 4 4 12 6

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

x

3,5

y z

–1,5

x+y+z x–y–z

0

1,89 4,3 –2,3

3,11 0,22

0

3 –3 –

1


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·129

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 129 -

∞.7.5. ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì fi ˜ Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ŒÓ·˜ ¤ÌÔÚÔ˜ ‰È·›ÛÙˆÛÂ, fiÙÈ Î¿ı Ë̤ڷ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘

+524,5

i

‰Âη‹ÌÂÚÔ˘ ÙˆÓ ÂÎÙÒÛÂˆÓ ¤‚Á·˙ ΤډԘ 524,5Q.

–26 5,4

∆Ô ÂfiÌÂÓÔ, fï˜, ‰Âη‹ÌÂÚÔ Â›¯Â ηıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ËÌÈ¿ 265,4Q. ∂›Ó·È ÁÓˆÛÙfi, fiÙÈ ÛÙ· ÏÔÁÈÛÙÈο ‚È‚Ï›· ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ ηٷ¯ˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ıÂÙÈ΋ ÂÁÁÚ·Ê‹ Î·È Ë ˙ËÌÈ¿ ˆ˜ ·ÚÓËÙÈ΋. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ΤډԘ ÁÈ· ÙÔ ‰Âη‹ÌÂÚÔ ÙˆÓ ÂÎÙÒÛÂˆÓ ı· Â›Ó·È (+524,5Q)  (+10 Ë̤Ú˜) Î·È ÁÈ· ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ‰Âη‹ÌÂÚÔ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ˙ËÌÈ¿ ı· Â›Ó·È (–265,4Q)  (+10 Ë̤Ú˜)

➣ ➣

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Ú¿ÍÂˆÓ ¯ˆÚ›˜ Ó· οÓÂȘ ÙÔ˘˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙˆÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ;

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:  ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ıÂÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜



∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ıÂÙÈÎÔ‡ Î·È ÂÓfi˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ ÚËÙÔ‡ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜

∞˜ ‰Ô‡Ì ÙÒÚ· Ò˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ. (–10)  (+9) = –90 ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, (–10)  (+8) = –80 ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ¤Ó·˜ ̤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi˜, ÙÔ –10, Î·È Ô (–10)  (+7) = –70 ¿ÏÏÔ˜ ÌÂÈÒÓÂÙ·È ‰È·‰Ô¯Èο ηٿ 1 οı ÊÔÚ¿. (–10)  (+6) = –60 (–10)  (+5) = –50 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· ·˘Í¿ÓÔÓÙ·È ‰È·‰Ô¯Èο ηٿ 10 (–10)  (+4) = –40 (–10)  (+3) = –30 ∞Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ ÌˉÂÓÈÛÌfi ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ (–10)  (+2) = –20 ·Ú¿ÁÔÓÙ· Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó Ó· ·˘Í¿ÓÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ (–10)  (+1) = –10 = 0 ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì fiÙÈ: (–10)  0 (–10)  (–1) = +10 = +(10  1) (–10)  (–1) = ; (–10)  (–2) = +20 = +(10  2) (–10)  (–2) = ; (–10)  (–3) = +30 = +(10  3) (–10)  (–3) = ; (–10)  (–4) = +40 = +(10  4) (–10)  (–4) = ; ......................... ............................................... ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÂÔ̤ӈ˜ fiÙÈ:  ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·:  ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

24-11-06

12:28

- 130 -

™ÂÏ›‰·130

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ( +1,5 ) ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ +». ( –1,5 ) ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ «+ ¢ËÏ·‰‹: +  + = +



ηÈ

 ( +2,2 ) = ( +3,3 )  ( –2,2 ) = ( +3,3 )

––=+

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ « – ». ¢ËÏ·‰‹: +  – = – Î·È –  + = –

( +1,5 )

 ( –2,2 ) = ( –3,3 )

( –1,5 )

 ( +2,2 ) = ( –3,3 )

√ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ ÚÒÙÔ˜ ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· «§∂πæπ™» (·ÚÓËÙÈÎfi˜) ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ Ù˘ Ú¿Í˘ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Ì ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË: «§∂πæπ™ ∂π §∂πæπ¡ ¶√π∂π À¶∞ƒ•IN, §∂πæπ™ ∂¶π À¶∞ƒ•IN ¶√π∂π §∂πæIN»

π‰ÈfiÙËÙ˜ Ùo˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ:

( +1,5 )

 ( –2,2 ) =

–3,3

( –2,2 )

 ( +1,5 ) =

–3,3

 ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÂÓfi˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·).

·‚=‚·

–0,5 ( +2,2  –3,5 )= –0,5  –7,7 = +3,85

( –0,5  +2,2 ) –3,5 )= –1,1  –3,5 = +3,85 1

 ( +1,5 )

1

(

–2,2

= +1,5

1 =

+1,5

) = –2,2

1 =

–2,2

0,15  (–5) + 1,85  (–5) = (–0,75) + (–9,25) = –10 ( 0 , 1 5 + 1 , 8 5 ) ( – 5 ) = 2 ( – 5 ) = – 1 0 (+3)  (+ 1 ) = +(3  1 ) = 1

3 3 2 3 2 3 (– )  (– ) = + (  ) = 1 3 2 3 2

 ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ·Ú¿ÁÔÓÙ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·).

·  (‚  Á) = (·‚ ‚)  Á

 ŸÙ·Ó ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1 ‰ÂÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È.

1 · = ·  1 = ·

 ∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË: · (( ‚ + Á ) = · ‚‚ + · ÁÁ Î·È · (( ‚ – Á ) = · ‚‚ – · ÁÁ  √È ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ, fiÙ·Ó Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË ÌÔÓ¿‰·: ·  ‚ = 1

(–0,25)  (–4) = +(0,25  4) = 1

√ ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.

(–1,3)  0 = 0 ‹ 0  (+ 2 ) = 0

 ŸÙ·Ó ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ 0 ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È . 0  · = ·  0 = 0

3


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·131

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 131 -

°ÈÓfiÌÂÓÔ ÔÏÏÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ¶Ò˜ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÁÔÓÙ˜; °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎÒÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ıÂÙÈÎfi. ∞Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Ô˘ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Û ·ÚÓËÙÈÎfi. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Í·Ó·ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Û ıÂÙÈÎfi Î.Ô.Î. ÕÚ·:  °È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÔÏÏÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ (Ô˘ ηӤӷ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó), ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚¿˙Ô˘ÌÂ: ñ ∆Ô ÚfiÛËÌÔ +, ·Ó ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ (˙˘Áfi). ñ ∆Ô ÚfiÛËÌÔ –, ·Ó ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi (ÌÔÓfi).  AÓ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó.

∆Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ «» ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙˆÓ ·ÚÂÓı¤ÛÂˆÓ ·Ú·Ï›ÂÙ·È.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) (–1,4)5, (‚) (+

2 )(–2,1), (Á) (–10)(–0,7) 3

§‡ÛË (–1,4)5 = –(1,45) = –7 2 2 (‚) (+ 3 )(–2,1 ) = –(3 2,1) = –1,4

(·)

(Á)

2.

(–10)  (–0,7) = +(100,7) = +7

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (–1)·, fiÙ·Ó ÙÔ · ·›ÚÓÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜: +3, –1,2, +

2 , –2.. 3

§‡ÛË °È· · = +3

2

›ӷÈ: (–1)(+3) = –3

2

2

°È· · =+ 3 ›ӷÈ: ( – 1 ) ( + 3 ) = – 3

3.

°È· · = –1,2 ›ӷÈ: (–1)(–1,2) = +1,2 °È· · = –2 ›ӷÈ: (–1)(–2) = +2

¡· ‰Âȯı› fiÙÈ: (·+‚)(Á+‰) = ·Á + ·‰ + ‚Á + ‚‰

§‡ÛË ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·, ¤¯Ô˘ÌÂ:

(·+‚)(Á+‰) = (·+‚)Á+(·+‚)‰ = ·Á+‚Á+·‰+‚‰

4.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (–1)(–20)(+

§‡ÛË

2 (–1)(–20)(+ 3 )(–3)(–0,25)=

2 )(–3)(–0,25). 3

(Ï‹ıÔ˜ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ 4)

2 = +(120 3 30,25) = +(2020,25) = +(400,25) = +10


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

- 132 -

™ÂÏ›‰·132

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌˆÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· .................................. . (‚) ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌˆÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ............................ . (Á) ŒÓ·˜ ÚËÙfi˜ fiÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ 1 ‰ÂÓ .......................................................... . (‰) ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ›ÛÔ Ì ....................................... . (Â) ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÔÏÏÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ .......................................... ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

2.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) (–1)(–1), (‚) –3(–10), (Á) –1,2(–0,5), (‰) 0(–10589), 12 15 (Â) 1(–20015), (ÛÙ) –0,725(+1000), (˙) (– ). 25 24

3. 4.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ÙȘ ÏÈÁfiÙÂÚ˜ ‰˘Ó·Ù¤˜ Ú¿ÍÂȘ: 6 6 (–10)+(– )(+3) (·) –527 + 227, (‚) 10,35(–25) + 9,65(–25), (Á) – 7 7 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·:

–1

ñ

–1

0

+2

+3

–2 –3,2 +G +10 1 1 1 1 1 + – ), (Á)–10–6( – ) 4 2 8 2 3

5.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) –7(–8+10–5), (‚) (0,25–0,05)(–

6.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) (5+·)(2+‚), (‚) (·+7)(·–7), (Á) (·–3)(‚–3), (‰) (Á+8)(‰+5).

7.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) (–1)(–1), (‚) (–1)(–1)(–1), (Á) (–1)(–1)(–1)(–1)

8.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ∞ = (·–1)(·+1)(·–2)(·+2), B = ‚(‚–3)(‚+3)(‚–5)(‚+5), ° = Á(2Á–1)(3Á+1)(4Á–2)(Á+2)(Á–2),

9.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

fiÙ·Ó · = 3 fiÙ·Ó ‚ = 2 fiÙ·Ó Á=0,5

x y z ˆ –2 0,5 +1 –3 – 1 +6 –4 –0,3 –2 + G 0,2 –7

∞=xyz B=yxˆ °=x∞–µ ∞µ+°


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·133

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 133 -

∞.7.6. ¢ È · › Ú Â Û Ë Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  °È· Ó· ‰ È · È Ú ¤ Û Ô ˘ Ì Â ‰ ‡ Ô Ú Ë Ù Ô ‡ ˜ · Ú È ı Ì Ô ‡ ˜ , ‰È·ÈÚԇ̠ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ËÏ›ÎÔ ‚¿˙Ô˘ÌÂ:

 ÙÔ ÚfiÛËÌÔ +, ·Ó Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ. ¢ËÏ·‰‹: + : + = + Î·È – : – = +

 ÙÔ ÚfiÛËÌÔ –, ·Ó Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ. ¢ËÏ·‰‹:

( +11,22 ) : ( +2,2 ) = ( +5,1 ) ( –11,22 ) : ( –2,2 ) = ( +5,1 ) ( +11,22 ) : ( –2,2 ) = ( –5,1 ) ( –11,22 ) : ( +2,2 ) = ( –5,1 )

+ : – = – Î·È – : + = – · ‚

√ ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ –20 ÚÔ˜ ÙÔ 4 ›ӷÈ: -20 ϤÁÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ · ÚÔ˜ ÙÔ ‚ Î·È (–20) : (+4) = +4 = –5 ‰ÈfiÙÈ (+4)  (–5) = (-20) ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ÌÔÓ·‰È΋ χÛË Ù˘ √ ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ –7 ÚÔ˜ ÙÔ –2 ›ӷÈ: Â͛ۈÛ˘ ‚x=· . -7 7 7 (–7) : (–2) = –2 = 2 ‰ÈfiÙÈ (-2)  2 = (-7)



∆Ô ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·:‚ ‹



∏ ‰È·›ÚÂÛË

· 1 ÌÔÚ› Î·È Ó· ÁÚ·Ê› ·  , ÂÔ̤ӈ˜ ‚ ‚

-3 1 (–3) : (–4) = -4 = –3(– 4 )

ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË.

6 1 6 : (–7) = -7 = 6  (– 7 )

· 1 =· ‚ ‚ 

¢È·›ÚÂÛË Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË ÙÔ Ìˉ¤Ó ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· Ëϛη: 2 7 (·) (+1,5):(+5), (‚) (+ ):(– ), (Á) (–0,45):(–0,15). 3 5

§‡ÛË (·) (+1,5) : (+5) = +(1,5 : 5) = +0,3

2

7

2

7

2

5

10

(‚) (+ 3 ) : (– 5 ) = –( 3 : 5 ) = –( 3  7 ) = – 21 . (Á) (–0,45) : (–0,15) = +(0,45 : 0,15) = +3

-5 1 (–5) : (+2) = 2 = –5 ( 2 )


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·134

- 134 -

2.

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

¡· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: (·) –6x = –24, (‚) –3x = +15, (Á) x : (–2) = –3

§‡ÛË (·) –6x = –24

(‚)

x = (–24) : (–6) x = +(24 : 6) x = +4

3.

–3x = +15 x = (+15) : (–3) x = –(15 : 3) x = –5

N· ‚ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘: [

(Á)

x : (–2) = –3 x = (–3)  (–2) x = +(3  2) x = +6

2 (–3)–(–2)(–9)] : [0,4(–10)–(–0,2)(–5)]+7. 3

§‡ÛË 2 [ 3 (–3)–(–2)(–9)] : [0,4(–10)–(–0,2)(–5)]+7 = 2 = [–( 3 3)–(29)] : [–(0,410)–(0,25)]+7 = = = = = =

(–2–18) : (–4–1) + 7 = (–20) : (–5) + 7 = +(20 : 5) + 7 = +4 +7 = +11

(οÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ)

(οÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ)

(οÓÔ˘Ì ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ)

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌˆÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· .................................. . (‚) ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌˆÓ ÚËÙÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ............................... . (Á) °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÚËÙÔ‡˜, ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ............................. Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ................................ . (‰) ŒÓ· ËÏ›ÎÔ · : ‚ ϤÁÂÙ·È Î·È ................................ ÙÔ˘ · ÚÔ˜ ÙÔ ‚.

2.

∫¿Ó ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) (+15,15) : (+3), (‚) (–4,5) : (–1,5), (Á) (–81) : (+0,9), (‰) 49 : (–7)

3.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

x

y

-7 3

5 -6

x+y

x–y

xy

x:y

1,7 2,3 – K –1 10 –0,75 –120 1 2 , (‚) , (Á) , (‰) (–3 ):(–2 ). 0,25 –0,5 (–12) + (–8) 5 3

4.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ Ëϛη: (·)

5. 6. 7.

§‡Û ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: (·) –3x = 74, (‚) –0,14x = –49, (Á) x(–2) = 12, (‰) K¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·)

2 4 x=– . 3 6

–1 2 12 (–2)(–5)(–1) –7 5 3 + – , (‚) – , (Á) ( – ):(– ). 3 –6 –15 –10 3 –3 2

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘: [(–8)(

–7 9 )–(–15) : (–8)](–8)+(–27) : (– ). 64 8


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:27

™ÂÏ›‰·135

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 135 -

∞.7.7. ¢ Â Î · ‰ È Î ‹ Ì Ô Ú Ê ‹ Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ŒÓ·˜ ·Ù¤Ú·˜ Á˘ÚÓÒÓÙ·˜ ÛÙÔ Û›ÙÈ ·fi ÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÙÔ˘ ¤ÊÂÚ ¤ÓÙ ÛÔÎÔÏ¿Ù˜ ÁÈ· Ù· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÙÔ˘. ŸÙ·Ó ¤ÊÙ·Û ÛÙÔ Û›ÙÈ, ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Ì·˙› Ì ٷ ‰‡Ô ·È‰È¿ ÙÔ˘, ‹Ù·Ó Î·È ¤Ó·˜ Ê›ÏÔ˜ ÙÔ˘˜.

°È·Ù› ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ÔÈ ‰‡Ô ÛÔÎÔÏ¿Ù˜ ÛÙ· ÙÚ›· ·È‰È¿;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

5,0000... 20 20 20 .. ..

3 1,666...

∞Ó ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â Ô Ê›ÏÔ˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ, ı· ¤ÙÚˆÁ ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ·È‰È¿ 5 : 2 =2,5 ÛÔÎÔÏ¿Ù˜. ∆ÒÚ·, fï˜, Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ô‡Ì ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ 5 : 3. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·. ¢›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 1 Î·È ·Ê‹ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 2. ∞Ó Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË, ı· ¿ÚÔ˘Ì ËÏ›ÎÔ ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi: 1,666... ∂Âȉ‹, fï˜, ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ¿ÓÙ·, Ù· ‰Âη‰Èο „ËÊ›· Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Î·È Â›Ó·È fiÏ· ›Û· Ì 6. ÕÚ·, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ‰‡Ô ÛÔÎÔÏ¿Ù˜ Û ÙÚ›· ·È‰È¿.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ∂Ù¿ Ô‰ÔÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ÌÈ· ÂȯÔÚ‹ÁËÛË 1.000.000 Q. ➣ µÚ˜, Ì fiÛÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÌÔÚ›˜, ÙÔ ÔÛfi Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û οı ÔÌ¿‰·.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ∂›Û˘, Î·È ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 . 0 0 0 . 0 0 0 , 0 0 0 . . . ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË 1.000.000 : 7 3 0 20 ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·. ¢›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 142.857 60 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 1. ∞Ó Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ÙË 40 ‰È·›ÚÂÛË ı· ‚Úԇ̠ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi 50 ·ÚÈıÌfi 142.857, 142857 142857... Ì 10 ¿ÂÈÚ· ‰Âη‰Èο „ËÊ›·, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ, 30 Ó· Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Û˘Ó¯Ҙ Ù· ›‰È· 20 ¤ÍÈ „ËÊ›· 142857. ..

ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

7 142857,142857 142857

..

 ∆Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‚ڋηÌ ·Ú·¿Óˆ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡˜ ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.  ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓÔÌ¤ÓˆÓ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ οı ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚ›Ô‰Ô˜.

°ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ÏÔÈfiÓ, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ:  ∫¿ı ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. 5 1.000.000 .¯. = 1,6 Î·È = 142857,142857. 3 7


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

- 136 -

22:27

™ÂÏ›‰·136

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

¶ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ›‰·Ì Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. °ÂÓÓȤٷÈ, fï˜, ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ·Ó ÌÔÚԇ̠ӷ οÓÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ¢ËÏ·‰‹, ·Ó ÌÔÚԇ̠¤Ó· ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ó· ÙÔÓ ÁÚ¿„Ô˘Ì Ì ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÔ‡.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ì ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›: (·) 0,2 Î·È (‚) 1,64.

§‡ÛË (·)

£¤ÙÔ˘ÌÂ

x x 10x 10x 10x (10–1)x 9x

= = = = = = =

0,2 Î·È ¤¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο: 0,222... 2,222... 2+0,222... 2+x 2 2 2 2 x = 9 ¢ËÏ·‰‹: 0,2= 9

x x 100x 100x 100x (100–1)x 99x

(‚) ∞Ó

= = = = = = =

1 ,64 ¤¯Ô˘Ì 1,646464... 164,646464... 164+0,646464... 164+x–1 163 163 163 163 x = 99 ¢ËÏ·‰‹: 1 ,64= 99

™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ:  ∫¿ı ÂÚÈÔ‰ÈÎfi˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ÚËÙÔ‡.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

µÚ˜ ÙË ‰Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ÚËÙÒÓ: (·) –

15 5 13 20 32 , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 10 8 14 11 31

µÚ˜ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 57,92, (‚) 2,8, (Á) 3,83, (‰) 7,4561, (Â) 15,399. BÚ˜ ÌÈ· ¿ÏÏË ‰Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 2,9, (‚) 7,69, (Á) 7,3259.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π √ ·Ú¯·›Ô˜ ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ∑‹ÓˆÓ·˜, Ô˘ ¤˙ËÛ ÛÙË ªÂÁ¿ÏË ∂ÏÏ¿‰· ÙÔ 490 - 430 .Ã. ‰È·Ù‡ˆÛÂ, ÌÂٷ͇ ¿ÏψÓ, Î·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú¿‰ÔÍÔ ÙÔ˘ ∞¯ÈÏϤ· Ì ÙË ¯ÂÏÒÓ·: “√ ∞¯ÈÏϤ·˜ ‚·‰›˙ÂÈ 10 ÊÔÚ¤˜ ÈÔ ÁÚ‹ÁÔÚ· ·fi ÙË ¯ÂÏÒÓ·. ¢Â ı· ÌÔÚ¤ÛÂÈ ÔÙ¤ Ó· ÙË ÊÙ¿ÛÂÈ, ·Ó Ë ¯ÂÏÒÓ· ÚÔËÁÂ›Ù·È ¤Ó· ÛÙ¿‰ÈÔ (192 ̤ÙÚ· ÂÚ›Ô˘) ·’ ·˘ÙfiÓ”. ∂Ú‡ÓËÛÂ Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂȂ‚·ÈÒÛÂȘ ‹ Ó· ·ÔÚÚ›„ÂȘ ÙÔ ÏfiÁÔ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô Ô ∑‹ÓˆÓ·˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È Î¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·137

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 137 -

∞.7.8. ¢ ˘ Ó ¿ Ì Â È ˜ Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó Ì Â Â Î ı ¤ Ù Ë Ê ˘ Û È Î fi

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ŒÓ·˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ÌÔχÓıËΠ·fi οÔÈÔ Èfi, Ô ÔÔ›Ô˜ ›¯Â ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ηٷÛÙÚ¤ÊÂÈ Ù· ËÏÂÎÙÚÔÓÈο ·Ú¯Â›· Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ: ∫¿ı ÌÔÏ˘Ṳ̂ÓÔ ·Ú¯Â›Ô ÌfiÏ˘ÓÂ, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘, ÙÚ›· ¿ÏÏ· ·Ú¯Â›· ̤۷ Û ̛· ÒÚ· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹.

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ, fiÛ· ·Ú¯Â›· ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÔÏ˘Óı› Û ¤ÓÙ ÒÚ˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ™˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ›

}

Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

ÂÎı¤Ù˘

· Ó = ·  ·  ·  . . . ·

}

 ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ · · · ...  · (›ÙÂ Ô · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ›Ù ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜), Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ·Ó Î·È Ï¤ÁÂÙ·È ‰‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ÙÔ · Î·È ÂÎı¤ÙË ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ó>1.

‚¿ÛË

 °È· Ó = 1, ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ

·1

Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

 ∏ ‰‡Ó·ÌË ·Ó ‰È·‚¿˙ÂÙ·È Î·È ÓÈÔÛÙ‹ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·.  ∏ ‰‡Ó·ÌË ·2 ϤÁÂÙ·È Î·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ · ‹ · ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.  ∏ ‰‡Ó·ÌË ·3 ϤÁÂÙ·È Î‡‚Ô˜ ÙÔ˘ · ‹ · ÛÙÔÓ Î‡‚Ô.

¶ÚfiÛËÌÔ ‰‡Ó·Ì˘ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: 5

(+2) = (+2)(+2)(+2)(+2)(+2) = +32 > 0



¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∞Ó · > 0, ÙfiÙ ·Ó > 0



¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ÂÎı¤ÙË ¿ÚÙÈÔ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∞Ó · < 0 Î·È Ó ¿ÚÙÈÔ˜, ÙfiÙ ·Ó > 0



¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ÂÎı¤ÙË ÂÚÈÙÙfi Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∞Ó · < 0 Î·È Ó ÂÚÈÙÙfi˜, ÙfiÙ ·Ó < 0

}

¿ÚÙÈÔ Ï‹ıÔ˜

°ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

4

(–2) = (–2)(–2)(–2)(–2) = +16 > 0

}

ÂÚÈÙÙfi Ï‹ıÔ˜

5

(–2) = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = –32 < 0


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·138

- 138 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

π‰ÈfiÙËÙ˜ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÚËÙÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ:



(–3) 3 (–3) 5 =

3 ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

5 ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

= (–3)(–3)(–3)(–3)(–3)(–3)(–3)(–3) =

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÂÎı¤ÙË ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ.

8 ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

·Ì  ·Ó = ·Ì+Ó

8

= (–3) = (–3) 3+5

 78 : 73 =

78 7 7 7 7 7 7 7 7 = = 7 7 7 73

= 7  7  7  7  7 = 7 5 = 7 8–3

·Ì : ·Ó = ·Ì–Ó

6

(2  7) = (2  7)(2  7)(2  7)(2  7)(2  7)(2  7)



=(2  2  2  2  2  2) (7  7  7  7  7  7)= = 26  76

( 29 )

2 2 2 2 2 = 9  9  9  9  9 = =

2 2 2 2 2 9 9 9 9 9

=

25 95

=

8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3

= 8 3+3+3+3+3+3+3 = = 8 73 = 8 21

°È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ËÏ›ÎÔ Û ¤Ó·Ó ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì ηı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ÛÙÔÓ ÂÎı¤ÙË ·˘Ùfi. Ó

· Ó · = ( ‚) ‚

Ó

 (8 3 ) 7

°È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÈÓfiÌÂÓÔ Û ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì οı ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÛÙÔÓ ÂÎı¤ÙË ·˘Ùfi.

(·‚ ‚)Ó = ·Ó  ‚Ó

 5

°È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÂÎı¤ÙË ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÂÎı¤ÙË ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË ·fi ÙÔÓ ÂÎı¤ÙË ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘.

=

°È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ̛· ‰‡Ó·ÌË Û ¤Ó·Ó ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÛÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ.

(·Ì)Ó = ·ÌÓ


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

10-11-06

15:01

™ÂÏ›‰·139

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 139 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (·) –33, (‚) (–3)3, (Á) –34 ,(‰) (–3)4. ∆È ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

§‡ÛË

(·) (‚) (Á) (‰)

2.

∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ı· ›ӷÈ: –33 = -333 = –27 ∂Âȉ‹ Ô ÂÎı¤Ù˘ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜, Ë ‰‡Ó·ÌË ı· Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ÕÚ·, ı· ›ӷÈ: (–3)3 = (-3)(-3)(-3) = –33 = –27. ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ı· ›ӷÈ: –34 = -3333 = –81 ∂Âȉ‹ Ô ÂÎı¤Ù˘ Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜, Ë ‰‡Ó·ÌË ı· Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ÕÚ·, ı· ›ӷÈ: (–3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +34 = +81

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘: ¶=(–2)33–34+(–2)4:16+[–1–(–1)78]

§‡ÛË ∏ ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: 1Ô ¢˘Ó¿ÌÂȘ, 2Ô ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ› Î·È ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ, 3Ô ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ. ∞Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ, ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ Û’ ·˘Ù¤˜ Ì ÙËÓ ›‰È· ÛÂÈÚ¿. ÕÚ·: ¶ = (–2) 3 3–3 4 +(–2) 4 :16+[–1–(–1) 7 8] = (–8) 3–81+(+16):16+[–1+8] =

= –24–81+1+7 = –97

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Â›Ó·È .................... ·ÚÈıÌfi˜. (‚) ¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È ÂÎı¤ÙË .................... Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. (Á) ¢‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ................ ·ÚÈıÌfi Î·È ÂÎı¤ÙË ÂÚÈÙÙfi Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. (‰) °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÂÎı¤ÙË ÙÔ ................................ ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ. (Â) °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÂÎı¤ÙË ................................................................ . (ÛÙ) °È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÈÓfiÌÂÓÔ Û ¤Ó·Ó ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì ....................................... ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÛÙÔÓ ÂÎı¤ÙË ·˘Ùfi. (˙) °È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ËÏ›ÎÔ Û ¤Ó·Ó ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì ........................................... ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ÛÙÔÓ ÂÎı¤ÙË ·˘Ùfi. (Ë) °È· Ó· ˘„ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË Û ¤Ó·Ó ÂÎı¤ÙË, ˘„ÒÓÔ˘Ì ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÛÙÔ ............................................... ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ.

2.

µÚ˜ Ì ÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ 2˘ Î·È Ù˘ 3˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Â›Ó·È ›ÛÔ Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ 1˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. 3 2 32 3 + 52 (3 + 5)2 352 (35)2 3 – 52 (3 – 5)2  5 5 ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¢È·ÊÔÚ¿ ÕıÚÔÈÛÌ· °ÈÓfiÌÂÓÔ ¶ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ 2 2 2 2 ÙˆÓ 3 Î·È 5 ÙˆÓ 3 Î·È 5 ÙˆÓ 3 Î·È 5 ÙˆÓ 3 Î·È 5 3 Â› 5 3 ÏËÓ 5 3 ‰È· 5 3 Î·È 5

75

3.

4

28

64

0,36

225

1,8

–22

YÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ∞ = (–1)1 +(–1)2 +(–1)3 + (–1)4 + (–1)5, µ = 3254 – 2545 + 87,543,

°=–

(– 6)5 103 84 – + 35 (–5)3 (–4)4


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

- 140 -

22:28

™ÂÏ›‰·140

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞.7.9. ¢ ˘ Ó ¿ Ì Â È ˜ Ú Ë Ù Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó Ì Â Â Î ı ¤ Ù Ë · Î ¤ Ú · È Ô

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ì ÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË, Ô˘ Ì¿ı·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, ›ӷÈ: 7 57 7–7 = 50, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È 5 = 5 = 1 ÂÔ̤ӈ˜, 50 = 1. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: 57 57

 ∏ ‰‡Ó·ÌË Î¿ı ·ÚÈıÌÔ‡, ‰È¿ÊÔÚÔ˘ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜

Ì ÂÎı¤ÙË ÙÔ Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ›ÛË Ì ÌÔÓ¿‰· .

·0 = 1

∂›Û˘, ı· ›ӷÈ: 7 57 7–8 = 5–1, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È 5 = 5555555 = 1 ,¿Ú· 5–1 = 5 57 58 55555555 5

=

1 5

6 56 555555 = 1 ,¿Ú· 5–2 = 1 6–8 = 5–2, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È 5 = = 5 8 8 52 5 5 55555555 52

Î.Ô.Î. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:



∏ ‰‡Ó·ÌË Î¿ı ·ÚÈıÌÔ‡, ‰È¿ÊÔÚÔ˘ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜, Ì ÂÎı¤ÙË ·ÚÓËÙÈÎfi Â›Ó·È ›ÛË Ì ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙË ÌÔÓ¿‰· Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙË ‰‡Ó·ÌË

1 1 Ó ·–Ó =  = ( ) ·Ó ·

ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÙÔ‡ Ì ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÂÎı¤ÙË . ∂Âȉ‹ Ù·

· ‚ Î·È Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, · ‚

fiˆ˜ Î·È Ù· · ηÈ

1 ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË, ·

ÂÍ¿ÁÔ˘Ì ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ:



(·‚ )–Ó= (‚· )Ó

OÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi, Ô˘ Ì¿ı·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·141

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 141 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°E™

1.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ: (·) (–2)–5, (‚) –3–3, (Á) (–234567)0.

§‡ÛË (–2) –5 =

(·)

2.

1 1 1 1 1 = =– , (‚) –3 –3 =– 3 =– , (Á) (–234567) 0 =1 5 (–2) –32 32 3 27

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (·)

[(–3)3]2, (‚) 33 : 3–2, (Á) (–2)4  (–2)6, (‰)

12-3 . 3-3

§‡ÛË (·)

[ ( – 3 ) 3 ] 2 = ( – 3 ) 3 2 = ( – 3 ) 6 = 7 2 9

(‚)

3 3 : 3 –2 = 3 3–(–2) = 3 3+2 = 3 5 = 2 4 3

(Á)

( – 2 ) 4  ( – 2 ) 6 = ( – 2 ) 4+6 = ( – 2 ) 10 = 1 0 2 4

(‰)

3.

12–3 = 3–3

(

12 3

–3

) = (

4 1

–3

) = (

1 4

3

) =

1 1 = 43 64

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ: 10–1, 10–2, 10–3, 10–4, 10–5, 10–6, 10–7.

§‡ÛË 10 –1 =

1 1 = =0,1 101 10

10 –2 =

1 1 = =0,01 102 100

10 –3 =

1 1 = =0,001 103 1000

10 –4 =

1 1 = =0,0001 104 10000

10 –5 =

1 1 = =0,00001 5 10 100000

10 –6 =

1 1 = =0,000001 6 10 1000000

10 –7 =

1 1 = =0,0000001 7 10 10000000


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·142

- 142 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

·

1

–2

–1

Á

(·+‚)2 (·‚)2

2

(‚· )

(–·)–2 (Á‚)–1

4

1 G

10 –10 0,01

2.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ∞ = (–1)–3+(–1)–2+(–1)–1+(–1)0+(–1)1+(–1)2 µ = [(–2)2]5[(–3)2]–2+[(–23,5)2(23,5)–2]5,

3.

µÚ˜ ÔÈÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜:

4.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·: x

0,001

0,01

0,1

°=

(–6)–5 16–4 5–3 + – –5 –4 12 (–32) (–10)–3

1 1 ,10352, 3 ,103+102, ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10. 10 10

–10

–100

2104

510–3

1

G

–4

x–3 x3 x–1

5.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

 10–3 10–2 10–1 10 0 101 102 103

10–3 10–2 10–1

10 0

101

102

103


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·143

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 143 -

∞.7.10. T ˘  Ô  Ô È Ë Ì ¤ Ó Ë Ì Ô Ú Ê ‹ Ì Â Á ¿ Ï ˆ Ó Î · È Ì È Î Ú Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÙfiÌÔ˘ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘ Â›Ó·È 0,00000000016 cm. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‰È·‚¿ÛÂȘ Î·È Ó· ı˘ÌËı›˜ ‡ÎÔÏ· ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi; ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ, ·ÚÎÂÙ‹ ‰˘ÛÎÔÏ›· ÛÙË ÁÚ·Ê‹ Î·È ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ôχ ÌÈÎÚ¿ ÌÂÁ¤ıË. ŸÌˆ˜, Ë Î·Ù¿ÏÏËÏ· ÚÔÛ·ÚÌÔṲ̂ÓË ¯Ú‹ÛË Ù˘ “Ù˘ÔÔÈËÌÂÓ˘ ÌÔÚÊ‹˜” ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ô˘ Ì¿ı·Ì ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ 3.4. , ÁÈ· ÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ Ôχ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÌÔÚ› Ó· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÛÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË Î·È Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ Ôχ ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

Ÿˆ˜ ÔÈ Ôχ ÌÂÁ¿ÏÔÈ, ¤ÙÛÈ Î·È ÔÈ Ôχ ÌÈÎÚÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÛÂ Ù˘ÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ Î·È Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛÙË ÌÔÚÊ‹: · 1 0 - Ó , fiÔ˘ · Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 1 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 10 Î·È Ó Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔÚ›Ô˘ ÓÂÚÔ‡, Ô˘ ›ӷÈ: 0,00000000000000000000003 gr.

§‡ÛË °È· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔÚ›Ô˘ ÓÂÚÔ‡ Ì ÙËÓ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Úԇ̠ÂΛÓË ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 10 Ô˘, fiÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÈ ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì ¤Ó· ÌfiÓÔ ·Î¤Ú·ÈÔ „ËÊ›Ô, ‰›ÓÂÈ Í·Ó¿ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ‚¿ÚÔ˜. ¢ËÏ·‰‹: 0,00000000000000000000003 gr=310-23 23 ı¤ÛÂȘ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔÓ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÂÎı¤ÙË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ 10 ÌÂÙÚ¿Ì ÙȘ ‰Âη‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ˘ԉȷÛÙÔÏ‹.

2.

¡· ÂÎÊÚ·ÛÙÔ‡Ó ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›: (·) 0,123456789, (‚) 0,00000003598, (Á) 0,000008:1000000

§‡ÛË

(·) 0,123456789=1,2345678910-1, (‚) 0,00000003598=3,59810-8, (Á) 0,000008:1000000=0,000000000008=810-12

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

°Ú¿„ ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) ∏ ·fiÛÙ·ÛË °Ë˜ - ™ÂÏ‹Ó˘ Â›Ó·È 384.400.000 m. (‚) ∏ ËÏÈΛ· Ù˘ °Ë˜ Â›Ó·È 4.500.000.000 ¤ÙË. (Á) ∏ ·fiÛÙ·ÛË °Ë˜ - ◊ÏÈÔ˘ Â›Ó·È 149.600.000 km. H Ì¿˙· ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ ÙÔ˘ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘ Â›Ó·È 1,6710–27 gr. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛ· ¿ÙÔÌ· ÂÚȤ¯ÂÈ 1 gr ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘. °Ú¿„ ÌÂ Ù˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ˘Ú‹Ó· ·ÙfiÌÔ˘ Â›Ó·È 0,00000000000001 cm. (‚) ∆Ô ‚¿ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔÚ›Ô˘ ·Ï·ÙÈÔ‡ Â›Ó·È 0,000000000000000000000097 gr.


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·144

- 144 -

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË AΤڷÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›:

...., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,.....

ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›:

º˘ÛÈÎÔ›, ∫Ï¿ÛÌ·Ù·, ¢Âη‰ÈÎÔ› (£ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ›)

√ÌfiÛËÌÔÈ ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›:

Œ¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÚfiÛËÌÔ

∂ÙÂÚfiÛËÌÔÈ ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›:

Œ¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚfiÛËÌÔ

∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡  ·  :

∂ÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ Ì ÙÂÙÌË̤ÓË · ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ

∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›:

√È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ Ì ›‰È· ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹

∞Ó · > Ô, ÙfiÙ  ·  =· Î·È ·Ó · < Ô, ÙfiÙ  ·  = –·

¶Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜

¶ÚfiÛıÂÛË

· ‚= ·   ‚  ñ ·, ‚>0 ‹ ·,‚<0 ( Ô Ì fi Û Ë Ì Ô È ) ·+‚ = +(  · + ‚  ) ñ · < 0 < ‚ ‚ < 0 < · ( Â Ù Â Ú fi Û Ë Ì Ô È ) ·  ‚=– ·   ‚  ‹ ·+‚ = –(  · + ‚  ) ·+‚ = –(  · – ‚  ) ·Ó  · > ‚  π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡: ·<0<‚ ·+‚ = +(  ‚ – · ) ·Ó  · < ‚  ñ ·  ‚ = ‚  · (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋) ñ ·  (‚  Á ) = ( ·  ‚)  Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋) π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘: ñ · 1 = 1 · = ·   ·+‚ = ‚+· (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋) ·+(‚+Á)=(·+‚)+Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋) ñ ·  1 = 1  · = 1 ( · Î · È 1 · Ó Ù › Û Ù Ú Ô Ê Ô È ) · · · ·+0=0+·=· ·+(–·)=(–·)+·=0 (· Î·È –·, ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ) ñ ·  0 = 0

ñ ·, ‚ > 0 ñ ·, ‚ < 0 ñ

ñ ñ ñ ñ

{

¢È·›ÚÂÛË · =· 1 ñ·:‚= ‚ ‚

∞Ê·›ÚÂÛË ñ ·—‚=·+(–‚)

∂¶πª∂ƒπ™∆π∫∏ π¢π√∆∏∆∞ ·(‚+Á)=· ‚+· Á ·(‚–Á)=· ‚–· Á

∆Ô˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË: ∆Ô˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË:

¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ¶Ú¿ÍÂˆÓ ➊ ¢˘Ó¿ÌÂȘ ➜ ➋ ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì Ô › & ¢ È · È Ú ¤ Û Â È ˜ ➜ ➌ ¶ Ú Ô Û ı ¤ Û Â È ˜ & ∞ Ê · È Ú ¤ Û Â È ˜ √È Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È Î·È Á›ÓÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿

¢À¡∞ª∂π™ √ÚÈÛÌÔ›

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ

·Ó

ñ ·Ì·Ó = · Ì+Ó ñ ·Ì:· Ó = · Ì–Ó ñ (·‚) Ó = · Ó ‚Ó ·Ó · Ó ñ(‚) = Ó ‚

= ·  ·  · ... · (Ó ÊÔÚ¤˜)

∆Ô · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Î·È ÙÔ Ó ÂÎı¤Ù˘

·0 = 1 Î·È ·1 = · 1 1 ·–Ó = Ó ‹ · –Ó = ( · · –Ó Ó ( ·‚ ) = ( ·‚ )

)

Ó

ñ (· Ì)Ó =· ÌÓ

(fiÔ˘: ·, ‚ 0 0 Î·È Ì, Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›)


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·145

ª¤ÚÔ˜ ∞ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

- 145 -

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞.

∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË 1. 7,2 + (–5) = 2,2 2. –1,2 – 0,2 = –1 3. –2,2 + 2,2 = –4,4 4. 7,8 – 8 = 0,2 5. 3,5 – 9 = –5,5 6. 3,5 – 4,5 = –1 7. 6 – 15 = –11 8. 3 – 8,4 = –5,4 9. 6 – 17 = –9 10. 59 – 64 = –5

™ø™∆√ §∞£√™

B. ∞ Û Î ‹ Û Â È ˜ ™ ˘ Ì  Ï ‹ Ú ˆ Û Ë ˜ Î Â Ó Ô ‡ 1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: (·) (...8)+(...3)+(...6)+(...5)=+4 (‚) (...8)+(...3)+(...6)+(...5)=–10 (Á)(...3,7)+(....14,8)+(...5,2)+(...16,3)=0 (‰) (...3,7)+(...14,8)+(...5,2)+(...16,3)=–10,4 2. µÚ˜ ÔÈÔ ·Ô Ù· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂ Â›Ó·È ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ: ∞ + (–1) = µ + 3 = ° + (–3) = ¢ + 4 = ∂ + (–5) 3. µÚ˜ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) 1+(–2)+3+(–4)+ ... +49+(–50), (‚) 1+(–2)+3+(–4)+ ... +(–198)+199 4. µ¿Ï ٷ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ∞, ∂, π, ∫, √, ¶, ƒ, À Î·È ø Ì ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ Î·È ÁÚ¿„ ÙË Ï¤ÍË Ô˘ ‚ڋΘ, fiÙ·Ó: ∞ = 4+(–1,5), ∂ = –0,8+(–4,8), π = –0,8+4,8, ∫ = 4+1,5, √ = 0,8+4,8, ¶ = 0,8+(–0,8), ƒ = 0,8+(–4,8), À = –4+(–1,5), ø = –4+1,5 5. ¶ÔÏÏ·Ï·Û›·Û ·Ó¿ ‰‡Ô ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ÚËÙÔ‡˜ –6,5, 3,5 Î·È –4,5 Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. (·) ¶fiÛÔÈ ÙÚfiÔÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó; (‚) ¶ÔÈÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÚËÙÔ‡˜ 29,25, –15,75, –22,75 Î·È 15,75 ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÒÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜; 6. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙÔ Û¯‹Ì·: ∞Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ: ·‚ 90

·

15 4

–3

7. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙ· Û¯‹Ì·Ù·, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ: 2 -3

1

-1 2

- 2 0 ,5 - 8

-3 5 -0,2 -1

-6

°.

∞Û΋ÛÂȘ ∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ˘ ∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ ÛÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ÛÙ‹Ï˘ Ô˘ ‚Á¿˙ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.

(·) (·) (·) (·) (·)

(+14)+(–17)

(+3)+(–23)

(–12)+(–8)

(+11)+(–11)

(+11)+(–9)

(–22)+(+19)

(–5)+(+25)

(–19)+(+21)

(–16)+(+16)

(+37)+(–17)

(‚) (+13)–(–18) (‚) (+11)–(+3) (‚) (–5)–(+25) (‚) (–16)–(–16) (‚) (–12)–(–8)

(+3)–(+7)

(Á) (–2)0,5910 (+13)–(+13) (Á) 25(–0,9)(–10) (–37)–(–7) (Á) 2(–5)(–9)(–10) (+17)–(+9) (Á) –259(–10) (–2)–(–33) (Á) 0,2(–5)(–0,9)10

900 –900 9 –90 90


∂ ∫ º∞ §√ π∞ -7(113-146)-(20,5 à 28)

1-11-06

22:28

™ÂÏ›‰·146

- 146 -

∆Ô ·Ú¿ÔÓÔ Ù˘ ÕÓÓ·˜ ∏ ‚È‚ÏÈÔı‹ÎË ‹Ù·Ó ¿ÓÙ· ÛÙËÓ ›‰È· ı¤ÛË, ·fi ÙfiÙ Ô˘ Ë ÕÓÓ· ı˘Ì¿Ù·È ÙË ˙ˆ‹ Ù˘ Û ÙÔ‡ÙÔ ÙÔ ‰ˆÌ¿ÙÈÔ. ◊Ù·Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Ú¿ÁÌ· Ô˘ ¤‚ÏÂ ÚÈÓ ÙËÓ ¿ÚÂÈ Ô ‡ÓÔ˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÎÚ‚¿ÙÈ Ù˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·¤Ó·ÓÙÈ. ∆˘ ¿ÚÂÛ Ôχ Ó· ÙÔÔıÂÙ› ÛÙ· Ú¿ÊÈ· Ù· ‚È‚Ï›· Ù˘, ·ÏÏ¿ Î·È fiÙÈ ¿ÏÏÔ ·Á·Ô‡Û ‡ÚÈÛΠ¿ÓÙ· ı¤ÛË ÛÙË ÌÈÎÚ‹ ‚È‚ÏÈÔı‹ÎË. ™˘¯Ó¿ Ù· ÌÂÙ·ÎÈÓÔ‡ÛÂ Î·È Ù· ¤ÊÙÈ·¯Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÁÈ· Ó· Ù· ·Á·‹ÛÂÈ ¿ÏÈ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ Ì Ӥ· ‰È¿ıÂÛË. ªfiÓÔ ÛÙÔ˘˜ “·‚Ô˘˜” Ù˘ ‰ÂÓ ¿ÏÏ·˙ ÔÙ¤ ı¤ÛË. ŒÌÂÓ·Ó ¿ÓÙ· ÛÙÔ ›‰ÈÔ Ú¿ÊÈ Ô˘ ‹Ù·Ó „ËÏ¿ ÛÙË Ì¤ÛË ÂÚ›Ô˘ Ù˘ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘. ∂Λ Ô˘ ÙÔ ‚ϤÌÌ· ¤ÂÊÙ ÈÔ Û˘¯Ó¿. ∞Ó Î·È ÙÔ Ú¿ÊÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ‹Ù·Ó ¿ÓÙ· ÙÔ ›‰ÈÔ, ÙÔ˘˜ ¿ÏÏ·˙ ٷÎÙÈο ‰È¿Ù·ÍË. Œ¯ÙÈ˙ οı ÊÔÚ¿ Ì ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ Ù· ͇ÏÈÓ· ·Ú·ÏÏËÏÂ›‰· ·Ê‹ÓÔÓÙ·˜ ·Ó¿ÌÂÛ· ÎÂÓ¿ Û·Ó ·Ú¿ı˘Ú· Î·È fiÚÙ˜. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔÔıÂÙÔ‡Û ÛÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹, Û· ÛÙ¤ÁË, ÙȘ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÎÒÓÔ˘˜. ∫¿ı ‚Ú¿‰˘ ÚÈÓ Í·ÏÒÛÂÈ Á‡ÚÈ˙ ÙÔ ÊˆÙÈÛÙÈÎfi ÙÔ˘ ÁÚ·Ê›Ԣ Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙ ӷ ʈٛ˙ÂÈ ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ Ù˘. ∆Ô Êˆ˜ ÙÚ‡ˆÓ ·fi Ù· ÎÂÓ¿ Î·È Ì ÙȘ ÛÎȤ˜ ¤‰ÈÓ ‚¿ıÔ˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, ÛÙȘ ÛΤ„ÂȘ Î·È ÛÙ· fiÓÂÈÚ· Ô˘ ¤Î·ÓÂ Ë ÕÓÓ· Ï›ÁÔ ÚÈÓ Ô ‡ÓÔ˜ Ù˘ ÎÏ›ÛÂÈ Ù· ‚Ϥʷڷ ŒÓ· ‚Ú¿‰˘ ÙÔ Í·ÊÓÈÎfi ÌÔ˘Ú›ÓÈ Î·È Ë ·Û˘Ó‹ıÈÛÙ· ‰˘Ó·Ù‹ ηٷÈÁ›‰· ·Ó·ÛٿوÛ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹. ∆Ô Ú‡̷ ÎfiËÎÂ Î·È ÙÔ Û›ÙÈ ‚˘ı›ÛÙËΠÛÙÔ ÛÎÔÙ¿‰È. ∏ ÌËÙ¤Ú· Ù˘ ÕÓÓ·˜ ¿Ó·„ ¤Ó· ÎÂÚ› Î·È ÙÔ ·ÎÔ‡ÌËÛ ÛÙÔ ÁÚ·ÊÂ›Ô Ù˘. – ¢ÂÓ Í¤ÚÔ˘Ì fiÙ ı· ¤ÚıÂÈ ÙÔ Êˆ˜, ηχÙÂÚ· Ó· ÎÔÈÌËı›˜, Ù˘ ›Â Ë ÌËÙ¤Ú· Ù˘. ∏ ÕÓÓ· ÌÈÛÔÍ¿ψÛ ÛÙÔ ÎÚ‚¿ÙÈ Î·È ÎÔ›Ù·Í ÙÔ ‰ˆÌ¿ÙÈfi Ù˘ οو ·fi ÙÔ Êˆ˜ ÙÔ˘ ÎÂÚÈÔ‡ Ô˘ ÙÚÂÌfi·È˙Â. ŸÛ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ·Ó ÙÔ Í·Ó¿ÊÂÚ ÛÙÔ ÓÔ˘ Ù˘ ÔÙ¤ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚË ·Ó ‹Ù·Ó fiÓÂÈÚÔ Ë Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ·˘Ùfi Ô˘ ›‰Â ÂΛÓÔ ÙÔ ‚Ú¿‰˘. ŸÏ· Á‡Úˆ Ì›ÎÚ˘Ó·Ó Î·È ¯¿ıËÎ·Ó ÛÙÔ ÛÎÔÙ¿‰È Î·È ÌfiÓÔ ÔÈ “·‚ÔÈ” ÌÂÁ¿ÏˆÛ·Ó Î·È ¤ÌÂÈÓ·Ó Ó· ·ÈˆÚÔ‡ÓÙ·È ÊˆÙÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙË Ì¤ÛË ÙÔ˘ ·¤Ú·ÓÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. ¢ÂÓ ‹Ù·Ó fï˜ ÔÈ Î‡‚ÔÈ Ô˘ ‹ÍÂÚÂ. ◊Ù·Ó ÌÈ· Û‡ÓıÂÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋, ÌÈ· ¿ÏÏË Î·Ù·Û΢‹, οÙÈ Û·Ó ÙÔ Ó·fi ÙÔ˘ ¶ÔÛÂȉÒÓ· ÛÙÔ ™Ô‡ÓÈÔ Ô˘ ¤ÌÔÈ·˙ ӷ ϤÂÈ ÊˆÙÈṲ̂ÓÔ˜ ÛÙË ÛÎÔÙÂÈÓ‹ ·ÂÚ·ÓÙÔÛ‡ÓË. ¢›Ï· ÙÔ˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÔÈ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘ ÛÙË ÛÎÔÙÂÈÓ‹ ¤ÚËÌÔ, ʈÙÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙËÓ ·ÓÛ¤ÏËÓÔ. ¶ÈÔ ›Ûˆ ‹Ù·Ó ÙÔ ∫ÔÏÔÛÛ·›Ô Ù˘ ƒÒÌ˘ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔÓ Î·ı‰ÚÈÎfi ÙÔ˘ ªÈÏ¿ÓÔ˘ Î·È ÛÙÔ ‚¿ıÔ˜ Ù· ªÂÙ¤ˆÚ· Ô˘ ʈٛ˙ÔÓÙ·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÎÂÚ·˘ÓÔ‡˜. ∫¿ÔÈ· ÛÙÈÁÌ‹ Ù˘ Ê¿ÓËΠfiÙÈ Â›‰Â ÛÙÔ ‚¿ıÔ˜ ÙË ªÔÓÂÌ‚·ÛÈ¿ ‹ ÌÔÚ› Î·È ÙË ™·ÓÙÔÚ›ÓË, Ì ٷ Û›ÙÈ· ÛηÚʷψ̤ӷ ÛÙË ÎÔÚ˘Ê‹ ÁÈ· Ó· ÛˆıÔ‡Ó ·fi Ù· ÓÂÚ¿. ªÂÙ¿, ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚË ˆ˜ ›‰Â ʈÙÈṲ̂ÓÔ ÙÔÓ ¶·ÚıÂÓÒÓ· ÁÈ·Ù› ÁÓÒÚÈÛ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙ· ·ÂÙÒÌ·Ù¿ ÙÔ˘. ∫·È ·Ì¤Ûˆ˜ Ï›ÁÔ ÈÔ ÎÂÈ ÙÔ √Ï˘ÌÈ·Îfi ÛÙ¿‰ÈÔ ÙË Ì¤Ú· Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ÁÈÔÚÙ‹˜ Ó· ·ÔÁÂÈÒÓÂÙ·È Ì¤Û· ·fi Ù· ˘ÚÔÙ¯Ӌ̷ٷ. – £Â¤ ÌÔ˘ ÛΤÊÙËÎÂ, ÙÈ ÔÌÔÚÊÈ¿. µ¿Ï ÂÛ‡ ÙÔ Êˆ˜ Î·È ¿Û Ì ӷ ‚¿Ïˆ ÂÁÒ ÙÔ Û¯‹Ì· Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ. – ∂ÈÙ¤ÏÔ˘˜ ‹Úı ÙÔ Êˆ˜, ·ÎÔ‡ÛÙËÎÂ Ë ÊˆÓ‹ Ù˘ ÌËÙ¤Ú·˜ Ù˘. – ¢ÂÓ ÂÓÓÔÔ‡Û· ·˘Ùfi ÙÔ Êˆ˜, £Â¤ ÌÔ˘, „Èı‡ÚÈÛ Ì ·Ú¿ÔÓÔ Ë ÕÓÓ·...


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·147

µ·ÛÈΤ˜ °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

ª∂ƒ√™ µ 

1.1. ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· – ∂˘ı›· – ∏ÌÈ¢ı›· – E›Â‰Ô – ∏ÌÈÂ›Â‰Ô ñ ñ ñ ñ

™¯Â‰È¿˙ˆ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ˆ Â›‰·, ÛËÌ›·, ¢ı›˜, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ËÌÈ¢ı›˜ Î·È ËÌÈÂ›‰· ¢È·ÎÚ›Óˆ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ·Ó¿ÌÂÛ· Û ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Î·È Û ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ‹ ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ· Â›‰·

1.2. °ˆÓ›· – °Ú·ÌÌ‹ – ∂›‰· Û¯‹Ì·Ù· – ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· – ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· ñ ñ ñ ñ

∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ˆ Î·È ‰È·‚¿˙ˆ ÁˆÓ›Â˜ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÒÓ Î·È ‰È·ÎÚ›Óˆ ÙȘ ΢ÚÙ¤˜ ·fi ÙȘ ÌË Î˘ÚÙ¤˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ‰È·ÎÚ›Óˆ ÙÔ Î˘ÚÙfi ·fi ÙÔ ÌË Î˘ÚÙfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ·Ó Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÙÔ ¤Ó· ¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ

1.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ – ª¤ÛÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÛÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·, ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯¤ÛÂȘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ›Û· Ì‹ÎË Î·È Û˘ÁÎÚ›Óˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· Î·È Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ñ ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÌ‹Ì· ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ Ì‹ÎÔ˘˜ Ì ·Ú¯‹ ÁÓˆÛÙfi ÛËÌÂ›Ô ¿Óˆ Û ÁÓˆÛÙ‹ ¢ı›· Î·È Ó· ‚Ú›ÛΈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ Ì ¯¿Ú·Î· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÛÔ Î·È ÙÔ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›Ûˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË Û ̋ÎÔ˜ ÁÚ·ÌÌ‹ ·fi fiϘ ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ

1.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ñ ªÔÚÒ Ó· ÚÔÛı¤Ùˆ Î·È Ó· ·Ê·ÈÚÒ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·

1.5. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ – ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÙÚÔ, ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·˘Ùfi ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ «¿ÓÔÈÁÌ·» ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙË ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÁˆÓÈÒÓ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘˜ ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ÁˆÓ›Â˜ Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ‹ Ì ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ ñ ™¯Â‰È¿˙ˆ ÁˆÓ›Â˜ fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙÈ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ Î·È ÙË Û¯Â‰È¿˙ˆ

1.6. ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ – ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ (ÔÍ›·, ÔÚı‹, ·Ì‚Ï›·) ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ·Ó ÌÈ· ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÔÍ›·, ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›· Î·È fiÙ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¿ÁÂÙ·È Ì›· Î·È ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË Û ̛· ¢ı›· Î·È ÙËÓ ¯·Ú¿ÛÛˆ Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ‹ ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·

1.7. ∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ – ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ‹ Î·È ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ

1.8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ – ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È fiÙÂ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ, fiÙ·Ó ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ, fiÙ·Ó ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÙË ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Î·È ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, fiÙÈ ÔÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

1.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È fiÙÈ ·Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ̛· ÙÚ›ÙË, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È Ì›· Î·È ÌfiÓÔ Ì›· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Î·È ÙË ¯·Ú¿ÛÛˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ‹ ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·

1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· – ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· Î·È ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· Î·È ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Î·È ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· Î·È ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î·

1.11. ∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È ÙÔÓ Û¯Â‰È¿˙ˆ ñ ¢È·ÎÚ›Óˆ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·fi ÙÔÓ Î˘ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘

1.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· – ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ – ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ˆ˜ ̤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È fiÙÈ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ (‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜), ›Û˜ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÁˆÓ›· ›ÛË Ì ‰Â‰Ô̤ÓË Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È: (·) ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È Ë ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· Î·È (‚) Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜

1.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘

∂À∫§∂π¢∏™

( 3 0 0 - 2 7 5 ¶. Ã . )

ñ ¢È·ÎÚ›Óˆ ·Ó Ì›· ¢ı›· Â›Ó·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘

1o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·148

- 148 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.1. ™ Ë Ì Â › Ô - ∂ ˘ ı ‡ Á Ú · Ì Ì Ô Ù Ì ‹ Ì · - ∂ ˘ ı  › · - ∏ Ì È Â ˘ ı  › · ∂›Â‰Ô - ∏ÌÈÂ›Â‰Ô ™ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Ì¿ı·Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ fiˆ˜ ÛËÌ›Ô, ¢ı›·, Â›Â‰Ô Î·È ÁÓˆÚ›Û·Ì ٷ ·Ï¿ ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· fiˆ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È Î‡ÎÏÔ˜. ∆ÒÚ·, ·ÊÔ‡ Í·Ó·ı˘ÌËıԇ̠·˘Ù¤˜ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ Î·È Ù· Û¯‹Ì·Ù·, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙÔ˘˜ ÛÙÔȯ›·, Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Û ÈÔ Û‡ÓıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù·. ŒÙÛÈ ı· ·Û΋ÛÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÙËÓ ·Ú·ÙËÚËÙÈÎfiÙËÙ¿ Ì·˜, ı· ‚ÂÏÙÈÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÏË„Ë Î·È ı· ÔÚÁ·ÓÒÛÔ˘Ì ηχÙÂÚ· ÙȘ ÛΤ„ÂȘ. ∞˜ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 1Ë ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ÙÂÓو̤Ó˘ ÎψÛÙ‹˜; ∆Ô Û¯‹Ì· Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÈÔ Î¿Ùˆ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÌÂÚÈο ÛËÌ›· ÙÔ ¤Ó· ‰›Ï· ÛÙÔ ¿ÏÏÔ.

µ

➣ ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔ ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂȘ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ; ∫È ·Ó fi¯È, ÁÈ·Ù›;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 2Ë ¢›ÓÔÓÙ·È ÙÚ›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ŒÓˆÛ¤ Ù· Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ·Ó¿ ‰‡Ô, Î·È ‰ÒÛ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È.

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ∞ 1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË:

2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: µ

µ

°

°

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞

 H ¿ÎÚË ÙÔ˘ ÌÔÏ˘‚ÈÔ‡ Ì·˜, ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ë Ì‡ÙË ÌÈ·˜ ‚ÂÏfiÓ·˜, Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ.

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ª›· ÙÂÓو̤ÓË ÎψÛÙ‹ Ì ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÌÈ· ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.



∆· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.



§¤Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ



∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ¯¿Ú·Î· (“ηÓfiÓ·”).

µ



µ


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·149

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 149 -

∏ ¢ı›·

µ Â



∂¿Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ÙfiÙ ÙÔ Ó¤Ô Û¯‹Ì·, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ô‡Ù ·Ú¯‹ Ô‡Ù ٤ÏÔ˜, ϤÁÂÙ·È Â˘ı›·.



™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ÁÚ¿ÌÌ· ·fi Ù· ·Ú¯Èο ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, .¯. (Â), ‹ Ì ‰‡Ô ÌÈÎÚ¿ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ·fi Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ .¯. xxx, yyy. ∞

µ x

x

 

Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜.

Afi ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ Â˘ı›·.

µ

° ¢

∏ ËÌÈ¢ı›· 



∂¿Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi ÙÔ ¤Ó· ÌfiÓÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘, .¯. ÙÔ µ, ÙfiÙ ÙÔ Ó¤Ô Û¯‹Ì·, Ô˘ ¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙÔ ∞ ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ù¤ÏÔ˜, ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¢ı›· . ∏ ËÌÈ¢ı›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÂÊ·Ï·›Ô ÁÚ¿ÌÌ· Ô˘ ‰ËÏÒÓÂÈ ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ Î·È ¤Ó· ÌÈÎÚfi ·fi Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù·, .¯. ∞x, By Î.Ï..



∂¿Ó √ Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ xxx, ÙfiÙ Ì ·Ú¯‹ ÙÔ √ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √x, ÔÈ Ôԛ˜ ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

µ

x

x

y

µ

x

O

x


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·150

- 150 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 3Ë Œ¯ÂȘ ·ÎÔ‡ÛÂÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜: “™ÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ· Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ¯¿ÓÂÙ·È Ô ‰ÚfiÌÔ˜”. “√È ¯ÒÚ˜ Ù˘ ¢‡Û˘ ¤¯Ô˘Ó ˘„ËÏfi Â›Â‰Ô ·Ó¿Ù˘Í˘”. “∏ Â›Â‰Ë ÔıfiÓË Â›Ó·È Î·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ Î˘ÚÙ‹”. “√È Û¯¤ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ηÏfi Â›‰Ԕ. “∏ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ‰¿ÊÔ˘˜ ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ·˘Ù‹ Â›Ó·È Â›‰˔.

∞ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔÓ ˘ÏÈÎfi ÎfiÛÌÔ, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Á‡Úˆ Ì·˜, ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÂȘ Î·È Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÂȘ ÔÏϤ˜ Â›‰˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ. ∆Ô˘˜ ÙÔ›¯Ô˘˜ Ù˘ Ù¿Í˘, ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘, ¤Ó· ο‰ÚÔ, ÙËÓ ›ÛÙ· ÚÔÛÁ›ˆÛ˘, ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ‹ÚÂÌÔ˘ ÓÂÚÔ‡, ÙÔÓ ÈÛËÌÂÚÈÓfi Ù˘ °Ë˜.

¶ÔÈÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÒÛÂȘ Û ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì To Â›Â‰Ô 

Â

∂›Â‰Ô Â›Ó·È ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÈ ·ÓÙÔ‡ Ë Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹. ¶

 ŒÓ· Â›Â‰Ô ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. µ

 ∞fi ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ‹ ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ· Â›‰·.

°

¶ Â

 ∫¿ı Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ¯ÒÚÔ Û ‰‡Ô ̤ÚË, ÒÛÙÂ, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÚ¿ÛÔ˘Ì ·fi ÙÔ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÂÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Â›‰Ô. 

∏ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÂÊ·Ï·›Ô ÁÚ¿ÌÌ· ÙÔ˘ ·ÏÊ¿‚ËÙÔ˘ .¯. ¶, ƒ, ™ Î.Ï.

¶2

To ËÌÈÂ›Â‰Ô 

∫¿ı ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂÈ¤‰Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ËÌÈÂ›‰·.

Â

¶1


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·151

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 151 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

A˜ ¿ÚÔ˘Ì ·fi Ù· ÁÓˆÛÙ¿ Ì·˜ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ, Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ·˜ ‰Ô‡ÌÂ, ÔÈ· ÔÓÔÌ·Û›· ¤¯Ô˘Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙ· Û¯‹Ì·Ù· ·˘Ù¿.

§‡ÛË ∞

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ° Î·È °∞ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜, ϤÁÔÓÙ·È Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. µ

∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ°, °¢, ¢∞ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜. ∆· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢, Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÌË ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜, ϤÁÔÓÙ·È ‰È·ÁÒÓȘ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘.

2.

° ∞

µ

¢ °

ŒÛÙˆ ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· Û ÌÈ· ¢ı›·. ¶fiÛ˜ ¢ı›˜ ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ ∞; ¶fiÛ˜ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ·˘Ù¤˜ ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ µ; ∆Ô ° Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ ∞µ; °

§‡ÛË ∞fi ÙÔ ∞ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜. ª›· ·fi ·˘Ù¤˜ ÂÚÓ¿ÂÈ Î·È ·fi ÙÔ µ.

‚ ∞

Â

µ

∂Âȉ‹ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ ∞µ.

3.

·

Á

™ÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÔÓÙ·È ¤ÓÙ ÛËÌ›·, Ù· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ÎÚ· Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿. ¶fiÛ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›ӷÈ;

§‡ÛË

∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÂÓfi˜ ·fi Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ÙÔ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ì ٷ ˘fiÏÔÈ· Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›·. ∂ ∂Ô̤ӈ˜: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ∞µ, ∞°, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô µ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: µ∞,

°∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ¢∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∂ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ∂∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ° Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ:

∞¢, ∞∂ µ°, µ¢, µ∂ °µ, °¢, °∂ ¢µ, ¢°, ¢∂ ∂µ, ∂°, ∂¢

µ

¢

°

™Ù· ·Ú·¿Óˆ, οı ÙÌ‹Ì· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ .¯. ÙÔ ∞B Î·È µ∞, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÎÚ·. ŒÙÛÈ, ÛÙÔ Û¯‹Ì·, ‰ÂÓ Â›Ó·È Â›ÎÔÛÈ (20) ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÙÌ‹Ì·Ù·, ·ÏÏ¿ ‰¤Î· (10) Ù·: ∞µ, ∞°, ∞¢, ∞∂, µ°, µ¢, µ∂, °¢, °∂ Î·È ¢∂.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·152

- 152 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ∞ Î·È µ ·ÏÏ¿ Î·È Ù· ............................. ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· Û’ ·˘Ù¿ Ù· ‰‡Ô. (‚) ∞Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi Ù· ‰‡Ô ¿ÎÚ· ÙÔ˘, ∞ Î·È µ, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ϤÁÂÙ·È .................................................. . (Á) ∞Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi ÙÔ ¤Ó· ÌfiÓÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘, .¯. ÙÔ µ, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ϤÁÂÙ·È ..................................... . (‰) .............................................. ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ Î·È Ô˘ ÔÈ ‰‡Ô Ì·˙› ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì›· ¢ı›·. (Â) ∏ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë ·ÂÚÈfiÚÈÛÙË Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÈ ·ÓÙÔ‡ ÔÏfiÎÏËÚË Â›Ó·È ÙÔ ............................................... .

2.

¡· ‰ÒÛÂȘ ‰È΋ ÛÔ˘ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· (·) Ù· ÛËÌ›· Î·È (‚) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ·)

3.

4. 5.

Á)

‚)

¶¿Ú ٷ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫ Ô˘ ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ x ·Ú·¿Óˆ ¢ı›·. ŒÓˆÛ ÙÔ ∫ Ì ٷ ∞, µ, °, ¢ Î·È ÔÓfiÌ·Û fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¶¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· xx ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. √ÓfiÌ·Û ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¯‹ ÙÔ ∞ Î·È ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¯‹ ÙÔ µ.

x ∞

°

µ

¢

x

x ∞

µ z

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ¯¿Ú·Í ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÙˆÓ ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ ∞µx, µ°y Î·È °∞z.

µ x

° y

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1. 2.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ: (·) §ÈÁfiÙÂÚ˜ ‰È·ÁÒÓȘ ·fi Ï¢ڤ˜, (‚) ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Î·È Ï¢ÚÒÓ, (Á) ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ‰È·ÁÒÓȘ ·fi Ï¢ڤ˜. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ¯¿ÚÙË Ê·›ÓÔÓÙ·È ¤ÍÈ (6) fiÏÂȘ Ù˘ ∂ÏÏ¿‰·˜, Ô˘ ‰Â ‚ÚÈÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ ÙÚÂȘ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·: ∞ (∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË), ƒ (ƒfi‰Ô˜), ∏ (∏Ú¿ÎÏÂÈÔ), à (÷ÓÈ¿), ∫ (∫¤Ú΢ڷ) Î·È £ (£ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË). ªÔÚ›˜ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙȘ ·’ ¢ı›·˜ ·ÂÚÔÔÚÈΤ˜ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ ·˘ÙÒÓ; √ÓfiÌ·Û ÙȘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙˆÓ fiψÓ. ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ Ù¤ÙÔȘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó, ‰ÈηÈÔÏÔÁÒÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;

A £

ƒ

Ã

H


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·153

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 153 -

µ.1.2. ° ˆ Ó › · - ° Ú · Ì Ì ‹ - ∂  ›   ‰ · Û ¯ ‹ Ì · Ù · - ∂ ˘ ı ‡ Á Ú · Ì Ì · Û ¯ ‹ Ì · Ù · ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë °‡Úˆ Ì·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰È·ÊfiÚˆÓ ÂȉÒÓ ÁˆÓ›Â˜, ÌÂÚÈΤ˜ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÈÎfiÓ˜. ∆È ÎÔÈÓfi ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ¤¯Ô˘Ó;

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙȘ ÂÚÈÁÚ¿„ÂȘ, ¯ˆÚ›˜ Ó· Û ÂËÚ¿˙ÂÈ Ë ˘ÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ˘fiÛÙ·ÛË.

√Ú›˙ÔÓÙ·˜ ÙË ÁˆÓ›· ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ے ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, Ì ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. √È ËÌÈ¢ı›˜ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â›Â‰Ô Û ‰‡Ô ÂÚÈÔ¯¤˜ ¶1 Î·È ¶2. ∫¿ı ̛· ·fi ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·˘Ù¤˜ Ì·˙› Ì ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÓ›·.



∏ “ÌÈÎÚfiÙÂÚË” (¶1) ϤÁÂÙ·È Î˘ÚÙ‹ Î·È Ë ¿ÏÏË (¶2) Ì‹ ΢ÚÙ‹.



∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y ϤÁÔÓÙ·È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.

x

ÏÂ˘Ú¿

∆Ș ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÙȘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ∧ ∧ xO y ‹ yO x (ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ √ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿ÓÙ· ÛÙË Ì¤ÛË) ‹ Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ∧ ˆ ”. ÁÚ¿ÌÌ·, .¯. “ˆ

y

ÎÔÚ˘Ê‹ √



¶1





y ¶2

ˆ

ÏÂ˘Ú¿ x


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:14

™ÂÏ›‰·154

- 154 -



ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ∧

ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜, ÙȘ ∞ , ÙË µ Î·È ÙË ° .



ŸÙ·Ó ϤÌÂ, .¯. Ë ÁˆÓ›· ∞ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°, ÂÓÓÔԇ̠ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ ∞µ, ∞° Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.



∏ ÁˆÓ›· ∞ ϤÌ fiÙÈ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ Î·È ∞° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.



∞ÎfiÌ· ϤÌ fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÁˆÓ›· ∞ , ∧ ∧ ÂÓÒ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ µ Î·È ° Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ°.



°ˆÓ›Â˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

µ

°

°ˆÓ›Â˜ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ¢

°

∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ηıÂÌÈ¿ ÙÔ˘˜ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ. √È ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ ∧

Â›Ó·È ÔÈ ¢ ∞µ, ∞µ °, µ °¢ Î·È °¢ ∞, Ô˘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ∧ ∧ ∧ ∧ ·Ï¿ ∞ , µ , ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

∞ µ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 2Ë ∑

¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ÔÈ¿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜;

¢ °

µ

∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·   

∆  ı Ï · Û Ì ¤ Ó Ë Á Ú · Ì Ì ‹ Â›Ó·È ÌÈ·  Ô Ï ˘ Á ˆ Ó È Î ‹ Á Ú · Ì Ì ‹ , Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ù· ÔÔ›· ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ù· ¿ÎÚ· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ªÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙ‹, fiÙ·Ó Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Î¿ı ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ·Ê‹ÓÂÈ fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ Ï¢ڤ˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ËÌÈÂ›‰Ô. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÁÂÙ·È ÌË Î˘ÚÙ‹.

TÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ B

∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· B

°

A

°

A

¢

¢

∫˘ÚÙ‹

∫˘ÚÙfi ∂

£

£ µ

B

∑ °

¢ A

ÌË Î˘ÚÙ‹ ° A

¢ ∏

£

∑ ∂

ÌË Î˘ÚÙfi


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·155

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 155 -

ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· 

¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È ›Û· , ·Ó Û˘Ì›ÙÔ˘Ó , fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÙÔ ¤Ó· Â¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ηٿÏÏËÏÔ ÙÚfiÔ. ™Ù· ›Û· Û¯‹Ì·Ù·, Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ.



¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

¶ÂÚ›ÙˆÛË 1Ë

A

E

B

°

¢

A

A

B

Z

£

∑ B

B

A

c

c ∏

°

¢

°

¢

¶ÂÚ›ÙˆÛË 2Ë

£ ¢

°

¢

µ

°

∞ ¢

∞ ¢

c

c µ

°

µ

°

µ

°

c ∂

™ÙÚ¤ÊÔ˘Ì ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›Û˜. 

° B

[


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·156

- 156 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ Ì ÙÚ›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·: ∑ °

∞ µ

°

µ

¢

µ

µ ∞ (·)

¢

∏ (‚)

° (‰)

(Á)

2.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) ¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ∧ ∞µ Î·È µ°; (‚) ¶ÔÈ· ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ÁˆÓ›· ° ; (Á) ¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È y ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞°;

3.

¡· ÁÚ·ÌÌÔÛÎÈ¿ÛÂȘ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ÙË ÁˆÓ›· ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞.

4.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÚ›ÁˆÓÔ Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ∞ ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ∧ ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿, µ ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ∧ ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ° ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·. (·) ¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ°; (‚) ¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ;

5.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “X” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) (‚)

∂À£À°ƒ∞ªª∞ ∫√ƒÀº∂™ ¶§∂Àƒ∂™ ™Ã∏ª∞∆∞ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

∞ƒπ£ª√™ ™∏ª∂πø¡ 1

°ø¡π∞

2

Tƒπ°ø¡√

3

∆∂∆ƒ∞¶§∂Àƒ√

4

¶∂¡∆∞¶§∂Àƒ√

5

x

∞ƒπ£ª√™ √ƒπ∑√ª∂¡ø¡ ∂À£∂πø¡ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π Œ¯ÂȘ ·›ÍÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ TANGRAM; ™¯Â‰›·Û ے ¤Ó· ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Û¯‹Ì· Ì ÏÂ˘Ú¿ 10 cm Î·È ÌÂÙ¿ Îfi„ ٷ ÔÎÙÒ ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÊÙÈ¿ÍÂȘ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·’ ·˘Ù¿.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·157

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 157 -

µ.1.3. ª ¤ Ù Ú Ë Û Ë , Û ‡ Á Î Ú È Û Ë Î · È È Û fi Ù Ë Ù ·  ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì ˆ Ó Ù Ì Ë Ì ¿ Ù ˆ Ó - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ - ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ›‰·Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. To ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ Û¯‹Ì·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚËı›, Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ·ÔÙÂÏ› ‚·ÛÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ∆È Â›Ó·È fï˜ ̤ÙÚËÛË Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜ Ì‹ÎÔ˘˜ ;

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ ∞fi Ù· Ôχ ·ÏÈ¿ ¯ÚfiÓÈ·, ÔÈ ·Ó¿ÁΘ Ù˘ ˙ˆ‹˜, ˘Ô¯Ú¤ˆÛ·Ó ÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ó ‰È¿ÊÔÚ· ÌÂÁ¤ıË. °È· Ó· Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó ÔÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¤ÚÂ ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚ¿ ˘ԉ›ÁÌ·Ù·, Ù· ÔÔ›· Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ Ô Î·ı¤Ó·˜ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛÙÈÁÌ‹ Ù· ¯ÚÂÈ·˙fiÙ·Ó. ∞Ú¯Èο ÛÙË Ì¤ÙÚËÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó Ù· ̤ÏË ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ô ‚ËÌ·ÙÈÛÌfi˜, ÙÔ ‰¿ÎÙ˘ÏÔÈ”, ÔÈ ¿ÓÔÈÁÌ· ÙˆÓ ¯ÂÚÈÒÓ Î·È ÙÔ ‡„Ô˜. ŒÙÛÈ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜, fiˆ˜: ÔÈ “‰ fi‰Â˜”, ÔÈ “ ·Ï¿Ì˜” Î.·. ∞˘Ù‹ ÙËÓ ·ÏÈ¿ Û˘Ó‹ıÂÈ· ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ Î·È “ Û‹ÌÂÚ· ÛÙȘ Úfi¯ÂÈÚ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì·˜: “∆Ô ·ÓÙ·ÏfiÓÈ ı¤ÏÂÈ ‰˘Ô ‰¿ÎÙ˘Ï· Ì¿ÎÚÂÌ·”, “∆Ô ¯ÔÚÙ¿ÚÈ „‹ÏˆÛ ÌÈ· Èı·Ì‹”, “∆Ô ÛοÊÔ˜ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 40 fi‰È·”, “∆· ‰›ÎÙ˘· ¤ÊÙ·Û·Ó ÛÙȘ 50 ÔÚÁȤ˜”, “µ¿Ï ÛÙÔ ÔÙ‹ÚÈ ¤Ó· ‰¿ÎÙ˘ÏÔ ÎÚ·Û›”, “∆Ô ¤Ó·ÏÙÈ ¯Ù˘È¤Ù·È ÛÙ· 11 ‚‹Ì·Ù·”, Î.Ï. √È ÌÔÓ¿‰Â˜ ·˘Ù¤˜, ·Ó Î·È Ôχ ¯Ú‹ÛÈ̘, ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¯¿ÓÔ˘Ó ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘˜ ‰ÈfiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜, ·ÊÔ‡ fiÏÔÈ ÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜, ÙËÓ ›‰È· ·Ï¿ÌË, ÙÔ ›‰ÈÔ ¿¯Ô˜ ‰·ÎÙ‡ÏˆÓ Î·È ÙÔ ›‰ÈÔ ¿ÓÔÈÁÌ· ÛÙÔ ‚‹Ì· ÙÔ˘˜. ŸÛÔ fï˜ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·Ó ÔÈ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ÎÔÈӈӛ˜ ÙfiÛÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ÎÚ›‚ÂÈ· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ .¯. ÁÈ· ÙÔ ÎÙ›ÛÈÌÔ ÙˆÓ ÛÈÙÈÒÓ, ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ·Ú‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¤ÚÁˆÓ, ÙËÓ Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ Á˘, Î.Ï. ™ÙËÓ ·Ú¯·›· ∞›Á˘ÙÔ, ÌÂÙ¿ ·fi οı ÏËÌ̇ڷ ÙÔ˘ ¡Â›ÏÔ˘, Ë Ï¿ÛË Î¿Ï˘Ù ٷ Û‡ÓÔÚ· ÙˆÓ ÎÙËÌ¿ÙˆÓ. À‹Ú¯·Ó ÙfiÙ ÂȉÈÎÔ› ˘¿ÏÏËÏÔÈ, ÔÈ “·Ú‰ÔÓ¿Ù˜”, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂfiÙ¢·Ó ÙËÓ Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÂÎÙ¿ÛˆÓ. ·Ú‰fiÓË”. ™ÙȘ ηٷÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤Î·Ó·Ó Ì’ ¤Ó· ÂȉÈÎfi Û¯ÔÈÓ› Ì ÎfiÌÔ˘˜, ÙËÓ “· √È ·Ú¯·›ÔÈ ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ, ·fi ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ‚·ÛÈϤ· ™¤ÛˆÛÙÚË (ηٿ ÙÔÓ ∏Úfi‰ÔÙÔ), ÙËÚÔ‡Û·Ó ÛÙÔȯ›· ̤ÙÚËÛ˘ ÙˆÓ ÂÎÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ηÏÏÈÂÚÁÔ‡Û·Ó ÁÈ· Ó· Ù· Í·Ó·‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÌÂÙ¿ ÙȘ ÂԯȷΤ˜ ÏËÌ̇Ú˜ ÙÔ˘ ¡Â›ÏÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡. ÕÏψÛÙ °Âˆ - ÌÂÙÚ›· ÛËÌ·›ÓÂÈ Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ °Ë˜. ∞ÏÏ¿ Î·È ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ˘ԉ›ÁÌ·Ù· ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ Û ÔÏÏ¿ Ú¿ÁÌ·Ù· ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ¯Ú‹Û˘. ŸÙ·Ó ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë ÂÈÎÔÈÓˆÓ›· Ï·ÒÓ Î·È ÎÚ·ÙÒÓ, Ì ٷ Ù·Í›‰È· Î·È ÙÔ ÂÌfiÚÈÔ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎÂ Ë ·Ó¿ÁÎË Ó· ηıÈÂÚˆıÔ‡Ó ÎÔÈÓ¤˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÁÈ· ηχÙÂÚË Û˘ÓÓÂÓfiËÛË Î·È ·ÔÊ˘Á‹ Ù˘ Ù·Ï·ÈˆÚ›·˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·ÙÚÔÒÓ ·’ ÙË Ì›· ÌÔÓ¿‰· ÛÙËÓ ¿ÏÏË, fiˆ˜ .¯. ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ∞ı‹Ó· ·fi ÙÔÓ ™fiψӷ.


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- 158 -

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10:15

™ÂÏ›‰·158

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∆Ô 1791, ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ∂·Ó¿ÛÙ·ÛË, Ë °·ÏÏÈ΋ ∞η‰ËÌ›· ·Ó¤ıÂÛ Û ÌÈ· ÔÌ¿‰· ÂÈÛÙËÌfiÓˆÓ, ·’ fiϘ ÙȘ ¯ÒÚ˜ Ù˘ ∂˘ÚÒ˘, Ó· ‚ÚÔ˘Ó ¤Ó· ·Ïfi Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÓ¿‰ˆÓ ̤ÙÚËÛ˘. √È ÌÔÓ¿‰Â˜ Ô˘ ˘ÈÔıÂÙ‹ıËÎ·Ó ÙÂÏÈο ¿ÚıËÎ·Ó ·fi ÙË Ê‡ÛË Î·È ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ηıÈÂÚÒıËΠӷ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰· ÙÔ “̤ÙÚÔ”, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ 1 ·fi Ù· 40.000.000 ›Û· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ô˘ ¯ˆÚ›ÛÙËÎÂ Ô Á‹ÈÓÔ˜ ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓfi˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ¶·Ú›ÛÈ. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·. ªÂÙ¿ ·fi ¤Ó· ·ÚÁfi ÍÂΛÓËÌ·, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ηıÈÂÚÒıËÎÂ Î·È ÙÔ 1875 ȉڇıËΠÛÙË ™Â‚Ú (ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ) ÙÔ ¢ÈÂıÓ¤˜ °Ú·ÊÂ›Ô ª¤ÙÚˆÓ Î·È ™Ù·ıÌÒÓ, fiÔ˘ Ê˘Ï¿¯ÙËÎ·Ó Ù· ηٷÛ΢·Ṳ̂ӷ ·fi Ï·Ù›Ó· ÚfiÙ˘· “̤ÙÚÔ” Î·È “¯ÈÏÈfiÁÚ·ÌÌÔ”. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ‰ÂÓ ˘ÈÔıÂÙ‹ıËΠ·Ì¤Ûˆ˜ ·’ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ï·Ô‡˜, Ô˘ ÚÔÙ›ÌËÛ·Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ‰Èο ÙÔ˘˜ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, fiˆ˜ Ù· ›¯·Ó Û˘ÓËı›ÛÂÈ, ·Ú’ fiÏÔ Ô˘ ‹Ù·Ó ÈÔ ÔχÏÔη. ™ÙË ÓÂÒÙÂÚË ∂ÏÏ¿‰·, ηıÈÂÚÒıËΠ̠ÓfiÌÔ, ÙÔ 1959, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ì¤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·. ™ÙËÓ ∞ÁÁÏ›·, ÙËÓ ∞ÌÂÚÈ΋ Î·È Û ÌÂÚÈΤ˜ ·ÎfiÌË ¯ÒÚ˜, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ̤ÙÚËÛ˘ Â›Ó·È ‰ˆ‰Âη‰ÈÎfi Î·È Ë ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ Â›Ó·È Ë ˘¿Ú‰· ‹ ÁÈ¿Ú‰· (yd). H 1 ÁÈ¿Ú‰· (yd) ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û 3 fi‰È· (ft), Î·È ÙÔ 1 fi‰È (ft) Û 12 ›ÓÙÛ˜ (in). √È Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È: 1 yd = 3 ft = 36 in 1 yd = 0,9144 m = 91,44 cm 1 ft = 12 in 1 ft = 0,3048 m = 30,48 cm 1 in = 0,0254 m = 2,54 cm ™ÙȘ ›‰È˜ ¯ÒÚ˜ ÁÈ· ̤ÙÚËÛË ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ Ì›ÏÈ, Ô˘ ›ӷÈ: 1 Ì›ÏÈ = 1609 m = 1,609 km ™ÙË Ó·˘ÙÈÏ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÁÈ· ÌÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ, Ô˘ ›ӷÈ: 1 Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ = 1852 m.

ª¤ÙÚËÛË Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ 

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô‰ËÁËı‹Î·Ì ÛÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÌÈ· ÌÔÈÓ‹ ÌÔÓ¿‰· Û‡ÁÎÚÈÛ˘. ŒÙÛÈ, οı ۇÁÎÚÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÌÔÓ¿‰· ϤÁÂÙ·È Ì¤ÙÚËÛË. ŒÙÛÈ, ÁÈ· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ:



ªÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ “̤ÙÚÔ” (m)

 °È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠¤Ó· ·ÓÙ›ÁÚ·ÊÔ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Ì’ ·˘Ùfi, fiˆ˜ ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ.

 ∂¿Ó fï˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘, ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ, ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ¤Ó· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ‹ ÌÈ· ˘ԉȷ›ÚÂÛË ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi. 

°È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ۯÂÙÈο ÌÈÎÚ¿ Ì‹ÎË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, Û˘Ó‹ıˆ˜, ÙÔ 1 ) ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ . ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· ‰¤Î·ÙÔ ( 10


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·159

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 159 -

 °È· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· Ì‹ÎË, fiˆ˜ .¯. ¤Ó·Ó ÙÔ›¯Ô ‹ ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË ÌÂÙÚÔÙ·ÈÓ›·.

 °È· Ôχ ÌÈÎÚ¿ Ì‹ÎË .¯. ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÌÈ·˜ ‚›‰·˜ ‹ ÙÔ ¿¯Ô˜ ÌÈ·˜ Ï·Ì·Ú›Ó·˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ·¯‡ÌÂÙÚÔ ‹ ÙÔ ÌÈÎÚfiÌÂÙÚÔ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. O N O M ∞ ™ π ∞ ª √ ¡ ∞ ¢ ∞ ™ ª ∏ ∫ √ À ™ ™Àªµ√§√ ¶√§§∞¶§∞™π√ ª∂∆ƒ√À

À¶√¢π∞πƒ∂™∂π™ ∆√À ª∂∆ƒ√À

ÃÈÏÈfiÌÂÙÚÔ

∫m

ª∂∆ƒ√

m

¢ÂηÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ·Ï¿ÌË

dm

EηÙÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ fiÓÙÔ˜

cm

ÃÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ¯ÈÏÈÔÛÙfi

mm

™Ã∂™∏ ª∂ ∆√ ª∂∆ƒ√

1 ∫m = 1000 m

1 dm = 1 cm = 1 mm =

1 m = 0,1 m 10

1 m = 0,01 m 100

1 1000

m = 0,001 m

H Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: 1m

=

10 dm =

100 cm =

1000 mm

1 dm =

10 cm =

100 mm

1 cm =

10 mm

H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛËÌ›ˆÓ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÈÔ Û˘ÓËıÈṲ̂Ó˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, Ô˘ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÛÙË ˙ˆ‹ .¯. ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Î.Ï. ¶Ò˜ fï˜, ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ Î·È Ò˜ ÙË ÌÂÙÚ¿ÌÂ; ∞

B

3,8



Œ¯Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. ÷ڿ˙Ô˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÙÔ ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ. µÚ›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 3,8 cm.



§¤Ì fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ Â›Ó·È 3,8 cm Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞µ = 3,8 cm.

™˘ÓÂÒ˜:  AfiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ ϤÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ô˘ Ù· ÂÓÒÓÂÈ. ¶Ú¤ÂÈ, fï˜, Ó· ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ì οÙÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi: 

ªÂ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ∞µ ÂÓÓԇ̠ٷ˘Ùfi¯ÚÔÓ· ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Ú¿ÁÌ·Ù·: ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ·ÏÏ¿ Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.



°È· Ó· ͯˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, Û˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi (∞µ). ∞ÏÏ¿ ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi, ÁÈ· ·ÏÔ‡ÛÙ¢ÛË, ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·Ï¿: Ì‹ÎÔ˜ ∞µ.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·160

- 160 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

™˘¯Ó¿ ·Îԇ̠ÙË ÊÚ¿ÛË: “µÚÈÛÎfiÌ·ÛÙ ÛÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜...” Î·È Î·Ù·Ï·‚·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ·¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ·fi Ù· ‰‡Ô ¿ÎÚ·. ∆È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ̤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜; 

ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. ∞

M

B

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ: (·) Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È (‚) Ì ‰È·‚‹ÙË.

§‡ÛË ∞

B

(·)

ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ∞µ = 3,2 cm. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Ì ̋ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì 3,2 cm, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì·.

(‚)

∞ÓÔ›ÁÔ˘Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ÒÛÙÂ Ë Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ó· ·ÎÔ˘Ì¿ÂÈ ÛÙÔ ∞ Î·È Ë ¿ÏÏË ÛÙÔ µ. ªÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔ˘Ì ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ¿ ÙÔ˘.

3,2 °

¢

3,2

÷ڿ˙Ô˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Â. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙË Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ Â Î·È Ì ÙÔ ¿ÏÏÔ ¿ÎÚÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÁÚ·Ê›‰·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ Â. ∆fiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ.

 B

°

¢

2.

N· ‚ÚÂıÔ‡Ó Î·Ù¿ÏÏËÏÔÈ ÙÚfiÔÈ Û‡ÁÎÚÈÛ˘ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ó· ‰È·Ù˘ˆıÔ‡Ó Ù· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·. √ 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜ Â›Ó·È Ó· οÓÔ˘Ì ÙË Ì¤ÙÚËÛË Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË ∞

B

AB = 1,7 cm °

1,7

°

2,4

AB < °¢

1,7

B

AB = 1,7 cm °

¢

°¢ = 1,7 cm

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË ∞

B

AB = 1,7 cm ¢

°¢ = 2,4 cm

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

1,7

AB = °¢

1,7

¢

°¢ = 1,4 cm

1,4

AB > °¢


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·161

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 161 -

√ 2Ô˜ ÙÚfiÔ˜ Â›Ó·È Ó· Ù· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ∞ÎÔ˘Ì¿Ì ÙË Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ÛÙÔ ∞ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ÛÙÔ µ. ªÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ¿ ÙÔ˘ Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ Â› Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ °¢. √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË

µ

°

¢

¢

∆Ô ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∞ µ < ° ¢

3.

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË

µ

°

¢ ¢

°

∆Ô ¢ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ Ù· ∞µ Î·È °¢ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞ µ = ° ¢

µ

¢ ¢

∆Ô ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∞ µ > ° ¢

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.

§‡ÛË ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ∞µ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È: ∞ª = 3,8 : 2 = 1,9 cm . ∞ÏÏ¿ ÙfiÙÂ Î·È ªµ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. ¢ËÏ·‰‹: ∞ª = ªµ.



ª

3, 8 :2=1,9

B

3, 8

√ÔÈÔ‰‹ÔÙ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤¯ÂÈ ¿ÓÙ· ¤Ó· ̤ÛÔ ª, Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

- 162 -

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·162

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ϤÁÂÙ·È ............................................... ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ. (‚)

ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ª Ô˘ ............. .............. ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.

2.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ❑ ÕÂÈÚ˜ ¢ı›˜, ❑ ª›· ÌfiÓÔ Â˘ı›·, ❑ ¢‡Ô ÌfiÓÔ Â˘ı›˜.

3.

ŒÓ· ÙfiÈ ‡Ê·ÛÌ· Â›Ó·È 65 m. ¶Ô˘Ï‹ıËÎ·Ó ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ì ̋ÎË: 3,5 m, 25 cm, 7,95 m Î·È 3,74 m. ¶fiÛ· ̤ÙÚ· ‡Ê·ÛÌ· ¤ÌÂÈÓ ÛÙÔ ÙfiÈ;

4.

∆Ô ÂÌÔÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ Ù˘ ∞ı‹Ó·˜ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙȘ Ô‰Ô‡˜ πÔÎÚ¿ÙÔ˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 619 m, ∫ÏÂÈÛı¤ÓÔ˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 271 m Î·È ¶ÂÚÈÎÏ¤Ô˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 205 m. ¶fiÛ· ‚‹Ì·Ù· ı· οÓÂÈ ¤Ó·˜ Â˙fi˜ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È ÂÚÈÌÂÙÚÈο ÛÙÔ ÂÌÔÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÙÔ Î¿ı ÙÔ˘ ‚‹Ì· Â›Ó·È 75 cm.

5.

ŒÓ·˜ ·ÁÚfiÙ˘ ı¤ÏÂÈ Ó· ÂÚÈÊÚ¿ÍÂÈ ¤Ó·Ó ·ÁÚfi Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÏÂ˘Ú¿˜ 15,3 m. ¢È·ı¤ÙÂÈ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ·, Ì‹ÎÔ˘˜ 60 m 3 dm 18 cm. ¡· ‚ÚÂı›, ·Ó ı· ÙÔ˘ ÊÙ¿ÛÂÈ ÙÔ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· ‹ ·Ó Ú¤ÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Î·È ¿ÏÏÔ.

6.

√ ‰ÈÏ·Ófi˜ ›Ó·Î·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Û m Î·È Û km ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Ï·ÓËÙÒÓ. ¡· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó Ù· ÎÂÓ¿:

7.

8. 9.

∞ÎÙ›Ó· Aºƒ√¢π∆∏ °∏ ∞ƒ∏™ ¢π∞™

ÛÂ m 6.085.000

ÛÂ km 6.378 3.750

71.400.000

√È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ∞µ µ° °¢ ¢∂ ∂∞ ¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ cm 517 1250 ¤ÓÙ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ dm 7,6 ∞µ°¢∂, ÂÎÊÚ·Ṳ̂ӷ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈm 4,2 0,84 Τ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜. ¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Û cm, dm Î·È m. ¶¿Ú ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÚ›· ÛËÌ›· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· ·¤¯ÂÈ 2,7 cm ·fi ÙÔ ∞. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ∞x Î·È ∞x. ¡· ‚ÚÂȘ ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x ‰‡Ô ÛËÌ›· µ Î·È °, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞µ = 3 cm Î·È ∞° = 3,8 cm. ∂›Û˘ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Ó· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ∞¢ = 3 cm. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ (·) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢ Î·È (‚) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ Î·È ∞¢.

10.

™Â Ì›· ¢ı›· Â, ¿Ú ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞µ=2,5 cm, µ°=3 cm Î·È °¢=2,5 cm. EͤٷÛ ·Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢ Â›Ó·È ›Û·.

11.

∆Ô Ì¤ÛÔ √ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ·¤¯ÂÈ 4,2 cm ·fi ÙÔ ¿ÎÚÔ ∞. ¶fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ;

12.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ. ¡· ‚ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª, ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ·¤¯ÂÈ 3,3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È Ó· ÌË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ Â˘ı›· ∞µ. ¡· ʤÚÂȘ ÙËÓ Â˘ı›·, Ë ÔÔ›· ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ª Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:15

™ÂÏ›‰·163

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 163 -

µ.1.4. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë Î · È · Ê · › Ú Â Û Ë Â ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì ˆ Ó Ù Ì Ë Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ∞µ°¢ Î·È ∞∂¢, Ó· ‚ÚÂı› ÔÈ¿ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·fi ÙȘ ‰‡Ô Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚÔ˜ ‰ÚfiÌÔ˜, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ Î·Ó›˜ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ ÛÙËÓ fiÏË ¢ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚ÚÂı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ·˘ÙÒÓ;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

µ

¢ £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2. ™ÙËÓ Â˘ı›· ∞ Â1 ·›ÚÓÔ˘ÌÂ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË, ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞µ°¢, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ∞µ, µ° Î·È °¢. ™ÙËÓ Â˘ı›· Â2 ° ·›ÚÓÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂ Î·È ∂¢ ›Û· Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞∂¢. ∂ ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË Û˘Ó¤ÓˆÛË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ∞µ°¢ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ·˘Ù‹˜. ŸÌÔÈ· Î·È ÁÈ· ÙËÓ ∞∂¢ . ™˘ÓÂÒ˜, Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ Ù· ·Ú·¿Óˆ Ì‹ÎË, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ∞µ°¢ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞∂¢. °È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì µ ¢ ° ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ∞ Â1 ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠∞ ∂ ¢Â 2 Û ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â3 ª  ∫ § ÙÌ‹Ì· ∫§, ›ÛÔ Ì ÙÔ 3 ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞¢, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â1 Î·È ÙÌ‹Ì· ∫ª, ›ÛÔ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞¢, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â2. ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· §ª Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ∞µ°¢ Î·È ∞∂¢.

(·)

(‚)

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

°È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ù· ÙÔÔıÂÙԇ̠‰È·‰Ô¯Èο ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·. ∆Ô ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Î·È ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. °È· Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ù· ÙÔÔıÂÙԇ̠̠ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ ÛÙËÓ ›‰È· ËÌÈ¢ı›·. ∆Ô ÙÌ‹Ì· Ô˘ ·Ú¯›˙ÂÈ ·fi ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ·ÔÙÂÏ› ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜.





H ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ›ٷÈ.  ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Ì ٷ ›‰È· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ. ∞  ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ı· ÙÔ Ï¤Ì ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

° ¢ µ


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:16

- 164 -

™ÂÏ›‰·164

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞µ°¢∂ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∑∏, fiˆ˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·.

µ ¢ ∞ ∑

°

∂ ∏

2.

¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜, Ì 2,5 cm. µÚ˜ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· µ°, Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ µ∂ Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

3.

ªÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤ÓÙ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. ∆· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞µ, µ°, °¢, ¢∂ Î·È ∂∑ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 16 mm, 9 mm, 12 mm, 14 mm Î·È 2 cm. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ∞∑.

4.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞µ°¢∂ Ì Ï¢ڤ˜ ∞µ = 0,4 m, µ° = 3 dm, °¢ = 50 cm Î·È ¢∂ = 380 mm.

5.

N· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∫, §, ª Î·È ¡ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ: ∫§ = 6 cm, KM = 16 cm Î·È KN = 20 cm. ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ §ª, §¡ Î·È ª¡.

6.

™Â Ì›· ËÌÈ¢ı›· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞µ = 3 cm, µ¢ = 5,5 cm Î·È ∞° = 4,6 cm. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: (·) ∞¢, (‚) µ° ,(Á) ∞° + °¢ Î·È (‰) ∞¢–¢µ.

7.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ: ∞¢ = 6 cm, AB = ∞¢/6 Î·È µ° = ∞¢/3. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢.

8.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ µ° Ó· Â›Ó·È Î·Ù¿ 4 cm ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ∞µ Î·È Î·Ù¿ 3 cm ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = 14 cm, Ó· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ µ° Î·È °¢.

9.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞µ=2 cm, B°=0,5 ∞µ Î·È ∞¢=2,5  ∞µ. ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ µ¢ Î·È ∞°.

10.

¶¿Ú Û ÌÈ· ¢ı›· Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞µ=2 cm, A° = 3 cm, °¢ = 1,5 cm Î·È ∞∂ = 6,2 cm. N· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ∞¢ Î·È °∂.

11.

¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 4,5 cm. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ∞µ ¿Ú ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ∞∫=3 cm Î·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô §, Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È µ§=3,5 cm. (·) ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∫§, (‚) ™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ó· Â›Ó·È ∫§ = 11 cm; (Á) N· ‰È¢Ú¢ӋÛÂȘ, Û ÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙÔ ∫§ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 11 cm.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π °È·Ù› ÙÔ ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ó‡ÛÂÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ ÏÔ›Ô, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ ·fi ÙËÓ ∞ı‹Ó· ÛÙË ™¿ÌÔ;


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:16

™ÂÏ›‰·165

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 165 -

µ.1.5. ª ¤ Ù Ú Ë Û Ë , Û ‡ Á Î Ú È Û Ë Î · È È Û fi Ù Ë Ù · Á ˆ Ó È Ò Ó - ¢ È ¯ Ô Ù fi Ì Ô ˜ Á ˆ Ó › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ŒÓ·˜ ·Ù¤Ú·˜ Î·È Ô ÁÈÔ˜ ÙÔ˘ Á˘ÌÓ¿˙ÔÓÙ·È Î·È Î¿ÓÔ˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ·Û΋ÛÂȘ. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ Â¿Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù· fi‰È· ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙ¿ÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ›Û˜;

➣ ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘ Û¯ÂÙÈο Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ÙÔ˘ ·ÓÔ›ÁÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ô‰ÈÒÓ ÙÔ˘˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

H ̤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ.



√ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.



ªÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È Ë ÌÔ›Ú·, Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 1Æ.



= 60  ( ‰  ‡ Ù Â Ú · Ï Â  Ù ¿ ) . ∂›Ó·È: 1Æ = 60 (ÚÒÙ· ÏÂÙ¿) Î·È 1= y

∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: 

∫¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÙÚÔ Ô˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ “¿ÓÔÈÁÌ·” ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ .



∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›Û˜ .

70Æ x √



™ÙÔ ÂÍ‹˜ Ì xO y ‹ ˆ ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘.

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ H ÌÔ›Ú· ·Ó‹ÎÂÈ Û ÂÍËÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ (Ì ‚¿ÛË ÙÔ 60). ∞˘Ùfi ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·fi ÙÔ˘˜ µ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜, ‰ËÏ·‰‹ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ÚÈÓ ·fi ÙÔ 2100 .Ã. √ ÏfiÁÔ˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÂÈο˙ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Ë ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÂÓÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ·Ú›ıÌËÛ˘, Ô˘ ˘‹Ú¯·Ó ÂΛÓË ÙËÓ ÂÔ¯‹ (Ì ‚¿ÛË ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 12). ÕÏÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ¿Ô„Ë fiÙÈ Ë ‚¿ÛË 60 ηıÈÂÚÒıËΠ·fi ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›· Î·È ¿ÏÏÔÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÂÈÏÂÁ› ÁÈ· ‚¿ÛË Ô ·ÚÈıÌfi˜ 60 ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ÔÏÏÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜. ™ËÌ·Û›· ¤¯ÂÈ fiÙÈ Ì¤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ· ¤¯ÂÈ ÂÈÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ÙÔ ÂÍËÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Î.Ï.


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

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™ÂÏ›‰·166

- 166 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Á›ÓÂÈ Û‡ÁÎÚÈÛË ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Ì ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›.

§‡ÛË 

∞ÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ∞OB ÛÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›.

µ

µ

c √



c

∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ·ÔÙ‡ˆÌ· ¿Óˆ ÛÙË ÁˆÓ›· §∫ ¡ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ √ Ó· Ù·˘ÙÈÛÙ› Ì ÙÔ ∫ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ √∞ Ì ÙË ∫§. ∆fiÙ ̛· ÌfiÓÔ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÌÔÚ› Ó· ÂÌÊ·ÓÈÛÙ›.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË

¡

¡

¡

§

§

§

¡

¡µ

µ

µ

¡ ∫ √

§ ∞

∞OB = §KN

2.

∫ √

§ ∞

∞OB < §KN

§ ∞

∫ √

∞OB > §KN

N· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞

§‡ÛË To ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ ∞µ = ∞°. ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ∧ ∧ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° . µ

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ:



√È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.

‚¿ÛË

°


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™ÂÏ›‰·167

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 167 -

y

Ÿˆ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌ›Ô, ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘, Ô˘ ÙÔ ‰È·ÈÚ› Û ‰‡Ô ›Û· ̤ÚË, ¤ÙÛÈ Î·È Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ Ì›· ËÌÈ¢ı›· ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘, Ô˘ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÂ



ˆ ˆ

‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜

z

¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ËÌÈ¢ı›· Ô˘

x

¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

3.

¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· xOy. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘.

§‡ÛË 1o˜ ÙÚfiÔ˜: ª Â Ù Ô Ì Ô È Ú Ô Á Ó ˆ Ì fi Ó È Ô ∧

ªÂÙÚ¿Ì ÙË ÁˆÓ›· xOy Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ∧ ˆ. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· √z, ̤۷ ÛÙË ÁˆÓ›·, ∧ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ë ÁˆÓ›· xOz, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ›‰È· ∧ ˆ ÎÔÚ˘Ê‹ √, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ √x Î·È Ì¤ÙÚÔ . 2 ∧

ˆ y ∧

ˆ 2

∧ ∧ ˆ ˆ TfiÙÂ Î·È Ë ÁˆÓ›· zOy ı· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ: ˆ – = 2 2 .



z

x O

ÕÚ· Ë ËÌÈ¢ı›· √z Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜, ‰ÈfiÙÈ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

2o˜ ÙÚfiÔ˜: ª  d ›  Ï ˆ Û Ë ¯ · Ú Ù È Ô ‡ ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙÈÔ‡ ۯ‰›·Û˘. ∆Ô ‰ÈÏÒÓÔ˘Ì Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÒÛÙÂ Ë Â˘ı›· Ù˘ ÙÛ¿ÎÈÛ˘ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ Ù˘. ∆fiÙÂ Ë Â˘ı›· Ù˘ ÙÛ¿ÎÈÛ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ·ÊÔ‡ Ì ÙË ‰›ψÛË Û˘Ó¤ÂÛ·Ó. ÕÚ· Ë Â˘ı›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.

y z

x O


MEƒ√™ µ'-1-(147-168)

2-11-06

10:16

™ÂÏ›‰·168

- 168 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∞fi ÙÈ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜; (∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË). ❑ ∞fi ÙÔ “¿ÓÔÈÁÌ·” ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ❑ ∞fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ❑ ∫·È ·fi Ù· ‰‡Ô ·Ú·¿Óˆ.

2.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ÁˆÓ›· xO y=76Æ. ¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· √z Ô˘ Ó· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· ∧ xO y Û ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Ë Ì›· Ó· Â›Ó·È 56Æ.

3. 4.

™¯Â‰›·Û ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ì = 48Æ, Ï =72Æ, Î =17Æ, „ =6Æ, Ú = 90Æ, Ê = 170Æ, ˆ = 215Æ Î·È ı =318Æ.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁˆÓÈÒÓ: Á

·

Â

Ì

Ï Î

5.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Ó· ÙȘ ÁÚ¿„ÂȘ ηٿ ÛÂÈÚ¿ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÚÔ˜ ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË. ‚ ‰

Á

·

6.

ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ (·) ˆ Î·È Ê , (‚) Ê Î·È Ú , (Á) ˆ Î·È Ú , (‰) „ Î·È Î , (Â) „ Î·È Ï , (ÛÙ) „ Î·È Ì , ∧ ∧ (˙) Ú Î·È ı .

Ê

Ú

ı

ˆ

7.

Ï

Ì Î

™¯ËÌ¿ÙÈÛ ÁˆÓ›Â˜ (·) 48Æ, (‚) 72Æ Î·È (Á) 144Æ Î·È Û¯Â‰›·Û ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ·˘ÙÒÓ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

™¯Â‰›·Û ÙËÓ ÔÚ›· ÌÈ·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ ʈÙfi˜, Ë ÔÔ›· ÚÔÛ›ÙÂÈ Û ηıÚ¤ÙË Î·È ·ÓÙ·Ó·ÎÏ¿Ù·È.

2.

™¯Â‰›·Û ÙË Î›ÓËÛË ÌÈ·˜ Ì¿Ï·˜ ÌÈÏÈ¿Ú‰Ô˘ Ô˘ οÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ Î·È Ù¤ÛÛÂÚȘ ·Ó·ÎÏ¿ÛÂȘ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÌÈÏÈ¿Ú‰Ô˘.


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:43

™ÂÏ›‰·169

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 169 -

µ.1.6. ∂ › ‰ Ë Á ˆ Ó È Ò Ó - ∫ ¿ ı Â Ù Â ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™Â fiÏ· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰È¿ÊÔÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË, οı ÊÔÚ¿, ‰‡Ô ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, fiˆ˜ .¯. Â›Ó·È ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡, Ù· fi‰È· ÙˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ, Ù· ÊÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ·ÂÙÔ‡ Î.Ï. ∏ ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÙÔÔıÂÙ‹ıËÎ·Ó Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ÛΛÙÛ· Â›Ó·È Ù˘¯·›·.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·;

ªË‰ÂÓÈ΋

OÍ›·

∞Ì‚Ï›·

√Úı‹

∂˘ı›·

ªË ΢ÚÙ‹

¶Ï‹Ú˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ∆Ô Û›ÙÈ Ù˘ ‰ÈÏ·Ó‹˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ηÌÈÓ¿‰Â˜.

¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ‰È·ÊÔÚ¿;

¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ÛÙ¤ÁË Î·È ÁÈ·Ù›;

°ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ¤¯Ô˘Ì οıÂÙ˜ ¢ı›˜, ¯ˆÚ›˜ ··Ú·›ÙËÙ· Ó· Â›Ó·È ·˘Ù¤˜ ÔÚÈ˙fiÓÙȘ Î·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê˜;

•¤ÚÂȘ ÁÈ·Ù› ‰Â ¤ÊÙÂÈ Ô ‡ÚÁÔ˜ Ù˘ ¶›˙·˜;

¶Ò˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ Û ¤Ó· ÙfiÔ;

∫·È Ò˜ ÂϤÁ¯Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô ¤¯ÂÈ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ı¤ÛË;


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

8-11-06

16:14

- 170

™ÂÏ›‰·170

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ  √Úı‹ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 90Æ  √È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜

y

x

O y

 √Í›· ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 90Æ x

O y

 ∞Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 90Æ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 180Æ x

O

 ∂ ˘ ı  › · Á ˆ Ó › · ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 180Æ  √È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. x

 MË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 180Æ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 360Æ

y

O

x

O y

 ªË‰ÂÓÈ΋ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0Æ y x

 ¶Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 360Æ

O

x y

 ∏ ËÌÈ¢ı›· Ù˘ ÙÂÏÈ΋˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÌÈ·˜ ÌˉÂÓÈ΋˜ Î·È ÌÈ·˜ Ï‹ÚÔ˘˜ ÁˆÓ›·˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ·˘Ù‹ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÏÂ˘Ú¿˜.

O


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

8-11-06

16:15

™ÂÏ›‰·171

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¢‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ fiÙ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·˘Ù¤˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜, Â›Ó·È ÔÚı¤˜.



°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, ⊥”, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1⊥ÂÂ2 Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “⊥ ‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ: “Ë Â1 Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â2”. ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜) Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜, ϤÁÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ οıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜).

Â2 Â1 B



¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ; 

Â1





- 171 -

°

¢ Â2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜;

§‡ÛË ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙ›. ¢ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ ¯·ÚÙ› ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â2 Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (·) ¢

°

° (Â2)

(Â1)

∞ ∞

c (Â )

(Â1)

2

B

B

(‚) ¢

°

(Â2)

°

c (Â )

2

B

(Â1)

B

(Â1)

√È ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ (ÂÂ1⊥ÂÂ2).

∞ ¢

2.

¢

OÈ ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂ ‰ÂÓ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.

¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜;

§‡ÛË ∞Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ê‡ÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ ·ÓÔ›ÍÔ˘ÌÂ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· Ù۷ΛÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ¿Óˆ ÛÙÔ ¯·ÚÙ›, ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2.

µ

µ

c

(Â1) ∞

µ

c

(Â1) ∞

° (Â2)

(Â1) ∞

° (Â2)

°


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·172

- 172

3.

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Â, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ¢ı›· Â.

1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  Â

Â



∞ ∞

Â

Â

Â

Â

Â

Â

2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ∞ Â



Â

Â

Â

Â

Â

Â

¢›ÓÂÙ·È Ë Â˘ı›· Â Î·È Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢. ¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Â˘ı›˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â.

§‡ÛË

Â2

 

∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë Ì›· ·fi ÙȘ ‰‡Ô οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â. ™‡ÚÔ˘Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Ë ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ó· ¤ÚıÂÈ Û Â·Ê‹ Ì ¤Ó· ·fi Ù· ‰ÔṲ̂ӷ ÛËÌ›·. ∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ∂·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹, ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ∞, µ, ° Î·È ¢ Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.

Â1 ∞

Â3

µ 

Â4



4.

Â

°

¢

° Â

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ∞Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ËÌÈ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ √Í›· ❑ √Úı‹ ❑ ∞Ì‚Ï›·. ∞Ó Û ÌÈ· ÁˆÓ›· Ë ÙÂÏÈ΋ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋, ·ÊÔ‡ οÓÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË (‚) ÛÙÚÔÊ‹, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ ªË‰ÂÓÈÎË ÁˆÓ›· ❑ ∂˘ı›· ÁˆÓ›· ❑ ¶Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›·.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

™¯Â‰›·Û ËÌÈ¢ı›· √x Î·È ¯¿Ú·Í ¢ı›· Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ √ οıÂÙË ÛÙËÓ √x. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ËÌ›ˆÛ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞,µ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ ۯ‰›·Û ¢ı›· οıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ √y. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Ó· ʤÚÂȘ ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ox Î·È √y. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ê¤Ú ·fi οı ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. º¤Ú ·fi Ù· ∞ Î·È µ ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ÂͤٷÛ Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ οıÂÙ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ToÔı¤ÙËÛ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁˆÓÈÒÓ, Ì ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘˜: √Úı‹ - ∂˘ı›· - ¶Ï‹Ú˘ - ∞Ì‚Ï›· - ªË‰ÂÓÈ΋ - ªË ΢ÚÙ‹ - √Í›·.


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·173

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 173 -

µ.1.7. E Ê Â Í ‹ ˜ Î · È ‰ È · ‰ Ô ¯ È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ - Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧

™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ê Î·È ˆ.

➣ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. ¢

µ ∞

° °

ˆ

µ

Ê

µ

Ê

ˆ

ˆ

°

¢

Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ .............. Î·È ÙËÓ ....................... Î·È Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô

Œ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ÎÔÈÓ‹ .................... Î·È Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô

Ê

Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ................ Ì›· ................................... Î·È ...................................

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °



∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, Ì›· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô .

µ ∞

°



¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂfiÌÂÓ‹ Ù˘.

µ ∞

√ ¢


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·174

- 174

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

À¿Ú¯ÂÈ ÙÚfiÔ˜ ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÂÊÂÍ‹˜; µ

§‡ÛË

¢

AÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ÙË Ì›· ÁˆÓ›· Û ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È ÙË ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÂÈ ÂÊÂÍ‹˜ Ì ÙËÓ ¿ÏÏË.

° ∫ √

µ

µ

c

c

¢ ° µ

∫ √

∞ ∞

™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, dËÏ·‰‹ Ó· ‚Úԇ̠ÌÈ· ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ∞˜ ‰Ô‡Ì Ò˜ Á›ÓÂÙ·È ·˘Ùfi.

2.

¡· ‚ÚÂı› Ë ÁˆÓ›·, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ.

§‡ÛË ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, fiˆ˜ οӷÌÂ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ʤÚÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∞√ µ Î·È °∫ ¢ Û ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÔ˘Ó ÂÊÂÍ‹˜. ∆fiÙ ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ √∞ ∧ Î·È √¢ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· Ó¤· ÁˆÓ›· ÙËÓ∧∞√ ¢, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, Ì ÙÔ ∧ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ · + ‚ , ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ∧ ∧ · Î·È ‚ ) ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ. (·

µ ¢ √

c

° µ

·

∫ ‚

¢

c

· ‚

·+‚

¢ ° K


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·175

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

3.

- 175 -

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Ì ̤ÙÚ· 50Æ Î·È 82Æ.

§‡ÛË

x ∧

y

y

ŒÛÙˆ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO x Î·È yO y Ì ̤ÙÚ· ∧ · =50Æ Î·È ‚ =82Æ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

‚ =82Æ

∏ ÁˆÓ›· xO y Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÔÈÁÌ·: ∧

· =50Æ

x

xOy = · + ‚ = 50Æ + 82Æ = 132Æ,

O

Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ.

4.

¢›ÓÂÙ·È Â˘ı›· xx. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ Ù˘ ¢ı›·˜ ʤÚÓÔ˘Ì ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘, ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √y Î·È √z. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

§‡ÛË

Ÿˆ˜ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, Ë ÁˆÓ›· xO x Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ∧ ∧ ∧ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ yO x, yO z Î·È zO x. ÕÚ· ÙÔ ∧ ̤ÙÚÔ Ù˘ ‰ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ∧ ∧ ∧ ̤ÙÚˆÓ · , ‚ Î·È Á ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ, ∧

z y ∧

‰ËÏ·‰‹ ‰ = · + ‚ + Á . ∂Âȉ‹ fï˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘

ÁˆÓ›·˜ xO x Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, Ë ÁˆÓ›·

Á

·

x

·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‰ = 180Æ.

x

O

ÕÚ·, · + ‚ + Á = 180Æ.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È .......................................... . (‚) ∆ÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂfiÌÂÓË Ù˘ ϤÁÔÓÙ·È ............................... . ∞

2.

B

¡· ‚ÚÂȘ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ fiϘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È fiϘ ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜. ∂ °

°

3.

¢

¡· ‚ÚÂȘ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

¢ x

4.

µ

¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. ➊

µ

y

¢

°

O

°

¢ ∫

v

x

°

x

µ

x y

z

x

¢

µ


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·176

- 176

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.8. ¶ · Ú ·  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Î · È ™ ˘ Ì  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó ›  ˜ K·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧

¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;

¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì y



¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.

Ê

ˆ

x

z

O

x



y

™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ. ∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.

‚ ·

x

x



∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ .

y

O y

x


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·177

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 177 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =72Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

§‡ÛË ∧

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ ∧ ∧ ∧ ̤ÙÚÔ ‚ . £· Â›Ó·È ÙfiÙÂ: ‚ = 180Æ– · , ‰ËÏ·‰‹ ∧ ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ– 72Æ = 108Æ.

y

°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ∧ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ xO y, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹˜ √x ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ √, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x, ·ÓÙÈΛÌÂÓË Ù˘ √x. ŒÙÛÈ ∧ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· yO x, Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏË∧ ∧ ڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ÒÛÙ ӷ ∧ ∧ ›ӷÈ: · + ‚ = 180Æ.

2.

‚ =108Æ · =72Æ

x

x

O

¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =33Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘. x

§‡ÛË

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‚ . ∧ ∧ £· Â›Ó·È ÙfiÙ ‚ =∧90Æ– ·, ‰ËÏ·‰‹ ı· ›ӷÈ: ‚ = 90Æ– 33Æ = 57Æ. °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ∧ ÁˆÓ›·˜ xO y ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x ⊥ Ox ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÌÈÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë √y. ∧ ŒÙÛÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· y O x, Ô˘ Â›Ó·È ∧ ∧ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ∧ ∧ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: · + ‚ = 90Æ.

3.

y

‚ =57Æ ∧

· =33Æ

O

x

™Â ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Î·È ÁÈ·Ù›;

∂›Ó·È ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó

¢ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó

¢ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜

¢ÈfiÙÈ ‹ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ‹ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·178

- 178

¡· ÂÍÂÙ·ÛÙ› Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ë Û¯¤ÛË ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ.

x

x x

√ x

y

x

x

y

y

x

y

y

y

4.

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

y

∞Ó·Ô‰ÔÁ˘Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: 

5.

¢‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜..

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜. y

§‡ÛË

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· xO y (Ì ̤ÙÚÔ · = 90Æ) Î·È ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Ù˘, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ‚ ·=90Æ x xxx Î·È yyy. Á √ ‰ ∧ ∧ O y Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO y ∧ Î·È xO ∧ ı· Â›Ó·È ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 90Æ. ∧ ∧ y O y Î·È xO y Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷√È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, xO ∧ ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ – 90Æ = 90Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ O y Î·È xO y Â›Ó·È ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 90Æ . ∧ ∧ ∧ ∧ ∂Ô̤ӈ˜ ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ: · = ‚ = Á = ‰ = 90Æ .

6.

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Â¿Ó Â›Ó·È · =40Æ.

§‡ÛË ∧

∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· Á Î·È · Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜, ∧ ∧ ∧ ∧ ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 40Æ. √È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È · Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ∧ ‚ ·=40Æ ‚ = 180Æ – 40Æ = 140Æ. Á ∧ ∧ ‰ ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ∧ ∧ ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 140Æ

x


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:44

™ÂÏ›‰·179

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 179 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÙfiÙ ϤÁÔÓÙ·È: ❑ ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜.

2. 3.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ Ì›· ÁˆÓ›· 125Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

4. 5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ÁˆÓ›· 35Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÁˆÓ›· Â›Ó·È Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ (·) ÌÈ·˜ ·Ì‚Ï›·˜, (‚) ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜ Î·È (Á) ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜.

°

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È °√ ∞ = ¢√ ∞ = Ê . ¡· Û˘ÁÎÚ›∧ ∧ ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ °√ µ, ¢√ µ Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Û‡ÁÎÚÈÛ˘.

µ

Ê Ê

∞ ¢

6.

√È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ∏ · Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰›ÓÂÙ·È ∧ ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. (·) ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙËÓ · , (‚) Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ∧ ∧ ÙË ‚ Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, (Á) Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙËÓ ‚ . ªÂÙ¿ Ó· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰Èfi ÛÔ˘ ÙÔÓ ›Ó·Î· Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ. ∧

15Æ

·

18Æ

43Æ

77Æ

90Æ

116Æ 169Æ 10

‚ ·fi ̤ÙÚËÛË

‚ ·fi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ∧

7.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

8.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ÁˆÓ›· 37Æ Î·È ÌÂÙ¿ ۯ‰›·Û ÙËÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Ù˘.

147Æ · ‚ 110Æ

Â

9.

¡· ‚ÚÂȘ fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

Â1

‚ · Á ‰ Ï Î Ì Ó

Â2

10.

∂¿Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ Ë Ì›· ÁˆÓ›· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È 57Æ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.

11.

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (¯ˆÚ›˜ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ).

90Æ

‰ 25Æ

· ‚ Á


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:45

™ÂÏ›‰·180

- 180

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.9. £ ¤ Û Â È ˜ Â ˘ ı Â È Ò Ó Û Ù Ô Â  ›  Â ‰ Ô

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë √È ‰È·ÁÚ·ÌÌ›ÛÂȘ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓËÙfi‰ÚÔÌÔ˘ ÛÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È (Ù¤ÌÓÔÓÙ·È) οÔ˘;

ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;

£

I

µ

∏ ∂ ¢

°

§

§∞ƒπ™∞

µ√§√™

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂ø∆π∫∏

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂ø∆π∫∏

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂ø∆π∫∏

∂•√¢√™ 500 m

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë A

º∞ƒ™∞§∞

M

™ÙËÓ ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ: (·) ∞µ Î·È ∏∂, (‚) ∞µ Î·È µ°, (Á) ∏∂ Î·È ∫§, (‰) ∏∑ Î·È ∑∂, (Â) ∞£ Î·È µ°. (¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘).

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô fiÛÔ ÎÈ ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó.



¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.

∂Ô̤ӈ˜:



¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È .

¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ; 

Â1

°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “///” Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1// 2.

Â2

°È· Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ: 

¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ı· ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞µ//°¢.

A

µ Â1 Â2

°

¢


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:45

™ÂÏ›‰·181

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 181 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔȘ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ÔȘ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜.

Â2

Â1

§‡ÛË

‰1//‰ 2). ¶·Ú¿ÏÏËϘ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜ ‰1 Î·È ‰2 (‰ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜: (·) Â1 Î·È Â2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, (‚) Â1 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, (Á) Â1 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂, (‰) Â2 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Î·È (Â) Â2 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.

2.

¢

µ

‰1 ∂ ‰2

°

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Â1, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.

1 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ™Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ‚ϤÔ˘Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ۯ‰ȿÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÙËÓ Â˘ı›· Â1, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â.

➋ ∞

↔↔

Â1 Â

Â

Â

Â1

Â

Â

2 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÁÈ· Ó· ʤÚÔ˘Ì οıÂÙÔ ∞µ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â1 οıÂÙË ·fi ÙÔ ∞ ÛÙËÓ ∞µ Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÏÏËÏË Ù˘ Â.

➊ ∞

Â



Â

µ

Â

µ

Â1

Â

Â

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.

ªÔÚÔ‡ÌÂ, ¿Ú·ÁÂ, Ó· ʤÚÔ˘Ì ÎÈ ¿ÏÏË (‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋) ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ı›· ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â; ¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚfiÙ·ÛË:



Â1 ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·  1 ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â .

Â


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

- 182

8-11-06

19:55

™ÂÏ›‰·182

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô Ù˘ ∞η‰ËÌ›·˜ ÙÔ ÚËÙfi: “ªË‰Â›˜ ·Áˆ̤ÙÚËÙÔ˜ ÂÈÛ›Ùˆ”, ‰›ÓÔÓÙ·˜ ȉȷ›ÙÂÚÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Î·È ÙË ÁÓÒÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆Ô ™ÙÔȯ›·” (13 ‚È‚Ï›·) ÙÔ˘ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚÔ ¤ÚÁÔ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ‹Ù·Ó Ù· “™ ∂˘ÎÏ›‰Ë (330 - 270 .Ã.), Ô˘ ·ÂÙ¤ÏÂÛ ÛÙ·ıÌfi ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ·Ó·‰Â›¯ÙËΠ۠ÚfiÙ˘Ô Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘. ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ Ó‡̷ÙÔ˜. ¢ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì·˙› Ì ÙË µ›‚ÏÔ Â›Ó·È ·fi Ù· Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ô˘ ›¯·Ó ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂΉfiÛÂȘ. √ ‰È¿ÛËÌÔ˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Jean Dieudonné, ¤ÁÚ·„ ÁÈ· Ù· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, fiÙÈ: “∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ Â›Ó·È ›Ûˆ˜ ÙÔ ÈÔ ÂÎÏËÎÙÈÎfi ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. ÿÚË ÛÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ ÌÔÚ¤Û·Ì ӷ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÂÈÛÙ‹ÌË”. ™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ: “ Ù È ˜  ˘ ı  ›  ˜  Π › Ó Â ˜  Ô ˘ √ ∂˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ ¢ڛÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ ÎÈ ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÚË ‰ Â Û ˘ Ó · Ó Ù Ò Ó Ù · È Û Â Î · Ó ¤ Ó · ·  ’ · ˘ Ù ¿ ” (√ÚÈÛÌfi˜ 23) Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ ‰È¿ÛËÌÔ “5Ô ∞›ÙËÌ·”, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “  ¿ Ó Ì È ·  ˘ ı  › ·  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Â È ‰ ‡ Ô Â˘ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜  Ô ˘ Ô È Û ¯ Ë Ì · Ù È ˙ fi Ì Â Ó Â ˜ Á ˆ Ó ›  ˜  › Ó · È Ì È Î Ú fi Ù Â Ú Â ˜ ·  fi ‰ ‡ Ô Ô Ú ı ¤ ˜ ”. ™‹ÌÂÚ· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Ì›· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË”. ÌÔÚÊ‹: “∞ ™ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘Ù‹ Û˘Ó¤‚·Ï ÛËÌ·ÓÙÈο ÙÔ 1899 Ô °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ David Hilbert . ∏ ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ·˘Ù‹˜ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ·‚›·ÛÙ· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ Ì·˜ ÂÌÂÈÚ›·. ŸÌˆ˜, ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ·ÈÒÓ·, ¤ÁÈÓ·Ó ÔÏϤ˜ ·ÔÙ˘¯Ë̤Ó˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì ‚¿ÛË ÙȘ ¿ÏϘ ÈÛ¯‡Ô˘Û˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∏ Ï‹Ú˘ ·ÔÙ˘¯›· ÙˆÓ ÚÔÛ·ıÂÈÒÓ, fï˜, ‰ÂÓ ‹Á ¯·Ì¤ÓË. ∞ԉ›¯ıËΠfiÙÈ ÂΛÓÔ Ô˘ ¤ÊÙ·ÈÁ ‹Ù·Ó ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÁÈÓfiÓÙÔ˘Û·Ó ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ·‰‹ Ë Û˘ÁÁÂÎÚÈ̤ÓË “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·” °ÂˆÌÂÙÚ›·. ŒÙÛÈ ·Ó·Ù‹¯ıËÎ·Ó Î·È ¿ÏϘ ÁˆÌÂÙڛ˜ ÛÙȘ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·›ÙËÌ· ·˘Ùfi. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ô ƒÒÛÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) ÚÔÙ›ÓÂÈ Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ “ÀÂÚ‚ÔÏÈ΋”, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ·ÓÙÈηı›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙËÓ ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó”. ∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ·˘Ù‹ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¿ÍÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, fiˆ˜ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜ Î.·. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È .¯. ÙÔ “ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔÓ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ›Ó·Î· ÙÔ˘ √ÏÏ·Ó‰Ô˘ ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˘ Escher.

∂›Û˘, Ô Bernhard Riemann (1826-1866) ıÂÌÂÏ›ˆÛ ÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓË “∂ÏÏÂÈÙÈ΋” ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ °ÂˆÌÂÙ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: “· η̛· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó” Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· ÛÙËÚ›¯ıËÎÂ Ô Albert Einstein ÁÈ· Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ıˆڛ· ÙÔ˘, Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜.


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:45

™ÂÏ›‰·183

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 183 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “Ô ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È: ❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ❑ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜ ❑ ∫¿ıÂÙ˜ (‚) ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È: ❑ ª›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â. ❑ ¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙËÓ Â. ❑ ∫·Ì›· οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â. (Á) ∞Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜: ❑ ∫¿ıÂÙ˜ ❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ❑ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ................................................................. ¢ı›˜.

(‚)

¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ ......................... .

(Á)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ....................... .

(‰)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È .......................... .

(Â)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È ................... . Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ......................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.

3.

¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â1, Â2 Î·È Â3, ÒÛÙÂ: (·) ÔÈ Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Ó· ÌËÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, (‚) Ë Ì›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô, (Á) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È (‰) Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô.

4.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi.

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ¡· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ √y.

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. ¡· ʤÚÂȘ ·fi Ù· ∞ Î·È µ ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.


MEƒ√™ µ'-1-(169-184)

2-11-06

10:45

™ÂÏ›‰·184

- 184

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.10. ∞  fi Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › Ô ˘ ·  fi  ˘ ı  › · - ∞  fi Û Ù · Û Ë  · Ú · Ï Ï ‹ Ï ˆ Ó ™ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ÛËÌ›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÂÓÒÓÂÈ. – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›·. – ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. ∞˜ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë N· ‚ÚÂȘ Û ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰ËÌfiÛÈÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡ ÓÂÚÔ‡, ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·, Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ë Û‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡, ÒÛÙÂ Ô ÛˆÏ‹Ó·˜ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùfi Ì‹ÎÔ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÛȉËÚÔÙÚԯȤ˜ (· Î·È ‚) ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› ÙÔ ÙÚ·›ÓÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÎÙÚԯȷÛÙ›; ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘; ·→

‚→

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞





∞fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ οıÂÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜, .¯. ÙÔ ∞µ.

∞0 ∞

Â1

µ

Â2


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:57

™ÂÏ›‰·185

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 185 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ‚ÚÂı› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â. ∞

§‡ÛË ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÙÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì .¯. 2,6 cm. ÕÚ·, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ›ӷÈ, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, 2,6 cm.

2.

µ Â

2,6

Â

∞8

∞6

∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0 ÛÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ì ‰È¿ÊÔÚ· ÛËÌ›· ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8 Î·È ∞9 Ù˘ Â. ªÂÙÚ¿Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ∞ ·fi ·˘Ù¿ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂÁ·ÏÒÓÔ˘Ó Û˘Ó¯Ҙ fiÛÔ ·ÔÌ·ÎÚ˘ÓfiÌ·ÛÙ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ∞0, ¿Ú· Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ∞0, Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ›¯ÓÔ˜ Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ ∞.

∞4 ∞2 ∞0 ∞1 ∞3 ∞5 ∞7 ∞9 Â

N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Î·È Ó· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2.

§‡ÛË º¤ÚÓÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ∞¢, ∂µ∑ Î·È ∏° ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2. ªÂÙÚ¿Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¢, ∂∑ Î·È ∏° Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÏ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û·. ÕÚ· Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ›ÛË Ì 2,5 cm.

4.

µ

N· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Â, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜ Ó· Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË.

§‡ÛË

3.

Â1

{ } } ¢

2,5cm

°

2,5cm

2,5cm

µ

Â2

N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â, Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ·fi ·˘Ù‹ 3 cm.

∏ ‰ ∞

Â1

§‡ÛË ™Â Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ª Ù˘  ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›· ‰ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ‰ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ª∞ = ªµ = 3 cm. Afi Ù· ∞ Î·È µ, Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ·, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â. √È Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜, ÁÈ·Ù› Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È 3 cm.

3 cm ª

 3 cm

µ

Â2


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

- 186

2-11-06

10:57

™ÂÏ›‰·186

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ηı¤ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................... ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·. (‚) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ...................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.

2.

™ËÌ›ˆÛÂ, ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Â, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿, Ù· ÛËÌ›· °, µ Î·È ¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È °µ=µ¢=3 cm. ÿڷÍ ÌÈ· ¢ı›·, Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ µ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Î¿ıÂÙË ·˘Ù‹ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ µ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ=4 cm. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢.

3. 4.

¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË, Â¿Ó Â›Ó·È: °µ=6 cm, µ¢=15 cm, ∞µ=8 cm. N· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ÌË ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y. ¡· ¿ÚÂȘ ÛÙËÓ Ox, Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: √∞ = ∞µ = µ° = 2 cm. N· ÔÚ›ÛÂȘ ÛÙËÓ Oy ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È √∞ = 1,6 cm Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙËÓ Â˘ı›· ∞∞. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ʤÚÂȘ ·fi Ù· µ Î·È ° ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞∞ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ µ Î·È ° Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙËÓ √y. ¡· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞µ Î·È µ° . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢, Ù· ÔÔ›· Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ËÌÈÂ›‰· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ë Â ÙÔ Â›‰Ô, Î·È ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó’ ·¤¯ÂÈ ·’ ·˘Ù‹ 3,2 cm. N· ʤÚÂȘ ·fi ηı¤Ó· ·’ ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ¶fiÛ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘;

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ·fiÛÙ·ÛË Ó· Â›Ó·È 35 mm. ¡· ‚ÚÂȘ ¤ÓÙ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙȘ Â1 Î·È Â2. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›·  ·fi ÙÔ ∞ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ Â1 Î·È Â2. ∆· ÛËÌ›· µ, °, ¢ Î·È ∂ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‹ fi¯È ÛÙËÓ Â;

7.

¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x, Ô˘ Ó’ ·¤¯ÂÈ 3 cm ·fi ÙËÓ Â˘ıÂÈ· Â.

B Â

2 cm

∞ x

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ŒÓ· ÏÔ›Ô ·ÎÔÏÔ˘ı› ¢ı›· ÔÚ›· ∞µ, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈο 21 Km. ŸÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ·¤¯ÂÈ 10 Km ·fi ¤Ó· Ê¿ÚÔ º Î·È fiÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË µ ·¤¯ÂÈ 17 Km ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê¿ÚÔ. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· º∞µ ·›ÚÓÔÓÙ·˜ 1 cm ÁÈ· ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì 1 Km Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiÛÔ ÎÔÓÙ¿ ·fi ÙÔ Ê¿ÚÔ ¤Ú·Û ÙÔ ÏÔ›Ô.


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:57

™ÂÏ›‰·187

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 187 -

µ.1.11. K ‡ Î Ï Ô ˜ Î · È Û Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ô ˘ Î ‡ Î Ï Ô ˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™ÙËÓ ∆Ú›ÔÏË Ù˘ ∞Ú牛·˜ Á›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁÈÔÚÙ‹, ÛÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È Î·ÏÂṲ̂ÓÔÈ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ, Ô˘ ηÙÔÈÎÔ‡Ó Û ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙˆÓ 6 km. ¶ÔÈˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ ı· ·Ú¢ÚÂıÔ‡Ó ÛÙË ÁÈÔÚÙ‹;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë O ÚˆÙfiÁÔÓÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÁÈ· Ó· ÌË ¯¿ÛÂÈ ÙËÓ Î·Ùۛη ÙÔ˘ ÙËÓ ¤‰ÂÛ Ì ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›, Û’ ¤Ó· ͇ÏÈÓÔ ¿ÛÛ·ÏÔ, ̤۷ ÛÙÔ ÏÈ‚¿‰È.

ŸÙ·Ó Á‡ÚÈÛ ӷ ÙËÓ ¿ÚÂÈ Â›‰Â fiÙÈ Ë Î·Ùۛη ›¯Â ‚ÔÛ΋ÛÂÈ ÂΛÓÔ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÏÈ‚·‰ÈÔ‡ Ô˘ Ù˘ Â¤ÙÚÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ Ó· Êı¿ÛÂÈ. ŒÙÛÈ, fiÏ· Ù· ¯fiÚÙ· Ô˘ ·›¯·Ó ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, Ô˘ ‹Ù·Ó ‰Â̤ÓË, ›¯·Ó Ê·Áˆı›. ¶ÔÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ ¯ÔÚÙ¿ÚÈ Ê·ÁÒıËÎÂ;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Ô˘ Ó’ ·¤¯Ô˘Ó fiÏ· 2 cm ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ 2 cm Û ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›. ªÂÙ¿, ÎÚ·ÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ¤Ó· ¯¤ÚÈ ÙË Ì›· ¿ÎÚË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ¤¯ÔÓÙ·˜ ¿ÓÙ· ÙÂÓو̤ÓÔ ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, ÎÈÓԇ̠̠ÙÔ ¿ÏÏÔ ¯¤ÚÈ ÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡, ÙˆÓ 2 cm, Û ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8, ∞9 Î·È ∞10, Ô˘ ÂÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë, ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰¤Î· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·. µÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›·, Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô, Â›Ó·È ¿Ú· ÔÏÏ¿.

∞4

∞5

∞3

∞6

∞2 ∞1

∞7 ∞8

∞9

∞10

∆È Û¯‹Ì· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó, ÏÔÈfiÓ, fiÏ· ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ·˘Ù‹ ȉÈfiÙËÙ·;


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

- 188

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·188

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

M¤Û· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠·ÚÎÂÙ¿ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ηÌ‡ÏˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. Ÿˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ô ‹ÏÈÔ˜ ÛÙË ‰‡ÛË ÙÔ˘, Ô ÙÚÔ¯fi˜ ÂÓfi˜ Ô‰ËÏ¿ÙÔ˘, Ë ÛÙÂÊ¿ÓË Ù˘ Ì·ÛΤٷ˜, ¤Ó· ÌÂÙ·ÏÏÈÎfi ÓfiÌÈÛÌ·, ÙÔ ÚÔÏfiÈ Ì·˜, ÌÈ· ÙÔ‡ÚÙ· ÁÂÓÂıÏ›ˆÓ, ¤Ó·˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Î.Ï.

∆Ô ÚÒÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÂÈÓÔ‹ÛÂÈ ‹ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ¿Óˆ ÛÙË ÁË Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ›ӷÈ, Ê˘ÛÈο, Ô Î‡ÎÏÔ˜. √ ‹ÏÈÔ˜ Î·È ÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ÛÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Î·È ÛÙËÓ „˘¯‹ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Ù˘ ÙÂÏÂÈfiÙËÙ·˜. ∫·È fiÙ·Ó Êı¿ÛÂÈ Ë ÒÚ· Ù˘ ÛΤ„˘, ÙfiÙÂ Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÔÎÙ¿ ÙÔ ÈÔ ÔχÙÈÌÔ Û¯‹Ì· Ù˘.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



∫‡ÎÏÔ˜ ϤÁÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ·fi ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô √. ∏ ·fiÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Ú Î·È Ï¤ÁÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . ŒÓ·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Û˘ÓÙÔÌ›· (√, Ú). °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎÏÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË.



¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ ›Û˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ .

 

O A↔

∂›Û˘: 

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ϤÁÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘..



∂ȉÈο Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ϤÁÂÙ·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘..  ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ‰‡Ô ›Û· ̤ÚË (ËÌÈ·ÎÏÈ·).



¯ÔÚ‰‹ ∞

µ

√ ∞

ÙfiÍÔ √

¢‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ‰‡Ô ̤ÚË Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ϤÁÂÙ·È ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ¿ÎÚ· Ù· ∞ Î·È µ.

µ

ÙfiÍÔ 

∫˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ (√, Ú) Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (√, Ú) Ì·˙› Ì ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÈ.  ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú.

µ

‰È¿ÌÂÙÚÔ˜

Ú √


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·189

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 189 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ۯ‰ȷÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. §‡ÛË Á = 1,5 cm ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·=3 cm, ‚ = 2 cm ‚=2 cm Î·È Á=1,5 cm Â›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ · = 3 cm Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘ÌÂ. ∞ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ÂÍ‹˜ ‰È·‰Èηۛ·: ¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Î·È ÙÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÏÂ˘Ú¿ µ° = ·. ªÂÙ¿ ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (µ , Á = 1 , 5 c m ) Á ‚ Î·È ( ° , ‚ = 2 c m ). √È ‰‡Ô ·˘ÙÔ› ·ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È µ ° · ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜: µ°=3 cm, AB=1,5 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (µ , 1 , 5 c m ) Î·È ∞°=2 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (° , 2 c m ), ·ÊÔ‡ ÙÔ ∞ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=3,8 cm.

4.

N· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,4 cm. N· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È Ó· ¯·Ú¿ÍÂȘ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘: ª∞ = 2,4 cm Î·È MB = 4,1 cm.

5.

ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 4 cm. (·) ¡· ‚ÚÂȘ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó: 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ. (‚) ¶ÔÈ· ÛËÌ›· ·¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ;

6.

ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,2 cm. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, ∞µ) Î·È (µ, ∞µ) Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ª ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ¡ ·fi Ù· ∞ Î·È µ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜.

M ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ·ÎÙ›Ó˜ 2,4 cm, 2 cm Î·È 15 mm.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ 4 cm, 5 cm Î·È 48 mm. (¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜)

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

2.

ŒÓ·˜ Û·ÏÔ˜ Â›Ó·È ‰Â̤ÓÔ˜ Ì ÌÈ· ·Ï˘Û›‰· Ì‹ÎÔ˘˜ 12 m, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ¡· ÌÂٷʤÚÂȘ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰ÈÔ ÛÔ˘ Î·È Ó· ‚ÚÂȘ, ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› Ô Û·ÏÔ˜. ∂›Û˘, Ó· ‚ÚÂȘ Û ÔȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ ·˘Ï‹˜ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÛÙ·ıÔ‡Ó ÔÈ Á¿Ù˜, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÎÈÓ‰˘ÓÂ‡Ô˘Ó ·fi ÙÔ Û·ÏÔ;

ºÚ¿ÎÙ˘ 6m 12m 6m 6m 6m

O

6m 6m

™›ÙÈ

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ Ô˘ ›ӷÈ: ·) ·=10 cm, ‚=6 cm Î·È Á=3 cm, ‚) ·=12 cm, ‚=5 cm Î·È Á=7 cm. T› ·Ú·ÙËÚ›˜;


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·190

- 190

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.12. E  › Î Â Ó Ù Ú Ë Á ˆ Ó › · - ™ ¯ ¤ Û Ë Â  › Î Â Ó Ù Ú Ë ˜ Á ˆ Ó › · ˜ Î · È Ù Ô ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÔÓÙ·È Ù· ÔÛÔÛÙ¿ Ô˘ ‹Ú·Ó Ù¤ÛÛÂÚ· ÎfiÌÌ·Ù· ÛÙȘ ÂÎÏÔÁ¤˜. ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ Û fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› οı ʤٷ Ù˘ ›Ù·˜;

40%

45%

10%

5%

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ∧ xOy, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∏ ÁˆÓ›· ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›·. O ∧

∞Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ √x Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xOy Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ √y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, ÙfiÙÂ: 

B



y

A

∆Ô ÙfiÍÔ ∞° µ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ∧ ΢ÚÙ‹˜ ÁˆÓ›·˜ xO y ϤÁÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ∧ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ xOy.

° x ¢





O

∆Ô ÙfiÍÔ ∞ ¢ µ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÌË ∧ ΢ÚÙ‹˜ ÁˆÓ›·˜ xOy Â›Ó·È ÎÈ ·˘Ùfi ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ∧ ÌË Î˘ÚÙ‹˜ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ xOy.

B A

y

x



ø˜ ̤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÙÔ ÌÂÙÚ¿Ì Û ÌÔ›Ú˜ .


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·191

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ



- 191 -

™Â ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, ‰‡Ô ›Û˜ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ›Û· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ·.

∫·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·:  ™Â ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, ‰‡Ô ›Û· ÙfiÍ· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÙȘ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜. y

y B

B °

° O

O

x A

O

B

B y

A

x

y

A °

° x

x

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÁˆÓ›· ›ÛË Ì 30Æ.

➎ ∧

ˆ =30Æ ∞

x

x

ˆ

x

x

O

x O

O

O

O

§‡ÛË °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· ÁˆÓ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ. ∆Ô ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Â›Ó·È ¤Ó· fiÚÁ·ÓÔ Ì ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ‹ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜. ∫¿ı ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ËÌÈ·ÎÏÈÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌÔÏÔÁËı› ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ‰Â›¯ÓÂÈ Ù· ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ·fi 0Æ ¤ˆ˜ 180Æ. √ ÙÚfiÔ˜ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙË ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÁˆÓ›· 30Æ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ‰È·‰Ô¯Èο ·Ú·¿Óˆ Û¯‹Ì·Ù·.

2.

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ 3 cm Î·È 4 cm Î·È ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· Â›Ó·È 55Æ.

➍ °

55Æ

Æ 180

4c m

4c m

m 3c

µ

55Æ

µ

∞ µ

m 3c

µ


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·192

- 192

3.

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì›· ÏÂ˘Ú¿ 3 cm Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ 40Æ Î·È 100Æ.

100Æ 3 cm

µ

0

µ 180Æ

0

°

140Æ 40Æ 100Æ 180Æ ∞ µ

40Æ

°

100Æ

µ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ ¤¯ÂÈ: ·) ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜, ‚) ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ Î·È Á) ηı¤Ó· ·fi Ù· ÙfiÍ· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·fi ‰‡Ô οıÂÙ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜.

2.

¢‡Ô ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· 60Æ. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ Â›Ó·È Î¿ı ¤Ó· ·fi Ù· ÙfiÍ· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙÔ˘.

3.

™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (√, 3cm) Î·È (√,4cm). ¡· ÔÚ›ÛÂȘ ÛÙÔÓ Î¿ı ·ÎÏÔ ·fi ¤Ó· ÙfiÍÔ 45Æ Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ Â¿Ó Ù· ÙfiÍ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

4.

∆ÚÂȘ ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Û ¤ÍÈ ›Û· ÙfiÍ·. ¶fiÛˆÓ ÌÔÈÚÒÓ Â›Ó·È Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ¤ÍÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÙfiÍ· ·˘Ù¿;

5.

™’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Ó· ¯·Ú¿ÍÂȘ Ì›· ¯ÔÚ‰‹ ∞µ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Û ÌÔ›Ú˜ ÙËÓ Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ∞√ µ Î·È Ó· ‚ÚÂȘ Û ÔÈÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘  ·ÎÏÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÙÔ ÙfiÍÔ ∞µ.

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÙÌ‹Ì· ∞µ = 2,8 cm Î·È ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, 4cm) Î·È (µ, 4cm). ¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ° ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π ∆Ô ‰›Ï·ÓÔ ËÌÈ΢ÎÏÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ¤¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜! °È·Ù›; ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔ ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ;

40% 15%

15%

30%


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·193

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 193 -

µ.1.13. £ ¤ Û Â È ˜  ˘ ı  › · ˜ Î · È Î ‡ Î Ï Ô ˘ ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó Û’ ¤Ó· Â›Â‰Ô ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Î·È ÌÈ· ¢ı›·:

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤Ì fiÙÈ Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª>Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ª, Ë Â˘ı›· ϤÁÂÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª.  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª=Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ª.  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, Ë Â˘ı›· ϤÁÂÙ·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ∞ Î·È µ  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª<Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.

 √

ª

Ú

 √

ª

Ú

 ∞

Ú

ª

µ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ·ÎÏÔ˜ Ô˘ Ó· ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜.

§‡ÛË

¶·›ÚÓÔ˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ∞. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ªÂ ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ∫ Ù˘ οıÂÙ˘ ·˘Ù‹˜ Î·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∫∞ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ. √ ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ʤڷÌ ı· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ‰ÈfiÙÈ ·˘Ù‹ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ∫∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ Ù˘ ∞.

2.

∞ Â

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Ô˘ Ó· ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘.

§‡ÛË

¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· √∞ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∏ ¢ı›·   ı· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· √∞ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ Ù˘ ∞.

3.

¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ÛÙ· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÌÈ·˜ ¯ÔÚ‰‹˜ ÙÔ˘ ∞µ. Â1

§‡ÛË

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ √∞ Î·È √µ. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ OA ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â1 οıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ·˘Ù‹. ∏ ¢ı›· Â1 Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ √µ ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â2 οıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ·˘Ù‹. ∏ ¢ı›· Â2 Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ. 

√ ª µ Â2

∞Ó Â›Ó·È ª ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜, Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ª Î·È µª ϤÁÔÓÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

- 194

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10:58

™ÂÏ›‰·194

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ 2,5 cm. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ù˘ Â1 Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÛËÌ›· Ù˘ Â2 Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó 3,6 cm ·fi ÙÔ ª.

2.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,6 cm Î·È ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙËÓ ∞µ. ¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ∞ Î·È µ. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÁÈ·Ù› ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Â˘ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.

3.

¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÌÈ· ¢ı›· Â. √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‰ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È Ù˘ ¢ı›·˜, ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (·) ∞Ó Ú = 5 cm Î·È ‰ = 4 cm, (‚) ·Ó Ú = 2,5 cm Î·È ‰ = 2,5 cm Î·È (Á) ·Ó Ú = 3 cm Î·È ‰ = 6 cm.

4.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ∞ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫ Ù˘ Â1, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∫∞ = 3,1 cm. ¡· ʤÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∫, 2,1cm), (K, 3,1cm) Î·È (K, 36mm). ¡· ‚ÚÂȘ ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË Ù˘ Â2 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜.

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=40 mm. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ∞µ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∞ª=18 mm. ¡· ʤÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, 18 mm) Î·È (B, 22 mm). ¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ¢ı›·  Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ª Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ∞µ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î·ı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜; ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

2.

ªÈ· Âȯ›ÚËÛË ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ¤Ó· ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ Û ÌÈ· ·ÁÚÔÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ÂÈϤÁÂÈ ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi. ∏ ÏÂ˘Ú¿ οı ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·ÓÙÈÚÔÛˆ‡ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 100 m. ∆Ô ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Û ·ÎÙ›Ó· 600 m Ì·ÎÚÈ¿ ·fi Ù· Û›ÙÈ· (™). ∂›Û˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·¤¯ÂÈ ÙÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ 300 m ·fi ÙËÓ ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘. ¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ¯ÚˆÌ·Ù›ÛÂȘ ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ fiÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ. ∏ Û˘Ìʈӛ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ∞, µ Î·È ° ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÁÂÒÙÚËÛ˘ Û ÌÈ· ı¤ÛË ª ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÙÚÂȘ fiÚÔ˘˜: ·) ∞ª>2 km, ‚) BM=3 km Î·È Á) °ª=4 km. ¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª, ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ı¤Û˘ ·˘Ù‹˜ ·fi ÙÔ ‰ÚfiÌÔ Â.

™›ÙÈ

™›ÙÈ

‰ÚfiÌÔ˜ ™›ÙÈ ™›ÙÈ

™›ÙÈ

™›ÙÈ

™›ÙÈ Â °

µ

6km

4, 7k m

3, 7k m

1.

1km A


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·195

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 195 -

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË ÛËÌÂ›Ô ∞



™∏ª∂π√

 ∂À£À°ƒ∞ªª√ ∆ª∏ª∞

B

¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ

¢

°

¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ ·fi ∞

·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·

 x

∏ªπ∂À£∂π∞

x

ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ¢ı›· Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È Ox

Â

Â1 οıÂÙ˜ ¢ı›˜

Â

ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ∞

x

ËÌÈ¢ı›· ∞x



Â

Â1 Â

·fi ÙÔ ∞ Ì›· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â

·fi ÙÔ ∞ Ì›· ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â

µ

Â1 Â2

·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜

Â2 A

∞0

x

¢ı›· ∞µ

∞ ∂À£∂π∞

B

x ∞

¢ı›· Â



B

 °



∂¶π¶∂¢√

ÙÚ›· ÛËÌ›· ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· Â›‰Ô

Ë Â˘ı›·  ·Ó‹ÎÂÈ ÔÏfiÎÏËÚË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ¶

Â

 ∏ªπ∂¶π¶∂¢√

∞ ¶1

¶ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô ¶

∞ 

∞¶√™∆∞™∏

¶2

Â

B

Ë Â˘ı›· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô Û ‰‡Ô ËÌÈÂ›‰·

·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ

B ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ¢ı›· Â

Â

Â

µ

Â

1

2

·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:58

™ÂÏ›‰·196

- 196

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

y

ÏÂ˘Ú¿

y O



O

x

y

ÎÔÚ˘Ê‹

ˆ

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜

O

z y

ÏÂ˘Ú¿

x

x

x

ÁˆÓ›·

ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ °

y

° B B



°ø¡π∞

Ê ˆ z O 180Æ

x 0Æ

O

·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜

A A

O

ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜

x 90Æ

¢

y

‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚ O

·

x 0Æ

Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ y

y

y x

O

O

O

ÔÚı‹ ÁˆÓ›·

ÔÍ›· ÁˆÓ›·

y

x

x

x O

·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›·

¢ı›· ÁˆÓ›·

Ú

√ ∞

¯ÔÚ‰‹



¯ÔÚ‰‹ ∞µ

Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ∞µ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û 2 ËÌÈ·ÎÏÈ·

ÙfiÍÔ

KYK§√™

ª2 Ú

ª3 ª1

µ

µ

ÙfiÍÔ ª1 ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ (√,Ú) ª2 ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (√,Ú) ª3 Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ (√, Ú)

 √

Ú

ª

Ú

ª

x Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Â1

Â

Â

Ú √

ª

ª

µ

Â͈ÙÂÚÈ΋

ÂÊ·ÙfiÌÂÓË

y

°

‰ ‡ Ô Û Ë Ì Â › · ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙfiÍ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘

 ™Ã∂∆π∫∂™ £∂™∂π™ ∂À£∂π∞™ ∫∞π ∫À∫§√À

µ

‰È¿ÌÂÙÚÔ˜

µ

∞ ·ÎÏÔ˜ (√, Ú) Î·È Î˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜

Ù¤ÌÓÔ˘Û·

µ Â2

ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ÙÌ‹Ì·Ù·


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

2-11-06

10:59

™ÂÏ›‰·197

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 197 -

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ ¶Ôχ Û˘¯Ó¿, Û’ ·˘Ù¿ Ô˘ ‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ, Û fi,ÙÈ ·ÎÔ‡ÌÂ, ·ÏÏ¿ Î·È Û ÂΛӷ Ô˘ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‹ ϤÌÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ϤÍÂȘ Ô˘ ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÔ˘˜ ÚԤϢÛË ‹ ÙË ‚·ÛÈ΋ ÙÔ˘˜ ÛËÌ·Û›· ÙËÓ ·ÓÙÏÔ‡Ó ·fi ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ‹ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· ·fi Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο. ∂›Ó·È ϤÍÂȘ Ô˘ ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠̠ÙËÓ ›‰È· ÂÚ›Ô˘ ¤ÓÓÔÈ· fiˆ˜ Î·È ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο, .¯. “ÛÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜” ‹ “ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÚÔ¸ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡” Î.Ï. ™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ fï˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ϤÍÂȘ ÂÎÊÚ·˙fiÌ·ÛÙ ÌÂÙ·ÊÔÚÈο, ·Ô‰›‰ÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘˜ ¤Ó· ¢ڇÙÂÚÔ ÓfiËÌ·. §¤Ì .¯. “ŸÏ˜ ÔÈ ¯ÒÚ˜ Ù˘ ∂˘ÚÒ˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi Â›‰Ԕ ‹ “ÙÔ ÊÂÛÙÈ‚¿Ï Û˘Ó¯›ÛÙËΠ̠·Ú¿ÏÏËϘ ÂΉËÏÒÛÂȘ”. ™ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙȘ ÂÓÙÔ›ÛÂȘ Î·È Ó· ÙȘ ˘ÔÁÚ·ÌÌ›ÛÂȘ Ì ÙËÓ ÚÒÙË ·Ó¿ÁÓˆÛË.

“∆Ô ÎÚ›ÛÈÌÔ ÛËÌ›Ԕ ... ∏ Ì¿Ï· ¤¯ÂÈ ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ “¤Ó·ÏÙÈ”. √È Ê›Ï·ıÏÔÈ ÛÙȘ ÎÂÚΛ‰Â˜ ¤¯Ô˘Ó ·ÁÒÛÂÈ. √È ·›ÎÙ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÌ¿‰ˆÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È, ‹‰Ë, ¤Íˆ ·fi ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ÂÚÈÔ¯‹˜. √ ÙÂÚÌ·ÙÔʇϷη˜, ÛÙÔ Ì¤ÛÔÓ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù˘ ÂÛÙ›·˜ ÙÔ˘, ÎÔÈÙ¿˙ÂÈ Î·Ù¢ı›·Ó ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÙÔÓ ·ÓÙ›·Ïfi ÙÔ˘, Ô˘ ÂÙÔÈÌ¿˙ÂÙ·È Ó· ÂÎÙÂϤÛÂÈ ÙËÓ ÂÛ¯¿ÙËÓ ÙˆÓ ÔÈÓÒÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. °È· ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ‰Â˘ÙÂÚÔϤÙÔ˘ ÔÈ ‰‡Ô ·›ÎÙ˜ Î·È Ë Ì¿Ï· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ Ë ÛÊ·ÈÚÈ΋ Ì¿ÁÈÛÛ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÙÚԯȿ Î·È Î·ÚÊÒÓÂÙ·È ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÁˆÓ›· Ù˘ ÂÛÙ›·˜, ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô ÙÂÚÌ·ÙÔʇϷη˜ ¤ÊÙÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿. “°ÎÔÔÔÔÔÔfiÏ”, ʈӿ˙ÂÈ Ì fiÏË ÙË ‰‡Ó·Ì‹ ÙÔ˘ Ô ªÈ¯¿Ï˘, ÙÚ¤¯ÔÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ηٿʈÙÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÔÏ›˜ ÁË¤‰Ô˘, ÂÓÒ ÔÈ Ô·‰Ô› Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙÔ˘ ÙÔÓ ·ÔıÂÒÓÔ˘Ó, ·ÊÔ‡ ¤‰ˆÛ χÛË ÛÙÔ ÈÔ ÎÚ›ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. ∆·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ·ÓÔ›ÁÂÈ Ë fiÚÙ· ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Î·È Ë ÌËÙ¤Ú· ÙÔ˘ ªÈ¯¿ÏË, ÌÈÛÔ͢ÓË̤ÓË, ÙÚ¤¯ÂÈ ·Ó‹Û˘¯Ë Ó· ‰ÂÈ ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ‡ÓÔ ÙÔ˘ ÁÈÔ‡ Ù˘.

– ∞˘Ùfi ÙÔ ·È‰›, ÌÔ˘ÚÌÔ˘Ú›˙ÂÈ, ‰Â ı· Ì¿ıÂÈ ÔÙ¤ Ó· Û‚‹ÓÂÈ ÙÔ Êˆ˜ ÚÈÓ ÎÔÈÌËı›... 

ªÔÚ›˜ ÛÙ· ÓÂÔÂÏÏËÓÈο ΛÌÂÓ·, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙ· ¿ÏÏ· Ì·ı‹Ì·Ù· .¯. ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›·, ÙË °ÂˆÁÚ·Ê›·, ÙË µÈÔÏÔÁ›· Î.Ï., Ó· ÂÓÙÔ›ÛÂȘ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ;



¡· ÂϤÁÍÂȘ Û ÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÛËÌ·Û›· ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ Î·È Û ÔȘ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ Û˘ÏϤÍÂȘ ÊÚ¿ÛÂȘ, ·fi ÏÔÁÔÙ¯ÓÈο ΛÌÂÓ·, fiÔ˘ ÔÈ Ï¤ÍÂȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ Ì ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ÛËÌ·Û›·, fiˆ˜ .¯. “‚›ÔÈ ·Ú¿ÏÏËÏÔÈ”, “ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù· Á˘Ú›ÛÌ·Ù·” Î.Ï.



∆¤ÏÔ˜, ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÁÚ¿„ÂȘ ÎÈ ÂÛ‡ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ ‹ ÌÈ· ÈÛÙÔÚ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ ‹ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ, Ì ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ‹ Î·È ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ÛËÌ·Û›·.


MEƒ√™ µ'-1-(185-198)

- 198

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10:59

™ÂÏ›‰·198

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™ 1. ∞ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹. 2. ¶·Ú¿ÏÏËϘ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. 3. ∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜. 4. ∞ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ›ÛˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ï¤Ì ·˘Ù¿ Ô˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ ¤Ó· ¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ηٿÏÏËÏÔ ÙÚfiÔ. 5. ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. 6. ∆fiÍÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 7. ¢È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ϤÁÂÙ·È Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ. 9. ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. 10. ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹. 11. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ Â˘ı›·. 12. ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜. 13. ªÈ· ¢ı›· ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. 14. ŒÓ· Â›Â‰Ô ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. 15. ∫¿ı ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂÈ¤‰Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ¿ÂÈÚ· ËÌÈÂ›‰·. 16. ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È ¿ÓÙ· ·Ú¿ÏÏËϘ. 17. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›·. 18. ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ÙÚ›ÙË Â˘ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ οıÂÙ˜. 19. √È ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ‹ ÌË Î˘ÚÙ¤˜. 20. ∏ ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ›ٷÈ. 21. ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi οı ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ٷ ›‰È· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ. 22. ∫¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· √∞ Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ √ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 23. ¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ ¿ÓÈÛ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. 24. ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È ÙÚÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 25. ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú. 26. √È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. 27. ¢‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜. 28. ∏ÌÈ·ÎÏÈÔ Ï¤ÁÂÙ·È ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÙfiÍ·, ÛÙ· ÔÔ›· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·fi ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘.


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™ÂÏ›‰·199

™˘ÌÌÂÙÚ›· 2.1

™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÛËÌ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Î·È fiÙÈ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ¢ı›·˜, ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÁˆÓ›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¢ı›· Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ·ÔÚÚ¤Ô˘Ó ·fi ÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›· ·˘Ù‹

2.2

ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ñ ∞Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ Û¯‹Ì·Ù· Ì ¿ÍÔÓ· ‹ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

2.3

ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ñ ÷ڿÛÛˆ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ‚·ıÌÔÏÔÁË̤ÓÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÁÓÒÌÔÓ· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ñ ÷ڿÛÛˆ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË

2.4

™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Ë Û˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √ Â›Ó·È ÌÈ· ÛÙÚÔÊ‹ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ √ ηٿ ÁˆÓ›· 180Æ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÛËÌ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Î·È fiÙÈ ·˘Ù¿ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ñ ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌ›Ԣ, ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ¢ı›·˜, ÁˆÓ›·˜, ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌ›Ô

2.5

∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ñ ∞Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ Û¯‹Ì·Ù· Ì ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ‚·ÛÈο ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· Ì ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Î·È ÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ·ÔÚÚ¤Ô˘Ó ·fi ÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›· ·˘Ù‹

2.6

ª∂ƒ√™ µ 

¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ò˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Ì ̛· Ù¤ÌÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘˜. ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ fiÙÈ fiϘ ÔÈ ÔÍ›˜ (‹ ÔÈ ·Ì‚Ï›˜) ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË Â˘ı›·, Â›Ó·È ›Û˜ ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ fiÙÈ Ì›· ÔÍ›· Î·È Ì›· ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ·fi ÙËÓ ÙÚ›ÙË Â˘ı›· Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜

£∞§∏™ √ ªπ§∏™π√™ ( 6 4 0 - 5 4 6 . à . )

2o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


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™ÂÏ›‰·200

- 200 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.1. ™ ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˆ ˜  Ú Ô ˜ ¿ Í Ô Ó · ∆È Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚ›·; √ ÔÈËÙ‹˜ ı· ¤ÏÂÁÂ: fi,ÙÈ ÊÔÚÈ¤Ù·È ·fi ÙËÓ ·Ó¿Ô‰Ë. Ÿ,ÙÈ ‰ÈÏÒÓÂÈ Î·È Ù·ÈÚÈ¿˙ÂÈ, fi,ÙÈ ÛÙÚ›‚ÂÈ Î·È «Û˘Ì›ÙÂÈ». ªfiÓÔ Ë Ê·ÓÙ·Û›· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·ıfiÏÔ˘ Û˘ÌÌÂÙÚ›·. °È’ ·˘Ùfi Ë Û˘ÌÌÂÙÚ›· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Î·È Ï›ÁË Ê·ÓÙ·Û›·. ∞Ó ·˘Ù‹ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙË Ê·ÓÙ·Û›· ÙË ÊÔÚ¤ÛÔ˘Ì ·Ó¿Ô‰·, ı· Ì·˜ ‚ÁÂÈ fiÏË Ë °ÂˆÌÂÙÚ›·.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ Â

∫·Ù·Û··Û ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ∞µ = ∞° = 5 cm Î·È µ° = 4 cm Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛfi ÙÔ˘ ∞¢. ¢›ψÛ ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜  Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Ë ∞¢. 5c m

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞°¢ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ, fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ µ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ °. ∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ B ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.

ª

m 5c

➣ ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

ª

°

¢ 4 cm

ªÂ ÙË ‰›ψÛË Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â, οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÙÔ ∞, ÙÔ˘ ¢ ÙÔ ¢ Î·È ÂÓfi˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛËÌ›Ԣ ∫ Ù˘  ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ∫.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

™˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌ›Ԣ µ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â, Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Ì ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì›ÙÂÈ ÙÔ µ, ·Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ê‡ÏÏÔ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â.



∫¿ı ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â.

Ÿˆ˜ ›‰·ÌÂ, Ì ÙË ‰›ψÛË Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜  οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ¢ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞°¢. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. °È’ ·˘Ùfi ϤÌ fiÙÈ: (™2) (™1)   ∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞°¢ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·:  ¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· (™ 1) Î·È (™ 2) ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¢ı›· Â, fiÙ·Ó Î·ı¤Ó· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∂Âȉ‹ Ì ‰›ψÛË Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Â Û˘Ì›ÙÂÈ ÙÔ (™ 1) Ì ÙÔ (™ 2), ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ·˘Ù¿ ı· Â›Ó·È ›Û·. ∂Ô̤ӈ˜: 

∆· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· .

ª

ª


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ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 201 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°E™

1.

ªÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Á Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ¡· ‚ÚÂı› Ô ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô Î·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Á Ù˘ Á, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â, ı· ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi Ù· ›‰È· ÛËÌ›·.

§‡ÛË ∏ Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ Á Ù˘ Á ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ Á. ∂Ô̤ӈ˜ ÛÙË Á ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· ÙˆÓ ∞, µ Î·È °. ∂Âȉ‹ fï˜ Ù· ∞, µ Î·È ° Â›Ó·È ÛËÌ›· Ù˘  ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù· ›‰È· Ù· ÛËÌ›·. ÕÚ· Ù· ∞, µ Î·È ° ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È ÛÙË Á.

2.

Á

µ

Á

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â.

§‡ÛË

∞ Â

¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ:  ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ∆fiÙÂ, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. 

3.

Â

 ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ∆fiÙÂ, ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠µ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·‰Èηۛ·: ∞ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È ÙÔ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ηٿ ›ÛÔ ÙÌ‹Ì·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È µ∞ã = ∞µ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â: (·) ¢ı›·˜ ‰ Î·È (‚) ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x.

(·)

(‚)

¶·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ‰ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∏ ¢ı›· ‰ Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰. ¶·ÚfiÌÔÈ· ·›ÚÓÔ˘ÌÂ, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ∞, ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛËÌÂ›Ô µ ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ ÚÈÓ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∏ ËÌÈ¢ı›· ∞xx Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x.

B

A

§‡ÛË

4.

Â

°



Â



B ∞

‰

B

x

A Â





A B

x

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞µ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â.

§‡ÛË BÚ›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ›‰·Ì µ µ µ    ∞ ∞ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ ∞   Î·È µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ∞ Î·È µ µ µ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∆fiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ µ ı· Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ➊ ÙÌ‹Ì· ∞µ ➌ ➋ ∞ ÙÔ˘ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. µ = ∞µ T· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹: ∞µ


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™ÂÏ›‰·202

- 202 -

5.

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· ∧

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÁˆÓ›·˜ x∞ y ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¢ı›· Â.

§‡ÛË

∞

∞yy ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· x∞ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ ηıÒ˜ Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο µ Î·È ° ‰‡Ô ·ÎfiÌ· ÛËÌ›ˆÓ µ Î·È °, Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙÔ Î·ı¤Ó· Û ÌÈ· ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∧ ∧ °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ı· ›ӷÈ: x  A y  = x Ay .

6.

Â

µ

µ x

x

°

° y

y

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞µ° ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¢ı›· Â, Ë ÔÔ›· (·) ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, (‚) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ Î·È (Á) Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.

§‡ÛË ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞,, µ,, °, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆fiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ µ° °, Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ°. Â

Â

∞

°

µ

µ °

°

(H  ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜)

7.

Â

∞

∞

°

µ µ

(∏  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· µ Î·È °)

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â.

µ

µ °

°

(∏  ٤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜) Â

√ Ú

§‡ÛË Ú

∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ (√,, Ú) ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ (√, Ú), Ì √ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ √ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. Ÿˆ˜ fiÏ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·, ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (√, Ú) Î·È (√,, Ú) Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜.

8.

√

¡· ¯·Ú·¯ı› Ë ÔÚ›· ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙÔ˘ ʈÙfi˜, Ô˘ ÂÎ¤ÌÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· ʈÙÂÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È Û’ ¤Ó·Ó Â›Â‰Ô Î·ıÚ¤ÊÙË (Ô ÔÔ›Ô˜ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˆ˜ Ì›· ¢ı›· Â).

§‡ÛË BÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. √È ·ÎÙ›Ó˜ ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È ÛÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË Î·È ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Â ÙËÓ ÔÚ›·, Ô˘ ı· ›¯·Ó, ·Ó Ë ËÁ‹ ÙÔ˘ ʈÙfi˜ ‹Ù·Ó ÙÔ ÛËÌÂÈÔ ∞. ∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ Ì ÙËÓ Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜, ı· Â›Ó·È Î·È ›Û˜. ÕÚ·, Ë ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ¤ÊÙÂÈ ÛÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙË ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·ÎÏ¿Ù·È.

∞


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™ÂÏ›‰·203

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

9.

- 203 -

™ÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌ›· µ Î·È µ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ¡· ‚ÚÂı› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.

§‡ÛË

∂Âȉ‹ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ÌfiÓÔ µ ¢ı›˜ ÁÚ·Ì̤˜, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·,  fiˆ˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·: ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ∞µ Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì µ ̤¯ÚÈ Ó· ÙÌ‹ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ·  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ∫µ, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ∫µ, ·ÊÔ‡ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· ·˘Ù‹˜, Ù· ∫ Î·È µ. ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ∞µ, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ √. ñ ∆¤ÏÔ˜, ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ µ√, Ô˘ Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ Â›Ó·È Ë √µ. √ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙÔ˘˜ √È Â˘ı›˜ ∫µ Î·È µ√ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ ∫µ Î·È µ√ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›·, Ù· ∞ Î·È ∞. ∞

B

B ∫

Â

B ∫

Â

Â

B

B ∫

Â

Â

√ B

B

√ B

√ B

∞

B

∞

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

x

¡· ‚ÚÂȘ ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xO y ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â, Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

O Â

y y Â

2.

N· ‚ÚÂȘ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›·  Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

O

Â

O

O Ú ∞

3.

x

 ∞

N· ‚ÚÂȘ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Ì ÙËÓ Â. ∆È Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û¯‹Ì·; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È Ì ÌÈ· ÙÚ›ÙË ·Ú¿ÏÏËÏË. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

µ

 Â

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

µÚ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· ˙. ∆È Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È Ì ÙÚ›ÙË Â˘ı›·.

2.

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰Â›ÍÂȘ, fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· ‰ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰, Â›Ó·È Â˘ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.


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™ÂÏ›‰·204

- 204 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.2. Õ Í Ô Ó · ˜ Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™¯Â‰›·Û ے ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ÌÈ· ¢ı›·. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ·˘Ùfi ¯·ÚÙ› ¿Óˆ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. ∂ͤٷÛ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ· Ô˘ Ù· ‰‡Ô ̤ÚË, ÛÙ· ÔÔ›· Ë Â˘ı›· “¯ˆÚ›˙ÂÈ” ÙÔ Û¯‹Ì·, Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, fiÙ·Ó ÙÔ ‰ÈÏÒÛÂȘ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹.

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏË ı¤ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ›˜ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ ›‰ÈÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ÁÈ· ÙÔ ›‰ÈÔ Û¯‹Ì·.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

ãAÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â˘ı›· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Û ‰‡Ô ̤ÚË, Ù· ÔÔ›· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ‰Èψı› ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹.

 ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ·˘ÙfiÓ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.


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™ÂÏ›‰·205

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 205 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ (√,Ú).

§‡ÛË

Â

O Ú

ªÂ ‰›ψÛË ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√,Ú) Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. EÔ̤ӈ˜:  √ÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ÂÈϤÍÂȘ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: K¿ı ·ÎÏÔ˜ Î·È Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ ¤¯Ô˘Ó: ❑ ŒÓ· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ❑ ÕÂÈÚÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ❑ ∫·Ó¤Ó· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

2.

∂ͤٷÛ ·Ó Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Α, Ι, Γ Î·È Θ ¤¯Ô˘Ó: (·) ηӤӷ, (‚) ¤Ó·, (Á) ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ¤Ó· ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

3.

™¯Â‰›·Û ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ.

4.

™¯Â‰›·Û ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜.

5.

µÚ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜, fiÙ·Ó: (·) ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È (‚) ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ΤÓÙÚ·.


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™ÂÏ›‰·206

- 206 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.3. M Â Û Ô Î ¿ ı Â Ù Ô ˜ Â ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì Ô ˘ Ù Ì ‹ Ì · Ù Ô ˜

√ ηÂÙ¿ÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÚÔÛ·ı› Ó· ÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ÙËÓ ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì·ÎÚÈ¿ ·fi ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ∞ Î·È µ Ù˘ Á¤Ê˘Ú·˜, ÂÂȉ‹ Ë ÛÙÂÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Ô ·¤Ú·˜ Î·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ ·Ï›ÚÚÔÈ· ÙÔ˘ ∂˘‚Ô˚ÎÔ‡ ÎfiÏÔ˘ ÂȉÚÔ‡Ó ÛÙËÓ ÔÚ›· ÙˆÓ Î·Ú·‚ÈÒÓ Î·È Î¿ÓÔ˘Ó ÙË ‰È¤Ï¢ÛË ÂÈΛӉ˘ÓË. ªÔÚ›˜ Ó· ˘ԉ›ÍÂȘ ÙËÓ ÔÚ›· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÏÔ›Ô ÁÈ· Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ Ì ·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ ÛÙÂÓfi ÙÔ˘ ∂˘Ú›Ô˘;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞

M

B

K5 K4 K3 K2

∆È Â›Ó·È Ë ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ;

∆È Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘;

¶ÔÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ÔÚ›·˜ ·˘Ù‹˜;

K1 K

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

MÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ϤÁÂÙ·È Ë Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ·˘Ùfi Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘.



∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ›Û˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ (ÈÛ·¤¯ÂÈ) ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.



∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙfi ÙÔ˘. H ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.



∫·Ù¿ ÙÔÓ ∂˘ÎÏ›‰Ë ÔÈ ∫·Ù·Û΢¤˜, ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Û ÙÚÂȘ ηÓfiÓ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”) ñ ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ Â˘ı›· ñ ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÚÔÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ñ √ ·ÎÏÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (ΤÓÙÚÔ) Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· (·ÎÙ›Ó·)

ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ηÓfiÓ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Î·Ù·Û΢¤˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË”. (“∫·ÓfiÓ·˜” Â›Ó·È ¤Ó·˜ ¯¿Ú·Î·˜ ¯ˆÚ›˜ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ¢ı›˜ Î·È fi¯È ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ì ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÌËÎÒÓ). √È Î·Ù·Û΢¤˜ ·˘Ù¤˜ ··ÈÙÔ‡Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂȉÂÍÈfiÙËÙ· Î·È ÁÓÒÛË, ‰›ÓÔ˘Ó fï˜ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È ‚ÔËıÔ‡Ó Ó· ·ÔʇÁÔÓÙ·È Ï¿ıË, Ô˘ ÔÊ›ÏÔÓÙ·È Û ·Ù¤ÏÂȘ ÙˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙËÓ Ú¿ÍË.


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11:16

™ÂÏ›‰·207

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 207 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·.

§‡ÛË ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ì ÙÔ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ª Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ ∞µ.

➊ ∞

ª

Â

B ∞

B

B

ª

B

ª

ª 1,5

Â

2.

¡· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ¯ˆÚ›˜ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·, ·ÏÏ¿ ÌfiÓÔ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË”.

§‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜, fiˆ˜ οı ¢ı›·, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Î·È fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Úԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ∞ Î·È µ. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ì ·ÎÙ›Ó· Ú (ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙÔ ÌÈÛfi Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ, ÁÈ· Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È). ∆· ÛËÌ›· ° Î·È ¢, ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‰ÈfiÙÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘, Ù· ° Î·È ¢, ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ° ∞ = ° µ = Ú Î·È ¢ ∞ = ¢ µ = Ú .

➋ °

°

µ

Ú

Ú

µ ∞

Ú

Ú

¢



ª

µ

¢

M ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚ڋηÌ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ª, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ.


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™ÂÏ›‰·208

- 208 -

3.

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›· ‰ οıÂÙË Û ¢ı›·  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ∞.

§‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È Ù˘¯·›· ·ÎÙ›Ó·, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ÛËÌ›· ° Î·È ¢. ∂Âȉ‹ ÙÔ ∞ Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ °¢, ·ÚΛ Ó· ʤÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â.

➊ °

°

Â

¢

E ∞

¢

Â

Â

E ∞

°

¢ Â

Z

4.

Z

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Î¿ıÂÙË ‰ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜.

§‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ÛËÌ›· ° Î·È ¢. ∂Âȉ‹ ÙÔ ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ° Î·È ¢, ı· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢. ∂Ô̤ӈ˜, ·ÚΛ Ó· ʤÚÔ˘ÌÂ, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Ì¿ı·Ì ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2, ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ∞.

 °

¢

¢

Â

¢

°

Â

Â

B

5.

A

∞ °

B

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. ∞

§‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· µ ° = · . ªÂ ΤÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· µ Î·È ° Î·È ·ÎÙ›Ó· ›ÛË Ì · ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·fi Ù· ‰‡Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ, ‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Ì ·, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ·ÎÙ›Ó·˜ ·.

· B

· ·

°


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11:16

™ÂÏ›‰·209

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 209 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË .......................................... . (‚) ªÂ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚ڋηÌ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ ................................................ ÙÔ˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ. (Á) ¢‡Ô ÛËÌ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â, fiÙ·Ó Ë Â Â›Ó·È .......................................... ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª.

2.

N· ¯·Ú¿ÍÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Ó· ÙÔ ¯ˆÚ›ÛÂȘ Û ‰‡Ô ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ٤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·.

3.

™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Î·È ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ∫∞. µÚ˜ ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ∫ Î·È ∞.

4.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë Î·Ì‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹ Á ·ÚÈÛÙ¿ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÛÙÈÎÔ‡ ψÊÔÚ›Ԣ. √È Î¿ÙÔÈÎÔÈ ÙˆÓ ÔÈÎÈÛÌÒÓ ∞ Î·È µ ·ÔÊ¿ÛÈÛ·Ó Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ó ÌÈ· ÛÙ¿ÛË, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜. µÚ˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ı· ‰ÒÛÂȘ.

Á

B

A

5. 6. 7.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ fi¯ı˘ ÂÓfi˜ ÔÙ·ÌÔ‡ ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ‰‡Ô ¯ˆÚÈ¿ ∞ Î·È µ.

8.

™¯Â‰›·Û ÙȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙÚÈÒÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÂͤٷÛ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜.

9.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‚Ú˜ ÂΛÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ‚Ú˜ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. ™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ∞µ. ¡· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ∞µ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. (·) ™‡ÁÎÚÈÓ ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ª∞ Î·È ªµ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Û‡ÁÎÚÈÛ˘, (‚) οÓ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ¡∞ Î·È ¡µ, (Á) ‚Ú˜ Â¿Ó ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ∫ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

 µ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1. 2.

™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ·. ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘; ∆ÚÂȘ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ ηٷÛÎ‹ÓˆÛ·Ó Û’ ¤Ó· οÌÈÓÁÎ Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó ÙȘ ÛÎËÓ¤˜ ÙÔ˘˜ ™1, ™2 Î·È ™3 ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ: ™1™2 = 3,8 m, ™1™3 = 2 m Î·È ™2™3 = 3,5 m. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙË ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÛÎËÓÒÓ Û ۯ¤‰ÈÔ Ì Îϛ̷η 1:100 Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡, Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËı› ¤Ó· ÓÙÔ˘˜, ÒÛÙÂ Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÛÎËÓ¤˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·’ ·˘Ùfi. À¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ Ù¤ÙÔȘ ı¤ÛÂȘ; ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.


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™ÂÏ›‰·210

- 210 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.4. ™ ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˆ ˜  Ú Ô ˜ Û Ë Ì Â › Ô

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∞Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÙÔ Û¯‹Ì· ∞µ°, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ηٿ 180Æ, ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· Ó¤· ı¤ÛË ÙËÓ ∞µ°.

A

°

➣ ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂȘ ÁÈ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· ∞µ° Î·È ∞µ°;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

O

B

B

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ fiÙ·Ó ÔÏÔÎÏËÚˆı› Ë ÛÙÚÔÊ‹ ·˘Ù‹, οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞µ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞µ µ° °. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È ∞.

∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √. ¢ËÏ·‰‹: ™˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √, Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, Ì ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì›ÙÂÈ ÙÔ ∞, ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÂÚ› ÙÔ √ ηٿ 180Æ. πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

 

ψ

¢‡Ô ÛËÌ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, fiÙ·Ó ÙÔ √ Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª.

¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, fiÙ·Ó Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √.



O

M

M

∆· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· .

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

∞

ψ

 

°

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.

§‡ÛË °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ➌ ➋ ➊ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ∞ ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ O O ∞ ÙÌ‹Ì· ∞√ Î·È ÛÙËÓ O ÚÔ¤ÎÙ·Û‹ ÙÔ˘ (Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‹ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË) ·›ÚÓÔ˘Ì ›ÛÔ ÙÌ‹Ì· √∞, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ÂÈÎfiÓ˜.

2.

∞

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞µ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.

§‡ÛË

B

∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ µ. °È· Ó· ÙÔ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, Ô˘ Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ √. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â›Ó·È: ∞ ã µ ã = ∞ µ Î·È ∞ ã µ ã // ∞ µ .

O

B

∞


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11:16

™ÂÏ›‰·211

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

3.

- 211 -

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √: (·) ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Î·È (‚) ÌÈ·˜ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x.

§‡ÛË ¶·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ‹ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ µ ·Ú·¿Óˆ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √. ∏ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Â›Ó·È Ë Â ‹ Ë ∞xx, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ¢ı›·˜  ‹ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ Ax ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. (·)

➋ µ

 ∞

µ

 ∞

O

4.

∞ Â Â// Â

µ

∞

µ

∞

µ x

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x ∞ y ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.. A

y

µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ Î·È ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ∞xx Î·È ∞yy ÙˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Ù˘ Ax Î·È Ay ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· √, fiˆ˜ Ì¿ı·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ∆fiÙÂ, ∧ ∧ ∞yy Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ x∞ y Î·È Â›Ó·È ›ÛË Ì’ ·˘Ù‹. Ë ÁˆÓ›· x∞

x

O y

A

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞µ° ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ÙÔ ÔÔ›Ô (·) Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, (‚) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È (Á) Â›Ó·È Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.

§‡ÛË

(·)

∫·È ÛÙȘ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞, µ, µ °, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆fiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ° ∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ µ° °, Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ°.

6.

x O

§‡ÛË

5.

x O

O

O µ

(‚)

µ

Â∞

(‚)

(Á)

∞ µ

° °

∞ O

O

O µ ∞

µ

°

∞ °

µ ∞

°

µ

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (∫, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.

§‡ÛË

Ú

K µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ∞, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∫ Î·È ∞ ∫,, Ú=∫∞ ∞) Ô˘ Â›Ó·È Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∫ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜. √È ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Â›Ó·È ›ÛÔÈ ‰ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜.

O K ∞

Ú

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο µ, ª Î·È ° ÙˆÓ µ, ª Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ∞ Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ fiÙÈ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ µ°. (∆Ô ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ µ°).

µ

2.

ª

°

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ¢ Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ° Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ √ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ¢. ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂȘ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢;


MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:16

™ÂÏ›‰·212

- 212 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.5. ∫ ¤ Ó Ù Ú Ô Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ µÚ˜ ¤Ó· ÛËÌ›Ô, Û οı ¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂÚÈÛÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ηٿ 180Æ Î·È Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Â¿Ó Û˘Ì›ÙÂÈ ‹ fi¯È Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘, ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ·˘Ù‹˜.

 £˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ √, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ 180Æ, Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈÔ ÛËÌ›Ô, ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √.



ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.


MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:16

™ÂÏ›‰·213

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 213 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘, Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.

§‡ÛË

A

E

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, Ì ÛÙÚÔÊ‹ ηٿ 180Æ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ √, ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ· fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ¢ ÙÔ˘ ∞µ°¢, ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ Â›Ó·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢.

2.

µ O

E

¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘;

°

§‡ÛË

Â

ªÂ ÛÙÚÔÊ‹ ηٿ 180Æ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi˜ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. EÔ̤ӈ˜:  ∆Ô Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ηıÒ˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘.

3.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ùo Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √, Â›Ó·È Â˘ı›· Â//Â.

§‡ÛË ∞ µ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË √∞ ÙÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â. ŒÛÙˆ µ ¤Ó·  ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â. µÚ›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ Î·È µ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì Â ÙËÓ Â˘ı›· √ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ∞Î·È µ. ∏ ¢ı›· Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋  ∞ µ Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ √. ∧ ∧ µ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ √∞ µ.∧ ∏ ÁˆÓ›· √∞ µ ∧ µ= =√∞ µ=90Æ. ÕÚ·, ÔÈ Â˘ı›˜ ∂Âȉ‹ ÔÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, ı· ›ӷÈ: √∞ µ Â Î·È Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ∞∞, Û˘ÓÂÒ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.  √È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Â˘ı›˜, Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

∞ÊÔ‡ ÁÚ¿„ÂȘ Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, ÂͤٷÛ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ¡· ‚ÚÂȘ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ.

ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “X” ÛÙȘ ηٿÏÏËϘ ı¤ÛÂȘ, ÁÈ· ÙË ıÂÙÈ΋ ÛÔ˘ ·¿ÓÙËÛË. ÕÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ∫·Ó¤Ó· ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· IÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ πÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ √ÚıÔÁÒÓÈÔ ƒfiÌ‚Ô˜ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∫‡ÎÏÔ˜

ŒÓ·

¢‡Ô

∆ÚÂȘ

∆¤ÛÛÂÚȘ

¶ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜

Œ¯ÂÈ ∫¤ÓÙÚÔ ™˘ÌÌÂÙÚ›·˜


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2-11-06

11:17

™ÂÏ›‰·214

- 214 -

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

µ.2.6. ¶ · Ú ¿ Ï Ï Ë Ï Â ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Ô Ó Ù · È ·  fi Ì È · ¿ Ï Ï Ë Â ˘ ı Â › ·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™ÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· ‚ϤÔ˘Ì ¤Ó· ‰ËÌfiÛÈÔ ‰ÚfiÌÔ Ó· ‰È·Û¯›˙ÂÈ ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù·.

Â

Â

› Ù ·

› Ù ·

¢ÒÛ ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ· fiÏ· Ù· Â1 ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÛÊ·ÏÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙË ˙ÒÓË ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 , ηıÒ˜ Î·È Ì›· ¿ÏÏË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ¿ fiÏ· Ù· Â2 ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¤Íˆ ·’ ·˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙ· ¯ˆÚ¿ÊÈ·.

·˘

·˘

Ù¿

Ù¿

√È ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· fiÚÈ· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙË ÁË Û ÙÚÂȘ ˙ÒÓ˜.

™ÙËÓ ›‰È· ÂÈÎfiÓ· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¯ˆÌ·Ùfi‰ÚÔÌÔ˜ Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù· Î·È ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ¢ı›· ‰ Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ➣ ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÒÛÂȘ ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÌfiÓÔ ·ÁÚfiÎÙËÌ·;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ‰

∞Ê

Â1

2

1

ˆ

4

3

Ê

ˆ

 √È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È “ÂÓÙfi˜” (ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ) Î·È fiϘ ÔÈ ¿ÏϘ “ÂÎÙfi˜”. ∧

∞3 , ∞4 , B1 , B2 Â›Ó·È “ÂÓÙfi˜” ηÈ

Ê 2

1

Â2

ˆ







4

ˆ

∞1 , ∞2 , B3 , B4 Â›Ó·È “ÂÎÙfi˜”

3

µÊ

√È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È “Â› Ù· ·˘Ù¿” (̤ÚË Ù˘ ¢ı›·˜)

∞2 , ∞3 , B2 , B3 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿” Î·È ∞1 , ∞4 , B1 , B4 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿”

∧ ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ë Ì›· ÛÙÔ .¯. Ë ∧ ∞4 Ì ÙËÓ B2 Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” ·ÏÏ¿ ¤Ó· ÎÈ Ë ¿ÏÏË ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ∧ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰, ϤÁÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È Ë ∞2 Ì ÙËÓ B1 Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” Î.Ô.Î. “ÂÓ·ÏÏ¿Í” .

∞fi ÙÔÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ı· ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ¤ÍÈ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁÈ· Ù· 16 ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. (·) ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (‚) ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í (Á) ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ Î·È (‰) ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ (Â) ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (ÛÙ) ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿.


MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:17

™ÂÏ›‰·215

ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

- 215 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›· ‰ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

§‡ÛË

MÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì (ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ) fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ∞ Î·È µ, Â›Ó·È ‰‡Ô ÂȉÒÓ:

∞Ê

Â1

ˆ

Ê 2

1



ˆ

4

√È ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ô˘ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜

›Û˜ Î·È 

Â2

2

1

ˆ

3

4

Ê

ˆ

3

µÊ

√È ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ Ê , Ô˘ Â›Ó·È ÎÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È fiϘ ÔÍ›˜ Î·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:



∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”:



∞fi ÙȘ “ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”:



∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”:

∞4 = B2 ∞2 = B4 ∞2 = B2

ηÈ

∞4 = B4

∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È fiϘ ·Ì‚Ï›˜ Î·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:



∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”:



∞fi ÙȘ “ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”:



∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∧

∞3 = B1 ∞1 = B3 ∞1 = B1

ηÈ

∞3 = B3

∂Âȉ‹ fï˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∞ 1 Î·È ∞ 2 Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÂÓÈο: ∧

ˆ + Ê = 180Æ .

√fiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ˘fiÏÔÈ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ˙¢Á¿ÚÈ· ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ù· ÔÔ›· Î·È Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜:



√È “ÂÓÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”:



√È “ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”:



√È “ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”:

∞3 + B2 = 180Æ ∞1 + B4 = 180Æ

ηÈ

Î·È ∞4 + B1 = 180Æ Î·È ∞2 + B3 = 180Æ

∞1 + B2 = 180Æ

Î·È ∞2 + B1 = 180Æ

∞3 + B4 = 180Æ

Î·È ∞4 + B3 = 180Æ


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2-11-06

11:17

™ÂÏ›‰·216

- 216 -

2.

ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·

™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Â›Ó·È ∧

ÛËÌÂȈ̤Ó˜, ·Ó Â›Ó·È · = 40Æ.

§‡ÛË

√È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È Á Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: · = Á = 40Æ ∧

OÈ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: · + ‚ = 180Æ, ·fi ÙË ∧

Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ‚ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ ∧

√È ÁˆÓ›Â˜ ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ‚ = ‰ = 140Æ.. ∞ÏÏ¿ ÂÂȉ‹ Â1//Â2 Î·È Ë Â3 Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ı· ›ӷÈ:

 = ·, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·:  = 40Æ

Â1

Â2

˙ + · = 180Æ, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ∧

¿Ú·: ˙ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ ∧

‚· Á‰

Ë = ·, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, ÂÔ̤ӈ˜: Ë = 40Æ Î·È

˙ Â Ëı

Â3

ı = ‰ , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·: ı = 140Æ.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó 4 cm. º¤Ú ̛· ¢ı›· Ô˘ Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙËÓ Â1 ÁˆÓ›· 12Æ Î·È ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜. ˙

2. 3.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÛËÌÂȈ̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∧ ∧ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Â›Ó·È · = ‚ = 70Æ.

·

Â

Â1 Á

‚ Â4

Â3

‰ Â5

¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÌÈ· ÁˆÓ›· xA y = 63Æ. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô µ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞x, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∞µ=5 cm Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ∞y, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∞¢=2,9 cm. ¡· ʤÚÂȘ ·fi ÙÔ µ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ∞y Î·È ·fi ÙÔ ¢ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Ax. ¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ·˘ÙÒÓ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞µ°¢. ‰1

4.

Â1

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È Ë ËÌÈ¢ı›· µ‰ 2 Â›Ó·È ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B . ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ∧ ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ · , ‚ Î·È Á ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

‰2

∞ ·

56Æ

Á

°

Ê Ê

µ Â2

Â1

5.

116Æ

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4. ∧ ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ . Â2

6.

Â2

· ‚ Â4

Ê Â3

™ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ›ӷÈ: ∞µ//°¢ Î·È ∞¢//µ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiϘ ÙȘ ÛËÌÂȈ̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜.

¢ ·

Á 30Æ

µ

ˆ

105Æ Â °

Ê ı


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:42

™ÂÏ›‰·217

ª∂ƒ√™ µ 

TÚ›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· 3.1

™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ

3.2

ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

3.3

¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒfiÌ‚Ô˜ - ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ∆Ú·¤˙ÈÔ πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÔÈÔ ÚfiÌ‚Ô˜, ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ÔÈÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ñ ÷ڿÛÛˆ Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘

3.4

π‰ÈfiÙËÙ˜ ¶·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒfiÌ‚Ô˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∆Ú·Â˙›Ô˘ - πÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘

¶§ ∞ ∆ø ¡ √ ∞ £ ∏ ¡ ∞ π √ ™ ( 4 2 7 - 3 4 7 . à . )

3o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·218

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 218 -

µ.3.1. ™ Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ - ∂ › ‰ Ë Ù Ú È Á Ò Ó ˆ Ó

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∫‡ÚÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘

ÎÔÚ˘Ê‹



∫¿ı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ∞, µ, °, ∧ ∧ ∧ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ∞µ, µ°, °∞ Î·È ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜ ∞ , B, °. ÏÂ˘Ú¿



∆· ∞µ, µ°, °∞, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜, Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ó Î·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.

ÏÂ˘Ú¿

°

µ ÎÔÚ˘Ê‹

ÏÂ˘Ú¿

ÎÔÚ˘Ê‹

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‚ϤÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ‚¿ÛË ‰‡Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÎÚÈÙ‹ÚÈ·. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÏfiÁÈ· Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ì ٷ ÔÔ›· ¤ÁÈÓ ·˘Ù‹ Ë Î·Ù¿Ù·ÍË;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

Ÿ¯È οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜

¶Ï¢ڤ˜ οıÂÙ˜

M›· ÁˆÓ›· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ù˘ ÔÚı‹˜

M›· ÁˆÓ›· ÔÚı‹ µ

ŸÏ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜

ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ∞

°

µ

°

µ

∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ

√ÚıÔÁÒÓÈÔ

°

√͢ÁÒÓÈÔ

ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

πÛfiÙËÙ· Ï¢ÚÒÓ

∞ÓÈÛfiÙËÙ· Ï¢ÚÒÓ

¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜

∆ÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜

ŸÏ˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ¿ÓÈÛ˜

µ

πÛfiÏ¢ÚÔ

°

µ

πÛÔÛÎÂϤ˜

°

µ

°

™Î·ÏËÓfi


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·219

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 219 ∞

¢Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ 

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜, ϤÁÂÙ·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ . B



ª

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÓÔ˘Ì ·fi Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ οıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ı›· Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜, ϤÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

° ∞

B



¢

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ʤÚÓÔ˘Ì ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿, ϤÁÂÙ·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

°

ˆˆ

B

°

¢

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Ù· ‡„Ë Û ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ ›ӷÈ: (·) Ô͢ÁÒÓÈÔ, (‚) ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ Î·È (Á) ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

§‡ÛË ∞fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ .¯. ÙËÓ ∞ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. ∆fiÙÂ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ∞ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÙËÓ Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ Î·È ·fi ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ÙÚ›· ‡„Ë ÙÔ˘, Ù· ÔÔ›· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô ∏, Ô˘ ϤÁÂÙ·È ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ. (·)

∂ ∑

Z H

µ

(‚)

°

¢

µ

°

°

µ

µ

¢

°

∞ E

E ¢

µ

¢

°

µ

¢

°

µ

Z

¢

°

°

µ Z

Z H

(Á)

B

° B

°B

¢

°

B

¢

°


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·220

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 220 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË.

2.

™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, Ì ÏÂ˘Ú¿ µ° = 4,4 cm, ʤÚ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞ª. ªÂÙ¿ ʤÚ ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞∫ Î·È ∞§ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞µª Î·È ∞°ª Î·È ‚Ú˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ∫ª Î·È §°.

3.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Î·È ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ ∞¢, µ∂ Î·È °∑. ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÁÈ·Ù› ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È ‡„Ë ÙÔ˘.

4.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) µÚ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ, ÙÔ Ì¤ÛÔ ∂ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ∑ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ °∞. (‚) ™¯Â‰›·Û ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞∂ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ∑¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª. ™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢ª Î·È ª∑. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

5.

¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) º¤Ú ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞ª Î·È µ¡ Î·È ÔÓfiÌ·Û Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· £ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. (‚) MÂÙ¿ ۯ‰›·Û ÙËÓ Â˘ı›· °£ Î·È ÔÓfiÌ·Û Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ƒ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë Â˘ı›· °£ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ. (Á) ™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ƒ Î·È µƒ. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

6.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¿Ú ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ¯¿Ú·Í ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÌÈ· ¢ı›·  ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞° ÙÔ ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ¡, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¡ Î·È ¡°. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

(·) (‚) (Á) (‰) (Â) (ÛÙ) (˙) (Ë)

™ø™∆√ §∞£√™

∫¿ı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. ∆Ô ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜. ∆Ô ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. ∆Ô ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ. ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ. ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ∆Ô ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ¿ÓÙ· Ô͢ÁÒÓÈÔ. ŒÓ· ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ∆ƒπ°ø¡∞

™Î·ÏËÓfi πÛÔÛÎÂϤ˜ πÛfiÏ¢ÚÔ

O͢ÁÒÓÈÔ

√ÚıÔÁÒÓÈÔ

∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·221

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 221 -

µ.3.2. Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ - π ‰ È fi Ù Ë Ù Â ˜ È Û Ô Û Î Â Ï Ô ‡ ˜ Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™¯Â‰›·Û ‰È¿ÊÔÚ· Ù˘¯·›· ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈ· Î·È Ô͢ÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, fiˆ˜ .¯. ·˘Ù¿ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÈÔ Î¿Ùˆ. ª¤ÙÚËÛ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Î·È ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ªÔÚ›˜ Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ οÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·; °

A



B

°

µ

A

µ

°

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ ÔÈ· ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î·È ÁÈ·Ù›.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÈÂÚ¢ӋÛÂȘ fiÛÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÁÈ·Ù›.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

™ Â Î ¿ ı Â Ù Ú › Á ˆ Ó Ô ∞ µ ° È Û ¯ ‡ Â È : ∞ + B + ° = 180Æ

12

™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:



∏ ¢ı›· Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.



∏ ‰È¿ÌÂÛÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜.



√È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ Â›Ó·È ›Û˜.

12

µ

¢

°

‚¿ÛË ∞

™Â οı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:



√È Â˘ı›˜ ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.



∫¿ı ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜.



ŸÏ˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È fiϘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.

°

µ


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·222

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 222 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁËı› Ì ÏÔÁÈο ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù· fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ..

§‡ÛË ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Î·È Ì›· ¢ı›· xAy, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· µ°.

x

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ∧

ˆ

x ∞µ = ˆ = µ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, ÙˆÓ

ˆ

·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ xAy Î·È µ°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ∞µ. ∧

y

ı

B

ı

°

y ∞° = ı = ° ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ xAy Î·È µ°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ∞°. ∧ ∧

√È ÁˆÓ›Â˜ ˆ, ∞ Î·È ı Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ¢ı›· ÁˆÓ›·. ∧ ∧ ∧ ∂Ô̤ӈ˜ ı· ›ӷÈ: ˆ + ∞ + ı = 180Æ . ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∂Âȉ‹ fï˜ ›ӷÈ: ˆ = µ Î·È ı = °, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: µ + ∞ + ° = 180Æ.

2.

™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜.

§‡ÛË

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì A = 90Æ. ∧ ∧ ∧ ∂Âȉ‹ ›ӷÈ: A + B + ° = 180Æ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ∧

A

B + ° = 180Æ – 90Æ = 90Æ.

°ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ Ï¤ÁÔÓÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ÕÚ·, Û οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ B ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜.

3.

°

To ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÁˆÓ›·˜.. ∧ (™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ë ÁˆÓ›· ∞° x, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ∞° Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ∧ µ° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ °, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· Ù˘ °).

§‡ÛË ∧

∏ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ∧ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ı· Â›Ó·È ∧

Ê = 180Æ – ° .

∂Âȉ‹ Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ¿Ú· A + B = 180Æ – ° , ‰ËÏ·‰‹ A + B = Ê. ÕÚ·, Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ B ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

Ê

°

x


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·223

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

4.

- 223 ∞

√È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È fiϘ ›Û˜ Ì 60Æ.

60Æ

§‡ÛË

A=B= °. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÛÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È: ∧ ∧ ∧ ∂Âȉ‹ Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ı· Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ∧ B A + A + A = 180Æ , ‰ËÏ·‰‹ 3  A = 180Æ, Û˘ÓÂÒ˜: ∧ A = 180Æ : 3 = 60Æ. ÕÚ·, fiϘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Ì 60Æ.

5.

60Æ

60Æ

°

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

§‡ÛË

∞ ∧

™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ A + B + ° = 180Æ. ∂Âȉ‹ ÛÙÔ ∧ µ° Ë ÁˆÓ›· ∞ Â›Ó·È ÔÚı‹, ‰ËÏ·‰‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞∧ ∧ ∧ A = 90Æ, ı· ›ӷÈ: B + ° = 90Æ. B ∧ ∧ ∂Âȉ‹ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ı· Â›Ó·È B = °, ¿Ú· ı· ∧

45Æ

45Æ

°

Â›Ó·È B + µ = 90Æ, ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: ∧

2  B = 90Æ, ‰ËÏ·‰‹ ı· ¤¯Ô˘Ì B = 90Æ : 2 = 45Æ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Î·È ° = 45Æ.

6.

¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ÌfiÓÔ fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 40Æ.

§‡ÛË ∧

ŒÛÙˆ ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ∞B=A°. ∆fiÙ ı· Â›Ó·È B = °. ∧

∞ 40Æ

∂Âȉ‹ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (·)

(‚)

∞Ó Â›Ó·È ∞ = 40Æ. ∧ ∧ B ™˘ÓÂÒ˜ ı· Â›Ó·È 40Æ + B + ° = 180Æ, ÂÔ̤ӈ˜ ∧ ∧ ∧ ∧ B + ° = 180Æ – 40Æ. ∂Ô̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È B + µ = 140Æ, ∧ ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: 2  B = 140Æ, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∧ B = 140Æ: 2 = 70Æ ¿Ú· Î·È ° = 70Æ. ∧

∞Ó Â›Ó·È B = ° = 40Æ. ∧ £· Â›Ó·È ∞ + 40Æ + 40Æ = 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∞ + 80Æ = 180Æ, Û˘ÓÂÒ˜ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ∧ ∞ = 180Æ – 80Æ = 100Æ. B ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ì ٷ ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰Â‰Ô̤ӷ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ‰‡Ô ÙÂÏ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ·, Ù· ÔÔ›· fï˜ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ·˘Ù¿ Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ.

°

40Æ

40Æ

°


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

- 224 -

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·224

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. (·) √È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ∧ ∧ ∧ (‚) ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞ + µ + ° = 90Æ.

™ø™∆√ §∞£√™

(Á) (‰)

∫¿ı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì 30Æ. ™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë Â˘ı›· ÌÈ·˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

(Â)

™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‚¿ÛË, Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜.

(ÛÙ) ™Â οı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ı›˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. (˙) (Ë) (ı)

2. 3. 4.

™Â οı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ı›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ™Â οı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î¿ı ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜. ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È 60Æ. ∧

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È µ =75Æ Î·È ° =35Æ Î·È ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙË ÁˆÓ›· ∞ . ∧

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ó· Â›Ó·È ∞ = 90Æ, µ = 60Æ Î·È ∧ ∞µ = 4,2 cm. (·) ÀÔÏfiÁÈÛ ÙË ÁˆÓ›· ° . (‚) ª¤ÙÚËÛ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Î·È Û‡ÁÎÚÈÓ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ. ‰2 ‰1 48Æ ‚

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2. ∧ ∧ ∧ ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ·, ‚, Á Î·È ‰.

Â1

Á

·

Â2

52Æ Â1 35Æ

Â1

5.

™Ù· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È Â1//Â2. ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙË ÁˆÓ›· Ê.

Ê Ê Â2

35Æ

Â2 102Æ

72Æ ∞

6.

40Æ

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ//°¢. ÀÔÏfiÁÈÛ ÙË ÁˆÓ›· ˆ.

µ ∂

ˆ

42Æ

°

¢

7.

™Â ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È 74Æ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.

8.

™Â ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ∞ = 36Æ Î·È Ë ÁˆÓ›· µ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙË ° . ∧ ∧ ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ µ Î·È °.

9.

™Â ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ë ÁˆÓ›· ∞ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙË µ Î·È Ë ° ÙÚÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙË µ . ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

10.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢, Ó· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Î·È ∧ Ó· ʤÚÂȘ ÙȘ √∞, √µ, √° Î·È √¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∞O B, ∧ ∧ ∧ B√ °, °√ ¢ Î·È ¢√ ∞ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ∞µ°¢.


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·225

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 225 -

µ.3.3. ¶ · Ú · Ï Ï Ë Ï fi Á Ú · Ì Ì Ô - √ Ú ı Ô Á Ò Ó È Ô - ƒ fi Ì ‚ Ô ˜ - ∆ Â Ù Ú ¿ Á ˆ Ó Ô ∆Ú·¤˙ÈÔ - πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ H ˘ËÚÂÛ›· Ô‰È΋˜ ·ÛÊ¿ÏÂÈ·˜ ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ‚¿„ÂÈ ÙÔ Ô‰fiÛÙڈ̷ Û fiϘ ÙȘ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÛÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓÔ Î›ÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·. °È· Ó· οÓÂÈ ÙÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ù˘, Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ Ô‰ÔÛÙÚÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔ ÎÔÈÓfi ̤ÚÔ˜ ‰‡Ô ‰ÚfïÓ, Û οı ‰È·ÛÙ·‡ÚˆÛË.

ªÂ ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ ÔÈ ‰ÚfiÌÔÈ Ô˘ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÓÔÓÙ·È Â›Ó·È Â˘ı›˜, ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ fiϘ ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ‰ÚfiÌÔÈ: (·) fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·ı¤Ùˆ˜. (‚) fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·ı¤Ùˆ˜. (Á) fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Ï·Á›ˆ˜. (‰) fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Ï·Á›ˆ˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËϘ, ‰ËÏ·‰‹ ∞µ//°¢ Î·È ∞¢//µ°.



∫¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ÔÓÔÌ·ÛÙ› ‚¿ÛË ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.



∏ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ‚¿Û˘ ·fi ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ϤÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. B

A

˘1

¢

°

∏ ˘2

£

°È· ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ∞µ Î·È °¢ ‡„Ô˜ Â›Ó·È ÙÔ ∂∑, ÂÓÒ ÁÈ· ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ∞¢ Î·È µ° ‡„Ô˜ Â›Ó·È ÙÔ ∏£.


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·226

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 226 -

EȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ A



µ

ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜ ϤÁÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ‹ ·Ï¿ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¢

° µ



ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ϤÁÂÙ·È ÚfiÌ‚Ô˜.

°

A

¢



A

µ

¢

°

ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜ Î·È fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ϤÁÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ .

TÚ·¤˙ÈÔ 

∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÌfiÓÔ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ϤÁÂÙ·È ÙÚ·¤˙ÈÔ.



√È ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ∞µ, °¢ (∞µ//°¢) ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ϤÁÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘.



∏ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Ï¤ÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. A

E

µ

˘

¢

°

Z

∏ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ∞µ Î·È °¢ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ∂∑ . A



µ

∞Ó ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ¤¯ÂÈ ÙȘ ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ϤÁÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ.

∂›Ó·È ∞¢ = µ°

¢

°


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·227

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 227 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È Î·È ‡„Ë.

§‡ÛË ∂Âȉ‹ fiϘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ÔÚı¤˜, ÔÈ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È Î·È ‡„Ë.

2.

A

µ

¢

° ∞

µ

¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹.

§‡ÛË

™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ‹ Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ù· ‡„Ë ∞∂ Î·È ∞∑ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ¢ Â›Ó·È ›Û·, ‰ËÏ·‰‹: ∞∂ = ∞∑.

°

3.

¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹.

§‡ÛË ∆· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢ Ô˘ ʤÚÓÔ˘Ì ¢ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ¢° Î·È µ° Â›Ó·È Ù· ∞∂ Î·È ∞∑ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

µ ˘2 ˘1

∑ °

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. (·)

™ø™∆√ §∞£√™

ŒÓ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÚfiÌ‚Ô˜.

(‚) (Á)

ŒÓ·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. ∫¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·. (‰) ∫¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÚfiÌ‚Ô˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·. (Â) ∫¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ·.

2.

¶fiÛ· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜, fiÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘; ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

3.

ªÂ Ù¤ÛÛÂÚ· Û›ÚÙ· (ÔÏfiÎÏËÚ· Î·È ›Û·) ÔÈ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ÌÔÚ›˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ; ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

4.

ªÂ ‰‡Ô ÔÏfiÎÏËÚ· Î·È ‰‡Ô ÌÈÛ¿ Û›ÚÙ· ÌÔÚ›˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· Î·È ÔÈ·; ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:43

™ÂÏ›‰·228

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 228 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π ➣ ➣ ➣

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ¯ˆÚ›ÛÂȘ Ù· ÈÔ Î¿Ùˆ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Û ÔÌ¿‰Â˜. ¢ÒÛ ·fi ¤Ó· fiÓÔÌ· ÛÙÔ Î·ı¤Ó·. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌfi Û ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ¤Î·Ó˜. ∞

B

°

¢ ∞

B

°

B

° ¢

¢

° ∞

B

°

¢

¢

B

B

¢

°

B

¢

°

B

¢

°

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √ ∂˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ÚÔÙ›ÓÂÈ ÌÈ· Ù·ÍÈÓfiÌËÛË (¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 1), Ô˘ ‰ÂÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›·, ÙËÓ ÔÔ›· ÂÈÛ¿ÁÂÈ ·ÚÁfiÙÂÚ·. ∆Ú·¤˙ÈÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ, fi¯È ÂΛÓÔ Ô˘ ϤÌ ÂÌ›˜ Û‹ÌÂÚ·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ì ‰‡Ô ÌfiÓÔ Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ, ·ÏÏ¿ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ. ∆ÔÓ fiÚÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ, Ì ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ¤ÓÓÔÈ·, ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ·ÚÁfiÙÂÚ· ÛÙÔÓ ∞Ú¯ÈÌ‹‰Ë . ∂›Û˘ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ÚÔÌ‚ÔÂȉ¤˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÛËÌÂÚÈÓfi ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. MÈ· ÚÔÛ¿ıÂÈ· ‰ÈfiÚıˆÛ˘ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ ··ÓÙ¿Ù·È ÙÔÓ 16Ô ·ÈÒÓ· ÛÙË “°ÂˆÌÂÙÚ›·” (1569) ÙÔ˘ Petrus Ramus ‹ Pierre de la Ramée .

∆∂∆ƒ∞¶§∂Àƒ√ ∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ∆ƒ∞¶∂∑π√ ÈÛfiÏ¢ÚÔ Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∂∆∂ƒ√ª∏∫∂™ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È fi¯È ÈÛfiÏ¢ÚÔ

ƒ√ªµ√™ ÈÛfiÏ¢ÚÔ Î·È fi¯È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ

ƒ √ ª µ √ ∂ π ¢ ∂ ™ ¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 1. ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜

∏ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· Ù·ÍÈÓfiÌËÛË

∆∂∆ƒ∞¶§∂ÀƒA

¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ªª∞

∆ƒ∞¶∂∑π∞

¶§∞°π√

√ƒ£√°ø¡π√

¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ ªª√

¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ ªª√

ƒ√ªµ√™

ƒ√ªµ√EIDES

∆∂∆ƒ∞°ø¡√

∂∆∂ƒ√ª∏∫∂™

¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 2. ∏ Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙÔ˘ Ramus


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·229

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 229 -

µ.3.4. π ‰ È fi Ù Ë Ù Â ˜ ¶ · Ú · Ï Ï Ë Ï Ô Á Ú ¿ Ì Ì Ô ˘ - √ Ú ı Ô Á ˆ Ó › Ô ˘ - ƒ fi Ì ‚ Ô ˘ ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ∆Ú·Â˙›Ô˘ - πÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ Â¿Ó ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜: (·) ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, (‚) ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘, (Á) ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È (‰) ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Î·È Ï¿ÁÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ 

™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. A



√È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È (οı ̛· ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ¿ÏÏ˘).



√È ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È ›Û˜.



√È ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ: 

B √ ¢ °

A

√È ÌÂÛÔοıÂÙÔÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

¢ Â1

Â2



√È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.

B

°


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·230

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 230 -

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘

A 1 2

∂ÎÙfi˜ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÎfiÌ· Î·È ÙȘ ÂÍ‹˜:

  

√È Â˘ı›˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. √È ‰È·ÁÒÓȘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ (Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È).

2 1

1 2

¢

1 2

2 1

µ

°

√È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘.

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ 



∂ÎÙfi˜ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÎfiÌ· Î·È ÙȘ ÂÍ‹˜: A

45Æ

√È Â˘ı›˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Î·È ÔÈ ÌÂÛÔοıÂÙÔÈ √

ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.

 

¢

√È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, οıÂÙ˜ (Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È). √È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘.

°

µ

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘

¢



∏ ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È ¿ Í Ô Ó · ˜ Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜ Î·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘.



√È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û οı ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.

A

N 1 2

1 2

M

°

µ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜: (·) ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘, (‚) ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È (Á) ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

§‡ÛË (·)

(‚)

(Á)

∂Âȉ‹ Ô ÚfiÌ‚Ô˜ Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.

∂Âȉ‹ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ √ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.

∂Âȉ‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ √ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.

O


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·231

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 231 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ¤Ó· ÚfiÌ‚Ô Î·È ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘˜ ηÈ

2.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞µ°¢ Î·È Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙË ‰È·ÁÒÓÈfi ÙÔ˘ ∞° ÁÚ¿„ ¤Ó· ·ÎÏÔ.

ÂͤٷÛÂ Â¿Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ Â›Ó·È ›Û·.

¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·˘Ùfi˜ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi fiϘ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.

3.

™Â ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢ ʤÚ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ µ¢ Î·È ÌÂÙ¿ Û‡ÁÎÚÈÓ ÙȘ

4.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ʤÚ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÚÔ˜

5.

™¯Â‰›·Û ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ Ï·Á›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ·

6.

™¯Â‰›·Û ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜

·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞ Î·È ° ·’ ·˘Ù‹.

ÙȘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜ ÙÔ˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·’ ·˘Ù¤˜, Â¿Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó;

ÁÈ· ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·’ ·˘Ù¤˜ Â¿Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó; ∂›Û˘, ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ (·) ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È (‚) ÂÓfi˜ ÚfiÌ‚Ô˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

7.

™¯Â‰›·Û ٷ ‡„Ë ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞µ¢ Î·È ¢µ°, Ù· ÔÔ›· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È, fiÙ·Ó Ê¤ÚÂȘ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ µ¢ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞µ°¢. ª¤ÙÚËÛ ٷ ‡„Ë ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; (¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘).

8.

¶¿Óˆ Û ‰‡Ô ÌË ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, ¿Ú ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ √∞ = √µ. ∞fi ÙÔ ∞ ʤÚ ∞y//Oy Î·È ·fi ÙÔ µ ÙËÓ Bx//Ox. √ÓfiÌ·Û ∫ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ∞y Î·È µx. º¤Ú ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ ÙÔ˘ ∞√µ∫ Î·È ‰È·›ÛÙˆÛ ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ı¤ÛË. ∂›Û˘, Û‡ÁÎÚÈÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ √ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ∞y Î·È Bx Î·È ÙÔ˘ ∫ ·fi ÙȘ Ox Î·È Oy.

9.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÈ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. ∞Ó ∞µ = 3 cm Î·È µ° = 4 cm. ¡· ‚ÚÂȘ: (·) ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ °¢ Î·È ∞¢ Î·È (‚) ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ µ¢ Î·È ∞°, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;


ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·232

ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·

- 232 -

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞ . ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. √¡√ª∞™π∞ ∑∂À°√À™ °ø¡πø¡ ¶∞ƒ∞§§∏§∂™ ∂À£EIE™ ∆∂ª¡OME¡∂™ ∞¶√ ∂À£∂π∞

π™∂™

™Ã∂™∏ ¶∞ƒ∞¶§∏ƒøª∞∆π∫∂™

“ENTO™ ∂¡∞§§∞•” “E∫TO™ ∂¡∞§§∞•” “ENTO™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞” “E∫∆√™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞” “ENTO™ - ∂∫∆√™ ∂¡∞§§∞•” “ENTO™ - ∂∫∆√™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞”

B . ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (Y¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi Ì›· ··ÓÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜). 1. ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ: 270Æ 180Æ 90Æ 2. ™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‚¿ÛË, Â›Ó·È Î·È: ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ⁄„Ô˜ ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ 3. ™Â οı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ fiϘ ÔÈ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ÙÔ˘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂ: 145Æ 270Æ 120Æ 4. ™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ›Û˜ ÔÈ: √È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û οı ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ŸÏ˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ √È ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘. 5. ™Â οı ÚfiÌ‚Ô ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ›ӷÈ: ÕÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ∫¿ıÂÙ˜ Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È ¢È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. 6. ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ›ӷÈ: √È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ √È ÌÂÛÔοıÂÙÔÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ √È Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. 7. ™Â οı ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ı›˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ›ӷÈ: ¢È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ªÂÛÔοıÂÙÔÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÕÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. 8. ™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Â›Ó·È: ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘. √È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ √È ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.

° . ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∂À£À°ƒ∞ªª∞ ™Ã∏ª∞∆∞ ∂À£À°ƒ∞ªª√ ∆ª∏ª∞ °ø¡π∞ ∫∞∆∞∫√ƒÀº∏¡ °ø¡π∂™ ∂¡∆√™ ∂¡∞§§∞• °ø¡π∂™

∆ÀÃ∞π√ ∆ƒπ°ø¡√ π™√™∫∂§∂™ ∆ƒπ°ø¡√ π™√¶§∂Àƒ√ ∆ƒπ°ø¡√ ∆ƒ∞¶∂∑π√ π™√™∫∂§∂™ ∆ƒ∞¶∂∑π√ ∆ÀÃ∞π√ ∆∂∆ƒ∞¶§∂Àƒ√ ¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ªª√ √ƒ£√°ø¡π√ ∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ƒ√ªµ√™

0 1

∞ƒπ£ª√™ ∞•√¡ø¡ ™Àªª∂∆ƒπ∞™ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

∫∂¡∆ƒ√ ™Àªª∂∆ƒπ∞™


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:52

™ÂÏ›‰·233

¶∞ƒ∞ƒ∆∏ª∞

Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ ∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ

ª∂ƒ√™ ° 


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

- 234 -

11:52

™ÂÏ›‰·234

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1 Ô - √È º˘ÛÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› ∞.1.1.

º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË º˘ÛÈÎÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË

3. 286, 287, 288 Î·È 290, 291. 4. 3.508<3.515<3.620<4.800<4.801. 5. (·) 45=45, (‚) 38>36, (Á) 456<465, (‰) 8.765<8.970, (Â) 90.876>86.945, (ÛÙ) 345<5.690. 6. µ (3), ° (5), ¢ (6), ∂ (7).

∞.1.2.

7. (·)™, (‚)™, (Á)™, (‰)§, (Â)™, (ÛÙ)™, (˙)§, (Ë)™, (ı)§, (È)™, (È·)§, (È‚)§. 8. 300, 800, 700, 2.600, 9.500, 123.600, 34.600, 31.500, 8.800. 9. (·) 7.568.350, (‚) 7.568.300, (Á) 7.568.000 (‰) 7.570.000, (‰) 7.600.000.

¶ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

2. (·) 52100=5200, (‚) 3710=370, (Á) 49010.000=4.900.000. 3. (·) 3.582+7.591=11.173, (‚) 485+525=1.010, (Á) 3.565+528=4.093 4. 1+2+3+4=10, 1+2+34=15, 12+34=14, 1234=24 5. (·) 190, (‚) 225, (Á) 462, (‰) 2726, (Â) 60–18+2, (ÛÙ) fiϘ, (˙) 230, (Ë) 9700, (ı) 879000. 6. (·) 39, (‚) 77, (Á) 540, (‰) 1.212, (Â) 550, (ÛÙ) 444, (˙) 3.366, (Ë) 5.684.

∞.1.3. 1.

7. 8. 9. 10. 11.

∆Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Â›Ó·È 40. (·) Ÿ¯È, (‚) 1.025. ¡·È ·ÎÚÈ‚Ò˜. 37 ÎÈÏ¿. (·) √ ÕÚ˘ ÙÔ 2004 Â›Ó·È 21 ¯ÚÔÓÒÓ, (‚) √ ·Ù¤Ú·˜ ÁÂÓÓ‹ıËΠÙÔ 1958. 12. ∫·È ÔÈ 12 ·›ıÔ˘Û˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, ¯ˆÚ¿ÓÂ: 400 Ì·ıËÙ¤˜. ™ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ¤¯Ô˘Ó ÁÚ·ÊÙ›: 199 Ì·ıËÙ¤˜. ÕÚ· ÔÈ ·›ıÔ˘Û˜ Â·ÚÎÔ‡Ó.

¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

·

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

·2

64

81

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

625

·3

512

729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625

2. (·) 5 , (‚) 8  63, (Á) 16, (‰) ·4, (Â) x3, (ÛÙ) 24  ·3. 3. 2, 4, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. 4. 102=100, 202=400, 302=900, 402=1.600,502=2.500, 602=3.600, 702=4.900, 802=6.400, 902=8.100. 5. 103=1000, 203=8.000, 303=27.000, 403=64.000, 503=125.000. 6. (·) 75, (‚) 77, (Á) 79, (‰) 19, (Â) 147. 7. (·) 60, (‚) 14.686 8. (·) (6+5)2=121 Î·È 62+52=61, 6

∞.1.4.

6

9. 10.

11. 12.

(‚) (3+6)2=81 Î·È 32+62=45. (·) 3·, (‚) ·3, (Á) 4x, (‰) x4. (·) 34.720= 3104+4103+7102+2101, (‚) 123.654=105+2104+3103+6102+5101+4100, (Á) 890.650=8105+9104+6102+5101. (1+2)  (3+4)=21, 1(2+34)=14, (12+3)4=20, 1+(2+3)4=21. 2+22=6, 3+33=12, 4+444=68, 5+55+55=55, 5 5+555=150, 4+44–4=16.

∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·

1. (·) 4002:69=58, (‚) 1445:17=85, (Á) 925:37=25, (‰) 3621:213=17, (Â) 35280:2940=12, (ÛÙ) 5082:77=66. 2. (·) 65:5=13, (‚) 30:3=10, (Á) 46.592:52=896.

3. 4. 5. 6.

(·) ¡·È, (‚) Ÿ¯È, (Á) ¡·È, (‰) ¡·È. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 9  73+4=661. £· Â›Ó·È Ë ¶¤ÌÙË.

∞.1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ 2. 6. 8. 9.

3. (·) 15, (‚) 66, (Á) 10, (‰) 30, (Â) 18, (ÛÙ) 120. 4. 2031. 5. 105. (·) 684, (‚) 9504 ‹ 9594, (Á) 6012. 7. (·) 1, (‚) 8, (Á) 15, (‰) 10, (Â) 2. ™ÙȘ 9 ª·˝Ô˘. √ °È¿ÓÓ˘ 5 ÊÔÚ¤˜ Î·È Ô ¡›ÎÔ˜ 4 ÊÔÚ¤˜. ·=24Î, ‚=24Ï, Î Î·È Ï Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ∫¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚ› ÙÔ 24 ‰È·ÈÚ› Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆Ô˘ 10 ›ӷÈ: 1, 2, 5, 10 ∆Ô˘ 14 ›ӷÈ: 1, 2, 7, 14 ∆Ô˘ 18 ›ӷÈ: 1, 2, 3, 6, 9, 18 ∆Ô˘ 11 ›ӷÈ: 1, 11 ∆Ô˘ 15 ›ӷÈ: 1, 3, 5, 15 ∆Ô˘ 19 ›ӷÈ: 1, 19 ∆Ô˘ 12 ›ӷÈ: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ∆Ô˘ 16 ›ӷÈ: 1, 2, 4, 8, 16 ∆Ô˘ 20 ›ӷÈ: 1, 2, 4, 5, 10, 20 ∆Ô˘ 13 ›ӷÈ: 1, 13 ∆Ô˘ 17 ›ӷÈ: 1, 17 √È Û‡ÓıÂÙÔÈ: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 10. ŒÛÙˆ · Ô ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆Ô ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 2·. ¢ËÏ·‰‹ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 2, ¿Ú· Â›Ó·È Û‡ÓıÂÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. 11. (·) ∆Ô˘ 28 ›ӷÈ: 1, 2, 4, 31, 62, 124 1, 2, 4, 7, 14, 28 (Â) ∆Ô˘ 124 ›ӷÈ: (‚) ∆Ô˘ 82 ›ӷÈ: 1, 3, 5, 15, 69, 115, 345 1, 2, 41, 82 (ÛÙ) ∆Ô˘ 345 ›ӷÈ: (Á) ∆Ô˘ 95 ›ӷÈ: 1, 5, 19, 95 (˙) ∆Ô˘ 1232 ›ӷÈ: 1, 2, 4, 14, 22, 8, 28, 44, 77, 16, 56, 88, 308, 112, 88, 616, 1232 (‰) ∆Ô˘ 105 ›ӷÈ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (Ë) ∆Ô˘ 3999 ›ӷÈ: 1, 3, 1333, 3999 ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 § § ™ § ™ § ™ ™ § ™ ™ ™ § ™ § ™ § § § ™

21 ™

22 §

23 ™


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:52

™ÂÏ›‰·235

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

- 235 -

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 Ô ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ∞.2.1.

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜

2 2 4 6 1 5 , , , , , . 4 3 9 8 3 8

5.

9. 36 €, 54 €.

∞.2.2.

6. 14.

100 250 500 600 7. (·) 1000 , (‚) 1000 , (Á) 1000 , (‰) 1000 .

10. 32 Ì·ıËÙ¤˜.

11. 84 cm.

10. (·) ™, (‚) ™, (Á) §, (‰) §, (Â) ™, (ÛÙ) §, (˙) ™, (Ë) §, (ı) ™, (È) ™, (È·) ™.

™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ 7.

3 5 3 3 4 8 2. (·) 7 < 7 , (‚) 5 > 9 , (Á) 5 > 12 .

5 9 12 16 109 4. (·) 8 <1, (‚) 10 <1, (Á) 11 >1, (‰) 16 =1, (Â) 120 <1

5 7 8 63 6. (·) 1< <2, (‚) 3< <4, (Á) 0< <1, (‰) 12< 3 2 9 5 < 13,

5.(·)

° 6 5

¢ 9 5

∂ (‚) 11 5

3 ∞ 1 3

µ 2 3

° 4 3

¢ 7 3

µ ° ¢ ∂ ™∆ ∑ ∏ 11 3 11 1 7 2 1 15 4 16 2 9 3 2 528 540 495 360 560 480 360 720 720 720 720 720 720 720

(·)

5 1 10 41 12 9 , (Á) 2 , (‰) 27 , (Â) 24 , (ÛÙ) 77 .

7.

8.000Q, 7.000Q, 5.000Q. 13 . 72

3 1 2 29 41 19 , (‚) , (Á) . 4. (·) 3 4 , (‚) 2 2 , (Á) 3 12 . 8 10 9

8.

61 19 9 , (‚) , (Á) . 10 8 5

6. (·)

9.

5 13 4 , (‚) 1 , (Á) . 6 15 5

1 . 30

10. (·) ™, (‚) ™, (Á) §, (‰) ™, (Â) §, (ÛÙ) ™, (˙) ™.

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ 4.

1 7 20 20 , (‚) 16, (Á) 81 , (‰) 5 . 1 1 1 1 3 , (‚) 10 2 , (Á) 31 4 , (‰) 2 2 .

∞.2.6.

ñ

5 7

3 2

1

3 4

7 5

1

21 10

7 5

21 20

2 3

10 21

1

2 3

1 2

1

5 7

3 2

1

3 4

4 3

20 21

2

4 3

1

8 8 7 1 6. (·) , (‚) 4 72 , (Á) 5 , (‰) 3, (Â) 739 (ÛÙ) 1.

1 123 3 5 5 3. (·) 6, (‚) , (Á) , (‰) 400 2 , (‚) 1, (Á) 2 , (‰) 3. 8 8

4. (·)

2 1 3 2 , (‚) 3 , (Á) 3 , (‰) 3. ∂›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ.

3 3 5. (·) 16 Î·È (‚) 4 . ¢ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·. 3 4 3 5 4 5 45 15 3 16 8 : : : : 10 10 = 4 , 9 9 = 4 , 90 9 = 10 , 3 9 =6.

15 5 8. (·) 9. (·) 32 , (‚) 4 , (Á) 16.

3 55 5 , (‚) 42 , (Á) 8.

6.

7. 1 Ï›ÙÚÔ.

27 9 3 8. (·) 20 , (‚) 20 , (Á) 20 . 139 37 33 9. (·) 40 , (‚) 40 , (Á) 60 .

¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

2. (·)

7.

µ 4 5

2

¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

1 9 2. (·) , (‚) 5, (Á) 4, (‰) 2 . 4 3. (·)

H 1

5.

∞.2.5.

5 2

G

7 10 4 21 5 3 , (‚) 1, (Á) 9 , (‰) 3 , (Â) 20 , (ÛÙ) 2 .

2. (·)1, (‚) 3. (·)

∞ 3 4 540 720

K10

560 540 528 495 480 360 720 > 720 > 720 > 720 > 720 > 720 ™∆ > ∞ = ° > µ > ¢> ∑ > ∂ = ∏

125 (Â)12< 10 <13.

1. (·)

3

8. (·) ∞ 1 5 9.

5 8 3 20 7 10 < 15 < 5 < 15 < 5 .

9

1 0

31 31 31 31 31 10 > 11 > 12 > 13 > 14 .

∞.2.4.

12. 4cm, 6 cm.

5 4 4 , (‚) , (Á) . 6 3 7 8. (·) ¢ÂÓ Â›Ó·È, (‚) ∂›Ó·È, (Á) ∂›Ó·È, (‰) ¢ÂÓ Â›Ó·È. 27 35 35 12 44 7 9. (·) Î·È , (‚) Î·È , (Á) Î·È . 45 45 40 40 12 12

5 5 2 4 10 5. (·) , (‚) , (Á) . , (‚) . 3 3 3 6 15 6. (·) 33, (‚) 3, (Á) 70, (‰) 32.

5.

.

7. (·)

4. (·)

3.

15 15 15 30 , (‚) 180 , (Á) 365

IÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

2. (·) ∂›Ó·È, (‚) ¢ÂÓ Â›Ó·È, (Á) ∂›Ó·È, (‰) ∂›Ó·È. 75 160 20 250 80 3. (·) 100 , (‚) 100 , (Á) 100 , (‰) 100 , (Â) 100 .

∞.2.3.

8. (·)

 5 7 1 2

1 4 3

5 7

1 2

1

1

7 10

7 5

1

2

10 7 5 7 15 28

1 2 3 8

4 3

1

28 15 8 3 4 3

3 4

1


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:52

- 236 -

™ÂÏ›‰·236

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ∞.3.1. ¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË 3. (·) 0,43 & 0,437, (‚) 1,23 & 1,235, (Á)0,21 & 0,210. 4.(·) 5,8, (‚) 0,03, (Á) 50,25, (‰) 1,024. 35 4525 3004 5. (·) 6. æËÊ›Ô ¯ÈÏÈÔÛÙÒÓ: (·) 0, (‚) 0, (Á) 5. ¢ÂοÎȘ ¯ÈÏÈÔÛÙÒÓ: (·) 9, ( ‚) 5, (Á) 6. , (‚) , (Á) . 10 100 1000 7. (·) 45,345 < 45,413 (‚) 980,19 > 899,01 (Á) 7,534 = 7,5340. 8. ™ÙÔ ‰¤Î·ÙÔ: (·) 9876 (‚) 67,9 (Á) 0 (‰) 8,2 ™ÙÔ ÂηÙÔÛÙfi: (·)9876,01 (‚) 67,90 (Á) 0 (‰) 8,24 ™ÙÔ ¯ÈÏÈÔÛÙfi: (·) 9876,008 (‚) 67,896 (Á) 0,001 (‰) 8,239 9. 2,3 2,5 2,8 3,4 4,3 4,5 4,7 5,1 1,9 2,0

3,0

4,0

(Â) 23,7 (Â) 23,70 (Â) 23,705

5,0

10 . 34,259<34,295<34,529<34,592<34,925<34,952. 345 345 345 345 12 . (·) 0,345= , (‚) 3,45= , (Á) 0,0345= , (‰) 34,5= . 1000 100 10000 10 13 .(·)

2 4 6 3 45 9 15 30 10 25 19 190 = =0,4, (‚) = =0,3, (Á) = =0,9, (‰) = =3, (Â) = =2,5, (ÛÙ) = =19. 5 10 20 10 50 10 5 10 4 10 1 10

∞.3.2. 1. 2. 3. 4. 5.

11 . 25,47

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi

(·) 58,565, (‚) 18,915. ∞=212,66 m, B=174,53 m, °=366,58 m. (·) 11,042, (‚) 1,3995, (Á) 7,4995. (·)12,0625, (‚)12,56, (Á)101,16732, (‰)7,05. 6. (·) 42,5, (‚) 9793,215. (·) 84, (‚) 8,2391.

∞.3.3.

7. 8. 9. 10. 11.

20,2 : 4=5,05. (48,52 -10,7) : 2=37,82 : 2 =18,91. (·) 133, (‚) 58,05. (·) 9,61, (‚)49,1401, (Á)20,25, (‰)0,25, (Â)0,04, (ÛÙ) 0,027. (·) ™, (‚) §, (Á) §, (‰) §, (Â) §, (ÛÙ) ™, (˙) ™.

ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘

(7,28 : 5,2 – 0,4)  5,8 + 4,2 + (2,4+ 7,1) : 5 + 0,1 – (2,03 + 0,47)  3,2 = 10 + 2 – 8 = 4

7,28

5,2

0,4

1

5,8

4,2

10

2,4

7,1

9,5

5

1,9

0,1

2

2,03 ∞.3.4.

0,47 2,5 3,2 8 ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ

4

0

1. (·) 5,83 105,(‚) 4,3 10 6,(Á)7,96 10 6,(‰)3,42 10 9,(Â)4,8 10 3, (ÛÙ) 7,310 10 3,(˙)2,819 105,(Ë)5,18 10 8,(ı)1,31 105,(È)6,75 105 2. (·) 3.100.000, (‚) 482.000, (Á) 32.500, (‰) 7.400, (Â) 920. 3. (·) 1018, (‚) 1,21932631112635269 10 17, (Á) 1018.

∞.3.5.

ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘

1. (·) 23dm=230 cm, (‚) 3,1m=0,0031 km, (Á) 45,83 cm=0,4583 m, (‰) 67,2 km=67.200.000 mm, (Â) 95,5 mm=9,55 cm. 2. ·=3,1103 mm, ‚=4,2 103 mm Î·È Á=2,3 103 mm. 3. 45,6dm < 230dm < 678dm < 9860dm. 4. 1.035cm 2 Î·È 103.500mm 2. 5. (·) 56.000.000m 2, (‚) 987m 2, (Á) 350.000m 2. 6. 44.100m 2, 44,1 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·. 7. 225 ϿΘ. 8. 15.029cm 3=0,015029m 3=15.029.000mm 3. 9. 90m 3=90.000lt, 90.000lt 4€/lt=360.000€. 10. 9h 10min. 11. (·) 4 h 52 min=292 min=17.520 s, (‚) 3 h 12 min=192 min=11.520 s (Á) 5 h 20 min 30 s=320,5 min=19.230 s, (‰) 56 min 45 s=56,75 min=3.405 s. 12. (·) 6 min, (‚) 12 min Î·È (Á) 10 min. 13. ™ÙË Ì›· Ï¿ÛÙÈÁÁ· ™ÙËÓ ¿ÏÏË Ï¿ÛÙÈÁÁ· (·) 3,6kg 2 ÙÔ˘ 1kg+3 ÙˆÓ 500g+2 ÙˆÓ 50g (‚) 2,45kg+1 ÙˆÓ 50g 2 ÙÔ˘ 1kg+1 ÙˆÓ 500g

14.

™ÙË Ì›· Ï¿ÛÙÈÁÁ· ™ÙËÓ ¿ÏÏË Ï¿ÛÙÈÁÁ· (·) 5kg+1 ÙˆÓ 3kg+1 ÙˆÓ 1kg 1 ÙˆÓ 9kg (‚) 3kg+1 ÙˆÓ 5kg+2 ÙˆÓ 1kg 1 ÙˆÓ 10kg

15. (·) 5lt 2 ÙˆÓ 2lt + 2 ÙˆÓ 0,5lt, (‚) 2,8lt 1 ÙˆÓ 2lt + 1 ÙˆÓ 0,5lt + 3 ÙˆÓ 0,1lt, (Á) 2,4lt 1 ÙˆÓ 2lt + 4 ÙˆÓ 0,1lt. 16. ∏ ‰Âͷ̤ÓË ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ 3.600lt=3,6m 3. ∆Ô ‡„Ô˜ Â›Ó·È 3,6m 3:(2,5m1m)=1,44m=144cm. ™ÙÔ 1cm ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó 3600lt::144cm=25lt/cm. 17. ãOÁÎÔ˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜=1,2m0,8cm0,8cm=0,768m 3=768lt 1cm ‡„Ô˘˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û 768lt : 120cm= 6,4 lt/cm. (·) √ ¯ÚfiÓÔ˜ ÁÈ· Ó· η٤‚ÂÈ Ë ÛÙ¿ıÌË 10cm ›ӷÈ: (10cm6,4lt/cm)::8lt/min=8min (‚) ∏ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ı· ·‰ÂÈ¿ÛÂÈ Û 768lt::8lt/min=96min. (Á) ™Â ÌÈÛ‹ ÒÚ· ı· ·ÓÙÏËıÔ‡Ó 8lt/min30min=240lt. ∏ ÛÙ¿ıÌË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ı· η٤‚ÂÈ Î·Ù¿: 240lt::6,4lt/cm=37,5cm. 7 5 18. (·) 105min:75min= 5 Î·È (‚) 75min:105min= 7 . ∂›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ›.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·237

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

- 237 -

∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 § ™ § ™ ™ § § ™ § ™ ™ ™ § ™ § § ™ § ™

20 ™

21 §

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4 Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ∞.4.1.

∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ - √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·x=‚, ·:x=‚, x:·=‚

1. (·) 3x, (‚) 10x,(Á) x+12, (‰) x–5, (Â) x–y>20, (ÛÙ) xy= 32. 2. (·) 3x+25 ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 25 1 (‚) 2 x–7=2 ÙÔ ÌÈÛfi ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ÌÂȈ̤ÓÔ Î·Ù¿ 7 ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2 ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂȈ̤ÓÔ˜ ηٿ ÙÔ (Á) ·–2‚ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ (‰) 4Î+7Î=88 ÙÔ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔ ÂÙ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ 88. 3. ¶=4·, ∂=·2. 4. (·) 2x, (‚) 3·, (Á) 55·, (‰) 3‚+5·, (Â) 9x, (ÛÙ) ˆ. 23 2 3 6 2 5. x(yz) = (xz)z =  5 = = 45 = 15 . 9 95 6. x = 3. 7. 12 + 13 = 25.

A.4.3.

8.

1 x–2=4 1+y=4 18 – ˆ = 10 2–·=1 93 – ‚ = 86

2

3

4

5

6 x

7

8

x x x x

9. 10. 11. 12.

(·) 10,93, (‚) 52,79, (Á) 48,214, (‰) 30,9. (·) 5, (‚) 21, (Á) 7, (‰) 9. (·) 2, (‚) 2, (Á) 2. (·) Ó=1, (‚) x=10, (Á) t=17, (‰) x=1. 13. 1 5 14. 308. 15. (·) 20, (‚) ¶=4Ó, (Á) Ó=128:4=32.

∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ∂›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ

1. 4x = ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 9 (0, 9, 18, 27, 36, 45,...). ∂Ô̤ӈ˜ „ËÊ›Ô x= 9 Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ô 9999. 2. 2 x = 60, ÂÔ̤ӈ˜ x= 240 Î·È 7  240 =168. 10

8

3. (x–1) + x + (x+1) = 1533, ÂÔ̤ӈ˜ x=511, ¿Ú· ›ӷÈ: 510, 511, 512. 4. 15 + x = ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 9 (0, 9, 18, 27, 36, 45, .....). ∂Ô̤ӈ˜, „ËÊ›Ô x = 3 Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ô 7533. 5. ∞Ó x Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛˆÛÙÒÓ ··ÓÙ‹ÛˆÓ, ÙfiÙ ı· ›ӷÈ: 3x + (100 – x) = 220, ÂÔ̤ӈ˜ x = 60. 6. ∞Ó x Â›Ó·È Ë ËÏÈΛ· Ù˘ ÌËÙ¤Ú·˜, ı· ›ӷÈ: x – 18 = 25.

∂Ô̤ӈ˜, x = 43. 7. ∞Ó x Â›Ó·È Ë ·Í›· ÙÔ˘ ¯ˆÚ·ÊÈÔ‡, ı· ›ӷÈ: x + 600 =15.000, ÂÔ̤ӈ˜ x=14.400 €. ∞Ó y Â›Ó·È Ë ·Í›· ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜, ı· ›ӷÈ: y–15.600=15.000, ÂÔ̤ӈ˜ y = 30.600 €. 8. (·) ∞ = 2 Î·È µ = 6, (‚) ° = 4, ¢ = 3. 9. 95lt Î·È 11 ‰Ô¯Â›·. 10. 133 ‰Ô¯Â›· Î·È 0,25lt. 11. ∆Ú›˜ Ë̤Ú˜.

12. 1 ÙÔ˘ ÌÈÛıÔ‡. 18

13. 35=75, 36=94 ‹ 98=714, 99=911 ‹ 161=723, 162=918.

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿ ∞.5.1. 1. 2. 3.

¶ÔÛÔÛÙ¿

(·) 20%, (‚) 150%, (Á) 25%, (‰) 75%, (Â) 60%. (·) 52%, (‚) 341%, (Á) 19%, (‰) 3%, (Â) 7%. 3 7 12 1 (·) 20 , (‚) 100 , (Á) 25 , (‰) 2 .

8.

∂ÓÔ›ÎÈÔ 324 € 27%

(·) (‚)

∞.5.2. 1. 2. 3. 4. 5.

¢È·ÙÚÔÊ‹ 345,6 € 28,8%

4. 5. 6. 7. ™Ô˘‰¤˜ 194,4 € 16,2%

(·) 300€, (‚) 27min, (Á) 200cm3, (‰) 250g, (Â) 250g. (·) 5%, (‚) 82,2%, (Á) 2%, (‰) 3%. 0,1342lt. (·) 6.400km, (‚) ºÏÔÈfi˜: 0,78125%, ª·Ó‰‡·˜: 45,3125%, ¶˘Ú‹Ó·˜: 53,90625%. ∞˘ÙÔΛÓËÙÔ µÈ‚Ï›· ¢È·ÛΤ‰·ÛË 32,4 € 75,6 € 108 € 2,7% 6,3% 9%

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ¶ÔÛÔÛÙÒÓ 6. 8. 9.

7. (·) 450€, (‚) 1,5%. 151,13€. 1.330€. (·) 828€, (‚) 118€, 115€, 112€, 109€, 106€, 103€. (Á) 1.491€. 10. (·) 66,5€, (‚) 546,5€, (Á) ªÂÙÚËÙÔ›˜.

(·) 50,715€, (‚) 286€ ΤډԘ, (Á) 1,43%. (·) 3.600€, (‚) 3.762€. (·) 14.000€, (‚) 56%, (Á) ·fi ÙÔÓ ÚÒÙÔ. (·) Ÿ¯È, (‚) 150 Î.Â. ÛÙ· 300 Î.ÂÎ. 980,39 €.

∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞. ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜. 1 ™

2 ™

3 ™

4 ™

5 ™

6 §

7 ™

8 §

9 §

10 §

11 ™

12 §

µ. ÕÛÎËÛË ∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ËÛ˘: ¶·ÓÙÂÏfiÓÈ 30%, ºÔ‡ÛÙ˜ 40%, ºÔڤ̷ٷ 15%, ªÏÔ‡˙˜ 20%, ºfiÚ̘ 10%.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

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- 238 -

™ÂÏ›‰·238

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ∞.6.1. 1. 2. 3. 4.

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›‰Ô

∆Ô π (6,0) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· √x ÂÓÒ ÙÔ ∫(0,5) ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· √y. ∆Ô ∞µ°¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∫ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (2,2). ∆· ÛËÌ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ox Î·È √y. (·) ∂5, (‚) √È ‰ÈηÈÔÏÔÁË̤Ó˜ ·Ô˘Û›Â˜ ÙÔ˘ ∞ÓÙˆÓ›Ô˘ ÁÈ· ÙÔ 2Ô ∆Ú›ÌËÓÔ, (Á) 6 Î·È 27.

∞.6.2.

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· 6. O Û˘ÌÏËڈ̤ÓÔ˜ ›Ó·Î·˜ Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: ∫ϛ̷η ª‹ÎÔ˜ Û ۯ¤‰ÈÔ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Ì‹ÎÔ˜

∞µ 4 ∂∑ 3 ∞µ ∫§ 1. (·) °¢ = 1 , ∏£ = 5 , =1, =4, 3 1 ∞µ ∫§ ∏£ 2 =5, ∂∑ °¢

1

∏£

1:5

4 cm

20 cm

3:8

24 cm

1 : 30

9 cm 12 cm

360 cm

1 : 500

2 cm

10 cm

1 °¢ =4. ∞µ 2

∞µ

∂∑

5

∫§

3

°¢

(‚) ∂∑ = 5 , ∫§ = 3 , ∞µ =1, = 1 , ∏£ = 2 , °¢ =1. °¢ 2. ∞Ó · Î·È ‚ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·=2,25 Î·È ‚=1,25. 3. 44 ÊÔÚ¤˜.

1 : 100 3,5 cm 350 cm 7. (·) ¶ = 4(x+1), (‚) ¢ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, (Á) √ Û˘ÌÏËڈ̤ÓÔ˜ ›Ó·Î·˜ Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: x 0 1 2 3 4

4. 6 ÊÔÚ¤˜.

5. ∆Ô ‚¿ÚÔ˜ ÙˆÓ ÓËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÂÛÙ¤Ú· Â›Ó·È 164 gr.

∞.6.3.

4 8 12 16 20 9. ¢ÂÓ ı· ¿ÚÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ·fi¯ÚˆÛË.

∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ

1. 3. 4.

(·) ™ (‚) ™ (Á) § (‰) § (Â) § (ÛÙ) § (˙) § (Ë) § (·) ¢ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· (‚) ∂›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 100 : 201 Î·È Ô Û˘ÌÏËڈ̤ÓÔ˜ ›Ó·Î·˜ Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: x 5 0 1 0,99 0,062 3,7 0,61 0,273 y 10,05 0 2,01 2 0,125 7,437 1,2261 0,55

5.

8. 750 Ã 1250. 6.

∞fi ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· ¤¯Ô˘Ì x = 1. √ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÏfiÁÔ˜ 2 1 1 x Â›Ó·È 3 Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ 3 = 6 = 3

7.

πÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË: ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ ÌÂÙ¿ ·fi ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ = ÂÈÙfiÎÈÔ  ∞Ú¯ÈÎfi ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ. ¢ËÏ·‰‹ Ù· ‰‡Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·Ó·ÏÔÁ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ:

√ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 7:4. ÕÚ· Ë Û˘ÓÙ·Á‹ ı· Á›ÓÂÈ: 7 ·˘Á¿, 1 3 ·Î¤Ù· Ê·Ú›Ó· ÙÔ˘ ÌÈÛÔ‡ ÎÈÏÔ‡, 4

∞Ú¯ÈÎfi ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ

100 150.000 x

∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ ÌÂÙ¿ ·fi ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ 109,5

437,5gr ‚Ô‡Ù˘ÚÔ, 3 1 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ· ˙¿¯·ÚË, 2

ÕÚ· x = 164.250€.

1 3 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ· ‚·Ó›ÏÈ· Î·È 1 3 .ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ· Á¿Ï·. 4 4

∞.6.4.

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜

1.

√ ›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÛÒÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ Â›Ó·È:

2.

°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ó··Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ‰‡Ô ÛËÌ›·. ∂Âȉ‹ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÙÔ (√,√) ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Î¿ı ̛·˜ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ .¯. (·) ÙÔ (2,1), (‚) ÙÔ (1,3), (Á) ÙÔ (2,11), (‰) ÙÔ (1,10) Î·È (Â) ÙÔ (100,1).

3.

(∞) (µ) (°) (¢) (∂) (∑) (∏) (£) (4) (6) (1) (3) (8) (5) (2) (7) (·) x=40Ê, x=20Ì, x=50, (‚) ∆Ô ÔÛfi ÁÈ· οı ›‰Ô˜ ı· Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ ÙÔ˘ Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ ÔÛÔ‡, ‰ËÏ·‰‹ 4.000€. ∞fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ·˘Ù‹, ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ ¯ÚËÌ¿ÙˆÓ Ê¤ÚÔ˘Ì οıÂÙË, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ÙÚ›˜ ÁÚ¿ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∏ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È 100, ÙÔ˘ µ Â›Ó·È 200 Î·È ÙÔ˘ ° Â›Ó·È 80. ¢ËÏ·‰‹ ı· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 100 ˙¢Á¿ÚÈ· ·ıÏËÙÈο, 200 ÊfiÚ̘ Î·È 80 Ì·ÁÈfi.

4.

1 1,5

2 3

∏ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ËÛË ‰›ÓÂÈ Ù· ÂÍ‹˜:

∞.6.5. 1.

x y

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ¿ÛÛ·ÏÔ˜

‰¤ÓÙÚÔ

‡„Ô˜ 1,2 x ÛÎÈ¿ 3 14 ÕÚ· ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤Ó‰ÚÔ˘ ı· Â›Ó·È 5,6 m. ∞ÛÙÚÔÓ·‡Ù˘ ¶·È‰› 2. µ¿ÚÔ˜ ÛÙË ÁË 78 52 µ¿ÚÔ˜ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ 13 x ÕÚ· ÙÔ ·È‰› ˙˘Á›˙ÂÈ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ 8,6 ÎÈÏ¿.

3. √ ·ÌÂÏÔ˘ÚÁfi˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È 2.100 kg ÌÔ‡ÛÙÔ. ÛٷʇÏÈ· 100 x ÌÔ‡ÛÙÔ˜ 80 2.100 ¶Ú¤ÂÈ Ó· ·ÙËıÔ‡Ó 2.625 kg ÛٷʇÏÈ·. 4. ∞Ó Â›Ó·È x Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ı· ¿ÚÂÈ Ô ¤Ó·˜ ÂÚÁ¿Ù˘. ∂ÚÁ¿Ù˘ Ô˘ ‰Ô‡Ï„ 4 ̤Ú˜ à 4 ∂ÚÁ¿Ù˘ Ô˘ ‰Ô‡Ï„ 5 ̤Ú˜ 270 – x 5 µÚ›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Ô ¤Ó·˜ ‹Ú 120 € Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 150 €.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·239

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ ∞.6.5.

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ

5. ‘∂ÛÙˆ Ù· x ÎÈÏ¿ ÂÚȤ¯Ô˘Ó 60 ÎÈÏ¿ ·Ï¿ÙÈ. ¡ÂÚfi 100 x ∞Ï¿ÙÈ 3 60

™˘ÓÔÏÈο ı· ÏËÚÒÛÂÈ ÙÔ Ì‹Ó· 401,05€=42€. ÕÚ· ÙÔÓ Û˘ÌʤÚÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Î¿ÚÙ· ·ÂÚÈfiÚÈÛÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ.

ÕÚ· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍ·ÙÌÈÛÙÔ‡Ó 2.000 kg ÓÂÚfi. 6. ∫·ÏÏÈÂÚÁ‹ıËÎ·Ó Û˘ÓÔÏÈο 15 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù·. ∏ ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ¯ˆÚ·ÊÈÔ‡ ÙÔ˘ Á›ÙÔÓ· Â›Ó·È Ù· 8 ÙˆÓ 14 t. 15

∆Ô 15% ·˘Ù‹˜ ›ӷÈ: 1,12 t, Ô˘ ı· ¿ÚÂÈ Ô Á›ÙÔÓ·˜ Î·È 12,88 t ηϷÌfiÎÈ Ô˘ ı· ¿ÚÂÈ Ô ÁˆÚÁfi˜. 7. (·) ∏ ·ÒÏÂÈ· ηٿ ÙÔ „‹ÛÈÌÔ Â›Ó·È: 2,5–1,9=0,6 ÎÈÏ¿. ÕÚ· ÙÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·ÒÏÂÈ·˜ ›ӷÈ: 24%. (‚) ŒÛÙˆ x ÎÈÏ¿ ˆÌfi ÎÚ¤·˜ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· „‹ÛÔ˘ÌÂ. ∆· ÔÛ¿ ÎÈÏ¿ ˆÌfi ÎÚ¤·˜ Î·È ÎÈÏ¿ „Ë̤ÓÔ ÎÚ¤·˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ŒÙÛÈ ·fi ÙËÓ Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ: x=3,02 ÎÈÏ¿ ÎÚ¤·˜. 8. ∏ ·‡ÍËÛË Ù˘ οÚÙ·˜ ı· Â›Ó·È 75%12€=9€. ÕÚ· Ë ÌËÓÈ·›· οÚÙ· ı· ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 21€. ∏ ·‡ÍËÛË ÙÔ˘ ÂÈÛÈÙËÚ›Ô˘ ı· Â›Ó·È 50%0,7€=0,35€. ÕÚ· ÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ ı· ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 1,05€. √ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔ˜ ËÁ·›ÓÂÈ Î·È ¤Ú¯ÂÙ·È 20 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ Ì‹Ó· Ì ÙÔ ÏˆÊÔÚÂ›Ô ÛÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÙÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ οÓÂÈ 40 ‰È·‰ÚÔ̤˜ Ì ÙÔ ÏˆÊÔÚ›Ô.

∞.6.6. 1. 3.

4.

- 239 -

9. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ÙfiÎÔ˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ‘∂ÙÛÈ ÁÈ· ÂÈÙfiÎÈÔ 10% Î·È ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ x, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 100 x TfiÎÔ˜ 10 1.000 ¢ËÏ·‰‹: x=10.000€. ∞Ó ÙÔ ÂÈÙfiÎÈÔ ÌÂȈı› ηٿ 20% ı· Á›ÓÂÈ ›ÛÔ Ì ÙÔ 80% ÙÔ˘ 10%, ‰ËÏ¿‰‹ 8%. ªÂ ÙÔ Ó¤Ô ÂÈÙfiÎÈÔ ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙfiÎÔ ÁÈ· ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ x, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 100 x TfiÎÔ˜ 8 1.000 ¢ËÏ·‰‹: x =12.500€. ∆Ô ÔÛÔÛÙfi ·‡ÍËÛ˘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ÛÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÁÈ· Ó· ·Ô‰ÒÛÂÈ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙfiÎÔ Ì ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÂÈÙfiÎÈÔ ı· Â›Ó·È 25%. 10. 0 Û˘ÌÏËڈ̤ÓÔ˜ ›Ó·Î·˜ ›ӷÈ: ªÂ 0 ªÂ 1 ªÂ 2 ªÂ 3 ªÂ 4 ¶¿Óˆ ·fi ™‡ÓÔÏÔ ·È‰È¿ ·È‰› ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ 4 ·È‰È¿

√ÈÎÔÁ¤ÓÂȘ

200

¶ÔÛÔÛÙ¿

100%

10

40

80

50

15

5% 20% 40% 25% 7,5%

5 2,5%

∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

(·) §, (‚) ™, (Á) ™, (‰) §, (Â) ™, (ÛÙ) §. √È ›Ó·Î˜ (·), (‚) Î·È (Á) Â›Ó·È ›Ó·Î˜ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ‰ÈfiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ÔÛÒÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi. √ ›Ó·Î·˜ (‰) ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ. (·) ∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, ¿Ú· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi Î·È ›ÛÔ Ì 13,5=3,5. x 0,2 y 17,5

0,5

0,7

1

1,4

7

5

3,5

2,5

2

2,3

3

4

10

12

1,75 1,521 1,166 0,875 0,35 0,291

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0,2 0,5 0,7 1 1,4 2 2,3 3 4 10 12

5.

T· ÔÛ¿ ÂÚÁ¿Ù˜ Î·È Ë̤Ú˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ÛÙÔȯ›ÛÂÈ: 300,46=13,8€. ™˘ÌʤÚÂÈ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ·Ó¿ÏÔÁ·. ÕÚ· ·Ó x ÂÚÁ¿Ù˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·Ó·‰·Ù· ηʿÛÈ· ÙˆÓ 20 ÎÈÏÒÓ ÁÈ·Ù› ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ Û˘Û΢·Û›·˜ Â›Ó·È ÛÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ›‰È· ¤ÎÙ·ÛË Û ÔÎÙÒ Ë̤Ú˜ ı· ¤¯Ô˘Ì x =25. ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ. 6. T· ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·. ÕÚ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ 7. ∏ ·‡ÍËÛË Ù˘ ηٷӿψÛ˘ Â›Ó·È 16lt ÙËÓ Ë̤ڷ, ‰ËÏ·‰‹ Ë ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi. ŒÙÛÈ ·Ó x Ô ·ÚÈıÌfi˜ ËÌÂÚ‹ÛÈ· ηٷӿψÛË ı· Â›Ó·È 96 lt. ŒÛÙˆ x ÔÈ Ë̤Ú˜ ÁÈ· Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ Ù· ηʿÛÈ· ÙˆÓ 20 ÎÈÏÒÓ, ¤¯Ô˘Ì x=30. ∏ ÙȘ Ôԛ˜ Â·ÚΛ ÙÔ ÂÙڤϷÈÔ, Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ Î·Ù·Ó¿ÏˆÛË. Û˘Û΢·Û›· Û ηʿÛÈ· ÙˆÓ 12 ÎÈÏÒÓ ı· ÛÙÔȯ›ÛÂÈ: ∆· ÔÛ¿ lt ÂÙÚÂÏ·›Ô˘ (ηٷӿψÛË) Î·È Ë̤Ú˜ (¯ÚfiÓÔ˜ 500,28=14€. ∏ Û˘Û΢·Û›· Û ηʿÛÈ· ÙˆÓ 20 ÎÈÏÒÓ ı· Â¿ÚÎÂÈ·˜) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·. ÕÚ· x =25 Ë̤Ú˜. ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞. ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ 1. ™, 2. §, 3. ™, 4. ™, 5. ™, 6. §, 7. §. µ. ∞Û΋ÛÂȘ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÎÂÓÔ‡ 6. x 2 9. x 1 2 3 x 1,5 3 4,5 4 8 15 16 8. x 2 1 1/2 4 8 y=x+1 y= 2 x 3 y 2 3 4 y 1 2 3 y 7,5 15 30 37,5 60 y 8 16 32 4 2

ª¤ÚÔ˜ ∞  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 Ô £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› ∞.7.1. 3. 5.

£ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› (ƒËÙÔ› ∞ÚÈıÌÔ›) - ∏ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ∆ÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ

4. √ª√™∏ª√π: (·), (‚), (Á), (˙), (ı), (È) Î·È ∂∆∂ƒ√™∏ª√π: (‰), (Â), (ÛÙ), (Ë) (·) ™, (‚) §, (Á) ™, (‰) ™, (Â) §. 6. ªÀ™∆π∫√. 7. (·) +6,5, (‚) –8,5 (·) +50000, (‚) –78000, (Á) +500, (‰ )–1, (Â) –30.

∞.7.2.

∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡ - ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› - ™‡ÁÎÚÈÛË ÚËÙÒÓ

3. (·) ™, (‚) §, (Á) ™, (‰) ™, (Â) §. 4. (·) 7,25, (‚) 2,5, (Á) 16, (‰) 20,05, (Â) 58. 5. (·)–100, +100, (‚) –21,7, +21,7, (Á) 0, (‰) –7,03, +7,03, (Â) –5,2, +5,2. ∞ÚÈıÌfi˜ 1 –2 +2 -19 +8 –12 6. ∞ÓÙ›ıÂÙÔ˜ –1 +2 –2 +19 –8 12 ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ 1 19 8 12 2

+7

–7 +7

–7

7

9. (·)+41>+38, (‚) 9<11, (Á)–3<–2, (‰) –9>–16 (Â) 7>–8, (ÛÙ) 0>–3, (˙) 0<+4. 10. (·)–11<11=11, (‚) –3<+3=–3. 11. –10<–8<–4<–3<–2<0<+5<+7<+15. 12. (·) – 3>–8, (‚) –4<10, (Á) 0>–1, (‰) +3>0, (Â) –5=––5, (ÛÙ)–5=–(+5), (˙) +7=–7, (Ë) – (– 8)>–8, (ı) +3>–(+4), (È) 0>––4. 13. (·) –12, –11,–10,–9, (‚) ηӤӷ, (Á)–1,0,+1,+2,+3,+4.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (233-240)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:53

- 240 -

™ÂÏ›‰·240

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

∞.7.3.

¶ÚfiÛıÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

1. (·) §, (‚) §, (Á) ™, (‰) §, (Â) ™. 2. (·)+10,2, (‚) +9,1, (Á) +100, (‰) +14, (Â) +16, (ÛÙ) –6, (˙) –6,5, (Ë) –12, (ı) –15, (È) –20. 3. (·) –2,1, (‚) +0,96, (Á) +94,6, (‰) +8,8, (Â)–1,5, (ÛÙ) +1, (˙) +3,9, (Ë) +2,2, (ı) +4,5, (È) +7,4. 5. (·) (+6)+(–8)= –2, (‚) (+5)+(–5)=0, (Á) (+7)+(+9)=+16, (‰)(-9)+(–8)=–17, (Â) (+6)+(+5)=+11.

∞.7.4.

+ +4 –8 –11 +17 –5 –1 –13 –16 +12 +9 +13 +1 –2 +26 –4 0 –12 –15 +13 –21 –17 –29 –32 –4 6. √ ÚÒÙÔ˜ ¡∞π, Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ √Ãπ. 7. (·) +1,8, (‚) +9. 8. (·) –1, (‚) 0.

4.

∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

1. (·) §, (‚) §, (Á) §, (‰) §, (Â) ™, (ÛÙ) §, (˙) ™. 2. (·) 12, (‚) –16, (Á) +13,2, (‰) –3,9, (Â) 0. 3. (·) 14, (‚) 20, (Á) 0. ·

·+‚ ·–‚

+3

–8

–5 +11

5.

7.

3

·–‚ ‚–·

4

3,5

–1,5 4,3 –4,78 –0,25

2

1,89 0,75

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

–1

ñ

–0,5

0 +0,5 +2

+3

–2 +2 +1 0 –1 –4 –6 –3,2 +3,2 +1,6 0 –1,6 –6,4 –9,6 +1,5 –1,5 –0,75 0 +0,75 +3 +4,5 +10 –10

A.7.6.

–5

0

+1 +20 +30

5. (·) +21, (‚) 0,025, (Á)–11. 6. (·) 10+2·+5‚ +·‚, (‚) ··–49, (Á) ·‚–3·–3‚+9, (‰) Á‰+5Á+8‰+40. 7. (·) +1, (‚) –1, (Á)+1. 8. ∞=40 , µ=+210, °=0. y z ˆ ∞ = x y z µ = y x ˆ ° = x A – B ∞µ+° 9. x –2 0,5 +1 –3 –1 +3 –1 –4 –0,5 +6 –4 –0,3 +12 +0,9 –6,9 +3,9 –2 +1,5 0,2 –7 –0,6 +21 –19,8 –32,4

¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

2. (·) +5,05, (‚) 3, (Á) –90, (‰) –7. 3.

x y

z –2 –2,3 3,11 0 x+y+z 0 4 0,22 0,5 x– y– z 7 0 3,56 1

–5,55 –2,45 –3,1 3,1 3 –2,1 5,1 –5,1

2. (·) +1, (‚) 30, (Á) 0,6, (‰) 0, (Â) –20015, (ÛÙ) –725, (˙) –0,3. 3. (·) –81, (‚) –500, (Á) +6. 4.

9.

–4

11/4 13/4 –1/2 1/2

+18 –8 +10 +26 –2 –5 –7 +3 –9 +17 +6 –26

∞.7.5.

·

7

4. (·)+10, (‚)–19, (Á) +22. 6. (·)–10, (‚)–26, (Á) –0,375, (‰) 3,25. 7. (·) –8, (‚) 7,4, (Á) –0,75.

x 7 – 3

y 5  –6

x+y – 19  6

1,7

2,3

4

4 – 5

–1

9 – 5

A.7.7.

6 4. (·) +40, (‚) +1,5, (Á) +6, (‰) 5

x–y xy 3 –  + 35  2 8

x:y + 14  5 17 –0,6 +3,91  23 1 4 4 + + + 5 5 5

2 5. (·) –24 , (‚)+350, (Á) –6, (‰) –1 3 2 4 6. (·) 15 , (‚) –1, (Á) + 9 7. +32.

¢Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ



1. (·) –1,5, (‚) 0,625, (Á) 0,9285714 (‰), 1,81 (Â) 1,032258064516129 26 380 24829 1448 , 77 (‚) 9 , (Á) 99 , (‰) 3330 , (Â) 5 . 25

2. (·)

3. (·) 3, (‚) 7,7, (Á) 7,326.

A.7.8. 2.

¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi

3+5 2

(3+5)2

35 2

(35)2

ÕıÚÔÈÛÌ· ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ °ÈÓfiÌÂÓÔ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÙˆÓ 3 Î·È 52 ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ 3 Î·È 5 ÙˆÓ 3 Î·È 52 ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ 3 Â› 5

28 3. ∞ =–1,

64 µ=0,

°=8.

75

225

2

(35 )

2

3–5 2

(3–5)2

3  5

¢È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ 3 Î·È 52

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ 3 ÏËÓ 5

¶ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ 32 Î·È 5

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ 3 ‰È· 5

–22

4

1,8

0,36


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

™ÂÏ›‰·241

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

A.7.9.

¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ

·

Á

(·+‚) 2

(·‚) 2

( ‚· )

1

–2

–4

+2,25

+1

–1

–1

G

+2,25

10

–10 0,01

0

1.

x

4.

- 241 -

0 , 0 0 1 0,01

0,1

2

(–·) –2

(Á‚) –1

+0,0625

+4

+2,5

+0,25

+0,25

+1

–J

+10000

+1

+0,01

–10

–10

210 4

–100

103 –10–3 –10–6 0,12510–12

x-3

109

x3

10–9 10–6 10-3 –103

x-1

103

106

102

10

81012

–106

–0,1 –0,01



5.

µ=

1105 , 81

510 -3

1

G

–4

8106

8

8 27

–125

27 8

–0,008

B

–5

12510–9 0,125

0,510–4

°= –8.

3. 103 + 102 = 1.100

200

2

10 –3 10 –2 10 –1 10 0 10 1 10 2 10 3

10 –3 10–6 10–5 10–4 10–3 10–2 10–1 10 –2

2. ∞ = 0,

10

1

10

10 –1 10–4 10–3 10–2 10–1

1

10

102

10 0 10–3 10–2 10–1

1

10

102 103

10 1 10–2 10–1

10

10 2

10

10 3

1

10

–1

–4

10

–3

1

10

–1

1

–2

10

–5

102 103 104

2

103 104 105

1

10

10

102 103 104 105 106

10

A.7.10. ∆˘ÔÔÈ Ë̤ ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 1. (·) 3,844108 m, (‚) 4.5109 ¤ÙË, (Á) 1,4961011m.

2. 61026 ¿ÙÔÌ·.

3. (·) 10-14 cm, (‚) 9,710-23 gr.

∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞. ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ µ. ∞Û΋ÛÂȘ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÎÂÓÔ‡ 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

1. (·) (+8)+(–3)+(–6)+(+5)=+4, (‚) (–8)+(–3)+(+6)+(–5)=–10, (Á) (+3,7)+(–14,8)+(–5,2)+(+16,3)=0, (‰) (–3,7)+(+14,8)+(–5,2)+(–16,3)=–10,4

™ § § § ™ ™ § ™ § ™

2. ∂>°>∞>µ>¢. 3. (·)–25, (‚) 100. 4. ∂Àƒø¶∞´∫√. 5. (·) 3 ÙÚfiÔÈ, (‚) +15,75 6.

7.

1

-27000 –300 90 –20

15

4

–5

–6 –3

–1

2

–3

–20

–20

0

+2

–3

+20 +2 0

+20

5 –0,2 –1

–1 –4

–15 –1 +0,2

+2

+4

+15 -0,2

2

(‚) +31 +8

–3

–1 –2

–3

°. ∞Û΋ÛÂȘ ∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ˘ (·)

–2 0,5 –8

–4 0

–30 –30 0

+8

–4

+31

(Á)

–90 +900 +90 –900 –900

+9

+900 –90 +9

+90


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

- 242 -

™ÂÏ›‰·242

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

ª¤ÚÔ˜ µ  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1 Ô µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ µ.1.1.

∂›Â‰Ô - ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· - ∂˘ı›· - ∏ÌÈ¢ı›· - ∏ÌÈÂ›‰Ô

3. ∫∞, ∫µ, ∫°, ∫¢, ∞µ, ∞°, ∞¢, µ°, µ¢, °¢.

4. x’∞, Ax Î·È x’µ, µx. x

5. ∏ ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈ΋ ËÌÈ¢ı›· ÙÔ˘ ∞µx Â›Ó·È ∞x’, ÙÔ˘ B°y ‹ µy’ Î·È ÙÔ˘ °∞z Ë °z’.

µ.1.2.

x ∞

°

µ

¢

°ˆÓ›· - °Ú·ÌÌ‹ - ∂›‰· Û¯‹Ì·Ù· - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· ∧

1. (·) ° µ∞, (‚) Z K∞, A KB, B KH Î·È H KZ, (Á) B A°, ° A¢ Î·È B A¢, (‰) ∞ µ°, B A° Î·È ∞ °¢. ∧

2. (·) ∏ ÁˆÓ›· µ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· Û ÙȘ Ï¢ڤ˜ ∞µ Î·È µ°. (‚) ∞¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ÁˆÓ›· ° Â›Ó·È Ë ∞µ. ∧ ∧ (Á) √È ÁˆÓ›Â˜ ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞° Â›Ó·È ÔÈ ∞ Î·È Ë ° . ∧ 3. °Ú·ÌÌÔÛÎÈ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÁˆÓ›· ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì x Oy. ∧ ∧ ∧ 4. (·) OÈ ÁˆÓ›Â˜ ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ÔÈ µ Î·È Ë °. (‚) ∏ ÁˆÓ›· ° ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞µ. ∞ƒπ£ª√™ √ƒπ∑√ª∂¡ø¡ ∂À£∂πø¡ 5. (·) ∫√ƒÀº∂™ ¶§∂Àƒ∂™ (‚) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x

µ.1.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ - ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ 3. ŒÌÂÈÓ·Ó 49,56 cm ‡Ê·ÛÌ·. 4. 109.500 m. √ Â˙fi˜ ı· οÓÂÈ: 1460 ‚‹Ì·Ù·. 5. ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ: 61,2 m. ∆Ô ‰È·ı¤ÛÈÌÔ Û‡ÚÌ· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜: 60,48 m. ÕÚ· Ú¤ÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 72 cm Û‡ÚÌ·. ∞ÎÙ›Ó· Û m Û km AB µ° °¢ ¢∂ ∂∞ ¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ 6. 7. ∞ºƒ√¢π∆∏

6.085.000

6.085

cm

517

°∏

6.378.000

6.378

dm 51,7

42

8,4

∞ƒ∏™

3.750.000

3.750

m

4,2

0,84

5,17

420

84

1250

76

2.347

125

7,6

234,7

12,5

0,76

23,47

¢π∞™ 71.400.000 71.400 8. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ Î·È ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÚ›· ÛËÌ›· Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ηı¤Ó· 2,7cm ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. 9. (·) ∞°>∞¢, (‚) ∞µ=∞¢. 3,8 cm ∞ x 3 cm

¢

10. ∞°=5,5 cm Î·È µ¢=5,5 cm. ÕÚ· ∞°=µ¢.

3 cm

µ

x

° x

x

11. ∞µ=8,4 cm.

2,5 cm

A

3 cm

B

°

2,5 cm

¢

12. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ª Ô˘ ·¤¯ÂÈ 3,3 cm ·fi ÙÔ ∞ ÂÎÙfi˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ ∞µ. µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘ ∞µ ¤ÛÙˆ √ Î·È Ê¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ √ª.

µ.1.4.

¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

1. ªÂ ηٿÏÏËϘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Î·È ÚfiÛıÂÛË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ Î·È ÙÔ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∑∏. 2. ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 32,5 cm=7,5 cm. ÕÚ·, Â› Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ Ì ·Ú¯‹ ÙÔ µ ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ µ∂=7,5cm. 3. To Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞µ°¢∂∑ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ∞µ+µ°+°¢+¢∂+∂∑=...=71 mm. 4. √ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: ∞µ+µ°+°¢+¢∂=...=158 cm. 20cm 16cm 5. §ª=∫ª–∫§=10 cm, §¡=∫¡–∫§=14 cm Î·È ª¡=∫¡–∫ª=4 cm. 6cm 6. (·) ∞¢=∞µ+µ¢=8,5 cm, (‚) µ°=∞°–∞µ=1,6 cm, ∫ § ª ¡ (Á) ∞°+°¢=∞°+(µ¢–µ°)=8,5 cm, (‰) ∞¢–¢µ=∞¢–µ¢=∞µ=3 cm. ∞¢ ∞¢ 7. ∞µ= 6 =1 cm Î·È µ°= =2 cm. ÕÚ· °¢=∞¢–(∞µ+µ°)=∞¢–∞µ–µ°=3cm. 3 8. Œ¯Ô˘Ì fiÙÈ: µ°=∞µ+4 cm, µ°=°¢–3 cm Î·È ∞¢=14 cm. ªÂ ηٿÏÏËϘ Ú¿ÍÂȘ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ: µ°=5 cm Î·È °¢=8 cm. 9. µ¢=∞¢–∞µ=...3 cm, ∞°=∞µ+µ°=...3 cm. 10. Œ¯Ô˘ÌÂ: ∞¢=∞°+°¢=4,5 cm Î·È °∂=∞∂– ∞°=3,2 cm. 11. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫, fiˆ˜ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô §, ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· ¿ÚÔ˘Ì Âη٤ڈıÂÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ∫§ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (1) ∫ Î·È § ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ. ∆fiÙ ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ∫§=2 cm. (2) K Î·È § ÂÎÙfi˜ ∞µ ÛÙȘ ı¤ÛÂȘ ∫ Î·È § ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∆fiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ∫§=11 cm. (3) ∞Ó ÙÔ ∫ Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ Î·È ÙÔ § ÂÎÙfi˜, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ: ∫§=5 cm. (4) ∞Ó ÙÔ ∫ Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ Î·È ÙÔ § ÂÓÙfi˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ∫§=4 cm. ÕÚ·: (·) ∆Ô ∫§ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ÂÈϤͷÌ ·›ÚÓÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜: 2 cm, 3 cm, 4 cm ‹ 11 cm. (‚) ∆ËÓ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ 11 cm ·›ÚÓÂÈ ÙÔ ∫§ fiÙ·Ó Î·È ÙÔ ∫ Î·È ÙÔ § Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ∞µ. (Á) ∞fi ÙË ·Ú·¿Óˆ ‰È¢ڇÓÛË ÚԤ΢„ fiÙÈ Û ηÌÈ¿ ÂÚ›ÙˆÛË ‰ÂÓ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ 11 cm. 3cm

∫

A

B

4,5cm

§

3cm 3,5cm

3,5cm

§


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

™ÂÏ›‰·243

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ µ.1.5.

- 243 -

ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ - ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜

2. º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ √z ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ √x ÁˆÓ›· 20Æ. 3. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ÌÔÈÚÈÁÓˆÌfiÓÈÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÂÚ›Ô˘ ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. ∧

4. ·=45Æ, ‚=93Æ, Á=323Æ, ‰ =82Æ, Â=180Æ, ∧ ∧ ∧ Î=324Æ, Ï =60Æ, Ì =140Æ.

µ.1.6.

∧ ∧ ∧ ∧

5. ∏ ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË: ·> ‰> Á> ‚. ∧

6. (·) ˆ< Ê, (‚) Ê < Ú, (Á) ˆ< Ú, (‰) „> Î , ∧

∧ ∧

(Â) „ < Ï , (ÛÙ) „> Ì , (˙) Ú> ı. 7. ªÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙȘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ·˘ÙÒÓ.

∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ - ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜

2. ªÂ ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x Î·È ÛÙËÓ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ Â ÛÙËÓ √x. 3. ªÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. Â1 ∞ 4. ªÂ ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Î·È Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ʤÚÓÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ∞∞, µµ Î·È °° ÛÙËÓ √y. Â2 5. ªÂ ÁÓÒÌÔÓ· ʤÚÓÔ˘Ì ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â Î·È Â ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. µ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ Â Î·È Â Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰‡Ô ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ. 6. ªÂ ÁÓÒÌÔÓ· ʤÚÓÔ˘Ì ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° οıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¢, µ∂ Î·È °∑ ÛÙȘ ¢ı›˜ µ°, ∞° Î·È ∞µ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∞ ∞∂ ∞ ∞ E Z Z ∏

µ

° µ ° µ ° µ ° ¢ ¢ 7. ªÂ ÁÓÒÌÔÓ· ʤÚÓÔ˘Ì ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, ¢ Î·È µ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙËÓ Â, ÔÈ Ôԛ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó ÌfiÓÔ ·Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ›‰È· οıÂÙÔ Â˘ı›· ÛÙËÓ Â.

µ.1.7.

∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ

2. √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ fiϘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 3. ªÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ¢ ∞∂ Î·È ∂ ∞µ, Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ µ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ° µ∂ Î·È ∂ µ∞ ‹ ∂ µ° Î·È ° µx Ì ∧ ∧ ∧ ∧ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ¢ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ° ¢∂ Î·È ∂ ¢∞ Î·È Ù¤ÏÔ˜∧Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∂ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ µ ∂∞ Î·È ∞ ∂¢ ∧ ∧ ∧ 4. (·) ªÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ µ ∞∂ Î·È ∂ ∞∑ , Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ µ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ∞ µ∑ Î·È ∑ µ¢ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ∧ ∧ ∧ ∧ ∑ ¢µ, Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∂ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ∑ ∂∞ Î·È ∑ ∂°, Ù¤ÏÔ˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∑ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÙÔ∧¢ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ∧° ¢∑ Î·È ∧ ∧ ∧ ∞∧ ∑µ, µ ∑¢, ¢ ∑∂ Î·È ∂ ∑∞ Ô˘ ·Ó¿ ‰‡Ô ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ˙‡ÁË ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ. (‚) ªÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∞ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ¢ ∞° Î·È ∧ ∧ ∧ ° ∞µ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ° ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ∞ °µ, ∞ °¢ ∧ Î·È ¢ °y Ô˘ ·Ó¿ ‰‡Ô ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ˙‡ÁË ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ. ∧ ∧ (Á) ªÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ √ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ x Oy, y Oz, Î·È z OÓ, Ô˘ ·Ó¿ ‰‡Ô ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ∧ ˙‡ÁË ∧ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ. ∧ ∧ ∧ °µ, °¢ °y Ô˘ ·Ó¿ (‰) ªÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∞ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ¢ ∞° Î·È ° ∞µ, Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ° ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ∞ ∞ Î·È ¢ ∧ ∧ ‰‡Ô ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ˙‡ÁË ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ,∧Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ¢ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ∞ ¢µ Î·È ° ¢µ Î·È Ù¤ÏÔ˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ∫ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ∧ ∧ ∧ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ∞ ∫µ, µ ∫°, ° ∫¢ Î·È ¢ ∫∞, Ô˘ ·Ó¿ ‰‡Ô ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ˙‡ÁË ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ.

µ.1.8.

¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ & ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

2. ªÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· 125Æ Î·È ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ Ô˘ Â›Ó·È 180Æ–125Æ=55Æ. 3. (·) ªÈ· ÁˆÓ›· ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ·Ì‚Ï›·˜, Â›Ó·È ÔÍ›· ÁˆÓ›· (‚) ªÈ· ÁˆÓ›· ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜, Â›Ó·È ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. (Á) ªÈ· ÁˆÓ›· ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜, Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·. 4. ªÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· 35Æ Î·È ÙËÓ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ Ô˘ Â›Ó·È 90Æ– 35Æ=55Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ 5. ªÂ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ °√∞=¢√∞. √È ÁˆÓ›Â˜ ∞√° Î·È °√µ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ¤¯Ô˘Ó ∧ ∧ ∧ ∧ ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ∂Ô̤ӈ˜ °√µ=180Æ– Ê. ∞ÏÏ¿ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∞√¢ Î·È ¢√µ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ¤¯Ô˘Ó ∧ ∧ ∧ ∧ ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ∂Ô̤ӈ˜ ¢√µ =180Æ– Ê. ™˘ÓÂÒ˜ °√µ=¢√µ. ∧ 6. · 15Æ 18Æ 43Æ 77Æ 90Æ 116Æ 169Æ10’ ∧

165Æ

162Æ

137Æ ∧

103Æ

90Æ

64Æ

10Æ50’ ∧

7. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È 147Æ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ·=180Æ–147Æ, ¿Ú· ·=33Æ. ∧ ∧ ∧ ∆Ô ›‰ÈÔ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ‚ Î·È 110Æ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ‚=180Æ–110Æ, ¿Ú· ‚=70Æ. 8. ªÂ ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÈÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙËÓ ÁˆÓ›· ÙˆÓ 37Æ. °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ʤÚÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈΤ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 9. ∆· ˙‡ÁË ÙˆÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È · Î·È Á, ‚ Î·È ‰, Î Î·È Ì, Ï Î·È Ó. 10. ∏ ηٷÎfiÚ˘Ê‹ Ù˘ ı· Â›Ó·È Î·È ·˘Ù‹ 57Æ. ∏ ¿ÏÏË ÁˆÓ›· Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È 180Æ-57Æ=123Æ. ∧ ∧ ∧ 11. √È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È 25Æ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÂÔ̤ӈ˜ ·=25Æ. ∂›Û˘ Á=90Æ. ∞ÏÏ¿ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· fiÏˆÓ ∧ ∧ ∧ ∧ Â›Ó·È 360Æ, ÂÔ̤ӈ˜ ı· ¤¯Ô˘Ì 90Æ+25Æ+ ‚+90Æ+ ‰+25Æ=360Æ, ÔfiÙ ‚+ ‰=360Æ–25Æ–25Æ–90Æ–90Æ Û˘ÓÂÒ˜, ∧ ∧ ∧ 2 ‚=130Æ ¿Ú· ‚=65Æ Î·È ‰=65Æ.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

- 244 -

™ÂÏ›‰·244

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

µ.1.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô 3. (·) ∫·È ÔÈ ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. (‚) √È ‰‡Ô Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÂÓÒ Ë ÙÚ›ÙË Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Ì ηÌÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ Î·È ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ. (Á) ∆¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô. (‰) ¢È¤Ú¯ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. Â1

4. ªÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.

Â2 µ

5. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2 Â1 Î·È Â3 ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ √y. ÂÂ2 3 ∂Ô̤ӈ˜ ı· ›ӷÈ: O ∞∞// µµ// °°// √y. 6. √È ·Ú¿ÏÏËϘ ·fi ∞ Î·È µ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÌÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â.

°

x

µ ∞ ∞ µ °

y

A B A

B

 Â

µ.1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· - ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ 2. º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ ∞µ ÛÙËÓ °µ¢, ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÙȘ ∞° Î·È ∞¢ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ›Û˜ Ì 5 cm. 3. º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ ∞µ ÛÙËÓ °µ¢, ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÙȘ ∞° Î·È ∞¢ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ¿ÓÈÛ˜ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ∞¢ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fiÛÙ·ÛË ¢µ Î·È Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ∞° ÛÙËÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚË µ°. 4. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È: ∞µ=1,6 cm Î·È µ°=1,6 cm. 5. ªÂ ÙÔ ÁÓÒÌÔÓ· Î·È ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞,µ,° Î·È ¢ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fiÛÙ·ÛË 3,2 cm ·fi ÙËÓ Â. º¤ÚÓÔ˘Ì ·fi ÙÔ Î·ı¤Ó· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î·È ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ¢ı›˜ Ô˘ ʤڷÌÂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Û ÌÈ·. 6. °È· Ó· ‚Úԇ̠ٷ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ı¤ÛÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ∫∫, §§, ªª, ∏∏, Î·È ££ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â1 Î·È Â2 Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙÔ˘˜. ∞fi ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿, ÙÔ ∞, ʤÚÓÔ˘Ì ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ı›·  ÚÔ˜ ÙȘ Â1 Î·È Â2 Î·È ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ ·˘Ù‹ ÂÚÓ¿ÂÈ Î·È ·fi Ù· ¿ÏÏ· ÛËÌ›· µ, °, ¢ Î·È ∂. 7. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ µ∞ ηٷ 1cm Î·È Ê¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â ·fi ·˘Ù‹ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ∞x ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ.

µ.1.11.

∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ·ÎÏÔ˘

1. ªÂ ÙÔÓ ‰È·‚‹ÙË ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È ·ÎÙ›Ó˜ 2,4cm, 2cm Î·È 15 mm. 2. °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ ∞µ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ √ Ù˘ ∞µ Î·È Ë ·ÎÙ›Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ∞µ ‰ËÏ·‰‹ 1,9 cm. 3. √È ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ˙ËÙÔ˘Ì¤ÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ı· Â›Ó·È Ù· ÌÈÛ¿ Ì‹ÎË ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ 2cm, 2,5cm Î·È 24mm. 4. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,4cm Î·È ÔÚ›˙Ô˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ª. °Ú¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ª Î·È ·ÎÙ›Ó˜ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ 2,4cm Î·È 4,1cm ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∫,3,4cm) Ô Î·ı¤Ó·˜ Û ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È ∞, µ Î·È µ. √È ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ Â›Ó·È ª∞ Î·È ª∞ (‰‡Ô χÛÂȘ) Î·È ªµ Î·È ªµ (‰‡Ô χÛÂȘ). 5. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, 3cm) Î·È (µ, 2cm), Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· ∫ Î·È §. ∆fiÙÂ, ·˘Ù¿ Ù· M ÛËÌ›· ·¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ. 6. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ·Ó‹ÎÂÈ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô B A ·ÎÏÔ˘˜ Âfi̤ӈ˜ Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ηıÂÓfi˜ Î·È ÂÂȉ‹ ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Â›Ó·È ›Û˜ ı· Â›Ó·È ª∞=ªµ. √ÌÔ›ˆ˜ Î·È ÁÈ· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô N ¡ ı· ¤¯Ô˘Ì ¡∞=¡µ. µ.1.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· - ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯Ô˘ ∧ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ 5. ∏ Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· A OB Â›Ó·È 60Æ Î·È ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ 1. (·) 360Æ, (‚) 180Æ, (Á) 90Æ. 1 2. ¢‡Ô ÙˆÓ 60Æ Î·È ‰‡Ô ÙˆÓ 120Æ. 60Æ:: 360Æ= 6 ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 3. Ÿ¯È, ‰ÈfiÙÈ ÂÓÒ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û 6. ∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. ªÂ ÙÔ ÌÔÈÚoÁÓˆÌfiÓÈÔ ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜. ∧ ∧ 4. ∞ÊÔ‡ Ù· ÙfiÍ· Â›Ó·È ›Û· ı· Â›Ó·È Î·È ÔÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È A Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 70Æ, ÂÓÒ ∧ ›Û˜, ¿Ú· ı· Â›Ó·È 360Æ:: 6=60Æ. Ë ÁˆÓ›· ° Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 40Æ.

µ.1.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ 1. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2. ¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ¿Óˆ ÛÙËÓ Â1 Î·È Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ª Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,6cm ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ, Ô ÔÔ›Ô˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â2 Û ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. ∆· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ·. 2. √È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â1 Î·È Â2. Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ ∞µ ¿Ú· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. 3. (·) °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰=4cm ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Ú=5cm, Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ‰‡Ô ÛËÌ›·, (‚) fiÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰=2,5cm Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú=2,5cm, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ¤¯ÂÈ Ì·˙› ÙÔ˘ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ Î·È (Á) fiÙ·Ó Â›Ó·È ‰=6cm >Ú=3cm, ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. 4. ∆Ô Î¤ÓÙÚÔ ∫ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ·¤¯ÂÈ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â2 ·fiÛÙ·ÛË ∫∞=3,1cm. ∂Ô̤ӈ˜ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ì ·ÎÙ›Ó· Ú=2,1cm ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙËÓ Â2. √ ·ÎÏÔ˜ Ì ·ÎÙ›Ó· Ú=3,1cm ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙËÓ Â2, ¿Ú· ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ûã ·˘Ù‹Ó. ∫È Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ì ·ÎÙ›Ó· Ú=3,6cm ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙËÓ Â2, ¿Ú· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. 5. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ª Â›Ó·È ·ÊÂÓfi˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (∞, 18mm) Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (µ, 22mm) ∂Ô̤ӈ˜ Ë Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ∞µ ¢ı›· Â, Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÛÙȘ ¿ÎÚ˜ ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ¿Ú· ÂÊ·ÙfiÌÂÓË Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô.

∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ 1

2

™ § ™

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

™ § ™ § § § § § ™ ™ § § § § § ™ § § § § ™

™ § ™


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

™ÂÏ›‰·245

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

- 245 -

ª¤ÚÔ˜ µ  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 Ô ™˘ÌÌÂÙÚ›· B.2.1.

™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ·

x

x

√ y 1. (·) ∂Âȉ‹ ÙÔ √ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔÓ Â˘·Ùfi ÙÔ˘ ÂÔ̤ӈ˜ ·ÚΛ Ó· y √ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Û οı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Ó· ‚Úԇ̠ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο  y x ÙÔ˘˜. (‚) ∞ÓÙÈı¤Ùˆ˜ Â‰Ò ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ √ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ √ Î·È Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ÛËÌ›· O  O Â›Ó·È ·˘Ù¿ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ Ë Â ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜. √ Ú 2. ∫·È ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ √ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ √. ∂Âȉ‹ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο B  A Ú ∞ Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Ë ›‰È· Ì ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰fiıËÎÂ. O O 3. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ·Ú¯Èο ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ™ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ™ ÙÔ˘ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ fi¯È ÌfiÓÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ·ÏÏ¿ Î·È ÔÌÔ›ˆ˜ ΛÌÂÓÔ.

B.2.2. 2.

ã∞ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

∞ƒ.∞•√¡. ™Àª.

0 1

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3. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ï‹ıÔ˜: (·) 3, (‚) 4, (Á) 5, (‰) 6, (Â) 7, (ÛÙ) 8.

4. √ ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ‰‡Ô ›ÛˆÓ Î·È ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È: (·) Ë Â˘ı›· Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ¯ÔÚ‰‹˜ Î·È (‚) Ë ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ (Ë Â˘ı›· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ Ù· ΤÓÙÚ· Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ).

B.2.3.

5. (·) ŸÙ·Ó Â›Ó·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ Î¿ı ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÎÔÈÓfi ΤÓÙÚÔ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. (‚) ŸÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ΤÓÙÚ· ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È Ë ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ ÙÔ˘˜.

ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜

2. ∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÙËÓ ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞¢ Î·È ¢µ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙÔ˘˜. 3. ∏ ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ Ù˘ ∫∞ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· µ Î·È °. ∞˘Ù¿ Â›Ó·È Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ÛËÌ›·. 4. °È· Ó· ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ Ë ÛÙ¿ÛË Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÈÎÈÛÌÒÓ ∞ Î·È µ. 5. °È· Ó· ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ˆÚÈÒÓ ∞ Î·È µ. A 6. ªÂ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. 7. (·) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ª∞ Î·È ªµ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ›Û·. ∞ÏÏ¿ ÙÔ ª Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ N ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ∞µ ÂÔ̤ӈ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘, ¿Ú· ª∞=ªµ. (‚) √ÌÔ›ˆ˜ Î·È ÙÔ ¡ M K Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘, ¿Ú· ¡∞=¡µ. (Á) ∆· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ¿Ú· ∫∞=∫µ. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ∫ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ∞µ. B 8. ¢È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ∫ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 9. ∏ ÙÔÌ‹ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ∞µ Î·È Ù˘ Â Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌ›Ô.

µ.2.4.

™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌ›Ô

1. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ µ Î·È ° Â›Ó·È Ù· µ Î·È ° ÙfiÙ ÙÔ µ° ı· ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ µ° ¿Ú· Ù· µ° Î·È µ° Â›Ó·È ›Û· Î·È Ù· ̤۷ ÙÔ˘˜, ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈο. ∞ÏÏ¿ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ª, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ∞, Â›Ó·È ÙÔ ª Î·È ÂÂȉ‹ ÙÔ µ° ¤¯ÂÈ ¤Ó· ̤ÛÔ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ·˘Ùfi ı· Â›Ó·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙÔ˘ µ° ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ª. 2. ∆Ô √ Â›Ó·È Ì¤ÛÔÓ Ù˘ µ¢ ‰ËÏ·‰‹ √µ=√¢. ∆· ∞ Î·È ° Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ∞√=√°. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.

µ.2.5. 1.

∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

∫∂¡∆ƒ√ ™Àª.

µ

°

¢

0

x

x

x

x

x

£

π

§

ª

x

x

x

¡

ƒ

À

x

x

x

x

x

º

Ã

æ

ø

x

x

1

x x x x x x x x x 2. ∆· ‰‡Ô ÚÒÙ· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ∞fi Ù· ÙÚ·Ô˘Ïfi¯·ÚÙ· ¤¯Ô˘Ó Ë ÓÙ¿Ì·, ÙÔ 8 ÎÔ‡· Î·È ÙÔ 8 ηÚfi.

3. ∫·Ó¤Ó·

ŒÓ·

ÕÍÔÓ˜ ™˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ¢‡Ô ∆ÚÂȘ ∆¤ÛÛÂÚȘ

x

∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·

Œ¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

x

x

πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ

x

πÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ

¶ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜

x

x

√ÚıÔÁÒÓÈÔ

x

x

ƒfiÌ‚Ô˜

x

x

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∫‡ÎÏÔ˜

x

x x


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

- 246 -

™ÂÏ›‰·246

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

µ.2.6.

¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· ∧

1. ŒÛÙˆ ·=12Æ. ∏ ÁˆÓ›· · Î·È fiϘ ÔÈ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û˜ Ì 12Æ. ∏ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · , ¤ÛÙˆ ∧

Ë∧ÁˆÓ›· Á ı· Â›Ó·È ›ÛË Ì 180Æ– ·=180Æ–12Æ=168Æ. √È ÁˆÓ›Â˜ Á Î·È fiϘ ÔÈ ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û˜ Ì 168Æ. ∧

2. ∧ ‚= Á=70Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜–ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â3//Â4 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi Â2. ∧

2,9 cm

3.

‚= ˙=70Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜–ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â1//Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi Â3. ∧ ∧ ∧ ˙+ Â=180Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜–ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â3//Â4 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi Â1, ¿Ú· Â=180Æ– ˙=180Æ–70Æ=110Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ·+ ‰=180Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜–ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ Â1//Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi Â5, ¿Ú· ‰=180Æ– ·=180Æ–70Æ=110Æ. ∧ ∧ y £· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ·=∞∧=63Æ ÂÂȉ‹ Â›Ó·È ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ∧ÙˆÓ ∞µ//¢° ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ∧ ∧ ‚ ¢ · ·fi ÙËÓ ∞¢. ÕÚ· ¢ =180Æ– ·=180Æ–63Æ=117Æ. ∂›Û˘ Â›Ó·È ‚=∧·=63Æ ÂÂȉ‹ Â›Ó·È ∧ ° ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ µ°//∞¢ ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ ¢°. ÕÚ· ° = ‚=63Æ ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ∧ ∧ 63Æ ‰ ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó. Œ¯Ô˘ÌÂ Î·È ‰=∧ ‚=63Æ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ¿ÏÈ ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ ∞µ//¢° ∧ 5 cm ∞ µ ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ µ°. ÕÚ· µ =180Æ– ‰=180Æ–63Æ=117Æ. ∧ ∧ ∞ÊÔ‡ Ë ‰2 Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ı· ›ӷÈ: 2Ê=56Æ, ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ Â1//Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ ∞µ. ÕÚ· Ê=28Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ŸÌˆ˜ Ê= ·=28Æ, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ Â1//Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ ‰2. ∂Âȉ‹ · Î·È Á Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ı· Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ·= Á=28Æ. ∆¤ÏÔ˜ ÔÈ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· Â›Ó·È ‚=180Æ– ·=180Æ–28Æ=152Æ. ∧ ∧ ã∂¯Ô˘Ì Ê+116Æ=180Æ ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â1//Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ Â3, ¿Ú· ›ӷÈ: Ê=180Æ-116Æ=64Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ÏÏ¿ ¤¯Ô˘Ì Ê= ‚=64Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â3//Â4 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙËÓ Â2. ∆¤ÏÔ˜ Â›Ó·È ·=180Æ– ‚=116Æ. ∧ ∧ ∂›Ó·È ˆ=30Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ∞¢//µ° ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi µ¢. ∂›Û˘ ı =105Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ∞¢//µ° ∧ ∧ ÙÂÌÓÔ̤ӈÓ∧·fi °¢. ∂›Ó·È fï˜ ·= ı =105Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÙˆÓ ∞µ//¢° ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ∞¢. ∞ÏÏ¿ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È ı+(ˆ+Ê)=180Æ ÂÔ̤ӈ˜ 105Æ+30Æ+Ê=180Æ ¿Ú· Ê=45Æ. ∂›Ó·È fï˜ Á=Ê=45Æ ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ∧ °¢//∞µ ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi µ¢. ∆¤ÏÔ˜ Â=75Æ.

4.

5. 6.

ª¤ÚÔ˜ µ  ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· µ.3.1.

™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∧ ¢1

1. (·) ™, (‚) §, (Á) ™, (‰) ™, (Â) §, (ÛÙ) ™, (˙) ™, (Ë) §. 2. Œ¯Ô˘Ì fiÙÈ µ∫=∫ª, ª§=§° Î·È µª=ª° ÔfiÙ µ∫=∫ª=ª§=§°=1,1cm. 3. ∞ÊÔ‡ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞¢° Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙËÓ ∞¢. ∂Âȉ‹ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó ı· Â›Ó·È ›Û· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ fiÏ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ı· Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· ηÈ∧ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∞1 Î·È ∞2 fiˆ˜ Î·È ¢1 Î·È ¢2. ¢ËÏ·‰‹: (·) ∞1= ∞2 Î·È ∧ ∧ (‚) ¢1= ¢2. ∞fi ÙË ÚÒÙË ÈÛfiÙËÙ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧ Ë ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∞. ∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜

µ.3.2.

4.

Î·È ¢2 Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ı· Â›Ó·È ∧ ∧ Î·È ¢1+ ¢2=180Æ. ∂Ô̤ӈ˜ ÏfiÁˆ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ∧ ∧ ÈÛfiÙËÙ·˜ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: 2 ¢1=180Æ ¿Ú· ¢1=180Æ:2=90Æ ∧ Î·È ¢2=90Æ. ™˘ÓÂÒ˜ Ë ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ°. ™ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯Ô˘Ì ÙÚÂȘ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙȘ ÙÚ›˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜. ∂Âȉ‹ fï˜ fiϘ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È ›Û˜ ÁÈ· οı ‰È¿ÌÂÛÔ ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ›‰È· Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÈ· ÙËÓ ∞¢, ¿Ú· οı ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Î·È ‡„Ô˜ ÛÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. 5. ∞ƒ=ƒµ. 6. ∞¡=¡°. ∂ª=ª∑

ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

1. (·) ™, (‚) §, (Á) §, (‰) §, (Â) ™, (ÛÙ) §, (˙) ™, (Ë) ™, (ı) §. ∧ 2. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÌ‹Ì· µ° Î·È Ê¤ÚÓÔ˘Ì ·fi ÙÔ µ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· µx ∧ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÁˆÓ›· µ=75Æ. ªÂÙ¿ ·fi ÙÔ ° ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›·∧°y ∧ ¤ÙÛÈ,∧ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÁˆÓ›· °=35Æ. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ∧ ËÌÈ¢ı›˜ µx Î·È °y. ŸÌˆ˜ ∞+ µ+ °=180Æ ¿Ú· Â›Ó·È ∞=180Æ–75Æ–35Æ=70Æ. ∧ 3. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÌ‹Ì· ∞µ=4,2cm Î·È Ê¤ÚÓÔ˘Ì ·fi ÙÔ µ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· µx ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÁˆÓ›· µ=60Æ. ªÂÙ¿ ∧ ·fi ÙÔ ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞y ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÁˆÓ›· ∞=90Æ.∧√ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô ∧ ∧ ∧ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ËÌ¢ı›˜ µx Î·È ∞y. ªÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙË ÁˆÓ›· °. ŸÌˆ˜ ∞+ µ+ °=180Æ ¿Ú· Â›Ó·È ∧ °=180Æ–90Æ–60Æ=30Æ. ªÂÙÚ¿Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ°∧Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È: µ°=2,1 cm. ∧ ∧ ∧ 4. ∂›Ó·È ·=52Æ Î·È Ê=48Æ(ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó). Œ¯Ô˘Ì ‰=Ê=48Æ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ Â1///Â2 ÙÂÌÓÔÌ¤ÓˆÓ ·fi ‰1. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ·+ ‰+ Á=180Æ, ¿Ú· Á=180Æ–52Æ–48Æ=80Æ. ∆fiÙ fï˜ ı· Â›Ó·È ‚= Á=80Æ(ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó). ∧ ∧ ∧ ∧ 5. (·) ‘∂¯Ô˘Ì Ê+35Æ+72Æ=180Æ, ÔfiÙ Ê=73Æ. (‚) Œ¯Ô˘Ì Ê+35Æ+(180Æ–102Æ)=180Æ, ÔfiÙ Ê=67Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 6. º¤ÚÓÔ˘Ì ∂x//°¢//∞µ, ÔfiÙ ı=40Æ Î·È Ê=42Æ (ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í). ∂Ô̤ӈ˜ ˆ= ı+Ê=40Æ+42Æ=82Æ. 7. ‘∂¯Ô˘Ì fiÙÈ 74Æ+2x=180Æ, ÔfiÙ 2x=180Æ–74Æ ¿Ú· 2x=106Æ, ÂÔ̤ӈ˜ x=53Æ. ¢ËÏ·‰‹, ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È 53Æ∧Ë ∧ ηıÂÌÈ¿. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 8. £· ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ ∞+ µ+ °=180Æ, ÂÔ̤ӈ˜ 36Æ+ 2 °+ °=180Æ, Û˘ÓÂÒ˜ 3 °=180Æ–36Æ, ¿Ú· °=48Æ Î·È µ=96Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 9. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ∞+µ+°=180Æ, ÂÔ̤ӈ˜ 2µ+µ+3µ=180Æ, Û˘ÓÂÒ˜ 6 µ=180Æ ¿Ú· µ=30Æ, ‰ËÏ·‰‹ °=90Æ Î·È ∞ =60Æ. 10. ∫·ı¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· √∞µ, √µ°, √°¢ Î·È √¢∞ ¤¯ÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ 180Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∂Ô̤ӈ˜, ∞+ µ+ °+ ¢+ √1+ √2+ √3+ √4=4180Æ=720Æ. ∞ÏÏ¿ √1+ √2+ √3+ √4 =360Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∂Ô̤ӈ˜ ∞+ µ+ °+ ¢+360Æ=720Æ. ÕÚ· ∞+ µ+ °+ ¢=720Æ–360Æ=360Æ.


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

™ÂÏ›‰·247

ª¤ÚÔ˜ °’ - ¶·Ú¿ÚÙËÌ·: Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ∞Û΋ÛÂȘ

- 247 -

B.3.3. ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ-√ÚıÔÁÒÓÈÔ-ƒfiÌ‚Ô˜-∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ-∆Ú·¤˙ÈÔ-πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ 1. (·) ™, (‚) §, (Á) ™, (‰) §, (Â) §.

µ.3.4.

2. ∆¤ÛÛÂÚ·.

3. ƒfiÌ‚Ô Î·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. 4. √ÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È Ï¿ÁÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.

π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘-ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘-ÚfiÌ‚Ô˘-ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘-ÙÚ·Â˙›Ô˘-ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘

1. ªÂ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ: (·) ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ‰‡Ô ˙‡ÁË ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ÙÔ Î·ı¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. (‚) ™ÙÔ ÚfiÌ‚Ô ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ·fi Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ Î·È ‰‡Ô ˙‡ÁË ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.(Á) ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿‰Â˜ ›ÛˆÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. 2. ¢ÈfiÙÈ fiϘ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 3. º¤ÚÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ∞∞ Î·È °° ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞ Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·fi ÙËÓ Â˘ı›· µ¢, ÙȘ ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ∏  1 ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â›Ó·È ›Û˜. B A 4. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ Â1 Î·È Â3 ÚÔ˜ ÙËÓ ∞°, ¿Ú· ı· Â›Ó·È Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ £ Â2 Â4 ·Ú¿ÏÏËϘ. √ÌÔ›ˆ˜ Î·È Â2 Î·È Â4 ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È Î·È ° ∑ Â3 ÔÈ ‰‡Ô · Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ µ¢. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ¢ Û¯‹Ì· Ô˘ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ÔÈ Â1, Â2, Â3, Î·È Â4. ∂ Ê ˆˆ 5. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ Ê Ê ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¤Ó· ˆ Ê ˆ ÔÚıfiÁˆÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. 6. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. (·) ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘. (‚) ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÚfiÌ‚Ô˘ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘. 7. ∂›Ó·È ›Û·, ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. 8. ∆Ô ∞√µ∫ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜, ÂÔ̤ӈ˜ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ·˘ÙÔ‡ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È Î·ı¤Ùˆ˜. ∂›Ó·È ›Û˜. 9. (·) ∂Âȉ‹ ∞µ⊥µ° Î·È ¢°⊥µ° ı· Â›Ó·È ∞µ//¢° Î·È ÂÂȉ‹ ∞¢⊥∞µ Î·È µ°⊥∞µ ı· Â›Ó·È ∞¢//µ°. ∂Ô̤ӈ˜ Â›Ó·È °¢=∞µ=3cm ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ∞¢//µ°, ·ÏÏ¿ Î·È ∞¢=µ°=4cm ˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ∞µ//¢°. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Î·È ·Ú¿ÏÏËϘ. (‚) ªÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì µ¢=∞°=5cm.

∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÛÙȘ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ™Ã∂™∏

√¡√ª∞™π∞ ∑∂À°√À™ °ø¡πø¡

∞.

¶∞ƒ∞§. ∂À£. ∆∂ª¡. ∞¶√ ∂À£∂π∞

π™∂™

‘’∂¡∆√™ ∂¡∞§§∞•’’

X

‘’∂∫∆√™ ∂¡∞§§∞•’’

X

¶∞ƒ∞¶§∏ƒøª∞∆π∫∂™ \

‘’∂¡∆√™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞’’

X

‘’∂∫∆√™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞’’

X

‘’∂¡∆√™-∂∫∆√™ ∂¡∞§§∞•’’

X

‘’∂¡∆√™-∂∫∆√™ ∂¶π ∆∞ ∞À∆∞’’

°.

∂À£À°ƒ∞ªª∞ ™Ã∏ª∞∆∞

∞ƒπ£ª√™ ∞•√¡ø¡ ™Àªª∂∆ƒπ∞™

0

1

∂À£À°ƒ∞ªª√ ∆ª∏ª∞ °ø¡π∞

∆ÀÃ∞π√ ∆ƒπ°ø¡√

2 x

7

8

9 10 11 12

Œ¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘Ì/ÙÚ›·˜

x x

x x x x x

√ƒ£√°ø¡π√

x x

∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ƒ√ªµ√™

6

x

π™√™∫∂§∂™ ∆ƒ∞¶∂∑π√ ¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ªª√

5

x

x

π™√¶§∂Àƒ√ ∆ƒπ°ø¡√

∆ÀÃ∞π√ ∆∂∆ƒ∞¶§∂Àƒ√

4

x x

π™√™∫∂§∂™ ∆ƒπ°ø¡√ ∆ƒ∞¶∂∑π√

3

x

∫∞∆∞∫√ƒÀº∏¡ °ø¡π∂™ ∂¡∆√™ ∂¡∞§§∞• °ø¡π∂™

X

x

x x x


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

8-11-06

16:18

™ÂÏ›‰·248

- 248 -

ª¤ÚÔ˜ °’ - ∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ

∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ ·/· ŸÚÔÈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ÕÁÓˆÛÙÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ∞ΤڷÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ∞ΤڷÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ∞ÎÙ›Ó· ·ÎÏÔ˘ ∞Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ· ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ∞Ó·ÏÔÁ›· ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ∞ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·

11 ∞ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· 12 ∞ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ 13 ∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 14 ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ 15 ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ 16 ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ·ÚÈıÌÔ‡ 17 ∞fiÛÙ·ÛË 18 ∞ÚÈıÌËÙ‹˜ 19 ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› 20 ÕÚÙÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 21 ∞Ê·›ÚÂÛË 22 23 24 25 26 27 28 29 30

∞Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ °ÈÓfiÌÂÓÔ "¯È·ÛÙ›" °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË °ˆÓ›· ¢Âη‰È΋ Ù¿ÍË ¢Âη‰ÈÎfi ÎÏ¿ÛÌ· ¢Âη‰ÈÎfi ̤ÚÔ˜ ¢Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ¢Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ 31 ¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ 32 ¢È·›ÚÂÛË 33 34 35 36 37

¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ ¢È¿ÌÂÙÚÔ˜ ·ÎÏÔ˘ ¢È¿Ù·ÍË ·ÚÈıÌÒÓ ¢È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜

™ÂÏ›‰Â˜ 73 57, 69 115, 144 188, 196 38, 54 96, 110 91, 110 118, 123, 144 149 15, 31, 48, 54, 123, 130, 144 155 190, 196 48, 54, 130, 144 107, 111 204 118, 114 159, 184, 195 35 115, 144 11, 31 15, 31, 45, 54,60, 69, 126, 144, 15, 31 38 99, 107, 110, 111 153, 196 11 56, 69 57, 69 11 219 173, 196 25, 31, 50, 54, 60, 69, 133, 144 25, 31 25, 31 188, 196 11 88

·/· ŸÚÔÈ 38 ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ 39 ¢˘Ó¿ÌÂȘ 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ ∂›‰Ë ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ∂›‰Ë ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∂Ï¿¯ÈÛÙÔ ∫ÔÈÓfi ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ (∂∫¶) ∂͛ۈÛË ∂͈ÙÂÚÈ΋ ¢ı›· ·ÎÏÔ˘ ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ∂›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ ∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ∂›Â‰Ô ∂ÙÂÚfiÛËÌÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ŒÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ∂˘ı›· ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ∂Ê·ÙfiÌÂÓ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∂Ê·ÙÔ̤ÓË ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ∏ÌÈÂ›Â‰Ô ∏ÌÈ¢ı›· £ÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› π‰ÈfiÙËÙ˜ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ π‰ÈfiÙËÙ˜ Ú¿ÍÂˆÓ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ∫¿ıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ∫ϛ̷η ∫fiÛÎÈÓÔ ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ ∫‡‚Ô˜ ·ÚÈıÌÔ‡

™ÂÏ›‰Â˜ 167, 196 20, 31, 61, 69, 137, 1344 170, 196 73, 78 225, 226 218 27, 31 73, 78 193, 196 190, 196 73, 75, 78 15, 31, 48, 54, 130, 144 150, 195 115, 144 38, 54 149, 195 154 148, 195 25, 31 193, 196 193, 196 173, 196 150, 195 149, 195 115 140, 144 123, 130, 144 229, 230 155 38, 54 171, 195 171, 195 176, 196 212 91 29 28, 31 20


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-250)-(20,5 à 28)

8-11-06

16:19

™ÂÏ›‰·249

ª¤ÚÔ˜ °’ - ∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ

- 249 -

∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ ·/· ŸÚÔÈ

™ÂÏ›‰Â˜

·/· ŸÚÔÈ

™ÂÏ›‰Â˜

76 ∫˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ 77 ∫‡ÎÏÔ˜ 78 §fiÁÔ˜ ÔÌÔÂȉÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ 79 §‡ÛË 80 ªÂÁ¤ı˘ÓÛË 81 ª¤ÁÈÛÙÔ˜ ∫ÔÈÓfi˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ (ª∫¢) 82 ªÂÈÎÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ 83 ªÂȈ٤Ԙ 84 ª¤ÛÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ 85 ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ 86 ª¤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜ 87 ª‹ÎÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ 88 ªÔ›Ú˜ 89 ªÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ 90 ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ 91 ¡ÈÔÛÙ‹ ‰‡Ó·ÌË 92 ¡ÈÔÛÙfi 93 √ÌfiÛËÌÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 94 √ÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 95 √ÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· 96 ¶·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ 97 ¶·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· 98 ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ 99 ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ 100 ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ·ÚÈıÌËÙÈ΋ 101 ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ·ÚÈıÌÒÓ 102 ¶·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ 103 ¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ 104 ¶ÂÚÈÔ‰ÈÎfi˜ ‰Âη‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ 105 ¶ÂÚÈÙÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ 106 ¶ËÏ›ÎÔ 107 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜

188, 196 188, 196

111 ¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·

15, 31, 48, 54, 123, 130, 144 115 15, 31, 34, 45, 54, 60, 69, 122, 144 11, 31 154

108 ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ·ÚÈıÌÔ‡ 109 ¶ÔÛÔÛÙfi 110 ¶Úfi‚ÏËÌ·

91, 110 73, 75, 78 91 27, 31 45 15, 31 160 206 165 159 165 165 65, 66, 69, 158, 159 20, 31 35 115, 144 38, 54 88 11, 31 180, 195 180, 195 176, 196 21 116 35 163 135 11, 31 25, 31 15, 31, 48, 54, 60, 69, 130, 144 27, 31 80 75, 82, 102

112 ¶ÚfiÛËÌ· 113 ¶ÚfiÛıÂÛË 114 ¶ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ 115 ¶ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ 116 ¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ 117 ¶ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ› 118 ¶ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 119 ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› 120 ƒ›˙· Â͛ۈÛ˘ 121 ™ËÌÂ›Ô 122 ™Ì›ÎÚ˘ÓÛË 123 ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ 124 ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË 125 ™˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· 126 ™˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô 127 ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ 128 ™‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 129 ™‡ÓıÂÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 130 ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ 131 ™˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ 132 ™¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ 133 ∆ÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ 134 ∆¤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË 135 ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ 136 ∆¤ÌÓÔ˘Û· ·ÎÏÔ˘ 137 ∆ÂÙ·Á̤ÓË 138 ∆ÂÙÌË̤ÓË 139 ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡ 140 ∆fiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘ 141 ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ·ÚÈıÌÔ‡ 142 ÀÂÚ‚ÔÏ‹ 143 ÀԉȷÛÙÔÏ‹ 144 ÀfiÏÔÈÔ ‰È·›ÚÂÛ˘ 145 ⁄„Ô˜ 146 º˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ 147 ÃÔÚ‰‹ ·ÎÏÔ˘

21, 31, 69, 144 27, 31 27, 29, 31 115 73, 78 148, 195 91 218 12, 57 200 210 176, 196 50, 54 27, 29, 31 96, 110 88 91, 110 154, 163 25, 31 180, 195 193, 196 88 88 20 188, 196 63, 143 107, 111 57, 69 25, 31 219, 225, 226 11, 31 188, 196


¶∞ ƒ∞ ƒ∆∏ ª∞ (241-25)-(20,5 à 28)

2-11-06

11:56

™ÂÏ›‰·2

ªÂ ·fiÊ·ÛË Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ∫˘‚¤ÚÓËÛ˘ Ù· ‰È‰·ÎÙÈο ‚È‚Ï›· ÙÔ˘ ¢ËÌÔÙÈÎÔ‡, ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ √ÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂ΉfiÛˆ˜ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ µÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ‰È·Ó¤ÌÔÓÙ·È ‰ˆÚÂ¿Ó ÛÙ· ¢ËÌfiÛÈ· ™¯ÔÏ›·. ∆· ‚È‚Ï›· ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù›ıÂÓÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË, fiÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘Ó ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÁÓËÛÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. ∫¿ı ·ÓÙ›Ù˘Ô Ô˘ ‰È·Ù›ıÂÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË Î·È ‰Â ʤÚÂÈ ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ, ıˆÚÂ›Ù·È ÎÏ„›Ù˘Ô Î·È Ô ·Ú·‚¿Ù˘ ‰ÈÒÎÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ‰È·Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ 7 ÙÔ˘ ¡fiÌÔ˘ 1129 Ù˘ 15/21 ª·ÚÙ›Ô˘ 1946 (º∂∫ 1946, 108, ∞)

µπµ§π√™∏ª√

∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘ ηχÙÂÙ·È ·fi ‰ÈηÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.

Μαθηματικά-Βιβλίο_Μαθητή  

Το βιβλίο μαθηματικών