Del caos a l'ordre

Gotes de pluja: la distribució de Poisson Gotes de pluja Quan les gotes de pluja cauen sobre un vidre, ho fan a l’atzar i impacten de forma independent les unes de les altres amb una certa mitjana de gotes per minut. Per tant es pot modelitzar mitjançant la distribució de Poisson.

Aquesta distribució també s’ha utilitzat per establir si un bombardeig sobre una ciutat s’ha realitzat de forma indiscriminada per atemorir la població (la distribució de Poisson s’ajustaria bé) o bé s’han buscat objectius concrets En teoria de probabilitat i estadística, la distribució de Poisson és una distribució de probabilitat discreta. Expressa la probabilitat que en un interval de temps donat fix es produeixin k esdeveniments, suposant que els intervals de temps transcorreguts entre aquests esdeveniments són independents.

Va ser descoberta per Siméon-Denis Poisson, que la va donar a conèixer l’any 1838 en el seu treball Recherches sur la proba-

bilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (Investigació sobre la probabilitat dels judicis en matèries criminals i civils).

Funció de Probabilitats La funció de probabilitats de la distribució de Poisson és, per a tot nombre natural (inclòs el zero) k, 

e -l lk f ( k ,l) = k!

on λ és un paràmetre positiu que representa la freqüència esperada del fenomen modelat per la distribució. Tant la mitjana com la variància d’una variable aleatòria amb distribució de Poisson són iguals a λ.

L’estadística: del caos a l’ordre

20.10.2010

(per tant la distribució de Poisson no s’ajustaria bé al nombre de bombes observat, refl ectint que els impactes no s’han produït a l’atzar).

Un xoc de molècules: el moviment Brownià El moviment Brownià és el nom donat al moviment irregular del pol·len suspès en l’aigua observat pel botànic Robert Brown el 1828.

Albert Einstein va començar a desenvolupar el 1905 una teoria física d’aquest moviment. Einstein va argumentar que, si la teoria molecular era correcta, les molècules d’aigua colpejarien el fl uid aleatòriament en totes direccions, fent descriure a la partícula de pol·len un moviment semblant a l’observat per Brown. És important destacar que en aquella època la teoria molecular encara no era totalment acceptada.

Als anys 20, Norbert Wiener va presentar un model matemàtic per explicar aquest moviment basat en la teoria dels processos estocàstics. En un sentit més ampli, hom anomena moviment Brownià la classe de models matemàtics que permeten descriure aquest procés físic i altres fenòmens anàlegs. Actualment, el moviment brownià i el càlcul estocàstic que se’n deriva s’utilitzen en molts models de la física i de l’economia on surten equacions diferencials amb pertorbacions aleatòries.

Xoc de molècules Les boles de la imatge simulen les molècules d’aigua que colpegen la partícula de pol·len en totes direccions, ocasionantli un moviment irregular.

L’estadística: del caos a l’ordre

20.10.2010

La Màquina de Galton: la distribució normal Funció de densitat de probabilitat 

Funció de densitat de probabilitat per a la distribució normal 

x

f ( ,m , s ) =

(x -m ) 1 1 e - 2s = j s 2p s 2

2

( xs-m )

on σ és la desviació estàndard i μ és la mitjana.

La distribució normal, també coneguda com a distribució Gaussiana, és una família important de distribucions de probabilitat contínues que s’utilitza en situacions molt diverses. Cada membre de la família queda determinat per dos paràmetres: la mitjana μ (que determina el valor central de la distribució) i la desviació estàndard σ (que ens indica com de dispersa és). Un cas particular és la distribució normal estàndard, per la qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1. Fou Gauss qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i trobà quina era la seva funció de densitat. Aquesta distribució també s’anomena campana de Gauss, atès que el gràfic de la seva funció de densitat recorda una campana.

La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en dos motius: un primer motiu és que serveix com a model de moltes variables, però sobretot es deu al Teorema Central del Límit. Aquest teorema estableix que la suma d’un elevat nombre d’efectes independents segueix (aproximadament) una distribució normal, independentment de quina sigui la distribució d’aquests efectes.

L’estadística: del caos a l’ordre

20.10.2010

Màquina de Galton En aquest vídeo es pot veure una màquina capaç de generar una distribució normal de forma mecànica. Si les boles van caient de forma aleatòria, observem que en llançar-ne moltes la posició on cauen les boles aproxima la funció de densitat de la distribució Normal. El Teorema Central del Límit és l’explicació matemàtica d’aquest fet.

La regressió El mètode de mínims quadrats es pot considerar l’inici de la regressió i se n’atribueix l’autoria a A. M. Legendre i a J. K. F. Gauss que el van aplicar a finals del sXVIII / inicis del sXIX, de manera independent, a l’ajust funcional i la predicció minimitzant els errors de mesura de dades astronòmiques. No obstant, l’expressió “regressió a la mitjana” s’atribueix a F. Galton, quan es referia a la tendència que presenten les dades antropomètriques evolutives a “regressar” a la mitjana, recolzant-se en el fet que fills de pares molt alts o molt baixos tendien a presentar valors menys extrems que els seus progenitors.

Essencial fou la contribució de G. U. Yule a finals del segle XIX, K. Pearson als inicis del segle XX, i R.A. Fisher als anys 20 del mateix segle, que van tractar la metodologia dins d’un context estadístic més general.

Pel que fa a finals de sXX i començaments del sXXI, les aplicacions i els treballs teòrics en el marc de la regressió han crescut enormement gràcies a la possibilitat del càlcul massiu i a l’impuls de noves disciplines, com les finances o la genètica. S’ha estès l’ús de variants de la regressió: no-lineal, generalitzada, robusta, ponderada, local, per splines, mínims quadrats parcials (PLS), etc. Al mateix temps, s’han millorat els mètodes de selecció de variables orientats a obtenir el millor model.

De la modelització clàssica als mètodes d’aprenentatge automàtic (statistical learning), la regressió constitueix una eina científica i tècnica de gran abast i transcendència en totes les vessants del coneixement.

Gràfica interactiva Amb el programari lliure R es pot obtenir una gràfica interactiva d’un pla de regressió com la que es veu al vídeo, on s’aprecia bé l’ajust, els residus o errors i les projeccions sobre el pla.

L’estadística: del caos a l’ordre

20.10.2010