كتاب الوزارة كامل اولى ثانوى

‫ﻤﻬﻮﺭﻳﺔ ﻣﺼﺮ ﺍﻟ‬ ‫ﻌﺮﺑ‬ ‫ﺟ‬ ‫ﻴ‬ ‫ﺔ‬

‫ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘـﺮﺑﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠ‬ ‫ﻗﻄﺎﻉ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬

‫ﻴـﻢ‬

‫‪äÉ`«°VÉ`jôdG‬‬ ‫ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺇﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﺄﻟﻴﻒ‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺇﺑﺮﺍﻫﻴــﻢ ﺍﻟﺪﺳﻮﻗـﻰ ﻣﺤﻤﺪ‬

‫ﺃ‪ .‬ﻋﺒـﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳـﺰ ﻋﻴﺴـﻰ ﻣﻨـﻮﻥ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻧﺒﻴﻞ ﺗﻮﻓﻴﻖ ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﻦ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻋﻠـــﻰ ﺃﺣـﻤــﺪ ﻋـﺼــــﺮ‬

‫ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ‬ ‫ﺩ‪ .‬ﻭﻟﻴﻢ ﺗــﺎﻭﺿــﺮﻭﺱ ﻋﺒﻴﺪ‬

‫‪٢٠٠٩ - ٢٠٠٨‬‬

‫÷‪πjó©àdG áæ‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﳌﻨﻌﻢ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ‬

‫ﺃ‪ .‬ﺣﻤﺰﺓ ﻣﺼﻄﻔﻰ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﳊﺒﺎﻙ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺤﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻼﻡ ﺃﺑﻮ ﺭﻳﺔ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻋﻴﺪ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳﺰ ﻓﺘﺢ ﺍﻟﺒﺎﺏ‬

‫ﺃ‪ .‬ﺇﳝـــﺎﻥ ﺳﻴﺪ ﺭﻣــﻀــﺎﻥ ﻣﺤﻤﺪ‬

‫‪á©LGôe‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺩ‪ .‬ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺣﻤﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﻟﻜﺮﺵ‬

‫ﺃ‪ .‬ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺳــﺎﻣــﺔ ﺯﻳـﺪ ﺷـﺮﻳﻒ‬ ‫ﻣﺴﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫‪iƒHôJ ±GöTGE‬‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‬

‫‪πª©dG ≥jôa‬‬ ‫‪º«ª°üJh ôJƒ«Ñªc‬‬ ‫‪óªMGC ≈Ñ∏°T óªfi‬‬ ‫‪êGQO óªfi ¿ÉæM‬‬

‫ﲢﺮﻳﺮ ﻭﺇﺧﺮﺍﺝ‬

‫‪óeÉM ó«°ùdG ó«©°ùdG‬‬

‫ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‬

‫‪äÉjƒàëŸG áªFÉb‬‬ ‫‪äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : k ’hCG‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

‫)‪(٢٢-١‬‬

‫☜‬

‫ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

‫‪٢‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬

‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ :‬ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬

‫)‪(٤٠-٢٣‬‬

‫☜‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫‪٢٤‬‬

‫☜‬

‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﲔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬

‫‪٢٦‬‬

‫☜‬

‫ﺍﳊﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻟﲔ‬

‫‪٣٠‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬

‫‪٣٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫)‪(٥٤-٤١‬‬

‫☜ ‪٤٢‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ‬

‫‪٤٤‬‬

‫☜‬

‫ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪٤٦‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ‬

‫‪٤٩‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ :‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‪:‬‬

‫)‪(٨٩-٥٥‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪٥٦‬‬

‫☜‬

‫ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪٥٩‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳋﺎﺻﺔ‬

‫‪٦١‬‬

‫☜‬

‫ﺑﻌﺾ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪٦٤‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪٧٠‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳊﺎﺩﺓ‬

‫‪٧٣‬‬

‫☜‬

‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪٧٨‬‬

‫☜‬

‫ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻌﻠﻮﻡ ﺇﺣﺪﻯ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻬﺎ‬

‫‪٨١‬‬

‫☜‬

‫ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﻨﻮﻋﺔ‬

‫‪٨٥‬‬

‫‪á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG : Ék«fÉK‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ :‬ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪(١١٠-٩١‬‬

‫☜‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

‫‪٩٢‬‬

‫☜‬

‫ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪٩٧‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ‬

‫‪١٠٣‬‬

‫☜‬

‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﻟﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪١٠٦‬‬

‫☜‬

‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﻣﻌﻠﻮﻣﲔ‬

‫‪١٠٩‬‬

‫☜‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪١١١‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫‪١٢٣‬‬

äÉã∏ãŸG

ÜÉ`°ùMh

È`÷G

: ’hGC

È÷G C π°üØdG äÉaƒØ°üŸG : ∫h’G á«£ÿG á›ÈdG : ≈fÉãdG π°üØdG

: äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM ájhGõdG ¢SÉ«b ¥ôW : ådÉãdG π°üØdG á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ™HGôdG π°üØdG

G

ä

ª`d ` ü ° ` É``aƒ`Ø

∫h’C

‫ﲤﻬﻴﺪ‬

G π°

‫ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻋﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﻭﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﻣﻦ ﻓﺮﻭﻉ‬

üØd

G

‫ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﺳﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺷﺒﻜﺎﺕ ﺍﻻﺗﺼﺎﻝ‬ ‫ ﻭﻭﺿﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﻰ ﺻﻮﺭﺓ‬، Communication Network ‫ﺍﻻﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ‬ · ‫ﻳﺴﻬﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ‬

‫ﺍ‬

‫ﻷﻫﺪﺍﻑ‬

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً : ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ . É¡ª¶fh áaƒØ°üŸG ±ô©àj .1 . á°UÉÿG äÉaƒØ°üŸG ¢†©H ±ô©àj .2 . áaƒØ°üŸG Qhóe ±ô©àj .3 . áaƒØ°üŸG OhóM ±ô©àj .4

‫ﺍﳌﻮ‬

‫ﺿﻮﻋﺎﺕ‬

. ÚàaƒØ°üe ihÉ°ùJ ±ô©àj .5 . ÚàaƒØ°üe ™ªL ±ô©àj .6 . ≈≤«≤M OóY ≈a áaƒØ°üe Üô°†j .7

äÉaƒØ°üŸG E

. äÉaƒØ°üŸG ™ªL á«∏ªY ¢UGƒN èàæà°ùj .8

äÉaƒØ°üŸG ≈∏Y äÉ«∏ª©dGE

. äÉaƒØ°üŸG Üô°V ±ô©àj .10

. äÉaƒØ°üŸG ìôW ±ô©àj .9 . äÉaƒØ°üŸG Üô°V á«∏ªY ¢UGƒN èàæà°ùj .11 . äÉaƒØ°üŸG ΩGóîà°SÉH á«JÉ«M πFÉ°ùe πëj .12

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: áaƒØ°üªdG ∞jô©J ô°UÉæ©dG øe áYƒªéªd ádhóL hGC äÉeƒ∏©ªdG º«¶æàd IQƒ°U ≈g áaƒØ°üªdG OóY Oóëjh ø«°Sƒb ø«H ™°VƒJh (á«°SGC Q) IóªYGC h (á«≤aGC ) ±ƒØ°U áÄ«g ≈∏Y ¬Yƒ°Vƒe C OóYh ±ƒØ°üdG . É¡ª¶f hGC Dimensions áaƒØ°üªdG OÉ©HGC IóªY’G C OóYh Ω ihÉ°ùj ±ƒØ°üdG OóY ¿Éc GPÉE a áaƒØ°üªdG ¿GC π«b ¿ ihÉ°ùj IóªY’G . áÑLƒe áë«ë°U OGóYGC ¿ , Ω å«M (¿ ≈a Ω GC ô≤J) ¿ × Ω º¶ædG øe

B ≈≤«Ñ£àdG ∫ÉãªdG òNÉC H ∂dP í°Vƒf ±ƒ°Sh : ≈J’G äÓjOƒªdG øe ø«Yƒf ɪ¡æe πc èàæj (Ü) , (GC ) ¿ÉYôa ¬d äGQÉ«°ùdG êÉàf’E ™æ°üe : ≈∏j ɪc áæ°S ∫ÓN êÉàf’ÉH E ¿É«H ¿hO GPÉE a (2) RGôW , (1) RGôW (٢) ‫ﻃﺮﺍﺯ‬ ١٥٠٠٠

(١) ‫ﻃﺮﺍﺯ‬ ٢٠٠٠٠

(‫ﻓﺮﻉ )ﺃ‬

١٢٠٠٠

١٠٠٠٠

(‫ﻓﺮﻉ )ﺏ‬

: á«dÉàdG IQƒ°üdÉH ≈Øàμæ°S Iô°üàîe IQƒ°üH á≤HÉ°ùdG äÉfÉ«ÑdG ÖàμJ ≈μdh 15000

20000

12000

10000

(

)

2 × 2 áaƒØ°üe hGC øjOƒªYh ø«Ø°U øe áaƒØ°üe ≈g á≤HÉ°ùdG áaƒØ°ü`ª`dG : Ó k ãªa C ( a 2 * 2 matrix ) ™`°Vƒ`Jh , áaƒØ°üªdG zô°UÉæY { ≈ª°ùJ . áaƒØ°üªdG πNGO OGóY’Gh . ô°üàîªdG êÉàf’G E ¿É«ÑH í°Vƒe ƒg ɪc ( ) πãe ø`«°Sƒ`b ø`«`H áaƒ``Ø°üªdG ô°UÉ`æY

: äɶMÓe

ô°UÉæY ÉeGC , ê , Ü , h πãe É¡d õ«eÎdG hGC áaƒØ°üŸG ᫪°ùàd IÒÑμdG ±hô◊G Ωóîà°ùJ -1 `L , Ü , h πãe IÒ¨°üdG ±hô◊ÉH É¡d õeÒa áaƒØ°üŸG ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: IQƒ°üdG ≈∏Y É¡©°Vh øμÁ ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe h âfÉc GPG - 2 ¿ .............. , 3 , 2 , 1 = ´ , Ω............ , 3 , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢U h )= h

3 ≥ ¿ , 3 ≥ Ω É¡«a ≈àdG ä’É◊G ≈∏Y Éæà°SGQO ô°üà≤J ±ƒ°Sh 3 , 2 , 1 = ´ , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢Uh) = h áaƒØ°üªdG Oô°ùdÉH ÖàcG

3 × 2 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe

(

h 31 h

32

h 21

h 11

h

h

22

12

)

: π◊G =h

1 = ´ , 3 , 2 , 1 = ¢U å«M (´ ¢U Ü) = Ü áaƒØ°üªdG Oô°ùdÉH ÖàcG Ü Ü 12 Ü 13

( )

1 ∫É`ã`e

2 ∫É`ã`e : π◊G

11

1 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe

=Ü

: á°UÉîdG äÉaƒØ°üªdG ¢†©H C øe OóY iGC h óMGh ∞°U øe ¿ƒμàJ ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : ∞°üdG áaƒØ°üe -1 IóªY’G . ÖLƒe í«ë°U OóY iGC ¿ , 1 = Ω ¿GC iGC ( 1 4 5 ) = h : πãe (∞°U áaƒØ°üe) 3 × 1 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe √ògh

2 ×1 º¶ædG ≈∏Y ∞°U áaƒØ°üe √òg

(9 1-) =Ü ∂dòc

OƒªYh ±ƒØ°üdG øe OóY iGC øe ¿ƒμàJ ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : Oƒª©dG áaƒØ°üe -2 .§≤a óMGh 11 × 3 º¶ædG ≈∏Y OƒªY áaƒØ°üe √òg = ê πãe 3 4

( )

٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

OóY ihÉ°ùj ±ƒØ°üdG OóY É¡«a ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : á©HôªdG áaƒØ°üªdG-3 C ¿ = Ω ¿GC iGC IóªY’G 3 1 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y á©Hôe áaƒØ°üe = h áaƒØ°üªdG 7 5 3 ×3 º¶ædG ≈∏Y á©Hôe áaƒØ°üe

( ) ( ) 3 6 9

2 5 8

1 4 7

Ó k ãªa

=Ü áaƒØ°üªdG

É¡d õeôjh QÉØ°UGC Égô°UÉæY ™«ªL ≈àdG áaƒØ°üªdG ≈g : ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG-4 ô«¨°U π«£à°ùªH 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y ájôØ°U áaƒØ°üe

1 × 3 º¶ædG ≈∏Y ájôØ°U áaƒØ°üe

( ) () 0 0

0 0

0 0 0

=

2*2

πãe

= 1*3

: áaƒØ°üªdG Qhóe

C hGC IóªY’ÉH C ±ƒØ°üdG ÉædóÑà°SG GPEG ¿ × Ω º¶ædG øe h áaƒØ°üe i’C IóªY’G ≈ª°ùJ Ω × ¿ º¶ædG øe áaƒØ°üe ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a Ö«JôàdG ¢ùØæH ±ƒØ°üdÉH óe

h õeôdÉH É¡d õeôjh h áaƒØ°üªdG QhóªH h

=

óe óe

(

h) : ¿ƒμj ∂dP ≈∏Yh

∫É``ã``e

B äÉaƒØ°üªdG øe πc Qhóe óLhGC : á«J’G

( ) 4

3-

1- 2

(

=ê, 5

3-

1

) =Ü ,

(

2 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

)

3 2- 1 5 1- 4

4 1 1- 25 3

=h

( )

: π◊G =

óe

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

h

٤

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

1 × 3 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe 2 × 2 º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe

1 35 2 3-

() ( ) 1- 4

óe

= Ü

=

óe

ê

: ø«àaƒØ°üe ihÉ°ùJ º¶ædG ¢ùØf ɪ¡d ÉàfÉc GPEG §≤ah GPEG ¿ÉàjhÉ°ùàe ɪ¡fGC ø«àaƒØ°üªd ∫É≤j C IôXÉæàªdG ô°UÉæ©dG ¿GC h (OÉ©H’G) C . ájhÉ°ùàe (corresponding positions ) ´É°Vh’G

( (

1 6

2

10 2

6 2

4-

2

6

2

3-

) ( ) ) ( ) 1

= 6 ≠

2 3 k ãªa 5 4- : Ó

2

6

3- 2

¿Éc GPEG ¢U , ¢S øjô«¨àªdG øe πc ᪫b óLhGC

(

12+¢U2

٥

) (

2 6

=

)

øμd

∫É``ã``e

1- 5+¢S 146

: π◊G

C IôXÉæàe ô°UÉæ©dG ∴ . ájhÉ°ùàe ´É°Vh’G

¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉàaƒØ°üªdG ...

3- = ¢S ∴

2 = 5 + ¢S ∴

8- = ¢U ∴

2 + ¢U2 = 14- ...

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

Ée ¿Éμa ∂«eGô«°ùdG øe ø«Ø∏àîe ø«Yƒf ´ , ¢U , ¢S äÉcô°T çÓK âéàfG

1

C ´ƒædG øe ¥hóæ°U 1000 øY IQÉÑY ¢S ácô°ûdG ¬àéàfG øe ¥hóæ°U 1200 , ∫h’G C ´ƒædG øe ¥hóæ°U 800 øY IQÉÑY ¢U ácô°ûdG ¬àéàfG Éeh ≈fÉãdG ´ƒædG ∫h’G ¥hóæ°U 700 øY IQÉÑY ´ ácô°ûdG ¬àéàfG Éeh ≈fÉãdG ´ƒædG øe ¥hóæ°U 1000 , C ´ƒædG øe . §≤a ∫h’G 2 × 3 º¶ædG øe h áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉfÉ«ÑdG √òg ÖàcG ÜÉLÉC a Ωƒ∏©dGh ,äÉ«°VÉjôdG ≈JOÉe ≈a ÜÓW áKÓãd AÉcP QÉÑàNG iôLG

2

C ÖdÉ£dG k GDƒ°S 20 , äÉ«°VÉjôdG ≈a ’ k GDƒ°S 15 ≈∏Y ∫h’G ÜÉLGC h , Ωƒ∏©dG ≈a ’ k GDƒ°S 15 , äÉ«°VÉjôdG ≈a ’ k GDƒ°S 24 ≈∏Y ≈fÉãdG ådÉãdG ÜÉLGC h , Ωƒ∏©dG ≈a ’ . Ωƒ∏©dG ≈a ∫GDƒ°S iGC øY Öéj ºdh , äÉ«°VÉjôdG ≈a ∫GDƒ°S 30 ≈∏Y k hGC 2 × 3 º¶ædG ≈∏Y h øμàdh áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉfÉ«ÑdG √òg ÖàcG : ’ ¢ùØf ≈∏Y ê áaƒØ°üªdG ÖàcÉa äÉLQO 5 ∫GDƒ°S πμd É°ü°üîe ¿Éc GPEG : É«fÉK k k . ø«JOɪdG øe πc ≈a º¡æe óMGh πc äÉLQO ø«ÑJ º¶ædG : πªcGC ,

(

¢U

0 6

1-¢S 9 2

)

=Ü,

4- 3 0 9 6 2

( )

= h âfÉc GPEG

3

...... ƒg h áaƒØ°üªdG º¶f G C Oƒ`ª©dGh ≈fÉ`ãdG ∞°ü`dG ≈a ™`≤j iò`dG ô°üæ`©dG Ü Ü áaƒØ°ü`ªdG øe ∫h’G ........ ƒg ...... ƒg 12 h ô°üæ©dGh , ........ ƒg 21Ü ô°üæ©dG ...... = ¢U ,

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

...... = ¢S ¿ÉE a

`L

Ü = h âfÉc GPEG O

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٦

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

3 * 2 º¶ædG ≈∏Y ôcPÉC a

(

0 1

óe

Ü,

1 2 4

7 3 óe

)

=Ü,

12 4 2 3-

3 1 áaƒØ°üªdG ÖàcG 2 1= h âfÉc GPEG 3

( ) ( )

4

5

h óLhGC ºK , Ü , h ø«àaƒØ°üªdG øe Óc º¶f

3 × 3 º¶ædG ≈∏Y ≈àdG ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG ÖàcG

(

35 6 1+¢U2

) (

)

3- 1+2¢S 6 4

=

âfÉc GPEG

6

7

¢U , ¢S øe πc º«b óLhÉC a ¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉàaƒØ°üªdG π©éJ ≈àdG ´ , ¢U , ¢S º«b óLhGC ´ 5 1

(

٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

3 2 1+´ 13 4

) ( ,

4 5 1

3 ¢U 3

¢S 14

8

)

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: äÉaƒØ°üªdG ™ªL : ’hGC áæμªe ¿ƒμJ ™ªédG á«∏ªY ¿ÉE a º¶ædG ¢ùØf ɪ¡d ø«àaƒØ°üe Ü , h âfÉc GPEG øe èJÉf É¡«a ô°üæY πch º¶ædG ¢ùØf É¡d áaƒØ°üe øY IQÉÑY ™ªédG èJÉf ¿ƒμjh . øjôXÉæàªdG øjô°üæ©dG ™ªL

( (

0 10

1 8

0 7 3 3

)

) = h ¿Éc GPEG : Óãªa 1+1- 0 + 3 ( 8+2 7+4- ) = Ü + h ¿Éa

=Ü,

)=

(

ê + ê + ê èJÉf óLhÉa

(

1- 3 2 4-

4 7

3 6

2 5

) = ê ¿Éc GPEG

∫É`ã`e

: π◊G 12 9 6 = 21 18 15

(

) (

4+4+4 7+7+7

3+3+3 6+6+6

2+2+2 5+5+5

) =ê3=ê+ê+ê

: áaƒØ°üe ≈a ≈≤«≤M OóY Üô°V ≈a ‫≤«≤≈ ﻙ‬M OóY iGC Üô°V π°UÉM ¿Éa ¿*Ω º¶ædG øe ±ƒØ°üe h âfÉc GPG ê áaƒØ°üªdG ≈∏Y π°üëfh ¿*Ω º¶ædG øe h ‫ = ﻙ‬ê áaƒØ°üªdG ≈g h áaƒØ°üªdG . ‫≤«≤≈ ﻙ‬ëdG Oó©dG ≈a h áaƒØ°üªdG ô°UÉæY øe ô°üæY πc Üô°†H

( ( ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

2 4- 28- 4 612 2 10-

)

=h 2- ,

1- 2 1 4 2- 3 6- 1- 5

) ( ) 3- 6 3 12 6- 9 18- 3- 15

:Ó k ãªa

= h âfÉc GPEG

= h 3 : ¿ÉE a

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٨

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: ™ªédG á«∏ªY ¢UGƒN ¿GC h ¿ * Ω º¶ædG øe äÉaƒØ°üe çÓK ê , Ü , h ¿GC ¢VôØH

áaƒØ°üe

: ¿ÉE a º¶ædG ¢ùØf øe ájôØ°U ¿ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe ¿ƒμJ Ü + h : ¥Ó¨f’G áÑ°UÉN ( 1 h + Ü = Ü + h ∫GóH’G á«°UÉN ( 2

( ) ( ) ( ) ( )( 5 1

2 5

2 3 1- 1

=

+

3 2

2 13 1= + 14 2 4

3 1

) : Ók ãªa

(ê + Ü) + h = ê + ( Ü + h ) : èeódG á«°UÉN ( 3

( ) ( ) ( ) = h ¿Éc GPG : Óãªa 1 5 1 12 3 + + (2 3-) [(3- 4 ) (4- 1 )]= ê +( Ü+ h)¿Éa 1 2

5 3-

=ê,

1 13- 4

)

=

(

[( )

+

(

4 7 5- 2 1 2

(

5 3-

4 7 5- 2

1 2

)=

(

2 3 0 5 1 + 0 1 10

)=

0 0 0

=

0 0 0

=

2 3 5 1 1 1-

=

+ h : ≈©ªédG ójÉëªdG á«°UÉN ( 4 0 0 0

0 0 0

0 0 + 0

1 2 4

)( ) ( ) ( ( ) 1 2 4

٩

) (

3 2 7- 5

+

(3-1 1-4 )]+ (4-2 13 ) = (ê + Ü ) + h , 2 4 2 3 + (1- 1 ) (4- 1 ) =

h=h+ 1 2 4

5 3-

2 3 4- 1

=Ü,

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

2 3 5 1 1 1-

)

: a

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: ≈©ªédG (ô«¶ædG) ¢Sƒμ©ªdG á«°UÉN ( 5 = h + (h-) = ( h-) + h h áaƒØ°üª∏d ≈©ªédG ô«¶ædG ƒg (h -) å«M

(

0 0

0 0

0 0

) ( )( ) 2- 4 32 4- 3 ( 5- 0 1 ) - = ( 5 0 1- ) å«M

2- 4 32 4- 3 + :Ó k ãªa 5 0 15- 0 1

=

: äÉaƒØ°üªdG ìôW - É«fÉK áaƒØ°üªdG ¿ÉE a ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y Ü , h ø«àaƒØ°üªdG øe πc âfÉc GPEG ¢Sƒμ©e ≈g (Ü-) , ¿ * Ω º¶ædG ≈∏Y áaƒØ°üe ê å«M (Ü-) +h = Ü -h = ê . äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ª©d áÑ°ùædÉH Ü áaƒØ°üªdG

(

¢U ¢S ∫ ´

(

¢U-Ü ∫ -O

¢S-h ´-`L 1 3 4 23- 1

) (

Ü O

-

) (

) (

h `L

) : a

)

Ü h ¢U- ¢S+ = O `L ∫´5 2 1- 3 = h âfÉc GPEG =Ü, 2 4

=

( ) ( ) ( ) 1- 5 3 12- 0

=ê,

1 ∫É`ã`e

ê 5 + Ü 4 - h 3 áaƒØ°üªdG óLhÉC a 15 6 3- 9 6 12

4- 1216- 8 12 4-

( )

= Ü 4- ∴

2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 12 16 812- 4

5- 25 15 510- 0

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

5 12

=

: π◊G *3=h3

=

1 3 4 23- 1

*4=Ü4,

=

1- 5 3 12- 0

*5=ê5,

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

5- 25 15 510- 0

15 6 4- 123- 9 16- 8 + 6 12 12 45 - 4- 15 25 + 12- 6 15 + 16- 35-8+9 10 - 12 + 6 0 + 4 -12

( ) ( ) ( ) ) ( ( ) +

6 19 4- 12 8 8

(

4 1 13- 1 2 1- 3 0

)

=Ü,

=ê5+Ü4-h3∴

=

=

: âfÉc GPEG 1 3 2 2 0 1=h 2- 3- 4

(

)

2 ∫É`ã`e

Ü 2 = S 3 + h ¿Éc GPEG S áaƒØ°üŸG óLhÉC a

: π◊G Ü 2 = S 3 + h ... (Úaô£∏d h áaƒØ°üª∏d ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG áaÉ°VÉH)Ü2+(h-)=S3+h+(h-)∴ Ü 2 + (h-) = S 3 + ( h + h-) ∴ Ü 2 + ( h- ) = S3 + ( 1 ≈a Úaô£dG Üô°†H ) [ Ü2 + (h -)] = S 3 3 1 S 1 [ Ü 2 + (h-) ] = 3 * 3 3 1 S [ Ü 2 + (h-)] = 3

( ١١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

8 2 26- 2 4 2- 6 0

1- 3- 22- 0 1 2 3 4-

) ( ( +

) )

7 1- 48- 2 5 0 9 4-

= Ü 2 + (h-) ... ,

= ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

7 1- 48- 2 5 0 9 4-

(

0

3

4 35 3 43

=Ü,

1 0

5 3 1- 2

( (

1 2 11- 3 0

)

7 1 3 38 -2 3 3

)

1 3

* =S∴

(

)

=S ∴

)

= h âfÉc GPEG

3 ∫É`ã`e

h = óeS + Ü 2 å«ëH S áaƒØ°üŸG óLhÉC a

: π◊G h = óeS + Ü 2 ... (Ü2- ) + h = 2- 4- 2 2 6- 0

(

1 0

5 3 1- 2

) ( )= 1- 1 5 ( 2 7- 2 ) = +

óe

(

S∴

óe

1- 1 5 = óe(óeS) ∴ 2 7- 2

)

2 5 7- 1 2 1-

( ) ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

S∴

óe

=S∴

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٢

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

(

5 4

0 2-

)

=ê,

(

)

3 6

1=Ü, 4

ê - Ü 2 +h : ÉkãdÉK

1- 1 3- 2 3 4-

( )

3- 2 6 4 1 5

( )

=´,

1 1 0

(

4 2 2- 3 5 1

(

)

1 3 = h âfÉc GPEG 1- 2 : ≈JÉC j ɪe Óc óLhÉC a k hGC ê -Ü : É«fÉK Ü+ h : ’ k 1- 5 3 1 = S âfÉc GPEG 2 0 U + W 3 - S 2 : óLhÉC a

( )

=W ,

) ( =Ü,

1 4 1- 6 2- 1

3 5 4

)

= h âfÉc GPEG

1

2

3

Ü 2 = S + h : ádOÉ©ªdG ≥≤ëJ ≈àdG S áaƒØ°üªdG óLhÉC a

(

) (

) (

3 4 Ü h = 1- 2 O `M 4 1- 3 1- 6 =Ü, 1- 5 6 1 3 1 0 0 5 2-

O , `L , Ü , h óLhÉC a ;

(

(

)

(

0 0 1

1 1 =O, 0

0 0 1

0 1 0

) (

1 0 0

2 1 1

) ( =ê,

)

4

5

å«ëH S áaƒØ°üªdG óLhÉC a

Ü4-h3=S

0 1 0

)

1 5 âfÉc GPG 3- 2 4 2 = h âfÉc GPG 7

5 0 0

3 0 1

)

= Ü âfÉc GPG

6

O 3 - S 4 = ê 3 + Ü 2 : ≥≤ëJ ≈àdG S áaƒØ°üªdG óLhÉC a

(

1 1

1 12 3

) = Ü ,(

3 0 1

2 1 5

)

= h âfÉc GPG

7

. øμeGC ¿EG Ü + h , óeÜ + h , Ü + óeh óLhÉC a S óLhÉC a

١٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

(

) ( )

Ü G O `M

=

1 5 + óeS âfÉc GPG 8 3- 2 ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: äÉaƒØ°üªdG Üô°V - Éãk dÉK . áaƒØ°üe ≈a áaƒØ°üe Üô°V á«∏ªY í°Vƒj ≈dÉàdG ∫ÉãªdG á«Hô©dG ø«à¨∏dÉH ôJƒ«ÑªμdG ΩGóîà°SÉH áHÉàμdG º«∏©J õcGôe óMGC ≈a (äGó«°ùdGh ∫ÉLôdG øe) ø«°SQGódG ™jRƒJh `L , Ü , h ∫ƒ°üa áKÓK óLƒj ájõ«∏éf’Gh á«Hô©dG ø«à¨∏dÉH äÉHÉ£îdG OóY áHÉàc ≈a º¡JGQób Ö°ùM ∫ƒ°üØdG √òg ≈a B : ≈J’Éc º¡fÉ«Hh áYÉ°S ≈a ájõ«∏éf’Gh `L 3

Ü 5

h 4

∫ÉLôdG OóY

4

2

3

äGó«°ùdG OóY

: ≈∏j ɪc äÉHÉ£îdG áHÉàc ≈∏Y ø«°SQGódG IQóbh iõ«∏‚G ÜÉ£N ≈HôY ÜÉ£N 2

3

3 2

4 5

h π°üØdG ≈°SQGO IQób Ü π°üØdG ≈°SQGO IQób `L π°üØdG ≈°SQGO IQób

á``«``Hô`©`dG á``¨∏dÉH á`KÓ`ãdG ∫ƒ°üØdG ≈a ∫É`LôdG É¡Ñàμj ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 47 = 5 * 3 + 4 * 5 + 3 * 4 = k ájõ«∏éf’G á¨∏dÉH áKÓãdG ∫ƒ°üØdG ≈a ∫ÉLôdG É¡Ñàμj ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 29 = 2 * 3 + 3 * 5 + 2 * 4 = k á``«``Hô`©`dG á¨∏dÉH á`KÓ`ãdG ∫ƒ°üØdG ≈a äGó«°ùdG É¡ÑàμJ ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 37 = 5 * 4 + 4 * 2 + 3 * 3 = k ájõ«∏éf’G á¨∏dÉH áKÓãdG ∫ƒ°üØdG ≈a äGó«°ùdG É¡ÑàμJ ≈àdG äÉHÉ£îdG ´ƒªée ÉHÉ£N 20 = 2 * 4 + 3 * 2 + 2 * 3 = k B ∫hóédG ≈a ¬«∏Y Éæ∏°üM Ée ¢ü«î∏J øμªjh : ≈J’G äGó«°S ∫ÉLQ

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

37

47

á«Hô©dG á¨∏dÉH äÉHÉ£ÿG OóY

20

29

ájõ«∏‚’G á¨∏dÉH äÉHÉ£ÿG OóY ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٤

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

≈∏Y ∫ÉãªdG Gòg ≈a É¡«∏Y Éæ∏°üM ≈àdG IÉ£©ªdG äÉfÉ«ÑdG ™«ªL Éæ©°Vh GPEGh B ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a äÉaƒØ°üe IQƒ°U : ≈J’G 2 3 2

3 4 5

( )

= Ü äGQó≤dG áaƒØ°üe ,

(

3 4

(

29 20

5 2

4 3 47 37

) =h OGôa’GC áaƒØ°üe

) = ê èJGƒædG áaƒØ°üeh

ô°UÉæY Üô°V π°UGƒM ™«eÉ› øe âfƒμJ áŒÉædG áaƒØ°üŸG ô°UÉæY ¿GC ßMÓfh C áaƒØ°üŸG ≈Ø°U . (Ü) á«fÉãdG áaƒØ°üŸG IóªYGC ô°UÉæY * (h)¤h’G ≈∏Y É¡H Éæ∏°üM ≈àdG á≤jô£dG ¢ùØæH ±ô©J äÉaƒØ°üŸG Üô°V á«∏ªY ¿EG Üô°V á«∏ªY ¿GC PEG IÉ£©ŸG äÉfÉ«ÑdG ≈àaƒØ°üe øe ܃∏£ŸG êÉàf’G áaƒØ°üe B : ≈J’Éc ºàJ áaƒØ°üe ≈g áaƒØ°üe 2 3 2

3 4 5

( )( 2*3 + 3*5 + 2*4 2*4 + 3*2 + 2*3

(

3 4

5 2

4 3

) = Üh

5*3 + 4*5 + 3*4 5*4 + 4*2 + 3*3

) 29 47 ( 20 37 )

= =

B í°†àj ∫ÉãŸG Gòg øeh : ≈J’G áaƒØ°üŸG IóªYGC OóY ¿Éc GPEG Üô°†∏d Úà∏HÉb ¿ÉfƒμJ Ü , h ¿ÉàaƒØ°üŸG ( 1 C . (Ü ) á«fÉãdG áaƒØ°üŸG ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùJ (h) ¤h’G ¿ÉE a ∫ * ¿ º¶ædG øe áaƒØ°üe Ü , ¿ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe h âfÉc GPEG ( 2 `L ô°üæY iGC h ∫ * Ω º¶ædG øe áaƒØ°üe ê å«M ê = Ü h Üô°†dG π°UÉM ¢U ∞°üdG ô°UÉæY iGC ´ ¢U Üô°†dG π°UGƒM ™ªL øY èàæj ê áaƒØ°üŸG ≈a .. Gô°üæ©H Gô°üæY Ü áaƒØ°üŸG øe ´ Oƒª©dG ô°UÉæY ≈a h áaƒØ°üŸG øe k k

١٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

C óMGC ≈a ∫h’G C πëŸG ´ÉH . ∫ÉLôdG ¢ù`HÓ`e ™`«`Ñd ¿Ó``fi , ∫óH 10 ΩÉj’G

1 ∫É`ã`e

Ωƒ«```dG ¢ù`Øf ≈a ≈fÉã`dG π`ëŸG ´ÉHh , ÜQGƒ`÷G øe Ék`LhR 12 , ¿É°üªb 5 Ú∏ëŸG ≈a ™«ÑdG ô©°S ¿Éch , ÜQGƒ÷G øe êGhRGC 5 , ¿É°üªb 10 , ∫óH 8 . ÜQGƒ÷G êhõd äÉ¡«æL 5 , ¢ü«ª≤∏d É¡«æL 30 , ádóÑ∏d É¡«æL 150 ƒg áaƒØ°üŸG óLhGC ºK , 3 * 2 º¶ædG øe áaƒØ°üe IQƒ°U ≈a äÉ©«ÑŸG ÖàcG . πfi πc äÉ©«Ñe øªK á∏ªL ÚÑJ ≈àdG

: π◊G B áaƒØ°üe IQƒ°U ≈∏Y É¡àHÉàc Éæd π¡°ù«d ≈J’Éc ∫hóL ≈a äÉ©«ÑŸG Öàμf h áaƒØ°üŸG øμàdh

(

12 5 5 10

10 8

)

ÜQGƒL ¢ü«ªb

=h∴

ádóH

12

5

10

C πëŸG ∫h’G

5

10

8

≈fÉãdG πëŸG

áaƒØ°üŸG øμàdh áaƒØ°üe IQƒ°U ≈∏Y ¤ÉàdG ∫hó÷G ≈a äÉ©«ÑŸG QÉ©°SGC Öàμfh Ü

¬«æ÷ÉH øªãdG

150 30 5

()

=Ü∴

( ) =(

ádóH

30

¢ü«ªb

5

ÜQGƒ÷G êhR

150 12 5 10 30 =Üh =äÉ©«ÑŸG øªK 5 10 8 5 5 *12 + 30* 5 + 150*10 5 * 5 + 30* 10 + 150* 8 =

( )(

1710 1525

150

) )

C πëŸG äÉ©«Ñe øªK .É¡«æL 1525 ≈fÉãdG πëŸG äÉ©«Ñe øªKh É¡«æL 1710 =∫h’G k k 2 1 3 12- 4

1 0 3

( ) ( =Ü,

2 3 5 14 2

)

= h âfÉc GPEG

2 ∫É`ã`e

. øμeGC ¿EG h Ü , Ü h óLhÉC a

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٦

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: π◊G 2 * 3 º¶ædG øe Ü , 3 * 3 º¶ædG øe h , ( Ü ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùj h IóªYGC OóY ¿’C ) Üô°†∏d Úà∏HÉb Ü , h ∴ 2 * 3 º¶ædG øe Ü h = ê Üô°†dG π°UÉMh 2 1 3 12- 4

( )( ( )( 10 5 13 610 10

=

10 13 10

1 0 3

2 3 5 14 2

) )

= Üh

4*1 + 1-*2 + 1*3 610

=

π°UÉM øe 11`L ô°üæ©dG ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G á≤jôW ¿GC í°†àj ≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG øeh C ∞°üdG Üô°V π°UGƒM ´ƒª› øe èàæj iòdGh Üô°†dG ≈a h ≈檫dG áaƒØ°üª∏d ∫h’G C Oƒª©dG ô°UÉæY ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G øμÁ á≤jô£dG ¢ùØæHh , Ü iô°ù«dG áaƒØ°üŸG øe ∫h’G .. Üô°†dG π°UÉM áaƒØ°üe ô°UÉæY á«≤H ( h ±ƒØ°U OóY ihÉ°ùj ’ Ü IóªYGC OóY ¿’C ) ±ô©e ÒZ h Ü 3 1- 2 0 2 4 3- 6 5

(

1 2 0

) ( =Ü,

2 3 0 12 1

)

=h âfÉc GPEG

3 ∫É`ã`e

h Ü , Ü h øe πc óLhÉC a

: π◊G

( (

6 7 19 9- 13 8 3 3 10 0 8 17

10 10 8 10 4 6

=

3 1- 2 0 2 4 3- 6 5

=

1 2 0

) ( ) (

2 3 0 12 1

1 2 0

)( )(

2 3 0 12 1

3 1- 2 0 2 4 3- 6 5

) )

=Üh

=hÜ

h Ü /= Ü h ¿GC iGC

١٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

(Identity matrix) : IóMƒdG áaƒØ°üe 1 ≈≤«≤◊G Oó©dG ihÉ°ùJ ≈°ù«FôdG Égô£b ô°UÉæY ™«ªL ≈àdG á©HôŸG áaƒØ°üŸG õeôfh IóMƒdG áaƒØ°üe ≈ª°ùJ ôØ°U ≈≤«≤◊G Oó©dG ihÉ°ùJ Égô°UÉæY ≈bÉHh I õeôdÉH É¡d :Ó k ãªa 3 * 3 º¶ædG ≈∏Y IóMƒdG áaƒØ°üe

0 0 1

0 1 0

1 0 0

( )

=I

( ) =I, 0 1

2 * 2 º¶ædG ≈∏Y IóMƒdG áaƒØ°üe

1 0

: äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¢UGƒN : á«dÉàdG ¢UGƒÿG êÉàæà°SG øμÁ äÉaƒØ°üŸG Üô°V ∞jô©J øe ( ê Ü )h = ê (Ü h ) : (≥«°ùæàdG) èeódG á«°UÉN (1 : âfÉc GPG : Óãªa

( 2 (1 10 (0 [(21 10 (0 2 1

) ( ) ( ) 34 11 2 = ê(Üh) 5 ) [(0 3 ) (1- 3 )] 37 2 38 1 = = 78 ) (1 5 ) (12 6- ) 1 2 34 1( ) = (êÜ)h 5 ) (0 3 )] 1- 3

3=ê, 5

4 0

13

=Ü,

) ( ) (

37 2 = 78 6

23 9-

1 1-

2 3

)

1 1-

2 =h 3

=

h = h I = Ih ≈Hô°†dG ójÉëŸG á«°UÉN ( 2

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٨

‫ﺍﳉﺒﺮ‬ 1 1 4

(

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

5 3 2 11 0

0 0 1

0 1 0

1 1 4

5 3 = 2 11 0 : É¡©ªL ≈∏Y äÉaƒØ°üŸG Üô°V ™jRƒJ á«°UÉN ( 3

)( (

1 0 0

0 = 0 1

)( )

0 1 0

1 0 0

1 1 4

5 3 2 11 0

)(

)

:Ó k ãªa

êh+Üh=(ê+Ü)h êÜ+êh=ê(Ü+h) : á«dÉàdG äÉaƒØ°üª∏d áÑ°ùædÉH ™jRƒàdG á«°UÉN ≥≤M

(

5 1

12

1- 1 0 22 3

) = ê , ( )= Ü ,( 3 4

1 2

)

4 ∫É`ã`e

=h

: π◊G

( ) ( ) ( ) =ê+Ü 8 5

0 4

3 416- 0 34 8

( ( ( (

1- 16- 217 7 4 310- 2 17 1

3 416- 0 34 8

=

5 1

12

+

3 4

1 2

=

8 5

0 4

1- 1 0 22 3

=

3 4

1 2

1- 1 0 22 3

=Üh

=

5 1

12

1- 1 0 22 3

=ê h

) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) 4 31- 1= 10- 2- + 6- 217 1 17 7

=(ê+Ü)h

=êh+Üh

êh+Üh=(ê+Ü)h∴

١٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: áXƒë∏e óe

óe

óe

h Ü = (Ü h ) : ÚàaƒØ°üe Üô°V π°UÉM Qhóe

3 1

(

: âfÉc GPEG 3- 1 1 2 0 2 0= h 1- 0 = Ü , 4- 3 óe óe óe h Ü = (Ü h ) ábÓ©dG ≥≤M

5 ∫É`ã`e

( )

)

: π◊G 0 6 5

(

4 2 7

2 4 6

)(

3 = 1

1 16 7 5

(

6 7 5

(

4 2 6

2 4 0

)

=

(

3 2 1 4- 0 3-

2 0

3- 1 0 2 4- 3

)( 4 2 6

2 4 0

) )( ) 0 2 1- 1 1 3 óe

)

=Üh

óe

= ( Ü h)

óe

óe

= h Ü∴

óe

óe

h Ü= ( Ü h) ∴

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٠

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

: ∂dP øμeGC ≈àe Üô°†dG π°UÉM óLhGC

(

5 0

)( ) 3 2 3 2 1 (3- 2-)(3- 2- 1- ) 3- 2 0 0

5 3 1- 1

Ü O

1- 5 2 0 1 1-

( )

=W,

(1-2 2-1 ) (2-2 31 ) 2 1 1 (4 3 ) ( 2 ) 1 0 2(0 1- 3 )

1

G `L

= S âfÉc GPEG

2

W S = S W ‫ ﻫﻞ‬، S W , W S : øe Óc óLhGC (1

( ) 3- 1 0 2

3)=ê,

=Ü,

( ) 1 0

(

0 13- 2

=ê,

)

= h âfÉc GPEG

3

ê h Ü , Ü ê h óLhÉC a

. øμeGC ¿EG

2 0

( ) 2 3

=Ü,

(1-3- 21 ) h

= âfÉc GPEG

4

ê h + Ü h = ( ì + Ü ) h ¿G âÑKÉa

( ) 2 3

2 3

( ) 1 1

=W,

2

1 0 2

(

2 2 1- 12 1

) ( =¿,

1 0 3

2 3

= S âfÉc GPEG

5

W - 2 S ᪫b óLhÉC a

2 3 0 12 1

)

= Ω âfÉc GPEG

6

¿ Ω - 2Ω áª«b óLhGC

(

3 4

1- 5 1 1-

)

=ê,

(

1 2 3 1-

)

=Ü,

1- 2 3 1 5 1-

( )

= h ¿Éc GPEG

7

: ≈JÉC j ɇ Óc ≥≤M

Ü=ÜI=(IÜ) Ü

٢١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

(ê Ü ) h = ê ( Ü h ) G

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﳌﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

0 21- 3 4 5

1- 1 2 0 1 2

( ) ( ) =ê,

=Ü,

(

1- 1 1 2

3 4

)

= h ¿Éc GPEG

8

: ¿GC ≥≤ëa G

êh+Üh=(ê+Ü)h óe

(

óe

óe

h Ü= (Üh)

Ü

)

1- 2 = h âfÉc GPEG 3 4-

9

=I 2 + h 5 -2h : ¿GC âÑKÉC a : âfÉc GPEG 10

7- 5 25 5- 10 3- 5 8-

(

1 6 4

2 5 3

) ( =Ü,

1 1 1-

)

=h

I 10 = Ü h : ¿GC âÑKÉC a

(

)

5- 8 * 1- = Ü , 3 711

(

0 1

(53 4-2 ) (1-4 3-1 ) *2=

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

(

5 8 1 0

3 7

)

)

= h âfÉc GPEG 11

= Ü h : ¿GC âÑKÉC a

+ S å«M S áaƒØ°üŸG óLhGC 12

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٢

G

Èd › á ÿG

á«£

≈fÉ

ãdG π

‫ﲤﻬﻴﺪ‬

Òãc á÷É©e ≈a IÒÑc áHƒ©°U ⁄É©dG ≈b’ QÉ«¡fG øe á«fÉãdG á«ŸÉ©dG Üô◊G ó©H äÉC °ûf ≈àdG πcÉ°ûŸG øe øe óH’ ¿Éμa . ádÉ£ÑdG IÌch áYGQõdGh áYÉæ°üdG ≈a ôjƒ£Jh iOÉ°üàbG √òg ≈∏Y Ö∏¨àdG óYÉ°ùJ ≈àdG óYGƒ≤dGh ±QÉ©ŸGh Ωƒ∏©dG øe ´GƒfGC ÉC °ûæJ ¿GC .Qƒ£àdG Gòg ÖcGƒJh πcÉ°ûŸG πcÉ°ûŸG √òg πM ≈a É¡«dG π°UƒàdG ” ≈àdG áaô©ŸG ´GƒfGC ºgGC øe ¿Éch GOɪàYG óªà©J ≈àdGh á«£ÿG á›ÈdG ƒg k GC äÉæjÉÑàŸG πM ≈∏Y É«°SÉ°S k . á«£ÿG ä’OÉ©ŸGh

°üØ

dG

‫ﺍﻷﻫﺪﺍﻑ‬

‫ﺍﳌﻮ‬

‫ﺿﻮﻋﺎﺕ‬

áLQódG äÉæjÉÑàe πME C óMGh Ò¨àe ≈a ¤h’G C áLQódG ä ÉæjÉÑàe πM ¤h’G E É«fÉ«H Údƒ¡› ≈a

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً : ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ C áLQódG øe äÉæjÉÑàe ¢UGƒN èàæà°ùj .1 ¤h’G . É¡∏M á≤jôWh óMGh ∫ƒ¡› ≈a C áLQódG øe áæjÉÑàe πM áYƒª› Ú©s oj .2 ¤h’G . É«fÉ«H π◊G á≤£æe ójó–h Údƒ¡› ≈a k .3 áLQódG øe ÌcGC hGC ÚàæjÉÑàe πM á≤£æe Oóëj o C .zÉ«fÉ«H { Údƒ¡› ≈a ¤h’G k äÓμ°ûe πM ≈a á«£ÿG á›ÈdG Ωóîà°ùj .4 . á«JÉ«M á«°VÉjQ

hGC ÚàæjÉÑàŸ ÊÉ«ÑdG π◊GE á«°VÉjQ á∏μ°ûe ´ƒ°VƒÃ á°UÉN äÉeƒ∏©e ™°†j .5 äÉfÉ«ÑdG ºLÎjh Ö°SÉæeo ∫hóL ≈a á«JÉ«M C áLQódG øe ÌcGC ≈a ¤h’G á≤£æe Oóëj ºK á«£N äÉæjÉÑàe IQƒ°U ≈a É¡d Údƒ¡› . É«fÉ«H π◊G

á«£ÿG á›ÈdGE ºK , äÉ«KGóM’G ád’óH ±ó¡dG ádGO Ú©oj .6 π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ≈àdG §≤ædG Oóëj C π◊G ≈£©Jh . ±ó¡dG ádGód πãe’G

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

C áLQódG äÉæjÉÑàe Éæ°SQO ¿GC ≈°SÉ°S’G C º«∏©àdG á∏Môe ≈a Éæd ≥Ñ°S ≈a ¤h’G : πãe óMGh Ò¨àe 1 - ¢S 2 < 5 + ¢S 3 , 1 ≤ 3 + ¢S 2 , 5 > ¢S É¡≤≤ëJ ≈àdG á«≤«≤ëdG (¢S) ô«¨àªdG º«b ™«ªL OÉéjEG √Éæ©e áæjÉÑàªdG πMh : ¿ÉE a 5 > ¢S áæjÉÑàªdG ≈a Óãªa 4^9 = ¢S , 2 = ¢S , 1- = ¢S :ø«M ≈a É¡≤≤ëj É¡æe πc ¿’C áæjÉÑàªdG √òg πM áYƒªée ô°UÉæY øe É¡©«ªL 5 = ¢S

,

5^01 = ¢S

,

9 = ¢S

øμªjh πëdG áYƒªée ô°UÉæY øe â°ù«d ≈¡a ∂dòdh áæjÉÑàªdG √òg ≥≤ëJ ’ C ¢†©H ≈a ≈ª°ùJh ] 5 , ∞ - ] IôàØdÉH πëdG áYƒªée øY ô«Ñ©àdG ióªH ¿É«M’G . πëdG ∞-

2

3

4

5

C §N ≈∏Y É«fÉ«H É¡∏«ãªJh OGóY’G k (1-2) πμ°T ≈a ɪc ∞

(1 -2) πμ°T

(<) øe ôÑcGC øe πc ábÓY ¢UGƒN ≈∏Y óªà©J äÉæjÉÑàªdG √òg πM ¥ôWh : ≈∏j ɪ«a É¡°üî∏fh (>) øe ô¨°UGC h ì ≈a > , < ábÓY ¢UGƒN : ¿ÉE a ì ∋ `M , Ü , h ¿GC ¢VôØH `M + Ü ≤ `M + h ¿ÉE a . < `M å«M

`M Ü ≤ `M h ¿ÉE a

. > `M å«M

`M Ü ≥ `M h ¿ÉE a `M + Ü ≥ `M + h ¿ÉE a

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

. < `M å«M

`M Ü ≥ `M h ¿ÉE a

. > `M å«M

`M Ü ≤ `M h ¿ÉE a

Ü ≤ h ¿Éc GPG

Ü ≥ h ¿Éc GPG

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٤

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

ì ∋ ¢S å«M 5 - ¢S 3 ≤ 1 - ¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒªée É«fÉ«H í°Vh

1 ∫É`ã`e

4- ≤ ¢S2- ⇔ 5 - 1 ≤ ¢S 3 - ¢S ⇔ 5 - ¢S 3 ≤ 1 - ¢S

: π◊G

2 ≥ ¢S ∴

] 2 , ∞ - ] πëdG áYƒªée ¿ƒμJh (2 - 2 ) πμ°T OGóY’G §N É¡∏ãªjh ∞-

1-

0

1

2

∞

3

(2 -2) πμ°T

å«M 5 + ¢S > 5 - ¢S 3 ≥ 1 - ¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒªée É«fÉ«H í°Vh

2 ∫É`ã`e

ì ∋ ¢S 10 + ¢S > ¢S 3 ≥ 4 + ¢S ⇔ 5 + ¢S > 5 - ¢S 3 ≥ 1 - ¢S 5 > ¢S ≥ 2

⇔

10 > ¢S 2 ≥ 4 ⇐

] 5 , ∞ -]∩ ] ∞ , 2 ]

⇔

5 > ¢S , ¢S ≥ 2 ⇐

: π◊G

] 5 , 2 ] πëdG áYƒªée ¿ƒμJh ∞-

1

2

3

4

5

6

∞

(3 - 2 ) πμ°T É¡∏ãªjh

(3 -2) πμ°T

٢٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

øe ä’OÉ©ª∏d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ≈°SÉ°S’G º«∏©àdG á∏Môe ≈a ÉædhÉæJ ¿GC ≥Ñ°S C áLQódG 4 = ¢U + ¢S : πãe Údƒ¡› ≈a ¤h’G π㪟G º«≤à°ùŸG §ÿG •É≤f É¡∏ã“ á«¡àæe ÒZ IÒãc ’ƒ∏M ádOÉ©ŸG √ò¡d ¿Gh ì J ¢U , ì J¢S å«M ( ¢U , ¢S ) áÑJôe êGhRG áÄ«g ≈∏Y ∂dPh ádOÉ©ª∏d ....... (2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 0 , 4 ) , ( 4 , 0 ) πãe ƒg ádOÉ©ŸG √ò¡d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ¿Gh √ò¡d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG º°Sôdh º«≤à°ùe §N ÚLhR ¿ÓãÁ Úà£≤f Ú«©àH ≈Øàμj . ádOÉ©ŸG òNGC øμÁh ( 0 , 4) , , ( 4 , 0 ) πãe ÚÑJôe áë°U øe ócÉC àdGh ≥≤ëà∏d ådÉK ÖJôe êhR (4 -2) πμ°T

. º°SôdG

π«ãªàdG ƒg O `M ¿ƒμ«a (4 - 2 ) πμ°T ≈a ɪc ( 4 , 0 ) = O , ( 0 , 4 ) = `M øμàdh 4 = ¢U + ¢S ádOÉ©ª∏d ≈fÉ«ÑdG øe äÉYƒª› áKÓK ¤EG iƒà°ùŸG Çõéj º«≤à°ùŸG Gòg ¿GC º°SôdG øe ßMÓf : ≈g §≤ædG C áYƒª› ≈gh º«≤à°ùŸG §≤f áYƒª› .1 ≈ª°ùjh ¬àdOÉ©e ≥≤– ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G . ió◊G º«≤à°ùŸÉH iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùJh º«≤à°ùŸG ≈ÑfÉL óMGC ≈∏Y ™≤J ≈àdG iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› .2 . 1± õeôdÉH ¬d õeôjh B ÖfÉ÷G ≈∏Y ™≤J ≈àdG iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› .3 iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùJh º«≤à°ùª∏d ôN’G . 2± õeôdÉH ¬d õeôjh ÚàYƒª› ¿ƒμJ º«≤à°ùŸG §≤f áYƒª› GóY ɪ«a iƒà°ùŸG §≤f áYƒª› ¿GC iGC B 1± ɪgóMGC iƒà°ùe ∞°üf ≈ª°ùj É¡æe πc §≤ædG øe Úà∏°üØæe 2± ôN’Gh ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٦

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

(<) øe ÈcGC øjÉÑàdG áeÓ©H 4 = ¢U + ¢S ádOÉ©ŸG ≈a (=) áeÓY ÉædóÑà°SG GPGh B : ≈J’Éc ™°VƒdG íÑ°üj iGC (>) øe ô¨°UGC hGC 4 > ¢U + ¢S

,GC

4 < ¢U + ¢S

C áYƒª› ≈g Úà≤HÉ°ùdG ÚàæjÉÑàŸG øe iGC πM áYƒª›h ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G 2± ≈a hGC 1± ≈a •É≤ædG áYƒª› ióMEG ≈gh É¡≤≤– (1¢U , 1¢S ) á£≤ædG QÉà`îf πë`dG áYƒª› ≈g ɪ¡«a áYƒª`é`e iGC ójó``ëàdh á`£`≤`ædG QÉà``îf ójóë`àdG á`Yô`°Sh ádƒ`¡°ù∏dh ø`«jƒà°ùª`dG ≈Ø`°üf ó`MGC ¤EG ≈``ª`à`æ`J C á£≤f ≈g ( ¢U , ¢S) . ÚàdÉM ióMEG ÉC °ûæJ Éægh ( 0 , 0 ) π°U’G 1 1 ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ¿ƒμ«a áæjÉÑàŸG ≥≤– ( 1¢U , 1¢S ) á£≤ædG : ’hGC . áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ƒg á£≤ædG √òg ¬«dG ’ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ¿ƒμ«a áæjÉÑàŸG ≥≤– ’ (1¢U , 1¢S ) á£≤ædG : É«fÉK . áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ƒg á£≤ædG √òg ¬«dEG ≈ªàæJ

(6 -2) πμ°T

(5 -2) πμ°T

4 < ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› Ú©àd Óãªa 4 /< ôØ°U ó‚ áæjÉÑàŸG ≈a ( 0 , 0 ) ÖJôŸG êhõdÉH ¢Vƒ©f C á£≤f ¬«dEG ≈ªàæJ ’ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ≈g áæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› π°U’G ( 5 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh

٢٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

4 > ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› Ú«©àd πãŸÉHh 4 > ôØ°U ...

C á£≤f ¬«dEG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ≈g áæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ∴ π°U’G ( 6 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh

äɶMÓe øjÉÑàdG áeÓY ™e (=) ábÓY ≈∏Y ¿Óªà°ûJ ’ ɪ¡fGC Úà≤HÉ°ùdG ÚàæjÉÑàŸG ≈a ßMÓj -1 ∂dòd π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ’ A `M ió◊G º«≤à°ùŸG •É≤f áYƒª› ¿GC ≈æ©j Gògh . ™£≤àe §îH A `L º«≤à°ùŸG º°Sôf áYƒª› ¿GC ≈æ©j Gòg ¿ÉE a øjÉÑàdG áeÓY ™e (=) áeÓY ≈∏Y áæjÉÑàŸG â∏ªà°TG GPG - 2 A `L º«≤à°ùŸG º°Sôj ∂dòd áæjÉÑàŸG πM áYƒª› øª°V A `L ió◊G º«≤à°ùŸG •É≤f B Ú∏μ°ûdG ≈a ɪc ™£≤àe ÒZh π°üàe §îH (8 - 2 ) πμ°T , ( 7 - 2) πμ°T Ú«J’G

(8 -2) πμ°T

(7 -2) πμ°T

B äÉæjÉÑàªdG øe πc πM áYƒªée É«fÉ«H πãe : á«J’G 1 ≥ ¢U : É«fÉK

∫É`ã`e

3 < ¢S : ’hGC 0 > ¢U - ¢S : ÉãdÉK

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٨

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

: π◊G 3 < ¢S : ’hGC 3 = ¢S : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf

™£≤àe §îH áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ’ ( 0 , 0 ) ...

(9 -2) πμ°T

¬«dG ≈ªàæJ ’ iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf ≈g πëdG áYƒªée ∴ C á£≤f (9 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh π°U’G 1 ≥ ¢U : É«fÉK 1 = ¢U : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf π°üàe §îH

(10 -2) πμ°T

áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ( 0 , 0) ...

C á£≤f ¬«dG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf ∪ ∫≈g πëdG áYƒªée ∴ π°U’G (10 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh 0 > ¢U - ¢S : ÉãdÉK ™£≤àe §îH 0 = ¢U - ¢S : ∫ ióëdG º«≤à°ùªdG º°Sôf ٢

٠

‫ﺱ‬

٢

٠

‫ﺹ‬

áæjÉÑàªdG ≥≤ëJ ’ (0 , 1 ) á£≤ædG ... iòdG iƒà°ùªdG ∞°üf πëdG áYƒªée ∴ á£≤ædG √òg ¬«dG ≈ªàæJ ’ (11 - 2) πμ°T ≈a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG É¡∏ãªjh (11 -2) πμ°T

٢٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

،

١

‫ ﺹ < ﺟـ‬١‫ ﺏ‬+ ‫ ﺱ‬١ h Ú`àæjÉÑ`àª∏d ≈fÉ`«ÑdG π◊G

،

٢

‫ ﺹ < ﺟـ‬٢‫ ﺏ‬+ ‫ ﺱ‬٢ h

C áYƒª`› øY IQÉÑY ≈a ) É©e ÚàæjÉÑàŸG øe Óc ≥≤– ≈àdG áÑJôŸG êGhR’G ÚàæjÉÑàŸG øe πμd π◊G ≈àYƒª› ™WÉ≤J ≈æ©j äÉYƒªéŸG á¨∏H Gògh ( óMGh âbh . ∂dòd : á«J’G äGƒ£ÿG ™Ñàf ÚàæjÉÑàŸ ≈fÉ«ÑdG π◊G OÉéj’ C áæjÉÑàŸG πM áYƒªéŸ á∏㪟G S á≤£æŸG π∏¶f - 1 . ¤h’G 1 . á«fÉãdG áæjÉÑàŸG πM áYƒªéŸ á∏㪟G 2S á≤£æŸG π∏¶f - 2 å«M É©e ÚàæjÉÑàŸG ∫ƒ∏M áYƒª› ≈g π«∏¶àdG øe S ácΰûŸG á≤£æŸG-3 2S ∩1S=S

1 ≥ ¢S , 1 < ¢U 2 + ¢S ÚàæjÉÑàŸG πM

1 ∫É`ã`e

: π◊G 1 = ¢U 2 + ¢S : 1∫ ió◊G º«≤à°ùŸG º°Sôf (™£≤àe §N )

٣ ١-

١ ٠

‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬

áæjÉÑàŸG ≥≤– ’ ( 0 , 0 ) iƒà°ùŸG ∞°üf 1¢S π◊G áYƒª› ∴ C á£≤f ¬«a ™≤J ’ iòdG π°U’G (12 -2) πμ°T ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

1 = ¢S : 2∫ ió◊G º«≤à°ùŸG º°Sôf ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٠

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

áæjÉÑàŸG ≥≤– ( 0 , 0 ) ...

C á£≤f ¬«dG ≈ªàæJ iòdG iƒà°ùŸG ∞°üf ∪ ∫ = ¢S π◊G áYƒª› ∴ π°U’G 2 2 . ƒg É©e ÚàæjÉÑàŸG πM áYƒª› ∴

2 ∫É`ã`e (12 - 2 ) πμ°T ≈a í°VGh ƒg ɪc 2S ∩ 1S = S B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› óLhGC : É«fÉ«H á«J’G 4 > ¢U + ¢S 2 , 3 > ¢U + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S

: π◊G ájó◊G äɪ«≤à°ùŸG º°Sôf 0 ≤ ¢S áæjÉÑàŸG πM áYhƒª› 1 S Oóëf , 0 = ¢S : 1∫ 0 ≤ ¢U áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 2 S Oóëf , 0 = ¢U : 2∫ , (™£≤àe §N ) 3 = ¢U + ¢S : 3∫ , 3 > ¢U + ¢S áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 3 S Oóëfh (™£≤àe §N ) 4 = ¢U + ¢S 2 : 4∫ , 4 > ¢U + ¢S 2 áæjÉÑàŸG πM áYƒª› 4 S Oóëfh S äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ¿ƒμ«a ( 13 - 2 ) πμ°T ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG É¡∏ãÁh 4S ∩ 3S ∩ 2S ∩ 1S = S å«M

(13 -2) πμ°T

٣١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

C äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› É«fÉ«H πãe : ì ∋ ¢S å«M IÎa IQƒ°U ≈∏Y É¡ÑàcGh á«J’G

1

١ ≥ ٣ + ‫ﺱ‬٢ G 2+ ¢S 3 Ü ١٠ < 2٣ > ٣ - ‫ ﺱ‬٢ > ٢ `L ٢+‫<ﺱ‬٢-‫ﺱ‬٣≤٨+‫ﺱ‬

O

٧ + ‫ ﺱ‬٣ > ٣ + ‫ > ﺱ‬١ - ‫ ﺱ‬٢ `g C äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› É«fÉ«H πãe 2 ì ∋ ¢U , ¢S å«M á«J’G 4 - ¢U 2 < ¢S

G

٣ > ¢U + ¢S Ü 1≥

¢U - ¢S ٢ 2 ٣

`L

C äÉæjÉÑàŸG êGhRGC øe πc πM áYƒª› É«fÉ«H óLhGC 3 : á«J’G ٣ > ¢U , 1 ≤ ¢S

G

1 < ¢U - ¢S , ¢S < ¢U Ü 1- ≥ ¢S ٣ + ¢U , 6 + ¢S 2 ≤ ¢U

`L

1 + ¢S > ¢U , 15 ≤ ¢U 5 + ¢S ٣

O

C äÉæjÉÑàŸG øe πc πM áYƒª› óLhGC 4 : É«fÉ«H á«J’G ٣ ≤ ¢U 2 + ¢S , 2 ≥ ¢U , 0 < ¢S

G

0 ≤ ¢U + ¢S , 6 > ¢U - ¢S٣ , 0 ≤ ¢U Ü

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

1 > ¢U - ¢S , 2 ≤ ¢U + ¢S 4 , 4 < ¢U 4 + ¢S

`L

4 < ¢U 2 + ¢S , ٣ + ¢S < ¢U , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S

O

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٢

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

≈g hGC , á∏μ°ûe πM ≈a QGôb π°†aGC AÉ£Y’ ájƒb á∏«°Sh ≈g á«£ÿG á›ÈdG C π◊G (¢U Ω + ¢S ∫) á«£N ádGO IQƒ°U ≈∏Y ¬©°Vh øμÁ Ú©e ±óg ≥«≤ëàd πãe’G ≈∏Y ™°VƒJ ≈àdGh áMÉàŸG äÉ«fÉμe’Gh Oƒ«≤dG Aƒ°V ≈a ∂dPh ±ó¡dG ádGO ≈ª°ùJ . πª©dG ΩɶæH ≈ª°ùj Éà Oó– á«£N äÉæjÉÑàe IQƒ°U ádGód ᪫b ø°ùMGC ≥≤–h äÉæjÉÑàŸG √òg πM áYƒª› øe ᪫b OÉéjÉH ∂dPh . ±ó¡dG áMÉàŸG äÉ«fÉμe’Gh Oƒ«≤dG πã“ ≈àdG á«£ÿG äÉæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ¿GC ¢VôØæd ( 14 - 2) πμ°T ≈a áë°VƒŸG O `L Ü GC ≈YÉHôdG πμ°ûdÉH IOóëŸG á≤£æŸÉH ≈£©J É¡d : ≈g ±ó¡dG ádGO ¿Gh π◊G AÉ°†ØH ≈ª°ùJh (1) ....................... ¢U Ω + ¢S ∫ = V (V) ádGó∏d ᪫b ô¨°UGC hGC ᪫b ÈcGC Ú«©J ܃∏£ŸGh . äÉæjÉÑàª∏d π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ á£≤f óæY ∂dPh 0 øe §bÉ°ùdG Oƒª©dG ∫ƒW ...

(1) º«≤à°ùŸG ≈∏Yh á£≤ædG 1V1

* 2Ω + 2∫ ƒg ÚàHÉK Ω , ∫ ... , (V) ±ó¡dG ádGO ᪫b ¿ÉE a . Oƒª©dG ∫ƒW ≈∏Y ∞bƒàJ (1) º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ¿GC ÉfQƒ°üJ GPÉE a C á≤£æH ô“ ±ó¡dG ádGód á∏㪟G π°U’G (14 -2) πμ°T

0 = V ádÉ◊G √òg ≈a iGC V ádGó∏d áÑLƒŸG ᪫≤dG GC ô≤j |V| *

٣٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¢ShDhôH ôÁ ≈àM ≈∏Y’C ¬°ùØæd ÉjRGƒe º«≤à°ùŸG ∑ôëàj ôØ°üdG øY V IOÉjõdh ᪫b ô¨°UGC h ᪫b ÈcGC ±É°ûàcG øμÁ ¬fÉa äÉ«fÉμe’G äÉæjÉÑàe π◊ π㪟G ™∏°†ŸG . ™∏°†ŸG ¢ShDhQ º«b ÚH øe (V) Oó©∏d (O) óæY ¿ƒμJ ᪫b ÈcGC h (Ü) óæY ¿ƒμJ ᪫b ô¨°UGC ¿GC ßMÓjh C ≈∏Y IóMh 90 è``àæj ™`æ°üe É`ë`HQ ≥≤ëjh Ú`Ø∏àî`e Ú`Yƒf øe ô`ãc’G C ´ƒædG øe Ió`Mh πc ≈a øe IóMh πc ≈a ÉëHQh äÉ¡«æL 5 √Qób ∫h’G

1 ∫É`ã`e

C ´ƒædG øe ´ÉÑj Ée ¿Éc GPÉa äÉ¡«æL 7 √Qób ≈fÉãdG ´ƒædG π≤j ’ ∫h’G Öéj ≈àdG äGóMƒdG OóY óLhÉC a . ≈fÉãdG ´ƒædG øe ´ÉÑj Ée ∞©°V øY . øμ‡ íHQ ÈcGC ™æ°üŸG ≥≤ëj ≈μd ´ƒf πc øe É¡LÉàfG

: π◊G : á«dÉàdG äGƒ£ÿG ≈a π◊G ¢üî∏àj . ∫hóL ≈a äÉeƒ∏©ŸG ÖJôJ .1 . á«£ÿG äÉæjÉÑàŸG øe áYƒª› ¤G äÉfÉ«ÑdG ºLÎJ .2 . äÉ«KGóM’G ád’óH ±ó¡dG ádGO Ú©J .3 . äÉæjÉÑàŸG √òg πM áYƒª› óLƒfh É«fÉ«H á«£ÿG äÉæjÉÑàŸG πã“ .4 C π◊G ≈£©Jh π◊G áYƒª› ¤EG ≈ªàæJ ≈àdG §≤ædG Ú©f .5 ≈∏Yh ±ó¡dG ádGód πãe’G B : ≈J’Éc π◊G ¿ƒμj ∂dP ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻗﺼﻰ‬ ٩٠

‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﳌﻨﺘﺠﺔ‬

‫ﺹ‬٧+‫ﺱ‬٥

٧

٥

‫ﺍﻟﺮﺑﺢ‬ ¿GC í°VGh , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S 90 ≥ ¢U + ¢S

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٤

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

C ´ƒædG øe áYÉÑŸG äGóMƒdG OóY . . π≤J ’ ∫h’G . ≈fÉãdG ´ƒædG øe áYÉÑŸG äGóMƒdG OóY ∞©°V øY ¢U 2 ≤ ¢S ∴ 0 = ¢S : 1∫ 0 = ¢U : 2∫ 90 = ¢U + ¢S : 3∫ ٩٠ ٠

٠ ٩٠

‫ﺱ‬ ‫ﺹ‬

٤٠ ٠ ‫ ﺱ‬¢U 2 = ¢S = ∫ 4 ٢٠ ٠ ‫ﺹ‬ ¢U 7 + ¢S 5 = V ±ó¡dG ádGO (15 -2) πμ°T

(30 , 60 ) `L

510 = 30 * 7 + 60 * 5 =(`LV)

(0 , 90 ) Ü 450 = 0 + 90 * 5 = (ÜV)

(0,0)h 0 = (hV)

: ≈g íHQ ÈcGC ≥≤ëàd èàæJ ≈àdG äGóMƒdG OóY ∴ C ´ƒædG øe IóMh 30 ≈fÉãdG ´ƒædG øeh , IóMh 60 ∫h’G GPÉE a ÚJOÉe øe ¿ƒμàJ Égò«eÓàd IÒ£a Ëó≤J ¢SQGóŸG ióMEG äQôb C ≈∏Y äGóMh 6 ò«ª∏J πμd IÒ£ØdG ≈a ôaƒàj ¿GC ܃∏£ŸG ¿Éc øe πb’G

2 ∫É`ã`e

C ≈∏Y IóMh 12 , GC ÚeÉà«a IóMh ¿GC Éæ°VÎaG GPGh . Ü ÚeÉà«a øe πb’G C IOÉŸG øe áæ«©e ¿Rh áKÓK GC ÚeÉà«a øe IóMh §°SƒàŸG ≈a ≈£©J ¤h’G ≈£©J á«fÉãdG IOÉŸG øe ¿RƒdG IóMh ¢ùØf ¿Gh Ü ÚeÉà«a øe äGóMh GPGh Ü ÚeÉà«a øe äGóMh ™HQGC , GC ÚeÉà«a øe äGóMh áKÓK §°SƒàŸG ≈a C IOÉŸG øe ¿RƒdG IóMh ô©°S ¿GC º∏Y ¢ùØf ô©°Sh ¢Thôb 5 ihÉ°ùj ¤h’G ÚJOÉŸG øe πc ¿Rh ƒg ɪa ; ¢Thôb 10 ihÉ°ùj á«fÉãdG IOÉŸG øe IóMƒdG C ó◊G øª°†fh áÑLh ¢üNQGC ≈∏Y π°üëf ≈μd GPG äÉæ«eÉà«ØdG øe ≈fO’G . ΩGôL 30 ihÉ°ùJ ¿RƒdG IóMh âfÉc

٣٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

: π◊G ‫ﺍﳌﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﳌﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﻧﻰ ﻣﻦ‬ ‫ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻨﺎﺕ‬ ٦

٣

١

‫ﻓﻴﺘﺎﻣﲔ ﺃ‬

١٢

٤

٣

‫ﻓﻴﺘﺎﻣﲔ ﺏ‬

١٠

٥

‫ﺳﻌﺮ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻮﺯﻥ‬

¿RƒdG äGóMh OóY ¿GC ¢VôØf C IOÉŸG ≈a ¢S = ¤h’G ¢U = á«fÉãdG IOÉŸG≈a , ¿GC í°VGhh 0 ≤ ¢U (16 -2) πμ°T

12 ≤ ¢U 4 + ¢S 3

,

, 0 ≤ ¢S

6 ≤ ¢U 3 + ¢S ,

¢U 10 + ¢S 5 = Q ±ó¡dG ádGO ¿GC h 0 = ¢U : 2∫ ٤

٠

‫ﺱ‬

٠

٣

‫ﺹ‬

12 = ¢U 4 + ¢S 3 : 4∫

٦

٠

‫ﺱ‬

٠

٢

‫ﺹ‬

,

6 = ¢U 3 + ¢S : 3∫

( 6 , 12 ) Ü

(3 , 0 ) `L

5

0 = ¢S : 1∫

5

( 0 , 6 ) GC

¢Tôb 30 = 0 + 6 * 5 =h[V ] ¢Tôb 24 =

12 6 * 10 + 5 * 5 = Ü ] V] 5

¢Tôb 30 = 0 * 10 + 0 * 5 =`L ] V] ¿Rh ¿ƒ`μjh ¢Tôb 24 ihÉ``°ùj Ü ó`æY øμ`ª`j Ée ¢ü``NQGC ¿ƒμj áÑ`LƒdG øª`K ∴ ΩGôL 72 = 30 * ΩGôL 36 = 30 * ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

6 5

12 C IOÉŸG = ¤h’G 5

= á«fÉãdG IOÉŸG ¿Rhh ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٦

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

ôμ°ùdG øe ºéc 120 , ≥«bódG øe ºéc 72 ¬jód iƒ∏◊G êÉàf’ ™æ°üe C ´ƒædG øe IóMƒdG êÉà– iƒ∏◊G øe ÚYƒf èàæjh øe ºéc 4 ¤EG ∫h’G

3 ∫É`ã`e

´ƒædG øe IóMGh IóMh êÉàfG êÉàëj ɪc . ôμ°ùdG øe ºéc 12 , ≥«bódG IóMƒdG íHQ ≠∏Ñj ɪc ôμ°ùdG øe ºéc 8 , ≥«bódG øe ºéc 8 ¤EG ≈fÉãdG C ´ƒædG øe IóMGƒdG ≈g ɪa , É¡«æL 45 ≈fÉãdG ´ƒædG øe h É¡«æL 25 ∫h’G ≈a á«≤ÑàŸG ᫪μdG Éeh øμ‡ íHQ ≈°übGC ≥«≤ëàd É¡LÉàfG ÖLGƒdG ᫪μdG . ádÉ◊G √òg ≈a ôμ°ùdGh ≥«bódG øe ™æ°üŸG

: π◊G

C ´ƒædG áMÉàŸG ᫪μdG ≈fÉãdG ´ƒædG ∫h’G 72 120

8 8 45

4 12 25

≥«bódG ôμ°ùdG íHôdG

C ´ƒædG äGóMh OóY ¿GC ¢VôØf ¢S = ∫h’G ¢U = ≈fÉãdG ´ƒædG , , . ≤ ¢U , . ≤ ¢S ∴ (1) ....................... 72 ≥ ¢U 8 + ¢S 4 (2)....................... 120 ≥ ¢U 8 + ¢S 12 0 = ¢S : 1∫ 0 = ¢U : 2∫ 72 = ¢U 8 + ¢S 4 : 3∫ ١٨

٠

‫ﺱ‬

٠

٩

‫ﺹ‬

(17 -2) πμ°T

٣٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

( 9 , 0 ) `L

( 6 , 6) Ü

١٠

٠

‫ﺱ‬

٠

١٥

‫ﺹ‬

120 = ¢U 8 + ¢S 12 : 4∫

( 0 , 10) GC

(0 , 0) h

¢U 45 + ¢S 25 = Q ±ó¡dG ádGO ôØ°U = ]h V] ¬«æL 250 = 0 + 10 * 25 = ] h V] ¬«æL 420 = 6 * 45 + 6 * 25 = ]Ü V] ¢Tôb 405 = 9 * 45 + 0 * 25 = ]`L V] OóY ¿ƒμj ∂dòHh íHQ ÈcGC ™æ°üŸG ≥≤ëj Ü á£≤ædG óæY ¿GC ≥Ñ°S ɇ í°†àjh C ´ƒædG øe áéàæŸG äGóMƒdG 6 = ∫h’G 6 = ≈fÉãdG ´ƒædG øe áéàæŸG äGóMƒdG OóY , (1) áæjÉÑàŸG ≈a ¢†jƒ©àdÉH ≥«bódG øe ádÉ◊G √òg ≈a á«≤ÑàŸG ᫪μdG ójóëàd Å°T ≥«bódG øe ≈≤Ñàj ’ (2)

72 ≥ 72

72 ≥ 6 * 8 + 6 * 4

áæjÉÑàŸG ≈a ¢†jƒ©àdÉH ôμ°ùdG øe á«≤ÑàŸG ᫪μdG ójóëàd Å°T ôμ°ùdG øe ≈≤Ñàj ’

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

120 ≥ 120

120 ≥ 6 * 8 + 6 * 12

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٨

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ÚY 1 : É«fÉ«H É©e á«J’G 140 ≥ ¢U + ¢S 2 , 100 ≥ ¢U + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S øμÁ Ée ÈcGC (∫) π©Œ ≈àdG ( ¢U , ¢S ) º«b π◊G áYƒª› øe óLhGC ºK ¢U 4 + ¢S 6 = ∫ å«M B äÉæjÉÑàŸG πM áYƒª› ÚY 2 : É«fÉ«H É©e á«J’G 16 ≥ ¢U2 + ¢S 3 , 7 ≥ ¢U 3 + ¢S , 0 ≤ ¢U , 0 ≤ ¢S øμÁ Ée ÈcGC (V) π©Œ ≈àdG ( ¢U , ¢S ) º«b π◊G áYƒª› øe óLhGC ºK ¢U 50 + ¢S 30 = V å«M ´ƒædG πª©d Ωõ∏jh ÜÉ«ãdG øe ÚYƒf èàæj IõgÉ÷G ¢ùHÓŸG πª©d Ò¨°U ™æ°üe C Îe ≈fÉãdG ´ƒædG πª©d Ωõ∏jh , ø£≤dG øe óMGh Îeh ôjô◊G øe ¿GÎe ∫h’G

3

QÉàeGC 8 , ôjô◊G øe QÉàeGC 7 ™æ°üŸG iód ¿Éch ø£≤dG øe ¿GÎeh ôjô◊G øe C ´ƒædG øe ܃ãdG ™«H øªK ¿Éc GPÉE a . ø£≤dG øe ™«H øªKh äÉ¡«æL 10 ∫h’G C OóY ɪa , äÉ¡«æL 8 ≈fÉãdG ´ƒædG øe ܃ãdG É¡éàæj ¿GC Öéj ≈àdG ÜGƒK’G ó©H ™æ°üŸG ≈a ≈≤Ñàj πg ? øμ‡ πNO ÈcGC ≈∏Y π°üë«d ´ƒf πc øe ™æ°üŸG . ø£≤dG hGC ôjô◊G øe Å°T êÉàf’G Gòg øe §«∏N øe áfƒμª`dG ∂FÉÑ°ùdG øe ø`«Ø∏`àî`e ø`«`Yƒf πª`©H ™æ°ü`e Ωƒ`≤`j C ´ƒædG ¿ƒμàj å«ëH ô`gõdGh ójó◊G ÚJóMh , ójó◊G øe ÚJóMh øe ∫h’G

4

øe äGóMh çÓKh ójóë`dG øe IóMh øe ≈fÉãdG ´ƒædG ¿ƒμàjh ôgõdG øe ôgõdG øeh ºéc 10 ójó◊G øe ™æ°üŸG ≈a áMÉàŸG ᫪μdG âfÉc GPÉE a , ôgõdG C ´ƒædG øe áμ«Ñ°ùdG ™«H ô©°S ¿Éch ºéc 18 áμ«Ñ°ùdG ™«H ô©°Sh É¡«æL 15 ∫h’G ´ƒf πc øe ™æ°üŸG É¡éàæj ≈àdG ∂FÉÑ°ùdG OóY ɪa , ¬«æL 10 ≈fÉãdG ´ƒædG øe ? øμ‡ πNO ÈcGC ≥≤ë«d

٣٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ‬

‫ ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

C ¿Éà«FGòZ ¿Éà©∏°S á«fÉãdGh iQGôM ô©°S 3 ≈£©Jh ÚeÉà«a äGóMh 5 É¡H ¤h’G

5

IóMh 25 ܃∏£ŸG ¿Éc GPÉE a , iQGôM ô©°S 6 ≈£©Jh ÚeÉà«a ¿ÉJóMh É¡H C ≈∏Y iQGôM ô©°S 39 , πb’G C ≈∏Y ÚeÉà«a øe IóMƒdG ô©°S ¿Éch πb’G C á©∏°ùdG ≈g ɪa ¢Thôb 8 á«fÉãdG á©∏°ùdG øe IóMƒdG ô©°Sh ¢Thôb 6 ¤h’G ? áØ∏μJ πbÉC H ܃∏£ŸG ≥«≤ëàd Úà©∏°ùdG øe πc øe ÉgDhGô°T ÖLGƒdG ᫪μdG C ¢TQh ióMEG èàæJ B iOÉ°üàbG ôN’Gh ôNÉa ɪgóMGC ÖJÉμŸG øe ÚYƒf çÉK’G øe ÖàμŸG êÉàfG ¿Éc GPÉE a , Ü , GC äÉæ«cÉŸG øe ÚYƒf 𫨰ûJ Ωõ∏j ɪ¡æe πch

6

IóŸ (Ü) áæ«cÉŸGh , äÉYÉ°S çÓK IóŸ (GC ) áæ«cÉŸG 𫨰ûJ ≈°†à≤j ôNÉØdG ´ƒædG áæ«cÉŸGh , ÚàYÉ°S IóŸ (GC ) áæ«cÉŸG 𫨰ûJ ≈°†à≤j iOÉ°üàb’G ´ƒædGh ÚàYÉ°S ≈a É¡«æL 12 , ôNÉØdG ÖàμŸG ≈a É¡«æL 20 íHôj ™æ°üŸGh äÉYÉ°S çÓK IóŸ (Ü) ≈àM ´ƒf πc øe ™æ°üŸG É¡éàæj ≈àdG ÖJÉμŸG OóY óLhÉC a ; iOÉ°üàb’G ÖàμŸG . Ωƒj πc áYÉ°S 15 øe ÌcGC πª©j ’ ™æ°üŸG ¿ÉC H ɪ∏Y øμ‡ íHQ ÈcGC ≥≤ëj

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٠

W

G

õd G h j á

¥ô b « É ¢S

‫ﲤﻬﻴﺪ‬

ådÉ

ãdG π

°üØ

dG

∫GhódG ¿ƒª∏°ùŸG äÉ«°VÉjôdG Aɪ∏Y Ωób C áà°ùdG á«ã∏ãŸG É¡eGóîà°SGh (ÉàX , Éàb , Éb , ÉX , ÉàL , ÉL ) á«°SÉ°S’G OóY êÉàfÉE H (Ω929 ΩÉY ≈aƒàŸG ) ≈fÉ£ÑdG ΩÉbh äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM πFÉ°ùe πM ≈a h 2ÉX + 1 = h Éb , h ÉL =h ÉX øª°†àJ ≈àdGh á«ã∏ãŸG äÉbÓ©dG øe h ÉàL äÉ«°VÉjôdG Ωƒ∏Y Qƒ£àd ÒÑμdG QhódG äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM º∏©d ¿Éc óbh C áMÉ°ùe ÜÉ°ùM πãe á«∏ª©dG äÉ≤«Ñ£àdG ≈a ôKGC øe ¬d ¿Éc ɪc ∂∏ØdGh ≈°VGQ’G äÉYÉØJQ’G ÜÉ°ùMh , ¿ƒ°ü◊G AÉæHh ïdG ..............h

‫ﺍ‬

‫ﻷﻫﺪﺍﻑ‬

‫ﺍﳌﻮ‬ ‫ﺿﻮﻋﺎﺕ‬ á¡LƒŸG ájhGõdG E ájhGõ∏d

≈°SÉ«≤dG

‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً : ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ . á¡LƒŸG ájhGõdG ±ô©àj .1 . á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖLƒŸG ¢SÉ«≤dG ±ô©àj .2

™°VƒdGE - ≈æ«à°ùdG ) ájhGõdG ¢SÉ«b ´ƒf ±ô©j .3 á¡LƒŸG . (iôFGódG

ájhGõdG ¢SÉ«b äGóMhE ≈a ájõcôe ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ±ô©àj .4 . IôFGO

øjôjó≤àdG ÚH ábÓ©dGE á«HÉ°ù◊G äÉ«∏ª©dG AGôLEG ≈a áÑ°SÉ◊G Ωóîà°ùj .5 ≈æ«à°ùdGh iôFGódG ¤EG iôFGódG ¢SÉ«≤dG øe πjƒëàdÉH á°UÉÿG . ¢ùμ©dGh ≈æ«à°ùdG

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ‬ C º«∏©àdG ≈a Éæà°SGQO AÉæKGC Éæd ≥Ñ°S OÉ–G É¡fGC ≈∏Y ájhGõdG ∞jô©J ≈°SÉ°S’G ájhGõdG É©∏°V ɪg ¿ÉYÉ©°ûdGh ájhGõdG ¢SGC ôH ≈ª°ùJ IóMGh ájGóH á£≤f ɪ¡d ÚYÉ©°T B áÑdÉ°S hGC áÑLƒe É¡fƒc å«M øe É¡°SÉ«b hGC ájhGõdG √ÉŒ’ ¢Vô©àdG ¿hO ∂dPh ¿’Gh . ÖdÉ°ùdG hGC ÖLƒŸG É¡°SÉ«bh ájhGõdG √ÉŒ’ ¢Vô©àæ°S : ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a ájhGõ∏d ÚfƒμŸG ÚYÉ©°ûdG Ö«JôJ Éæ«YGQ GPÉE a C ô°üæ©dG å«M ( Ü h , hh ) ÖJôŸG êhõdG ∫h’G Üh ≈fÉãdG ô°üæ©dGh ≈FGóàH’G ™∏°†dG hh ájhGõdG ¢SGC Q h á£≤f , ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG (1 -3) πμ°T

C ô°üæ©dG å«M ( hh , Ü h ) ÖJôŸG êhõdG ɪæ«H ≈FGóàH’G ™∏°†dG Ü h ∫h’G . ájhGõdG ¢SGC Q h á£≤f , ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG hh ≈fÉãdG ô°üæ©dGh ¿ÉE ``a É`ª¡`æ«H õ«`«`ª``à∏dh ( hh , Ü h ) ≠ ( Ü h , hh ) ¿GC Éæ``g ß``MÓ`jh á¡LƒŸG hh Ü ≈ª°ùJ ( hh , Ü h ) ɪæ«H á¡LƒŸG Üh h

≈ª°ùj ( Ü h , hh )

á¡LƒŸG ájhGõdG ∞jô©J ɪ¡d ájhGõdG É©∏°V ɪg ÚYÉ©°T øe ÖJôe êhR É¡fÉC H á¡LƒŸG ájhGõdG ±ô©J ájhGõdG ¢SGC Q ≈g IóMGh ájGóH á£≤f

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٢

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

: á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖLƒŸG ¢SÉ«≤dG ÖLƒe ¢SÉ«b á¡Lƒe ájhGõd ¿ƒμj ¤EG ≈FGóàH’G ™∏°†dG øe √ÉŒ’G ¿Éc GPEG ≈Hô≤Y ácôM √ÉŒG ó°V ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG . áYÉ°ùdG : (2 - 3) πμ°T ≈a Óãªa

(2 -3) πμ°T

˚90 = ( `L h h

) ¥ ,˚30 = ( Ü h h

)¥

: á¡LƒŸG ájhGõ∏d ÖdÉ°ùdG ¢SÉ«≤dG ≈FGóàH’G ™∏°†dG øe √ÉéJ’G ¿Éc GPG ÖdÉ°S ¢SÉ«b á¡Lƒe ájhGõd ¿ƒμj . áYÉ°ùdG ≈Hô≤Y ácôM √ÉéJG ™e ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG ≈dEG

(3 -3) πμ°T

˚135 - = (‫ ﻙ‬h h

٤٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

) ¥ ,˚60 - = (O h h

) ¥ : ( 3 - 3) πμ°T ≈a Óãªa

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺍﳌﻮﺟﻬﺔ‬ ¿Éc GPEG ≈°SÉ«b ™°Vh ≈a ájhGõdG ¿ƒμJ C á£≤f ƒg É¡°SGC Q óeÉ©àe ≈KGóMEG Ωɶæd π°U’G ¢Sh ƒg ≈FGóàH’G É¡©∏°Vh (4 -3) πμ°T

äɶMÓe (h h Ü ) á¡LƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b ≠ (Ü h h ) á¡LƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b

.1

C Ö`Lƒ`e ɪ`gGó`MEG ¿É`°SÉ«b ≈°SÉ`«≤dG ™`°VƒdG ≈`a á¡`Lƒe ájhGR πμd ÖdÉ`°S ô`N’Gh

.2

ْ٣٦٠ =Ú°SÉ«≤∏d iOó©dG ´ƒªéŸG ¿GC ßMÓjh ْ٣٣٠ hGC ْ٣٠= (Ü h h ≈°SÉ«≤dG É¡©°Vh ≈a (Ü h h

)¥

) á¡LƒŸG ájhGõ∏d ≈FÉ¡ædG ™∏°†dG Üh Éæ°Vôa GPEG

.3

:™bh GPEG ¬fÉE a C ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Uh , ¢Sh ÚH Üh ( GC ∫h’G ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Sh n , ¢Uh ÚH Üh ( Ü ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Uh n , ¢Sh n ÚH Üh ( `L ™HGôdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGõdG ¿GC ∫É≤j ¢Sh , ¢Uh n ÚH Üh ( O

(O)

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

(`L) (5 -3) πμ°T

(Ü)

(GC )

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٤

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

C äÉ°SÉ«≤dG ÖàcG : (1 πμ°ûdÉH áæ«ÑŸG á¡LƒŸG ÉjGhõdG øe πμd iôN’G (1) ÖjQóJ óJJ B : ≈J’G

(6 -3) πμ°T

: É¡°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG ¬«a ™≤J iòdG ™HôdG ôcPGC r 60-

٤٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

,

r 135 -

,

r 120

,

: (2 (2) ÖjQóJ óJJ

r 60

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ C C C É°SÉ°S k G Èà©J É¡«∏Y ≥Øàeh áàHÉK iôNG ájhGR OƒLh ≈¨Ñæj ájhGR iG ¢SÉ«≤d äGôe OóY ƒg ájhGR iGC ¢SÉ«b ¿ƒμjh ( ÉjGhõdG ¢SÉ«b IóMh ) ≈ª°ùJ ¢SÉ«≤∏d ÜÉàμdG Gòg ≈a ∫hÉæàf ±ƒ°Sh á≤HÉ°ùdG ¢SÉ«≤dG IóMh ≈∏Y ájhGõdG √òg AGƒàMG : ɪg ÉjGhõdG ¢SÉ«b äGóMh øe ÚYƒf

k hGC : ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG : ’ C º«∏©àdG á∏Môe ≈a ¬«∏Y Éæaô©J ¿GC ≥Ñ°S iòdG ¢SÉ«≤dG ƒgh ∂dPh ≈°SÉ°S’G . á∏≤æŸG ΩGóîà°SÉH C ≈a ájhÉ°ùàe É°Sƒb r ٣٦٠ ¤EG IôFGódG É檰ùb ÉæfGC ƒg ¢SÉ«≤dG Gòg ≈a ¢SÉ°S’Gh k C √òg øe ¢Sƒb ≈àjÉ¡æH ÉgÉ©∏°V ôÁ ájõcôe ájhGR iGC ¿ƒμJ ¬«∏Yh ∫ƒ£dG ¢SGƒb’G

˚١ õeôdÉH É¡d õeôj IóMGh áLQO É¡°SÉ«b ¿EG ∫É≤j á≤«bó∏dh َ١õeôdÉH É¡d õeôjh á≤«bódG ≈g iôNGC AGõLGC áLQó∏d ¿GC Éæª∏Y ɪc 1k õeôdÉH É¡d õeôjh á«fÉãdG ≈g iôNGC AGõLGC

˚ k 60 = 1n , n 60 = ١ ¿GC º∏©fh ˚٦٣ n 17 k 25 IQƒ°üdÉH ÖàμJ á«fÉK 25h á≤«bO17h áLQO٦٣ É¡°SÉ«b ≈àdG ájGhõdÉa

äɶMÓe : ≈°SÉ«≤dG ™°VƒdG ≈a `g ájhGR i’C C ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a . ∫h’G

˚90 > `g > ˚0 ¿Éc GPEG - 1

. ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a

˚180 > `g > ˚90 ¿Éc GPEG

. ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a

˚270 > `g > ˚180 ¿Éc GPEG

. ™HGôdG ™HôdG ≈a ™≤J É¡fÉE a

˚360 > `g > ˚270 ¿Éc GPEG

≈FÉ¡ædG ´É©°ûdG ¿Éc GPEG áÄaÉμàe É¡fGC ≈°SÉ«≤dG ™°VƒdG ≈a ÉjGhR Ió©d ∫É≤j - 2 (7 - 3 ) πμ°T ≈a ɪc ∂dPh , óMGh É©«ªL É¡d k ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٦

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

(7 -3) πμ°T `g =

(1

) ¥

`g = ( 1

)¥

˚360 - `g = ( 2

)¥

˚360 + `g = ( 2

)¥

˚360 * 2- `g = ( 3 ) ¥ ˚360 * 2+ `g = ( 3 ) ¥ ·············˚٣٦٠ X٣ ± ˚٣٠ ،˚٣٦٠ X ٢ ± ˚٣٠ ، ˚٣٦٠ ± ˚٣٠ É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG Óãe ˚٣٠ É¡°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG ÅaÉμJ É¡©«ªL W ∋ ¿ å«M ,˚٣٦٠ X ‫ ﻥ‬± ˚٣٠ ،

: iôFGódG ¢SÉ«≤dG : É«fÉK ájhGõdG √ô°ü– iòdG IôFGódG øe ¢Sƒ≤dG ∫ƒW ≈∏Y ¢SÉ«≤dG Gòg óªà©j . IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈∏Yh ájõcôŸG : á«°Sóæg á≤«≤M : ó«¡“

∫ƒWh ájõcôe ájhGR …GC ¢Sƒb ∫ƒW ÚH áÑ°ùædG õcôŸG IóëàŸG ôFGhódG ≈a ≈àdG ájhGõdG ¢SÉ«b ≈∏Y ∞bƒàj âHÉK QGó≤e ihÉ°ùJ IôXÉæŸG É¡JôFGO ô£b ∞°üf . ¢Sƒ≤dG Gòg ô°ü– : ∂dP äÉÑK’h ∑=

n Ün h

,∑=

Üh

nÜΩ nhΩ ÜΩ=hΩ

nhΩ hΩ

âHÉK QGó≤e = (8 -3) πμ°T

٤٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

Üh hΩ

=n

Ün h

∴

Üh

=

n Ün h nhΩ

∴

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

iôFGódG ¢SÉ«≤dÉH ≈ª°ùj ájhGõdG ¢SÉ«≤d ôNBG ÉHƒ∏°S GC ∂dP ôÑà©j Gò¡dh k .ájhGõ∏d

∞jô©J IôFGO ≈a ájõcôe ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ájhGõdG √òg √ô°ü– iòdG ¢Sƒ≤dG ∫ƒW IôFGódG √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW

=

A`g õeôdÉH ¬d õeôjh

(≥f) õeôdÉH ô£≤dG ∞°üf ∫ƒ£dh (∫) õeôdÉH ¢Sƒ≤dG ∫ƒ£d ÉfõeQ GPÉE a ≥f A`g = ∫

É¡æeh

∫ ≥f

=A `g

¿ÉE a

ájô£b ∞°üædG ájhGõdG ≈ª°ùJ ôjó≤àdG øe ´ƒædG Gò¡d ÉjGhõdG ¢SÉ«b IóMhh : ≈∏j ɪc ±ô©Jh

∞jô©J ô°ü– ≈àdG IôFGódG ≈a ájõcôŸG ájhGõdG ≈g ájô£b ∞°üædG ájhGõdG . IôFGódG √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW ihÉ°ùj ¬dƒW É°Sƒb k IôFGódG ≈a ájõcôªdG ájhGõdG ≈g x ٣ É¡°SÉ«b ≈àdG ájhGõdG ¿ƒμJ Gòg ≈∏Yh √òg ô£b ∞°üf ∫ƒW ∫ÉãeGC áKÓK ihÉ°ùj ¬dƒW IôFGódG √òg øe É°Sƒb ô°üëJ ≈àdGh k . IôFGódG

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٨

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ‬ : ¿ÉE a IóMƒdG ihÉ°ùj* IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW ¿Éc GPEG . É¡°Sƒb ∫ƒW ihÉ°ùj ( iôFGódG ôjó≤àdÉH ) ájõcôŸG ájhGõdG ¢SÉ«b - 1 • 2 É¡°Sƒb ∫ƒW ¿ƒμj ˚360 ihÉ°ùj ≈æ«à°ùdG É¡°SÉ«b ≈àdG ájõcôŸG ájhGõdG - 2 A • 2 ihÉ°ùj iôFGódG É¡°SÉ«b iGC A

A

˚57 n 16 k 20 ⋍ ˚57^273 = ˚180 = ١ , ˚180 = A• É¡æeh ˚360 = • 2 - 3 • • 22 A A 0^0175 ⋍ = ١, ⋍ • å«M ˚180 7 A ôjó≤àdÉH É¡°SÉ«bh `g iôFGódG ôjó≤àdÉH É¡°SÉ«b ájhGR Éæjód âfÉc GPÉE a : ¿ÉE a ˚¢S ≈æ«à°ùdG • A ˚180 *˚¢S = `g ˚180 A • * `g =˚¢S

A

`g = r ¢S • ˚180

hGC

á¶MÓe ≈æ«à°ùdG É¡°SÉ«b OÉéjG øμÁ ¬fÉE a • ád’óH Ée ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG º∏p Yo GPEG ˚180 ƒgh äÉLQódG øe ¬jhÉ°ùJ Éà • øY ¢†jƒ©àdÉH ∂dPh 7 A ˚157 n 30 = ˚157^5 = ˚315 = ˚180 * 7 = • : Óãªa 8 2

8

A

. á≤«bO Üôb’C ájhGõdG √ò¡d ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG óLhGC , 2^5 É¡°SÉ«b ájhGR

1 ∫É`ã`e

: π◊G ˚143^24 ⋍ n

˚180 •

* 2^5 = A2^5

14 ⋍ 60 * 0^24 = ˚0^240 A

˚143 n 14 ⋍ 2^5 ∴ IóMƒdG IôFGO ≈ª°ùJ IôFGódG √òg *

٤٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

˚60 n 12 ˚30 : ≈JÉC j ɇ Óc iôFGódG ôjó≤àdG ∫ƒM :ÖjQóJ óJJ • * ˚¢S = A `g ∵ ˚180

A

................ = `g ∴

˚30 = ¢S óæY ∴

A

................ = `g ∴

˚60^2 = ˚60 n

12 = ¢S óæY ∴

C ΩGóîà°SÉH ∂dPh ´ô°SGC h π¡°SGC IQƒ°üH á«HÉ°ù◊G äÉ«∏ª©dG AGôLEG øμÁ ád’G áÑ°SÉ◊G

á¶MÓe B ΩGóîà°SG óæY ΩÉbQGC á©HQGC ¤EG á°TÉ°ûdG ≈∏Y œÉædG Öjô≤àH ≈Øàμj áÑ°SÉ◊G ád’G . ∂dP ÒZ Ö∏£j ⁄Ée ájô°ûY

. A 2^5 É¡°SÉ«b ájhGõd ≈æ«à°ùdG ôjó≤àdG ÜÉ°ùM ≈a Ö«÷G áÑ°SÉM Ωóîà°SG

2 ∫É`ã`e

: π◊G ˚180 * 2^5 = ¢S ¿ÉE a ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ƒg ¢S ¿Éc GPEG •

B Ö«JÎdÉH í«JÉØŸG ≈∏Y §¨°†f 𫨰ûàdG ìÉàØe ≈∏Y §¨°†dG ó©H á¡L øe ≈J’G . QÉ°ù«dG 2

.

5

*

˚143 n 18 ⋍ A2^5 ∴

1

8

0

÷

∏

=

inv

˚‫ﻭﻭﻭ‬

˚143 n 18 á°TÉ°ûdG ≈∏Y ô¡¶j

ÉHô≤e ájhGõdG √ò¡d iôFGódG ¢SÉ«≤dG óLhGC , ˚108 n 14 k 42 É¡°SÉ«b ájhGR k . Újô°ûY ÚªbQ ¤EG œÉædG

3 ∫É`ã`e

: π◊G

• A A ˚180* r ¢S = `g ¿ÉE a ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ƒg `g ¿Éc GPEG

B Ö«JÎdÉH í«JÉØŸG ≈∏Y §¨°†f 𫨰ûàdG ìÉàØe ≈∏Y §¨°†dG ó©H á¡L øe ≈J’G . QÉ°ù«dG

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٥٠

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ 1

0

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ˚‫ﻭﻭﻭ‬

8

1 A

4

˚‫ﻭﻭﻭ‬

4

1^89 = ˚108 n 14 k 42

2

˚‫ﻭﻭﻭ‬

*

∏

÷

1

8

0

=

1^889231647 á°TÉ°ûdG ≈∏Y ô¡¶j

ô°ü– ≈àdG ájõcôŸG ájhGõ∏d ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG øe Óc óLhGC . º°S 2^5 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO øe º°S 7^9 ¬dƒW É°Sƒb k A

3^16 =

4 ∫É`ã`e

: π◊G

7^9 ∫ = = A`g 2^5 ≥f

B ᣰSGƒHh ˚181 n 3 k 17 ⋍ A3^16 ó‚ (2) ∫Éãe ≈a ɪc áÑ°SÉ◊G ád’G √ô°ü– ≈àdG IôFGódG ¢Sƒb ∫ƒW óLhGC , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO

5 ∫É`ã`e

. óMGh iô°ûY ºbQ ¤EG œÉædG ÉHô≤e ˚25 n 46 k 59 É¡°SÉ«b ájõcôe ájhGR k

: π◊G ≥f * A`g = ∫ ∴ º°S 4^5 = ∫ ∴

٥١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

∫ A = `g ≥f

10 ≈a œÉædG Üô°†f ºK (2) ∫ÉãŸÉH ɪc A`g óLƒf

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

B : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG ¬«a ™≤J iòdG ™HôdG OóM 1 ˚89 n 50

Ü

˚132 n 13 G

˚150 -

O

˚360 * 2 + ˚120

h

˚300- `g

˚840-

ì

˚1380 R

•4

‫ﻯ‬

˚210 n

20 `L

•5 8

•

C πμd áÄaÉμe ÖdÉ°S É¡°SÉ«b iôN’Gh ÖLƒe É¡JÉ°SÉ«b ɪgóMGC ÚàjhGR óLhGC 2 : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõdG øe ájhGR ˚159

Ü

˚10

˚25-

O

˚410 `L

•

h

˚835 - `g

•7 4

ì

•4-

‫ﻯ‬

R • 2 3 • - • 3

G

B : ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõ∏d iôFGódG ¢SÉ«≤dG • ád’óH óLhGC 3 ˚1 `L

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

˚300 Ü

˚225 G

˚210- `g

˚135- O

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٥٢

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

B Üôb’C ÜGƒ÷G ÉHô≤e ≈J’Éc É¡JÉ°SÉ«b ≈àdG ÉjGhõ∏d iôFGódG ¢SÉ«≤dG óLhGC 4 k : Iô°ûY øe AõL ˚67 n 22 `L

˚135 Ü ˚172 n

10 k

˚240

57 `g

˚115 n

G

40 k 10 O

B ÉjGhõ∏d ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG óLhGC : á«J’G A

3^41 `g

A

1^35 O

A

2^27 `L

A

0^49 Ü

A

5

• 16

5

G

Óc óLhGC , (∫) ¬dƒW É°Sƒb ô°ü– (≥f) Égô£b ∞°üf IôFGO ≈a ájõcôe ájhGR 6 k B ä’É◊G ≈a ájhGõdG √ò¡d ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG øe : á«J’G º°S 4 = ∫ , º°S 2 = ≥f G º°S 5 = ∫ , º°S 4 = ≥f Ü º°S 15 = ∫ , º°S 6 = ≥f `L

óLhGC , (∫) ¬dƒW É°Sƒb ô°ü– (≥f) Égô£b ∞°üf IôFGO ≈a `g ájõcôe ájhGR 7 k B ä’É◊G ≈a ¢Sƒ≤dG ∫ƒW : á«J’G A

• ١ = `g , º°S 5 = ≥f G ٣

˚110 = `g , º°S 7 = ≥f Ü ˚82 n 10 k 25 = `g , º°S 22 = ≥f `L ˚125 n 15 k 20 = `g , º°S 20 = ≥f O

٥٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC , r 50 = ( Ü

A •2

ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC (

3

)=(Ü

) ¥ , r 60 = (h ) ¥ ¬«a `L Ü h å∏ãªdG 8 . iôFGódG ôjó≤àdÉH áãdÉãdG

) ¥ , r 30 = ( h

) ¥ ¬«a `L Ü h å∏ãªdG 9

. iôFGódGh ≈æ«à°ùdG øjôjó≤àdÉH áãdÉãdG A øjôjó≤àdÉH ø«àjhGõdG ¢SÉ«b óLhGC ( • ) ɪ¡æ«H ¥ôØdG ¿Éà∏eÉμàe ¿ÉàjhGR 10 3 . iôFGódGh ≈æ«à°ùdG

A øjôjó≤àdÉH ɪ¡°SÉ«b óLhGC ( • ) ɪ¡æ«H ¥ôØdGh r 70 ɪ¡Yƒªée ¿ÉàjhGR 11 5 . iôFGódGh ≈æ«à°ùdG

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٥٤

G

á

`d ª ã ` ∏ ã «`

G d ó h ∫G ‫ﲤﻬﻴﺪ‬

ΩÉY ≈aƒàŸG ) Éah ƒHGC ∫ɪYGC âfÉc

™HGô

dG π

∫GhódG ´ƒ°Vƒe á°UÉîHh äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM ≈a GóL k á©aÉf (Ω998 á°†¡ædG IÎa ∫ÓN É¡∏c ÉHQhGC äÈY É¡fGC áLQód , É¡æ«H ábÓ©dGh á«ã∏ãŸG

°üØ

dG

á«ã∏ãŸG ∫GhódG º«b OÉéj’E IójóL á«°VÉjQ ∫hGóL OGóYÉE H ΩÉb ∂dòc , ¿GC ¤EG ∫hGó÷G √òg äôªà°SG óbh , ∫GhódG √ò¡d ÉjGhõdG äÉ°SÉ«b hGC øY É°VƒY Ö«÷G áÑ°SÉM âØ°ûàcGC k . á«°VÉjôdG ∫hGó÷G

‫ﺍﳌﻮ‬ ‫ﺿ‬ ‫ﻮ‬ ‫ﻋ‬ ‫ﺎﺕ‬ á«ã∏ãŸG ∫GhódG E

E

á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉHƒ∏≤e C á«°SÉ°S’G ÉjGhõdG ¢†©Ñd á«ã∏ãŸG ∫GhódG á°UÉÿG á«ã∏ãŸG ∫GhódG ¢UGƒN ¢†©H ∫Ghó∏d ≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG á«ã∏ãŸG IOÉ◊G ájhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG OÉéjG ájhGR º«b ióMGE Ωƒ∏©e ájhGR ¢SÉ«b É¡d á«ã∏ãŸG ∫GhódG

E E E E E E

‫ﺍ‬ ‫ﻷﻫﺪﺍﻑ‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً : ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ C ∫GhódG ±ô©àj .1 , ÉàM , ÉM ) ájhGõ∏d á«°SÉ°S’G . ( ÉW C ≈a á«ã∏ãŸG ∫GhódG äGQÉ°TEG ±ô©àj .2 ´ÉHQ’G C . á©HQ’G ¢ùØf É¡d áÄaÉμàŸG ÉjGhõdG áYƒª› ¿GC ±ô©j .3 . á«ã∏ãŸG ∫GhódG C á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉHƒ∏≤e ±ô©àj .4 . á«°SÉ°S’G .á°UÉÿG ÉjGhõdG ¢†©Ñd á«ã∏ãŸG ∫GhódG èàæà°ùj .5 C á«ã∏ãŸG ∫Ghó∏d á«fÉ«ÑdG ∫Éμ°T’G ±ô©àj .6 C .á«°SÉ°S’G B Ωóîà°ùj .7 ∫GhódG OÉéjEG ≈a áÑ°SÉ◊G ád’G .á«ã∏ãŸG . á«ã∏ãŸG ∫GhódG ≈∏Y πFÉ°ùŸG øe ójõe πëj .8

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ‪ h‬ﻭ ﺏ( ﻓﻰ‬ ‫ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ‪ ،‬ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ ( ‪ J‬ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪،‬‬ ‫ﻕ)‬

‫‪ h‬ﻭ ﺏ( = ﻫـ ﻧﺮﺳﻢ ﺏ ﺟـ ‪ n‬ﻭﺱ‬

‫ﻭﻳﻘﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺟـ ﺣﻴﺚ ﻭ ﺟـ = ﺱ‬ ‫ﻭﻧﺮﺳﻢ ﺏ ﺩ ‪ n‬ﻭ ﺹ ﻭﻳﻘﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺩ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻭﺩ = ﺹ ﻭﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﻫـ ﺑﺎﻟﺰﻳـﺎﺩﺓ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔـﺘﺮﺓ [ ‪] ˚٩٠ ، ˚٠‬‬ ‫ﻳﺘﻐـﻴﺮ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻭ ﺟـ ﺑﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ‪،‬‬ ‫ﻭ ﺩ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ·‬ ‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺇﺣـﺪﺍﺛﻴـﺎﺕ ﻧﻘـﻄﺔ ﺏ ﺗﺘـﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ‬

‫‪Ió```YÉ````b‬‬ ‫ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ ( · ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ = ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬

‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﺣﺎ ﻫـ = ﺹ‬

‫ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ= ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬ ‫ﻇﻞ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﻫـ =‬ ‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬

‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﺟﺘﺎ ﻫـ = ﺱ‬ ‫ﻭﺗﻜـﺘﺐ ﻇﺎ ﻫـ = ﺹ‬ ‫ﺱ‬

‫ﻭﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ·‬

‫‪٥٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫‪äɶMÓe‬‬ ‫‪ -١‬ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻳﻒ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ( ﺣﻴﺚ ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪١ = ٢‬‬ ‫ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﺱ ‪ ،‬ﺹ ‪ J‬ﺡ‬

‫‪ - ٢‬ﺇﺫﺍ ﻭﻗـﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪J‬‬ ‫[ ‪ ، ٠‬ﻁ ] ﻭﺗـﻜـﻮﻥ ﺱ < ‪، ٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺹ<‪٠‬‬

‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﺗﻜﻮﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ·‬

‫‪ - ٣‬ﺇﺫﺍ ﻭﻗـﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪J‬‬ ‫[ ﻁ ‪ ،‬ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ> ‪ ، ٠‬ﺹ <‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻓﻘﻂ ً‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺎ ·‬

‫‪ - ٤‬ﺇﺫﺍ ﻭﻗﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪J‬‬ ‫[ ﻁ ‪٣ ،‬ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ > ‪ ، ٠‬ﺹ > ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻈﻞ ﻓﻘﻂ ً‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺎ ·‬

‫‪ - ٥‬ﺇﺫﺍ ﻭﻗﻊ ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻓﺈﻥ ﻫـ‬ ‫‪٣ [ J‬ﻁ ‪ ٢ ،‬ﻁ ] ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺱ < ‪، ٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺹ>‪٠‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺎ·‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٥٧‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ - ٦‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ·‬ ‫‪ - ٧‬ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺣﺎ ) ﻫـ ‪ ٢ +‬ﻥ ﻁ ( = ﺣﺎ ﻫـ = ﺹ‬ ‫ﺣﺘﺎ ) ﻫـ ‪ ٢ +‬ﻥ ﻁ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﺱ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻇﺎ ) ﻫـ ‪ ٢ +‬ﻥ ﻁ ( = ﻃﺎ ﻫـ = ﺱ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻥ ‪ J‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬ﺱ ≠ ‪٠‬‬ ‫ﺗﺗﺪﺭﻳﺐ‪ :‬ﺍﻛﺘﺐ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻇﺎ ‪˚١٠٠‬‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪˚٣٠‬‬

‫ﺣﺎ ‪˚٨٩ َ٥٥‬‬

‫‪،‬‬

‫‪•5‬‬ ‫ﺣﺘﺎ‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻃﺎ ‪˚٨٦٩‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ h‬ﻭﺏ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻭﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪) :‬ﺱ ‪ - ،‬ﺱ(‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ ، 2 ) :‬ﺹ(‬ ‫ﺃﻭﻻ‪(١- ، ٠) :‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ‪ J‬ﺡ‬

‫‪+‬‬

‫‪: π◊G‬‬ ‫‪1‬‬‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ :‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﻭ^ ﺏ = ‪ ، ٠‬ﺣﺎ ‪ h‬ﻭ^ ﺏ = ‪ ، ١-‬ﻃﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ = ‪0‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ً‬ ‫=‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺹ = ‪-١‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ = ‪٣‬‬ ‫=‬ ‫^ﺏ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ً‬ ‫‪٢‬ﺱ‪١ = ٢‬‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺱ‪ + ٢‬ﺱ‪١ = ٢‬‬ ‫ﺱ‪= ٢‬‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺡ‬ ‫ﺱ‪J‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪E‬ﺱ= ‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬ ‫‪ E‬ﺏ =) ‪( ٢ ، ٢‬‬ ‫‪١‬‬‫ﺟﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ = ‪٢‬‬

‫‪٥٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪،‬‬

‫= ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ‬

‫‪١‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ = ‪٢‬‬ ‫ﻇﺎ ‪ h‬ﻭ^ﺏ = ‪١-‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪Ió```YÉ````b‬‬ ‫ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ü á£≤æ∏d ≈æ«°ùdG ≈KGóM’G‬‬ ‫= ‪E‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻗﺎ ﻫـ = ‪¢S‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻗﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ =‬ ‫‪Ü á£≤æ∏d iOÉ°üdG ≈KGóM’G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪Ü á£≤æ∏d ≈æ«°ùdG ≈KGóM’G‬‬ ‫ﻇﻞ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ = ‪E‬‬ ‫‪Ü á£≤æ∏d iOÉ°üdG ≈KGóM’G‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻗﺘﺎ ﻫـ = ‪¢U‬‬

‫ﻗﺎﻃﻊ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ‬

‫‪¢S‬‬ ‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻇﺘﺎ ﻫـ = ‪¢U‬‬

‫‪äɶMÓe‬‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺟﻤﻴﻌﻬﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻀﻠﻊ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﺎﺱ ﺟﺎ ‪ ،‬ﻗﺘﺎ ﺟﺘﺎ ‪ ،‬ﻗﺎ ﻇﺎ ‪ ،‬ﻇﺘﺎ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫[ ‪] • ، ˚٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫•‬ ‫[‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬ﻁ ]‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫[ ﻁ ‪] •3 ،‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫[ ‪ ٢ ، •3‬ﻁ ]‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٥٩‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪`L‬‬ ‫‪`g‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪ Ü‬ﺣﺘﺎ ‪˚٢٠٠‬‬

‫ﺣﺎ ‪˚١٦٥‬‬ ‫‪•5‬‬ ‫ﻇﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ‪•3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻗﺎ ‪˚٢٧٥‬‬

‫‪ O‬ﺣﺘﺎ ‪˚٣١٠‬‬ ‫•‬ ‫‪ h‬ﻇﺘﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ì‬ﻗﺎ ‪˚٣٠٠‬‬

‫• ﻇﺎ ‪˚٧٥٠‬‬ ‫‪•11‬‬ ‫ﻙ ﺣﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬

‫‪ i‬ﻗﺘﺎ ‪˚١٢٠٠‬‬

‫‪ h‬ﻭﺏ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻭﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪،‬ﺹ(‬ ‫‪) G‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ) Ü‬ﺱ ‪(٠٫٦ -،‬‬ ‫‪- ) `L‬ﺱ ‪ ،‬ﺱ (‬ ‫‪(٠ ، ١-) O‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ‪ J‬ﺡ‬

‫‪٦٠‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ -١‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ‪ ١h‬ﻓﺈﻥ ﻕ‬

‫ﻫـ = ‪٠‬‬

‫‪،‬ﺱ=‪،١‬ﺹ=‪٠‬‬ ‫ﺣﺎ‪ ، ٠ = ˚٠‬ﺣﺘﺎ ‪، ١ = ˚٠‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻃﺎ ‪= ˚٠‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪٠‬‬

‫‪ - ٢‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ‪h‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻕ )‬

‫ﻫـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻫـ( = ‪˚٩٠‬‬

‫‪ ،‬ﺱ = ‪ ، ٠‬ﺹ = ‪ ، ١‬ﺣﺎ ‪ ، ········ = ˚٩٠‬ﺣﺘﺎ ‪········ = ˚٩٠‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻇﺎ ‪) 0 = ˚٩٠‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ(‬ ‫‪ - ٣‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ‪ ٣h‬ﻓﺈﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ‪ ، ˚١٨٠‬ﺱ = ‪ ، ١-‬ﺹ = ‪، ٠‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ ، ········ = ˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ، ········ = ˚١٨٠‬ﻃﺎ ‪········ = ˚١٨٠‬‬ ‫‪ - ٤‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺏ ﻋﻠﻰ ‪ ٤h‬ﻓﺈﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ‪ ، ˚270‬ﺱ = ‪ ، ٠‬ﺹ = ‪، ١-‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ ، ········ = ˚٢٧٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ، ········ = ˚270‬ﻃﺎ ‪········ = ˚270‬‬ ‫‪ - ٥‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪ ˚٣٦٠‬ﻫﻰ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪˚٠‬‬

‫‪ E‬ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪٠‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺣﺎ ‪ ، ٠ = ˚٣٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ، ١ = ˚٣٦٠‬ﻃﺎ ‪1 = ˚٣٦٠‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻭﺏ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - ٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ‪ ، ˚٣٠‬ﻓﺈﻥ ﺹ = ‪2‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺱ = )ﻭﺏ( ‪) -‬ﻭﺟـ( = ‪2 = 4 - ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ‪= ˚٣٠‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ ، 21 =˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪= ˚٣٠‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٦١‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ - ٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ‪ ، ˚٤٥‬ﻓﺈﻥ ﺱ = ﺹ ﻭﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﺱ‪ + ٢‬ﺹ‪١ = ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬ﺱ = ‪ّ ١‬‬

‫ﺱ‪1 = ٢‬‬

‫‪2‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪E‬ﺱ=ﺹ=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺣﺎ ‪ ، ········ = ˚٤٥‬ﺣﺘﺎ ‪ ، ········ = ˚٤٥‬ﻃﺎ ‪········ = ˚٤٥‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ - ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ )ﻫـ^( = ‪ ، ˚٦٠‬ﻓﺈﻥ ﺱ = ‪2‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪،‬ﺹ=‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻭﺏ = ‪2‬‬

‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ ، ········ = ˚٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ، ········ = ˚٦٠‬ﻃﺎ ‪········ = ˚٦٠‬‬ ‫ﻭﻧﻠﺨﺺ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪˚٣٦٠ ، ٠‬‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺟﺎ‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪: π◊G‬‬

‫ﺟﺘﺎ‬

‫‪١‬‬

‫ﻇﺎ‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1١‬‬ ‫‪2٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠‬‬

‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺮﻑ‬

‫‪٠‬‬

‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺮﻑ‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ‪ ˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪ + ˚٦٠‬ﺣﺎ ‪ - ˚٩٠‬ﻃﺎ ‪˚٤٥‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ‪4 = ١-١ + 2 X 2‬‬

‫‪3 ∫É`ã`e‬‬

‫‪: π◊G‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪˚٣٠‬‬

‫‪˚٤٥‬‬

‫‪˚٦٠‬‬

‫‪˚٩٠‬‬

‫‪˚١٨٠‬‬

‫‪˚٢٧٠‬‬

‫ﺣﺘﺎ‪ + ˚٦٠ ٢‬ﺣﺘﺎ‪ - ˚٣٠ ٢‬ﺣﺘﺎ ‪˚٢٧٠‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ ﻗﺎ ‪= ˚٦٠‬‬ ‫ﺣﺎ ‪ ˚٦٠‬ﻃﺘﺎ ‪ - ˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪˚٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪ + ˚٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪ - ˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪˚٢٧٠‬‬ ‫ﺱ ﻗﺎ ‪= ˚٦٠‬‬ ‫ﺣﺎ ‪ ˚٦٠‬ﻃﺘﺎ ‪ - ˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪˚٠‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪) + ٢( 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‪=٢X‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١-٣ X‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪٠ - ٢‬‬

‫‪٦٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١- ٣‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬

‫=‪E٢‬ﺱ=‪١‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﺛﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪G‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪ ٢ = ˚٦٠‬ﺣﺘﺎ‪١ - ˚٣٠ ٢‬‬

‫‪ Ü‬ﺣﺎ ‪ ٢ = ˚٩٠‬ﺣﺎ ‪ ˚٤٥‬ﺣﺘﺎ ‪˚٤٥‬‬ ‫‪ ٢‬ﻇﺎ ‪˚٣٠‬‬ ‫‪ `L‬ﻇﺎ ‪= ˚٦٠‬‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪˚٣٠ 2‬‬ ‫‪ O‬ﺣﺘﺎ‪ = ˚٩٠‬ﺣﺘﺎ‪ - ˚٤٥ ٢‬ﺣﺎ‪˚٤٥ ٢‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪G‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪ 2 + ˚٩٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ٣ + ˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ٤ - ˚٢٧٠‬ﺣﺘﺎ ‪˚٦٠‬‬

‫ﺣﺘﺎ‪ + ˚٦٠ 2‬ﺣﺘﺎ‪˚٣٠ 2‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫ﻗﺎ ‪ ˚٣٠‬ﻃﺎ ‪˚٣٠‬‬ ‫‪ `L‬ﺣﺘﺎ ‪ ˚٩٠‬ﻗﺘﺎ ‪ + ˚٣٠‬ﻗﺎ‪ ˚٤٥ 2‬ﺣﺎ ‪ - ˚٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ˚٢٧٠‬ﺣﺎ ‪˚١٨٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٦٣‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪Úà∏dG ÚàeÉààŸG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ’hGC‬‬ ‫‪(`g - ˚90 ) , `g ɪ¡°SÉ«b‬‬

‫ﻧﺮﺳﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫ﻕ ) ‪ h‬ﻭﺏ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ( ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻭﻧﺮﺳـﻢ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ‪ h‬ﻭﺏَ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟـﻘـﻴﺎﺳﻰ‬ ‫ﺑﺤﻴـﺚ ﻕ ) ‪ h‬ﻭ ﺏ( = ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ‬ ‫ﺹ(‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ َ‬ ‫ﺱ‪َ ،‬‬ ‫ﺏ) َ‬ ‫‪ e‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻭﺟـ ﺏ ‪ ،‬ﻭ ﺟـَ ﺏَ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﻥ ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬ ‫ﺱ=ﺹ‬ ‫ﺹ= ﺱ ‪َ ،‬‬ ‫‪َ E‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ )‪ -˚٩٠‬ﻫـ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ )‪ -˚٩٠‬ﻫـ( = ﺣﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﻃﺎ )‪ - ˚٩٠‬ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺑﺎﻗﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪: ¿GC iGC‬‬

‫ﺣﺎ )‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻗﺘﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﻗﺎ ﻫـ‬

‫ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﺣﺎ ﻫـ‬

‫ﻗﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﻗﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻃﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﻇﺎ ﻫـ‬

‫‪( `g + ˚90) , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É«fÉK‬‬

‫ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻻﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﺣـﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ‬

‫‪٦٤‬‬

‫ﻗـﺘﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﻗﺎ ﻫـ‬

‫ﺣـﺘﺎ ) ‪ +˚٩٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ‬

‫ﻗـﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻗﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻃـﺎ ) ‪ +˚٩٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻇﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪∫É`ã`e‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ > ˚٠‬ﺱ > ‪ ˚٩٠‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ )ﺱ( ﺗﻜﻮﻥ ً‬ ‫ﺣﻼ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﻗﺎ ) ﺱ ‪ = (˚١٥ -‬ﻗﺘﺎ ‪˚٤٣‬‬ ‫ﺏ ( ﻇﺘﺎ )ﺱ ‪ = (˚٥ +‬ﻇﺎ ) ‪ ٣‬ﺱ ‪(˚٢٥ +‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﺃ ( ﻗﺎ ) ﺱ ‪ = ( ˚١٥ -‬ﻗﺘﺎ ‪˚٤٣‬‬ ‫‪ E‬ﺱ ‪˚٩٠ = ˚٤٣ + ˚١٥ -‬‬

‫‪ E‬ﺱ = ‪˚٦٢‬‬

‫ﺏ ( ﻇﺘﺎ ) ﺱ ‪ = (˚٥ +‬ﻇﺎ ) ‪ ٣‬ﺱ ‪(˚٢٥ +‬‬ ‫‪ E‬ﺱ ‪ ٣ +˚٥ +‬ﺱ ‪˚٩٠ = ˚٢٥ +‬‬

‫‪á¶MÓe‬‬

‫‪ E‬ﺱ = ‪˚١٥‬‬

‫ﺗﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮﻝ ﺃﺧﺮﻯ ﻓﻤﺜﻼ ﺱ = ‪ ˚٦٠‬ﺣﻞ ﺁﺧﺮ ﻟﻠﺠﺰء ﺏ‬

‫‪`g - , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : ÉãdÉK‬‬

‫ﻧﺮﺳـﻢ‬

‫‪ h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ)‬

‫‪ h‬ﻭﺏ( = ﻫـ ‪ ،‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ‬

‫ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿـﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ ( ﻭﻧﺮﺳـﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ ‪َ h‬‬ ‫ﻭﺏ ( = ‪ -‬ﻫـ ‪ ،‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋـﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ‬ ‫‪َ h‬‬

‫ﺍﻟـﻘـﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴـﺚ ﻕ)‬

‫ﺹ( ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘـﻄـﺔ َ‬ ‫)ﺱ ‪َ ،‬‬ ‫ﺏ َ‬ ‫‪ ∆∆ e‬ﻭﺟـ ﺏ ‪ ،‬ﻭﺟـ ﺏَ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟(‬ ‫ﺹ = ‪-‬ﺹ‬ ‫ﺱ‪َ ،‬‬ ‫‪E‬ﺱ= َ‬ ‫ﺹ = ‪ -‬ﺹ = ‪ -‬ﺟﺎ ﻫـ‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ) ‪-‬ﻫـ( = َ‬ ‫ﻗﺘﺎ ) ‪ -‬ﻫـ( =‬

‫‪1‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬‫‪¢U‬‬

‫= ‪ -‬ﻗﺘﺎ ﻫـ ‪،‬‬

‫ﺟﺘﺎ ) ‪ -‬ﻫـ( = ﺱَ ‪ ،‬ﺱ = ﺟﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻗﺎ ) ‪ -‬ﻫـ( =‬ ‫ﻇﺎ ) ‪ -‬ﻫـ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫‪¢U‬‬ ‫= ‪¢S‬‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ -‬ﻫـ (‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪n‬‬

‫=‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫= ﻗﺎ ﻫـ‬

‫‪¢U-‬‬

‫= ‪ - = ¢S‬ﻇﺎ ﻫـ‬

‫‪n‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪¢U‬‬

‫‪n‬‬

‫‪¢S‬‬

‫= ‪ - = ¢U-‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٦٥‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪á¶MÓe‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ)‪-‬ﻫـ(ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪٢‬ﻥ ﻁ ‪-‬ﻫـ ﺣﻴﺚ ﻥ ‪WJ‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ)‪٢‬ﻥ ﻁ‪ -‬ﻫـ(= ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ)‪٢‬ﻥ ﻁ ‪-‬ﻫـ(= ﺣﺘﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﻃﺎ)‪٢‬ﻥ ﻁ‪ -‬ﻫـ(=‪ -‬ﻃﺎ ﻫـ‬ ‫‪`g - 180 , `g ɪ¡°SÉ«b Úà∏dG Úà∏eÉμàŸG ÚàjhGõ∏d á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É©HGQ‬‬

‫ﻧﺮﺳﻢ ‪h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫ﻕ ) ‪ h‬ﻭﺏ ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ (‬ ‫ﻭﻧﺮﺳﻢ‬

‫‪h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫َ‬

‫ﻕ ) ‪ h‬ﻭﺏ( = ‪ -˚١٨٠‬ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ‬ ‫ﺹ(‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ َ‬ ‫ﺱ‪َ ،‬‬ ‫ﺏ) َ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺏ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟(‬ ‫‪ ´´ e‬ﻭﺟـ ﺏ ‪ ،‬ﻭ ﺟـَ َ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺱ=‪-‬ﺱ‪،‬ﺹ= َ‬ ‫‪َ E‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ (= ﺹَ = ﺹ = ﺟﺎ ﻫـ‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺱ = ‪ -‬ﺱ = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻗﺘﺎ)‪ -˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ = ¢U = ¢U‬ﻗﺘﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﺟﺘﺎ)‪ -˚١٨٠‬ﻫـ( = َ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¢U‬‬

‫‪¢U‬‬

‫ﻗﺎ )‪ -˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ - =¢S -= ¢S‬ﻗﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﻇﺎ )‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ - = ¢S- =n ¢S‬ﻇﺎ ﻫـ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫‪¢S‬‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ - = ¢U - = n ¢U‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪`g+ ˚180 , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É°ùeÉN‬‬

‫ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪:‬‬

‫‪٦٦‬‬

‫ﺣـﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ‬

‫ﻗﺘﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﻗﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﺣﺘﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻗـﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﻗﺎ ﻫـ‬

‫ﻃـﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ( = ﻃﺎ ﻫـ‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺃﻭﺟـﺪ ﻗـﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﺣﺘﺎ ‪˚١٥٠‬‬

‫ﺏ ( ﻃﺎ ‪˚٢٢٥‬‬

‫ﺩ ( ﻃﺎ ) ‪˚(٣٠٠-‬‬

‫ﻫـ( ﻃﺘﺎ )‪(˚١٢٠ -‬‬

‫ﺟـ ( ﺣﺎ ) ‪(˚٣٠-‬‬ ‫‪•7-‬‬

‫ﻭ( ﺣﺎ ) ‪( 4‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﺣﺘﺎ ‪ = ˚١٥٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - = ( ˚٣٠ - ˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ‪٣ - = ˚٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺏ ( ﻃﺎ ‪ = ˚٢٢٥‬ﻃﺎ ) ‪ = ( ˚٤٥ + ˚١٨٠‬ﻃﺎ ‪١ = ˚٤٥‬‬ ‫ﺟـ( ﺣﺎ ) ‪ - = (˚٣٠-‬ﺣﺎ ‪١ - = ˚٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺩ ( ﻃﺎ )‪ - = (˚٣٠٠-‬ﻃﺎ ‪ - = ˚٣٠٠‬ﻃﺎ )‪ -)- = (˚٦٠ -˚٣٦٠‬ﻃﺎ ‪٣ = (˚٦٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻫـ ( ﻃﺘﺎ) ‪ - =(˚١٢٠-‬ﻃﺘﺎ ‪ - =˚١٢٠‬ﻃﺘﺎ )‪ -)- =(˚٦٠-˚١٨٠‬ﻃﺘﺎ ‪= (˚٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻭ ( ﺣﺎ)‪ - =(•7-‬ﺣﺎ ‪ -= • 7‬ﺣﺎ ‪ - =˚٣١٥‬ﺣﺎ)‪ -)- =(˚٤٥-˚٣٦٠‬ﺣﺎ ‪١ = (˚٤٥‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ‪ ˚١٢٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ +(˚١٥٠-‬ﺣﺘﺎ ‪ ˚٦٠٠‬ﺣﺎ ‪˚٣٣٠‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺣﺎ ‪ = ˚١٢٠‬ﺣﺎ ) ‪ = (˚٦٠ - ˚١٨٠‬ﺣﺎ ‪٢ = ˚٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ) ‪ = (˚١٥٠-‬ﺣﺘﺎ ‪ = ˚١٥٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - = ( ˚٣٠ -˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ‪- = ˚٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪ = ˚٦٠٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ = ( ˚٢٤٠ + ˚٣٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪ = ˚٢٤٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪= ( ˚٦٠ + ˚١٨٠‬‬ ‫ ﺣﺘﺎ ‪١ - = ˚٦٠‬‬‫‪٢‬‬ ‫ﺣﺎ ‪ = ˚٣٣٠‬ﺣﺎ ) ‪ = (˚٣٠ - ˚٣٦٠‬ﺣﺎ ) ‪ - = (˚٣٠-‬ﺣﺎ ‪١ - = ˚٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ‪١ - = ١ + ٣- = ( ١ -) ( ١ - ) + ( ٣ - ) ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪3 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢‬ﺣﺘﺎ ﻫـ ‪ ، ٠ = ١ +‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻫـ ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﻫـ > ‪˚٣٦٠‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪ ٢ e‬ﺣﺘﺎ ﻫـ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪١ -‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٦٧‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ E‬ﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪ e‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻯ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻯ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻯ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻯ‬ ‫‪ E‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ )ﻯ( ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻣﻬﺎ = ‪ ١٢‬ﻫﻰ ‪˚٦٠‬‬ ‫‪ E‬ﻫـ = ‪ - ˚١٨٠‬ﻯ = ‪˚١٢٠ = ˚٦٠ - ˚١٨٠‬‬ ‫ﺃ‪ ،‬ﻫـ = ‪ + ˚١٨٠‬ﻯ = ‪˚٢٤٠ = ˚٦٠ + ˚١٨٠‬‬ ‫‪(`g - ˚270 ) , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É°SOÉ°S‬‬ ‫‪k‬‬

‫ﻧﺮﺳﻢ‬

‫‪ h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) ‪ h‬ﻭﺏ ( = ﻫـ‬

‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ (‬ ‫ﻭﺏ( = ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ‬ ‫ﺍﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) ‪َ h‬‬ ‫ﻭﻧﺮﺳﻢ ﺯﺍﻭﻳﺔ َ‬ ‫ﺹ(‬ ‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ َ‬ ‫ﺱ‪َ ،‬‬ ‫ﺏ) َ‬ ‫ﺏ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﻴﻦ‬ ‫´´ ﻭﺣـ ﺏ ‪ ،‬ﻭ ﺟـَ َ‬ ‫‪ E‬ﺱَ = ‪ -‬ﺹ ‪،‬‬

‫ﺹَ = ‪ -‬ﺱ‬

‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ ‪،‬‬ ‫ﺣﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫‪¢S ¢S- ¢U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻇﺎ )‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ( = ‪¢U = ¢U-= ¢S‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪`g ÉàM‬‬ ‫= ‪ = `g ÉM‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻭﻫﻜﺬﺍ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ﻗﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻗﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻗﺘﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻗﺎ ﻫـ‬ ‫ﻇﺘﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ﻇﺎ ﻫـ‬ ‫‪(`g + ˚270 ) , `g ɪ¡°SÉ«b ÚàjhGR i’C á«ã∏ãŸG ∫GhódG : É©k HÉ°S‬‬

‫ﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬

‫‪٦٨‬‬

‫ﺣـﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬

‫‪،‬‬

‫ﻗﺘﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻗﺎ ﻫـ‬

‫ﺣﺘﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ﺣﺎ ﻫـ‬

‫‪،‬‬

‫ﻗـﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ﻗﺘﺎ ﻫـ‬

‫ﻇـﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫‪،‬‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﻇﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

: IOÉM ájhGR ¢SÉ«≤d ≈JÉC j Ée πªcGC

1

.......... ÉàM = ˚67 ÉM G .......... Éb = ˚25 Éàb Ü ......... ÉX = ˚45 ÉàX `L : ≈JÉC j ɇ πc ≈a ÓM ¿ƒμJ (¢S) `d ᪫b óLhGC ˚90 > ¢S > 0 âfÉc GPEG 2 (˚10 - ¢S 2 ) Éb = ( ˚25 + ¢S ) Éàb G ( ¢S + 90 ) ÉX = ( ˚30 - ¢S ) ÉàX Ü ( ˚30 + ¢S 3 ) ÉàL = ( ˚20 + ¢S ) ÉL `L (˚52 n 10 + ¢S ) ÉàX = ( ˚18 n 24 + ¢S ) ÉX O

٦٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻳﻮﺿﺢ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ً‬ ‫ﻛﺜﻴﺮﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻰ ﻻ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺇﺩﺭﺍﻛﻬﺎ‬ ‫ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻛﻤﺎ ﻳﻔﻴﺪﻧﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺪﺙ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﺒﺮ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺃﻭ ﺗﺼﻐﺮ ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺳﻨﻜﺘﻔﻰ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺮﺣﻠﺔ ﺑﺘﻤﺜﻴﻞ ﺩﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪: Ö«÷G ádGO : ’hGC‬‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺹ = ﺣﺎ ﺱ ‪ > ˚٠ ،‬ﺱ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫ﺱ ‪˚٣٠ ˚٠‬‬

‫‪˚٣٦٠ ˚٣٣٠ ˚٣٠٠ ˚٢٧٠ ˚٢٤٠ ˚٢١٠ ˚١٨٠ ˚١٥٠ ˚١٢٠ ˚٩٠ ˚٦٠‬‬

‫ﺹ ‪٠٫٨٧ ˚٠٫٥ ٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠٫٥ ٠٫٨٧‬‬

‫‪٠‬‬

‫ﺣﺎﻫـ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪ > ˚٠‬ﻫـ > ‪˚٩٠‬‬

‫‪ > ˚٩٠‬ﻫـ > ‪˚١٨٠‬‬

‫ﻣﻦ‬

‫ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ‪ ١‬ﻭﺗﺼﻐﺮ‬

‫ﺗﺒﺪﺃ‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺗﻜﺒﺮ ﺣﺘﻰ‬

‫ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ‬

‫ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ‪١‬‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫‪٧٠‬‬

‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪٠٫٨٧- ٠٫٥-‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠٫٥- ٠٫٨٧-‬‬

‫‪٠‬‬

‫ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫ﺣﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪ ˚٢٧٠‬ﻫـ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫‪>˚١٨٠‬ﻫـ> ‪˚٢٧٠‬‬ ‫ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ‪ ١-‬ﻭﺗﻜﺒﺮ‬ ‫ﺗﺒﺪﺃ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ﻭﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻌﻮﺩ ﺇﻟﻰ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ‪١-‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻭﻗﺪ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻫـ‪ ٢+‬ﻥ ﻁ ﺣﻴﺚ ﻥ‪ WJ‬ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻫـ ﺃﻯ ﺇﻧﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻔﻨﺎ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺩﻭﺭﺍﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﺩﻭﺭﺍﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻚ ﻻ‬ ‫ﻳﻐﻴﺮ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺩﻭﺍﻟﻬﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻧﻪ ﺑﻌﺪ ﺭﺳﻤﻨﺎ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺹ= ﺣﺎ ﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] ‪[˚٣٦٠،˚٠‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﻬﻤﺎ ﺍﻣﺘﺪﺕ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺘﻜﺮﺍﺭ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ ٢‬ﻁ ﻭﻟﻬﺬﺍ ﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﺩﻭﺭﻳﺔ ·‬

‫‪: ΩɪàdG Ö«÷G ádGO : É«fÉK‬‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺹ = ﺣﺘﺎ ﺱ ‪ > ˚٠ ،‬ﺱ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫ﺱ ‪˚٣٦٠ ˚٣٣٠ ˚٣٠٠ ˚٢٧٠ ˚٢٤٠ ˚٢١٠ ˚١٨٠ ˚١٥٠ ˚١٢٠ ˚٩٠ ˚٦٠ ˚٣٠ ˚٠‬‬ ‫ﺹ ‪٠٫٥ ٠٫٨٧ ١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠٫٨٧- ٠٫٥-‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠٫٥- ٠٫٨٧-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠٫٨٧ ٠٫٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻫـ‬

‫‪ > ˚٠‬ﻫـ > ‪˚٩٠‬‬ ‫‪ > ˚٩٠‬ﻫـ > ‪˚١٨٠‬‬ ‫‪ >˚١٨٠‬ﻫـ >‪˚٢٧٠‬‬ ‫‪ >˚٢٧٠‬ﻫـ > ‪˚٣٦٠‬‬

‫ﺗﺒﺪﺃ‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺣﺘﺎ‬ ‫ﺗﻨﺘﻬﻰ‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫‪ e‬ﺣﺘﺎ ﺱ= ﺣﺘﺎ)ﺱ ‪ ٢+‬ﻥ ﻁ(ﺣﻴﺚ ﻥ‪WJ‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻓﺘﺮﺓ‬ ‫ﻣﻬﻤﺎ ﺍﻣﺘﺪﺕ ﺑﺎﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺘﻜﺮﺍﺭ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﻃﻮﻟﻬﺎ‬ ‫‪ ٢‬ﻁ ﻭﻟﻬﺬﺍ ﻓﻬﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺩﻭﺭﻳﺔ ﺃﻳﻀﺎ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﺣﺎ ﺱ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧١‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬

‫‪ `L‬ﻗﺎ ‪˚١٢٠‬‬

‫‪ G‬ﺣﺎ ‪˚٢٢٥‬‬

‫‪Ü‬‬

‫ﻃﺎ ‪˚٩٦٠‬‬

‫‪ O‬ﺣﺘﺎ ‪˚٤٥٠‬‬

‫‪`g‬‬

‫‪٥‬ﻁ‬ ‫ﻗﺘﺎ‬ ‫‪٣‬‬

‫‪h‬‬

‫‪ R‬ﺣﺎ ) ‪(˚٢١٠ -‬‬

‫‪ì‬‬

‫ﺣﺘﺎ ) ‪(˚٩٠٠ -‬‬

‫• ﻗﺎ ) ‪٣٢ -‬ﻁ (‬

‫ﻃﺎ ) ‪(˚٦٠-‬‬

‫‪ i‬ﻗﺘﺎ ) ‪(˚٩٤٥ -‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪ G‬ﺣﺘﺎ ‪ ˚٢١٠‬ﺣﺎ ‪ - ˚٥١٠‬ﺣﺎ ‪ ˚٣٣٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪(˚٣٣٠ -‬‬ ‫‪ Ü‬ﺣﺎ ‪ ˚١٥٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ + (˚٦٠-‬ﺣﺎ ‪ ˚٣٠٠‬ﺣﺎ ) ‪(˚١٢٠ -‬‬

‫‪ ٢ `L‬ﻇﺎ ‪ ˚٢٢٥‬ﺣﺘﺎ ‪ - ˚١٢٠‬ﻗﺘﺎ ) ‪ (˚٣٠٠ -‬ﺣﺎ ‪˚٢٤٠‬‬ ‫‪ O‬ﺣﺘﺎ ‪ + ˚١٢٠‬ﻃﺎ ‪ + ˚٢٢٥‬ﻗﺘﺎ ‪ + ˚٣٣٠‬ﺣﺘﺎ ‪˚٤٢٠‬‬ ‫‪ `g‬ﺣﺎ ‪ ˚٩٦٠‬ﺣﺘﺎ ‪ - ˚١٠٥٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ (˚٤٨٠ -‬ﺣﺎ ‪˚٢١٠‬‬ ‫‪ h‬ﺣﺎ ‪ ˚٤٢٠‬ﻃﺎ ‪ + ˚٣٣٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ (˚١٢٠ -‬ﻗﺘﺎ ‪˚٢١٠‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ‪ > ˚٠‬ﺱ > ‪: ˚٣٦٠‬‬ ‫‪G‬‬

‫ﻃﺎ ﺱ ‪٠ = ١ +‬‬

‫‪ ٢ `L‬ﺣﺎ ﺱ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪٧٢‬‬

‫‪ Ü‬ﻗﺎ ﺱ ‪٠ = ٢ -‬‬ ‫‪ ٢ O‬ﺣﺎ ﺱ ‪٠ = ٣ -‬‬

‫ﺍﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ]‪ ٢ ، ٠‬ﻁ‬ ‫‪ G‬ﺩ )ﺱ( = ﺣﺎ ‪ ٢‬ﺱ‬

‫‪ Ü‬ﺩ )ﺱ( = ﺣﺘﺎ ‪ ٢‬ﺱ‬

‫‪ `L‬ﺩ )ﺱ( = ‪ ٢‬ﺣﺎ ﺱ‬

‫‪ O‬ﺩ )ﺱ( = ‪ ٢‬ﺣﺘﺎ ﺱ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺟـ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺟـ ﻭﻫﻮ ‪ h‬ﺏ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺃﻣﺎ ﺍﻟﻀﻠﻌﺎﻥ ﺍﻵﺧﺮﺍﻥ ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ ﺗﺒﻌﺎ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺍﻷﺧﺮﺗﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺏ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻓﺈﻥ ‪ h‬ﺟـ ﻳﺴﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ‪ ،‬ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻓﺈﻥ ‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ·‬

‫ﻧﺮﺳﻢ‬

‫‪ h‬ﻭﺏ ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) ‪ h‬ﻭﺏ( = ﻫـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ‬

‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ( ﺗﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺔ ﻝ ‪ J‬ﻭﺏ ﻭﻧﺮﺳﻢ ﻝ ﻡ ‪ n‬ﻭﺱ‬ ‫‪ e‬ﺏ ﺟـ ‪ / /‬ﻝ ﻡ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ ﺏ ﺟـ ﻳﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭ ﻝ ﻡ‬ ‫ﻭﺏ‬ ‫ﻭ ﺟـ ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫ﻭﻝ‬ ‫‪ E‬ﻭﻡ= ﻝﻡ‬ ‫ﺱ= ﺹ = ‪١‬‬ ‫ﻭﻡ ﻝﻡ‬ ‫ﻭﻝ‬ ‫ﻝﻡ‬ ‫ﻭﻡ‬ ‫‪ E‬ﺱ = ﻭ ﻝ ‪ ،‬ﺹ = ﻭ ﻝ ﺃﻯ ﺃﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭ ﻡ ﻝ ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﻭ ﻝ =‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻝﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫=‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﺣﺎ ﻫـ = ﻭ ﻝ‬ ‫ﻝﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻭﻝ‬ ‫ﻝﻡ‬ ‫ﺹ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫ﻭﻡ‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﻫـ = ﺱ‬ ‫ﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮ‬ ‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﻗﺎ‬ ‫‪E‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫‪ e ،‬ﻗﺎ ﻫـ = ﺟﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮ‬ ‫=‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﻃﺘﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻗﺘﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬

‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻓﻰ ﺃﻯ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧٣‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪Ió```YÉ````b‬‬ ‫ﺣﺎ ﺏ =‬

‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫=‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻭﺗﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫‪h‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫ﺣﺘﺎ ﺏ =‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻭﺗﺮ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪h‬ﺏ‬

‫ﻃﺎ ﺏ =‬

‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪á¶MÓe‬‬ ‫ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺎﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﺣﺎ ﺏ ﺃﻯ ﺟﻴﺐ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺳﻬﺎ ﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﻃﻮﻝ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ١٧‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ‪ ، h‬ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫) ﺏ ﺟـ(‪ h) = ٢‬ﺟـ(‪ h) - ٢‬ﺏ(‪٢٢٥ = ٦٤ - ٢٨٩ = ٢‬‬ ‫‪ E‬ﺏ ﺟـ = ‪١٥‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫ﻗﺘﺎ ‪١٥ = h‬‬ ‫ﻗﺎ ‪١٧ = h‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻃﺘﺎ ‪٨ = h‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﺟـ =‬ ‫‪١٧‬‬

‫ﻃﺎ ﺟـ = ········‬ ‫ﺟﺎ ﺟـ = ········‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪ E‬ﺟﺎ ‪١٧ = h‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ‪١٧ = h‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ﻃﺎ ‪٨ = h‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺣﺎ ﺟـ =‬ ‫‪١٧‬‬

‫ﻗﺘﺎ ﺟـ = ········‬ ‫ﻇﺘﺎ ﺟـ = ········‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ‪ h‬ﺏ = ‪ h‬ﺟـ = ‪ ١٣‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﺏ ﺟـ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ ﺏ ‪ ،‬ﻃﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﻗﺎ ﺏ ‪ ،‬ﻗﺘﺎ ﺟـ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺣﺘﺎ ﺏ ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ +‬ﺣﺎ ﺏ ﺣﺎ ﺟـ = ‪١‬‬

‫‪٧٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻻﺑﺪ ﺃﻥ ﺗﻮﺿﻊ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋـﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻟﺬﻟـﻚ ﻧﺮﺳـﻢ‬ ‫‪ h‬ﺩ‪ n‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﺩ ‪ B‬ﺏ ﺟـ = }ﺩ{ ﻭﻣﻦ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ‪ h‬ﺩ = )‪١٢ = ٢(٥) - ٢(١٣‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫=‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻗﺘﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻗﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ ﺏ = ‪ ، ١٣‬ﻃﺎ ﺟـ = ‪٥‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ ﺏ ﺟﺘﺎ ﺟـ ‪ +‬ﺟﺎ ﺏ ﺟﺎ ﺟـ‬ ‫‪١٤٤‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١ = ١٦٩ + ١٦٩ = ١٣ X ١٢ + ٥ X ٥‬‬ ‫‪١٣ ١٣‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪3 ∫É`ã`e‬‬

‫‪٥‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ، h‬ﺟـ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﺘﻴﻦ ﻭﻛﺎﻥ ﻗﺎ ‪ ، ٥٤ = h‬ﻃﺘﺎ ﺟـ =‬ ‫‪٢١‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ :‬ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ‪ , h‬ﺟـ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺣﺎ ‪ h‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ +‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﺣﺎ ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﻝ ﻡ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪h‬ﻡ‬ ‫‪٥‬‬ ‫=‬ ‫ﻗﺎ ‪ h = h‬ﻝ‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﺃﻥ‪ h‬ﻡ =‪ ٥‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ‪ h ،‬ﻝ=‪ ٤‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻝ ﻡ = ‪ ٣‬ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻄﻮﻟﻴﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪٥ = h‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ‪٥ = h‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫ﻗﺎ ‪= h‬‬

‫‪ ،‬ﻗﺘﺎ ‪= h‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ‪٤ = h‬‬

‫‪ ،‬ﻇﺘﺎ ‪= h‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺱ ﺹ ﺟـ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺹ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺟـ ﺹ‬

‫ﻇﺘﺎ ﺟـ = ‪ = ١٢‬ﺹ ﺱ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟـ ﺹ = ‪ ٥‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻃﻮﻟﻴﺔ ‪،‬‬ ‫ﺹ ﺱ= ‪١٢‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻟﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺱ ﺟـ = ‪١٣‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﻄﻮﻟﻴﺔ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ﺣﺎ ﺟـ = ‪ ، ١٣‬ﺣﺘﺎ ﺟـ = ‪١٣‬‬

‫‪١٢‬‬ ‫‪ ،‬ﻇﺎ ﺟـ = ‪٥‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫ﻗﺘﺎ ﺟـ =‬

‫‪.....‬‬ ‫‪.....‬‬

‫‪ ،‬ﻗﺎ ﺟـ =‬

‫‪ ،‬ﻇﺘﺎ ‪= h‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ = ﺣﺎ ‪ h‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ +‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﺣﺎ ﺟـ‬ ‫‪٦٣‬‬ ‫‪٤٨ + ١٥‬‬ ‫= ‪= ١٢ X ٤ + ٥ X ٣‬‬ ‫‪٦٥ = ٦٥‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬

‫ﺣﺎ ‪ ، h‬ﺣﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﺣﺎ ﺩ ‪ ،‬ﺣﺎ ﻭ ‪ ،‬ﺣﺎ ﻝ ‪ ،‬ﺣﺎ ﻥ ‪ ،‬ﺣﺎ ﺡ‬

‫‪G‬‬

‫‪ Ü‬ﺣﺘﺎ ‪ ، h‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺩ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﻝ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﻥ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺡ‬ ‫‪ `L‬ﻇﺎ ‪ ، h‬ﻇﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﻇﺎ ﺩ ‪ ،‬ﻇﺎ ﻭ ‪ ،‬ﻇﺎ ﻝ ‪ ،‬ﻇﺎ ﻥ ‪ ،‬ﻇﺎ ﺡ‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺃﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﻗﻴﻢ ﺍﻟــﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺏ ‪ ،‬ﺟـ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‪ :‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻃﺎ) ﺏ ‪ h‬ﺩ ( ﺣﺘﺎ) ﺩ ﺟـ ‪= (h‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻃﺎ) ﺟـ ‪ h‬ﺩ(‪ +‬ﻃﺎ) ﺏ ‪ h‬ﺩ(‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‪ :‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻃﺎ) ﺟـ ‪ h‬ﺩ(‪ -‬ﻃﺎ) ﺏ ‪ h‬ﺩ(‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﺟـ ‪ ،‬ﺟـ ﺩ‪ h n‬ﺏ ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺏ ‪ h ،‬ﻣﺴﺘﺨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺮﺓ ﻭﺃﺿـﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ h‬ﺩ ﺟـ ﻣﺮﺓ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻭﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺟـ ﺩ ﺏ ﻣﺮﺓ‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪٧٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪4‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬

‫‪G‬‬

‫ﻗﺎ ‪ ، h‬ﺟﺘﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﻃﺘﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﻗﺘﺎ ﺩ ‪ ،‬ﻇﺎ ﻭ‪ ،‬ﻗﺎ ﻭ ‪ ،‬ﻗﺘﺎ ﺹ ‪ ،‬ﺟﺘﺎ ﻉ ‪ ،‬ﻇﺎ ﺹ ‪ ،‬ﺟﺎ ﻉ‬

‫‪ Ü‬ﻗﺎ‪ ٢‬ﺟـ ﻃﺘﺎ ﻭ‬

‫‪ `L‬ﺣﺘﺎ ﻉ ﻃﺎ ﻭ‬

‫‪ O‬ﻃﺎ ﻉ ‪ +‬ﻃﺘﺎ ﺩ‬ ‫‪5‬‬

‫‪`g‬‬

‫ﻗﺎ ﻉ‬ ‫ﻗﺘﺎ‪h ٢‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ h ،‬ﺩ ‪ n‬ﺏ ﺟـ ﻗﻄﻌﻪ ﻓﻰ ﺩ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪ ١٣‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ﺟـ ﺩ = ‪١٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ﺏ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ ،‬ﻗﺎ )‬

‫ﺩ ‪ h‬ﺟـ( ‪ ،‬ﻇﺎ )‬

‫ﺏ‪ h‬ﺩ( ‪ ،‬ﻗﺘﺎ )‬

‫ﺩ ‪ h‬ﺟـ ( ‪،‬‬

‫ﻃﺘﺎ ﺟـ‬ ‫‪6‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺩ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻴﻪ ‪ h‬ﺩ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ ‪ h ،‬ﺩ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺩ ﺟـ =‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ‪ ٢‬ﺏ ‪ +‬ﺣﺘﺎ‪ ٢‬ﺟـ = ‪١‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﻗﺘﺎ‪ ٢‬ﺏ ‪ -‬ﻃﺘﺎ‪ ٢‬ﺏ = ‪١‬‬

‫‪7‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٩‬ﻃﺎ ‪ ٠ = ٤٠ -h‬ﺣﻴﺚ ‪ h‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ‪،‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪h‬‬

‫‪8‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺣـ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ‪ ٠٫٨‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺟـ‬

‫‪9‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٤‬ﻗﺘﺎ ﻫـ‪ ٠ =٢٥ -‬ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﻫـ > ‪ ˚٩٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺎ ﻫـ ‪ -‬ﻃﺎ ﻫـ‬

‫‪ h 10‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻭﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ‪٠٫٦‬‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ‪ h‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ +‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﺣﺎ ﺟـ‬ ‫‪ 11‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪ ، h‬ﺏ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﺘﻴﻦ ﻭﻛﺎﻥ‪ ٥‬ﻃﺎ‪ ،٠ =١٢- h‬ﺣﺎ ﺏ ﻗﺎ ﺏ‪٠ = ١٥-‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ‪ ، h‬ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﻇﺎ ‪ h‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ ٨ :‬ﻗﺎ ﺏ ‪ ٥ -‬ﻗﺎ ‪h‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧٧‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﻓﻤﺜﻼ‬ ‫ﻻ ﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ ٤٠‬ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ h‬ﻭﺏ‬ ‫ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﺑﺤﻴﺚ ﻕ ) ‪ h‬ﻭ ﺏ( = ‪ ˚٤٠‬ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻓﻰ ﺏ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ ( ﻧﻌﻴـﻦ‬ ‫) ﺱ ‪ ،‬ﺹ( ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺣﺘﺎ ‪ = ˚٤٠‬ﺱ = ‪ ، ٠٫٧‬ﺣــﺎ ‪= ˚٤٠‬‬ ‫‪¢U‬‬

‫ﺹ = ‪ ، ٠٫٦‬ﻃﺎ ‪٠٫٨٥ = ¢S = ˚٤٠‬‬ ‫ﻭﻳﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺗﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺩﻗﺔ ﻛﺒﻴﺮﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻬﺎ ﺗﻌﻄﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻭﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﻓﻰ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺗﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻛﺴﻮﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫‪ ،‬ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻷﻯ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻬﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺫﻟﻚ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬ ‫‪Sin‬‬

‫ﻭﺗﻌﻨﻰ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺣﺎ‬

‫‪ Cos‬ﻭﺗﻌﻨﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺣﺘﺎ‬ ‫‪ Tan‬ﻭﺗﻌﻨﻰ ﻇﻞ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺬﻯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﻃﺎ‬ ‫ﻭﻭﻭﻭﻭ ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺴﻮﺭ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻣﻦ ﺩﻗﺎﺋﻖ ﻭﺛﻮﺍﻧﻰ ﺇﻟﻰ ﻛﺴﺮ ﻣﻦ ﻋﺸﺮﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪˚١٢٠ َ١٧ (٢‬‬

‫)‪˚٤٠ (١‬‬

‫)‪١٫٢ (٣‬‬

‫ء‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫)‪(١‬ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪0.6427879‬‬

‫ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ‬

‫‪Sin‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫ﺇﺑﺪﺃ‬

‫‪ E‬ﺣﺎ ‪٠٫٦٤٢٨ _ ˚٤٠‬‬

‫‪٧٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻗﺘﺎ ‪ ˚٤٠‬ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺎ ‪ ˚٤٠‬ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫‪1.5557‬‬

‫×‪1/‬‬

‫ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ‬

‫ﻗﺘﺎ ‪١٫٥٥٥٧ _ ˚٤٠‬‬

‫ﻭﻹﻳﺠﺎﺩ ﺣﺘﺎ ‪ ˚٤٠‬ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ·‬ ‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ‪٠٫٧٦٦ _ ˚٤٠‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ‬

‫‪4‬‬

‫ﻭﻻﻳﺠﺎﺩ ﻗﺎ ‪ ˚٤٠‬ﺍﺿﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺘﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬

‫×‪1/‬‬

‫‪ E‬ﻗﺎ ‪١٫٣٠٥٤ _ ٤٠‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻃﺎ ‪ ˚٤٠‬ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪Tan‬‬

‫‪ E‬ﻃﺎ ‪٠٫٨٣٩ _ ˚٤٠‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻃﺘﺎ ‪ ˚٤٠‬ﺍﺿﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻃﺎ ‪ ˚٤٠‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬

‫ﺇﺑﺪﺃ‬

‫×‪1/‬‬

‫‪ E‬ﻃﺘﺎ ‪١٫١٩١٨ _ ˚٤٠‬‬ ‫)‪(٢‬ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‪ ˚١٢٠ َ١٧‬ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪ 120.2833‬ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪0....‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0....‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ‬

‫ﺛﻢ ﺍﺣﻔﻆ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺬﺍﻛﺮﺓ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪ M+‬ﺃﻭ ‪Min‬‬ ‫ﻻﺳﺘﺮﺟﺎﻋﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺟﺎ ‪ = ˚١٢٠ َ١٧‬ﺣﺎ ‪ ˚١٢٠ ٢٨٣٣‬ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ ‪ Sin‬ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪0.8635‬‬ ‫‪ E‬ﺟﺎ ‪ ٠٫٨٦٣٥ = ˚١٢٠ َ١٧‬ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ‬

‫×‪1/‬‬

‫‪ E‬ﻗﺘﺎ ‪١٫١٥٨ = ˚١٢٠ َ١٧‬‬

‫ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺟﺘﺎ ‪ ˚١٢٠ َ١٧‬ﺍﺳﺘﺪﻉ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺣﻔﻈﻪ ﺑﺎﻟﺬﺍﻛﺮﺓ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫‪ MR‬ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ ‪Cos‬‬ ‫ﺗﻈﻬﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺘﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎﺡ‬

‫×‪1/‬‬

‫ﺗﻈﻬﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ‪ ٠٫٥٠٤٣ - = ˚١٢٠ َ١٧‬ﻻﺣﻆ ﺇﺷﺎﺭﺓ )‪ (-‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ‬ ‫‪ E‬ﻗﺎ ‪١٫٩٨٣ - = ˚١٢٠َ١٧‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧٩‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ E‬ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻇﺎ ‪ ١٫٧١٢٤ - = ˚١٢٠َ١٧‬ﺭﺍﻋﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ ﻃﺎ ﻫﻮ ‪Tan‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ - ٣‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ ١٫٢‬ﻧﻮﺟﺪ ﺃﻭﻻ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ‬ ‫‪A‬‬

‫‪˚٦٨٫٧٢٧٦ = ٥٧٫٢٧٣ ١٫٢ - ١٫٢‬‬ ‫ﺣﺎ ‪٠٫٩٣١٩ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫ﻗﺘﺎ ‪١٫٠٧٣١ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫ﺣﺘﺎ ‪٠٫٣٦٢٨ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫ﻗﺘﺎ ‪٢٫٧٥٦٣ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫ﻃﺎ ‪٢٫٥٦٨٥ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫ﻗﺘﺎ ‪٠٫٣٨٩٣ = ˚٦٨٫٧٢٧٦‬‬

‫‪á¶MÓe‬‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺎﺕ ﺑﻬﺎ ﻣﻔﺘﺎﺡ ﻟﻠﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺑﺎﻟﺮﺍﺩﻳﺎﻥ‬ ‫)ﻭﻫﻰ ﻭﺣﺪﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ (‬ ‫ﻭﻳﻜﺘﻔﻰ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻭﺿﻊ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ﻋﻠﻰ )‪ (RAD‬ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﻵﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺛﻢ ﺍﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪Sin :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻓﻴﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪١٫٢‬‬

‫_ ‪٠٫٩٣٢٠‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻟﻴﺲ ﺑﻬﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻭﻻ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ ﻛﻤﺎ ﺗﻘﺪﻡ‬

‫‪٨٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺳﻨﺠﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ‪ Tan ، Cos ، Sin‬ﻣﻄﺒﻮﻋﺎ ﺑﺎﻟﻠﻮﻥ ﺍﻷﺣﻤﺮ‬ ‫‪١-‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪١-‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪ tan -1 , Cos -1 , Sin -1‬ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻰ ﺣﺎ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ‪ ،‬ﻃﺎ ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪١-‬‬

‫ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺣﺎ ‪ ،‬ﺣﺘﺎ ‪ ،‬ﻃﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺣﻴﺚ ﺣﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ ˚١٨٠ ، ˚٠‬ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺒﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1‬ﺗﻌﻨﻰ ﺍﻟﻘـﻴـﺎﺱ ﺍﻟـﻤﺤـﺼﻮﺭ‬ ‫‪2‬‬

‫‪١-‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ :‬ﺣﺎ ﻫـ = ‪٠٫٦٤٢٨‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﺣﺎ‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪٠٫٢٥٣٧‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﺣﺘﺎ‬

‫‪١-‬‬

‫‪١-‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻫـ = ﻃﺎ‬

‫ﻃﺎ ﻫـ = ‪١٫٤٣٢٥‬‬

‫)‪(٠٫٦٤٢٨‬‬ ‫)‪(٠٫٢٥٣٧‬‬ ‫) ‪(١٫٤٣٢٥‬‬

‫‪á¶MÓe‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺃﻯ ﺷﺊ ﻣﻜﺘـﻮﺏ ﺑﺎﻷﺣـﻤﺮ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﻐﻂ‬ ‫‪ INV‬ﻗﺒﻞ ﺍﻟﻀـﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ﻛﻤﺎ ﺳﻴﺘﻀﺢ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ‬

‫ﺃﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎﺡ‬ ‫ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﺘﺎ ‪ ٢٫٧١٨٨ = h‬ﺃﻭﺟﺪ ﻕ ) ‪ (h‬ﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺣﻴﺚ ‪˚٩٠ > h > ˚٠‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﻗﺘﺎ ‪ ٢٫٧١٨٨ = h‬ﻧﻮﺟﺪ ﺃﻭﻻ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺍﻵﺗﻰ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪0.3678093‬‬

‫ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ‬

‫×‪1/‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻧﺒﺪﺃ‬

‫ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬ ‫‪21.580576‬‬

‫ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪inv‬‬

‫‪Sin‬‬

‫ﻧﺒﺪﺃ‬

‫ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﻭﺍﻟﺜﻮﺍﻧﻰ ﻧﻀﻐﻂ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٨١‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫׳‪ 50‬״‪ 21˚ 34‬ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪inv‬‬

‫ﻧﺒﺪﺃ‬

‫‪0...‬‬

‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻕ ) ‪ ˚٢١ ٣٥ = (h‬ﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ‬ ‫ﻻﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺧﻄﻮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺍﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫׳‪ 50‬״‪ 21˚ 34‬ﻳﻈﻬﺮ ‪0...‬‬ ‫‪E‬ﻕ)‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪inv Sin inv‬‬

‫‪8‬‬

‫×‪1/‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻧﺒﺪﺃ‬

‫‪˚٢١ ٣٥ = (h‬‬

‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺣﺎ ﺱ = ‪٠٫٣٣٢٤ -‬‬ ‫‪ ( ٢‬ﻗﺎ ﺱ = ‪ ٢٫٥٧١٩-‬ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ‪ > ˚٠‬ﺱ > ‪˚٣٦٠‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪ ( ١‬ﺣﺎ ﺱ = ‪ > ˚٠ ، ٠٫٣٣٢٤ -‬ﺱ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫‪ E‬ﺱ ﺗﻘﻊ ﺇﻣﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺃﻭ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺣﺎ )‪ + ١٨٠‬ﻯ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻯ ‪ ،‬ﺣﺎ ) ‪ - ٣٦٠‬ﻯ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻯ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻯ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﻴﺒﻬﺎ = ‪ ٠٫٣٣٢٤‬ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ‬ ‫׳‪ 52‬״‪19˚ 24‬‬

‫ﻳﻈﻬﺮ ‪0...‬‬

‫‪inv Sin inv‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ .‬ﻧﺒﺪﺃ‬

‫ﻯ = ‪˚١٩ َ٢٥‬‬ ‫‪ E‬ﺱ = ‪˚١٩٩ َ٢٥ = ˚١٩ َ٢٥ + ˚١٨٠‬‬ ‫ﺃ‪ ،‬ﺱ = ‪˚٣٤٠ َ٣٥ = ˚١٩ َ٢٥ - ˚٣٦٠‬‬ ‫‪ ( ٢‬ﻗﺎ ﺱ = ‪ ٢. ٥٧١٩-‬ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻯ = ‪˚٦٧ َ٧‬‬ ‫‪ E‬ﺱ = ‪˚١١٢ َ٥٣ = ˚٦٧ َ٧ - ˚١٨٠‬‬ ‫ﺃ‪ ،‬ﺱ = ‪˚٢٤٧ َ٧ = ˚٦٧ َ٧ + ˚١٨٠‬‬

‫‪٨٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪˚١١٢ َ١٠ Ü‬‬

‫‪˚٥٤ G‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪٣٫٦ `L‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ‪ > ˚٠‬ﺱ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬

‫‪•3‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻃﺎ ﺱ = ‪١٫٠٨٩٩‬‬

‫‪Ü‬‬

‫ﻗﺘﺎ ﺱ = ‪١٫٢٥٧٦-‬‬

‫‪`L‬‬

‫ﺣﺘﺎ ﺱ =‪٠٫٧٣٤٩ -‬‬

‫ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺣﺎ‬

‫ﺣﺘﺎ‬

‫ﻃﺎ‬

‫ﻗﺘﺎ‬

‫ﻗﺎ‬

‫ﻇﺘﺎ‬

‫‪˚٥٧ ٢٠‬‬ ‫‪˚٢١٥ ١١‬‬ ‫‪˚١٤٩ ١٠‬‬ ‫‪٢٫٣‬‬

‫ﺀ‬

‫‪+‬‬ ‫ـ‬

‫‪١٫٤٢٣٩‬‬ ‫‪٩٣٢٥‬‬ ‫ـ‬

‫‪١٫٥٩١١‬‬ ‫‪١٫٨٣٢١‬‬

‫‪٠٫٥٧٣٢‬‬ ‫‪٠٫٦٨١٧‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ـ‬

‫ـ‬ ‫ـ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٨٣‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫)‪ (١‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ )ﻫـ( ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺣﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻮﺗﺮ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻃﺎ ﻫـ = ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬

‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻮﺗﺮ‬

‫ﺹ‬

‫)‪ ( ٢‬ﺇﺷﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ‬ ‫ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺣﺎ ﻫـ ‪ ،‬ﻗﺘﺎﻫـ‬ ‫ﺍﻟﻜﻞ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱَ‬ ‫ﺟﺘﺎﻫـ ‪ ،‬ﻗﺎﻫـ ﻃﺎﻫـ ‪ ،‬ﻃﺘﺎﻫـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺹَ‬

‫)‪ ( ٣‬ﺃ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜـﻠﺜـﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ‪ ٢+‬ﻥ ﻁ ﺣﻴﺚ ﻥ‪ W J‬ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ‬ ‫ﺏ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) ‪ -‬ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ( ﻣﻊ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ‬ ‫ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) ‪ -‬ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫ﺟـ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﺩ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﻫـ ( ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ) ‪ - ˚٣٦٠‬ﻫـ ( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )ﻫـ(ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ) ‪ - ˚٣٦٠‬ﻫـ ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪ (٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ، h‬ﺏ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺏ=‪ h-˚٩٠‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )‪ + ˚٩٠‬ﻫـ (‬ ‫ﺣﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ ( = ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ = h‬ﺣﺘﺎ ﺏ = ﺣﺘﺎ ) ‪(h - ˚٩٠‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ‬ ‫ﺣﺘﺎ ‪ = h‬ﺣﺎ ﺏ = ﺣﺎ ) ‪(h - ˚٩٠‬‬ ‫ﻇﺎ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻃﺎ ‪ = h‬ﻃﺘﺎ ﺏ = ﻃﺘﺎ) ‪(h - ˚٩٠‬‬ ‫‪ (٥‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ (‬ ‫ﺣﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ‪ -‬ﺣﺎ ﻫـ‬ ‫ﻇﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ ( = ﻇﺘﺎ ﻫـ‬

‫‪٨٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ )‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ (‬ ‫ﺣﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﺣﺘﺎ )‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ( = ﺣﺎ ﻫـ‬ ‫ﻇﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﻫـ( = ‪ -‬ﻇﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪: áYƒæàe á∏ãeGC‬‬ ‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫‪8‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺣﺎ ‪= h‬‬ ‫‪17‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ ٧ ، ˚١٨٠ > h > ˚٩٠‬ﻃﺎ ﺏ ‪ ٠ = ٢٤ -‬ﺣـﻴﺚ‬

‫‪ > ˚١٨٠‬ﺏ >‪˚٢٧٠‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ‪ ، h‬ﺏ ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻃﺘﺎ ) ‪(h + ˚١٨٠‬‬ ‫‪ ،‬ﻗﺎ )‪ - ˚١٨٠‬ﺏ(‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪˚١٨٠ > h > ˚٩٠ e‬‬ ‫‪ h E‬ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪ - ˚١٨٠ = h E‬ﻫـ ﺣﻴﺚ ﻫـ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺣﺎﺩﺓ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻗﺘﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪ = h‬ﺣﺎ )‪ -˚١٨٠‬ﻫـ (= ﺣﺎ ﻫـ = ‪17‬‬ ‫‪17‬‬‫‪15‬‬‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻗﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ‪ = h‬ﺟﺘﺎ)‪ -˚١٨٠‬ﻫـ (=‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ =‬ ‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬‫‪ ،‬ﻃﺎ ‪= h‬‬ ‫ﻃﺎ ‪ = h‬ﻇﺎ)‪ -˚١٨٠‬ﻫـ (=‪ -‬ﻃﺎ ﻫـ =‬ ‫‪15‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﻭﺿﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻭﺭﻭﻋﻴﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ ٧e‬ﻃﺎ ﺏ = ‪٢٤‬‬ ‫‪ E‬ﻃﺎ ﺏ = ‪7‬‬ ‫‪ > ˚١٨٠ e‬ﺏ > ‪˚٢٧٠‬‬

‫‪h‬‬

‫‪ e‬ﺏ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪25‬‬‫‪7‬‬‫‪25‬‬‫‪24‬‬‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻗﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺣﺘﺎ‬ ‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻗﺘﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ﺣﺎ ﺏ = ‪25‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻃﺘﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ﻃﺎ ﺏ = ‪7‬‬ ‫‪15‬‬‫ﻃﺘﺎ ) ‪ = (h + ˚١٨٠‬ﻃﺘﺎ ‪= h‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻗﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﺏ ( = ‪ -‬ﻗﺎ ﺏ = ‪7 = ( 7 - ) -‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪Ü‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٨٥‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪4‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﺎ ‪ ١٣ = h‬ﺣﻴﺚ ‪ ، ˚٣٦٠ > h > ˚٢٧٠‬ﻃﺎ ﺏ =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺏ ﻗﻴﺎﺱ‬

‫ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ‪ :‬ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ )‪ (h - ˚١٨٠‬ﻗﺘﺎ )‪ + ˚١٨٠‬ﺏ (‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ‪ ˚١٥٠‬ﺣﺎ ) ‪ -‬ﺏ ( ‪ -‬ﺣﺘﺎ ) ‪˚١٨٠‬‬

‫ ‪ (h‬ﻃﺎ ‪ ˚٢٢٥‬ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﺟـ > ‪˚٩٠‬‬‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪˚٣٦٠ > h > ˚٢٧٠ e‬‬

‫‪) E‬ﺃ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ e‬ﻃﺎ ﺏ = ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ﺏ( ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪) E‬ﺏ( ﺗﻘﻊ ﺇﻣﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻭ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪) E‬ﺏ( ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪12‬‬‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ)‪ =(h-˚١٨٠‬ﺣﺎ ‪ ، 13 =h‬ﻗﺘﺎ )‪ +˚١٨٠‬ﺏ(= ‪ -‬ﻗﺘﺎ ﺏ= ‪=( -) -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺣﺎ ) ‪ -‬ﺏ (= ‪ -‬ﺣﺎ ﺏ= ‪ ، = ( 3 - ) -‬ﺣﺎ ‪ =˚١٥٠‬ﺣﺎ )‪(˚٣٠ - ˚١٨٠‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ﺣﺎ ‪1 = ˚٣٠‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ‪ = ˚٢٢٥‬ﻃﺎ )‪=(˚٤٥ + ˚١٨٠‬ﻃﺎ ‪˚٤٥‬‬ ‫ﺣﺘﺎ )‪ - = (h - ˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ‪- = h‬‬ ‫‪13‬‬ ‫=‪١‬‬ ‫ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ‪ ˚١٥٠‬ﺣﺎ ) ‪ -‬ﺏ( ‪ -‬ﺣﺘﺎ ) ‪ ( h - ˚١٨٠‬ﻃﺎ ‪˚٢٢٥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪89 50 + 39‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫ )‪= ١ X( -‬‬‫‪130‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬

‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻕ ) ﺟـ ( = ‪˚٤٣ َ١٢‬‬

‫‪٨٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪3 ∫É`ã`e‬‬

‫‪4‬‬ ‫•‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪] 2 ، ٠ [ J h‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ )‪5 =(h + ٩٠‬‬ ‫‪ ٥‬ﻇﺎﺏ ‪ ٠ =١٢ +‬ﺣﻴﺚ ﺏ ﻗﻴﺎﺱ ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ ﺱ = ﺣﺘﺎ )‪ (h - ˚٢٧٠‬ﺣﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﺏ ( ‪ -‬ﻇﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﺏ (‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺣﺘﺎ ﺱ = ﺣﺎ ) ‪ ( h + ˚٩٠‬ﻇﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﺏ ( ﻇﺎ‪˚٦٠ ٢‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺱ [ ‪ ٢ ، ٠‬ﻁ ]‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪˚٩٠ > h > ˚٠ e‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ‪= h‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ h E‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ‪5 = h‬‬

‫‪ > ˚٩٠ e‬ﺏ > ‪˚١٨٠‬‬ ‫‪ E‬ﺏ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪12‬‬‫‪5‬‬‫=‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻇﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﺏ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - = ( h - ˚٢٧٠‬ﺣﺎ ‪5 = h‬‬ ‫‪5‬‬‫ﺣﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﺏ ( = ﺣﺘﺎ ﺏ = ‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻇﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﺏ ( = ‪ -‬ﻇﺘﺎ ﺏ = ‪12 -‬‬ ‫‪3‬‬‫‪29‬‬‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫=‬ ‫‬‫=‬ ‫‬‫‪X‬‬ ‫‪156‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎ ﺱ = ‪5‬‬ ‫‪ E‬ﺱ = ‪˚١٩٠ َ٤٣‬‬

‫ﺃﻭ ﺱ = ‪˚٣٤٩ َ١٧‬‬

‫‪4‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺣﺎ ) ‪ = ( h + ˚٩٠‬ﺣﺘﺎ ‪5 = h‬‬ ‫‪5‬‬‫ﻇﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﺏ ( = ﻇﺘﺎ ﺏ =‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5- 4‬‬ ‫‪١- = ٢(٣ )X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺘﺎ ﺱ =‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ E‬ﺱ = ‪˚١٨٠‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٨٧‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺣﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪24‬‬‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬‫‪41‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ‬ ‫ﻃﺎ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪5‬‬‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬‫‪13‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١٥‬ﻃﺎ ‪ ٠ = ٨ + h‬ﻭﻛﺎﻥ ‪ ˚١٨٠ > h > ˚٩٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫‪ ، h‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ٢‬ﺣﺎ ‪ h‬ﺣﺘﺎ ‪ ، h‬ﻗﺎ ) ‪(h + ˚١٠٨٠‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻃـﺎ ﻫـ = ‪ 3‬ﺣـﻴـﺚ ﻫـ ﺃﺻـﻐـﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟـﺒﺔ ‪ ،‬ﻃﺎ ﻯ =‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ > ˚١٨٠‬ﻯ> ‪ ، ˚٢٧٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻫـ ‪ ،‬ﻯ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ﻯ ‪ -‬ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺎ ﻯ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٥‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ‪ ٠ = ٧ +‬ﺣﻴﺚ ﺟـ ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪ ،‬ﻃﺎ ﺏ = ‪4‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ > ˚١٨٠‬ﺏ > ‪˚٢٧٠‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ :‬ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺘﺎ ﺟـ ﺣﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺣﺎ ﺟـ ﺣﺎ ﺏ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = ‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪ G‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﻫـ (‬

‫‪Ü ÉX + `L ÉW‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬ ‫‪Ü ÉW `L ÉW - 1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٩٠‬ﻫـ > ‪ ˚١٨٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬

‫‪٨٨‬‬

‫‪Ü‬‬

‫ﻃﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ (‬

‫‪`L‬‬

‫ﻗﺘﺎ ) ‪ -‬ﻫـ (‬

‫‪O‬‬

‫ﻇﺘﺎ ) ‪ - ˚٣٦٠‬ﻫـ (‬

‫‪`g‬‬

‫ﺣﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ (‬

‫‪h‬‬

‫ﺣﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﻫـ (‬

‫‪R‬‬

‫ﺣﺘﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﻫـ(‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ -‬ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪6‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٥‬ﺣﺎ ﺏ ‪ ٠ = ٢٤ +‬ﺣﻴﺚ ‪ > ˚١٨٠‬ﺏ > ‪ ٥ ، ˚٢٧٠‬ﻃﺎ ﺟـ ‪ ، ٠ = ١٢ +‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺟـ ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺣﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﺏ ( ‪ +‬ﺣﺘﺎ ) ‪ - ˚١٨٠‬ﺟـ (‬ ‫ﻗﺘﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﺏ ( ﻃﺘﺎ )‪ - ˚٩٠‬ﺟـ ( ‪ -‬ﻗﺎ ) ‪ + ˚٣٦٠‬ﺏ ( ﻃﺎ ) ‪ - ˚٣٦٠‬ﺟـ (‬ ‫ﻗﺘﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﺏ ( ﻃﺘﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﺟـ ( ﻇﺎ ) ‪ - ˚٢٧٠‬ﺏ ( ﻗﺘﺎ ) ‪ + ˚٢٧٠‬ﺟـ (‬

‫‪7‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ‪ ٢‬ﻫـ = ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﻫـ > ‪ ˚٩٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬

‫‪˚135 ÉX + ( `g - ˚180 ) 2Éb‬‬ ‫‪(`g 2 - ˚180 ) 2ÉM ( `g + ˚180 ) ÉM‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٢٥‬ﻃﺎ‪ ٢‬ﺟـ ‪ ٠ = ٦٤ -‬ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٩٠‬ﺟـ > ‪ ˚١٨٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪(`L - ˚360 ) ÉàX 4 + (`L - ) Éb5‬‬ ‫‪˚210 ÉL 2 + (˚360 - `L ) ÉM17‬‬

‫‪9‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ‪ 3 = h‬ﺣﻴﺚ ‪ , ˚١٨٠ > h > ˚٩٠‬ﺣﺘﺎ ﺏ = ‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ ، ]˚٣٦٠‬ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ ) ‪ ( h - ˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ ) ﺏ ‪ ( ˚١٨٠ -‬ﺣﺘﺎ ‪، h‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺏ ‪، ˚٢٧٠[ J‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﺟـ ﻷﻗﺮﺏ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﺟـ > ‪˚٩٠‬‬ ‫‪ 10‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = ﺣﺎ ) ‪ ( ˚٦٠ -‬ﻃﺘﺎ ‪ + ˚١٢٠‬ﺣﺘﺎ ‪ ˚٣٠٠‬ﺣﺎ ‪ > ˚٠ ، ˚٧٥٠‬ﻫـ > ‪˚٣٦٠‬‬ ‫‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ > ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٨٩‬‬

á«∏«∏ë

àdG á°Só

æ¡dG

: É«fÉK

: ¢ùeÉÿG π°üØdG º«≤à°ùŸG §ÿG

`dG

`î § G d ` ª ≤`à°ù

º`«`

¢ùe

‫ﲤﻬﻴﺪ‬

: ¢SQO ¿GC ÖdÉ£∏d ≥Ñ°S

ÉÿG π

°üØd

Úà£≤ædÉH Qɪ`dG ≈`°SGC ôdG Ò`Z (Ω) º«`≤à°ùŸG π«`e OÉé`jEG á«`Ø«c (1 ¢U -2¢U =Ω : ƒg ( ¢U , ¢S) = Ü , ( ¢U , ¢S ) = h 1 2 2 1 1 ¢S-2¢S 1 AõL äGOÉ°üdG Qƒfi øe ™£≤jh (Ω) ¬∏«e ɪ«≤à°ùe É `£N πã“ `L + ¢S Ω = ¢U ádOÉ©ŸG ( 2 k k (`L , 0 ) á£≤ædÉH ôÁ iGC (`L) ¬dƒW . ôØ°üdG ihÉ°ùj ¬∏«e ¿ÉE a äÉæ«°ùdG QƒëŸ RGƒe º«≤à°ùŸG §ÿG ¿Éc GPEG ( 3 . ±ô©e ÒZ ¿ƒμj ¬∏«e ¿ÉE a äGOÉ°üdG QƒëŸ RGƒe º«≤à°ùŸG §ÿG ¿Éc GPEG ( 4 º«≤à°ùŸG §ÿG øμj ⁄ GPEG ( 5 {٠} - ì∋Ω ¬∏«e ¿ÉE a äÉ«KGóM’G iQƒfi øe i’C ÉjRGƒe k . ÚjRGƒàŸG Úª«≤à°ùŸG ÚH ábÓ©dG (6 . øjóeÉ©àŸG Úª«≤à°ùŸG ÚH ábÓ©dG ( 7 .᪫≤à°ùe á©£b ∞°üàæe äÉ«KGóMEG(8 . Úà£≤f øY ó©ÑdG ( 9

‫ﺍﳌﻮﺿﻮﻋﺎﺕ‬

E E Úª«≤à°ùe ÚH ájhGõdGE §N ¤GE á£≤f øe Oƒª©dG ∫ƒWE ᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J º«≤à°ùŸG §ÿG

º«≤à°ùe

º«≤à°ùª∏d

áeÉ©dG

E

ádOÉ©ŸG

Úª«≤à°ùe ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG Úeƒ∏©e

‫ﺍﻷﻫﺪﺍﻑ‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ً : ‫ﻗﺎﺩﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‬ πNGódG øe ᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J á£≤f óLƒH .1 . º«°ù≤àdG áÑ°ùf âªp ∏Yo GPEG êQÉÿG hGC á©£b á£≤f É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLƒj .2 º∏Yo GPEG , êQÉÿG hGC πNGódG øe ᪫≤à°ùe . ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ÉàjÉ¡f á£≤fh π«ŸG á«eƒ∏©Ã º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLƒj .3 . ¬«∏Y . º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áØ∏àîŸG Qƒ°üdG ±ô©àj .4 . Úª«≤à°ùe ÚH ájhGõdG Ö°ùëj .5 ≈∏Y á£≤f øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW Ö°ùëj .6 . Ωƒ∏©e º«≤à°ùe

G

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

(Ü , h Úà£≤ædG ÚH ™≤J `L ) : πNGódG øe º«°ù≤àdG ¿Éc GPEG - ’hGC h ∫ `L ∆ ~ `L O Ü ∆ ∵ 1

¢U - ¢U 1¢S - ¢S `L h ¢U-2¢U = ¢S-2¢S = Ü `L ∴ Ω ¢S - ¢S 1 ¢S-2¢S = 2Ω ∴

1

(1¢S - ¢S ) 2Ω = ( ¢S - 2¢S ) 1Ω ∴ 1 1

¢S 2Ω + 2¢S 1Ω = (2Ω + 1Ω) ¢S ∴

¢S 2Ω + 2¢S1Ω = ¢S ∴ Ω+1Ω 2

: πãŸÉH

¢U 2Ω + 2¢U1Ω = ¢U Ω+1Ω 2

1

: ¿GC ôcòJ

: ¿ÉE a Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ∞°üàæe (¢U , ¢S ) = `L á£≤ædG âfÉc GPEG 2

¢U+1¢U = ¢U 2

¢S+1¢S = ¢S 2

,

2

(Ü h ∌ `L , Ü h ∋ `L ) êQÉÿG øe º«°ù≤àdG ¿Éc GPEG : É«fÉK k Ü O `L ∆ ~ h ∫ `L ∆ ∵

`L h ¢U - ¢U ¢S - ¢S 1 = = ∴ Ü `L ¢U -¢U ¢S -¢S 2 2

1

¢S - ¢S ¢S -¢S = 2

1

Ω Ω ∴ 2 1

(1¢S - ¢S ) 2Ω = (2¢S - ¢S) 1Ω ∴ 1

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

¢S2Ω - 2¢S 1Ω = ( 2Ω - 1Ω ) ¢S ∴

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٩٢

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬ 1

¢S 2Ω - 2¢S1Ω = ¢S ∴ Ω Ω 2 -1

¢U 2Ω - 2¢U1Ω 1 = ¢U Ω Ω 2 1

: πãŸÉH

( ¢U , ¢S ) á£≤ædG ≈g `L ∴ å«M Ü ¤EG h øe áaÉ°ùŸG ™HQ ≈a ™≤J ≈àdG `L á£≤ædG äÉ«KGóMG óLhGC (2 , ٣ ) = Ü , ( 4 , 7 ) = h

1 ∫É`ã`e

: π◊G ( ¢U , ¢S ) = `L á£≤ædG ¿GC ¢VôØf 6 = 7 * 3 + 3* 1 = ¢S 4 7 = 4 * 3 + 2* 1 = ¢U 4 2 ( 7 2

, 6 ) = ( ¢U , ¢S ) = `L ∴

, h Ü ∋ `L å`«``M `L á````£```≤``æ`dG ó````LhGC ihÉ°ùj Ü øY Égó©H ≈àdGh h Ü ∌ `L , h øY Égó©H ∫ÉãeGC áKÓK

2 ∫É`ã`e

( 5 , 2 ) = Ü , ( 2 , 7-) = h ¿Éc GPEG

: π◊G ( ¢U , ¢S ) = `L ¿GC ¢VôØf 23- 2* 1- (7-)* 3 = ¢S ∴ 2 = 1-3 5 * 1- 2 * 3 1 = ¢U , 1-3 2 = 1 23( 2 , 2 ) á£≤ædG ≈g `L ∴ iQƒfi ™e É¡©WÉ≤J ≈à£≤f øe πμH Ü h É¡H º°ù≤æJ ≈àdG áÑ°ùædG óLhGC

3 ∫É`ã`e

(5 , 2-) = Ü , ( 2- , 3 ) = h ¿Éc GPEG äÉ«KGóM’G E

٩٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

: π◊G á£≤f ( 0 , ¢S ) = `L ¿GC ¢VôØf : ’hGC . äÉæ«°ùdG Qƒfi ™e Ü h ™WÉ≤J (2-) * 2Ω + 5 * 1Ω =0∴ Ω + Ω 2 1 (2Ω 2-) + 1Ω 5 = 0 ∴ Ω2 = 1Ω5 2 = 1Ω Ω 5 2

1

∴

á£≤f ( ¢U , 0 ) = O ¿GC ¢VôØf : É«fÉK . äGOÉ°üdG Qƒfi ™e Ü h ™WÉ≤J (2-) * 2Ω + 3 * 1Ω =0∴ Ω + 1Ω 2 0 = 2Ω2 - 1Ω3 ∴ 2

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

Ω2 = 1Ω3 2 = 1Ω Ω 3 2

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

∴

٩٤

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

AGõLGC á©HQGC ¤EG Üh ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG º°ù≤J ≈àdG §≤ædG äÉ«KGó`MEG ó`LhGC 1 . ( 6 , 2- ) Ü , (3- , 8 ) = h : å«M ájhÉ°ùàe óLhGC ( 0 , 6- ) = O , ( 3 3 , 3- ) = `L , ( 3 3 , 3 ) = Ü , ( 0 , 6 ) = h §≤ædG 2 : å«ëH ¥ , ¿ , Ω §≤ædG ↔ `L ¿ 3 = `L Ü 4 , `L Ü∋ ¿ Ü

↔

Ü h 2 = Ω h 3 , Üh ∋ Ω G O ¥ 4 = ¥ `L 5 , O↔ `L ∋ ¥ `L

(1-,1-) =h á£≤ædG øe áaÉ°ùŸG ¢ùªN óæY ™≤J ≈àdG `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhGC 3 ( 4 , 9) =Ü ¤EG ↔

, Üh ∋ `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhÉC a , (3 , 2- ) Ü , (4- , 3 ) = h âfÉc GPEG 4 : ¿Éc GPEG Ü `L 3 = `L h 5 Ü

Ü `L = `L h 2 G

Ü h 3 = `L h 5 O

Ü `L 5 = `L h 3 `L

:âfÉc GPEG , `L á£≤ædG äÉ«KGóMEG óLhÉC a (2 , 5- ) =Ü ,( 4 , 3 ) = h âfÉc GPEG 5 Ü `L 2 = `L h 3 , Ü h ∋ `L G 5 = `L h 3 , Ü á£≤ædG iƒëjh G á£≤ædG ¬°SGC Q iòdG ´É©°û∏d ≈ªàæJ `L Ü . Ü `L á£≤ædG É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLhÉC a , ( 3 , 2- ) = Ü , (2- , 3 ) = h âfÉc GPEG 6

←h ∋ `L .º«°ù≤àdG ´ƒf ÚH , (7- , 8 ) `L âfÉc GPEG , Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü ٩٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

Ék`°ShDhQ ( 3¢U , 3¢S ) = `L , ( 2¢U , 2¢S ) = Ü , ( 1¢U , 1¢S ) = h â`fÉ`c GPEG . ᣰSƒàŸG ¬Jɪ«≤à°ùe ≈bÓJ á£≤f ≈KGóMEG óLhÉC a , `L Ü h å`∏`ãª`∏d

7

É¡H º°ù`≤æJ ≈àdG á`Ñ°ùædG óLhÉC a ( 1 , 3- ) = Ü , ( 2 , 5 ) = h âfÉc GPEG

8

Éæ«Ñe äÉ«KGóM’G E iQƒfi ™e É¡©WÉ≤J ≈à£≤f øe πμH Ü h ᪫≤à°ùŸG á©`£≤dG . º«°ù≤àdG ´ƒf äÉ«KGóM’G E iQƒfi ™e Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ™WÉ≤J ≈à£≤f O , `L âfÉc GPEG

9

´ƒf Éæ«Ñe Üh ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü , `L øe πc É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG óLhÉC a , . (2 , 3- ) = Ü , ( 7 , 5-) = h ¿ÉC H ɪ∏Y , º«°ù≤àdG k áeÉ≤à°SG ≈∏Y ™≤J ( 16 , 3- ) `L , ( 2- , 3 ) = Ü , ( 4 , 1 ) = h §≤ædG ¿GC âÑKG 10 : óLhGC ºK , IóMGh . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , `L Ü áª«≤à°ùŸG á©£≤dG G É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG G . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , h `L ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG Ü É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG Ü . º«°ù≤àdG ´ƒf Éæk «Ñe , Ü h ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG `L É¡H º°ù≤J ≈àdG áÑ°ùædG `L ( 4 , 2- ) = `L , ( 2 , 5- ) = Ü , ( 1- , 3 ) = h ¬«a ´Ó°VGC iRGƒàe O `L Ü h 11 . O á£≤ædG ≈KGóMEG óLhGC .

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٩٦

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

: ¿GC Ωƒ∏©ŸG øe

Ú«©àd Ωõ∏j ¬fGC iôf Gòg øe ÚàØ∏àfl Úà£≤f ¿ , ¥ âfÉc GPEG k . ¿ÉWô°T ÉeÉJ Éæ««©J º«≤à°ùŸG §ÿG k º«≤à°ùe §N óLƒj ¬fÉE a , iƒà°ùŸG ≈a :º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áØ∏àîŸG Qƒ°üdG õeôdÉH ¬d õeôj §ÿG Gòg . ɪ¡H QÉe ó«Mh ↔ . ¿ ¥ á£≤ædÉH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG k ∫ ¿Éc GPEG : ∂dòc ¥ , ɪ«≤à°ùe É£N k : ƒg (Ω) ¬∏«eh (1¢U ,1¢S ) ∑ , ∫ §î∏d ≈ªàæJ ’ iƒà°ùŸG ≈a á£≤f ¢U - ¢U á£≤ædÉH ôÁ ó«Mh º«≤à°ùe §N óLƒj ¬fÉE a 1 =Ω ¢S ¢S 1 . ∫ º«≤à°ùŸG §ÿG iRGƒjh ¥ (1) ............

(1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U

: ¿Éc (2¢U , 2¢S ) iôNGC á£≤æH º«≤à°ùŸG Gòg ôe GPEGh ¢U - ¢U

(2) ......... (1¢S - ¢S ) 1 ¢S - 2¢S = 1¢U - ¢U 1 2 : IQƒ°üdG ≈∏Y É¡àHÉàc øμÁh (3) .............

¢U - ¢U ¢U - 2¢U = 1 ¢S - ¢S ¢S - 2¢S 1 1

1

. ¬«∏Y Úà£≤f á«eƒ∏©Ã º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e ≈gh : ¿GC ôcòJ

(4) ........................

`L + ¢S Ω = ¢U ∴

ájOGóY’G E á∏MôŸÉH É¡à°SGQO ≥Ñ°S º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ IQƒ°üdG √ògh

٩٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

øe ´ƒ£≤ŸG Aõ÷G ∫ƒWh ( Ω ) ¬∏«e á`«eƒ∏`©ª`H º«≤à°ùŸG §`î`dG ádOÉ©e ≈g √ògh ¿ÉE a äÉ«KGóM’G E iQƒfi øe Ü , h øjAõL º«≤à°ùŸG ™£b GPEGh (`L) äGOÉ°üdG Qƒfi Ü- Ü -¢U = : ≈g (3) ádOÉ©ŸG íÑ°üJh ( Ü , 0 ) , (0 , h ) Úà£≤ædÉH ôÁ º«≤à°ùŸG h 0 -¢S ( Ü h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH )

Ü h = ¢U h + ¢S Ü iGC

(5).............

1= Ü+ h ∴

¢U

¢S

. øjQƒëŸG øe ÚYƒ£≤ŸG ÚFõ÷G ád’óH º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ≈ª°ùJh (1¢U , 1¢S ) á£≤ædÉH ôÁ Ée º«≤à°ùe π«e `g ¿GC ¢VôØH O `g = 1¢U - ¢U : ≈g ¬àdOÉ©e ¿Éa E O ¢S ¢S 1

‫ﺹ‬

(‫ ﺏ‬، ٠ )

¢S `g - ¢S `g = 1¢U O - ¢U O

1

‫ﺱﹶ‬

(٠ ، h ) ‫ﺹﹶ‬

‫ﺱ‬

0 = 1¢U O + 1¢S `g - ¢U O - ¢S `g ∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y É¡àHÉàc øμÁh

(1¢U O - 1¢S `g ) - = `L å«M

0 = `L + ¢U Ü + ¢S h

. º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©Ÿ áeÉ©dG IQƒ°üdG ≈gh

áeÉg äɶMÓe ≈g ( ∫ , 0 ) á£≤ædÉH ôÁh äÉæ«°ùdG Qƒfi iRGƒj iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 1 . ∫ = ¢U ≈g ( 0 , ∑ ) á£≤ædÉH ôÁh äGOÉ°üdG Qƒfi iRGƒj iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 2 . ∑ = ¢S C á£≤æH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ( 3 . ¢S Ω = ¢U ≈g ( 0 , 0 )h π°U’G h- ¢S πeÉ©e = ƒg 0 = `L + ¢U Ü + ¢S h º«≤à°ùŸG π«e ( 4 Ü ¢U πeÉ©e : ¿GC ôcòJ

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٩٨

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

º«≤à°ùŸG iRGƒjh ( 2 , 2- ) = ¥ á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC

1 ∫É`ã`e

0 = 3 + ¢S 4 - ¢U

: π◊G 4=

(4-)- ¢S πeÉ©e = ¢U πeÉ©e = Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG π«e G : IQƒ°üdG ≈∏Y áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ( 1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U

10 = ¢S 4 - ¢U ⇐

( 2 + ¢S ) 4 = 2 - ¢U

.(1- , 4 ) = ¿ , ( 3 , 2 ) =¥ Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC

3- ¢U 3- 1= 2 - ¢S ∴ 2- 4 (2 - ¢S ) 2- = 3 - ¢U ∴

2 ∫É`ã`e

: π◊G

¢U - 2¢U 1¢U - ¢U 1 = ¢S - ¢S ∵ ¢S ¢S 1 2 1 2- =

3- ¢U 2 - ¢S

∴

7 = ¢S 2 + ¢U ∴ º«≤à°ùe ≈∏Y iOƒªYh (2,2-) =¥ á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC

3 ∫É`ã`e

4- ¬∏«e 1 = ܃∏£ŸG º«≤à°ùŸG π«e ∴ 4

: π◊G 4- = iOƒª©dG π«ŸG ∵ (1- = 2Ω 1Ω å«M ) : ≈g ܃∏£ŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ∴ (1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U ( 2 + ¢S ) 1 = 2- ¢U ∴ 4 . = 10 - ¢S - ¢U 4 : ádOÉ©ŸG ∴

٩٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

∞jô©J ájhGR äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e ™æ°üj iòdG º«≤à°ùŸG π«e `g ÉX = Ω : ≈g `g É¡°SÉ«b ↔

(2¢U , 2¢S ) = Ü , ( 1¢U , 1¢S ) = h å«M Üh É¡©æ°üj ≈àdG áÑLƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b `g ↔

äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e Ü h ¢U - 2¢U ↔ = Üh π«e ¢S - 2¢S 1

1

`L ≈a ájhGõdG ºFÉ≤dG `L Ü h ∆ ≈a ¢U - 2¢U `L Ü = = `g ÉX ¿GC ó‚ ¢S ¢S h `L 1 2

1

↔ `g ÉX = Üh π«e ∴

áÑLƒe ájhGR ™æ°üjh ( 3- , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC r 135 É¡°SÉ«b äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e

∫É`ã`e

: π◊G 1- = r 135 ÉX = º«≤à°ùŸG §ÿG π«e (1¢S - ¢S ) Ω = 1¢U - ¢U IQƒ°üdG ≈∏Y º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e ∴ (2 - ¢S ) 1- = 3 + ¢U 0 = 1 + ¢S + ¢U

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠٠

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

:≈JÉC j ɇ πc ≈a Úàæ«ÑŸG Úà£≤ædÉH ô“ ≈àdG äɪ«≤à°ùŸG øe πc ádOÉ©e óLhGC 1 (Ü , 0 ) , ( 0 , h) Ü

(4,6),(1,3) G

(2- , 1 ) , ( 1 , 1 ) O

( 3 , 5 ) , ( 3 , 2 ) `L

1 = ¬∏«eh ( 3 , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC G

2

( 3 , 1- ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC Ü . äÉæ«°ùdG Qƒfi ÉjRGƒeh k iòdG º«≤à°ùŸG ≈∏Y iOƒª©dGh ( 3 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 3 . 3 ¬∏«e 2 Gòg ¿Éc GPEGh , 2 = Ω ¬∏«eh ( 3- , 2) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 4 . Ü , h óLhÉC a , (Ü , 5 ) , ( 7 , h ) Úà£≤ædÉH ôÁ º«≤à°ùŸG äÉ«KGóMEG ≈g Ée . ( 0 , h ) á£≤ædÉH QÉŸGh , Ω ¬∏«e iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 5 ? äGOÉ°üdG Qƒfi ™e §ÿG Gòg ™WÉ≤J á£≤f ™e ™æ°üj iòdGh , ÖdÉ°S ¬∏«eh ( 5 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 6 . á©Hôe äGóMh ô°ûY ¬àMÉ°ùe Ékã∏ãe äÉ«KGóM’G E iQƒfi (1- , 0 ) , ( 1 , 1 ) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ≈∏Y (3 , 2 ) á£≤ædG ™≤J πg 7 .IóMGh áeÉ≤à°SG ≈∏Y ™≤J ( 1 , 2 ) , ( 8 , 5 ) , (5 , 4 ) , (2 , 3 )§≤ædG ¿GC âÑKG 8 º¶àæe ¢Só°ùe R `g O `L Ü h πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a 9 C á£≤f h √õcôeh , ∫ ¬©∏°V ∫ƒW Ωɶæd π°U’G . ≈KGóMEG . ¢Só°ùŸG ¢ShDhQ äÉ«KGóMEG ÚY G

١٠١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

´Ó``°``VGC ø``e Ék``©∏°V É¡æe π``c iƒ``ë``j ≈``à``dG äɪ«≤à°ùŸG ä’OÉ``©``e ó```LhGC Ü .¢Só°ùŸG (Ü) ≈a ᫪«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG øe πc π«e óLhGC `L ↔

↔

↔

↔

. R O , `g h , O Ü , `L h ᫪«≤à°ùŸG •ƒ£ÿG øe §N πc π«e óLhGC O áÑLƒe ájhGR ™æ°üjh ( 1 , 4 ) á£≤ædÉH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG §ÿG ádOÉ©e óLhGC 10 C ™eA( •2 )É¡°SÉ«b . äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G 3

™e 5 + ¢S = ¢U 2 º«≤à°ùŸG §ÿG É¡©æ°üj ≈àdG áÑLƒŸG ájhGõdG ¢SÉ«b ÚY u 11 . äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠٢

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

Ió```YÉ````b 2

Ω ,1Ω ÉªgÓ«e ¿Gò∏dG ¿Éª«≤à°ùŸG

¿ÉE a i É¡°SÉ«b ájhGR ɪ¡æ«H ¿Gô°üëjh B ábÓ©dG øe Ú©àJ i : á«J’G Ω - Ω ( 2Ω Ω+1 1) ± = i ÉX 2 1 `g ÉX = Ω , `g ÉX = 1Ω : ¿EG å«M 2 2 1 . áeOÉb á«°SGQO äGƒæ°S ≈a IóYÉ≤dG √òg ¿ÉgôH ¢SQój ±ƒ°S . = 1 + ¢U 2 - ¢S : 1∫ Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC

1 ∫É`ã`e

. = 2 + ¢U 3 + ¢S : 2∫

: π◊G Ω - 1Ω 1- = Ω , 1 = Ω ∵ ± = `g ÉX , Ω Ω+ 1 3 2 2 1 2 1 1 1 3 + 2 ± = `g ÉX ∴ 1 -1 2

6

r 135 = `g

1±= ‫ﺃﻭ‬

r 45 = `g ∴

¬dƒW AõL äGOÉ°üdG Qƒfi øe ™£≤jh 2 ¬∏«e iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 3 2 ¬àdOÉ©e iòdG º«≤à°ùŸGh º«≤à°ùŸG Gòg ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b óLhGC ºK , 2

2 ∫É`ã`e

(? ßMÓJ GPÉe ) . =5 -¢U 6 -¢S

: π◊G 2 + ¢S 2 = ¢U ∴ `L + ¢S Ω = ¢U ∵ 3 `g Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¿GC ¢VôØHh , 0 =6-¢S2-¢U3 ≈g º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ∴

١٠٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬ 1 2 - 3 3 3 ± = `g ÉX ∴ 11 ± = 2 +1 9

r 164

n 44

k 42 = `g

hGC

r 15

n 15 k 18 = `g ∴

¢U - ¢S 2 , 0 = 8 - ¢U ∑ + ¢S Úª«≤à°ùŸG ÚH ájhGõdG ¢SÉ«b ¿Éc GPEG

3 ∫É`ã`e

• ihÉ°ùj , 0 = 5 + 4

. ∑ ᪫b óLhÉC a

: π◊G 2 = 2Ω , 1- = 1Ω ∵ ∑

Ω- Ω

( 2Ω Ω+1 1 ) ± = `g ÉX ∴ 2 1 (

21-

∑

1-

∑ )±= -1

3- = ‫ﺃﻭ ﻙ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

• ÉX ∴ 4 1 3 =‫∴ﻙ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠٤

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

B äɪ«≤à°ùŸG øe πc ádOÉ©e óLhGC 1 : á«J’G ,1) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §î∏d ÉjRGƒe (3 , 2) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG G k .(4 , 2) , (3 + ¢U 3 + ¢S 2 º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y ÉjOƒªY ( 3 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG Ü k 0=4 0 = 13 - ¢U 3 + ¢S 2 º«≤à°ùŸG iRGƒjh ( 2 , 1 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG `L 0=15-¢U 6 +¢S 4 º«≤à°ùŸG ≈∏Y iOƒªYh (2 , 1) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG O : ≈∏j ɪ«a äɪ«≤à°ùŸG øe êhR πc ÚH ájhGõdG óLhGC 2 3 - ¢U 1 = : ∫ 2 + ¢S n 2

,

. = 5 - ¢U + ¢S 2 : ∫

. = 3 - ¢U - ¢S 4 : n ∫

,

0 = 5 + ¢U 2 + ¢S : ∫ Ü

G

¬«a (3 , 1- ) = `L , (8 , 7 ) Ü , (3 , 2 ) = h §≤ædG ¬°ShDhQ iòdG å∏ãŸG πg 3 ? áLôØæe ΩGC IOÉM `L Ü h ájhGR å```«M , `L ó`æY á``jhGõ`dG º`FÉ`b `L Ü h å`∏ãª`dG π©`é`J ≈àdG ¢U á`ª`«b ó`LhGC 4 . (¢U , 1 ) = `L , ( 7 , 5 ) = Ü , ( 3 , 2 ) = h .(5 , 2 )= `L , ( 3 ,1- ) =Ü, ( 3 , 2 ) =h ¿Éc GPEG `L Ü h å∏ãŸG ÉjGhR óLhGC 5 §``ÿG ™e 10 3 ihÉ`°ùj É¡`eÉ`ª`J Ö«``L á`jhGR ™æ°üj ∫ º«≤à°ùª`dG §``ÿG ¿É``c GPEG 6 10 º`«≤`à`°ùª`dG §ÿG ádOÉ©e ó``LhGC ? ∫ º«≤à°ùŸG §ÿG π«e ƒg ɪa , . = 5 + ¢U - ¢S 3 : ∫n . (2- , 1 ) á£≤ædÉH ôÁ ¿Éc GPEG ∫ º«≤à°ùŸG

١٠٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

0 = `L + ¢U Ü + ¢S h : Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e ¿GC ¢VôØf . ∫ ƒg ( n ¢U , n ¢S ) = • øY ó©oH ô°übGC ¿GC h ÉjRGƒe • á£≤ædÉH ôÁ ôNBG ɪ«≤à°ùe º°Sôf k k Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG 0 = n `L + ¢U Ü + ¢S h : ≈g ¬àdOÉ©e ¿ƒμàa hÜ = `g ÉX = Ωƒ∏©ŸG º«≤à°ùŸG π«e ∵ `L `L`L - `L n Ü = Ü +n Ü = ¿ h - ¥ h = ¿ ¥ ∵ n `L - `L = ¿ ¥ ∴ (1) ................. Ü

`g ÉàL ¿ ¥ = ( Oƒª©dG ∫ƒW ) ∫ = ‫ ك‬¥ ∴

(2) ................

(2) ≈a (1) øe ¢†jƒ©àdÉH `L - n `L = 2 Ü+2h

Ü-

- `L * n `L - `L = `g ÉàL n `L Ü =∫∴ Ü Ü+ h ( 2Ü + 2h ) ∫ = `L - n `L ∴

2

2

(2Ü + 2h ) ∫ + `L = `L ∴ n 0 = `L + ¢U Ü+¢S h º«≤à°ùŸG ≈∏Y ™≤J (n ¢U , n ¢S ) á£≤ædG ∵ (3) ..................

(4) ...............

0 = `L + n ¢U Ü + n ¢S h ∴

: (4) ≈a (3) øe ¢†jƒ©àdÉH 0 = (2Ü +2 h ) ∫ + `L + ¢U n Ü + ¢S n h∴ ( `L + ¢U Ü + ¢S h) n n =∫∴ 2 2 Ü+ h

(5)...............

| `L + ¢U Ü + ¢S h| n n 2 2 Ü+ h

=∫∴

º«≤à°ùŸG øY (¢U ,¢S) • á£≤ædG ó©H ábÓ©dG √òg πã“h 0 = `L + ¢U Ü + ¢S h ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠٦

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

§``î`dG ¤EG ( 5 , 4) = á``£`≤`ædG ø``e Ωƒ°Sôª`dG Oƒ`ª``©dG ∫ƒ`W ó``LhGC 0 = 10-¢U 3+¢S 4 º``«`≤`à°ù`ª`dG

1 ∫É`ã`e

: π◊G ( 3 = Ü , 4 = h , 5 = ¢U , 4 =¢S ) ∫ƒW IóMh 4^2 = 215 =

| `L + ¢U Ü + ¢S h| n n 2 2 Ü+ h

|10 - 5 * 3 + 4* 4| 9 +16

=Oƒª©dG ∫ƒW ∵ =Oƒª©dG ∫ƒW ∴

º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y ( 1 , 1 ) á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhGC ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0) Úà£≤ædG ÚH π°UGƒdG

2 ∫É`ã`e

: π◊G 1- = ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) Úà£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG π«e ∵ ¢U 1 - ¢S = 1- : ≈g º«≤à°ùŸG Gòg ádOÉ©e ∴ 0 = 1 - ¢U + ¢S : É¡æeh 0 =1-¢U+¢S º«≤à°ùŸG ≈∏Y ( 1 , 1 ) á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW ∴ ∫ƒW IóMh

1 2

=

| 1-1 +1| 1 +1

= Oƒª©dG ∫ƒW

`£`ÿG ≈∏Y ( `L , h ) á``£`≤`ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒ`ª©dG ∫ƒ`W ¿É``c GPEG . `L ᪫b óLhÉC a . 13 ihÉ°ùj 0= 5+¢U 3+¢S2 º«`≤à°ùª`dG | 5 + `L3 + 1* 2 | 9+4

3 ∫É`ã`e

: π◊G = 13 ∵

| `L 3 + 7 | = 13 ∴ 13- = `L 3 + 7 20= `L 3

١٠٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

,GC ,GC

13 = `L 3 + 7 ∴ 2 = `L ∴

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

¤EG ¥ á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhÉC a , ( 1 , 2 ) = ¥ âfÉc GPEG 1 0 = 30 - ¢U 4 + ¢S 3 º«≤à°ùŸG §ÿG ´Ó°VGC øe `L Ü ™∏°†dG ≈∏Y h á£≤ædG øe Ωƒ°SôŸG Oƒª©dG ∫ƒW óLhGC 2 . ( 5 , 4 ) = `L , ( 0 , 2- ) = Ü , ( 3 , 1 ) = h å«M , `L Ü h å∏ãŸG ( 4 , 3 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG øY ( 2 , 1- ) á£≤ædG ó©oH óLhGC 3 3- ¬∏«eh 2

( 3- , 2 ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG §ÿG øY (2- , 1 ) á£≤ædG ó©H óLhGC 4 . äÉ«KGóM’G E iQƒfi øe πc ™e ájhÉ°ùàe ÉjGhR ™æ°üj iòdGh §ÿG øe ÖfÉ÷G ¢ùØf ≈∏Y ¿É©≤J ( 3 , 2- ) , ( 4 , 1 ) ¿Éà£≤ædG πg 5 ? ÚàØ∏àfl ÚÑfÉL ≈∏Y ΩGC 0 = 3 + ¢U - ¢S 2 º«≤à°ùŸG , ( 0 , 2 ) = O , ( 2 , 1- ) = `L , ( 6 , 4 ) = Ü , ( 4 , 3 ) = h âfÉc GPEG 6 `L øe Úeƒ°SôŸG øjOƒª©dG ™WÉ≤J Éà£≤f O , `L å«M , O `L ∫ƒW óLhÉC a n n n n ↔ . Ü h º«≤à°ùŸG §ÿG ≈∏Y O ,

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠٨

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

äɪ«≤à°ùŸG øe ≈FÉ¡f ’ OóY É¡H ôÁ ¿GC øμÁ áeƒ∏©e á£≤f iGC ∵ . Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤f á£≤æH IQÉŸG äɪ«≤à°ùŸG ™«ªL πã“ ≈àdG ádOÉ©ŸG ∴

: ≈g 0 = 2`L + ¢U 2Ü + ¢S 2 h , 0 = 1`L + ¢U 1Ü +¢S 1h , ì ∋ Ω , 0 =( 2`L + ¢U 2Ü +¢S h )‫ ﻝ‬+ ( 1`L +¢U 1Ü +¢S h) Ω 2 1 (1) ì∋∫ , ≈fÉãdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e èàæJ 0 = Ω ádÉM ≈Øa C º«≤à°ùŸG ádOÉ©e èàæJ 0 = ∫ ádÉM ≈ah . ∫h’G ±ÓN ™WÉ≤àdG á£≤æH ôÁ º«≤à°ùe iGC ádOÉ©e èàæàa 0 ≠ ∫ , 0 ≠ Ω ádÉM ≈a ÉeGC C Úª«≤à°ùŸG : IQƒ°üdG ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ™°Vh ádÉ◊G √òg ≈a øμÁh Ú«∏°U’G

0 = ( 2`L + ¢U 2Ü +¢S h ) ‫ ﻙ‬+ 1`L + ¢U 1Ü+¢S h

(2)

١

2

:Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤J á£≤æHh ( 0 , 1- ) á£≤ædÉH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC

0 = 4 + ¢U 3 - ¢S 2

,

∫É`ã`e

0 = 5 - ¢U 2 + ¢S

: π◊G ٠= ٤ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٢ ، ٠= ٥ - ‫ ﺹ‬٢ + ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺱ‬ (٠ ، ١- ) ، ( ٢ ، ١ ) ‫ ( ﺛﻢ ﺇﻳﺠـﺎﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬٢ ، ١ ) ‫ﻭﻫﻰ‬

: ôNBG πM Úeƒ∏©ŸG Úª«≤à°ùŸG ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG º«≤à°ùª∏d áeÉ©dG ádOÉ©ŸG ∵ : ≈g ɪ¡aÓîH 0 = ( 4 + ¢U 3 - ¢S 2 ) ‫ ك‬+ 5 - ¢U 2 + ¢S . ¬àdOÉ©e ≥≤– ≈¡a ∴ ١٠٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

º«≤à°ùŸG Gòg ≈∏Y ™≤J ( 0 , 1- ) ∵ , ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬

‫ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬- ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

0 = ( 4 + 0- 2- ) ‫ ك‬+ 5- 0 + 1- ∴ 3=‫∴ك‬

0=‫ك‬2+6-∴

0 = ( 4 + ¢U 3 - ¢S 2 ) 3 + 5 - ¢U 2 + ¢S ∴ 0 = 12 + ¢U 9 - ¢S 6 + 5 - ¢U 2 + ¢S ⇐ 0 = 7 + ¢U 7 - ¢S 7 ⇐ 0 = 1 + ¢U - ¢S ⇐

, ¿GóeÉ©àe 0 = 5 + ¢U + ¢S 4 , 0 = 14 + ¢U 4 - ¢S : Úª«≤à°ùŸG ¿GC âÑKG 1 : óLhGC ºK . ɪ¡©WÉ≤J á£≤f G . ( 1 , 2 ) á£≤ædGh ™WÉ≤àdG á£≤æH ôÁ iòdG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e Ü •hô°ûdG É≤k ≤fi Ú«dÉJ Úª«≤à°ùe πc ™WÉ≤J á£≤æH QÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óLhGC 2 :IÉ£©ŸG . ( 1 , 3 ) á£≤ædGh

0 = 7 - ¢U 3 + ¢S , 0 = 7 - ¢U 2 + ¢S 3 G

. ≈fÉãdG º«≤à°ùŸG ≈∏Y Ék``jOƒªY 1 = ¢U 2 + ¢S , 5 = ¢U - ¢S 5 Ü C á£≤fh 0 = 3 - ¢U 3 + ¢S 4 , . π°U’G

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

2 = ¢U + ¢S 2 `L

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١١٠

êPɪ`f äGQÉ`Ñ`à`N’G : ’hGC äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺃﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﻴﻦ ‪ ، h‬ﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ﻡ ‪ X‬ﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﺃ ‪ ٢ -‬ﺏ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪.............‬‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺃ) ‪ ، ( ٠ ، ٨‬ﺏ) ‪ ، (٣ ، ٢‬ﺟـ) ‪ ( ٧ ، ٠‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪ ، ٠M‬ﺹ‪٢ ، ٠M‬ﺱ‪+‬ﺹ‪ ، ٧M‬ﺱ‪٢+‬ﺹ ‪٨M‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‪ .......‬ﻫﻰ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ ‪ ٣ =V‬ﺱ‪ ٧ +‬ﺹ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻇﺎ ‪ 3 = h‬ﺣﻴﺚ ‪ [ J h‬ﻁ ‪ ] •3 ،‬ﻓﺈﻥ ﺣﺘﺎ ) ‪........... = ( h + ˚٢٧٠‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺩ ( ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ) ‪ (˚٨٤٠ -‬ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪.............‬‬ ‫ﻭﺗﻘﻊ ﻓﻰﺍﻟﺮﺑﻊ ‪.............‬‬ ‫ﺑﻴﺎﻧﻴـﺎ ‪:‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﺱ‪، ٠M‬ﺹ‪،٠M‬ﺱ‪+‬ﺹ ‪٢،٥ M‬ﺱ‪+‬ﺹ‪٨ M‬‬ ‫‪1- 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪،‬ﺏ=‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= h‬‬ ‫‪2 5‬‬‫‪3 5‬‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪I‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٥‬ﺣﺎ ‪ ٧ = h‬ﺣﻴﺚ ‪ h‬ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪ ١٢ ،‬ﻇﺎ ﺏ ‪٠ = ٥ -‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ) ‪ > ˚١٨٠‬ﺏ > ‪ (˚٢٧٠‬ﻭﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺣﺎ ﺟـ = ﺣﺎ)‪ (h-˚١٨٠‬ﺣﺘﺎ)‪ -˚٩٠‬ﺏ(‪ 1 -‬ﺣﺘﺎ)‪ (h +˚٣٦٠‬ﺣﺘﺎ)‪ +˚١٨٠‬ﺏ(‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺟـ‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ >˚٠‬ﺟـ > ‪˚٣٦٠‬‬

‫‪١١٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (٣‬ﺃ ( ﺗﺸﺘﺮﻯ ﺃﺳﺮﺓ ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ‪ ٪ ٩٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﺪﻫﻨﻰ ‪٪ ١٠ ،‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ﺑﺴﻌﺮ ‪ ٣٠‬ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻟﻠﻜﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻭﻧﻮﻉ ﺁﺧﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ‪٪٧٠‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ ﺩﻫﻨﻰ ‪ ٪٣٠ ،‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ﺑﺴﻌﺮ ‪ ٢١‬ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻟﻠﻜﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺍﺣﺘﻴﺎﺟﺎﺕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺍﻷﺳﺒﻮﻋﻴﺔ ﻫﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ‪ ٦‬ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻣﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺍﻟﺪﻫﻨﻰ ‪ ٢ ،‬ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻫﻦ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﻠﺤﻢ ﻣﻦ ﻛﻼ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺸﺘﺮﻳﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺃﺳﺒﻮﻋﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺗﻜﺎﻟﻴﻒ ﺍﻟﺸﺮﺍء ﺃﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ ·‬ ‫ﺏ ( ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ٢‬ﺣﺎ‪٢‬ﺱ = ﺣﺎ ﺱ ﺣﻴﺚ ﺱ ‪ ٢ ، ٠ ] J‬ﻁ ]‬

‫) ( ) (‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= h‬‬

‫‪١ ٣-‬‬

‫‪٥ ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪،‬ﺏ=‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ) ‪ + h‬ﺏ (ﻣﺪ = ‪h‬ﻣﺪ ‪ +‬ﺏ‬

‫‪٤‬‬

‫‪٣ ١-‬‬

‫ﻣﺪ‬

‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻇﺘﺎ ) ﺱ ‪ = (˚٥ -‬ﻇﺎ ) ‪ ٣‬ﺱ ‪ (˚٣٥ +‬ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﺱ > ‪˚٩٠‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺘﺎ ‪ ٢١‬ﺱ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١١٣‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﺳﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ h‬ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪ ، ٣ X ٢‬ﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪ .............‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ h‬ﺏ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻈﻢ ‪١ X ٢‬‬ ‫)‪٢X٣‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫‪٣X٢‬‬

‫‪٣X١‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫‪(١X٣‬‬

‫ﺏ ( ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ .............‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ‪٦ Μ‬‬ ‫))‪(٥- ، ٤-‬‬

‫) ‪(٣- ، ٢‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫)‪(٥،٤‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫)‪(( ٠، ٠‬‬

‫ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﺱ = ﺣﺘﺎ ﺹ ﻓﺈﻥ ﺣﺎ ) ﺱ ‪ +‬ﺹ ( = ‪.............‬‬ ‫» ﺣﻴﺚ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﻗﻴﺎﺳﻰ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﺣﺎﺩﺗﻴﻦ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪(١‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬ ‫‪ ١‬ﺃ‪،‬‬‫) ﺻﻔﺮ ﺃ‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺩ ( ﻓﻰ ‪ hΔ‬ﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ‪ 1 = h‬ﻓﺈﻥ ﻇﺎ ) ‪ + ˚٩٠‬ﺟـ (‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪.............‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬ ‫‪( ٣‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‬‫) ‪ ٣‬ﺃ‪،‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪٠M‬‬

‫‪ ،‬ﺹ ‪٢ ، ٠ M‬ﺱ ‪ +‬ﺹ ‪، ١٠ N‬‬

‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= h‬‬

‫‪ ٢‬ﺱ ‪٣ +‬ﺹ ‪١٨ N‬‬

‫) ( ) (‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪5 1‬‬

‫‪،‬ﺏ=‬

‫‪2- 5‬‬ ‫‪3 1-‬‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪I ١٣‬‬ ‫ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٥‬ﻇﺎ ‪ ٠ = ١٢ - h‬ﺣﻴﺚ ‪ h‬ﺃﻛﺒﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪ ٨ ،‬ﻗﺎ ﺏ ‪٠ = ١٧ -‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺏ ‪ ٢ ، •3 [ J‬ﻁ ] ﻭﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻇﺎ ) ‪ (h - ˚١٨٠‬ﻇﺎ ) ‪ - ˚٣٦٠‬ﺏ(‬ ‫ﻇﺘﺎ ﺟـ =‬ ‫‪ ٨‬ﻗﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﺏ ( ‪ ٥ -‬ﻗﺎ ‪h‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺟـ ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٠‬ﺟـ > ‪˚٣٦٠‬‬

‫‪١١٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= h‬‬

‫) ( )‬ ‫) (‬ ‫‪1 3‬‬

‫‪،‬ﺏ=‬

‫‪5 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺱ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬

‫ﻣﺪ‬ ‫‪ h - S ٢‬ﺏ = ‪3- 1 2-‬‬

‫ﺏ ( ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ٥‬ﺳﻢ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﻳﺮﻏﺐ ﻣﺰﺍﺭﻉ ﻓﻰ ﺗﺮﺑﻴﺔ ﺩﺟﺎﺝ ﻭﺑﻂ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺬﻯ ﺳﻴﺮﺑﻰ ﻓﻴﻪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﻴﻮﺭ ﻻ ﻳﺘﺴﻊ‬ ‫ﺇﻻ ﻟﺜﻼﺛﻤﺎﺋﺔ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻴﻮﺭ ﻭﻫﻮ ﻳﺮﻯ ﺃﻻ ﻳﻘﻞ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﻋﻦ ﺿﻌﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺒﻂ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ﺭﺑﺤﻪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﺩﺟﺎﺟﺔ ﺟﻨﻴﻬﺎ ً‬ ‫ﻭﺍﺣﺪﺍ ﻭﻓﻰ ﻛﻞ ﺑﻄﺔ ﺟﻨﻴﻬﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻣﺎ ﻳﺮﺑﻴﻪ ﺍﻟﻤﺰﺍﺭﻉ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﺣﺘﻰ ﻳﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﻛﺒﺮ ﺭﺑﺢ ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ‪= h‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ ١٣ ،‬ﺣﺘﺎ ﺏ = ‪ ٥‬ﺣﻴﺚ ‪ ، h‬ﺏ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺣﺎﺩﺗﺎﻥ ‪،‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ٤ :‬ﻇﺎ ‪ h‬ﻇﺎ ) ‪ ٥ + (˚٣١٥ -‬ﻗﺎ ﺏ ﻗﺘﺎ‪˚٥٨٥ ٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١١٥‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺃﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬

‫) () (‬

‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪¢S 3-‬‬

‫= ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺱ = ‪.........‬‬

‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ ، ( ٠ ، ٣٫٥ ) h‬ﺏ ) ‪ ، ( ٣ ، ٢‬ﺟـ ) ‪(٤ ، ٠‬‬ ‫ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ‬ ‫ﺱ‪،٠M‬ﺹ‪٢ ، ٠M‬ﺱ‪+‬ﺹ‪ ، ٧N‬ﺱ‪٢+‬ﺹ ‪٨N‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‪ ........‬ﻫﻰ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻬﺪﻑ ﻝ = ‪ ٦‬ﺱ ‪ ١٠ +‬ﺹ ﺍﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺟـ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺣﺘﺎ ) ‪5 = (˚٢٧٠ - h‬‬

‫•‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪2 [ Jh‬‬

‫‪،‬ﻁ]‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ ٥‬ﺣﺎ ‪......... = h‬‬ ‫ﺩ ( ﺣﺘﺎ‪ + ˚٦٠ ٢‬ﺣﺎ‪......... = ˚٦٠ ٢‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ﺹ< ‪ ، ١‬ﺱ‪+‬ﺹ ‪، ٤ M‬‬

‫ﺱ<‪١‬‬

‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= h‬‬

‫‪٢‬ﺱ‪+‬ﺹ‪٦ M‬‬

‫) ( ) (‬ ‫‪1- 2‬‬

‫‪5 3-‬‬

‫‪،‬ﺏ=‬

‫‪1‬‬‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2-‬‬

‫ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺱ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪-h٢‬ﺱ=ﺏ‬

‫ﻣﺪ‬

‫ﺟـ ( ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ‪ ˚٥٧٠‬ﺣﺘﺎ ‪ - ˚٣٣٠‬ﺣﺘﺎ ) ‪ (˚٢٤٠ -‬ﺣﺎ ) ‪(˚١٥٠ -‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪=h‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪،‬ﺏ=‬

‫ﻓﺈﺛﺒﺖ ﺃﻥ ) ‪ h‬ﺏ (ﻣﺪ = ﺏﻣﺪ ‪h‬‬

‫‪١١٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪2 1‬‬‫‪1- 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫) (‬

‫ﻣﺪ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٥ :‬ﺣﺘﺎ ‪٠ = ٣ + h‬‬ ‫‪ ٧‬ﻇﺎ ﺏ = ‪٢٤‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ h‬ﺃﺻﻐﺮ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪،‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ > ˚١٨٠‬ﺏ > ‪˚٢٧٠‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ :‬ﺣﺘﺎ ‪ h‬ﺣﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺣﺎ ‪ h‬ﺣﺎ ﺏ‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﻳﻨﺘﺞ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺼﺎﻧﻊ ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺪﺭﺟﺎﺕ ﻣﺴﺘﺨﺪﻣﺎ ﻓﻰ ﺫﻟﻚ ﻣﺎﻛﻴﻨﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ﻳﻘﺘﻀﻰ ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ‪ h‬ﻟﻤﺪﺓ ﺳﺎﻋﺘﻴﻦ ﻭﺗﺸﻐﻴﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ﺏ ﻟﻤﺪﺓ ﺃﺭﺑﻊ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﻳﻘﺘﻀﻰ‬ ‫ﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ‪ h‬ﻟﻤﺪﺓ ﺃﺭﺑﻊ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﻭﺗﺸﻐﻴﻞ ﺍﻟﻤﺎﻛﻴﻨﺔ ﺏ ﻟﻤﺪﺓ ﺳﺎﻋﺘﻴﻦ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ‬ ‫ﻻ ﻳﻌﻤﻞ ﺍﻛﺜﺮ ﻣﻦ ‪ ١٨‬ﺳﺎﻋﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﻭﻛﺎﻥ ﺭﺑﺢ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ‪ ٢٥‬ﺟﻨﻴﻬﺎ ﻭﺭﺑﺢ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ ٢٠‬ﺟﻨﻴﻬﺎ ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻨﺒﻐﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺼﻨﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﻳﺤﻘﻖ ﺃﻛﺒﺮ ﺭﺑﺢ ؟‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎ ﻫـ = ‪5‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ > ˚٩٠‬ﻫـ > ‪˚١٨٠‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ :‬ﺣﺎ ) ‪ - ˚٩٠‬ﻫـ ( ﺣﺎ ) ‪ + ˚١٨٠‬ﻫـ ( ﺣﺘﺎ‪ - ˚٣٦٠ ) ٢‬ﻫـ (‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١١٧‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪: É«fÉK‬‬ ‫‪á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG‬‬

‫‪١١٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺃﻛﻤﻞ ‪:‬‬

‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ ‪ -‬ﺱ = ‪ ٣‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﻙ ﺹ ‪ ) +‬ﻙ ‪ ( ٣ -‬ﺱ ‪٠ = ٧ -‬‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ﻓﺈﻥ ﻙ = ‪.............‬‬ ‫ﺏ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٤ ، ٢-‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻫﻰ‬ ‫‪.............‬‬ ‫ﺟـ ( ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ)‪(٦ ، ٤‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ= ‪ ٢-‬ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ‫‪...........‬‬ ‫ﺩ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ‪ = ١‬ﺻﻔﺮ ﻭﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ‪ ٢‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ‪.............‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻝ‪ : ١‬ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪، ٠ = ٥ +‬‬ ‫ﻝ‪ : ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪٠ = ١ -‬‬ ‫ﺏ ( ﺃﻭﺟـﺪ ﻣـﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘـﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪= ٥ -‬‬ ‫‪ ، ٠‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ = ‪ ، ٧‬ﻭﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٤ ، ٢‬‬ ‫)‪ (٣‬ﻣﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻓﻴﻪ ‪ ، ( ٧ ، ٥ ) = h‬ﺏ = ) ‪ ، ( ٥ ، ١‬ﺟـ = ) ‪ ، ( ٢ ، ٤‬ﺃﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺏ ﺟـ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٢ : ١‬‬ ‫ﺏ ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ h :‬ﺩ ‪ n‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺟـ ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ h :‬ﺩ = ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺩ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪ ، ٠ = ١ +‬ﺱ ‪ ٢ -‬ﺹ ‪ ، ٠ = ٣ +‬ﻭﻣﻴﻠﻪ = ‪٣‬‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ( ٣ ، ٢ ) = h‬ﺏ = ) ‪ ، ( ٦ ، ٦‬ﺟـ = ) ‪ ( ١ ، ١٠‬ﺭﺅﻭﺱ ﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ ،‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫‪ ( ١‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ h‬ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ ( ٢‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﺩ ﻋﻤﻮﺩﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١١٩‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﺳﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺃ ( ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺱ ‪ ، ٠ = ٥ -‬ﺹ ‪ ٠ = ٣ +‬ﻫﻮ ‪.............‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬

‫) ‪˚٤٥‬‬

‫‪˚٩٠‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫‪ ˚١٢٠‬ﺃ‪،‬‬

‫‪(˚١٥٠‬‬

‫ﺏ ( ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ) ‪ ( ٠ ، ٠‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٣‬ﺱ ‪ ٤ -‬ﺹ‬ ‫‪8‬‬‫‪(٢‬‬ ‫‪ ١٫٦‬ﺃ‪،‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬ ‫ ‪ ٠ = ٨‬ﻳﺴﺎﻭﻯ ‪ ) ......‬ﺻﻔﺮ ﺃ‪،‬‬‫‪5‬‬ ‫ﺟـ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (٤ ،٢-‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻫﻰ‪.........‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬

‫) ﺹ=‪٤‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﺹ=ﺱ‬

‫ﺹ= ‪ -‬ﺱ‬

‫ﺩ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ﻙ ‪ J ( ٢ ،‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻙ ﺱ ‪ ٥ -‬ﺹ = ‪١٥‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬

‫)‪٥‬‬

‫‪٥-‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫‪٥±‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﺱ = ‪( ٢-‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻙ = ‪............‬‬

‫‪( ٢٥‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ( ٣ ، ٠ ) = h‬ﺏ = ) ‪ ( ١ ، ٢-‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺟـ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ‪ h‬ﺏ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬ﺣﻴﺚ ﺟـ ‪ J‬ﺏ‪ ، h‬ﺟـ ‡ ‪ h‬ﺏ‬ ‫ﺏ ( ﺍﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ)‪ (٣- ، ٤‬ﻭﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫‪A‬‬

‫‪•3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺬﺍ‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪٠ = ٥ -‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ) ‪ ( ٢- ، ٠‬ﻭﻣﻴﻠﻪ = ‪١‬‬ ‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣـﺜـﻠـﺚ ﺭﺅﻭﺳـﻪ ‪ ، ( ٠ ، ٠ ) = h‬ﺏ = ) ‪، ( ٠ ، ١‬‬ ‫ﺟـ = ) ‪ (٣ ، ٢‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫‪ ( ١‬ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ‪ h‬ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪ h‬ﺏ ‪ h ،‬ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ( ٩ ، ٧ ) = h‬ﺏ = ) ‪ ( ٣ ، ٣‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻘﺴﻢ ﺑﻬﺎ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ‪ h‬ﺏ ﻣﺒﻴﻨﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ·‬ ‫ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ٢‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪ ، ٥‬ﺱ ‪ ٥ +‬ﺹ = ‪١٦‬‬ ‫ﻭﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺱ ‪ -‬ﺹ = ‪٨‬‬

‫‪١٢٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (١‬ﺃﻛﻤﻞ ‪:‬‬

‫ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ ، ٢) ،(٤- ، ٣‬ﻙ( ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺹ‪-‬‬ ‫ﺱ=‪ ٦‬ﻓﺈﻥ ﻙ = ‪.........‬‬ ‫ﺏ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪ ˚١٣٥‬ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺟﺰء ﻃﻮﻟﻪ ‪ ٤‬ﻫﻰ ‪.........‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺟـ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪ •2‬ﻣﻊ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ‬

‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻳﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﻫﻰ ‪.........‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺩ ( ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪¢U‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ‪ ١‬ﻳﺼﻨﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‪.......‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬ ‫•‬ ‫ﺱ ‪ +‬ﻙ ﺹ ‪ ٣ ، ٠ = ٦ -‬ﺱ ‪ ٢ -‬ﺹ ‪ ٠ = ٥ +‬ﻳﺴﺎﻭﻯ‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ‬

‫ﺏ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ( ٣ ، ٠ ) = h‬ﺏ = ) ‪( ١ ، ٢-‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺟـ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ‪ h‬ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬ﺣﻴﺚ ﺟـ ‪ hJ‬ﺏ ‪،‬‬ ‫ﺟـ ‡ ‪ h‬ﺏ‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ( ٨ ، ١ ) = h‬ﺏ = ) ‪ ، ( ٧ ، ٦‬ﺟـ = ) ‪، ( ١ ، ١١‬‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻰ ‪ h‬ﺏ ‪ h ،‬ﺟـ‬ ‫ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ( ٤ ، ٢ ) = h‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘـﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ = ) ‪ ، ( ٠ ، ٢-‬ﻭﻣﻴﻠﻪ =‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ = ) ‪ ( ٥ ، ٤‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٢١‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌـﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺨـﻂ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٢‬ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻂ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪٠ = ٨ -‬‬ ‫ﺏ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ٢‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪ ، ٢‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪ ٠‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ = ‪١٨‬‬

‫‪١٢٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

`jQ

ELG ` É É`H ä G d à ` É`ª

ø h G ’

ä

GQ

``à N É`Ñ

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫)‪ (٣‬ﺃ ( ‪٢ X ٣‬‬

‫)‬

‫ﺏ(‪٩‬‬

‫(‬

‫‪1 3‬‬ ‫)‪2 1- (٤‬‬ ‫)‪h (٥‬‬

‫ﻣﺪ‬

‫=‬

‫ﺟـ ( ‪٩ , w‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫) (‬ ‫‪3 1‬‬‫‪3- 2‬‬

‫ﺏ‬

‫ﻣﺪ‬

‫=‬

‫)‪3 ، ٢ ± (٧‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪٤ ، ٥ ، ٢ (٨‬‬

‫)‪ (١‬ﺃﻭﻻ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‪(٢‬‬

‫) (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15- 8‬‬‫‪4 19-‬‬

‫) (‬

‫)‪(٧‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ + h‬ﺏ ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻨﺔ‬

‫‪١٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪(٨‬‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪:‬‬

‫‪4- 1‬‬‫‪14 1‬‬‫‪9- 2‬‬

‫‪1‬‬‫‪3‬‬‫‪2-‬‬

‫ﺩ = ‪٢-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‬ ‫)‬

‫) (‬ ‫) ( ) ( )‬ ‫)‪(٦‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫)‪ ، ١ = h (٤‬ﺏ = ‪ ، ٢-‬ﺟـ = ‪، ٥-‬‬

‫)‪(٥‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2- 1‬‬‫‪2 6‬‬

‫)‪(٣‬‬

‫‪19- 22 0‬‬ ‫‪7 11- 18‬‬‫‪11 6- 21‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪5 -h‬‬ ‫‪1-Ü‬‬

‫ﺩ( ‪٤- , ٤‬‬

‫) (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫(‬

‫(‬ ‫(‬

‫‪2- `L‬‬ ‫‪3+O‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪1 1‬‬‫‪5- 5‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ(‬

‫ﺏ(‬

‫) (‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 11‬‬‫)‪=W S (٢‬‬ ‫‪5- 15‬‬ ‫‪WS≠SW‬‬ ‫‪18- 10‬‬ ‫)‪ h (٣‬ﺝ ﺏ = ‪27- 15‬‬ ‫)‪(٥‬‬

‫‪7- 3‬‬‫‪11- 6-‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫‪1‬‬

‫)‪(٦‬‬

‫‪9‬‬‫‪3-‬‬

‫ﺟـ ( ﻻ ﻳﻤﻜﻦ‬

‫‪=SW‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1-‬‬

‫(‬

‫)‬

‫) (‬ ‫‪7- 21‬‬‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﺏ‪h‬ﺝ=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1 13‬‬‫‪2- 6‬‬ ‫‪1- 5‬‬

‫ﺩ ( ﻻ ﻳﻤﻜﻦ‬

‫(‬

‫)‪(١٢‬‬

‫) (‬ ‫‪11 5‬‬‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺃ‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺩ‬

‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫ﺯ‬

‫ﺡ‬

‫ﻁ‬

‫ﻯ‬

‫‪١‬‬

‫ﺛﺎﻧﻰ‬

‫ﺃﻭﻝ‬

‫ﺛﺎﻟﺚ‬

‫ﺛﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﻭﻝ‬

‫ﺛﺎﻧﻰ‬

‫ﺭﺍﺑﻊ‬

‫ﺛﺎﻟﺚ‬

‫ﺛﺎﻧﻰ‬

‫ﺭﺍﺑﻊ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ٣٧٠‬ﹾ‬ ‫‪ ٣٥٠-‬ﹾ‬

‫‪ ٥١٩‬ﹾ‬ ‫‪ ٢٠١-‬ﹾ‬

‫‪ ٥٠‬ﹾ‬ ‫‪ ٣١٠-‬ﹾ‬

‫‪ ٣٣٥‬ﹾ‬ ‫‪ ٣٨٥-‬ﹾ‬

‫‪ ٢٤٥‬ﹾ‬ ‫‪ ١١٥‬ﹾ‬

‫‪٣‬ﻁ‬ ‫‪-‬ﻁ‬

‫‪٣‬‬

‫‪•5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪•5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪•5‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪•5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪•5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٤٫٢‬‬

‫‪٢٫٤‬‬

‫‪١٫٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ ١٥‬ﹶ ‪ ٥٦‬ﹾ‬

‫‪ ٤‬ﹶ ‪ ٢٨‬ﹾ‬

‫‪٦‬‬

‫ﺀ‬ ‫ﺀ‬ ‫‪٢٫٥‬‬ ‫‪١٫٢٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٣٢‬ﹶ ‪ ١١٤‬ﹾ ‪ ٣٥‬ﹶ ‪ ٧١‬ﹾ ‪ ١٠‬ﹶ ‪ ١٤٣‬ﹾ‬

‫‪٧‬‬

‫‪ 8‬ﻁ ‪•15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ 4‬ﻁ ‪• -‬‬‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 53‬ﻁ ‪ ٢‬ﻁ‬ ‫ ‪ 7‬ﻁ ‪٢-‬ﻁ‬‫‪3‬‬

‫‪ ١‬ﹶ ‪ ١٣٠‬ﹾ ‪ ١٩‬ﹶ ‪ ٧٧‬ﹾ ‪ ١٨‬ﹶ ‪ ١٩٥‬ﹾ‬ ‫ﺀ‬

‫‪٥٫٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٣٫٥‬‬

‫‪٣١٫٦‬‬

‫‪٤٣٫٨‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٢٥‬‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫)‪+ ، + ، + ، + ، + ، + ، - ، + ، + ، - ، + (١‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺣﺎ ﻫـ = ‪2‬‬ ‫ﺏ ( ﺣﺎ ﻫـ = ‪٠٫٦-‬‬ ‫ﺟـ ( ﺣﺎ ﻫـ = ‪-‬‬

‫ﻃﺎ ﻫـ =‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻃﺎ ﻫـ = ‪ 4 -‬ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪٠٫٨‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺩ ( ﺣﺎ ﻫـ = ‪٠‬‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪2‬‬

‫ﻃﺎ ﻫـ = ‪-١‬‬

‫ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪١-‬‬

‫ﻃﺎ ﻫـ = ‪٠‬‬

‫ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‬

‫‪1‬‬ ‫ﺏ( ‪2‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ·‬

‫)‪ (١‬ﺃ( ‪˚٢٣‬‬

‫ﺃ‬

‫ﺏ ( ‪˚١٠‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ ١٣٥‬ﹾ‬ ‫‪ ٣١٥‬ﹾ‬

‫‪ ٤٥‬ﹾ‬ ‫‪ ٣١٥‬ﹾ‬

‫‪ ٢١٠‬ﹾ‬ ‫‪ ٣٣٠‬ﹾ‬

‫‪ ٦٠‬ﹾ‬ ‫‪ ٣٠٠‬ﹾ‬

‫‪١‬‬

‫‪-‬‬

‫‪١‬‬

‫)ﺟـ( ‪˚٤٥‬‬

‫ﺟـ ( ‪˚١٠‬‬

‫ﺩ‬

‫‪2‬‬

‫ﺟـ( ‪١‬‬

‫)ﺏ(‪˚٦٥‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ (‪˚٢٥‬‬

‫ﻫـ‬ ‫‪-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪١-‬‬

‫ﺩ ( ‪˚٩ َ٤٣‬‬

‫ﻭ‬

‫ﺯ‬

‫ﺡ‬

‫ﻁ‬

‫‪٣ -‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٢-‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ‪12‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪5 ،‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪60 ،‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪11 ،‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪7 ،‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪24 ،‬‬ ‫‪25‬‬

‫ﺏ( ‪5‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪12 ،‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪11 ،‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪60 ،‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪24 ،‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪7 ،‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪3،‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪١٢٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻯ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4،‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺟـ ( ‪60 ، 5 ، 12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‬

‫‪4 ، 24 ، 7 ، 11 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫)‪ (٢‬ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ ﺏ = ‪ ، 12‬ﺣﺘﺎ ﺏ = ‪ ، 5‬ﻃﺎ ﺏ = ‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺣﺎ ﺟـ = ‪ ، 5‬ﺣﺘﺎ ﺟـ = ‪5‬‬

‫ﺟـ ﺩ‬ ‫‪h‬ﺩ‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﺟـ ﺩ‬ ‫ﺏﺩ‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﺟـ ‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﺟـ ﺩ‬ ‫ﺏﺩ‬ ‫ﺏﺩ‬ ‫ﺩ ﺟـ‬

‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫)‪ (٣‬ﺣﺎ ﺏ = ﺣﺘﺎ ‪= h‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫ﺣﺘﺎ ﺏ = ﺣﺎ ‪= h‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪h‬ﺩ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻃﺎ ﺏ =‬ ‫ﺏ ﺟـ ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺟـ ﺩ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻃﺎ ﺃ =‬ ‫‪h‬ﺩ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫=‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ‪، ٥‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪، 12‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪، ٢ ، 5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺟـ ( ‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺏ(‪٣‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪، 13 (٥‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺟـ = ‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪، 24‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺩ ( ‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻫـ( ‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 ،‬‬

‫‪40‬‬ ‫)‪ (٧‬ﺣﺎ ﺃ = ‪41‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺃ = ‪41‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺃ = ‪9‬‬

‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬

‫‪4‬‬ ‫)‪ (٨‬ﺣﺎ ﺟـ = ‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺟـ = ‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺟـ = ‪3‬‬

‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬

‫‪1‬‬ ‫)‪7 (٩‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪، 25‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪،‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬

‫)‪١ (١٠‬‬

‫‪12‬‬ ‫)‪ (١١‬ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺣﺎ ﺃ = ‪13‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺃ = ‪13‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺃ = ‪5‬‬

‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬

‫‪15‬‬ ‫ﺣﺎ ﺏ = ‪17‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺏ = ‪17‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺏ = ‪8‬‬

‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪9 :‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ‪ْ٤٧ َ٢٨‬‬ ‫ﺏ ( ‪ْ٢٣٢ َ٤٠‬‬

‫‪،‬‬

‫‪َ٢٨‬‬

‫‪،‬‬

‫‪َ٢٠‬‬

‫‪ْ٢٢٧‬‬ ‫‪ْ٣٠٧‬‬

‫ﺟـ ( ‪ْ١٣٧ َ١٧‬‬

‫‪،‬‬

‫‪َ٤٣‬‬

‫‪ْ٢٢٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٢٧‬‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺣﺘﺎ‬

‫ﺣﺎ‬

‫ﻗﺘﺎ‬

‫ﻃﺎ‬

‫ﻇﺘﺎ‬

‫ﻗﺎ‬

‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫‪ ٢٠‬ﹶ ‪˚٥٧‬‬

‫‪٠٫٨٤١٨‬‬

‫‪٠٫٥٣٩٧‬‬

‫‪١٫٥٥٩٧‬‬

‫‪١٫١٨٧٩‬‬

‫‪١٫٨٥٢٧‬‬

‫‪٠٫٦٤١٢‬‬

‫‪ ١١‬ﹶ ‪˚٢١٥‬‬

‫‪٠٫٥٧٦٢-‬‬

‫‪٠٫٨١٧٣ -‬‬

‫‪٠٫٧٠٥‬‬

‫‪١٫٧٣٥٥ -‬‬

‫‪١٫٢٢٣٥ -‬‬

‫‪١٫٤١٨٥‬‬

‫‪ ١٠‬ﹶ ‪˚١٤٩‬‬

‫‪٠٫٥١٢٥‬‬

‫‪٠٫٨٥٨٧ -‬‬

‫‪٠٫٥٩٦٩ -‬‬

‫‪١٫٩٥١١‬‬

‫‪١٫١٦٤٦ -‬‬

‫‪١٫٦٧٥٣‬‬

‫‪٠٫٩٠٩٦‬‬

‫‪٠٫٤١٥٤ -‬‬

‫‪٢٫١٨٩٧ -‬‬

‫‪١٫٠٩٩٣‬‬

‫‪٢٫٤٠٧٢ -‬‬

‫‪٠٫٤٥٦٧ -‬‬

‫‪٠٫٧٤٦٣‬‬

‫‪٠٫٦٦٥٦ -‬‬

‫‪١٫١٢١٣ -‬‬

‫‪١٫٣٣٩٩‬‬

‫‪١٫٥٠٢٤ -‬‬

‫‪٠٫٨٩١٨ -‬‬

‫‪٠٫٥٧٤٧‬‬

‫‪٠٫٨١٨٣‬‬

‫‪٠٫٧٠٢٢٣‬‬

‫‪١٫٧٤‬‬

‫‪١٫٢٢٢‬‬

‫‪١٫٤٢٣٩‬‬

‫‪٠٫٦٨٢ -‬‬

‫‪٠٫٧٣١٤-‬‬

‫‪٠٫٩٣٢٥‬‬

‫‪١٫٤٦٦٣ -‬‬

‫‪١٫٣٦٧٣ -‬‬

‫‪١٫٠٧٢٤‬‬

‫‪٠٫٦٢٨٥‬‬

‫‪٠٫٧٧٧٩ -‬‬

‫ـ ‪٠٫٨٠٧٩‬‬

‫‪١٫٥٩١١‬‬

‫‪١٫٢٨٥٥ -‬‬

‫‪١٫٢٣٧٨ -‬‬

‫‪٠٫٨٣٧٩ -‬‬

‫‪٠٫٥٤٥٨‬‬

‫‪١٫٥٣٥ -‬‬

‫‪١٫١٩٣٥ -‬‬

‫‪١٫٨٣٢١‬‬

‫ـ ‪٠٫٦٥١٥‬‬

‫‪٠٫٥٨٣٢‬‬

‫‪٠٫٨١٩٤ -‬‬

‫‪٠٫٦٩٩٥ -‬‬

‫‪١٫٧٤٤٦‬‬

‫ـ ‪١٫٢٢٠٤‬‬

‫‪١٫٤٢٩٥ -‬‬

‫‪٠٫٦٨١٧‬‬

‫‪٠٫٧٣١٦ -‬‬

‫ـ ‪٠٫٩٣١٨‬‬

‫‪١٫٤٦٦٩‬‬

‫‪١٫٣٦٦٨ -‬‬

‫‪١٫٠٧٣٢ -‬‬

‫‪٧‬ﻁ‬ ‫‪١١‬‬

‫ﺀ‬

‫‪٢٫٣‬‬

‫ﺀ‬

‫‪ ٥‬ﹶ ‪˚٣٥‬‬ ‫‪˚٢٢٣‬‬ ‫‪ ٤‬ﹶ ‪˚١٤١‬‬ ‫‪ ٥‬ﹶ ‪˚٣٠٣‬‬ ‫‪ ٢‬ﹶ ‪˚١٤٥‬‬ ‫‪ ١‬ﹶ ‪˚١٣٧‬‬

‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺬﻯ ﺗﻘﻊ‬ ‫ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺣﺎ ﻫـ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪24‬‬‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﺘﺎ ﻫـ‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪12‬‬‫‪13‬‬

‫‪7‬‬‫‪25‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻃﺎ ﻫـ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪5‬‬‫‪12‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪٨‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺣﺎ ﺃ =‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪ ٢‬ﺣﺎ ﺃ ﺣﺘﺎ ﺃ =‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺣﺎ ﻫـ =‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺣﺎ ﻯ = ‪-‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ﺣﺎ ﻫـ ﺣﺘﺎ ﻯ ‪-‬‬

‫‪١٢٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪24‬‬‫‪25‬‬ ‫‪8‬‬‫‪17‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫‪24‬‬‫‪25‬‬

‫‪9‬‬‫‪41‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪12‬‬‫‪13‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪5‬‬‫‪12‬‬

‫‪9‬‬‫‪40‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﺃ = ‪-‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﺃ = ‪-‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪ ،‬ﻗﺎ ) ﺃ ‪ = ( ْ١٠٨٠ +‬ﻗﺎ ﺃ = ‪-‬‬ ‫‬‫‪١٥‬‬ ‫‪٢٨٩‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﻫـ = ‪-‬‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﻫـ = ‪-‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬ ‫‪ ،‬ﻃﺎ ﻯ =‬ ‫‪ ،‬ﺣﺘﺎ ﻯ = ‪-‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ﺣﺘﺎ ﻫـ ﺣﺎ ﻯ = ‪-‬‬ ‫‪٦٥‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻭﺍﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫‪٣‬‬‫)ﺛﺎﻧﻴﺎ (‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬‫ﻭ(‬ ‫(‬ ‫ﻫـ‬ ‫(‬ ‫ﺩ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺟـ ( ‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٥‬‬‫ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ =‬ ‫‪ - ٧‬ﻫـ = ‪٣٠‬‬ ‫ﺟـ (‬ ‫ْ‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤٤‬‬‫)‪)(٤‬ﺃﻭﻻ (‬ ‫‪١٢٥‬‬ ‫‪٣‬‬‫‪٤‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪ (٥‬ﺃ ( ‪٥‬‬ ‫‪١٥٥‬‬ ‫‪٢١٦‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫)‪ (٦‬ﺃ(‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪٣٢٥‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫)‪(٨‬‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫‪ْ٤٨ ٣٥ (١٠‬‬

‫‪ْ١٠ ٨٣ ( ٩‬‬ ‫‪ْ١٣١ ٢٥‬‬

‫‪،‬‬

‫‪٣- ١١‬‬ ‫(‪)،( ٣ ،٣)،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪)(١‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١٥ ١‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬

‫(‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻡ = ) ‪( ٣ ٢- ، ٨‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﻡ=)‪(٣ ٢،٤‬‬

‫ﺏ( ﻕ = ) ‪( ٣ ٣ ، ٥‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫ﻕ = ) ‪٣ ، ١١ -‬‬

‫‪٣ ٥ ١٣‬‬ ‫( ﺃ‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺟـ ( ﻕ = ) ‪-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪(٣‬‬

‫ﻕ = ) ‪( ٣ ١٥ ، ٩‬‬

‫)‪ (٣‬ﺟـ = ) ‪( ٠ ، ١‬‬ ‫‪٥- ٤‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺟـ = )‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫( ﺃ‪ ،‬ﺟـ = ) ‪( ١١ - ، ٨‬‬

‫‪١١ ١١‬‬ ‫‪١١- ٩‬‬ ‫‪،‬‬ ‫( ﺃ‪ ،‬ﺟـ = )‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺏ ( ﺟـ = )‬ ‫‪٤٢ ٤٢‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺟـ ( ﺟـ = ) ‪-‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٢٧ ١٩‬‬ ‫‪،‬‬ ‫( ﺃ‪ ،‬ﺟـ = ) ‪-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫( ﺃ‪ ،‬ﺟـ = ) ‪- ، ٦‬‬ ‫ﺩ ( ﺟـ = ) ‪، ٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٦ ١‬‬‫‪،‬‬ ‫)‪ (٥‬ﺃ( ﺟـ = )‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫ﺏ ( ﺟـ = ) ‪، ٢ -‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫(‬ ‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫( ﺃ‪ ،‬ﺟـ = ) ‪( ١- ، ١٧ -‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٢٩‬‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫)‪ (٦‬ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ، ٢ : ١‬ﺃﻯ ﺑﺤﻴﺚ ‪ ٢‬ﺃ ﺟـ = ﺏ ﺟـ‬ ‫)‪(٧‬‬

‫ﺱ‪ + ١‬ﺱ‪ + ٢‬ﺱ‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺹ‪ + ١‬ﺹ‪ + ٢‬ﺹ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪ (٨‬ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪١ : ٢‬‬ ‫ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٣ : ٥‬‬ ‫)‪ (٩‬ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻝ‪ : ١‬ﻝ‪= ٢‬‬ ‫)‪ (١٠‬ﻡ‬

‫ﺃﺏ‬

‫=ﻡ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫=ﻡ‬

‫ﺟـ ﺃ‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ،‬ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺃ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٣ : ٥‬‬

‫=‪٣-‬‬

‫)‪ (١١‬ﺩ ) ‪(١ ، ٦‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪٠ = ٢ -‬‬

‫ﺏ(ﺏﺱ‪+‬ﺃﺹ=ﺃﺏ‬

‫)‪ (٢‬ﺹ = ﺱ ‪١ +‬‬

‫)‪ ٢ (٣‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪٠ = ١١ -‬‬

‫)‪ ٢(٤‬ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪٠ = ٧ -‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺃ=‪،٧‬ﺏ=‪٣‬‬ ‫)‪ (٦‬ﺹ = ‪ ٥ -‬ﺱ ‪١٠ +‬‬

‫)‪ (٥‬ﺹ = ﻡ ) ﺱ ‪ -‬ﺃ ( ‪ - ، ٠ ) ،‬ﺃ ﻡ (‬

‫‪٣‬ﻝ‬ ‫ﻝ‬ ‫‪٣‬ﻝ‬ ‫ﻝ‬ ‫‪،‬‬ ‫( ‪ ،‬ﺟـ = )‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪ (٩‬ﺃ( ﺃ = ) ﻝ ‪ ، ( ٠ ،‬ﺏ = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬ﻝ‬ ‫ﻝ‬ ‫‪٣‬ﻝ‬ ‫ﻝ‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪،‬ﺯ=)‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻫـ = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫↔‬

‫ﺏ(ﺃﺏ‪٣ :‬ﺱ‪+‬ﺹ‪-‬‬

‫)‪ (٧‬ﻧﻌﻢ‬ ‫(‪،‬ﺩ=)‪-‬ﻝ‪،(٠،‬‬

‫(‬

‫‪ ٣‬ﻝ = ‪ ، ٠‬ﺏ ﺟـ ‪ :‬ﺹ =‬

‫↔‬

‫ﺟـ ﺩ ‪ ٣ :‬ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪ ٣ +‬ﻝ = ‪٠‬‬

‫↔‬

‫ﺩ ﻫـ ‪ :‬ﺱ ‪ +‬ﺹ ‪+‬‬

‫↔‬ ‫‪٣‬ﻝ‬ ‫ﻫـ ﺯ ‪ :‬ﺹ = ‪-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ ( ‪ ، ٣ -‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ‪،‬‬

‫‪١٣٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٣‬ﻝ=‪٠‬‬ ‫‪،‬ﺯﺃ‪:‬‬

‫‪٣‬ﺱ‪-‬ﺹ‪-‬‬

‫‪٣‬ﻝ=‪٠‬‬

‫‪ ، ٣ - ، ٣‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻑ ‪٣ ،‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫)‪ (١٠‬ﺃ ( ‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪- , ٠٫٣ ،‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬ﻝ‬ ‫ﻝ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٢‬ﻝ‬‫ﻝ(‪)،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻝ (‪) ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺏ( )‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٢‬ﻝ‬‫‪ ٥‬ﻝ‬‫‪٣‬‬ ‫‪ ٣ -،‬ﻝ(‬ ‫ﻝ(‪)،‬‬ ‫‪-،‬‬ ‫)‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬ﻝ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬ﻝ‬ ‫ﻝ ( ﺃ‪ ،‬ﻕ = )‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺟـ ( ﻕ = )‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬ﻝ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻝ(‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺃﻭ ﻥ = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺱ ‪ -‬ﺹ ‪٠ = ١ +‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻫـ = ‪ْ٩٠‬‬

‫ﺏ ( ﻫـ = ‪ْ٧٨‬‬

‫)‪(٣‬‬

‫)‪(٢‬‬ ‫)‪٢ (٤‬‬

‫ﺃ ‪ْ١٠٢ ،‬‬

‫)‪ْ٥٦ ، ْ٣٤ ، ْ٩٠ (٥‬‬

‫)‪ ٢ (٣‬ﺣﺎﺩﺓ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ٤ ،‬ﺱ ‪ ٣ -‬ﺹ ‪٠ = ١٠ -‬‬ ‫)‪(٦‬‬ ‫‪٣‬‬

‫)‪ (١‬ﻕ ﻕ = ‪٤‬‬

‫ﻝ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٣‬ﻝ ( ‪ ،‬ﻥ = ) ‪، ١٤‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻝ(‬

‫ﺩ(‪٣‬ﺱ‪٢-‬ﺹ‪٠ ١+‬‬

‫)‪٥ (٤‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪-،‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺏ(‪٣‬ﺱ‪٢-‬ﺹ‪٠=٣+‬‬

‫ﺟـ ( ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ ‪٠ = ٨ -‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ٥‬ﻝ‬‫‪٣‬‬ ‫ﻝ(‪)،‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻝ(‬

‫‪3‬‬

‫‪٦١‬‬

‫)‪ (٥‬ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺒﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬

‫)‪(٦‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪ (١‬ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ‪ ، ( ٣ ، ٢-‬ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪٠ = ٤ -‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪٠ = ٥ -‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺏ (ﺱ ‪ ٢ -‬ﺹ = ‪١‬‬

‫ﺟـ ( ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ +‬ﺹ = ‪٠‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٣١‬‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫‪: äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : ’hGC‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ﻡ ‪ X‬ﻥ‬

‫‪3‬‬‫ﺟـ ( ‪5‬‬

‫ﺏ()‪(٠،٨‬‬

‫ﺩ ( ‪ ، ْ٢٤٠‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃ‪ْ١٧٧ َ٤٢ ،‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺟـ ( ‪ْ٢ َ١٨‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ ( ﻻ ﺷﺊ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ٨ 4 ،‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺃ‪˚١٥٠ ،‬‬ ‫‪˚٣٠‬‬ ‫ﺃ‪،‬‬ ‫ﺏ ( ‪ ْ٠‬ﺃ‪˚١٨٠ ،‬‬ ‫)‪ (٤‬ﺏ ( ‪ ١-‬ﺣﻴﺚ ﺱ = ‪ْ٦٠‬‬

‫ﺃ‪،‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺱ = ‪˚١٥‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ‪١ X ٣‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺟـ( ‪َ٣٨‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ(‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﺏ()‪(٥،٤‬‬ ‫ﺃ‪َ٣٨ ،‬‬

‫‪˚٤١‬‬

‫ﺩ(‬

‫ﺟـ ( ‪١‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ْ٢٢١‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫) (‬

‫ﺏ ( ﻫـ = ‪٢‬‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ‪ ٢٠٠‬ﺩﺟﺎﺟﺔ ﻭ ‪ ١٠٠‬ﺑﻄﺔ‬

‫ء‬

‫ﺃ‪ ،‬ﺱ = ‪َ٣٥‬‬

‫‪˚١١٤‬‬

‫ﺏ ( ‪٢٩‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ‪٥‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺏ (‬

‫ﺏ()‪(٣،٢‬‬

‫) (‬ ‫‪10- 5‬‬ ‫‪12 10-‬‬

‫‪3‬‬‫)‪ (٣‬ﺏ ( ‪5‬‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ‪ ٣‬ﺩﺭﺍﺟﺎﺕ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ‬

‫‪١٣٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺟـ ( ‪٣‬‬

‫ﺩ(‪١‬‬

‫ﺟـ ( ‪١-‬‬

‫‪21‬‬ ‫ﺏ ( ‪25‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬ ‫‪: á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG : É«fÉK‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫ﺏ(ﺹ=‪٤‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ‪٣-‬‬

‫ﺟـ ( ‪٨‬‬

‫ﺩ ( ‪˚٩٠‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ‪ ˚٤٥‬ﺃ‪˚١٣٥ ،‬‬

‫ﺏ ( ‪ ٤‬ﺹ ‪ -‬ﺱ ‪٠ = ١٤ -‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ ( ) ‪( ٤ ، ٢‬‬

‫ﺩ ( ‪ ٩‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ﺹ ‪ ٣ -‬ﺱ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫ﺏ ( ‪ ١٢‬ﺹ ‪ -‬ﺱ ‪٠ = ٣٤ -‬‬

‫‪ ١٠‬ﺹ ‪ ٨ -‬ﺱ ‪٠ = ٢٩ +‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪:‬‬ ‫ﺏ ( ‪١٫٦‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ‪˚٩٠‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ) ‪( ١- ، ٢ -‬‬

‫ﺟـ ( ﺱ = ‪٢ -‬‬

‫ﺏ ( ‪ (١‬ﺹ ‪ +‬ﺱ ‪٠ = ١ -‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ﺹ ‪ -‬ﺱ ‪٠ = ٢ +‬‬ ‫)‪ (٤‬ﺃ ( ‪ ١ : ٣‬ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬

‫ﺏ(‪(١‬‬

‫‪١٠ ٣‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫ﺩ (‪٥ ±‬‬ ‫‪˚٧٨ َ٤١ (٢‬‬

‫ﺃ‪˚١٠١ َ١٩ ،‬‬

‫‪˚٤٥ (٢‬‬

‫ﺏ(ﺹ‪-‬ﺱ‪٠=٢-‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬‫)‪ (١‬ﺃ( ‪2‬‬

‫ﺏ(ﺹ=‪-‬ﺱ‪٤+‬‬

‫ﺟـ ( ﺹ = ‪ ٣ -‬ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃ‪5 - ،‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻙ = ‪٥‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ ( ‪ ٥ (١‬ﺹ ‪ +‬ﺱ ‪٠ = ٤١ -‬‬ ‫ﺏ ( ‪(١‬‬

‫‪4‬‬

‫‪٦١‬‬

‫)‪ (٤‬ﺃ ( ‪ ٢‬ﺹ = ‪ ٣‬ﺱ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺩ ( ‪ ٥‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ﺏ ( ) ‪(٥ ، ٢‬‬ ‫‪ ١٠ (٢‬ﺹ ‪ ٧ +‬ﺱ ‪٠ = ٨٧ -‬‬ ‫‪ ٢ ( ٢‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ﺏ(‪٢‬ﺹ‪+‬ﺱ‪٠=٢+‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٣٣‬‬

‫ﻤﻬﻮﺭﻳﺔ ﻣﺼﺮ ﺍﻟ‬ ‫ﻌﺮﺑ‬ ‫ﺟ‬ ‫ﻴ‬ ‫ﺔ‬

‫ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘـﺮﺑﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠ‬ ‫ﻗﻄﺎﻉ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬

‫ﻴـﻢ‬

‫‪äÉ`«°VÉ`jôdG‬‬ ‫ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﯽ‬

‫ﺇﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﺄﻟﻴﻒ‬ ‫ﺩ‪ .‬ﻧﺒﻴﻞ ﺗﻮﻓﻴﻖ ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﻦ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻋﻠـــﻰ ﺃﺣـﻤــﺪ ﻋـﺼــــﺮ‬

‫ﺃ‪ .‬ﺇﺑﺮﺍﻫﻴــﻢ ﺍﻟﺪﺳﻮﻗـﻰ ﻣﺤﻤﺪ‬

‫ﺃ‪ .‬ﻋﺒـﺪ ﺍﻟﻌﺰﻳـﺰ ﻋﻴﺴـﻰ ﻣﻨـﻮﻥ‬

‫‪٢٠٠٩ - ٢٠٠٨‬‬

‫÷‪πjó©àdG áæ‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﳌﻨﻌﻢ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ‬

‫ﺃ‪ .‬ﻣــﺤــﻤــﺪ ﻣـــﺄﻣـــﻮﻥ ﻫــــﺎﺭﻭﻥ‬

‫ﺩ‪ .‬ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺤﻰ ﺍﻟﺪﻳﻦ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻼﻡ ﺃﺑﻮ ﺭﻳﺔ‬

‫ﺩ‪ .‬ﺃﺣﻤﺪ ﺧﻠﻴﻔﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺴﻤﻴﻊ ﺧﻠﻴﻔﺔ‬

‫‪á©LGôe‬‬ ‫ﺃ‪.‬ﺩ‪ .‬ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺣﻤﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺍﻟﻜﺮﺵ‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻣﺤﻤـﺪ ﺃﺳــﺎﻣــﺔ ﺯﻳـﺪ ﺷـﺮﻳﻒ‬ ‫ﻣﺴﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫‪iƒHôJ ±GöTGE‬‬

‫ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‬

‫‪πª©dG ≥jôa‬‬ ‫‪º«ª°üJh ôJƒ«Ñªc‬‬ ‫‪óªMGC ≈Ñ∏°T óªfi‬‬ ‫‪¿Éª«∏°S óªfi ΩÉ°üY‬‬ ‫‪óeÉM ó«°ùdG ó«©°ùdG‬‬

‫ﲢﺮﻳﺮ ﻭﺇﺧﺮﺍﺝ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﻫﺞ ﻭﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‬

‫‪äÉjƒàëŸG áªFÉb‬‬ ‫‪äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùMh È÷G : k ’hCG‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫)‪(٣٢-١‬‬

‫☜‬

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫‪٢‬‬

‫☜‬

‫ﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ‬

‫‪٦‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ‬

‫‪١٤‬‬

‫☜‬

‫ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻌﻄﺎﺓ‬

‫‪١٩‬‬

‫☜‬

‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﳉﺒﺮﻯ‬

‫‪٢٦‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ :‬ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫)‪(٥٠-٣٣‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪٣٤‬‬

‫☜‬

‫ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪٣٦‬‬

‫☜‬

‫ﺣﻞ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪٤٠‬‬

‫☜‬

‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ‬

‫‪٤١‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬

‫‪٤٣‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ‬

‫‪٤٧‬‬

‫‪á``°``Só``æ``¡``dG :É```k«```fÉ```K‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ‬

‫)‪(٦٦-٥٣‬‬

‫☜‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪(١‬‬

‫‪٥٤‬‬

‫☜‬

‫ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪(١‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫☜‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (٢‬ﺗﺎﻟﻴﺲ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬

‫‪٥٨‬‬

‫☜‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪(٣‬‬

‫‪٦٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ :‬ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ‬

‫)‪(٩٧-٦٧‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ) ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻭﺗﻌﺎﺭﻳﻒ (‬

‫‪٦٨‬‬

‫☜‬

‫ﺗﺸﺎﺑﻪ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫‪٧٢‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﲔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﲔ‬

‫‪٩٠‬‬

‫☜‬

‫ﲤﺮﻳﻦ ﻣﺸﻬﻮﺭ ﻭﻋﻜﺴﻪ‬

‫‪٩٣‬‬

‫☜‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪٩٩‬‬

‫☜‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫‪١٠٥‬‬

’k hGC È÷G h ÜÉ°ùM äÉã∏ãŸG

‫‪C π°üØdG‬‬ ‫‪∫h’G‬‬

‫‪±Gó`g’C G‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻧﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬

‫✍ ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﹰﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧ ﹰﻴﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻌﺾ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪ ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﺍﳉﺬﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﻛﻼﻳﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﳌﻤﻴﺰ ﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺒﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﻜ ﱡﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﳉﺒﺮﻯ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

: IQƒ°üdG ≈∏Y ≈àdGh óMGh ∫ƒ¡› ≈a á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e πM á«Ø«c Éæ°SQO . z ôØ°U ≠ h , á«≤«≤M OGóYGC `L , Ü , h å«M { ôØ°U = `L + ¢S Ü + 2¢S h . ¿GQòL óLƒj ádOÉ©ŸG √òg π㟠¬fGC Éæª∏Yh : Úà≤jô£dG …óMÉE H øjQò÷G øjòg πãe OÉéjEG øμÁ ∞«c Éæª∏©J ó≤dh : ájÒ÷G á≤jô£dG • ¢†jƒ©àdÉH hGC Éæk μ‡ ∂dP ¿Éc ¿EG `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG π«∏ëàH ÉeEG

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬± ‫ ﺏ‬- = ¢S : ¿ƒfÉ≤dG ≈a Iô°TÉÑe h٢

. ≥∏£ŸG óë∏d `L , ¢S πeÉ©Ÿ Ü , 2¢S πeÉ©Ÿ õeôJ h å«M : á«fÉ«ÑdG á≤jô£dG • óLƒf ºK `L + ¢S Ü + 2¢Sh = (¢S)O å«M O á«©«HÎdG ádGódG º°Sôf É¡«ah .äÉæ«°ùdG Qƒfi ™e ádGódG ≈æëæe ™WÉ≤J ≈à£≤æd Ú«æ«°ùdG Ú«KGóM’G E ≈a á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e iQòL ´ƒf øY åëÑdG ¤EG ±ó¡J Iójó÷G Éæà°SGQOh .á«≤«≤◊G É¡JÓeÉ©eh øjQò÷G øjòg ÚH ábÓ©dG OÉéjEGh óMGh ∫ƒ¡› ádOÉ©e OÉéjEG á«Ø«c ¢SQóf GÒN k GC h ÉgGQòL º∏Y ≈àe ádOÉ©e øjƒμJ ∂dòch Gòg ºàîfh . áæ«©e äÉbÓ©H iôNGC áeƒ∏©e ádOÉ©e iQòL ™e ¿É£ÑJôj ÉgGQòL C ¢†©H ≈£©f ≈∏j ɪ«ah . O ádGódG IQÉ°TEG á°SGQóH ´ƒ°VƒŸG »àM ᣫ°ùÑdG á∏ãe’G .¬à°SGQO ≥Ñ°S Ée ™Lΰùf 0 = 3- ¢S 5 + 2¢S 2 ádOÉ©ŸG iQòL óLhGC

1 ∫Éãe

: π◊G

( 3 + ¢S ) ( 1- ¢S2 ) ihÉ°ùj ¬fGC ó‚ 3- ¢S 5 + 2¢S2 QGó≤ŸG π«∏ëàH . = ( 3 + ¢S ) ( 1- ¢S2 ) ÉeóæYh 1 3- , ɪg ádOÉ©ŸG GQòL∴ 2

(1 ) O , ( 3-) O , (

1 ) O óLhGC 3 - ¢S 5 + 2¢S 2 = ( ¢S )O ¢VôØH : ≥«∏©J 2

? ßMÓJ GPÉe

3-( ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

1 1 1 )5+( )2=( )O 2 4 2 ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

0=3-2

1 2

+

1 2

=(

1 2

) O ...

0 = 3- 15- 18 =3 - (3-) 5 + 2( 3-) 2 = ( 3- )O ∂dòc . ≠ 4 = 3 - 5 + 2 = (1) O ɪæ«H

á¶MÓe 1

, 0 = (3-)O = ( 2 ) O (1) ,ôØ°U ≠ (1) O ɪæ«H , 0= (¢S) O ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 3- = ¢S ,

1 2

= ¢S ∂dòc

. = (¢S) O ádOÉ©ª∏d GQòL ¢ù«d 1 = ¢S å«M k 1 (¢S) O ɪæ«H ,( 2 -¢S) ≈∏Y ∂dòch (3 +¢S) ≈∏Y ᪰ù≤dG πÑ≤j (¢S) O QGó≤ŸG (2) .∂°ùØæH ∂dP øe ócÉC àdG ∫hÉM . (1-¢S) ≈∏Y ᪰ù≤dG πÑ≤J ’

: ¿ÉE a . = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ω = ¢S âfÉc GPEG (3) 0 = (Ω) O `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG πeGƒY óMGC (Ω -¢S)

❑ ❑

2 :1 ÖjQóJ : óLhGC , 12- ¢S 4 - ¢S = (¢S) O ¿Éc GPEG :1 2

0=12 -¢S 4- ¢S ádOÉ©ŸG iQòL (1) (6-) O , (6) O , (2-) O , (2) O , (1-) O , (1) O (2) : π◊G 12 - ¢S 4 - 2¢S QGó≤ŸG π∏ëf 0 = 12 - ¢S 4 - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL OÉéj’E ....... = ¢S hGC

πªcGC . (2 +¢S) (6 - ¢S) ihÉ°ùj ¬fGC ó‚ ...... = ¢S ɪg øjQò÷G ¿ÉE a ºK øeh

......................................... ? ßMÓJ GPÉe

٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

.................. = ( 1 ) O .................. = (1-) O .................. = ( 2 ) O .................. = (2-) O .................. = ( 6 ) O .................. = (6-) O ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

? ßMÓJ GPÉe .... ádOÉ©ŸG iQòL óLhGC . = 9+ ¢S6- 2¢S : âfÉc GPEG

: π◊G

2 ∫É`ã`e

3 = ¢S D 0 = 3 - ¢S ∴ 0 = 2( 3-¢S ) 3 ɪ¡æe πc ᪫bh ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC ßMÓf 0 = 7 - ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 1- =¢S âfÉc GPEG B Qò÷G óLhGC .ôN’G

3 ∫É`ã`e

: π◊G

0 = (1-) O ¿ÉE a ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 1-= ¢S å«M 6- = h É¡æeh 0= 7- (1-) h + 2( 1-) ∴ 0 = 7 - ¢S 6- 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG 1- = ¢S hGC 7 = ¢S É¡æeh 0 = ( 1+ ¢S ) ( 7 -¢S) B Qò÷G 7 = ôN’G

0 = 1 + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ª∏d øjQòL 1 = ¢S ,

: 2 ÖjQóJ

1 = ¢S âfÉc GPEG 2

Ü , h : óLhGC : π◊G

0=(

1 1 ) O ← ádOÉ©ª∏d QòL = ¢S 2 2 1 1 0=1+Ü +h ∴ 2 4

(1) ...................

0 = 4 + Ü2 + h

0 = ( 1 ) O ← ádOÉ©ª∏d ôNGC QòL 1 = ¢S , 0 = 1 + Ü + h ...

(2) ...................

:¿GC èàæj (2) , (1) ÚàdOÉ©ŸG πëHh ...................... : πªcGC ...... = Ü ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

,

...... = h ...

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

B ä’OÉ©ŸG πM : á«J’G 0 =5 + ¢S 8 - 2¢S 3 0 = 1 + ¢S 3 + 2¢S 0 =1 + ¢S 3 + 2¢S 2

O `g h

1

0 = 8 + ¢S 6 - 2¢S G 0 = 6 - ¢S 5 + 2¢S Ü 0 = 7 + ¢S 9 - 2¢S2 `L

GPÉe .ádOÉ©e πc iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC á≤HÉ°ùdG πFÉ°ùŸG ≈a 2 ? èàæà°ùJ B Qò÷Gh h ᪫b óLhGC 3 : ¿GC º∏Y GPEG ôN’G 0 = 2 - ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2- = ¢S

0 = 9 - ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 3 = ¢S Ü

0 = 4 - ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2 = ¢S `L

0 = 3 + ¢S 7 - 2¢Sh

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 12 = ¢S O

0 = h + ¢S 5 - 2¢S

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 6 = ¢S `g

G

0 = h + ¢S 5 - 2¢S h

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 2 = ¢S h

0 = 42 - ¢S h + 2¢Sh

ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 6 = ¢S R : ¿GC º∏Y GPEG Ü , h óLhGC 4 3 -, 3 2 2

0 = 9 - ¢S Ü + 2¢S h

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg

0 =1 + Ü+ ¢S Ü + 2¢S h

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg

0 = Ü + ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg

3 , 2-

`L

0 = Ü + ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg

3- , 5

O

0 =Ü + ¢S h + 2¢S

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg

5- ,5

`g

ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 2 - 3 , 2 + 3

h

0 =1 + Ü - ¢S Ü + 2¢Sh

٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

G

3,2 Ü

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

IOó©àe ´Gƒ``fGC ∑Éæg øμdh , ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿GC í°†àj ≥Ñ°S ɇ C ∫ÓN øe í°†àJ ±ƒ°S øjQò÷G øjò¡d : á«dÉàdG á∏ãe’G 2

0 = 3 - ¢S 2 - ¢S2: ádOÉ©ŸG πM 1 ∫É`ã`e k hGC [ 3 , 2-] J¢S Gòîàe É«fÉ«H : É«fÉK ÉjÈL : ’ k k k hGC : iÈ÷G π◊G : ’ ≈a ¢†jƒ©àdG ¤EG ÉC é∏f ∂dòd ¬∏«∏– Qò©àj 3 -¢S 2 - 2¢S2 ≈KÓãdG QGó≤ŸG : ¿ƒfÉ≤dG

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬± ‫ ﺏ‬- = ¢S h٢

3- = `L ,

2- = Ü ,

2 = h å«M

(3-) * 2 * 4 - 2 (2- ) ± (2-) 2*2 24 + 4 ± 2 4 7 ±1 2

=

(7 ± 1 ) 2 4

{

=

7 -1 2

7 2± 2

=

4

،

7 +1 2

28 ± 2 4

= ¢S∴ = =

} = ‫∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬

: ≈fÉ«ÑdG π◊G : É«fÉK k 2 C 3 - ¢S 2 - ¢S2 = (¢S ) O ¿G ¢VôØf 9 = 3 - 4 + 8 = 3 - 2 * 2 + 4 * 2 = ( 2- ) O 1 = 3 - 2 + 2 = 3 - 1 * 2 + 1 * 2 = ( 1-) O , 3- = 3 - 2 - 2 = ( 1 ) O , 3- = ( 0 ) O πãŸÉHh 9 = 3 - 6 - 18 = ( 3 ) O , 1 = 3 - 4 - 8 = ( 2 ) O , 1 1 1 3 -=3-1=( )O 2

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2

2

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٦

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

B ∫hó÷G ≈a á≤HÉ°ùdG èFÉàædG ÖJôJh : ≈J’G ٣

٢

١

٩

١

٣-

1 2

٣

1 2

-

٠

١-

٢-

¢S

٣-

١

٩

( ¢S ) O = ¢U

‫ﺹ‬ C πã“ ºK §≤æH áÑJôŸG êGhR’G ٩

π°üfh ≈JQÉμjódG iƒà°ùŸG ≈a

٨

πμ°ûdG ≈a ɪc ≈æëæà ɡæ«H

٧

≈fÉ«ÑdG π«ãªàdG ƒg ¿ƒμ«a ¤ÉàdG :å«M O ádGó∏d

٦ ٥

3 -¢S 2 - 2¢S2 = ( ¢S ) O

٤

:ádOÉ©ŸG GQòL OÉéj’h E 2 §≤f óLƒf 0 = 3 -¢S 2 - ¢S2 Qƒfi ™e O ádGódG ≈æëæe ™WÉ≤J , ( 0 , 1^8 ) : É`góéæa äÉ``æ«°ùdG ( 0 , 0^8- )

٣ ٢ ١ َ‫ﺱ‬

٣-

٢-

١-

١-

٠

١

٣

٢

٢-

‫ ﺱ‬0^8- , 1^8 ɪg ádOÉ©ŸG GQòL ∴ ÉÑjô≤J k {٠٫٨− ،١٫٨ }=π◊G áYƒª› ¿GC iGC

٣َ‫ﺹ‬ . = 9 + ¢S 12 - 2¢S 4 : ádOÉ©ŸG πM

2 ∫É`ã`e

: π◊G {

٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

3 } = π◊G áYƒª› ∴ 2

0 = 2( 3 - ¢S 2 ) ∴ 3 = ¢S ∴ 2

π«∏ëàdÉH

0 = 3 - ¢S 2 ∴ ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

:¿GC ÉfóLƒd ¿ƒfÉ≤dG Éæeóîà°SG ÉæfGC ƒdh

‫ﺹ‬

٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١

َ‫ﺱ‬

٢- ١-

٠

١

٢

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬± ‫ ﺏ‬= ¢S h٢ 9 * 4 * 4 - 144 ± 12 = 8 0 ± 12 144 - 144 ± 12 = = 8 8

‫ﺱ‬

٣

3 2

=

12 8

=

3 = ɪ¡æe πch ¿ÉjhÉ°ùàe ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC iGC 2

َ‫ﺹ‬

ó‚ ÉæfÉE a 9 + ¢S12 - 2¢S 4 = ( ¢S) O å«M O ádGó∏d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG É檰SQ GPEGh 3 . πμ°ûdG ≈a ɪc ( 0 , ) á£≤ædG óæY ádGódG ≈æëæe ¢ùÁ äÉæ«°ùdG Qƒfi ¿GC 2

‫ﺹ‬

0 = 5 + ¢S 2 - 2¢S : ádOÉ©ŸG πM

١٤

C áYƒª› ≈a á«≤«≤◊G OGóY’G : π◊G

١٢ ١٠

: å«M ¿ƒfÉ≤dG Ωóîà°ùf π«∏ëàdG Qò©àd 5 = `L ,

٨ ٦

20 - 4 ± 2

٢ ٣-

2

‫ﺱ‬ ٢-

١-

2- = Ü , 1 = h

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬± ‫ ﺏ‬- = ¢S h٢

٤

َ‫ﺱ‬

3 ∫É`ã`e

٠

١

٢

16 - ± 2

٣

2

َ‫ﺹ‬

= =

É«≤«≤M GOóY ¢ù«d 16- ¿GC å«Mh k k á«≤«≤M QhòL É¡d ¢ù«d ádOÉ©ŸG ∴ ì ≈a

∅ = π◊G áYƒª› ∴

Qƒfi ¿GC ó‚ ÉæfÉE a 5 + ¢S 2 - 2¢S = ( ¢S ) O ádGó∏d ≈fÉ«ÑdG πμ°ûdG É檰SQ GPEGh . ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG ≈a ɪc á£≤f iGC ≈a ádGódG ≈æëæe ™e ∑ΰûj ’ äÉæ«°ùdG ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٨

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

:á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG π◊ ¿ƒfÉ≤dG ΩGóîà°SG óæY ¬fEG ÉæjGC Q ≥Ñ°S ɇ 2 , ‫ ﺟـ‬h ٤ - ‫ ﺏ‬+ ‫ ﺏ‬- ɪg øjQòL ≈∏Y π°üëf ÉæfGC 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h h٢ ‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬− ‫ ﺏ‬− QGó≤ŸG ≈ª°ùjh , `Lh 4 - 2Ü QGó≤ŸG ≈∏Y iƒàëj øjQò÷G Óch h٢ 2 C ¬JQÉ°TEG ¿’ ∂dòc ≈ª°Sh , 0 = `L + ¢S Ü + ¢S h : ádOÉ©ŸG õ«ªÃ `Lh 4 - 2Ü : ≈g ä’ÉM çÓK ÚH ¥ôØf å«M øjQò÷G ´ƒf Éæd õ«“

C ádÉ◊G ôØ°U < `L h 4 - 2Ü iGC ÖLƒe õ«ªŸG : ¤h’G á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ¤ÉàdÉHh É«≤«≤M GOó` k `Y , `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a k (1) ∫ÉãŸG ≈a ɪc ¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQòL å```«M O á``````dGó`dG ≈``æëæe ™````£≤j äÉ``````æ«°ùdG Qƒ``````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò``g ≈`a É``k``°†jGC ß`MÓ`fh .á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg Ú«æ«°ùdG ɪgÉ«KGóMG Úà£≤f ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O ôØ°U = `L h 4 - 2Ü iGC kGôØ°U ihÉ°ùj õ«ªŸG : á«fÉãdG ádÉ◊G Ú«≤«≤M á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj ¤ÉàdÉHh , 0 = `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a ÜG2

= ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe

: O á``````dGó`dG ≈``æëæe ¢ùÁ äÉ``````æ«°ùdG Qƒ````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò`g ≈`a ß`MÓ`f ƒg ≈æ«°ùdG É¡«KGóMEG ≈àdG ( 0 ,

Ü-

h2

) á£≤ædG ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = ( ¢S )O å```«M .(2) ∫Éãe ≈a ɪc á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d QôμŸG Qò÷G ôØ°U > `L h 4 - 2Ü iGC ÖdÉ°S õ«ªŸG : áãdÉãdG ádÉ◊G

’ á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG ¿ÉE a ¤ÉàdÉHh É«≤«≤M GOóY ¢ù«d , `L h 4 - 2Ü ¿ƒμj ádÉ◊G √òg ≈a k . á«≤«≤M ∫ƒ∏M hGC QhòL É¡d ¿ƒμj å```«M O á``````dGó`dG ≈``æëæe ™e ∑ΰûj ’ äÉ``````æ«°ùdG Qƒ````fi ¿GC á```dÉ```◊G √ò`g ≈`a ß`MÓ`fh .¬°ùÁ ’h ¬©£≤j ’ iGC á£≤f iGC ≈a `L + ¢S Ü + 2¢S h = ( ¢S )O

٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

á¶MÓe GOk GóYGC 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG ≈a `L , Ü , h äÓeÉ©ŸG âfÉc GPEG(1) k .Ú«Ñ°ùf Ú«≤«≤M ¿GQò÷G ¿Éc ÓeÉc É©Hôe õ«ªŸG ¿Éch á«Ñ°ùf k

0 = 3 -¢S- 2¢S2 ádOÉ©ŸÉa

¿EG å«Mh , πeÉc ™Hôe 25 = 24 + 1 = ( 3- ) * 2 * 4 - 2(1-) ihÉ°ùj Égõ«‡ 3 , 1- ɪg Ú«Ñ°ùf ¿GOóY ÉgGQòéa á«Ñ°ùf OGóYGC äÓeÉ©ŸG 2

2

. πeÉc ™Hôe 36 = 28 + 8 = (7-) * 4 - ( 2 2-) = Égõ«ªªa , 0 = 7 - ¢S2 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG øeh GOóY ¢ù«d 2 2- ƒgh ¢S πeÉ©e ¿’C Ú«Ñ°ùf ÒZ Ú«≤«≤M ÉgGQòéa ∂dP ™eh k ɪgóéàa ¿ƒfÉ≤dG ΩGóîà°SÉH øjQò÷G OÉéjÉE H ∂dP øe ≥≤ëàdG øμÁh É«Ñ°ùf 3-2

, 3+ 2

2 C ÚàdÉ`◊G øe 0=`L +¢S Ü + ¢S h á`«©«HÎdG á`dOÉ©ŸG ¿GC èàæà°ùf á«fÉãdGh ¤h’G õ````````«ªŸG ¿É````c GPEG ( á```«≤«``≤M QhòL É```¡d ¿ƒ````μj iGC ) ì ≈``a π```M É```¡d ¿ƒ`````μj

ôØ°U ≤ `L h 4 - 2Ü ôØ°U = `L âfÉc GPEG (2) ¿GC èàæj π«∏ëàdÉHh 0 = ¢S Ü+ 2¢Sh IQƒ°üdG ≈∏Y á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG òÄæ«M íÑ°üJ Ü= ¢S hGC 0 = ¢S : ¿GC èàæà°ùf É¡æeh 0 =(Ü+¢S h) ¢S Ü-

h

h

B ôØ°üdG ɪg ¿É«≤«≤M ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμJ ádÉ◊G √òg ≈a ¬fGC iGC ôN’Gh 2

0 = ( 5 - ¢S 3 ) ¢S íÑ°üJ π«∏ëàdÉH 0 = ¢S 5 - ¢S 3 ádOÉ©ŸG : Óãªa

( 5 , 0 ) ɪg ÉgGQòL ¿ƒμ«a 3

ôØ°U = Ü âfÉc GPEG (3)

`L-

h C h =2¢S iGh 0 = `L + 2¢S IQƒ°üdG ≈∏Y á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG òÄæ«M íÑ°üJ • `L-

h

± = ¢S iGC ,

¿ƒμj ’ ( É©e E ¢ùØf ɪ¡d `L , h ¿Éc GPÉE a• k ¿ÉÑdÉ°S hGC É©e k ¿ÉÑLƒe )IQÉ°T’G 0 = 4 + 2¢S ádOÉ©ŸG πãe á«≤«≤M ∫ƒ∏M ádOÉ©ª∏d ádÉ◊G √òg ≈a á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj IQÉ°T’G E ≈a ¿ÉØ∏àfl `L , h ¿Éc GPEG• B ≈©ªL ¢Sƒμ©e ɪ¡æe πc ¿É«≤«≤M ¿ÓM 0= 9 - 2¢S 4 ádOÉ©ŸG πãe ôNÓd 32 ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

,

3 2

ɪg ÉgGQòL

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٠

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G ´ƒf åëHG : É¡∏M ¿hO á«J’G 0 = 4 + ¢S 10 + 2¢S 3 (1) 0 = 5 + ¢S 4 - 2¢S 3 (1) 0 = 49 + ¢S 28 - 2¢S 4 (1)

4 ∫É`ã`e

: π◊G 4 = `L , 10 = Ü , 3 = h (1) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ ( áÑLƒe ᫪c iGC ) 0 < 52 = 48 - 100 = 4 * 3 * 4 - 2( 10) = .¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQò÷G ∴ 5 = `L , 4- = Ü , 3 = h (2) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ ( áÑdÉ°S ᫪c iGC ) 0 > 44- = 60 - 16 = . ádOÉ©ŸG √ò¡d á«≤«≤M QhòL óLƒJ ’ ∴ 49 = `L , 28- = Ü , 4 = h (3) `L h 4 - 2Ü = õ«ªŸG ∴ 49 * 4 * 4 - 2( 28-) = ôØ°U = 784 - 784 = . ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ¿GQò÷G ∴ : ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC âÑKÉa Ú«Ñ°ùf øjOóY Ü , h ¿Éc GPEG ¿É«Ñ°ùf 0 = Ü + ¢S ( Ü+ h) + 2¢S h

5 ∫É`ã`e

: π◊G Ü * h * 4 - 2( Ü + h ) = õ«ªŸG Üh4-2Ü+Üh2+2h= 2 Ü+Üh2-2h= .πeÉc ™Hôe 0 ≤ 2 ( Ü - h )= . πeÉc ™Hôe õ«ªŸGh á«Ñ°ùf OGóYGC äÓeÉ©ŸG ... . ¿É«Ñ°ùf ¿GOóY ádOÉ©ŸG GQòL ∴ ᪫b óLhÉC a ¿ÉjhÉ°ùàe 0 = 9 + ¢S 6 - ∑ 7 + ¢S ∑ 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG . øjQò÷G óLhGC ºK á«≤«≤◊G ∑

١١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

6 ∫É`ã`e

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

: π◊G : áeÉ©dG IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG ™°†f 0 = 9 + ∑ 7 + ¢S 6 - ¢S ∑ 2 - 2¢S ∴ (1) ... 0 = (9 + ∑ 7) + ¢S ( 6 + ∑ 2 ) - 2¢S ∴ (9 + ∑ 7) * 1 * 4 - 2( 6 + ∑ 2 ) = õ«ªŸG ∴ 36 -∑ 28 - 36 + ∑ 24 + 2∑ 4 = ∑ 4 - 2∑ 4 = ôØ°U = õ«ªŸG ∴ ¿ÉjhÉ°ùàe ádOÉ©ŸG GQòL ...

0 = ( 1-∑ ) ∑ 4 iGC 0 = ∑ 4 - 2∑ 4 ∴ 1=∑ ‫ﺃﻭ‬ ٠=∑∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ 0 = ∑ øY ( 1 ) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 9 + ¢S 6 - 2¢S 3 = ¢S iGC 0 = 2( 3 - ¢S ) iGC 3 = ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿ƒμj 0 = ∑ óæY ∴ : IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ 1 = ∑ øY ( 1 ) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 16 + ¢S 8 - 2¢S 4 = ¢S iGC 0 = 2( 4 - ¢S ) iGC 4 = ɪ¡æe πch ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿ƒμj 1 = ∑ óæY ∴

7 ∫É`ã`e

: ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ’ ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ ¬fGC âÑKG á«≤«≤M QhòL 0 = 2h + ¢S h 2 - 2¢S ( 1 + 2h )

: π◊G 2

h * ( 1 + 2 h ) 4 - 2( h 2 - ) = õ«ªŸG

h 4 - = 2h 4 - 4 h 4 - 2 h 4 = . ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ áÑdÉ°S ᫪c ( 4h 4 - ) õ«ªŸG ¿GC å«Mh 4

. ôØ°üdG GóY á«≤«≤◊G h º«b ™«ª÷ ádOÉ©ª∏d á«≤«≤M QhòL óLƒJ ’ ∴ √ògh ôØ°U = 2¢S IQƒ°üdG ≈∏Y ádOÉ©ŸG íÑ°üJ ôØ°U = h âfÉc GPEG ¬fGC ßM’ C ádOÉ©ŸG ôØ°U = ɪ¡æe πc ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M ¿GQòL É¡d IÒN’G

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٢

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G ´ƒf åëHG • : É¡∏M ¿hO á«J’G 0 = 5 + ¢S 3 - 2¢S

2

0 = 2 + ¢S 4 - 2¢S

1

0 = 1 + ¢S 14 - 2¢S 49

4

7 = ( 1 - ¢S ) ¢S

3

0 = ( 6 - ¢S ) ¢S - ( 11 - ¢S )

6

0 = 7 - ¢S 3 + 2¢S2

5

{1- ,1}/J ¢S å«M 3 = 1- ¢S +1+ ¢S 8

0 = 3 + ( 1 + ¢S )

7

6 + ¢S = 2¢S 2

9

2

(1≠¢S å«M)

¢S

2

4 =1- ¢S - ¢S

10

(4-¢S)(3-¢S)2 =(7-¢S)(1-¢S)

12

1 = ¢S 5 + 2¢S4 11

. ¿ ᪫b óLhÉC a ÚjhÉ°ùàe 0 = ¿ 4 + ¢S 5 + 2¢S2 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 13 ÚjhÉ°ùàe 0 = ∑ + ¢S6 - 2¢S3 : ádOÉ©ŸG iQòL π©Œ ≈àdG ∑ ᪫b óLhGC

14

ÚjhÉ°ùàe 0 = 3+ ¢S Ω7 + 2¢S75 : ádOÉ©ŸG iQòL π©Œ ≈àdG Ω áª«b óLhGC 15 . ¿ ᪫b óLhÉC a . ÚjhÉ°ùàe 0 = 5+ ¢S ¿ + 2¢S2 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 16 : ádOÉ©ŸG iQòL ¿ÉE a ≈Ñ°ùf OóY Ω ¿Éc GPEG ¬fGC âÑKG 17 .Ú«Ñ°ùf øjOóY ¿Éfƒμj 0 = Ω 3 + ¢S (3+Ω)5 + 2¢S25 : ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj Úà«≤«≤◊G Ü , h º«b ™«ª÷ ¬fGC âÑKG 18 . Ú«≤«≤M 5 = ( Ü - ¢S ) ( h - ¢S )

١٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

(1) 0

≠h

0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQóL ɪg Ω , ∫ ¿GC ¢VôØf

,

(2)

.=

`L

h

Ü

+ ¢S

h

+ 2¢S : ≈∏Y π°üëf ÉæfÉE a h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH

: ¿ÉE a (2) ádOÉ©ŸG ≥HÉ£J ≈àdGh (1) ádOÉ©ª∏d ¿GQòL ɪg Ω , ∫ å«Mh `L

( Ω - ¢S ) ( ∫ -¢S ) = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S = (Ω+∫)-=

Ü

h

`L

h

h

+ ¢S

+ ¢S

Ü

h

Ü

h

2

+ ¢S

+ 2¢S ∴

: ¿GC èàæj Úaô£dG ≈a áØ∏àîŸG ¢S iƒb äÓeÉ©e áfQÉ≤Ãh Ü

h

- = Ω + ∫ É¡æeh `L

h

=Ω∫,

¿ÉE a . = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL ɪg Ω , ∫ ¿Éc GPEG ¬fGC iGC `L ≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e

h

=Ω∫

= øjQò÷G Üô°V π°UÉM ,

Ü-

, ¢S πeÉ©e-

2¢S πeÉ©e

h

=Ω+∫

= øjQò÷G ´ƒª› : ¿GC iGC

: ≈∏j ɪc iôNGC á≤jô£H É¡«∏Y ∫ƒ°ü◊G øμÁ á≤HÉ°ùdG áé«àædG ¿ÉE a 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ª∏d øjQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG ¬fGC º∏©f ‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬+ ‫ ﺏ‬h٢ ‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬− ‫ ﺏ‬h٢ ‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬− ‫ ﺏ‬h٢

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

+

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬+ ‫ ﺏ‬h٢

=∫ =Ω

= Ω + ∫ : ¿ÉE a ºK øeh

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٤

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

Ü-

Ü 2-

= h

[

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬− ‫ ﺏ‬h٢

][ `L

h

‫ ﺟـ‬h ٤ - 2‫ ﺏ‬+ ‫ ﺏ‬-

] = Ω * ∫ ∂dòc

h٢

=

( `L h 4 - 2Ü) - 2Ü 2

=Ω+∫

h2

h4

= : ¿GC iGC

≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e

=Ω∫

¢S πeÉ©e-

,

=Ω+∫

2¢S πeÉ©e

. á≤HÉ°ùdG áé«àædG ¢ùØf ≈gh

: áé«àf 0 ≠ h å«M

0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG ♦ h ≈∏Y ᪰ù≤dÉH

: ¿GC º∏©f Éææμd

0= `L

h

= Ω∫,

`L

h

+ ¢S Ü-

h

Ü

h

2

+ ¢S

=Ω+∫

0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S : ≈∏j ɪc (1) ádOÉ©ŸG áHÉàc øμÁ Gòg ≈∏Yh 2

0 = øjQò÷G Üô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) - ¢S : iGC . á≤HÉ°ùdG IQƒ°üdÉH ÉgGQòL º∏Y GPEG ádOÉ©e iGC øjƒμJ ÉææμÁ ∂dòHh 0 = (Ω - ¢S) (∫ -¢S) : IQƒ°üdG ≈∏Y Ω , ∫ ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG áHÉàc øμÁ ɪc : ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC 0 = 12 + ¢S 7 - 2¢S

1 ∫É`ã`e : π◊G

12 = `L ,

١٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

7- = Ü ,

1=h

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬ `L

Ü-

12 = h = øjQò÷G Üô°V π°UÉM ,

7 = h = øjQò÷G ´ƒª›

: 1 ÖjQóJ .ɪ¡jQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC ºK , ≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG ≈a ádOÉ©ŸG πM .≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸÉH ¬«∏Y π°ü– Ée ¿QÉb

: 2 ÖjQóJ {5 ,2} /J¢S å«M

2 + ¢S2 2 - ¢S 7 2

= ,

2 + ¢S 5 - ¢S 5 2

: ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉMh ´ƒª› óLhGC

6= ≈g ádOÉ©ŸG : 0=( 0=

7 2 35 4

- ¢S) (

ôNBG πM 5 2

- ¢S)

+ ¢S 6 - 2¢S iGC

0 = 35 + ¢S 24 - 2¢S 4

2 ∫É`ã`e

ɪgGQòL á«fÉãdG áLQódG øe ádOÉ©e ¿ƒc

35 4

=

7 2

*

5 2

7 2

+

5 2

: π◊G = øjQò÷G ´ƒª›

= øjQò÷G Üô°V π°UÉM

: ≈g ádOÉ©ŸG ∴ 0 = ɪ¡Hô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) - 2¢S 35 0= + ¢S 6 - 2¢S 4

0 = 35 + ¢S 24 - 2¢S 4

: 3 ÖjQóJ 3 - 2 , 3 + 2 ÉgGQòL á«fÉãdG áLQódG øe ádOÉ©e ¿ƒc

: π◊G 3 -2 =Ω,

3 +2 =∫

: ¢VôØf

............. = Ω + ∫ ∴ ................. = Ω ∫ 0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG ∴ ...................................... : iGC

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٦

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

: ádOÉ©ŸG iQòL óMGC π©Œ ≈àdG h ᪫b óLhGC 2

B Qòé∏d ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ∞©°V 0 = 8 - ¢S h + ¢S .ôN’G

3 ∫É`ã`e : π◊G

∫ = øjQò÷G óMGC ¢VôØf

B Qò÷G ∴ ∫ 2- = ôN’G

8- = ( ∫2- ) ∫ = øjQò÷G Üô°V π°UÉM ∴ 8- = 2∫ 22±=∫ ( ∫2- ) + ∫ = øjQò÷G ´ƒª› 2±=h∴

∫ = h É¡æeh

h- = ∫- =

B ä’OÉ©ŸG øe πμd øjQò÷G Üô°V π°UÉMh øjQò÷G ´ƒª› óLhGC : á«J’G 0 = 3 - 2¢S 0 = 3 + ¢S 2 - 2¢S 5 ¢S 4 = 5 + 2¢S 3

1

0 = 5 - ¢S 3+ 2¢S2 G 0 = 4 - 2¢S3 `L 0 = 1 - ¢S 11 + 2¢S30 `g

Ü O h

0 = ( 5 - ¢S 2 ) ( 2 + ¢S3 ) R { ٦- ، ٢ } /J ¢S å«M

4 - ¢S 3 1 + ¢S 4 6 + ¢S = 2 - ¢S

ì

{ ٢- ، ٢ } /J ¢S å«M

3=

1 1 2+ ¢S + 2 - ¢S

•

{ ٣- ، ٢ } /J ¢S å«M

1+ ¢S3 2 - ¢S =

3 - ¢S 2 + ¢S 3 + ¢S + 2 - ¢S

i

6- , 6 `L 7,7 h

: ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e ¿ƒc 2 9 , 6- Ü 5 , 7- G 3 , 2 ‫ ﺏ‬-, h O ‫` ﺏ‬g h

(Ü+h),(Ü-h) ì

١٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2

3

(5 2-7),(5 2+7) R

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

( 1 + 2 h - ) ,( 1 + 2 h ) • h

h

( Ü -1 ) ,( Ü + 1 ) i Ü +h Ü -h

,

Ü -h Ü +h

∑

: π©Œ ≈àdG h ᪫b óLhGC 3 ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ƒg 0 = 7 -¢S ( 2 + h ) + 2¢S2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC G B Qòé∏d .ôN’G ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ŸG ƒg 0 = 1 + 2 h +¢S 7 + 2¢Sh 2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ü B Qòé∏d .ôN’G B Qò÷G ∞©°V 0 = 2 + h+ ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC `L .ôN’G B Qò÷G ∫ÉãeGC á©HQGC 0 = 4 - h2+ ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC O .ôN’G 3 ihÉ°ùj 0 = 4- ¢S (3- h)+ 2¢S (2-h) ádOÉ©ŸG iQòL ´ƒª› `g 4-ihÉ°ùj 0 = 4 - ¢S(3-h)+ 2¢S (2-h) ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉM h B ≈∏Y ójõj 0 = 8 + ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC R 2 QGó≤à ôN’G B ∞©°V ≈∏Y ójõj 0 = 21 + ¢S h - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ì QGó≤à ôN’G . óMGh B ≈©ª÷G ¢Sƒμ©ŸG ≈∏Y ójõj 0 = 3- ¢S h - 2¢S4 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC • ôNÓd . óMGh QGó≤à B ≈Hô°†dG ¢Sƒμ©ŸG ≈∏Y ójõj 0 = 3 +¢Sh- 2¢S2 ádOÉ©ŸG iQòL óMGC i ôNÓd .óMGh QGó≤Ã

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

١٨

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

ÚH ábÓY óLƒJ å«ëH IÉ£©e ádOÉ©e ∫ÓN øe ádOÉ©e øjƒμJ á«Ø«c ¢SQóf ±ƒ°S .IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG iQòLh áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG iQòL : Óãªa

. Ω , ∫ ɪg 0 = 10 + ¢S 7 + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC º∏Y GPEG 4 + Ω , 4 + ∫ ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC

: π◊G . §≤a ¥ôW çÓK ôcòf ±ƒ°Sh , ∫ÉãŸG Gòg π◊ ¥ôW IóY óLƒJ C á≤jô£dG : ¤h’G ∫ƒ°ü◊G øμÁ ºK øeh , IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG iQòL OÉéjEG ≈a á≤jô£dG √òg ¢üî∏àJh .É¡æjƒμJ ܃∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ƒμf ºK áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG iQòL ≈∏Y : å«M IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG ¿GQòL ɪg 5- , 2- ¿GC øe ócÉC àdG π¡°ùdG øe : å«M h , `g ɪg áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL , 5- = Ω , 2- = ∫ 2 = 4 + 2- = 4 + ∫ = `g 1- = 4 + 5- = 4 + Ω = h , 2- = (1-) 2 = h `g , 1 = 1 - 2 = h + `g ∴ 0 = 2 - ¢S - 2¢S : ≈g ádOÉ©ŸG ∴ : á«fÉãdG á≤jô£dG áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¿GC ¢VôØf 4 + Ω = h , 4 + ∫ = `g ∴ 8+Ω+∫=

4+ Ω + 4+∫ = h + `g ∴

.IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG øe 7- = Ω + ∫ øμdh

١٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

1 = 8 + 7- = h + `g ∴ 16+ ( Ω + ∫ ) 4 + Ω ∫ = ( 4 + Ω ) ( 4 + ∫ ) = h `g , IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG øe 10 = Ω ∫ øμdh 2- = 16 + 28 - 10 = h `g ∴ 0 = 2-¢S - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴ : áãdÉãdG á≤jô£dG áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg h , `g ¿GC ¢VôØf 4 + Ω = h , 4 + ∫ = `g ∴ , 4-h=Ω,

4 - `g = ∫ ∴

0 = 10 + ¢S 7 + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ∫ øμdh , 0 = 10 + ∫ 7 + 2∫ ∴ 4 - `g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉHh 0 = 10 + ( 4- `g ) 7 + 2( 4 -`g ) ∴ 0 = 10 + 28 - `g 7 + 16 + `g 8 - 2 `g 0 = 2 - `g - 2 `g 0 = 2 - ¢S - 2¢S ádOÉ©ŸG QòL `g :¿GC iGC 0 = 2 - ¢S - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ƒμJ ∂dòHh ≈àdG á≤jô£dÉH πëj ɉEGh çÓãdG ¥ô£dÉH πëj ¿GC ÖdÉ£dG øe ܃∏£ŸG ¢ù«d ) ( ¬Ñ°SÉæJ . Ω , ∫ ɪg 0 = 10 - ¢S + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ¿GC º∏Y GPEG 1 1 , ɪg ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC Ω

∫

1 ∫É`ã`e

: π◊G

.áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¿GC ¢VôØf (1) ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

1 = ∫ É¡æeh , `g

1 = `g ∴ ∫

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٠

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

0 = 10 - ¢S + 2¢S ádOÉ©ª∏d QòL ∫ øμdh (2) 0 = 2`g 10 - `g + 1 iGC

0 = 10 - ∫ + 2∫ ∴ (2) ≈a (1) øe ¢†jƒ©àdÉH 1

1

0 = 10 - ( `g ) + 2( `g ) ∴ 0 = 1 - ¢S - 2¢S 10 : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴

: 1 ÖjQóJ ∫ÉãeGC áKÓK ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 20 - ¢S 4 - 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL øe √Ò¶f

: π◊G

áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ª∏d ¿GQòL h , `g ¢VôØH IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ , `g ∫3 = `g ∴ 3 = ∫ É¡æeh 0 = 20 - ¢S 4 - 2¢S ádOÉ©ŸG QòL ∫ øμdh

πªcG

............................

`g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉH 3

.......................... : ¿GC èàæj ............................................ : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ∴

: 2 ÖjQóJ √Ò¶f ∞°üf ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 7 + ¢S 12 - 2¢S4 : ádOÉ©ŸG iQòL øe

: π◊G

.IÉ£©ŸG ádOÉ©ŸG GQòL ɪg Ω , ∫ , áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g .................. = ∫ É¡æeh , ................. = `g ∴ 0 = 7 + ¢S 12 - 2¢S 4 :ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ∫ øμdh .........................................∴ ....................... = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉH .........................................∴ ......................................... = áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ºK øeh

٢١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

™Hôe ihÉ°ùj É¡jQòL øe QòL πc ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e óLhGC 0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL øe √Ò¶f

2 ∫É`ã`e

: π◊G

0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC ¢VôØH . áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG GQòL h , `g ¢VôØHh 0 = 5 - ¢S 3 + 2¢S ádOÉ©ŸG QòL ∫ å«Mh , `g ± = ∫ É¡æeh ,2∫ = `g ∴ 0 = 5 - ∫ 3 + 2∫ ∴

`g = ∫ øY ¢†jƒ©àdÉHh ,

0 = 5 - `g 3 + 2( `g ) ∴ Úaô£dG ™«HÎHh `g - 5 = `g 3 ∴ 0 = 25 + `g 19 - 2 `g É¡æeh 2`g + `g 10 - 25 = `g 9 0 = 25 + ¢S 19 - 2¢S : ≈g áHƒ∏£ŸG ádOÉ©ŸG ¿ÉE a ºK øeh ¥ôØdG ihÉ°ùj 0 =`L +¢S 2 - 2¢S3 : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 0 =232 - `L48 + 2`L 9 ¿GC âÑKG 0 = 3 + ¢S `L - 2¢S2 : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH

3 ∫É`ã`e

: π◊G

(1) (2)

ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC ¢VôØH ádOÉ©ŸG GQòL h , `g , `L 2 =Ω∫, =Ω+∫ 3 3 = h `g , 2

Úaô£dG ™«HÎH ™HôŸG ∫ɪcÉH

3

`L = h + `g , 2

( h - `g ) = Ω - ∫ : øμdh h `g 2 - 2h + 2`g = Ω ∫ 2 - 2Ω + 2∫

h `g 2 - h `g 2 - 2( h + `g ) = Ω ∫2 - Ω ∫ 2 - 2( Ω + ∫ ) ∴ h `g 4 - 2( h + `g ) = Ω ∫ 4 - 2( Ω + ∫ ) 36 * Úaô£dG Üô°†H

2`L

`L4

4

6- 4 = 3 - 9 216 - 2`L 9 = `L 48 - 16

ôØ°U = 232 - `M 48 + 2`L 9 ∴

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٢

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

0 = 10 - ¢S 6 - 2¢S : ádOÉ©ŸG GQòL Ω , ∫ ¿GC º∏Y GPEG 1 : ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC 3-Ω,3-∫ 2 , 2 Ω3 ∫3 3 + 2Ω 2 , 3 + 2∫ 2

2+Ω,2+∫ h

Ü O

1 , Ω

h

2

1 ∫

`L

Ω , 2∫ `g

: ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 2 .`L ᪫b óLhGC

11 ƒg 6

`L = 1 + ¢S 7 - 2¢S 6

: ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 3 0 = `L 2 + ¢S `L + 2¢S : ádOÉ©ŸG iQòL Üô°V π°UÉM ∞©°V ihÉ°ùj .`L ᪫b óLhGC 0 = `L + ¢S h + 2¢S

٢٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

`L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S) O :å«M O ádGódG : ¿Éc GPEG §≤ah GPEG 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG iQòL óMGC Ω (1) 0 = (Ω) O (G) `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG πeGƒY óMGC ( Ω - ¢S ) (Ü) 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG iQòL ´ƒf ≈∏Y ±ô©àdG (2) 0 < `L h 4 - 2Ü iGC ÖLƒe õ«ªŸG (GC ) .¿ÉØ∏àfl ¿É«≤«≤M ¿GQòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj 0 = `L h 4 - 2Ü iGC ôØ°U ihÉ°ùj õ«ªŸG (Ü) . ¿ÉjhÉ°ùàe ¿É«≤«≤M á«©«HÎdG ádOÉ©ŸG GQòL ¿ƒμj 0 > `L h 4 - 2Ü iGC ÖdÉ°S õ«ªŸG (`L) . á«≤«≤M ∫ƒ∏M hGC QhòL á«©«HÎdG ádOÉ©ª∏d ¿ƒμj ’ : ¿ÉE a 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ª∏d GQòL Ω , ∫ ¢VôØf (3) ¢S πeÉ©e 2¢S πeÉ©e

=

≥∏£ŸG ó◊G 2¢S πeÉ©e

Ü-

h =

`L

h

= Ω + ∫ (G) = Ω ∫ (Ü)

Ω ∫ 2 - 2( Ω + ∫ ) = 2Ω + 2∫ (`L) Ω ∫ 4 - 2( Ω + ∫ ) = 2(Ω-∫) (O) : ≈g Ω , ∫ ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e (4) hGC 0 = ( Ω - ¢S ) ( ∫ - ¢S ) 0 = øjQò÷G Üô°V π°UÉM + ¢S ( øjQò÷G ´ƒª› ) -2¢S 0 = Ω ∫ + ¢S ( Ω + ∫ ) - 2¢S

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٤

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

: ÉgGQòL ≈àdGh á«fÉãdG áLQódG ádOÉ©e ¿ƒc 1 6 , 7- Ü 4- ,2 G ( 2 + 1- ) , ( 2 - 1- ) O

( 3 - 1 ) , ( 3 + 1 ) `L

:ÉgGQòL ≈àdG ádOÉ©ŸG óLhGC 0 = 5- ¢S3 + 2¢S 2 : ádOÉ©ŸG iQòL Ω , ∫ ¿Éc GPEG 2 Ω , 2∫ Ü

4-Ω , 4 - ∫ G

1 + 2∫- , 1 + 2Ω-

O

2 + 2Ω , 2 + 2∫ `L

∫-Ω,Ω-∫

h

2

Ω ∫ , ∫ Ω

`g

: ¿GC º∏Y GPEG `L ᪫b óLhGC 3 0 = `L + ¢S 6 - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 0 = 21 + ¢S `L - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC 0 = `L+¢S10 -2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC .2 QGó≤à B Qò÷G ∞©°V 0 = `L + ¢S 3 + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC .ôN’G 3 : 2 áÑ°ùæc 0 = 6 + ¢S `L - 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL ÚH áÑ°ùædG

B Qò÷G ™Hôe .ôN’G B ∞©°V ≈∏Y ójõj 1 QGó≤à ôN’G B Qò÷G ™Hôe øY π≤j ôN’G

✿ ✿ ✿ ✿ ✿

B Qò÷G ∞©°V 0 = Ü + ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL óMGC ¿Éc GPEG 4 óMGC ¿Éch . ôN’G B Qò÷G ∫ÉãeGC áKÓK 0 = `L + ¢S h + 2¢S ádOÉ©ŸG iQòL `L : Ü óLhGC . ôN’G 3 : 2 áÑ°ùæc 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h : ádOÉ©ŸG iQòL ÚH áÑ°ùædG âfÉc GPEG 5 2 Ü 6 = `L h 25 : ¿GC âÑKGC ihÉ°ùj 0 ≠ h å«M 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h :ádOÉ©ŸG iQòL ÚH ¥ôØdG ¿Éc GPEG 6 2 Ü 2 h 4 = ( `L h 4 - 2Ü ) 2`L : ¿GC âÑKGC . ≈Hô°†dG ɪ¡«°Sƒμ©e ´ƒª› ∞©°V :ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éch Ω , ∫ ɪg 0 = `L + ¢S Ü + 2¢S h :ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG 7 ‫☺ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺍﳌﺘﻤﻴﺰ‬

٢٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2 . ( ¿ + Ω ) , ( ¿ + ∫ ) ɪg 0 = n `L + ¢S Ü n + ¢S hn 2 2 2 ( n `L hn 4 - 2Ü n ) h = ( `L h 4 - Ü ) hn : ¿GC âÑKG

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

`L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O á``dGódG IQÉ```°TEG á````°SGQóH ´ƒ`°VƒŸG Gò`g º``àîf ? (¢S)O QGó≤ŸG IQÉ°TÉE H ≈æ©f GPÉe øμdh ì ∋ `L , Ü , h å«M : ≈∏j Ée (¢S) O IQÉ°TÉE H ≈æ©f ÉæfEG : QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC ? 0 < (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (GC ) ?ÉÑLƒe `L + ¢S Ü + 2¢Sh k

: QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC

? 0= (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (Ü)

? ôØ°ü∏d ÉjhÉ°ùe `L + ¢S Ü + 2¢Sh k : QGó≤ŸG π©Œ ≈àdG ¢S º«b ≈g Ée iGC ? 0 > (¢S)O ¿ƒμJ ≈àe (`L) ?ÉÑdÉ°S `L + ¢S Ü + 2¢Sh k

.á≤HÉ°ùdG çÓãdG ä’É◊G ≈a O ádGódG ∫É› Ú«©J : ôNBG ≈æ©Ãh ì É¡dÉ› ádGO `L + ¢S Ü + 2¢Sh = (¢S) O ¢VôØf k hGC : ¿ÉE a 0 = Ü = h âfÉc GPEG : ’ `L IQÉ````°TEG ¢ùØf ≈g O IQÉ````°TEG ¿ÉE ``a ádÉ``````◊G √òg ≈`ah `L = (¢S)O ì ∋ ¢S π```μd áàHÉK ádGO ≈ª°ùJh `L = (¢S)O ¿’C âfÉc GPEG ɪæ«H , áÑLƒe ɪFGO O IQÉ°TEG ¿ÉE a 3 = (¢S) O âfÉc GPEG : Ó k ãªa k . áÑdÉ°S ɪFGO O IQÉ°TEG ¿ÉE a 5- = (¢S) O k

: ¿ÉE a 0 ≠ Ü , 0 = h âfÉc GPEG : É«fÉK k C áLQódG øe ádGO íÑ°üJ (¢S)O ¿ÉE a Gòg ≈∏Yh `L + ¢S Ü = (¢S)O :øμdh , ¤h’G (

`L + ¢S ) Ü = `L + ¢S Ü = (¢S)O Ü `L= ¢S âfÉc GPÉE a Ü

, 0 = (¢S)O ¿ÉE a

`L< ¢S ÉeóæYh Ü .Ü IQÉ°T’E áØdÉfl ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿ÉE a `L- > ¢S ÉeóæYh Ü

.Ü IQÉ°TEG πãe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿ÉE a

B ∫hó÷G ≈a ∂dP ¢ü«î∏J øμÁh : ≈J’G

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٦

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬ `L-

∞-

∞+

Ü

‫ﺗﺨﺎﻟﻒ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‬

(‫ﺩ )ﺱ‬

É«fÉ«H ∂dP πãe ì ∋ ¢S : 4 + ¢S2 = (¢S)O QGó≤ŸG IQÉ°TEG ÚY k

: π◊G

‫ﺹ‬ ١٢ ١٠ ٨ ٤ ٢ َ‫ ﺱ‬٤-

٢٢-

٣-

١-

٠

١

٣

٢

٤ ‫ﺱ‬

٢-

٦َ‫ﺹ‬

( 2 + ¢S ) 2 = 4 + ¢S2 = (¢S)O 0 = (¢S) O ¿ÉE a 2- = ¢S óæYh 0< 2 +¢S ¿Éc GPEG áÑLƒe O IQÉ°TEG ¿ƒμJh 2- < ¢S iGC 0> 2 +¢S :¿Éc GPEG áÑdÉ°S O IQÉ°TEG ¿ƒμJh 2- > ¢S iGC : ¿ƒμJ O IQÉ°TEG ¿GC ó‚ ≥Ñ°S ɇ

.º°SôdÉH ∂dP ¿É«H ™e 6 + ¢S 3- = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ÚY

٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ١-

٠ ١‫ﺹ‬

٢٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2 ∫É`ã`e

: π◊G

َ‫ﺹ‬ ٧

٢-

1 ∫É`ã`e

2- < ¢S ÉeóæY áÑLƒe 2- > ¢S ÉeóæY áÑdÉ°S 2- = ¢S ÉeóæY 0 = (¢S) O ¿ƒμJh .∂dP í°Vƒj QhÉéŸG ≈fÉ«ÑdG º°SôdGh

٤-

َ‫ﺱ‬ ٣-

‫ﺱ‬

١

٢

٣

٤

‫ﺱ‬

( 2- ¢S ) 3- = (¢S) O 2 = ¢S ÉeóæY 0 = (¢S) O 2 < ¢S ← 0 < 2 - ¢S ÉeóæY (?) ÖdÉ°S QGó≤e (¢S)O ¿ÉE a É¡æeh 2 > ¢S ← . > 2 - ¢S óæYh (?) ÖLƒe QGó≤e (¢S) O ¿ÉE a 2 > ¢S ÉeóæY áÑLƒe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG :¿GC iGC 2 < ¢S ÉeóæY áÑdÉ°S h 2= ¢S ÉeóæY

0 =(¢S) O ¿ƒμJh

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

0 ≠ h âfÉc GPEG : ÉkãdÉK C ∫hÉæàf `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG IQÉ°TEG ¿’G C ¢†©H ≈£©f ≈∏j ɪ«ah : á«ë«°VƒàdG á∏ãe’G

٠ ≠ h å«M

3 + ¢S 4 - 2¢S = (¢S)O ádGódG ≈æëæe º°SQG

[ 4 , 0 ] IÎØdG ≈a

O ádGódG IQÉ°TEG ÚY º°SôdG øeh

1 ∫É`ã`e

: π◊G

: ¿GC ßMÓf º°SôdG øe ôXÉæJ ≈àdG O ádGó∏d º«b IóY óLƒf ádGódG √òg º°Sôd ‫ﺹ‬

٤ ٣

٧ ٦ ٥ ٤

٣ ٠

٢ ١-

١ ٠

٠ ٣

‫ﺱ‬ (‫ﺩ)ﺱ‬

٣

[ 3 , 1 ] - ì ∋ ¢S ÉeóæY 0 < (¢S)O (1)

٢ ١

‫ﺱ‬

{ 3 , 1 } ∋ ¢S ÉeóæY 0 = (¢S)O (2) ] 3 , 1 [ ∋ ¢S ÉeóæY 0 > (¢S)O (3) ÖLƒe QGó≤e 2¢S πeÉ©e ¿GC h , 0 = 3+ ¢S4 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL ɪg 3 , 1 ¿GC ßM’ َ‫ ﺱ‬٣-

٢-

١-

٠

١

٣

٢

٤

َ‫ﺹ‬

[ 7 , 1 ] IÎØdG ≈a 15 - ¢S 8+ 2¢S- = (¢S)O ádGódG ≈æëæe º°SQG ? ßMÓJ GPÉe . O ádGódG IQÉ°TEG ÚH º°SôdG øeh

2 ∫É`ã`e

: π◊G ٧ ٨-

‫ﺹ‬ ٢ َ‫ﺱ‬

٤-

٠

٢٢٤٦٨-

١٠َ‫ﺹ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

٢

٤

٦

٨

‫ﺱ‬

٦ ٣-

٥ ٠

٤ ١

٣ ٠

٢ ٣-

١ ٨-

‫ﺱ‬ (‫ﺩ)ﺱ‬

áÑLƒe ¿ƒμJ O IQÉ°TEG : ¿GC ßMÓf º°SôdG øe ، ] 5 , 3 [ ∋ ¢S ÉeóæY 0 = (¢S)O ¿ƒμJh ، [ 5 , 3 ] - ì ∋ ¢S ÉeóæY áÑdÉ°Sh { 5 , 3 } ∋ ¢S ÉeóæY 5 , 3 ɪg 0 = (¢S) O ádOÉ©ŸG GQòL .( ÖdÉ°S QGó≤e iGC ) ôØ°üdG øe ô¨°UGC 2¢S πeÉ©e

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٢٨

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

º°SôdG ≈∏Y ∂dP ¿É«H ™e 2 + ¢S2 + 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ÚY 3 ∫É`ã`e ?ßMÓJ GPÉe [ 2 , 4- ] IÎØdG ≈a ádGódG √òg ≈æëæŸ

: π◊G

‫ﺹ‬

QhòL É¡d ¢ù«d 0 = 2 + ¢S2 + 2¢S ádOÉ©ŸG (1

١٢

.á«≤«≤M

١٠ ٨ ٦ ٤ ٢ َ‫ ﺱ‬٤-

٣-

٢-

١-

٠

٢َ‫ﺹ‬

١

٢

‫ﺱ‬

٣

. ÖLƒe 2¢S πeÉ©e (2 ¬∏ªcÉC H ™≤j ≈æëæŸG ¿GC ó‚ º°SôdG øe (3 √òg IQÉ°TEG ¿ƒμàa äÉæ«°ùdG Qƒfi ≈∏YGC .áÑLƒe ɪFGO ádGódG k

2 10

1 5

0 2

11

22

35

410

¢S (¢S)O

C øe (4 B á≤«≤◊G ≈∏Y π°üëf á¡HÉ°ûe iôNGC á∏ãeGC h á≤HÉ°ùdG á∏ãe’G :á«J’G

: á≤«≤M ¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG ¿ÉE a ì ∋ ¢S πμd ♦ . = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG GQò``L ¿Éc GPEG ’EG h πeÉ©ŸG IQÉ°TEG πãe .øjQò÷G ÚH ¢S â©bhh ÚjhÉ°ùàe ÒZh Ú«≤«≤M

. = `L + ¢S Ü + 2¢S h ádOÉ©ŸG GQòL ¿Éc GPEG ¬fGC èàæà°ùf á≤HÉ°ùdG á≤«≤◊G øe :¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h QGó≤ŸG IQÉ°TEG ¿ÉE a ∫ < Ω å«M Ω , ∫ ɪg [ Ω , ∫ ] - ì ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG πãe ] Ω , ∫ [ ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG ∞dÉîJh { Ω , ∫ } ∋ ¢S âfÉc GPEG GôØ°U ihÉ°ùj QGó≤ŸGh k ٢٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫‪∞+‬‬

‫→‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

‫ﻡ‬

‫ﻝ‬

‫↓‬ ‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪h‬‬

‫←‬

‫↓‬ ‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻹﺷﺎﺭﺓ ‪h‬‬

‫‪∞−‬‬

‫ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪h‬‬

‫‪: 1 ÖjQóJ‬‬ ‫‪1 + ¢S 2 - 2¢S = (¢S)O : ádGódG IQÉ°TEG ÚY‬‬

‫‪: π◊G‬‬

‫)‪ɪg 0 = 1 + ¢S 2 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL (1‬‬ ‫‪.................... = ¢S‬‬ ‫ﺹ‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺱَ‬

‫ﺱ‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬‫ﺹَ‬

‫)‪ÖLƒe 2¢S πeÉ©e (2‬‬ ‫)‪≈g 1 + ¢S 2 - 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG (3‬‬ ‫‪.................... ¢S ÉeóæY áÑLƒe (GC‬‬ ‫‪........... = ¢S ÉeóæY ôØ°U = (¢S)O (Ü‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

: 2 ÖjQóJ 10 - ¢S 3 - 2¢S = (¢S)O : ádGódG IQÉ°TEG ÚY

: π◊G

ɪg 0 = 10 - ¢S 3 - 2¢S ádOÉ©ŸG GQòL (1) ....... = ¢S hGC ....... = ¢S . (ÖLƒe) ôØ°üdG øe ÈcGC 2¢S πeÉ©e (2) ≈g 10 - ¢S 3 - 2¢S = (¢S)O ádGódG IQÉ°TEG (3) ........... ∋ ¢S ÉeóæY

áÑLƒe (GC

........... ∋ ¢S ÉeóæY

áÑdÉ°S (Ü

........... ∋ ¢S ÉeóæY ôØ°U = (¢S)O (Ü

: 3 ÖjQóJ B ∫GhódG øe πc IQÉ°TEG ÚYպ :º°SôdG ≈∏Y ∂dP ¿É«H ™e á«J’G 1 - ¢S + 2¢S- = (¢S)O (GC ) 7- ¢S 5 + 2¢S2 = (¢S)O (Ü) 8- ¢S 7 + 2¢S3 = (¢S)O (`L) 4 + ¢S 4 - 2¢S = (¢S)O (O) 25 - 2¢S - ¢S 10 = (¢S)O (`g)

٣١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

1- ≤ ¢S ÉeóæY

1 + ¢S

1- > ¢S ÉeóæY

1 - ¢S-

} = (¢S)O (h)

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳉﺒــﺮ‬

ì ∋ `L , Ü , h : `L + ¢S Ü + 2¢S h :QGó≤ŸG IQÉ°TEG Ú«©àd k hGC : ¿ÉE a 0 = Ü = h âfÉc GPEG : ’ `L IQÉ°TEG ¢ùØf ≈g (¢S)O IQÉ°TEG 0 ≠ Ü , 0 =h ¿Éc GPEG : É«fÉK k : ¿ƒμJ `L + ¢S Ü = (¢S)O IQÉ°TEG ¿ÉE a `LÜ

< ¢S ÉeóæY `LÜ `LÜ

Ü IQÉ°TEG πãe •

> ¢S ÉeóæY

Ü IQÉ°TEG ∞dÉîJ •

= ¢S ÉeóæY

0 = (¢S)O ¿ƒμJ • 0 ≠ h âfÉc GPEG : ÉkãdÉK

: ádOÉ©ŸG iQòL óLƒf , `L + ¢S Ü + 2¢S h = (¢S)O IQÉ°TEG Ú«©àd 0=`L +¢S Ü+2¢S h ádÉ◊G √òg ≈ah ∫ < Ω å«M Ω , ∫ πãe ÚØ∏àflh Ú«≤«≤M ¿GQò÷G ¿Éc GPEG (1) : ≈g `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ°TEG ¿ƒμJ ] Ω , ∫ ] - ì ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG πãe ✪ ] Ω , ∫ [ ∋ ¢S âfÉc GPEG h IQÉ°TEG ∞dÉîJ ✪ { Ω , ∫ } ∋ ¢S ÉeóæY ôØ°U ihÉ°ùJ (¢S)O ✪ π``ãe ¿ƒ``μJ `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ```°TEG ¿ÉE ```a Ú«∏«îJ ¿GQò``÷G ¿É````c GPEG (2) ` ì ∋ ¢S πμd h IQÉ``````°TEG : ¿ÉE a Ó k ãe ∫ ihÉ°ùj É¡æe πc øμ«dh ÚjhÉ°ùàe ¿GQò÷G ¿Éc GPEG (3) : ¿ƒμJ `L + ¢S Ü + 2¢S h IQÉ°TEG

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

∫ ≠ ¢S ÉeóæY

h IQÉ°TEG πãe ✪

∫ = ¢S ÉeóæY

GôØ°U ihÉ°ùj QGó≤ŸG ✪ k ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٢

‫‪⋲fÉãdG π°üØdG‬‬

‫‪±Gó`g’C G‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬

‫✍ ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺜﺒﺖ ﺻﺤﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻭﺍﻻﻧﺨﻔﺎﺽ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤـﻞ ﻣﺴــﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋـــﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻄــﺎﻉ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﻯ ﻭﺍﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳـــﺔ‪.‬‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

k hGC : å«ëH ≈°SÉ«≤dG É¡©°Vh ≈a Ü hh øμàd - ’ (¢U , ¢S) Ü á£≤f ≈a IóMƒdG IôFGO ≈FÉ¡ædG É¡©∏°V ™£≤j `g = ( Ü h h ) ¥ (1) ... 1 = 2¢S + 2¢U : ¿ƒμ«a 1 = `g 2ÉàM + `g 2ÉM ∴

: ¿ƒμj 2¢S ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ᪰ù≤H - É«fÉK k 1

2

¢S

1 `g ÉX

¢U

2

¢S

`g 2Éb = `g 2ÉW+1 ⇐ `g 2Éb = 1 + `g 2ÉW∴

1 2

=1+

2

2

¢U

=

2

¢S

¢U

+ 1 :¿ƒμj 2¢U ≈∏Y (1) ádOÉ©ŸG ᪰ù≤H - ÉkãdÉK `g 2Éàb = `g 2ÉàX + 1∴ 1

= `g ÉàX ,

`g ÉàM

= `g Éb ,

1 `g ÉM

=`g Éàb : ¿GC º∏©f - É©HGQ k

1 = `g ÉàW `g ÉW , 1 = `g Éb `g ÉàM , 1 = `gÉàb `g ÉM ∴ 2 = 2(¢S ÉàM - ¢S ÉM) + 2( ¢S ÉàM + ¢S ÉM) : ¿GC âÑKG

1 ∫É`ã`e

: π◊G

C ±ô£dG (¢S ÉàM - ¢S ÉM) + 2( ¢S ÉàM + ¢S ÉM) = øÁ’G ¢S ÉàM ¢S ÉL 2 - ¢S 2ÉàM +¢S 2ÉM +¢S ÉàM ¢S ÉL 2 +¢S 2ÉàM +¢S 2ÉM = C ±ô£dG = 2 = 1 + 1 = ç.•.`g ô°ùj’G 2

`g 2Éàb `g 2Éb = `g 2Éàb + `g 2Éb :¿GC âÑKG 1 `g ÉM 2

+

1 `g ÉàM 2

C ±ô£dG = `g Éàb `g Éb = .ô°ùj’G 2

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2

2 ∫É`ã`e

: π◊G

C ±ô£dG = `g 2Éàb + `g 2Éb = øÁ’G 1 `g 2ÉM `g 2ÉàM

=

`g 2ÉàM + `g 2ÉM `g 2ÉM `g 2ÉàM

=

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٤

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

B äÉ≤HÉ£àŸG áë°U âÑKG : á«J’G

¢S Éàb ¢S Éb = ¢S ÉàW + ¢S ÉW 1 1 - ¢S 2ÉàM 2 = ¢S 2ÉM 2 - 1 = ¢S 4ÉM - ¢S 4ÉàM 2 ¢S 2ÉW ¢S 2ÉM + ¢S 2ÉM = ¢S 2ÉW 3 2

`L ÉW = 2

2

`L ÉW - `L Éb = 2

1

¢S ÉàW + 1

-

2

1

¢U ÉàW + 1

2

`L ÉW + 1 2

`L ÉàW + 1 2

4

2

4

`L ÉàM - `L ÉàM `L ÉM - `L ÉM

4 5

= ¢S 2ÉM - ¢U 2ÉM = ¢U 2ÉàM - ¢S 2ÉàM 6 `g ÉàM `g ÉM 2 =

`g ÉàW 2 2

`g ÉàW + 1

7

2 h ÉàM - 1 = h ÉW ( h - r 90 ) ÉM h ÉM 8

1- `g 2ÉàM 2 = 1=

٣٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

(¢S + r 180 ) ÉW ¢S Éàb ¢S Éb

+

2

`g ÉW - 1 2

`g ÉW + 1

(¢S - r 90 ) ÉM ¢S ÉM ¢S ÉW

9 10

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

k hGC :ôcòJ : á«ã∏ãŸG ∫Ghó∏d äGQÉ°T’G E IóYÉb - ’ • C ™HôdG ≈a (1) . áÑLƒe á«ã∏ãŸG ∫GhódG ™«ªL ] 2 ، ٠ [ ∫h’G • .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe Éàb , ÉM ] • ، 2 [ ≈fÉãdG ™HôdG ≈a (2) .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe ÉàX, ÉX ] •3 ، • [ ådÉãdG ™HôdG ≈a (3) 2 [ ™HGôdG ™HôdG ≈a (4) .áÑdÉ°S ∫GhódG á«≤Hh ÚÑLƒe Éb , ÉàM ] •٢ ، •3 2

: ÖjQóJ B ä’É◊G ≈a ájhGõdG ¢SÉ«b É¡«dEG ≈ªàæj ≈àdG äGÎØdG hGC IÎØdG OóM : á«J’G 0 < `g ÉX (3) 0 > `g ÉàM (2) 0 < `g ÉM (1) 0 < `g ÉM , 0> `g ÉàM (6) 0< `g ÉàM , 0< `g ÉM (5) 0 > `g Éàb (4) 0 < `g ÉàM , 0> `g ÉM (8) 0 > `g ÉM , 0> `g ÉàM (7) B äGƒ£ÿG ™Ñàf , ¢U = ¢S ÉM πãe á«ã∏ãe ádOÉ©e iGC π◊ - É«fÉK : á«J’G k C ™HôdG ≈a ™≤J `g å«M |¢U| = `g ÉM ≥≤– ≈àdG `g óLƒf (1) . ∫h’G : ≈a ™≤J ¢S âfÉc GPÉE a , ¢S ¬«a ™≤j iòdG ™HôdG Oóëf (2) C ™HôdG ✺ `g = ¢S : ¿ÉE a ∫h’G `g - r 180 = ¢S : ¿ÉE a ≈fÉãdG ™HôdG

✺

`g + r 180 = ¢S : ¿ÉE a ådÉãdG ™HôdG

✺

`g - r 360 = ¢S : ¿ÉE a ™HGôdG ™HôdG

✺

¢S ÉM , ¢S º«b óLhGC ]•2 , 0[ ∋ ¢S å«M

2 = ¢S ÉàM ¿Éc GPEG 2

: π◊G

1 ∫É`ã`e

2 = ¢S ÉàM ∵ 2 C ™HôdG ≈a ™≤J ájhGR ¢SÉ«b ¢S∴ ™HGôdG ™HôdG hGC ∫h’G 0<

2 = `g ÉàM å«M 2

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

`g - r 360 hGC r `g = ¢S∵ r 45 = `g ∴ ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٦

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ 2 r 45 = ¢S = ¢S ÉM , 2 2 - = ¢S ÉM , r 315 = r 45 - r 360 = ¢S 2

¢S ÉàM , ¢S º«b óLhGC ] •2 , 0 [ ∋ ¢S å«M

C ™HôdG ≈a ¢S∴ ∫h’G ™HGôdG ™HôdG ≈a ¢S∴

0^57- = ¢S ÉM ¿Éc GPEG

: π◊G

2 ∫É`ã`e

0> 0^57 - = ¢S ÉM ∵ ™HGôdG ™HôdG hGC ådÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ájhGR ¢SÉ«b ¢S∴ `g - r 360 , `g + r 180 = ¢S r 34 n 45 = `g

D

0^57 = `g ÉM å«M

0^8216 - = ¢S ÉàM ,

r 214 n 45 = r 34 n 45 + r 180 = ¢S∴

0^8216 = ¢S ÉàM ,

r 325 n 15 = r 34 n 45 - r 360 = ¢S hGC

0 = ¢S ÉàM 2 + ¢S 2ÉàM 3 ádOÉ©ŸG πM

] • , 0 [ ∋ ¢S å«M

: π◊G

3 ∫É`ã`e

0 = ¢S ÉàM 2 + ¢S 2ÉàM 3 ∵ 0 = ( 2 + ¢S ÉàM 3 ) ¢S ÉàM r

270 , r 90 = ¢S

(1) á°Vƒaôe r 270 = ¢S ᪫bh , r 90 = ¢S ∴

0 = ¢S ÉàM ∴ ] • , 0 [ ∋ ¢S ∵ 0 = 2 + ¢S ÉàM 3 hGC 2 - = ¢S ÉàM ∴ 3

ådÉãdG hGC ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ¢S∴ §≤a ≈fÉãdG ™HôdG ≈a ™≤J ¢S ∴ r 48

(2)

n 11 = `g r 131

] • , 0 [ ∋ ¢S ∵

2 = `g ÉàL ¢VôØf 3

n 49 = r 48 n 11 - r 180 = ¢S

{ r 131 n 49 , r 90 } ≈g π◊G áYƒª› ¿ƒμJ (2) h (1) øe

٣٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

] •2 , 0 [ ∋ ¢S å«M 0 = 1 + ¢S ÉM ( 2 + 1 )- ¢S 2ÉM 2 ádOÉ©ŸG πM

: π◊G

4 ∫É`ã`e

0 = 1 + ¢S ÉM ( 2 + 1 ) - ¢S 2ÉM 2 0 = ( 1 - ¢S ÉL) ( 1- ¢S ÉM 2 ) ∴ 1 = ¢S ÉL É¡æeh 2

0 = ( 1 - ¢S ÉM 2 ) ∴

C ™HôdG ≈a ™≤J ¢S∵ ≈fÉãdG hGC ∫h’G r 135 r 90

= ¢S ∴

1 = ¢S ÉM É¡æeh

hGC r 45 = ¢S ∴

0 = 1- ¢S ÉM hGC

{ r 135 , r 90 , r 45 } ≈g π◊G áYƒª› ¿ƒμJh

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٣٨

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

B ä’OÉ©ŸG øe πc πM áYƒª› óLhGC : ] •2 , 0 ] ∋ ¢S å«M á«J’G 0 = 1 + ¢S ÉL 2 1 0 = 1 - ¢S ÉW 2 0 = 3 + ¢S ÉàM 2 3 0 = ¢S ÉàM2 - ¢S ÉM 4 0 = ¢S ÉàM ¢S ÉM 5 0 = 2 - ¢S ÉM 3 + ¢S 2ÉM 2 6 0 = 3 - ¢S ÉàM 5 - ¢S 2ÉàM 2 7 0 = ¢S ÉàM - ¢S 2ÉàM 8 0 = ( 1 - `g 2ÉàM ) `g ÉM 9 0 = 1 - ¢S ÉW - ¢S 2ÉW 2 10 0 = ¢S 2ÉàM - ¢S 2ÉM 11 0 = 3 + ¢S ÉM 8 + ¢S 2ÉM 4 12 0 = 3 + ¢S ÉàM ( 3 + 2 ) - ¢S 2ÉàM 2 13 0 = 3 - ¢S ÉM ( 3 - 1 ) 2+ ¢S 2ÉM 4 14

٣٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

∫GƒWGC ≈gh , áà°ùdG å∏ãŸG ô°UÉæY øe ∫ƒ¡éŸG OÉéjEG å∏ãŸG πM øe Oƒ°ü≤ŸG .áKÓãdG √ÉjGhR äÉ°SÉ«bh , áKÓãdG ¬YÓ°VGC ™∏°V ∫ƒW hGC ¬«a Ú©∏°V ’ƒW ÉeEG áaô©e øe óH’ ájhGõdG ºFÉ≤dG å∏ãŸG π◊ .áªFÉ≤dG ÒZ ájhGR ¢SÉ«bh óMGh : ¿Éc GPEG å∏ãŸG πM , Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Ü h r 52 n 30 = (`L

∫É`ã`e

k hGC ) ) ¥ ,º°S 16^7 = Ü h (’

º°S 10^3 = `L Ü ,º°S 8^9 = Ü h (É«fÉK) k

: π◊G

k hGC ) n 30 = r 52 n 30 - r 90 = (h ) ¥ (’

r 37

r 37 r 37

`L Ü

n 30 ÉW = Ü h

n 30 ÉW Ü h = `L Ü∴

B : ≈J’Éc Ö«÷G áÑ°SÉM ᣰSGƒH ∂dP ÜÉ°ùM øμÁh , r 37 n 30 ÉW 16^7 = 16^7 ≈a Üô°†f ºK ≥Ñ°S ɪc r 37 n 30 ÉW óLƒf Üh

=`L h ∴ , r 52 n 30 ÉM =

ْ ٥٢ َ٣٠ ‫ﺣﺎ‬

k hGC . ç . • . `g ’

Üh `L h

`L h

, r 52 n 30 Éàb = , º°S 12^8 = `L Ü∴ Üh

zÖ«÷G áÑ°SÉM ΩGóîà°SÉH{ º°S 21^05 = r 52 n 30 Éàb 16^7 = `L h∴ 8^9

10^3

=

r 40 r 49

Üh

`Lf

= `L ÉW (É«fÉK) k

n 50 = (`L

n 10 = r 40 n 50 - 90 = (h

Üh ْ ٤٠ َ٥٠ ‫ﺣﺎ‬

) ¥∴ )¥∴

= `L h∴ r 40 n 50 ÉM =

Üh `L h

r 40 n 50 Éàb Ü h = `Lh

º°S 13^6 = r 40

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

n 50 Éàb * 8^9= `L h ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٠

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¢VÉØîf’Gh ´ÉØJQ’G ÉjGhR á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J C ¢†©H äÉYÉØJQG ÜÉ°ùM å∏ãŸG πM ≈∏Y á«∏ª©dG äÉ≤«Ñ£àdG øe , ΩÉ°ùL’G √òg øe Òãc ≈ah , ÚgÉŒEG iGC ÚH ÉjGhõdGh ΩÉ°ùL’G ÚH äÉaÉ°ùŸG ∂dòch ɪgh ɪ¡ª¡a Öéj ¿ÉeÉg ¿GÒÑ©J óLƒj ä’É◊G . ¢VÉØîf’G ájhGRh ´ÉØJQ’G ájhGR iƒà°ùe ø``e ≈``∏``YGC º°ùL ¤EG ¢üî°T ô¶f GPEG C ô¶ædG ≈a ɪc Óãe áfòÄe hGC êô``H áª≤c ≈≤a’G Ü óæY ó°UGôdG Ú``Y âfÉc GPÉE ```a ,πHÉ≤ŸG πμ°ûdG `L Ü ,ó°UGôdG ÚY ¬àjGóH ≈≤aGC ´É©°T ƒg hÜ ¿ÉE a `L êÈdG áªb Oƒ°UôŸG º°ù÷Gh ájhGR ≈g `L Üh ¿GC òFóæY ∫É≤j , Oƒ°UôŸG º°ù÷ÉH GQÉe k Ú©dG ¬àjGóH ´É©°T ƒg .êÈdG áªb ´ÉØJQG iƒà°ùe πØ°SGC Oƒ°UôŸG º°ù÷G ¿Éc GPEG É``eGC `L Ü h

¿ÉE `a πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ô¶ædG . º°ù÷G ¢VÉØîfG ájhGR ≈ª°ùJ

∞jô©J C ´É©°ûdG OÉ–G ≈g ¢VÉØîf’G hGC ´ÉØJQ’G á``jhGR ™e ó°UGôdG øe ≈≤a’G .Oƒ°UôŸG º°ù÷ÉH GQÉe k ó°UGôdG øe ÇOÉÑdG ´É©°ûdG C í£°S ≈∏Y á£≤f øe º∏Y ájQÉ°S IóYÉb øe GkÎe 20 ó©H ≈∏Y ¢``VQ’G Ö°ùMG r 25 n 20 É¡YÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC óLƒa ,ájQÉ°ùdG áªb ¢üî°T ó°UQ .º∏©dG ájQÉ°S áªb ´ÉØJQG r 25 n r 25

٤١

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

n

20 ÉW =

Üh

1 ∫É`ã`e : π◊G

20

20 ÉW 20 = Ü h ∴ Îe 9^47 = ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

: ¬«a iòdGh `L ≈a ájhGõdG ºFÉ≤dG `L Ü h å∏ãŸG πM 1 º°S 4 = `L h , r 40 = (h º°S 10 = `L Ü , r 56 n 25 = (Ü

)¥(G) )¥ (Ü)

º°S 10 = `L h , º°S 4 = `L Ü (`L) º°S 3 = `L Ü , º°S 7 = Ü h (O ) ¢SÉ«b Ö°ùMG . º°S 10 ¬JóYÉbh º°S 7 ¬«bÉ°S øe πc ∫ƒW ÚbÉ°ùdG ihÉ°ùàe å∏ãe . √ÉjGhR r 22 n

C í£°S ≈∏Y π«Á Qóëæe ≥jôW ≈a ¢üî°T Ò°ùj 15 É¡°SÉ«b ájhGõH ¢VQ’G C í£°S øY ¬YÉØJQG QGó≤e ɪa . ºc 1 áaÉ°ùe QÉ°S GPÉE a ? ¢VQ’G

C ≈∏Y IQÉ«°S ¢VÉØîfG ájhGR â°ù«b GkÎe 50 ¬YÉØJQG êôH áªb øe äóLƒa ¢VQ’G

2

3

4

? êÈdG IóYÉb øY IQÉ«°ùdG ó©H QGó≤e ɪa , r 27 n 15 É¡YÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC óLƒa Îe 1000 ´É```ØJQG ≈∏Y IôFÉ``W ¢üî°T ó``°UQ

5

. IôFÉ£dG øY ó°UGôdG ó©H óLhGC , r 25 n 17 C ≈∏Y ÓX ≈≤∏oj Îe 6 ¬YÉØJQG ¥ÈdG IóªYGC øe OƒªY ɪa , Îe 4 ¬dƒW ¢VQ’G . òFóæY ¢ùª°ûdG ´ÉØJQG ájhGR ¢SÉ«b óLhGC , º°S 10 ¬dƒW Ü h ôJƒdG É¡«a º°SQ , º°S 8 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO . iÈμdG á©£≤dG ≈a áeƒ°SôŸG á«£«ëŸG ájhGõdG ¢SÉ«b

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

6

7

٤٢

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

í°Vƒe ƒg ɪc Ü Ω , h Ω øjô£≤dG ≈Ø°üf Ω IôFGódG ≈a É檰SQ GPEG ɪ¡æe πc ÚFõL ¤EG ɪ¡H º°ù≤æj IôFGódG í£°S ¿ÉE a , πHÉ≤ŸG πμ°ûdÉH .iôFGO ´É£b ≈ª°ùj á``jGhR Ü Ω h ÜΩh

≈ª°ùJh ,ô¨°UGC iôFGO ´É£b ≈ª°ùj Ü `L h Ω Aõ÷Éa

C ´É``£≤dG ≈ª°ùJh ÈcGC ´É£≤H ≈ª°ùj Ü O h Ω Aõ÷Gh , ô¨°U’G C ´É£≤dG ájhGõH á°ùμ©æŸG . Èc’G

∞jô©J ≈Ø°üfh , IôFGódG øe ¢Sƒ≤H Ohófi IôFGO í£°S øe AõL ƒg :iôFGódG ´É£≤dG .¢Sƒ≤dG Gòg ≈aô£H øjQÉŸG øjô£≤dG zÖdÉ£dG ¬«a øëàÁ ’ ¿ÉgÈdG { : iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG ∫ƒWh IóMh ≥f = ¬JôFGO ∞°üf ∫ƒW iòdG Ü h Ω ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG : ܃∏£ŸG . IóMh ∫ = Üh ¬°Sƒb C øe (¿) OóY ¤EG Üh ¢Sƒ≤dG º°ù≤f ájhÉ°ùàŸG ΩÉ°ùb’G OóY ≈∏Y π°üëf ∂dòH ∑ , .... , `g , x , `L §≤ædG ≈a ∫ƒ£dG ¿ƒμJh (Ü ∑ Ω, .... ,x`L Ω, `LhΩ) á≤HÉ£àŸG äÉã∏ãŸG øe (¿) ´ = ´ÉØJQ’G Gòg øμ«dh ájhÉ°ùàe äÉã∏ãŸG √òg äÉYÉØJQG .πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc IóMh 1

´ * `L h 2 =( `L h Ω Δ )í£°S áMÉ°ùe ...

1 1 ´ * ( ¿ * `L h ) 2 =¿ * ´ * `L h * 2 = äÉã∏ãŸG 샣°S äÉMÉ°ùe ´ƒª›... ´ * ( ∑ ....... x `L h ô°ùμæŸG §ÿG ∫ƒW )

1 2

=

É¡°†©H øe ÜÎ≤J Ü ..... ,x ,`M ,h§≤ædG ¿ÉE a GóL k IÒÑc IOÉjR ¿ äOGR GPÉE a §ÿG ∫ƒW ÜÎ≤jh , ´É£≤dG áMÉ°ùe øe äÉã∏ãŸG 샣°S äÉMÉ°ùe ´ƒª› ÜÎ≤J òFóæYh ∞°üf ∫ƒW øe ´ ´ÉØJQ’G ÜÎ≤jh , Ü h ¢Sƒ≤dG ∫ƒW øe Ü ..... ,x ,`M ,h ô°ùμæŸG

٤٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

: íÑ°üj ∂dòHh , IôFGódG ô£b . IôFGódG ô£b ∞°üf ∫ƒW * Ü h ¢Sƒ≤dG ∫ƒW * ≥f ∫

1 2

= ´É£≤dG áMÉ°ùe 1 2

=

. ájô£b ∞°üf ájhGR A`g = ´É£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ¿GC Éæ°Vôa GPEGh ≥f A`g = ∫ ¿ÉE a 1 2 ≥f A`g = iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe ...

2

: áé«àf r ¢S r 360

=

A`g •2

øμdh

A`g •2

=

A

2

1 2

≥f `g

=

2

≥f •

IôFGódG í£°S áMÉ°ùe * r 2

¢S

r 360

iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe IôFGódG í£°S áMÉ°ùe

= ´É£≤dG áMÉ°ùe ...

¢S ≥f • r =

r 360

á¶MÓe

: ≈g iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe ÚfGƒb ¿ƒμJ ∂dP ≈∏Yh ≥f ∫

1 2

= iôFGódG ´É£≤dG áMÉ°ùe 2

≥f A`g

IôFGódG í£°S áMÉ°ùe * IôFGódG í£°S áMÉ°ùe *

A`g •2

r ¢S

r 360

1 2

= = =

´É£≤dG IôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW = ≥f , ´É£≤dG ¢Sƒb ∫ƒW = ∫ å«M , ´É£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG = A`g .´É£≤dG ájhGõd ≈æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG = ¢S

r

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٤

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

º°S 6 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh r 40 ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b áMÉ°ùe óLhGC ٣٫١٤ _ ‫ﻁ‬ r 36 * 3^14 * 40 = 2≥f • *

r 360

r ¢S

r 360

1 ∫É`ã`e

: π◊G = ´É£≤dG áMÉ°ùe

º°S 12^56 =¬àMÉ°ùe

2

ô£b ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG , º°S 7 ¬£«fih 2º°S 3 ¬ë£°S áMÉ°ùe iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdG h iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh ¬JôFGO

2 ∫É`ã`e

1 6 = ≥f ∫ ...

3 = ≥f ∫ 2 : π◊G (2) ≥f 2 - 7 = ∫ ...

7 = ∫ + ≥f 2 6 = ( ≥f 2 - 7) ≥f (2) , (1) øe 0 = 6 + ≥f 7- 2≥f 2 ...

6 = 2≥f2 - ≥f7 :¿ÓM ádÉC °ùª∏d 2 ,GC 3 = ≥f 0 = ( 2 - ≥f ) ( 3 - ≥f 2 ) ...

2 3 k hGC 4 = ∫ ¿ÉE a = ≥f ÉeóæY : ’ 2 A 8 8 = ∫ = A`g . . r 152 n 47 _ °180 * = ¢S∴ .

3 ≥f r • 3

(1)

3 = ∫ ¿ÉE a °180 n 56 _ * 3 = ¢S∴

r 85

•

r

2

2 = ≥f ÉeóæY : É«fÉK k A 3 = A`g 2

C ihÉ°ùàe å∏ãe `L Üh iôFGO ¢Sƒb º°SQ ,º°S 10 ¬©∏°V ∫ƒW ´Ó°V’G `g , x ≈a `L h, Üh Ú©∏°†dG ™£≤jh , h ≈a `L Ü ™∏°†dG ¢ùÁh h √õcôe Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe ™HôŸG Ϊ«àæ°ùdG øe Iô°ûY øe AõL Üôb’C óLhGC

3 ∫É`ã`e

‫ﻫـ‬x ¢Sƒ≤dG , `L Ü ÚH ( πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a á∏∏¶ŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe ≈gh ) áHƒ∏£ŸG áMÉ°ùŸG : π◊G `g h x h ´É£≤dG áMÉ°ùe - `L Ü h å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe =

h

: å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe OÉéj’E º°S 8^66 = r 60 ÉM 10 = r 60 ÉM Ü h = h h 2

º°S 43^3 = 8^66 * 10 * 1 = h h * `L Ü 1 = å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe 2

r 60 = ¢S

2

º°S 8^66 = h h = ≥f : ´É£≤dG áMÉ°ùe OÉéj’E ¢S r 2 º°S 39^27 _ 2(8^66) * • * 60 = 2≥f • * r = ´É£≤dG áMÉ°ùe ...

r

2

٤٥

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

r 360

r 360

º°S 4 _ 4^03 = 39^27 - 43^3 = áHƒ∏£ŸG áMÉ°ùŸG ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¬àMÉ°ùe Ö°ùMG °135 ¬àjhGR ¢SÉ«bh º°S 10 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW iôFGO ´É£b

1

.(3^14 _ •)

, º°S 7^3 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh º°S 24 ¬°Sƒb ∫ƒW iôFGO ´É£b áMÉ°ùe óLhGC

2

.≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ¬àjhGR ¢SÉ«b óLhGC ºK A áMÉ°ùe Ö°ùMG . º°S11 ¬°Sƒb ∫ƒWh 2^2 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b

3

.´É£≤dG Üôb’C Ö°ùMG . º°S 3^5 ¬°Sƒb ∫ƒWh °30 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«b iôFGO ´É£b ´É£≤dG áMÉ°ùe 2º°S A ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG . 0^5 ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh 2º°S 25 ¬àMÉ°ùe iôFGO ´É£b . ¬°Sƒb ∫ƒWh , ¬JôFGO ô£b

4

¢SÉ«bh ¬àMÉ°ùe óLhGC , º°S 7 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh º°S 28 ¬£«fi iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR

6

, ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW Ö°ùMG . 2º°S 8 ¬àMÉ°ùeh º°S 12 ¬£«fi iôFGO ´É£b . ≈æ«à°ùdGh iôFGódG Ú°SÉ«≤dG ÓμH ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«bh

7

å∏㟠¢ShDhQ ≈g ÉgõcGôeh , º°S 5 É¡æe πc ô£b ∞°üf ∫ƒW ôFGhO áKÓK C ihÉ°ùàe √òg ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe óLhGC , º°S 10 ¬©∏°V ∫ƒWh ´Ó°V’G . ôFGhódG

8

º°SQ , º°S 6 = `L Ü , º°S 4 = Üh ¬«a , Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Üh óLhGC . O ≈a `Lh ™£≤jh , Ü óæY `L Ü ¢ùÁh h Égõcôe IôFGO øe ¢Sƒb `L Ü ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe ™HôŸG Ϊ«àæ°ùdG øe Iô°ûY øe AõL Üôb’C xÜ . , O `M ,

9

5

, Üh â``ª°SQ º°S 13 = Ωh , º°S 5 É```gô£b ∞```°üf ∫ƒ`W Ω Iô```FGO êQÉ``N á````£≤f h 10 ÚH Qƒ°üëŸG í£°ùdG áMÉ°ùe 2º°S Üôb’C óLhGC . `L , Ü ≈a IôFGó``∏d ¿Éà°Sɇ `Lh C ¢Sƒ≤dGh Ú°SɪŸG . .`L͡Ü ô¨°U’G

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٦

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¿ÉE a , πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ÜhôJƒdG Ω IôFGódG ≈a É檰SQ GPEG á©£b ≈ª°ùj ɪ¡æe πc ÚFõL ¤EG ôJƒdG Gò¡H º°ù≤æj IôFGódG í£°S ≈ª°ùJ ᪫≤à°ùŸG á©£≤dG ¢Sƒb ô°ü– ≈àdG ájõcôŸG ájhGõdGh , ájôFGO ,Ü `Lh iô``¨°üdG á``©£≤dG á``jhGR ≈g Ü Ω h ¿ÉE a á``©£≤dG á``jhGR . Üxh iÈμdG á©£≤dG ájhGR ≈g á°ùμ©æŸG Ü Ω h `L `g ¿ÉE a ,{`g} = ÜhB `Lx å«ëH , Ü h ôJƒdG ≈∏Y iOƒªY ô£b `L x ¿Éc GPEGh . Ü `L h iô¨°üdG á©£≤dG ´ÉØJQG ƒg

∞jô©J . ¢Sƒ≤dG ∂dP ≈àjÉ¡æH GQÉe É¡«a ¢Sƒ≤H Ohófi IôFGódG í£°S øe AõL ≈g : ájôFGódG á©£≤dG k GôJhh k

øY IQÉÑY ƒg Ü `L h iô¨°üdG á©£≤dG í£°S ¿GC ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG øe í°†àj . Ü h Ω å∏ãŸG í£°Sh Ü `L h Ω ´É£≤dG í£°S ÚH ¥ôØdG :ɪ¡æ«H IQƒ°üëŸG ájhGõdGh Ú©∏°V á«eƒ∏©Ã å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe πμ°ûdG ≈a ɪc `L Ü n xh º°Sôf , (Ü

) ¥ , `L Ü , Üh ¬«a Ωƒ∏©e `L Ü h Δ .πHÉ≤ŸG x h * `L Ü 1 = (`L Ü h Δ ) Ω E 2 xh Ü ÉM Üh= xh E Ü ÉM = øμdh Üh (1) ≈a ¢†jƒ©àdÉHh 1 Ü ÉM `L Ü . Ü h = (`L Ü hΔ ) Ω E 2 å∏ãe i’C áë«ë°U IóYÉ≤dG √ògh

áé«àf ɪ¡æ«H IQƒ°üëŸG ájhGõdG Ö«L * ¬«a Ú©∏°V iGC ¤ƒW Üô°V π°UÉM ∞°üf = å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe

`L ÉM Ü `L * `L h

٤٧

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

1 2

1

1

2

2

= Ü ÉM `L Ü * Üh = hÉM `L h* hÜ

= (`L ÜhΔ ) Ω ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

: ájôFGódG á©£≤dG í£°S áMÉ°ùe OÉéjEG .ÜhΩ Δ áMÉ°ùe - Ü `LhΩ ´É£≤dG áMÉ°ùe = ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe 1

- 2≥f A`g

1

( `g ÉM - A`g ) 2≥f

1

`g ÉM 2≥f

2

2 2

= =

:äɶMÓe ÉæfÉE a ≥HÉ°ùdG πμ°ûdG ≈a ɪc Üxh iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe ܃∏£e ¿Éc GPEG (1) i = øμàdh á°ùμ©æŸG Ü Ω h ≈g iÈμdG á©£≤dG ájhGR ¢SÉ«b ¿GC ßMÓf ÜhΩ å∏ãŸG í£°S áMÉ°ùe + ÜxhΩ ´É£≤dG áMÉ°ùe = iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe ¿GC h (1)

`g ÉM 2≥f

1 2

A

+ 2≥f i

1 2

=

i ÉM - = ( i - ° 360 ) ÉM = `g ÉM E A

i -° 360 = `g e (1) ≈a ¢†jƒ©àdÉH

A

( i ÉM - i ) 2≥f 1 = i ÉM 2≥f 1 -2≥f i 1 = iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe E 2 2 2 áMÉ°ùe øe iô¨°üdG á©£≤dG áMÉ°ùe ìô£H iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe OÉéjEG øμÁ (2) IôFGódG í£°S

A

( `g ÉM - `g ) 2≥f

1 2

= ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe (3)

É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≥f å«M A

á©£≤dG ájhGõd iôFGódG ¢SÉ«≤dG ≈g `g ¢SÉ«bh , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC °120 É¡àjhGR

1 ∫É`ã`e : π◊G

0^866 = °120 ÉM = `g ÉM ,

•2 3

A

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

º°S 61^42 _ ( 0^866 -

•2 3

) 100 *

180 1

( `g ÉM - `g ) 2≥f 2

•

= 2 1 2

* °120 = A`g

= á©£≤dG áMÉ°ùe = á©£≤dG áMÉ°ùe ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٤٨

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

GPÉE a , IôFGódG ≈∏Y ¿Éà£≤f Ü , h , º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW Ω IôFGO C ¢Sƒ≤dG ∫ƒW ¿Éc áMÉ°ùe 2º°S Üôb’C óLhGC . º°S 14 ihÉ°ùj Ü h ô¨°U’G Ü h ÉgôJh ≈àdG iÈμdG á©£≤dG ‫ﻯ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻫـ‬

A

A

2 ∫É`ã`e : π◊G

∫

4^883 = A`g - • 2 = i , 1^4 = = ≥f = A`g 10 A 180 0^9854 - = i ÉM , °279^7753 _ * 4^883 = i

A

‫ﺏ‬

A

2

( iÉM - i ) ≥f

h

2

1 2

14

•

= iÈμdG á©£≤dG áMÉ°ùe

º°S 293 _ ( 0^985 + 4^883 ) 100 *

1

=

2

óLhGC ,º°S 17 ɪ¡jõcôe ÚH ó©ÑdGh º°S 15 , 8 ɪ¡jô£b ≈Ø°üf ’ƒW ¿ÉJôFGO .ÚJôFGódG ÚH ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe h

. ∑ΰûŸG ôJƒdG Ü h

٨

‫ﻥ‬

: π◊G

‫ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‬

١٥

‫ﺟـ‬

x

3 ∫É`ã`e

‫ﻡ‬

¿GC í°†àj πHÉ≤ŸG πμ°ûdG øe áMÉ°ùe = ÚJôFGódG ÚH IQƒ°üëŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe

‫ﺏ‬

áMÉ°ùe + Ω IôFGódG ≈a Ü `L h ájôFGódG á©£≤dG ¿ IôFGódG ≈a Üxh ájôFGódG á©£≤dG ¬«a ¿ h Ω ∆ (¿ Ω) = 2(17) = 289 = 225 + 64 = 2(¿ h) + 2(h Ω)

2

˚ 90 = (h 8 17

= (Ω ¿h

) ÉM ,

15 17

)¥E

=¿ Ω h

ÉM

, ˚123^8550 = (¿‫ ﻡ‬h ) ¥ 2 = ( Ü‫ ﻡ‬h ) ¥ πμ°ûdG á°Sóæg øe ˚56^1450 = ( Ω ¿ h

•

A ˚180 * ˚123^855 = `g ,

º°S 8 = ≥f 1

º°S 42^599 _ ( `g ÉM- A`g) 2≥f

2

•

A ˚180 * 56^145 = `g , 2

º°S 16^815 _ (`g ÉM -A`g ) 2≥f 2

٤٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

2

2

)¥

,Ü `L h á©£≤dG ≈a

=Ü `Lh ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe

º°S 15 = ≥f 1

) ¥ 2 = (Ü‫ ﻥ‬h

Üxh á©£≤dG ≈a

= Üxh ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe E

º°S 59^4 _ 16^815 + 42^599 = ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe E ‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¢SÉ«bh º°S 10 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC

1

°135 É¡àjhGR ¢SÉ«bh º°S 12 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC A

2

2^2 É¡àjhGR

É¡YÉØJQGh º°S 8 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC

3

. º°S 4 º°S 18 É¡JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒW ≈àdG iÈμdG ájôFGódG á©£≤dG áMÉ°ùe óLhGC . ™Hôe Ϊ«àæ°S Üôb’C œÉædG ÉHô≤e , º°S 24 ÉgôJh ∫ƒWh k áMÉ°ùe Ö°ùMG . º°S 12 ¬dƒW ôJh º°S 10 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO ≈a º°SQ .iÈμdG á©£≤dG

4

5

Ωƒ°Sôe º°S 8 = `L Ü , º°S 6 = Üh ¬«a Ü ≈a ájhGõdG ºFÉb å∏ãe `L Üh ≈àdGiô¨°üdG çÓãdG ™£≤dG áMÉ°ùe ™Hôe Ϊ«àæ°S Üôb’C óLhGC .IôFGO πNGO . å∏ãŸG ´Ó°VGC ÉgQÉJhGC

6

º°S 10 É```gô£b ∞°üf ∫ƒW ≈``àdG Iô``FGó`dG ≈a ¿É```jhÉ`````°ùàe ¿Gô`Jh `Lh , Üh πc áMÉ°ùe Iô°ûY øe AõL Üôb’C óLhÉC a °50 = (`L hÜ )¥ ¿É``c GPÉE ````a . IôFGódG É¡«dEG ⪰ù≤fG ≈àdG ≥WÉæŸG

7

õcôà ɪgGóMEG ô“h º°S 6 É¡æe πc ô£b ∞°üf ∫ƒW ¿ÉàjhÉ°ùàe ¿ÉJôFGO B .ɪ¡æ«H ácΰûŸG á≤£æŸG áMÉ°ùe óLhGC . iôN’G

8

óLhGC , º°S 10 ɪ¡jõcôe ÚH ó©ÑdGh º°S 8 , 6 ɪ¡jô£b ≈Ø°üf ’ƒW ¿ÉJôFGO .Iô°ûY øe AõL Üôb’C ÚJôFGódG ÚH ∑ΰûŸG áMÉ°ùŸG

9

ÚH áÑ°ùædG ¿GC âÑKGC , °120 É¡°SÉ«b ájõcôe ájhGR πHÉ≤j IôFGO ≈a ôJh Üh 10 ihÉ°ùJ Ü h ôJƒdÉH IôFGódG í£°S ɪ¡«dEG º°ù≤æj øjò∏dG ÚFõ÷G ≈àMÉ°ùe 3 3 + •8 : 3 3 - • 4 ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٥٠

É«fÉK k á°Sóæ¡dG

‫‪ådÉãdG π°üØdG‬‬

‫‪±Gó`g’C G‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬

‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (١‬ﻭﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (١‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (١‬ﻭﻋﻜﺴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (٢‬ﺗﺎﻟﻴﺲ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻭﺣﺎﻻﺗﻬﺎ ﺍﳋﺎﺻﺔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺗﺎﻟﻴﺲ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (٣‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (٣‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: (1) ájô¶f‬‬ ‫‪B Ú©∏°†dG ™£≤jh å∏ãŸG ´Ó°VGC óMGC iRGƒj º«≤à°ùe º°SQ GPEG‬‬ ‫‪¬fÉE a øjôN’G‬‬ ‫‪.áÑ°SÉæàe É¡dGƒWGC ™£b ¤EG É¡ª°ù≤j‬‬ ‫ﻓﻔﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x‬ﻫـ ‪/ /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ‪ h، x‬ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ‬ ‫‪xh‬‬ ‫‪fx‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫=‬

‫‪ h‬ﻫـ‬ ‫ﻫـ ﺟـ‬

‫ﻭﻣﻦ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫‪`g h‬‬

‫)‪(1‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪xh‬‬

‫=‬

‫)‪(2‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪xf‬‬

‫=‬ ‫‪`L `g‬‬

‫‪ h‬ﺟـ‬

‫‪(1) áé«àf‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺧﺎﺭﺝ ﻣﺜﻠﺚ ‪h‬ﺏ ﺟـ ﻳﻮﺍﺯﻯ ً‬ ‫ﺿﻠﻌﺎ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻭﻟﻴﻜﻦ ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ‪h‬ﺏ ‪h ،‬ﺟـ ﻓﻰ ‪ ، x‬ﻫـ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪ h‬ﺟـ‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫ﻓﺈﻥ ‪`g `L = xÜ :‬‬ ‫ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪xh‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬

‫‪٥٤‬‬

‫=‬

‫‪ h‬ﻫـ‬ ‫‪`L h‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪،‬‬

‫‪`g h‬‬ ‫‪xh‬‬ ‫=‬ ‫‪`g `L xÜ‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: (1) ájô¶f ¢ùμY‬‬ ‫‪áÑ°SÉæàe É¡dGƒWGC ™£b ¤EG ɪ¡ª°ùbh å∏ãe ´Ó°VGC øe Ú©∏°V º«≤à°ùe ™£b GPEG‬‬ ‫‪ådÉãdG ™∏°†dG iRGƒj ¬fÉE a‬‬ ‫ﻓﻔﻰ ∆‪h‬ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x‬ﻫـ ﻳﻘﻄﻊ ‪h‬ﺏ ﻓﻰ ‪ h، x‬ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ‬ ‫‪xh‬‬

‫‪ h‬ﻫـ‬

‫ﻭﻛﺎﻥ ‪`L `g = Üx‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ :‬ﺩ ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪hJx،‬ﺏ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ‪x‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ‪h‬ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ,‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫‪ ٢٫٤ = xh‬ﺳﻢ ‪x،‬ﺏ = ‪ ٣٫٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﺟـ = ‪ ٤٫٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻓﺎﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ‪h‬ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪h‬‬

‫‪٢٫٤‬‬

‫)ﻧﻈﺮﻳﺔ(‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪h‬ﻫـ‬

‫‪٤٫٨ X ٢٫٤‬‬ ‫=‬ ‫‪٣٫٦‬‬

‫= ‪ ٣٫٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٫٦‬‬

‫‪h ٣٫٦‬ﻫـ = ‪ ٣٫٢ = ٤٫٨ X ٢٫٤‬ﺳﻢ‬

‫‪i‬‬ ‫‪٤٫٨‬‬

‫‪٣‬‬ ‫ﺳﻢ‬

‫‪ h‬ﻫـ‬ ‫‪xh‬‬ ‫=‬ ‫‪ x‬ﺏ ﻫـ ﺟـ‬ ‫‪ h ٢٫٤‬ﻫـ‬ ‫=‬ ‫‪٤٫٨ ٣٫٦‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪ x‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٥٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪h:‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ hJ x ،‬ﺏ ‪ ،‬ﻫـ‪ hJ‬ﺟـ‬ ‫‪ ٣ = xh ،‬ﺳﻢ ‪ x ،‬ﺏ = ‪ ٢‬ﺳﻢ ‪h،‬ﻫـ = ‪ ٤٫٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬

‫‪h‬‬

‫ﻫـ ﺟـ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪x :‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪٤٫٥‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪xh‬‬ ‫=‬ ‫‪٥‬‬ ‫∴ ‪h‬ﺏ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤٫٥‬‬ ‫‪ih‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∴‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٧٫٥‬‬ ‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪ih‬‬ ‫‪xh‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬ﺟـ‬ ‫∵ ‪h‬ﺏ‬

‫‪x‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪i‬‬ ‫ﺳﻢ‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫∴‪ x‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪3 ∫É`ã`e‬‬

‫‪h‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ x‬ﻫـ ‪h / /‬ﺟـ ‪h ،‬ﻫـ ﻳﻘﻄﻊ ‪ x‬ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ ﺏ ‪ ،‬ﺏ ‪ ٣ = x‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪h‬ﻫـ = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ ﻫـ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬

‫∵ ‪ x‬ﻫـ ‪h / /‬ﺟـ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫∴ﺏ ‪x‬‬ ‫ﺏ ﺟـ ‪ +‬ﺏ ‪ x‬ﺏ‪ + h‬ﺏ ﻫـ‬ ‫=‬ ‫∴‬ ‫ﺏ ﻫـ‬ ‫ﺏ‪x‬‬

‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺏ‪h‬‬

‫= ﺏ ﻫـ‬

‫‪i‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﻫـ‬ ‫‪3‬‬

‫‪36‬‬ ‫∴ ﺏ ﻫـ = ‪8‬‬

‫‪4 ∫É`ã`e‬‬

‫∴ ﺏ ﻫـ = ‪ ٤٫٥‬ﺳﻢ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷــﻜﻞ ﺭﺑـــﺎﻋﻰ ‪ ،‬ﺹ‪ J‬ﺏ‪ x‬ﺭﺳــﻢ‬ ‫ﺹ ﺱ ‪ hx/ /‬ﻓﻘﻄﻊ ‪h‬ﺏ ﻓﻰ ﺱ ﻭﺭﺳﻢ ﺹ ﻉ ‪ x/ /‬ﺟـ‬ ‫ﻓﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻉ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺱ ﻉ ‪ h / /‬ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪ :‬ﻓﻰ ∆‪h‬ﺏ‪x‬‬

‫ﺹ ﺱ ‪hx / /‬‬

‫‪E‬‬

‫‪x/ /‬ﺟـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ ،‬ﻓﻰ ∆ ﺏ‪x‬ﺟـ ﺹ ﻉ‬

‫ﺏﺱ ﺏﺹ‬ ‫ﺏ‪ = h‬ﺏ ‪x‬‬ ‫ﺏﻉ ﺏﺹ‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﺟـ ﺏ ‪x‬‬

‫ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ ‪٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪h 1‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ Jx،‬ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ﺏ‪ ٣ =x‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﻫـ ‪ xhJ‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﻫـ = ‪ ، xh ٣‬ﺭﺳـــﻢ‬ ‫ﺟـ ﻫـ ﻓﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﺱ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ‪x‬ﺹ ‪ / /‬ﺟـ ﺱ ﻓﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﺹ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ h :‬ﺱ = ﺏ ﺹ‬ ‫‪ h 2‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜــﻠـﺚ ‪ ،‬ﻓﻴــﻪ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٤‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﺟـ ‪ ٥ = h‬ﺳـﻢ ‪ h Jx،‬ﺏ ‪ ،‬ﺣـﻴﺚ ﺏ‪ ٢٫٤ =x‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻫـ ‪ h J‬ﺟـ ﺣﻴﺚ ‪ h‬ﻫـ = ‪ ٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ x :‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤــﺎﺕ ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺏ‪ ١‬ﺟـ‪ ، ١‬ﺏ‪ ٢‬ﺟـ‪ ٢‬ﻣــﺘـﻮﺍﺯﻳــﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻧﺖ ‪ h‬ﺏ = ‪ h‬ﺏ‪٢ = ٢‬ﺳـﻢ ‪،‬‬ ‫‪ h‬ﺟـ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺏ‪ ٤ = ١‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ h‬ﺟـ‪ ، ٢‬ﺟـ ﺟـ‬ ‫ﺏ‬

‫‪١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬

‫ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٢٫٥‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺏ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ 4‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻫـ ‪ / /‬ﺏ ﻭ ‪ x ،‬ﻭ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ ٣ =hx‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﻫـ = ‪ ١٫٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺏ ‪ ٤ = x‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫـ ﻭ ‪ ،‬ﻭ ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٥٧‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: (2) ájô¶f‬‬ ‫‪óMGC ≈∏Y áŒÉædG ™£≤dG ∫GƒWGC ¿ÉE a ájRGƒàe äɪ«≤à°ùe IóY ¿Éª«≤à°ùe ™£b GPEG‬‬ ‫‪B ™WÉ≤dG ≈∏Y áŒÉædG ™£≤dG ∫GƒWGC ™e áÑ°SÉæàe ¿ƒμJ Ú©WÉ≤dG‬‬ ‫‪.ôN’G‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪//‬ﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫‪//‬ﻝ‬

‫‪/ /‬ﻝ‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ،‬ﻡ ‪َ ،‬ﻡ ﻗﺎﻃﻌﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪ h‬ﺟـ‬

‫‪ x‬ﺟـ‬

‫‪َ nh‬‬

‫َ َ‬

‫‪ n‬ﺟـَ‬

‫‪ n‬ﺟـَ‬

‫ﺏ=‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

‫=‬ ‫‪h‬‬

‫=‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪.....‬‬

‫‪á°UÉN ä’ÉM‬‬ ‫)‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻡ ‪َ ،‬ﻡ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ‪h‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫َ‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫=‬ ‫ﺏ ‪ / /‬ﺟـ ﺟـَ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻛﺎﻥ ﺏ َ‬ ‫‪ h‬ﺟـَ ‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﻡ‬

‫ﻭﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـَ‬

‫=‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫َ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫‪h‬‬ ‫ﺟـَ‬

‫ﻓﺈﻥ ﺏ َ‬ ‫ﺏ ‪ / /‬ﺟـ ﺟـَ‬ ‫)‪ (٢‬ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬

‫َﻡ‬

‫ﺏ‬ ‫َ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻞ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﺍﻵﺧﺮ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻛﺬﻟﻚ ·‬ ‫)ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺳﺒﻖ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﻓﻰ ﻣﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻷﺳﺎﺳﻰ(‬

‫‪٥٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻓﻔﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪//‬ﻝ‬

‫‪//‬ﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪/ /‬ﻝ‬

‫‪٤‬‬

‫ﻭﻗﻄﻌﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻡ ‪َ ،‬ﻡ‬ ‫ﻭﻛﺎﻥ ‪ h :‬ﺏ = ﺏ ﺟـ = ﺟـ ‪x‬‬ ‫ﺏ= َ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪َ َh :‬‬ ‫ﺏ ﺟـَ = ﺟـَ ‪َx‬‬

‫‪: 1 ÖjQóJ‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺱ ‪ / /‬ﺏ ﺹ ‪ / /‬ﺟـ ﻉ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻉ ﺹ ‪ h ،‬ﺏ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪ he‬ﺱ ‪ / /‬ﺏ ﺹ ‪ / /‬ﺟـ ﻉ‬ ‫ﻭ‪h‬‬

‫‪E‬‬

‫ﻭﺱ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫=‬ ‫ﻉﺹ‬

‫‪: 2 ÖjQóJ‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻝ ﺱ ‪ / /‬ﻡ ﻫـ ‪ / /‬ﻯ ﻙ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫـ ﺱ ‪ ،‬ﻥ ﻙ‬ ‫ﻝ ‪٨‬‬

‫ﺳﻢ ﻡ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫ﻯ‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬

‫‪ e‬ﻝ ﺱ ‪ / /‬ﻡ ﻫـ ‪ / /‬ﻯ ﻙ‬ ‫‪E‬‬

‫ﻥ ﻫـ‬ ‫ﻥﻡ‬

‫=‬

‫ﻫـ ﺱ‬

‫=‬

‫ﻥﻙ‬

‫ﺱ ؟‬

‫ﻫـ‬

‫ﺳﻢ ﻥ‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١٥‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫؟‬

‫ﻙ‬

‫ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٥٩‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: 3 ÖjQóJ‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬

‫َﻙ‬

‫ﻝ‬ ‫‪١‬‬

‫ﻝ‪ ،١‬ﻝ‪ ، ٢‬ﻝ‪ ، ٣‬ﻝ‪ ٤‬ﺃﺭﺑﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬

‫ﻝ‬

‫ﻙ‬ ‫َﻕ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻕ‬ ‫ﻭ‬

‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ‪،‬‬ ‫‪ ٣٫٥ = V U‬ﺳﻢ ‪،‬‬

‫ﻝ‬

‫‪ ٣٫٣ = V R‬ﺳﻢ ‪،‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺭ‬

‫َﺭ‬

‫‪ ٢ = َV َU‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻙ ‪ ١٫٣ = R‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪َ َR‬ﺭ ‪َ ،‬ﻙ ‪َR‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﻝ‬

‫‪٤‬‬

‫ﻉ‬

‫َﻉ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ‪x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑـﺎﻋﻰ ﻓﻴـﻪ ‪ h‬ﺏ ‪ / /‬ﺟـ ‪ ، x‬ﺏ ﺟـ = ‪ ١٢‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﻫـ ‪ xhJ‬ﺑﺤـﻴﺚ ‪ h‬ﻫـ = ‪٣‬‬ ‫ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ‪ ٦ =x‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻯ ‪x/ /‬ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻯ ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺏ ﻯ‬

‫‪2‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ‪x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑـﺎﻋﻰ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍﻩ ‪ h‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ‪ x‬ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻯ ‪ / /‬ﺟـ ﺏ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫‪h‬ﺏ ﻓﻰ ﻯ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻕ ‪ / /‬ﺟـ‪ x‬ﻭﻳﻘﻄﻊ‪ xh‬ﻓﻰ ﻕ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻯ ﻕ ‪ / /‬ﺏ ‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻡ ﻣﻨﺼﻒ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﺮﺿﺖ ﻧﻘﻄﺔ ﻕ ﻋﻠﻰ ‪ h‬ﻡ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻕ ﻫـ ‪h / /‬ﺏ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ ﻕ ﻯ ‪h / /‬ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻯ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻡ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻫـ ﻯ ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻕ ﻣﻠﺘﻘﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻓﺎﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺏ ﻫـ = ﻫـ ﻯ = ﻯ ﺟـ =‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫ﺭ‪ h‬ﻁ ﺏ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻓﻴﻪ ﺭ‪ / / h‬ﺏ ﻁ ‪ ،‬ﻡ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺭﺏ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡ ‪ ،‬ﻳﻮﺍﺯﻯ‬ ‫ﺏ ﻁ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﻄﺮ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﻥ ‪ ،‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺭ ﻁ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ‪ h‬ﻁ ﻓﻰ ﻕ‬ ‫)‪ (h‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﻥ ‪ ،‬ﻫـ ‪ ،‬ﻕ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺭ ﻁ ‪ h ،‬ﻁ‬ ‫)ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻡ ﻕ =‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ﺭ‪ + h‬ﺏ ﻁ (‬

‫‪x‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫ﻫـ‪ / / x‬ﺏ ﺟـ ‪x،‬ﺏ ‪ / /‬ﺟـ‪h‬‬ ‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪) :‬ﻭ ﺏ (‪ = ٢‬ﻭ‪ X h‬ﻭ ﻫـ‬

‫‪6‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻡ ‪ ،‬ﻥ ‪ ،‬ﻕ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻷﺿﻼﻉ ‪ h‬ﺏ ‪،‬‬ ‫‪ h‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻥ ﻙ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﺟـ ﻡ ﻭﻳﻼﻗﻰ ﻕ ﻡ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻙ ‪ ،‬ﺍﺛـﺒـﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻙ ﺏ ‪ n‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪7‬‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻓﻴﻪ ‪ / / xh‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﻧﺼﻔﺖ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﻁ ﻭﺭﺳﻢ ﻁ ﻡ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫‪ xf‬ﻓﻰ ﻫـ ‪h ،‬ﺟـ ﻓﻰ ﻥ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﻫـ ﻡ =‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬

‫ﻯ‪h‬‬ ‫ﻯ‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫـ ﺏ ‪ k‬ﺟـ‬

‫ﺣﻴﺚ ﻯ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪h‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٦١‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: (3) ájô¶f‬‬ ‫‪¢SGC ôdG Gòg óæY å∏ãª∏d áLQÉÿG ájhGõdG hGC å∏ãe ¢SGC Q ájhGR âØ°üf GPEG‬‬ ‫‪ɪ¡«dƒW ÚH áÑ°ùædG ÚFõL ¤EG êQÉÿG hGC πNGódG øe å∏ãŸG IóYÉb ∞°üæŸG º°ùb‬‬ ‫‪B Ú©∏°†dG ¤ƒW ÚH áÑ°ùædG ihÉ°ùJ‬‬ ‫‪.å∏ãª∏d øjôN’G‬‬ ‫ﻫـ‬

‫‪x‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ﺏ(‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪(h‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ‪ h :‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ xh ،‬ﻳﻨﺼﻒٍ ﺏ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ )ﺃ( ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ‪ ،‬ﻭﻓﻰ ﺷﻜﻞ‬ ‫)ﺏ( ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ‪ ∩ xh ،‬ﺏ ﺟـ = }‪{x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪:‬‬

‫ﺏ‪x‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫=‬ ‫‪ x‬ﺟـ ‪ h‬ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ‪ :‬ﻧﺮﺳﻢ ﺟـ ﻭ ‪xh / /‬‬ ‫‪ e‬ﻕ ) ‪ = (١‬ﻕ ٍ) ‪ (٣‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺎﺩﻝ‬ ‫‪ ،‬ﻕ ٍ) ‪ = (٢‬ﻕ ٍ) ‪(٤‬‬ ‫ﻣﻌﻄﻴﺎﺕ‬ ‫‪ e ،‬ﻕ ٍ) ‪ = (١‬ﻕ ٍ) ‪(٢‬‬ ‫‪ E‬ﻕ ٍ) ‪ = (٣‬ﻕ ٍ) ‪(٤‬‬ ‫‪ h E‬ﻭ = ‪ h‬ﺟـ‬ ‫‪e،‬‬

‫ﺏ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪h‬ﻭ‬

‫ﻣﻦ )‪ (١‬ﻭ )‪E (٢‬‬

‫‪٦٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫)‪(١‬‬ ‫) ﻷﻥ ﺟـ ﻭ ‪(hx / /‬‬ ‫ﺏ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫)‪(٢‬‬

‫) ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ (‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪áeÉg äɶMÓe‬‬ ‫☜)‪ (١‬ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪ xh‬ﻳﻨﺼﻒ ٍ‬

‫ﺏ‪ h‬ﺟـ‬

‫‪ h‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪ h‬ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫ﺏ‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫‪،‬‬

‫ﺏ ﻫـ‬

‫ﻫـ ﺟـ =‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫ﺏ ﻫـ‬ ‫ﺏ‪x‬‬ ‫=‬ ‫ﻫـ ﺟـ‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﺏ ﺟـ ﺗﻨﻘﺴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﻓﻰ ‪x‬‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻓﻰ ﻫـ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻭﻫﻰ‪:‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫ﻭﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﻴﻦ‪h ، xh‬ﻫـ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‬ ‫☜)‪ h´ (٢‬ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪h > f h‬ﺟـ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈﻥ ‪ :‬ﺏ‪x < x‬ﺟـ ﺃﻯ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫‪ x‬ﺃﻗﺮﺏ ﺇﻟﻰ ﺟـ ﻣﻨﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺏ ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪ h‬ﻫـ‬ ‫ً‬ ‫ﻗﺎﻃﻌﺎ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫‪h‬ﺟـ < ‪h‬ﺏ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪x :‬ﺟـ < ‪x‬ﺏ ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪h‬ﻫـ‬ ‫ً‬ ‫ﻗﺎﻃﻌﺎ ﺟـ ﺏ ﻓﻰ ﻫـ‬

‫☜)‪ (٣‬ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪ h‬ﺟـ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ‪x‬ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ً‬ ‫ﻣﻮﺍﺯﻳﺎ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪﺓ ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪h‬ﻫـ‬ ‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٦٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ‪h‬ﺏ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٧٫٢‬ﺳﻢ ‪xh ،‬ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺏ‪ h‬ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ‪ h ، x‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ ‪h‬‬ ‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻫـ‪x‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﻭ‬

‫‪ xh e‬ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺏ‪x‬‬ ‫‪ x E‬ﺟـ‬

‫=‬

‫ﺏ‪h‬‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫ﺏ‪x‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ x E‬ﺟـ =‬ ‫‪e‬‬

‫ﺏ‪ h‬ﺟـ‬

‫ﺏ‪x+x‬ﺟـ‬ ‫‪٣+٥‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ =‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪ x E‬ﺟـ =‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ E‬ﺟـ ‪= x‬‬

‫‪٣ X ٧٫٢‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺏ ﻫـ‬

‫‪ E‬ﻫـ ﺟـ =‬

‫‪E‬‬

‫‪٧٫٢‬‬

‫‪ h e‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ ٍ‬

‫= ‪ ٢٫٧‬ﺳﻢ‬ ‫ﺏ ﻫـ‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪h‬ﺟـ‬

‫ﺏ ﻫـ ‪ -‬ﻫـ ﺟـ ‪٣ - ٥‬‬ ‫ﻫـ ﺟـ =‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ E‬ﻫـ ﺟـ =‬

‫‪٧٫٢‬‬ ‫ء ﺟـ‬

‫=‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ E‬ﻫـ ﺟـ =‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ E‬ﻫـ ﺟـ =‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪ E‬ﺟـ ﻫـ =‬

‫‪٣ X ٧٫٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺟـ ‪ h‬ﻭ‬

‫= ‪ ١٠٫٨‬ﺳﻢ‬

‫‪ x E‬ﻫـ = ‪ x‬ﺟـ ‪ +‬ﺟـ ﻫـ = ‪ ١٣٫٥ = ١٠٫٨ + ٢٫٧‬ﺳﻢ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﻭ‬

‫)‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ Jx‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫ﺏ‪x‬‬ ‫‪x‬ﺟـ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ xh‬ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪ hf‬ﺟـ‬

‫‪x‬‬

‫ﺏ ﻫـ‬

‫)‪ (٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻫـ ‪ J‬ﺟـ ﺏ ‪ ،‬ﻫـ ‪ /J‬ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ﻫـ ﺟـ =‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪h‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪٦٤‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫‪ hf‬ﻭ ) ﻭﻫﻰ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻋﻨﺪ ‪( h‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: 1 ÖjQóJ‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ h :‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ‬ ‫‪ h‬ﺏ = ‪٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ h‬ﺟـ = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ١٠٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ Jx‬ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ ﺏ‪ ٤٫٢ =x‬ﺳﻢ‬

‫‪ ٤٫٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٠٫٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ ‪ xhn‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﻥ‬ ‫ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻥ ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫∵ ‪ x‬ﺟـ = ‪.....‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫=‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٩‬‬

‫=‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ ،‬ﺏ ‪.... = x‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫ﻓﻰ ΄ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪:‬‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫= ‪.....‬‬

‫∴ ‪ xh‬ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪.....‬‬

‫ﻓﻰ ΄ ‪ h‬ﺏ ﻥ ‪:‬‬ ‫‪ h e‬ﻫـ ‪ n‬ﺏ ﻥ ‪ h ،‬ﻫـ ‪.....‬‬ ‫∴ ‪ h‬ﺏ = ‪ .....‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﻥ ﺟـ = ‪ .....‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٦٥‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪: 2 ÖjQóJ‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪hx‬ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻓﻰ ∆‪h‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﻧﺼﻔﺖ‬

‫‪xh‬ﺏ ﺑﻤﻨﺼﻒ‬

‫ﻗﻄﻊ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﺱ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ ﺱ ﺹ ‪/ /‬ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﺹ‬ ‫‪ xh‬ﺟـ‬

‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪x :‬ﺹ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﻓﻰ ΄ ‪ xh‬ﺏ ‪:‬‬ ‫‪h‬ﺱ‬

‫‪ e‬ﺏﺱ=‬

‫‪ x e‬ﺱ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪xh‬ﺏ‬

‫‪xh‬‬ ‫ﺏ‪x‬‬

‫)‪(١‬‬

‫ﻓﻰ ΄ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ :‬ﺱ ﺹ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪E‬‬

‫‪h‬ﺱ‬ ‫ﺱﺏ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺹ‬ ‫ﺹ ﺟـ‬

‫)‪(٢‬‬

‫ﻣﻦ )‪ (٢) ، (١‬ﻭﺑﻤﺮﺍﻋﺎﺓ ﺃﻥ ﺏ‪x = x‬ﺟـ‬

‫‪1‬‬

‫ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻓﻴﻪ ‪ hx‬ﻳﻨﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪ ، h‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺟـ ﺏ ﻓﻰ ‪ x‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ ‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻡ ‪ J‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻡ ﺟـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺏ ﺟـ ﺏ ‪x‬‬ ‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺟـ‪= h‬‬ ‫‪xh‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺏﻡ‪h‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ‪x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪ h‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ‪ x‬ﻓﻰ ﻫـ‬

‫ﺟـ‪ ٦ =x‬ﺳﻢ ‪ ٤ = xh ،‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺏ ﻫـ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫)ﺛﺎﻧﻴﺎ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﺟـ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫)ﺃﻭﻻ ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ‪x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ ‪ h‬ﺏ = ﺏ‪x = xh ، x‬ﺟـ ‪ h ،‬ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫‪ x ،‬ﻭ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪٦٦‬‬

‫ﺏ ﺟـ ‪x‬‬

‫ﺏ‪ xh‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ‪ x‬ﻓﻰ ﻫـ‬

‫ﺏ ‪ x‬ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻭ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻫـ ﻭ ‪x/ /‬ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪™HGôdG π°üØdG‬‬

‫‪±Gó`g’C G‬‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬــﺎﻳﺔ ﺩﺭﺍﺳــﺔ ﻫـﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﻧﺘﻮﻗــﻊ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻗــﺎﺩﺭﹰﺍ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ‪:‬‬

‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺷﺮﻃﻰ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻣﻀﻠﻌﲔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺷﺮﻃﻰ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﲔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﲔ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (١‬ﻭﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (٢‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (٢‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪. (٣‬‬ ‫✍ ﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪.(٣‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪.(٤‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﲔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﲔ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (٥‬ﻭﻳﺤﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫✍ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ ﺣﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

: ∞jQÉ©Jh º«gÉØe ≥≤– GPEG §≤ah GPEG ¥ÉÑ£f’G ΩÉ“ 2Ω , 1Ω ¿É©∏°†ŸG ≥HÉ£àj ¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæ°SQO (1) B ¿ÉWô°ûdG . É©e k ¿É«J’G k hGC .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC : ’ .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b : É«fÉK k Ω ` 1Ω Öàμf ádÉ◊G √òg ≈ah 2 ΩÉ“ ≥Ñ£æj 1Ω ™∏°†ŸG í£°S ¿GC 2Ω , 1Ω Ú©∏°†ŸG ≥HÉ£àd áeÉ¡dG èFÉàædG øeh : ¿GC ∂dP øY èàæjh 2Ω ™∏°†ŸG í£°S ≈∏Y ¥ÉÑ£f’G 2

Ω ™∏°†ŸG í£°S áMÉ°ùe = 1Ω ™∏°†ŸG í£°S áMÉ°ùe ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG (2) :¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæ°SQO

:1 ∞jô©J C øe Oó©dG ¢ùØf ɪ¡d ) Ú©∏°†Ÿ ∫É≤j ¿ÉWô°ûdG ≥≤– GPEG ¿É¡HÉ°ûàe ɪ¡fEG ( ´Ó°V’G B : É©e k ¿É«J’G k hGC ) .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b (’ .áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC (É«fÉK) k

áeÉg äɶMÓe . IôXÉæàŸG ¢ShDhôdG Ö«JÎH Ú¡HÉ°ûàŸG Ú©∏°†ŸG Öàμf (1) : ¿ÉE a Ω ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ~ `g x `L Üh ™∏°†ŸG ¿Éc GPÉE a ¢S ↔ h iGC ¢S ¢SGC ôdG ôXÉæJ h ¢SGC ôdG ¢U ↔ Ü iGC

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¢U ¢SGC ôdG ôXÉæJ Ü ¢SGC ôdG ,

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٦٨

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

Gòμgh ... ´ ↔ `L iGC ´ ¢SGC ôdG ôXÉæJ `L ¢SGC ôdG , , Ö«JÎdG ¢ùØæH IôXÉæàŸG ¢ShDhôdG Öàμf ôXÉæàdG ¢ùØæH Ú©∏°†ŸG áHÉàμdh :Ó k ãªa .áØ∏àfl ¥ô£H Ú©∏°†ŸG áHÉàc Ö«JÎdG Gòg πªY ó©H øμÁh Ω ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ~ `gx `L Üh ™∏°†ŸG ¢S Ω ∫ ´ ¢U ™∏°†ŸG ~ h`gx`L Ü ™∏°†ŸG hGC ... Gòμgh ..... ™∏°†ŸG ~ ..... ™∏°†ŸG hGC : ¿GC èàæà°ùf ÉæfÉE a Ú©∏°†e ¬HÉ°ûJ GPEG (2) .ájhÉ°ùàe IôXÉæàŸG ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b • .áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC • ≈a ɪc h `g x ~ `L Ü h ¿Éc GPEG : Ó k ãªa : ¿GC èàæà°ùf ÉæfÉE a πHÉ≤ŸG πμ°ûdG (h

) ¥ = ( ...

) ¥ , ( ...

) ¥ = (Ü

)¥,(x

k hGC )¥=(h )¥:’ ..... ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺏ‬h = = : É«fÉK xh ..... `g x k

¿hO ɪgGóMGC ôaGƒJ ≈Øμj ’h É©e k ÚWô°ûdG ôaGƒJ Öéj ¿É©∏°†e ¬HÉ°ûàj ≈μd (3) B .ôN’G

‫ ﺳﻢ‬٢

‫ ﺳﻢ‬٢ ‫ ﺳﻢ‬٢

g

u

s

w

¿QÉb πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a • ≥≤ëàJ πg ôcPGC h Ú©ŸGh ™HôŸG ÚH ? ’ ΩGC É©e k ¿Éà«°UÉÿG :Ú¡HÉ°ûàe ¿Éfƒμj ¿É≤HÉ£àŸG ¿É©∏°†ŸG (4) ≥HÉ£J ∞jô©àH Éæ«©à°ùe ∂dP ô°ùa .Ú©∏°†e :πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈Øa ∫ ´ ¢U ¢S ™∏°†ŸG ` O `L Üh™∏°†ŸG ¿Éc GPEG ( ¢S

٦٩

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

¿QÉb πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a • ôcPGC h π«£à°ùŸGh ™HôŸG ÚH ɪ¡jGC h ≥≤ëàJ Úà«°UÉÿG iGC . ≥≤ëàJ ⁄

)¥=(h

k hGC ) : ¿ÉE a )¥(’

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

........ , ( ... ....

)¥=(Ü

....

‫ﺏ ﺟـ‬

)¥

‫ﺏ‬h

1 = .... = .... = ´ ¢U= ¢U¢S (É«fÉK ) k ............ ™∏°†ŸG ~ O `L Ü GC ™∏°†ŸG E ,Ú≤HÉ£àe ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG øμj ¿GC iQhô°†dG øe ¢ù«d ¬fGC á¶MÓe Öéjh .∂dP π∏Y :¿É¡HÉ°ûàe ådÉãd ¿É¡HÉ°ûŸG ¿É©∏°†ŸG (5) , 2Ω ™∏°†ŸG

~ 1Ω ™∏°†ŸG ¿Éch

Ω , 2Ω , 1Ω äÉ©∏°†e áKÓK Éæjód ¿Éc GPÉE a •

3

Ω ™∏°†ŸG ~ 2Ω ™∏°†ŸGh

3

3

Ω ™∏°†ŸG ~ 1Ω ™∏°†ŸG : ¿ÉE a

.¬HÉ°ûàdG ∞jô©J ΩGóîà°SÉH ∂dP ≈∏Y áægÈdG ∂æμÁ OóY ¢ùØf ɪ¡d Úª¶àæe Ú©∏°†e iGC (6) C . Ú¡HÉ°ûàe ¿Éfƒμj ´Ó°V’G hGC Úª¶àæe Ú°Só°ùe áfQÉ≤à ∂dP ô°ùa . Úª¶àæe Ú°ùªfl

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٧٠

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬

‫‪h‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ∆‪h‬ﺏ ﺟـ ~ ∆ ﻕ ﻙ ﻝ ﻭﺃﻃﻮﺍﻝ‬

‫ﻕ‬

‫ﺏ‬

‫‪١٢‬‬

‫ﻫـ‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺏ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬

‫‪h‬‬

‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‪h‬ﺏ ﺟـ ‪ ~x‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻫـ ‪ ، x‬ﻃﻮﻝ ﻫـ ‪h‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪٢١‬‬

‫ﻝ‬ ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺟـ‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺳﻢ ﻫـ‬

‫‪x‬‬

‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬

‫ﺏ‬ ‫‪ ٩‬ﺳﻢ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ∆ ﺟـ ﺏ‪h‬‬

‫~‬

‫∆ ﺟـ ﻫـ ‪، x‬‬

‫‪ ١٨‬ﺳﻢ‬

‫‪ ١٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﺃﻭﺟﺪ‪:‬‬

‫‪h‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﻉ‬

‫ﺹ‬

‫ﻃﻮﻝ ﺱ ﺹ ‪ ،‬ﻃﻮﻝ ﻉ ﻝ ‪ ،‬ﻃﻮﻝ ﺱ ﻝ‬

‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺱ‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬

‫‪٥‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪ ٦ x‬ﺳﻢ‬

‫ﺟـ ﻫـ‬

‫‪4‬‬

‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪ / /‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺏ‪ ،x‬ﻭﻃﻮﻝ‬

‫‪3‬‬

‫ﺟـ‬

‫ﺟـ‬

‫∆‪ xh‬ﻫـ ~ ∆‪h‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪x‬ﻫـ‬

‫‪١٤‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻙ‬

‫ﻝ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺱ ‪ ،‬ﺹ‬

‫‪١٥‬‬

‫ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﺒﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪١٠‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫‪h‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٧١‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

:âfÉc GPEG ¿É©∏°†ŸG ¬HÉ°ûàj ¬fGC ≥Ñ°S ɪ«a Éæë°VhGC k hGC ) . ájhÉ°ùàe ɪgÉjGhR äÉ°SÉ«b (’ . áÑ°SÉæàe IôXÉæàŸG ɪ¡YÓ°VGC ∫GƒWGC (É«fÉK) k . ¿É©∏°†ŸG ¬HÉ°ûàj ≈μd É©e k ¿ÉWô°ûdG ≥≤ëàj ¿GC óH’h

≥≤– GPEG iGC , ¿ÉeRÓàe ÚWô°ûdG øjòg ¿GC ≈∏j ɪ«a iÔ°ùa äÉã∏ãŸG ≈a ÉeGC B •ô°ûdG ≥≤– Úã∏ãe iGC ≈a ɪgGóMEG ¢Vô©f ±ƒ°ùa . Ú¡HÉ°ûàe ¿Éã∏ãŸG ¿ƒμjh ôN’G B äÉjô¶ædG ≈a ∂dP . äÉã∏ãŸG ¬HÉ°ûJ ä’ÉM ≈ª°ùJ ≈àdGh , á«J’G

(1) ájô¶f B å∏ãŸG ≈a ÉgôFɶf äÉ°SÉ«b Úã∏ãe ó``MGC É``jGhR äÉ°SÉ«b ähÉ°S GPEG Úã∏ãŸG ¿Éc ô``N’G .Ú¡HÉ°ûàe h x ‫ﺹ‬ ‫ﻭ‬

‫ﺱ‬

‫ﻫـ‬ ‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

(1) áé«àf øe Ú``à``jhGR ≈°SÉ«b ɪgóMGC øe Ú``à``jhGR ¢SÉ«b ihÉ°S GPEG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj h

‫ء‬ ‫ﺟـ‬

X ‫ﺏ‬

B .ôN’G

‫ﻭ‬

: πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a

X ‫ﻫـ‬

, (`L x‫ﻭ‬ ‫ ﺟـ‬h

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

) ¥ = (h =

‫ﻫـ ﻭ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

=

)¥ ‫ ﻫـ‬x fh

D

، (h ) ‫( = ﻕ‬x ) ‫ﻕ‬ (‫ﻕ ) ﻫـ( = ﻕ ) ﺏ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

٧٢

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

á°UÉN ä’ÉM h

C ÉjhÉ°ùàŸG ¿Éã∏ãŸG (1) . ¿É¡HÉ°ûàe ´Ó°V’G

x ‫ﻭ‬

‫ﺟـ‬

GPEG ÚbÉ°ùdG ÉjhÉ°ùàŸG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj (2) IóYÉ≤dG ≈àjhGR ióMEG ¢SÉ«b ihÉ°S

‫ﻫـ‬

f

IóYÉ≤dG ≈àjhGR óMGC ¢SÉ«b ɪgóMG ≈a x

B ≈a . πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a ɪc ôN’G

‫ﺟـ‬ ‫ﻭ‬

‫ﻫـ‬

GPEG ájGhõdG ɪFÉ≤dG ¿Éã∏ãŸG ¬HÉ°ûàj ( 3 ) ÚàjOÉ◊G ÚàjhGR ióMEG ¢SÉ«b ihÉ°S

f

h

B ≈a ÚàjhGõdG ióMEG ¢SÉ«b ɪgGóMEG ≈a ɪc ôN’G . πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈a

áeÉg áXƒë∏e h

:πHÉ≤ŸG πμ°ûdG ≈Øa . IôXÉæàŸG ɪ¡°ShDhQ Ö«JÎH Úã∏ãŸG áHÉàc Ωõ∏j ‫ﻭ‬ f

(‫ﺏ( = ﻕ ) ﻫـ‬ x

‫ﺟـ‬

، (x ) ‫( = ﻕ‬h

∗

‫ﻫـ‬

) ‫ ﻕ‬: ¿Éc GPEG )‫ﻕ‬

‫ ﻫـ ﻭ‬x ∆ ~ ‫ ﺏ ﺟـ‬h∆

C ∫GƒWGC Ö°SÉæJ Öàμf ¿GC øμÁh º°SôdG ¤EG ´ƒLôdG ¿hO IôXÉæàŸG ´Ó°V’G B : ≈J’Éc h‫ﺟـ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

fh

= ‫= ﻫـ ﻭ‬ E x‫ﻭ‬ ‫ ﻫـ‬x

(2) áé«àf º°ù≤fG ôJƒdG ≈∏Y OƒªY ájhGõdG ºFÉ≤dG å∏ãŸG ‘ áªFÉ≤dG ¢SGC Q øe º°SQ GPEG C å∏ãŸG ¬HÉ°ûj ɪgÓch Ú¡HÉ°ûàe Úã∏ãe ¤EG å∏ãŸG . ≈∏°U’G

٧٣

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬- ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫∆‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪ n xh , h‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ x∆ :‬ﺏ‪ h∆ ~ h‬ﺏ ﺟـ ~ ∆ ‪ hx‬ﺟـ‬ ‫ﻭﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺫﻟﻚ‬

‫‪h‬‬

‫ﻭﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫∆ ‪ x‬ﺏ ‪ h ∆ ~ h‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪E‬‬

‫ﺏ‬

‫‪x‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪x‬ﺏ‬ ‫ﺏ‪h‬‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫‪h‬ﺏ‬

‫‪) E‬ﺏ‪ = ٢(h‬ﺏ‪ Xx‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ x = (xh)،‬ﺟـ ‪ x X‬ﺏ‬ ‫)ﺟـ‪ = ٢(h‬ﺟـ‪ Xx‬ﺟـ ﺏ‬ ‫‪ X hx ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ h‬ﺏ ‪ h X‬ﺟـ‬ ‫ﻡ ﻝ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻫـ ‪ J‬ﻡ ﻝ ﺭﺳﻢ ﻫـ ﻙ ‪ / /‬ﻝ ﻥ ﻓﻘﻄﻊ ﻡ ﻥ ﻓﻰ ﻙ ‪ ،‬ﻧﺼﻔﺖ ‪ g‬ﻥ ﻓﻰ‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺹ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ ﻡ ﺹ ﻓﻘﻄﻊ ﻫـ ﻙ ﻓﻰ ﺱ ﻭﻗﻄﻊ ﻝ ﻙ ﻓﻰ ﻉ ‪ ,‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺱ ﻙ ‪ X‬ﺹ ﻉ = ﺱ ﻉ ‪ X‬ﺹ ﻝ‬ ‫ﺱﻉ‬

‫ﻡﺱ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺱ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻫـ ﻙ‬ ‫ﺹﻉ‬

‫=‬

‫ﻡﺹ‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ e‬ﺱﻙ ‪//‬ﻝﺹ‬ ‫‪∆ E‬ﺱﻙﻉ~∆ ﺹ ﻝ ﻉ‬ ‫‪E‬‬

‫ﺱﻙ‬ ‫ﺹﻝ‬

‫=‬

‫ﺱﻉ‬ ‫ﺹﻉ‬

‫)‪(١‬‬

‫‪e‬ﺱﻙ‪X‬ﺹﻉ=ﺱﻉ‪X‬ﺹﻝ‬

‫ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ً‬ ‫ﺃﻭﻻ‬

‫ﻓﻰ ∆ ﻡ ﺹ ﻥ ‪:‬‬ ‫‪ E‬ﺱﻙ‬

‫‪//‬ﺹﻥ‬

‫‪∆ E‬ﻡﺱﻙ~∆ﻡ ﺹ ﻥ‬

‫‪٧٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪E‬‬

‫ﺱﻙ‬ ‫ﺹﻥ‬

‫=‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬ ‫ﻡﺱ‬

‫)‪(٢‬‬

‫ﻡﺹ‬

‫ﻣﻦ )‪، (٢) ، (١‬‬ ‫‪E‬‬

‫ﺱﻉ‬ ‫ﺹﻉ‬

‫=‬

‫∵‬

‫ﺹﻝ=ﺹﻥ‬

‫ﻡﺱ‬

‫ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬

‫ﻡﺹ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﻳﺘﺮﻙ ﺍﻹﺛﺒﺎﺕ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ‬ ‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪h ، h‬ﺏ = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ nxh ،‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪ h‬ﺟـ ‪ ، x‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ‪ h‬ﻫـ ‪ ،‬ﻫـ ‪x‬‬

‫‪ ،‬ﺟــ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪:‬‬

‫)ﺏ ﺟـ(‪h)= ٢‬ﺏ(‪h) + ٢‬ﺟـ(‬

‫‪٢‬‬

‫= )‪٦٢٥ = ٢(١٥) + ٢(٢٠‬‬ ‫‪ E‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٢٥ = ٦٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ n x h e‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪) e‬ﺟـ‪ = ٢(h‬ﺟـ‪ X x‬ﺟـ ﺏ‬ ‫‪ = ٢(١٥) E‬ﺟـ‪٢٥ X x‬‬ ‫‪ E‬ﺟـ‪=x‬‬

‫‪١٥ X ١٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪x‬‬

‫= ‪ ٩‬ﺳﻢ‬

‫)‪١٤٤ = ٢(٩) - ٢(١٥) = ٢(xh‬‬

‫‪ E‬ﺃﻯ ‪h‬ء = ‪ ١٢ = ١٤٤‬ﺳﻢ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺟـ‪،x‬‬ ‫‪ e‬ﺟـ ﻫـ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫ﺟـ ‪h‬‬

‫=‬

‫ﺟـ ‪x‬‬ ‫‪٩ + ١٥‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪٢٤‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪ E‬ﻫـ‪=x‬‬

‫‪ h‬ﺟـ ‪x‬‬

‫‪ h‬ﻫـ‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ‬

‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪ h‬ﻫـ ‪ +‬ﻫـ ‪x‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪١٥‬‬

‫=‬

‫‪ h‬ﻫـ‬

‫ﻫـ ‪x‬‬ ‫‪ h‬ﻫـ‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ‬

‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪١٢ X ٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬

‫=‬

‫‪١٢‬‬ ‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪- ١٢ = ih ،‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ٧ = ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٧٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ‪ ، ْ ٤٣ ، ْ ٧٢‬ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ ‪ ْ ٦٥، ْ ٧٢‬ﻓﻬﻞ ﻳﺘﺸﺎﺑﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ؟‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ‪ ْ ٣٨‬ﻭﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺇﺣﺪﻯ‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺗﻴﻦ ‪ ْ ٥٢‬ﻓﻬﻞ ﻳﺘﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ؟‬

‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻫـ‬

‫‪ / / hx‬ﺟـ ﺏ ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫)‪ h∆ (١‬ﻫـ‪ ∆ ~x‬ﺏ ﻫـ ﺟـ‬

‫‪h‬‬

‫)‪ h (٢‬ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ﺟـ =‪x‬ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫ﻫـ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻕ) ﻫـ( = ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻕ) ﺟـ( ‪ h ،‬ﻫـ = ‪ ١٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ‪ ١٢ =x‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﺟـ ﺏ = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪x،‬ﺏ = ‪ ٤‬ﺳﻢ‪ ,‬ﺃﻭﺟﺪ ‪ h :‬ﺟـ ‪ h، x h ،‬ﺏ ‪f‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪4‬‬

‫ﺟـ‬ ‫ﺳﻢ‬

‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫‪h‬‬

‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪ n x h ، h‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ h‬ﺏ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺏ‪x ، x‬ﺟـ ‪xh ،‬‬

‫‪6‬‬

‫ﻙ ﻝ ﻯ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ﻯ ﻙ = ﻝ ﻙ ‪ ،‬ﻫـ ‪ J‬ﻝ ﻯ ‪ ،‬ﻫـ ﻡ ‪ n‬ﻝ ﻙ ‪ ،‬ﻫـ ﻥ ‪ n‬ﻙ ﻯ‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٨‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﻯ ﻥ ‪ X‬ﻫـ ﻡ = ﻫـ ﻥ ‪ X‬ﻝ ﻡ‬ ‫‪7‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ,‬ﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ ‪ n‬ﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻊ ﺟـ‪ h‬ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺭﺳﻤﺖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺏ‪ h‬ﻓﻘﻄﻌﺖ‬ ‫ﺏ ﻫـ ﻓﻰ ﺱ ﻭﻗﻄﻌﺖ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﺹ‬ ‫‪ւ‬‬

‫‪8‬‬

‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ∆ ‪ h‬ﺹ ﺟـ ~ ∆ ﻫـ ﺱ ‪h‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻫـ ﻭ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻕ ) ﻭ( = ﻕ )‬

‫ﺩ ﺱ ﺹ(‬

‫‪x،‬ﺱ = ﺹ ﻭ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪x،‬ﺹ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬

‫‪٢‬ﺳﻢ‬

‫‪ւ‬‬

‫ﻣﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃ ﺱ ﺏ ﺹ ؟‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺳﻢ‬

‫‪٣‬‬ ‫ﺳﻢ‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺱ ﻫـ‬

‫‪٧٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪9‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬ﻝ‪/ / ١‬ﻝ‪ h ، ٢‬ﺏ ‪ B‬ﺟـ ‪ B x‬ﻫـ ﻭ = } ﻡ {‬ ‫◇‬ ‫◇‬

‫ﺍﺫﻛﺮ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‬ ‫‪ h‬ﺟـ‬

‫ﺏ ‪=x‬‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪ h‬ﻫـ ﺟـ ﻫـ‬ ‫ﺏﻭ =‬ ‫‪x‬ﻭ‬

‫‪ h 10‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑــﺎﻋﻰ ‪ ،‬ﻧﺼﻔﺖ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ﺏ ﺑﻤﻨﺼﻒ ﻗﻄﻊ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ‬ ‫ﻫـ ﻭ ‪ / /‬ﺟـ‪ x‬ﻓﻘﻄـﻊ ‪ xh‬ﻓﻰ ﻭ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻫـ ﻭ = ‪ ٢٫٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺟـ ‪x‬‬ ‫‪ h 11‬ﺏ ﺟـ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ h ،‬ﺟـ ‪ B‬ﺏ‪} =x‬ﻫـ{ ‪ ،‬ﺏ‪ B h‬ﺟـ‪} =x‬ﻭ{ ﺃﺛﺒﺖ‬ ‫ﺃﻥ‪ h ∆ (١) :‬ﺏ ﻫـ ~ ∆ ‪ x‬ﺟـ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ h :‬ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ﺟـ = ﺏ ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ‪x‬‬ ‫)‪ ∆ (٢‬ﻭ ‪ x‬ﺏ ~ ∆ ﻭ ‪ h‬ﺟـ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ :‬ﻭ ‪ X h‬ﻭ ﺏ = ﻭ ‪ X x‬ﻭ ﺟـ‬ ‫‪ h 12‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﺏ‪ x‬ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ‪ ، x‬ﺃﺛﺒﺖ‬

‫ﺃﻥ‪~ fhx ∆ :‬‬

‫∆ ‪ x‬ﺟـ ﺏ ‪ ،‬ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ )‪x‬ﺏ (‪ x X xh = ٢‬ﺟـ‬

‫‪ ( َx) ، ( x) 13‬ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ ‪ ، h‬ﺏ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ (x‬ﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ )‪ (َx‬ﻓﻰ ﻫـ‬ ‫‪ ،‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ (َx‬ﻋﻨﺪ ﺏ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ (x‬ﻓﻰ ﺟـ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪ h ∆ ( ١‬ﺏ ﺟـ ~ ∆ ‪ h‬ﻫـ ﺏ‬ ‫) ‪ h) ( ٢‬ﺏ(‪ h = ٢‬ﺟـ ‪hX‬ﻫـ‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪) ( ٣‬ﺏ ﺟـ(‪= ٢‬‬ ‫)ﺏ ﺟـ(‬

‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪h‬ﻫـ‬

‫‪ 14‬ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪ :‬ﺭ ﻕ ‪ n‬ﻙ ﻕ ‪ ،‬ﻙ ﻕ ‪ n‬ﻥ ﻙ‬ ‫ﻥ ﻡ ‪ n‬ﻙ ﺭ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡﻕ‪X‬ﺭﻕ=ﻡﻙ‪X‬ﻕﻙ‬ ‫‪ 15‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺭ‪x‬ﻫـ ﻣﺮﺑﻊ ‪،‬‬

‫ﺟـ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪ x hΔ (1‬ﺭ ~ ‪ Δ‬ﺭ ﺟـ ﻭ‬ ‫‪ xhΔ (2‬ﺭ ~ ‪ Δ‬ﻭ ﻫـ ﺏ‬ ‫‪ X xh (3‬ﻫـ ﺏ = ‪ x‬ﺭ‪ X‬ﻭ ﻫـ‬ ‫‪ x) (4‬ﺭ(‪ X xh = ٢‬ﻫـ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٧٧‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪á«fÉãdG ádÉ◊G‬‬

‫‪(2) ájô¶f‬‬

‫‪∫GƒWGC âÑ°SÉæJh ôNBG å∏ãe øe ájhGR ¢SÉ«b å∏ãe øe ájhGR ¢SÉ«b ihÉ°S GPEG‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. ¿É¡HÉ°ûàj Úã∏ãŸG ¿ÉE a ÚàjhGõdG ÚJÉg iƒà– ≈àdG ´Ó°V’G‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺹ‬

‫ﺱ‬

‫ﻫـ‬ ‫ﺏ‬

‫ﻭ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ‪ :‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ﺟــ ‪ x ،‬ﻫـ ﻭ ﻓﻴﻬﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﻕ ) ‪ = (h‬ﻕ )‬

‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‪ h Δ :‬ﺏ ﺟـ ~‬

‫‪، (x‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫‪ x‬ﻫـ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪x‬ﻭ‬

‫‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ‪ :‬ﻧﺄﺧﺬ ﺱ ‪ hJ‬ﺏ ‪ ،‬ﺹ‪ hJ‬ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﺱ =‪x‬ﻫـ ‪ h ،‬ﺹ =‪x‬ﻭ‬ ‫‪ h Δ E‬ﺱ ﺹ ` ‪ Δ‬ﺩ ﻫـ ﻭ ) ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻭﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺤﺼﻮﺭﺓ (‬

‫)‪(١‬‬

‫ﻓﻬﻤﺎ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺃﻯ ‪ hΔ‬ﺱ ﺹ ~ ‪x Δ‬ﻫـ ﻭ‬ ‫∴‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫‪ x‬ﻫـ =‬

‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪x‬ﻭ‬

‫‪ h ،‬ﺱ = ‪ x‬ﻫـ ‪ h ،‬ﺹ = ‪ x‬ﻭ‬

‫∴ﻕ) ‪ h‬ﺱ ﺹ(= ﻕ )‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ( ‪ ،‬ﻕ ) ‪ h‬ﺹ ﺱ( = ﻕ ) ‪ h‬ﺟـ ﺏ(‬

‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪ h Δ‬ﺱ ﺹ ‪ h Δ ،‬ﺏ ﺟـ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﻟﺘﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﻭﺍﻳﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ‬

‫‪hΔ‬ﺱﺹ~‬

‫‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﻣﻦ )‪ (٢) ، (١‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ~‬

‫‪٧٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫)‪(٢‬‬ ‫‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫)‪ h (١‬ﺟـ ‪ x B‬ﻫـ = }ﺏ{ ‪ h ،‬ﺏ = ‪ x‬ﺏ = ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ﻫـ ﺏ = ﺟـ ﺏ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ٤ = xh ،‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ‬

‫‪: IôμØdG‬‬ ‫‪ h Δ‬ﺏ ‪ Δ ~ x‬ﺟـ ﺏ ﻫـ‬

‫)ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟(‬

‫ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻟﺘﺴﺘﻄﻴﻊ ﺣﺴﺎﺏ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﻮﺍﺏ ‪ :‬ﺟـ ﻫـ = ‪ ٢٫٤‬ﺳﻢ‬ ‫)‪ Δ (٢‬ﻭ ﻙ ﻥ ﻓﻴﻪ ﻡ ‪ J‬ﻭ ﻥ ‪،‬‬ ‫ﻭﻡ = ‪ ٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻡ ﻥ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻭﻙ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ւ‬‬

‫‪ Δ‬ﻭﻡ ﻙ ~ ‪ Δ‬ﻭ ﻙ ﻥ‬

‫‪ւ‬‬

‫ﻭ ﻙ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ ‪ Δ‬ﻡ ﻙ ﻥ‬

‫‪: IôμØdG‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻭ ﻡ ﻙ ‪ ،‬ﻭ ﻙ ﻥ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫‪ E‬ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺘﻮﻳﻬﺎ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪.‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ Δ‬ﻭ ﻡ ﻙ ~ ‪ Δ‬ﻭ ﻙ ﻥ‬

‫)ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ ؟(‬

‫ﻛﻴﻒ ﻧﺜﺒﺖ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ )‪ (٢‬؟‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٧٩‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺏ ﺟـ ‪ B‬ﺩ ﻫـ = }ﺃ{ ‪ h ،‬ﺏ = ‪ ٢٫٨‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺩ = ‪ ٢٫١‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٧٫٢‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪ h‬ﻫـ = ‪ ٩٫٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺩ = ‪ ٣٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫‪ h Δ‬ﺏ ﺩ ~ ‪ h Δ‬ﺟـ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﺃﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﺟـ ﻫـ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺟـ ﺩ ‪ ،‬ﻫـ ﺏ ﻓﻰ ﻙ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪xh Δ‬ﺟـ ~‬

‫‪ h Δ‬ﺏ ﻫـ ‪ ,‬ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪ x Δ‬ﻙ ﻫـ ~ ‪ Δ‬ﺏ ﻙ ﺟـ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ Δ‬ﻓﻴـﻪ ‪ h‬ﺏ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ‪ h J‬ﺏ‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﻫـ = ‪ ٤‬ﺳﻢ ‪ Jx ،‬ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ‪ x‬ﺟـ = ‪٧‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ռ‬‬

‫‪ Δ‬ﺏ ‪ x‬ﻫـ ~‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ h‬ﺟـ ﺩ ﻫـ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ‬

‫‪ Δ‬ﺏ ‪ h‬ﺟـ ‪ :‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﻮﻝ ﻫـ ‪x‬‬

‫ﺍﻟﻤـﺜـﻠـﺚ ﺱ ﺹ ﻉ ﻓﻴــﻪ ﺱ ﺹ = ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺹ ﻉ = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻉ ﺱ = ‪ ٢٠‬ﺳــﻢ‬ ‫‪ Jx،‬ﺱ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ ‪ ١٥ = x‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ‪ J‬ﺹ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ ﻫـ =‪ ١٢٫٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ x Δ :‬ﻉ ﻫـ ~‬ ‫‪4‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x ،‬ﻫـ ﻭ ﻣﺜﻠﺜﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ‪ h ،‬ﺱ ‪ x ،‬ﺹ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺍﻥ ﻓﻴﻬﻤﺎ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪h‬ﺱ‬ ‫‪x‬ﺹ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪x‬ﻭ‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺮﺳـﻮﻡ ﺩﺍﺧـﻞ ﺩﺍﺋــﺮﺓ ﺗﻘــﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﺍﻩ‪h‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ‪ x‬ﻓﻰ ﻫـ ‪,‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪:‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫‪ Δ‬ﺹ ﻉ ﺱ ﻭﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ‪ x‬ﻫـ‬

‫ﺏ‪h‬‬ ‫‪ x‬ﺟـ‬

‫=‬

‫‪h‬ﺟـ‬ ‫‪x‬ﺏ‬

‫‪ռ‬‬

‫‪ hΔ‬ﺏ ﻫـ ~‬

‫‪ x Δ‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺏ ﺩ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺃ ﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪áãdÉãdG ádÉ◊G‬‬

‫‪(3) ájô¶f‬‬ ‫‪C ∫GƒWGC âÑ°SÉæJ GPEG‬‬ ‫‪. ¿É¡HÉ°ûàj ɪ¡fÉE a Úã∏ãe ≈a IôXÉæàŸG ´Ó°V’G‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ‪ x Δ ،‬ﻫـ ﻭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺏ ﺟـ‬ ‫‪ x‬ﻫـ = ﻫـ ﻭ‬

‫=‬

‫‪h‬‬

‫ﺱ‬

‫ﻭ‬

‫ﻫـ‬

‫ﺹ‬

‫ﺟـ ‪h‬‬ ‫ﻭ‪x‬‬ ‫ﺏ‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ h Δ :‬ﺏ ﺟـ ~ ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ‬ ‫ﺟـ‪h‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻭ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻫـ ﻫـ ﻭ‬

‫‪)¥‬‬

‫‪D‬‬

‫‪) ¥ = (h‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪, (x‬‬

‫‪) ¥ = (Ü ) ¥‬‬

‫‪, (`g‬‬

‫‪) ¥ = (`L‬‬

‫‪, (h‬‬

‫‪)¥‬‬

‫‪äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫)‪ (١‬ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫‪x‬ﻥ ‪ / /‬ﻭ ﻫـ ‪x،‬ﻫـ ‪ n‬ﻫـ ﻭ ‪،‬‬ ‫ﻡ ‪xJ‬ﻫـ ‪ x ،‬ﻭ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻭ ﻫـ =‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ x ،‬ﻡ = ‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ x‬ﻥ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪xΔ‬ﻥﻡ~‬

‫‪ Δ‬ﻫـ ‪ x‬ﻭ‬

‫‪: IôμØdG‬‬ ‫‪ x e‬ﻥ ‪ / /‬ﻭ ﻫـ‬

‫‪E‬ﻕ) ﻡ‪x‬ﻥ(=ﻕ)‬

‫ﻫـ ( = ‪ْ ٩٠‬‬

‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ ‪ :‬ﻓﻰ ‪ x Δ‬ﻥ ﻡ ‪ :‬ﻡ ﻥ = ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٨١‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﻓﻰ ‪ Δ‬ﻫـ ‪ x‬ﻭ ‪ x :‬ﻫـ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻨﺎﺯﻟﻴﺎ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ﺃﻭ‬ ‫ﺛﻢ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ x‬ﻥ ﻡ ‪ ،‬ﻫـ ‪ x‬ﻭ ‪،‬‬ ‫‪ x‬ﻥ = ‪ ٣‬ﺳﻢ‬

‫‪ x ،‬ﻡ = ‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫‪ ،‬ﻡ ﻥ = ‪ ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪ x ,‬ﻫـ = ‪ ٦‬ﺳﻢ‬

‫‪ ،‬ﻫـ ﻭ = ‪ ٨‬ﺳﻢ‬

‫‪ ،‬ﻭ ‪ ١٠ = x‬ﺳﻢ‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ‬

‫ﻫﻞ ‪ x Δ‬ﻥ ﻡ ~‬

‫‪ Δ‬ﻫـ ‪ x‬ﻭ ‪ ،‬ﻭﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬

‫)‪ (٢‬ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ ‪ :‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٢٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪h‬ﺏ = ﺟـ ‪ ١٢ = x‬ﺳﻢ ‪ ٨ = xh ،‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪ h‬ﺟـ = ‪ ١٨‬ﺳﻢ ‪ .‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ﻥ ‪:‬‬

‫‪ Δ‬ﺏ‪ h‬ﺟـ ~‬

‫‪ xh Δ‬ﺟـ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺟـ‪ h‬ﻳﻨﺼﻒ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺇ ﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ ‪ hB x‬ﺟـ = } ﻫـ {‬

‫‪ռ‬‬

‫ﻓﺄﺣﺴﺐ‬

‫ﺏ ﺟـ ‪x‬‬

‫ﺏ‪i‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻫـ ‪x‬‬

‫‪: IôμØdG‬‬

‫ﺍﺗﺒﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻓﻰ )‪ (١‬ﻹﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﺏ‪ h‬ﺟـ ~‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ :‬ﻕ )‬ ‫ﻭﻳﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬

‫ﺏ‪i‬‬ ‫ﻫـ ‪x‬‬

‫ﺏ ﺟـ ‪ = ( h‬ﻕ )‬ ‫=‬

‫‪ x hΔ‬ﺟـ‬ ‫‪ h‬ﺟـ ‪( x‬‬

‫‪٩‬‬ ‫‪٤‬‬

‫)‪ (٣‬ﻓﻰﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫ﻝ‬

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻝ ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻣﺤﺪﺏ ﻓﻴﻪ ‪:‬‬

‫ﺱ‬

‫ﺱ ﺹ = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺹ ﻉ = ‪ ٣٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻉ ﻝ = ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻝ ﺱ = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺱ ﻉ = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ռ‬‬

‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ Δ :‬ﺱ ﺹ ﻉ ~ ‪ Δ‬ﻝ ﺱ ﻉ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ‬

‫ﻉ‬

‫ﺹ‬

‫‪٨٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﻭ‪ h‬ﺏ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴـﺎﻗﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻭ‪ = h‬ﻭﺏ ‪ ،‬ﻫـ ﻣﻨﺘﺼـﻒ ‪h‬ﺏ ‪ ،‬ﺃﺧﺬﺕ‬ ‫ﻡ‪ J‬ﻭ‪ ، h‬ﻥ ‪ J‬ﻭ ﺏ ﺑﺤﻴﺚ ‪h ٤ :‬ﻡ ‪ X‬ﺏ ﻥ = )‪h‬ﺏ(‪ ، ٢‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫‪ h ∆ (1‬ﻫـ ﻡ ~ ∆ ﺏ ﻥ ﻫـ ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫‪ h ∆ (2‬ﻫـ ﻡ ~ ∆ ﻫـ ﻥ ﻡ ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﻬﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬ ‫‪ (3‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﻫـ ﻫﻰ ﻣﻠﺘﻘﻰ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﻴﻦ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺘﻴﻦ‬

‫‪h‬ﻡ ﻥ ‪،‬‬

‫ﺏﻥﻡ‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪:‬‬

‫)‪h ٤ e (١‬ﻡ ‪ X‬ﺏ ﻥ = )‪h‬ﺏ(‬ ‫)‪ h‬ﺏ(‬ ‫ﻡ‪X‬ﺏﻥ=‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪h‬ﻫـ‬ ‫‪h‬ﻡ‬ ‫=‬ ‫ﺏ ﻫـ ﺏ ﻥ‬

‫‪hE‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫= )‪ h‬ﻫـ(‪ h = ٢‬ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ﺏ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ h‬ﻫـ ﻡ ‪ ،‬ﺏ ﻥ ﻫـ‬ ‫ﻕ)‬ ‫‪h‬ﻡ‬

‫‪=(h‬ﻕ)‬

‫‪ ،‬ﺏ ﻫـ =‬

‫‪ ٠٠٠٠٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ‬

‫ﺏ(‬

‫‪h‬ﻫـ‬ ‫ﺏﻥ‬

‫‪ ٠٠٠٠٠‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪ h Δ E‬ﻫـ ﻡ ~ ‪ Δ‬ﺏ ﻥ ﻫـ‬ ‫ﻭﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ :‬ﻕ) ‪ h‬ﻫـ ﻡ(= ﻕ)‬ ‫‪ ,‬ﻕ ) ‪ h‬ﻡ ﻫـ ( = ﻕ )‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ‬

‫‪h‬ﻫـ‬

‫ﺏ ﻥ=‬

‫)‪ e (٢‬ﻕ )‬

‫ﺏ ﻥ ﻫـ( ) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ‪ h‬ﻡ ‪ ،‬ﺏ ‪(i‬‬

‫ﺏ ﻫـ ﻥ ( ) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ‪ ، ih‬ﺏ ﻥ (‬

‫ﻡ‪h‬‬ ‫ﻫـ ﻡ‬ ‫=‬ ‫ﻥ ﻫـ ﻫـ ﺏ‬

‫ﻡ ﻫـ ﻥ ( = ﻕ )‬

‫ﻫـ ‪ h‬ﻡ (‬

‫ﻻﻥ ﻛﻼ ﻣﻦ ﻫﺎﺗﻴﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﻦ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻜﻤﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪(١‬‬ ‫ﻫـ ﻡ‬ ‫ﻡ‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬ﻫـ ﻥ ﻫـ‬

‫) ﻷﻥ ‪ h‬ﻫـ = ﺏ ﻫـ (‬

‫ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ hΔ‬ﻫـ ﻡ ~ ‪ Δ‬ﻫـ ﻥ ﻡ‬ ‫ﻭﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ :‬ﻕ) ﻫـ ﻡ ﻥ ( = ﻕ )‬

‫‪ h‬ﻡ ﻫـ (‬

‫) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻫـ ﻥ ‪ h ،‬ﻫـ (‬ ‫‪،‬ﻕ)‬

‫ﻫـ ﻥ ﻡ ( = ﻕ )‬

‫‪ h‬ﻫـ ﻡ (‬

‫) ﻳﻘﺎﺑﻼﻥ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﻫـ ﻡ ‪ h ،‬ﻡ (‬

‫)‪ (٣‬ﻳﺘﺮﻙ ﻹﺛﺒﺎﺕ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٨٣‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ h‬ﺏ ﻭ ﺟـ ﻣﻌﻴﻦ ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ ‪ h‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻭﺏ ‪ ،‬ﻭ ﺟـ ﻓﻰ ﻡ ‪ ،‬ﻥ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪2 ∫É`ã`e‬‬

‫‪ Δ (1‬ﺃ ﺏ ﻡ ~ ‪ Δ‬ﻥ ﺟـ ‪ ، h‬ﻭﺃﻥ ﺏ ﻡ ‪ X‬ﺟـ ﻥ = ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺘﺎ‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻓﺮﺿﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﺃﻥ ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ‪ ْ٦٠‬ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺏ ﻡ ‪ X‬ﺟـ ﻥ = )ﺏ ﺟـ(‪ ٢‬ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﺏ ﻡ ﺟـ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ﺏ ﻥ‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ ﻥ ∩ ﺟـ ﻡ = }ﻯ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺗﻘﻊ ﺭﺅﻭﺳﻪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺗﻤﺲ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ‪h‬ﺏ ‪ h ،‬ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪:‬‬

‫)‪ (١‬ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ h Δ‬ﺏ ﻡ ~ ‪ Δ‬ﻥ ﺟـ ‪h‬‬ ‫ﻕ) ﺏ ‪ h‬ﻡ( = ﻕ ) ﺟـ ﻥ ‪ (h‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ‪،‬‬ ‫ﻕ) ﺏ ﻡ ‪ = (h‬ﻕ ) ﺟـ ‪ h‬ﻥ( ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫‪ hΔ E‬ﺏ ﻡ ~ ‪ Δ‬ﻥ ﺟـ ‪h‬‬ ‫)ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ(‬ ‫‪E‬‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫ﺏﻡ‬ ‫=‬ ‫ﻥ ﺟـ‬ ‫ﺟـ‪h‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻭﻣﻨﻬﺎ‬

‫ﺏ ﻡ ‪ X‬ﺟـ ﻥ = ‪ h‬ﺏ ‪ hX‬ﺟـ = )‪ h‬ﺏ(‪(١) ٢‬‬ ‫‪ E‬ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺏ ﻡ ‪ X‬ﺟـ ﻥ = ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺘﺎ‬ ‫) ‪ ( ٢‬ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻓﻴﻬﺎ ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ‪ْ٦٠‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻭﺗﺼﻴﺮ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺏ ﻡ ‪ X‬ﺟـ ﻥ = ) ﺏ ﺟـ(‬

‫‪٢‬‬

‫ﺏﻡ‬

‫)‪(٢‬‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪،‬‬ ‫ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ :‬ﺏ ﺟـ = ﻥ ﺟـ‬ ‫‪ e‬ﻕ ) ﻡ ﺏ ﺟـ ( = ﻕ ) ﻥ ﺟـ ﺏ ( = ‪ْ ١٢٠‬‬ ‫) ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ (‬ ‫‪ Δ E‬ﺏ ﻡ ﺟـ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ﺏ ﻥ‬ ‫) ‪ ( ٣‬ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ‪:‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ‪ :‬ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻥ ( = ﻕ ) ﺟـ ﻡ ﺏ (‬ ‫ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ ( = ﻕ ) ﺏ ﻥ ﺟـ (‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻕ ) ﺏ ﻯ ﺟـ ( = ‪ ] - ْ ١٨٠‬ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻥ( ‪ +‬ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ([‬ ‫= ‪ - ْ١٨٠‬ﻕ ]) ﺟـ ﺏ ﻥ( ‪ +‬ﻕ ) ﺏ ﺟـ ﻡ([ = ﻕ ) ﺟـ ﺏ ﻡ( = ‪ْ١٢٠‬‬ ‫‪ E‬ﻕ ) ﺏ ﻯ ﺟـ ( ‪ +‬ﻕ ) ﺏ ﻭ ﺟـ ( = ‪ْ ١٨٠‬‬ ‫‪ E‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ‬ ‫‪ e‬ﻕ ) ‪ h‬ﺏ ﺟـ( = ﻕ ) ﻭ( = ‪ْ٦٠‬‬ ‫‪ E‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﻴﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭ ﺏ ﻯ ﺟـ ﺗﻤﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ h‬ﺏ ﻋﻨﺪ ﺏ‬ ‫ﻭﺗﻤﺲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ h‬ﺟـ ﻋﻨﺪ ﺟـ‬

‫‪٨٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ :‬ﺏ ﺟـ ‪ B‬ﺩ ﻫـ = }ﻭ{‬ ‫‪ h‬ﺏ =‪٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ =‬ ‫‪ ٨‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﻭ ﺟـ = ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﺏ ‪ ٤٫٥ = x‬ﺳﻢ ‪ x ،‬ﻭ = ‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ~ ‪ x Δ‬ﺏ ﻭ‬ ‫‪ Δ‬ﻫـ ﻭ ﺟـ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪ :‬ﻝ ﻡ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ‪،‬‬ ‫ﻫـ ‪ ،‬ﻙ ‪ J‬ﻡ ﻥ ‪،‬ﻯ‪ J‬ﻝ ﻥ ‪ ،‬ﻝ ﻡ = ‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﻡ ﻫـ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﻯ = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻫـ ﻙ = ‪ ٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻙ ﻯ = ‪ ٤٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﻯ ﻙ ‪ / /‬ﻝ ﻫـ ‪ ،‬ﻫـ ﻯ ‪/ /‬ﻡ ﻝ‬ ‫ﺛﻢ ﺍﺣﺴﺐ ﻃﻮﻝ ﻥ ﻙ‬

‫‪3‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ، x ،‬ﻫـ ‪ ،‬ﻭ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺟـ ‪ h‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ Δ‬ﻫـ ﻭ‪ hΔ ~ x‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ‪ J x ,‬ﺱ ﺹ ﺑﺤﻴﺚ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫ﻉ‪ x‬ﺱﻉ‬ ‫‪x‬ﺹ = ﻉ ﺹ‬

‫‪ռ‬‬

‫‪Δ‬ﺹﻉ‪ Δ ~x‬ﺹﺱﻉ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﻉ ﺹ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺅﻭﺱ ‪ Δ‬ﺱ ﻉ ‪x‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻉﺹ ﺱﺹ‬ ‫ﻉ‪ = x‬ﺱﻉ‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﻫـ ﻭ ﻯ ﻣﺜﻠﺚ ‪ Jx ،‬ﻭ ﻯ ﺑﺤﻴﺚ )‪ x‬ﻫـ(‪ = ٢‬ﻭ‪ x X x‬ﻯ ‪ ،‬ﻭﻫـ ‪ X‬ﻫـ ‪ = x‬ﻭ ‪ X x‬ﻫـ ﻯ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ Δ (١) :‬ﻭ ﻫـ ‪ Δ ~ x‬ﻫـ ﻯ ‪x‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻫـ ‪ n x‬ﻭ ﻯ‬

‫‪6‬‬

‫)‪ (٣‬ﻕ )‬ ‫‪xh‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ‪ ،‬ﻫـ ‪ h J‬ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ‪ h :‬ﺟـ =‬ ‫ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺟـ ‪ / / x‬ﺏ‪h‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺏ ﻫـ‬ ‫ﻫـ‪h‬‬

‫ﻭ ﻫـ ﻯ ( = ‪ْ ٩٠‬‬ ‫ﺟـ‪x‬‬

‫‪ h ,‬ﺟـ =‬

‫‪h‬ﺏ‬ ‫ﻫـ ‪h‬‬

‫‪ / / x h ،‬ﺏ ﻫـ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٨٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪7‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ‪ ،‬ﻭ ‪ x J‬ﺟـ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﺏ ﻭ ﻓﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﻭﻗﻄﻊ ‪ xh‬ﻓﻰ ﻯ ‪،‬‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫‪8‬‬

‫‪h Δ‬ﻫـ ﻯ ~‬

‫‪ Δ‬ﺟـ ﻫـ ﺏ‬

‫)ﻫـ ﺏ(‪ = ٢‬ﻫـ ﻭ ‪ X‬ﻫـ ﻯ‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪ . h‬ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎ ) ﻝ ( ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﺮﺃﺱ‪h‬‬ ‫ﻭﺭﺳﻢ ﺏ ﻫـ ‪ ،‬ﺟـ ‪ x‬ﻋﻤﻮﺩﻳﺎﻥ ﻋﻠﻰ )ﻝ( ﻳﻘﻄﻌﺎﻧﻪ ﻓﻰ ﻫـ ‪ x ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ hΔ‬ﻫـ ﺏ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ‪hx‬‬ ‫‪ifXih‬‬ ‫‪ X x h‬ﺟـ ‪x‬‬

‫)‪ h‬ﺏ(‬

‫‪٢‬‬

‫= )‪ h‬ﺟـ(‬

‫‪٢‬‬

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ‪ ،‬ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻮﺱ‬ ‫ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺱ͡ﻉ ‪ ،‬ﺱ ﻡ ‪ B‬ﺹ ﻉ = } ‪ ،{ x‬ﺱ ﻉ ‪ B‬ﻡ ﺹ = }ﻫـ{‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫‪ Δ‬ﺱ ﺹ ﻫـ ~‬

‫‪Δ‬ﺹﺩﺱ‬

‫)ﺱ ﺹ(‪ = ٢‬ﺱ ﻫـ ‪ X‬ﺹ ‪x‬‬

‫‪ 10‬ﻥ ﻕ ﻙ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﻙ ‪ ،‬ﻙ ﻫـ ‪ n‬ﻥ ﻕ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ‪ .‬ﺭﺳﻤﺖ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻫـ ﻭﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻙ ﻫـ ﻓﻘﻄﻌﺖ ﻥ ﻙ ‪ ،‬ﻕ ﻙ ﻓﻰ ‪ ، x‬ﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ·‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ռ‬‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻂ ‪ ، x‬ﻫـ ‪ ،‬ﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﻘﺎﻣﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬

‫‪ռ‬‬

‫‪ Δ‬ﻙ ﻥ ﻕ ~ ‪ Δ‬ﻙ ﻯ ‪ x‬ﻭﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻥ ‪ x‬ﻕ ﻯ ﺩﺍﺋﺮﻯ‬

‫‪ռ‬‬

‫ﻥ ﻫـ ‪ X‬ﻫـ ﻕ =‬

‫)‪ x‬ﻯ(‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪َ ، (x) 11‬‬ ‫)‪ (x‬ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺮﻛﺰﻫﻤﺎ ﻭ ‪َ ،‬ﻭ ﻭﻃﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﻳﻬﻤﺎ ﻧﻖ ‪َ ،‬‬ ‫ﻧﻖ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ‬ ‫‪،h‬ﺏ‬ ‫َ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ)‪(x)،(x‬‬ ‫‪ (1‬ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ h‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺧﻂ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﻦ ﻭ َﻭ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫َ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ)‪(x)،(x‬‬ ‫ﻓﻰ ﺟـ ‪ x ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ‪ x‬ﻗﻄﺮﺍﻥ ﻓﻰ‬

‫‪٨٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ (2‬ﺭﺳـﻢ ﻣﻦ ‪ h‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﺎ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ (x‬ﻓـﻰ ﻯ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋـﺮﺓ َ‬ ‫)‪ (x‬ﻓﻰ ﻕ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪Δ‬ﻯﺏﻕ~‬

‫‪ Δ‬ﺟـ ﺏ ﺩ‬

‫‪ Δ ،‬ﺏ ﺟـ ﻯ ~‬

‫‪Δ‬ﺏﺩﻕ‬

‫‪ 12‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )ﻭ( ﻭﻓﻴﻪ ﺏ ﺟـ < ‪ h‬ﺏ ‪ h ،‬ﻭ‬ ‫ﺗﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﺏ‪ x‬ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺭﺳﻢ ‪h‬ﻥ ‪ n‬ﺏ ‪ x‬ﻭﻳﻘﻄﻌﻬـﺎ ﻓﻰ ﻥ ‪ ،‬ﻭﻳﻘﻄﻊ‬ ‫ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻡ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫)‪ h Δ (١‬ﺏ ﻥ ~ ‪ h Δ‬ﺏ ﻫـ‬ ‫)‪ Δ (٢‬ﻡ ﺏ‪ h‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻭﻳﺸﺎﺑﻪ ‪ hΔ‬ﺏ ﺟـ ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫)ﺏ‪ = ٢(h‬ﺏ ﺟـ ‪ X‬ﺏ ﻡ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٨٧‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪(4) ájô¶f‬‬ ‫‪iGC ≈dƒW ø«H áÑ°ùædG ™Hôe ihÉ°ùJ ø«¡HÉ°ûàe ø«ã∏ãe ≈룰S ≈àMÉ°ùe ø«H áÑ°ùædG‬‬ ‫‪. ɪ¡«a øjôXÉæàe ø«©∏°V‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ‪ h Δ :‬ﺏ ﺟـ ~‬ ‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ (‬

‫‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ ‪h‬‬

‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ‪ :‬ﻡ ) ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ ( = ) ‪ x‬ﻫـ ( = ) ﻫـ ﻭ ( = ) ﻭ ‪( x‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ :‬ﻧﺮﺳﻢ ‪ h‬ﻝ ‪ n‬ﺏ ﺟـ ‪ ,‬ﻭﺗﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻝ ‪ x ،‬ﻡ ‪ n‬ﻫـ ﻭ ‪ ,‬ﻭﺗﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻡ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪ hΔ :‬ﺏ ﺟـ ~ ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ‬ ‫‪ E‬ﻕ ) ﺏ ( = ﻕ ) ﻫـ (‬ ‫‪h‬ﺏ‬

‫‪ x ،‬ﻫـ =‬

‫ﺏ ﺟـ ﺟـ ‪h‬‬ ‫ﻫـ ﻭ =‬ ‫ﻭ‪x‬‬

‫‪،‬‬

‫)‪(١‬‬

‫‪ e‬ﻕ ) ﻝ ( = ﻕ ) ﻡ ( = ‪ْ٩٠‬‬ ‫‪ h Δ E‬ﺏ ﻝ ~ ‪ x Δ‬ﻫـ ﻡ‬ ‫‪h‬ﻝ‬ ‫‪h‬ﺏ‬ ‫=‬ ‫‪x‬ﻡ‬ ‫‪ x E‬ﻫـ‬ ‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ (‬ ‫ﻡ ) ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ ( =‬

‫) ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺘﺸﺎﺑﻪ (‬ ‫)‪(٢‬‬

‫‪ ١‬ﺏ ﺟـ ‪ hX‬ﻝ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ١‬ﻫـ ﻭ ‪ x X‬ﻡ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫ﻫـ ﻭ‬

‫‪X‬‬

‫‪h‬ﻝ‬ ‫‪x‬ﻡ‬

‫ﻭﻣﻦ )‪ (٢) ، (١‬ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ (‬

‫ﻡ ) ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ (=‬

‫ﺏ ﺟـ ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻫـ ﻭ ‪X‬‬ ‫ﻫـ ﻭ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫‪h‬ﺏ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ ‪h‬‬

‫= ) ﻫـ ﻭ ( = ) ‪ x‬ﻫـ ( = ) ﻭ ‪( x‬‬

‫‪٢‬‬

‫) ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ (‬

‫‪٨٨‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪≥«Ñ£J‬‬ ‫ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﺱ‪ hJ‬ﺏ ‪ ،‬ﺱ ﺹ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﻭﻳﻘﻄﻊ ‪ h‬ﺟـ ﻓﻰ ﺹ‬ ‫‪ h Δ E‬ﺱ ﺹ ~ ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ‬ ‫‪h‬ﺱ‬ ‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺱ ﺹ(‬ ‫ﻓﺈﻥ‪ :‬ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ( =‬

‫‪١‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫) (‪= ٢‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺱ ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ﺹ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ Δ‬ﺱ ﻫـ ﺹ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ﻫـ ﺏ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ‬

‫ﺱﺹ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬

‫=‬

‫ﻡ ) ‪ Δ‬ﺱ ﻫـ ﺹ(‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫) ﻟﻤﺎﺫﺍ؟(‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ E‬ﻡ ) ‪ Δ‬ﺟـ ﻫـ ﺏ( = ) ‪= ٢( ٣‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ~ ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ﺗﺴﺎﻭﻯ ‪ ٩‬ﺃﻣﺜﺎﻝ ﻣﺴﺎﺣـﺔ‬ ‫ﺳﻄﺢ ‪ x Δ‬ﻫـ ﻭ ‪ ،‬ﻭﻛﺎﻥ ‪x‬ﻫـ = ‪ ٥‬ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ‪ h‬ﺏ‬

‫‪2‬‬

‫ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﻃﻮﻟﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ‬

‫‪3‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻷﺿﻼﻉ ‪ h‬ﺏ ‪ ، x‬ﺏ ﺟـ‬

‫‪4‬‬

‫ﻫـ ‪ h ،‬ﺟـ ﻭ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﻡ )‪ hΔ‬ﺏ‪ + (x‬ﻡ )‪ Δ‬ﺏ ﺟـ ﻫـ( = ﻡ )‪ hΔ‬ﺟـ ﻭ(‬ ‫‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ‪ x‬ﻭﺗـــﺮﺍﻥ ﻏـــﻴﺮ ﻣﺘﻘـﺎﻃﻌـﻴﻦ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻓــﺈﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ‪ B‬ﺟـ ‪}= x‬ﻫـ{‬ ‫‪h‬ﺟـ = ‪ ٣‬ﺏ ‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻡ ) ‪ Δ‬ﻫـ ﺏ ‪(x‬‬ ‫ﻓــﺄﻭﺟـﺪ‪:‬‬ ‫ﻡ ) ‪ Δ‬ﻫـ ‪ h‬ﺟـ(‬

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ‬

‫ﺱﺹ‬ ‫ﺱﻉ‬

‫=‬

‫‪٩‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪ ,‬ﺭﺳﻤﺖ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺳﻪ ﻣﻦ ﺱ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻬﺬﻩ‬

‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻘﻄﻊ ﺹ ﻉ ﻓﻰ ﻫـ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﻡ ) ‪ Δ‬ﺱ ﺹ ﻉ(‬ ‫ﻡ ) ‪ Δ‬ﺱ ﺹ ﻫـ(‬

‫=‬

‫‪٣٢‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٨٩‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪á≤«≤M‬‬ ‫‪¿GC øμÁ ¿É¡HÉ°ûàŸG ¿É©∏°†ŸG‬‬ ‫‪øe Oó©dG ¢ùØf ¤EG ɪ°ù≤æj‬‬ ‫‪É¡æe πc ¬HÉ°ûj ≈àdG äÉã∏ãŸG‬‬ ‫‪√Ò¶f‬‬

‫ﻓﻔﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺩ ﻫـ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ‪َ َh‬‬ ‫ﺏ ﺟـَ َﺩ ﻫـَ ﻭﻣﻦ ﺃ ﻯ ﺭﺃﺳﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻣﺜﻞ ﺟـ ‪ ،‬ﺟـَ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻤﻨﺎ ﺟـ ‪ ، h‬ﺟـ ﻫـ ‪ ،‬ﺟـَ ‪ ،َh‬ﺟـَ ﻫـَ ﻓﺈﻥ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ ﻳﻨﻘﺴﻢ ﺇﻟﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ h Δ :‬ﺏ ﺟـ ~ ‪َ h Δ‬‬ ‫َﺏ ﺟـَ‬ ‫‪ h Δ ،‬ﺟـ ﻫـ ~ ‪َh Δ‬ﺟـَ ﻫـَ‬ ‫‪ Δ ،‬ﻫـ ﺟـ ‪ Δ ~ x‬ﻫـَ ﺟـَ ‪َx‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﻘﻴﻘـﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘـﺔ ﻣﻬﻤﺎ ﻛـﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻌﻴﻦ )ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻌﻴﻦ ﺍﻟﻤﺘﺸـﺎﺑﻬﻴﻦ‬ ‫ﻟﻬﻤــﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺿـﻼﻉ( ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜـﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻨﻘﺴـﻢ ﺇﻟﻴﻬــﺎ ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻀﻠـﻊ = ﻥ ‪ ٢-‬ﺣﻴﺚ ﻥ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻭﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ (‬ ‫َﺏ ﺟـَ (‬ ‫ﻡ)‪َ hΔ‬‬ ‫ﻡ )‪ Δ‬ﻫـ ﺟـ ‪= ( x‬‬ ‫ﻡ )‪Δ‬ﻫـَ ﺟـَ ‪(َx‬‬ ‫‪ h‬ﻫـ‬ ‫ﺏ ﺟـ‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫َ‬ ‫‪َh‬ﻫـَ‬ ‫ﺏ ﺟـَ‬

‫ﺏ ﺟـ‬

‫= ) َﺏ ﺟـ (‬

‫‪،‬‬

‫ﻡ ) ‪ h Δ‬ﺟـ ﻫـ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ،‬ﻡ ) ‪َh Δ‬ﺟـ ﻫـ ( = )‬

‫َ‬

‫) ﻫـ ‪( x‬‬

‫َ َ‬

‫‪ h‬ﻫـ‬ ‫‪َh‬ﻫـَ‬

‫(‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻫـَ​َ‪َx‬‬ ‫ﻫـ ‪x‬‬ ‫=‬ ‫ﻫـَ​َ‪َx‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﻫـ(‬ ‫َﺏ ﺟـَ ‪ َx‬ﻫـَ (‬ ‫ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ‪َ h‬‬

‫‪٩٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫=‬

‫ﺏ ﺟـ‬ ‫)‬ ‫َ‬ ‫ﺏ ﺟـَ‬

‫(‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪B ájô¶ædG áHÉàc ÉææμÁh‬‬ ‫‪: á«J’G‬‬

‫‪(5) ájô¶f‬‬ ‫‪iGC ¤ƒW ÚH áÑ°ùædG ™Hôe ihÉ°ùJ Ú¡HÉ°ûàe Ú©∏°†e ≈룰S ≈àMÉ°ùe ÚH áÑ°ùædG‬‬ ‫‪. ɪ¡«a øjôXÉæàe Ú©∏°V‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ‪ ٢:١‬ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ ؟ ﻭﻣﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻴﻬﻤﺎ؟‬

‫‪2‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ‪ ٩:٤‬ﻓﻤﺎ ﻫﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻃﻮﻟﻰ ﺃﻯ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ؟ ﻭﻣﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻴﻬﻤﺎ ؟‬

‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ‪ ٤:٣‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪ ٤٥‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪4‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ ‪ ١٩٦‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻫﻮ ‪ ٤‬ﺳﻢ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺳﻄﺢ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺣﻴﺚ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ‪ ٨‬ﺳﻢ‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ‪ ٣ :٢‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ ‪ ١٤٣‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‬

‫‪6‬‬

‫ﺳﺪﺍﺳﻴﺎﻥ ﻣﻨﺘﻈﻤﺎﻥ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﻵﺧﺮ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺧﺎﺭﺝ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻴﻬﻤﺎ‬

‫‪7‬‬

‫ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻣﻴﻦ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺗﻴﻦ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﻗﻄﺮﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ‬

‫‪8‬‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪ h‬ﺭﺳﻢ ‪ n x h‬ﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ‪ , x‬ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺎ ﺍﻷﺿﻼﻉ ‪ h‬ﺏ ﻫـ ‪ ،‬ﺟـ ‪ h‬ﻭ ﺧﺎﺭﺝ ‪ h Δ‬ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ‪ xh‬ﺏ ﻫـ ~ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﺟـ ‪ h x‬ﻭ‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪:‬‬

‫ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ x h‬ﺏ ﻫـ(‬ ‫ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ ‪ h x‬ﻭ (‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫=‬

‫ﺏ‪x‬‬ ‫ﺟـ ‪x‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٩١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪9‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺱ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﺱ ﻫـ ‪ n‬ﺹ ﻉ ﻓﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺱ ﺹ ‪ ،‬ﺹ ﻉ ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺎﻥ ﺱ ﺹ ﻝ ﻡ ‪ ،‬ﺱ ﻉ ﻥ ﻯ ﺧﺎﺭﺝ ‪ Δ‬ﺱ ﺹ ﻉ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻊ ﺱ ﻡ ﻝ ﺹ ﻫـ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠـﻊ ﻉ ﻥ ﻯ ﺱ ﻫـ ‪ ,‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺹ ﻉ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﺱ ﻉ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ‬

‫‪ h 10‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ ‪ ،‬ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻫـ ﻋﻠﻰ ﺏ ‪ h‬ﺣﻴﺚ ﻫـ ‪ /J‬ﺏ ‪، h‬‬ ‫‪ h‬ﻫـ‬

‫‪=xh‬‬

‫ﺟـ ‪x‬‬ ‫ﺟـ ﺏ‬

‫‪ ،‬ﻭﺭﺳﻢ ﻫـ ﻭ ‪ / /‬ﺏ ﺟـ ﻓﻘﻄﻊ ﺟـ ‪ x‬ﻓﻰ ﻭ‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃ ﻫـ ﻭ ‪ ~ x‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ ‪ hx‬ﺏ‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬

‫ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ h‬ﻫـ ﻭ ‪(x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻡ ) ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺟـ ‪ h x‬ﺏ (‬

‫ﺏ‪x‬‬

‫=) ﺟـ ‪( x‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪h‬‬

‫‪ 11‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ‪، h‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺹ ~ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻉ ﺣﻴﺚ‬

‫‪w‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪ h‬ﺏ ‪h ،‬ﺟـ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ ﺃﺿﻼﻋﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ‬

‫ﺟـ‬ ‫‪u‬‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺱ ( ‪ +‬ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺹ ( = ﻡ ) ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻉ (‬

‫‪٩٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫“‪: Qƒ¡°ûe øjô‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﻘـﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤـﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﻭﻳـﺎﻥ ﻟﻠﻮﺗﺮﻳﻦ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﺩ ﻟﺪﺍﺋـﺮﺓ ﻓﻰ ﻧﻘﻄـﺔ ﻡ ﻓـﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻡ‪ X h‬ﻡ ﺏ = ﻡ ﺟـ ‪ X‬ﻡ ‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﻡ‬

‫‪h‬‬

‫ﻫـ‬ ‫ﺟـ‬

‫ﺏ‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ‪ h :‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﺩ ﻭﺗﺮﺍﻥ ﻭﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ‪ B‬ﺟـ ‪ } = x‬ﻡ {‬ ‫ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ ‪ :‬ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ h‬ﻡ ‪ X‬ﻡ ﺏ = ﺟـ ﻡ ‪ X‬ﻡ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ :‬ﻧﺮﺳﻢ ‪ ، xh‬ﺏ ﺟـ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪ hΔ Δ :‬ﻡ ‪ ، x‬ﺟـ ﻡ ﺏ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎﻥ ‪ ٠٠٠٠‬ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬ ‫‪E‬‬

‫‪h‬ﻡ‬

‫ﺟـ ﻡ =‬

‫‪xh‬‬ ‫ﻡ‪x‬‬ ‫=‬ ‫ﻡ ﺏ ﺏ ﺟـ‬

‫‪ E‬ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺘﻴﻦ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪ h‬ﻡ ‪ X‬ﻡ ﺏ = ﺟـ ﻡ ‪ X‬ﻡ ‪x‬‬ ‫ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﻰ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ‬

‫‪: Qƒ¡°ûe øjô“ ¢ùμY‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﻭﻳﺎﻥ ﻟﻠﻘﻄﻌﺘﻴﻦ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﺩ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ )ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ‪ ، h‬ﺏ ‪,‬‬ ‫ﺟـ ‪ (x ,‬ﻭﻛﺎﻥ ﻡ‪ X h‬ﻡ ﺏ = ﻡ ﺟـ ‪ X‬ﻡ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ ، h :‬ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ‪ x ,‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٩٣‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪(1) áé«àf‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻡ ﺟـ ﻳﻤﺲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﺟـ ‪ ،‬ﻡ ﺏ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ‪ ، h‬ﺏ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫) ﻡ ﺟـ(‪ = ٢‬ﻡ ‪ X h‬ﻡ ﺏ‬ ‫ﺟـ‬

‫ﻡ‬ ‫‪h‬‬

‫ﺏ‬

‫‪äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫)‪ (١‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ‪ B‬ﺟـ ‪} = x‬ﻫـ{ ﻓﺄﻛﻤﻞ‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﻫـ ‪ X h‬ﻫـ ﺏ = ‪٠٠٠٠‬‬

‫‪h‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﻫـ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﻫـ = ‪٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﺏ = ‪٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﺟـ = ‪٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺏ‬ ‫ﺟـ‬

‫ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪٠٠٠٠ = x‬‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٣٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﺏ = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻫـ ﺟـ = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻫـ ‪٠٠٠٠= h‬‬

‫‪ ،‬ﻫـ ‪٠٠٠٠ = x‬‬

‫)‪ (٢‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟـ ﺏ ‪ B‬ﻫـ ‪{h} = x‬‬

‫‪h‬‬

‫ﻓﺄﻛﻤﻞ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ h :‬ﺏ ‪ h X‬ﺟـ = ‪٠٠٠٠‬‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪٢ = xh‬ﺳﻢ‬

‫ﺏ‬ ‫‪x‬‬

‫ﺟـ‬

‫ﻫـ‬

‫ﻓﺄﻥ‪ x :‬ﻫـ = ‪٠٠٠٠‬‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺟـ = ‪٦‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺏ = ‪٢‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﻫـ = ‪٦‬ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ‪٠٠٠٠ = xh‬‬

‫‪٩٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫)‪ (٣‬ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺏ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ h ,‬ﺩ ﻗﺎﻃﻌﺔ ﻟﻬﺎ ﻓﺄﻛﻤﻞ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪h :‬ﺟـ ‪ h X‬ﺩ = ‪٠٠٠٠‬‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃ ﺩ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪٢‬ﺳﻢ‬

‫‪h‬‬

‫ﺏ‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪٠٠٠٠‬‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ h‬ﺏ = ‪٦‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺩ = ‪٩‬ﺳﻢ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ h‬ﺟـ = ‪٠٠٠٠‬‬ ‫ً‬ ‫ﺭﺍﺑﻌﺎ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪ h‬ﺟـ = ﺟـ ﺩ ‪ h ،‬ﺏ = ‪٢ ٣‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ h‬ﺟـ =‪٠٠٠٠‬‬

‫‪1 ∫É`ã`e‬‬

‫ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻰ ‪ ، h‬ﺏ ﺭﺳﻢ ﻣﻤﺎﺱ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﻳﻤﺴﺎﻧﻬﻤﺎ ﻓﻰ ﺱ ‪ ،‬ﺹ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻛـﺎﻥ ‪ h‬ﺏ ‪ B‬ﺱ ﺹ = }ﺟـ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺱ ﺹ‬

‫ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪e‬‬

‫ﺟـ ﺱ ﻣﻤﺎﺳﺔ ‪ ،‬ﺟـ ﺏ ﻗﺎﻃﻌﺔ‬

‫‪) E‬ﺟـ ﺱ(‪ = ٢‬ﺟـ ‪ X h‬ﺟـ ﺏ‬

‫ﺹ‬

‫ﺟـ‬ ‫‪h‬‬

‫ﺱ‬

‫ﻭﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫)ﺟـ ﺹ(‪ = ٢‬ﺟـ ‪ X h‬ﺟـ ﺏ‬ ‫‪) E‬ﺟـ ﺱ(‪) = ٢‬ﺟـ ﺹ(‬

‫‪٢‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ ﺱ = ﺟـ ﺹ‬ ‫ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺏ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٩٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺱ ‪ h‬ﺹ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ‪ ،‬ﺃﺧـﺬﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘــﺎﻥ ﺏ ‪ ،‬ﺟـ ﻋﻠــﻰ ‪ h‬ﺱ ﺑﺤـﻴﺚ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٢٨‬ﻣﻢ ‪ ،‬ﺏ‬ ‫ﺟـ = ‪ ٤٤‬ﻣﻢ ﻭﺃﺧﺬﺕ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﺎﻥ ‪ ، x‬ﻫـ ﻋﻠﻰ‪ h‬ﺹ ﺑﺤﻴﺚ ‪ ٢١ = xh‬ﻣﻢ ‪ x ،‬ﻫـ = ‪٧٥‬ﻣﻢ‬ ‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ h Δ :‬ﺏ ﺩ ~ ‪ h Δ‬ﻫـ ﺟـ ‪ ,‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ ‪ ٣٥ = x‬ﻣﻢ ‪ ،‬ﻓﺄﺣﺴﺐ ﺟـ ﻫـ‬

‫‪2‬‬

‫ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ‪ h :‬ﺏ = ‪ ٦٠‬ﻣﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪ ٤٠‬ﻣﻢ ‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪ ٤٥‬ﻣﻢ ‪،‬‬ ‫ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ ‪ h J x‬ﺏ ﺑﺤﻴﺚ ‪ ١٦ = xh‬ﻣﻢ ‪ ،‬ﻫـ ‪ h J‬ﺟـ ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﻫـ = ‪ ٢٤‬ﻣﻢ‬ ‫)‪ (١‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ h Δ :‬ﺩ ﻫـ ~ ‪ h Δ‬ﺟـ ﺏ ﻭﺍﺣﺴﺐ ‪ x‬ﻫـ‬ ‫)‪(٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪x :‬ﻫـ ‪ B‬ﺏ ﺟـ = }ﻥ{ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ x Δ‬ﻥ ﺏ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ﻥ ﻫـ ﻭﺃﺣﺴﺐ ﻫـ ﻥ‪،‬‬ ‫ﻥ ﺟـ‬

‫‪3‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ xh ،‬ﻳﻨﺼﻒ‬

‫ﺏ‪ h‬ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ‪ x‬ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﻓﻰ ﻡ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﻡ ﺟـ ‪ ,‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺸﺎﺑﻪ ‪ x Δ‬ﻡ ﺟـ‬ ‫)‪) (٢‬ﻡ ﺟـ(‪ = ٢‬ﻡ ‪ X x‬ﻡ ‪h‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪h‬ﺏ ﻭﺗﺮ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻭ ‪ ،‬ﻯ ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﻡ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ ,‬ﺃﻧﺸﻰء ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ ، h‬ﻡ ﻭﺗﻤﺲ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ‪ , h‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻯ ﻡ ﻳﻘﻄﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﺟـ ‪ ,‬ﻡ‬ ‫)‪ (١‬ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺮﺑﻂ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﻯ‪ ، h‬ﻯ ﺟـ ‪ ،‬ﻯ ﻡ‬ ‫)‪ (٢‬ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻯ ﺏ ﺟـ ‪ ،‬ﻯ ﻡ ﺏ‬ ‫) ﺇ ﺭﺷﺎﺩ ‪ :‬ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﻯ ‪ h‬ﺑﺎﻟﻘﻄﻌﺔ ﻯ ﺏ ﻓﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪( (١‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ‪ h‬ﻫـ ‪ n‬ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ‪ xh ،‬ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ‪x‬‬ ‫‪ ،‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗـﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺘـﺎﻥ ﻟﻠﻤﺜﻠﻴﻦ ‪ h‬ﺏ ﺟـ ‪ h ،‬ﻫـ ‪ x‬ﺗﺘﻘﺎﻃﻌـﺎﻥ ﻓﻰ ‪ ، h‬ﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘـﻴﻢ ‪ h‬ﻡ‬ ‫ﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻥ‬ ‫)‪ (١‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﻥ ﻫـ ‪ X‬ﻥ ‪ = x‬ﻥ ﺏ ‪ X‬ﻥ ﺟـ‬ ‫)‪ (٢‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ x :‬ﻫـ ‪x X‬ﻥ = ) ‪ x‬ﺏ(‬

‫‪٩٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪6‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺩﺍﺋﺮﺗﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﺎﻥ ﻓﻰ ‪ ، h‬ﺏ ‪ ،‬ﻡ ‪ h J‬ﺏ‬ ‫‪ (1‬ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻡ ﻗﻄﻌﺘﺎﻥ ﻡ ﺟـ ‪ ،‬ﻡ ‪ x‬ﻣﻤﺎﺳﺘﺎﻥ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ‪ ،‬ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﻡ ﺟـ ‪ ،‬ﻡ ‪x‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ﻡ ﻗﺎﻃﻌﻴﻦ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻓﻘﻄﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﻴﻦ ﻓﻰ ﻕ ‪ ،‬ﻙ ‪ ،‬ﻭﻗﻄﻊ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻓﻰ َﻕ ‪َ ،‬ﻙ ‪ ,‬ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻕ ﻙ َﻙ َﻕ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ‬

‫‪7‬‬

‫‪h‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺼﻒ‬

‫‪ h‬ﻭﺃﺧﺬﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ﺑﺤﻴﺚ )‪ h‬ﻡ(‪ h= ٢‬ﺏ ‪ hX‬ﺟـ‬

‫‪ (1‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ h Δ‬ﺟـ ﻡ ~ ‪ h Δ‬ﻡ ﺏ‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺱ ‪ h Δ‬ﻡ ﺏ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ‪ ،‬ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻤﺎﺱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺱ ‪ h Δ‬ﻡ ﺟـ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ‬ ‫‪8‬‬

‫‪ h‬ﺏ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪ ,‬ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ h‬ﺱ ‪ ،‬ﺏ ﺹ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ‪،‬‬ ‫ﻭﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ‪ h‬ﺏ ‪ ،‬ﺃﺧﺬﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻡ ﻋﻠﻰ ‪ h‬ﺱ ‪ ،‬ﻭﻧﻘﻄﺔ ﻡَ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺹ ‪،‬‬ ‫ﻭﻧﻘﻄﺔ ﻕ ﻋﻠﻰ ‪ h‬ﺏ ﺑﺤﻴﺚ ‪ h‬ﻡ ‪ X‬ﺏ ﻡَ = ﻕ‪ X h‬ﻕ ﺏ‬ ‫‪ (1‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ﻥ ‪ Δ‬ﻡ ‪ h‬ﻕ ~ ‪ Δ‬ﻕ ﺏ َﻡ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﻡ ﻕ َﻡ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻫـ ﻣﺴﻘﻂ ﻕ ﻋﻠﻰ ﻡ َﻡ ‪ ,‬ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﺃ ﻫـ ﺏ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫‪9‬‬

‫ﺟـ ‪ h‬ﺏ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪ h‬ﺏ ‪ .‬ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴـﻢ ﻳﻤـﺮ ﺑـﺎﻟﺮﺃﺱ ﺟـ ﻳﻘﻄﻊ‬ ‫‪h‬ﺏ ﻓﻰ ﻡ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻦ ‪ Δ‬ﺟـ ‪ h‬ﺏ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻙ‬ ‫‪ (1‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﺟـ ‪ h‬ﻙ ~ ‪ Δ‬ﺟـ ﻡ ‪h‬‬

‫)ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻡ ‪ hJ‬ﺏ ‪ ،‬ﻡ ‪ h /J‬ﺏ (‬

‫‪ (2‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ )ﺣـ ﺏ(‪ = ٢‬ﺟـ ﻙ ‪ X‬ﺟـ ﻡ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫‪٩٧‬‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺃﻭﻻ ﹰ ‪ :‬ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫‪C QÉÑàN’G‬‬ ‫‪∫h’G‬‬ ‫ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻜﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﺱ‪ + ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺟـ = ‪٠‬‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺿﻌﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ‪٣‬‬ ‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ‪ ،‬ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪٢ :‬ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪ ٠ = ٥ +‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ‪ :‬ﻝ‪ ،٣+ ٢‬ﻡ‪٣ + ٢‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٢ :‬ﺱ‪ ٣ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٧ +‬‬ ‫ﺏ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪ -‬ﺱ‪ ٤ + ٢‬ﺱ ‪٥ +‬‬ ‫ﺛﻢ ﺍﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] ‪[ ٦ ، ٢-‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺃ( ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﻓﻨـﺎﺭ ﺍﺭﺗﻔـﺎﻋﻪ ‪ ١٠٠‬ﻣﺘﺮ ﺭﺻﺪ ﻗﺎﺭﺏ ﻓﻮﺟﺪ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻧﺨﻔﺎﺿﻪ‬ ‫‪ ، ْ ٢٠ َ١٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻘﺎﺭﺏ ﻋﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻔﻨﺎﺭ‪٠‬‬ ‫ﺏ( ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻭﻣﺴﺎﺡ[ ﺳﻄﺤﻪ ‪ ٣٠٠‬ﺳﻢ‪، ٢‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺱ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ‪ ،‬ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺑﻜﻼ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﻦ ﺍﻟﺴﺘﻴﻨﻰ ﻭﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬ ‫ﺟـ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪ + ١‬ﻇﺘﺎ‪ ٢‬ﺟـ‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ‪ ٢‬ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫= ﻇﺘﺎ ﺟـ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺃﻭﻻ ﹰ ‪ :‬ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫‪≈fÉãdG QÉÑàN’G‬‬ ‫ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ‪:‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ‪ ٢‬ﺱ‪ ٣ - ٢‬ﺱ ‪٥ -‬‬ ‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ‪ ،‬ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٢ :‬ﺱ‪ ٣ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١ -‬‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ‪:‬‬ ‫❐ ﻝ‪ + ٢‬ﻡ‬ ‫❐ ﻝ‪ ٢‬ﻡ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫❐ ﻝ‪ -‬ﻡ‬ ‫❐ ﻝ‪ + ٣‬ﻡ‬

‫‪٣‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ :‬ﺱ ‪+‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫=‪٦‬‬

‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٨ :‬ﺱ‪ - ٢‬ﺏ ﺱ ‪٠ = ٣ +‬‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻯ ‪٣ : ٢‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٨‬ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺷﺠﺮﺓ ﻭﺟﺪ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻗﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺸﺠﺮﺓ ‪ ، ْ ١٧‬ﺃﻭﺟﺪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﺠﺮﺓ‪٠‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ﺟـ‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺘﺎ‪ ٢‬ﺟـ‬

‫= ‪ ٢‬ﺣﺎ ﺟـ ﺣﺘﺎ ﺟـ‬

‫ﺟـ( ‪ h‬ﺏ ‪ h ،‬ﺟـ ﻭﺗـﺮﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳـﺎ ﺍﻟﻄـﻮﻝ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻡ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ‪ ٣ ٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻕ) ﺏ‪ h‬ﺟـ( = ‪ ، ْ ٦٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺠﺰء ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻮﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻮﺱ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺏ͡ﺟـ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪١٠١‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪ådÉãdG QÉÑàN’G‬‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺃﻭﻻ ﹰ ‪ :‬ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ‪ ،‬ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ٢‬ﺱ‪ ٣ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٧ -‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ )ﻝ ‪) ، ٢(٢ +‬ﻡ ‪(٢ +‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺏ( ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪ ) - ٢‬ﺏ ‪ (٢+‬ﺱ ‪ ٥ +‬ﺏ‪ ٠ = ٢‬ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪ ٣ - ٢‬ﺏ ﺱ ‪ +‬ﺏ‪٠ = ٢‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺃ ( ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ﺱ‪ ٤ + ٢‬ﺱ ‪ ٥ +‬ﺛﻢ ﺍﺭﺳﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ]‪[ ٢ ، ٦-‬‬ ‫ﺏ( ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٢ :‬ﺱ ‪= ١ +‬‬

‫‪٥‬‬ ‫ﺱ‪٣-‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ﺳﻠﻢ ﻳﺴﺘﻨﺪ ﺑﺄﺣﺪ ﻃﺮﻓﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ ﺭﺃﺳﻰ ﻭﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻭﻳﺒﻌﺪ‬ ‫ﻃﺮﻓﻪ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﻋﻦ ﺍﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑﻤﻘﺪﺍﺭ ‪ ١٫٢‬ﻣﺘﺮ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﺴﻠﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻷﺭﺽ ‪ ، ْ ٦٩ َ٥٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺴﻠﻢ‪٠‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﻇﺎ‪ h ٢‬ﺣﺎ‪ + h ٢‬ﺣﺘﺎ‪ ٢ + h ٢‬ﺣﺎ‪ = h ٢‬ﻗﺎ‪h ٢‬‬ ‫ﺟـ(‪ h‬ﺏ ﻭﺗﺮ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ﻳﻘﺎﺑﻞ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ‪ ْ ٦٠‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻜﺒﺮﻯ ﺍﻟﺘﻰ ﻭﺗﺮﻫﺎ ‪ h‬ﺏ‬

‫‪١٠٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺛﺎﻧ ﹰﻴﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ‬

‫‪C QÉÑàN’G‬‬ ‫‪∫h’G‬‬ ‫ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻧﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺭﺃﺱ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﻤﻨﺼﻒ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺟﺰﺋﻴﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺍﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﺍﻵﺧﺮﻳﻦ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺏ( ﻝ ﻡ ﻥ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻙ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻡ ﻥ ‪ ،‬ﻡ ﺱ ﻳﻨﺼﻒ‬

‫ﻝ ﻡ ﻥ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻝ ﻙ ﻓﻰ ﺱ ‪،‬‬

‫ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪ :‬ﻡ ﻝ ‪ X‬ﺱ ﻙ = ﻙ ﻥ ‪ X‬ﻝ ﺱ‬

‫)‪ h (٢‬ﺏ ﺟـ ‪ x‬ﺷـﻜﻞ ﺭﺑــﺎﻋﻰ ﻓﻴـــﻪ‪h‬ﺏ = ﻃـﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄـــﺮ ﺏ ‪ = xh ، x‬ﺟـ ‪ h ، x‬ﺱ‬ ‫ﻳﻨﺼـﻒ )‬

‫ﺏ ‪ (x h‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ‪ x‬ﻓﻰ ﺱ ‪ x ،‬ﺹ ﻳﻨﺼﻒ )‬

‫ﺏ ‪ x‬ﺟـ ( ﻭﻳﻘﻄـﻊ‬

‫ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﺹ ‪ ،‬ﺃﺛـﺒﺖ ﺃﻥ ﺱ ﺹ ‪ x / /‬ﺟـ‬

‫)‪ h (٣‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜــﻠــﺚ ﻓﻴﻪ ‪ h‬ﺏ = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ h ،‬ﺟـ = ‪٦‬ﺳﻢ ‪ hJx ،‬ﺏ ﺣــﻴـﺚ ‪ ٣ = xh‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ﻫـ ‪ h J‬ﺟـ ﺣﻴﺚ ﻫـ ﺟـ = ‪ ٢‬ﺳﻢ‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ :‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ xh Δ‬ﻫـ ﻳﺸﺎﺑﻪ ‪ h Δ‬ﺟـ ﺏ‬ ‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺃﻭﺟﺪ ) ‪ x h Δ‬ﻫـ ( ‪ :‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫) ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ x‬ﺏ ﺟـ ﻫـ (‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪١٠٣‬‬

‫ﳕﺎﺫﺝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ‬

‫ﺛﺎﻧ ﹰﻴﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ‬

‫‪≈fÉãdG QÉÑàN’G‬‬ ‫ﺃﺟﺐ ﻋﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪ h (١‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )ﻭ( ‪ ،‬ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻧﻖ ‪ h ,‬ﻭ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ‬ ‫ﺏ ﺣﻴﺚ ﺏ ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ h‬ﻭ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ‪ h‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻡ ‪َ ،‬ﻡ ‪ ،‬ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻥ‬ ‫ﺏ‪َ ،‬‬ ‫‪ h‬ﻡ ‪َ hX‬ﻡ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻣﻘﺪﺍﺭ ً‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺎ ‪ ,‬ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﻣﻦ ‪ h‬ﻋﻤﻮﺩ ﻋﻠﻰ ‪ h‬ﻭ ﻓﻘﻄﻊ ﺏ ﻡ ‪ ،‬ﺏ َﻡ ‪،‬‬ ‫ﻓﻰ ﻕ ‪َ ،‬ﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻓﺄﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻕ َﻕ ﻡ َﻡ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﺩﺍﺋﺮﻯ‬ ‫ﺱ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺹ ﻉ ﻓﻰ ﻝ ﻭﻳﻘﻄﻊ‬

‫)‪ (٢‬ﺱ ﺹ ﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﺱ ﻝ ﻳﻨﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻰ ﻥ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺃ(‪Δ‬ﺱﺹﻥ~‪Δ‬ﺱﻝﻉ‬ ‫ﺏ( ﺱ ﺹ ‪ X‬ﺱ ﻉ ‪ -‬ﺹ ﻝ ‪ X‬ﻝ ﻉ = )ﻝ ﺱ(‬

‫‪٢‬‬

‫)‪h (٣‬ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ ) ﺏ ﺟـ < ‪ h‬ﺏ ( ‪) ,‬ﻭ( ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺟﺔ ﻋﻨﻪ ‪ h‬ﻫـ ‪ n‬ﺏ ﺟـ ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻫـ ‪ ,‬ﺭﺳﻢ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺏ ‪ x‬ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫)ﻭ( ﻭﺭﺳﻢ ‪ h‬ﻯ ‪ n‬ﺏ ‪ x‬ﻭﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻯ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺏ ﺟـ ﻓﻰ ﻥ‬ ‫ﺃ ( ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ h‬ﺏ ﻯ ‪ ،‬ﺏ ‪ h‬ﻫـ‬ ‫ﺏ(ﺃﺛﺒـﺖ ﺃﻥ ‪ Δ‬ﻥ ﺏ‪ h‬ﻣﺘﺴــﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴــﺎﻗﻴﻦ ﻭﻳﺸــﺎﺑــﻪ ‪ hΔ‬ﺏ ﺟـ ﻭﺍﺳﺘﻨﺘـﺞ‬ ‫ﺃﻥ ‪) :‬ﺏ‪ = ٢(h‬ﺏ ﺟـ ‪ X‬ﺏ ﻥ‬ ‫ﺟـ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺅﻭﺱ ‪ h Δ‬ﺟـ ﻥ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ h‬؟‬ ‫) ﺇﺭﺷﺎﺩ ‪ :‬ﺍﺭﺳﻢ ‪(xh‬‬

‫‪١٠٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

äÉHÉL’E G

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪١-١‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ ( ﺱ‪{ ٤ ، ٢ } J‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﺟـ( ﺱ‪} J‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺏ( ﺱ‪{ ١ ، ٦- } J‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺩ( ﺱ‪، ١ } J‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪{١،‬‬

‫ﻭ( ﺱ‪{ ١ - ، ١- } J‬‬

‫ﻫـ( ﺱ‪{ ١- } J‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‬

‫{‬ ‫‪٢‬‬

‫‪h‬‬

‫ﺏ‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥-‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٦-‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪x‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫‪٢-‬‬

‫‪١٫٥-‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٤) ،(٣‬‬ ‫ﺭﻗﻢ‬

‫‪h‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫‪x‬‬

‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫ﺯ‬

‫ﻗﻴﻤﺔ‪h‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٦-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ‬

‫‪١‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٧-‬‬

‫)‪(٥‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺏ‬

‫‪٠‬‬

‫ﺏ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪١١‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪x‬‬

‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫‪١-‬‬

‫‪٦-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٦-‬‬

‫‪١٥-‬‬

‫‪٥-‬‬

‫‪٦-‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٢-١‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (7‬ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬

‫‪٢٥‬‬ ‫‪ (13‬ﻥ = ‪#‬‬ ‫‪٣٢‬‬

‫‪ (2‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (8‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (14‬ﻙ = ‪٣‬‬

‫‪ (3‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (9‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪٣٠‬‬ ‫‪ (15‬ﻡ = ‪#‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪ (4‬ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬

‫‪ (10‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (16‬ﻥ= ‪١٠ ٣ #‬‬

‫‪ (5‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (11‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬

‫‪ (6‬ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬

‫‪ (12‬ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬

‫‪١٠٦‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٣-١‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ‬

‫‪٣‬‬‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪٢‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺟـ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٤‬‬‫‪٣‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ( ﺱ‪٣ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٣٥ -‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫ﺱ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪١١‬‬‫‪٣٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٣٠‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪٣‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪٣٥‬‬‫‪٢-‬‬

‫ﻫـ(‪ fh‬ﺱ‪) + ٢‬ﺏ‪ (٢ h - ٢‬ﺱ = ‪fh‬‬

‫‪ (f‬ﺱ‪٣- ٢‬ﺱ ‪٠ = ٥٤ -‬‬

‫ﻭ( ﺱ‪ ١٤ = ٢٩+ ٢‬ﺱ‬

‫ﺟـ( ﺱ‪٣٦ = ٢‬‬

‫ﺯ( ﺏ ‪ ٢‬ﺱ‪ ٢- ٢‬ﺏ‪ ٢‬ﺱ ‪ +‬ﺏ‪١ = ٢‬‬

‫ﺩ( ‪ ٢‬ﺱ‪ ١٣ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢ +‬‬

‫ﺡ( ﺱ‪ ٢ = ١ + ٣‬ﺱ ‪h +‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻁ( ) ‪ - ٢ h‬ﺏ‪ ( ٢‬ﺱ‪ - ٢ h)٢ - ٢‬ﺏ‪ ( ٢‬ﺱ ‪ - ٢ h +‬ﺏ‪٠ = ٢‬‬ ‫ﻯ( ) ‪h‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ -‬ﺏ‪ ( ٢‬ﺱ‪h) ٢ - ٢‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ‪٢ = h‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ +‬ﺏ‪ ( ٢‬ﺱ ‪h +‬‬

‫‪٢‬‬

‫ ﺏ‪٠ = ٢‬‬‫ﻭ(‪٣ = h‬‬

‫ﺏ(‪١ = h‬‬

‫ﺯ(‪ ٦ = h‬ﺃﻭ ‪٦-‬‬

‫‪٣‬‬‫ﺟـ( ‪ ٦ = h‬ﺃﻭ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺩ(‪ ١٠ = h‬ﺃﻭ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﻫـ(‪= h‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪١٩‬‬‫ﺡ(‪ ١٠ = h‬ﺃﻭ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻁ( ‪٤ = h‬‬ ‫ﻯ(‪٧ = h‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٤-١‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ( ﺱ‪ ١٠- ٢‬ﺱ ‪٠= ٦ +‬‬

‫ﺩ( ‪ ٤٥‬ﺱ‪ ١٨ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢ -‬‬

‫ﺏ( ﺱ‪٠ = ١٩ - ٢‬‬

‫ﻫـ( ﺱ‪ ٥٦ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ١٠٠ +‬‬

‫ﺟـ(‪ ١٠‬ﺱ‪ ٦ + ٢‬ﺱ ‪٠ = ١ -‬‬

‫ﻭ ( ﺱ‪ ١١٨ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٧٤٥ +‬‬

‫)‪ (٢‬ﺟـ = ‪٤‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫‪٨‬‬‫)‪ (٣‬ﺟـ = ﺻﻔﺮ ﺃﻭ‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪١٠٧‬‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٥-١‬‬ ‫)‪ (١‬ﺃ( ﺱ‪ ٢ + ٢‬ﺱ = ‪٨‬‬

‫ﺝ( ﺱ‪ ٢ = ٢‬ﺱ ‪٢ +‬‬

‫ﺏ( ﺱ‪ + ٢‬ﺱ = ‪٤٢‬‬

‫ﺩ( ﺱ‪ ٢ + ٢‬ﺱ = ‪١‬‬

‫)‪ (٢‬ﺃ( ‪ ٢‬ﺱ‪ ١٩ + ٢‬ﺱ ‪٠= ٣٩ +‬‬

‫ﺝ( ‪ ٤‬ﺱ‪ ٤٥ = ٩٩ + ٢‬ﺱ‬

‫ﺏ( ‪ ٤‬ﺱ‪ ٢٩ = ٢٥ + ٢‬ﺱ‬

‫ﺩ( ‪ ٤‬ﺱ‪ ٢١ + ٢‬ﺱ = ‪٠‬‬ ‫ﺩ( ﺟـ = ‪٢‬‬

‫)‪ (٣‬ﺃ( ﺟـ = ‪ ٢٧-‬ﺃﻭ ‪٨‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫ﺏ( ﺟـ = ‪ ١٠‬ﺃﻭ ‪-‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻫـ( ﺟـ = ‪٥ #‬‬

‫ﺟـ( ﺟـ = ‪ ١٢١‬ﺃﻭ ‪٥٦-‬‬ ‫)‪ (٤‬ﺏ ‪ :‬ﺟـ = ‪٢٧ : ٣٢‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٢-٢‬‬ ‫‪{ ْ ٣٣٠ ، ْ ٢١ } (1‬‬

‫‪{ ْ ٢٧٠ ، ْ ٩٠ ، ْ ٠ } (8‬‬

‫‪{ ْ ٢٢٥ ، ْ ٤٥ } (2‬‬ ‫‪{ ْ ٣٢٠ ، ْ ١٥٠ } (3‬‬

‫‪{ ْ ١٨٠ ، ْ٠ } (9‬‬ ‫‪{ ْ ١٢٣ َ ٢٦ ، ْ ٢٢٥ ، ْ ١٥٤ َ ٢٦ ، ْ ٤٥ } (10‬‬

‫‪{ ْ ٢٤٣ َ ٢٦ ، ْ ٦٣ َ ٢٦ } (4‬‬

‫‪{ ْ ٣١٥ ، ْ ٢٢٥ ، ْ ١٣٥ ، ْ ٤٥ } (11‬‬

‫‪{ ْ ٢٧٠ ، ْ ١٨٠ ، ْ ٩٠ ، ْ ٠} (5‬‬

‫‪{ ْ ٣٣٠ ، ْ ٢١٠ }(12‬‬

‫‪{ ْ ١٥٠ ، ْ ٣٠ } (6‬‬

‫‪{ ْ ٣٣٠ ، ْ ٣٠ ، ْ ١ }(13‬‬

‫‪{ ْ ٢٤٠ ، ْ ١٢٠ } (7‬‬

‫‪{ ْ ١٣٥ ، ْ ٩٠ ، ْ ٤٥ }(14‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٣-٢‬‬ ‫‪ -١‬ﺃ( ﻕ ٍ)‬

‫ﺏ ( = ‪٥٠‬‬

‫ْ‬

‫‪ ،‬ﺏ ﺟـ = ‪٣٫٤‬‬

‫ﺏ( ﻕ ٍ) ‪٣٣ َ ٣٥ = ( h‬‬

‫‪ h ،‬ﺏ = ‪١٨٫١‬‬

‫ْ‬

‫‪ h ،‬ﺟـ = ‪١٤٫٩‬‬

‫ﺟـ( ﻕ ٍ) ‪٢١ َ٤٨ = ( h‬‬

‫ْ‬

‫‪ ،‬ﻕ ) ﺏ ( = ‪٦٨ َ ١٢‬‬

‫ْ‬

‫‪ h ،‬ﺏ = ‪١٠٫٨‬‬

‫ﺩ ( ﻕ ٍ) ‪٢٥ َ ٢٣ = ( h‬‬

‫ْ‬

‫‪ ،‬ﻕ ) ﺏ ( = ‪٦٤ َ ٣٧‬‬

‫ْ‬

‫‪ h ،‬ﺏ = ‪٦٫٣‬‬

‫)‪٢٥ ، ْ ٤٤ َ ٢٥ (٢‬‬ ‫)‪٣٨ َ٤١ (٣‬‬

‫ْ‬

‫)‪ ٢٣٤١٫٤ (٦‬ﻣﺘﺮ‬

‫‪١٠٨‬‬

‫‪ h ،‬ﺏ = ‪٥٫٢٢‬‬

‫َ‬

‫‪٩١ َ ١٠ ، ْ ٤٤‬‬

‫ْ‬

‫)‪ ٣٧٨٫٦ (٤‬ﻣﺘﺮ‬ ‫)‪٥٦ َ ١٩ (٧‬‬

‫)‪ ٩٦٫٤ (٥‬ﻣﺘﺮ‬

‫ْ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻻﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٤-٢‬‬ ‫)‪١١٧٫٧٥ (١‬‬ ‫)‪٨٧٫٦ (٢‬‬ ‫)‪٢٧٫٥ (٣‬‬ ‫)‪١٢٫٢٥ (٤‬‬ ‫)‪ (٥‬ﻧﻖ = ‪١٠‬‬ ‫)‪ ٤٩ (٦‬ﺳﻢ‬

‫‪،‬ﻝ=‪٥‬‬ ‫‪٢،‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪ (٧‬ﻧﻖ = ‪٢ ، ٤‬‬

‫‪x‬‬

‫‪١١٤ َ ٣٥ ،‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ ،‬ﻫـ = ‪٤ ، ١‬‬

‫ْ‬

‫‪x‬‬

‫)‪٤٫٠٥ (٨‬‬ ‫)‪ ٤٫١ (٩‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪٥-٢‬‬ ‫)‪٨٤٫٥ (١‬‬ ‫)‪١٠٠٫١٦ (٢‬‬ ‫)‪٣٩٫٥ (٣‬‬ ‫)‪٩٤٢ (٤‬‬ ‫)‪٢٩٧٫٥ (٥‬‬ ‫)‪٣٩ ، ١١ ، ٤ (٦‬‬ ‫)‪٧٥٫٢ ، ٧٥٫٢ ، ١٦٣٫٧ (٧‬‬ ‫)‪٤٤٫٢ (٨‬‬ ‫)‪٢٦٫٦ (٩‬‬ ‫)‪ ٣٠٫٦ (١٠‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ ‪١٠٩‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‪ -‬ﺍﳉﺒﺮ ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪ -١‬ﺃ( ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪ h٩ :‬ﺟـ = ‪ ٢‬ﺏ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺏ‪ h ٤ + ٢ h٩ = ٢‬ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺏ( ‪ ٤‬ﺱ‪ ١٣ - ٢‬ﺱ ‪٠ = ٢٨ +‬‬ ‫‪ -٢‬ﺃ( ﻟﻴﺲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺏ( ﻝ = ‪ ، ٣٠‬ﻫـ = ‪١٫٥‬‬

‫‪ -٣‬ﺃ( ‪٢٧٢٫٣‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪ -١‬ﺃ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬

‫}‬

‫ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ > ١-‬ﺱ >‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺻﻔﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ‪[ ٢ ، ١- ] J‬‬

‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ‪، ١- ] - P J‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺏ( ً‬ ‫ﺃﻭﻻ ‪٣ ٤ :‬‬ ‫‪ -٢‬ﺃ( ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‪:‬‬

‫‪ -٣‬ﺃ( ‪ ٢٫٤‬ﻣﺘﺮ‬

‫ﺟـ( ‪٦٨٫٦٢‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫[‬

‫ً‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‪:‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٧‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ً‬ ‫ﺭﺍﺑﻌﺎ ‪٥ ٨ :‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪ -١‬ﺃ(‬

‫‪١٧‬‬ ‫‪٩‬‬

‫)ﺏ( ‪٢ # ، ٤ #‬‬

‫ﺏ( ‪٢ ، ١-‬‬

‫‪ -٢‬ﺏ( ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ‬ ‫‪ -٣‬ﺃ( ‪ ٣٫٥‬ﻣﺘﺮ‬

‫‪١١٠‬‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ -‬ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ‬

‫ً‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ‬ ‫ﺏ( ‪٣٠٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ‬