1رياضة2ع ف1

‫جمهورية م�صر العربية‬ ‫وزارة الرتبية والتعليم‬ ‫قطاع الكتب‬

‫الر ياضيات‬

‫ت�أليـف‬ ‫أ‪ .‬عمر فؤاد جاب اهلل‬ ‫د‪ .‬عصام وصفى روفائيل‬ ‫أد‪ .‬عفاف أبو الفتوح صاحل‬ ‫أ‪ .‬سيرافيم الياس اسكندر‬

‫أ‪ .‬محمود ياسر اخلطيب‬

‫جميع حقوق الطبع محفوظة لوزارة التربية والتعليم‬ ‫غري م�صرح بتداول هذا الكتاب خارج وزارة الرتبية والتعليم‬ ‫‪2014 - 2013‬‬

‫ال�صف الثانى الإعدادى‬ ‫الف�صل الدرا�صى الأول‬

‫كتاب الطالب‬

‫جلنة التعديل واملراجعة‬ ‫د‪ /‬عيد عبدالعزيز فتح الباب‬

‫د‪ /‬حممد حمى الدين عبد ال�صالم اأبو رية‬

‫(منسق شعبة الرياضيات وخبير مناهج)‬

‫(خبير مناهج ومواد تعليمية)‬

‫اأ‪ /‬على عبد الغنى كرمي‬

‫اأ‪ /‬اإميان �صيد رم�صان‬

‫(معلم خبير)‬

‫(خبير مناهج ومواد تعليمية)‬

‫اأ‪ /‬اأ�صرف على حممد على‬ ‫(معلم خبير)‬ ‫مراجعة لغوية‪ :‬د‪ /‬اإ�صماعيل حممد عبد العاطى‬

‫اإ�صراف علمى‬ ‫اأ‪ /‬ح�صني حممود ح�صني‬ ‫م�صت�صار الريا�صيات‬

‫اإ�صراف تربوى‬

‫اأ‪.‬د‪ /‬حممد رجب ف�صل اهلل‬ ‫م�صت�صار الوزير لتطوير املناهج‬ ‫وامل�صرف العام على مركز تطوير املناهج‬

‫ب‬

‫ب�سم اهلل الرحمن الرحيم‬ ‫اأبناءنا الأعزاء ‪:‬‬ ‫يسعدنا أن نقدم لكم كتاب الرياضيات للصف الثانى اإلعدادى‪ ،‬وقد راعينا أن نجعل من‬ ‫دراستك للرياضيات ً‬ ‫ممتعا ومفيدً ا له تطبيقاته فى حياتكم العملية‪ ، ،‬وفى دراستكم للمواد‬ ‫عمل ً‬ ‫الدراسية األخرى‪ ،‬حتى تشعورا بأهمية دراسة الرياضيات وقيمتها وتقدروا ‪ ،‬دور علمائها‪ ،‬وقد اهتم‬

‫هذا الكتاب باألنشطة كعنصر أساسى‪ ،‬كما حاولنا تقديم المادة العلمية بطريقة مبسطة تساعدكم على‬

‫تكوين المعرفة الرياضية‪ ،‬وفى نفس الوقت تساعدكم على اكتساب أساليب تفكير سليمة تدفعكم‬

‫إلى اإلبداع‪.‬‬

‫وقد روعى فى هذا الكتاب تقسيمه إلى وحدات دراسية‪ ،‬وكل وحدة إلى دروس‪ ،‬كما وظفنا‬

‫الصور واأللوان لتوضيح المفاهيم الرياضية وخواص األشكال‪ ،‬مع مراعاة المحصول اللغوى‬

‫لكم وما سبق أن تم دراسته فى الصفوف السابقة‪ ،‬كما راعينا فى مواطن كثيرة تدريبكم على أن‬ ‫تصلوا للمعلومات بأنفسكم لتنمية مهارة التعلم الذاتى لديكم ‪ ،‬كما تم توظيف اآللة الحاسبة‬

‫مناسبا داخل المحتوى‪.‬‬ ‫والحاسب اآللى كلما كان ذلك‬ ‫ً‬

‫نرجو أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه الخير لك ولمصرنا العزيزة‪.‬‬

‫الموؤلفون‬

‫ت‬

‫املحتويات‬ ‫الوحدة الأوىل‪ :‬الأعداد احلقيقية‬ ‫مراجعة ‪2 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬ ‫الدر�س الأول‪ :‬الجذر التكعيبى للعدد الن�سبى‪4 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..‬‬ ‫الدر�س الثانى‪ :‬مجموعة الأعداد غير الن�سبية َن ‪7 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س الثالث‪ :‬اإيجاد قيمة تقريبية للعدد غير الن�سبى‪9 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س الرابع‪ :‬مجموعة الأعداد الحقيقية ح‪13... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..‬‬ ‫الدر�س اخلام�س‪ :‬عالقة الترتيب فى ح ‪15... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .‬‬ ‫الدر�س ال�صاد�س‪ :‬الفترات ‪17... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .‬‬ ‫الدر�س ال�صابع‪ :‬العمليات على الأعداد الحقيقية ‪23... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬ ‫الدر�س الثامن‪ :‬العمليات على الجذور التربيعية ‪28... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س التا�صع‪ :‬العمليات على الجذور التكعيبية ‪33... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س العا�صر‪ :‬تطبيقات على الأعداد الحقيقية ‪35... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬ ‫الدر�س احلادى ع�صر‪ :‬حل المعادلت والمتباينات من الدرجة الأولى فى متغير واحد فى ح ‪40... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬العالقة بني متغريين‬ ‫الدر�س الأول‪ :‬العالقة بين متغيرين ‪44... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬ ‫الدر�س الثانى‪ :‬ميل الخط الم�ستقيم و تطبيقات حياتية ‪48... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬الإح�صاء‬ ‫الدر�س الول‪ :‬جمع البيانات وتنظيمها ‪54... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..‬‬ ‫الدر�س الثاين‪ :‬الجدول التكرارى المتجمع ال�ساعد والجدول التكرارى المتجمع النازل وتمثيلهما بيان ًّيا ‪57... .. .... .. .... ..‬‬ ‫الدر�س الثالث‪ :‬الو�سط الح�سابى ‪ -‬الو�سيط ‪ -‬المنوال ‪61... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..‬‬

‫ث‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬متو�صطات املثلث و املثلث املت�صاوي ال�صاقني‬ ‫الدر�س الول‪ :‬متو�سطات المثلث‪68... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..‬‬ ‫الدر�س الثاين‪ :‬المثلث المت�ساوي ال�ساقين‪72... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س الثالث‪ :‬نظريات المثلث المت�ساوي ال�ساقين ‪74... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ..‬‬ ‫الدر�س الرابع‪ :‬نتائج علي نظريات المثلث المت�ساوي ال�ساقين ‪83... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬

‫الوحدة اخلام�صة‪ :‬التباين‬ ‫الدر�س الأول‪ :‬التباين ‪89... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .‬‬ ‫الدر�س الثانى‪ :‬المقارنة بين قيا�سات الزوايا فى المثلث ‪93... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬ ‫الدر�س الثالث‪ :‬المقارنة بين اأطوال الأ�سالع فى المثلث ‪97... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ...‬‬ ‫الدر�س الرابع‪ :‬متباينة المثلث‪102. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....‬‬

‫ج‬

‫الرموز الريا�صية الم�صتخدمة‬ ‫‪P‬‬

‫مجموعة األعداد الطبيعية‬

‫=‬

‫عمودى عىل‬

‫‪N‬‬

‫مجموعة األعداد الصحيحة‬

‫‪//‬‬

‫يوازى‬

‫‪K‬‬

‫مجموعة األعداد النسبية‬

‫‪C‬ب‬

‫القطعة املستقيمة ‪ C‬ب‬

‫َ‬ ‫‪K‬‬

‫مجموعة األعداد غير النسبية‬

‫‪C‬ب‬

‫الشعاع ‪ C‬ب‬

‫‪I‬‬

‫مجموعة األعداد الحقيقية‬

‫‪C‬ب‬

‫املستقيم ‪ C‬ب‬

‫‪C‬‬

‫اجلذر الرتبيعى للعدد ‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ c( X‬ل) قياس زاوية ل‬

‫اجلذر التكعيبى للعدد ‪C‬‬

‫~‬

‫تشابه‬

‫[اأ ‪ ،‬ب]‬

‫فترة مغلقة‬

‫>‬

‫أكرب من‬

‫]اأ ‪ ،‬ب[‬

‫فترة مفتوحة‬

‫‪#‬‬

‫أكرب من أو يساوى‬

‫]اأ ‪ ،‬ب]‬

‫فترة نصف مفتوحة (مغلقة)‬

‫<‬

‫أقل من‬

‫[اأ ‪ ،‬ب[‬

‫فترة نصف مفتوحة (مغلقة)‬

‫‪$‬‬

‫�أقل من �أو ي�ساوى‬

‫[اأ ‪[∞ ،‬‬

‫فترة غير محدودة‬

‫‪3‬‬

‫‪/‬‬

‫ل(‪)C‬‬

‫تطابق‬ ‫ح‬

‫�حتمال وقوع �حلدث ‪C‬‬

‫الوحدة األولى‬

‫‪1‬‬ ‫األعداد الحقيقية‬ ‫األعدا ُد الحقيقيَّة‬

‫ُ‬ ‫النسبية‬ ‫األعداد‬

‫األعدا ُد غري النسبية‬

‫األعداد غري َّ‬ ‫الصحيحة‬

‫األعداد الصحيحة‬

‫األعداد ال َّ‬ ‫طبيعية‬

‫األعداد الصحيحة السالبة‬

‫الصفر‬

‫األعداد َّ‬ ‫الصحيحة املوجبة‬ ‫(أعداد العد)‬

‫مراجعة‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬ ‫مجموعات األعداد‬

‫‪}... ،3 ،2 ،1{ = O‬‬

‫مجموعة أعداد العد ‪:‬‬

‫مجموعة األعداد الطَّبيعية ‪:‬‬

‫‪ = }... ،3 ،2 ،1 ،0{ = P‬ع ∪ { ‪} 0‬‬

‫‪}... ،3- ،2- ،1- ،0 ،1 ،2 ،3 ،... { = N‬‬

‫مجموعة األعداد الصحيحة ‪:‬‬

‫مجموعة األعداد الصحيحة الموجبة ‪O = }... ،3 ،2 ،1 { = +N‬‬

‫مجموعة األعداد الصحيحة السالبة ‪}... ،3- ،2- ،1- { = -N‬‬

‫‪N ∪ } 0 { ∪ +N = N‬‬

‫‪-‬‬

‫‪C‬‬ ‫مجموعة األعداد النسبية ن = { ب ‪ ،C :‬ب ∈ ‪ ،N‬ب ≠ ‪}0‬‬

‫‪⊂N⊂P‬ن‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫النسبى‪:‬‬ ‫للعدد‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫| ‪5 = | 5 - | ، 0 = | 0 | ، 3 = | 3 | ، 7 = | 7-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذا كان | ‪5 = | C‬‬

‫فإن ‪5± = C‬‬

‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫النسبى هى‪:‬‬ ‫للعدد‬ ‫القياسية‬ ‫الصورة‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬

‫‪10 * C‬ن حيث ن ∈ ‪10 < | C | H 1 ، N‬‬ ‫‪2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫مث ً‬ ‫ال‬

‫العدد ‪410 * 25.32‬‬

‫‪0.00053‬‬

‫فى صورته القياسية = ‪510 * 2.532‬‬ ‫فى صورته القياسية = ‪4-10 * 5.3‬‬

‫النسبى المر َّبع الكامل‬ ‫العدد‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬

‫هو العدد الموجب الذى يمكن كتابته على صورة مربع ٍ‬ ‫عدد نسبى ٍّأى (عدد نسبى)‪2‬‬ ‫ُ‬

‫ُ‬

‫مثل ‪9 ، 25 ، 4 ، 1‬‬ ‫‪... ، 2 14 ، 16‬‬

‫العدد النسبى المكعب الكامل‬ ‫ُ‬

‫ِ‬ ‫صورة مكعب عدد نسبى أى (عدد نسبى )‪3‬‬ ‫هو العدد النسبى الذى يمكن كتابته على‬ ‫ُ‬

‫ُّ‬

‫مثل ‪8 ، 216- ، 27- ، 8 ، 1‬‬ ‫‪... ، 125‬‬

‫للعدد ِّ‬ ‫الجذر التَّ‬ ‫النسبى المربع الكامل‬ ‫ربيعى‬ ‫ِ‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬

‫ِ‬ ‫للعدد النسبى الموجب ‪ C‬هو العدد الذى مربعه يساوى ‪C‬‬ ‫التربيعى‬ ‫ الجذر‬ ‫ُّ‬

‫ صفر = صفر‬ ‫كل ٍ‬ ‫جمعى لآلخر وهما‬ ‫نسبى مربع كامل ‪ C‬له جذران تربيعيان كل منهما معكوس‬ ‫عدد‬ ‫ ُّ‬ ‫ّ‬ ‫ٍّ‬ ‫‪C -، C‬‬ ‫له جذران تربيعيان هما ‪4 - ، 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫ال العدد ‪16‬‬ ‫مث ً‬ ‫‪25‬‬ ‫التربيعى الموجب للعدد ‪ 9‬وهو ‪3‬‬ ‫ ‪ 9‬يعنى الجذر‬ ‫َّ‬

‫ ‬

‫‪C‬‬ ‫ب‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫| |‬

‫‪C‬‬ ‫ب أى أن‬

‫‪7-‬‬

‫‪2‬‬

‫= | ‪7 = | 7-‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪3‬‬

‫الدرس‬ ‫األول‬

‫الجذر التكعيبى للعدد الن�سبى‬ ‫فكر وناقش‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© كيفية إيجاد الجذر التَّكعيبى‬ ‫ل��ع� ٍ‬ ‫نسبى باستخدام‬ ‫�دد‬ ‫ٍّ‬

‫سبق أن تعلمت أن‪:‬‬

‫حجم المكعب = طول الحرف * نفسه * نفسه‬

‫التَّحليل‪.‬‬

‫© إي��ج��اد ال��ج��ذر التَّكعيبى‬ ‫نسبى باستخدام اآللة‬ ‫لعدد‬ ‫ٍّ‬

‫أكمل‬

‫المكعب الذى طول حرفه ‪7‬سم يكون حجمه‬ ‫ُ‬

‫الحاسبة ‪.‬‬

‫ِّ‬ ‫نفكر‬ ‫هيا‬

‫© حل معادالت تشمل إيجاد‬ ‫الجذر التَّكعيبى‪.‬‬ ‫© ح� ّ‬ ‫�ل تطبيقات على الجذر‬ ‫التَّكعيبى لعدد نسبى‪.‬‬ ‫المصطلحات األساسية‬

‫© جذر تكعيبى‪.‬‬

‫= ‪......... * ......... * .........‬‬ ‫= ‪ .........‬سم‪3‬‬

‫مكعب حجمه ‪125‬سم‪ ،3‬فما طول حرفه؟‬ ‫إذا كان لدينا‬ ‫ٌ‬ ‫نبحث عن ثالثة أعداد متساوية حاصل ضربها = ‪125‬‬ ‫ُ‬ ‫يمكن تحليل العدد ‪ 125‬إلى عوامله األولية ‪.‬‬ ‫‪5*5 * 5 = 125‬‬ ‫المكعب الذى حجمه ‪125‬سم‪ ،3‬يكون طول حرفه ‪5‬سم‪.‬‬ ‫`‬ ‫ُ‬ ‫تسمى ‪ 5‬الجذر التكعيبى للعدد ‪ ، 125‬وتكتب ‪5 = 125 3‬‬

‫‪125‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫التكعيبى للعددِ‬ ‫النسبى ‪ C‬هو العدد الذى مكعبه يساوى ‪C‬‬ ‫الجذ ُر‬ ‫ُّ‬ ‫ِّ‬ ‫التكعيبى للعددِ النسبى ‪ C‬بالرمز‬ ‫للجذر‬ ‫" يرمز‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬ ‫موجب يكون موجباًا‪ ،‬اً‬ ‫التكعيبى لعددٍ‬ ‫مثل ‪5 = 125‬‬ ‫نسبى‬ ‫" الجذ ُر‬ ‫ُّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ٍ‬

‫سالب يكون سالباًا‪ ،‬اً‬ ‫التكعيبى لعددٍ‬ ‫مثل‬ ‫نسبى‬ ‫" الجذ ُر‬ ‫ُّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ٍ‬

‫‪4‬‬

‫"‬

‫‪3‬‬

‫"‬

‫‪3 3‬‬

‫صفر = صفر‬

‫‪C= C‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2- = 8-‬لماذا؟‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س ال�ساد�س‬ ‫المكعب الكامل‪:‬‬ ‫النسبى‬ ‫للعدد‬ ‫إليجاد الجذر التَّ كعيبى‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬

‫تحليل العدد إلى عوامله األولية‪.‬‬ ‫ يمكن‬ ‫ُ‬ ‫ يمكن استخدا ُم اآللة الحاسبة‪.‬‬

‫أيضا‪ ،‬لماذا؟‬ ‫واحد وهو عد ٌد‬ ‫تكعيبى‬ ‫جذر‬ ‫لحظ اأن العد ُد‬ ‫نسبى ً‬ ‫ٌ‬ ‫النسبى المكعب الكامل له ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌّ‬ ‫ُّ‬ ‫أمثلة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬استخدم التَّحلي َل إليجاد قيمة كل من ‪، 216- ، 1000‬‬ ‫باستخدام اآللة الحاسبة‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3 38‬‬ ‫َّ‬ ‫وتحقق من صحة إجاباتك‬

‫الحل‬

‫‪2 1000‬‬ ‫‪2 500‬‬ ‫‪2 250‬‬ ‫‪5 125‬‬ ‫‪5 25‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪10 = 5 * 2 = 1000‬‬

‫‪216‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪27 = 3 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 27‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6- = 3 * 2- = 216-‬‬

‫استخدم اآللةَ الحاسبةَ لل َّتحقق من صحة إجابتك باستخدام‬

‫‪3‬‬

‫‪= 3 38‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 8‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3 = 27‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫َ‬ ‫‪) 22‬‬ ‫أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمها ‪4851‬سم (‪7 = r‬‬

‫الحل‬

‫حجم الكرة =‬ ‫‪4851‬‬

‫نق‪3‬‬

‫` نق‪3‬‬

‫` نق‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 22 * 4‬نق‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9261 = 7 * 3 * 4851‬‬ ‫‪22* 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪37 * 33‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪ 10.5 = 7 *3 3‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ r‬نق‪3‬‬

‫‪3 9261‬‬ ‫‪3 3087‬‬ ‫‪3 1029‬‬ ‫‪7 343‬‬ ‫‪7 49‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫حجم ال��ك��رة = ‪r 3‬‬ ‫ن��ق‪ 3‬حيث ن��ق طول‬ ‫نصف قطر ال��ك��رة‪ ،‬و‬ ‫التقريبية‬ ‫النسبة‬ ‫تسمى ‪ r‬أو ط‪.‬‬

‫األول‬ ‫الدراسىاألول‬ ‫الفصلالدراسى‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل‬

‫‪5‬‬

‫تدرب‬ ‫قطر الكرة التى حجمها ‪113.04‬سم‪)3.14 = r( 3‬‬ ‫أوجد طو َل‬ ‫ِ‬ ‫مثال‬ ‫حل اًّ‬ ‫كل من المعادالت اآلتية فى ن‪:‬‬

‫أ س‪8 = 3‬‬

‫الحل‬

‫(س ‪125 = 3)2 -‬‬

‫أ س‪8 = 3‬‬ ‫س=‬

‫‪3‬‬

‫د (‪2‬س ‪54 = 10 - 3)1 -‬‬

‫ب س‪8 = 9 + 3‬‬

‫‪2= 8‬‬

‫` مجموعة الحل = {‪}2‬‬ ‫(س ‪125 = 3)2 -‬‬

‫س‪9 - 8 = 3‬‬ ‫س‪1- = 3‬‬

‫س = ‪1- = 1- 3‬‬

‫د (‪2‬س ‪54 = 10- 3)1 -‬‬

‫س ‪125 3 = 2 -‬‬

‫‪2‬س ‪64 3 = 1 -‬‬

‫` مجموعة الحل = {‪}7‬‬

‫‪ 2‬س ‪4 = 1-‬‬ ‫‪2‬س = ‪5‬‬ ‫س= ‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫تدرب‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫اآلتية فى ن‪( :‬س ‪( ، 27 = 3)1 +‬س ‪27- = 3)1 +‬‬ ‫المعادالت‬ ‫ح ّل‬

‫‪6‬‬

‫` مجموعة الحل = {‪}1-‬‬

‫(‪2‬س ‪64 = 3)1 -‬‬

‫س‪5=2-‬‬

‫س=‪7‬‬

‫ب س‪8 = 9 + 3‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫` مجموعة الحل = { ‪} 52‬‬

‫مجموعة الأعداد غير الن�سبية ن‬

‫الدرس‬ ‫الثانى‬

‫فكر وناقش‬ ‫سبق أن علمت أن‪ :‬العدد النسبى هو العد ُد الذى يمكن وض ُعه على الصورة‬ ‫‪C‬‬ ‫ب ‪ :‬حيث ‪ ،N ∈ C‬ب ∈ ‪ ،N‬ب ≠ ‪0‬‬ ‫فمث ً‬ ‫حل المعادلة ‪4‬س‪25 = 2‬‬ ‫ال‪ :‬عند ِّ‬ ‫فيكون س‪25 = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫`س=‪5 ±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كال من ‪ 52 - ، 52‬عدد نسبى‪.‬‬ ‫ونالحظ اأن اًّ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© مجموعة األعداد غير النسبية‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫© عدد غير نسبى‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫ِ‬ ‫ولكن توجد ٌ‬ ‫كثير من األعداد التى اليمكن وض ُعها على الصورة ب‬ ‫حيث ‪ ،N ∈ C‬ب ∈ ‪ ، N‬ب ≠ ‪0‬‬

‫فمث ً‬ ‫حل المعادلة س‪ 2 = 2‬فإننا ال نستطيع إيجاد عدد نسبى مربعه‬ ‫ال‪ :‬عند ِّ‬ ‫يساوى ‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫العدد غير النسبى هو العدد الذى اليمكن وضعه على الصورة ب حيث‬ ‫‪ ،N ∈ C‬ب ∈ ‪ ، N‬ب ≠ ‪0‬‬ ‫ِ‬ ‫غير النسبيَّة‪:‬‬ ‫ومن‬ ‫أمثلة األعدادِ ِ‬

‫أوالً ‪ :‬الجذور التربيعية لألعداد الموجبة التى ليست مربعات كاملة‬

‫‪، 2‬‬

‫مثل‪:‬‬

‫‪-، 5‬‬

‫‪، 6‬‬

‫‪7‬‬

‫الجذور التكعيبية لألعداد التى ليست مكعبات كاملة‬ ‫ثانيا‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ً‬

‫مثل‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪، 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪، 2-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪... ، 11‬‬

‫ً‬ ‫ُ‬ ‫ثالثا‪ِّ :‬‬ ‫سبة التَّ قريبية ‪r‬‬ ‫الن‬

‫حيث إنه اليمكن إيجاد قيمة مضبوطة ألى من هذه األعداد‪ .‬لماذا؟‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪7‬‬

‫ومثل هذه األعداد وغيرها تكون مجموعة تسمى مجموعة األعداد غير النسبية ويرمز لها بالرمز َن ‪.‬‬

‫ن ∩ َن = ∅‬

‫ِّ‬ ‫فكر ‪ :‬هل ‪ 1- 3‬عدد غير نسبى ؟لماذا؟‬ ‫مثال‬

‫أكمل باستخدام أحد الرمزين ن أو َن‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫أ‬

‫‪................... ∈ 8‬‬‫‪................... ∈ 6‬‬

‫ب‬

‫‪................... ∈ π‬‬

‫‪................... ∈ 6 14‬‬

‫د‬ ‫و‬

‫صفر ∈ ‪...................‬‬

‫‪3‬‬

‫ز |‬

‫‪................... ∈ 4-‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪...................∈ | 5‬‬

‫ح ‪................... ∈ 5-10* 4.7‬‬

‫ط‬

‫‪3‬‬

‫‪................... ∈ 9-‬‬

‫ناقش معلمك‬ ‫السابق السابق‬ ‫المثالالمثال‬ ‫معلمكفىفىحلحل‬ ‫ناقش‬

‫‪8‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫اإيجاد قيمة تقريبية‬ ‫للعدد غير الن�سبى‬

‫الدرس‬ ‫الثالث‬

‫فكر وناقش‬ ‫هل تستطي ُع إيجاد عددين نسبيين ينحص ُر بينهما العد ُد غي ُر النسبى ‪2‬‬ ‫نالحظ اأن ‪2‬‬ ‫ينحصر بين ‪ 4 ، 1‬أى أن ‪2 < 2 < 1‬‬ ‫ُ‬ ‫أى أن ‪ + 1 = 2‬كسر عشرى ‪.‬‬

‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫العدد غير النسبى على‬ ‫تمثيل‬ ‫©‬ ‫ّ‬ ‫خط األعداد‪.‬‬ ‫© ّ‬ ‫حل معادالت فى َن‪.‬‬

‫(‪، 1.69 = 2)1.3( ، 1.44 = 2)1.2( ، 1.21 = 2)1.1‬‬ ‫(‪2.25 = 2)1.5( ، 1.96 = 2)1.4‬‬ ‫‪2.25 < 2 < 1.96 a‬‬ ‫` ‪1.5 < 2 < 1.4‬‬ ‫أى أن ‪ + 1.4 = 2‬كسر عشرى‬ ‫أى أن ‪1.42 < 2 < 1.41‬‬

‫(‪C‬جـ)‪C( = 2‬ب)‪( + 2‬ب جـ)‪2‬‬

‫إيجاد قيمة تقري َّبية للعدد غير‬ ‫©‬ ‫ُ‬ ‫النسبى‪.‬‬

‫ٍ‬ ‫وإليجادِ‬ ‫قيمة تقريبيَّة للعدد ( ‪ 2‬نفحص قي َم األعداد التالية ‪.‬‬

‫َ‬ ‫َ‬ ‫الحاسبة لتأكيد صحة إجابتك‪.‬‬ ‫اآللة‬ ‫استخدم‬ ‫تمهيد‪( :‬فى الشكل المقابل) المثلث ‪ C‬ب جـ قائم الزواية ىف ب فيكون‪:‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫‪C‬‬

‫وتسمى بنظريه فيثاغورس وستدرس بالتفصيل بمنهج الهندسة‬ ‫ُ‬ ‫النسبى على ِّ‬ ‫العدد غير ِّ‬ ‫خط األعداد‬ ‫تمثيل‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫النقطة التى تمثل العدد ‪ 2‬على خ ِّ‬ ‫ط األعداد ‪.‬‬ ‫كيف نحدِّد‬

‫إذا رسمنا المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب‪،‬‬ ‫والمتساوى الساقين بحيث ‪ C‬ب = ب جـ = وحدة طول واحدة‬ ‫فإن (‪ C‬جـ ‪ C( = 2‬ب)‪( + 2‬ب جـ)‪2 = 21 + 21 = 2‬‬ ‫` ‪ C‬جـ = ‪ 2‬وحدة طول‪.‬‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪9‬‬

‫ِ‬ ‫ ارسم َّ‬ ‫قوسا يقطع خط‬ ‫بسن الفرجار فى نقطة و‪ ،‬وبفتحة تساوى طول ‪ C‬جـ ارسم ً‬ ‫خط األعداد واركز ِّ‬ ‫األعداد على يمين و فى نقطة س‪ ،‬وهذه النقطة تمثل العدد ‪2‬‬ ‫س‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫سَ‬

‫‪0‬‬

‫‪2 -1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫س على يسار النقطة و‬ ‫س التى تمثل العدد ‪ 2 -‬حيث َ‬ ‫ يمكن بنفس فتحة الفرجار تحديد النقطة َ‬ ‫َ‬ ‫ِّ‬ ‫النقطة التى تمثل العدد ‪+ 3‬‬ ‫فكر حدد‬

‫‪ 2‬على خط األعداد ‪.‬‬

‫نشاط‬

‫ارسم المربع و ‪ C‬ب جـ الذى طول ضلعه وحدة طول‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪ 2‬وحدة طول‪.‬‬

‫‪2-‬‬

‫طول قطره = ‪= 1 + 1‬‬ ‫`وب = ‪2‬‬ ‫ اركز بالفرجار فى و ‪ ،‬وارسم نصف دائرة طول نصف قطرها = طول و ب = ‪2‬‬ ‫س تمثل ‪2 -‬‬ ‫س} ‪ ،‬حيث س تمثل العدد ‪َ ، 2‬‬ ‫ و ‪ ∩ C‬نصف الدائرة = {س ‪َ ،‬‬ ‫ ارسم س ‪ C // E‬ب ويقطع جـ ب فى ‪E‬‬ ‫(و‪( = 2)E‬و س)‪( + 2‬س ‪3 = 2)1( + 2) 2 ( = 2)E‬‬ ‫`و‪3 =E‬‬ ‫ِ‬ ‫بالفرجار فى و وبفتحة تساوى طول و ‪ E‬ارسم نصف دائرة يقطع و ‪ C‬فى ص ‪،‬‬ ‫ اركز‬ ‫` و ص = ‪ 3‬أى أن النقطةَ ص تمثل العدد ‪ ، 3‬والنقطة تمثل العدد ‪3 -‬‬ ‫أكمل بنفس الطريقة لتمثيل األعداد ‪ ... ، 6 ، 5 ، 4‬وكذلك ‪... ، 6 - ، 5 - ، 4 -‬‬ ‫‪:‬‬

‫تدرب‬ ‫‪1‬‬

‫أوجد ‪:‬‬

‫أ عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س الثالث‬

‫‪2‬‬

‫ب عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد ‪12‬‬ ‫عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد ‪10 3‬‬ ‫د عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد ‪20- 3‬‬ ‫اثبت أن‬

‫‪ 3‬ينحصر بين ‪1.8 ، 1.7‬‬ ‫أ‬ ‫أوجد ألقرب جزء من مائة قيمة ‪11‬‬ ‫أوجد ألقرب جزء من عشرة قيمة ‪2 3‬‬ ‫ِ‬ ‫وحدد عليه النقطةَ التى تم ِّثل العد َد غير النسبى ‪3‬‬ ‫ارسم َّ‬ ‫خط‬ ‫األعداد ِّ‬ ‫ِ‬ ‫وحدد عليه النقطة التى تمثل العدد غير النسبى ‪2 + 1‬‬ ‫ارسم َّ‬ ‫خط‬ ‫األعداد ِّ‬ ‫ب‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 15‬ينحصر بين ‪2.5 ، 2.4‬‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كل من المعادالت اآلتية فى َن‪:‬‬ ‫حل ِّ‬ ‫أوجد مجموعةَ ِّ‬ ‫‪ 43‬س‪1 = 2‬‬ ‫ب س‪5 = 3‬‬ ‫أ س‪2 = 2‬‬

‫د ‪ 0.001‬س‪8- = 3‬‬

‫الحل‬

‫أ س‪2 = 2‬‬ ‫`س=‪2 ±‬‬ ‫مجموعة الحل = {‪، 2 -‬‬ ‫ب س‪5 = 3‬‬ ‫`س = ‪5 3‬‬ ‫مجموعة الحل = { ‪} 5 3‬‬ ‫‪ 43‬س‪1 = 2‬‬ ‫` ‪ 43 * 34‬س‪1 * 34 = 2‬‬ ‫س‪3 = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مجموعة الحل = {‪-‬‬ ‫=‪±‬‬ ‫`س=‪±= 4 ±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د ‪ 0.001‬س‪8- = 3‬‬ ‫س‪8 - = 3‬‬ ‫‪8000 - = 0.001‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` س = ‪8000 -‬‬ ‫= ‪ ∈ 20-‬ن‬ ‫مجموعة الحل المعادلة فى َن = ∅‬

‫‪} 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫}‬

‫‪11‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫كل من طول ضلع وطول قطر مربع مساحته ‪7‬سم‪. 2‬‬ ‫اًّ‬

‫أوجد‬

‫ِ‬

‫الحل‬ ‫طول الضلع س سم فإن المساحة = س * س= س‪2‬‬ ‫إذا كان ُ‬

‫س‪7 = 2‬‬ ‫`س=‪±‬‬

‫‪ 7‬سم‬

‫` س=‬

‫‪ 7‬سم لماذا؟‬

‫إليجادِ طول قطر المربع‪ :‬استخدم نظريةَ فيثاغورس‬ ‫ل‪ = 2‬س‪ + 2‬س‪ 2‬حيث ل طول قطر المربع‬ ‫` ل‪14 = 2‬‬ ‫` ل = ‪14 ±‬‬ ‫` ل = ‪ 14‬سم لماذا؟‬ ‫مثال (‪)3‬‬

‫دائرة مساحة سطحها ‪ r3‬سم‪ 2‬أوجد محيطها‪.‬‬ ‫الحل‬

‫مساحة سطح الدائرة = ‪ r‬نق‪2‬‬ ‫= ‪ r‬نق‪2‬‬

‫‪r3‬‬ ‫` نق‪3 = 2‬‬ ‫نق = ‪ 3‬سم‬

‫أو نق = ‪-‬‬

‫محيط الدائرة = ‪r 2‬نق = ‪* r 2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2= 3‬‬

‫‪ 3‬سم (مرفوض)‬ ‫‪ r 3‬سم‪.‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫مجموعة الأعداد الحقيقية ح‬

‫الدرس‬ ‫الرابع‬

‫فكر وناقش‬ ‫ِ‬ ‫األعداد النسب َّية ن‪ ،‬ووجدنا أن هناك أعدا ًدا أخرى‬ ‫سبق أن درسنا مجموعةَ‬ ‫مثل ‪ ... ،r ، 2 3 ، 2‬وهذه األعدا ُد تكون مجموعة األعداد غير النسبية َن‬ ‫اتحاد المجموعتين ن‪َ ،‬ن يعطى مجموعةً جديد ًة تسمى مجموعةَ األعداد‬ ‫الحقيقية ‪ ،‬ويرمز لها بالرمز ح‪.‬‬

‫ح = ن ∪ َن‬

‫تأمَّ ل شك َل ڤن المقابل تجد أن‪:‬‬

‫‪ 1‬ن ∩ َن = ∅‬ ‫‪ 2‬أى عدد طبيعى أو صحيح أو نسبى‬ ‫أو غير نسبى هو عدد حقيقى‪.‬‬

‫ط⊂‪⊂N‬ن⊂ح‬

‫مجموعة‬ ‫األعداد غير‬ ‫النسبية َن‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© مجموعة األعداد الحقيقية ح‪.‬‬ ‫العالقة بين مجموعات‬ ‫© َ‬ ‫األعداد ط‪ ،N ،‬ن‪َ ،‬ن ‪ ،‬ح‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫مجموعة األعداد النسبية ن‬ ‫مجموعة األعداد الصحيحة‬

‫© عدد حقيقى‪.‬‬

‫مجموعة األعداد الطبيعية‬ ‫ط‬

‫وكذلك َن ⊂ ح‬

‫اً‬ ‫ِّ‬ ‫أمثلة من عندك ألعداد حقيقيَّة بعضها نسبى وبعضها‬ ‫فكر ‪:‬أعط‬ ‫غير نسبى‪.‬‬

‫كل ِ‬ ‫حقيقى تمثله نقطةٌ واحد ٌة على ِّ‬ ‫‪3‬‬ ‫خط األعداد ‪.‬‬ ‫عدد‬ ‫ُّ‬ ‫ٍّ‬ ‫‪0‬‬

‫األعداد حقيقية موجبة‬

‫األعداد الحقيقية السالبة‬

‫أوالاً‪ :‬العد ُد صفر تمثله نقطة األصل و‪.‬‬ ‫جميع نقط ِّ‬ ‫خط األعداد على يمين و‬ ‫ثانياًا‪ :‬األعدا ُد الحقيقيةُ الموج ُبة تمثلها‬ ‫ُ‬ ‫جميع نقط ِّ‬ ‫خط األعداد على يسار و‬ ‫ثالثاًا‪ :‬األعدا ُد الحقيقيةُ السالبة تمثلها‬ ‫ُ‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪13‬‬

‫‪:‬‬

‫تدرب‬

‫َن‬

‫ضع اًّ‬ ‫كل من األعدادِ اآلتية فى مكانها المناسب‬

‫‪1‬‬

‫ن‬

‫ط‬

‫على شكل ڤن المقابل‪.‬‬ ‫‪5 ، 0 ، 16 ، 2- 3 ، 79 ، 0.6 ، 5 ، 9 ، 4- ، 12‬‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫حدد على ِّ‬ ‫األعداد النقطةَ ‪ C‬التى تم ِّثل العدد ‪ ، 8- 3‬والنقطة ب التى تمثل العدد‬ ‫خط‬ ‫ِّ‬

‫وأوجد طول ‪ C‬ب ‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪5-‬‬

‫‪6-‬‬

‫َ‬ ‫ِّ‬ ‫‪3‬‬ ‫صحة أو خطأ كل من العبارتين‪:‬‬ ‫وضح‬

‫أ كل عدد طبيعى هو عدد حقيقى موجب‪.‬‬

‫ب كل عدد صحيح هو عدد حقيقى‪.‬‬

‫لحظ اأن‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 1- = 1‬ألن ‪1- = 1- * 1- * 1-‬‬‫بينما ‪ ∉ 1-‬ح ألنه اليوجد عدد حقيقى إذا ضرب فى نفسه يعطى ‪.1-‬‬ ‫األعدا ُد الحقيقيَّة‬ ‫ُ‬ ‫النسبية‬ ‫األعداد‬

‫األعداد الصحيحة‬ ‫األعداد الصحيحة السالبة‬ ‫الصفر‬

‫األعدا ُد غري النسبية‬

‫األعداد غري َّ‬ ‫الصحيحة‬ ‫األعداد ال َّ‬ ‫طبيعية‬ ‫األعداد َّ‬ ‫الصحيحة املوجبة‬ ‫(أعداد العد)‬

‫ناقش مع معلمك‪/‬معلمتك و زملئك‪ :‬هل توجد أعدا ٌد غي ُر حقيقية ؟‬

‫‪14‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪9‬‬

‫الدرس‬ ‫الخامس‬

‫الترتيب فى ح‬ ‫عالقة‬ ‫ِ‬ ‫فكر وناقش‬ ‫اتجاها معي ًنا كالمبين‬ ‫وحددنا‬ ‫إذا كانت ‪ ،C‬ب نقطتين تنتميان للمستقيم ل‪َّ ،‬‬ ‫ً‬ ‫بالسهم فإنه يمكن القول إن‪:‬‬ ‫ النقطة ب تلى النقطة ‪ ،C‬أى تكون على يمينها‪.‬‬ ‫ النقطة ‪ C‬تسبق النقطة ب‪ ،‬أى تكون على يسارها‪.‬‬ ‫وهكذا بالنسبة لجميع نقاط الخط المستقيم‪ ،‬فإذا علمنا أن كل نقطة من‬ ‫نقط الخط المستقيم تمثل عد ًدا حقيق اًّيا فإننا نقول إن‪:‬‬ ‫مجموعة األعداد الحقيقية هى مجموعة مرتبة‬

‫خواص الترتيب‪:‬‬ ‫ُّ‬ ‫ِ‬ ‫‪ 1‬إذا كان س‪ ،‬ص عددين حقيقيين يمثلهما على ِّ‬ ‫األعداد النقطتان‬ ‫خط‬

‫‪ ،C‬ب على ال َّترتيب فإنه توجد إحدى الحاالت الثالثة اآلتية‪:‬‬ ‫س ص‬ ‫ص س‬ ‫س=ص‬ ‫‪ C‬تنطبق على ب‬

‫`س = ص‬

‫‪ C‬تسبق ب‬

‫`س < ص‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© َعالقة الترتيب فى ح‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© َعالقة ترتيب ‪.‬‬ ‫© أكبر من ‪.‬‬ ‫© اصغر من ‪.‬‬ ‫© تساوى ‪.‬‬ ‫© ترتيب تصاعدى ‪.‬‬ ‫© ترتيب تنازلى ‪.‬‬

‫‪ C‬تلى ب‬

‫`س>ص‬

‫‪ 2‬إذا كانت س عد ًدا حقيق اًّيا تمثله النقطةُ ‪ C‬على ِّ‬ ‫خط األعداد‪ ،‬وكانت و هى‬ ‫نقطة األصل التى تم ِّثل العدد صفر فإنه توجد إحدى الحاالت الثالثة اآلتية‪:‬‬

‫س=‪0‬‬

‫‪ C‬تنطبق على و‬

‫`س = ‪0‬‬

‫س‬

‫‪0‬‬

‫‪ C‬على يمين و‬

‫‪0‬‬

‫س‬

‫‪ C‬على يسار و‬

‫`س<‪0‬‬ ‫`س > ‪0‬‬ ‫ويقال إن س عدد ويقال إن س عدد‬ ‫حقيقى سالب ‪.‬‬ ‫حقيقى موجب ‪.‬‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪15‬‬

‫ح‬

‫ح‬

‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫أعداد حقيقية موجبة‬

‫‪-‬‬

‫إعداد حقيقية سالبة‬

‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية الموجبة‪ :‬ح = { س‪ :‬س ∈ ح ‪ ،‬س > ‪}0‬‬ ‫مجموعةُ‬ ‫‪+‬‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية السالبة‪ :‬ح = { س‪ :‬س ∈ ح ‪ ،‬س < ‪}0‬‬ ‫مجموعة‬ ‫‬‫ح = ح ∪ {‪ ∪ }0‬ح‬ ‫‬‫‪+‬‬

‫ِ‬ ‫= ح ∪ {‪{ = }0‬س ‪ :‬س ‪ ،0 G‬س ∈ ح}‬ ‫األعداد الحقيق َّية غير السالبة‬ ‫لحظ اأن‪ :‬مجموعةُ‬ ‫‪+‬‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية غير الموجبة = ح ∪ {‪{ = }0‬س ‪ :‬س‪ ،0 H‬س ∈ ح}‬ ‫مجموعةُ‬ ‫‬‫مثال (‪)1‬‬ ‫رتِّب األعدا َد اآلتيَة تصاعدياًّا‬ ‫الحل‬

‫‪، 45 - ، 27‬‬

‫‪، 0 ، 6 ، 20‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪- = 1- = 1- 3 ، 36 = 6‬‬ ‫ِ‬ ‫األصغر إلى األكبر ‪36 ، 27 ، 20 ، 0 ، 1 - ، 45 -‬‬ ‫التصاعدى من‬ ‫تيب‬ ‫ُّ‬ ‫التر ُ‬ ‫أى ‪6 ، 27 ، 20 ، 0 ، 1- 3 ، 45 -‬‬ ‫‪1‬‬

‫مثال (‪ )2‬من الشكل المقابل ‪:‬‬ ‫س‪2‬‬

‫أوجد مجموعة األعداد التى تنتمى إليها س حيث س عدد صحيح‬ ‫س‪3‬‬

‫س‬

‫الحل‬

‫من الشكل نالحظ أن ‪ :‬س‪ > 2‬س >‬ ‫فعند اختيار س عدد صحيح سالب يحقق المتبانية السابقة‬ ‫‪27- > 3- > 9‬‬ ‫مثل ‪ :‬س = ‪3-‬‬

‫` مجموعه األعداد التى تنتمى إليها س هى‬

‫= { ‪} ....... ، 3- ، 2- ، 1-‬‬

‫اختر س عدد صحيح موجب ‪ ،‬هل تتحقق المتبانية ؟ ناقش معلمك‬

‫‪16‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫س‪3‬‬

‫الدرس‬ ‫السادس‬ ‫األول‬

‫الفترات‬ ‫فكر وناقش‬ ‫الفترة هى مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية‬

‫سوف تتعلم‬ ‫سوف تتعلم‬

‫الفترات المحدودة‬ ‫أوالً‪:‬‬ ‫ُ‬

‫© كيفية إيجاد الجذر التكعيبى‬ ‫© الفترات المحدودة‪.‬‬ ‫ل��ع��دد نسبى باستخدام‬ ‫© الفترات غير المحدودة‪.‬‬ ‫التحليل‬ ‫© العمليات على الفترات ‪.‬‬ ‫©‬

‫كال من‪:‬‬ ‫إذا كان ‪ ، C‬ب ∈ ح ‪ < C ،‬ب فإننا نعرف اًّ‬

‫الفترة المغلقة [‪ ، C‬ب]‬

‫[‪ ،C‬ب] = { س ‪ H C :‬س ‪ H‬ب ‪ ،‬س ∈ ح}‬

‫©‬

‫أساسية‬ ‫مصطلحات‬ ‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬

‫[‪ ،C‬ب] ⊂ ح وعناصرها ‪ ،C‬ب وجميع األعداد الحقيقية بينهما‬ ‫توضع دائرة مظللة عند كل من النقطتين الممثلتين للعددين ‪ ،C‬ب وتظلل‬ ‫المنطقة بينهما على خط األعداد ‪.‬‬

‫©© فترة محدودة ‪.‬‬ ‫©© فترة مغلقة ‪.‬‬ ‫© فترة مفتوحة ‪.‬‬ ‫© فترة نصف مفتوحة ‪.‬‬ ‫© فترة غير محدودة ‪.‬‬

‫الفترة المفتوحة ]‪ ، C‬ب[‬

‫© اتحاد ‪.‬‬

‫]‪ ،C‬ب [ = { س‪ < C :‬س < ب‪ ،‬س ∈ ح}‬

‫© تقاطع ‪.‬‬

‫]‪ ، C‬ب[ ⊂ ح وعناصرها هى جميع األعداد الحقيقية المحصورة بين‬ ‫العددين ‪ ، C‬ب ‪.‬‬ ‫توضع دائرة مفتوحة (غير مظللة) عند كل من النقطتين الممثلتين للعددين‬ ‫‪ ،C‬ب وتظلل المنطقة بينهما على ِّ‬ ‫خط األعداد‬

‫© فرق ‪.‬‬ ‫© مكملة ‪.‬‬

‫تدرب‬ ‫الصفة المميزة ثم مثِّل اًّ‬ ‫اكتب اًّ‬ ‫ِ‬ ‫بطريقة ِّ‬ ‫كل منهما‬ ‫كل من [‪[5 ،3] ،]5 ،3‬‬ ‫على خط األعداد‪.‬‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪17‬‬

‫الفترات نصف المفتوحة أو (نصف المغلقة)‬ ‫[‪ ، C‬ب[‬

‫]‪ ، C‬ب]‬

‫[‪ ، C‬ب [ = { س ‪ H C :‬س < ب ‪ ،‬س ∈ ح}‬ ‫[‪ ،C‬ب[ ⊂ ح عناصرها العدد ‪ C‬وجميع األعداد‬ ‫المحصورة بين ‪ ، C‬ب ‪.‬‬

‫] ‪ ، C‬ب] = { س‪ < C :‬س ‪ H‬ب ‪ ،‬س ∈ ح}‬ ‫]‪ ، C‬ب] ⊂ ح عناصرها العدد ب وجميع األعداد‬ ‫المحصورة بين ‪ ، C‬ب ‪.‬‬

‫تدرب‬ ‫الصفة المميزة ‪ ،‬و مثل اًّ‬ ‫اكتب اًّ‬ ‫كل منهما على خ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫بطريقة ِّ‬ ‫ط األعداد‪.‬‬ ‫كل من الفترتين [‪]5 ،3] ، [5 ، 3‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫ط األعداد اًّ‬ ‫مثِّل بيانياًّا على خ ِّ‬ ‫كل من‪}4 ،1-{ ،]4 ،1-] ، [4 ،1-] ، ]4 ،1-[ :‬‬ ‫الحل‬

‫[‪]4 ،1-‬‬

‫]‪]4 ،1-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫فترة مغلقة‬

‫‪1-‬‬

‫‪1-‬‬

‫]‪[4 ،1-‬‬

‫{‪}4 ،1-‬‬

‫فترة نصف مفتوحة‬

‫‪4‬‬

‫فترة مفتوحة‬

‫‪4‬‬

‫مجموعة‬

‫‪1-‬‬

‫‪1-‬‬

‫نا ِق ْ‬ ‫ش مع معلمك ‪ /‬معلمتك و زمالئك‪ :‬هل الفترةُ مجموع ٌة منتهي ٌة أم غير ُ منتهي ٍة؟‬

‫‪18‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س ال�ساد�س‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫المجموعات اآلتية‪ ،‬ومثِّل اًّ‬ ‫اكتب على صور ِة فترة‪ ،‬اًّ‬ ‫كل منها على خ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ط األعداد‪:‬‬ ‫كل من‬

‫‪1‬‬

‫ب ‪{ = M‬س ‪ H 2- :‬س < ‪ ، 3‬س ∈ ح}‬

‫أ ‪{ = M‬س ‪ < 2 :‬س < ‪ ، 5‬س ∈ ح}‬ ‫‪{ = M‬س ‪ H 0 :‬س ‪ ،4 H‬س ∈ ح}‬

‫أ ‪[ 5 ،2 ] = M‬‬

‫د ‪{ = M‬س ‪ < 3- :‬س ‪ ، 1- H‬س ∈ ح}‬

‫الحل‬

‫ب ‪[ 3 ،2- [ = M‬‬

‫د ‪] 1- ،3- ] = M‬‬

‫‪] 4 ،0 [ = M‬‬

‫ضع‬ ‫المناسب ∈ أو ∉ لتكون العبارة صحيحة‪:‬‬ ‫الرمز‬ ‫َ‬ ‫َ‬

‫‪2‬‬

‫‪[3 ،1-[ .......... 3‬‬

‫أ‬

‫ب ‪[3 ،1-] .......... 2-‬‬

‫‪]2 ،1[ .......... 2‬‬

‫د‬

‫‪[5 ،0[ .......... 4‬‬

‫ز |‪[6 ،4[ .......... |5-‬‬

‫‪3‬‬

‫و‬

‫ح ‪[ 1،0]........ 5- 10 * 2.3‬‬

‫‪[1 ،0] .......... 12‬‬

‫‪]2 ،1-[ .......... 8-‬‬

‫الحل‬

‫أ ∉‬

‫ب ∉‬

‫∈‬

‫∈‬

‫و ∉‬

‫ز ∈‬

‫د‬

‫∈‬

‫ح ∈‬

‫األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫اكتب الفتر َة التى يعبِّر عنها ك ٌّل من‬ ‫ِ‬

‫‪3‬‬ ‫أ‬ ‫ب‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫أ [‪]3،0‬‬

‫[‪[1- ،3-‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4-‬‬

‫‪1-‬‬

‫د‬

‫الحل‬

‫‪3-‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫ب ] ‪] 1 ،4-‬‬ ‫د ] ‪[ 6 ،0‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪19‬‬

‫غير المحدودة‬ ‫الفترات‬ ‫ثانيا‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫ً‬

‫تعلم أن‪ :‬خط األعداد الحقيق َّية مهما امتد من جهتيه فإنه يوجد أعداد حقيقية موجبة من جهة اليمين‬ ‫وسالبة من جهة اليسار تقع على هذا الخط‪.‬‬ ‫ الرمز (∞) ويقرأ (النهاية) و هو أكبر من أى ٍ‬ ‫تصوره ‪ ∉ ∞ ،‬ح‬ ‫حقيقى يمكن‬ ‫عدد‬ ‫ُ‬ ‫ٍّ‬ ‫ الرمز (‪ )∞-‬ويقرأ (سالب النهاية) و هو أصغر من أى ٍ‬ ‫حقيقى يمكن تصوره ‪ ∉ ∞- ،‬ح‬ ‫عدد‬ ‫ُ‬ ‫ٍّ‬

‫ الرمزان ∞ ‪ ∞ - ،‬التوجد نقط تمثلهما على ِّ‬ ‫خط األعداد الحقيقية‪ ،‬وهما امتداد لخط األعداد من جهتيه‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫غير المحدودة التالية‪:‬‬ ‫نعرف‬ ‫وإذا كان ‪ C‬عددً ا حقيق ًّيا فإننا‬ ‫الفترات َ‬

‫الفترة [‪[∞ ، C‬‬

‫الفترة ]‪]C ، ∞-‬‬

‫[‪ { = [∞ ،C‬س ‪ :‬س ‪ ، C G‬س ∈ ح}‬

‫]‪ { = ]C ، ∞-‬س ‪ :‬س ‪ ، C H‬س ∈ ح}‬

‫ِ‬ ‫العدد ‪ C‬وجميع األعداد الحقيق َّية‬ ‫وهى تع ِّبر عن‬ ‫أكبر من ‪.C‬‬

‫وهى تعبر عن العدد ‪ C‬وجميع األعداد الحقيقية‬ ‫األصغر من ‪.C‬‬

‫اكتب اًّ‬ ‫الصفة المميزة‪ ،‬ثم مثلهما على خ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫بطريقة ِّ‬ ‫ط األعداد‪.‬‬ ‫كل من الفترتين [‪]3 ،∞-] ،[∞ ،3‬‬ ‫الفترة ]‪[∞ ،C‬‬

‫الفترة ]‪[C ، ∞-‬‬

‫]‪ { = [∞ ،C‬س ‪ :‬س > ‪ ، C‬س ∈ ح}‬

‫]‪ { = [C ، ∞-‬س ‪ :‬س < ‪ ، C‬س ∈ ح}‬

‫وهى تعبر عن ِ‬ ‫جميع األعــداد الحقيقية‬ ‫ِّ‬ ‫األكبر من ‪C‬‬

‫وهى تع ِّبر عن جميع األعــداد الحقيقية‬ ‫األصغر من ‪C‬‬

‫بطريقة الصفة المميزة‪ ،‬ثم مثلهما على خ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ط األعداد‪.‬‬ ‫اكتب الفترتين ]‪[3 ،∞-] ، [∞ ،3‬‬

‫‪20‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س ال�ساد�س‬ ‫ِ‬ ‫التعبير عنها على صورة الفترة ]‪[∞ ، ∞-‬‬ ‫األعداد الحقيق َّية ح يمكن‬ ‫مجموعةُ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية الموجبة ح‪[ ∞،0 ] = +‬‬ ‫مجموعةُ‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية السالبة ح‪[0 ،∞-] = -‬‬ ‫مجموعةُ‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية غير السالبة = [ ‪[∞ ،0‬‬ ‫مجموعةُ‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية غير الموجبة = ]‪]0 ، ∞-‬‬ ‫مجموعةُ‬

‫لحظ اأن‪:‬‬

‫تدرب‬ ‫اكتب على صورة فترة اًّ‬ ‫كل من المجموعات اآلتية‪ ،‬ومثِّلها على خ ِّ‬ ‫ط األعداد ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫أ ‪{ = M‬س ‪ :‬س ‪ ، 2 G‬س ∈ ح}‬

‫ب ‪{ = M‬س ‪ :‬س < ‪ ، 3‬س ∈ ح}‬

‫‪{ = M‬س ‪ :‬س > ‪ ، 7-‬س ∈ ح}‬

‫د ‪{ = M‬س ‪ :‬س ‪ ، 8- 3 H‬س ∈ ح}‬

‫مجموعة جميع األعداد الحقيقية األكبر من | ‪| 3-‬‬ ‫الحل‬

‫أ ‪[ ∞،2 [= M‬‬

‫ب ‪[ 3،∞- ] = M‬‬

‫‪3‬‬

‫‪[ ∞،7- ]= M‬‬ ‫أكمل الحل‬

‫‪7-‬‬

‫ضع الرم َز المناسبَ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄ لتكون العبارة صحيحة‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫أ‬

‫‪3‬‬

‫‪5-‬‬

‫‪[4 ،∞-] ..............‬‬

‫ب [‪[∞ ،1-] .............. ]2 ، 1‬‬

‫‪[6- ،∞-] ..............‬‬

‫‪[∞ ،3] .............. 10 10 * 3‬‬ ‫أ ∈‬

‫‪2‬‬

‫ب⊂‬

‫د ]‪[∞ ،0] .............. [2 ، 0‬‬

‫الحل‬

‫∉‬

‫و [‪[ ∞، 2 [ .............. ]1 ،3-‬‬ ‫د ⊂‬

‫∈‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫و ⊄‬

‫‪21‬‬

‫الفترات‬ ‫العمليات على‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬

‫ِ‬ ‫إجراء عمليات‬ ‫مجموعة األعداد الحقيقية ح‪ ،‬فإنه يمكن‬ ‫مجموعات جزئيةٌ من‬ ‫حيث إن الفترات هى‬ ‫ٌ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫البيانى للفترات على ِّ‬ ‫خط‬ ‫بالتمثيل‬ ‫االتحاد والتقاطع والفرق والمكملة على الفترات‪ ،‬ويمكَن االستعانةُ‬ ‫ِّ‬ ‫ويتضح ذلك من األمثلة التالية‪:‬‬ ‫األعدا َد ؛ لتحديد وتوضيح ناتج العملية‬ ‫ُ‬ ‫أمثلة‬ ‫ط األعداد اًّ‬ ‫‪ 1‬إذا كانت ‪ [5 ،1[ = N ، ]3 ،2-[ = M‬فأوجد مستعيناًا بخ ِّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫ب ‪N∪M‬‬

‫أ ‪N∩M‬‬ ‫الحل‬

‫أ ‪]3 ،1[ = [5 ،1[ ∩ ]3 ،2-[ = N ∩ M‬‬

‫ب ‪[5 ،2-[ = [5 ،1[ ∪ ]3 ،2-[ = N ∪ M‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1- 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2-‬‬

‫ط األعداد اًّ‬ ‫‪ 2‬إذا كانت م = [‪ ، [∞ ،2‬ى = ] ‪ [3 ،2-‬فأوجد مستعيناًا بخ ِّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫أ م‪-‬ى‬

‫ب م∩ى‬

‫د ى∪ {‪}3 ،2‬‬

‫م∪ى‬

‫َم‬

‫الحل‬

‫و َى‬

‫أ م ‪ -‬ى = [‪[ ∞ ، 3[ = [ 3 ، 2- ] - [ ∞ ، 2‬‬

‫ب م ∩ ى = [‪[ 3 ، 2[ = [ 3 ، 2- ] ∩ [ ∞ ، 2‬‬

‫م ∪ ى = [‪[∞ ، 2-] = [ 3 ، 2- ] ∪ [ ∞ ، 2‬‬

‫د ى ∪ { ‪]3 ، 2-] = } 3 ،2{ ∪ [ 3 ،2-] = }3 ،2‬‬ ‫َم = ]‪[ 2 ،∞-‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫و َى = ] ‪[ ∞ ، 3[ ∪ ] 2- ، ∞-‬‬

‫تدرب‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫ض ْع علمة (✓ ) أمام العبارة َّ‬ ‫وعلمة (✗) أمام العبارة الخطأ‪:‬‬ ‫الصحيحة‬

‫أ [‪[5 ، 2-] = }5 ، 2 { - ]5 ، 2-‬‬

‫ب ]‪]0 ، 1-[ = }0 ، 1-{ ∪ ]3 ، 1-‬‬ ‫[‪[5 ، 2[ = }5{ - ]5 ، 2‬‬

‫‪22‬‬

‫د [‪]3 ،1[ = [4 ،1] ∩ ]3 ، 1-‬‬

‫[‪]5 ،2-[ = }5 ، 1{ ∪ [5 ، 2-‬‬

‫و [‪[∞ ،5]= ]5 ، ∞-] - [∞ ، 5‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪1- 0‬‬

‫‪2-‬‬

‫العمليات على الأعداد الحقيقية‬

‫الدرس‬ ‫السابع‬ ‫األول‬

‫فكر وناقش‬ ‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫خواص جمع‬ ‫أوالً‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫َّ‬ ‫ُّ‬

‫موضع النقطةَ س التى تمثل العدد ‪ 2 + 1‬على ِّ‬ ‫خط‬ ‫حددنا‬ ‫سبق أن َّ‬ ‫َ‬ ‫ع‬ ‫األعداد‪ ،‬وحيث إنه ُ‬ ‫ع العددين الحقيقيين ‪ 2 ، 1‬فإن مجمو َ‬ ‫يمثل مجمو َ‬ ‫ِ‬ ‫عددين حقيقيين هو عد ٌد حقيقى ‪.‬‬ ‫كل‬ ‫ِّ‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيقية ح‬ ‫أى أن مجموعةَ‬ ‫مغلقةٌ تحت عمل َّية الجمع ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 +1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫االنغالق إذا كانت ‪ ∈ C‬ح ‪ ،‬ب ∈ ح فإن (‪ + C‬ب) ∈ ح‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪ :‬كل من ‪+ 1 ، 3 + 2‬‬ ‫اإلبدال‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪+ 2 :‬‬ ‫الدمج‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪+ 3( :‬‬

‫‪+ 2- ، 2‬‬

‫‪+2 ، 5‬‬

‫‪3‬‬

‫حقيقى ‪.‬‬ ‫‪ 3‬عد ٌد‬ ‫ٌّ‬

‫إذا كانت ‪ ∈ C‬ح ‪ ،‬ب ∈ ح فإن ‪ + C‬ب = ب ‪C +‬‬ ‫‪= 3‬‬

‫‪-3 ،2+ 3‬‬

‫‪3+ 5 -= 5‬‬

‫إذا كانت ‪ ∈ C‬ح ‪ ،‬ب ∈ ح ‪ ،‬جـ ∈ ح‬ ‫فإن (‪ + C‬ب) ‪ +‬جـ = ‪ ( + C‬ب ‪ +‬جـ) = ‪+ C‬ب ‪ +‬جـ‬ ‫‪)5 + 2 ( + 3 = 5 + ) 2‬‬ ‫= ‪) 2 + 5( + 3‬‬ ‫=‪2 +5+3‬‬ ‫=‪2 +8‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© العمليات على األع���داد‬ ‫الحقيقية ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫العمليات على األعداد‬ ‫خواص‬ ‫©‬ ‫ُّ‬ ‫الحقيقية ‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© االنغالق ‪.‬‬ ‫© اإلبدال ‪.‬‬ ‫© الدمج ‪.‬‬ ‫© المحايد الجمعى ‪.‬‬ ‫© المعكوس الجمعى ‪.‬‬ ‫© المحايد الضربى ‪.‬‬ ‫© المعكوس الضربى ‪.‬‬ ‫© توزيع الضرب على الجمع أو‬ ‫الطرح ‪.‬‬

‫خاصية الدمج‬ ‫خاصية اإلبدال‬ ‫خاصية الدمج‬

‫الثانىاألول‬ ‫الدراسى‬ ‫الفصل‬ ‫االعدادى‬ ‫الصف‬ ‫الرياضيات ‪-‬‬

‫‪23 23‬‬

‫إذا كان ‪ ∈ C‬ح فإن ‪C = C + 0 = 0 + C‬‬

‫المحايد الجمعى‬ ‫العنصر‬ ‫الصفر هو‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪+0=0+ 5‬‬

‫‪-، 5‬‬

‫‪= 5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4 3 - = ) 4 3 -( + 0 = 0 + 4‬‬

‫وجود معكوس جمعى لكل عدد حقيقى‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫لكل ‪ ∈ C‬ح يوجد (‪ ∈ )C-‬ح‬ ‫صفرا‬ ‫حيث ‪ً = C + )C-( = )C-( + C‬‬

‫‪ ∈ 3‬ح ‪ ،‬معكوسه الجمعى (‪ ∈ ) 3 -‬ح حيث‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫‪= 3 + ) 3 -( = ) 3 -( + 3‬‬ ‫ً‬ ‫تدرب‬ ‫ٍ‬ ‫صحيحة‪:‬‬ ‫أكمل لتحص َل على عبار ٍة‬

‫‪1‬‬ ‫أ‬ ‫ب‬

‫‪+5=5+ 2‬‬

‫‪................‬‬

‫‪= ) 11 -( + 11‬‬

‫‪+7‬‬

‫‪................‬‬

‫‪)................ + ................( + 5 = 3‬‬

‫د المعكوس الجمعى للعدد‬ ‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪ 8‬هو ‪................‬‬

‫المعكوس الجمعى للعدد (‪- 1‬‬ ‫‪= ) 3 -( + 3‬‬

‫‪................‬‬

‫‪- 3( + ) 7‬‬

‫‪=) 7‬‬

‫ز ‪+7‬‬

‫ح (‪+ 4‬‬

‫‪=3- 5‬‬

‫‪................‬‬

‫‪) 2‬‬

‫هو ‪................‬‬

‫‪................‬‬

‫ط إذا كانت ‪ ∈ C‬ح‪ ،‬ب ∈ ح فإن ‪ - C‬ب تعنى ناتج جمع العدد ‪ C‬و ‪ ................‬للعدد ب‪.‬‬ ‫ى إذا كانت ‪ ∈ C‬ط‪ ،‬ب ∈ ن ‪ ،‬جـ ∈ ح فإن (‪ + C‬ب ‪ +‬جـ) ∈ ‪................‬‬

‫‪ 2‬ناقِ ش مع معلمك ‪ /‬معلمتك و زملئك‪ :‬موضحاً ا بأمثلة‪:‬‬

‫أ هل عمل َّيةُ الطرح إبدال َّية فى ح؟‬ ‫ِ‬ ‫الطرح دامجةٌ فى ح؟‬ ‫ب هل عمل َّيةُ‬

‫‪24 24‬‬

‫االعدادى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ ‫الرياضيات ‪-‬‬ ‫األول‬ ‫الدراسى‬ ‫الفصل‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪-‬‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س ال�سابع‬ ‫األعداد الحقيقية‪:‬‬ ‫ضرب‬ ‫خواص‬ ‫ثانيا‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ُّ‬ ‫ً‬ ‫ِ‬

‫االنغالق إذا كانت ‪ ∈ C‬ح ‪ ،‬ب ∈ ح فإن ‪ * C‬ب ∈ ح‬ ‫ِ‬ ‫األعداد الحقيق َّية مغلقةٌ تحت عملية الضرب‪.‬‬ ‫مجموعةُ‬ ‫أى أن حاصل ضرب كل عددين حقيقيين هو عدد حقيقى‪.‬‬ ‫مث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪* 5‬‬ ‫‪* 2-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5 = 2‬‬ ‫‪2- = 5‬‬

‫‪* 3 2‬‬ ‫اإلبدال‬ ‫مث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫مث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪∈ 2‬ح‬

‫‪3‬‬

‫‪∈ 5‬ح‬

‫‪6= 3‬‬

‫∈ح‬

‫‪2‬‬

‫‪r 23‬‬

‫∈ح‬

‫‪∈ 3‬ح‬

‫‪3= 2‬‬

‫‪2‬‬

‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫أعداد حقيقية ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ يكون‬ ‫ثالثة‬ ‫لكل‬ ‫ِّ‬ ‫(‪ * C‬ب) * جـ = ‪( * C‬ب * جـ) = ‪ * C‬ب * جـ‬

‫‪* 5( * 2‬‬

‫‪* )5 * 2 ( = ) 2‬‬ ‫=‪*5‬‬

‫‪* 2‬‬

‫‪2*1=1* 5‬‬

‫‪2= 5‬‬

‫‪* 5( = 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪*) 2‬‬

‫‪10 = 2 * 5 = 2‬‬

‫لكل ٍ‬ ‫حقيقى ‪ C‬يكون ‪C = C * 1 = 1 * C‬‬ ‫عدد‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬

‫المحايد َّ‬ ‫الضربى‬ ‫العنصر‬ ‫الواحد هو‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬

‫مث ً‬ ‫ال‪2 :‬‬

‫‪= r * 23‬‬ ‫‪10 = 5 * 3‬‬

‫‪3‬‬

‫لكل عددين حقيقيين ‪ ، C‬ب يكون ‪ * C‬ب = ب * ‪C‬‬ ‫ِّ‬

‫‪*3=3* 2‬‬

‫الدمج‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪* 3‬‬

‫‪= 3‬‬

‫∈ح‬

‫‪5‬‬

‫لكل عدد حقيقى ≠ ‪ 0‬لكل عدد حقيقى ‪ ≠ C‬صفر‬ ‫ِّ‬ ‫ضربى‬ ‫معكوس‬ ‫وجود‬ ‫ٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫يوجد عدد حقيقى ‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حيث ‪( 1 = C * 1 = 1 * C‬المحايد الضربى)‬ ‫مث ً‬ ‫الضربى للعدد‬ ‫المعكوس‬ ‫ال‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ُّ‬

‫لحظ اأن‪:‬‬

‫‪ 3‬هو‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫حيث‬

‫= ‪ ، 1 * C‬ب≠‪0‬‬

‫‪* 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫=‬

‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫أى أن ‪ * C = C‬المعكوس الضربى للعدد ب‪.‬‬ ‫ب‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫*‬

‫‪1= 3‬‬

‫‪2‬‬

‫ناقش مع معلمك ‪ /‬معلمتك‪ :‬هل عملية القسمة إبدالية فى ح؟ هل عملية القسمة دامجة فى ح؟‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪25‬‬

‫مثال‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫اكتب اًّ‬ ‫كل من األعدادِ‬ ‫الحل‬

‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5 2 3‬‬

‫بحيث يكون المقا ُم عدداًا صحيحاً ا‪.‬‬

‫الحظ أن المحايد الضربى ‪ 1‬يمكن كتابته بالصورة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬‫‪5‬‬ ‫‬‫=‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 15‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5*2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪5 2‬‬

‫*‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أو‬

‫=‪2 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫أو‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫أو ‪...‬‬

‫تدرب‬ ‫أكمل لتحص َل على عبار ٍة صحيحة‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫أ‬

‫‪+ 2‬‬

‫‪+ 2‬‬

‫‪* 7‬‬

‫‪= 7‬‬

‫ب ‪*3‬‬ ‫د ‪2‬‬

‫‪= 5‬‬

‫‪3* 5‬‬

‫‪* ............ = 2‬‬

‫‪* 5‬‬

‫‪............‬‬

‫‪= 2‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪= 5‬‬

‫‪............‬‬

‫المحايد الضربى فى ح هو العدد ‪............‬‬

‫‪3‬‬ ‫و المعكوس الضربى للعدد‬ ‫‪2‬‬ ‫اكتب اًّ‬ ‫كل من األعدادِ اآلتية بحيث يكون المقا ُم عدداًا صحيحاً ا‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د‬ ‫‬‫‪10 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫هو ‪............‬‬

‫‪2‬‬

‫توزيع الضرب على الجمع‬

‫‪26‬‬

‫ٍ‬ ‫أعداد حقيقية ‪ ، C‬ب ‪ ،‬جـ يكون ‪.‬‬ ‫ألى ثالثة‬ ‫‪( * C‬ب ‪ +‬جـ) = (‪ * C‬ب) ‪ * C ( +‬جـ) = ‪ C‬ب ‪ C +‬جـ‬ ‫(‪ + C‬ب) * جـ = (‪ * C‬جـ) ‪( +‬ب * جـ) = ‪ C‬جـ ‪ +‬ب جـ‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س ال�سابع‬ ‫أمثلة‬ ‫‪ 1‬اختصر إلى أبسط صورة ‪.‬‬

‫أ ‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪+ 3( 5‬‬

‫(‪3 - 2‬‬

‫أ ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+ 3( 5‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪) 5‬‬

‫ب ( ‪+ 3( )5 + 2‬‬

‫‪2=) 5‬‬

‫ب ( ‪+ 3( )5 + 2‬‬

‫‪2+3* 5‬‬

‫‪6=5*2+ 5‬‬

‫=‪*3*2‬‬ ‫‪=) 2‬‬

‫‪+ 3( 2‬‬

‫‪+3* 2‬‬

‫=‬

‫‪* 5‬‬

‫‪+ 3( 5 + ) 2‬‬ ‫‪* 2‬‬

‫= ‪5 + 15 + 2 + 2 3‬‬

‫(‪3 - 2‬‬

‫=‪3‬‬

‫= ‪12 - 49‬‬ ‫‪ 2‬أعط تقدي اًرا لناتج (‪+ 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10 + 5‬‬ ‫‪) 2‬‬

‫‪*5+3*5+ 2‬‬

‫‪8 = 2 5 + 17 + 2‬‬

‫‪3- * 2 * 2 + 2)2( = 2) 5‬‬ ‫= ‪12 - 4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5*9+ 5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+ 1( * ) 5‬‬

‫‪) 2‬‬

‫‪3-( + 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪17 + 2‬‬

‫)‪2‬‬

‫َّ‬ ‫تحقق من صحة إجابتك باستخدام اآللة الحاسبة‪.‬‬ ‫‪) 8‬و‬

‫الحل‬

‫أوالاً‪ :‬تقدير‬

‫تقدير‬

‫` (‪+ 3‬‬

‫‪ 5‬هو ‪2‬‬

‫‪ 8‬هو ‪3‬‬

‫‪+ 1() 5‬‬

‫` (‪+ 3‬‬ ‫` (‪+ 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ) 5‬تقديرها هو ‪5 = 2 + 3‬‬ ‫‪ ) 8‬تقديرها هو ‪4 = 3 + 1‬‬

‫‪ ) 8‬تقديرها هو ‪20 = 4 * 5‬‬

‫ثانياًا‪ :‬عند استخدا ِم اآللة الحاسبة لحساب (‪+ 3‬‬

‫‪+ 1( * ) 5‬‬

‫مقبول‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫نجد أن الناتج ‪ 20.0459‬أى أن التقدير‬

‫‪) 8‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪27‬‬

‫الدرس‬ ‫الثامن‬

‫العمليات على الجذور التربيعية‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫َّ‬ ‫تتعلم‬ ‫سوف‬ ‫إجراء العمليات على الجذور‬ ‫©‬ ‫ُ‬ ‫التربيعية ‪.‬‬

‫© ضرب عددين مترافقين‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫إذا كان ‪ ، C‬ب عددين حقيقيين غير سالبين فإن ‪:‬‬ ‫أوالً‪:‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪= 3 * 2 :‬‬ ‫‪= 10 * 2‬‬ ‫‪= 5 * 15‬‬

‫‪*C‬ب =‬

‫© جذر تربيعى ‪.‬‬ ‫© عدد ان مترافقان ‪.‬‬

‫‪ * C‬ب =‬

‫‪6 = 3*2‬‬ ‫‪20 = 10 * 2‬‬ ‫‪75 = 5 * 15‬‬ ‫* ب‬

‫‪C‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪* 4 = 5 * 4 = 20 :‬‬ ‫‪* 25 = 3 * 25 = 75‬‬ ‫ثانيا‪:‬‬ ‫ً‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ً‬ ‫ثالثا‪:‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪1 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬

‫ً ‪18‬‬ ‫فمثال‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪84‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬

‫‪= 18‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2= 5‬‬ ‫‪5= 3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫حيث ب ≠ ‪0‬‬

‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫=‬

‫‪28 28‬‬

‫‪C‬ب‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪* 3‬‬

‫=‬

‫‪C‬ب‬

‫ب‬

‫‪4 = 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫ب≠‪0‬‬

‫‪3= 9‬‬

‫‪= 3 * 4 = 12 = 84‬‬ ‫‪7‬‬

‫الثانىاألول‬ ‫الدراسى‬ ‫الفصل‬ ‫مطابع روزاليوسف‬ ‫االعدادى‬ ‫الصف‬ ‫‪-‬‬‫الرياضيات‬

‫‪* 4‬‬

‫‪2= 3‬‬

‫‪3‬‬

‫أمثلة‬

‫‪- 32‬‬

‫ِ‬ ‫ألبسط صور ٍة‬ ‫‪ 1‬اختصر‬ ‫الحل‬

‫‪- 32‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6 + 72‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6 + 72‬‬

‫= ‪* 6 + 2 * 36 - 2 * 16‬‬ ‫‪* 16‬‬

‫=‬

‫‪- 2‬‬

‫=‪6- 2 4‬‬ ‫‪ ، 1- 5‬ص = ‪+ 2‬‬

‫‪ 2‬إذا كان س = ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪* 36‬‬

‫‪3+ 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪*6+ 2‬‬

‫‪= 2‬‬

‫‪2‬‬

‫*‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أوجد قيمة المقدار س‪ + 2‬ص‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪2( = 2)1 - 5‬‬

‫س‪2( = 2‬‬

‫=‪4-5*4‬‬

‫ص‪+ 2( = 2‬‬

‫‪4 - 2) 5‬‬

‫‪4 - 21 = 1 + 5‬‬

‫‪4 + 4 = 2) 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4+9=5+ 5‬‬

‫‪4+9+ 5‬‬

‫س‪+ 2‬ص‪4 - 21 = 2‬‬

‫‪1+ 5‬‬

‫‪30 = 5‬‬

‫‪5‬‬

‫تدرب‬ ‫‪ 1‬ضع اًّ‬ ‫كل ممايأتى على صورة ‪ C‬ب حيث ‪ ، C‬ب عددان صحيحان ‪ ،‬ب أصغر قيمة ممكنة ‪:‬‬ ‫أ‬ ‫د‬

‫‪28‬‬

‫ب‬

‫‪1000‬‬

‫‪75‬‬

‫و ‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪72 2‬‬

‫‪54‬‬

‫‪162‬‬

‫‪ 2‬اختصر إلى أبسط صورة‪:‬‬

‫أ ‪3 * 18 2‬‬ ‫د‬

‫‪+ 50‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪10 2 * 5‬‬

‫‪- 20‬‬

‫‪45‬‬

‫‪28 2 * 7 3‬‬ ‫و‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪300 - 18 5 + 27‬‬

‫‪29‬‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س الثامن‬ ‫َ‬ ‫أوجد‬ ‫قيمة كل من س ‪ +‬ص ‪ ،‬س * ص فى الحاالت اآلتية‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫أ س=‪+3‬‬

‫ب س=‬

‫‪، 5‬ص=‪-1‬‬

‫‪- 3‬‬

‫‪، 2‬ص=‬

‫‪5‬‬

‫س=‪ ، 2 3 - 5‬ص = ‪3 - 5‬‬

‫‪+ 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫العددان المترافقان‬ ‫إذا كان ‪ ، C‬ب عددين نسبيين موجبين‬

‫كال من العددين ( ‪ + C‬ب ) ‪ - C ( ،‬ب ) هو مرافق للعدد اآلخر ‪.‬‬ ‫فإن اًّ‬

‫ويكون مجموعهما = ‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫= ضعف الحد األول‬

‫وحاصل ضربهما = ( ‪ + C‬ب ) * ( ‪ - C‬ب ) = ( ‪ ( - 2) C‬ب )‪ - C = 2‬ب‬ ‫= مربع الحد األول ‪ -‬مربع الحد الثانى‬

‫ُ‬ ‫نسبى‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ضرب العددين المترافقين هو‬ ‫حاصل‬ ‫ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫ِ‬ ‫ً‬

‫ٍ‬ ‫صورة ‪ ،‬وذلك‬ ‫حقيقى مقامه على الصورة ( ‪ ± C‬ب ) فيجب وض ُعه فى أبسط‬ ‫إذا كان لدينا عد ٌد‬ ‫ٌّ‬ ‫ِ‬ ‫البسط والمقا ِم فى مرافق المقام ‪.‬‬ ‫بضرب‬ ‫تد َّرب‬ ‫أكمل‬ ‫أ‬

‫‪+ 5‬‬

‫‪2‬‬

‫مرافقه ( ‪ ) ...............‬وحاصل ضربهما = ‪...............‬‬

‫‪+ 3 2‬‬

‫‪2‬‬

‫مرافقه ( ‪ ) ...............‬وحاصل ضربهما = ‪...............‬‬

‫ب ‪-5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪30‬‬

‫مرافقه ( ‪ ) ...............‬وحاصل ضربهما = ‪...............‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫أمثلة‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 -2‬‬ ‫‪،‬ص‬ ‫‪ 1‬إذا كانت س =‬ ‫‪3 - 5‬‬ ‫‪3 +2‬‬ ‫اكتب اًّ‬ ‫كل من س ‪ ،‬ص بحيث يكون المقام عدداًا نسبياًّا ثم أوجد س ‪ +‬ص‬ ‫الحل‬

‫س=‬

‫‪8‬‬ ‫‪3 - 5‬‬

‫=‬

‫‪8‬‬ ‫‪3 - 5‬‬

‫‪( 8 = ) 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+ 5‬‬ ‫‪+ 5‬‬

‫*‬

‫‪+ 5 ( 8‬‬ ‫=‬ ‫( ‪) 3 ( - 2) 5‬‬ ‫= ‪3 4+ 5 4‬‬ ‫‪3 -2‬‬ ‫‪3 -2‬‬ ‫*‬ ‫ص = ‪= 3 -2‬‬ ‫‪3 +2‬‬ ‫‪3 -2‬‬ ‫‪3 +2‬‬ ‫‪2) 3‬‬ ‫(‪-2‬‬ ‫= ‪4 - 7 = 3 + 3 4-4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‬‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪+ 5‬‬ ‫‪3- 5‬‬

‫‪) 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7+ 5‬‬

‫س ‪ +‬ص = ‪4 = 3 4 - 7 + 3 4 + 5 4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ 2‬إذا كانت س =‬ ‫‪3 - 7‬‬ ‫َ‬ ‫قيمة ك ٍّل من المقدارين‬ ‫أثبت أن س ‪ ،‬ص عددان مترافقان‪ ،‬ثم أوجد‬

‫‪،‬ص=‬

‫‪3‬‬

‫‪- 7‬‬

‫س‪2 - 2‬س ص ‪ +‬ص‪( ، 2‬س ‪ -‬ص)‪ 2‬ماذا تلحظ؟‬

‫الحل‬

‫س=‬

‫ص=‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 - 7‬‬ ‫‪3 - 7‬‬

‫*‬

‫‪( 4 = 3 + 7‬‬ ‫‪+ 7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+ 7‬‬ ‫‪3- 7‬‬

‫` س ‪ ،‬ص عددان مترافقان‬

‫س‪2 - 2‬س ص ‪ +‬ص‪+ 7 ( = 2‬‬

‫‪( 2 - 2) 3‬‬

‫‪+ 7‬‬

‫‪=) 3‬‬

‫‪- 7 () 3‬‬

‫‪+ 7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪- 7 (+) 3‬‬

‫= (‪)3 + 21 2 - 7( + )3 - 7( 2 - )3 + 21 2 + 7‬‬

‫= ‪21 2 - 10 + 8 - 21 2 + 10‬‬

‫(س ‪-‬‬

‫ص)‪2‬‬

‫= ‪12‬‬

‫= [( ‪+ 7‬‬

‫‪- 7 (-) 3‬‬

‫‪3‬‬

‫)]‪2‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪31‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪2‬‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س الثامن‬ ‫=[ ‪+ 7‬‬

‫‪- 3‬‬

‫= ‪12 = 3 * 4‬‬

‫‪+ 7‬‬

‫ويالحظ اأن س‪2 - 2‬س ص ‪ +‬ص‪( = 2‬س ‪-‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2( = 2] 3‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪2‬‬

‫ص)‪2‬‬

‫السابق احسب اًّ‬ ‫كل من‬ ‫المثال‬ ‫فى‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬

‫ب (س ‪ -‬ص)‬

‫أ (س ‪ +‬ص)‬

‫(س ‪ +‬ص) (س ‪ -‬ص)‬

‫د‬

‫س‪ - 2‬ص‪2‬‬

‫الحل‬ ‫‪7‬‬

‫س=‬ ‫أ‬ ‫فإن س ‪ +‬ص =‬ ‫ب س‪-‬ص= ‪7‬‬ ‫= ‪7‬‬ ‫(س ‪ +‬ص) (س‬

‫‪3‬‬

‫‪، 3 +‬ص= ‪- 7‬‬ ‫‪7 2= 3 - 7 + 3 + 7‬‬ ‫‪) 3 - 7 ( - 3 +‬‬ ‫‪3 2= 3 + 7 - 3 +‬‬ ‫ ص) = ‪3 2 * 7 2‬‬‫= ‪21 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫د س‪ - 2‬ص‪- 7 ( - 2) 3 + 7 ( = 2‬‬ ‫= ( ‪) 3 + 21 2 - 7( - 3 + 21 2 + 7‬‬ ‫= ‪3 - 21 2 + 7 - 3 + 21 2 + 7‬‬ ‫= ‪21 4‬‬

‫نالحظ اأن (س ‪ +‬ص) (س‬

‫‪32‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪ -‬ص) = س‪ - 2‬ص‪2‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫ماذا تلحظ‬

‫الدرس‬ ‫التاسع‬

‫العمليات على الجذور التكعيبية‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫العمليات على الجذور‬ ‫©‬ ‫ُ‬ ‫التكعيبية‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© الجذر التكعيبى‪.‬‬

‫عددين حقيقيين ‪ ، C‬ب‪:‬‬ ‫ألى‬ ‫ِ‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪* 5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ * C‬ب =‬

‫‪3‬‬

‫‪10 3 = 2 * 5 3 = 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= 4- 3 * 3 3‬‬ ‫ألى عددين حقيقيين ‪ ، C‬ب‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12- 3 = 4- * 3‬‬

‫‪*C‬ب =‬

‫‪3‬‬

‫‪3 * C‬ب‬

‫‪3‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪* 8 3 = 5 * 8 = 40 3 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪* 64- 3 = 2 * 64- = 128- 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬ب‬

‫ً ‪12 3‬‬ ‫=‬ ‫فمثال‪:‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫ب =‬ ‫‪C‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2= 5‬‬ ‫‪2 3 4- = 2‬‬

‫ب حيث ب ≠ ‪ ،C ،0‬ب ∈ ح‬ ‫‪C‬‬

‫‪= 12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪*C‬ب‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪3‬ب‬

‫حيث ب ≠ ‪ ،C ،0‬ب ∈ ح‬

‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ِّ‬ ‫كال من البسط والمقام فى‬ ‫فكر إذا ضربنا اًّ‬ ‫أبسط صورة‪.‬‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪3‬‬

‫الناتج فى‬ ‫‪ ، 4‬فأوجد‬ ‫َ‬

‫‪33‬‬

‫أمثلة‬ ‫ِ‬ ‫ألبسط صورة‪:‬‬ ‫‪ 1‬اختصر‬

‫أ ‪8 + 54 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬‫‪5+ 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬‫‪5+ 4‬‬

‫الحل‬

‫أ ‪8 + 54 3‬‬

‫ب ‪6 - 24 3‬‬

‫‪ 2‬إذا كانت س =‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪= 13 9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬

‫ب ‪6 - 24 3‬‬

‫‪16‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫ = ‪2 * 8 3 5 + 2 * 4 3 8 + 2 * 27 3‬‬ ‫‪2- 3‬‬ ‫‪* 8 3 *5+‬‬ ‫= ‪8 + 2 3 * 27 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪2 3 * 2 * 5 + 2 - *8+ 2 33‬‬

‫‪16‬‬

‫=‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4- 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10 + 2‬‬

‫‪ ،1 +‬ص =‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫( س ‪ +‬ص)‪3‬‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫أ ( س ‪ +‬ص)‪= 3‬‬

‫(‬

‫= (‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪- 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪3‬‬ ‫ب ( س ‪ -‬ص)‪- 1+ 3 ( = 3‬‬ ‫= (‪8 = 3)2‬‬

‫‪34‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9= 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪125 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 * 8 3 = 125‬‬ ‫ ‪3 * 6‬‬‫‪8 6 - 24‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15 - 3 3 2 = 52 * 6 - 3 3 * 8‬‬

‫فأوجدقيمة كل من ‪:‬‬ ‫أ‬

‫‪3‬‬

‫‪13 89‬‬

‫)‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫( س ‪ -‬ص)‪3‬‬

‫‪- 3‬‬

‫‪3 )1 -‬‬

‫= ‪24 = 3 * 8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3)1+‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫الدرس‬ ‫العاشر‬

‫تطبيقات على الأعداد الحقيقية‬ ‫فكر وناقش‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© حل تطبيقات على الجذور‬ ‫التربيعية والتكعيبية‬

‫الدائرة‬ ‫محيط الدائرة = ‪ r 2‬نق وحدة طولية‪.‬‬ ‫مساحة الدائرة = ‪ r‬نق‪ 2‬وحدة مربعة‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© دائرة‪.‬‬

‫حيث نق طول نصف قطر الدائرة‪( r ،‬النسبة التقريبية)‬

‫© متوازى المستطيالت‪.‬‬

‫أمثلة‬

‫© مكعب‪.‬‬ ‫© أسطوانة دائرية قائمة‪.‬‬ ‫© كرة‪.‬‬

‫نق‬

‫‪1‬‬

‫الحل‬

‫‪2‬‬ ‫أوجد‬ ‫‪) 22‬‬ ‫محيط دائرة مساحتها ‪ 38.5‬سم (‪7 = r‬‬

‫مساحة الدائرة = ‪ r‬نق‪2‬‬

‫‪ 22 = 38.5‬نق‪ ` 2‬نق‪49 = 7 * 38.5 = 2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪49‬‬ ‫` نق = ‪ 3.5 = 72 = 4‬سم‬

‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫المقابل الدائرة م مرسومة داخل‬ ‫الشكل‬ ‫‪ 2‬فى‬ ‫المربع ‪ C‬ب جـ ‪ ،E‬فإذا كانت مساحة الجزء‬ ‫الملون باللون األصفر ‪10 5‬سم‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أوجد محيط هذا الجزء (‪) 7 = r‬‬ ‫الحل‬

‫طول نصف قطر الدائرة = نق ‪.‬‬ ‫نفرض أن َ‬ ‫` طول ضلع المربع = ‪ 2‬نق‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪35‬‬

‫مساحة الجزء باللون األصفر = مساحة المستطيل ‪ C‬هـ و ‪ - E‬مساحة نصف الدائرة‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪ 22 * 1‬نق‪2‬‬‫‪2‬نق‬ ‫*‬ ‫نق‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪ 2‬نق‪ 11 - 2‬نق‪ 3 = 2‬نق‪2‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫` نق‪ ` 25 = 2‬نق = ‪5‬سم‬ ‫محيط الجزء باللون األصفر = (‪ C‬هـ ‪ E + E C +‬و) ‪ 12 +‬محيط الدائرة‬ ‫= ( ‪1 + ) 5 + 10 + 5‬‬ ‫‪35 57 = 5 * 22‬سم‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫تدرب‬

‫طول نصف قطرها ‪ ،‬ثم أوجد محيطها ألقرب ٍ‬ ‫ح‬ ‫‪ 1‬دائر ٌة مساحتها ‪ r 64‬سم‪ .2‬أوجد َ‬ ‫عدد صحي ٍ‬ ‫(‪.)3.14 = r‬‬ ‫الشكل المقابل‪ C :‬ب قطر نصف الدائرة فإذا كانت‬ ‫‪ 2‬فى‬ ‫ِ‬ ‫مساحة هذه المنطقة ‪12.32‬سم‪ 2‬أوجد محيط الشكل‪.‬‬ ‫الشكل المقابل‪ :‬دائرتان متحدتان فى المركز م‬ ‫‪ 3‬فى‬ ‫ِ‬ ‫طول نصفى قطريهما ‪3‬سم ‪5 ،‬سم‪.‬‬ ‫أوجد مساحةَ الجزء الملون بداللة ‪.r‬‬

‫متوازى المستطيالت‬

‫مجسم جميع أوجهه الستة مستطيلة الشكل‪،‬‬ ‫هو‬ ‫ٌ‬ ‫وكل وجهين متقابلين متطابقان‬ ‫إذا كانت أطوال أحرفه س ‪ ،‬ص‪ ،‬ع فإن‪:‬‬ ‫المساحة الجانبية = محيط القاعدة * االرتفاع‬

‫المساحة الجانبية = ‪( 2‬س ‪ +‬ص) * ع‬

‫وحدة مربعة‬

‫المساحة الكلية = ‪( 2‬س ص ‪ +‬ص ع ‪ +‬س ع )‬

‫وحدة مربعة‬

‫حجم متوازى المستطيالت = س * ص * ع‬

‫وحدة مكعبة‬

‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫الكلية = المساحة الجانبية ‪ * 2 +‬مساحة القاعدة‬ ‫المساحة‬ ‫حجم متوازى المستطيلت = مساحة القاعدة * االرتفاع‬

‫‪36‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س العا�سر‬ ‫حالة خاصة‪ :‬المكعب‬

‫هو متوازى مستطيالت أطوال أحرفه متساوية‪.‬‬

‫إذا كان طول حرفه = ل وحدة طول فإن‬ ‫مساحة كل وجه = ل‪ 2‬وحدة مربعة‬ ‫مساحته الكلية = ‪6‬ل‪ 2‬وحدة مربعة‬

‫مساحته الجانبية = ‪ 4‬ل‪ 2‬وحدة مربعة‬ ‫حجم المكعب = ل‪ 3‬وحدة مكعبة‬

‫مثال‬ ‫أوجد‬

‫الكلية لمكعب حجمه ‪125‬سم‪3‬‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫المساحة‬

‫ٍ‬

‫الحل‬ ‫حجم المكعب = ل‪3‬‬

‫` ‪ = 125‬ل‪3‬‬

‫المساحة الكلية = ‪6‬ل‪150 = 2)5( * 6 = 2‬سم‪2‬‬

‫` ل = ‪5 = 125 3‬سم‬

‫تدرب‬

‫‪ 1‬متوازى مستطيالت قاعدته مربعة الشكل فإذا كان حجمه ‪720‬سم‪ 3‬وارتفاعه ‪5‬سم‬ ‫أوجد مساحته الكلية‪.‬‬

‫‪ 2‬أيهما أكبر حجماً ا‪ :‬مكعب مساحته الكلية ‪294‬سم‪ 2‬أم متوازى مستطيالت أبعاده ‪5 ، 2 5 ، 2 7‬سم‪.‬‬ ‫‪ 3‬قطعة من الورق المقوى مستطيلة الشكل بعداها ‪15 ،25‬سم‬ ‫قطع من كل ركن من أركانها األربعة مربع طول ضلعه ‪4‬سم‪.‬‬

‫‪ 25‬سم‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 15‬سم‬

‫حوضا على شكل متوازى‬ ‫ثم طويت األجزاء البارزة لتكون‬ ‫ً‬

‫مستطيالت‪ ،‬أوجد حجمه ومساحته الكلية‪.‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪37‬‬

‫األسطوان ُة الدائر َّي ُة القائم ُة‬

‫مجسم له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان كل منهما عبارة عن‬ ‫هى‬ ‫ٌ‬ ‫ٍ‬ ‫سطح منحن يسمى سطح األسطوانة‪.‬‬ ‫الجانبى فهو‬ ‫السطح‬ ‫دائرة‪ ،‬أما‬ ‫سطح‬ ‫ٌ‬ ‫ُ‬ ‫ُّ‬ ‫ إذا كانت م‪َ ،‬م مركزى قاعدتى األسطوانة فإن م َم هو ارتفاع األسطوانة‪.‬‬ ‫نق‬

‫هيا نفكر إذا كانت ‪ ∈ C‬الدائرة م‪ ،‬ب ∈ الدائرة َم ‪ C،‬ب ‪ //‬م م‬ ‫ و قطعنا سطح األسطوانة الجانبى عند ‪ C‬ب‬ ‫ح المستطيل ‪ C‬ب ب‬ ‫السطح فإننا‬ ‫وبسطنا هذا‬ ‫ُ‬ ‫نحصل على سط ِ‬ ‫َ‬ ‫ويكون ‪ C‬ب = ارتفاع األسطوانة ‪ = C ،‬محيط قاعدة األسطوانة‪.‬‬

‫مساحة المستطيل ‪ C‬ب ب = المساحة الجانبيةُ لألسطوانة‪.‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫المساحة الجانبية لألسطوانة = محيط القاعدة * االرتفاع = ‪ r 2‬نق ع‬ ‫المساحة الكلية لألسطوانة = المساحة الجانبية ‪ +‬مجموع مساحتى القاعدتين‬ ‫ = ‪ r 2‬نق ع ‪ r 2 +‬نق‪2‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫ُ‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫مساحة القاعدة * االرتفاع = ‪ r‬نق‪ 2‬ع‬ ‫حجم األسطوانة =‬

‫ب‬

‫مثال‬

‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫دائرية‬ ‫أسطوانة‬ ‫شكل مستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ ، E‬فيه ‪ C‬ب =‪10‬سم‪ ،‬ب جـ =‪44‬سم‪ ،‬طويت على شكل‬ ‫الورق على‬ ‫قطعةٌ من‬ ‫ٍ‬ ‫‪.) 22‬‬ ‫قائمة‪،‬بحيث‬ ‫ُ‬ ‫ينطبق ‪ C‬ب على‪ E‬جـ أوجدحجماألسطوانةالناتجة(‪7 = r‬‬ ‫الحل‬

‫محيط قاعدة األسطوانة = ‪44‬سم‪.‬‬ ‫‪ r 2‬نق = ‪44‬‬ ‫‪ 22‬نق = ‪44‬‬ ‫‪7 *2‬‬ ‫` نق = ‪7‬سم‬ ‫حجم األسطوانة = ‪ r‬نق‪ 2‬ع‬ ‫= ‪1540 = 10 * 2)7( * 22‬سم‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪38‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪ 44‬سم‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫الوحدة الأولى ‪ ،‬الدر�س العا�سر‬ ‫تدرب‬

‫حجمها ومساحتها‬ ‫‪ 1‬أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةُ ‪ ،‬طول نصف قطر قاعدتها ‪14‬سم‪ ،‬وارتفاعها ‪20‬سم‪ .‬أوجد‬ ‫َ‬ ‫الكلية‪.‬‬ ‫‪ 2‬أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةٌ حجمها ‪7536‬سم‪ ، 3‬وارتفاعها ‪24‬سم أوجد مساحتها الكلية (‪)3.14 = r‬‬ ‫حجما‪ :‬أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةٌ طول نصف قطر قاعدتها ‪7‬سم وارتفاعها ‪10‬سم‪ ،‬أم مكعب‬ ‫‪ 3‬أيهما أكبر‬ ‫ً‬ ‫طول حرفه ‪11‬سم‪.‬‬

‫الكرة‬

‫مجسم سطحه منحنى جميع نقاط سطحه على أبعاد متساوية (نق) من نقطة ثابتة داخله (مركز‬ ‫هى‬ ‫ٌ‬ ‫الكرة)‪.‬‬

‫إذا قطعت الكرة بمستوى مار بمركزها فإن المقطع َدائر ٌة مركزها هو‬ ‫مركز الكرة ‪ ،‬وطول نصف قطرها هو طول نصف قطر الكرة نق‪.‬‬ ‫حجم الكرة = ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مساحة سطح الكرة = ‪ r 4‬نق‪2‬‬ ‫‪ r‬نق‪3‬‬

‫وحدة مكعبة‪.‬‬ ‫وحدة مربعة‪.‬‬

‫مثال‬ ‫كرة حجمها ‪ r 562.5‬سم‪ 3‬أوجد مساحة سطحها‬ ‫الحل‬

‫حجم الكرة = ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ r * 4 = r 562.5‬نق‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` نق‪421.875 = 4 * 562.5 = 3‬‬ ‫‪ r‬نق‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫نق = ‪7.5 = 421.875‬سم‬

‫مساحة سطح الكرة = ‪ r 4‬نق‪r225 = 2)7.5( r * 4 = 2‬‬

‫سم‪2‬‬

‫تدرب‬ ‫َ‬ ‫‪) 22‬‬ ‫أوجد الحج َم ومساحة السطح لكرة طول قطرها ‪ 4.2‬سم (‪7 = r‬‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪39‬‬

‫الدرس‬ ‫الحادى عشر‬

‫حل المعادلت والمتباينات من‬ ‫الدرجة الأولى فى متغير واحد فى ح‬

‫فكر وناقش‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫© حل المعادلة من الدرجة األولى‬ ‫فى متغير واحد‪.‬‬ ‫© حل المتباينات من الدرجة‬ ‫األولى فى متغير واحد‪.‬‬

‫متغير واحد فى ح‬ ‫المعادالت من الدرجة األولى فى‬ ‫أوالً‪:‬حل‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬

‫نعلم اأن المعادلة ‪ 3‬س ‪ 4 = 2 -‬تسمى معادلة من الدرجة األولى‬

‫حيث أن س المتغير (المجهول)‬ ‫ولحل هذه المعادلة فى ح‬ ‫‪3‬س‪4=2-‬‬ ‫‪3‬س =‪6‬‬ ‫‪3 * 13‬س = ‪6 * 13‬‬ ‫` س=‪2‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© المعادلة‪.‬‬ ‫© الدرجة المعادلة‪.‬‬ ‫© المتباينة‪.‬‬ ‫© الدرجة المتباينة‪.‬‬ ‫© حل المعادلة‪.‬‬

‫بإضافة ‪ 2‬إلى طرفى المعادلة‬ ‫ويمكن الضرب فى المعكوس الضربى لمعامل س‬

‫أى أن مجموعة الحل = { ‪} 2‬‬

‫‪1- 0 1 2 3 4 5‬‬

‫ويمثل الحل على خط األعداد كما بالشكل المقابل‬

‫© حل المتباينة‪.‬‬

‫أمثلة‬ ‫أوجد فى ح مجموع حل المعادلة‬

‫‪1‬‬

‫الحل على خط األعداد‪.‬‬

‫‪ 3‬س ‪ 2 = 1 -‬ومثل‬

‫الحل‬

‫‪ 3‬س‪2=1-‬‬

‫`س =‬

‫‪3 * 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫`‬

‫`س=‬

‫مجموعة الحل هى { ‪} 3‬‬

‫الحل على ِّ‬ ‫خط األعداد‬ ‫ويمثل ُّ‬ ‫كما بالشكل المقابل‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫‪ 3‬س=‪3‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪∈ 3‬ح‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1-‬‬

‫َ‬ ‫مجموعة ح ِّل المعادلة س ‪+‬‬ ‫أوجد فى ح‬

‫‪2‬‬

‫‪ ، 1 = 2‬ومثل الح َّل على خ ِّ‬ ‫ط األعداد‪.‬‬

‫الحل‬

‫`س=‪∈ 2 -1‬ح‬ ‫س‪1= 2 +‬‬ ‫الحل على ِّ‬ ‫خط األعداد كما بالشكل المقابل‪.‬‬ ‫ويمثل ّ‬

‫‪2- 1- 0 1 2 3‬‬

‫تدرب‬ ‫‪1‬‬

‫اآلتية ومثِّل الح َّل على خ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ط األعداد‪.‬‬ ‫المعادالت‬ ‫أوجد فى ح مجموعة الح ِّل لك ٍّل من‬

‫أ ‪5‬س ‪1 = 6 +‬‬

‫د س‪0=5+‬‬

‫‪2‬س‪4=3-‬‬

‫ب ‪2‬س‪3=4+‬‬

‫‪ 2‬س‪1=1-‬‬

‫‪5‬‬

‫و س‪=1-‬‬

‫ِّ‬ ‫الحل على‬ ‫واحد فى ح وتمثيل‬ ‫متغير‬ ‫ثانيا‪ :‬حل المتباينات من الدرجة األولى فى‬ ‫ٍ‬ ‫ً‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫خط األعداد‪.‬‬

‫لحل المتباينة فى ح وتكتب مجموعة الحل على صورة فترة‪:‬‬ ‫الخواص التاليةُ تستخدم ِّ‬ ‫ُّ‬ ‫إذا كانت ‪ ، C‬ب‪ ،‬جـ أعداداًا حقيقيَّة وكان ‪ < C‬ب فإن‪:‬‬ ‫‪ + C 1‬جـ < ب ‪ +‬جـ‪.‬‬

‫‪ 2‬إذا كانت جـ > ‪ 0‬فإن ‪ * C‬جـ < ب * جـ‪.‬‬ ‫‪ 3‬إذا كان جـ < ‪ 0‬فإن ‪ * C‬جـ > ب * جـ‪.‬‬

‫خاصية اإلضافة‪.‬‬ ‫خاصية الضرب فى عددٍ‬ ‫موجب‪.‬‬ ‫حقيقى‬ ‫ٍّ‬ ‫ٍ‬ ‫خاصية الضرب فى عدد حقيقى سالب‪.‬‬

‫أمثلة‬ ‫أوجد مجموعة حل المتباينة ‪ 2‬س ‪ 5 G 1 -‬فى ح ومثل الحل بيانياًّا‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫الحل‬

‫بإضافة ‪ 1‬إلى طرفى المتباينة تصبح ‪ 2‬س ‪6 G‬‬ ‫بضرب طرفى المتباينة فى ( ‪ )0 > 12‬س ‪3 G‬‬ ‫` مجموعة الحل فى ح هى [‪[∞ ، 3‬‬ ‫ويمثلها الشعاع باللون األخضر على خط األعداد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪41‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫َ‬ ‫مجموعة ح ِّل المتباينة ‪ 3 - 5‬س > ‪ ،11‬ومثِّل الح َّل بيانياًّا‪.‬‬ ‫أوجد فى ح‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫بإضافة (‪ )5-‬إلى طرفى المتباينة فيكون ‪ 3-‬س > ‪6‬‬ ‫بضرب طرفى المتباينة فى (‪ ) 13 -‬ينتج أن‪:‬‬ ‫` س < ‪2-‬‬ ‫أى أن مجموعة الحل فى ح هى ]‪[2- ، ∞ -‬‬

‫ويمثلها الجزء باللون األخضر على خط األعداد‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫أوجد فى ح مجموعة حل المتباينة ‪2 H 3-‬س ‪ 5 < 1-‬ومثل الحل بيان اًّيا‬

‫بإضافة (‪ )1‬إلى حدود المتباينة ‪2 H 1 + 3-‬س ‪1 + 5 < 1 + 1-‬‬ ‫أى ‪ 2 H 2-‬س < ‪ ،6‬وبضرب حدود المتباينة فى ( ‪)0 > 12‬‬ ‫‪ H 1‬س < ‪3‬‬‫‪3‬‬ ‫` مجموعة الحل فى ح هى [‪[3 ،1-‬‬ ‫ويمثلها على ِّ‬ ‫الجزء باللون األخضر‪.‬‬ ‫خط األعداد‬ ‫ُ‬ ‫حل المتباينة فى ط؟‬ ‫فى مثال ‪ 3‬ما مجموعةُ ِّ‬ ‫حل المتباينة فى ‪N‬؟‬ ‫ما مجموعةُ ِّ‬ ‫‪4‬‬

‫‪4- 3- 2- 1-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2- 1-‬‬

‫أوجد فى ح مجموعة حل المتباينة ‪2‬س ‪5 H 3 +‬س ‪2 < 3 +‬س ‪ 9 +‬ومثل الحل بيانيا ‪:‬‬ ‫الحل‬

‫‪2‬س‪5 H 3 +‬س ‪2< 3 +‬س ‪ 9+‬بإضافة (‪2-‬س)‬ ‫‪3 H 3‬س ‪ 9 < 3 +‬بإضافة (‪)3-‬‬ ‫يضرب حدود المتباينة ‪1‬‬ ‫‪3 H 0‬س <‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ H 0‬س <‪2‬‬ ‫مجموعة الحل فى ح هى [‪[2 ، 0‬‬

‫‪42‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1-‬‬

‫الوحدة الثانية ‪ ،‬الدر�س االول‬

‫‪44‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الثانية ‪ ،‬الدر�س االول‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪45‬‬

‫الوحدة الثانية ‪ ،‬الدر�س االأول‬

‫‪46‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الثانية ‪ ،‬الدر�س االول‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪47‬‬

‫‪48‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪49‬‬

‫الوحدة الثانية ‪ ،‬الدر�س الثاني‬

‫‪50‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪51‬‬

‫الحل‬

‫إحداثى ن = ( ‪) 6 ، 3‬‬ ‫ميل م ن =‬

‫‪2-6‬‬ ‫‪7-3‬‬

‫‪4‬‬ ‫= ‪1- = 4-‬‬

‫نا ِق ْ‬ ‫ش معلمك فى حل رقم‬

‫‪52‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪3‬‬

‫اإلحصاء‬

‫لوحدة الث‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ثة‬

‫الدرس‬ ‫األول‬

‫جمع البيانات وتنظيمها‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© كيفية جمع البيانات وتنظيمها‬ ‫فى ج��داول تكرارية ذات‬ ‫مجموعات‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© جمع البيانات‪.‬‬ ‫© تنظيم البيانات‪.‬‬ ‫© جدول تكرارى ذو‬

‫إذا بحثت ظاهر َة التكدُّس المرورى وطرق عالجه‪:‬‬

‫مصادرك للحصول على البيانات؟‬ ‫� ما‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫البيانات حول‬ ‫جمع‬ ‫� كيف يمكنك‬ ‫ُ‬ ‫هذه الظاهرة؟‬ ‫الطرق اإلحصائيةُ التى سوف‬ ‫� ما‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫لتحليل البيانات؟‬ ‫تستخدمها‬ ‫تستطيع تفسير النتائج التى توصلت إليها؟‬ ‫� هل‬ ‫ُ‬ ‫� ما مقترحا ُتك لعالج هذه الظاهرة وتحقيق السيولة المرور َّية؟‬

‫جمع البيانات‬

‫مجموعات‪.‬‬

‫عمل تعاونى تعاون مع زمالئك فى جمع البيانات من مصادرها بتوزيع‬ ‫األدوار‪:‬‬

‫محل الدراسة‬ ‫أ المجموعة األولى‪ :‬اجمع بيانات ابتدائية عن الظاهرة‬ ‫َّ‬ ‫عن طريق استبيان تدور أسئلته حول (وسيلة المواصالت المستخدمة‬ ‫فى التنقل – حالة الطرق – زمن التكدس المرورى – وجود إشارات‬ ‫استرشادية على الطرق – التواجد األمنى)‪.‬‬

‫محل الدراسة من‬ ‫ب المجموعة الثانية‪ :‬اجمع بيانات ثانوية عن الظاهرة َّ‬ ‫النشرات المرورية – اإلنترنت – مصادر اإلعالم‪.‬‬ ‫المجموعة الثالثة‪ :‬الحظ أى الطرق أكثر ازدحا ًما‪ ،‬وسلوك قائدى‬ ‫السيارات والتزامهم بقوانين المرور‪ ،‬ومدى التزام المشاة بآداب‬ ‫الطريق‪ ،‬وعبور الطرق من المناطق المعدة لعبور المشاة‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫تنظيم وتحليل البيانات‬ ‫ُ‬ ‫ٍ‬ ‫تكرارى لوسيلة المواصالت التى يستخدمها زمالؤك‪.‬‬ ‫جدول‬ ‫تعاون مع زمالئك فى إعداد‬ ‫ٍّ‬

‫وسيلة المواصالت مترو حافلة سيارة خاصة تاكسى دراجة‬ ‫سيرا على األقدام المجموع‬ ‫ً‬ ‫‪.......... ..........‬‬

‫التكرار‬

‫‪................‬‬

‫‪..........‬‬

‫‪..........‬‬

‫‪..........‬‬

‫‪..........‬‬

‫حدِّد الوسيلة األكثر استخدامً ا (المنوال)‬ ‫ِ‬ ‫التكدس المرورى؟ لماذا؟‬ ‫ظاهرة‬ ‫تساعد فى عالج‬ ‫‪ 1‬هل هذه الوسيلةُ مناسبةٌ ؟ هل‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫‪ 2‬ما مقترحا ُتك لعالج هذه الظاهرة فى ضوء ماتوصلت إليه من نتائج؟‬

‫البيانات وعر�ضها فى جداول تكرار َّية‬ ‫تنظيم‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫مثال‬ ‫فيمايلى بيان بالدرجات التى حصل عليها ‪ 30‬طالبًا فى إحدى االختبارات‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪17‬‬

‫تكوين الجدول التكرارى ذى المجموعات لهذه البيانات ‪.‬‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫الحل‬

‫لتكوين الجدول التكرارى ذى المجموعات نتبع الخطوات التالية‪:‬‬ ‫أوالً‪ :‬نوجد أكبر قيمة لهذه البيانات و أصغر قيمة لها؟‬

‫باعتبار مجموعة البيانات السابقة هى ‪M‬‬ ‫فإن‪{ = M :‬س ‪ H 2 :‬س‪}19 H‬‬ ‫أى أن‪ :‬قيم ‪ M‬تبدأمن ‪ 2‬وتنتهى عند ‪19‬‬ ‫أى أن‪ :‬المدى = أكبر قيمة ‪ -‬أصغر قيمة = ‪17 = 2 – 19‬‬ ‫تجزأ المجموعة ‪ M‬إلى عدد من المجموعات الجزئية و المتساوية المدى وليكن ‪ 6‬مجموعات‪.‬‬ ‫ثانيًا‪َّ :‬‬ ‫‪ 17‬تقترب من ‪3‬‬ ‫∴ مدى المجموعة =‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫المجموعات الجزئية كالتالى‪.‬‬ ‫ثالثًا‪ :‬تصبح‬ ‫ُ‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪55‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ ،‬الدر�س االول‬

‫‪–2‬‬ ‫‪–5‬‬

‫المجموعة األولى‬ ‫المجموعة الثانية‬

‫‪–8‬‬ ‫‪– 11‬‬

‫المجموعة الثالثة‬ ‫المجموعة الرابعة‬

‫وهكذا‬

‫الحظ اأن ‪ - 2‬معناها مجموعة البيانات األكبر من أو تساوى ‪ 2‬واألقل من ‪ 5‬وهكذا‪.‬‬ ‫رابعً ا‪ :‬تسجل البيانات فى الجدول التالى‪:‬‬ ‫المجموعة‬

‫التكرار‬

‫العالمات‬

‫‪-2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪- 11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪- 14‬‬

‫‪3‬‬

‫‪- 17‬‬

‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫المجموع‬

‫ً‬ ‫خامسا‪ :‬يحذف عمود العالمات من الجدول فنحصل على الجدول التكرارى ذى المجموعات‪ ،‬ويمكن‬ ‫كتابته رأس ًّيا أو أفق ًّيا والصورة األفقية للجدول هى كاآلتى‪:‬‬ ‫المجموعة‬ ‫التكرار‬

‫‪56‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪-8‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪- 11‬‬ ‫‪8‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫‪- 14‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪- 17‬‬ ‫‪2‬‬

‫المجموع‬ ‫‪30‬‬

‫لوحدة الث‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ثة‬

‫الجدول التكرارى المتجمع ال�صاعد والجدول‬

‫الدرس‬ ‫الثانى‬

‫التكرارى المتجمع النازل وتمثيلهما بيان ًّيا‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© كيفية تكوين ٍّ‬ ‫كل من الجدول‬

‫ُ‬ ‫الجدول التَّ‬ ‫بيانيا‬ ‫كرارى المتجمع الصاعد وتمثيله‬ ‫أوالً‪:‬‬ ‫ُّ‬ ‫ًّ‬ ‫مثال‬

‫التكرارى المتجمع الصاعد‬ ‫والنازل‪.‬‬ ‫© التمثيل البيانى ٍّ‬ ‫لكل من الجدول‬ ‫التكرارى المتجمع الصاعد‬ ‫ِّ‬ ‫والنازل‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© توزيع تكرارى‪.‬‬

‫التكرارى ألطوال ‪ 100‬تلميذ بالسنتيمترات فى‬ ‫التوزيع‬ ‫يبين الجدول اآلتى‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫إحدى المدارس‪:‬‬ ‫(مجموعات)‬ ‫الطول بالسنتيمتر‬ ‫عدد التالميذ‬

‫‪-145 -140 -135 -130 -125 -120 -115‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪19‬‬

‫‪23‬‬

‫‪18‬‬

‫© جدول تكرارى‪.‬‬

‫(التكرار)‬

‫© ج���دول ت��ك��رارى متجمع‬

‫‪ 1‬ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن ‪ 115‬سم؟‬ ‫‪ 2‬ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن ‪ 135‬سم؟‬ ‫‪ 3‬ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن ‪ 145‬سم؟‬

‫© منحنى تكرارى متجمع نازل‪.‬‬

‫الحل‬

‫صاعد‪.‬‬ ‫© جدول تكرارى متجمع نازل‪.‬‬ ‫© منحنى ت��ك��رارى متجمع‬ ‫صاعد‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫‪7‬‬

‫المجموع‬

‫‪100‬‬

‫كوِّن الجدو َل التكرارىَّ المتجم َع الصاعد لهذه البيانات ومثله بيانيًّا‬ ‫هل يوجد تالميذ تقل أطوالهم عن ‪ 115‬سم؟ ال‬

‫هل يوجد تالميذ تقل أطوالهم عن ‪ 135‬سم؟ وما عددهم؟ نعم ‪ 62 ،‬تلميذًا‪.‬‬

‫كيف توجد عدد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن ‪ 145‬سم؟ نجمع عدد‬ ‫التالميذ فى مجموعات الطول األقل من المجموعة ‪145‬‬

‫ٍ‬ ‫الجدول‬ ‫َ‬ ‫بطريقة أكثر سهولة نكون‬ ‫و اآلن لإلجابة عن التساؤالت السابقة‬ ‫الصاعد ‪ ،‬وذلك كالتالى‪:‬‬ ‫المتجمع‬ ‫التكرارى‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫َ‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪57‬‬

‫الحدود العليا‬

‫التكرار المتجمع‬

‫جدول التكرار المتجمع الصاعد‬

‫للمجموعات‬

‫الصاعد‬

‫الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد‬

‫أقل من ‪120‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫أقل من ‪115‬‬ ‫أقل من ‪125‬‬ ‫أقل من ‪130‬‬ ‫أقل من ‪135‬‬ ‫أقل من ‪140‬‬ ‫أقل من ‪145‬‬ ‫أقل من ‪150‬‬

‫‪8 + 0‬‬ ‫‪12 + 8‬‬ ‫‪19 + 20‬‬ ‫‪23 + 39‬‬ ‫‪18 + 62‬‬ ‫‪13 + 80‬‬ ‫‪7 + 93‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪100‬‬

‫أقل من ‪115‬‬

‫صفر‬

‫أقل من ‪125‬‬

‫‪20‬‬

‫أقل من ‪120‬‬

‫أى‬

‫‪8‬‬

‫‪39‬‬

‫أقل من ‪130‬‬

‫‪62‬‬

‫أقل من ‪135‬‬

‫‪80‬‬

‫أقل من ‪140‬‬

‫‪93‬‬

‫أقل من ‪145‬‬

‫‪100‬‬

‫أقل من ‪150‬‬

‫ِ‬ ‫المتجمع ّ‬ ‫الصاعد بيانيًّا‪:‬‬ ‫ولتمثيل‬ ‫الجداول التكرارىِّ‬ ‫ِ‬

‫ِ‬ ‫الرأسى لل َّتكرار المتجمع الصاعد‪.‬‬ ‫والمحور‬ ‫للمجموعات‬ ‫األفقى‬ ‫‪ 1‬نخصص المحور‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫للتكرار الكلى المتجمع الصاعد عدد‬ ‫المحور‬ ‫مقياسا للرسم على المحور الرأسى بحيث يتسع‬ ‫‪ 2‬نختار‬ ‫ً‬ ‫ُ‬ ‫عناصر المجموعة‪.‬‬ ‫المتجمع الصاعد لكل مجموعة ونرسم الخط البيانى لها بالتتابع‪.‬‬ ‫التكرار‬ ‫‪ 3‬نمثل‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫التكرار المتجمع الصاعد‬ ‫المنحنى التكرارى المتجمع الصاعد‬

‫المجموعات‬ ‫‪115‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪58‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫الوحدة الثالثة ‪ ،‬الدر�س الثاني‬

‫ُ‬ ‫بيانيا ‪:‬‬ ‫المتجمع النازل وتمثيله‬ ‫التكرارى‬ ‫الجدول‬ ‫ثانيا‬ ‫ُ‬ ‫ُّ‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬

‫من التوزيع التكرارى السابق ‪ ،‬والذى يبين أطوال ‪ 100‬طالب بالسنتيمترات فى إحدى المدارس‪.‬‬ ‫أوجد‪ :‬عدد التالميذ الذين أطوالهم ‪150‬سم فأكثر‪.‬‬ ‫عدد التالميذ الذين أطوالهم ‪140‬سم فأكثر‪.‬‬ ‫عدد التالميذ الذين أطوالهم ‪125‬سم فأكثر‪.‬‬ ‫كون الجدول التكرارى المتجمع النازل‪ ،‬ثم مثله بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫الحل‬

‫اليوجد تالميذ أطوالهم ‪150‬سم فأكثر‪.‬‬ ‫عدد التالميذ الذين أطوالهم ‪140‬سم فأكثر هو ‪ 20 = 13 + 7‬طال ًبا‬ ‫عدد التالميذ الذين أطوالهم ‪125‬سم فأكثر هو‬ ‫أكمل‪.......... = .......... + .......... + .......... + .......... + 19 :‬‬ ‫لإلجابة عن هذه التساؤالت بصورة أكثر سهولة نكون الجدول التكرارى المتجمع النازل كاآلتى‪:‬‬ ‫الحدود السفلى‬

‫التكرار المتجمع‬

‫جدول التكرار المتجمع النازل‬

‫للمجموعات‬

‫النازل‬

‫الحدود السفلى للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد‬

‫‪ 115‬فأكثر‬ ‫‪ 120‬فأكثر‬ ‫‪ 125‬فأكثر‬ ‫‪ 130‬فأكثر‬ ‫‪ 135‬فأكثر‬ ‫‪ 140‬فأكثر‬ ‫‪ 145‬فأكثر‬ ‫‪ 150‬فأكثر‬

‫‪8 + 92‬‬ ‫‪12 + 80‬‬ ‫‪19 + 61‬‬ ‫‪23 + 38‬‬ ‫‪18 + 20‬‬ ‫‪13 + 7‬‬ ‫‪7 + 0‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪100‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ 115‬فأكثر‬

‫‪100‬‬

‫‪ 125‬فأكثر‬

‫‪80‬‬

‫‪92‬‬

‫‪ 120‬فأكثر‬

‫‪61‬‬

‫‪ 130‬فأكثر‬

‫‪38‬‬

‫‪ 135‬فأكثر‬

‫‪20‬‬

‫‪ 140‬فأكثر‬

‫‪7‬‬

‫‪ 145‬فأكثر‬ ‫‪ 150‬فأكثر‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫صفر‬

‫‪59‬‬

‫ولتمثيل هذا الجدول بيان ًّيا نتبع نفس خطوات تمثيل الجدول التكرارى المتجمع الصاعد ‪ ،‬وذلك لنحصل‬ ‫على التمثيل البيانى التالى‪:‬‬ ‫التكرار المتجمع النازل‬ ‫المنحنى التكرارى المتجمع النازل‬

‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫المجموعات‬

‫‪115‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪150‬‬

‫تدرب‬

‫الجدول اآلتى يمثل التوزيع التكرارى ألعمار ‪ 50‬عامال بأحد المطابع ‪:‬‬ ‫المجموعات‬ ‫التكرار‬

‫‪- 20‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪- 25‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪- 30‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪- 35‬‬ ‫‪.......‬‬

‫المطلوب‪:‬‬

‫‪- 40‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪- 45‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪- 50‬‬ ‫‪5‬‬

‫أ أكمل الجدول‪.‬‬ ‫ب ارسم فى شكل واحد المنحنى التكرارى المتجمع الصاعد والمنحنى التكرارى المتجمع النازل لهذا‬ ‫التوزيع‪.‬‬ ‫جـ من الرسم أوجد ‪:‬‬ ‫أوال ‪ :‬عدد العمال الذين أعمارهم أكبر من ‪ 35‬سنة‪.‬‬ ‫ثانيا ‪ :‬عدد العمال الذين أعمارهم أصغر من ‪ 45‬سنة‪.‬‬ ‫نا ِق ْ‬ ‫ش معلمك فى الحل‬

‫‪60‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫لوحدة الث‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ثة‬

‫الو�صط الح�صابى ‪ -‬الو�صيط ‪-‬‬ ‫المنوال‬

‫الدرس‬ ‫الثالث‬

‫فكر وناقش‬ ‫ُ‬ ‫الحسابى‬ ‫الوسط‬ ‫أوالً‪:‬‬ ‫ُّ‬

‫درست كيفية إيجاد الوسط الحسابى لمجموعة من القيم وعلمت أن‪:‬‬ ‫سبق أن‬ ‫َ‬ ‫جمموع قيم املفردات‬ ‫الوسط الحسابى =‬ ‫عدد هذه املفردات‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© كيفية إيجاد الوسط الحسابى‬ ‫ٍ‬ ‫ت��ك��رارى ذى‬ ‫ج���دول‬ ‫م��ن‬ ‫ٍّ‬ ‫مجموعات‬ ‫© كيفية ح��س��اب الوسيط‬ ‫ٍ‬ ‫ج���دول ت��ك��رارى ذى‬ ‫م��ن‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪ :‬إذا كان أعمار ‪ 5‬تالميذ هى ‪ 17 ،14 ،16 ،15 ،13‬سنة فإن‪:‬‬

‫مجموعات ‪.‬‬

‫‪17 +14 +16 +15+13‬‬ ‫الوسط الحسابى ألعمارهم =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 15 = 75‬سنة‬ ‫= ‪5‬‬

‫ح��س��اب‬

‫© كيفية‬

‫م��ن ج���دول ت��ك��رارى ذى‬ ‫مجموعات‪.‬‬

‫الحظ اأن‪17 + 14+ 16+ 15 + 13 = 5 * 15 :‬‬

‫المصطلحات األساسية‬

‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫تداوال ‪ ،‬وهو‬ ‫أبسط المتوسطات جمي ًعا ‪ ،‬وأكثرها‬ ‫الحسابى‪ :‬هو‬ ‫الوسط‬ ‫ُ‬ ‫لكل مفردة من مفردات المجموعة لكان مجموع هذه‬ ‫القيمة التى لو أعطيت ِّ‬ ‫القيم الجديدة هو نفس مجموع القيم األصلية‪ ،‬ويمكن حسابه بجمع قيم‬ ‫المفردات كلها ثم نقسم على عدد المفردات‪.‬‬

‫© وسط حسابى‪.‬‬ ‫© وسيط‪.‬‬ ‫© مدرج تكرارى‪.‬‬ ‫© منوال ‪.‬‬

‫إيجاد الوسط الحسابى لبيانات من جداول تكرارية ذات مجموعات‪:‬‬ ‫ُ‬

‫كيف يمكن إيجاد الوسط الحسابى للتوزيع التكرارى اآلتى‪:‬‬ ‫المجموعات‬ ‫التكرار‬

‫‪- 10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪- 20‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪- 30‬‬ ‫‪25‬‬

‫المنوال‬

‫‪- 40‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪- 50‬‬ ‫‪15‬‬

‫المجموع‬ ‫‪100‬‬

‫الحظ‪ :‬إليجاد الوسط الحسابى لتوزيع تكرارى ذى مجموعات نتبع‬ ‫الخطوات التالية‪:‬‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪61‬‬

‫‪ 1‬نحدِّد مراك َز المجموعات‪:‬‬

‫مركز المجموعة األولى = ‪ . 15 = 20 + 10‬مركز المجموعة الثانية = ‪ ... 25 = 30 + 20‬وهكذا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نظرا ألن مدى المجموعات الجزئية متساو‪ ،‬وكل منها = ‪10‬‬ ‫و ً‬ ‫الحد األعلى للمجموعة األخيرة = ‪ 60‬فيكون‪:‬‬ ‫نعتبر َّ‬ ‫‪60 + 50‬‬ ‫مركزها =‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2‬نكون الجدو َل الرأسى اآلتى‪:‬‬

‫= ‪55‬‬

‫المجموعة مركز المجموعة التكرار مركزالمجموعة * التكرار‬

‫‪- 10‬‬ ‫‪- 20‬‬ ‫‪- 30‬‬ ‫‪- 40‬‬ ‫‪- 50‬‬

‫المجموع‬ ‫‪ 3‬الوس ُ‬ ‫الحسابى =‬ ‫ط‬ ‫ُّ‬

‫م‬

‫ك‬

‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪100‬‬

‫جمموع (ك * م)‬

‫*‬

‫م‬

‫ك‬

‫‪150‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪875‬‬ ‫‪1350‬‬ ‫‪825‬‬ ‫‪3700‬‬

‫مجموع ك‬

‫‪37 = 3700‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫تدرب‬

‫ُ‬ ‫الحسابى لدرجات تلميذ فى الخمسة أشهر األولى هى ‪ 23.8‬فما الدرجة التى يجب أن‬ ‫الوسط‬ ‫‪ 1‬إذا كان‬ ‫ُّ‬ ‫يحصل عليها فى الشهر السادس ليكون الوسط الحسابى لدرجاته ‪ 24‬درجة؟‬ ‫ً‬ ‫طفال بالكيلوجرامات‪.‬‬ ‫‪ 2‬فيما يلى التوزيع التكرارى ألوزان ‪30‬‬ ‫الوزن بالكيلو جرام‬ ‫التكرار‬

‫‪-6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 30 - 26 -22 - 18 - 14 - 10‬املجموع‬

‫‪3‬‬

‫‪....‬‬

‫أكمل الجدول ثم أوجد الوسط الحسابى لهذا التوزيع‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫‪8‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫الوحدة الثالثة الدر�س الثالث‬ ‫ثانيا‪ :‬الوسيط‬ ‫ً‬

‫هو القيمةُ التى تتوسط مجموعةَ المفردات بعد ترتيبها تصاعد ًّيا أو تنازل ًّيا بحيث يكون عد ُد القيم‬ ‫األصغر منها مساو يا ِ‬ ‫لعدد القيم األكبر منها‪.‬‬ ‫ًّ‬ ‫بيانيا‪:‬‬ ‫تكرارى ذى المجموعات‬ ‫لتوزيع‬ ‫إيجاد الوسيط‬ ‫ٍّ‬ ‫ٍ‬ ‫ُ‬ ‫ًّ‬

‫نرسم المنحنى ال َّتكرارى المتجمع له‪.‬‬ ‫المتجمع‬ ‫التكرارى‬ ‫الجدول‬ ‫َ‬ ‫‪ 1‬ننشأ‬ ‫َ‬ ‫الصاعد أو النازل ‪ ،‬ثم ُ‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫مجموع التكرارات‬

‫‪.‬‬ ‫‪ 2‬نحدِّد ترتيب الوسيط =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نحدد النقطة ‪ C‬على المحور الرأسى(التكرار) والتى تم ِّثل ترتيب الوسيط‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪4‬‬ ‫مستقيما أفق ًّيا من نقطة ‪ C‬فيقطع المنحنى فى نقطة نرسم منها عمو ًدا على المحور األفقى ؛ ليقطعه‬ ‫نرسم‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫فى نقطة تمثل الوسيط‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫التوزي ُع التكرارىُّ اآلتى يبين درجات ‪ 60‬طالبًا فى أحد االختبارات‬

‫المجموعات ‪-2‬‬ ‫التكرار‬

‫‪6‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -26 -22 -18 -14 -10‬المجموع‬

‫‪12‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪60‬‬

‫َ‬ ‫الصاعد‪.‬‬ ‫أوجد‬ ‫الوسيط لهذا التوزيع مستخد ًما جدول ال َّتكرار المتجمع ّ‬ ‫الحل‬

‫المتجمع الصاعد‪.‬‬ ‫التكرارى‬ ‫الجدول‬ ‫َ‬ ‫‪ 1‬ننشئ‬ ‫َ‬ ‫َّ‬

‫‪60‬‬ ‫‪ 2‬نوجد ترتيب الوسيط =‬ ‫‪20‬‬

‫المتجمع الصاعد ومن الرسم نوجد الوسيط‪.‬‬ ‫‪ 3‬نرسم المنحنى ال َّتكرارى‬ ‫َ‬ ‫الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد‬

‫أقل من ‪2‬‬ ‫أقل من ‪6‬‬ ‫أقل من ‪10‬‬ ‫أقل من ‪14‬‬ ‫أقل من ‪18‬‬ ‫أقل من ‪22‬‬ ‫أقل من ‪26‬‬ ‫أقل من ‪30‬‬

‫صفر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪60‬‬

‫= ‪30‬‬ ‫التكرار المتجمع الصاعد‬

‫‪C‬‬ ‫المجموعات‬

‫‪6 10 14 18 22 26 30‬‬

‫من الرسم الوسيط = ‪ 14.8‬من الدرجة‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪63‬‬

‫‪2‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫ِّ‬ ‫فكر هل يمكنك إيجا ُد الوسيط باستخدام الجدول التكرارى المتجمع النازل؟‬

‫هل تختلف قيمة الوسيط فى هذه الحالة‪.‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫التوزي ُع التكرارى اآلتى يبين األجر اليومى لعدد ‪ 100‬عامل فى أحد المصانع‪.‬‬ ‫األجر بالجنيه (المجموعات) ‪ - 40 - 35 - 30 - 25 - 20 - 15‬المجموع‬

‫‪10‬‬

‫عدد العمال (التكرار)‬

‫‪15‬‬

‫‪22‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪8‬‬

‫‪100‬‬

‫المطلوب‪:‬‬

‫‪ 1‬رسم المنحنيين المتجمع الصاعد والنازل لهذا التوزيع م ًعا‪.‬‬ ‫‪ 2‬هل يمكن إيجا ُد األجر الوسيط من هذا المنحنى؟‬ ‫الحل‬

‫الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع‬

‫أقل من ‪15‬‬

‫صفر‬

‫أقل من ‪25‬‬

‫‪25‬‬

‫أقل من ‪20‬‬ ‫أقل من ‪30‬‬ ‫أقل من ‪35‬‬ ‫أقل من ‪40‬‬ ‫أقل من ‪45‬‬

‫الحدود السفلى للمجموعات التكرار المتجمع‬

‫‪10‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪92‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ 15‬فأكثر‬

‫‪100‬‬

‫‪ 25‬فأكثر‬

‫‪75‬‬

‫‪ 20‬فأكثر‬ ‫‪ 30‬فأكثر‬ ‫‪ 35‬فأكثر‬ ‫‪ 40‬فأكثر‬ ‫‪ 45‬فأكثر‬

‫‪90‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪8‬‬

‫صفر‬

‫الحظ اأن‪:‬‬ ‫يتقاطع مع المنحنى ال َّتكرارى المتجمع النازل فى نقطة واحدة هى‬ ‫المتجمع الصا ُعد‬ ‫المنحنى التكرارى‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫نقطة م ‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫الوحدة الثالثة الدر�س الثالث‬ ‫اإلحداثى الرأىس لنقطة م‬

‫= ‪50‬‬

‫التك رار‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬

‫= ‪100‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ترتيب الوسيط‬

‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫ٍ‬ ‫لنقطة م يعين الوسيط‬ ‫األفقى‬ ‫اإلحداثى‬ ‫∴‬ ‫ُّ‬ ‫ُّ‬

‫كل ‪10‬مم من المحور األفقى تمثل ‪ 5‬جنيهات‬ ‫أكمل ‪ 2‬مم تمثل ‪.......‬‬ ‫األجر الوسيط = ‪* 2 + 30‬‬ ‫‪ 31 = 510‬جني ًها‪.‬‬ ‫تدرب‬

‫المجموعات ‪15 20 25 30 35 40 45‬‬

‫ارسم منحنى التَّكرار المتجمع النازل للتوزيع التكرارى التالى ثم أوجد قيمة الوسيط‪.‬‬ ‫المجموعات‬ ‫التكرار‬

‫‪-5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪- 10‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪- 15‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪- 20‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪- 25‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ - 30‬المجموع‬

‫‪3‬‬

‫‪50‬‬

‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬المنوال‬

‫تتكرر أكثر من غيرها من القيم‪.‬‬ ‫األكثر شيو ًعا فى مجموعة المفردات أى القيمة التى‬ ‫هو القيمةُ‬ ‫َّ‬ ‫ُ‬ ‫مثال‬ ‫الجدو ُل اآلتى يبين التَّوزي َع التكرارىَّ لدرجات ‪ 40‬تلميذًا فى أحد االختبارات‪.‬‬ ‫المجموعات‬ ‫التكرار‬

‫المنوال لهذا ال َّتوزيع بيان ًّيا‪.‬‬ ‫َ‬ ‫أوجد‬

‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪-14 -10‬‬ ‫‪10 8‬‬

‫‪-26 -22 -18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫الحل‬

‫ِ‬ ‫التكرارى ‪ ،‬وذلك كاآلتى‪:‬‬ ‫المدرج‬ ‫يمكن إيجا ُد المنوال لهذا التوزيع بيان ًّيا باستخدام‬ ‫ِّ‬

‫أوالً‪ :‬ارسم المدرج التكرارىَّ‬

‫ِ‬ ‫كل‬ ‫‪ 1‬نرسم محورين متعامدين أحدهما أفق ًّيا لتمثيل المجموعات‪ ،‬واآلخر رأس ًّيا لتمثيل‬ ‫تكرار ِّ‬ ‫مجموعة‪.‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪65‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫ِ‬ ‫نقسم المحور األفقى إلى ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫لتمثيل المجموعات‪.‬‬ ‫مناسب‬ ‫المتساوية بمقياس رس ٍم‬ ‫عدد من األقسام‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫نقسم المحور الرأسى إلى ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫تكرار‬ ‫تمثيل أكبر‬ ‫بمقياس رس ٍم‬ ‫عدد من األقسا ِم المتساوية‬ ‫مناسب بحيث يمكن ُ‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫فىالمجموعات‪.‬‬ ‫مستطيال قاعدته هى المجموعة (‪ )-2‬وارتفاعه يساوى التكرار (‪.)3‬‬ ‫نرسم‬ ‫ً‬ ‫ال ثان ًيا مالص ًقا للمستطيل األول قاعدته هى المجموعة (‪ )-6‬وارتفاعه يساوى التكرار (‪.)5‬‬ ‫نرسم مستطي ً‬ ‫نكرر رسم باقى المستطيالت المتالصقة حتى آخر مجموعة (‪.)-26‬‬ ‫ِّ‬

‫ثانيًا‪ :‬إيجاد المنوال من المدرج التكرارى‪:‬‬ ‫إليجاد المنوال من المدرج التَّكرارى نالح ُ‬ ‫ظ أن‬

‫تكرارا هى المجموعة (‪)- 14‬‬ ‫المجموعة األكثر‬ ‫ً‬ ‫وتسمى المجموعة المنوالية‪ .‬لماذا؟‬

‫ُ‬ ‫القيمة المنوالية؟‬ ‫من الرسم ما‬

‫‪E‬‬

‫المجموعات‬

‫‪6 10 14 18 22 26 30‬‬

‫نا ِق ْ‬ ‫ش معلمك فى الحل‬

‫‪66‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫المنوال‬

‫نحدد نقطة تقاطع ‪ ، E C‬ب جـ من الرسم‪ ،‬ونسقط‬ ‫ِّ‬ ‫منها عمو ًدا على المحور األفقى يحدد القيمة‬ ‫المتوالية للتوزيع‪.‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬ ‫جـ‬

‫التك رار‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى اإلعدادى‬

‫‪2‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪4‬‬

‫متوسطات المثلث‬ ‫والمثلث المتساوي الساقيين‬

‫لوحدة الر‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫ا‬

‫الدرس‬ ‫األول‬

‫ة‬

‫متو�سطات المثلث‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫َّ‬ ‫تتعلم‬ ‫سوف‬ ‫© متوسطات المثلث‬ ‫© المثلث الثالثينى الستينى‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© متوسط للمثلث‪.‬‬ ‫© مثلث ثالثينى ستينى‬

‫متوسط المثلث هو القطعة المستقيمة المرسومة من رأس المثلث الى‬ ‫منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس‪.‬‬

‫فى ‪ C b‬ب جـ‪ E a :‬منتصف ب جـ‬ ‫فيكون ‪ E C‬متوسط للمثلث‬

‫ ماعدد متوسطات أى مثلث؟‬‫‪ -‬ارسم المتوسطات فى كل من المثلثات التالية‪:‬‬

‫نظرية (‪)1‬‬ ‫جميعا فى نقطة واحدة‬ ‫متوسطات المثلث تتقاطع‬ ‫ً‬

‫فى ‪ C b‬ب جـ‪ :‬إذا كانت ‪ E‬منتصف ب جـ ‪،‬‬ ‫هـ منتصف ‪ C‬جـ ‪ ،‬و منتصف ‪ C‬ب ‪.‬‬ ‫فإن‪ ، E C :‬ب هـ‪ ،‬جـ و تتقاطع فى نقطة واحدة‪.‬‬ ‫تدرب‬ ‫فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه س منتصف ب جـ ‪،‬‬

‫ص منتصف ‪ C‬ب ‪ C ،‬س ∩ جـ ص = {ن}‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪ 1‬ارسم ب ن ليقطع ‪ C‬جـ فى ع‪,‬‬ ‫أوجد بالقياس طول ‪ C‬ع ‪ ،‬طول جـ ع ‪.‬‬ ‫هل ‪ C‬ع = جـ ع؟ فسر إجابتك؟‬ ‫‪ 2‬قس األطوال ثم أكمل‪:‬‬ ‫نس‬

‫‪.......‬‬

‫‪.......‬‬

‫نص‬

‫‪.......‬‬

‫‪.......‬‬

‫نع‬

‫‪.......‬‬

‫= ‪= .......‬‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ن ‪ ....... ....... C‬ن جـ ‪ ....... .......‬ن ب‬

‫‪.......‬‬ ‫‪.......‬‬

‫إذا كانت قياساتك دقيقة فإن ن س = ‪ ، 1‬ن ص = ‪ ، 1‬ن ع = ‪1‬‬ ‫‪ 2‬ن جـ‬ ‫‪ 2‬نب ‪2‬‬ ‫ن‪C‬‬ ‫نظرية (‪)2‬‬

‫نقطة تقاطع متوسطات المثلث تقسم ك ً‬ ‫ال منها بنسبة ‪ 2 : 1‬من جهة القاعدة‬ ‫أو بنسبة ‪ 1 : 2‬من جهة الرأس‬

‫تدرب‬ ‫أكمل‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫م هـ = ‪3‬سم ‪ ،‬م جـ = ‪8‬سم‬ ‫م ‪ ، ...... = C‬م ‪...... = E‬‬ ‫م هـ = ‪ C ......‬هـ ‪ ،‬م جـ = ‪ ......‬جـ ‪E‬‬

‫ل ع = ‪15‬سم ‪ ،‬ص م = ‪18‬سم ‪ ،‬س ص = ‪ 20‬سم‬ ‫ن ل = ‪ ، ......‬ن ص = ‪......‬‬ ‫محيط‪ b‬ن ل ص = ‪......‬‬

‫حقيقة‬ ‫‪ E C‬متوسط فى ‪ C b‬ب جـ ‪ ،‬م ∈ ‪. E C‬‬ ‫إذا كان‪ C :‬م = ‪ 2‬م ‪E‬‬ ‫فإن‪:‬‬

‫م تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث ‪ C‬ب جـ ‪.‬‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪69‬‬

‫و‬

‫مثال (‪)1‬‬ ‫ىف الشكل املقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م‪،‬‬ ‫هـ∈ ‪ E‬م حيث ‪ E‬هـ = ‪ 2‬هـ م‪،‬‬

‫رسم جـ هـ فقطع ‪ E C‬ىف و‪.‬‬ ‫أثبت أن‪ C :‬و = و ‪E‬‬ ‫البرهان‪ :‬فى‬

‫‪ C‬ب جـ ‪E‬‬

‫`م منتصف ‪ C‬جـ‬

‫‪ C a‬جـ ∩ ب‪{ = E‬م}‬ ‫فى ‪ C E b‬جـ‬ ‫‪ a‬م منتصف ‪ C‬جـ‬

‫‪a‬هـ∈ ‪ E‬م ‪ E ،‬هـ = ‪ 2‬هـ م‬ ‫` هـ نقطة تقاطع متوسطات المثلث‬ ‫‪ a‬هـ ∈ جـ و‬

‫` ‪ E‬م متوسط للمثلث‬

‫` جـ و متوسط للمثلث ‪ ،‬و منتصف ‪E C‬‬

‫نظرية (‪)3‬‬ ‫طول متوسط المثلث القائم الزاوية الخارج من رأس القائمة يساوى‬ ‫نصف طول وتر هذا المثلث‬

‫المعطيات‪ C :‬ب جـ مثلث فيه ‪ c( X‬ب) = ‪°90‬‬ ‫ب‪ E‬متوسط ىف ‪ C b‬ب جـ‬

‫المطلوب‪ :‬إثبات أن‪ :‬ب ‪ C 12 = E‬جـ‬ ‫نرسم ب‪ E‬ونأخذ نقطة هـ ∈ ب‪ E‬بحيث ب ‪ E = E‬هـ‬ ‫العمل‪:‬‬

‫البرهان‪:‬‬

‫‪ a‬الشكل ‪C‬ب جـ هـ فيه ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب هـ ينصف كل منهام اآلخر‬ ‫`الشكل ‪ C‬ب جـ هـ متوازى أضالع‬ ‫‪ c( X a‬ب) = ‪°90‬‬

‫‪70‬‬

‫` الشكل ‪ C‬ب جـ هـ مستطيل‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الأول‬ ‫` ب هـ = ‪C‬جـ‬

‫‪ a‬ب‪ 12 = E‬ب هـ‬

‫` ب ‪ C 12 = E‬جـ‬

‫عكس نظرية ‪3‬‬

‫وهو المطلوب‬

‫إذا كان طول متوسط المثلث المرسوم من أحد رؤوسه يساوى نصف طول الضلع‬ ‫المقابل لهذا الرأس فإن زاوية هذا الرأس تكون قائمة‬

‫المعطيات‪ C :‬ب جـ مثلث‪ ،‬ب‪ E‬متوسط ‪ E = CE ،‬ب =‪ E‬جـ‬ ‫المطلوب‪ :‬إثبات أن ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪°90‬‬ ‫نرسم ب‪ E‬ونأخذ نقطة هـ ∈ ب‪ E‬بحيث ب ‪ E = E‬هـ‬ ‫العمل‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ a‬ب ‪ 2 = E‬ب هـ = ‪ C 2‬جـ‬ ‫` ب هـ = ‪ C‬جـ‬

‫‪ a‬الشكل ‪C‬ب جـ هـ فيه ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب هـ متساويان فى الطول وينصف كل منهما اآلخر‬ ‫`الشكل ‪ C‬ب جـ هـ مستطيل‬ ‫` ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪°90‬‬

‫وهو المطلوب‬

‫نتيجة‬

‫طول الضلع المقابل لزاوية قياسها ‪ °30‬فى المثلث القائم الزاوية‬ ‫يساوى نصف طول الوتر‬

‫تذكر أن‬ ‫فى المثلث ‪ C‬ب جـ إذا كانت ‪ E‬منتصف ‪ C‬ب ‪،‬‬ ‫هـ منتصف ‪ C‬جـ فإن‬ ‫‪ E 1‬هـ = ‪ 12‬ب جـ‬ ‫‪ E 2‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪71‬‬

‫لوحدة الر‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫ا‬

‫الدرس‬ ‫الثانى‬

‫ة‬

‫المثلث المت�ساوى ال�ساقين‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ِ‬ ‫المثلث المتساوى‬ ‫�واص‬ ‫© خ� ُّ‬ ‫الساقين‪.‬‬ ‫تصنيفات المثلث المتساوى‬ ‫©‬ ‫ُ‬ ‫الساقين‪.‬‬

‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫أطوال أضالعها إلى ثالثة أنواع‪:‬‬ ‫المثلثات تص َّنف حسب‬ ‫علمت أن‬ ‫مثلث مختلف‬ ‫األضالع‬

‫مثلث متساوى الساقين مثلث متساوى األضالع‬ ‫(متطابق الضلعين)‬

‫(متطابق األضالع)‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© مثلث متساوى الساقين‪.‬‬ ‫© مثلث متساوى األضالع‪.‬‬ ‫© مثلث مختلف األضالع‪.‬‬

‫‪ C‬ب ≠ ب جـ‬ ‫‪ C‬ب ≠ ‪ C‬جـ‬ ‫ب جـ ≠ ‪ C‬جـ‬

‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ = ب جـ‬

‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫لحظ اأن‪ :‬الضلعين ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ متطابقان (متساويان فى الطول)‪.‬‬ ‫لذلك يسمى المثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫بالمثلث المتساوى الساقين‬ ‫ساق‬ ‫ساق‬ ‫وتسمى النقطة ‪ C‬رأس المثلث‪،‬‬ ‫ب جـ قاعدته والزاويتان‬ ‫ب‪ ،‬جـ زاويتا قاعدة المثلث‬ ‫قاعدة‬

‫‪72‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫َّ‬ ‫ث المتساوى الساقين‬ ‫خواص‬ ‫المثل ِ‬ ‫ُّ‬ ‫ٍ‬ ‫مثلث متساوى الساقين‪:‬‬ ‫فى أىِّ‬

‫ مانوع كل من زاويتى القاعدة؟ (حادة ‪ -‬قائمة ‪ -‬منفرجة)‬ ‫ مانوع زاوية الرأس؟‬ ‫مثال‬

‫نا ِق ْ‬ ‫ش مع معلمك فى الحل‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪73‬‬

‫لوحدة الر‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫ا‬

‫الدرس‬ ‫الثالث‬

‫ُ‬ ‫نظريات‬ ‫ال�ساقين‬ ‫المث َّل ِث المت�ساوى ّ‬

‫ة‬

‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬ ‫َّ‬ ‫تتعلم‬ ‫سوف‬ ‫العالقة بين زاويتى القاعدة‬ ‫© َ‬ ‫ف��ى‬

‫المثلث‬

‫المتساوى‬

‫الساقين‪.‬‬ ‫© العالقة بين قياسات زاويا‬ ‫المث َّلث المتساوى األضالع‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫الضلعين‬ ‫�ع��الق��ة بين‬ ‫© ال� َ‬ ‫ال��م��ق��اب��ل��ي��ن ل��زاوي��ت��ي��ن‬ ‫متساويتين فى مثلث‪.‬‬ ‫© إذا تطابقت زوايا مثلث فإنه‬ ‫يكون متساوى األضالع‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© مثلث متساوى الساقين‪.‬‬ ‫© زاويتا القاعدة‪.‬‬

‫هل توجد عَ ٌ‬ ‫قياس زاويتى القاعدة فى المثلث المتساوى الساقين؟‬ ‫القة بين‬ ‫ِ‬

‫للتعرف على ذلك قم بالنشاط التالى‪:‬‬ ‫ُّ‬ ‫نشاط‬

‫باستخدام الفرجار‬

‫ٍ‬ ‫مثلثات متساوية الساقين‬ ‫‪ 1‬ارسم عدة‬ ‫يوضح ذلك الرسم المقابل‬ ‫كما ِّ‬ ‫حيث ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫أوجد باستخدام‬ ‫المنقلة قياس كل من زاويتى القاعدة ‪ C c‬ب جـ‪ C c ،‬جـ ب ‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫سجل البيانات التى حصلت عليها فى جدول كاآلتى‪ ،‬وقارن بين القياسات‬ ‫ِّ‬ ‫كل حالة‪.‬‬ ‫فى ِّ‬

‫رقم المثلث ‪ C c( X‬ب جـ) ‪ C c( X‬جـ ب)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 4‬احفظ نشاطَك فى ملف اإلنجاز‬ ‫نظرية (‪)1‬‬

‫زاويتا القاعدة فى المثلث المتساوى الساقين متطابقتان‬

‫المعطيات ‪ C :‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب ‪ C /‬جـ‬

‫المطلوب ‪ :‬إثبات ان ‪ c‬ب ‪ c/‬جـ‬

‫‪74‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪ :‬نرسم ‪ = E C‬ب جـ‬

‫العمل‬

‫البرهان ‪ :‬المثلثان ‪ E C‬ب‪ E C ،‬جـ قائما الزاوية فيهما‬ ‫‪ C‬ب ‪ C /‬جـ‬

‫(معطى)‬

‫‪E C‬‬ ‫` ‪ E C b‬ب ‪E C b /‬جـ‬ ‫وينتج من ال َّتطابق أن ‪ c‬ب ‪ c /‬جـ‬

‫(ضلع مشترك)‬ ‫(وتر و ضلع)‬ ‫وهو المطلوب‬

‫تدرب‬ ‫األشكال اآلتية أوجد قيمَ ة الرمز المستخدم فى قياس الزاوية‪:‬‬ ‫‪ 1‬فى ك ٍّل من‬ ‫ِ‬ ‫ب‬

‫أ‬ ‫‪50‬‬

‫‪o‬‬

‫ن‬

‫‪o‬‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫ص‬

‫‪o‬‬

‫س = ‪.........‬‬

‫‪o‬‬

‫‪54‬‬

‫‪80‬‬

‫و ‪.‬‬

‫م‬

‫س‪74 o‬‬

‫ل‬

‫ص‬

‫ع‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪ ، .....‬ع = ‪.....‬‬

‫ز‬

‫ن = ‪......‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪42‬‬

‫ص = ‪.........‬‬

‫د‬

‫‪40‬‬

‫‪o‬‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫هـ = ‪......‬‬

‫ع‬

‫‪o‬‬

‫‪65‬‬ ‫‪o‬‬

‫ل‬

‫ل = ‪ ، ......‬ع = ‪.....‬‬

‫ل = ‪ ، ......‬م = ‪.....‬‬

‫ح‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫ل‬

‫‪o‬‬

‫‪120‬‬

‫هـ‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫ص‬

‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪.....‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪35‬‬

‫ص‬

‫‪o‬‬

‫ع‬

‫‪o‬‬

‫ص = ‪ ، .....‬ل = ‪ ، .....‬ع = ‪.....‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪75‬‬

‫‪o‬‬

‫الشكل المقابل ‪ C‬ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫‪ 2‬فى‬ ‫ِ‬

‫‪ ∈ E ،°40 = )C c( X‬جـ ب ‪ ،‬هـ ∈ ب جـ‬

‫‪o‬‬

‫‪40‬‬

‫أوجد ‪ C c( X‬ب جـ)‬

‫أوالً‪:‬‬

‫ثانيًا‪:‬‬

‫اثبت أن ‪ C c‬ب ‪ C c / E‬جـ هـ‬

‫َ‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫متساوية القياس؟‬ ‫القياس تكون‬ ‫مكمالت الزوايا المتساوية فى‬ ‫فكر هل‬ ‫ِ‬ ‫نتيجة‬ ‫ً‬ ‫ُ‬ ‫متطابقة‬ ‫المثلث متساوى األضالع فإن زواياه الثالثة تكون‬ ‫إذا كان‬ ‫قياس ٍّ‬ ‫كل منها ‪°60‬‬ ‫ويكون‬ ‫ُ‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث متساوى األضالع‪.‬‬

‫‪ ∈ E‬ب جـ بحيث ب جـ = جـ ‪. E‬‬ ‫اثبت أن ب ‪E C = C‬‬

‫المعطيات ‪ C :‬ب = ب جـ = جـ ‪ = C‬جـ ‪ ∈ E ، E‬ب جـ‬ ‫المطلوب ‪ :‬إثبات أن‪ :‬ب ‪E C = C‬‬ ‫البرهان ‪ C b a :‬ب جـ متساوى األضالع ‪.‬‬

‫` ‪ C c( X‬جـ ب) = ‪ c( X‬ب ‪ C‬جـ) = ‪ c( X‬ب) = ‪°60‬‬ ‫‪ ∈ E a‬ب جـ‬

‫فى ‪ C b‬جـ ‪E‬‬

‫` ‪ c‬ب جـ ‪ C‬خارجة عن ‪ C b‬جـ ‪E‬‬

‫‪ c( X‬ب جـ ‪c( X = )C‬جـ ‪ c( X + )E C‬جـ ‪°60 = )C E‬‬

‫‪ a‬جـ ‪ = C‬جـ ‪E‬‬

‫` ‪c( X‬جـ ‪c( X = )E C‬جـ ‪)C E‬‬

‫من (‪ )2( ،)1‬ينتج أن‪c( X :‬جـ ‪c( X =) E C‬جـ ‪°30 = )C E‬‬

‫‪76‬‬

‫نتيجة‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫(‪)1‬‬

‫(‪)2‬‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الثالث‬ ‫‪ c( X a‬ب ‪ c( X = )E C‬ب ‪ C‬جـ) ‪ c( X +‬جـ ‪)E C‬‬ ‫` ‪c( X‬ب ‪°90 = °30 + °60 = )E C‬‬ ‫` ب‪E C = C‬‬ ‫وهو المطلوب‬

‫قياس أى زاوية خارجة للمثلث يساوى مجموع قياسى الزاويتين الداخلتين عدا المجاورة‬ ‫لحظ اأن‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫لها‪.‬‬

‫مثال‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب = ‪ ،E C‬ب جـ = جـ ‪E‬‬ ‫اثبت أن ‪ C c‬ب جـ ‪ E C c /‬جـ‬

‫المعطيات ‪ C :‬ب = ‪ ،E C‬ب جـ = جـ ‪E‬‬

‫المطلوب ‪ :‬إثبات أن ‪ C c‬ب جـ ‪ E C c /‬جـ‬

‫البرهان ‪ :‬فى ‪ C b‬ب ‪E‬‬ ‫‪C a‬ب = ‪E C‬‬

‫` ‪ C c( X‬ب ‪ E C c(X = )E‬ب)‬

‫(‪)1‬‬

‫فى ‪ b‬جـ ب ‪E‬‬

‫‪ a‬جـ ب = جـ ‪E‬‬

‫` ‪ c( X‬جـ ب ‪ c(X = )E‬جـ ‪ E‬ب)‬

‫(‪)2‬‬

‫بجمع (‪ )2( ، )1‬ينتج أن‪:‬‬

‫‪ C c( X‬ب ‪c(X + )E‬جـ ب ‪E C c( X = )E‬ب) ‪c(X +‬جـ ‪ E‬ب)‬ ‫` ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ E C c( X‬جـ)‬ ‫‪ C c،‬ب جـ ‪ E C c /‬جـ‬

‫وهو المطلوب‪.‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪77‬‬

‫تدرب‬ ‫َ‬ ‫قيمة الرمز المستخدم لقياس الزاوية‪:‬‬ ‫األشكال اآلتية أوجد‬ ‫فى ك ٍّل من‬ ‫ِ‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ص‬

‫‪o‬‬

‫ص‬

‫‪50‬‬

‫‪o‬‬

‫ص‬

‫‪o‬‬

‫س‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪.....‬‬

‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪.....‬‬

‫‪ // E C 4‬ب جـ‬

‫‪30‬‬

‫‪o‬‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫‪3‬‬

‫‪o‬‬

‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪.....‬‬

‫‪ C 5‬هـ ‪ //‬ب جـ‬

‫‪ C 6‬هـ منصف‪ c‬جـ‪E C‬‬

‫ص‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪25‬‬ ‫س‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫س‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪63‬‬

‫‪o‬‬

‫‪40‬‬ ‫س = ‪ ، .....‬ص = ‪.....‬‬

‫س = ‪.....‬‬

‫س = ‪.....‬‬

‫نشاط‬ ‫ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ فيه ب جـ = ‪ 7‬سم‪ c( X ،‬ب) = ‪ c( X‬جـ) = ‪ °50‬ثم قس‬ ‫طول كل من ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ ‪ ،‬كرر النشاط باختيار قياسات أخرى لطول ب جـ وقياس زاويتى ب‪ ،‬جـ و‬ ‫أكمل الجدول‪:‬‬

‫رقم المثلث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ب جـ‬ ‫‪7‬سم‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬

‫‪ c( X‬ب) ‪ c ( X‬جـ)‬ ‫‪°50‬‬ ‫‪°50‬‬

‫‪ 1‬هل طول ‪ C‬ب = طول ‪ C‬جـ ؟‬

‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬

‫تفسير هذه النتائج هندس ًّيا؟‬ ‫‪ 3‬كيف يمكنك‬ ‫ُ‬

‫‪78‬‬

‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬

‫‪C‬ب‬

‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬

‫‪ 2‬هل ‪ C‬ب ‪ C /‬جـ ؟‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪ C‬جـ‬

‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الثالث‬ ‫نظرية (‪)2‬‬ ‫الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين يكونان‬ ‫مثلث فإن‬ ‫إذا تطابقت زاويتان فى‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫متطابقين ‪ ،‬ويكون المثلث متساوى الساقين‪.‬‬

‫المعطيات ‪ C b:‬ب جـ فيه‪ c‬ب ‪ c /‬جـ‬ ‫المطلوب ‪ :‬إثبات أن ‪ C‬ب ‪ C /‬جـ‬ ‫‪ :‬ننصف‪ c‬ب ‪ C‬جـ بالمنصف ‪ E C‬يقطع ب جـ فى ‪E‬‬ ‫العمل‬ ‫البرهان ‪ c a :‬ب ‪ c /‬جـ‬ ‫` ‪ c( X‬ب) = ‪ c( X‬جـ)‬ ‫‪ E C a‬ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬ ‫` ‪ c( X‬ب ‪ c( X = )E C‬جـ ‪)E C‬‬ ‫ع قياسات زوايا المثلث الداخلة = ‪° 180‬‬ ‫‪ a‬مجمو ُ‬ ‫` ‪E C c( X‬ب) = ‪ E C c( X‬جـ)‬ ‫` المثلثان‪E C‬ب ‪ E C ،‬جـ فيهما‬ ‫‪ E C‬ضلع مشترك‬ ‫‪ c( X‬ب ‪ c( X = )E C‬جـ ‪)E C‬‬ ‫‪E C c( X‬ب) = ‪ E C c( X‬جـ)‬ ‫` ‪ E C b‬ب ‪E C b /‬جـ‬ ‫وينتج من التطابق أن ‪ C‬ب ‪ C /‬جـ‬ ‫ويكون‪ C b‬ب جـ متساوى الساقين‪.‬‬

‫نتيجة‬ ‫إذا تطابقت زوايا مثلث فإنه يكون متساوى األضالع‪.‬‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل ‪ C‬ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه‪:‬‬ ‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪ c( X ،‬ب ‪ C‬جـ) = ‪°60‬‬

‫أكمل ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ C c( X‬جـ ب) =‬ ‫أى أن‪....... / ........ c / ...... c :‬‬ ‫` ‪ C b‬ب جـ هو مثلث ‪.................................‬‬

‫‪o‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪.........‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪79‬‬

‫لحظ اأن‪ :‬المثلث المتساوى الساقين الذى قياس إحدى زواياه ‪ °60‬يكون متساوى األضالع‪.‬‬

‫تدرب‬ ‫ِ‬ ‫اآلتية اكتب أضالع المثلث المتساوية فى الطول كما فى المثال ‪: 1‬‬ ‫فى ك ٍّل من األشكال‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪36‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪72‬‬

‫‪3‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪42‬‬

‫‪42‬‬

‫‪o‬‬

‫‪50‬‬

‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫‪4‬‬

‫‪o‬‬

‫‪57‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪65‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪140‬‬

‫‪o‬‬

‫‪70‬‬

‫‪o‬‬

‫‪102‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪102‬‬

‫‪66‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪7‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪8‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪9‬‬

‫‪o‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪o‬‬

‫‪102‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪80‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪o‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪o‬‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الثالث‬ ‫‪11‬‬

‫‪10‬‬ ‫(ع ‪)40 +‬‬

‫‪o‬‬

‫(‪2‬ع)‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫(‪2‬ص ‪)10 +‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪3‬س‬

‫‪o‬‬

‫‪30‬‬

‫‪o‬‬

‫(‪3‬ص ‪)20 -‬‬ ‫(‪3‬ع ‪)10 -‬‬

‫‪40‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫(س ‪)50 +‬‬

‫‪o‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫‪........... = ...........‬‬

‫أمثلة‬ ‫‪ 1‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‪ ،‬س ص ‪ //‬ب جـ‬

‫اثبت أن ‪ C b‬س ص متساوى الساقين‪.‬‬ ‫المعطيات ‪ C :‬ب = ‪ C‬جـ ‪ ،‬س ص ‪ //‬ب جـ ‪.‬‬ ‫المطلوب ‪ :‬إثبات أن ‪ C‬س = ‪ C‬ص‬ ‫البرهان ‪ :‬فى ‪ C b‬ب جـ ‪ C a‬ب = ‪C‬جـ‬ ‫(‪)1‬‬ ‫` ‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ Cc(X‬جـ ب)‬ ‫‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ ‪ C ،‬ب قاطع لهما‬ ‫` ‪ C c( X‬س ص) = ‪ Cc (X‬ب جـ) بالتناظر (‪)2‬‬

‫بالمثل ‪ a‬س ص ‪ //‬ب جـ ‪ C ،‬جـ قاطع لهما‬ ‫` ‪ C c( X‬ص س) = ‪ Cc(X‬جـ ب) بالتناظر (‪)3‬‬

‫من (‪ )3( ،)2( ،)1‬ينتج أن‪:‬‬

‫‪ C c( X‬س ص) = ‪ Cc( X‬ص س)‬ ‫فى ‪ C b‬س ص‬ ‫‪ C c( X a‬س ص) = ‪ Cc( X‬ص س)‬ ‫`‪C‬س=‪C‬ص‬ ‫أى أن المثلث ‪ C‬س ص متساوى الساقين‬

‫وهو المطلوب‬

‫ِّ‬ ‫فكر هل يمك ُن استنتاجُ أن س ب = ص جـ؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪81‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب‪ c( X ،‬جـ) = ‪،°30‬‬ ‫‪ C ∈ E‬جـ بحيث ‪ E‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫‪o‬‬

‫‪30‬‬

‫اثبت أن ‪ C b‬ب ‪ E‬متساوى األضالع‪.‬‬

‫المعطيات ‪ C c( X :‬ب جـ) = ‪ c( X ، °90‬جـ) = ‪ E ، °30‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫المطلوب ‪ :‬إثبات أن ‪ C‬ب = ب ‪E C = E‬‬

‫البرهان ‪ :‬فى ‪ E b‬ب جـ‬

‫‪ E a‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫` ‪ E c( X‬ب جـ ) = ‪ c( X‬جـ) = ‪°30‬‬ ‫فى ‪ C b‬ب جـ‬

‫‪ C c( X a‬ب جـ) =‪ E c( X ، °90‬ب جـ) = ‪°30‬‬

‫` ‪c( X‬ب ‪°60 = °30 - °90= )E C‬‬

‫(‪)1‬‬

‫‪ E C c a‬ب خارجة عن‪ b‬ب ‪ E‬جـ‬

‫` ‪ E C c( X‬ب) = ‪ E c( X‬ب جـ) ‪ E c( X +‬جـ ب)‬ ‫‪ E C c( X‬ب) = ‪°60 = °30 + °30‬‬

‫فى ‪ C b‬ب ‪E‬‬

‫(‪)2‬‬

‫‪ a‬مجموع قياسات زوايا ‪ b‬الداخلة = ‪°180‬‬

‫`‪C c( X‬ب ‪°60 = )°60 + °60( - °180 = )E‬‬

‫(‪)3‬‬

‫من (‪ C c( X ` )3( ،)2( ،)1‬ب ‪ E C c( X = )E‬ب) = ‪)C c( X‬‬

‫أى أن ‪ C c‬ب ‪ E C c / E‬ب ‪C c /‬‬

‫` المثلث ‪ C‬ب ‪ E‬متساوى األضالع أى أن‬

‫‪82‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫‪ C‬ب = ب ‪.E C = E‬‬

‫لوحدة الر‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫ا‬

‫الدرس‬ ‫الرابع‬

‫ة‬

‫نتائج على نظريات المثلث‬ ‫المت�ساوى ال�ساقين‬ ‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬

‫سوف تتعلم‬ ‫ِ‬ ‫نظريات المثلث‬ ‫نتائج على‬ ‫©‬ ‫ُ‬ ‫المتساوى الساقين‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© مثلث متساوى الساقين‪.‬‬ ‫© منصف زاوية الرأس‪.‬‬ ‫© منصف قاعدة المثلث‪.‬‬ ‫© محور تماثل القطعة‬ ‫المستقيمة‪.‬‬

‫نتيجة (‪)1‬‬ ‫المثلث المتساوى الساقين المرسوم من‬ ‫متوس ُط‬ ‫ِ‬ ‫ِّ‬ ‫الرأس ينصف زاوية الرأس ويكون عمود ًيا على القاعدة‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‬

‫‪ C b‬ب جـ فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫‪ E C ،‬متوسط فيه‬ ‫فإن‪ E C :‬ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬

‫‪ = E C ،‬ب جـ‬

‫لحظ اأن‪ E C b :‬ب ‪ E C b /‬جـ لماذا؟‬ ‫نتيجة (‪)2‬‬

‫ُ‬ ‫منصف زاويةِ الرأس فى المثلث المتساوى‬ ‫ُ‬ ‫ويكون عمود ًيا عليها‪.‬‬ ‫ينصف القاعدة‬ ‫الساقين‬ ‫ُ‬ ‫فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C b‬ب جـ فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪،‬‬ ‫‪ E C‬ينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬

‫فإن ‪ E‬منتصف ب جـ ‪ = E C ،‬ب جـ‬ ‫لحظ اأن ‪ E C b‬ب ‪ E C b /‬جـ لماذا؟‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪83‬‬

‫نتيجة (‪)3‬‬

‫المستقيم‬ ‫المرسوم من رأس المثلث المتساوى الساقين عمود ًّيا‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫على القاعدةِ ينصف ك ًّ‬ ‫ال من القاعدة وزاويةالرأس‪.‬‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C b‬ب جـ فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ ‪ = E C ،‬ب جـ‬

‫فإن ‪ E‬تنصف ب جـ ‪ c( X ،‬ب ‪ c( X = )E C‬جـ ‪)E C‬‬

‫لحظ اأن ‪ E C b‬ب ‪ E C b /‬جـ لماذا؟‬ ‫ِّ‬ ‫فكر‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى جميع أضالعه متساوية فى الطول‪.‬‬ ‫هذا الشكل يسمى معني ‪ ،‬قطراه ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب ‪E‬‬

‫يتقاطعان ىف نقطة م‪.‬‬

‫لحظ اأن‪ C b :‬ب‪ b / E‬جـ ب ‪ E‬لماذا؟‬ ‫` ‪ C c( X‬ب ‪ c( X = )E‬جـ ب ‪)E‬‬

‫فى ‪ C b‬ب جـ ‪ C ،‬ب = ب جـ ‪ ،‬ب م ينصف ‪ C c‬ب جـ‬

‫` ب م = ‪ ، .............‬م منتصف ‪ C‬جـ‬

‫في ‪ b‬ب ‪ C ، E C‬ب = ‪ C ، E C‬م = ب ‪E‬‬

‫` ‪ C‬م ينصف ‪ ، ............. c‬م منتصف ب ‪E‬‬ ‫هل قطرا المعين متعامدان؟‬

‫هل قطرا المعين ينصف كل منهما اآلخر؟‬

‫سجل إجابتك ‪.‬‬ ‫هل قطر المعين ينصف زاويتى الرأس الواصل بينهما؟ ِّ‬

‫‪84‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الرابع‬

‫محاور ال َّتماثل‬ ‫ُ‬ ‫للمثلث المتساوى الساقين‬ ‫التماثل‬ ‫محور‬ ‫أوالً‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫محور تماثل المثلث المتساوى الساقين هو املستقي ُم املرسوم‬ ‫من رأسه عموديًّا على قاعدته‪.‬‬ ‫فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C b‬ب جـ فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‪ = E C ،‬ب جـ‬ ‫فإن ‪ E C‬هو محور تماثل للمثلث ‪ C‬ب جـ المتساوى الساقين‪.‬‬ ‫ناقش‪:‬‬

‫ِ‬ ‫للمثلث المتساوى الساقين أكث ُر من محور تماثل؟‬ ‫هل يوج ُد‬ ‫محاور التماثل فى المثلث المتساوى األضالع؟‬ ‫كم عد ُد‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫المختلف األضالع محاو ُر تماثل؟‬ ‫للمثلث‬ ‫هل توجد‬

‫ثانيا‪ :‬محور تماثل القطعة المستقيمة‪:‬‬ ‫ً‬

‫يسمى المستقيم العمودى على قطعة مستقيمة من منتصفها‬ ‫محور تماثل لهذه القطعة المستقيمة ولالختصار يسمى محور القطعة المستقيمة‪.‬‬

‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫إذا كانت ‪ E‬منتصف ‪ C‬ب ‪ ،‬المستقيم ل = ‪ C‬ب حيث ‪ ∈ E‬ل‬ ‫فإن المستقيم ل هو محور ‪ C‬ب‬

‫خا�ص َّية هامة‬

‫ٍ‬ ‫نقطة على محور تماثل القطعة المستقيمة تكون على بعدين متساويين من طرفيها‪.‬‬ ‫أى‬ ‫ُّ‬

‫لحظ اأن‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا كانت جـ ∈ ل فإن ‪ C‬جـ = ب جـ‬ ‫‪ 2‬إذا كان هـ ‪ = C‬هـ ب فإن هـ ∈ ل لماذا؟‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪85‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 1‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‬

‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ = ‪ 10‬سم ‪ ،‬هـ ب = هـ جـ‬ ‫‪ C‬هـ ∩ ب جـ = {‪}E‬‬ ‫فإذا كان ب جـ = ‪6‬سم‪ ،‬أوجد طول كل من جـ ‪E C ، E‬‬ ‫المعطيات ‪ C :‬ب = ‪ C‬جـ‪ ،‬هـ ب = هـ جـ‬ ‫المطلوب ‪ :‬إيجاد جـ ‪E C ،E‬‬ ‫` ‪ C‬تقع على محور ب جـ‬ ‫البرهان ‪ C a :‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫` هـ تقع على محور ب جـ‬ ‫‪ a‬هـ ب = هـ جـ‬ ‫` ‪ C‬هـ هو محور ب جـ‬

‫ويكون ‪ E‬منتصف ب جـ ‪ = E C ،‬ب جـ‬ ‫‪ E a‬منتصف ب جـ‪ ،‬ب جـ = ‪6‬سم ` جـ ‪3 = E‬سم‬ ‫‪ = E C a‬ب جـ‬ ‫` فى ‪ E C b‬جـ القائم الزاوية فى ‪E‬‬ ‫(‪ C( = 2)E C‬جـ)‪( - 2‬جـ ‪2)E‬‬ ‫(‪9 - 100 = 2)E C‬‬ ‫` ‪ 91 = E C‬سم‬

‫‪ 2‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‪،‬‬ ‫‪ = E C‬ب جـ ‪ c( X ،‬ب ‪،°25 = )E C‬‬

‫ب جـ = ‪4‬سم أوجد‬

‫أ ‪ C E c(X‬جـ )‬

‫الحل‬

‫‪o‬‬

‫‪25‬‬

‫ب طول ‪E‬جـ‬

‫المعطيات‪ C :‬ب = ‪ C‬جـ ‪ = E C ،‬ب جـ ‪ c( X ،‬ب ‪ ، °25 = )E C‬ب جـ = ‪4‬سم‬ ‫المطلوب‪ C E c( X :‬جـ)‪ ،‬طول ‪E‬جـ ‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الرابعة الدر�س الرابع‬ ‫البرهان ‪ :‬فى ‪ C b‬ب جـ‬

‫‪ C a‬ب = ‪ C‬جـ ‪ = E C ،‬ب جـ‬

‫` ‪ E C‬ينصف القاعدة ب جـ وينصف ‪ c‬ب ‪ C‬جـ‬

‫‪o‬‬

‫‪25‬‬

‫` ‪ C E c( X‬جـ) = ‪ C E c( X‬ب) = ‪،°25‬‬ ‫‪ E‬جـ = ‪ 12‬ب جـ = ‪2 = 42‬سم‪.‬‬ ‫تدرب‬ ‫‪ 1‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‬

‫سص=سل‪ ،‬عص=عل‪ ،‬لم=صم‬

‫أثبت أن س ‪ ،‬م ‪ ،‬ع على استقامة واحدة‪.‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫ب ‪ = E‬جـ هـ‬

‫‪ C c( X‬ب جـ) = ‪ C c( X‬جـ ب)‬ ‫‪ c( X = )E c( X‬هـ) = ‪°90‬‬

‫برهن أن‪ C E c( X :‬ب) = ‪ c( X‬جـ ‪ C‬هـ)‬

‫‪ 3‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‪ E ،‬هـ ‪ C //‬ب‬ ‫‪ E‬و ‪ C //‬جـ‬

‫اثبت‪ً :‬‬ ‫أوال‪ E :‬هـ = ‪ E‬و‬

‫ثانيًا‪ c( X :‬ب ‪ C‬جـ) = ‪ c( X‬هـ ‪ E‬و)‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪87‬‬

‫الوحدة الخامسة‬

‫‪5‬‬

‫التباين‬

‫الدرس‬ ‫األول‬

‫سة‬

‫ا‬

‫وحدة ال‬ ‫خام‬ ‫ل‬

‫�لتباين‬

‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫© مفهوم التباين‪.‬‬ ‫مسلمات التباين‪.‬‬ ‫©‬ ‫ُ‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© تباين‬ ‫© مسلمة‬ ‫© أكبر من >‬ ‫© أصغر من <‬ ‫© يساوى =‬

‫مفهوم التَّ باين‬ ‫ُ‬

‫جميع تالميذ فصلك لهم نفس الطول؟‬ ‫‪ 1‬هل‬ ‫ُ‬

‫اختالف بين ِ‬ ‫قياس الزاوية الحا َّدة والزاوية القائمة والزاوية‬ ‫‪ 2‬هل هناك‬ ‫ٌ‬ ‫المنفرجة؟‬

‫ماذا يعنى هذا االختالف؟‬

‫الحظ �أن‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫اختالف فى أطوال التالميذ‪ ،‬وفى قياسات الزوايا‪،‬‬ ‫التباين يعنى وجو َد‬ ‫ويع ِّبر عنه ب َعالقة التباين ‪ ،‬والتى تستخدم للمقارنة بين عددين مختلفين‪.‬‬ ‫أمثلة‬ ‫‪1‬‬

‫إذا كانت‪ Cc :‬ب جـ حادة فإن‪ Cc( X :‬ب جـ) < ‪.°90‬‬

‫‪ 2‬ىف الشكل املقابل‪ C :‬ب جـ مثلث فيه‬ ‫‪ C‬ب = ‪4‬سم‪ ،‬ب جـ = ‪ 3.5‬سم‪،‬‬

‫‪4‬سم‬

‫‪ C‬جـ = ‪ 2.4‬سم‬

‫فإن‪ C :‬ب > ب جـ ‪ ،‬ب جـ > ‪ C‬جـ‬

‫‪3.5‬سم‬

‫أى أن ‪ C‬ب > ب جـ > ‪ C‬جـ‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪89‬‬

‫‪2.4‬سم‬

‫تدرب‬

‫ ‬

‫فى الشكل المقابل أوجد‪ C c( X :‬جـ ب) ‪ C c( X ،‬جـ ‪،)E‬‬ ‫‪ E C c( X‬هـ) ثم أكمل باستخدام > أو <‪:‬‬

‫‪°25‬‬

‫‪°15‬‬

‫‪ E C c( X‬هـ) ‪ c( X .........‬جـ ‪)E C‬‬ ‫‪ E C c( X‬جـ) ‪ C c( X .........‬جـ ب)‬ ‫‪ C c( X‬جـ ‪ C c( X ......... )E‬ب جـ)‬

‫‪°70‬‬

‫‪ C c( X‬جـ ‪ E C c( X ......... )E‬هـ)‬

‫ِ‬ ‫العالقات السابقة تسمى متباينات‪.‬‬ ‫الحظ �أن‪ :‬جمي ُع‬

‫ُ‬ ‫م�سلمات التباين‬ ‫س‬

‫ألىِّ ثالثة أعداد س ‪ ،‬ص‪ ،‬ع‪:‬‬

‫‪ 1‬إذا كان‪ :‬س > ص‬ ‫فإن‪:‬‬

‫س‪+‬ع>ص‪+‬ع‬

‫س‬

‫سع>صع‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬ص‬

‫ع=‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ع=‪2‬‬

‫‪ 5‬إذا كان‪ :‬س > ص ‪ > C ،‬ب‬ ‫س‪>C+‬ص‪+‬ب‬

‫‪90‬‬

‫ع‬

‫ع‬

‫ص ‪ -‬ع‬ ‫‪1‬ص‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬س‬

‫‪ 4‬إذا كان‪ :‬س > ص ‪ ،‬ص > ع‬ ‫فإن‪ :‬س > ع‬ ‫فإن‪:‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬س‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 3‬إذا كان‪ :‬س > ص ‪ ،‬ع عددًا موجبًا‬

‫ص‬

‫ع‬

‫س‬

‫‪ 2‬إذا كان‪ :‬س > ص‬ ‫فإن‪ :‬س ‪ -‬ع > ص ‪ -‬ع‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫س‬

‫‪+‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫ص‬

‫‪C‬‬

‫ع‬

‫ص ‪ +‬ب‬

‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫زاوية داخلة ماعدا المجاورة لها‪.‬‬ ‫تذكر �أن‪ :‬قياس أى زاوية خارجة‬ ‫للمثلث أكبر من قياس أىِّ‬ ‫تدرب‬

‫‪ 1‬فى الشكل المقابل‪ :‬أى من الزوايا التالية لها أكبر قياس؟‬ ‫‪4c‬‬ ‫‪،‬‬ ‫أ ‪3c ، 1c‬‬ ‫ب ‪4c‬‬ ‫‪2c‬‬ ‫د ‪7c‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪8c‬‬ ‫‪3c‬‬ ‫‪ 8 c‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪9c‬‬ ‫‪7c‬‬

‫‪10 c‬‬

‫‪8 3‬‬

‫‪2 1‬‬

‫‪7 4‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل عين‪:‬‬

‫أ جميع الزوايا التى قياسها أقل من ‪)1c( X‬‬ ‫ب جميع الزوايا التى قياسها أكبر من ‪)6 c( X‬‬ ‫جميع الزوايا التى قياسها أقل من ‪)4 c( X‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫ِ‬ ‫قياسات زوايا المثلث ‪ C‬ب جـ تصاعديًّا‪ ،‬قياسات زوايا المثلث س ص ع تنازليًّا‪.‬‬ ‫‪ 3‬رتِّب‬

‫‪°110‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪).... c( X < ).... c( X < ).... c( X‬‬

‫‪°80‬‬

‫‪°115‬‬

‫‪).... c( X > ).... c( X > ).... c( X‬‬

‫‪ 4‬فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪ :‬جـ ∈ ‪ C‬ب ‪ C ∈ E ،‬ب‬ ‫فإذا كان‪ C :‬ب > جـ ‪E‬‬ ‫‪ C‬جـ ‪ ......‬ب ‪E‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪91‬‬

‫مثال‬ ‫فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C c( X‬جـ ب) > ‪ C c( X‬ب جـ )‪ E ،‬ب = ‪ E‬جـ‬ ‫اثبت أن‪ C c( X :‬جـ ‪ C c( X > ) E‬ب ‪)E‬‬

‫المعطيات‪ C c( X :‬جـ ب )> ‪ C c( X‬ب جـ ) ‪ E ،‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫المطلوب‪:‬‬

‫إثبات أن‪ C c( X :‬جـ ‪ C c( X > )E‬ب ‪)E‬‬

‫البرهان‪ E a :‬ب = ‪ E‬جـ‬

‫ ‬

‫` ‪ E c( X‬جـ ب ) = ‪ E c( X‬ب جـ)‬

‫ ‬

‫` بطرح (‪ )1‬من (‪ )2‬ينتج أن‪:‬‬

‫ ‬

‫` ‪ C c( X‬جـ ‪ C c( X > )E‬ب ‪)E‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫(‪)1‬‬

‫‪ C c( X a‬جـ ب ) > ‪ C c( X‬ب جـ)‬

‫(‪)2‬‬

‫‪ C c( X‬جـ ب ) ‪ E c( X -‬جـ ب) > ‪ C c( X‬ب جـ) ‪ E c( X -‬ب جـ)‬

‫‪92‬‬

‫وهو المطلوب‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الدرس‬ ‫الثانى‬

‫سة‬

‫ا‬

‫وحدة ال‬ ‫خام‬ ‫ل‬

‫المقارنة بين قيا�سات الزوايا فى‬ ‫المثلث‬

‫ِّ‬ ‫وناقش‬ ‫فكر‬ ‫ِ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫© المقارنة بين قياسات الزوايا‬ ‫فى المثلث‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© زاوية ‪.‬‬ ‫© قياس زاوية‪.‬‬ ‫© أكبر زاوية فى مثلث ‪.‬‬ ‫© أصغر زاوية فى مثلث ‪.‬‬ ‫© أكبر ضلع فى مثلث ‪.‬‬ ‫© أصغر ضلع فى مثلث ‪.‬‬

‫نشاط‬

‫‪ 1‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث متساوى‬ ‫الساقين فيه ‪C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫© عند طى المثلث بحيث ينطبق الرأس ب على‬ ‫الرأس جـ‪،‬‬ ‫ماذا تالحظ على قياس الزاويتين ب‪ ،‬جـ المقابلتين‬ ‫للضلعين ‪ C‬جـ ‪ C ،‬ب المتساويين فى الطول؟‬

‫© عند طى المثلث بحيث ينطبق الرأسين ‪ ،C‬جـ ‪ ،‬ماذا تالحظ على قياس‬ ‫الزاويتين المقابلتين للضلعين ب جـ ‪ C ،‬ب المختلفين فى الطول؟‬ ‫© هل اختالف طوال ضلعين فى المثلث يؤدى إلى اختالف قياسا الزاويتين‬ ‫المقابلتين لهما؟‬ ‫‪ 2‬ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ مختلف األضالع‪.‬‬

‫© إطوى المثلث بحيث ينطبق‬ ‫الرأس ‪ C‬على الرأس ب ماذا‬ ‫تالحظ على قياس الزاويتين ‪،C‬‬

‫ب المقابلتين للضلعين ب جـ ‪،‬‬

‫‪ C‬جـ المختلفين فى الطول؟‬ ‫© كرر هذا العمل بحيث ينطبق الرأس ب على الرأس جـ ماذا تالحظ؟‬ ‫© هل يوجد فى هذا المثلث زوايا متساوية فى القياس؟‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪93‬‬

‫الحظ �أن‪ :‬إذا اختلفت أطوال أضالع المثلث تختلف قياسات زواياه المقابلة لهذه األضالع‪.‬‬ ‫نشاط‬

‫ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ مختلف األضالع ثم قس أطوال أضالعه الثالثة ‪ ،‬وقياسات زواياه المناظرة ثم‬

‫أكمل الجدول التالى‪:‬‬

‫أطوال األضالع‬

‫قياسات الزوايا المقابلة‬

‫‪ C‬ب = ‪ ..........‬سم‬

‫‪c( X‬جـ) = ‪° ..........‬‬

‫جـ ‪ .......... = C‬سم‬

‫‪c( X‬ب) = ‪° ..........‬‬

‫ب جـ = ‪ ..........‬سم‬

‫‪° .......... = )C c( X‬‬

‫ماذا تالحظ؟‬ ‫نظرية (‪)3‬‬ ‫إذا اختلف طوال ضلعين فى مثلث فأكبرهما فى الطول يقابله زاوية أكبر فى‬ ‫القياس من قياس الزاوية المقابلة لآلخر‪.‬‬

‫المعطيات‪ C △ :‬ب جـ فيه ‪ C‬ب > ‪ C‬جـ‬ ‫المطلوب‪ :‬إثبات أن‪ C c( X :‬جـ ب ) > ‪ C c( X‬ب جـ)‬

‫نأخذ ‪ C ∈ E‬ب بحيث ‪ C = E C‬جـ‬ ‫العمل‪:‬‬ ‫البرهان‪ C △ :‬جـ ‪ E‬فيه ‪ C = E C‬جـ‬ ‫∴ ‪ C c( X‬جـ ‪ E C c( X = ) E‬جـ)‬ ‫ ‬ ‫∵ ‪E C c‬جـ خارجة عن △ ب ‪ E‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫∴ ‪ E C c( X‬جـ) > ‪ c( X‬ب)‬ ‫من (‪ )2( ،)1‬نستنتج أن‬ ‫‪ C c( X‬جـ ‪ c( X > ) E‬ب)‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫ فيكون ‪ C c( X‬جـ ب) > ‪ Cc( X‬جـ ‪)E‬‬ ‫وهو المطلوب‪.‬‬ ‫∴ ‪ C c( X‬جـ ب) > ‪ C c( X‬ب جـ )‬

‫‪94‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫تدرب‬ ‫فى كل من األشكال التالية اكمل باستخدام (>‪)< ،‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5.4‬سم‬

‫‪4‬سم‬

‫‪4.2‬سم‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬سم‬

‫‪5‬سم‬

‫‪5.6‬سم‬

‫‪6.2‬سم‬

‫‪7‬سم‬

‫‪8‬سم‬ ‫‪2‬سم‬

‫‪ c( X ...... )C c( X‬ب) ‪ c( X‬ع) ‪ c( X ......‬ص) ‪ c( X‬ب‪ C‬جـ) ‪ c( X ....‬ب جـ ‪)C‬‬ ‫‪ c( X ...... )C c( X‬جـ) ‪ c( X‬س) ‪ c( X ......‬ص) ‪ C E c( X‬جـ) ‪E c( X .....‬جـ ‪)C‬‬ ‫‪ c( X‬ب) ‪ c( X ......‬جـ) ‪ c( X‬ع) ‪ c( X ......‬س) ‪ c( X‬ب‪ c( X ..... )E C‬ب جـ ‪)E‬‬

‫الحظ �أن‪:‬‬

‫قياس أكبر زاوية فى المثلث > ‪°60‬‬

‫قياس أصغر زاوية فى المثلث < ‪ °60‬لماذا؟‬ ‫مثال‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب > ب جـ > جـ ‪C‬‬ ‫برهن أن‪ c( X :‬جـ) > ‪ c( X > )C c( X‬ب)‬

‫المعطيات‪ C :‬ب > ب جـ > جـ ‪C‬‬ ‫المطلوب‪ :‬إثبات أن ‪ c( X‬جـ) >‪ c( X > )C c( X‬ب )‬ ‫البرهان‪ :‬فى△ ‪ C‬ب جـ‬

‫‪ C a‬ب > ب جـ‬

‫‪ a‬ب جـ > جـ ‪C‬‬

‫ ‬

‫` ‪ c( X‬جـ) > ‪)C c( X‬‬ ‫` ‪ c( X > )C c( X‬ب)‬

‫من (‪ )2( ،)1‬وباستخدام مسلمات التباين ينتج أن‪:‬‬ ‫‪ c( X‬جـ )> ‪ c( X > )C c( X‬ب)‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫‪95‬‬

‫ال يقابل أكبر زوايا المثلث فى القياس‬ ‫تذكر �أن‪ :‬أكبر أضالع المثلث طو ً‬ ‫ال يقابل أصغر زوايا المثلث فى القياس‪.‬‬ ‫وأصغر أضالع المثلث طو ً‬ ‫مثال‬ ‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪:‬‬

‫‪ C‬ب جـ مثلث‪ ،‬ب م ينصف‪ C c‬ب جـ‪ ،‬جـ م ينصف‪ C c‬جـ ب‬

‫فإذا كان‪ :‬م جـ > م ب‬ ‫برهن أن‪ C c( X :‬ب جـ ) > ‪ C c( X‬جـ ب)‬

‫المعطيات‪ :‬ب م ينصف ‪ C c‬ب جـ‪ ،‬جـ مينصف ‪ C c‬جـ ب‬

‫‪ ،‬م جـ > م ب ‪.‬‬

‫المطلوب‪ :‬إثبات أن ‪ C c( X‬ب جـ) > ‪ C c( X‬جـ ب)‬ ‫البرهان‪ :‬فى△ م ب جـ‬

‫‪ a‬م جـ > م ب‬ ‫فى △ ‪ C‬ب جـ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫` ‪ c( X‬م ب جـ) > ‪ c( X‬م جـ ب)‬

‫‪ a‬ب م ينصف ‪ C c‬ب جـ‬

‫‪ a‬جـ م ينصف ‪ C c‬جـ ب ‬

‫` ‪ c( X‬م ب جـ) = ‪ C c( X 12‬ب جـ)‬ ‫` ‪ c( X‬م جـ ب) = ‪ C c( X 1‬جـ ب)‬ ‫‪2‬‬

‫(‪)1‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪)3‬‬

‫` من (‪ C c( X 12 :)3( ،)2( ،)1‬ب جـ) > ‪ C c( X 12‬جـ ب) من مسلمات التباين‬

‫` ‪ C c( X‬ب جـ) > ‪ C c( X‬جـ ب)‬

‫‪96‬‬

‫وهو المطلوب‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫س‬

‫ة‬

‫ال‬

‫المقارنة بين اأطوال الأ�سالع فى‬ ‫المثلث‬

‫وحدة الخام‬

‫الدرس‬ ‫الثالث‬

‫فكر وناقش‬

‫©‬

‫©‬ ‫©‬ ‫©‬

‫نشاط ‪ 1‬فى الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث زواياه مختلفة فى القياس‪.‬‬ ‫اطو المثلث بحيث ينطبق الــرأس ‪C‬‬ ‫على الرأس ب‪ .‬ماذا تالحظ على طولى‬ ‫الضلعين ب جـ ‪ C ،‬جـ المقابلين‬ ‫ِّ‬ ‫للزاويتين ‪ ،C‬ب المختلفتين فى القياس؟‬ ‫كرر هذا العمل بحيث ينطبق الرأس ب على الرأس جـ‪ ،‬ماذا تالحظ؟‬ ‫عندما ينطبق الرأس جـ علي الرأس ‪ ،C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫هل يوجد فى هذا المثلث أضالع متساوية فى الطول؟‬

‫الحظ �أن‪ :‬إذا اختلفت قياسات زوايا المثلث تختلف أطوال أضالعه المقابلة‬ ‫لهذه الزوايا‪.‬‬

‫سوف تتعلم‬ ‫© المقارنة بين أطوال األضالع‬ ‫فى مثلث‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© أطول ضلع في مثلث‪.‬‬ ‫© أصغر ضلع فى مثلث‪.‬‬ ‫© أكبر زاوية فى مثلث‪.‬‬ ‫© أصغر زاوية فى مثلث‪.‬‬ ‫© قطعة مستقيمة عمودية‪.‬‬

‫نشاط ‪ 2‬ارسم المثلث ‪ C‬ب جـ بحيث تكون زواياه مختلفة فى‬ ‫القياس‪ ،‬ثم قس أطوال األضالع المقابلة وأكمل الجدول اآلتى‪:‬‬ ‫قياسات الزوايا‬

‫‪)C c(X‬‬

‫‪ c(X‬ب)‬

‫‪ c(X‬جـ)‬

‫ماذا تالحظ؟‬

‫= ‪°.....‬‬ ‫= ‪°.....‬‬ ‫= ‪°.....‬‬

‫أطوال األضالع المقابلة له‬

‫ب جـ = ‪ .....‬سم‬

‫جـ ‪ ..... = C‬سم‬ ‫‪ C‬ب = ‪ .....‬سم‬

‫أكبر ضلع فى الطول؟ وأصغر زاوية‬ ‫© هل أكبر زاوية فى القياس يقابلها ُ‬ ‫فى القياس يقابلها أصغر ضلع فى الطول؟‬ ‫ِ‬ ‫أطوال أضالع المثلث تصاعد ًّيا أو تنازل ًّيا تب ًعا لقياسات‬ ‫تيب‬ ‫© هل يمكن تر ُ‬ ‫الزوايا المقابلة لها؟‬ ‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪97‬‬

‫نظرية (‪)4‬‬ ‫ٌ‬ ‫ضلع أكبر‬ ‫القياس يقابلها‬ ‫إذا اختلف قياسا زاويتين فى مثلث فأكبرهما فى‬ ‫ِ‬ ‫فى الطول من الذى يقابل األخرى ‪.‬‬

‫المعطيات‪ C △ :‬ب جـ فيه ‪ c( X‬جـ) > ‪ c( X‬ب)‬

‫المطلوب‪ :‬إثبات أن‪ C :‬ب > ‪ C‬جـ‬ ‫ ‬

‫البرهان‪ C a :‬ب ‪ C ،‬جـ قطع مستقيمة‬

‫` يجب أن تتحقق إحدى الحاالت التالية‪:‬‬ ‫(‪ C )2‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫(‪ C )1‬ب < ‪ C‬جـ‬

‫إذا لم تكن ‪ C‬ب > ‪ C‬جـ‬

‫فإما ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫أو‬

‫إذا كان ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬

‫(‪ C )3‬ب > ‪ C‬جـ‬

‫‪ C‬ب < ‪ C‬جـ‬

‫فإن‬

‫‪ c( X‬جـ) = ‪ c( X‬ب)‬

‫فإن‬

‫‪ c( X‬جـ) < ‪ c( X‬ب) حسب النظرية السابقة‬

‫وهذا يخالف المعطيات حيث إن ‪ c( X‬جـ) > ‪ c( X‬ب)‬

‫وإذا كان ‪ C‬ب < ‪ C‬جـ‬

‫وهذا يخالف المعطيات حيث أن ‪ c( X‬جـ) > ‪ c( X‬ب)‬

‫` جيب أن يكون ‪ C‬ب > ‪ C‬جـ‬

‫‪98‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫وهو المطلوب‬

‫الوحدة الخام�سة الدر�س الثالث‬

‫تدرب‬

‫فى األشكال التالية أكمل باستخدام > أو < أو =‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪°70‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪°75‬‬

‫‪C‬ب‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪3‬‬

‫‪°40‬‬

‫س ص ‪ ......‬س ع‬

‫‪ C ......‬جـ‬

‫ص ع ‪ ......‬س ص‬

‫‪ ......‬ب جـ‬

‫ص ع ‪ ......‬س ع‬

‫‪ C‬جـ ‪ ......‬ب جـ‬

‫‪4‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪°120‬‬

‫‪°35‬‬

‫‪25‬‬

‫‪°‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪ C‬جـ ‪ ........‬ب جـ‬

‫‪°55‬‬

‫ب جـ ‪ C ........‬ب‬

‫ب جـ ‪ E ........‬ب‬

‫جـ ‪ ........ E‬جـ ‪C‬‬

‫جـ ‪ C ........ E‬جـ‬

‫جـ ‪E C ........ E‬‬

‫‪ C‬جـ ‪ ........‬ب ‪E‬‬

‫‪°115‬‬

‫‪ C ........ E C‬هـ‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪99‬‬

‫نتائج‬

‫نتيجة (‪)1‬‬ ‫الوتر هو أطول أضالع المثلث‪.‬‬ ‫المثلث القائم الزاويةِ يكون‬ ‫فى‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬

‫فى الشكل المقابل‪ C △ :‬ب جـ قائم الزاوية فى ب‪.‬‬ ‫` ‪ c( X‬ب) > ‪)C c( X‬‬ ‫ ‪ C c a‬حادة‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪ ca‬جـ حادة‬

‫ ‬

‫فيكون ‪ C‬جـ > ب جـ‬ ‫` ‪ c( X‬ب) > ‪ c( X‬جـ)‬ ‫فيكون ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب‬

‫ِ‬ ‫الضلع المقابل للزاوية المنفرجة هو أكبر أضالع المثلث ً‬ ‫طوال‪.‬‬ ‫الحظ �أن فى‬ ‫المثلث المنفرجِ الزاوية ّ‬ ‫هيا نفكر‬ ‫ّ‬

‫‪ C‬جـ > ‪ C‬ب لماذا؟‬ ‫‪ C > E C‬ب لماذا؟‬ ‫‪ C‬هـ > ‪ C‬ب لماذا؟‬ ‫هل طول ضلع القائمة فى المثلث القائم الزاوية أصغر من طول الوتر ‪ .‬لماذا؟‬

‫‪100‬‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫نتيجة (‪)2‬‬ ‫ُ‬ ‫خارج مستقيم‬ ‫نقطة‬ ‫طول القطعةِ المستقيمة العمود َّية المرسومة من‬ ‫ٍ‬ ‫َ‬ ‫معلوم إلى هذا المستقيم أصغر من طول أى قطعة مستقيمة مرسومة‬ ‫من هذه النقطة إلى المستقيم المعلوم‪.‬‬

‫ٍ‬ ‫طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة إلى‬ ‫نقطة عن مستقي ٍم معلوم هو ُ‬ ‫عد أى‬ ‫تعريف‪ُ :‬ب ُ‬ ‫المستقيم المعلوم‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪°75‬‬

‫فى َّ‬ ‫الشكل المقابل‪ C :‬ب جـ مثلث ‪ ،‬هـ ∈ ب ‪C‬‬ ‫‪ // E‬ب جـ‪ c( X ،‬جـ ‪°35 = )E C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C E c( X‬هـ) = ‪°75‬‬

‫‪°35‬‬

‫برهن أن‪ C :‬جـ > ‪ C‬ب‬

‫‪ //‬ب جـ‪c( X ،‬هـ ‪ C E c( X ،°75 = )E C‬جـ) = ‪°35‬‬

‫المعطيات‪E C :‬‬ ‫المطلوب‪ :‬إثبات أن ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب‬

‫ ‬

‫البرهان‪ // E C a :‬ب جـ‪ C ،‬ب قاطع لهما‬ ‫` ‪c( X‬ب ) = ‪c( X‬هـ ‪°75 = )E C‬‬ ‫ ‬

‫` ‪ Cc( X‬جـ ب) =‪ C E c( X‬جـ )= ‪°35‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ // E C a‬ب جـ‪ C ،‬جـ قاطع هلام‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫من (‪ )2( ، )1‬يكون‪:‬‬

‫ىف املثلث ‪ C‬ب جـ‬

‫‪ C c( X‬ب جـ) = ‪، °75‬‬

‫بالتبادل (‪)2‬‬

‫‪ C c( X‬جـ ب) = ‪°35‬‬

‫أى أن ‪ C c( X‬ب جـ) > ‪ C c( X‬جـ ب)‬ ‫` ‪ C‬جـ > ‪ C‬ب‬

‫بالتناظر (‪)1‬‬

‫وهو املطلوب‬

‫مطابع روزاليوسف ‪ -‬الفصل الدراسى األول‬

‫‪101‬‬

‫متباينة المثلث‬

‫س‬

‫ة‬

‫ال‬

‫وحدة الخام‬

‫الدرس‬ ‫الرابع‬

‫فكر وناقش‬ ‫سوف تتعلم‬

‫نشاط‬

‫باستخدام المسطرة المدرجة والفرجار‪ِ ،‬‬ ‫حاو ْل رسم المثلث ‪ C‬ب جـ حيث‪:‬‬ ‫‪ C 1‬ب = ‪4‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪5‬سم ‪ C ،‬جـ = ‪6‬سم‬ ‫‪ C 2‬ب = ‪6‬سم ‪،‬‬ ‫‪ C 3‬ب = ‪9‬سم ‪،‬‬ ‫‪ C 4‬ب = ‪8‬سم ‪،‬‬

‫ب جـ = ‪3‬سم ‪،‬‬ ‫ب جـ = ‪4‬سم ‪،‬‬ ‫ب جـ = ‪3‬سم ‪،‬‬

‫‪ C‬جـ = ‪2‬سم‬ ‫‪ C‬جـ = ‪3‬سم‬ ‫‪ C‬جـ = ‪5‬سم‬

‫© متباينة المثلث‪.‬‬

‫ٍ‬ ‫ع طولى أى ضلعين فى مثلث أكبر من‬ ‫حقيقة‪ :‬فى أى‬ ‫مثلث يكون مجمو ُ‬ ‫طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫أى أن‪ :‬فى أى مثلث ‪ C‬ب جـ يكون‪:‬‬

‫ ‬

‫‪ C‬ب ‪ +‬ب جـ > ‪ C‬جـ‬ ‫ب جـ ‪ +‬جـ ‪ C > C‬ب‬ ‫‪ C‬ب ‪ C +‬جـ > ب جـ‬

‫فمث ً‬ ‫أطوال أضالع مثلث؛ ألن مجموع‬ ‫َ‬ ‫تكون‬ ‫ال‪ :‬األعداد ‪ 9 ،3 ،5‬التصلح أن‬ ‫َ‬

‫أصغر عددين = ‪ 9 < 8 ، 8 = 5 + 3‬والتحقق متباينة المثلث‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 8.5‬سم‬

‫فى المثلث ‪ C‬ب جـ إذا كان ‪ C‬ب = ‪ 10‬سم‪،‬‬

‫ب جـ = ‪ 8.5‬سم‬ ‫أوجد الفترة التى ينتمى إليها طول الضلع ‪ C‬جـ‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫© متباينة‪.‬‬

‫ِ‬ ‫الحاالت السابقة أمكنك رسم المثلث‪ ،‬وماذا تستنتج؟‬ ‫فى أىٍّ من‬

‫ ‬

‫© متباينة المثلث‪.‬‬

‫‪ 10‬سم‬

‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثانى االعدادى‬

‫الوحدة الخام�سة الدر�س الرابع‬ ‫الحل‬

‫` ‪ C‬جـ < ‪18.5‬‬

‫‪ C‬جـ < ‪ C‬ب ‪ +‬ب جـ‬ ‫متباينة المثلث‬ ‫لكن ‪ C‬جـ ‪ +‬ب جـ > ‪ C‬ب‬ ‫(‪)2‬‬ ‫` ‪ C‬جـ > ‪1.5‬‬ ‫‪ C‬جـ > ‪ C‬ب ‪ -‬ب جـ‬ ‫من (‪ C > 18.5 )2( ،)1‬جـ > ‪1.5‬‬ ‫` ‪ C‬جـ ∈ ]‪[18.5 ، 1.5‬‬ ‫(‪)1‬‬

‫تدرب‬ ‫أوجد الفتر َة التى ينتمى إليها طو ُل الض ِّلع الثالث لك ٍّل من المثلثات التالية إذا كان طوال ِّ‬ ‫الضلعين‬ ‫اآلخرين هما‪:‬‬ ‫أ‬

‫‪6‬سم‪9 ،‬سم ب ‪5‬سم‪12 ،‬سم‬

‫‪7‬سم‪15 ،‬سم د ‪ 2.9‬سم‪ 3.2 ،‬سم‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬م منتصف ‪ C‬جـ‬

‫` ‪ E‬م متوسط للمثلث‬

‫أ ‪a‬متبانيه الملث‬ ‫تنص على ‪ :‬مجموع طولى أى ضلعين فى مثلث أكبر من طول الضلع الثالث‬ ‫` الفترة التى ينتمى إليها طول الضلع الثالث = ]‪[15 ، 3‬‬ ‫الحظ ‪ :‬ال يمكن اختيار طول الضلع الثالث = ‪ 3‬سم (لماذا)‬ ‫ال يمكن اختيار طول الضلع الثالث = ‪ 15‬سم ( لماذا)‬ ‫نا ِق ْ‬ ‫ش معلمك إلستكمال حلول‬ ‫(ب) ‪( ،‬جـ ) ‪( ،‬د )‬

‫الفصل الدراسى األول‬

‫‪103‬‬