Estructuras algebraicas con una operación interna

Estructuras algebraicas con una operación interna

Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la más grande e importante, ya que cumple mayor número de propiedades. A partir de este momento, utilizaremos * como notación para la operación interna.

Semigrupo

Diremos que A es un semigrupo, si (A,*) cumple la propiedad asociativa: si para todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c=a(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a, entonces diremos que (A,*) es un semigrupo conmutativo.

Ejemplos:

1) (3*2)*1 = 3*(2*1) 3*2 = 2*3 6 * 1 = 3 *2 6 = 6 6 = 6

2) (N, +) es un semigrupo y (Z, −) no lo es. 3) (R, ∗), donde a ∗ b = 2a + 2b no es un semigrupo.

Monoide

Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por a*e=e*a=a. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.

Ejemplos:

1) a*e= e*a= a

2*0= 0*2= 0

2) (N,+), el conjunto de los números naturales con la adición; el elemento neutro es el número natural 0.

3) (N,.), el conjunto de los números naturales con la multiplicación; el elemento unidad es el número natural 1.

Grupo

Diremos que G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.

Ejemplos:

1) El conjunto \{ 1,-1, i, -i\}{1,−1,i,−i} con el producto.