Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
R1
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Bokmål
Læreboka MatematikkR1 følger læreplanen i matematikk R1 for vg2 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).
© Aschehoug AS 2026
5. utgave / 1. opplag 2026
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Kopiering og tilgjengeliggjøring er ikke tillatt uten samtykke fra rettighetshaverne, avtale med Kopinor (www.kopinor.no) eller annen forvaltningsorganisasjon, eller hjemmel i lov. Forbudet gjelder også trening av og annen bruk av materialet i kunstig intelligens og innebærer et uttrykkelig forbehold mot tekst- og datautvinning etter digitalmarkedsdirektivet artikkel 4.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Víctor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41461-9 www.aschehoug.no
SVANEMERKET
Om Matematikk R1
MatematikkR1 følger læreplanen i matematikk R1 (LK20) som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og Python der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver, som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver, som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.
Underveis finner du slike «lapper» med repetisjon og påminnelser.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver, som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene, der de passer. På den måten kan elevene komme raskt i gang med å løse eksamensoppgaver.
Oppgaver som bør løses uten hjelpemidler, er merket med
Oppgaver som krever programmering, er merket med
Digitale ressurser på Aunivers
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka og inneholder blant annet
Som lærer får du i tillegg tilgang til
Vi håper at MatematikkR1 møter forventningene dine til et komplett læreverk.
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkR1@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
1 Grenseverdier og derivasjon
1A Funksjoner med delt forskrift 8
1B Grenseverdier 16
1C Asymptoter 30
1D Kontinuitet 39
1E Den deriverte 47
1F Tangenter 57
1G Deriverbarhet 62
1H Størst og minst verdi 70
1I Størst og minst vekst 83
Blandede oppgaver 94
Sammendrag 104
Kapitteltest 105
2 Potenser og logaritmer
2A Potenser og røtter 108
2B Omvendte funksjoner 116
2C Eulertallet og eksponentialfunksjoner 137
2D Logaritmer 144
2E Logaritmesetningene 155
2F Logaritme- og eksponentiallikninger 160
Blandede oppgaver 178
Sammendrag 188
Kapitteltest 189
3 Derivasjon av omvendte og sammensatte funksjoner
3A Derivasjon av omvendte funksjoner 192
3B Derivasjon av logaritme- og eksponentialfunksjoner 198
3C Kjerneregelen 207
3D Produktregelen og brøkregelen 212
3E Vekstmodeller 220
Blandede oppgaver 235
Sammendrag 248
Kapitteltest 249
4 Vektorer
4A Hva er en vektor? 252
4B Vektorer i koordinatsystemet 261
4C Parallelle vektorer og vektorlikninger 276
4D Skalarproduktet 284
4E Parameterframstillinger 300
4F Geometriske resultater 318
Blandede oppgaver 333
Sammendrag 343
Kapitteltest 344
Reelle datasett med Python
A Tall og tabeller i pandas 348
B Å lese filer med pandas 351
C Derivasjon av diskrete data 359
D Regresjon med Python 364
Fasit 374
Register 401
Bildeliste 404
Potenser og logaritmer 2
2A Potenser og røtter 108
2B Omvendte funksjoner 116
2C Eulertallet og eksponentialfunksjoner 137
2D Logaritmer 144
2E Logaritmesetningene 155
2F Logaritme- og eksponentiallikninger 160
I dette kapittelet skal du blant annet lære om logaritmer.
Napier, som «oppfant» logaritmene tidlig på 1600-tallet, kalte dem egentlig artificialnumbers. De gjorde det nemlig mulig å erstatte multiplikasjon med addisjon. Napier brukte dem først for å spare regnearbeid ved astronomiske beregninger, og logaritmetabeller ble faktisk sett på som en revolusjon i vitenskapen – omtrent slik man senere tenkte om kalkulatoren.
Du får vite at
Ser du noen sammenheng?
Hva tror du at log2 8 er?
Hva med log5 125 og log6 36?
Potenser og røtter
Potenser
Vi minner om definisjonen av en potens som gjentatt multiplikasjon når eksponenten er et naturlig tall.
n faktorer
Av denne definisjonen får vi fem regneregler for potenser.
Vi ønsker at regnereglene skal gjelde for alle hele tall. Da er det rimelig å definere at
2.1
I denne oppgaven skal du ta for deg potensene aaaaaaa 3210123
a Regn ut potensene for a = 2.
b Bestem lim2 x x →∞ og lim2 x x →−∞
c Regn ut potensene for a 1 2
d Bestem lim 1 2
e For hvilke verdier av a eksisterer grenseverdien a lim x x →∞ ?
f For hvilke verdier av a eksisterer grenseverdien a lim x x →−∞ ?
2.2
Bestem hvis mulig x slik at 10x får verdien a 10 000 b 1 c 0,01 d 2
2.3
Bestem a slik at a3 får verdien a 64 b 1000 c 0,000 001 d 0
n-terøtter
Kvadratroten av 16 er det positive tallet som ganget med seg selv blir 16.
164 fordi 416 2
Kvadratrot er det samme som andrerot Vi kan også finne tredjeroten, fjerderoten osv. av et tall.
16 4 er et eksempel på en fjerderot. Partallsrøtter som andrerot og fjerderot kan vi bare ta av positive tall siden et tall opphøyd i en partallseksponent aldri kan bli negativt.
162 4 fordi 216 4
Selv om både 216 4 og (2)16 4 −= , så er 162 4 , fordi partallsrøtter er definert til å være positive.
EKSEMPEL 1
8 3 er et eksempel på en tredjerot (kubikkrot).
82 3 fordi 28 3
Oddetallsrøtter kan vi også ta av negative tall. For eksempel er
82 3 −=− fordi (2)8 3 −=−
Hvis a > 0, er na det positive tallet b som er slik at ba n .
Hvis a < 0, må n være et oddetall, og na er det negative tallet b som er slik at ba n .
naa n ( () ) = Finn 125 3 og 10000 4
1255 3 −=− fordi (5)125 3 −=− 1000010 4 fordi 1010000 4 , og 10000 4 skal være et positivt tall.
2.4
Regn ut.
2.5
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
2.6
Vi har gitt denne algoritmen:
❶ Velg et reelt tall.
❷ Regn ut fjerde potens av tallet du valgte i punkt 1.
❸ Bestem fjerderoten av tallet du regnet ut i punkt 2.
a Gjennomfør algoritmen for et positivt tall. Kommenter.
b Gjennomfør algoritmen for et negativt tall. Kommenter.
EKSEMPEL 2
Potenser med rasjonale eksponenter
Vi minner om at potenser med rasjonale eksponenter kan skrives om til rotuttrykk. For eksempel er 332 7 2 7
Hvorfor er det slik?
Regnereglene for potenser gir at aaaaa
()
Derfor er det rimelig å definere at aa
Dette gir videre at
Tilsvarende kan vi vise at
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
I brøken skriver vi om rotuttrykkene til tierpotenser og bruker potensreglene.
Tallene skrevet i stigende rekkefølge er derfor
Med CAS i GeoGebra kan vi finne n-terøtter med kommandoen nrot(x, n). Vi finner for eksempel 60 5 ved å skrive nrot(60, 5) og klikke på . Alternativt kan vi skrive som en potens med rasjonal eksponent.
I Python skriver vi røtter om til potenser:
1 print(60**(1/5))
Utskrift: 2.2679331552660544
2.7
Regn ut.
2.8
Forklar trinnene i utregningen.
2.9
Skriv så enkelt som mulig.
2.10
Finn en tilnærmet verdi med tre desimaler for a 10 3 b 64 7 c 1,065 12 d 173 4
EKSEMPEL 3
Regning med røtter
Med definisjonen av n-terot som en potens med rasjonal eksponent, og ved å bruke regneregel ❸ for potenser, kan vi utlede en regneregel for n-teroten av et produkt.
abababab () nnn nnn 111 ==⋅=⋅
På tilsvarende måte kan vi utlede en regneregel for n-teroten av en brøk (kvotient).
ababnnn = =⋅⋅
a b a b n n n
Legg merke til at disse regnereglene svarer til regnereglene ❸ og ❹ for potenser.
Skriv uttrykket så enkelt som mulig.
Skriv uttrykket så enkelt som mulig.
a x 8 3 3
b x 64 4
c y 16 10000 4 4
d 322 3 3
Potenser med irrasjonale eksponenter
Hvis en eksponentialfunksjon f gitt ved for eksempel fx()3 x , skal ha en sammenhengende graf, må x kunne være et hvilket som helst reelt tall.
Da må vi også kunne si hva vi mener med for eksempel 3 2
21,414213...
3321,414213...
Med regnereglene vi kjenner, kan vi finne bedre og bedre tilnærminger for 3 2 ved å tilnærme 2 med flere og flere desimaler.
3334,656 3334,707 3334,728
Vi ser at når eksponenten nærmer seg 2 , så nærmer 3 2 seg en bestemt verdi. 3 2 blir dermed grenseverdien når vi tar med flere og flere desimaler i 2
Generelt kan vi for alle irrasjonale eksponenter bruke brøker som nærmer seg eksponenten, og potensen får da en bestemt grenseverdi. Slik blir potenser definert for alle reelle eksponenter.
2.12 Vis
RØDE OPPGAVER
2.13
Regn ut.
2.14
Skriv så enkelt som mulig. a 26 b 363636
2.15
Bestem hvis mulig x slik at 5 x får verdien a 1 b 5 c 1 5 d 0
2.16
På tallinja har vi markert 12 punkter A–L
Avgjør for hvert av tallene nedenfor hvilket av punktene det tilsvarer.
BLÅ OPPGAVER
2.17
Skriv uttrykket så enkelt som mulig. a n n 3 3 2 () ()
2.18
Finn to hele tall a og b slik at 2 a b er lik a 4 b 2 3 c 8 d 1 4 e 16 3 4
2.19
Vis at regneregelen gjelder. a a b a b n n n b aa nmnm () =
Omvendte funksjoner 2B
Omvendte regneoperasjoner
Figurene ovenfor viser par av regneoperasjoner som er omvendte av hverandre:
UTFORSK
Når vi utfører de to omvendte operasjonene etter hverandre på tallene 2 og 16, ender vi opp der vi startet.
Ta utgangspunkt i figurene ovenfor.
a Velg andre tall enn 2. Utfør paret av omvendte regneoperasjoner.
Ender vi alltid opp med tallet vi startet med?
b Velg andre tall enn 16. Utfør paret av omvendte regneoperasjoner. Lar det seg alltid gjøre?
Funksjoner kan også være omvendte av hverandre. For funksjoner som kan beskrives med regneoperasjoner, består den omvendte funksjonen av å utføre de omvendte operasjonene i motsatt rekkefølge.
Anta at en person går med en fart på 4 km/h.
Sammenhengen mellom strekningen s og tiden t er gitt ved
st 4
Strekningen avhenger av tiden. Da er strekningen en funksjon av tiden.
Hvis vi kaller denne funksjonen f, kan vi skrive s = f(t), der f(t) = 4t
Her er t variabelen vi setter inn i funksjonen, og funksjonsverdien f(t) er strekningen vi får ut.
Vi kan også gå motsatt vei. Hvis vi vet hvor langt personen har gått, kan vi regne ut hvor lang tid det tok.
Fra s = 4t får vi t s 4 . Dette gir en ny funksjon.
Hvis vi kaller denne funksjonen g, kan vi skrive t = g(s), der gs s () 4 .
Nå er altså s variabelen vi setter inn i funksjonen g, og funksjonsverdien g(s) er tiden vi får ut.
Vi bruker de to funksjonene etter hverandre. Først setter vi 3 inn for t i f(t).
f (3)4312 =⋅= . Etter 3 timer har personen gått 12 km.
Vi setter så 12 inn for s i g(s).
g (12) 12 4 3 . Etter 12 km har personen gått i 3 timer.
Tilsvarende er f(2) = 8 og g(8) = 2.
Dette kan vi gjøre generelt.
fgsss () 4 4 () =⋅= og gfttt () 4 4 () == t s f s t g s f(1) = 4
3 5 6 t (1 , 4)
Når vi tegner grafen til f, lar vi vanligvis variabelen t være langs førsteaksen og funksjonsverdiene s = f(t) langs andreaksen, som på figur ❶ til venstre.
Funksjonen g beskriver den samme sammenhengen mellom tid og strekning som funksjonen f. Vi kunne derfor ha brukt grafen til f også som graf for g, men da ville variabelen s vært langs andreaksen og funksjonsverdiene t = g(s) vært langs førsteaksen, som på figur ❷
Dette kan være nyttig i noen sammenhenger, men det er også litt bakvendt og tvinger oss til å tenke motsatt av det vi normalt gjør.
For å kunne tegne grafen slik vi pleier, lar vi derfor førsteaksen og andreaksen bytte roller, som på figur ❸.
Vi sier at funksjonene f og g er omvendte eller inverse av hverandre.
Variabelen i den ene er funksjonen er funksjonsverdien i den andre og motsatt.
Ofte ønsker vi å tegne grafen til to omvendte funksjoner i det samme koordinatsystemet. Da må vi bruke samme variabelnavn i begge funksjonene, for eksempel x. I vårt eksempel får vi da
fxx ()4
gx x () 4
Det gir
fgxxx () 4 4 () =⋅=
gfxxx () 4 4 () ==
To funksjoner f og g er omvendte funksjoner av hverandre hvis
fgxx () ( () ) = for alle xDg og
gfxx () ( () ) = = for alle xDf
Hvis f har en omvendt funksjon, er det vanlig å skrive f 1 for den omvendte funksjonen. Dette leser vi som «f invers».
Skrivemåten f 1 må ikke forveksles med brøkfunksjonen fx fx 1 () () 1 () =
EKSEMPEL 4
Vis at funksjonene f og g gitt ved f(x) = 2x og gxx () 1 2 er omvendte av hverandre.
Vi har at fgxxx () 2 1 2 () =⋅= og at gfxxx () 1 2 2 () =⋅=
Derfor er f og g omvendte av hverandre.
2.20
Vis at funksjonene f og g er omvendte av hverandre.
a f(x) = 3x og gxx () 1 3
b f(x) = 2x + 6 og gxx () 1 2 3 =−
c fxx () 5 og gxx () 5
2.21
Undersøk om funksjonene f og g er omvendte av hverandre.
a fxx () 3 og gxx () 4
b fxx()(2)3 =+ og gxx()2 3 =−
2.22
Iver har lagd programmet nedenfor.
def f(x): return x**3 def g(x): return x**(1/3) for i in range(5): print(round(g(f(i))))
Hva blir utskriften?
Grafene til omvendte funksjoner
Det vi har sett så langt, tyder på at grafene til omvendte funksjoner ligger symmetrisk om linja y = x. Det vil vi bevise.
Til venstre nedenfor har vi tegnet grafene til to funksjoner f og g som er omvendte av hverandre. Vi har brukt x som variabel i begge funksjonene.
La (a , b) være et punkt på grafen til funksjonen f. Da vet vi at f(a) = b
Siden g er den omvendte funksjonen til f, har vi at g(b) = a
Det betyr at punktet (b , a) ligger på grafen til g
Firkanten på figuren til høyre er et kvadrat. Siden kvadratet er symmetrisk om den diagonalen som faller sammen med linja y = x, ligger punktene (a , b) og (b , a) symmetrisk om linja y = x
For hvert punkt (a , b) på grafen til f vil (b , a) ligge på grafen til g. Disse to punktene vil ligge symmetrisk om linja y = x
Grafene til to funksjoner som er omvendte av hverandre, ligger symmetrisk om linja y = x
Symmetrien om linja y = x gir en sammenheng mellom definisjonsmengdene og verdimengdene til omvendte funksjoner.
Definisjonsmengden til f svarer til verdimengden til g.
Og motsatt: Definisjonsmengden til g svarer til verdimengden til f.
På figuren har vi tegnet grafene til to omvendte funksjoner f og g og markert definisjonsmengden og verdimengden til de to funksjonene.
La funksjonene f og g være omvendte av hverandre.
Da er DVfg og VDfg
EKSEMPEL 5
Funksjonen f er gitt ved
fxx()3 =−
a Hva er definisjonsmengden og verdimengden til f 1?
b Bestem f 1(2)
c Tegn grafene til f og f 1 i det samme koordinatsystemet.
a Vi ser at D 3, f [ =→ fordi vi får et negativt tall under kvadratrottegnet
i f(x) hvis x < 3. Derfor er V 3, f 1 [ =→
Når x = 3, er f(x) = 0, og for alle x > 3 er f(x) > 0. Da er altså V 0, f [ =→
Derfor er D 0, f 1 [ =→
b Å finne f 1(2) er det samme som å finne x av likningen f(x) = 2.
Altså er f 1(2)7 = .
c Siden variabelverdien for f svarer til funksjonsverdien for f 1, er det nok å sette opp én tabell.
2.23
Funksjonen f er gitt ved
fxx()2 =+
a Hva er definisjonsmengden og verdimengden til f 1?
b Bestem f 1(4)
c Tegn grafene til f og f 1 i det samme koordinatsystemet.
2.24
Funksjonene f og g er omvendte av hverandre.
Du får vite at f(3) = 5 og f( 2) = 8.
a Hva er g(5)?
b Hva er løsningen på likningen g(x) = 2?
c Skriv opp koordinatene til to punkter på grafen til g
2.25
Den lineære funksjonen f går gjennom punktene (2 , 3) og (4 , 7).
Tegn grafen til f og grafen til f 1 i det samme koordinatsystemet.
2.26
Den kontinuerlige funksjonen f har definisjonsmengde D [5,5] f =− , og en verditabell for f er gitt nedenfor.
Funksjonen f har en omvendt funksjon.
a Hva er f 1(5)? b Bestem Df 1 og Vf 1
2.27
Hva gjør programmet nedenfor?
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
def f(x): return np.sqrt(x)
xverdier = np.linspace(0, 5, 30) yverdier = f(xverdier)
plt.plot(xverdier, yverdier)
plt.plot(yverdier, xverdier) plt.show()
Når hver verdi av x gir nøyaktig én funksjonsverdi f(x), sier vi at f er en funksjon av x
Eksistens av omvendte funksjoner
Ikke alle funksjoner har en omvendt funksjon. For å forklare det ser vi på grafen til funksjonen f gitt ved fxx()2 2 =+ .
, 3)
Vi velger to punkter på grafen til f med samme y-verdi, for eksempel ( 1 , 3) og (1 , 3). Symmetripunktene om linja y = x er (3 , 1) og (3 , 1). Grafen til en eventuell omvendt funksjon må gå gjennom begge disse punktene. Men det er umulig, for definisjonen av en funksjon sier at hver x i definisjonsmengden bare skal gi nøyaktig én funksjonsverdi. Ingen funksjon kan for eksempel være slik at g(3) = 1 og samtidig g(3) = 1.
For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må også hver y-verdi gi nøyaktig én x-verdi. En slik funksjon kalles én-entydig
En funksjon f er én-entydig hvis ulike x-verdier alltid gir ulike y-verdier. xx12 ⇒ fxfx()() 12 for alle xxD , f 12 .
Ovenfor så vi at funksjonen f gitt ved fxx()2 2 =+ ikke er én-entydig i hele . For eksempel er både f( 1) = 3 og f(1) = 3.
Funksjonen f har en omvendt funksjon.
Funksjonen f er én-entydig.
Hvis vi tegner grafen til en funksjon, kan vi bruke den såkalte horisontallinjetesten til å undersøke om funksjonen er én-entydig. Denne testen går ut på å se om det fins noen horisontale linjer som skjærer grafen i mer enn ett punkt.
Horisontallinjetesten
Funksjonen f har en omvendt funksjon.
Alle horisontale linjer skjærer grafen til f i høyst ett punkt.
Hvis en horisontal linje skjærer grafen til funksjonen i mer enn ett punkt, er funksjonen ikke én-entydig, og den kan derfor ikke ha en omvendt funksjon.
EKSEMPEL 6
Figuren viser grafen til en funksjon.
Avgjør om funksjonen har en omvendt funksjon.
a Vi kan tegne en horisontal linje som vil skjære grafen i mer enn ett punkt.
For eksempel ser vi at linja y = 2 skjærer grafen i ( 2 , 2) og (1 , 2).
f er dermed ikke én-entydig og har ikke en omvendt funksjon.
b Vi kan ikke tegne noen horisontal linje som vil skjære grafen i mer enn ett punkt.
Spesielt ser vi at linja y = 0 bare skjærer grafen i origo.
g er da én-entydig og har en omvendt funksjon.
c Vi kan tegne en horisontal linje som vil skjære grafen i mer enn ett punkt.
For eksempel ser vi at linja y = 1 skjærer grafen i (1 , 1) og (2 , 1).
h er ikke én-entydig og har ikke en omvendt funksjon.
2.28
Bruk grafene til å avgjøre hvilke av funksjonene f, g, h, i og k som har en omvendt funksjon. y f g h k i x
2.29 (Eksamen R1 våren 2023)
Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner f, g, h og k
a Avgjør og begrunn i hvert tilfelle om funksjonen har en omvendt funksjon. b Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den fins.
Funksjonen h gitt ved hxx()2 2 =+ med definisjonsmengde D ,0 h ] =← er strengt avtakende. Med denne definisjonsmengden vil x 2 > x1 h( x 2 ) < h( x1).
Tilsvarende er funksjonen k gitt ved kxx()2 2 =+ med definisjonsmengde D 0, k [ =→ strengt voksende. Her vil x 2 > x1 k ( x 2 ) > k ( x1) . Se figurene.
Selv om funksjonene h og k har likt funksjonsuttrykk, har de hver sin omvendte funksjon.
Et felles navn på strengt voksende eller strengt avtakende er strengtmonoton Strengt monotone funksjoner er alltid én-entydige og har derfor en omvendt funksjon. For deriverbare funksjoner kan vi derfor bruke den deriverte til å undersøke om en funksjon har en omvendt funksjon.
EKSEMPEL 7
Undersøk om funksjonen f har en omvendt funksjon når
a fxxxD ()63, f 32 =−+=
b fxxxxD () 1 3 42, f 32 =+++=
Av fortegnslinja ser vi at fortegnet til den deriverte skifter to ganger, i 0 og i 4.
Funksjonen er derfor ikke strengt monoton. Siden den har en sammenhengende graf, må en del y-verdier da forekomme for to eller tre ulike x-verdier.
Funksjonen er altså ikke én-entydig og har derfor ikke en omvendt funksjon.
b Vi deriverer f, og får fxxx x ()24 (1)3 2 2 ′ =++ =++
Vi ser at fx()0 ′ > for alle x
2
x 242114 (1)3
Funksjonen er strengt monoton og er da én-entydig. Funksjonen har en omvendt funksjon.
Merk!
Funksjonen i oppgave a i eksempelet ovenfor hadde hatt en omvendt funksjon hvis definisjonsmengden var for eksempel ,0 ] ← , [0,4] eller 4, [ →
Hvis definisjonsmengden er ,04, ][ ←∪→ , er den deriverte større enn eller lik null i hele definisjonsmengden. Med horisontallinjetesten ser vi at funksjonen likevel ikke er én-entydig. Fordi definisjonsmengden består av to eller flere intervaller, må vi sammenlikne funksjonsverdiene i intervallene for å kunne avgjøre om funksjonen har en omvendt funksjon. Dette blir altså tilsvarende som med funksjoner med delt forskrift. Selv om den deriverte er positiv i hele definisjonsmengden, så garanterer ikke det at funksjonen er strengt voksende. For eksempel er 1 < 5, mens f( 1) > f(5).
2.30
Bruk blant annet derivasjon til å undersøke om funksjonen f har en omvendt funksjon i hele sin definisjonsmengde.
a fxx () 2 b fxx () 3 c fxxx () 1 3 32 =− d fxx ()
2.31
Funksjonen f er gitt ved
fxxx ()34 32 =−+
a Bestem monotoniegenskapene til f b Forklar at f ikke har en omvendt funksjon hvis Df c Forklar at f har en omvendt funksjon hvis D 2, f =→ d Forklar at f har en omvendt funksjon hvis D 0,2 f [] =
2.32
Funksjonen f er gitt ved
fxxx ()332 =+
Funksjonen f har en omvendt funksjon. Bestem den største definisjonsmengden Df hvis a D 2 f −∈ b D 1 2
2.33 (Eksamen R1 våren 2022)
Funksjonen f er gitt ved
fxxx ()6 3 =−
Bestem det største intervallet Iab[,] slik at I 1 og f har en omvendt funksjon når I er definisjonsmengden til f
2.34 (Eksempelsett R1 høsten 2021)
Funksjonen f er gitt ved
fxxbxD ()2,3, f 43 [ =−⋅+=−→
For hvilke verdier av b har f en omvendt funksjon?
EKSEMPEL 8
Å finne den omvendte funksjonen
Funksjonen f er gitt ved
fxxD ()28, f =−=
Begrunn at f har en omvendt funksjon, og finn den omvendte funksjonen.
Funksjonen f er en lineær funksjon og er derfor strengt monoton. Derfor har den en omvendt funksjon.
Vi setter f(x) = y og finner x uttrykt ved y
xy xy 28 28 1 2 4 −= =+ =+
Den omvendte funksjonen g er derfor gitt ved
gyy () 1 2 4 =+
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er lik verdimengden til f Siden verdimengden til f er alle reelle tall, er definisjonsmengden til g også alle reelle tall.
Vi velger å bruke x som variabel i g i stedet for y og får
gxxD () 1 2 4, g =+=
Med CAS:
Merk!
I eksempelet ovenfor kunne vi bruke CAS til å finne den omvendte funksjonen. Det er ikke alltid tilfellet selv om funksjonen har en omvendt funksjon.
2.35
Finn den omvendte funksjonen til f for hånd når
a fxxD ()4, f
b fxxD ()1020, f =+=
c fxxD (), f 3
d fx xx xx () ,1 4,13 = −≤ −<< ⎧ ⎨ ⎩
Kontroller med et digitalt verktøy.
EKSEMPEL 9
Finn den omvendte funksjonen til f gitt ved
fxxD ()3,0, f [ =−=→
Vi setter f(x) = y og finner x uttrykt ved y
xy xy xy 3 3 (3)2 −= =− =−
Siden x 0, må fx()3. Altså er V ,3 f ] =←
Dermed er den omvendte funksjonen g gitt ved
gxxD ()(3),,3 g 2 ] =−=←
Med CAS:
Merk!
I eksempelet ovenfor kunne vi bruke CAS til å finne funksjonsuttrykket til den omvendte funksjonen, men da fikk vi ikke med definisjonsmengden, som er en vesentlig del av funksjonen.
2.36
Finn den omvendte funksjonen til funksjonene gitt ved
a fxxD ()20, , f [ =−=→
b gxxD ()3,0, g 2 [ =−=→
c hxxD ()3,,0 h 2 ] =−=←
EKSEMPEL 10
Funksjonen f er gitt ved
fxxx ()4 2 =−
Definisjonsmengden til f er slik at f har en omvendt funksjon g og V 1 g −∈
Bestem funksjonen g med størst mulig definisjonsmengde.
Vi setter f(x) = y og finner x uttrykt ved y
Vi må finne ut hvilket fortegn vi skal velge.
Vi deriverer f og får at fxx()24 ′ =−
Den deriverte skifter fortegn fra minus til pluss når vi passerer x = 2.
Funksjonen f er derfor strengt avtakende i ,2] ← og strengt voksende i 2, [ →
Siden V 1 g −∈ , må D 1 f −∈ . Altså er DV ,2 fg ] ==←
Vi velger derfor minustegnet og får
gyy ()24=−+
Videre må vi finne definisjonsmengden til g
Den minste funksjonsverdien til f er f (2)2424 2 =−⋅=−
Derfor er V 4, f [ =−→ . Og da er D 4, g [ =−→
Den omvendte funksjonen g er derfor gitt ved
gxxD ()24,4, g [ =−+=−→
Merk!
I eksempelet ovenfor forutsetter vi at D 4, g [ =−→ under utregningen, for ellers er ikke y 4 definert.
UTFORSK
Hvis vi bruker CAS til å finne den omvendte funksjonen i eksempelet på forrige side, vil den automatisk velge y 24 i stedet for y 24−+ . Dette er feil funksjonsutrykk siden 1 skal være med i verdimengden til g. Et tryggere alternativ, når vi har tilgang til hjelpemidler, er derfor å løse likningen xxy 4 2 −= med CAS og velge uttrykket med riktig fortegn selv.
2.37
Se på eksempelet på forrige side.
CAS finner ikke riktig funksjonsuttrykk.
Vi løser likningen med CAS og velger selv riktig funksjonsuttrykk.
Hvordan ville det ha endret svaret hvis vi i stedet for V 1 g −∈ fikk opplyst at a D 1 f −∈ b V 5 g
2.38
Funksjonen f har en omvendt funksjon g
Bestem den største mulige definisjonsmengden til f og g, og bestem funksjonsuttrykket g(x).
a fxxx ()6 2 =+ og D 0 f b fxxx ()44 2 =−+ og V 1 g
Læreren ber klassen om å finne den omvendte funksjonen til f gitt ved fxxD ()350, , f 2 [ =−=→
Ola løser oppgaven slik:
kvadrerer
Forklar framgangsmåten.
Hvilket svar kommer Ola fram til?
Hva om læreren hadde endret definisjonsmengden til D ,0 f ] =← ?
Bruk tilsvarende framgangsmåte for å bestemme fx1() når fxx()(25)3 =+
RØDE OPPGAVER
2.39
Ta for deg funksjonen f gitt ved fxxD ()1,0, f 2 [ =−=→
a Tegn grafen til f. Forklar at f har en omvendt funksjon g, og tegn grafen til g sammen med grafen til f
b Bestem Dg og Vg
c Forklar at f ikke har en omvendt funksjon hvis D 2,2 f =−
2.40
Undersøk om funksjonen f har en omvendt funksjon i hele a fxx()83 =+ b fxxx ()510 2 =+ c fxxx ()31 32 =+−
2.41
Finn den omvendte funksjonen, f 1
a fxx()24 =− b fxxxD ()69,3, f 2 [ =−+=→
2. 42
Figurene viser grafene til funksjonene f, g, h og k
a Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.
b Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene hvor den eksisterer.
2.43
Vi lar x være temperaturen målt i celsiusgrader og f(x) være temperaturen målt i fahrenheitgrader.
Da er f(x) = 1,8x + 32.
a La g være den omvendte funksjonen til f. Bestem funksjonsuttrykket til g
b Hva uttrykker den omvendte funksjonen til f?
2.44
Jonas har lagd programmet til høyre.
a Hvilke tall blir skrevet ut?
b Er funksjonene f og g omvendte funksjoner?
for i in range(-3, 4): print(round(g(f(i))))
BLÅ OPPGAVER
2.45
Avgjør hvilke av disse påstandene som er sanne.
En funksjon har en omvendt funksjon hvis det
a til hver x i definisjonsmengden bare fins én y i verdimengden
b til hver y i verdimengden bare fins én x i definisjonsmengden
c til forskjellige x-verdier i definisjonsmengden alltid svarer forskjellige y-verdier i verdimengden d til forskjellige y-verdier i verdimengden alltid svarer forskjellige x-verdier i definisjonsmengden
2.46
Geir skulle vise at funksjonene f og g gitt ved fxx x () 24 = , og at gx x () 4 2 = er omvendte funksjoner.
Han gjorde det slik:
«Ved å sette inn i de to funksjonsuttrykkene finner jeg at f(1) = 2, og at g( 2) = 1.»
Har Geir vist at f og g er omvendte funksjoner? Begrunn svaret.
2.47
Finn den omvendte funksjonen f 1
a fxx x () 32 24 = b fxxD ()9,3, f 2 [ =−=→
2.48
Funksjonen f gitt ved fxxx ()102 2 =++ er én-entydig i et intervall som inneholder 0.
Bestem fx1(), Df 1 og Vf 1 for dette intervallet.
2.49
Funksjonen f gitt ved fxxx ()23 2 =−− har en definisjonsmengde slik at den er én-entydig.
Du får vite at V 0 f 1 ∈ . Bestem f 1 med størst mulig definisjonsmengde.
2.50
a Vis at fxfx ()() 1 = for funksjonen f gitt ved fx x () 1
b Undersøk om det samme gjelder generelt for funksjonen f gitt ved fx x () 1 n , der n
Forklar det du observerer.
2.51
Funksjonen f er gitt ved f(x) = ax + b.
Bestem alle mulige verdier for a og b slik at f er sin egen omvendte funksjon.
2.52
Funksjonen f er gitt ved fxx()(2)2x =−⋅
Lag et program som du kan bruke til å avgjøre om f har en omvendt funksjon.
Eulertallet og eksponentialfunksjoner
Eulertallet
Tenk deg at du setter inn 1 kr i banken, og at denne ene krona får stå i banken og få renter. Anta først at banken gir deg 100 % rente per år.
Vekstfaktoren er 1 + 1 = 2, og etter ett år vil du ha 2 kr.
Anta så at du i stedet får en månedlig rente på 100% 12
Vekstfaktoren blir da 1 100 1 1 12 100 12 +=+ 1 1 12 2, 613 12 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ , så nå vil du i stedet ha 2,613 kr etter ett år, mer enn da renta var 100 % per år.
Hva om du i stedet får en daglig rente på 100% 365 ?
Da blir vekstfaktoren 1 1 365 1 1 365 2, 715 365 + ⎛
≈ , så nå vil du i stedet ha 2,715 kr etter ett år, altså enda mer.
Hva om du på tilsvarende måte får en rente per time? 1 1 8760 2, 718 8760 + ⎛
⎞
⎟ ≈ , så nå vil du ha 2,718 kr etter ett år.
Slik kan vi fortsette. Vi ser at jo oftere vi legger til renter på denne måten, desto mer penger får vi etter ett år. Lar vi antallet ganger vi legger til renter i løpet av året gå mot uendelig, får vi grenseverdien n lim1 1 n n + ⎛
Denne grenseverdien er omtrent 2,718 281 828 459 045 …
Dette tallet tilsvarer det beløpet du ville ha hatt på kontoen etter ett år om renta ble regnet ut kontinuerlig.
Grenseverdien ovenfor har fått symbolet e og kalles eulertallet. Navnet kommer fra den sveitsiske matematikeren Leonard Euler (1707–1783), som først brukte symbolet e om tallet. Eulertallet er et irrasjonalt tall.
I GeoGebra finner vi eulertallet ved å holde Alt-tasten (eller Option-tasten) nede og trykke e.
I Python kan vi importere eulertallet som e:
Utskrift: 2.718281828459045
Eksponentialfunksjoner
Vi minner om at vi kan skrive eksponentialfunksjoner på formen
fxab () x =⋅ , der a ≠ 0 og b > 0
Her er a = f(0), og b er vekstfaktoren.
Eulertallet er et viktig tall i matematikk. Det vil du spesielt se i kapittel 3. Det er vanlig å skrive eksponentialfunksjoner ved hjelp av dette tallet.
I stedet for å skrive en eksponentialfunksjon på formen fxab () x =⋅ kan vi skrive den på formen
fxa()e kx =⋅
De to skrivemåtene er like når b eekxkxx () == , altså når b e k
EKSEMPEL 11
La f være gitt ved funksjonen
fxD ()e, x f
a Bestem grenseverdiene fx lim() x →∞ og fx lim() x →−∞
b Lag en skisse av grafen til f
a Når grunntallet i en potens er større enn 1, vil verdien av potensen bli større jo større eksponenten blir. Siden tallet e er større enn 1, er
fx lim()lime xx x ==∞ →∞→∞
For å forstå hva som skjer når x →−∞ , omformer vi funksjonsuttrykket. fx()e 1 e x x ==
Når x går mot minus uendelig, vil −x gå mot pluss uendelig. Da vil nevneren gå mot pluss uendelig. Altså er
fx lim()limelim 1 e 0 xx x x x === →−∞→−∞→−∞
b Vi regner ut noen funksjonsverdier og finner et par punkter på grafen til f f (0)e1 0 og f (1)ee 1
Punktene (0 , 1) og (1 , e) ligger på grafen til f
Det siste svaret i oppgave a forteller oss at y = 0 er horisontal asymptote til f når x →−∞
Vi markerer punktene i koordinatsystemet og lager en skisse av grafen med utgangspunkt i punktene, asymptoten, og at fx() →∞ når x →∞
2.53
La funksjonene g og h være gitt ved
gxD hxD ()2, ()3, x g x h
a Bestem grenseverdien.
1 gx lim() x →∞ 2 gx lim() x →−∞ 3 hx lim() x →∞ 4 hx lim() x →−∞
b Lag en skisse av grafene til g og h
c Skisser grafen til f gitt ved fx()e x sammen med grafene til g og h
2.54
Bestem grenseverdien.
a lime x x 2 →∞ b lime x x →∞ c lime x x 2 →−∞ d lime x x →−∞
2.55 (Eksamen R1 våren 2024)
Funksjonen f er gitt ved
fxD ()e , x f 1 == −+
Bestem grenseverdiene fx lim() x →∞ og fx lim() x →−∞ dersom de eksisterer.
2.56
La f være gitt ved funksjonen
fxD () 1 3 , x f = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =
a Bestem grenseverdiene fx lim() x →∞ og fx lim() x →−∞
b Lag en skisse av grafen til f
EKSEMPEL 12
Vi baker pepperkaker og steiker dem ved temperaturen 225 °C.
En modell f for temperaturutviklingen i pepperkakene etter at de har kommet ut av ovnen, er gitt ved
ft()110e20 t0,02 =+
Her er f(t) temperaturen i °C t minutter etter at kakene er tatt ut av ovnen.
a Finn den horisontale asymptoten til f b Gi en tolkning av svaret i oppgave a.
a Vi må finne ft lim() t →∞ ft lim()lim110e20 lim
Den horisontale asymptoten til f er y = 20.
110 e 0 t0,02 siden e t0,02 → →∞ ∞ og telleren er konstant.
b Etter hvert vil temperaturen i kakene nærmer seg romtemperaturen.
Det er derfor naturlig å tolke asymptoten y = 20 som et uttrykk for at romtemperaturen er 20 °C.
2.57
En stein sklir bortover en islagt flate. En modell for farten er gitt ved
vx()5e x 0,0225 =
Her er v(x) farten i m/s i avstanden x m fra startpunktet.
a Skriv funksjonsuttrykket på formen vxab () x =⋅
Hvor mange prosent avtar farten for hver meter den sklir?
b Finn vx lim() x →∞ , og tolk svaret.
2.58
En modell for vanninnholdet i et jordlag er gitt ved
vt()108,2e t0,2 =−
Her er v(t) vanninnholdet i mm/m² t timer etter at det begynte å regne.
a Bestem eventuelle asymptoter til v, og gi en praktisk tolkning av resultatet.
b Lag et program som finner hvor mye vanninnholdet endrer seg per time etter 10 timer.
EKSEMPEL 13
La f være funksjonen gitt ved fx() 1 e1 x = .
Finn eventuelle asymptoter til f, og skisser grafen.
Uttrykket til f er definert for alle x unntatt x-verdiene som gjør at nevneren er 0. Siden e0 = 1, er nevneren 0 når x = 0.
Når x nærmer seg 0 nedenfra, er nevneren negativ og går mot 0. Det gir
lim 1 e1 x x 0 =−∞ →
Når x nærmer seg 0 ovenfra, er nevneren positiv og går mot 0. Det gir
lim 1 e1 x x 0 =∞ → +
Dermed er x = 0 (y-aksen) en vertikal asymptote til f
Vi sjekker så hva som skjer med f(x) når x går mot uendelig og mot minus uendelig.
Når x går mot uendelig, vil nevneren gå mot uendelig. Det gir
lim 1 e1 0 x x = →∞
Når x går mot minus uendelig, vil ex gå mot 0. Det gir
lim 1 e1 1 01 1 x x = =− →−∞
Det vil si at y = 0 (x-aksen) er en horisontal asymptote til f når x →∞ , og at y = 1 er en horisontal asymptote til f når x →−∞
Med utgangspunkt i asymptotene kan vi skissere grafen.
2.59
La h være funksjonen gitt ved
hx() 1 ee x =
Finn eventuelle asymptoter til h, og skisser grafen. –1 x (x)
RØDE OPPGAVER
2.60
Bestem grenseverdien hvis den eksisterer.
a lime x x 0 b lime x x 0 21 → +
2.61
Den forventede verdiutviklingen av to kunstverk er gitt ved
Vt()250000e t 1 0,2235 og Vt()250000e t 2 0,2235 =
Her er t tiden i år etter 2025, og Vt1() og Vt() 2 er verdien av kunstverkene i kroner.
a Finn Vt lim() t 1 →∞ og Vt lim() t 2 →∞
b Forklar hva svarene i oppgave a forteller.
c Skriv funksjonsuttrykkene på formen Vtab () t =⋅
d Hvor mange prosent øker eller minker verdien til hvert av kunstverkene hvert år?
e Forklar hva programmet nedenfor beregner. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 from numpy import e def V(t): return 250000*e**(0.2235*t) def dV(t): return (V(t + 0.001) - V(t))/0.001 print(dV(10))
BLÅ OPPGAVER
2.62
Bestem grenseverdien hvis den eksisterer.
lim
2.63
La g være funksjonen gitt ved
gx x () e1 x =
a Hva får vi hvis vi prøver å sette inn x = 0 i uttrykket til g?
b Lag et program som du kan bruke til å bestemme gx lim() x 0
c Skisser grafen til g for hånd.
Logaritmer
Eksponentialfunksjonen f gitt ved fxa () x er enten strengt voksende (a > 1) eller strengt avtakende (0 < a < 1). Den har derfor en omvendt funksjon, men hva er den?
La for eksempel grunntallet være 2, slik at fx()2x
Vi tegner grafen til f og speiler den om linja y = x. Se figuren.
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen g er den samme som verdimengden til f og omvendt.
DV 0, gf==→ og VD gf
Fordi lim20 x x = →−∞ , er y = 0 en horisontal asymptote til f
Siden grafene er symmetriske om linja y = x, må dermed x = 0 være en vertikal asymptote til g
Funksjonen som har disse egenskapene, kaller vi for logaritmefunksjonen med grunntall 2, og skrivemåten er gxx ()log2
Siden funksjonene f og g er omvendte av hverandre, kan vi bruke f til å finne funksjonsverdier for g. Siden grunntallet er 2, kaller vi disse funksjonsverdiene for 2-logaritmer.
g (1)log1 0 2 fordi f (0)21 0
g (4)log4 2 2 fordi f (2)24 2
g (8)log8 3 2 fordi f (3)28 3
For å bestemme log64 2 må vi finne ut hvilket tall vi må opphøye 2 i for at svaret skal bli 64. Vi har at 2 64 6 . Det betyr at log64 6 2 Vi sier at 2-logaritmen til 64 er 6.
EKSEMPEL 14
Vi kan også ha andre grunntall enn 2. 4-logaritmen til 64 er tallet vi må opphøye 4 i for at svaret skal bli 64.
Vi har at 4 64 3 . Det betyr at log64 3 4 . Siden 8 64 2 , må det bety at log64 2 8 .
Generelt kan vi definere logaritmen til et tall slik:
La a være et positivt, reelt tall ulik 1. y loga er da tallet vi må opphøye a i, for å få y.
ya x ⇔ xy loga
Enhver eksponentialfunksjon med grunntall a er altså den omvendte funksjonen til en logaritmefunksjon med grunntall a Fordi definisjonsmengden til logaritmefunksjonen tilsvarer verdimengden til eksponentialfunksjonen, kan vi ikke finne logaritmer til negative tall og 0.
Funksjonen f er gitt ved fx()5 x
a Finn den omvendte funksjonen til f b Skisser grafen til f og til den omvendte funksjonen.
a Den omvendte funksjonen er logaritmefunksjonen med grunntall 5.
fxx 1()log5 =
b f (0)51 0 . Da er f 1(1)log10 5 ==
f (1)55 1 . Da er f 1(5)log51 5 == (0 , 1) og (1 , 5) er punkter på grafen til f (1 , 0) og (5 , 1) er da punkter på grafen til f 1
DV 0, ff 1 ==→ og VD ff 1 ==
y = 0 er en horisontal asymptote til f x = 0 må da være en vertikal asymptote til g.
Med utgangspunkt i punktene på grafene og asymptotene kan vi skissere grafene.
Merk!
Av grafen og asymptoten til g i eksempelet ser vi at x limlog x 0 5 =−∞ → + og x limlog x 5 =∞ →∞
2.64
Finn den omvendte funksjonen til f.
Skisser grafen til f og til den omvendte funksjonen.
a fxD ()3, x f
b fxD ()10, x f
c fxxD ()log,0, f 2 ==→
d fxxD ()log,0, f 4 ==→
2.65
Bestem grenseverdien. a x limlog x 0 3 →
limlog x 3 →∞
x limlog x 1 3
2.66
Figuren viser grafen til en funksjon f gitt ved
fxa () x
a Bestem a
b Bruk grafen til å finne en omtrentlig verdi for log8 a når a har verdien du fant i oppgave a.
2.67 (Eksamen R1 høsten 2024)
I koordinatsystemet til høyre ser du grafen til en funksjon f gitt ved
fxx ()log() a
Bestem a.
Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Identitet
Likhet mellom to algebraiske uttrykk som er sann for alle tillatte verdier av variablene som inngår.
EKSEMPEL
15
Bestem a 2log3 2 b log2 16 c log 1 9 3 d log2 4
a 23 log3 2
Definisjonen av logaritmer som omvendte funksjoner til eksponentialfunksjonene gir oss to grunnleggende identiteter: ay y loga for alle y > 0 ax loga x y 2 y
b Vi skriver først 16 som potens med 2 som grunntall: 1624
log2 16 = log2 24 = 4
c Vi skriver først 1 9 som potens med 3 som grunntall: 1 9 1 3 3 2 2 == log 1 9 33log32 2 ==−
d Vi skriver først 2 som potens med 4 som grunntall: 244 1 2
log2log4 1 2 44 1 2
log2 2 x = x log3 3 x = x log4 4 x = x
2.68
Regn ut. a 6log9 6 b log5 5 4 c 4log0,7 4 d
2.69
Regn ut. a
4
2.70 (Eksamen R1 høsten 2025)
Bestem a slik at log 1 64 3 a =−
3 2
2.71
a Hvorfor er loga 1 = 0 og logaa = 1?
b Forklar hvorfor vi ikke kan ta logaritmen til et negativt tall, men at logaritmen til et tall kan være negativ.
I GeoGebra regner vi ut for eksempel log2 64 ved å bruke kommandoen log(b, x).
Med CAS: I algebrafeltet:
Skriver vi inn log(2, 64), får vi det litt «mystiske» svaret ln(64) ln(2)
GeoGebra skriver da svaret med en naturlig logaritme. Denne ser vi nærmere på i slutten av underkapittelet.
Klikker vi på , ser vi at dette blir tallet 6. Selv om det i GeoGebra ser ut som det er en avrunding, så er log2 64 eksakt lik 6.
I Python kan vi importere log-funksjonen og regne ut den samme logaritmen slik:
Utskrift: 6.0
2.72
Bestem en tilnærmingsverdi for log11 2 med tre desimaler
a ved å bruke CAS b ved å bruke python
c ved å bruke grafen til funksjonen f gitt ved fx()2x
Briggske logaritmer
På 1600-tallet kom noen matematikere på at det kunne være smart å skrive alle positive tall som tierpotenser, altså potenser med 10 som grunntall.
Eksponenten i disse potensene kalte de for logaritmer, og er det vi nå vil kalle tierlogaritmer eller 10-logaritmer.
For eksempel fant de ut at 2100,3010 og at 50,2101,7007
Tallet 2 har altså tierlogaritmen 0,3010, og tallet 50,2 har tierlogaritmen 1,7007, avrundet til fire desimaler.
Den engelske matematikeren Henry Briggs (1561–1630) lagde den første logaritmetabellen med grunntall 10. Hovedverket hans, Arithmetica
Logarithmica, ble gitt ut i 1624. Tabellen ga logaritmen for tallene 1–20 000 og 90 000–100 000 beregnet med 14 desimalers nøyaktighet! Tabellen til Briggs ble blant annet brukt til store og krevende beregninger innenfor astronomi. Det ble sagt at tabellen forkortet astronomenes arbeid og forlenget deres liv!
I dag er det vanlig å kalle tierlogaritmer for briggske logaritmer. I stedet for x log10 skriver vi lg x
y 10 y lg for alle y > 0 x lg10 x
I margen ser du et lite utdrag av en logaritmetabell med briggske logaritmer med en nøyaktighet på 2 desimaler.
Med CAS: I algebrafeltet: y lg y 20,30 30,48 50,70 70,85 111,04 131,11 171,23 191,28
I GeoGebra bruker vi kommandoen lg for den briggske logaritmen. Legg merke til at vi må bruke parentes. Legg også merke til at selv om vi skriver lg i algebrafeltet, så vises det som log10
Noen briggske logaritmer klarer vi å finne uten tabell eller hjelpemidler.
lg 1 = 0 fordi 100 = 1
lg 10 = 1 fordi 101 = 10
lg 100 = 2 fordi 102 = 100
lg 1000 = 3 fordi 103 = 1000
lg 0,1 = 1 fordi 10 1 = 0,1
2.73
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a 10lg 0,5 b 10lg 3 5 c lg 10 2,5 d lg10 1 4
2.74
Bruk blant annet definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a lg101023() b lg 10 10 2 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ c lg10 3 d lg1000 5
2.75
Bruk blant annet definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a lg105 b lg1010 3 () c lg 10 10 6 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ d lg0,001 3 ()
2.76
Skriv tallet 7 som en tierpotens.
2.77
Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved fx()10 x
f(x) = 10x f(x)
–0,1 –0,2 –0,3 –0,4 –0,5 x
a Bruk figuren til å finne en tilnærmingsverdi for 1 lg 7 2 lg 4 3 lg 1 4 lg 0,5
b Skisser grafen til g gitt ved gxx ()lg
Funksjonen h er gitt ved hxx()lg(2) =− .
c Bruk resultatet fra oppgave a til å fylle ut tabellen til høyre. x 9632,5 h(x)
d Forklar at hx lim() x 2 =−∞ → + , og at hx lim() x =∞ →∞ .
e Skisser grafen til h i det samme koordinatsystemet som grafen til g
SNAKK
«Det er ingen overraskelse at den briggske logaritmen til 500 er et tall mellom 2 og 3.» Kommenter dette utsagnet.
Naturlige logaritmer
Logaritmen med eulertallet e som grunntall kaller vi dennaturligelogaritmen
Den naturlige logaritmen til x skriver vi ln x
Det er ikke vanlig å bruke skrivemåten x loge , men skrivemåten log (x) forekommer. I Python skriver vi for eksempel log(x) for den naturlige logaritmen.
Utskrift: 1.0986122886681098
I GeoGebra bruker vi kommandoen ln for den naturlige logaritmen.
Med CAS: I algebrafeltet:
Hvis vi i GeoGebra skriver for eksempel log(3), så er det, i motsetning til Python, den briggske logaritmen som blir brukt.
2.78
Bruk definisjonen av den naturlige logaritmen til å finne
a eln3 b lne2 c eln1 d lne 42
2.79
Bruk blant annet definisjonen av den naturlige logaritmen til å finne
a eln0,6 b ln 1 e3 c lne2 3 d ln e e 5 2
2.80
La f være funksjonen gitt ved fxx ()3ln(2) =+
a Finn definisjonsmengden til f b Finn eventuelle asymptoter til f
2.81
La g være funksjonen gitt ved gxx()ln(4) 2 =−
a Finn definisjonsmengden til g b Finn eventuelle asymptoter til g
2.82
Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = ln x og g(x) = lg x
a Tegn grafene til f og g i det samme koordinatsystemet med en graftegner.
b Forklar hvorfor grafen til f stiger brattere mot høyre enn grafen til g
En elev skal argumentere for at f er en strengt voksende funksjon, og har lagd programmet nedenfor.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
dx = 0.01
def f(x): return np.log(x)
def df(x): return (f(x + dx) - f(x))/dx
x_verdier = np.linspace(0.1, 3, 500)
plt.plot(x_verdier, f(x_verdier), label = "f")
plt.plot(x_verdier, df(x_verdier), label = "df")
plt.legend() # Legger inn navn på grafene
plt.grid() # Legger inn rutenett
plt.show() # Viser grafene
c Hvordan kan eleven bruke programmet sitt til å argumentere for dette? Hvordan ville du eventuelt argumentert mot dette?
Sammenhengen mellom briggske og naturlige logaritmer
Den naturlige logaritmen er satt som standard i GeoGebra. Skriver vi inn den briggske logaritmen til et tall og klikker , vil vi se at vi får den briggske logaritmen til tallet uttrykt ved naturlige logaritmer.
Ut fra skjermbildene kan det se ut som det er en sammenheng mellom den briggske logaritmen og den naturlige logaritmen.
x x lg ln ln10
Denne sammenhengen skal du vise i oppgave 2.150.
RØDE OPPGAVER
2.83
Skriv så enkelt som mulig. a log35 3 7 log2 5 b lg10 x c lneexx5ln5 d ln1lne
e lg10000lg0,01 f lg100log1 3 g lg10lg1 h lg100lg10 2
2.84
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
lg1lgelg0,1lnelg10 3
2.85
Finn grenseverdien. a x limlg x →∞ b x limlg x 0 → + c x limln x →∞ d x limln x 0 → +
2.86
Funksjonen f er gitt ved fxx ()lg(52) =− . Finn eventuelle asymptoter til f
BLÅ OPPGAVER
2.87
Skriv så enkelt som mulig. a lg100ln 1 e2 b
2.88
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
lg10010lgelg100lnlg10 3lge2 3 e ()
2.89
Hvilke av tallene er mindre enn 4? 2324lg11ln16
2.90
Anta at a og b er positive tall. Sett inn riktig symbol i rutene: ⇒, ⇐ eller ⇔. a abab lglg b abab lglg
2.91
Skriv 1,35 som en potens med grunntall a 2 b 5 c 10 d e
SAMMENDRAG
n-te røtter og potenser med rasjonale eksponenter
Hvis a > 0, er na det positive tallet b som er slik at ba n
Hvis a < 0 og n er et oddetall, så er na det negative tallet b som er slik at ba n
Definisjoner n n mnmnm
aaa nmn mm n () ==
Omvendte funksjoner
To funksjoner f og g er omvendte av hverandre hvis fgxx () () = for alle xDg og gfxx () () = for alle xDf
Grafene til to omvendte funksjoner f og g ligger symmetrisk om linja y = x
Eksistens av omvendte funksjoner
En funksjon f har en omvendt funksjon hvis den er én-entydig. En funksjon f er én-entydig hvis følgende gjelder for alle x1, x2 ∈ Df :
x1 x 2 f ( x1) f ( x 2 )
Strengt monotone funksjoner er strengt voksende eller strengt avtakende. Strengt monotone funksjoner er én-entydige, men ikke alle én-entydige funksjoner er strengt monotone.
Å finne den omvendte funksjonen
Start med å sette f(x) = y
Omform slik at vi får x uttrykt ved y
Logaritmer
y = a x x = loga y
ay y loga og ax loga x a log1 a og log10 a
Logaritmesetningene
Sammenhenger mellom logaritmer med ulike grunntall
x x lg ln ln10 x x a x a log ln ln lg lg a
Newtons metode
Gitt en deriverbar funksjon f.
Velg en startverdi x 0 i nærheten av nullpunktet. Regn deretter ut … xx,,, x 123 ved hjelp av formelen xx fx fx () () nn n n 1 =− ′ +
For mange funksjoner vil vi da komme nærmere og nærmere nullpunktet.
KAPITTELTEST
Oppgave 1
Funksjonen f er gitt ved
fxxxD ()lnln(2),0, f 4 =+=→
a Forklar at f også er gitt ved fxx()5lnln2 =+
b Finn eventuelle asymptoter til f
c Hvordan kan vi argumentere for at f har en omvendt funksjon uten å finne den?
d Finn fx1(), Df 1 og Vf 1
Oppgave 2
Skriv uttrykket så enkelt som mulig.
a x x lg (lg) 3 2 b lg1lnelg0,01 3 +−
c ab b ln 2ln 1 2 d x x log22log 1 4 2 5 2
Oppgave 3
Løs likningen.
a xx (lg)2lg10 2 −+=
b e5e0 xx 2 −=
c xx loglog30 2 2 2 −−= d 3339 xxx 444++=
Oppgave 4
En modell for CO2-nivået i et klasserom etter at vinduene åpnes, er gitt ved
Ct()4201080e t0,06 =+
C(t) er CO2-nivået målt i ppm (parts per million) t minutter etter at vinduet åpnes.
a Bestem Ct lim() x →∞ , og gi en tolkning av svaret.
b Finn den omvendte funksjonen til C med definisjonsmengde.
Hva forteller funksjonen?
Oppgave 5
Odin og Leander har skrevet hvert sitt program og mener utskriften av begge programmene viser at funksjonen f gitt ved fx()22xx=+ ikke har en omvendt funksjon.
Hvordan kan de påstå det?
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
dx = 0.01
def f(x): return 2**x + 2**(-x)
xverdier = np.linspace(-3, 3, 50) yverdier = f(xverdier)
plt.plot(yverdier, xverdier) plt.show()
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
dx = 0.01
def f(x): return 2**x + 2**(-x)
def df(x): return (f(x + dx) - f(x))/dx
xverdier = np.linspace(-3, 3, 500)
plt.plot(xverdier, df(xverdier)) plt.grid() plt.show()
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og Bjørknes privatskole og underviser i matematikk og kjemi.
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
MatematikkR1 følger læreplanen i matematikk R1 (LK20) og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers
Læreboka
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk. Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene, der de passer. Til slutt i hvert kapittel er det blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
Aunivers inneholder blant annet
• fullstendige løsninger av alle oppgavene
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
• opplæringsressurser til GeoGebra og Python
Som lærer får du i tillegg tilgang til
• kapittelomtaler
• kapittelprøver
• terminprøver
• egenvurderinger
• elevaktiviteter
ISBN 978-82-03-41461-9