John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Påbygging
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Bokmål
Påbygging
Læreboka Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk påbygging for vg3 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).
© Aschehoug AS 2026
5. utgave / 1. opplag 2026
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Kopiering og tilgjengeliggjøring er ikke tillatt uten samtykke fra rettighetshaverne, avtale med Kopinor (www.kopinor.no) eller annen forvaltningsorganisasjon, eller hjemmel i lov.
Forbudet gjelder også trening av og annen bruk av materialet i kunstig intelligens og innebærer et uttrykkelig forbehold mot tekst- og datautvinning etter digitalmarkedsdirektivet artikkel 4.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Víctor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark Tor Espen Kristensen
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41467-1 www.aschehoug.no
SVANEMERKET
Om Matematikk Påbygging
Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk påbygging (LK20) som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver.
I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra, Python og Excel der det er relevant. I tillegg har vi Utforsk-oppgaver, som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og
Snakk-oppgaver, som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.
Underveis finner du slike «lapper» med repetisjon og påminnelser.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene der de passer. På den måten kan elevene komme raskt i gang med å løse eksamensoppgaver.
Oppgaver som bør løses uten hjelpemidler, er merket med
Oppgaver som krever programmering, er merket med
Digitale ressurser på Aunivers
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka og inneholder blant annet
• oppgaveveiledere med KI-støtte
• fullstendige løsninger av alle oppgavene
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
• opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python
Som lærer får du i tillegg tilgang til
• kapittelomtaler
• kapittelprøver
• terminprøver
• egenvurderinger
• elevaktiviteter
Vi håper at Matematikk Påbygging møter forventningene dine til et komplett læreverk.
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkpabygging@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Innhold
1 Praktisk regning
1A Tall og tallregning 9
1B Proporsjonalitet 20
1C Prosent og prosentpoeng 27
1D Prosentregning 37
Blandede oppgaver 47
Sammendrag 52
Kapitteltest 53
2 Utforsking og generalisering
2A Partall og oddetall 56
2B Figurtall 64
2C Tallfølger 74
2D Flere tallmønstre 80
Blandede oppgaver 83
Sammendrag 92
Kapitteltest 93
3 Funksjoner
3A Funksjonsbegrepet 96
3B Lineære funksjoner 107
3C Lineære modeller 121
3D Fra målinger til modell 128
Blandede oppgaver 134
Sammendrag 138
Kapitteltest 139
4 Polynom- og eksponentialfunksjoner
4A Polynomfunksjoner 142
4B Vekstfart 157
4C Modellering med polynomfunksjoner 164
4D Eksponentialfunksjoner 169
4E Modellering med eksponentialfunksjoner 183
Blandede oppgaver 195
Sammendrag 206
Kapitteltest 207
5 Statistikk
5A Sentralmål 210
5B Diagrammer 233
5C Spredningsmål 248
5D Å presentere data 261
5E Å analysere data 272
Blandede oppgaver 282
Sammendrag 292
Kapitteltest 293
6 Potenser og røtter
6A Potensregning 296
6B Store og små tall 308
6C Potensfunksjoner 318
6D Omvendt proporsjonalitet 323
6E Røtter og rotfunksjoner 332
Blandede oppgaver 341
Sammendrag 348
Kapitteltest 349
Reelle datasett med Python
A Tall og tabeller i pandas 351
B Å lese filer og presentere data med pandas 355
C Regresjon med Python 365
Fasit 369 Register 393
Bildeliste 396
Praktisk regning 1
1A Tall og tallregning 9
1B Proporsjonalitet 20
1C Prosent og prosentpoeng 27
1D Prosentregning 37
Aksjekurser går opp og ned. De som analyserer aksjekurser, bruker blant annet prosentregning til å lage sine modeller for framtiden.
Prosentregning er ett av temaene du skal jobbe med i dette kapittelet.
Ord som betyr det samme gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere
Siffer og desimal
Tallet 3,845 har fire sifre og tre desimaler.
Brøk
4 5 45=: 4 5 Teller Nevner
Regning med positive og negative tall
7 ( 2) = 7 + 2 = 9
7 + ( 2) = 7 2 = 5
3 ( 2) = 6
3 ⋅ ( 2) = 6
8 : 2 = 4
8 : ( 2) = 4
1.1
Potens
23 = 2 2 2
Kvadratrot
36 6 = fordi 6 6 = 36
Eksponent 23
Grunntall
Å finne kvadratroten av et tall vil si å finne det positive tallet som ganget med seg selv blir det opprinnelige tallet. Vi kan ikke finne kvadratroten av negative tall.
Regnerekkefølge
❶ Parenteser
❷ Potenser og kvadratrøtter
❸ Multiplikasjon og divisjon
❹ Addisjon og subtraksjon
2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 3 4 1 3
Regn ut. a 2 ( 4) b 4 + ( 6)
1.2
a Skriv et positivt tall som har tre sifre og to desimaler.
b Skriv et tall med tre sifre og to desimaler som er større enn 1,90 og mindre enn 1,80.
1.3
Regn ut.
1.4
Vi har gitt tallene 4, 3, 2, 4 og 6. Velg tre av tallene. Lag et regnestykke slik at svaret blir minst mulig. Du kan ikke bruke potenser eller kvadratrot, men du kan bruke parenteser.
SNAKK
Tore sier:
«Når vi ganger to positive tall, blir svaret alltid større. Når vi deler to positive tall på hverandre, blir svaret alltid mindre.»
Diskuter påstandene til Tore.
Tall og tallregning
Gange og dele med 10, 100, 1000
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre.
Å gange med 1000 er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot høyre.
Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre.
Å dele med 1000 er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot venstre.
EKSEMPEL 1
Regn ut.
a 1,5 100 b 3,6 : 100 c 42 : 1000
a 1,5 100 = 150
Vi skriver noen nuller etter 5-tallet slik at vi kan flytte kommaet to plasser mot høyre.
b 3,6 : 100 = 0,036
Vi skal flytte kommaet to plasser mot venstre. Vi skriver to nuller foran 3-tallet slik at vi kan flytte kommaet to plasser mot venstre.
1,500 003,6 : 100
c 42 : 1000 = 0,042 Når det ikke står noe komma i et tall, kan vi alltid «late som om» det står et komma og null bak det bakerste sifferet.
42 : 1000 = 42,0 : 1000
Vi gjør som i oppgave b: vi skriver noen nuller foran 4-tallet og flytter kommaet tre plasser mot venstre.
1.5
Regn ut.
a 12,5 : 10
b 6,54 100
c 85 : 1000
d 0,45 ⋅ 1000
e 75 : 100
f 0,54 : 10
1.6
Regn ut.
a 1,005 10
b 0,075 : 100
c 8,5 : 100
d 7,55 ⋅ 10
e 45 : 10
f 0,0045 ⋅ 100
000042,0
EKSEMPEL 2
Brøk
I brøken 4 5 er 4 telleren og 5 nevneren.
En brøkstrek betyr det samme som et deletegn.
For eksempel er 4 5 45=:
Vi har at 40 : 5 = 8, så 4 : 5 = 0,8. 4 5 45 0, 8 =: =
Fra brøk til desimaltall
Vi gjør om en brøk til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.
a Skriv 3 8 som desimaltall.
b Skriv 0,12 som brøk.
a 3 8 38=:
4 5 Teller Nevner
Vi skriver 0,12 som en brøk med 1 som nevner.
Vi ganger med 100 i telleren og nevneren. (Vi utvider brøken med 100.)
Vi forkorter brøken med 4, det vil si at vi deler med 4 i telleren og i nevneren.
1.7
Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
1.8
Skriv brøkene i stigende rekkefølge. 1 5 3 6
SNAKK
a Forklar at å dele med 2 er det samme som å gange med 0,5.
b Forklar at å dele med 0,25 er det samme som å gange med 4.
c Hvordan kan vi raskt regne ut
1 2,54 : 0,1
2 8 : 0,2
EKSEMPEL 3
Idrettslaget Skogværingen har 300 medlemmer. Tre av fem medlemmer er under 18 år. Av dem som er under 18 år, er halvparten gutter. Av dem som er over 18 år, er tre firedeler gutter.
a Hvor mange medlemmer er under 18 år? b Hvor mange av medlemmene er gutter?
a Tre av fem medlemmer er under 18 år.
Det betyr at 3 5 av de 300 medlemmene er under 18 år.
Det kan vi regne ut på ulike måter
Alternativ 1:
3 5 300 3 300 5 900 5 180 ⋅= ⋅ ==
Alternativ 2: 3 5 300 3 300 5 360 180 ⋅= ⋅= ⋅=
Alternativ 3: 3 5 300 0, 6 300180⋅=⋅=
Det er 180 medlemmer under 18 år.
Når vi ganger en brøk med et helt tall, ganger vi telleren med tallet.
b Vi finner først antallet gutter under 18 år, deretter antallet gutter over 18 år og legger til slutt sammen.
Av dem som er under 18 år, er halvparten gutter.
1 2 180 1 180 2 90 ⋅= =
Det er 90 gutter under 18 år.
I oppgave a fant vi at 180 medlemmer er under 18 år.
Da er det 300 180 = 120 medlemmer over 18 år.
Tre firedeler av disse er gutter, det vil si at 3 4 av 120 er gutter.
3 4 120 3 120 4 90 ⋅= =
Det er 90 gutter over 18 år.
Det er til sammen 90 + 90 = 180 gutter i idrettslaget.
h er ofte brukt som symbol for timer.
h kommer fra det latinske hora, som betyr time.
1.9
B-klassen har 27 elever. To tredeler av elevene er gutter, og 1 6 av guttene spiller på det lokale fotballaget.
a Hvor mange gutter spiller på det lokale fotballaget?
b Hvor stor brøkdel av elevene i klassen utgjør disse guttene?
1.10
Hav videregående skole har 560 elever
Én tidel av elevene jobber med kulturdagen. Av disse er 11 14 jenter.
Hvor mange jenter og hvor mange gutter jobber med kulturdagen?
1.11
Olav, Trine og Kirsti skal dele 6000 kr. Olav får én firedel av pengene.
Av den delen som er igjen, får Trine to tredeler.
a Hvor stor brøkdel får Trine og Kirsti til sammen?
b Hvor mange kroner får Olav? Hvor mange kroner får Trine?
c Hvor stor brøkdel av hele beløpet får Kirsti?
Veien om 1
Ole Magnus lurer på om formiddagskortet eller ettermiddagskortet er det mest økonomiske på det lokale skisenteret. Får Ole Magnus mest igjen for pengene når han kjøper formiddagskort eller når han kjøper ettermiddagskort?
Formiddagskort 180 kr (09.30–12.00)
SKISENTER
Ettermiddagskort 430 kr (12.00–16.30)
I kroner er formiddagskort rimeligere, men vi ser at ettermiddagskortet varer lenger enn formiddagskortet.
For å sammenlikne de to kan vi finne prisen per time. Vi går veien om 1
Formiddagskort: 180 kr 2, 5h 72 kr/h =
Ettermiddagskort: 430 kr 4, 5h 96 kr/h =
Formiddagskortet er rimeligere per time.
Lorenzo lurer på det samme som Ole Magnus, men regner på en annen måte. Lorenzo regner ut hvor lenge han kan være i bakken for hver krone han betaler.
Formiddagskort: 2, 5h 180 kr 0, 014h/kr =
Ettermiddagskort: 4, 5h 430 kr 0, 010h/kr =
Vi får mer tid i bakken for hver krone vi betaler, om vi kjøper formiddagskortet. Vi får altså bekreftet at formiddagskortet er det mest økonomiske alternativet. Ved kjøp av formiddagskortet får vi mest igjen for pengene.
Ovenfor regnet vi ut 2,5 : 180 med kalkulator og fikk
2,5 : 180 = 0,013 888 888 …
Vi har rundet av svaret til 0,014.
Når vi runder av, ser vi på det nærmeste sifferet til høyre for antallet desimaler vi skal runde av til.
Hvis dette sifferet er 0, 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover.
Hvis sifferet er 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.
EKSEMPEL 4
Soltoppen hytteutleie tar en fast pris per døgn for leie av hytte.
Hvor mye koster det å leie en hytte i fem døgn når det koster 2025 kr å leie en hytte i tre døgn?
Vi går Veien om 1 og regner først ut hva det koster å leie en hytte i ett døgn.
2025 3 675 =
Leieprisen er 675 kr/døgn.
Så regner vi ut prisen for fem døgn.
675 ⋅ 5 = 3375
Det koster 3375 kr å leie en hytte i fem døgn.
Alternativ løsningsmetode
Ovenfor regnet vi først ut prisen for ett døgn, og deretter fant vi prisen for fem døgn. Vi kan slå disse to regnestykkene sammen i ett regnestykke slik:
2025 5 3 3375 ⋅ =
Det koster 3375 kr å leie en hytte i fem døgn.
1.12
SuperKjøp selger eplejuice i kartonger på 1,5 L og 2,5 L.
Kartongen på 1,5 L koster 36 kr.
Hvor mye koster kartongen på 2,5 L når prisen per liter er den samme for de to kartongene?
1.13
En uke jobber Lise tolv timer og tjener 2316 kr
Uka etter jobber hun sju timer.
Hvor mye tjener Lise denne uka?
1.14
Hos Maling AS koster et treliters spann med hvit husmaling 348 kr.
Farge AS selger den samme malingen i spann på 10 liter.
Malingen er like dyr per liter i to forretningene.
Hva koster et spann med 10 liter hos Farge AS?
Valutakursen (kursen) er prisen på utenlandsk valuta målt i norske kroner. For de fleste valutaer oppgis prisen som det 100 enheter av den utenlandske valutaen koster. Unntakene er blant annet britiske pund, amerikanske dollar og euro, der kursen oppgis per 1 enhet.
Hvis kursen på danske kroner er 156,60, betyr det at 100 danske kroner koster 156,60 norske kroner.
1.15
Hos Olssons grensehandel i
Sverige er prisene oppgitt både i svenske kroner (SEK) og i norske kroner (NOK).
Hva er kursen på svenske kroner i Olssons grensehandel?
1.16
58,50 SEK/59,67 NOK
Linda skal på ferie til Danmark og Tyskland. Hun bestiller tre netter på hotell i København og fire netter på hotell i Berlin. I København koster rommet 885 danske kroner per natt, og i Berlin 125 euro per natt.
Hvor mye blir dette til sammen i norske kroner hvis kursen på danske kroner er 152,60 og kursen på euro er 11,87?
EKSEMPEL 5
I Python bruker vi / for divisjon.
Sverre skal veksle 2500 norske kroner (NOK) til britiske pund. Lag et program som regner ut hvor mange britiske pund han får, når kursen er 13,45. 1 2 3 4 5 6
kurs = 13.45 # kursen på britiske pund NOK = 2500 # antall norske kroner
pund = NOK / kurs # regner ut antall britiske pund
print(NOK, "NOK er det samme som", pund, "britiske pund.")
På Aunivers finner du et grunnkurs i Python-programmering.
1.17
a Skriv av og kjør programmet i eksempel 5. Hva blir utskriften?
b Hva skjer hvis vi endrer linje 6 til:
6 print(NOK, "NOK er det samme som", round(pund, 2), "britiske pund.")
c Hva skjer hvis vi i stedet for round(pund, 2) skriver round(pund)?
1.18
En uke senere skal Liz bruke programmet i eksempel 5 til å regne ut hvor mange britiske pund hun får for 7500 norske kroner. Kursen er nå 13,25.
Gjør nødvendige endringer i programmet, og bruk det til å finne hvor mange britiske pund Liz får.
1.19
Lag et program som finner kursen på euro når 500 euro koster 5895 NOK.
1.20
Isak skal betale 3750 svenske kroner. Lag et program som regner ut hvor mye dette er i norske kroner, når kursen er 107,53.
EKSEMPEL 6
Kaffehuset selger GullMokka i poser på 0,6 kg. Hva er prisen per kg når en pose på 0,6 kg koster 114 kr?
Vi kan finne svaret ved å gå Veien om 1, men vi kan også finne svaret ved å gå «Veien om 0,2». Se på figuren til høyre.
Vi tenker oss posen på 0,6 kg delt opp i poser på 0,2 kg. Vi finner prisen på én slik pose og ganger med 5. Da finner vi prisen på 1,0 kg GullMokka.
Pris i kroner for 0,2 kg: 114 : 3 = 38
Pris i kroner for 1,0 kg: 38 5 = 190
GullMokka koster 190 kr per kg.
1.21
Elin løser oppgaven i eksempel 6 med dette regnestykket:
114 + 57 + 19 = 190
Forklar hvordan Elin kan ha tenkt da hun satt opp regnestykket.
1.22
Nina får 1,2 liter eplejuice av 3,0 kg epler. Hvor mange kg epler må hun bruke for å lage 2,0 liter eplejuice?
RØDE OPPGAVER
1.23
I en hylle som er 30 cm bred, får du plass til 21 like pocketbøker
Hvor mange slike pocketbøker får du plass til i en hylle som er 40 cm bred?
1.24
På parkeringen på Sydstranda er det en fast timepris for å parkere.
Petter parkerte i 3,5 timer og betalte 105 kr i parkeringsavgift.
Lars betalte 165 kr
Hvor lenge parkerte Lars?
1.25
Mathilde kjøper et smørbrød på danskebåten. Smørbrødet koster 60 danske kroner.
Mathilde betaler med 200 norske kroner og får tilbake 70 danske kroner i vekslepenger.
Hvilken kurs på danske kroner svarer dette til?
1.26
Iris er på ferie i USA. En dag går hun innom en butikk for å kjøpe appelsiner. Hun betaler 3,25 amerikanske dollar for en pose med 2 pund appelsiner.
• Pund (lb) er en måleenhet for masse som er vanlig å bruke i USA.
• 1 lb ≈ 0,454 kg
• Sist Iris sjekket valutakursen, tilsvarte 1 amerikansk dollar 9,65 norske kroner.
Hvor mange norske kroner koster 1 kg appelsiner?
BLÅ OPPGAVER
1.27
Et stearinlys er 15 cm høyt.
Vi tenner lyset og lar det brenne i 20 minutter. Da er det 9,0 cm igjen av lyset.
Hvor lang tid vil det gå før lyset er brent helt ned?
Hvilke forutsetninger ligger bak svaret dit?
1.28
En film varer lenger på kino enn på tv.
På kino blir filmer vist med 24 bilder per sekund. På tv blir de vist med 25 bilder per sekund.
Filmen Titanic varer i 175 minutter på kino.
Hvor mange minutter kortere er den på tv?
1.29
Per, Pål og Espen går sammen om å spille Lotto. Per satser 50 kr, Pål 60 kr og Espen 40 kr.
De er enige om å dele en eventuell gevinst i samme forhold som innsatsen. De vinner 15 000 kr.
Hvor mye får hver av dem?
y = 200x betyr y = 200 · x
Proporsjonalitet
Ingrid har fått jobb ved siden av skolen og tjener 200 kr per time.
Jobber hun to timer, tjener hun 400 kr.
Jobber hun tre timer, tjener hun 600 kr.
Jo flere timer hun jobber, desto mer tjener hun.
Hvis arbeidstiden dobles, øker lønna til det dobbelte.
Hvis arbeidstiden tredobles, øker lønna til det tredoble.
Lønna til Ingrid er proporsjonal med arbeidstiden.
Vi lar y kr være lønna når Ingrid jobber x timer. Da er y = 200x Tallet 200 kaller vi proporsjonalitetskonstanten
I dette tilfellet er proporsjonalitetskonstanten det samme som timelønna.
Når to størrelser y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y = ax
der a er et fast tall som vi kaller proporsjonalitetskonstanten.
Vi framstiller lønna til Ingrid grafisk.
Origo er punktet (0 , 0). Aksene krysser hverandre i origo.
Grafen til y = 200x er en rett linje som går gjennom origo.
Ingrid kan ikke jobbe et negativt antall timer. Derfor tegner vi linja for x-verdier fra og med 0.
(antall timer)
Av figuren ovenfor ser du for eksempel at Ingrid tjener 800 kr hvis hun jobber fire timer.
Når verdien av x øker med 1, øker verdien av y med 200. Stigningstallet til linja er 200, og i dette tilfellet er stigningstallet det samme som timelønna.
En formel gir oss sammenhengen mellom to eller flere størrelser.
x (antall timer)
Vi kan alltid skrive likningen til en rett linje gjennom origo med stigningstallet a på formen y = ax Du vil lære mer om stigningstall i kapittel 3.
En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje gjennom origo.
Stigningstallet til linja er proporsjonalitetskonstanten.
Ingrid tjener 200 kr per time. Vi skriver gjerne at lønna er 200 kr/time.
Lar vi y kr være lønna når Ingrid jobber x timer, er y gitt ved formelen y = 200x
EKSEMPEL 7
I butikken koster fiskekaker 210 kr per kg.
a Forklar at prisen er proporsjonal med vekten.
b La P være prisen for x kg fiskekaker. Skriv opp en formel for P.
a For 1 kg fiskekaker betaler vi 210 kr. For 2 kg fiskekaker betaler vi 210 kr 2 = 420 kr, og for 3 kg betaler vi 210 kr 3 = 630 kr.
En dobling av vekten fører til en dobling av prisen, og en tredobling av vekten fører til en tredobling av prisen. Prisen er proporsjonal med vekten.
b Her er proporsjonalitetskonstanten det samme som prisen per kg. P = 210x
1.30
SparBua selger juicebokser på tilbud for 10 kr boksen.
a Forklar at det du må betale, og antallet juicebokser du kjøper, er proporsjonale størrelser.
b La P kr være prisen for x juicebokser. Skriv opp en formel for P.
1.31
SykkelOle selger energidrikk i to pakninger. En pakning med tre bokser koster 45 kr, og en pakning med seks bokser koster 80 kr.
Forklar at det du må betale, og antallet bokser ikke er proporsjonale størrelser.
1.32
Figuren nedenfor viser hvordan lønna til Trond varierer med antallet timer han jobber.
(timer)
a Hva er timelønna til Trond?
b Hvor mye tjener Trond hvis han jobber 7 timer?
c Skriv opp en formel som viser hvordan lønna til Trond varierer med antallet timer han jobber.
I eksempel 7 så vi at proporsjonalitetskonstanten er det samme som prisen per kg for fiskekakene.
Dette ser vi også om vi deler med x på begge sider i formelen y = 210x
Da får vi y x 210 = .
Forholdet mellom y og x er y x . Dette kan vi også skrive som y : x.
Hvis forholdet mellom to variable størrelser er konstant, er de proporsjonale.
EKSEMPEL 8
I grønnsaksdisken ligger det ulike poser med poteter.
Tabellen viser vekten i kg og prisen i kr for posene.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Er prisen proporsjonal med vekten?
Vi utvider tabellen med én rad og regner ut forholdet mellom prisen og vekten for de tre posene.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Pris ikr
Vekt ikg 42 1, 5 28 = 70 2, 5 28 = 140 5 28 =
Vi ser at forholdet mellom prisen og vekten er det samme for alle pakkene. Altså er prisen proporsjonal med vekten.
Proporsjonalitetskonstanten er 28.
Det betyr at potetene koster 28 kr/kg.
Når vi skal regne ut 42 : 1,5, kan vi tenke slik:
Vi kan altså tenke på 1,5 kg poteter som 3 poser med 0,5 kg poteter.
Én pose med 0,5 kg koster 42 kr : 3 = 14 kr.
1,0 kg, 2 poser, koster 2 ⋅ 14 kr = 28 kr.
Hvilke av situasjonene nedenfor kan handle om proporsjonalitet?
Hvilke størrelser er i så fall proporsjonale?
• Per har en deltidsjobb og tjener 190 kr per time.
• Vi kjenner høyden og vekten til en person.
• Vi fyller vann i et basseng ved hjelp av en slange.
• En bil kjører med konstant fart.
• Maria løper en tur hver dag etter skolen.
SNAKK
1.33
Parkteateret selger smågodt i forskjellige pakker Tabellen viser hva de ulike pakkene koster.
Vekten i hg 1,52,54,0
Pris i kroner 152540
a Vis at prisen og vekten er proporsjonale størrelser.
b Hva er proporsjonalitetskontanten, og hva forteller den oss her?
1.34
Vi tar for oss to typer vaskepulver, Superrent og Ultrarent. Tabellene viser hva det koster for de ulike pakningene av hver type.
Superrent:
Vekt i kg 0,50,81,2
Pris i kr 203248
Ultrarent:
Vekt i kg 0,51,01,5
Pris i kr 224459
Undersøk for hver av de to typene om prisen og vekten er proporsjonale.
1.35 (Eksamen 2P-Y våren 2025)
4 liter600 mL100 mL
Antibac hånddesinfeksjon selges i ulike størrelser, se ovenfor. Flaska med 600 mL koster 114 kr.
Hva skulle den store kanna og den lille sprayflaska ha kostet dersom pris og mengde hadde vært proporsjonale størrelser?
EKSEMPEL 9
1.36
Butikken har to ulike pakker med italiensk salat.
Den lille pakningen veier 200 gram og koster 24,10 kr.
Den store pakningen veier 320 gram og koster 33,10 kr.
Undersøk om prisen er proporsjonal med vekten.
Kommandoen round(lønn, 2) runder av lønn til to desimaler.
Viser noen av grafene sammenhengen mellom proporsjonale størrelser? Begrunn svaret.
Olav har en deltidsjobb og tjener 178,25 kr per time. Lag et program som regner ut ukelønna når han jobber 15,5 timer per uke.
TL = 178.25 # timelønna N = 15.5 # antall timer
lønn = TL * N # regner ut ukelønna
print("Lønna for", N, "timer er", lønn, "kr.")
1.38
Olav får tilbud om en ny stilling i firmaet. Timelønna i den nye stillingen er 190,75 kr, og han skal jobbe 17 timer per uke.
Gjør endringer i programmet i eksempel 9 slik at det regner ut og skriver ut den nye ukelønna med to desimaler.
1.39
Hos Larsen og Sønn er timelønna 204,50 kr per time. En arbeidsuke er 37,5 timer.
Lag et program som regner ut og skriver ut ukelønna med to desimaler.
RØDE OPPGAVER
1.40
Lokalavisa har studentpris på abonnementet. Et abonnement på tre måneder koster 825 kr, mens et abonnement på tolv måneder koster 3120 kr.
Er prisen proporsjonal med varigheten på abonnementet?
1.41
Nehna leser en bok. Etter tre dager har hun lest 45 sider, etter fem dager 75 sider.
a Forklar at hvis hun leser med samme tempo, så vil antallet sider hun har lest, være proporsjonalt med antallet dager hun har lest.
b Boka er på 330 sider. Hvor mange dager vil hun bruke på boka hvis hun fortsetter å lese i samme tempo?
1.42
Energidrikken SuperSprek selges i ulike størrelser.
Vi ser at prisen for 300 mL er 28,50 kr.
Hva koster de to andre kartongene hvis pris og volum er proporsjonale størrelser?
BLÅ OPPGAVER
1.43
Per leser en bok. Etter fire dager har han lest 52 sider, etter seks dager 26 sider til.
Boka er på 361 sider.
Hvor mange sider vil han lese den siste dagen hvis han fortsetter i samme tempo?
1.44
Hos Fjellrast hytteutleie kan du leie hytter med fire, seks eller tolv sengeplasser
Hytteprisen per døgn er proporsjonal med antallet sengeplasser.
Hvis fire personer leier den minste hytta i to døgn, blir prisen 1200 kr. Hva vil det koste for en vennegjeng på tolv personer å leie den største hytta i én uke?
1.45
Høyden av en plante i cm er proporsjonal med kvadratet av tiden målt i døgn fra den begynte å spire. Proporsjonalitetskonstanten er 0,2. Kall høyden for h og tiden for t.
Finn en formel for h, og bruk formelen til å finne høyden av planten etter seks døgn.
EKSEMPEL 10
Prosent og prosentpoeng
Hos Statistisk sentralbyrå (SSB) fant vi dette:
«Tall fra Norsk mediebarometer viser at bruken av sosiale medier som nyhetskilde har økt betydelig, spesielt blant unge. Hele 40 prosent i aldersgruppen 16 til 19 år sier at de får med seg nyheter på TikTok.»
At 40 % av de spurte i aldersgruppa 16 til 19 år sier at de får med seg nyheter på TikTok, betyr at 40 av 100 sier det. Andelen som bruker TikTok som nyhetskilde, er 40 100 eller 0,40. Vi sier gjerne at prosentandelen er 40.
Med prosent mener vi del av hundre eller hundredeler. p
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser til venstre.
a Skriv som desimaltall.
b Skriv som prosent.
EKSEMPEL 11
1.46
Skriv som desimaltall. a 3 % b 12 % c 135 % d 7,5 % e 0,1 %
1.47
Skriv som prosent.
a 0,06 b 0,15 c 0,25 d 0,95 e 1,17
Skriv som prosent.
a 2 5 b 6 300
a Vi finner først hvor mange prosent én femdel, 1 5 , er.
100 : 5 = 20
Altså er 1 5 = 20 %.
Brøken 2 5 er dermed det samme som 2 ⋅ 20 % = 40 %.
Vi kan også regne slik:
Merk!
%
Vi utvider brøken 2 5 med 20.
Vi forkorter brøken 6 300 med 3.
Med tilgang til kalkulator eller andre digitale verktøy kan vi regne om brøkdelen direkte til desimaltall. I oppgave b i eksempelet ovenfor får vi da:
1.48
Bruk figuren og skriv som prosent.
a 1 4
b 3 4
1.49
Bruk figuren og skriv som prosent.
a 1 8
b 3 8
c 6 8
1.50
Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. Hvor mange ruter klar du å fylle ut uten hjelpemidler?
På figuren er det 100 små ruter. 1 rute er 1 % av figuren.
1.51
I butikken er det tilbud på tannkrem. På hylla står det: «Kjøp 3, betal for 2.» Hvor mange prosent sparer du på å benytte deg av dette tilbudet hvis du skal kjøpe tre like tannkremtuber?
1.52
Fem av seks elever på en skole deltok på en markering. Hvor mange prosent av elevene deltok?
EKSEMPEL 12
En kinobillett for barn koster 120 kr, mens en voksenbillett koster 180 kr.
a Hvor mange prosent dyrere er voksenbilletten enn barnebilletten?
b Hvor mange prosent billigere er barnebilletten enn voksenbilletten?
a Prisforskjellen på billettene er 180 kr 120 kr = 60 kr.
Vi finner hvor mye prisforskjellen på 60 kr er av 120 kr
60 120 1 2 0, 5050 % == =
Voksenbilletten er 50 % dyrere enn barnebilletten.
b Vi finner hvor mye prisforskjellen på 60 kr er av 180 kr
60 180 1 3 0, 33333,3 % == =
Barnebilletten er 33 % billigere enn voksenbilletten.
Når vi skal regne ut hvor mange prosent dyrere eller billigere en vare er enn en annen, kan vi gjøre slik:
forskjelliprosent forskjell sammenlikningsgrunnlag 100 % = =⋅
1.53
En flybillett fra Bergen til Oslo koster 1500 kr på morgenen og 2100 kr på kvelden.
a Finn prisforskjellen.
b Hvor mange prosent dyrere er kveldsbilletten enn morgenbilletten?
Hvor mange prosent billigere er morgenbilletten enn kveldsbilletten?
1.54 (Eksamen 2P-Y våren 2024)
Nora skal kjøpe bagetter
Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?
Småbakst
2 for 32 kroner eller 4 for 48 kroner
EKSEMPEL 13
I Excel starter alle formler med =
Vi kan skrive inn 15 % på ulike måter.
Vi kan skrive 15 % og trykke Enter, eller vi kan skrive 0,15, trykke Enter, så markere cellen og til slutt klikke på prosentikonet
1.55
Roger har kjøpt en topakning med energidrikk til 60 kr på butikken.
Arild har kjøpt den samme topakningen til 150 kr på storkiosken.
Ta stilling til om hver av påstandene nedenfor stemmer, og begrunn svaret.
A Topakningen med energidrikk er 150 % dyrere på storkiosken enn på butikken.
B Topakningen med energidrikk er 60 % billigere på butikken enn på storkiosken.
Nyttige brøker og prosenter
1
Timelønna til Alfred er 220 kr på hverdager og 250 kr i helgene.
Alfred har et skattetrekk på 15 %.
Lag er et regneark som beregner hvor mye Alfred får utbetalt etter en måned, netto månedslønn, når han har jobbet til sammen 28 timer på hverdager og 7 timer i helgene.
Vanlig visning: Formelvisning:
1.56
En annen måned jobber Alfred til sammen 47 timer på hverdager og 15 timer i helgene.
Lag et regneark som i eksempel 13. Bruk regnearket til å regne ut netto lønn denne måneden.
1.57
Solgerd jobber i det samme firmaet som Alfred i eksempel 13.
Hun har en timelønn på 235 kr på hverdager og 265 kr i helgene.
Solgerd har et skattetrekk på 21 %.
En måned har Solgerd jobbet til sammen 85 timer på hverdager og 14 timer i helgene.
Lag et regneark som regner ut netto månedslønn for Solgerd denne måneden.
Prosentpoeng
Banken setter opp renta på boliglån fra 5,00 % per år til 5,20 % per år.
Vi sier at banken setter opp renta med 0,20 prosentpoeng.
I prosent er økningen 4 % siden 0, 2 5 0, 04 =
En endring i prosentandel oppgir vi i prosentpoeng.
EKSEMPEL 14
Et politisk parti gikk i en meningsmåling fram fra 16 % til 20 % i oppslutning.
a Hvor mange prosentpoeng var framgangen på?
b Hvor mange prosent var framgangen på?
Et annet parti gikk tilbake fra 6,0 % til 5,1 %.
c Hvor mange prosentpoeng var tilbakegangen på?
d Hvor mange prosent var tilbakegangen på?
a 20 − 16 = 4
Framgangen var på 4 prosentpoeng.
b Vi må finne hvor mange prosent 4 er av 16. 4 16 1 4 0, 2525 % == =
Vi forkorter 4 16 med 4.
Framgangen var på 25 %.
Partiet gikk fram 4 prosentpoeng, noe som svarte til en økning på 25 %.
c 6,0 5,1 = 0,9
Tilbakegangen var på 0,9 prosentpoeng.
d Vi må finne hvor mange prosent 0,9 er av 6,0. 0, 9 6, 0 9 60 3 20 15
15 % = = = =
Tilbakegangen var på 15 %.
Vi utvider brøken 0, 9 6, 0 med 10.
Vi forkorter brøken 9 60 med 3.
Vi utvider brøken 3 20 med 5.
Partiet gikk tilbake 0,9 prosentpoeng, noe som svarer til en tilbakegang på 15 %.
Forklar forskjellen på endring i prosentpoeng og endring i prosent.
1.58
I en meningsmåling gikk et parti fram fra 8,0 % til 10,0 % i oppslutning.
a Hvor stor var økningen i prosentpoeng?
b Hvor mange prosent gikk partiet fram?
1.59
En skole hadde et år 60 % jenter.
Året etter hadde andelen sunket til 57 %.
a Hvor mange prosentpoeng var nedgangen på?
b Hvor mange prosent var nedgangen på?
På en annen skole var det 60 % gutter
Året etter hadde andelen sunket til 51 %.
c Hvor mange prosentpoeng var nedgangen på?
d Hvor mange prosent var nedgangen på?
1.60
Et land planlegger å øke prosentandelen for nybar energi fra 5 % til 8 %.
Hvor mange prosent vil økningen utgjøre?
1.61
Tabellen viser oppslutningen til tre partier ved kommunevalget i år og ved forrige valg. PartiForrige valgDette valget Parti A 12 %15 % Parti B 3 % 6 % Parti C 15 %12 %
Hvilke av påstandene nedenfor stemmer?
1 Parti A og parti B har like stor framgang i prosent.
2 Alle partiene har samme endring i prosentpoeng.
3 Parti B har doblet sin oppslutning.
4 Parti A nådde målet sitt om å øke oppslutningen med 25 %.
RØDE OPPGAVER
1.62
Skriv tallene i stigende rekkefølge. 0,47 83 % 0,128 2 3 300 %
1.63
Hvor mange prosent er 20 kr av 200 kr?
1.64
a I en undersøkelse svarte 40 av 50 personer at de vet hvem Martin Ødegaard er Hvor mange prosent tilsvarer det?
b I en håndballkamp reddet målvakten 8 av 20 skudd på mål. Hva var redningsprosenten?
1.65
I et bed er det 5 gule, 3 grønne og 8 oransje tulipaner.
a Hvor mange prosent av tulipanene er grønne?
b Hvor mange prosent av tulipanene er ikke oransje?
1.66
Prisen for en vare A øker fra 40 kr til 60 kr
Prisen for en vare B øker fra 32 kr til 52 kr.
Hvilken pris øker prosentvis mest?
Husk å begrunne svaret ditt.
1.67
Oda tjener 210 kr i timen og får en lønnsøkning på 40 kr. Hvor mange prosent tilsvarer lønnsøkningen?
1.68
Ved kommunevalget fikk et parti 15 % av stemmene i en kommune. Ved siste meningsmåling var oppslutningen om partiet økt med 5 prosentpoeng.
a Hva var oppslutningen ved den siste meningsmålingen?
b Hvor mange prosent var økningen på?
1.69
I en pose er det grønne, røde og gule seigmenn.
3 5 av seigmennene er røde, og 1 10 er gule.
Hvor mange prosent av seigmennene er grønne?
BLÅ OPPGAVER
1.70
I vg1 på skolen er det 56 elever. Av disse er 14 jenter.
Hvor mange prosent av elevene er jenter?
1.71
I en undersøkelse leser vi:
Ungdom mellom 16 og 19 år bruker mest tid på internett med 7 timer og 14 minutter daglig. Til sammenlikning bruker eldre over 80 år bare en halvtime på internett i løpet av en dag.
a Hvor mange prosent mer tid bruker 16−19-åringer på inter nett enn eldre over 80 år?
b Hvor mange prosent mindre tid bruker eldre over 80 år på internett enn 16−19-åringene?
1.72
I en meningsmåling øker oppslutningen om et politisk parti med 1,4 prosentpoeng til 29,1 %.
Med hvor mange prosent gikk partiet fram?
1.73
På en skole er 60 % av elevene jenter.
25 % av jentene og 35 % av guttene tar buss til og fra skolen daglig.
Hvor mange prosent av elevene tar buss til og fra skolen daglig?
1.74
Farmor har lagd syltetøy. Det inneholder 20 % sukker. Barnebarna synes syltetøyet er surt, så farmor lager nytt syltetøy med like mye bær. Hun tilsetter dobbelt så mye sukker i det. Farmor mener nå at syltetøyet inneholder 40 % sukker, men barnebarna forstår at det er feil.
Hvor mange prosent sukker er det i det nye syltetøyet?
1.75
Sommeren 2020 hadde Badebukta campingplass 18 300 gjester. Av gjestene var 2 3 fra Norge.
Av gjestene som ikke kom fra Norge, kom 20 % fra andre nordiske land, mens resten kom fra land utenfor Norden.
Hvor stor prosentdel av gjestene kom verken fra Norge eller andre nordiske land?
EKSEMPEL 15
Prosentregning
Når vi regner med prosent, er det mange måter å tenke på og løse oppgavene på. Vi viser derfor fire alternative løsningsmetoder i eksempelet nedenfor. Finn ut hva du liker best, og hva som er mest hensiktsmessig i hver enkelt oppgave!
Et par ski kostet 3500 kr.
De selges med 20 % avslag. Finn avslaget i kroner.
Alternativ 1:
Vi går veien om 1 %.
100 % svarer til 3500.
1 % tilsvarer da 3500 : 100 = 35.
20 % tilsvarer derfor 35 ⋅ 20 = 700.
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 2:
Vi går veien om 1 %, men setter det opp som ett regnestykke.
350020 100 3520700=⋅ =
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 3:
100 : 20 = 5
20 % tilsvarer derfor én femdel, 1 5
20 % tilsvarer da 3500 : 5 = 700.
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 4:
20 % = 0,20.
20 % av 3500 er dermed
3500 0,20 = 700
Avslaget er 700 kr.
Vi deler med 100 for å finne 1 %, så ganger vi med 20 for å finne 20 %.
( BASERT PÅ EKSAMEN 2P-Y HØS TEN 2024)
Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han systematiserer oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.
Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i samme oppgavepar på samme måten som ovenfor, alltid vil ha samme svar.
1.76
En hybel leies ut for 5000 kr per måned.
Prisen settes opp med 6 %.
Hvor mye settes prisen opp?
1.77
På en skole med 320 elever svarer 25 % at de ser på Netflix hver dag. Hvor mange av elevene ser daglig på Netflix?
1.78
En skole har 740 elever.
Av disse er 30 % gutter.
Finn hvor mange gutter det er på skolen, ved å bruke figuren til høyre.
1.79
Et egg veier 60 g.
740 elever tilsvarer 100 % 30 % gutter
Av egget er 30 % plomme og 60 % hvite. Resten er skall.
a Hvor mye veier plommen i egget?
b Hvor mye veier skallet?
I en avis står det:
80 % av de som stemte, stemte nei til kommunesammenslåing.
Valgdeltakelsen var på 60 %.
Hvor mange prosent av de stemmeberettigede stemte nei?
EKSEMPEL 16
1 milliard
= 1000 millioner
Et kraftverk slipper ut omtrent 2,4 milliarder kilogram CO2 i løpet av ett år.
Kraftverket ønsker å redusere utslippene med 6,5 % for å nå miljømålene sine.
Hvor mange kilogram CO2 må de redusere utslippene med?
5
6, 5%
0, 065 == 2,4 ⋅ 0,065 = 0,156
Vi gjør om fra prosent til desimaltall.
Vi bruker et digitalt verktøy og ganger det hele med andelen.
Utslippene må reduseres med 0,156 milliarder kilogram CO2
Dette tilsvarer 156 millioner kilogram CO2
1.80
Folketallet i Norge var 5,6 millioner i 2025.
En dag i 2025 leser 0,45 % av innbyggerne samme nyhetssak i en nettavis.
Hvor mange personer tilsvarer det?
1.81
Se avisutklippet til høyre.
a Omtrent hvor mange menn fullførte førstegangstjenesten i 2024?
b Omtrent hvor stor andel av dem som ble innkalt til sesjon, fullførte førstegangstjenesten i 2024?
1.82
EKSEMPEL 17
I 2024 ble omtrent 23 000 kvinner og menn innkalt til sesjon. Av disse fullførte rundt 10 200 kvinner og menn førstegangstjenesten. I 2024 var 32 % av dem som fullførte førstegangstjenesten, kvinner.
En stor bedrift har årlige driftskostnader på 1,25 milliarder kroner.
Ledelsen ønsker å kutte kostnadene for å forbedre lønnsomheten.
Hvor mye penger vil de spare ved å kutte 5 % av driftskostnadene?
Hos et alarmselskap koster abonnementet 900 kr per måned.
Selskapet setter opp prisen med 5 %.
Hva blir den nye prisen?
100 % svarer til 900 kr.
10 % er det samme som én tidel, 1 10 .
10 % svarer altså til 900 : 10 = 90.
5 % svarer da til 90 : 2 = 45.
900 + 45 = 945
Den nye prisen blir 945 kr.
EKSEMPEL 18
1.83
Prisen på en sykkel ble satt ned med 15 % fra 9000 kr.
a Hvor mye ble prisen satt ned i kroner?
b Hva kostet sykkelen etter avslaget?
1.84
En singlet kostet opprinnelig 320 kr, men selges nå med 35 % rabatt. Hva koster singleten nå?
1.85
Treningsmagasinet Løp har 3400 abonnenter. Magasinet ønsker å øke antallet abonnenter med 15 % i løpet av tre måneder. Den første måneden øker antallet abonnenter med 8 %, og den andre måneden får bladet 150 nye abonnenter.
Hvor mange nye abonnenter må bladet få den tredje måneden for å nå målet?
Til julekonserten ble det solgt 552 billetter, noe som utgjorde 92 % av det totale antallet billetter som lå ute til salgs.
Hvor mange billetter lå ute til salgs?
92 % svarer til 552 billetter.
1 % svarer da til 552 92
100 % svarer da til 552 92 100600⋅=
Det lå 600 billetter ute til salgs.
Alternativt:
Vi kaller antallet billetter for x
Vi regner ut med digitalt verktøy.
Når vi ganger det totale antallet billetter med andelen som er solgt, får vi antallet solgte billetter.
Det gir x ⋅ 0,92 = 552.
Vi løser likningen i CAS.
1.86
I en avis står det at det ble solgt 25 000 flere elsykler i 2020 enn i 2019, og at dette svarer til en økning på 45 %.
Hvor mange elsykler ble det solgt i 2019?
1.87 (Eksamen 2P-Y høsten 2024)
En butikk satte opp prisen for en vare med 12 kr
Dette tilsvarer en prisøkning på 30 %.
Hvor mye kostet varen før prisøkningen?
Merverdiavgift
Hver gang du handler, betaler du merverdiavgift (mva.).
Dette er en avgift du må betale til staten når du kjøper de fleste varer og tjenester. Den generelle satsen for merverdiavgift i Norge er 25 %, men det finnes lavere satser for visse varer og tjenester. Til daglig kaller mange denne avgiften for moms
1.88
En kalvesteik koster 399 kr uten merverdiavgift. For næringsmidler (mat) er merverdiavgiften 15 %.
a Hva blir prisen med merverdiavgift?
b Hvor mange kroner utgjør merverdiavgiften?
1.89
En genser koster 599 kr uten merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %.
Hva er koster genseren med merverdiavgift?
1.90
Per lagde denne formelen for merverdiavgiften M kr når en kinobillett koster p kr uten merverdiavgift:
M = 0,12 p
a Hvor mange prosent er merverdiavgiften for kinobilletter?
b Hvor mye utgjør merverdiavgiften for en kinobillett som koster 160 kr inkludert merverdiavgiften?
1.91
Ida kjøper et deksel til mobilen.
Dekselet koster 250 kr inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %.
Hvor mye betalte Ida i merverdiavgift?
Vekstfaktor
Det finnes en rask måte å legge til eller trekke fra en bestemt prosent av et tall på. Da bruker vi vekstfaktoren.
Denne metoden vil vi også få bruk for når vi i kapittel 4 skal regne med flere prosentvise endringer etter hverandre.
Vekstfaktor større enn 1
I eksempel 17 kostet månedsabonnementet hos et alarmselskap 900 kr, og vi skulle finne den nye månedsprisen etter en prisøkning på 5 %.
Hvis en verdi øker med 5 %, er den nye verdien 100 % + 5 % = 105 % av den gamle verdien.
Den nye prisen er da
900900 0, 05900 (1 0, 05)900 1, 05
100 % 5% av 900
105 % er 1,05 som desimaltall.
Å legge til 5 % er derfor det samme som å gange med 1,05.
Tallet 1,05 kaller vi vekstfaktoren for en økning på 5 %.
Vekstfaktor mindre enn 1
Hvis en verdi minker med 25 %, er den nye verdien 100 % 25 % = 75 % av den gamle verdien.
Hvis en verdi på 680 synker med 25 %, blir den nye verdien
680680 0, 25680 (1 0, 25)680 0, 75
100 % 25 %av 680
75 % er 0,75 som desimaltall.
Å trekke fra 25 % er derfor det samme som å gange med 0,75.
Tallet 0,75 kaller vi vekstfaktoren for en reduksjon på 25 %.
Legg merke til at vi kaller det vekstfaktor selv om det er en reduksjon. Når vi kjenner den prosentvise økningen eller minkingen p, kan vi bruke denne formelen til å finne vekstfaktoren V:
V p 1 100 =±
I formelen bruker vi + når verdien øker og − når verdien minker.
ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktor
N = G V
1.92
Hva er vekstfaktoren når prisen på en vare går opp med
a 5 %
b 15 %
c 25,5 %
d 0,5 %
1.93
Hva er vekstfaktoren når prisen på en vare går ned med
a 5 %
b 15 %
c 15,5 %
d 0,5 %
1.94
a Timelønna til Ola øker med 3,5 % fra 350 kr. Hvilket av disse regnestykkene gir den nye timelønna?
1 350 0,035
2 350 1,035
3 350 1,35
b Prisen på en vare ble satt ned med 16 % fra 800 kr Hvilket av disse regnestykkene gir den nye prisen?
1 800 1,16
2 800 ⋅ 0,84
3 800 ⋅ 0,16
Hva er vekstfaktoren ved halvering?
Hva er vekstfaktoren ved dobling?
Kan vekstfaktoren være negativ?
1.95
I 2024 kjøpte Per aksjer for 50 000 kr.
I 2025 hadde verdien på aksjene steget med 20 %.
Hva var verdien på aksjene i 2025?
1.96
Fra 2023 til 2026 økte deltakelsen i turrennet Storfjellet rundt med 133 %.
I 2023 deltok det 500 løpere.
Bruk vekstfaktor til å finne antallet deltakere i 2026.
EKSEMPEL 19
Etter en lønnsøkning på 5 % tjener Ronny 230,10 kr per time.
a Hva var timelønna før lønnsøkningen?
Ved den neste lønnsøkningen øker timelønna fra 230,10 kr til 237,05 kr
b Hvor stor er denne lønnsøkningen i prosent?
a Vekstfaktoren er 1,05.
Vi bruker formelen N = G ⋅ V og setter inn tallene for N og V.
Timelønna før lønnsøkningen var 219,14 kr.
b Vi bruker igjen formelen N = G ⋅ V og setter inn tallene for N og G
Vekstfaktoren er 1,03. Det betyr at lønna øker med 3 %.
1.97
På kunstmuseet får skoleelever 30 % rabatt på inngangsbilletten.
Hva er ordinær pris når skoleelever betaler 105 kr?
1.98
Energiforbruket for en husstand var 2 300 kWh i mai 2025.
Dette var 18,2 % lavere enn energiforbruket i mai 2024.
Finn energiforbruket i mai 2024.
UTFORSK
1.99
På Storsjøen ble hyttetomtene i 2025 solgt for 950 000 kr.
I 2026 var prisen økt til 1 025 000 kr.
Hvor stor var prisøkningen i prosent?
1.100
Oliver la merke til at den gjennomsnittlige skjermtiden per dag gikk ned fra 4,5 timer til 3,7 timer fra en uke til den neste.
Hvor stor var nedgangen i prosent?
1.101 (Eksamen 2P-Y høsten 2020)
Importerte juletrær siste år 208 225
20,1 % endring fra ti år før
Ovenfor ser du hvor mange juletrær som ble importert til Norge i 2019.
Det ble importert 20,1 % færre juletrær i 2019 sammenliknet med i 2009.
Hvor mange juletrær ble importert til Norge i 2009?
Når prosentandelene er små, er det vanlig å bruke promille i stedet for prosent. Ordet promille betyr tusendel.
Du kjenner kanskje til uttrykket «å kjøre med promille». Det betyr å kjøre når blodet inneholder mer enn 0,2 promille med alkohol. Det er det samme som 0,2 tusendeler med alkohol.
1 promille = 1 ‰ = 1promille 1 1 1000 ==
a Hvor mange promille er 5 prosent?
b Et sølvsmykke er stemplet med 925 S.
Det betyr at det inneholder 925 ‰ med sølv.
Hvor mange prosent sølv inneholder smykket?
c Hvor mye er 3 ‰ av 200?
d I 2025 var eiendomsskatten i Fjellvik kommune 3,0 ‰.
Eiendomsskatten beregnes ut fra likningsverdien til en eiendom.
I 2026 økte satsen til 3,2 ‰.
1 Hvor mange prosentpoeng var endringen på?
2 I 2026 betalte familien Olsen 12 800 kr i eiendomsskatt.
Hvor stor var likningsverdien til eiendommen?
RØDE OPPGAVER
1.102
a En konfekteske kostet 155 kr. Den ble satt ned med 20 %.
Hva ble den nye prisen?
b En bukse kostet 400 kr etter en prisreduksjon på 20 %.
Hva kostet buksa før prisreduksjonen?
1.103
På et skolebibliotek er 90 elever til stede. Dette utgjør 15 % av alle elevene på skolen.
Hvor mange elever går det totalt på skolen?
1.104
270 elever på en skole meldte seg på et elevarrangement. Dette utgjorde 60 % av elevene.
Hvor mange elever går det på skolen?
1.105 (Eksamen 2P-Y våren 2025)
88 % av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse.
Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.
Hvor mange elever er det i klassen?
BLÅ OPPGAVER
1.106
Smågodt selges i løs vekt til 14 kr/hg.
En pose ferdigplukket smågodt inneholder 280 g og koster 49,50 kr.
Hvor mange prosent dyrere er det å kjøpe smågodt ferdigplukket enn i løs vekt?
1.107
På en vare som kostet 1000 kr, gikk prisen opp med 20 %.
En stund seinere hadde forretningen salg, og prisen ble satt ned med 20 %.
Finn prisen under salget.
1.108
Prisen på en elektrisk sparkesykkel ble satt ned med 15 %. Dette utgjorde en rabatt på 1575 kr.
Hva var den opprinnelige prisen?
1.109
Andreas er på salg i klesbutikken. Han kjøper en genser som har kostet 499 kr, men som er satt ned med 20 %. Han kjøper også en bukse som har kostet 899 kr, men som nå er satt ned med 40 %.
Hvor mange prosent har han spart til sammen på begge plaggene i forhold til den opprinnelige totalprisen?
BLANDEDE OPPGAVER
1.110
Grovbrød inneholder ca. 2,3 mg jern per 100 g.
I et ukeblad står at dagsbehovet for unge kvinner er ca. 18 mg jern.
Hvor mange gram grovbrød bør Kari spise hvis hele dagsbehovet for jern skal dekkes av brødet?
1.111
Et arbeid skal være ferdig på 30 dager. Etter at 15 mann har arbeidet i 8 timer per dag i 20 dager, er halve arbeidet gjort. For å få arbeidet ferdig i tide blir arbeidsstyrken i de siste 10 dagene økt med 9 mann.
Hvor mange timer må de nå jobbe per dag for å få arbeidet ferdig i rett tid?
1.112
I en bank i Danmark får vi opplyst at 100 danske kroner (DKK) koster 151,40 norske kroner (NOK).
Du skal betale en regning på 12 500 norske kroner med danske kroner.
Hvor mye må du betale i danske kroner når vi ser bort fra eventuelle gebyrer?
1.113
På nettet leser Max at voksne har et dagsbehov på ca. 30 mL (milliliter) væske per kilogram kroppsvekt per døgn.
Max veier 65 kg.
a Hvis hele væskebehovet til Max skal dekkes av vann, hvor mange liter bør han da drikke i løpet av et døgn?
b La V mL være væskebehovet per døgn for en person med kroppsvekt x kg.
Finn en formel for V.
1.114
City konditori selger poser med boller.
Tabellen nedenfor viser prisen for poser med tre, fem og åtte boller.
Antall boller 358
Pris per pose (kroner) 108190288
Er antallet boller og prisen per pakke proporsjonale størrelser?
Karl og Henrik studerer figuren ovenfor.
Karl: Hvordan kan vi finne stigningstallet til linja?
Henrik: Linja går gjennom origo, da kan vi bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten.
Karl: Ja, men vi kan også bruke at stigningstallet til en rett linje er konstant. Da kan vi finne stigningstallet ved å dele forandringen i y-verdien på forandringen i x-verdien.
a Bruk det siste Karl sier, til å finne stigningstallet til linja.
b Hva mener Karl med at «stigningstallet til en rett linje er konstant»? Forklar dette.
c Henrik sier først at vi kan «bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten» til å finne stigningstallet. Vis hvordan vi kan finne proporsjonalitetskonstanen ved å bruke punktet (30 , 456).
1.116 (Eksamen 2P-Y våren 2024)
Er antall sjokolader du kjøper, og prisen du betaler for hver sjokolade, proporsjonale størrelser i denne kiosken?
Husk å begrunne svaret ditt.
1.117
En vare er på salg. Prisen settes ned med 20 %.
Når salget er over, settes prisen opp igjen med 20 %.
Lise sier:
«20 % opp og 20 % ned er jo like mye. Prisen må bli den samme.»
Tore sier:
«Ja, hvis prisen for eksempel settes ned 50 %, kan vi gange med 0,5. Hvis prisen settes opp igjen med 50 %, må den ganges med 1,5. Gjennomsnittet av 0,5 og 1,5 blir 1. Prisen blir den samme.»
Hans sier:
«Nei, det stemmer ikke. Hvis vi setter prisen ned med 20 %, må vi gange med 0,8. Skal den økes med 20 %, må den ganges med 1,2. Produktet av 0,8 og 1,2 er ikke 1, så prisen må ha endret seg.»
Kommenter uttalelsene til Lise, Tore og Hans.
Hvem gir den korrekte begrunnelsen?
1.118 (Eksamen 2P-Y våren 2020)
For å reise til flyplassen kan Herman ta flybussen eller bybanen.
Flybussen koster 100 kr, og bybanen koster 40 kr.
a Hvor mange prosent billigere er bybanen sammenliknet med flybussen?
b Hvor mange prosent dyrere er flybussen sammenliknet med bybanen?
1.119 (Eksamen 2P-Y høsten 2023)
Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området.
Hun vurderer om hun skal kjøp en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.
Hver enkeltbillett koster 25 kr.
Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kr.
a Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.
b Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
1.120 (Eksamen 2P-Y høsten 2019)
I en eske ligger det hvite og røde ter ninger.
Av disse er 15 hvite, og 40 % er røde.
Hvor mange terninger er det totalt i esken?
1.121
Stine har en deltidsjobb. Hun får en timelønn på 305 kr.
Når hun jobber kvelder og helg, får hun et tillegg i timelønna på 50 %.
Stine har lagd et regneark hun kan bruke til å beregne lønna.
Formelvisningen av regnearket ser slik ut:
a Forklar formlene i regnearket.
Stine begynner i en annen jobb. I denne jobben er timelønna 330 kr, kveldstillegget 50 % og helgetillegget 100 %.
En måned jobber Stine 60 timer på dagtid, 10 timer med kveldstillegg og 8 timer med helgetillegg.
Stine har et skattetrekk på 18 %.
b Lag et regneark som regner ut netto månedslønn denne måneden.
1.122 (Eksamen 2P-Y høsten 2022)
Prisen for en vare ble satt opp med 1,5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kr.
Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart hvis prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med 4,0 %?
1.123
En mann har drukket alkohol. Tabellen viser promillen i blodet t timer etter at han sluttet å drikke.
Tid i timer (t) 2345
Promille (P) 1,100,950,800,65
a Hvor mange prosentpoeng sank promillen i tidsrommet
1 fra t = 2 til t = 3
2 fra t = 3 til t = 4
3 fra t = 4 til t = 5
b Hvor mange prosent sank promillen i de samme tidsrommene?
1.124 (Eksamen 2P-Y høsten 2023)
En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett.
Prisen er den samme for hvert handlenett.
Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.
Elevene bestemmer seg for å sette opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med hvis elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
1.125
En teaterbillett koster 480 kr. Med studentrabatt koster billetten 240 kr
a Hvor mye dyrere er den vanlige billetten enn studentbilletten?
b Hvor mye billigere er studentbilletten enn den vanlige billetten?
1.126
En butikk økte prisen på en vare med 20 %.
Etter en stund blir ble prisen satt ned igjen til den opprinnelige prisen.
Hvor mange prosent ble prisen satt ned med?
1.127
I en undersøkelse om nordmenns musikkvaner i 2018 leser vi:
88 % av nordmenn strømmer musikk (både gratistjenester og betalte tjenester).
58 % av nordmenn som strømmer musikk, bruker tjenesten Spotify. Det er en økning på 7 prosentpoeng fra 2017.
a Hvor mange prosent av dem som strømmet musikk i Norge i 2017, brukte Spotify?
b Hvor mange prosent av befolkningen i Norge benyttet seg av Spotify i 2018?
SAMMENDRAG
Gange og dele med 100
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre. Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre.
Veien om 1
Start med å finne hvor mye som tilsvarer én enhet, for eksempel prisen på 1 kg.
Proporsjonalitet
To variable størrelser x og y er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant, y x a = , der a er proporsjonalitetskonstanten.
Prosentandel
15 av 300 er 15 300 5 100 0, 05 5% == =
15 % av 300 er 0,15 ⋅ 300 = 45. 1 2 0, 550% 1 3 0, 33333,3 % 1 4 0, 2525 % 1 5 0, 2020 % 1 10 0,1010 %
Prosent og prosentpoeng
En økning fra 40 % til 50 % svarer til en økning på 10 prosentpoeng. Økningen i prosent er da 10 av 40, som svarer til 25 %.
En nedgang fra 50 % til 40 % svarer til en nedgang på 10 prosentpoeng. Nedgangen i prosent er da 10 av 50, som svarer til 20 %.
Vekstfaktor
100 % + 12 % = 112 %
Vekstfaktoren ved en økning på 12 % er 1,12.
100 % 12 % = 88 %
Vekstfaktoren ved en nedgang på 12 % er 0,88.
ny verdi = gammel verdi vekstfaktor
N = G V x y y = ax
KAPITTELTEST
Oppgave 1
Prisen på en fotballtur til London er 12 500 kr. Klubbmedlemmer kan kjøpe turen med 20 % rabatt.
Hvor mye må klubbmedlemmene betale for turen?
Oppgave 2
I fjor ble det lagt ut 2000 billetter til avslutningskonserten på bygdedagen.
I år ble det lagt ut 2500 billetter. Hvor mange prosent var økningen?
Oppgave 3
Pensjonister kan kjøpe ukekort i skiheisen for 84 kr. Dette tilsvarer 70 % av full pris. Hva er full pris for ukekortet?
Oppgave 4
Hygga gård selger epler.
Vekt i kg 2,546
Pris i kr 79108168
Undersøk om pris og vekt er proporsjonale størrelser.
Oppgave 5
Kari har en timelønn på 205,75 kr.
En måned har hun jobbet 77,5 timer.
Kari har lagd dette programmet for å regne ut månedslønna:
timelønn = 205,75 timer = 77,5
månedslønn = timelønn * timer print("Månedslønn:", månedslønn, "kr.")
Programmet virker ikke.
a Hvilke(n) feil har Kari gjort?
b Rett programmet og bruk det til å finne månedslønna til Kari. Programmet skal skrive ut månedslønna med to desimaler
Oppgave 6
Lønna til Lars er proporsjonal med antallet timer han jobber.
I uke 7 jobbet Lars seks timer og tjente 1860 kr.
I uke 8 jobbet han fire og en halv time.
a Hvor mye tjente Lars i uke 8?
b La L kr være lønna til Lars når han jobber x timer.
Finn en formel for L
Oppgave 7
På en skole med 240 elever er én tredel av elevene gutter. Halvparten av guttene reiser med buss til skolen. Av jentene bruker tre firedeler buss til skolen.
a Hvor mange prosent av elevene på skolen er jenter?
b Hvor stor brøkdel av elevene på skolen er gutter som bruker buss til skolen?
c Hvor mange elever reiser ikke med buss til skolen?
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.
Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk 2P-Y (LK20) og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers
Læreboka
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi Utforsk-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og Snakk-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk. Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitler, der de passer. Til slutt i hvert kapittel er det blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og underviser i matematikk og kjemi.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.
ISBN 978-82-03-41467-1
Aunivers inneholder blant annet
• oppgaveveiledere med KI-støtte
• fullstendige løsninger av alle oppgavene
• opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
Som lærer får du i tillegg tilgang til
• kapittelomtaler
• kapittelprøver
• terminprøver
• egenvurderinger
• elevaktiviteter