– forenklet
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
2P
– forenklet
Bokmål
Innhold
1 Statistikk
Sentralmål 5
Prosent 9
Diagrammer 17
Spredningsmål 24
Programmering 26
Eksamensoppgaver 27
2 Modellering
Å presentere data 31
Å analyser data 35
Eksponentiell vekst 37
Regresjon 47
Programmering og Excel 49
Eksamensoppgaver 50
3 Økonomi
Lønn 53
Sparing 55
Lån 57
Budsjett og regnskap 61
Pris- og lønnsutvikling 63
Programmering 66
Eksamensoppgaver 67
4 Likninger og ulikheter
Lineære likninger 71
Andregradslikninger 75
Flere likninger 78
Likningssystemer 80
Ulikheter 81
Programmering 85
Eksamensoppgaver 87
5 Geometri
Vinkler og sider i trekanter 89
Omkrets 92
Areal 93
Overflate av prisme 96
Volum av prisme 98
Volum av sylinder 100
Pytagorassetningen 101
Formlikhet 106
Målestokk 107
Programmering 109
Eksamensoppgaver 110
Fasit 113
Om Matematikk 2P – forenklet
Matematikk 2P – forenklet er én av komponentene i Matematikk 2P, som består av
• lærebok
• forenklet bok
• digitale ressurser for elever og lærere på Aunivers
Forenklet bok
Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka.
Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver.
Boka kan brukes i kombinasjon med læreboka, eller den kan brukes alene.
Den passer for elever som skal ha vurdering, og som trenger å repetere grunnleggende matematikk. Den kan også brukes av elever som ikke skal ha vurdering i faget.
Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Alle oppgavene vi mener bør løses med hjelpemidler, er merket med
Til slutt i hvert kapittel er det programmeringsinnhold og eksamensoppgaver.
Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene i læreboka.
Vi håper at Matematikk 2P – forenklet hjelper deg på veien til å mestre matematikk.
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk2p@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Statistikk 1
KAPITTELINNHOLD
Sentralmål 5
Prosent 9
Diagrammer 17
Spredningsmål 24
Programmering 26
Eksamensoppgaver 27
Sentralmål
Et sentralmål er et statistisk mål som sier noe om hvor sentrum, eller midten, for dataene i et datasett ligger. Sentralmål hjelper oss også i å sammenlikne ulike datasett. To sentralmål vi skal se på, er gjennomsnitt og median.
Gjennomsnitt
Gjennomsnittet for et datasett er summen av dataverdiene delt med antall verdier i datamaterialet.
gjennomsnitt
summenavdataverdiene antall dataverdier ==
EKSEMPEL 1
Antall mål Emilie skåret i de siste 10 fotballkampene var: 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1
Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?
Summen av dataverdiene er
Antall observasjoner er 10. 12 10 1, 2 = Hun skåret i gjennomsnitt 1,2 mål per kamp.
101
Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:
2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1
Hvor mange mål skåret han i gjennomsnitt per kamp?
102
Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:
2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?
Regn her:
Median
Medianen er midtpunktet i et datamateriale når vi har skrevet verdiene i stigende rekkefølge.
EKSEMPEL 2
Se på antall mål Adam og Eva skåret i fotballkampene sine denne sesongen.
Adam: 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1
Eva: 2, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0
Hva er medianen for antall mål for Adam og Eva?
Vi ordner dataverdiene i stigende rekkefølge.
Adam: 0 0 1 1 1 1 2 2 3
Eva: 0 0 0 0 0 | 1 1 2 2 2
Adam har spilt ni kamper, og i den midterste av dem skåret han ett mål (markert med blått). Medianen for Adam er 1 mål.
Eva har spilt ti kamper, og midtpunktet ligger da mellom kamp nummer 5 og kamp nummer 6. Medianen er gjennomsnittet av de to dataverdiene på hver sin side av midtpunktet (markert med en blå strek).
01 2 0, 5 + =
Medianen for Eva er 0,5 mål.
103
Nedenfor ser du hvor mange ganger sju ungdommer trente siste uke.
5 3 1 0 4 2 3
a Hvor mange ganger trente ungdommene i gjennomsnitt?
b Finn medianen.
104
Se på antall mål Erik og Erika skåret i ishockeykampene sine denne sesongen.
Erik: 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2
Erika: 2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Hva er medianen for antall mål for Erik og Erika?
Regn her:
105
I 2STC er det 10 jenter. Høyden på jentene i cm er:
a Finn gjennomsnittshøyden.
b Finn medianhøyden.
106
Seks av guttene på fotballaget sammenlikner hvor mange mål de skåret siste sesong. Antall mål de skåret var:
9 11 5 10 4 6
a Finn gjennomsnittet.
b Finn medianen.
107
I styret i borettslaget sitter:
Lars 31 år, Siri 38 år, Olav 48 år, Liz 53 år og Aleksandr 35 år. Aleksandr slutter i styret, og Amanda på 37 år velges inn i styret.
Hva skjer med gjennomsnittsalderen og medianalderen til styret?
Gjennomsnitt og median med regneark
EKSEMPEL 3
Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik: 25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135, 90
Finn gjennomsnittlig og median tid guttene brukte på dataspill.
108
Regn her:
Vi legger inn tidene i et regneark, for eksempel i cellene A1–J1. Deretter skriver vi =GJENNOMSNITT(A1:J1) i for eksempel celle K1 og =MEDIAN(A1:J1) i celle L1.
Guttene brukte i gjennomsnitt 116 minutter på dataspill. Mediantiden er 110 minutter.
Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik:
250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75, 60
a Finn gjennomsnittet.
b Finn medianen.
109
I en fartskontroll målte politiet farten til en del biler. Farten til de 15 første bilene i km/h var: 95, 83, 72, 103, 85, 107, 96, 78, 92, 88, 82, 90, 79, 80, 87
a Finn gjennomsnittet.
b Finn medianen.
c Hva blir gjennomsnittet hvis du utelater bilen med høyest fart?
d Hva blir gjennomsnittet hvis du utelater bilen med lavest fart?
e Hva blir medianen hvis bil nummer 16 har en fart på 100 km/h?
110
Elevene i klassen har vært på sesjon. Der ble høyden målt. For guttene var høydene i cm slik:
178 190 183 184 180 196 166 170 172 180 184 190 179 180 181
a Finn gjennomsnittet.
b Finn medianen.
c Peder var syk denne dagen. Peder er 188 cm høy. Hva blir gjennomsnittshøyden og medianhøyden hvis vi tar med Peder?
Frekvenstabell
Frekvensen til en dataverdi er hvor mange ganger dataverdien forekommer i et datasett.
EKSEMPEL 4
Emilie spiller fotball. Antall mål hun skåret i de siste 10 kampene var: 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1
Lag en tabell som viser frekvensene for antall mål.
Vi teller opp og ser at hun skåret null mål to ganger, ett mål fem ganger, to mål to ganger og tre mål én gang.
Antall målFrekvens
111
Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:
2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1
Fyll ut frekvenstabellen til høyre.
112
Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:
2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Lag en tabell som viser frekvensene for antall mål.
Tegn her:
Prosent
Hos SSB (Statistisk sentralbyrå) kan vi lese at 93 % av ungdommen mellom 13 og 19 år bruker Snapchat daglig. Det betyr at 93 av 100 gjør det.
Andelen som bruker Snapchat er 93 100 eller 0,93.
Vi sier at prosentandelen er 0,93.
Prosent betyr hundredeler.
93 % er det samme som brøken 93 100 og som desimaltallet 0,93.
EKSEMPEL 5
Skriv 25 % som a en brøk med 100 som nevner
b et desimaltall
a 25 % betyr 25 hundredeler, så 25 % 25 100 =
b Fra oppgave a vet vi at 25 % 25 100 =
Brøkstreken er et deletegn, så vi får at 25 100 25100 0, 25 =: =
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser til venstre.
113
Skriv som brøk med 100 som nevner. a 8 % =
114
Skriv som desimaltall. a 4 % =
EKSEMPEL 6
Skriv desimaltallene som brøk med 100 som nevner og som prosent.
a 0,42
b 0,06
115
Skriv desimaltallene som prosent.
27 % =
3 % =
116
Fyll ut tabellen.
EKSEMPEL 7
Det er 28 elever i en klasse. Ti av dem liker musikken til Kygo.
Hvor mange prosent av elevene liker musikken til Kygo?
12 % =
2,6 % =
117
I en klasse med 20 elever er det 15 jenter. Hvor mange prosent av elevene er jenter?
118
I en klasse med 27 elever var det to som syklet til skolen på mandag.
Hvor mange prosent av elevene syklet til skolen på mandag?
119
I en klasse med 20 elever har 16 elever null fravær siste måned.
Hvor mange prosent av elevene har ikke fravær siste måned?
Regn her:
Relativ frekvens
Den relative frekvensen til en dataverdi er andelen av datasettet som denne verdien utgjør.
EKSEMPEL 8
Tabellen viser frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 fotballkampene.
Antall målFrekvens 0 2 1 5 2 2 3 1
Utvid tabellen med en kolonne som viser de relative frekvensene.
Relativ frekvens for 0 mål er 2 10 0, 220%==
Relativ frekvens for 1 mål er 5 10 0, 550%==
Relativ frekvens for 2 mål er 2 10 0, 220%==
Relativ frekvens for 3 mål er 1 10 0,110%==
Antall målFrekvensRelativ frekvens
120
Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:
2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1
a Fyll ut tabellen.
b Hva er summen av alle de relative frekvensene? Kommenter.
Kumulativ frekvens
Den kumulative frekvensen til en verdi er det totale antallet observasjoner som er mindre eller lik denne verdien.
EKSEMPEL 9
Tabellen viser frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.
Antall målFrekvens
Utvid tabellen slik at den også viser kumulativ frekvens.
Den kumulative frekvensen for 0 er det samme som frekvensen for 0, det vil si 2.
Den kumulative frekvensen for 1 er 2 + 5 = 7.
Den kumulative frekvensen for 2 er 2
Den kumulative frekvensen for
121
a Tabellen viser antall mål Eskil skåret i de siste åtte kampene. Fyll inn de kumulative frekvensene.
b Hva er den praktiske tolkningen av kumulativ frekvens for 2 mål.
122
Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:
2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Lag en tabell som viser både frekvensene og de kumulative frekvensene for antall mål.
Kumulativ relativ frekvens
Kumulativ relativ frekvens ved en gitt verdi er andelen av datasettet som har verdier opp til og med denne verdien.
EKSEMPEL 10
Tabellen viser de relative frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.
Antall mål Relativ frekvens
%
Tegn her:
Utvid tabellen slik at den også viser kumulativ relativ frekvens.
Den kumulative frekvensen for 0 er det samme som frekvensen for 0, det vil si 20 %.
Den kumulative frekvensen for 1 er 20 % + 50 % = 70 %.
Den kumulative frekvensen for 2 er 20 % + 50 % + 20 % = 90 %.
Den kumulative frekvensen for 3 er 20 % + 50 % + 20 % + 10 % = 100 %
Antall målRelativ frekvensKumulativ relativ frekvens
123
a Tabellen nedenfor viser relativ frekvens for antall mål Eskil skåret i de siste åtte kampene. Fyll inn de kumulative relative frekvensene.
b Hva er den praktiske tolkningen av kumulativ relativ frekvens for 4 mål?
124
Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:
2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Hva er den kumulative relative frekvensen for 2 mål?
Klassedelt frekvenstabell
Erle spiller håndball. Antall mål hun skåret i de siste 10 kampene var: 12, 5, 11, 10, 13, 10, 8, 4, 12, 7
Vi kan dele dataverdiene inn i klassene 0−4 mål, 5−9 mål og 10−14 mål, og lage en tabell som viser frekvens og relativ frekvens for antall mål i hver klasse.
Vi har her valgt en klassebredde på 4 mål.
Klassen med dataverdier som er minst lik 5 og mindre enn 10, er det vanlig å skrive som [5 ,10
I dette eksemplet vil det være 5, 7, og 8 mål.
I én av kampene skårer hun 0–4 mål. Den relative frekvensen for denne klassen er 1 10 0,110%==
I tre av kampene skårer hun 5–9 mål. Den relative frekvensen for denne klassen er 3 10 0, 330%==
I seks av kampene skårer hun 10–14 mål. Den relative frekvensen for denne klassen er 6 10 0, 660%==
Antall målFrekvensRelativ frekvens
[0 ,5 1 10 %
[5 ,10 3 30 %
[10, 15 6 60 %
125
Erlend spiller håndball. Antall mål han skåret i de siste 20 kampene var:
8, 12, 10, 10, 11, 6, 4, 3, 14, 11, 7, 12, 9, 5, 11, 10, 7, 4, 9, 8
Tell opp og gjør nødvendige beregninger for å fylle ut tabellen.
126
Antall målFrekvensRelativ frekvens
[0 ,5
[5 ,10
[10, 15
I en 2P-gruppe er det 28 elever. Tabellen viser hvor lang tid elevene bruker til skolen.
Reisetid
a Hvor mange elever bruker mindre enn 10 minutter til skolen?
b Hvor mange elever bruker 30 minutter eller mer til skolen?
c Emilie bruker 19,5 minutter til skolen. I hvilket intervall finner vi tiden hennes?
d Fyll ut tabellen.
127
Sander har vært på fisketur og fått 12 fisker. Vekten av fiskene i kg var:
a Fyll ut tabellen.
b Hvor stor prosentandel av fiskene tilhører de to øverste vektklassene (dvs. de tyngste fiskene)?
Vekt (kg)FrekvensRelativ frekvens
[0 ,0,5〉
[0,5 ,1,0〉
[1,0 ,1,5〉
[1,5 ,2,0〉
Typetall
Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger i et datamateriale. Hvis vi har to dataverdier som forekommer like mange ganger, har vi to typetall.
EKSEMPEL 11
Se på antall mål Adam og Eva skåret i fotballkampene sine denne sesongen.
Adam: 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1
Eva: 2, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0
Hva er typetallet for antall mål for Adam og Eva?
128
Adam skåret oftest ett mål (i fire kamper), så 1 mål er typetallet for Adam.
Eva skåret oftest ingen mål (i fem kamper), så 0 mål er typetallet for Eva.
Se på antall mål Erik og Erika skåret i ishockeykampene sine denne sesongen.
Erik: 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2
Erika: 2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0
Typetallet for antall mål er for Erik og for Erika.
129
Sekretæren lager denne oversikten over alderen i år på medlemmene i skolekorpset:
14 16 13 13 14 16 13 17 16 13 16 17 14 15 16 17 13 16
Typetallet er:
130
Snøsprint IL har en juniorgruppe på 20 medlemmer. Alderen i år er:
16 17 15 19 18 14 15 16 17 18 19 17 15 16 17 18 17 16 18 17
a Hva er gjennomsnittsalderen?
b Hva er medianalderen?
c Hva er typetallet for alder?
Regn her:
Diagrammer
I statistikk er det ofte lurt å bruke diagrammer når vi skal tolke dataene. Når vi ser tall alene, kan det være vanskelig å se hva de faktisk forteller oss. Diagrammer gjør det enklere å sammenlikne, se hvordan noe utvikler seg og oppdage mønstre.
Stolpediagram
Et stolpediagram blir også ofte kalt et søylediagram
EKSEMPEL 12
Tabellen viser hvor mange mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.
Antall mål 0123
Antall kamper 2521
Lag er stolpediagram som illustrerer fordelingen av antall skårete mål.
Vi merker av antall mål per kamp langs den vannrette aksen. I to kamper skåret Emile 0 mål. Da skal høyden på stolpen over 0 mål per kamp, være 2. Høyden på hver stolpe skal altså være lik frekvensen for 0, 1, 2, og 3 mål per kamp.
Antall mål
131
I en 2P-gruppe er det 20 elever. Tabellen viser karakterene de fikk på en prøve. Bruk figuren nedenfor og tegn et stolpediagram som viser fordelingen av karakterene. Karakter
Antall elever
Stolpediagram med Excel
I eksempel 12 så vi på antall mål Emilie skåret i de to siste kampene.
Antall mål 0123
Antall kamper 2521
Vi legger antall mål inn i kolonne A og antall kamper inn i kolonne B i regnearket. Så markerer vi det området i regnearket som inneholder dataene, velger fanen Sett inn og klikker på Anbefalte diagrammer.
Vi velger stolpediagram og klikker OK. Vi får da figuren nedenfor.
Skrifligeksamen2Pvåren2024
Linjediagram med Excel
Et linjediagram egner seg godt til å vise en utvikling. Et linjediagram blir ofte også kalt et kurvediagram. Tabellen til høyre viser antall deltakere i sykkelrittet Storsjøen rund i årene 2020−2025.
Vi går fram på samme måten som da vil laget stolpediagrammet. Vi legger årstallene inn i kolonne A og antall deltakere inn i kolonne B i regnearket. Så markerer vi det området i regnearket som inneholder dataene, velger fanen Sett inn og klikker på Anbefalte diagrammer.
Vi velger Linjediagram og klikker OK.
År 202020212022202320242025
Antall deltakere 230250200260300280
132
Et idrettslag har fire grupper: ski, fotball, friidrett og orientering.
Medlemstallet i gruppene fordeler seg slik:
GruppeAntall medlemmer
Ski 80
Fotball 60
Friidrett 110
Orientering 45
Lag et stolpediagram som viser denne fordelingen.
133
På en innleveringsoppgave fikk de 15 elevene i 2STA disse karakterene:
2 3 5 4 3 6 4 3 3 4 5 6 3 4 5
a Lag en tabell som viser frekvensen for hver av karakterene.
b Lag et stolpediagram som viser fordelingen av karakterene.
134
Tabellen nedenfor viser antall ansatte hos Fredriksen & Co.
År 20212022202320242025
Antall ansatte 710750740760755
a Lag er stolpediagram som illustrerer utviklingen.
b Lag er linjediagram som illustrerer utviklingen.
Tegn her:
Histogram
Et histogram egner seg godt til å framstille klassedelt materiale.
Når vi tegner et histogram, tegner vi rektangler over hver klasse, og arealene av rektanglene skal svare til frekvensene.
Vi vet at arealet av et rektangel er lik bredden ganget med høyden. For et histogram har vi derfor at frekvensen = klassebredden høyden.
For hvert rektangel i histogrammet er da høyden= frekvensen klassebredden
Histogram:
frekvensen = klassebredden høyden
høyden= frekvensen klassebredden
EKSEMPEL 13
Tabellen viser hvor lang tid elevene på Sletta videregående skole bruker til skolen.
Lag et histogram som viser fordelingen av reisetider.
Klassebredden av avstanden mellom korteste og lengste reisetid i hver klasse. Her ser vi at klassebredden er 10 minutter i alle klassene. Høyden av rektanglene er gitt ved høyden= frekvens 10
Vi utvider tabellen med en rad og regner ut høydene.
Vi får histogrammet til høyre.
(minutter)
Frekvens (antall) 305080120
Klassebredde (minutter) 10101010
Høyde frekvens klassebredde
På den årlige fiskekonkurransen på Storøya ble all fanget fisk veid. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
Vekt (kg) [0 ,2 [2 ,4 [4 ,6 Frekvens (antall) 10 40 30
a Hva er klassebredden?
b Fyll ut tabellen nedenfor.
Vekt (kg) [0 ,2 [2 ,4 [4 ,6
Frekvens (antall) 104030
Høyde frekvens klassebredde
c Lag et histogram som viser fordelingen av vektklassene.
Regn her:
136
Utenfor Bygdeskogen skole hold politiet fartskontroll første skoledag. Farten politiet målte på bilene, er fordelt slik histogrammet nedenfor viser.
3040505560 20 10 253545 15 5
a Hva er klassebredden?
b Fartsgrensen utenfor skolen er 30 km/h. Hvor mange av de kontrollerte bilene kjørte med en fart som var lavere enn 30 km/h?
c Hvor mange biler ble kontrollert?
Fart i km/h
Regn her:
Sektordiagram
Et sektordiagram blir også ofte kalt for et kakediagram.
Et sektordiagram er en sirkel inndelt i sektorer. Gradtallet til sektoren er
relativ frekvens ⋅ 360°
EKSEMPEL 14
I klasse 2A er det 20 elever. Til en klassefest kan elevene velge mellom taco, pizza og pølser.
8 elever vil ha taco, 7 elever vil ha pizza, og 5 vil ha pølser.
a Tegn et sektordiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på taco, pizza og pølser.
b Regn ut gradtallet til sektorene i diagrammet.
a Vi skriver inn de ulike kategoriene i kolonne A og frekvensene i kolonne B. Så går vi til «Sett inn» og velger sektordiagram ved å klikke på
b Relativ frekvens for taco er 8 20 , så gradtallet er 8 20 360144oo⋅=
Relativ frekvens for taco er 7 20 , så gradtallet for pizza er 7 20 360126oo⋅=
Relativ frekvens for taco er 5 20 , så gradtallet for pølser er 5 20 36090oo⋅=
137
I klasse 2B er det 24 elever. Til en klassefest kan elevene velge mellom taco, pizza og pølser.
12 elever vil ha taco, 8 elever vil ha pizza, og 4 vil ha pølser.
a Tegn et sektordiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på taco, pizza og pølser.
b Regn ut gradtallet til sektorene i diagrammet.
Regn her:
Spredningsmål
Gjennomsnitt og median er sentralmål som på hver sin måte forteller oss hva som er sentrum for dataene i et tallmateriale. Men sentralmålene sier ikke noe om spredningen i datamaterialet.
Variasjonsbredde og standardavvik er spredningsmål som forteller oss noe om spredningen, variasjonen i datamaterialet.
Variasjonsbredde
Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi i et datasett.
EKSEMPEL 15
Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik: 25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135 og 90.
Finn variasjonsbredden.
138
Den korteste tiden er 20 minutter. Den lengste tiden er 300 minutter.
300 20 = 280
Variasjonsbredden er 280 minutter.
Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik: 250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75 og 60.
a Finn variasjonsbredden.
b Sammenlikn med eksempel 15. Hvem har størst spredning i tiden brukt på dataspill?
139
Høyden i cm på guttene i 2STD er:
174 177 180 170 172 181 178 176 183 179 169
Finn variasjonsbredden, gjennomsnittshøyden og medianhøyden.
Regn her:
Standardavvik
Standardavviket er et mål for hvor mye dataverdiene i et datasett avviker fra gjennomsnittet.
Standardavvik er et mye brukt spredningsmål for et datasett.
EKSEMPEL 16
Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik:
25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135, 90
Finn standardavviket.
140
Vi legger inn tidene i et regneark, for eksempel i cellene A1–J1. Så skriver vi =STDAV.S(A1:J1) i celle K1.
Standardavviket er omtrent 77 minutter.
Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag. Resultatet (i minutter) ble slik:
250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75, 60
a Finn standardavviket.
b Sammenlikn med eksempel 16.
Er det guttene eller jentene i klassen som har størst spredning i tiden brukt på dataspill?
141
I en fartskontroll målte politiet farten til en del biler. Farten til de 15 første var (i km/h): 95, 83, 72, 103, 85, 107, 87, 78, 92, 88, 82, 90, 79, 80, 96
a Finn standardavviket.
b Hva blir standardavviket hvis du utelater bilen med lavest fart?
c Hva blir standardavviket hvis du utelater bilen med høyest fart?
Programmering
Høydene i cm på de åtte spillerne på basketballaget til skolen er:
191 185 187 195 189 201 185 190
Når vi skal finne gjennomsnittshøyden og medianhøyde med programmering, starter vi med å importere mean (gjennomsnitt) og median fra biblioteket numpy. Så legger vi høydene inn i en liste vi kaller høyde, og finner gjennomsnittshøyden og medianhøyden med kommandoene mean(høyde) og median(høyde)
1 2 3 4 5 6 7 8 from numpy import mean, median høyde = [191, 185, 187, 195, 189, 201, 185, 190] gjennomsnitt = mean(høyde) median = median(høyde)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Median:", median)
142 a Skriv av og kjør programmet ovenfor
Gjennomsnitt:
Median:
b Hva skjer hvis du erstatter linje 7 med: print("Gjennomsnitt:", round(gjennomsnitt, 1))?
Åtte av elevene i klasse 2STB har deltidsjobb ved siden av skolen.
Timelønna deres i kroner er:
170 189 195 201 187 182 190 191
c Gjør endringer i programmet fra oppgave a slik at det finner gjennomsnittslønna og medianlønna.
Gjennomsnittslønna er:
Medianlønna er:
143
Jentene i skigruppa skrev ned hvor mange kilometer de gikk på ski forrige måned. Tallene ser du her:
120 172 191 130 98 101 132 153 162 143 87 92
Lag et program som finner gjennomsnittet og medianen. Kjør programmet.
Gjennomsnittet er:
Medianen er:
Eksamensoppgaver
144 (Eksamen 2P våren 2020)
Trine har spurt 20 elever i klassen hvor mange ganger de hjalp til med husarbeid hjemme i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.
10, 14, 14, 8, 5, 10, 10, 10, 0, 8, 8, 7, 7, 0, 8, 7, 7, 7, 5, 7
a Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
Regn her:
b Fyll ut tabellen nedenfor. Forklar hva tallene i nest siste rad i tabellen betyr
145 (Eksamen 2P våren 2024)
Nedenfor ser du hvor mange timer 10 ungdommer brukte på sosiale medier i løpet av en dag. 1 3 4 0 4 5 2 7 12 2
Finn gjennomsnittet og medianen.
Regn her:
146 (Eksamen 2P høsten 2020)
Diagrammene nedenfor viser snødybden i Oslo og Kautokeino julaften de 11 siste årene.
Bestem gjennomsnittet og standardavviket for snødybdene i Oslo og for snødybdene i Kautokeino.
Oslo: Gjennomsnittet er og standardavviket er
Kautokeino: Gjennomsnittet er og standardavviket er
147 (Eksamen 2P våren 2023)
En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
Regn her:
148 (Eksamen 2P høsten 2024)
Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene.
3 3 4 5 6 8 0 3 5 5
a Bestem gjennomsnittet og medianen.
b Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr
Regn her:
Læreboka Matematikk 2P − forenklet er en del av Matematikk 2P. Boka følger utvalgte deler av læreplanen i matematikk 2P for vg2 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).
© Aschehoug AS 2026
3. utgave / 1. opplag 2026
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Kopiering og tilgjengeliggjøring er ikke tillatt uten samtykke fra rettighetshaverne, avtale med Kopinor (www.kopinor.no) eller annen forvaltningsorganisasjon, eller hjemmel i lov. Forbudet gjelder også trening av og annen bruk av materialet i kunstig intelligens og innebærer et uttrykkelig forbehold mot tekst- og datautvinning etter digitalmarkedsdirektivet artikkel 4.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jacobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paima Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41465-7 www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 4 Daniel de la Hoz/Moment/Getty Images, s. 30 Frank Ramspott/iStock, s. 45 Edvard Munch, Vårpløying 1916, Foto: Munchmuseet ved Halvor Bjørngård, s. 52 andresr/iStock, s. 60 alexialex/iStock, s. 70 Al Simonov/iStock, s. 88 Artem Hvozdkov/Moment/Getty Images, s. 112 scaliger/iStock
- 1430
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.
Matematikk 2P følger læreplanen i Matematikk 2P for vg2 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20) og består av lærebok, forenklet bok og digitale ressurser for elever og lærere på Aunivers
Forenklet bok
Denne boka har de samme kapitlene som læreboka og er lagd for innskriving. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver. Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det programmeringsinnhold og eksamensoppgaver.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og underviser i matematikk og kjemi.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.
Aunivers inneholder blant annet
• opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
Som lærer får du også tilgang til
• kapittelomtaler
• kapittelprøver
• terminprøver
• egenvurderinger
• elevaktiviteter