Matematikk 2P. Forenklet

Ørnulf Borgan John Engeseth Odd Heir Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie

– forenklet Bokmål

Innhold 1 Prosent

3 Likninger og ulikheter

Prosent – brøk – desimaltall 5

Grafisk løsning av likninger 37

Prosentandel 6

Grafisk løsning av ulikheter 39

Prosentpoeng 7

Løsning ved tegning 40

Vekstfaktor 8

Løsning av likninger ved regning 41

Regning med vekstfaktor 9

Løsning av ulikheter ved regning 42

Prosentendring i flere perioder 12

Løsning med CAS 43

Eksponentiell vekst 13

Grafisk løsning av likningssystemer 44

Modellering med eksponentialfunksjoner 15

Likningssystemer med CAS 45

Eksamensoppgaver 17

Kryssmultiplisering 46 Eksamensoppgaver 47

2 Statistikk Frekvens 20

4 Geometri

Relativ frekvens 21

Omkrets 49

Stolpediagram (søylediagram) 22

Areal 50

Klasser og klassebredde 23

Overflate av prisme 52

Histogram 25

Volum 53

Sektordiagram (sirkeldiagram) 26

Volum av sylinder 54

Kumulativ frekvens 27

Pytagorassetningen 55

Kumulativ relativ frekvens 28

Formlikhet 58

Gjennomsnitt 29

Målestokk 59

Median 30

Eksamensoppgaver 60

Gjennomsnitt og median med regneark 31 Typetall 32 Variasjonsbredde 32

5 Økonomi

Standardavvik 33

Lønn 64

Eksamensoppgaver 34

Konsumprisindeksen 66 Kroneverdi 68 Reallønn 68 Sparing 69 Kredittkort 71 Budsjett 72 Regnskap 73 Eksamensoppgaver 74 Fasit 77

Om Matematikk 2P – forenklet Matematikk 2P – forenklet er én av komponentene i Matematikk 2P, som består av • lærebok • forenklet bok • digitale ressurser for elev og lærer på Aunivers.no Forenklet bok Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver.

Boka kan brukes i kombinasjon med læreboka eller den kan brukes alene.

Den passer for elever som trenger en lav inngangsterskel til matematikken.

Den kan også brukes av elever som ikke skal ha vurdering i faget.

Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Alle oppgavene vi mener bør løses med hjelpemidler, er merket med . ......

Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene i læreboka.

Vi håper at Matematikk 2P – forenklet hjelper deg på veien til å mestre matematikk.

Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk2p@aschehoug.no.

Vi ønsker deg lykke til med faget!

Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef.

1

© Kopiering ikke tillatt

Prosent

KAPITTELINNHOLD

Prosent – brøk – desimaltall 5 Prosentandel 6 Prosentpoeng 7 Vekstfaktor 8 Regning med vekstfaktor 9 Prosentendring i flere perioder 12

Eksponentiell vekst 13 Modellering med eksponentialfunksjoner 15 Eksamensoppgaver 17

© Kopiering ikke tillatt

 Prosent – brøk – desimaltall

Prosent – brøk – desimaltall Prosent betyr hundredeler.

EKSEMPEL 1 Skriv 5 % som a en brøk med 100 som nevner

5 % betyr 5 hundredeler.

5 a 5 % = 100 b 5 % = 0,05

b et desimaltall

Merk!

5 = 0,05 100

101 Skriv som brøk med 100 som nevner. a 6 % =

b 60 % =

c 66 % =

102 Skriv som brøk med 100 som nevner. a 2 % =

b 0,3 % =

c 2,3 % =

b 30 % =

c 50 % =

b 0,9 % =

c 8,9 % =

103 Skriv som desimaltall. a 32 % = 104 Skriv som desimaltall. a 8 % =

EKSEMPEL 2 Skriv 0,37 som prosent.

0,37 =

37 = 37 % 100

105 Skriv desimaltallene som prosent. a 0,44 =

b 0,40 =

c 0,04 =

106 Skriv desimaltallene som prosent. a 0,02 =

b 0,2 =

c 0,002 =

5

6

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

Prosentandel EKSEMPEL 3 Det er 28 elever i en klasse.

Ti av dem liker musikken til Kygo.

Hvor mange prosent av elevene liker musikken til Kygo?

10 av 28 svarer til

10 = 0,36 = 36 % 28

Andelen er

10 28 .

Prosentandelen er 36 %.

36 % av elevene liker musikken til Kygo.

......

107 Det er 28 elever i en klasse.

Ni av dem liker musikken til Alan Walker.

Hvor mange prosent av elevene liker musikken til Alan Walker?

......

108 Det er 27 elever i en klasse.

To av dem liker musikken til Beatles.

Hvor mange prosent av elevene liker musikken til Beatles?

......

Regn her:

109 Det er 25 elever i en klasse.

Alle bortsett fra tre av dem liker musikken til Tiësto.

Hvor mange prosent av elevene liker musikken til Tiësto?

EKSEMPEL 4 Det er 6530 innbyggere i en kommune.

54 % av dem har en iPhone.

Hvor mange har en iPhone?

Vi skriver 54 % som desimaltall: 54 % = 0,54.

Vi ganger med innbyggertallet, og får

6530 ⋅ 0,54 = 3526,2

3526 av innbyggerne har en iPhone.

......

......

110 Det er 52 685 innbyggere i en kommune.

61 % av dem har en iPhone.

Hvor mange har en iPhone?

111 På en skole med 385 elever svarer 29,4 % at de ser på Netflix hver dag.

Hvor mange av elevene ser daglig på Netflix?

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

 Prosentpoeng

Prosentpoeng EKSEMPEL 5 Andelen som trener, økte fra 35 % til 42 %. a Hvor stor var økningen i prosentpoeng? b Hvor mange prosent var økningen?

......

......

112 Andelen som spiser sunt, økte fra 65 % til 68 %. a Hvor stor var økningen i prosentpoeng? b Hvor mange prosent var økningen?

a 42 − 35 = 7 Økningen var 7 prosentpoeng.

7 b = 0,25 = 25 % 42 Økningen var 25 %.

Regn her:

113 I en meningsmåling gikk et parti fram fra 8,0 % til 10,0 % i oppslutning. a Hvor stor var økningen i prosentpoeng? b Hvor mange prosent gikk partiet fram?

Et annet parti gikk tilbake fra 10,0 % til 8,0 % i oppslutning. c Hvor stor var nedgangen i prosentpoeng? d Hvor mange prosent gikk partiet tilbake? e Hvorfor er ikke svaret på oppgave b og oppgave d likt?

114 Tabellen viser hvor stor andel av den voksne befolkningen som røykte daglig i noen utvalgte år.

......

År

2007

2012

2016

2017

2019

Andel dagligrøykere

22 %

16 %

12 %

11 %

9%

a Hvor mange prosentpoeng gikk andelen dagligrøykere ned fra 2007 til 2019? b Hvor mange prosentpoeng høyere var andelen dagligrøykere i 2012 enn i 2017? c Hvor mange prosentpoeng lavere var andelen dagligrøykere i 2019 enn i 2012? d Hvor mange prosent færre var dagligrøykere i 2016 enn i 2007?

Regn her:

7

8

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

Vekstfaktor En vekstfaktor er et tall vi kan gange med for å finne den nye verdien ved prosentvis økning eller nedgang.

EKSEMPEL 6 a Hva er vekstfaktoren ved en økning på 23 %? b Hva er vekstfaktoren ved en nedgang på 23 %?

a 100 % + 23 % = 123 % = 1,23 Vekstfaktoren ved en økning på 23 % er 1,23. b 100 % − 23 % = 77 % = 0,77 Vekstfaktoren ved en nedgang på 23 % er 0,77.

115 a Hva er vekstfaktoren ved en økning på 25 %? b Hva er vekstfaktoren ved en nedgang på 25 %? c Hvordan kan vi ut fra vekstfaktoren avgjøre om det er snakk om økning eller nedgang?

116 Fyll inn det som mangler i tabellen.

Endring

Vekstfaktor

+12 % +4 % +1,8 % −20 % −2 % −1,5 % 1,84 1,3 0,99 0,9 1,02 1,025 0,965

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

 Regning med vekstfaktor

Regning med vekstfaktor ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktor

N

=

G

⋅

V

EKSEMPEL 7 Husleia er på 8700 kr per måned.

Den øker med 6 %.

Hva blir den nye husleia?

Vekstfaktoren er 100 % + 6 % = 106 % = 1,06.

Vi bruker N = G ⋅ V med G = 8700 og V = 1,06.

Den nye husleia blir 9222 kr per måned.

......

......

117 Peder betaler 9500 kr per måned i husleie.

Den øker med 2 %.

Hva blir den nye husleia?

Regn her:

118 Petra betaler 5900 kr per måned i husleie.

Den øker med 4,5 %.

Hva blir den nye husleia?

EKSEMPEL 8 Husleia er på 8700 kr per måned.

Den reduseres med 6 %.

Hva blir den nye husleia?

Vekstfaktoren er 100 % − 6 % = 94 % = 0,94.

Vi bruker N = G ⋅ V med G = 8700 og V = 0,94.

Den nye husleia blir 8178 kr per måned.

......

......

119 Per betaler 7500 kr per måned i husleie.

Den reduseres med 5 %.

Hva blir den nye husleia?

120 Petronella betaler 13 500 kr per måned i husleie.

Den reduseres med 7,5 %.

Hva blir den nye husleia?

Regn her:

9

10

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

EKSEMPEL 9 Husleia økte med 6 %, og er nå på 8700 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

Vekstfaktoren er 100 % + 6% = 106 % = 1,06.

Vi bruker N = G ⋅ V med N = 8700 og V = 1,06.

Den gamle husleia var 8208 kr per måned.

......

121 Husleia til Pelle økte med 12 %, og er nå på 8400 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

......

122 Husleia til Pernille økte med 3 %, og er nå på 12 000 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

EKSEMPEL 10 Husleia gikk ned med 6 %, og er nå på 8700 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

Regn her:

Vekstfaktoren er 100 % − 6 % = 94 % = 0,94.

Vi bruker N = G ⋅ V med N = 8700 og V = 0,94.

Den gamle husleia var 9255 kr per måned.

......

123 Husleia til Pjotr gikk ned med 10 %, og er nå på 6700 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

......

124 Husleia til Perle gikk ned med 5 %, og er nå på 11 500 kr per måned.

Hva var den gamle husleia?

Vi runder av til nærmeste hele krone.

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

EKSEMPEL 11 Husleia økte fra 8700 kr til 9000 kr per måned Hvor mange prosent økte husleia?

 Regning med vekstfaktor

Vi bruker N = G ⋅ V med N = 9000 og G = 8700.

Vekstfaktoren er 1,03 = 103 %.

Husleia økte med 3 %.

......

......

125 Husleia til Pål økte fra 8400 kr til 10 000 kr per måned.

Hvor mange prosent økte husleia?

Regn her:

126 Husleia til Poletta økte fra 6900 kr til 9600 kr per måned.

Hvor mange prosent økte husleia?

EKSEMPEL 12 Husleia gikk ned fra 8700 kr til 8000 kr per måned.

Hvor mange prosent sank husleia?

Vi bruker N = G ⋅ V med N = 8000 og G = 8700.

Vekstfaktoren er 0,92 = 92 %.

Husleia sank med 8 %.

......

......

Én desimal ekstra gir 1,034 og 3,4 %.

127 Husleia til Pavlov gikk ned fra 8400 kr til 8000 kr per måned.

Hvor mange prosent sank husleia?

128 Husleia til Pamela gikk ned fra 9000 kr til 6000 kr per måned.

Hvor mange prosent endret husleia seg?

Regn her:

11

12

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

Prosentendring i flere perioder Når vi har flere prosentendringer etter hverandre, finner vi sluttverdien ved å gange den opprinnelige verdien med vekstfaktoren for hver endring.

EKSEMPEL 13 Verdien av et kunstverk var 825 000 kr i 1995.

I 2005 var verdien 5 % høyre enn i 1995.

I dag er verdien 10 % lavere enn i 2005.

Hvor mye er kunstverket verdt i dag?

Vekstfaktoren for perioden med økning er 100 % + 5 % = 105 % = 1,05.

Vekstfaktoren for perioden med nedgang er 100 % − 10 % = 90 % = 0,9.

825 000 ⋅ 1,05 ⋅ 0,9 = 779 625 I dag er kunstverket verdt 779 625 kr.

......

......

......

129 Verdien av et kunstverk var 825 000 kr i 1995.

I 2005 var verdien 10 % lavere enn i 1995. I dag er verdien 5 % høyere enn i 2005. a Hvor mye er kunstverket verdt i dag? b Sammenlikn med svaret i eksempel 13.

Formuler det du observerer.

130 Verdien av et kunstverk var 825 000 kr i 1995.

I 2005 var verdien 5 % lavere enn i 1995. I dag er verdien 10 % høyere enn i 2005. a Hvor mye er kunstverket verdt i dag? b Sammenlikn med svaret i eksempel 13.

Formuler det du observerer.

131 Den 1. august 2020 var det totalt 9309 meldte tilfeller av covid-19 i Norge. Deretter økte antallet med 19 % til 1. september. Videre økte det med 29 % til 1. oktober. Så økte det med 50 % til 1. november. a Hvor mange meldte tilfeller av covid-19 var det 1. september? b Hvor mange meldte tilfeller av covid-19 var det 1. oktober? c Hvor mange meldte tilfeller av covid-19 var det 1. november? d Regn ut 1,19 ⋅ 1,29 ⋅ 1,5. Hva forteller svaret?

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

 Eksponentiell vekst

Eksponentiell vekst Når noe øker eller avtar med like mange prosent i hver periode, sier vi at det øker eller avtar eksponentielt eller prosentvis.

ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktorantall perioder

N

=

G

Vt

⋅

EKSEMPEL 14 Verdien av et kunstverk var 755 000 kr i 1998.

Verdien har deretter økt med 2 % per år.

Hvor mye var kunstverket verdt i 2020?

Vekstfaktoren for økningen per år er 100 % + 2 % = 102 % = 1,02.

Vi bruker N = G ⋅ V t med G = 755 000, V = 1,02 og t = 22.

Kunstverket var verdt 1 167 215 kr i 2020.

......

......

132 Verdien av et kunstverk var 236 700 kr i 2008.

Verdien har deretter økt med 8 % per år. a Hvor mye var kunstverket verdt i 2012? b Hvor mye var kunstverket verdt i 2016? c Regn ut 1,0812. Hva forteller svaret?

133 Verdien av en bil var 895 000 kr i 2013.

Verdien har deretter minket med 15 % per år. a Hvor mye var bilen verdt i 2015? b Hvor mye var bilen verdt i 2018? c Regn ut 0,8513. Hva forteller svaret?

Regn her:

13

14

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

EKSEMPEL 15 Verdien av et kunstverk var 352 000 kr i 2016.

I årene før økte verdien med 5 % per år.

Hvor mye var kunstverket verdt i 2012?

Vekstfaktoren for økningen per år er 100 % + 5 % = 105 % = 1,05.

Vi bruker N = G ⋅ V t med N = 352 000, V = 1,05 og t = 4.

Kunstverket var verdt 312 747 kr i 2012.

......

......

134 Verdien av et kunstverk var 53 750 kr i 2006.

I årene før økte verdien med 10 % per år. a Hvor mye var kunstverket verdt i 2004? b Hvor mye var kunstverket verdt i 1999?

Regn her:

135 Verdien av en bil var 790 000 kr i 2020.

I årene før sank verdien med 12 % per år.

Hvor mye var bilen verdt i 2015?

EKSEMPEL 16 Verdien av et kunstverk økte fra 187 000 kr i 2013 til 228 000 kr i 2021.

Hvor mange prosent økte verdien i gjennomsnitt per år?

Vi bruker N = G ⋅ V t med N = 228 000, G = 187 000 og t = 8.

Bare den positive løsningen gir praktisk mening.

Vekstfaktoren er 1,03 = 103 %.

Verdien økte i gjennomsnitt med 3 % per år.

......

136 Verdien av et kunstverk økte fra 532 000 kr i 2012 til 698 000 kr i 2021.

Hvor mange prosent økte verdien i gjennomsnitt per år?

......

137 Verdien av en bil sank fra 598 000 kr i 2003 til 49 000 kr i 2021.

Hvor mange prosent sank verdien i gjennomsnitt per år?

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

EKSEMPEL 17 Verdien av et kunstverk øker med 9 % per år.

Verdien er 425 000 kr i dag.

Hvor lang tid tar det før verdien er én million kroner?

 Modellering med eksponentialfunksjoner

Vi bruker N = G ⋅ V t med N = 1 000 000, G = 425 000 og V = 1,09.

Verdien er én million kroner om ca. 10 år.

138 Verdien av et kunstverk øker med 16 % per år. Verdien er 259 000 kr i dag. ......

a Hvor lang tid tar det før verdien er dobbelt så stor? b Hvor lang tid tar det før verdien er én million kroner?

Modellering med eksponentialfunksjoner Når noe vokser eksponentielt (prosentvis), kan vi bruke en funksjon på formen f ( x ) = a ⋅ b x som modell. f (x ) = a ⋅ bx

N = G ⋅V t

EKSEMPEL 18 Verdien av et kunstverk var 755 000 kr i 1998.

Fram til 2020 økte verdien med 2 % hvert år.

Lag en modell for verdien f(x) kr x år etter 1998.

Vekstfaktoren er 100 % + 2 % = 102 % = 1,02.

Modellen er derfor gitt ved

......

......

f ( x ) = 755 000 ⋅ 1,02x

139 Verdien av et kunstverk var 236 700 kr i 2008. Fram til 2020 økte verdien med 8 % per år.

Lag en modell for verdien f(x) kr x år etter 2008.

140 Verdien av en bil var 895 000 kr i 2013. Fram til 2021 sank verdien med 15 % per år.

Lag en modell for verdien av bilen, V(t) kr, t år etter 2013.

15

16

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

EKSEMPEL 19 Verdien av en bil har utviklet seg slik tabellen viser.

År (januar)

2012

2014

2016

2018

2020

x

0

2

4

6

8

Lag en modell for verdien f(x) kr x år etter januar 2012.

Verdi (kr)

❶ Klikk på

, «Vis» og «Regneark».

690 000 510 000 375 000 280 000 205 000

❹ Velg «Regresjonsanalyse»

.

❺ Velg «Eksponentiell» i rullegardinmenyen under «Regresjonsmodell».

❷ Legg inn x-verdiene i kolonne A og funksjonsverdiene i kolonne B.

❸ Marker cellene ved å venstreklikke i A1 og dra nedover til B5.

Vi ser at modellen er gitt ved

f ( x ) = 689 911⋅ 0,86 x

141 Verdien av en bil har utviklet seg slik tabellen viser. ......

År (januar) Verdi (kr)

2012

2014

2016

2018

2020

899 000 680 000 515 000 390 000 295 000

Lag en modell for verdien f(x) kr x år etter januar 2012.

© Kopiering ikke tillatt

 Eksamensoppgaver

Eksamensoppgaver 142 (2P våren 2019) Prisen for en vare ble satt ned med 20 %.

Nå koster varen 640 kroner.

Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?

Regn her:

143 (2P høsten 2019) Mange turister reiser på cruise i Nord-Norge.

I 2017 anløp 380 cruiseskip havner i Nord-Norge.

I 2018 økte antall anløp til 457.

I 2018 var det totalt 487 000 passasjerer på cruiseskipene.

Dette var en økning på 16 % fra 2017. a Hvor mange prosent økte antall anløp med fra 2017 til 2018? b Hvor mange passasjerer var det totalt på cruiseskipene i 2017?

144 (2P våren 2020) En båt har i dag en verdi på 200 000 kroner.

Anta at båtens verdi synker med 5 % hvert år framover.

Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mye båten vil være verdt om 10 år.

145 (2P våren 2020) Svein og Tore hadde lik lønn i 2017.

Svein fikk 4 % lønnsøkning i 2018 og 6 % lønnsøkning i 2019.

Tore fikk 8 % lønnsøkning i 2018 og 2 % lønnsøkning i 2019.

Hvem av de to hadde høyest lønn i 2019?

Regn her:

17

18

© Kopiering ikke tillatt

1 Prosent

146 (2P våren 2020) Aina har i dag 100 000 kroner på en sparekonto.

Pengene har stått urørt på kontoen i 5 år.

Renten har vært 1,85 % per år.

Hvor mye hadde hun på kontoen for 5 år siden?

Regn her:

147 (2P våren 2020) For å reise til flyplassen kan Herman ta flybussen eller bybanen.

Flybussen koster 100 kroner, og bybanen koster 40 kroner. a Hvor mange prosent billigere er bybanen sammenlignet med flybussen? b Hvor mange prosent dyrere er flybussen sammenlignet med bybanen?

148 (2P våren 2019)

En butikk skal ha nattåpent fra klokka 20.00 til klokka 02.00.

Eieren har bestemt seg for å selge et utvalg bukser til lavere og lavere priser utover kvelden og natten.

Ovenfor ser du grafen til en eksponentialfunksjon f.

Grafen viser prisen for en bukse x timer etter klokka 20.00. a Hvor mye vil en bukse koste når butikken stenger klokka 02.00? b Bestem funksjonsuttrykket til f.

2

© Kopiering ikke tillatt  

Statistikk

KAPITTELINNHOLD

Frekvens 20 Relativ frekvens 21 Stolpediagram (søylediagram) 22 Klasser og klassebredde 23 Histogram 25 Sektordiagram (sirkeldiagram) 26 Kumulativ frekvens 27 Kumulativ relativ frekvens 28

Gjennomsnitt 29 Median 30 Gjennomsnitt og median med regneark 31 Typetall 32 Variasjonsbredde 32 Standardavvik 33 Eksamensoppgaver 34

19

20

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Frekvens Frekvens er hvor mange ganger en observasjon forekommer i et datasett.

EKSEMPEL 1 Emilie spiller fotball. Antall mål hun skåret i de siste 10 kampene var:

1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1

Vi teller opp og ser at hun skåret null mål to ganger, ett mål fem ganger, to mål to ganger og tre mål én gang.

Antall mål

Frekvens

0

2

1

5

2

2

3

1

Lag en tabell som viser frekvensene for antall mål.

201 Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:

Antall mål

2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1

0

Fyll ut frekvenstabellen til høyre.

1

202 Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:

2

4

2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0

Lag en tabell som viser frekvensene for antall mål.

Tegn her:

3

Frekvens

© Kopiering ikke tillatt

 Relativ frekvens

Relativ frekvens Relativ frekvens er hvor stor andel en observasjon utgjør i et datasett. relativ frekvens =

frekvens antall observasjoner

EKSEMPEL 2 Tabellen viser frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 fotballkampene.

Antall mål

Frekvens

0

2

1

5

2

2

3

1

2 10 5 Relativ frekvens for 1 mål er 10 2 Relativ frekvens for 2 mål er 10 1 Relativ frekvens for 3 mål er 10 Relativ frekvens for 0 mål er

= 0,2 = 20 %. = 0,5 = 50 %. = 0,2 = 20 %. = 0,1 = 10 %.

Antall mål

Frekvens

Relativ frekvens

0

2

20 %

1

5

50 %

2

2

20 %

3

1

10 %

Utvid tabellen med en kolonne som viser de relative frekvensene.

203 Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:

2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1

a Fyll ut tabellen. b Hva er summen av alle de relative frekvensene?

0 1

Antall mål

Kommenter.

2 3 4

Frekvens

Relativ frekvens

21

22

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Stolpediagram (søylediagram) EKSEMPEL 3 Tabellen viser hvor mange mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.

Antall mål

0

1

2

3

Antall kamper

2

5

2

1

Vi kan illustrere fordelingen av antall skårete mål med et stolpediagram slik det er vist nedenfor.

Her er høydene av stolpene lik frekvensene for 0, 1, 2 og 3 mål per kamp.

Antall kamper 5 4 3 2 1 0

1 2 Antall mål

3

204 I en 2P-gruppe er det 20 elever. Tabellen viser karakterene de fikk på en prøve.

Karakter

1

2

3

4

5

6

Antall elever

1

3

5

6

4

1

Bruk figuren nedenfor og tegn et stolpediagram som viser fordelingen av karakterene.

Antall elever 6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

Karakter

5

6

© Kopiering ikke tillatt

 Klasser og klassebredde

Klasser og klassebredde Hvis vi legger sammen frekvensene for alle observasjonene i et intervall, får vi frekvensen for en klasse.

Lengden av et slikt intervall kaller vi klassebredde. Vi har to skrivemåter for klasser. Klassen med observasjoner som etter avrunding til et helt tall er minst lik 10 og mindre enn 20, skriver vi som 10–19 eller [10 , 20 .

EKSEMPEL 4 Erle spiller håndball. Antall mål hun skåret i de siste 10 kampene var:

I én av kampene skårer hun 0–4 mål. Den relative 1 frekvensen for denne klassen er = 0,1 = 10 %.

10

12, 5, 11, 10, 13, 10, 8, 4, 12, 7

Del observasjonene inn i klassene 0–4 mål, 5–9 mål og 10–14 mål, og lag en tabell som viser frekvens og relativ frekvens for antall mål i hver klasse.

I tre av kampene skårer hun 5–9 mål. Den relative 3 frekvensen for denne klassen er = 0,3 = 30 % .

10 I seks av kampene skårer hun 10–14 mål. Den relative 6 frekvensen for denne klassen er = 0,6 = 60 %.

10 Antall mål

Frekvens

Relativ frekvens

0–4

1

10 %

5–9

3

30 %

10–14

6

60 %

205 Erlend spiller håndball. Antall mål han skåret i de siste 20 kampene var:

8, 12, 10, 10, 11, 6, 4, 3, 14, 11, 7, 12, 9, 5, 11, 10, 7, 4, 9, 8

Tell opp og gjør nødvendige beregninger for å fylle ut tabellen.

Antall mål 0–4 5–9 10–14

Frekvens

Relativ frekvens

Regn her:

23

24

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

206 I en 2P-gruppe er det 28 elever. Tabellen viser hvor lang tid elevene bruker til skolen. ......

Reisetid i minutter Frekvens

[0 , 10〉

[10 , 20〉

[20 , 30〉

[30 , 40〉

[40 , 50〉

3

5

8

8

4

a Hvor mange elever bruker mindre enn 10 minutter til skolen? b Hvor mange elever bruker 30 minutter eller mer til skolen? c Emilie bruker 19,5 minutter til skolen.

I hvilket intervall finner vi tiden hennes?

d Fyll ut tabellen.

Reisetid i minutter Frekvens

[0 , 10〉

[10 , 20〉

[20 , 30〉

[30 , 40〉

[40 , 50〉

3

5

8

8

4

Relativ frekvens

e Hva er summen av alle de relative frekvensene?

Kommenter.

207 Sander har vært på fisketur og fått 12 fisker. Vekten av fiskene var (i kg): ......

1,48 0,78 0,39 1,12 0,63 1,75 0,82 0,98 0,47 1,35 0,83 0,55 a Fyll ut tabellen.

Vekt (kg)

Frekvens

Regn her: Relativ frekvens

[0 , 0,5〉 [0,5 , 1,0〉 [1,0 , 1,5〉 [1,5 , 2,0〉

b Hvor stor prosentandel av fiskene tilhører de to øverste vektklassene?

© Kopiering ikke tillatt

 Histogram

Histogram EKSEMPEL 5 Tabellen viser hvor lang tid elevene i en 2P-gruppe bruker til skolen.

Siden alle klassene har bredde 10, er høydene lik frekvensene for klassene.

Antall elever

Reisetid i minutter

[0 , 10〉

Frekvens

3

[10 , 20〉 [20 , 30〉 [30 , 40〉 5

8

12

12

9 6

Lag et histogram som viser fordelingen av reisetider.

3

Reisetid (minutter) 0

10

20

30

208 Sandra har vært på fisketur. Tabellen viser vekten til fiskene hun fikk.

Lag et histogram til høyre som viser fordelingen av vektklassene.

Vekt (kg)

Antall fisker

Frekvens

6

[0 , 2,0〉

2

5

[2,0 , 4,0〉

6

4

[4,0 , 6,0〉

3

3 2 1

Vekt (kg) 1

2

3

4

5

209 Tabellen nedenfor viser hvor lang tid elevene i en 2P-gruppe bruker til skolen.

Reisetid i minutter Frekvens

[0 , 10〉

[10 , 20〉

[20 , 30〉

[30 , 40〉

5

3

9

10

Lag et histogram som viser fordelingen av reisetider.

Tegn her:

6

40

25

26

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Sektordiagram (sirkeldiagram) Et sektordiagram er en sirkel inndelt i sektorer. Gradtallet til sektorene er

relativ frekvens ⋅ 360°

EKSEMPEL 6 I klasse 2A er det 20 elever. Til en klassefest kan elevene velge mellom taco, pizza og pølser.

8 elever vil ha taco, 7 elever vil ha pizza, og 5 vil ha pølser. a Tegn et sektordiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på taco, pizza og pølser. b Regn ut gradtallet til sektorene i diagrammet.

a Vi skriver inn de ulike kategoriene i kolonne A og frekvensene i kolonne B. Så går vi til «Sett inn» og velger sektordiagram ved å klikke på .

......

8 8 , så gradtallet er ⋅ 360o = 144o .

20 20 7 7 Relativ frekvens for taco er , så gradtallet for pizza er ⋅ 360o = 126o .

20 20 5 5 Relativ frekvens for taco er , så gradtallet for pølser er ⋅ 360o = 90o.

20 20

b Relativ frekvens for taco er

210 I klasse 2B er det 24 elever. Til en klassefest kan elevene velge mellom taco, pizza og pølser.

12 elever vil ha taco, 8 elever vil ha pizza, og 4 vil ha pølser. a Tegn et sektordiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på taco, pizza og pølser. b Regn ut gradtallet til sektorene i diagrammet.

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

 Kumulativ frekvens

Kumulativ frekvens Kumulativ frekvens for en observasjon er antall observasjoner som har denne verdien eller en lavere verdi.

EKSEMPEL 7 Tabellen viser frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.

Antall mål

Frekvens

0

2

1

5

2

2

3

1

Den kumulative frekvensen for 0 er det samme som frekvensen for 0, det vil si 2.

Den kumulative frekvensen for 1 er 2 + 5 = 7.

Den kumulative frekvensen for 2 er 2 + 5 + 2 = 9.

Den kumulative frekvensen for 3 er 2 + 5 + 2 + 1 = 10.

Antall mål

Frekvens

Kumulativ frekvens

0

2

2

1

5

7

2

2

9

3

1

10

Utvid tabellen slik at den også viser kumulativ frekvens.

211 a Tabellen viser antall mål Eskil skåret i de siste åtte kampene. Fyll inn de kumulative frekvensene.

Antall mål

Frekvens

0

2

1

3

2

1

3

0

4

2

Kumulativ frekvens

212 Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:

2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0

Lag en tabell som viser både frekvensene og de kumulative frekvensene for antall mål.

Tegn her:

b Hva er den praktiske tolkningen av kumulativ frekvens for 2 mål.

27

28

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Kumulativ relativ frekvens Kumulativ relativ frekvens for en observasjon er andelen observasjoner som har denne verdien eller en lavere verdi.

EKSEMPEL 8 Tabellen viser de relative frekvensene for antall mål Emilie skåret i de siste 10 kampene.

Den kumulative frekvensen for 0 er det samme som frekvensen for 0, det vil si 20 %.

Den kumulative frekvensen for 1 er 20 % + 50 % = 70 %.

Den kumulative frekvensen for 2 er 20 % + 50 % + 20 % = 90 %.

Den kumulative frekvensen for 3 er 20 % + 50 % + 20 % + 10 % = 100 %

Antall mål

Relativ frekvens

0

20 %

Antall mål

Relativ frekvens

Kumulativ relativ frekvens

1

50 %

0

20 %

20 %

2

20 %

1

50 %

70 %

3

10 %

2

20 %

90 %

3

10 %

100 %

Utvid tabellen slik at den også viser kumulativ relativ frekvens.

213 a Tabellen nedenfor viser relativ frekvens for antall mål Eskil skåret i de siste åtte kampene.

Fyll inn de kumulative relative frekvensene.

Antall mål

Relativ frekvens

0

25 %

1

37,5 %

2

12,5 %

3

0%

4

25 %

Kumulativ relativ frekvens

b Hva er den praktiske tolkningen av kumulativ relativ frekvens for 4 mål?

214 Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var: ......

2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0

Hva er den kumulative relative frekvensene for 2 mål?

© Kopiering ikke tillatt

 Gjennomsnitt

Gjennomsnitt Gjennomsnittet for et datasett er summen av observasjonene delt på antall observasjoner. gjennomsnitt =

summen av observasjonene antall observasjoner

Gjennomsnittet er et sentralmål for datasettet.

EKSEMPEL 9 Antall mål Emilie skåret i de siste 10 fotballkampene var:

Summen av observasjonene er 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1 = 12

1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1 Antall observasjoner er 10.

Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?

12 = 1,2 10

Hun skåret i gjennomsnitt 1,2 mål per kamp.

215 Emil spiller fotball. Antall mål han skåret i de siste 10 kampene var:

2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 1

Hvor mange mål skåret han i gjennomsnitt per kamp?

......

216 Erika spiller ishockey. Antall mål hun skåret i de siste 15 kampene var:

2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0

Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?

Regn her:

29

30

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Median Medianen er midtpunktet i et datamateriale når vi har skrevet verdiene i stigende rekkefølge.

Medianen er et sentralmål for datasettet.

EKSEMPEL 10 Se på antall mål Adam og Eva skåret i fotballkampene sine denne sesongen.

Adam: 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1 Eva: 2, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0 Hva er medianen for antall mål for Adam og Eva?

Vi ordner observasjonene i stigende rekkefølge.

Adam: 0 0 1 1 1 1 2 2 3 Eva: 0 0 0 0 0 | 1 1 2 2 2 Adam har spilt ni kamper, og i den midterste av dem skåret han ett mål (markert med rødt). Medianen for Adam er 1 mål.

Eva har spilt ti kamper, og midtpunktet ligger da mellom kamp nummer 5 og kamp nummer 6. Medianen er gjennomsnittet av de to observasjonene på hver sin side av midtpunktet (markert med en rød strek).

0 +1 = 0,5 2

Medianen for Eva er 0,5 mål.

217 Se på antall mål Erik og Erika skåret i ishockeykampene sine denne sesongen.

Erik: 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2 Erika: 2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0 Hva er medianen for antall mål for Erik og Erika?

Regn her:

© Kopiering ikke tillatt

 Gjennomsnitt og median med regneark

Gjennomsnitt og median med regneark EKSEMPEL 11 Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik: 25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135, 90

Vi legger inn tidene i et regneark, for eksempel i cellene A1–J1.

Deretter skriver vi =GJENNOMSNITT(A1:J1) i for eksempel celle K1 og =MEDIAN(A1:J1) i celle L1.

Guttene brukte i gjennomsnitt 116 minutter på dataspill.

Mediantiden er 110 minutter.

Finn gjennomsnittlig og median tid guttene brukte på dataspill.

......

218 Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik:

250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75, 60

a Finn gjennomsnittet. b Finn medianen.

219 I en fartskontroll målte politiet farten til en del biler. Farten til de 15 første var (i km/h): ......

95, 83, 72, 103, 85, 107, 96, 78, 92, 88, 82, 90, 79, 80, 87

a Finn gjennomsnittet. b Finn medianen. c Hva blir gjennomsnittet hvis du utelater bilen med høyest fart? d Hva blir gjennomsnittet hvis du utelater bilen med lavest fart? e Hva blir medianen hvis bil nummer 16 har en fart på 100 km/h?

31

32

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Typetall Typetallet er den observasjonen som fins flest ganger i datasettet.

EKSEMPEL 12 Se på antall mål Adam og Eva skåret i fotballkampene sine denne sesongen.

Adam skåret oftest ett mål (i fire kamper), så 1 mål er typetallet for Adam.

Eva skåret oftest ingen mål (i fem kamper), så 0 mål er typetallet for Eva.

Adam: 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 1 Eva: 2, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0 Hva er typetallet for antall mål for Adam og Eva?

220 Se på antall mål Erik og Erika skåret i ishockeykampene sine denne sesongen.

Erik: 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2 Erika: 2, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0 Typetallet for antall mål er

for Erik og

for Erika.

Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den største og den minste verdien i et datasett.

Variasjonsbredden er et spredningsmål for datasettet.

EKSEMPEL 13 Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik: 25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135 og 90.

Finn variasjonsbredden.

Den korteste tiden er 20 minutter.

Den lengste tiden er 300 minutter.

300 − 20 = 280 Variasjonsbredden er 280 minutter.

221 Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik: 250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75 og 60. a Finn variasjonsbredden. b Sammenlikn med eksempel 13. Hvem har størst spredning i tiden brukt på dataspill?

© Kopiering ikke tillatt

 Standardavvik

Standardavvik Standardavviket er et mål for hvor mye observasjonene i et datasett avviker fra gjennomsnittet.

Standardavviket er det mest vanlige spredningsmålet for et datasett.

EKSEMPEL 14 Guttene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik:

25, 110, 150, 100, 110, 120, 300, 20, 135, 90

Vi legger inn tidene i et regneark, for eksempel i cellene A1–J1.

Så skriver vi =STDAV.S(A1:J1) i for eksempel celle K1.

Standardavviket er omtrent 77 minutter.

Finn standardavviket.

......

222 Jentene i klassen har registrert hvor lang tid de brukte på dataspill en tilfeldig hverdag.

Resultatet (i minutter) ble slik:

250, 100, 150, 80, 110, 100, 30, 50, 75, 60

a Finn standardavviket. b Sammenlikn med eksempel 14.

Er det guttene eller jentene i klassen som har størst spredning i tiden brukt på dataspill?

223 I en fartskontroll målte politiet farten til en del biler. Farten til de 15 første var (i km/h): ......

95, 83, 72, 103, 85, 107, 87, 78, 92, 88, 82, 90, 79, 80, 96

a Finn standardavviket. b Hva blir standardavviket hvis du utelater bilen med lavest fart? c Hva blir standardavviket hvis du utelater bilen med høyest fart?

33

34

© Kopiering ikke tillatt

2 Statistikk

Eksamensoppgaver 224 (2P høsten 2020) En morgen førte Thale statistikk over hvor mange biler som passerte på grønt lys i lyskrysset ved skolen.

Hun fikk med seg ti perioder med grønt lys. Nedenfor ser du hvor mange biler som passerte i hver av disse ti periodene.

10, 20, 12, 18, 7, 33, 12, 38, 20, 10

a Bestem medianen og gjennomsnittet for antall biler som passerte i løpet av en periode med grønt lys. b Bestem den kumulative frekvensen for 18 passerte biler. Hva forteller dette tallet?

Regn her:

225 (2P høsten 2020) Diagrammene nedenfor viser snødybden i Oslo og Kautokeino julaften de 11 siste årene.

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for snødybdene i Oslo og for snødybdene i Kautokeino.

Oslo:

Gjennomsnittet er

og standardavviket er

.

Kautokeino: Gjennomsnittet er

og standardavviket er

.

© Kopiering ikke tillatt

 Eksamensoppgaver

226 (2P våren 2020) Trine har spurt 20 elever i klassen hvor mange ganger de hjalp til med husarbeid hjemme i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.

10, 14, 14, 8, 5, 10, 10, 10, 0, 8, 8, 7, 7, 0, 8, 7, 7, 7, 5, 7

a Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Regn her:

b Fyll ut tabellen nedenfor. Forklar hva tallene i nest siste rad i tabellen betyr.

Antall ganger en elev hjelper til med ­husarbeid hjemme

Frekvens

Kumulativ frekvens

Relativ frekvens

Relativ kumulativ frekvens

0 5 7 8 10 14

227 (2P våren 2014, noe endret) Landsdel Antall studenter

Nord-Norge

Trøndelag

Vestlandet

Østlandet

Sørlandet

5

20

10

15

10

Studentene ved en folkehøgskole kommer fra ulike landsdeler i Norge. Se tabellen ovenfor.

Lag et sektordiagram som viser fordelingen.

35