Matematikk 2P utdrag

Ørnulf Borgan John Engeseth Odd Heir Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie

Bokmål

Læreboka Matematikk 2P følger læreplanen i matematikk 2P for Vg2 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20). © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2020 4. utgave / 1. opplag 2020 Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.

Redaktører: Bjørn Johannes Neef og Harald Øyen Kittang Grafisk formgiving: Marit Jakobsen Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14 Papir: 100 g Arctic matt 1,0 Trykk: 07 Media AS, Aurskog Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien

RKET TRY K ME RI KE

MIL JØ

ISBN 978-82-03-40875-5 www.aschehoug.no

M

79

07

NO - 1470

ED

IA – 2041

03

Bildeliste s. 6–7 newsfocus1/iStock, s. 8 tupungato/iStock, s. 9 omada/iStock, s. 11 kali9/ iStock, s. 13 GrapeImages/iStock, s. 16 RYSZARD FILIPOWICZ/iStock, s. 22 Mehmet Hilmi Barcin/iStock, s. 27 PeopleImages/iStock, s. 28 Daisy-Daisy/iStock, s. 30 olaser/ iStock, s. 32 aqabiz/iStock, s. 36–37 Tashi-Delek/iStock, s. 40 Bjørn S. Delebekk/VG/ NTB scanpix, s. 42 DWalker44/iStock, s. 50 PeopleImages/iStock, s. 61 Tomwang112/ iStock, s. 65 ZU_09/iStock, s. 77 JJ Farquitectos/iStock, s. 78 ArtBoyMB/iStock, s. 84–85 AISimonov/iStock, s. 89 Alina Rosanova/iStock, s. 92 feellife/iStock, s. 101 Nataliia K/Shutterstock/NTB scanpix, s. 102 wmaster890/iStock, s. 112 Henvry/ iStock, s. 118 gorodenkoff/iStock, s. 120 Asergieiev/iStock, s. 124–125 Artur Debat/ Getty Images, s. 126 Issaurinko/iStock, s. 130 LauriPatterson/iStock, s. 133 moisseyev/ iStock, s. 143 Silvia Jansen/iStock, s. 150 altmodern/iStock, s. 152 desifoto/iStock, s. 158 Artur Debat/Getty Images, s. 159 SDI Productions/iStock, s. 163 NTB scanpix, s. 166 klazing/iStock, s. 167 LianeM/iStock, s. 174–175 a FGorgun Nielson/iStock, b Mikkel William/iStock, c bee32/iStock, s. 183 Cecilie Arcurs/iStock, s. 191 Khos rork/iStock, s. 194 PeopleImages/iStock, s. 200 monkeybusinessimages/iStock, s. 202 ultramarine5/iStock, s. 206 Kritchanut/iStock, s. 210 Antonio_Diaz/iStock, s. 213 Ross Helen/iStock, s. 220 MarsBars/iStock, s. 241 Tomas Bullock/iStock

Om Matematikk 2P Matematikk 2P følger fagfornyelsens læreplan i matematikk 2P som gjelder fra august 2021, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no.

Læreboka Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra, Excel og programmering i Python der det er relevant.

I tillegg har vi ­UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.

Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver: Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.

Blå oppgaver gir større utfordringer.

Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.

Alle oppgavene som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med ikonet Oppgaver som krever programmering, er merket med

.

.

Siste kapittel i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen.

Digitale ressurser på Aunivers.no De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet: • Fullstendige løsninger av alle oppgavene • Interaktive oppgaver • Eksamensløsninger • Opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python • Læringsløp med programmering Som lærer får du i tillegg tilgang til: • Kapittelomtaler • Kapittelprøver • Terminprøver • Aktivt klasserom, som gir deg ferdige opplegg og tips til hvordan du kan variere undervisningen Vi håper at Matematikk 2P møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk2p@aschehoug.no.

Vi ønsker deg lykke til med faget!

Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef.

84

3 Likninger og ulikheter

3

Likninger og

ulikheter KAPITTELINNHOLD

3A Lineære likninger og ulikheter 86 3B Likninger og ulikheter av andre grad 94 3C Likningssystemer 103 3D Flere strategier for å løse likninger 111

2x = 10 er en likning.

Du vet at 2 · 5 = 10, så 2x er lik 10 når x er lik 5.

Vi sier at x = 5 er løsningen på likningen. Å løse en likning vil si å finne ut hvilke tall den ukjente kan være for at venstre side og høyre side i likningen skal ha samme verdi.

For x-verdier som er mindre enn 5, er 2x mindre enn 10.

Ulikheten 2x < 10 har derfor løsningen x < 5.

For x-verdier som er større enn 5, er 2x større enn 10.

Ulikheten 2x > 10 har derfor løsningen x > 5.

86

3 Likninger og ulikheter

3A

Lineære likninger og ulikheter Både 2x = 10 og 2x − 5 = −4 x + 7 er lineære likninger med x som ukjent.

Med t som symbol for den ukjente blir likningene 2t = 10 og 2t − 5 = −4t + 7.

I slike likninger er den ukjente bare i første potens, og den er aldri å se under et rottegn eller i nevneren i en brøk.

Grafisk løsning Vi ser nærmere på likningen 2x = 10 .

Hvis vi framstiller venstre side (V) og høyre side (H) i likningen grafisk, får vi rette linjer. y 20

15 (5 , 10)

H(x) = 10

10

5

V(x) = 2x x –1

1

2

3

4

5

6

7

8

Det er bare ett skjæringspunkt mellom grafene, punktet (5 , 10).

Venstre side og høyre side i likningen 2x = 10 er like bare hvis x har verdien 5.

Løsningen på likningen er x = 5.

For x-verdier der grafen til V ligger under grafen til H, er venstresiden mindre enn høyresiden.

Ulikheten 2x < 10 har derfor løsningen x < 5.

For x-verdier der grafen til V ligger over grafen til H, er venstresiden større enn høyresiden.

Ulikheten 2x > 10 har derfor løsningen x > 5.

3A Lineære likninger og ulikheter

EKSEMPEL 1

Løs likningen 2x − 5 = −4 x + 7 og ulikheten 2x − 5 < −4 x + 7 grafisk.

Kommandoen Skjæring mellom to objekt gir skjæringspunktet (2 , −1).

Løsningen på likningen 2x − 5 = −4 x + 7 er derfor x = 2.

Grafen til V ligger under grafen til H til venstre for skjæringspunktet.

Løsningen på ulikheten 2x − 5 < −4 x + 7 er derfor x < 2 .

SNAKK

Bruk figuren i eksemplet ovenfor til å løse disse likningene og ulikhetene: ❶ 2x − 5 > −4 x + 7 ❷ 2x − 5 ≤ −4 x + 7 ❸ −4 x + 7 = 2x − 5 ❹ −4 x + 7 < 2x − 5 ❺ 2x − 5 = −3 ❻ 2x − 5 > 1

3.1 Løs likningen og ulikhetene grafisk. a x − 15 = 4 x + 12 b 3 x + 5 > 9 − 7 x c 2x + 12 ≤ 0 3.2 a Tegn de rette linjene y = 3 x − 1 og y = 5 i det samme koordinatsystemet. b Bruk figuren fra oppgave a til å løse likningen 5 = 3 x − 1. c Bruk figuren fra oppgave a til å løse ulikheten 5 > 3 x − 1.

87

88

3 Likninger og ulikheter

SNAKK

Per løser en likning grafisk.

2

Hvilken løsning kommer Per fram til?

Hvilken likning har Per løst?

y

1 –1

1

2

3

x

–1 –2 –3

UTFORSK

Prøv å løse disse likningene grafisk: ❶ 2x − 5 = 2x + 3 ❷ 2x − 5 = 2( x − 2,5) Hva kjennetegner lineære likninger som • ikke har noen løsning • har uendelig mange løsninger

Prøve og feile EKSEMPEL 2

Løs likningen 2x − 5 = −4 x + 7 ved å prøve og feile.

Det enkleste er ofte å prøve med x = 0 først.

V (0) = 2 ⋅ 0 − 5 = −5 og H(0) = −4 ⋅ 0 + 7 = 7

Vi traff (selvsagt) ikke på første forsøk. Venstre side ble mindre enn høyre side.

Fordi venstre side øker når x øker og høyre side minker når x øker, velger vi å prøve med en større verdi for x, for eksempel x = 3.

V (3) = 2 ⋅ 3 − 5 = 1 og H(3) = −4 ⋅ 3 + 7 = −5

Nå ble venstre side større enn høyre side. Da vet vi at den riktige x-verdien ligger mellom de to verdiene vi har prøvd så langt. Vi prøver med x = 2.

V (2) = 2 ⋅ 2 − 5 = −1 og H(2) = −4 ⋅ 2 + 7 = −1

Nå ble venstre side og høyre side like, og vi kan si at løsningen er x = 2.

3.3 Løs likningene ved å prøve og feile. a x − 13 = 12 − 4 x b x + 16 = 2x + 1 c 3 x + 4 = 9 − 7 x

3A Lineære likninger og ulikheter

Løsning ved tegning EKSEMPEL 3

Trine, Ingun og Kate er søsken.

Trine og Ingun er like gamle, mens Kate er fire år yngre.

Til sammen er de 50 år.

Hvor gamle er jentene?

Ut fra opplysningene kan vi tegne figuren til høyre: 50

Så regner vi slik:

4

Trine

4

Ingun Kate

50 − 8 = 42 42 = 14 3

Kate er 14 år. Trine og Ingun er 18 år.

3.4 Se på eksempel 3. La Kate være x år gammel. Sett opp likningen vi løste ved tegning.

3.5 På en treningskveld i en fotballklubb drev én tredel av de frammøtte med styrketrening, og én firedel drev med teknisk trening. De resterende 25 løp.

Figuren kan hjelpe oss til å finne ut hvor mange som møtte opp på treningen denne kvelden.

1 _ 3

1 _ 4

25

a Hvorfor er rektanglet delt opp i 12 like store ruter? b Hvor mange personer svarer én rute til? c Hvor mange personer møtte opp på treningen? d La x være antall personer som møtte opp på treningen. Sett opp likningen du løste ved tegning i oppgavene a–c.

3.6 Løs likningene ved tegning. a x + ( x + 7) = 49 b x + 2( x + 6) = 72

c

1 1 x + x +9 = x 2 5

89

90

3 Likninger og ulikheter

Algebraisk løsning SNAKK

Sindre løser en likning slik: Forklar linje for linje hva Sindre gjør. Hvordan kan Sindre kontrollere at svaret er riktig?

6 – 3(x – 2) 6 – 3x + 6 12 – 3x 12 10 5

= 4 – (2 + x) =4–2–x =2–x = 2 + 2x = 2x =x

+ 3x –2 :2

Når vi løser en likning algebraisk (ved regning), gjør vi de samme regneoperasjonene på begge sider av likhetstegnet.

EKSEMPEL 4

Løs likningen

x 1 + 3 = 5 x − algebraisk.

4 6

Vi multipliserer begge sider i likningen med fellesnevneren 12, slik at vi kan forkorte bort nevnerne. x 1 + 3 = 5x − 4 6 1   x  + 3 ⋅12 =  5 x −  ⋅12 4 6 x ⋅12 1⋅12 + 3 ⋅12 = 5 x ⋅12 − 4 6 3 x + 36 = 60 x − 2

Med CAS:

38 = 57 x 38 =x 57 2 x= 3

Vi regner ut parentesene.

Vi forkorter.

Vi trekker sammen.

Vi deler med 57 på begge sider.

Vi forkorter.

3A Lineære likninger og ulikheter

3.7 Løs likningene algebraisk. a x − 12 = 6 x + 18 b x = 12 − 2(3 + x )

c x − 2( x − 5) = 0

3.8 Løs likningene algebraisk – først uten hjelpemidler, deretter med CAS. x 1 x 3x 7 x + = +1 c a − 2 = x b − 1= x − 2 3 4 2 10 5

SNAKK

«Jeg synes dette med å legge til eller trekke fra det samme på begge sider er tungvint», sier Halvard. «Jeg bare flytter og bytter, jeg!»

Hva er det Halvard prøver å si?

Når vi skal løse en lineær ulikhet algebraisk, gjelder stort sett de samme reglene som når vi løser en likning. Vi kan for eksempel legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider i ulikheten. Hvis vi i stedet skal gange eller dele på begge sider, må vi passe bedre på.

Vi ser på ulikheten 3 < 5.

Vi må altså snu ulikhetstegnet hvis vi multipliserer med −4. Vi fører det slik: 3<5

3 ⋅ ( −4) > 5 ⋅ ( −4) −12 > −20

Når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet, må vi snu ulikhetstegnet.

91

92

3 Likninger og ulikheter

EKSEMPEL 5

Løs ulikheten x −

2 > 7 x + 5 algebraisk.

3

2 > 7x + 5 3 3 x − 2 > 21x + 15 x−

−18 x > 17 −18 x 17 < −18 −18 17 x<− 18

Vi multipliserer med 3 på begge sider.

Vi legger til 2 og trekker fra 21x på begge sider.

Vi dividerer med –18 på begge sider og snur da ulikhetstegnet.

Med CAS:

3.9 Løs ulikhetene algebraisk. a 2x − 5 < 3 − 2x b x − 12 < 6 x + 18

c x − 2( x − 5) ≤ 0

3.10 Løs ulikhetene algebraisk – først uten hjelpemidler, deretter med CAS. x x x x x a − 2x > 1 b − 5 ≤ − 2 c 2 + ≥ 1+ 4 3 2 3 3

SNAKK

«Jeg glemmer ofte å snu ulikhetstegnet», beklager Jostein seg til læreren.

«Da får du ordne deg slik at det ikke er nødvendig å snu ulikhetstegnet, da», sier læreren.

Jostein forstår ikke helt hva læreren mener. Gjør du?

93

3A Lineære likninger og ulikheter

RØDE OPPGAVER 3.11 Løs hver av likningene og ulikhetene på minst to ulike måter. x 15 1 < 3 − 2x a 5 x − (3 − x ) = 9 b x + 2 = 1 c 3 − 2x > 15 d + 4 2 3 3.12 Cedrik løste en ulikhet slik:

3x − 4 ≤ 8x − 14 +4 3x ≤ 8x − 10 − 8x : (− 5) − 5x ≤ − 10

x≤2

Kommenter hvert trinn i Cedriks framgangsmåte, og vurder om han kom fram til riktig løsning.

3.13 Hos treningsstudioet Form koster medlemskapet 550 kr per måned. Da kan du trene så ofte du vil.

Uten medlemskap må du betale 95 kr hver gang du trener. La x være antall ganger du trener per måned.

Sett opp en ulikhet og finn ut hvor mange ganger per måned du må trene for at det skal lønne seg å bli medlem.

BLÅ OPPGAVER 3.14 Helena brukte figuren til høyre til å løse en førstegradsulikhet.

Helena fikk x ≤ 4 som svar på ulikheten.

Hvilken ulikhet løste Helena?

y 8 7 6 5

3.15 1  Venstresiden i en likning er 4  x −  + 3(2 + x ) .  2 Lag en høyreside slik at løsningen er x = 5.

3.16 Kjøper du et sesongkort til 350 kr på Badebussen, koster hver tur 25 kr.

Uten sesongkort koster hver tur 40 kr.

Løs ulikheten 350 + 25 x < 40 x og tolk svaret.

4 3 2 1 –2 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

94

3 Likninger og ulikheter

3B

Likninger og ulikheter av andre grad

UTFORSK

For omtrent 4000 år siden lå det en by som het Babylon i det vi i dag kaller Irak. Babylonerne var banebrytende innenfor mange fagfelt, blant annet matematikk. Et typisk problem babylonerne var opptatt av å finne en løsning på, kunne være slik: Arealet av et rektangel er 45 m2. De lengste sidene er 4 m lengre enn de korte. Hvor lange er sidene i rektanglet?

Babylonerne løste problemet ved å tegne en figurserie som likner på denne:

x

x

4

x2

4x 45

x

x

2 2

x 45

x

2

x

x

2

2 45

x+2=7

2

x+2=7 4 49

2

2

49

• Forklar hvert trinn i figurserien.

• Hvilken løsning kom de fram til?

• Sett opp andregradslikningen de løste.

I andregradslikninger forekommer den ukjente i andre potens (andregradsledd).

Likningen kan også inneholde førstegradsledd og konstantledd, men den ukjente kan aldri være opphøyd i tredje potens eller forekomme i nevneren i en brøk. Her er noen eksempler på andregradslikninger:

x 2 = 36 x 2 + 5 x = 3 t 2 + 5t = 3

Du ser kanskje løsningen på likningen x 2 = 36? Ja, nettopp: x = 6 eller x = −6.

I mange praktiske sammenhenger forkaster vi den negative løsningen på slike likninger, for eksempel når vi bruker pytagorassetningen til å finne lengden av en side i en rettvinklet trekant. Men matematisk sett er den negative løsningen like god som den positive.

Likningen x 2 = k har løsningene x = k og x = − k .

Legg merke til at likningen x 2 = k ikke har noen løsning hvis k er negativ.

Det er fordi det ikke fins et tall som ganget med seg selv, gir et negativt svar.

3B Likninger og ulikheter av andre grad

SNAKK

Hvilke av likningene er andregradslikninger? ❶ x 2 = 4 ❷ x 2 + x 3 = 2 ❸ 2x + 1 = 5 ❹ y 2 − 6 y + 5 = 0 ❺ 3 x − 1 = x 2 ❻ ( x + 3)2 = 25 Klarer du å se løsningen på noen av likningene?

Grafisk løsning Hvis vi framstiller en andregradslikning eller en andregradsulikhet grafisk, får vi minst én parabel. Parabel er navnet på grafen til en andregradsfunksjon, som du lærte om i 1P. Den grafen som eventuelt ikke er en parabel, vil være en rett linje.

EKSEMPEL 6

Løs likningen 6 − x = x 2 og ulikheten 6 − x > x 2 grafisk.

Vi tegner grafen til funksjonene gitt ved V ( x ) = 6 − x og H ( x ) = x 2.

Kommandoen Skjæring mellom to objekt gir skjæringspunktene (−3 , 9) og (2 , 4).

Likningen 6 − x = x 2 har derfor to løsninger: x = −3 og x = 2.

Grafen til V ligger over grafen til H mellom de to skjæringspunktene.

Løsningen på ulikheten 6 − x > x 2 er derfor −3 < x < 2.

–3 < x < 2 er en dobbeltulikhet og betyr at x er mindre enn 2 men større enn –3.

95

96

3 Likninger og ulikheter

SNAKK

Bruk figuren i eksempel 6 på forrige side til å løse disse likningene og ulikhetene: ❶ x 2 = 6 − x ❷ x 2 + x − 6 = 0 ❸ 6 − x ≥ x 2 ❹ 6 − x < x 2 ❺ x 2 < 1 ❻ x 2 > 1

3.17 Løs likningen og ulikhetene grafisk. a x 2 = 2x + 3 b x 2 < 2x + 3 c x 2 > 2x + 3 3.18 Løs likningen og ulikhetene grafisk. a x 2 + 9 = 6 x b x 2 + 9 > 6 x c x 2 + 9 < 6 x

UTFORSK

Tegn grafen til funksjonene V og H gitt ved V ( x ) = x 2 + c og H ( x ) = 4 x i GeoGebra. La verdien av c være bestemt av en glider. Varier verdien av c systematisk. a For hvilke verdier av c har likningen x 2 + c = 4 x • én løsning • to løsninger • ingen løsning b Bestem c slik at ulikheten x 2 + c < 4 x • har løsningen −1 < x < 5 • ikke har noen løsning

3B Likninger og ulikheter av andre grad

Løsning med CAS EKSEMPEL 7

Løs likningene og ulikheten med CAS. a x 2 = 2x + 3 b x 2 − x − 1 = 0 c 5 x = 7 + 3 x 2 d x 2 ≥ 4 x + 5 a

Løsningene er x = −1 og x = 3.

b

Løsningene er x = −0,62 og x = 1,62.

c

Likningen har ingen løsning.

d

Løsningen er x ≤ −1 eller x ≥ 5 , det vil si alle tall bortsett fra dem mellom −1 og 5.

3.19 Løs likningene og ulikhetene med CAS. a x 2 − 12x + 11 = 0 b x 2 ≥ x c 2x 2 − 7 x = 10 d x 2 + 25 = 10 x e 3 x 2 = 4 x + 2 f x 2 − 8 x + 16 < 0

97

98

3 Likninger og ulikheter

Produktregelen Hvis vi multipliserer et tall med 0, blir svaret alltid 0.

Hvis produktet av to tall er null, må derfor minst ett av tallene være null.

Dette kaller vi produktregelen:

Hvis a · b = 0, er a = 0 eller b = 0.

EKSEMPEL 8

Løs likningene. a ( x − 2) ⋅ ( x + 3) = 0 b x 2 − 5 x = 0 a Likningen forteller at produktet av x − 2 og x + 3 er lik 0.

Altså er x − 2 = 0 eller x + 3 = 0.

Det betyr at x = 2 og x = −3 er løsningene på likningen. b

Her er ikke venstre side et produkt, men det ordner vi ved å faktorisere.

Vi ser at x er med i begge leddene, så vi kan sette x utenfor en parentes.

Det gir x ⋅ ( x − 5) = 0.

Altså er x = 0 eller x − 5 = 0.

Løsningene er derfor x = 0 og x = 5.

3.20 Løs likningene. a ( x − 4) ⋅ ( x − 3) = 0 b ( x + 4) ⋅ ( x − 3) = 0 c ( x + 4) ⋅ ( x + 3) = 0 3.21 Løs likningene. a ( x − 2) ⋅ (6 − x ) = 0 b x ⋅ ( x − 4) = 0 c x 2 − 8 x = 0

Heltallsmetoden En andregradslikning der løsningene er hele tall, lar seg ofte løse hvis vi ser godt på tallene i likningen. Det første vi da må gjøre, er å skrive likningen på ordnet form. Med det mener vi • at det står 0 på høyre side i likningen • at leddene på venstre side i likningen står sortert med andregradsleddet først og konstantleddet sist • at andregradsleddet er x2

3B Likninger og ulikheter av andre grad

Vi tar utgangspunkt i likningen x 2 = 2x + 3.

Det første vi gjør, er å omforme den til x 2 − 2x − 3 = 0.

Deretter leter vi etter to hele tall som er slik at produktet av dem er lik konstantleddet (−3). Her kan det være 1 og −3 eller −1 og 3.

Videre ser vi på hvilket av disse tallparene som sammenlagt er lik tallet foran x i likningen, men med motsatt fortegn. I vårt tilfelle skal summen derfor være 2, og da er det bare −1 og 3 som passer. Løsningene på likningen x 2 = 2x + 3 er altså x = −1 og x = 3.

Metoden virker også selv om løsningene ikke er hele tall, men i praksis blir det da ofte svært vanskelig å finne dem.

EKSEMPEL 9

Løs likningene. a x 2 + 7 x + 6 = 0 b 2x 2 + 10 = 12x a Likningen x 2 + 7 x + 6 = 0 er allerede ordnet.

Vi leter etter to hele tall som blir 6 når vi multipliserer dem.

Det kan være 1 og 6, −1 og −6, 2 og 3 eller −2 og −3.

Videre skal summen av tallene være −7. Da er det bare −1 og −6 som passer.

Løsningene er derfor x = −1 og x = −6 . b Vi må først ordne likningen.

2x 2 + 10 = 12x − 12x 2x 2 − 12x + 10 = 0

: 2

2

x − 6x + 5 = 0

Så leter vi etter to hele tall som har produktet 5.

Det kan være 1 og 5 eller −1 og −5.

Videre skal summen være 6. Da er det bare 1 og 5 som passer.

Løsningene er derfor x = 1 og x = 5 .

3.22 Løs likningene. a x 2 − 7 x + 10 = 0

b 2x 2 + 8 x + 6 = 0

c x 2 + 2x = 3

99

100

3 Likninger og ulikheter

UTFORSK

La b, c, d og e være symboler for fire tall. ❶ Hva er løsningene på likningen ( x − d ) ⋅ ( x − e ) = 0 ifølge produktregelen? ❷ Multipliser ut parentesene på venstre side i likningen ( x − d ) ⋅ ( x − e ) = 0.

Skriv likningen på ordnet form. ❸ En ordnet andregradslikning er på formen x 2 + bx + c = 0.

Sammenlikn med det du kom fram til i ❷.

Hvilken sammenheng er det mellom konstantleddet c og løsningene du fant i ❶?

Hvilken sammenheng er det mellom b og løsningene du fant i ❶?

abc-formelen La a, b og c være symboler for tre vilkårlige tall, der a må være forskjellig fra 0.

Da er løsningen på andregradslikningen ax 2 + bx + c = 0 gitt ved

x=

− b ± b2 − 4ac 2a

hvis tallet under rottegnet ikke er negativt.

Hvis tallet under rottegnet er negativt, har likningen ingen løsning.

EKSEMPEL 10 x2 = 1 · x2

Løs likningen x 2 + 8 x + 15 = 0 ved å bruke abc-formelen.

Sammenlikner vi med ax2 + bx + c = 0, ser vi at a = 1, b = 8 og c = 15.

Vi setter inn i abc-formelen og får

x=

−8 ± 82 − 4 ⋅1⋅15 −8 ± 64 − 60 −8 ± 4 −8 ± 2 = = = 2 ⋅1 2 2 2

Til venstre regner vi ut med plusstegnet mellom tallene i telleren.

Til høyre regner vi ut med minustegnet mellom tallene i telleren.

x=

−8 + 2 −6 = = −3

2 2

x=

Løsningene er altså x = −3 og x = −5.

−8 − 2 −10 = = −5 2 2

3B Likninger og ulikheter av andre grad

EKSEMPEL 11

Løs likningen 2x 2 + 5 = 3 x ved å bruke abc-formelen.

Først omformer vi likningen ved å trekke fra 3x på begge sider. Det gir

2x 2 − 3 x + 5 = 0

Sammenlikner vi med ax 2 + bx + c = 0 , ser vi at a = 2 , b = −3 og c = 5.

Vi setter inn i abc-formelen og får

x=

−( −3) ± ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 3 ± 9 − 40 3 ± −31 = = 2⋅ 2 4 4

Vi får et negativt tall under rottegnet.

Likningen har derfor ingen løsning.

3.23 Løs likningene ved å bruke abc-formelen. a 2x 2 + 8 x + 6 = 0 b x 2 + 7 x + 6 = 0 c x 2 − 7 x + 10 = 0 3.24 Løs likningene ved å bruke abc-formelen. a x 2 = 7 x − 10 b 5 x 2 + 2x + 6 = 0

c x 2 + 2x – 3 = 0

3.25 Pelle løser en likning. Han starter slik:

x=

−7 ± 72 − 4 ⋅ (−3) ⋅ (−2) 2 ⋅ (−3)

Hvilken likning løser Pelle?

SNAKK

Uttrykket b2 − 4 ac under kvadratroten i abc-formelen kaller vi diskriminanten. a Hvorfor har en andregradslikning bare én løsning hvis diskriminanten er lik null? b Hvorfor har en andregradslikning ingen løsning hvis diskriminanten er negativ? c Hvor mange løsninger har en andregradslikning hvis a og c har motsatt fortegn?

101

102

3 Likninger og ulikheter

RØDE OPPGAVER 3.26 Løs likningene og ulikhetene. Bruk ulike strategier. a x 2 − 9 x = 0 b x 2 − x + 6 = 0 c x 2 − 7 x + 10 < 0

d x 2 < 4

3.27 Totalkostnaden ved å produsere x enheter per uke av en maskindel er gitt ved

K ( x ) = 0,12x 2 + 20 x + 5000, der x ≥ 0

a Hvor mange maskindeler kan bedriften produsere per uke for 20 000 kr? b Løs ulikheten 0,12x 2 + 20 x + 5000 > 50 000 . Hva forteller svaret?

BLÅ OPPGAVER 3.28 a Hvilken likning er løst i figurserien? b Finn begge løsningene på likningen.

x x2

8x

x

4

x

x

4

4

33 3.29 33 Løs likningene og ulikheten. Bruk ulike strategier.

5 a x 2 + 1 = x b ( x − 5)2 = 9 c x 3 − 9 x = 0 d x 2 − 7 x ≤ 0 2

3.30 Rektangeltall nummer n er gitt ved Rn = n2 + n .

Undersøk om tallene er rektangeltall, og hvilket plassnummer de eventuelt har i følgen. a 4556 b 2808 3.31 En vinterdag kan føret være slik at stopplengden s meter for en bil som holder farten v km/h, er gitt ved formelen s = 0,016v 2 + 0,27v .

Hvor fort kan bilen kjøre hvis stopplengden skal være maksimalt 100 m?

49

4

3C

3C Likningssystemer

103

Likningssystemer I et julehefte fant vi denne oppgaven:

Kaller vi det største tallet for x og det minste for y, kan vi sette opp to likninger:

x + y = 10 2x − y = 8

Vi sier at de to likningene til sammen utgjør et likningssystem, eller et likningssett.

Det er et lineært likningssystem fordi både x og y er av første grad.

Hvis vi ser på hver likning for seg, har de uendelig mange løsninger.

I likning  passer x = 8 og y = 2 .

Det gjør også for eksempel x = 7,2 og y = 2,8 .

Men ingen av disse løsningene passer i likning .

Den eneste løsningen som passer i begge likningene, er x = 6 og y = 4 .

Å løse et lineært likningssystem vil si å finne én verdi for hver ukjent som passer i alle likningene.

Et likningssystem kan ha to, tre eller flere ukjente.

SNAKK

Hvilke av likningssystemene er lineære? ❹ x + y + z = 4 ❶ x + y = 10 x−y+z=2 x−y =6 3x + y − z = 2 x+y =7 ❷ ❺ 6 = x + y x 2 + y 2 = 25 x =1 ❸ y = x + 3 y y = 7 − 4x

Klarer du å se løsningen på noen av likningssystemene?

104

3 Likninger og ulikheter

Grafisk løsning Likningssystemer med to ukjente kan vi løse grafisk. Vi tegner da en graf for hver likning. I punkter der grafene skjærer hverandre, er begge likningene oppfylt. Det er derfor koordinatene til disse skjæringspunktene som gir oss løsningen på likningssystemet.

EKSEMPEL 12

Løs likningssystemet grafisk.

x + y = 10 2x − y = 8

Fordi likningssystemet er lineært, svarer hver likning til en rett linje.

Vi sier også at løsningen er (6 , 4).

Kommandoen Skjæring mellom to objekt gir skjæringspunktet (6 , 4).

Løsningen på likningssystemet er derfor x = 6 og y = 4.

3C Likningssystemer

EKSEMPEL 13

Løs likningssystemet grafisk. x + y =1

2

x + y 2 = 25

Vi ser at den rette linja skjærer sirkelen i to punkter.

Kommandoen Skjæring mellom to objekt gir skjæringspunktene (−3 , 4) og (4 , −3).

Løsningene er derfor x = −3 og y = 4 , og x = 4 og y = −3.

3.32 Løs likningssystemene grafisk. a 3 x − y = 32 b y = x + 1 x − 6 y = 22 y 2 = 25 − x 2

UTFORSK

c

x + y =1 y 2 − x = 25

La c og d være tall bestemt av glidere i GeoGebra.

Framstill likningene i dette likningssystemet grafisk:

x+y =2 c⋅x − y =d

a Sett c = 2 og varier verdien av d. Beskriv det du ser.

Har likningssystemet løsning for alle verdier av d? b Sett c = −1 og varier verdien av d. Beskriv det du ser.

Har likningssystemet løsning for alle verdier av d?

105

106

3 Likninger og ulikheter

Løsning med CAS Vi skriver inn likningene i hver sin rad, markerer alle radene og klikker på

EKSEMPEL 14

Løs likningssystemene med CAS. a

x + y = 1 2

b

a+ b+c = 2 a + 2b − c = 0

2

x + y = 25

a− b+c =1

a

Løsningene er x = −3 og y = 4, og x = 4 og y = −3.

b

Løsningen er a =

1 1 5 , b = og c = .

2 4 4

3.33 Løs likningssystemene med CAS. a 3 x − y = 32 b y = x + 1 x − 6 y = 22

2

y = 25 − x

2

c

x + y + 3z = 3 4 x − y − 6z = 1 x − y + 1 = 3z

.

3C Likningssystemer

Addisjonsmetoden Hvis x = 2 og y = 3 , er x + y = 2 + 3.

Dette er et enkelt eksempel på det vi kaller addisjon av likninger.

Summen av venstresidene i to likninger er lik summen av høyresidene i de samme likningene.

Eksempel på motsatte tall: 3 og –3

EKSEMPEL 15

Hvis en av de ukjente forekommer med motsatte tall foran seg i de to likningene, faller denne ukjente bort hvis vi adderer likningene. Det er dette vi utnytter i addisjonsmetoden.

Løs likningssystemet med addisjonsmetoden.

x + 3y = 8 2x − 3 y = 4

x + 3y = 8 2x − 3 y = 4

3 x = 12 + x=4 Vi kan nå sette inn 4 for x i hvilken som helst av de to opprinnelige likningene for å finne y.

Vi velger å sette inn i likning  og får

4 + 3y = 8 3y = 4 4 y= 3

4 Løsningen er x = 4 og y = .

3 Hvis vi vil bruke addisjonsmetoden, kan det være nødvendig å starte med å multiplisere likningene med hvert sitt tall, slik at den ukjente faller bort når vi legger sammen. Ett av tallene kan være 1. Dette kan du prøve deg på i oppgave 3.35.

107

108

3 Likninger og ulikheter

3.34 Løs likningssystemene med addisjonsmetoden. a 3 x − y = 7 b −5 x + 3 y = 23 c 3 x + y = 8 x+ y =5 5 x + 7 y = −13 y − 3x = 6 3.35 Ta for deg likningssystemet

5x − 2y = 2 x + 3 y = 14

a Legg sammen de to likningene. Forklar hvorfor addisjonsmetoden ikke fungerer direkte i dette tilfellet. b Multipliser likning  med 3 og likning  med 2.

Forklar hvorfor addisjonsmetoden fungerer nå, og fullfør løsningen av likningssystemet. c Multipliser likning  med −5, og la likning  være uforandret.

Forklar hvorfor addisjonsmetoden fungerer nå, og fullfør løsningen av likningssystemet. d Løs likningssystemet nedenfor med addisjonsmetoden to ganger.

Første gangen skal x-leddene falle bort ved addisjonen.

Andre gangen skal y-leddene falle bort ved addisjonen.

2x − 5 y = 5 x + 4 y = 9

UTFORSK

Frederik har funnet ut at det går an å bruke en subtraksjonsmetode for å løse likningssystemer av denne typen:

2x + 5 y = 10 x + 5y = 9

Forklar Frederiks metode, og bruk den til å løse likningssystemet ovenfor.

Lag flere eksempler på likningssystemer der Frederiks metode egner seg som løsningsstrategi.

Marie hevder at Frederiks metode ikke er noe nytt, men et spesialtilfelle av addisjonsmetoden. Kan du forklare hva Marie mener?

3C Likningssystemer

Innsettingsmetoden Når vi bruker innsettingsmetoden, finner vi først et uttrykk for den ene ukjente fra en av likningene. Dette uttrykket setter vi så inn i den andre likningen.

Da får vi én likning med én ukjent.

EKSEMPEL 16

Løs likningssystemet med innsettingsmetoden.

x + 3 y = 13 3 x − 5 y = 11

Det enkleste her er å finne et uttrykk for x fra den øverste likningen.

x + 3 y = 13 x = 13 − 3 y

Nå setter vi inn 13 − 3 y for x i den andre likningen.

3 x − 5 y = 11

3 ⋅ (13 − 3 y ) − 5 y = 11 39 − 9 y − 5 y = 11 28 = 14 y 2= y

Så setter vi inn 2 for y i uttrykket for x.

x = 13 − 3 y x = 13 − 3 ⋅ 2 x =7

Løsningen er x = 7 og y = 2.

SNAKK

Tenk at du skal løse likningssystemene ved innsettingsmetoden.

Hvilken ukjent i hvilken likning vil du da begynne med å finne et uttrykk for? ❶ 3 x − 9 y = 7 ❷ 3 x − 5 y = 7 ❸ 3 x − y = 7 x + 2y = 5 x + 7y = 5 4x + y = 5

3.36 Løs likningssystemene med innsettingsmetoden. a y = 3 x + 1 b 3 x + y = 16 c 3 x − 4 y = 7 2y = 5 + 7 x 2x − 6 y = 4 x − 9 y = 10

109

110

3 Likninger og ulikheter

RØDE OPPGAVER 3.37 Løs likningssystemene. Bruk ulike strategier. a 8 x − y = 3 b y − x = 3 x + 1 c x 2 + y 2 = 1 d x ⋅ y = 50 2x + y = 17 x + 2y = 5 x + y =1 2x + 2 y = 30 3.38 Lars spør tante Lise hvor gammel hun er. Tante Lise svarer: «Til sammen er vi to 54 år. Tar vi min alder og trekker fra din alder, får vi 30 år.»

Sett opp og løs et likningssystem for å finne ut hvor gammel tante Lise og Lars er.

3.39 Vi kan skrive likningen for en rett linje på formen y = ax + b . a En rett linje går gjennom punktene (−2 , 6) og (8 , 1).

Forklar at vi kan sette opp dette likningssystemet: 6 = −2a + b 1 = 8a + b b Løs likningssystemet i oppgave a, og skriv opp likningen for linja.

BLÅ OPPGAVER 3.40 Løs likningssystemene.

1 2

x

d x − xy = 4 a b c 2x − y + z = 8 3x + y = 7 =3 2 y x+y =2 x + 2 y − z = −5 1 1 3 y2 4 x+ y= x + 5 y − 2z = −15 = 4 10 4 x 3 3.41 Parabler har funksjonsuttrykk på formen f ( x ) = ax 2 + bx + c .

Bestem funksjonsuttrykket for en parabel som går gjennom disse punktene: (2 , 15), (4 , 22) og (6 , 31) 3.42 Ta for deg likningssystemet nedenfor.

Bestem antall løsninger for ulike verdier av k. x2 + y2 = 4

x2 + y = k

3D

3D Flere strategier for å løse likninger

Flere strategier for å løse likninger Kryssmultiplisering Hvis forholdet mellom størrelsene a og b er det samme som forholdet mellom størrelsene c og d, kan vi sette opp likninger av typen

a c = b d

Vi kan multiplisere på begge sider med fellesnevneren bd. Da får vi

a c ⋅ bd = ⋅ bd b d abd cbd = b d ad = cd

Å gå direkte fra

EKSEMPEL 17

Løs likningen

Vi forkorter.

a c = til ad = bc kaller vi kryssmultiplisering. b d

1 2 = .

2,5 x

Vi kryssmultipliserer og får

1 2 = 2,5 x 1 · x = 2,5 · 2 x =5

3.43 Løs likningene med kryssmultiplisering.

2 5 1 8 2 x 8 1 c d b a = = = = 3,5 x x 3 x 5 2 x

111

112

3 Likninger og ulikheter

Omskriving til potenser med samme grunntall Vi vet at 25 er det samme som 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32.

Ser du løsningen på likningene 2x = 32 og x 5 = 32?

EKSEMPEL 18

Løs likningene. a 3x − 2 = 9

3x b 10 = 0,001

c x 4 = 16

a Vi skriver 9 som potens med 3 som grunntall.

3x − 2 = 9 3x − 2 = 32 x −2= 2 x=4

Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

Løsningen på likningen er x = 4 . b Vi skriver 0,001 som potens med 10 som grunntall.

103 x = 0,001 103 x = 10−3 3 x = −3 x = −1 c Vi kan skrive 16 som en potens med 4 som eksponent på to måter: 24 eller ( −2)4.

Likningen har derfor to løsninger, x = 2 og x = −2.

3.44 Løs likningene. a 3x = 27 b 3x = 3 c x 3 = 27 d 3x = 1 3.45 Løs likningene. a 10 x = 1000 b 10 x = 0,1

c 103 x = 100 d x10 = 1

3.46 Løs likningene.

2 a 2x = 8 b 2x = 1 c 2x + 3 = 16 d 2x = 16

3D Flere strategier for å løse likninger

Potensering ( )

2

Vi minner om at definisjonen av kvadratroten sier at x er det samme som x når x er positiv.

3 Tilsvarende sier definisjonen av tredjeroten at 3 x er det samme som x for alle verdier av x.

( )

(n x )

n

=x

Når n er partall, må x minst være lik 0.

Når n er oddetall, kan x være hva som helst.

EKSEMPEL 19

Løs likningene. x + 2 = 5 b

a

3

x =2

a Vi kvadrerer på begge sider av likhetstegnet. x +2 =5

(

x +2

)

2

= 52

x + 2 = 25 x = 23

b Vi opphøyer både venstre side og høyre side i 3.

3

x =2

( x) 3

3

= 23

x=8

3.47 Løs likningene. x = 6

a b

3

2x − 1 = 4

c d

x = 3

4

x =1

113

114

3 Likninger og ulikheter

Halveringsmetoden Halveringsmetoden starter med at vi omformer likningen slik at det står null på høyre side. Å løse likningen blir da det samme som å finne nullpunktene til funksjonen som er gitt ved venstre side. Hvis vi ser på grafen til denne funksjonen, betyr dette å finne ut hvor grafen skjærer x-aksen. Videre må vi finne et intervall der vi vet at funksjonen har et nullpunkt. Til slutt skal vi gjentatte ganger innsnevre intervallet som nullpunktet ligger i.

Vi vil bruke likningen x 3 = 1− x som eksempel.

Først legger vi til x og trekker fra 1 på begge sider. Da får vi

x3 + x − 1= 0

Vi skal altså finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved

f ( x ) = x3 + x − 1

Da må vi finne funksjonsverdier med motsatt fortegn. Vi prøver oss fram, og finner at

f (0) = 03 + 0 − 1 = −1 f (1) = 13 + 1− 1 = 1

Grafen til f må krysse x-aksen for at funksjonsverdien skal gå fra –1 til 1. Derfor må f ha et nullpunkt mellom de tilhørende x-verdiene, dvs. mellom 0 og 1.

Midt mellom 0 og 1, ligger 0,5.

Hvis f (0,5) ≈ 0 , er 0,5 nullpunktet vi leter etter.

Hvis ikke, har enten f (0) og f (0,5) eller f (0,5) og f (1) motsatt fortegn.

Hvis f (0) og f (0,5) har motsatt fortegn, ligger nullpunktet mellom 0 og 0,5.

Hvis f (0,5) og f (1) har motsatt fortegn, ligger nullpunktet mellom 0,5 og 1.

I dette tilfellet er f (0,5) = −0,38 og f (1) = 1, så nullpunktet ligger mellom 0,5 og 1.

Vi har nå halvert området nullpunktet kan ligge i, herav navnet halveringsmetoden.

Så gjentar vi prosessen: Midt mellom 0,5 og 1, ligger 0,75.

Hvis f (0,75) ≈ 0 , er 0,75 nullpunktet vi leter etter.

Hvis ikke, har enten f (0,5) og f (0,75) eller f (0,75) og f (1) motsatt fortegn.

Hvis f (0,5) og f (0,75) har motsatt fortegn, ligger nullpunktet mellom 0,5 og 0,75.

3D Flere strategier for å løse likninger

Hvis f (0,75) og f (1) har motsatt fortegn, ligger nullpunktet mellom 0,75 og 1.

I dette tilfellet er f (0,5) = −0,38 og f (0,75) = 0,17, så nullpunktet ligger mellom 0,5 og 0,75.

Vi ser nå at det vil lønne seg å bruke programmering. Vi vil da lett kunne gjenta prosessen så mange ganger vi ønsker. I praksis er vi ofte godt fornøyd med tre riktige desimaler. y

y

y

2,5

2,5

2,5

2

2

2

1,5

1,5

1,5

f(x) = x 3 + x – 1

f(x) = x 3 + x – 1

f(x) = x 3 + x – 1

1

1

1

0,5

0,5

0,5

x

x –0,5

0,5

1

1,5

2

–0,5

0,5

1

1,5

2

–0,5

–0,5

Nullpunktet

x –0,5

0,5

1

1,5

2

–0,5

Nullpunktet

Nullpunktet

–1

–1

–1

–1,5

–1,5

–1,5

Figuren ovenfor viser de tre første trinnene av prosessen. Området markert med blå farge blir halvert i hvert trinn. Legg merke til at nullpunktet vi er på jakt etter alltid ligger i det fargede området.

Halveringsmetoden La f være en funksjon med sammenhengende graf i intervallet [a , b], og der f(a) og f(b) har motsatt fortegn. Omform likningen du ønsker å løse til f ( x ) = 0. a+b Trinn 1: Finn midtpunktet, m, i intervallet [a , b]: m = 2 Trinn 2: Undersøk om f ( m) ≈ 0 . I så fall, avslutt.

Hvis ikke, gå til trinn 3.

Trinn 3: Undersøk om f ( a) ⋅ f ( m) < 0. I så fall ligger nullpunktet i intervallet [a , m] og vi gjentar algoritmen for dette

intervallet. Hvis ikke, gjentar vi algoritmen for intervallet [m , b].

Algoritmen blir gjentatt til svaret er nøyaktig nok.

Merk!

Vi skriver f ( m) ≈ 0. I programmet må vi oppgi hva som er nøyaktig nok til at vi sier at det er nullpunktet.

115

116

3 Likninger og ulikheter

SNAKK EKSEMPEL 20

Hvorfor ligger nullpunktet i intervallet [a , m] hvis f ( a) ⋅ f ( m) < 0?

Lag et program som løser likningen x 3 = 1− x med halveringsmetoden.

Vi omformer likningen, og får x 3 + x − 1 = 0 .

Det er altså nullpunktene til funksjonen f gitt ved f ( x ) = x 3 + x − 1 vi er på jakt etter.

Metoden er avhengig av at vi kjenner et intervall nullpunktet ligger innenfor.

Vi kan tegne grafen eller prøve oss fram, og finner at f har et nullpunkt mellom 0 og 1.

Halveringsmetoden med Python:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

from pylab import * a = 0

b = 1

noyaktighet = 0.0001

# startverdi intervall # sluttverdi intervall # angir hvor nøyaktig svaret skal være

def f(x): # definerer funksjonen return x**3 + x - 1 m = (a + b)/2 # finner midtpunkt i opprinnelig intervall while abs(f(m)) >= noyaktighet: if f(a)*f(m) < 0: b = m else: a = m m = (a + b)/2 print("Løsningen på likningen er", round(m,3))

Programmet skriver ut dette: Løsningen på likningen er 0.682

3D Flere strategier for å løse likninger

UTFORSK

a Forklar programmet i eksemplet på forrige side til en medelev.

Forklar annenhver linje til hverandre. b Skriv programmet inn i en Python-editor og kontroller at programmet gir samme svar som i eksemplet. c Endre programmet slik at a = –5 og b = 5. Forklar hva som endres og hvilken konsekvens det eventuelt får. d Endre programmet slik at noyaktighet = 0.001. Forklar hva som endres og hvilken konsekvens det eventuelt får. e Endre programmet slik at det gir løsningen på likningen med fire riktige desimaler. f Endre programmet slik at det i stedet gir løsningen på likningen x 2 + x 3 = 1− 4 x . g Endre programmet slik at det i stedet gir løsningen på likningen x2 + x3 = 9 − 4x. h Likningen x 2 + x 3 = 1+ 4 x har tre løsninger.

Tegn en graf og finn tre intervaller som hvert inneholder én av de tre løsningene.

Bruk halveringsmetoden flere ganger for å finne alle løsningene på likningen.

Hva skjer om du starter med et intervall som inneholder flere løsninger? i Utvid programmet i eksemplet ovenfor slik at brukeren kan legge inn intervallet som nullpunktet ligger i.

SNAKK

Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved f ( x ) = 2 ⋅ 0,85x − 1.

y 1,4 1,2 1 0,8

f

0,6 0,4 0,2 –2

–1 –0,2 –0,4 –0,6

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

a Forklar at nullpunktet til f er løsningen på likningen 2 ⋅ 0,85x = 1.

Hva er løsningen?

Hvilket intervall ville du startet med hvis du skulle løst likningen med halveringsmetoden? b Tenk deg at du skal løse likningen 2 ⋅ 0,85x = 2.

Forklar at løsningen må være 0.

Hvordan vil grafen til funksjonen du trenger i halveringsmetoden se ut sammenliknet med grafen ovenfor?

117

118

3 Likninger og ulikheter

BLANDEDE OPPGAVER 3.48 Ahmed har lyst til å reise på ferie sammen med noen venner. Det vil koste ham 12 600 kr.

Ahmeds far sier: «For hver krone du tjener til turen, skal jeg sponse deg med to kroner.»

Hvor mye må Ahmed tjene selv for å få råd til ferien?

Finn svaret ved å sette opp og løse en likning.

3.49 I fotball får et lag tre poeng for seier og ett poeng for uavgjort. I fjor vant laget til Jostein sju flere kamper enn de spilte uavgjort. De fikk til sammen 61 poeng.

Hvor mange kamper vant laget til Jostein?

3.50 Vi har gitt likningen 3 x 2 − 2x − 5 = 0.

Hvilke av tallene nedenfor er løsning på likningen?

5 5 a 1 b −1 c d − 3 3 3.51 a Hvor mange løsninger har likningene x 3 = 8 og x 4 = 81? Skriv opp løsningene. b Har likningene x 3 = −8 og x 4 = −81 noen løsninger?

3.52 Ta for deg likningen x 2 − 4 x + k = 0 .

Hva må k være for at likningen bare skal ha én løsning?

3.53 Vi minner om at vi kan skrive partall på formen 2k, der k er et helt tall. a Skriv opp et uttrykk for partallet som kommer etter 2k.

Produktet av to partall som kommer etter hverandre, er 224. b Bestem tallene når du får vite at de er positive. c Bestem tallene når du får vite at de er negative.

Blandede oppgaver

3.54 Trekanttall nummer n er gitt ved

Tn =

n2 + n 2

Undersøk om tallene er trekanttall, og hvilket plassnummer de eventuelt har. a 2628 b 924 3.55 To voksne og tre barn betaler til sammen 310 kr for billetter til en innebandykamp.

En voksenbillett koster 30 kroner mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster én barnebillett, og hvor mye koster én voksenbillett?

3.56 På en skole er det 560 elever. Det er 40 flere gutter enn jenter.

Sett opp og løs et likningssystem med to ukjente som du kan bruke til å finne antall jenter og gutter på skolen.

3.57 Ada Lovelace (1815–1852) var en engelsk grevinne. Hun er ansett som verdens første dataprogrammerer. I 1979 fikk hun et programmeringsspråk, Ada, oppkalt etter seg. Hun laget blant annet en formel for å løse et likningssystem med to ukjente. Vi kan skrive lineære likningssystemer med to ukjente på formen ax + by = c

dx + ey = f

Ada Lovelace viste at løsningen, når ae − bd ikke er lik 0, er gitt ved

x=

ce − bf af − cd og y = ae − bd ae − bd

a Bruk formlene til Ada Lovelace til å løse likningssystemet 3 x − 5 y = 11 2x + 3 y = 1 b Vis hvordan vi kan komme fram til samme løsningsformel som Ada Lovelace • med hjelpemidler • uten hjelpemidler

119

120

3 Likninger og ulikheter

3.58 I noen engelskspråklige land blir temperaturen målt i fahrenheitgrader, °F. På nettet leser vi at −10 °C er det samme som 14 °F, og at 20 °C er det samme som 68 °F. Lar vi C stå for temperaturen i celsiusgrader og F for temperaturen i fahrenheitgrader, er sammenhengen mellom dem på formen F = aC + b. a Sett opp et likningssystem der konstantene a og b er de ukjente. b Bruk likningssystemet du satte opp, til å finne verdiene av a og b.

3.59 Likningen x 2 + bx + c = 0 har løsningene x = −2 og x = 3.

Bestem b og c på minst to ulike måter.

3.60 a Om andregradsfunksjonen f gitt ved f ( x ) = ax 2 + bx + c får vi vite at • 2 er et nullpunkt • punktene (−2 , 6) og (4 , 3) ligger på grafen til funksjonen Bestem a, b og c. b Om tredjegradsfunksjonen g gitt ved g( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d får vi vite at • −1 er ett av nullpunktene • punktene (0 , 2), (2 , 0) og (4 , 10) ligger på grafen til g Bestem a, b, c og d. c Hvor mange punkter må vi minst kjenne for å bestemme en polynomfunksjon av n-te grad?

3.61 Nanna, Carmine og Gustav handlet inn frukt.

Nanna kjøpte 0,40 kg kiwi, 1,5 kg appelsiner og 1,0 kg epler.

Carmine kjøpte 0,80 kg kiwi, 1,5 kg appelsiner og 1,4 kg epler.

Gustav kjøpte 0,50 kg kiwi, 1,0 kg appelsiner og 0,60 kg epler.

Nanna betalte 71 kr, Carmine 97 kr, og Gustav betalte 55 kr.

Hva var prisen per kilogram for kiwi, appelsiner og epler?

Blandede oppgaver

3.62 Temperaturen i en termosflaske er 81 °C. Hvor lenge er temperaturen over 70 °C a hvis temperaturen synker med 1,5 °C per time b hvis temperaturen synker med 1,5 % per time 3.63 y 14 12

f

(6 , 12)

g

10 8

(–4 , 7)

6 4 2 –6

–4

x

(3 , 0)

(–2 , 0) –2

–2 (0 , –3) –4

2

4

6

8

10

På figuren ser du grafen til funksjonene f og g.

Bruk figuren til å løse likningene og ulikhetene. a f ( x ) = g( x ) b f ( x ) = 0 c f ( x ) > 0 d f ( x ) < g( x ) 3.64 Du får vite at likningen x 2 − 2x + 3 = 0 ikke har noen løsning.

Bruk blant annet dette til å løse ulikheten x 2 − 2x + 3 < 0.

Argumenter for tenkemåten din.

3.65 Tallglade tante Tulla forteller at hun blir x år gammel i året x2.

I hvilket år er Tulla født?

3.66 Bestem en tilnærmet verdi for løsningen på likningen 350 ⋅ 1,2x = 756.

De fire første desimalene skal være riktige. Bruk halveringsmetoden 1 uten programmering 2 med programmering

121

122

3 Likninger og ulikheter

SAMMENDRAG Grafisk løsning y

y

1

g d

f

2

c x

x a

b

a

b

Likningen f ( x ) = g( x ) har løsningene x = a og x = b .

Ulikheten f ( x ) > g( x ) har løsningen a < x < b .

Ulikheten f ( x ) < g( x ) har løsningen x < a eller x > b.

Likningssystemet med likningene ① og ② har løsningene x = a og y = c , og x = b og y = d .

Algebraisk løsning I en likning kan vi utføre de samme regneoperasjonene på hver side av likhetstegnet. Vi kan • legge til et tall • trekke fra et tall • multiplisere med et tall (bortsett fra 0) • dividere med et tall (bortsett fra 0) Når vi skal løse ulikheter, må vi snu ulikhetstegnet hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Et likningssystem kan vi løse ved • addisjonsmetoden (vi adderer likningene slik at den ene ukjente faller bort) • innsettingsmetoden (vi løser en av likningene med hensyn på en av de ukjente og setter inn i den andre) Andregradslikninger Vi kan skrive alle andregradslikninger på formen ax 2 + bx + c = 0, der a ≠ 0. − b ± b2 − 4 ac hvis tallet under rottegnet ikke er negativt.

2a Hvis tallet under rottegnet er negativt, har likningen ingen løsning.

Løsningen er gitt ved x =

Hvis konstantleddet er lik null, er produktregelen effektiv: Hvis a ⋅ b = 0, er a = 0 eller b = 0.

Prøve og feile Du kan sette en verdi for den ukjente inn i en likning for å se om den passer. Passer den ikke, må du prøve en ny verdi. Gjenta til du har funnet alle verdiene som passer.

Kapitteltest

KAPITTELTEST Oppgave 1 Løs likningene. Bruk en ny strategi for hver likning.

1 x d 2 ⋅10 x − 1 = 1999 a 3 − 2x = 7 x b x 2 = 7 x − 12 c = x 64 Oppgave 2 Løs likningene. Bruk en ny strategi for hver likning. a −6 x − 1 > 17 b x 2 < 9 c 2x > 8 d x 3 < 8 Oppgave 3 Kari og Lars er til sammen 28 år. Kari er dobbelt så gammel som Lars var for fire år siden.

Sett opp og løs et likningssystem for å finne ut hvor gamle Kari og Lars er.

Oppgave 4 Hvilken likning, hvilken ulikhet eller hvilket likningssystem er løst her? y y a b c 2

2

1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

2

y

1 –3 –2 –1 –1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–4

–4

–4

–5

–5

–5

x 1

2

3

4

Oppgave 5 Løs likningen med halveringsmetoden, ulikheten grafisk og likningssystemet grafisk.

1 3 a 3t 2 = 8t − 5 b − x 2 + 3 x + 4 < − x + 8 c x 2 = x − y 2 2 y2 = x + y Oppgave 6 To voksne og tre barn betaler til sammen 610 kr for billetter til skolerevyen.

En voksenbillett koster sytti kroner mer enn en barnebillett.

Sett opp og løs et likningssystem med CAS for å finne ut hva det koster for voksne og barn.

Oppgave 7 a Lag en likning som har løsningene x = 1 og x = 5. b Lag en ulikhet som har løsningen 1 < x < 5. c Lag et likningssystem som har løsningen x = 1 og y = 5.

123

220

6

6 Oppgavesamling

Oppgavesamling

6 Oppgavesamling

6.6 (Kapittel 3) Hanne har løst en likning slik: x x2

8x 33

x

x

4

4

x

4

4 33

49

Hvilken av likningene nedenfor er det Hanne har løst?

A x 2 ⋅ 8 x = 33 B x 2 + 8 x + 33 = 0 C

x 2 + 8x = 1 D x 2 + 16 = 49 33

6.7 (Kapittel 3) Hvor mange av disse likningene er andregradslikninger? ( x − 2)( x + 4) = 0 2x 2 = 50 3x − 5 = 81 x 2 − 7 x + 10 = 0 2x 2 − 5 x + 1 = x − 3 x−2 =9 6.8 (Kapittel 1 og 3) En fotballklubb skal bygge et fotballstadion. For å tilfredsstille Norges Fotballforbunds regler, må tribunene ha en kapasitet på minst 1000 tilskuere.

Av disse må minst 800 være sitteplasser, og høyst 40 % av plassene kan være ståplasser.

La x være antall sitteplasser og y antall ståplasser.

Hvilken ulikhet beskriver ikke situasjonen ovenfor?

A x + y > 1000 B y ≤ 0,4( x + y ) C x > y D x ≥ 800 6.9 (Kapittel 4) På et kart er avstanden mellom to byer 9 cm. I virkeligheten er avstanden 45 km. Målestokken til kartet er 1 : M. Bestem M. 6.10 (Kapittel 4) På en skole henger en plakat med en figur som vist på skissen til høyre. Figuren består av en rettvinklet trekant ABC og tre kvadrater.

AB = 1,2 m, og arealet av det minste kvadratet er 81 dm2.

Hvor mange kvadratdesimeter er arealet av det største kvadratet?

223

226

6 Oppgavesamling

6.18 (Kapittel 3) Cedrik løser ulikheten

x 1 + 2 < x − slik: 4 2

x + 2 4 x + 8

<

1 2 4x – 2

–3x + 8

>

–2

– 8

–3x

<

–10

: –3

x

>

7

<

x –

· 4 – 4x

a Gi en vurdering av Cedriks løsning.

Cedrik lager figuren nedenfor med en graftegner, og innser at han må ha gjort noe galt.

b Forklar hva det er som gjør at Cedrik må konkludere som han gjør.

Hva er riktig løsning på ulikheten?

6.19 (Kapittel 3) En organisasjon driver u-hjelp. Familien til Kari gir penger til organisasjonen.

Pengene går til skolegang og barnehjemsplasser for barn.

En måned ga familien 700 kroner. Dette finansierte skolegang for to barn i én måned og barnehjemsplass for ett barn i én måned.

En annen måned ga de 1700 kroner. Dette finansierte skolegang for fire barn i én måned og barnehjemsplass for tre barn i én måned.

Klassen til Kari bestemmer seg for å støtte organisasjonen slik at 20 barn får skolegang og 20 barn får barnehjemsplass.

Hvor mye penger må de samle inn hver måned?

(Eksamen S1 høsten 2019)

6 Oppgavesamling

6.20 (Kapittel 3) Nedenfor ser du grafen til funksjonen f. f(x) 5 4 3 2 1

x –3

–2

1

–1

2

3

4

5

6

7

–1

Løs ulikheten f ( x ) > 4 − x .

6.21 (Kapittel 3) Et budfirma henter små pakker hos forretninger. Pakkene kjøres ut til kunder.

Den totale prisen en forretning må betale for å få kjørt ut x pakker, er gitt ved en lineær sammenheng y = ax + b.

Grafen nedenfor illustrerer denne sammenhengen.

a Bestem tallene a og b. b Gi en praktisk tolkning av tallene a og b i denne oppgaven.

(Eksamen 2P våren 2019)

227