Taller asesoria M2 CA2 2020-1

Asesorı́a parte I Razón de cambio Variación de una función

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: Un obrero de llega al trabajo en una factorı́a a las 8:00 am y luego de t horas puede ensamblar Q(t) = 6t 2 + 15t − t 3 , radios a) [4p] Determine la razón de cambio a la cual el obrero ensambla radios después de t horas. b) [4p] ¿Cuantas radios ensamblará el obrero desde las 08:15 am hasta las 08:45 am? c) [4p] En promedio ¿a que razón emsamblará radios el obrero de 9:00 am a 10:00am ?

Problema 2: En la siguiente figura se muestra las reservas netas internacionales (RIN) en millones de dólares, de nuestro paı́s desde el 2001 hasta marzo del año 2014.

a) [4p] Calcule la variación de las RIN, desde el año 2005 hasta el año 2010. b) [4p] Calcule aproximadamente las RIN promedio desde el año 2010 hasta el 2013.

Solución del problema 1: Dato: Q(t) = 6t 2 + 15t − t 3 radios dQ radios a) = 12t + 15 − 3t 2 representa la razón de cambio a la cual dt hora el obrero ensambla radios después de t horas.

b)

Hora 08:00 08:15 08:45

t 0 0, 25 0, 75

Q(t) 0 4, 109375 14, 203125

Desde las 08:15 hasta las 08:45 ∆Q = 14, 2 − 4, 1 ∆Q = 10, 1 El obrero puede ensamblar 10 radios aproximadamente.

c)

Hora 09:00 10:00

t 1 2

Q(t) 20 46

Nos piden ∆Q 46 − 20 R.P.C = = = 26 radios hora ∆t 2−1 Notamos que se ensambla 26 radios por cada hora después de las 09:00 a.m..

Solución del problema 2 a) A partir Año 2005 2010

de la gráfica RIN 14097 44105

∆RIN = 44105 − 14097 ∆RIN = 30008 millones de dólares (US$)

b)

Año 2010 2011 2012 2013

RIN 44105 48816 63991 65663

44105 + 48816 + 63991 + 65663 Nos piden RINprom = 4 RINprom = 55643, 75 millones de dólares (US$)

Asesorı́a parte II Diferencial de una función Análisis marginal

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 3: Al invertir k miles de dólares de capital, una empresa produce √ P(k) = 8000 4 k unidades semanales. En este año la inversión de capital asciende a 810000 dólares. a) [4p] Si se hace un requerimiento de aumentar la producción en 320 unidades semanales ¿en qué porcentaje se debe incrementar aproximadamente el capital? b) [4p] Si el capital se incrementa en un 10%, aproximadamente ¿en qué porcentaje se debe incrementar la producción?

Problema 4: Un laboratorio produce y vende pastillas para desparasitar aves.

Se estima que cuando se fabrican q cajas de pastillas, los costos totales p ascienden a C (q) = 3 q 2 + q + 1000 soles y el mercado demanda la caja de p pastillas al precio p = 2500 − q 2 soles. Determine: a) [4p] La función costo marginal. b) [4p] La función ingreso marginal. c) [4p] La función utilidad marginal.

Solución del problema 3 a) P(K ) = 8000K 1/4 unidades semanales Usando diferenciales dP dP = .dK dK dP = 8000. 14 .K −3/4 .dK = 2000K −3/4 dK Inicialmente K = 810 miles de dólares. dP = 13, 17244 dK Dato: La produccion se incrementa en 320, ∆P = 320 320 = 13, 17244 dK , entonces dK = 24, 29 miles de dólares.

Nos piden el incremento porcentual del capital dK 24, 29 .100% = × 100% ≈ 3% K 810

b) El capital inicial K0 = 810 miles de dólares Incremento del 10% representa: ∆K = 10%(810) ∆K = 81 miles de dólares Usando diferenciales dP = 2000.K −3/4 dk dP = 2000.(810000)−3/4 .81000 dP = 6000 Nos piden el incremento porcentual de la producción dP 6000 × 100% = × 100% = 2, 5% P 240000

Solución del problema 4 a) Costo total: C (q) = q 2/3 + q + 1000 dC 2 Costo marginal: Cmg = = ( q −1/3 + 1) Cajas Soles de pastillas dq 3 p b) A partir de la demanda p = 25000 − q 2 p Función Ingreso: I = pq = q. 25000 − q 2 p −2q dI Ingreso marginal: Img = = 1. 2500 − q 2 + q. p dq 2 2500 − q 2 2 p q ) Caja Soles Img = ( 2500 − q 2 − p de pastilla 2500 − q 2 c) Función Utilidad marginal Umg = Img − Cmg p q2 2 Umg = ( 2500 − q 2 − p − q −1/3 − 1) Cajas Soles de pastilla 2 3 2500 − q

Asesorı́a parte III Análisis marginal Diferencial de una función

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 5: La función de costo total de una empresa, al fabricar q unidades p de su producto, es C (q) = 3 q 2 + 4q + 1500 soles. Se sabe que la demanda del producto viene dada por la ecuación p = 210 − 3q, en donde p se expresa en nuevos soles. Modele las siguientes funciones: a) [4p] Costo marginal. b) [4p] Ingreso marginal. c) [4p] Utilidad marginal.

Problema 6: La producción diaria en cierta fábrica es P(L) = 1620L1/5 unidades, en donde L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-hombre por dı́a. Se sabe que la fuerza laboral actual es de 243 horas-hombre por dı́a. a) [4p] Determine la variación aproximada de la producción si la fuerza laboral se disminuye en 8 horas-hombre por dı́a. b) [4p] Si se desea aumentar la producción en 224 unidades por dı́a, determine en cuanto se debe aumentar, aproximadamente, la fuerza laboral diaria.

Resolución problema 5: p 3 q 2 + 4q + 1500 soles. dC 2 soles Costo marginal:Cmg = = ( q −1/3 + 4) unidad dq 3 b. A partir de la demanda p = 210 − 3q Función Ingreso: I = pq = q.(210 − 3q) = 210q − 3q 2 dI Soles Ingreso marginal: Img = = 210 − 6q unidad dq c. Utilidad marginal. Umg = Img − Cmg 2 soles Umg = (206 − 6q − q −1/3 ) unidad 3 Resolución problema 6: Función producción: P = 1620L1/5 unidades Variación aproximada: dP = 324L−4/5 dL a. Costo total:C (q) =

a. L0 = 243 horas-hombre por dı́a y dL = −8 horas-hombre por dı́a. dP = 324(243−4/5 )(dL) = 4(−8) = −32 unidades. b. dP = 224 unidades por dı́a, reemplazamos en dP = 4dL, luego 224 = 4dL → dL = 56 horas-hombre por dı́a.