Taller adicional Examen Parcial M2 - CA2

TALLER II:EXAMEN PARCIAL Taller M2-CA2 2020-1

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: El costo (en soles) de producir q millares de un cierto producto es: C(q) = 600 + 60q + 1, 2q 2 + 0, 02q 3 El precio p, en soles, al que se venden q millares del producto está dado por la relación: p = 1500 − 3q a) Calcule el número de millares que deben venderse para que el ingreso sea máximo. b) Calcule la elasticidad cuando las ventas alcancen un ingreso máximo. c) Calcule el nivel de producción que maximiza la utilidad. d) Calcule el precio que maximiza la utilidad.

Solución del problema 1: a) I = (1500 − 3q)q = 1500q − 3q 2 Nos piden analizar la producción para I máx.

Punto cr´ı́tico:I 0 = 1500 − 6q = 0 → q = 250 millares del producto.

Comprobación: I 00 = −6 en q = 250, I 00 < 0 ( máximo relativo). p dq 750 −1 b) En q = 250 → p = 750, n = . →n= . = −1 q dp 250 3 c) U = I − C U = (1500q − 3q 2 ) − (600 + 60q + 1, 2q 2 + 0, 02q 3 ) U = 1440q − 4, 2q 2 − 0, 02q 3 − 600 U 0 = 1440 − 8, 4q − 0, 06q 2 Punto crı́tico U 0 = 0 → q = 100 Comprobación: q = 100, → U 00 < 0 El nivel de producción es 100 millares del producto. d) Demanda:p = 1500 − 3q, en q = 100 → p = 1200 soles.

Problema 2: El docente de Matemática II, pide a dos estudiante que analicen los efectos de los cambios de los precios sobre la demanda de dos artı́culos.

Datos: La demanda de dichos artı́culos se representan por q1 y q2 , cuando se venden a los precios unitarios p1 y p2 , según las relaciones: q1 = −2p1 − 7p2 + 8 y q2 = 3p1 − p2 + 7 ∂q2 resulta 3, entonces la ∂p1 demanda del segundo artı́culo siempre aumenta a medida que el precio del primer artı́culo también aumenta”. ∂q1 • Estudiante 2, propone: ”Del dato = −7, entonces la demanda ∂p2 del primer artı́culo disminuirá cuando aumente el precio del segundo artı́culo y el precio del primer artı́culo no varı́e.”

• Estudiante 1, propone: ”Puesto que

¿Las afirmaciones de los estudiantes son verdaderas o falsas?

Resolución del problema 2 Estudiante 1 (FALSO) ∂q2 =3 ∂p1 La demanda del segundo artı́culo aumenta a medida que aumenta el precio del primer artı́culo;siempre que el precio del segundo artı́culo sea CONSTANTE. Estudiante 2 (VERDAD)

Problema 3: La función de costos C para producir qA unidades de A, qB unidades de B y qE unidades de E, está definida por por la siguiente relación: q 2) 3C 2 − 5C + qE = 8 + qA (3 + qB Calcule los costos marginales con respecto a qA y qB cuando qA = 2, qB = 1 y qE = 0

Resolución del problema 3: 2 1/2 Definimos: F = 3C 2 − 5C + qE − 8 − qA (3 + qB ) , tal que F (C; qA ; qB ; qE ) = 0 ∂F 2 1/2 (3 + qB ) ∂C ∂qA =− = y ∂F ∂qA 6C − 5 ∂C ∂F 2 −1/2 ∂C qA × qB × (3 + qB ) ∂q =− B = ∂F ∂qB 6C − 5 ∂C Reemplazando los valores qA = 2, qB = 1 y qE = 0, en la ecuación, tenemos 3C 2 − 5C − 12 = 0 → C = 3 (no hay costos negativos).

Reemplazando en la derivada parcial respectiva, tenemos ∂C 2 ∂C 1 = y = . ∂qA 13 ∂qB 13

Problema 4: Por la venta de qA unidades de camisas y qB unidades de polos, la compañia JR SA define un ingreso (en soles) de: 2 3 I(qA ; qB ) = 4qA + 2qA qB + 5qB + 3qA + 11qB + 150

Estudios del mercado indican que las demanda para sus productos vienen dadas por: qA = 250 − 2pA + 7pB y qB = 340 − 3pB + 4pA En donde pA y pB son los precios (en soles) por unidad de camisas y de polos, respectivamente.

Determine el ingreso marginal de la compañı́a respecto al precio de los polos.

Resolución del problema 4: Teniendo en cuenta que el ingreso marginal es la derivada parcial, aplicamos la regla de la cadena: ∂I ∂qA ∂I ∂qB ∂I = × + × ∂pB ∂qA ∂pB ∂qB ∂pB ∂I 2 = (8qA + 2qB + 3)(7) + (2qB + 15qB + 11)(−3) ∂pB ∂I 2 = −45qB + 50qA + 8qB − 12 ∂pB

Problema 5: Una dulcerı́a está dedicada a la producción y venta de mermeladas de manzana e higo. La administración establece los costos de producción de cada frasco de mermelada de manzana en 4 soles y el de higo es de 6 soles; además las demandas mensuales (en miles de frascos) de la mermelada de manzana e higo son: qA = 78 − 6pA − 3pB y qB = 66 − 3pA − 6pB , respectivamente.

Donde pA y pB representan los precios unitarios de venta (en soles) de los frascos de mermelada de manzana e higo, respectivamente. a) Modele la función utilidad U , en función de los precios unitarios de venta. ∂U (5; 6) b) De acuerdo al ı́tem anterior, interpréte el valor de ∂pB

Solución del problema 5: a) Tenemos: I(pA ; pB ) = (78 − 6pA − 3pB )pA + (66 − 3pA − 6pB )pB C(pA ; pB ) = 4(78 − 6pA − 3pB ) + 6(66 − 3pA − 6pB ) La utilidad está definida por: U (pA ; pB ) = 120pA − 6pA pB − 6p2A + 114pB − 6p2B − 708, de donde ∂U = 114 − 12pB − 6pA ∂pB Reemplazando en pA = 5, pB = 6 ∂U (5; 6) = 12 ∂pB Manteniendo el precio delos frascos de mermelada de de manzana en 5 soles, luego al aumentar el precio del frasco de mermelada de higo en 1 sol, entonces las utilidades aumentan en 12 miles de soles.