Material de aprendizaje autónomo semana 1 - semana 2 - semana 3

Material complementario I 2020 Razón de cambio Diferencial Elasticidad de la demanda Derivación implı́cita

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: En la pizarra del aula C2A105 está escrito lo siguiente: “La ecuación de p la demanda para un cierto producto es q = 2500 − p2 unidades, donde p está en dólares”. Al leer lo escrito en la pizarra, los alumnos Pedro, Antonio y Kike del curso de matemática II afirman lo siguiente: Pedro: “ Al calcular dp dq podemos afirmar que siempre resulta valores negativos” Antonio: “Si el precio actual es de 30 dólares, y se implementa un aumento porcentual en el precio del 16%, luego la venta disminuye aproximadamente en un 9%” Kike: “Para este precio de 30 dólares el producto se comporta de manera elástica”. ¿Está usted de acuerdo con las afirmaciones de Pedro, Antonio y Kike?

Justifique

Solución del problema 1: Pedro (Verdad) p q = 2500 − p2 dq 1 1 1 = (2500 − p2 )− 2 (−2p) = −p(2500 − p2 )− 2 dp 2 dq < 0 ⇒ dp como dp dq < 0 Antonio (verdad) Si el precio actual p = 30, la demanda es → q = 40 calculando la dq elasticidad η = pq . dp p1 1 30 30 9 η = . (2500 − p2 )− 2 (−2p) = .[− ] = − q 2 40 40 16 Interpretación del resultado: si el precio aumenta en un 16% luego la cantidad disminuye aproximadamente en un 9% Kike (falso) 9 En p = 30 → η = − 16 , el comportamiento es inelástico.

Problema 2: El costo C (en miles de dólares) de producción de una reciente mina de oro depende de la producción L (medida en libras de oro) según la regla de correspondencia siguiente: 4

C(L) = 1, 5L 3 dC Interprete la expresión (8) = 4, desde una perspectiva económica dL Galy, Manuel y Enrique analizan los datos y afirman lo siguiente: • Galy: “Producir 8 libras de oro equivale a un costo de 4000 dólares” • Manuel: “El costo marginal aumenta aproximadamente en 4000 dólares, cuando la producción es 8 libras de oro”.

• Enrique: “El costo aumenta aproximadamente en 4000 dólares, cuando la producción cambia de 8 a 9 libras de oro” La afirmación de cada estudiante, ¿es verdadera o falsa? Justifique

Solución del problema 2: Galy: Falso 4 Si L = 8 → C = 1, 5L 3 C = 24, al producı́r 8 libras de oro, cuesta 24 miles dólares.

Manuel: Falso dC = CM G = 4 dL El costo (no el costo marginal) aumenta en 4000 dólares cuando la produción sea 8 libras de oro.

Enrique: Verdad

Problema 3: La producción diaria en unidades de cierta fábrica está modelada por 3

P (L) = 1920L 4 L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-hombre por dı́a y se sabe que la fuerza laboral actual es 256 h-h por dı́a. a. Si fuerza laboral actual tuviera un incremento del 5%. ¿En qué porcentaje se incrementa aproximadamente la producción? b. Si se desea que la producción se incremente en 200 unidades más por dı́a, ¿en cuánto aumenta la fuerza laboral diaria?

Solución del problema 3: 3 P (L) = 1920L 4 P es producción diaria y L es fuerza laboral.

L0 = 256 h-h por dı́a. a. ∆L = 0, 05L0 = 5%(256) = 12, 8 1 ∆Paprox = dP = 1920. 34 .L− 4 .dL 1 dP = 1920. 34 .(256)− 4 .(12, 8) = 4608 b. ∆P = 200 1 ⇒ dP = 1920. 34 .(256)− 4 dL ⇒ 200 = 360dL → dL = 0, 55

Problema 4: Las utilidades mensuales U de una empresa (en miles de soles), después de comercializar q cientos de sus artı́culos producidos y vendidos, vienen dados por: U 2 + 9U − 125q = 190 − 5q 3 a. Determine la variación aproximada de la utilidad si se disminuye la producción en t unidades. b. Si el nivel de producción es 200 unidades, ¿cuál será la utilidad marginal?

Solución del problema 4: a. ∆q = −t dU 2 = − −125+15q 2U +9 dq 2 dq dU = − −125+15q 2U +9 dU = (

− 125 + 15q 2

).t 2U + 9 b. q = 2 cientos ⇒ U 2 + 9U − 125(2) = 190 − 5(2)3 ⇒ U = 16, U = −25; (calcularemos con U = 16) dU 2 2 = U mg = − −125+15(q) = − −125+15(2) = 1, 58 2(U )+9 2(16)+9 dq

Problema 5: JR SA es una empresa que fabrica cámaras de seguridad. El costo total (en dólares) de producción cuando fabrica q cámaras de seguridad es C(q) = 6q +

p 4 q 3 + 200

El departamento de ventas determina que las q unidades de cámaras, pueden venderse en p dólares por cámara, y se cumple: p2 + 10q = 4160 a. Determine la utilidad marginal de JR SA, en términos de la cantidad de cámaras vendidas. b. Determine la elasticidad de la demanda de cámaras en términos de p. c. Si el precio actual del artı́culo es 40 dólares, ¿conviene aumentar el precio para aumentar los ingresos?

3 1 a) CM G = 6 + q − 4 4 d(pq) dp √ 5q IM G = = p + q = 4160 − 10q − √ dq dq 4100 − 10q Utilidad marginal UM G = IM G − CM G 3 1 5q √ UM G = 4160 − 10q − √ − (6 + q − 4 ) 4 4100 − 10q b) Determine la elasticidad de la demanda del producto en términos de p. p dq p 2p − 2p2 − 2p2 n= = ∗ (− ) = = q dp q 10 10q 4160 − p2 c) Si p = 40, la elasticidad resulta: − 2 ∗ 402

= −1, 25 4160 − 402 La demanda del producto es elástica, por lo que es conveniente disminuir el precio por cámara. n=

Problema 6: Un estudio indica que la población (en miles de habitantes) de cierta ciudad, t años después del 2017, se modela por: P (t) = 0, 1t2 − t + 560 a. Calcule la variación porcentual aproximada de la población entre el inicio y fin del segundo semestre del 2019. b. En promedio ¿cuál será La tasa de crecimiento porcentual de la población entre los años 2017 y 2019?.

Solución del problema 6: a) Durante el segundo semestre del año 2019: La variación porcentual aproximada de la población es: (0, 2t − 1)dt dP ∗ 100% = ∗ 100% en P 0, 1t2 − t + 560 dN t = 2, 5 → ∗ 100% = −0, 0447% N b) Entre los años 2017 y 2019: ∆N N (2) − N (0) 560 − 558, 2 = = = −0, 8 ∆t 2 2 − 0.8 Tasa de crecimiento porcentual= ∗ 100 = −0, 142% 560

Problema 7: La utilidad anual (en miles de soles) que se obtiene en un negocio, se pueden expresar mediante la siguiente regla de correspondencia: U (x) = 0, 7x2 − 0, 95x + 35; 1 6 x 6 70 Donde la variable x es el número de trabajadores que tiene el negocio.

Según los especialistas se sabe que el número de trabajadores (x) es dependiente del nivel de producción (q), de acuerdo a la siguiente formula: x = 0, 02q 2 − 1, 9q. Actualmente el nivel de producción es q = 100 unidades. a. Calcule la variación de la utilidad si la producción se incrementa en 10 unidades. b. Estime la cantidad de nuevos trabajadores que se tendrá que contratar si se desea aumentar la utilidad actual en 50000 soles.

Solución del problema 7: a) Método 1: Calcularemos la variaciń real de la utilidad q = 100 → x = 10, como x = 10 → U = 95, 5 miles de soles. q = 110 → x = 33, como x = 33 → U = 765, 95 miles de soles.

La variación real de la utilidad ∆U = UF − UI = 765, 95 − 95, 5 = 670, 45 miles de soles. b) Calcularemos la variación aproximada de la utilidad dU = U 0 (x)dx → dU = (1, 4x − 0, 95)dx Reemplazando en la condicion inicial dU = (1, 4x − 0, 95)dx dU = (1, 4(10) − 0, 95)dx dU = 13, 05dq Por dato dU = 50 → dq = 3, 83 ≈ 4 Se debe contratar aproximadamente cuatro nuevos trabajadores.

Problema 8: Un estudio de mercado determinó que la demanda de los videojuegos √ M T − Z, está dada por la ecuación p = 120 − 4 q, donde q es la cantidad de videojuegos vendidos a p soles. a. Calcule el valor de q para que la elasticidad puntual de la demanda sea unitaria. b. Si actualmente el precio del videojuego es de S/.80, y se quiere aumentar los ingresos ¿se debe aumentar o disminuir el precio del videojuego? Justifique su respuesta.

√ a). p = 120 − 4 q √ dp 2 dq q p dq Calculamos: = −√ → =− η= . dq q dp 2 q dp √ √ 120 − 4 q q Si η = −1 −1 = ∗− → q = 400 q 2 ”Con 400 videojuegos conseguimos que la elasticidad sea unitaria” b). Si √ √ dp 2 1 p = 80 → 80 = 120 − 4 4 → 10 → q = 100 Luego: =− =− dq 10 5 80 Reemplazando en la elasticidad. η = 100 = −4 Comportamiento elástico 1 − 5 Rpta.: Se debe disminuir el precio, para incrementar el ingreso.