Taller EF_M2_CA2_2019-02

EVALUACIONES Taller M2-CA2 2019-2

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: En la clase de Matemática II, dos estudiantes discuten sobre la integral que les permita calcular el área de la región sombreada del siguiente gráfico:

Luis contesta: ”El área se calcula mediante la expresión: Z 2 Z 4 (f (x) − 2)dx + (g (x) − f (x))dx”. −2

2

Valentina afirma: ”El área se calcula mediante la expresión: Z 2 Z 4 (f (x) − g (x))dx + (f (x) − g (x))dx”. −2

2

A su juicio, ¿cuál de los estudiantes respondió correctamente? Justifique su respuesta.

Solución del problema 1: Luis: Falso.

En la figura se muestra 3 regiones.

Z 0 A1 = (f (x) − 2)dx Z−2 2 A2 = (2 − g (x))dx 0 Z 4 A3 = (g (x) − f (x))dx 2

Valentina: Falso.

Problema 2: En un aula del curso de Matemática 2, el profesor plantea lo siguiente:  1 3 5   ”La matriz  3 x −2  representa a la matriz hessiana de la 5 −2 −8 función f de tres variables x; y ; z), ¿qué se puede afirmar?”.

Carlos y Rosa (dos estudiantes) respondieron: Carlos: ”Si el punto crı́tico es x; y ; z) = (10; 4; 1), luego en dicho punto la función f alcanza un valor máximo”.

Rosa: ”Si el punto crı́tico es x; y ; z) = (0; 4; 1), luego el determinante de la matriz hessiana resulta un valor negativo y por ello, en dicho punto se determina un valor mı́nimo de f ”. ¿Algún estudiante respondió correctamente?

Solución del problema 2: Carlos: Falso



 1 3 5   A1 A2 A3 (x; y ; z) = (10; 4; 1) −→ H =  3 10 −2  + + − 5 −2 −8 Rosa: Falso   1 3 5   A1 A2 A3 (x; y ; z) = (0; 4; 1) −→ H =  3 0 −2  + − + 5 −2 −8

Problema 3: Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por las √ siguientes ecuaciones: p = 32 + 3q y q = 120 − p a. Determine el punto y la cantidad de equilibrio. b. Calcule el excedente del productor y consumidor.

Solución del problema 3: Punto de equilibrio: P = 32 + 3q = 120 − q 2 (q; p) = (8156) Z 8 1024 UM (120 − q 2 ) − (56)dq = EC = 3 Z 80 EP (56 − (32 + 3q))dq = 96UM 0

Problema 4: Considerando la función de densidad de probabilidad:  −x/2 e    six > 0 c f (x) = +x/2    e six < 0 c Asociada a la variable aleatoria x, siendo c una constante. a. Determine el valor de c. b. Determine el valor de la probabilidad de ocurrencia del evento P(−2 6 x 6 2).

Solución del problema 4: Z +∞ a. f (x)dx = 1 −∞ 0

e x/2

Z

c

−∞

+∞

Z dx +

e −x/2 c

0

dx = 1

1 x/2 0 1

=1 . 2e |−∞ + −2e −x/2 |+∞ 0 c 1 {2} + {2} = 1 −→ c = 4 c c Z 2 b. P(−2 6 x 6 2) = f (x)dx c 1

Z

0

= −2 x/2

= =

e

2 1 2

−

e x/2 4

2

−2 −x/2

dx +

|0−2 + e −1

2

Z

+

e

e

4

0 −x/2

−2 e −1 −2

dx

|20 +

1 2

= 1 − e −1

Problema 5: ALL SPORT es una compañı́a fabricante de un tipo de implementos deportivos que tiene la siguiente función de producción: P(L; K ) = 2400L2/5 K 3/5 Donde la variable P representa el número de unidades producidas con L unidades de mano de obra y K unidades de capital invertido. Además, se sabe que cada unidad de mano de obra le cuesta a la compañı́a 20 soles mientras que cada unidad de capital le cuesta 30 soles y la compañı́a dispone de 6 000 soles para su inversión. a. Calcule la cantidad de manos de obra y de capital que permita a la compañı́a maximizar su producción. b. Calcule la máxima producción. Justifique.

Solución del problema 5: F = P + λ(20L + 30K − 6 000) Fλ = 20L + 30K − 6 000 FL = 960L−3/5 K 3/5 + 20λ FK = 1 440L2/5 K −2/5 + 30λ Punto crı́tico: Fλ = 0 −→ 20L + 30K = 600 ... (1) FL = 0 −→ 960L−3/5 K 3/5 = −20λ FK = 0 −→ 960L2/5 K −3/5 = −30λ 2 2K = Ambas expresiones: FL y FK se dividen entre 3L 3 K = L −→ En (1) 20L + 30K = 6 000 L = 120 y K = 120 PMÁX = 288 000 unidades.

Problema 6: Determine las siguientes integrales: Z 1 a. dx 3 x â&#x2C6;&#x2019; 12x 2 + 35x Z b. x 5 Lnxdx Z c.

10x 4 ex5

dx

Solución del problema 6: Z Z 1 1 dx = dx a.

2 x(x − 12x + 35) x(x − 7)(x − 5) !

Z A B C = + + dx x x −7 x −5 = ALnx + BLn(x − 7) + CLn(x − 5) + K 1 1 1 = Lnx + Ln(x − 7) − Ln(x − 5) + K 14 10 Z 35 Z 5 b. x Lnxdx = uv − vdu 1 u = Lnx −→ du = dx x x6 dv = x 5 dx −→ v = 6 Z 6 x6 x 1 x6 x6 = .Lnx − . dx = Lnx − + K; K ∈ R 6 6 x 6 36

Z c.

10x 4

Z

dx = ex5 5 u=x du Z= 5x 4 dx =

2du eu

2e −u + K 5

= −2e −x + K ; k ∈ R