Control N°7 M2 CA2

Control de Aula MeĚ todos de IntegracioĚ n

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: Determine las siguientes integrales: Z 4 dx a) [4p] xLnx Z 4 b) [4p] dx 2 x − x − 20 Z c) [4p] (3x + 4)e 3x dx Problema 2: Los especialistas estiman que con una cantidad inicial de N(0) miles de bacterias, el cultivo despues de t horas, las bacterias (en miles) llegan a: Z N(t) =

(5t 4 + 12e 2t )dt

. a) [4p] Utilizando los datos del item anterior, determine la regla de correspondencia de N(t). b) [4p] Si se inicia el cultivo con 1000 bacterias ¿Cuantas bacterias serán luego de 2 dı́as?

Solución del problema 1 Z 4 a) Ia = dx xLnx Estrategia: sustitución algebraica: µ = Lnx 1 dµ = dx x

Z Z 4 1 4 Reemplazando en Ia = . dx = dµ Lnx x µ Ia = 4Lnµ + C ; C ∈ R Ia = 4Ln(Ln(x)) + C Z 4 4 b) Ib = dx = dx = 2 x − x − 20 (x − 5)(x + 4) Z 4/9 −4/9 Ib = + dx x −5 x +4 4 4 Ib = .Ln(x − 5) − Ln(x + 4) + C , C ∈ R 9 9 Z

Z c) Ic =

(3x + 4)e 3x dx

µ = 3x + 4, dv = e 3x dx e 3x dµ = 3dx, v = 3 Z Z Ic = µdv = µv − vdµ Z 3x e e 3x Ic = (3x + 4) 3 − .3dx 3

3x 3x + 4 e Ic = e 3x − + C, C ∈ R 3 3 Solución del problema 2 Z a) N(t) = (5t 4 + 12e 2t )dt N(t) = t 5 + 6e 2t + C · · · (1)

b) t = 0 → N(0) = 1 (El dato nos dice que hay 1000 bacterias) Reemplazando: N(t) = t 5 + 6e 2t + C 1 = 05 + 6e 0 − C , luego C = −5 Nos piden calcular la cantidad de bacterias en t = 48 horas (2 dı́as) N(2) = 25 + 6e 2t − 5 N(2) = 354, 589 En dos horas se estiman que el cultivo se reproduce a 351, 589 millares de bacterias.