Tipos de Funciones

Función lineal y cuadratura.

tipos de FUNCIONES

Función constante Es aquella función que es igual a una constante f(x) = k “k” representa una recta paralela al eje X sobre k

k

f(x)=k

Dominio : Df = (−∞, ∞)

(“x” puede tomar cualquier valor del eje x)

Rango : Rf = k

(“y” solo puede tomar el valor de la constante)

ejemplo: Obtén la grafica de f(x) = 3 SOLUCIÓN: Se traza una recta paralela al eje x sobre y=4

f(x)=3

Dominio : Df = (−∞, ∞)

(“x” puede tomar cualquier valor del eje x)

Rango : Rf = 3

(“y” solo puede tomar el valor de la constante en este caso 3)

Función lineal Esta función tiene la forma f(x)=mx+b y representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es la pendiente b la ordenada al origen

Dominio : Df = (−∞, ∞)

(“x” puede tomar cualquier valor del eje x)

Rango : Rf = (−∞, ∞)

(“y” puede tomar cualquier valor del eje x)

El dominio y rango de la función lineal serán siempre todos los números reales, al ser infinito el los valores posibles de los números reales el dominio y rango se expresa del modo anterior

Para graficar 1. Se localiza la ordena al origen, es decir (0,b) 2. a partir de ese punto, se localiza otro llamado pendiente como el incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal

ejemplo:

Grafica la función y= ⅔x + 4

Metodo analitico SOLUCIÓN: la pendiente y la ordena al origen de la función

2 m= 3

2 incremento vertical m= 3 incremento horizontal

Grafica de la función

b = 4 representa el punto (0,4) Por lo tanto el dominio y rango quedaría así:

Df = (−∞, ∞) Rf = (−∞, ∞)

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3

Para comenzar a resolver la función, despejaremos Y para tenerla en la forma de base

Metodo Grafico

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

ASIGNAR VALORES x -2 0 2 4

y

Para calcular los valores de “y” sustituiremos el valor de “x” en la función como se muestra a continuación:

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

ASIGNAR VALORES x -2 0 2 4

y

y = 2x − 3 y = 2(−2) − 3 y=−4−3 y=−7

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

ASIGNAR VALORES x

y

-2

-7

0 2 4

y = 2x − 3 y = 2(0) − 3 y=−3

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

ASIGNAR VALORES x

y

-2

-7

0

-3

2 4

y = 2x − 3 y = 2(2) − 3 y=4−3 y=1

ejemplo: 1

Graficar la función 6 = 4x − 2y

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

ASIGNAR VALORES x

y

-2

-7

0

-3

2

1

4

y = 2x − 3 y = 2(4) − 3 y=8−3 y=5

ejemplo: 1

TENER LA FUNCION EN LA FORMA y=mx+b

6 = 4x − 2y 2y = 4x − 6 4x − 6 y= 2 y = 2x − 3 2

Graficar la función 6 = 4x − 2y 3

GRAFICAR EN EL PLANO CARTESIANO

Para graficar recordaremos los principios básicos de plano cartesianos estudiados en la unidad anterior

ASIGNAR VALORES x

y

-2

-7

0

-3

2

1

4

5

Al ser una función lineal el dominio y rango queda así:

Df = (−∞, ∞) Rf = (−∞, ∞)

Función Cuadrática 2

Aquella que puede escribirse de la forma f(x) = ax + bx + c cuya representación grafica es una parábola CASO I x2 es positiva

CASO II x2 es negativa

Convexa

Dominio : Df = (−∞, ∞) −b Rango : Rf = f ,∞ [ ( 2a ) ]

Concava

Dominio : Df = (−∞, ∞) −b Rango : Rf = −∞, f ( 2a )] [

El dominio y rango queda representado así:

ejemplo: Metodo analitico CALCULAR 1 EL EJE DE SIMETRIA o H a= 2 b= - 4 c= - 1

b x=− 2a −(−4) x= 2(2) 4 x= 4 x=1

2

Grafica la función y = 2x − 4x − 1 Para resolver por método analitico, tentarmos que encontrar los valores del vértice.

Utilizaremos los valores para a, b y c como los trabajamos en las ecuaciones de segundo grado Comenzando con el eje de simetria o h CALCULAR el vertice para el metodo analitico V(h,k) son las coordenadas del vértice.

Para obtener las coordenas (h,k) del vértice se aplican las siguientes formulas

b h=− 2a −b k=f ( 2a )

sustituimos el valor de x en la función

CALCULAR 1 EL EJE DE SIMETRIA o H a= 2 b= - 4 c= - 1

−b x= 2a −(−4) x= 2(2) 4 x= 4 x=1

CALCULAR EL Valor de k 2 sustituyendo en la función 2

y = 2(1) − 4(1) − 1 y=2−4−1 y=−3

ejemplo:

Grafica la función 2 y = 2x − 4x − 1

ya que calculamos h, este valor lo vamos a sustituir en la función inicial como se muestra es en ejemplo

Metodo analitico

CALCULAR 1 EL EJE DE SIMETRIA o H a= 2 b= - 4 c= - 1

−b x= 2a −(−4) x= 2(2) 4 x= 4 x=1

CALCULAR EL Valor de k 2 sustituyendo en la función 2

y = 2(1) − 4(1) − 1 y=2−4−1 y=−3

ejemplo: 3 CALCULAR RAICES

Grafica la función 2 y = 2x − 4x − 1

x= -b ± √ b2 - 4ac 2a x= -(-4) ± √ 42 - 4(2)(-1) 2(2) x= 4 ± √ 16 +8 4

Recordemos que las funciones cuadraticas su representación es una parábola, por lo tanto calcularemos las raíces para saber en que punto corta al eje x; utilizaremos la formula general para ecuaciones de 2º grado

x= 4 ± √ 24 4 x1= 4 + 4.89 = 8 . 89 = 2 . 22 4 4 x2= 4 - 4.89 = - 0 . 89 = — 0 . 22 4 4

Metodo analitico

CALCULAR 1 EL EJE DE SIMETRIA o H a= 2 b= - 4 c= - 1

x=1

CALCULAR EL Valor de k 2 sustituyendo en la función y=−3 3 CALCULAR RAICES

ejemplo:

Grafica la función 2 y = 2x − 4x − 1

Para graficar sigue las siguientes recomendaciones 1. para saber si la parabola en concava o convexa revisemos el valor de x2 si es positiva la grafica es convexa 2. Grafica el eje de simetria que son los valores resultantes del punto 1 y 2 en este caso (1,-3) 3. Grafica el eje X los valores de las raíces que calculaste 4. traza la parabola

x1= 4 + 4.89 = 8 . 89 = 2 . 22 4 4

Para el Dominio recordemos que X puede tomar cualquier valor

x2= 4 - 4.89 = - 0 . 89 = — 0 . 22 4 4

El Rango se limita a los valores del eje Y en este caso inicia en -3 y hacia arriba puede tomar cualquier valor

4 GRAFICA

Df = (−∞, ∞) Rf = [−3,∞]

Metodo analitico

ejemplo:

Grafica la función 2 y = 2x − 4x − 1

Metodo grafico y= x 3 2 1 0 -1 -2 -3

y 5 -1 -3 -1 5 15 29

se realiza la tabla de valores como en la función lineal

Df = (−∞, ∞) Rf = (−3,∞)

BIBLIOGRAFIA

MATEMATICAS SIMPLIFICADAS (4.a ed.). (2015). PEARSON/ CONAMAT. GRANVILLE, W. A. (1998). CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (1a. ed., 27a. reimp.). MEXICO: LIMUSA/NORIEGA. Chicago Style Citation