LA RECTA

LA RECTA PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA

GEOMETRIA

LA RECTA La línea recta es el lugar geométrico de los puntos del plano, de los cuales al tomar dos cualesquiera, el valor de la pendiente m siempre es constante.

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Inclinación de una recta Es el ángulo que una recta forma con el eje X positivo, el cual se representa con a, este ángulo se mide a partir del eje X y girando en sentido opuesto a las manecillas del reloj.

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PENDIENTE DE UNA RECTA

inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas

PENDIENTE DE UNA RECTA

m = tan a a

Donde: a = arc tan (m) si m > 0 a = arc tan (m) + 180º si m < 0

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN Determinar la grafica de la recta y la pendiente si la inclinación es 120ª

m = tan a m = tan 120 m = − 1.73 −1

a = tan − 1.73 a = − 59.97 a = − 59.97 + 180 a = 120

120º 1.73

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN Determinar la grafica de la recta y la pendiente si la inclinación es 70ª

m = tan a m = tan 70 m = 2.14 −1

a = tan 2.74 a = 70

70º 2.14

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PENDIENTE DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Sea la recta / que pasa por los puntos P1 y P2, entonces su pendiente se define como: PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS

Yb − Ya m= Xb − Xa

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN

Determinar la pendiente de la siguiente recta y graficar 1. Reconocer valores, acorde a la nomenclatura de formula

A(xa, ya) (5,7)

B(xb, yb) (2,3)

Yb − Ya m= Xb − Xa 2. Sustituir en formula y realizar operaciones

y m= x

3−7 m= 2−5 −4 m= −3

3. Para graficar, graficamos el punto A 4. para graficar la pendiente, iniciamos con el numerador que corresponde a Y, si es positivo graficamos hacia arriba y si es negativo graficamos hacia abajo 4. Continuamos con el Denominador que corresponde a x, si es positivo graficamos hacia la derecha y si es negativo graficamos hacia izquierda

A Yb-Ya Xb-Xa

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TIPOS DE PENDIENTES Y ANGULOS DE INCLINACIÓN Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de inclinación, son los siguientes:

Si m > 0 (positiva) Si m < 0 (negativa) ángulo agudo.

ángulo obtuso.

Si m = c/0

Si m = 0

ángulo recto.

ángulo llano.

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ECUACIONES DE LA RECTA Para determinar la ecuación de una recta en función de las condiciones dadas, se emplean las siguientes ecuaciones, según corresponda.

ECUACIÓN GENERAL

Ax + By + C = 0 Donde: A,B y C son constantes

ECUACIÓN ECUACIÓN QUE PASA PUNTO – PENDIENTE POR DOS PUNTOS

y − ya = m(x − xa)

Yb − Ya Y − Ya = (X − Xa) Xb − Xa

Dado el punto P(xa, ya) de Dados los puntos A (Xa, Ya) la recta de pendiente m B (Xb, Yb) de la recta.

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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Esta forma es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas, y se representa de la siguiente manera:

Ax + By + C = 0

A partir de esta ecuación podemos encontrar la pendiente y la intersección en el eje y Sea la recta Ax + By + C = 0 si B ≠0 podemos despejar y con lo que obtenemos

A C Y=− x− B B

Que tiene la forma de la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente y b la intersección

A m=− B

C b=− B

Si B=0, la recta es vertical y la pendiente no esta definida

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN Determine la pendiente (m) y la intersección con el eje y (b) de la ecuación general dada.

1. sustituimos valores 2. aplicamos ley de signos en caso de ser requerido, en este ejemplo tenemos dos signos de menos ( — ) al multiplicarlos resulta positivo

3. puedes realizar la división

3x − 4y + 8 = 0

A m=− B

C b=− B

3 m=− −4 3 m= 4

8 b=− −4 8 b= 4

m = 0.75

b=2

y = 0.75x + 2

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ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE Punto-pendiente es la forma general para ecuaciones lineales. Hace énfasis en la pendiente de la recta y un punto en esta (que no sea la ordenada al origen). Su representación es la siguiente:

y − ya = m(x − xa)

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN

3 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2,3) y m = 4 1. emplear formula correspondiente y − ya = m(x − xa) A (-2,3) 2. sustituir valores 3. si hay denominadores (en este caso es 4) lo cambiaremos al extremo opuesto con su operación inversa, para resolver mi ecuación 4. realizamos operaciones

3 y − 3 = (x − (−2)) 4

(4) y − 3 = 3(x − (−2)) 4y − 12 = 3x + 6 4y = 3x + 6 + 12 4y = 3x + 18 3x 18 y= + 4 4

A (xa,ya)

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN (grafico)

3 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2,3) y m = 4

A (-2,3) m= 3 4

A

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ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Una recta queda perfectamente determinada con tan solo conocer las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos.

Yb − Ya (X − Xa) = Y − Ya Xb − Xa

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN

Determine la ecuación de la recta que pasa por los punto A (2,-5) y B(7,4) Encontramos valores correspondientes

A (2 , -5)

B (7, 4)

A (xa,ya)

B (xb,yb)

Yb − Ya (X − Xa) = Y − Ya Xb − Xa

1. emplear formula correspondiente

(X − Xa)(Yb − Ya) = Y − Ya(Xb − Xa)

2. sustituir valores

(X − 2)(4 − (−5)) = (Y − (−5))(7 − 2)

3. Realizamos operaciones correspondientes

igualamos a cero, y realizamos la operación de las constantes

(X − 2)9 = (Y + 5)(5) 9X − 18 = 5Y + 25 9X − 5Y − 18 − 25 = 0 9X − 5Y − 43 = 0

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ECUACIÓN DE LA RECTA DE LA FORMA PENDIENTE ORDENADA Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen (intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:

y = mx + b m = pendiente b= intersección con el eje y x= variable independiente f(x) ò y = variable dependiente Esta forma de la ecuación de la recta, también se conoce como forma simplificada o reducida.

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¿QUÉ ES LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y (b)?

Es El Punto Donde Intersectan Al Eje De Las Ordenadas

b= 3

b= 2

b= 1

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EJERCICIO C/ SOLUCIÓN Determine la pendiente (m) y la intersección con el eje y (b) de las siguientes ecuaciones reducidas

f(x) = mx + b

f(x) = 2x + 3 y = 2x + 3 y = 2x + 3

m=2 b=3

3y = 6x 6 y= x 3 y = 2x

m=2 b=0

y = 5x + 7

m=5 b=7

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BIBLIOGRAFIA MATEMATICAS SIMPLIFICADAS (4.a ed.). (2015). PEARSON/ CONAMAT.