La Prova Invalsi - Matematica

PRESENTAZIONE LA PROVA INVALSI MATEMATICA è un quaderno operativo per prepararsi a sostenere la Prova Nazionale di Matematica al terzo anno della scuola secondaria di primo grado. Il volume è suddiviso in due parti: la prima, Passo dopo passo, presenta una serie di prove su conoscenze abilità e competenze disciplinari e trasversali corredate di suggerimenti in itinere per lo svolgimento delle stesse; la seconda, Verso l’esame, è costituita da quattro prove simulate (ipotesi di simulazione).

Ciascuna prova di ogni sezione può essere utilizzata dal docente singolarmente o a corredo di verifiche da far svolgere a casa o in classe.

La prima parte del testo, Passo dopo passo, è articolata in due percorsi.

PARTE PRIMA

PASSO DOPO PASSO

PASSO DOPO PASSO

4.

❯ PERCORSO A Disciplinare 1. Algebra Nucleo Tematico prevalente: NUMERI 1.

2.

3.

A.

100

B.

93

C.

86

D.

92

__________________________________________________________________________________________________

Dati i quattro numeri 0,12 1/8 0,099 2/11 qual è il più piccolo?

2 A. SUGGERIMENTI 11 Quesito 1 è a scelta multipla semplice.

0,099 B. Trasforma i numeri decimali in frazioni e una 1 volta fatto il minimo comun denominatore, C. 8 puoi confrontare i numeratori e quindi...

0,12 D.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

SUGGERIMENTI

Quesito 4 è a scelta multipla semplice con argomentazione.

Usare la definizione di media aritmetica (a+b+c+d)/4 e quindi per differenza tra la media aritmetica moltiplicata per 4 e la somma dei primi tre ottieni il risultato.

Per rendere le seguenti affermazioni vere inserisci correttamente >, =, <: 7 5 A. SUGGERIMENTI 9 9 5 5 Quesito 2 è a scelta multipla semplice.

B. 6 8 Ricorda che a parità di numeratore 7 12 (denominatore) la frazione minore ha C. 7 12 denominatore (numeratore) maggiore 18 19 D. (minore).

19 20

5.

Trova il più grande tra due numeri positivi consecutivi dispari il cui prodotto sia 195:

6.

Un’agenzia di viaggi sta organizzando un viaggio per la Polonia in bus. Quanti bus minimo servono, se i viaggiatori sono 123 e i bus sono da 45 posti.

A.

3

B.

2

C.

4

D.

5

SUGGERIMENTI Quesito 5 è a scelta multipla semplice.

Effettuare la divisione tra numero viaggiatori e numero posti e considerare che il numero di bus è un numero intero (positivo).

Quale dei seguenti numeri non è equivalente agli altri. Motivare la risposta.

A.

12

A.

0,4

B.

13

B.

C.

11

C.

D.

15

D.

40% 2 5 4%

SUGGERIMENTI Quesito 3 è a scelta multipla semplice. Chiama x il numero dispari più piccolo e x+2 il consecutivo dispari più grande, imponi che x(x + 2) = 195, ottieni equazione x2 + 2x –195 = 0, da cui (x + 15)(x – 13) = 0 e quindi per la legge di annullamento del prodotto e usando la condizione di positività si ha la tesi.

8

Giovanni fa dei test di simulazione di logica numerica, in un test consegue 85 punti, in un altro 95, e un altro ancora 100. Poi fa un quarto test e la media dei punti raggiunti sui quattro test è di 93. Quale è stato il punteggio raggiunto nel quarto test? Esibire il procedimento.

SUGGERIMENTI Quesito 6 è a scelta multipla semplice con argomentazione. Scrivere i numeri sotto forma delle relative frazioni generatrici di numeri decimali finiti e quindi ricondursi allo stesso denominatore ed effettuare il confronto.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

9

❯ PERCORSO A Disciplinare ❯ ALGEBRA

❯ PERCORSO A Disciplinare ❯ ALGEBRA

Il Percorso A- Disciplinare Esso propone una serie di verifiche sul modello Invalsi centrate sugli Ambiti disciplinari: Algebra, Geometria, Statistica sotto-strutturati in Nuclei Tematici Prevalenti: Numeri, Relazioni e Funzioni, Spazio e Figure, Dati e Previsioni.

I tipi di prove proposti spaziano sui contenuti del programma ministeriale del terzo anno della scuola secondaria di primo grado.

I quesiti sono di differente formato in modo da consentire lo sviluppo di competenze di analisi, comprensione e decodifica del testo di un problema matematico di diversa complessità.

Particolare rilievo è stato dato ai quesiti a risposta aperta che prevedono un’interpretazione approfondita e/o un commento da parte dello studente.

Inoltre ciascun quesito è corredato di suggerimenti in itenere, stimolo per un approccio critico, curioso ed elastico.

PASSO DOPO PASSO

❯ PERCORSO B Trasversale

d. Cosa noti del set di punti?

1. Ambito Sociale 1.

e. Se l’auto viaggia a velocità costante di 100 km/h in 3h, quale distanza sarà coperta?

Un’auto viaggia su una strada rettilinea a 80 km/h. La benzina usata (in litri l) è proporzionale alla distanza (in km) coperta. La tabella mostra la benzina consumata mentre il viaggio continua. È necessario coprire una distanza di 120 km e ci sono 12 litri di benzina nel serbatoio.

a. Dalla tabella si può vedere che la distanza totale che l’auto deve coprire è di 120 km.

Se l’auto ha 12 litri di benzina nel serbatoio per il viaggio di 120 km, ce la farà? Spiegare e completare la tabella. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

Benzina consumata (l )

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

SUGGERIMENTI I quesiti 1a, 1c, 1d sono a risposta aperta articolata, 1b, 1e, sono a risposta aperta univoca.

N.B. Se le quantità sono proporzionali, i loro rapporti rimangono uguali.

La benzina quando raddoppia da 4,5 a 9 litri, la distanza percorsa raddoppia anche da 40 km a 80 km. ❯ Il grafico formato da tale relazione di proporzionalità è un grafico lineare, una retta. ❯ Il rapporto delle quantità corrispondenti è in relazione proporzionale: 9 l /4,5 l = 80 km/40 km = 2 e quindi il consumo di benzina è 9 l /80 km~0,1125 l /km, ossia 1 l circa per ogni 9 km, e quindi….

Ricorda che in caso di moto rettilineo uniforme distanza =velocità × tempo e quindi...

2.

Noemi e Gianmarco vogliono noleggiare delle bici insieme ad altri due amici. Essi hanno ognuno 30 euro da spendere. La locandina sotto mostra i prezzi.

Distanza coperta (km)

4,5

40

9

80

Noleggio Bici: 10 EURO ALL’ORA

120

Prezzo speciale per gruppi di 4 o più persone: sconto di 3,00 euro per ogni persona

b. Quanti litri di benzina saranno necessari se il viaggio è di 200 km? __________________________________________________________________________________________________

c. Il diagramma cartesiano mostra la benzina utilizzata quando sono coperti 40 km.

Riporta i dati in tabella sull’asse orizzontale del diagramma cartesiano.

Ora disegna i punti per la benzina consumata a 80 km, 120 km e 200 km.

distanza coperta

200 km 160 km

a. Quante ore possono noleggiare le bici? __________________________________________________________________________________________________

b. Noemi dice che hanno sufficienti soldi per un noleggio massimo di 3 ore. È vero?

Motivare la risposta __________________________________________________________________________________________________

120 km

_________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________

80 km 40 km

SUGGERIMENTI

4,5 l 9 l ...... l ...... l ...... l benzina consumata

50

❯ PERCORSO B Trasversale ❯ AMBITO SOCIALE

I quesiti 2a, 2b sono a risposta aperta univoca.

Impostare l’equazione: 4 (10 h-3) euro = 120 euro da cui h = …ore.

❯ PERCORSO B Trasversale ❯ AMBITO SOCIALE

51

Il Percorso B – Trasversale intende proporsi come ausilio nell’uso della matematica relativamente ai contenuti del programma ministeriale di matematica non solo della classe terza media, ma di tutto il percorso scolastico di scuola secondaria di primo grado. Il percorso coinvolge ambiti reali quali, quello sociale, scientifico, economicooccupazionale,ricreativo-sportivo attraverso testi di problem-solving. Lo scopo è di invitare lo studente a sviluppare uno spirito critico su testi di diversa tipologia e di differente difficoltà che richiedono un’attenta analisi e un’opportuna decodifica nel linguaggio matematico, con l’utilizzo consapevole degli idonei strumenti di matematica.

L’impostazione dei quesiti di matematica rispettano i processi/aspetti proposti dal QdR:

1. Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica 2. Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure

3. Conoscenza e padronanza delle forme di rappresentazione e capacità di passare dall’una all’altra 4. Risolvere problemi utilizzando strategie in ambiti diversi – numerico, geometrico, algebrico 5. Riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni, utilizzare strumenti

di misura, misurare grandezze, stimare misure di grandezze 6. Utilizzare forme di ragionamento 7. Utilizzare strumenti, modelli e rappresentazioni per descrivere e interpretare un fenomeno in termini quantitativi, con strumenti statistici o funzioni, utilizzare ed interpretare situazioni e fenomeni in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale 8. Riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemi geometrici o di modellizzazione.

Il percorso è corredato di suggerimenti in itinere per lo svolgimento dei quesiti.

La seconda parte Verso l’esame contiene quattro prove simulate, contenenti ciascuna una batteria di quesiti strutturati secondo il modello della Prova Nazionale, con un numero variabile di tipologie di quesiti:

PARTE SECONDA

VERSO L’ESAME

3.

VERSO L’ESAME

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

❯ PROVA 1 1.

Ordina le seguenti potenze, in ordine crescente: 103; 105; 102; 10–3; 10–9; 10–2.

4.

Quanto vale l’area in cm2 della figura rappresentata nel piano cartesiano?

In figura è riportato l’andamento dell’utilizzo delle varie fonti energetiche in Europa per la produzione di energia elettrica dal 1990 al 2015. I valori energetici sono misurati in GWh.

6 5 4 3

1 000 000

2 1

❯ quesiti a risposta aperta di natura argomentativa; ❯ quesiti a risposta multipla semplice o complessa, o tipologia Vero/Falso, matching, riordino, con o senza argomentazioni, cloze.

800 000

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

–2

600 000 GWh

–3 –4

400 000

–5 –6

200 000

0

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 1990

1995

Combustibili fossili solidi Nucleare

2000

2005

2010

Petrolio greggio e prodotti petroliferi Energie rinnovanili

2015 Gas naturale e gas derivati Rifiuto (non rinnovabile)

5.

Associare le seguenti affermazioni tramite una freccia.

A. Nel 1990 è stato utilizzato in assoluto più B. Dopo il l 1990 al 2015 è andato a diminuire l’utilizzo di C. Nel 2007 ha raggiunto il suo picco di utilizzo D. È in continua crescita l’utilizzo di 2.

78

1. petrolio greggio e prodotti petroliferi 2. combustibile fossile 3. energia rinnovabile 4. il gas naturale

L’Italia ha un’area pari a 3,01338 × 105 km2 ed il numero di abitanti è 6,059 × 107. Quanta superficie ha a disposizione ogni persona:

6.

Una squadra di calcio ordina 30 magliette. Il prezzo totale della spedizione è di 6 euro, ma sul prezzo totale ha uno sconto squadra di 20 euro. Se lo scontrino totale è di 400 euro, qual è il costo di ciascuna maglietta: A.

13,8 euro

B.

13,3 euro

C.

7,3 euro

D.

14 euro

Due angoli Z, W sono complementari, ossia la loro somma ha un’ampiezza uguale a 90°.

Se Z è 22° più piccolo dell’angolo W, qual è l’ampiezza di Z e W:

A.

circa 5 × 10 km2 a persona

A.

Z = 86° circa, W = 4° circa

B.

circa 5 km2 a persona

B.

W = 56°, Z =34°

C.

circa 5 × 103 m2 a persona

C.

Z = 56°, W = 34°

D.

circa 5 × 10–2 km2 a persona

D.

W = 86° circa, Z = 4° circa

❯ PROVA 1

Ciascuna prova spazia sui contenuti matematici, Algebra, Geometria, Statistica, strutturandosi in Quesiti che sondano le competenze previste dal QdR nelle prove INVALSI che possono essere raggruppate, secondo tre dimensioni (competenze strumentali al problem solving): ❯ Risolvere Problemi ❯ Argomentare ❯ Conoscere.

Le prove consentono di esercitarsi sui vari aspetti di comprensione, analisi e decodifica del testo nei diversi ambiti disciplinari. A conclusione di ciascuna prova, lo studente può registrare i risultati in modo da avere via via un quadro di insieme della sua preparazione ed effettuare una prima valutazione delle sue competenze.

Nella scelta dei quesiti proposti per le attività di comprensione-analisi-decodifica-processo di elaborazione, si sono privilegiati non solo quesiti di natura conoscitiva, ma anche quesiti che sondassero le abilità, nonché le competenze disciplinari e trasversali, connesse alla quotidianità, a problemi reali e legati agli argomenti studiati nel corso del triennio, in grado di stimolare la capacità di ragionamento logico.

Al volume è allegata una Guida per l’insegnante con tutte le soluzioni ai quesiti proposti, con l’indicazione dell’aspetto e dell’ambito prevalente.

❯ PROVA 1

79

INDICE • Presentazione........................................................................................................................................................................................2 • Introduzione...........................................................................................................................................................................................5 Prova di Matematica (90 minuti) .....................................................................................................................................................6 Le prove INVALSI e l’esame di Stato................................................................................................................................................6 Struttura del Volume ............................................................................................................................................................................6 Tipologia di Quesiti ...............................................................................................................................................................................6 Struttura [Ambiti] Nuclei Tematici e Aspetti/Processi proposti dal QdR .........................................................................7 Processi/Aspetti cognitivi [Indicazioni Nazionali-Linee Guida] ...........................................................................................7

Parte Prima Passo dopo passo ❯ PERCORSO A ❯ Disciplinare .....................................................................................................................................................8 1. Algebra / Numeri ..............................................................................................................................................................................8 Algebra / Relazioni e Funzioni ................................................................................................................................................. 18 2. Geometria / Spazio e Figure ..................................................................................................................................................... 29 3. Statistica / Dati e Previsioni ..................................................................................................................................................... 35

❯ PERCORSO B ❯ Trasversale .................................................................................................................................................. 50 1. Problem Solving in un ambito Sociale ................................................................................................................................. 50 2. Problem Solving in un ambito Scientifico .......................................................................................................................... 58 3 Problem Solving in un ambito Economico-Occupazionale ......................................................................................... 64 4. Problem Solving in un ambito Ricreativo-Sportivo ........................................................................................................ 71

Parte Seconda Verso l’esame PROVA 1 .................................................................................................................................................................................................. 78 PROVA 2 ................................................................................................................................................................................................. 88 PROVA 3 ...............................................................................................................................................................................................101 PROVA 4 ...............................................................................................................................................................................................110

INTRODUZIONE Il Quadro di riferimento (QdR) dell’INVALSI per il Primo ciclo d’istruzione individua le seguenti priorità: “La revisione delle modalità di valutazione e certificazione delle competenze degli studenti del primo ciclo di istruzione, mettendo in rilievo la funzione formativa e di orientamento della valutazione, e delle modalità di svolgimento dell’esame di Stato conclusivo del primo ciclo”.

Il QdR ❯ definisce gli ambiti, i processi cognitivi e i compiti oggetto di rilevazione, delimitando quindi il campo rispetto al quale sono costruite le prove; ❯ permette di definire e circoscrivere il valore informativo delle prove che in base ad esso vengono costruite, chiarendone la portata e i limiti; ❯ costituisce il documento fondamentale per gli autori delle prove, per gli esperti che ne curano la revisione, per i docenti che sono chiamati a interpretare i risultati dei loro allievi e per i cosiddetti stakeholder che utilizzano i risultati delle rilevazioni standardizzate nazionali per valutare i livelli di apprendimento garantiti dal sistema educativo nel suo complesso.

Il QdR dell’INVALSI tiene conto delle Indicazioni nazionali e delle Linee Guida che, considerando la matematica come elemento fondamentale per le competenze di cittadinanza e per le competenze per la vita (Life skills), contemplano due aspetti delle competenze matematiche: da una parte gli aspetti di modellizzazione e le applicazioni per leggere, interpretare la realtà e risolvere problemi della vita concreta, dall’altra i contenuti articolati per ambiti, i costrutti caratteristici e gli aspetti relativi allo sviluppo dei curricoli scolastici.

In tal senso, il QdR può rappresentare lo sfondo per costruire o rivedere il curricolo relativamente alla matematica. Tale curricolo è finalizzato a realizzare una didattica efficace, con attività per l’insegnamento/ apprendimento di tecniche e strategie utili a stimolare e a sviluppare le capacità di mettere in stretto rapporto il «pensare» e il «fare», che consentono agli studenti/lettori, attraverso gli strumenti della matematica, di percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani.

Pertanto viene data molta attenzione alla matematica come strumento per operare nella realtà evitando di ridurre le conoscenze matematiche a un insieme di regole da applicare per risolvere problemi standardizzati.

Esso coerentemente con il sistema delle Indicazioni nazionali che con vari documenti orientano i curricoli, è pensato in un’ottica di stretta continuità tra le prove per le classi del primo ciclo di istruzione (classi seconda e quinta primaria e terza secondaria di primo grado) e le prove per le classi del secondo ciclo (classi seconda e quinta della scuola secondaria di secondo grado).

Fino al 2017 le prove sono state tutte somministrate in formato cartaceo, mentre dal 2018 le prove della scuola secondaria di primo e secondo grado (Grado 8 (terza media), 10 (seconda secondaria superiore) e 13 (quinta secondaria superiore) nel sistema scolastico americano) sono computer based (CBT, computer based test) come previsto dalla nuova normativa: artt. 7 e 9 del D. Lgs. 62/2017, e conseguenti specifiche indicazioni operative nei Decreti Ministeriali n. 741 del 3.10.2017, n. 742 del 31/10/2017 e nella nota MIUR prot. n. 1865 del 10.10.2017.

Nella fattispecie per quanto riguarda la terza secondaria di primo grado (terza media): ❯ Ambiti disciplinari: • Italiano (durata: 90 minuti) • Matematica (durata: 90 minuti) • Inglese (livello A1 e A2 del QCER) (durata: 90 minuti) ❯ Modalità di somministrazione: • COMPUTER BASED (CBT)1 • ON LINE2 1 La somministrazione mediante computer (CBT) richiede un elevato numero di prove differenti (forme) che condividono le seguenti caratteristiche: • stessa difficoltà complessiva • equivalenza misuratoria • stessa modalità di composizione (ambiti, tipologie di testo, numero di quesiti, formati dei quesiti, ecc.).

Ciascuna forma è estratta da una banca di domande composta da centinaia di quesiti ed è assegnata agli studenti secondo un preciso disegno statistico.

2 Trasmissione dei dati e correzione delle prove. Correzione della prova: totalmente centralizzata.

❯ INTRODUZIONE

5

Prova di Matematica (90 minuti) Struttura nuclei tematici [Ambiti]: ❯ una sezione dedicata alla verifica dell’ambito numeri (per i licei, Aritmetica e Algebra) ❯ una sezione dedicata alla verifica dell’ambito spazio e figure (per i licei, Geometria) ❯ una sezione dedicata alla verifica dell’ambito dati e previsioni (per i licei, Statistica) ❯ una sezione dedicata alla verifica dell’ambito relazioni e funzioni (per i licei, Algebra) Tipologia prova Numero variabile di quesiti (da 40 a 50).

Le prove INVALSI e l’esame di Stato Requisito per l’ammissione all’esame di Stato, indipendentemente dall’esito (art. 7, c. 4 del D. Lgs. 62/2017).

Confluenza dell’esito delle prove INVALSI nella certificazione delle competenze in livelli descrittivi (art. 9, c. 3, lettera f del D. Lgs. 62/2017 e art. 4 del D.M. 742 del 3.10.2017) distinti per: ❯ Italiano (6 livelli), ❯ Matematica (6 livelli), ❯ Inglese [lettura] (4 livelli) Entro la fine dell’anno scolastico, prima dello scrutinio di ammissione all’esame di Stato, la scuola può scaricare la certificazione delle competenze di cui all’art. 4, c. 2 (Italiano e Matematica) e c. 3 (Inglese) del D.M. 742/2017.

Struttura del Volume Il volume presentato intende proporsi come supporto ai docenti del primo ciclo di istruzione classe terza secondaria di primo grado, nell’ottica della necessità di un confronto sulle conoscenze e abilità matematiche e di ragionamento logico al termine della scuola secondaria di I grado e di un confronto tra la Scuola secondaria di I grado e l’inizio del secondo ciclo di istruzione di II grado.

Il QdR, nel prendere in considerazione gli aspetti della comprensione che la prova INVALSI intende misurare, si muove secondo due direzioni: Contenuti matematici e Processi cognitivi coinvolti nel lavoro matematico e nella risoluzione di problemi.

Tipologia di Quesiti I quesiti usati nelle prove Invalsi possono avere i seguenti formati: ❯ quesiti a risposta chiusa ❯ quesiti a risposta aperta I quesiti a risposta chiusa possono essere: ❯ a scelta multipla semplice, costituiti da una domanda e da quattro alternative di risposta, di cui una sola esatta; ❯ a scelta multipla complessa, cioè una domanda generale, un’istruzione sul modo di rispondere (SI/NO, VERO/FALSO) e una tabella dove compaiono diversi elementi del quesito, cioè i diversi item o individuazione dell’elemento corretto all’interno di un menù a tendina. ❯ quesiti di corrispondenze o collegamento (matching), associando gli elementi di due categorie o elenchi; oppure quesiti nei quali si chiede di riordinare diversi elementi secondo una sequenza causale o temporale; ❯ a completamento (cloze a scelta multipla), cioè inserire nelle lacune di un testo calcoli o espressioni mediante l’utilizzo di elementi forniti nel testo ❯ di riordino I quesiti a risposta aperta sono essenzialmente di due tipi: ❯ quesiti aperti a risposta breve o univoca, dove la risposta richiesta è breve e ve ne è una sola che possa essere considerata corretta (con un numero limitato di varianti possibili); ❯ quesiti a risposta aperta articolata, dove la risposta è più lunga e con diverse possibilità di risposta corretta.

6

❯ INTRODUZIONE

Tali quesiti sono corredati da precise istruzioni per la correzione con l’indicazione di risposta accettabile, parzialmente accettabile, non accettabile, e possono richiedere argomentazioni, giustificazioni, sequenze di calcoli.

Struttura [Ambiti] Nuclei Tematici e Aspetti/Processi proposti dal QdR Contenuti matematici sono divisi per blocchi o nuclei tematici, organizzati nei quattro nuclei tematici [Ambiti]: ❯ Numeri (Ambito Aritmetica e Algebra) ❯ Relazioni e funzioni (Ambito Algebra) ❯ Spazio e figure (Ambito Geometria) ❯ Dati e previsioni (Ambito Statistica) Le competenze nelle prove INVALSI possono essere raggruppate secondo tre dimensioni (competenze strumentali al problem solving): ❯ Risolvere Problemi ❯ Argomentare ❯ Conoscere L’impostazione dei quesiti di matematica rispettano i seguenti processi/aspetti proposti dal QdR:

Processi/Aspetti cognitivi [Indicazioni Nazionali-Linee Guida] Aspetto/Processo 1

Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture, ...)

Aspetto/Processo 2

Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, algebrico, geometrico)

Aspetto/Processo 3

Conoscenza e padronanza delle forme di rappresentazione e capacità di passare dall’una all’altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare)

Aspetto/Processo 4

Risolvere problemi utilizzando strategie in ambiti diversi – numerico, geometrico, algebrico – (individuare e collegare le informazioni utili, individuare e utilizzare procedure risolutive, confrontare strategie di soluzione, descrivere e rappresentare il procedimento risolutivo, …)

Aspetto/Processo 5

Riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni, utilizzare strumenti di misura, misurare grandezze, stimare misure di grandezze (individuare l’unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, stimare una misura,…)

Aspetto/Processo 6

Utilizzare forme di ragionamento (congetturare, argomentare, verificare, definire, generalizzare , dimostrare)

Aspetto/Processo 7

Utilizzare strumenti, modelli e rappresentazioni per descrivere e interpretare un fenomeno in termini quantitativi, con strumenti statistici o funzioni, utilizzare ed interpretare situazioni e fenomeni in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale

Aspetto/Processo 8

Riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemi geometrici o di modellizzazione (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …)

❯ INTRODUZIONE

7

PARTE PRIMA

PASSO DOPO PASSO ❯ PERCORSO A Disciplinare 1. Algebra Nucleo Tematico prevalente: NUMERI 1.

Dati i quattro numeri 0,12 1/8 0,099 2/11 qual è il più piccolo?

2 A. SUGGERIMENTI 11 Quesito 1 è a scelta multipla semplice.

0,099 B. Trasforma i numeri decimali in frazioni e una 1 volta fatto il minimo comun denominatore, C. 8 puoi confrontare i numeratori e quindi...

0,12 D.

2.

Per rendere le seguenti affermazioni vere inserisci correttamente >, =, <: 7 5 A. SUGGERIMENTI 9 9 5 5 Quesito 2 è a scelta multipla semplice.

B. 6 8 Ricorda che a parità di numeratore 7 12 (denominatore) la frazione minore ha C. 7 12 denominatore (numeratore) maggiore 18 19 D. (minore).

19 20

3.

Trova il più grande tra due numeri positivi consecutivi dispari il cui prodotto sia 195:

▢ ▢ ▢ ▢ ▢ ▢ ▢ ▢

▢ 12 B. ▢ 13 C. ▢ 11 D. ▢ 15

A.

SUGGERIMENTI

Quesito 3 è a scelta multipla semplice. Chiama x il numero dispari più piccolo e x+2 il consecutivo dispari più grande, imponi che x(x + 2) = 195, ottieni equazione x2 + 2x –195 = 0, da cui (x + 15)(x – 13) = 0 e quindi per la legge di annullamento del prodotto e usando la condizione di positività si ha la tesi.

8

❯ PERCORSO A Disciplinare ❯ ALGEBRA

PASSO DOPO PASSO

4.

Giovanni fa dei test di simulazione di logica numerica, in un test consegue 85 punti, in un altro 95, e un altro ancora 100. Poi fa un quarto test e la media dei punti raggiunti sui quattro test è di 93. Quale è stato il punteggio raggiunto nel quarto test? Esibire il procedimento.

▢ 100 B. ▢ 93 C. ▢ 86 D. ▢ 92 A.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

SUGGERIMENTI

Quesito 4 è a scelta multipla semplice con argomentazione.

Usare la definizione di media aritmetica (a+b+c+d)/4 e quindi per differenza tra la media aritmetica moltiplicata per 4 e la somma dei primi tre ottieni il risultato.

5.

Un’agenzia di viaggi sta organizzando un viaggio per la Polonia in bus. Quanti bus minimo servono, se i viaggiatori sono 123 e i bus sono da 45 posti.

▢3 B. ▢ 2 C. ▢ 4 D. ▢ 5 A.

6.

SUGGERIMENTI Quesito 5 è a scelta multipla semplice.

Effettuare la divisione tra numero viaggiatori e numero posti e considerare che il numero di bus è un numero intero (positivo).

Quale dei seguenti numeri non è equivalente agli altri. Motivare la risposta.

▢ 0,4 B. ▢ 40% C. ▢ 2 5 D. ▢ 4% A.

SUGGERIMENTI Quesito 6 è a scelta multipla semplice con argomentazione. Scrivere i numeri sotto forma delle relative frazioni generatrici di numeri decimali finiti e quindi ricondursi allo stesso denominatore ed effettuare il confronto.

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❯ PERCORSO A Disciplinare ❯ ALGEBRA

9

PARTE PRIMA

7.

Luisa per 3 d’ora, tre volte al giorno porta in giro il cane, 1 d’ora, due volte al giorno 5 6 gli prepara il pasto. Quanti minuti al giorno Luisa dedica al cane?

▢ Mezz’ora B. ▢ Più di mezz’ora C. ▢ Meno di mezz’ora D. ▢ 1 ora

A.

8.

SUGGERIMENTI Quesito 7 è a scelta multipla semplice.

Attenzione: 3 di qualcosa è 3 × qualcosa, 5 5 tieni conto che ogni operazione viene fatta più volte in un giorno, e quindi va moltiplicata per quel fattore, ed il tutto va sommato per ottenere il risultato.

In un aeroporto per maltempo un aereo non può atterrare, fino a quando non viene dato un contro ordine. Nel frattempo è costretto a girare in circolo intorno alla pista di atterraggio. Il consumo del carburante è di (19/2) l/h, gli rimangono ancora 6 l. Quanto tempo ancora, approssimativamente, può continuare a volare? Esibire il procedimento seguito. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

SUGGERIMENTI

Quesito 8 è a risposta aperta articolata. Usare la proporzione per confrontare la quantità di carburante consumata nel tempo.

9

Sabrina dedica alla musica un dato numero di ore x in una giornata. Suo fratello dedica 2 ore in meno rispetto alla metà del triplo del tempo che impiega Sabrina. a. Quanto tempo il fratello dedica alla musica?

3 x–4 A. SUGGERIMENTI 2 Quesito 9 è a scelta multipla semplice.

3 x –4 B. 2 Sfruttare la traduzione in linguaggio 3 x+4 matematico di triplo, tre volte, della metà, C. 2 quindi per 1 , e poi tenere conto che il 3 2 – 4x D. meno è un’operazione di sottrazione... Una 2 volta data la risposta in 9a, procedere alla sostituzione del valore x = 4h nella formula ricavata per rispondere alla 9b.

▢( ) ▢ ( ) ▢( ) ▢

10

❯ PERCORSO A Disciplinare ❯ ALGEBRA

PASSO DOPO PASSO

b. Se x = 4 ore, le ore che dedica il fratello sono:

▢ Il doppio di quelle di Sabrina B. ▢ La metà di quelle di Sabrina C. ▢ Le stesse di quelle di Sabrina D. ▢ Il triplo di quelle di Sabrina

A.

10. Se il doppio di z +5 diviso per –10 dà come risultato –7, quanto vale z?

▢ –65 B. ▢ 75 C. ▢ –75 D. ▢ 65 A.

SUGGERIMENTI Quesito 10 è a scelta multipla semplice.

Formulare l’equazione, applicando opportunamente il I e II principio di equivalenza delle equazioni si ottiene il risultato. Attenzione ai segni nei prodotti e nel trasporto dal I al II membro.

11. 2–1001 – 1 × 2–999 – 1 × 2–1000 a quanto è uguale?

2 2

▢ –2 B. ▢ 0 C. ▢ –3000 D. ▢ 1 2 A.

–1000

SUGGERIMENTI Quesito 11 è a scelta multipla semplice.

Usare le regole di potenze nel prodotto/ divisione con potenze con ugual base.

Attenzione all’esponente negativo.

12. Quando un bicchiere è per un quarto vuoto esso contiene 120 ml

di latte di più di quando è pieno per un terzo. Quanti ml contiene quando è pieno?

▢ 288 ml B. ▢ 250 ml C. ▢ 300 ml D. ▢ 200 ml

A.

SUGGERIMENTI

Quesito 12 è a scelta multipla semplice. Indicando con z la quantità di latte incognita, impostare l’equazione 3 z = 120 ml + 1 z, risolverla e quindi si ha la 4 3 tesi.

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11

PARTE SECONDA

VERSO L’ESAME ❯ PROVA 1 1.

In figura è riportato l’andamento dell’utilizzo delle varie fonti energetiche in Europa per la produzione di energia elettrica dal 1990 al 2015. I valori energetici sono misurati in GWh. 1 000 000

800 000

GWh

600 000

400 000

200 000

0

1990

1995

Combustibili fossili solidi Nucleare

2000

2005

2010

Petrolio greggio e prodotti petroliferi Energie rinnovanili

2015 Gas naturale e gas derivati Rifiuto (non rinnovabile)

Associare le seguenti affermazioni tramite una freccia.

A. Nel 1990 è stato utilizzato in assoluto più B. Dopo il 1990 al 2015 è andato a diminuire l’utilizzo di C. Nel 2007 ha raggiunto il suo picco di utilizzo D. È in continua crescita l’utilizzo di 2.

L’Italia ha un’area pari a 3,01338 × 105 km2 ed il numero di abitanti è 6,059 × 107. Quanta superficie ha a disposizione ogni persona:

▢ circa 5 × 10 km a persona B. ▢ circa 5 km a persona C. ▢ circa 5 × 10 m a persona D. ▢ circa 5 × 10 km a persona A.

2

2

3

–2

78

1. petrolio greggio e prodotti petroliferi 2. combustibile fossile 3. energia rinnovabile 4. il gas naturale

❯ PROVA 1

2

2

VERSO L’ESAME

3.

Ordina le seguenti potenze, in ordine crescente: 103; 105; 102; 10–3; 10–9; 10–2. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

4.

Quanto vale l’area in cm2 della figura rappresentata nel piano cartesiano?

6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

–2 –3 –4 –5 –6

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

5.

Una squadra di calcio ordina 30 magliette. Il prezzo totale della spedizione è di 6 euro, ma sul prezzo totale ha uno sconto squadra di 20 euro. Se lo scontrino totale è di 400 euro, qual è il costo di ciascuna maglietta:

▢ 13,8 euro B. ▢ 13,3 euro C. ▢ 7,3 euro D. ▢ 14 euro A.

6.

Due angoli Z, W sono complementari, ossia la loro somma ha un’ampiezza uguale a 90°.

Se Z è 22° più piccolo dell’angolo W, qual è l’ampiezza di Z e W:

▢ Z = 86° circa, W = 4° circa B. ▢ W = 56°, Z =34° C. ▢ Z = 56°, W = 34° D. ▢ W = 86° circa, Z = 4° circa A.

❯ PROVA 1

79

PARTE SECONDA

7.

Qual è la percentuale della porzione della figura non colorata?

▢ 35% B. ▢ 50% C. ▢ 25% D. ▢ 30% A.

8.

L’area di un campo giochi di forma quadrata, i cui lati misurano 30 m, va sommata alla differenza di 12 m di campo coltivabile e 3 m di suolo roccioso divisa per tre, per ottenere l’estensione del terreno non edificabile nei pressi di un centro commerciale.

Quanto vale l’estensione di questo terreno? Esibire il procedimento:

▢ 13 m B. ▢ 31 m C. ▢ 41 m D. ▢ 33 m

A.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

9.

Mario per eseguire la seguente operazione: 15 × (2 + 5) × 2 × 3 = (15 × 2 + 15 × 5) × 6 = (30 + 75) × 6 = 180 + 450 = 630 Afferma che ha applicato la proprietà _______________________ della _______________________ rispetto al _______________________, quindi la proprietà _______________________ del prodotto, e poi ancora la proprietà _______________________ della _______________________ rispetto al _______________________.

Completa le proposizioni e fornisci un altro modo di svolgere la stessa operazione applicando la proprietà commutativa del prodotto e della somma. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

10. Una moto va alla velocità media descritta dal seguente binomio (3z2 – 2), quale distanza percorre in un intervallo di tempo dato dal binomio (2z – 9):

▢ 6z – 27z – 4z + 18 B. ▢ 6z – 27z – 4z + 18 C. ▢ 6z – 27z – 4z – 18 D. ▢ 6z + 27z + 4z – 18

A.

80

3

2

2

2

3

2

3

2

❯ PROVA 1

VERSO L’ESAME

11. Una piscina circolare fuori-terra viene riempita d’acqua. Se il livello di acqua è 4 m, ed il diametro della piscina è 20 m, quanti litri d’acqua servono per riempire la piscina?

▢ 1,256 l B. ▢ 5,024 l C. ▢ 1,256 × 10 l D. ▢ 31,4 × 10 l A.

3

3

12. Quali devono essere le dimensioni di una scatola quadrata per contenere una pizza di area di 3846,5 cm2, con un cornicione di 1 cm di spessore?

2

▢ 35,5 cm B. ▢ 36 cm C. ▢ 30 cm D. ▢ 35 cm

A.

❯ PROVA 1

81

❯ PROVA 2 1.

Considerato un campione statistico, il grafico rappresenta il numero di persone che in quattro regioni fanno consumo di carne, pesce, latticini. Analizza l’istogramma e rispondi dettagliatamente alle seguenti domande: Carne Pesce Latticini

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Puglia

Veneto

Lazio

Umbria

a. In quale regione si consuma più pesce? E quante sono le persone in media? b. Quante persone tra le quattro regioni mangiano latticini? c. Ci sono regioni in cui il numero di persone mangia uno stesso alimento dire se Vero o Falso: A. Latticini-Latticini: Puglia-Umbria

V

F

B. Latticini-Pesce: Puglia-Veneto

V

F

C. Carne-Latticini: Puglia-Umbria, Umbria-Veneto

V

F

D. Carne-Pesce: Veneto-Puglia

V

F

d. Dire qual è l’alimento più consumato in ogni regione e associarlo ad ogni regione con una freccia: Puglia

Pesce

Veneto

Carne

Lazio

Latticini

Umbria

88

❯ PROVA 2

VERSO L’ESAME

e. Qual è la percentuale di consumo di ogni alimento in ciascuna regioni, completare la seguente tabella a doppia entrata, anche con valori approssimati.

Puglia

PESCE(%)

CARNE(%)

LATTICINI (%)

53

27

20

Veneto Lazio Umbria 2.

Quale fra le seguenti relazioni è vera? Argomenta la risposta.

▢ 7306,2 < 730,62 B. ▢ 73,062 > 730,62 C. ▢ 730,62 < 73,062 D. ▢ 73,062 > 7,3062 A.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

3.

▢ B. ▢ C. ▢ D. ▢ A.

4.

( )

Le potenze 3 4

–2 e 3 hanno lo stesso valore?

4 No, la prima vale 8 e la seconda vale 4 9 9 No, la prima vale 16 e la seconda vale 8 9 9 No, la prima vale 16 e la seconda vale 9 9 4 Sì, valgono entrambe 9 16 –2

Cinque musicisti di un quintetto d’archi con clarinetto si devono dividere il compenso di 1560 euro ottenuto per il concerto di fine d’anno.

Al primo violino spetta 1 del compenso, al clarinetto 1 del compenso, il rimanente 4 2 deve essere diviso in parti uguali fra l’altro violino, la viola e il violoncello.

Quale frazione della somma totale spetta ad ognuno degli altri tre elementi del quintetto, e quindi la relativa ricompensa per ognuno dei rimanenti tre? Esibire il procedimento.

1 di 1560 euro e ricompensa di 520 euro A. 3 1 di 1560 euro e ricompensa di 130 euro B. 12 1 di 1560 euro e ricompensa di 195 euro C. 8 1 di 1560 euro e ricompensa di 390 euro D. 4

▢ ▢ ▢ ▢

❯ PROVA 2

89

PARTE SECONDA

a. Completare la seguente tabella: Punto Partenza

Posizione dopo I trasformazione

Posizione dopo II trasformazione

Andrea

(–4; –1)

(1; –3)

(1; 3)

Bruno

(3; –5)

Carla

(4; 8)

b. Chi vince la caccia al tesoro?

▢ Andrea B. ▢ Bruno C. ▢ Carla D. ▢ nessuno dei tre A.

25. Giacomo ha due anni in meno del quadruplo degli anni di Mario, la somma dell’età di Giacomo e del triplo dell’età di Mario è 33. Quanti anni ha Giacomo?

▢ 15 B. ▢ 18 C. ▢ 5 D. ▢ 10

A.

26. La pianta di un garage rappresentata in scala 1:100, è rettangolare con lati di 10,5 cm e 6 cm.

Il pavimento deve essere piastrellato con mattonelle quadrate di lato 20 cm, al costo di 2 euro l’una. Calcolare quanto si spende per ricoprire tutto il pavimento, tenendo conto che bisogna pagare anche il 5% di I.V.A. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________

Rilievo in scala 1 : 100

98

❯ PROVA 2

VERSO L’ESAME

27. In figura viene riportata una sequenza in alternanza di quadrati celesti e bianchi su quattro file. Tutte le righe iniziano e finiscono con un quadrato bianco.

Quanti quadrati celesti ci sono se si arriva alla 40ª riga? Esibisci il ragionamento. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

28. Stefano si muove da casa alle ore 15:00 e va al cinema. Lungo la strada incontra un amico con cui si ferma a parlare. Nel frattempo sua sorella Sabrina scende da casa alle 15:15 e si muove con la bicicletta per raggiungere il fratello al cinema. Ha pedalato da casa usando lo stesso percorso di Stefano. I loro diagrammi spazio temporali sono riportati in figura.

Km 3

Sab rin a

1

St ef an o

2

0 15h00 15h10 15h20 15h30

tempo

a. Dalla lettura del grafico completa le seguenti affermazioni: Alle ore 15:15 Stefano ha percorso ______________________. Poi è rimasto a parlare col suo amico per ______________________. Alle ore ______________________ Sabrina supera il fratello Stefano. b. Associa con una freccia le frasi che completano le seguenti affermazioni:

▢ La velocità di Sabrina è in chilometri all’ora B. ▢ La velocità di Stefano non è C. ▢ Stefano e Sabrina alle 15:25 si trovano a D. ▢ Alle 15:35 dopo 5 minuti rispetto all’arrivo di Sabrina, Stefano si trova a A.

1. costante 2. 12 km/h 3. 2 km 4. 3 km

❯ PROVA 2

99

PARTE SECONDA

17. Se 8,5 kg di carne macinata per fare hamburger costa 68 euro, quanto costa 1,5 kg di carne macinata? Esibire il procedimento, usando le proporzioni e le sue proprietà. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

18. Quanto deve valere x affinché 7x 7–2x + 1 = 1. Evidenziare la procedura e le regole sulle potenze che applichi.

▢ x=1 B. ▢ x = –1 C. ▢ x = 1 3 D. ▢ x = 0 A.

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

19. Si consideri la seguente figura nel piano cartesiano, le cui dimensioni sono in cm.

y F

A

a. Quanto vale la sua area:

▢ 10 cm B. ▢ 28 cm C. ▢ 11 cm D. ▢ 18 cm A.

2

D

E

2

C

2

B

–5 –4 –3 –2 –1 0

2

8 7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

x

b. Se la figura è traslata lungo x di 2 cm e lungo y di 3 cm, l’area cambia? Motivare la risposta. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

20. Ad un concorso di selezione per dirigenza con punteggio massimo 80 sono stati raggiunti i seguenti punteggi dai partecipanti:

116

50

64

67

45

37

78

34

55

50

44

64

39

37

75

73

75

42

24

47

53

66

67

76

20

35

50

79

33

42

59

❯ PROVA 4

VERSO L’ESAME

a. Completare la seguente tabella di frequenze: Intervallo punteggi 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 b. Disegnare il relativo istogramma. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

c. Dire quanto vale la classe moda. d. Dire quanto vale la classe mediana. e. Dire quanto vale la media aritmetica.

Numero pizzette vendute

21. Il seguente diagramma mostra il numero di pizzette vendute in una pasticceria ogni giorno di una settimana 40 30 20 10 0

dì ne Lu

dì rte a M

dì ole c r Me

ì ved Gio

ì

erd

n Ve

Giorni

In quale giorno si vendono meno pizzette? Quante pizzette si vendono in quella settimana? __________________________________________________________________________________________________

❯ PROVA 4

117

PARTE SECONDA

22. Nel seguente grafico viene riportato l’andamento delle temperature da più alta a più bassa per ogni giorno di una settimana estiva.

Temperatura per settimana

Temperatura

45° 40° 35°

Temperature alte Temperature basse

30° 25° 20° 0

Dom.

Lun.

Mar.

Mer.

Gio.

Ven.

Sab.

Giorni

In quale giorno la differenza di temperature tra alta e bassa vale 10°?

▢ Sabato B. ▢ Martedì C. ▢ Venerdì D. ▢ Mercoledì A.

23. Il grafico rappresenta il percorso (distanza in km su asse y, tempo in minuti su asse x) in funzione del tempo di un nonno che scende di casa e va in biblioteca, dove vi sosta del tempo per leggere, poi rientra a casa per pranzo. Dalla lettura del grafico dire quale affermazione è vera: y (km) 4 3 2 1 0

20

40

60

80

100 x (min)

▢ Si è fermato in biblioteca per 10 minuti B. ▢ La distanza totale percorsa è 3 km C. ▢ La velocità in valore assoluto dell’andata è maggiore del ritorno D. ▢ La velocità in valore assoluto del ritorno è maggiore di quella dell’andata

A.

118

❯ PROVA 4

VERSO L’ESAME

24. Un bastone è alto 81 cm e la sua ombra è lunga 54 cm, nelle vicinanze c’è un pino che ha un’ombra pari a 350 cm. Qual è l’altezza del pino? Esibire il ragionamento.

▢ 525cm B. ▢ 380 cm C. ▢ 350 cm D. ▢ 175 cm A.

X

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

25. Si consideri un triangolo in cui due lati hanno lunghezza pari a 20 cm e 12 cm. Dire quali tra le seguenti affermazioni sono Vere e quali False: A. Il terzo lato può misurare 33 cm perché è maggiore della somma degli altri due Il terzo lato può misurare 9 cm perché è minore della somma e maggiore della differenza degli altri due lati C. Il terzo lato può misurare 90 dm B.

D.

A secondo della misura del terzo lato il trangolo può essere scaleno, isoscele, rettangolo

V

F

V

F

V

F

V

F

26. Si consideri la seguente figura. Associare le proposizioni 1, 2, 3, 4 alle proposizioni A, B, C, D: 1.

2.

3.

4.

A. B. C. D.

l1 ! l2 AQ " QB l1 ! QB punto interno all’angolo A B

AB P #

B

A Q l1

P

B

l2

❯ PROVA 4

119