6to basico santillana parte 2 - alumno

UNIDAD 4 (90-103)

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UNIDAD

4

Porcentajes

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

• Leer y escribir porcentajes.

• Expresar porcentajes como fracción o número decimal.

• Interpretar información expresada en términos de razones y porcentajes.

• Representar gráficamente porcentajes.

• Calcular porcentajes en diversas situaciones.

• Interpretar información presentada en gráficos circulares.

• Construir gráficos circulares usando herramientas tecnológicas.

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CONVERSEMOS DE...

Cada vez que hay un cambio de temporada, por ejemplo, de verano a otoño o de invierno a primavera, muchas tiendas de ropa ofrecen descuentos en sus productos.

Avisos como: “todo rebajado”, “hasta 50% de descuento”, “descuentos entre un 15% y un 30%”, “descuento del 10% si compra al contado“, entre otros, son los que puedes observar en muchas tiendas.

Observa la imagen y desarrolla las siguientes actividades: 1. Busca alguna tienda en tu ciudad que tenga ofertas representadas mediante porcentajes. ¿Cuáles son los porcentajes de descuento de esa tienda?

2. ¿Cómo calculan los vendedores el descuento en pesos y el precio de los artículos con descuento? Da un ejemplo.

3. ¿Cuáles son los productos con mayores descuentos comparando solo los porcentajes?, ¿por qué?

4. ¿Cuáles son los productos con menor descuento en pesos? Justifica.

Porcentajes

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. Obtén la fracción irreductible y el número decimal equivalente a cada fracción. a) 10 100

c) 7 35

e) 15 50

b) 24 48

d) 6 25

f)

3 80

g)

2. Obtén un decimal equivalente a cada fracción. a) 10 100

d)

500

73 10 000

b) 35 100

e) 406 1 000

h) 24 913 10 000

c) 50 200

f) 1 304 1 000

i)

4 285

5 100 000

3. Representa gráficamente, como parte de una región, las siguientes fracciones: a) 3 6

c) 7 10

e)

9 10

b) 1 8

d) 20 100

f)

50 100

4. Expresa como fracción las siguientes relaciones entre cantidades: a) 5 peras de un cajón de 35 peras. b) 12 chocolates de una bolsa con 100 chocolates. c) 15 bolitas de una colección de 45 bolitas. d) 1 tomate de un cajón de 100 tomates. e) 8 huevos de una bandeja de 30 huevos. f) Medio kilogramo de azúcar de un paquete de 5 kilogramos de azúcar. g) 32 monedas de una alcancía con 32 monedas. h) 9 años de un joven de 18 años.

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5. Resuelve las siguientes operaciones: a) 3,2 • 5 =

g) 4,5 • 1,19 =

m) 3 5

•

10 = 100

b) 2,5 • 2,7 =

h) 25 • 0,1 =

n)

1 4

•

18 = 50

c) 0,05 • 0,4 =

i) 234 • 0,01 =

ñ)

3 4

•

8 = 3

d) 0,125 • 8 =

j) 54,2 • 0,05 =

o)

5 10

•

22 = 10

e) 15,8 • 10 =

k) 352 • 0,001 =

p) 23 50

•

15 = 100

f) 4,12 • 0,15 =

l) 413,05 • 0,001 =

q)

1 3

•

6 100

•

4 = 25

Verifica en el solucionario de tu texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador es el producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus numeradores.

• Para multiplicar dos números decimales puedes utilizar alguno de estos procedimientos: • Transformar los números decimales a fracción, multiplicar y, finalmente, escribir el producto como número decimal.

• Multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según la cantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

• Se llaman fracciones equivalentes a las fracciones que tienen el mismo valor, aunque 3 4 sus numeradores y denominadores sean distintos. Por ejemplo: y son fracciones 6 8 equivalentes, ya que el valor de ambas es 0,5.

Porcentajes

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Razones La profesora necesita agrupar a los 32 niños y 24 niñas de 6º Básico de manera que en todos los grupos haya la misma cantidad de niños y la misma cantidad de niñas. Por ejemplo, que todos los grupos estén formados por 3 niños y 2 niñas.

PARA DISCUTIR • ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de niños y de niñas?

• Si solo hace dos grupos, ¿cuántos niños y cuántas niñas tiene cada uno?

• ¿Se pueden distribuir en tres grupos iguales? Justifica.

• ¿Cuál es el mayor número de grupos iguales que se pueden hacer?

Al comparar elementos que pertenecen a un conjunto, se puede comparar: • por diferencia, por ejemplo: “En el coro hay 12 niñas más que los niños” • por cociente, por ejemplo: “En el coro hay 4 niñas por cada 3 niños” Este último tipo de comparación es lo que se denomina razón entre dos cantidades.

En relación a los cantantes del coro, la razón entre la cantidad de niños y de niñas es 4 : 3, se lee “4 es a 3”.

NO OLVIDES QUE...

Una razón es una comparación entre dos cantidades por medio de una división.

El valor de la razón es el cociente entre las cantidades.

Dos razones son iguales si su valor es el mismo, por ejemplo la razón equivalente a la razón

5 es 10

4 5 4 , ya que = 0,5 y = 0,5.

8 10 8

EN TU CUADERNO 1. En una caja hay 10 fichas rojas, 7 fichas verdes y 4 fichas azules. Determina la razón entre las fichas rojas y las fichas azules. ¿Qué significado le das a ese valor?

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Unidad 4 2. En una competencia deportiva se puede participar en tenis, fútbol o natación. Cada niño puede participar solo en una competencia, y hay 20 inscritos en tenis, 24 en fútbol y 12 en natación. ¿Cuál es la razón entre los inscritos en natación y los inscritos en fútbol?, ¿cómo interpretas ese resultado?

3. En una prueba de Matemática de 28 preguntas, Bastián respondió todas y obtuvo 22 correctas.

Determina la razón entre las respuestas correctas y el total de respuestas. ¿Qué significado le das a ese valor?

4. La razón entre los tiros encestados y los tiros realizados por un jugador de básquetbol es 3 : 4.

Si lanzó 20 tiros al aro en total, ¿cuántos tiros encestó?, ¿cómo lo calculaste?

5. Expresa como razón las siguientes relaciones entre cantidades a) 10 naranjas de una bolsa con 20 naranjas. b) 8 libros de un estante con 32 libros. c) 24 personas de un grupo de 40 personas. d) 14 láminas de un álbum con 70 láminas. e) 13 niños de un grupo de 13 niños. f) 12 dominós de un juego con 28 dominós.

EN EQUIPO 1. Por turno, midan la estatura de cada uno de los integrantes del grupo. El que está siendo medido puede apoyarse en una pared, para facilitar la medición.

2. Luego, midan la longitud de la cabeza (desde el mentón hasta la coronilla) de cada uno de los integrantes del grupo. En ambas mediciones, pueden aproximar las medidas al centímetro.

Materiales: • Cinta métrica • Regla • Hoja de papel cuadriculado • Lápiz

3. Expresen los datos obtenidos como una razón, comparando la longitud de la cabeza con la estatura de cada uno y ordénenlas de menor a mayor.

4. Aproximadamente, ¿a qué razón son equivalentes? ¿

1 1 1 ?¿ ?¿ ?

6 7 8

5. Escriban conclusiones respecto de la razón entre la cabeza y el cuerpo de los niños y niñas.

Justifiquen.

6. Comparen sus resultados con los obtenidos por el resto del curso. ¿Qué pueden concluir?

Porcentajes

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Porcentajes y razones En la ciudad se estrenó una nueva película, en tres salas simultáneamente. Al terminar, los administradores de cada sala comentaron sus impresiones sobre los asistentes al estreno: • “En la sala 1 había 5 niños y niñas por cada 2 adultos” • “En la sala 2 la relación entre niños y niñas, y adultos fue de 2 : 1” • “La sala 3 tiene capacidad para 250 personas, y hoy había 175 niños y niñas”

PARA DISCUTIR • ¿En qué sala la razón entre los niños y niñas y los adultos es mayor?

• ¿Cómo podemos comparar fácilmente datos presentados como razones?

• ¿Qué razones con denominador 100 son equivalentes a los datos presentados?

• Considerando que las tres salas tienen la misma capacidad, ¿en qué sala asistieron más niños al estreno?

Cuando una razón se expresa como una fracción de denominador 20 100, se puede escribir como porcentaje, es decir, la razón 100 se expresa como 20% y se lee “20 por ciento”.

Por ejemplo, en la situación anterior podemos decir que en la sala 3 el 70% de los asistentes eran niños y niñas.

NO OLVIDES QUE...

Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15% y se lee “quince por ciento”.

El porcentaje es equivalente a una fracción cuyo denominador es 100.

Ejemplos: 9% =

9 = 0,09 100

50% =

50 = 0,5 100

Para transformar una razón en porcentaje basta con multiplicar la razón por 100 y luego calcular el cociente.

4 400 Ejemplo: • 100 = = 80% 4 representa el 80% de 5 5 5 96 Unidad 4

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Unidad 4

EN TU CUADERNO 1. Completa la siguiente tabla.

Fracción con denominador 100

Número decimal

tu

re sp on de

70 10

25%

en

tu

0,8

en re sp on de

Porcentaje cu ad er no

cu ad er no

45 100

Fracción irreductible

90%

2. Calcula a qué número corresponde el porcentaje indicado en cada caso. a) 20% de 240

b) 25% de 0,25

c) 1% de 10

d) 1,5% de 5

3. Calcula y completa. a) El 300% de 6 es

y corresponde al triple de 6.

b) El 200% de 5 es

y corresponde al

c) El 50% de 50 es

y corresponde a la

de 5. de 50

4. En una prueba de 60 preguntas, María respondió 45 y tuvo 39 correctas. a) ¿Qué porcentaje de la prueba respondió? b) ¿Qué porcentaje de la prueba respondió correctamente? c) ¿Qué porcentaje de la prueba no respondió?

5. Escribe en tu cuaderno la fracción decimal que represente cada porcentaje en las siguientes afirmaciones. a) En un supermercado, los lunes hay un 6% de descuento en el total de la compra. b) Una tienda ofrece artículos electrónicos con un 30% de descuento. c) Se vendió un 15% de los productos computacionales ofrecidos por la tienda. d) Si compras al contado, obtienes un 50% de descuento.

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Interpretación de porcentaje El gráfico que se muestra a la izquierda de la página representa el porcentaje de estudiantes de un colegio inscritos en diferentes deportes.

Porcentajes preferencias deportivas Voleibol 15%

Fútbol 50%

Handbol 10% Básquetbol 25% Total: 500 estudiantes

PARA DISCUTIR • Al observar el gráfico, ¿en qué deporte crees que hay más alumnos inscritos?, ¿y en cuál menos?

• ¿Cómo se interpreta cada porcentaje del gráfico?

• ¿A qué fracción irreductible le corresponde cada porcentaje?

• Entonces, ¿qué parte del total de estudiantes inscritos en algún deporte está en basquetbol?, ¿y en handbol?

• ¿Cuántos están inscritos en cada deporte?

Observa que cada uno de estos porcentajes se puede representar por una fracción irreductible: Así, por ejemplo, el 50% equivale a la mitad de la cantidad de estudiantes y el 25% a la cuarta parte de ellos.

98 Unidad 4

50%

50 1 = 100 2

10%

10 1 = 100 10

25%

25 1 = 100 4

15%

15 3 = 100 20

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Unidad 4

EN TU CUADERNO 1. Escribe en tu cuaderno la fracción decimal y el porcentaje que representa cada afirmación. a) 35 de cada 100 alumnos practican algún deporte. b) 70 de cada 100 familias encuestadas incentivan a sus hijos a hacer deporte. c) 15 de cada 100 alumnos se alimenta sanamente. d) 10 de cada 100 alumnos toma la cantidad de agua recomendable.

2. Observa cada figura, luego representa la relación entre la parte sombreada y el total como fracción irreductible, número decimal y porcentaje, respectivamente.

3. Interpreta el significado del porcentaje en cada una de los siguientes datos del censo del año 2002. a) El número de viviendas rurales en Chile aumentó en un 13% respecto al censo del año 1992. b) Los hogares que cuentan con vehículos motorizados aumentaron en casi un 89% respecto al año1992. c) Alrededor del 31% de las personas chilenas tiene menos de 18 años. d) El 51% de los lactantes (0 a 2 años) es de sexo masculino. e) Alrededor del 21% de los hogares chilenos tiene computador.

4. Daniela ha preguntado a un grupo de personas de Santiago qué medio de transporte utilizan para ir al trabajo. Observa sus resultados.

25% Solo micro 35% Solo metro 15% Metro y micro 12% Automóvil 11% Bicicleta 9% Camina • Observa los porcentajes obtenidos. ¿Son correctos los porcentajes que calculó Daniela?, ¿por qué?

Porcentajes

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Cálculo del 10%, 25% y 50% De un total de 1 500 estudiantes de un colegio, al 50% de ellos les gusta escuchar música, al 25% les gusta “chatear”, al 10% les gusta leer y al resto le gusta practicar algún deporte.

PARA DISCUTIR • ¿A cuántos estudiantes corresponden estos porcentajes?

• ¿A qué fracciones irreductibles corresponden?

• ¿Cómo podrías calcular mentalmente y de manera rápida el 10%, 25% o 50% de una cantidad dada?, ¿cómo lo supiste?

Una de las formas de calcular el 10%, 25% o 50% de una cantidad 1 1 1 es relacionarlos con la fracción correspondiente, , y , 10 4 2 respectivamente, y luego, calcular la fracción de un número respecto de la cantidad dada, en este caso, los 1 500 estudiantes.

Observa: 50% de 1 500 estudiantes escuchan música

50 1 = 100 2

1 de 1 500 2

1 500 : 2 = 750

750 • 1 = 750

25% de 1 500 estudiantes “chatea”

25 1 = 100 4

1 de 1 500 4

1 500 : 4 = 375

375 • 1 = 375

10% de 1 500 estudiantes lee

10 1 = 100 10

1 de 1 500 10

1 500 : 10 = 50

50 • 1 = 50

NO OLVIDES QUE...

En algunos casos, para calcular el porcentaje de una cantidad se puede dividir, según la equivalencia correspondiente: • 50%: se calcula la mitad de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 2 partes iguales.

• 25%: se calcula la cuarta parte de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 4 partes iguales.

• 10%: se calcula la décima parte de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 10 partes iguales.

100 Unidad 4

UNIDAD 4 (90-103)

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Unidad 4

EN TU CUADERNO 1. Calcula mentalmente a qué cantidad corresponde el porcentaje indicado en cada caso. a) 10% de 150

c) 50% de 250

e) 25% de 1 200

g) 50% de 540

b) 50% de 2 154

d) 10% de 5 050

f) 25% de 10 580

h) 10% de 350

2. El 6º Básico de un colegio tiene 40 estudiantes. El 25% de ellos obtuvo una nota superior a 6,0 en una prueba. a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota mayor a 6,0? b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota menor o igual a 6,0?, ¿cómo lo calculaste? c) ¿A qué porcentaje corresponde la cantidad de la pregunta b?

3. De un total de 1 200 estudiantes de un colegio, el 50% de ellos almuerza en el casino del colegio, el 25% lleva almuerzo, el 10% va a almorzar a su casa y el resto se compra un sándwich en el quiosco. a) ¿Cuántos estudiantes almuerzan en el casino del colegio? b) ¿Cuántos llevan almuerzo? c) ¿Cuántos almuerzan en su casa? d) ¿Qué porcentaje de estudiantes compra un sándwich para almorzar?

4. ¿Qué otros porcentajes son fáciles de obtener siguiendo una estrategia como la anterior? Comenta con tus compañeros y compañeras.

ESTRATEGIA MENTAL Si los porcentajes se aplican a cantidades que son múltiplos de 100 o de 1 000, se pueden calcular mentalmente. Observa: 8% de 1 500 =

8 100

•

1 500 = 8 •

1 500 = 8 • 15 = 20 100

Utilizando la estrategia aprendida, calcula mentalmente los siguientes porcentajes: a)

El 4% de 5 700

c)

El 20% de 400

e)

El 10% de 1 600

b)

El 5% de 500

d)

El 25% de 800

f)

El 15% de 100

Porcentajes 101

UNIDAD 4 (90-103)

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Cálculo de porcentajes Antonia y Martín están preparando sus pruebas de Matemática para el fin de semestre. Ellos averiguaron que el año anterior en el 6º A, con 35 estudiantes, el 20% tuvo nota inferior a 4,0 y en el 6º B, con 48 estudiantes, 9 de ellos tuvo nota inferior a 4,0.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántos alumnos y alumnas del 6º A tuvieron una nota menor que 4,0?

• ¿Qué porcentaje de los alumnos y alumnas del 6º B tuvieron una nota menor que 4,0?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Qué curso obtuvo mejor rendimiento?

NO OLVIDES QUE...

• Para calcular el porcentaje de una cantidad dada, debes expresar el porcentaje como fracción o como número decimal, para después multiplicar dicha fracción o decimal por la cantidad señalada.

• Para calcular a qué porcentaje corresponde la razón entre dos cantidades, se escribe una razón de igual valor, pero con denominador 100.

EN TU CUADERNO 1. Calcula los siguientes porcentajes: a) 20% de 45

c) 15% de 700

e) 66% de 500

b) 90% de 1 200

d) 24% de 9 120

f) 12% de 2 500

2. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, las estrategias utilizadas. a) La fuerza laboral de un país está compuesta por 7 400 000 personas. Si el 48% corresponde a mujeres, ¿cuántos hombres trabajan en ese país? b) Una distribuidora de café envasa el producto en frascos de 150 g, de 200 g, de 250 g y de 500 g. En una oferta especial lanza al mercado estos mismos envases con un 15% más de contenido. ¿Cuántos gramos de café tendrá cada frasco? c) Se compran 8 000 acciones de una empresa eléctrica en $ 160 cada una. Si en 6 meses su valor se incrementa en un 20%: • ¿Cuánto dinero se gana?

• ¿Cuántas acciones más se pueden comprar con la ganancia obtenida?

102 Unidad 4

UNIDAD 4 (90-103)

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Unidad 4

MI PROGRESO 1. Expresa como porcentaje la relación entre las cantidades: 125 g de una bolsa de 1 kg de harina.

A. 125%

B. 12,5%

C. 1,25%

D. 0,008%

B. 13

C. 207

D. 20 700

2. El 30% de 690 es: A. 130

3. Patricia se compró una chaqueta que originalmente se vendía por $ 15 000.

Si después se vendió con un 25% de descuento, ¿cuánto pagó por la chaqueta?

4. La carga máxima que puede transportar un camión es de 8 toneladas. En una fábrica hay 12 vigas iguales cuyo peso total excede en un 35% la carga máxima del camión. a) ¿Cuál es el peso en kilogramos de cada viga? b) Si el peso de cada viga se redujera en un 13%, ¿podría transportar el camión todas las vigas en un solo viaje?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio

Preguntas

Expresar una razón como porcentaje

1

Calcular el porcentaje de una cantidad dada

2

Resolver un problema, calculando porcentajes

3y4

Respuestas correctas

no er d a cu u t en e d on p s re

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.

• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla.

Porcentajes 103

UNIDAD 4 (104-119)

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Aplicaciones del porcentaje: Intereses e impuestos.

En Chile, como en otros países, existe un impuesto (IVA) que pagamos cada vez que hacemos alguna compra. Este impuesto lo recibe el Estado y su finalidad es financiar distintos proyectos para el crecimiento del país: educación, salud, vivienda, construcción, etc.

Cada producto tiene un valor neto al cual se le debe agregar el IVA, para obtener el precio total. Actualmente el IVA corresponde al 19% del valor neto.

Víctor decidió comprar un computador que cuesta $ 400 000 sin IVA.

PARA DISCUTIR • ¿Cuánto se debe pagar por el IVA en este caso?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es el precio total del computador que compró Víctor?

NO OLVIDES QUE...

• El IVA corresponde al 19% del valor neto de un determinado producto. Para obtener el precio total realizamos el siguiente procedimiento: Precio total = Valor neto + 0,19 • valor neto • En el sector financiero se habla de intereses, los cuales son un recargo al valor original del artículo, por comprar en cuotas o al pedir un préstamo a una institución bancaria.

Generalmente, este recargo se expresa en términos de porcentaje.

EN TU CUADERNO 1. Un refrigerador vale $ 139 900 si se paga al contado. Si se paga a crédito en 10 cuotas, cada una es de $ 17 500. ¿En qué porcentaje aumenta el precio del refrigerador? Comenta.

2. Una empresa importó aceite de oliva, desde Italia. El costo de la importación es de 29 700 euros, pero la empresa debe pagar un 6% por el ingreso del producto a Chile, correspondiente al impuesto aduanero. ¿Cuánto se debe pagar por este impuesto?

3. Un televisor que vale $ 100 000 se vende en 4 cuotas con un interés de un 8% sobre el valor del precio al contado. ¿Cuánto se paga por el televisor si se compra a crédito?, ¿cuál es el valor de cada cuota?, ¿cómo lo calculaste?

104 Unidad 4

UNIDAD 4 (104-119)

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Unidad 4 4. Antes de comprar una impresora multifuncional, una pequeña empresa cotizó en dos casas comerciales el mismo modelo para hacer una compra a crédito. Las condiciones de pago que le daba cada casa comercial fueron las siguientes: Casa comercial

Precio contado

Interés

Tiempo que dura el crédito

CasaBonita

$120 000

1,2% mensual

1 año

Hogar Dulce Hogar

$120 000

12% mensual

1 año

• ¿Cuál de las casas comerciales le conviene a la pequeña empresa?, ¿por qué?

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Utilizando una planilla de cálculo podrás simular una factura de compra y calcular el valor total de ella incluyendo el IVA. 1o Completa la planilla de manera que quede así:

2o Luego, marca la celda E9, haz doble clic en ella y anota =B9*D9. Presiona enter. Esto devolverá el total a pagar por los 3 cuadernos de matemática. Luego, marca la celda E9 y dirígete a su extremo inferior derecho. Cuando el mouse te muestre una cruz negrita, arrastra hasta la celda E11. Así, automáticamente se calcularán los totales correspondientes a las 2 cajas de lápices y 5 lápices pasta.

3o Después, marca la celda E13, haz doble clic en ella y anota la fórmula =E9+E10+E11. Esto arrojará el valor total por los productos sin IVA. Para saber cuánto hay que agregar por el IVA, marca la celda E14 y anota en ella la fórmula =19/100*E13.

4o Finalmente, para saber el total a pagar, haz doble clic en la celda E15 e ingresa la fórmula =E13+E14.

5o Comprueba los resultados obtenidos utilizando una calculadora. Además, prueba que al cambiar las cantidades de los productos y/o su valor, automáticamente cambiarán los valores correspondientes.

Porcentajes 105

UNIDAD 4 (104-119)

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Descuentos y rebajas Es común encontrar avisos publicitarios en los cuales se muestran ofertas, por ejemplo: “Solo por hoy 50% de descuento”.

Las rebajas consisten en un descuento al valor original de un artículo, y se pueden expresar mediante porcentajes.

Ejemplo: Un pendrive vale $ 15 000, y tiene un 10% de descuento por pago al contado.

PARA DISCUTIR • ¿A cuánto dinero corresponde el descuento?

• ¿En cuánto queda el valor del pendrive?

EN TU CUADERNO 1. María José comprará los siguientes artículos: 1 bloc de notas ($ 1 200), 1 bolso ($ 4 200), 1 estuche ($ 1 500). ¿Qué le conviene más: que le descuenten un 10% en cada artículo o que le descuenten un 10% del total? Justifica.

2. Una tienda realiza los siguientes descuentos, dependiendo del medio de pago utilizado por sus clientes: • Por compras al contado: 5% • Por compras con la tarjeta de la tienda: 15% • Por compras con cheque: 10% Utilizando la información anterior, completa la tabla.

Artículo

Precio inicial

Forma de pago

Zapatillas

$17 990

Tarjeta de la tienda

Polerón

$ 8 950

Contado

Polera

$ 4 490

Contado

Mochila

$ 7 000

Tarjeta de la tienda

Chaqueta

$12 490

Cheque

106 Unidad 4

% de Descuento Total en $ a pagar descuento

n ee d n po s re

tu

o rn e ad cu

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Unidad 4 3. Juan piensa comprar un computador cuyo valor es de $ 470 000. Observa un notebook con las mismas características técnicas, cuyo costo es de $ 499 990, pero si lo compra al contado recibe un 15% de descuento. a) ¿Cuál de los computadores crees que compró finalmente Juan? ¿Por qué? b) ¿Cuál habrías comprado tú?, ¿por qué?

4. Pablo compra un auto cuyo precio es de $ 4 500 000 y le hacen un descuento del 12%. ¿Cuánto tiene que pagar?

5. Francisco averiguó en varios bancos la tasa de interés al realizar un depósito a plazo, hasta que se decidió por el banco “El Ahorro”, que le ofrecía una tasa de interés de 0,43% por un período de 35 días. Si depositó $ 249 567, ¿cuánto dinero retiró después de que se cumplió el plazo?

6. En una tienda comercial se hace una liquidación donde todos los productos son rebajados en un 20%. Después de una semana todos los artículos vuelven a rebajarse en un 5%. Si un pantalón costaba originalmente $ 12 000: a) ¿Cuánto cuesta después de la primera liquidación? b) ¿Cuánto vale después de la segunda liquidación?, ¿cómo lo calculaste? c) ¿La oferta sería igual si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 25%? Explica.

7. Un cartel en un minimarket indica lo siguiente: “Hoy, 25% de descuento en frutas y verduras. Si compra 1 docena de choclos, se ahorra $ 360. Si compra un kilogramo de mandarinas, se ahorra $ 212.” a) ¿Cuál es el precio, con descuento, de una docena de choclos? b) ¿Cuál es el valor de 1 kg de mandarinas, con el descuento?

8. En la pastelería “Tía July”, el último domingo del mes, las tortas tienen un 30% de descuento y las galletas un 5% de descuento. Si la torta cuesta $ 7 900 y un paquete de galletas $ 980, ¿cuánto cuesta, con descuento: a) un paquete de galletas? b) una torta?

Porcentajes 107

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Gráfico circular La siguiente tabla muestra las categorías para la distribución de los niveles sociales en Santiago de Chile. El número total de considerados en la encuesta es de 1 158 009 habitantes.

Categoría

Ingreso promedio mensual por hogar

ABC1

$ 2 386 000

C2

$ 870 000

C3

$ 540 000

D

$ 310 000

E

$ 110 000

Nivel social

10%

10% ABC1 20%

C2 C3

35%

D 25%

E

Fuente: Asociación de estudios de Mercado y Opinión AG.

Observa que el gráfico está dividido en sectores de diferentes colores, donde cada uno representa a una categoría diferente.

PARA DISCUTIR • ¿Cuál es la categoría que comprende la mayor cantidad de hogares?, ¿qué ángulo corresponde a esta categoría?

• ¿Cuál es la categoría que comprende la menor cantidad de hogares?, ¿qué ángulo corresponde a esta categoría?

• ¿Cuántos hogares están comprendidos en la categoría E? • ¿Es correcto afirmar que la categoría C3 comprende aproximadamente 289 502 de los encuestados? Justifica.

• ¿Qué otras preguntas pueden ser respondidas mediante la interpretación del gráfico anterior?

NO OLVIDES QUE...

Un gráfico circular consiste en un círculo dividido en sectores que representan el porcentaje de cada categoría de la variable. Permite comparar visualmente las cantidades correspondientes a ciertas variables.

108 Unidad 4

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Unidad 4

NO OLVIDES QUE...

• Para construir un gráfico circular se traza un círculo y luego se calculan los ángulos correspondientes a cada sector, según la categoría a la cual representa. Para esto se multiplica el número del porcentaje por 3,6.

Por ejemplo, para el caso de la categoría D, tenemos: x = 35 • 3,6 Luego, x = 126. Entonces, el sector correspondiente a la categoría D tiene un ángulo de 126º.

EN TU CUADERNO 1. La siguiente tabla relaciona el tipo de parentesco que tienen los apoderados de estudiantes de Educación Básica y Media. Completa la tabla con los ángulos correspondientes a cada porcentaje y realiza las actividades.

18%

Solo padre

7%

Madre y otro

5%

Padre y otro

1%

Otros

6%

no

Madre y padre

cu ad er

63%

tu

Solo madre

Ángulos (grados)

en

Porcentajes

re sp on de

Apoderados

a) Construye el gráfico circular correspondiente. b) ¿Qué dificultad encontraste para determinar los sectores correspondientes a cada categoría?, ¿cómo la solucionaste? c) Si aproximas los valores de los ángulos al entero más próximo, ¿por qué el total es mayor que 360°?

2. Construye la tabla con la cantidad de personas correspondiente a cada uno de los siguientes gráficos circulares. (Considera una muestra de 400 personas).

30%

15%

35%

20%

Clásica Rock Pop Reggaeton

18% 36% 24% 22%

Bebidas gaseosa Jugos Leche Agua

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Para construir gráficos circulares, puedes usar una planilla de cálculo, como el Excel. Luego de ingresar los datos en las celdas o casilleros correspondientes, haz clic en la tecla para graficar la información.

Practica siguiendo las instrucciones.

1. Ingresa los datos en las celdas, ordenados en columnas, tal como están en la tabla

Lugar

Total preferencias

Mar

240

Lago

120

Montaña

160

Campo

200

Desierto

80

Total de encuestados

800

2. Selecciona todos los datos que quieras graficar.

3. Haz clic en el botón “Asistente para gráficos” 4. En el paso 1, escoge gráfico circular o de torta, según si lo presentas como dibujo o en versión 3D. Puedes ver una muestra de cómo quedaría el gráfico con los datos seleccionados.

5. En el paso 2, confirma cuáles son los datos que se van a graficar, porque puede que el computador interprete como valores lo que corresponde a los títulos de las variables, por ejemplo.

6. En el paso 3, completa el título y la leyenda del gráfico y los rótulos de los datos.

7. Finalmente, en el paso 4, indica si el gráfico lo vas a ubicar en una hoja nueva de Excel o no.

MI PROGRESO 1. Un plan para telefonía celular aumentó su costo mensual de $ 13 500 a $ 15 000. ¿En qué porcentaje aumentó el plan?

A. B. C. D. 110 Unidad 4

10% 11,1% 90% 110%

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Unidad 4 2. Los resultados de una encuesta realizada a 320 personas sobre gustos musicales se muestran en el siguiente gráfico. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I. La mayoría de las personas prefieren la música latina.

II. Solo 7 personas prefieren música clásica.

III. 64 personas prefieren música pop.

A. B. C. D.

Solo I. I y II. I y III. I, II y III

7%

20%

42%

31%

Pop Rock Latina Clásica

3. Un computador cuesta $ 630 000 y tiene un descuento del 12%; otro computador similar cuesta $ 720 000 y tiene un descuento del 15%. ¿Cuál de los dos computadores es más barato?

4. Un diario local realizó una encuesta sobre la opinión que tenían respecto de un nuevo suplemento de viajes. La encuesta se realizó a un total de 1500 personas. Los resultados se publicaron en el siguiente gráfico: a) ¿Cómo fue el nivel de aceptación del suplemento? b) ¿Cuántas personas encuestadas opinaron que el suplemento es malo?

Malo 21% Bueno 48%

Regular 6% Muy bueno 25%

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio Resolver un problema, calculando porcentajes Realizar inferencias y cálculos a partir de datos representados en un gráfico circular

Preguntas

Respuestas correctas

1y3

2y4

e nd o sp re

en

tu

o rn e ad cu

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.

• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla.

Porcentajes 111

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

La señora Teresa necesita un nuevo refrigerador. Decide comprar uno por $ 120 000, pero el día que lo fue a comprar había una oferta de un 15% de descuento, siempre que lo compre con la tarjeta de crédito de la tienda. En este caso, se aplica al precio total un interés de 6%. ¿Cuanto pagó finalmente la señora Teresa por su nuevo refrigerador?

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

El precio del refrigerador es de $ 120 000.

El descuento corresponde al 15% El interés por comprar a crédito corresponde al 6%, aplicado al precio total.

• ¿Qué debes encontrar?

El monto correspondiente al descuento.

El precio del refrigerador, aplicado el descuento.

El monto que corresponde al interés aplicado.

El monto final que pagó por el refrigerador, considerando el descuento y el interés.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema?

Primero, calcula el porcentaje del precio del refrigerador para obtener el monto correspondiente al descuento.

Luego, calcula la diferencia entre el precio inicial y el monto del descuento.

Para obtener el monto correspondiente al interés, calcula el porcentaje sobre el precio total.

Luego, para obtener el precio final, calcula la suma del interés y el precio total.

Resolver • 15% de $ 120 000

15 100

•

120 000 = 18 000

•

102 000 = 6 120

• 120 000 – 18 000 = 102 000 • 6% de 102 000

6 100

• 102 000 + 6 120 = 108 120 Responder • El descuento aplicado corresponde a $ 18 000.

El interés aplicado corresponde a $ 6 120.

El precio final pagado por la señora Teresa fue de $ 108 120.

112 Unidad 4

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1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones: a) Bastián quiere comprarse un televisor por $ 75 000. El vendedor le ofrece un 20% de descuento si compra con la tarjeta de la casa comercial. Pero Bastián sabe que, en ese caso, le aplican un interés de 8%. ¿Cuánto pagó finalmente por el televisor? b) Fabiola ha decidido comprarse una máquina de coser para trabajar en su casa cosiendo cortinas y cubrecamas. La máquina de coser cuesta $ 96 000 en una tienda que ofrece 12% de descuento, pero con un recargo de 15% de interés, al pagar dos meses después. ¿Cuánto pagó Fabiola? ¿Le conviene pagarla de esta manera? Justifica. c) Alejandra va a utilizar un cupón de descuento de 15% en artículos de perfumería. Se compra su perfume favorito, cuyo precio es de $ 28 000. Para pagar, decidió retirar un avance en efectivo de la tarjeta de su marido. Retiró $ 30 000, para pagarlo en seis cuotas con un 12% de interés.

• ¿Cuánto es el precio final del perfume?

• ¿Cuánto debe pagar depués por el avance en efectivo?

• ¿A cuánto asciende el valor de cada cuota?

• ¿Le conviene pagarlo así? Justifica.

2. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Carolina siempre busca los precios más convenientes. Quiere comprarse un par de pantalones, que se venden por $ 23 000. Entonces, decide esperar los días de liquidación, en los que se ofrece un 20% de descuento para todos los productos. Además, cuando paga en efectivo, obtiene un 5% de descuento adicional, sobre el precio ya rebajado. ¿Cuánto pagó finalmente? b) Marco ha decidido comprar una cocina semi-industrial, para fabricar tortas y empanadas junto a su familia. El precio de la cocina es de $ 180 000, sin IVA. Al comprarla en 6 cuotas, al precio con IVA se le agrega un 3% de recargo adicional.

• ¿Cuál es el precio de la cocina, con IVA? • ¿Cuál es el precio final?

• ¿Cuánto paga por cada cuota?

Porcentajes 113

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CONEXIONES NACIONAL

Inflación llega a 1,1% en septiembre y suma 9,2% El IPC registró en septiembre una variación mensual de 1,1%, acumulando en el año un aumento de 7,6%.

Asimismo, la variación en los últimos doce meses es de 9,2% informó hoy el Instituto Nacional de Estadísticas (INE).

Variación de grupos En este mes predominaron los aumentos de precios en la mayoría de los grupos del IPC. Las mayores alzas corresponden a los grupos: Otros (2,6%), Transporte (1,6%), Vivienda (1,3%), Alimentación (1,2%),

Vestuario (0,6%), Educación y Recreación (0,5%) y Equipamiento de la Vivienda (0,2%).

Por otra parte, el único grupo que disminuyó sus precios fue Salud (-0,1%).

Diario El Sur de Concepción, publicado el 3 de octubre de 2008 http://www.elsur.cl/base_elsur/site/artic/20081003/pags/20081003104658.html

Organizados en grupos de a lo más tres integrantes respondan: 1. ¿Qué significa la sigla IPC? 2. ¿Por qué el IPC varía según los grupos?

3. Considerando que estos valores corresponden a los precios del mes de septiembre, ¿cómo interpretan los valores del IPC para cada grupo?

4. ¿Cuál es la relación entre el IPC y el alza del costo de la vida?

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes.

Cumplí con las tareas que se comprometió.

Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

e ond resp

rno ade u c u en t

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

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Unidad 4

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Porcentajes Proporción

En relación a 100

Interpretación

Cálculo

Fracciones decimales

Gráficas circulares Fracciones irreducibles

Aplicación

Descuentos

Impuestos

Porcetaje de una cantidad

Relación entre dos cantidades

Número decimal

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Cómo se calcula el porcentaje de una cantidad dada?

2. ¿De qué depende la interpretación de un porcentaje dado?

3. ¿Por qué los gráficos circulares sirven para representar información expresada en porcentajes?

4. ¿Cuál es la diferencia entre descuentos e impuestos?

5. ¿De qué formas se puede expresar un porcentaje?

6. ¿Cómo se relaciona con la proporcionalidad?

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¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.

1. El 60% se puede representar mediante la fracción: 6 100 B. 3 10 C. 3 5 D. 60 10 A.

2. El número decimal 0,04 representa al: A. B. C. D.

0,04% 0,4% 4% 40%

3. Calcular la décima parte de una cantidad es equivalente a calcular el: A. B. C. D.

1% de la cantidad.

10% de la cantidad.

50% de la cantidad.

100% de la cantidad.

4. ¿Qué porcentaje representan 4 bolitas de un total de 8 bolitas?

A. B. C. D.

4% 25% 40% 50%

5. El 20% de 750 es mayor que: A. B. C. D.

El 50% de 200.

El 50% de 300.

El 50% de 750.

El 50% de 2 000.

116 Unidad 4

6. El 50% de descuento en la compra de algunos útiles escolares corresponde a $ 4 300. ¿Cuánto habrías pagado por la compra, sin descuento?

A. B. C. D.

$ 2 150 $ 6 450 $ 8 600 $ 12 900

7. El 2,5% de estudiantes de un colegio se alimenta sanamente en los recreos. ¿Cómo se puede interpretar este porcentaje?

A. 2,5 de cada 10 estudiantes se alimenta sanamente.

B. 2,5 de cada 1 000 estudiantes se alimenta sanamente.

C. 25 de cada 100 estudiantes se alimenta sanamente.

D. 25 de cada 1 000 estudiantes se alimenta sanamente.

8. Si se compra un libro en $ 1 500 y se vende en $ 2 250, ¿qué porcentaje de ganancia se obtiene?

A. B. C. D.

El 10% El 25% El 50% El 75%

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Unidad 4

9. El siguiente gráfico representa la distribución aproximada de edad de la población chilena, por grupos de edad, obtenidas en el último censo del 2002. A partir de esta información: a) Interpreta el porcentaje correspondiente al grupo de 15 a 59 años. ¿Estás de POBLACIÓN POR GRUPOS DE EDAD acuerdo con la afirmación: “Más de la mitad de los habitantes son niños o 15-59 adultos mayores”? Justifica.

63% b) Representa en notación decimal el 0-14 porcentaje correspondiente al grupo de 26% 60 o más años. c) Representa mediante una fracción el 60 o + porcentaje correspondiente al grupo de 11% 14 o menos años.

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ?

1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura y escritura de porcentajes Porcentajes expresados como fracción o número decimal Cálculo de porcentajes Interpretación de información presentada en gráficos circulares Construcción de gráficos circulares

o rn de a u uc t n ee d n po res

Resolución de problemas 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 90 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

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UNIDAD

5

Ecuaciones

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

• Distinguir entre igualdad y ecuación.

• Aplicar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división para reducir las expresiones algebraicas involucradas en una ecuación.

• Establecer si el valor obtenido a través de la resolución algebraica de la ecuación asociada a un problema es efectivamente una solución, es decir, un valor válido en el contexto del problema.

• Resolver problemas en contextos variados en los que se utilizan ecuaciones de primer grado con una incógnita para expresar las condiciones del problema.

118 Unidad 5

UNIDAD 5 (119-139)

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CONVERSEMOS DE...

En general, las personas que tienen puestos de frutas o verduras en la feria, compran sus productos en mercados, al por mayor, es decir, en grandes cantidades, como por ejemplo cajones de frutas o sacos con hortalizas.

En uno de estos mercados, don José quiso adquirir una determinada cantidad de sacos de papas. El precio de cada saco es de $ 9 500, pero si compra más de seis sacos el precio baja $ 500 por unidad. Al final, gasta $ 57 000 en sacos de papas.

1. ¿Cuánto pagaría si comprara solo seis sacos?, ¿y si comprara siete?

2. ¿Cuántos sacos compró?, ¿cómo lo calculaste?

3. ¿Qué ventajas tiene comprar al por mayor?, ¿qué desventajas tiene? Comenta con tus compañeros y compañeras.

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. Resuelve calculando primero lo que está dentro de los paréntesis. a) b) c) d) e) f)

(4 + 8 + 3) – (9 + 6 – 5) = 1 + (9 + 12) + (3 + 6 – 7) = 12 + 24 – (48 : 8) + (7 – 5) = 16 + (65 – 64) – (23) = 12 • 3 – (62) + (2 – 1) = 10 : (8 – 3) + (7 • 4) =

2. Obtén el mcm para los siguientes números. a) 4 y 8 b) 7 y 5 c) 5 y 20

d) 12 y 48 e) 14 y 42 f) 14, 28 y 56

g) 6, 12 y 2 h) 45, 15 y 35

3. Calcula las siguientes divisiones. a) 124 : 4 = b) 100 : 5 = c) 120 : 5 =

d) 380 : 2 = e) 258 : 3 = f) 324 : 6 =

g) 1 250 : 5 = h) 2 550 : 10 =

4. Completa con el número correspondiente. a) 36 • b) 18 •

= 216 = 4 680

c) d) 4 •

•

10 = 5 210 = 2 080

e) f)

5. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas: a)

3 2 1 +2• =2+ 4 3 12

b) 0,5 + 0,25 • 30 = 0,5 + 0,75 c) 50 : 5 + 10 = 1 + 5 • 4 – 1 d) 8 + 6 • 2 + 1 =

2 3

•

5•6+9•2

e) 0,4 • 1,2 – 0,2 = 0,7 • 0,4 f) 0,5 • 2 + 0,8 •

120 Unidad 5

5 6•3 = 4 5+4

• •

12 = 7 080 24 = 61 512

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6. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. a) b) c) d) e) f)

3 • 25 – 40 + 6 • 50 = (121 : 11 + 12) • 2 – 5 • 5 = 80 • 40 + 140 + 16 • 3 = (12 • 12 : 4) : (24 : 4) = 150 : 50 + 240 : 60 + 250 = 85 : 5 + 4 • 6 + 3 • 8 – 16 : 4 + 8 : 8 =

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue tu error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Al resolver un ejercicio con operaciones combinadas, debes respetar la prioridad de las operaciones: • • • •

Lo que está entre paréntesis.

Las potencias.

Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

Adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

• En la adición y multiplicación de números naturales se cumplen las siguientes propiedades: • Clausura: Si a y b son números naturales, entonces: a + b es un número natural a • b es un número natural • Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces: a+b=b+a a•b=b•a • Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces: (a + b) + c = a + (b + c) (a • b) • c = a • (b • c) • Distributiva de la multiplicación respecto de la adición: Si a y b son números naturales, entonces: a • (b + c) = a • b + a • c Ecuaciones 121

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Lenguaje algebraico Observa la siguiente tabla que muestra las fórmulas para calcular el perímetro y área, si se conocen las medidas de sus lados, en cada caso.

Perímetro

Área

Triángulo

a+b+c

b •h 2

Rectángulo

2a + 2b

a·b

Cuadrado

4a

a2

PARA DISCUTIR • ¿Qué representan las letras en las expresiones de la tabla?

• Si un triángulo tiene tres lados, ¿sirve usar 3a como fórmula del perímetro?, ¿por qué?

• Si conozco la medida de un lado del rectángulo, pero no la del otro, ¿puedo calcular su área y su perímetro?, ¿y en el caso del cuadrado?

• Si conozco el valor del área de un triángulo y la medida de su base, ¿puedo obtener la medida de su altura?

NO OLVIDES QUE...

• Cuando se usa una letra para representar una variable, se debe usar la misma letra cada vez que se refiera a esa variable.

• Por lo mismo, cuando hay variables distintas se deben asignar letras distintas.

• Valorizar una expresión algebraica significa remplazar las variables por valores numéricos y luego calcular su resultado.

EN TU CUADERNO 1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones. Observa los ejemplos.

• El doble de un número 2x a • Un número aumentado en su cuarta parte: a + 4 a) b) c) d) e) f)

a disminuido en el doble de 7.

Un número aumentado en 28.

El triple de la suma de a y 8.

Un número disminuido en su tercera parte.

La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte.

El antecesor de un número.

122 Unidad 5

UNIDAD 5 (119-139)

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Unidad 5 2. Si m representa la edad de Laura, une cada afirmación con su correspondiente expresión en lenguaje algebraico. a) b) c) d)

La edad que tenía hace 7 años.

La edad que tendrá en 15 años más.

Los años que faltan para que cumpla 45 años.

La edad de su mamá, si ella tiene el triple de la edad de Laura.

3m 45 – m m–7 m + 15

3. Si a = 4, b = 1, c = 3 y d = 5, calcula el valor de las siguientes expresiones. Observa el ejemplo: 2a + 3b = 2 • 4 + 3 • 1 = 8 + 3 = 11 a) b) c) d)

a+b+c+d 3c – 2a + 2b b + 3a – 2c a – 2b + 4c – d

e) f) g) h)

a – b + 3d 10b + 5c – d b + 4c + 2d 4a + 6b + 5c + d

4. Expresa mediante una igualdad cada uno de los siguientes enunciados. a) b) c) d) e) f)

La suma de a y b es igual a 42.

El doble de x es igual a 96.

La tercera parte de y es igual a 45.

El triple de x es igual a la suma del doble de x y 24.

El producto de a por 8 es igual a 168.

El doble de la quinta parte de x es igual a la décima parte de x.

5. Lee atentamente y resuelve. ¿Cuánto mide el largo de un rectángulo, si su ancho es 15 cm y su área es 60 cm2? ¿Cuánto mide el ancho de un rectángulo, si su largo es 24 cm y su perímetro es 88 cm? ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, si su perímetro es 56 cm? ¿Cuánto mide la base de un triángulo, si su perímetro es 27 cm y sus lados miden 10 cm cada uno? e) ¿Cuánto mide la altura de un triángulo, si su base es 18 cm y su área es 108 cm2? f) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, si su área es 144 cm2? a) b) c) d)

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Igualdades y ecuaciones Observa los siguientes desarrollos: 44 + 10 • 3 – 25 44 + 10 • 3 – 25 + 25 44 + 10 • 3 44 – 44 + 10 • 3 10 • 3

= 49 = 49 + 25 = 74 = 74 – 44 = 30

/ + 25 / – 44

44 + 10 • x – 25 44 + 10 • x – 25 + 25 44 + 10 • x 44 – 44 + 10 • x 10 • x

= 49 = 49 + 25 = 74 = 74 – 44 = 30

/ + 25 / – 44

PARA DISCUTIR • Las igualdades de la izquierda, ¿son todas ciertas?, ¿y las de la derecha?

• ¿Cuál es la diferencia entre las expresiones que están a la izquierda y las que están a la derecha?

• ¿Qué sucede si a una igualdad le sumas, restas, multiplicas o divides algún número?

• ¿Ocurre lo mismo en el caso de una ecuación?

• En este caso, ¿cuánto vale x?, ¿por qué?

• En general, ¿cómo puedes obtener el valor de la incógnita? Explica, paso a paso.

NO OLVIDES QUE...

• Si a los dos lados de una igualdad se suma o resta un mismo número, la igualdad se mantiene.

• Si a los dos lados de una igualdad se multiplica o divide un mismo número, distinto de cero, la igualdad se mantiene.

• Una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido llamado incógnita.

• Resolver una ecuación implica encontrar este valor desconocido, es decir, la solución de esta ecuación.

• Para comprobar si la solución es correcta, se debe remplazar en la ecuación y verificar que se obtenga una igualdad. Y revisar que la solución tenga sentido en el problema.

EN TU CUADERNO 1. Considera x = 6 y verifica si se cumple la igualdad para este valor en cada ecuación. a) 3x = 18 b) 29 – x = 25 124 Unidad 5

c) 8x = 24 d) 15 – 2x = 3

e) 7x + 9 = 32 f) 8x – 48 = 0

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Unidad 5

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS En una planilla de cálculo sigue los siguientes pasos que te permitirán completar una tabla: al ingresar un número, te entregará el resultado obtenido para cada uno de los cálculos expresados en lenguaje común.

1o En A1 escribe “Número x”; en B1, “Lenguaje común”; en C1, “Resultado”.

2o En A2, ingresa el número 990 y de B2 a B8 escribe: • El doble del número • La cuarta parte del número • El triple del número • La quinta parte de la suma entre x y 100 • El doble del número aumentado • La diferencia entre la suma del triple de x en 5 unidades con 10 y el doble de x • El triple del número disminuido en 3 3o Luego, marca la celda C2, haz doble clic en ella y anota =2*A2. Presiona enter.

Esto devolverá el doble del número ingresado en A2. En la celda C3 anota =3*A2 y presiona enter. Así te devolverá el triple del número. o 4 En la celda C4 ingresa una fórmula en términos de las otras que ya hiciste, en este caso, =C2+5.

Al aceptar, te devolverá el doble del número aumentado en 5 unidades. o 5 Realiza un proceso similar para obtener los otros cálculos, anotando en cada celda: En C5: =C3 – 3 A2 4 (A2 + 100) En C7: = 5 En C6: =

En C8: =(C3+10) – C2 Así se obtiene:

De esta manera, si ingresas otro número en A2, automáticamente arrojará el valor correspondiente a cada uno de los cálculos. o 6 Luego, agrega a la tabla las siguientes expresiones en lenguaje común y programa la celda asociada para que te entregue el resultado correspondiente: • El triple de x disminuido en su cuarta parte.

• El doble del número aumentado en 10 unidades.

• La suma entre x y 100.

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Ecuaciones con adición y sustracción Pablo se quiere comprar una bicicleta que cuesta $ 39 000.

Si ya tiene ahorrados $ 18 000, ¿cuánto dinero le falta?

A

yuda PARA DISCUTIR

En una ecuación puedes relacionar las operaciones con las palabras que se indican en cada caso.

• Adición sumar aumentar más • Sustracción diferencia menos disminuir • Multiplicación veces doble triple • División entre cociente mitad tercera parte

• ¿A qué le asignarías la x en este problema?

• ¿Cómo plantearías la ecuación correspondiente?

• ¿Qué operaciones usarías para resolverla?, ¿por qué?

Para resolver, recuerda que para que se mantenga la igualdad, se debe realizar la misma operación a ambos lados de la ecuación.

Además, podemos utilizar las propiedades de la adición.

Por ejemplo, en este caso, para encontrar el valor de x debemos restar 57 000. Observa: 98 000 = x + 57 000 98 000 – 57 000 = x + 57 000 – 57 000 41 000 = x + 0 41 000 = x Por lo tanto, a Pablo le faltan $ 41 000.

NO OLVIDES QUE...

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita es encontrar el valor de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Una forma de resolver ecuaciones que involucran adición y sustracción es despejar la incógnita y aplicar las propiedades de los números para encontrar su valor. Por ejemplo: x – 15 x – 15 + 15 x+0 x 126 Unidad 5

= 50 = 50 + 15 = 65 = 65

/ + 15

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Unidad 5

EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g)

x + 120 = 254 128 + y = 213 – 57 82 – x = 22 + 38 140 + 216 = z – 88 415 – z + 25 = 248 32 – z = 24 – 5 123 – 108 = 4 + v

h) 63 + x = 63 + 27 i) 82 + x – 48 = 52 j) 45 – 16 = x + 21 k) 24 + y = 80 – 24 l) 17 + u = 81 + 6 – 29 m) x – 5 – 18 = 0 n) 26 + 5 = z – 31

• Compara el procedimiento que utilizaste con el de tus compañeros y compañeras. ¿Hay alguno que consideres más simple?, ¿por qué?

2. Plantea una ecuación para cada situación, luego resuélvelas y comprueba tus resultados, sustituyendo en cada ecuación el valor obtenido. a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

Si a un número le quito 48 se obtiene 25. ¿Cuál es el número?

La suma de dos números es 120. Si uno de ellos es 96, ¿cuál es el otro número?

La suma de un número y 35, es igual a la diferencia entre 535 y 430. ¿Cuál es el número?

Si Jorge pagó con $ 1 000 dos kilogramos de manzanas y recibió de vuelto $ 260, ¿cuánto cuesta cada kilogramo de naranjas?

En un canasto hay 51 manzanas distribuidas en tres bolsas. La primera tiene 9 manzanas menos que la tercera y la segunda tiene 6 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas tiene cada bolsa?

Ximena compró un cuaderno en $ 820 y ocho lápices iguales. En total pagó $ 1 500. ¿Cuál es el precio de cada lápiz?

Un número excede en 15 a otro número. Si la suma de ellos es 55, ¿cuáles son los números?

De una cuerda de 20 m de longitud se cortan seis trozos iguales y sobran 2 m. ¿Cuál es la longitud de cada trozo de cuerda que se cortó?

Nicolás quiere comprar un libro que vale $ 7 600. Si tiene $ 5 800, ¿cuánto dinero le falta?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todos plantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener el mismo resultado? Comenta.

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Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones Valentina compró cuatro helados para compartir con sus primos.

Además, llevó un paquete de galletas para la once por $ 470.

Llevaba $ 2 000 y recibió $ 200 de vuelto.

PARA DISCUTIR • ¿Cuánto costaba cada helado?

• ¿Como escribirías la ecuación correspondiente?

• ¿Qué operaciones usarías para resolverla?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE...

Para resolver las ecuaciones en las cuales existen multiplicaciones y adiciones, debes aislar el producto en que aparece la incógnita y luego despejarla aplicando las propiedades de los números que ya conoces. Por ejemplo: 4x + 16 = 80 4x + 16 – 16 = 80 – 16 4x = 64 4x : 4 = 64 : 4 x = 16

/ – 16 /:4

EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g)

12x + 24 = 120 7x – 14 = 490 30x – 90 = 150 145 – 20x = 65 63 – 4x = 19 5x – 38 = 72 13x – 51 = 104

128 Unidad 5

h) 22x – 65 = 45 i) 3x – 12 = 36 j) 52 – 12 = 4x k) 3x – 108 = 201 l) 25x + 109 = 509 m) 4x + 35 = 95 n) 4 + 5x = 194

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Unidad 5 2. Plantea una ecuación para cada situación, luego resuélvelas y comprueba tus resultados, sustituyendo en cada ecuación el valor obtenido. a) b) c) d) e) f)

g) h) i)

El triple de un número disminuido en diez es igual al doble del número aumentado en dos.

Si al triple del número le quitamos cuatro nos da el número aumentado en 8.

Si al triple de un número le sumo 18, obtengo 90. ¿Cuál es el número?

Si al quíntuplo de un número le resto ese número, se obtiene 104. ¿Cuál es el número?

En un bolsillo Julieta tiene una cantidad de dinero y en el otro tiene el triple. Si en total tiene $ 1 000, ¿cuánto dinero tiene en cada bolsillo?

En el bolsillo izquierdo de su pantalón Gonzalo tiene cierta cantidad de dinero. Si en el bolsillo derecho tiene el triple de dinero y en total tiene $ 2 400, ¿cuánto dinero tiene en cada bolsillo?

Javiera compró el doble de la cantidad de chocolates en dulces. Si la cantidad total suma 36, ¿cuántos dulces y chocolates compró?

La edad de Mariana es el triple de la edad de su hijo Pablo. Si la suma de las edades es 48, ¿cuáles son las edades de Mariana y Pablo?

Ignacia junta monedas de $ 5 y su hermano Felipe de $ 10. Si el doble de las monedas que tiene Ignacia menos 25 es igual a 65 monedas y Felipe tiene 14 monedas más que Ignacia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todos plantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener el mismo resultado? Comenta.

EN EQUIPO En esta actividad practicarán el cálculo mental y utilizarán las ecuaciones para demostrar una regularidad. Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones.

1. Por turnos, uno lee la secuencia de instrucciones para que el otro integrante los realice y anote el número que obtuvo.

1° Piensa un número.

2° Súmale 2.

3° Multiplica esta suma por 2.

4° Suma 3.

5° Resta el número que pensaste.

6° Suma 5.

7° Resta el número que pensaste. ¿Qué número obtuviste?

2. Comparen los resultados obtenidos y repitan la actividad, pensando en distintos números. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

3. Utilizando ecuaciones, verifiquen que siempre se obtiene este resultado.

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Ecuaciones con incógnitas a ambos lados Valentina le pregunta a Joaquín su edad. Observa lo que Joaquín le responde: La mitad de mi edad más el doble de mi edad más seis años es igual al triple de mi edad.

PARA DISCUTIR • ¿Qué edad crees que tiene Joaquín?

• Si asignas x a la edad de Joaquín, ¿cómo puedes escribir la ecuación correspondiente a este desafío?

• ¿Cómo podrías resolver la ecuación? Explícalo, paso a paso.

• ¿Cuántos años tiene Joaquín? Comprueba si tu respuesta está correcta, revisando el desafío de Joaquín.

La ecuación correspondiente al desafío de Joaquín es: 1 x + 2x + 6 = 3x 2

/–

1 x 2

1 x / – 2x 2 1 6 = 3x – x – 2x 2 1 6= x /•2 2

2x + 6 = 3x –

pero como 3 –

1 1 –2= 2 2

12 = x

NO OLVIDES QUE...

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita que tienen incógnitas a ambos lados de la igualdad, se agrupan a un lado los términos con incógnitas y al otro, los números. Luego, se aplican las operaciones necesarias y propiedades de los números para obtener el valor de la incógnita.

130 Unidad 5

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Unidad 5

EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

2x – 11 = x – 3 6y + 1 = 3y + 28 2y – 41 = 4 – 3y 3x – 84 = x 3z – 28 = 8 + z 8z + 78 = 12z – 2 2x – 10 = 4x – 36 15 + 3u – 20 = 35 – 2u 10x – 28 – 4x = 2x + 12 17y – 63 = 5y + 135 9v – 96 = 5v + 4

l) z – 62 + 30z = 18 + 15z m) 37u – 4 = 8u + 25 n) x + 5x – 15 = x + 235 ñ) y – 12 + 44y = 18 – 15y o) 3z – 12 = 8 –7z p) u – 120 + 8u = 3u q) 8v – 3 = v + 12 + 2v r) 35v + 5 = 21v + 33 s) x – 15 + 3x = 2x + 25 t) 2x + 18 = 15 + x + 3 u) 9x + 5 + 3x = 203 + x

• Compara el procedimiento que utilizaste con el de tus compañeros y compañeras. ¿Hay alguno que consideres más simple?, ¿por qué?

2. Plantea una ecuación para cada situación, luego resuélvelas y comprueba tus resultados, sustituyendo en cada ecuación el valor obtenido. a) El área de un terreno rectangular es 240 m. Si el ancho del terreno mide 12 m, ¿cuántos metros mide el largo? ¿Cuál es el perímetro del terreno? b) Las edades de Francisca y Javiera suman 44 años. Si Francisca es mayor que Javiera por cuatro años, ¿cuál es la edad de Javiera? c) Carolina comió un tercio más de chocolates de los que comió Andrea. Si Andrea se comió 27 chocolates, ¿cuántos chocolates se comió Carolina? d) El ancho de un rectángulo mide la tercera parte que su largo. Si su perímetro mide 64 cm, ¿cuál es su área? e) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Si un ángulo mide a y el otro es el doble de a y el otro es el triple de a, ¿cuánto mide el ángulo más grande?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todos plantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener el mismo resultado? Comenta.

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Estudio de las soluciones Cristián tiene 32 años y su hijo Diego, 6 años. ¿Al cabo de cuántos años Cristián será 3 veces mayor que Diego?

PARA DISCUTIR • ¿A qué variable le asignarías la incógnita x?

• ¿Como se representa la edad de Cristián en el futuro?, ¿y la del hijo?

• Si en ese momento Cristián será 3 veces mayor que Diego, ¿cómo se plantea la ecuación?

Llamaremos x a la cantidad de años buscada.

Entonces, al cabo de x años Cristián tendrá (32 + x) años y Diego, (5 + x) años. Luego, como Cristián debe tener 10 veces más años que Diego: 32 + x = 3 (6 + x) 32 + x = 18 + 3x 32 + x – x = 18 + 3x – x 32 = 18 + 2x 32 – 18 = 18 + 2x – 18 14 = 2x 14 : 2 = 2x : 2 x=7

/–x / – 18 /:2

Vemos que la solución encontrada es x = 7. ¿Cómo podemos interpretar este resultado?

En este caso, dentro de 7 años la edad de Cristián será 3 veces la edad de Diego.

NO OLVIDES QUE...

Al resolver una ecuación siempre debes verificar si la solución obtenida es pertinente al contexto del problema.

EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes situaciones y verifica si el resultado obtenido es pertinente al contexto del problema. a) A una reunión asistieron 42 personas. Si el número de mujeres es el doble que el de hombres y el número de niños es el triple que el número de hombres, ¿cuántas mujeres, hombres y niños hay?

132 Unidad 5

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Unidad 5 b) Un sexto básico de 40 alumnos quiere ir al cine. Si la entrada cuesta $ 1 700 y solo disponen de $ 48 000, ¿para cuántas entradas les alcanza?, ¿cuánto dinero les falta para que todos vayan al cine? c) En un rectángulo, la medida del ancho disminuido en 5 cm es igual a la mitad del largo disminuido en 3 cm. Si el largo mide 12 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo? d) El doble de la cantidad de dinero que tiene Felipe disminuida en $ 1 500 es igual a la misma cantidad de dinero aumentada en $ 1 000. ¿Cuánto dinero tiene Felipe? e) En dos salas de reunión se encuentran en total 74 personas. De la primera sala, salen 11 personas que entran a la segunda. Ahora en la segunda sala hay dos personas más que en la primera. ¿Cuántas personas había al principio en cada sala? f) La suma de un número y su doble es 18. ¿Cuál es el número?

MI PROGRESO 1. El doble de un número disminuido en 4, se puede representar como: A. 2x + 4

B. 2x – 4

C. 2(x + 4)

D. 2(x – 4)

2. Se tiene la ecuación: 3x + 6 = 15. Entonces el valor de x es: A. 3

B. 9

C. 11

D. 27

3. Felipe tiene las siguientes notas: 3; 4; 5; 4; 6 y 6. Si le falta una última prueba y quiere obtener un 6 como promedio de notas, ¿qué nota debe obtener en la última prueba? a) ¿Qué ecuación plantearías para resolver el problema? b) Resuélvela. ¿Qué resultado obtienes?, ¿tiene sentido en el contexto del problema?, ¿por qué? c) Si obtiene un 7 en la última prueba, ¿qué promedio obtendría?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio

Preguntas

Escribir una expresión algebraica que represente un enunciado.

1

Resolver una ecuación lineal con una incógnita.

2

Resolver un problema, utilizando ecuaciones y evaluar la pertinencia de la solución.

3

Respuestas correctas

u nt e de on p res

o ern d a cu

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

El largo de un rectángulo mide el triple de su ancho. Si su perímetro es 24 cm, ¿cuál es su área?

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

En un rectángulo el largo mide el triple de su ancho.

Además, el perímetro del rectángulo mide 24 cm.

La fórmula del perímetro de un rectángulo es P = 2 • a + 2 • b.

• ¿Qué debes encontrar?

El área del rectángulo.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema?

Primero se debe decidir a qué valor asignar la incógnita. Luego expresar los demás valores en base a sus relaciones numéricas con la incógnita. Y finalmente plantear la ecuación utilizando los datos planteados en el enunciado.

En este caso, la incógnita se puede asignar a la medida del ancho del rectángulo o a la medida de su largo.

Ancho del rectángulo

Largo del rectángulo

x

3x

x 3

x

Resolver • Usando la incógnita asignada al ancho del rectángulo, la ecuación es: 2 • 3x + 2 • x = 24 6x + 2x = 24 8x = 24 x=3

/:8

• Remplazando en la expresión para la medida del largo: 3 • 3 = 9 • Finalmente, 3 • 9 = 27

Responder • El ancho del rectángulo mide 3 cm.

• El largo del rectángulo mide 9 cm.

• El área del rectángulo es 27 cm2.

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Unidad 5

Revisar • Verifiquemos que cumple la condición inicial del problema, esto es, que su perímetro mida 24 cm.

2 • 3 + 2 • 9 = 6 + 18 = 24

1. Aplicando la estrategia aprendida, resuelve los siguientes problemas. a) Se tiene un cuadrado de lado x cm. Si uno de sus lados aumenta en seis unidades y la medida del otro lado se mantiene, ¿cuál es el valor de x que permite que el ancho del rectángulo formado mida la cuarta parte de su largo? b) Las medidas de dos ángulos suman 270°. Si el mayor excede en 80° al menor, ¿cuáles son las medidas de los ángulos? c) La diferencia entre dos números es 8. Si el mayor es el doble del menor. ¿Cuáles son los números? d) Dos números consecutivos suman 165. ¿Cuáles son los números?

1 e) La suma de las edades de Gabriel y Sergio es 42 años. Si la edad de Gabriel es de la edad 2 de Sergio, ¿que edad tienen?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.

Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con un compañero o compañera.

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedicmiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de miel. Si en total hay 48 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor? b) Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada día comió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas galletas comió el primer día? c) La suma de tres números consecutivos es 75. ¿Cuáles son los números? d) La señora Juanita está a cargo de 9 animales, entre gatos y perros. Debe darles vitaminas todos los días: 2 tabletas a cada gato y 3 a cada perro. Si reparte en total 21 tabletas de vitaminas y tiene el doble de gatos que de perros, ¿cuántos gatos y cuántos perros tiene a cargo la señora Juanita? e) Una araña tiene 8 patas. Un matapiojo tiene 6 patas y 2 pares de alas. Una chicharra tiene 6 patas y un par de alas. Ahora tenemos un total de 9 insectos en una caja, de tres clases distintas. Hay en total 60 patas y 10 pares de alas. ¿Cuántos insectos hay de cada clase?

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CONEXIONES TECNOLOGÍA En el margen de su copia de la Aritmética de Diofanto, Fermat había anotado:“No es posible escribir un cubo como suma de dos cubos o una cuarta potencia como suma de dos cuartas potencias, y en general, no es posible que un número que es una potencia mayor de dos se escriba como suma de dos potencias del mismo tipo. Tengo una demostración realmente extraordinaria de este hecho pero los márgenes del libro son demasiado estrechos para contenerla”.

La demostración de este resultado, conocido como el último teorema de Fermat, a

manos de Andrew Wiles, completada en 1994, fue uno de los logros matemáticos más prominentes de finales del siglo pasado. No todos los días se resuelve un problema que ha estado abierto por más de 350 años.

Fuente: http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=387&Itemid=165

Formen grupos de tres integrantes y desarrollen las siguientes actividades 1. Escriban, usando lenguaje algebraico, las expresiones que Fermat anotó en el margen de su libro.

2. En el caso de usar la segunda potencia, ¿a qué expresión corresponde?

3. Consideren la siguiente expresión: “Todo número positivo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados” a) Escriban una expresión algebraica que la represente. b) Encuentren números naturales que satisfagan esta igualdad.

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes. rno ade u c n tu Cumplí con las tareas que se comprometió. de e n o resp Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

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Unidad 5

SÍNTESIS

A continuación se presenta algunos términos importantes que trabajaste en esta unidad. Construye, en tu cuaderno, un mapa conceptual con ellos. No olvides escribir las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos y agrégale otros términos que consideres importantes.

Ecuaciones de primer grado

Igualdad

Soluciones

Incógnita

Propiedades de los números

Operaciones

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el mapa conceptual que construiste, responde en tu cuaderno.

1. ¿Qué herramienta nos permite expresar matemáticamente enunciados verbales?

2. ¿Es lo mismo una igualdad que una ecuación?

3. ¿Cómo se resuelve una ecuación? Da un ejemplo, explicando, paso a paso.

4. ¿Cómo puedes comprobar que la solución encontrada mediante una ecuación es correcta?

5. ¿Siempre las soluciones obtenidas mediante una ecuación son pertinentes al problema correspondiente? Fundamenta.

6. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado?

7. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras y aclara tus dudas.

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¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a 8.

1. El valor de x en la ecuación 2 · 10 = 12 + 2x es: A. B. C. D.

1 4 8 16

2. Al resolver la ecuación 2 + 4(x – 13) = 2x + 8 se obtiene el valor de x: 9 12 23 B. 2 C. 29 D. 31 A.

3. La frase “Un número aumentado en quince es igual al doble del número disminuido en 2” se puede expresar como: A. B. C. D.

x – 15 = 2x + 2 x + 15 = 2x + 2 x + 15 = 2x – 2 2x + 15 = x – 2

4. La medida del largo de un rectángulo es el doble de la medida de su ancho. Si su perímetro es 120 cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?

A. B. C. D.

10 cm 20 cm 40 cm 60 cm

138 Unidad 5

5. Si a representa la edad de Pedro, la edad de él hace 5 años era: A. a + 5 B. a – 5 C. 5a a D. 5 6. Se tiene la ecuación 4y + 7 = 19. Entonces el valor de 2y + 1 es: A. B. C. D.

9 7 14 11

7. Si el valor de la expresión a + 2b –12 es igual a 8 cuando a = 4, entonces el valor de b es: A. B. C. D.

4 8 12 24

8. Un cuaderno cuesta $ 690 y una caja de lápices $ 1 100. ¿Cuánto cuestan 8 cuadernos y 2 cajas de lápices?

A. B. C. D.

$ 5 520 $ 8 800 $ 7 720 $ 10 180

UNIDAD 5 (119-139)

10/30/08

10:43 PM

Page 139

Unidad 5

9. La longitud de una cuerda más 3 metros es igual al doble de la longitud de la cuerda disminuida en 2 metros. a) Plantea la ecuación que permite resolver el problema. b) Resuelve la ecuación. ¿Cuál es la solución obtenida?, ¿es pertinente al problema?

10. Andrés tiene una deuda de $ 105 000. ¿Cuánto debe pagar para que su deuda se reduzca a la tercera parte?

11. Al preguntarle a Claudia por su edad, responde: “Si al doble de mi edad le quito 6 años obtengo lo que me falta para tener 90 años”. ¿Qué edad tiene Claudia?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ?

1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lenguaje algebraico Igualdades y ecuaciones Ecuaciones con adición y sustracción Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones Ecuaciones con incógnita a ambos lados

o ern d ua uc t n ee d n po res

Estudio de soluciones Resolución de problemas 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 118 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Ecuaciones 139

UNIDAD 6 (140-167)

10/30/08

10:03 PM

Page 140

UNIDAD

6

Datos y azar

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

• Conocer los conceptos de población, muestra y variable.

• Leer y analizar información contenida en una tabla.

• Obtener frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

• Calcular e interpretar medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

• Obtener información a partir de un conjunto de datos.

140 Unidad 6

UNIDAD 6 (140-167)

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10:03 PM

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CONVERSEMOS DE...

Gracias a los avances científicos y tecnológicos de los últimos tiempos, la esperanza de vida de las personas ha aumentado considerablemente. En 1920, a una chilena de 60 años le restaba por vivir, en promedio, 13 años y, a un chileno, 12. Al empezar el siglo XXI, una mujer a esa edad viviría, aproximadamente 23 años más y un hombre, 19.

1. ¿Cómo se obtienen estos datos?

2. ¿Qué significado tienen?

3. ¿Qué implicancias tienen en nuestra vida estos valores?

Datos y azar 141

UNIDAD 6 (140-167)

10/30/08

10:03 PM

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. Simplifica las siguientes fracciones de modo que la fracción sea irreducible. a)

25 70

d)

57 114

g)

24 75

b)

11 88

e)

85 102

h)

90 99

c)

16 68

f)

32 128

2. Determina a qué porcentaje corresponden las siguientes fracciones. a)

2 10

d)

15 60

g)

18 27

b)

3 5

e)

16 48

h)

15 75

c)

6 12

f)

5 8

3. Determina a qué fracción corresponden los siguientes porcentajes. a) 30% b) 45% c) 75%

d) 84% e) 16% f) 50%

g) 4% h) 90%

4. Ordena los siguientes números de menor a mayor. a) b) c) d)

54, 49, 47, 55, 49, 50, 37, 63, 53, 52, 49, 51, 54, 55.

5,2; 6,1; 3,3; 4,2; 3,3; 1,6; 4,0; 4,9; 2,0; 4,2; 6,9; 3,8.

146, 137, 162, 175, 166, 142, 163, 171, 144, 150, 165.

202, 190, 210, 213, 241, 189, 198, 197, 200, 205, 219.

5. ¿Cuál de estos eventos es seguro? Justifica en cada caso. a) Que una persona que juega ajedrez gane. b) Que al lanzar una moneda, dé como resultado sello. c) Que de una caja con fichas rojas se saque una ficha roja.

142 Unidad 6

UNIDAD 6 (140-167)

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6. Se tiene una bolsa con 3 pelotitas amarillas, 2 pelotitas azules y 3 pelotitas rojas. Dada esta situación, escribe: a) un evento probable. b) un evento que tenga igual posibilidad de ocurrir. c) un evento imposible.

7. Al lanzar un dado, ¿es más probable que salga un número par o que salga 3?, ¿por qué?

8. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa discreta y una cuantitativa continua? Explica y escribe un ejemplo de cada una.

9. Al lanzar un moneda, ¿es más probable que salga cara o que salga sello?, ¿por qué?

10. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una cualitativa?

Explica y escribe un ejemplo de cada una.

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue tu error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Para calcular el porcentaje correspondiente a una fracción dada, se resuelve la proporción: a x = b 100 • Para calcular la fracción correspondiente a un porcentaje dado, se escribe el porcentaje como una fracción, escribiendo en el numerador el número del porcentaje y en el denominador el número 100. Cuando es posible, se simplifica la fracción.

Por ejemplo: 20% se escribe como la fracción 20 y puede simplificarse por 20, 100 1 1 obteniendo , luego, 20% corresponde a .

5 5

Ecuaciones 143

UNIDAD 6 (140-167)

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10:03 PM

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Población, muestras y variables Matilde y Benjamín preparaban una disertación sobre el cuidado de los animales y para ello, decidieron realizar una encuesta a los 1 500 alumnos del colegio, preguntando: ¿Tienes una mascota?

Pero, aunque demoraran solo un minuto por cada alumno, se dieron cuenta que sería una tarea lenta y compleja.

PARA DISCUTIR • Si efectivamente demoraran un minuto, en promedio, en realizar la pregunta a cada alumno del colegio, ¿cuánto tiempo demorarían en completar la encuesta?

• Si destinaran una hora al día en realizar la encuesta, ¿la terminarían antes de una semana?

• Si decidieron utilizar una hora al día durante tres días, ¿a cuántos alumnos alcanzaron a encuestar?

• El porcentaje de alumnos que contestó afirmativamente la encuesta, ¿es similar al porcentaje de los 1 500 alumnos del colegio que efectivamente tiene una mascota?, ¿por qué?

• Si solo aplicaran la encuesta a los alumnos de primero y segundo básico, ¿crees que los porcentajes descritos se parezcan?

En esta encuesta, la población de estudio son todos los alumnos del colegio, sin embargo, se decidió tomar una muestra, de menor tamaño, para facilitar el trabajo.

El objetivo era averiguar si los alumnos tenían mascota, esto es lo que conocemos como variable estadística.

144 Unidad 6

UNIDAD 6 (140-167)

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Unidad 6

NO OLVIDES QUE...

• Población: es el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al menos una característica en común.

• Muestra: es una parte o subconjunto de la población. Dicha parte debe ser representativa de la población, lo que significa que la muestra debe proporcionar información que permita obtener conclusiones válidas para toda la población que es objeto de estudio.

• Encuesta: es un instrumento que puede contener una o más preguntas para recoger información sobre un tema de interés.

• Variable(s) estadística(s): es(son) la(s) característica(s) de interés sobre cada individuo elemental de una población o muestra. Las variables pueden ser: • cuantitativas o numéricas: es un número que representa cantidades o medidas.

Toma valores numéricos. Ejemplo: edad de tus compañeros y compañeras.

• cualitativas o de atributos: clasifica a los individuos en diferentes categorías que se distinguen por características no cuantificables. Ejemplo: ciudad natal de tus compañeros y compañeras.

• Dato(s): es el valor de una variable. Ya sea cuantitativo o cualitativo.

EN TU CUADERNO 1. Identifica la población y la variable estadística de estudio en cada caso. Clasifica las variables en cualitativas o cuantitativas, según corresponda. a) Se está interesado en saber cuántos adolescentes entre 15 y 18 años ingieren alcohol durante los fines de semana. b) En el colegio de Felipe se desea averiguar la cantidad de hermanos que tiene cada estudiante. c) Se desea investigar sobre la cantidad de hogares del país que han sido víctimas de un asalto.

2. Lee y luego responde.

Andrea necesita averiguar la cantidad de horas semanales que los alumnos de su colegio destinan a hacer deportes. Para ello debe definir la población, muestra y tipo de variable a estudiar. Si tuvieras que realizar la misma investigación que Andrea: a) ¿Cuál sería la población? b) ¿Qué muestra escogerías?, ¿por qué? c) ¿Cuál sería la variable de estudio? ¿Qué tipo de variable es? Explica tu decisión.

Datos y azar 145

UNIDAD 6 (140-167)

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Medidas de tendencia central: media aritmética Observa las siguientes tablas que muestra las notas de Paula y Javier en algunos sectores.

Notas de Paula

Notas de Javier

Sector

Nota

Sector

Nota

Lenguaje y Comunicación

6,5

Lenguaje y Comunicación

5,5

Matemática

5,8

Matemática

6,7

Ciencias Naturales

6,0

Ciencias Naturales

6,5

Inglés

6,7

Inglés

6,0

Ciencias Sociales

5,5

Ciencias Sociales

5,8

PARA DISCUTIR • ¿Es correcto decir que Javier tiene mejor promedio que Paula?, ¿por qué?

• ¿Qué promedio tiene cada estudiante?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Qué promedio tienes tú?

Una forma de calcular el promedio o media aritmética es sumar la cantidad de notas y dividirlo por el número total de sectores, en ambos casos del ejemplo resulta 6,1.

Es importante notar que, muchas veces, la media aritmética no corresponde a ningún valor observado o posible de la variable.

En el ejemplo, ninguna de las notas es 6,1.

Lo importante es interpretar correctamente estas cantidades de acuerdo al contexto.

Las medidas que describen un valor central (valor típico) que representa un grupo de observaciones, se denominan medidas de tendencia central. Las medidas de tendencia central dan una idea de un número alrededor del cual tiende a concentrarse todo un conjunto de datos, es decir, un valor central.

Las medidas de tendencia central son: media aritmética, mediana y moda.

Es importante tener presente que estas medidas se aplican a grupos y no a individuos.

146 Unidad 6

UNIDAD 6 (140-167)

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Unidad 6

EN TU CUADERNO 1. David necesita tener un promedio mínimo de 6,0 en Matemática para eximirse del examen final.

Aún le falta por rendir una prueba y sus notas hasta el momento son: 5,3; 5,6 y 6,5. a) ¿Qué promedio tiene David hasta ahora? b) ¿Cuál es la nota más baja que David puede sacarse en la última prueba para eximirse del examen? c) Si la nota máxima y mínima que puede obtener en la prueba es 7,0 y 1,0, respectivamente, ¿cuál es el promedio más alto y más bajo que podría obtener David?

2. Observa la siguiente tabla y resuelve. a) ¿Cuál es la altura promedio de este grupo de niños? b) ¿Cuál es la media aritmética de su masa?

Nombres

Altura en cm

Masa en kg

Florencia

130

36

Diego

140

40

Martín

125

33

Josefina

120

35

Patricia

135

37

Felipe

130

35

3. El mundo se divide en 5 continentes, que a su vez se distribuyen políticamente en países, cuya distribución por continente se muestra en la siguiente tabla. a) ¿Cuál es la cantidad promedio o media aritmética de países por continente?, ¿cómo lo calculaste? Explícalo, paso a paso. b) El valor obtenido, ¿cómo se interpreta en el contexto del problema?, ¿es correcto?

Distribución de países por continente Continente

Cantidad de países

África

54

América

36

Asia

43

Europa

49

Oceanía

16

4. Calcula el promedio entre las siguientes edades de un grupo de personas. Luego comenta en tu curso y responde.

23 21 18 19 20 23 21 • ¿Qué sucede con el promedio si nos equivocamos en registrar la información y en vez de 19 anotamos 79?

• ¿Por qué creen que sucede esto?

Datos y azar 147

UNIDAD 6 (140-167)

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Mediana y moda La siguiente tabla contiene información de los campeonatos mundiales de fútbol que se han disputado desde el año 1962.

Año

Sede

País ganador

Cantidad juegos

Cantidad goles

1962

Chile

Brasil

32

89

1966

Inglaterra

Inglaterra

32

89

1970

México

Brasil

32

95

1974

Alemania

Alemania

38

97

1978

Argentina

Argentina

38

102

1982

España

Italia

52

146

1986

México

Argentina

52

132

1990

Italia

Alemania

52

115

1994

EE UU

Brasil

52

141

1998

Francia

Francia

64

171

2002

Corea-Japón

Brasil

64

161

2006

Alemania

Italia

64

147

PARA DISCUTIR • Si se ordenan todos los campeonatos mundiales de fútbol, pero considerando ahora el número de goles que hubo en cada uno, de menor a mayor, ¿qué cantidad de goles es la primera?, ¿y la última?, ¿qué cantidad queda justo al medio?

• ¿Cuál es el número de juegos que más se repite en los campeonatos mundiales presentados?

Para calcular la mediana de un conjunto de datos, debemos seguir estos pasos: 1º Ordenar los datos de manera decreciente (mayor a menor) o creciente (menor a mayor). En este ejemplo, lo haremos en orden creciente: 89-89-95-97-102-115-132-141-146-147-161-171 2º Encontrar el valor central de los datos ordenados, es decir, el valor que se encuentra en la mitad de la lista de datos. Si el número de datos es par, se promedian los dos valores centrales.

En este ejemplo, los valores centrales son 115 y 132. Por lo tanto: 115 + 132 = 123,5 2 Luego, la mediana del conjunto de datos es 123,5.

148 Unidad 6

UNIDAD 6 (140-167)

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Unidad 6 Para calcular la moda de un conjunto de datos, debemos seguir estos pasos: 1º Ordenar los datos en una tabla, para realizar un recuento de cuántas veces aparece cada valor en el conjunto de datos.

En este ejemplo, dicha tabla es: Número de juegos

32

38

52

64

Cantidad de mundiales (frecuencia absoluta)

3

2

4

3

2º Encontrar el mayor valor de frecuencia absoluta, y observar a qué dato corresponde.

En este ejemplo, corresponde a 52. Es decir, la moda del número de juegos jugados en el campeonato mundial de fútbol es 52.

NO OLVIDES QUE...

• La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es justo el valor del centro. En el caso de tener una cantidad par de datos, se debe calcular el promedio entre los dos valores centrales.

• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

EN TU CUADERNO 1. Los siguientes datos representan el número de accidentes en una intersección peligrosa de una ciudad, durante los últimos 6 meses del año.

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

8

19

7

5

2

7

a) Calcula la mediana del número de accidentes en esa intersección peligrosa. b) ¿Qué sucede con la mediana de este conjunto de datos si en vez de 19 accidentes en agosto, hubo 50 accidentes?, ¿por qué ocurre esto?

2. Calcula la moda de los siguientes datos. a) 4, 14, 16, 18, 16, 15, 12, 14, 14, 16, 18, 20, 16, 16 b) 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8

Datos y azar 149

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Una planilla de cálculo te puede facilitar tu trabajo con datos.

Esta planilla nos permite hacer cálculos solo ingresando los datos y utilizando algunos comandos especiales. Sigue las instrucciones: 1o Escribe en A1: “Nombres”, luego en B1: “Edad”, en C1: “Estatura”, en D1: “Peso”. Además, escribe en A12: “Media aritmética”, luego en A13: “Mediana” y en A14: “Moda”. Puedes remarcar los casilleros de la tabla, utilizando la herramienta: 2o Ingresa los datos correspondientes a 9 compañeros y compañeras de curso y a ti en los casilleros respectivos.

3o Para calcular el promedio (o media aritmética) de edad escribe en la celda B12 la siguiente fórmula: =PROMEDIO(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C12: =PROMEDIO(C2:C11). Y para el peso, ingresa en D12: =PROMEDIO(D2:D11).

4o De igual manera, para calcular la mediana, escribe en la celda B13 la siguiente fórmula: =MEDIANA(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C13: =MEDIANA(C2:C11). Y para el peso, ingresa en D13: =MEDIANA(D2:D11).

5o Finalmente, para calcular la moda, escribe en la celda B14 la siguiente fórmula: =MODA(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C14: =MODA(C2:C11). Y para el peso, ingresa en D14: =MODA(D2:D11).

150 Unidad 6

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Unidad 6

MI PROGRESO 1. Una variable estadística es: A. B. C. D.

Una parte representativa de la población.

El grupo de individuos a observar.

Un atributo que interesa cuantificar.

Categorías para agrupar los datos.

2. ¿Cuál de las siguientes variables es cualitativa?

A. Número de hermanos.

B. Mes del año.

3. Observa los datos obtenidos sobre el color del pelo de los alumnos y alumnas de un curso y responde. a) b) c) d)

¿Cuál es el tamaño de la muestra? ¿Puedes hallar la media? Justifica. ¿Puedes hallar la mediana?, ¿por qué? ¿Puedes hallar la moda?

C. Peso de una bolsa de arroz.

D. Cloro presente en el agua.

Color de pelo

Frecuencia

Negro

19

Castaño oscuro

9

Castaño claro

8

Colorín

7

Rubio

2

4. Considera los siguientes datos.

6-5-3-5-3-5-3-3-4 a) ¿Cuál es la media aritmética? b) ¿Cuál es la mediana? c) ¿Cuál es la moda?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio

Preguntas

Distinguir una variable estadística

1

Discriminar si una variable es cualitativa

2

Analizar la aplicabilidad de las medidas de tendencia central en un conjunto de datos

3

Calcular medidas de tendencia central a un conjunto de datos

4

Respuestas correctas

no er d a cu u t en e d on p s re

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Datos y azar 151

UNIDAD 6 (140-167)

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Análisis de la información A diario nos encontramos con información entregada a través de los medios de comunicación, como diarios, revistas o televisión. Esta información contiene elementos matemáticos para ser analizados.

Entre las más destacadas informaciones del Anuario de Cultura y Tiempo Libre publicado en enero de 2006 por el INE, está la consolidación del cine, que en una década, de 1994 a 2004, aumentó su concurrencia en 85,8%.

En un 187% se incrementó la asistencia al circo. En contraste, los espectáculos deportivos bajaron su público, manteniéndose la tendencia observada desde el año 1993.

Respecto de los medios de comunicación, se observó un crecimiento de 11,7% en el número de radioemisoras entre 2003 y 2004. La tasa promedio de radioemisoras cada 50 000 habitantes en el país es de 3,5.

Por otra parte, durante 2004 operaron en el país 125 canales de televisión abierta y por cable local o regional. El 66,2% de sus horas de transmisión correspondió a programas hechos en Chile.

PARA DISCUTIR • Con los datos extraídos del artículo anterior, ¿qué información podemos analizar matemáticamente?

• ¿Qué significa el aumento de un 85,8% de la concurrencia al cine?

• ¿Qué significa el incremento de 187% de asistentes al circo?

• ¿Cómo interpretamos la tasa promedio de radioemisoras cada 50.000 habitantes en el país?

La información entregada siempre hay que interpretarla según el contexto en el que está inserta. Así, por ejemplo, en este artículo se puede interpretar que: • Hay un aumento considerable de la asistencia de la población a las salas de cine. Por ejemplo, si en el 94 asistieron 500 personas al cine, el 2004 lo hicieron 929.

• Por otra parte, si el año 2003 asistían 100 personas al circo, el 2004 lo hicieron 287 personas.

La tasa promedio significa que por cada grupo de 50.000 habitantes, tenemos 3,5 radioemisoras en el país. Lo que quiere decir que en promedio, cada 50.000 habitantes, hay entre 3 y 4 radioemisoras (ya que claramente no pueden ser 3,5) y no implica que exactamente cada 50.000 personas haya 3 ó 4 radioemisoras. Es por eso que se usa el término “en promedio”.

152 Unidad 6

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Unidad 6

EN TU CUADERNO Lee cada información y luego responde.

1. “En 1994 el promedio mensual de asistentes al cine fue de 596 472 espectadores. En 2004 esa cifra ascendió a 1 108 480, para un crecimiento en una década equivalente a 85,8%”.

(Fuente: www.ine.cl) a) ¿Qué significa promedio mensual de asistentes al cine? b) ¿En cuánto aumentó el promedio mensual de asistentes al cine desde 1994 a 2004?

2. “En el país, la tasa promedio mensual de asistentes al cine por cada cien habitantes durante 2004 es de 6,9 y supera a la observada en 2003 de 6%”. (Fuente: www.ine.cl) a) ¿Cómo se interpreta el 6,9 y el 6%? b) ¿Ha aumentado o disminuido la asistencia al cine?

3. “En total, la producción editorial en el país durante 2004 fue de 3 151 títulos, cantidad inferior a la de 2003 en 8,1%”. a) Al año 2004, ¿había aumentado o disminuido la producción editorial chilena? b) ¿Cuántos títulos se produjeron el año 2003? ¿Cómo puedes obtener esta información?

4. “El exceso de peso es un problema que afecta cada vez a más niños. Durante la década del 90 la obesidad se quintuplicó en menores de 20 años. Hoy, entre el 15 y 18 por ciento de los preescolares son obesos y una cifra similar sufre de sobrepeso. Es decir: uno de cada tres niños o niñas de esta edad tiene más kilos de los que debiera. La prevalencia de obesidad en escolares entre 6 y 16 años es de cerca del 20%”. a) Si antiguamente había 1 000 000 de niños menores de 20 años obesos, ¿cuántos habría en la década del 90? b) Si tenemos un total de 900 preescolares, ¿cuántos de ellos debieran tener sobrepeso? ¿Significa esto que debemos tener exactamente esta cantidad de niños con sobrepeso? c) ¿Qué significa que la prevalencia sea de un 20%?

Datos y azar 153

UNIDAD 6 (140-167)

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Experimentos aleatorios Diego y Camila están jugando a lanzar al aire una moneda y adivinar qué va a salir. Después de varios intentos, Diego comenta que sale más veces “cara”, pero Camila no le cree, dice que siempre puede salir “cara” o “sello”.

Deciden lanzar al aire la moneda veinte veces. Observa sus resultados.

Lanzamiento

1

2

Cara

x

x

Sello

3

4

5

x x

6

7

x x

x

8

9

x

x

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x x

x

x

x

x

x x

x

x x

Luego, Diego comparó la cantidad de veces que salió cara respecto del total de lanzamientos y obtuvo lo siguiente: Número de veces que salió cara = 12 = 3 Número de lanzamientos 20 5

PARA DISCUTIR • ¿Qué salió más, cara o sello?

3 • ¿Que significado tiene la razón en el contexto de la situación?, 5 ¿a qué porcentaje corresponde esta razón?

• Camila compara la cantidad de veces que salió sello respecto del total de lanzamientos, ¿qué razón obtuvo?

• Si sumas las razones obtenidas, ¿qué valor obtienes?, ¿por qué crees que se obtiene ese valor?

• Si realizaras esta situación, ¿obtendrías estas mismas razones para los resultados de cara y sello?, ¿por qué? Comenta con tus compañeros y compañeras.

• Si la realizaras considerando 50 lanzamientos, ¿obtendrías valores similares?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE...

• En situaciones en que no se puede predecir con certeza un cierto resultado, por ejemplo, que al lanzar una moneda al aire no se puede predecir si saldrá cara o sello, se habla de un experimento aleatorio.

• Pero, al repetir sucesivamente el mismo experimento, se pueden advertir regularidades y estimar la probabilidad de que dicho experimento resulte de una manera u otra.

1 Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire salga cara es .

2 154 Unidad 6

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Unidad 6

EN EQUIPO En esta actividad deberán determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, se obtenga un número u otro. Para un mejor resultado, consideren realizar al menos 120 lanzamientos distintos.

Materiales: • Uno o más dados.

Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones: 1. Cada uno en su cuaderno registre, por ejemplo, 40 lanzamientos del dado: Salió 1: IIIII....

Salió 2: III....

Salió 3: IIIIIII....

Salió 4: IIII....

Salió 5: IIIIIIII....

Salió 6: II....

2. Cuando terminen, cuenten la cantidad correspondiente a cada número del dado y anótenlo.

3. Ahora recopilen todos los datos del grupo en una tabla.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Salió 1

Salió 2

Salió 3

Salió 4

10

7

6

9

Salió 5

Salió 6

10 derno tu cua n e e d respon

8

4. Escriban la razón entre el número de veces que salió cada número y el número total de lanzamientos. ¿Qué pueden concluir?

5. Las razones obtenidas, ¿son similares?, ¿por qué creen que ocurre esto?

6. Si repitieran la actividad, ¿Volverían a obtener las mismas razones para los resultados de cada número?, ¿por qué?

7. En general, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un cierto número al lanzar el dado?

Datos y azar 155

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Frecuencia absoluta En el colegio de Andrea se celebró un bingo familiar para reunir fondos para el paseo de fin de año. Además del bingo, hubo diferentes entretenciones. La más concurrida fue la ruleta de colores. Consistía en un círculo dividido en cuatro partes iguales.

Cada parte estaba pintada de un color distinto: amarillo, azul, verde y rojo.

Andrea lanzaba la ruleta y su amiga Daniela iba anotando en qué color caía cada vez.

Los diez primeros resultados fueron: azul, verde, rojo, rojo, amarillo, verde, azul, verde, azul, azul.

PARA DISCUTIR • Ordena los resultados anotados por Daniela en una tabla de frecuencias.

• ¿En qué color acertó más veces?

• ¿Podrías asegurar que el próximo lanzamiento también acertará al mismo color?

• Considerando estos resultados, ¿qué color sabes que no va a salir?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE...

• Al registrar los resultados de una situación, se llama frecuencia absoluta al número de veces que ocurre un resultado específico.

• La suma de todas las frecuencias absolutas corresponde al total de observaciones.

• Estos resultados se pueden ordenar en una tabla de frecuencias, escribiendo en una columna todos los resultados posibles y en la otra, la frecuencia absoluta correspondiente a cada resultado.

156 Unidad 6

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Unidad 6

EN TU CUADERNO 1. En una encuesta realizada a 25 estudiantes del sexto básico, acerca del número de libros que leen en el año, se obtuvieron los siguientes resultados: 6, 6, 7, 6, 7, 5, 5, 6, 7, 5, 4, 5, 4, 9, 3, 3, 9, 5, 5, 9, 5, 4, 5, 4, 8. a) b) c) d)

¿Cuántos alumnos leen tres libros al año? ¿Cuántos alumnos leen un libro al año? ¿Cuántos alumnos leen nueve libros al año?

Registra los resultados en una tabla de frecuencia absoluta.

2. En una encuesta realizada a 50 matrimonios habitantes de un edificio, acerca del número de hijos que tiene cada uno, se obtuvieron los siguientes datos: 2, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 1, 6, 3, 4, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 7, 4, 2, 3, 0, 5, 1, 4, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 1, 2, 4, 0, 3, 3, 2, 6, 1, 5, 4, 2, 0, 3, 2, 4, 3, 1. a) b) c) d)

¿Cuántos matrimonios tienen dos hijos? ¿Cuántos matrimonios tienen la mayor cantidad de hijos? ¿Cuántos matrimonios no tienen hijos?

Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

3. Durante el mes de enero, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. a) ¿Cuántos días la temperatura máxima fue de 30 ºC? b) ¿Cuántos días la temperatura máxima fue de 28 ºC? c) Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

4. En una encuesta realizada a los alumnos y alumnas del sexto básico, se les preguntó qué edad tenía su madre cuando ellos nacieron, y se obtuvieron los siguientes datos: 23, 21, 34, 26, 17, 22, 23, 42, 36, 19, 15, 24, 32, 30, 34, 32, 28, 16, 19, 21, 27, 23, 28, 29, 31, 33, 29, 21, 17, 24, 20, 25, 30, 25, 29, 33, 15, 27, 31, 20. a) ¿Cuántas madres tenían 20 años cuando nacieron sus hijos? b) ¿Cuántas madres tenían 33 años cuando nacieron sus hijos? c) Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

Datos y azar 157

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Frecuencia relativa Observa la siguiente tabla, en la que Antonia registró la cantidad de aciertos en el Loto que obtuvieron 300 personas.

Aciertos

Cantidad de personas

Ningún número

84

1 número

70

2 números

65

3 números

57

4 números

20

5 números

4

6 números

0

Luego, Antonia comparó la cantidad de personas que acertaron solo dos números respecto del total de personas que apostaron al Loto y obtuvo lo siguiente: Número de personas que acertó dos números 65 13 = = Números de personas 300 60

PARA DISCUTIR • ¿Qué tipo de acierto es el que más ocurre?

13 • ¿Que significado tiene la razón en el contexto de la situación?

60 • Calcula las razones correspondientes en cada caso.

• Si sumas las razones obtenidas, ¿qué valor obtienes?, ¿por qué crees que se obtiene ese valor?

• ¿Crees que al aumentar la cantidad de personas, se mantengan estas proporciones en relación con la cantidad de aciertos obtenidos?

Justifica.

• Si relacionas estos valores con los resultados obtenidos por todas las personas que participan en un sorteo, ¿qué probabilidad tiene una persona de obtener 3 aciertos?, ¿y de ganar el Loto?

158 Unidad 6

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Unidad 6

EN TU CUADERNO 1. Daniel coloca sobre una mesa tres tazas iguales y avisa a Anita que debajo de una de ella hay una moneda. Luego, mezcla las tazas y le pide que adivine debajo de qué taza está la moneda.

Observa el registro de las veces en que Anita sí adivinó.

Adivinó No adivinó

x x

x x

x

x

x x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x

x

a) b) c) d)

Ordena los resultados obtenidos por Anita en una tabla de frecuencias.

Compara el número de veces que Anita adivinó con el número de intentos. ¿Podrías asegurar que la próxima vez va a adivinar?

Considerando estos resultados, ¿cuál es la probabilidad de que Anita adivine donde está la moneda en este juego? e) Eduardo estaba observando el juego con mucha atención, y le dice a Daniel que él puede adivinar dónde está la moneda. Observa el registro de las veces en que Eduardo sí adivinó.

Adivinó No adivinó

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x

x

x x

Ordena los resultados obtenidos por Eduardo en una tabla de frecuencias. f) Compara el número de veces que Eduardo adivinó con el número de intentos. g) ¿Podrías asegurar que la próxima vez va a adivinar? h) Considerando estos resultados, ¿cuál es la probabilidad de que Eduardo adivine donde está la moneda en este juego?

NO OLVIDES QUE...

• La frecuencia relativa de un resultado es la razón entre el número de veces que se obtuvo dicho resultado y el número de veces que se realizó el experimento.

• La frecuencia relativa es un número entre 0 y 1. El 0 indica que el resultado esperado nunca se obtuvo y el 1 indica que dicho resultado se obtuvo siempre.

• La suma de las frecuencias relativas correspondientes a todos los resultados posibles es 1.

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Probabilidad El tío Pedro le enseña a Tomás un tablero de juego para realizar apuestas cuando se lanzan dos dados simultáneamente. El tablero donde se ponen las fichas para apostar está separado en tres partes, a la izquierda se ubican los números menores que siete, al centro el siete, con la frase “Pepito paga doble”, y a la derecha los números mayores que siete.

Se lanzan dos dados simultáneamente, y se suman sus valores • Si el total es un número menor que siete, ganan todos los que apostaron a cualquier número menor que siete.

• Si el total es siete, ganan el doble los que hayan apostado al siete.

• Si el total es un número mayor que siete, ganan todos los que apostaron a cualquier número mayor que siete.

PARA DISCUTIR • ¿Qué crees que conviene más, apostar al siete o a otro número?

• Realiza al menos 30 lanzamientos y anota los resultados obtenidos en una tabla de frecuencias.

• Agrupa los resultados en tres grupos, según si son menores, iguales o mayores que siete.

• ¿Cuál es la probabilidad de ganar, en cada caso?

• ¿Cuál es la frecuencia relativa de cada uno?

• ¿Qué puedes concluir?

NO OLVIDES QUE...

• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama probabilidad.

• La probabilidad de que ocurra un resultado en un experimento aleatorio se puede expresar como un número, entre 0 y 1, al cual las frecuencias relativas se acercan a medida que la cantidad total de repeticiones de un mismo experimento aleatorio aumenta.

160 Unidad 6

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Unidad 6

MI PROGRESO 1. La suma de todas las frecuencias relativas en cualquier tabla es igual a: A. B. C. D.

100 100% El número total de observaciones 1

2. La suma de todas las frecuencias absolutas en cualquier tabla es igual a: A. B. C. D.

100 100% El número total de observaciones 1

3. Se lanza 50 veces un tetraedro con las caras numeradas del 1 al 4, y se obtiene 14 veces el uno, 12 el dos y 16 veces, el tres. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y la de que se obtenga 4? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cada una de las caras?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla: Criterio

Preguntas

Respuestas correctas

Reconocer propiedades de la frecuencia absoluta y relativa

1y2

no ader u c tu e en d n o resp

Calcular la frecuencia absoluta y la probabilidad de un experimento aleatorio

3

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.

• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo puedes aprenderlo de manera más sencilla.

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

El “Anuario de Estadísticas Policiales: Carabineros de Chile, 2004” disponible en www.carabinerosdechile.cl contiene información acerca del número de accidentados en el tránsito según el tipo de accidente. De un total de 48 267 accidentados, algunos de los resultados son: 8 872 atropellos, 24 267 colisiones y 15 128 accidentes de otro tipo.

Dentro del conjunto de accidentados, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a atropellos? ¿Cómo se compara este número con la probabilidad de colisiones?

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

La cantidad de accidentes de tránsito por cada tipo durante el año 2004.

• ¿Qué debes encontrar?

La probabilidad de los accidentes por atropellos y la probabilidad de colisiones.

Luego comparar estos números.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema?

Construir una tabla de frecuencias con la información entregada y calcular las frecuencias relativas de cada tipo de accidente.

Resolver Tipo de accidente

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Número decimal

Atropellos

8 872

8 872 48 267

0,184

Colisiones

24 267

24 267 48 267

0,503

Otros

15 128

15 128 48 267

0,313

Responder • Dentro de los accidentados de tránsito, la probabilidad de que sea un atropello es de 0,184. En cambio, la probabilidad de que sea una colisión es de 0,503, valor que es cerca del triple del anterior.

Revisar • Para comprobar el resultado, suma las probabilidades y revisa que el resultado sea igual a 1.

162 Unidad 6

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Unidad 6

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

1. Un estudio consistió en anotar el número de palabras leídas en 15 segundos por un grupo de 120 sujetos disléxicos y 120 individuos normales. Los resultados se registraron en la siguiente tabla: Número de palabras leídas

Disléxicos

Normales

25 o menos

56

1

26

24

9

27

16

21

28

12

28

29

10

28

30 o más

2

32

Según los datos de la tabla, calcula: • ¿Cuáles son las medias aritméticas de ambos grupos?

• ¿Cuáles son las medianas de ambos grupos?

• ¿Cuál es el porcentaje de sujetos disléxicos que superaron la mediana de los normales?

2. Durante el mes de Julio una compañía telefónica registró los siguientes números de llamadas de cincuenta clientes: 30 – 34 – 12 – 45 – 36 – 60 – 23 – 12 – 43 – 35 – 65 – 45 – 23 – 47 – 26 – 56 – 46 – 27 – 63 – 64 – 34 – 24 – 56 – 45 – 23 – 34 – 56 – 56 – 23 – 18 – 53 – 52 – 43 – 45 – 23 – 43 – 43 – 65 – 43 – 23 – 43 – 12 – 23 – 45 – 54 – 34 – 23 – 32 – 12 – 32 a) ¿Cuál es la mediana, la media aritmética y la moda en esta situación? b) Si los clientes pagan por mes $ 40 fijos cuando la cantidad de llamadas es menor que 51 y tienen un recargo del 5 % total si es igual o mayor que 51, ¿cuánto dinero recaudó la compañía?

Datos y azar 163

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CONEXIONES TECNOLOGÍA En el Plan de Invierno de la CONAMA se establecen las medidas en relación con la restricción vehicular que se aplicarán en la ciudad de Santiago, en el período comprendido entre el 1º de abril y el 31 de agosto de 2008.

• Restricción Vehicular Permanente de cuatro dígitos para vehículos sin sello verde durante el período otoño- invierno, y entre lunes a viernes, exceptuando los fines de semana y feriados.

• Preemergencia Ambiental: Cuando se decrete una situación de preemergencia, la restricción se extenderá a seis dígitos

para vehículos sin sello verde, y se aplicará a dos dígitos para vehículos con convertidor catalítico.

• Emergencia Ambiental: La restricción vehicular para los vehículos sin convertidor se aumenta a ocho dígitos y para aquellos con sello verde sube a cuatro dígitos.

Fuente: http://www.conama.cl/rm/568/article-38412.html#h2_2, (consultado en octubre de 2008)

Formen grupos de tres integrantes, analicen la información y desarrollen las actividades.

1. Averigüen, ¿en qué consiste la restricción vehicular? ¿a qué se refiere la frase “restricción de dos dígitos para vehículos...”?

2. En el período de restricción permanente, ¿cuál es la probabilidad de que un vehículo sin sello verde pueda circular?, ¿y en el caso de un vehículo con convertidor catalítico?

3. ¿Cómo cambian estos valores en episodios de preemergencia ambiental? ¿y en episodios de emergencia ambiental?

4. Comenten, ¿cómo afecta la restricción vehicular a los trabajadores que usan sus vehículos como herramienta de trabajo, como, por ejemplo, a un feriante?

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.

Luego comparen y comenten sus respuestas.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respeté las opiniones de los demás integrantes. rno ade u c n tu Cumplí con las tareas que se comprometió. de e n o resp Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

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Unidad 6

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Tratamiento de la información

Población Cuantitativas Encuesta

Variables Cualitativas

Muestra

Resumen información

Tablas de frecuencia

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Medidas de tendencia central

Media aritmética

Mediana

Moda

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Cuál es la principal diferencia entre población y muestra?

2. ¿De qué tipo pueden ser las variables estadísticas?

3. ¿Qué herramientas para organizar información conoces?

4. ¿Qué medidas de tendencia central existen?

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¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a 7.

Con respecto a esta información responde las preguntas 1 y 2. ¿Cuántos años de escolaridad tienen los chilenos mayores de 18 años? Esta pregunta se le formuló a 2 000 personas.

1. La población de esta situación está dada por: A. B. C. D.

las 2 000 personas encuestadas. todos los escolares del país. todos los chilenos. todos los chilenos mayores de 18 años.

2. La variable estadística de esta investigación es: A. B. C. D.

cualitativa. cuantitativa. atributo. puede ser cualitativa o cuantitativa.

3. En estadística, población se refiere a: A. una parte representativa de los habitantes de una ciudad.

B. un gran conjunto de personas o animales.

C. conjunto de todos los individuos u objetos que tienen una característica que se desea medir.

D. una zona o sector de una ciudad que se quiere estudiar.

4. De las siguientes variables estadísticas, ¿cuál no corresponde a una variable cuantitativa?

A. B. C. D.

Edad de tus compañeros.

Cantidad de hermanos.

Estatura de tus compañeros.

Nombre de tus compañeros.

166 Unidad 6

5. Con respecto a la moda es correcto afirmar que: A. es fuertemente afectada por la presencia de valores extremos en los datos.

B. siempre existe y es única.

C. indica el dato que más se repite o el más frecuente.

D. Todas las alternativas son correctas.

6. Si sabemos que la estatura promedio de un grupo de niños es 153 cm, se puede afirmar: A. el niño más alto de este grupo mide 153 cm.

B. todos los niños miden 153 cm.

C. no existe ningún niño que mida 168 cm.

D. el cociente entre la suma de todas las estaturas y el número total de niños es 153 cm.

7. La cantidad de agua caída (en mm) los últimos 6 meses es: 17; 48; 98; 101; 79 y 65 mm. Con respecto a esta información se puede afirmar que: I. II. III.

A. B. C. D.

el promedio de agua caída los últimos 6 meses es 68 mm. la mediana de agua caída los últimos 6 meses es 72 mm. la moda de la cantidad de agua caída es 101 mm.

Solo I. Solo II. I y II. I, II y III

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Unidad 6

8. Veinte futbolistas están entrenando arduamente. Lanzan 5 tiros penales cada uno.

El número de goles, logrados por ellos, se muestra en la tabla: Número de goles

1

2

3

4

5

Número de jugadores

2

3

5

6

4

Calcule la media aritmética, mediana y moda.

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ?

1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Población, muestras y variables Media aritmética, mediana y moda.

Análisis de la información.

Experimentos aleatorios Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

o rn de a u uc t n ee d n po res

Probabilidad Resolución de problemas 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 122 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Datos y azar 167

Solucionario

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Solucionario Unidad 1 Página 12 ¿CUÁNTO SABES? 29 21 8 b) 3

1. a)

34 7 13 b) 5

2. a)

3. a) b) c) d) e) f)

4 9 7 d) 16

c)

44 5 26 d) 15

c)

1 32 1 f) 3

e)

34 9 200 f) 101

e)

Ocho enteros, quince centésimos.

Cuarenta y dos enteros, ocho décimos.

Tres enteros, siete milésimos.

Dos enteros, mil doscientos ocho diezmilésimos.

Seis enteros, doscientos catorce milésimos.

Cinco centésimos.

2. a)

2 1

3. a)

4

b) c) d) e) f) g) h)

268 10 172 b) 100

5. a)

6. a) < b) >

c) 0,0028 d) 0,39 325 10 55 d) 10

c)

c) > d) =

e) 0,107 f) 4,9

1

2 3

3 4 35 b) 276

2. a)

e) > f) >

3. a)

5

c)

1 12

1 1 tazas de azúcar, 10 tazas de harina, 2 2 3 1 3 kg de crema y 1 kg de manjar.

4 2 14 panes.

1 2 kg de fruta.

4 18 45 minutos.

1 4 de pizza.

8 2 5 kg de mermelada.

8 5 litros.

b) 2

347 10 58 f) 10

e)

4 1

Página 17 1. a)

4. a) 0,1 b) 10,4

b)

3 10

3 5 3 d) 22

e) 11

c)

f) 133

c) 6 d)

e)

13 2

9 14

f) 1

b) $ 72 000

Página 19 Página 13

6 5 9 b) 8

1. a)

7. a) 0,006; 0,2; 0,8; 1,3 b) 0,05; 0,5; 1,00; 1,005 c) 0,25; 0,75; 1,25; 2,05

2. a) 3 8. a) 78,369 b) 432,002

c) 32,8 d) 1,454

e) 289,079 f) 158,43

Página 15 1. a) b)

2 3

1

d) 1 2

c) 3 168 Matemática 6

e)

1 3

6

2 5

f) 10

g)

12 1

h)

1

2 3 4

3 2 88 c) 9 b)

d) 6 3 2 b) 27

3. a)

c) 2

e)

1 3

5 2

f) 8

e) 7

i) 6

d)

f)

1 10

14 5 1 k) 4 13 l) 7

j)

g) 2 h)

5 11

64 81 c) 16 d) 8

Solucionario

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10:19 PM

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4. a) 48 cuartos de hora. d) 16 2 b) 16 pedazos. e) 3 c) 192 personas. f) 1 Página 21 1. a) b) c) d) e) f) 2. a)

3 2 7 20 6 5 48 65 17 24 47 12

4 5 19 h) 15 29 i) 10 13 j) 3 35 k) 24 7 l) 10 g)

m) n) ñ) o) p) q)

9 20 11 2 28 3 44 3 11 10 9 8

1 de la tarea.

5 50 CD. 12 pedazos.

420 L 13 Pedro manejó del camino y Pablo manejó 28 15 del camino; Pedro manejó 12 horas y 28 Pablo manejó 16 horas.

4. a) b) c) d) e) f)

6 kilogramos y 800 gramos.

10 toneladas y 300 kilogramos.

4 centímetros y 2 milímetros.

20 años y 6 meses.

27 metros y 30 centímetros.

3 meses.

5. a) b) c) d) e) f)

3 horas y 12 minutos.

15 minutos.

10 minutos y 24 segundos.

4 horas y 10 minutos.

11 horas y 36 minutos.

2 minutos y 30 segundos.

6. a) 35 cm b) 0,2 cm

c) 6,7 cm e) 2,27 cm d) Son iguales f) 4,8 m

Página 27 1. a) b) c) d) e) f)

9,04 10,35 0,01 1 73,982 13,1776

1. D

2. a) b) c) d) e)

6 750 kg 75,6 km 73,6 kg US$ 2 445,1; $ 1 315 464 2,897 UF

2. B

Página 29

b) c) d) e)

Página 23 MI PROGRESO

3. a) 14 bolsas.

4. a)

1 kg 8

b) 26 bolsas. b)

7 kg 40

Página 25 2. a) 1 metro y 30 centímetros. b) $ 3 900 c) $ 975 3. a) 0,3 mm; 300 mm; 0,3 mm. b) Sí (709,3 mm).

1. a) b) c) d)

50,8 48 113,25 3,6

g) h) i) j) k) l)

e) f) g) h)

143 109,3968 0,618 4 605 176,4315 47,6

1,2 5,35 1,392 12

m) n) ñ) o) p) q)

12,5 4,25 2,14 0,582 0,512 0,41305

i) j) k) l)

0,1738 3,712 4,8 0,0022

2. a) 14 tarjetas. b) 28 tarjetas; 19 tarjetas; 12 tarjetas.

3. 2,3 kg 6. a) 25,5 kg b) 19,8 kg

4. 29,7 m

5. 45,1 litros

c) 91,8 kg d) 106,2 kg

Solucionario 169

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

Page 170

Página 31 1. a) 32 b) 32

c) 1,6 d) 3,5

e) 121 f) 7,5

2. a) 14 UF b) $ 3 145 432 c) 3 375 UF MI PROGRESO 1. A 2. B 3. a) $ 24 873

b) 30,2 litros; $ 24 644

Página 33 1. a) 28 mL. 4 frascos; 4 mL. b) 4 bebidas de 1,5 L. 0,5 kg. $ 10 050.

3. a) b) c) d) e)

2. a) 10 vasos. b) 67 gramos.

1 c) del terreno.

2 1 del terreno.

2 240 m2; 120 m2; 120 m2. d) 178,5 kilómetros.

2. C 6. B

3. B 7. C

4. D 8. A

5. a) b) c) d)

335 41 3 388 6

6. a) 6 • 3 = 18 b) 8 • 5 = 40

9. 1 ó 2.

3 10. del terreno.

50 11. 218,4 m3; $ 4 186.

34 051 500 3 584 096 15 604 550 123 444 321

d) 54 e) 24 f) 250

g) 190 h) 255 i) 1 000

e) f) g) h)

i) j) k) l)

257 28 825 15 920

150 100 5 6 020

c) 6 • 10 =60 d) 4 • 0,2 = 0,8

Página 43

Unidad 2 Página 40 ¿CUÁNTO SABES?

170 Matemática 6

f) g) h) i)

Página 41

Página 37

1. a) 94 785 426 b) 9 999 990 c) 40 030 021

163 280 2 579 500 168 875 1 134 750 755 298

4. a) 31 b) 86 c) 20

Página 36 1. A 5. D

2. a) 7 000 000 + 900 000 + 80 000 + 7 000 + 600 + 70 + 5 b) 80 000 000 + 9 000 000 + 800 000 + 90 000 + 800 + 90 c) 9 000 000 + 300 000 + 40 000 + 5 000 + 500 + 60 + 7 d) 100 000 000 + 20 000 000 + 3 000 000 + 400 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9 e) 10 000 000 + 2 000 000 + 300 000 + 20 000 + 3 000 + 90 f) 500 000 000 + 60 000 000 + 600 000 + 70 000 g) 30 000 000 + 5 000 000 + 900 000 + 9 000 + 900 + 9 h) 700 000 000 + 80 000 000 + 4 000 000 + 200 000 + 30 000 + 1 000 + 100 + 20 + 3 i) 900 000 000 + 9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 90 + 9

d) 3 007 003 e) 36 160 000 f) 107 070 549

1. a) 26 = 64 b) 104 = 10 000 c) 123 = 1 728 2. a) b) c) d) e) f)

d) 55 = 3 125 e) 37 = 2 187 f) 105 = 100 000

2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 9 • 9 = 81 18 = 18 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 2 187 10 • 10 • 10 = 1 000 4 • 4 • 4 • 4 = 256

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

Page 171

3. a) 34 = 81 b) 27 = 128

c) 53 = 125 d) 122 = 144

4. a) 27 velas

b) 81 velas

5. $ 1 516 200

1 024 niños.

81 menús diferentes.

8 variedades.

43 piezas.

3. a) = b) > c) =

Página 49 1. a) b) c) d)

36, son 6 cuadraditos por lado y sobran 3.

9, son 3 cuadraditos por lado y sobran 3.

2 500, son 50 cuadraditos por lado y sobran 100.

441, son 21 cuadraditos por lado y sobran 4.

2. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196.

Son 14 cuadrados perfectos menores que 200.

3. a) b) c) d)

1. a) 65 • 1010 b) 3 • 108

c) 52 • 1010 d) 4 • 1012

2. a) 400 000 b) 340 000 000 c) 800 000

Página 45 1. a) b) c) d)

Página 53

5 cm 100 sillas.

Aumenta de 9 cm2 a 36 cm2.

Aumenta de 4 cm2 a 36 cm2.

4. a) b) c) d) e) f)

e) 68 • 1015 f) 724 • 1013

d) 10 000 000 000 e) 543 000 000 f) 2 500 000 000 d) < e) > f) >

g) > h) <

4 • 105, 4 • 106, 4 • 107, 4 • 108 6 721 • 109, 678 • 109, 6834 • 109 2 • 106, 214 • 104, 22 • 105, 23 • 105 25 • 1017, 5 250 • 1016, 55 • 1018 47 • 1 025, 48 • 1023, 473• 1024 89 • 106, 98 • 106, 89 • 107

Página 54 1. a) b) c) d) e)

45 700 12 490 000 300 000 10 000 000 5 420 000

f) g) h) i) j)

32 000 000 963 000 10 000 000 7 300 152 900

k) l) m) n)

5 300 143 280 5 790 200 6 821,1

Página 55 Página 50

2. a) 100; 100

1. a) b) c) d) e) f)

2 • 104 + 5 • 103 + 5 • 102 + 3 • 101 + 2 • 100 5 • 106 + 5 • 104 + 1 • 102 4 • 108 + 7 • 107 + 4 • 104 + 2 • 103 3 • 104 + 3 • 103 + 3 • 102 + 5 • 101 2 • 107 + 6 • 106 + 1 • 105 + 9 • 104 1 • 109 + 3 • 105 + 2 • 102

2. a) b) c) d)

2 050 102 018 50 285 000 50 500 240

e) f) g) h)

10 000 3 200 3 200 100 000 000 490 000 490 000 10 000 000 000 55 000 000 55 000 000 1 000 000 1 430 000 1 430 000 1 000 000 3 200 3 200 1 000 000 000 000 490 000 490 000 100 000 000 000 000 55 000 000 55 000 000 1 000 000 000 000 1 430 000 1 430 000 10 000 000 000 1 430 000 1 430 000 Página 56

1. C 2. D 3. 4 096 flores.

4. a) De 15 x 15 baldositas.

3.

2 102 400 000 1 031 006 000 405 305 000 212 010

Página 51 MI PROGRESO

b) 1 000; 1 000

b) 25 baldositas.

1. a) b) c) d) e) f)

24,57 0,628 0,18249 0,0005 1 000 0,0732

g) h) i) j) k) l)

0,000971 4,902 0,01 0,0247 0,0093 0,002549

m) n) ñ) o)

0,000000073 0,0024358 0,0000048902 0,007825

Solucionario 171

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

Page 172

Página 57 MI PROGRESO

Página 71 2. a) 2 y 9, 3 y 8, 2 y 11, 5 y 8. b) 1 y 3, 1 y 5, 2 y 4, 2 y 6, 7 y 9, 7 y 11, 8 y 10, 8 y 12. c) 1 y 2, 2 y 8, 7 y 8, 1 y 7, 3 y 4, 4 y 10, 9 y 10, 3 y 9, 5 y 6, 6 y 12, 11 y 12, 5 y 11. d) 1 y 10, 1 y 12, 7 y 4, 7 y 6, 3 y 12, 6 y 9.

1. A 2. B 3. 9 460 800 000 000 km Página 59

Página 72

1. a) 1 476,3 • 105 toneladas. b) 446 • 107 dólares. c) 378 170 km

3. a) 90˚ b) Son ángulos correspondientes.

4. a) 113˚ b) Son ángulos correspondientes.

2. a) 44,35 • 108 años. b) 1 182,5 • 1022 kg c) Es menor; es menor.

Página 73 Página 62 1. D 5. B

2. B 6. D

3. C 7. D

4. B 8. B

Página 63 9. b) 3 • 3 • 3 ramas.

10. 16 plantas.

b) 81 plantas.

5. a) b) c) d) e) f) g) h)

x = 128˚, y = 52˚, Z = 128˚ z = 55˚ n = 32˚ x = y = z = 125˚ x = 110˚, y = 70˚ y = 107˚ x = 80˚ x = 145˚, y = 52˚

Página 74

Unidad 3

1. No; sí; no Página 75

Página 66 ¿CUÁNTO SABES?

2. a) No.

3. a) Rectos b) Agudos 4. a) 20˚ b) 73˚

c) Extendidos d) Obtusos c) 46˚ d) 30˚

e) 20˚ f) 108˚

b) No.

3. c) Suma igual a 360˚.

4.

100˚ 100˚ 61˚

Página 69 2. a) Sí.

c) Sí.

90˚ 104˚ 161˚

c) 67˚

50˚ 109˚

Página 77 MI PROGRESO 1. C

172 Matemática 6

2. D

3. 5˚

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

Page 173

Página 78

Página 88

4.

1. C 4. C

5 6 7 8

3 • 180˚ = 540˚ 4 • 180˚ = 720˚ 5 • 180˚ = 900˚ 6 • 180˚ = 1 080˚

3 4 5 6

2. C. 5. D

3. A 6. C

Página 89 7. x = 129˚, y = 136˚, z = 51˚

Unidad 4

Página 78 Página 92 ¿CUÁNTO SABES?

2.

540˚ 720˚ 900˚ 1 080˚ 3. a) x = 130˚

4 • 180˚ – 360˚ = 360˚ 5 • 180˚ – 540˚ = 360˚ 6 • 180˚ – 720˚ = 360˚ 7 • 180˚ – 900˚ = 360˚ 8 • 180˚ – 1 080˚= 360˚ b) x = 72˚

c) Regular d) Regular

d) 4, 57 e) 0,406 f) 1,304

g) 0,0073 h) 2,4913 i) 0,00005

5 35 12 b) 100 15 c) 45

Página 93

2.

5 6 7 8 9 10

2. a) 0,1 b) 0,35 c) 0,25

e) No regular f) No regular

Página 81

108˚ 120˚ 128,6˚ 135˚ 140˚ 154˚

90˚ 72˚ 60˚ 51,4˚ 45˚ 40˚ 26˚

3 = 0,3 10 3 f) = 0,0375 80 e)

4. a)

Página 80

1 = 0,2 5 6 d) = 0,24 25

c)

c) x = 170˚

4. 720˚; 2 520˚; 360˚; 1 260˚

1. a) Regular b) No regular

1 = 0,1 10 1 b) = 0,5 2

1. a)

5. a) b) c) d) e) f)

16 6,75 0,02 1 158 0,618

1 100 8 e) 30 1 f) 10 d)

32 32 9 h) 18

g)

g) h) i) j) k) l)

5,355 2,5 2,34 2,71 0,352 0,41305

m) n) ñ) o) p) q)

0,06 0,09 2 1,1 0,069 0,0032

b)

22 28

c) 15 tiros

Página 94 1. 10 4 Página 95

Página 83 MI PROGRESO 1. D

2. D

1. a) 3. z = 140˚

Página 85 1. a) 16 triángulos; 11 triángulos. b) 35 diagonales; 119 diagonales; sí.

4. x = 135˚

12 24

10 20 8 b) 32

5. a)

24 40 14 d) 70

c)

13 13 12 f) 28

e)

Solucionario 173

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

Page 174

Página 97

2. a) 3 848 000 hombres b) 172,5 ; 230 ; 287, 5 ; 575 c) $ 256 000; 1 333

1.

Fracción con Fracción Número Porcentaje denominador 100 irreductible decimal 10 9 45% 0,45 20 20 45 1 25% 0,25 100 4 80 4 80% 0,8 100 5 700 70 7 700% 100 10 90 9 0,9 80% 100 10

Página 103 MI PROGRESO 1. B 2. C 3. $ 11 250 4. a) 900 kilogramos

b) No

Página 104 2. a) 48 b) 0,0625

c) 0,1 d) 0,075

1. 25% 2. 1 782 euros

3. a) 18

b) 10, el doble c) 25, la mitad

4. a) 75%

b) 65%

3. $ 27 000 5. a) 0,06 b) 0,3

c) 25% Página 105

c) 0,15 d) 0,5

4. CasaBonita

Página 99

Página 106

1. a) 0,35, 35% b) 0,7, 70%

c) 0,15, 15% d) 0,1, 10%

1. Ambos descuentos son iguales.

2.

1 , 0,25, 25% 4 1 b) , 0,5, 50% 2 2 c) 5 , 0,4, 40%

2. a)

% de Descuento descuento en $

4. No son correctos, porque representan más del 100%.

Página 101 1. a) 15 b) 1 077 c) 125

d) 505 e) 300 f) 2 645

2. a) 10 b) 30

c) 75%

3. a) 600 b) 300

c) 120 d) 15%

g) 270 h) 35

1. a) 9 b) 1 080 174 Matemática 6

15

2 699

$ 15 921

5

448

$ 8 503

5

699

$ 4 266

15

1 050

$ 5 950

10

1 249

$ 11 241

Página 107 3. a) El de $ 499 990 4. $ 3 960 000 5. $ 1 073,13

Página 102 c) 105 d) 2 188, 8

e) 330 f) 300

6. a) $ 9 600 7. a) $ 1 080

Total a pagar

b) $ 9 120 b) $ 636

c) No

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

8. a) $ 686

Page 175

b) $ 5 530

Página 117 9. a) Sí.

Página 109

b) 0,11

c)

13 50

1.

Apoderados

Porcentajes

Ángulos (grados) 226,8˚ 64,8˚ 25,2˚ 8˚ 3,6˚ 21,6˚

Cantidad de personas 60 80 140 120

Bebidas Jugos Leche Agua

Cantidad de personas 144 88 96 72

Página 120 ¿CUÁNTO SABES? 1. a) 5 b) 24

c) 32 d) 9

e) 1 f) 30

2. a) mcm (4, 8) = 8 b) mcm (7,5) = 35 c) mcm (5,20) = 20 d) mcm (12,48) = 48 e) mcm (14,42) = 42 f) mcm (14,28 y 56) = 56 g) mcm (6,12 y 2) = 12 h) mcm (45,15 y 35) = 315

2. a) música clásica rock Pop Reggaeton

Unidad 5

Página 110 1. B

3. a) 31 b) 20 c) 24

d) 190 e) 86 f) 54

g) 250 h) 255

4. a) 6 b) 260

c) 521 d) 520

e) 590 f) 2 563

5. a) V b) F

c) V d) F

e) V f) V

c) 3 388 d) 6

e) 293 f) 62

c) 3 (a + 8)

e) 2x –

Página 121

Página 111

1. a) 335 b) 21

2. C 3. El de $ 630 000

Página 122

4. 21%

1. a) a – 14 Página 113 b) x + 28 1. a) $ 64 800 b) $ 97 152 c) $ 23 800 , $ 33 600 , $ 5 600

Página 123

2. a) $ 17 400 b) $ 214 200, $ 220 626, $ 36 771

2. a) m – 7 b) m + 15

Página 116

3. a) 13 b) 3 c) 7

1. A 5. B

2. C 6. C

3. B 7. D

4. D 8. C

d) x –

x 3

x 6

f) n – 1

c) 45 – m d) 3 m d) 9 e) 18 f) 20

g) 23 h) 42

Solucionario 175

Solucionario

10/30/08

10:19 PM

4. a) a + b = 42 b) 2x = 96 5. a) 4 cm b) 20 cm

Page 176

y = 45 e) 8a = 168 3 2x x d) 3x = 2x + 24 f) = 5 10 c)

c) 14 cm d) 7 cm

e) 12 cm f) 12 cm

Página 124 2. a) Sí b) No

c) No d) Sí

e) No f) Sí

f) g) h) i) j)

k) l) m) n)

Página 127 1. a) b) c) d) e)

x = 130 y = 28 x = 22 z = 444 z = 192

2. a) 23 b) 24 c) 70

z = 13 v=4 x = 27 x = 18 x = 21

d) 370 e) 11,24 f) $ 85

y = 32 u = 41 x = 23 z = 62

g) 20 y 35 h) 3 m i) $ 1 800

Página 131 1. a) x = 14 b) y = 9 c) y = 9 d) x = 42 e) f) g) h) i) j) k) 2. a) b) c) d) e)

x = 18 z = 20 x = 13 u=8 x = 10 y = 12 v = 25

l) z = 5 m) u = 1 n) x = 50 1 ñ) y = 2 o) z = 2 p) u = 20 q) v = 3 r) v = 2 s) x = 20 t) x = 0 u) x = 18

Largo = 20 m y P = 64 m Javiera tiene 20 años 36 chocolates A = 192 m2 90º

Página 132 1. a) Hombres 7 ; Mujeres 14 ; Niños 21

Página 128 1. a) x = 8 b) x = 72 c) x = 8 d) x = 4 e) x = 11

f) x = 22 155 g) x = 13 h) x = 5 i) x = 16 j) x = 10

k) x = 103

Página 133

l) x = 16

b) 28, faltan $ 28 000 c) 8 cm d) $ 2 500

m) x = 15 n) x = 38

e) Sala 1: 47, Sala 2: 27 f) 3

MI PROGRESO Página 129 2. a) x = 12 b) x = 6 80 c) x = 3 d) x = 26 e) $ 250 y $ 750 f) x = 600 y 1800 g) 12 dulces y 24 chocolates h) x = 12 y 36 90 i) x = 2

176 Matemática 6

1. B 2. A 3. a) 28 + x = 42 b) 14, no porque la nota máxima es 7. c) 5 Página 135 1. a) x = 2 b) 95º y 175º c) 16 y 8

d) 82 y 83 e) 14 y 28 años

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3. a) b) c) d) e)

3:28 PM

Page 177

De miel 16 y de menta 32. x=8 24, 25 y 26.

6 gatos y 3 perros.

3 arañas, 4 matapiojos y 2 chicharras.

Página 143 6. a) Sacar una pelotita amarilla o una azul o una roja. b) Sacar una pelotita verde. b) Por ejemplo, sacar una pelotita blanca.

7. Que salga un número par.

Página 138 1. B 5. C

2. C 6. C

3. B 7. B

4. B 8. C

8. Cuantitativa discreta: solo toma valores enteros.

Cuantitativa continua: puede tomar valores decimales.

9. Es igualmente probable.

Página 139

10. Cuantitativa: se refiere a cantidades.

Cualitativa: se refiere a características.

9. a) x + 3 = 2x – 2 b) 5 m, sí.

Página 145

10. Debe pagar $ 70 000

1. a) Cuantitativas b) Cuantitativas c) Cuantitativas

11. 32 años

2. a) Alumnos de un colegio. b) Un grupo de alumnos. c) Horas de clases. Cantidad de horas destinadas al deporte, variable cuantitativa.

Unidad 6 Página 142 ¿CUÁNTO SABES?

Página 147

5 1. a) 14 1 b) 8 4 c) 17

1 d) 2 5 e) 6 1 f) 4

8 g) 25 10 h) 11

2. a) 20% b) 60% c) 50%

d) 25% e) 33,3% f) 62,5%

g) 66,6% h) 20%

3. a) 39,6 b) Cantidad de países por continente es 40, porque no se puede hablar de 39,6 países.

1 25 9 h) 10

4. promedio: 21 ; aumenta el promedio a 29.

3 10 9 b) 20 3 c) 4

3. a)

21 25 4 e) 25 1 f) 2 d)

g)

4. a) 37, 47, 49, 49, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 55, 63 b) 1,6 ; 2,0 ; 3,3 ; 3,3 ; 3,8 ; 4,0 ; 4,2 ; 4,2 ; 4,9 ; 5,2 ; 6,1 ; 6,9 c) 137; 142; 144; 146; 150; 162 ; 163; 165; 166; 171; 175 d) 189; 190; 197; 198; 200; 202; 205; 210; 213; 219; 241 5. a) No es seguro. b) No es seguro. c) Es seguro.

1. a) 5,8 b) 6,6 c) más bajo: 4,6

más alto: 6,1

2. a) 130 cm

b) 36 kg

Página 149 1. a) 7 b) Da el mismo resultado 2. a) 16

b) 2 y 4

Página 151 MI PROGRESO 1. C 2. B 3. a) 45 personas b) No

c) No d) Negro Solucionario 177

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4. a) 4,11

Page 178

b) 4

c) 3

Página 153

4. a) 2 madres. b) 2 madres. c)

1. a) La cantidad promedio que asisten los espectadores al cine. b) 86% aproximado

Edad de la madre

Cantidad

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 1

Adivinó No adivinó

7 13

2. a) 6,9 personas de 100; 6 personas de 100 b) aumentado 3. a) disminuido

b) 3 429 libros

4. a) 5 000 000 de niños b) entre 135 y 162 preescolares c) Que la probabilidad de ser obeso en edad escolar es de 1 caso cada 5 niños.

Página 157 1. a) 2 alumnos b) Ninguno c) 3 alumnos d) Cantidad de libros Cantidad de estudiantes

3 4 5 6 7 8 9 2 4 8 4 3 1 3

2. a) 12 matrimonios. b) Un matrimonio tiene 7 hijos. c) 4 matrimonios.

Cantidad de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 Cantidad de matrimonios 4 9 12 10 8 4 2 1 3. a) 7 días. b) 2 días. c) Temepratura máxima Cantidad de días

27 28 29 30 31 32 33 34 1 2 6 7 8 3 3 1

Página 159 1. a)

b)

178 Matemática 6

1 3

c) No

d)

1 3

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Página 161 MI PROGRESO

1. D 2. C 3. a) 12 y 8 7 6 8 4 b) ; ; ; 25 25 25 25 Página 163 1. a) Media aritmética disléxicos 26

Media aritmética normales 28

b) 26; 28,5 c) 10% 2. a) Media aritmética: 36,3 ; mediana: 39,5; moda: 23 b) 74 000 Página 166 1. D 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. C 8. Media aritmética: 3,35 Mediana: 3,5 Moda: 4

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Page 180

Bibliografía • Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica.

Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios.

Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007.

Material CRA • Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed.

Profundiza uno de los aspectos característicos de la escuela francesa de didáctica de las matemáticas: la ingeniería didáctica, que desarrolla el área de la educación matemática con una doble función, la investigación que ha utilizado metodologías externas a la clase y la metodología de la investigación específica.

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1997.1ª ed. [r. 1996] Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico como herramienta para expresar generalizaciones y resolver problemas, e introducir la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide, España, 1995, 2ª ed.

El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de pensamiento es una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes de la Matemática en este ámbito.

• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1996, 1ª ed.

Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde el nivel básico hasta el universitario.

• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997, 1ª ed.

180 Matemática 6

El autor propone una estrategia pedagógica que implica la comprensión del desarrollo de los sujetos, el proceso de construcción y estructuración lógica de los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas.

• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático.

International Thompson Editores, México, 1997, 1ª ed.

Organizado en cinco capítulos, el texto trata el modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas para resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas.

• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed.

Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed.

Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

Libros • Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática.

Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental.

Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993.

• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994.

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Page 181

• Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993.

• Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo.

Síntesis, Madrid, 1988.

• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995.

• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001.

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited.

The Mathematical Association of America, EE.UU., 1967.

• Miguel de Guzmán y otros. Matemáticas Bachillerato 3. Editorial Anaya, Madrid, 1991.

• Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991.

• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997.

• Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987.

• Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991.

• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998.

• E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948.

• Eves, H. Estudio de las Geometrías. Vol I, II. Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México, 1969.

• Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”.

Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001.

• Flavell, John. El desarrollo cognitivo y el aprendizaje.

Visor, Madrid, 1985.

• Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980.

• Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.

• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números.

Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.

• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.

• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.

• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.

• Moise, E.; Downs, F. Geometría Moderna. Addison Wesley, EE.UU., 1966.

• Moise, E. Geometría Elemental desde un punto de vista Avanzado. Compañía Editorial Continental, S.A., México, 1980.

• Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Mc Graw Hill, Colombia, 1978.

• National Council of Teachers of Mathematics.

Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003.

• Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988.

• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993.

• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987.

• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas.

Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994.

• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje.

Morata, Madrid, 1990.

• R. David Gustafson . Álgebra Intermedia.

International Thomson Editores, México, 1997.

• Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar.

Aula XXI, Santillana, España, 1996.

• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995.

• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

Bibliografía 181

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RECURSOS TECNOLÓGICOS

Software educativos • SÚPER MIX MAT 3 - 4

http://www.cpeip.cl • Centro Cornelius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y muchas cosas más.

Patrocinado por la USACH.

Es un programa para apoyar la enseñanza de la matemática. La metodología que utiliza este software, se sustenta en principios didácticos basados en la actividad y la libre experimentación.

• El Paraíso de las Matemáticas

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Fic ha28.html

• Enlaces a Matemáticas básicas para niños, publicaciones y programas educativos. Debate, entretenimiento (juegos matemáticos) y bibliografía.

• MATEMATIX Es una herramienta creada para el estudio y comprensión de la matemática. Funciona como un laboratorio, lo que nos permite organizar, clasificar, cuantificar, analizar y asimilar la información dispersa. Pretende dotar y capacitar a los estudiantes de las herramientas que permiten que puedan desenvolverte satisfactoriamente en el mundo científico y tecnológico.

http://www.comenius.usach.cl

http://www.matematicas.net

http://www.arrakis.es/~mcj • Entretenimiento, recursos y enlaces. Software, libros, Escher, Fibonacci: el Número de Oro. Problemas: taller de matemáticas. IRC: canal sobre educación. http://platea.pntic.mec.es/~aperez4 • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Fic ha30.html • ¿CÓMO EVALUAR EL PENSAMIENTO? Niveles Educativos: NM1 -– NM2 - NM3 - NM4 Desarrolla los OFT. http://www2.redenlaces.cl/webeducativos/pen samiento/menu.htm

• Base de datos de documentos para Educación. http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm • REDUC: Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa. http://www.reduc.cl • Sociedad de matemática de Chile

Páginas web • Ministerio de educación de Chile http://www.mineduc.cl • La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer la profesión docente, mediante el aprovechamiento de las capacidades de los profesionales previamente acreditados como docentes de excelencia, contribuyendo así al desarrollo profesional del conjunto de los docentes de aula. http://www.rmm.cl • Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación e Investigaciones Pedagógicas.

182 Matemática 6

http://www.mat.puc.cl/~socmat • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html • La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofrece en este web una gran cantidad de información sobre matemáticas, desde congresos a los que te puedes apuntar por correo electrónico hasta monográficos de autores famosos que tratan sobre la materia.

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Page 183

http://www.emis.de • Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones y experiencias en matemática respecto de los contenidos que se trabajan enseñanza media. http://www.cnice.mecd.es/Descartes Buscador recomendado • Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las áreas.

Incluye buscador. http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

Bibliografía 183

Años 2009 y 2010

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TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

13:31

6º Educación Básica

31/10/08

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑOS 2009 y 2010

MATEMÁTICA

MATEMATICA 6

Javiera Setz Mena