Cases for An Introduction to Management Science, 13th Edition

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Solution: Scheduling problems such as this occur frequently, and are often difficult to solve. The typical approach is to use trial and error. An alternative approach involves breaking the larger problem into a series of smaller problems. We show how this can be done here using what we call the Red, White, and Blue algorithm.

Suppose we break the 18 couples up into 3 divisions, referred to as the Red, White, and Blue divisions. The six couples in the Red division can then be identified as R1, R2, R3, R4, R5, R6; the six couples in the White division can be identified as W1, W2,, W6; and the six couples in the Blue division can be identified as B1, B2,, B6. We begin by developing a schedule for the first 5 weeks of the season so that each couple plays every other couple in its own division. This can be done fairly easily by trial and error. Shown below is the first 5-week schedule for the Red division.

Week 1■Week 2■Week 3■Week 4■Week 5■■R1 vs. R2■R1 vs. R3■R1 vs. R4■R1 vs. R5■R1 vs. R6■■R3 vs. R4■R2 vs. R5■R2 vs. R6■R2 vs. R4■R2 vs. R3■■R5 vs. R6■R4 vs. R6■R3 vs.

R5■R3 vs. R6■R4 vs. R5■■ Similar 5-week schedules can be developed for the White and Blue divisions by replacing the R in the above table with a W or a B. To develop the schedule for the next 3 weeks, we create 3 new six-couple divisions by pairing 3 of the teams in each division with 3 of the teams in another division; for example, (R1, R2, R3, W1, W2, W3), (B1, B2, B3, R4, R5, R6), and (W4, W5, W6, B4, B5, B6). Within each of these new divisions, matches can be scheduled for 3 weeks without any couples playing a couple they have played before. For instance, a 3-week schedule for the first of these divisions is shown below: Week 6■Week 7■Week 8■■R1 vs. W1■R1 vs. W2■R1 vs. W3■■R2 vs. W2■R2 vs. W3■R2 vs.

W1■■R3 vs. W3■R3 vs. W1■R3 vs. W2■■ A similar 3-week schedule can be easily set up for the other two new divisions. This will provide us with a schedule for the first 8 weeks of the season.

For the final 9 weeks, we continue to create new divisions by pairing 3 teams from the original Red, White and Blue divisions with 3 teams from the other divisions that they have not yet been paired with. Then a 3-week schedule is developed as above. Shown below is a set of divisions for the next 9 weeks.

Weeks 9-11 (R1, R2, R3, W4, W5, W6) (W1, W2, W3, B1, B2, B3) (R4, R5, R6, B4, B5, B6) Weeks 12-14 (R1, R2, R3, B1, B2, B3) (W1, W2, W3, B4, B5, B6) (W4, W5, W6, R4, R5, R6) Weeks 15-17 (R1, R2, R3, B4, B5, B6) (W1, W2, W3, R4, R5, R6) (W4, W5, W6, B1, B2, B3) This Red, White and Blue scheduling procedure provides a schedule with every couple playing every other couple over the 17-week season. If one of the couples should cancel, the schedule can be modified easily. Designate the couple that cancels, say R4, as the Bye couple. Then whichever couple is scheduled to play couple R4 will receive a Bye in that week. With only 17 couples a Bye must be scheduled for one team each week.

This same scheduling procedure can obviously be used for scheduling sports teams and or any other kinds of matches involving 17 or 18 teams. Modifications of the Red, White and Blue algorithm can be employed for 15 or 16 team leagues and other numbers of teams.

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■W■o■r■d■D■o■c■u■m■e■n■t■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 44■■■■■■■■S■u■m■m■a■r■y■I■n■f■o■r■m■a■t■i■o■n■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■(■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■<■■■■■■■■■ ■■■■D■o■c■u■m■e■n■t■S■u■m■m■a■r■y■I■n■f■o■r■m■a■t■i■o■n■■■■■■■■■■ ■8■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■D■■■■■■■■■■■■ ■C■o■m■p■O■b■j■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■ ■■■■■■■■■■■■F ■■■Microsoft Office Word Document■ ■■■MSWordDoc■■■■■Word.Document.8■9q■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

MS13E_Case_Chapter_02.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■:■■■■:■■■:■■ ■■■■■■2■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■j■■■■■■■j■■■j■■■■■■■j■■■■■■■j■■■ ■■■■j■■■■■■■j■■■■■■■■■■■■■■■~■■■■■■■L■■■■■■L■■■■■■L■■8■■■■M■ ■L■■■fM■■■■■■~■■■■■■■/k■■*■■■vP■■■■■■P■■:■■■P■■■■■■P■■■■■■P■■ ■■■■'R■■ ■■■ER■■ ■■■QR■■■■■■Bj■■■■■■Dj■■■■■■Dj■■■■■■Dj■■■■■■Dj■ ■■■■■Dj■■■■■■Dj■■$■■■Yl■■h■■■n■■■■■hj■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■j■■■ ■■■■YR■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■R■■"■■■'R■■■■■■YR■■■■■■YR■■■■■ ■hj■■■■■■■■■■■■■■j■■■■■■■j■■■■■■■P■■■■■■■■■■■■■■P■■?■■■j■■■■■ ■iU■■■■■■iU■■■■■■iU■■■■■■YR■■X■■■j■■■■■■■P■■■■■■j■■■■■■■P■■■■ ■■Bj■■■■■■■■■■■■■■iU■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■YR■■■■■■Bj■■■■■■■■■■■■■■iU■■■■■■iU■■■■■LZ■■ ■■ ■j■■■■■■■j■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■[■■■■■■P■■■■■■jP■■ ■■■8j■■■■■■■■■L■■■■■■R■■X■■■h[■■"■■■■■■■■■■■6\■■ ■■■j■■0■■■/k■■■■■■[■■"■■■Ko■■■■■■ S■■6■■■Ko■■D■■■[■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■[ ■■&■■■Ko■■■■■■■■■■■■■■j■■■■■■■[■■d■■■YR■■■■■■YR■■■■■■iU■■■■■ ■YR■■■■■■YR■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■YR■■■■■■Y R■■■■■■YR■■■■■■hj■■■■■■hj■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■?T■■*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■YR■■■■■■YR■■■■■ ■YR■■■■■■/k■■■■■■YR■■■■■■YR■■■■■■YR■■■■■■YR■■■■■■■■■■■■■■~■ ■■■■■■~■■■■■■■~■■■dG■■L■■■■■■~■■■■■■■~■■■■■■■~■■■■■■■L■■■■■ ■~■■■■■■■~■■■■■■■~■■■■■■■j■■■■■■■j■■■■■■■j■■■■■■■j■■■■■■■j■■■ ■■■■j■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Chapter 2 An Introduction to Linear Programming Case Problem 1: Workload Balancing 1.

■Production Rate (minutes per printer)■■■Model■Line 1■Line 2■Profit Contribution ($)■■DI-910■3■4■42■■DI-950■6■2■87■■ Capacity: 8 hours■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■60 minutes/hour = 480 minutes per day Let D1 = number of units of the DI-910 produced D2 = number of units of the DI-950 produced Max■42D1■+■87D2■■■■■s.t.■■■■■■■■■3D1■+■6D2■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■4 ■8■0■■■L■i■n■e■ ■1■ ■C■a■p■a■c■i■t■y■■■■■■■4■D■1■■■+■■■2■D■2■■■■■4■8■0■■■L■i■n■e■ ■2■ ■C■a■p■a■c■i■t■y■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■D■1■,■ ■D■2■ ■ ■0■ ■ ■ ■T■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■i■s■ ■D■1■ ■=■ ■0■,■ ■D■2■ ■=■ ■8■0■.■ ■T■h■e■ ■v■a■l■u■e■ ■o■f■ ■t■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■i■s■ ■$■6■9■6■0■.■ ■ ■ ■M■a■n■a■g■e■m■e■n■t■ ■w■o■u■l■d■ ■n■o■t■ ■i■m■p■l■e■m■e■n■t■ ■t■h■i■s■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■b■e■c■a■u■s■e■ ■n■o■ ■u■n■i■t■s■ ■o■f■ ■t■h■e■ ■D■I■-■9■1■0■ ■w■o■u■l■d■ ■b■e■ ■p■r■o■d■u■c■e■d■.■ ■ ■2■.■ ■A■d■d■i■n■g■ ■t■h■e■ ■c■o■n■s■t■r■a■i■n■t■ ■D■1■ ■ ■D■2■ ■a■n■d■ ■r■e■s■o■l■v■i■n■g■ ■t■h■e■ ■l■i■n■e■a■r■ ■p■r■o■g■r■a■m■ ■r■e■s■u■l■t■s■ ■i■n■ ■t■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■D■1■ ■=■ ■5■3■.■3■3■3■,■ ■D■2■ ■=■ ■5■3■.■3■3■3■.■ ■T■h■e■ ■v■a■l■u■e■ ■o■f■ ■t■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■i■s■ ■$■6■8■8■0■.■ ■ ■3■.■ ■T■i■m■e■ ■s■p■e■n■t■ ■o■n■ ■L■i■n■e■ ■1■:■ ■3■(■5■3■.■3■3■3■)■ ■+■ ■6■(■5■3■.■3■3■3■)■ ■=■ ■4■8■0■ ■m■i■n■u■t■e■s■ ■ ■ ■T■i■m■e■ ■s■p■e■n■t■ ■o■n■ ■L■i■n■e■ ■2■:■ 4(53.333) + 2(53.333) = 320 minutes Thus, the solution does not balance the total time spent on Line 1 and the total time spent on Line 2. This might be a concern to management if no other work assignments were available for the employees on Line 2.

4. Let T1 = total time spent on Line 1 T2 = total time spent on Line 2

Whatever the value of T2 is, T1 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■T■2■ ■+■ ■3■0■ ■ ■ ■T■1■ ■ ■T■2■ ■-■ ■3■0■ ■ ■ ■T■h■u■s■,■ ■w■i■t■h■ ■T■1■ ■=■ ■3■D■1■ ■+■ ■6■D■2■ ■a■n■d■ ■T■2■ ■=■ ■4■D■1■ ■+■ ■2■D■2■ ■ ■ ■ ■3■D■1■ ■+■ ■6■D■2■ ■ ■ ■4■D■1■ ■+■ ■2■D■2■ ■+■ ■3■0■ ■ ■ ■3■D■1■ ■+■ ■6■D■2■ ■ ■ ■4■D■1■ ■+■ ■2■D■2■ ■- ■3■0■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■H■e■n■c■e■,■ ■ ■ ■ ■-1■D■1■ ■+■ ■4■D■2■ ■ ■ 3■0■ ■ ■ ■-1■D■1■ ■+■ ■4■D■2■ ■ ■ -3■0■ ■ ■ ■R■e■w■r■i■t■i■n■g■ ■t■h■e■ ■s■e■c■o■n■d■ ■c■o■n■s■t■r■a■i■n■t■ ■b■y■ ■m■u■l■t■i■p■l■y■i■n■g■ ■b■o■t■h■ ■s■i■d■e■s■ ■b■y■ ■-■1■,■ ■w■e■ ■o■b■t■a■i■n■ ■ ■ ■ ■ ■-1■D■1■ ■+■ ■4■D■2■ ■ ■ 3■0■ ■ ■ ■ ■1■D■1■ ■- ■4■D■2■ ■ ■ 3■0■ ■ ■ ■A■d■d■i■n■g■ ■t■h■e■s■e■ ■t■w■o■ ■c■o■n■s■t■r■a■i■n■t■s■ ■t■o■ ■t■h■e■ ■l■i■n■e■a■r■ ■p■r■o■g■r■a■m■ ■f■o■r■m■u■l■a■t■e■d■ ■i■n■ ■p■a■r■t■ ■(■2■)■ ■a■n■d■ ■r■e■s■o■l■v■i■n■g■ ■w■e■ ■o■b■t■a■i■n■ ■t■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■D■1■ ■=■ ■9■6■.■6■6■7■,■ ■D■2■ ■=■ ■3■1■.■6■6■7■.■ ■T■h■e■ ■v■a■l■u■e■ ■o■f■ ■t■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■ ■i■s■ ■$■6■8■1■5■.■ ■L■i■n■e■ ■1■ ■i■s■ ■s■c■h■eduled for 480 minutes and Line 2 for 450 minutes. The effect of workload balancing is to reduce the total contribution to profit by $6880 - $6815 = $65 per shift.

5. The optimal solution is D1 = 106.667, D2 = 26.667. The total profit contribution is 42(106.667) + 87(26.667) = $6800 Comparing the solutions to part (4) and part (5), maximizing the number of printers produced (106.667 + 26.667 = 133.33) has increased the production by 133.33 - (96.667 + 31.667) = 5 printers but has reduced profit contribution by $6815 - $6800 = $15. But, this solution results in perfect workload balancing because the total time spent on each line is 480 minutes.

Case Problem 2: Production Strategy 1. Let BP100 = the number of BodyPlus 100 machines produced

BP200 = the number of BodyPlus 200 machines produced Max■371BP100■+■461BP200■■■■■ s.t.■■■■■■■■■8BP100■+■12BP200■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■6■0■0■■■M■a■c■h■i■n■i■n■g■ ■a■n■d■ ■W ■e■l■d■i■n■g■■■■■■■5■B■P■1■0■0■■■+■■■1■0■B■P■2■0■0■■■■■4■5■0■■■P ■a■i■n■t■i■n■g■ ■a■n■d■ ■F■i■n■i■s■h■i■n■g■■■■■■■ ■ ■ ■ ■2■B■P■1■0■0■■■+■■■2■B■P■2■0■0■■■■■1■4■0■■■A■s■s■e■m■b■l■y■,■ ■T■e■s■t■,■ ■a■n■d■ ■P■a■c■k■a■g■i■n■g■■■■■■■-■0■.■2■5■B■P■1■0■0■■■+ ■■■0■.■7■5■B■P■2■0■0■■■■■0■■■B■o■d■y■P■l■u■s■ ■2■0■0■ ■R■e■q■u■i■r■e■m■e■n■t■■■■■ ■ ■B■P■1■0■0■,■ ■B■P■2■0■0■ ■ ■0■ ■ ■■■ ■ ■ ■ ■O■p■t■i■m■a■l■ ■s■o■l■u■t■i■o■n■:■ ■B■P■1■0■0■ ■ ■=■ ■5■0■,■ ■B■P■2■0■0■ ■ ■=■ ■5■0■/3, profit = $26,233.33. Note: If the optimal solution is rounded to BP100 = 50, BP200 = 16.67, the value of the optimal solution will differ from the value shown. The value we show for the optimal solution is the same as the value that will be obtained if the problem is solved using a linear programming software package.

2. In the short run the requirement reduces profits. For instance, if the requirement were reduced to at least 24% of total production, the new optimal solution is BP100 = 1425/28, BP200 = 225/14, with a total profit of $26,290.18; thus, total profits would increase by $56.85. Note: If the optimal solution is rounded to BP100 = 50.89, BP200 = 16.07, the value of the optimal solution will differ from the value shown. The value we show for the optimal solution is the same as the value that will be obtained if the problem is solved using a linear programming software package such as Excel Solver.

If management really believes that the BodyPlus 200 can help position BFI as one of the leader's in high-end exercise equipment, the constraint requiring that the number of units of the BodyPlus 200 produced be at least 25% of total production should not be changed. Since the optimal solution uses all of the available machining and welding time, management should try to obtain additional hours of this resource.

Case Problem 3: Hart Venture Capital 1. Let S = fraction of the Security Systems project funded by HVC M = fraction of the Market Analysis project funded by HVC Max■1,800,000S■+■1,600,000M■■■■■s.t.■■■■■■■■■600,000S■+■500,000M■(■800,000 ■Year 1■■■600,000S■+■350,000M■(■700,000■Year 2■■■250,000S■+■400,000M■(■500,000■Year 3■■■S■■■(■1■Maximum for S■■■■■M■(■1■Maximum for M■■■S,M■(■0■■■■■ The solution obtained is shown below: OPTIMAL SOLUTION Optimal Objective Value■■■2486956.52174■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■S■0.

60870■0.00000■■M■0.86957■0.00000■■■■■■■■■■Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■ ■1■0.00000■2.78261■■2■30434.78261■0.00000■■3■0.00000■0.52174■■4■0.39130■0.000 00■■5■0.13043■0.00000■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■De crease■■1800000.00000■120000.00000■800000.00000■■1600000.00000■1280000.00000■10 0000.00000■■■■■■■■■■RHS■Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■800000 .00000■22950.81967■60000.00000■■700000.00000■Infinite■30434.78261■■500000.00000■2

5000.00000■38888.88889■■1.00000■Infinite■0.39130■■1.00000■Infinite■0.13043■■Thus, the optimal solution is S = 0.609 and M = 0.870. In other words, approximately 61% of the Security Systems project should be funded by HVC and 87% of the Market Analysis project should be funded by HVC. The net present value of the investment is approximately $2,486,957.

2.

■Year 1■Year 2■Year 3■■Security Systems■$365,400■$365,400■$152,250■■Market Analysis■$435,000■$304,500■$348,000■■Total■$800,400■$669,900■$500,250■■ Note: The totals for Year 1 and Year 3 are greater than the amounts available. The reason for this is that rounded values for the decision variables were used to compute the amount required in each year.

3. If up to $900,000 is available in year 1 we obtain a new optimal solution with S = 0.689 and M = 0.820. In other words, approximately 69% of the Security Systems project should be funded by HVC and 82% of the Market Analysis project should be funded by HVC. The net present value of the investment is approximately $2,550,820.

The solution follows: OPTIMAL SOLUTION Optimal Objective Value■■■2550819.67213■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■S■0.

68852■0.00000■■M■0.81967■0.00000■■■■■■■■■■Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■ ■1■77049.18033■0.00000■■2■0.00000■2.09836■■3■0.00000■2.16393■■4■0.31148■0.000 00■■5■0.18033■0.00000■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■De crease■■1800000.00000■942857.14286■800000.00000■■1600000.00000■1280000.00000■55 0000.00000■■■■■■ ■■■■RHS■Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■900000.00000■Infinite■7704 9.18033■■700000.00000■102173.91304■110000.00000■■500000.00000■45833.33333■13571 4.28571■■1.00000■Infinite■0.31148■■1.00000■Infinite■0.18033■■ 4. If an additional $100,000 is made available, the allocation plan would change as follows: ■Year 1■Year 2■Year 3■■Security Systems■$413,400■$413,400■$172,250■■Market Analysis■$410,000■$287,000■$328,000■■Total■$823,400■$700,400■$500,250■■ 5. Having additional funds available in year 1 will increase the total net present value. The value of the objective function increases from $2,486,957 to $2,550,820, a difference of $63,863. But, since the allocation plan shows that $823,400 is required in year 1, only■■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■1■■■2■■■U■■■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■ ■■/ ■■0 ■■1 ■■[ ■■_ ■■` ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■{hZLZLZLZLZLZ■■■■■h;■B*■H*■OJ■■QJ■■ph■■■■■ ■■h;■6■B*■OJ■■QJ■■ph■■■■■$■jB■■■■h;■B*■EHOJ■■QJ■■U■■ph■■■■■ ■j■C ■■■h;■U■■V■■mH■■nH■■u■■■ ■j■■■■■h;■B*■OJ■■QJ■■U■■ph■■■■■■■h;■B*■OJ■■QJ■■ph■■■■ ■h;■5■B*■CJ■■OJ■■QJ■■ph■■■■■■■hxw■■hy■5■OJ■■QJ■■ ■h`■■h■■5■CJ ■OJ■■QJ■■aJ ■ ■h`■■hy■5■CJ ■OJ■■QJ■■aJ ■3■j■■■■■h`■■hxw■5■CJ ■OJ■■QJ■■U■■aJ ■mH■■nH■■u■■■ ■■■■ ■■■1■■■2■■■U■■■\■■■`■■■a■■■q■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■w■■■■■■■■■■■■w■■■■■■■■■■■■w■■■■■■■ ■■■■■w■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■$■ ■■■ ■■$■If■■■■a$■gdy■■■■■ ■■■ ■gd;■■■■■■ ■^ ■gd;■■!■■ /■■`0■■p■@ ■■■■■P■ !■■■■■■■■■■■■■■■■]gd;■"■■

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■ ■ ■ ■ Chapter 2 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■8■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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MS13E_Case_Chapter_03.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■|■■■■■■■■■■■~■■■■■ ■■■■■■y■■■z■■■{■■■■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■u■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■:x■■■:■■ ■:■■6■■■■■■4■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■*■■■■■■■Υ■■■■■■Υ■■■■■■Υ■■8■■■■■■t■■■ z■■\■■■*■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■:■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■w■■ ■■■■■ ■■■■■■■■■<■■■■■■>■■■■■■>■■■■■■>■■■■■■>■■■■■■>■■■■■■>■■$■■■■ ■h■■■a■■■■■b■■E■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■U■■"■■■w■■■■■■q■■■■■■q■■■■■■b■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■ ■■9■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■X■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■<■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■■■■■<■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■(■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■`8VV■■■■■■■■■Υ■■■■■■■■■X■■■■■"■■■■■■■■■■■ ■■ !■■■■0■■■■■■■ ■■■■■"■■■■■■■■■!■■■■■■■D■■■(■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■(■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■x■■■■■h■■■■■■J■■■■■■■■■[■■<■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■b■■■■■■b■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■■■■■q■■■■■■q■■■■■■q■■■■■■■ ■■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■Υ■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■■■ Υ■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■■■*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Chapter 3 Linear Programming: Sensitivity Analysis and Interpretation of Solution ■ Case Problem 1: Product Mix Note to Instructor: The difference between relevant and sunk costs is critical. The cost of the shipment of nuts is a sunk cost. Practice in applying sensitivity analysis to a business decision is obtained. You may want to suggest that sensitivity analyses other than the ones we have suggested be undertaken.

1. Cost per pound of ingredients Almonds $7500/6000 = $1.25 Brazil $7125/7500 = $.95 Filberts $6750/7500 = $.90

Pecans $7200/6000 = $1.20 Walnuts $7875/7500 = $1.05 Cost of nuts in three mixes: Regular mix: .15($1.25) + .25($.95) + .25($90) + .10($1.20) + .25($1.05) = $1.0325 Deluxe mix .20($1.25) + .20($.95) + .20($.90) + .20($1.20) + .20($1.05) = $1.07 Holiday mix: .25($1.25) + .15($.95) + .15($.90) + .25($1.20) + .20($1.05) = $1.10 2. Let R = pounds of Regular Mix produced D = pounds of Deluxe Mix produced H = pounds of Holiday Mix produced Note that the cost of the five shipments of nuts is a sunk (not a relevant) cost and should not affect the decision. However, this information may be useful to management in future pricing and purchasing decisions. A linear programming model for the optimal product mix is given.

The following linear programming model can be solved to maximize profit contribution for the nuts already purchased.

Max■1.65R■+■2.00D■+■2.25H■■■■■s.t.■■■■■■■■■■■0.15R■+■0.20D■+■0.25H■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■6■0■0■0■■■A■l■m■o■n■d■s■■■■■■■0■.■2■5■R■■■+■■■0■.■2■0■D■ ■■+■■■0■.■1■5■H■■■■■7■5■0■0■■■B■r■a■z■i■l■■■■■■■0■.■2■5■R■■■+■■■0 ■.■2■0■D■■■+■■■0■.■1■5■H■■■■■7■5■0■0■■■F■i■l■b■e■r■t■s■■■■■■■0■.■1 ■0■R■■■+■■■0■.■2■0■D■■■+■■■0■.■2■5■H■■■■■6■0■0■0■■■P■e■c■a■n■s■■ ■■■■■0■.■2■5■R■■■+■■■0■.■2■0■D■■■+■■■0■.■2■0■H■■■■■7■5■0■0■■■W■ a■l■n■u■t■s■■■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■R■■■■■■■■■■■■■1■0■0■0■0■■■R■e■g■u■l■a■r■■■■■■■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■D■■■■■■■■■3■0■0■0■■■D■e■l■u■x■e■■■■■■■■■■■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■H■■■■■5■0■0■0■■■H■o■l■i■d■a■y■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■R■,■ ■ ■D■,■ ■ ■H■ ■ ■ ■0■ ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■O■p■t■i■m■a■l■ ■O■b■j■e■c■t■i■v■e■ ■V■a■l■u■e■■■■■■■6■1■3■7■5■.■0■0■ 0■0■0■■■■■■■■■■■■■■■■■V■a■r■i■a■b■l■e■■■V■a■l■u■e■■■R■e■d■u■c■e■d ■ ■C■o■s■t■■■■■R■■■1■7■5■0■0■.■0■0■0■0■0■■■0■.■0■0■0■0■0■■■■■D■■■ 1■0■6■2■5■.■0■0■0■0■0■■■0■.■0■0■0■0■0■■■■■H■■■5■0■0■0■.■0■0■0■0■0■ ■■0■.■0■0■0■0■0■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■C■o■n■s■t■r■a■i■n■t■■■S■l■a■c ■k■/■S■u■r■p■l■u■s■■■D■u■a■l■ ■V■a■l■u■e■■■■■1■■■0■.■0■0■0■0■0■■■8■.

■5■0■0■00■■2■250.00000■0.00000■■3■250.00000■0.00000■■4■875.00000■0.00000■■5 ■0.00000■1.50000■■6■7500.00000■0.00000■■7■7625.00000■0.00000■■8■0.00000■-0.175 00■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■Decrease■■1.65000■0.35 000■0.15000■■2.00000■0.20000■0.10769■■2.25000■0.17500■Infinite■■■■■■■■■■RHS■ Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■6000.00000■583.33333■610.00000■■75 00.00000■Infinite■250.00000■■7500.00000■Infinite■250.00000■■6000.00000■Infinite■875.00 000■■7500.00000■250.00000■750.00000■■10000.00000■7500.00000■Infinite■■3000.00000 ■7625.00000■Infinite■■5000.00000■4692.30769■5000.00000■■

3. From the dual values it can be seen that additional almonds are worth $8.50 per pound to TJ. Additional walnuts are worth $1.50 per pound. From the slack variables, we see that additional Brazil nut, Filberts, and Pecans are of no value since they are already in excess supply.

4. Yes, purchase the almonds. The dual value shows that each pound is worth $8.50; the dual value is applicable for increases up to 583.33 pounds.

Resolving the problem by changing the right-hand side of constraint 1 from 6000 to 7000 yields the following optimal solution. The optimal solution has increased in value by $4958.34. Note that only 583.33 pounds of the additional almonds were used, but that the increase in profit contribution more than justifies the $1000 cost of the shipment.

Optimal Objective Value■■■66333.33333■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■R■116 66.66667■0.00000■■D■17916.66667■0.00000■■H■5000.00000■0.00000■■■■■■■■■■Con straint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■416.66667■0.00000■■2■250.00000■0.00000■■3■250.

00000■0.00000■■4■0.00000■5.66667■■5■0.00000■4.33333■■6■1666.66667■0.00000■■7 ■14916.66667■0.00000■■8■0.00000■-0.03333■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Co efficient■Increase■Decrease■■1.65000■0.10000■0.65000■■2.00000■1.30000■0.02353■■2.2 5000■0.03333■Infinite■■■■■■■■■■RHS■Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease ■■7000.00000■Infinite■416.66667■■7500.00000■Infinite■250.00000■■7500.00000■Infinite■2 50.00000■■6000.00000■250.00000■1790.00000■■7500.00000■250.00000■250.00000■■100 00.00000■1666.66667■Infinite■■3000.00000■14916.66667■Infinite■■5000.00000■10529.4117 6■5000.00000■■ 5. From the dual values it is clear that there is no advantage to not satisfying the orders for the Regular and Deluxe mixes. However, it would be advantageous to negotiate a decrease in the Holiday mix requirement.

Case Problem 2: Investment Strategy 1. The first step is to develop a linear programming model for maximizing return subject to constraints for funds available, diversity, and risk tolerance.

Let G = Amount invested in growth fund I = Amount invested in income fund M = Amount invested in money market fund The LP formulation and optimal solution found using The Management Scientist are shown.

MAX .18G +.125I +.075M S.T. 1) G + I + M < 800000 Funds Available 2) .8G -.2I -.2M > 0 Min growth fund 3) .6G -.4I -.4M < 0 Max growth fund 4) -.2G +.8I -.2M > 0 Min income fund 5) -.5G +.5I -.5M < 0 Max income fund 6) -.3G -.3I +.7M > 0 Min money market fund 7) .05G + .02I -.04M < 0 Max risk Optimal Objective Value■■■94133.33333■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■G■248 888.88889■0.00000■■I■160000.00000■0.00000■■M■391111.11111■0.00000■■■■■■■■■■ Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■0.11767■■2■88888.88889■0.00000■■3■ 71111.11111■0.00000■■4■0.00000■-0.02000■■5■240000.00000■0.00000■■6■151111.1111 1■0.00000■■7■0.00000■1.16667■■ ■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■Decrease■■0.18000■Infinite■0.

03000■■0.12500■0.02000■0.58833■■0.07500■0.10500■0.06000■■■■■■RHS■Allowable■Al

lowable■■Value■Increase■Decrease■■800000.00000■Infinite■800000.00000■■0.00000■888 88.88889■Infinite■■0.00000■Infinite■71111.11111■■0.00000■133333.33333■106666.66667■ ■0.00000■Infinite■240000.00000■■0.00000■151111.11111■Infinite■■0.00000■6400.00000■8 000.00000■■ Rounding to the nearest dollar, the portfolio recommendation for Langford is as follows.

Amount Fund: Invested Growth $248,889 Income 160,000 Money Market 391,111 Total $800,000 Yield = 94,133 / 800,000 = .118 The portfolio yield is .118 or 11.8%.

Note that the portfolio yield equals the dual value for the funds available constraint.

2. If Langfords risk index is increased by .005 that is the same as increasing the right-hand side of constraint 7 by .005 (800,000) = 4000. Since this amount of increase is within the right-hand-side range, we would expect an increase in return of 1.167 (4000) = 4668. The revised formulation and new optimal solution are shown below. Except for rounding, the value has increased as predicted; the new optimal allocation is Amount Fund: Invested Growth $293,333 Income 160,000 Money Market 346,667 Total $800,000 The portfolio yield becomes 98,800/800,000 = .124 or 12.4% MAX .18G +.125I +.075M S.T. 1) G + I + M < 800000 2) .8G -.2I -.2M > 0 3) .6G -.4I -.4M < 0 4) -.2G +.8I -.2M > 0 5) -.5G +.5I -.5M < 0 6) -.3G -.3I +.7M > 0 7) .045G + .015I-.045M < 0 Optimal Objective Value■■■98800.00000■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■G■293 333.33333■0.00000■■I■160000.00000■0.00000■■M■346666.66667■0.00000■■■■■■■■■■ Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■0.12350■■2■133333.33333■0.00000■■3 ■26666.66667■0.00000■■4■0.00000■-0.02000■■5■240000.00000■0.00000■■6■106666.666 67■0.00000■■7■0.00000■1.16667■■ 3. Since .16 is in the objective coefficient range for the growth fund return, there would be no change in allocation. However, the return would decrease by (.02) ($248,889) = $4978.

A decrease to .14 is outside the objective function coefficient range forcing us to resolve the problem. The new formulation and optimal solution is as follows.

MAX .14G +.125I +.075M S.T. 1) G + I + M < 800000 2) .8G -.2I -.2M > 0 3) .6G -.4I -.4M < 0 4) -.2G +.8I -.2M > 0 5) -.5G +.5I -.5M < 0 6) -.3G -.3I +.7M > 0 7) .05G + .02I-.04M < 0 Optimal Objective Value■■■85066.66667■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■G■160 000.00000■0.00000■■I■293333.33333■0.00000■■M■346666.66667■0.00000■■■■■■■■■■ Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■0.10633■■2■0.00000■-0.01000■■3■160 000.00000■0.00000■■4■133333.33333■0.00000■■5■106666.66667■0.00000■■6■106666.66 667■0.00000■■7■0.00000■0.83333■■ 4. Since the current optimal solution has more invested in the growth fund than the income fund, adding this requirement will force us to resolve the problem with a new constraint. We should expect a decrease in return as is shown in the following optimal solution.

MAX .18G +.125I +.075M S.T. 1) G + I + M < 800000 2) .8G -.2I -.2M > 0 3) .6G -.4I -.4M < 0 4) -.2G +.8I -.2M > 0 5) -.5G +.5I -.5M < 0 6) -.3G -.3I +.7M > 0 7) .05G + .02I-.04M < 0 8) G - I < 0 Optimal Objective Value■■■93066.66667■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■1■213 333.33333■0.00000■■2■213333.33333■0.00000■■3■373333.33333■0.00000■■■■■■ ■■■■Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■0.11633■■2■53333.33333■0.0000 0■■3■106666.66667■0.00000■■4■53333.33333■0.00000■■5■186666.66667■0.00000■■6■ 133333.33333■0.00000■■7■0.00000■1.03333■■8■0.00000■0.01200■■ Note that the value of the solution has decreased from $94,133 to $93,067. This is only a decrease of 0.2% inyield. Since the yield decrease is so small, Williams may prefer this portfolio for Langford.

5. It is possible a model such as this could be developed for each client. The changed yield estimates would require a change in the objective function coefficients and resolving the problem if the change was outside the objective coefficient range.

Case Problem 3: Truck Leasing Strategy 1. Let■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = number of trucks obtained from a short term lease signed in month i for a period of j months and ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■= number of trucks obtained from the long-term lease that are used in month i

Monthly fuel costs are 20 ($100) = $2000.

Monthly Costs for Short-Term Leased Trucks Note: the costs shown here include monthly fuel costs of $2000.

Decision Variables■ Cost■■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■$4000 + $2000 = $6000■■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■2 ($3700 + $2000) = $11,400■■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■3 ($3225 + $2000) = $15,675■■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■4 ($3040 + $2000) = $20,160■■ Monthly Costs for Long-Term Leased Trucks Since Reep Construction is committed to the long-term lease and since employees cannot be laid off, the only relevant cost for the long-term leased trucks is the monthly fuel cost of $2000.

LINEAR PROGRAMMING PROBLEM MIN 6000X11+11400X12+15675X13+20160X14+6000X21+11400X22+15675X23+6000X31+ 11400X32+6000X41+2000Y1+2000Y2+2000Y3+2000Y4 S.T. 1) 1X11+1X12+1X13+1X14+1Y1=10 2) 1X12+1X13+1X14+1X21+1X22+1X23+1Y2=12 3) 1X13+1X14+1X22+1X23+1X31+1X32+1Y3=14 4) 1X14+1X23+1X32+1X41+1Y4=8 5) 1Y1<1 6) 1Y2<2 7) 1Y3<3 8) 1Y4<1 Optimal Objective Value■■■203660.00000■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■X11■ 0.00000■1515.00000■■X12■0.00000■1725.00000■■X13■3.00000■0.00000■■X14■6.00000■ 0.00000■■X21■0.00000■810.00000■■X22■0.00000■210.00000■■X23■1.00000■0.00000■■ X31■1.00000■0.00000■■X32■0.00000■915.00000■■X41■0.00000■1515.00000■■Y1■1.000 00■0.00000■■Y2■2.00000■0.00000■■Y3■3.00000■0.00000■■Y3■1.00000■0.00000■■■■■ ■Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■4485.00000■■2■0.00000■5190.00000■ ■3■0.00000■6000.00000■■4■0.00000■4485.00000■■5■0.00000■-2485.00000■■6■0.00000 ■-3190.00000■■7■0.00000■-4000.00000■■8■0.00000■-2485.00000■■■■■■Objective■Allow able■Allowable■■Coefficient■Increase■Decrease■■6000.00000■Infinite■1515.00000■■11400 .00000■Infinite■1725.00000■■15675.00000■210.00000■915.00000■■20160.00000■915.0000 0■210.00000■■6000.00000■Infinite■810.00000■■11400.00000■Infinite■210.00000■■15675.0 0000■210.00000■1515.00000■■6000.00000■915.00000■810.00000■■11400.00000■Infinite■9 15.00000■■6000.00000■Infinite■1515.00000■■2000.00000■2485.00000■Infinite■■2000.0000 0■3190.00000■Infinite■■2000.00000■4000.00000■Infinite■■2000.00000■2485.00000■Infinite ■■■■■■■■■■RHS■Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■10.00000■1.00000 ■6.00000■■12.00000■1.00000■1.00000■■14.00000■Infinite■1.00000■■8.00000■3.00000■6.

00000■■1.00000■6.00000■1.00000■■2.00000■1.00000■1.00000■■3.00000■1.00000■3.0000 0■■1.00000■6.00000■1.00000■■ 2. The total cost associated with the leasing plan is $203,660.

3. If Reep Construction is willing to consider the possibility of layoffs, we need to include driver costs of $3200 per month. Replacing the coefficients for y1, y2, y3, and y4 in our previous linear program with $5200 and resolving resulted in the following leasing plan: Month

Leased■Length of Lease (Months)■■■1■2■3■4■■1■0■0■3■7■■2■0■0■1■■■3■0■0■■■■4■0■■■■■ In addition, in month 2, one of the trucks from the long-term leases was used and in month 3 three of the trucks from the long-term leases were used. The total cost of this leasing plan is $224,620.

To see what effect a no layoff policy has, we can set ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 1, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 2, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 3, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 1 and resolve the linear program using objective coefficients of $5200 for ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■, and ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■. The new optimal solution forces us to use all the available trucks from the long-term lease; the optimal leasing plan is shown below.

Month Leased■Length of Lease (Months)■■■1■2■3■4■■1■0■0■3■6■■2■0■0■1■■■3■1■0■■■■4■0■■■■■ The total cost associated with this solution is $226,060. Thus, if Reep maintains their current policy of no layoffs they will incur an additional cost of $226,060 - $224,620 = $1,440.

■ ■ ■ ■ Chapter 3 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■18■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a public■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■R■■■S■■■T■■■o■■■| ■■} ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■

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MS13E_Case_Chapter_04.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■b■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■#)■■■:■ ■■:■■qV■■■■■■5■■■■■■■■■■■■■■■Y■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■2■■■■■■■2■■■■ ■■■2■■■■■■■■■■■■■■■F■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■8■■■■■■■■■■■\ ■■F■■■■■■■'■■■■■■■■■■■■■:■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■ ■■■■■ ■■■■B'■■■■■■D'■■■■■■D'■■■■■■D'■■■■■■D'■■■■■■D'■■■■■■D'■■$■■■)■■h ■■■C,■■■■■h'■■-■■■■■■■■■■■■■■■■■■■2■■■■■■■s■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■Y■■^■■■■■■■■■s■■■■■■s■■■■■■h'■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■'■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■s■■v■■■■■■R■ ■■■■■■■■2■■■■■■■■■■■■■B'■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■s■■■■■■B'■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■2■■■>■■■■■■■■■"■■■2■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.■■■■■■■■■■■■■■ ■■■Pq"■■■■■■■ ■■■■■■■■■■^■■■■■.■■■■■■■■■■■■■D'■■'■■0■■■'■■■■■■■■■.■■■,■■■■■■ G■■■■■,■■\■■■.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.■■8■■■,■■■■■■■■■■■■■■2■■■■■■■f■■■■

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■■■■Constraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■35.00000■■2■0.00000■5.00000■■ 3■0.00000■5.00000■■4■0.00000■0.00550■■5■27100.00000■0.00000■■6■3.00000■0.0000 0■■7■5.00000■0.00000■■8■10000.00000■0.00000■■9■0.00000■0.00117■■10■0.00000■-0 .00050■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■Decrease■■90.00000 ■Infinite■35.00000■■55.00000■11.66667■5.00000■■25.00000■Infinite■5.00000■■20.00000■ 5.00000■3.50000■■10.00000■Infinite■5.00000■■5.00000■0.50000■Infinite■■■■■■RHS■All owable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■10.00000■5.00000■10.00000■■15.00000■ 18.00000■15.00000■■20.00000■10.00000■20.00000■■279000.00000■15000.00000■10000.0 0000■■100000.00000■27100.00000■Infinite■■0.00000■3.00000■Infinite■■20.00000■Infinite■ 5.00000■■140000.00000■10000.00000■Infinite■■99000.00000■10000.00000■5625.00000■■3 0000.00000■10000.00000■10000.00000■■ 1. Summary of the Optimal Solution T1 + T2 = 10 + 5 = 15 Television advertisements R1 + R2 = 15 + 18 = 33 Radio advertisements N1 + N2 = 20 + 10 = 30 Newspaper advertisements Advertising Schedule: Media■Number of Ads■Budget■■Television■15■$150,000■■Radio■33■99,000■■Newspaper ■30■30,000■■Totals■78■$279,000■■ Total Exposure Rating: 2,160 Total New Customers Reached: 127,100 (Surplus constraint 5) 2. The dual value shows that total exposure increases 0.0055 points for each one dollar increase in the advertising budget. Right Hand Side Ranges show this dual value applies for a budget increase of up to $15,000. Thus the dual value applies for the $10,000 increase.

Total Exposure Rating would increase by 10,000(0.0055) = 55 points A $10,000 increase in the advertising budget is a 3.6% increase. But, it only provides a 2.54% increase in total exposure. Management may decide that the additional exposure is not worth the cost. This is a discussion point.

3. The ranges for the exposure rating of 90 for the first 10 television ads show that the solution remains optimal as long as the exposure rating is 55 or higher. This indicates that the solution is not very sensitive to the exposure rating HJ has provided. Indeed, we would draw the same conclusion after reviewing the next four ranges. We could conclude that Flamingo does not have to be concerned about the exact exposure rating. The only concern might be the newspaper exposure rating of 5. A rating of 5.5 or better can be expected to alter the current optimal solution.

4. Remove constraint #5 for the linear programming model and use it to develop the objective function: MAX 4000T1+1500T2+2000R1+1200R2+1000N1+800N2 Solving provides the following Optimal Solution T1 + T2 = 10 + 4 = 14 Television advertisements R1 + R2 = 15 + 13 = 28 Radio advertisements N1 + N2 = 20 + 35 = 55 Newspaper advertisements Advertising Schedule: Media■Number of Ads■Budget■■Television■14■$140,000■■Radio■28■83,000■■Newspaper ■55■55,000■■Totals■97■$279,000■■ Total New Customers Reached: 139,600 Total Exposure Rating

90(10) + 55(4) + 25(15) + 20(13) + 10(20) + 5(35) = 2130 5. The solution with the objective to maximize the number of potential new customers reached looks attractive. The total number of ads is increased from 78 to 97 (24%) and the number of potential new customers reached is increased by 139,600 127,100 = 12,500 (9.8%).

Maximizing total exposure may seem to be the preferred objective because it is a more general measure of advertising effectiveness. Exposure includes issues of image, message recall and appeal to repeat customers. However, in this case, many more potential new customers will be reached with the objective of maximizing reach, and the total exposure is only reduced by 2160 2130 = 30 points (1.4%).

At this point, we would expect some discussion concerning which solution is preferred: the one obtained by maximizing total exposure or the one obtained by maximizing potential new customers reached. Expect students to have differing opinions on the final recommendation. Basically, there are two good media allocation solutions for this problem.

Case Problem 2: Phoenix Computer 1. The monthly cost of a new employee is $2,250 = $27,000/12. The training program is 3 months for a new employee and costs $1,500. So the total cost of hiring a new employee and training her/him to be a laptop specialist is $8,250 = 3($2,250) + $1,500.

2. The training program is only 2 months for current employees and costs $1,000. So a replacement employee will only need to be hired 2 months before the laptop specialist is needed in this case. So the incremental cost of putting a current employee through the training program is $5,500 = 2($2,250) + $1,000.

3. It is clear that 100 new employees will need to be hired either to become laptop specialists themselves or to replace current employees who will become laptop specialists. So the company's monthly payroll cost will increase by $225,000 = 100($2,250) in September over January.

A linear program can be formulated and solved to minimize the cost of hiring and training over the period from February to August. The following variable definitions are used: Feb 3 = No. of new employees entering the 3-month program in February ( ( ( Jun 3 = No. of new employees entering the 3-month program in June Mar 2 = No. of current employees entering the 2-month program in March ( ( ( Jul 2 = No. of current employees entering the 2-month program in July IdleMay = No. of trained laptop specialists in excess of those needed in May ( ( ( IdleSep = No. of trained laptop specialists in excess of those needed in September There are 16 constrains needed. The first 5 deal with meeting the needs for laptop specialists.

Constraints (6) through (10) restrict the number of current employees that may enter the program while Constraints (11) through (16) deal with the capacity of the training center.

The following output shows a model and solution that can be used to answer the questions in part 3.

LINEAR PROGRAMMING PROBLEM MIN 8250Feb3+5500Mar2+2250IdleMay+8250Mar3+5500Apr2+2250IdleJun+8250Apr3+5500May 2+2250IdleJul+8250May3+5500Jun2+2250IdleAug+8250Jun3+5500Jul2+2250IdleSep S.T. 1) 1Feb3+1Mar2-1IdleMay=20 2) 1Feb3+1Mar2+1Mar3+1Apr2-1IdleJun=30 3) 1Feb3+1Mar2+1Mar3+1Apr2+1Apr3+1May2-1IdleJul=85 4) 1Feb3+1Mar2+1Mar3+1Apr2+1Apr3+1May2+1May3+1Jun2-1IdleAug=85 5) 1Feb3+1Mar2+1Mar3+1Apr2+1Apr3+1May2+1May3+1Jun2+1Jun3+1Jul2-IdleSep =100 6) 1Mar2<=15 7) 1Mar2+1Apr2<=35 8) 1Mar2+1Apr2+1May2<=35 9) 1Mar2+1Apr2+1May2+1Jun2<=40 10) 1Mar2+1Apr2+1May2+1Jun2+1Jul2<=50 11) 1Feb3<=25 12) 1Mar2+1Mar3<=25 13) 1Apr2+1Apr3<=25 14) 1May2+1May3<=25 15) 1Jun2+1Jun3<=25 16) 1Jul2<=25 OPTIMAL SOLUTION Optimal Objective Value■■■698750.00000■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■Feb3 ■10.00000■0.00000■■Mar2■10.00000■0.00000■■IdleMay■0.00000■0.00000■■Mar3■15.000 00■0.00000■■Apr2■0.00000■0.00000■■IdleJun■5.00000■0.00000■■Apr3■25.00000■0.0000 0■■May2■25.00000■0.00000■■IdleJul■0.00000■9000.00000■■May3■0.00000■9000.00000■ ■Jun2■0.00000■0.00000■■IdleAug■0.00000■2250.00000■■Jun3■0.00000■2250.00000■■Jul 2■15.00000■0.00000■■IdleSep■0.00000■8250.00000■■■■■■Constraint■Slack/Surplus■Dua l Value■■1■0.00000■-2250.00000■■2■0.00000■-2250.00000■■3■0.00000■6750.00000■■4 ■0.00000■0.00000■■5■0.00000■6000.00000■■6■5.00000■0.00000■■7■25.00000■0.00000 ■■8■0.00000■0.00000■■9■5.00000■0.00000■■10■0.00000■-500.00000■■11■15.00000■0.

00000■■12■0.00000■-2250.00000■■13■0.00000■-4500.00000■■14■0.00000■-6750.00000■ ■15■25.00000■0.00000■■16■10.00000■0.00000■■ Case Problem 3: Textile Mill Scheduling Let X3R = Yards of fabric 3 on regular looms X4R = Yards of fabric 4 on regular looms X5R = Yards of fabric 5 on regular looms X1D = Yards of fabric 1 on dobbie looms X2D = Yards of fabric 2 on dobbie looms X3D = Yards of fabric 3 on dobbie looms

X4D = Yards of fabric 4 on dobbie looms X5D = Yards of fabric 5 on dobbie looms Y1 = Yards of fabric 1 purchased Y2 = Yards of fabric 2 purchased Y3 = Yards of fabric 3 purchased Y4 = Yards of fabric 4 purchased Y5 = Yards of fabric 5 purchased Profit Contribution per Yard ■■Manufactured■Purchased■■■1■0.33■0.19■■■2■0.31■0.16■■Fabric■3■0.61■0.50■■■4 ■0.73■0.54■■■5■0.20■0.00■■ Production Times in Hours per Yard ■■Regular■Dobbie■■■1■■0.21598■■■2■■0.21598■■Fabric■3■0.1912■0.1912 ■■■4■0.1912■0.1912 ■■■5■0.2398■0.2398 ■■ Model may use a Max Profit or Min Cost objective function.

Max 0.61X3R + 0.73X4R + 0.20X5R + 0.33X1D + 0.31X2D + 0.61X3D + 0.73X4D + 0.20X5D + 0.19Y1 + 0.16Y2 + 0.50Y3 + 0.54Y4 or Min 0.49X3R + 0.51X4R + 0.50X5R + 0.66X1D + 0.55X2D + 0.49X3D + 0.51X4D + 0.50X5D + 0.80Y1 + 0.70Y2 + 0.60Y3 + 0.70Y4 + 0.70Y5 Regular Hours Available 30 Looms x 30 days x 24 hours/da■y■ ■=■ ■2■1■6■0■0■ ■ ■ ■ ■D■o■b■b■i■e■ ■H■o■u■r■s■ ■A■v■a■i■l■a■b■l■e■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■8■ ■L■o■o■m■s■ ■x■ ■3■0■ ■d■a■y■s■ ■x■ ■2■4■ ■h■o■u■r■s■/■d■a■y■ ■=■ ■5■7■6■0■ ■ ■ ■ ■ ■C■o■n■s■t■r■a■i■n■t■s■:■ ■ ■ ■ ■ ■R■e■g■u■l■a■r■ ■L■o■o■m■s■:■ ■ ■ ■ ■ ■0■.■1■9■1■2■X■3■R■ ■+■ ■0■.■1■9■1■2■X■4■R■ ■+■ ■0■.■2■3■9■8■X■5■R■ ■ ■2■1■6■0■0■ ■ ■ ■ ■ ■ ■D■o■b■b■i■e■ ■L■o■o■m■s■:■ ■ ■ ■ ■ ■0■.■2■1■5■9■8■X■1■D■ ■+■ ■0■.■2■1■5■9■8■X■2■D■ ■+■ ■0■.■1■9■1■2■X■3■D■ ■+■ ■0■.■1■9■1■2■X■4■D■ ■+■ ■0■.■2■3■9■8■X■5■D■ ■ ■5■7■6■0■

■ ■Demand Constraints X1D + Y1■= 16500■■ X2D + Y2■= 22000■■X3R + X3D + Y3■= 62000■■X4R + X4D + Y4■= 7500 ■■X5R + X5D + Y5■= 62000■■ OPTIMAL SOLUTION Optimal Objective Value■■■62531.49090■■■■■■■■Variable■Value■Reduced Cost■■X3R■2 7707.80815■0.00000■■X4R■7500.00000■0.00000■■X5R■62000.00000■0.00000■■X1D■466 8.80000■0.00000■■X2D■22000.00000■0.00000■■X3D■0.00000■-0.01394■■X4D■0.00000■0.01394■■X5D■0.00000■-0.01748■■Y1■11831.20000■0.00000■■Y2■0.00000■-0.01000■■Y 3■34292.19185■0.00000■■Y4■0.00000■-0.08000■■Y5■0.00000■-0.06204■■■■■■■■■■C onstraint■Slack/Surplus■Dual Value■■1■0.00000■0.57530■■2■0.00000■0.64820■■3■0.0000 0■0.19000■■4■0.00000■0.17000■■5■0.00000■0.50000■■6■0.00000■0.62000■■7■0.00000 ■0.06204■■■■■■Objective■Allowable■Allowable■■Coefficient■Increase■Decrease■■0.6100 0■0.01394■0.11000■■0.73000■Infinite■0.01394■■0.20000■Infinite■0.01748■■0.33000■0.01 000■0.01575■■0.31000■Infinite■0.01000■■0.61000■0.01394■Infinite■■0.73000■0.01394■Inf inite■■0.20000■0.01748■Infinite■■0.19000■0.01575■0.01000■■0.16000■0.01000■Infinite■■ 0.50000■0.11000■0.01394■■0.54000■0.08000■Infinite■■0.00000■0.06204■Infinite■■■■■■ ■■■■RHS■Allowable■Allowable■■Value■Increase■Decrease■■21600.00000■6556.82444■5 297.86007■■5760.00000■2555.33477■1008.38013■■16500.00000■Infinite■11831.20000■■22 000.00000■4668.80000■11831.20000■■62000.00000■Infinite■34292.19185■■7500.00000■27 707.80815■7500.00000■■62000.00000■22092.07648■27341.95794■■ Production/Purchase Schedule (Yards) ■■Regular Looms■Dobbie Looms■ Purchased■■■1■■ 4669■11831■■■2■■22000■■■Fabric■3■27711■■ 34289■■■4■ 7500■■■■■5■62000■■■■ Projected Profit: $62,531.49 Value of 9th Dobbie Loom Dual Value (Constraint 2) = 0.6482 per hour dobbie Monthly Value of 1 Dobbie Loom (30 days)(24 hours/day)($0.6482) = $466.70 Note: This change is within the Right-Hand Side Ranges for Constraint 2.

Discussion of Objective Coefficient Ranges For example, fabric one on the dobbie loom shares ranges of 0.31426 to 0.34 for the profit maximization model or 0.64426 to 0.67 for the cost minimization model.

Note here that since demand for the fabrics is fixed, both the profit maximization and cost minimization models will provide the same optimal solution. However, the interpretation of the ranges for the objective function coefficients differ for the two models. In the profit maximization case, the coefficients are profit contributions. Thus, the range information indicates how price per unit and cost per unit may vary simultaneously. That is, as long as the net changes in price per unit and cost per unit keep the profit contributions within the ranges, the solution will remain optimal. In the cost minimization model, the coefficients are costs per unit. Thus, the range information indicates that assuming price per unit remains fixed how much the cost per unit may vary and still maintain the same optimal solution.

Case Problem 4: Workforce Scheduling 1. Let tij = number of temporary employees hired under option i (i = 1, 2, 3) in month j (j = 1 for January, j = 2 for February and so on) The following table depicts the decision variables used in this case problem.

■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■t11■t12■t13■t14■t15■t16■■Option 2■t21■t22■t23■t24■t25■■■Option 3■t31■t32■t33■t34■■■■ Costs: Contract cost plus training cost Option■Contract Cost■Training Cost■Total Cost■■1■$2000■$875■$2875■■2■$4800■$875■$5675■■3■$7500■$875■$8375■■ Min. 2875(t11 + t12 + t13 + t14 + t15 + t16) + 5675(t21 + t22 + t23 + t24 + t25) + 8375(t31 + t32 + t33 + t34) One constraint is required for each of the six months.

Constraint 1: Need 10 additional employees in January t11 = number of temporary employees hired under Option 1 (one-month contract) in January t21 = number of temporary employees hired under Option 2 (two-month contract) in January t31 = number of temporary employees hired under Option 3 (three-month contract) in January t11 + t21 + t31 = 10 Constraint 2: Need 23 additional employees in February t12 , t22 and t32 are the number of temporary employees hired under Options 1, 2 and 3 in February.

But, temporary employees hired under Option 2 or Option 3 in January will also be available to satisfy February needs. t21 + t31 + t12 + t22 + t32 = 23 Note: The following table shows the decision variables used in this constraint ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■■t12■■■■■■Option 2■t21■t22■■■■■■Option 3■t31■t32■■■■■■ Constraint 3: Need 19 additional employees in March ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■■■t13■■■■■Option 2■■t22■t23■■■■■Option 3■t31■t32■t33■■■■■ t31 + t22 + t32 + t13 + t23 + t33 = 19 Constraint 4: Need 26 additional employees in May ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■■■■t14■■■■Option 2■■■t23■t24■■■■Option 3■■t32■t33■t34■■■■ t32 + t23 + t33 + t14 + t24 + t34 = 26 Constraint 5: Need 20 additional employees in May ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■■■■■t15■■■Option 2■■■■t24■t25■■■Option 3■■■t33■t34■■■■ t33 + t24 + t34 + t15 + t25 = 20 Constraint 6: Need 14 additional employees in June ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■■■■■■t16■■Option 2■■■■■t25■■■Option 3■■■■t34■■■■ t34 + t25 + t16 = 14 Optimal Solution: Total Cost = $313,525

■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■0■1■0■0■6■0■■Option 2■3■0■0■0■0■■■Option 3■7■12■0■14■■■■ 2.

Option■Number Hired■Contract Cost■Training Cost■Total Cost■■1■7■$14,000■$6,125■$20,1 25■■2■3■$14,400■$2,625■$17,025■■3■33■$247,500■$28,875■$276,375■■■Total:■$275,9 00■$37,625■$313,525■■ 3. Hiring 10 full-time employees at the beginning of January will reduce the number of temporary employees needed each month by 10. Using the same linear programming model with the right-hand sides of 0, 13, 9, 16, 10 and 4, provides the following schedule for temporary employees: ■Jan.■Feb.■Mar.■Apr.■May■June■■Option 1■0■4■0■0■3■0■■Option 2■0■0■0■3■0■■■Option 3■0■9■0■4■■■■ Option■Number Hired■Contract Cost■Training Cost■Total Cost■■1■7■$14,000■$6,125■$20,1 25■■2■3■$14,400■$2,625■$17,025■■3■13■$97,500■$11,375■$108,875■■Total:■23■■■$ 146,025■■ Full-time employees cost: Training cost: 10($875) = $8,750 Salary: 10(6)(168)($16.50) = $166,320 Total Cost = $146,025 + $8750 + $166,320 = $321,095 Hiring 10 full-time employees is $321,095 - $313,525 = $7,570 more expensive than using temporary employees. Do not hire the 10 full-time employees. Davis should continue to contract with WorkForce to obtain temporary employees.

4. With the lower training costs, the costs per employee for each option are as follows: Option■Cost■Training Cost■Total Cost■■1■$2000■$700■$2700■■2■$4800■$700■$5500■■3■$7500■$700■$8200■■ Resolving the original linear programming model with the above costs indicates that Davis should hire all temporary employees on a one-month contract specifically to meet each month's employee needs. Thus, the monthly temporary hire schedule would be as follows: January - 10; February - 23; March - 19; April - 26; May - 20; and June - 14. The total cost of this strategy is $302,400. Note that if training costs were any lower, this would still be the optimal hiring strategy for Davis.

Case Problem 5: Duke Energy Coal Allocation A linear programming model can be used to determine how much coal to buy from each of the mining companies and where to ship it. Let ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■= tons of coal purchased from supplier i and used by generating unit j The objective function minimizes the total cost to buy and burn coal. The objective function coefficients, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■, are the cost to buy coal at mine i, ship it to generating unit j, and burn it at generating unit j. Thus, the objective function is ■ EMBED Equation.3 ■■■. In computing the objective function coefficients three inputs must be added: the cost of the coal, the transportation cost to the generating unit, and the cost of processing the coal at the generating unit.

There are two types of constraints: supply constraints and demand constraints. The supply constraints limit the amount of coal that can be bought under the various contracts. For the fixed-tonnage contracts, the constraints are equalities. For the variable-tonnage contracts, any amount of coal up to a specified maximum may be purchased. Let Li represent the amount that must be purchased under fixed-tonnage contract i and Si represent the maximum amount that can be purchased under variable-tonnage contract i. Then the supply constraints can be written as follows:

■ EMBED Equation.3 ■■■ for all fixed-tonnage contracts ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ for all variable-tonnage contracts The demand constraints specify the number of mWh of electricity that must be generated by each generating unit. Let ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = mWh hours of electricity generated by a ton of coal purchased from supplier i and used by generating unit j, and Dj = mWh of electricity demand at generating unit j. The demand constraints can then be written as follows: ■ EMBED Equation.3 ■■■ for all generating units Note: Because of the large number of calculations that must be made to compute the objective function and constraint coefficients, we developed an Excel spreadsheet model for this problem.

Copies of the data and model worksheets are included after the discussion of the solution to parts (a) through (f).

1. The number of tons of coal that should be purchased from each of the mining companies and where it should be shipped is shown below: ■Miami Fort # 5■Miami Fort # 7■Beckjord■East Bend■Zimmer■■RAG■0■0■61,538■288,462■ 0■■Peabody■217,105■11,278■71,617■0■0■■American■0■0■0■0■275,000■■Consol■0■0 ■33,878■0■166,122■■Cyprus■0■0■0■0■0■■Addington■0■200,000■0■0■0■■Waterloo■0 ■0■98,673■0■0■■ The total cost to purchase, deliver, and process the coal is $53,407,243.

2. The cost of the coal in cents per million BTUs for each generating unit is as follows: Miami Fort #5■Miami Fort #7■Beckjord■East Bend■Zimmer■■111.84■136.97■127.24■103.85■114.51■■ 3. The average number of BTUs per pound of coal received at each generating unit is shown below: Miami Fort #5■Miami Fort #7■Beckjord■East Bend■Zimmer■■13,300■12,069■12,354■13,000■12,468■■ 4. The sensitivity report shows that the dual value per ton of coal purchased from American Coal Sales is -$13 per ton and the allowable increase is 88,492 tons. This means that every additional ton of coal that Duke Energy can purchase at the current price of $22 per ton will decrease cost by $13. So even paying $30 per ton, Duke Energy will decrease cost by $5 per ton. Thus, they should buy the additional 80,000 tons; doing so will save them $5(80,000) = $400,000.

5. If the energy content of the Cyprus coal turns out to be 13,000 BTUs per ton the procurement plan changes as shown below: ■Miami Fort # 5■Miami Fort # 7■Beckjord■East Bend■Zimmer■■RAG■0■0■61,538■288,462■ 0■■Peabody■36,654■191,729■71,617■0■0■■American■0■0■0■0■275,000■■Consol■0■0 ■33,878■0■166,122■■Cyprus■0■0■85,769■0■0■■Addington■200,000■0■0■0■0■■Waterlo o■0■0■0■0■0■■ 6. The dual values for the demand constraints are as follows: Miami Fort #5■Miami Fort #7■Beckjord■East Bend■Zimmer■■21■20■20■18■19■■ The East Bend unit is the least cost producer at the margin ($18 per mWh), and the allowable increase is 160,000 mWh. Thus, Duke Energy should sell the 50,000 mWh over the grid. The additional electricity should be produced at the East Bend generating unit. Duke Energys profit will be $12 per mWh. The Excel data and model worksheets used to solve the Duke Energy coal allocation problem are as follows: ■ SHAPE \* MERGEFORMAT ■■■■ ■ SHAPE \* MERGEFORMAT ■■■■ ■

■ ■ ■ Chapter 4 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■24■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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Duke Energy Coal Allocation Model (Data) Duke Energy Coal Allocation Model (Solution) ■■■■■■■■ ■■■)■■■Y■■■Z■■■[■■■\■■■■■■■■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■2 ■■3 ■■m ■■n ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■ ■■■ ■■# ■■$ ■■C ■■D ■■] ■■v ■■w ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■■■■■■■hu(■B*■OJ■■ QJ■■^J■■ph■■■■■■h9■B*■OJ■■QJ■■^J■■ph■■■■■■hu(■■■■h9■■■■h■■■■■■h■ ■■OJ■■QJ■■■■■h■■■5■CJ■■OJ■■QJ■■)■j■■■■■h■■■5■CJ0■OJ■■QJ■■U■■mH■ ■nH■■u■■■■h■■■5■CJ0■OJ■■QJ■■■■h■<■5■CJ ■OJ■■QJ■■■■hk■■5■CJ ■OJ■■QJ■■■■h■■■5■CJ ■OJ■■QJ■■■3■■■■ ■■■Z■■■\■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■Z ■■ ■■ ■■E ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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MS13E_Case_Chapter_06.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■-■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■(■■■:■■ ■:■■"■■■■■■5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■z■■■■■■■z■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■ ■■■■■■■ ■■8■■■: ■■$■■■^ ■■■■■■■■■■■■3■■:■■■■ ■■■■■■, ■■:■■■f ■■■■■■f ■■■■■■f ■■■■■■"■■■■■ ■"■■■■■■"■■■■■■,3■■■■■■.3■■■■■■.3■■■■■■.3■■■■■■.3■■■■■■.3■■■■■■.3 ■■$■■■4■■h■■■O7■■■■■R3■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■$,■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■U"■■@■■■"■■■■■■$,■■■■■■$,■■■■■■R3■■■■■■■■■■■■ ■■z■■■■■■■z■■■■■■■f ■■■■■■■■■■■■■■f ■■■■■g3■■■■■■/■■■■■■/■■■■■■/■■■■■■$,■■■■■z■■■8■■■f ■■■■■■■■■■■■■f ■■■■■■,3■■■■■■■■■■■■■■/■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■$,■■■■■■,3■■■■■■■■■■■■■■/■■■ ■■■■■■■■■■■/■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■/■■■■■■f ■■■■■■ ■■ ■■■~8W■■■■■■■■■■ ■■■■■■,■■■■■/■■■■■■■■■■■■■■h1■■■■■}3■■0■■■ 3■■■■■■/■■■■■■7■■■■■■4-■■T■■■7■■■■■■/■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■/■■■■■7■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■0■■■■■"■■$■■■%■■>■■■/■■■■■■'■■■■■)■■a■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■"■■■■■■"■■■■■■"■■■■■■R3■■■■■■R3 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.■■B■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■"■■■■■■"■■■■■■"■■■■■■3■■■■■■$,■■■■■■$,■■■■ ■■$,■■■■■■$,■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■$■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■z■ ■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■Chapter 6 Distribution and Network Models Case Problem 1: Solution Plus 1. This case can be formulated as a transportation problem with the Cincinnati and Oakland production facilities as the origins. The locations of the railway stations are the destinations. Each objective function coefficient is the sum of the production cost at an origin and the freight cost to

ship from the origin to a destination. The minimum cost solution has a value of $1,318,985 and 773,522 gallons of cleaning fluid are produced and shipped. So, the average cost per gallon of producing the cleaning fluid and shipping it to the railway stations is $1.705168. Shown below is the optimal shipping plan.

■Cincinnati■Oakland■■Santa Ana■0■22418■■El Paso■6800■0■■Pendleton■39636■40654■■Houston■100447■0■■Kansas City■24570■0■■Los Angeles■0■64761■■Glendale■0■33689■■Jacksonville■68486■0■■Little Rock■148586■0■■ Bridgeport■111475■0■■Sacramento■0■112000■■Total■500000■273522■■ From the shipping plan it can be seen that the Cincinnati plant is at capacity. The dual value for the Cincinnati capacity constraint indicates that if more capacity can be made available the total cost can be decreased by $.11 for every additional gallon up to 40,654.

2. Since it costs Solutions Plus $1.705168 per gallon to produce and deliver the cleaning fluid to the railroad, this is the breakeven point. If Mr. Miller bids any less, Solutions Plus will lose money on the contract.

3. A 15% profit margin corresponds to a price of 1.15($1.705168) = $1.9609432 per gallon.

Rounding up, we would recommend the president bid $1.97 per gallon if a 15% profit margin is desired.

4. If management of Solutions Plus expects oil prices to go up, they can also expect freight rates to go up. The breakeven point found by solving the minimum cost transportation problem is using freight rates for the first year. So, management should perhaps bid a bit higher to allow for an increase in freight rates in the second year of the contract. You might offer to resolve the problem assuming, say, a 10% increase in freight rates to see what the breakeven point would be in this situation. On the other hand, if freight rates are expected to go down in the second year, management might want to bid a bit lower to increase the chances of winning the contract.

■ SHAPE \* MERGEFORMAT ■■■■ Case Problem 2: Distribution Systems Design Three related linear programming models were developed and solved to answer the questions in this case. First, we developed a linear programming formulation of the network model shown on the following page; we refer to this network model and the corresponding linear program as the Part 2 Network Model and the Part 2 Linear Program, respectively. Variations of the Part 2 Linear Program were then used to answer the questions in parts 1 and 3. For instance, to answer the question concerning the existing system in part 1 we added constraints to the Part 2 Linear Program which set the flow equal to 0 over the distribution center-customer arcs that Darby does not currently use.

For Part 3, we added three plants to customer arcs to the Part 2 Network Model and corresponding linear program: El Paso - San Antonio, San Bernardino - Los Angeles, and San Bernardino - San Diego.

The decision variables used in each of the linear programs use 4 letters to describe the amount of flow over each arc. The first two letters in each variable name identify the from node and the second two letters identify the to nodes. For instance, EPFW represents the amount shipped from El Paso to Ft. Worth and LVDE represents the amount shipped from Las Vegas to Denver.

A description of the LP models that provide the basis for answering the questions in the managerial report follows the network model for the questions in part 2.

Part 2 Network Model: ■ LP Model and Solution for Part 2 MIN 13.7EPFW + 12.7EPSF + 14.7EPLV + 13.9SBSF + 11.2SBLV + .3FWDA + 2.1FWSA + 3.1FWWI + 4.4FWKC + 6.0FWDE + 5.2SFDA + 5.4SFSA + 4.5SFWI + 6.0SFKC + 2.7SFDE + 4.7SFSL + 3.4SFPH + 3.3SFLA + 2.7SFSD + 5.4LVDE + 3.3LVSL + 2.4LVPH + 2.1LVLA + 2.5LVSD S.T.

1) EPFW + EPSF + EPLV <= 30000 2) SBSF + SBLV <= 20000 3) FWDA + FWSA + FWWI + FWKC + FWDE - EPFW = 0 4) SFDA + SFSA + SFWI + SFKC + SFDE + SFSL + SFPH + SFLA + SFSD - EPSF - SBSF = 0 5) LVDE + LVSL + LVPH + LVLA + LVSD - EPLV - SBLV = 0 6) FWDA + SFDA = 6300 7) FWSA + SFSA = 4880 8) FWWI + SFWI = 2130 9) FWKC + SFKC = 1210 10) FWDE + SFDE + LVDE = 6120 11) SFSL + LVSL = 4830 12) SFPH + LVPH = 2750 13) SFLA + LVLA = 8580 14) SFSD + LVSD = 4460 Objective Function Value = 600942.000 Variable Value Reduced Costs EPFW 14520.000 0.000 EPSF 6740.000 0.000 EPLV 0.000 1.800 SBSF 0.000 2.900 SBLV 20000.000 0.000 FWDA 6300.000 0.000 FWSA 4880.000 0.000 FWWI 2130.000 0.000 FWKC 1210.000 0.000 FWDE 0.000 4.300 SFDA 0.000 3.900 SFSA 0.000 2.300 SFWI 0.000 0.400 SFKC 0.000 0.600 SFDE 6120.000 0.000 SFSL 0.000 1.200 SFPH 0.000 0.800 SFLA 0.000 1.000 SFSD 620.000 0.000 LVDE 0.000 2.900 LVSL 4830.000 0.000 Variable Value Reduced Costs

LVPH 2750.000 0.000 LVLA 8580.000 0.000 LVSD 3840.000 0.000 LP Model and Solution for Part 1 Questions (Existing System) The following constraints were added to the above LP Model so that each customer can only be served by the distribution center it is currently served by.

15) SFDA = 0 16) SFSA = 0 17) SFWI = 0 18) SFKC = 0 19) SFLA = 0 20) SFSD = 0 21) LVDE = 0 22) FWDE = 0 23) LVSL = 0 24) LVPH = 0 The optimal solution shows that the total cost (manufacturing plus distribution) of the existing system is $620,770. Details of this solution and the modifications suggested in questions 2 and 3 are contained in the Summary of Optimal Solutions.

LP Model and Solution for Part 3 (Plant-Customer Shipments) The network model for the part 2 questions must be modified by adding 3 arcs: San Bernardino Los Angeles, San Bernardino - San Diego, and El Paso - San Antonio. The corresponding linear program must also be modified to incorporate the new variables.

A summary of the optimal solutions suggested by questions (1), (2), and (3) follows.

■ ■ Discussion 1. With the current system of assigning customers to distribution centers, the minimum total cost is $620,770; the total cost is the sum of $426,710 for manufacturing and $194,060 for shipping. One might suspect that restricting customers to a single distribution center is not optimal.

2. Allowing customers to be serviced by any distribution center reduces total cost to $600,942; the total cost consists of $423,230 of manufacturing cost and $177,712 of shipping cost. This is a 3.19% decrease in total cost and an 8.42% decrease in shipping cost. Only one customer, San Diego, is served by more than one distribution center.

3. Allowing some direct shipments from plants to customers causes a substantial reduction in total cost. The total cost is $553,534, a 10.83% reduction over the current plan. Note, however, there is a 32.85% reduction in shipping cost. Again, one customer, Phoenix, receives shipments from 2 distribution centers.

4. Total capacity at the two plants (50,000 units) is adequate to handle the growth in demand.

However, the company might want to consider expanding the more efficient San Bernardino plant.

The dual value from Part 3 output (not shown here) indicates that each unit of added capacity will reduce distribution costs by $2.50. However, the range of feasibility shows this dual value is only applicable for the net 620 units of capacity. Additional computer runs with higher capacity levels for San Bernardino are recommended.

■ ■ ■ ■ Chapter 6 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■42■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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MS13E_Case_Chapter_07.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■t■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■>■■■:■■■: ■■7-■■■■■■5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■C■■■■■■C■■■■■■C■■8■■■C■■<■■■■D■■■■■■ ■■■■■■X■■*■■■E■■■■■■E■■:■■■■F■■■■■■■F■■■■■■■F■■■■■■sG■■■■■■s G■■■■■■sG■■■■■■W■■■■■■W■■■■■■W■■■■■■W■■■■■■W■■■■■■W■■■■■ ■W■■$■■■Y■■h■■■'\■■■■■W■■u■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■sG■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■QG■■"■■■sG■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■W■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■F■■■■■■■■■■■■■■■F■■9■■■OX■■■■■■)I■■■■■ ■)I■■■■■■)I■■■■■■sG■■X■■■■■■■■■■■F■■■■■■■■■■■■■■F■■■■■■W■■■■ ■■■■■■■■■■)I■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■sG■■■■■■W■■■■■■■■■■■■■■)I■■■■■■)I■■■■■ N■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■lO■■■■■■■F■■■■■■E■■ ■■■■■oW■■■■■■■■■C■■■■■■G■■X■■■(O■■ "■■■■■■■■■■■O■■■■■eX■■0■■■X■■■■■■JO■■"■■■\■■■■■■#H■■■■■■\■■D■ ■■lO■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■lO■■8■■■\■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■O■■4■■■sG■■■■ ■■sG■■■■■■)I■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■W■■■■■■W■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■)I■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■sG■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■X■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■sG■■■■■■sG■■

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■ The subscripts correspond to the books as follows: i■Book■■1■Business Calculus■■2■Finite Math■■3■General Statistics■■4■Mathematical Statistics■■5■Business Statistics■■6■Finance■■7■Financial Accounting■■8■Managerial Accounting■■9■English Literature■■10■German■■ An integer programming model for maximizing projected sales (thousands■ ■o■f■ ■u■n■i■t■s■)■ ■s■u■b■j■e■c■t■ ■t■o■ ■t■h■e■ ■r■e■s■t■r■i■c■t■i■o■n■s■ ■m■e■n■t■i■o■n■e■d■ ■i■s■ ■g■i■v■e■n■.■ ■ ■M■a■x■■■2■0■x■1■■■+■■■3■0■x■2■■■+■■■1■5■x■3■■■+■■■1■0■x■4■■■+■ ■■2■5■x■5■■■+■■■1■8■x■6■■■+■■■2■5■x■7■■■+■■■5■0■x■8■■■+■■■2■0■x■ 9■■■+■■■3■0■x■1■0■■■■■■■■■s■.■t■.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■3■0■x■1■■■+■■■1■6■x■2■■■+■■■2■4■x■3■■■+■ ■■2■0■x■4■■■+■■■1■0■x■5■■■■■■■■■■■■■■■+■■■4■0■x■9■■■■■■■■■6■0■ ■ ■ ■J■o■h■n■■■■■■■4■0■x■1■■■+■■■2■4■x■2■■■■■■■■■■■■■■■■■■■+■■ ■2■4■x■7■■■+■■■2■8■x■8■■■+■■■3■4■x■9■■■+■■■5■0■x■1■0■■■■■4■0■ ■ ■ ■S■u■s■a■n■■■■■■■■■■■■■■■3■0■x■3■■■+■■■2■4■x■4■■■+■■■1■6■x■5■■ ■+■■■1■4■x■6■■■+■■■2■6■x■7■■■+■■■3■0■x■8■■■+■■■3■0■x■9■■■+■■■3■6 ■x■1■0■■■■■4■0■ ■ ■ ■M■o■n■i■c■a■■■■■■■■■■■■■■■x■3■■■+■■■x■4■■■+ ■■■x■5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■2■ ■ ■ ■N■o■.■ ■o■f■ ■S■t■a■t■ ■B ■o■o■k■s■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■x■7■■■+■■■x■8■■■■■■■■ ■■■■■ ■1■ ■ ■ ■A■c■c■o■u■n■t■ ■B■o■o■k■■■■■■■x■1■■■+■■■x■2■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■=■■■ ■1■ ■ ■ ■M■a■t■h■ ■B■o■o■k■■■■■x■i■ ■=■ 0, 1 for all i The optimal solution (x2 = x5 = x6 = 1) calls for publishing the finite math, the business statistics and the finance books. Projected sales are 73,000 copies.

(1) If Susan can be made available for another 12 days, the optimal solution is x2 = x8 = 1. This calls for publishing the finite math and managerial accounting texts for projected sales of 80,000 copies.

(2) If Monica is also available for 10 more days, a big improvement can be made. The new optimal solution calls for producing the finite math book, the business statistics book, and the managerial accounting book. Projected sales are 105,000 copies.

(3) The solution in (2) above does not include any new books. In the long run this would appear to be a bad strategy for the company. A variety of modifications can be made to the model to examine the short run impact of postponing a revision. For instance, a constraint could be added to require publication of at least one new book.

Case Problem 2: Yeager National Bank A mixed integer linear programming (MILP) model can be used advantageously to assist in preparing a report for Mr. Wolff. Since the annual fixed costs of operating the lockboxes are not known exactly we formulate a model that can be used without that information. Then determine if information more precise than the $20,000 - $30,000 estimate is needed to make a final decision.

We formulate a model that can be solved to find the best set of locations with a given number of lockboxes. It is then solved 4 times to find the best set of locations with 1 lockbox, up to 2 lockboxes, up to 3 lockboxes, and up to 4 lockboxes. We then can address the question of whether annual operating cost information is needed from some or all of the potential lockbox locations.

We use the following variable definitions: P = 1 if a lockbox is in Phoenix; 0 otherwise S = 1 if a lockbox is in Salt Lake City; 0 otherwise A = 1 if a lockbox is in Atlanta; 0 otherwise B = 1 if a lockbox is in Boston; 0 otherwise PNW = 1 if the Northwest region is assigned to Phoenix; 0 otherwise PSW = 1 if the Southwest region is assigned to Phoenix; 0 otherwise . . .

BSE = 1 if the Southeast region is assigned to Boston; 0 otherwise The MILP model has 24 variables and 26 constraints. The objective function calls for minimizing lost interest income. To see how the objective function coefficients are computed, consider assigning the Northwest region to Phoenix. Daily collections are $80,000 and it takes 4 days to receive and process payments. At a 15% rate Yeager could save $48,000 = (.15)(4)($80,000) annually over this assignment if the Northwest collections could be credited to their account instantaneously. A similar calculation is made for all the other potential assignments. The objective function coefficients for P, S, A, and B are zero since we are not including the cost of operating the lockboxes at this stage.

Constraints (1) to (5) ensure that each region is assigned a lock box. Constraints (6) to (25) ensure that a region is only assigned to a lockbox location that is open. And, constraint (26) is a limitation on the number of lockbox locations that may be chosen. The right-hand-side of that constraint will be varied from 1 to 4 as the problem is solved 4 times. Shown below is the MILP model that is solved to find the optimal solution when up to 2 lockboxes may be used.

INTEGER LINEAR PROGRAMMING PROBLEM MIN 48PNW+27PSW+112.5PCE+135PNE+60PSE+24SNW+40.5SSW+67.5SCE+108SNE+90SS E+48ANW+5 4ASW+67.5ACE+81ANE+30ASE+48BNW+81BSW+90BCE+54BNE+45BSE S.T. 1) 1PNW+1SNW+1ANW+1BNW=1 2) +1PSW+1SSW+1ASW+1BSW=1 3) +1PCE+1SCE+1ACE+1BCE=1

4) +1PNE+1SNE+1ANE+1BNE=1 5) +1PSE+1SSE+1ASE+1BSE=1 6) 1PNW-1P<0 7) +1PSW-1P<0 8) +1PCE-1P<0 9) +1PNE-1P<0 10) +1PSE-1P<0 11) +1SNW-1S<0 12) +1SSW-1S<0 13) +1SCE-1S<0 14) +1SNE-1S<0 15) +1SSE-1S<0 16) +1ANW-1A<0 17) +1ASW-1A<0 18) +1ACE-1A<0 19) +1ANE-1A<0 20) +1ASE-1A<0 21) +1BNW-1B<0 22) +1BSW-1B<0 23) +1BCE-1B<0 24) +1BNE-1B<0 25) +1BSE-1B<0 26) +1P+1S+1A+1B<2 OPTIMAL SOLUTION Objective Function Value = 231.000 Variable Value -------------- --------------PNW 0.000 PSW 0.000 PCE 0.000 PNE 0.000 PSE 0.000 SNW 1.000 SSW 1.000 SCE 1.000 SNE 0.000 SSE 0.000 ANW 0.000

ASW 0.000 ACE 0.000 ANE 0.000 ASE 0.000 BNW 0.000 BSW 0.000 BCE 0.000 BNE 1.000 BSE 1.000 P 0.000 S 1.000 A 0.000 B 1.000 Constraint Slack/Surplus -------------- --------------1 0.000 2 0.000 3 0.000 4 0.000 5 0.000 6 0.000 7 0.000 8 0.000 9 0.000 10 0.000 11 0.000 12 0.000 13 0.000 14 1.000 15 1.000 16 0.000 17 0.000 18 0.000 19 0.000 20 0.000 21 1.000 22 1.000 23 1.000

24 0.000 25 0.000 26 0.000 With 2 lockbox locations, the lost interest income is $231,000. Resolving with values of 1, 3, and 4 on the right-hand-side of constraint 26 provides the following: No. of Lockboxes■ Locations■Lost Interest Income ($)■■1■Atlanta■280,500■■2■Salt Lake City & Boston■231,000■■3■Salt Lake City, Atlanta & Boston■216,000■■4■Salt Lake City, Phoenix, Atlanta & Boston■202,500■■ From this information, it is clear that if the fixed cost per lockbox location is anywhere between $20,000 and $30,000 two locations (Salt Lake City & Boston) should be chosen. Mr. Wolff can be told that he only needs to collect information and negotiate on the cost to choose a site in those 2 locations.

Case Problem 3: Production Scheduling with Changeover Costs A mixed integer programming model can be used advantageously to assist in developing recommendations. We describe such a model here; it has 48 decision variables and 64 constraints.

We show here how to use Microsoft Excel to formulate and solve the problem. The spreadsheet at the end shows how we set up the problem and the optimal solution. We describe the model now.

Variables There are variables for production, inventory, setup, and changeover in each week.

Pi = number of P-Heads produced in week i Hi = number of H-Heads produced in week i IPi = number of P-Heads in inventory at end of week i IHi = number of H-Heads in inventory at end of week i SPi = 1 if line is setup for P in week i, 0 if setup for H Changei = 1 if a changeover occurs at the beginning of week i, 0 otherwise Constraints There are constraints for production capacity, inventory balance, maintenance of safety stock, and enforcement of changeovers. Also, Excel requires that you identify the 0-1 (binary) variables in the Solver dialog box. The constraints as specified in the Excel Solver dialog box are as follows (references are to cells of the spreadsheet): B20:C27 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■B■3■4■:■C■4■1■ ■p■r■o■d■u■c■t■i■o■n■ ■c■a■p■a■c■i■t■y■,■ ■o■r■ ■n■o■n■n■e■g■a■t■i■v■i■t■y■ ■o■f■ ■s■l■a■c■k■ ■ ■ ■ ■G■2■0■:■G■2■7■ ■ ■H■3■4■:■H■4■1■ ■f■o■r■c■e■s■ ■C■h■a■n■g■e■i■ ■t■o■ ■1■ ■w■h■e■n■ ■a■ ■c■h■a■n■g■e■o■v■e■r■ ■o■c■c■u■r■s■ ■ ■ ■G■2■0■:■G■2■7■ ■ ■I■3■4■:■I■4■1■ ■ ■ ■ ■D■2■0■:■E■2■7■ ■ ■D■6■:■E■1■3■ ■e■n■d■i■n■g■ ■i■n■v■e■n■t■o■r■y■ ■ ■s■a■f■e■t■y■ ■s■t■o■c■k■ ■

■ ■ ■D■3■4■:■E■4■1■ ■=■ ■B■6■:■C■1■3■ ■b■e■g■.■ ■i■n■v■.■ ■+■ ■p■r■o■d■u■c■t■i■o■n■ ■-■ ■e■n■d■ ■i■n■v■.■ ■=■ ■d■e■m■a■n■d F18:F25 = Bin setup variables must be binary Note that even though the Changei variable must also be integer it is not necessary to require it because minimization will never let it be any bigger than it has to be. And, the second set of constraints force it to be ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■1■ ■w■h■e■n■e■v■e■r■ ■t■h■e■ ■s■e■t■u■p■ ■v■a■r■i■a■b■l■e■ ■c■h■a■n■g■e■s■ ■f■r■o■m■ ■1■ ■t■o■ ■0■ ■o■r■ ■f■r■o■m■ ■0■ ■t■o■ ■1■.■ ■ ■O■b■j■e■c■t■i■v■e■ ■ ■W■e■ ■w■a■n■t■ ■t■o■ ■m■i■n■i■m■i■z■e■ ■t■o■t■a■l■ ■c■o■s■t■ ■w■h■i■c■h■ ■i■s■ ■r■e■p■r■e■s■e■n■t■e■d■ ■b■y■ ■c■e■l■l■ ■J■2■3■ ■i■n■ ■t■h■e■ ■s■p■r■e■a■d■s■h■e■e■t■.■ ■ ■I■t■ ■i■s■ ■t■h■e■ ■s■u■m■ ■o■f■ ■p■r■o■d■u■c■t■i■o■n■ ■c■o■s■t■,■ ■i■n■v■e■n■t■o■r■y■ ■c■o■s■t■,■ ■a■n■d■ ■c■h■a■n■g■e■o■v■e■r■ ■c■o■s■t■.■ ■ ■ ■T■h■e■ ■S■p■r■e■a■d■s■h■e■e■t■ ■ ■T■he first 14 rows of the spreadsheet contain the data for the problem; information on demand, safety stock, various costs and beginning inventories are given. Cells B20:G27, as shown contain the optimal solution to the problem. Before solving, those cells were empty.

The spreadsheet formulation and solution are shown.

■ Solution Comments The spreadsheet contains the optimal solution. The minimum total cost is $119,154.35. The components of that cost are production: $117,374, inventory: $1280.■■■■■■■■ ■■■$■■■%■■■&■■■'■■■L■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■) ■■+ ■■, ■■- ■■D ■■F ■■G ■■H ■■[ ■■] ■■^ ■■_ ■■f ■■h ■■i ■■j ■■~ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■z ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■■■■■■■■h■■■■■h■■6■OJ■■QJ■■ ■h■■CJ■■■■■j■■■■■h■■U■■■■h■■OJ■■QJ■■■■■h■■5■CJ■■OJ■■QJ■■)■j■■■■ ■h■■5■CJ ■OJ■■QJ■■U■■mH■■nH■■u■■■■h■■5■CJ$■OJ■■QJ■■■■h■■ ■5■CJ ■OJ■■QJ■■■■h■■5■CJ ■OJ■■QJ■■■<■■■■ ■■■%■■■'■■■L■■■M■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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From cells F20:F27 we see that the line will be setup to produce P-Heads in weeks 1-3 and H-Heads in weeks 4-8. Cell G23 shows that there will be a changeover from producing P-Heads to H-Heads at the beginning of week 4.

By adjusting the data for this problem (e.g. beginning inventories and the various costs) a number of variations of this problem can be created with the same basic model. Also, one might want to vary the safety stock requirements and the number of weeks in the planning horizon to create other variations of the problem.

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MS13E_Case_Chapter_08.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■V■■■■■■■■■■■X■■■■■■■■■■■U■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■,*■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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3. After rebalancing, Ms. Delgado has $100,000 - $1090.311 = $98,909.689 4. To calculate the expected amount in the Intermediate-Term bond fund at year end, figure out the year-end amount in each scenario and then weight each scenario by a factor of 1/5 = .2. Since Ms. Delgado started with $51,268.51 after rebalancing, this gives $51,268.51 + (.2)(.1764)( $51,268.51) + (.2)(.0325)( $51,268.51) + (.2)(.0751)( $51,268.51) - (.2)(.0133)( $51,268.51) +(.2)(.0736)( $51,268.51) = $51,268.51 + $3530.35 = $54,798.86 5. From the LINGO solution we see that Ms. Delgado can expect an average return of $10,000 on her investment. After rebalancing (see question 3) Ms. Delgado has $98,909.689 in her portfolio to start the year, so she is getting a return of greater than 10 percent on the amount of money she starts with after rebalancing! However, this is not what she wants or expects. Since she starts the

year with $98,909.689 after rebalancing and earns (in expectation) $10,000 she can expect $98,909.689 + $10,000 = $108,909.689 in her portfolio. However, this does not give a return of 10 percent on her original portfolio of $100,000 which is what she expected. In order to end up with a return of at least 10 percent on her original portfolio she must have at least $110,000.00 in her portfolio at the end of the year.

6. Here is the formulation that provides an expected value at least $110,000 at year end.

MIN = (1/5)*((R1 - RBAR)^2 + (R2 - RBAR)^2 + (R3 - RBAR)^2 + (R4 - RBAR)^2 + (R5 - RBAR)^2); ! THE SCENARIO RETURNS; 1.1006*FS + 1.1764*IB + 1.3241*LG + 1.3236*LV + 1.3344*SG + 1.2456*SV = R1; 1.1312*FS + 1.0325*IB + 1.1871*LG + 1.2061*LV + 1.1940*SG + 1.2532*SV = R2; 1.1347*FS + 1.0751*IB + 1.3328*LG + 1.1293*LV + 1.0385*SG + (1- .0670)*SV = R3; 1.4542*FS + (1 - .0133)*IB + 1.4146*LG + 1.0706*LV + 1.5868*SG + 1.0543*SV = R4; (1-.2193)*FS + 1.0736*IB + (1- .2326)*LG + (1- .0537)*LV + (1- .0902)*SG + 1.1731*SV = R5; ! PORTFOLIO AVERAGE RETURN; (1/5)*(R1 + R2 + R3+ R4 + R5) = RBAR; ! UNITY CONSTRAINT; FS + IB + LG + LV + SG + SV + TRANS_COST = 100000; RBAR > RMIN; RMIN = 10000 + 100000; ! DEFINE BUY AND SELL QUANTITIES; FS = FS_START + FS_BUY - FS_SELL; IB = IB_START + IB_BUY - IB_SELL; LG = LG_START + LG_BUY - LG_SELL; LV = LV_START + LV_BUY - LV_SELL; SG = SG_START + SG_BUY - SG_SELL; SV = SV_START + SV_BUY - SV_SELL; ! DEFINE TOTAL TRANSACTION COSTS; TRANS_COST = TRANS_FEE*(FS_BUY + FS_SELL + IB_BUY + IB_SELL + LG_BUY + LG_SELL + LV_BUY + LV_SELL + SG_BUY + SG_SELL + SV_BUY + SV_SELL); FS_START = 10000; IB_START = 10000; LG_START = 10000; LV_START = 40000; SG_START = 10000; SV_START = 20000; TRANS_FEE = 0.01; @FREE(R1); @FREE(R2); @FREE(R3);

@FREE(R4); @FREE(R5); 7. Here is the solution for the formulation in Question 7 using LINGO. Local optimal solution found.

Objective value: 0.3380209E+08 Total solver iterations: 46 Variable Value Reduced Cost R1 119713.7 0.000000 RBAR 110000.0 0.000000 R2 112235.3 0.000000 R3 105190.3 0.000000 R4 109673.8 0.000000 R5 103186.9 0.000000 FS 10000.00 0.000000 IB 44769.45 0.000000 LG 10870.66 0.000000 LV 0.000000 327.7706 SG 719.8605 0.000000 SV 32664.18 0.000000 TRANS_COST 975.8443 0.000000 RMIN 110000.0 0.000000 FS_START 10000.00 0.000000 FS_BUY 0.000000 41.03809 FS_SELL 0.000000 106.0720 IB_START 10000.00 0.000000 IB_BUY 34769.45 0.000000 IB_SELL 0.000000 147.1100 LG_START 10000.00 0.000000 LG_BUY 870.6613 0.000000 LG_SELL 0.000000 147.1100 LV_START 40000.00 0.000000 LV_BUY 0.000000 147.1100 LV_SELL 40000.00 0.000000 SG_START 10000.00 0.000000 SG_BUY 0.000000 147.1100 SG_SELL 9280.140 0.000000 SV_START 20000.00 0.000000 SV_BUY 12664.18 0.000000

SV_SELL 0.000000 147.1100 TRANS_FEE 0.1000000E-01 0.000000 Case Problem 2: Caf Compliance in the Auto Industry Note that the solution to this case uses LINGO output.

1. The model is ! PASSENGR CAR MILES PER GALLON; PASSMPG = 30; ! LIGHT TRUCK MILES PER GALLON; LTRUCKMPG = 20; ! PP - PASSENGER CAR PRICE; ! TP - LIGHT TRUCK PRICE; ! PD - PASSENGER CAR DEMAND ! TD - LIGHT TRUCK DEMAND; PD = 750 - 20*PP; TD = 830 - 17*TP; PCOST = 15; TCOST = 17; MAX = PD*(PP - PCOST) + TD*(TP - TCOST); The objective function PD*(PP - PCOST) + TD*(TP - TCOST) is the desired contribution margin.

2. The LINGO solution to the above model is Local optimal solution found.

Objective value: 6835.382 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 37 Variable Value Reduced Cost PASSMPG 30.00000 0.000000 LTRUCKMPG 20.00000 0.000000 PD 225.0000 0.000000 PP 26.25000 0.000000 TD 270.5000 0.000000 TP 32.91176 0.000000 PCOST 15.00000 0.000000 TCOST 17.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.000000 2 0.000000 0.000000

3 0.000000 11.25000 4 0.000000 15.91176 5 0.000000 -225.0000 6 0.000000 -270.5000 7 6835.382 1.000000 3. As seen from the LINGO solution in question 2, 225 passenger cars are sold and 270.5 light trucks are sold.

4. See Figure 8.17.

5. The Caf average is CAFEAVG = (PD + TD)/((PD/PASSMPG)+(TD/LTRUCKMPG)); which for the solution in 2 is 23.56718.

6. Adding CAFEAVG = (PD + TD)/((PD/PASSMPG)+(TD/LTRUCKMPG)); and CAFEAVG > 25; to the LINGO model gives Local optimal solution found.

Objective value: 6274.514 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 39 ■ ■ ■ ■ Chapter 8 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■54■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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■■:■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■4■■■■■■d■■■■ ■■■ ■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■2q■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■HX■■■ ■■■■■■?■■■■■■■■■■■■■■■■■■2■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■C■h■a■p■t■e■r■ ■1■0■■■■■■■■■P■r■e■f■e■r■r■e■d■ ■C■u■s■t■o■m■e■r■■■C■a■t■h■e■r■i■n■e■ ■J■.■ ■W■i■l■l■i■a■m■s■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Oh■■■+'0■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■<■■■ ■■■H■■■ ■■■T■■■ ■■■`■■■■■■■l■■■■■■■t■■■■■■■|■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■Chapter 10■■ ■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■Preferred Customer■■ ■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■Normal■■ ■■■■■■■Catherine J. Williams■■■ ■■■■■■■4■■■ ■■■■■■■Microsoft Office Word■■■ @■■■■F#■■■■@■■■■H)n■@■■■■4X■@■■■■b"■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■0■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■!■■■"■■■#■■■$■■■%■■■'■■■(■■■)■■■*■■■+■■■,■■ ■-■■■/■■■0■■■1■■■2■■■3■■■4■■■5■■■6■■■7■■■8■■■9■■■:■■■;■■■<■■■=■ ■■>■■■?■■■@■■■A■■■B■■■C■■■D■■■F■■■G■■■H■■■I■■■J■■■K■■■L■■■N

■■■O■■■P■■■Q■■■R■■■S■■■T■■■W■■■R■o■o■t■ ■E■n■t■r■y■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■F■ ■■■■■■■■■■■"■Y■■■■■■■■■■D■a■t■a■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■&■■■■■■■■■■■1■T■a■b ■l■e■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.■■■,■■■■■■ W■o■r■d■D■o■c■u■m■e■n■t■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■:J ■■■■■■■■S■u■m■m■a■r■y■I■n■f■o■r■m■a■t■i■o■n■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■(■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■E■■■■■■■■■■ ■■■D■o■c■u■m■e■n■t■S■u■m■m■a■r■y■I■n■f■o■r■m■a■t■i■o■n■■■■■■■■■■■ 8■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■M■■■■■■■■■■■■ ■C■o■m■p■O■b■j■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■q■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■ ■■■■■■■■■■■■F ■■■Microsoft Office Word Document■ ■■■MSWordDoc■■■■■Word.Document.8■9q■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

MS13E_Case_Chapter_09.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■\■■■■■■■■■■■^■■■■■■■■■■■[■■■■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■:■■■:■■ ■■■■■■5■■■■■■■■■■■■■■■"■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■z■■■■■■■z■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■<■■■■■■<■■■■■■<■■8■■■<■■4■■ ■<■■■■■■■■■■■■)T■■■■■>■■(■■■>■■:■■■(?■■■■■■(?■■■■■■>?■■■■■■OA■ ■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■TS■■■■■■VS■■■■■■VS■■■■■■VS■■■■■■VS■■■■ ■■VS■■■■■■VS■■$■■■■U■■h■■■{W■■■■■zS■■i■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■OA■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■A■■@■■■OA■■■■■■OA■■■■■■OA■■■ ■■■zS■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■(?■■■■■■■■■■■■■■>?■■■■■S■ ■■■■■C■■■■■■C■■■■■■C■■■■■■OA■■■■■z■■■8■■■(?■■■■■■■■■■■■■>?■ ■■■■■TS■■■■■■■■■■■■■■C■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■OA■■■■■■TS■■■■■■■■■■■■■■C■■■■■■C■■■■■H■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■J■■■■■■>?■■■■■■>■■ ■■■@`■■■■■■■■■<■■■■■■A■■ ■■■I■■"■■■■■■■■■■■pJ■■■■■S■■0■■■)T■■■■■■I■■"■■■■X■■■■■■B■■■■■■ X■■D■■■■J■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■X■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■J■■X■ ■■OA■■■■■■OA■■■■■■C■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■zS■■■■■■zS■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■5C■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■)T■■■■■■OA■■■■■■OA■■■■■■ OA■■■■■■OA■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■7■■<■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■<■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■ z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Chapter 9 Project Scheduling: PERT/CPM ■ Case Problem: R.C. Coleman 1. R.C. Coleman's Project Network ■ Activity■Expected Time■Variance■■A■ 6■0.44■■B■ 9■2.78■■C■ 4■0.44■■D■12■7.11■■E■10■1.00■■F■ 6■0.44■■G■ 8■7.11■■H■ 6■0.44■■I■ 7■2.78■■J■ 4■0.11■■K■ 4■0.44■■ Activity■Earliest Start■Latest Start■Earliest Finish■Latest Finish■ Slack■Critical Activity■■A■ 0■ 3■ 6■ 9■3■■■B■ 0■ 0■ 9■ 9■0■Yes■■C■ 9■ 9■13■13■0■Yes■■D■13 ■17■25■29■4■■■E■13■13■23■23■0■Yes■■F■23■23■29■29■0■Yes■■G■13■21■21■2 9■8■■■H■29■29■35■35■0■Yes■■I■29■32■36■39■3■■■J■35■35■39■39■0■Yes■■K■ 39■39■43■43■0■Yes■■ The expected project completion time is 43 weeks. The critical path activities are B-C-E-F-H-J-K. The variance of the critical path is 5.67.

■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Area = 0.3962 P(T ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■4■0■)■ ■=■ ■0■.■5■0■0■0■ ■-■ ■0■.■3■9■6■2■ ■=■ ■0■.■1■0■3■8■ ■ ■ ■G■i■v■e■n■ ■t■h■e■ ■a■b■o■v■e■ ■c■a■l■c■u■l■a■t■i■o■n■s■,■ ■w■e■ ■c■a■n■ ■c■o■n■c■l■u■d■e■ ■t■h■a■t■ ■t■h■e■r■e■ ■i■s■ ■a■b■o■u■t■ ■a■ ■1■0■%■ ■c■h■a■n■c■e■ ■t■h■a■t■ ■t■h■e■ ■p■r■o■j■e■c■t■ ■c■a■n■ ■b■e■ ■c■o■m■p■l■e■t■e■d■ ■i■n■ ■4■0■ ■w■e■e■k■s■ ■o■r■ ■l■e■s■s■.■ ■ ■C■o■l■e■m■a■n■ ■s■h■o■u■l■d■ ■c■o■n■s■i■d■e■r■ ■c■r■a■s■h■i■n■g■

■p■r■o■j■e■c■t■ ■a■c■t■i■v■i■t■i■e■s■.■ ■ ■■■2■.■ ■ ■ ■ ■ ■F■o■r■ ■8■0■%■ ■c■h■a■n■c■e■,■ ■ ■ ■ ■z■ ■=■ ■+■0.84 Thus ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Solve for E(T) = 38 weeks.

R.C. Coleman should crash activities to reduce the expected project completion time to 38 weeks.

3. In this section, we will use expected activity times as normal times and use a linear programming model based on expected times to make the crashing decisions.

Let xi = the completion time for activity i yi = the amount of crash time for activity i Min 450yA + 400yB + 600yC + 300yD + 1000yE + 550yF + 750yG +■ ■ ■7■0■0■y■H■ ■ ■+■ ■ ■8■0■0■y■I■ ■ ■+■ ■4■0■0■y■J■ ■ ■+■ ■ ■5■0■0■y■K■ ■■■ ■ ■ ■s■.■t■.■ ■ ■ ■ ■x■A■ ■+■ ■y■A■ ■ ■ ■ ■6■ ■■■ ■ ■ ■x■B■ ■+■ ■y■B■ ■ ■ ■ ■ ■9■ ■ ■ ■ ■x■C■ ■+■ ■y■C■ ■■ ■x■A■ ■ ■ ■ ■4■ ■ ■ ■ ■x■C■ ■+■ ■y■C■ ■■ ■x■B■ ■ ■ ■ ■4■ ■ ■ ■ ■x■D■ ■+■ ■y■D■ ■■ ■x■C■ ■ ■ ■ ■1■2■ ■ ■ ■ ■x■E■ ■+■ ■y■E■ ■■ ■x■C■ ■ ■ ■ ■1■0■ ■ ■ ■ ■x■F■ ■+■ ■y■F■ ■■ ■x■E■ ■ ■ ■ ■6■ ■ ■ ■ ■x■G■ ■+■ ■y■G■ ■■ ■x■C■ ■ ■ ■ ■8■ ■ ■ ■ ■x■H■ ■+■ ■y■H■ ■■ ■x■F■ ■ ■ ■ ■6■ ■ ■ ■ ■x■H■ ■+■ ■y■H■ ■■ ■x■G■ ■ ■ ■ ■6■

■ ■ ■ ■x■I■ ■+■ ■y■I■ ■■ ■x■D■ ■ ■ ■ ■7■ ■ ■ ■ ■x■I■ ■+■ ■y■I■ ■■ ■x■F■ ■ ■ ■ ■7■ ■ ■ ■ ■x■J■ ■+■ ■y■J■ ■■ ■x■H■ ■ ■ ■ ■4■ ■ ■ ■ ■x■K■ ■+■ ■y■K■ ■■ ■x■I■ ■ ■ ■ ■4■ ■ ■ ■ ■x■K■ ■+■ ■y■K■ ■■ ■x■J■ ■ ■ ■ ■4■■■ ■ ■x■K■ ■ ■ ■ ■3■8■ ■ ■ ■ ■y■A■ ■ ■ ■ ■2■ ■ ■ ■ ■ ■y■B■ ■ ■ ■ ■2■ ■ ■ ■ ■ ■y■C■ ■ ■ ■ ■2■ ■ ■ ■ ■ ■y■D■ ■ ■ ■ ■4■ ■ ■ ■ ■ ■y■E■ ■ ■ ■ ■3■ ■ ■ ■ ■ ■y■F■ ■ ■ ■ ■2■ ■ ■ ■ ■ ■y■G■ ■ ■ ■ ■3■ ■ ■ ■ ■ ■y■H■ ■ ■ ■ ■2■ ■ ■ ■ ■y■I■ ■ ■ ■ ■3■ ■ ■ ■ ■y■J■ ■ ■ ■ ■1■ ■ ■ ■ ■y■K■ ■ ■ ■ ■1■ ■ ■ ■ ■A■l■l■ ■x■i■,■y■i■ ■ ■ ■ ■0■■■■■ ■ ■ ■T■h■e■ ■o■p■t■i■m■a■l■ ■c■r■a■s■h■i■n■g■ ■d■e■c■i■s■i■o■n■s■ ■a■r■e■ ■a■s■ ■f■o■l■l■o■w■s■:■ ■

■C■r■a■s■h■ ■A■c■t■i■v■i■t■y■■■W■e■e■k■s■■■C■o■s■t■■■■■B■■■2■■■ ■8■0■0■■■■■F■■■1■■■ ■5■5■0■■■■■J■■■1■■■ ■4■0■0■■■■■K■■■1■■■ ■5■0■0■■■■■■■T■o■t■a■l■ ■■■2■2■5■0■■■■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■A■ ■r■e■v■i■s■e■d■ ■a■c■t■i■v■i■t■y■ ■s■c■h■e■d■u■l■e■ ■b■a■s■e■d■ ■o■n■ ■t■h■e■s■e■ ■c■r■a■s■h■i■n■g■ ■d■e■c■i■s■i■o■n■s■ ■i■s■ ■a■s■ ■f■o■l■l■o■w■s■:■ ■ ■ ■A■ctivity■Earliest Start■Latest Start■Earliest Finish■Latest Finish■ Slack■Critical Activity■■A■0■1■6■7■1■■■B■0■0■7■7■0■Yes■■C■7■7■11■11■0■Yes■■D■11■14■2 3■26■3■■■E■11■11■21■21■0■Yes■■F■21■21■26■26■0■Yes■■G■11■18■19■26■7■ ■■H■26■26■32■32■0■Yes■■I■26■28■33■35■2■■■J■32■32■35■35■0■Yes■■K■35■3 5■38■38■0■Yes■■ The student should comment on the fact that the crashing decisions may alter the variance in the project completion time. By defining revised optimistic, most probable, and pessimistic times for crashed activi■■■■■■■■ ■■■'■■■(■■■)■■■D■■■k■■■l■■■ ■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■■ ■■' ■■( ■■) ■■* ■■■ ■■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■■■■■■■■(■■■)■■■■{mmamP■■■■■■■■■■■■■■■■ ■j`5< ■■■hs7■■U■■V■■mH■■nH■■u■■■■■hs7■■B*■OJ■■QJ■■ph■■■■■■hs7■■6■B*■OJ ■■QJ■■ph■■■■■$■j#■■■■hs7■■B*■EHOJ■■QJ■■U■■ph■■■■■ ■jm`5< ■■■hs7■■U■■V■■mH■■nH■■u■■■ ■j■■■■■hs7■■B*■OJ■■QJ■■U■■ph■■■■■■■j■ ■■■■hs7■■U■■■■hs7■■B*■OJ■■QJ■■ph■■■■ ■hs7■■5■B*■CJ■■OJ■■QJ■■ph■■■■■)■j■■■■■hs7■■5■CJ

■OJ■■QJ■■U■■mH■■nH■■u■■■■h ■5■CJ ■OJ■■QJ■■■■hs7■■5■CJ ■OJ■■QJ■■■ ■■■■ ■■■'■■■)■■■E■■■F■■■h■■■i■■■j■■■k■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■y■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■ ;■■X ■t■■■■ 8 ■■■■x■H■■ #&X;)(,.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■ ;■■X■t■■■■ 8 ■■■■x■H■■ #&X;)(,.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■"■■ 8■■X(■■■h 8 ■■■■x■H■■ #&X;)(,■■■■■■■■■■■■■■■■■■■d■■■"■■ 8■■X(■■■h 8 ■■■■x■H■■ #&X;)(,■■■■■■■■■■■■■■■■■■■d■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■k■■■m■■■n■■■o■■■x■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■,■■■$■ ;■■■p■ h p ■■■P■ !$`'0*■-/2p5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■d■■$■If■■■■]d■a$■■'■■■$■ ;■■■p■ h p ■■■P■ !$`'0*■-/2p5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■]■a$■■#■■■$■ ;■■X■t■■■■ 8 ■■■■x■H■■ #&X;)(,.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■a$■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■/■■■■■■■■■■■ ■■■■■■R■■kd■■■■■$■■$■If■■■■■F■■p■<■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■a■p■,■■■$■ ;■■■p■ h p ■■■P■ !$`'0*■-/2p5■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■d■■$■If■■■■]d■a$■R■■kd■■■■■$■ ■$■If■■■■■F■■p■<■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■ ■■■a■p■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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■ ■ ■ ■ Chapter 9 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■58■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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■ EMBED Canvas.5.Drawing \s ■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■#■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■Ε■■8■■?■■@■■F■■G■■I■■J■■K■■y■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■º■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■j ■■■hs7■■U■■■■j.:

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MS13E_Case_Chapter_10.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■;■■■■■■■■■■■=■■■■■■■■■■■:■■■o■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■c■■■:■■■:■■ ■■■■■■■6■■■■■■■■■■■■■■■C■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■z■■■■■■■z■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■8■■■ ■■■,■■■J■■■T■■■■■■■■■■■"■■■■■■■■■■■> ■■:■■■x ■■■■■■x ■■■■■■ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■1"■■■■■■3"■■■■■■3"■■■■■■3"■■■■■■3" ■■■■■■3"■■■■■■3"■■$■■■#■■h■■■■&■■■■■W"■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■_ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■^■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■W"■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■x ■■■■■■■■■■■■■■ ■■a■■■l"■■■■■■!■■■■■■!■■■■■■!■■■■■■_ ■■■■■z■■■R■■■x ■■(■■■■■■■■■■ ■■■■■■1"■■■■■■■■■■■■■■!■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■_ ■■■■■■1"■■■■■■■■■■■■■■!■■■■ ■■■■■■■■■■!■■■■■■■■■"■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■!■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■9■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■!■■■■■■■■■■■■■■!■■<■■■"■■0■■■"■■■■■■!■■■■■■&■■■■■■ ■■■■■& ■■■■■■!■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■&■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■!■■8■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■!■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■ ■■W"■■■■■■W"■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■!■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■"■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■_ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■■z■■■■■■ ■z■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

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■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Number of production runs = D/Q = 3.31/year Cycle Time = 250(Q) / D = 250(966.13) / 3200 = 75.48 days Reorder point: P(Stockout) = 1 / 3.31 = 0.3021 ■ r = 128 + 0.52(20) = 138.4 Safety stock = 138.4 - 128 = 10.4 Maximum inventory = (1 - 3200/12000)966.13 + 10.4 = 718.89 Annual holding cost = (354.25 + 10.4)(3.74) = $1363.79 Annual set up cost = 3.31(400) = $1363.79 Manufacturing cost = 3200($17) = $54,400 Total Annual Cost = $57,088.67 6. Recommend manufacturing the part Savings: $59,027.81 - 57,088.67 = $1,939.14 (3.3%) Case Problem 2: River City Fire Department 1. During a three-week scheduling period, a unit is scheduled seven days and must have at least 186 firefighters on duty each day. Thus, each unit must provide staffing for 7 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■186 = 1302 firefighter days During a three-week scheduling period, each firefighter provides six days of service. Thus, the base number of firefighters per unit must be ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■firefighters 2. The single-period inventory model can be used to determine the number of additional firefighters to be added to the unit to cover daily absences.

Let Q* = minimum cost number of additional firefighters If Demand < Q*, Q* has overestimated demand.

The cost of overestimating demand is the daily wage rate (d) for a firefighter. co = d If Demand > Q*, Q* has underestimated demand and overtime is needed.

The cost of underestimating demand is the overtime wage (1.55d) minus the wage rate (d) that would have been required if we had hired enough additional firefighters. cu = 1.55d - d = 0.55d Using the single period inventory model, ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Using the normal distribution, area = 0.5000 - 0.3548 = 0.1452. z = -0.37 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Use 18 additional firefighters.

3. From part 2, this is the probability demand will exceed 18.14 is 1 - 0.3548 = 0.6452. This is an acceptable approximation of the probability overtime will be needed.

A more complete analysis would include the fact that we have rounded the number of firefighters needed to 18. Then allowing for continuity correction, overtime would only be needed if demand exceeded 18.5 firefighters. Thus a revised estimate of the probability of overtime is: ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Area = .1179 P(Overtime) = .5000 + .1179 = .6179 4. Firefighters for each unit 217 + 18 additional = 235 Firefighters for the department (3 units) 3 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■235 = 705 firefighters ■ ■ ■ ■ Chapter 10 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■62■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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With 2 reservation agents: ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ The probability a caller will get a busy signal and be blocked is P2 = .1509.

Conclusion: The current system will answer approximately 85% of the calls immediately if two agents are employed. But, 15% of callers will receive a busy signal and be turned away. The ones turned away may not call back.

2. Expanded System with waiting allowed With 1 reservation agent: ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■hours (12 minutes) ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■hours (15 minutes) ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Operating the expanded reservation service with only one reservation agent appears unacceptable.

With 80% of incoming calls waiting (Pw = 0.80) and an average waiting time of 12 minutes (Wq =

12), the company clearly needs to consider using two or more agents.

Since Regional's management team agreed that an acceptable service goal was to immediately answer and process at least 85% of the incoming calls, the probability of waiting must be 15% or less. Computing Pw for k = 2 agents and k = 3 agents provides the following.

■ EMBED Word.Picture.8 ■■■ For k = 2 ■ For k = 3 ■ Based on the value of Pw, 3 reservation agents will be required to meet the service goal of answering 85% of the calls answered immediately. Other operating characteristics of the system with 3 reservation agents are as follows: P0 = 0.4472 Lq = 0.0189 L = 0.8189 Wq = 0.0012 hours = 0.07 minutes W = 0.0512 hours = 3.07 minutes 3. The analysis in parts (1) and (2) will provide discussion as to which is the best system. If meeting the service goal of answering 85% of the calls immediately is the only consideration, the current system is preferred. Only 2 reservation agents are needed. But, the drawback is that 15% of the callers will be turned away. The callers will either call back later or, perhaps, become lost business.

If the expanded system is employed, 3 reservation agents will be needed to meet the service goal of answering 85% of the calls immediately. But, the advantage is that all calls will be answered and the average waiting time is only .0012 hours, or approximately 4 seconds. An extra $20 per hour will be required with the third agent, but better overall service is provided and no customer has to call back.

Further analysis of the system with 3 reservation agents will provide additional information for management. For example, the probability of n units in the system is as follows: Units in the System 0 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ 1 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ 2 ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ Thus, the probability that there are three or more customers in the system: 1 (0.4472 + 0.3577 + 0.1431) = 0.0520.

The third agent would be busy when there are three or more customers in the system. The probability the third agent would be needed is 0.0520. This is equivalent to saying the agent would be utilized 5.2% of the time. During a one hour period, this would be 0.0520(60 minutes) = 3.12 minutes.

Management should be advised that the third agent will be underutilized. Is it worth $20 an hour to have an agent who needs to be available for 3.12 minutes? On an 8-hour basis, this is a cost of $160 for approximately 25 minutes of work. This analysis suggests that management should reconsider the system with two reservation agents. The operating characterizes of this system are as follows: P0 = 0.4286

Lq = 0.1524 L = 0.9524 Wq = 0.0095 hours = 34 seconds W = 0.0595 hours = 3.57 minutes Pw = 0.2286 The operating characteristics of this 2-agent system are still very good. With Pw = 0.2286, 1 - Pw = 0.7714, or approximately 77% of the calling customers will receive immediate service. But this is only 8% less than the target service goal of 85%. More importantly, the average waiting time is only 34 seconds, which is not unreasonable with todays telephone systems. This solution saves $20 per hour, or $160 per day, over the system with the underutilized third agent.

Look for some good discussion of the pros and cons of the alternative systems in this case. Each of three systems may be considered the best depending upon the criteria used by the analyst. A recommendation that provides management with the key summary statistics for all three systems and the advantages of each may be the best possible write-up for this case.

4. We would need to know the average arrival rate for each hourly period throughout the day. An analysis similar to the one above would determine the recommended number of reservation agents each hour. This information could then be used to develop full-time and part-time shift schedules which would meet the service goals.

Case Problem 2: Office Equipment, Inc. 1. ( = 1 call/50 hours = 0.02 calls per hour 2. Mean service time = travel time + repair time = 1 + 1.5 = 2.5 hours ( = 1 / 2.5 hours = 0.4 customers per hour 3. The travel time is 1 hour. While this is considered part of the service time it actually means that the customer will be waiting during the first hour of the service time. Thus, travel time must be added to the time spent in line as predicted model in order to determine the total customer waiting time.

4. The solution is: Probability that no customers are in the system 0.5380 Average number of customers waiting 0.2972 Average number of customers in the system 0.7593 Average time a customer spends in the waiting line 1.6082 hours* Average time until the machine is back in operation 4.1082 hours Probability of a wait more than one hour 0.4620 Hours a week the technician is not on service calls (0.5380) x 40 hours = 21.5 hours Total cost per hour for the service operation $155.93 *The average time a customer spends in the waiting line is 1.6082 hours. This is the average time for the service technician to complete all previous service call commitments and be ready to travel to the new customer. Since the average travel time is 1 hour for the service technician to reach the new customer's office, the total customer waiting time is 1.6082 + 1 = 2.6082 hours. Thus, the one technician is able to meet the company's 3-hour service guideline. The total cost is $155.93 per hour.

Note that the waiting line model indicates the probability that a customer has to wait is 0.4620.

Since all customers wait an average of 1-hour of travel time whenever the service technician is free, this probability is actually the probability that a customer will have to wait more than 1-hour for a

service technician to arrive.

5. If the company continues to use one technician when the customer base expands to 20 customers, the average time in the waiting line will increase to 6.9454 hours. With an average travel time of 1 hour, the average total waiting time will be 6.9454 + 1 = 7.9454 hours. The total cost will be $397.78 per hour. This average total waiting time is too long and a second technician is definitely necessary. The solution is: Probability that no customers are in the system 0.3525 Average number of customers in the waiting line 0.2104 Average number of customers in the system 1.1527 Average time a customer spends in the waiting line 0.5581 hours* Average time until the machine is back in operation 3.0581 hours Probability of a wait more than one hour 0.2949 Hours a week the technicians are not on service calls P0 = 0.3525 (0.3525) x 2 technicians x 40 hours = 28.2 hours P1 = 0.3525 (0.3525) x 1 technician x 40 hours = 14.1 hours Total = 42.3 hours Total cost per hour of service operation $275.27 *The average time a customer spends in the waiting line is 0.5581 hours. This is the average time for the service technician to complete all previous service call commitments and be ready to travel to the new customer. Since the average travel time is 1-hour for the service technician to reach the new customer's office, the total customer waiting time is 0.5581 + 1 = 1.5581 hours. Thus, two technicians are needed to meet the company's 3-hour service guideline when the company reaches 20 customers. The total cost is $275.27 per hour.

6. A comparison of two and three technicians with 30 customers shows that the average total waiting time with two technicians will be 2.6895 hours and the average total waiting time with three technicians will be 1.2626 hours. The hourly cost with two technicians is $391.94 and the hourly cost with three technicians is $397.08. While three technicians provide a smaller waiting time, two technicians are able to meet the 3-hour service guideline for a total lower cost. Thus, the company should continue to use two technicians when the customer base expands to 30 customers. Two service technicians provide the following: Probability that no customers are in the system 0.1760 Average number of customers in the waiting line 0.9353 Average number of customers in the system 2.3194 Average time a customer spends in the waiting line 1.6895 hours* Average time until the machine is back in operation 4.1895 hours Probability of a wait more than one hour 0.5600 Hours a week the technicians are not on service calls P0 = 0.1760 (0.1760) x 2 technicians x 40 hours = 14.08 hours P1 = 0.2640 (0.2640) x 1 technician x 40 hours = 10.56 hours Total = 24.64 hours Total cost per hour of service operation $391.94 *The average time a customer spends in the waiting line is 1.6895 hours. While the average travel time is 1-hour for the service technician to reach the new customer's office, the average total customer waiting time is 1.6895 + 1 = 2.6895 hours.

7. The OEI planning committees proposal anticipated that three technicians would be needed at a total cost of $397.08 per hour. Thus, the recommendation to stay with two technicians has as annual savings of (397.08 391.94) x 8 hours/day x 250 days/year = $10,280.

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Case Problem 1: Tri-State Corporation ■With the specific financial analysis data input into cells D3:D8, the formulas used to develop the portfolio projection worksheet are shown below. The rows are copied to extend the worksheet to the desired 30-year projection.

1. Increasing the annual investment rate in cell D7 will generate the following 30-year portfolio projections: Rate Projected Portfolio 5% $ 721,667 6% 815,397 7% 909,127 8% 1,002,857 A 1% increase in the annual investment rate increases the projected 30-year portfolio by $93,730.

The annual investment rate would have to be increased to 8% in order to achieve the $1,000,000 goal.

2. The simulation worksheet that we developed placed the simulated annual salary growth rate in column D and the simulated annual portfolio growth rate in column G. The revised data input section and the cell formulas used to develop the simulation worksheet are as follows.

■ Data Input Formula Worksheet Columns D to I ■ The simulated 30-year portfolio amounts will vary considerably from trial to trial. The uncertainty associated with the annual salary growth rate and the annual portfolio growth rate will show that there is uncertainty in reaching the $1,000,000 even if the annual investment rate is increased to 8%.

A few simulation trials will point out that the 30-year portfolio variability and the uncertainty of reaching the $1,000,000 goal. However, repeating the simulation numerous times will be necessary to provide an objective basis for estimating the probability of reaching $1,000,000.

We preformed the simulation of 1000 trials. The probability of reaching $1,000,000 was estimated to be 0.48. Thus, the simulation conclusion is that there is less than a 50% chance of reaching $1,000,000 even if an 8% investment rate is used. During the 1000 trials, the 30-year portfolio varied from $550,000 to $1,900,000. There was a 30% chance that the portfolio would not reach $900,000.

3. The simulation model suggests additional strategies should be considered to obtain a reasonably high probability of reaching the $1,000,000 portfolio goal. Increasing the annual investment rate to 9% or 10% may be worth considering. If this rate is getting too high, then extending the 30-year period by adding years may be the best strategy for reaching the $1,000,000 goal.

4. The longer 35-year period is definitely a good idea. Expanding the simulation spreadsheet by five years will show that almost every simulated 35-year portfolio exceeded $1,000,000. 1000 simulated trials with the 35-year period showed better than a 99% chance that the portfolio would exceed $1,000,000.

In fact, the extra five years increased the expected portfolio from $1,002,857 to $1,697,622, or almost $700,000. This result demonstrates the long-term advantages of investing.

5. The simulation worksheet can be used for any employee. The employee may enter his/her age, current salary, current portfolio, and any assumptions he/she cares to make about salary growth rate, investment rate, and portfolio growth rate. These assumptions in cells D3:D8 would be different for each employee and rows would be added to the worksheet to reflect the number of years appropriate for the employee.

By varying the inputs and projecting the ultimate portfolio value, the employees should be able to make investment observations such as the following: Begin early with an investment program. The more years the better the ending portfolio value.

Make new contributions to an investment program at the highest possible rate. Increasing the rate 1% or 2% will have a significant impact on the long-term portfolio.

Resist the temptation to use assets in investment programs for short-term personal expenditures.

Early withdraws can be shown to have a major impact the long-term portfolio value.

Be patient. Benefits of investment programs may not be significant for the first 5 to 10 years. It is really in the later years where a consistent investment program pays its biggest dividends.

Case Problem 2: Harbor Dunes Golf Course The Crystal Ball simulation worksheet that we used is as follows: ■ Cell Formulas: ■ 1. Selected statistical results: Simulation results for various. Below is one set of possible results: Statistics■Option 1■Option 2■■Mean■$11,062■$11,173■■Median■$11,160■$11,360■■Standard Deviation■$ 1,802■$ 1,838■■Minimum■$ 5,940■$ 5,760■■Maximum■$14,400■$14,400■■ Using the mean, the options are similar, but Option 2 is preferred with a daily revenue advantage of $11,173 - $11,062 = $111.

2. Go with Option 2: The $50 per replay option.

3. Without the replay option, Harbor Dunes reported $10,240 daily revenue. Thus the Option 2 replay policy is estimated to generate an additional revenue of $11,173 - $10,240 = $933 per day.

Over a 90-day spring season, the estimated revenue increase is 90 * $933 = $83,970. The replay policy is definitely worthwhile.

4. One suggestion is that Harbor Dunes wait until mid-morning to determine the afternoon replay option. If by mid-morning, the afternoon tee time reservations are relatively low, Harbor Dunes may want to offer the Option 1 replay policy which generates more demand for the afternoon tee times.

However, if by mid-morning, the afternoon tee time reservations were relatively high, Harbor Dunes would want to continue the Option 2 replay policy. Simulation runs could help determine a level of advance afternoon tee time reservations that would indicate whether to implement the Option 1 or Option 2 replay policy.

Case Problem 3: County Beverage Drive-Thru Excel worksheets patterned after those used for the ATM one- and two- channel simulations in Figure 15.15 and 15.17 may be used to solve this case problem. We recommend using one workbook with three worksheets, one for each of the following Drive-Thru designs: 1 channel with 1 clerk, 1 channel with 2 clerks and 2 channels with 2 clerks.

The 1 Channel with 1 Clerk Design Use the format of the Hammondsport 1 ATM simulation model and set up the data for the 1 channel with 1 clerk design as follows: ■ The interarrival time for customer 1 would be provided by the cell formula =-$B$4*LN(RAND()) The service time for customer 1 would be provided by the cell formula

=VLOOKUP(RAND(),$A$9:$C$16,3) The summary statistics formulas should be provided at the end of the simulation data. The =COUNTIF function can be used to count the number of customers who wait more than 6 minutes and more than 10 minutes.

The 1 Channel with 2 Clerks Design Use the format of the Hammondsport 1 ATM simulation model and set up the data for the 1 channel with 2 clerks design as follows: ■ The service time for customer 1 would be provided by the cell formula =VLOOKUP(RAND(),$A$9:$C$13,3) The summary statistics formulas should be provided at the end of the simulation data. The =COUNTIF function can be used to count the number of customers who wait more than 6 minutes and more than 10 minutes.

The 2 Channels with 2 Clerks Design Use the format of the Hammondsport 2 ATMs simulation model and set up the data as previously shown for the 1 channel with 1 clerk design. Customer interarrival times and service times are the same as shown for the 1 channel with 1 clerk design.

This part of the case is optional in that significant spreadsheet modeling skills are required to duplicate the 2-channel simulation model. Selected cell formulas area as follows: Cell I16 = G16 Cell J16 = 0 Cell I17 = IF(I16=MIN(I16,J16),G17,I16) Cell J17 = IF(J16=MIN(I16,J16),G17,J16) Cells I17 and J17 can be copied to fill columns I and J. The summary statistics formulas should be provided at the end of the simulation data. The =COUNTIF function can be used to count the number of customers who wait more than 6 minutes and more than 10 minutes.

Each design was tested with a 1000 customer simulation run. Data on the first 100 customers was discarded and summary statistics collected for a total of 900 customers.

Simulation results will vary but the approximate results are as follows: Characteristic■1 Channel 1 Clerk■1 Channel 2 Clerks■2 Channels 2 Clerks■■Number Waiting■640■377■167■■Probability of Waiting■0.71■0.42■0.19■■Average Waiting Time■6.1■1.0■0.4■■Maximum Waiting Time■37.8■11.7■9.3■■Utilization of Drive Thru■0.72■0.42■0.36■■Number Waiting > 6 Minutes■322■26■7■■Probability Waiting > 6 Minutes■0.36■0.03■0.01■■Number Waiting > 10 Minutes■191■4■1■■Probability Waiting > 10 Minutes■0.21■0.01■0.00■■ The 1 channel with 1 clerk system appears unacceptable. The mean waited time is over 6 minutes which exceeds the company guideline of 1.5 minutes. In addition, over 300 customers waiting over 6 minutes and almost 200 customers waited over 10 minutes. The company must do something to improve the service characteristics of its drive-thru operation or face the loss of substantial business.

The 1 channel with 2 clerks system appears to be the best design., The mean waiting time of approximately 1 minute is with the companys guideline of 1.5 minutes. Relatively few customers experienced the 6 to 10 minute waiting times. The performance of the 2 channel with 2 clerks system is the best overall, but the added cost may not justify the expansion to the two channel operation.

■ ■ ■ ■ Chapter 12 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■74■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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■ * Payoff values are the profit computed from the given revenue, property cost, construction expenses, property cost deposit and marketing research cost given in the problem.

■The decision tree with branch probabilities and expected values is as follows: If the market research is not conducted, Oceanview should go ahead and bid. The expected value of this action is $50,000 as shown at node 8 of the decision tree. However, the analysis shows that the recommended strategy is to conduct the market research first. the value of the market research exceeds its cost. The optimal strategy is as follows: If the market research predicts approval of the zoning change, bid.

If the market research predicts rejection of the zoning change, do not bid.

The expected value of this strategy, including the cost of conducting the market research, is $78,993. The market research has a value of $78,993 - $50,000 = $28,993 over and above the cost of the research only.

Case Problem 2: Lawsuit Defense Strategy ■1. Decision Tree To find the optimal decision strategy, we must fold the tree back computing expected values at the chance nodes and choosing the least cost alternative at the decision nodes. Shown below are the values computed at each node.

Node■Value■■1■670■■2■670■■3■825■■4■600■■5■825■■ Shown below is the decision tree with all nonoptimal branches eliminated.

■ 2. Allied should not accept John's offer to settle for $750,000. The strategy associated with a counteroffer of $400,000 has an expected value of $670,000.

3. If John accepts Allied's counteroffer of $400,000, no further action is required. If John rejects Allied's counteroffer and elects to have a jury decide the settlement amount, Allied must prepare for a trial. If John counteroffers with $600,000, Allied should accept John's counteroffer.

4. To develop the risk profile for the optimal strategy, we simply multiple the branch probabilities on all paths to the end points of the decision tree. The risk profile is given below in tabular form.

Settlement Amount ($1000s)■ Probability■■0■0.08■■400■0.10■■600■0.50■■750■0.20■■1500■0.12■■■1.00■■ ■ ■ ■ ■ Chapter 13 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■78■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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MS13E_Case_Chapter_14.doc ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■>■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■6■■■■■■■■■■■8■■■■■■■■■■■5■■■■q` ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■e;■■■■bjbjqPqP■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■:X■■■:■■■:■■G ■■■■■■7■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■8■■■■■ ■L■■■8 ■■■■■■■■■■■■■ +■■,■■■ ■■■■■ ■■:■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■ ■■P*■■■■■■R*■■■■■■R*■■■■■■R*■■■■■■R*■■■■■■R*■■■■■■R*■■$■■■9,■■h ■■■.■■■■■v*■■Q■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■W ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■5 ■■"■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■v*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■ ■■9■■■*■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■W ■■p■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■P*■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■W ■■■■■■P*■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■%■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■8'■■■■ ■■ ■■■■■■ ■■ ■■■Cd■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■p■■■&■■"■■■■■■■■■■■l'■■■■■*■■0■■■ +■■■■■■■'■■"■■■-/■■■■■■7 ■■■■■-/■■D■■■8'■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■-/■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■8'■■4■■■W ■■■■■■W ■■■■■■ ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■v*■■■■■■v*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■ +■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■W ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■Chapter 14 Multicriteria Decision Problems ■ Case Problem: EZ Trailers, Inc. Let x11 = number of EZ-190 trailers produced in March x12 = number of EZ-190 trailers produced in April

x21 = number of EZ-250 trailers produced in March x22 = numb r of EZ-250 trailers produced in April s11 = EZ-190 ending inventory in March s12 = EZ-190 ending inventory in April s21 = EZ-250 ending inventory in March s22 = EZ-250 ending inventory in April P1 Goal: Meet demand for the EZ-250: March: 300 + x21 - s21 - ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 1000 (1) April: s21 + x22 - s22 - ■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■= 1200 (2) P2 Goal: Meet demand for the EZ-190: March: 200 + x11 - s11 -■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 800 (3) April: s11 + x12 - s12 -■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 600 (4) P3 Goal: Limit labor fluctuations from month to month to at most 1000: March: 5300 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■4■ ■x■1■1■ ■+■ ■6■ ■x■2■1■ ■ ■7■3■0■0■ ■ ■ ■ ■ ■4■ ■x■1■1■ ■+■ ■6■ ■x■2■1■ ■-■■■ ■E■M■B■E■D■ ■E■q■u■a■t■i■o■n■.■D■S■M■T■4■ ■ ■■■■■■■ ■=■ ■5■3■0■0■ ■ ■ ■ ■ ■(■5■)■ ■ ■ ■ ■ ■4■ ■x■1■1■ ■+■ ■6■ ■x■2■1■ ■-■■■ ■E■M■B■E■D■ ■E■q■u■a■t■i■o■n■.■D■S■M■T■4■ ■ ■■■■■■■ ■=■ ■7■3■0■0■ ■ ■ ■ ■ ■(■6■)■ ■ ■ ■ ■A■p■r■i■l■:■ ■ ■ ■ ■ ■(■4■ ■x■1■1■ ■+■ ■6■ ■x■2■1■)■ ■-■ ■1■0■0■0■ ■ ■4■ ■x■1■2■ ■+■ ■6■ ■x■2■2■ ■ ■(■4■ ■x■1■1■ ■+■ ■6■ ■x■2■1■)■ ■+■ ■1■0■0■0■ ■ ■ ■ ■ ■4■ ■x■1■2■ ■+■ ■6■ ■x■2■2■ ■=■ ■[■(■4■ ■x■1■1■+■ ■6■ ■x21) - 1000] +■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ or 4 x12 + 6 x22 - 4 x11 - 6 x21 -■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = -1000 (7) 4 x12 + 6 x22 = [(4 x11 + 6 x21) + 1000] +■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ or 4 x12 + 6 x22 - 4 x11 - 6 x21 -■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ = 1000 (8) The complete goal programming model is Min■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■ s.t.

■ all variables ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■0■ ■ ■ ■I■n■f■o■r■m■a■t■i■o■n■ ■N■e■e■d■e■d■ ■f■o■r■ ■t■h■e■ ■M■a■n■a■g■e■r■i■a■l■ ■R■e■p■o■r■t■

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■ EMBED Excel.Chart.8 \s ■■■ 2. Building an Excel model with dummy data using parameters Month1, Month2Month11 along with the period (t) for trend, we fit a model as shown below (for brevity, we round to 2 digits): Sales = 199.25 + 49.85819 Month1 + 29.17 Month2 + 33.49 Month3 23.53 Month4 - 20.88Month5 -67.90 Month6 62.58 Month7 - 57.26 Month8 -101.28 Month9 85.63 Month10 - 58.65 Month10 + 1.02t The MSE= 12.6. The following graph shows Sales (observed) and Fitted values with this model.

■ The data set below with Excel Solver were used to fit this model: ■ Using this fitted model to forecast for year 4 yields in the following forecasts: January■$286,750■■February■$267,084■■March■$272,417■■April■$216,417■■May■$220,0 84■■June■$174,084■■July■$180,417■■August■$186,750■■September■$143,750■■Octobe r■$160,417■■November■$188,417■■December■$248,083■■ Forecast error = $295,000 - $286,750 = $8,250.

The forecast we developed under predicted by $8,250; this represents a very small error (about 3%).

To ease any existing concern, the analysis can be easily updated each month.

Case Problem 2: Forecasting Lost Sales 1. The data used for the forecast is the Carlson sales data for the 48 months preceding the storm.

Using dummy variables with a model for trend and seasonal components assuming the hurricane

had not occurred the forecasts are as are as follows: Month■Forecast ($ million)■■September■2.23■■October■2.55■■November■3.11■■December■4.52■■ The fitted model is: Sales = 2.009 - .323 Sept -.016 Oct + .533 Nov + 1.934 Dec .107 Jan -.286 Feb + .003 Mar -.011 April +.193 May -.037 Jun .054 July - .011t where the month variables are dummy variables and t is the period.

2. The data used for this forecast is the total sales for the 48 months preceding the storm for all department sores in the county. Using dummy variables with a model for trend and seasonal components assuming the hurricane had not occurred the forecasts are as are as follows: Month■Forecast ($ million)■■September■49.89■■October■51.99■■November■66.24■■December■105.692■■ The fitted model is: Sales = 63.812 - 9.413 Sept - 7.221 Oct + 7.121 Nov + 46.663Dec 15.344 Jan - 13.152 Feb -2.860 Mar -4.568 April -.1626 May -5.434 Jun 6.392 July - .092 t where the month variables are dummy variables and t is the period.

3. By comparing the forecast of county-wide department store sales with actual sales, one can determine whether or not there are excess storm-related sales. We have computed a "lift factor" as the ratio of actual sales to forecast sales as a measure of the magnitude of excess sales.

■Forecast Sales ($ million)■Actual Sales ($ million)■Lift Factor■■■49.89■69.0■1.383■■■51.99 ■75.0■1.443■■■66.24■85.2■1.286■■■105.69■121.8■1.152■■ ■273.81■351.0■1.282 ■■ From the analysis a strong case can be made for excess storm related sales. For each month, actual sales exceed the forecast of what sales would have been without the hurricane. For the 4-month total, actual sales exceeded the forecast by 28.2%.

The explanation for the increase is that people had to replace real and personal property damaged by the storm. In addition, the additional construction workers, the disaster relief teams, and so on, created additional commercial activity in the area.

4. One approach would be to use the forecast of what sales would have been without the hurricane and then multiply by the lift factor to account for the excess storm-related sales. Such an estimate of lost sales is developed below: Forecast ($ million)■Lift Factor■Lost Sales ($ million)■■2.23■1.383■3.084■■2.55■1.443■3.679 ■■3.11■1.286■4.000■■4.52■1.152■5.209■■■Total ■15.972■■ Based on this analysis, Carlson Department Stores can make a case to the insurance company for a business interruption claim of $15,972,000.

Another approach would be to use the 48 months of historical data to compute a market share for Carlson. That is, compute Carlsons sales as a fraction of county-wide department store sales. Then you could develop a forecast of Carlsons market share for September through December. Finally, an estimate of lost sales for each of the four months can be obtained by multiplying the forecasts of market share by the actual department store sales.

■ ■ ■ ■ Solutions to Case Problems Chapter 15

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There are 27 states so, due to space restrictions, the transition matrix that is shown below is printed in 3 parts. All of the rows and a subset of the columns are shown in each part.

■A■S12■S13■S14■S15■S16■2■3■4■5■6■■A■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.

0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■S12■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769 ■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■S13■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0 769■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■S14■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■ 0.0769■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■S15■0.0000■0.0000■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■S16■0.0000■0.0000■0.0000■0 .0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■2■0.0000■0.0000■0.0769■ 0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■■3■0.0000■0.0000■0.0000 ■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■■4■0.0000■0.0000■0.000 0■0.0000■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■■5■0.0000■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0000■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■6■0.0000■0.0000■0.0 000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■7■0.0000■0.0000■0.

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0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■18■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■19■0■0■0■0■0■0■0■ 0■0■0■0■■20■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■21■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■Bust■0 ■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■ ■7■8■9■10■11■12■13■14■15■16■17■■A■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■■■ ■■0.0769■■S12■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.3077■■■■■0.0769■■S13■0.00 00■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.3077■■■■0.0769■■S14■0.0000■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.3077■■■0.0769■■S15■0.0000■0.0000■0.0000■0.000 0■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■■0.0769■■S16■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■ 0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■0.0769■■2■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769 ■0.0769■0.3077■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■3■0.0769■0.0769■0.0769■0.076 9■0.0769■0.0769■0.3077■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■4■0.0769■0.0769■0.0769■0.07 69■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■0.0000■0.0000■0.0000■■5■0.0769■0.0769■0.0769■0.0 769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■0.0000■0.0000■■6■0.0000■0.0769■0.0769■0.

0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■0.0769■■7■0.0000■0.0000■0.0769■0 .0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■■8■0.0000■0.0000■0.0000■ 0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■9■0.0000■0.0000■0.0000 ■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■10■0.0000■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■11■0.0000■0.0000■0.

0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■12■0.0000■0.0000■ 0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■13■0.0000■0.0000 ■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■■14■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■0.0769■■15■0.0000■0.

0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■0.0769■■16■0.0000■ 0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0769■■17■0■0■ 0■0■0■0■0■0■0■0■1■■18■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■19■0■0■0■0■0■0■0■0■0■ 0■0■■20■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■21■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■0■■Bust■0■0■0 ■0■0■0■0■0■0■0■0■■ ■18■19■20■21■Bust■■A■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■0.0000■■S12■0.0769■0.0769■0 .0769■0.0769■0.0000■■S13■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0000■■S14■0.0769■0.0769 ■0.0769■0.0769■0.0000■■S15■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0000■■S16■0.0769■0.07 69■0.0769■0.0769■0.0000■■2■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■3■0.0000■0.0000 ■0.0000■0.0000■0.0000■■4■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■5■0.0000■0.0000■0 .0000■0.0000■0.0000■■6■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■0.0000■■7■0.0769■0.0000■0.00 00■0.0000■0.0000■■8■0.3077■0.0769■0.0000■0.0000■0.0000■■9■0.0769■0.3077■0.0769 ■0.0000■0.0000■■10■0.0769■0.0769■0.3077■0.0769■0.0000■■11■0.0769■0.0769■0.0769 ■0.3077■0.0000■■12■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.3077■■13■0.0769■0.0769■0.0769 ■0.0769■0.3846■■14■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.4615■■15■0.0769■0.0769■0.0769 ■0.0769■0.5385■■16■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.6154■■17■0■0■0■0■0■■18■1■0 ■0■0■0■■19■0■1■0■0■0■■20■0■0■1■0■0■■21■0■0■0■1■0■■Bust■0■0■0■0■1■■ The Q matrix is defined as the first 21 rows (through state 16) and the first 21 columns (through state 16) of the transition matrix. We must now compute I Q and (I Q)-1. We did this using Excel and Excels matrix inversion procedure described in the chapter appendix. To find the absorption probabilities we multiply (I Q)-1 times the R matrix. The R matrix is a 21 x 6 matrix. It is identified as the first 21 rows and the last 6 columns of the transition matrix. We show (I Q)-1R below.

Probability of Dealers Finishing State Given Starting State ■17■18■19■20■21■Bust■■A■0.1308■0.1308■0.1308■0.1308■0.3616■0.1153■■S12■0.151 0■0.1510■0.1510■0.1510■0.1510■0.2450■■S13■0.1455■0.1455■0.1455■0.1455■0.1455■0.

2725■■S14■0.1400■0.1400■0.1400■0.1400■0.1400■0.3000■■S15■0.1346■0.1346■0.1346 ■0.1346■0.1346■0.3272■■S16■0.1292■0.1292■0.1292■0.1292■0.1292■0.3541■■2■0.1398 ■0.1349■0.1297■0.1240■0.1180■0.3536■■3■0.1350■0.1305■0.1256■0.1203■0.1147■0.373 9■■4■0.1305■0.1259■0.1214■0.1165■0.1112■0.3945■■5■0.1223■0.1223■0.1177■0.1131■ 0.1082■0.4164■■6■0.1654■0.1063■0.1063■0.1017■0.0972■0.4232■■7■0.3686■0.1378■0.0 786■0.0786■0.0741■0.2623■■8■0.1286■0.3593■0.1286■0.0694■0.0694■0.2447■■9■0.120 0■0.1200■0.3508■0.1200■0.0608■0.2284■■10■0.1114■0.1114■0.1114■0.3422■0.1114■0.2

121■■11■0.1114■0.1114■0.1114■0.1114■0.3422■0.2121■■12■0.1035■0.1035■0.1035■0.1 035■0.1035■0.4827■■13■0.0961■0.0961■0.0961■0.0961■0.0961■0.5196■■14■0.0892■0.0 892■0.0892■0.0892■0.0892■0.5539■■15■0.0828■0.0828■0.0828■0.0828■0.0828■0.5858■ ■16■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.6154■■ This matrix shows the probabilities for the ending values of the dealers hand given any of the starting states identified by each row. For instance, if the dealer has a 6 as an up card, the probability of finishing with 17 is .1654, the probability of finishing with 18 is .1063 and so on. The probability of the dealer busting is .4232. For this reason, black jack players recommend not taking a hit with a hand of 12 or better. Why should the player take a chance of busting when the dealer has a high probability of busting?

For this situation another row and column must be added to the transition matrix to account for the soft 17 state, S17. When the dealer has to stay on S17, there was no reason to differentiate soft 17 and hard 17. So only the state, 17 was used. For space reasons, we do not show the new transition matrix here. But, after computing (I Q)-1R, the absorbing state probabilities are given below.

Probability of Dealer's Finishing State Given Starting State■■■■■■■■■■■■17■18■19■20■21 ■Bust■■A■0.0575■0.1432■0.1432■0.1432■0.3740■0.1389■■S12■0.0829■0.1625■0.1625■ 0.1625■0.1625■0.2669■■S13■0.0823■0.1562■0.1562■0.1562■0.1562■0.2929■■S14■0.081 3■0.1500■0.1500■0.1500■0.1500■0.3189■■S15■0.0801■0.1438■0.1438■0.1438■0.1438■0.

3448■■S16■0.0786■0.1377■0.1377■0.1377■0.1377■0.3704■■S17■0.3422■0.1114■0.1114 ■0.1114■0.1114■0.2121■■2■0.1301■0.1365■0.1313■0.1257■0.1196■0.3567■■3■0.1263■0 .1320■0.1271■0.1218■0.1162■0.3767■■4■0.1224■0.1273■0.1228■0.1179■0.1126■0.3971■ ■5■0.1184■0.1229■0.1184■0.1138■0.1089■0.4177■■6■0.1148■0.1148■0.1148■0.1103■0.1 057■0.4395■■7■0.3686■0.1378■0.0786■0.0786■0.0741■0.2623■■8■0.1286■0.3593■0.128 6■0.0694■0.0694■0.2447■■9■0.1200■0.1200■0.3508■0.1200■0.0608■0.2284■■10■0.1114 ■0.1114■0.1114■0.3422■0.1114■0.2121■■11■0.1114■0.1114■0.1114■0.1114■0.3422■0.21 21■■12■0.1035■0.1035■0.1035■0.1035■0.1035■0.4827■■13■0.0961■0.0961■0.0961■0.09 61■0.0961■0.5196■■14■0.0892■0.0892■0.0892■0.0892■0.0892■0.5539■■15■0.0828■0.08 28■0.0828■0.0828■0.0828■0.5858■■16■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.0769■0.6154■■ This matrix shows the probabilities for the ending values of the dealers hand given any of the starting states identified by each row for the case when the dealer hits soft 17. For instance, if the dealer has a 6 as an up card, the probability of finishing with 17 is .1148, the probability of finishing with 18 is .1148, and so on. The probability of the dealer busting is .4395.

3. Mathematicians have shown that when the dealer stays on soft 17 it is better for the player. We can provide the following argument using the finishing values for the dealers hand shown in part 2 above. Note that when the dealer gets S17 and hits it, the finishing values and probabilities for the dealers hand are Ending Value■Probability■■17■.3422■■18■.1114■■19■.1114■■20■.1114■■21■.1114■■Bu st■.2121■■ If the player has 17, the probability of a tie is .3422, the probability of losing is 4(.1114) = .4456, and the probability of winning is .2121. So, when the player has 17, she will do better (a tie) if the dealer stays on S17. Similarly, if the player has 18, 19, 20, or 21, she will do much better if the dealer stays on S17. She will always win.

But, if the player has 12, 13, 14, 15, or 16, she will be better off if the dealer hits soft 17. This is because when the dealer busts she will win (if the dealer does not hit S17 she loses). And, this will happen with probability .2121. But, the player will lose with probability 1 - .2121 = .7879 when the dealer hits S17. This small probability of the player winning with 12, 13, 14, 15, and 16 when the dealer hits S17 is not enough to offset the large increase in the probability of the player winning with 17, 18,19, 20, and 21 when the dealer stays on S17.

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Weekly revenue (2700 lbs. x $6.00)■■$16,200■■Weekly costs■■■■

Payback on heater (12,000/100)■ 120■■■ Payback on reactor ( 50,000/100)■ 500■■■ Payback on separator (20,000/100)■ 200■■■ Operate heater■ 380■■■ Operate reactor■ 650■■■ Operate separator (2700 x 0.10)■ 270■■■ Raw material (4500 x 1.00)■4,500■ 6,620■■Net Weekly Profit■■$ 9,580■■ Calculations Let stage 1 be separation, stage 2 reactor, and stage 3 heating.

Stage 1 ■d1■■■■x1■s1■s2■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■f1(d1)■■900 lb.■$5,110■$5,170■s2■$5,170■■1800 lb.■10,420■10,390■s1■10,420■■2700 lb.■15,730■15,610■s1■15,730■■ Stage 2 ■d2■■■■■x2■c1■c2■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■f2(d2)■x1■■4500 lb., 700(■$4,220■$9,270■c2■$9,270■1800■■4500 lb., 800(■ 9,470■14,580■c1■14,580■2700■■ Stage 3 ■d3■■■■■x3■700(■800(■■ EMBED Equation.DSMT4 ■■■■f3(d3)■x1■■4500 lb.■$4,370■$9,580■800(■$9,580■(4500, 800()■■ ■ ■ ■ ■ Chapter 21 Solutions to Case Problems CP - ■ PAGE ■78■ CP - ■ PAGE ■81■ CP - ■ PAGE ■92■ 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved.

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Rochester Institute of Technology Jeffrey D. Camm University of Cincinnati R. Kipp Martin University of Chicago SOUTH-WESTERN CENGAGE LearningTM Contents ■ Preface Chapter 1: Introduction Scheduling a Golf League Chapter 2: An Introduction to Linear Programming Workload Balancing Production Strategy Hart Venture Capital Chapter 3: Linear Programming: Sensitivity Analysis and Interpretation of Solution Product Mix Investment Strategy Truck Leasing Strategy Chapter 4: Linear Programming Applications in Marketing, Finance and Operations Management Planning an Advertising Campaign Phoenix Computer Textile Mill Scheduling Workforce Scheduling Duke Energy Coal Allocation Chapter 6: Distribution and Network Models Solution Plus Distribution Systems Design Chapter 7: Integer Linear Programming Textbook Publishing Yeager National Bank Production Scheduling with Changeover Costs Chapter 8: Nonlinear Optimization Models Portfolio Optimization with Transaction Costs Caf Compliance in the Auto Industry ■Chapter 9: Project Scheduling: PERT/CPM R.C. Coleman

Chapter 10: Inventory Models Wagner Fabricating Company River City Fire Department Chapter 11: Waiting Line Models Regional Airlines Office Equipment, Inc. Chapter 12: Simulation Tri-State Corporation Harbor Dunes Golf Course County Beverage Drive-Thru Chapter 13: Decision Analysis Property Purchase Strategy Lawsuit Defense Strategy Chapter 14: Multicriteria Decision Problems EZ Trailers, Inc. Chapter 15: Forecasting Forecasting Sales Forecasting Lost Sales Chapter 16: Markov Processes Dealers Absorbing State Probabilities in Black Jack Chapter 21: Dynamic Programming Process Design ■■ Preface The purpose of An Introduction to Management Science is to provide students with a sound conceptual understanding of the role management science pays in the decision-making process.

The text emphasizes the application of management science by using problem situations to introduce each of the management science concepts and techniques. The book has been specifically designed to meet the needs of nonmathematicians who are studying business and economics.

The Solutions to Case Problems Manual contains solutions to the case problems.

Note: The solutions to the end-of-chapter problems and learning objectives for each chapter are included in the Solutions Manual.

Acknowledgements We would like to provide a special acknowledgement to Catherine J. Williams for her efforts in preparing the Instructor's Manual. We are also indebted to our acquisitions editor Charles E. McCormick, Jr. and our developmental editor Maggie Kubale for their support during the preparation of this manual.

David R. Anderson Dennis J. Sweeney Thomas A. Williams

Jeffrey D. Camm R. Kipp Martin ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.■■■0■■■B■■■C■■■ V■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■# ■■3 ■■4 ■■M ■■N ■■Q ■■\ ■■] ■■s ■■u ■■w ■■ ■■ ■■■{uodY■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■h■■■h]■CJ■■aJ■■■■■h■■■h]■CJ ■aJ ■■ ■h]■CJ■■■ ■hkK■CJ■■■■■hkK■5■CJ(■aJ(■■■hP ■5■CJ(■aJ(■■■hj>■■ha■R■CJ ■aJ ■■■■hj>■■ha■R■5■CJ(■aJ(■■■ha■R■5■CJ(■aJ(■ ■hkK■CJ$■■■■hj>■■hkK■CJ ■aJ ■■■■hj>■■hkK■5■CJ(■aJ(■ ■h D■CJ$■■ ■ha■R■5■CJ$■ ■h(7■5■CJ$■ ■h D■CJ0■■ ■h D■CJH■■ ■h D■5■CJH■ ■h D■5■CJ0■ ■h D■5■CJ$■■ ■■■■/■■■0■■■C■■■V■■■n■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■# ■■$ ■■4 ■■M ■■N ■■] ■■s ■■t ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■$■■■■■d■■■^■■ a$■gda■R■■■■■■$■■■■■d■■■^■■a$■gdkK■■ ■■■$■■■■■d■■■^■■a$■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■t ■■u ■■v ■■w ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■|■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■ &■ F■■■■■■■■■d■■■■$■If■■■■^■■`■■■■■■ ■■■■■■■■d■■■■$■If■■■■^■■ ■■ ■■■■■■■■d■■■^■■■■■ ■■■■■■■■#■■d■■■^■■`#■■■■■ ■■■■■■■■■■■dh■■■^■■gdkK■■■■■$■ ■■■■■■■■d■■■^■■a$■gd]■■■■■■$■■■■■d■■■^■■a$■gd]■■■■■■$■■■■■d■■■^ ■■a$■gdkK■■

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