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Eugène Charles Catalan, storia di una congettura Di Maria Intagliata

Eugène Charles Catalan nacque il 30 Maggio del 1814 a Bruges, attualmente in Belgio, ma allora appartenente ancora alla Francia, sotto il consolato napoleonico. Morì all’età di 80 anni a Liegi il 18 febbraio del 1894. In realtà egli si considerò sempre francese e fece molti sforzi per mantenere tale nazionalità. Catalan venne educato a Parigi, destinato a diventare un architetto, come suo padre, ma la sua grande attitudine per la matematica lo indirizzò alla École Polytechnique, da dove fu espulso, appena dopo un anno, per la sua militanza attiva nella politica. Dopo aver ripreso gli studi nel 1835 si laureò ed ottenne un posto di docente al College di Châlons sur Marne. Tornato a Parigi nel 1838, con l’aiuto di Liouville ottenne una cattedra di geometria descrittiva

all' École Polytechnique e la sua

carriera universitaria sarebbe stata assicurata, se egli non avesse militato attivamente

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nella sinistra politica. Ricevette il dottorato in scienze matematiche nel 1841, ma senza avanzamento di carriera. Ma più che gli avvenimenti della sua vita, pur se interessanti, qui si vuole conoscere il contributo dato da Catalan alla matematica. Pubblicò numerosi saggi sulle frazioni continue e sulla teoria dei numeri, ma viene ricordato soprattutto per la seguente congettura, da lui formulata nel 1844 in una lettera inviata al Crelle'S Journal: “La prego, signore, di voler annunciare nel suo giornale il seguente teorema che io credo vero, anche se non sono ancora riuscito a dimostrarlo completamente; forse altri lo faranno con più successo: due numeri interi consecutivi, ad eccezione di 8 e 9, non possono essere potenze consecutive, in altri termini: l'equazione xm - yn = 1, in cui le incognite sono interi positivi, ammette solo una soluzione”. I progressi per la dimostrazione della congettura furono lenti. Intorno al 1320 Levi ben Gerson(1288-1344) aveva dimostrato che tra quadrati e cubi solo 8 e 9 sono consecutivi. Nel 1750 Eulero aveva provato che se x2 – y3= ±1 allora x= 3 e y=2. Successivamente alla formulazione di Catalan, nel 1850, Lebesgue dimostra che ad un quadrato non segue mai subito dopo una potenza: es. 42+1=17(che non è una potenza) 32+1=10 ecc. http://lanostramatematica.splinder.com |

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Nel 1921 viene accertato che ad una potenza non segue mai un cubo, ovvero x3 - 1 = yn è impossibile per n > 1. Es. 23-1 = 7(si può scrivere come potenza solo per n=1). Analogamente nel 1932 viene affermato che ad una potenza non segue mai un biquadrato, ovvero x4-1= yn è impossibile. Es. 24 - 1 =15. Nel 1940 viene accertato che ad una potenza non segue mai un quadrato , cioè x2 - 1 = yn è impossibile (tranne che per x =3, y=2 e n=3, 32 - 1 = 23 ). Nel 1964 Ko Chao dimostra che un quadrato non precede mai una potenza, dunque x2 + 1 = yn è impossibile. Successivamente nel 1976 Robert Tijdeman dimostra che tra le potenze solo un numero finito di esse sono numeri consecutivi, ma tale numero di potenze è astronomico e non è possibile determinarle tutte nemmeno col computer. Arriva il turno di Hyyrö Makowski il quale dimostra che ci sono tre consecutivi non potenze. Nel 2001 Maurice Mignotte dell’Università Louis Pasteur di Strasburgo contribuisce a ridurre il numero di potenze trovato da Tijdeman; ma questo è ancora molto grande, dell'ordine di 10 ^(1017). Precisamente: 107 <m < 7,15 x 1011

e

107 < n < 7,78 x 1016.

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Intanto nel 1998 Yann Bugeaud Guillaume Hanrot aveva applicato il metodo algebrico utilizzando i numeri ciclotomici. Finalmente nel 2000 arriva Preda Mihailescu, il quale segue le conferenze e i lavori di Guillaume Hanrot e dimostra qualche tempo dopo che gli esponenti m ed n delle potenze possono essere solo coppie di Wieferich . Conosciamo solo sei di tali coppie. I super computer sono andati in tilt per poterne determinare altre. Per coppia di Wieferich si intende la coppia di due numeri primi m e n tali che: m(n-1) = 1 mod n² n(m-1) = 1 mod m² questi numeri sono molto rari e le sei coppie che oggi si conoscono sono 2

1 093

3

1 006 003

5

1 645 333 507

83

4 871

911

318 917

2 903

18 787

Per avere unâ&#x20AC;&#x2122; idea dei calcoli, basta considerare il caso di m = 2 e n=1093. Si ha: m(n-1) = 2 1092 = 10 0,53 329

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m(n-1) mod n² = 10 0,53 329 mod 1093² =1 n(m-1) = 1093 1 n(m-1) mod m² = 1093 mod 4 =1 Ed ecco che nel 2002 Preda Mihailescu dimostra la congettura di Catalan, che in sintesi si può così riassumere: La congettura di Catalan afferma che l' equazione xp - yq = 1 non ha nessun’altra soluzione oltre a 32 - 23 = 1. Come conseguenza di un risultato classico dovuto a Cassels, p e q devono verificare una doppia condizione Wieferich se l'equazione ha soluzioni per dispari p, q. Viene quindi mostrato che l'esistenza di tale soluzione produce un eccesso di q-unità primarie ciclotomiche. Questo fatto induce ad una contraddizione che dimostra la congettura di Catalan.

Yuri F. Bilu dell’ Università di Bordeaux I a Talence, Francia, ha analizzato il lavoro di Mihailescu e ha scritto un commento favorevole in cui delinea i passi principali della dimostrazione di Mihailescu , aggiungendo la confortante dichiarazione : "Sono sicuro che la dimostrazione di Mihailescu è corretta ». Mihailescu ha presentato pubblicamente la dimostrazione per la prima volta al meeting della Canadian Number Theory Association a Montreal. La sua http://lanostramatematica.splinder.com |

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presentazione è stata bene accolta, grazie anche al parere positivo di parecchi eminenti teorici dei numeri . Possiamo dire che la congettura di Catalan può far parte della prestigiosa raccolta dei teoremi più illustri della matematica. Grazie Eugène e Buon Compleanno! Maria Intagliata

Viene illustrata la congettura.

Basando il suo lavoro sulle proprietà dei numeri cyclotomiques.

Tout en mettant à contributo une méthode par esplorazione, élimination.

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Le papier déposé en avril comprendere un exposé explicatif de Yuri Bilu (Université de Bordeaux).

Il est en cours de pubblicazione.

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Eugén Charles Catalan