1. Círculo y circunferencia 1.1. Definiciones Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto interior llamado centro. Círculo o región circular: Es la unión de una circunferencia y su interior. NOTA: El círculo y la circunferencia comparten el radio, el diámetro y el centro. 1.2. Elementos de una circunferencia Radio: Es el segmento determinado por un punto cualesquiera de la circunferencia y el centro de la misma. Diámetro: Es un segmento de recta que interseca la circunferencia en dos puntos diferentes y que pasa por el centro de la misma. (NOTA: Es la mayor cuerda de la circunferencia o del círculo). Cuerda: Es un segmento de recta que interseca la circunferencia en dos puntos diferentes. Recta secante: Es una recta que interseca a la circunferencia en dos puntos diferentes. Recta tangente: Es una recta que interseca a la circunferencia en un punto. Ángulo central: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios o dos radios prolongados de dicha circunferencia.
1.4. Punto interior o exterior a una circunferencia Para determinar si un punto es interior o exterior a una circunferencia se debe calcular la distancia entre ese punto y el centro. Entonces si el centro es C:(x,y) y el punto es P(a,b).
1.3. Ecuación de una circunferencia La ecuación de una circunferencia cuyo centro es (*, .) y el radio es r, corresponde a: (( − *)+ + (- − .)+ = 0 +
Nota: A la hora de escribir la ecuación de la circunferencia, el centro cambia de signo.
!(#, %) =
(( − *)+ + (- − .)+
Si: ! < 0 ⇒ el punto es interior. ! > 0 ⇒ el punto es exterior
Ejemplo: Determine la ecuación de una circunferencia con centro en C (2,-1) y cuyo radio es 3. La ecuación es: (( − 2)+ + (- + 1)+ = 9
Para encontrar centro, radio o ecuación a partir de la representación gráfica solo debemos fijarnos en la gráfica, sacar centro, radio y luego la ecuación.
Determinamos el centro que sería el par ordenado (2,-1), el radio que sería 2 y la ecuación de la circunferencia que sería: (( − 2)+ + (- + 1)+ = 4
En resumen: - Se determina el centro. - Se calcula la distancia entre el centro y el punto. - Se determina el radio. - Se compara el radio y la distancia y se aplica el criterio mencionado. 1.5. Recta secante, tangente o exterior a una circunferencia. Se hace en la calculadora, para ello: - Se sustituye la ecuación de la recta en la “y” de la ecuación de la circunferencia. - Se hace shift calc 100 = - Se hace shift calc -100 = Si: - Da la misma solución es tangente. - Da dos soluciones distintas es secante. - Da I can´t solve (No puedo resolver) es exterior.
1.6. Traslaciones de una circunferencia En una traslación se mantiene la forma y el tamaño, solo se cambia de lugar. Para realizar una traslación se cambia el centro de la circunferencia, manteniendo el radio. Entonces: - Si la traslación es hacia la izquierda o derecha se resta o se suma en el eje “x” respectivamente. - Si la traslación es hacia la abajo o arriba, se resta o se suma en el eje “y” respectivamente. Nota: Siempre la traslación se hace sobre el centro nunca en la ecuación.
3. Teorema de Pitágoras
2. Áreas y perímetros de polígonos
Se debe tomar en cuenta el par ordenado (x,y). Para calcular perímetros o áreas a partir de gráficas, se calcula la distancia entre dos puntos, y en el caso de áreas se divide la figura en cuadrados, rectángulos o triángulos donde conocemos fácilmente su área, finalmente se suman todas las áreas para obtener el área total.
Áreas de figuras planas básicas: Figura Área Cuadrado 7 = 8+ Triángulo
7=
.∙ℎ 2
Rectángulo
7 =.∙ℎ
Círculo
7 = ; ∙ 0+ <∙* 7= 2
Cualquier polígono Simbología: A = área h = altura
b = base a = apotema
r = radio l = Lado
En el caso del triángulo rectángulo el teorema de Pitágoras que establece que: A + = * + + . + A=
*+ + .+
*=
A + − .+
. = A + − *+ Donde “c” es la hipotenusa y “a” y “b” son los catetos. NOTA: La hipotenusa es el lado que se opone al ángulo recto (90°).
4. Coordenadas rectangulares
Hexágono Cuadrado Triángulo
Área basal 38 + 3 2 8+ .∙ℎ 3 + = 8 2 4
Área Apotema Lateral 1 8 ∙ >8 ∙ * 8 3 2 %? ∙ 8 ∙ * 8 2 2 . ∙ * ℎ 38 = 3 6
Perímetro: Es la suma de la medida de cada uno de los lados del triángulo.
Licda. Yancy Alfaro Zamora CINDEA Boca Arenal
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y POLÍGONOS