MATEMÁTICAS HL BI: demostración de la función de decaimiento radioactivo. Marina Lillo

Marina Lillo García

Demostración de la función de decrecimiento exponencial continuo para modelar la desintegración radiactiva

MATEMÁTICAS HL Bachillerato Internacional

1

INTRODUCCIĂ“N De pequeĂąa escuchĂŠ a cerca del carbono-14 como mĂŠtodo para establecer la edad de muestras orgĂĄnicas en muchas ocasiones, en pelĂ­culas, series policiales y documentales, por ello decidĂ­ investigar, pero lo que leĂ­ en internet solo me generĂł mĂĄs dudas.

Muchos aĂąos mas tarde, en mis clases de fĂ­sica del Programa Diploma, me dieron las herramientas para comprenderlo algo mejor cuando estudiamos la desintegraciĂłn radiactiva, tambiĂŠn llamada decaimiento radiactivo. Es un proceso fĂ­sico por el cual algunos ĂĄtomos con nĂşcleos inestables, emiten partĂ­culas (Alfa, Beta, Gamma‌) convirtiĂŠndose asĂ­ en nuevos elementos mĂĄs estables conocidos como productos de decaimiento.1 AprendĂ­ una fĂłrmula que permitĂ­a conocer el tiempo que tenĂ­a una muestra sabiendo el nĂşmero de nĂşcleos de un elemento en un momento determinado, el nĂşmero que habĂ­a en un inicio (t=0) y la constante de desintegraciĂłn (es decir, la probabilidad de desintegraciĂłn por unidad de tiempo) de ese elemento concreto.2 đ?‘ (đ?‘Ą) = đ?‘ & đ?‘’ ()* En esta fĂłrmula se interpreta cada valor como: N(t) = El nĂşmero de nĂşcleos del elemento original que hay en un momento concreto (t) đ?‘ & = El nĂşmero inicial de nĂşcleos cuando đ?‘Ą = 0 e = El nĂşmero de Euler = 2,7182818284590452353602874713527‌ -đ?œ† = La constante de desintegraciĂłn, propia de cada elemento t = El tiempo (la incĂłgnita) El carbono-14 concretamente es un isĂłtopo radiactivo del carbono que deja de producirse en los seres vivos tras la muerte del organismo.

Para calcular la antigĂźedad de una muestra de este material, se utiliza el periodo de semidesintegraciĂłn (đ?‘Ą./0 ). Es decir, el periodo de tiempo que se necesita para que la mitad de la muestra se haya transmutado en otros ĂĄtomos. Respecto a la ecuaciĂłn anterior, cuando el ratio 1(*)

12

.

= . El del carbono-14 son 5730 aĂąos = (đ?‘Ą./0 ).3 0

Dado que a partir de la formula de la desintegraciĂłn radiactiva original, deducirĂ­amos que 3(*) 32

.

= 0 = đ?‘’ ()* , esta Ăşltima se modelarĂ­a en funciĂłn del periodo de semidesintegraciĂłn .

đ?‘ 4đ?‘Ą./0 5 = đ?‘ & 0 .

Sin embargo y a pesar de tener toda esta informaciĂłn, la fĂłrmula general de la desintegraciĂłn radiactiva đ?‘ (đ?‘Ą) = đ?‘ & đ?‘’ ()* , me seguĂ­a pareciendo muy arbitraria. Aunque pudiera utilizarla y aplicarla a problemas de la vida real, como en el caso del carbono-14, esto no me acercaba a la comprensiĂłn de por quĂŠ se utilizaban esos tĂŠrminos y valores para describir este proceso. Cuanto mĂĄs la miraba, mĂĄs me confundĂ­a. Por lo tanto, decidĂ­ intentar deducirla por mi cuenta.

1

Hamper, Chris. (2014). Physics HL, Second edition. Pearson school. p. 308.

British International School Pucket. (2016, noviembre). Modelling radioactive decay. IB Maths Resources.

Recuperado el 3 de marzo de 2019 de https://ibmathsresources.com/2016/11/04/modelling-radioactive-decay/ 3 Universidad de Valencia. El decaimiento radioactivo, el carbono y sus isĂłtopos. Recuperado el 3 de marzo de 2019 de https://www.uv.es/gidprl/c14/el_decaimiento_radioactivo_del_carbono14.html 2

2

DEMOSTRACIĂ“N DEL DECRECIMIENTO EXPONENCIAL La ecuaciĂłn que modela el decaimiento radiactivo es una ecuaciĂłn de decrecimiento exponencial muy similar a la del crecimiento exponencial, con la Ăşnica diferencia de que, en este segundo caso, la constante Îť es positiva.

Por lo tanto, puedo deducirla a travĂŠs del estudio del interĂŠs compuesto que sĂŠ que se modela por el crecimiento exponencial, cuya ecuaciĂłn proviene de las progresiones geomĂŠtricas: 9 đ?&#x2018;&#x17D;7 = đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x; (7(.) , siendo đ?&#x2018;&#x; = 9:;< :

Pasando esta ecuaciĂłn general de las progresiones geomĂŠtricas a la del interĂŠs compuesto, llegamos a: đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& (1 + đ?&#x2018;&#x;)* , siendo en este caso r el interĂŠs que se aĂąade cada periodo en funciĂłn del valor inicial (đ??´& ). AdemĂĄs, como el valor inicial (đ??´& ) se toma cuando t = 0, al exponente (t) no se le debe restar 1.

Si el interĂŠs se compone en varios periodos de tiempo (n), la ecuaciĂłn queda asĂ­: B 7*

B

đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& A1 + 7C , siendo 7 el interĂŠs pagado cada periodo y nt los periodos totales.

7

Se puede sustituir đ?&#x2018;&#x161; = B en la ecuaciĂłn para despejar los valores quedĂĄndonos asĂ­: . EB*

đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& A1 + EC

B* . E

â&#x;š đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& GA1 + EC H . . E

Sustituyendo la constante đ?&#x2018;? = GA1 + C H, terminamos con: đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& đ?&#x2018;?B* E

Esta Ăşltima es la funciĂłn exponencial, en la que si đ?&#x2018;&#x; > 0, es creciente y si đ?&#x2018;&#x; < 0, es decreciente.

Concretamente al aplicarla a la desintegraciĂłn radiactiva, voy a expresar đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019;Îť. AdemĂĄs, los tĂŠrminos en funciĂłn de A los voy a expresar en funciĂłn de N ya que en se emplea para estudiar el nĂşmero de nĂşcleos atĂłmicos.

Nos queda por fin: đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;?(N* Sin embargo, teniendo en cuenta que la ecuaciĂłn que busco es đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; (N* , este proceso de deducciĂłn de la fĂłrmula sigue dejando una incĂłgnita por resolver. ÂżDe dĂłnde sale el nĂşmero de Euler?

COMPROBACIĂ&#x201C;N DEL NUMERO

đ?&#x2018;&#x2019;

PARA MODELAR LA DESINTEGRACIĂ&#x201C;N

RADIACTIVA MEDIANTE UN EXPERIMENTO CON ESPUMA DE CERVEZA SIN ALCOHOL. DecidĂ­ poner las manos en la masa y comprobar por mĂ­ misma que esta constante (e) era realmente la mĂĄs apropiada para modelar la desintegraciĂłn radiactiva.

Es decir, probar mediante un experimento, que en la fĂłrmula a la que habĂ­a llegado en la anterior demostraciĂłn: đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;?(N* , đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2019;.

En las clases de fĂ­sica, aprendĂ­ que el decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio4, es decir, no se puede saber el momento exacto en el que cada ĂĄtomo se transmuta, sin embargo, se sabe que la tasa de decaimiento de los nĂşcleos es proporcional al nĂşmero de nĂşcleos que quedan del elemento original:

O1 O*

= â&#x2C6;&#x2019;ÎťN. Se utiliza â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020; como la constante de desintegraciĂłn, es negativa

porque hay un decrecimiento.

4

Hamper, Chris. (2014) Physics HL, Second edition. Pearson School. p. 308.

3

Resulta que hay otros fenĂłmenos de la vida real cuya observaciĂłn es mĂĄs accesible, que pueden ayudar a comprender el decaimiento radiactivo. Por ejemplo, las burbujas.

El momento exacto en el que estas explotan es completamente aleatorio, no se puede predecir.

Sin embargo, sĂ­ que se sabe que la tasa de decrecimiento de la cantidad de burbujas es proporcional a la cantidad de burbujas que quedan. Por lo tanto, el grĂĄfico del decaimiento de las burbujas sigue un modelo de decrecimiento exponencial al igual que la desintegraciĂłn radiactiva, por lo que se pueden llegar a conclusiones acerca de la radiactividad con ĂŠl.

En ambos, la pendiente en un punto, es decir la derivada, es proporcional al valor de đ?&#x2018;Ś en ese OR

punto: OS = â&#x2C6;&#x2019;Îťy Por lo tanto, para el experimento, debĂ­a utilizar algo que tuviera burbujas y que estas explotaran.

El agua con jabĂłn decaĂ­a demasiado lento y las bebidas carbonatadas demasiado rĂĄpido como para poder medirlo con precisiĂłn. Por lo tanto, al final acabĂŠ utilizando cerveza sin alcohol.

El experimento consistiĂł en verter cerveza sin alcohol en una probeta de 250ml con un error de Âą 2ml y grabarlo con una cĂĄmara de video para obtener datos precisos. Lo realicĂŠ 3 veces con distintas marcas de cerveza sin alcohol para asegurarme de que los datos se obtenĂ­an correctamente y no habĂ­a ningĂşn error sistemĂĄtico, y me quedĂŠ con los datos del segundo para hacer los cĂĄlculos.

Cuando el carbono-14 emite partĂ­culas beta, se transmuta en nitrĂłgeno-14. Al pasar esto al experimento de la cerveza, podrĂ­amos decir que cuando las burbujas de la espuma de la cerveza explotan, se transmutan en el lĂ­quido de cerveza, por lo tanto, las mediciones que tomĂŠ correspondĂ­an al incremento del lĂ­quido, es decir, estaba midiendo el producto de decaimiento para saber quĂŠ cantidad del producto original se iba trasformando.

DejĂŠ la cerveza en el tubo durante 12 minutos hasta permitir que toda la espuma se hubiera convertido en lĂ­quido. En mi experimento, su volumen en ese momento era de 94ml.

Por lo tanto, restĂŠ el volumen de todas las demĂĄs mediciones a este volumen de 0 espuma para conocer con precisiĂłn la cantidad de lĂ­quido que era espuma.

A continuaciĂłn, se muestra una tabla que contiene los datos que obtuve a partir de la grabaciĂłn de video. Aparece un registro del volumen del lĂ­quido cada 15 segundos exactamente durante 12 minutos.

Tiempo (s) Volumen de cerveza lĂ­quida (ml) Âą 2ml Volumen de la espuma de cerveza (ml) Âą 2ml 0

0

(94 - 0) = 94

15

11

(94 - 11) = 83

30

22

(94 - 22) = 72

45

30

(94 - 30) = 64

60

38

(94 - 38) = 56

75

45

(94 - 45) = 49

90

51

(94 - 51) = 43

4

105

56

(94 - 56) = 38

120

61

(94 - 61) = 33

135

64

(94 - 64) = 30

150

68

(94 - 68) = 26

165

71

(94 - 71) = 23

180

74

(94 - 74) = 20

195

76

(94 - 76) = 18

210

78

(94 - 78) = 16

225

80

(94 - 80) = 14

240

82

(94 - 82) = 12

255

83

(94 - 83) = 11

270

84

(94 - 84) = 10

285

86

(94 - 86) = 8

300

87

(94 - 87) = 7

315

88

(94 - 88) = 6

330

88

(94 - 88) = 6

345

89

(94 - 89) = 5

360

90

(94 - 90) = 4

375

90

(94 - 90) = 4

390

91

(94 - 91) = 3

405

91

(94 - 91) = 3

420

92

(94 - 92) = 2

435

92

(94 - 92) = 2

450

92

(94 - 92) = 2

465

92

(94 - 92) = 2

480

92

(94 - 92) = 2

495

92

(94 - 92) = 2

510

92

(94 - 92) = 2

525

92

(94 - 92) = 2

540

93

(94 - 93) = 1

555

93

(94 - 93) = 1

570

93

(94 - 93) = 1

585

93

(94 - 93) = 1

600

94

(94 - 94) = 0

615

94

(94 - 94) = 0

5

630

94

(94 - 94) = 0

645

94

(94 - 94) = 0

660

94

(94 - 94) = 0

675

94

(94 - 94) = 0

690

94

(94 - 94) = 0

705

94

(94 - 94) = 0

720

94

(94 - 94) = 0

DecidĂ­ tambiĂŠn presentar los datos de la tabla en un grĂĄfico de volumen en mililitros frente a tiempo en segundos, para obtener una imagen mĂĄs visual de la informaciĂłn obtenida. Vi que el grĂĄfico del producto original y el del producto de decaimiento eran simĂŠtricos respecto a đ?&#x2018;Ś = 47 y que efectivamente los datos de la espuma de cerveza, mostraban una funciĂłn exponencial decreciente.

Figura 1. Representa los datos de la tabla anterior: La cerveza lĂ­quida y la espuma de cerveza en un grĂĄfico de dispersiĂłn que muestra el volumen en mililitros, frente a tiempo en segundos.

AislĂŠ los datos con los que iba a trabajar, es decir los de la espuma de cerveza, y dibujĂŠ una lĂ­nea de tendencia exponencial que pasara por todos los puntos teniendo en cuenta el error de Âą 2ml.

6

Figura 2. GrĂĄfico de dispersiĂłn de volumen en mililitros frente a tiempo en segundos, con lĂ­nea de tendencia exponencial que muestra el decrecimiento de la espuma de cerveza sin alcohol.

Con todo esto, ya tenĂ­a suficiente informaciĂłn para comenzar los cĂĄlculos.

Como la tasa de decrecimiento del volumen de espuma es proporcional al volumen de espuma que queda en un momento concreto, utilicĂŠ la funciĂłn:

OW O*

= â&#x2C6;&#x2019;ÎťV

Puedo obtener la tasa de decrecimiento en un punto mediante el teorema del valor medio, tambiĂŠn conocido como teorema de Langrange5, en el que: đ?&#x2018;&#x201C; Z (đ??ś) = entre đ??´ y đ??ľ. Es decir: đ??ś = Como

OW O*

3_]

\(])(\(3) ](3

, siendo đ??ś un punto medio

0

= đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ??ś) y đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ś), se pueden introducir en

OW

= â&#x2C6;&#x2019;ÎťV para despejar la constante de

O* (N*

decaimiento -Îť, para despuĂŠs introducirla en đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2030;& đ?&#x2018;? constante đ?&#x2018;? en la ecuaciĂłn.

y asĂ­ poder encontrar el valor de la

DecidĂ­ calcular đ?&#x2018;? en 10 puntos distintos de la funciĂłn. Concretamente tomando đ??ś, es decir, el valor de la variable independiente (tiempo en segundos), en los 10 primeros mĂşltiplos de 30.

Estos, corresponden a los primeros 5 minutos de mediciones. Dado que el porcentaje de error es =

bW W

Ă&#x2014; 100, siendo Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030; el error del volumen, que en este caso es Âą 2 constantemente, y đ?&#x2018;&#x2030; el

volumen en cada punto, el porcentaje de error aumenta a medida que el volumen disminuye. Por ello, decidĂ­ tomar đ??ś en los primeros 300 segundos, cuando los volĂşmenes tienen valores mĂĄs altos, para que mis cĂĄlculos fueran algo mĂĄs precisos.

AdemĂĄs, en todos los puntos, tomĂŠ đ??´ = đ??ś â&#x2C6;&#x2019; 15 y đ??ľ = đ??ś + 15 para que siempre se cumpliera que đ??ś =

5

3_] 0

, dado que đ??ś =

(f(.g)_(f_.g) 0

=

0f 0

=đ??ś

GarcĂ­a de JalĂłn de la Fuente, JesĂşs. (2017-2018). MatemĂĄticas II. Madrid: IES Ramiro de Maeztu. p. 40.

7

§ CĂĄlculo de b tomando đ??ś = 30. (Sacando los datos de la tabla): đ??ś = 30, đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ś) = 72 đ??´ = 15, đ?&#x2018;&#x201C;(đ??´) = 83 đ??ľ = 45, đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ľ) = 64 đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ??´) 64 â&#x2C6;&#x2019; 83 = = â&#x2C6;&#x2019;0,633 đ??ľâ&#x2C6;&#x2019;đ??´ 45 â&#x2C6;&#x2019; 15 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;0,633 = â&#x2C6;&#x2019;ÎťV â&#x;š â&#x2C6;&#x2019;0,633 = â&#x2C6;&#x2019;Îť72 â&#x;š â&#x2C6;&#x2019;Îť = â&#x;š Îť = 8,796 â&#x2C6;&#x2122; 10(p đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 72 đ?&#x2018;&#x201C; Z (đ??ś) =

Despejamos đ?&#x2018;? de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2030;& đ?&#x2018;?(N* â&#x;š đ?&#x2018;?(N* = t0

< qw,xyzâ&#x2C6;&#x2122;<2q{ Ă&#x2014;{2

Sustituyendo los valores, đ?&#x2018;? = (uv)

W(*) W2

W(*)

â&#x;šđ?&#x2018;?=(

W2

<

)qrs

= 2,747

(RealicĂŠ exactamente este mismo proceso con otros 9 valores de đ??ś). § En đ??ś = 60, obtuve que đ?&#x2018;? = 2,630 § En đ??ś = 90, obtuve que đ?&#x2018;? = 2,771 § En đ??ś = 120 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,943 § En đ??ś = 150 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,597 § En đ??ś = 180 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,806 § En đ??ś = 210 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,751 § En đ??ś = 240 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,799 § En đ??ś = 270 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,293 § En đ??ś = 300 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2,482 Si sacamos una media de todos los valores obtenidos: 2,747 + 2,630 + 2,771 + 2,943 + 2,597 + 2,806 + 2,751 + 2,799 + 2,293 + 2,482 = 2,682 10 } (} 0,uvp(0,0up Y el error del valor obtenido: Î&#x201D;đ?&#x2018;? = ~ĂĄâ&#x201A;Źâ&#x20AC;˘~â&#x20AC;&#x161; ~Ă­:â&#x20AC;˘~â&#x20AC;&#x161; = = 0,325 0

0

Acabamos con que: đ?&#x2018;? = 2,682 Âą 0,325, lo cual incluye el valor de đ?&#x2018;&#x2019; = 2,718â&#x20AC;Ś Por lo tanto, se puede afirmar que segĂşn mis cĂĄlculos y a pesar del margen de error de mis mediciones, đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2019;.

Sin embargo, tras toda esta demostraciĂłn, seguĂ­a sin entender muchas cosas. ÂżPor quĂŠ la e? ÂżQuĂŠ es la e? ÂżQuĂŠ tiene de especial 2,718281828â&#x20AC;Ś que no tengan otros nĂşmeros reales y por quĂŠ se utiliza en la funciĂłn exponencial?

NĂ&#x161;MERO E: ORIGEN, DEFINICIĂ&#x201C;N, APLICACIĂ&#x201C;N Y DEMOSTRACIĂ&#x201C;N Para comprender esta constante matemĂĄtica y su relaciĂłn con las exponenciales, decidĂ­ investigar sobre su historia y su aplicaciĂłn.

El nĂşmero de Euler (đ?&#x2018;&#x2019;), al igual que el nĂşmero pi (đ?&#x153;&#x2039;) o el nĂşmero ĂĄureo (đ?&#x153;&#x2122;), es un nĂşmero irracional, es decir, no puede ser expresado como una fracciĂłn, por lo que su desarrollo no es periĂłdico. TambiĂŠn es un nĂşmero trascendente, es decir, no es soluciĂłn de ninguna ecuaciĂłn polinĂłmica con coeficientes racionales.6

C. GarcĂ­a G., Marcia. (2005). El nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; en el cĂĄlculo elemental. Caracas: Universidad Central de Venezuela. p.

15.

6

8

Se encuentra en muchos campos de estudio, por ejemplo: en biologĂ­a para el crecimiento de bacterias, en fĂ­sica para la desintegraciĂłn radiactiva, en finanzas con el interĂŠs compuestoâ&#x20AC;Ś En general para definir crecimientos o decrecimientos exponenciales continuos.7 Por ello, muchos matemĂĄticos como John Napier, William Oughtred o Henry Briggs, se encontraron con ĂŠl mientras estudiaban los logaritmos, aunque ninguno de ellos llegĂł a mencionarlo explĂ­citamente en su trabajo.

Fue Jacob Bernoulli el que lo descubriĂł realmente en 1683 mientras estudiaba el interĂŠs compuesto. Sin embargo, el primero que le puso nombre fue Leonhard Euler en 1731.8 El nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; tiene un papel fundamental en el CĂĄlculo y el AnĂĄlisis y se utiliza para definir la funciĂłn exponencial.

Resulta que la funciĂłn derivada de la exponencial natural (đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; S ) coincide con la propia OR

funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; S , es decir: OS đ?&#x2018;&#x2019; S = đ?&#x2018;&#x2019; S , que es lo mismo que decir: â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; S = đ?&#x2018;&#x2019; S . 9 Se puede definir tambiĂŠn de muchas otras formas, sin embargo, yo me voy a centrar en esta Ăşltima, ya que estĂĄ relacionada con el tema de esta exploraciĂłn matemĂĄtica.

Voy a demostrarla por mĂ­ misma para poder acercarme a su plena comprensiĂłn.

A partir de la definiciĂłn general de la derivada, sustituyo los valores de una funciĂłn exponencial con base desconocida đ?&#x2018;? S .

OR OS

= đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = lim

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

\(S_Ĺ&#x2019;)(\(S) (S_Ĺ&#x2019;)(S

â&#x2021;&#x2019; lim

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

} â&#x201A;Ź;Ĺ˝ (} â&#x201A;Ź Ĺ&#x2019;

â&#x2021;&#x2019; lim

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

} â&#x201A;Ź } Ĺ˝ (} â&#x201A;Ź Ĺ&#x2019;

â&#x2021;&#x2019; lim đ?&#x2018;? S Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

(} Ĺ˝ (.) Ĺ&#x2019;

Figura 3. FunciĂłn exponencial con base desconocida (đ?&#x2018;? S ) y su derivada en (0,1) presentadas en un eje de coordenadas. (CreaciĂłn propia)

Buscamos una funciĂłn exponencial (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;? S ) cuyo valor de la derivada sea igual que el valor de la funciĂłn original. En tĂŠrminos grĂĄficos, que la pendiente de la tangente en cualquier punto sea igual a la altura, es decir, el valor de đ?&#x2018;Ś en ese punto.

7

IbĂ­d. p. 16-20.

O'Connor, J J y Robertson, E. F. (2001) The number đ?&#x2018;&#x2019;. Escocia: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Recuperado el 4 de marzo de 2019 de http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/e.html 9 British International School Pucket. (2014). Investigation into the Amazing e. IB Maths Resources. Recuperado el 4 de marzo de 2019 de https://ibmathsresources.com/2014/02/14/investigation-into-the-amazing-e/ 8

9

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;? S TambiĂŠn sabemos que cualquier nĂşmero elevado a 0 es 1, por lo tanto â&#x;š đ?&#x2018;&#x201C;(0) = đ?&#x2018;?& = 1 Para que đ?&#x2018;? S sea su propia derivada, đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;&#x2122;(0) tambiĂŠn debe ser igual a 1.

Por lo tanto, en la expresiĂłn obtenida previamente: đ?&#x2018;&#x201C; Z (đ?&#x2018;Ľ) = lim đ?&#x2018;? S

(} Ĺ˝ (.)

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

Ĺ&#x2019;

, sustituimos đ?&#x2018;Ľ = 0.

(đ?&#x2018;?Ĺ&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1) (đ?&#x2018;?Ĺ&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1) = 1 â&#x;š lim =1 Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;& Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;& â&#x201E;&#x17D; â&#x201E;&#x17D; Despejando b del resto de los valores: lim (đ?&#x2018;?Ĺ&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1) = â&#x201E;&#x17D; â&#x;š lim (đ?&#x2018;?Ĺ&#x2019; ) = â&#x201E;&#x17D; + 1, â&#x;š đ?&#x2018;&#x201C; Z (0) = lim đ?&#x2018;?&

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

llegamos a: .

â&#x;š đ?&#x2018;? = lim (1 + â&#x201E;&#x17D;)Ĺ&#x2019; Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

Cuando se sustituyen los valores en la calculadora, con un nĂşmero muy pequeĂąo para que â&#x201E;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; 0, nos queda: .

đ?&#x2018;? = (1 + 10(.& ).&q<2 = 2,718281828 = đ?&#x2018;&#x2019; Por lo tanto, llegamos a la definiciĂłn de que: .

đ?&#x2018;&#x2019; = lim (1 + â&#x201E;&#x17D;)Ĺ&#x2019; Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

Si pasamos este resultado a cuando el lĂ­mite tiende a infinito: lim .

.

.

&

Ĺ&#x2019;

â&#x20AC;&#x2DC;

Teniendo cuenta que: = â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x203A;, y que:

.

7â&#x2020;&#x2019;â&#x20AC;&#x2DC;

= 0 â&#x2021;&#x2019; = â&#x201E;&#x17D;.

7

Queda que: 1 7 đ?&#x2018;&#x2019; = lim â&#x20AC;?1 + â&#x20AC;˘ 7â&#x2020;&#x2019;â&#x20AC;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; Esta expresiĂłn es exactamente igual que a la que llegamos en la pĂĄgina 2, cuando tratĂĄbamos de deducir la funciĂłn general del crecimiento/decrecimiento exponencial a partir de la fĂłrmula del B* . E

interĂŠs compuesto. đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ??´& GA1 + EC H

donde đ?&#x2018;&#x161; =

7 B

, siendo đ?&#x2018;&#x; el interĂŠs constante que se

aĂąade cada periodo y đ?&#x2018;&#x203A; la cantidad de veces que se compone el interĂŠs en un periodo de tiempo. â&#x20AC;&#x2DC; Si se compone infinitamente, đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, entonces đ?&#x2018;&#x161; = ĹĄâ&#x20AC;ş7Ĺ&#x201C;*97*â&#x20AC;˘ = â&#x2C6;&#x17E;, por lo tanto, đ??´(đ?&#x2018;Ą) = B* . E

. 7

lim đ??´& GA1 + C H . Tomando la definiciĂłn de đ?&#x2018;&#x2019; = lim A1 + C , llegamos a la conclusiĂłn

Eâ&#x2020;&#x2019;â&#x20AC;&#x2DC;

E

7â&#x2020;&#x2019;â&#x20AC;&#x2DC;

7

de que đ??´(đ?&#x2018;Ą) = lim đ??´& đ?&#x2018;&#x2019; B* , que es la funciĂłn exponencial continua.

Eâ&#x2020;&#x2019;â&#x20AC;&#x2DC;

Por lo tanto, a partir de la propia definiciĂłn de đ?&#x2018;&#x2019;, se podrĂ­a haber llegado a la misma conclusiĂłn a la que lleguĂŠ con el experimento de la espuma de cerveza, pero de forma algebraica.

AdemĂĄs, a partir de todo este anĂĄlisis de la derivada de la exponencial con el que hemos llegado a esta fĂłrmula general: đ?&#x2018;&#x201C; Z (đ?&#x2018;Ľ) = lim đ?&#x2018;? S Ĺ&#x2019;â&#x2020;&#x2019;&

(} Ĺ˝ (.) Ĺ&#x2019;

, vemos que đ?&#x2018;? S es independiente del resto de

valores y se calcula en funciĂłn de x, mientras que

(} Ĺ˝ (.) Ĺ&#x2019;

genera una constante de proporcionalidad

para cada base de exponencial. En el caso de đ?&#x2018;&#x2019; S , esta constante de proporcionalidad es 1.

10

OR

Por lo tanto, tenemos que: OS đ?&#x2018;&#x2019; S = đ?&#x2018;&#x2019; S Ă&#x2014; 1. Recordando la definiciĂłn de la derivada exponencial: OR OS

đ?&#x2018;? S = đ?&#x2018;? S đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?, esto tendrĂ­a sentido, ya que, para la exponencial en base đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019; = 1.

Por lo tanto, el logaritmo natural define la derivada de todas las funciones exponenciales generando su constante de proporcionalidad.

La verdad es que me sorprende bastante cĂłmo un nĂşmero tan importante como đ?&#x2018;&#x2019;, que aparece en tantos lugares y que es capaz de dar respuestas a tantas cuestiones, es tan poco conocido por el pĂşblico general. Yo siempre he tenido muy poca informaciĂłn acerca de esta increĂ­ble constante.

Por ejemplo, cuando se mencionaba en las clases de matemĂĄticas, solo era para indicar que es la base de los logaritmos naturales, nunca se acompaĂąaba con una explicaciĂłn.

Supongo tambiĂŠn que tiene mucha menos fama que otros nĂşmeros irracionales importantes como đ?&#x153;&#x2039; o đ?&#x153;&#x2122; porque es mucho mĂĄs difĂ­cil de explicar. AdemĂĄs, mientras que esos dos nĂşmeros estĂĄn relacionados con geometrĂ­a, un ĂĄrea de las matemĂĄticas mucho mĂĄs visual, el nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; estĂĄ relacionado con el cĂĄlculo y el anĂĄlisis, un ĂĄrea que se considera popularmente de matemĂĄticas mĂĄs avanzadas.

LA UTILIZACIĂ&#x201C;N DE LA ECUACIĂ&#x201C;N DIFERENCIAL PARA DEDUCIR LA FUNCIĂ&#x201C;N EXPONENCIAL DESDE SU DEFINICIĂ&#x201C;N ORIGINAL Por Ăşltimo, quiero llegar a la funciĂłn exponencial continua, la cual he deducido ya por varios mĂŠtodos. Sin embargo, esta vez quiero hacerlo de forma mĂĄs directa y dando por hecho la definiciĂłn de đ?&#x2018;&#x2019;, los logaritmos naturales, los exponenciales y su utilizaciĂłn en derivadas e integrales, ya que ahora que los comprendo plenamente, me siento mucho mĂĄs cĂłmoda utilizĂĄndolos.

Tomando inicialmente la definiciĂłn del decaimiento exponencial que ya hemos mencionado anteriormente, que indica que la tasa de decaimiento de los nĂşcleos es proporcional al nĂşmero de nĂşcleos que quedan del elemento original, nos queda esta expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; = â&#x2C6;&#x2019;ÎťN đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą O1 Reorganizando las variables y dejando las đ?&#x2018; a la izquierda, nos queda: 1 = â&#x2C6;&#x2019;Îťđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą Realizando una ecuaciĂłn diferencial10, integrando la expresiĂłn: â&#x2C6;Ť

O1 1

= â&#x2C6;&#x2019;Îť â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; + đ?&#x2018;?. = â&#x2C6;&#x2019;Îťđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;?0 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; = â&#x2C6;&#x2019;Îťđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;?0 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?.

Siendo que đ?&#x2018;?0 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?. es la diferencia de dos constantes de integraciĂłn, podemos igualarlo a la una sola constante: đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;?0 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?. .

SustituyĂŠndolo en la funciĂłn: â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; = â&#x2C6;&#x2019;Îťđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;? â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; (N*_ĹĄ = đ?&#x2018; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; ĹĄ đ?&#x2018;&#x2019; (N* = đ?&#x2018; Dado que đ?&#x2018;&#x2019; ĹĄ tiene un valor desconocido, se pueden aplicar condiciones de frontera fĂ­sicas que hacen posible la asignaciĂłn de un valor definido a la constante de integraciĂłn, para que el cĂĄlculo

10

IntroducciĂłn a las ecuaciones diferenciales. Nociones preliminares de matemĂĄticas. PaĂ­s vasco: Escuela tĂŠcnica superior de nĂĄutica y mĂĄquinas navales. Recuperado el 3 de marzo de 2019 de http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferenciales.htm

11

se ajuste a esta situaciĂłn fĂ­sica especĂ­fica.11 En este caso, a la ecuaciĂłn exponencial continua para modelar la desintegraciĂłn radiactiva.

Por ello, le asignamos la cantidad de nĂşcleos (đ?&#x2018; ) definida en t = 0, es decir: đ?&#x2018;&#x2019; ĹĄ = đ?&#x2018; & .

Entonces, igual que en las anteriores demostraciones, deducimos que: đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; ()* APLICACIĂ&#x201C;N AL CARBONO-14 Gracias a todo este anĂĄlisis previo, ya puedo comprender y utilizar la fĂłrmula de la desintegraciĂłn radiactiva con mucha mĂĄs confianza y seguridad, para aplicarla a la razĂłn inicial por la que decidĂ­ comenzar esta exploraciĂłn matemĂĄtica.

Teniendo en cuenta que el periodo de semidesintegraciĂłn (đ?&#x2018;Ą./0 ) del carbono-14 es 5730 aĂąos.

Puedo sacar su constante de desintegraciĂłn radiactiva (đ?&#x153;&#x2020;) para poder calcular el tiempo que ha pasado desde la muerte de un organismo con el carbono-14, a partir de la fĂłrmula general que hemos deducido tantas veces en esta exploraciĂłn: đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; ()* Como el periodo de semidesintegraciĂłn se mide cuando el ratio: de la fĂłrmula de la desintegraciĂłn y en funciĂłn de đ?&#x2018;Ą./0 : â&#x;š .

1(*) 12

14*</ÂĄ 5 12

.

= 0, podemos sacar a partir .

= 0 = đ?&#x2018;&#x2019; ()*</ÂĄ .

Ahora, despejando el valor de đ?&#x153;&#x2020; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ą./0 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;2(. = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ą./0 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020; = 0

(¢70 (*</¥

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ą./0 Calculando y sustituyendo el periodo de semidesintegraciĂłn del carbono-14 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2021;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020;= = 1,210 â&#x2C6;&#x2122; 10(v 5730 Sustituyendo esto Ăşltimo en la ecuaciĂłn de la desintegraciĂłn radioactiva qÂŁ đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; ()* â&#x;š đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; ( .,0.& â&#x2C6;&#x2122; .& â&#x2C6;&#x2122; * Por lo tanto, con esta fĂłrmula, se puede calcular la edad en aĂąos (ya que la constante de desintegraciĂłn estĂĄ calculada con esa unidad de tiempo) de una muestra orgĂĄnica mediante el mĂŠtodo del carbono-14, en lugar de con la de la semidesintegraciĂłn (que es la que comĂşnmente se suele utilizar), conociendo la cantidad de carbono-14 que habĂ­a cuando el organismo muriĂł y la cantidad que hay en el momento en el que se mide. đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) qÂŁ qÂŁ đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; & đ?&#x2018;&#x2019; ( .,0.& â&#x2C6;&#x2122; .& â&#x2C6;&#x2122; * â&#x;š = đ?&#x2018;&#x2019; ( .,0.& â&#x2C6;&#x2122; .& â&#x2C6;&#x2122; * â&#x;š đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; 1,210 â&#x2C6;&#x2122; 10(v â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018; & đ?&#x2018; & â&#x2C6;&#x2019; ln4đ?&#x2018; & /đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą)5 ln (đ?&#x2018; & /đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą)) â&#x;šđ?&#x2018;Ą= â&#x;šđ?&#x2018;Ą= (v â&#x2C6;&#x2019;1,210 â&#x2C6;&#x2122; 10 1,210 â&#x2C6;&#x2122; 10(v â&#x2021;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020;=

w

¤¼A C

ÂĄ Si hipotĂŠticamente đ?&#x2018; & = 8 y đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = 2, â&#x;š đ?&#x2018;Ą = .,0.& â&#x2C6;&#x2122; .& qÂŁ = 11460 đ?&#x2018;&#x17D;Ăąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;

Lo cual es dos veces el periodo de semidesintegraciĂłn del carbono-14, 5730 aĂąos.

Como 2 es la mitad de la mitad de 8, podemos concluir que la fĂłrmula a la que he llegado, es correcta, ya que el resultado obtenido nos indica que han pasado dos periodos de semidesintegraciĂłn.

11

Constant of integration. HyperMath. Georgia State University. Recuperado el 4 de marzo de 2019 de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/intdef.html

12

CONCLUSIĂ&#x201C;N Gracias a toda esta investigaciĂłn, me he dado cuenta de la cantidad de cosas que damos por hecho y aceptamos, sin comprenderlas plenamente en nuestro proceso de aprendizaje en la escuela.

Este trabajo me ha ayudado a entender el origen y la razĂłn de algunos de los conceptos que habĂ­a aprendido con anterioridad, pero que no habĂ­a entendido realmente en profundidad.

AdemĂĄs, he comprobado cĂłmo se puede llegar a la misma conclusiĂłn a travĂŠs de distintos mĂŠtodos, asegurĂĄndome asĂ­ de la validez de todas las lĂ­neas de trabajo exploradas. Esto me ha demostrado que, mediante las matemĂĄticas, se puede llegar un mismo resultado por muchos caminos diferentes, lo cual es apasionante, ademĂĄs de algo muy bello de este ĂĄrea de conocimiento.

Por otra parte, la existencia misma de la funciĂłn exponencial y del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019;, me hace reflexionar sobre la propia naturaleza de las matemĂĄticas. El hecho de que un nĂşmero que parece describir tan bien tantos fenĂłmenos del universo, sea tan difĂ­cil de expresar con nuestro sistema numĂŠrico, siendo irracional y trascendente, con infinitas cifras aĂşn por descubrir, me hace pensar que la forma en la que hemos creado las matemĂĄticas puede no ser siempre la mĂĄs apropiada para explicar algunos fenĂłmenos de la naturaleza.

De todas formas, centrĂĄndonos de nuevo en esta exploraciĂłn, considero que ha habido ciertos fallos a travĂŠs de mi proceso de investigaciĂłn.

Algunos de los mĂŠtodos que he utilizado para mis demostraciones los he aplicado dando ya por hecho muchas definiciones como, por ejemplo, la utilizaciĂłn de ecuaciones diferenciales y de los valores de las integrales, por lo que podrĂ­an pecar de demostraciones circulares. Otros los he sacado de la propia naturaleza de lo que estaba estudiando como, por ejemplo, la demostraciĂłn de la exponencial a partir de las progresiones geomĂŠtricas o la demostraciĂłn del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; a partir de la definiciĂłn bĂĄsica de la derivada. Otra de las demostraciones la he realizado a partir de un experimento, cuyos datos se han recogido con una incertidumbre bastante grande que podrĂ­a haber llevado a desviaciones del valor del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; mucho mĂĄs grandes de lo que ha acabado resultando.

Sin embargo, considero que todas las demostraciones que he realizado se complementan y que, en conjunto, me han llevado a una comprensiĂłn mĂĄs completa y satisfactoria de la funciĂłn exponencial continua, del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; y de su relaciĂłn con la desintegraciĂłn radiactiva.

Por tanto, me han permitido ser capaz de enfrentarme a problemas relacionados con la dataciĂłn de muestras con el carbono-14, siendo plenamente consciente del significado y el origen de cada parte del cĂĄlculo del mismo, lo cual es muy Ăştil en el campo de la arqueologĂ­a, que permite estudiar nuestra historia y pasado para conocer mejor nuestro presente.

AdemĂĄs en conjunto, la funciĂłn exponencial con base đ?&#x2018;&#x2019; sirve para describir cualquier muestra que crezca o decrezca de forma continua, asĂ­ que es muy valiosa en muchos otros campos de conocimiento como la biologĂ­a, las finanzas o la fĂ­sica, que ayudan en gran medida a comprender mejor el mundo que nos rodea.

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