ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN 1 Un ortoedro de altura 12 cm y base cuadrada de lado 9 cm se corta por un plano que pasa por un vértice de la cara superior y por la diagonal de la base, dividiéndolo en dos partes, una de ellas una pirámide triangular: a) Realiza el dibujo esquemático del corte y de las dos figuras geométricas resultantes. b) Podrías desarrollar esquemáticamente la pirámide triangular y calcular su área total. 2 El prisma hexagonal de la figura tiene una de sus bases determinada por ABCDEF, hexágono regular de lado 6 cm y altura 10 cm. a) Si se corta por un plano perpendicular a la base que pasa por B y E, queda dividido en dos poliedros iguales. Determina el área total de uno de los poliedros resultantes. b) Si ahora cortáramos el mismo prisma por un plano perpendicular a las bases que pasara por B y D, quedaría dividido en dos poliedros, uno de base triangular y otro de base pentagonal. Calcula la superficie total del poliedro de base triangular. 3 En un cubo de arista 10 cm inscribimos un poliedro que tiene como vértices los centros de sus caras. ¿Qué nuevo poliedro regular es este? ¿Cuánto mide su arista? Nota: si un poliedro se puede inscribir en otro, se denominan poliedros duales. 4 Por un plano paralelo a la base de radio 5 cm y a 4 cm de ella hemos cortado un cono obteniendo una sección circular de 3 cm. Calcula qué altura tenía el cono y cuánto medía su generatriz.
5 Tenemos dos cajas, A y B. A: tiene forma de prisma hexagonal regular recto de altura 15 cm y de 5 cm cada lado de la base. B: tiene forma de ortoedro de 15 cm de alto y base un cuadrado de 5 cm de lado. ¿Podrías decirnos en cuál de las dos cajas podríamos guardar un lapicero de 18 cm de longitud? 6 Con un papel de tamaño DIN A4 (21 _ 29,7 cm) queremos construir un cono cuyo radio de la base sea el mayor posible. ¿Podrías decirnos el radio de la base y su altura? 7 Hemos cortado un cubo de 8 cm de arista por planos que pasan por el punto medio de todas las aristas que concurren en cada vértice. ¿Podrías determinar la superficie total de la figura que resulta?
8 Un reloj de arena de 16 cm de altura está formado por 2 conos y dos semiesferas de 8 cm de diámetro de la base. a) Calcula el volumen que ocupa la arena. b) Si sabes que al darle la vuelta cae la arena a razón de 0,335 cm3 por segundo, calcula el tiempo que tarda en pasar de un recipiente a otro.
9 Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero, que lleva en volumen las siguientes proporciones: 4 partes de arena fina de densidad 1,6 g/mL, 1 parte de cemento de densidad 1,8 g/mL y 1 parte de agua de densidad 1 g/mL. ¿Podrías contestar a las siguientes preguntas? a) ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo?
b) ¿Cuántos kg de cemento y de arena se necesitan? c) ¿Cuántos litros de agua?
10 Con una plancha rectangular de 10 por 20 cm se pueden construir dos cilindros según se unan por los bordes mayores o menores. ¿Tendrían los dos cilindros la misma capacidad? 11 ¿Qué volumen de agua hay que extraer de un depósito lleno que tiene forma de cono cuyo radio de la base es de 9 m y su altura es de 12 m, para que la altura del agua descienda 4 metros? 12 Hemos creado una figura decorativa que tiene forma de prisma recto de base cuadrada y es el doble de alto que de ancho, hemos dibujado la mitad de sus caras trazando una diagonal en cada cara, en total una superficie de 45 cm2. El material usado es ébano. Si su densidad es de 1,26 g/mL, ¿podrías decirnos cuánto pesará cada figura?
13 Una gran cúpula semiesférica de 20 m de radio cubre un invernadero hecho de cristal que tiene forma de pirámide recta de base cuadrada que queda inscrita en la semiesfera. Calcula la cantidad de vidrio necesaria para su construcción.
14 Se desea construir una piscina de 25 m de largo por 15 m de ancho. Su corte vertical (está en el dibujo) en el sitio menos profundo cubre 1 m, y en el más profundo, 4 m. a) Si se desea enlosar la parte interior con unas baldosas que cuestan a 20 € el metro cuadrado, ¿cuánto nos costará el total de baldosas necesarias? b) Si 1 m3 de agua nos lo cobran a 0,7141 €, ¿cuánto nos costaría llenarla hasta 20 cm. Del borde?
15 Dado el ortoedro ABCDEFGH, de altura 8 cm y base cuadrada de 4 cm, realiza la división del mismo en las tres pirámides cuadrangulares AEFGH, ABFGC y ACDHG. Ayúdate de un dibujo esquemático. Calcula sus volúmenes y comprueba que el de cada una es igual a la tercera parte del volumen del ortoedro..