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Ana Isabel Aparicio Cervantes http://ticmatec.blogspot.com/

ÍNDICE 1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ................................................................................................. 3 1.1 LA MEDIA ARITMÉTICA ....................................................................................................................... 3 1.2 LA MEDIANA ....................................................................................................................................... 3 1.3 LA MODA ............................................................................................................................................ 4 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................................................................... 5 2.1 RANGO................................................................................................................................................ 5 2.2 DESVIACIÓN MEDIA ............................................................................................................................ 5 2.3 VARIANZA ........................................................................................................................................... 5 2.4 DESVIACIÓN TÍPICA ............................................................................................................................ 6 2.5 COEFICIENTE DE VARIACIÓN ............................................................................................................... 6 3. MEDIDAS DE POSICIÓN ................................................................................................................... 7 3.1 CUARTILES .......................................................................................................................................... 7 3.2 PERCENTILES ....................................................................................................................................... 7 4. EJEMPLOS ...................................................................................................................................... 8 4.1 EJEMPLO 1 .......................................................................................................................................... 8 4.2 EJEMPLO 2 ........................................................................................................................................ 11

CÁLCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de centralización nos indican en torno a qué valores se encuentran los datos. Las medidas de centralización más importantes son: 

La media aritmética o promedio.



La mediana.



La moda.

1.1 LA MEDIA ARITMÉTICA Se define media aritmética, , de una variable estadística como el cociente entre la suma de todos los valores de dicha variable y el número de éstos. Si la variable X toma los valores

con frecuencias absolutas

la media aritmética se calcula como: ∑ ∑

Si los datos están agrupados, se toma para

las marcas de clase.

La media es un parámetro que nos informa sobre el centro alrededor del cual se distribuyen los valores, pero podemos encontrarnos distribuciones muy distintas con la misma media. Además la media tiene el problema de verse muy influenciada por valores extremos. Por ejemplo un alumnos puede sacar en un examen un 0 y en otro un 10 y la media le daría 5, igual que un alumno que sacara un 4,5 y 5,5. Por todo ello necesitamos de otros parámetros que nos indiquen las diferencias entre las distribuciones.

1.2 LA MEDIANA Si ordenamos los datos de menor a mayor, la mediana, Me, es el valor que está en medio; es decir, tiene tantos individuos por debajo como por encima. Si los datos están agrupados, el intervalo o clase mediana es el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número de datos.

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Si el número de datos fuera par, a la mediana se le asigna el valor medio de los dos términos centrales. La mediana cubre algunos de los flacos débiles de la media, siendo mucho más robusta frente a la presencia de anomalías.

1.3 LA MODA La moda de una variable estadística es el valor de dicha variable que tiene mayor frecuencia absoluta, y se representa por Mo. Si los datos están agrupados en clases se toma como valor aproximado de la moda la marca de la clase que presenta mayor frecuencia absoluta. Esta clase se llama clase modal. Tenemos que tener en cuenta que la moda no siempre tiene que estar situada en la zona central, a veces se encuentra próxima a los extremos.

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2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Estos parámetros sirven para medir como de dispersos están los datos. En todos ellos, la idea clave es medir el grado de separación de los datos a la media. Las medidas de dispersión más importantes son: 

Rango o recorrido



Desviación media



Varianza



Desviación típica



Coeficiente de variación

2.1 RANGO El rango o recorrido de un distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. Cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

2.2 DESVIACIÓN MEDIA Para ver si los datos de una variable estadística están cerca de la media calculamos las deviaciones respecto a la media, que son para cada dato la diferencia entre el dato y la media. La desviación media es el promedio de las distancias de los datos a la media. |

∑|

Para calcular la desviación media de un conjunto de datos seguimos los siguientes pasos: 1) Desviación respecto a la media: dato –media 2) Valores absolutos de las desviaciones: I dato-media I 3) Media aritmética de estos valores absolutos de las desviaciones

2.3 VARIANZA La varianza nos sirve para medir la dispersión y se define como el promedio de los cuadrados de las distancias de los datos a la media.

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∑

También se puede escribir como

∑

El inconveniente que presenta es que sus unidades son las de los datos elevados al cuadrado

2.4 DESVIACIÓN TÍPICA La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza ∑

Debemos tener en cuenta que cuanto menor es el rango, la varianza o la desviación típica de la distribución, mayor es el grado de representabilidad de las medidas de centralización.

2.5 COEFICIENTE DE VARIACIÓN Para poder comparar las dispersiones de población heterogéneas se define el coeficiente de variación, como el cociente entre la desviación típica y la media.

A esto lo llamamos normalizar la variabilidad con respecto a la media.

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3. MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de posición sirven para “establecer mojones”, delimitar zonas en el conjunto de los datos y así tener una referencia para la localización de los valores. Las dos medidas de posición más importantes son: 

Cuartiles



Percentiles

3.1 CUARTILES Si partimos la totalidad de los individuos en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo número de individuos), los puntos de separación se llaman cuartiles. El cuartil inferior, Q1, es un valor de la variable que deja por debajo de él al 25% de la población, y por encima al 75%. El cuartil superior, Q3, es un valor de la variable que deja por debajo de él al 75% de la población, y por encima al 25%. Se designan Q1 y Q3 porque la mediana coincide con Q2.

3.2 PERCENTILES Si partimos la población en 100 partes y señalamos el lugar que deja debajo de k de ellas, el valor de la variable correspondiente a ese lugar se designa por pk y se denomina centil k o percentil k. Q1=p25; Q3=p75

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4. EJEMPLOS 4.1 EJEMPLO 1 En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos: 2,8; 3,2, 3,8; 2,5; 2,7; 3,7; 1,9; 2,6; 3,5; 2,3; 3,0; 2,6; 1,8; 3,3; 2,9; 2,1; 3,4; 2,8; 3,1; 3,9; 2,9; 3,5, 3,0; 3,1; 2,2; 3,4; 2,5; 1,9; 3,0; 2,9; 2,4; 3,4; 2,0; 2,6; 3,1; 2,3; 3,5; 2,9; 3,0; 2,7; 2,9; 2,8; 2,7; 3,1; 3,0; 3,1; 2,8; 2,6; 2,9; 3,3 a) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg. Intervalos

1,65-2,05

Marcas de clase

1,65

2,05 2

2,05-2,45

2,05

2,45 2

2,45-2,85

2,45

2,85 2

2,85-3,25

2,85

,25 2

3,25-3,65

3,25

3,65 2

3,65-4,05

3,65

4,05 2

1,85

2,25

2,65

3,05

3,45

3,85

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b) Haz una tabla de frecuencias y representa los datos en el diagrama adecuado.

Intervalos

Marcas de clase

1,65 1,65-2,05

2 1,85

2,25

2 2,65

2 3,05

2 25

5 50

1 10

13 50

17 50

3,65 2

3,45

3,65 3,65-4,05

4 50

,25

3,25 3,25-3,65

Frecuencia relativa

2,85

2,85 2,85-3,25

2,45 2

2,45 2,45-2,85

Frecuencia absoluta acumulada

2,05

2,05 2,05-2,45

Frecuencia absoluta

4,05 2

3,85

3 50

4 50

2 25

9 50

22 50

11 25

39 50

4 25

8 50

Frecuencia relativa acumulada

47 50

50 50

Representamos los datos en un histograma; al ser los intervalos de la misma amplitud, la altura de cada barra corresponde a la frecuencia ( fi ) de cada intervalo.

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c) Si es posible calcula los parámetros de centralización. |

Intervalos

1,65-2,05

2,05-2,45

2,45-2,85

2,85-3,25

3,25-3,65

3,65-4,05

1,65

2,05 2

2,05

2,45 2

2,45

2 3,25

4 50

2 4 25 50

2,25

5 50

1 10

3,05

17 39

17 50

3,45

3,85

3 50

3,65 2

3,65

13 50

2 ,25

2,65 13 22

2,85

1,85

4,05 2

7,4

13,69

1,032

11,25

25,31

0,632

11 34,45 25

91,29

0,235

39 50

51,85 158,14

0,168

47 50

27,6

95,22

0,565

11,55

44,47

0,968

9 50 22 50

4 25

8 50

2 25

50 50

144,1 428,12

3,6

Media: ∑ ∑

144,1 50

2,882

Moda: es el valor que más se repite. La moda es 3,05. Mediana: tenemos 6 términos, luego tendremos que hacer la media entre el tercer y cuarto término.

2,85

d) Si es posible calcula los parámetros de dispersión. Localizamos los valores extremos: 1,8 y 3,9. Rango: valores entre los que se encuentra la variables. 3,9 – 1,8 = 2,1. El rango es 2,1.

Desviación media: |

∑|

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3,6 50

0,072

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Varianza: ∑

8,5624 Desviación típica:

0,256476

8,305924

0,256476

428,12 50

2,882

0,51

Coeficiente de variación: 0,51 2,882

0,18

4.2 EJEMPLO 2 El número de faltas de ortografía que cometieron un grupo de estudiantes en un dictado fue: 0, 3, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 4, 3, 5, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 3, 0, 4, 5, 3, 2, 4, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 5, 3, 2, 1 a) Di cual es la variable y de qué tipo es. La variable es el número de faltas ortográficas cometidas, y es cuantitativa discreta (se puede contar y tienen que ser números enteros. b) Haz una tabla de frecuencias y representa los datos en el diagrama adecuado. 1) En la primera columna ponemos es número de faltas ortográficas 2) En la segunda columna ponemos cuantas veces se repite ese número de faltas (frecuencia absoluta). 3) En la tercera columna ponemos las frecuencias absolutas acumuladas. Fi=f1+f2+…+fi 4) En la cuarta columna colocamos las frecuencias relativas 5) En la tercera columna ponemos las frecuencias relativas acumuladas .

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Nº de faltas ortográficas

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

9 40

7 40

3 40

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

3 10

12 40

21 40

3 20

6 40

3 10

28 40

7 10

34 40

17 20 37 40

40 40

El mejor diagrama para representar los datos sería un diagrama de barras.

c) Si es posible calcula los parámetros de centralización. Media: ∑ ∑ 9

18 12 40

0 12 15

68 40

1 9

2 7 3 6 40

1,7

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4 3

5 3

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Moda: es el valor que más se repite. La moda es 0 faltas. Mediana: tenemos 6 términos, luego tendremos que hacer la media entre el tercer y 2,5

cuarto término.

d) Si es posible calcula los parámetros de dispersión.

3 10

12 40

12 12

9 40

7 40

3 40

6 40

3 10

21 40

28 40

7 10

3 34 20 40

17 20

214

37 40 40 40

Rango: valores entre los que se encuentra la variables. 5-0=5. El rango es 5. Desviación media: | | |

1,7|

| 1,7| 1,7

0,7

| |1

∑|

| |2

1,7|

40 |0,3| |1,3| |2,3| |3,3| 40 0,3 1,3 2,3 3,3 9,6 0,24 40 40

| 0,7|

Varianza: Desviación típica:

√2,46

∑

214 40

1,57

Coeficiente de variación: 1,57 1,7

0,92

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1,7

5,35

2,89

2,46